# نقطة ثابتة تكرارية

نقطة ثابتة تكرارية (بالإنجليزية: Fixed-point iteration)‏ تستخدم هذه الطريقة التكرارية لحل المعادلات و تتميز بأنها لا تتطلب حساب قيم أي مشتقات كما في طريقة نيوتن حيث لحل المعادلة $f(x)=0$ نحتاج إلى حساب قيمة مشتقة الدالة ${f}$ عند كل خطوة.

## فكرة هذه الطريقة

تُعرف النقطة الثابتة لدالة بأنها القيمة التي لا تتغير عندها الدالة $g(p)=p$ ولحل معادلة ما $f(x)=0$ بطريقة النقطة الثابتة نضع أولًا المعادلة في الصورة $x=g(x)$ حيث $g$ دالة في $x$ والواقع أنه يمكن وضع أي معادلة $f(x_{0})=0$ في هذه الصورة الخاصة المذكورة بعدد لا نهائي من الطرق . فمثلًا الدالة $f(x)=x^{3}-2x-5$ نستطيع كتابتها كالتالي : $x^{3}-2x-5=0$
$x=(2x-5)^{1 \over 3}=g_{1}(x)$
أو $x={{-5+x^{3}} \over 2}=g_{2}(x)$
أو $x={5 \over {x^{2}-2}}=g_{3}(x)$
ويتم اختيار صيغة من الصيغ الخاصة $x=g(x)$ بحيث يؤدي حلها بطريقة النقطة الثابتة إلى التباعد أو التقارب حسب اختيار الدالة كما سيوضح في النظرية .
نفترض أن لدينا معادلة على الصورة $x=g(x)$ و لنبدأ بقيمة قريبة من الجذر و لتكن $x=x_{0}$ ثم نكون المتتالية من تقريب المتتابعة $x_{n+1}=g(x_{n});n=0,1,2,......$ ومن الواضح أنه إذا كانت لهذه المتتالية $x_{0},x_{1},x_{2}$ نهاية ${\xi }$ فإن ${\xi }$ يكون جذرًا للمعادلة $x=g(x)$ و ذلك لأن ${\xi }=g({\xi })$ .
مالذي يضمن وجود النقطة الثابتة ؟! و كيف أستطيع تحديد دالة تقاربية ؟! سيوضح ذلك النظرية التالية . نظرية (1)
* إذا كانت ل دالة و $g\in C[a.b]$ أي دالة متصلة و قابلة للاشتقاق وَ $g(x)\in C[a.b]$ لأي قيمة $x\in C[a.b]$ فإن الدالة ${g}$ نقطة ثابتة على الأقل .
* بالإضافة إلى أن $g'(x)$ موجودة في $(a,b)$ و العدد الموجب $k,k<1$ موجود و يحقق أن $|g'(x)|\leq k,\forall x\in (a,b)$ فإنه يوجد بالضبط نقطة واحدة في
$[a.b]$
البرهان :
* إذا كانت $g(b)=b$ وَ $g(a)=a$ حيث أن $a,b$ نقط ثابتة .
نفترض أن $g(a)\neq a$ وَ $g(b)\neq b$
$g(a)>a,g(b)<b{\Leftarrow }$
$h(x)=g(x)-x,h\in C[a,b]$
$h(a)=g(a)-a>0$
$h(b)=g(b)-b<0$
و باستخدام نظرية القيمة المتوسطة نحصل على :
$\exists c\in [a,b]$ بحيث أن $h(c)=0$
$h(c)=g(c)-c{\Leftarrow }$
$g(c)=c{\Leftarrow }$
${c}{\Leftarrow }$ نقطة ثابتة
* ${g'}$ موجودة و يوجد عدد موجب ${k}$ بحيث أن : $|g'(x)|\leq k<1$
من نظرية القيمة المتوسطة نفترض أن ${p},{q}$ نقطتين ثابتتين $\exists {\xi }\in (p,q)\subseteq [a,b]{\Leftarrow }$
$g'({\xi })={{g(q)-g(p)} \over {q-p}}$
$g(q)-g(p)=(q-p)g'({\xi }){\Leftarrow }$
$|g(q)-g(p)|=|(q-p)g'({\xi })|{\Leftarrow }$
$|g(q)-g(p)|=|(q-p)||g'({\xi })|{\Leftarrow }$
$|q-p|<|q-p|{\Leftarrow }$ وهذا يؤدي إلى تناقض إذًا يوجد لدالة ${g}$ نقطة ثابتة وحيدة .

## نظرية (2)

بالإضافة إلى الشروط السابقة في النظرية (1) ${g'}$ موجودة في $(a,b)$ و الثابت $0<k<1$ بحيث $|g'(x)|\leq k\forall x\in (a,b)$ فإنه يوجد عدد ${p_{0}}$ $[a,b]$ بحيث المتتابعة معرفة كالتالي ${x_{n}}=g({x_{n-1}});n\leq 1$ هذه المتتابعة تقاربية و تقترب من النقطة الثابتة الوحيدة .
نستفيد من إضافة هذا الشرط في النظرية (2) لمعرفة ما إذا كانت الدالة ${g}$ المختارة تقاربية .

## حدود الخطأ

نتيجة :
عند تحقق الشروط في نظرية (1) و نظرية (2) فإن حدود الخطأ الناتجة من استخدام ${x_{n}}$ لتقريب إلى ${x}$ تعطى بالعلاقة التالية :
$|{x_{n}}-x|{\leq {k^{n}}}{max[{x_{0}}-a,b-{x_{0}}]}$
و أيضًا
$|{x_{n}}-x|\leq {{k^{n}} \over {1-k}}|{x_{1}}-{x_{0}}|\forall n\geq 1$

## تقارب طريقة النقطة الثابتة

لإيجاد علاقة تعطي الخطأ ${\epsilon _{n+1}}$ بدلالة ${\epsilon _{n}}$ : نفترض أن ${\xi }$ هي القسمة المضبوطة للجذر إذًا :
${x_{n}}={\xi }+{\epsilon _{n}}$
${x_{n+}}={\xi }+{\epsilon _{n+1}}$
وبالتعويض في صيغة النقطة الثابتة : ${x_{n+1}}=g(x_{n})$
نحصل على ${\xi }+{\epsilon _{n+1}}=g({\xi }+{\epsilon _{n}})$
${\epsilon _{n+1}}=g({\xi }+{\epsilon _{n}})-{\xi }$
و بما أن ${\xi }$ هي القسمة المضبوطة للجذر، أي أنها تحقق المعادلة $g(x)=x$
إذًا ${\xi }=g({\xi })$
إذًا ${\epsilon _{n+1}}=g({\xi }+{\epsilon _{n}})-g({\xi })$
و بتطبيق نظرية القيمة المتوسطة نجد أن :
${\epsilon _{n+1}}={\epsilon _{n}}.g'({\eta _{n}});{\eta _{n}}\in ({\xi },{{\xi }+{\epsilon _{n}}})$
$|{\epsilon _{n+1}}|=|{\epsilon _{n}}|.|g'({\eta _{n}})|$
بالتالي يكون شرط التقارب $|g'({\eta _{n}})|<1,\forall n$

## خطوات طريقة النقطة الثابتة

* نضع $f(x)=0$
* $f(x)=0{\Rightarrow }g(x)=x$
* وضع قيمة ابتدائية و لتكن ${x_{0}}$
* ${x_{n}}=g({x_{n}}-1)$ ومن ثم نكرر هذه الخطوة إلى الوصول إلى معيار التوقف المطلوب .
مثال :
* أثبت أنه يوجد نقطة ثابتة وحيدة لدالة $f(x)=x^{3}-2x-5$ .
* ثم استخدم طريقة النقطة الثابتة لإيجاد جذر الدالة في الفترة $[2,3]$ وحيث أن مقدار الخطأ ${\epsilon }=10^{-5}$
الحل :
* نختار $f(x)=0$
$x^{3}-2x-5=0$
$x=(2x-5)^{1 \over 3}$
$g(x)=(2x-5)^{1 \over 3}$
نختبرنظرية (1)
$g(2)=2.08\in [2,3],g(3)=2.22\in [2,3]$
ندرس تزايد أو تناقص الدالة لمعرفة أعلى قيمة
$g'(x)={2 \over 3}(2x-5)^{-2 \over 3}$
إذًا هذه الدالة تزايدية مهما أخذت قيمة ل ${x}$ في الفترة $[2,3]$
$g''(x)={-4 \over 9}{(2x-5)}^{-5 \over 3}{<0}$ و ${g'}$ تناقصية في هذه الفترة
${g''(2)}={0.23},{g''(3)}={0.2}$
وهذا يعني أن أعلى قيمة لدالة ${g'}$ عند $g''(2)=0.23$
$|g'(x)|<0.23$
إذًا يوجد نقطة ثابتة ووحيدة في الفترة $[2,3]$
* نفترض أن $x_{0}=2.5$
$x_{1}=f(2.5)=2.2544346$
$x_{2}=2.1036120$
$x_{3}=2.0959274$
$x_{4}=2.0947605$
$x_{5}=2.0945832$
$x_{6}=2.0945563$
$x_{7}=2.0945522$
    $|{x_{7}}-{x_{6}}|=|2.0945563-2.0945522|=4.1\times 10^{-6}<10^{-5}$

## مراجع

* بوابة رياضيات