# توافقيات كروية متجهية

في الرياضيات، يشير مصلح التوافقيات الكروية المتجهية إلى تعميم مفهوم التوافقيات الكروية على المتجهات (الأشعة) عوضا عن المقادير السلمية التي تستخدم عادة لحل معادلة لابلاس.

## تعريف

يوجد اصطلاحات متعددة سنستعرض احداها وحسب، تعرف التوافقيات الكروية المتجهية على النحو التالي :
* $\mathbf {Y} _{lm}=Y_{lm}{\hat {\mathbf {r} }}$
* $\mathbf {\Psi } _{lm}=r\nabla Y_{lm}$
* $\mathbf {\Phi } _{lm}={\vec {\mathbf {r} }}\times \nabla Y_{lm}$
    $\mathbf {E} =\sum _{l=0}^{\infty }\sum _{m=-l}^{l}\left(E_{lm}^{r}(r)\mathbf {Y} _{lm}+E_{lm}^{(1)}(r)\mathbf {\Psi } _{lm}+E_{lm}^{(2)}(r)\mathbf {\Phi } _{lm}\right)$

## الخواص الأساسية
### التناظر

    $\mathbf {Y} _{l,-m}=(-1)^{m}\mathbf {Y} _{lm}^{*}\qquad \mathbf {\Psi } _{l,-m}=(-1)^{m}\mathbf {\Psi } _{lm}^{*}\qquad \mathbf {\Phi } _{l,-m}=(-1)^{m}\mathbf {\Phi } _{lm}^{*}$

### تدرج حقل سلمي

لنأخد منشور متعدد الأقطاب لحقل سلمي ما
    $\phi =\sum _{l=0}^{\infty }\sum _{m=-l}^{l}\phi _{lm}(r)Y_{lm}(\theta ,\phi )$
يمكن التعبير عن التدرج باستخدام مفهوم التوافقيات الكروية المتجهية كما يلي
    $\nabla \phi =\sum _{l=0}^{\infty }\sum _{m=-l}^{l}\left({\frac {\mathrm {d} \phi _{lm}}{\mathrm {d} r}}\mathbf {Y} _{lm}+{\frac {\phi _{lm}}{r}}\mathbf {\Psi } _{lm}\right)$

### التفرق

من أجل أي حقل متعدد الأقطاب لدينا :
    $\nabla \cdot \left(f(r)\mathbf {Y} _{lm}\right)=\left({\frac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} r}}+{\frac {2}{r}}f\right)Y_{lm}$
    $\nabla \cdot \left(f(r)\mathbf {\Psi } _{lm}\right)=-{\frac {l(l+1)}{r}}fY_{lm}$
    $\nabla \cdot \left(f(r)\mathbf {\Phi } _{lm}\right)=0$
من خلال التركيب سنحصل على التفرق لأي حقل المتجهات كما يلي
    $\nabla \cdot \mathbf {E} =\sum _{l=0}^{\infty }\sum _{m=-l}^{l}\left({\frac {\mathrm {d} E_{lm}^{r}}{\mathrm {d} r}}+{\frac {2}{r}}E_{lm}^{r}-{\frac {l(l+1)}{r}}E_{lm}^{(1)}\right)Y_{lm}$

### الدوران

    $\nabla \times \left(f(r)\mathbf {Y} _{lm}\right)=-{\frac {1}{r}}f\mathbf {\Phi } _{lm}$
    $\nabla \times \left(f(r)\mathbf {\Psi } _{lm}\right)=\left({\frac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} r}}+{\frac {1}{r}}f\right)\mathbf {\Phi } _{lm}$
    $\nabla \times \left(f(r)\mathbf {\Phi } _{lm}\right)=-{\frac {l(l+1)}{r}}f\mathbf {Y} _{lm}-\left({\frac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} r}}+{\frac {1}{r}}f\right)\mathbf {\Psi } _{lm}$

## أمثلة
### التوافقيات الكروية المتجهية الأولى

* $l=0\,$
   * $\mathbf {Y} _{00}={\sqrt {\frac {1}{4\pi }}}{\hat {\mathbf {r} }}$
   * $\mathbf {\Psi } _{00}=\mathbf {0}$
   * $\mathbf {\Phi } _{00}=\mathbf {0}$
* $l=1\,$
   * $\mathbf {Y} _{10}={\sqrt {\frac {3}{4\pi }}}\cos \theta \,{\hat {\mathbf {r} }}$
   * $\mathbf {Y} _{11}=-{\sqrt {\frac {3}{8\pi }}}\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \varphi }\sin \theta \,{\hat {\mathbf {r} }}$
   * $\mathbf {\Psi } _{10}=-{\sqrt {\frac {3}{4\pi }}}\sin \theta \,{\hat {\mathbf {\theta } }}$
   * $\mathbf {\Psi } _{11}=-{\sqrt {\frac {3}{8\pi }}}\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \varphi }\left(\cos \theta \,{\hat {\mathbf {\theta } }}+\mathrm {i} \,{\hat {\mathbf {\varphi } }}\right)$
   * $\mathbf {\Phi } _{10}=-{\sqrt {\frac {3}{4\pi }}}\sin \theta \,{\hat {\mathbf {\varphi } }}$
   * $\mathbf {\Phi } _{11}={\sqrt {\frac {3}{8\pi }}}\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \varphi }\left(\mathrm {i} \,{\hat {\mathbf {\theta } }}-\cos \theta \,{\hat {\mathbf {\varphi } }}\right)$
* $l=2\,$
   * $\mathbf {Y} _{20}={\frac {1}{4}}{\sqrt {\frac {5}{\pi }}}\,(3\cos ^{2}\theta -1)\,{\hat {\mathbf {r} }}$
   * $\mathbf {Y} _{21}=-{\sqrt {\frac {15}{8\pi }}}\,\sin \theta \,\cos \theta \,e^{i\varphi }\,{\hat {\mathbf {r} }}$
   * $\mathbf {Y} _{22}={\frac {1}{4}}{\sqrt {\frac {15}{2\pi }}}\,\sin ^{2}\theta \,e^{2i\varphi }\,{\hat {\mathbf {r} }}$
   * $\mathbf {\Psi } _{20}=-{\frac {3}{2}}{\sqrt {\frac {5}{\pi }}}\,\sin \theta \,\cos \theta \,{\hat {\mathbf {\theta } }}$
   * $\mathbf {\Psi } _{21}=-{\sqrt {\frac {15}{8\pi }}}\,e^{i\varphi }\,\left(\cos 2\theta \,{\hat {\mathbf {\theta } }}+\mathrm {i} \cos \theta \,{\hat {\mathbf {\varphi } }}\right)$
   * $\mathbf {\Psi } _{22}={\sqrt {\frac {15}{8\pi }}}\,\sin \theta \,e^{2i\varphi }\,\left(\cos \theta \,{\hat {\mathbf {\theta } }}+\mathrm {i} \,{\hat {\mathbf {\varphi } }}\right)$
   * $\mathbf {\Phi } _{20}=-{\frac {3}{2}}{\sqrt {\frac {5}{\pi }}}\sin \theta \,\cos \theta \,{\hat {\mathbf {\phi } }}$
   * $\mathbf {\Phi } _{21}={\sqrt {\frac {15}{8\pi }}}\,e^{i\varphi }\,\left(\mathrm {i} \cos \theta \,{\hat {\mathbf {\theta } }}-\cos 2\theta \,{\hat {\mathbf {\varphi } }}\right)$
   * $\mathbf {\Phi } _{22}={\sqrt {\frac {15}{8\pi }}}\,\sin \theta \,e^{2i\varphi }\,\left(-\mathrm {i} \,{\hat {\mathbf {\theta } }}+\cos \theta \,{\hat {\mathbf {\varphi } }}\right)$