# جداء نقطي

الجداء النقطي أو الضرب النقطي أو الجداء القياسي أو الضرب القياسي أو الجداء السُّلَّمِيّ (بالإنجليزية: Dot product)‏ هو عمليةٌ جبرية بين متجهين ونتيجتها كمية قياسية.

## تعريف
### تعريف جبري عام

ليكن $E$ فضاء متجهي حقيقي (معرف على حقل الأعداد الحقيقية $\mathbb {R}$)
نعرف الجداء السُلمي على أنه كل دالة $\langle \cdot |\cdot \rangle$:
${\begin{alignedat}{2}{\displaystyle \langle \cdot |\cdot \rangle }:\quad &E\times E\longrightarrow \mathbb {R} \\&(x,y)\longmapsto \displaystyle \langle x|y\rangle \\\end{alignedat}}$$\forall x,y,z\in E\quad {\mathcal {\forall }}a,b\in {\displaystyle \mathbb {R} }$
* $\langle x|y\rangle =\langle y|x\rangle$
* $\langle ax+by|z\rangle =a\langle x|z\rangle +b\langle y|z\rangle$
* $\langle x|x\rangle \geq 0$
* $\langle x|x\rangle =0\quad \Longleftrightarrow \quad x=0_{E}$

### تعريف على $\mathbb {R} ^{n}$

الضرب القياسي الاعتيادي لمتجهتين $x=(x_{1},x_{2},...,x_{n})$ و $y=(y_{1},y_{2},...,y_{n})$ من $\mathbb {R} ^{n}$ يعرف ويرمز له بـ
    $\langle x|y\rangle =\mathbf {x} \cdot \mathbf {y} :=\sum _{i=1}^{n}x_{i}y_{i}=x_{1}y_{1}+x_{2}y_{2}+\cdots +x_{n}y_{n}$
    على سبيل المثال، في الفضاء ثلاثي الأبعاد $\mathbb {R} ^{3}$، الضرب القياسي لمتجهين $(1,-3,5)$ و $(-1,-2,4)$ هو :
    $(-1,-2,4)\cdot (1,-3,5)=(-1)\times 1+(-2)\times (-3)+4\times 5=-1+6+20=25$

### تعريف هندسي

في الفضاء الإقليدي، صيغة أخرى لحاصل الضرب القياسي
    $\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} =AB\cos \theta$
حيث A هو طول المتجه A وB هو طول المتجه B وθ هي الزاوية المحصورة بينهما.

## خصائص

* تبديلي : $\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =\mathbf {b} \cdot \mathbf {a} .$
    تنبثق هذه الخاصية من تعريف الجداء القياسي (θ هي الزاوية المحصورة بين a وb)
    $\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =\|\mathbf {a} \|\|\mathbf {b} \|\cos \theta =\|\mathbf {b} \|\|\mathbf {a} \|\cos \theta =\mathbf {b} \cdot \mathbf {a}$
* توزيعي على جمع المتجهات : (a.b + a.c = a.(b+c
* تعامدي : متجهتان a وb مختلفتان عن الصفر يكونان متعامدتين إذا وفقط إذا توفر a.b = 0.
* لا إلغاء :

### تطبيق لقانون الجيب التمام

    ${\begin{aligned}\mathbf {c} \cdot \mathbf {c} &=(\mathbf {a} -\mathbf {b} )\cdot (\mathbf {a} -\mathbf {b} )\\&=\mathbf {a} \cdot \mathbf {a} -\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} -\mathbf {b} \cdot \mathbf {a} +\mathbf {b} \cdot \mathbf {b} \\&=a^{2}-\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} -\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} +b^{2}\\&=a^{2}-2\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} +b^{2}\\c^{2}&=a^{2}+b^{2}-2ab\cos \theta \\\end{aligned}}$
وهذا هو قانون الجيب التمام. وتعبر أيضا عن خاصية الكاشي

## في الفيزياء

الجداء القياسي يعبر عن كميات عددية لا علاقة لها برسم شعاع مثل (الجهد، العزم ....)

## تعميمات
### الجداء الداخلي

انظر إلى فضاء متجهي معياري.

## انظر أيضا

* ضرب متجهي
* ضرب المصفوفات
* جداء ثلاثي
* متراجحة كوشي-شفارز
* ضرب خارجي (رياضيات)
* هيرمان كراسمان

## مراجع

* ↑ أحمد شفيق الخطيب (2001). قاموس العلوم المصور: بالتعريفات والتطبيقات: إنجليزي - عربي (بالعربية والإنجليزية) (ط. 1). بيروت: مكتبة لبنان ناشرون. ص. 184. ISBN:978-9953-10-218-4. OCLC:50131139. QID:Q124741809.
* ↑ أحمد شفيق الخطيب (2001). قاموس العلوم المصور: بالتعريفات والتطبيقات: إنجليزي - عربي (بالعربية والإنجليزية) (ط. 1). بيروت: مكتبة لبنان ناشرون. ص. 663. ISBN:978-9953-10-218-4. OCLC:50131139. QID:Q124741809.
* ↑ Seymour.، Lipschutz, (2009). Linear algebra (ط. 4th ed). New York: McGraw-Hill. ISBN:9780071543521. OCLC:192082884. مؤرشف من الأصل في 2010-01-12. {{استشهاد بكتاب}}: |طبعة= يحتوي على نص زائد (مساعدة)صيانة الاستشهاد: أسماء متعددة: قائمة المؤلفين (link) صيانة الاستشهاد: علامات ترقيم زائدة (link)

## وصلات خارجية

* بوابة جبر
* بوابة رياضيات
* بوابة هندسة رياضية