# جملة الحالات

جملة الحالات في الفيزياء و الفيزياء الإحصائية بالذات (بالإنجليزية: Partition function ) خاصية إجماية نظام ترمويناميكي يمكن بواسطتها استنباط عدد كبير من الخصائص المكونة له . عندما يكون عدد الجزيئات N في النظام كبير جدا (وقد تكون مختلفة الأنواع) فيمكن اعتبار النظام «متواصلا» وبالتالي يمكن الاستعاضة عن جملة الحالات بتكاملات الحالات .

## جملة الحالات الصغرية

نستعين بجملة الحالات لوصف نظام معزول له طاقة داخلية ($U$) ثابتة ، وحجمه ($V$) وبه عدد ($N$) من الجزيئات في حالة توازن حراري ومعزولا عن الخارج . وتختص جملة الحالات الصغرية هنا بحصر حالات عدد صغير من اجزيئات وتوزيعها (ثم تأتي بعد ذلك دراسة حالة نظام يحتوي على عدد كبير جدا من الجزيئات ) . ونستنبط جملة الحالات الصغرية ($Z_{\mathrm {m} }(U,N,V)$ من عدد الحالات الصغرية $\psi$ الموجودة في نظام مغلق عند طاقة داخلية $U$, و عدد الجزيئات $N$ والحجم $V$ (وربما بعض الخصائص الداخلية الأخرى) ، فتكون الطاقة الكلية ( $E_{\psi }(N,V$ أصغر من أو مساوية للطاقة $U$ :
    $Z_{\mathrm {m} }(U,N,V)=\!\!\!\sum _{E_{\psi }(N,V)\leq U}\!\!\!1.$
فإذا كان النظام في حالة توازن حراري (إنتروبيا في نهاية عظمى) ، فيكون احتمال وجود أحد الحالات الصغرية $\psi$ :
    $P(\psi |U,N,V)={\begin{cases}{\frac {1}{z_{\mathrm {m} }(U,N,V)}}&{\mbox{if }}E_{\psi }(N,V)=U,\\0&{\mbox{,others.}}\\\end{cases}}$
وتعني هنا ($z_{\mathrm {m} }(U,N,V$ عدد الحالات ذات طاقة $E_{\psi }$ مساوية $U$ :
    $z_{\mathrm {m} }(U,N,V)=\!\!\!\sum _{E_{\psi }(N,V)=U}\!\!\!1.$
في الميكانيكا التقليدية ندرس كثيرا أنظمة تتغير حالتها الصغرية باستمرار. مثال على ذلك دراسة الحركة في الغاز ، وفيها نجد أن جزيئات الغاز له ستة درجات حرية أي أن الغاز الذي يحتوي على عدد N يمكن وصفه بأن له عدد $6N$ من الإحداثيات : منها $3N$ إحداثيات الموضع (س ، ص ، ع) ،وعدد $3N$ لزخم الحركة (مركبة في الاتجاه السيني، ومركبة في الاتجاه الصادي ، ومركبة في الاتجاه العيني) .
مع اعتبار q (الموضع واحداثياتة س ، ص ، ع) و p (زخم الحركة وإحداثياته الثلاث) .
نجد أن كل نقطة $(p,q)$ في فضاء الإحداثيات ويسمى أحيانا Gamma-space تمثل حالة من حالات النظام حيث تبلغ الطاقة ($E_{\psi }=H(p,q,N,V$ حيث ($H(p,q,N,V$ هي دالة هاميلتون للنظام الذي يحتوي على العدد N من الجزيئات وحجمه V .
ونظرا لأن الطاقة ثابتة في نظامنا الصغري فهو نظام معزول ، تكون الحالات المتكونة في فضاء جاما سطحا منحنيا ، يمكن للنظام التحرك عليه . وتكون جملة الحالات لمثل ذلك الغاز هو الحجم الذي يشغل المساحة المنحنية $H(p,q,N,V)=U$ والتي يمكن تمثيلها بتكامل للحالات :
    $Z_{\mathrm {m} }(U,N,V)\;=\!\!\!\!\!\int \limits _{H(p,q,N,V)\leq U}\!\!\!\!\!{\frac {d^{3N}p\;d^{3N}q}{h^{3N}N!}}.$
ويكون احتمال وجود الغاز في حالة معينة بالقرب من $(p,q)$ مساويا ل:
    $dP(p,q|U,N,V)={\frac {1}{z_{\mathrm {m} }(U,N,V)}}\delta (U-H(p,q,N,V)){\frac {d^{3N}p\;d^{3N}q}{h^{3N}N!}}$
مع
    $z_{\mathrm {m} }(U,N,V)={\frac {\partial }{\partial U}}Z_{m}(U,N,V)$
ودالة ديراك Dirac δ-Function .

## جملة الحالات عند درجة حرارة ثابتة

تتحدد الخواص الكلية لنظام ليس بالطاقة التي يحتويها و إنما تعتمد على درجة الحرارة (ترموديناميك) . وتعرف جملة الحالات بالمعادلة الآتية (أنظر توزيع بولتزمان):
    $Z_{k}(N,V,T)=\sum _{i}\mathrm {e} ^{-{\frac {E_{i}}{k_{\mathrm {B} }T}}}.$
ويكون احتمال وجود الحالة الصغرية $i$ في النظام (الحالة i ينتمي إليها الطاقة E_i للجزيئات )
    $p_{i}={\frac {1}{Z_{k}(N,V,T)}}\mathrm {e} ^{-{\frac {E_{i}}{k_{\mathrm {B} }T}}}.$
ونحصل على جملة الحالات التي تشكل المقام في المعادلة السابقة:
    $Z_{k}(N,V,T)=\int \mathrm {e} ^{-{\frac {H(\mathbf {p,q} )}{k_{\mathrm {B} }T}}}\,{\frac {d\mathbf {p} d\mathbf {q} }{h^{3N}N!}}.$
حيث $H$ هي دالة هاميلتون . وينتج معامل جيبس $1/N!$ من تماثل الجزيئات وعدم التفرقة بينها . فلو أهملنا معامل جيبس لحصلنا على عدد N من الحالات التي نفرق بينها وبالتالي عدد $N!$ من الحالات الصغرى ، وهذا عدد كبير ليس واقعي : كميتان من نفس الغاز يفصلهما حائل ، ولهما نفس درجة الحرارة ونفس الضغط . فعندما نزيل الحائل ونهمل المعامل $1/N!$ لحصلنا على زيادة في إنتروبيا النظام وهذا مخالف للواقع ، إذ أنه بخلط جزئي نفس الغاز في الظروف الموصوفة لا يحدث تغير للإنتروبيا.

## جملة الحالات لنظام كبير

في النظام الكبير يكون عدد الجزيئات كبيرا جدا ولهذا لا يجرى تعيين حملة الحالات فيه عن طريق عدد الجزيئات وإنما باستخدام الجهد الكيميائي $\mu$ . ويكون احتمال وجود حالة معينة من الحالات الصغرية $i$ يساوي :
    $p_{i}={\frac {1}{Z_{g}(\mu ,V,T)}}\mathrm {e} ^{-{\frac {E_{i}-\mu N_{i}}{k_{\mathrm {B} }T}}}$
حيث $k_{B}$ ثابت بولتزمان. وتكون جملة الحالات :
    $Z_{g}(\mu ,V,T)=\sum _{i}\mathrm {e} ^{-{\frac {E_{i}-\mu N_{i}}{k_{\mathrm {B} }T}}}.$
ويمن كتابتها في الصيغة التكاملية أو ما يسمى «تكامل الحالات» :
    $Z_{g}(\mu ,V,T)=\sum \limits _{N=0}^{\infty }\int \mathrm {e} ^{-{\frac {E(\mathbf {p,q} )-\mu N}{k_{\mathrm {B} }T}}}\,{\frac {d\mathbf {p} d\mathbf {q} }{h^{3N}N!}}.$
ويمكن حساب جملة الحالات للنظام الكبير عن طريق جملة الحالات واخذ الفوجاسيت $z=\exp(\mu /k_{\mathrm {B} }T)$ في الحسبان ، فنحصل على :
    $Z_{g}(\mu ,V,T)=\sum \limits _{N=0}^{\infty }Z_{k}(N,V,T)z^{N}=\sum _{N=0}^{\infty }Z_{k}(N,V,T)\,\mathrm {e} ^{\frac {\mu N}{k_{\mathrm {B} }T}}$.

## حساب الجهود الترموديناميكية

تشتق الكميات الترموديناميكية المميزة لنظام مثل الإنتروبيا S ، و الطاقة الحرة F و الجهد الكيميائي أوميجا بالاستعانة بجملة الحالات :
    ${\begin{aligned}S(N,V,E)&=k_{\mathrm {B} }\,\ln Z_{m}(N,V,E)\\F(N,V,T)&=-k_{\mathrm {B} }T\,\ln Z_{k}(N,V,T)\\\Omega (\mu ,V,T)&=-k_{\mathrm {B} }T\,\ln Z_{g}(\mu ,V,T)\end{aligned}}$