# جداء ثلاثي

في الرياضيات، جداء ثلاثي (بالإنجليزية: Triple product)‏ هو حاصل ضرب ثلاثة متجهات. وتكون نتيجته إما «جداء ثلاثيا غير متجه» أو «جداء ثلاثيا متجها» وهذا الأخير يحدث نادرا في الفيزياء.

## جداء ثلاثي غير متجه

يعرّف الجداء الثلاثي غير المتجه بأنه حاصل ضرب جداء قياسي لأحد المتجهات في جداء اتجاهي.

### التفسير الهندسي

التفسير الهندسي للجداء الثلاثي غير متجه
    $\mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )$
هو حجم متوازي السطوح الممثل بثلاثة متجهات.

### خواصه

* لا يتأثر الجداء الثلاثي غير المتجة بالإزاحة الدورانية ويتكون من ثلاثة متجهات (a, b, c):
       $\mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )=\mathbf {b} \cdot (\mathbf {c} \times \mathbf {a} )=\mathbf {c} \cdot (\mathbf {a} \times \mathbf {b} )$
* استبدال المتجهين في الجداء الاتجاهي يعكس إشارة ناتج الجداء الثلاثي:
       $\mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )=-\mathbf {a} \cdot (\mathbf {c} \times \mathbf {b} )$

### ترميزات مستخدمة أخرى

تستخدم بعض الرميزات الأخرى للتعبير عن الضرب الثلاثي غير المتجه مثل: $({\vec {a}}\times {\vec {b}})\cdot {\vec {c}}$.
وكذلك: $[{\vec {a}},{\vec {b}},{\vec {c}}]$ و $\langle {\vec {a}},{\vec {b}},{\vec {c}}\rangle$.

### شرح الخواص

عملية الضرب الثلاثي غير المتجه ليست عملية تبديلية. ولكن قيمته لا تتغير إذا بادلنا المعاملات تبديلا دورانيا:
       $({\vec {a}}\times {\vec {b}})\cdot {\vec {c}}=({\vec {b}}\times {\vec {c}})\cdot {\vec {a}}=({\vec {c}}\times {\vec {a}})\cdot {\vec {b}}$.
* ويمكن حساب الجداء الثلاثي بواسطة المحددات، فمثلا ينطبق علي المعادلة:
       ${\vec {a}}={\begin{pmatrix}a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\end{pmatrix}},\ {\vec {b}}={\begin{pmatrix}b_{1}\\b_{2}\\b_{3}\end{pmatrix}},\ {\vec {c}}={\begin{pmatrix}c_{1}\\c_{2}\\c_{3}\end{pmatrix}}$
ينطبق عليها أن يكون:
    $({\vec {a}},{\vec {b}},{\vec {c}})=\det {\begin{pmatrix}a_{1}&b_{1}&c_{1}\\a_{2}&b_{2}&c_{2}\\a_{3}&b_{3}&c_{3}\end{pmatrix}}=\det {\begin{pmatrix}a_{1}&a_{2}&a_{3}\\b_{1}&b_{2}&b_{3}\\c_{1}&c_{2}&c_{3}\end{pmatrix}}$
ويمكن إثبات ذلك بإجراء الحساب:
* حيث أن الضرب القياسي يكون عملية تبديلية، فنحصل على:
       $({\vec {a}}\times {\vec {b}})\cdot {\vec {c}}={\vec {a}}\cdot ({\vec {b}}\times {\vec {c}})$.
أي باختيار أقواسا مناسبة يمكن تبديل العلامات الحسابية.
* وبعكس التبادل الدوراني ينتج عند إجراء تبادل دوراني مضاد تغيير للإشارة:
       $\left({\vec {a}},{\vec {b}},{\vec {c}}\right)=-\left({\vec {b}},{\vec {a}},{\vec {c}}\right)$
* كما أنه نظرا إلى أن ${\vec {a}}\times {\vec {a}}={\vec {0}}$ يكون:
       $\left({\vec {a}},{\vec {a}},{\vec {b}}\right)=0$
* والضرب في كمية غير متجهة $\alpha \in \mathbb {R}$ تنتج:
       $\left(\alpha \cdot {\vec {a}},{\vec {b}},{\vec {c}}\right)=\alpha \cdot \left({\vec {a}},{\vec {b}},{\vec {c}}\right)$
وهي عملية تسمى عملية تجميعية.

## جداء ثلاثي متجه

يعرف الجداء الثلاثي المتجه بإنه ضرب اتجاهي لمتجه مضروبا في ضرب اتجاهي آخر. وتنطبق عليه القاعدة التالية:
    $\mathbf {a} \times (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )=(\mathbf {a} \cdot \mathbf {c} )\mathbf {b} -(\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )\mathbf {c}$
    $(\mathbf {a} \times \mathbf {b} )\times \mathbf {c} =-\mathbf {c} \times (\mathbf {a} \times \mathbf {b} )=-(\mathbf {c} \cdot \mathbf {b} )\mathbf {a} +(\mathbf {c} \cdot \mathbf {a} )\mathbf {b}$ .
تعرف المعادلة الأولى بأنها «معادلة لاجرانج» أو «الضرب الثلاثي الممتد»
ويمكن تذكر الجزء الأيمن من المعادلة بالترميز "BAC - CAB" مع تذكر أي متجهات تكون فيها عملية الضرب قياسية (علامة الضرب «النقطية»).
ولإثبات ذلك نبدأ بالمعادلات التي تسهل حسابات المتجهات في الفيزياء. ومن ضمنها معادلات التدرج - مثل تدرج مجال مغناطيسي أو تدرج درجات الحرارة وهي تدرجات تنتسب إلى تغير المكان - وتسهل حسابات المتجهات:
    ${\begin{aligned}\nabla \times (\nabla \times \mathbf {f} )&=\nabla (\nabla \cdot \mathbf {f} )-(\nabla \cdot \nabla )\mathbf {f} \\&={\mbox{grad }}({\mbox{div }}\mathbf {f} )-\nabla ^{2}\mathbf {f} .\end{aligned}}$
حيث $\Delta$ هي مؤثر لابلاس.

## انظر أيضا

* ضرب اتجاهي
* ضرب قياسي
* ضرب المصفوفات
* ضرب ديكارتي
* جداء مباشر

## مراجع

* ↑ مذكور في: مفردة كهروتقنية دولية. رقم مفردة لدى تقنية كهربائية دولية (IEV): 102-03-38. الناشر: اللجنة الكهروتقنية الدولية.
* ↑ جوزيف لوي لاغرانج did not develop the cross product as an algebraic product on vectors, but did use an equivalent form of it in components: see Lagrange, J-L (1773). "Solutions analytiques de quelques problèmes sur les pyramides triangulaires". Oeuvres. ج. vol 3. {{استشهاد بكتاب}}: |المجلد= يحوي نصًّا زائدًا (مساعدة) He may have written a formula similar to the triple product expansion in component form. See also Lagrange's identity and كيوشي إيتو (1987). Encyclopedic Dictionary of Mathematics. MIT Press. ص. 1679. ISBN:0-262-59020-4.
* ↑ كيوشي إيتو (1993). "§C: Vector product". Encyclopedic dictionary of mathematics (ط. 2nd). MIT Press. ص. 1679. ISBN:0-262-59020-4. مؤرشف من الأصل في 2014-10-31.
* ↑ Pengzhi Lin (2008). Numerical Modelling of Water Waves: An Introduction to Engineers and Scientists. Routledge. ص. 13. ISBN:0-415-41578-0. مؤرشف من الأصل في 2016-12-02.

## وصلات خارجية

* بوابة جبر
* بوابة رياضيات