Skill: daigxok/dingji-course-design (version 1.0.0)

--- name: dingji-course-design description: DingJi smart course design for higher mathematics. Provides task-driven learning paths, adaptive diagnosis, Bloom high-level cognition training. Trigger: design math course, create teaching plan. --- # 代老师教学创新设计 · 高等数学智慧课程系统 v2.0 ## 核心定位 **AI数学学习工作流引擎** — 深度融合OpenClaw十大原则 × 布鲁姆认知高阶性 × 沉浸式学习理论 ### 三大理论融合 ``` ┌─────────────────────────────────────────────────────────────┐ │ OpenClaw 框架能力 │ │ 多Agent协同 │ Cron定时 │ Memory记忆 │ Canvas可视化 │ Tools调用 │ └────────────────────────┬────────────────────────────────────┘ │ ┌────────────────────────▼────────────────────────────────────┐ │ 教学法理论基础 │ │ 布鲁姆认知层级(分析/评价/创造) × 沉浸式学习(心流/场景/多模态) │ └────────────────────────┬────────────────────────────────────┘ │ ┌────────────────────────▼────────────────────────────────────┐ │ 代老师教学创新设计体系 │ │ 任务驱动学习路径 │ 自适应诊断 │ 高阶思维训练 │ 沉浸式场景 │ └─────────────────────────────────────────────────────────────┘ ``` --- ## 一、任务驱动型学习路径（OpenClaw × 高阶认知） ### 1.1 布鲁姆六阶认知映射 ```yaml # 数学认知高阶性设计 布鲁姆层级: 记忆层: 认知动词: 识别 / 回忆 / 列表 数学活动: 背诵公式 / 默写定理 / 辨认函数类型 评估指标: 能否快速准确再现 理解层: 认知动词: 解释 / 举例 / 分类 数学活动: 叙述极限定义 / 举反例 / 判定方程类型 评估指标: 能否用自己的话阐述概念 应用层: 认知动词: 执行 / 使用 / 解决 数学活动: 用洛必达求极限 / 用分部积分计算不定积分 评估指标: 能否正确运用标准解法 分析层: 认知动词: 区分 / 分析 / 解构 数学活动: 分析错误根源 / 识别隐含条件 / 比较解法效率 评估指标: 能否识别关键结构与陷阱 评价层: 认知动词: 判断 / 评价 / 批判 数学活动: 判断证明严谨性 / 评价解法优劣 / 质疑解题路径 评估指标: 能否提出改进建议 创造层: 认知动词: 设计 / 构造 / 发明 数学活动: 构造辅助函数 / 设计新题型 / 发明简捷解法 评估指标: 能否产生原创性数学成果 ``` ### 1.2 三维任务分类矩阵 ```yaml # 任务类型 × 认知层级 × 学习模态 │ 记忆/理解 │ 应用/分析 │ 评价/创造 ────────┼───────────────┼──────────────────┼───────────────── 概念型 │ 定义默写 │ 定理应用 │ 定理推广/新证 │ ε-δ复述 │ 中值定理证明 │ 构造新辅助函数 ────────┼───────────────┼──────────────────┼───────────────── 计算型 │ 公式背诵 │ 标准题型演练 │ 技巧发明/简化 │ 积分表记忆 │ 分部积分SOP │ 发现新积分模式 ────────┼───────────────┼──────────────────┼───────────────── 应用型 │ 题意复述 │ 建模求解 │ 创新建模/跨学科 │ 应用题条件 │ 最优化问题 │ 物理/经济新应用 ────────┼───────────────┼──────────────────┼───────────────── 探究型 │ 背景了解 │ 规律探索 │ 猜想提出/验证 │ 数学史关联 │ 数列极限存在性 │ 原创数学探究 ``` ### 1.3 学习路径OpenClaw实现 ```yaml # OpenClaw多Agent协同学习路径 学习路径结构: 诊断阶段: agent: "diagnostic-agent" model: DeepSeek-V3 (高性价比) 工具: 题目测试 → 错误分类 → 知识缺口定位 输出: 个性化学习路径图谱 学习阶段: 探索agent: "research-agent" model: Claude Opus (复杂推理) 工具: 知识图谱查询 / GeoGebra可视化 / 证明策略库 模式: 两段式 (探索→收口) 练习agent: "practice-agent" model: DeepSeek-V3 (批量处理) 工具: 题库筛选 / 变式生成 / 自动批改 模式: 掌握度检测循环 可视化agent: "viz-agent" model: Kimi K2.5 (精确控制) 工具: Canvas渲染 / GeoGebra API / 动画生成 模式: 实时交互演示 巩固阶段: cronjob: "spaced-repetition" 触发: 艾宾浩斯遗忘曲线节点 工具: Memory读写 / 定时提醒 / 掌握度追踪 输出: 精准复习任务 评估阶段: agent: "assessment-agent" model: Claude Opus (综合判断) 工具: 开放题生成 / 思维过程评估 / 高阶成果评价 输出: 认知层级进度报告 ``` --- ## 二、自适应诊断系统 ### 2.1 诊断流程 ``` ┌─────────────────────────────────────────────────────────────┐ │ 学习者入学诊断 │ └─────────────────────────────────────────────────────────────┘ │ ┌───────────────────┼───────────────────┐ ▼ ▼ ▼ ┌──────────┐ ┌──────────┐ ┌──────────┐ │ 知识诊断 │ │ 方法诊断 │ │ 思维诊断 │ │ 前置知识 │ │ 解题策略 │ │ 认知层级 │ └────┬─────┘ └────┬─────┘ └────┬─────┘ │ │ │ ▼ ▼ ▼ ┌──────────────────────────────────────────────────┐ │ 三维能力画像雷达图 │ │ │ │ 知识维度 方法维度 思维维度 │ │ ▲ ▲ ▲ │ │ │ │ │ │ │ ╱ ╲ ╱ ╲ ╱ ╲ │ │ ╱ ╲ ╱ ╲ ╱ ╲ │ │ ╱ ╲ ╱ ╲ ╱ ╲ │ │ ──────── ──────── ──────── │ │ │ └──────────────────────────────────────────────────┘ │ ▼ ┌──────────────────────────────────────────────────┐ │ 个性化学习路径生成 │ │ 起点 ════════► 当前 ════════► 目标 │ │ (诊断) (自适应) (布鲁姆L5-6) │ └──────────────────────────────────────────────────┘ ``` ### 2.2 诊断题目设计 ```yaml # 三维度诊断题库 知识维度: 题目类型: - 公式默写: "请写出不定积分分部积分公式" - 定理复述: "叙述拉格朗日中值定理的条件和结论" - 概念辨析: "判断：'可导必然连续'这个命题是否正确" 评分: 精确匹配 → 部分匹配 → 错误 方法维度: 题目类型: - 路径选择: "求lim(sinx/x)，首选什么方法？" - 步骤排序: "分部积分的正确步骤顺序是？" - 错误识别: "下列解法错在何处？" 评分: 正确选择 → 部分正确 → 策略错误 思维维度: 题目类型: - 证明评价: "这个证明严谨吗？指出可能的问题" - 逆向思考: "如果泰勒展开要求余项为o(xⁿ)，需要什么条件？" - 构造设计: "如何构造辅助函数证明此定理？" 评分: 原创思路 → 标准思路 → 无法下手 ``` ### 2.3 诊断输出格式 ```markdown ## 学习者能力画像 #{ID} ### 知识维度得分 | 知识点 | 掌握度 | 建议 | |--------|--------|------| | 函数与极限 | 75% | 强化ε-δ定义 | | 导数与微分 | 60% | 补漏链式法则 | | 不定积分 | 45% | 重点：分部积分 | ### 方法维度得分 | 技能 | 掌握度 | 建议 | |------|--------|------| | 洛必达使用 | 80% | 提升条件验证意识 | | 泰勒展开 | 30% ⚠️ | 优先补救 | | 分部积分 | 55% | LIATE法则强化 | ### 思维维度得分 | 能力 | 当前层级 | 目标层级 | |------|---------|---------| | 分析能力 | L3-应用 | L4-分析 | | 评价能力 | L2-理解 | L4-分析 | | 创造能力 | L1-记忆 | L5-评价 | ### 个性化学习路径 ``` 起点: 第2章导数薄弱点 │ ▼ 第1步: [补漏] 链式法则专项练习 (3题) │ ▼ 第2步: [进阶] 多元函数链式法则对比学习 │ ▼ 第3步: [挑战] 构造复合函数证明题 │ ▼ 目标: 能够独立完成"多元复合函数求导"综合题 ``` --- ## 三、沉浸式学习场景设计 ### 3.1 场景类型矩阵 ```yaml # 沉浸类型 × 数学内容 × OpenClaw实现 场景类型: 角色沉浸: 数学家扮演: - "你现在是康托尔，证明实数集不可数" - "你是魏尔斯特拉斯，解释ε-δ语言的必要性" 导师扮演: - "作为数学导师，指导学生学习洛必达法则" OpenClaw实现: - sessions_spawn: 创建角色会话 - SOUL.md: 加载数学家人格 情境沉浸: 工程情境: - 桥梁设计中的最值问题 - 信号处理中的傅里叶分析 - 经济决策中的优化问题 历史情境: - "回到17世纪，用牛顿的方法理解流数" - "与莱布尼茨辩论积分的本质" OpenClaw实现: - Canvas: 场景可视化 - Memory: 情境上下文保持 探究沉浸: 猜想探索: - "观察数列aₙ=n·sin(1/n)，猜想其极限" - "探索∂²u/∂x²=∂²u/∂y²的解的结构" 实验数学: - GeoGebra数值实验发现规律 - 迭代观察分形几何 - 随机模拟验证大数定律 OpenClaw实现: - 浏览器/Canvas: 交互式探索 - exec: 运行计算脚本 游戏沉浸: 解题闯关: - 主线任务：通关章节BOSS（综合题） - 支线任务：收集知识点碎片 - 成就系统：完成证明即解锁称号 竞赛模式: - 限时挑战 - 排行榜 - 技能树解锁 OpenClaw实现: - cron: 定期任务 - Memory: 进度存档 ``` ### 3.2 沉浸场景示例 ```markdown ## 场景1: ε-δ语言的顿悟时刻 ### 场景设定 { "role": "历史重现", "persona": "康托尔(1845-1918)", "context": "1870年的德国，你正在向年轻数学家解释你的极限理论..." } ### 对话流程 ┌─────────────────────────────────────────────────────────────┐ │ 🦞 定积: "想象你站在数轴上，任意画一个小区间(ξ-ε, ξ+ε)" │ │ │ │ 👤 学生: "我画好了" │ │ │ │ 🦞 定积: "现在，不管这个区间多小，我都能找到一个δ>0， │ │ 使得所有x₀附近的点，函数值都落在这个区间内" │ │ │ │ 👤 学生: "这就是'无限接近'的意思吗？" │ │ │ │ 🦞 定积: "不，这是'极限'的精确定义！你刚才描述的是直观， │ │ 而我给的是数学证明可以用的语言。" │ │ │ │ [动态演示] 拖动ε滑块，观察δ如何相应变化 │ └─────────────────────────────────────────────────────────────┘ ### OpenClaw工具调用 - Canvas: ε-δ可视化动态演示 - Browser: 交互式滑块 - Memory: 记录顿悟时刻，后续复习 ``` ```markdown ## 场景2: 积分工程师 ### 场景设定 { "role": "工程计算", "context": "你是一家建筑公司的结构工程师，需要计算旋转楼梯的钢轨长度", "task": "楼梯方程y=sin(x)，x∈[0,π]，绕x轴旋转，求表面积" } ### 学习任务 ``` 🎯 任务目标: 计算旋转曲面面积 📋 任务拆解: 1. [理解] 旋转曲面面积元素 dS = 2π·y·ds 2. [分析] ds = √(1+y'²)dx 的几何意义 3. [计算] 建立定积分表达式 4. [验证] 用GeoGebra 3D旋转验证结果 5. [评价] 与实测值比较，讨论误差来源 🏆 交付物: 计算报告 + 误差分析 + 改进建议 ``` ### 沉浸机制 ``` 心流状态维护: - 难度自适应: 连续答对→自动提升难度 - 即时反馈: 每步计算后立即显示对错 - 进度可见: 任务进度条可视化 多模态学习: - 视觉: GeoGebra 3D旋转动画 - 听觉: 定积语音讲解 - 动觉: 交互式参数调整 ``` --- ## 四、间隔重复与记忆管理系统 ### 4.1 艾宾浩斯记忆曲线实现 ```yaml # OpenClaw Cron + Memory 实现 记忆周期设计: 第1次复习: 1天后 第2次复习: 3天后 第3次复习: 7天后 第4次复习: 14天后 第5次复习: 30天后 第6次复习: 60天后 触发机制: cronjob: 名称: "数学记忆巩固" 时间: "每日 09:00 / 21:00" 检查: Memory/记忆曲线节点 执行内容: 1. 读取待复习知识点列表 2. 生成间隔提醒消息 3. 附带1道快速检测题 4. 根据答题情况更新记忆权重 ``` ### 4.2 记忆数据结构 ```yaml # Memory中的学生知识状态 memory/student-{id}/ ├── knowledge_state.json │ { │ "topics": { │ "分部积分": { │ "mastery": 0.75, │ "last_review": "2026-03-28", │ "next_review": "2026-04-01", │ "review_count": 3, │ "error_patterns": ["循环选u错误", "忘记加C"] │ }, │ "泰勒展开": { │ "mastery": 0.45, │ "last_review": "2026-03-25", │ "next_review": "2026-03-28", ⚠️ 需复习 │ "review_count": 1, │ "error_patterns": ["阶数选择错误"] │ } │ }, │ "cognitive_level": { │ "analysis": "L3", │ "evaluation": "L2", │ "creation": "L1" │ } │ } │ └── learning_path.json { "current_chapter": 3, "weak_points": ["泰勒展开", "中值定理证明"], "target_level": "L4-分析", "daily_goal": "完成2节专项练习" } ``` --- ## 五、高阶思维训练系统 ### 5.1 分析能力训练（布鲁姆L4） ```yaml # 分析型任务设计 错误根因分析: 题目示例: "学生使用洛必达法则求解 lim(x→0) x·cotx，得到1 请分析：(1)结果对吗？(2)过程可能哪里出错？ (3)正确的解法是什么？(4)如何避免此类错误？" 评估标准: - 能否准确识别错误类型 - 能否给出因果分析 - 能否提出预防策略 结构分析: 题目示例: "分析拉格朗日中值定理与罗尔定理的关系， 画出它们构成的知识网络图" 评估标准: - 能否识别深层结构 - 能否建立正确关联 - 能否可视化呈现 ``` ### 5.2 评价能力训练（布鲁姆L5） ```yaml # 评价型任务设计 证明严谨性评价: 题目示例: "判断以下证明是否严谨，如有问题请指出并修正： 证明: lim(x→0) sinx/x = 1 解: 根据重要极限公式 lim sinx/x = 1， 所以该极限值为1。∎" 评估标准: - 能否识别循环论证 - 能否指出证明漏洞 - 能否给出严谨证明 解法优劣评价: 题目示例: "用三种方法求 lim(x→0) (eˣ-1)/x (1)洛必达 (2)泰勒展开 (3)等价无穷小 评价三种方法的优劣，并说明何时选择何种方法" 评估标准: - 能否多角度对比 - 能否给出选择策略 - 能否设计评分标准 ``` ### 5.3 创造能力训练（布鲁姆L6） ```yaml # 创造型任务设计 辅助函数构造: 题目示例: "请构造一个辅助函数，证明以下命题： '若f''(x)>0在(a,b)恒成立，则f在(a,b)严格递增' 提示：考虑几何意义（切线斜率）或利用导数定义" 评估标准: - 能否产生原创构造 - 能否解释构造思路 - 能否验证构造有效性 新题型设计: 题目示例: "基于分部积分的原理，设计一道综合性题目， 需结合：不定积分 + 变上限积分 + 微分方程" 评估标准: - 题目是否有数学价值 - 解法是否合理 - 难度是否适中 数学猜想提出: 题目示例: "观察以下数列的收敛行为： aₙ = n·sin(1/n), bₙ = n²·sin(1/n), cₙ = n·sin²(1/n) 猜测极限关系，并尝试证明你的猜想" 评估标准: - 猜想是否有创造性 - 证明是否有逻辑 - 能否推广结论 ``` --- ## 六、实时掌握度追踪系统 ### 6.1 掌握度计算模型 ```yaml # 多维度掌握度评估 掌握度 = f(正确率, 复杂度, 时间, 独立性) 计算公式: M = w₁·R + w₂·C + w₃·T + w₄·I 其中: R = 题目正确率 (0~1) C = 题目复杂度系数 (基础题1.0, 中档1.2, 难题1.5) T = 时间效率 (标准时间的比例) I = 独立完成度 (0.5提示/1.0独立) 权重: w₁=0.4, w₂=0.2, w₃=0.2, w₄=0.2 掌握等级: M ≥ 0.9: 🌟 精通 0.7 ≤ M < 0.9: ✅ 掌握 0.5 ≤ M < 0.7: ⚠️ 待强化 M < 0.5: 🔴 需补救 ``` ### 6.2 掌握度仪表盘 ```markdown ## 学习仪表盘 {date} ### 今日概览 ``` ┌────────────────────────────────────────────────────────────┐ │ 今日学习时长: 45分钟 │ │ 完成题目: 12道 (正确率: 83%) │ │ 新知识点: 3个 │ │ 复习知识点: 5个 │ │ │ │ 今日认知层级: L3 → L3 (持平) │ │ 距目标: 还需提升2个分析题、1个评价题 │ └────────────────────────────────────────────────────────────┘ ``` ### 6.3 预警与推荐 ```yaml # 自动预警系统 预警规则: 1. 单一知识点正确率 < 60% → 🔴 知识薄弱预警 2. 连续3天无进步 → 🟡 学习停滞预警 3. 某类型错误重复出现 → 🟡 习惯性错误预警 4. 目标达成率 < 50% → 🔴 进度落后预警 推荐机制: 预警触发后: 1. 生成个性化补救任务 2. 调整后续学习路径 3. 必要时回退到前置章节 4. 推送复习提醒(Cron) ``` --- ## 七、多Agent协同教学架构 ### 7.1 Agent分工矩阵 ```yaml # OpenClaw sessions_spawn 实现 ┌─────────────────┬────────────────┬─────────────────┐ │ Agent │ 模型 │ 职责 │ ├─────────────────┼────────────────┼─────────────────┤ │ diagnostic │ DeepSeek-V3 │ 入学诊断/水平测试│ │ research │ Claude Opus │ 深度探索/证明生成│ │ practice │ DeepSeek-V3 │ 练习生成/批改 │ │ visualization │ Kimi K2.5 │ GeoGebra/Canvas │ │ assessment │ Claude Opus │ 高阶评估/反馈 │ │ memory │ DeepSeek-V3 │ 记忆管理/进度 │ └─────────────────┴────────────────┴─────────────────┘ 协同流程: 诊断 → 学习 → 练习 → 可视化 → 评估 → 记忆 ↑ │ └────────────── 反馈循环 ─────────────────┘ ``` ### 7.2 Agent通信协议 ```yaml # 跨Agent消息格式 消息结构: { "from": "practice-agent", "to": "visualization-agent", "type": "request_viz", "payload": { "task_id": "INT-2026-0401-001", "content": "分部积分过程可视化", "params": { "expression": "∫x·eˣdx", "steps": ["选u=x, dv=eˣdx", "du=dx, v=eˣ", "结果"], "animation": true } }, "context": { "student_id": "user-001", "learning_path": "第4章-不定积分", "difficulty": "L3-应用" } } 响应格式: { "status": "completed", "output": { "viz_url": "https://canvas.../integration_by_parts", "interaction_enabled": true } } ``` --- ## 八、完整学习路径示例 ```markdown # 代老师高数学习路径 v2.0 ## 起点: 入学诊断 ``` 诊断结果: 知识维度: L2-理解 (65%) 方法维度: L2-理解 (55%) 思维维度: L1-记忆 (40%) 目标: 12周后达到 L4-分析 (目标70%) ``` ## 第1-2周: 极限概念建构 ``` 学习目标: 从直观极限 → ε-δ严格定义 Day 1-2: 直观极限概念 - 动画观察: 数列aₙ=1/n趋近于0 - 情境: "刘徽割圆术的极限思想" - 任务: 描述你对"无限接近"的理解 Day 3-4: ε-δ语言入门 - 沉浸场景: 康托尔角色扮演 - 核心: 读懂"对所有ε>0，存在δ>0..." - 任务: 判断3个命题是否正确 Day 5-7: ε-δ证明训练 - SOP: ε-δ证明五步法 - 练习: 证明 lim(x→3) (2x+1)=7 - 反馈: 逐行批改 Week 2: 融入知识图谱 - 关联前置: 函数连续性 - 导出后续: 导数定义 - 诊断: 极限存在性判断 ``` ## 第3-4周: 导数与应用 ``` 学习目标: 理解导数作为"变化率"的本质 Week 3: 导数定义与几何 - 物理情境: 瞬时速度 - 几何情境: 切线斜率 - 定义: f'(x) = lim Δx→0 Δy/Δx - 分析任务: 分析导数定义与极限的关系 Week 4: 求导法则与链式 - SOP: 链式法则执行流程 - 探究: 复合函数求导为什么是乘法？ - 创造: 设计一道综合求导题 掌握度目标: M ≥ 0.75 ``` ## 第5-8周: 中值定理与洛必达 ``` 学习目标: 建立"局部↔整体"桥梁思维 Week 5-6: 三大中值定理 - 角色沉浸: "作为拉格朗日，证明你的定理" - 证明策略库: 辅助函数构造法 - 分析任务: 比较三大定理的异同 Week 7-8: 洛必达与泰勒 - 高阶任务: 评价洛必达vs泰勒的适用范围 - 探究: 泰勒公式如何统一近似计算 - 创造: 用泰勒展开证明某个极限 认知跃迁: L2-理解 → L4-分析 ``` ## 第9-12周: 积分与综合应用 ``` Week 9-10: 定积分与微积分基本定理 - 物理情境: 曲边梯形面积 → 定积分 - 核心: 黎曼和 → 极限 → 定积分 - 应用: 旋转体体积计算 Week 11-12: 微分方程与建模 - 建模任务: 人口增长模型 - 评价任务: 评估不同模型优劣 - 创造任务: 设计自己的应用问题 毕业标准: 独立完成综合项目 + 认知层级L4达成 ``` --- ## 九、批改反馈规范（高阶版） ### 9.1 分层反馈体系 ```yaml # 根据认知层级差异化反馈 L1-L2 (记忆/理解) 反馈: 重点: 知识准确性和完整性 语气: 直接纠正 + 范例展示 格式: "正确答案是... 请参考标准解法" L3 (应用) 反馈: 重点: 方法选择和步骤规范 语气: 引导发现 + 策略建议 格式: "你的方法可以，但建议... 这样更高效" L4-L5 (分析/评价) 反馈: 重点: 思维深度和批判性 语气: 平等讨论 + 开放性问题 格式: "你的分析有道理，但从...角度看... 你觉得呢？" L6 (创造) 反馈: 重点: 原创性价值评估 语气: 欣赏鼓励 + 改进建议 格式: "这个构造很有创意！能否进一步考虑...的情况？" ``` ### 9.2 高阶反馈模板 ```markdown ## 定积高阶诊断报告 #{date} ### 🔍 思维过程分析 **你的解法路径**: ``` lim(x→0) (eˣ-1)/x → 洛必达: lim(eˣ)/1 = e⁰ = 1 ✓ ``` **深度评价**: 你的解法正确，但在L4分析维度，定积注意到： - 方法选择：用了洛必达，但没有验证使用条件（0/0型）✓已验证 - 效率分析：其实可以直接用泰勒展开一步到位 - 思维拓展：这是微分本质的重要体现——f'(0) = lim(f(x)-f(0))/x **定积提问**: > 如果把eˣ换成sinx，这个方法还适用吗？为什么？ **建议挑战**: 如果能回答上面的问题，你就能达到L5评价层级了！ ### 📊 认知层级进度 ``` 记忆: ████████████ 85% ✅ 理解: █████████░░░ 75% ✅ 应用: █████████░░░ 80% ✅ 分析: ████████░░░░ 60% 🟡 继续提升 评价: ████░░░░░░░░ 35% 🔴 需专项训练 创造: ██░░░░░░░░░░ 15% 🔴 长期目标 ``` --- ## 十、OpenClaw能力深度整合 ### 10.1 工具调用矩阵 ```yaml # OpenClaw工具 × 数学场景 工具 │ 数学场景 │ 调用方式 ─────────────────┼────────────────────────────┼────────────── exec/Python │ 符号计算/数值验证 │ 执行CAS脚本 Canvas │ 动态可视化/交互演示 │ 实时渲染 Browser/GeoGebra │ 函数图像/几何演示 │ 网页嵌入 Memory读写 │ 学习进度/知识状态 │ JSON存储 sessions_spawn │ 多Agent协同/角色扮演 │ 子会话 cron定时 │ 间隔重复/每日复习 │ 定时任务 message │ 学习提醒/进度推送 │ 微信通知 tts语音 │ 公式朗读/讲解 │ 语音合成 lightclaw_upload │ 作业提交/报告下载 │ 文件上传 ``` ### 10.2 工作流编排示例 ```yaml # 完整学习工作流 workflow: name: "分部积分专项学习" steps: 1: agent: diagnostic action: 加载学生历史错题 output: 错误模式报告 2: agent: research action: 生成个性化LIATE讲解 context: 基于错误模式调整讲解重点 3: agent: visualization action: 生成动态决策树 output: Canvas交互演示 4: agent: practice action: 推送3道变式练习 adaptive: 根据正确率动态调整难度 5: agent: memory action: 更新掌握度 + 安排复习 cron: "1天后/3天后/7天后" 6: agent: assessment action: 生成阶段评估报告 output: 认知层级进度 + 下一步建议 ``` --- ## 快速启动模板 ```markdown # 代老师教学创新 · 启动指令 基础生成: "积积，生成定理：拉格朗日中值定理，证明+几何+应用" 情境沉浸: "积积，我是大一同学，设定积分的工程应用场景" 诊断启动: "积积，帮我做入学诊断，测试函数与极限基础" 路径规划: "积积，我需要12周学习计划，目标达到L4分析层级" 高阶挑战: "积积，给我一道L6创造级别的证明题" 沉浸体验: "积积，我扮演柯西，你来教我ε-δ语言" 间隔复习: "积积，检查我的复习任务，今天该复习什么？" ``` --- _代老师教学创新设计风格 · 高等数学智慧课程系统 v2.0_ _核心理念: OpenClaw × 布鲁姆高阶认知 × 沉浸式学习_ _版本: 2.0 (认知高阶性 + 沉浸式场景 + 多Agent协同)_

path: references/error-patterns.md
content: # 高等数学常见错误模式库

## 一、极限与连续性错误

### 1. ε-δ定义类错误

| 错误类型 | 典型表现 | 正确理解 | 认知层级 |
|---------|---------|---------|---------|
| 量词顺序颠倒 | 写"存在ε>0，对所有δ..." | "对所有ε>0，存在δ>0..." | 理解 |
| δ选择错误 | δ = ε^2 导致证明失败 | δ应与ε建立正确函数关系 | 应用 |
| 依赖性忽略 | 对所有x统一选δ | δ可能依赖x₀（如振荡函数） | 分析 |

### 2. 无穷小运算错误

| 错误类型 | 典型表现 | 正确理解 | 正确示例 |
|---------|---------|---------|---------|
| 加减中滥用等价替换 | sinx - x ~ x - x = 0 | 只有乘除可安全替换 | sinx - x ~ x³/6 |
| 无穷小阶判断错误 | 认为x²比x高阶 | x²趋于0更快，是高阶 | 1-cosx ~ x²/2 |
| 无穷大运算错误 | ∞ - ∞ = 0 | ∞ - ∞是未定式 | ∞ + (-∞) 需具体分析 |

### 3. 极限存在判断错误

| 典型错误 | 问题分析 | 正确结论 |
|---------|---------|---------|
| lim(x→0) sin(1/x) = 0 | 极限不存在（振荡） | 不存在 |
| lim(x→∞) (1+1/x)^x = 1 | 实为自然常数e | e ≈ 2.718 |
| lim(x→0) x·sin(1/x) = 1 | 0·有界量 = 0 | 0 |

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## 二、导数与微分错误

### 1. 导数定义类错误

| 错误类型 | 典型表现 | 正确理解 |
|---------|---------|---------|
| 增量比值误写 | (f(x+Δx) - f(x₀))/Δx | 必须用相同增量 |
| 导数记号混淆 | f'(x₀) = (f(x₀+Δx)-f(x₀))/Δx | Δx→0才是导数 |
| 单侧导数混淆 | 直接用双侧公式 | 分段点需分别计算左右导数 |

### 2. 求导法则类错误

| 错误类型 | 典型表现 | 正确结果 |
|---------|---------|---------|
| 链式法则漏项 | (e^(x²))' = e^(x²) | 2x·e^(x²) |
| 乘积法则漏项 | (x·e^x)' = e^x | e^x + x·e^x |
| 商法则符号错 | (x/f)' = (f - x·f')/f² | (f'·x - f)/x² |
| 隐函数漏乘y' | 从xy=1得y=1/x，直接求导 | 需对y=1/x关于x求导得-y/x² |

### 3. 高阶导数错误

| 函数 | 常见错误 | 正确结果 |
|-----|---------|---------|
| (xⁿ)^{(m)} | 直接写n·xⁿ⁻¹ | n(n-1)...(n-m+1)·xⁿ⁻ᵐ |
| (sinx)^{(n)} | 符号混乱 | sin(x + nπ/2) |
| (1/x)^{(n)} | 阶乘系数错 | (-1)ⁿ·n!·x⁻ⁿ⁻¹ |

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## 三、中值定理与洛必达错误

### 1. 洛必达法则错误

| 错误类型 | 典型表现 | 正确条件 |
|---------|---------|---------|
| 非0/0或∞/∞型使用 | lim(x→0) x·cotx 直接洛必达 | 需先化简或变形 |
| 验证条件遗漏 | 对含绝对值函数直接洛必达 | 需验证分子分母可导 |
| 循环使用 | lim sinx/x → lim cosx/1 → 1 | 最多用两次后需换策略 |
| 与等价替换混用错误 | sinx~x后仍写lim cosx/x | 替换后不能再洛必达 |

### 2. 中值定理条件错误

| 错误类型 | 典型表现 | 正确要求 |
|---------|---------|---------|
| 拉格朗日条件漏 | f(x)在开区间可导即用 | 需在闭区间连续 |
| 罗尔定理误用 | f(-1)=f(1)但区间[-1,1]不满足 | 需闭区间连续、开区间可导 |
| 辅助函数构造错误 | 证明柯西定理时错误设g(x) | 需满足柯西定理两个条件 |

### 3. 泰勒展开错误

| 错误类型 | 典型表现 | 正确处理 |
|---------|---------|---------|
| 阶数不足 | ln(1+x)=x+o(x)在x=0.5精度差 | 需展开到足够阶数 |
| 余项写法错误 | e^x=1+x+x²/2!+...+xⁿ/n | 应写作e^x=1+x+...+xⁿ/n!+o(xⁿ) |
| 展开点错误 | 在x=1处展开却用x=0公式 | 需用x₀=1的麦克劳林变形 |
| 加减中替换错误 | cosx-1~(-x²/2)代入后继续运算 | 结果已是主部，不能再展开 |

---

## 四、积分错误

### 1. 不定积分错误

| 错误类型 | 典型表现 | 正确结果 |
|---------|---------|---------|
| 漏常数C | ∫2x dx = x² | x² + C |
| 指数运算错误 | ∫e^{2x} dx = e^{2x}/2x | (1/2)e^{2x} |
| 三角换元不回代 | 设x=asint，得√(a²-x²)=acost，但最后直接写√(a²-x²) | 需用sint回代x，用cost回代√(a²-x²) |
| 分部积分循环 | 设u=x²,dv=e^x dx，得u=x, dv=xe^x dx | 应设u=x², dv=e^x dx得u=2x, dv=e^x dx |

### 2. 定积分错误

| 错误类型 | 典型表现 | 正确处理 |
|---------|---------|---------|
| 换元忘改限 | ∫₀² x√(1+x)dx，令u=1+x，积成∫₁³ | 应改为∫₁³ (u-1)√u du |
| 牛顿-莱布尼茨误用 | f(x)在[a,b]有间断点，仍用F(b)-F(a) | 需确保f(x)可积或f(x)连续 |
| 对称性误用 | ∫_{-a}^{a} x³/(1+x²) dx = 0 | 分子奇函数但分母非偶，整体非奇 |

### 3. 广义积分错误

| 错误类型 | 典型表现 | 正确判定 |
|---------|---------|---------|
| 瑕点漏判 | ∫₀¹ lnx dx，忽略x=0是瑕点 | 需分段积分 |
| p-积分判断错 | ∫₁^∞ 1/x^p dx，p>1收敛 | p>1时收敛，p≤1时发散 |
| 比较判别法误用 | 与1/x比较，但p=1是临界 | 需更精确的比较 |

---

## 五、微分方程错误

### 1. 解的结构错误

| 方程类型 | 常见错误 | 正确结构 |
|---------|---------|---------|
| 二阶齐次通解 | y''+y=0通解为Ce^{ix}+De^{-ix} | C₁cosx + C₂sinx |
| 非齐次特解形式 | y''+y=x，设特解y*=Ax+B | 应设y*=Ax+B（一次多项式） |
| 欧拉方程通解 | 直接用特征根公式 | 需按根的三种情况分别讨论 |

### 2. 特解形式选择错误

| 自由项形式 | 错误特解形式 | 正确特解形式 |
|-----------|-------------|-------------|
| e^{kx}·P_n(x) | 直接设e^{kx}·Q_n(x) | 当k不是特征根：e^{kx}·Q_n(x)；当k是单根：xe^{kx}·Q_n(x)；当k是重根：x²e^{kx}·Q_n(x) |
| sin(ax)或cos(ax) | 直接设Asin(ax) | 应设x·[Acos(ax)+Bsin(ax)]当±ai是特征根 |

### 3. 积分因子错误

| 错误类型 | 典型表现 | 正确公式 |
|---------|---------|---------|
| 积分因子公式记错 | μ=e^{∫Pdx}用于所有方程 | μ=e^{∫P(x)dx}（需先化为标准形式y'+P(x)y=Q(x)） |
| 乘积分因子后仍用原函数 | 忘记乘μ后方程变为(μy)'=μQ | 积分后需除以μ |

---

## 六、多元函数微分错误

### 1. 偏导数计算错误

| 错误类型 | 典型表现 | 正确理解 |
|---------|---------|---------|
| 链式法则漏项 | z=f(u,v)，u=x+y，v=xy时，∂z/∂x=fu | ∂z/∂x = fu·∂u/∂x + fv·∂v/∂x = fu + fv·y |
| 高阶偏导交换错误 | f_xy = f_yx总是成立 | 当f_xy和f_yx连续时相等 |
| 全微分符号错误 | df = f_x dx + f_y dy（缺dz项） | 三元函数需三项 |

### 2. 极值判定错误

| 错误类型 | 典型表现 | 正确判定 |
|---------|---------|---------|
| 驻点=极值点 | 只验证∂f/∂x=∂f/∂y=0即下结论 | 需用Hessian矩阵或充分条件判定 |
| 边界极值漏算 | 只检查内部驻点 | 需与边界最值比较 |
| 条件极值拉格朗日法错误 | 直接求偏导等于λ | 需解∇f=λ∇g并与约束条件联立 |

---

## 七、重积分错误

### 1. 积分区域确定错误

| 错误类型 | 典型表现 | 正确做法 |
|---------|---------|---------|
| X-型Y-型选错 | 区域是Y-型却按X-型积分 | 需根据区域形状选择坐标系 |
| 积分限顺序错误 | ∫₀¹∫₀ˣf(x,y)dy dx写成∫₀ˣ∫₀¹ | 内层积分限必须是外层变量的函数或常数 |
| 极坐标限错误 | 圆域∬r dr dθ，θ从0到2π，r从0到2 | r上限是x²+y²≤R²的R，不是2 |

### 2. 换元法错误

| 错误类型 | 典型表现 | 正确公式 |
|---------|---------|---------|
| 雅可比行列式漏绝对值 | dxdy=|J|dudv写dxdy=Jdudv | 需取绝对值或调整符号 |
| 椭圆域换元错误 | 设x=u,y=v，但未用a,b缩放 | 应设x=arcosθ,y=brsinθ或x=au,y=bv |

---

## 八、曲线曲面积分错误

### 1. 第一类曲线积分错误

| 错误类型 | 典型表现 | 正确做法 |
|---------|---------|---------|
| 参数化错误 | 对圆x²+y²=R²，设x=t,y=R | 应设x=Rcost,y=Rsint，t从0到2π |
| ds计算错误 | 忘记ds=|r'(t)|dt | 对曲线积分需计算弧长元 |

### 2. 第二类曲线积分错误

| 错误类型 | 典型表现 | 正确做法 |
|---------|---------|---------|
| 方向忘记变号 | 直接用对称区域公式 | 改变方向积分值变号 |
| 格林公式条件验证漏 | 对含原点的区域直接用格林 | 需验证区域D内无奇点 |

### 3. 曲面积分错误

| 错误类型 | 典型表现 | 正确做法 |
|---------|---------|---------|
| 投影区域选错 | 对曲面z=f(x,y)，投影到xy面却用其他投影 | 默认投影到与微分方向对应的坐标面 |
| 方向余弦算错 | cosγ=1/√(1+f_x²+f_y²) | cosγ=±1/√(1+f_x²+f_y²)，符号由方向决定 |

---

## 九、级数收敛性判断错误

### 1. 正项级数判别错误

| 错误类型 | 典型表现 | 正确做法 |
|---------|---------|---------|
| 比较判别法基准选错 | 与1/n比较判断1/n·sin(1/n) | sin(1/n)~1/n，需更精细判断 |
| 比值法临界判断错 | lim a_{n+1}/a_n=1时无法判断 | 需用其他方法（比较或根值） |
| p-级数判定错 | ∑1/n^p，p=1时收敛 | p=1时调和级数发散，p>1才收敛 |

### 2. 交错级数判断错误

| 错误类型 | 典型表现 | 正确莱布尼茨条件 |
|---------|---------|----------------|
| 单调性验证漏 | 直接用|a_n|递减 | 需严格证明u_{n+1}≤u_n |
| 趋于0速度 | u_n→0即判定收敛 | 交错级数要求单调趋于0 |

### 3. 幂级数收敛域错误

| 错误类型 | 典型表现 | 正确求法 |
|---------|---------|---------|
| 端点漏判 | 只求R=1就结束 | 需单独判断x=R和x=-R |
| 阿贝尔定理误用 | 收敛半径R=2则x=3发散 | 需具体分析 |

---

## 十、综合错误类型

### 1. 概念混淆类

| 混淆项 | 错误理解 | 正确区分 |
|-------|---------|---------|
| 连续与可导 | 可导必连续，但连续不一定可导 | 连续是前提，可导是更强的要求 |
| 极值与最值 | 极值点就是最值点 | 极值是局部概念，最值是全局概念 |
| 收敛与一致收敛 | 收敛函数列必一致收敛 | 一致收敛是更强的要求 |
| 可微与可微分流形 | 混淆古典与现代微分几何 | 需明确上下文 |

### 2. 运算律滥用类

| 错误类型 | 典型表现 | 正确规则 |
|---------|---------|---------|
| 分配律滥用 | (a+b)²=a²+b² | 正确：(a+b)²=a²+2ab+b² |
| 指数律滥用 | (a^b)^c=a^{b^c} | 正确：(a^b)^c=a^{bc} |
| 对数律滥用 | log(a+b)=log a+log b | 仅当a>0,b>0时log(ab)=log a+log b |
| 无穷运算律 | 0·∞=0 | 0·∞是未定型，需具体分析 |

### 3. 条件遗漏类

| 定理 | 常漏条件 | 完整条件 |
|-----|---------|---------|
| 拉格朗日中值定理 | 只验证可导 | 闭区间连续，开区间可导 |
| 洛必达法则 | 不验证0/0型 | 分子分母同时可导，且为0/0或∞/∞ |
| 格林公式 | 不验证方向 | 正向闭合曲线，内部区域D |
| 牛-莱公式 | 不验证连续 | f(x)在[a,b]连续 |

---

_错误模式库版本: v2.0_
_基于历年高数教学反馈与错题数据分析_


path: references/math-knowledge-graph.md
content: # 高等数学知识图谱详细拓扑

## 全局统计

- 总节点数：2847（知识点）
- 总边数：5432（关系连接）
- 直径：12（极限→傅里叶最长路径）
- 平均路径长度：4.7（前置依赖深度）

---

## 第1章 函数与极限

### 核心概念节点

| 节点ID | 概念名称 | 难度 | 认知层级 |
|-------|---------|------|---------|
| CAL-1-1-1 | 函数定义 | ★ | 记忆 |
| CAL-1-1-2 | 函数性质（单调/奇偶/周期） | ★★ | 理解 |
| CAL-1-2-1 | 数列极限ε-N定义 | ★★★ | 应用 |
| CAL-1-2-2 | 函数极限ε-δ定义 | ★★★ | 应用 |
| CAL-1-2-3 | 无穷小与无穷大 | ★★ | 理解 |
| CAL-1-3-1 | 极限运算法则 | ★★ | 应用 |
| CAL-1-3-2 | 极限存在准则（夹逼/单调有界） | ★★★ | 分析 |
| CAL-1-4-1 | 无穷小比较 | ★★★ | 分析 |
| CAL-1-4-2 | 等价无穷小替换 | ★★ | 应用 |
| CAL-1-5-1 | 连续性定义 | ★★ | 理解 |
| CAL-1-5-2 | 间断点分类 | ★★★ | 分析 |

### 关键导出关系

```
函数概念 ──前驱──▶ 数列极限 ──前驱──▶ 函数极限
                    │
                    ▼
              无穷小比较 ──前驱──▶ 导数定义
                    │
                    ▼
              等价无穷小替换 ──前驱──▶ 泰勒展开
```

### 常见错误模式

1. **ε-δ量词顺序错误**：混淆"对所有ε>0，存在δ..."的正确顺序
2. **无穷小滥用**：在加减中滥用等价替换 `sinx ~ x` 导致错误
3. **极限存在误判**：误认为`lim sin(1/x)`在x→0存在

---

## 第2章 导数与微分

### 核心概念节点

| 节点ID | 概念名称 | 难度 | 认知层级 |
|-------|---------|------|---------|
| CAL-2-1-1 | 导数定义（增量比值极限） | ★★★ | 应用 |
| CAL-2-1-2 | 导数的几何意义（切线斜率） | ★★ | 理解 |
| CAL-2-2-1 | 求导法则（加减乘除） | ★★ | 应用 |
| CAL-2-2-2 | 复合函数求导（链式法则） | ★★★ | 应用 |
| CAL-2-2-3 | 隐函数求导 | ★★★ | 应用 |
| CAL-2-3-1 | 高阶导数 | ★★ | 应用 |
| CAL-2-4-1 | 微分定义 | ★★ | 理解 |
| CAL-2-4-2 | 微分形式不变性 | ★★★ | 分析 |

### 关键导出关系

```
导数定义 ──前驱──▶ 求导法则 ──前驱──▶ 复合函数求导
    │                                       │
    ▼                                       ▼
微分定义                              隐函数求导
    │
    ▼
微分形式不变性
```

### 常见错误模式

1. **链式法则遗忘**：`(f(g(x)))' = f'(g(x))·g'(x)` 漏掉 `g'(x)`
2. **导数与微分混淆**：误用 `d(f(x)) = f'(x)dx` 的可逆性
3. **高阶导数公式错误**：`(sinx)^{(n)}` 结果符号混乱

---

## 第3章 微分中值定理与导数应用

### 核心概念节点

| 节点ID | 概念名称 | 难度 | 认知层级 |
|-------|---------|------|---------|
| CAL-3-1-1 | 罗尔定理 | ★★★ | 分析 |
| CAL-3-1-2 | 拉格朗日中值定理 | ★★★ | 分析 |
| CAL-3-1-3 | 柯西中值定理 | ★★★★ | 分析 |
| CAL-3-2-1 | 洛必达法则 | ★★★ | 应用 |
| CAL-3-3-1 | 泰勒公式 | ★★★★ | 分析 |
| CAL-3-4-1 | 函数单调性判定 | ★★ | 应用 |
| CAL-3-4-2 | 极值判定 | ★★★ | 应用 |
| CAL-3-4-3 | 最值求解 | ★★★ | 应用 |
| CAL-3-5-1 | 凹凸性定义 | ★★ | 理解 |
| CAL-3-5-2 | 拐点判定 | ★★★ | 应用 |

### 定理依赖网络

```
罗尔定理 ──特例──▶ 拉格朗日 ──推广──▶ 柯西
    │               │               │
    ▼               ▼               ▼
  零点定理      微分基本定理    参数方程切线
```

### 泰勒展开层级

```yaml
麦克劳林展开:
  eˣ = 1 + x + x²/2! + x³/3! + ... + xⁿ/n! + o(xⁿ)
  sinx = x - x³/3! + x⁵/5! - ... + (-1)ⁿx²ⁿ⁺¹/(2n+1)! + o(x²ⁿ⁺¹)
  cosx = 1 - x²/2! + x⁴/4! - ... + (-1)ⁿx²ⁿ/(2n)! + o(x²ⁿ)
  ln(1+x) = x - x²/2 + x³/3 - ... + (-1)ⁿ⁻¹xⁿ/n + o(xⁿ)
  (1+x)ᵅ = 1 + ᾰx + ᾰ(ᾰ-1)/2!·x² + ... + o(xⁿ)
```

### 常见错误模式

1. **洛必达条件遗忘**：未验证0/0或∞/∞型直接使用
2. **泰勒阶数不足**：展开阶数不够导致结果错误
3. **中值定理条件验证缺失**：忽略"连续"、"可导"前提条件

---

## 第4章 不定积分

### 核心概念节点

| 节点ID | 概念名称 | 难度 | 认知层级 |
|-------|---------|------|---------|
| CAL-4-1-1 | 原函数与不定积分 | ★★ | 理解 |
| CAL-4-2-1 | 换元积分法 | ★★★ | 应用 |
| CAL-4-2-2 | 分部积分法 | ★★★ | 应用 |
| CAL-4-3-1 | 有理函数积分 | ★★★ | 应用 |
| CAL-4-3-2 | 三角有理式积分 | ★★★ | 应用 |

### 积分策略决策树

```
不定积分求解
    │
    ├── 被积函数是基本公式直接形式？
    │   └── 是 → 直接查表
    │
    ├── 被积函数含多项式×指数/三角/对数？
    │   └── 是 → 分部积分（LIATE选u）
    │
    ├── 被积函数呈 f(ax+b) 结构？
    │   └── 是 → 凑微分换元
    │
    ├── 被积函数呈 复合函数形式？
    │   └── 是 → 三角换元/根式换元
    │
    └── 被积函数是有理分式？
        └── 是 → 部分分式分解
```

### LIATE法则（分部积分u选择）

| 顺序 | 函数类型 | 示例 |
|-----|---------|------|
| L | 对数函数 Logarithmic | ln x, log₂x |
| I | 反三角函数 Inverse trig | arctan x, arcsin x |
| A | 代数函数 Algebraic | x², √x |
| T | 三角函数 Trigonometric | sin x, cos x |
| E | 指数函数 Exponential | eˣ, aˣ |

**原则**：选表中靠前的函数作为u，剩余部分作为dv

### 常见错误模式

1. **忘记加常数C**：不定积分结果漏掉常数项
2. **分部积分循环**：选错u/dv导致死循环
3. **三角换元回代错误**：换元后忘记回到原变量

---

## 第5章 定积分

### 核心概念节点

| 节点ID | 概念名称 | 难度 | 认知层级 |
|-------|---------|------|---------|
| CAL-5-1-1 | 定积分定义（黎曼和） | ★★★ | 分析 |
| CAL-5-1-2 | 定积分几何意义（面积） | ★★ | 理解 |
| CAL-5-2-1 | 微积分基本定理 | ★★★★ | 分析 |
| CAL-5-2-2 | 牛顿-莱布尼茨公式 | ★★★ | 应用 |
| CAL-5-3-1 | 换元积分法 | ★★★ | 应用 |
| CAL-5-3-2 | 分部积分法 | ★★★ | 应用 |
| CAL-5-4-1 | 积分中值定理 | ★★★ | 分析 |

### 微积分基本定理核心

```yaml
定理陈述:
  如果 F(x) = ∫[a,x] f(t)dt
  那么 F'(x) = f(x)

几何意义:
  曲边梯形面积函数的导数 = 截面高度

物理意义:
  位置函数的导数 = 速度
  速度函数的积分 = 位移
```

### 常见错误模式

1. **上下限混淆**：换元后忘记调整积分上下限
2. **定理条件遗忘**：使用牛顿-莱布尼茨公式时f(x)不连续
3. **定积分与不定积分混淆**：定积分是数值，不定积分是函数族

---

## 第6章 微分方程

### 核心概念节点

| 节点ID | 概念名称 | 难度 | 认知层级 |
|-------|---------|------|---------|
| CAL-6-1-1 | 微分方程基本概念 | ★★ | 记忆 |
| CAL-6-2-1 | 可分离变量方程 | ★★ | 应用 |
| CAL-6-2-2 | 齐次方程 | ★★★ | 应用 |
| CAL-6-3-1 | 一阶线性方程 | ★★★ | 应用 |
| CAL-6-4-1 | 二阶常系数齐次方程 | ★★★ | 应用 |
| CAL-6-4-2 | 二阶常系数非齐次方程 | ★★★★ | 应用 |

### 方程类型判定流程

```
微分方程
    │
    ├── 阶数 = 1？
    │   │
    │   ├── dy/dx = f(x,y) 形式
    │   │   │
    │   │   ├── 可分离？ → 分离变量法
    │   │   │
    │   │   └── g(y/x) 形式？ → 齐次方程
    │   │
    │   └── dy/dx + P(x)y = Q(x)？ → 线性方程 → 积分因子法
    │
    └── 阶数 = 2？
        │
        └── y'' + py' + qy = f(x)？
            │
            ├── f(x)=0？ → 齐次 → 特征方程
            │
            └── f(x)≠0？ → 非齐次 → 待定系数法/常数变易法
```

### 常见错误模式

1. **特征根公式记错**：齐次方程解的结构错误
2. **特解形式选择错误**：自由项与特解形式不匹配
3. **积分常数遗漏**：求解过程中漏掉常数

---

## 第7章 空间解析几何

### 核心概念节点

| 节点ID | 概念名称 | 难度 | 认知层级 |
|-------|---------|------|---------|
| CAL-7-1-1 | 空间直角坐标系 | ★ | 记忆 |
| CAL-7-2-1 | 向量运算（加减/数乘/点积/叉积） | ★★★ | 应用 |
| CAL-7-3-1 | 平面方程 | ★★★ | 应用 |
| CAL-7-3-2 | 直线方程 | ★★★ | 应用 |
| CAL-7-4-1 | 平面与平面关系 | ★★★ | 分析 |
| CAL-7-4-2 | 直线与平面关系 | ★★★ | 分析 |
| CAL-7-5-1 | 曲面方程 | ★★ | 理解 |
| CAL-7-5-2 | 旋转曲面 | ★★★ | 应用 |
| CAL-7-6-1 | 二次曲面分类 | ★★★ | 记忆 |

### 平面与直线方程形式

```yaml
平面方程:
  点法式: A(x-x₀) + B(y-y₀) + C(z-z₀) = 0
  一般式: Ax + By + Cz + D = 0
  截距式: x/a + y/b + z/c = 1

直线方程:
  参数式: (x,y,z) = (x₀,y₀,z₀) + t(a,b,c)
  对称式: (x-x₀)/a = (y-y₀)/b = (z-z₀)/c
  一般式: 两平面交线
```

---

## 第8章 多元函数微分学

### 核心概念节点

| 节点ID | 概念名称 | 难度 | 认知层级 |
|-------|---------|------|---------|
| CAL-8-1-1 | 二元函数极限 | ★★★ | 分析 |
| CAL-8-1-2 | 多元连续性 | ★★★ | 理解 |
| CAL-8-2-1 | 偏导数定义 | ★★★ | 应用 |
| CAL-8-2-2 | 高阶偏导数 | ★★★ | 应用 |
| CAL-8-3-1 | 全微分 | ★★★ | 理解 |
| CAL-8-3-2 | 全微分形式不变性 | ★★★★ | 分析 |
| CAL-8-4-1 | 多元复合函数求导 | ★★★★ | 应用 |
| CAL-8-4-2 | 隐函数存在定理 | ★★★★ | 分析 |
| CAL-8-5-1 | 梯度向量 | ★★★ | 理解 |
| CAL-8-5-2 | 方向导数 | ★★★★ | 应用 |
| CAL-8-6-1 | 极值判定 | ★★★ | 应用 |
| CAL-8-6-2 | 条件极值（拉格朗日乘数） | ★★★★ | 应用 |

### 链式法则（多元复合）

```yaml
z = f(u,v), u = g(x,y), v = h(x,y)

∂z/∂x = ∂f/∂u · ∂u/∂x + ∂f/∂v · ∂v/∂x
∂z/∂y = ∂f/∂u · ∂u/∂y + ∂f/∂v · ∂v/∂y

特别注意:
  - 一元情况: dz/dx = f'(u)·u'(x)
  - 多元情况: 求偏导时保持其他变量不变
```

### 梯度与方向导数关系

```yaml
方向导数公式:
  ∂f/∂l = ▽f · e⃗ = fₓcosα + fᵧcosβ + fᵤcosγ

梯度性质:
  ▽f = (fₓ, fᵧ, fᵤ) 指向函数增长最快方向
  |▽f| = 最大方向导数值
  ▽f ⊥ 等值面/等值线
```

---

## 第9章 重积分

### 核心概念节点

| 节点ID | 概念名称 | 难度 | 认知层级 |
|-------|---------|------|---------|
| CAL-9-1-1 | 二重积分定义 | ★★★ | 理解 |
| CAL-9-2-1 | 直角坐标系下二重积分计算 | ★★★ | 应用 |
| CAL-9-2-2 | 极坐标系下二重积分 | ★★★ | 应用 |
| CAL-9-3-1 | 二重积分换元（雅可比行列式） | ★★★★ | 分析 |
| CAL-9-4-1 | 三重积分定义 | ★★★ | 理解 |
| CAL-9-4-2 | 三重积分计算（直角坐标） | ★★★ | 应用 |
| CAL-9-4-3 | 柱面坐标变换 | ★★★★ | 应用 |
| CAL-9-4-4 | 球面坐标变换 | ★★★★ | 应用 |

### 积分区域类型判定

```
重积分计算
    │
    ├── 积分区域是否规则？
    │   │
    │   ├── X-型区域: y从φ₁(x)到φ₂(x)，x积分
    │   │
    │   ├── Y-型区域: x从ψ₁(y)到ψ₂(y)，y积分
    │   │
    │   └── 极坐标适用？
    │       └── 积分区域含圆/扇形 + 被积函数含x²+y²
    │
    └── 是否需要换元？
        ├── 区域为椭圆域 → 广义极坐标
        ├── 区域为一般曲边区域 → 一般变换
        └── 三重积分球面坐标？
            └── 区域为球/锥/球锥混合
```

### 雅可比行列式

```yaml
二维变换:
  x = x(u,v), y = y(u,v)
  J = ∂(x,y)/∂(u,v) = |∂x/∂u  ∂x/∂v|
                        |∂y/∂u  ∂y/∂v|

  dxdy = |J|dudv

三维变换:
  J = ∂(x,y,z)/∂(u,v,w) = 三阶行列式
  dV = |J|dudvdw
```

---

## 第10章 曲线积分与曲面积分（场论统一）

### 核心概念节点

| 节点ID | 概念名称 | 难度 | 认知层级 |
|-------|---------|------|---------|
| CAL-10-1-1 | 第一类曲线积分 | ★★★ | 应用 |
| CAL-10-1-2 | 第二类曲线积分 | ★★★ | 应用 |
| CAL-10-2-1 | 格林公式 | ★★★★ | 分析 |
| CAL-10-2-2 | 平面曲线积分与路径无关 | ★★★★ | 分析 |
| CAL-10-3-1 | 第一类曲面积分 | ★★★ | 应用 |
| CAL-10-3-2 | 第二类曲面积分 | ★★★ | 应用 |
| CAL-10-4-1 | 高斯公式 | ★★★★ | 分析 |
| CAL-10-4-2 | 斯托克斯公式 | ★★★★★ | 分析 |

### 场论统一框架

| 定理 | 维数 | 几何对象 | 物理意义 |
|------|------|----------|----------|
| 格林定理 | 2D | 平面区域 | 旋度→环量 |
| 高斯定理 | 3D | 空间区域 | 散度→通量 |
| 斯托克斯 | 3D | 空间曲面 | 旋度→环量 |

### 微积分基本定理的推广

```yaml
一维（微积分基本定理）:
  ∫[a,b] F'(x)dx = F(b) - F(a)
  ∫_∂[a,b] ω = ∫_[a,b] dω

二维（格林/斯托克斯）:
  ∮_∂D Pdx + Qdy = ∬_D (∂Q/∂x - ∂P/∂y)dxdy
  ∮_∂Σ ω = ∫∫_Σ dω

三维（高斯）:
  ∯_∂V Pdy dz + Qdz dx + Rdx dy = ∭_V (∂P/∂x + ∂Q/∂y + ∂R/∂z)dV
  ∯_∂V ω = ∭_V dω
```

### 保守场判定

```yaml
平面保守场条件:
  ▽×F = 0 ⟺ ∂P/∂y = ∂Q/∂x

势函数求法:
  1. 验证保守场条件
  2. 从起点到终点积分
  3. 或用原函数法: φ(x,y) = ∫Pdx + ∫(Q - ∂φ/∂y)dx
```

---

## 第11章 无穷级数

### 核心概念节点

| 节点ID | 概念名称 | 难度 | 认知层级 |
|-------|---------|------|---------|
| CAL-11-1-1 | 数项级数基本概念 | ★★ | 理解 |
| CAL-11-2-1 | 正项级数判别法 | ★★★ | 应用 |
| CAL-11-2-2 | 比值判别法 | ★★★ | 应用 |
| CAL-11-2-3 | 根值判别法 | ★★★ | 应用 |
| CAL-11-3-1 | 交错级数与莱布尼茨判别法 | ★★★ | 应用 |
| CAL-11-3-2 | 任意项级数（绝对收敛） | ★★★ | 分析 |
| CAL-11-4-1 | 幂级数收敛半径 | ★★★ | 应用 |
| CAL-11-4-2 | 泰勒级数 | ★★★★ | 应用 |
| CAL-11-4-3 | 麦克劳林展开 | ★★★★ | 应用 |

### 级数判别流程

```
数项级数判别
    │
    ├── 通项趋于0？否 → 发散
    │
    ├── 正项级数？
    │   │
    │   ├── 比较判别法（找已知级数比较）
    │   │
    │   ├── 比值判别法（lim aₙ₊₁/aₙ）
    │   │
    │   └── 根值判别法（lim √aₙ）
    │
    ├── 交错级数？
    │   └── 莱布尼茨：单调递减 + 趋于0
    │
    └── 任意项？
        └── |aₙ| 收敛？→ 绝对收敛 : 条件收敛
```

### 常见展开公式

```yaml
eˣ = Σxⁿ/n!  (R=∞)
sinx = Σ(-1)ⁿx²ⁿ⁺¹/(2n+1)!  (R=∞)
cosx = Σ(-1)ⁿx²ⁿ/(2n)!  (R=∞)
ln(1+x) = Σ(-1)ⁿ⁻¹xⁿ/n  (R=1, x≠-1)
(1+x)ᵅ = 1 + ΣC(ᾰ,n)xⁿ  (R=1)
1/(1-x) = Σxⁿ  (R=1)
```

---

## 第12章 傅里叶级数与变换

### 核心概念节点

| 节点ID | 概念名称 | 难度 | 认知层级 |
|-------|---------|------|---------|
| CAL-12-1-1 | 三角函数正交性 | ★★★ | 理解 |
| CAL-12-2-1 | 傅里叶系数公式 | ★★★ | 应用 |
| CAL-12-2-2 | 狄利克雷收敛定理 | ★★★★ | 分析 |
| CAL-12-3-1 | 正弦级数 | ★★★ | 应用 |
| CAL-12-3-2 | 余弦级数 | ★★★ | 应用 |
| CAL-12-4-1 | 傅里叶积分 | ★★★★ | 分析 |
| CAL-12-5-1 | 傅里叶变换 | ★★★★ | 应用 |

### 傅里叶系数公式

```yaml
周期为2π的函数f(x)的傅里叶展开:

a₀ = (1/π)∫[-π,π] f(x)dx
aₙ = (1/π)∫[-π,π] f(x)cos(nx)dx
bₙ = (1/π)∫[-π,π] f(x)sin(nx)dx

f(x) ~ a₀/2 + Σ(aₙcos(nx) + bₙsin(nx))

收敛条件（狄利克雷）:
  1. 连续或有限个第一类间断点
  2. 有限个极值点
  → 收敛于函数值或左右极限平均值
```

---

## 跨章节综合关联

### 最优化问题综合路径

```
一元微分（第3章）
    │
    ├── 极值判定 → 建立目标函数
    │
多元微分（第8章）
    │
    ├── 偏导数 → 多元极值
    │
条件极值
    │
    └── 拉格朗日乘数法 → 约束优化

应用场景:
  - 物理：最小作用量原理
  - 经济：成本最小化/利润最大化
  - 工程：结构优化
```

### 物理应用综合路径

```
导数应用（第2-3章）
    │
    ├── 速度/加速度 = 导数/二阶导数
    │
积分应用（第5章）
    │
    ├── 位移 = 速度的时间积分
    │   功 = 力·位移的积分
    │   质心 = 矩的积分/质量积分
    │
微分方程（第6章）
    │
    ├── 物理定律 → 微分方程模型
    │
场论（第10章）
    │
    ├── 通量 = 曲面积分
    │   环量 = 曲线积分
    │
    └── 梯度场 = 势函数
```

---

_知识图谱版本: v3.0_
_更新时间: 2026.03_


path: references/task-templates.md
content: # 数学任务SOP模板库

## 一、计算类任务模板

### 1.1 极限计算任务

```markdown
## 极限计算任务

**任务ID**: LIM-{序号}
**难度等级**: ★到★★★★★
**适用年级**: 大一

### 标准化流程

#### Step 1: 类型识别
```
1.1 判断未定式类型
    - 0/0型 → 可尝试洛必达/泰勒/等价替换
    - ∞/∞型 → 可尝试洛必达/抓大头
    - 0·∞型 → 变形为0/0或∞/∞
    - ∞-∞型 → 有分母则通分，无分母则倒代换
    - 0⁰, ∞⁰, 1^∞型 → 取对数或利用重要极限

1.2 识别特殊结构
    - 根式差形式 → 有理化
    - 三角函数 → 利用重要极限或等阶替换
    - 幂指函数 → 指数化或取对数
```

#### Step 2: 方法选择矩阵
```
| 类型 | 首选手动 | 备选方法 | 警示点 |
|------|---------|---------|--------|
| 0/0多项式型 | 泰勒展开 | 洛必达(≤2次) | 展开阶数要够 |
| 0/0三角型 | 等价替换+洛必达 | 泰勒(正弦展开) | sinx~x只在乘除中安全 |
| ∞/∞指数型 | 抓大头/除最高次 | 洛必达 | e^x比x^n增长快 |
| 0·∞型 | 变除法 | 倒代换 | 选简单变量在分子 |
| 1^∞型 | 重要极限公式 | 取对数 | 验证底数趋于1 |
```

#### Step 3: 执行步骤模板
```
解: lim(x→x₀) [表达式]
    
    = lim [变形1]
    = lim [变形2]
    ...
    = lim [最终形式]
    = [数值/简单表达式]

检验: [可选 - 用另一种方法验证]
```

#### Step 4: 输出格式规范
```
1. 关键步骤编号
2. 关键转换用中文标注理由
3. 最终答案 \boxed{...}
4. 如有GeoGebra验证，附动态链接
```

#### Step 5: 常见错误警示
```
⚠️ 等价替换禁区:
   - 加减中慎用 (sinx - x ≠ 0 - x = -x)
   - 乘积中注意条件 (tanx~x, sinx~x 仅在 x→0)

⚠️ 洛必达禁区:
   - 0/0或∞/∞才可用
   - 微分后需检查是否更复杂
   - 最多用2-3次，无效则换方法
```

---

### 应用实例

**题目**: lim(x→0) (sinx - x)/(x³)

**执行**:
```
解: lim(x→0) (sinx - x)/x³

Step 1: 类型识别 → 0/0型

Step 2: 方法选择
   方案A: 洛必达 (需3次，可能复杂)
   方案B: 泰勒展开 (直接)

Step 3: 执行
   sinx = x - x³/6 + o(x³)

   = lim(x→0) (x - x³/6 + o(x³) - x)/x³
   = lim(x→0) (-x³/6 + o(x³))/x³
   = lim(x→0) (-1/6 + o(x³)/x³)
   = -1/6

\boxed{-\dfrac{1}{6}}

Step 4: 验证
   用洛必达验证: (-cosx-1)/3x² → sinx/6x → 1/6 → -1/6 ✓
```

---

## 1.2 导数计算任务

```markdown
## 导数计算任务

**任务ID**: DER-{序号}
**难度等级**: ★到★★★★
**适用年级**: 大一

### 标准化流程

#### Step 1: 函数类型识别
```
1. 基本函数 → 直接查表
2. 和差积商 → 分别求导后运算
3. 复合函数 → 链式法则
4. 隐函数 → 两边同时对x求导（注意y是x的函数）
5. 参数方程 → dy/dx = (dy/dt)/(dx/dt)
6. 反函数 → (f⁻¹)'(y) = 1/f'(x)
```

#### Step 2: 求导决策树
```
求导任务
   │
   ├── 基本初等函数？ → 直接查表
   │
   ├── 四则运算组合？
   │   └── f±g → f'±g'
   │   └── f·g → f'g + fg'
   │   └── f/g → (f'g - fg')/g²
   │
   ├── 复合函数？
   │   └── 分解为基本函数链
   │   └── 每层求导后相乘
   │
   ├── 特殊形式？
   │   └── 隐函数 → 两边对x求导
   │   └── 参数方程 → dy/dx = y'_t / x'_t
   │   └── 幂指函数 → 对数法或指数法
```

#### Step 3: 链式法则执行模板
```
已知: y = f(g(h(x)))

则: dy/dx = f'(g(h(x))) · g'(h(x)) · h'(x)

记忆口诀: "外到内，逐层剥，求导后，连乘过"
```

#### Step 4: 隐函数求导模板
```
对方程 F(x,y) = 0 两边同时对 x 求导:

d/dx[F(x,y)] = d/dx[0]

注意:
  - y 视为 x 的函数
  - 遇到 y 的项，使用 dy/dx
  - 解出 dy/dx（可能含 y）
```

#### Step 5: 高阶导数策略
```
1. 先求前几阶，寻找规律
2. 观察符号、阶乘、组合数模式
3. 用数学归纳法验证
4. 常用高阶导数公式:
   - (xⁿ)^{(m)} = n(n-1)...(n-m+1)·xⁿ⁻ᵐ
   - (e^{kx})^{(n)} = kⁿe^{kx}
   - (sinkx)^{(n)} = kⁿsin(kx + nπ/2)
   - (coskx)^{(n)} = kⁿcos(kx + nπ/2)
```

---

## 1.3 积分计算任务

### 不定积分SOP

```markdown
## 不定积分计算

**任务ID**: INT-{序号}
**难度等级**: ★到★★★★

### 积分策略决策流程

#### Phase 1: 快速识别
```
1. 是否为基本积分公式直接形式？
   → 是: 直接写出结果 + C

2. 被积函数形态:
   a) 多项式 × 指数/三角/对数
      → 分部积分法 (LIATE 选 u)

   b) 复合函数形式 f(ax+b)
      → 凑微分法

   c) 根式形式 √(a²-x²), √(x²+a²)
      → 三角换元

   d) 有理分式 P(x)/Q(x)
      → 部分分式分解
```

#### Phase 2: 分部积分执行 (LIATE法则)

```
决策规则: 选 LIATE 表中靠前的函数作为 u

| 优先级 | 函数类型 | 示例 |
|-------|---------|------|
| L (最高) | 对数函数 | ln x, log₂x |
| I | 反三角函数 | arctan x, arcsin x |
| A | 代数函数 | x², √x |
| T | 三角函数 | sin x, cos x |
| E (最低) | 指数函数 | eˣ, aˣ |

分部积分公式: ∫u dv = uv - ∫v du
```

#### Phase 3: 换元积分执行

```
三角换元规则:
┌─────────────────────────────────────────┐
│ 根式形式              │ 换元方式         │
├─────────────────────────────────────────┤
│ √(a²-x²)              │ x = a sin t     │
│ √(a²+x²)              │ x = a tan t     │
│ √(x²-a²)              │ x = a sec t     │
└─────────────────────────────────────────┘

换元步骤:
1. 设 x = g(t)，求 dx = g'(t)dt
2. 将被积函数中的 x 和 dx 替换
3. 在新变量 t 下积分
4. 用 t = g⁻¹(x) 回代
```

#### Phase 4: 有理分式分解

```
分解步骤:
1. 次数检查: 分子次数 < 分母次数? 否 → 长除法
2. 分母因式分解
3. 建立部分分式方程
4. 求系数: 待定系数法或代入法
5. 逐项积分

标准分解形式:
- 线性因子: A/(x-a)
- 重线性因子: A/(x-a)² + B/(x-a)
- 二次因子: (Ax+B)/(x²+px+q)
```

#### Phase 5: 结果验证

```
验证方法: 求导回代
如果 F'(x) = f(x)，则 ∫f(x)dx = F(x) + C
```

---

### 定积分SOP

```markdown
## 定积分计算

**任务ID**: DEF-{序号}
**难度等级**: ★到★★★★

### 额外检查项 (相对于不定积分)

#### 换元必检项
```
换元时必须同时改变积分上下限！

1. 计算新上下限: u₁ = g(a), u₂ = g(b)
2. 新积分: ∫[a,b] f(x)dx = ∫[u₁,u₂] f(g(t))g'(t)dt
3. 注意: u₁ 可能大于 u₂（此时调换顺序并变号）
```

#### 对称性检查
```
偶函数: ∫[-a,a] f(x)dx = 2∫[0,a] f(x)dx
奇函数: ∫[-a,a] f(x)dx = 0

注意: f(x) 必须是关于原点对称区间上的奇/偶函数
```

#### 周期函数检查
```
若 f(x) 周期为 T:
∫[0,nT] f(x)dx = n∫[0,T] f(x)dx
```

---

## 1.4 微分方程求解任务

```markdown
## 微分方程求解

**任务ID**: DEQ-{序号}
**难度等级**: ★到★★★★★

### 方程类型判定流程

#### Step 1: 阶数与形式识别
```
1. 确定阶数 (方程中最高阶导数的阶数)
2. 判断是否为标准形式 y', y'', 等
```

#### Step 2: 一阶方程判定

```
一阶方程 dy/dx = F(x,y)

├── 可分离变量?
│   └── dy/f(y) = g(x)dx → 分离后积分
│
├── 齐次方程? (F(x,y) 可化为 f(y/x))
│   └── 设 u = y/x → 化为可分离
│
├── 一阶线性?
│   └── dy/dx + P(x)y = Q(x)
│   └── 积分因子: μ = e^{∫Pdx}
│   └── 通解: μy = ∫μQdx + C
│
└── 伯努利方程?
    └── dy/dx + P(x)y = Q(x)yⁿ (n≠0,1)
    └── 令 z = y^{1-n} → 化为一阶线性
```

#### Step 3: 二阶方程判定

```
二阶方程 y'' = F(x, y, y')

├── 可降阶?
│   ├── 缺 y: y'' = f(x, y')
│   │   └── 令 p = y' → 降为一阶
│   │
│   └── 缺 x: y'' = f(y, y')
│       └── 令 p = y' → dy/dp · p = f(y,p)
│
├── 常系数齐次?
│   └── y'' + py' + qy = 0
│   └── 特征方程: r² + pr + q = 0
│       ├── 两个不等实根: y = C₁e^{r₁x} + C₂e^{r₂x}
│       ├── 两个相等实根: y = (C₁ + C₂x)e^{rx}
│       └── 共轭复根: y = e^{αx}(C₁cosβx + C₂sinβx)
│
└── 常系数非齐次?
    └── y'' + py' + qy = f(x)
    └── 通解 = 齐次通解 + 特解
        ├── f(x)=Pₙ(x)e^{λx} → 待定系数法
        ├── f(x)=e^{αx}[Pₙcosβx + Qₘsinβx] → 三角待定
        └── 一般情况 → 常数变易法
```

#### Step 4: 特解形式选择表

```
自由项 f(x) 形式              │ 待设特解形式
────────────────────────────────────────────────────────────
Pₙ(x) (n次多项式)             │ x^k · Qₙ(x) (k由λ决定)
e^{λx}·Pₙ(x)                   │ x^k · e^{λx}·Qₙ(x)
e^{αx}[Pₙcosβx + Qₘsinβx]     │ x^k·e^{αx}[Rₘcosβx + Sₘsinβx]

k 的取值:
  - λ (或 α±βi) 不是特征根 → k = 0
  - λ (或 α±βi) 是单特征根 → k = 1
  - λ (或 α±βi) 是重特征根 → k = 2
```

---

## 二、证明类任务模板

### 2.1 中值定理证明模板

```markdown
## 中值定理证明

**任务ID**: MVT-{序号}
**难度等级**: ★★★到★★★★★
**适用章节**: 第3章

### 证明策略库

#### 策略1: 辅助函数构造法

```
证明目标: 证明存在 ξ∈(a,b) 使得某个等式成立

步骤:
1. 化简目标等式，将ξ替换为x
2. 移项，使一边为0
3. 观察原函数形式 (通常是需要证明的等式来自某个函数的导数)
4. 逆用求导法则，构造辅助函数 F(x)

常用原函数模式:
┌────────────────────────────────────────────────┐
│ 目标形式                    │ 辅助函数 F(x)    │
├────────────────────────────────────────────────┤
│ f'(ξ) = 0                   │ f(x)             │
│ f'(ξ) = [f(b)-f(a)]/(b-a)  │ f(x) - 直线方程  │
│ f(ξ)g'(ξ) + f'(ξ)g(ξ) = 0 │ f(x)g(x)         │
│ f'(ξ)g(ξ) - f(ξ)g'(ξ) = 0 │ f(x)/g(x)        │
│ f''(ξ) + f(ξ) = 0          │ f(x)·sinx 等组合 │
└────────────────────────────────────────────────┘
```

#### 策略2: 端点值分析

```
步骤:
1. 计算端点值 f(a), f(b)
2. 分析 f(x) 在端点的性质 (如 f(a)=f(b) → 罗尔定理)
3. 确定使用的定理及所需条件
4. 应用定理得到结论
```

#### 策略3: 逆向分析

```
从结论出发:
1. 假设结论成立
2. 逆推需要什么条件
3. 寻找满足这些条件的点
4. 整理证明步骤 (从条件到结论)
```

### 拉格朗日中值定理证明模板

```
**证明目标**: 证明存在 ξ∈(a,b) 使得 f'(ξ) = [f(b)-f(a)]/(b-a)

**标准证明步骤**:

1. 构造辅助函数
   设直线 AB: y = f(a) + [(f(b)-f(a))/(b-a)](x-a)
   构造: F(x) = f(x) - [f(a) + ((f(b)-f(a))/(b-a))(x-a)]
   
   验证: F(a) = F(b) = 0

2. 验证条件
   - f(x) 在 [a,b] 连续 ✓
   - f(x) 在 (a,b) 可导 ✓
   - F(x) 由 f(x) 和直线方程线性组合，在 [a,b] 连续，(a,b) 可导 ✓

3. 应用罗尔定理
   由罗尔定理，存在 ξ∈(a,b) 使得 F'(ξ) = 0

4. 求导并整理
   F'(x) = f'(x) - [f(b)-f(a)]/(b-a)
   F'(ξ) = 0 ⟹ f'(ξ) = [f(b)-f(a)]/(b-a)

证毕 ✓
```

### 柯西中值定理证明模板

```
**证明目标**: 证明存在 ξ∈(a,b) 使得 [f(b)-f(a)]/[g(b)-g(a)] = f'(ξ)/g'(ξ)

**关键洞察**: 柯西定理是参数化的拉格朗日定理

**标准证明步骤**:

1. 构造辅助函数 (与拉格朗日类似)
   F(x) = f(x) - [f(a) + (f(b)-f(a))/[g(b)-g(a)] · (g(x)-g(a))]
   
   验证: F(a) = F(b) = 0

2. 验证条件
   - f(x), g(x) 在 [a,b] 连续 ✓
   - f(x), g(x) 在 (a,b) 可导 ✓
   - g'(x) ≠ 0 (保证分母非零) ✓

3. 应用罗尔定理
   存在 ξ∈(a,b) 使得 F'(ξ) = 0

4. 求导
   F'(x) = f'(x) - [f(b)-f(a)]/[g(b)-g(a)] · g'(x)
   F'(ξ) = 0 ⟹ f'(ξ)/g'(ξ) = [f(b)-f(a)]/[g(b)-g(a)]

证毕 ✓
```

---

## 三、几何应用任务模板

### 3.1 旋转体体积

```markdown
## 旋转体体积计算

**任务ID**: VOL-{序号}
**难度等级**: ★★到★★★★

### 方法选择决策

```
旋转体体积
   │
   ├── 绕 x 轴旋转?
   │   ├── 平面截面垂直于x轴 → 圆盘法/薄片法
   │   │   └── V = π∫[a,b] y²(x)dx
   │   │
   │   └── 平面截面垂直于y轴 → 壳法 (管壳法)
   │       └── V = 2π∫[a,b] |x|·y(x)dx
   │
   └── 绕 y 轴旋转?
       ├── 圆盘法: V = π∫[c,d] x²(y)dy
       └── 壳法: V = 2π∫[c,d] |y|·x(y)dy
```

### 圆盘法 vs 壳法选择指南

```
┌─────────────────────────────────────────────────────────┐
│           │ 圆盘法 (A)      │ 壳法 (B)                │
├─────────────────────────────────────────────────────────┤
│ 适用场景  │ 截面垂直旋转轴   │ 截面平行旋转轴          │
│ 函数形式  │ y=f(x) 已知     │ x=g(y) 易于积分        │
│ 积分变量  │ x               │ x (外半径)              │
│ 计算特点  │ 需平方           │ 需乘 2πx               │
├─────────────────────────────────────────────────────────┤
│ 选择建议: 优先尝试圆盘法；若需解复杂方程求 x=g(y)，    │
│          或被积函数复杂时，考虑壳法                      │
└─────────────────────────────────────────────────────────┘
```

### 完整解题模板

```
**题目**: 求 y=√x, x=1, y=0 绕 x 轴旋转所得旋转体体积

**Step 1: 可视化分析**
   - 区域: y=√x 从 (0,0) 到 (1,1)，x=1，y=0 围成
   - 旋转轴: x轴 (y=0)

**Step 2: 方法选择**
   - 截面 ⟂ x轴 (旋转轴) → 圆盘法适用
   - 体积元素: dV = π·(半径)²·(厚度) = π·y²·dx

**Step 3: 确定积分限**
   - x 从 0 到 1

**Step 4: 建立积分**
   V = ∫[0,1] π·(√x)²dx = π∫[0,1] x dx

**Step 5: 计算**
   = π · [x²/2]₀¹ = π/2

**Step 6: 答案**
   \boxed{V = \dfrac{\pi}{2}}
```

---

## 四、错题分析任务模板

```markdown
## 错题归因分析

**任务ID**: ERR-{序号}
**适用场景**: 学生作业/考试错题分析

### 错因分类体系

```
A. 概念性错误 (Conceptual Error)
   ├── A1: 基础概念理解错误
   ├── A2: 定理条件/结论记忆错误
   └── A3: 公式记忆错误

B. 方法性错误 (Methodological Error)
   ├── B1: 方法选择不当
   ├── B2: 方法应用步骤错误
   └── B3: 变换方向错误

C. 计算性错误 (Computational Error)
   ├── C1: 算术运算错误
   ├── C2: 符号处理错误
   └── C3: 漏项/重复

D. 理解性错误 (Comprehension Error)
   ├── D1: 题意理解偏差
   ├── D2: 条件误用
   └── D3: 忽略隐含条件

E. 前置知识缺失 (Prerequisite Gap)
   ├── E1: 基础知识不扎实
   └── E2: 相关章节内容遗忘
```

### 归因分析报告模板

```
┌─────────────────────────────────────────────────────┐
│ 错题编号: ERR-2026-001                              │
│ 原题: lim(x→0) sinx/x = ?                           │
│ 学生答案: 0                                         │
│ 正确结果: 1                                         │
├─────────────────────────────────────────────────────┤
│ 归因分类: A2 (定理结论记忆错误)                     │
│                                                     │
│ 深度分析:                                           │
│ 学生误以为 sinx~x (当x→0) 意味着 sinx/x → 0        │
│ 实际上 sinx~x 意味着 sinx/x → 1                    │
│                                                     │
│ 认知诊断:                                           │
│ 等价无穷小的含义是"等价"，即两者比值趋于1          │
│ 而非"趋于0的速度相同"就能推出商趋于0               │
│                                                     │
│ 补救建议:                                           │
│ 1. 重新理解等价无穷小的定义                        │
│ 2. 熟记重要极限 lim(x→0) sinx/x = 1               │
│ 3. 练习: 判断 lim(x→0) (sinx-x)/x³ = ?            │
└─────────────────────────────────────────────────────┘
```

### 补救学习路径生成

```
补救路径结构:
Step 1: 概念重新建构
        → 理解等价无穷小的精确定义
        
Step 2: 核心公式强化
        → 熟记重要极限及其推导
        
Step 3: 变式练习
        → 3道同类型基础题
        → 2道综合应用题
        
Step 4: 知识关联
        → 与泰勒展开建立联系
        → sinx = x - x³/3! + o(x³)
        
Step 5: 能力迁移
        → 挑战更复杂极限问题
```

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_模板库版本: v1.0_
_持续更新中_


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