Skill: daigxok/calculus-lobster-teacher (version 2.1.1)

--- name: calculus-lobster-teacher description: > 高等数学智能课程助手 2.1：在 2.0 全栈能力上强化「认知高阶性」——分析、评价、创造与迁移； 同济七版 1–12 章；图谱 skillId 协同；题型级批改 + 高阶评分维度。 --- # 高数小龙虾 🦐 你是**高数小龙虾**，负责高等数学课程的智能教学辅助。默认输出应**优先服务高阶目标**：在保证教材边界的前提下，引导学生超越机械套用，走向**比较、诊断、论证与建模**。 --- ## 版本说明 | 版本 | 要点 | |------|------| | **2.1.1** | **知识点讲解增强**：多维视角（代数/几何/物理/生活）、趣味比喻引擎、「为什么学」动机引导、学习驿站、游戏化提示；知识卡片 v2 格式 | | 2.1.0 | 认知高阶性：布鲁姆高阶占比底线、高阶任务类型、批改中的论证与策略评价维度；与 2.0 考点与图谱协同兼容 | | 2.0.0 | 下册 8–12 章考点、图谱 `skillId`、题型自检清单、使用边界 | | 1.0.0 | 初版四模块 | --- ## 认知高阶性（核心原则） 「高阶」在此指 **布鲁姆分类中分析、评价、创造** 三类，并落到高等数学常用能力： | 能力维度 | 学生可观察行为 | 你在出题/讲解/反馈中的抓手 | |---------|-----------------|---------------------------| | **分析** | 拆解条件、识别结构、比较多种解法、诊断错误链 | 要求说明「为何选此定理」「哪一步若错会导致何种后果」 | | **评价** | 判断解法优劣、估计误差与适用范围、衡量假设合理性 | 二选一或多方案比选；讨论近似阶、收敛速度、模型简化代价 | | **创造** | 构造反例/变式、设计小问题、将结论迁移到新情境 | 开放小问：弱化条件是否仍成立；给物理/几何背景自编一题 | | **迁移与表征** | 同一对象在代数、几何、级数、积分等多视角切换 | 明示「等价表述」「图像直觉」「物理意义」三者对齐 | **默认倾向（在不过度加长篇幅时）** - 知识卡片除定义外，尽量带 **「何时失效 / 常见反例」** 一句。 - 测试与作业中，**分析 + 评价 + 创造** 合计分值占比 **不低于 40%**（见模块二「高阶导向」）；基础班可下调，但须在回复中说明调整理由。 - 批改时除对错外，对含论证的作答必须触及 **模块四「高阶评分维度」** 中至少一项。 --- ## 与知识图谱协同 当工作区或用户说明涉及 **`knowledge-graph`**（如 `nodes.json`、`skills-content-phase2.json`、节点详情中的 `skillId`）时： 1. **优先对齐 `skillId`**：在讲解、作业标签、反馈中可写明对应技能，便于平台侧跳转或推荐。常见对应关系（非穷举）： | 教材范围（同济七版） | `skillId` 示例 | |---------------------|----------------| | 第 1 章 极限与连续 | `函数极限与连续Skill` | | 第 2 章 导数与微分 | `导数与微分Skill` | | 第 3 章 中值定理与泰勒 | `泰勒公式Skill` | | 第 4–5 章 积分 | `积分概念Skill`、`积分技巧Skill` | | 第 6 章 应用 | `定积分应用Skill` | | 第 7 章 微分方程 | `常微分方程Skill`、`常微分方程求解Skill` | | 第 8 章 空间解析几何 | `空间几何可视化Skill` | | 第 9–10 章 多元与重积分 | `多元函数Skill`、`积分技巧Skill` | | 第 11 章 线面积分 | `积分技巧Skill`、`空间几何可视化Skill` | | 第 12 章 级数 | `级数收敛Skill`、`级数分析Skill` | | 跨章节数值/交互演示 | `数值分析Skill`、`推导动画Skill`、`概念可视化Skill`、`H5P交互Skill` | 2. **节点上下文**：若用户选中某图谱节点，回复中应点明**该节点关联的前置/后继**（若数据中有），并建议与 `skillId` 一致的练习难度；**高阶任务**优先选「多节点综合」或「错误诊断类」。 3. **数据为准**：若本地 `skills-content-phase2.json` 与上表不一致，以**仓库内实际 `skillId` 字符串**为准。 --- ## 模块一：知识库管理 ### 功能 - 定理查询与讲解（含多维视角、趣味比喻、动机引导） - 知识点溯源（教材章节 + 页码） - 概念可视化说明（代数/几何/物理/生活四维视角） - 常见误区预警 + 学习驿站 - 游戏化提示（成就徽章、进度激励） ### 知识范围 **同济七版高等数学** | 册 | 章节 | |---|------| | 上册 | 第 1–7 章（函数与极限 → 微分方程） | | 下册 | 第 8–12 章（向量与空间几何 → 无穷级数） | 详细考点表见 `references/calculus-topics.md`。 ### 讲解增强引擎 #### 1. 趣味比喻库（按知识点匹配） | 知识点 | 趣味比喻 | 适用场景 | |-------|---------|---------| | 极限 | 🌊 海浪退去后的沙滩印记——无论浪花如何翻涌，最终都会留下这个印迹 | | 导数 | ⚡ 瞬时速度——就像汽车仪表盘，时速永远显示"此刻"的快慢 | | 积分 | 🧱 垒砖块——无数薄砖叠起来，就能建起任何形状的城堡 | | 泰勒展开 | 🎭 面具戏法——用一个无穷多项式的"面具"，完美伪装成任意函数 | | 微分方程 | 🔮 预言未来——根据现在的变化趋势，推算系统的未来状态 | | 梯度 | 🧭 山坡最陡方向——站在山上，朝着最陡的方向爬最快 | | 格林公式 | 🔄 边界与面积的等价声明——绕着池塘走一圈，就能知道水面有多大 | | 级数收敛 | 🏃 龟兔赛跑——乌龟每步走一半，永远到不了终点（几何级数） | #### 2. 多维视角框架（每个知识点尽量覆盖） ``` 📐 代数视角："数学符号语言" ↓ 形式化定义、定理陈述、公式推导 🎨 几何视角："图形直观理解" ↓ 图像描绘、面积/体积解释、空间想象 ⚙️ 物理视角："自然界中的应用" ↓ 速度/加速度、波动/场论、工程背景 🏠 生活视角："身边的微积分" ↓ 购物最优策略、人口增长模型、音乐/艺术中的数学 ``` #### 3. 「为什么学」动机引导 每个知识点讲解前，先给出**学习动机卡片**： ```markdown ## 🎯 学习驿站：为什么你要学这个？ **🚀 探索动机** > "想象你正在设计一座桥梁、预测股票走势、或制作游戏特效—— > 这就是为什么我们需要 ___" **💡 知识锚点** - 前置知识：___（已学过） - 本节目标：学会 ___（本节内容） - 后续应用：___（为哪章打基础） ``` #### 4. 学习驿站（微成就系统） | 成就 | 解锁条件 | 展示方式 | |-----|---------|---------| | 🏃 极限初学者 | 完成第一个 ε-N 证明 | `🏃[极限初学者]` | | ⚡ 导数猎手 | 正确求出一道隐函数导数 | `⚡[导数猎手]` | | 🎭 泰勒大师 | 用泰勒展开精确到 n 阶 | `🎭[泰勒大师]` | | 🔮 方程解谜者 | 独立求解一个二阶常系数方程 | `🔮[方程解谜者]` | | 🏆 全章贯通 | 完成某章所有知识点学习 | `🏆[全章贯通·第X章]` | ### 输出格式 v2 ```markdown ## 📍 知识卡片 v2 ### 🎯 学习动机 > **为什么学？** [一句话动机引导 + 生活/物理/工程背景] ### 📚 基本信息 - **位置**：同济七版上册 P127 第 3.2 节 定理 2 - **名称**：拉格朗日中值定理 - **前置**：函数连续性概念（第一章） --- ### 📐 代数视角 **形式化定义**：若 f(x) 在 [a,b] 连续，(a,b) 可导，则存在 ξ∈(a,b) 使 $$f(b) - f(a) = f'(\xi)(b - a)$$ **🎭 趣味口诀**：[一句押韵或形象的顺口溜] ### 🎨 几何视角 **图像直觉**：想象曲线两端点连线，必有某点切线与之平行——就像魔术师让一根直线"搭便车"。 **图示描述**： ``` f(b) ● ╱│ ╱ │ ╱ │ 切线斜率 = f'(ξ) ╱ │ ●────● f(a) ξ ↑ 斜率 = [f(b)-f(a)]/(b-a) ``` ### ⚙️ 物理视角 **速度解释**：如果物体从时刻 a 运动到 b，平均速度等于某时刻的瞬时速度——一定有某个"恰好"的瞬间，速度恰好等于平均值。 ### 🏠 生活视角 **身边的例子**：[一个生活场景] > 开车从 A 城到 B 城，平均时速 80km/h，那么一定有那么一刻，你的车速恰好是 80km/h（即使你大部分时间在超速或低速行驶）。 --- ### ⚠️ 避坑指南 | 常见误区 | 正确理解 | |---------|---------| | ❌ "开区间连续就够了" | ✅ 必须闭区间连续！否则结论可能失效 | | ❌ 忘记"可导"前提 | ✅ 区间内部必须可导，端点只需连续 | ### 🔬 高阶锚点 - **分析**：试比较拉格朗日与柯西定理的条件差异 - **创造**：弱化条件会怎样？举出"闭区间连续但开区间不可导"的反例 - **联系**：与泰勒公式的阶数关系（拉格朗日余项） ### 🎮 学习进度 - [ ] 理解代数定义 - [ ] 画出几何图像 - [ ] 举出物理/生活例子 - [ ] 完成 1 道证明题 - [ ] 通过「避坑指南」自测 **🏆 可解锁成就**：`🔮[中值定理达人]` ``` ### 讲解话术模板 | 场景 | 话术风格 | |-----|---------| | 新概念引入 | "先别急着算！想象一下这个场景..." + 动机卡片 | | 难点讲解 | "这就像 ___（比喻），记住这个就够了" | | 易错提醒 | "99%的人在这里摔倒！你会是例外吗？" | | 总结强化 | "今天你学会了用 ___ 的眼光看世界" | | 趣味收尾 | "下节课预告：[悬念/预告相关下一知识点]" | --- ## 模块二：测试生成 ### 试卷 Blueprint（标准） | 认知层级 | 题量 | 分值 | 示例 | |---------|------|------|------| | 记忆 | 10% | 10 分 | 定义默写、公式识记 | | 理解 | 20% | 20 分 | 概念解释、条件判断 | | 应用 | 30% | 30 分 | 标准计算、方法套用 | | 分析 | 25% | 25 分 | 多方法比较、错误诊断 | | 评价 | 10% | 10 分 | 解法优劣判断 | | 创造 | 5% | 5 分 | 变式构造、开放证明 | ### 高阶导向（推荐） - **分析 + 评价 + 创造** 合计 **≥40%** 分值；若用户要求「期末统考风格」可恢复标准卷，并注明高阶占比变化。 - **创新题**（非常规综合或开放）**≥12%**，且至少 1 题明确标注为 **「诊断 / 比选 / 构造」** 之一。 - 难题优先落在：**错误辨析、多法择优、模型假设质疑、级数/积分敛散性讨论**。 ### 难度控制 - 易 : 中 : 难 = 3 : 5 : 2 - 预估平均分：75±5 分（高阶卷可略低至 72±5，需在命题说明中写出） --- ## 模块三：作业设计 ### 三级难度结构 | 层级 | 认知目标 | 比例 | 类型 | |-----|---------|------|------| | 🟢 基础 | 识记 + 理解 | 35% | 套公式、概念辨析 | | 🟡 进阶 | 应用 + 分析 | 45% | 综合计算、证明、**一题多解** | | 🔴 挑战 | 评价 + 创造 | 20% | 开放题、建模、**反例与变式** | （比例相对 2.0 微调：压缩纯基础、强化进阶中的分析成分。） ### 高阶任务类型（选题时至少覆盖 2 类） | 类型 | 说明 | 示例指令 | |------|------|----------| | **错误诊断** | 给出含错的解答片段，要求圈错并说明原理 | 「指出第一步误用洛必达之处，并给出正确路径」 | | **多法比选** | 同一目标至少两种解法，比较优劣 | 「用格林公式与直接参数化各做一遍，讨论何时更省事」 | | **表征转换** | 代数 ⟷ 几何 ⟷ 物理 | 「用二重积分的几何意义验证你的代数结果」 | | **条件弱化/反例** | 定理条件是否必要 | 「若去掉 f′ 连续，结论是否仍成立？说明或举反例」 | | **约束建模** | 带现实约束的小建模 | 「在材料用量上限下求容积最大」 | ### 作业模板 ```markdown ## 📝 作业：第 X 章 第 X.X 节 ### 🟢 基础题（35%） 1. [直接套用公式] 预计 5min ⭐ | 认知：理解 ... ### 🟡 进阶层（45%） 1. [多步骤综合 / 一题多解] 预计 12min ⭐⭐ | 认知：应用+分析 ... ### 🔴 挑战题（20%） 1. [开放探究 / 反例 / 建模] 预计 18min ⭐⭐⭐ | 认知：评价+创造 ``` ### 质量标准 - [ ] 每题标注：预计用时 + 知识点 + 难度星级 + **布鲁姆层级（简写）** - [ ] 包含「常见错误陷阱」预警 - [ ] 提供「思路提示」（非完整标准答案） - [ ] 至少 1 道「一题多解」或「错误诊断」 - [ ] **高阶类型** 至少 2 类（见上表） --- ## 模块四：自动批改 ### 批改流程 1. **答案比对** - 数值答案：±0.01 误差 - 表达式：符号运算验证 - 证明题：关键步骤检查 2. **错误分类** | 类型 | 描述 | |-----|------| | 知识性 | 概念误解、定理条件遗漏 | | 方法性 | 策略不当、公式套用错误 | | 计算性 | 代数运算失误 | | 逻辑性 | 推理跳跃 | | 表达性 | 符号不规范 | 3. **反馈策略** | 错误类型 | 反馈方式 | |---------|---------| | 知识性 | 概念微课推送 | | 方法性 | 类比正确解法 | | 计算性 | 分步验算提示 | | 逻辑性 | 思维导图补全 | ### 题型级自检清单（评分前勾选） **计算题（填空 / 求值）** - [ ] 所用定理或公式与题目条件匹配（定义域、可导性、收敛域等） - [ ] 关键中间步骤存在且可复查 - [ ] 数值在约定误差内或化简后与标答等价 **证明题** - [ ] 起点与要证结论对应正确的定理框架 - [ ] 条件逐一验证（区间、连续、可导、单调等） - [ ] 无循环论证与隐含未证命题 **应用 / 建模题** - [ ] 变量与单位一致，模型假设写明 - [ ] 积分区域或方程与几何/物理情景一致 - [ ] 结果在合理量级（可做数量级检查） **级数 / 广义积分** - [ ] 先判敛再算（或分段说明发散情形） - [ ] 比较 / 比值 / 根值等判别法适用条件满足 **线面积分 / 场论** - [ ] 曲线/曲面定向与右手系一致 - [ ] 格林 / 高斯 / 斯托克斯使用前闭区域与偏导条件满足 ### 高阶评分维度（论证类 / 开放类必用） 对含**证明、比选、建模、诊断**的作答，在对错之外勾选或简评： | 维度 | 关注点 | |------|--------| | **论证结构** | 假设是否列全；结论与条件是否匹配；是否偷换概念 | | **策略质量** | 是否展示替代思路或说明取舍理由 | | **批判性** | 是否讨论适用范围、近似误差或反例边界 | | **表达严谨性** | 符号、定向、量纲、收敛域是否一贯 | **反馈话术倾向**：先肯定有效步骤 → 指出最高价值的改进点（一处为主）→ 给可执行的下一步（追问或小练习），避免只给分数无认知增量。 --- ## 使用边界与反模式 **应当做** - 依据同济七版结构与页码引用；不确定时声明「需核对具体版次页码」 - 批改时先肯定合理部分，再分类错误；尊重非常规但正确的解法 - 与图谱联用时输出可复制的 `skillId` 字符串，便于系统对接 - **主动提升高阶占比**：除非用户明确要「纯基础卷」「仅答案」 **避免** - 编造不存在的定理编号或页码 - 在课程未要求时引入实变函数、复分析等明显超纲的一般理论代替初等说明 - 替学生撰写可交卷的完整解答作为「批改」主体（应以前置诊断 + 分步引导为主） - **将高阶误解为「堆砌难题」**：无分析要求的偏题、怪题与课程目标无关者应避免 --- ## 引用规范 - 教材内容必须标注：**章节 + 页码 + 定理或节编号** - 示例：`同济七版上册 P127 第 3.2 节 定理 2` --- ## 考点速查 详见 `references/calculus-topics.md`（上册 1–7 章 + 下册 8–12 章 + 公式速记）。 样卷（高阶导向、布鲁姆分值标注）：`references/sample-exam-v2.1.0.md`。 第 8 章（空间解析几何）专项：`references/sample-exam-ch8-spatial-analytic-geometry.md`。 --- ## 注意事项 - 避免超纲内容；下册以考点表为准逐章覆盖 - 证明题需给出关键步骤提示，而非直接贴完整标答 - 涉及几何意义的题目建议配图说明（文字描述图形亦可） - 批改时尊重学生思路，鼓励创新解法；**高阶不等于刁难**，难度应服务于可教可评的认知目标

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content: # 高等数学考点汇总（同济七版）

上册第 1–7 章、下册第 8–12 章与 `knowledge-graph/data/skills-content-phase2.json` 中的 `skillId` 可作交叉引用（见主 SKILL「与知识图谱协同」）。

**高阶能力锚点（命题与反馈时优先挂钩）**：各章除「会算」外，可设计**条件辨析**（定理条件是否必要）、**多法比选**（极限/积分/级数不同路径）、**反例与边界**（间断类型、敛散临界）、**几何或物理表征**（积分几何意义、场论直观）、**误差与近似意识**（泰勒余项、数值阶）。详见主 SKILL「认知高阶性」「高阶任务类型」。

## 上册

### 第1章 函数与极限

| 知识点 | 难度 | 常见题型 |
|-------|------|---------|
| 函数定义与性质 | ★ | 判断函数类型、求定义域 |
| 数列极限定义 | ★★ | ε-N 语言证明 |
| 函数极限定义 | ★★ | ε-δ 语言证明 |
| 极限运算法则 | ★★★ | 求极限（含无穷小替换） |
| 连续性与间断点 | ★★★ | 判断连续性、求间断点类型 |

**图谱技能映射（示例）**：`函数极限与连续Skill`

### 第2章 导数与微分

| 知识点 | 难度 | 常见题型 |
|-------|------|---------|
| 导数定义 | ★★ | 利用定义求导数 |
| 求导法则 | ★★★ | 复合函数、隐函数求导 |
| 高阶导数 | ★★★ | 莱布尼茨公式 |
| 微分概念 | ★★ | 微分计算、近似计算 |

**图谱技能映射（示例）**：`导数与微分Skill`

### 第3章 微分中值定理与导数应用

| 知识点 | 难度 | 常见题型 |
|-------|------|---------|
| 三大中值定理 | ★★★ | 证明题（罗尔、拉格朗日、柯西） |
| 洛必达法则 | ★★★ | 求 0/0、∞/∞ 型极限 |
| 泰勒公式 | ★★★ | 展开式、拉格朗日余项 |
| 函数单调性 | ★★ | 证明不等式 |
| 极值与最值 | ★★★ | 求极值、闭区间最值 |
| 曲线凹凸性 | ★★★ | 拐点、渐近线 |

**图谱技能映射（示例）**：`泰勒公式Skill`

### 第4章 不定积分

| 知识点 | 难度 | 常见题型 |
|-------|------|---------|
| 不定积分概念 | ★ | 原函数与不定积分 |
| 换元积分法 | ★★★ | 第一类、第二类换元 |
| 分部积分法 | ★★★ | 适用于乘积类型 |
| 有理函数积分 | ★★★ | 部分分式分解 |

**图谱技能映射（示例）**：`积分概念Skill`、`积分技巧Skill`

### 第5章 定积分

| 知识点 | 难度 | 常见题型 |
|-------|------|---------|
| 定积分定义 | ★★ | 利用定义计算 |
| 牛顿-莱布尼茨公式 | ★★ | 定积分计算 |
| 换元积分法 | ★★★ | 定积分换元 |
| 分部积分法 | ★★★ | 定积分计算 |
| 广义积分 | ★★★ | 收敛性判断、计算 |

**图谱技能映射（示例）**：`积分概念Skill`、`积分技巧Skill`

### 第6章 定积分应用

| 知识点 | 难度 | 常见题型 |
|-------|------|---------|
| 平面图形面积 | ★★★ | 求面积 |
| 旋转体体积 | ★★★ | 圆盘法、柱壳法 |
| 曲线弧长 | ★★★ | 参数方程求弧长 |
| 物理应用 | ★★★ | 功、引力、质心 |

**图谱技能映射（示例）**：`定积分应用Skill`

### 第7章 微分方程

| 知识点 | 难度 | 常见题型 |
|-------|------|---------|
| 微分方程概念 | ★ | 阶数、通解、特解 |
| 可分离变量方程 | ★★★ | 分离变量求解 |
| 齐次方程 | ★★★ | 化为可分离 |
| 一阶线性方程 | ★★★ | 常数变易法 |
| 可降阶方程 | ★★★ | y''=f(x)、y''=f(x,y') 等 |
| 二阶常系数线性方程 | ★★★ | 齐次、非齐次通解 |

**图谱技能映射（示例）**：`常微分方程Skill`、`常微分方程求解Skill`

---

## 下册

### 第8章 向量代数与空间解析几何

| 知识点 | 难度 | 常见题型 |
|-------|------|---------|
| 向量线性运算、数量积与向量积 | ★★ | 夹角、投影、面积体积 |
| 平面与直线方程 | ★★★ | 点法式、一般式、参数式；线面位置关系 |
| 曲面与空间曲线 | ★★★ | 旋转曲面、柱面、二次曲面识别 |
| 空间曲线投影与方程组 | ★★★ | 两曲面交线、投影柱面 |

**图谱技能映射（示例）**：`空间几何可视化Skill`

### 第9章 多元函数微分法及其应用

| 知识点 | 难度 | 常见题型 |
|-------|------|---------|
| 多元极限与连续 | ★★★ | 二重极限、路径否定 |
| 偏导与全微分 | ★★★ | 链式法则、一阶全微分形式不变性 |
| 方向导数与梯度 | ★★★ | 最速上升方向 |
| 多元复合与隐函数求导 | ★★★ | 抽象复合、方程组情形 |
| 多元极值与拉格朗日乘数法 | ★★★ | 无条件/条件极值 |

**图谱技能映射（示例）**：`多元函数Skill`

### 第10章 重积分

| 知识点 | 难度 | 常见题型 |
|-------|------|---------|
| 二重积分概念与性质 | ★★ | 估值、对称性 |
| 直角坐标与极坐标计算 | ★★★ | 换序、极坐标换元 |
| 三重积分 | ★★★ | 柱坐标、球坐标 |
| 重积分应用 | ★★★ | 体积、质心、转动惯量 |

**图谱技能映射（示例）**：`多元函数Skill`、`积分技巧Skill`（与体积/对称性结合）

### 第11章 曲线积分与曲面积分

| 知识点 | 难度 | 常见题型 |
|-------|------|---------|
| 第一类曲线/曲面积分 | ★★★ | 参数化、投影化为一重/二重积分 |
| 第二类曲线积分 | ★★★ | 格林公式、与路径无关条件 |
| 第二类曲面积分 | ★★★ | 投影法、高斯公式、斯托克斯公式 |
| 场论初步 | ★★★ | 散度、旋度；积分关系综合 |

**图谱技能映射（示例）**：`积分技巧Skill`、`空间几何可视化Skill`

### 第12章 无穷级数

| 知识点 | 难度 | 常见题型 |
|-------|------|---------|
| 常数项级数收敛判别 | ★★★ | 比较、比值、根值、莱布尼茨 |
| 幂级数收敛域与和函数 | ★★★ | 逐项求导/积分 |
| 函数展开成幂级数 | ★★★ | 间接法、泰勒级数 |
| 傅里叶级数（若课程要求） | ★★★ | 系数公式、收敛定理 |

**图谱技能映射（示例）**：`级数收敛Skill`、`级数分析Skill`

---

## 常用公式速记

### 导数公式

- (sin x)' = cos x
- (cos x)' = -sin x
- (e^x)' = e^x
- (ln x)' = 1/x
- (x^n)' = n x^{n-1}

### 积分公式

- ∫ e^x dx = e^x + C
- ∫ 1/x dx = ln|x| + C
- ∫ sin x dx = -cos x + C
- ∫ cos x dx = sin x + C
- ∫ x^n dx = x^{n+1}/(n+1) + C（n≠-1）

### 常见泰勒展开

- e^x = 1 + x + x^2/2! + x^3/3! + …
- sin x = x - x^3/3! + x^5/5! - …
- cos x = 1 - x^2/2! + x^4/4! - …
- ln(1+x) = x - x^2/2 + x^3/3 - …（|x|<1）

### 下册速记（条目级）

- 格林公式：∮_L P dx + Q dy = ∬_D (∂Q/∂x - ∂P/∂y) dσ
- 高斯公式（奥-高）：∯_Σ = ∭_Ω (∂P/∂x + ∂Q/∂y + ∂R/∂z) dV
- 斯托克斯公式：∮_Γ = ∬_Σ rot F · dS


path: references/sample-exam-v2.1.0.md
content: # 高等数学综合测试卷（高阶导向 · 对齐 skill v2.1.0）

**教材**：同济七版《高等数学》上、下册  
**卷型**：高阶导向（分析 + 评价 + 创造 = 40 分）  
**满分**：100 分　**建议时长**：150 分钟  
**预估均分**：约 72±5（命题说明：高阶与开放题略拉低均值）

---

## 命题结构（布鲁姆分值）

| 层级 | 分值 | 题号 |
|------|------|------|
| 记忆 | 10 | 一 |
| 理解 | 20 | 二 |
| 应用 | 30 | 三 |
| 分析 | 25 | 四、五 |
| 评价 | 10 | 六 |
| 创造 | 5 | 七 |

**创新/综合题占比**：第 四 题 12 分（标注「诊断」）+ 第 七 题 5 分 = 17% ≥ 12%。  
**难度**：易 : 中 : 难 ≈ 3 : 5 : 2（难题集中在四、五、六）。

---

## 一、填空（记忆 · 10 分）

**认知**：记忆　**建议用时**：10 min

1. （5 分）写出函数 \(f(x)\) 在 \(x_0\) 处可微的定义式（用极限表示）：________。  
   **skillId 提示**：`导数与微分Skill`

2. （5 分）设常数项级数 \(\sum_{n=1}^{\infty} u_n\) 的前 \(n\) 项和为 \(S_n\)。若 \(\lim_{n\to\infty} S_n = S\)（有限），则该级数________；此时 \(\lim_{n\to\infty} u_n = \) ________。  
   **skillId 提示**：`级数收敛Skill`

---

## 二、选择与辨析（理解 · 20 分）

**认知**：理解　**建议用时**：25 min

3. （10 分）下列关于定积分与原函数的陈述，**错误**的是（　）

   A. 若 \(f\) 在 \([a,b]\) 上连续，则 \(f\) 在 \([a,b]\) 上可积。  
   B. 若 \(f\) 在 \([a,b]\) 上有界且只有有限个间断点，则 \(f\) 在 \([a,b]\) 上可积。  
   C. 若 \(f\) 在 \([a,b]\) 上可积，则 \(f\) 在 \([a,b]\) 上有界。  
   D. 若 \(f\) 在 \([a,b]\) 上仅有有限个第一类间断点，则 \(f\) 在 \([a,b]\) 上**必存在**原函数 \(F\) 使 \(F'=f\)。

   **skillId 提示**：`积分概念Skill`

4. （10 分）设二元函数 \(z=f(x,y)\) 在点 \((x_0,y_0)\) 的某邻域内偏导数 \(f_x,f_y\) 都存在。则「\(f\) 在 \((x_0,y_0)\) 可微」与「\(f_x,f_y\) 在 \((x_0,y_0)\) 连续」的关系是（　）

   A. 两者等价  
   B. 后者可推出前者，前者不能推出后者  
   C. 前者可推出后者，后者不能推出前者  
   D. 两者无必然蕴含关系

   **skillId 提示**：`多元函数Skill`

---

## 三、计算（应用 · 30 分）

**认知**：应用　**建议用时**：45 min

5. （10 分）求极限 \(\displaystyle \lim_{x\to 0} \frac{e^{x^2} - \cos x}{x^2}\)。  
   **skillId 提示**：`泰勒公式Skill` / `函数极限与连续Skill`

6. （10 分）计算不定积分 \(\displaystyle \int x^2 \ln x\,\mathrm{d}x\)（\(x>0\)）。  
   **skillId 提示**：`积分技巧Skill`

7. （10 分）求微分方程 \(y'' - 3y' + 2y = e^x\) 的通解。  
   **skillId 提示**：`常微分方程求解Skill`

---

## 四、【诊断】解答纠错（分析 · 12 分）★ 创新题

**认知**：分析　**类型**：错误诊断　**建议用时**：20 min

某生求 \(\displaystyle I = \oint_L \frac{-y\,\mathrm{d}x + x\,\mathrm{d}y}{x^2+y^2}\)，其中 \(L\) 为圆周 \(x^2+y^2=R^2\)，取逆时针方向。其书写如下：

> 「令 \(P=\dfrac{-y}{x^2+y^2}\)，\(Q=\dfrac{x}{x^2+y^2}\)。  
> 计算得 \(\dfrac{\partial Q}{\partial x} - \dfrac{\partial P}{\partial y} = 0\)。  
> 由格林公式，\(I = \displaystyle \iint_D 0\,\mathrm{d}x\mathrm{d}y = 0\)。」

**要求**：

1. 指出上述推理中**不妥之处**（至少两点：定义域、定理条件或结论）。  
2. 给出**正确结果**并说明理由（可直接计算或修正格林公式的用法）。  
3. 一句话说明：若 \(L\) 改为包围原点**任意**简单闭曲线（逆时针），\(I\) 是否仍为同一常数？为什么？

**skillId 提示**：`积分技巧Skill`、`空间几何可视化Skill`

---

## 五、综合（分析 · 13 分）

**认知**：分析　**类型**：多法比选 + 表征　**建议用时**：25 min

设平面区域 \(D\) 由曲线 \(y=\sqrt{x}\)、\(y=x\) 与直线 \(x=1\) 围成。

1. （8 分）求 \(D\) 的面积。  
2. （5 分）**比选**：说明本题用「定积分对 \(x\) 累加」与「对 \(y\) 累加」哪一种更简，并各写出一个积分式（不必再算数值）。

**skillId 提示**：`定积分应用Skill`

---

## 六、评价（评价 · 10 分）

**认知**：评价　**建议用时**：15 min

考虑用牛顿迭代法求方程 \(f(x)=0\) 的根：\(x_{n+1} = x_n - \dfrac{f(x_n)}{f'(x_n)}\)。

**要求**：从「收敛速度」「对初值依赖」「\(f'(x)=0\) 附近行为」三方面，各写 2～3 句，比较牛顿法与简单二分法的**优劣与适用场景**（无需证明收敛定理）。

**skillId 提示**：`数值分析Skill`

---

## 七、开放（创造 · 5 分）

**认知**：创造　**类型**：构造 / 反例　**建议用时**：10 min

请**构造**一个定义在 \(\mathbb{R}\) 上的函数 \(f(x)\)，使得：

- \(f(x)\) 在 \(x=0\) **连续**；  
- \(f(x)\) 在 \(x=0\) **不可导**。

写出一个具体解析式并**一句话**验证连续性及不可导性。

**skillId 提示**：`导数与微分Skill`、`函数极限与连续Skill`

---

## 附：评分与参考答案要点（教师用）

| 题号 | 参考答案要点 |
|------|----------------|
| 一.1 | \(\lim_{\Delta x\to 0} \dfrac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}\) 存在有限（或等价极限式）。 |
| 一.2 | 收敛于 \(S\)；\(\lim_{n\to\infty} u_n = 0\)（收敛必要条件）。 |
| 二.3 | **D 错误**。可积且有有限个第一类间断点不能保证存在原函数（例如分段常数跳跃：可积但导函数不能有跳跃间断，与达布定理矛盾）。 |
| 二.4 | **B**（偏导连续 \(\Rightarrow\) 可微；可微 \(\not\Rightarrow\) 偏导连续）。 |
| 三.5 | 泰勒或两次洛必达：\(e^{x^2}=1+x^2+o(x^2)\)，\(\cos x=1-\frac{x^2}{2}+o(x^2)\)，分子 \(\frac{3x^2}{2}+o(x^2)\)，极限 **\(\frac{3}{2}\)**。 |
| 三.6 | 分部积分：\(\frac{x^3}{3}\ln x - \frac{x^3}{9} + C\)（\(x>0\)）。 |
| 三.7 | 齐次通解 \(Y=C_1 e^x + C_2 e^{2x}\)；特解设为 \(y^*=Axe^x\) 得 \(A=-1\)，通解 **\(y=C_1 e^x + C_2 e^{2x} - x e^x\)**。 |
| 四 | 要点：\(P,Q\) 在原点无定义，\(L\) 所围区域含奇点，不能直接在含原点的整个圆盘上对格林公式用「\(0\)」；挖洞或用参数 \(x=R\cos t,y=R\sin t\) 得 **\(I=2\pi\)**（与 \(R\) 无关）。第三问：任意包围原点的简单闭曲线（逆时针）积分同为 **\(2\pi\)**（同伦/挖洞）。按步给分：纠错 4 分 + 正确结果 5 分 + 第三问 3 分。 |
| 五 | 交点 \((0,0)\)、\((1,1)\)；面积 \(S=\int_0^1(\sqrt{x}-x)\,\mathrm{d}x = \frac{1}{6}\)。比选：对 \(x\) 一次积分通常更直；对 \(y\) 需分段或用 \(y\) 从 0 到 1 表出左右边界。 |
| 六 | 开放评分：牛顿法二阶收敛快但对初值敏感、\(f'(x)=0\) 可能失败；二分法稳健一阶慢、不需导数。言之成理即可。 |
| 七 | 例：\(f(x)=|x|\) 在 \(0\) 连续、左右导数不等故不可导；或 \(x^{1/3}\) 等。 |
</think>
修正第 3 题以保证有明确错误选项，并补全「附：评分要点」。

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path: references/sample-exam-ch8-spatial-analytic-geometry.md
content: # 空间解析几何试题（同济七版 · 第 8 章）

**范围**：向量代数与空间解析几何  
**skill 对齐**：`calculus-lobster-teacher` v2.1.0 · **`空间几何可视化Skill`**  
**建议时长**：90 分钟（全卷）或按需选用子题

---

## 命题说明

- 覆盖：**向量运算**（线性、数量积、向量积、混合积）→ **平面与直线** → **曲面与曲线**（常见二次曲面、投影）。
- 高阶题（分析/综合）见 **五、六**；基础与计算见 **一～四**。

**分值示例（满分 100）**：一 15 · 二 20 · 三 20 · 四 15 · 五 18 · 六 12。

---

## 一、填空（记忆 / 理解 · 15 分）

**建议用时**：15 min

1. （3 分）设向量 \(\boldsymbol{a}=(1,-1,2)\)，\(\boldsymbol{b}=(2,1,-1)\)，则 \(\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}=\) ________，\(|\boldsymbol{a}|=\) ________。

2. （4 分）过点 \(M_0(1,0,-1)\) 且以 \(\boldsymbol{n}=(2,-1,3)\) 为法向量的平面方程为 ________。

3. （4 分）直线 \(\dfrac{x-1}{2}=\dfrac{y}{-1}=\dfrac{z+1}{1}\) 的方向向量为 \(\boldsymbol{s}=\) ________；过点 ________。

4. （4 分）球面 \((x-1)^2+(y+2)^2+z^2=9\) 的球心坐标为 ________，半径为 ________。

---

## 二、选择与辨析（理解 · 20 分）

**建议用时**：20 min

5. （5 分）设 \(\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}\) 为非零向量，则 \(|\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b}|=|\boldsymbol{a}||\boldsymbol{b}|\) 成立的充要条件是（　）

   A. \(\boldsymbol{a}\parallel\boldsymbol{b}\)  
   B. \(\boldsymbol{a}\perp\boldsymbol{b}\)  
   C. \(\boldsymbol{a}\) 与 \(\boldsymbol{b}\) 共线且同向  
   D. \(\boldsymbol{a}\) 与 \(\boldsymbol{b}\) 夹角为 \(\dfrac{\pi}{2}\)

6. （5 分）平面 \(x+2y-z+1=0\) 与平面 \(2x+4y-2z-3=0\) 的位置关系是（　）

   A. 相交但不垂直  
   B. 垂直  
   C. 平行但不重合  
   D. 重合

7. （5 分）下列方程中表示**圆柱面**的是（　）

   A. \(x^2+y^2+z^2=1\)  
   B. \(x^2+y^2=1\)  
   C. \(x^2+y^2=z\)  
   D. \(\dfrac{x^2}{4}+\dfrac{y^2}{9}+\dfrac{z^2}{16}=1\)

8. （5 分）曲线 \(\begin{cases}x^2+y^2=1\\z=x\end{cases}\) 在 \(xOy\) 面上的投影曲线方程是（　）

   A. \(x^2+y^2=1,\ z=0\)  
   B. \(x^2+y^2=1\)  
   C. \(z=x\)  
   D. \(x^2+z^2=1\)

---

## 三、计算（应用 · 20 分）

**建议用时**：25 min

9. （8 分）已知 \(\boldsymbol{a}=(1,2,-1)\)，\(\boldsymbol{b}=(1,0,2)\)。求 \(\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b}\)，并求以 \(\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}\) 为邻边的平行四边形面积。

10. （6 分）求点 \(P(2,1,2)\) 到平面 \(x+2y+2z-10=0\) 的距离。

11. （6 分）求过点 \(A(1,0,0)\)、\(B(0,1,0)\)、\(C(0,0,1)\) 的平面方程。

---

## 四、综合（应用 · 15 分）

**建议用时**：20 min

12. （8 分）求过点 \(M(1,-1,2)\) 且与两平面  
    \(\pi_1:\ x+y-z+1=0\)、\(\pi_2:\ 2x-y+z=0\)  
    都平行的直线方程（对称式或参数式均可）。

13. （7 分）求直线 \(L:\ \dfrac{x-1}{1}=\dfrac{y}{2}=\dfrac{z-1}{1}\) 与平面 \(\pi:\ x-y+2z-3=0\) 的交点，并判定 \(L\) 与 \(\pi\) 是否垂直。

---

## 五、分析（分析 · 18 分）

**建议用时**：20 min

14. （10 分）**多法比选**：求点 \(P(1,2,3)\) 到直线  
    \(L:\ \dfrac{x}{1}=\dfrac{y-1}{0}=\dfrac{z+1}{1}\)  
    的距离。要求：

    - 方法一：用「直线上一点 + 方向向量 + 向量叉乘」公式求距离；  
    - 方法二：过 \(P\) 作与 \(L\) 垂直的平面，求该平面与 \(L\) 的交点 \(Q\)，再求 \(|PQ|\)。  
    - 简要说明两种方法在何种情形下更省事。

15. （8 分）**错误诊断**：某生求两平面  
    \(\pi_1:\ x+y+z=1\)，\(\pi_2:\ x-y+z=0\)  
    的夹角时写道：「两法向量 \(\boldsymbol{n}_1=(1,1,1)\)，\(\boldsymbol{n}_2=(1,-1,1)\)，故  
    \(\cos\theta=\dfrac{\boldsymbol{n}_1\cdot\boldsymbol{n}_2}{|\boldsymbol{n}_1||\boldsymbol{n}_2|}= \dfrac{1}{\sqrt{3}\sqrt{3}}=\dfrac{1}{3}\)，夹角 \(\theta=\arccos\dfrac{1}{3}\)。」  
    指出推理是否完整、有无概念性疏漏，并写出你认为严谨的表述（含公式）。

---

## 六、开放（创造 / 评价 · 12 分）

**建议用时**：15 min

16. （6 分）**构造**：写出一个**母线平行于 \(z\) 轴**的柱面方程，使其准线为 \(xOy\) 平面上的椭圆 \(\dfrac{x^2}{4}+\dfrac{y^2}{9}=1\)。说明柱面与平面 \(z=1\) 的交线形状。

17. （6 分）**评价**：在空间中用「向量」描述「直线与直线异面」时，你倾向于用「方向向量 + 公垂线」还是「混合积 \(\neq 0\)」？各写一句适用理由（不必长篇证明）。

---

## 附：参考答案要点（教师用）

| 题号 | 要点 |
|------|------|
| 一.1 | \(\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}=-1\)；\(|\boldsymbol{a}|=\sqrt{6}\)。 |
| 一.2 | \(2(x-1)-(y-0)+3(z+1)=0\)，即 \(2x-y+3z+1=0\)。 |
| 一.3 | \(\boldsymbol{s}=(2,-1,1)\)；过点 \((1,0,-1)\)。 |
| 一.4 | 球心 \((1,-2,0)\)，半径 \(3\)。 |
| 二.5 | **B**（夹角为 \(\dfrac{\pi}{2}\) 时 \(\sin\theta=1\)）。 |
| 二.6 | **C**（法向量平行、常数项不成比例）。 |
| 二.7 | **B**（缺 \(z\) 为柱面，准线为 \(xOy\) 上圆）。 |
| 二.8 | **A**（投影到 \(xOy\) 须联立 \(z=0\)）。 |
| 三.9 | \(\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b}=(4,-3,-2)\)；面积 \(=\sqrt{29}\)。 |
| 三.10 | \(d=\dfrac{|2+2+4-10|}{\sqrt{1+4+4}}=\dfrac{4}{3}\)。 |
| 三.11 | 法向量 \(\boldsymbol{n}=\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}=(1,1,1)\)，平面 \(x+y+z=1\)（或等价式）。 |
| 四.12 | \(\boldsymbol{n}_1\times\boldsymbol{n}_2=(0,-3,-3)\parallel(0,1,1)\)，过 \(M(1,-1,2)\)：\(x=1,\ \dfrac{y+1}{1}=\dfrac{z-2}{1}\)（或参数式）。 |
| 四.13 | 令 \(\dfrac{x-1}{1}=\dfrac{y}{2}=\dfrac{z-1}{1}=t\)，则 \(x=1+t,\ y=2t,\ z=1+t\)，代入 \(\pi\) 得 \((1+t)-2t+2(1+t)-3=t=0\)，交点 \((1,0,1)\)；\(\boldsymbol{s}\cdot\boldsymbol{n}=(1,2,1)\cdot(1,-1,2)=1\neq 0\)，**不垂直**。 |
| 五.14 | 按公式或垂面法应得同一距离；略。 |
| 五.15 | \(\cos\theta=\dfrac{|\boldsymbol{n}_1\cdot\boldsymbol{n}_2|}{|\boldsymbol{n}_1||\boldsymbol{n}_2|}\) 常取**锐角**，故需说明取绝对值或限定 \(\theta\in[0,\dfrac{\pi}{2}]\)；该生未强调「两平面夹角取锐角」时表述易歧义。 |
| 六.16 | 柱面 \(\dfrac{x^2}{4}+\dfrac{y^2}{9}=1\)（无 \(z\)）；与 \(z=1\) 交线为**椭圆**（在平面 \(z=1\) 内）。 |
| 六.17 | 开放评分：混合积 \(\neq 0\) 判异面简洁；公垂线便于求距离。 |
</think>
修正第 10 题数据，使距离非平凡（避免点在平面上）。

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