微分方程式解法　流れとパターン

## 微分方程式解法の流れ
* まず方程式の形を識別→形ごとの解き方を適用
* 基礎的な形と解法は以下の通り
* [微分演算子と逆演算子](https://qiita.com/tensor5375/items/2ba9f4ed5c6a59da9506#%E9%80%86%E6%BC%94%E7%AE%97%E5%AD%90)についてはこちら

### **変数分離形**
* $\frac{dy}{g(y)} = f(x) dx$
* 変数を分離：$g(y) dy = f(x) dx$
* 両辺を積分：$\int g(y) dy = \int f(x) dx$

### **同次形微分方程式**
* $\frac{dy}{dx} = f\left(\frac{y}{x}\right)$
* $y = vx$, $y' = v'x + v$ と置換し上の式に代入

### **線形微分方程式**
 * $\frac{dy}{dx} + P(x) y = Q(x)$ (または $y' + P(x) y = Q(x)$)
* **[一般解]**
$$
    y = e^{-\int P(x) dx} \left( \int Q(x) e^{\int P(x) dx} dx + C \right)
$$   

### **ベルヌーイの微分方程式**
* $\frac{dy}{dx} + P(x) y = Q(x) y^n$
* **[解法]**
* $z = y^{1-n}$ と置換すると線形微分方程式に帰着。
    $z' = (1-n) y^{-n} y'$ より $y' = \frac{1}{1-n} y^n z'$。
    元の式に代入：
    $$
    \frac{1}{1-n} y^n z' + P(x) y = Q(x) y^n
    $$
    両辺を $y^n$ で割る（$y=0$ は自明な解として除外）：
    $$
    \frac{1}{1-n} z' + P(x) y^{1-n} = Q(x)
    $$
    $$
    z' + (1-n) P(x) z = (1-n) Q(x)
    $$   

### **完全微分方程式**
* $P(x, y) dx + Q(x, y) dy = 0$
* 条件: $\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial Q}{\partial x}$
* このとき、ある関数 $u(x, y)$ が存在し、$du(x, y) = P dx + Q dy = 0$ と書ける。
* **[一般解]**
    $u(x, y) = C$
    または
    $$
    \int_a^x P(x, y) dx + \int_b^y Q(a, y) dy = C
    $$
(a, b は任意定数; C は任意定数)   

* **積分因子** を用いる場合
    * **完全でない微分方程式が完全になる場合**がある。
    * 積分因子 $\lambda$ をかけると完全微分方程式になる。
    * $\lambda = e^{\int \phi(x) dx}$
    * $\phi(x) = \frac{1}{P} \left( \frac{\partial P}{\partial y} - \frac{\partial Q}{\partial x} \right)$ （$\phi(x)$ が $x$ のみの関数になる場合）
    * $\phi(y) = \frac{1}{Q} \left( \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right)$ （$\phi(y)$ が $y$ のみの関数になる場合）


### よく出る形１
* $y'' = f(y')$
* $p = y'$ と置く。
* $\frac{dp}{dx} = f(p)$
    * これを変数分離形として解く $\rightarrow p = G(x, C)$

* $p = y' = \frac{dy}{dx} = G(x, C)$
    * これを積分する $\rightarrow y = \int G(x, C) dx + C$

### よく出る形２
* $y'' = f(y)$
* 独立変数 $x$ を消去し、階数を減らす。
* $y' = \frac{dy}{dx}$ とし、$y'' = \frac{dy'}{dx}$ で表す。

* $y'' = \frac{dy'}{dx}$ だが、$y' = f(y)$ なので、
    $$
    y'' = \frac{dy'}{dy} \frac{dy}{dx}
    $$
    * $y' = \frac{dy}{dx}$ なので、
        $$
        y'' = y' \frac{dy'}{dy}
        $$
* これを $y'' = f(y)$ に代入すると、
    $$
    y' \frac{dy'}{dy} = f(y)
    $$
    * これは変数分離形（階数削減された方程式）なので、
        $y' dy' = f(y) dy$
        $\int y' dy' = \int f(y) dy$
        $\frac{1}{2}(y')^2 + C_1 = \int f(y) dy + C_2$
        $(y')^2 = 2 \int f(y) dy + C_2 - C_1$
        $C = C_2 - C_1$ とおくと、
        $(y')^2 = 2 \int f(y) dy + C$
        $$
        y' = \pm \sqrt{2 \int f(y) dy + C}
        $$
    * $\frac{dy}{dx} = \pm \sqrt{2 \int f(y) dy + C}$
    * これは変数分離形となり、これを積分すれば解が得られる。
        $$
        \frac{1}{\pm \sqrt{2 \int f(y) dy + C}} dy = dx
        $$
    * 両辺を積分すると、
        $$
        \int \frac{1}{\pm \sqrt{2 \int f(y) dy + C}} dy = x + C_3
        $$
    * この積分は、$f(y)$ が $y$ の具体的な関数でないと、$y$ と $x$ の陽関数として表すのは困難。
    * $f(x)$ が具体的な関数であれば適用できる。

### よく出る形２　別解
* $y'' = f(y)$
* $2y''y' = 2f(y)y'$ を両辺に $2y'$ を掛ける。
両辺に $2y'$ を掛けるパターンは、エネルギー保存則等、物理的な問題でよく用いられる。

* $\frac{d(y')^2}{dx} = \frac{d}{dx} (y'y') = y''y' + y'y'' = 2y''y'$
    * この式変形に気付けないとつらい

* $2f(y)y'$ は、
    $$
    2f(y)y' = 2f(y)\frac{dy}{dx}
    $$
* したがって、
    $$
    \frac{d(y')^2}{dx} = 2f(y) \frac{dy}{dx}
    $$
    * $dx$ が消去でき、$y'$ と $y$ による表現になった。

* 両辺を積分。
    * $d f(u)$ の積分は $f(u)$ であるから、
        $$
        (y')^2 = 2 \int f(y) dy + C
        $$

**[解法]**
* $y' = \frac{dy}{dx} = \pm \sqrt{2 \int f(y) dy + C}$
    * これは変数分離形なので、$f(y)$ が具体的な関数なら機械的に解ける。

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#### (補説)

* $\frac{d(y')^2}{dx} = 2f(y) \frac{dy}{dx}$ を積分する時の思考手順：
    * この形は $(y')^2$ の $x$ による積分なので、
        $y' = \frac{dy}{dx} \implies dy = y' dx$ (変数変換テクニック)
        または $dx = \frac{dy}{y'}$ と考えてもよい。

    $$
    (y')^2 = 2 \int f(y) dy + C
    $$
    * したがって、
        $$
        y' = \frac{dy}{dx} = \pm \sqrt{2 \int f(y) dy + C}
        $$
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### 定数係数線形同次微分方程式

$y^{(n)} + a_1 y^{(n-1)} + \dots + a_{n-1} y' + a_n y = R(x) = 0$
または
$y^{(n)} + a_1 y^{(n-1)} + \dots + a_n y = 0$

* $f(D) = D^n + a_1 D^{n-1} + \dots + a_{n-1}D + a_n$ とおく（$D = \frac{d}{dx}$: 微分演算子）
* $f(D) y = 0$

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* 以下の形がある


$D^n y = 0$

* $y = C_1 + C_2 x + \dots + C_n x^{n-1}$ **[一般解]**

$(D-\alpha)^n y = 0$

* $y = (C_1 + C_2 x + \dots + C_n x^{n-1}) e^{\alpha x}$ **[一般解]**

$(D-\alpha)(D-\beta) y = 0$, ($\alpha \neq \beta$)

* $y = C_1 e^{\alpha x} + C_2 e^{\beta x}$ **[一般解]**

$(D^2 + kD + C) y = 0$ ($k^2 - 4C < 0$)

* 2次方程式の解が虚数解の場合
* $y = C_1 e^{\lambda x} \sin \mu x + C_2 e^{\lambda x} \cos \mu x$ **[一般解]**
    * $\lambda, \mu$ の決め方: $t^2 + kt + C = 0$ の解が $t = \lambda \pm i \mu$

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### 2階定数係数同次微分方程式
* $y'' + ky' + Cy = 0$
    * 補助方程式 $t^2 + kt + C = 0$ の解を求める

* **上のまとめ**
    * **実数解 $\alpha, \beta$ ($\alpha \neq \beta$)** $\rightarrow y = C_1 e^{\alpha x} + C_2 e^{\beta x}$
    * **実数解 $\alpha$ (2重解)** $\rightarrow y = (C_1 + C_2 x) e^{\alpha x}$
    * **虚数解 $\lambda \pm i \mu$** $\rightarrow y = C_1 e^{\lambda x} \sin \mu x + C_2 e^{\lambda x} \cos \mu x$
    **[一般解]**
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#### (補説)

* $ax^2 + bx + c = 0$
* 判別式 $D = b^2 - 4ac < 0$ のとき
* $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-b \pm \sqrt{-(4ac-b^2)}}{2a} = \frac{-b \pm i\sqrt{4ac-b^2}}{2a} = -\frac{b}{2a} \pm i \frac{\sqrt{4ac-b^2}}{2a}$
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### 定数係数線形非同次微分方程式

* $L(y) = R(x)$: n階定数係数線形非同次方程式
* $u(x, c_1, c_2, \dots, c_n)$: $L(y)=0$ の一般解を求める。一般解の求め方は定数係数線形同次方程式のものを参照 (i)
* $Y_P$: 上の一般解の特殊解を求める (ii)
* $y = u(x, c_1, c_2, \dots, c_n) + Y_0$: n階定数係数線形非同次方程式の一般解 (iii)
* (i)(ii)(iii)の手順で求める
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* 以下は $L(y)=R(x)$ の形とそれらに対応する特殊解の説明
* $y^{(n)} + a_1 y^{(n-1)} + \dots + a_n y = F(x)$
    * $y = x^k$ べき乗 （$C_0 x^k + \dots + C_k$） が特殊解。 $y$ を上式に代入して $C_i$ を求める。

* $y^{(n)} + a_1 y^{(n-1)} + \dots + a_n y^{(1)} = F(x)$
    * $a_{(n-1)}, a_n=0$ の場合
$$
y = x \phi(x)
$$
    * 求め方は上と同じ

* $f(D) y = k e^{\alpha x}$
    * $f(\alpha) \neq 0$ の時 $y = A e^{\alpha x}$
    * $f(\alpha) = 0$ 且つ $x=0$ が補助方程式 $f(t)=0$ の1重解の時 $y = A x e^{\alpha x}$

* $f(D) y = k \sin \alpha x + k \cos \alpha x$
    * $f(i\alpha) \neq 0$ ならば
        $y = A \sin \alpha x + B \cos \alpha x$
    * $f(i\alpha) = 0$ で $t=i\alpha$ が補助方程式 $f(t)=0$ の 1重解
        $y = x(A \sin \alpha x + B \cos \alpha x)$
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### 重ね合わせの原理
* $f(D) y = F_1(x)$ の特殊解が $Y_1(x)$
* $f(D) y = F_2(x)$ の特殊解が $Y_2(x)$
のとき
* $Y_1(x) + Y_2(x)$ は $f(D) y = F_1(x) + F_2(x)$ の特殊解