統計学検定2級問題演習メモ



## 2017
**相対度数**とは、各階級の度数を全体の度数で割ったものです。
**Relative frequency** is the ratio of the frequency of a class to the total number of observations.

### 計算式 / Formula:

$$
\text{相対度数} = \frac{\text{階級の度数}}{\text{全体の度数}}  
\quad
\text{Relative Frequency} = \frac{\text{Class Frequency}}{\text{Total Frequency}}
$$

### Python例 / Python Example:

```python
import pandas as pd

data = pd.Series([65, 70, 85, 90, 90, 95, 100, 100, 100, 105])
freq_table = data.value_counts().sort_index()
rel_freq = freq_table / len(data)
print(rel_freq)
```

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## 2. 階級と階級値の関係・グラフの読み方

**Class Intervals, Midpoints, and Graph Reading**

* **階級 (class interval)**: 連続したデータ範囲（例: 70〜79）
  **Class interval**: A range of values (e.g., 70–79)

* **階級値（中央値）(class midpoint)**: 各階級の上下の境界値の平均
  **Class midpoint**: The average of the lower and upper boundaries of the class

$$
\text{階級値} = \frac{\text{下限} + \text{上限}}{2}  
\quad
\text{Midpoint} = \frac{\text{Lower Bound} + \text{Upper Bound}}{2}
$$

### グラフの読み方 / Graph Interpretation

* 縦軸は度数や相対度数を示す（棒の高さ）
  Y-axis shows frequency or relative frequency.
* 横軸は階級や階級値を示す
  X-axis shows class intervals or midpoints.

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## 3. 単回帰分析・切片・標準誤差・t値

**Simple Linear Regression: Intercept, Standard Error, and t-Value**

### 回帰式 / Regression Equation:

$$
Y = a + bX + \epsilon  
\quad  
Y: 目的変数 / Target variable  
\quad  
X: 説明変数 / Explanatory variable  
\quad  
a: 切片 / Intercept  
\quad  
b: 傾き / Slope
$$

### t値 / t-Value:

$$
t = \frac{\text{回帰係数}}{\text{標準誤差}}  
\quad
t = \frac{\text{Coefficient}}{\text{Standard Error}}
$$

### Python例 / Python Example:

```python
import statsmodels.api as sm

X = df[['X']]
X = sm.add_constant(X)  # 切片を追加 / Add intercept
model = sm.OLS(df['Y'], X).fit()
print(model.summary())
```

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## 4. 変動係数の定義 / Definition of Coefficient of Variation (CV)

\*\*変動係数（CV）\*\*は、平均に対する標準偏差の比率です。
**CV indicates how much variability exists relative to the mean.**

### 計算式 / Formula:

$$
\text{CV} = \frac{\text{標準偏差}}{\text{平均}} \times 100\%  
\quad
CV = \frac{\text{Standard Deviation}}{\text{Mean}} \times 100\%
$$

### Python例 / Python Example:

```python
cv = df['Variable'].std() / df['Variable'].mean()
print('Coefficient of Variation:', cv)
```

---

## 5. 中央値・平均・標準偏差の違い

**Median, Mean, and Standard Deviation**

| 用語                        | 日本語の説明    | 英語の説明                          |
| ------------------------- | --------- | ------------------------------ |
| 平均 (Mean)                 | 全データの平均値  | Arithmetic average of the data |
| 中央値 (Median)              | 並べた時の中央の値 | Middle value when sorted       |
| 標準偏差 (Standard Deviation) | 平均からのばらつき | Spread of values from the mean |

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## 6. 箱ひげ図の見方 / How to Read a Box Plot

* **箱 (Box)**: 第1四分位数 (Q1) ～ 第3四分位数 (Q3)
  The box shows the interquartile range (Q1 to Q3).

* **線（ひげ）(Whiskers)**: 最小値と最大値（外れ値を除く）
  Whiskers extend to the minimum and maximum values, excluding outliers.

* **線の中間 (Median line)**: 中央値を示す
  A line inside the box shows the median.

* **点 (Outliers)**: 箱やひげから極端に離れた値
  Dots indicate outliers (extreme values outside 1.5×IQR).

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## コレログラムの読み方と正誤判断

**Understanding Correlograms and Evaluating Statements**

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### コレログラムとは

**What is a Correlogram?**

コレログラムは、時系列データの\*\*自己相関係数（autocorrelation coefficient）\*\*をラグ（遅れ）ごとに示したグラフです。
A **correlogram** is a graph that displays the **autocorrelation coefficients** of a time series at different time lags.

図中の点線は、「時系列が無相関である」という帰無仮説のもとでの**5%有意水準の棄却限界値**を示します。
The dashed lines in the graph represent the **5% significance level bounds** under the null hypothesis that the series has no autocorrelation.

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## 各記述の検討

**Evaluation of Each Statement**

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### Ⅰ：正しい / **Correct**

> キャベツの価格における12か月後の相関は有意であり、ビールの価格は有意でない。
> The autocorrelation at 12 months for cabbage prices is statistically significant, while for beer prices it is not.

* キャベツの価格はラグ12で棄却限界値の外 → **有意な年周期の傾向がある**
  Cabbage prices have significant autocorrelation at lag 12 → suggesting **seasonal trend**.
* ビールの価格はラグ12で棄却限界値の内 → **有意性がない**
  Beer prices fall within bounds → **no significant yearly pattern**.

✅ よって、この記述は正しい。
✅ Therefore, this statement is correct.

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### Ⅱ：正しい / **Correct**

> ラグ1の自己相関係数が約0.5で、翌月の価格と相関している。
> Lag-1 autocorrelation is about 0.5, meaning this month's price is correlated with next month's price.

* ラグ1の自己相関係数 ≈ 0.5 かつ棄却限界値の外 → **有意な短期的連続性**
  A lag-1 autocorrelation of around 0.5 beyond the bounds → **statistically significant short-term dependence**.

✅ したがって正しい。
✅ This interpretation is accurate.

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### Ⅲ：誤り / **Incorrect**

> コレログラムは2系列間の相関を示すことができる。
> The correlogram can show correlation between two different time series.

* **コレログラムは1系列の自己相関のみを対象**とする
  Correlograms **only show autocorrelation within a single series**.
* **複数の時系列間の相関（例：キャベツとビールの価格）を調べるには「交差相関（cross-correlation）」が必要**
  To analyze relationships between **two time series** (e.g., cabbage and beer prices), **cross-correlation** is required.

❌ よって、この記述は誤り。
❌ Therefore, this statement is incorrect.

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## 結論 / Conclusion

| 記述 / Statement | 評価 / Judgment  | 理由 / Reason          |
| -------------- | -------------- | -------------------- |
| I              | 正しい / Correct  | ラグ12で有意な自己相関あり（キャベツ） |
| II             | 正しい / Correct  | ラグ1での翌月との有意な自己相関あり   |
| III            | 誤り / Incorrect | コレログラムは2系列間の相関を扱えない  |

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## 補足：交差相関との違い

**Note: Difference from Cross-Correlation**

| 指標 / Metric             | 対象 / Target                  | 用途 / Use                          |
| ----------------------- | ---------------------------- | --------------------------------- |
| 自己相関（Autocorrelation）   | 1つの時系列内 / Within one series  | トレンド・周期性の確認 / Trend & seasonality |
| 交差相関（Cross-correlation） | 2つの時系列間 / Between two series | 他系列との関係 / Lead-lag effects        |

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## 🔢 ラスパイレス価格指数の定義 / **Definition of Laspeyres Price Index**

### ■ 数式 / Formula

$$
L_t = \frac{\sum_{i=1}^n p_{it} \cdot q_{i0}}{\sum_{i=1}^n p_{i0} \cdot q_{i0}} \times 100
$$

* $p_{it}$：年$t$の財 $i$ の価格 / Price of good $i$ in year $t$
* $p_{i0}$：基準年の財 $i$ の価格 / Price of good $i$ in base year
* $q_{i0}$：基準年の財 $i$ の数量 / Quantity of good $i$ in base year

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### ■ 意味 / Interpretation

* **ラスパイレス価格指数**は、\*\*基準年と同じ数量（購入量）\*\*を比較年にも購入したと仮定したとき、どれだけ支出額が変化したかを示す指標です。
* The **Laspeyres Price Index** measures the **cost change of purchasing the same basket of goods** as in the base year, but at the prices of the current year.

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## 🧮 加重平均の形での表現 / **Weighted Average Form**

$$
L_t = \sum_{i=1}^n \left( \frac{p_{i0} \cdot q_{i0}}{\sum_{j=1}^n p_{j0} \cdot q_{j0}} \cdot \frac{p_{it}}{p_{i0}} \right) \times 100
$$

* それぞれの財の**基準年の支出割合**を重みとし、\*\*価格の変化率（比較年価格 ÷ 基準年価格）\*\*をかけている
* Each item’s **expenditure share in the base year** is used as a weight, and multiplied by its **price ratio (current / base year)**

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## 📊 ダミーデータを用いた例 / **Example Using Dummy Data**

### ● 条件 / Data:

* 基準年：2015年（Base Year: 2015）
* 比較年：2016年（Comparison Year: 2016）
* 財A: $p_{A,2015} = 340.73$, $p_{A,2016} = 340.03$, $q_{A,2015} = 6200$
* 財B: $p_{B,2015} = 149.57$, $p_{B,2016} = 144.3$, $q_{B,2015} = 19865$

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### ● 式 / Calculation:

$$
L_{2016} = \frac{340.03 \times 6200 + 144.3 \times 19865}{340.73 \times 6200 + 149.57 \times 19865} \times 100
$$

---

### ● 結果の意味 / Interpretation of Result:

* 分子：2016年の価格で2015年と**同じ数量**を購入した場合の**総支出額**
  → Total expenditure **in 2016 prices** using **2015 quantities**

* 分母：2015年の価格での**総支出額**
  → Total expenditure **in 2015 prices** using **2015 quantities**

* この比率 ×100 が**ラスパイレス物価指数**であり、100を基準に**物価が上がったか下がったか**を示します。
  → This ratio ×100 gives the **Laspeyres Price Index**, indicating whether **prices increased or decreased** relative to the base year.

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## ✅ まとめ / Summary Table

| 用語 / Term                  | 日本語説明 / Japanese   | 英語説明 / English                               |
| -------------------------- | ------------------ | -------------------------------------------- |
| ラスパイレス指数 / Laspeyres Index | 基準年の数量で支出を計算する物価指数 | A price index using **base year quantities** |
| 分子 / Numerator             | 比較年価格 × 基準年数量の合計   | Sum of (current year price × base year qty)  |
| 分母 / Denominator           | 基準年価格 × 基準年数量の合計   | Sum of (base year price × base year qty)     |
| 意味 / Meaning               | 物価がどれだけ上がったか（基準年比） | Indicates how much prices have changed       |

---

## 🌐 抽出法に関する基本用語 / **Sampling Methods – Key Terms**

| 用語（日本語）  | 用語（英語）                 | 定義・説明（日本語）                              | Definition (English)                                               |
| -------- | ---------------------- | --------------------------------------- | ------------------------------------------------------------------ |
| 母集団      | Population             | 調査対象となる全体（例：全国の世帯）                      | The entire group being studied (e.g., all households in a country) |
| 標本       | Sample                 | 調査のために選ばれた一部の要素                         | A subset of the population selected for the study                  |
| 単純無作為抽出法 | Simple random sampling | 母集団から無作為に標本を抽出する方法                      | Each unit in the population has an equal chance of being selected  |
| クラスター抽出法 | Cluster sampling       | 母集団を集団に分けてから、いくつかのクラスターを無作為に選び、その中全てを調査 | Randomly select groups (clusters) and survey all units within them |
| 多段抽出法    | Multistage sampling    | 複数段階にわけて標本を抽出する方法                       | Sampling is done in two or more stages (e.g., region → household)  |
| 層化抽出法    | Stratified sampling    | 母集団を層（カテゴリ）に分け、それぞれから標本を抽出する方法          | Divide the population into strata, then sample from each stratum   |
| 系統抽出法    | Systematic sampling    | 母集団に順番をつけ、等間隔で抽出する方法                    | Select every k-th unit after a random starting point               |

---

## 🧪 実験 vs 観察研究の用語 / **Experimental vs Observational Studies**

| 用語（日本語） | 用語（英語）                   | 定義・説明（日本語）               | Definition (English)                                           |
| ------- | ------------------------ | ------------------------ | -------------------------------------------------------------- |
| 実験研究    | Experimental study       | 研究者が処置（介入）を無作為に割り当てる研究方法 | The researcher randomly assigns treatments or interventions    |
| 観察研究    | Observational study      | 介入なしで、自然な選択や行動を観察する研究    | Observing subjects without manipulating variables              |
| 無作為割付   | Random assignment        | 研究対象をランダムにグループ分けする手法     | Assigning subjects randomly to treatment/control groups        |
| 処置（介入）  | Treatment (intervention) | 被験者に与える影響のある要因（薬、行動など）   | An action or item administered to subjects to study its effect |

---



## 🔍 問題設定 / Problem Setup (Pokémon Ver.)

**日本語：**
あるポケモンセンターAとBが、モンスターボールを生産しています。

* センターAで作られる割合：60% → $P(A) = 0.6$
* センターBで作られる割合：40% → $P(B) = 0.4$
* センターAで不良ボールが出る確率：1% → $P(\text{Bad}|A) = 0.01$
* センターBで不良ボールが出る確率：0.5% → $P(\text{Bad}|B) = 0.005$

販売後に不良ボールが見つかりました。それが「センターA」産である**確率 $P(A|\text{Bad})$ を求めよ。**

---

**English：**
Two Pokémon Centers, A and B, manufacture Poké Balls.

* 60% of all Poké Balls are made at Center A: $P(A) = 0.6$
* 40% are made at Center B: $P(B) = 0.4$
* The probability a ball from A is defective: $P(\text{Bad}|A) = 0.01$
* The probability a ball from B is defective: $P(\text{Bad}|B) = 0.005$

A defective Poké Ball was found. What is the probability that it was made at Center A?
That is: Find $P(A|\text{Bad})$.

---

## 📘 ベイズの定理 / Bayes' Theorem

$$
P(A|\text{Bad}) = \frac{P(\text{Bad}|A) \cdot P(A)}{P(\text{Bad})}
$$

**分母：全体で不良品となる確率 $P(\text{Bad})$ を求める**
Calculate the total probability of getting a defective ball:

$$
P(\text{Bad}) = P(\text{Bad}|A) \cdot P(A) + P(\text{Bad}|B) \cdot P(B)
= 0.01 \cdot 0.6 + 0.005 \cdot 0.4 = 0.006 + 0.002 = 0.008
$$

---

## 🧮 代入して計算 / Plug in and Calculate

$$
P(A|\text{Bad}) = \frac{0.01 \cdot 0.6}{0.008} = \frac{0.006}{0.008} = 0.75
$$

---

## ✅ 結論 / Final Answer

**日本語：**
見つかった不良品がポケモンセンターAで生産された確率は **0.75（=75%）** です。

**English：**
The probability that the defective Poké Ball was made at Pokémon Center A is **0.75 (or 75%)**.

---

## 🧠 ポイントまとめ / Summary Points

| 用語 / Term               | 日本語の意味 / Japanese Meaning | 英語定義 / English Definition                          |                                               |
| ----------------------- | ------------------------- | -------------------------------------------------- | --------------------------------------------- |
| $P(A)$                  | Aで作られる確率                  | Probability that the ball is made at Center A      |                                               |
| ( P(\text{Bad}          | A) )                      | Aで作られたボールが不良品になる確率                                 | Probability that a ball from A is defective   |
| ( P(A                   | \text{Bad}) )             | 不良品であるとき、それがAで作られた確率                               | Probability that a defective ball came from A |
| ベイズの定理 / Bayes' Theorem | 事後確率を求める公式                | A formula to update probability given new evidence |                                               |

---





## 📌 1. 確率密度関数の定義 / Definition of a Probability Density Function

### ✅ 条件 / Conditions:

* **非負性（Non-negativity）**:
  $f(x) \geq 0$ for all $x \in \mathbb{R}$
* **全確率が1になること（Normalization）**:

  $$
  \int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,dx = 1
  $$

---

## 🧮 2. 定数 $c$ の決定 / Determining Constant $c$

### 関数の定義 / Function:

$$
f(x) = c \cdot x(2 - x),\quad \text{defined on } x \in [0, 2]
$$

### 条件：

$$
\int_0^2 c \cdot x(2 - x)\,dx = 1
$$

### 計算 / Calculation:

$$
\int_0^2 x(2 - x)\,dx = \int_0^2 (2x - x^2)\,dx = [x^2 - \frac{1}{3}x^3]_0^2 = 4 - \frac{8}{3} = \frac{4}{3}
$$

$$
c \cdot \frac{4}{3} = 1 \Rightarrow c = \frac{3}{4}
$$

---

## 📊 3. 期待値 $E(X)$ / Expectation

$$
E(X) = \int_0^2 x \cdot f(x)\,dx = \int_0^2 x \cdot \frac{3}{4}x(2 - x)\,dx = \frac{3}{4} \int_0^2 x^2(2 - x)\,dx
$$

$$
= \frac{3}{4} \int_0^2 (2x^2 - x^3)\,dx = \frac{3}{4} \left[ \frac{2}{3}x^3 - \frac{1}{4}x^4 \right]_0^2
= \frac{3}{4} \left[ \frac{16}{3} - \frac{16}{4} \right] = \frac{3}{4} \cdot \left( \frac{16 - 12}{3} \right) = \frac{3}{4} \cdot \frac{4}{3} = 1
$$

✅ よって、**$E(X) = 1$**

---

## 📈 4. 分散 $V(X)$ / Variance

$$
E(X^2) = \int_0^2 x^2 \cdot f(x)\,dx = \int_0^2 x^2 \cdot \frac{3}{4}x(2 - x)\,dx = \frac{3}{4} \int_0^2 x^3(2 - x)\,dx
$$

$$
= \frac{3}{4} \int_0^2 (2x^3 - x^4)\,dx = \frac{3}{4} \left[ \frac{2}{4}x^4 - \frac{1}{5}x^5 \right]_0^2
= \frac{3}{4} \left( 8 - \frac{32}{5} \right) = \frac{3}{4} \cdot \frac{40 - 32}{5} = \frac{3}{4} \cdot \frac{8}{5} = \frac{6}{5}
$$

$$
V(X) = E(X^2) - (E(X))^2 = \frac{6}{5} - 1^2 = \frac{1}{5}
$$

✅ よって、**分散 $V(X) = \frac{1}{5}$**

---

## 🧾 結論 / Final Results Summary

| 指標 / Statistic | 式 / Formula         | 値 / Value     |
| -------------- | ------------------- | ------------- |
| 定数 $c$         | $\frac{3}{4}$       | 0.75          |
| 期待値 $E(X)$     | $\int x f(x)\,dx$   | 1             |
| 二乗平均 $E(X^2)$  | $\int x^2 f(x)\,dx$ | $\frac{6}{5}$ |
| 分散 $V(X)$      | $E(X^2) - (E(X))^2$ | $\frac{1}{5}$ |

---


以下に、日本語と英語の併記で、カイ二乗分布・t分布・F分布・ポアソン分布に関する問題を**用語・定義・背景と共に体系的に整理・解説**します。

---

## ✅ 1. 確率変数 $Z_1, Z_2, ..., Z_n$ が $N(0,1)$ に独立に従うとき

### 日本語：

標準正規分布に従う確率変数 $Z_i$ を自乗して足し合わせた

$$
W = Z_1^2 + Z_2^2 + \cdots + Z_n^2
$$

は **自由度 $n$** の **カイ二乗分布**（$\chi^2(n)$）に従う。

### English：

If $Z_1, Z_2, ..., Z_n \sim N(0,1)$ independently, then

$$
W = \sum_{i=1}^{n} Z_i^2 \sim \chi^2(n)
$$

---

## ✅ 2. t分布と自由度 / t-distribution and Degrees of Freedom

### 日本語：

標準正規分布 $Z \sim N(0,1)$ と独立なカイ二乗分布 $W \sim \chi^2(n)$ に対し、

$$
T = \frac{Z}{\sqrt{W / n}}
$$

は自由度 $n$ の **t分布**に従う。

### English：

If $Z \sim N(0,1)$ and $W \sim \chi^2(n)$, with $Z$ and $W$ independent, then

$$
T = \frac{Z}{\sqrt{W / n}} \sim t(n)
$$

---

## ✅ 3. F分布の定義 / Definition of F-distribution

### 日本語：

独立な2つのカイ二乗分布 $W_1 \sim \chi^2(m_1)$, $W_2 \sim \chi^2(m_2)$ に対し

$$
F = \frac{(W_1 / m_1)}{(W_2 / m_2)} \sim F(m_1, m_2)
$$

### English：

Let $W_1 \sim \chi^2(m_1)$, $W_2 \sim \chi^2(m_2)$ be independent. Then

$$
F = \frac{W_1/m_1}{W_2/m_2} \sim F(m_1, m_2)
$$

---

## ✅ 4. 正規分布を用いた計算問題 / Normal Distribution Questions

**仮定：**
点数 $X \sim N(50, 10^2)$

### (1) $P(X \geq 60)$

$$
Z = \frac{60 - 50}{10} = 1 \Rightarrow P(X \geq 60) = P(Z \geq 1) = 1 - 0.8413 = 0.1587
$$

---

### (2) 5人中1人だけ60点以上

→ 二項分布 $B(n=5, p=0.1587)$ の確率

$$
P(\text{just one}) = \binom{5}{1} \cdot (0.1587)^1 \cdot (0.8413)^4 \approx 5 \cdot 0.1587 \cdot 0.5 \approx 0.397
$$

---

### (3) 標本平均 $\bar{X} \geq 52$

$$
\bar{X} \sim N(50, (10^2)/5 = 20) \Rightarrow Z = \frac{52 - 50}{\sqrt{20}} \approx \frac{2}{4.47} \approx 0.45
\Rightarrow P(Z \geq 0.45) \approx 0.326
$$

---

## ✅ 5. ポアソン分布の例題 / Poisson Example (交通事故)

* 年間件数：518件
* 1日あたり平均：$\lambda = 518 / 365 \approx 1.418$

### \[1] 分散の推定値 / Variance estimate:

$$
\text{For Poisson: } E(X) = \text{Var}(X) = \hat{\lambda} = 1.418
$$

---

### \[2] 事故0件の確率

$$
P(X=0) = \frac{\lambda^0 e^{-\lambda}}{0!} = e^{-1.418} \approx 0.242
$$

---

## 📘 用語対訳まとめ / Key Statistical Terms

| 日本語 / Japanese | 英語 / English                 |
| -------------- | ---------------------------- |
| 標準正規分布         | Standard Normal Distribution |
| カイ二乗分布         | Chi-square Distribution      |
| t分布            | Student's t-distribution     |
| F分布            | F-distribution               |
| ポアソン分布         | Poisson Distribution         |
| 自由度            | Degrees of Freedom           |
| 確率密度関数         | Probability Density Function |
| 期待値・分散         | Expectation / Variance       |
| 標本平均           | Sample Mean                  |

---



## ✅ (1) F統計量と自由度 / F-statistic and Degrees of Freedom

**日本語：**
F統計量の出力において自由度 (1, 199) の意味は以下の通り。

* **1（分子の自由度）**：説明変数の数（log(販売価格)）
* **199（分母の自由度）**：標本数 $n = 201$ から、回帰係数の数（2つ：切片と傾き）を引いた値。

**English：**
In the F-statistic output, degrees of freedom (1, 199) indicate:

* **1 (numerator)**: Number of explanatory variables (log(price))
* **199 (denominator)**: $n = 201$ samples − 2 parameters (intercept and slope)

---

## ✅ (2) t検定の統計量 / t-statistic for hypothesis testing

**前提 / Setup:**

* 推定された係数：$\hat{\beta} = -4.89615$
* 標準誤差：$SE(\hat{\beta}) = 0.28922$
* 帰無仮説：$\beta_0 = -1$

**t統計量：**

$$
t = \frac{\hat{\beta} - \beta_0}{SE(\hat{\beta})} = \frac{-4.89615 + 1}{0.28922} = \frac{-3.89615}{0.28922} \approx -13.47
$$

**Interpretation（英語）:**
This large negative t-value suggests a significant difference from the hypothesized value.

**日本語：**
このt値は非常に大きく（絶対値で）、帰無仮説は強く棄却される。

---

## ✅ (3) 回帰式と傾きの解釈 / Regression Formula and Interpretation

**回帰式 / Regression Equation：**

$$
\log(\text{Sales}) = 7.92546 - 4.89615 \cdot \log(\text{Price})
$$

**日本語での意味：**

* 販売価格が10倍になると、販売数量は $10^{-4.89615} $ 倍に減少。
* log(price)が1増えると、log(sales)は約4.9減る → 売上が約 $e^{-4.9} $ 倍になる。

**English Interpretation:**

* A 1-unit increase in log(price) decreases log(sales) by approximately 4.9.
* That implies sales drop by about $e^{-4.9} \approx 0.0074$, or 0.74%.

---

## ✅ (4) 母比率の信頼区間 / Confidence Interval for Population Proportion

**設定 / Setup:**

* 標本比率：$\hat{p} = 0.483$
* 標本サイズ：$n = 1897$
* 信頼係数（1.96 はおおよそ95%信頼区間に対応）

**信頼区間：**

$$
CI = \hat{p} \pm z \cdot \sqrt{\frac{\hat{p}(1 - \hat{p})}{n}} \\
= 0.483 \pm 1.96 \cdot \sqrt{\frac{0.483 \cdot 0.517}{1897}} \approx [0.461, 0.505]
$$

**日本語：**
「非常に関心がある」と答えた割合の95%信頼区間は約$0.461, 0.505$である。

**English：**
The 95% confidence interval for the proportion is approximately $[0.461, 0.505]$.

---

## ✅ (5) 2つの母比率の差の検定 / Confidence Interval for Difference in Proportions

**前提 / Setup：**

* 調査1：$p_1 = 0.483, n_1 = 1897$
* 調査2：$p_2 = 0.416, n_2 = 1925$
* 信頼係数：1.96（95%）

**差の信頼区間：**

$$
CI = (p_1 - p_2) \pm 1.96 \cdot \sqrt{\frac{p_1(1 - p_1)}{n_1} + \frac{p_2(1 - p_2)}{n_2}} \\
= 0.067 \pm 1.96 \cdot \sqrt{\frac{0.483 \cdot 0.517}{1897} + \frac{0.416 \cdot 0.584}{1925}} \approx [0.036, 0.098]
$$

**Interpretation（日本語）：**
信頼区間が0を含まないため、「非常に関心がある」と答える割合に統計的に有意な差がある。

**Interpretation（英語）：**
Because the confidence interval does not include 0, the difference in proportions is statistically significant at the 5% level.


---

## 1. 仮説検定とP値 / Hypothesis Testing and P-value

### ✅ 用語定義 / Terminology

| 用語               | 日本語定義                   | 英語定義                                                                  |
| ---------------- | ----------------------- | --------------------------------------------------------------------- |
| **帰無仮説 H₀**      | 差がない・効果がないという仮説         | Null hypothesis: no effect/difference                                 |
| **対立仮説 H₁**      | 差がある・効果があるという仮説         | Alternative hypothesis: there is an effect                            |
| **P値 (P-value)** | H₀のもとで観測統計量以上の極端な値が出る確率 | Probability of observing a test statistic as extreme or more under H₀ |
| **有意水準 α**       | H₀を誤って棄却する確率の許容上限       | Significance level: threshold to reject H₀                            |
| **検出力 (Power)**  | H₁のもとで正しくH₀を棄却する確率      | Probability of correctly rejecting H₀ under H₁                        |

### ✅ 判断基準 / Decision Rule

* **P値 < α（例：0.05） → H₀を棄却する / Reject H₀**
* **P値 ≥ α → H₀を棄却しない / Fail to reject H₀**

---

## 2. 適合度検定 / Goodness-of-Fit Test

### ✅ 条件 / Setup

* 観測度数：各カテゴリーの実データ
* 期待度数：H₀に基づく理論的分布（例：多項分布）
* 自由度：カテゴリ数 − 1（ただし母数推定時は −1 をさらに引く）

### ✅ カイ二乗統計量 / Chi-square statistic

$$
\chi^2 = \sum_{i=1}^{k} \frac{(O_i - E_i)^2}{E_i}
$$

* $O_i$: 観測度数 / observed frequency
* $E_i$: 期待度数 / expected frequency

### ✅ 判断 / Decision

* **χ²が臨界値より大きい → H₀を棄却する**
* 臨界値はχ²分布の上側点（例：自由度2の5%点 ≈ 5.99）

---

## 3. 分散分析 (一元配置) / One-Way ANOVA

### ✅ 帰無仮説 / Null Hypothesis

* 全グループの母平均は等しい

  $H_0: \mu_1 = \mu_2 = \cdots = \mu_k$

### ✅ F統計量 / F-statistic

$$
F = \frac{\text{水準間平方和 (SSB) / 自由度 (k - 1)}}{\text{残差平方和 (SSE) / 自由度 (n - k)}}
$$

* 水準間平方和 = 群ごとの平均との差の2乗和
* 残差平方和 = 群内のばらつきの2乗和

### ✅ 判断 / Decision

* **F > 臨界値 → H₀を棄却する**
* 自由度(k−1, n−k)のF分布を使う（例：自由度(5, 77)）

---

## 4. 信頼区間と群間差検定 / Confidence Interval & Proportion Difference Test

### ✅ 母比率の信頼区間 / CI for Population Proportion

$$
\hat{p} \pm z_{\alpha/2} \cdot \sqrt{\frac{\hat{p}(1 - \hat{p})}{n}}
$$

### ✅ 2群の母比率差の信頼区間 / CI for Difference in Proportions

$$
(p_1 - p_2) \pm z_{\alpha/2} \cdot \sqrt{\frac{p_1(1-p_1)}{n_1} + \frac{p_2(1-p_2)}{n_2}}
$$

* **0を含まない → 群間で有意差あり**

---

## 5. F分布と近似法 / F-distribution and Approximation

* **F(k, ∞)分布 ≈ χ²(k)/k に近似可能**
* 自由度大きいとき、F分布の臨界値はχ²分布から算出可能

---

## 補足例：F統計量の近似計算

### ✅ 例：自由度 (5,77) の上側1%点

$$
\text{χ²}_{0.01}(5) ≈ 15.09 ⇒ F_{0.01}(5, ∞) ≈ \frac{15.09}{5} ≈ 3.02
$$

F値がこの値より大きければ帰無仮説を棄却できる。



## 📊 箱ひげ図の読解 / Reading Boxplots

### ✅ 五数要約 / Five-number summary

* 最小値 (minimum)
* 第1四分位数 Q1 (1st quartile)
* 中央値 Median (Q2)
* 第3四分位数 Q3 (3rd quartile)
* 最大値 (maximum)

### ✅ 判定の観点 / Interpretation Points

* **中央値の比較** → データの中心の違い
* **範囲（最大−最小）** → 散らばりの大きさ
* **四分位範囲（IQR）** → 箱の幅＝Q3−Q1
* **外れ値の有無** → 箱ひげから外れた点

### ✅ 英語説明 / English Summary

> A boxplot displays the five-number summary: minimum, Q1, median, Q3, and maximum. From the boxplot, we can compare distributions, detect skewness, and identify outliers.

---

## 📈 累積度数・中央値 / Cumulative Frequency and Median

### ✅ 中央値の位置判定 / Finding the Median Class

* **累積度数 (Cumulative frequency)** を利用して、全体の**半数**を超える最初の階級が中央値階級

> The median class is the interval where the cumulative frequency first exceeds half the total frequency.

---

## 📉 相対度数とヒストグラムの判別 / Relative Frequency and Histogram

* **階級幅一定なら度数比較で良い**
* グラフの形・棒の高さ・最大値から**系列を識別**

> Histograms can be used to identify datasets by comparing heights of bars and their distribution patterns.

---

## ⏳ 時系列と自己相関 / Time Series and Autocorrelation

### ✅ 用語と定義 / Terminology

| 用語                   | 説明（日本語）   | 説明（英語）                                              |
| -------------------- | --------- | --------------------------------------------------- |
| ラグ (Lag)             | 時系列の遅れ単位  | Time delay between observations                     |
| 自己相関係数 (ACF)         | 同一系列内での相関 | Correlation of a time series with its lagged values |
| コレログラム (Correlogram) | 自己相関のグラフ  | Plot of ACF against lags                            |
| トレンド成分               | 長期的傾向     | Long-term trend component                           |
| 季節変動 (Seasonality)   | 周期的な変動    | Regular periodic fluctuations                       |

### ✅ 観察ポイント / What to look for

* 自己相関が**徐々に減衰** → トレンドあり
* **交互に正負に振れる** → サイクルあり（周期性）

---

## 📐 相関と回帰の基本 / Correlation and Regression

### ✅ 相関係数 (r)

* 値域：−1 ～ +1
* **r ≈ −1** → 負の強い相関（ほぼ直線的）
* **r ≈ 0** → 相関なし
* **r ≈ +1** → 正の強い相関

> Correlation measures the strength and direction of a linear relationship between two variables.

### ✅ 回帰直線の特徴 / Properties of Regression Line

* 回帰直線は**重心（平均x, 平均y）を必ず通る**
* 残差（観測値 − 予測値）の和は常に**0**

---

## 🧠 まとめ / Summary Table

| 項目    | 日本語解説             | English Description                        |
| ----- | ----------------- | ------------------------------------------ |
| 箱ひげ図  | 中央値・分布の広がりが可視化できる | Visualizes median and spread               |
| 累積度数  | 階級の累積で中央値階級を特定    | Used to find the median class              |
| 相対度数  | 各階級の割合で特徴づける      | Shows proportion in each class             |
| 時系列   | トレンドや季節変動を持つデータ   | Data with trend and seasonality            |
| 相関・回帰 | 数値間の直線関係性を測定・予測   | Measures and predicts linear relationships |

---





# ✅ 回帰分析とt検定に関する用語・数式まとめ（日本語・英語）

## 1. 単回帰モデル / Simple Linear Regression Model

### 数式 / Formula:

$$
Y = \beta_0 + \beta_1 X + \varepsilon
$$

* $Y$: 目的変数（従属変数） / Dependent variable
* $X$: 説明変数（独立変数） / Independent variable
* $\beta_0$: 切片（intercept）
* $\beta_1$: 傾き（slope / regression coefficient）
* $\varepsilon$: 誤差項 / Error term

---

## 2. 最小二乗法（OLS）による推定 / Ordinary Least Squares Estimation

### 推定式 / Estimators:

$$
\hat{\beta}_1 = \frac{\sum (X_i - \bar{X})(Y_i - \bar{Y})}{\sum (X_i - \bar{X})^2}
\quad , \quad
\hat{\beta}_0 = \bar{Y} - \hat{\beta}_1 \bar{X}
$$

* $\hat{\beta}_1$: 傾きの推定値 / Estimated slope
* $\hat{\beta}_0$: 切片の推定値 / Estimated intercept

---

## 3. 残差と残差平方和 / Residuals and RSS

### 数式 / Formula:

$$
e_i = Y_i - \hat{Y}_i = Y_i - (\hat{\beta}_0 + \hat{\beta}_1 X_i)
\quad , \quad
\text{RSS} = \sum e_i^2
$$

* $e_i$: 各データ点の残差 / Residual
* RSS (Residual Sum of Squares): 残差平方和

---

## 4. 分散の推定と標準誤差 / Variance and Standard Error

### 分散の推定 / Variance of Residuals:

$$
\hat{\sigma}^2 = \frac{\text{RSS}}{n - 2}
$$

* $n - 2$: 自由度 / Degrees of freedom (n observations, 2 parameters)

### 標準誤差（傾きの） / Standard Error of $\hat{\beta}_1$:

$$
SE(\hat{\beta}_1) = \sqrt{\frac{\hat{\sigma}^2}{\sum (X_i - \bar{X})^2}}
$$

---

## 5. t検定統計量 / t-statistic for Hypothesis Testing

### 帰無仮説 / Null Hypothesis:

$$
H_0: \beta_1 = \beta_{1,0}
\quad , \quad
H_1: \beta_1 \neq \beta_{1,0}
$$

### 検定統計量 / t-statistic:

$$
t = \frac{\hat{\beta}_1 - \beta_{1,0}}{SE(\hat{\beta}_1)}
\quad \text{（自由度 df = n - 2）}
$$

* このt値はt分布に従う / This t-value follows a t-distribution under $H_0$

---

## 6. 決定係数 $R^2$ / Coefficient of Determination

$$
R^2 = 1 - \frac{\text{RSS}}{\text{TSS}} = \frac{\text{ESS}}{\text{TSS}}
$$

* TSS (Total Sum of Squares): $\sum (Y_i - \bar{Y})^2$
* ESS (Explained Sum of Squares): $\sum (\hat{Y}_i - \bar{Y})^2$
* RSS: $\sum (Y_i - \hat{Y}_i)^2$

---

## 7. 回帰分析における仮定（Gauss-Markov条件） / Assumptions

| 日本語       | 英語                       |
| --------- | ------------------------ |
| 線形性       | Linearity                |
| 誤差の平均が0   | Zero-mean error          |
| 分散の一定性    | Homoscedasticity         |
| 誤差の独立性    | Independence             |
| 説明変数の非確率性 | Fixed X (non-stochastic) |

---

## 8. 英和用語一覧（索引）

| 日本語   | 英語                                   |
| ----- | ------------------------------------ |
| 回帰係数  | Regression coefficient               |
| 残差平方和 | Residual sum of squares (RSS)        |
| 総平方和  | Total sum of squares (TSS)           |
| 説明変数  | Independent variable                 |
| 従属変数  | Dependent variable                   |
| 標準誤差  | Standard error                       |
| 自由度   | Degrees of freedom                   |
| 決定係数  | Coefficient of determination ($R^2$) |
| t検定   | t-test                               |
| 帰無仮説  | Null hypothesis                      |
| 対立仮説  | Alternative hypothesis               |

---





## 1. コインの重さ推定と分散計算 / Estimation and Variance of Coin Weights

### 状況:

* コインAとBの重さを $X = a + b + \varepsilon_1$, $Y = a - b + \varepsilon_2$ と2回の測定で取得
* 誤差 $\varepsilon_1, \varepsilon_2 \sim N(0, \sigma^2)$, 相互に独立

### 推定式 / Estimators:

$$
\hat{a} = \frac{X + Y}{2} = a + \frac{\varepsilon_1 + \varepsilon_2}{2}
\quad , \quad
\hat{b} = \frac{X - Y}{2} = b + \frac{\varepsilon_1 - \varepsilon_2}{2}
$$

### 分散の導出 / Variance:

$$
\text{Var}(\hat{a}) = \text{Var}\left(\frac{\varepsilon_1 + \varepsilon_2}{2}\right)
= \frac{1}{4}(\sigma^2 + \sigma^2) = \frac{\sigma^2}{2}
$$

$$
\text{Var}(\hat{b}) = \text{Var}\left(\frac{\varepsilon_1 - \varepsilon_2}{2}\right)
= \frac{1}{4}(\sigma^2 + \sigma^2) = \frac{\sigma^2}{2}
$$

* よって、**2回測定で2つの変数の推定が可能で、それぞれの推定量の分散は $\sigma^2/2$**
* 通常の一回ずつの測定では分散は $\sigma^2$ → 精度が向上

---



## 2. 条件付き確率（ベイズの定理）

### 問題概要：

* 漁港Xの仕入確率：0.4
* 漁港Xで規格外となる確率：0.1
* 規格外全体の確率を求め、そのうちXである確率を計算

#### ベイズの定理 / Bayes' Theorem:

$$
P(X|D) = \frac{P(D|X) \cdot P(X)}{P(D)}
$$

#### 全体の規格外確率 / Marginal Probability:

$$
P(D) = 0.4 \times 0.1 + 0.3 \times 0.05 + 0.3 \times 0.02 = 0.061
$$

#### 条件付き確率（X産である確率）:

$$
P(X|D) = \frac{0.4 \times 0.1}{0.061} \approx 0.66
$$

---

## 3. 勝敗の確率（二項分布・試合終了確率）

### 問題概要：

名人Aが勝つ確率 $p = 0.7$、挑戦者Bが勝つ確率 $q = 0.3$

#### 第5局で終了し、Aが勝利 / Finish at game 5 with A's win:

$$
\binom{4}{3} \cdot (0.7)^3 \cdot (0.3)^1 \cdot 0.7 = 4 \cdot 0.343 \cdot 0.3 \cdot 0.7 \approx 0.28812
$$

#### 第7局で終了（3勝3敗で第7局）:

$$
\binom{6}{3} \cdot (0.7)^3 \cdot (0.3)^3 = 20 \cdot 0.343 \cdot 0.027 \approx 0.18522
$$

---

## まとめ / Summary

| 項目       | 数式                          | 解釈               |          |
| -------- | --------------------------- | ---------------- | -------- |
| Bの重さの推定量 | $\hat{b} = \frac{X - Y}{2}$ | 2回の計測で推定可能       |          |
| 分散       | $\frac{\sigma^2}{2}$        | 個別測定よりも精度が良い     |          |
| 規格外全体    | $P(D) = 0.061$              | 全体の規格外発生率        |          |
| 条件付き確率   | (P(X                        | D) \approx 0.66) | ベイズの定理適用 |
| 試合5局終了   | 約0.28812                    | 3勝＋最後勝利の確率       |          |
| 試合7局終了   | 約0.18522                    | 3勝3敗から決着の確率      |          |




# t検定・相関係数・二変量正規分布・カイ二乗分布：数式と解説（日本語・英語）

---

## 1. **t検定に使う基本式 / Basic formula for t-test**

### (1) 単回帰分析での係数検定 / t-test for regression coefficient

$$
t = \frac{\hat{\beta} - \beta_0}{\text{SE}(\hat{\beta})}
$$

* $\hat{\beta}$：推定された回帰係数 / Estimated regression coefficient
* $\beta_0$：帰無仮説の下の係数値 / Hypothesized coefficient under $H_0$
* $\text{SE}(\hat{\beta})$：標準誤差 / Standard error
* $t$ は自由度 $n - k$ の t分布に従う / $t$ follows a t-distribution with $n - k$ degrees of freedom

---

## 2. **相関係数の導出と分散・共分散の式 / Covariance and Correlation**

### (2) 独立な確率変数 X, Y から導く和と差の分散 / Variance of sum and difference

* $U = X + Y$, $V = X - Y$ のとき：

$$
\begin{aligned}
\operatorname{Var}(U) &= \operatorname{Var}(X) + \operatorname{Var}(Y) = \sigma_1^2 + \sigma_2^2 \\
\operatorname{Var}(V) &= \operatorname{Var}(X) + \operatorname{Var}(Y) = \sigma_1^2 + \sigma_2^2 \\
\operatorname{Cov}(U, V) &= \operatorname{Cov}(X + Y, X - Y) = \sigma_1^2 - \sigma_2^2
\end{aligned}
$$

### (3) 相関係数の式 / Correlation coefficient

$$
\rho_{UV} = \frac{\operatorname{Cov}(U, V)}{\sqrt{\operatorname{Var}(U)\operatorname{Var}(V)}} = \frac{\sigma_1^2 - \sigma_2^2}{\sigma_1^2 + \sigma_2^2}
$$

* 相関係数が0となる条件：$\sigma_1^2 = \sigma_2^2$
* このとき、UとVは独立

---

## 3. **二変量正規分布 / Bivariate Normal Distribution**

* 確率変数 $X \sim N(0, \sigma_1^2)$, $Y \sim N(0, \sigma_2^2)$, 独立と仮定
* 線形変換 $U = X + Y$, $V = X - Y$ により、$U$ と $V$ も正規分布に従う
* 相関係数 $\rho_{UV} = 0$ のとき、$U$ と $V$ は独立になる

---

## 4. **カイ二乗分布と検定 / Chi-square distribution**

### (4) 基本式 / Basic

* 自由度 $k$ のカイ二乗分布：$W \sim \chi^2_k$
* 標準正規変数 $Z \sim N(0, 1)$ に対し、$Z^2 \sim \chi^2_1$

### (5) 上側5%点 / Upper 5% critical point

* $P(\chi^2_k \geq c) = 0.05$
* 例えば：自由度1の場合 $c = 3.84$

---

## 5. **χ²分布の閾値から必要な自由度を導出 / Critical value and degrees of freedom**

* 不等式 $2n > \chi^2_{0.05}(n)$ を満たす最小の $n$ を探す
* 表から逆算して判定する（例：$n = 8$ のとき $\chi^2_{0.05}(8) = 15.51$）

---

## まとめ / Summary

| 用語 / Term | 数式 / Formula                                                     | 説明 / Description |
| --------- | ---------------------------------------------------------------- | ---------------- |
| t検定統計量    | $t = \frac{\hat{\beta} - \beta_0}{\text{SE}(\hat{\beta})}$       | 回帰係数の検定に使う       |
| 分散（和）     | $\operatorname{Var}(X+Y) = \sigma_1^2 + \sigma_2^2$              | 独立なら加法性が成り立つ     |
| 共分散       | $\operatorname{Cov}(X+Y, X-Y) = \sigma_1^2 - \sigma_2^2$         | 和と差の共分散          |
| 相関係数      | $\rho = \frac{\sigma_1^2 - \sigma_2^2}{\sigma_1^2 + \sigma_2^2}$ | 分散が等しければ0        |
| カイ二乗検定点   | $P(W \geq c) = \alpha$                                           | 片側検定の閾値として使用     |

---






## 1. **カイ二乗（χ²）検定の上側5%点と自由度の関係 / Chi-square critical values and degrees of freedom**

### カイ二乗分布の上側5%点（有意水準5%） / Upper 5% critical value of χ²-distribution

| 自由度 df | 上側5%点 χ²(0.05, df) |
| ------ | ------------------ |
| 1      | 3.84               |
| 2      | 5.99               |
| 3      | 7.81               |
| 4      | 9.49               |
| 5      | 11.07              |
| 6      | 12.59              |
| 7      | 14.07              |
| 8      | 15.51              |
| 9      | 16.92              |

### 式の例：

2n > χ²(0.05, n) を満たす最小のnを探すとき
例）2n > 15.51 → n > 7.75 → **n = 8** が最小

---

## 2. **相対誤差による標本サイズの推定 / Sample size estimation using relative error**

### 基本式（正規近似）/ Basic Formula (Normal Approximation):

$$
P\left( \left| \frac{\overline{X} - \mu}{SE} \right| \leq z \right) = 1 - \alpha
$$

ここで：

* $\overline{X}$：標本平均 / Sample mean
* $\mu$：母平均 / Population mean
* $SE = \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$：標準誤差 / Standard Error
* $z$：信頼係数 / z-value from standard normal distribution

### 相対誤差 $r = 0.05$, 変動係数 $CV = \frac{\sigma}{\mu} = 0.4$, 信頼係数 $z = 2$（95%近似）

$$
\frac{r}{CV} \cdot \sqrt{n} = z
\Rightarrow \sqrt{n} = \frac{z \cdot CV}{r}
\Rightarrow n = \left( \frac{2 \cdot 0.4}{0.05} \right)^2 = 256
$$

**よって、最小の整数として必要な標本サイズは**
→ **n = 260**

---

## 3. **有限母集団補正を含めた標本サイズの推定 / Finite population correction (FPC)**

$$
SE = \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \cdot \sqrt{\frac{N - n}{N - 1}}
$$

このときの必要標本サイズ $n$ は、以下の式から数値解する：

$$
\frac{r}{CV} \cdot \sqrt{n} \cdot \sqrt{\frac{N - n}{N - 1}} = z
$$

### 例：母集団 $N = 5000$、上と同様の設定で数値的に解いて

→ 必要な標本サイズは **n ≈ 234〜244**

---

## 4. **信頼区間の幅と標本サイズの関係 / Confidence interval width and sample size**

標本数 $n$ が大きいほど：

* **信頼区間は狭くなる** / CI becomes narrower
* **標準誤差は小さくなる** / SE decreases

### 標本平均の信頼区間（90%） / 90% Confidence Interval:

$$
\overline{X} \pm z_{0.95} \cdot \frac{s}{\sqrt{n}}, \quad z_{0.95} = 1.645
$$

---

## 5. **分散分析 (ANOVA) の自由度と分散比 F / Degrees of freedom and F-statistic**

* **群間自由度**：水準数 − 1（例：4群 → df = 3）
* **群内自由度**：全体のサンプル数 − 群数（例：n=20, 群数=4 → df = 16）

### 平均平方 / Mean Square:

$$
\text{MS}_{\text{between}} = \frac{\text{SS}_{\text{between}}}{df_{\text{between}}}, \quad \text{MS}_{\text{within}} = \frac{\text{SS}_{\text{within}}}{df_{\text{within}}}
$$

### F値 / F-value:

$$
F = \frac{\text{MS}_{\text{between}}}{\text{MS}_{\text{within}}}
$$

→ このFが自由度(df1, df2)のF分布に従う。
→ p値と比較し、有意か判断

---

## まとめ / Summary Table

| 項目        | 数式・内容                                                           | 英語訳                             |
| --------- | --------------------------------------------------------------- | ------------------------------- |
| 相対誤差と標本数  | $n = \left( \frac{z \cdot CV}{r} \right)^2$                     | Sample size from relative error |
| 有限母集団補正   | $SE = \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \cdot \sqrt{\frac{N - n}{N - 1}}$ | Finite Population Correction    |
| 信頼区間      | $\overline{X} \pm z \cdot \frac{s}{\sqrt{n}}$                   | Confidence Interval             |
| カイ二乗上側5%点 | 自由度ごとに表を参照                                                      | Upper 5% critical value of χ²   |
| 分散分析のF統計量 | $F = \frac{MS_{between}}{MS_{within}}$                          | F-statistic in ANOVA            |





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# t検定と回帰分析の数式・用語集（t-tests and Regression Analysis: Terms and Equations）

## 1. 基本用語 / Basic Terminology

* 母平均 (Population Mean): μ
* 標本平均 (Sample Mean): $\bar{x}$
* 母標準偏差 (Population Standard Deviation): σ
* 標本標準偏差 (Sample Standard Deviation): s
* 標準誤差 (Standard Error):

  $$
  SE = \frac{s}{\sqrt{n}}
  $$

## 2. t検定 / t-Test

### (a) 単一標本のt検定 / One-sample t-test

* 帰無仮説: $H_0: \mu = \mu_0$
* t統計量:

  $$
  t = \frac{\bar{x} - \mu_0}{s / \sqrt{n}}
  $$
* 自由度 (Degrees of Freedom): $df = n - 1$

### (b) 対応のあるt検定 / Paired t-test

* t統計量:

  $$
  t = \frac{\bar{d}}{s_d / \sqrt{n}}
  $$
* $\bar{d}$: 差の平均 / Mean of Differences
* $s_d$: 差の標準偏差 / Std. Dev. of Differences

### (c) 独立2標本のt検定 / Two-sample t-test (Equal Variance)

* 帰無仮説: $H_0: \mu_1 = \mu_2$
* プール分散:

  $$
  s_p^2 = \frac{(n_1 - 1)s_1^2 + (n_2 - 1)s_2^2}{n_1 + n_2 - 2}
  $$
* t統計量:

  $$
  t = \frac{\bar{x}_1 - \bar{x}_2}{\sqrt{s_p^2(\frac{1}{n_1} + \frac{1}{n_2})}}
  $$
* 自由度: $df = n_1 + n_2 - 2$

## 3. 回帰分析 / Linear Regression

### (a) 単回帰 / Simple Linear Regression

* 回帰式 (Regression Equation):

  $$
  y = \beta_0 + \beta_1 x + \varepsilon
  $$
* 推定式:

  $$
  \hat{y} = b_0 + b_1 x
  $$
* 回帰係数の推定値 (Estimated Coefficients):

  $$
  b_1 = \frac{\sum(x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})}{\sum(x_i - \bar{x})^2}
  $$

  $$
  b_0 = \bar{y} - b_1 \bar{x}
  $$

### (b) 決定係数 (R-squared)

* 説明変動 / 全変動:

  $$
  R^2 = \frac{SSR}{SST} = 1 - \frac{SSE}{SST}
  $$
* SST (Total Sum of Squares): $\sum(y_i - \bar{y})^2$
* SSR (Regression Sum of Squares): $\sum(\hat{y}_i - \bar{y})^2$
* SSE (Error Sum of Squares): $\sum(y_i - \hat{y}_i)^2$

### (c) 回帰係数のt検定

* 帰無仮説: $H_0: \beta_j = 0$
* t統計量:

  $$
  t = \frac{b_j}{SE(b_j)}
  $$
* 自由度: $df = n - k - 1$

### (d) F検定 (回帰全体の有意性)

* F統計量:

  $$
  F = \frac{SSR/k}{SSE/(n-k-1)}
  $$
* 自由度: $(k, n - k - 1)$

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## 2016


# 統計的記述と分析の基本例題（Statistical Descriptions and Analytical Examples）

## 1. ヒストグラムの読み取り（Reading Histograms）

* **日本語：** ヒストグラムは変数の分布を視覚的に捉えるためのグラフであり、単峰性かつ右に裾が長い（右に歪んでいる）場合、最頻値＜中央値＜平均の関係が成立する。
* **English:** A histogram helps visualize the distribution of data. When the distribution is unimodal and skewed to the right, the mode < median < mean typically holds.

## 2. 中央値と最頻値（Median and Mode）

* **日本語：** 中央値はデータを昇順に並べたときの中央の値であり、データ数が奇数のときは中央の1点、偶数のときは中央2点の平均となる。

* **English:** The median is the middle value in a sorted dataset. If the number of data points is odd, it’s the center value; if even, it’s the average of the two central values.

* **最頻値：** 最も出現頻度の高い値（モード）で、相対度数が最大の階級の代表値とする場合が多い。

* **Mode:** The most frequently occurring value, typically the representative value of the class with the highest relative frequency.

## 3. 累積相対度数（Cumulative Relative Frequency）

* **日本語：** 累積相対度数はある階級以下の相対度数の合計であり、中央値や四分位数を求めるのに使う。
* **English:** Cumulative relative frequency is the running total of relative frequencies, useful for determining medians and quartiles.

## 4. 四分位範囲と分布の形状（Quartile Range and Distribution Shape）

* **日本語：** 第1四分位数（Q1）は累積相対度数25%の位置、第3四分位数（Q3）は75%の位置。Q3 - Q1が四分位範囲（IQR）。

* **English:** The first quartile (Q1) is the data point at 25% cumulative frequency, and the third quartile (Q3) is at 75%. Their difference, Q3 - Q1, defines the interquartile range (IQR).

* **右に裾が長い分布：** モードが分布の左側に位置し、平均が大きい値に引っ張られている。

* **Right-skewed distribution:** The mode lies on the left, with the mean dragged rightward by larger values.

## 5. 散布図と相関係数（Scatter Plot and Correlation Coefficient）

* **日本語：** 散布図から明らかな直線的な上昇傾向が見られる場合、強い正の相関があると考えられる（例：r ≒ 0.87）。
* **English:** If a scatter plot shows a clear upward linear trend, there is strong positive correlation (e.g., r ≈ 0.87).


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# 統計検定2級 重要用語・問題例まとめ

**Key Concepts and Example Problems from the Grade 2 Statistical Examination**

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## 1. 散布図と相関係数

**Scatter Plot and Correlation Coefficient**

* **日本語：** 相関係数 $r$ は -1 ～ +1 の範囲をとり、+1 に近いほど強い正の相関、-1 に近いほど強い負の相関を意味する。

* **English:** The correlation coefficient $r$ ranges from -1 to +1. Values close to +1 indicate strong positive correlation; values close to -1 indicate strong negative correlation.

* **正答例：** 得点と勝点の相関係数 $r = 0.87$、失点と勝点 $r = -0.83$、得点と失点 $r = -0.55$

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## 2. 抽出法の種類と特徴

**Types of Sampling and Their Characteristics**

* **層別抽出（Stratified Sampling）：** 母集団を層に分けて各層から無作為に抽出し、精度を高める。
* **多段抽出（Multistage Sampling）：** 段階的に単位を抽出するが、層の数が増えるほど精度が落ちる傾向。
* **クラスター抽出（Cluster Sampling）：** 母集団を小集団に分け、いくつかのクラスターから全員を調査。

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## 3. 実験計画法（Design of Experiments）

**Design of Experiments: 3 Key Principles by Fisher**

* **振り返し（Replication）：** 同一処理を複数回行い、ばらつきを確認。
  *Replication ensures that variability can be estimated.*

* **無作為化（Randomization）：** 処理を無作為に割り当て、系統誤差を避ける。
  *Randomization transforms systematic errors into random errors.*

* **局所管理（Blocking）：** 実験条件を均一にするため、均質なブロックに分ける。
  *Blocking controls known sources of variation.*

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## 4. 確率の基本問題とベイズの定理

**Basic Probability and Bayes' Theorem**

* **血液型予測問題：**

  * $P(\text{予想正解}) = \sum P(\text{型}) \times P(\text{型を正しく予想})$
  * 例: $0.4 \times 0.4 + 0.3 \times 0.3 + 0.2 \times 0.2 + 0.1 \times 0.1 = 0.3$

* **Bayesの定理（Bayes’ Theorem）：**

  $$
  P(A|B) = \frac{P(B|A)P(A)}{P(B)}
  $$

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## 5. ポアソン分布と正規近似

**Poisson Distribution and Normal Approximation**

* **確率質量関数（PMF）：**

  $$
  P(X = x) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^x}{x!}
  $$

* **分散と期待値：**

  $$
  \mathbb{E}[X] = \lambda, \quad \text{Var}[X] = \lambda
  $$

* **連続補正を伴う正規近似：**

  $$
  P(X > 60) \approx P(Z > \frac{60.5 - \lambda}{\sqrt{\lambda}})
  $$

---

## 6. 標準化得点と共分散・相関係数

**Standard Scores, Covariance, and Correlation**

* **共分散（Covariance）：**

  $$
  \text{Cov}(X, Y) = \mathbb{E}[(X - \mu_X)(Y - \mu_Y)]
  $$

* **相関係数（Correlation Coefficient）：**

  $$
  \rho_{X,Y} = \frac{\text{Cov}(X,Y)}{\sigma_X \sigma_Y}
  $$

---

## 7. 分散分析の基礎（ANOVA）

**Basic of Analysis of Variance**

* **自由度（Degrees of Freedom）：**
  $df = n - p$（n = 標本数、p = 推定パラメータ数）

* **t値の計算：**

  $$
  t = \frac{\hat{\beta} - \beta_0}{SE(\hat{\beta})}
  $$

---



### ■ ポアソン分布と正規近似

**Poisson distribution and normal approximation**

Xをイベントの参加人数とすると、Xは平均50人のポアソン分布に従う。
Let X be the number of event participants. X follows a Poisson distribution with a mean of 50.

このとき、Xは平均50・分散50の正規分布で近似できる。
Then, X can be approximated by a normal distribution with mean 50 and variance 50.

記念品が60個では足りなくなる確率は、
The probability that 60 souvenirs are not enough is:

$$
P(X > 60) = P\left(Z > \frac{60 - 50}{\sqrt{50}}\right) = P(Z > 1.41) ≈ 0.0793
$$

連続補正を考慮すると、
With continuity correction:

$$
P(X > 60.5) = P\left(Z > \frac{60.5 - 50}{\sqrt{50}}\right) = P(Z > 1.48) ≈ 0.0694
$$

---

### ■ 正規分布による逆算と目標値

**Back-calculation using normal distribution**

Y \~ Poisson(20) のとき、Yを正規分布で近似：
When Y follows Poisson(20), approximate using normal distribution:

$$
P(Y + 30 > x) = 0.05 ⇒ P(Z > \frac{x - 50}{\sqrt{20}}) = 0.05
$$

標準正規分布表より：

$$
\frac{x - 50}{\sqrt{20}} = 1.645 ⇒ x = 57
$$

---

### ■ 中央値と分位数の解析

**Median and quartile calculation**

確率変数Xの確率密度関数f(x)が図示されており、
The PDF of variable X is graphically provided.

第1四分位数Q1を求める条件は：

$$
P(X < Q1) = 0.25
$$

この積分を評価し、得られる解が $t = -1 + \frac{\sqrt{2}}{2}$ の場合、これがQ1。

---

### ■ 不偏分散推定と平方完成

**Unbiased variance estimator and completing the square**

標本の平均からの偏差の二乗和の期待値：

$$
E\left[\sum_{i=1}^n (X_i - \mu)^2\right] - n E\left[\left(\overline{X} - \mu\right)^2\right] = (n - 1)\sigma^2
$$

ここから得られる不偏分散推定量：

$$
\hat{\sigma}^2 = \frac{1}{n - 1} \sum_{i=1}^n (X_i - \overline{X})^2
$$

また、

$$
E[\overline{X}^2] = \frac{1}{n} \sum E[X_i^2] - \frac{1}{n} E\left[\sum (X_i - \overline{X})^2\right]
$$

---

### ■ ベルヌーイ分布と二項分布の分散最大

**Bernoulli/Binomial distribution and maximum variance**

成功確率pのベルヌーイ分布の和は二項分布に従う。
Sum of Bernoulli trials with probability p → Binomial(n, p).

分散は：

$$
\text{Var} = np(1 - p)
$$

これを平方完成すると最大は：

$$
\frac{1}{4n}（p = 0.5 のとき最大）
$$

---

### ■ 比率の仮説検定

**Hypothesis testing for population proportion**

帰無仮説 $H_0: p = p_0$、対立仮説 $H_1: p \ne p_0$ の両側検定。
Two-sided test with null hypothesis $H_0: p = p_0$

標準正規分布を用いた棄却域：

$$
|Z| > 1.96（有意水準5%の場合）
$$

---





## ■ クロス集計表と期待度数

**Contingency Table and Expected Frequency**

観測度数（実際に得られたデータ）:
**Observed frequencies:**

| 区分     | 夏季 Summer | 冬季 Winter | 合計 Total |
| ------ | --------- | --------- | -------- |
| 区分 A   | 42        | 30        | 72       |
| 区分 B   | 25        | 96        | 121      |
| 区分 C   | 23        | 17        | 40       |
| 区分 D   | 1         | 192       | 193      |
| 区分 E   | 19        | 96        | 115      |
| **合計** | **110**   | **431**   | **541**  |

※行・列の合計は仮定です。原文に明確な対応がなかったため例示しました。正確な集計表に基づいて調整可能です。

### 期待度数の計算（行・列の和から）

**Expected Frequency Calculation (under null hypothesis):**

帰無仮説：夏季と冬季で分布は同じ（度数構成比が同等）。
**Null hypothesis**: The distributions in summer and winter are equal.

期待度数（Expected frequency）:

$$
E_{ij} = \frac{\text{Row total}_i \times \text{Column total}_j}{\text{Grand total}}
$$

または、夏季と冬季しかない場合：

$$
E = \frac{\text{各セルの列合計}}{2}
$$

---

## ■ 検定統計量と自由度

**Test Statistic and Degrees of Freedom**

カイ二乗検定統計量：
**Chi-square statistic**:

$$
\chi^2 = \sum \frac{(O_{ij} - E_{ij})^2}{E_{ij}}
$$

* $O_{ij}$: 観測度数 / Observed frequency
* $E_{ij}$: 期待度数 / Expected frequency

### 自由度（Degrees of Freedom）：

$$
df = (\text{行数} - 1) \times (\text{列数} - 1) = (2 - 1) \times (5 - 1) = 4
$$

---

## ■ 棄却判定（5%有意水準）

**Decision at 5% significance level**

自由度4における上側5%点：
**Upper 5% critical value for df = 4**:

$$
\chi^2_{0.05}(4) = 9.49
$$

* 検定統計量 > 9.49 → **帰無仮説棄却**（分布に差がある）
* Test statistic > 9.49 → **Reject null hypothesis**: Distributions are different.

---



# 回帰分析とt検定の基礎式・用語まとめ

**Key Formulas and Terminology for Regression and t-Test**

---

## ■ 1. t検定の基本構造

### One-sample t-test（1標本t検定）:

$$
t = \frac{\bar{X} - \mu_0}{s / \sqrt{n}}
$$

* $\bar{X}$: 標本平均 / sample mean
* $\mu_0$: 母平均の仮定値 / hypothesized population mean
* $s$: 不偏標準偏差 / sample standard deviation
* $n$: 標本サイズ / sample size
* $t$: 自由度 $n - 1$ のt分布に従う / follows $t_{n-1}$

---

## ■ 2. 二標本t検定（差の検定）

### Two-sample t-test:

$$
t = \frac{\bar{X}_1 - \bar{X}_2}{\sqrt{\frac{s_1^2}{n_1} + \frac{s_2^2}{n_2}}}
$$

* 対応のある・ないで計算式は変化
* 等分散仮定があれば「プールされた分散」を使用

---

## ■ 3. t分布の特性

* 平均0、自由度 $\nu$ に依存
* 標準正規分布に比べて裾が重い（n小さいと顕著）
* 中心極限定理により nが大きいと正規分布に近似される

---

## ■ 4. 回帰分析におけるt統計量

### 回帰係数の有意性検定（t検定）:

$$
t = \frac{\hat{\beta}}{\text{SE}(\hat{\beta})}
$$

* $\hat{\beta}$: 回帰係数の推定値 / estimated coefficient
* $\text{SE}(\hat{\beta})$: 標準誤差 / standard error of the estimate
* 自由度：$n - p$（p: パラメータ数）

---

## ■ 5. 検定の棄却基準と有意水準

* **両側検定 Two-tailed**: $|t| > t_{\alpha/2}(df)$
* **片側検定 One-tailed**: $t > t_{\alpha}(df)$ or $t < -t_{\alpha}(df)$

### 例: 有意水準5%の場合

* 自由度20なら $t_{0.025}(20) ≈ 2.086$（両側）
* 標準正規近似では $Z_{0.025} = 1.96$

---

## ■ 6. P値と棄却判定

* $p$-value: 観測された統計量が帰無仮説のもとでどれだけ極端かを示す
* $$
  $$

\text{If } p < \alpha \Rightarrow \text{帰無仮説を棄却する}
]

* 両側検定: $p = 2 \cdot P(Z > |z_{\text{obs}}|)$

---

## ■ 7. 信頼区間（t値またはZ値を用いる）

$$
\hat{\theta} \pm t_{\alpha/2}(df) \cdot \text{SE}(\hat{\theta})
$$

* 例:

  * $\hat{\beta} = -60.263$, $\text{SE} = 4.414$, 信頼水準90% → $t = 1.645$
  * 区間：$[-60.263 \pm 4.414 \cdot 1.645] = [-67.52, -53.00]$

---

## ■ 8. 回帰と相関の補足用語

| 用語          | 英語             | 説明                                |
| ----------- | -------------- | --------------------------------- |
| 決定係数        | $R^2$          | 説明変数が従属変数をどれだけ説明できるか（当てはまりの尺度）    |
| 自由度修正済み決定係数 | Adjusted $R^2$ | モデルの複雑さを加味した $R^2$                |
| 残差          | Residual       | 観測値と予測値の差：$e_i = y_i - \hat{y}_i$ |
| 残差平方和       | RSS            | $\sum (y_i - \hat{y}_i)^2$        |
| 総平方和        | TSS            | $\sum (y_i - \bar{y})^2$          |
| F統計量        | $F$-statistic  | 全体のモデルの有意性を検定（回帰係数がすべて0か）         |

---

## ■ 9. t検定と正規分布の使い分け

* 標本サイズ $n$ が小さい（<30）→ **t分布使用**
* $n$ が大きい or 母分散既知 → **正規分布使用**（中心極限定理）

---



## ■ 1. 箱ひげ図（Boxplot）

### 読み取れる情報 / Information Derived

* **最小値**（minimum）
* **第1四分位数（Q1）** / First quartile
* **中央値（Q2）** / Median
* **第3四分位数（Q3）** / Third quartile
* **最大値**（maximum）

### 読み取れない情報 / Not Directly Readable

* **標準偏差（standard deviation）**: ❌
* **平均（mean）**: ❌

---

## ■ 2. 相関と散布図（Correlation and Scatter Plots）

### 相関係数の定義 / Correlation Coefficient

$$
r = \frac{\sum (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})}{\sqrt{\sum (x_i - \bar{x})^2} \sqrt{\sum (y_i - \bar{y})^2}}
$$

* $r = 1$: 完全な正の相関 / Perfect positive correlation
* $r = -1$: 完全な負の相関 / Perfect negative correlation
* $r = 0$: 相関なし / No linear correlation

### 二値データでの相関係数（ファイ係数）

**Phi coefficient for 2×2 contingency table**

$$
\phi = \frac{ad - bc}{\sqrt{(a + b)(c + d)(a + c)(b + d)}}
$$

---

## ■ 3. クロス集計表（Contingency Table）

### 期待度数（Expected Frequency）

$$
E_{ij} = \frac{(\text{Row Total}) \times (\text{Column Total})}{\text{Grand Total}}
$$

### カイ二乗検定統計量（Chi-Square Statistic）

$$
\chi^2 = \sum \frac{(O_{ij} - E_{ij})^2}{E_{ij}}
$$

* 自由度 $df = (r-1)(c-1)$（r: 行数, c: 列数）

---

## ■ 4. 消費者物価指数（Consumer Price Index: CPI）

### CPIの推移計算 / CPI Calculation

$$
\text{CPI}_{t+1} = \text{CPI}_{t} \times (1 + \text{Inflation Rate})
$$

例：

$$
\text{CPI}_{2015} = 103.2, \quad \text{Inflation}_{2016} = 1.0\%, \quad \text{Inflation}_{2017} = 1.8\%
$$

$$
\text{CPI}_{2017} = 103.2 \times 1.01 \times 1.018 = 106.1
$$

---

## ■ 5. ヒストグラムの基本構造（Histogram）

* 各階級の\*\*幅（class width）\*\*が等しい場合、\*\*棒の高さ（height）\*\*は度数に比例
* 箱ひげ図と整合するヒストグラムは、**四分位点・最大値・最小値の範囲**と一致している必要あり

---

## ■ 6. その他用語（Others）

| 日本語   | 英語                  | 解説                  |
| ----- | ------------------- | ------------------- |
| 中央値   | Median              | データを小さい順に並べた時の中央の値  |
| 四分位範囲 | Interquartile Range | $Q3 - Q1$、ばらつきの指標   |
| モード   | Mode                | 最頻値。最も出現回数の多い値      |
| 範囲    | Range               | 最大値 - 最小値           |
| ファイ係数 | Phi Coefficient     | 2値データ用の相関係数、相関強度を表す |
| 散布図   | Scatter Plot        | 2変数間の関係を視覚化         |
| 箱ひげ図  | Boxplot             | 中央・四分位・外れ値を示す統計図表   |

---



## ■ 1. 消費者物価指数（CPI）とインフレーション率

**CPI and Inflation Rate**

### ● 年間の物価上昇率

**Annual Inflation Rate**

$$
\text{Inflation Rate} = \frac{P_{t+1} - P_t}{P_t}
$$

* $P_t$: 年 $t$ のCPI / CPI in year $t$
* $P_{t+1}$: 年 $t+1$ のCPI / CPI in year $t+1$

### ● 基準変更時の補正

**Rebasing CPI**

$$
P'_t = \frac{100}{100.8} \cdot P_t
$$

* 新基準を2006年＝100とするとき / When 2006 base is changed to 100

---

## ■ 2. 階差系列（差分）と時系列予測

**First-Order Difference Series and Forecasting**

### ● 階差系列

**Difference Series**

$$
\Delta Y_t = Y_t - Y_{t-1}
$$

（時系列データの増減変化を可視化）
(Visualizes increase/decrease over time)

### ● 時系列の外挿予測（extrapolation）

**Forecasting Outside Sample Period**

$$
\hat{Y}_t = \beta_0 + \beta_1 t
$$

* 外挿（Extrapolation）とは、学習期間外への推定のこと / Extrapolation = prediction outside observed range

---

## ■ 3. 回帰分析における検定と推定

**Inference in Regression Analysis**

### ● 推定値・標準誤差・t値の関係

**Estimator, Standard Error, and t-statistic**

$$
t = \frac{\text{Estimate}}{\text{Standard Error}} \Rightarrow \text{SE} = \frac{\text{Estimate}}{t}
$$

例：

$$
t = \frac{0.937}{0.0429} \approx 21.86
$$

---

## ■ 4. 標本調査の誤差

**Errors in Sampling Surveys**

| 日本語   | 英語                 | 説明 / Explanation     |
| ----- | ------------------ | -------------------- |
| 全数調査  | Census             | 母集団全体を調査（コスト・時間がかかる） |
| 標本調査  | Sample Survey      | 一部のみ調査、標本誤差が生じる      |
| 標本誤差  | Sampling Error     | 無作為抽出による誤差（数式で評価可能）  |
| 非標本誤差 | Non-Sampling Error | 拒否・虚偽申告・誤解など、設計外の誤差  |


---

# 統計検定2級：確率・分布・推定の要点整理

**Level 2 Statistics: Probability, Distribution, and Estimation Summary**

---

## ■ 1. トーナメントと確率（Tournament and Conditional Probability）

### ● 勝ち上がり確率

**Winning Probability in Tournament**

* 勝敗が確率 $\frac{1}{2}$ の独立試行で与えられる場合、連勝は掛け算で評価される。
  → 2連勝の確率: $\frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$

* 条件付き確率 $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B|A)$ を用いる。

---

## ■ 2. 連続型確率分布と分布関数

**Continuous Distribution and CDF**

### ● 分布関数

**Cumulative Distribution Function (CDF)**

$$
F(x) = P(X \leq x)
$$

例： $F(x) = x^2$ for $0 \leq x \leq 1$ の中央値は

$$
F(c) = 0.5 \Rightarrow c = \sqrt{0.5}
$$

---

## ■ 3. 確率密度関数と期待値・分散

**PDF, Expectation, and Variance**

### ● 密度関数（例）

$$
f(x) = \begin{cases}
2x & 0 \leq x \leq 1 \\
0 & \text{otherwise}
\end{cases}
$$

* 期待値（Expected value）

$$
E[X] = \int_0^1 x \cdot 2x dx = \frac{2}{3}
$$

* 分散（Variance）

$$
V[X] = E[X^2] - (E[X])^2 = \frac{1}{2} - \left(\frac{2}{3}\right)^2 = \frac{1}{18}
$$

---

## ■ 4. 標本平均と分散の性質

**Sample Mean and Its Variance**

### ● 無作為抽出された標本平均の分布

$$
\bar{X} \sim N\left( \mu, \frac{\sigma^2}{n} \right)
$$

---

## ■ 5. 変動係数と必要標本数

**Coefficient of Variation and Required Sample Size**

### ● 変動係数（CV）と精度制約

$$
\text{CV} = \frac{\sqrt{V[\bar{X}]}}{E[\bar{X}]} = \frac{\sigma/\sqrt{n}}{\mu}
\Rightarrow \frac{\sigma}{\mu \sqrt{n}} \leq 0.05
$$

* 変形して必要な標本数 $n$ を求める。
  例： $\sigma / \mu \leq 0.8 \Rightarrow n \geq 256$

---

## ■ 6. 標本比率と分散

**Sample Proportion and Variance**

### ● 二項分布に基づく推定量の分散

$$
Y \sim B(n, p) \Rightarrow \hat{p} = \frac{Y}{n}, \quad V[\hat{p}] = \frac{p(1 - p)}{n}
$$

* 例：$p = 0.45, n = 2000 \Rightarrow V[\hat{p}] = \frac{0.45 \times 0.55}{2000}$

---

## ■ 7. 推定量の性質

**Estimator Properties**

| 日本語   | 英語                   | 定義                 |
| ----- | -------------------- | ------------------ |
| 不偏推定量 | Unbiased Estimator   | 平均が母数に等しい          |
| 一致推定量 | Consistent Estimator | 標本サイズ増加に伴って母数に収束する |
| 最尤推定量 | MLE                  | 観測データの確率を最大化する推定値  |
| 有効推定量 | Efficient Estimator  | 最小分散をもつ不偏推定量       |

---




## ■ 1. 母平均の信頼区間（Confidence Interval for Population Mean）

### 分散未知・小標本（t分布使用）

**Unknown Variance, Small Sample (t-distribution)**

$$
\bar{x} \pm t_{1-\alpha/2}(n-1) \cdot \frac{s}{\sqrt{n}}
$$

* $\bar{x}$: 標本平均 / Sample mean
* $s$: 標本標準偏差 / Sample standard deviation
* $n$: 標本サイズ / Sample size
* $t$: 自由度 $n-1$ のt分布の百分位点 / t critical value with $n-1$ degrees of freedom

**例**：$n = 6, \bar{x} = 1.01, s = 0.11, \alpha = 0.01 \Rightarrow \mu \in [0.83, 1.19]$

---

## ■ 2. t検定とp値の解釈（t-test and p-value）

### t値の定義 / t-value

$$
t = \frac{\bar{x} - \mu_0}{s/\sqrt{n}}
$$

* $\mu_0$: 帰無仮説の母平均値 / Hypothesized population mean

### 両側検定での判断基準 / Two-tailed test criteria

* $|t| > t_{1-\alpha/2}$ → 棄却域 / Reject $H_0$
* p値 < 有意水準 → 有意 / Significant

---

## ■ 3. 2標本t検定（Two-sample t-test）

### 母平均の差の検定 / Testing Mean Differences

$$
t = \frac{\bar{x}_1 - \bar{x}_2}{\sqrt{\frac{s_1^2}{n_1} + \frac{s_2^2}{n_2}}}
$$

* 自由度：$df = n_1 + n_2 - 2$

---

## ■ 4. クロス集計とカイ二乗検定（Contingency Table & Chi-Square Test）

### 期待度数（Expected Frequency）

$$
E_{ij} = \frac{(Row\ Total) \times (Column\ Total)}{Grand\ Total}
$$

### カイ二乗統計量（Chi-Square Statistic）

$$
\chi^2 = \sum \frac{(O_{ij} - E_{ij})^2}{E_{ij}}
$$

* 自由度（Degrees of Freedom）

  $$
  df = (r-1)(c-1)
  $$

---

## ■ 5. 回帰分析（Linear Regression）

### 回帰式の形式 / Regression Equation

$$
\hat{y} = \beta_0 + \beta_1 x_1 + \cdots + \beta_k x_k
$$

* 切片（intercept）: $\beta_0$
* 回帰係数（regression coefficients）: $\beta_i$

### 回帰係数の有意性 / Significance of Coefficients

* p値 < 0.05 ⇒ 有意 / Significant
* 信頼区間がゼロを含まない ⇔ 有意

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## ■ 6. 決定係数とF検定（R² and F-test）

### 決定係数（R²）

* 全体のばらつきに対して、モデルが説明できる割合
* 高いほどモデルの説明力が高い / The higher, the better model fit

### F検定のp値

* モデル全体の有意性を検定する
* p値 < 0.05 ⇒ モデル全体が有意 / Significant model

---

## ■ 7. 回帰の解釈例（Interpretation Example）

**例**：
高齢者数の回帰係数：1.02805 → 高齢者数が1人増えるごとに購読数が1.03部増える傾向
平均給与の値が0（=全国平均）として代入予測可能

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# 統計検定2級：母集団の平均・分散・変動係数・二項分布と推定理論

**Level 2 Statistics: Mean, Variance, Coefficient of Variation, and Binomial Estimation**

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## ■ 1. 標本平均とその分散

**Sample Mean and Its Variance**

* 母平均：$\mu$、母分散：$\sigma^2$ の母集団から無作為抽出した標本 $(X_1, X_2, \ldots, X_n)$ の標本平均 $\bar{X}$ に対して、

$$
E[\bar{X}] = \mu, \quad V[\bar{X}] = \frac{\sigma^2}{n}
$$

* The expected value of the sample mean is the population mean, and its variance is the population variance divided by the sample size.

---

## ■ 2. 変動係数の評価と必要標本サイズ

**Coefficient of Variation (CV) and Required Sample Size**

* 定義：

$$
\text{CV} = \frac{\text{Standard Error}}{\mu} = \frac{\sqrt{\sigma^2/n}}{\mu} = \frac{\sigma}{\mu\sqrt{n}}
$$

* CVを0.05以下に抑える条件：

$$
\frac{\sigma}{\mu\sqrt{n}} \leq 0.05 \Rightarrow \sqrt{n} \geq \frac{\sigma/\mu}{0.05}
$$

* 例：母集団の変動係数 $\sigma/\mu \leq 0.8$ のとき、

$$
\sqrt{n} \geq \frac{0.8}{0.05} = 16 \Rightarrow n \geq 256
$$

* To keep the coefficient of variation under 0.05, at least 256 samples are required if the population CV is ≤ 0.8.

---

## ■ 3. 確率密度関数と分散計算

**PDF and Variance Calculation**

* $f(x) = 2x$ for $0 \leq x \leq 1$, elsewhere 0 の連続型確率変数 X の場合：

$$
E[X] = \int_0^1 x \cdot 2x \, dx = \frac{2}{3}, \quad E[X^2] = \int_0^1 x^2 \cdot 2x \, dx = \frac{1}{2}
$$

$$
V[X] = E[X^2] - (E[X])^2 = \frac{1}{2} - \left(\frac{2}{3}\right)^2 = \frac{1}{18}
$$

* The variance is computed using the shortcut formula: $V[X] = E[X^2] - (E[X])^2$

---

## ■ 4. 二項分布と推定量の分散

**Binomial Distribution and Estimator Variance**

* 二項分布 $Y \sim B(n, p)$ において：

$$
E[Y] = np, \quad V[Y] = np(1 - p)
$$

* 相対度数 $\hat{p} = Y/n$ の分散は：

$$
V[\hat{p}] = \frac{p(1-p)}{n}
$$

* The variance of the estimator for proportion $\hat{p}$ is $\frac{p(1-p)}{n}$

---

## ■ 5. 無作為抽出と分布の近似

**Random Sampling and Distribution Approximation**

* 標本が十分大きければ、復元抽出でなくても**近似的に二項分布に従う**とみなせる。
  （正確には超幾何分布だが、差が小さいため近似可能）

* When sampling size is large, we can approximate the distribution of responses as binomial even under non-replacement.

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## ■ 6. 推定量の性質

**Properties of Estimators**

* 「現職に投票した」と答えた人の割合は、母比率 $p$ の**不偏推定量 unbiased estimator**かつ**一致推定量 consistent estimator**である。

* The sample proportion is both an unbiased and consistent estimator of the population proportion.

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# 母平均の信頼区間・t検定・検出力

**Confidence Interval, t-test, and Statistical Power for Population Mean**

---

## ■ 1. 母平均の99%信頼区間（母分散が未知）

**99% Confidence Interval for the Mean (Unknown Variance)**

* 与えられた情報：
  標本平均 $\bar{x} = 1.01$、不偏標準偏差 $s = 0.11$、標本サイズ $n = 6$

* 信頼区間の計算式：

$$
\bar{x} \pm t_{0.005}(n-1) \cdot \frac{s}{\sqrt{n}}
$$

* 上記を代入すると：

$$
1.01 \pm 4.032 \cdot \frac{0.11}{\sqrt{6}} \approx 1.01 \pm 0.18
\Rightarrow 0.83 \leq \mu \leq 1.19
$$

* Since the sample is small and the population variance is unknown, we use the **t-distribution with 5 degrees of freedom**.

---

## ■ 2. t検定による有意性検定（帰無仮説：母平均 = 1）

**t-test for the Population Mean (H₀: μ = 1)**

* 検定統計量（t値）の計算：

$$
t = \frac{\bar{x} - \mu_0}{s / \sqrt{n}} = \frac{1.01 - 1}{0.11 / \sqrt{6}} \approx 0.223
$$

* 自由度5のt分布における上側10%点（片側） = 1.476 → $0.223 < 1.476$

* 両側検定の場合、P値 ≈ 0.4 → 有意水準5%では**棄却されない**

* The null hypothesis is **not rejected** at the 5% significance level.

---

## ■ 3. 2標本t検定の自由度

**Degrees of Freedom in Two-Sample t-test**

* 標本サイズ：n₁ = 6、n₂ = 4
* 帰無仮説：2群の母平均に差がない
* 自由度：

$$
df = n_1 + n_2 - 2 = 6 + 4 - 2 = 8
$$

* The t-distribution with **8 degrees of freedom** is used for comparing two means.

---

## ■ 4. 検出力（Power）計算

**Calculation of Statistical Power**

* 帰無仮説：$\mu = 600$、実際の平均：$\mu = 630$、標準誤差：10、
  有意水準5%の片側検定 → 棄却点：$Z = 2.33$

* 標準化された検定統計量（非中央分布）：

$$
P\left( \frac{\bar{X} - 630}{10} > -0.67 \right) = 1 - P(Z > 0.67) = 0.7486
$$

* The **power** is the probability of correctly rejecting a false null hypothesis.
  → 検出力 ≈ **0.7486**

---

## ■ 備考

* 小標本の場合、**分散の未知性が信頼区間の幅に大きく影響**
* t分布とZ分布の違いは自由度により特に顕著
* 検出力（power）は効果検出の感度を示す重要指標であり、**効果量・標本サイズ・有意水準**に依存する


---

# 検出力・クロス集計・χ²検定・回帰分析に関する要点

**Statistical Power, Contingency Tables, χ² Test, and Regression Analysis**

---

## ■ 1. 検出力（Power of a Hypothesis Test）

**Statistical Power for μ = 630, under H₀: μ = 600**

* 条件：標本平均 $\bar{X}$、標準誤差 $SE = 10$、棄却域は $Z > 2.33$（片側検定、α=0.01）

* 実際の母平均 μ = 630 のもとでの標準化：

$$
P\left( \frac{\bar{X} - 630}{10} > -0.67 \right) = 1 - P(Z > 0.67) = 1 - 0.2514 = 0.7486
$$

* **検出力 = 0.7486**
  → 真の平均が630であるとき、帰無仮説を正しく棄却できる確率は約75%

---

## ■ 2. クロス集計表と期待度数（Contingency Table and Expected Frequencies）

|           | 購入したい | 購入したくない | 合計  |
| --------- | ----- | ------- | --- |
| 男性 Male   | 80    | 40      | 120 |
| 女性 Female | 40    | 60      | 100 |
| 合計 Total  | 120   | 100     | 220 |

* 期待度数（Expected frequency）の計算：

$$
E = \frac{\text{行和 × 列和}}{\text{全体}}  
例：男性かつ購入希望 = \frac{120 × 120}{220} = 65.5
$$

---

## ■ 3. χ²検定統計量（Chi-Square Test Statistic）

* 検定統計量の計算式：

$$
\chi^2 = \sum \frac{(O - E)^2}{E}
= \frac{(80 - 65.5)^2}{65.5} + \cdots + \frac{(60 - 45.5)^2}{45.5}
$$

* 自由度（Degrees of Freedom）：

$$
df = (r - 1)(c - 1) = (2 - 1)(2 - 1) = 1
$$

* **Use χ²-distribution with 1 degree of freedom** for a 2×2 table.

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## ■ 4. 回帰分析における係数の解釈とF検定

**Regression Coefficients and F-test Interpretation**

* 高齢者数の回帰係数 β̂ = 1.02805
  → 高齢者が0.6人の県と0.5人の県を比較すると：

$$
1.02805 × (0.6 - 0.5) = 0.102805（部）
$$

→ **高齢者数が多いほど新聞購読数が増える傾向**

* F検定のP値 = 1.73e-05 → 0.05未満 → **モデルは有意（全体として説明力あり）**

* 平均給与の係数のP値 < 0.05 → **平均給与も説明変数として有意**

* 回帰係数のP値と95%信頼区間がゼロを含まないことは**同値**である。

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