高校化学と原子



## 1. 【確率分布の基礎】

### ◆ 確率変数と分布（統計的視点）

* 確率変数：観測される値をランダムに決定する変数
* 代表的な連続確率分布：

  * 正規分布（ガウス分布）：$f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}$
  * 指数分布、ポアソン分布（離散）、ガンマ分布など

### ◆ 期待値・分散（波動関数の準備）

* 期待値 $E[X] = \int x f(x) dx$
* 分散 $Var[X] = \int (x - E[X])^2 f(x) dx$

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## 2. 【量子論の基本構造】

### ◆ 確率的解釈の導入（ボーア→シュレーディンガー）

* 古典力学：位置と速度が確定する
* 量子力学：状態は**波動関数 $\psi(x,t)$** により確率的に表現される
* 観測値（位置や運動量）は確率分布で与えられる

### ◆ シュレーディンガー方程式（時間依存・時間非依存）

* $$
  $$

i\hbar \frac{\partial \psi}{\partial t} = \hat{H} \psi
]

* エネルギー固有状態における時間非依存形：

$$
\hat{H} \psi(x) = E \psi(x)
$$

### ◆ 波動関数の確率解釈（ボルンの定義）

* $|\psi(x)|^2$：粒子が位置 $x$ にある確率密度
* 例：1次元井戸型ポテンシャルでは波動関数の節の数＝エネルギー準位

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## 3. 【原子構造と確率分布】

### ◆ 水素原子の量子力学的記述（中心力ポテンシャル）

* ポテンシャル $V(r) = -\frac{e^2}{4\pi \varepsilon_0 r}$ を仮定
* 波動関数は球座標で分離：

  $$
  \psi(r, \theta, \phi) = R_{n\ell}(r) Y_{\ell m}(\theta, \phi)
  $$
* 確率分布は $|\psi(r,\theta,\phi)|^2$ に対応（立体角あたりの確率密度）

### ◆ 主量子数・方位量子数・磁気量子数

* エネルギー準位：$E_n = -\frac{13.6}{n^2}$ eV
* 分布の形：

  * $n=1$：球対称
  * $n=2$：節を持つ分布
  * $n=3$：さらに複雑な構造（球面調和関数）

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## 4. 【応用：確率密度としての電子分布】

### ◆ s, p, d軌道と密度分布

* s軌道（l=0）：球対称
* p軌道（l=1）：双極構造（Y₁₀など）
* d軌道（l=2）：四葉型分布やドーナツ構造

### ◆ 観測と期待値（演算子としての物理量）

* 位置の期待値：

  $$
  \langle x \rangle = \int \psi^*(x) \, x \, \psi(x) dx
  $$
* 運動量演算子 $\hat{p} = -i\hbar \frac{d}{dx}$、ハミルトニアン $\hat{H} = \frac{\hat{p}^2}{2m} + V(x)$

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# 🔸【高校化学 vs 量子力学】原子構造と確率分布の違い

| 項目          | 高校化学の記述（モデル）                          | 量子力学（本質的記述）                          |      |               |
| ----------- | ------------------------------------- | ------------------------------------ | ---- | ------------- |
| **電子の存在**   | 軌道上を回る粒（電子殻）                          | **確率的存在**（波動関数で記述）                   |      |               |
| **モデル**     | ボーアモデル：円運動＋定量的エネルギー                   | シュレーディンガー方程式：波としての電子                 |      |               |
| **エネルギー準位** | \$E\_n = -\frac{13.6}{n^2}\$ eV（数式あり） | 同左。ただし由来は波動方程式の固有値問題                 |      |               |
| **電子配置**    | 1s² 2s² 2p⁶ などで記述                     | 状態関数 \$\psi\_{n\ell m}\$ による分布で記述    |      |               |
| **軌道の意味**   | 電子が存在する「決まった軌道」                       | **確率密度分布**（\$                        | \psi | ^2\$）としての空間領域 |
| **軌道の形状**   | s, p, d…の名称と図で覚える                     | 球面調和関数 \$Y\_{\ell m}\$ によって決定される立体分布 |      |               |
| **軌道図の意味**  | 絵として「球形」「ダンベル型」など                     | 波動関数の絶対値2乗が**その形を意味する**              |      |               |
| **電子の位置**   | 指定できるような感覚で理解                         | どこにあるかは**確率的にしかわからない**               |      |               |
| **量子数の役割**  | n, l, m で電子配置のルール                     | 波動関数のパラメータであり、軌道形状・エネルギーを決定          |      |               |

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## 5. 【まとめ：確率分布と物理的意味の接続】

| 項目     | 統計学          | 量子論              | 原子物理学            |     |   |                     |     |
| ------ | ------------ | ---------------- | ---------------- | --- | - | ------------------- | --- |
| 基本変数   | 確率変数 $X$     | 波動関数 $\psi$      | 電子の状態 $n,\ell,m$ |     |   |                     |     |
| 分布の意味  | 観測値のばらつき     | 観測される位置・運動量の確率密度 | 電子の空間分布（軌道）      |     |   |                     |     |
| 関数の形   | 正規分布など       | (                | \psi(x)          | ^2) | ( | \psi(r,\theta,\phi) | ^2) |
| 解析手法   | 期待値・分散・モーメント | 演算子による期待値計算      | 波動関数の立体分布        |     |   |                     |     |
| グラフ可視化 | ヒストグラム、密度関数  | 波動関数の絶対値2乗       | s, p, d軌道図（球面分布） |     |   |                     |     |

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以下に、「**原子構造と波動関数による確率分布**」から「**バンドギャップ（禁制帯）**」への流れを、**一貫した物理的視点**で整理します。

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* 原子の電子は、定常状態（定常波動関数）を持つ
* エネルギー固有値：$E_n = -\frac{13.6\,\mathrm{eV}}{n^2}$（水素の場合）
* 電子は **離散的なエネルギー準位** に存在し、任意の値は取らない

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## 2. 【原子が集まるとどうなるか？】

### ◆ 原子が多数集まる ⇒ 軌道が重なりあう

* 例：金属・半導体・絶縁体の結晶
* N個の原子が集まると、元の1個の軌道に対して**N個のエネルギー準位**が生じる
* これらは\*\*ほぼ連続したバンド（帯）\*\*を形成

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## 3. 【エネルギーバンドと電子の配置】

| 概念                       | 内容                    |
| ------------------------ | --------------------- |
| **価電子帯（Valence Band）**   | 電子が存在する最上位のバンド（通常満杯）  |
| **伝導帯（Conduction Band）** | 電子が励起されて移動できる上位のバンド   |
| **バンドギャップ（Band Gap）**    | 両者の間の電子が存在できないエネルギー範囲 |

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## 4. 【バンドギャップの物理的意味】

### ◆ 結晶中の電子の状態は**波としての解**（Bloch関数）

$$
\psi_k(x) = e^{ikx} u_k(x)
$$

* 周期ポテンシャル中の電子状態の固有関数（ブロッホの定理）
* エネルギーは波数 $k$ の関数として変化：$E(k)$

### ◆ エネルギーと波数 $E(k)$ の関係が**離散→帯へ**

* 一定の $k$ 範囲でエネルギー値が連続する：**エネルギーバンド**
* **禁止領域（ギャップ）**：そこに電子の状態が存在しない ⇒ バンドギャップ

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## 5. 【分類：金属・半導体・絶縁体】

| 種類      | バンド構造の特徴              | 例         |
| ------- | --------------------- | --------- |
| **金属**  | 価電子帯と伝導帯が重なる          | 銅、銀       |
| **半導体** | ギャップが小さい（例：Siで約1.1eV） | シリコン、GaAs |
| **絶縁体** | ギャップが大きく電子が励起されにくい    | ダイヤモンド    |

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## 6. 【統合的まとめ】

| 段階       | 記述の中心               | 理論的道具                   |
| -------- | ------------------- | ----------------------- |
| 原子（単体）   | 離散的な電子準位            | シュレーディンガー方程式            |
| 多原子（結晶）  | 準位が多数化 → エネルギーバンド形成 | ブロッホ関数、周期ポテンシャル解析       |
| 電子の分布と状態 | 価電子帯、伝導帯、禁制帯        | 波数 $k$、エネルギー分散関係 $E(k)$ |

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