制御数学



## 1. フーリエ変換（Fourier Transform）

### ✅ 定義（Definition）

時間領域関数 $f(t)$ に対するフーリエ変換 $F(\omega)$ は次のように定義されます：

$$
F(\omega) = \mathcal{F}[f(t)] = \int_{-\infty}^{\infty} f(t) e^{-j\omega t} \, dt
$$

* $\omega$：角周波数（rad/s）
* $j = \sqrt{-1}$：虚数単位

### ✅ 逆変換（Inverse Fourier Transform）

$$
f(t) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} F(\omega) e^{j\omega t} \, d\omega
$$

---

## 2. フーリエ変換の性質（Properties）

| 性質名    | 数式表現                                                       | 意味・直観                |
| ------ | ---------------------------------------------------------- | -------------------- |
| 線形性    | $\mathcal{F}[af(t) + bg(t)] = aF(\omega) + bG(\omega)$     | 加重和のフーリエ変換は和の加重変換    |
| 時間シフト  | $\mathcal{F}[f(t - t_0)] = e^{-j\omega t_0} F(\omega)$     | 時間遅延は位相回転を生む         |
| 周波数シフト | $\mathcal{F}[f(t) e^{j\omega_0 t}] = F(\omega - \omega_0)$ | 複素指数による変調はスペクトルの平行移動 |
| 畳み込み   | $\mathcal{F}[f * g] = F(\omega) \cdot G(\omega)$           | 時間領域の畳み込みは周波数領域の積    |
| 微分     | $\mathcal{F}[f^{(n)}(t)] = (j\omega)^n F(\omega)$          | 微分は周波数領域での次数強調を意味    |

---

## 3. フーリエ変換の収束条件

関数 $f(t)$ がフーリエ変換可能であるためには次のいずれかが必要：

### （1）絶対可積分

$$
\int_{-\infty}^{\infty} |f(t)| \, dt < \infty
$$

### （2）平方可積分（有限エネルギー）

$$
\int_{-\infty}^{\infty} |f(t)|^2 \, dt < \infty
$$

---

## 4. ラプラス変換（Laplace Transform）

### ✅ 定義（Definition）

$$
F(s) = \mathcal{L}[f(t)] = \int_0^\infty f(t) e^{-st} \, dt \quad,\quad s = \sigma + j\omega
$$

* $s$：複素周波数（複素平面上の点）
* $\sigma$：減衰因子、$\omega$：角周波数

### ✅ 関係性：フーリエ変換はラプラス変換の特殊ケース

$$
F(j\omega) = \int_0^\infty f(t) e^{-j\omega t} \, dt \quad \text{（\( \sigma = 0 \) の場合）}
$$

---

## 5. 因果系（Causal System）

物理系では **因果性（causality）** が重要：

$$
f(t) = 0 \quad \text{for } t < 0
$$

* 入力のない時点では出力が存在しないことを意味
* この性質により、ラプラス変換（右側積分）が自然に導入される

---

## 6. 周波数領域表現の意味

| 表現形式     | 特徴                    | 変換形式      |
| -------- | --------------------- | --------- |
| フーリエ変換   | 信号のスペクトル解析・周波数構造を捉える  | 時間無限      |
| ラプラス変換   | 安定性・初期値問題を含む一般化的周波数応答 | 複素周波数全体   |
| Z変換（離散系） | 離散信号の解析、差分方程式に対応      | 離散時間用複素変換 |

---

## 7. グラフ的・直観的イメージ（補足）

* **フーリエ変換**：信号を**無限長の正弦波**の合成とみなす
* **ラプラス変換**：正弦波 + 指数関数で重みを変える→成分の減衰や発散も扱える




## ✅ 絶対可積分関数（Absolutely Integrable Functions）

### ● 定義 / Definition

実関数または複素関数 $f : \mathbb{R} \to \mathbb{C}$ に対して、次の積分が有限であるとき：

$$
\int_{-\infty}^{\infty} |f(t)|\, dt < \infty
$$

このとき、関数 $f$ は実数全体 $\mathbb{R}$ 上で\*\*絶対可積分（absolutely integrable）\*\*であるという。

---

## ✅ 関数空間としての表現：$L^1(\mathbb{R})$

この性質を満たす関数全体の集合は、**ルベーグ可積分関数の空間** $L^1(\mathbb{R})$ として定義される：

$$
L^1(\mathbb{R}) := \left\{ f : \mathbb{R} \to \mathbb{C} \mid \int_{\mathbb{R}} |f(t)|\,dt < \infty \right\}
$$

この空間は、\*\*ノルム空間（Banach space）\*\*となり、ノルムは以下のように定義される：

$$
\|f\|_{L^1} := \int_{\mathbb{R}} |f(t)|\,dt
$$

---

## ✅ 直観的理解 / Intuition

* $|f(t)|$ の「面積」が有限であるということ。
* 面積（符号無視した総和）が収束すれば、関数全体が「有限エネルギー的な広がり」を持つとみなされる。

---

## ✅ 応用上の意義

| 応用領域   | 意義                                                                               |
| ------ | -------------------------------------------------------------------------------- |
| フーリエ解析 | $f \in L^1(\mathbb{R})$ なら、フーリエ変換 $\mathcal{F}[f](\xi)$ が定義できる。                  |
| 畳み込み積分 | $f, g \in L^1$ なら、$(f * g)(t) := \int f(t - \tau)g(\tau)\,d\tau \in L^1$ が保証される。 |
| 関数解析   | $L^1(\mathbb{R})$ は**可分バナッハ空間**であり、双対空間は $L^\infty(\mathbb{R})$。                 |
| 測度論    | ルベーグ測度下での収束定理（優収束定理など）の適用対象となる。                                                  |

---

## ✅ 他の空間との比較（例）

| 空間         | 定義               | 意味   |                  |                  |
| ---------- | ---------------- | ---- | ---------------- | ---------------- |
| $L^1$      | ( \int           | f(t) | ,dt < \infty )   | 面積有限             |
| $L^2$      | ( \int           | f(t) | ^2,dt < \infty ) | エネルギー有限（信号処理で重要） |
| $L^\infty$ | ( \text{ess sup} | f(t) | < \infty )       | 有界関数             |

---






## ✅ $L^1$ と $L^2$ の包含関係

### ● 定義の再確認

* $L^1(\mathbb{R})$：絶対可積分関数の空間

  $$
  \int_{\mathbb{R}} |f(t)|\,dt < \infty
  $$
* $L^2(\mathbb{R})$：平方可積分関数（有限エネルギー関数）の空間

  $$
  \int_{\mathbb{R}} |f(t)|^2\,dt < \infty
  $$

### ● 包含関係（Inclusion）

一般には、

$$
L^1(\mathbb{R}) \not\subset L^2(\mathbb{R}) \quad \text{かつ} \quad L^2(\mathbb{R}) \not\subset L^1(\mathbb{R})
$$

である。

### ● 例

* $f(t) = \frac{1}{\sqrt{|t|}} \in L^1 \setminus L^2$
* $f(t) = \frac{1}{1 + t^2} \in L^2 \setminus L^1$

したがって、両者の包含関係は**互いに包含しない（交わるが包含しない）**。

---

## ✅ 近似恒等列（Approximate Identity） in $L^1$

### ● 定義

関数列 $\{\phi_\epsilon\}_{\epsilon>0} \subset L^1(\mathbb{R})$ が近似恒等列（approximate identity）であるとは、以下を満たす：

1. $\int_{\mathbb{R}} \phi_\epsilon(x)\,dx = 1$（各 $\epsilon$ に対して）
2. $\phi_\epsilon(x) \geq 0$
3. $\lim_{\epsilon \to 0} \int_{|x| > \delta} \phi_\epsilon(x)\,dx = 0$（任意の $\delta > 0$ に対して）

このとき任意の $f \in L^p(\mathbb{R})$（$1 \leq p < \infty$）に対して、

$$
f * \phi_\epsilon \to f \quad \text{in } L^p \text{ norm as } \epsilon \to 0
$$

### ● 例（標準的なガウス関数）

$$
\phi_\epsilon(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\epsilon}} \exp\left(-\frac{x^2}{2\epsilon}\right)
\in L^1(\mathbb{R})
$$

---

## ✅ コンパクト台 $C_c^\infty$ と $L^1$ の関係

### ● 記号の定義

* $C_c^\infty(\mathbb{R})$：無限回微分可能かつコンパクト台をもつ関数の集合（テスト関数）

### ● 関係

* 任意の $\phi \in C_c^\infty(\mathbb{R})$ は台が有界かつ連続であるため、必ず $L^1(\mathbb{R})$ に属する：

  $$
  C_c^\infty(\mathbb{R}) \subset L^1(\mathbb{R}) \cap L^2(\mathbb{R}) \cap \cdots
  $$

* **かつ密である**（dense）：

  $$
  \forall f \in L^p(\mathbb{R}),\ \exists \{\phi_n\} \subset C_c^\infty(\mathbb{R})\ :\ \phi_n \to f\ (\text{in } L^p \text{ norm})
  $$

### ● 意義

* フーリエ解析や分布論（超関数）の基盤を成す。
* 多くの関数は、$C_c^\infty$ によって近似可能（モローイダ（Mollifier）を用いた近似など）

---

## ✅ 補足：まとめ表

| 空間                | 定義             | 包含関係                   | 密度性             |                       |                             |
| ----------------- | -------------- | ---------------------- | --------------- | --------------------- | --------------------------- |
| $L^1(\mathbb{R})$ | ( \int         | f                      | < \infty )      | 一般に $\not\subset L^2$ | $C_c^\infty \subset L^1$, 密 |
| $L^2(\mathbb{R})$ | ( \int         | f                      | ^2 < \infty )   | 一般に $\not\subset L^1$ | $C_c^\infty \subset L^2$, 密 |
| $C_c^\infty$      | コンパクト台, 無限回微分可 | $\subset L^1 \cap L^2$ | 任意の $L^p$ において密 |                       |                             |


---

## ✅ 1. 伝達関数（Transfer Function）の定義と背景

### ● 線形時不変（LTI: Linear Time-Invariant）システムの時間領域モデル

入力関数 $f(t)$、出力関数 $y(t)$ に対し、LTIシステムは**インパルス応答関数** $h(t) \in \mathcal{S}'(\mathbb{R})$ を用いて次のように表される：

$$
y(t) = (h * f)(t) = \int_{-\infty}^\infty h(\tau) f(t - \tau)\, d\tau
$$

これは**畳み込み演算子**による表現である。

---


### ● 周波数領域における表現（Fourier/Laplace）

#### ■ フーリエ変換による定義（通常は $\omega \in \mathbb{R}$）：

$$
\mathcal{F}[y](\omega) = \mathcal{F}[h * f](\omega) = \mathcal{F}[h](\omega) \cdot \mathcal{F}[f](\omega)
$$

したがって、**伝達関数 $H(\omega)$** は次で定義される：

$$
H(\omega) := \mathcal{F}[h](\omega)
$$

#### ■ ラプラス変換による定義（制御・回路理論においては $s \in \mathbb{C}$）：

$$
H(s) := \mathcal{L}[h](s) = \int_0^\infty h(t) e^{-st} dt
$$

ここで、$s = \sigma + j\omega$ は複素領域に属し、**安定性解析**や**因果性条件**において重要である。

---


## ✅ 2. 関数空間と伝達関数の関係

### ● 畳み込みの可積分条件（$L^1(\mathbb{R})$ 空間）

$$
f, h \in L^1(\mathbb{R}) \Rightarrow (f * h)(t) = \int_{-\infty}^\infty f(\tau) h(t - \tau)\, d\tau \in L^1(\mathbb{R})
$$

* **フーリエ変換が定義される**：

  $$
  \mathcal{F}[f * h](\omega) = \mathcal{F}[f](\omega) \cdot \mathcal{F}[h](\omega)
  $$

* よって、**伝達関数 $H(\omega)$** は $h(t) \in L^1$ のフーリエ像として定義される。

---

### ● $L^2(\mathbb{R})$ 空間（有限エネルギー信号）

* $f, h \in L^2(\mathbb{R})$ のとき、**畳み込み $f*h \notin L^2$** となることがあるが、以下が成り立つ：

  $$
  \|f\|_{L^2} = \|\mathcal{F}[f]\|_{L^2}
  $$

* このとき、伝達関数 $H(\omega)$ による演算：

  $$
  \mathcal{F}[y](\omega) = H(\omega) \cdot \mathcal{F}[f](\omega)
  $$

  は、**$L^2$ 上の乗算演算子**としての線形性・有界性の研究対象となる。

---

### ● $C_c^\infty(\mathbb{R}) \subset L^1 \cap L^2$

* 任意の $f \in L^p(\mathbb{R})$（$1 \le p < \infty$）は、**近似恒等列 $\phi_n \in C_c^\infty$** を用いて：

  $$
  f_n = f * \phi_n \in C^\infty(\mathbb{R}), \quad f_n \to f \text{ in } L^p
  $$

* よって、滑らかでコンパクト台をもつ関数 $C_c^\infty$ を用いれば、**伝達関数の時間領域での近似計算が可能**。

---

## ✅ 3. 数学的構造と空間関係図（簡略）

$$
\boxed{C_c^\infty(\mathbb{R}) \subset L^1(\mathbb{R}) \cap L^2(\mathbb{R})}
$$

* $L^1(\mathbb{R})$：**絶対可積分**であり、畳み込み閉
* $L^2(\mathbb{R})$：**有限エネルギー**関数、ユニタリ性が重要
* $C_c^\infty$：**近似恒等列**の母集団、分布論で中心的

---

## ✅ 4. 補足：制御工学との接続

| 表現                                     | 内容                     |
| -------------------------------------- | ---------------------- |
| $H(s) = \frac{Y(s)}{U(s)}$             | ラプラス変換による伝達関数          |
| $H(\omega) = \mathcal{F}[h](\omega)$   | フーリエ変換による周波数応答         |
| $h(t) \in L^1$                         | 畳み込み積分の存在              |
| $h(t) \in C_c^\infty$                  | 滑らかで実装しやすいモデル          |
| $H(s) \in \mathcal{H}^2(\mathbb{C}_+)$ | Hardy空間に属すとき、因果性・安定性あり |

---







## ✅ 1. **$L^p$ 空間の補完性と Banach 構造**

### ● 定義と補完性（完備性）

$$
L^p(\mathbb{R}) = \left\{ f : \mathbb{R} \to \mathbb{C} \;\middle|\; \|f\|_p := \left( \int_{\mathbb{R}} |f(t)|^p dt \right)^{1/p} < \infty \right\}
\quad (1 \leq p < \infty)
$$

* このノルムにより定められる距離空間 $(L^p, \|\cdot\|_p)$ は **Banach空間（完備ノルム空間）** である。
* $L^2(\mathbb{R})$ の場合は特に **Hilbert空間**（内積による構造をもつ）であり、解析・制御において中心的役割を果たす。

---

## ✅ 2. **Hardy空間 $H^2$、Meromorphic関数と伝達関数**

### ● Hardy 空間 $H^2(\mathbb{C}_+)$

$$
H^2(\mathbb{C}_+) = \left\{ F : \mathbb{C}_+ \to \mathbb{C} \;\middle|\; F \text{ は } \mathbb{C}_+ \text{ 上正則（holomorphic）}, \sup_{\sigma > 0} \int_{-\infty}^{\infty} |F(\sigma + j\omega)|^2 d\omega < \infty \right\}
$$

* 周波数領域 $\omega$ で平方可積分かつ、右半平面で正則な関数全体
* **ラプラス変換像**（因果系）を取り扱う関数空間

### ● Meromorphic 関数と伝達関数

* 工学的伝達関数 $H(s)$ はしばしば **有理型関数（有界な極と零点を持つ meromorphic function）**：

  $$
  H(s) = \frac{b_m s^m + \cdots + b_0}{a_n s^n + \cdots + a_0}, \quad a_0 \neq 0
  $$

* 零点・極の位置が **安定性** や **周波数応答** を支配する。

* **可制御性・可観測性の解析**は、これらの極・零点の配置に密接に関係。

---

## ✅ 3. **現代制御理論：可制御性・可観測性との接続**

### ● 状態空間表現

$$
\begin{aligned}
\dot{x}(t) &= A x(t) + B u(t) \\
y(t) &= C x(t) + D u(t)
\end{aligned}
$$

* $x(t) \in \mathbb{R}^n$：状態ベクトル
* $u(t) \in \mathbb{R}^m$：入力
* $y(t) \in \mathbb{R}^p$：出力

---

### ● 可制御性（Controllability）

* 任意の初期状態 $x(0)$ から有限時間で任意の状態 $x(T)$ に到達できる条件。
* **可制御行列**：

  $$
  \mathcal{C} = \begin{bmatrix} B & AB & A^2B & \cdots & A^{n-1}B \end{bmatrix}
  $$

  $$
  \text{rank}(\mathcal{C}) = n \iff \text{完全可制御}
  $$

---

### ● 可観測性（Observability）

* 出力 $y(t)$ から初期状態 $x(0)$ を一意に復元できる条件。
* **可観測行列**：

  $$
  \mathcal{O} = \begin{bmatrix} C \\ CA \\ CA^2 \\ \vdots \\ CA^{n-1} \end{bmatrix}
  $$

  $$
  \text{rank}(\mathcal{O}) = n \iff \text{完全可観測}
  $$

---

### ● 周波数領域での制御性

* 伝達関数の極（pole）・零点（zero）の構造により可制御性・可観測性を判定する手法も存在：

  * **不可制御モード** ⇒ 伝達関数に現れない極
  * **不可観測モード** ⇒ 出力に影響しない極

---

## ✅ 4. 接続図：機能解析と制御理論の対応

| 概念（解析）                            | 概念（制御）        |
| --------------------------------- | ------------- |
| $L^2$ 空間                          | 有限エネルギー信号     |
| Hardy 空間 $H^2$                    | 安定な因果系のラプラス像  |
| Meromorphic関数                     | 有理型伝達関数       |
| Hilbert空間構造                       | 最小二乗推定、最適制御理論 |
| Banach空間構造                        | 安定性の基礎理論      |
| $C_c^\infty \subset L^1 \cap L^2$ | 近似恒等列で系近似可    |

---



## ✅ 1. 可制御性・可観測性グラミアン（Gramians）と幾何学的解釈

### ● 可制御性グラミアン $W_c$

LTI系（可制御）：

$$
\dot{x}(t) = A x(t) + B u(t)
$$

に対し、以下を定義：

$$
W_c = \int_0^\infty e^{At} B B^\top e^{A^\top t} dt
$$

* $A$ の固有値が全て左半平面にあるとき、この積分は収束する。
* $W_c \succ 0$（正定値） ⇔ 完全可制御

#### 幾何学的意味：

* 初期状態 $x(0)$ に対して、入力 $u(t)$ によって移動できるエネルギー領域の楕円体を表す。
* 楕円体の「大きさ」（測地的距離）は可制御性の強さを示す。

---

### ● 可観測性グラミアン $W_o$

出力方程式：

$$
y(t) = C x(t)
$$

に対して：

$$
W_o = \int_0^\infty e^{A^\top t} C^\top C e^{A t} dt
$$

* $W_o \succ 0$ ⇔ 完全可観測

#### 幾何学的意味：

* 初期状態 $x(0)$ が出力に及ぼす影響（エネルギー）を測る。
* $W_o$ の核にあるベクトルは「不可観測モード」を示す。

---

## ✅ 2. Hilbert空間上の作用素としての伝達関数

### ● フーリエ空間上の有界線形演算子

$$
y(t) = (h * u)(t) \quad \Leftrightarrow \quad Y(\omega) = H(\omega) U(\omega)
$$

* $H(\omega)$ は周波数応答として、**Hilbert空間 $L^2(\mathbb{R})$** 上の **乗算作用素 $M_H$** に対応：

$$
M_H : f(\omega) \mapsto H(\omega) f(\omega)
$$

* $M_H$ が **有界線形作用素** ⇔ $H(\omega) \in L^\infty$

#### 意義：

* 制御系の安定性解析が「作用素の有界性」として記述できる。
* $L^2$ 空間上の単位球面上での **最大ゲイン** が $\|H\|_\infty$ に一致する。

---

## ✅ 3. システムの最小実現（Minimal Realization）

### ● 定義：

* 状態空間系 $(A,B,C,D)$ が、同じ伝達関数 $H(s)$ をもつ中で、

  * **最小の状態次数 $n$** をもつ実現

### ● 条件：

* $(A,B)$ が **可制御**
* $(A,C)$ が **可観測**

このときの系は「最小可制御可観測実現」と呼ばれる。

---

### ● 幾何学的直観：

* 不可制御 or 不可観測なモードを含む場合、状態は削除可能。
* モード分解や Jordan標準形を使った次元縮小が可能。

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## ✅ 4. LTI系と可解スペクトル理論との関係

### ● スペクトル分解（周波数領域）

* 線形時不変系の動作は、**指数関数的モード $e^{\lambda t}$** の線形結合で表現可能。
* $A$ の固有値 $\lambda_i$ は、**固有振動モード（resonant modes）** に対応。
* $A$ を正規作用素（または自己共役）とみなせる場合、**スペクトル定理**が適用可能。

---

### ● 可解スペクトル理論の応用：

* 伝達関数 $H(s)$ は有理関数であるため、**有界正則関数環（Hardy空間）** に属する。
* フーリエ変換・ラプラス変換により、LTI系の応答は **可解な周波数成分** に帰着される。

---

## ✅ まとめ表（概念マッピング）

| 分野        | 概念             | 数学的構造                          |
| --------- | -------------- | ------------------------------ |
| 制御理論      | 可制御性           | 可制御行列 / $W_c \succ 0$          |
| 制御理論      | 可観測性           | 可観測行列 / $W_o \succ 0$          |
| 関数解析      | Hilbert空間上の作用素 | $M_H : f \mapsto H f$          |
| 制御設計      | 最小実現           | 状態次元が最小 / 可制御可観測               |
| スペクトル理論   | モード分解          | $A = V \Lambda V^{-1}$ の解析     |
| Hardy空間理論 | 安定伝達関数         | $H \in H^\infty(\mathbb{C}_+)$ |