英語での読み方が難しい数学の用語・記法

<!-- markdownlint-disable MD041 -->

英語での読み方が難しい数学の用語・記法をまとめます。

本記事は以下の節から構成されます。

1. [発音](#発音) 間違えやすい発音の英単語
2. [難単語](#難単語) 筆者にとっての難単語
3. [数式](#数式) 非自明な数式などの読み方

この記事は筆者が例を見つけたときに更新する可能性があります。

---

本記事の一部は、服部 久美子さん著の『数学のための英語教本 ―読むことから始めよう―』の内容に触発されて書きました。とても良い本だと思いますので、お勧めです。以下、本書のことを「教本」と言及します。

https://www.kyoritsu-pub.co.jp/book/b10003278.html

<img width="25%" alt=""><img src="https://hondana-image.s3.amazonaws.com/book/image/10003278/30366211-7505-4501-b068-aef48b4bdc92.jpg" alt="教本" width="50%"/><img width="25%" alt="">

---

## 発音

発音記号はCambridge Dictionaryを参考にしています。

https://dictionary.cambridge.org/ja/

カタカナでも表記していますが、あくまで目安です。正確な発音は辞書の音声を聞いてください。

<!-- markdownlint-disable MD059 -->

### 教本由来

#### scalar

scalar | UK ˈskeɪ.lər | US ˈskeɪ.lɚ | [link](https://dictionary.cambridge.org/dictionary/english/scalar)

スケイラに近い発音。スカラーではない。

[語源的](https://www.etymonline.com/word/scalar)には scale と同根であり、[scale + er](https://en.wiktionary.org/wiki/scaler) だと理解できる。

参考: 教本 p.17

#### vector

vector | UK ˈvek.tər | US ˈvek.tɚ | [link](https://dictionary.cambridge.org/dictionary/english/vector)

ヴェクタ(ー)に近い発音。ベクトルではない。

参考: 教本 p.17

#### matrix

matrix | UK ˈmeɪ.trɪks | US ˈmeɪ.trɪks | [link](https://dictionary.cambridge.org/dictionary/english/matrix)

メイトリクスに近い発音。マトリックスではない、と言われることが多い。

複数形は matrices | UK /-trɪ.siːz/ となっている。

[Weblio](https://ejje.weblio.jp/content/matrixes#google_vignette)には matrixes /ˈmetrɪksɪz(米国英語), ˈmeɪtrɪksɪz(英国英語)/ も掲載されている。

辞書的な発音を踏まえると matrices の方が自然に思える。

参考1: 教本 p.24

参考2: [YouTube-3Blue1Brown](https://youtu.be/XkY2DOUCWMU?t=93) (メイトリクスに近い発音をしている)

参考3: [Wiktionary](https://en.wiktionary.org/wiki/matrix#English) (IPA(key): /ˈmeɪ.tɹɪks/, enPR: māʹtrĭks と、マトリックスに近い発音も2番目ではあるが載せている)

#### eigenvector

<!-- No pronunciation found -->

アイゲンベクターに近い発音。エイゲンではない。

[German-English dictionary](https://dictionary.cambridge.org/dictionary/german-english/eigen)では ˈaiɡən と表記される。

固有ベクトルを意味する。線形空間上の線形変換 $A$ に対し、$Ax = \lambda x$ を満たす $x \neq 0$ のこと。

eigen はドイツ語で "own" の意味。

参考: 教本 p.24

#### eigenvalue

<!-- No pronunciation found -->

アイゲンバリューに近い発音。エイゲンではない。

固有値を意味する。

参考: 教本 p.24

### 河東先生由来

#### algebra

algebra | UK ˈæl.dʒə.brə | US ˈæl.dʒə.brə | [link](https://dictionary.cambridge.org/dictionary/english/algebra)

最初のアにアクセントがある。

代数を意味する。

参考: [河東先生のHP](https://www.ms.u-tokyo.ac.jp/~yasuyuki/english2.htm)

#### finite

finite | UK ˈfaɪ.naɪt | US ˈfaɪ.naɪt | [link](https://dictionary.cambridge.org/dictionary/english/finite)

ファイナイトに近い発音。

有限を意味する形容詞。

参考: [河東先生のHP](https://www.ms.u-tokyo.ac.jp/~yasuyuki/english2.htm)

#### infinite

infinite | UK ˈɪn.fɪ.nət | US ˈɪn.fə.nət | [link](https://dictionary.cambridge.org/dictionary/english/infinite)

インフィニットに近い発音。finiteとの違いに注意。

無限を意味する形容詞。

infinite | UK ˈɪn.fɪ.nət | US ˈɪn.fə.nət | [link](https://dictionary.cambridge.org/dictionary/english/infinite)

参考: [河東先生のHP](https://www.ms.u-tokyo.ac.jp/~yasuyuki/english2.htm)

#### annihilate

annihilate | UK əˈnaɪ.ə.leɪt | US əˈnaɪ.ə.leɪt | [link](https://dictionary.cambridge.org/dictionary/english/annihilate)

アナイアレイトに近い発音。hは発音しない。

零化イデアルおよび零化域を指す。

> $F$ 上のベクトル空間 $V$ の部分集合 $S$ に対し、$S$ の $V^\*$ における**零化域** $S^{\circ}$ は、任意の $s \in S$ に対して $[f, s] = 0$ を満たす線型汎函数 $f \in V^\*$ 全体の成す集合と定義される。すなわち、$S^{\circ}$ は $S$ への制限が消えているような線型汎函数
>
> ```math
> f\colon V \to F \quad (f|_S = 0)
> ```
>
> 全てからなる。

([Wikipedia-双対ベクトル空間](https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%8F%8C%E5%AF%BE%E3%83%99%E3%82%AF%E3%83%88%E3%83%AB%E7%A9%BA%E9%96%93#%E5%95%86%E7%A9%BA%E9%96%93%E3%81%A8%E9%9B%B6%E5%8C%96%E5%9F%9F)より引用)

[語源的](https://www.etymonline.com/word/annihilate)には、ラテン語の"nihil"(無、虚無)が関係している。ニーチェで有名な[ニヒリズムもこのnihilに由来する](https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%8B%E3%83%92%E3%83%AA%E3%82%BA%E3%83%A0)。こう聞くとなんで "h" を読まないんだという気持ちになりますが……

参考1: [河東先生のHP](https://www.ms.u-tokyo.ac.jp/~yasuyuki/english2.htm)

参考2: [ツイート](https://x.com/Keyneqq/status/1037263459514114048)

### 個人的蒐集

#### affine

affine | UK əˈfaɪn | US əˈfaɪn | [link](https://en.wiktionary.org/wiki/affine), [link2](https://ejje.weblio.jp/content/affine#google_vignette)

(ア)ファインに近い発音。アフィンではない。

線形変換と平行移動を組み合わせたもの($x \mapsto Ax+b$)を指す。

[ラテン語で「類似・関連」を意味するaffinisに由来する](https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%A2%E3%83%95%E3%82%A3%E3%83%B3%E5%86%99%E5%83%8F)。

#### algorithm

algorithm | UK ˈæl.ɡə.rɪ.ðəm | US ˈæl.ɡə.rɪ.ðəm | [link](https://dictionary.cambridge.org/dictionary/english/algorithm)

algebraと同じく、最初のアにアクセントがある。ちなみに語源的にも両者は同じとされている。

アルゴリズムを意味する。

参考1: [etymonline - algorithm](https://www.etymonline.com/word/algorithm)

参考2: [etymonline - algebra](https://www.etymonline.com/word/algebra)

#### anti

anti | UK ˈæn.ti | US ˈæn.t̬i | [link](https://dictionary.cambridge.org/dictionary/english/anti)

(ア|エ)ンティに近い発音。アンチではない。

antisymmetric low: 反対称律

#### chaos

chaos | UK ˈkeɪ.ɒs | US ˈkeɪ.ɑːs | [link](https://dictionary.cambridge.org/dictionary/english/chaos)

ケイオスに近い発音。カオスではない。

chaos theory: カオス理論。数的誤差のため予測が困難とされている、二重振り子などの複雑な現象を扱う理論。

#### column

column | UK ˈkɒl.əm | US ˈkɑː.ləm | [link](https://dictionary.cambridge.org/dictionary/english/column)

USの方はカ(ー)ラムに近い発音。コラムではない。

行列の列を意味する。

#### corollary

corollary | UK kəˈrɒl.ər.i | US ˈkɔːr.ə.ler.i | [link](https://dictionary.cambridge.org/dictionary/english/corollary)

UKの方がかなりトリッキーで、形容しがたい発音。コロラリーではない。

系(他の命題や定理から直接導かれる命題)を意味する。

#### gradient

gradient | UK ˈɡreɪ.di.ənt | US ˈɡreɪ.di.ənt | [link](https://dictionary.cambridge.org/dictionary/english/gradient)

グレイディエントに近い発音(eɪの部分に注意)。グラディエントではない。

#### hull

hull | UK hʌl | US hʌl | [link](https://dictionary.cambridge.org/dictionary/english/hull)

ホルとハルの中間に近い発音。フルやハルではない。

convex hull: 凸包

hullは英語で「(穀粒・種などの)外皮、殻、果皮、(特に豆の)さや、(イチゴなどの)へた、おおい、船体」などを意味する。

参考: [Weblio - hull](https://ejje.weblio.jp/content/hull#google_vignette)

#### image

image | UK ˈɪm.ɪdʒ | US ˈɪm.ɪdʒ | [link](https://dictionary.cambridge.org/dictionary/english/image)

イミッジに近い発音。イメージではない。

写像の像を意味する。

#### pseudo

pseudo | UK sjuː.dəʊ- | US suː.doʊ- | [link](https://dictionary.cambridge.org/dictionary/english/pseudo)

シュードに近い発音。ギリシア語由来であり、psychology などと同様に "p" が黙字になっている。

参考1: [Wiki-Pseudo](https://en.wikipedia.org/wiki/Pseudo-)

参考2: [Wiki-黙字](https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%BB%99%E5%AD%97#%E3%82%AE%E3%83%AA%E3%82%B7%E3%82%A2%E8%AA%9E%E3%81%8B%E3%82%89%E3%81%AE%E5%80%9F%E5%85%A5%E8%AA%9E)

pseudo-inverse: 一般化逆行列 (Moore–Penrose inverse とも)

```math
A=U\Sigma V^\top \implies A^+ = V \Sigma^+ U^\top
```

where

```math
\Sigma^+ = \mathrm{diag}(\sigma_1^{-1}, \sigma_2^{-1}, \ldots, \sigma_r^{-1}, 0, \ldots, 0)
```

参考: [高校数学の美しい物語](https://manabitimes.jp/math/2746)

#### relative

relative | UK ˈrel.ə.tɪv | US ˈrel.ə.t̬ɪv | [link](https://dictionary.cambridge.org/dictionary/english/relative)

レラティブに近い発音。リラティブではない。

relative error: 相対誤差
relative entropy: 相対エントロピー

#### remainder

remainder | UK rɪˈmeɪn.dər | US rɪˈmeɪn.dɚ | [link](https://dictionary.cambridge.org/dictionary/english/remainder)

リメインダーに近い発音。リマインダーではない。

剰余を意味する。

リマインダー(スケジュールやメモの内容を思い出させる機能)は、英語で reminder と綴る。

#### secant

secant | UK ˈsiː.kənt | US ˈsiː.kənt | [link](https://dictionary.cambridge.org/dictionary/english/secant)

シーカントに近い発音。セカントではない。

secant: 正割 $\sec \theta = \frac{1}{\cos \theta}$

secant line: 割線 円でいうと弦の延長にあたる

secant method: 割線法。数値解析において、関数の根を求める方法の一つ。ニュートン法における接線を割線で代替する。

参考1: [Wikipedia - 三角関数](https://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%B8%89%E8%A7%92%E9%96%A2%E6%95%B0)

参考2: [Wikipedia - 割線](https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%89%B2%E7%B7%9A)

> 曲線の割線（かっせん、かつせん、英: secant line, secant; 正割線）は、その曲線と（相異なる）ふたつ以上の点で交わる直線を言う。

参考3: [Wikipedia - 割線法](https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%89%B2%E7%B7%9A%E6%B3%95)

#### suffice

suffice | UK səˈfaɪs | US səˈfaɪs | [link](https://dictionary.cambridge.org/dictionary/english/suffices)

サファイスに近い発音。サフィスではない。

It suffices to say that ~: ~と言えば十分である

個人的な衝撃度ランキング2位(1位は[scalar](#scalar))でした。sufficientと混同していました。

私と同じようなミスをしていた方は[例文](https://ejje.weblio.jp/content/suffice)をたくさん聞くと矯正されるかも知れません。

#### tensor

tensor | UK ˈten.sər | US ˈten.sɚ | [link](https://dictionary.cambridge.org/dictionary/english/tensor)

テンサ(ー)に近い発音。テンソルではない。

行列の一般化であり、[テンソル積](https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%86%E3%83%B3%E3%82%BD%E3%83%AB%E7%A9%8D)や[普遍性](https://manabitimes.jp/math/1845)によって定義される。

### 複数の発音が許容されている用語

#### dimension

dimension | UK /ˌdaɪˈmen.ʃən/ /ˌdɪˈmen.ʃən/ | US /ˌdɪˈmen.ʃən/ /ˌdaɪˈmen.ʃən/ | [link](https://dictionary.cambridge.org/dictionary/english/dimension)

ダイメンションに近い発音(UK1番目)とディメンションに近い発音(US1番目)がある。

#### quasi

quasi | UK ˈkweɪ.zaɪ- | US /ˈkwɑː.zaɪ-/ /ˌkweɪ·zɑɪ/ /kwɑzi-/ | [link](https://dictionary.cambridge.org/dictionary/english/quasi)

上記の発音を寡聞にして聞いたことがありませんが、辞書では上記の発音が載っています。

クワジ・クワザイに近い発音を私は聞いたことがあります。

参考1: クワジ派 [YouTube - SciPy](https://www.youtube.com/watch?v=VIoWzHlz7k8&t=724s)

参考2: クワザイ派 [YouTube - Dr Ganguli](https://www.youtube.com/watch?v=CjCBzOwHa3s&t=595s)

### 固有名詞

#### Hermitian

<!-- No pronunciation found -->

[Wiktionary](https://en.wiktionary.org/wiki/Hermitian)は /hɜː(ɹ)ˈmɪʃən/

[Oxford English Dictionary](https://www.oed.com/dictionary/hermitian_adj)は /həːˈmɪʃən/ (British English)

[Merriam-Webster](https://www.merriam-webster.com/dictionary/Hermitian%20matrix)は /ˌhər-ˈmi-shən-/

どれが最も一般的かなどは不明だが、ハーミシャンに近い発音、あるいは、ハーマイシャンに近い発音、あるいは(h)エァーミシャンに近い発音。エルミートではない。

なお、[Charles Hermite](https://en.wikipedia.org/wiki/Charles_Hermite)さんはフランス人であり、Hermiteの現地読みは [/ɛʁ.mit/](https://en.wiktionary.org/wiki/hermite) と「エルミート」に近い。フランス語では "H" を発音しないことが多い。

Hermitian matrix: エルミート行列。複素正方行列 $A$ が $A = A^\dagger \  (\colon= \bar{A^\top})$ を満たすとき、エルミート行列と呼ぶ。

参考: 教本 p.76

#### Jacobian

<!-- No pronunciation found -->

[Wiktionary](https://en.wiktionary.org/wiki/Jacobian#English)には /jɑːˈkəʊ.bi.ən/ /d͡ʒəˈkoʊ.bi.ən/ が載っている。

ジャコ(ウ)ビアンに近い発音。ヤコビアンではない。

なお、[Carl Gustav Jacob Jacobi](https://en.wikipedia.org/wiki/Carl_Gustav_Jacob_Jacobi)さんはドイツ人であり、Jacobiの現地読みは [/jaˈkoːbi/](https://en.wikipedia.org/wiki/Carl_Gustav_Jacob_Jacobi) と「ヤコビ」に近い。

Jacobian matrix: ヤコビ行列。 $J=\left(\frac{\partial f_i}{\partial x_j}\right)_{i,j}$

参考1: 教本 p.76

参考2: [YouTube - How to pronounce Jacobi (Germany/German)](https://www.youtube.com/watch?v=ZLLEkCUWMTM)

#### Poisson

Poisson | UK ˈpwæs.ɒn dɪs.trɪˌbjuː.ʃən | US pwəˈsoʊn dɪs.trɪˌbjuː.ʃən | [link](https://dictionary.cambridge.org/dictionary/english/Poisson)

USの方の発音だと、soʊnにアクセントがある。日本語だとpwəにアクセントがあると思われる。

Poisson distribution: ポアソン分布 $P(X = k) = \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!}$

#### Gaussian

Gaussian | UK ˈɡaʊ.si.ən dɪs.trɪˌbjuː.ʃən | US ˈɡaʊ.si.ən dɪs.trɪˌbjuː.ʃən | [link](https://dictionary.cambridge.org/dictionary/english/Gaussian)

ガウシアンに近い発音。日本人ならば大抵は正解の発音をしていると思います。

外国籍の方がゴーシアンやゴッシャンに近い発音をされるのを聞いたことがあり、そういう訛りもあるのだと知らないと推測がかなり難しいです。

#### Erdos

<!-- No pronunciation found -->

[Wiki](https://en.wikipedia.org/wiki/Paul_Erd%C5%91s)は /ˈɛrdøːʃ/ だが、これはハンガリーの発音であり、下記のGoogleを信用すると、これはBritish Englishに近い。

Googleで[paul erdos how to pronounce](https://www.google.com/search?q=paul+erdos+how+to+pronounce&rlz=1C1ONGR_jaJP1163JP1163&oq=erdos+how+to+pr&gs_lcrp=EgZjaHJvbWUqCAgBEAAYFhgeMgYIABBFGDkyCAgBEAAYFhgeMggIAhAAGBYYHjIICAMQABgWGB4yCAgEEAAYFhgeMggIBRAAGBYYHjIICAYQABgWGB4yCAgHEAAYFhgeMggICBAAGBYYHjIICAkQABgWGB7SAQgzNTAyajBqN6gCALACAA&sourceid=chrome&ie=UTF-8)と検索すると、2025年6月現在、American Englishでは "ehr·duhsh" と発音するとされており、日本語のエルデ(ィ)シュに近い発音である。[日本語版Wiki](https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%9D%E3%83%BC%E3%83%AB%E3%83%BB%E3%82%A8%E3%83%AB%E3%83%87%E3%82%B7%E3%83%A5)の表記はポール・エルデシュ。

Erdos–Renyi model: [ランダムグラフに関するモデル](https://en.wikipedia.org/wiki/Erd%C5%91s%E2%80%93R%C3%A9nyi_model)であり、$n$ 頂点 $M$ 辺の $G(n,M)$ と、$n$ 頂点辺生成確率 $p$ の $G(n,p)$ がある。

Erdos number: [Erdos number](https://en.wikipedia.org/wiki/Erd%C5%91s_number)は、数学者 Erdosさんとの共著距離を表す。Erdosさんと共著を書いた人は1、Erdosさんと共著を書いた人と共著を書いた人は2、というように定義される。

#### Wolfram

Wolfram | UK ˈwʊl.frəm | US ˈwʊl.frəm | [link](https://dictionary.cambridge.org/dictionary/english/Wolfram)

ウルフラムに近い発音とウォルフラムに近い発音を聞いたことがあり、その中間に近い。そもそもこの"wʊ"の音が日本人に難しいという話もある気がします(要出典)。Wolfe条件で有名な[Philip Wolfe](https://en.wikipedia.org/wiki/Philip_Wolfe_(mathematician))さんの名前も同じ発音。

[wood](https://dictionary.cambridge.org/dictionary/english/wood): /wʊd/

[woman](https://dictionary.cambridge.org/dictionary/english/woman): /ˈwʊm.ən/

<iframe width="575" height="323" src="https://www.youtube.com/embed/0HuhHRYZrIw" title="How to Pronounce /wʊ/ in WOOD, WOULD, WOOL, WOLF, WOMAN - English Pronunciation Lesson" frameborder="0" allow="accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share" referrerpolicy="strict-origin-when-cross-origin" allowfullscreen></iframe>

[Wolfram Alpha](https://www.wolframalpha.com/): 数式を入力すると計算結果を返してくれるウェブサービス

[Stephen Wolfram](https://en.wikipedia.org/wiki/Stephen_Wolfram): Wolfram Alphaの開発者

#### Wasserstein

<!-- No pronunciation found -->

steinの部分について、"aɪ"の音で発音することに注意。

Wasserstein計量で有名なRussian-Americanの数学者の[Leonid Nisonovich Vaserstein](https://en.wikipedia.org/wiki/Leonid_Vaserstein)さんだが、このWassersteinの綴りは[ドイツ語由来らしい](https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%AF%E3%83%83%E3%82%B5%E3%83%BC%E3%82%B9%E3%82%BF%E3%82%A4%E3%83%B3%E8%A8%88%E9%87%8F)。

同じくドイツ生まれのアルバート・アインシュタインさんの綴りも "Albert Einstein" と "stein" を含む。

参考1: [YouTube - How to Pronounce Stein](https://www.youtube.com/watch?v=ho-TH0d_0rc)

参考2: [YouTube - Introduction to the Wasserstein distance](https://www.youtube.com/watch?v=CDiol4LG2Ao)

参考3: [How To Pronounce Wasserstein](https://www.howtopronounce.com/wasserstein)

```math
W_p(\mu, \nu) = \inf_{\gamma \in \Gamma(\mu, \nu)} \left(\mathbf{E}_{(x, y) \sim \gamma} d(x, y)^p \right)^\frac{1}{p}
```

($\Gamma(\mu, \nu)$ がカップリング、つまり、よくある堆積した土の例でいうところの移動方法の集合なので、堆積を移動する最小コストを表す)

参考4: [Wikipedia](https://en.wikipedia.org/wiki/Wasserstein_metric)

#### Zorn

<!-- No pronunciation found -->

英語ではゾーンに近い発音のこともある。日本語だとツォルンとよく言われる。尤も、[Max August Zorn](https://en.wikipedia.org/wiki/Max_August_Zorn)さんがドイツ人であり、リンク先に"German: tsɔʁn"とあることから、日本語の方が本来に近い発音かも知れない。

参考1: [YouTube](https://www.youtube.com/watch?v=f8Rv2PHxAwQ&t=222s)

Zorn's lemma: 半順序集合 $P$ は、その全ての鎖(つまり、全順序部分集合)が $P$ に上界を持つとする。このとき、$P$ は少なくともひとつの極大元を持つ。

参考2: [Wikipedia - ツォルンの補題](https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%84%E3%82%A9%E3%83%AB%E3%83%B3%E3%81%AE%E8%A3%9C%E9%A1%8C)

#### Barzilai

<!-- No pronunciation found -->

バジライに近い発音。

参考: [YouTube](https://www.youtube.com/watch?v=thtr1yH4Z38&t=27s) / [forvo](https://forvo.com/search/Barzilai) / [How To Pronounce](https://www.howtopronounce.com/barzilai) などの複数サイト

#### Borwein

<!-- No pronunciation found -->

ボォー(ル)ウェインに近い発音。

Barzilai–Borwein法のBorweinさんです。

<details><summary>Barzilai–Borwein法の解説</summary>

https://en.wikipedia.org/wiki/Barzilai-Borwein_method

本記事の途中で言及したBarzilai–Borwein法は、かなり面白いアルゴリズムなので、少しだけ記します。

Barzilai–Borwein法[^BB]は、凸関数に対する単純な勾配法において、step sizeを次のいずれかに設定する方法です。

```math
\alpha_k^{\mathrm{LONG}} = \frac{\langle s_k, s_k \rangle}{\langle s_k, y_k \rangle} \quad \text{or} \quad \alpha_k^{\mathrm{SHORT}} = \frac{\langle s_k, y_k \rangle}{\langle y_k, y_k \rangle}
```

準Newton法において、セカント条件 $B_{k+1} s_k = y_k$ が重要であることを前提とします ([参考スライド p.28](https://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/coss/coss2023/slides/narushima-lecture.pdf))。

すると、ヘッシアン行列の近似 $B_{k+1}$ として単位行列の定数倍 $1/\alpha I$ を使おうとすると、

```math
\begin{align*}
& \arg\min_{\alpha} \lVert s_k / \alpha - y_k \rVert^2\\

={}& \arg\min_{\alpha} (\alpha^{-2} \lVert s_k\rVert^2 - 2 \alpha^{-1} \langle s_k, y_k \rangle + \lVert y_k\rVert^2)\\
={}& \frac{\lVert s_k\rVert^2}{\langle s_k, y_k \rangle}
\end{align*}
```

あるいは、

```math
\begin{align*}
& \arg\min_{\alpha} \lVert s_k - \alpha y_k \rVert^2\\
={}& \arg\min_{\alpha} (\lVert s_k\rVert^2 - 2 \alpha \langle s_k, y_k \rangle + \alpha^2 \lVert y_k\rVert^2)\\
={}& \frac{\langle s_k, y_k \rangle}{\lVert y_k\rVert^2}
\end{align*}
```

かを使うのが自然です。これらは正に上記のBarzilai–Borwein法のstep sizeに対応します。

ここで、$\alpha_k^{\mathrm{LONG}}$ と $\alpha_k^{\mathrm{SHORT}}$ の大小関係を考えると、

```math
\begin{align*}
&\lVert s_k\rVert \lVert y_k\rVert \geq \langle s_k, y_k \rangle \quad \text{(Cauchy–Schwarz)}\\
\implies{} & \frac{\lVert s_k\rVert^2}{\langle s_k, y_k \rangle} \geq \frac{\langle s_k, y_k \rangle}{\lVert y_k\rVert^2} \\
\implies{} & \alpha_k^{\mathrm{LONG}} \geq \alpha_k^{\mathrm{SHORT}}
\end{align*}
```

であるため、この命名が自然であることも分かります。

なお、このstep sizeはBB step sizeとも呼ばれます[^BBStepSize]。

Rayleigh商との関係でも捉えられます[^rayleigh]。

(以上、Barzilai–Borwein法の説明)

</details>

[Borwein積分](https://en.wikipedia.org/wiki/Borwein_integral)のBorweinさん親子の子供側と同一人物でもあります。

```math
\begin{align*}
& \int_0^\infty \frac{\sin(x)}{x}\frac{\sin(x/3)}{x/3}\cdots\frac{\sin(x/15)}{x/15} \  \mathrm{d}x \\\\
={}& \frac{467807924713440738696537864469}{935615849440640907310521750000} \pi \\\\
\approx{}& \frac \pi 2 - 2.31\times 10^{-11}.
\end{align*}
```

参考1: [YouTube-3Blue1Brown](https://youtu.be/851U557j6HE?t=220)

参考2: [How To Pronounce](https://www.howtopronounce.com/borwein)

## 難単語

### 一般

#### contraposition

<!-- No pronunciation found -->

$P \implies Q$

* 逆 : converse ($Q \implies P$)
* 裏 : inverse ($\neg P \implies \neg Q$)
* 対偶 : contraposition ($\neg Q \implies \neg P$)

#### reciprocal

reciprocal | UK rɪˈsɪp.rə.kəl | US rɪˈsɪp.rə.kəl | [link](https://dictionary.cambridge.org/dictionary/english/reciprocal)

reciprocal は 「逆数」を意味する。$\frac{1}{x}$ のこと。

inverse は 「逆」を意味する。$x \mapsto e^x$ に対して $x \mapsto \log x$ のような関数の逆写像を指す。

Hessian inverse が $(\nabla^2 f)^{-1}$ であるので混乱しそうになるが、基本は日本語と変わらず、逆関数か逆数かの違い。

参考: [Stack Exchange](https://math.stackexchange.com/questions/3531287/what-is-the-difference-between-inverse-and-reciprocal)

### 写像

#### morphism

<!-- No pronunciation found -->

[morphism](https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%B0%84_(%E5%9C%8F%E8%AB%96))(射)は、そもそもの数学的な難しさもあるが、特に似た用語が多く混乱しやすい。

* [homomorphism](https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%BA%96%E5%90%8C%E5%9E%8B) | [語源](https://www.etymonline.com/word/homo-) | 準同型写像 $\left( f(x \cdot y) = f(x) \cdot f(y) \right)$
* [isomorphism](https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%90%8C%E5%9E%8B%E5%86%99%E5%83%8F) | [語源](https://www.etymonline.com/word/iso-) | 同型写像 (逆写像が存在する準同型写像)
* [endomorphism](https://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%87%AA%E5%B7%B1%E6%BA%96%E5%90%8C%E5%9E%8B) | [語源](https://www.etymonline.com/word/endo-) | 自己準同型 (自己への準同型写像)
* [automorphism](https://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%87%AA%E5%B7%B1%E5%90%8C%E5%9E%8B) | [語源](https://www.etymonline.com/word/auto-) | 自己同型 (自己への同型写像)
* [homeomorphism](https://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%BD%8D%E7%9B%B8%E5%90%8C%E5%9E%8B) | [語源](https://www.etymonline.com/word/homeo-) | 同相写像 (位相同型とも。連続かつ全単射であり、逆写像も連続な写像)

### 解析

#### 測度

[測度論](https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%B8%AC%E5%BA%A6%E8%AB%96)は英語で measure theoryである。 measurementではない。

measure: 計量法 物差し 寸法 尺度

measurement: 測量 測定 寸法

参考1: [Weblio - measure](https://ejje.weblio.jp/content/measure)

参考2: [Weblio - measurement](https://ejje.weblio.jp/content/measurement)

<!-- #### 微分 -->

### 最適化

#### 狭義凸

strictly convex: $f(tx + (1-t)y) < tf(x) + (1-t)f(y)$ と等号のない不等式で凸不等式を満たす関数

「真に凸」と言いますが"strictly convex"を「真凸」と訳すと誤訳です。「狭義凸」と訳すのが正しいです。

参考: 私のやらかし

#### 真凸

proper convex: 少なくとも一つの $x$ に対して $f(x) < \infty$ が成立し、全ての $x$ に対して $f(x) \geq -\infty$ が成立する凸関数

参考: [Wikipedia - 真凸函数](https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%9C%9F%E5%87%B8%E5%87%BD%E6%95%B0)

### ツイート

#### radii

radii | UK ˈreɪ.di.aɪ | US ˈreɪ.di.aɪ | [link](https://dictionary.cambridge.org/dictionary/english/radii)

radius /ˈreɪ.di.əs/ (半径) の複数形

alumnus (男子卒業生) の複数形 alumni (男子卒業生たち または 男女両方を含む卒業生たち) と同じく、[ラテン語由来](https://www.etymonline.com/word/radius)の複数形。

[Wikipedia](https://en.wikipedia.org/wiki/Radius)は、(radii or radiuses)と書いており、後者の用例もない訳ではない。

参考1: [外来複数形](https://user.keio.ac.jp/~rhotta/hellog/2019-02-20-1.html)

参考2: [Twitter](https://x.com/tenseiYN99/status/1925438036420304931)

#### equilibria

<!-- No pronunciation found -->

equilibria | UK ˌi:kwʌˈlɪbri:ʌ | US iːkwɪˈlɪbɹɪa | [link](https://ejje.weblio.jp/content/equilibria)

equilibrium /ìːkwəlíbriəm/ (平衡) の複数形。

参考: 上記ツイートのリプライ

#### 整関数

entire function

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%95%B4%E9%96%A2%E6%95%B0

複素数平面の全域で定義される正則函数を指す。関数全体ではない。

参考: 私の友人の鍵垢ツイート

#### 定義の仕方

Let A (数式) denote B (内容).

それ以外の使い方は多くの場合に非推奨とされる。

参考: 教本 p.90

https://x.com/sesiru8/status/1325372621169463296

#### 競技プログラミング

https://x.com/C7C7LL/status/1033888585148030979

## 数式

### 基本的数式

#### 等号

$x=y$

これの読み方は、

1. $x$ equal $y$
2. $x$ equals $y$
3. $x$ equals to $y$
4. $x$ is equal to $y$

のどれが正しいか?

2の $x$ equals $y$ が基本的にはequalの三人称単数現在形としての動詞用法として最も正しい。

4の $x$ is equal to $y$ も叙述的用法の形容詞として正しいが、やや冗長とされる。

1の $x$ equal $y$ は、sがないので文法的に誤りである。

3の $x$ equals to $y$ は、動詞用法としての"equals"と形容詞用法としての"be equal to"が混ざっている。動詞用法では"to"は不要である。

参考1: [Weblio - equal](https://ejje.weblio.jp/content/equal)

参考2: [Cambridge Dictionary](https://dictionary.cambridge.org/dictionary/english/equal#google_vignette)

#### 累乗

$x^2$: $x$ squared

$x^3$: $x$ cubed

$x^n$: $x$ to the power (of) $n$ / $x$ raised to the $n$-th power / $x$ raised to the power of $n$ / the $n$-th power of $x$ / $x$ to the $n$(-th)

$2^{16}$: two to the sixteen(th)

底数はbaseと呼ばれ、指数はexponentと呼ばれる。

参考1: [Wikipedia - Exponentiation](https://en.wikipedia.org/wiki/Exponentiation)

> The exponent is usually shown as a superscript to the right of the base as bn or in computer code as $b^n$. This binary operation is often read as "b to the power n"; it may also be referred to as "b raised to the nth power", "the nth power of b", or, most briefly, "b to the n".

参考2: [StackExchange](https://english.stackexchange.com/questions/74169/how-to-read-exponential-expressions-e-g-216)

> The more common way to say it (in math class or in a mathematical presentation) is a ellipsis of the first: "two to the sixteenth" or just as commonly "two to the sixteen" depending on how rapid speech you are using.

参考3: [YouTube -Powers for Kids](https://www.youtube.com/watch?v=zdu8dII7zRE)

#### 根

$\sqrt{2}$: the square root of two

$\sqrt[3]{2}$: the cube root of two

$\sqrt[n]{2}$: the $n$-th root of two

#### 負の値

-10などの負の値について、"negative ten"と読む方が良いという話があります。尤も、数学者においても、"minus ten"と読むのが一般的とされています。

$15-10=5$ における"-"はminusと読みます。

参考: [StackExchange](https://ell.stackexchange.com/questions/153157/negative-numbers-minus-or-negative)

> It is good mathematical practice to distinguish between positive and negative numbers
> ……(中略)……
> it is very common for people, even mathematicians, to use "minus" in speech

<!--

#### 他

https://librivox.org/uploads/xx-nonproject/Handbook%20for%20Spoken%20Mathematics.pdf

#### 集合記号
-->

## 他サイト

参考用に、数学における英語の用語がまとまったサイトをいくつか列挙しておきます。

[Hyper Collocation](https://hypcol.marutank.net/ja/): arXivでの共起表現や用例を調べることができる

https://www.ryugakusite.com/article/high_school_math/

https://sorabalab.com/glossary/glossary.html

https://qiita.com/bezeklik/items/ad32492b5c247399dca9

## 最後に

以上です。

**他の例をご存じの方は、是非教えてください!**

---

最後に少しだけ補足です。

あくまで個人の意見として、英語を話すときに[発音](#発音)で示したことを全て厳守する必要はないと思っています。よく言われていることですが、訛りや文法の間違いは文意が正確に伝わる限り許容されがちです。

ただ、お恥ずかしながら私は未だに英語の発音が聞き取れないことがあります。予めその傾向を把握しておけば、楽に聞き取れることも増えると思います。

例えば、インドの方の発音はイギリス英語の影響を受けていることが多いです。18世紀頃から1947年8月15日のインド独立まで、イギリスの植民地だった影響と思われます。また、[Wikipedia](https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%A4%E3%83%B3%E3%83%89%E8%8B%B1%E8%AA%9E)によると、"R" を強く発音する傾向があるらしいです(water（水）- ウォータル)。

また、フランスの方の発音は、イギリス英語的な傾向に加え、フランス語の影響も当然受けているので、"R" や "H" の音が特徴的です。例えば、"hospital"（病院）は、オスピタルのように発音される方が多いらしいです([参考](https://qa.speakbuddy.jp/qa/247))。実際私も Hessian の "H" が抜かれている発音を聞いたことがあります。

以上の英語・ヒンディー語・フランス語はいずれも「インド・ヨーロッパ語族」に分類されていますが、語派としては異なり、英語はゲルマン語派に、フランス語はロマンス語派に分類されるようです。共通点と差異の両方を歴史に見出せます。

<img width=100% src="https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/0/07/Sekai-no-gengo.png/1200px-Sekai-no-gengo.png?20081022180809" alt="Sekai-no-gengo">

Auf at Japanese Wikipedia, [CC BY-SA 3.0](http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/), via Wikimedia Commons

こういった傾向も踏まえた上で、辞書的な発音を知っておくことは、数学的主張の理解に有効だと思います。

本記事が皆様の数学に関する英語の理解に役立てば幸いです。

[^BB]: [Barzilai, J., & Borwein, J. M. (1988). Two-point step size gradient methods. IMA journal of numerical analysis, 8(1), 141-148.](https://academic.oup.com/imajna/article-abstract/8/1/141/802460)

[^BBStepSize]: [Tan, C., Ma, S., Dai, Y. H., & Qian, Y. (2016). Barzilai–Borwein step size for stochastic gradient descent. Advances in neural information processing systems, 29.](https://proceedings.neurips.cc/paper/2016/hash/c86a7ee3d8ef0b551ed58e354a836f2b-Abstract.html)

[^rayleigh]: [Raydan, M. (1993). On the Barzilai and Borwein choice of steplength for the gradient method. IMA Journal of Numerical Analysis, 13(3), 321-326.](https://academic.oup.com/imajna/article-abstract/13/3/321/703847?redirectedFrom=fulltext)