統計学と関数


---

## 【1. 基本関数 / Basic Functions】

| 名称    | 式                              | 説明              | 統計学との関係・応用例         |
| ----- | ------------------------------ | --------------- | ------------------- |
| 定数関数  | $f(x) = c$                     | 任意の入力に対して同じ値を返す | 母平均が一定である仮定／基準値との比較 |
| 一次関数  | $f(x) = ax + b$                | 傾きを持つ直線         | 回帰分析（線形回帰モデル）       |
| 二次関数  | $f(x) = ax^2 + bx + c$         | 放物線             | 最小二乗法の残差平方和／分散分析の理論 |
| 多項式関数 | $f(x) = a_nx^n + \cdots + a_0$ | 複数次数の項          | 回帰モデルの高次拡張（多項式回帰）   |

---

## 【2. 根・指数・対数関数】

| 名称     | 式                    | 説明         | 統計学との関係・応用例        |
| ------ | -------------------- | ---------- | ------------------ |
| 平方根関数  | $f(x) = \sqrt{x}$    | xの正の平方根    | 標準偏差やRMSEの計算       |
| 指数関数   | $f(x) = a^x$         | aを底とする指数   | 母数の増加モデル／成長曲線／尤度関数 |
| 自然指数関数 | $f(x) = e^x$         | ネイピア数 e を底 | 対数尤度／指数分布／正規分布の核   |
| 常用対数関数 | $f(x) = \log_{10} x$ | 底10の対数     | 尺度変換／情報量の直観的理解     |
| 自然対数関数 | $f(x) = \ln x$       | 底eの対数      | 対数変換／GLM・正規化変数に利用  |

---

## 【3. 三角関数と逆関数】

| 名称   | 式                                | 説明      | 統計学との関係・応用例      |
| ---- | -------------------------------- | ------- | ---------------- |
| 正弦関数 | $\sin x$                         | 単位円のy座標 | 波形データ分析／時系列周期性検出 |
| 余弦関数 | $\cos x$                         | 単位円のx座標 | 周期関数の表現（スペクトル分析） |
| 正接関数 | $\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$ | 角度の比率   | 回帰の傾き・勾配と関連      |
| 逆正弦  | $\arcsin x$                      | sinの逆関数 | スケーリング処理や変換関数として |
| 逆余弦  | $\arccos x$                      | cosの逆関数 | 距離や角度計算（統計的幾何）   |
| 逆正接  | $\arctan x$                      | tanの逆関数 | 相関係数を角度的に評価      |

---

## 【4. 双曲線関数 / Hyperbolic Functions】

| 名称    | 式                                   | 説明        | 統計学との関係・応用例        |
| ----- | ----------------------------------- | --------- | ------------------ |
| 双曲線正弦 | $\sinh x = \frac{e^x - e^{-x}}{2}$  | 指数関数型の奇関数 | 非線形変換や活性化関数の基礎     |
| 双曲線余弦 | $\cosh x = \frac{e^x + e^{-x}}{2}$  | 指数関数型の偶関数 | カーネル関数やリッジ回帰の変形で出現 |
| 双曲線正接 | $\tanh x = \frac{\sinh x}{\cosh x}$ | 双曲線比      | 活性化関数（深層学習）として利用   |

---

## 【5. 特殊関数 / Special Functions】

| 名称        | 式                                                      | 説明      | 統計学との関係・応用例       |
| --------- | ------------------------------------------------------ | ------- | ----------------- |
| ガンマ関数     | $\Gamma(n) = \int_0^\infty t^{n-1}e^{-t} dt$           | 階乗の一般化  | ガンマ分布、ベイズ推定の事前分布  |
| ベータ関数     | $B(x,y) = \int_0^1 t^{x-1}(1-t)^{y-1} dt$              | 確率分布に利用 | ベータ分布の定義／ベイズ推定で活躍 |
| シグモイド関数   | $\sigma(x) = \frac{1}{1+e^{-x}}$                       | S字型関数   | ロジスティック回帰／尤度関数    |
| ソフトマックス関数 | $\text{softmax}(x_i) = \frac{e^{x_i}}{\sum_j e^{x_j}}$ | 確率的出力   | 多クラス分類の確率出力モデル    |

---

## 【6. 統計分布関数 / Probability Distribution Functions】

| 名称      | 式の一部                                                             | 説明           | 統計学との関係・応用例        |
| ------- | ---------------------------------------------------------------- | ------------ | ------------------ |
| 正規分布    | $\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}$ | 平均と分散を持つ連続分布 | 推定・検定・誤差分析の基本      |
| ポアソン分布  | $\frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!}$                              | 一定時間内の発生回数   | 希少事象のモデリング／期待回数の推定 |
| ベルヌーイ分布 | $P(x) = p^x(1-p)^{1-x}$                                          | 2値の成功・失敗     | バイナリ分類・ロジスティック回帰   |
| 二項分布    | $P(k) = \binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}$                              | 試行の成功回数分布    | 推定・信頼区間・仮説検定に活用    |

---