PIDと力学



## ✅ 問題の微分方程式

$$
m \ddot{x}(t) + c \dot{x}(t) + k x(t) = 0
$$

これは定数係数2階同次線形常微分方程式です。

---

## ✅ 特性方程式とその解の公式

対応する特性方程式は：

$$
m r^2 + c r + k = 0
$$

これに対し、解の公式（2次方程式の解の公式）を使うと：

$$
\boxed{
r = \frac{-c \pm \sqrt{c^2 - 4mk}}{2m}
}
$$

---

## ✅ 判別式 $D = c^2 - 4mk$ による分類

### ◉ 1. $D > 0$：過減衰（実数解2つ）

$$
r_1 = \frac{-c + \sqrt{c^2 - 4mk}}{2m}, \quad
r_2 = \frac{-c - \sqrt{c^2 - 4mk}}{2m}
$$

$$
\boxed{
x(t) = A e^{r_1 t} + B e^{r_2 t}
}
$$

---

### ◉ 2. $D = 0$：臨界減衰（重解）

$$
r = \frac{-c}{2m}
$$

$$
\boxed{
x(t) = (A + B t) e^{-\frac{c}{2m} t}
}
$$

---

### ◉ 3. $D < 0$：弱減衰（複素共役解）

$$
r = \frac{-c}{2m} \pm i \omega_d
\quad \text{with} \quad
\omega_d = \sqrt{\frac{4mk - c^2}}{2m}
$$

$$
\boxed{
x(t) = e^{-\frac{c}{2m} t} \left( A \cos(\omega_d t) + B \sin(\omega_d t) \right)
}
$$

---

## ✅ 補足：無次元減衰率と自然振動数

* 減衰比 $\zeta = \frac{c}{2 \sqrt{mk}}$
* 自然振動数 $\omega_n = \sqrt{\frac{k}{m}}$
* 減衰振動数 $\omega_d = \omega_n \sqrt{1 - \zeta^2}$

---

## ✅ まとめ図式

| 条件          | 根 $r$ | 解の形                                                           |
| ----------- | ----- | ------------------------------------------------------------- |
| $c^2 > 4mk$ | 実数2個  | $A e^{r_1 t} + B e^{r_2 t}$                                   |
| $c^2 = 4mk$ | 重解1個  | $(A + B t) e^{r t}$                                           |
| $c^2 < 4mk$ | 複素共役  | $e^{-\frac{c}{2m} t} (A \cos \omega_d t + B \sin \omega_d t)$ |

---

## ✅ 1. ラグランジアン $\mathcal{L}$ の定義（保存系）

解析力学では運動方程式を**ラグランジアン**：

$$
\mathcal{L}(x, \dot{x}) = T - V
$$

の変分（オイラー–ラグランジュ方程式）から導きます。

---

### ● 質点バネ系（非減衰）の場合

* 運動エネルギー（質点）：

  $$
  T = \frac{1}{2} m \dot{x}^2
  $$

* ポテンシャルエネルギー（ばね）：

  $$
  V = \frac{1}{2} k x^2
  $$

したがって：

$$
\mathcal{L}(x, \dot{x}) = \frac{1}{2} m \dot{x}^2 - \frac{1}{2} k x^2
$$

---

## ✅ 2. オイラー–ラグランジュ方程式

$$
\frac{d}{dt} \left( \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{x}} \right) - \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial x} = 0
$$

適用すると：

$$
m \ddot{x} + k x = 0
$$

---

## ✅ 3. ダンパーを含む非保存系

通常のラグランジアン形式は保存系（摩擦や抵抗なし）に対応しますが、**ダンパー（抵抗）**を含む非保存系は**レイリーの散逸関数** $\mathcal{F}$ を導入して拡張できます：

---

### ● レイリー散逸関数（Rayleigh dissipation function）

$$
\mathcal{F} = \frac{1}{2} c \dot{x}^2
$$

* **損失エネルギー**を表す準関数
* 摩擦力（非保存力）は：

  $$
  Q_{\text{non-conservative}} = -\frac{\partial \mathcal{F}}{\partial \dot{x}} = -c \dot{x}
  $$

---

## ✅ 4. 拡張オイラー–ラグランジュ方程式（散逸系）

$$
\frac{d}{dt} \left( \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{x}} \right) - \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial x} + \frac{\partial \mathcal{F}}{\partial \dot{x}} = 0
$$

代入すると：

$$
m \ddot{x} + c \dot{x} + k x = 0
$$

→ 解析力学でも、ダンパー付きの運動方程式が導出可能。

---

## ✅ 5. まとめ

| 項目      | 内容                                                                  |
| ------- | ------------------------------------------------------------------- |
| ラグランジアン | $\mathcal{L} = T - V = \frac{1}{2} m \dot{x}^2 - \frac{1}{2} k x^2$ |
| レイリー関数  | $\mathcal{F} = \frac{1}{2} c \dot{x}^2$                             |
| 運動方程式   | $m \ddot{x} + c \dot{x} + k x = 0$                                  |
| 解法      | 特性方程式／固有値解析／指数関数解                                                   |

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## ✅ モデル（共通）

運動方程式（2階微分方程式）：

$$
m \ddot{x}(t) + c \dot{x}(t) + k x(t) = u(t)
$$

ここで：

* $x(t)$：位置（出力）
* $u(t)$：外力（入力）

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## ✅ 1. 古典制御（Classical Control）

### ● 特徴

* **伝達関数**ベース
* \*\*SISO系（単一入力・出力）\*\*中心
* 周波数領域での制御（ボード線図など）

### ● 伝達関数

ラプラス変換（初期値ゼロ）すると：

$$
G(s) = \frac{X(s)}{U(s)} = \frac{1}{m s^2 + c s + k}
$$

### ● 設計手法の例

| 手法         | 内容               |
| ---------- | ---------------- |
| P/PI/PID制御 | 誤差に比例・積分・微分で出力生成 |
| ルート軌跡法     | 極配置による応答調整       |
| ボード線図      | ゲイン余裕・位相余裕の設計    |

---

## ✅ 2. 現代制御（Modern Control）

### ● 特徴

* **状態空間表現**が基本
* \*\*MIMO系（多入力・多出力）\*\*にも対応
* 時間領域での制御が中心
* 最適制御やフィードバックゲイン設計に強い

### ● 状態空間モデル

状態変数定義：

$$
x_1 = x(t), \quad x_2 = \dot{x}(t)
$$

状態方程式：

$$
\begin{cases}
\dot{x}_1 = x_2 \\
\dot{x}_2 = -\frac{k}{m} x_1 - \frac{c}{m} x_2 + \frac{1}{m} u
\end{cases}
\quad \Rightarrow \quad
\dot{\mathbf{x}} = A \mathbf{x} + B u
$$

出力方程式：

$$
y = C \mathbf{x} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \end{bmatrix} \mathbf{x}
$$

行列形式：

$$
A = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ -k/m & -c/m \end{bmatrix}, \quad
B = \begin{bmatrix} 0 \\ 1/m \end{bmatrix}, \quad
C = \begin{bmatrix} 1 & 0 \end{bmatrix}
$$

---

## ✅ 現代制御の設計法

| 手法                  | 内容                   |
| ------------------- | -------------------- |
| 極配置（Pole Placement） | $A - BK$の固有値を指定      |
| 最適制御（LQR）           | コスト関数最小化によりゲイン設計     |
| オブザーバ               | 状態推定器の設計（例：カルマンフィルタ） |
| 可制御性・可観測性           | 数学的設計可能性の判断基準        |

---

## ✅ 両者の比較表

| 項目   | 古典制御        | 現代制御                |
| ---- | ----------- | ------------------- |
| 主体   | 伝達関数 $G(s)$ | 状態空間モデル $(A, B, C)$ |
| 設計対象 | ゲイン・位相      | 状態フィードバック $u = -Kx$ |
| 出力   | 1出力が基本      | 多出力にも対応             |
| 制御設計 | 周波数応答       | 時間応答＋最適性            |
| 可視化  | ボード線図       | 時系列プロット、固有値配置       |

---