高校レベルの数学で考える～スペースコロニーの中でジャンプしたら無重力状態になるの？

コリオリって何それ？美味しいの？

# はじめに

「人類が増え過ぎた人口を宇宙に移民させたスペースコロニーを舞台とした某アニメ」が作られてから半世紀が過ぎようとしている。

スペースコロニーにおける物理学について詳しくは参考文献をあたって欲しいが，コリオリの力など大学レベルの数学・物理学の能力を前提にしており，はっきり言って難しすぎる。そのせいか中途半端で不正確な認識が広まったような気がして，衆知を集めるＡＩの意見も必ずしも信用できないのは怖いところでもある。

本記事の目的は（国民の大半が理解し得るはずの）高校レベルの数学でスペースコロニーにおける物理学を説明しようというものである。

# そもそもの疑問

重力とは無限遠まで到達する遠距離力であり，地上で重力を感じるのは当然のこととして，空中に浮いている物体にも重力が働くので，重力に反する浮力や推力，揚力などが無ければ地表に落下してしまう。

一方，スペースコロニー内で発生させている疑似重力は自転による遠心力由来であるから，スペースコロニーの内壁では疑似重力を感じることができても，ジャンプなどにより内壁から僅かでも離れてしまえば疑似重力を感じないはずである。

あれれ？スペースコロニー内でジャンプするとそのままふわふわと空中浮遊してしまうのだろうか？

# 問題設定

スペースコロニーの内壁上の点Ａから中心点Ｏに向けて，すなわち真上にジャンプしたときの軌道を考えよう。ジャンプしたときの垂直方向の初速 $v$ とする。一方，スペースコロニーは自転しており内壁上の点Ａにおける水平方向の速度 $V$ とする。スペースコロニーの外側から見ると，垂直方向の速度 $v$ と水平方向の速度 $V$ の合成ベクトル $V'$ の方向に飛んでいくことになる。空気抵抗を無視すれば，速度 $V'$ の等速直線運動で飛んでいき，コロニーの内壁上の点Ｂに着地することになる。

このとき点Ａから点Ｂまで速度 $V'$ で直線移動する時間と，スペースコロニーの自転により内壁上の点Ａが点Ｂの位置まで回転する時間が同じであれば，たんにジャンプして元の位置に着地したように見えるはずである。

```plantuml
@startuml
<style>
root {
  margin 0
  padding 0
}
title {
  fontStyle normal
  fontSize 16
}
</style>
sprite FIGURE <svg width="480" height="480">
<circle cx="240" cy="240" r="200" fill="none" stroke="lightgray" stroke-width="4">
<g fill="gray">
<path d="M274.6 260 a40 40 0 0 1 -34.6 20 v1 a41 41 0 0 0 36.4 -20.5">
<path d="M274.6 420 a40 40 0 0 1 5.4 20 h1 a41 41 0 0 0 -4.5 -20.5">
</g>
<g fill="black">
<path d="M240 240 v200 h1 v-200">
<path d="M240 240 v200 h1 v-200" transform="rotate(-60,240,240)">
<path d="M240 440 h200 v1 h-200" transform="rotate(-30,240,440)">
<path d="M240 390 h5 v1 h-5">
<path d="M250 390 h5 v1 h-5">
<path d="M260 390 h5 v1 h-5">
<path d="M270 390 h5 v1 h-5">
<path d="M280 390 h5 v1 h-5">
<path d="M290 390 h5 v1 h-5">
<path d="M300 390 h5 v1 h-5">
<path d="M310 390 h5 v1 h-5">
<path d="M320 390 h5 v1 h-5">
<path d="M326 440 v-5 h1 v5">
<path d="M326 430 v-5 h1 v5">
<path d="M326 420 v-5 h1 v5">
<path d="M326 410 v-5 h1 v5">
<path d="M326 400 v-5 h1 v5">
</g>
<g fill="cyan">
<path d="M240 439 h74 v-2 l12 4 l-12 4 v-2 h-74">
</g>
<g fill="lime">
<path d="M239 440 v-38 h-2 l4 -12 l4 12 h-2 v38">
</g>
<g fill="magenta">
<path d="M240 439 h88 v-2 l12 4 l-12 4 v-2 h-88" transform="rotate(-30,240,440)">
</g>
<g fill="black">
<circle cx="240" cy="240" r="3">
<circle cx="240" cy="440" r="3">
<circle cx="413" cy="340" r="3">
</g>
<text x="235" y="230" font-size="16" fill="black">O</text>
<text x="235" y="460" font-size="16" fill="black">A</text>
<text x="420" y="350" font-size="16" fill="black">B</text>
<text x="225" y="348" font-size="16" fill="black">R</text>
<text x="330" y="286" font-size="16" fill="black">R</text>
<text x="225" y="396" font-size="16" fill="lime">v</text>
<text x="330" y="446" font-size="16" fill="cyan">V</text>
<text x="323" y="386" font-size="16" fill="magenta">V'</text>
<text x="258" y="292" font-size="16" fill="black">2θ</text>
<text x="284" y="434" font-size="16" fill="black">θ</text>
</svg>
title
<$FIGURE>
図１　スペースコロニーの中でジャンプしたときの軌道
end title
@enduml
```

# 高校レベルの数学で解く

垂直方向の速度 $v$ と水平方向の速度 $V$ として，

```math
\frac{v}{V} = \tan \theta \tag{1}
```

とおくと，二等辺三角形ＯＡＢの中心角 $\angle{AOB} = 2 \theta$ となるから，線分ＡＢの長さはスペースコロニーの半径 $R$ とおくと

```math
\overline{AB} = 2R \sin \theta \tag{2}
```

となり，線分ＡＢ間の移動時間 $t_1$ は

```math
t_1 = \frac{2R \sin \theta}{V'} \tag{3}
```

となる。$\sin \theta = v / V'$ であるから

```math
t_1 = \frac{2Rv}{(V')^2} = \frac{2Rv}{v^2 + V^2} \tag{4}
```

となる。一方，スペースコロニーが自転により点Ａから点Ｂまで回転に要する時間 $t_2$ は，自転の角速度 $\omega$ とおくと

```math
t_2 = \frac{2\theta}{\omega} \tag{5}
```

となる。$V = R \omega$ であるから

```math
t_2 = \frac{2R \theta}{V} \tag{6}
```

となる。ここで $V \gg v$ であれば $\theta \approx \tan \theta = v / V$ と近似できるので

```math
t_2 \approx \frac{2Rv}{V^2} \tag{7}
```

となる。一方，式 $(4)$ のほうも

```math
t_1 = \frac{2Rv}{v^2 + V^2} \approx \frac{2Rv}{V^2} \tag{8}
```

と近似できることから，$t_1 \approx t_2$ が成立する。

:::note
厳密には $t_1 < t_2$ である。式 $(3)$ と式 $(6)$ を比べれば一目瞭然であるが，$2R \sin \theta$ は線分ＡＢの長さ，$2R \theta$ は弧ＡＢの長さであるから $2R \sin \theta < 2R \theta$ であり，$V' > V$ でもあるからだ。つまり，厳密にはジャンプしても元の位置には落ちずに少しずれる。
:::

# 滞空時間

地球上（地上）における重力加速度 $g$ とおく。地球上で垂直方向に初速度 $v$ でジャンプしたときの滞空時間を考える。時間 $t$ における高さ $h$ とおくと，初期条件 $t = 0$ において $h = 0$ として

```math
h = \int (v - gt)dt = vt - \frac{1}{2} gt^2 = \left(v - \frac{1}{2}gt \right)t \tag{9}
```

となるから，$h = 0$ となるのは $t = 0$ または $t = 2v/g$ である。これより滞空時間は $2v/g$ である。一方，スペースコロニーの内壁において発生する遠心力は重力加速度 $g$ に等しいので $g = V^2 / R$ であるから，式 $(8)$ に代入して

```math
t_1 \approx \frac{2v}{g} \tag{10}
```

となり，ジャンプしたときの滞空時間も地球上（地上）と変わらないことが分かる。

# 最高到達点

ジャンプしたときの最高到達点（高さ）を求めよう。地球上（地上）でジャンプした場合は，式 $(9)$ を微分して

```math
\frac{dh}{dt} = v - gt \tag{11}
```

最高到達点では $dh /dt = 0$ となるから，最高到達点に達する時刻 $t = v/g$ となる。これを式 $(9)$ に代入すれば最高到達点の高さが得られる。

```math
h = \frac{v^2}{2g} \tag{12}
```

一方，スペースコロニー内でジャンプしたときの最高到達点を考える。線分ＡＢの中点Ｃ，弧ＡＢの中点Ｄとおくと線分ＣＤの長さがスペースコロニーの内壁から見た最高到達点となる。

```plantuml
@startuml
<style>
root {
  margin 0
  padding 0
}
title {
  fontStyle normal
  fontSize 16
}
</style>
sprite FIGURE <svg width="480" height="480">
<circle cx="240" cy="240" r="200" fill="none" stroke="lightgray" stroke-width="4">
<g fill="gray">
<path d="M260 274 a40 40 0 0 1 -20 5.4 v1 a41 41 0 0 0 20.5 -4.5">
</g>
<g fill="black">
<path d="M240 240 v200 h1 v-200">
<path d="M240 240 v200 h1 v-200" transform="rotate(-60,240,240)">
<path d="M240 240 v200 h1 v-200" transform="rotate(-30,240,240)">
<path d="M240 440 h200 v1 h-200" transform="rotate(-30,240,440)">
</g>
<g fill="black">
<circle cx="240" cy="240" r="3">
<circle cx="240" cy="440" r="3">
<circle cx="413" cy="340" r="3">
<circle cx="327" cy="390" r="3">
<circle cx="340" cy="413" r="3">
</g>
<text x="235" y="230" font-size="16" fill="black">O</text>
<text x="235" y="460" font-size="16" fill="black">A</text>
<text x="420" y="350" font-size="16" fill="black">B</text>
<text x="308" y="394" font-size="16" fill="black">C</text>
<text x="344" y="430" font-size="16" fill="black">D</text>
<text x="225" y="348" font-size="16" fill="black">R</text>
<text x="330" y="286" font-size="16" fill="black">R</text>
<text x="250" y="296" font-size="16" fill="black">θ</text>
</svg>
title
<$FIGURE>
図２　スペースコロニーの中でジャンプしたときの最高到達点
end title
@enduml
```

図２より線分ＣＤの長さは

```math
\overline{CD} = R \left( 1 - \cos\theta \right) \tag{13}
```

となる。ここで

```math
\begin{align}
1 - \cos\theta &= 1 - \frac{V}{V'} \\
&= 1 - \frac{V}{\sqrt{v^2 + V^2}} \\
&= 1 - \frac{1}{\sqrt{1 + (v/V)^2}}
\end{align} \tag{14}
```

となり，$v \ll V$ であれば

```math

\frac{1}{\sqrt{1 + (v/V)^2}} = \left[ 1 + \left( \frac{v}{V} \right)^2 \right] ^{-\frac{1}{2}} \approx 1 -  \frac{1}{2} \left( \frac{v}{V} \right)^2 \tag{15}
```

と近似できるので，これを式 $(14)$ に代入すれば

```math
1 - \cos\theta \approx \frac{1}{2} \left( \frac{v}{V} \right)^2 \tag{16}
```

が得られる。これを式 $(13)$ に代入すれば

```math
\overline{CD} \approx \frac{R}{2} \left(\frac{v}{V}\right)^2  \tag{17}
```

となる。スペースコロニーの内壁において発生する遠心力は重力加速度 $g$ に等しく，$g = V^2 / R$ であるから

```math
\overline{CD} \approx \frac{v^2}{2g} \tag{18}
```

となり，ジャンプしたときの最高到達点の高さも地球上（地上）と変わらないことが分かる。

# 数値解

いちおう数値解を求めておこう。

地球上の地表面上からジャンプして最高到達点 $h$ まで達するのに必要な（垂直方向の）初速度を $v$ とすると，式 $(12)$ より

```math
v = \sqrt{2gh} \tag{19}
```

となる。スペースコロニー内での滞空時間 $t_1$ は式 $(4)$ より

```math
t_1 = \frac{2Rv}{v^2 + V^2} \tag{20}
```

である。着地した際の位置のずれ $\Delta x$ は $\theta = \tan^{-1}{v / V}$ として

```math
\Delta x = 2R \theta - V t_1 \tag{21}
```

である。表１の定数を用いて計算した結果を表２に示す。

<table>
<caption>表１　スペースコロニーの定数諸元表</caption>
<thead>
<tr><th style="text-align:center">項目</th>
    <th style="text-align:center">記号</th>
    <th style="text-align:center">数値</th>
    <th style="text-align:center">単位</th></tr>
</thead>
<tbody>
<tr><td>シリンダー半径</td>
    <td style="text-align:center">$R$</td>
    <td style="text-align:right">3200</td>
    <td>[m]</td></tr>
<tr><td>シリンダーの自転周期</td>
    <td style="text-align:center">$T$</td>
    <td style="text-align:right">113.5</td>
    <td>[s]</td></tr>
<tr><td>シリンダー内壁の線速度</td>
    <td style="text-align:center">$V$</td>
    <td style="text-align:right">177.1</td>
    <td>[m/s]</td></tr>
</tbody>
</table>

$V = 2\pi R / T$ という関係である。

<table>
<caption>表２　ジャンプ時の初速度と着地時の位置のずれ</caption>
<thead>
<tr><th style="text-align:center">最高到達点<br>$h$ [m]</th>
    <th style="text-align:center">初速度<br>$v$ [m/s]</th>
    <th style="text-align:center">滞空時間<br>$t_1$ [s]</th>
    <th style="text-align:center">位置のずれ<br>$\Delta x$ [m]</th></tr>
</thead>
<tbody>
<tr><td style="text-align:right">1</td>
    <td style="text-align:right">4.43</td>
    <td style="text-align:right">0.902</td>
    <td style="text-align:right">0.067</td></tr>
<tr><td style="text-align:right">2</td>
    <td style="text-align:right">6.26</td>
    <td style="text-align:right">1.275</td>
    <td style="text-align:right">0.188</td></tr>
<tr><td style="text-align:right">3</td>
    <td style="text-align:right">7.67</td>
    <td style="text-align:right">1.561</td>
    <td style="text-align:right">0.345</td></tr>
<tr><td style="text-align:right">5</td>
    <td style="text-align:right">9.90</td>
    <td style="text-align:right">2.013</td>
    <td style="text-align:right">0.742</td></tr>
<tr><td style="text-align:right">10</td>
    <td style="text-align:right">14.00</td>
    <td style="text-align:right">2.838</td>
    <td style="text-align:right">2.090</td></tr>
<tr><td style="text-align:right">20</td>
    <td style="text-align:right">19.80</td>
    <td style="text-align:right">3.988</td>
    <td style="text-align:right">5.869</td></tr>
<tr><td style="text-align:right">30</td>
    <td style="text-align:right">24.25</td>
    <td style="text-align:right">4.854</td>
    <td style="text-align:right">10.702</td></tr>
<tr><td style="text-align:right">50</td>
    <td style="text-align:right">31.30</td>
    <td style="text-align:right">6.191</td>
    <td style="text-align:right">22.693</td></tr>
<tr><td style="text-align:right">100</td>
    <td style="text-align:right">44.27</td>
    <td style="text-align:right">8.498</td>
    <td style="text-align:right">61.922</td></tr>
</tbody>
</table>

日常生活には支障ないかもしれないが，たかだか１～２[m]程度でもボールを投げ上げるだけで数[cm]から十数[cm]のズレが発生してしまうのでスポーツをするときには色々苦労しそうである。バスケットボールのフリースローや３点シュート，ゴルフのアプローチショットなどは影響が無視できないかもしれない。

また 44.27 [m/s] は 159 [km/h] に相当する。プロ野球の打者の打球速度はこのレベルだと思うが，60[m] 以上も落下点がずれるとなればスペースコロニー内で野球はできそうにない。

:::note
といいつつ，宇宙世紀のプロスポーツ選手は適応しそうでもある。
:::

# タイトルの答え

無重力状態を「物体に働く重力を感じない状態」と定義すると，

> スペースコロニーの中でジャンプしたら無重力状態になるの？

という問いには YES となる。ただし，地球上でもジャンプしたら着地するまでの自由落下中は無重力状態になるという点では変わらない。すなわち地球上でもスペースコロニー内でもジャンプすれば地表やスペースコロニー内壁に落下するまでの短い時間は無重力状態にはなるが，そのまま浮遊状態が続くという訳ではないのだ。無重力状態の定義についても参考文献を参照されたい。

> 無重力とは重力がないという意味です。重力の原因となる星や惑星から遠く離れた空間の性質です。しかし、重力があっても自由落下している空間は無重力と同じ状態になっています。

この回答に納得ができない人は次のように考えてみよう。

無重力空間の中で 1G 加速を続けるエレベータがあったとしよう。エレベータの床面に立っていればちょうど 1G の疑似重力を感じることができる。ジャンプして床面を離れた瞬間から暫くは疑似重力を感じない，すなわち無重力状態になるが，加速を続けるエレベータにいずれ追い付かれて床面に着地すると再び疑似重力を感じるようになる。

この過程を数式で表すと以下のようになる。

時刻 $t = 0$ に速度 $V$ で上昇中のエレベータから相対速度 $v$ でジャンプするとエレベータの外からは合成速度 $V + v$ の等速直線運動で移動するように見えるので，時刻 $t$ における位置は $y_1(t) = (V + v) t$ となる。一方，エレベータは加速度 $g$ で加速し続けるので，時刻 $t$ における速度 $V + g t$，位置 $y_2(t) = V t  + g t^2/2$ となる。エレベータ床面からの相対位置 $y_1(t) - y_2(t)$ を求めると式 $(9)$ と同じになる。

```math
y_1(t) - y_2(t) = (V + v) t - \left(V t + \frac{1}{2} g t^2\right) = v t - \frac{1}{2} g t^2 = \left(v - \frac{1}{2}gt \right)t \tag{22}
```

```plantuml
@startuml
<style>
root {
  margin 0
  padding 0
}
title {
  fontStyle normal
  fontSize 16
}
</style>
sprite FIGURE <svg width="320" height="320">
<path d="M40 40 h240 v240 h-240" fill="lightgray">
<path d="M48 48 h224 v224 h-224" fill="white">
<path d="M160 20 l-16 16 h8 v16 h16 v-16 h8" fill="#ED7D31">
<path d="M160 184 l-8 12 h4 v8 h8 v-8 h4" fill="#5B9BD5">
<circle cx="160" cy="240" r="32" fill="none" stroke="gray" stroke-width="2">
<g fill="black">
<ellipse cx="150" cy="230" rx="2" ry="4">
<ellipse cx="170" cy="230" rx="2" ry="4">
</g>
<text x="144" y="70" font-size="16" fill="#ED7D31">V+gt</text>
<text x="156" y="180" font-size="16" fill="#5B9BD5">v</text>
</svg>
title
<$FIGURE>
図３ 1G加速を続けるエレベータの中
end title
@enduml
```
```plantuml
@startuml
<style>
root {
  margin 0
  padding 0
}
title {
  fontStyle normal
  fontSize 16
}
</style>
sprite FIGURE <svg width="330" height="320">
<g fill="black">
<path d="M40 30 v270 h1 v-270">
<path d="M40 30 v10 h1 v-10" transform="rotate(20,40,30)">
<path d="M40 30 v10 h1 v-10" transform="rotate(-20,40,30)">
<path d="M310 300 h-270 v1 h270">
<path d="M310 300 h-10 v1 h10" transform="rotate(20,310,300)">
<path d="M310 300 h-10 v1 h10" transform="rotate(-20,310,300)">
</g>
<g fill="#5B9BD5">
<path d="M40 299 h42.4 v2 h-42.4" transform="rotate(-45,40,300)">
<path d="M70 269 h42.4 v2 h-42.4" transform="rotate(-45,70,270)">
<path d="M100 239 h42.4 v2 h-42.4" transform="rotate(-45,100,240)">
<path d="M130 209 h42.4 v2 h-42.4" transform="rotate(-45,130,210)">
<path d="M160 179 h42.4 v2 h-42.4" transform="rotate(-45,160,180)">
<path d="M190 149 h42.4 v2 h-42.4" transform="rotate(-45,190,150)">
<path d="M220 119 h42.4 v2 h-42.4" transform="rotate(-45,220,120)">
<path d="M250 89 h42.4 v2 h-42.4" transform="rotate(-45,250,90)">
<path d="M280 59 h42.4 v2 h-42.4" transform="rotate(-45,280,60)">
</g>
<g fill="#ED7D31">
<path d="M40 299 h35 v2 h-35" transform="rotate(-31,40,300)">
<path d="M70 281 h36.6 v2 h-36.6" transform="rotate(-35,70,282)">
<path d="M100 260 h38.4 v2 h-38.4" transform="rotate(-38.7,100,261)">
<path d="M130 236 h40.4 v2 h-40.4" transform="rotate(-42,130,237)">
<path d="M160 209 h42.4 v2 h-42.4" transform="rotate(-45,160,210)">
<path d="M190 179 h44.6 v2 h-44.6" transform="rotate(-47.7,190,180)">
<path d="M220 146 h46.9 v2 h-46.9" transform="rotate(-50.2,220,147)">
<path d="M250 110 h49.2 v2 h-49.2" transform="rotate(-52.4,250,111)">
<path d="M280 71 h51.6 v2 h-51.6" transform="rotate(-54.5,280,72)">
</g>
<text x="24" y="24" font-size="16" fill="black">位置</text>
<text x="160" y="318" font-size="16" fill="black">時間</text>
<text x="60" y="160" font-size="16" fill="#5B9BD5">y₁(t)=(V+v)t</text>
<text x="180" y="210" font-size="16" fill="#ED7D31">y₂(t)=Vt+gt²/2</text>
</svg>
title
<$FIGURE>
図４　エレベータの外から見た位置
end title
@enduml
```

遠心力によって疑似重力を生み出すスペースコロニーと異なり，加速を続けるエレベータ内での運動は地球上（地上）の運動と一致し，真上にジャンプしたら元の位置に正確に着地する。滞空時間や最高到達点も近似は不要で正確に一致する。

なお，地球の自転によるコリオリ力は無視する。おそらく超厳密に計算したら，元の位置に着地できないのはむしろ地球のほうになりそうだ。

# 高校レベルの数学シリーズ

筆者の過去シリーズである。

- [高校レベルの数学でケプラーの法則を導く - Qiita](https://qiita.com/TETSURO1999/items/698f15304a6a98562e13)
- [高校レベルの数学で歳差周期2万6000年を導く - Qiita](https://qiita.com/TETSURO1999/items/bdb8a0a19ea093eacb72)

# 参考文献

- [宇宙島へ１７「コロニー内での人工重力」- note](https://note.com/xinzuzhai/n/n988ee091efe3)
- [福江純，1991，スペースコロニーのボール投げ―スペースコロニーの物理学①，天文月報84(8)，p262-266 - 日本天文学会 <img width="12" src="https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/3490655/66e66c9d-a6f3-f215-951a-9d79cc94a9d6.png">](https://www.asj.or.jp/geppou/archive_open/1991/pdf/19910804.pdf)
- [無重力と無重量の違いって何？ - jaxa](https://fanfun.jaxa.jp/faq/detail/100.html)