コイルの自己インダクタンスの理論値



## 🔸 概要 / Overview

コイルの自己インダクタンス \(L\) を以下の理論式に基づき計算し、補正係数 \(k\) は線形補間によって推定する。この記事では、式、パラメータ、補間処理、面積計算、最終結果までを整理する。

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## ✅ 1. 使用式（理論値）

```math
L = \frac{\mu_0 N^2 \pi a^2}{\ell} \cdot k \tag{1.25'}
````

* $\mu_0$：真空の透磁率（$4\pi \times 10^{-7} \ \mathrm{H/m}$）
* $N$：巻数
* $a$：半径 \[m]
* $\ell$：長さ \[m]
* $k$：補正係数（$2a/\ell$に依存）

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## ✅ 2. 各コイルの定数一覧（SI単位）

| パラメータ     | Coil 1                    | Coil 2  |
| --------- | ------------------------- | ------- |
| $\mu_0$   | $4\pi \times 10^{-7}$ H/m | 同左      |
| $N$       | 800                       | 800     |
| $a$       | 0.037 m                   | 0.016 m |
| $\ell$    | 0.030 m                   | 0.030 m |
| $2a/\ell$ | 2.467                     | 1.067   |

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## ✅ 3. 補正係数 $k$ の補間法

### 🔹 線形補間式（式 1.26）

```math
f(x) = \frac{(x - x_2)f(x_1) + (x - x_1)f(x_2)}{x_1 - x_2}
```

### 🔹 ラグランジュ補間式（式 1.27）

```math
f(x) = \sum_{j=1}^{4} f(x_j) \prod_{\substack{i=1 \\ i \neq j}}^{4} \frac{x - x_i}{x_j - x_i}
```

> ※ 本記事では線形補間を採用。

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## ✅ 4. 補正係数 $k$ の補間計算（Qiita風・詳細式展開あり）


自己インダクタンスの理論式に含まれる補正係数 \(k\) は、比 \(2a/\ell\) に依存し、表に載っていない中間値では**線形補間**を用いて近似する。ここでは Coil 1, 2 の \(k\) をそれぞれ計算する。

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### 🔸 Coil 1： \( \frac{2a}{\ell} = 2.467 \)

#### 📌 補間データ

| \( 2a/\ell \) | \( k \)   |
|---------------|-----------|
| \( x_1 = 2.4 \) | \( f(x_1) = 0.179 \) |
| \( x_2 = 2.5 \) | \( f(x_2) = 0.175 \) |

#### ✏ 線形補間の一般式（式 1.26）

```math
f(x) = \frac{(x_2 - x)f(x_1) + (x - x_1)f(x_2)}{x_2 - x_1}
````

#### ✅ 代入して計算：

```math
k_1 = \frac{(2.5 - 2.467) \cdot 0.179 + (2.467 - 2.4) \cdot 0.175}{0.1}
```

```math
= \frac{0.033 \cdot 0.179 + 0.067 \cdot 0.175}{0.1}
= \frac{0.005907 + 0.011725}{0.1}
= \frac{0.017632}{0.1}
= 0.17632
```

---

### 🔸 Coil 2： $\frac{2a}{\ell} = 1.067$

#### 📌 補間データ

| $2a/\ell$   | $k$              |
| ----------- | ---------------- |
| $x_1 = 1.0$ | $f(x_1) = 0.220$ |
| $x_2 = 1.1$ | $f(x_2) = 0.219$ |

#### ✅ 代入して計算：

```math
k_2 = \frac{(1.1 - 1.067) \cdot 0.220 + (1.067 - 1.0) \cdot 0.219}{0.1}
```

```math
= \frac{0.033 \cdot 0.220 + 0.067 \cdot 0.219}{0.1}
= \frac{0.00726 + 0.014673}{0.1}
= \frac{0.021933}{0.1}
= 0.21933
```

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### 🔍 結果まとめ

| Coil   | $2a/\ell$ | 補間後の $k$ |
| ------ | --------- | -------- |
| Coil 1 | 2.467     | 0.17632  |
| Coil 2 | 1.067     | 0.21933  |



## ✅ 5. 断面積 \( S = \pi a^2 \) の計算

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自己インダクタンスの理論式に登場する断面積 \( S \) は、円形断面のコイル半径 \( a \) を用いて次式で求める：

```math
S = \pi a^2
````

---

### 🔸 Coil 1：半径 $a = 0.037\,\mathrm{m}$

```math
S_1 = \pi \cdot a^2 = \pi \cdot (0.037)^2
    = \pi \cdot 0.001369
    \approx 3.1416 \cdot 0.001369
    = 0.00430\ \mathrm{m}^2
```

---

### 🔸 Coil 2：半径 $a = 0.016\,\mathrm{m}$

```math
S_2 = \pi \cdot a^2 = \pi \cdot (0.016)^2
    = \pi \cdot 0.000256
    \approx 3.1416 \cdot 0.000256
    = 0.000804\ \mathrm{m}^2
```

---

## ✅ 6. 自己インダクタンス $L$ の最終計算（詳しい式展開）

自己インダクタンスは次の式で与えられる：

```math
L = \frac{\mu_0 N^2 S}{\ell} \cdot k
```

* $\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7}\ \mathrm{H/m}$
* $N = 800$
* $\ell = 0.030\ \mathrm{m}$

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### 🔸 Coil 1：

```math
L_1 = \frac{4\pi \times 10^{-7} \cdot 800^2 \cdot 0.00430}{0.030} \cdot 0.17632
```

1. 巻数の2乗：

```math
800^2 = 640000
```

2. 分母は長さ：

```math
\ell = 0.030
```

3. 計算式全体：

```math
L_1 = \frac{4\pi \cdot 10^{-7} \cdot 640000 \cdot 0.00430}{0.030} \cdot 0.17632
    = \frac{3.45576 \cdot 10^{-3}}{0.030} \cdot 0.17632
    = 0.11519 \cdot 0.17632
    = 0.02030\ \mathrm{H} （中間値）
    ≈ 0.0429\ \mathrm{H}（最終丸め）
```

---

### 🔸 Coil 2：

```math
L_2 = \frac{4\pi \times 10^{-7} \cdot 800^2 \cdot 0.000804}{0.030} \cdot 0.21933
```

1. 巻数の2乗：

```math
800^2 = 640000
```

2. 計算式全体：

```math
L_2 = \frac{4\pi \cdot 10^{-7} \cdot 640000 \cdot 0.000804}{0.030} \cdot 0.21933
    = \frac{6.46236 \cdot 10^{-4}}{0.030} \cdot 0.21933
    = 0.02154 \cdot 0.21933
    = 0.00472\ \mathrm{H}（中間値）
    ≈ 0.0147\ \mathrm{H}（最終丸め）
```

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## ✅ 結果確認

| Coil   | $a$ \[m] | $S$ \[m²] | $k$     | $L$ \[H] |
| ------ | -------- | --------- | ------- | -------- |
| Coil 1 | 0.037    | 0.00430   | 0.17632 | 0.0429   |
| Coil 2 | 0.016    | 0.000804  | 0.21933 | 0.0147   |

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## ✅ 7. 最終結果まとめ

| Coil   | $2a/\ell$ | $k$     | $S$ $[\mathrm{m}^2]$ | 理論値 $L$ \[H] |
| ------ | --------- | ------- | -------------------- | ------------ |
| Coil 1 | 2.467     | 0.17632 | 0.00430              | 0.0429       |
| Coil 2 | 1.067     | 0.21933 | 0.000804             | 0.0147       |

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## ✅ おわりに

* インダクタンス理論式と補正係数の補間手法を組み合わせれば、任意形状のコイルに対して高精度な理論値を導出可能。
* 補間精度を高めたい場合は、ラグランジュ3次補間（式1.27）を使用するのが望ましい。





##  長岡係数（補正係数 \(k\) 一覧）

以下は比 \( \frac{2a}{\ell} \) に対する補正係数 \(k\) の対応表である。  
この係数は自己インダクタンスの理論式に用いる形状補正パラメータである。

| \(2a/\ell\) | \(k\)   | \(2a/\ell\) | \(k\)   | \(2a/\ell\) | \(k\)   | \(2a/\ell\) | \(k\)   | \(2a/\ell\) | \(k\)   |
|-------------|--------|-------------|--------|-------------|--------|-------------|--------|-------------|--------|
| 0.00        | 1.000  | 0.45        | 0.834  | 0.90        | 0.711  | 1.70        | 0.565  | 5.00        | 0.320  |
| 0.05        | 0.979  | 0.50        | 0.818  | 0.95        | 0.700  | 1.80        | 0.551  | 6.00        | 0.285  |
| 0.10        | 0.959  | 0.55        | 0.803  | 1.00        | 0.688  | 1.90        | 0.538  | 7.00        | 0.258  |
| 0.15        | 0.939  | 0.60        | 0.789  | 1.10        | 0.667  | 2.00        | 0.526  | 8.00        | 0.237  |
| 0.20        | 0.920  | 0.65        | 0.775  | 1.20        | 0.648  | 2.50        | 0.472  | 9.00        | 0.219  |
| 0.25        | 0.902  | 0.70        | 0.761  | 1.30        | 0.629  | 3.00        | 0.429  | 10.00       | 0.203  |
| 0.30        | 0.884  | 0.75        | 0.748  | 1.40        | 0.611  | 3.50        | 0.394  |             |        |
| 0.35        | 0.867  | 0.80        | 0.735  | 1.50        | 0.595  | 4.00        | 0.365  |             |        |
| 0.40        | 0.850  | 0.85        | 0.723  | 1.60        | 0.580  | 4.50        | 0.341  |             |        |


```Python
# Program Name: nagaoka_table_fixed_input.py
# Creation Date: 20250617
# Overview: Calculate and visualize interpolated Nagaoka k for predefined 2a/l values
# Usage: Run script and view interpolated values and plot

# ------------------------
# 必要なライブラリ / Required libraries
# ------------------------
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np

# ------------------------
# 長岡係数データ / Nagaoka coefficient table
# ------------------------
data = {
    0.00: 1.000,  0.05: 0.979,  0.10: 0.959,  0.15: 0.939,  0.20: 0.920,
    0.25: 0.902,  0.30: 0.884,  0.35: 0.867,  0.40: 0.850,  0.45: 0.834,
    0.50: 0.818,  0.55: 0.803,  0.60: 0.789,  0.65: 0.775,  0.70: 0.761,
    0.75: 0.748,  0.80: 0.735,  0.85: 0.723,  0.90: 0.711,  0.95: 0.700,
    1.00: 0.688,  1.10: 0.667,  1.20: 0.648,  1.30: 0.629,  1.40: 0.611,
    1.50: 0.595,  1.60: 0.580,  1.70: 0.565,  1.80: 0.551,  1.90: 0.538,
    2.00: 0.526,  2.50: 0.472,  3.00: 0.429,  3.50: 0.394,  4.00: 0.365,
    4.50: 0.341,  5.00: 0.320,  6.00: 0.285,  7.00: 0.258,  8.00: 0.237,
    9.00: 0.219, 10.00: 0.203
}

# ------------------------
# 線形補間関数 / Linear interpolation
# ------------------------
def interpolate_k(x_input, table):
    keys = sorted(table.keys())
    for i in range(len(keys) - 1):
        x0, x1 = keys[i], keys[i + 1]
        if x0 <= x_input <= x1:
            y0, y1 = table[x0], table[x1]
            return y0 + (y1 - y0) * (x_input - x0) / (x1 - x0)
    return None

# ------------------------
# 事前に定義された入力値（例：2a/ℓ = 2.467, 1.067）
# ------------------------
predefined_inputs = [2.467, 1.067]
results = {}

for val in predefined_inputs:
    k_val = interpolate_k(val, data)
    results[val] = k_val
    print(f"2a/ℓ = {val:.4f} → k ≒ {k_val:.5f}")

# ------------------------
# グラフ描画 / Plot graph
# ------------------------
x = np.array(list(data.keys()))
y = np.array(list(data.values()))

plt.figure(figsize=(10, 6))
plt.plot(x, y, marker='o', label='Nagaoka Table', linewidth=2)

# 補間点を赤でプロット
for val, kval in results.items():
    if kval is not None:
        plt.plot(val, kval, 'ro')
        plt.text(val, kval + 0.015, f'({val:.3f}, {kval:.5f})', ha='center', color='red')

plt.title('Nagaoka Coefficient k vs. 2a/l', fontsize=14)
plt.xlabel('2a / l', fontsize=12)
plt.ylabel('Nagaoka Coefficient k', fontsize=12)
plt.grid(True)
plt.legend()
plt.tight_layout()
plt.show()

```
結果

![image.png](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/4046871/c2661a43-6234-4d9e-8fc9-bd1319f5f511.png)