相対論的双方向ジェットのドップラーシフトから速度と角度を求める ～SS 433を例に～

## はじめに

宇宙には、ブラックホールや中性子星といったコンパクト天体から、細くコリメートされたジェットが噴出する現象が普遍的にみられます。これらのジェットが私たちの視線方向に対してある角度で運動している場合、スペクトルはドップラーシフトして観測されます。

非相対論的な枠組みでは、進行方向に向かうジェットは青方偏移し、後退方向のジェットは赤方偏移すると理解されます。
しかし、ジェットが光速に近い速度で運動している場合、時間の遅れといった相対論的な効果が影響するため、これらを取り込んだ補正が必要になります。

本記事では、**相対論的な速度で、かつ対称的に双方向へ噴出しているジェット**を対象に、そのドップラーシフトの観測量から、
**速度成分 $\beta = v/c$** および**視線方向成分 $\mu = \cos\alpha$**（ここで $\alpha$ は視線方向とジェットのなす角）を導出する方法について解説します。

読者としては、**天体物理に興味を持つ学生や初学者の方**を主に想定しています。Python による簡易的な実装とともに、代表的な天体 SS 433 を例に取りながら、観測と理論を結びつける基本的な考え方を整理していきます。

なお、本記事で紹介する導出は、[Marshall et al. 2002](https://ui.adsabs.harvard.edu/abs/2002ApJ...564..941M/abstract) における相対論的双方向ジェットモデルを基にしています。


## 相対論的ドップラーシフトの式

視線方向に対して角度 \$\alpha\$ を成す双方向ジェット（速度 \$\beta = v/c\$）において、相対論的ドップラーシフトは以下のように記述されます。

```math
z = \gamma (1 \pm \beta \cos\alpha) - 1 = \gamma (1 \pm \beta \mu) - 1
```

ここで、

- $\alpha$：視線方向との角度
- $\gamma = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \beta^2}}$：ローレンツ因子
- $\pm$：$+$は後退ジェット（red jet）、$-$は接近ジェット（blue jet）

### β, μの導出に向けた整理

後退ジェットを $z_\mathrm{b}$、接近ジェットを $z_\mathrm{r}$ とおくと、

```math
\begin{aligned}
z_\mathrm{b} &= \gamma (1 - \beta \mu) - 1 \\
z_\mathrm{r} &= \gamma (1 + \beta \mu) - 1
\end{aligned}\tag{$\ast$}
```

となります。$\gamma$と$\beta$の関係はわかっているので、$z_\mathrm{b}$、$z_\mathrm{r}$ が観測から得られれば、未知数は2つ（$\beta$, $\mu$）であり、解くことが可能です。

以下では、その導出手順を実際に追ってみます。

#### β の導出

式 (\$\ast\$) を足し上げることで、

```math
\begin{aligned}
\gamma &= \frac{z_\mathrm{b} + z_\mathrm{r}}{2} + 1
\end{aligned}
```

が得られます。

これをローレンツ因子の定義に代入すると、

```math
\beta = \sqrt{1 - \frac{1}{\gamma^2}} = \sqrt{1 - \frac{1}{(\frac{z_\mathrm{b} + z_\mathrm{r}}{2} + 1)^2}}
```

が得られます。

#### μ の導出

式 (\$\ast\$) を差し引くことで、

```math
\mu = \frac{z_\mathrm{r} - z_\mathrm{b}}{2\gamma \beta}
```

が得られます。

$\gamma = \sqrt{1 - \beta^2}$ と、前節で得られた $\beta$ の計算式を代入することで、

```math
\mu = \frac{z_\mathrm{r} - z_\mathrm{b}}
{2\cdot\left(\frac{z_\mathrm{b} + z_\mathrm{r}}{2} + 1\right) \cdot \sqrt{1 - \dfrac{1}{\left(\frac{z_\mathrm{b} + z_\mathrm{r}}{2} + 1\right)^2} }}
```

が得られます。

## 補足：観測との関係

ここでは、実際の観測での使われ方について触れた上で、Pythonによる実装コードに落とし込んでみます。

## SS 433の歳差ジェットモデル

SS 433の歳差運動を考慮すると、\$\mu\$ は以下のように歳差位相 \$\psi\$ の関数として記述されます。

```math
\cos\alpha(\psi) = \mu(\psi) = \cos i \cos\theta + \sin i \sin\theta \cos(2\pi\psi)
```

ここで、

* $\alpha$：視線方向との角度
* $\beta$：ジェットの速さ（光速に対する比、\$\beta \approx 0.26\$）
* $\theta$：歳差円錐の半開角（約20°）
* $i$：軌道傾き（約79°）
* $\psi$：歳差位相（0〜1の周期表現）

したがって、$z_\mathrm{b}$ と $z_\mathrm{r}$ は次のようにモデル化されます。

```math
\begin{aligned}
z_\mathrm{b} &= \gamma (1 - \beta [\cos i \cos\theta + \sin i \sin\theta \cos(2\pi\psi)]) - 1 \\
z_\mathrm{r} &= \gamma (1 + \beta [\cos i \cos\theta + \sin i \sin\theta \cos(2\pi\psi)]) - 1
\end{aligned}
```

このように、モデルから得られたドップラーシフトと観測されたドップラーシフトを比較することで、ジェットの速度 $\beta$ の安定性や角度成分 $\mu$ の振る舞いを検証することができます。

SS 433 のドップラーシフトや歳差についてより詳しく知りたい説明は、手前味噌ですが以下の記事も参考にしてください。

https://qiita.com/yusuke_s_yusuke/items/bf4f9126fee660a4b1c9

https://qiita.com/yusuke_s_yusuke/items/0fca4523e780833611ed

### Pythonによる実装例

以下は、観測されたドップラーシフト $z_\mathrm{b}$, $z_\mathrm{r}$ から、ジェットの速度 $\beta$ および視線方向の余弦成分 $\mu = \cos\alpha$ を計算する関数を紹介します。

```python
import numpy as np

def compute_beta_mu(z_b, z_r):
    """
    赤方偏移 z_r, 青方偏移 z_b から速度 β および μ を計算します。

    Parameters
    ----------
    z_b : float or array_like
        青方偏移値
    z_r : float or array_like
        赤方偏移値

    Returns
    -------
    beta : float or ndarray
        β = v/c
    mu : float or ndarray
        cos(α) に相当する視線方向成分
    """
    gamma = (z_b + z_r) / 2 + 1
    beta = np.sqrt(1 - 1 / gamma**2)
    mu = (z_r - z_b) / (2 * gamma * beta)
    return beta, mu
```


#### 使用例1：視線方向に最も傾いているとき

例として、SS 433 のジェットが視線方向に最も傾いているときの典型的なドップラーシフト値を用いて計算してみます。

```python
z_b = -0.10
z_r = 0.172

beta, mu = compute_beta_mu(z_b, z_r)

print(f"β = {beta:.4f}")
print(f"μ = {mu:.4f}")
print(f"α = {np.degrees(np.arccos(mu)):.2f}°")  # μ を視線角 α に変換
```

```
出力結果:
β = 0.2613
μ = 0.5023
α = 59.84°
```

このとき、速度 $\beta \approx 0.26$、視線角 $\alpha \approx 60^\circ$ となり、SS 433の歳差軌道モデルとも整合的な結果が得られています。


#### 使用例2：視線に垂直なジェット（横ドップラー）

次に、ジェットが視線に対して垂直に吹き出す、いわゆる横ドップラーシフトの状況についても確認してみます。

```python
z_b = 0.036
z_r = 0.036

beta, mu = compute_beta_mu(z_b, z_r)

print(f"β = {beta:.4f}")
print(f"μ = {mu:.4f}")
print(f"α = {np.degrees(np.arccos(mu)):.2f}°")  # μ を視線角 α に変換
```

```
出力結果:
β = 0.2613
μ = 0.0000
α = 90.00°
```

ここでは $\mu = 0$ に対応し、視線角 $\alpha = 90^\circ$ を意味します。このときの $\beta\approx 0.26$ であり、SS 433におけるジェットの実測値とも概ね一致しています。

今回は適当な例を使いましたが、実際の観測データを使えば、同様の方法でジェットの速度や方向を詳しく調べることができます。

## おわりに

本記事では、相対論的な双方向ジェットのドップラーシフトから、速度成分 $\beta$ と視線方向成分 $\mu$ を導出する方法について解説しました。特に、SS 433 のように歳差運動を伴う天体においても、観測された $z_\mathrm{b}$、$z_\mathrm{r}$ を用いることで、幾何学的モデルと組み合わせた速度解析が可能であることを示しました。

この手法は、観測データと理論モデルの整合性を検証する上での基本的なアプローチのひとつとして、天体物理学のさまざまな場面で応用可能です。実際、SS 433 に関しても、[Marshall et al. 2002](https://ui.adsabs.harvard.edu/abs/2002ApJ...564..941M/abstract)、[Namiki et al. 2003](https://ui.adsabs.harvard.edu/abs/2005ChJAS...5...63N/abstract)、[Marshall et al. 2013](https://ui.adsabs.harvard.edu/abs/2013ApJ...775...75M/abstract)、[Medvedev et al. 2019](https://ui.adsabs.harvard.edu/abs/2019AstL...45..299M/abstract) などの研究において広く利用されています。

なお、実際の天体では、ジェット放射が常にジェットの基部から生じているとは限らず、その構造や放射領域の違いによって、ドップラーシフトの振る舞いや解釈にもさらなる複雑さが加わります。
こうした点を踏まえ、より高度なモデル化が研究の現場で探求されており、本記事がその理解の一助となれば幸いです。