6分の1公式とβ関数と確率統計

1/6公式：

$$
\int_{\alpha}^{\beta}(x-\alpha)(x-\beta)dx = -\frac{1}{6}(\beta - \alpha)^3
$$

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## 🔷 【意味と用途】

この式は、**放物線と直線で囲まれた面積**や、**ベータ関数の積分テクニック**でしばしば利用される**対称性をもつ積分公式**です。

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## ✅ 【導出概要】

式：

$$
\int_{\alpha}^{\beta}(x-\alpha)(x-\beta)dx
$$

これは2次関数 $f(x) = (x-\alpha)(x-\beta)$ の積分。

展開：

$$
(x - \alpha)(x - \beta) = x^2 - (\alpha + \beta)x + \alpha\beta
$$

したがって、

$$
\int_{\alpha}^{\beta}(x^2 - (\alpha + \beta)x + \alpha\beta)\,dx
= \left[\frac{x^3}{3} - \frac{(\alpha + \beta)x^2}{2} + \alpha\beta x\right]_{\alpha}^{\beta}
$$

整理すると、結果は：

$$
-\frac{1}{6}(\beta - \alpha)^3
$$

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## 🔸【ベータ関数との関係】

ベータ関数の定義：

$$
B(p, q) = \int_0^1 x^{p-1}(1-x)^{q-1} dx \quad (\text{Re}(p), \text{Re}(q) > 0)
$$

この「1/6公式」は、**$p = 2, q = 2$** の場合に関係：

$$
B(2, 2) = \int_0^1 x(1-x) dx = \frac{1}{6}
$$

つまり、**ベータ関数 $B(2,2)$ の値 1/6 は、同型の放物線下の面積に対応**しています。

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## 🔷 1. ガンマ関数（Gamma Function）

### ✅ 定義（連続拡張された階乗関数）

$$
\Gamma(z) = \int_0^{\infty} t^{z-1} e^{-t} dt \quad (\Re(z) > 0)
$$

### ✅ 性質

* 自然数に対して：

  $$
  \Gamma(n) = (n-1)! \quad \text{（階乗の拡張）}
  $$
* 漸化式：

  $$
  \Gamma(z+1) = z \Gamma(z)
  $$
* 特殊値：

  $$
  \Gamma\left(\frac{1}{2}\right) = \sqrt{\pi}
  $$

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## 🔷 2. ベータ関数（Beta Function）

### ✅ 定義（積分定義）

$$
B(p, q) = \int_0^1 x^{p-1}(1 - x)^{q-1} dx \quad (\Re(p), \Re(q) > 0)
$$

### ✅ 対称性

$$
B(p, q) = B(q, p)
$$

### ✅ ガンマ関数との関係（**重要**）

$$
B(p, q) = \frac{\Gamma(p)\Gamma(q)}{\Gamma(p + q)}
$$

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# 📘 ベータ分布とベイズ推定：ベルヌーイ試行における共役事前分布

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## 🔶 1. 問題設定：確率 $\theta$ の推定

あるコインを投げて「表が出る確率 $\theta$」を推定したいとします。
これは**ベルヌーイ試行の成功確率 $\theta$** を知りたいということです。

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## 🔶 2. ベイズ推定の3要素

| 項目       | 数学的表現                                                 | 意味                                                |             |
| -------- | ----------------------------------------------------- | ------------------------------------------------- | ----------- |
| **事前分布** | $\theta \sim \mathrm{Beta}(\alpha, \beta)$            | 観測前に持つ主観的な信念（仮定）                                  |             |
| **尤度関数** | $\mathcal{L}(\theta) = \theta^x (1 - \theta)^{n - x}$ | データ $x$ が得られる確率                                   |             |
| **事後分布** | ( \theta                                              | x \sim \mathrm{Beta}(\alpha + x, \beta + n - x) ) | 観測後に更新された信念 |

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## 🔷 3. 数式でのベイズ更新

### ✅ ベータ分布のPDF（事前分布）

$$
f_{\text{prior}}(\theta) = \frac{1}{B(\alpha, \beta)} \theta^{\alpha - 1}(1 - \theta)^{\beta - 1}
$$

### ✅ 尤度（ベルヌーイ or 二項分布）

観測：n回中x回成功した（= 表が出た）とすると、

$$
\mathcal{L}(\theta) = \binom{n}{x} \theta^x (1 - \theta)^{n - x}
$$

※ ベイズ更新では定数（係数）部分は無視してよいので：

$$
\mathcal{L}(\theta) \propto \theta^x (1 - \theta)^{n - x}
$$

---

### ✅ 事後分布の導出

事後分布は：

$$
f_{\text{posterior}}(\theta|x) \propto f_{\text{prior}}(\theta) \cdot \mathcal{L}(\theta)
$$

$$
\propto \theta^{\alpha - 1} (1 - \theta)^{\beta - 1} \cdot \theta^x (1 - \theta)^{n - x}
= \theta^{\alpha + x - 1} (1 - \theta)^{\beta + n - x - 1}
$$

つまり：

$$
\theta | x \sim \mathrm{Beta}(\alpha + x, \beta + n - x)
$$

---

## 📊 4. 直感と意味

| 記号       | 意味                |
| -------- | ----------------- |
| $\alpha$ | 「成功（表）」の**仮想回数**  |
| $\beta$  | 「失敗（裏）」の**仮想回数**  |
| $x$      | 観測された**成功回数**     |
| $n - x$  | 観測された**失敗回数**     |
| → 事後分布   | 事前と観測を足し合わせたベータ分布 |

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## 🔎 5. 具体例（数値）

### ✅ 例：

* 観測：コインを10回投げて、6回表（x = 6）
* 事前分布：**非情報的事前分布**（Beta(1, 1) = 一様分布）

#### 🔄 更新後：

$$
\theta | x \sim \mathrm{Beta}(1 + 6, 1 + 4) = \mathrm{Beta}(7, 5)
$$

### ✅ 期待値：

$$
\mathbb{E}[\theta|x] = \frac{7}{7+5} = \frac{7}{12} ≈ 0.583
$$

→ このようにして、**観測結果を反映した新しい確率評価が得られる**。

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## 🔁 6. ベータ分布が「共役分布」である意味

**共役分布**とは：

> 「事前分布と事後分布の分布の形が同じになること」

ベータ分布は、ベルヌーイ・二項分布に対する**共役事前分布**であり、更新後もベータ分布になるため、**計算・解釈・可視化が非常に容易**です。

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