高校物理応用

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## 🔷【物理設定】

* 水平面上に導体レール（電気抵抗 \$R\$ を含む）を設置
* 長さ \$l\$ の導体棒が\*\*右向き速度 \$v$\*\*で運動
* 鉛直上向きに磁束密度 \$B\$ の一様磁場
* 摩擦力や空気抵抗は**無視**

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## ✅【1】導体棒に生じる誘導起電力

ファラデーの法則（運動する導体棒）により、棒に生じる起電力は：

$$
V = Blv
$$

---

## ✅【2】オームの法則による電流

抵抗 \$R\$ によって電流 \$i\$ が流れる：

$$
i = \frac{V}{R} = \frac{Blv}{R}
$$

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## ✅【3】電磁力（ローレンツ力）による逆向きの力

導体に流れる電流が磁場と相互作用し、左向きにローレンツ力（抵抗力）が生じる：

$$
F = i l B = \frac{B^2 l^2 v}{R}
$$

---

## ✅【4】運動方程式と速度の時間変化

ニュートンの運動方程式により：

$$
m \frac{dv}{dt} = -\frac{B^2 l^2 v}{R}
$$

これは**一次遅れ系の微分方程式**（比例減衰）なので、解は：

$$
v(t) = v_0 \exp\left( -\frac{B^2 l^2}{mR} t \right)
$$

---

## ✅【5】ジュール熱とエネルギーの保存則

電流による電力（ジュール熱の発生速度）：

$$
p = Ri^2 = R \left( \frac{Blv}{R} \right)^2 = \frac{B^2 l^2 v^2}{R}
$$

この時刻 \$t\$ までに発生したジュール熱（積分）：

$$
Q = \int_0^\infty p(t) \, dt = \int_0^\infty \frac{B^2 l^2}{R} v(t)^2 \, dt
$$

$$
Q = \frac{B^2 l^2}{R} \int_0^\infty v_0^2 e^{-2\frac{B^2 l^2}{mR} t} dt
= \frac{B^2 l^2 v_0^2}{R} \cdot \frac{mR}{2 B^2 l^2} = \frac{1}{2}mv_0^2
$$

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## 🎯【結論】

* 初期運動エネルギー \$\frac{1}{2}mv\_0^2\$ は、導体棒が停止するまでの間に**すべてジュール熱に変換される**
* 力学的エネルギーは、**電磁的損失（抵抗）によって完全に散逸**
* 保存されるのは**エネルギー全体**であって、運動エネルギーそのものではない

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## ✅【式のまとめ】

| 項目        | 数式                                      |
| --------- | --------------------------------------- |
| 誘導起電力     | $V = Blv$                               |
| 電流        | $i = \frac{Blv}{R}$                     |
| 電磁力（抵抗力）  | $F = \frac{B^2 l^2 v}{R}$               |
| 運動方程式     | $m\frac{dv}{dt} = -\frac{B^2 l^2 v}{R}$ |
| 解（速度の減衰）  | $v(t) = v_0 e^{- \frac{B^2 l^2}{mR} t}$ |
| 消費電力      | $p = \frac{B^2 l^2 v^2}{R}$             |
| 発生したジュール熱 | $Q = \frac{1}{2}mv_0^2$                 |

---
```Python
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# -------------------- パラメータ定義 --------------------
B = 0.5       # 磁束密度 [T]
l = 0.3       # 導体棒の長さ [m]
R = 2.0       # 回路の抵抗 [Ω]
m = 0.05      # 導体棒の質量 [kg]
v0 = 10.0     # 初速度 [m/s]

# -------------------- 時間軸 --------------------
t = np.linspace(0, 5, 500)

# -------------------- 速度の時間変化（指数減衰） --------------------
k = (B**2 * l**2) / (m * R)
v_t = v0 * np.exp(-k * t)

# -------------------- 消費電力（ジュール熱の発生速度） --------------------
p_t = (B**2 * l**2 * v_t**2) / R

# -------------------- 累積ジュール熱（数値積分） --------------------
Q_t = np.cumsum(p_t) * (t[1] - t[0])  # 台形則の近似積分

# -------------------- 理論最大値 --------------------
Q_inf = 0.5 * m * v0**2

# -------------------- プロット --------------------
fig, axes = plt.subplots(3, 1, figsize=(10, 12))

# 速度 v(t)
axes[0].plot(t, v_t, label="Velocity v(t)", color="blue")
axes[0].set_ylabel("Velocity [m/s]")
axes[0].set_title("Velocity Decay of Moving Conductor")
axes[0].grid(True)
axes[0].legend()

# 電力 p(t)
axes[1].plot(t, p_t, label="Power p(t)", color="red")
axes[1].set_ylabel("Power [W]")
axes[1].set_title("Joule Heating Power")
axes[1].grid(True)
axes[1].legend()

# ジュール熱 Q(t)
axes[2].plot(t, Q_t, label="Cumulative Joule Heat Q(t)", color="green")
axes[2].axhline(Q_inf, color="gray", linestyle="--", label="Theoretical Max = ½mv₀²")
axes[2].set_ylabel("Energy [J]")
axes[2].set_xlabel("Time [s]")
axes[2].set_title("Cumulative Joule Heat vs Time")
axes[2].grid(True)
axes[2].legend()

plt.tight_layout()
plt.show()

```

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## 🔷【全体テーマ】



### 🔹 図中のA→B→C：

* **A→B**：等温変化（\$T=\text{一定}\$）
* **A→C**：断熱変化（\$Q=0\$）

等温変化より、断熱変化の方が**圧力が急激に下がる**（理由を後述）。

---

### 🔹 熱力学第一法則を適用：

$$
\Delta U = Q - W
$$

#### ◆ 断熱変化（\$Q = 0\$）のとき：

$$
\Delta U = -W \Rightarrow \text{内部エネルギーは仕事で失われる}
\Rightarrow \Delta T < 0
$$

つまり温度も下がる → 圧力の減少が速い。

---

### 🔹 内部エネルギーの温度変化：

$$
\Delta U = n c_V \Delta T
\Rightarrow \text{断熱変化では }\Delta T < 0
$$

---

### 🔹 微分形の熱力学第一法則を導出：

* 微小仕事：$W = p\,dV$
* 微小エネルギー変化：

$$
dU = n c_V\,dT = -p\,dV
$$

---

### 🔹 状態方程式から温度を消去：

$$
pV = nRT \Rightarrow T = \frac{pV}{nR}
\Rightarrow dT = \frac{1}{nR}(V\,dp + p\,dV)
$$

代入して：

$$
n c_V \cdot \frac{1}{nR}(V\,dp + p\,dV) = -p\,dV
\Rightarrow V\,dp + p\,dV = -\frac{R}{c_V}p\,dV
$$

この変形により：

---

## ✅ 【第2ページ：断熱変化の状態方程式導出】

### 🔹 熱力学第一法則の整理（断熱変化）：

$$
V\,dp + p \left(1 + \frac{R}{c_V} \right) dV = 0
\Rightarrow V\,dp + \gamma p\,dV = 0
\quad (\gamma = \frac{c_P}{c_V})
$$

---

### 🔹 両辺を変形・積分：

$$
\frac{dp}{p} + \gamma \frac{dV}{V} = 0
\Rightarrow \log p + \gamma \log V = \text{const.}
\Rightarrow pV^\gamma = \text{const.}
$$

これが有名な**断熱変化の状態方程式**。

---

### ✅ 【比熱比 \$\gamma\$ の値】

* 単原子分子気体：

  $$
  c_V = \frac{3}{2}R, \quad c_P = \frac{5}{2}R \Rightarrow \gamma = \frac{5}{3}
  $$

  → $pV^{5/3} = \text{const.}$

* 二原子分子気体：

  $$
  c_V = \frac{5}{2}R, \quad c_P = \frac{7}{2}R \Rightarrow \gamma = \frac{7}{5}
  $$

  → $pV^{7/5} = \text{const.}$

---

### ✅ 【状態方程式と微分形の応用】

$$
pV = nRT \Rightarrow \frac{dT}{T} = \frac{R}{c_V}\left(\frac{dp}{p} + \frac{dV}{V} \right)
$$

---

## ✅ 【まとめ：状態方程式の3形態】

| 変数固定 | 状態方程式                         | 備考   |
| ---- | ----------------------------- | ---- |
| 温度一定 | $pV = \text{const.}$          | 等温変化 |
| 熱量一定 | $pV^\gamma = \text{const.}$   | 断熱変化 |
| 圧力一定 | $\frac{V}{T} = \text{const.}$ | 等圧変化 |

---

```Python
# ライブラリ再インポート（環境リセット後）
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# -------------------- パラメータ定義 --------------------
R = 8.314  # J/(mol·K), 気体定数
n = 1.0    # mol, モル数
T0 = 300.0  # 初期温度 [K]
V = np.linspace(0.01, 0.1, 500)  # 体積範囲 [m^3]

# 比熱比（単原子分子：γ=5/3、二原子分子：γ=7/5）
gamma_mono = 5 / 3
gamma_diatomic = 7 / 5

# -------------------- 状態方程式 --------------------
# 等温変化: pV = nRT
p_isothermal = n * R * T0 / V

# 断熱変化（単原子分子）：pV^γ = const
V0 = 0.1
p0 = n * R * T0 / V0  # p(V0) from pV=nRT
p_adiabatic_mono = p0 * (V0 / V) ** gamma_mono
p_adiabatic_diatomic = p0 * (V0 / V) ** gamma_diatomic

# -------------------- プロット --------------------
plt.figure(figsize=(10, 6))
plt.plot(V, p_isothermal, label="Isothermal (T=const)", color="blue")
plt.plot(V, p_adiabatic_mono, label="Adiabatic (γ=5/3)", color="red", linestyle="--")
plt.plot(V, p_adiabatic_diatomic, label="Adiabatic (γ=7/5)", color="green", linestyle=":")

plt.xlabel("Volume V [m³]")
plt.ylabel("Pressure p [Pa]")
plt.title("Comparison of Isothermal and Adiabatic Processes")
plt.legend()
plt.grid(True)
plt.tight_layout()
plt.show()

```

https://okazaki-h.aichi-c.ed.jp/cms/wp-content/uploads/2023/02/iAbutsuri2_kagakuhousokutobibun_text.pdf