近似式の理論背景：テイラー展開


## ✅ 1. 近似式の理論背景：テイラー展開

### よく使われる近似式：

#### (1) $(1 + x)(1 + y) \approx 1 + x + y$

これは「積の1次近似」です。テイラー展開で高次項（$xy$）を無視しています：

$$
(1 + x)(1 + y) = 1 + x + y + xy \approx 1 + x + y \quad \text{（誤差項：} xy \text{）}
$$

条件：$|x|, |y| \ll 1$

---

#### (2) $\frac{1}{1 + x} \approx 1 - x$

これは $(1 + x)^{-1}$ の1次テイラー展開：

$$
\frac{1}{1 + x} = 1 - x + x^2 - x^3 + \dots \quad \text{（for } |x| < 1\text{）}
$$

誤差：$\sim x^2$

---

#### (3) $\frac{1}{1 - x} \approx 1 + x$

同様に：

$$
\frac{1}{1 - x} = 1 + x + x^2 + x^3 + \dots \quad \text{（for } |x| < 1\text{）}
$$

---

## ✅ 2. 誤差評価：x = 0.05 のとき

| 近似式       | 実際の値               | 近似値               | 誤差（絶対値）   |
| --------- | ------------------ | ----------------- | --------- |
| $1/(1+x)$ | $1/1.05 = 0.95238$ | $1 - 0.05 = 0.95$ | $0.00238$ |
| $1/(1-x)$ | $1/0.95 = 1.05263$ | $1 + 0.05 = 1.05$ | $0.00263$ |

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## ✅ 問題

$$
\frac{9.8}{9.8596}
$$

この形は、以下のように **分母の摂動（小さな変化）** として扱えます：

$$
\frac{9.8}{9.8 + \Delta a}
= \frac{1}{1 + \frac{\Delta a}{9.8}} \cdot 9.8
$$

ここで：

* $\Delta a = 9.8596 - 9.8 = 0.0596$
* よって、$\varepsilon = \dfrac{\Delta a}{9.8} = \dfrac{0.0596}{9.8} \approx 0.00608$

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## ✅ テイラー展開による近似

$$
\frac{1}{1 + \varepsilon} = 1 - \varepsilon + \varepsilon^2 - \varepsilon^3 + \cdots
$$

したがって、

$$
\frac{9.8}{9.8 + 0.0596} \approx 9.8 \cdot (1 - \varepsilon + \varepsilon^2)
= 9.8 \left( 1 - 0.00608 + 0.00608^2 \right)
$$

計算：

* $0.00608^2 \approx 3.70 \times 10^{-5}$
* $1 - 0.00608 + 0.000037 \approx 0.993957$
* $9.8 \times 0.993957 \approx 9.74077$

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## ✅ 正確値と比較

* **厳密値：**

$$
\frac{9.8}{9.8596} \approx 0.993968
$$

* **テイラー2次近似：**

$$
\approx 0.993957 \quad (\text{誤差 } \approx 1.1 \times 10^{-5})
$$


---

## ✅ 問題

$$
\frac{9.8596}{9.8}
$$

これは以下のように変形できます：

$$
\frac{9.8596}{9.8} = 1 + \frac{a}{9.8}, \quad \text{ただし } a = 9.8596 - 9.8 = 0.0596
$$

したがって：

$$
\frac{9.8596}{9.8} = \frac{1}{1 - \varepsilon}, \quad \text{ここで } \varepsilon = \frac{-a}{9.8596} \approx -0.006043
$$

---

## ✅ テイラー展開（近似式）

よく知られた式：

$$
\frac{1}{1 - x} = 1 + x + x^2 + x^3 + \cdots \quad (|x| < 1)
$$

$$
\Rightarrow \frac{9.8596}{9.8} = \frac{1}{1 - (-\varepsilon)} \approx 1 + \varepsilon + \varepsilon^2 + \cdots
$$

ここで：

$$
\varepsilon = \frac{9.8596 - 9.8}{9.8} = \frac{0.0596}{9.8} \approx 0.00608
$$

---

## ✅ 計算

$$
1 + 0.00608 + (0.00608)^2 \approx 1 + 0.00608 + 0.000037 \approx 1.006117
$$

---

## ✅ 正確な値と比較

$$
\frac{9.8596}{9.8} \approx 1.00608
$$

**誤差：約 $3.7 \times 10^{-5}$**
→ **非常に高精度な近似が得られている**

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## 🔷 一般式（密度）：

$$
\rho = \frac{M / N_A}{a^3}
$$

* $\rho$：密度（g/cm³）
* $M$：モル質量（g/mol）
* $N_A$：アボガドロ数（$6.02 \times 10^{23}$ mol⁻¹）
* $a$：単位格子1辺の長さ（cm）

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## 🔷 今回の数値代入：

$$
\rho = \frac{233 / (6.0 \times 10^{23})}{(3.8 \times 10^{-8})^3} \approx 7.1 \ \mathrm{g/cm^3}
$$

---

## 🔷 テイラー展開による近似応用例

### ① 分母のべき乗部分：

$$
(3.8 \times 10^{-8})^3 = (a)^3 \quad \text{に対して} \quad \frac{1}{a^3} = a^{-3}
$$

この逆数はテイラー展開により微小変化 $\delta a$ に対して：

$$
\frac{1}{(a + \delta a)^3} \approx \frac{1}{a^3} \left(1 - \frac{3\delta a}{a} + \frac{6(\delta a)^2}{a^2} - \cdots \right)
$$

**応用**：格子定数 $a$ が微小変化したときの密度変化の評価に使える。

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### ② アボガドロ数やモル質量が微小変化したとき

たとえば、モル質量 $M$ が微小変化 $\delta M$ を受けた場合：

$$
\rho(M + \delta M) \approx \rho(M) \left(1 + \frac{\delta M}{M} \right)
$$

これは、

$$
f(M) = \frac{M}{N_A a^3} \quad \Rightarrow \quad f(M + \delta M) \approx f(M) + f'(M)\delta M
$$

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## 🔷 まとめ：線形近似が使えるパターン

| 微小変化対象   | 対応する近似式                                                            | 応用効果             |
| -------- | ------------------------------------------------------------------ | ---------------- |
| 格子定数 $a$ | $\frac{1}{a^3} \approx \frac{1}{a_0^3}(1 - 3\frac{\delta a}{a_0})$ | 温度や圧力による格子変化への感度 |
| モル質量 $M$ | $\rho \approx \rho_0(1 + \frac{\delta M}{M})$                      | 同位体や不純物の影響評価     |
| アボガドロ数   | 定数として固定                                                            | 基本的に変化しない        |

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