#0160（2025/06/01）LiDARの原理 

# LiDARの原理 

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## 0. 用語と記号

| 記号           | 意味                               | 単位    |
| ------------ | -------------------------------- | ----- |
| \$c\$        | 光速 \$(\approx 3.0\times10^{8})\$ | m s⁻¹ |
| \$\Delta t\$ | 光往復時間                            | s     |
| \$R\$        | 対象までの距離                          | m     |
| \$P\_0\$     | 送信ピークパワー                         | W     |
| \$P(R)\$     | 受信パワー                            | W     |
| \$\rho\$     | 反射率                              | –     |
| \$A\_0\$     | 受光開口面積                           | m²    |
| \$\eta\_0\$  | 光学透過率                            | –     |
| \$\gamma\$   | 大気減衰係数                           | m⁻¹   |

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## 1. パルスLiDARのシステム構成

```
 ┌────────┐   START          STOP   ┌─────────┐
 │ Laser   │──────┐        ┌───────►│ Timer   │
 │ Source  │ Amp  │        │        └─────────┘
 └────────┘      ▼        │
    ▲             ▼        │Voltage
    │          ┌─────┐     │Signal
 ┌──────┐Beam  │ Tx  │◄────┘
 │ Rx   │◄─────┤Optics│
 └──────┘       └─────┘
  ▲  ▲  ▲
  │  │  │Back-scatter
  │  │  └───── Photons
  │  └───────── Target
  └───────────── Environment
```

* **Laser source**: ピコ〜ナノ秒パルス生成。波長 905 nm or 1550 nm。
* **Amplifier**: パルスエネルギを>100 Wピークへ増幅。
* **Tx optics**: コリメータ／スキャナで視野 (FOV) を走査。
* **Rx optics + Photodiode**: 戻り光をAPDやSPADで電気信号へ変換。
* **Timer (TDC)**: START/STOP の時間差 \$\Delta t\$ をps分解能で測定。

### 1.1 距離演算（Time‑of‑Flight）

$$
R = \frac{c\,\Delta t}{2n}\quad(n \approx 1.0003\;@\;\text{air})
$$

> **ワンポイント**: 分母2は往復分。大気屈折率\$n\$補正を忘れると100 mで約10 cmの誤差。

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## 2. 距離分解能と時間分解能

### 2.1 基本式

$$
\Delta R = \frac{c}{2}\,\Delta t_{\text{res}}
$$

* 例) \$\Delta t\_{\text{res}} = 0.1;\text{ns}\$ → \$\Delta R =1.5;\text{cm}\$。
* **高速TDC**はLSB 10 ps以下を目指す。ジッタ源: PLL位相ノイズ・APD立ち上がりばらつき。

### 2.2 信号検出法

* **Leading‑Edge**: 最初にしきい値を超えた瞬間を採用→簡易。
* **Constant Fraction Discriminator (CFD)**: 振幅変動を補償→精度向上。

*図1* Leading/TrailingエッジとTOF概念（ASCII）：

```
Amplitude
 ^        /‾‾‾‾‾‾‾
 |   /‾‾‾/        \
 |  /   /           \
 +‑+---+--------------> t
    |TOF|
```

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## 3. ビームコヒーレンスとビーム拡がり

### 3.1 コヒーレンス距離

$$
L_c = \frac{c}{\Delta\nu} \approx \frac{\lambda^2}{\Delta\lambda}
$$

* 線幅10 MHzなら \$L\_c\approx30;\text{m}\$。
* *グラフ*：距離22–198 mでピークが平坦化→コヒーレンス喪失を可視化。

### 3.2 ビーム拡がり角

$$
\theta \approx \frac{\lambda}{\pi w_0}
$$

* 1550 nm, \$w\_0=5;\text{mm}\$ → \$\theta \approx0.1;\deg\$。
* 100 m先でスポット径 \$d \approx R\theta \approx 17;\text{cm}\$。

> **比較**: 77 GHz Radar (λ=3 mm) では同開口で \$d\approx3;\text{m}\$ → 横分解能が桁違いに粗い。

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## 4. LiDAR方程式とリンクバジェット

$$
P(R)=P_0\,\rho\,\frac{A_0}{\pi R^2}\,\eta_0\,e^{-2\gamma R}
$$

### 4.1 各項の物理意味

| 項           | 影響            | 実装ノート                                          |
| ----------- | ------------- | ---------------------------------------------- |
| \$P\_0\$    | 出射光子数↑ → SNR↑ | IEC‑60825 Class1制限: 905 nmで60 mW、1550 nmで>1 W可 |
| \$\rho\$    | 反射率           | 黒衣服0.1⇔白標識0.9                                  |
| \$A\_0\$    | 集光面積          | 開口φ40 mmで\$A\_0=1.3\times10^{-3}\$ m²          |
| \$\eta\_0\$ | 光学損失          | ARコートで95%→98%へ向上                               |
| \$\gamma\$  | 大気損失          | 雨50 mm/h→\$\gamma\approx0.01\$ m⁻¹             |

### 4.2 例: 最大検出距離シミュレーション

* 条件：\$P\_0=100;\text{W}\$, \$\rho=0.3\$, \$A\_0=1.3\times10^{-3}\$, \$\eta\_0=0.9\$, 霧なし(\$\gamma=0\$)。
* 受信閾値\$P\_{min}=10;\text{nW}\$とすると、

$$
R_{max}\approx\sqrt{\frac{P_0\rho A_0\eta_0}{\pi P_{min}}}=\text{約220 m}
$$

* 濃霧(\$\gamma=0.01\$) では指数項\$e^{-2\gamma R}\$が効いて \$R\_{max}\to\$ 約80 m。

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## 5. 大気散乱と減衰

### 5.1 ミー散乱

* 霧粒径\~10 µmが905 nm光を強く散乱。1550 nmは相対的に有利。

### 5.2 レイリー散乱

* 粉塵・PM2.5。λ⁻⁴依存で短波長ほど影響大。

### 5.3 対策

* 波長選択、アベレージング、受信ゲイン自動制御(AGC)、パルスリピティション変更。

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## 6. 反射率スペクトルとターゲット識別

* *図2*：綿素材反射率 vs 波長（1000 nmで50–70%→2500 nmで20–40%）。
* 車両用塗装の平均ρ=0.35、標識アルミ板ρ=0.9。
* **多波長LiDAR**なら材質判定も可能 (分光LiDAR, Hyperspectral LiDAR)。

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## 7. 複数リターンと点群生成

```
ビーム       車①        車②
────▶┌───┐
      │■│◀── First Return (強)
      └─┘  ▼
           ◄── Second Return (弱)
```

* LiDARはパルスごとに最大4リターン取得可能。Waymoフレーム`ri_returnX`に格納。
* **処理フロー**: 強度でプライマリ判定 → 時間差でソート → クラスタ分割。
* ディープラーニング入力時は return index を特徴量に含める。

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## 8. パルスアンビギュイティとEye‑Safety

### 8.1 アンビギュイティ条件

$$
PRI > \frac{2R_{max}}{c}
$$

* \$R\_{max}=250;\text{m}\$ → PRI>1.7 µs → PRF<600 kHz。

### 8.2 Eye‑Safety

* IEC‑60825‑1 Class1: 1550 nm帯は網膜集光無効→許容エネルギ∼100×。
* 車載はクラス1必須、したがって **波長選択がトレードオフ**。

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## 9. 実装・チューニングTips

1. **時刻同期**: PTP + GPS‑PPSで<10 ns。
2. **DSPパイプライン**: CFAR→DBSCAN→EKF Track。
3. **GPUアクセラ**: Voxel Grid→SparseConv→BEV Segmentation。
4. **悪天候補償**: 動的閾値λ, 霧判定センサ連携。
5. **セルフキャリブ**: Intrinsics (ICP), Extrinsics (Hand‑Eye) を定期更新。

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## 10. まとめと展望

* **LiDAR方程式**により電力・光学・大気が一体最適化対象となることを理解。
* **短波長=高解像/低耐候 vs 長波長=アイセーフ/高コスト**の二律背反。
* **OPA, FMCW, SPADアレイ**など新技術で距離+速度の同時計測・固体化が進行中。
* センサフュージョンでは LiDAR=形状, RADAR=速度, Camera=テクスチャ を補完し合う設計が重要。

> **Take‑away**: 物理限界を意識した設計とソフト側アルゴリズム最適化を両立させることが、全天候・高信頼な自動運転知覚スタック実現の鍵である。