出来ていません。リサージュ曲線(Lissajous_curve)「電気通信大学 前期【３】」様をAI先生へ。

・自己交点の計算をしたい。

```
2025-05-16 17:58
データ分析の制限に達しました。
ChatGPT Plus にアップグレードするか、明日の 17:34 以降にもう一度お試しください。
```
・いい聞き方があれば、アドバイスをお願いします。
・リサージュ曲線の勉強を始めました。
**・以下も途中です。**
![0cc8f254-adeb-442a-80d7-5d3d7619c826.png](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/109698/de2691b7-066a-4857-9503-e198c03bf679.png)

# オリジナル

2025　電気通信大学　前期MathJax【３】
https://mathexamtest.web.fc2.com/2025/202510271/2025102710100mj.html#top-0103
2025年度 個別学力検査（情報理工学域）＜公式ホームページ
https://www.uec.ac.jp/education/undergraduate/admission/exam.html

＞周波数比5対6のリサジュー図形に...
https://ja.wikipedia.org/wiki/電気通信大学#校章

# 質問
・mathjaxを丸投げです。
・参考図は渡していません。

```
<div class="qbody"><a name="q-0103" 
id="q-0103"></a>
<div class="floatright"><img src="2025102710103a.svg" 
alt="2025年電気通信大前期【３】の図" 
width="214px" height="204px"></img></div>
<p class="s1level"><span 
class="qnum">【３】</span>　時刻<math>
<mspace width=".2em"></mspace><mi>t</mi><mspace width=".2em"></mspace>
</math>における座標が</p>
<p class="equation"><math>
<mrow><mi>x</mi><mo>=</mo><mi>cos</mi><mo>&af;</mo><mn>5</mn><mo>&it;</mo>
<mi>t</mi><mspace width=".2em"></mspace><mtext>，</mtext></mrow>
</math><math>
<mrow><mi>y</mi><mo>=</mo><mi>cos</mi><mo>&af;</mo><mn>6</mn><mo>&it;</mo>
<mi>t</mi></mrow><mspace width=".2em"></mspace>
</math><math>
<mrow><mtext>（</mtext><mspace width=".2em"></mspace><mn>0</mn><mo>&lE;</mo><mi>t</mi>
<mo>&lE;</mo><mi>&pi;</mi><mspace width=".2em"></mspace><mtext>)</mtext></mrow></math></p>
<p class="slevel">で表される座標平面上の点<math>
<mspace width=".2em"></mspace><mi mathvariant="normal">P</mi><mspace width=".2em"></mspace>
</math>の運動を考える．点<math>
<mspace width=".2em"></mspace><mi mathvariant="normal">P</mi><mspace width=".2em"></mspace>
</math>がえがく曲線を<math>
<mspace width=".2em"></mspace><mi>C</mi><mspace width=".2em"></mspace>
</math>とする．曲線<math>
<mspace width=".2em"></mspace><mi>C</mi><mspace width=".2em"></mspace>
</math>の概形は右図のようになり，<math>
<mi>t</mi><mspace width=".2em"></mspace>
</math>が<math>
<mspace width=".2em"></mspace><mrow><mn>0</mn><mo>&lE;</mo><mi>t</mi><mo>&lE;</mo>
<mi>&pi;</mi></mrow><mspace width=".2em"></mspace>
</math>の範囲で動くとき点<math>
<mspace width=".2em"></mspace><mi mathvariant="normal">P</mi><mspace width=".2em"></mspace>
</math>が<math>
<mspace width=".2em"></mspace><mspace width=".2em"></mspace><mn>2</mn><mspace width=".2em"></mspace>
</math>回通過する点は<math>
<mspace width=".2em"></mspace><mn>10</mn><mspace width=".2em"></mspace>
</math>個ある．そのうち<math>
<mspace width=".2em"></mspace><mn>3</mn><mspace width=".2em"></mspace>
</math>点<math>
<mspace width=".2em"></mspace><mrow><mi mathvariant="normal">A</mi><mspace width=".2em"></mspace>
<mtext>，</mtext></mrow>
</math><math>
<mrow><mi mathvariant="normal">B</mi><mspace width=".2em"></mspace><mtext>，</mtext></mrow>
</math><math>
<mi mathvariant="normal">M</mi><mspace width=".2em"></mspace>
</math>を右図のようにとる．<math>
<mrow><mi>cos</mi><mo>&af;</mo><mstyle displaystyle="true"><mfrac><mi>&pi;</mi><mn>5</mn>
</mfrac></mstyle><mo>=</mo><mstyle displaystyle="true"><mfrac><mrow><msqrt><mn>5</mn></msqrt>
<mo>+</mo><mn>1</mn></mrow><mn>4</mn></mfrac></mstyle></mrow><mspace width=".2em"></mspace>
</math>を用いて，以下の問いに答えよ．</p>
<p class="s1level">(&#8560;)　点<math>
<mspace width=".2em"></mspace><mi mathvariant="normal">M</mi><mspace width=".2em"></mspace>
</math>は<math>
<mspace width=".2em"></mspace><mi>y</mi><mspace width=".2em"></mspace>
</math>軸上の<math>
<mspace width=".2em"></mspace><mrow><mi>y</mi><mo>&lt;</mo><mn>0</mn></mrow><mspace width=".2em"></mspace>
</math>の部分にある．点<math>
<mspace width=".2em"></mspace><mi mathvariant="normal">M</mi><mspace width=".2em"></mspace>
</math>の<math>
<mspace width=".2em"></mspace><mi>y</mi><mspace width=".2em"></mspace>
</math>座標を，有理数<math>
<mspace width=".2em"></mspace><mrow><mi>a</mi><mspace width=".2em"></mspace><mtext>，</mtext></mrow>
</math><math>
<mi>b</mi><mspace width=".2em"></mspace>
</math>を用いて<math>
<mspace width=".2em"></mspace><mrow><mi>a</mi><mo>+</mo><mi>b</mi><mo>&it;</mo><msqrt><mn>5</mn>
</msqrt></mrow><mspace width=".2em"></mspace>
</math>の形で表せ．</p>
<p class="s1level">(&#8561;)　<math>
<mrow><mn>0</mn><mo>&lE;</mo><mi>t</mi><mo>&lE;</mo><mi>&pi;</mi></mrow><mspace width=".2em"></mspace>
</math>の範囲で次の方程式を解け．</p>
<p class="equation"><math>
<mrow><mi>cos</mi><mo>&af;</mo><mn>6</mn><mo>&it;</mo><mi>t</mi><mo>=</mo><mi>cos</mi>
<mo>&af;</mo><mstyle displaystyle="true"><mfrac><mi>&pi;</mi><mn>5</mn></mfrac></mstyle></mrow></math></p>
<p class="s1level">(&#8562;)　<math>
<mrow><msub><mi>&alpha;</mi><mn>1</mn></msub><mo>=</mo><mstyle displaystyle="true"><mfrac>
<mi>&pi;</mi><mn>30</mn></mfrac></mstyle></mrow><mspace width=".2em"></mspace>
</math>とする．<math>
<mrow><mi>t</mi><mo>=</mo><msub><mi>&alpha;</mi><mn>1</mn></msub></mrow><mspace width=".2em"></mspace>
</math>のとき<math>
<mspace width=".2em"></mspace><mrow><mo stretchy="false">(</mo><mi>cos</mi><mo>&af;</mo><mn>5</mn>
<mo>&it;</mo><msub><mi>&alpha;</mi><mn>1</mn></msub><mo>,</mo><mi>cos</mi><mo>&af;</mo><mn>6</mn>
<mo>&it;</mo><msub><mi>&alpha;</mi><mn>1</mn></msub><mo rspace=".2em" stretchy="false">)</mo></mrow>
</math>は点<math>
<mspace width=".2em"></mspace><mi mathvariant="normal">A</mi><mspace width=".2em"></mspace>
</math>である．<math>
<mrow><msub><mi>&alpha;</mi><mn>1</mn></msub><mo>&lt;</mo><msub><mi>&alpha;</mi><mn>2</mn>
</msub><mo>&lt;</mo><mi>&pi;</mi></mrow><mspace width=".2em"></mspace>
</math>をみたすある値<math>
<mspace width=".2em"></mspace><msub><mi>&alpha;</mi><mn>2</mn></msub><mspace width=".2em"></mspace>
</math>について，<math>
<mrow><mi>t</mi><mo>=</mo><msub><mi>&alpha;</mi><mn>2</mn></msub></mrow><mspace width=".2em"></mspace>
</math>のときも<math>
<mspace width=".2em"></mspace><mrow><mo stretchy="false">(</mo><mi>cos</mi><mo>&af;</mo>
<mn>5</mn><mo>&it;</mo><msub><mi>&alpha;</mi><mn>2</mn></msub><mo>,</mo><mi>cos</mi><mo>&af;</mo>
<mn>6</mn><mo>&it;</mo><msub><mi>&alpha;</mi><mn>2</mn></msub><mo rspace=".2em" stretchy="false">)</mo></mrow>
</math>が点<math>
<mspace width=".2em"></mspace><mi mathvariant="normal">A</mi><mspace width=".2em"></mspace>
</math>となる．この値	<math>
<mspace width=".2em"></mspace><msub><mi>&alpha;</mi><mn>2</mn></msub><mspace width=".2em"></mspace>
</math>を求めよ．</p>
<p class="s1level">(&#8563;)　点<math>
<mspace width=".2em"></mspace><mi mathvariant="normal">M</mi><mspace width=".2em"></mspace>
</math>と第<math>
<mspace width=".2em"></mspace><mn>3</mn><mspace width=".2em"></mspace>
</math>象限の点<math>
<mspace width=".2em"></mspace><mi mathvariant="normal">B</mi><mspace width=".2em"></mspace>
</math>は<math>
<mspace width=".2em"></mspace><mi>y</mi><mspace width=".2em"></mspace>
</math>座標が等しい．点<math>
<mspace width=".2em"></mspace><mi mathvariant="normal">B</mi><mspace width=".2em"></mspace>
</math>の<math>
<mspace width=".2em"></mspace><mi>x</mi><mspace width=".2em"></mspace>
</math>座標を求めよ．また，直線<math>
<mspace width=".2em"></mspace><mi>AB</mi><mspace width=".2em"></mspace>
</math>の方程式を，実数<math>
<mspace width=".2em"></mspace><mrow><mi>m</mi><mspace width=".2em"></mspace><mtext>，</mtext></mrow>
</math><math>
<mi>n</mi><mspace width=".2em"></mspace>
</math>を用いて<math>
<mspace width=".2em"></mspace><mrow><mi>y</mi><mo>=</mo><mi>m</mi><mo>&it;</mo><mi>x</mi>
<mo>+</mo><mi>n</mi></mrow><mspace width=".2em"></mspace>
</math>の形で表せ．
</p><div class="rclear"></div>
</div>
</div>
```

```
Processing image
Lots of people are creating images right now, so this might take a bit. We'll notify you when your image is ready.
```

# (本日の)ChatGPT先生へ
>この曲線は、a と b が互いに素な正の整数のとき、
原点中心の閉曲線になり、全体で 2a 個のループと、
2b 個のループの交差点が現れるという特徴があります。
...

>この結果として、軌跡は自己交差点（重なり）を持つことになり、
この交点の個数は：... 10個

>この問題の軌跡（リサージュ曲線）においては、**自己交点** が10個あります。



#### 質問リスト
```
# 質問リスト

```
#### (以下回答抜粋)
・座標平面の運動
```python



```




# (本日の)Gemini先生へ
...
申し訳ありません。最大値が1を超えない制約を満たし、かつ一筆書きで描画した曲線は以下のようになります。
・私の質問の仕方が悪い？のであきらめました。

# copilot先生へ

# いつもの? sympyの実行環境と 参考のおすすめです。
[(テンプレート)](https://qiita.com/mrrclb48z/items/00dd08b0317069be9342)

https://qiita.com/mrrclb48z/items/b6351b48e47bcf6265c0

# いつもと違うおすすめです。
#### Qiita内

```
plot x = sin(6t), y = sin(5t)
```

https://qiita.com/hextomino/items/bf6f9a0a60dd6636b59c#%E5%AA%92%E4%BB%8B%E5%A4%89%E6%95%B0%E3%81%AB%E3%82%88%E3%82%8B%E3%82%B0%E3%83%A9%E3%83%95


#### 過去問


(参考)青チャ
問題文と???チョット表示が次と異なる。
https://www.desmos.com/calculator/7emdrq3jrs

# wikipedia
https://en.wikipedia.org/wiki/Lissajous_curve
https://ja.wikipedia.org/wiki/リサジュー図形
＞『改訂版 数学C』 数研出版 平成19年3月15日検定済（文部科学省検定済教科書/高等学校数学科用）p.93
＞1855年にフランスの物理学者ジュール・アントワーヌ・リサジュー (J.A. Lissajous, 1822年-1880年) が考案したとされ、これらの曲線族の呼び名は彼の名にちなむ。...

ちなみに、2025-1855=170年前
＞1855年は、江戸時代に位置し、年号は安政2年です。1855年10月2日には、安政江戸地震が発生しました.﻿
https://ja.wikipedia.org/wiki/1855年
＞『リサージュ曲線の定義とそれに関連する話』 - 高校数学の美しい物語
＞リサージュ曲線で囲まれた領域の面積
＞https://manabitimes.jp/math/1633

#### Desmos
・グラフ計算機のオンラインアプリケーション

https://ja.wikipedia.org/wiki/Desmos