漸化式とシステム



## ✅ 1. 等差数列の漸化式（高校数学）

### ● 漸化式の形：

$$
a_{n+1} - a_n = d \quad \text{または} \quad a_{n+1} = a_n + d
$$

### ● 一般解（高校数学）：

$$
a_n = a_1 + (n - 1)d
$$

---

## ✅ 2. Z変換で解く（離散システム）

Z変換を使って漸化式を解くと、離散的な「システム」解析になります。

### ● Z変換の性質：

$$
Z\{a_{n+1}\} = z A(z) - z a_0, \quad Z\{a_n\} = A(z)
$$

### ● 漸化式のZ変換：

$$
z A(z) - z a_0 - A(z) = \frac{d z}{z - 1}
\quad \text{（ステップ：} d \cdot u[n] \text{のZ変換）}
$$

整理：

$$
A(z)(z - 1) = z a_0 + \frac{d z}{z - 1}
\quad \Rightarrow \quad
A(z) = \frac{z a_0}{z - 1} + \frac{d z}{(z - 1)^2}
$$

---

## ✅ 3. Z変換の逆変換で元の数列を得る

$$
Z^{-1}\left\{ \frac{z a_0}{z - 1} \right\} = a_0 \cdot 1[n] = a_0
$$

$$
Z^{-1}\left\{ \frac{d z}{(z - 1)^2} \right\} = d \cdot n
$$

したがって、

$$
a_n = a_0 + d n
\quad \text{（初項から始まる等差数列）}
$$

---

## ✅ 4. Z–s変換：離散→連続へ

### ● Z–s対応（前進オイラー近似）：

$$
z \approx 1 + sT
\quad \Rightarrow \quad
z - 1 \approx sT
$$

したがって：

$$
\frac{1}{z - 1} \approx \frac{1}{sT}, \quad
\frac{1}{(z - 1)^2} \approx \frac{1}{s^2 T^2}
$$

---

## ✅ 5. アナログ対応の微分方程式へ

等差数列：

$$
a_{n+1} = a_n + d
$$

対応する差分方程式：

$$
\frac{a_{n+1} - a_n}{T} = \frac{d}{T}
$$

極限 $T \to 0$ で：

$$
\frac{da(t)}{dt} = \text{定数} = c
\quad \Rightarrow \quad
a(t) = a_0 + ct
$$

ここで $c = \lim_{T \to 0} \frac{d}{T}$

---

## ✅ 6. まとめ

| 領域      | 表現                                                   | 内容     |
| ------- | ---------------------------------------------------- | ------ |
| 離散（漸化式） | $a_{n+1} = a_n + d$                                  | 等差数列   |
| Z変換     | $A(z) = \frac{z a_0}{z - 1} + \frac{d z}{(z - 1)^2}$ | 系の応答表現 |
| s変換（連続） | $\frac{da(t)}{dt} = c \Rightarrow a(t) = a_0 + ct$   | 一次関数   |

---



### ● 与えられた漸化式：

$$
a_{n+1} = r a_n
\quad\text{（初期値：} a_0\text{）}
$$

### ● 高校数学における一般解：

$$
a_n = a_0 \cdot r^n
$$

---

## ✅ Step 2：Z変換を適用する

### ● Z変換の定義：

$$
A(z) = \sum_{n=0}^\infty a_n z^{-n}
$$

### ● Z変換の性質：

$$
Z\{a_{n+1}\} = z A(z) - z a_0
$$

### ● 漸化式にZ変換をかける：

$$
z A(z) - z a_0 = r A(z)
$$

整理：

$$
(z - r) A(z) = z a_0
\quad \Rightarrow \quad
\boxed{A(z) = \frac{z a_0}{z - r}}
$$

---

## ✅ Step 3：Z変換の逆変換で等比数列に戻す

$$
Z^{-1} \left\{ \frac{z a_0}{z - r} \right\} = a_0 r^n
$$

✅ 結論：Z領域からも高校数学と同じ一般解が得られる。

---

## ✅ Step 4：Z → s 変換（Z-s変換）

### ● オイラー近似（Zとsの対応関係）：

$$
z \approx 1 + sT
\quad \text{または} \quad
s \approx \frac{z - 1}{T}
$$

したがって：

$$
r = z \approx 1 + sT
\quad \Rightarrow \quad
s = \frac{r - 1}{T}
$$

---

## ✅ Step 5：アナログ対応の微分方程式を構成

### ● 漸化式の差分近似：

$$
\frac{a_{n+1} - a_n}{T} = \frac{r - 1}{T} a_n
\quad \Rightarrow \quad
\frac{da(t)}{dt} = \lambda a(t)
\quad (\lambda = \frac{r - 1}{T})
$$

---

## ✅ Step 6：連続時間の微分方程式と解

### ● 微分方程式：

$$
\boxed{ \frac{da(t)}{dt} = \lambda a(t) }
\quad \text{with } a(0) = a_0
$$

### ● 解：

$$
\boxed{ a(t) = a_0 e^{\lambda t} = a_0 \cdot \exp\left( \frac{r - 1}{T} t \right) }
$$

---





## ✅ Step 1: 漸化式の構造と一般解

### ● 与えられた漸化式：

$$
a_{n+1} = p a_n + q \quad (\text{初期値 } a_0)
$$

これは「1次線形非斉次漸化式（非同次漸化式）」である。

---

### ● 一般解（高校数学）：

特解＋斉次解で：

$$
a_n = (a_0 - \frac{q}{1 - p}) p^n + \frac{q}{1 - p} \quad (p \ne 1)
$$

---

## ✅ Step 2: Z変換

### ● Z変換の基本式：

Z変換の性質より：

$$
Z\{a_{n+1}\} = z A(z) - z a_0
$$

漸化式にZ変換をかける：

$$
z A(z) - z a_0 = p A(z) + \frac{q z}{z - 1}
$$

---

### ● 整理して：

$$
(z - p) A(z) = z a_0 + \frac{q z}{z - 1}
\quad \Rightarrow \quad
\boxed{
A(z) = \frac{z a_0}{z - p} + \frac{q z}{(z - 1)(z - p)}
}
$$

---

## ✅ Step 3: Z-s変換（離散→連続）

Zとsの対応（前進オイラー近似）：

$$
z \approx 1 + sT
\quad \Rightarrow \quad
z - p \approx sT + (1 - p)
$$

これを用いて：

$$
\frac{1}{z - p} \approx \frac{1}{sT + (1 - p)} \quad \text{→ 極が } s = \frac{p - 1}{T}
$$

---

## ✅ Step 4: 微分方程式（連続時間近似）

差分式：

$$
\frac{a_{n+1} - a_n}{T} = \frac{p - 1}{T} a_n + \frac{q}{T}
$$

極限 $T \to 0$ で：

$$
\boxed{
\frac{da(t)}{dt} = \lambda a(t) + K
}
\quad \text{where } \lambda = \frac{p - 1}{T},\quad K = \frac{q}{T}
$$

---

### ● 解（初期値 $a(0) = a_0$）：

$$
a(t) = \left(a_0 - \frac{K}{\lambda} \right) e^{\lambda t} + \frac{K}{\lambda}
$$

これは離散の一般解：

$$
a_n = \left(a_0 - \frac{q}{1 - p} \right) p^n + \frac{q}{1 - p}
$$

と構造が完全に対応する。

---

## ✅ まとめ表（an+1 = p an + q 型）

| 項目    | 数式                                                                   | 意味                            |
| ----- | -------------------------------------------------------------------- | ----------------------------- |
| 漸化式   | $a_{n+1} = p a_n + q$                                                | 離散的な増加（等比＋定数）                 |
| 一般解   | $a_n = (a_0 - \frac{q}{1 - p}) p^n + \frac{q}{1 - p}$                | 収束先：$\frac{q}{1 - p}$         |
| Z変換   | $A(z) = \frac{z a_0}{z - p} + \frac{q z}{(z - 1)(z - p)}$            | 漸化式の応答をZ表現                    |
| Z–s変換 | $z - p \approx sT + (1 - p)$                                         | Z極 → s極：$s = \frac{p - 1}{T}$ |
| 微分方程式 | $\frac{da(t)}{dt} = \lambda a(t) + K$                                | 指数型の非斉次微分方程式                  |
| アナログ解 | $a(t) = (a_0 - \frac{K}{\lambda}) e^{\lambda t} + \frac{K}{\lambda}$ | 等比数列と一致構造                     |

---
与えられた漸化式：

$$
a_{n+1} = p a_n + q \quad (\text{初期値 } a_0)
$$

を**横軸 \$t\$（時間）として考える**と、これは**時間離散系の1次線形動的システム**に相当します。

---

## ✅ 1. 離散時間ステップとしての解釈（Interpretation with respect to time）

この式は、「現在の状態 \$a\_n\$ に基づいて、次の時刻 \$t = n+1\$ の値 \$a\_{n+1}\$ を決定する」**時間発展の法則**です。

* 横軸：\$t = n\$（離散的な整数時間）
* 縦軸：状態量 \$a(t) = a\_n\$
* 時間ステップごとに、一定の比率 \$p\$ で前の値に比例し、さらに定数 \$q\$ が加わる。

---

## ✅ 2. 制御工学的観点からの構造（Relation to Discrete Control Systems）

この式は次のように捉えられます：

$$
a(t+1) = p \cdot a(t) + q
$$

これは**一次遅れ系（first-order lag system）**の**差分方程式形式**であり、次のブロック線図に対応：

```
  +----+      +-----+      +----+
--| z⁻¹|<-----| ×p  |<-----| +q |<---
  +----+      +-----+      +----+
    ↑
   a(t)
```

* \$z^{-1}\$ は1ステップ遅れ（前時刻の値を取得）
* \$p\$：フィードバックゲイン（現在値の重み）
* \$q\$：外部定数入力（ステップ入力とみなせる）

---

## ✅ 3. ラプラス変換・Z変換との対応

このような差分方程式を**Z変換**で記述すると：

$$
z A(z) = p A(z) + \frac{qz}{z - 1}
\Rightarrow
A(z) = \frac{qz}{(z-1)(z - p)} + \text{initial condition term}
$$

これは**ステップ応答のZドメイン表現**に近い形になります。

---

## ✅ 4. 時間応答の波形（例）

Pythonコードや数式により得られた \$a(t)\$ のプロットは、次のような波形になります：

* \$|p| < 1\$ のとき：指数的に安定点（定常値） \$\dfrac{q}{1 - p}\$ に**収束**
* \$|p| = 1\$ のとき：**等差数列**
* \$|p| > 1\$ のとき：指数的に**発散**

これは、**時間軸 \$t\$ に沿って状態量がどのように変化するか**を示す「離散時間システムの応答グラフ」として理解されます。

---