半導体理学工学(メモ)

【半導体カリキュラム：第1部〜第3部 詳細まとめ】

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第1部：物性物理の基礎
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1. 固体内の結晶構造と周期性

* 内容：単位格子、ミラー指数、X線回折の基礎理論
* キーワード：結晶格子、面心立方格子（FCC）、体心立方格子（BCC）

2. バンド構造の量子論的起源

* 内容：ブロッホ定理の導出、1次元周期ポテンシャルの解析、バンドギャップ形成
* キーワード：1次元ポテンシャル、ブリルアンゾーン、禁止帯、伝導帯

3. フェルミエネルギーと統計分布

* 内容：フェルミ・ディラック分布とボルツマン近似、状態密度の導出
* キーワード：フェルミ準位、占有率、状態密度DOS

4. 電子と格子の相互作用

* 内容：格子振動（フォノン）の導入、比熱の量子論的解釈、電子-格子散乱
* キーワード：デバイ模型、フォノン分散、比熱容量、散乱時間



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## 1. 固体内の結晶構造と周期性

### ■ 単位格子と格子ベクトル

$$
\vec{R} = n_1 \vec{a}_1 + n_2 \vec{a}_2 + n_3 \vec{a}_3 \quad (n_i \in \mathbb{Z})
$$

### ■ 面心立方格子（FCC）の格子定数と原子数

単位格子中の原子数 $N_{\text{atom}} = 4$
格子定数と原子半径の関係：

$$
a = \frac{4r}{\sqrt{2}}
$$

### ■ 体心立方格子（BCC）の格子定数と原子数

単位格子中の原子数 $N_{\text{atom}} = 2$

$$
a = \frac{4r}{\sqrt{3}}
$$

### ■ ミラー指数

平面 $(hkl)$ に対応する面の原点からの距離：

$$
d_{hkl} = \frac{a}{\sqrt{h^2 + k^2 + l^2}} \quad \text{(立方晶系)}
$$

### ■ X線回折（ブラッグの法則）

$$
2d \sin \theta = n\lambda
$$

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## 2. バンド構造の量子論的起源

### ■ 1次元周期ポテンシャル（クローニッヒ＝ペニー模型）

周期ポテンシャル $V(x+a) = V(x)$

### ■ ブロッホの定理（波動関数の形式）

$$
\psi_k(x) = e^{ikx} u_k(x), \quad u_k(x+a) = u_k(x)
$$

### ■ エネルギーバンドの式（簡易クローニッヒ＝ペニー解）

$$
\cos(ka) = \cos(\alpha a) + \frac{P}{\alpha a} \sin(\alpha a)
$$

（$P$：ポテンシャルの強さ、$\alpha^2 = 2mE/\hbar^2$）

### ■ ブリルアンゾーンの定義（1次元）

$$
-\frac{\pi}{a} \leq k \leq \frac{\pi}{a}
$$

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## 3. フェルミエネルギーと統計分布

### ■ フェルミ・ディラック分布関数

$$
f(E) = \frac{1}{e^{(E - E_F)/k_B T} + 1}
$$

### ■ ボルツマン近似（$E - E_F \gg k_B T$ のとき）

$$
f(E) \approx e^{-(E - E_F)/k_B T}
$$

### ■ 状態密度（DOS）3次元系の場合

$$
D(E) = \frac{1}{2\pi^2} \left( \frac{2m}{\hbar^2} \right)^{3/2} \sqrt{E}
$$

### ■ 電子数密度（導出式）

$$
n = \int_0^{\infty} D(E) f(E) \, dE
$$

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## 4. 電子と格子の相互作用

### ■ 格子振動のハミルトニアン（1次元、調和振動）

$$
H = \sum_j \left[ \frac{p_j^2}{2m} + \frac{1}{2} K(x_{j+1} - x_j)^2 \right]
$$

### ■ フォノンの量子化（1モードあたり）

$$
H = \sum_q \hbar \omega_q \left( a_q^\dagger a_q + \frac{1}{2} \right)
$$

### ■ デバイ模型：フォノン状態密度

$$
D(\omega) = \frac{9N}{\omega_D^3} \omega^2 \quad (0 \leq \omega \leq \omega_D)
$$

### ■ デバイ模型の内部エネルギーと比熱

$$
U = \int_0^{\omega_D} \hbar \omega \left( \frac{1}{e^{\hbar \omega / k_BT} - 1} \right) D(\omega) d\omega
$$

$$
C_V = \frac{dU}{dT}
$$

### ■ デバイ低温則（$T \ll \theta_D$ のとき）

$$
C_V \propto T^3
$$

### ■ 電子-格子散乱：導電率と散乱時間

$$
\sigma = \frac{n e^2 \tau}{m}
\quad , \quad
\tau(T) \propto \frac{1}{T}
$$

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第2部：半導体物理（量子・統計）
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1. 自由キャリアとドーピング

* 内容：電子・正孔濃度の温度依存性、受容体・供与体準位の導入
* キーワード：熱励起、イオン化エネルギー、ドーピング密度

2. 拡散・ドリフト輸送の導出

* 内容：連続の式、拡散方程式の導出と解法、電場によるドリフト速度
* キーワード：電流密度方程式、モビリティ、拡散係数、アインシュタイン関係

3. 熱平衡と再結合・生成

* 内容：ショックリー・リード・ホール（SRH）理論による再結合、少数キャリアのライフタイム
* キーワード：中性準位、再結合中心、少数キャリア寿命

4. 半導体方程式の基礎

* 内容：ポアソン方程式、連続の式、電流式の連立、数値解法の基礎
* キーワード：自己無撞着解析、空乏層、境界条件、連立PDE


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## 1. 自由キャリアとドーピング

### 🔹 電子・正孔濃度（熱励起による生成）

* 電子濃度（n型半導体）：

$$
n = N_C \exp\left(-\frac{E_C - E_F}{k_B T}\right)
$$

* 正孔濃度（p型半導体）：

$$
p = N_V \exp\left(-\frac{E_F - E_V}{k_B T}\right)
$$

* 電子と正孔の積（**質量作用の法則**）：

$$
np = n_i^2
\quad , \quad
n_i = \sqrt{N_C N_V} \exp\left(-\frac{E_g}{2k_B T}\right)
$$

### 🔹 ドーピングとイオン化

* ドナー密度のイオン化割合（低温では一部しか励起されない）：

$$
N_D^+ = \frac{N_D}{1 + \frac{1}{2} \exp\left(\frac{E_D - E_F}{k_B T}\right)}
$$

* アクティブキャリア密度（完全イオン化近似）：

$$
n \approx N_D, \quad p \approx \frac{n_i^2}{N_D}
$$

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## 2. 拡散・ドリフト輸送の導出

### 🔹 連続の式（キャリア数保存）

$$
\frac{\partial n}{\partial t} = \frac{1}{q} \nabla \cdot \vec{J}_n + G - R
$$

### 🔹 電流密度方程式（電子・正孔）

* 電子：

$$
\vec{J}_n = q n \mu_n \vec{E} + q D_n \nabla n
$$

* 正孔：

$$
\vec{J}_p = q p \mu_p \vec{E} - q D_p \nabla p
$$

### 🔹 アインシュタイン関係式

$$
\frac{D_n}{\mu_n} = \frac{D_p}{\mu_p} = \frac{k_B T}{q}
$$

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## 3. 熱平衡と再結合・生成

### 🔹 SRH再結合速度（ショックリー・リード・ホール理論）

$$
R_{SRH} = \frac{np - n_i^2}{\tau_p (n + n_1) + \tau_n (p + p_1)}
$$

ここで：

* $n_1 = n_i \exp\left(\frac{E_t - E_i}{k_B T}\right)$
* $p_1 = n_i \exp\left(\frac{E_i - E_t}{k_B T}\right)$
* $E_t$：再結合中心（中性準位）

### 🔹 少数キャリアのライフタイム

* 有効寿命（低注入時）：

$$
\tau_{eff} \approx \tau_p \quad (\text{n型の場合})
$$

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## 4. 半導体方程式の基礎

### 🔹 ポアソン方程式（空乏層の電位分布）

$$
\nabla^2 \psi = -\frac{q}{\varepsilon_s} (p - n + N_D^+ - N_A^-)
$$

### 🔹 連続の式（再掲）

$$
\frac{\partial n}{\partial t} = \frac{1}{q} \nabla \cdot \vec{J}_n + G - R
\quad , \quad
\frac{\partial p}{\partial t} = -\frac{1}{q} \nabla \cdot \vec{J}_p + G - R
$$

### 🔹 自己無撞着な連立PDE系（定常状態）

$$
\left\{
\begin{aligned}
& \nabla \cdot (\varepsilon_s \nabla \psi) = -q(p - n + N_D^+ - N_A^-) \\
& \vec{J}_n = q n \mu_n \vec{E} + q D_n \nabla n, \quad \nabla \cdot \vec{J}_n = q R \\
& \vec{J}_p = q p \mu_p \vec{E} - q D_p \nabla p, \quad \nabla \cdot \vec{J}_p = -q R
\end{aligned}
\right.
$$

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第3部：デバイス物理・トランジスタ
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1. pn接合の理論

* 内容：空乏層形成、内蔵電位の導出、順方向・逆方向バイアス時の挙動
* キーワード：空乏層幅、電位分布、IV特性、バリア電位、ショックリー方程式

2. ダイオードの応答特性

* 内容：バイアス応答、キャパシタンス（C-V特性）、スイッチング挙動
* キーワード：拡散電流、逆回復時間、動的抵抗

3. MOS構造の静電解析

* 内容：MOSキャパシタの構造解析、表面電位、しきい値電圧の定義
* キーワード：フラットバンド電圧、オキサイドキャパシタンス、界面準位

4. MOSFETの動作とモデル化

* 内容：チャネル形成、3動作領域、I-Vモデル、サブスレッショルド領域の振る舞い
* キーワード：カットオフ、リニア、飽和領域、トランスコンダクタンス

5. バイポーラトランジスタの構造と動作

* 内容：エミッタ注入効率、ベース輸送因子、コレクタ電流の解析
* キーワード：電流利得（β）、Gummelプロット、逆バイアス動作



## 🔬6. 次世代・量子デバイス概論（拡張版）

* **講義タイトル**：量子デバイス概論

* **内容**：

  1. **量子井戸・量子ドット**

     * 1次元・2次元閉じ込めポテンシャル
     * 有限井戸のエネルギー準位と波動関数
     * ヘテロ構造における電子閉じ込め（GaAs/AlGaAs）
     * 量子ドットにおけるクーロンブロッケード現象

  2. **トンネル効果と漏れ電流**

     * トンネルダイオードの原理
     * ナノスケールMOSにおける**ゲート酸化膜の量子トンネル**による**リーク電流**の増大
     * WKB近似による透過率の導出
     * 高κ材料導入の背景

  3. **FinFETとマルチゲート構造**

     * プレーナMOSのスケーリング限界（short-channel effect）
     * FinFETの三次元構造とチャネル制御の強化
     * サブスレッショルドスロープとSCEの抑制
     * 製造技術（SOI、EUVリソグラフィとの関係）

* **キーワード**：

  * 量子井戸、量子トンネル、WKB法、リーク電流、FinFET、ゲート全周制御、短チャネル効果（SCE）


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## 1. **pn接合の理論**

### 🔹 空乏層幅（全体）

$$
W = \sqrt{\frac{2\varepsilon_s}{q} \frac{(N_A + N_D)}{N_A N_D} V_{bi}}
$$

（内蔵電位 $V_{bi}$）

$$
V_{bi} = \frac{k_B T}{q} \ln\left(\frac{N_A N_D}{n_i^2}\right)
$$

### 🔹 各側の空乏幅

$$
x_n = \frac{N_A}{N_A + N_D} W, \quad x_p = \frac{N_D}{N_A + N_D} W
$$

### 🔹 ショックリーのダイオード方程式（IV特性）

$$
I = I_s \left(e^{\frac{qV}{k_B T}} - 1\right)
\quad , \quad
I_s = q A \left( \frac{D_n n_i^2}{L_n N_A} + \frac{D_p n_i^2}{L_p N_D} \right)
$$

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## 2. **ダイオードの応答特性**

### 🔹 キャパシタンス（逆バイアス時）

$$
C_j(V) = \frac{C_{j0}}{\sqrt{1 + \frac{V_R}{V_{bi}}}}
$$

（空乏容量 $C_j$）

### 🔹 逆回復時間（reverse recovery time）

$$
t_{rr} \approx \frac{Q_r}{I_R}
\quad , \quad
Q_r = \text{stored minority carrier charge}
$$

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## 3. **MOS構造の静電解析**

### 🔹 表面電位 $\psi_s$ としきい値電圧 $V_{th}$

$$
V_{th} = V_{FB} + 2\phi_F + \frac{\sqrt{2 q \varepsilon_s N_A 2\phi_F}}{C_{ox}}
$$

* $\phi_F = \frac{k_B T}{q} \ln\left(\frac{N_A}{n_i}\right)$
* $V_{FB} = \phi_m - \phi_s - \frac{Q_{ox}}{C_{ox}}$

### 🔹 オキサイドキャパシタンス

$$
C_{ox} = \frac{\varepsilon_{ox}}{t_{ox}}
$$

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## 4. **MOSFETの動作とモデル化**

### 🔹 動作領域（nMOS）：

* カットオフ：$V_{GS} < V_{th}$（電流なし）
* リニア領域：

$$
I_D = \mu_n C_{ox} \frac{W}{L} \left[(V_{GS} - V_{th}) V_{DS} - \frac{1}{2}V_{DS}^2\right]
$$

* 飽和領域：

$$
I_D = \frac{1}{2} \mu_n C_{ox} \frac{W}{L} (V_{GS} - V_{th})^2
$$

### 🔹 サブスレッショルド領域（指数則）

$$
I_D \propto \exp\left(\frac{V_{GS} - V_{th}}{n V_T}\right)
\quad , \quad
V_T = \frac{k_B T}{q}
$$

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## 5. **バイポーラトランジスタ（BJT）**

### 🔹 コレクタ電流：

$$
I_C = I_S e^{\frac{q V_{BE}}{k_B T}}
$$

### 🔹 電流利得（DC gain）：

$$
\beta = \frac{I_C}{I_B} = \frac{\eta \cdot \gamma}{1 - \eta \cdot \gamma}
$$

（※ $\eta$：エミッタ注入効率、$\gamma$：ベース輸送因子）

### 🔹 Gummelプロット（対数スケールでの $I_C$, $I_B$ vs. $V_{BE}$）

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## 6. **次世代・量子デバイス概論**

### 🔹 量子井戸（無限井戸）

$$
E_n = \frac{n^2 \pi^2 \hbar^2}{2 m^* L^2}
\quad , \quad
\psi_n(x) = \sqrt{\frac{2}{L}} \sin\left(\frac{n\pi x}{L}\right)
$$

### 🔹 トンネル透過率（WKB近似）

$$
T \approx \exp\left(-2 \int_{x_1}^{x_2} \sqrt{\frac{2m}{\hbar^2}(V(x) - E)} dx \right)
$$

### 🔹 短チャネル効果（SCE）とFinFET

* サブスレッショルドスロープ $S$：

$$
S = ( \ln 10 ) \cdot \frac{k_B T}{q} \left(1 + \frac{C_{dep}}{C_{ox}} \right)
$$

→ FinFETにより $C_{dep} \to 0$ → $S$ の抑制

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