制御数学



## 1. 絶対可積分とラプラス変換

* 関数 \$f:\mathbb{R} \to \mathbb{C}\$ が絶対可積分（\$L^1(\mathbb{R})\$）であるとは：

$$
\int_{-\infty}^{\infty} |f(t)|\,dt < \infty
$$

* ラプラス変換：

$$
\mathcal{L}[f](s) = F(s) = \int_0^\infty f(t)e^{-st}\,dt \quad (\text{Re}(s) > \sigma_0)
$$

* 関連：\$f\in L^1(\mathbb{R}^+)\$ であればラプラス変換が定義され、周波数領域での伝達関数の基礎となる。

## 2. 異なった積分と伝達関数

* 異なった積分：

$$
(f * h)(t) = \int_0^t f(\tau)h(t - \tau)\,d\tau
$$

* 線形時不変系の出力は：

$$
y(t) = (f * h)(t)
$$

* フーリエ変換やラプラス変換により：

$$
Y(s) = H(s)F(s) \quad \Rightarrow \quad H(s) = \frac{Y(s)}{F(s)}
$$

ここで \$H(s)\$ が伝達関数。

## 3. インパルス・ステップ入力と応答

* インパルス入力 \$\delta(t)\$ に対する出力：インパルス応答 \$h(t)\$
* ステップ入力 \$u(t)\$（Heaviside関数）に対して：

$$
y(t) = (h * u)(t) = \int_0^t h(\tau)\,d\tau \quad (\text{ステップ応答})
$$

## 4. 可制御性と可観測性

* 可制御性（Controllability）：初期状態 \$x(0)\$ から任意の終端状態 \$x(T)\$ に有限時間で遷移可能。

* 可観測性（Observability）：出力 \$y(t)\$ を有限時間観測することで、初期状態 \$x(0)\$ を一意に決定可能。

* Gramianによる定式化：

$$
W_c = \int_0^T e^{At}BB^T e^{A^T t}dt \quad \text{(可制御Gramian)}
$$

$$
W_o = \int_0^T e^{A^T t}C^T C e^{At}dt \quad \text{(可観測Gramian)}
$$

これらが正則（正定値） $\Leftrightarrow$ 可制御/可観測。

## 5. 評価関数とリカッチ方程式（最適制御）

* 線形二次最適制御（LQR）：評価関数

$$
J(u) = \int_0^\infty \left( x^T Q x + u^T R u \right) dt
$$

最適制御入力 \$u(t) = -Kx(t)\$ を与える状態フィードバックゲイン \$K\$ は、代数リカッチ方程式（ARE）の解 \$P\$ により：

$$
A^T P + PA - PBR^{-1}B^T P + Q = 0
$$

## 6. オブザーバーと誤差方程式

* 状態 \$x\$ を直接観測できない場合、出力 \$y = Cx\$ から状態推定値 \$\hat{x}\$ を構成：

$$
\frac{d\hat{x}}{dt} = A\hat{x} + Bu + L(y - C\hat{x})
$$

* 誤差 \$e = x - \hat{x}\$ に対して：

$$
\frac{de}{dt} = (A - LC)e
$$

可観測ならば、適切な \$L\$ により \$e(t) \to 0\$。

## 7. 同一次元オブザーバーとカルマンフィルタ

* 雌音あり線形系：

$$
dx = Axdt + Bdu, \quad dy = Cxdt + Ddw
$$

* 観測ノイズと入力ノイズを考慮した最適推定器がカルマンフィルタ：

$$
d\hat{x} = A\hat{x}dt + Bu dt + K(dy - C\hat{x}dt)
$$

* Kalmanゲイン \$K\$ は、共分散に対するリカッチ方程式の解に基づく：

$$
\frac{dP}{dt} = AP + PA^T + Q - PC^T R^{-1} CP
$$

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## 1. 絶対可積分とラプラス変換の数学的背景

### 1.1 絶対可積分（Absolutely Integrable）

関数 $f:\mathbb{R} \to \mathbb{C}$ が絶対可積分であるとは、

$\int_{-\infty}^{\infty} |f(t)|\,dt < \infty$

が成立することであり、これは関数がルベーグ空間 $L^1(\mathbb{R})$ に属することを意味する。これはバナッハ空間であり、ノルムは $\|f\|_1 := \int |f(t)| dt$ で定義される。

### 1.2 ラプラス変換の定義

$\mathcal{L}[f](s) = \int_0^\infty f(t)e^{-st}\,dt \quad (\text{Re}(s) > \sigma_0)$

これは $L^1(\mathbb{R}^+)$ に属する関数に対して収束し、解析関数を定義する。

### 1.3 抽象数学との関係

* $L^1$ 空間：完備ノルム空間（Banach空間）
* ラプラス変換：線形汎関数（Fourier解析の拡張）
* 収束領域は複素解析の領域論に依存

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## 2. 畳み込み積分と伝達関数

### 2.1 畳み込み

$(f * h)(t) = \int_0^t f(\tau) h(t - \tau)\,d\tau$

これは時間領域での線形システムの基本動作であり、可換環（畳み込み代数）の作用に相当。

### 2.2 フーリエ／ラプラス領域

$\mathcal{L}[f * h](s) = \mathcal{L}[f](s) \cdot \mathcal{L}[h](s) \quad \Rightarrow \quad H(s) = \frac{Y(s)}{F(s)}$

### 2.3 抽象数学との関係

* 畳み込み代数：可換Banach代数
* 有界線形作用素：Hilbert空間上の convolution operator
* 正則関数空間：Hardy空間 $H^2$ での transfer function 表現

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## 3. 入力信号：インパルス・ステップ

### 3.1 インパルス応答：$\delta(t)$

* Diracのデルタ関数は超関数（distribution）として定義され、Schwartz空間 $\mathcal{S}$ の双対空間 $\mathcal{S}'$ に属する。

### 3.2 ステップ応答：$u(t) = \int_0^t \delta(\tau)\,d\tau$

* Heaviside関数として知られ、分布論的微積分の原始関数構造

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## 4. 可制御性・可観測性とGramian

### 4.1 Gramianの定義：

$W_c = \int_0^T e^{At} B B^T e^{A^T t}\,dt \quad W_o = \int_0^T e^{A^T t} C^T C e^{A t}\,dt$

### 4.2 抽象数学との関係

* 正定値行列：内積空間（Hilbert空間）上の自己共役作用素
* 可制御 ⇔ 可逆性（スペクトル理論）
* $e^{At}$：線形Lie群の1パラメータ群（微分幾何）

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## 5. 最適制御とリカッチ方程式

### 5.1 評価関数と制御ゲイン

$J(u) = \int_0^\infty \left( x^T Q x + u^T R u \right) dt$

$u(t) = -Kx(t)$ を与えるゲイン $K$ は次を満たす：

$A^T P + PA - PBR^{-1}B^T P + Q = 0 \quad \text{(ARE)}$

### 5.2 数学的意味

* 作用素代数：自己共役作用素の非線形不動点問題
* 関数解析：線形作用素上の代数リカッチ方程式
* 最小化問題 ⇔ 変分法のHilbert空間バージョン

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## 6. オブザーバと誤差方程式

### 6.1 状態推定：

$\frac{d\hat{x}}{dt} = A\hat{x} + Bu + L(y - C\hat{x})$

誤差 $e = x - \hat{x}$ に対し：

$\frac{de}{dt} = (A - LC)e \quad \text{（指数安定）}$

### 6.2 抽象的理解

* オブザーバは再構成写像：関数空間の写像としての安定性
* $A - LC$：作用素のスペクトル配置による収束解析

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## 7. カルマンフィルタと確率制御

### 7.1 雑音付きシステム

$dx = Axdt + Bdu, \quad dy = Cxdt + Ddw$

### 7.2 Kalman Filter

$d\hat{x} = A\hat{x}dt + Bu dt + K(dy - C\hat{x}dt)$

$K$：共分散 $P$ の微分リカッチ方程式による：

$\frac{dP}{dt} = AP + PA^T + Q - PC^T R^{-1} CP$

### 7.3 数学との接続

* 伊藤積分：確率微分方程式（SDE）の測度論的定式化
* Kalmanゲイン：線形推定器の最小分散解
* 条件付き期待値とフィルタ：$\sigma$-加法族上の更新過程

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## 8. 抽象的骨格としての関数解析と制御理論

| 対象     | 数学的構造                             |
| ------ | --------------------------------- |
| 状態空間   | Banach空間、Hilbert空間、$\mathbb{R}^n$ |
| 入力・出力  | 関数空間：$L^2, L^1, C_c^\infty$       |
| システム演算 | 有界線形作用素、半群論（$C_0$-semigroup）      |
| 安定性    | スペクトル理論、Lyapunov理論、演算子の固有値        |
| モデル簡約  | モジュライ空間・最小実現・直交分解                 |







## 第1部：抽象解析（関数解析）と制御理論の架橋

### ● ノルム空間・ヒルベルト空間（関数の振る舞いの定量化）

* 制御対象（状態\$x(t)\$）がベクトル空間だけでなく、関数空間（\$L^p\$空間）に属すことで、無限次元システムや分布型系（偏微分方程式系）も統一的に扱える。
* ヒルベルト空間\$L^2\$では「エネルギー有限性」が数学的に定式化され、信号処理・最適制御での出力の評価基準となる。

### ● 半群理論と作用素（時間発展の抽象表現）

* 線形時不変系（LTI）は微分方程式ではなく半群\$T(t) = e^{At}\$として表現され、時間発展演算子として解釈できる。
* 無限次元空間（例：波動方程式）ではHille–Yosida定理などがWell-posednessを保証。

### ● スペクトル理論（安定性とモード分解）

* 安定性 ⇔ 生成作用素\$A\$のスペクトルが左半平面にある（指数減衰）
* 固有空間ごとのモード分離は振動・減衰・共鳴の理論的基盤。

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## 第2部：幾何学と制御理論の融合

### ● 可制御性・可観測性の幾何学的表現

* 状態空間上の可制御部分空間は、制御信号により到達可能な領域を表す。
* Kalman可制御性判定は、可制御性行列の全階性という線形代数的条件。


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## 第3部：代数学と制御理論の接続

### ● 有理関数環と代数構造

* 伝達関数\$H(s) = N(s)/D(s)\$は有理関数環\$\mathbb{C}(s)\$の元と見なされ、制御系全体が代数的対象になる。
* 安定性判定 ⇔ \$D(s)\$の零点の実部が負 ⇔ Hurwitz条件（代数的安定性）

### ● モジュール理論と最小実現

* 可制御可観測な系は「最小次数」で表現でき、これは代数的には商環の最小自由分解として表現される。
* Smith標準形やBezout恒等式は、可制御性・可観測性の代数的証明手法。

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## 第4部：確率論と統計的制御理論の接合

### ● カルマンフィルタと確率解析

* カルマンフィルタは、線形ガウス系に対する**最小平均二乗推定器**として最適。
* リカッチ方程式は、状態推定誤差の共分散行列の時間発展を記述し、フィルタ安定性の鍵。
* Itô積分とWiener過程により、雑音項\$Ddw\$が厳密に意味づけられる。

### ● ベイズ推論と確率的推定

* 状態\$x(t)\$を確率分布として扱い、その事後分布を時間更新するのが動的ベイズフィルタ。
* Kalman-Bucyフィルタは、線形ガウス系における事後分布の平均と分散を逐次更新する構造。

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## 第5部：数理的統合と応用例

### ● 抽象積分と演算子論による統一

* 畳み込み演算\$(h \* u)(t)\$は畳み込み代数を成し、ヒルベルト空間上の**作用素の乗算表現**として解釈。
* 伝達関数\$H(s)\$は周波数領域における乗算演算子であり、作用素環の要素となる。

### ● 制御理論と可視化・数値解法

* 可制御性Gramianの固有値解析や楕円体可視化により、制御信号の「到達可能領域」の幾何的解釈が可能。
* フィードバックゲイン空間は、最適化・機械学習と接続され、制御工学のAI化を推進。

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