化学生物地学のための制御工学信号処理


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## 🔹 1. 反応速度式（化学反応のモデル）

### ● 単純な1次反応（A → B）：

$$
\frac{dC_A(t)}{dt} = -k C_A(t)
$$

* $C_A(t)$：成分Aの濃度 \[mol/L]
* $k$：反応速度定数
* 解：$C_A(t) = C_{A0} e^{-kt}$

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## 🔹 2. CSTR（連続式撹拌タンク反応器）の動的モデル

### ● 入出力と反応を含む物質収支：

$$
V \frac{dC_A(t)}{dt} = F(C_{Ain} - C_A(t)) - Vk C_A(t)
$$

* $V$：容積 \[L]
* $F$：流量 \[L/min]
* $C_{Ain}$：流入濃度 \[mol/L]
* 制御入力に $C_{Ain}$ や $F$ を使う

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## 🔹 3. ラプラス変換後の伝達関数（CSTR例）

$$
\frac{C_A(s)}{C_{Ain}(s)} = \frac{\frac{F}{V}}{s + \left(\frac{F}{V} + k\right)}
$$

* 状態変数：$C_A(t)$
* 入力：$C_{Ain}(t)$（濃度制御）
* この形は**一次遅れ系の伝達関数**

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## 🔹 4. 温度制御（熱平衡・エネルギー収支）

$$
\rho C_p V \frac{dT(t)}{dt} = F \rho C_p (T_{in} - T(t)) + UA(T_j - T(t))
$$

* $T$：反応器温度、$T_j$：ジャケット温度（制御入力）
* $UA$：熱伝達係数 × 面積
* 温度動特性も一次遅れになる（熱容量と熱交換による）

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## 🔹 5. 状態空間表現（化学プロセスの線形モデル）

状態ベクトル $x(t)$、入力 $u(t)$、出力 $y(t)$：

$$
\frac{dx(t)}{dt} = A x(t) + B u(t), \quad y(t) = C x(t) + D u(t)
$$

たとえば：

* $x(t) = [C_A(t), T(t)]^\top$
* $u(t) = [C_{Ain}(t), T_j(t)]^\top$

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## 🔹 6. pH制御モデル（非線形）

$$
[H^+] = 10^{-pH}, \quad \text{pH} = -\log_{10}[H^+]
$$

* 酸・塩基の滴定過程を**制御対象**としたとき、非線形特性
* 線形化して制御設計（例：テイラー展開 → PID制御）

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## 🔹 7. 化学プロセスにおける制御対象の種類と応答モデル

| 対象      | モデル式例（微分方程式）                             | 備考            |
| ------- | ---------------------------------------- | ------------- |
| 濃度（反応）  | $\frac{dC}{dt} = -kC$                    | 一次反応          |
| 温度（熱収支） | $\frac{dT}{dt} = \text{入力} - kT$         | ジャケット制御など     |
| pH      | 非線形：$\text{pH} = -\log_{10}[H^+]$        | 線形化で近似        |
| 圧力      | $\frac{dP}{dt} = \text{in} - \text{out}$ | 圧力容器や気体プロセスなど |
| 流量      | $\tau \frac{dq}{dt} + q = K u$           | 一次遅れ伝達関数      |

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## 1. 血糖–インスリン制御系（人工膵臓モデル）

### Bergman最小モデル（負フィードバック）

$$
\frac{dG}{dt} = -p_1 G - XG + p_1 G_b \\
\frac{dX}{dt} = -p_2 X + p_3 (I - I_b)
$$

* $G$：血糖濃度、$I$：インスリン濃度、$X$：インスリン効果
* $G_b, I_b$：基準血糖／基準インスリン
* 制御構造：負帰還（homeostasis）

### モデル予測制御（MPC）への応用

* CSTR型状態空間モデルで記述可能
* グルコース摂取を外乱、インスリン投与を制御入力とし、MPCで最適血糖制御

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## 2. 神経筋制御（関節角度制御）

### 二階運動系モデル

$$
J \ddot{\theta}(t) + b \dot{\theta}(t) + k \theta(t) = u(t)
$$

* $\theta(t)$：関節角度、$u(t)$：神経入力（sEMG由来）
* 制御対象：サーボ系（MIMO）／粘性＋剛性要素を含む

### GP/NARXモデルによるEMG→運動予測

* 非線形構造の時系列モデル（リカレント）
* 入力：筋電位（sEMG）、出力：関節角度
* 応用：歩行補助・リハビリ制御

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## 3. 中枢パターン発生器（CPG：リズム生成）

* 非線形発振系モデル（例：Matsuoka oscillator）
* 相互抑制型：Half-center oscillator
* 制御構造：自励発振＋感覚フィードバック調整
* 応用：四脚歩行ロボット・CPG型義足制御

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## 4. 薬物動態（PK）モデル

### 一コンパートメント動態モデル

$$
\frac{dC}{dt} = -k_e C + \frac{D(t)}{V_d}
$$

* $C$：血中薬物濃度、$D(t)$：投与量、$V_d$：分布容積
* 一次遅れ系モデルとしてPID制御に応用可能

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## 5. 心拍・血圧調節系

### バロレセプター負帰還モデル

$$
\frac{dP}{dt} = -k (P - P_{set}) + G u(t)
$$

* $P$：血圧、$u(t)$：神経出力（交感・副交感）
* フィードバック制御系に類似
* 生理的恒常性維持システムとしての制御解析対象

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## 6. 細胞増殖制御（非線形モデル）

### ロジスティック成長方程式

$$
\frac{dN}{dt} = r N \left(1 - \frac{N}{K} \right)
$$

* $N$：細胞数、$r$：増殖率、$K$：環境収容力
* 飽和を含む非線形フィードバック系

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## 制御工学的マッピング

| 生体システム     | 数学モデル          | 工学的対応             |
| ---------- | -------------- | ----------------- |
| 血糖–インスリン   | 微分方程式＋状態空間     | MPC／カルマンフィルタ      |
| 神経筋制御（関節）  | 2階系＋NARX時系列モデル | サーボ系／適応制御／機械学習統合  |
| リズム生成（CPG） | 非線形発振器＋抑制構造    | 自励振動／バイオインスパイア制御  |
| 薬物動態       | 一次遅れ＋外乱入力      | PID制御／最適投薬戦略      |
| 心拍・血圧調節    | 一次遅れ＋負帰還       | フィードバック制御系（安定性解析） |
| 細胞増殖       | ロジスティック非線形モデル  | 増殖予測／最適環境設計       |

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## 🔷 1. 地震波形信号のフィルタ処理（信号処理）

### ● 地震波の原始波形（加速度データなど）

$$
x(t) = S(t) * G(t) * I(t) + n(t)
$$

* $S(t)$：震源関数（source）
* $G(t)$：伝播経路（Green’s function）
* $I(t)$：観測点のインパルス応答（site effect）
* $n(t)$：ノイズ（計測ノイズ）

👉 **信号処理**ではこの畳み込みを\*\*逆解析（deconvolution）\*\*し、震源波形 $S(t)$ を推定。

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### ● 周波数領域でのノイズ除去（バンドパスフィルタ）

* ノイズ成分（高周波・低周波）を除去するため、Butterworthなどの**IIRフィルタ**や**FIRフィルタ**を設計：

$$
H(s) = \frac{\omega_c^2}{s^2 + \sqrt{2}\omega_c s + \omega_c^2}
$$

（2次Butterworthフィルタの例）

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## 🔷 2. 地殻変動・傾斜のフィードバック制御的解析（準静的変化）

### ● 火山活動時の地殻変動：

$$
\Delta L(t) = K \cdot P(t)
$$

* $\Delta L(t)$：GPS等で観測された地表変位
* $P(t)$：地下マグマ圧力（制御入力とみなせる）
* $K$：感度（係数）
  → このような**入力－出力系**として**一次遅れ系制御モデル**に置換可能。

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## 🔷 3. 地震動応答の制御系表現（地盤－建物系）

### ● 建物や地盤の応答：

$$
m \ddot{x}(t) + c \dot{x}(t) + k x(t) = u(t)
$$

* $u(t)$：地震入力（加速度波）
* **制御工学の2自由度モデル**と同一形（MCK系）
* 制振設計ではフィードバックダンパ（減衰制御）を導入可能。

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## 🔷 4. スペクトル解析と地震波形の周波数特徴

### ● 窓関数付きフーリエ変換：

$$
X(f) = \int x(t) w(t) e^{-j2\pi f t} dt
$$

* $w(t)$：ハミング窓やガウス窓など
* 地震波形の**支配周波数**（ピーク周波数）を抽出

👉 **短時間フーリエ変換（STFT）**や**ウェーブレット変換**で**時間周波数特性**を解析。

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## 🔷 5. 火山性微動と自己相関・ARモデル

* 火山微動は**周期的/非定常振動**：

$$
x(t) = a_1 x(t-1) + a_2 x(t-2) + \dots + \epsilon(t)
$$

* 自己回帰（AR）モデルで近似可能
* **ARMA/ARIMA**で予測モデルに展開可能

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## 🔷 6. 気象データと状態空間モデル・カルマンフィルタ

### ● 雲量・風速・気温などを含む大気データ：

$$
x_{k+1} = A x_k + B u_k + w_k \\
y_k = C x_k + v_k
$$

* **天気予報・大気循環**は**動的システム＋観測ノイズ付き**
* **カルマンフィルタ**で最適状態推定が可能

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## 🔷 7. フィードバックと地球システム（気候変動モデル）

### ● 二酸化炭素濃度と気温の制御的関係：

$$
\frac{dT}{dt} = -k(T - T_0) + \alpha C(t)
$$

* $T(t)$：地表気温
* $C(t)$：CO₂濃度
* $T_0$：平衡温度
* フィードバック制御系に類似（**正帰還／負帰還系**）

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## 🔷 8. 地学現象の制御モデル対応表

| 地学対象      | モデル形式           | 制御・信号処理的視点          |
| --------- | --------------- | ------------------- |
| 地震波（P/S波） | 畳み込みモデル＋フィルタ    | Deconvolution／バンドパス |
| 火山地殻変動    | 圧力-変位の一次系       | モデル予測と感度推定          |
| 建築地震応答    | MCK系2次遅れ        | 制振制御／状態フィードバック      |
| 気象変化      | 状態空間モデル＋観測      | カルマンフィルタ／MPC        |
| 気候変動      | 遅れ付き正・負帰還系      | 安定性解析／ロバスト制御        |
| 火山微動      | AR/ARIMA 時系列モデル | 周波数解析／予測制御          |

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