高校生物微分方程式


### ● 二酸化炭素吸収モデル（CO₂濃度変化）

$$
\frac{dC}{dt} = -k_1 \cdot C(t)
$$

* $C(t)$：葉内部のCO₂濃度
* $k_1$：CO₂の吸収速度定数（光の強さや気孔の開度に依存）

---

### ● 光合成速度モデル（光強度に対する飽和）

$$
P(t) = \frac{P_{\text{max}} \cdot I(t)}{K + I(t)}
$$

* $P(t)$：光合成速度（例：グルコース生産速度）
* $I(t)$：光強度（μmol photons m⁻² s⁻¹）
* $K$：半飽和定数（ミカエリス・メンテン型）

---


## 🌱 ロジスティック成長モデル（Logistic Growth）

環境収容力 $K$ を考慮した個体数の成長モデル：

$$
\frac{dN}{dt} = r N \left(1 - \frac{N}{K} \right)
$$

* $N(t)$：時刻 $t$ における個体数（population）
* $r$：内的成長率（intrinsic growth rate）
* $K$：環境収容力（carrying capacity）

> ☑︎ 初期値 $N(0) = N_0$ を与えれば解析解あり：
>
> $$
> N(t) = \frac{K N_0 e^{rt}}{K + N_0 (e^{rt} - 1)}
> $$

---

## 🐺 捕食モデル（Lotka–Volterra Predator-Prey Model）

被食者（獲物）と捕食者の相互作用を記述する連立微分方程式：

$$
\begin{cases}
\displaystyle \frac{dx}{dt} = \alpha x - \beta x y \\[8pt]
\displaystyle \frac{dy}{dt} = \delta x y - \gamma y
\end{cases}
$$

* $x(t)$：被食者（Prey）の個体数
* $y(t)$：捕食者（Predator）の個体数
* $\alpha$：被食者の自然増殖率
* $\beta$：捕食による被食者の減少率
* $\delta$：捕食によって得られる捕食者の成長率
* $\gamma$：捕食者の自然死亡率

> ☑︎ 解は閉じた軌道（周期解）を持つことがあり、フェーズポートレートで軌跡が観察されます。

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## 🔋 ニューロンの膜電位変化（活動電位の時間変化）

最も単純なモデルは**指数関数的な立ち上がり・立ち下がり**を持つ**RC回路モデル**（またはHodgkin–Huxley簡略版）です。

### ◉ 膜電位の変化（単純モデル）：

$$
\frac{dV}{dt} = -\frac{1}{\tau} (V - V_{\text{rest}}) + \frac{I(t)}{C}
$$

* $V(t)$：膜電位 \[mV]
* $V_{\text{rest}}$：静止電位（例：−70 mV）
* $\tau = RC$：膜時定数（時間応答の速さ）
* $I(t)$：外部入力電流
* $C$：膜容量

### ◉ スパイク的応答の模式：

活動電位（アクションポテンシャル）は以下のような形状を持つ：

* **脱分極**：Na⁺流入により膜電位が急上昇
* **再分極**：K⁺流出により低下
* **過分極**：静止電位より一時的に低下

> より精密には Hodgkin-Huxley モデルや Izhikevich モデルで再現される。

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## ☢️ 放射性同位体の崩壊（半減期）

### ◉ 放射性崩壊の一次反応モデル：

$$
\frac{dN}{dt} = -\lambda N
$$

* $N(t)$：時刻 $t$ における放射性原子の個数
* $\lambda$：崩壊定数（単位：1/time）

### ◉ 解析解：

$$
N(t) = N_0 e^{-\lambda t}
$$

* $N_0$：初期の原子数

### ◉ 半減期（half-life）との関係：

$$
T_{1/2} = \frac{\ln 2}{\lambda}
$$

---

## 🗿 放射性炭素年代測定（Carbon Dating）

^14C の崩壊を用いて、過去の有機物の年代を推定。

### ◉ 基本式：

$$
N(t) = N_0 e^{-\lambda t}
\quad \Rightarrow \quad
t = \frac{1}{\lambda} \ln \left( \frac{N_0}{N(t)} \right)
$$

* $N_0$：生きていたときの ^14C 濃度（現在の空気中基準）
* $N(t)$：現在検出される ^14C 濃度
* $t$：死亡からの経過時間（年代）

### ◉ 代表値：

* ^14C の半減期：

$$
T_{1/2} \approx 5730 \, \text{years} \Rightarrow \lambda = \frac{\ln 2}{5730}
$$

---





## 🧬 生存曲線に関する数式・モデルまとめ

### 1. **基本定義：生存関数**

$$
S(t) = P(T > t)
$$

* $S(t)$：時刻 $t$ において生存している確率
* $T$：死亡時刻を表す確率変数

---

### 2. **累積死亡関数**

$$
F(t) = 1 - S(t)
$$

* 累積で死亡した個体の割合を示す関数

---

### 3. **ハザード関数（瞬間死亡率）**

$$
h(t) = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{P(t \leq T < t + \Delta t \mid T \geq t)}{\Delta t}
= \frac{f(t)}{S(t)}
$$

* $f(t)$：生存時間の確率密度関数
* $h(t)$：時刻 $t$ に死亡する条件付き確率密度

---

### 4. **指数型生存曲線（タイプII）**

$$
S(t) = e^{-\lambda t}
$$

* 年齢にかかわらず一定の死亡率（例：鳥類、ネズミなど）

---

### 5. **ワイブル（Weibull）分布による生存曲線**

$$
S(t) = e^{-(\lambda t)^k}
$$

* $k < 1$：初期死亡率が高い（タイプIII）
* $k = 1$：定率死亡（タイプII）
* $k > 1$：老化により死亡率が上昇（タイプI）

---

### 6. **タイプ別分類**

| タイプ    | 説明        | 生物例      | 数学モデル           |
| ------ | --------- | -------- | --------------- |
| タイプI   | 高齢で急激に死亡  | ヒト、ゾウ    | Weibull ($k>1$) |
| タイプII  | 一定の死亡率    | 鳥類、爬虫類   | Exponential     |
| タイプIII | 幼少期に高い死亡率 | 貝、魚、昆虫など | Weibull ($k<1$) |



### 1. **ファントホッフの法則（浸透圧 π の定義）**

$$
\pi = i C R T
$$

* $\pi$：浸透圧 \[Pa]
* $i$：電離係数（例：NaCl → 2）
* $C$：溶質濃度 \[mol/L]
* $R$：気体定数 ≈ 8.31 \[J/(mol·K)]
* $T$：温度 \[K]

---

### 2. **水の移動速度（流束）のモデル式（スターリングの法則に類似）**

$$
\frac{dV}{dt} = A \cdot L_p \cdot (\Delta \pi - \Delta P)
$$

* $\frac{dV}{dt}$：単位時間あたりの水の移動量
* $A$：膜面積
* $L_p$：透水係数（膜の通水性）
* $\Delta \pi$：浸透圧差
* $\Delta P$：静水圧差（血圧や外圧）

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