伝達関数


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## ✅ 状況設定 / Problem Setup

* 質量：$m$
* 入力（外力）：$F(t)$
* 出力（位置）：$x(t)$
* 運動方程式：

  $$
  m \frac{d^2x(t)}{dt^2} = F(t)
  $$
* 初期条件：

  $$
  x(0) = x_0, \quad \dot{x}(0) = v_0
  $$

---

## ✅ ラプラス変換（初期条件含む） / Laplace Transform (with Initial Conditions)

運動方程式のラプラス変換（初期条件あり）：

$$
m \left[ s^2 X(s) - s x_0 - v_0 \right] = F(s)
$$

整理して：

$$
X(s) = \underbrace{\frac{1}{m s^2} F(s)}_{\text{外力応答 / Input Response}} + \underbrace{\frac{x_0}{s} + \frac{v_0}{s^2}}_{\text{初期条件応答 / Initial Condition Response}}
$$

---

## ✅ 出力の構造 / Output Formula Summary

$$
X(s) = G(s) \cdot F(s) + X_{\text{init}}(s)
$$

* 伝達関数（Transfer Function）：

  $$
  G(s) = \frac{1}{m s^2}
  $$
* 初期条件応答（Initial Response）：

  $$
  X_{\text{init}}(s) = \frac{x_0}{s} + \frac{v_0}{s^2}
  $$

---

## ✅ 時間領域での解 / Time-Domain Solution

入力が定数 $F(t) = mg$ のとき：

$$
x(t) = x_0 + v_0 t + \frac{1}{2} g t^2
\quad \left( g = \frac{F}{m} \right)
$$



---

## ✅ 状況設定 / Problem Setup

* 質量：$m$
* ばね定数：$k$
* 外力：$F(t) = 0$
* 初期条件：

  $$
  x(0) = x_0, \quad \dot{x}(0) = v_0
  $$

---

## ✅ 運動方程式 / Equation of Motion

$$
m \frac{d^2x(t)}{dt^2} + k x(t) = 0
$$

両辺を $m$ で割って：

$$
\frac{d^2x(t)}{dt^2} + \omega^2 x(t) = 0
\quad \text{where } \omega = \sqrt{\frac{k}{m}}
$$

---

## ✅ ラプラス変換（初期条件あり）/ Laplace Transform

$$
m \left[ s^2 X(s) - s x_0 - v_0 \right] + k X(s) = 0
$$

整理：

$$
X(s) = \frac{m s x_0 + m v_0}{m s^2 + k} = \frac{s x_0 + v_0}{s^2 + \omega^2}
$$

---

## ✅ 時間領域解 / Time-Domain Solution

逆ラプラス変換より：

$$
x(t) = x_0 \cos(\omega t) + \frac{v_0}{\omega} \sin(\omega t)
\quad \text{（単振動 / Undamped Oscillation）}
$$

---






## ✅ 状況設定 / Problem Setup

* 回路構成：**直列RC回路**
* 入力電圧：$u(t) = E \cdot 1(t)$（ステップ電圧）
* 出力：**コンデンサ電圧** $v_C(t)$

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## ✅ 回路方程式（微分方程式）/ Circuit ODE

キルヒホッフの電圧法則（KVL）：

$$
E = v_R(t) + v_C(t) = R \frac{dq(t)}{dt} + \frac{q(t)}{C}
$$

電荷 $q(t) = C v_C(t)$ より：

$$
RC \frac{dv_C(t)}{dt} + v_C(t) = E
$$

---

## ✅ ラプラス変換（ゼロ初期条件）/ Laplace Transform

$$
RC \cdot s V_C(s) + V_C(s) = \frac{E}{s}
\quad \Rightarrow \quad
V_C(s) = \frac{E}{s (RC s + 1)}
$$

---

## ✅ 伝達関数 / Transfer Function

$$
G(s) = \frac{V_C(s)}{U(s)} = \frac{1}{RC s + 1}
\quad \text{where } U(s) = \frac{E}{s}
$$

---

## ✅ 出力応答（時間領域）/ Time Response

$$
v_C(t) = E \left(1 - e^{-t / (RC)} \right)
$$

---

## ✅ 特性 / Characteristics

| 項目   | 値                 |
| ---- | ----------------- |
| 時定数  | $\tau = RC$       |
| 初期値  | $v_C(0) = 0$      |
| 定常値  | $v_C(\infty) = E$ |
| 応答形式 | 指数関数的立ち上がり（1次遅れ）  |

---



## ✅ 1. 状況設定 / Problem Setup

* $N(t)$：時刻 $t$ における放射性核種の量（または濃度）
* $\lambda$：崩壊定数（decay constant）、単位は $[1/\text{s}]$
* $T_{1/2}$：半減期（half-life）

$$
\lambda = \frac{\ln 2}{T_{1/2}}
$$

---

## ✅ 2. 微分方程式（崩壊モデル）/ Differential Equation

$$
\frac{dN(t)}{dt} = -\lambda N(t)
$$

---

## ✅ 3. 解（時間領域）/ Solution in Time Domain

$$
N(t) = N_0 e^{-\lambda t}
\quad (\text{初期値 } N(0) = N_0)
$$

---

## ✅ 4. ラプラス変換（初期値あり）/ Laplace Transform

$$
\mathcal{L} \left\{ \frac{dN}{dt} \right\} = s N(s) - N_0
$$

代入して整理：

$$
s N(s) - N_0 = -\lambda N(s)
\quad \Rightarrow \quad
N(s) = \frac{N_0}{s + \lambda}
$$

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## ✅ 5. 伝達関数 / Transfer Function

外部入力（例：核種供給やシステム応答）を $U(s)$、出力を $Y(s)$ としたとき：

$$
\frac{dN}{dt} + \lambda N = u(t)
\Rightarrow 
Y(s) = \frac{1}{s + \lambda} U(s)
$$

つまり、**1次低域フィルタと同形**：

$$
G(s) = \frac{1}{s + \lambda}
$$

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