積分まとめ


$$
\int \frac{\gamma \sin x}{\alpha \sin x + \beta \cos x} \, dx
= \frac{\alpha \gamma}{\alpha^2 + \beta^2} x - \frac{\beta \gamma}{\alpha^2 + \beta^2} \log |\alpha \sin x + \beta \cos x| + \text{const}.
$$

$$
\int \frac{\gamma \cos x}{\alpha \sin x + \beta \cos x} \, dx
= \frac{\beta \gamma}{\alpha^2 + \beta^2} x + \frac{\alpha \gamma}{\alpha^2 + \beta^2} \log |\alpha \sin x + \beta \cos x| + \text{const}.
$$

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### ✅ 基本積分公式一覧

#### 定数の積分

$$
\int a \, dx = ax + C
$$

#### $x^n$ の積分

$$
\int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \quad 但し \; n \ne -1
$$

#### $1/x$ の積分

$$
\int \frac{1}{x} \, dx = \log|x| + C
$$

#### 三角関数の積分

$$
\int \sin x \, dx = -\cos x + C
$$

$$
\int \cos x \, dx = \sin x + C
$$

$$
\int \tan x \, dx = -\log|\cos x| + C
$$

$$
\int \frac{1}{\sin^2 x} \, dx = -\frac{1}{\tan x} + C
$$

$$
\int \frac{1}{\cos^2 x} \, dx = \tan x + C
$$

#### 対数関数の積分

$$
\int \log x \, dx = x(\log x - 1) + C
$$

#### 指数関数の積分

$$
\int e^x \, dx = e^x + C
$$

#### 指数関数の積分（底 $a$）

$$
\int a^x \, dx = \frac{a^x}{\log a} + C \quad (a > 0, \; a \ne 1)
$$

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### ✅ 分数関数の積分（平方和）

$$
\int \frac{1}{x^2 + a^2} \, dx = \frac{1}{a} \arctan \frac{x}{a} + C \quad a \text{ は定数}
$$

$$
\int \frac{x}{x^2 - a^2} \, dx = \frac{1}{2a} \log \left| \frac{x - a}{x + a} \right| + C \quad a \text{ は定数}
$$

$$
\int \frac{x}{\sqrt{x^2 + a^2}} \, dx = \log \left| x + \sqrt{x^2 + a^2} \right| + C \quad a \text{ は定数}
$$

$$
\int \sqrt{x^2 + a^2} \, dx = \frac{1}{2} x \sqrt{x^2 + a^2} + \frac{1}{2} a^2 \log \left| x + \sqrt{x^2 + a^2} \right| + C \quad a \text{ は定数}
$$

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### ✅ 部分積分（積の積分）

$$
\int f(x) g'(x) \, dx = f(x) g(x) - \int f'(x) g(x) \, dx
$$

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## ✅ 一般積分公式（平方和型）の形：

$$
\int \frac{1}{(x - a)^2 + b^2} \, dx = \frac{1}{b} \arctan\left(\frac{x - a}{b}\right) + C
\quad (b > 0)
$$

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### ✅【1】ベータ関数型の積分公式

$$
\int_{\alpha}^{\beta} (x - \alpha)^m (\beta - x)^n \, dx = \frac{m! \, n!}{(m + n + 1)!} (\beta - \alpha)^{m + n + 1}
$$

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### ✅【2】三角関数のべき乗の定積分（0〜π/2）

#### $n$ が奇数のとき：

$$
\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^n x \, dx = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos^n x \, dx = \frac{(n - 1)!!}{n!!}
$$

#### $n$ が偶数のとき：

$$
\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^n x \, dx = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos^n x \, dx = \frac{\pi}{2} \cdot \frac{(n - 1)!!}{n!!}
$$

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### ✅【3】逆三角関数を用いた積分公式

$$
\int \frac{1}{\sqrt{a^2 - x^2}} \, dx = \arcsin \left( \frac{x}{a} \right) + C
$$

$$
\int \frac{1}{a^2 + x^2} \, dx = \frac{1}{a} \arctan \left( \frac{x}{a} \right) + C
$$

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### ✅【4】双曲線型積分公式

$$
\int \frac{1}{x^2 - a^2} \, dx = \frac{1}{2a} \log \left| \frac{x - a}{x + a} \right| + C
$$

---


### ✅ キングプロパティ（King's Property）とは

**キングプロパティ**（King's Property）とは、**定積分の対称性**を利用した積分公式の一種です。特に、**区間対称性と integrand（被積分関数）の変数変換**に基づき、積分を簡単化・整理できます。

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## ✅ キングプロパティの代表的な公式：

### 【1】区間対称型：

$$
\int_a^b f(x) \, dx = \int_a^b f(a + b - x) \, dx
$$

この公式は、区間 $[a, b]$ において、**左右対称点の値を入れ替えても積分値が変わらない**ことを示します。

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$$
\int \sqrt[n]{\frac{a x + b}{c x + d}} \, dx
$$

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## ✅ 一般的な解法戦略

次のような置換を用いて積分可能です：

### ◆ 置換1：線形変数変換

$$
u = \frac{a x + b}{c x + d}
\quad \text{または} \quad
u = \left( \frac{a x + b}{c x + d} \right)^{1/n}
$$

これにより、有理関数や累乗関数に帰着させます。

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## ✅ 特殊な場合の公式

### 【例】$n = 1$ のとき：

$$
\int \frac{a x + b}{c x + d} \, dx
= \frac{a}{c} x + \frac{b d - a c}{c^2} \log|c x + d| + C
\quad (c \ne 0)
$$

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### 【例】$n = 2$ のとき：

$$
\int \sqrt{\frac{a x + b}{c x + d}} \, dx
$$

この形は「無理関数の積分」として知られ、次のように置換します：

$$
\sqrt{\frac{a x + b}{c x + d}} = t
\quad \Rightarrow \quad x = \frac{d t^2 - b}{a - c t^2}
$$

これにより $dx$ もすべて $t$ で表現でき、**有理式の積分**へと帰着します。

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## ✅ ① 無理関数の積分：$\int \sqrt{x^2 + a^2} \, dx$

### 【公式】

$$
\boxed{
\int \sqrt{x^2 + a^2} \, dx = \frac{x}{2} \sqrt{x^2 + a^2} + \frac{a^2}{2} \log\left| x + \sqrt{x^2 + a^2} \right| + C
}
$$

### 【導出のポイント】

* **部分積分または三角関数置換**（$x = a \sinh \theta$ や $x = a \tan \theta$ など）
* 積分表における標準形
* 典型的な「√型」積分

### 【応用分野】

* 電磁気のポテンシャル計算（例：線電荷の電場）
* 空間距離の評価
* 物理学における長さ・エネルギー・エントロピー積分

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## ✅ ② 対数関数付きの積分：$\int x^n \log x \, dx$（$n \ne -1$）

### 【公式】

$$
\boxed{
\int x^n \log x \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} \left( \log x - \frac{1}{n+1} \right) + C \quad (n \ne -1)
}
$$

### 【導出のポイント】

* **部分積分**を使用：

  * $u = \log x$
  * $dv = x^n dx$
* 多項式 × 対数型の積分の基本型

### 【応用分野】

* 情報理論（エントロピーの定義）
* 熱力学（log項を含む状態方程式）
* 統計力学（積分形式の分配関数）

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### ✅ 無理関数の積分公式（±の場合をまとめて）

#### ① 分母が平方根型

$$
\int \frac{1}{\sqrt{x^2 \pm a^2}} \, dx = \log\left| x + \sqrt{x^2 \pm a^2} \right| + C
$$

---

#### ② 被積分関数が平方根そのもの

$$
\int \sqrt{x^2 \pm a^2} \, dx = \frac{1}{2} \left\{ x \sqrt{x^2 \pm a^2} \pm a^2 \log\left| x + \sqrt{x^2 \pm a^2} \right| \right\} + C
$$

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## ✅ 指数関数 × 三角関数 の積分公式

### ① $\int e^{ax} \cos(bx) \, dx$

$$
\boxed{
\int e^{ax} \cos(bx) \, dx = \frac{e^{ax}}{a^2 + b^2} \left( a \cos(bx) + b \sin(bx) \right) + C
}
$$

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### ② $\int e^{ax} \sin(bx) \, dx$

$$
\boxed{
\int e^{ax} \sin(bx) \, dx = \frac{e^{ax}}{a^2 + b^2} \left( a \sin(bx) - b \cos(bx) \right) + C
}
$$

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## 【1】円すいの側面積（球座標系の面積要素）

球座標における面積要素 $ds = r \sin\theta d\theta d\varphi$ を用いて円すいの側面積を計算

$$
S = \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{r} r \sin\theta \, d\theta d\varphi = 2\pi \int_{0}^{r} \sin\theta \, d\theta = 2\pi a l
$$

---

## 【2】円柱の体積（円柱座標系）

円柱座標における体積要素 $dV = \rho d\rho d\varphi dz$ を用いて円柱の体積を計算

$$
V = \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{a} \int_{0}^{h} \rho \, d\rho d\varphi dz = 2\pi h \int_{0}^{a} \rho \, d\rho = \pi a^2 h
$$

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## 【3】球の体積（球座標系）

球座標における体積要素 $dV = r^2 \sin\theta dr d\theta d\varphi$ を用いて球の体積を計算

$$
V = \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{\pi} \int_{0}^{a} r^2 \sin\theta \, dr d\theta d\varphi = \frac{4}{3} \pi a^3
$$

---

## 【4】球対称な電位の積分

球対称分布に対する電位の積分

$$
V = \frac{Qr^2}{2} \int_{0}^{\pi} \frac{r - a \cos\theta}{(r^2 - 2ra\cos\theta + a^2)^{3/2}} \sin\theta \, d\theta
$$

---

## 【5】円板電位（極座標系）

円板上の電荷分布から生じる電位を計算

$$
V = \frac{\rho_s}{4\pi\varepsilon_0} \int_{0}^{2\pi} d\varphi \int_{0}^{a} \frac{\rho' \, d\rho'}{\sqrt{\rho'^2 + z^2}}
$$

---

## 【6】ビオ・サバールの電流積分

ビオ・サバールの法則による円形電流ループの磁場計算

$$
B = \mu_0 I \int_{0}^{a} \frac{\rho \, d\rho}{\sqrt{d^2 - \rho^2}}
$$

---