大学受験で使える大学数学まとめ



## クラメルの公式（Cramer's Rule）

```math
A\vec{x} = \vec{b}
```

ただし \$A \in \mathbb{R}^{n \times n}\$ が正則（\$\det(A) \ne 0\$）のとき、解は以下で与えられる：

```math
x_i = \frac{\det(A_i)}{\det(A)} \quad (i = 1, 2, ..., n)
```

ここで \$A\_i\$ は \$A\$ の第 \$i\$ 列を \$\vec{b}\$ に置き換えた行列。



## 🐢 つるかめ算の例題（Cramer's Ruleで解く）

### 問題：

鶴と亀が合わせて10匹います。足の数の合計は28本でした。
鶴は2本足、亀は4本足です。鶴と亀の数を求めてください。

---

## Step 1: 連立方程式の構築

* \$x\$：鶴の数（足2本）
* \$y\$：亀の数（足4本）

条件：

```math
x + y = 10 \\
2x + 4y = 28
```

---

## Step 2: 行列の形にする

連立方程式を行列で表す：

```math
A = \begin{bmatrix}
1 & 1 \\
2 & 4
\end{bmatrix},
\quad
\vec{x} = \begin{bmatrix}
x \\
y
\end{bmatrix},
\quad
\vec{b} = \begin{bmatrix}
10 \\
28
\end{bmatrix}
```

つまり：

```math
A \vec{x} = \vec{b}
```

---

## Step 3: クラメルの公式を使う

### 行列式：

```math
\det(A) =
\begin{vmatrix}
1 & 1 \\
2 & 4
\end{vmatrix}
= 1 \cdot 4 - 1 \cdot 2 = 2 \ne 0
```

### 鶴の数（\$x\$）を求める：

行列 \$A\_1\$（第1列を\$\vec{b}\$で置換）：

```math
A_1 = \begin{bmatrix}
10 & 1 \\
28 & 4
\end{bmatrix}
```

```math
\det(A_1) = 10 \cdot 4 - 1 \cdot 28 = 40 - 28 = 12
```

```math
x = \frac{\det(A_1)}{\det(A)} = \frac{12}{2} = 6
```

---

### 亀の数（\$y\$）を求める：

行列 \$A\_2\$（第2列を\$\vec{b}\$で置換）：

```math
A_2 = \begin{bmatrix}
1 & 10 \\
2 & 28
\end{bmatrix}
```

```math
\det(A_2) = 1 \cdot 28 - 10 \cdot 2 = 28 - 20 = 8
```

```math
y = \frac{\det(A_2)}{\det(A)} = \frac{8}{2} = 4
```

---

## ✅ 結果

* 鶴：\$x = 6\$ 匹
* 亀：\$y = 4\$ 匹

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## テイラー展開（Taylor Expansion）

関数 \$f(x)\$ が点 \$x = a\$ で無限回微分可能なら、

```math
f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x - a)^n
```

特に \$a = 0\$ のとき：

```math
\exp(x) = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \cdots \\
\sin(x) = x - \frac{x^3}{3!} + \cdots \\
\cos(x) = 1 - \frac{x^2}{2!} + \cdots
```


## テイラー展開による物理・化学の近似式

---

### 1. 放射減衰・崩壊（指数関数）

**放射性崩壊・反応速度論：**

```math
N(t) = N_0 e^{-\lambda t} \approx N_0(1 - \lambda t + \frac{(\lambda t)^2}{2})
```

（短時間近似：\$\lambda t \ll 1\$）

---

### 2. ボルツマン因子（統計力学）

```math
e^{-E/kT} \approx 1 - \frac{E}{kT} + \frac{1}{2}\left(\frac{E}{kT}\right)^2
```

（\$E \ll kT\$ のときの展開）

---

### 3. 調和振動子・振り子運動（\$\sin\theta\$ の近似）

```math
\sin \theta \approx \theta \quad (\theta \ll 1)
```

より：

```math
\ddot{\theta} + \frac{g}{L} \theta = 0
```

（単振動とみなせる）

---

### 4. 運動エネルギーの相対論補正（平方根）

```math
E = mc^2 \left( \frac{1}{\sqrt{1 - v^2/c^2}} - 1 \right)
\approx \frac{1}{2}mv^2 + \frac{3}{8} \frac{mv^4}{c^2} + \cdots
```

（\$v \ll c\$ のときの展開）

---

### 5. クーロンポテンシャルの双極展開（二項定理）

```math
\frac{1}{\sqrt{r^2 + d^2 - 2rd\cos\theta}} \approx \frac{1}{r} + \frac{d\cos\theta}{r^2}
```

（\$d \ll r\$ のとき：点電荷近似 → 双極子ポテンシャル）

---

### 6. 化学平衡定数の温度依存性（対数関数）

**ファントホッフの式：**

```math
\ln K = -\frac{\Delta H^\circ}{RT} + \frac{\Delta S^\circ}{R}
```

温度変化 \$\Delta T\$ に対して：

```math
\ln K(T + \Delta T) \approx \ln K(T) - \frac{\Delta H^\circ}{RT^2} \Delta T
```

---

### 7. アレニウス式（指数関数の近似）

```math
k = A e^{-E_a/RT} \approx A \left(1 - \frac{E_a}{RT} + \frac{1}{2}\left(\frac{E_a}{RT}\right)^2 \right)
```

（\$E\_a \ll RT\$ のとき）

---

### 8. ファンデルワールス気体（逆数展開）

```math
P = \frac{RT}{V - b} - \frac{a}{V^2}
\approx \frac{RT}{V} \left(1 + \frac{b}{V}\right) - \frac{a}{V^2}
```

（\$b \ll V\$ のとき、\$\frac{1}{V - b} \approx \frac{1}{V} + \frac{b}{V^2}\$）

---

## まとめ表

| 現象・式       | 展開例                                    | 用途・近似条件             |
| ---------- | -------------------------------------- | ------------------- |
| 放射性崩壊      | \$e^{-\lambda t}\$                     | \$\lambda t \ll 1\$ |
| ボルツマン因子    | \$e^{-E/kT}\$                          | \$E \ll kT\$        |
| 単振動近似      | \$\sin\theta \approx \theta\$          | \$\theta \ll 1\$    |
| 相対論運動      | \$\sqrt{1 - v^2/c^2}\$                 | \$v \ll c\$         |
| クーロン展開     | \$1/\sqrt{r^2 + d^2 - 2rd\cos\theta}\$ | \$d \ll r\$         |
| 平衡定数       | \$\ln K\$                              | \$\Delta T \ll T\$  |
| アレニウス式     | \$e^{-E\_a/RT}\$                       | \$E\_a \ll RT\$     |
| ファンデルワールス式 | \$1/(V - b)\$                          | \$b \ll V\$         |

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## 最小二乗法と線形回帰（Least Squares & Linear Regression）

観測点 \$(x\_i, y\_i)\$ に対し、回帰直線 \$y = ax + b\$ を最小二乗でフィッティング。

誤差関数：

```math
E(a, b) = \sum_{i=1}^n (y_i - (ax_i + b))^2
```

この \$E\$ を最小化する \$a\$, \$b\$ は以下：

```math
a = \frac{n\sum x_iy_i - \sum x_i \sum y_i}{n\sum x_i^2 - (\sum x_i)^2} \\
b = \frac{\sum y_i - a\sum x_i}{n}
```

---

## 逆三角関数と積分（Inverse Trig Functions & Integrals）

```math
\int \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} dx = \arcsin(x) + C \\
\int \frac{1}{1 + x^2} dx = \arctan(x) + C \\
\int \frac{1}{x\sqrt{x^2 - 1}} dx = \arcsec(x) + C
```

---

## 双曲線関数と積分（Hyperbolic Functions & Integrals）

定義：

```math
\sinh x = \frac{e^x - e^{-x}}{2} \\
\cosh x = \frac{e^x + e^{-x}}{2} \\
\tanh x = \frac{\sinh x}{\cosh x}
```

代表的な積分：

```math
\int \sinh x \, dx = \cosh x + C \\
\int \cosh x \, dx = \sinh x + C \\
\int \frac{1}{\cosh^2 x} dx = \tanh x + C \\
\int \frac{1}{\sqrt{x^2 + 1}} dx = \sinh^{-1}(x) + C
```

---

## オイラーの公式と極座標（Euler's Formula & Polar Coordinates）

オイラーの公式：

```math
e^{ix} = \cos x + i \sin x
```

特に：

```math
e^{i\pi} + 1 = 0
```

複素数表示（極座標）：

```math
z = re^{i\theta} = r(\cos \theta + i\sin \theta)
```

極座標系での点 \$(x, y)\$ 表現：

```math
x = r \cos \theta,\quad y = r \sin \theta
```

---

## 偏微分と勾配（Partial Derivatives & Gradient）

偏微分：

```math
\frac{\partial f}{\partial x},\quad \frac{\partial f}{\partial y}
```

勾配ベクトル：

```math
\nabla f = \left( \frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}, \dots \right)
```

勾配は関数が最も急激に増加する方向を示す。

---

## ロピタルの定理（L'Hôpital's Rule）

不定形 \$\frac{0}{0}\$ または \$\frac{\infty}{\infty}\$ の極限に対して：

```math
\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)}
```

例：

```math
\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{\cos x}{1} = 1
```

---

## 外積（Cross Product）

2つのベクトル \$\vec{a}, \vec{b} \in \mathbb{R}^3\$ に対して：

```math
\vec{a} \times \vec{b} =
\begin{vmatrix}
\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\
a_1 & a_2 & a_3 \\
b_1 & b_2 & b_3
\end{vmatrix}
=
(a_2b_3 - a_3b_2)\vec{i} - (a_1b_3 - a_3b_1)\vec{j} + (a_1b_2 - a_2b_1)\vec{k}
```

性質：

* \$\vec{a} \times \vec{b}\$ は \$\vec{a}, \vec{b}\$ に垂直。
* 大きさ：

  ```math
  |\vec{a} \times \vec{b}| = |\vec{a}||\vec{b}|\sin\theta
  ```

---



## 重積分とヤコビアン（Multiple Integrals & Jacobian）

変数変換 \$(x, y) \to (u, v)\$ において、面積要素はヤコビアンによって補正される。

### 一般的な2次元変換：

```math
\iint_D f(x, y)\,dx\,dy
= \iint_{D'} f(x(u,v), y(u,v)) \cdot \left| \frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)} \right| \,du\,dv
```

### ヤコビアン（Jacobian）とは：

```math
J = \frac{\partial(x, y)}{\partial(u, v)} =
\begin{vmatrix}
\frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial x}{\partial v} \\
\frac{\partial y}{\partial u} & \frac{\partial y}{\partial v}
\end{vmatrix}
```

特に極座標変換（\$x = r\cos\theta,\ y = r\sin\theta\$）では：

```math
\left| \frac{\partial(x, y)}{\partial(r, \theta)} \right| = r
```

---

## 放物線と直線で囲まれた面積の1/6公式（Parabola × Line Area Formula）

放物線 \$y = (x - \alpha)(x - \beta)\$ を \$\alpha < x < \beta\$ で積分すると：

```math
\int_{\alpha}^{\beta} (x - \alpha)(x - \beta)\,dx = -\frac{1}{6}(\beta - \alpha)^3
```

この「**1/6公式**」により、放物線と\$x\$軸・2点\$\alpha,\beta\$で囲まれた面積を素早く求められる。

---

## 一般化：ベータ関数の積分公式（Beta Integral Formula）

より一般に、\$m,n\$を自然数として次が成り立つ：

```math
\int_{\alpha}^{\beta} (x - \alpha)^m (\beta - x)^n\,dx 
= \frac{m! \cdot n!}{(m + n + 1)!}(\beta - \alpha)^{m + n + 1}
```

この式は**ベータ関数**の次の性質を使って導ける：

```math
B(m+1, n+1) = \int_0^1 t^m (1 - t)^n dt = \frac{m! \cdot n!}{(m + n + 1)!}
```

---

## ガンマ関数とベータ関数（Gamma & Beta Functions）

### ガンマ関数（Gamma Function）

```math
\Gamma(z) = \int_0^{\infty} x^{z - 1} e^{-x} dx \quad (z > 0)
```

性質：

```math
\Gamma(n) = (n - 1)! \quad \text{for } n \in \mathbb{N}
```

### ベータ関数（Beta Function）

```math
B(p, q) = \int_0^1 t^{p - 1} (1 - t)^{q - 1} dt
= \frac{\Gamma(p) \Gamma(q)}{\Gamma(p + q)}
```

これを用いて、**定積分の形**に落とし込める：

```math
\int_{\alpha}^{\beta} (x - \alpha)^m (\beta - x)^n dx
= (\beta - \alpha)^{m+n+1} B(m+1, n+1)
```

---

## 応用例：\$m = n = 1\$ のとき

```math
\int_{\alpha}^{\beta} (x - \alpha)^1 (\beta - x)^1 dx 
= \frac{1! \cdot 1!}{(1 + 1 + 1)!} (\beta - \alpha)^3
= \frac{1}{6}(\beta - \alpha)^3
```


## ラプラス変換と伝達関数（Laplace Transform & Transfer Function）

### ラプラス変換の定義

時間領域の関数 \$f(t)\$ に対して、ラプラス変換は以下で定義される：

```math
\mathcal{L}[f(t)] = F(s) = \int_0^\infty e^{-st} f(t)\, dt
```

### 基本的なラプラス変換

| 関数 \$f(t)\$        | ラプラス変換 \$F(s)\$                    |
| ------------------ | ---------------------------------- |
| \$1\$              | \$\dfrac{1}{s}\$                   |
| \$t\$              | \$\dfrac{1}{s^2}\$                 |
| \$e^{at}\$         | \$\dfrac{1}{s - a}\$               |
| \$\sin(\omega t)\$ | \$\dfrac{\omega}{s^2 + \omega^2}\$ |
| \$\cos(\omega t)\$ | \$\dfrac{s}{s^2 + \omega^2}\$      |

### 微分・積分に関する性質

微分：

```math
\mathcal{L}\left[ \frac{df}{dt} \right] = sF(s) - f(0)
```

積分：

```math
\mathcal{L}\left[ \int_0^t f(\tau) d\tau \right] = \frac{1}{s} F(s)
```

### 伝達関数の定義

線形時不変系の入力 \$u(t)\$ と出力 \$y(t)\$ の関係が以下の微分方程式で表されるとする：

```math
a_n \frac{d^n y}{dt^n} + \cdots + a_1 \frac{dy}{dt} + a_0 y = b_m \frac{d^m u}{dt^m} + \cdots + b_0 u
```

両辺をラプラス変換し、初期条件 \$0\$ とすると、伝達関数 \$G(s)\$ は以下のように定義される：

```math
G(s) = \frac{Y(s)}{U(s)} = \frac{b_m s^m + \cdots + b_0}{a_n s^n + \cdots + a_0}
```

### 例：一次遅れ系

```math
\tau \frac{dy}{dt} + y = Ku(t)
```

ラプラス変換を適用すると、

```math
G(s) = \frac{Y(s)}{U(s)} = \frac{K}{\tau s + 1}
```

---

## 留数定理と積分（Residue Theorem & Complex Integral）

### 留数定理

複素関数 \$f(z)\$ が閉曲線 \$\gamma\$ の内部に有限個の孤立特異点 \$z\_k\$ をもつとき、

```math
\oint_{\gamma} f(z)\, dz = 2\pi i \sum_k \operatorname{Res}(f, z_k)
```

ここで \$\operatorname{Res}(f, z\_k)\$ は \$f(z)\$ の \$z\_k\$ における留数。

### 単純極の留数計算

\$f(z)\$ が \$z = a\$ に単純極をもつとき、

```math
\operatorname{Res}(f, a) = \lim_{z \to a} (z - a) f(z)
```

### 実積分への応用例

次の実数積分を複素関数で評価する：

```math
\int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{x^2 + 1}\, dx = \pi
```

対応する複素関数：

```math
f(z) = \frac{1}{z^2 + 1} = \frac{1}{(z - i)(z + i)}
```

上半平面の閉曲線により囲まれる単純極は \$z = i\$。

その留数：

```math
\operatorname{Res}(f, i) = \frac{1}{2i}
```

ゆえに複素積分値：

```math
\oint f(z)\, dz = 2\pi i \cdot \frac{1}{2i} = \pi
```

### 正弦積分の評価（Jordanの補題を使用）

```math
\int_0^\infty \frac{\sin(ax)}{x}\, dx = \frac{\pi}{2} \quad (a > 0)
```

このような積分も留数定理と複素積分で評価される。

---





## チェビシェフ多項式とチェビシェフフィルタ

（Chebyshev Polynomials & Chebyshev Filter）

### チェビシェフ多項式（Chebyshev Polynomials）

チェビシェフ多項式 \$T\_n(x)\$ は以下の漸化式で定義される直交多項式：

```math
T_0(x) = 1,\quad T_1(x) = x \\
T_{n+1}(x) = 2x T_n(x) - T_{n-1}(x)
```

また、余弦関数との関係：

```math
T_n(\cos \theta) = \cos(n \theta)
```

区間 \$x \in \[-1, 1]\$ 上で直交性を持つ：

```math
\int_{-1}^1 \frac{T_m(x) T_n(x)}{\sqrt{1 - x^2}} dx = 
\begin{cases}
0 & (m \ne n) \\
\pi & (n = m = 0) \\
\frac{\pi}{2} & (n = m \ne 0)
\end{cases}
```

### チェビシェフ近似の特徴

* 最小最大誤差（minimax）を抑える近似に最適
* 高速フーリエ変換的アルゴリズム（Chebyshev FFT）にも応用される

---

### チェビシェフフィルタ（Chebyshev Filter）

**アナログローパスフィルタ**の1種で、通過域での波形特性に応じて次の2種がある：

#### タイプI：通過域にリップル、遮断域は急減衰

振幅特性：

```math
|H(j\omega)|^2 = \frac{1}{1 + \epsilon^2 T_n^2(\omega/\omega_c)}
```

* \$T\_n\$ はチェビシェフ多項式
* \$\epsilon\$ はリップル係数
* \$\omega\_c\$ は遮断周波数

#### タイプII：遮断域にリップル、通過域は平坦（実装困難）

---

## フーリエ級数展開と最小二乗法

（Fourier Series & Least Squares Approximation）

### フーリエ級数展開（Fourier Series）

区間 $\[-\pi, \pi]\$ 上の周期関数 \$f(x)\$ は以下のように展開される：

```math
f(x) \sim \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} \left( a_n \cos(nx) + b_n \sin(nx) \right)
```

係数は直交性を用いて次で与えられる：

```math
a_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \cos(nx) dx \\
b_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \sin(nx) dx
```

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### 最小二乗法との関係（Least Squares Fit）

フーリエ級数は**直交関数系に対する最小二乗近似**となっており、\$N\$次の部分和 \$S\_N(x)\$ は \$L^2\$ ノルムにおける最良近似を与える：

```math
S_N(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{N} \left( a_n \cos(nx) + b_n \sin(nx) \right)
```

誤差を最小にするという意味で、以下の距離を最小化する：

```math
\int_{-\pi}^{\pi} |f(x) - S_N(x)|^2 dx
```

---



## 数列と母関数（Sequences & Generating Functions）

### 通常母関数（Ordinary Generating Function, OGF）

数列 \${a\_n}\$ に対する通常母関数は：

```math
G(a_n; x) = \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n
```

#### 例1：等比数列

\$a\_n = 1\$ のとき：

```math
G(x) = \sum_{n=0}^\infty x^n = \frac{1}{1 - x} \quad (|x| < 1)
```

#### 例2：自然数列 \$a\_n = n\$

```math
G(x) = \sum_{n=1}^\infty n x^n = \frac{x}{(1 - x)^2}
```

---

### 指数母関数（Exponential Generating Function, EGF）

```math
G(a_n; x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{a_n x^n}{n!}
```

#### 例：\$a\_n = 1\$

```math
G(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!} = e^x
```

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### 応用：漸化式の解法

例えばフィボナッチ数列 \$F\_n\$（\$F\_0 = 0, F\_1 = 1, F\_{n} = F\_{n-1} + F\_{n-2}\$）の母関数 \$G(x)\$ を求めると：

```math
G(x) = \frac{x}{1 - x - x^2}
```

これは閉形式（generating functionから直接）導出に利用できる。

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## Muirheadの不等式（Muirhead's Inequality）

### 定義

\$n\$ 個の非負実数 \$a\_1, a\_2, \dots, a\_n\$ に対して、\*\*対称平均不等式（symmetric mean inequality）\*\*の一般化。

### 主要記法：多重指数と主軸順序（majorization）

2つのベクトル \$\mathbf{p}, \mathbf{q} \in \mathbb{R}^n\$ が\*\*主軸順序（majorization）\*\*関係：

```math
\mathbf{p} \succ \mathbf{q}
```

を満たすとき、任意の非負実数列 \$(x\_1, \dots, x\_n)\$ に対して次の不等式が成立：

```math
\sum_{\text{sym}} x_1^{p_1} \cdots x_n^{p_n}
\ge
\sum_{\text{sym}} x_1^{q_1} \cdots x_n^{q_n}
```

ここで「sym」はすべての**対称置換**をとった和。

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### 例

\$x, y > 0\$ に対して、\$(2, 0) \succ (1, 1)\$ より：

```math
x^2 + y^2 \ge 2xy
```

これは相加平均・相乗平均の不等式（AM ≥ GM）の特別な場合。

---




## 加法定理の行列表現（Matrix Form of Addition Theorems）

三角関数の加法定理：

```math
\sin(a + b) = \sin a \cos b + \cos a \sin b \\
\cos(a + b) = \cos a \cos b - \sin a \sin b
```

は、以下の行列式としても表現できる。

### 回転行列を使った行列表現

2次元回転行列：

```math
R(\theta) =
\begin{bmatrix}
\cos \theta & -\sin \theta \\
\sin \theta & \cos \theta
\end{bmatrix}
```

このとき、合成角 \$\theta + \phi\$ の回転は：

```math
R(\theta + \phi) = R(\theta) R(\phi)
```

証明：

```math
R(\theta) R(\phi) =
\begin{bmatrix}
\cos\theta & -\sin\theta \\
\sin\theta & \cos\theta
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
\cos\phi & -\sin\phi \\
\sin\phi & \cos\phi
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
\cos(\theta+\phi) & -\sin(\theta+\phi) \\
\sin(\theta+\phi) & \cos(\theta+\phi)
\end{bmatrix}
```



## 数列とZ変換（Z-transform of Sequences）

### Z変換の定義

離散信号（数列） \${a\_n}\$ に対して、Z変換は以下で定義される：

```math
A(z) = \mathcal{Z}[a_n] = \sum_{n=0}^{\infty} a_n z^{-n}
```

これは**ラプラス変換の離散版**であり、信号処理・ディジタル制御理論の基本。

### 例：定数列 \$a\_n = 1\$

```math
A(z) = \sum_{n=0}^\infty z^{-n} = \frac{1}{1 - z^{-1}} \quad (|z| > 1)
```

### 例：\$a\_n = r^n\$

```math
A(z) = \sum_{n=0}^\infty r^n z^{-n} = \frac{1}{1 - rz^{-1}} = \frac{z}{z - r}
```

---

## AD変換とZ変換（A/D Conversion & Z-transform）

### AD変換（Analog to Digital）

アナログ信号 \$x(t)\$ を、サンプリング周期 \$T\$ で標本化：

```math
x[n] = x(nT) \quad (n = 0, 1, 2, \dots)
```

この列 \${x\[n]}\$ に対して Z変換を適用：

```math
X(z) = \sum_{n=0}^{\infty} x[n] z^{-n}
```

→ アナログ信号 \$x(t)\$ を**ディジタル信号 \$x\[n]\$ に変換した後、Z変換で複素領域へ**。

---

### Z変換とラプラス変換の関係

連続時間ラプラス変換 \$s\$ と離散時間 Z変換 \$z\$ は次で対応：

```math
z = e^{sT} \quad \text{または} \quad s = \frac{\ln z}{T}
```

よって、Z変換は**ラプラス変換の離散時間アナログ**といえる。

---

### 応用：ディジタル制御系と伝達関数

* アナログ系：ラプラス変換 → \$G(s)\$
* ディジタル系：Z変換 → \$G(z)\$

両者は**サンプリング周期 \$T\$ による時間離散化**で接続される。

---



## 漸化式と線形代数（Recurrence Relations & Linear Algebra）

### 一般2項線形漸化式

```math
a_{n+2} = p a_{n+1} + q a_n
```

初期条件：\$a\_0\$, \$a\_1\$

---

### 特性方程式による解法（代数的アプローチ）

漸化式に対応する**特性方程式**：

```math
x^2 - p x - q = 0
```

解が \$r\_1, r\_2\$ のとき、一般解は：

```math
a_n = A r_1^n + B r_2^n
```

係数 \$A, B\$ は初期条件で決定する。

---

### 行列による表現（線形代数的アプローチ）

次のベクトル形式を考える：

```math
\begin{bmatrix}
a_{n+1} \\
a_n
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
p & q \\
1 & 0
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
a_n \\
a_{n-1}
\end{bmatrix}
```

この再帰式を繰り返せば：

```math
\begin{bmatrix}
a_n \\
a_{n-1}
\end{bmatrix}
= M^{n-1}
\begin{bmatrix}
a_1 \\
a_0
\end{bmatrix}, \quad
M = \begin{bmatrix}
p & q \\
1 & 0
\end{bmatrix}
```

→ 固有値・固有ベクトル展開により対角化して陽に解ける。

---

### 例：フィボナッチ数列

```math
F_{n+2} = F_{n+1} + F_n, \quad F_0 = 0,\ F_1 = 1
```

特性方程式：

```math
x^2 - x - 1 = 0 \Rightarrow x = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}
```

一般解：

```math
F_n = \frac{1}{\sqrt{5}} \left( \left( \frac{1+\sqrt{5}}{2} \right)^n - \left( \frac{1-\sqrt{5}}{2} \right)^n \right)
```

---

## 有限和と和分差分学（Finite Sums & Discrete Calculus）

### 基本公式（高校数学）

1次：

```math
\sum_{k=1}^n k = \frac{n(n+1)}{2}
```

2次：

```math
\sum_{k=1}^n k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}
```

3次：

```math
\sum_{k=1}^n k^3 = \left( \frac{n(n+1)}{2} \right)^2
```

---

### 差分（Discrete Derivative）

関数 \$f(n)\$ の**前方差分**：

```math
\Delta f(n) = f(n+1) - f(n)
```

アナロジー（微分と同じ）：

```math
f(n) \to f(n+1) - f(n) \approx f'(n)
```

#### 例：

```math
f(n) = n^2 \Rightarrow \Delta f(n) = (n+1)^2 - n^2 = 2n + 1
```

---

### 和分（離散積分）

積分に相当する操作：

```math
\sum_{k=a}^{b} f(k) = F(b+1) - F(a) \quad \text{ただし } \Delta F(k) = f(k)
```

これは連続の基本定理：

```math
\int_a^b f(x) dx = F(b) - F(a)
```

に相当。

---

### 例：漸化式と差分をつなぐ

```math
a_{n+1} - a_n = 2n + 1 \Rightarrow \Delta a_n = 2n + 1
```

両辺を和分：

```math
a_n = a_0 + \sum_{k=0}^{n-1} (2k + 1) = a_0 + n^2
```

よって：

```math
a_n = a_0 + n^2
```

---

### 発展：和の記号で解く和分方程式（差分方程式）

漸化式：

```math
a_{n+1} - a_n = r
```

解：

```math
a_n = a_0 + rn
```

これは一次差分の解。
差分方程式の「階差→和→閉形式」へのアプローチは離散積分と対応。

---





## ルベーグの収束定理：極限と積分の交換の正当化

---

### なぜ必要か？

通常、「極限 → 積分」の順序交換は正しいと思われがちだが、**必ずしも正当とは限らない**。

```math
\lim_{n \to \infty} \int f_n(x)\, dx
\quad\stackrel{?}{=}\quad
\int \lim_{n \to \infty} f_n(x)\, dx
```

この**交換の妥当性を保証する理論**が、以下の3つの収束定理です。

---

### 1. 単調収束定理（Monotone Convergence Theorem, MCT）

もし

```math
f_n(x) \nearrow f(x) \quad \text{かつすべての } f_n(x) \ge 0
```

ならば、

```math
\lim_{n \to \infty} \int f_n(x) dx = \int \lim_{n \to \infty} f_n(x)\, dx
```

---

### 2. 優収束定理（Dominated Convergence Theorem, DCT）

もし以下が成立：

* \$f\_n(x) \to f(x)\$（各点収束）
* 絶対値を抑える積分可能な関数 \$g(x)\$ が存在して、すべての \$n\$ に対して

```math
|f_n(x)| \le g(x)
```

ならば、

```math
\lim_{n \to \infty} \int f_n(x)\, dx = \int \lim_{n \to \infty} f_n(x)\, dx
```

---

### 3. ファトゥの補題（Fatou's Lemma）

常に成り立つ不等式（一般性はあるが等号とは限らない）：

```math
\int \liminf_{n \to \infty} f_n(x)\, dx
\le
\liminf_{n \to \infty} \int f_n(x)\, dx
```

---

## 【入れ替え問題】典型的な例題とその可否

---

### ✅ 正しく入れ替えできる例（DCT適用可能）

```math
f_n(x) = \frac{x}{1 + n x^2},\quad x \in [0, 1]
```

#### 解説：

* 各点で \$f\_n(x) \to 0\$
* 優関数 \$g(x) = \frac{1}{2\sqrt{n}}\$ などで抑えられる

よって：

```math
\lim_{n \to \infty} \int_0^1 f_n(x) dx = \int_0^1 \lim_{n \to \infty} f_n(x) dx = 0
```

---

### ❌ 入れ替えできない例（発散する例）

```math
f_n(x) = 
\begin{cases}
n & \text{if } 0 \le x \le \frac{1}{n} \\
0 & \text{if } \frac{1}{n} < x \le 1
\end{cases}
```

* 各 \$f\_n(x) \to 0\$（各点収束）
* しかし

```math
\int_0^1 f_n(x)\, dx = 1,\quad \forall n
```

よって：

```math
\int \lim f_n(x)\, dx = 0,\quad
\lim \int f_n(x)\, dx = 1 \quad ⇒ \text{不一致}
```

→ DCTの条件を満たさない（優関数が存在しない）

---

### ✅ MCTで入れ替えできる例

```math
f_n(x) = (1 - x)^n,\quad x \in [0, 1)
```

* \$f\_n(x)\$ は \$n\$ 増加で単調減少 ⇒ \$1 - f\_n(x)\$ は単調増加
* \$f\_n(x) \searrow 0\$ ⇒ \$1 - f\_n(x) \nearrow 1\$

よって：

```math
\lim_{n \to \infty} \int_0^1 (1 - (1 - x)^n)\, dx = \int_0^1 1\, dx = 1
```

---






# 包絡線の定義と例題
---

## 包絡線の定義

パラメータ \$\alpha\$ をもつ**曲線族** \$C\_\alpha\$ があるとき、これらの曲線すべてに接し、**その全ての点が接点となっているような曲線** \$E\$ を、\$C\_\alpha\$ の\*\*包絡線（envelope）\*\*と呼ぶ。

### 例：

曲線族：

```math
C_\alpha : (x - \alpha)^2 + y^2 = 1 \quad (\alpha \in \mathbb{R})
```

これは**中心が \$(\alpha, 0)\$、半径1の円**の族。これらすべてに接する包絡線は：

```math
y = \pm 1
```

（＝すべての円の上端・下端をなめる直線）

---

## 包絡線の求め方：基本手順

曲線族：

```math
C_\alpha : F(x, y, \alpha) = 0
```

が与えられているとき、**包絡線の方程式 \$E(x, y) = 0\$** は、次の2つを連立して**パラメータ \$\alpha\$ を消去**することで得られる：

```math
\begin{cases}
F(x, y, \alpha) = 0 \\
\frac{\partial F}{\partial \alpha}(x, y, \alpha) = 0
\end{cases}
```

---

## 包絡線の性質（証明のスケッチ）

ある曲線族 \$F(x, y, \alpha) = 0\$ があり、包絡線 \$E(x, y)\$ が**接点 \$(x(\alpha), y(\alpha))\$ をなめる**と仮定する。

* この接点は \$F(x(\alpha), y(\alpha), \alpha) = 0\$ を満たす
* また、接点として\*\*\$\alpha\$ に関する微分でも接している\*\*ので：

```math
\frac{d}{d\alpha} F(x(\alpha), y(\alpha), \alpha) = 0
```

* 連鎖律より：

```math
\frac{\partial F}{\partial x} \frac{dx}{d\alpha} + \frac{\partial F}{\partial y} \frac{dy}{d\alpha} + \frac{\partial F}{\partial \alpha} = 0
```

つまり、これが接点であるためには \$\partial F/\partial \alpha = 0\$ が必要になる（とくに \$x(\alpha), y(\alpha)\$ が滑らかなとき）。

---

## 例題1：楕円族の包絡線

曲線族：

```math
F(x, y, \alpha) = \frac{x^2}{\alpha} + \frac{y^2}{1 - \alpha} - 1 = 0 \quad (0 < \alpha < 1)
```

これは \$\alpha\$ によって変形する楕円族。包絡線を求めよ。

---

### Step 1: 偏微分を取る

```math
\frac{\partial F}{\partial \alpha}
= -\frac{x^2}{\alpha^2} + \frac{y^2}{(1 - \alpha)^2}
```

連立：

```math
\begin{cases}
\frac{x^2}{\alpha} + \frac{y^2}{1 - \alpha} = 1 \\
-\frac{x^2}{\alpha^2} + \frac{y^2}{(1 - \alpha)^2} = 0
\end{cases}
```

---

### Step 2: 式変形

第2式より：

```math
\frac{x}{\alpha} = \pm \frac{y}{1 - \alpha}
\Rightarrow
\alpha = \frac{x}{x \pm y}
```

これを第1式に代入：

```math
\frac{x^2}{\alpha} + \frac{y^2}{1 - \alpha}
= \frac{x^2(x \pm y)}{x} + \frac{y^2(x \pm y)}{y}
= (x \pm y)^2 = 1
```

よって：

```math
(x \pm y)^2 = 1 \quad \Rightarrow \quad x \pm y = \pm 1
```

---

### 答え（包絡線の方程式）：

```math
x + y = \pm 1,\quad x - y = \pm 1
```

すなわち、**直線4本の集合**が包絡線。

---





## バーゼル問題（Basel Problem）

---

### 問題の定式化

以下の無限級数の厳密な値を求めよ：

```math
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}
```

これは **調和級数の2乗の逆数の総和**であり、絶対収束することは容易に示せるが、**その和の具体的な値**が問題の核心である。

---

### 結論（解答）

```math
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6}
```

---

### 歴史的背景

* 提出者：ヤコブ・ベルヌーイ（17世紀末）
* 解決者：**レオンハルト・オイラー（Leonhard Euler）**（1734年）
* 地名「バーゼル」は、ベルヌーイ家とオイラーが属したスイスの都市に由来

当時は級数の具体的な和を求めることが非常に困難であり、**\$\pi\$ が現れることに数学者たちは驚愕**した。

---

## 解法スケッチ（オイラーの方法）

オイラーは、以下のような形式的手法を用いてこの値を導いた：

---

### 1. \$\sin x\$ の無限積表示

```math
\frac{\sin x}{x} = \prod_{n=1}^{\infty} \left(1 - \frac{x^2}{n^2 \pi^2}\right)
```

→ \$\sin x\$ の零点が \$x = n\pi\$ にあることを利用した「無限積表示」。

---

### 2. 多項式の係数比較

左辺のテイラー展開：

```math
\frac{\sin x}{x} = 1 - \frac{x^2}{6} + \frac{x^4}{120} - \cdots
```

右辺の展開（形式的に）：

```math
1 - \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^2}{n^2\pi^2} + \cdots
```

係数比較より：

```math
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6}
```

---

## 一般化：ゼータ関数との関係

オイラーの結果は、後に**リーマンゼータ関数**の特別値として一般化される：

```math
\zeta(s) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^s}
```

特に：

```math
\zeta(2) = \frac{\pi^2}{6}, \quad \zeta(4) = \frac{\pi^4}{90}, \quad \zeta(6) = \frac{\pi^6}{945}
```





## PCR検査の「精度が70%」とベイズとは？

この「70%」が意味するものには、主に2つの可能性があります：

### 1. **感度（Sensitivity） = 70%**

* 真の感染者を**正しく陽性と判定できる確率**
* 数式で：

  ```math
  \text{感度} = P(\text{陽性} \mid \text{感染者}) = 0.70
  ```

### 2. **陽性的中率（PPV） = 70%**

* 検査で陽性になった人のうち、**本当に感染している人の割合**
* 数式で：

  ```math
  \text{陽性的中率} = P(\text{感染者} \mid \text{陽性}) = 0.70
  ```

---

## 例：感度＝70%のPCR検査

### 前提（仮定）：

| パラメータ    | 値   |
| -------- | --- |
| 感度（陽性率）  | 70% |
| 特異度（陰性率） | 98% |
| 感染率（有病率） | 1%  |

---

## ベイズの定理による計算

PCR検査で**陽性**と判定されたとき、実際に感染している確率（陽性的中率）は：

```math
P(\text{感染} \mid \text{陽性}) = \frac{P(\text{陽性} \mid \text{感染}) \cdot P(\text{感染})}{P(\text{陽性})}
```

### 分母：全体の陽性確率

```math
P(\text{陽性}) = P(\text{陽性} \mid \text{感染}) \cdot P(\text{感染}) + P(\text{陽性} \mid \text{非感染}) \cdot P(\text{非感染})
```

### 数値代入：

* 感度 = 0.7
* 特異度 = 0.98 ⇒ 偽陽性率 = 0.02
* 感染率 = 0.01

```math
P(\text{陽性}) = 0.7 \cdot 0.01 + 0.02 \cdot 0.99 = 0.007 + 0.0198 = 0.0268
```

```math
P(\text{感染} \mid \text{陽性}) = \frac{0.7 \cdot 0.01}{0.0268} ≈ 0.2612
```

---

## 結論

* 検査精度が「感度70%」であっても、**陽性だからといって「感染している確率」は約26%程度**しかない（有病率1%の場合）
* **感染率が低い集団では、偽陽性の影響が大きい**
* これが\*\*「陽性＝感染とは限らない」\*\*理由であり、**複数回検査や抗原検査との併用**が勧められる背景



##  減衰曲線の解：分類表

| 分類                                   | 微分方程式                                                         | 解の一般形              | 特徴・振る舞い                        |
| ------------------------------------ | ------------------------------------------------------------- | ------------------ | ------------------------------ |
| **1. 指数減衰**<br>(Exponential Damping) | $\frac{dy}{dt} = -ky$                                         | $y(t) = A e^{-kt}$ | 単純な指数関数的減衰。<br>抵抗・温度・放射能の減衰など。 |
| **2. 調和減衰**<br>(Damped Oscillation)  | $\frac{d^2x}{dt^2} + 2\beta \frac{dx}{dt} + \omega_0^2 x = 0$ | → 以下の3分類へ          | ばね振動系・RLC回路など。振動＋減衰。           |

---

## ✅ 調和減衰の3類型（減衰振動の代表解）

### (1) **過減衰（Overdamped）**

$$
\beta^2 > \omega_0^2
$$

$$
x(t) = C_1 e^{r_1 t} + C_2 e^{r_2 t} \quad (r_1, r_2 < 0)
$$

* 解：**実数解 × 2**
* 振動せず、ゆっくりゼロへ収束。
* 制動が強すぎる系（ブレーキ強め）。

---

### (2) **臨界減衰（Critically Damped）**

$$
\beta^2 = \omega_0^2
$$

$$
x(t) = (C_1 + C_2 t)e^{-\beta t}
$$

* 解：**重解**
* 最速でゼロへ収束、振動なし。
* 自動ドア・加速度制御で理想。

---

### (3) **欠減衰（Underdamped）**

$$
\beta^2 < \omega_0^2
$$

$$
x(t) = A e^{-\beta t} \cos(\omega_d t + \phi) \\
\omega_d = \sqrt{\omega_0^2 - \beta^2}
$$

* 解：**指数減衰 × 振動**
* 実際のばね振動・音波・電気振動など。
* 位相 $\phi$ を含む波形。

---

## ✅ 応用先別の減衰モデル

| 分野        | 減衰曲線の形式                                 | 具体例         |
| --------- | --------------------------------------- | ----------- |
| **放射性崩壊** | $N(t) = N_0 e^{-\lambda t}$             | 半減期での崩壊     |
| **RC回路**  | $V(t) = V_0 e^{-t/RC}$                  | 電圧降下の遷移応答   |
| **RLC回路** | 上記の 2階微分方程式                             | 過渡応答と振動電流   |
| **機械振動**  | 調和減衰解（3類型）                              | ばね＋ダンパー付き振子 |
| **音響減衰**  | $p(t) = A e^{-\alpha t} \cos(\omega t)$ | 音の消失（残響）    |

---

##  グラフ形状のまとめ（概念）

| 曲線形状    | 対応する式                       | 特徴         |
| ------- | --------------------------- | ---------- |
| 単純な指数曲線 | $y = A e^{-kt}$             | 単調にゼロへ     |
| 指数×コサイン | $A e^{-kt} \cos(\omega t)$  | 減衰しながら振動   |
| 複数指数の和  | $Ae^{-r_1 t} + Be^{-r_2 t}$ | 早い・遅い減衰の合成 |
| 臨界      | $(A + Bt)e^{-kt}$           | 遅延なしで最速収束  |

---


##  1. ヘビサイド展開（Heaviside Expansion）

### ● 定義：有理式の**部分分数分解**

伝達関数やラプラス変換された関数を、**既約1次または2次式に分解**して扱いやすくする技法。

### 例：

$$
\frac{1}{(s+1)(s+2)} = \frac{A}{s+1} + \frac{B}{s+2}
$$

両辺を通分し、係数比較で定数 $A, B$ を求める。

---

### ● 用途：

* **ラプラス変換の逆変換**で、時間領域へ戻すときに利用。
* システム応答（インパルス・ステップ）を解析可能にする。
* **線形常微分方程式の解の形式を明示化**する。

---

##  2. 片対数グラフ（Semi-log Graph）

### ● 定義：横軸 or 縦軸のいずれかを**対数目盛**にしたグラフ

* **横軸：logスケール**, 縦軸：リニア → 多くの工学系プロットで使用
* 指数関数を**直線で表現**できる

  $$
  y = A e^{kx} \Rightarrow \log(y) = \log(A) + kx \quad \text{→ 直線}
  $$

---

### ● 用途：

* **減衰曲線**の線形性可視化
* **音の強さ（デシベル）**, 放射線の強さ、化学反応速度など
* 指数関数の傾きを視覚化

---

## ✅ 3. ボード線図（Bode Diagram）

### ● 定義：**伝達関数の周波数応答（ゲイン・位相）を片対数グラフで描いたもの**

* 縦軸（ゲイン）にデシベル\[dB]、**横軸をlogスケールの周波数 $\omega$**
* 位相特性（angle）も同時にプロット

---

### ● ゲインプロット（Gain）：

$$
20 \log_{10} |H(j\omega)| \quad [\text{dB}]
$$

### ● 位相プロット（Phase）：

$$
\angle H(j\omega) \quad [\text{deg}]
$$

---

### ● 使用目的：

* **周波数フィルタ（ローパス／ハイパス／バンドパスなど）の設計**
* 安定性解析（ゲイン余裕・位相余裕）
* **電気回路／制御理論／信号処理**の基礎

---

##  接続：3者の関係図解

```
微分方程式（時系列） 
    ↓ ラプラス変換
    → ヘビサイド展開で分解
    → 伝達関数 H(s)
    ↓ s = jω に代入
    → 周波数応答 H(jω)
    ↓ logスケールで描画
    → Bode線図（片対数）
```

---

##  例題（典型）

ラプラス変換された伝達関数：

$$
H(s) = \frac{10}{s(s+1)}
$$

* **ヘビサイド展開**：

  $$
  \frac{10}{s(s+1)} = \frac{A}{s} + \frac{B}{s+1}
  \Rightarrow A = 10, B = -10
  $$

* **時間領域の解**：

  $$
  h(t) = 10 - 10e^{-t}
  $$

* **Bodeゲイン**：

  $$
  |H(j\omega)| = \frac{10}{\omega \sqrt{\omega^2 + 1}} \Rightarrow \text{dB表示へ}
  $$

---





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https://examist.jp/tag/urawaza/