マクスウェル方程式と伝達関数


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# マクスウェル方程式と伝達関数：電磁場の周波数応答とシステム理論的表現

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## ✅ 第1章：マクスウェル方程式の基礎形

マクスウェル方程式（微分形、真空中）

$$
\begin{aligned}
&\nabla \cdot \mathbf{E} = \frac{\rho}{\varepsilon_0} \quad &\text{(ガウスの法則)} \\
&\nabla \cdot \mathbf{B} = 0 \quad &\text{(磁束保存)} \\
&\nabla \times \mathbf{E} = -\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t} \quad &\text{(ファラデーの法則)} \\
&\nabla \times \mathbf{B} = \mu_0 \mathbf{J} + \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t} \quad &\text{(アンペール-マクスウェルの法則)}
\end{aligned}
$$

ここで：

* $\mathbf{E}$：電場、$\mathbf{B}$：磁場
* $\rho$：電荷密度、$\mathbf{J}$：電流密度
* $\varepsilon_0, \mu_0$：真空の誘電率・透磁率

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## ✅ 第2章：波動方程式への導出（PDE化）——詳細な式展開

### 🔹 前提：電荷・電流の無い自由空間

マクスウェル方程式（自由空間、$\rho = 0$、$\mathbf{J} = 0$）：

$$
\begin{aligned}
&\nabla \cdot \mathbf{E} = 0 \\
&\nabla \cdot \mathbf{B} = 0 \\
&\nabla \times \mathbf{E} = -\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t} \\
&\nabla \times \mathbf{B} = \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}
\end{aligned}
$$

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### 🔹 ステップ1：ファラデーの法則に curl を適用

$$
\nabla \times (\nabla \times \mathbf{E}) = \nabla \times \left(-\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t} \right) = - \frac{\partial}{\partial t} (\nabla \times \mathbf{B})
$$

アンペール-マクスウェルの法則を代入：

$$
- \frac{\partial}{\partial t} (\nabla \times \mathbf{B}) = - \frac{\partial}{\partial t} \left( \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t} \right) = -\mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial^2 \mathbf{E}}{\partial t^2}
$$

よって：

$$
\nabla \times (\nabla \times \mathbf{E}) = -\mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial^2 \mathbf{E}}{\partial t^2}
$$

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### 🔹 ステップ2：ベクトル恒等式の適用

ベクトル恒等式（任意のベクトル場 $\mathbf{A}$ に対して）：

$$
\nabla \times (\nabla \times \mathbf{A}) = \nabla(\nabla \cdot \mathbf{A}) - \nabla^2 \mathbf{A}
$$

これを電場 $\mathbf{E}$ に適用すると：

$$
\nabla \times (\nabla \times \mathbf{E}) = \nabla(\nabla \cdot \mathbf{E}) - \nabla^2 \mathbf{E}
$$

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### 🔹 ステップ3：$\nabla \cdot \mathbf{E} = 0$ を適用

自由空間では：

$$
\nabla \cdot \mathbf{E} = 0
\quad \Rightarrow \quad
\nabla(\nabla \cdot \mathbf{E}) = \mathbf{0}
$$

したがって：

$$
\nabla \times (\nabla \times \mathbf{E}) = - \nabla^2 \mathbf{E}
$$

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### 🔹 ステップ4：波動方程式の完成

以上の2式より：

$$
-\nabla^2 \mathbf{E} = -\mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial^2 \mathbf{E}}{\partial t^2}
\quad \Rightarrow \quad
\boxed{
\nabla^2 \mathbf{E} - \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial^2 \mathbf{E}}{\partial t^2} = 0
}
$$

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### 🔁 同様に磁場についても：

$$
\boxed{
\nabla^2 \mathbf{B} - \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial^2 \mathbf{B}}{\partial t^2} = 0
}
$$



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## ✅ 第3章：周波数領域（ラプラス変換）での電場の波動解析 —— 詳解

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### 🔹1. 出発点：時間領域での電場の波動方程式

自由空間中での電場の波動方程式：

$$
\boxed{
\nabla^2 \mathbf{E}(x,t) - \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial^2 \mathbf{E}(x,t)}{\partial t^2} = 0
}
$$

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### 🔹2. ラプラス変換の定義（時間 $t \to s$）

ラプラス変換：

$$
\hat{\mathbf{E}}(x,s) = \mathcal{L}\{\mathbf{E}(x,t)\} = \int_0^\infty e^{-st} \mathbf{E}(x,t)\,dt
$$

微分のラプラス変換公式（初期値ゼロと仮定）：

$$
\mathcal{L}\left\{ \frac{\partial^2 \mathbf{E}}{\partial t^2} \right\} = s^2 \hat{\mathbf{E}}(x,s)
$$

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### 🔹3. ラプラス変換後の偏微分方程式（PDE → ODE）

$$
\nabla^2 \hat{\mathbf{E}}(x,s) - \mu_0 \varepsilon_0 s^2 \hat{\mathbf{E}}(x,s) = 0
$$

これは空間変数 $x$ に関する\*\*2階定数係数の常微分方程式（ODE）\*\*である。

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### 🔹4. 1次元に限定した場合（TEM波）

$$
\frac{d^2 \hat{E}(x,s)}{dx^2} - \mu_0 \varepsilon_0 s^2 \hat{E}(x,s) = 0
$$

定数をまとめて：

$$
\frac{d^2 \hat{E}}{dx^2} - \gamma^2 \hat{E} = 0, \quad \text{ただし} \quad \gamma = s \sqrt{\mu_0 \varepsilon_0}
$$

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### 🔹5. 解の一般形（2次の線形常微分方程式）

標準形：

$$
\frac{d^2 y}{dx^2} - \gamma^2 y = 0
\quad \Rightarrow \quad
y(x) = A e^{\gamma x} + B e^{-\gamma x}
$$

したがって：

$$
\boxed{
\hat{E}(x,s) = A e^{-\gamma x} + B e^{\gamma x}
}
$$

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### 🔹6. $\gamma$ の構造と物理的意味

$$
\gamma = s \sqrt{\mu_0 \varepsilon_0}
\quad \Rightarrow \quad
\text{単位：} \ \left[ \text{1/m} \right]
$$

この $\gamma$ は**波数の周波数領域表現**に対応し、以下の意味を持つ：

| 成分                  | 意味                   |
| ------------------- | -------------------- |
| $\text{Re}(\gamma)$ | 減衰（evanescent wave）  |
| $\text{Im}(\gamma)$ | 波長・位相遅延（propagation） |

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### 🔹7. 変数の意味と物理的帰結

$$
\hat{E}(x,s) = A e^{-\gamma x} + B e^{\gamma x}
$$

* $A e^{-\gamma x}$：**正方向（+x）へ進行する波**
* $B e^{\gamma x}$：**反射波、もしくは -x 方向への波**

通常、左から右（+x方向）への伝搬を仮定し、**反射のない開放端条件**を課すと $B = 0$。

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### 🔁 補足：フーリエ変換の場合（純周波数応答）

ラプラス変換の $s = j\omega$ に相当するフーリエ変換を使うと：

$$
\gamma = j\omega \sqrt{\mu_0 \varepsilon_0} = j k
\quad \Rightarrow \quad
k = \omega / c
$$

$$
\Rightarrow \hat{E}(x,\omega) = A e^{-j k x} + B e^{j k x}
$$

ここで：

* $e^{-j k x}$：位相が $x$ に応じて進む（右向き進行波）
* $e^{j k x}$：左向き進行波（反射）

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## ✅ 第4章：伝送線路モデルとの対応（詳細展開）

### 🔹マクスウェル方程式の準静的近似から 1 次元化

高周波導体系において、導体内部の電場と磁場の伝播をマクスウェル方程式で記述するのは非常に複雑です。

しかし、導体が長く狭い（例えば同軸ケーブルや平衡線）場合、以下の**準TEMモード（Transverse Electromagnetic Mode）近似**が成立：

* 電場 $\mathbf{E}$ は主に $y$-方向（垂直方向）
* 磁場 $\mathbf{B}$ は主に $z$-方向
* 電圧 $V(x,t)$：2導体間の電位差
* 電流 $I(x,t)$：導体に流れる電流

これらを用いてマクスウェル方程式を積分・整理すると、以下の**1次元の連立偏微分方程式**が得られます：

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### 🔹1次元伝送線路方程式（Telegrapher’s Equation）

時間・空間変数に関する連立PDE：

$$
\begin{cases}
\frac{\partial V(x,t)}{\partial x} = -L \frac{\partial I(x,t)}{\partial t} \\
\frac{\partial I(x,t)}{\partial x} = -C \frac{\partial V(x,t)}{\partial t}
\end{cases}
$$

ここで：

* $L$：単位長さあたりインダクタンス $[H/m]$
* $C$：単位長さあたりキャパシタンス $[F/m]$

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### 🔹電圧・電流に対する2階PDE

上式を時間または空間で微分して代入すると、次の**波動方程式**が得られます：

$$
\frac{\partial^2 V}{\partial x^2} = LC \frac{\partial^2 V}{\partial t^2}, \quad
\frac{\partial^2 I}{\partial x^2} = LC \frac{\partial^2 I}{\partial t^2}
$$

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## ✅ 第5章：伝達関数の導出（周波数領域）

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### 🔹 ラプラス変換適用（時間領域 → 周波数領域）

時間変数にラプラス変換を施すと：

$$
\mathcal{L}\left\{ \frac{\partial^2 V}{\partial x^2} \right\} =
LC \cdot \mathcal{L}\left\{ \frac{\partial^2 V}{\partial t^2} \right\}
\quad \Rightarrow \quad
\frac{d^2 \hat{V}(x,s)}{dx^2} = LC \cdot s^2 \cdot \hat{V}(x,s)
$$

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### 🔹 一般解（空間 ODE の解）

これは 2 階定数係数常微分方程式の標準形：

$$
\frac{d^2 \hat{V}}{dx^2} - (LC s^2) \hat{V} = 0
\quad \Rightarrow \quad
\boxed{
\hat{V}(x,s) = A e^{-\gamma x} + B e^{\gamma x}, \quad \gamma = s\sqrt{LC}
}
$$

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### 🔹 境界条件と伝達関数導出

#### 境界条件（例）：

* 入力端（送信端）： $x = 0$ における電圧：

  $$
  \hat{V}(0,s) = \hat{V}_{\text{in}}(s) = A + B
  $$
* 出力端（受信端）： $x = L$ における電圧：

  $$
  \hat{V}(L,s) = \hat{V}_{\text{out}}(s) = A e^{-\gamma L} + B e^{\gamma L}
  $$

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#### 無反射端（完全吸収 or 開放終端）の仮定：

**右向き進行波のみ（例：$B = 0$）と仮定**すると：

$$
\hat{V}(x,s) = A e^{-\gamma x}, \quad \hat{V}(0,s) = A
\Rightarrow
A = \hat{V}_{\text{in}}(s)
$$

したがって出力は：

$$
\hat{V}_{\text{out}}(s) = \hat{V}(L,s) = \hat{V}_{\text{in}}(s) \cdot e^{-\gamma L}
$$

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### 🔹 伝達関数の明示式

$$
\boxed{
G(s) = \frac{\hat{V}_{\text{out}}(s)}{\hat{V}_{\text{in}}(s)} = e^{-\sqrt{LC} \cdot s \cdot L}
}
$$

これは：

* **純遅延系**（位相遅延を持つが、振幅は減衰しない）
* 有理関数ではなく、**非有理型伝達関数（超越関数）**
* 古典的制御理論にそのまま適用するのは困難

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## ✅ 補足：Padé近似による有理関数化

例えば、1次 Padé 近似（\[1/1]）：

$$
e^{-\tau s} \approx \frac{1 - \frac{\tau}{2}s}{1 + \frac{\tau}{2}s}, \quad \text{ただし} \ \tau = \sqrt{LC} \cdot L
$$

→ 制御系設計（LQR, H∞, PIDなど）に適用可能な**有理近似モデル**が得られる。

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## ✅ 結論：数式・物理意味まとめ

| 項目     | 数式                                                             | 意味            |
| ------ | -------------------------------------------------------------- | ------------- |
| 空間ODE  | $\frac{d^2 \hat{V}}{dx^2} = LC s^2 \hat{V}$                    | ラプラス変換後の波動方程式 |
| 一般解    | $\hat{V}(x,s) = A e^{-\gamma x} + B e^{\gamma x}$              | 右・左向き進行波      |
| 伝達関数   | $G(s) = e^{-\sqrt{LC}sL}$                                      | 純遅延系（反射なし）    |
| Padé近似 | $G(s) \approx \frac{1 - \frac{\tau}{2}s}{1 + \frac{\tau}{2}s}$ | 有理関数化（制御設計可）  |

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## ✅ 第6章：伝達関数の近似と制御設計への応用

| モデル                   | 関数形  | 物理的意味    | 制御設計適用性           |
| --------------------- | ---- | -------- | ----------------- |
| 厳密（$e^{-\tau s}$）     | 非有理  | 波の遅延そのもの | ✖：古典制御では非対応       |
| Padé近似（\[1/1]〜\[3/3]） | 有理関数 | 遅延の代替表現  | ◎：LQR, PID などに利用可 |

例：\[1/1] Padé近似

$$
e^{-\tau s} \approx \frac{1 - \frac{\tau}{2}s}{1 + \frac{\tau}{2}s}
$$

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## ✅ 第7章：具体的応用事例

| 物理系     | モデル           | 入力      | 出力     | 伝達関数                 |
| ------- | ------------- | ------- | ------ | -------------------- |
| 無損失伝送線路 | マクスウェル方程式（1D） | 電圧ステップ  | 負荷端の応答 | $G(s) = e^{-\tau s}$ |
| 導波管     | 波動方程式         | 電界（入力端） | 出力端電界  | 複素指数関数の伝達遅延          |
| PCB信号線  | RLGC回路モデル     | 電流      | 終端電圧   | 有理近似後の LTI系          |

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## ✅ 第8章：まとめ

* マクスウェル方程式は**偏微分方程式（分布定数系）**の代表であり、フーリエ/ラプラス変換により**伝達関数形式**へと接続可能。
* **波動・遅延・反射**といった現象を**周波数応答**として把握できる。
* 制御理論に接続するためには、**Padé近似やモデル縮約**による**有理関数化**が重要。
* 高速信号伝送・EMC設計・RF制御などに応用される。

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