「一歩ずつマスターする論理学入門」第三章

# 「一歩ずつマスターする論理学入門」第三章のまとめ

> 注意：この記事は学習途中の内容をまとめたものであり、誤りを含む可能性があります。
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> 間違いがあれば、ぜひご指摘いただけると幸いです！

前回に引き続き、論理学の学習内容を整理するための記事となります。  
今回は「一歩ずつマスターする論理学入門」の第3章の内容を中心に、命題論理の意味論についてまとめていきます。
## 目次
- [はじめに](#はじめに)
- [意味論とは](#意味論とは)
- [真理値と二値原理](#真理値と二値原理)
- [真理値分析と合成原理](#真理値分析と合成原理)
- [論理式の真理条件](#論理式の真理条件)
  - [否定と連言の真理条件](#否定と連言の真理条件)
  - [選言と含意の真理条件](#選言と含意の真理条件)
- [複雑な真理値表の作成手順](#複雑な真理値表の作成手順)
- [真理条件的同値性](#真理条件的同値性)
  - [主な同値変形の法則](#主な同値変形の法則)
- [トートロジーと矛盾式](#トートロジーと矛盾式)
- [論理的帰結を表す記号の導入](#論理的帰結を表す記号の導入)
- [おわりに](#おわりに)

## はじめに

第2章では命題論理の構文論について学びました。構文論では記号（語彙）や規則を定めて形式言語の中で「文」にあたるものを定義しました。

第3章では、その形式言語に対して「意味」を与える意味論（semantics）について主にまとめます。第1章で触れた「妥当な推論とは何か」という問いに答えるための準備です。

## 意味論とは

**意味論（semantics）** では形式言語を定めた上で、それに属する表現の解釈を規定します。特に論理式に対してその 真理条件を体系的に指定し、これに基づいて「妥当な推論」を規定します。

一方、**証明論（proof theory）** では形式言語に対して、一つの証明体系を定めます。特に、証明体系でどんな推論規則が認められるのかを定めることで、その体系における「証明」にあたるものを規定します。

第1章では「妥当な推論とは、前提がすべて真であるならば結論も必ず真である推論」と定義しました。この基準を論理式で表現するために、「真」「偽」などの概念をより厳密に規定していきます。

## 真理値と二値原理

命題論理の意味論は「あらゆる命題は真か偽のいずれかである」という原則に基づいています。これを**二値原理（Principle of Bivalence）** といいます。真と偽という二つの値をあわせて**真理値（truth-value）** といい、これからは真を**T** として偽を**F**として表します。

例えば、二値原理のもとでの否定は命題の真理値を反転させる機能を持っています。

## 真理値分析と合成原理

**真理値分析**とは、ある複合的な命題が与えられたときに、それを構成する原子命題の真理値から、その複合的な命題の真理値を決定する方法のことです。

その背景にある「複合的な命題の真理値は構成する原子命題の真理値に基づいて決まる」という原則を**合成原理**といいます。

複合命題の真理値が原子命題の真理値にどのように依存するかを示すのが**真理値表（truth-table）** です。論理式が「どのような状況で真（あるいは偽）になるか」を述べる条件のことを**真理条件（truth-condition）** といいます。

一般に、文の意味は、文がどのような真理条件をもつのか規定することによって規定することができるという立場を**真理条件意味論**といいます。

※補足：論理学では、「文（sentence）」は単に言語的な表現であるのに対し、「命題（proposition）」はその文が表す意味内容とされ、別のものして区別されます。真理条件意味論では、命題の意味＝真理条件とされます。

## 論理式の真理条件

### 否定と連言の真理条件

| 記号 | 真理条件 |
|------|----------|
| $\neg p$ | $\neg p$が真であるのは$p$が偽のとき。$\neg p$が偽であるのは$p$が真のとき |
| $p \wedge q$ | $p \wedge q$が真であるのは、$p$と$q$がどちらも真のとき。$p \wedge q$が偽であるのは、$p$と$q$の少なくとも一方が偽のとき |

真理値表を用いると、このように記述できます。

| $p$ | $q$ | $\neg p$ | $p \wedge q$ |
|-----|-----|---------|-------------|
| T   | T   | F       | T           |
| T   | F   | F       | F           |
| F   | T   | T       | F           |
| F   | F   | T       | F           |

ここでの$p$、$q$は**メタ変項**（第2章）です。

### 選言と含意の真理条件

| 記号 | 真理条件 |
|------|----------|
| $p \vee q$ | $p \vee q$が真であるのは$p$と$q$の少なくとも一方が真のとき。$p \vee q$が偽であるのは$p$と$q$がどちらも偽のとき |
| $p \rightarrow q$ | $p \rightarrow q$が真であるのは$p$が偽であるか、$q$が真のとき。$p \rightarrow q$が偽であるのは、$p$が真であって、しかも$q$が偽であるとき |

真理値表を用いると、このように記述できます。

| $p$ | $q$ | $p \vee q$ | $p \rightarrow q$ |
|-----|-----|-----------|------------------|
| T   | T   | T         | T                |
| T   | F   | T         | F                |
| F   | T   | T         | T                |
| F   | F   | F         | T                |

ここでの選言は**非排他的（non-exclusive）な選言**と呼ばれます。一方で「どちらか一方であり、両方ではない」という意味での選言は、**排他的（exclusive）な選言**と呼ばれ、ときにXORとして明示的に表記されます。ただし、論理学の文脈では断りがなければ、基本は非排他的な選言として理解するようです。

また、前件$p$が偽のとき、後件$q$の真偽にかかわらず条件文全体が真となる、ここでの含意を**実質含意（material implication）** と呼びます。実質含意は直感的に納得しにくいような[実質含意のパラドクス](https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%81%A9%E5%88%87%E3%81%95%E3%81%AE%E8%AB%96%E7%90%86)を成立させることが知られています。ここでは、あまり深入りしません。

## 複雑な真理値表の作成手順

特に、3つ以上の原子論理式を含む場合は、以下の手順を使うことで真理値表を書きやすくなります。

1. 行(それぞれの原子論理式の組み合わせパターン)の数を設定 
2. 論理式の分解
3. 真理値の計算

## 真理条件的同値性

二つの論理式が真理表のすべての行で同じ真理値を持つとき、その二つの論理式は**真理条件的に同値である**といいます。

真理条件意味論では、二つの文が同じことを主張しているかどうかは、対応する論理式が真理条件的に同値であるかを確認することで判定できます。

論理式$p$と$q$が同値であることを$p \equiv q$と書きます。

### 主な同値変形の法則

真理条件的な同値性のうち、以下のようなものがあります。

- 二重否定則：$\neg \neg p \equiv p$
- 交換則：$p \wedge q \equiv q \wedge p$
- 結合則：$p \wedge (q \wedge r) \equiv (p \wedge q) \wedge r$, $p \vee (q \vee r) \equiv (p \vee q) \vee r$
- 分配則：$p \wedge (q \vee r) \equiv (p \wedge q) \vee (p \wedge r)$, $p \vee (q \wedge r) \equiv (p \vee q) \wedge (p \vee r)$
- 吸収則：$p \wedge (p \vee q) \equiv p$, $p \vee (p \wedge q) \equiv p$
- べき等則：$p \wedge p \equiv p$, $p \vee p \equiv p$
- ド・モルガンの法則：$\neg (p \wedge q) \equiv \neg p \vee \neg q$, $\neg (p \vee q) \equiv \neg p \wedge \neg q$
- 対偶則：$p \rightarrow q \equiv \neg q \rightarrow \neg p$
- 含意の法則：
  1. $p \rightarrow q \equiv \neg p \vee q$ 
  2. $\neg (p \rightarrow q) \equiv p \wedge \neg q$ 
  3. $p \rightarrow (q \rightarrow r) \equiv p \wedge q \rightarrow r$ 
  4. $p \vee q \rightarrow r \equiv (p \rightarrow r) \wedge (q \rightarrow r)$ 
  5. $p \rightarrow q \wedge r \equiv (p \rightarrow q) \wedge (p \rightarrow r)$

ここで示されたような変形をはじめとする、論理式を真理条件的に同値な別の論理式に書き換えることを**同値変形**といいます。

## トートロジーと矛盾式

真理表のあらゆる行で真理値Tをとる論理式を**トートロジー（恒真式）** といいます。もっとも単純な例として、**排中律** $A \vee \neg A$ が挙げられます。

排中律の真理値表

| $A$ | $\neg A$ | $A \vee \neg A$ |
|-----|---------|---------------|
| T   | F       | T             |
| F   | T       | T             |

真理表のあらゆる行で真理値Fをとる論理式を**矛盾式**といいます。つまり、トートロジーの否定は矛盾式となります。

トートロジーと矛盾式に関して成り立つ同値性として以下のようなものがあります。

- トートロジーの法則：$t$がトートロジーであるとき、$p \wedge t \equiv p$, $p \vee t \equiv t$
- 矛盾式の法則：$i$が矛盾式であるとき、$p \wedge i \equiv i$, $p \vee i \equiv p$

また**双条件文**（第2章）とトートロジーに関して、次の二つの主張は等しいことが知られています。

1. 論理式$p$と$q$が真理条件的に同値である。すなわち$p \equiv q$が成り立つ
2. 論理式$p \leftrightarrow q$がトートロジーである

つまり、真理値分析によって二つの論理式が同値か判定することは、それらの論理式を結びつけた双条件文がトートロジーであるかを判定することに等しいのです。

## 論理的帰結を表す記号の導入

「ある前提から結論へ至る推論が妥当である」ということは、以下のようにして記号化します。

前提$p_1, p_2, ..., p_n$から結論$q$へ至る推論が真理表に基づいて妥当であるとき、

$p_1, p_2, ..., p_n \models q$

と書きます。このとき$p_1, p_2, ..., p_n$は$q$を**意味論的に含意（entail）する**ともいいます。

また、前提$p_1, p_2, ..., p_n$は$q$への推論が妥当でないことを

$p_1, p_2, ..., p_n \not\models q$

と書きます。このとき、$p_1, p_2, ..., p_n$は$q$を意味論的に含意しないともいいます。

なお、ここで登場した$\models$のような記号は、$\wedge$や$\rightarrow$のような対象言語の表現ではなく、「妥当である」ということを表す**メタ言語**の要素です。メタ言語と対象言語については、今後の投稿で補足するかもしれません。

## おわりに

今回は「一歩ずつマスターする論理学入門」の第3章の内容をまとめました。
次回は命題論理の証明論を中心に扱う予定です。ご指摘・コメントをいただければ幸いです！