偏微分方程式と伝達関数


# 偏微分方程式と伝達関数：近似なき厳密解法とその意味

## 1. 偏微分方程式（PDE）の基礎例

### 🔹 1.1 拡散方程式（熱伝導）

$$
\frac{\partial u(x, t)}{\partial t} = \alpha \frac{\partial^2 u(x, t)}{\partial x^2}
$$

* $u(x,t)$：位置 $x$、時間 $t$ における温度または濃度
* $\alpha$：熱拡散率（または拡散係数）

👉 熱の伝わりや濃度の拡散といった現象を記述。

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### 🔹 1.2 波動方程式

$$
\frac{\partial^2 u(x,t)}{\partial t^2} = c^2 \frac{\partial^2 u(x,t)}{\partial x^2}
$$

* $c$：波の伝播速度
  👉 音波・弦の振動・地震波などの動的現象を記述。

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## 2. ラプラス変換による伝達関数導出（近似なし）

### 2.1 ラプラス変換の適用（拡散方程式）

$$
\frac{\partial u(x, t)}{\partial t} = \alpha \frac{\partial^2 u(x, t)}{\partial x^2}
\quad \Rightarrow \quad
s U(x,s) - u(x,0) = \alpha \frac{d^2 U(x,s)}{dx^2}
$$

初期条件 $u(x, 0) = 0$ により、

$$
\frac{d^2 U(x,s)}{dx^2} - \frac{s}{\alpha} U(x,s) = 0
$$

---

### 2.2 一般解と境界条件の適用

この2階定係数ODEの一般解：

$$
U(x,s) = A(s) e^{\sqrt{s/\alpha} x} + B(s) e^{-\sqrt{s/\alpha} x}
$$

境界条件例：

* 入力：$U(0,s) = U_{\text{in}}(s)$
* 出力：$U(L,s) = Y(s)$

これらにより、$A(s), B(s)$ を決定。

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### 2.3 厳密な伝達関数（近似なし）

出力と入力の比として、厳密な伝達関数 $G(s)$ を得る：

$$
G(s) = \frac{Y(s)}{U_{\text{in}}(s)} = \frac{\sinh(\sqrt{s/\alpha}(L - x_0))}{\sinh(\sqrt{s/\alpha}L)}
$$

この形は有理関数（多項式比）ではなく、\*\*超越関数（sinh, sqrt）\*\*を含む。

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## 3. 厳密な伝達関数の利点と課題

| 項目       | 内容                                                   |
| -------- | ---------------------------------------------------- |
| 🔹 メリット  | 波や拡散の物理的性質を忠実に反映。分布パラメータ系を正確にモデル化可能。                 |
| 🔸 デメリット | 伝達関数が**非有理関数**になるため、古典制御理論では扱いが困難。<br>数値解析やモデル縮約が必要。 |

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## ✅ 1. 再掲：厳密な周波数応答関数

拡散方程式のラプラス変換により得られる厳密な伝達関数：

$$
G(j\omega) = \frac{\sinh\left( \sqrt{\frac{j\omega}{\alpha}}(L - x_0) \right)}{\sinh\left( \sqrt{\frac{j\omega}{\alpha}}L \right)}
$$

* **超越関数**（sinh, sqrt）を含むため、有理関数とは異なる
* 拡散・遅延・空間分布の物理現象を忠実に反映するが、制御系設計には扱いづらい

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## 🔁 2. 有理関数への近似（低周波域）

### 🔹 2.1 マクローリン展開による sinh の近似

$$
\sinh(z) = z + \frac{z^3}{6} + \frac{z^5}{120} + \cdots
$$

ここでの変数：

$$
z = \sqrt{\frac{j\omega}{\alpha}} \cdot a \quad (a = L \text{ または } L - x_0)
$$

以下に、有理関数近似による伝達関数の各段階を、式の整形・物理解釈つきでまとめ直します。

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# ✅ 有理関数近似による伝達関数の整理

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## 🔁 0. 再掲：厳密伝達関数（拡散方程式由来）

$$
G(j\omega) = \frac{\sinh\left( \sqrt{\frac{j\omega}{\alpha}}(L - x_0) \right)}{\sinh\left( \sqrt{\frac{j\omega}{\alpha}}L \right)}
$$

* 非有理関数（sinh と √ を含む）
* 拡散・遅延・分布パラメータを忠実に反映
* 古典的制御系設計には非対応

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## 🔸 1次近似（低周波：定数ゲイン）

$$
\sinh(z) \approx z \quad \Rightarrow \quad G(j\omega) \approx \frac{L - x_0}{L}
$$

* **定数ゲイン型伝達関数**
* **ボード線図はフラット**（周波数に依存しない）
* **通過帯域の近似**に有効

---

## 🔸 2次近似（3次項までマクローリン展開）

$$
\sinh(z) \approx z + \frac{z^3}{6}
$$

ここで：

$$
z = \sqrt{\frac{j\omega}{\alpha}} \cdot a \quad (a = L \text{ or } L - x_0)
$$

したがって、

$$
G(j\omega) \approx 
\frac{
(L - x_0) + \frac{(L - x_0)^3}{6} \left( \frac{j\omega}{\alpha} \right)^{3/2}
}{
L + \frac{L^3}{6} \left( \frac{j\omega}{\alpha} \right)^{3/2}
}
$$

* **fractional-order dynamics**
* 中間周波数域で**緩やかなロールオフ**
* 有理形式ではないが、**物理的意味に忠実**

---

## 🔸 Padé近似（例：\[3/3] 近似）

$$
\sinh(z) \approx \frac{z(105 + z^2)}{105 - 10z^2 + z^4}
$$

置換：

$$
z = \sqrt{\frac{j\omega}{\alpha}} \cdot a
$$

より、伝達関数は以下のような**完全な有理関数**として書き換え可能：

$$
G(j\omega) \approx 
\frac{
z_1 (105 + z_1^2) \cdot [105 - 10 z_2^2 + z_2^4]
}{
z_2 (105 + z_2^2) \cdot [105 - 10 z_1^2 + z_1^4]
}
$$

ここで：

* $z_1 = \sqrt{\frac{j\omega}{\alpha}}(L - x_0)$
* $z_2 = \sqrt{\frac{j\omega}{\alpha}}L$

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## 📈 総括：近似手法の比較表

| 近似手法      | 関数形              | 特徴           | 制御設計適用性 |
| --------- | ---------------- | ------------ | ------- |
| 厳密 (sinh) | 非有理関数            | 高精度・遅延あり     | 困難      |
| 1次近似      | 定数               | 最も簡単・低周波対応   | ◎       |
| 2次近似      | 擬似有理（fractional） | 遅延・拡散の一部反映   | △       |
| Padé近似    | 有理関数（分子分母多項式）    | モデル近似と制御設計両立 | ◎       |

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| PDE種類 | 入力 $f(t)$ の例                              | 出力 $y(t)$ の位置    | 伝達関数 $G(s)$                                                                                                                    | 入力の物理的意味／提案内容                        |
| ----- | ----------------------------------------- | ---------------- | ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ | ------------------------------------ |
| 拡散方程式 | $f(t) = u(0, t) = A \cdot \text{step}(t)$ | $y(t) = u(L, t)$ | $\displaystyle G_{\text{diff}}(s) = \frac{\sinh\left( \sqrt{s/\alpha}(L - x_0) \right)}{\sinh\left( \sqrt{s/\alpha}L \right)}$ | 境界に一定温度を印加 → 距離 $L$ の温度応答を見る（加熱・冷却）  |
|       | $f(t) = A \cdot \delta(t)$                | $y(t) = u(L, t)$ | 同上                                                                                                                             | インパルス的な加熱 → 温度伝播のインパルス応答（Green関数的意味） |
|       | $f(t) = A \cdot \sin(\omega t)$           | $y(t) = u(L, t)$ | $G(j\omega)$ による周波数応答解析                                                                                                        | 周波数掃引による拡散系の応答可視化（Bode解析）            |
| 波動方程式 | $f(t) = u(0, t) = A \cdot \text{step}(t)$ | $y(t) = u(L, t)$ | $\displaystyle G_{\text{wave}}(s) = e^{-sL/c}$                                                                                 | 境界に外力ステップ加振 → 遅延付き波動出力               |
|       | $f(t) = \delta(t)$                        | $y(t) = u(L, t)$ | 同上                                                                                                                             | 衝撃波・瞬時入力に対する波動伝播                     |
|       | $f(t) = \sin(\omega t)$                   | $y(t) = u(L, t)$ | $G(j\omega) = e^{-j\omega L / c}$                                                                                              | 位相遅延のみの周波数応答（無損失）                    |

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##  PDEから導出される代表的な伝達関数一覧

| PDEの種類           | 入力 $f(t)$                                             | 出力 $y(t)$        | 伝達関数 $G(s)$                                                                                                               | 備考（物理的意味）                  |
| ---------------- | ----------------------------------------------------- | ---------------- | ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- | -------------------------- |
| 拡散方程式            | 境界温度 $u(0, t)$                                        | 内部点の温度 $u(L, t)$ | $\displaystyle \frac{\sinh\left( \sqrt{\frac{s}{\alpha}}(L - x_0) \right)}{\sinh\left( \sqrt{\frac{s}{\alpha}}L \right)}$ | 温度分布の空間伝播、空間LPF特性          |
| 波動方程式            | 入力変位 $u(0, t)$                                        | $u(L, t)$        | $\displaystyle e^{-sL/c}$                                                                                                 | 遅延系。無損失な波動伝播               |
| 一階放物型 PDE        | $\partial u/\partial t + c \partial u/\partial x = 0$ | $u(x, 0) = f(x)$ | $G(s) = e^{-sx/c}$                                                                                                        | 輸送方程式（例：血液流、搬送系）           |
| 2次元拡散方程式         | $u(x, y=0, t)$                                        | $u(x, y=H, t)$   | $G(s) = \displaystyle \frac{\sinh(\sqrt{s/\alpha} \cdot y)}{\sinh(\sqrt{s/\alpha} \cdot H)}$                              | プレートや膜の熱伝導・電気拡散など          |
| Maxwell方程式系      | 外部電場または電流                                             | 誘導電圧・電界成分        | $G(s) = \frac{1}{sL + R}$（準静的近似）                                                                                          | 電磁応答、伝送線路モデル（RL回路近似）       |
| Navier-Stokes線形化 | 壁面速度 $v(0, t)$                                        | 流速 $v(L, t)$     | $G(s) = \displaystyle \frac{\sinh(\sqrt{s/\nu} (L - x_0))}{\sinh(\sqrt{s/\nu} L)}$                                        | 速度拡散（粘性流体）                 |
| 弦の振動（弾性）         | 端点の外力 $F(t)$                                          | 他端点の変位 $y(t)$    | $G(s) = \displaystyle \frac{1}{ms^2 + ks + b}$                                                                            | 支配方程式がPDEでも、端点変位はODE系で記述可能 |

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