MOSFETと小信号等価回路

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## ✅ 1. パラメータ定義

| 記号                                 | 意味                 | 単位    |
| ---------------------------------- | ------------------ | ----- |
| $W_1, L_1$                         | NMOS M1 のチャネル幅・長さ  | m     |
| $W_2, L_2$                         | PMOS M2 のチャネル幅・長さ  | m     |
| $\mu_n, \mu_p$                     | キャリア移動度（NMOS/PMOS） | m²/Vs |
| $C_{\text{ox}}$                    | 酸化膜容量密度            | F/m²  |
| $V_{\text{th,n}}, V_{\text{th,p}}$ | しきい値電圧（NMOS/PMOS）  | V     |
| $V_{\text{in}}(t)$                 | 入力信号（大信号）          | V     |
| $V_{\text{bias}}, A$               | 入力のバイアス電圧・振幅       | V     |
| $V_{DD}$                           | 電源電圧               | V     |

---

## ✅ 2. ドレイン電流（NMOS M1）

M1（NMOS）が**飽和領域**のとき：

$$
I_{D1}(t) = \frac{1}{2} \mu_n C_{\text{ox}} \frac{W_1}{L_1} \left( V_{\text{in}}(t) - V_{\text{th,n}} \right)^2
= \frac{1}{2} k_{n1} \left( V_{\text{bias}} + A \sin(\omega t) - V_{\text{th,n}} \right)^2
$$

ここで：

$$
k_{n1} = \mu_n C_{\text{ox}} \frac{W_1}{L_1}
$$

---

## ✅ 3. ドレイン電流（PMOS M2）

M2（PMOS）が**飽和領域**のとき：

$$
I_{D2}(t) = \frac{1}{2} \mu_p C_{\text{ox}} \frac{W_2}{L_2} \left( V_{SG} - |V_{\text{th,p}}| \right)^2
= \frac{1}{2} k_{p2} \left( V_{DD} - V_{\text{out}}(t) - |V_{\text{th,p}}| \right)^2
$$

ここで：

$$
k_{p2} = \mu_p C_{\text{ox}} \frac{W_2}{L_2}
$$

---

## ✅ 4. 出力ノード電流保存（KCL）

$$
I_{D1}(t) = I_{D2}(t)
$$

$$
\Rightarrow \frac{1}{2} k_{n1} \left( V_{\text{bias}} + A \sin(\omega t) - V_{\text{th,n}} \right)^2
= \frac{1}{2} k_{p2} \left( V_{DD} - V_{\text{out}}(t) - |V_{\text{th,p}}| \right)^2
$$

---

## ✅ 5. 出力電圧の大信号式（W/L含む）

$$
\boxed{
V_{\text{out}}(t)
= V_{DD} - |V_{\text{th,p}}| - \sqrt{ \frac{k_{n1}}{k_{p2}} } \left( V_{\text{bias}} + A \sin(\omega t) - V_{\text{th,n}} \right)
}
$$

または：

$$
\boxed{
V_{\text{out}}(t)
= V_{DD} - |V_{\text{th,p}}| - \sqrt{ \frac{ \mu_n \frac{W_1}{L_1} }{ \mu_p \frac{W_2}{L_2} } } \cdot \left( V_{\text{bias}} + A \sin(\omega t) - V_{\text{th,n}} \right)
}
$$




---

## ✅ なぜ「MOS負荷＋ソース接地回路」は非線形か？

この回路の出力電圧式：

$$
V_{\text{out}}(t)
= V_{DD} - |V_{\text{th,p}}| - \sqrt{ \frac{k_{n1}}{k_{p2}} } \cdot \left( V_{\text{in}}(t) - V_{\text{th,n}} \right)
$$

は、以下の理由から**線形性の条件を満たしていません**：

---

## ✅ 線形システムの定義（2条件）

### ① 加法性（superposition）：

$$
x_1(t) \rightarrow y_1(t),\quad x_2(t) \rightarrow y_2(t)
\Rightarrow x_1(t) + x_2(t) \rightarrow y_1(t) + y_2(t)
$$

### ② 斉次性（homogeneity）：

$$
x(t) \rightarrow y(t) \Rightarrow a x(t) \rightarrow a y(t)
$$

---

## ✅ この回路の非線形性の正体

* 出力は**入力の1次式ではなく、平方根**を含む：

  $$
  V_{\text{out}}(t) \propto - \left( V_{\text{in}}(t) - V_{\text{th}} \right)
  \quad \text{または} \quad
  I_D \propto \left( V_{\text{in}} - V_{\text{th}} \right)^2
  $$

* このため、**加法性も斉次性も破れる**。

### 例（加法性が壊れる）：

$$
V_{\text{in}}(t) = A \sin(\omega_1 t) + B \sin(\omega_2 t)
$$

非線形出力：

$$
V_{\text{out}}(t) \propto -\sqrt{(A \sin(\omega_1 t) + B \sin(\omega_2 t) - V_{th})}
\neq -A \sqrt{\sin(\omega_1 t)} - B \sqrt{\sin(\omega_2 t)}
$$

---

## ✅ 電気回路的にも非線形

* **MOSFETの I-V特性**自体が非線形（飽和では2次関数、トライオードでは混合項）
* \*\*トランジスタのgm（利得）\*\*が入力に依存して変化する（Vinに依存）

---




### ✅ Step 1：大信号モデルの定義（飽和領域）

#### NMOS（M1）

$$
I_{D1} = \frac{1}{2} \mu_n C_{\text{ox}} \frac{W_1}{L_1} (V_{GS1} - V_{\text{th,n}})^2
$$

#### PMOS（M2、負荷）

$$
I_{D2} = \frac{1}{2} \mu_p C_{\text{ox}} \frac{W_2}{L_2} (V_{SG2} - |V_{\text{th,p}}|)^2
$$

---

### ✅ Step 2：動作点設定（DCバイアス）

入力電圧：

$$
V_{\text{in}}(t) = V_{\text{bias}} + v_{\text{in}}(t)
$$

動作点で：

* $V_{GS1,0} = V_{\text{bias}}$
* 両トランジスタは飽和領域動作と仮定

---

### ✅ Step 3：小信号モデル（テイラー展開）

#### トランスコンダクタンス（NMOS）

$$
g_{m1} = \frac{\partial I_{D1}}{\partial V_{GS1}} = \mu_n C_{\text{ox}} \frac{W_1}{L_1} (V_{\text{bias}} - V_{\text{th,n}})
$$


## ✅ 出力抵抗 $r_o$：定義と意味

### ● 定義：

MOSFETの **出力抵抗 $r_o$** とは、**ドレイン-ソース間電圧 $V_{DS}$** の微小変化が、**ドレイン電流 $I_D$** に与える影響を示す微分抵抗です：

$$
\boxed{
r_o = \left( \frac{\partial I_D}{\partial V_{DS}} \right)^{-1}
}
\quad \text{（一定 \( V_{GS} \) 下）}
$$

---

## ✅ 飽和領域におけるドレイン電流（大信号式）

PMOSもNMOSと形式同じで、飽和領域での $I_D$ は：

$$
I_D = \frac{1}{2} \mu_p C_{\text{ox}} \frac{W}{L} (V_{SG} - |V_{\text{th,p}}|)^2 \cdot (1 + \lambda_p V_{SD})
$$

* $\lambda_p$：チャネル長変調係数（短チャネルで無視できない）
* $V_{SD}$：ソース–ドレイン間電圧（PMOSでは正方向）
* この $(1 + \lambda V_{DS})$ の項が微妙に電流を変動させる ⇒ 抵抗成分

---

## ✅ 出力抵抗の導出

上式を $V_{SD}$ で微分：

$$
\frac{\partial I_D}{\partial V_{SD}} = \frac{1}{2} \mu_p C_{\text{ox}} \frac{W}{L} (V_{SG} - |V_{\text{th,p}}|)^2 \cdot \lambda_p = I_D \cdot \lambda_p
$$

したがって：

$$
\boxed{
r_o = \left( \frac{\partial I_D}{\partial V_{SD}} \right)^{-1} = \frac{1}{\lambda_p I_D}
}
$$

---

## ✅ 物理的意味（チャネル長変調）

* 飽和領域でも、$V_{DS}$（または $V_{SD}$）が増えるとチャネル長が少し短くなり、ドレイン電流が増加します。
* この \*\*「チャネル長の変化」\*\*が出力抵抗として現れる。
* $\lambda \to 0$（理想）は $r_o \to \infty$（理想電流源）

---



## ✅ まとめ式（PMOS）

$$
\boxed{
r_{o2} = \frac{1}{\lambda_p I_{D2}} = \frac{1}{\lambda_p \cdot \frac{1}{2} \mu_p C_{\text{ox}} \frac{W_2}{L_2} (V_{SG2} - |V_{\text{th,p}}|)^2}
}
$$





---

### ✅ Step 4：小信号等価回路構築

* 入力：$v_{\text{in}}$
* 出力：$v_{\text{out}}$
* 出力ノードには：

$$
R_{\text{out}} = r_{o1} \parallel r_{o2}
$$

ここで、$r_{o1}$ はNMOS出力抵抗（同様に $\frac{1}{\lambda_n I_{D1}}$）

---

### ✅ Step 5：小信号出力の導出

$$
v_{\text{out}} = -g_{m1} \cdot v_{\text{in}} \cdot (r_{o1} \parallel r_{o2}) = -g_{m1} \cdot v_{\text{in}} \cdot R_{\text{out}}
$$

---



## ✅ $g_m$（トランスコンダクタンス）：**入力電圧に対する微分**

$$
\boxed{
g_m = \frac{\partial I_D}{\partial V_{GS}} \Bigg|_{\text{bias}}
}
$$

* **入力電圧 $V_{GS}$** に対して、**ドレイン電流 $I_D$** がどれだけ変化するか
* **入力→出力方向の伝達特性**
* 単位：$\mathrm{S} = \mathrm{A/V}$

---

## ✅ $r_o$（出力抵抗）：**出力電圧に対する微分**

$$
\boxed{
r_o = \left( \frac{\partial I_D}{\partial V_{DS}} \Bigg|_{\text{bias}} \right)^{-1}
}
$$

* **出力電圧 $V_{DS}$** に対して、**ドレイン電流 $I_D$** がどれだけ変化するか
* **出力端に見える抵抗**
* 単位：$\mathrm{\Omega}$

---

## ✅ 図解的に：

```
      v_in → [g_m] → id → 出力ノード → [r_o] → V_D
                        ↑             ↑
                   微分①：g_m      微分②：r_o⁻¹
```

---

## ✅ まとめ

| 指標    | 定義式                                                        | 微分対象 | 物理的意味            |
| ----- | ---------------------------------------------------------- | ---- | ---------------- |
| $g_m$ | $\frac{\partial I_D}{\partial V_{GS}}$                     | 入力電圧 | 入力電圧による電流の変化量    |
| $r_o$ | $\left( \frac{\partial I_D}{\partial V_{DS}} \right)^{-1}$ | 出力電圧 | 出力電圧に対する電流の感度の逆数 |

---



### ✅ Step 6：伝達関数の表現（周波数領域）

$$
\boxed{
H(s) = \frac{V_{\text{out}}(s)}{V_{\text{in}}(s)} = \frac{-g_{m1} R_{\text{out}}}{1 + s R_{\text{out}} C_L}
}
$$

* $C_L$：出力に接続された容量（配線容量＋負荷容量など）
* 時定数 $\tau = R_{\text{out}} C_L$
* 一次系のローパス特性（極が1つ）

---





## ✅ 小信号等価回路の成立条件

### ① **非線形素子が「連続的微分可能」であること**

* MOSFET のような素子の I-V 特性が連続かつ微分可能である必要がある。
* 例：

  $$
  I_D = \frac{1}{2} k (V_{GS} - V_{th})^2
  $$

  は $V_{GS} > V_{th}$ で連続・微分可能。

---

### ② **動作点（バイアス点）が静的に確定していること**

* 素子に対して **DCバイアス**が与えられており、その周囲での挙動を考える。
* このときの電圧・電流が「定常動作点」になる：

  $$
  V_{GS0},\ I_{D0} \Rightarrow \text{動作点}
  $$

---

### ③ **入力信号が「微小変動」であること**

* 入力変動 $v_{gs}(t)$ が **十分小さい**（≪1Vなど）ことが必要。
* 1次テイラー展開によって：

  $$
  i_d \approx \left. \frac{dI_D}{dV_{GS}} \right|_{V_{GS0}} \cdot v_{gs}(t) = g_m \cdot v_{gs}(t)
  $$
* 非線形項（2次以降）は無視できる。

---

### ④ **時間的に急峻な変化がないこと（高周波でないこと）**

* コンデンサやインダクタを含む回路では、**高周波成分**により非線形性が顕在化するため、
  周波数帯域も小信号条件に影響。

---

### ⑤ **回路全体が「線形近似可能な領域」で動作していること**

* MOSFETが飽和領域、あるいは所定の領域に留まっていることが前提。
* 状態遷移（カットオフ→飽和、など）が起きると小信号モデルは無効。

---

## ✅ 成立範囲のイメージ

| 変数    | 小信号領域   | 大信号領域     |
| ----- | ------- | --------- |
| 入力振幅  | ≪ 1 V   | ≫ 1 V     |
| 出力波形  | 近似線形    | 歪み・非線形    |
| 回路モデル | 線形回路    | 非線形微分方程式  |
| 利用目的  | 増幅、伝達関数 | 遷移、スイッチング |

---

## ✅ まとめ：小信号等価回路の成立条件（箇条書き）

* 非線形素子が連続的・微分可能な関数で記述されていること
* 動作点が定常状態として確定していること（バイアス）
* 入力が微小（ΔV など）であること
* 高次項を無視できるほど線形近似が有効な範囲にあること
* 対象素子が飽和領域など特定の動作モードに固定されていること




## ✅ モデル設定（例）

| パラメータ      | 記号         | 値（例） | 単位 | 備考                       |
| ---------- | ---------- | ---- | -- | ------------------------ |
| しきい値電圧     | $V_{th,n}$ | 0.6  | V  | NMOSの標準的な値（90nm〜180nm世代） |
| ドレイン–ソース電圧 | $V_{DS}$   | 1.2  | V  | VDDと近い値（動作電源）            |
| ゲート–ソース電圧  | $V_{GS}$   | ?    | V  | これを求めたい                  |

---

## ✅ 飽和条件から逆算

飽和条件：

$$
V_{DS} \geq V_{GS} - V_{th}
\quad \Rightarrow \quad
V_{GS} \leq V_{DS} + V_{th}
$$

値を代入：

$$
V_{GS} \leq 1.2\ \mathrm{V} + 0.6\ \mathrm{V} = \boxed{1.8\ \mathrm{V}}
$$

---

## ✅ よく使われるバイアス設定（目安）

| 設定項目              | 目安の数値     | コメント                  |
| ----------------- | --------- | --------------------- |
| $V_{th,n}$        | 0.6 V     | 多くのCMOSで採用            |
| $V_{GS}$          | 1.0〜1.6 V | 飽和領域に余裕を持って入る         |
| $V_{DS}$          | 0.5〜1.2 V | VDD電源と抵抗またはPMOS負荷で決まる |
| $V_{\text{bias}}$ | 0.8〜1.2 V | バイアス電圧で $V_{GS}$ を決定  |

---

## ✅ まとめ：数値での飽和条件目安

* $V_{th,n} = 0.6 \ \mathrm{V}$
* 飽和領域に入れるには：

  $$
  \boxed{
  V_{GS} > 0.6\ \mathrm{V} \quad \text{かつ} \quad V_{GS} \leq V_{DS} + 0.6\ \mathrm{V}
  }
  $$

たとえば：

* $V_{DS} = 1.0\ \mathrm{V}$ なら $V_{GS} \leq 1.6\ \mathrm{V}$
* 動作点としては $V_{GS} \approx 1.2\ \mathrm{V}$ などがよく選ばれます