t-分布の密度関数をめっちゃ丁寧に求める【数理統計学の基礎】

# 記事の目的　
この記事では、t-分布の確率密度関数の求め方を数理統計学として解説します。

しかも、数式の展開を**めっちゃ丁寧に**追います！！


そして、t-分布という重要な概念の求め方を通して、
・同時密度関数
・周辺密度関数
・変数変換（ヤコビアン）
など、数理統計学の基礎を復習することも狙いです。

数理統計学の基礎を勉強中の皆さんにとって、とても役立つ内容になっています。
ぜひ読んでみてください。



# t分布の密度関数導出
変数変換（ヤコビアン）によって、求めます。

## 開始のための用語整理

・$Z \sim \mathcal{N}(0, 1) $（標準正規分布）
・$U \sim \chi^2_m $（自由度 m のカイ二乗分布）
・$Z$  と $U$ は独立
・$T$の定義：
　　$T = \dfrac{Z}{\sqrt{U/m}}$ 

このとき、確率変数 T の確率密度関数 $f_T(t)$を求めることがゴールです。

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## 解法の流れ

1. Z と U の同時密度関数を求める
2. 変数変換 $ (Z, U) \rightarrow (T, V) $
3. ヤコビアンの計算
4. 変換後の同時密度関数 $ f_{T,V}(t, v) $
5. 周辺密度 $ f_T(t) $ の導出

---

## ステップ 1：同時密度関数

独立性より：

```math
f_{Z,U}(z, u) = f_Z(z) \cdot f_U(u)
```

### 標準正規分布の密度関数：

```math
f_Z(z) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \exp\left(-\frac{z^2}{2}\right)
```

### カイ二乗分布の密度関数（自由度 m）：

```math
f_U(u) = \frac{1}{2^{m/2} \Gamma(m/2)} u^{m/2 - 1} \exp\left(-\frac{u}{2} \right), \quad u > 0
```

---

## ステップ 2：変数変換

```math
T = \frac{Z}{\sqrt{U/m}} \quad \Rightarrow \quad Z = T \cdot \sqrt{U/m}
```

```math
V = U
```

よって逆変換：

```math
\begin{cases}
z = t \sqrt{v/m} \\
u = v
\end{cases}
```

---

## ステップ 3：ヤコビアン

ヤコビアン行列：

```math
J =
\begin{bmatrix}
\frac{\partial z}{\partial t} & \frac{\partial z}{\partial v} \\
\frac{\partial u}{\partial t} & \frac{\partial u}{\partial v}
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
\sqrt{\frac{v}{m}} & \frac{t}{2\sqrt{vm}} \\
0 & 1
\end{bmatrix}
```

行列式の絶対値：

```math
|J| = \sqrt{\frac{v}{m}}
```

---

## ステップ 4：変換後の同時密度関数

```math
f_{T,V}(t, v) = f_{Z,U}(z(t,v), u(t,v)) \cdot |J|
```

各項の代入：
```math
 z = t \sqrt{v/m}
```
```math
 u = v 
```
を代入すると、


```math
f_{Z}(z) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \exp\left( -\frac{t^2 v}{2m} \right)
```
```math
f_U(v) = \frac{1}{2^{m/2} \Gamma(m/2)} v^{m/2 - 1} \exp\left( -\frac{v}{2} \right)
```

ヤコビアン：
```math
\sqrt{v/m}
```

まとめると：

```math
f_{T,V}(t, v) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \exp\left( -\frac{t^2 v}{2m} \right)
\cdot \frac{1}{2^{m/2} \Gamma(m/2)} v^{m/2 - 1} \exp\left( -\frac{v}{2} \right)
\cdot \sqrt{\frac{v}{m}}
```

指数項をまとめて：

```math
\exp\left( -\frac{v}{2} \left( 1 + \frac{t^2}{m} \right) \right)
```

冪乗項：

```math
v^{(m+1)/2 - 1}
```

定数部分を C とすると：

```math
f_{T,V}(t, v) = C \cdot v^{(m+1)/2 - 1} \cdot \exp\left( -\frac{v}{2} \left( 1 + \frac{t^2}{m} \right) \right)
```

---

## ステップ 5：Tの周辺密度

```math
f_T(t) = \int_0^{\infty} f_{T,V}(t, v) \, dv
= C \int_0^{\infty} v^{(m+1)/2 - 1} \cdot \exp\left( -\frac{v}{2} \left(1 + \frac{t^2}{m} \right) \right) dv
```

### ガンマ関数を利用する

```math
\int_0^\infty x^{a - 1} e^{-b x} dx = \frac{\Gamma(a)}{b^a}
```
この公式を使う。

#### ガンマ関数の定義

```math
\Gamma(a) = \int_0^\infty x^{a-1} e^{-x} dx
```

#### 係数付きガンマ積分の公式を使う理由

次のように、指数関数の中に定数 $ b > 0 $があるとき：

```math
\int_0^\infty x^{a - 1} e^{-b x} dx = \frac{\Gamma(a)}{b^a}
```

この公式が使えます。

#### なぜこの形で計算できるのか？（変数変換）

変数変換：$ y = b x $

すると：

$x = \frac{y}{b} $
$dx = \frac{dy}{b} $


積分は次のように変形できます：

```math
\int_0^\infty x^{a-1} e^{-b x} dx
= \int_0^\infty \left( \frac{y}{b} \right)^{a-1} e^{-y} \cdot \frac{dy}{b}
= \frac{1}{b^a} \int_0^\infty y^{a-1} e^{-y} dy
= \frac{\Gamma(a)}{b^a}
```


#### a, bの見立て
```math
 a = \frac{m+1}{2} 
```
```math
 b = \frac{1}{2} \left(1 + \frac{t^2}{m} \right) 
```



### 結論

```math
f_T(t) = C \cdot \frac{\Gamma\left( \frac{m+1}{2} \right)}{\left( \frac{1}{2} (1 + \frac{t^2}{m}) \right)^{(m+1)/2}}
```

---

## 最終的な密度関数（t分布）

定数 C を含めて整理すると：

```math
\boxed{
f_T(t) = \frac{\Gamma\left( \frac{m+1}{2} \right)}{\sqrt{m\pi} \, \Gamma\left( \frac{m}{2} \right)} \cdot \left(1 + \frac{t^2}{m} \right)^{-\frac{m+1}{2}}
}
```

---

# まとめ
かなり丁寧に数式を変形したつもりです！
数理統計学の基礎として、参考になれば幸いです。


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