統計学実践ワークブック3



### 1. **位置の指標（Location measures）**

| 指標               | 定義 / 特徴                     |
| ---------------- | --------------------------- |
| **期待値 (mean)**   | $E[X]$                      |
| **中央値 (median)** | $P(X \leq a) = 0.5$ となる $a$ |
| **最頻値 (mode)**   | 確率関数 $f(x)$ を最大にする $x$      |

* **左右対称かつ単峰**な分布：期待値 ＝ 中央値 ＝ 最頻値
* **右裾が長い**：最頻値 < 中央値 < 期待値
* **左裾が長い**：期待値 < 中央値 < 最頻値

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### 2. **散らばりの指標（Dispersion measures）**

| 指標                            | 定義                                  |
| ----------------------------- | ----------------------------------- |
| **分散 (variance)**             | $V[X] = E[(X - E[X])^2]$            |
| **標準偏差 (standard deviation)** | $\sqrt{V[X]}$                       |
| **四分位範囲 (IQR)**               | $Q_3 - Q_1$                         |
| **変動係数 (CV)**                 | $\frac{\sqrt{V[X]}}{E[X]}$（単位を持たない） |

* **例：身長 vs 体重のCV比較**<br>

  * 身長CV: $5.7/168.9 = 0.034$<br>
  * 体重CV: $15.9/63.6 = 0.25$<br>
    → **体重の方がばらつきが大きい**

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### 3. **分位点関数（Quantile Function）**

* 分布関数 $F_X(x)$ に対してその逆関数 $F_X^{-1}(a) = \inf\{x | F(x) \geq a\}$
* 例：$F^{-1}(0.25) = Q_1$、$F^{-1}(0.75) = Q_3$

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### 4. **歪度と尖度（Skewness & Kurtosis）**

| 指標                | 定義                                        |
| ----------------- | ----------------------------------------- |
| **歪度 (skewness)** | $\frac{E[(X - E[X])^3]}{(V[X])^{3/2}}$    |
| **尖度 (kurtosis)** | $\frac{E[(X - E[X])^4]}{(V[X])^2}$、正規分布で3 |

* **歪度 > 0**：右裾が長い（右に歪み）<br>
* **尖度 > 3**：裾が厚い（leptokurtic）

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### 5. **相関（Correlation）と共分散（Covariance）**

| 指標                | 定義                                                     |
| ----------------- | ------------------------------------------------------ |
| **共分散 Cov\[X,Y]** | $E[(X - E[X])(Y - E[Y])]$ = $E[XY] - E[X]E[Y]$         |
| **相関係数 $\rho$**   | $\rho = \frac{\text{Cov}[X,Y]}{\sqrt{V[X]V[Y]}}$（-1〜1） |

* $\rho = 1$ または $-1$ → 線形関係あり
* 独立なら $\rho = 0$、ただし逆は必ずしも成立しない

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### 6. **偏相関係数（Partial Correlation）**

* 第三の変数Zの影響を取り除いた上でのXとYの相関
* 相関の因果性の誤認（擬似相関）を防ぐために使用

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### 7. **条件付き特性（Conditional Moments）**

| 指標                 | 定義   |                |            |      |
| ------------------ | ---- | -------------- | ---------- | ---- |
| **条件付き期待値** ( E\[Y | X] ) | ( \int y f\_{Y | X}(y) dy ) |      |
| **条件付き分散** ( V\[Y  | X] ) | ( E\[(Y - E\[Y | X])^2      | X] ) |

* **期待値の法則**：$E[Y] = E[E[Y|X]]$
* **分散の法則**：$V[Y] = E[V[Y|X]] + V[E[Y|X]]$

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### 8. **データにおける平均の種類**

| 種類       | 定義                                                             |
| -------- | -------------------------------------------------------------- |
| **算術平均** | $\frac{1}{n} \sum x_i$                                         |
| **加重平均** | $\sum w_i x_i$（$\sum w_i = 1$）                                 |
| **調和平均** | $\left( \frac{1}{n} \sum \frac{1}{x_i} \right)^{-1}$（速度や割合に使う） |

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### 9. **特性値の性質**

* **期待値の線形性**：$E[aX + bY + c] = aE[X] + bE[Y] + c$
* **独立性と期待値**：$X \perp Y \Rightarrow E[XY] = E[X]E[Y]$
* **分散の加法性**：$V[X \pm Y] = V[X] + V[Y] \pm 2\text{Cov}[X,Y]$

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## 10. **多次元確率変数の特性値**

### ◆ 確率ベクトルと平均ベクトル（Mean Vector）

* $\boldsymbol{X} = (X_1, X_2, \dots, X_k)^\top$：k次元の確率ベクトル
* **平均ベクトル** $\boldsymbol{\mu}$：各成分の期待値を並べたベクトル

  $$
  \boldsymbol{\mu} = \begin{pmatrix} \mu_1 \\ \mu_2 \\ \vdots \\ \mu_k \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} E[X_1] \\ E[X_2] \\ \vdots \\ E[X_k] \end{pmatrix}
  $$

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### ◆ 分散共分散行列（Variance-Covariance Matrix）

* **共分散**：

  $$
  \sigma_{ij} = E\left[(X_i - \mu_i)(X_j - \mu_j)\right]
  $$
* **分散共分散行列** $\boldsymbol{\Sigma}$：

  $$
  \boldsymbol{\Sigma} = \begin{pmatrix}
  \sigma_{11} & \sigma_{12} & \cdots & \sigma_{1k} \\
  \sigma_{21} & \sigma_{22} & \cdots & \sigma_{2k} \\
  \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
  \sigma_{k1} & \sigma_{k2} & \cdots & \sigma_{kk}
  \end{pmatrix}
  $$
* **性質**：

  * 対称行列（$\sigma_{ij} = \sigma_{ji}$）
  * 非負定値（全ての固有値が0以上）

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### ◆ 相関係数行列（Correlation Matrix）

* 各成分：

  $$
  \rho_{ij} = \frac{\sigma_{ij}}{\sqrt{\sigma_{ii} \sigma_{jj}}}
  $$
* 相関係数行列：

  $$
  \boldsymbol{R} = \begin{pmatrix}
  1 & \rho_{12} & \cdots & \rho_{1k} \\
  \rho_{21} & 1 & \cdots & \rho_{2k} \\
  \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
  \rho_{k1} & \rho_{k2} & \cdots & 1
  \end{pmatrix}
  $$

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### ◆ 標本による推定（Sample Estimation）

* **標本平均ベクトル**：

  $$
  \bar{\boldsymbol{x}} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} \boldsymbol{x}_i
  $$
* **不偏分散共分散行列**：

  $$
  \boldsymbol{S} = \frac{1}{n - 1} \sum_{i=1}^{n} (\boldsymbol{x}_i - \bar{\boldsymbol{x}})(\boldsymbol{x}_i - \bar{\boldsymbol{x}})^\top
  $$

> ※ $\boldsymbol{x}_i$ は各観測ベクトル（k次元）

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