統計力学と半導体【日記】


## 🔷 第1章: 統計力学の基礎

### 🔹 1.1 ボルツマン分布

$$
f(E) = \frac{1}{Z} e^{-\beta E}, \quad \beta = \frac{1}{kT}
$$

* 確率的に状態 \$E\$ にある粒子の割合を示す。エネルギーが高いほど出現確率は指数的に減少。
* \$Z\$ は正規化のための分配関数。

### 🔹 1.2 分配関数

$$
Z = \sum_i e^{-\beta E_i} \quad \text{または} \quad Z = \int D(E) e^{-\beta E} dE
$$

* すべての状態の統計的重みの総和。熱力学量の出発点。

### 🔹 1.3 自由エネルギー

$$
F = -kT \log Z
$$

* 系全体の平衡における有効なエネルギー尺度。最小化される。

### 🔹 1.4 内部エネルギー

$$
U = -\frac{\partial}{\partial \beta} \log Z
$$

* 熱エネルギーの平均。分配関数から導出される。

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## 🔷 第2章: 電子統計

### 🔹 2.1 フェルミ-ディラック分布

$$
f(E) = \frac{1}{e^{(E - \mu)/kT} + 1}
$$

* フェルミ準位 \$\mu\$ を中心に電子の占有確率を表す。
* \$T \to 0\$ ではステップ関数に近づく。

### 🔹 2.2 状態密度 (3次元)

$$
D(E) = \frac{1}{2\pi^2} \left( \frac{2m^*}{\hbar^2} \right)^{3/2} \sqrt{E - E_c}
$$

* 単位エネルギーあたりに存在する電子状態数。\$m^\*\$ は有効質量。

### 🔹 2.3 電子濃度

$$
n = \int_{E_c}^\infty D(E) f(E) dE
$$

* 導電帯に存在する電子の数を表す。

### 🔹 2.4 ギブズ分布

$$
P(x) = \frac{1}{Z} e^{-E(x)/kT}
$$

* 状態 \$x\$ の確率。最も一般的な分布形式。

---

## 🔷 第3章: 半導体のバンド構造

### 🔹 3.1 熱平衡電子濃度

$$
n_i = \sqrt{N_c N_v} e^{-E_g / (2kT)}
$$

* バンドギャップ \$E\_g\$ に依存し、温度で指数的に変化。

### 🔹 3.2 有効密度

$$
N_c = 2 \left( \frac{2 \pi m^*_n kT}{h^2} \right)^{3/2}, \quad N_v = 2 \left( \frac{2 \pi m^*_p kT}{h^2} \right)^{3/2}
$$

* 電子・正孔の状態密度。\$T^{3/2}\$ に比例。

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## 🔷 第4章: MOS構造と統計力学

### 🔹 4.1 表面ポテンシャル

$$
\psi_s = \frac{qN_A}{2\epsilon_s} x_d^2
$$

* 空乏層の幅 \$x\_d\$ による電位差。ポアソン方程式より導出。

### 🔹 4.2 サブスレッショル電流

$$
I_{sub} \propto e^{(V_{GS} - V_T)/nV_T}
$$

* ゲート電圧が閾値未満でも指数的に電流が流れる。

### 🔹 4.3 ドリフト・拡散電流

$$
J = qn\mu E + qD \frac{dn}{dx}
$$

* キャリアの電場による移動（ドリフト）と濃度勾配による移動（拡散）の合計。

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## 🔷 第5章: MOSFET動作モデル

### 🔹 5.1 閾値電圧（スレッショルド）

$$
V_T = V_{FB} + 2\phi_F + \frac{\sqrt{2\epsilon_s qN_A 2\phi_F}}{C_{ox}}
$$

* トランジスタがオンになるための最小ゲート電圧。
* バルク電位 \$\phi\_F\$、フラットバンド電圧 \$V\_{FB}\$ などから構成。

### 🔹 5.2 飽和領域のドレイン電流

$$
I_D = \frac{\mu C_{ox}}{2} \frac{W}{L} (V_{GS} - V_T)^2
$$

* ゲート電圧によって形成されたチャネルを流れる電流。
* 飽和領域（\$V\_{DS} \ge V\_{GS} - V\_T\$）でのモデル。

### 🔹 5.3 サブスレッショル電流

$$
I_D = I_0 e^{(V_{GS} - V_T)/nV_T}
$$

* 微小電流領域のモデル（超低電力設計に重要）。

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## 第6章：MOSFETの漏れ電流と量子力学的効果、FinMOSFET

### 6.1 漏れ電流のメカニズムと式

#### 🔹 ① サブスレッショルリーク（Subthreshold Leakage）

電流は指数関数的にゲート電圧に依存：

$$
I_{sub} = I_0 e^{(V_{GS} - V_T)/nV_T}, \quad n = 1 + \frac{C_{dep}}{C_{ox}}
$$

* \$V\_T\$：しきい値電圧
* \$n\$：サブスレッショル係数（拡散容量の影響）
* \$V\_T\$（サーマル電圧）≒ 25.8 mV（室温）

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#### 🔹 ② ゲートトンネル電流（Gate Tunneling Current）

酸化膜が薄くなると、電子がトンネル効果でゲートへ移動：

$$
J_{tunnel} \propto E_{ox}^2 \exp\left( -\frac{B}{E_{ox}} \right)
$$

* \$E\_{ox}\$：酸化膜中の電場
* \$B\$：トンネルバリアの関数

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#### 🔹 ③ ジャンクションリーク（pn接合の逆バイアス電流）

温度依存性が強い：

$$
I_{junction} \propto T^2 e^{-E_g / kT}
$$

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### 6.2 量子効果の影響（微細化の限界）

#### 🔸 電子の量子閉じ込め（Quantum Confinement）

酸化膜・チャネル厚さがナノスケールになると、エネルギー準位が量子化：

$$
\Delta E \approx \frac{\hbar^2 \pi^2}{2 m^* t_{ox}^2}
$$

---

#### 🔸 有限バンド効果／状態密度の変化

MOSチャネルにおける2D電子気体（2DEG）のDOS変化：

$$
D_{2D}(E) = \frac{m^*}{\pi \hbar^2}
$$

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### 6.3 FinFET（FINMOSFET）の構造と式

#### 🔹 チャネル制御性の向上

チャネルが**フィン形状**となり、**ゲートが3面から制御**：

$$
I_D = \mu C_{ox} \cdot \frac{W_{eff}}{L} (V_{GS} - V_T)^2
$$

* \$W\_{eff} = 2 \cdot H\_{fin} + T\_{fin}\$（両側と上面）

---

#### 🔹 ショートチャネル効果（SCE）の抑制

* Fin構造は「電場の包囲性」が強く、**DIBL（Drain-Induced Barrier Lowering）やチャネル長変調が低減**される

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#### 🔹 FinFET の静電制御式

ゲート制御能力を示す "Electrostatic Integrity":

$$
\text{Electrostatic Control} \propto \frac{L}{t_{ox} + t_{fin}}
$$



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## 🔷【1. トンネル効果（矩形ポテンシャル障壁モデル）】

### ✅ トンネル確率（1次元・障壁幅 \$a\$・高さ \$U\_0\$・粒子エネルギー \$E\$）：

$$
T \approx \exp\left( -2a \cdot \frac{\sqrt{2m(U_0 - E)}}{\hbar} \right)
$$

| 項目        | 意味                  | 単位  |
| --------- | ------------------- | --- |
| \$a\$     | 障壁の幅                | m   |
| \$U\_0\$  | 障壁の高さ               | J   |
| \$E\$     | 粒子のエネルギー            | J   |
| \$m\$     | 粒子の質量               | kg  |
| \$\hbar\$ | プランク定数 \$h / 2\pi\$ | J·s |

**意味**：\$T\$は粒子が障壁を通過する確率。\$U\_0 - E\$ が大きい、または \$a\$ が大きいと、指数的に透過確率が減少。FinFETでは**絶縁膜リーク電流の原因**。

---

## 🔷【2. 量子井戸と状態密度】

### ✅ 3次元の電子状態密度（半導体中）：

$$
D(E) = \frac{1}{2\pi^2} \left( \frac{2m^*}{\hbar^2} \right)^{3/2} \sqrt{E - E_c} \quad (E > E_c)
$$

| 記号       | 意味          | 単位 |
| -------- | ----------- | -- |
| \$E\$    | エネルギー       | J  |
| \$E\_c\$ | 伝導帯下端のエネルギー | J  |
| \$m^\*\$ | 有効質量        | kg |

**意味**：エネルギー \$E\$ の電子状態の密度。FinFETでは、チャネルが細くなることでエネルギー準位が**量子化**され、状態密度に段差が生じる（量子井戸効果）。

---

## 🔷【3. バリスティック輸送と平均自由行程】

### ✅ バリスティック条件：

$$
L < \lambda
$$

| 記号          | 意味                   | 単位 |
| ----------- | -------------------- | -- |
| \$L\$       | チャネル長                | m  |
| \$\lambda\$ | 平均自由行程（電子が散乱なしで進む距離） | m  |

**意味**：チャネル長 \$L\$ が平均自由行程 \$\lambda\$ より短いとき、電子は**散乱されずに一気にドレインへ到達** ⇒ バリスティック輸送。FinFETの**高スイッチング速度**の要因。

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## 🔷【4. FinFETのしきい値電圧】

$$
V_T = V_{FB} + 2\phi_F + \frac{\sqrt{2\epsilon_s qN_A \cdot 2\phi_F}}{C_{ox}}
$$

| 記号              | 意味            | 単位   |
| --------------- | ------------- | ---- |
| \$V\_{FB}\$     | フラットバンド電圧     | V    |
| \$\phi\_F\$     | フェルミ準位と真性準位の差 | V    |
| \$\epsilon\_s\$ | 半導体の誘電率       | F/m  |
| \$q\$           | 電子の電荷         | C    |
| \$N\_A\$        | ドーピング濃度       | cm⁻³ |
| \$C\_{ox}\$     | 酸化膜容量密度       | F/m² |

**意味**：FinFETでは、チャネルの**量子閉じ込め**によりこの式に**補正項**が入ることもある（例：量子補正 \$\Delta E\_{q}\$ 追加）。

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## 🔷【5. トンネルFET（TFET）との関係式】

### TFETのトンネル電流（近似）：

$$
I \propto \exp\left( -\frac{4\sqrt{2m^*}(E_g)^{3/2}}{3q\hbar F} \right)
$$

\| \$E\_g\$ | バンドギャップ |
\| \$F\$ | 電界強度 |

**意味**：トンネル電流は**バンドギャップと電界強度に依存**。FinFETやTFETでは**スイッチング時のリーク抑制と性能向上**に重要。

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## 🔷【6. 共鳴トンネル（二重障壁）の位相条件】

### 量子井戸における**共鳴透過**条件（例）：

$$
k_w L = n\pi \quad (n = 1,2,3,\dots)
$$

\| \$k\_w\$ | 井戸中の波数 |
\| \$L\$ | 井戸幅 |

**意味**：電子波が障壁間で干渉して、特定のエネルギーで**透過率が最大化（共鳴トンネル）**。これはRTD（共鳴トンネルダイオード）やFinFETでの量子構造応用に関係。

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## ✅ 総まとめ

| 現象        | キー式                           | 意味             |
| --------- | ----------------------------- | -------------- |
| トンネル効果    | \$T \sim \exp(-2\kappa a)\$   | 絶縁膜リーク、TFETの原理 |
| 状態密度      | \$D(E) \sim \sqrt{E - E\_c}\$ | 電子の量子化、チャネル特性  |
| バリスティック輸送 | \$L < \lambda\$               | 高速スイッチング       |
| しきい値電圧    | \$V\_T = \dots\$              | 動作条件、量子補正あり    |
| 共鳴条件      | \$k\_w L = n\pi\$             | トンネル整合と干渉効果    |

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