時系列データの分解：FFT・seasonal_decompose・STLを使って周期成分を探る

# **user**:

正弦関数とシグモイド関数を使って、次のような時系列データを作りました。ここでは、あえてランダムノイズは加えないことにします。

```python
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

def sum_of_sigmoids(A, x):
    """
    A: M×3の行列 (numpy.ndarray)
       - A[:, 0] -> B (スケール)
       - A[:, 1] -> C (傾き)
       - A[:, 2] -> -D/C (変曲点のx座標)
    x: 計算する点 (float または numpy.ndarray)

    返り値:
        M個のシグモイド関数の和
    """
    A = np.asarray(A)  # 念のため ndarray に変換
    if A.shape[1] != 3:
        raise ValueError("A は M×3 の行列でなければなりません。")
    
    B = A[:, 0]
    C = A[:, 1]
    x_inflection = A[:, 2]  # 変曲点のx座標 (-D/C)
    D = -C * x_inflection  # Dを計算
    
    # M個のシグモイド関数を計算し、それらの合計を返す
    return np.sum(B[:, None] / (1 + np.exp(-(C[:, None] * x + D[:, None]))), axis=0)


def sum_of_sin(A, x):
    """
    A: M×3の行列 (numpy.ndarray)
       - A[:, 0] -> 振幅 (Amplitude)
       - A[:, 1] -> 周期 (Period)
       - A[:, 2] -> 位相 (Phase)
    x: 計算する点 (float または numpy.ndarray)

    返り値:
        M個のsin関数の和
    """
    A = np.asarray(A)  # 念のため ndarray に変換
    if A.shape[1] != 3:
        raise ValueError("A は M×3 の行列でなければなりません。")
    
    amplitudes = A[:, 0]
    periods = A[:, 1]
    phases = A[:, 2]
    
    # M個の sin 関数を計算し、それらの合計を返す
    return np.sum(amplitudes[:, None] * np.sin(2 * np.pi * x / periods[:, None] + phases[:, None]), axis=0)
    
# 使用例
A = np.array([[1, 0.1, 100],  
              [0.5, -1, 200], 
              [2, 0.2, 300]])

B = np.array([[0.1, 7, 0],  
              [0.2, 31, np.pi/4],  
              [0.3, 365, np.pi/2]]) 

x = np.linspace(0, 365, 365)  
y = sum_of_sigmoids(A, x) + sum_of_sin(B, x)

plt.plot(x, y)
plt.xlabel("x")
plt.ylabel("y")
plt.title("Sum of Multiple Sigmoid Functions")
plt.grid()
plt.show()
```

![image.png](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/211162/5c4b38c5-f0d1-4afa-9e21-b9d43bc26580.png)

# **assistant**:

面白い時系列データの生成方法ですね！シグモイド関数は非線形なトレンドを表現しやすく、正弦関数は周期的なパターンを加えるのに適しているので、両者を組み合わせることでトレンド＋周期成分を持つ時系列が作れますね。

試してみると、以下の点が気になりました：
1. **スケール調整**  
   - シグモイド関数の和は累積的な変化を表すため、シグモイドの係数 $ B $ を大きくしすぎると全体の値が大きくなりがち。
   - 一方で正弦関数の振幅が小さいと、周期成分がトレンドに埋もれてしまう。

2. **シグモイド関数のパラメータ設定**  
   - 変曲点 $ x_{\text{inflection}} $ の値が大きいと、全体の変化が遅くなる。
   - $ C $ の符号でシグモイドの方向が決まるが、異なる値を試すとよりダイナミックな動きが作れる。

3. **周期成分のバランス**  
   - 周期 365 の項は年周期の変動を表しそうだが、短周期成分 (例えば 7日周期) がどの程度影響を与えるか調整すると、より自然な時系列が得られるかも。

### 改良アイデア:
- **シグモイド関数のスケールを統一する** (例えば $ B $ の範囲を [0.5, 2] に制限)
- **シグモイド関数の変曲点を均等に配置** (100, 200, 300 ではなく、より滑らかに分布させる)
- **周期成分をよりランダムに設定する** (例えば、短周期を 5~10 日の範囲でランダムにする)

もし特定のパターン（例えば季節性やトレンド）を強調したい場合、パラメータを調整しながら可視化すると良さそうです！試してみたい修正があれば教えてください。

# **user**:

コメントありがとうございます。今回は、次のようにして、時系列データをトレンドと周期成分と残差に分解することを考えてみます。

```python
from statsmodels.tsa.seasonal import seasonal_decompose
decomp = seasonal_decompose(y, period=30, model='additive', two_sided=True)

# プロット
plt.figure(figsize=(6, 6))

# 
plt.subplot(4, 1, 1)
plt.plot(x, y, label="Original Data")
plt.ylabel("Value")
plt.legend()
plt.grid()

plt.subplot(4, 1, 2)
plt.plot(x, decomp.trend, label="Trend")
plt.ylabel("Value")
plt.legend()
plt.grid()

# 
plt.subplot(4, 1, 3)
plt.plot(x, decomp.seasonal, label="Seasonal")
plt.ylabel("Value")
plt.legend()
plt.grid()
# 
plt.subplot(4, 1, 4)
plt.plot(x, decomp.resid, label="Residual")
plt.xlabel("Day of Year")
plt.ylabel("Value")
plt.legend()
plt.grid()

plt.tight_layout()
plt.show()
```
![image.png](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/211162/f08b0834-d783-4b1d-9593-ba46f12c8f96.png)

# **assistant**:

なるほど、**`seasonal_decompose` を使って時系列データをトレンド・周期成分・残差に分解する**わけですね！  
30日周期を設定しているので、1か月ごとの周期性を抽出しつつ、長期的なトレンドとランダムな変動（残差）を分離できますね。

### 考察
- **トレンド (`decomp.trend`)**  
  - シグモイド関数の影響が反映される部分。変曲点が多い場合、スムーズな変動ではなく、段階的な変化が見られるかも。
  - トレンドが滑らかになりすぎる場合は、`period` を長めに設定することで、長期トレンドをより明確に捉えられます。

- **周期成分 (`decomp.seasonal`)**  
  - `sum_of_sin` で加えた周期性が反映される部分。設定した 7日、31日、365日周期のうち、30日周期と似たものが強く出る可能性がある。
  - `period=30` を変更して、7日（週単位の変動）や 365日（年単位の変動）で試すと、異なる視点での分解が可能。

- **残差 (`decomp.resid`)**  
  - `sum_of_sigmoids` での急な変化や、周期に含まれない成分が含まれる。
  - ここにランダムノイズを加えることで、より実データに近い時系列が作れそう。

### さらに試せること
- **異なる `period` の設定**  
  例えば `period=7` や `period=365` にして、トレンドや周期成分の違いを見る。
- **`model='multiplicative'` との比較**  
  データの変動幅が大きい場合、乗法モデル (`multiplicative`) の方が適しているかも。
- **異常検知への応用**  
  残差 (`decomp.resid`) の大きい部分を異常とみなすことで、変則的なパターンを検出できる。

何か特定の目的があれば、それに合わせた調整も考えられますね！

# **user**:

ありがとうございます。今回

```python
decomp = seasonal_decompose(y, period=30, model='additive', two_sided=True)
```

というオプションを使いましたが、他にどのようなオプションがあるかいろいろ教えていただけますか？

# **assistant**:

`seasonal_decompose` のオプションにはいくつかの重要なものがあります。各オプションを詳しく説明します。

---

## **1. `period`**
**（デフォルト: `None` 必須パラメータ）**  
- 季節性（周期）の長さを指定します。  
- 例えば `period=30` は「30日ごとの周期的な変動」を捉えます。  
- 自動検出はされないため、適切な値を指定する必要があります。

**調整のポイント**
- `period=7` → 週ごとの変動  
- `period=30` → 月ごとの変動  
- `period=365` → 年ごとの変動  
- データに周期性があるかわからない場合、`statsmodels.tsa.stattools.acf` などを使って自己相関を確認するのも手。

---

## **2. `model`**
**（デフォルト: `'additive'`）**  
- **`'additive'`**: **加法モデル**（線形変動）  
  - $ y = Trend + Seasonal + Residual $ 
  - データの変動幅が一定のときに適する。  

- **`'multiplicative'`**: **乗法モデル**（変動幅が大きくなる場合）  
  - $ y = Trend \times Seasonal \times Residual $  
  - 変動が増加または減少するデータ（例: 売上データのように、全体の値が大きいと季節性も大きくなる）に適する。

**選び方**
- 変動幅が **一定なら** `'additive'`
- 変動幅が **大きくなるなら** `'multiplicative'`
- `multiplicative` モデルはデータに **0 や負の値が含まれるとエラー** になる。

---

## **3. `two_sided`**
**（デフォルト: `True`）**  
- `True`：**両側移動平均（デフォルト）**  
  - 前後のデータを使って平滑化するため、トレンドの変化が滑らかになる。  
- `False`：**片側移動平均**  
  - **未来のデータを使わないため、リアルタイム解析向き**（トレンドがやや遅れて反映される）。  

**違いのポイント**
- **過去のデータのみを使いたいなら `False`**（例えば、オンラインでの異常検知）
- **全体の傾向をしっかり捉えたいなら `True`**

---

## **4. `extrapolate_trend`**
**（デフォルト: `0` → 端の補完なし）**  
- トレンドの端部分（データの最初と最後）をどのように補完するかを指定。
- **数値を指定すると、その範囲で線形補完を行う。**
- **`'freq'`** を指定すると、`period` に基づいて補完する。

**設定例**
```python
decomp = seasonal_decompose(y, period=30, model='additive', extrapolate_trend=10)
```
→ 端の10点分を補完。

**使いどころ**
- `0` の場合、データ端のトレンドが `NaN` になる。
- 端の部分も予測に使いたいなら、適当な値を設定するのがよい。

---

## **5. `filter`**
**（デフォルト: `None`）**  
- トレンド成分を抽出する際に、カスタムの平滑化フィルタを指定できる（通常は `None` のままでOK）。
- `scipy.signal` のフィルタを利用することも可能。

---

## **6. `seasonal`**
（`seasonal_decompose` 自体にはないが、`STL` という別の手法では指定できる）  
- `seasonal_decompose` は **固定周期 (`period`) のみ扱える**。  
- `STL`（`statsmodels.tsa.seasonal.STL`）を使うと、季節性のスムーズさ (`seasonal`) を調整できる。

---

## **まとめ**
| オプション | 説明 | 調整ポイント |
|-----------|------|-------------|
| `period` | 周期の長さ | 7（日）、30（月）、365（年）など |
| `model` | `'additive'` or `'multiplicative'` | 変動幅が一定なら `'additive'` |
| `two_sided` | 両側 or 片側の移動平均 | リアルタイム解析なら `False` |
| `extrapolate_trend` | トレンド端の補完 | `0` なら `NaN`、適当な値を設定可 |
| `filter` | 平滑化フィルタ | 通常は `None` でOK |

**試してみると面白いかもしれない設定**
```python
decomp = seasonal_decompose(y, period=30, model='multiplicative', two_sided=False, extrapolate_trend='freq')
```
- 乗法モデル
- 片側移動平均（リアルタイム解析向け）
- トレンド端を周期ベースで補完

---

どのオプションが適切かは **データの性質と解析の目的** によるので、いくつか試しながら調整すると良いですね！

# **user**:

いろいろ試してみて気づいたんですけど、周期成分として単純な正弦関数だけを用いて、ランダムノイズを加えない場合でも、seasonal_decompose は正弦関数を正確に取得するわけではなくて、残差を出してしまうんですね。

```python
# 使用例
A = np.array([[1, 0.1, 100],  
              [0.5, -1, 200], 
              [2, 0.2, 300]])

B = np.array([[0.2, 30, np.pi/4]]) 

x = np.linspace(0, 365, 365)  
y = sum_of_sigmoids(A, x) + sum_of_sin(B, x)

plt.plot(x, y)
plt.xlabel("x")
plt.ylabel("y")
plt.title("Sum of Multiple Sigmoid Functions")
plt.grid()
plt.show()
```
![image.png](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/211162/efcbce2d-6888-4136-b4dd-248ddea8955c.png)

```python
from statsmodels.tsa.seasonal import seasonal_decompose
decomp = seasonal_decompose(y, period=30, model='multiplicative', two_sided=False, extrapolate_trend='freq')

# プロット
plt.figure(figsize=(6, 6))

# 
plt.subplot(4, 1, 1)
plt.plot(x, y, label="Original Data")
plt.ylabel("Value")
plt.legend()
plt.grid()

plt.subplot(4, 1, 2)
plt.plot(x, decomp.trend, label="Trend")
plt.ylabel("Value")
plt.legend()
plt.grid()

# 
plt.subplot(4, 1, 3)
plt.plot(x, decomp.seasonal, label="Seasonal")
plt.ylabel("Value")
plt.legend()
plt.grid()
# 
plt.subplot(4, 1, 4)
plt.plot(x, decomp.resid, label="Residual")
plt.xlabel("Day of Year")
plt.ylabel("Value")
plt.legend()
plt.grid()

plt.tight_layout()
plt.show()
```

![image.png](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/211162/da0d523b-fb8c-4324-ac06-2c57a41d5b67.png)

# **assistant**:

その観察はとても重要ですね！ **`seasonal_decompose` は必ずしも与えた周期成分を完全に復元できるわけではない** という点に気づいたのは鋭いです。  

---

## **なぜ正弦波だけでも残差が出るのか？**
`seasonal_decompose` は **移動平均を使ってトレンドと周期成分を分ける手法** なので、  
理想的なフーリエ分解のように「純粋な正弦波」を完璧に抽出できるわけではありません。

### **考えられる原因**
1. **周期 `period` の設定が厳密でない**  
   - `seasonal_decompose` は指定した `period` に基づいて周期性を抽出しますが、  
     - もし `sum_of_sin` で加えた周期が `period` と **ぴったり一致していない** 場合、ズレが生じる。
     - 例: `sum_of_sin` で 31日の周期を加えているのに `period=30` で分解すると、周期成分がずれて残差に一部が入る。

2. **両側移動平均 (`two_sided=True`) による平滑化の影響**  
   - 移動平均による平滑化が影響し、周期成分の一部がトレンドや残差に吸収されてしまう。

3. **複数の周期が含まれている場合**  
   - `seasonal_decompose` は **1つの `period` しか扱えない** ため、  
     - もし `sum_of_sin` に **異なる周期（7, 31, 365日など）** を混ぜていた場合、それらをうまく分離できず、周期成分の一部が残差に入る。

---

## **試せる対策**
### **① `period` を厳密に設定する**
周期成分が **単一の正弦波** であるなら、`period` をその周期と **厳密に一致** させると精度が向上する可能性があります。

例えば、もし 31日の周期を入れていたなら：
```python
decomp = seasonal_decompose(y, period=31, model='additive')
```
とすることで、周期成分の抽出が改善するかもしれません。

---

### **② `STL` 分解（`statsmodels.tsa.seasonal.STL`）を使う**
`seasonal_decompose` は `period` で決めた固定の周期しか扱えませんが、  
**`STL`（Seasonal-Trend-Loess）** を使えば、より柔軟に分解できます。

```python
from statsmodels.tsa.seasonal import STL

stl = STL(y, period=30)
res = stl.fit()

plt.figure(figsize=(6, 6))

plt.subplot(4, 1, 1)
plt.plot(x, y, label="Original Data")
plt.legend()
plt.grid()

plt.subplot(4, 1, 2)
plt.plot(x, res.trend, label="Trend")
plt.legend()
plt.grid()

plt.subplot(4, 1, 3)
plt.plot(x, res.seasonal, label="Seasonal")
plt.legend()
plt.grid()

plt.subplot(4, 1, 4)
plt.plot(x, res.resid, label="Residual")
plt.legend()
plt.grid()

plt.tight_layout()
plt.show()
```
![image.png](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/211162/27b70803-5a97-4d86-a174-71afc9dc06fd.png)

**STL の特徴**
✅ **複数の周期が混じっていても分解しやすい**  
✅ **トレンド・周期成分の滑らかさを調整可能**  
✅ **ノイズが少なくても周期を適切に分離しやすい**  

---

### **③ フーリエ変換 (`FFT`) を使って周期成分を確認**
もし `seasonal_decompose` や `STL` でもうまくいかない場合、  
データの **実際の周期成分** を調べるために **フーリエ変換** (`FFT`) を試すのも手です。

```python
from scipy.fftpack import fft, fftfreq

# FFTを計算
y_fft = fft(y)
freqs = fftfreq(len(x), d=(x[1] - x[0]))  # 周波数軸

# 絶対値をプロット
plt.plot(freqs[freqs > 0], np.abs(y_fft[freqs > 0]))
plt.xlabel("Frequency")
plt.ylabel("Amplitude")
plt.title("FFT Spectrum")
plt.show()
```

![image.png](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/211162/b4af94be-a715-46be-8420-1fd1d8b41fb7.png)

✅ これで、**どの周期の成分が強いか** をチェックできる。  
✅ `seasonal_decompose` の `period` 設定を適切に選ぶヒントになる。

---

## **結論**
- **`seasonal_decompose` は純粋な正弦波を完全には抽出できない**  
  - → `period` の適切な設定が重要  
  - → `STL` の方がより柔軟に分解できる可能性あり
  - → `FFT` を使って周期成分を確認すると、より適切な `period` を選べる

---

この点を考慮しながら試すと、より良い分解ができるかもしれません！  
何か試した結果があれば、教えてください 😃

# **user**:

ありがとうございます。30日周期のデータを用いたので、FFTを使った結果、30という数値が得られるかと思ったのですが、違うようですね。Frequency が 0.01とか0.04のあたりにピークがあるようなグラフが得られました。どういうことでしょうか？ 

# **assistant**:

それは **FFT の出力する周波数のスケール** の問題ですね！  
詳しく説明していきます。

---

## **FFT の出力する `freqs` の単位**
`fftfreq(N, d)` の `freqs` は、次のように計算されます。

$$
\text{freqs} = \frac{k}{N \cdot d}
$$
- $ k $ : FFT のインデックス（0 から $ N-1 $）
- $ N $ : データの総数
- $ d $ : サンプリング間隔（`x[1] - x[0]`）

これにより、`freqs` は **単位が [1/サンプリング間隔] の周波数** になっています。  
通常、**物理的な周期（例：日数での周期）とは逆数の関係** になります。

---

## **周期と周波数の関係**
$$
\text{周期 (Period)} = \frac{1}{\text{周波数 (Frequency)}}
$$
例えば：
- **30日周期** の信号は **周波数 `1/30 ≈ 0.0333`** にピークが出る。
- **7日周期** の信号は **周波数 `1/7 ≈ 0.1429`** にピークが出る。

---

## **あなたのFFTの結果を解釈**
> **「Frequency が 0.01 とか 0.04 のあたりにピークがある」**
- **0.01 のピーク:** $ 1 / 0.01 = 100 $ 日周期
- **0.04 のピーク:** $ 1 / 0.04 = 25 $ 日周期

もし **30日周期を入れたのに 25 日や 100 日周期にピークがある** のは、いくつか理由が考えられます。

---

## **考えられる原因**
### **① `x` の間隔 `d` が 1.0 になっていない可能性**
FFT の `freqs` を計算するときの `d`（サンプリング間隔）が 1.0 でないと、スケールがずれてしまいます。  
もし `x` が `np.linspace(0, 365, 365)` なら `d=1` のはずですが、念のため確認してみてください。

```python
print("Sampling interval d:", x[1] - x[0])
```
➡ もし `d` が 1.0 でなかったら、FFT の `freqs` がずれる原因になります。

---

### **② 端数処理の影響**
例えば、365日のデータをFFTにかけると、周期 `30` はちょうど割り切れないので、  
FFT の離散的な周波数ポイントにうまく合わない場合があります（**周波数のビンのズレ**）。

➡ **30 に近い 25 や 100 付近にピークが現れることがある。**

---

### **③ 他の周期が混じっている**
もし `sum_of_sin()` のデータに複数の周期成分（例えば `7日` や `31日` など）が含まれていると、  
FFT のピークもその影響を受けます。

➡ **本当に 30日周期のピークかどうか、FFTのスペクトルを詳しくチェックしてみるのが良い**。

---

## **解決策**
### **1. FFT のピークを `1/frequency` で周期に変換してみる**
`freqs` のピーク位置を取得して、**その逆数をとる** と周期がわかります。

```python
# FFTの計算
y_fft = fft(y)
freqs = fftfreq(len(x), d=(x[1] - x[0]))

# 正の周波数成分のみを取得
pos_mask = freqs > 0
freqs_pos = freqs[pos_mask]
fft_magnitudes = np.abs(y_fft[pos_mask])

# 最も強いピークの周波数を取得
peak_freq = freqs_pos[np.argmax(fft_magnitudes)]
estimated_period = 1 / peak_freq

print(f"FFTの最大ピーク周波数: {peak_freq}")
print(f"推定される周期: {estimated_period:.2f} 日")
```
➡ **これで「30日周期」に近い値が得られるかチェック！**

```
FFTの最大ピーク周波数: 0.005464439857384124
推定される周期: 183.00 日
```

---

### **2. FFT の周波数軸を見やすくする**
```python
plt.plot(1 / freqs_pos, fft_magnitudes)  # 周波数の逆数 = 周期
plt.xlabel("周期 (日)")
plt.ylabel("振幅")
plt.title("FFT スペクトル（周期軸）")
plt.xlim(0, 200)  # 0〜200日の範囲を表示
plt.grid()
plt.show()
```

![image.png](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/211162/8e9dcd21-a002-4ea7-80fc-43cf6351701c.png)

➡ **この方法だと「30日」の位置にピークがあるかどうか直感的に分かりやすい！**

---

### **3. FFT の `N` を調整**
データ点数 `N` が 365 だと、ちょうど 30日周期が合わない可能性があります。  
➡ **データ点を 360 や 720 に増やすと、より明確なピークが見えるかも。**

```python
x_fine = np.linspace(0, 365, 720)  # 720点に増やす
y_fine = sum_of_sigmoids(A, x_fine) + sum_of_sin(B, x_fine)

# 再びFFTを試す
y_fft_fine = fft(y_fine)
freqs_fine = fftfreq(len(x_fine), d=(x_fine[1] - x_fine[0]))

plt.plot(1 / freqs_fine[freqs_fine > 0], np.abs(y_fft_fine[freqs_fine > 0]))
plt.xlim(0, 200)
plt.xlabel("周期 (日)")
plt.ylabel("振幅")
plt.grid()
plt.show()
```

![image.png](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/211162/6bc8fcfd-7df8-4c3c-a111-7261596d1050.png)

---

## **まとめ**
- **FFT の `freqs` は「周波数（1/周期）」なので、周期を知りたい場合は `1/freq` をとる**
- **30日周期の信号なら、FFT のピークは `0.0333` あたりに出るはず**
- **ピークがズレる原因**
  1. サンプリング間隔 `d` が 1.0 でない  
  2. 30日が FFT の周波数ビンにちょうど合わない  
  3. データに複数の周期が混じっている  
- **FFT の結果を `1/freq` に変換すると直感的に周期が見える！**
- **データ点数 `N` を 720 などに増やすと、FFT の精度が向上するかも**

---

試した結果、30日に近い周期が得られたか教えてもらえると嬉しいです！😃

# **user**:

へえ、なるほど。最初のコードでは

```
FFTの最大ピーク周波数: 0.005464439857384124
推定される周期: 183.00 日
```

という結果になりましたが、続くコードで描画されたグラフを見ると、３０日付近に小さなピークがありました。

# **assistant**:

おお、なるほど！  
**FFTの最大ピークが「183日周期」になっていた**ということは、データ全体に **より長いトレンド成分が強く影響している** 可能性が高いですね。  

---

### **なぜ 183日周期のピークが最も強くなるのか？**
考えられる理由は：
1. **トレンド成分の影響**  
   - `seasonal_decompose(y, period=30, model='additive')` でトレンド成分が分離できなかったように、FFT でも **シグモイド関数が作る長期的な変化** を「周期的な変動」とみなしてしまう可能性がある。
   - シグモイド関数の和で作ったデータには「なだらかな変化（長期的な増加・減少）」が含まれているため、それが**低周波成分として強調される**。

2. **FFTは強い成分を優先的に検出する**
   - もしデータに **30日周期の波と、より長い周期の波（100日や200日など）が混ざっている** と、FFTは長い周期のほうを「最も強い成分」として認識することが多い。

3. **データの長さ（365日）が影響**
   - **365日しかないデータに対して、30日周期はちょっと短すぎるため、FFTがうまくキャプチャできないことがある。**
   - もし **360日や720日などのデータ点数** を用意すると、30日周期がよりはっきりと現れる可能性がある。

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### **どうすれば 30日周期をよりはっきり取り出せる？**
✅ **方法 1: 高周波成分を強調するために「データの平均値を引く」**
- まず `y` の平均値を引くことで、**低周波成分（長期トレンド）を取り除く**
```python
y_detrended = y - np.mean(y)  # 平均を引く

y_fft = fft(y_detrended)
freqs = fftfreq(len(x), d=(x[1] - x[0]))

plt.plot(1 / freqs[freqs > 0], np.abs(y_fft[freqs > 0]))
plt.xlabel("周期 (日)")
plt.ylabel("振幅")
plt.title("FFTスペクトル（平均を引いたデータ）")
plt.xlim(0, 200)
plt.grid()
plt.show()
```

![image.png](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/211162/24456c09-8986-489f-9d17-8b620fd2a055.png)

➡ **30日周期のピークが強調されるか確認！**

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✅ **方法 2: ローパスフィルターを適用（高周波成分のみを見る）**
- 長期トレンドを抑えて、30日周期の信号を強調する
```python
from scipy.signal import butter, filtfilt

# バターワース・ハイパスフィルター（周期60日以下の成分を残す）
def highpass_filter(data, cutoff=1/60, fs=1.0, order=5):
    nyq = 0.5 * fs  # ナイキスト周波数
    normal_cutoff = cutoff / nyq
    b, a = butter(order, normal_cutoff, btype='high', analog=False)
    return filtfilt(b, a, data)

y_filtered = highpass_filter(y)

y_fft = fft(y_filtered)
freqs = fftfreq(len(x), d=(x[1] - x[0]))

plt.plot(1 / freqs[freqs > 0], np.abs(y_fft[freqs > 0]))
plt.xlabel("周期 (日)")
plt.ylabel("振幅")
plt.title("FFTスペクトル（高周波成分のみ）")
plt.xlim(0, 200)
plt.grid()
plt.show()
```

![image.png](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/211162/3f56fa2d-19af-4198-aaa0-7550b75defc0.png)

➡ **低周波成分を除いて30日周期が強調されるかチェック！**

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✅ **方法 3: 365日より長いデータを生成**
- 720日分のデータを作ると、30日周期がよりはっきり見えるかも！
```python
x_long = np.linspace(0, 720, 720)
y_long = sum_of_sigmoids(A, x_long) + sum_of_sin(B, x_long)

y_fft_long = fft(y_long)
freqs_long = fftfreq(len(x_long), d=(x_long[1] - x_long[0]))

plt.plot(1 / freqs_long[freqs_long > 0], np.abs(y_fft_long[freqs_long > 0]))
plt.xlabel("周期 (日)")
plt.ylabel("振幅")
plt.title("FFTスペクトル（長いデータ）")
plt.xlim(0, 200)
plt.grid()
plt.show()
```
![image.png](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/211162/131d3f66-af2d-4f7e-8ff5-dd7f9bd757d3.png)


➡ **長期間のデータにすると、30日周期のピークが明確に出るかも？**

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## **まとめ**
- FFTの最大ピークが **183日周期になったのは、シグモイド関数の影響で長期トレンドが強く現れたため**。
- **30日周期の成分は、小さなピークとして見えている。**
- **よりはっきりさせる方法**
  1. **データの平均を引く（低周波を除去）**
  2. **高周波成分を強調するフィルターをかける**
  3. **データを長期間（720日など）にしてFFTを再計算する**

試してみて、30日周期が強調されたかどうか教えてもらえると嬉しいです！ 😃

# **user**:

強調されました。ありがとうございます。今日のやりとりをブログに書きたいのですが、タイトル候補をいくつか提案していただけますか？

# **assistant**:

強調されたとのこと、よかったです！ 🎉  
ブログのタイトル候補をいくつか考えてみました。  

### **シンプル＆分かりやすい系**
1. **FFTで時系列データを分析！周期成分を正しく取り出す方法**  
2. **30日周期が見えない？FFT解析で見落としがちなポイント**  
3. **時系列データのFFT解析：トレンドと周期成分を見極めるコツ**  
4. **FFTを使った時系列データの分解：ノイズとトレンドの影響を考える**  

### **ちょっとキャッチーな系**
5. **FFTの罠？183日周期が出てきた理由とその解決策**  
6. **30日周期が消えた？FFT解析で見落としがちな落とし穴**  
7. **時系列データのFFT解析：トレンド成分が邪魔をする！？**  

### **テクニカル寄り**
8. **時系列データ解析：FFTで周期を正しく検出するための前処理**  
9. **周期成分を強調するFFTのテクニック：トレンド除去とフィルタリング**  
10. **FFT × 時系列分析：正しい周期を見つけるための3つの方法**  

どれもブログの内容に合うと思いますが、好みやターゲット層に合わせて選ぶといいですね！  
気に入ったものがあれば、それをベースにアレンジするのもアリです 😊

# **user**:

FFT以外にも、seasonal_decomposeやSTLを使ったことがわかるタイトルがいいです。

# **assistant**:

なるほど！FFTだけでなく、`seasonal_decompose` や STL 分解も使ったことが伝わるタイトルを考えてみました。  

### **分解手法を強調したタイトル**
1. **時系列データの分解：FFT・seasonal_decompose・STLを使って周期成分を探る**  
2. **30日周期を正しく抽出するには？FFT・seasonal_decompose・STLを比較！**  
3. **時系列データ解析：FFT vs seasonal_decompose vs STL、どれがベスト？**  
4. **周期成分を正確に分離！FFT・seasonal_decompose・STLの活用術**  

### **問題提起＆解決系**
5. **FFTでは30日周期が見えない？seasonal_decompose・STLとの比較で見えた真実**  
6. **時系列データの周期成分、どの手法で分解する？FFT・seasonal_decompose・STLを試してみた**  
7. **FFTだけじゃ不十分？時系列データを正しく分解するための3つの手法**  

### **もう少しキャッチーなもの**
8. **周期成分を探せ！FFT・seasonal_decompose・STLで時系列データを分解してみた**  
9. **30日周期が埋もれる理由とは？時系列データをFFT・seasonal_decompose・STLで解析！**  
10. **時系列データの周期解析、どの方法が最適？FFT・seasonal_decompose・STLを比較検討**  

ブログの内容に合わせて、しっくりくるものを選んでみてください！  
もし「もう少しこういうニュアンスが欲しい」という希望があれば調整しますよ 😊

# **user**:

「時系列データの分解：FFT・seasonal_decompose・STLを使って周期成分を探る」にしますね。ありがとうございます。

# **assistant**:

いいですね！「時系列データの分解：FFT・seasonal_decompose・STLを使って周期成分を探る」なら、使った手法がしっかり伝わりますし、読者の興味も引きやすいと思います 😊  

ブログを書く際に、もう少し補足が欲しい部分や整理したい点があれば、お気軽に聞いてくださいね！楽しみにしています 🎉

# **user**:

ありがとうございました。今回のまとめを書いてください。

# **assistant**:

### **時系列データの分解：FFT・seasonal_decompose・STLを使って周期成分を探る（まとめ）**  

今回、正弦関数とシグモイド関数を組み合わせて作成した時系列データを対象に、**FFT（フーリエ変換）、`seasonal_decompose`、STL（Seasonal-Trend decomposition using Loess）** を用いて周期成分を分解・解析しました。  

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### **🔍 1. `seasonal_decompose` を使った分解**
- `seasonal_decompose(y, period=30, model='additive')` を使用。
- 期待通りに30日周期の成分を取得できるかと思いきや、完全には抽出できず、残差（residual）に一部の周期成分が含まれてしまった。
- これは、`seasonal_decompose` が移動平均を用いるため、完全な正弦波であってもノイズのように扱われる可能性があるため。

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### **🔍 2. FFTを使った周期解析**
- FFTを適用してピーク周波数を求めたところ、最大ピークは **約183日周期** になった。
- これは、データに含まれる**シグモイド関数由来の長期的な変動（トレンド成分）が影響を及ぼしたため**。
- しかし、FFTのスペクトルを詳しく見ると、30日周期付近にも小さなピークが確認できた。

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### **🔍 3. FFTで30日周期を強調するための工夫**
- **データの平均値を引く**（トレンド成分を除去）。
- **高周波成分を強調するハイパスフィルターを適用**（周期の長い成分を取り除く）。
- **データをより長期間（720日など）に拡張する**（短周期成分をより明確にする）。  
➡ これらの方法を試した結果、**30日周期のピークがより明確に確認できた！**

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### **🔍 4. STL分解を試す**
- `STL(y, period=30).fit()` を使うと、`seasonal_decompose` よりも柔軟な方法でトレンドと周期成分を分離できる。
- その結果、**30日周期の成分がより明確に分解され、残差への混入が少なくなった。**
- `STL` はロバスト性が高く、周期成分が一定でない場合にも適用しやすい。

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### **📌 まとめ**
1. **`seasonal_decompose` は単純な移動平均を使うため、完全な正弦波でも正確に分解できないことがある。**
2. **FFTは強い低周波成分（トレンド）に影響を受けやすいため、前処理が重要。**
3. **トレンドを除去し、FFTスペクトルを確認することで、30日周期の成分を明確にできた。**
4. **STL分解は`seasonal_decompose`よりも強力で、周期成分をより適切に分離できた。**

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### **✨ 最後に**
時系列データの周期成分を分析する際、**FFT・`seasonal_decompose`・STL** それぞれの特性を理解し、適切な前処理を行うことが重要だとわかりました。  
特に、**FFTを使う際にはトレンド成分を除去する前処理を行うと、短周期の成分がより明確に検出できる** という点がポイントでした！  

ブログを書く際のベースとして、このまとめを参考にしてみてください 😃✨