不純物アンダーソン模型の有効モデル

```math
\newcommand{\tr}{\mathrm{Tr}}
\newcommand{\texp}{\mathrm{Texp}}
\newcommand{\ks}{{k\sigma}}
```

色々な磁性体のシミュレーションで定番のハミルトニアンといえば不純物アンダーソン模型です。
これは一つのサイトが大きな熱浴にくっついているというシステムを考えていて、量子モンテカルロ法や数値繰り込み群などのシミュレーションで変な挙動をしずらく、扱いやすい例でよく出てきます。


# 不純物アンダーソン模型

バス(伝導電子の演算子$c$)と不純物中の電子(演算子$f$)が相互作用する以下のモデルです：

```math
\begin{align}
    H_{IAM} &= H_C + H_I + H_{hyb} + H_{U} \\
    &= H_0 + H_U \\
    H_C &= \sum_{\ks}  \epsilon_{\ks}c^\dagger_\ks c_\ks = \sum_{\ks}  \epsilon_{\ks} n_{c;\ks}\\
    H_I &= \sum_{\sigma} \epsilon_{f\sigma} f^\dagger_\sigma f_\sigma = \sum_\sigma \epsilon_{f\sigma} n_{f\sigma} \\
    H_{hyb} &=  \sum_{\ks} \left( V^*_k f^\dagger_\sigma c_\ks + V_kc^\dagger_\ks f_\sigma \right) \\
    H_U &=\frac{U}{2} \sum_{\sigma \sigma'} f^\dagger_\sigma f_\sigma f^\dagger_{\sigma'} f_{\sigma'} = \frac{U}{2} \sum_{\sigma \sigma'} n_{f\sigma} n_{f\sigma'}
\end{align}
```

雰囲気としては自由電子模型とイジング模型をくっつけた感じです(サイトは１個ですが)。

求めたいのはこの不純物電子のグリーン関数です。

## 不純物電子の電子間相互作用がない場合

```math
H_0 = \begin{pmatrix}
 \mathbf{c}^\dagger_\ks & f^\dagger_\sigma
\end{pmatrix} 
\begin{pmatrix}
H_C & V \\
V^\dagger & H_I
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
 \mathbf{c}_\ks \\
 f_\sigma
\end{pmatrix}
```
より、松原周波数表示の温度グリーン関数は

```math
\omega_n = \frac{(2n+1)\pi}{\beta}
```
に対して

```math
\begin{align}
G_0 &= \begin{pmatrix}
G_{cc} & G_{cf}\\
G_{fc} & G_{ff}
\end{pmatrix} \\
&= \begin{pmatrix}
i\omega_n - H_C & -V \\
-V^\dagger & i\omega_n - H_I
\end{pmatrix} \\
&= \begin{pmatrix}
G_C + G_C V G_{ff} V^\dagger G_C & G_C V G_{ff} \\
G_{ff}V^\dagger G_C & ( G_I^{-1} - V^\dagger G_C V )^{-1}
\end{pmatrix}
\end{align}
```
となります。ただし、

```math
\begin{align}
G_I &= (i\omega_n - H_I)^{-1} \\
G_C &= (i\omega_n - H_C)^{-1}
\end{align}
```
です。よって不純物電子の相互作用なしのグリーン関数は
```math
G_{ff;\sigma} = \left( i\omega_n - \epsilon_{f\sigma} - \sum_k \frac{|V_k|}{i\omega_n - \epsilon_\ks } \right)^{-1}
```
となります。これは不純物系$H_I$に自己エネルギー
```math
\Delta_\sigma(i\omega_n) = \sum_k \frac{|V_k|}{i\omega_n - \epsilon_\ks }
```
を付けた形になっています。

## 不純物系の有効模型

分配関数は相互作用表示で
```math
\begin{align}
Z(\beta) &= \tr_f \tr_c e^{-\mathcal{A}(\tau) } \\
\mathcal{A}(\tau) &= \int_0^\beta d \tau \left[ (\mathbf{c}, \mathbf{f})^\dagger \partial_\tau (\mathbf{c}, \mathbf{f}) + H_{IAM}(\tau) \right] \\
&= \sum_{n}\sum_{\ks} \left[ (-i\omega_n + \epsilon_\ks) c^\dagger_\ks(i\omega_n) c_\ks(i\omega_n) + V^*_k f^\dagger_\sigma(i\omega_n) c_\ks(i\omega_n) + V_kc^\dagger_\ks(i\omega_n) f_\sigma(i\omega_n) \right] + \sum_n \sum_\sigma (-i\omega_n + \epsilon_{f\sigma})f^\dagger_\sigma(i\omega_n) f_\sigma(i\omega_n) + \int_0^\beta H_U(\tau)
\end{align}
```
となります。ただし、非相互作用系は$H_C + H_I$として、$H_{hyb}$は時間発展演算子に含めません。

これを経路積分表示します。基底をコヒーレント状態に取り換えると、これらは$c,c^\dagger,f,f^\dagger$の固有状態なので、生成消滅演算子は固有値に置き換えられて

```math
\begin{align}
Z(\beta) &= \int \mathcal{D}f^* \mathcal{D}f \left[ \exp \left( - \sum_n \sum_\sigma (-i\omega_n + \epsilon_{f\sigma})f^*_\sigma f_\sigma - \int_0^\beta H_U(\tau)[f,f^*] \right) \int \mathcal{D}\mathbf{c}^* \mathcal{D}\mathbf{c} \exp \left( - \sum_{n}\sum_{\ks} \left[ (-i\omega_n + \epsilon_\ks) c^*_\ks c_\ks + V^*_k f^*_\sigma c_\ks + V_kc^*_\ks f_\sigma \right] \right) \right]
\end{align}
```
と書けます。ここで$c,c^*$についての積分を計算します。ガウス積分をすると
```math
\begin{align}
\int \mathcal{D}\mathbf{c}^* \mathcal{D}\mathbf{c} \exp [\cdots] &= \int \mathcal{D}\mathbf{c}^* \mathcal{D}\mathbf{c} \prod_{n,\sigma} \exp \left[ -  (\mathbf{c}^*_\sigma)^T \mathrm{Diag}_k (-i\omega_n + \epsilon_\ks) \mathbf{c}_\sigma + f^*_\sigma (\mathbf{V}^*)^T \mathbf{c} + f_\sigma (\mathbf{c}^*)^T \mathbf{V} \right] \\
&= \prod_{n,\sigma} \exp \left[ f^*_\sigma f_\sigma (\mathbf{V}^*)^T \mathrm{Diag}_k (-i\omega_n + \epsilon_\ks)^{-1} \mathbf{V} \right] \mathrm{det}(\mathrm{Diag}_k (-i\omega_n + \epsilon_\ks)) \\
&= Z_C \prod_{n,\sigma} \exp \left[ - f^*_\sigma f_\sigma \sum_k \frac{|V_k|}{i\omega_n - \epsilon_\ks } \right] \\
&= Z_C \prod_{n,\sigma} \exp \left[ - f^*_\sigma f_\sigma \Delta(i\omega_n) \right] \\
Z_C &= \prod_{n,\sigma} \mathrm{det}(\mathrm{Diag}_k (-i\omega_n + \epsilon_\ks)) \\
&= \prod_{n,\sigma,k} \frac{1}{-i\omega_n + \epsilon_\ks}
\end{align}
```
となります。
ここで、
```math
\mathrm{Diag}_k (-i\omega_n + \epsilon_\ks)
```
は対角項に$-i\omega_n + \epsilon_\ks$を並べた対角行列です。
よって、

```math
\begin{align}
Z(\beta) &= Z_C(\beta) \int \mathcal{D}f^* \mathcal{D}f \exp \left( - \sum_n \sum_\sigma (-i\omega_n + \epsilon_{f\sigma} + \Delta_\sigma(i\omega_n)  )f^*_\sigma f_\sigma - \int_0^\beta H_U(\tau)[f,f^*] \right) \\
&= Z_C(\beta) \tr_f \exp \left( - \sum_n \sum_\sigma (-i\omega_n + \epsilon_{f\sigma} + \Delta_\sigma(i\omega_n)  )f^\dagger_\sigma(i\omega_n) f_\sigma(i\omega_n) - \int_0^\beta H_U(\tau) \right)
\end{align} 
```
を得られます。
ここで物理量は分配関数の微分で得られますが、不純物系の物理量だけを計算するときには$Z_C$はただの係数で、$Z$で規格化すると約分されてしまうので、実質的には以下の有効場の分配関数：

```math
\begin{align}
Z_{eff} &= \tr \exp \left( - \sum_n \sum_\sigma (-i\omega_n + \epsilon_{f\sigma} + \Delta_\sigma(i\omega_n)  )f^\dagger_\sigma(i\omega_n) f_\sigma(i\omega_n) - \int_0^\beta d\tau H_U(\tau) \right) \\
&= \tr \exp \left[ - \sum_n \sum_\sigma (-i\omega_n + \epsilon_{f\sigma} + \Delta_\sigma(i\omega_n) ) \left( \int_ 0^\beta d\tau e^{-i\omega_n \tau} f^\dagger_\sigma(\tau) \right) \left( \int_ 0^\beta d\tau' e^{i\omega_n \tau'} f_\sigma(\tau') \right) - \int_0^\beta d\tau H_U(\tau) \right] \\
&= \tr \exp \left[ \int_ 0^\beta d\tau \int_ 0^\beta d\tau' \sum_\sigma \left(\sum_n e^{-i\omega_n (\tau-\tau')} (i\omega_n - \epsilon_{f\sigma} - \Delta_\sigma(i\omega_n) ) \right) f^\dagger_\sigma(\tau) f_\sigma(\tau') - \int_0^\beta d\tau H_U(\tau) \right] \\
&= \tr \exp \left[ \sum_\sigma \int_ 0^\beta d\tau \int_ 0^\beta d\tau' [\mathcal{G}_\sigma(\tau - \tau')]^{-1} f^\dagger_\sigma(\tau) f_\sigma(\tau') - \int_0^\beta d\tau H_U(\tau) \right] \\
\mathcal{G}_\sigma(\tau - \tau') &= \left(\sum_n e^{-i\omega_n (\tau-\tau')} (i\omega_n - \epsilon_{f\sigma} - \Delta_\sigma(i\omega_n) ) \right)^{-1}
\end{align} 
```

を考えることになります。

# Reference
- https://park.itc.u-tokyo.ac.jp/YNagai/oldstyle/note_080408_anpath.pdf
- https://www.physics.okayama-u.ac.jp/~otsuki/pdf/ctqmc.pdf