アフィン変換行列(4/4)「(複素数平面を含む)正三角形の頂点求め方について...」正三角形の2つの頂点がわかっていて、第3の頂点を求める。


・**[複素数平面](#ページ内ジャンプ)** を始めました(ページ内ジャンプします)。ありがとうございました。
・**長文です。** 同じ別解多数のためです。
・FreeCADで作図しました。
・???上記の「Qiitaのページ内ジャンプ」は、アスタリスクが1個でしょうか？
　ちょっとカッコ悪いです。

:::note info
[4部作 アフィン変換行列](https://qiita.com/tags/%e3%82%a2%e3%83%95%e3%82%a3%e3%83%b3%e5%a4%89%e6%8f%9b%e8%a1%8c%e5%88%97) 上のタグと同じです。
:::



# オリジナル 
Youtube 算数・数学channelまんぼ。様 　
【数学Ⅱ】【数学C】あなたならどう解きますか??正三角形の2つの頂点がわかっていて、第3の頂点を求める問題。【高校数学】
・ver0.1 解法1 0:00~
・ver0.2 解法2(中点) 5:44~
・ver0.3 解法3(**複素平面**) 11:50~　
https://youtu.be/5AMRi20k_F0?si=QnZEVHiiI_LUlb9v&t=710
・フル　(0:00〜17:15)
https://youtu.be/5AMRi20k_F0
＞いろんな方法がある。

# いつもの？sympyのweb上での実行方法
SymPy Live Shellで。
FreeCADのマクロは、以下で実行できません。
https://qiita.com/mrrclb48z/items/00dd08b0317069be9342#web%E4%B8%8A%E3%81%AE%E5%AE%9F%E8%A1%8C%E6%96%B9%E6%B3%95sympy-live-shell%E3%81%A7

# sympyで(Pointクラス)
・普通？はコレ。xy平面。
　ページの最後にdocへのリンクあり。(ページ内ジャンプを勉強中です。)
　スクロール又はページ右の目次タブで移動して下さい。
```python
# ver1.0 
from sympy import *
A,B=map(Point,[(3,3),(1,1)])
print("#",B.rotate( pi/3,A).coordinates)
print("#",B.rotate(-pi/3,A).coordinates)
# # (sqrt(3) + 2, 2 - sqrt(3))
# # (2 - sqrt(3), sqrt(3) + 2)
```
# sympyで(オリジナル 様の方法を参考に)
#### ・ver0.1 解法1 0:00~
```python
# ver0.1 解法1
from sympy import *
var('s,t')
Ax,Ay,Bx,By,Cx,Cy=3,3,1,1,s,t
AB2=(Ax-Bx)**2+(Ay-By)**2                                      #;print("#",AB2)
BC2=(Bx-Cx)**2+(By-Cy)**2                                      #;print("#",BC2.expand())
CA2=(Cx-Ax)**2+(Cy-Ay)**2                                      #;print("#",CA2.expand())
sol=solve([Eq(BC2,CA2),Eq(AB2,BC2)],[s,t])                     #;print("#",sol)
print("#",sol[1][0],",",sol[1][1],"と",sol[0][0],",",sol[0][1])
# sqrt(3) + 2 , 2 - sqrt(3) と 2 - sqrt(3) , sqrt(3) + 2
```
#### ・ver0.2 解法2(中点) 5:44~
```python
# ver0.2 解法2 5:44
from sympy import *
var('s,t')
Ax,Ay,Bx,By,Cx,Cy=3,3,1,1,s,t
Mx,My=(Ax+Bx)*Rational(1,2),(Ay+By)*Rational(1,2)
solt=solve(Eq((t-2)/(s-2)*(By-Ay)/(Bx-Ax),-1)   ,t)[0]         #;print("#",sols) #
solt=solve(Eq((Mx-Cx)*(Ax-Bx)+(My-Cy)*(Ay-By),0),t)[0]         #;print("#",solt) # 内積0 説明用の重複
BM  =sqrt((Bx-Mx)**2+(By-My)**2)                               #;print("#",BM)
CM2 =((Cx-Mx)**2+(Cy-My)**2).expand()                          #;print("#",CM2)
CM2 =(CM2.subs({t:solt})).expand()                             #;print("#",CM2)
sols=solve(Eq(CM2,(BM*sqrt(3))**2),s)                          #;print("#",sols)
print("#",sols[1],",",solt.subs({s:sols[1]}),"と",sols[0],",",solt.subs({s:sols[0]}))
# sqrt(3) + 2 , 2 - sqrt(3) と 2 - sqrt(3) , sqrt(3) + 2
```
#### ・ver0.3 (複素数平面) 解法3 
```python
# ver0.3 解法3 11:50~
from sympy import *
A,B=3+3*I,1+1*I
γ1=(A-B)*(cos( pi/3)+I*sin( pi/3))+B
γ2=(A-B)*(cos(-pi/3)+I*sin(-pi/3))+B
print("#",γ2               ,"と",γ1               )
print("#",γ2.simplify()    ,"と",γ1.simplify()    )
print("#",γ2.as_real_imag(),"と",γ1.as_real_imag())
# 1 + (1/2 - sqrt(3)*I/2)*(2 + 2*I) + I と 1 + I + (1/2 + sqrt(3)*I/2)*(2 + 2*I)
# 2 + sqrt(3)*(1 - I) + 2*I と 2 + sqrt(3)*(-1 + I) + 2*I
# (sqrt(3) + 2, 2 - sqrt(3)) と (2 - sqrt(3), sqrt(3) + 2)
```
#### ・コメントより(再)
・(ver0.7 三角形連結。座標変換と同じ)
　4つめの解法?**三角定規を3回です。** 答えより。
　(3-1)*√2/2*√3/√2=√3
∴(2+√3,2-√3),(2-√3,2+√3)


# sympyで(いつもの方法で)
#### ・ver0.4 解法1と同じ。
```python
# ver0.4 解法1と同じ。
from sympy import *
var('s,t')
A,B,C=map(Point,[(3,3),(1,1),(s,t)])
sol=solve([Eq(B.distance(C),C.distance(A)),Eq(A.distance(B),B.distance(C))],[s,t])                # ;print("#",sol)
print("#",sqrtdenest(sol[0][0]),sqrtdenest(sol[0][1]),sqrtdenest(sol[1][0]),sqrtdenest(sol[1][1]))     
```
#### ・ver0.5 解法2と同じ。
```python
# ver0.5 解法2と同じ。
from sympy import *
var('s,t')
A,B,C=map(Point,[(3,3),(1,1),(s,t)])
M    =A.midpoint(B)
print("#",solve([Eq((A-B).dot(C-M),0),Eq(C.distance(M),A.distance(M)*sqrt(3))],[s,t]))
# [(2 - sqrt(3), sqrt(3) + 2), (sqrt(3) + 2, 2 - sqrt(3))]
```

# ページ内ジャンプ
・？ちょっとカッコ悪いです。
#### ・ver0.6 (複素数平面) 解法3と同じ。
```python
# ver0.6 複素数平面 解法3と同じ。
from sympy import *
A,B=3+3*I,1+1*I
print("#",((A-B)*(cos(-pi/3)+I*sin(-pi/3))+B).as_real_imag(),
          ((A-B)*(cos( pi/3)+I*sin( pi/3))+B).as_real_imag())
# (sqrt(3) + 2, 2 - sqrt(3)) (2 - sqrt(3), sqrt(3) + 2)
```
#### ・ver0.7 三角形連結。自作myTr02(座標変換)
「sympyのTriangleで、三角形に三角形を追加した。」自作プログラムmyTr02
https://qiita.com/mrrclb48z/items/eda67f399965ea64df89
```python
# ver0.7 三角形連結。自作myTr02(座標変換)
from sympy import *
var('X',real=True,poitive=True)
def myMatrixToPoint(myMatrix):    
    return Point2D(myMatrix[0],myMatrix[1])
def myPoinrToMatrix(myPoint):    
    return Matrix([[myPoint.x],[myPoint.y],[1]]) 
def myTr02(tr1,tr2):
    t     =Line(tr1.args[0],tr1.args[0]+Point(1,0)).angle_between(Line(tr1.args[0],tr1.args[2]))
    myTurn=Matrix([[cos(t),-sin(t),tr1.args[0].x],[sin(t),cos(t),tr1.args[0].y],[0,0,1]])
    return Triangle(myMatrixToPoint(myTurn*myPoinrToMatrix(tr2.args[0])),
                    myMatrixToPoint(myTurn*myPoinrToMatrix(tr2.args[1])),
                    myMatrixToPoint(myTurn*myPoinrToMatrix(tr2.args[2])))
A,B,dum=map(Point,[(3,3),(1,1,),(3,1)])
d=A.distance(B)
print("#",myTr02(Triangle(B,dum,A),Triangle(asa=(-60,d,-60))).args[2].coordinates)
print("#",myTr02(Triangle(B,dum,A),Triangle(asa=( 60,d, 60))).args[2].coordinates)
# property coordinates
# https://docs.sympy.org/latest/modules/geometry/points.html#sympy.geometry.point.Point2D.coordinates
# (sqrt(3) + 2, 2 - sqrt(3))
# (2 - sqrt(3), sqrt(3) + 2)
```
# sympyで(アフィン変換行列)
・座標変換マトリックスです。

https://qiita.com/mrrclb48z/items/fb7c1522f127db139ae9

# sympyで(ChatGPT先生に聞きました。)
・はじめから、ChatGPT先生へ丸投げ？したらよかった。

https://qiita.com/mrrclb48z/items/ab6541f0b8463a29ac45

# sympyで(matplotlibで)
・勉強中です。FreeCAD作図より楽？かも。
(参考例）@HigashinoSola 様　こちらはステキな長文です。
https://qiita.com/HigashinoSola/items/2ab8894b543e0c55cfa7#%E5%82%8D%E5%BF%83%E3%81%A8%E5%82%8D%E6%8E%A5%E5%86%86%E3%82%92%E5%9B%B3%E7%A4%BA%E3%81%97%E3%82%88%E3%81%86


# FreeCADで作図
・計算部分のコードを修正しています。
```python
# 以下でます。　
# この機能は非推奨です。この機能を直接使用しないでください。
#   「make_linear_dimension」または「make_linear_dimension_obj」のいずれかを使用してください。
import FreeCAD
import Part
import DraftTools
import Draft
import Mesh
############################################################################
# ver0.5 解法2と同じ。
from sympy import *
var('s,t')
A,B,C=map(Point,[(3,3),(1,1),(s,t)])
M    =A.midpoint(B)
sol=solve([Eq((A-B).dot(C-M),0),Eq(C.distance(M),A.distance(M)*sqrt(3))],[s,t])
# [(2 - sqrt(3), sqrt(3) + 2), (sqrt(3) + 2, 2 - sqrt(3))]
C1=Point(sol[1])
C2=Point(sol[0])
############################################################################
# 3D作図 z=0 XY平面に作図しました。
# 2024-10-08 fontsize 追加しました。従来と互換性がありません。 
# 2024-10-20 HR 
############################################################################
def myXYZ2Txt_2D(A):
    return ""
def myXYZ2Txt_XY_2D(A):
    return '(' + str(A.x) + ',' + str(A.y) +  ')'
def myTxtXYZ_2D(fontsize,A,myWedgei):
    P5x=float(A.x)
    P5y=float(A.y)
    P5z=0.0
    p5 = FreeCAD.Vector(P5x, P5y, P5z)
    myText = Draft.makeText(myWedgei, p5)
    myText.Label = myWedgei
    FreeCADGui.ActiveDocument.ActiveObject.FontSize = str(fontsize,)+' mm'
    return
def myTxtXYZ_S_2D(fontsize,*xy_tx):
    for i in range(1,int(len(xy_tx)/2)+1):
        myTxtXYZ_2D(fontsize,xy_tx[2*i-2],xy_tx[2*i-1]+myXYZ2Txt_2D(xy_tx[2*i-2]) )
    return
def myTxtXYZ_XY_S_2D(fontsize,*xy_tx):
    for i in range(1,int(len(xy_tx)/2)+1):
        myTxtXYZ_2D(fontsize,xy_tx[2*i-2],xy_tx[2*i-1]+myXYZ2Txt_XY_2D(xy_tx[2*i-2]) )
    return
def myTxtXYZ_MoveY_2D(fontsize,MoveY,A,myWedgei):
    P5x=float(A.x)
    P5y=float(A.y)+MoveY
    P5z=0.0
    p5 = FreeCAD.Vector(P5x, P5y, P5z)
    myText = Draft.makeText(myWedgei, p5)
    myText.Label = myWedgei
    FreeCADGui.ActiveDocument.ActiveObject.FontSize = str(fontsize,)+' mm'
    return
def myTxtXYZ_XY_S_MoveY_2D(fontsize,MoveY,*xy_tx):
    for i in range(1,int(len(xy_tx)/2)+1):
        myTxtXYZ_MoveY_2D(fontsize,MoveY,xy_tx[2*i-2],xy_tx[2*i-1]+myXYZ2Txt_XY_2D(xy_tx[2*i-2]) )
    return
def myLine_2D(A,B):
    Ax,Ay,Az=float(A.x),float(A.y),0.0
    Bx,By,Bz=float(B.x),float(B.y),0.0
    pl = FreeCAD.Placement()
    pl.Rotation.Q = (0.4247081540122249, 0.17592004639554645, 0.33985110062924484, 0.8204732460821097)
    pl.Base = FreeCAD.Vector(-3.9166066876399563, -2.1670824762243774, 1.7495260956243028)
    points = [FreeCAD.Vector(Ax,Ay,Az), FreeCAD.Vector(Bx,By,Bz)]
    line = Draft.make_wire(points, placement=pl, closed=False, face=True, support=None)
    Draft.autogroup(line)
    return
def myLine_S_2D(*args):
    for i in range(1,len(args)):
        myLine_2D(args[i-1],args[i])
    return
def myLine_C_2D(*args):
    for i in range(1,len(args)):
        myLine_2D(args[i-1],args[i])
    myLine_2D(args[i],args[0])
    return
def myLine_H_2D(*args):
    for i in range(1,len(args)):
        myLine_2D(args[0],args[i])
    return
##################################################################################
myLine_S_2D     (A,B)  
myLine_S_2D     (A,C1,B)  
myLine_S_2D     (A,C2,B)  
#
myFontsize =0.4
myTxtXYZ_XY_S_2D(myFontsize,A,"A",B,"B",C1,"C1",C2,"C2")
####################################################################################
doc = App.activeDocument()
#App.ActiveDocument.addObject("App::Origin", "Origin")
#App.ActiveDocumen!t.getObject('Origin').Visibility = True
App.ActiveDocument.recompute()
Gui.activeDocument().activeView().viewAxonometric()
Gui.SendMsgToActiveView("ViewFit")
```
![111.png](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/109698/86e4c27b-61fa-4ce5-8d67-ccff3839058b.png)

# いつもの? sympyの実行環境と 参考のおすすめです。
[(テンプレート)](https://qiita.com/mrrclb48z/items/00dd08b0317069be9342)

https://qiita.com/mrrclb48z/items/b6351b48e47bcf6265c0

# いつもと違うおすすめです。

https://qiita.com/5zm/items/044ae86993c8e693b7e9

・ver1.0
**Point**の
.rotate(angle, pt=None)[source] Rotate angle radians counterclockwise about Point pt.
https://docs.sympy.org/latest/modules/geometry/points.html#sympy.geometry.point.Point2D.rotate