A PROOF OF THE COLLATZ CONJECTURE の翻訳

下記論文は日本人の方が、なんとあのコラッツ予想を証明したということでarXiv二投稿したものです。真偽はまだ不明な訳ですが、大変興味深いので下記にChatGPTで訳しました。

「A PROOF OF THE COLLATZ CONJECTURE」

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論文タイトル

Collatz予想の証明

著者

TOSHIHARU KAWASAKI

アブストラクト

本論文では、距離空間における新たな不動点定理を示す。さらに、この不動点定理を用いることにより、Collatz予想が正しいことを証明する。


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1. はじめに

 

\mathbb{N} \stackrel{\mathrm{def}}{=} \{1, 2, 3, \dots\}

Cx \stackrel{\mathrm{def}}{=} 
\begin{cases}
\displaystyle \frac{x}{2}, & \text{if x が偶数のとき}, \1mm]
3x+1, & \text{if x が奇数のとき}.
\end{cases}

任意の  に対して、ある  が存在し、 となる。多くの研究者がこの予想の証明に挑戦してきた。

最も有名な論文のひとつは Tao [4] のものである。彼の論文では、

\operatorname{Colmin}(N) \stackrel{\mathrm{def}}{=} \inf\{N,\, C(N),\, C^2(N),\, \dots\}

定理 1.1.
 を  から  への関数で、 であるとする。すると、対数密度の意味で「ほとんど全ての  について」

\operatorname{Colmin}(N) < f(N)

この定理を用いると、ほとんど全ての  に対して

\operatorname{Colmin}(N) < \log\log\log\log N

本論文では、第2節で新たな距離空間上の不動点定理を示し、第3節でその不動点定理を用いてCollatz予想の真理を証明する。


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2. 不動点定理

ここでは、距離空間  を考える。 を  上の距離とする。 から  への写像
 を考える。 を写像とし、 が
()-重み付き一般疑似縮小写像 であるとは、任意の  に対して

\alpha(x,y)d(Tx,Ty)^2 + \beta(x,y)d(x,Ty)^2 + \gamma(x,y)d(Tx,y)^2 + \delta(x,y)d(x,y)^2 + \varepsilon(x,y)d(x,Tx)^2 + \zeta(x,y)d(y,Ty)^2 \le 0


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補題 2.1

任意の  と  に対して、

2\min\{\theta,0\}\bigl(d(x,z)^2 + d(z,y)^2\bigr) \le \theta\, d(x,y)^2

証明.
三角不等式より

\lvert d(x,z) - d(z,y)\rvert \le d(x,y) \le d(x,z) + d(z,y)

d(x,z)^2 - 2\,d(x,z)d(z,y) + d(z,y)^2 \le d(x,y)^2 \le d(x,z)^2 + 2\,d(x,z)d(z,y) + d(z,y)^2.

\theta\, d(x,z)^2 - 2\lvert\theta\rvert\, d(x,z)d(z,y) + \theta\, d(z,y)^2 \le \theta\, d(x,y)^2.

\theta\, d(x,z)^2 - 2\lvert\theta\rvert\, d(x,z)d(z,y) + \theta\, d(z,y)^2 = \lvert\theta\rvert\,(d(x,z)-d(z,y))^2 + (\theta-\lvert\theta\rvert)(d(x,z)^2+d(z,y)^2)

\theta\, d(x,z)^2 - 2\lvert\theta\rvert\, d(x,z)d(z,y) + \theta\, d(z,y)^2 \ge 2\min\{\theta,0\}\bigl(d(x,z)^2+d(z,y)^2\bigr).


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補題 2.2

 を距離空間、 を ()-重み付き一般疑似縮小写像とする。 から  への写像  を任意に与えるとする。ここで、

\begin{aligned}
\alpha_\lambda(x,y) &\stackrel{\mathrm{def}}{=} (1-\lambda(x,y))\alpha(x,y) + \lambda(x,y)\alpha(y,x),\1mm]
\beta_\lambda(x,y) &\stackrel{\mathrm{def}}{=} (1-\lambda(x,y))\beta(x,y) + \lambda(x,y)\gamma(y,x),\1mm]
\gamma_\lambda(x,y) &\stackrel{\mathrm{def}}{=} (1-\lambda(x,y))\gamma(x,y) + \lambda(x,y)\beta(y,x),\1mm]
\delta_\lambda(x,y) &\stackrel{\mathrm{def}}{=} (1-\lambda(x,y))\delta(x,y) + \lambda(x,y)\delta(y,x),\1mm]
\varepsilon_\lambda(x,y) &\stackrel{\mathrm{def}}{=} (1-\lambda(x,y))\varepsilon(x,y) + \lambda(x,y)\zeta(y,x),\1mm]
\zeta_\lambda(x,y) &\stackrel{\mathrm{def}}{=} (1-\lambda(x,y))\zeta(x,y) + \lambda(x,y)\varepsilon(y,x).
\end{aligned}

証明.
前提より任意の  に対して

\alpha(x,y)d(Tx,Ty)^2 + \beta(x,y)d(x,Ty)^2 + \gamma(x,y)d(Tx,y)^2 + \delta(x,y)d(x,y)^2 + \varepsilon(x,y)d(x,Tx)^2 + \zeta(x,y)d(y,Ty)^2 \le 0

\alpha_\lambda(x,y)d(Tx,Ty)^2 + \beta_\lambda(x,y)d(x,Ty)^2 + \gamma_\lambda(x,y)d(Tx,y)^2 + \delta_\lambda(x,y)d(x,y)^2 + \varepsilon_\lambda(x,y)d(x,Tx)^2 + \zeta_\lambda(x,y)d(y,Ty)^2 \le 0


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定理 2.1

 を距離空間、 を ()-重み付き一般疑似縮小写像とする。さらに、 から  への写像  が存在し、次のいずれかの条件が任意の  に対して成り立つとする：

1. 

\alpha_\lambda(x,y) + \zeta_\lambda(x,y) + 2\min\{\beta_\lambda(x,y),0\} > 0

\delta_\lambda(x,y) + \varepsilon_\lambda(x,y) + 2\min\{\beta_\lambda(x,y),0\} \ge 0;

2. 

\alpha_\lambda(x,y) + \zeta_\lambda(x,y) + 2\min\{\beta_\lambda(x,y),0\} \ge 0

\delta_\lambda(x,y) + \varepsilon_\lambda(x,y) + 2\min\{\beta_\lambda(x,y),0\} > 0;

3. 

\alpha_\lambda(x,y) + \varepsilon_\lambda(x,y) + 2\min\{\gamma_\lambda(x,y),0\} > 0

\delta_\lambda(x,y) + \zeta_\lambda(x,y) + 2\min\{\gamma_\lambda(x,y),0\} \ge 0;

4. 

\alpha_\lambda(x,y) + \varepsilon_\lambda(x,y) + 2\min\{\gamma_\lambda(x,y),0\} \ge 0

\delta_\lambda(x,y) + \varepsilon_\lambda(x,y) + 2\min\{\beta_\lambda(x,y),0\} > 0;

5.  が存在して、任意の  に対して



\alpha_\lambda(x,y) + \zeta_\lambda(x,y) + 2\min\{\beta_\lambda(x,y),0\} > 0

\frac{-\delta_\lambda(x,y) + \varepsilon_\lambda(x,y) + 2\min\{\beta_\lambda(x,y),0\}}{\alpha_\lambda(x,y) + \zeta_\lambda(x,y) + 2\min\{\beta_\lambda(x,y),0\}} \le A,

\alpha_\lambda(x,y) + \varepsilon_\lambda(x,y) + 2\min\{\gamma_\lambda(x,y),0\} > 0

\frac{-\delta_\lambda(x,y) + \zeta_\lambda(x,y) + 2\min\{\gamma_\lambda(x,y),0\}}{\alpha_\lambda(x,y) + \varepsilon_\lambda(x,y) + 2\min\{\gamma_\lambda(x,y),0\}} \le A.

このとき、任意の  に対して列  はコーシー列である。

証明（概略）.
補題 2.2 により  は ()-重み付き一般疑似縮小写像であることから、補題 2.1 を用いて上記不等式を各  に対して適用する。場合分け（(1)～(5)の場合）により、各場合で  または収束のための評価式が得られ、最終的に  がコーシー列であることが示される。□


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定理 2.2
 を完備距離空間、 を ()-重み付き一般疑似縮小写像とする。さらに、 から  への写像  が存在し、上記 (1)～(5) のいずれかの条件が任意の  に対して成立するとする。すると、任意の  に対して列  は  内の一点に収束する。


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定理 2.3
 を完備距離空間、 を ()-重み付き一般疑似縮小写像とする。さらに、 から  への写像  が存在し、以下のいずれかの条件が任意の  に対して成立するとする：

1. 

\alpha_\lambda(x,y)+\zeta_\lambda(x,y)+2\min\{\beta_\lambda(x,y),0\} > 0,\quad \delta_\lambda(x,y)+\varepsilon_\lambda(x,y)+2\min\{\beta_\lambda(x,y),0\} \ge 0;

2. 

\alpha_\lambda(x,y)+\zeta_\lambda(x,y)+2\min\{\beta_\lambda(x,y),0\} \ge 0,\quad \delta_\lambda(x,y)+\varepsilon_\lambda(x,y)+2\min\{\beta_\lambda(x,y),0\} > 0;

3. 

\alpha_\lambda(x,y)+\varepsilon_\lambda(x,y)+2\min\{\gamma_\lambda(x,y),0\} > 0,\quad \delta_\lambda(x,y)+\zeta_\lambda(x,y)+2\min\{\gamma_\lambda(x,y),0\} \ge 0;

4. 

\alpha_\lambda(x,y)+\varepsilon_\lambda(x,y)+2\min\{\gamma_\lambda(x,y),0\} \ge 0,\quad \delta_\lambda(x,y)+\varepsilon_\lambda(x,y)+2\min\{\beta_\lambda(x,y),0\} > 0;

5.  と  が存在し、任意の  に対して



\alpha_\lambda(x,y)+\zeta_\lambda(x,y)+2\min\{\beta_\lambda(x,y),0\} > 0,

\frac{-\delta_\lambda(x,y)+\varepsilon_\lambda(x,y)+2\min{\beta_\lambda(x,y),0}}{\alpha_\lambda(x,y)+\zeta_\lambda(x,y)+2\min{\beta_\lambda(x,y),0}} \le A, ] かつ

\alpha_\lambda(x,y)+\beta_\lambda(x,y)+\zeta_\lambda(x,y) \ge B,

\alpha_\lambda(x,y)+\varepsilon_\lambda(x,y)+2\min\{\gamma_\lambda(x,y),0\} > 0,

\frac{-\delta_\lambda(x,y)+\zeta_\lambda(x,y)+2\min{\gamma_\lambda(x,y),0}}{\alpha_\lambda(x,y)+\varepsilon_\lambda(x,y)+2\min{\gamma_\lambda(x,y),0}} \le A, ] かつ

\alpha_\lambda(x,y)+\gamma_\lambda(x,y)+\varepsilon_\lambda(x,y) \ge B.

|\alpha(x,y)|\le M,\quad |\beta(x,y)|\le M,\quad |\gamma(x,y)|\le M,\quad |\delta(x,y)|\le M,\quad |\varepsilon(x,y)|\le M,\quad |\zeta(x,y)|\le M

u = \lim_{n\to\infty} T^n x

証明（概略）.
(1) および (3) の場合、 が  の不動点集合となり、 となる。 (2) および (4) の場合、 の不動点集合は  全体となり、 となる。
(5) の場合についても、収束性の評価から列  が収束し、 を極限としたとき、 が  の不動点であることを示す。（詳細は本文参照。）□


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3. Collatz予想の証明

 を先に定義したように

Cx \stackrel{\mathrm{def}}{=} 
\begin{cases}
\displaystyle \frac{x}{2}, & \text{x が偶数のとき}, \1mm]
3x+1, & \text{x が奇数のとき}.
\end{cases}

明らかに、 である。なお、 が奇数なら  は偶数となるため、任意の奇数  に対して

C^2 x = \frac{1}{2}(3x+1)

Tx \stackrel{\mathrm{def}}{=} 
\begin{cases}
C^3 x = 1, & \text{if x = 1},\1mm]
Cx = \displaystyle \frac{x}{2}, & \text{if x が偶数のとき},\1mm]
C^2 x = \displaystyle \frac{1}{2}(3x+1), & \text{if x が奇数かつ x\ge 3}.
\end{cases}

また、距離  を

d(x,y) \stackrel{\mathrm{def}}{=} |x-y|


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定理 3.1

以下の関数を  上で定める。

まず、

\alpha(x,y) \stackrel{\mathrm{def}}{=}
\begin{cases}
1, & \text{if x=1 かつ y=1},\1mm]
1, & \text{if x=1 かつ y が偶数},\1mm]
0, & \text{if x=1 かつ y が奇数で y\ge 3},\1mm]
1, & \text{if x が偶数かつ y=1},\1mm]
1, & \text{if x が偶数かつ y が偶数},\1mm]
0, & \text{if x が偶数かつ y が奇数で y\ge 3},\1mm]
0, & \text{if x が奇数で x\ge 3 かつ y=1},\1mm]
0, & \text{if x が奇数で x\ge 3 かつ y が偶数},\1mm]
2, & \text{if x が奇数で x\ge 3 かつ y も奇数で y\ge 3}.
\end{cases}

\beta(x,y) \stackrel{\mathrm{def}}{=}
\begin{cases}
0, & \text{if x=1 かつ y=1},\1mm]
0, & \text{if x=1 かつ y が偶数},\1mm]
0, & \text{if x=1 かつ y が奇数で y\ge 3},\1mm]
0, & \text{if x が偶数かつ y=1},\1mm]
0, & \text{if x が偶数かつ y が偶数},\1mm]
0, & \text{if x が偶数かつ y が奇数で y\ge 3},\1mm]
0, & \text{if x が奇数で x\ge 3 かつ y=1},\1mm]
-2, & \text{if x が奇数で x\ge 3 かつ y が偶数},\1mm]
\beta_0(x,y), & \text{if x が奇数で x\ge 3 かつ y も奇数で y\ge 3}.
\end{cases}

\gamma(x,y) \stackrel{\mathrm{def}}{=}
\begin{cases}
0, & \text{if x=1 かつ y=1},\1mm]
0, & \text{if x=1 かつ y が偶数},\1mm]
0, & \text{if x=1 かつ y が奇数で y\ge 3},\1mm]
0, & \text{if x が偶数かつ y=1},\1mm]
-1, & \text{if x が偶数かつ y が偶数},\1mm]
-2, & \text{if x が偶数かつ y が奇数で y\ge 3},\1mm]
0, & \text{if x が奇数で x\ge 3 かつ y=1},\1mm]
0, & \text{if x が奇数で x\ge 3 かつ y が偶数},\1mm]
-\beta_0(x,y), & \text{if x が奇数で x\ge 3 かつ y も奇数で y\ge 3}.
\end{cases}

\delta(x,y) \stackrel{\mathrm{def}}{=}
\begin{cases}
0, & \text{if x=1 かつ y=1},\1mm]
-1, & \text{if x=1 かつ y が偶数},\1mm]
-2, & \text{if x=1 かつ y が奇数で y\ge 3},\1mm]
-1, & \text{if x が偶数かつ y=1},\1mm]
0, & \text{if x が偶数かつ y が偶数},\1mm]
1, & \text{if x が偶数かつ y が奇数で y\ge 3},\1mm]
-2, & \text{if x が奇数で x\ge 3 かつ y=1},\1mm]
1, & \text{if x が奇数で x\ge 3 かつ y が偶数},\1mm]
\delta_0(x,y), & \text{if x が奇数で x\ge 3 かつ y も奇数で y\ge 3}.
\end{cases}

\varepsilon(x,y) \stackrel{\mathrm{def}}{=}
\begin{cases}
-1, & \text{if x=1 かつ y=1},\1mm]
0, & \text{if x=1 かつ y が偶数},\1mm]
1, & \text{if x=1 かつ y が奇数で y\ge 3},\1mm]
1, & \text{if x が偶数かつ y=1},\1mm]
-1, & \text{if x が偶数かつ y が偶数},\1mm]
-2, & \text{if x が偶数かつ y が奇数で y\ge 3},\1mm]
2, & \text{if x が奇数で x\ge 3 かつ y=1},\1mm]
2, & \text{if x が奇数で x\ge 3 かつ y が偶数},\1mm]
\varepsilon_0(x,y), & \text{if x が奇数で x\ge 3 かつ y も奇数で y\ge 3}.
\end{cases}

\zeta(x,y) \stackrel{\mathrm{def}}{=}
\begin{cases}
1, & \text{if x=1 かつ y=1},\1mm]
1, & \text{if x=1 かつ y が偶数},\1mm]
2, & \text{if x=1 かつ y が奇数で y\ge 3},\1mm]
0, & \text{if x が偶数かつ y=1},\1mm]
1, & \text{if x が偶数かつ y が偶数},\1mm]
2, & \text{if x が偶数かつ y が奇数で y\ge 3},\1mm]
1, & \text{if x が奇数で x\ge 3 かつ y=1},\1mm]
-2, & \text{if x が奇数で x\ge 3 かつ y が偶数},\1mm]
\zeta_0(x,y), & \text{if x が奇数で x\ge 3 かつ y も奇数で y\ge 3}.
\end{cases}

\beta_0(x,y) \stackrel{\mathrm{def}}{=}
\begin{cases}
-2, & \text{if k-\ell \le -2},\1mm]
k-\ell, & \text{if |k-\ell| \le 1},\1mm]
2, & \text{if k-\ell \ge 2},
\end{cases}

\delta_0(x,y) \stackrel{\mathrm{def}}{=} \begin{cases} -2, & \text{if  かつ , or if  かつ },\1mm] -1, & \text{それ以外}, \end{cases} ]

\varepsilon_0(x,y) \stackrel{\mathrm{def}}{=}
\begin{cases}
2, & \text{if k-\ell \le -2 かつ 11k-10\ell+1\le 0},\1mm]
0, & \text{それ以外},
\end{cases}

\zeta_0(x,y) \stackrel{\mathrm{def}}{=} \begin{cases} 2, & \text{if  かつ },\1mm] 0, & \text{それ以外}. \end{cases} ]

このとき、写像  は ()-重み付き一般疑似縮小写像である。

証明（概略）.
各場合について、 の場合分けを行い、 および  の値を用いて

\alpha(x,y)d(Tx,Ty)^2 + \beta(x,y)d(x,Ty)^2 + \gamma(x,y)d(Tx,y)^2 + \delta(x,y)d(x,y)^2 + \varepsilon(x,y)d(x,Tx)^2 + \zeta(x,y)d(y,Ty)^2 \le 0


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定理 3.2

任意の  に対して、ある  が存在し、

T^{t(x)}x = 1

証明.
定理 3.1 により  は ()-重み付き一般疑似縮小写像である。ここで、 に対し距離  を考えると、 は完備距離空間となる。
また、写像  を  上の定数  と定め、、、 とおくと、定理 2.3 の条件 (5) が満たされることが確認できる。
（各場合において、例えば  や  と  が偶数の場合、また  が偶数の場合などで、

\alpha_\lambda(x,y)+\zeta_\lambda(x,y)+2\min\{\beta_\lambda(x,y),0\} = \alpha(x,y)+\zeta(x,y)+2\min\{\beta(x,y),0\}

以上により、任意の  に対して  の不動点  に収束し、かつ  の元同士の距離が 1 以上であることから、ある  が存在して  となる。□


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参考文献

[1] T. Kawasaki, “Fixed point theorems for widely more generalized hybrid mappings in metric spaces, Banach spaces and Hilbert spaces,” Journal of Nonlinear and Convex Analysis 19 (2018), 1675–1683.

[2] T. Kawasaki, “Fixed point and acute point theorems for new mappings in a Banach space,” Journal of Mathematics 2019 (2019), 12 pages.

[3] T. Kawasaki, “Fixed point and acute point theorems for generalized pseudocontractions in a Banach space,” Journal of Nonlinear and Convex Analysis 22 (2021), 1057–1075.

[4] T. Tao, “Almost all orbits of the Collatz map attain almost bounded values,” Forum of Mathematics, Pi 10 (2022), 56 pages.


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所属機関:
Faculty of Engineering, Tamagawa University, Tokyo 194–8610, Japan;
Faculty of Science, Chiba University, Chiba 263–8522, Japan

Email: toshiharu.kawasaki@nifty.ne.jp


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論文の構成

1. Introduction


2. Fixed point theorem


3. Proof of the Collatz conjecture
References




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以上が、原論文の日本語訳（数式や定義も可能な限り省略せずに記述したもの）となります。