Blowup method

# Blowup method とは

**Blowup method** は微分方程式の解の特異性を解消する方法のひとつです。

微分方程式 $\dot{x}=F(x, t)$ の解の振る舞いを調べる際には、平衡点を特定し、その周囲での安定性を解析することがよく行われます。平衡点 $x^{\ast}$ におけるヤコビアン$DF_{x^{\ast}}$を計算し、その固有値 ${\lambda_i}$ の実部 ${Re(\lambda_i})$ がすべて負の値であれば平衡点 $x^{\ast}$ は安定であり、解はその平衡点に近づいていきます。一方、${Re(\lambda_i})$ が正となる固有値がひとつ以上存在すれば、平衡点 $x^{\ast}$ は不安定で、解はその平衡点から離れていきます。

全ての固有値について $Re(\lambda_i)\ne0$ となる平衡点を**双曲的**、$Re(\lambda_i)=0$となる固有値を持つ平衡点を**非双曲的**といいます。

双曲的な平衡点の安定性は、上記のように固有値を調べることで判断できますが、非双曲的な平衡点のまわりのダイナミクスは線形化による解析だけでは十分に理解できません。

Blowup method は、適切な座標変換を用いることで、非双曲的な平衡点を双曲的な平衡点にするテクニックです。

# 例

例として、以下のような方程式を考えます。

```math
\begin{equation}
    \begin{pmatrix}
    \dot{x} \\
    \dot{y} 
    \end{pmatrix} =
    \begin{pmatrix}
    x^2 - 2xy \\
    y^2 - 2xy
    \end{pmatrix} := F(x, y)
\end{equation}
```

$F(0,0)=(0,0)$なので、この方程式は $(x,y)=(0,0)$ が平衡点になっています。ヤコビアンは
```math
\begin{equation}
    DF_{(x,y)} = 
    \begin{pmatrix}
    2x - 2y & -2x \\
    -2y & 2y - 2x 
    \end{pmatrix}
\end{equation}
```
であり、平衡点では
```math
\begin{equation}
    DF_{(0,0)} = 
    \begin{pmatrix}
    0 & 0 \\
    0 & 0 
    \end{pmatrix}
\end{equation}
```
です。この行列の固有値は $\lambda=0$ なので、平衡点は非双曲的です。

$\mathbb{R^2}$ 上のベクトル場 $F$ をプロットすると下図のようになります。赤い点が平衡点を示しています。この図からは平衡点の安定性を読み取ることができません。

![streamplot_01.png](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/65132/b6644dd7-5b05-4fe2-bf88-d17ad1b0120e.png)


# Blowup method

$\mathbb{S^1}$ を単位円、$\theta \in [0, 2\pi)$ を $\mathbb{S^1}$ のパラメータとして、次のような座標変換 $\phi$ を考えます。

```math
\phi:\mathbb{S^1} \times [0, \infty) \to \mathbb{R^2},\qquad \phi(\theta, r)=(r\cos\theta, r\sin\theta)
```


ベクトル場 $F$ の **polar blowup** $\hat{F}$ は、次のように定義される $\mathbb{S^1} \times [0, \infty)$ 上のベクトル場です。

```math
\hat{F} := (D \phi^{-1}_{(\theta, r)} \circ F \circ \phi)(\theta, r)
```

# Blowup method の適用

先ほどの例に polar blowup を施してみましょう。

```math
\begin{equation}
\begin{aligned}
    \hat{F}(\theta, r) &= (D \phi^{-1}_{(\theta, r)} \circ F \circ \phi)(\theta, r)\\
    &= \begin{pmatrix}
    -\frac{\sin\theta}{r} & \frac{\cos\theta}{r} \\
    \cos\theta & \sin\theta
    \end{pmatrix}
    \begin{pmatrix}
    r^2(\cos^2\theta - 2\cos\theta\sin\theta) \\
    r^2(\sin^2\theta - 2\cos\theta\sin\theta) 
    \end{pmatrix} \\
    & = \begin{pmatrix} 
    3r\cos\theta\sin\theta(\sin\theta - \cos\theta) \\
    \frac{1}{4}r^2(\cos\theta + 3\cos3\theta + \sin\theta - 3\sin3\theta) 
    \end{pmatrix}
\end{aligned}
\end{equation}
```

次式のようにベクトル場 $\hat{F}$ を $r$ で割ったものを $\bar{F}$ と定義します。こうしても定性的な構造は変わりません。

```math
\bar{F}(\theta, r) := \hat{F}(\theta, r) = \begin{pmatrix} 
    3\cos\theta\sin\theta(\sin\theta - \cos\theta) \\
    \frac{1}{4}r(\cos\theta + 3\cos3\theta + \sin\theta - 3\sin3\theta) 
    \end{pmatrix}
```

このようにしてできた $\bar{F}$ の $\mathbb{S^1} \times [0, \infty)$ における位相は下図のようになります。$\mathbb{R^2}$ のベクトル場 $F$ では平衡点が原点のひとつだけでしたが、6つの平衡点が現れていることがわかります。


![streamplot_polar_01.png](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/65132/58434a39-038d-4bd5-98c0-93d4f3939de5.png)


$\bar{F}(\theta, r)$ のヤコビアンは、

```math
D\bar{F}_{(\theta, r)} = \begin{pmatrix}
    -3(\sin^3\theta + \cos^3\theta) + 6\sin\theta\cos\theta(\sin\theta + \cos\theta) & 0 \\
    -\frac{1}{4}r(\sin\theta + 9\sin3\theta - \cos\theta + 9\cos3\theta) & \frac{1}{4}(\sin\theta -3\sin3\theta + \cos\theta + 3\cos3\theta)
    \end{pmatrix}
```
です。6つの平衡点のうち $\bar{F}(\frac{\pi}{2}, 0)=(0,0)$ では、

```math
D\bar{F}_{(\frac{\pi}{2}, 0)} = \begin{pmatrix} 
    -3 & 0 \\
    0 & 1
    \end{pmatrix}
```
となり、固有値は -3 と 1 です。したがってこの平衡点は双曲的で、片方の固有値が正、もう片方の固有値が負のsaddleになっています。同様に計算すると、他の５つの平衡点も双曲的で、いずれもsaddleであることがわかります。

このようにして、$\mathbb{R^2}$ 上のひとつの非双曲的な平衡点を、座標変換で "blowup" することによって $\mathbb{S^1} \times [0, \infty)$ 上の６つの双曲的な平衡点に変換することができました。

# 参考文献

Multiple Time Scale Dynamics (Christian Kuehn), Chapter 7. THE BLOWUP METHOD