【準1級】統計学実践ワークブック　例題7.2　分布収束


統計検定準1級の勉強のための解説記事となります。下記にご了承いただける方のみ、お読みください。

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##### 注意
* 著作権の都合により問題文は掲載せず解説のみの記述となります。
* 独自の解釈により、不適切な表現がある可能性があります。
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以下の動画でも解説していますので、見やすいほうでご覧ください。

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# 学習のポイント



:::note

確率変数の列$\{X_n\}$ は平均 $\mu$、分散 $\sigma^2$ の独立同一分布に従うと仮定する。また、$X_1, X_2, ..., X_n$ の標本平均を $\bar{X}_n$ とする。

・中心極限定理
$\sqrt{n}(\bar{X}_n - \mu)$は、正規分布 $N(0, \sigma^2)$ に分布収束する。

・デルタ法
ある関数 $f$ を用いて $f(\bar{X}_n)$ と表される量を考える。$f(x)$ が連続微分可能のとき、$\sqrt{n}(f(\bar{X}_n) - f(\mu))$ は $N(0, (f'(\mu))^2 \sigma^2)$ に分布収束する。




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:::note
・連続写像定理（分布収束）
確率変数列$X_n$が確率変数$X$の分布に分布収束し、かつ$h$が連続関数であれば、$h(X_n)$は$h(X)$に分布収束する。


・カイ二乗分布
$Z_i \sim N(0,1)$, $i = 1,...,n$で、これらが互いに独立であるとき、

$Y = Z_1^2 + ... + Z_n^2$ が従う分布を自由度$n$のカイ二乗分布という。
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# 中心極限定理
確率変数列 $\{X_n\}$ は独立同一分布に従い、平均は $\mu$、分散は $\sigma^2$ です。

中心極限定理より、$\sqrt{n}(\bar{X}_n - \mu)$ は正規分布 $N(0, \sigma^2)$ に分布収束します。

この確率変数を $\sigma$ で割ると、平均は $0 \times \frac{1}{\sigma} = 0$、分散は $\sigma^2 \times (\frac{1}{\sigma})^2 = 1$ となります。よって、$\frac{\sqrt{n}(\bar{X}_n - \mu)}{\sigma}$ は標準正規分布 $N(0, 1)$ に分布収束します。

```plantuml
@startuml
title 中心極限定理

rectangle "確率変数列 Xₙ\n独立同一分布 (iid)\n平均 μ, 分散 σ²" as start #lightblue
rectangle "中心極限定理 適用\n√n(X̄ₙ - μ)\nN(0, σ²) に分布収束" as step1 #lightgreen
rectangle "標準化\nσ で割る" as step2 #yellow
rectangle "結論\n√n(X̄ₙ - μ) / σ\nN(0, 1) に分布収束" as conclusion #lightcoral

start -ri-> step1
step1 -r-> step2
step2 -r-> conclusion

skinparam ranksep 40
skinparam nodesep 50
skinparam defaultFontName Arial Unicode MS
@enduml
```

# デルタ法の適用
確率変数列 $\{X_n\}$ は独立同一分布に従い、平均は $\mu$、分散は $\sigma^2$ です。

$g(x) = x^3$ とおくと、$g'(x) = 3x^2$ です。

ここで、$g'(\mu) = 3\mu^2$ となり、デルタ法を適用すると、

$$
\sqrt{n}(\bar{X}_n^3 - \mu^3) \xrightarrow{d} N(0, 9\mu^4\sigma^2)
$$

となります。



以上より、${\sqrt{n}(\bar{X}_n^3 - \mu^3)}$ の分布収束先は、平均 $0$、分散 $9\mu^4\sigma^2$ の正規分布です。

```plantuml
@startuml
title デルタ法の適用

rectangle "確率変数列 Xₙ\n独立同一分布 (iid)\n平均 μ, 分散 σ²" as start #lightblue
rectangle "連続関数 g(x) = x³\ng'(x) = 3x²" as step1 #lightgreen
rectangle "デルタ法適用\ng' (μ) = 3μ²" as step2 #yellow
rectangle "結論\n√n(X̄ₙ³ - μ³)\nN(0, 9μ⁴σ²) に分布収束" as conclusion #lightcoral

start -r-> step1
step1 -r-> step2
step2 -r-> conclusion

skinparam ranksep 40
skinparam nodesep 50
skinparam defaultFontName Arial Unicode MS
@enduml
```

# 自由度 1 のカイ二乗分布へ分布収束
確率変数列 $\{X_n\}$ は独立同一分布に従い、平均は $\mu$、分散は $\sigma^2$ です。

$\frac{\sqrt{n}(\bar{X}_n - \mu)}{\sigma}$ は標準正規分布 $N(0, 1)$ に分布収束します。

ここで、連続写像定理を適用すると、$ (\frac{\sqrt{n}(\bar{X}_n - \mu)}{\sigma})^2$ は、標準正規分布 $N(0, 1)$ に従う確率変数の二乗の分布に分布収束する。

よって、$ (\frac{\sqrt{n}(\bar{X}_n - \mu)}{\sigma})^2$ の分布収束先は、自由度 1 のカイ二乗分布 $\chi^2_1$ です。


```plantuml
@startuml
title 標準化標本平均の二乗の分布収束

rectangle "確率変数列 Xₙ\n独立同一分布 (iid)\n平均 μ, 分散 σ²" as start #lightblue
rectangle "中心極限定理より\n√n(X̄ₙ - μ) / σ\nN(0, 1) に分布収束" as step1 #lightgreen
rectangle "連続写像定理適用\nh(x) = x² (連続関数)" as step2 #yellow
rectangle "N(0, 1) に従う確率変数の二乗\nχ²(1) 分布" as step3 #yellow
rectangle "結論\n(√n(X̄ₙ - μ) / σ)²\nχ²(1) に分布収束" as conclusion #lightcoral

start -r-> step1
step1 -d-> step2
step2 -r-> step3
step3 -r-> conclusion

skinparam ranksep 40
skinparam nodesep 50
skinparam defaultFontName Arial Unicode MS
@enduml

```