[Python][Financial Engineering][Fluid Mechanics] 金融工学と流体力学の類似性

# Introduction
金融工学と流体力学で用いられる方程式は、利用目的は異なりますが、数理的な構造には類似点があります。
それぞれの分野で用いられる代表的な方程式を例に挙げ、類似性について解説しいます。 

# **代表的な方程式の概要**  

## **1. Black-Scholes 方程式（金融工学）**  
**目的**：オプション価格の変動を記述する微分方程式  

```math
\frac{\partial V}{\partial t} + \frac{1}{2} \sigma^2 S^2 \frac{\partial^2 V}{\partial S^2} + r S \frac{\partial V}{\partial S} - r V = 0
```

- $V(S, t)$：オプション価格  
- $S$：基礎資産（例：株価）  
- $\sigma$：ボラティリティ（価格変動率）  
- $r$：リスクフリーレート（無リスク金利）  
- $\frac{\partial V}{\partial t}$：時間に対する変化  
- $\frac{\partial^2 V}{\partial S^2}$：価格の変動リスクを表す  

## **2. ナビエ–ストークス方程式（流体力学）**  
**目的**：粘性流体の運動を記述する非線形偏微分方程式  

運動量保存則（単純化した形）：

```math
\rho \left( \frac{\partial \mathbf{u}}{\partial t} + (\mathbf{u} \cdot \nabla) \mathbf{u} \right) = - \nabla p + \mu \nabla^2 \mathbf{u} + \mathbf{f}
```

- $\mathbf{u} = (u, v, w)$：流速ベクトル  
- $\rho$：密度  
- $p$：圧力  
- $\mu$：動粘性係数  
- $\mathbf{f}$：外力（重力など）  
- $\nabla^2 \mathbf{u}$：粘性項（拡散）  
- $(\mathbf{u} \cdot \nabla) \mathbf{u}$：対流項（非線形）  

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# **数理的な類似性**  

| **特徴**              | **Black-Scholes 方程式**                                   | **ナビエ–ストークス方程式** |
|------------------|------------------------------------------------|------------------------|
| **未知関数**     | オプション価格 $V(S,t)$                      | 流速ベクトル $\mathbf{u}(x,t)$ |
| **時間発展項**   | $\frac{\partial V}{\partial t}$ （時間による変化）  | $\frac{\partial \mathbf{u}}{\partial t}$ |
| **拡散項（拡がり）** | $\frac{1}{2} \sigma^2 S^2 \frac{\partial^2 V}{\partial S^2}$ | $\mu \nabla^2 \mathbf{u}$ |
| **流れの影響**   | 株価変動の影響 $S \frac{\partial V}{\partial S}$ | 流体の移流項 $(\mathbf{u} \cdot \nabla) \mathbf{u}$ |
| **非線形性**     | なし（線形 PDE）                                  | あり（対流項が非線形） |
| **境界条件**     | 端点でのオプション価格（ペイオフ関数） | 流れの境界条件（壁面・流入・流出） |

## **1. 拡散項の類似性**
**Black-Scholes 方程式**では、オプション価格の変動（ボラティリティ）によるリスクが「拡散」する  

```math
\frac{1}{2} \sigma^2 S^2 \frac{\partial^2 V}{\partial S^2}
```

**ナビエ–ストークス方程式**では、粘性（拡散効果）が速度場を滑らかにする  

```math
\mu \nabla^2 u
```

## **2. 時間発展の類似性**
- Black-Scholes：時間変化 $\frac{\partial V}{\partial t}$ に対して、オプション価格が決まる  
- ナビエ–ストークス：時間変化 $\frac{\partial \mathbf{u}}{\partial t}$ に対して、速度場が決まる  
→ どちらも「時間とともに状態が変化する偏微分方程式」という共通点がある  

## **3. 確率過程と流体の運動**
- Black-Scholes 方程式は、**ウィーナー過程**（ランダムな価格変動）に基づく拡散モデル  
- ナビエ–ストークス方程式の乱流モデリングも、**確率的手法**（RANS, LES, DNS など）を利用  

<INS>**市場のボラティリティと流体の乱流は、確率的に変動するシステムとして扱われる**</INS>

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# **違いと補完関係**
| **項目**      | **Black-Scholes**                                      | **ナビエ–ストークス** |
|-------------|------------------------------------------------|------------------------|
| **線形性**   | 線形 PDE                                      | 非線形 PDE |
| **非定常性** | 時間変化するが、株価の移流（移動）項はない      | 速度場の非定常流れあり |
| **解の性質** | ヨーロピアンオプションなら解析解がある | ほとんどの場合、数値解のみ |
| **応用範囲** | 金融工学（オプション価格） | 流体力学（流れの解析） |

- **Black-Scholes は線形 PDE であり、解析解が求まることが多い**（例：ヨーロピアンオプション）  
- **ナビエ–ストークスは非線形 PDE であり、ほとんどの場合、数値解析が必要**  
  → ただし、Black-Scholes の数値解法（有限差分法、モンテカルロ法）は CFD の数値手法と共通する  

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# **Summary**
✅ **共通点**  
- 時間発展型の偏微分方程式（PDE）  
- 拡散項があり、情報が「拡散」するモデル  
- 数値解析手法（有限差分法、モンテカルロ法など）が活用可能  
- 確率過程の考え方が適用可能（金融ではボラティリティ、流体では乱流）  

✅ **違い**  
- Black-Scholes は **線形 PDE**、ナビエ–ストークスは **非線形 PDE**  
- Black-Scholes は **金融市場の価格変動を記述**、ナビエ–ストークスは **流体の運動を記述**  

✅ **応用の可能性**  
| **金融工学 ⇨ 流体力学** | **流体力学 ⇨ 金融工学** |
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| モンテカルロシミュレーションの高度な最適化 | ナビエ–ストークス方程式の数値解法技術を金融リスクモデルに応用 |
| 確率過程と時間発展モデルの応用 | 乱流モデリングのデータ駆動手法を市場データ解析に応用 |
| 金融時系列解析の手法（ARIMA, GARCH） | 流体力学の並列計算手法をアルゴリズム取引の高速計算に適用 |
| デリバティブ価格計算の PDE ソルバー | 数値流体力学の可視化技術をマーケットデータ分析に活用 |
| 最適化理論（ポートフォリオ最適化） | 流体力学の形状最適化を金融ポートフォリオの最適設計に応用 |


# 参考リンク
- [Quantitative Finance Stack Exchange](https://quant.stackexchange.com/)  
- [Wilmott Forums](https://forum.wilmott.com/)  
- [SIAM Journal on Financial Mathematics](https://epubs.siam.org/journal/sifinm)  
- [Computational Fluid Dynamics Online](https://www.cfd-online.com/)  
- [NASA CFD Research](https://www.nas.nasa.gov/publications/npb-reports.html)  
- [[Python][Financial Engineering][Fluid Mechanics] 線形PDEと非線形PDE](https://qiita.com/Jochun/items/c89812743777a1367337)