コラッツ予想の特徴的な形のように感じるもの

コラッツ予想で面白い形が見つかったためメモ

# コラッツ予想の概要

任意の正の整数 n に対して、以下で定められる操作について考える。

n が偶数の場合、n を 2 で割る
n が奇数の場合、n に 3 を掛けて 1 を足す
このとき、「どんな初期値から始めても、有限回の操作のうちに必ず 1 に到達する（そして 1→4→2→1 というループに入る）」という主張が、コラッツの予想である。

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B3%E3%83%A9%E3%83%83%E3%83%84%E3%81%AE%E5%95%8F%E9%A1%8C

# コラッツ操作を図にしてみる

コラッツ操作をテーブル表示のような図にして、
2で割る操作を横軸、3を掛ける操作を縦軸にする


## n が 5 のときの操作

n が 5 のときの操作は
5 > 16 > 8 > 4 > 2 > 1
となる

これを図にしてみる

```plantuml
@startuml
skinparam padding 12
title
n = 5 のときの操作

奇数の場合 水色
偶数の場合 オレンジ色
1の場合 赤色
<#FFFFFF,#CCCCCC>|<#F0566E>1|<#F4E0C4>2|<#F4E0C4>4|<#F4E0C4>8|<#F4E0C4>16|
| | | | |<#AFDFE4>5|
end title
@enduml
```


## n が 3 のときの操作

n が 53 のときの操作は
3 > 10 > 5 > 16 > 8 > 4 > 2 > 1
となる

これを図にしてみる

```plantuml
@startuml
skinparam padding 12
title
n = 3 のときの操作

奇数の場合 水色
偶数の場合 オレンジ色
1の場合 赤色
<#FFFFFF,#CCCCCC>|<#F0566E>1|<#F4E0C4>2|<#F4E0C4>4|<#F4E0C4>8|<#F4E0C4>16| |
| | | | |<#AFDFE4>5|<#F4E0C4>10|
| | | | | ||<#AFDFE4>3|
end title
@enduml
```


# １つの数字からの図を重ね合わせる

上記では、１つの数字に対する操作を図にした。
次は、複数の数字に対する操作を図にする。

## 1と5と21の操作を１つの図にまとめる

1, 5, 21の数字は同じような数字を使用するため１つの図にまとめてみる

```plantuml
@startuml
skinparam padding 12
title
<#FFFFFF,#CCCCCC>|<#F0566E>1|<#F4E0C4>2|<#F4E0C4>4|<#F4E0C4>8|<#F4E0C4>16|<#F4E0C4>32|<#F4E0C4>64|
| | |<#AFDFE4>1| |<#AFDFE4>5| |<#AFDFE4>21|

end title
@enduml
```


## 35, 141, 565の操作を１つの図にまとめる

35, 141, 565の数字は同じような数字を使用するため１つの図にまとめてみる

```plantuml
@startuml
skinparam padding 12
title
<#FFFFFF,#CCCCCC>|<#F0566E>1|<#F4E0C4>2|<#F4E0C4>4|<#F4E0C4>8|<#F4E0C4>16| | | | | | | | | | |
| | | | |<#AFDFE4>5|<#F4E0C4>10|<#F4E0C4>20|<#F4E0C4>40|<#F4E0C4>80|<#F4E0C4>160|
| | | | | | | | | |<#AFDFE4>53|<#F4E0C4>106|<#F4E0C4>212|<#F4E0C4>424|<#F4E0C4>848|<#F4E0C4>1696|
| | | | | | | | | | |<#AFDFE4>35| |<#AFDFE4>141| |<#AFDFE4>565|
end title
@enduml
```

## 35, 141, 565の操作を１つの図にまとめたものを切り取る

上記の図形を以下のように切り取る

```plantuml
@startuml
skinparam padding 12
title
<#FFFFFF,#CCCCCC>|<#F4E0C4> | | | | | |
|<#AFDFE4>53|<#F4E0C4>106|<#F4E0C4>212|<#F4E0C4>424|<#F4E0C4>848|<#F4E0C4>1696|
| |<#AFDFE4>35| |<#AFDFE4>141| |<#AFDFE4>565|
end title
@enduml
```

## 3の操作を切り取る

3の操作も同じような感じに切り取る

```plantuml
@startuml
skinparam padding 12
title
<#FFFFFF,#CCCCCC>|<#F4E0C4> | |
|<#AFDFE4>5|<#F4E0C4>10|
| |<#AFDFE4>3|
end title
@enduml
```


## 3に接続する数字がない

3の数字に接続する数字は存在しない
3n + 1 は 必ず 3の倍数にならないため
色もちょっと変えておく

```plantuml
@startuml
skinparam padding 12
title
<#FFFFFF,#CCCCCC>|<#F4E0C4> | | | | |
|<#AFDFE4>5|<#F4E0C4>10| | | |
| |<#84C98B>3|<#F4E0C4>6|<#F4E0C4>12|<#F4E0C4>24|
| | |x|x|x|
end title
@enduml
```



# 切り取った図に関連すること

35と141と565の操作を切り取ったものは
53という数字に行きつく

また、3という数字に行きつく数字はない

ここで53 と 35, 141, 565などに対して以下のような名称をつけるとする

## 数字に対する名称

```plantuml
@startuml
skinparam padding 12
title
勝手に名付けたもの
<#FFFFFF,#CCCCCC>|=数字|=名称|=備考|
|<#F0566E>1|根|最終的にいきつく値、一番上の節|
|<#AFDFE4>53|節|奇数|
|<#84C98B>3|葉|奇数、かつ、したのほうに奇数が存在しない、一番下の節|
|<#F4E0C4>10|枝|偶数|
end title
@enduml
```


## 図のパターン

コラッツ操作した時に出る切り取り図のパターンを列挙してみる
上記では節の上に枝を書いていたが、面倒なので今後は省略する
節の下に節がある位置関係の場合、上にある節を上節、下にある節を下節とよぶことにする

### A. 根

```plantuml
@startuml
skinparam padding 12
title
<#FFFFFF,#CCCCCC>|<#F0566E>1|<#F4E0C4>2|<#F4E0C4>4|<#F4E0C4>8|<#F4E0C4>16|<#F4E0C4>32|<#F4E0C4>64|
| | |<#AFDFE4>1| |<#AFDFE4>5| |<#AFDFE4>21|
end title
@enduml
```

### B. 下節が奇数番目にある

```plantuml
@startuml
skinparam padding 12
title
<#FFFFFF,#CCCCCC>|<#AFDFE4>53|<#F4E0C4>106|<#F4E0C4>212|<#F4E0C4>424|<#F4E0C4>848|<#F4E0C4>1696|
| |<#AFDFE4>35| |<#AFDFE4>141| |<#AFDFE4>565|
end title
@enduml
```

### C. 下節が偶数番目にある

```plantuml
@startuml
skinparam padding 12
title
<#FFFFFF,#CCCCCC>|<#AFDFE4>13|<#F4E0C4>26|<#F4E0C4>52|<#F4E0C4>104|<#F4E0C4>208|<#F4E0C4>416|<#F4E0C4>832|
| | |<#AFDFE4>17| |<#AFDFE4>69| |<#AFDFE4>277|
end title
@enduml
```


# 図の数字の規則について

なぜかはよくわからないが、以下のような規則になっていた

## 葉の規則

3の倍数は葉で下節が存在しない

## 下節の規則 (4×１つ前の下節)+1

下節（※17, 69, 277など）は１つ前の下節の数字を4倍して+1した数になっている
35, 141, 565 も同様

```plantuml
@startuml
skinparam padding 12
title
<#FFFFFF,#CCCCCC>|下節1|下節2|下節3|
| |4×(下節1)+1|4×(下節2)+1|
|17|69|277|
|35|141|565|
end title
@enduml
```

## 下節が奇数番目にある場合、 上節が6a-1 のような値になり、一番左の下節(※下節1)は4a -1 になる

aは1以上の整数
下節1 = 4a-1　とすると
２番目の下節は
下節2 = 4(下節1)+1 = 4(4a-1)+1 = 16a-4+1 = 16a-3　になる
３番目の下節は
下節3 = 4(下節2)+1 = 4(16a-3)+1 = 64a-12+1 = 64a-11　になる

まとめると以下のようになる

```plantuml
@startuml
skinparam padding 12
title
<#FFFFFF,#CCCCCC>| |上節|下節1|下節2|下節3|
|a|6a-1|4a-1|16a-3|64a-11|
|1|5|3|13|53|
|2|11|7|29|117|
|3|17|11|45|181|
|4|23|15|61|245|
|5|29|19|77|309|
end title
@enduml
```

以下は上記テーブルの確認

```plantuml
@startuml
skinparam padding 12
title
a = 1
<#FFFFFF,#CCCCCC>|<#AFDFE4>5|<#F4E0C4>10|<#F4E0C4>20|<#F4E0C4>40|<#F4E0C4>80|<#F4E0C4>160|
| |<#AFDFE4>3| |<#AFDFE4>13| |<#AFDFE4>53|
end title
@enduml
```

```plantuml
@startuml
skinparam padding 12
title
a = 2
<#FFFFFF,#CCCCCC>|<#AFDFE4>11|<#F4E0C4>22|<#F4E0C4>44|<#F4E0C4>88|<#F4E0C4>176|<#F4E0C4>352|
| |<#AFDFE4>7| |<#AFDFE4>29| |<#AFDFE4>117|
end title
@enduml
```

```plantuml
@startuml
skinparam padding 12
title
a = 3
<#FFFFFF,#CCCCCC>|<#AFDFE4>17|<#F4E0C4>34|<#F4E0C4>68|<#F4E0C4>136|<#F4E0C4>272|<#F4E0C4>544|
| |<#AFDFE4>11| |<#AFDFE4>45| |<#AFDFE4>181|
end title
@enduml
```

```plantuml
@startuml
skinparam padding 12
title
a = 4
<#FFFFFF,#CCCCCC>|<#AFDFE4>23|<#F4E0C4>46|<#F4E0C4>92|<#F4E0C4>184|<#F4E0C4>368|<#F4E0C4>736|
| |<#AFDFE4>15| |<#AFDFE4>61| |<#AFDFE4>245|
end title
@enduml
```

```plantuml
@startuml
skinparam padding 12
title
a = 5
<#FFFFFF,#CCCCCC>|<#AFDFE4>29|<#F4E0C4>58|<#F4E0C4>116|<#F4E0C4>232|<#F4E0C4>464|<#F4E0C4>928|
| |<#AFDFE4>19| |<#AFDFE4>77| |<#AFDFE4>309|
end title
@enduml
```


## 下節が偶数番目にある場合、 上節が6a+1 のような値になり、一番左の下節(※下節1)は8a+1 になる

aは1以上の整数
下節1 = 8a+1　とすると
２番目の下節は
下節2 = 4(下節1)+1 = 4(8a+1)+1 = 32a+4+1 = 32a+5　になる
３番目の下節は
下節3 = 4(下節2)+1 = 4(32a+5)+1 = 128a+20+1 = 128a+21　になる

まとめると以下のようになる

```plantuml
@startuml
skinparam padding 12
title
<#FFFFFF,#CCCCCC>| |上節|下節1|下節2|下節3|
|a|6a+1|8a+1|32a+5|128a+21|
|1|7|9|37|149|
|2|13|17|69|277|
|3|19|25|101|405|
|4|25|33|133|533|
|5|31|41|165|661|
end title
@enduml
```

以下は上記テーブルの確認

```plantuml
@startuml
skinparam padding 12
title
a = 1
<#FFFFFF,#CCCCCC>|<#AFDFE4>7|<#F4E0C4>14|<#F4E0C4>28|<#F4E0C4>56|<#F4E0C4>112|<#F4E0C4>224|<#F4E0C4>448|
| | |<#AFDFE4>9| |<#AFDFE4>37| |<#AFDFE4>149|
end title
@enduml
```

```plantuml
@startuml
skinparam padding 12
title
a = 2
<#FFFFFF,#CCCCCC>|<#AFDFE4>13|<#F4E0C4>26|<#F4E0C4>52|<#F4E0C4>104|<#F4E0C4>208|<#F4E0C4>416|<#F4E0C4>832|
| | |<#AFDFE4>17| |<#AFDFE4>69| |<#AFDFE4>277|
end title
@enduml
```

```plantuml
@startuml
skinparam padding 12
title
a = 3
<#FFFFFF,#CCCCCC>|<#AFDFE4>13|<#F4E0C4>26|<#F4E0C4>52|<#F4E0C4>104|<#F4E0C4>208|<#F4E0C4>416|<#F4E0C4>832|
| | |<#AFDFE4>17| |<#AFDFE4>69| |<#AFDFE4>277|
end title
@enduml
```

```plantuml
@startuml
skinparam padding 12
title
a = 4
<#FFFFFF,#CCCCCC>|<#AFDFE4>25|<#F4E0C4>50|<#F4E0C4>100|<#F4E0C4>200|<#F4E0C4>400|<#F4E0C4>800|<#F4E0C4>1600|
| | |<#AFDFE4>33| |<#AFDFE4>133| |<#AFDFE4>533|
end title
@enduml
```

```plantuml
@startuml
skinparam padding 12
title
a = 5
<#FFFFFF,#CCCCCC>|<#AFDFE4>31|<#F4E0C4>62|<#F4E0C4>124|<#F4E0C4>248|<#F4E0C4>496|<#F4E0C4>992|<#F4E0C4>1984|
| | |<#AFDFE4>41| |<#AFDFE4>165| |<#AFDFE4>661|
end title
@enduml
```


# 取りうる値の範囲

## 根と節と葉の範囲

根と節と葉がとる値をまとめる
以下で1以上のすべての整数になる

```plantuml
@startuml
skinparam padding 12
title
<#FFFFFF,#CCCCCC>|数字|名称|範囲|
|<#F0566E>1|根|1のみ|
|<#F4E0C4>2|枝|偶数、6a-4、6a-2、6a|
|<#84C98B>3|葉|奇数、6a-3、3の倍数|
|<#AFDFE4>5|節|奇数、6a-1、下節が奇数番目にある|
|<#AFDFE4>7|節|奇数、6a+1、下節が偶数番目にある|
end title
@enduml
```

aは1以上の整数

```plantuml
@startuml
skinparam padding 12
title
<#FFFFFF,#CCCCCC>|根|枝|葉|枝|節|枝|節|
| |6a-4|6a-3|6a-2|6a-1|6a|6a+1|
|<#F0566E>1|<#F4E0C4>2|<#84C98B>3|<#F4E0C4>4|<#AFDFE4>5|<#F4E0C4>6|<#AFDFE4>7|
| |<#F4E0C4>8|<#84C98B>9|<#F4E0C4>10|<#AFDFE4>11|<#F4E0C4>12|<#AFDFE4>13|
| |<#F4E0C4>14|<#84C98B>15|<#F4E0C4>16|<#AFDFE4>17|<#F4E0C4>18|<#AFDFE4>19|
| |<#F4E0C4>20|<#84C98B>21|<#F4E0C4>22|<#AFDFE4>23|<#F4E0C4>24|<#AFDFE4>25|
| |<#F4E0C4>26|<#84C98B>27|<#F4E0C4>28|<#AFDFE4>29|<#F4E0C4>30|<#AFDFE4>31|
end title
@enduml
```

## 下節の範囲

根と上節につながる下節のとる値をまとめる
下節2 = 4(下節1)+1のような規則がある

### 上節が根の場合

```plantuml
@startuml
skinparam padding 12
title
<#FFFFFF,#CCCCCC>|根|下節1|下節2|下節3|下節4|下節5|下節6|下節7|...|
|1|1|5|21|85|341|1365|5461|...|
end title
@enduml
```

### 上節が根以外で下節が奇数番目にある場合

aは1以上の整数
下節1 = 4a-1　とすると
２番目の下節は
下節2 = 4(下節1)+1 = 4(4a-1)+1 = 16a-4+1 = 16a-3　になる
３番目の下節は
下節3 = 4(下節2)+1 = 4(16a-3)+1 = 64a-12+1 = 64a-11　になる
４番目の下節は
下節4 = 4(下節3)+1 = 4(64a-11)+1 = 256a-44+1 = 256a-43　になる
５番目の下節は
下節5 = 4(下節4)+1 = 4(256a-43)+1 = 1024a-172+1 = 1024a-171　になる

```plantuml
@startuml
skinparam padding 12
title
<#FFFFFF,#CCCCCC>| |上節|下節1|下節2|下節3|下節4|下節5|...|
|a|6a-1|4a-1|16a-3|64a-11|256a-43|1024a-171|...|
|1|5|3|13|53|213|853|...|
|2|11|7|29|117|469|1877|...|
|3|17|11|45|181|725|2901|...|
|4|23|15|61|245|981|3925|...|
|5|29|19|77|309|1237|4949|...|
end title
@enduml
```


### 上節が根以外で下節が偶数番目にある場合

aは1以上の整数
下節1 = 8a+1　とすると
２番目の下節は
下節2 = 4(下節1)+1 = 4(8a+1)+1 = 32a+4+1 = 32a+5　になる
３番目の下節は
下節3 = 4(下節2)+1 = 4(32a+5)+1 = 128a+20+1 = 128a+21　になる
４番目の下節は
下節4 = 4(下節3)+1 = 4(128a+21)+1 = 512a+84+1 = 512a+85　になる
５番目の下節は
下節5 = 4(下節4)+1 = 4(512a+85)+1 = 2048a+340+1 = 2048a+341　になる

```plantuml
@startuml
skinparam padding 12
title
<#FFFFFF,#CCCCCC>| |上節|下節1|下節2|下節3|下節4|下節5|...|
|a|6a+1|8a+1|32a+5|128a+21|512a+85|2048a+341|...|
|1|7|9|37|149|597|2389|...|
|2|13|17|69|277|1109|4437|...|
|3|19|25|101|405|1621|6485|...|
|4|25|33|133|533|2133|8533|...|
|5|31|41|165|661|2645|10581|...|
end title
@enduml
```

### 下節とそれにつながる枝を含めた値の範囲

下節は上記のテーブルになっている、下節にくっつく枝（※下枝と呼ぶことにしておく）まで含めた値の範囲をまとめる

aは1以上の整数

```plantuml
@startuml
skinparam padding 12
title
<#FFFFFF,#CCCCCC>|下節|下枝|下節|下枝|下節|
| |4a-2|4a-1|4a|4a+1|
|1|2|<#AFDFE4>3|4|5|
| |6|<#AFDFE4>7|8|9|
| |10|<#AFDFE4>11|12|13|
| |14|<#AFDFE4>15|16|17|
| |18|<#AFDFE4>19|20|21|
end title
@enduml
```

4a-1 は 下節が奇数番目にある場合の下節1

現時点での下枝の範囲は以下

```plantuml
@startuml
skinparam padding 12
title
<#FFFFFF,#CCCCCC>| |根|下節1|下節2|下節3|下節4|下節5|下節6|下節7|...|
| |1|1|5|21|85|341|1365|5461|...|
end title
@enduml
```

```plantuml
@startuml
skinparam padding 12
title
<#FFFFFF,#CCCCCC>| |上節|下節1|下節2|下節3|下節4|下節5|...|
|a|6a-1|4a-1|16a-3|64a-11|256a-43|1024a-171|...|
|1|5|<#AFDFE4>3|13|53|213|853|...|
|2|11|<#AFDFE4>7|29|117|469|1877|...|
|3|17|<#AFDFE4>11|45|181|725|2901|...|
|4|23|<#AFDFE4>15|61|245|981|3925|...|
|5|29|<#AFDFE4>19|77|309|1237|4949|...|
end title
@enduml
```

```plantuml
@startuml
skinparam padding 12
title
<#FFFFFF,#CCCCCC>| |上節|下節1|下節2|下節3|下節4|下節5|...|
|a|6a+1|8a+1|32a+5|128a+21|512a+85|2048a+341|...|
|1|7|9|37|149|597|2389|...|
|2|13|17|69|277|1109|4437|...|
|3|19|25|101|405|1621|6485|...|
|4|25|33|133|533|2133|8533|...|
|5|31|41|165|661|2645|10581|...|
end title
@enduml
```


残った下節の 4a+1 の場合を次で考える

### 下節の 4a+1 に関連するもの

下節 を 4a+1とする
これを２つに分割する

bは1以上の整数

```plantuml
@startuml
skinparam padding 12
title
<#FFFFFF,#CCCCCC>| | | |4a+1|4a+1|4a+1|
|a|b|除外|除外|8b+1|8b+5|
|1~3|1|<#AFDFE4>1|<#AFDFE4>5|<#AFDFE4>9|13|
|4~5|2| | |<#AFDFE4>17|21|
|6~7|3| | |<#AFDFE4>25|29|
|8~9|4| | |<#AFDFE4>33|37|
|10~11|5| | |<#AFDFE4>41|45|
end title
@enduml
```

8b+1 は 下節が偶数番目にある場合の下節1
1, 5 は 上節が根の場合の下節1と下節2

現時点での下枝の範囲は以下

```plantuml
@startuml
skinparam padding 12
title
<#FFFFFF,#CCCCCC>| |根|下節1|下節2|下節3|下節4|下節5|下節6|下節7|...|
| |1|<#AFDFE4>1|<#AFDFE4>5|21|85|341|1365|5461|...|
end title
@enduml
```

```plantuml
@startuml
skinparam padding 12
title
<#FFFFFF,#CCCCCC>| |上節|下節1|下節2|下節3|下節4|下節5|...|
|a|6a-1|4a-1|16a-3|64a-11|256a-43|1024a-171|...|
|1|5|<#AFDFE4>3|13|53|213|853|...|
|2|11|<#AFDFE4>7|29|117|469|1877|...|
|3|17|<#AFDFE4>11|45|181|725|2901|...|
|4|23|<#AFDFE4>15|61|245|981|3925|...|
|5|29|<#AFDFE4>19|77|309|1237|4949|...|
end title
@enduml
```

```plantuml
@startuml
skinparam padding 12
title
<#FFFFFF,#CCCCCC>| |上節|下節1|下節2|下節3|下節4|下節5|...|
|a|6a+1|8a+1|32a+5|128a+21|512a+85|2048a+341|...|
|1|7|<#AFDFE4>9|37|149|597|2389|...|
|2|13|<#AFDFE4>17|69|277|1109|4437|...|
|3|19|<#AFDFE4>25|101|405|1621|6485|...|
|4|25|<#AFDFE4>33|133|533|2133|8533|...|
|5|31|<#AFDFE4>41|165|661|2645|10581|...|
end title
@enduml
```

残った下節の 8b+5 の場合を次で考える

### 下節の 8b+5 に関連するもの

下節 を 8b+5とする
これを２つに分割する

cは1以上の整数

```plantuml
@startuml
skinparam padding 12
title
<#FFFFFF,#CCCCCC>| | |8b+5|8b+5|
|b|c|16c-3|16c+5|
|1~2|1|<#AFDFE4>13|21|
|3~4|2|<#AFDFE4>29|37|
|5~6|3|<#AFDFE4>45|53|
|7~8|4|<#AFDFE4>61|69|
|9~10|5|<#AFDFE4>77|85|
end title
@enduml
```

16c-3 は 下節が奇数番目にある場合の下節2

現時点での下枝の範囲は以下

```plantuml
@startuml
skinparam padding 12
title
<#FFFFFF,#CCCCCC>| |根|下節1|下節2|下節3|下節4|下節5|下節6|下節7|...|
| |1|<#AFDFE4>1|<#AFDFE4>5|21|85|341|1365|5461|...|
end title
@enduml
```

```plantuml
@startuml
skinparam padding 12
title
<#FFFFFF,#CCCCCC>| |上節|下節1|下節2|下節3|下節4|下節5|...|
|a|6a-1|4a-1|16a-3|64a-11|256a-43|1024a-171|...|
|1|5|<#AFDFE4>3|<#AFDFE4>13|53|213|853|...|
|2|11|<#AFDFE4>7|<#AFDFE4>29|117|469|1877|...|
|3|17|<#AFDFE4>11|<#AFDFE4>45|181|725|2901|...|
|4|23|<#AFDFE4>15|<#AFDFE4>61|245|981|3925|...|
|5|29|<#AFDFE4>19|<#AFDFE4>77|309|1237|4949|...|
end title
@enduml
```

```plantuml
@startuml
skinparam padding 12
title
<#FFFFFF,#CCCCCC>| |上節|下節1|下節2|下節3|下節4|下節5|...|
|a|6a+1|8a+1|32a+5|128a+21|512a+85|2048a+341|...|
|1|7|<#AFDFE4>9|37|149|597|2389|...|
|2|13|<#AFDFE4>17|69|277|1109|4437|...|
|3|19|<#AFDFE4>25|101|405|1621|6485|...|
|4|25|<#AFDFE4>33|133|533|2133|8533|...|
|5|31|<#AFDFE4>41|165|661|2645|10581|...|
end title
@enduml
```

残った下節の 16c+5 の場合を次で考える


### 下節の 16c+5 に関連するもの

下節 を 16c+5とする
これを２つに分割する

dは1以上の整数

```plantuml
@startuml
skinparam padding 12
title
<#FFFFFF,#CCCCCC>| | |16c+5|16c+5|
|c|d|32d-11|32d+5|
|1~2|1|21|<#AFDFE4>37|
|3~4|2|53|<#AFDFE4>69|
|5~6|3|85|<#AFDFE4>101|
|7~8|4|117|<#AFDFE4>133|
|9~10|5|149|<#AFDFE4>165|
end title
@enduml
```

32d+5 は 下節が偶数番目にある場合の下節2

現時点での下枝の範囲は以下

```plantuml
@startuml
skinparam padding 12
title
<#FFFFFF,#CCCCCC>| |根|下節1|下節2|下節3|下節4|下節5|下節6|下節7|...|
| |1|<#AFDFE4>1|<#AFDFE4>5|21|85|341|1365|5461|...|
end title
@enduml
```

```plantuml
@startuml
skinparam padding 12
title
<#FFFFFF,#CCCCCC>| |上節|下節1|下節2|下節3|下節4|下節5|...|
|a|6a-1|4a-1|16a-3|64a-11|256a-43|1024a-171|...|
|1|5|<#AFDFE4>3|<#AFDFE4>13|53|213|853|...|
|2|11|<#AFDFE4>7|<#AFDFE4>29|117|469|1877|...|
|3|17|<#AFDFE4>11|<#AFDFE4>45|181|725|2901|...|
|4|23|<#AFDFE4>15|<#AFDFE4>61|245|981|3925|...|
|5|29|<#AFDFE4>19|<#AFDFE4>77|309|1237|4949|...|
end title
@enduml
```

```plantuml
@startuml
skinparam padding 12
title
<#FFFFFF,#CCCCCC>| |上節|下節1|下節2|下節3|下節4|下節5|...|
|a|6a+1|8a+1|32a+5|128a+21|512a+85|2048a+341|...|
|1|7|<#AFDFE4>9|<#AFDFE4>37|149|597|2389|...|
|2|13|<#AFDFE4>17|<#AFDFE4>69|277|1109|4437|...|
|3|19|<#AFDFE4>25|<#AFDFE4>101|405|1621|6485|...|
|4|25|<#AFDFE4>33|<#AFDFE4>133|533|2133|8533|...|
|5|31|<#AFDFE4>41|<#AFDFE4>165|661|2645|10581|...|
end title
@enduml
```

残った下節の 32d-11 の場合を次で考える


### 下節の 32d-11 に関連するもの

下節 を 32d-11とする
これを２つに分割する

eは1以上の整数

```plantuml
@startuml
skinparam padding 12
title
<#FFFFFF,#CCCCCC>| | |32d-11|32d-11|
|d|e|64e-43|64e-11|
|1~2|1|21|<#AFDFE4>53|
|3~4|2|85|<#AFDFE4>117|
|5~6|3|149|<#AFDFE4>181|
|7~8|4|213|<#AFDFE4>245|
|9~10|5|277|<#AFDFE4>309|
end title
@enduml
```

64e-11 は 下節が奇数番目にある場合の下節3

現時点での下枝の範囲は以下

```plantuml
@startuml
skinparam padding 12
title
<#FFFFFF,#CCCCCC>| |根|下節1|下節2|下節3|下節4|下節5|下節6|下節7|...|
| |1|<#AFDFE4>1|<#AFDFE4>5|21|85|341|1365|5461|...|
end title
@enduml
```

```plantuml
@startuml
skinparam padding 12
title
<#FFFFFF,#CCCCCC>| |上節|下節1|下節2|下節3|下節4|下節5|...|
|a|6a-1|4a-1|16a-3|64a-11|256a-43|1024a-171|...|
|1|5|<#AFDFE4>3|<#AFDFE4>13|<#AFDFE4>53|213|853|...|
|2|11|<#AFDFE4>7|<#AFDFE4>29|<#AFDFE4>117|469|1877|...|
|3|17|<#AFDFE4>11|<#AFDFE4>45|<#AFDFE4>181|725|2901|...|
|4|23|<#AFDFE4>15|<#AFDFE4>61|<#AFDFE4>245|981|3925|...|
|5|29|<#AFDFE4>19|<#AFDFE4>77|<#AFDFE4>309|1237|4949|...|
end title
@enduml
```

```plantuml
@startuml
skinparam padding 12
title
<#FFFFFF,#CCCCCC>| |上節|下節1|下節2|下節3|下節4|下節5|...|
|a|6a+1|8a+1|32a+5|128a+21|512a+85|2048a+341|...|
|1|7|<#AFDFE4>9|<#AFDFE4>37|149|597|2389|...|
|2|13|<#AFDFE4>17|<#AFDFE4>69|277|1109|4437|...|
|3|19|<#AFDFE4>25|<#AFDFE4>101|405|1621|6485|...|
|4|25|<#AFDFE4>33|<#AFDFE4>133|533|2133|8533|...|
|5|31|<#AFDFE4>41|<#AFDFE4>165|661|2645|10581|...|
end title
@enduml
```

残った下節の 64e-43 の場合を次で考える

### 下節の 64e-43 に関連するもの

下節 を 64e-43とする
これを２つに分割する

fは1以上の整数

```plantuml
@startuml
skinparam padding 12
title
<#FFFFFF,#CCCCCC>| | |64e-43|64e-43|64e-43|64e-43|
|e|f|除外|除外|128f+21|128f+85|
|1~4|1|<#AFDFE4>21|<#AFDFE4>85|<#AFDFE4>149|213|
|5~6|2| | |<#AFDFE4>277|341|
|7~8|3| | |<#AFDFE4>405|469|
|9~10|4| | |<#AFDFE4>533|597|
|11~12|5| | |<#AFDFE4>661|725|
end title
@enduml
```

128f+21 は 下節が偶数番目にある場合の下節3
21, 85 は　上節が根の場合の下節3と下節4

現時点での下枝の範囲は以下

```plantuml
@startuml
skinparam padding 12
title
<#FFFFFF,#CCCCCC>| |根|下節1|下節2|下節3|下節4|下節5|下節6|下節7|...|
| |1|<#AFDFE4>1|<#AFDFE4>5|<#AFDFE4>21|<#AFDFE4>85|341|1365|5461|...|
end title
@enduml
```

```plantuml
@startuml
skinparam padding 12
title
<#FFFFFF,#CCCCCC>| |上節|下節1|下節2|下節3|下節4|下節5|...|
|a|6a-1|4a-1|16a-3|64a-11|256a-43|1024a-171|...|
|1|5|<#AFDFE4>3|<#AFDFE4>13|<#AFDFE4>53|213|853|...|
|2|11|<#AFDFE4>7|<#AFDFE4>29|<#AFDFE4>117|469|1877|...|
|3|17|<#AFDFE4>11|<#AFDFE4>45|<#AFDFE4>181|725|2901|...|
|4|23|<#AFDFE4>15|<#AFDFE4>61|<#AFDFE4>245|981|3925|...|
|5|29|<#AFDFE4>19|<#AFDFE4>77|<#AFDFE4>309|1237|4949|...|
end title
@enduml
```

```plantuml
@startuml
skinparam padding 12
title
<#FFFFFF,#CCCCCC>| |上節|下節1|下節2|下節3|下節4|下節5|...|
|a|6a+1|8a+1|32a+5|128a+21|512a+85|2048a+341|...|
|1|7|<#AFDFE4>9|<#AFDFE4>37|<#AFDFE4>149|597|2389|...|
|2|13|<#AFDFE4>17|<#AFDFE4>69|<#AFDFE4>277|1109|4437|...|
|3|19|<#AFDFE4>25|<#AFDFE4>101|<#AFDFE4>405|1621|6485|...|
|4|25|<#AFDFE4>33|<#AFDFE4>133|<#AFDFE4>533|2133|8533|...|
|5|31|<#AFDFE4>41|<#AFDFE4>165|<#AFDFE4>661|2645|10581|...|
end title
@enduml
```

残った下節の 128f+85 の場合を次で考える

### 下節の 128f+85 に関連するもの

下節 を 128f+85とする
これを２つに分割する

gは1以上の整数

```plantuml
@startuml
skinparam padding 12
title
<#FFFFFF,#CCCCCC>| | |128f+85|128f+85|
|f|g|256g-43|256g+85|
|1~2|1|<#AFDFE4>213|341|
|3~4|2|<#AFDFE4>469|597|
|5~6|3|<#AFDFE4>725|853|
|7~8|4|<#AFDFE4>981|1109|
|9~10|5|<#AFDFE4>1237|1365|
end title
@enduml
```

256g-43 は 下節が奇数番目にある場合の下節4

現時点での下枝の範囲は以下

```plantuml
@startuml
skinparam padding 12
title
<#FFFFFF,#CCCCCC>| |根|下節1|下節2|下節3|下節4|下節5|下節6|下節7|...|
| |1|<#AFDFE4>1|<#AFDFE4>5|<#AFDFE4>21|<#AFDFE4>85|341|1365|5461|...|
end title
@enduml
```

```plantuml
@startuml
skinparam padding 12
title
<#FFFFFF,#CCCCCC>| |上節|下節1|下節2|下節3|下節4|下節5|...|
|a|6a-1|4a-1|16a-3|64a-11|256a-43|1024a-171|...|
|1|5|<#AFDFE4>3|<#AFDFE4>13|<#AFDFE4>53|<#AFDFE4>213|853|...|
|2|11|<#AFDFE4>7|<#AFDFE4>29|<#AFDFE4>117|<#AFDFE4>469|1877|...|
|3|17|<#AFDFE4>11|<#AFDFE4>45|<#AFDFE4>181|<#AFDFE4>725|2901|...|
|4|23|<#AFDFE4>15|<#AFDFE4>61|<#AFDFE4>245|<#AFDFE4>981|3925|...|
|5|29|<#AFDFE4>19|<#AFDFE4>77|<#AFDFE4>309|<#AFDFE4>1237|4949|...|
end title
@enduml
```

```plantuml
@startuml
skinparam padding 12
title
<#FFFFFF,#CCCCCC>| |上節|下節1|下節2|下節3|下節4|下節5|...|
|a|6a+1|8a+1|32a+5|128a+21|512a+85|2048a+341|...|
|1|7|<#AFDFE4>9|<#AFDFE4>37|<#AFDFE4>149|597|2389|...|
|2|13|<#AFDFE4>17|<#AFDFE4>69|<#AFDFE4>277|1109|4437|...|
|3|19|<#AFDFE4>25|<#AFDFE4>101|<#AFDFE4>405|1621|6485|...|
|4|25|<#AFDFE4>33|<#AFDFE4>133|<#AFDFE4>533|2133|8533|...|
|5|31|<#AFDFE4>41|<#AFDFE4>165|<#AFDFE4>661|2645|10581|...|
end title
@enduml
```

残った下節の 256g+85 の場合を次で考える

### 下節の 256g+85 に関連するもの

下節 を 256g+85とする
これを２つに分割する

hは1以上の整数

```plantuml
@startuml
skinparam padding 12
title
<#FFFFFF,#CCCCCC>| | |256g+85|256g+85|
|g|h|512h-171|512h+85|
|1~2|1|341|<#AFDFE4>597|
|3~4|2|853|<#AFDFE4>1109|
|5~6|3|1365|<#AFDFE4>1621|
|7~8|4|1877|<#AFDFE4>2133|
|9~10|5|2389|<#AFDFE4>2645|
end title
@enduml
```

512h+85 は 下節が偶数番目にある場合の下節4

現時点での下枝の範囲は以下

```plantuml
@startuml
skinparam padding 12
title
<#FFFFFF,#CCCCCC>| |根|下節1|下節2|下節3|下節4|下節5|下節6|下節7|...|
| |1|<#AFDFE4>1|<#AFDFE4>5|<#AFDFE4>21|<#AFDFE4>85|341|1365|5461|...|
end title
@enduml
```

```plantuml
@startuml
skinparam padding 12
title
<#FFFFFF,#CCCCCC>| |上節|下節1|下節2|下節3|下節4|下節5|...|
|a|6a-1|4a-1|16a-3|64a-11|256a-43|1024a-171|...|
|1|5|<#AFDFE4>3|<#AFDFE4>13|<#AFDFE4>53|<#AFDFE4>213|853|...|
|2|11|<#AFDFE4>7|<#AFDFE4>29|<#AFDFE4>117|<#AFDFE4>469|1877|...|
|3|17|<#AFDFE4>11|<#AFDFE4>45|<#AFDFE4>181|<#AFDFE4>725|2901|...|
|4|23|<#AFDFE4>15|<#AFDFE4>61|<#AFDFE4>245|<#AFDFE4>981|3925|...|
|5|29|<#AFDFE4>19|<#AFDFE4>77|<#AFDFE4>309|<#AFDFE4>1237|4949|...|
end title
@enduml
```

```plantuml
@startuml
skinparam padding 12
title
<#FFFFFF,#CCCCCC>| |上節|下節1|下節2|下節3|下節4|下節5|...|
|a|6a+1|8a+1|32a+5|128a+21|512a+85|2048a+341|...|
|1|7|<#AFDFE4>9|<#AFDFE4>37|<#AFDFE4>149|<#AFDFE4>597|2389|...|
|2|13|<#AFDFE4>17|<#AFDFE4>69|<#AFDFE4>277|<#AFDFE4>1109|4437|...|
|3|19|<#AFDFE4>25|<#AFDFE4>101|<#AFDFE4>405|<#AFDFE4>1621|6485|...|
|4|25|<#AFDFE4>33|<#AFDFE4>133|<#AFDFE4>533|<#AFDFE4>2133|8533|...|
|5|31|<#AFDFE4>41|<#AFDFE4>165|<#AFDFE4>661|<#AFDFE4>2645|10581|...|
end title
@enduml
```

残った下節の 512h-171 の場合を次で考える

### 下節の 512h-171 に関連するもの

下節 を 512h-171とする
これを２つに分割する

iは1以上の整数

```plantuml
@startuml
skinparam padding 12
title
<#FFFFFF,#CCCCCC>| | |512h-171|512h-171|
|h|i|1024i-683|1024i-171|
|1~2|1|341|<#AFDFE4>853|
|3~4|2|1365|<#AFDFE4>1877|
|5~6|3|1365|<#AFDFE4>1621|
|7~8|4|2389|<#AFDFE4>2901|
|9~10|5|3413|<#AFDFE4>3925|
end title
@enduml
```

1024i-171 は 下節が奇数番目にある場合の下節5

現時点での下枝の範囲は以下

```plantuml
@startuml
skinparam padding 12
title
<#FFFFFF,#CCCCCC>| |根|下節1|下節2|下節3|下節4|下節5|下節6|下節7|...|
| |1|<#AFDFE4>1|<#AFDFE4>5|<#AFDFE4>21|<#AFDFE4>85|341|1365|5461|...|
end title
@enduml
```

```plantuml
@startuml
skinparam padding 12
title
<#FFFFFF,#CCCCCC>| |上節|下節1|下節2|下節3|下節4|下節5|...|
|a|6a-1|4a-1|16a-3|64a-11|256a-43|1024a-171|...|
|1|5|<#AFDFE4>3|<#AFDFE4>13|<#AFDFE4>53|<#AFDFE4>213|<#AFDFE4>853|...|
|2|11|<#AFDFE4>7|<#AFDFE4>29|<#AFDFE4>117|<#AFDFE4>469|<#AFDFE4>1877|...|
|3|17|<#AFDFE4>11|<#AFDFE4>45|<#AFDFE4>181|<#AFDFE4>725|<#AFDFE4>2901|...|
|4|23|<#AFDFE4>15|<#AFDFE4>61|<#AFDFE4>245|<#AFDFE4>981|<#AFDFE4>3925|...|
|5|29|<#AFDFE4>19|<#AFDFE4>77|<#AFDFE4>309|<#AFDFE4>1237|<#AFDFE4>4949|...|
end title
@enduml
```

```plantuml
@startuml
skinparam padding 12
title
<#FFFFFF,#CCCCCC>| |上節|下節1|下節2|下節3|下節4|下節5|...|
|a|6a+1|8a+1|32a+5|128a+21|512a+85|2048a+341|...|
|1|7|<#AFDFE4>9|<#AFDFE4>37|<#AFDFE4>149|<#AFDFE4>597|2389|...|
|2|13|<#AFDFE4>17|<#AFDFE4>69|<#AFDFE4>277|<#AFDFE4>1109|4437|...|
|3|19|<#AFDFE4>25|<#AFDFE4>101|<#AFDFE4>405|<#AFDFE4>1621|6485|...|
|4|25|<#AFDFE4>33|<#AFDFE4>133|<#AFDFE4>533|<#AFDFE4>2133|8533|...|
|5|31|<#AFDFE4>41|<#AFDFE4>165|<#AFDFE4>661|<#AFDFE4>2645|10581|...|
end title
@enduml
```

残った下節の 1024i-683 の場合を次で考える

### 下節の 1024i-683 に関連するもの

下節 を 1024i-683とする
これを２つに分割する

jは1以上の整数

```plantuml
@startuml
skinparam padding 12
title
<#FFFFFF,#CCCCCC>| | |1024i-683|1024i-683|1024i-683|1024i-683|
|i|j|除外|除外|2048j+341|2048j+1365|
|1~4|1|<#AFDFE4>341|<#AFDFE4>1365|<#AFDFE4>2389|3413|
|5~6|2| | |<#AFDFE4>4437|5461|
|7~8|3| | |<#AFDFE4>6485|7509|
|9~10|4| | |<#AFDFE4>8533|9557|
|11~12|5| | |<#AFDFE4>10581|11605|
end title
@enduml
```

2048j+341 は 下節が偶数番目にある場合の下節5
341, 1365 は 上節が根の場合の下節5と下節6

現時点での下枝の範囲は以下

```plantuml
@startuml
skinparam padding 12
title
<#FFFFFF,#CCCCCC>| |根|下節1|下節2|下節3|下節4|下節5|下節6|下節7|...|
| |1|<#AFDFE4>1|<#AFDFE4>5|<#AFDFE4>21|<#AFDFE4>85|<#AFDFE4>341|<#AFDFE4>1365|5461|...|
end title
@enduml
```

```plantuml
@startuml
skinparam padding 12
title
<#FFFFFF,#CCCCCC>| |上節|下節1|下節2|下節3|下節4|下節5|...|
|a|6a-1|4a-1|16a-3|64a-11|256a-43|1024a-171|...|
|1|5|<#AFDFE4>3|<#AFDFE4>13|<#AFDFE4>53|<#AFDFE4>213|<#AFDFE4>853|...|
|2|11|<#AFDFE4>7|<#AFDFE4>29|<#AFDFE4>117|<#AFDFE4>469|<#AFDFE4>1877|...|
|3|17|<#AFDFE4>11|<#AFDFE4>45|<#AFDFE4>181|<#AFDFE4>725|<#AFDFE4>2901|...|
|4|23|<#AFDFE4>15|<#AFDFE4>61|<#AFDFE4>245|<#AFDFE4>981|<#AFDFE4>3925|...|
|5|29|<#AFDFE4>19|<#AFDFE4>77|<#AFDFE4>309|<#AFDFE4>1237|<#AFDFE4>4949|...|
end title
@enduml
```

```plantuml
@startuml
skinparam padding 12
title
<#FFFFFF,#CCCCCC>| |上節|下節1|下節2|下節3|下節4|下節5|...|
|a|6a+1|8a+1|32a+5|128a+21|512a+85|2048a+341|...|
|1|7|<#AFDFE4>9|<#AFDFE4>37|<#AFDFE4>149|<#AFDFE4>597|<#AFDFE4>2389|...|
|2|13|<#AFDFE4>17|<#AFDFE4>69|<#AFDFE4>277|<#AFDFE4>1109|<#AFDFE4>4437|...|
|3|19|<#AFDFE4>25|<#AFDFE4>101|<#AFDFE4>405|<#AFDFE4>1621|<#AFDFE4>6485|...|
|4|25|<#AFDFE4>33|<#AFDFE4>133|<#AFDFE4>533|<#AFDFE4>2133|<#AFDFE4>8533|...|
|5|31|<#AFDFE4>41|<#AFDFE4>165|<#AFDFE4>661|<#AFDFE4>2645|<#AFDFE4>10581|...|
end title
@enduml
```

こんなことを繰り返していたら、下節の範囲が奇数全部ということになる気がする


# まとめ

上節や根が 1, 6n-1, 6n+1 という整数の範囲の 1/3 ぐらいの範囲の値をとるとき
下節が奇数の範囲をカバーする気がする
下節の２倍の枝が偶数になるため、全整数をカバーできそうな感じがする

```plantuml
@startuml

storage 整数 {
  storage 奇数 as 奇数a {
      storage 上節_or_根 {
          storage "1"
          storage "6n-1"
          storage "6n+1"
      }
      storage "6n-3"
  }
  storage 偶数
}

storage 下節 {
  rectangle 奇数 as 奇数b
}

上節_or_根 --> 下節 #red

@enduml
```

# 気になること

下節が 4a-1 の値をとるとき、上節が6n-1 となり、
上に行くたびに値が増えてしまう。

どこかのタイミングで値が減ると思うが、そのときにループしてしまうのかどうかがきにｎ