【準1級】統計学実践ワークブック　例題5.3 　標本平均の分散



統計検定準1級の勉強のための解説記事となります。下記にご了承いただける方のみ、お読みください。

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##### 注意
* 著作権の都合により問題文は掲載せず解説のみの記述となります。
* 独自の解釈により、不適切な表現がある可能性があります。
:::

以下の動画でも解説していますので、見やすいほうでご覧ください。

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# 学習のポイント


:::note

#### 確率変数の2乗の期待値の式

```math
\begin{align}
E(X_i^2) & = a_1^2 · P(X_i = a_1)+ a_2^2 · P(X_i = a_2) \\
 &    + ... + a_n^2 · P(X_i = a_n)　・・・①
\end{align}
```

#### 確率変数の積の期待値の式
```math

E(X_i \times X_j) = \sum_{x_i} \sum_{x_j} x_i x_j P(X_i = x_i, X_j = x_j)　・・・②

```
:::

:::note

#### 分散・共分散の公式
確率変数$X_1, X_2, ..., X_n$が独立でない場合、
```math

V\left(\sum_{i=1}^n X_i\right) = \sum_{i=1}^n V(X_i) + 2 \sum_{i=1}^{n-1} \sum_{j=i+1}^n Cov(X_i, X_j)　・・・③
```

#### 分散の公式
```math
V[X_i] = E[X_i^2] - (E[X_i])^2・・・④

```


#### 共分散の公式
```math
Cov(X, Y) = E[XY] - E[X]E[Y]　・・・⑤

```
:::

# 解法ノート

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# 問題の概要
問題の確率変数に関する情報を表にまとめると、以下のとおりとなります。
| 添え字$i$ | 1 | 2 |… | i | … |
|:-:|:-:|:-:|:-:|:-:|:-:|
| 確率変数  | $X_1$  |  $X_2$ |… |  $X_i$ |… |
| 取りうる値  | $0, 1$   | $0, 1$   | … | $0, 1$  |… |
|  確率 | $P(X₁=0),$<br>$P(X₁=1)$  | $P(X₂=0), $<br>$P(X₂=1)$  |  … |$P(X_i=0), $<br>$P(X_i=1)$ |… |

ここで、1人目を選ぶ試行に対する確率変数（$X_1$）、2人目を選ぶ試行に対する確率変数（$X_2$）、・・・は、それぞれ別の確率変数です。
また、今回の問題においては、少ない母集団での非復元抽出のため、それぞれの選ぶ試行は独立ではありません。


# 解答
#### 確率変数の2乗の期待値
求めたい期待値の式は、式①から、以下のように、立式できます。
```math
E(X_i^2) =0^2 * P(X_i=0) + 1^2 * P(X_i=1) 
```

よって、

```math
E(X_i^2) = P(X_i=1) 
```

を求めればよいことがわかります。

ここで、関東出身者を$A,B,C$とし、関東でない出身者を$D,E,F,G,H,I$とします。




| 関東出身者 | 関東以外の出身者 |
|:-:|:-:|
|  $A,B,C$ | $D,E,F,G,H,I$  |




たとえば、2番目に選ばれた人($i=2$)が$A、B、C$のいずれかだとすると、残りの3つの枠($i=1, 3, 4$)には、選ばれていない8人の中から3人を配置することになります。つまり、$X_2=1$となる場合の表は以下となります。



|   | $i=1$ | $i=2$ | $i=3$ | $i=4$ |
|:-:|:-:|:-:|:-:|:-:|
|  パターン1 | $A$以外 | $A$  | $i=1,2$以外  | $i=1,2,3$以外  |
| パターン2 |  $B$以外 |  $B$ | $i=1,2$以外  | $i=1,2,3$以外  |
| パターン3 |  $C$以外 |  $C$ | $i=1,2$以外 | $i=1,2,3$以外  |



ここで、$P(X_i = 1)$は、$i=2$でなくても、その順序に関係なく確率は等しくなるため、

```math
P(X_i = 1)=P(X_1 = 1)=P(X_2 = 1)=P(X_3 = 1)=P(X_4 = 1)
```
となります。


以上のことから、$X_i = 1$となる場合の数は、初めに関東地方出身者3人のうち1人を並べた後、他の3人を残り8人から順序を考慮して並べればよく、$ {}_3P_1 \times {}_8P_3$です。

また、9人から4人を順序を考慮して並べる全体の場合の数は、${}_9P_4$です。

よって、$X_i = 1$となる確率は、

```math
P(X_i = 1) = \frac{{}_3P_1 \times {}_8P_3}{{}_9P_4}= \frac{1}{3}
```
です。



よって、求めたい期待値は、
```math
E(X_i^2) = P(X_i=1) = \frac{1}{3}
```

となります。



# 確率変数の積の期待値

式②から、

```math
\begin{align}
E(X_i \times X_j)   &= 0 \cdot 0 \cdot P(X_i=0, X_j=0) + 1 \cdot 0 \cdot P(X_i=1, X_j=0)  \\
 & + 0 \cdot 1 \cdot P(X_i=0, X_j=1) + 1 \cdot 1 \cdot P(X_i=1, X_j=1)
\end{align}
```


となるため、
```math
E(X_i \times X_j) = P(X_i=1, X_j=1)
```
です。

ここで、たとえば、2番目と4番目に選ばれた人（$i=2,4$）が$A、B、C$のいずれかのとき、残りの2つの枠（$i=1,3$）には、選ばれていない7人の中から2人を配置することになります。これは、$X_2=1,X_4=1$の場合となり、表にすると以下のとおりとなります。


|   | $i=1$ | $i=2$ | $i=3$ | $i=4$ |
|:-:|:-:|:-:|:-:|:-:|
| パターン1  | $A,B$以外 | $A$  | $A,B$、$i=1$以外  | $B$  |
| パターン2  | $A,C$以外 | $A$  |  $A,C$、$i=1$以外  | $C$  |
| パターン3 | $A,B$以外 |  $B$ |$A,B$、$i=1$以外 | $A$  |
| パターン4 |  $B,C$以外 |  $B$ | $B,C$、$i=1$以外  | $C$  |
| パターン5 |  $A,C$以外 |  $C$ | $A,C$、$i=1$以外 | $A$  |
| パターン6 |  $B,C$以外 |  $C$ | $B,C$、$i=1$以外 | $B$  |


ここで、ある2つの確率変数が、両方とも1となる確率はその順序に関係なく、

```math
\begin{align}
P(X_i=1, X_j=1)  &=P(X_1=1, X_2=1) = P(X_1=1, X_3=1) = P(X_1=1, X_4=1) \\
 &  = P(X_2=1, X_3=1) = P(X_2=1, X_4=1) = P(X_3=1, X_4=1)
\end{align}
```

となります。

よって、$X_i=1, X_j=1$の場合の数は、関東地方出身者3人のうち2人を順序を考慮して並べた後、他の2人を残り7人から順序を考慮して並べればよく、${}_3P_2 \times {}_7P_2$となります。

以上から、求めたい確率は、
​

```math
P(X_i=1, X_j=1) = \frac{{}_3P_2 \times {}_7P_2}{{}_9P_4}= \frac{1}{12}
```

となります。

よって、
```math
E(X_i \times X_j) = P(X_i=1, X_j=1)= \frac{1}{12}

```
となります。

# 標本平均の分散
求めたい分散は、シグマを展開し、定数$\frac{1}{4}$を2乗して分散の外に出すことによって、
```math
V(\bar{X}) = V\left(\frac{1}{4}\sum_{i=1}^{4}X_i\right) = \frac{1}{16}V(X_1+X_2+X_3+X_4)

```
と表されます。

ここで、確率変数$X_1, X_2, ..., X_4$は独立でないことを踏まえると、式③より、

```math
\begin{align}
V(\bar{X})  &=  \frac{1}{16} [ V(X_1) + V(X_2) + V(X_3) + V(X_4)  + 2(Cov(X_1, X_2)  \\
 & + Cov(X_1, X_3) + Cov(X_1, X_4) + Cov(X_2, X_3) + Cov(X_2, X_4) + Cov(X_3, X_4))
\end{align}
```
と式変形できます。





ここで、$X_i$の期待値は、
```math
E[X_i] = \sum X_i P(X_i) = 0 \cdot P(X_i = 0) + 1 \cdot P(X_i = 1) =\frac{1}{3} 
```

です。また、式④より、$X_i$の分散は、
```math
V[X_i] = E[X_i^2] - (E[X_i])^2 =\frac{1}{3} - \left(\frac{1}{3}\right)^2= \frac{2}{9}

```

です。さらに、式⑤より、$X_i$と$X_j$の共分散は、
```math
Cov(X_i, X_j) = E[X_i X_j] - E[X_i]E[X_j] = \frac{1}{12} - \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} = -\frac{1}{36}
```
です。

上記の式から、分散、共分散は確率変数の添え字に限らず一定のため、

```math
V(X_1) + V(X_2) + V(X_3) + V(X_4) = 4 \cdot V(X_i)

```
および

```math
\begin{align}
\text{Cov}(X_1, X_2) &+ \text{Cov}(X_1, X_3) + \text{Cov}(X_1, X_4) + \text{Cov}(X_2, X_3)   \\
 & + \text{Cov}(X_2, X_4) + \text{Cov}(X_3, X_4) = 6 \cdot \text{Cov}(X_i, X_j)
\end{align}
```

です。よって、$V(\bar{X})$は、

```math
V(\bar{X}) =  \frac{1}{16} \left[ 4 \cdot V(X_i) +  6 \cdot \text{Cov}(X_i, X_j) \right]

```
となります。


よって、

```math
V(\bar{X}) =\frac{1}{16} \left( 4 \cdot \frac{2}{9}  +2 \cdot 6 \cdot \left(-\frac{1}{36}\right)\right)= \frac{5}{144}

```