状態空間モデルとベイズ構造時系列モデル（BSTS）の概要と使い分け方

時系列データの解析において、背後に潜む構造（トレンド、季節性、共変量の影響など）を捉えるために利用される手法として、「状態空間モデル」と「ベイズ構造時系列モデル（BSTS）」があります。この記事では、両者の基本的な概要、数式による説明、メリット・デメリット、そしてどのようなシチュエーションでどちらを使うべきかについて詳しく解説します。
※この記事は、ChatGPTの出力を基に作成しています。

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## 1. 基本概念と数式による説明

### 1.1 状態空間モデルの基本構造

状態空間モデルは、時系列データ$\ y_t \$ を「観測方程式」と「状態方程式」により表現する枠組みです。一般的な形は以下の通りです。

- **観測方程式（Observation Equation）**  
  観測データ$\ y_t \$ は、潜在状態$\ \alpha_t \$ とノイズ$\ \varepsilon_t \$ の線形結合として表現されます。

  $\
  y_t = Z_t \alpha_t + \varepsilon_t, \quad \varepsilon_t \sim N(0, H_t)
  \$

- **状態方程式（State Equation）**  
  潜在状態は時系列に沿って次のように推移します。

  $\
  \alpha_{t+1} = T_t \alpha_t + R_t \eta_t, \quad \eta_t \sim N(0, Q_t)
  \$

この枠組みは、カルマンフィルターなどのアルゴリズムを用いて効率的に推定・予測が可能となります。

### 1.2 ベイズ構造時系列モデル（BSTS）の概要

BSTSも状態空間モデルの一種ですが、**ベイズ統計の枠組み**を採用し、各パラメータや状態に対して事前分布を設定する点が特徴です。BSTSでは、時系列の構造を以下のような各成分に分解してモデル化します。

- **トレンド成分**  
  例として局所線形トレンドモデルは次のように表現されます。

  $\
  \begin{aligned}
  \mu_t &= \mu_{t-1} + \delta_{t-1} + \zeta_t, \quad \zeta_t \sim N(0, \sigma_\zeta^2)\\end{aligned}$
  
  $\begin{aligned}\delta_t &= \delta_{t-1} + \xi_t, \quad \xi_t \sim N(0, \sigma_\xi^2)
  \end{aligned}
  \$

- **季節性成分**  
  $\ s \$周期の季節性は、以下のような制約付きランダムウォークとして表現されることが一般的です。

  $\
  \gamma_t = -\sum_{j=1}^{s-1}\gamma_{t-j} + \omega_t, \quad \omega_t \sim N(0, \sigma_\omega^2)
  \$

- **回帰成分**  
  外部の説明変数 \( x_t \) を導入する場合、

  $\
  y_t = \ldots + \beta x_t + \varepsilon_t
  \$

のように表現され、パラメータ \( \beta \) に対して事前分布を設定し、ベイズ的に推定されます。

さらに、BSTSは介入効果や循環成分など、解析目的に応じた柔軟な成分追加が可能であり、MCMC（マルコフ連鎖モンテカルロ）などを利用して事後分布を推定する点が特徴です。

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## 2. 状態空間モデルとBSTSの違い

両手法は基本的な枠組みは共通していますが、以下の点で違いがあります。

### 2.1 推定方法とフレームワーク

- **状態空間モデル**  
  - **推定手法**：カルマンフィルターや最尤推定、粒子フィルターなどを用いることが多く、頻度主義的アプローチが一般的です。  
  - **特徴**：線形性や正規性を仮定する場合に計算効率が高く、リアルタイム推定が可能です。

- **BSTS**  
  - **推定手法**：ベイズ推定の枠組みで、事前分布と事後分布を用いてパラメータや状態の不確実性を明示的に評価します。  
  - **特徴**：MCMCや変分推論によるサンプリングを利用し、事後分布から信用区間を得るなど、完全な不確実性評価が可能です。

### 2.2 モデルの構造と解釈性

- **状態空間モデル**  
  - シンプルな構造で、ダイナミクスの推定やリアルタイム性を重視する場合に適していますが、トレンドや季節性などの構造的要素を明示的に分解していない場合もあります。

- **BSTS**  
  - 構造的な成分（トレンド、季節性、回帰、介入効果など）を明示的にモデル化するため、各要素の影響や寄与が解釈しやすく、因果推論や介入効果の分析に有利です。

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## 3. メリットとデメリット

### 状態空間モデル

**メリット**  
- **計算効率が高い**  
  - 線形・正規性を仮定する場合、カルマンフィルターなどの効率的なアルゴリズムでリアルタイム推定が可能です。  
- **実装がシンプル**  
  - 標準的な統計ソフトウェアでサポートされており、比較的容易に実装できます。

**デメリット**  
- **不確実性評価の制約**  
  - パラメータや状態の不確実性を事後分布として十分に反映できない場合があります。  
- **構造の分解が不十分な場合もある**  
  - トレンドや季節性などの明示的な分解が行われない場合、各要素の寄与の解釈が難しいことがあります。

### ベイズ構造時系列モデル（BSTS）

**メリット**  
- **不確実性の完全な評価**  
  - ベイズ推定により、パラメータや状態の事後分布を得ることで、信用区間や予測の不確実性を詳細に評価できます。  
- **構造的分解が容易**  
  - トレンド、季節性、回帰効果、介入効果などを明示的にモデル化するため、各構成要素の解釈が明確です。  
- **事前情報の活用**  
  - 専門知識や過去の情報を事前分布として反映させることが可能です。

**デメリット**  
- **計算コストが高い**  
  - MCMCなどのサンプリング手法を使用するため、計算に時間がかかることがあります。  
- **モデル設定の複雑性**  
  - 各成分ごとの事前分布やハイパーパラメータの設定が必要であり、専門知識や試行錯誤が求められる場合があります。  
- **解釈に習熟が必要**  
  - ベイズ統計特有の概念（事前・事後分布、信用区間など）に慣れる必要があります。

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## 4. 使い分けのポイント

それぞれの手法には長所と短所があるため、解析の目的や状況に応じて使い分けることが重要です。

- **リアルタイム予測やシンプルなダイナミクスの解析**  
  → **状態空間モデル**  
  線形性・正規性の仮定が妥当であり、計算効率や実装の容易さを重視する場合に適しています。

- **構造的分解、因果推論、介入効果の評価**  
  → **BSTS**  
  複数の要因（トレンド、季節性、回帰効果など）を明示的に分解し、各要素の影響を詳細に解析したい場合に有利です。

- **計算リソースと時間の制約**  
  - 計算リソースが限られている場合や、リアルタイム性が求められる場合は、頻度主義的な状態空間モデルが望ましいです。  
  - 計算に余裕があり、パラメータの不確実性を詳細に評価したい場合はBSTSを検討します。

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## 5. まとめ

時系列データの解析において、  
- **状態空間モデル**は、シンプルかつ計算効率の高い手法であり、リアルタイム推定や基本的なダイナミクスの把握に適しています。  
- **ベイズ構造時系列モデル（BSTS）**は、各構成要素を明示的に分解し、不確実性を十分に評価できる点で、介入効果の評価や因果推論、複雑な共変量の導入が必要な場合に有効です。

利用目的、データの特性、計算リソース、そして利用者自身の統計的知識に応じて、どちらの手法を採用するかを判断することが、効果的な時系列解析の鍵となります。