【場の量子論】経路積分 Part3 量子電磁理論の経路積分とローレンツ共変性の自明性の復活

# 0 初めに
この記事は【場の量子論】経路積分のPart3です！
量子電磁理論(QED)に経路積分を使ってみます。
ローレンツ共変性の自明性を取り戻すために奮闘します。
「自明性の復活」が映画みたいでかっこいいですね。

Part1とPart2は以下です

https://qiita.com/KENISON_jp/private/b2024f527617930c321d

https://qiita.com/KENISON_jp/private/f8b8b98c2d45342b7e51

# 1 量子電磁理論
**量子電磁理論のハミルトニアン**は以下で表される。
```math
\begin{align*}
H = H_M + \int d^3x \left[ \frac{1}{2}\mathbf{\Pi}_{\perp}^2 + \frac{1}{2} (\nabla \times \mathbf{A})^2 - \mathbf{A} \cdot \mathbf{J}\right] + V_{\mathrm{Coul}}
\end{align*}
```
ここで$\mathbf{A}$は**ベクトルポテンシャル**で、**クーロン・ゲージ条件**
```math
\begin{align*}
\nabla \cdot \mathbf{A} = 0
\end{align*}
```
に従う。また、$\mathbf{\Pi}_{\perp}$は**その共役量の横波部分**であり、同じ拘束条件を満たす。
```math
\begin{align*}
\nabla \cdot \mathbf{\Pi}_{\perp} = 0
\end{align*}
```
また、$H_M$は**物質のハミルトニアン**である。
$V_{\mathrm{Coul}}$は**クーロン・エネルギー**である。
```math
\begin{align*}
V_{\mathrm{Coul}}(t) = \frac{1}{2} \int d^3x d^3y J^0(\mathbf{x},t) J^0(\mathbf{y},t)
\end{align*}
```
$J$は**保存カレント**(時間成分を空間積分すると電荷になる)である。

# 2 QEDの経路積分形式
時間順序積の真空期待値を経路積分で書ける。
```math
\begin{align*}
\langle T\{\mathcal{O}_A \mathcal{O}_B \cdots\} \rangle_{\mathrm{VAC}} =& \int \left[ \prod_{x,i} da_i(x) \prod_{x,i} d\pi_i(x) \prod_{x,i} d\psi_i(x)\right] \mathcal{O}_A \mathcal{O}_B \cdots\\
&\times \exp \left[ i\int d^4x \left[ \boldsymbol{\pi} \cdot \dot{\mathbf{a}} - \frac{1}{2} \boldsymbol{\pi}^2 - \frac{1}{2} (\nabla \times \mathbf{a})^2 + \mathbf{a} \cdot \mathbf{j}  + \mathcal{L}_M \right] - i\int dt V_{\mathrm{Coul}}\right]\\
&\times \left[ \prod_x \delta (\nabla \cdot \mathbf{a}(x)) \right] \left[ \prod_x \delta (\nabla \cdot \mathbf{\pi}(x)) \right]
\end{align*}
```
この指数関数の肩は$\boldsymbol{\pi}$の独立成分(例えば$\pi_1$と$\pi_2$)については明らかに2次であるので、$\boldsymbol{\pi}$についての積分は$\boldsymbol{\pi}$を指数関数の肩の停留点$\boldsymbol{\pi} = \dot{\mathbf{a}}$に等しくおいたもので(定数因子を除いて)与えられる。
```math
\begin{align*}
\langle T\{\mathcal{O}_A \mathcal{O}_B \cdots\} \rangle_{\mathrm{VAC}} =& \int \left[ \prod_{x,i} da_i(x) \prod_{x,i} d\psi_i(x)\right] \mathcal{O}_A \mathcal{O}_B \cdots\\
&\times \exp \left[ i\int d^4x \left[\frac{1}{2}\boldsymbol{a}^2 - \frac{1}{2} (\nabla \times \mathbf{a})^2 + \mathbf{a} \cdot \mathbf{j}  + \mathcal{L}_M \right]- i\int dt V_{\mathrm{Coul}} + i\epsilon 項 \right]\\
&\times \left[ \prod_x \delta (\nabla \cdot \mathbf{a}(x)) \right]
\end{align*}
```

# 3 ローレンツ共変性の自明性
この経路積分が本質的に共変的なことを示していく。**新しい積分変数$a^0(x)$を導入して**、作用にあるクーロン項$- i\int dt V_{\mathrm{Coul}}$を以下で置き換える。
```math
\begin{align*}
\int d^4x \left[ -a^0(x) j^0(x) + \frac{1}{2} \left( \nabla a^0(x) \right)^2 \right]
\end{align*}
```
これは$a^0$については2次なので、$a^0$を停留点に置くことで$a^0$積分を実行できる。その停留点は
```math
\begin{align*}
\frac{\delta}{\delta a^0(x)} \left[ -a^0(x) j^0(x) + \frac{1}{2} \left( \nabla a^0(x) \right)^2 \right] = 0\\
\Leftrightarrow -j^0(x) - \nabla^2 a^0(x) = 0
\end{align*}
```
よって
```math
\begin{align*}
a^0(\mathbf{x}, t) = \int d^3y \frac{j^0(\mathbf{y},t)}{4\pi |\mathbf{x} - \mathbf{y}|}
\end{align*}
```
よってこれはクーロン項と同じ意味を持つ
時間順序積の真空期待値の指数関数の肩の被積分部分は以下のように書き換えられる。
```math
\begin{align*}
&\frac{1}{2}\boldsymbol{a}^2 - \frac{1}{2} (\nabla \times \mathbf{a})^2 + \mathbf{a} \cdot \mathbf{j} + \mathcal{L}_M  -a^0(x) j^0(x) + \frac{1}{2} \left( \nabla a^0(x) \right)^2\\
&= \frac{1}{2}(\mathbf{E}^2 - \mathbf{B}^2) + \mathbf{a} \cdot \mathbf{j} -a^0(x) j^0(x)  + \mathcal{L}_M\\
&= -\frac{1}{4} f_{\mu \nu}f^{\mu \nu} + a_{\mu} j^{\mu}  + \mathcal{L}_M
\end{align*}
```
ここで$f_{\mu \nu} = \partial_{\mu}a_{\nu} - \partial_{\nu}a_{\mu}$であり、$f_{\mu \nu}f^{\mu \nu} = 2(\mathbf{B}^2- \mathbf{E}^2)$である。
積分は$\mathbf{a}$と物質場のみならず、$a^0$についても積分される。
従って経路積分は
```math
\begin{align*}
\langle T\{\mathcal{O}_A \mathcal{O}_B \cdots\} \rangle_{\mathrm{VAC}} =& \int \left[ \prod_{x,\mu} da_{\mu}(x) \prod_{x,\ell} d\psi_{\ell}(x)\right] \mathcal{O}_A \mathcal{O}_B \cdots\\
&\times \exp \left[ iI[a,\psi] \right]\prod_x \delta (\nabla \cdot \mathbf{a}(x))
\end{align*}
```
ここで$I$は**作用**である
```math
\begin{align*}
I[a, \psi] = \int d^4x \left[ -\frac{1}{4} f_{\mu \nu}f^{\mu \nu} + a_{\mu} j^{\mu}  + \mathcal{L}_M \right] + i\epsilon 項
\end{align*}
```
これで、**クーロン・ゲージ条件を要請する最後のデルタ関数の積以外はすべてが明白にローレンツ不変である**。
最後のデルタ関数を消すためにさらに進む
まず最初にすべての場の積分変数$a_{\mu}(x)$と$\psi(x)$を以下の新しい変数に変換する。
```math
\begin{align*}
a_{\mu \Lambda}(x) \equiv a_{\mu}(x) + \partial_{\mu}(x)\\
\psi_{\ell \Lambda}(x) \equiv \exp \left[ iq_{\ell} \Lambda(x) \right] \psi_{\ell}(x)
\end{align*}
```
ここで、$\Lambda(x)$は**任意の関数**である。これは積分$\int_{-\infty}^{+\infty} f(x)dx$を$\int_{-\infty}^{+\infty} f(y)dy$と読み替えるのと同じ数学的に自明な操作なので、ゲージ不変性はまだ使っていない。次に**ゲージ不変性を使って**、$a_{\mu \Lambda}(x)$と$\psi_{\ell \Lambda}(x)$を$a_{\mu}(x)$と$\psi(x)$に変換すると、最後のデルタ関数の中身が変わる
```math
\begin{align}
\langle T\{\mathcal{O}_A \mathcal{O}_B \cdots\} \rangle_{\mathrm{VAC}} =& \int \left[ \prod_{x,\mu} da_{\mu}(x) \prod_{x,\ell} d\psi_{\ell}(x)\right] \mathcal{O}_A \mathcal{O}_B \cdots\\
&\times \exp \left[ iI[a,\psi] \right]\prod_x \delta (\nabla \cdot \mathbf{a}(x) + \nabla^2 \Lambda(x)) \tag{3.1}
\end{align}
```
**$\Lambda(x)$は無作為に選んだので、見た目と違い(3.1)の右辺は$\Lambda(x)$に依存できない**。
(3.1)に以下の関数をかける
```math
\begin{align*}
B[\Lambda,a] = \exp \left[ -\frac{1}{2} i \alpha \int d^4x(\partial_0 a^0 - \nabla^2 \Lambda)^2 \right]
\end{align*}
```
そして$\Lambda(x)$について積分する。積分変数を$\nabla^2 \Lambda \rightarrow \partial_0 a^0 - \nabla^2 \Lambda$となるようにずらし、(3.1)が実際に$\Lambda$から独立であることを使うと、この影響は単に(3.1)に場に依存しない定数
```math
\begin{align*}
\int \left[ \prod_x d\Lambda(x) \right] \exp \left[ - \frac{1}{2} i \alpha \int d^4x (\nabla^2 \Lambda)^2 \right]
\end{align*}
```
をかけただけだと分かる。この因子は真空期待値の分母分子で打ち消しあうので、実際には何の影響もない。しかし(3.1)は$a^{\mu}(x)$と$\psi(x)$について積分した後にのみ$\Lambda$から独立である。しかし$a^{\mu}(x)$と$\psi(x)$について積分する前に$\Lambda(x)$について積分することもできて、その場合は(3.1)の因子$\prod_x \delta (\nabla \cdot \mathbf{a}(x) + \nabla^2 \Lambda(x))$は以下で置き換えられる。
```math
\begin{align*}
\int \left[ \prod_x d\Lambda(x) \right] \exp \left[ - \frac{1}{2} i \alpha \int d^4x (\nabla^2 \Lambda)^2 \right] \prod_x \delta (\nabla \cdot \mathbf{a}(x) + \nabla^2 \Lambda(x))\\
= (場から独立な因子) \times \exp \left[ -\frac{1}{2} i \alpha \int d^4x (\partial_{\mu}a^{\mu})^2 \right]
\end{align*}
```
すると時間順序積の真空期待値は以下で与えられる。
```math
\begin{align*}
\langle T\{\mathcal{O}_A \mathcal{O}_B \cdots\} \rangle_{\mathrm{VAC}} =& \int \left[ \prod_{x,\mu} da_{\mu}(x) \prod_{x,\ell} d\psi_{\ell}(x)\right] \mathcal{O}_A \mathcal{O}_B \cdots \exp [i I_{\textit{eff}}[a,\psi]]
\end{align*}
```
ここで
```math
\begin{align*}
I_{\textit{eff}}[a,\psi] \propto I[a,\psi] -\frac{1}{2} \alpha \int d^4x (\partial_{\mu}a^{\mu})^2
\end{align*}
```
**これは明白にローレンツ共変である**。

# 参考文献
ワインバーグ, S. (著), 青山 秀明 & 有末 宏明 (訳). (1997). **場の量子論 第2巻 量子場の理論形式**. 吉岡書店.

# リンク

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