妖怪クリストッフェルと仲良くなれないかぁ・・(2. 接続係数編)

# はじめに

『秋葉原ロボット部 理論グループ Advent Calendar 2024』の投稿です
線形代数が大好きからはじまり、『一般相対性理論を一歩一歩数式で理解する』読書会で何とか理解したいと、日々楽しく追い詰められています

<img src="https://m.media-amazon.com/images/I/61QAwiBMpbL._SL1068_.jpg" width=15%>

自分にとって一番ショックが大きかった接続係数 クリストッフェル記号について記事にしました、直感的に理解できればと思い自分のための復習的に書いています、敷居の高さで恨みを込めて"妖怪"と書いてしまいましたが、理解とともに友達になれてきた気がします、実はとてもよいやつだと思います（多分）

この記事は[妖怪クリストッフェルと仲良くなれないかぁ・・(1. 基底編)](https://qiita.com/osawat/items/40b7a3b09353d1db94a8)の続編です

**ここからの話は、$\mathbb{R}^2$つまり、２次元平面での話です、$\mathbb{R}^3$ではありません**
直線座標としていますが、ここからの話は、**標準基底**としています


# 接続係数って何なん

妖怪クリッストッフェル ($\Gamma$) の定義について記事にしました

## 曲線の基底

曲線座標を扱うために、基底として各点での接ベクトルを採用したのでした（再掲）

$$
\begin{aligned}
\left\\{ \frac{\partial \vec{x}}{\partial u_1} , \ 
\frac{\partial \vec{x}}{\partial u_2} \right\\}
\end{aligned}
$$

以下の図で点$P$と点$Q$の基底$\\{ \frac{\partial \vec{x}}{\partial u_1} , \frac{\partial \vec{x}}{\partial u_2} \\}$は、式として見た目は同ですが、$(u_1, u_2)$の関数なので値は異なります

<img src=https://qiita-user-contents.imgix.net/https%3A%2F%2Fqiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com%2F0%2F71601%2Fe7a044df-5367-d8d3-2494-4ffc676fbb07.png?ixlib=rb-4.0.0&auto=format&gif-q=60&q=75&w=1400&fit=max&s=9c3c6de6169144aee60c5e837d9678a3 width=70%>


- 曲線座標をまとめると
    - 曲線座標の基底は２次元平面全体ではなく、**各点においての基底**です
    - 曲線座標の基底は、$\vec{x}$ の位置に依存し、位置$(u_1, u_2)$の関数となります
    - 曲線座標の基底は、ローカルな基底と言えます（局所的）

<hr>

## 曲線の基底の変化率

曲線の基底は、各点ごとの値なので場所がずれるとどのようになっているのかを考える必要がありそうです
こう考えると、空間の曲がり具合を考えるために、基底の微分考えればよいように思えます
ということで、基底の変化率、つまり$u_1$,$u_2$での偏微分を考えると以下のようになります

$$
\begin{aligned}
\cdot \ \ \frac{\partial \vec{x}}{\partial u_1} &\overset{u_1で微分}\longrightarrow \frac{\partial}{\partial u_1} \left( \frac{\partial \vec{x}}{\partial u_1} \right) = \frac{\partial^2 \vec{x}}{\partial u_1 \partial u_1} \\\\
&\overset{u_2で微分}\longrightarrow \frac{\partial}{\partial u_2} \left( \frac{\partial \vec{x}}{\partial u_1} \right) = \frac{\partial^2 \vec{x}}{\partial u_2 \partial u_1} \\\\
\cdot \ \ \frac{\partial \vec{x}}{\partial u_2} &\overset{u_1で微分}\longrightarrow \frac{\partial}{\partial u_1} \left( \frac{\partial \vec{x}}{\partial u_2} \right) = \frac{\partial^2 \vec{x}}{\partial u_1 \partial u_2} \\\\
&\overset{u_2で微分}\longrightarrow \frac{\partial}{\partial u_2} \left( \frac{\partial \vec{x}}{\partial u_2} \right) = \frac{\partial^2 \vec{x}}{\partial u_2 \partial u_2} \\\\
\end{aligned}
$$

曲線の基底の変化率は:
- ベクトルの2階微分の形をしています
    - 接ベクトルを基底としているので、その微分といことで、当然ですが
    - 見た目ば、一挙におどろおどろしくなり、逃げたくなりますね
- これらも同じ$\mathbb{R}^2$の平面上のベクトルでなので、基底$\\{ \frac{\partial \vec{x}}{\partial u_1} , \frac{\partial \vec{x}}{\partial u_2} \\}$の線形結合の形で表すことができます
    - 例えば、$\vec{x}=a_1 \vec{e}_1 + a_2 \vec{e}_2$のように
    - 曲線座標の基底は$\frac{\partial \vec{x}}{\partial u_1},\frac{\partial \vec{x}}{\partial u_2}$なので、
    - こんな感じ$a_1\frac{\partial \vec{x}}{\partial u_1} + a_2\frac{\partial \vec{x}}{\partial u_2}$ですね
    - 基底が一式あれば、空間全体を表現できます（雑な表現ですが）

## 基底の変化率の係数

曲線の基底の変化率は4種類ありました
それぞれを曲線の基底の線形結合であわらすと以下です

出ました！、**妖怪クリストッフェル**、この子は、線形結合での基底の**係数**だった！？
おどろおどろしい風貌ですが、簡単なルールで添え字が振られています
- 左辺の2階偏微分の$u$の添え字が、右辺の$\Gamma$の下付き添え字と一致します(赤字)
- 右辺の曲線の基底で$u$の添え字が、$\Gamma$の上付き添え字と一致します(青字、緑字)

$$
\begin{aligned}
\frac{\partial^2 \vec{x}}{\partial u^\color{red}{1} \partial u^\color{red}{1}} = 
\Gamma^\color{green}1_{\color{red}{11}} \frac{\partial \vec{x}}{\partial u^\color{green}1}+\Gamma^\color{blue}2_{\color{red}{11}} \frac{\partial \vec{x}}{\partial u^\color{blue}2} \ (1) \\\\
\frac{\partial^2 \vec{x}}{\partial u^\color{red}{1} \partial u^\color{red}{2}} = 
\Gamma^\color{green}1_{\color{red}{12}} \frac{\partial \vec{x}}{\partial u^\color{green}1}+\Gamma^\color{blue}2_{\color{red}{12}} \frac{\partial \vec{x}}{\partial u^\color{blue}2} \ (2) \\\\
\frac{\partial^2 \vec{x}}{\partial u^\color{red}{2} \partial u^\color{red}{1}} = 
\Gamma^\color{green}1_{\color{red}{21}} \frac{\partial \vec{x}}{\partial u^\color{green}1}+\Gamma^\color{blue}2_{\color{red}{21}} \frac{\partial \vec{x}}{\partial u^\color{blue}2} \ (3) \\\\
\frac{\partial^2 \vec{x}}{\partial u^\color{red}{2} \partial u^\color{red}{2}} = 
\Gamma^\color{green}1_{\color{red}{22}} \frac{\partial \vec{x}}{\partial u^\color{green}1}+\Gamma^\color{blue}2_{\color{red}{22}} \frac{\partial \vec{x}}{\partial u^\color{blue}2} \ (4) \\\\
\end{aligned}
$$

これらの右辺は、以下のように解釈できます

- 基底$\frac{\partial \vec{x}}{\partial u^1}$の
    - $u^1$方向の変化率 (1)式
    - $u^2$方向の変化率 (2)式
- 基底$\frac{\partial \vec{x}}{\partial u^2}$の
    - $u^1$方向の変化率 (3)式
    - $u^2$方向の変化率 (4)式

## 接続係数

$\Gamma$は、"接続係数"の名前がありますが、
- "接続"の部分の詳細は不明ですが、
- "係数"の部分はまさに、係数そのもの

右辺を見ると、単に２階の偏微分なので以下の性質があります
$$
\frac{\partial^2 \vec{x}}{\partial u^\color{red}{1} \partial u^\color{red}{2}} = \frac{\partial^2 \vec{x}}{\partial u^\color{red}{2} \partial u^\color{red}{1}} 
$$

$$
\Gamma^\color{green}1_{\color{red}{12}} =\Gamma^\color{green}1_{\color{red}{21}} \ (接続係数の対称性)
$$

また、接続係数は定数ではなく、曲線の基底がそうであったように、やはり関数です
$$
\Gamma^i_{jk}(u_1, u_2)
$$

<hr>
行列で表すと以下

$$
\begin{aligned}
\begin{bmatrix} 
\frac{\partial^2 \vec{x}}{\partial u^1 \partial u^1} \\\\
\frac{\partial^2 \vec{x}}{\partial u^1 \partial u^2} \\\\
\frac{\partial^2 \vec{x}}{\partial u^2 \partial u^1} \\\\
\frac{\partial^2 \vec{x}}{\partial u^2 \partial u^2} 
\end{bmatrix}=
\begin{bmatrix} 
\Gamma^\color{green}1_{11} & \Gamma^\color{blue}2_{11} \\\\
\Gamma^\color{green}1_{12} & \Gamma^\color{blue}2_{12} \\\\
\Gamma^\color{green}1_{21} & \Gamma^\color{blue}2_{21} \\\\
\Gamma^\color{green}1_{22} & \Gamma^\color{blue}2_{22} \\\\
\end{bmatrix}\begin{bmatrix} 
\frac{\partial \vec{x}}{\partial u^\color{green}1} \\\\
\frac{\partial \vec{x}}{\partial u^\color{blue}2} \\\\
\end{bmatrix}
\end{aligned}
$$

<hr>

アインシュタインの縮約記法を使うと以下
書籍(p431)では「この係数$\Gamma^i_{jk}$を$(x^1, x^2)$でみた$(u^1, u^2)$の接続係数といいます」とされています

$$
\begin{aligned}
\frac{\partial^2 \vec{x}}{\partial x^j \partial x^k}
&= \Gamma^i_{jk} \frac{\partial \vec{x}}{\partial x^i} \\\\
\end{aligned}
$$

<hr>
ベクトル表示から成分表記にすると

$$
\begin{aligned}
\vec{x}
&=\begin{bmatrix} x^1 \\\\ x^2 \end{bmatrix}   \\\\
\frac{\partial^2 x^1}{\partial x^j \partial x^k} 
&= \Gamma^i_{jk} \frac{\partial x^1}{\partial x^i} \\\\
\frac{\partial^2 x^2}{\partial x^j \partial x^k} 
&= \Gamma^i_{jk} \frac{\partial x^2}{\partial x^i} \\\\
\end{aligned}
$$

妖怪クリストフェルが、ちょっと可愛く思えてきませんか

妖怪クリストッフェルのお話は、『妖怪クリストッフェルと仲良くなれないかぁ・・(3. ベクトル場の微分編)』に続きます

# 後記

コメントや誤りの指摘などありましたら、大歓迎です、大らかな気持ちで、お願いいたします