ポケポケに登場する確率分布





# もくじ（？）

https://x.com/AInebosuke/status/1861681626570465685


## はじめに

皆さん、こんにちは！この記事では、大人気のカードゲーム「ポケポケ」に登場するさまざまな**確率分布**について解説していきます。カードゲームで勝利を目指す上でも、確率の理解は大きな武器となります。それでは早速見ていきましょう！

**ポケポケ公式サイト**

https://www.pokemontcgpocket.com/ja/

**カード一覧**

https://gamewith.jp/pokemon-tcg-pocket/462535

**本記事で紹介する確率分布**

https://bellcurve.jp/statistics/course/6988.html?srsltid=AfmBOoqxZLdH0efwSQIx0j0zhcclv0k9IQRqJ82iSff5ZDZnND7fQOC3

https://bellcurve.jp/statistics/course/6979.html?srsltid=AfmBOooix0sSDHrx5xURiIOa0SuDZM4-jl6aAvLnVPhf0TR2ibMUL7UL

https://bellcurve.jp/statistics/course/26597.html?srsltid=AfmBOopWzgyBpeRXax6clIbhaEZObs4l2BC92M-OXpInWi0ez5Fnd7dj

https://bellcurve.jp/statistics/course/24550.html?srsltid=AfmBOor3Uq-SiE5fQ9o6R9vXVPbffheeBfiSHrl2aVRGnY7iyPv8gHYa

## 1. カスミ、ベロリンガ 〜 幾何分布 Geo(p)

### カード効果の説明

**カスミ**の効果：

> 自分の水ポケモンを1匹選ぶ。コインを**ウラが出るまで**投げ、**オモテの数**ぶんの水エネルギーを自分のエネルギーゾーンから出し、そのポケモンにつける。

**ベロリンガ**の技「れんぞくペロペロ」の効果：

> **ウラが出るまで**コインを投げ、**オモテの数×60ダメージ**を与える。

### 幾何分布との関係

これらのカードは、「ウラが出るまでコインを投げ、オモテの数」という共通の特徴があります。これは確率統計における**幾何分布**に対応しています。

**幾何分布**とは、初めて成功（この場合はコインのウラ）が出るまでの試行回数を扱う確率分布です。成功確率を *p*、失敗確率を *q* = 1 - *p* とすると、初めて成功するまでの**失敗回数***k* の確率は次のように表されます：

```math
P(X = k) = q^{k} p
```

今回の場合、コインを投げるので成功確率（ウラが出る確率）は *p* = 1/2、失敗確率（オモテが出る確率）も *q* = 1/2 となります。

※ウラが成功、オモテが失敗に対応することに注意。



### カスミの場合

カスミの効果で得られるエネルギー枚数（オモテの数）は、幾何分布の**失敗回数**に対応します。

#### 確率表

![image.png](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/2627015/a94d4b2a-1abc-73f8-f95e-ddad8523f236.png)

ただし、実際のゲームではエネルギーは3枚もあれば十分なことが多いため、3枚以上をまとめて考えることもあります。

#### まとめた確率表

![image.png](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/2627015/857240b2-e15d-9fcb-40cc-86cdc014dec9.png)




### ベロリンガの場合

ベロリンガのダメージ量も同様に幾何分布に従います。オモテの数に応じてダメージが増加します。

#### ダメージ量と確率

![image.png](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/2627015/acac31c9-ad28-1edf-aeff-6f7ef083989e.png)



ベロリンガの場合も、現状では240ダメージもあれば十分なため、240ダメージ以上をまとめて考えることができます。

#### まとめた確率表

![image.png](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/2627015/4e685b9f-5236-e048-eced-c8fee17e8e54.png)


## 2. サンダーex、ガルーラ 〜 二項分布 Bin(n, p)

### カード効果の説明

**サンダーex**の技「ハリケーンサンダー」の効果：

> コインを**4回**投げ、**オモテの数×50ダメージ**を与える。

**ガルーラ**の技「ピヨピヨパンチ」の効果：

> コインを**2回**投げ、**オモテの数×30ダメージ**を与える。

### 二項分布との関係

これらのカードは、一定回数コインを投げて、そのオモテの数に応じて効果が変わります。これは**二項分布**に対応しています。

**二項分布**とは、独立した試行を *n* 回行い、それぞれで成功（オモテ）が起こる確率を *p* としたとき、成功回数 *k* の分布です。確率は次のように表されます：

```math
P(X = k) = {}_n C_k \, p^k (1 - p)^{n - k}
```


コイン投げの場合、成功確率 *p* = 1/2 です。

### サンダーexの場合

#### 確率表

サンダーexの場合、*n* = 4 となります。

![image.png](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/2627015/5419c901-720d-22e8-f97c-e9cd12396574.png)


### ガルーラの場合

ガルーラの場合、*n* = 2 となります。

#### 確率表

![image.png](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/2627015/c8d1d07b-d2b0-ebd8-9fae-4b2894e79dd8.png)

## 3. カイリュー 〜 多項分布 Multi(n, p1, p2, ..., pk)

### カード効果の説明

**カイリュー**の技「りゅうせいぐん」の効果：

> 相手のポケモンが**ランダムに4回選ばれ**、選ばれたポケモン全員に、**選ばれた回数×50ダメージ**を与える。

### 多項分布との関係

カイリューの効果は、複数の対象（相手のポケモン）に対して、独立した試行を複数回行い、その結果に応じて効果が決まります。これは**多項分布**に対応しています。

**多項分布**とは、*n* 回の試行で、各カテゴリへの割り当て回数を扱う分布です。カテゴリ数を *k*、各カテゴリが選ばれる確率を ( *p_1*, *p_2*, ..., *p_k* ) とすると、各カテゴリが選ばれる回数 ( *x_1*, *x_2*, ..., *x_k* ) の同時確率は：

```math
P(X_1 = x_1, \ldots, X_k = x_k) = \frac{n!}{x_1! x_2! \cdots x_k!} p_1^{x_1} p_2^{x_2} \cdots p_k^{x_k}
```

今回の場合、相手のポケモンの数を *k*、試行回数を *n* = 4  とします。

### 具体例

相手のポケモンが2匹いる場合（バトル場とベンチに1匹ずつ）、各ポケモンが選ばれる確率は *p_1* = *p_2* = 1/2 となります。

各ポケモンへのダメージの期待値は：

```math
E[\text{ダメージ}] = 50 \times E[\text{選ばれた回数}] = 50 \times n \times p_i
```


したがって、各ポケモンへのダメージの期待値は 50 × 4 × 1/2 = 100  ダメージとなります。


確率計算の例として、ポケモンAが3回選ばれ、ポケモンBが1回選ばれる確率は：

```math
P(X_A = 3, X_B = 1) = \frac{4!}{3!1!} \left( \frac{1}{2} \right)^3 \left( \frac{1}{2} \right)^1 = 4 \times \left( \frac{1}{2} \right)^4 = \frac{1}{4}
```


## 4. 博士の研究、レッドカード 〜 超幾何分布 HGM(N, K, n)

### カード効果の説明

**博士の研究**の効果：

> 自分の山札を**2枚引く**。

**レッドカード**の効果：

> 相手の手札をすべて山札にもどす。相手は山札を**3枚引く**。

### 超幾何分布との関係

山札からカードを引く行為は、カードを**復元せずに**引くため、**超幾何分布**に従います。

**超幾何分布**は、有限母集団から復元せずにサンプルを取る際、成功数を扱う分布です。母集団のサイズを *N*、成功と見なす要素の数を *K*、サンプルサイズを *n*、成功数を *k* とすると、確率は：


```math
P(X = k) = \frac{{}_K C_k \, {}_{N - K} C_{n - k}}{{}_N C_n}
```


### 博士の研究の場合

例えば、山札の残りが  *N* = 10 枚あり、その中に欲しいカード（有益札）が *K* = 5  枚あるとします。博士の研究で *n* = 2 枚引いたとき、欲しいカードを *k* 枚引く確率は次のようになります。

#### 確率計算

![image.png](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/2627015/6ec4bb68-4675-9bad-9f9e-16c21c010497.png)


このように超幾何分布を使って成功確率を求めることができます。

### レッドカードの場合

レッドカードも同様に、相手が手札を山札に戻し、*n* = 3  枚引く行為は超幾何分布に従います。相手のデッキ枚数や有益札の枚数を考慮して、相手が有益札を引く確率を推測することができます。

## おわりに

以上、「ポケポケ」に登場する確率分布について解説しました。カードゲームと確率統計は密接な関係があり、確率を理解することで戦略的にゲームを進めることができます。これを機に、確率統計の学習に取り組んでみてはいかがでしょうか。
（記事では紹介しなかったですが、ベイズ統計も役に立つかも？）