【準1級】統計学実践ワークブック　例題4.1　変数変換後の確率密度関数、期待値、分散

統計検定準1級の勉強のための解説記事となります。下記にご了承いただける方のみ、お読みください。

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##### 注意
* 著作権の都合により問題文は掲載せず解説のみの記述となります。
* 独自の解釈により、不適切な表現がある可能性があります。
:::

以下の動画でも解説していますので、見やすいほうでご覧ください。

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# 問題のポイント


:::note
・正規分布に従うXのモーメント母関数を用いて、対数正規分布に従うYの期待値、分散を導出します。
・変数変換の式を用いて、対数正規分布に従うYの確率密度関数を導出します。

:::

```math
・正規分布のモーメント母関数:M_X(t) = E[e^{tX}]= \exp(\mu t + \frac{\sigma^2 t^2}{2})　・・・①
```
```math
・ある確率変数Xが、別の確率変数YにY = g(X)という関係で変換され、
```
```math
XとYが1対1対応するとき、Yの確率密度関数f_Y(y)は、以下となる。
```
```math
f_Y(y) = ( \frac{f_X(x)}{|g'(x)|}のxをyで変換したもの)・・・②
```

---------------------------------------
①式の導出方法は、コラムの「正規分布のモーメント母関数の求め方」を参照してください。
今回の変数変換の流れを図示すると、以下のようになります。

![image.png](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/3618291/fdf77e62-3d30-3c15-0854-347792b937d7.png)

# 解法ノート
![image.png](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/3618291/161b43dd-d6c3-c569-c9e4-8ab6719925fe.png)

![image.png](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/3618291/0bf60fd3-c5e8-95d2-8e91-0ca4a29b3be4.png)

![image.png](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/3618291/65c5226f-f8c7-2798-0fda-db69251c13ae.png)


# 解答
## 対数正規分布に従うYの期待値

$Y = e^X$という関係により、求めたい$Y$の期待値は、

```math
E[Y] = E[e^X]
```
と表されます。

$X$のモーメント母関数を用いて、上記の式の右辺を導出します。$X$は正規分布に従うため、式①に$t=1$を代入すると、
```math
M_X(1) = E[e^{X}] = \exp(\mu + \frac{\sigma^2}{2})

```
となります。

よって、求めたい期待値は、
```math
E[Y] = M_X(1) = \exp(\mu + \frac{\sigma^2}{2})
```

と表されます。


## 対数正規分布に従うYの分散
分散は、
```math
V(Y) = E[Y^2] - (E[Y])^2 = E[(e^X)^2] - (E[e^X])^2 = E[e^{2X}] - (E[e^X])^2 
```
と表されます。

式②は、$t=2$のとき、
```math
 E[e^{2X}] = \exp(\mu × 2 + \frac{\sigma^2× 2^2}{2})
```
であり、これを整理すると、
```math
E[e^{2X}]=\exp(2\mu + 2\sigma^2)
```
が導かれます。

よって、分散は、


```math
V(Y)= E[e^{2X}] - (E[e^X])^2 =\exp(2\mu + 2\sigma^2) - \left(\exp\left(\mu + \frac{\sigma^2}{2}\right)\right)^2
```

と表されます。右辺の第2項を計算すると、
```math
V(Y)=\exp(2\mu + 2\sigma^2) - \exp(2 * (μ + σ²/2))
```
となり、これを整理すると、
```math
V(Y)=exp(2μ + 2σ²) - exp(2μ + σ²)
```
が導かれます。

## 対数正規分布に従うYの確率密度関数
問題の条件より、正規分布に従う$X$の確率密度関数は、
```math
f(x) = \dfrac{1}{\sqrt{2\pi}  \sigma} \exp\left(-\dfrac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}\right)
```
です。

便宜上、変数変換後の$Y$について、
```math
y=g(x)
```
と表します。

問題の条件である、$Y = exp(X)$という関係により、
```math
g(x) = exp(x)
```

であり、$g(x)$を１回微分すると、
```math
g'(x) = exp(x)
```
となります。

$Y = exp(X)$であるため、$X$と$Y$は1対1対応となることから、変数変換後の$Y$の確率密度関数$f_Y(y)$は、式②より、
```math
\frac{\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}  \sigma} \exp\left(-\dfrac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}\right)}{exp(x)}　のxをyに変換したもの
```

と表されます。

ここで、$y = exp(x)$という式を変形すると、
```math
ⅰ)　 exp(x)=y
```
```math
ⅱ)　x=\log y
```

の2つの式が導かれるため、求めたい$f_Y(y)$は、

```math
f_Y(y) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}  \sigma y} \exp\left(-\dfrac{(\log y-\mu)^2}{2\sigma^2}\right)
```

と表されます。

# コラム
#### 正規分布のモーメント母関数の求め方



例題2.3と同じような方法で、証明できる有名な問題です。ガウス積分を使います。

証明は、以下の動画が参考になりました。
<iframe width="560" height="315" src="https://www.youtube.com/embed/UZNoUXV6k-M?si=-PazHalSYwvOgW30" title="YouTube video player" frameborder="0" allow="accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share" referrerpolicy="strict-origin-when-cross-origin" allowfullscreen></iframe>

ガウス積分については、以下の動画が参考になりました。
<iframe width="560" height="315" src="https://www.youtube.com/embed/CoMNM0ixYyU?si=67UbkwgUhY5WE-Xz" title="YouTube video player" frameborder="0" allow="accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share" referrerpolicy="strict-origin-when-cross-origin" allowfullscreen></iframe>

確率変数の変数変換そのものについては、以下の動画が参考になりました。
<iframe width="560" height="315" src="https://www.youtube.com/embed/0kM5lH5vM7M?si=oXGnwHgYFDIEKomB" title="YouTube video player" frameborder="0" allow="accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share" referrerpolicy="strict-origin-when-cross-origin" allowfullscreen></iframe>