【場の量子論】経路積分 Part2 フェルミオンとブレザン積分

# 0 初めに
この記事は【場の量子論】経路積分の**Part2**です！
ブレザン積分(グラスマン積分)を使うところが難しいです。
Qiitaを編集していると重くて打ち込めなくなってきたので記事を分けました。
ブレザンってなんか「切ってる」語感がしてかっこいいですよね。

Part1とPart3は以下です。

https://qiita.com/KENISON_jp/private/b2024f527617930c321d

https://qiita.com/KENISON_jp/private/740859e81643b77bbb48

# 1 考え方・定義
## 1.1 モチベーション
Part1でボソンの経路積分を証明するときに使ったのは主に以下の式であった
```math
\begin{align}
    \braket{q|p} = \prod_{a} \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \exp [iq_a p_a] \quad (波動関数)\\
    \braket{q';\tau +d\tau|q;\tau} = \bra{q';\tau} \exp[-iHd\tau] \ket{q;\tau} \quad (時間発展)\\
    1 = \int \prod_{a} dq_a \ket{q} \bra{q} \quad (完全性)
\end{align}
```

## 1.2 定義
##### フェルミオンの「座標」と「運動量」
「座標」$Q_a$と「運動量」$P_a$は**反交換関係**を満たすとする。
```math
    \begin{align}
      \left\{ Q_a, P_a \right\} = i\delta_{ab} \tag{1.1}\\
      \left\{ Q_a, Q_b \right\} = \left\{ P_a, P_b \right\} = 0 \tag{1.2}\\
      \Rightarrow Q_a^2 = P_a^2 = 0 \tag{1.3}
    \end{align}
```

##### 真空
$\bra{f}$と$\ket{g}$を恒等的に$0$でないどんなケットとブラでもよいとする。$\bra{0}$と$\ket{0}$を以下で定義すると
```math
    \begin{align*}
      \ket{0} \propto \left( \prod_a Q_a\right) \ket{f} \\
      \bra{0} \propto \bra{g}\left( \prod_a P_a \right) \quad (\because (1.3))
    \end{align*}
```
以下が成立
```math
    \begin{align*}
      Q_a \ket{0} = 0\\
      \bra{0} P_a = 0
    \end{align*}
```

##### グラスマン数
以下を満たす固有状態$\ket{q}$があったとすると
```math
    \begin{align*}
      Q_a \ket{q} = q_a \ket{q}
    \end{align*}
```
固有値$q_a$は(1.2)より
```math
    \begin{align*}
      q_a q_b +q_b q_a =0
    \end{align*}
```
**このような反交換関係を満たす数をグラスマン数という**
さらに以下を要請する
```math
\begin{align*}
\left\{ q_a,Q_b \right\} = \left\{ q_a,P_b \right\} = 0
\end{align*}
```
すると
```math
\begin{align}
\ket{q} = \exp \left[ -i \sum_a P_a q_a \right] \ket{0} \\
\bra{q} = \bra{0} \left( \prod_a Q_a \right)  \exp \left[i \sum_a P_a q_a \right] \notag
\end{align}
```
は以下を満たす
```math
\begin{align*}
Q_a \ket{q} = q_a \ket{q}\\
\bra{q} Q_a = \bra{q} q_a
\end{align*}
```
>(証明)
>```math
>\begin{align*}
>[Q_a - q_a] \ket{q} &= [Q_a - q_a] \exp \left[i P_a q_a \right] \exp \left[i \sum_{b\neq a} P_b q_b \right] \ket{0}\\
>&= [Q_a - q_a] [1 - i P_a q_a] \exp \left[i \sum_{b\neq a} P_b q_b \right]\ket{0}\\
>&= [-i \left\{ Q_a,P_a \right\}q_a - q_a] \exp \left[i \sum_{b\neq a} P_b q_b \right]\ket{0}\\
>&=0
>\end{align*}
>```
同様に
```math
\begin{align}
\ket{p} = \exp \left[ -i \sum_a Q_a p_a \right] \left( \prod_a P_a \right)  \ket{0}\notag \\
\bra{p} = \bra{0} \exp \left[i \sum_a p_a Q_a \right] \notag
\end{align}
```
は以下を満たす
```math
\begin{align*}
P_a \ket{p} = p_a \ket{p}\\
\bra{p} P_a = \bra{p} p_a
\end{align*}
```

# 2 ブレザン積分(グラスマン積分)
## 2.1 ブレザン積分の定義
**グラスマン数についての積分をブレザン(Berezin)積分(グラスマン積分)という**。**定積分に相当する概念である**。
$\xi$をグラスマン数とする。
$\xi$の任意の整式は$\xi^2=0$なので**高々1次**である。
```math
\begin{align*}
f(\xi) = f_0 + f_1 \xi
\end{align*}
```
$\xi$についての積分を定義するにあたって通常の積分の満たす次の2性質が成り立つことを要請する。
**①線形性**
```math
\begin{align*}
\int d\xi [af(\xi) + bg(\xi)] = a\int d\xi f(\xi) + b\int d\xi g(\xi)
\end{align*}
```
**②部分積分可能性**
```math
\begin{align*}
\int d\xi \left[ \frac{\partial}{\partial \xi} f(\xi) \right] = 0
\end{align*}
```
($\because$ 積分を実行すると$f$の差みたいな値($\left. f(\xi) \right|_a^b$)になるが、グラスマン数は値が定義できるような値ではないので、そういう値は考えないのでゼロと定義する)
```math
\begin{align*}
0 = \int d\xi \left[ \frac{\partial}{\partial \xi} (f_0 + f_1 \xi) \right] = f_1 \int d\xi 1 \Rightarrow \int d\xi 1 =0
\end{align*}
```
積分値は定数なので、線形性より$\int d\xi \xi= 定数$となる。この定数を$1$として、結局グラスマン1変数の積分は
```math
\begin{align*}
\int d\xi 1 = 0, \quad \int d\xi \xi = 1
\end{align*}
```
この結果は実は**積分$\int d\xi$は微分$\partial / \partial \xi$と同じ**ということを示している。

## 2.2 多重ブレザン積分
多重積分は一重積分の繰り返し
```math
\begin{align*}
\int d\xi_2 d\xi_1 f(\xi_1,\xi_2) = \int d\xi_2 \left[ \int d\xi_1 f(\xi_1,\xi_2) \right]
\end{align*}
```
一般にグラスマン数が$n$個あるとき
```math
\begin{align*}
f(\xi) = \left( \prod_n \xi_n \right)c + [\xi 因子をより少なく含む項]
\end{align*}
```
とかける。
$\prod_n \xi_n = \xi_1 \xi_2 \cdots \xi_n$と並んでいるとすると
```math
\begin{align*}
\tilde{\prod_n}d\xi_n \equiv d\xi_n \cdots d\xi_2 d\xi_1
\end{align*}
```
とすれば
```math
\begin{align*}
\int \left( \tilde{\prod_n}d\xi_n \right) f(\xi) =c
\end{align*}
```
となる。
つまり**チルダ$\tilde{}$は積分変数$\xi_k$の逆順で並んでいるという約束**を意味する。

# 3 波動関数・完全性・時間発展
## 3.1 フェルミオンの波動関数
波動関数の話題ではブレザン積分は使わない
```math
\begin{align*}
      \braket{q|p} = \chi_N \exp[-i \sum_a q_a p_a] = \chi_N \exp[i \sum_a p_a q_a]\\
      \braket{p|q} = \prod_a \exp[-i p_a q_a]\\
      \chi_N \equiv \bra{0} \left( \prod_a Q_a \right) \left( \prod_a P_a \right) \ket{0} = i^N (-1)^{N(N-1)/2}
    \end{align*}
```
$N$は$Q_a$演算子の個数である。
>(証明)
>```math
>\begin{align*}
>\braket{q|p} &= \bra{q} \exp \left[ -i \sum_a Q_a p_a \right] \left( \prod_a P_a \right) \ket{0}\\
>&= \left( \exp \left[ -i \sum_a q_a p_a \right] \right) \bra{q} \left( \prod_a P_a \right) \ket{0}\\
>&= \left( \exp \left[ -i \sum_a q_a p_a \right] \right) \bra{0} \left( \prod_a Q_a \right) \left( \prod_a P_a \right) \ket{0}
>\end{align*}
>```
よって波動関数を示せた。

## 3.2 フェルミオンの完全性関係
ここからブレザン積分を使っていく
```math
\begin{align*}
      1 = \int \ket{q} \left( \tilde{\prod_a}-dq_a \right) \bra{q}\\
      1 = \int \ket{p} \left( \tilde{\prod_a}dp_a \right) \bra{p}
    \end{align*}
```
>(証明略)

## 4.2 フェルミオンの時間発展
```math
\begin{align*}
      \braket{q';\tau +d\tau|q;\tau} = \int \left(i \tilde{\prod_a}dp_a \right) \exp \left[ i \sum_a p_a (q_a' - q_a) - iH(p,q)d\tau \right]
    \end{align*}
```
これは積分測度以外ボソンの場合と同じである。
>(証明)
>```math
>\begin{align*}
>\braket{q';\tau +d\tau|q;\tau} &= \bra{q} \exp[-iHd\tau] \ket{q}\\
>&= \int \braket{q'|p}\left( \tilde{\prod_a}dp_a \right)  \bra{p} \exp[-iHd\tau] \ket{q} \quad (\because 完全性)\\
>&= \int \braket{q'|p}\left( \tilde{\prod_a}dp_a \right)  \braket{p}{q} \exp[-iH(p,q)d\tau]\\
>&= \int \left(i \tilde{\prod_a}dp_a \right) \exp \left[ i \sum_a p_a (q_a' - q_a) - iH(p,q)d\tau \right]
>\end{align*}
>```

# 4 フェルミオンの経路積分
## 4.1 フェルミオンの演算子の時間順序積の真空期待値
以上よりボソンとフェルミオンの違いは、波動関数の因子$\chi_N$と積分測度$\left( \tilde{\prod_a}dp_a \right)$のみなので、Part1と同様にして
```math
\begin{align*}
\bra{q';t'} &T \{\mathcal{O}_A[P(t_A),Q(t_A)], \mathcal{O}_B[P(t_B),Q(t_B)],\cdots \} \ket{q;t} \\
&= (-i)^N \chi_N \int_{\substack{q_a(t) = q_a \\ q_a(t') = q_a'}} \left( \tilde{\prod_{a \tau}}dq_a(\tau) dp_a(\tau) \right) \mathcal{O}_A(P(t_A),Q(t_A))\mathcal{O}_B(P(t_B),Q(t_B))\cdots \\
&\quad \times \exp\left[ i\int_{t}^{t'}d\tau\left\{\sum_a \dot{q_a}(\tau_k)p_a(\tau_k) - H(q(\tau_k),p(\tau_k))\right\} \right]
\end{align*}
```
$T$を時間順序に演算子を並べるのに奇置換が必要な時にマイナスの符号をつけると解釈する。

## 4.2 フェルミオンの演算子の時間順序積の真空期待値
Part1と同様にして
```math
\begin{align}
\bra{\mathrm{VAC}, \mathrm{out}} &T \{\mathcal{O}_A[P(t_A),Q(t_A)], \mathcal{O}_B[P(t_B),Q(t_B)],\cdots \} \ket{\mathrm{VAC}, \mathrm{in}} \notag \\
&\propto \int \prod_{\tau,\mathbf{x},m}dq_m(\mathbf{x},\tau) \prod_{\tau,\mathbf{x},m}dp_m(\mathbf{x},\tau) \mathcal{O}_A(P(t_A),Q(t_A))\mathcal{O}_B(P(t_B),Q(t_B))\cdots \notag \\
&\quad \times \exp\left[ i\int_{-\infty}^{+\infty}d\tau\left\{\sum_m p_m(\mathbf{x},\tau) \dot{q_m}(\mathbf{x},\tau) - H(q(\tau),p(\tau)) + i\epsilon 項\right\} \right] \notag
\end{align}
```
これはボソンの場合と全く同じである。
$(-i)^N \chi_N$は真空の間の遷移振幅のみに効くのでこれ以降は重要ではない。また測度のチルダは経路積分の定数位相にしか影響しないので落とした。
フェルミオンの場合とボソンの場合の主要な違いは、$q$の積分の前に$p$を積分してしまいたくはないということである。

# 参考文献
ワインバーグ, S. (著), 青山 秀明 & 有末 宏明 (訳). (1997). **場の量子論 第2巻 量子場の理論形式**. 吉岡書店.

# リンク

https://qiita.com/KENISON_jp/private/b2024f527617930c321d

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