円周率の非常に精度良い近似分数を作りたい

# 今回参考にした文献
まず今回のコードを書く際に非常に助けられた論文を紹介します。

**曲安京　著　祖沖之は、如何に円周率$\pi = 355/113$ を得たか?**
URL:https://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~kyodo/kokyuroku/contents/pdf/1257-14.pdf

この記事では上記の論文の特に5,6ページ目を参考にさせていただきました。


# まずは愚直に書いてみる
　このコードは分母の値を1から10^pまで変えながら、近似精度の良かったものを都度更新していくというプログラム。円周率を分数で近似する場合、分母さえ決まれば分子はそのπ倍を四捨五入したものとなるので今回は分母のみ保存している。
~~~python
import time
import math

start = time.time()
num = math.pi
p = 8
diff = 10
den = 0

for i in range(1,10**p+1):
    if abs(round(i*num)/i-num)<diff:
        diff = abs(round(i*num)/i-num)
        den = i

end = time.time()
time_diff = end - start
print("実行時間:" + str(time_diff) + "秒\r\n結果の分数:", str(round(den*num)) + "/" + str(den) + "\r\n元の数との差:" + str(diff))
~~~


# しかし遅い
　上記のコードではある意味しらみ潰し的に円周率を近似する分数を探しているので非常に時間がかかる。実際上記のコードの p の値を8にする、つまり分母を10^8まで検証すると約30秒もかかってしまう。
~~~python
>>>実行時間:30.13192391395569秒
>>>結果の分数: 245850922/78256779
>>>元の数との差:0.0
~~~
　そしてどうやら分数と円周率の差が非常に小さくなると0として扱われてしまっている。


# 改良を加える(というか作り直し)
　pythonでは非常に小さい値はそのままだと0になってしまう。そこでDecimalモジュールを使うことにする。また計算量を減らすため工夫を加えた。
>　$\theta$を$\pi$に十分近い正の実数として、2つの負でない有理数:$\frac{a_1}{b_1}$と$\frac{a_2}{b_2}$を選び、
>$x$が$\frac{a_1}{b_1}$と$\frac{a_2}{b_2}$の間にあり、且つ、$|a_{1}b_{2}-b_{1}a_{2}|=1$とする。
>もし、$\frac{a_2}{b_2}$が$\frac{a_1}{b_1}$に比べて実数$\theta$に更に近接していれば、$\theta=\frac{a_1+a_2x}{b_1+b_2x}$となる。
>>祖沖之は、 如何に円周率$\pi = 355/113$ を得たか?より。※一部を改変している

　上記の分数の性質を利用し、しらみ潰しではなく、すでに見つかった近似分数から更に良い近似分数を得られるようにプログラムを作り直した。


# 最終Ver
　色々と作り直したのがこれ。かなりというか全く変わってしまったが、実行時間はケタ違いに速くなった。ぜひ円周率をこのコードの3行目の部分に入れて計算してみてほしい。一つ残念な点としてはできた分数がその桁数の分数の中で最も近似精度が良いかを判断できないことくらいだろうか。
~~~python
from decimal import *
getcontext().prec = 10000 #適当に決めたけどもっと大きほうがいいかも
num = Decimal("") #("")の中に円周率を入れて使う。今回は長ったらしいので省略
a, b, c, d, = Decimal("333"), Decimal("106"), Decimal("355"), Decimal("113")
for i in range(1,100):
    x = int((a-b*num)/(d*num-c))
    a, b, c, d, = c, d, a+c*x, b+d*x

print("結果の分数: " + str(a+c*x) + " / " + str(b+d*x) + "\r\n円周率との差: " + str("{:.10e}".format((a/b)-num)))
~~~
この下に小数第一万位までの円周率を示す。計算の際にはこれを上記の
~~~python 
num = Decimal("")
~~~
の中に入れて使う
~~~
3.1415926535897932384626433832795028841971693993751058209749445923078164062862089986280348253421170679821480865132823066470938446095505822317253594081284811174502841027019385211055596446229489549303819644288109756659334461284756482337867831652712019091456485669234603486104543266482133936072602491412737245870066063155881748815209209628292540917153643678925903600113305305488204665213841469519415116094330572703657595919530921861173819326117931051185480744623799627495673518857527248912279381830119491298336733624406566430860213949463952247371907021798609437027705392171762931767523846748184676694051320005681271452635608277857713427577896091736371787214684409012249534301465495853710507922796892589235420199561121290219608640344181598136297747713099605187072113499999983729780499510597317328160963185950244594553469083026425223082533446850352619311881710100031378387528865875332083814206171776691473035982534904287554687311595628638823537875937519577818577805321712268066130019278766111959092164201989380952572010654858632788659361533818279682303019520353018529689957736225994138912497217752834791315155748572424541506959508295331168617278558890750983817546374649393192550604009277016711390098488240128583616035637076601047101819429555961989467678374494482553797747268471040475346462080466842590694912933136770289891521047521620569660240580381501935112533824300355876402474964732639141992726042699227967823547816360093417216412199245863150302861829745557067498385054945885869269956909272107975093029553211653449872027559602364806654991198818347977535663698074265425278625518184175746728909777727938000816470600161452491921732172147723501414419735685481613611573525521334757418494684385233239073941433345477624168625189835694855620992192221842725502542568876717904946016534668049886272327917860857843838279679766814541009538837863609506800642251252051173929848960841284886269456042419652850222106611863067442786220391949450471237137869609563643719172874677646575739624138908658326459958133904780275900994657640789512694683983525957098258226205224894077267194782684826014769909026401363944374553050682034962524517493996514314298091906592509372216964615157098583874105978859597729754989301617539284681382686838689427741559918559252459539594310499725246808459872736446958486538367362226260991246080512438843904512441365497627807977156914359977001296160894416948685558484063534220722258284886481584560285060168427394522674676788952521385225499546667278239864565961163548862305774564980355936345681743241125150760694794510965960940252288797108931456691368672287489405601015033086179286809208747609178249385890097149096759852613655497818931297848216829989487226588048575640142704775551323796414515237462343645428584447952658678210511413547357395231134271661021359695362314429524849371871101457654035902799344037420073105785390621983874478084784896833214457138687519435064302184531910484810053706146806749192781911979399520614196634287544406437451237181921799983910159195618146751426912397489409071864942319615679452080951465502252316038819301420937621378559566389377870830390697920773467221825625996615014215030680384477345492026054146659252014974428507325186660021324340881907104863317346496514539057962685610055081066587969981635747363840525714591028970641401109712062804390397595156771577004203378699360072305587631763594218731251471205329281918261861258673215791984148488291644706095752706957220917567116722910981690915280173506712748583222871835209353965725121083579151369882091444210067510334671103141267111369908658516398315019701651511685171437657618351556508849099898599823873455283316355076479185358932261854896321329330898570642046752590709154814165498594616371802709819943099244889575712828905923233260972997120844335732654893823911932597463667305836041428138830320382490375898524374417029132765618093773444030707469211201913020330380197621101100449293215160842444859637669838952286847831235526582131449576857262433441893039686426243410773226978028073189154411010446823252716201052652272111660396665573092547110557853763466820653109896526918620564769312570586356620185581007293606598764861179104533488503461136576867532494416680396265797877185560845529654126654085306143444318586769751456614068007002378776591344017127494704205622305389945613140711270004078547332699390814546646458807972708266830634328587856983052358089330657574067954571637752542021149557615814002501262285941302164715509792592309907965473761255176567513575178296664547791745011299614890304639947132962107340437518957359614589019389713111790429782856475032031986915140287080859904801094121472213179476477726224142548545403321571853061422881375850430633217518297986622371721591607716692547487389866549494501146540628433663937900397692656721463853067360965712091807638327166416274888800786925602902284721040317211860820419000422966171196377921337575114959501566049631862947265473642523081770367515906735023507283540567040386743513622224771589150495309844489333096340878076932599397805419341447377441842631298608099888687413260472156951623965864573021631598193195167353812974167729478672422924654366800980676928238280689964004824354037014163149658979409243237896907069779422362508221688957383798623001593776471651228935786015881617557829735233446042815126272037343146531977774160319906655418763979293344195215413418994854447345673831624993419131814809277771038638773431772075456545322077709212019051660962804909263601975988281613323166636528619326686336062735676303544776280350450777235547105859548702790814356240145171806246436267945612753181340783303362542327839449753824372058353114771199260638133467768796959703098339130771098704085913374641442822772634659470474587847787201927715280731767907707157213444730605700733492436931138350493163128404251219256517980694113528013147013047816437885185290928545201165839341965621349143415956258658655705526904965209858033850722426482939728584783163057777560688876446248246857926039535277348030480290058760758251047470916439613626760449256274204208320856611906254543372131535958450687724602901618766795240616342522577195429162991930645537799140373404328752628889639958794757291746426357455254079091451357111369410911939325191076020825202618798531887705842972591677813149699009019211697173727847684726860849003377024242916513005005168323364350389517029893922334517220138128069650117844087451960121228599371623130171144484640903890644954440061986907548516026327505298349187407866808818338510228334508504860825039302133219715518430635455007668282949304137765527939751754613953984683393638304746119966538581538420568533862186725233402830871123282789212507712629463229563989898935821167456270102183564622013496715188190973038119800497340723961036854066431939509790190699639552453005450580685501956730229219139339185680344903982059551002263535361920419947455385938102343955449597783779023742161727111723643435439478221818528624085140066604433258885698670543154706965747458550332323342107301545940516553790686627333799585115625784322988273723198987571415957811196358330059408730681216028764962867446047746491599505497374256269010490377819868359381465741268049256487985561453723478673303904688383436346553794986419270563872931748723320837601123029911367938627089438799362016295154133714248928307220126901475466847653576164773794675200490757155527819653621323926406160136358155907422020203187277605277219005561484255518792530343513984425322341576233610642506390497500865627109535919465897514131034822769306247435363256916078154781811528436679570611086153315044521274739245449454236828860613408414863776700961207151249140430272538607648236341433462351897576645216413767969031495019108575984423919862916421939949072362346468441173940326591840443780513338945257423995082965912285085558215725031071257012668302402929525220118726767562204154205161841634847565169998116141010029960783869092916030288400269104140792886215078424516709087000699282120660418371806535567252532567532861291042487761825829765157959847035622262934860034158722980534989650226291748788202734209222245339856264766914905562842503912757710284027998066365825488926488025456610172967026640765590429099456815065265305371829412703369313785178609040708667114965583434347693385781711386455873678123014587687126603489139095620099393610310291616152881384379099042317473363948045759314931405297634757481193567091101377517210080315590248530906692037671922033229094334676851422144773793937517034436619910403375111735471918550464490263655128162288244625759163330391072253837421821408835086573917715096828874782656995995744906617583441375223970968340800535598491754173818839994469748676265516582765848358845314277568790029095170283529716344562129640435231176006651012412006597558512761785838292041974844236080071930457618932349229279650198751872127267507981255470958904556357921221033346697499235630254947802490114195212382815309114079073860251522742995818072471625916685451333123948049470791191532673430282441860414263639548000448002670496248201792896476697583183271314251702969234889627668440323260927524960357996469256504936818360900323809293459588970695365349406034021665443755890045632882250545255640564482465151875471196218443965825337543885690941130315095261793780029741207665147939425902989695946995565761218656196733786236256125216320862869222103274889218654364802296780705765615144632046927906821207388377814233562823608963208068222468012248261177185896381409183903673672220888321513755600372798394004152970028783076670944474560134556417254370906979396122571429894671543578468788614445812314593571984922528471605049221242470141214780573455105008019086996033027634787081081754501193071412233908663938339529425786905076431006383519834389341596131854347546495569781038293097164651438407007073604112373599843452251610507027056235266012764848308407611830130527932054274628654036036745328651057065874882256981579367897669742205750596834408697350201410206723585020072452256326513410559240190274216248439140359989535394590944070469120914093870012645600162374288021092764579310657922955249887275846101264836999892256959688159205600101655256375678
~~~


# おわりに
　初めて記事を書いたのでなにか抜けていることや間違いがあったら教えていただけると幸いです。
　そして今回のプログラムで見つけた分数の一つをここに書いて〆とさせていただきます。
 ~~~math
 \pi\fallingdotseq\frac{126016265525921254632388702258}{40112223136862338672703310447}
 ~~~