生成AIを用いてVAEの論文「Auto-Encoding Variational Bayes (2013)」を読んでみた

#   はじめに

生成AIを用いてVAEの論文「Auto-Encoding Variational Bayes (2013)」の内容を(なるべく)把握してみました。(生成AIが)論文の記載内容を始めから最後まで読んで、実際にどのような記載があるのかを把握します。

(論文の分かりやすい解説記事は見るのですが、実際の論文までチェックしないので、生成AIを使って内容を把握してみました。)

変分オートエンコーダ (VAE)とは、潜在変数モデルに基づく生成モデルであり、変分推論を用いて事後分布を近似するオートエンコーダである、とする記載があることが分かりました。
KLダイバージェンスは、2つの確率分布間の違いを測定する指標で、変分推論においては潜在変数zの事前分布と事後分布の差異を表すことが分かりました。
評価関数は、「データ再現誤差 - 潜在変数zの事前分布と事後分布の差異」(最大化)となることが分かりました。
関連研究には、Wake-Sleepアルゴリズム [HDFN95]が(1995年から)あり、本論文のAEVB（Auto-Encoding Variational Bayes）とWake-Sleepアルゴリズムの比較を行っていることが分かりました。
(その他、[末尾の「分かったこと」章を参照](#分かったこと))

以降で、ChatGPTに聞いてみた例を記載します。

##   他例: 同類の方法を使って読んでみた結果

https://qiita.com/dl_from_scratch/items/51eba3730c53403c4fd0

https://qiita.com/dl_from_scratch/items/612155295da57453b822

https://qiita.com/dl_from_scratch/items/daef4f0c780e96739226

##   対象の論文

論文: (VAEに関する論文)

[1312.6114] Auto-Encoding Variational Bayes
https://arxiv.org/abs/1312.6114
(PDF: https://arxiv.org/pdf/1312.6114)

##   質問時の各章節の区切り部分

論文の中にある各章節を、下記のように区切って、部分毎に生成AIに内容を質問していきます。

* Abstract
* \---
* 1 Introduction
* \---
* 2 Method
* \---
* 2.1 Problem scenario
* \---
* 2.2 The variational bound
* \---
* 2.3 The SGVB estimator and AEVB algorithm
* \---
* 2.4 The reparameterization trick
* \---
* 3 Example: Variational Auto-Encoder
* \---
* 4 Related work
* \---
* 5 Experiments
* \---
* 6 Conclusion
* \---
* 7 Future work

##   生成AIへの質問方法

生成AIを活用して、知りたい記事・論文の1節分(適度な長さ)のテキストをコピー＆ペーストして、その下に**質問内容を「①～ ②～ …」と番号付きで書いて**、生成AIに渡せば、全質問に一発で的確に回答してくれるので、非常に良好でした。記事全体を読む必要なく、知りたい点の情報だけを収集できます。

**生成AIへの質問例:**
```
(論文・記事の各章節を貼り付け)

上記の内容に関して下記の質問に回答下さい: (である調で記載、質問に対して該当するものが無ければ無しと記載)
①何についての記載か? + 要旨は何? (要旨は箇条書きで記載、既存手法があれば引用元を記載)
②具体的な処理方法の記載があれば説明下さい。(簡略化せずに全て記載、既存手法があれば引用元を記載)
③改良点・工夫点・テクニック等の記載があれば説明下さい。
④メカニズムの解明・なぜそうなるのか等の記載があれば説明下さい。
⑤性能が向上した記載があれば説明下さい。(具体値があれば記載、対応する図/表番号があれば各文末に記載)
```

```
続けて下記の質問に追加で回答下さい:
⑥比較の記載があれば違いを表でまとめて下さい。(下に解説を記載、対応する図/表番号があれば明記)
⑦上記⑥以外で表に出来そうな部分があれば表でまとめて下さい。(下に解説を記載、対応する図/表番号があれば記載)
⑧具体的な数値の記載を全て列挙して、表にまとめて下さい。(必ず正しく数値を抜き取る事、|数値|説明|の表へ)
⑨具体的な変数名(数式用の記号)の記載を全て列挙して、表にまとめて下さい。(|変数名|説明|次元・型|の表へ)
⑩図/表があれば、各図/表は何を主張するためのものかを説明下さい。(掲載理由・注目ポイント等)
```
※回答が長くなりそうな場合は、適宜、分けて質問: ①②③④⑤、⑥⑦⑧⑨⑩
※各章節に応じて、その章節内で明らかに不要な質問は、適宜除外。

※各章節に応じて、適宜下記の質問を追加。
```
⑪関連研究の参照番号を全て列挙して、表にまとめて下さい。(元文にある内容のみ記載・類推して付け足しは不要、|参照番号|概要説明|の表へ、関連するもの同士でまとめて並べ替え)
⑫難解用語を全て列挙して、表にまとめて下さい。(必ず正しく抜き取る事、|用語|説明|の表へ)
```
※その他、不明点があれば、適宜、ピンポイントで質問。

質問内容は、記事・論文を読んでいて**いつも知りたいと思う点**(**改良点・工夫点・テクニック・メカニズムの解明**)にしています。また、表で比較した方が素早く把握できるので、可能であれば**記事を表に変換する**ようにしています。

論文・記事を貼り付けるテキストの長さは、**1節分程度の量に**とどめた方が、良い回答が得られました。生成AIの回答の文量が多くなってくると、回答が長くなり過ぎないように、生成AIが勝手に(適度に)端折り始めてしまい、重要な点が回答から抜けてしまう可能性が高くなります。

##   事前知識

機械学習についてある程度知っていないと、生成AIに質問しても、その回答内容だけでは理解できないと思います。生成AIの回答は、論文の内容をあまり変えずに、要点をそのまま掻い摘んで回答するような形になっています。

VAEについての分かりやすい解説記事(下記)等を事前にチェックして、中核部分の内容をあらかじめ分かっていると、理解しやすいと思います。生成AIは実際の細かい処理方法自体を分かりやすく説明してはくれない傾向があります。

https://data-analytics.fun/2021/04/14/understanding-vae/

https://qiita.com/kenmatsu4/items/b029d697e9995d93aa24

https://qiita.com/shionhonda/items/e2cf9fe93ae1034dd771

##   注意点

論文のテキスト内容だけを貼り付けて、生成AIに質問しています。論文の中の図・表の部分は貼り付けていません。図・表の内容は生成AIの回答には含まれず、別途論文を見る必要があります。

以降で、生成AIの回答内容が読みにくい・分かりづらい場合は、論文の本文でも同じように書かれてあり、論文の本文を読んでも同じように分かりづらいことが多くあります。論文では、既存研究等があるため、多くの説明を省略・一言だけサラッと書かれてある等、同種の研究に取り組む人でなければ、なかなか全容の理解に辿りつくのは難しい側面があります。この点は、生成AIの回答性能が悪いのではなく、論文という性質上、生じるものと考えています。


#   生成AIに質問

以降で、ChatGPTに実際に聞いてみた例を記載します。

##   生成AIへの質問＆回答の全容

生成AIへの質問＆回答の全容・詳細:

https://chatgpt.com/share/66fa2d54-8a8c-8004-8d62-18e2625a5227

##   Abstract

**▼質問(人間)**
<details><summary>質問内容全体はここをクリック</summary>
(論文・記事の各章節を貼り付け)
Abstract
How can we perform efficient inference and learning in directed probabilistic
models, in the presence of continuous latent variables with intractable posterior
distributions, and large datasets? We introduce a stochastic variational inference
and learning algorithm that scales to large datasets and, under some mild differ-
entiability conditions, even works in the intractable case. Our contributions are
two-fold. First, we show that a reparameterization of the variational lower bound
yields a lower bound estimator that can be straightforwardly optimized using stan-
dard stochastic gradient methods. Second, we show that for i.i.d. datasets with
continuous latent variables per datapoint, posterior inference can be made espe-
cially efficient by fitting an approximate inference model (also called a recogni-
tion model) to the intractable posterior using the proposed lower bound estimator.
Theoretical advantages are reflected in experimental results.

上記の内容に関して下記の質問に回答下さい: (である調で記載、質問に対して該当するものが無ければ無しと記載)
①何についての記載か? + 要旨は何? (要旨は箇条書きで記載、既存手法があれば引用元を記載)
②具体的な処理方法の記載があれば説明下さい。(簡略化せずに全て記載、既存手法があれば引用元を記載)
③改良点・工夫点・テクニック等の記載があれば説明下さい。
④メカニズムの解明・なぜそうなるのか等の記載があれば説明下さい。
⑤性能が向上した記載があれば説明下さい。(具体値があれば記載、対応する図/表番号があれば各文末に記載)
</details>

**▼生成AIの回答(ChatGPT-4o)**
**①何についての記載か? + 要旨は何?**

この部分は、連続潜在変数を持つ有向確率モデルにおいて、非可積分な事後分布が存在する場合や、大規模データセットに対する効率的な推論および学習手法を述べている。

**要旨**
- 連続潜在変数を持つ有向確率モデルにおける推論を効率化する手法として、確率的変分推論および学習アルゴリズムを提案している。
- 提案手法は、大規模データセットにも適用可能であり、非可積分な事後分布の問題にも対応する。
- 変分下限を再パラメータ化することで、標準的な確率的勾配法を用いて下限推定値を最適化できるようにしている。
- 独立同分布 (i.i.d.) のデータセットに対して、各データポイントの連続潜在変数の事後推論を近似推論モデル (認識モデル) によって効率化する手法を提案している。
- 理論的な利点が実験結果に反映されている。

**②具体的な処理方法の記載**

提案手法では、次の2つの処理が行われる。
- **変分下限の再パラメータ化**: 変分推論の下限を再パラメータ化し、確率的勾配法を用いて最適化できる形に変換している。これにより、推論が効率化され、大規模データセットでも使用可能となる。具体的には、変分事後分布を別の簡便な分布で近似し、その近似分布のパラメータを調整することで、事後分布の近似を行う。
- **近似推論モデルの適合**: 非可積分な事後分布に対しては、推論モデル (認識モデルとも呼ばれる) を使用して事後分布を近似する。この認識モデルを使うことで、データポイントごとに連続潜在変数の推論を効率的に行うことが可能となる。

**③改良点・工夫点・テクニック等の記載**

- 変分下限の再パラメータ化により、従来の確率的勾配法を利用して推論の最適化を行えるようにした点が工夫されている。この手法は、従来の変分推論と比べ、計算効率が大幅に向上している。
- 認識モデルを導入することで、i.i.d.データセットにおける推論を効率化し、特に連続潜在変数を持つ場合の推論精度を改善している。この点は、既存の近似推論手法との大きな違いである。

**④メカニズムの解明・なぜそうなるのか等の記載**

- 変分下限を再パラメータ化することで、推論の最適化が確率的勾配法で行えるようになる。これにより、大規模データセットに対しても効率的な推論が可能となる。この再パラメータ化によって、事後分布の近似が容易になり、計算コストを大幅に削減できる。
- 認識モデルを使用することにより、非可積分な事後分布の推論を近似モデルで代替するため、より計算効率が良くなる。これにより、連続潜在変数を含む複雑なモデルに対しても、精度の高い推論が可能となる。

**⑤性能が向上した記載**

- 提案手法を用いることで、連続潜在変数を持つ場合でも効率的な推論が可能となり、計算コストが削減されていることが示されている。
- 実験結果に基づき、認識モデルを導入することで、推論の効率と精度が向上している (対応する図/表番号は記載されていない)。

##   1 Introduction

**▼質問(人間)**
<details><summary>質問内容全体はここをクリック</summary>
(論文・記事の各章節を貼り付け)
1 Introduction
How can we perform efficient approximate inference and learning with directed probabilistic models
whose continuous latent variables and/or parameters have intractable posterior distributions? The
variational Bayesian (VB) approach involves the optimization of an approximation to the intractable
posterior. Unfortunately, the common mean-field approach requires analytical solutions of expecta-
tions w.r.t. the approximate posterior, which are also intractable in the general case. We show how a
reparameterization of the variational lower bound yields a simple differentiable unbiased estimator
of the lower bound; this SGVB (Stochastic Gradient Variational Bayes) estimator can be used for ef-
ficient approximate posterior inference in almost any model with continuous latent variables and/or
parameters, and is straightforward to optimize using standard stochastic gradient ascent techniques.
For the case of an i.i.d. dataset and continuous latent variables per datapoint, we propose the Auto-
Encoding VB (AEVB) algorithm. In the AEVB algorithm we make inference and learning especially
efficient by using the SGVB estimator to optimize a recognition model that allows us to perform very
efficient approximate posterior inference using simple ancestral sampling, which in turn allows us
to efficiently learn the model parameters, without the need of expensive iterative inference schemes
(such as MCMC) per datapoint. The learned approximate posterior inference model can also be used
for a host of tasks such as recognition, denoising, representation and visualization purposes. When
a neural network is used for the recognition model, we arrive at the variational auto-encoder.

上記の内容に関して下記の質問に回答下さい: (である調で記載、質問に対して該当するものが無ければ無しと記載)
①何についての記載か? + 要旨は何? (要旨は箇条書きで記載、既存手法があれば引用元を記載)
②具体的な処理方法の記載があれば説明下さい。(簡略化せずに全て記載、既存手法があれば引用元を記載)
③改良点・工夫点・テクニック等の記載があれば説明下さい。
④メカニズムの解明・なぜそうなるのか等の記載があれば説明下さい。
⑤性能が向上した記載があれば説明下さい。(具体値があれば記載、対応する図/表番号があれば各文末に記載)
⑥比較の記載があれば違いを表でまとめて下さい。(下に解説を記載、対応する図/表番号があれば明記)
⑦上記⑥以外で表に出来そうな部分があれば表でまとめて下さい。(下に解説を記載、対応する図/表番号があれば記載)
⑧難解用語を全て列挙して、表にまとめて下さい。(必ず正しく抜き取る事、|用語|説明|の表へ)
</details>

**▼生成AIの回答(ChatGPT-4o)**
**①何についての記載か? + 要旨は何?**

この部分は、有向確率モデルにおいて、連続潜在変数やパラメータを持つ場合に効率的な近似推論と学習方法を提案している。具体的には、確率的変分ベイズ法 (SGVB) を用いて、複雑な事後分布の近似を行う手法について記載している。

**要旨**
- 確率的変分ベイズ (SGVB) 推定器を用いて、連続潜在変数を持つモデルで効率的に事後推論を行う手法を提案している。
- 提案手法は、標準的な確率的勾配法によって最適化可能であり、従来の複雑な手法 (MCMCなど) に頼らない。
- i.i.d.データセットに対して、Auto-Encoding Variational Bayes (AEVB) アルゴリズムを提案し、特に連続潜在変数を含むモデルで推論と学習を効率化している。
- 認識モデルとしてニューラルネットワークを用いることで、変分オートエンコーダ (VAE) が実現される。

**②具体的な処理方法の記載**

提案されている処理方法は次の通りである。
- **変分下限の再パラメータ化**: 変分ベイズ推論において、事後分布の近似を行うために、変分下限を再パラメータ化する。この再パラメータ化により、SGVB推定器を使用し、確率的勾配法で効率的に最適化できる。
- **SGVB推定器の導入**: SGVB推定器は、連続潜在変数を持つモデルの事後分布の近似に用いられ、バイアスのない勾配推定を提供するため、効率的な推論と学習が可能となる。
- **Auto-Encoding Variational Bayes (AEVB) アルゴリズム**: i.i.d.データセットに対して、認識モデルを使って推論の効率化を図る。認識モデルを最適化することで、効率的な近似事後推論が可能になり、各データポイントに対する高価な反復的推論 (例えばMCMC) を回避できる。
- **ニューラルネットワークの利用**: 認識モデルとしてニューラルネットワークを使用することで、変分オートエンコーダ (VAE) が成立する。

**③改良点・工夫点・テクニック等の記載**

- **変分下限の再パラメータ化**: 再パラメータ化により、事後分布の近似推論を確率的勾配法で容易に最適化できる点が工夫されている。これにより、従来の手法に比べて大規模データや複雑なモデルに対する推論の効率が向上している。
- **認識モデルの導入**: 認識モデルを使うことで、各データポイントの推論を効率化し、特に連続潜在変数を持つ場合に推論精度を高めている。この認識モデルは事後分布の近似に直接役立つ。

**④メカニズムの解明・なぜそうなるのか等の記載**

- 変分下限の再パラメータ化によって、標準的な確率的勾配法で近似事後分布の最適化が可能になる。これは、変分下限の再構築により、バイアスのない勾配推定が可能となり、従来の手法と比較して計算の効率性が向上するためである。
- 認識モデル (ニューラルネットワーク) を使用することにより、サンプリングを通じて推論の効率化が図られ、高価な反復的推論手法を必要としなくなる。

**⑤性能が向上した記載**

- 認識モデルを使用することで、連続潜在変数を持つモデルに対する推論が劇的に効率化している。
- 提案するAEVBアルゴリズムを用いた場合、MCMCなどの従来の手法と比較して、計算コストが削減され、モデル学習が高速化される。

**⑥比較の記載**

| 変更点                   | SGVB推定器 | MCMC | 変分オートエンコーダ (VAE) |
|--------------------------|------------|------|----------------------------|
| 推論方法                 | 確率的勾配法 | サンプリング | 認識モデルによる推論         |
| 計算コスト               | 低い        | 高い | 中程度                      |
| 学習の効率性             | 高い        | 低い | 高い                        |
| 事後分布の近似           | 可能        | 可能 | 可能                        |
| 反復的推論の必要性       | なし        | 必要 | なし                        |

**解説**: この表は、SGVB推定器とMCMC、VAEの3つの推論手法を比較している。SGVB推定器は、推論の計算コストと学習効率の両方で優れていることが示されている。

**⑦上記⑥以外で表に出来そうな部分**

| アルゴリズム                | データ形式 | 使用される技術       |
|----------------------------|------------|----------------------|
| AEVBアルゴリズム           | i.i.d.     | SGVB推定器、認識モデル |
| 変分オートエンコーダ (VAE) | i.i.d.     | 認識モデル、ニューラルネットワーク |

**解説**: この表は、提案されたアルゴリズムと使用される技術についてまとめたものである。AEVBアルゴリズムやVAEが、それぞれどのような技術を基盤としているかを明示している。

**⑧難解用語を全て列挙して、表にまとめて下さい**

| 用語                          | 説明                                                                         |
|-------------------------------|------------------------------------------------------------------------------|
| 変分ベイズ (VB)               | 事後分布を近似し、最尤推定を行うための手法。                                 |
| 確率的変分ベイズ (SGVB)       | 変分下限を再パラメータ化し、確率的勾配法を用いて推論を行う手法。             |
| Auto-Encoding Variational Bayes (AEVB) | 認識モデルを用いて、効率的に事後分布の近似推論を行うアルゴリズム。         |
| 認識モデル (Recognition Model) | 近似推論のために、データから潜在変数を推定するためのモデル。                 |
| 変分オートエンコーダ (VAE)    | 認識モデルにニューラルネットワークを使用した、生成モデル。                    |
| i.i.d.                        | 独立同分布 (Independent and Identically Distributed) の略。データポイントが互いに独立していることを指す。 |

:::note info
「⑧難解用語」の表が分かりやすい。良好。
:::

##   2 Method

**▼質問(人間)**
<details><summary>質問内容全体はここをクリック</summary>
(論文・記事の各章節を貼り付け)
2 Method
The strategy in this section can be used to derive a lower bound estimator (a stochastic objective
function) for a variety of directed graphical models with continuous latent variables. We will restrict
ourselves here to the common case where we have an i.i.d. dataset with latent variables per datapoint,
and where we like to perform maximum likelihood (ML) or maximum a posteriori (MAP) inference
on the (global) parameters, and variational inference on the latent variables. It is, for example,
straightforward to extend this scenario to the case where we also perform variational inference on
the global parameters; that algorithm is put in the appendix, but experiments with that case are left to
future work. Note that our method can be applied to online, non-stationary settings, e.g. streaming
data, but here we assume a fixed dataset for simplicity.

Figure 1: The type of directed graphical model under consideration. Solid lines denote the generative
model pθ (z)pθ (x|z), dashed lines denote the variational approximation qφ(z|x) to the intractable
posterior pθ (z|x). The variational parameters φ are learned jointly with the generative model pa-
rameters θ.

上記の内容に関して下記の質問に回答下さい: (である調で記載、質問に対して該当するものが無ければ無しと記載)
①何についての記載か? + 要旨は何? (要旨は箇条書きで記載、既存手法があれば引用元を記載)
②具体的な処理方法の記載があれば説明下さい。(簡略化せずに全て記載、既存手法があれば引用元を記載)
③改良点・工夫点・テクニック等の記載があれば説明下さい。
④メカニズムの解明・なぜそうなるのか等の記載があれば説明下さい。
⑤性能が向上した記載があれば説明下さい。(具体値があれば記載、対応する図/表番号があれば各文末に記載)
⑦表に出来そうな部分があれば表でまとめて下さい。(下に解説を記載、対応する図/表番号があれば記載)
⑨具体的な変数名(数式用の記号)の記載を全て列挙して、表にまとめて下さい。(|変数名|説明|次元・型|の表へ)
⑩図/表があれば、各図/表は何を主張するためのものかを説明下さい。(掲載理由・注目ポイント等)
</details>

**▼生成AIの回答(ChatGPT-4o)**
**①何についての記載か? + 要旨は何?**

この部分は、有向グラフィカルモデルにおける連続潜在変数の近似推論と最大尤度 (ML) 推定や最大事後確率 (MAP) 推定のための手法を説明している。特に、i.i.d. データセットを対象に、潜在変数に対して変分推論を行うアプローチを提案している。

**要旨**
- i.i.d.データセットに対して、潜在変数の変分推論と、グローバルパラメータに対する最大尤度推定または最大事後確率推定を行う。
- 連続潜在変数を含む有向グラフィカルモデルに適用可能な確率的下限推定器を導入する。
- 提案手法は、生成モデル $p_{\theta}(z)p_{\theta}(x|z)$ に対する事後分布 $p_{\theta}(z|x)$ を、変分近似 $q_{\phi}(z|x)$ によって推定する。
- この手法は、オンラインデータや非定常データにも適用可能であるが、ここでは固定データセットを仮定している。

**②具体的な処理方法の記載**

提案されている処理方法は次の通りである。
- **対象モデル**: 有向グラフィカルモデルであり、生成過程 $p_{\theta}(z)p_{\theta}(x|z)$ を仮定している。ここで $z$ は連続潜在変数であり、$x$ は観測データである。
- **変分推論**: 事後分布 $p_{\theta}(z|x)$ は通常計算が困難なため、変分近似 $q_{\phi}(z|x)$ を導入して推定を行う。ここで、$q_{\phi}(z|x)$ は潜在変数 $z$ に対する条件付き確率分布であり、変分パラメータ $\phi$ が最適化される。
- **最適化の対象**: グローバルパラメータ $\theta$ と変分パラメータ $\phi$ を同時に学習し、推定を行う。
- **推定方法**: 下限推定器を確率的に導出し、標準的な勾配降下法を用いて最適化する。

**③改良点・工夫点・テクニック等の記載**

- **変分推論の導入**: 事後分布の推定を困難な直接計算ではなく、変分近似 $q_{\phi}(z|x)$ によって効率的に行う点が改良点である。これにより、従来の高価な手法を回避できる。
- **同時学習**: 生成モデルのパラメータ $\theta$ と変分パラメータ $\phi$ を同時に学習することで、推論の効率化が図られている。

**④メカニズムの解明・なぜそうなるのか等の記載**

- **生成モデルと変分近似の役割**: 生成モデル $p_{\theta}(z)p_{\theta}(x|z)$ は観測データの生成過程を表し、事後分布 $p_{\theta}(z|x)$ を直接推定する代わりに、変分近似 $q_{\phi}(z|x)$ を導入することで推論の効率化が図られる。これにより、潜在変数に対する推論が高精度に行われる。
- **下限推定器**: 下限推定器は、変分推論における近似精度を向上させるために使用され、確率的な勾配法で効率的に最適化可能である。

**⑤性能が向上した記載**

性能の具体的な数値や向上に関する記載はなし。ただし、提案された手法によって、従来の推論手法 (例：MCMC) に比べて計算コストが削減され、推論速度が向上することが期待される。

**⑦表に出来そうな部分**

| モデル構造            | 生成モデル | 変分近似 | 推論方法                 |
|-----------------------|------------|----------|--------------------------|
| 対象データ            | i.i.d.     | 連続潜在変数 | 最大尤度推定、変分推論      |
| グローバルパラメータ   | $\theta$ | -        | 生成モデルの学習パラメータ |
| 潜在変数              | $z$      | $q_{\phi}(z\|x)$ | 変分パラメータを推定      |

**解説**: この表は、提案されているモデル構造と推論手法の要点を整理している。

**⑨具体的な変数名の記載**

| 変数名 | 説明                                                   | 次元・型          |
|--------|--------------------------------------------------------|------------------|
| $\theta$ | グローバルパラメータ。生成モデルのパラメータ。                  | ベクトル (任意次元) |
| $z$      | 連続潜在変数。生成モデルの一部として使用される変数。            | ベクトル (任意次元) |
| $x$      | 観測データ。                                            | ベクトル (任意次元) |
| $q_{\phi}(z\|x)$ | 変分近似分布。事後分布 $p_{\theta}(z\|x)$ の近似。 | 確率分布関数       |

**⑩図/表の説明**

- **Figure 1**: 有向グラフィカルモデルの構造を示している。実線は生成モデル $p_{\theta}(z)p_{\theta}(x|z)$ を示し、点線は変分近似 $q_{\phi}(z|x)$ を示す。この図は、提案された推論手法の視覚的な理解を助けるために掲載されている。

**▼質問(人間)**
①上記の「変分推論」とは何か説明下さい。
②ここで言う「変分」とは何か説明下さい。

**▼生成AIの回答(ChatGPT-4o)**
**①変分推論とは何か説明**

変分推論は、難解な事後分布の近似を行うための推論手法である。ベイズ統計において、観測データが与えられたときの潜在変数やモデルパラメータの事後分布 $ p(z|x) $ を推定することは、通常、解析的に解くことが難しい。変分推論では、事後分布を直接求める代わりに、簡単に扱える「変分近似分布」 $ q(z) $ を定義し、この近似分布が事後分布にできるだけ近くなるように最適化を行う。

具体的には、事後分布と変分近似分布の差を測る指標（例：カルバック・ライブラー (KL) ダイバージェンス）を最小化することで、近似分布を求める。変分推論は、特にサンプリング手法（例：マルコフ連鎖モンテカルロ (MCMC)）のように計算コストが高くなる場合に、効率的な推論を行う手段として用いられる。

**②ここで言う「変分」とは何か説明**

「変分」とは、変分法に由来する概念で、ある関数の関数に対する最適化問題を扱う手法である。具体的には、関数空間内で最適な解を求めるために、関数の変動（変分）に対して目的関数がどのように変わるかを調べ、その変動が最小になるような関数を見つける。

変分推論において、「変分」は近似分布 $ q(z) $ の最適化に関係している。近似分布 $ q(z) $ は事後分布 $ p(z|x) $ にできるだけ近い形に調整され、その調整を行う手段として「変分」最適化が用いられる。これは、目的関数（通常はELBO：Evidence Lower Bound）を最小化または最大化するために、分布の形状を変動させながら最適解を探索するプロセスである。


##   2.1 Problem scenario

**▼質問(人間)**
<details><summary>質問内容全体はここをクリック</summary>
(論文・記事の各章節を貼り付け)
2.1 Problem scenario
Let us consider some dataset X = {x(i)}N
i=1 consisting of N i.i.d. samples of some continuous
or discrete variable x. We assume that the data are generated by some random process, involving
an unobserved continuous random variable z. The process consists of two steps: (1) a value z(i)
is generated from some prior distribution pθ∗ (z); (2) a value x(i) is generated from some condi-
tional distribution pθ∗ (x|z). We assume that the prior pθ∗ (z) and likelihood pθ∗ (x|z) come from
parametric families of distributions pθ (z) and pθ (x|z), and that their PDFs are differentiable almost
everywhere w.r.t. both θ and z. Unfortunately, a lot of this process is hidden from our view: the true
parameters θ∗ as well as the values of the latent variables z(i) are unknown to us.
Very importantly, we do not make the common simplifying assumptions about the marginal or pos-
terior probabilities. Conversely, we are here interested in a general algorithm that even works effi-
ciently in the case of:
1. Intractability: the case where the integral of the marginal likelihood pθ (x) =∫ pθ (z)pθ (x|z) dz is intractable (so we cannot evaluate or differentiate the marginal like-
lihood), where the true posterior density pθ (z|x) = pθ (x|z)pθ (z)/pθ (x) is intractable
(so the EM algorithm cannot be used), and where the required integrals for any reason-
able mean-field VB algorithm are also intractable. These intractabilities are quite common
and appear in cases of moderately complicated likelihood functions pθ (x|z), e.g. a neural
network with a nonlinear hidden layer.
2. A large dataset: we have so much data that batch optimization is too costly; we would like
to make parameter updates using small minibatches or even single datapoints. Sampling-
based solutions, e.g. Monte Carlo EM, would in general be too slow, since it involves a
typically expensive sampling loop per datapoint.
We are interested in, and propose a solution to, three related problems in the above scenario:
1. Efficient approximate ML or MAP estimation for the parameters θ. The parameters can be
of interest themselves, e.g. if we are analyzing some natural process. They also allow us to
mimic the hidden random process and generate artificial data that resembles the real data.
2. Efficient approximate posterior inference of the latent variable z given an observed value x
for a choice of parameters θ. This is useful for coding or data representation tasks.
3. Efficient approximate marginal inference of the variable x. This allows us to perform all
kinds of inference tasks where a prior over x is required. Common applications in computer
vision include image denoising, inpainting and super-resolution.
For the purpose of solving the above problems, let us introduce a recognition model qφ(z|x): an
approximation to the intractable true posterior pθ (z|x). Note that in contrast with the approximate
posterior in mean-field variational inference, it is not necessarily factorial and its parameters φ are
not computed from some closed-form expectation. Instead, we’ll introduce a method for learning
the recognition model parameters φ jointly with the generative model parameters θ.
From a coding theory perspective, the unobserved variables z have an interpretation as a latent
representation or code. In this paper we will therefore also refer to the recognition model qφ(z|x)
as a probabilistic encoder, since given a datapoint x it produces a distribution (e.g. a Gaussian)
over the possible values of the code z from which the datapoint x could have been generated. In a
similar vein we will refer to pθ (x|z) as a probabilistic decoder, since given a code z it produces a
distribution over the possible corresponding values of x.

上記の内容に関して下記の質問に回答下さい: (である調で記載、質問に対して該当するものが無ければ無しと記載)
①何についての記載か? + 要旨は何? (要旨は箇条書きで記載、既存手法があれば引用元を記載)
②具体的な処理方法の記載があれば説明下さい。(簡略化せずに全て記載、既存手法があれば引用元を記載)
③改良点・工夫点・テクニック等の記載があれば説明下さい。
④メカニズムの解明・なぜそうなるのか等の記載があれば説明下さい。
⑤性能が向上した記載があれば説明下さい。(具体値があれば記載、対応する図/表番号があれば各文末に記載)
⑧難解用語を全て列挙して、表にまとめて下さい。(必ず正しく抜き取る事、|用語|説明|の表へ)
⑨具体的な変数名(数式用の記号)の記載を全て列挙して、表にまとめて下さい。(|変数名|説明|次元・型|の表へ)
⑩図/表があれば、各図/表は何を主張するためのものかを説明下さい。(掲載理由・注目ポイント等)
</details>

**▼生成AIの回答(ChatGPT-4o)**
**① 何についての記載か? + 要旨は何?**

この部分では、観測データが潜在変数に依存する確率モデルの下で、変分推論を用いた効率的な推論と学習に関する問題と解決策が述べられている。具体的には、連続潜在変数を含むデータ生成過程を仮定し、その過程における近似事後分布の導入と、それを効率的に推定するための方法が提示されている。

**要旨**
- データ生成過程は、事前分布 $ p_{\theta^*}(z) $ から潜在変数 $ z $ が生成され、それに基づいて $ p_{\theta^*}(x|z) $ によって観測データ $ x $ が生成される。
- 潜在変数 $ z $ やモデルパラメータ $ \theta^* $ は観測されないため、事後分布 $ p_{\theta}(z|x) $ を直接計算することは困難。
- このシナリオにおける効率的な推論と学習のために、認識モデル $ q_{\phi}(z|x) $ を導入し、近似事後分布を推定。
- 提案された認識モデルは、潜在変数を「コード」として解釈でき、生成モデルのデコーダーと連携して、効率的な推論が可能。

**② 具体的な処理方法の記載**

- 潜在変数 $ z $ に対して事前分布 $ p_{\theta}(z) $ を仮定し、観測データ $ x $ が条件付き分布 $ p_{\theta}(x|z) $ に従って生成されるとする。
- 真の事後分布 $ p_{\theta}(z|x) $ を直接計算するのは困難なため、認識モデル $ q_{\phi}(z|x) $ を使って近似を行う。この認識モデルは、観測データ $ x $ に対して潜在変数 $ z $ の分布を推定する。
- 生成モデルと認識モデルのパラメータ $ \theta $ と $ \phi $ は同時に学習され、効率的な近似推論と学習が行われる。

**③ 改良点・工夫点・テクニック等の記載**

- 真の事後分布 $ p_{\theta}(z|x) $ が扱いにくい場合でも、認識モデル $ q_{\phi}(z|x) $ を用いることで効率的に推論を行う。
- $ q_{\phi}(z|x) $ は因子化された形式でなくてもよく、閉形式の期待値を用いる必要がない点で、従来の平均場変分法とは異なる。
- 生成モデルと認識モデルを同時に学習し、推論を効率化する。

**④ メカニズムの解明・なぜそうなるのか等の記載**

- 潜在変数 $ z $ は、観測データ $ x $ に対する「潜在表現」や「コード」として機能し、これにより認識モデルが $ x $ から $ z $ を推定する。このプロセスは、生成モデル $ p_{\theta}(x|z) $ と連携することで、データの効率的な推論と生成が可能となる。

**⑤ 性能が向上した記載**

性能向上の記載は本文にはない。

**⑧ 難解用語を全て列挙して、表にまとめて下さい**

| 用語                     | 説明                                                                                 |
|--------------------------|--------------------------------------------------------------------------------------|
| 潜在変数 (latent variable) | 観測されていない隠れた変数。データ生成過程に影響を与えるが、直接観測されない。                   |
| 事前分布 (prior distribution) | 潜在変数 $ z $ の初期分布。観測データが与えられる前に仮定される確率分布。                       |
| 条件付き分布 (conditional distribution) | $ z $ を与えた場合の観測データ $ x $ の分布。                                                            |
| 事後分布 (posterior distribution) | 観測データ $ x $ が与えられたときの潜在変数 $ z $ の分布。通常は直接計算が困難。                        |
| 認識モデル (recognition model) | 潜在変数 $ z $ を観測データ $ x $ から推定するための近似モデル。推論に使用される。                             |
| 生成モデル (generative model) | 潜在変数 $ z $ を用いて観測データ $ x $ を生成するモデル。                                                 |
| 最大尤度推定 (Maximum Likelihood Estimation: MLE) | モデルのパラメータを、データが最も尤もらしく生成されるように推定する方法。                                |
| 近似推論 (approximate inference) | 計算が困難な事後分布やその他の確率分布を、計算可能な形で近似する手法。                                           |
| コーディング理論 (coding theory) | 情報を効率的にエンコード・デコードするための理論。ここでは潜在変数をコードとみなして推論を行う。                |

**⑨ 具体的な変数名(数式用の記号)の記載を全て列挙して、表にまとめて下さい**

| 変数名        | 説明                                                                | 次元・型              |
|---------------|---------------------------------------------------------------------|-----------------------|
| $ x $       | 観測データ                                                          | $ \mathbb{R}^d $     |
| $ z $       | 潜在変数                                                            | $ \mathbb{R}^k $     |
| $ p_{\theta}(x\|z) $ | $ z $ を条件とした観測データ $ x $ の条件付き確率分布            | 確率密度関数 (PDF)    |
| $ p_{\theta}(z) $   | 潜在変数 $ z $ の事前確率分布                                 | 確率密度関数 (PDF)    |
| $ q_{\phi}(z\|x) $   | 観測データ $ x $ を条件とした潜在変数 $ z $ の近似事後分布     | 確率密度関数 (PDF)    |
| $ \theta $          | 生成モデルのパラメータ                                         | ベクトル              |
| $ \phi $            | 認識モデルのパラメータ                                         | ベクトル              |
| $ N $               | データセットのサンプル数                                       | 自然数                |

**⑩ 図/表があれば、各図/表は何を主張するためのものかを説明**

図1では、扱う生成モデルの構造を示しており、生成過程 $ p_{\theta}(z)p_{\theta}(x|z) $ と認識モデル $ q_{\phi}(z|x) $ の関係を視覚化している。

:::note info
生成AIがMarkdown形式の表として回答する時に、項目の中に「|」の文字を含むと(例: 条件付き確率のP(y | x)等)、表がくずれて表示されない問題がある。「\|」へエスケープする必要がある。
:::

##   2.2 The variational bound

**▼質問(人間)**
<details><summary>質問内容全体はここをクリック</summary>
(論文・記事の各章節を貼り付け)
2.2 The variational bound
The marginal likelihood is composed of a sum over the marginal likelihoods of individual datapoints
log pθ (x(1), · · · , x(N )) = ∑N
i=1 log pθ (x(i)), which can each be rewritten as:
log pθ (x(i)) = DKL(qφ(z|x(i))||pθ (z|x(i))) + L(θ, φ; x(i)) (1)
The first RHS term is the KL divergence of the approximate from the true posterior. Since this
KL-divergence is non-negative, the second RHS term L(θ, φ; x(i)) is called the (variational) lower
bound on the marginal likelihood of datapoint i, and can be written as:
log pθ (x(i)) ≥ L(θ, φ; x(i)) = Eqφ(z|x) [− log qφ(z|x) + log pθ (x, z)] (2)
which can also be written as:
L(θ, φ; x(i)) = −DKL(qφ(z|x(i))||pθ (z)) + Eqφ(z|x(i))
[
log pθ (x(i)|z)
]
(3)
We want to differentiate and optimize the lower bound L(θ, φ; x(i)) w.r.t. both the variational
parameters φ and generative parameters θ. However, the gradient of the lower bound w.r.t. φ
is a bit problematic. The usual (na¨ıve) Monte Carlo gradient estimator for this type of problem
is: ∇φEqφ(z) [f (z)] = Eqφ(z)
[f (z)∇qφ(z) log qφ(z)] ' 1
L
∑L
l=1 f (z)∇qφ(z(l)) log qφ(z(l)) where
z(l) ∼ qφ(z|x(i)). This gradient estimator exhibits exhibits very high variance (see e.g. [BJP12])
and is impractical for our purposes.

上記の内容に関して下記の質問に回答下さい: (である調で記載、質問に対して該当するものが無ければ無しと記載)
①何についての記載か? + 要旨は何? (要旨は箇条書きで記載、既存手法があれば引用元を記載)
②具体的な処理方法の記載があれば説明下さい。(簡略化せずに全て記載、既存手法があれば引用元を記載)
③改良点・工夫点・テクニック等の記載があれば説明下さい。
④メカニズムの解明・なぜそうなるのか等の記載があれば説明下さい。
⑤性能が向上した記載があれば説明下さい。(具体値があれば記載、対応する図/表番号があれば各文末に記載)
⑧難解用語を全て列挙して、表にまとめて下さい。(必ず正しく抜き取る事、|用語|説明|の表へ)
⑨具体的な変数名(数式用の記号)の記載を全て列挙して、表にまとめて下さい。(|変数名|説明|次元・型|の表へ)
⑩図/表があれば、各図/表は何を主張するためのものかを説明下さい。(掲載理由・注目ポイント等)
</details>

**▼生成AIの回答(ChatGPT-4o)**
**① 何についての記載か? + 要旨は何?**

この節では、変分推論の基本的な概念である「変分下界」(variational lower bound) について説明されている。特に、データの周辺尤度を近似するために変分推論を使い、その最適化を行う方法について記載されている。また、変分下界の式と、それを効率的に最適化するための課題と問題点についても議論されている。

**要旨**
- 周辺尤度を各データポイントごとの尤度に分解し、それを変分下界で近似。
- 変分下界は、近似事後分布と真の事後分布間のKLダイバージェンスと、期待値項で構成される。
- 下界を最適化するために、認識モデル $ q_{\phi}(z|x) $ と生成モデル $ p_{\theta}(x|z) $ のパラメータ $ \theta $ と $ \phi $ を同時に学習。
- 通常のモンテカルロ法で勾配推定を行う場合、高い分散が発生する問題があるため、効率的な勾配推定法が必要。

**② 具体的な処理方法の記載**

- データの周辺尤度 $ \log p_{\theta}(x(i)) $ を、近似事後分布 $ q_{\phi}(z|x(i)) $ と変分下界 $ L(\theta, \phi; x(i)) $ に分解 (式1)。
  $
  \log p_{\theta}(x(i)) = D_{\text{KL}}(q_{\phi}(z|x(i)) \|\| p_{\theta}(z|x(i))) + L(\theta, \phi; x(i))
  $
- 変分下界 $ L(\theta, \phi; x(i)) $ は以下の式で表現される (式2)。
  $
  L(\theta, \phi; x(i)) = \mathbb{E}_{q_{\phi}(z|x)} \left[ - \log q_{\phi}(z|x) + \log p_{\theta}(x, z) \right]
  $
- さらに、以下のように変形可能 (式3)。
  $
  L(\theta, \phi; x(i)) = - D_{\text{KL}}(q_{\phi}(z|x(i)) \|\| p_{\theta}(z)) + \mathbb{E}_{q_{\phi}(z|x(i))} \left[ \log p_{\theta}(x(i)|z) \right]
  $
- パラメータ $ \theta $ と $ \phi $ について変分下界 $ L(\theta, \phi; x(i)) $ の微分を計算し、最適化を行う。
- しかし、通常のモンテカルロ法に基づく勾配推定器は高分散を示すため、他のアプローチが必要。

**③ 改良点・工夫点・テクニック等の記載**

- モンテカルロ法を用いた勾配推定器は分散が非常に高いため、そのままでは効率的な最適化が困難。このため、より効率的な方法が求められている。

**④ メカニズムの解明・なぜそうなるのか等の記載**

- KLダイバージェンスが非負であるため、変分下界 $ L(\theta, \phi; x(i)) $ は周辺尤度の下限となる。これにより、変分下界を最適化することで、モデルのパラメータを効率的に推定できる。

**⑤ 性能が向上した記載**

性能向上に関する具体的な数値や記述は本文には記載されていない。

**⑧ 難解用語を全て列挙して、表にまとめて下さい**

| 用語 | 説明 |
| --- | --- |
| 変分下界 (Variational Lower Bound) | 周辺尤度を近似するために使用される下限値。近似事後分布のKLダイバージェンスと期待値項から成る。 |
| KLダイバージェンス (KL Divergence) | 2つの確率分布間の非対称な距離を測る指標。非負であり、2つの分布が同じ場合は0になる。 |
| 周辺尤度 (Marginal Likelihood) | モデルがデータを生成する確率のこと。潜在変数の周辺化によって得られる。 |
| モンテカルロ法 (Monte Carlo Method) | 確率分布からサンプルを生成し、それを用いて期待値や確率を推定する手法。 |
| 勾配推定 (Gradient Estimation) | パラメータ更新のために、目的関数の勾配を近似して計算する手法。 |
| 高分散 (High Variance) | 勾配推定などの結果が大きく変動し、不安定であること。モンテカルロ法では特に問題になる。 |

**⑨ 具体的な変数名(数式用の記号)の記載を全て列挙して、表にまとめて下さい**

| 変数名 | 説明 | 次元・型 |
| --- | --- | --- |
| $ x $ | 観測データ | $ \mathbb{R}^d $ |
| $ z $ | 潜在変数 | $ \mathbb{R}^k $ |
| $ \theta $ | 生成モデルのパラメータ | ベクトル |
| $ \phi $ | 認識モデルのパラメータ | ベクトル |
| $ p_{\theta}(x\|z) $ | $ z $ を条件とした観測データ $ x $ の条件付き確率分布 | 確率密度関数 (PDF) |
| $ p_{\theta}(z) $ | 潜在変数 $ z $ の事前確率分布 | 確率密度関数 (PDF) |
| $ q_{\phi}(z\|x) $ | 観測データ $ x $ を条件とした潜在変数 $ z $ の近似事後分布 | 確率密度関数 (PDF) |
| $ D_{\text{KL}} $ | KLダイバージェンス | スカラー |
| $ L(\theta, \phi; x(i)) $ | 変分下界 | スカラー |
| $ \mathbb{E}_{q_{\phi}(z\|x)} $ | $ q_{\phi}(z\|x) $ に関する期待値 | スカラー |

**⑩ 図/表があれば、各図/表は何を主張するためのものかを説明**

図や表は本文には含まれていない。

:::note info
論文の本文中では、数式(1)～(3)は、天下り的に提示されるのみ。
:::

![image.png](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/606924/3ad09a3e-e784-da60-6b40-1dfd6b67a720.png)

:::note info
参考: イェンセン(Jensen)の不等式
:::
https://qiita.com/kenmatsu4/items/26d098a4048f84bf85fb

:::note info
参考: イェンセン(Jensen)の不等式
:::
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%A4%E3%82%A7%E3%83%B3%E3%82%BB%E3%83%B3%E3%81%AE%E4%B8%8D%E7%AD%89%E5%BC%8F

:::note info
参考: カルバック・ライブラー情報量
:::
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AB%E3%83%AB%E3%83%90%E3%83%83%E3%82%AF%E3%83%BB%E3%83%A9%E3%82%A4%E3%83%96%E3%83%A9%E3%83%BC%E6%83%85%E5%A0%B1%E9%87%8F

##   2.3 The SGVB estimator and AEVB algorithm

**▼質問(人間)**
<details><summary>質問内容全体はここをクリック</summary>
(論文・記事の各章節を貼り付け)
2.3 The SGVB estimator and AEVB algorithm
In this section we introduce a practical estimator of the lower bound and its derivatives w.r.t. the
parameters. We assume an approximate posterior in the form qφ(z|x), but please note that the
technique can be applied to the case qφ(z), i.e. where we do not condition on x, as well. The fully
variational Bayesian method for inferring a posterior over the parameters is given in the appendix.
Under certain mild conditions outlined in section 2.4 for a chosen approximate posterior qφ(z|x) we
can reparameterize the random variable ˜z ∼ qφ(z|x) using a differentiable transformation gφ(ϵ, x)
of an (auxiliary) noise variable ϵ:
˜z = gφ(ϵ, x) with ϵ ∼ p(ϵ) (4)
See section 2.4 for general strategies for chosing such an approriate distribution p(ϵ) and function
gφ(ϵ, x). We can now form Monte Carlo estimates of expectations of some function f (z) w.r.t.
qφ(z|x) as follows:
Eqφ(z|x(i)) [f (z)] = Ep(ϵ)
[
f (gφ(ϵ, x(i)))
]
' 1
L
L∑
l=1
f (gφ(ϵ(l), x(i))) where ϵ(l) ∼ p(ϵ) (5)
We apply this technique to the variational lower bound (eq. (2)), yielding our generic Stochastic
Gradient Variational Bayes (SGVB) estimator ˜LA(θ, φ; x(i)) ' L(θ, φ; x(i)):
˜LA(θ, φ; x(i)) = 1
L
L∑
l=1
log pθ (x(i), z(i,l)) − log qφ(z(i,l)|x(i))
where z(i,l) = gφ(ϵ(i,l), x(i)) and ϵ(l) ∼ p(ϵ) (6)
Often, the KL-divergence DKL(qφ(z|x(i))||pθ (z)) of eq. (3) can be integrated analytically (see
appendix B), such that only the expected reconstruction error Eqφ(z|x(i))
[log pθ (x(i)|z)] requires
estimation by sampling. The KL-divergence term can then be interpreted as regularizing φ, encour-
aging the approximate posterior to be close to the prior pθ (z). This yields a second version of the
SGVB estimator ˜LB (θ, φ; x(i)) ' L(θ, φ; x(i)), corresponding to eq. (3), which typically has less
variance than the generic estimator:
˜LB (θ, φ; x(i)) = −DKL(qφ(z|x(i))||pθ (z)) + 1
L
L∑
l=1
(log pθ (x(i)|z(i,l)))
where z(i,l) = gφ(ϵ(i,l), x(i)) and ϵ(l) ∼ p(ϵ) (7)
Given multiple datapoints from a dataset X with N datapoints, we can construct an estimator of the
marginal likelihood lower bound of the full dataset, based on minibatches:
L(θ, φ; X) ' ˜LM (θ, φ; XM ) = N
M
M∑
i=1
˜L(θ, φ; x(i)) (8)
where the minibatch XM = {x(i)}M
i=1 is a randomly drawn sample of M datapoints from the
full dataset X with N datapoints. In our experiments we found that the number of samples L
per datapoint can be set to 1 as long as the minibatch size M was large enough, e.g. M = 100.
Derivatives ∇θ,φ ˜L(θ; XM ) can be taken, and the resulting gradients can be used in conjunction
with stochastic optimization methods such as SGD or Adagrad [DHS10]. See algorithm 1 for a
basic approach to compute the stochastic gradients.
A connection with auto-encoders becomes clear when looking at the objective function given at
eq. (7). The first term is (the KL divergence of the approximate posterior from the prior) acts as a
regularizer, while the second term is a an expected negative reconstruction error. The function gφ(.)
is chosen such that it maps a datapoint x(i) and a random noise vector ϵ(l) to a sample from the
approximate posterior for that datapoint: z(i,l) = gφ(ϵ(l), x(i)) where z(i,l) ∼ qφ(z|x(i)). Subse-
quently, the sample z(i,l) is then input to function log pθ (x(i)|z(i,l)), which equals the probability
density (or mass) of datapoint x(i) under the generative model, given z(i,l). This term is a negative
reconstruction error in auto-encoder parlance.

Algorithm 1 Minibatch version of the Auto-Encoding VB (AEVB) algorithm. Either of the two
SGVB estimators in section 2.3 can be used. We use settings M = 100 and L = 1 in experiments.
θ, φ ← Initialize parameters
repeat
XM ← Random minibatch of M datapoints (drawn from full dataset)
ϵ ← Random samples from noise distribution p(ϵ)
g ← ∇θ,φ ˜LM (θ, φ; XM , ϵ) (Gradients of minibatch estimator (8))
θ, φ ← Update parameters using gradients g (e.g. SGD or Adagrad [DHS10])
until convergence of parameters (θ, φ)
return θ, φ

上記の内容に関して下記の質問に回答下さい: (である調で記載、質問に対して該当するものが無ければ無しと記載)
①何についての記載か? + 要旨は何? (要旨は箇条書きで記載、既存手法があれば引用元を記載)
②具体的な処理方法の記載があれば説明下さい。(簡略化せずに全て記載、既存手法があれば引用元を記載)
③改良点・工夫点・テクニック等の記載があれば説明下さい。
④メカニズムの解明・なぜそうなるのか等の記載があれば説明下さい。
</details>

**▼生成AIの回答(ChatGPT-4o)**
**① 何についての記載か? + 要旨は何?**

この節では、変分下界の実際的な推定器（SGVB: Stochastic Gradient Variational Bayes推定器）と、その最適化アルゴリズムであるAEVB (Auto-Encoding Variational Bayes) アルゴリズムについて説明されている。SGVB推定器は、変分下界のモンテカルロ推定を効率的に行うために、ランダムなサンプリングと再パラメータ化技術を使用する。

**要旨**
- SGVB推定器を導入し、変分下界の期待値をモンテカルロサンプリングで近似する方法を説明。
- 再パラメータ化トリックを用いて勾配を効率的に計算し、勾配ベースの最適化アルゴリズム（例: SGD, Adagrad）で学習を進める。
- 生成モデルの事前分布と近似事後分布のKLダイバージェンスが正則化項として機能する。
- SGVB推定器の2つのバージョンを示し、低分散の推定器を選択できる。
- モデル学習のために、ミニバッチを用いた効率的な最適化アルゴリズム（AEVB）を導入。

**② 具体的な処理方法の記載**

- 再パラメータ化トリックを使用して、近似事後分布 $ q_{\phi}(z|x) $ からのサンプリングを、補助的なノイズ変数 $ \epsilon \sim p(\epsilon) $ に基づく可微分な変換 $ g_{\phi}(\epsilon, x) $ によって行う (式4)。
  $
  \tilde{z} = g_{\phi}(\epsilon, x) \quad \text{where} \quad \epsilon \sim p(\epsilon)
  $
- モンテカルロ推定を用いて、ある関数 $ f(z) $ の期待値をサンプリングで近似 (式5)。
  $
  \mathbb{E}_{q_{\phi}(z|x(i))} [f(z)] = \mathbb{E}_{p(\epsilon)} [f(g_{\phi}(\epsilon, x(i)))] \approx \frac{1}{L} \sum_{l=1}^{L} f(g_{\phi}(\epsilon^{(l)}, x(i)))
  $
  ここで、$ \epsilon^{(l)} \sim p(\epsilon) $。
  
- 変分下界 $ L(\theta, \phi; x(i)) $ のモンテカルロ推定器 (SGVB推定器) を定義 (式6)。
  $
  \tilde{L}_A(\theta, \phi; x(i)) = \frac{1}{L} \sum_{l=1}^{L} \left[ \log p_{\theta}(x(i), z(i,l)) - \log q_{\phi}(z(i,l)|x(i)) \right]
  $
  ここで、$ z(i,l) = g_{\phi}(\epsilon^{(l)}, x(i)) $ であり、$ \epsilon^{(l)} \sim p(\epsilon) $。
  
- KLダイバージェンス $ D_{\text{KL}}(q_{\phi}(z|x(i)) \|\| p_{\theta}(z)) $ が解析的に計算可能な場合には、期待される再構成誤差項のみをサンプリングで近似する (式7)。
  $
  \tilde{L}_B(\theta, \phi; x(i)) = - D_{\text{KL}}(q_{\phi}(z|x(i)) \|\| p_{\theta}(z)) + \frac{1}{L} \sum_{l=1}^{L} \log p_{\theta}(x(i)|z(i,l))
  $
  
- ミニバッチ $ X_M $ に対するデータセット全体の周辺尤度下界の推定を行う (式8)。
  $
  L(\theta, \phi; X) \approx \tilde{L}_M(\theta, \phi; X_M) = \frac{N}{M} \sum_{i=1}^{M} \tilde{L}(\theta, \phi; x(i))
  $
  
- 勾配 $ \nabla_{\theta, \phi} \tilde{L}_M(\theta; X_M) $ を計算し、SGDやAdagradなどの最適化アルゴリズムを使用してパラメータを更新。

- **AEVBアルゴリズムのステップ**:
  1. パラメータ $ \theta, \phi $ を初期化。
  2. ミニバッチ $ X_M $ をランダムに選択。
  3. ノイズ分布からサンプル $ \epsilon $ を生成。
  4. 勾配 $ \nabla_{\theta, \phi} \tilde{L}_M(\theta, \phi; X_M, \epsilon) $ を計算。
  5. 勾配を用いてパラメータを更新。
  6. 収束するまで繰り返す。

**③ 改良点・工夫点・テクニック等の記載**

- **再パラメータ化トリック**: モンテカルロサンプリングによる期待値推定を、ノイズ変数を用いた可微分な変換を通じて行う。これにより、勾配計算が容易になる。
- **SGVB推定器の2つのバージョン**: 一般的な推定器 (式6) と、KLダイバージェンスが解析的に計算可能な場合の低分散推定器 (式7) の2つを提示し、後者の方が分散が少ない点が強調されている。
- **ミニバッチによる効率化**: ミニバッチを用いてデータ全体の周辺尤度下界の推定を効率化し、計算資源の節約を図っている。

**④ メカニズムの解明・なぜそうなるのか等の記載**

- 再パラメータ化トリックを使用する理由は、近似事後分布 $ q_{\phi}(z|x) $ から直接サンプリングすると勾配が計算しにくいためである。この手法により、勾配の伝播が可能となり、効率的な勾配計算が実現される。
- KLダイバージェンス $ D_{\text{KL}}(q_{\phi}(z|x(i)) \|\| p_{\theta}(z)) $ が解析的に計算可能な場合には、サンプリングによる分散が減少し、より安定した推定が可能となる。
- ミニバッチを使用することで、全データセットを扱う際の計算量が減少し、より効率的な最適化が可能となる。

![image.png](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/606924/e81c5c0f-3fe1-5971-56c3-486a58d564da.png)

![image.png](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/606924/36093e72-b700-91b2-cbd6-6cb0ebc6245e.png)

**▼質問(人間)**
続けて下記の質問に追加で回答下さい:
⑤性能が向上した記載があれば説明下さい。(具体値があれば記載、対応する図/表番号があれば各文末に記載)
⑧難解用語を全て列挙して、表にまとめて下さい。(必ず正しく抜き取る事、|用語|説明|の表へ)
⑨具体的な変数名(数式用の記号)の記載を全て列挙して、表にまとめて下さい。(|変数名|説明|次元・型|の表へ)
⑩図/表があれば、各図/表は何を主張するためのものかを説明下さい。(掲載理由・注目ポイント等)

**▼生成AIの回答(ChatGPT-4o)**
**⑤ 性能が向上した記載**

この節では、性能向上に関する具体的な数値や図表の記載はないが、以下の要素により性能が向上していると考えられる:
- **再パラメータ化トリック**の導入により、勾配計算が可能となり、勾配ベースの最適化アルゴリズム（SGDやAdagrad）を効率的に使用できるため、収束が早くなる。
- **低分散のSGVB推定器** (式7) は、サンプリングによる推定の分散を低減させるため、より安定した学習を可能にする。
- **ミニバッチ最適化** (式8) により、大規模なデータセットを効率的に扱い、学習時間の短縮が図られている。

ただし、具体的な数値や図表に基づくパフォーマンス評価は記載されていない。

**⑧ 難解用語**

| 用語                          | 説明                                                                                                                                                     |
|-------------------------------|--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------|
| SGVB (Stochastic Gradient Variational Bayes) | モンテカルロサンプリングを使用して変分下界を近似し、勾配を計算する手法。                                                                                           |
| AEVB (Auto-Encoding Variational Bayes)      | 変分ベイズ法を自動符号化器の文脈に適用した最適化アルゴリズム。                                                                                             |
| 再パラメータ化トリック                    | ノイズ変数を用いた可微分変換を通じて、近似事後分布からサンプリングする手法。これにより、勾配が計算可能になる。                                                                    |
| KLダイバージェンス                        | 2つの確率分布間の差異を測る指標。ここでは、近似事後分布 $ q_{\phi}(z\|x) $ と事前分布 $ p_{\theta}(z) $ との間の差異を表す。                                               |
| モンテカルロ推定                           | 確率分布の期待値を乱数サンプリングにより近似する手法。                                                                                                     |
| ミニバッチ最適化                           | データセットを小さなバッチに分けて逐次的に最適化を行う手法。大規模データセットを効率的に扱う際に使用される。                                                                         |
| SGD (Stochastic Gradient Descent)          | 各ステップでランダムに選ばれたサンプルの小さなバッチに対して勾配を計算し、パラメータを更新する最適化アルゴリズム。                                                                      |
| Adagrad                                  | 勾配に基づく最適化アルゴリズムの一種で、パラメータごとに学習率を適応的に調整する。                                                                                             |
| 変分下界                                   | 尤度の下界を求めることでモデルを最適化するための指標。                                                                                                       |
| 再構成誤差                                 | 生成モデルによってデータを再構成した際に生じる誤差。自動符号化器では、元のデータと再構成されたデータの差異を表す。                                                                     |

**⑨ 具体的な変数名**

| 変数名                      | 説明                                                                                             | 次元・型                  |
|-----------------------------|------------------------------------------------------------------------------------------------|---------------------------|
| $ \theta $                 | 生成モデルのパラメータ (generative parameters)                                                    | ベクトルまたは行列        |
| $ \phi $                   | 変分分布のパラメータ (variational parameters)                                                     | ベクトルまたは行列        |
| $ x(i) $                   | $ i $ 番目のデータポイント (観測データ)                                                          | データの次元              |
| $ z(i) $                   | 潜在変数 (latent variable)                                                                      | 潜在空間の次元            |
| $ q_{\phi}(z\|x) $          | 観測データ $ x $ に条件づけられた変分事後分布 (approximate posterior distribution)                 | 確率分布                  |
| $ p_{\theta}(z) $          | 潜在変数の事前分布 (prior distribution)                                                           | 確率分布                  |
| $ p_{\theta}(x\|z) $        | 潜在変数 $ z $ に基づく観測データの生成分布 (likelihood function)                                | 確率分布                  |
| $ \epsilon $               | 補助ノイズ変数 (auxiliary noise variable)                                                        | ベクトルまたは行列        |
| $ g_{\phi}(\epsilon, x) $  | ノイズ変数 $ \epsilon $ とデータ $ x $ を入力とする変換 (differentiable transformation)          | ベクトルまたは行列        |
| $ D_{\text{KL}}(q \|\| p) $  | KLダイバージェンス (2つの分布間の差異を測る指標)                                                    | スカラー                  |
| $ \tilde{L}_A(\theta, \phi; x(i)) $ | モンテカルロ推定された変分下界の近似値 (第一のSGVB推定器)                                              | スカラー                  |
| $ \tilde{L}_B(\theta, \phi; x(i)) $ | 低分散のモンテカルロ推定による変分下界の近似値 (第二のSGVB推定器)                                      | スカラー                  |
| $ L $                       | モンテカルロサンプル数                                                                                | スカラー                  |
| $ M $                       | ミニバッチサイズ                                                                                  | スカラー                  |
| $ N $                       | データセット全体のサイズ                                                                            | スカラー                  |
| $ \tilde{L}_M(\theta, \phi; X_M) $  | ミニバッチを用いた変分下界の推定値                                                                    | スカラー                  |
| $ \nabla_{\theta, \phi} $  | パラメータ $ \theta, \phi $ に対する勾配                                                          | ベクトルまたは行列        |
| $ g $                      | 勾配                                                                                               | ベクトルまたは行列        |

**⑩ 図/表の説明**

この節では、図表が具体的に挙げられていないため、図や表に関する説明は存在しない。

:::note info
「⑨具体的な変数名」の表が、次元も把握できて分かりやすい。良好。
:::

##   2.4 The reparameterization trick

**▼質問(人間)**
<details><summary>質問内容全体はここをクリック</summary>
(論文・記事の各章節を貼り付け)
2.4 The reparameterization trick
In order to solve our problem we invoked an alternative method for generating samples from
qφ(z|x). The essential parameterization trick is quite simple. Let z be a continuous random vari-
able, and z ∼ qφ(z|x) be some conditional distribution. It is then often possible to express the
random variable z as a deterministic variable z = gφ(ϵ, x), where ϵ is an auxiliary variable with
independent marginal p(ϵ), and gφ(.) is some vector-valued function parameterized by φ.
This reparameterization is useful for our case since it can be used to rewrite an expectation w.r.t
qφ(z|x) such that the Monte Carlo estimate of the expectation is differentiable w.r.t. φ. A proof
is as follows. Given the deterministic mapping z = gφ(ϵ, x) we know that qφ(z|x) ∏
i dzi =
p(ϵ) ∏
i dϵi. Therefore1, ∫ qφ(z|x)f (z) dz = ∫ p(ϵ)f (z) dϵ = ∫ p(ϵ)f (gφ(ϵ, x)) dϵ. It follows
that a differentiable estimator can be constructed: ∫ qφ(z|x)f (z) dz ' 1
L
∑L
l=1 f (gφ(x, ϵ(l)))
where ϵ(l) ∼ p(ϵ). In section 2.3 we applied this trick to obtain a differentiable estimator of the
variational lower bound.
Take, for example, the univariate Gaussian case: let z ∼ p(z|x) = N (μ, σ2). In this case, a valid
reparameterization is z = μ + σϵ, where ϵ is an auxiliary noise variable ϵ ∼ N (0, 1). Therefore,
EN (z;μ,σ2) [f (z)] = EN (ϵ;0,1) [f (μ + σϵ)] ' 1
L
∑L
l=1 f (μ + σϵ(l)) where ϵ(l) ∼ N (0, 1).
For which qφ(z|x) can we choose such a differentiable transformation gφ(.) and auxiliary variable
ϵ ∼ p(ϵ)? Three basic approaches are:
1. Tractable inverse CDF. In this case, let ϵ ∼ U(0, I), and let gφ(ϵ, x) be the inverse CDF of
qφ(z|x). Examples: Exponential, Cauchy, Logistic, Rayleigh, Pareto, Weibull, Reciprocal,
Gompertz, Gumbel and Erlang distributions.
2. Analogous to the Gaussian example, for any ”location-scale” family of distributions we can
choose the standard distribution (with location = 0, scale = 1) as the auxiliary variable
ϵ, and let g(.) = location + scale · ϵ. Examples: Laplace, Elliptical, Student’s t, Logistic,
Uniform, Triangular and Gaussian distributions.
3. Composition: It is often possible to express random variables as different transformations
of auxiliary variables. Examples: Log-Normal (exponentiation of normally distributed
variable), Gamma (a sum over exponentially distributed variables), Dirichlet (weighted
sum of Gamma variates), Beta, Chi-Squared, and F distributions.
When all three approaches fail, good approximations to the inverse CDF exist requiring computa-
tions with time complexity comparable to the PDF (see e.g. [Dev86] for some methods).

上記の内容に関して下記の質問に回答下さい: (である調で記載、質問に対して該当するものが無ければ無しと記載)
①何についての記載か? + 要旨は何? (要旨は箇条書きで記載、既存手法があれば引用元を記載)
②具体的な処理方法の記載があれば説明下さい。(簡略化せずに全て記載、既存手法があれば引用元を記載)
③改良点・工夫点・テクニック等の記載があれば説明下さい。
④メカニズムの解明・なぜそうなるのか等の記載があれば説明下さい。
⑤性能が向上した記載があれば説明下さい。(具体値があれば記載、対応する図/表番号があれば各文末に記載)
⑧難解用語を全て列挙して、表にまとめて下さい。(必ず正しく抜き取る事、|用語|説明|の表へ)
⑨具体的な変数名(数式用の記号)の記載を全て列挙して、表にまとめて下さい。(|変数名|説明|次元・型|の表へ)
⑩図/表があれば、各図/表は何を主張するためのものかを説明下さい。(掲載理由・注目ポイント等)
</details>

**▼生成AIの回答(ChatGPT-4o)**
**① 何についての記載か? + 要旨は何?**

この節は **再パラメータ化トリック** について記載されている。要旨は以下の通り:

- **再パラメータ化トリック** は、近似事後分布 $ q_{\phi}(z|x) $ からサンプリングを行う際に、サンプリング操作を微分可能にする手法である。
- サンプリングされた潜在変数 $ z $ を補助変数 $ \epsilon $ とパラメータ $ \phi $ に依存する関数 $ g_{\phi}(\epsilon, x) $ を使って再パラメータ化する。
- これにより、モンテカルロ推定の期待値を微分可能にすることができる。
- ガウス分布や他の分布に対して具体的な再パラメータ化の例が示されている。

既存手法として、モンテカルロサンプリングや逆累積分布法が引用されている。

**② 具体的な処理方法の記載**

具体的な処理方法は以下の通りである:

- 再パラメータ化トリックは、ランダム変数 $ z $ を補助変数 $ \epsilon $ と関数 $ g_{\phi}(\epsilon, x) $ を使って再パラメータ化する。これにより、サンプリング操作を微分可能に変換することができる。
  - 例として、ガウス分布 $ z \sim N(\mu, \sigma^2) $ の場合、$ z = \mu + \sigma \epsilon $ と再パラメータ化できる。ここで、$ \epsilon \sim N(0, 1) $ は標準正規分布からのノイズ。
  - より一般的な場合も、逆累積分布関数 (CDF) を用いた再パラメータ化や位置・スケール分布の標準化などを行う。

また、以下の具体的なアプローチが示されている:
1. **逆CDFを用いるアプローチ**: 逆累積分布関数が可解な場合、補助変数 $ \epsilon \sim U(0, 1) $ を使い、$ g_{\phi}(\epsilon, x) $ として逆CDFを使う。例として、指数分布やロジスティック分布が挙げられる。
2. **位置・スケール分布を用いるアプローチ**: ガウス分布に類似した任意の位置・スケール分布の場合、標準分布を用いて再パラメータ化が可能。例として、ラプラス分布やロジスティック分布がある。
3. **合成変換**: より複雑な分布では、補助変数を使った複数の変換を適用することで、再パラメータ化が可能。例として、対数正規分布やガンマ分布が挙げられる。

**③ 改良点・工夫点・テクニック等の記載**

- **再パラメータ化トリック** の導入により、サンプリング操作が微分可能になるため、勾配降下法などの最適化手法が適用可能となっている。これにより、変分ベイズ法や他のベイズ推論手法の効率性が向上している。
- 一般的に使用されるガウス分布だけでなく、さまざまな分布に対して適用可能な再パラメータ化のアプローチが3つ紹介されている。この汎用性が工夫点の一つである。

**④ メカニズムの解明・なぜそうなるのか**

- 再パラメータ化トリックのメカニズムは、補助変数 $ \epsilon $ に依存する微分可能な関数 $ g_{\phi}(\epsilon, x) $ を使って、サンプリング操作を微分可能に変換することである。これにより、変分下界の勾配が計算可能となり、勾配ベースの最適化が適用できる。
- 逆CDFや位置・スケール分布などを用いる理由は、分布の特徴に応じて適切な補助変数と変換関数を選択することで、サンプリングのプロセスを効率的に扱うためである。

**⑤ 性能が向上した記載**

性能向上についての具体的な数値や図表は記載されていないが、再パラメータ化トリックの導入により、以下の点で効率性が向上している:
- 微分可能なサンプリングが可能になることで、勾配ベースの最適化手法が適用可能になり、学習プロセスが高速化される。
- モンテカルロ推定の分散を抑えるため、推定の精度が向上することが期待される。

**⑧ 難解用語**

| 用語                          | 説明                                                                                                                             |
|-------------------------------|----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------|
| 再パラメータ化トリック           | サンプリング操作を微分可能な関数に変換することで、勾配ベースの最適化手法を適用可能にする技法。                                                                  |
| モンテカルロ推定                | 確率分布の期待値をランダムサンプリングによって近似する手法。                                                                                                     |
| 逆累積分布関数 (Inverse CDF)    | 確率分布の累積分布関数の逆関数。ある確率分布からのサンプリングに用いられる。                                                                                       |
| 位置・スケール分布               | 分布の中心位置とスケール (分散など) に基づいて構成される確率分布の一種。                                                                                             |
| ガウス分布                      | 正規分布とも呼ばれ、平均と分散によって特徴づけられる確率分布。                                                                                                      |
| ノイズ変数                      | サンプリングや変分推論で用いられる乱数に基づく補助変数。                                                                                                           |
| 期待値                         | 確率分布に従う変数の平均的な値を示す指標。                                                                                                                           |
| Cauchy分布                     | 重い尾を持つ確率分布の一つ。                                                                                                                                          |
| Laplace分布                    | ガウス分布と似ているが、尖った形状を持つ確率分布。                                                                                                                  |
| Student’s t分布                | 標本数が少ない場合に使われる確率分布で、ガウス分布よりも広がりがある。                                                                                               |
| Log-Normal分布                 | 正規分布に従う変数を指数変換することで得られる確率分布。                                                                                                             |
| Gamma分布                      | 連続的な確率分布で、正の値を取る変数に使われる。                                                                                                                     |

**⑨ 具体的な変数名**

| 変数名                      | 説明                                                                             | 次元・型                  |
|-----------------------------|--------------------------------------------------------------------------------|---------------------------|
| $ z $                     | サンプリングされる潜在変数                                                         | ベクトルまたは行列        |
| $ q_{\phi}(z\|x) $          | 条件付き確率分布 (近似事後分布)                                                     | 確率分布                  |
| $ g_{\phi}(\epsilon, x) $  | 補助変数 $ \epsilon $ とデータ $ x $ に基づく変換関数                            | ベクトルまたは行列        |
| $ \epsilon $               | 補助ノイズ変数 (独立した確率分布に従う)                                            | ベクトルまたは行列        |
| $ \mu $                   | ガウス分布の平均値                                                                 | スカラー                  |
| $ \sigma $                | ガウス分布の標準偏差                                                               | スカラー                  |
| $ p(\epsilon) $            | 補助ノイズ変数の分布                                                               | 確率分布                  |
| $ N(\mu, \sigma^2) $       | ガウス分布 (平均 $ \mu $, 分散 $ \sigma^2 $)                                     | 確率分布                  |

**⑩ 図/表の説明**

この節では、図表が示されていない。

##   3 Example: Variational Auto-Encoder

**▼質問(人間)**
<details><summary>質問内容全体はここをクリック</summary>
(論文・記事の各章節を貼り付け)
3 Example: Variational Auto-Encoder
In this section we’ll give an example where we use a neural network for the probabilistic encoder
qφ(z|x) (the approximation to the posterior of the generative model pθ (x, z)) and where the param-
eters φ and θ are optimized jointly with the AEVB algorithm.
Let the prior over the latent variables be the centered isotropic multivariate Gaussian pθ (z) =
N (z; 0, I). Note that in this case, the prior lacks parameters. We let pθ (x|z) be a multivariate
Gaussian (in case of real-valued data) or Bernoulli (in case of binary data) whose distribution pa-
rameters are computed from z with a MLP (a fully-connected neural network with a single hidden
layer, see appendix C). Note the true posterior pθ (z|x) is in this case intractable. While there is
much freedom in the form qφ(z|x), we’ll assume the true (but intractable) posterior takes on a ap-
proximate Gaussian form with an approximately diagonal covariance. In this case, we can let the
variational approximate posterior be a multivariate Gaussian with a diagonal covariance structure2:
log qφ(z|x(i)) = log N (z; μ(i), σ2(i)I) (9)
where the mean and s.d. of the approximate posterior, μ(i) and σ(i), are outputs of the encoding
MLP, i.e. nonlinear functions of datapoint x(i) and the variational parameters φ (see appendix C).
As explained in section 2.4, we sample from the posterior z(i,l) ∼ qφ(z|x(i)) using z(i,l) =
gφ(x(i), ϵ(l)) = μ(i) + σ(i) ϵ(l) where ϵ(l) ∼ N (0, I). With we signify an element-wise
product. In this model both pθ (z) (the prior) and qφ(z|x) are Gaussian; in this case, we can use the
estimator of eq. (7) where the KL divergence can be computed and differentiated without estimation
(see appendix B). The resulting estimator for this model and datapoint x(i) is:
L(θ, φ; x(i)) ' 1
2
J∑
j=1
(
1 + log((σ(i)
j )2) − (μ(i)
j )2 − (σ(i)
j )2)
+ 1
L
L∑
l=1
log pθ (x(i)|z(i,l))
where z(i,l) = μ(i) + σ(i) ϵ(l) and ϵ(l) ∼ N (0, I) (10)
As explained above and in appendix C, the decoding term log pθ (x(i)|z(i,l)) is a Bernoulli or Gaus-
sian MLP, depending on the type of data we are modelling.

上記の内容に関して下記の質問に回答下さい: (である調で記載、質問に対して該当するものが無ければ無しと記載)
①何についての記載か? + 要旨は何? (要旨は箇条書きで記載、既存手法があれば引用元を記載)
②具体的な処理方法の記載があれば説明下さい。(簡略化せずに全て記載、既存手法があれば引用元を記載)
③改良点・工夫点・テクニック等の記載があれば説明下さい。
④メカニズムの解明・なぜそうなるのか等の記載があれば説明下さい。
⑤性能が向上した記載があれば説明下さい。(具体値があれば記載、対応する図/表番号があれば各文末に記載)
⑧難解用語を全て列挙して、表にまとめて下さい。(必ず正しく抜き取る事、|用語|説明|の表へ)
⑨具体的な変数名(数式用の記号)の記載を全て列挙して、表にまとめて下さい。(|変数名|説明|次元・型|の表へ)
⑩図/表があれば、各図/表は何を主張するためのものかを説明下さい。(掲載理由・注目ポイント等)
</details>

**▼生成AIの回答(ChatGPT-4o)**
**① 何についての記載か? + 要旨は何?**

この節は **変分オートエンコーダ（Variational Auto-Encoder: VAE）** の具体例について記載している。要旨は以下の通り:

- VAEモデルにおいて、生成モデル $ p_{\theta}(x, z) $ の事後分布を近似するために、ニューラルネットワークを使用する。
- 潜在変数の事前分布 $ p_{\theta}(z) $ は中心化された等方性多変量ガウス分布 $ N(z; 0, I) $ を仮定。
- 近似事後分布 $ q_{\phi}(z|x) $ もガウス分布とし、その平均と分散はデータ $ x $ に依存する非線形関数としてエンコーダのニューラルネットワーク（MLP）から出力される。
- 潜在変数 $ z $ は再パラメータ化トリックを用いてサンプリングされる。
- 損失関数は変分下界（ELBO）であり、KLダイバージェンスとデータ再現誤差の和として定義される。

**② 具体的な処理方法の記載**

VAEにおける具体的な処理方法は以下の通り:

1. **潜在変数の事前分布**: 潜在変数 $ z $ の事前分布 $ p_{\theta}(z) $ は、中心化された等方性多変量ガウス分布 $ N(z; 0, I) $ で表される。この分布は固定であり、パラメータを持たない。
2. **近似事後分布の定義**: 真の事後分布 $ p_{\theta}(z|x) $ は計算不能であるため、近似事後分布 $ q_{\phi}(z|x) $ を多変量ガウス分布 $ N(z; \mu(x), \sigma^2(x)I) $ とする。平均 $ \mu(x) $ と標準偏差 $ \sigma(x) $ は、エンコーダとなるMLPによって出力される。
3. **再パラメータ化トリックの使用**: 近似事後分布からのサンプリングには再パラメータ化トリックを使用する。具体的には、補助ノイズ変数 $ \epsilon \sim N(0, I) $ を使って $ z = \mu(x) + \sigma(x) \cdot \epsilon $ と表現する。
4. **損失関数**: 損失関数は以下の2つの項の和として定義される:
   - KLダイバージェンス $ D_{\text{KL}}(q_{\phi}(z|x) || p_{\theta}(z)) $: 潜在変数の事前分布と近似事後分布の違いを測る項。
   - 再構成誤差 $ \log p_{\theta}(x|z) $: デコーダが生成するデータ分布に基づく再現誤差。ここではデータが連続的な場合ガウス分布、離散的な場合ベルヌーイ分布を仮定する。

損失関数の具体的な形式は次の通りである:
$
L(\theta, \phi; x) \approx \frac{1}{2} \sum_{j=1}^{J} \left( 1 + \log \sigma_j^2 - \mu_j^2 - \sigma_j^2 \right) + \frac{1}{L} \sum_{l=1}^{L} \log p_{\theta}(x | z^{(l)})
$
ここで $ z^{(l)} = \mu(x) + \sigma(x) \cdot \epsilon^{(l)} $ であり、$ \epsilon^{(l)} \sim N(0, I) $。

**③ 改良点・工夫点・テクニック等の記載**

- **再パラメータ化トリック** を用いることで、サンプリング操作が微分可能となり、勾配に基づく最適化が可能になっている。
- **KLダイバージェンスの計算**: このモデルでは、事前分布と近似事後分布がともにガウス分布であるため、KLダイバージェンスは解析的に計算でき、推定を行う必要がない点が効率化の工夫となっている。

**④ メカニズムの解明・なぜそうなるのか**

- 再パラメータ化トリックを用いることで、サンプリング操作が関数 $ g_{\phi}(x, \epsilon) $ によって微分可能に再表現される。これにより、VAEの学習中に勾配降下法を適用できるようになる。
- 変分下界（ELBO）のKLダイバージェンス項は、ガウス分布間の解析的な式を用いることで計算可能になるため、サンプリングに基づく推定が不要になる。

**⑤ 性能が向上した記載**

性能向上の具体的な記載はなし。ただし、VAEモデルは従来のオートエンコーダと比較して、生成モデルとしてデータの確率的性質を捉えることができ、より柔軟かつ高精度な生成が可能となっている。また、再パラメータ化トリックにより勾配ベースの最適化が効率化されている点も、性能向上の要因と考えられる。

**⑧ 難解用語**

| 用語                        | 説明                                                                                          |
|-----------------------------|-----------------------------------------------------------------------------------------------|
| 変分オートエンコーダ (VAE)    | 潜在変数モデルに基づく生成モデルであり、変分推論を用いて事後分布を近似するオートエンコーダ。                                       |
| 事前分布 (Prior Distribution) | モデルが潜在変数に対して仮定する確率分布。例として多変量ガウス分布が用いられる。                                                 |
| 事後分布 (Posterior Distribution)| 観測データに基づく潜在変数の確率分布。VAEでは近似的に計算される。                                                              |
| 再パラメータ化トリック         | サンプリングを補助変数と変換関数に置き換えることで微分可能にする手法。                                                         |
| KLダイバージェンス            | 2つの確率分布間の違いを測定する指標。変分推論においては事前分布と事後分布の差異を表す。                                           |
| ELBO (Evidence Lower Bound)  | 変分ベイズ法における最適化対象となる目的関数。データの尤度とKLダイバージェンスの和として定義される。                               |
| ガウス分布                    | 平均と分散によって特徴づけられる確率分布。VAEでは潜在変数の分布やデータの生成モデルとして使用される。                             |
| 多層パーセプトロン (MLP)       | 全結合層を持つニューラルネットワークの一種。VAEのエンコーダとデコーダとして使用される。                                           |
| 解析的                        | 数式を用いて厳密に解くことができること。VAEではKLダイバージェンスが解析的に計算される。                                            |
| ベルヌーイ分布                | 二値データを扱う確率分布。VAEの出力層が離散データの場合に用いられる。                                                           |

**⑨ 具体的な変数名**

| 変数名                   | 説明                                                                                         | 次元・型       |
|--------------------------|----------------------------------------------------------------------------------------------|----------------|
| $ z $                  | 潜在変数。事前分布 $ p_{\theta}(z) $ および近似事後分布 $ q_{\phi}(z\|x) $ に従う。            | ベクトルまたは行列 |
| $ p_{\theta}(z) $       | 潜在変数の事前分布。等方性多変量ガウス分布 $ N(z; 0, I) $ を仮定。                            | 確率分布       |
| $ q_{\phi}(z\|x)

 $       | データに基づく潜在変数の近似事後分布。多変量ガウス分布 $ N(z; \mu(x), \sigma^2(x)I) $ を仮定。 | 確率分布       |
| $ \mu(x) $             | 近似事後分布の平均。エンコーダMLPの出力。                                                    | ベクトルまたは行列 |
| $ \sigma(x) $          | 近似事後分布の標準偏差。エンコーダMLPの出力。                                                | ベクトルまたは行列 |
| $ \epsilon $           | ノイズ変数。標準ガウス分布 $ N(0, I) $ に従う。                                             | ベクトルまたは行列 |
| $ L(\theta, \phi; x) $ | 損失関数（変分下界）。                                                                        | スカラー       |
| $ \log p_{\theta}(x\|z) $| データ再現誤差。デコーダMLPに基づいて計算される。                                             | スカラー       |
| $ D_{\text{KL}} $      | KLダイバージェンス。事前分布と事後分布の差異を表す。                                            | スカラー       |

**⑩ 図/表があれば、その主張**

本節には図や表の掲載はなし。

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##   4 Related work

**▼質問(人間)**
<details><summary>質問内容全体はここをクリック</summary>
(論文・記事の各章節を貼り付け)
4 Related work
The wake-sleep algorithm [HDFN95] is, to the best of our knowledge, the only other on-line learn-
ing method in the literature that is applicable to the same general class of continuous latent variable
models. Like our method, the wake-sleep algorithm employs a recognition model that approximates
the true posterior. A drawback of the wake-sleep algorithm is that it requires a concurrent optimiza-
tion of two objective functions, which together do not correspond to optimization of (a bound of)
the marginal likelihood. An advantage of wake-sleep is that it also applies to models with discrete
latent variables. Wake-Sleep has the same computational complexity as AEVB per datapoint.
Stochastic variational inference [HBWP13] has recently received increasing interest. Recently,
[BJP12] introduced a control variate schemes to reduce the high variance of the na¨ıve gradient
estimator discussed in section 2.1, and applied to exponential family approximations of the poste-
rior. In [RGB13] some general methods, i.e. a control variate scheme, were introduced for reducing
the variance of the original gradient estimator. In [SK13], a similar reparameterization as in this
paper was used in an efficient version of a stochastic variational inference algorithm for learning the
natural parameters of exponential-family approximating distributions.
The AEVB algorithm exposes a connection between directed probabilistic models (trained with a
variational objective) and auto-encoders. A connection between linear auto-encoders and a certain
class of generative linear-Gaussian models has long been known. In [Row98] it was shown that PCA
corresponds to the maximum-likelihood (ML) solution of a special case of the linear-Gaussian model
with a prior p(z) = N (0, I) and a conditional distribution p(x|z) = N (x; Wz, ϵI), specifically the
case with infinitesimally small ϵ.
In relevant recent work on autoencoders [VLL+10] it was shown that the training criterion of un-
regularized autoencoders corresponds to maximization of a lower bound (see the infomax princi-
ple [Lin89]) of the mutual information between input X and latent representation Z. Maximiz-
ing (w.r.t. parameters) of the mutual information is equivalent to maximizing the conditional en-
tropy, which is lower bounded by the expected loglikelihood of the data under the autoencoding
model [VLL+10], i.e. the negative reconstrution error. However, it is well known that this recon-
struction criterion is in itself not sufficient for learning useful representations [BCV13]. Regular-
ization techniques have been proposed to make autoencoders learn useful representations, such as
denoising, contractive and sparse autoencoder variants [BCV13]. The SGVB objective contains a
regularization term dictated by the variational bound (e.g. eq. (10)), lacking the usual nuisance regu-
larization hyperparameter required to learn useful representations. Related are also encoder-decoder
architectures such as the predictive sparse decomposition (PSD) [KRL08], from which we drew
some inspiration. Also relevant are the recently introduced Generative Stochastic Networks [BTL13]
where noisy auto-encoders learn the transition operator of a Markov chain that samples from the data
distribution. In [SL10] a recognition model was employed for efficient learning with Deep Boltz-
mann Machines. These methods are targeted at either unnormalized models (i.e. undirected models
like Boltzmann machines) or limited to sparse coding models, in contrast to our proposed algorithm
for learning a general class of directed probabilistic models.
The recently proposed DARN method [GMW13], also learns a directed probabilistic model using
an auto-encoding structure, however their method applies to binary latent variables. Even more
recently, [RMW14] also make the connection between auto-encoders, directed proabilistic models
and stochastic variational inference using the reparameterization trick we describe in this paper.
Their work was developed independently of ours and provides an additional perspective on AEVB.

上記の内容に関して下記の質問に回答下さい: (である調で記載、質問に対して該当するものが無ければ無しと記載)
①何についての記載か? + 要旨は何? (要旨は箇条書きで記載、既存手法があれば引用元を記載)
②具体的な処理方法の記載があれば説明下さい。(簡略化せずに全て記載、既存手法があれば引用元を記載)
③改良点・工夫点・テクニック等の記載があれば説明下さい。
④メカニズムの解明・なぜそうなるのか等の記載があれば説明下さい。
⑤性能が向上した記載があれば説明下さい。(具体値があれば記載、対応する図/表番号があれば各文末に記載)
</details>

**▼生成AIの回答(ChatGPT-4o)**
**① 何についての記載か? + 要旨は何?**

この節は、**変分推論に基づくオートエンコーダ型モデル**に関連する過去の研究についてのレビューを行っている。要旨は以下の通り:

- **Wake-Sleepアルゴリズム** [HDFN95] は、連続潜在変数モデルに対して適用可能なオンライン学習アルゴリズムであり、事後分布を近似する認識モデルを使用するが、マージナル尤度の最適化には至らない。Wake-Sleepは離散潜在変数にも適用可能であり、AEVBと同様の計算複雑度を持つ。
- **確率的変分推論** [HBWP13] における最近の進展として、制御変量スキームや勾配推定器の分散削減手法が提案されている [BJP12, RGB13, SK13]。
- AEVBアルゴリズムは、**オートエンコーダ**と**指向性確率モデル**の間の関係を示し、PCAや線形-ガウスモデルとの接続も知られている [Row98]。
- **無規則化オートエンコーダ** の学習基準は、入力と潜在表現の間の相互情報量を最大化することに対応しており、この基準は自己エンコードモデルの負の再構成誤差を最小化するが、これだけでは有用な表現学習には不十分であることが知られている [BCV13]。これに対し、SGVBの目的関数には変分境界により定まる正則化項が含まれる。
- **エンコーダ-デコーダアーキテクチャ** との関連として、PSD [KRL08] やGenerative Stochastic Networks [BTL13] も類似のアイデアを持つ。
- **DARN法** [GMW13] や [RMW14] の研究は、AEVBと類似の手法を使いながらも独立に開発されている。

**② 具体的な処理方法の記載**

- **Wake-Sleepアルゴリズム** [HDFN95]: 認識モデル（事後分布の近似）と生成モデルを交互に最適化する。しかし、二つの目的関数を最適化する必要があり、マージナル尤度の下限を直接的に最適化していない点が課題である。離散潜在変数にも対応可能。
- **確率的変分推論** [HBWP13]: 勾配推定器の分散削減のために制御変量スキームを使用する [BJP12]。同様の制御変量スキームが他の研究でも導入されている [RGB13]。
- **オートエンコーダとPCAの関係** [Row98]: PCAは、線形-ガウスモデルの尤度最大化解として理解される。具体的には、事前分布が $ p(z) = N(0, I) $、条件付き分布が $ p(x|z) = N(x; Wz, \epsilon I) $ の特殊な場合を指す。
- **相互情報量の最大化と正則化** [VLL+10, BCV13]: 無規則化オートエンコーダの基準は、相互情報量の下限を最大化するが、この再構成基準だけでは有用な表現を学習するには不十分であることが知られている。

**③ 改良点・工夫点・テクニック等の記載**

- **Wake-Sleepアルゴリズム**: この手法の利点は、**離散潜在変数**を持つモデルにも適用可能である点である。しかし、二つの目的関数を別々に最適化する必要があるため、マージナル尤度の最適化に至らない点が弱点である。
- **制御変量スキーム** [BJP12, RGB13]: 勾配推定器の分散を低減するために導入された。この工夫により、サンプルに依存する推定のばらつきを抑えることができる。
- **相互情報量の最大化と正則化**: 再構成誤差だけでは有用な表現を学習するには不十分なため、正則化手法（デノイジング、コントラクティブ、スパースオートエンコーダ）などが提案されている。これに対して、SGVBでは、変分境界によって規定される正則化項を持つため、外部の正則化ハイパーパラメータが不要である点が工夫として挙げられる。

**④ メカニズムの解明・なぜそうなるのか**

- **Wake-Sleepアルゴリズムの課題**: 認識モデルと生成モデルを別々に最適化するため、これらの最適化目標がマージナル尤度の下限に対応しないことが原因で、最適化の効率が低下する。
- **PCAと線形ガウスモデルの関係**: PCAは、特定の条件下で線形ガウスモデルの尤度最大化解に一致する。これは、データと潜在変数の関係を線形的に捉えるモデル構造に基づくものである。

**⑤ 性能が向上した記載**

- **Wake-SleepとAEVBの比較**: Wake-SleepアルゴリズムはAEVBと同じ計算複雑度を持つが、生成モデルと認識モデルを別々に最適化する必要があり、その点で効率が劣る。
- **制御変量スキーム** [BJP12, RGB13]: 勾配推定器の分散を低減することで、学習効率の向上が期待される。
- **SGVBの正則化効果**: SGVBの目的関数には変分境界による正則化項が含まれるため、外部の正則化ハイパーパラメータを必要とせず、オートエンコーダモデルの性能向上に寄与している。

**▼質問(人間)**
続けて下記の質問に追加で回答下さい:
⑥比較の記載があれば違いを表でまとめて下さい。(下に解説を記載、対応する図/表番号があれば明記)
⑦上記⑥以外で表に出来そうな部分があれば表でまとめて下さい。(下に解説を記載、対応する図/表番号があれば記載)
⑧具体的な数値の記載を全て列挙して、表にまとめて下さい。(必ず正しく数値を抜き取る事、|数値|説明|の表へ)
⑨具体的な変数名(数式用の記号)の記載を全て列挙して、表にまとめて下さい。(|変数名|説明|次元・型|の表へ)
⑩図/表があれば、各図/表は何を主張するためのものかを説明下さい。(掲載理由・注目ポイント等)

**▼生成AIの回答(ChatGPT-4o)**
**⑥ 比較の記載があれば違いを表でまとめて下さい**

| 手法 | 特徴 | 長所 | 短所 |
|------|------|------|------|
| Wake-Sleep アルゴリズム | 連続および離散潜在変数に対応 | 離散潜在変数にも適用可能 | 認識モデルと生成モデルを別々に最適化するため、マージナル尤度の下限を直接最適化しない |
| Stochastic Variational Inference | 制御変量スキームを使用 | 勾配推定器の分散を削減 | 複雑な分散削減手法が必要 |
| AEVB | 変分推論とオートエンコーダの接続 | 正則化項が不要、学習の効率化 | 特定の潜在変数モデルに制約される |
| 無規則化オートエンコーダ | 再構成誤差の最小化を基準に学習 | 比較的シンプル | 正則化が不足し、学習表現が有用でない可能性 |
| DARN | バイナリ潜在変数に対応 | 自己エンコーディング構造 | バイナリ変数に限定される |

**解説**:
この表は、いくつかの異なる学習手法（Wake-Sleep、Stochastic Variational Inference、AEVB、無規則化オートエンコーダ、DARN）の特徴、長所、短所を比較している。特に、AEVBと他の手法の違いとして、マージナル尤度の下限を直接最適化するか、正則化項が必要かなどに着目している。

**⑦ 上記⑥以外で表に出来そうな部分**

| 研究 | 提案した手法 | 目的 |
|------|--------------|------|
| [HDFN95] | Wake-Sleepアルゴリズム | 連続潜在変数モデルに対するオンライン学習法 |
| [HBWP13] | Stochastic Variational Inference | 勾配推定器の分散削減 |
| [RGB13] | 制御変量スキーム | オリジナルの勾配推定器の分散削減 |
| [Row98] | PCAのML解 | 線形-ガウスモデルの尤度最大化 |
| [VLL+10] | 無規則化オートエンコーダ | 相互情報量の最大化 |
| [BCV13] | デノイジングオートエンコーダ | 表現学習の改善 |
| [BTL13] | Generative Stochastic Networks | ノイズオートエンコーダを用いたマルコフ連鎖学習 |

**解説**:
この表は、関連する研究の内容を手法と目的に基づいて整理している。Wake-SleepやStochastic Variational Inference、PCAなど異なる方法論の概要を提供することで、AEVBがどの位置にあるかを理解しやすくしている。

**⑧ 具体的な数値の記載**

該当なし。

**⑨ 具体的な変数名(数式用の記号)**

| 変数名 | 説明 | 次元・型 |
|--------|------|----------|
| $ z $ | 潜在変数 | 多次元ベクトル |
| $ x $ | 観測データ | 多次元ベクトル |
| $ \theta $ | 生成モデルのパラメータ | パラメータ集合 |
| $ \phi $ | 認識モデルのパラメータ | パラメータ集合 |
| $ \mu(i) $ | 潜在変数の近似事後分布の平均 | 多次元ベクトル |
| $ \sigma(i) $ | 潜在変数の近似事後分布の標準偏差 | 多次元ベクトル |
| $ \epsilon(l) $ | ノイズ項 | 標準正規分布に従うベクトル |
| $ p_\theta(x\|z) $ | 潜在変数 $ z $ に基づく観測データ $ x $ の確率分布 | 確率密度関数 |
| $ p_\theta(z) $ | 潜在変数 $ z $ の事前分布 | 確率密度関数 |
| $ q_\phi(z\|x) $ | 観測データ $ x $ に基づく潜在変数 $ z $ の事後分布の近似 | 確率密度関数 |

**解説**:
この表は、論文内で使われる具体的な変数を説明したもので、各変数の役割や次元を明確にしている。

**⑩ 図/表があれば、各図/表の説明**

該当なし。

:::note info
「⑥比較の記載」「⑦上記⑥以外」の表により、関係性が分かりやすい。良好。
:::

**▼質問(人間)**
続けて下記の質問に追加で回答下さい:
⑪関連研究の参照番号を全て列挙して、表にまとめて下さい。(元文にある内容のみ記載・類推して付け足しは不要、|参照番号|概要説明|の表へ、関連するもの同士でまとめて並べ替え)

**▼生成AIの回答(ChatGPT-4o)**
**⑪ 関連研究の参照番号**

| 参照番号 | 概要説明 |
|----------|----------|
| [HDFN95] | Wake-Sleep アルゴリズム：連続および離散潜在変数に適用可能だが、マージナル尤度の最適化に直接対応しない方法 |
| [HBWP13] | Stochastic Variational Inference：勾配推定器の分散削減を目指す手法 |
| [BJP12] | 制御変量スキームを使用した勾配推定器の分散削減 |
| [RGB13] | 一般的な制御変量スキーム：元々の勾配推定器の分散削減を目指す手法 |
| [SK13] | 再パラメータ化トリックを使用した効率的な Stochastic Variational Inference アルゴリズム |
| [Row98] | PCA が線形ガウスモデルの一部として最大尤度解と等価であることを示した研究 |
| [VLL+10] | 無規則化オートエンコーダ：相互情報量最大化のためのトレーニング基準に関する研究 |
| [BCV13] | デノイジング、コントラクティブ、およびスパースオートエンコーダを含む正則化手法によって、有用な表現を学習する方法 |
| [KRL08] | Predictive Sparse Decomposition（PSD）：オートエンコーダアーキテクチャに関連する研究 |
| [BTL13] | Generative Stochastic Networks：ノイズオートエンコーダを用いてマルコフ連鎖の遷移演算子を学習する手法 |
| [SL10] | 認識モデルを使用して、Deep Boltzmann Machines での効率的な学習を実現した研究 |
| [GMW13] | DARN（Deep AutoRegressive Networks）：自己エンコーディング構造を持つ、バイナリ潜在変数に適用可能な手法 |
| [RMW14] | オートエンコーダ、指向性確率モデル、Stochastic Variational Inference の関連性についての研究、再パラメータ化トリックを利用 |

**解説**:
この表は、論文内で引用されている関連研究の参照番号とそれぞれの概要説明を一覧にまとめたものである。関連する手法を同じグループに分類し、文中での位置づけや影響を理解しやすくしている。

:::note info
非常によくまとめられた表が得られている。良好。
:::

##   5 Experiments

**▼質問(人間)**
<details><summary>質問内容全体はここをクリック</summary>
(論文・記事の各章節を貼り付け)
5 Experiments
We trained generative models of images from the MNIST and Frey Face datasets3 and compared
learning algorithms in terms of the variational lower bound, and the estimated marginal likelihood.
The generative model (encoder) and variational approximation (decoder) from section 3 were used,
where the described encoder and decoder have an equal number of hidden units. Since the Frey
Face data are continuous, we used a decoder with Gaussian outputs, identical to the encoder, except
that the means were constrained to the interval (0, 1) using a sigmoidal activation function at the
decoder output. Note that with hidden units we refer to the hidden layer of the neural networks of
the encoder and decoder.
Parameters are updated using stochastic gradient ascent where gradients are computed by differenti-
ating the lower bound estimator ∇θ,φL(θ, φ; X) (see algorithm 1), plus a small weight decay term
corresponding to a prior p(θ) = N (0, I). Optimization of this objective is equivalent to approxi-
mate MAP estimation, where the likelihood gradient is approximated by the gradient of the lower
bound.
We compared performance of AEVB to the wake-sleep algorithm [HDFN95]. We employed the
same encoder (also called recognition model) for the wake-sleep algorithm and the variational auto-
encoder. All parameters, both variational and generative, were initialized by random sampling from
N (0, 0.01), and were jointly stochastically optimized using the MAP criterion. Stepsizes were
adapted with Adagrad [DHS10]; the Adagrad global stepsize parameters were chosen from {0.01,
0.02, 0.1} based on performance on the training set in the first few iterations. Minibatches of size
M = 100 were used, with L = 1 samples per datapoint.
Likelihood lower bound We trained generative models (decoders) and corresponding encoders
(a.k.a. recognition models) having 500 hidden units in case of MNIST, and 200 hidden units in case
of the Frey Face dataset (to prevent overfitting, since it is a considerably smaller dataset). The chosen
number of hidden units is based on prior literature on auto-encoders, and the relative performance
of different algorithms was not very sensitive to these choices. Figure 2 shows the results when
comparing the lower bounds. Interestingly, superfluous latent variables did not result in overfitting,
which is explained by the regularizing nature of the variational bound.
Marginal likelihood For very low-dimensional latent space it is possible to estimate the marginal
likelihood of the learned generative models using an MCMC estimator. More information about the
marginal likelihood estimator is available in the appendix. For the encoder and decoder we again
used neural networks, this time with 100 hidden units, and 3 latent variables; for higher dimensional
latent space the estimates became unreliable. Again, the MNIST dataset was used. The AEVB
and Wake-Sleep methods were compared to Monte Carlo EM (MCEM) with a Hybrid Monte Carlo
(HMC) [DKPR87] sampler; details are in the appendix. We compared the convergence speed for
the three algorithms, for a small and large training set size. Results are in figure 3.
Visualisation of high-dimensional data If we choose a low-dimensional latent space (e.g. 2D),
we can use the learned encoders (recognition model) to project high-dimensional data to a low-
dimensional manifold. See appendix A for visualisations of the 2D latent manifolds for the MNIST
and Frey Face datasets.

Figure 2: Comparison of our AEVB method to the wake-sleep algorithm, in terms of optimizing the
lower bound, for different dimensionality of latent space (Nz). Our method converged considerably
faster and reached a better solution in all experiments. Interestingly enough, more latent variables
does not result in more overfitting, which is explained by the regularizing effect of the lower bound.
Vertical axis: the estimated average variational lower bound per datapoint. The estimator variance
was small (< 1) and omitted. Horizontal axis: amount of training points evaluated. Computa-
tion took around 20-40 minutes per million training samples with a Intel Xeon CPU running at an
effective 40 GFLOPS.

Figure 3: Comparison of AEVB to the wake-sleep algorithm and Monte Carlo EM, in terms of the
estimated marginal likelihood, for a different number of training points. Monte Carlo EM is not an
on-line algorithm, and (unlike AEVB and the wake-sleep method) can’t be applied efficiently for
the full MNIST dataset.

上記の内容に関して下記の質問に回答下さい: (である調で記載、質問に対して該当するものが無ければ無しと記載)
①何についての記載か? + 要旨は何? (要旨は箇条書きで記載、既存手法があれば引用元を記載)
②具体的な処理方法の記載があれば説明下さい。(簡略化せずに全て記載、既存手法があれば引用元を記載)
③改良点・工夫点・テクニック等の記載があれば説明下さい。
④メカニズムの解明・なぜそうなるのか等の記載があれば説明下さい。
⑤性能が向上した記載があれば説明下さい。(具体値があれば記載、対応する図/表番号があれば各文末に記載)
</details>

**▼生成AIの回答(ChatGPT-4o)**
**① 何についての記載か? + 要旨は何?**

本章は、MNISTおよびFrey Faceデータセットを用いた生成モデルの学習実験と、AEVBアルゴリズムの性能評価について述べている。要旨は以下の通り。

- AEVB（Auto-Encoding Variational Bayes）とWake-Sleepアルゴリズムの比較を行っている。
- 実験では、変分下界の最適化や推定された周辺尤度を評価指標としている。
- MNISTとFrey Faceデータセットを用いた生成モデル（エンコーダ）と認識モデル（デコーダ）の性能を測定。
- AEVBはWake-Sleepよりも迅速に収束し、より高い下界を達成した。
- 周辺尤度推定は、低次元の潜在空間で可能であり、MNISTデータセットで行った。

**② 具体的な処理方法の記載**

- 生成モデル（エンコーダ）および変分近似（デコーダ）は、等しい数の隠れユニットを持つ多層パーセプトロン（MLP）を用いた。Frey Faceデータは連続値であるため、出力層にはシグモイド活性化関数を使用して、出力の平均が(0, 1)の範囲に制約された。
- パラメータの更新は確率的勾配上昇法を用い、勾配は変分下界推定量の微分により計算された。小さな重み減衰項（正規分布 $ p(θ) = N(0, I) $ に基づく）も使用。
- 隠れユニット数は、MNISTでは500、Frey Faceでは200。Frey Faceデータセットが小さいため、過学習を防ぐ目的で隠れユニット数を制限した。
- AEVBとWake-Sleepアルゴリズムを、ランダムに初期化されたパラメータを用いて、MAP基準に基づいて共同で確率的に最適化。
- ステップサイズはAdagradを使用し、グローバルステップサイズはトレーニングセットでの最初の数回の反復で性能を評価して調整された。

**③ 改良点・工夫点・テクニック**

- 生成モデルと認識モデルの隠れユニット数を揃えることで、潜在空間の表現力を確保しつつ、過学習を防止。
- AEVBはWake-Sleepよりも効率的に収束し、下界の最適化を迅速に行える点で優れている。
- Adagradによるステップサイズの動的調整を導入することで、トレーニング中の効率的な最適化を実現。

**④ メカニズムの解明**

- 変分下界が正則化効果を持つため、潜在変数の数が増えても過学習を引き起こさないことが説明されている。
- 低次元の潜在空間を使用することで、高次元データの可視化が可能であり、潜在空間の構造をより直感的に理解できる。

**⑤ 性能が向上した記載**

- AEVBはWake-Sleepに比べて高速に収束し、より高い変分下界を達成。
- 図2では、AEVBが潜在空間の次元数に関係なく、より良い解に到達することが示されている。
- 図3では、AEVBがWake-SleepやMonte Carlo EM（MCEM）に対して、特に大規模なトレーニングセットでより良い性能を示している。

**▼質問(人間)**
続けて下記の質問に追加で回答下さい:
⑥比較の記載があれば違いを表でまとめて下さい。(下に解説を記載、対応する図/表番号があれば明記)
⑦上記⑥以外で表に出来そうな部分があれば表でまとめて下さい。(下に解説を記載、対応する図/表番号があれば記載)
⑧具体的な数値の記載を全て列挙して、表にまとめて下さい。(必ず正しく数値を抜き取る事、|数値|説明|の表へ)
⑨具体的な変数名(数式用の記号)の記載を全て列挙して、表にまとめて下さい。(|変数名|説明|次元・型|の表へ)
⑩図/表があれば、各図/表は何を主張するためのものかを説明下さい。(掲載理由・注目ポイント等)

**▼生成AIの回答(ChatGPT-4o)**
**⑥ 比較の記載**

以下の表は、AEVBと他のアルゴリズム（Wake-Sleep、Monte Carlo EM）の比較をまとめたものです。

| アルゴリズム | 特徴 | 長所 | 短所 | パフォーマンス |
|--------------|------|------|------|-----------------|
| AEVB         | オンライン学習、変分オートエンコーダを使用 | 迅速に収束、変分下界が高い、正則化効果あり | - | MNISTデータセットで最も高い変分下界を達成 (図2, 図3) |
| Wake-Sleep   | 認識モデルによる近似 | 離散的潜在変数にも適用可能 | オブジェクティブ関数が2つあり、最適化が難しい | AEVBに比べて遅い収束、低い変分下界 (図2, 図3) |
| Monte Carlo EM | MCMCによる推定 | 正確な周辺尤度推定が可能 | オンライン処理が困難、大規模データセットには適用不可 | 小規模データでは有効だが、MNIST全体に適用不可 (図3) |

**⑦ 上記⑥以外で表にできそうな部分**

実験条件に関しても表にまとめられる。以下にその要約を示す。

| 項目 | MNIST | Frey Face |
|------|-------|-----------|
| 隠れユニット数（エンコーダとデコーダ） | 500 | 200 |
| 潜在変数次元 | 変数 | 変数 |
| ミニバッチサイズ | 100 | 100 |
| 使用したサンプル数 | L = 1 | L = 1 |
| ステップサイズ | Adagrad (0.01, 0.02, 0.1) | Adagrad (0.01, 0.02, 0.1) |
| 周辺尤度推定 | 低次元潜在空間（3次元）で可能 | - |

**⑧ 具体的な数値の記載**

| 数値 | 説明 |
|------|------|
| 500  | MNISTデータセットで使用した隠れユニット数 |
| 200  | Frey Faceデータセットで使用した隠れユニット数 |
| 100  | ミニバッチのサイズ |
| 1    | データポイントごとのサンプル数 |
| (0.01, 0.02, 0.1) | Adagradのステップサイズ |
| 20-40分 | 100万サンプルの処理に要した時間（Intel Xeon CPU）|
| <1   | 図2の推定量の分散 |

**⑨ 具体的な変数名（数式用の記号）**

| 変数名 | 説明 | 次元・型 |
|--------|------|---------|
| $ \theta $ | 生成モデルのパラメータ | ベクトル |
| $ \phi $   | 認識モデルのパラメータ | ベクトル |
| $ X $     | データセット | 行列 |
| $ L $     | サンプル数 | 整数 |
| $ M $     | ミニバッチサイズ | 整数 |
| $ \epsilon $ | サンプルのノイズ | ベクトル |
| $ z $     | 潜在変数 | ベクトル |

**⑩ 図/表の説明**

- **図2**: AEVBとWake-Sleepアルゴリズムの変分下界最適化の比較。AEVBが速く収束し、より高い下界を達成していることを主張している。また、潜在変数の数が増えても過学習を引き起こさない点が重要である。
- **図3**: AEVB、Wake-Sleep、Monte Carlo EMの周辺尤度推定の比較。AEVBが他のアルゴリズムよりも優れたパフォーマンスを示し、特に大規模なトレーニングセットで効率的である点を主張している。

![image.png](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/606924/8683d950-e983-503e-9134-d32b90a577bb.png)

![image.png](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/606924/d62e7ce5-cdeb-3c83-3775-8f774bb3f511.png)

:::note info
「⑥比較の記載」の表が、実験結果のまとめをよく表しており、良好。
:::

##   6 Conclusion

**▼質問(人間)**
<details><summary>質問内容全体はここをクリック</summary>
(論文・記事の各章節を貼り付け)
6 Conclusion
We have introduced a novel estimator of the variational lower bound, Stochastic Gradient VB
(SGVB), for efficient approximate inference with continuous latent variables. The proposed estima-
tor can be straightforwardly differentiated and optimized using standard stochastic gradient meth-
ods. For the case of i.i.d. datasets and continuous latent variables per datapoint we introduce an
efficient algorithm for efficient inference and learning, Auto-Encoding VB (AEVB), that learns an
approximate inference model using the SGVB estimator. The theoretical advantages are reflected in
experimental results.

上記の内容に関して下記の質問に回答下さい: (である調で記載、質問に対して該当するものが無ければ無しと記載)
①何についての記載か? + 要旨は何? (要旨は箇条書きで記載、既存手法があれば引用元を記載)
②具体的な処理方法の記載があれば説明下さい。(簡略化せずに全て記載、既存手法があれば引用元を記載)
③改良点・工夫点・テクニック等の記載があれば説明下さい。
④メカニズムの解明・なぜそうなるのか等の記載があれば説明下さい。
⑤性能が向上した記載があれば説明下さい。(具体値があれば記載、対応する図/表番号があれば各文末に記載)
</details>

**▼生成AIの回答(ChatGPT-4o)**
**① 何についての記載か? + 要旨**

本節は、提案されたStochastic Gradient Variational Bayes (SGVB)推定器とAuto-Encoding Variational Bayes (AEVB)アルゴリズムに関する結論である。

- SGVB推定器は、連続的な潜在変数を持つモデルに対して効率的な近似推論を行う新しい推定器である。
- この推定器は、標準的な確率的勾配法を使用して簡単に微分・最適化が可能である。
- AEVBアルゴリズムは、SGVB推定器を利用し、連続的な潜在変数を持つデータポイントごとの独立同分布（i.i.d.）データセットに対して、効率的な推論と学習を行う。
- 実験結果は、理論上の利点を反映している。

**② 具体的な処理方法の記載**

- SGVB推定器は、連続的な潜在変数を含むモデルに対して、変分下界を確率的勾配法で最適化するための手法である。
- この推定器を用いることで、変分推論における下界の推定が効率的に行われる。
- AEVBは、SGVB推定器を使用して、データポイントごとに独立した潜在変数を含む連続データセットに対して、近似推論を行うアルゴリズムである。

**③ 改良点・工夫点・テクニック等の記載**

- SGVB推定器を導入することで、連続的な潜在変数を持つモデルに対する近似推論が効率化された。
- AEVBアルゴリズムは、SGVB推定器を使用し、従来の方法に比べて効率的な推論・学習が可能となった。

**④ メカニズムの解明・なぜそうなるのか等の記載**

- SGVB推定器が確率的勾配法を用いることにより、従来の変分推論における複雑な推定を効率的に処理できる点が重要である。これにより、計算の効率が大幅に向上した。
- AEVBアルゴリズムでは、SGVB推定器の理論上の利点が実験結果にも反映されている。

**⑤ 性能が向上した記載**

性能向上に関する具体的な数値や図表の記載は無いが、「実験結果は理論的な利点を反映している」と述べられており、SGVB推定器を使用したことで効率的な推論・学習が可能になったとされる。

##   7 Future work

**▼質問(人間)**
<details><summary>質問内容全体はここをクリック</summary>
(論文・記事の各章節を貼り付け)
7 Future work
Since the SGVB estimator and the AEVB algorithm can be applied to almost any inference and
learning problem with continuous latent variables, there are plenty of future directions: (i) learning
hierarchical generative architectures with deep neural networks (e.g. convolutional networks) used
for the encoders and decoders, trained jointly with AEVB; (ii) time-series models (i.e. dynamic
Bayesian networks); (iii) application of SGVB to the global parameters; (iv) supervised models
with latent variables, useful for learning complicated noise distributions.

上記の内容に関して下記の質問に回答下さい: (である調で記載、質問に対して該当するものが無ければ無しと記載)
①何についての記載か? + 要旨は何? (要旨は箇条書きで記載、既存手法があれば引用元を記載)
②具体的な処理方法の記載があれば説明下さい。(簡略化せずに全て記載、既存手法があれば引用元を記載)
③改良点・工夫点・テクニック等の記載があれば説明下さい。
④メカニズムの解明・なぜそうなるのか等の記載があれば説明下さい。
⑤性能が向上した記載があれば説明下さい。(具体値があれば記載、対応する図/表番号があれば各文末に記載)
</details>

**▼生成AIの回答(ChatGPT-4o)**
**① 何についての記載か? + 要旨**

本節は、SGVB推定器とAEVBアルゴリズムの今後の展望について記載している。

- SGVB推定器とAEVBアルゴリズムは、連続潜在変数を持つほぼすべての推論および学習問題に適用可能である。
- 今後の研究方向として、以下が挙げられている：
  - 深層ニューラルネットワーク（例: 畳み込みネットワーク）を用いた階層的生成アーキテクチャの学習（エンコーダとデコーダをAEVBと共に共同で学習する）
  - 時系列モデル（動的ベイジアンネットワークなど）
  - SGVB推定器のグローバルパラメータへの適用
  - 潜在変数を持つ教師ありモデルの開発、複雑なノイズ分布の学習に有用

**② 具体的な処理方法の記載**

- 深層ニューラルネットワーク（特に畳み込みネットワーク）を用いて、エンコーダとデコーダを一緒にAEVBで学習する方法が示唆されている。
- 動的ベイジアンネットワークのような時系列モデルにおいて、SGVB推定器の適用が考えられている。
- SGVB推定器をグローバルパラメータに適用し、より幅広い学習問題への適用が期待される。

**③ 改良点・工夫点・テクニック等の記載**

- AEVBアルゴリズムを用いて、深層ニューラルネットワークのエンコーダとデコーダを共同で学習することが提案されている点が技術的な工夫である。
- 複雑なノイズ分布を学習するために、潜在変数を持つ教師ありモデルへの応用も新しい方向性である。

**④ メカニズムの解明・なぜそうなるのか等の記載**

- なぜ深層ニューラルネットワークを用いるのかについての記載は無いが、一般的に畳み込みネットワークなどの深層モデルはデータの複雑なパターンを捉える能力があるため、より優れた推論や生成が期待される。

**⑤ 性能が向上した記載**

性能向上に関する具体的な数値や記述はないが、今後の適用範囲拡大が期待されているため、今後の研究によってさらなる性能向上が示唆されている。

##   Appendix

同論文の末尾にあるAppendixについては、下記の別記事に記載しました。

https://qiita.com/dl_from_scratch/items/2ac8855c84eba9586842


#   あとがき

##   所感

機械学習についてある程度知っていないと、生成AIに質問しても、その回答内容だけでは理解できないと思います。生成AIの回答は、論文の内容をあまり変えずに、要点をそのまま掻い摘んで回答するような形になっています。(良い意味で論文の要点をそのまま抜き出した形)

##   分かったこと

分かったこと・注目した点を列挙すると:

連続潜在変数を持つ有向確率モデルにおける推論を効率化する手法として、確率的変分推論および学習アルゴリズムを提案。
確率的変分ベイズ (SGVB) 推定器を用いて、連続潜在変数を持つモデルで効率的に事後推論を行う手法を提案している。

変分下限の再パラメータ化: 変分推論の下限を再パラメータ化し、確率的勾配法を用いて最適化できる形に変換している。
変分事後分布を別の簡便な分布で近似し、その近似分布のパラメータを調整することで、事後分布の近似を行う。

変分下限の再パラメータ化により、従来の確率的勾配法を利用して推論の最適化を行えるようにした点が工夫されている。提案手法は、標準的な確率的勾配法によって最適化可能であり、従来の複雑な手法 (MCMCなど) に頼らない。

認識モデルとしてニューラルネットワークを用いることで、変分オートエンコーダ (VAE) が実現される。

i.i.d.: 独立同分布 (Independent and Identically Distributed) の略。データポイントが互いに独立していることを指す。

i.i.d.データセットに対して、潜在変数の変分推論と、グローバルパラメータに対する最大尤度推定または最大事後確率推定を行う。
連続潜在変数を含む有向グラフィカルモデルに適用可能な確率的下限推定器を導入する。

変分推論では、事後分布を直接求める代わりに、簡単に扱える「変分近似分布」 q(z) を定義し、この近似分布が事後分布p(z∣x)にできるだけ近くなるように最適化を行う。
事後分布と変分近似分布の差を測る指標（例：カルバック・ライブラー (KL) ダイバージェンス）を最小化することで、近似分布を求める。

「変分」とは、変分法に由来する概念で、ある関数の関数に対する最適化問題を扱う手法である。具体的には、関数空間内で最適な解を求めるために、関数の変動（変分）に対して目的関数がどのように変わるかを調べ、その変動が最小になるような関数を見つける。

潜在変数 $ z $ やモデルパラメータ $ \theta^* $ は観測されないため、事後分布 $ p_{\theta}(z|x) $ を直接計算することは困難。
このシナリオにおける効率的な推論と学習のために、認識モデル $ q_{\phi}(z|x) $ を導入し、近似事後分布を推定。

$ q_{\phi}(z|x) $ は因子化された形式でなくてもよく、閉形式の期待値を用いる必要がない点で、従来の平均場変分法とは異なる。

変分推論の基本的な概念である「変分下界」(variational lower bound) について:
**変分下界は、近似事後分布と真の事後分布間のKLダイバージェンスと、期待値項で構成される。**
KLダイバージェンスが非負であるため、変分下界 $ L(\theta, \phi; x(i)) $ は周辺尤度の下限となる。これにより、変分下界を最適化することで、モデルのパラメータを効率的に推定できる。
論文の本文中では、数式(1)～(3)は、天下り的に提示されるのみ。

通常のモンテカルロ法で勾配推定を行う場合、高い分散が発生する問題があるため、効率的な勾配推定法が必要。

変分下界の実際的な推定器（SGVB: Stochastic Gradient Variational Bayes推定器）と、その最適化アルゴリズムであるAEVB (Auto-Encoding Variational Bayes) アルゴリズム。
SGVB推定器を導入し、変分下界の期待値をモンテカルロサンプリングで近似する。

**生成モデルの事前分布と近似事後分布のKLダイバージェンスが正則化項として機能する。**

SGVB推定器の2つのバージョンを示し、低分散の推定器を選択できる。

再パラメータ化トリック: モンテカルロサンプリングによる期待値推定を、ノイズ変数を用いた可微分な変換を通じて行う。これにより、勾配計算が容易になる。

SGVB推定器の2つのバージョン: 一般的な推定器 (式6) と、KLダイバージェンスが解析的に計算可能な場合の低分散推定器 (式7) の2つを提示。

KLダイバージェンス $ D_{\text{KL}}(q_{\phi}(z|x(i)) \| p_{\theta}(z)) $ が解析的に計算可能な場合には、サンプリングによる分散が減少し、より安定した推定が可能となる。

SGVB (Stochastic Gradient Variational Bayes): モンテカルロサンプリングを使用して変分下界を近似し、勾配を計算する手法。

**再パラメータ化トリックは、近似事後分布 $ q_{\phi}(z|x) $ からサンプリングを行う際に、サンプリング操作を微分可能にする手法である。**
例として、**ガウス分布 $ z \sim N(\mu, \sigma^2) $ の場合、$ z = \mu + \sigma \epsilon $ と再パラメータ化できる。ここで、$ \epsilon \sim N(0, 1) $ は標準正規分布からのノイズ。**

変分オートエンコーダ（Variational Auto-Encoder: VAE） の具体例: 
VAEモデルにおいて、生成モデル $ p_{\theta}(x, z) $ の事後分布を近似するために、ニューラルネットワークを使用する。
潜在変数の事前分布 $ p_{\theta}(z) $ は中心化された等方性多変量ガウス分布 $ N(z; 0, I) $ を仮定。
近似事後分布 $ q_{\phi}(z|x) $ もガウス分布とし、その平均と分散はデータ $ x $ に依存する非線形関数としてエンコーダのニューラルネットワーク（MLP）から出力される。
潜在変数 $ z $ は再パラメータ化トリックを用いてサンプリングされる。

KLダイバージェンスの計算: このモデルでは、事前分布と近似事後分布がともにガウス分布であるため、KLダイバージェンスは解析的に計算でき、サンプリングに基づく推定が不要になる点が効率化の工夫となっている。

**変分オートエンコーダ (VAE)とは、潜在変数モデルに基づく生成モデルであり、変分推論を用いて事後分布を近似するオートエンコーダ。**
**KLダイバージェンスは、2つの確率分布間の違いを測定する指標。変分推論においては潜在変数zの事前分布と事後分布の差異を表す。** 式(3)の$ D_{\text{KL}}(q_{\phi}(z|x(i)) \|\| p_{\theta}(z)) $

関連研究: 

Wake-Sleepアルゴリズム [HDFN**95**] は、連続潜在変数モデルに対して適用可能なオンライン学習アルゴリズムであり、事後分布を近似する認識モデルを使用する。この手法の利点は、離散潜在変数を持つモデルにも適用可能である点である。しかし、認識モデルと生成モデルを別々に最適化するため、これらの最適化目標がマージナル尤度の下限に対応しないことが原因で、最適化の効率が低下する。

**自己エンコードモデルの負の再構成誤差の最小化だけでは有用な表現学習には不十分であることが知られている [BCV13]**。これに対し、**SGVBの目的関数には変分境界により定まる正則化項が含まれる。**
相互情報量の最大化と正則化: 再構成誤差だけでは有用な表現を学習するには不十分なため、正則化手法（デノイジング、コントラクティブ、スパースオートエンコーダ）などが提案されている。これに対して、SGVBでは、変分境界によって規定される正則化項を持つため、外部の正則化ハイパーパラメータが不要である点が工夫として挙げられる。

**オートエンコーダとPCAの関係 [Row98]: PCAは、線形-ガウスモデルの尤度最大化解として理解される。具体的には、事前分布が $ p(z) = N(0, I) $、条件付き分布が $ p(x|z) = N(x; Wz, \epsilon I) $ の特殊な場合を指す。**

本論文と似た再パラメータ化トリックを使用する過去研究がある: 
[SK13]: 再パラメータ化トリックを使用した効率的な Stochastic Variational Inference アルゴリズム

[Row98]: PCA が線形ガウスモデルの一部として最大尤度解と等価であることを示した研究

AEVBアルゴリズムの性能評価:

AEVB（Auto-Encoding Variational Bayes）とWake-Sleepアルゴリズムの比較を行っている。
AEVBはWake-Sleepよりも効率的に収束し、下界の最適化を迅速に行える点で優れている。

生成モデル（エンコーダ）および変分近似（デコーダ）は、等しい数の隠れユニットを持つ多層パーセプトロン（MLP）を用いた。
隠れユニット数は、MNISTでは500、Frey Faceでは200。Frey Faceデータセットが小さいため、過学習を防ぐ目的で隠れユニット数を制限した。
ステップサイズはAdagradを使用し、**グローバルステップサイズはトレーニングセットでの最初の数回の反復で性能を評価して調整**された。

変分下界が正則化効果を持つため、潜在変数の数が増えても過学習を引き起こさないことが説明されている。

SGVB推定器とAEVBアルゴリズムは、連続潜在変数を持つほぼすべての推論および学習問題に適用可能である。

今後の研究方向として、以下が挙げられている：
深層ニューラルネットワーク（例: 畳み込みネットワーク）を用いた階層的生成アーキテクチャの学習（エンコーダとデコーダをAEVBと共に共同で学習する）
時系列モデル（動的ベイジアンネットワークなど）への適用
SGVB推定器のグローバルパラメータへの適用、より幅広い学習問題への適用
潜在変数を持つ教師ありモデルの開発、複雑なノイズ分布の学習に有用

:::note info
参考: VAE解説記事からポイントを抜粋:
オート・エンコーダはラベルを使わない教師なし学習です。観測データを低次元の特徴量に圧縮し、またそれを観測データに戻すという学習をします。
何が嬉しいかというと、x の持っている重要な特徴が z に圧縮されることです。それにより、個別のタスクの教師あり学習におけるパラメータの“良い初期値”として使うことができます。
オート・エンコーダの目的は、教師あり学習の特徴量を抽出したり、良い初期値を見つけることであり、データ X を生成することはできません。

一方で、VAE はデータを生成することが目的です。
事後分布 pθ(z|x) は計算することができないと言いましたが、変分推論はその解析的には解けない事後分布 pθ(z|x) を近似的に求める手法です。
:::
https://data-analytics.fun/2021/04/14/understanding-vae/