送電理論：ノーズカーブ

# ノーズカーブの理論的導出

![12.png](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/405484/41484e16-ce16-2874-3059-60cb8f04e48a.png)

調相装置の消費電力は以下となる。ただし$Y$はアドミタンス

```math
\begin{eqnarray}
-jYV_r^2
\end{eqnarray}
```
進み無効電力が負ですので、マイナスが付いてます。

送電端と受電端電圧の位相差を$\delta$として、以下とする。
```math
\begin{eqnarray}
V_r &=& V_r e^{j\delta}\\
V_s &= & V_s
\end{eqnarray}
```

電力を計算すると、

```math
\begin{eqnarray}
P_r + j(Q_r - YV_r^2) &=& V_r \bar{(\frac{V_s - V_r}{jX})}\\
&=& \frac{V_r V_s }{X} e^{j(\pi/2 - \delta}) - j \frac{V_r^2 }{X}\\
\end{eqnarray}
```

よって、以下と言える。

```math
\begin{eqnarray}
P_r &=& \frac{V_r V_s }{X} sin\delta\\
Q_r -Y V_r^2 &=& \frac{V_r V_s }{X} cos \delta - \frac{V_r^2 }{X} \\
\end{eqnarray}
```

力率を一定として、以下のように置く。

```math
\begin{eqnarray}
Q_r = \gamma P_r
\end{eqnarray}
```

以上より

```math
\begin{eqnarray}
(\frac{V_r V_s }{X})^2 &=& P_r^2 + (Q_r -Y V_r^2 + \frac{V_r^2 }{X})^2 \\
&=& P_r^2 + (\gamma P_r -Y V_r^2 + \frac{V_r^2 }{X})^2 
\end{eqnarray}
```
$P_r,V_r$の関係式にまとめると

```math
\begin{eqnarray}
(\frac{V_r V_s }{X})^2 &=& P_r^2 + (\gamma P_r -Y V_r^2 + \frac{V_r^2 }{X})^2 \\
\therefore 0 &=& (\frac{1}{X}- Y)^2 V_r^4 + 
\{ 2P_r  (\frac{1}{X}- Y)\gamma - \frac{V_s^2 }{X^2}  \}V_r^2
+ (1 + \gamma^2) P_r^2 \\
 &=& a(V_r^2)^2 + b V_r^2 + c\\
\end{eqnarray}
```
$a,b,c$は以下のように置いた。

```math
\begin{eqnarray}
a &=& (\frac{1}{X}- Y)^2\\
b &=&  2P_r  (\frac{1}{X}- Y)\gamma - \frac{V_s^2 }{X^2}  \\
c &=& (1 + \gamma^2) P_r^2 
\end{eqnarray}
```

$V_r$について解くと、以下のようになる。

```math
\begin{eqnarray}
V_r &=& \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
\end{eqnarray}
```

# Pythonで描画
$P_r,V_r$の関係式は以下になる。

```math
\begin{eqnarray}
V_r &=& \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\\
a &=& (\frac{1}{X}- Y)^2\\
b &=&  2P_r  (\frac{1}{X}- Y)\gamma - \frac{V_s^2 }{X^2}  \\
c &=& (1 + \gamma^2) P_r^2 
\end{eqnarray}
```
これを、グラフに描画する。

![image.png](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/405484/6337a62b-41f0-e87e-f38b-9f5d5df073ac.png)


```Python
import math
import matplotlib.pyplot as plt

X = 1

Y = 0.001

gamma = 0.6

Vs = 1

Pr_max = 1

#--------------計算----------------------
x = []
y = []

for i in range(10000):
    Pr = Pr_max * i /10000
    
    a = (1/X - Y)**2
    b = 2*Pr*(1/X - Y)*gamma - Vs**2/X/X
    c = (1 + gamma**2)*Pr*Pr
    
    if a==0:
        print(" a = 0, error")
        print(a)
        break
    
    elif b**2 - 4*a*c < 0:
        print(" imagination aria")
        break
        
    else:
        Vr_1 = (-1*b + math.sqrt(b**2 - 4*a*c))/2/a
        Vr_2 = (-1*b - math.sqrt(b**2 - 4*a*c))/2/a
        
        x.append(Pr)
        y.append(Vr_1)
        
        x.append(Pr)
        y.append(Vr_2)
    
    

plt.figure(figsize=(10, 8))

# 散布図を作成
plt.scatter(x, y)

# タイトルとラベルを設定
plt.title('Pr , Vr')
plt.xlabel('Pr')
plt.ylabel('Vr')

# グラフを表示
plt.show()
```

# 調相装置・送電リアクタンスによる変化

調相装置の効果が強くなるほど（$Y= \omega C$より、コンデンサが強くなる）、$V_r$は上に膨らむ。

![image.png](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/405484/2e071f96-8933-ef64-bc89-2ed8195daee2.png)

送電リアクタンスが増えるほど、曲線は右に膨らむ

![image.png](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/405484/3d5930a9-85a6-11ca-bf8d-e6637771547b.png)

$\gamma = 1 $→$P_r = Q_r$ということ、遅れ無効電力が正である。
以上から、力率が上がるほど右に膨らむ

![image.png](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/405484/92b1e3d8-1abe-6b11-9787-46378d1c58ab.png)

# 不安定性について

不安定領域に陥っても電圧崩壊には数分から数十分と緩やかな変更する。

不安定点になっても、負荷曲線とノーズカーブの交点で安定するためそこから動くことはない。

しかし、負荷側に電圧を一定に保つための装置が入っていた場合は変わってくる。

負荷側の電圧を保つために変圧器のタップ切り替えが作動して、電圧を増加させようとする。

しかし、逆に電圧が低下し、最終的に電圧崩壊に陥る。


https://www.iee.jp/assets/pes/pdf/ele_systems/ex_model/3.2.1.pdf



# 以上からわかること

調相装置でコンデンサを強くすると、受電端電圧は増加する。
![13.png](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/405484/d9f6f645-bc73-2e7f-5dd0-839eaf905596.png)

送電リアクタンスが下がるほど、受電端電圧は増加する。
![14.png](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/405484/99b1052a-c3c4-b5f1-eeb1-645cc21be705.png)


送電線事故によって、2回線を1回線に変更した場合、$X$が増加する。
すると受電端電圧が減少する。

ここで、調相装置のコンデンサ容量を増やせば、受電端電圧を増やすことに繋がり、最終的に受電端電圧の変化を抑えることができる。