ケプラー運動の予備知識

[1.はじめに](#1-はじめに)
[2.2体問題の運動方程式](#2-2体問題の運動方程式)
[3.エネルギー積分](#3-エネルギー積分)
[4.ラプラス積分](#4-ラプラス積分)
[5.軌道方程式](#5-軌道方程式)
[6.双曲線軌道](#6-双曲線軌道)
[7.軌道速度](#7-軌道速度)

# 1. はじめに
本稿では、軌道力学の基礎的な内容についてまとめる。筆者は別の記事で、スイングバイの式の導出の記事を書いているが、その内容が分からない場合はこちらも参照していただきたい。

# 2. 2体問題の運動方程式

![image.png](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/3901421/d2021c39-140d-65e1-e694-f2b5d4d71de6.png)

質量 $m_1$ の惑星と, 質量 $m_2$ の探査機の2体問題を考える．まず，惑星に対する探査機のベクトルを
``` math
\begin{align}
    \bf{r}= \bf{r}_2 - \bf{r}_1
\end{align}
``` 

とする．ここでお互いに万有引力のみを受けて運動するから，
``` math
\begin{align}
    &m_1\dfrac{d^2\bf{r}_1}{dt^2} = G\dfrac{m_1m_2}{r^2}\dfrac{\bf{r}_2 - \bf{r}_1}{r}\quad\Leftrightarrow\quad \dfrac{d^2\bf{r}_1}{dt^2} = G\dfrac{m_2}{r^3}\bf{r} \label{eq:eom_1}\tag{1}\\
    &m_2\dfrac{d^2\bf{r}_2}{dt^2} = G\dfrac{m_1m_2}{r^2}\dfrac{\bf{r}_1 - \bf{r}_2}{r} \quad\Leftrightarrow\quad  \dfrac{d^2\bf{r}_2}{dt^2} = -G\dfrac{m_1}{r^3}\bf{r}\label{eom_2} \tag{2}
\end{align}
``` 

が成り立つ．式$\eqref{eom_2}$, 式$\eqref{eq:eom_1}$より，

``` math
\begin{align}
    \dfrac{d^2\bf{r}_2}{dt^2} - \dfrac{d^2 \bf{r}_1}{dt^2} = -G\dfrac{m_1+m_2}{r^3}\bf{r}\tag{3}
\end{align}
``` 

ここで重力定数を

``` math
\begin{align}
    \mu = G(m_1+m_2)\tag{4}
\end{align}
``` 

とすると，
``` math
\begin{align}
    &\dfrac{d^2\bf{r}}{dt^2} = - \dfrac{\mu}{r^3}\bf{r}\quad \Leftrightarrow \quad \dfrac{d^2\bf{r}}{dt^2} + \dfrac{\mu}{r^3}\bf{r}=0\label{eom}\tag{5}
\end{align}
``` 
より，運動方程式が求まった．

# 3. エネルギー積分
運動方程式$\eqref{eom}$と速度ベクトル $\dot{\bf{r}}$ の内積をとると，

``` math
\begin{align}
    \dot{\bf{r}} \cdot \left(\ddot{\bf{r}}+\dfrac{\mu}{r^3}\bf{r}\right)=0\tag{6}
\end{align}
``` 
となる．まず，第一項は，

``` math
\begin{align}
    \dot{\bf{r}}\cdot\ddot{\bf{r}} = \dfrac{1}{2}\dfrac{d}{dt}(\dot{r}\cdot\dot{r})\tag{7}
\end{align}
``` 
第二項は，

``` math
\begin{align}
    \dfrac{d}{dt}\left(\dfrac{-\mu}{\sqrt{\bf{r}\cdot\bf{r}}}\right)=\dfrac{\mu}{2\sqrt{(\bf{r}\cdot\bf{r})^3}}\dfrac{d}{dt}(\bf{r}\cdot\bf{r}) = \dfrac{\mu}{r^3}\dot{r}\cdot\bf{r}\tag{8}
\end{align}
``` 

以上より，

``` math
\begin{align}
    \notag &\dfrac{d}{dt}\dfrac{d}{dt}(\dot{r}\cdot\dot{r})+\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{-\mu}{\sqrt{\bf{r}\cdot\bf{r}}}\right) = 0\\
    \Leftrightarrow \qquad &
    \dfrac{1}{2}(\dot{\bf{r}} \cdot \dot{\bf{r}})-\dfrac{\mu}{r}= \varepsilon \quad (\text{Constant})\tag{9}
\end{align}
``` 
よって，エネルギー積分が求まった．ここで，$\epsilon$は単位質量あたりの運動エネルギーとポテンシャルエネルギーの和に等しく，二体系の全エネルギーを表し，それが保存されることを示している．

# 4. ラプラス積分
運動方程式\eqref{eom}と角運動量ベクトル$\bf{h}=\bf{r}\times\ddot{\bf{r}}$の外積を取ると，

``` math
\begin{align}
    \bf{h}\times \ddot{\bf{r}} + \dfrac{\mu}{r^3}(\bf{r}\times\dot{\bf{r}})\times\bf{r}=\bf{r}\tag{10}
\end{align}
``` 

まず，第一項は$\bf{h}$が一定であることから，
``` math
\begin{align}
    \bf{h}\times \ddot{\bf{r}} = \dfrac{d}{dt}(\bf{h}\times\dot{\bf{r}})\tag{11}
\end{align}
``` 

第二項は，ベクトル三重積の公式$(\bf{A}\times\bf{B})\times\bf{C}=(\bf{A}\cdot\bf{C})\bf{B}-(\bf{B}\cdot\bf{C})\bf{A}$を用いると，

``` math
\begin{align}
    \bf{h}\times \ddot{r} + \dfrac{\mu}{e}\bf{r} = -\bf{P}\label{laplace_integer}\tag{12}
\end{align}
``` 
ここで，$\bf{P}$は積分定数として導入した定数ベクトルで，ラプラスベクトルあるいは離心ベクトルと呼ばれる．


# 5. 軌道方程式

式$\eqref{laplace_integer}$と$\bf{r}$の内積を取ると，
``` math
\begin{align}
    \notag\bf{r}\cdot \bf{h}\times \ddot{r} &+ \dfrac{\mu}{e} \bf{r}\cdot \bf{r} = -\bf{r}\cdot \bf{P}\\
    \notag\Leftrightarrow\quad -\bf{h}\cdot\bf{r}\times\bf{r}& + \dfrac{\mu}{e} \bf{r}\cdot \bf{r} = -\bf{r}\cdot \bf{P}\\
    \notag\Leftrightarrow\quad -\bf{h}\cdot\bf{r}\times\ddot{\bf{r}} &+ \dfrac{\mu}{e} \bf{r}\cdot \bf{r} = -\bf{r}\cdot \bf{P}\\
    \Leftrightarrow\quad -h^2 &+ \dfrac{\mu}{e} \notag \bf{r}\cdot \bf{r} = -\bf{r}\cdot \bf{P}
\end{align}
``` 
位置ベクトル$\bf{r}$とラプラスベクトル$\bf{P}$のなす角を$\nu$とすると，
``` math
\begin{align}
    \notag \bf{r}\cdot \bf{P} = rP\cos{\nu}
\end{align}
``` 
だから，
``` math
\begin{align}
    \notag -h^2 + \dfrac{\mu}{e} \bf{r}\cdot \bf{r} = -rP\cos{\nu}\\
    \Leftrightarrow \qquad r = \dfrac{\frac{h^2}{\mu}}{1+\frac{P}{\mu}\cos{\nu}}\label{kidouhouteishiki}\tag{13}
\end{align}
``` 
これを軌道方程式と呼ぶ．

# 6. 双曲線軌道
※スイングバイ前後の軌道は双曲線軌道である。

![image.png](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/3901421/f46c3359-0924-f488-a6a1-a5f2590f3927.png)

双曲線の定義は，二定点（焦点$F, F'$）からの距離の差が一定である点の軌跡である．
直交座標系での双曲線の方程式は，
``` math
\begin{align}
    \notag\dfrac{x^2}{a^2}- \dfrac{y^2}{b^2}=1\qquad (a<0, b>0)
\end{align}
``` 
となる．焦点Fを中心とする極座標$(r, \nu)$を考えると，
``` math
\begin{align}
    r = \dfrac{p}{1+e\cos{\nu}}\label{soukyokusenn_r}\tag{14}
\end{align}
``` 
ここで，$e$は離心率，$p$は半直弦と呼ぶ．

次に，双曲線には漸近線が付随する．その$x$軸となす角を$\rho$とすると，
``` math
\begin{align}
    r = \dfrac{p}{1+e\cos{(\pi - \rho)}} \quad \rightarrow \infty\tag{15}
\end{align}
``` 
であるから，$1-e\cos{\rho}=0$すなわち，
``` math
\begin{align}
    \cos{\rho} = \dfrac{1}{e}\label{soukyokusenn_kakudo}\tag{16}
\end{align}
``` 
の関係が得られる．

# 7. 軌道速度

ここで，式$\eqref{kidouhouteishiki}$ $r = \dfrac{\frac{h^2}{\mu}}{1+\frac{P}{\mu}\cos{\nu}}$と$\eqref{soukyokusenn_r}$を比べると，

``` math
\begin{align}
    p=\dfrac{h^2}{\mu} ,\quad  e = \dfrac{P}{\mu}\tag{17}
\end{align}
``` 

であることから，
``` math
\begin{align}
    \notag &\dfrac{h^2}{\mu} = - \dfrac{\mu}{2\epsilon}\left\{1-\left(\dfrac{P}{\mu}\right)^2\right\} = p = a(1-e^2)\\
    &\Leftrightarrow \qquad a = - \dfrac{\mu}{2\epsilon}\tag{18}
\end{align}
``` 
と分かる．

となる．双曲線無限遠速度(双曲線余剰速度)は，この式で$r\rightarrow \infty$とすると，
``` math
\begin{align}
    V_{\infty} = \sqrt{\dfrac{\mu}{-a}}\label{soukyokusen_mugendai}\tag{19}
\end{align}
``` 
と求まる．このとき，$a$を半長軸という．双曲線余剰速度を用いると，地心距離$r$で探査機が持つ必要がある速度は，
``` math
\begin{align}
    v = \sqrt{\dfrac{2\mu}{r}+v_{\infty}^2}\label{saikinnsetusokudo}\tag{20}
\end{align}
``` 
と求まる．