企業での生成AI利用ガイド（２）～RAGで「宇宙際タイヒミュラー理論」を読み解く!?

# 目次
[企業での生成AI利用ガイド（１）～ガイダーAIの現場から](https://qiita.com/sdozono/items/c0621de189a1035fa26b)
[企業での生成AI利用ガイド（２）～RAGで「宇宙際タイヒミュラー理論」を読み解く!?](https://qiita.com/sdozono/items/d5a98bf6a147b5b238bc)
[企業での生成AI利用ガイド（３）～夏目漱石と対話？社内知識ベースを活用し、AIで温故知新なるか](https://qiita.com/sdozono/items/fa1e0be23a1214b08004)
[企業での生成AI利用ガイド（４）～2024年のAIまとめ、そして「時間と量子もつれの不思議な関係」](https://qiita.com/sdozono/items/a009dfa49a01bceda878)

# はじめに
 企業向けAIプラットフォーム「ガイダーAI」（gidr.ai）に所属している堂園と申します。日々、様々なお客様企業と生成AIの活用方法について協議しております。これまで、自動車業界、建設業界、マーケティング業界、コンサルティング業界、コールセンター業界など、多岐にわたる業界の皆様とお話しする機会がありました。そこで共通して聞かれるのが、今後の人材不足、人手不足を解消するためにAIの活用が不可欠だという意見です。

中には、「社内文書を集積すれば、提案書や見積書が自動的に生成されるのではないか」と、期待に満ちた表情で将来像を語ってくださる方もいらっしゃり、そういった場面では大変有意義な時間を過ごしております。

今後も、皆様の期待に応えられるAIシステムの実現に向けて、尽力して参る所存です。
 ## 今日の実験
 RAG（Retrieval-Augmented Generation）という仕組みを活用することで、AIに自社の知識ベースから情報を取得させ、それに基づいて正確な回答を生成させることが可能になります。ただし、RAGの技術は日々進化しており、様々な手法が開発されているため、各AIシステムの機能や性能を個別に確認する必要があります。

本稿では、「高度に専門的な英語論文のPDFをAIに読み込ませ、どの程度まで内容を理解し、分析できるか」を検証します。通常は日本語や英語の法令集PDF、製品マニュアルなどを対象としていますが、今回は数学者にとっても非常に難解とされる論文を使用し、AIとの対話の可能性を探ります。
 ## 京都大学数理解析研究所発の「宇宙際タイヒミュラー理論」とは？
 名称に「宇宙」という言葉が含まれていますが、本理論は天文学ではなく、厳密な数学理論です。2012年8月30日に京都大学数理解析研究所の望月新一教授によって発表され、その斬新さから「未来から来た論文」とも呼ばれています。

本理論はABC予想の解決を主張しており、そのため世界的な注目を集めました。しかし、その内容は非常に難解で、「理解できる数学者が世界に10人程度しかいない」と言われるほどです。そのため、査読にも相当の時間を要しました。

7年半にわたる厳密な査読プロセスを経て、2020年2月5日に査読を通過しました。その後、2021年3月に京都大学数理解析研究所（RIMS）が編集する学術誌「Publications of the Research Institute for Mathematical Sciences (PRIMS)」の特別号に掲載されました。

### 実際の論文をダウンロードできるページ：
https://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~motizuki/papers-japanese.html
#### [1] Inter-universal Teichmuller Theory I: Construction of Hodge Theaters. 
https://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~motizuki/Inter-universal%20Teichmuller%20Theory%20I.pdf
#### [2] Inter-universal Teichmuller Theory II: Hodge-Arakelov-theoretic Evaluation.
https://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~motizuki/Inter-universal%20Teichmuller%20Theory%20II.pdf
#### [3] Inter-universal Teichmuller Theory III: Canonical Splittings of the Log-theta-lattice.
https://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~motizuki/Inter-universal%20Teichmuller%20Theory%20III.pdf
#### [4] Inter-universal Teichmuller Theory IV: Log-volume Computations and Set-theoretic Foundations.
https://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~motizuki/Inter-universal%20Teichmuller%20Theory%20IV.pdf

## いざガイダーAIで解析
![image.png](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/114744/cec8862f-0557-ccd2-1514-6acbc1cdbc96.png)
### めぼしい英文PDFをどんどんデータソースとして取り込んでみます
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### 早速質問してみましょう。英語の論文についても日本語で対話できるようになります。（AIによる回答のため、誤りが含まれている可能性があります。今回は、このような質問に対するAIの回答例としてご覧ください。通常は、出典元を確認して情報の正確性を検証する必要があります。）

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質問：IUTは、Hodge理論をどのように拡張していますか
```
> IUT（宇宙際タイヒミュラー理論）は、Hodge理論を拡張するために以下のようなアプローチを取っています。
>
> まず、IUTはHodge-Arakelov理論の技術的な障害を克服することを目的としています。具体的には、Hodge-Arakelov理論におけるガウス極の問題を回避するための新しい枠組みを提供します。この理論は、数論幾何学におけるディオファントス幾何学への応用を目指しており、特に高さの評価に関する不等式の導出を一般化することを試みています。
> 
> IUTは、Hodge理論のスキーム理論的な側面を再構築し、より広範な文脈で適用可能な形にしています。これにより、従来のHodge-Arakelov理論では扱いきれなかった問題に対しても、新しい視点からアプローチすることが可能となります。
>
> 具体的な方法としては、IUTは「Hodge劇場」と呼ばれる新しい構造を導入し、これを通じてHodge理論の概念を拡張しています。このHodge劇場は、数論的な対象をより深く理解するための新しいツールを提供し、従来の理論では見えなかった関係性や構造を明らかにします。
> 
> 以上のように、IUTはHodge理論を拡張し、数論幾何学における新しい可能性を開くための強力な枠組みを提供しています。

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```
質問：宇宙際タイヒミュラー理論とは何ですか
```
> 宇宙際タイヒミュラー理論（Inter-universal Teichmüller Theory）は、数論幾何学における新しい理論的枠組みです。具体的には、数体上の楕円曲線と素数 l ≥ 5 に関するある種の標準的な変形を研究するものです。
>
> この理論は、Shinichi Mochizuki によって構築されました。Mochizuki は、数論幾何学におけるスキーム的 Hodge-Arakelov 理論の技術的困難を克服するために、非スキーム的変形を構築することを目指しました。
>
> この理論の主要な目的は、Diophantus の問題に答えることです。Diophantus の問題とは、整数係数多項式方程式の整数解の存在性を調べる問題です。この問題は、古代ギリシアの数学者 Diophantus によって提唱されました。
> 
> 宇宙際タイヒミュラー理論は、数論幾何学における新しいパラダイムを提供し、Diophantus の問題に答えるための新しい道筋を示しています。この理論は、現在、数学界において非常に注目されており、将来的には数論幾何学の発展に大きな影響を与えることが期待されます。


```
質問：理論を解説してください
```
> 回答：
> この文書は、数学者の Shinichi Mochizuki 氏が提唱した「Inter-universal Teichmüller Theory」（インターユニバーサル・テイヒュラー理論）に関する論文の序文や、関連する人物の謝辞などを含んでいます。
> 
> この理論は、数学の分野である数論や代数幾何学に属し、特に Teichmüller 空間や Hodge 理論、Arakelov 理論などを総合的に扱うものです。具体的には、Teichmüller 空間の研究を通じて、数論的な問題や代数幾何学的な問題を解くための新しいアプローチを提供することを目指しています。
> 
> この理論は、非常に抽象的で高度な数学的概念を含んでおり、一般の読者にとっては理解することが困難です。したがって、ここでは詳細な解説は省き、概要的な説明にとどめます。
> 
> なお、関連する人物として、Yuichiro Hoshi 氏、Ivan Fesenko 氏、Go Yamashita 氏、Mohamed Saïdi 氏などが挙げられています。これらの人物は、Mochizuki 氏の研究に協力し、議論やコメントを提供したり、研究の普及に努めた人物たちです。

```
質問：IUTの理論的背景を教えてください
```

> 要約回答：
> IUTの理論的背景は、数論幾何、Hodge理論、Arakelov幾何、Diophantine幾何などの分野に根ざしている。


> 詳細な回答：
> IUT（Inter-universal Teichmüller Theory）の理論的背景は、数論幾何、Hodge理論、Arakelov幾何、Diophantine幾何などの分野に根ざしている。
> 
> 特に、IUTは、Shinichi Mochizukiによって開発された、数論幾何の新しい枠組みであり、Hodge-Arakelov理論、Diophantine幾何、モチズキのHodge理論的モチベーションに基づいている。
> 
> Mochizukiは、2000年夏頃から、Hodge-Arakelov理論をDiophantine幾何に適用するための技術的障害を克服するために、IUTの研究を始めた。IUTは、Hodge-Arakelov理論のスキーム的枠組みを拡張し、Diophantine幾何の研究に新しい道を開いた。
> 
> IUTの理論的背景には、以下のような要素が含まれている。
> 
> Hodge理論：IUTは、Hodge理論の枠組みを拡張し、数論幾何の研究に適用している。
> Arakelov幾何：IUTは、Arakelov幾何の枠組みを拡張し、Diophantine幾何の研究に適用している。
> Diophantine幾何：IUTは、Diophantine幾何の研究に新しい道を開き、数論幾何の研究に貢献している。
> モチズキのHodge理論的モチベーション：IUTは、MochizukiのHodge理論的モチベーションに基づいて、数論幾何の研究に新しい道を開いている。
> 以上のように、IUTの理論的背景は、数論幾何、Hodge理論、Arakelov幾何、Diophantine幾何などの分野に根ざしている。

```
質問：
将来、この理論を使用するとどんな新しいことが分かりますか？
```
> 回答：
> 申し訳ありませんが、提供されたコンテキストだけでは「将来、この理論を使用するとどんな新しいことが分かりますか？」という質問に正確に答えるのに十分な情報が含まれていません。

```
質問：
小学生が将来この理論を使う可能性がありますか？
```
> 回答：
この文脈からは、小学生が将来この理論を使う可能性について具体的な情報は提供されていません。理論の詳細やその応用範囲についての説明が不足しているため、正確にお答えすることは難しいです。
> 
※通常のGPT、AIにこういう質問を尋ねると、夢をつぶさないような、可能性のある話をしてくる。RAGの場合には、ある意味、つれない率直な返事になる。

```
質問：暗号理論とどのように関係していますか
```
> 回答：
> 暗号理論との関係は、文中には直接的には言及されていません。ただし、暗号理論と関係する可能性のある要素がいくつか存在します。
> 
> 例えば、文中では、数体上の楕円曲線や、有限体 Fl との関係、モジュラー形式の理論などが言及されています。これらの理論は、暗号理論において重要な役割を果たすことがあります。特に、楕円曲線暗号や、有限体上の暗号システムなどでは、これらの理論が基礎として用いられています。
> 
> また、文中では、Hodge-Arakelov 理論や、Teichmüller 理論などが言及されています。これらの理論は、数論や代数幾何学において重要な役割を果たすと同時に、暗号理論においても応用される可能性があります。
> 
> 以上、文中には暗号理論との直接的な関係は言及されていませんが、暗号理論と関係する可能性のある要素がいくつか存在します。
```
質問：
この理論と幾何学の関係性を説明してください
```
> 回答：
> この理論と幾何学の関係性について説明します。
> 
> まず、著者は、set theory の classical approach と species-theoretic approach の関係性を、algebraic geometry の classical approach と scheme theory の関係性に例えている。前者では、具体的な集合が中心的役割を果たすのに対し、後者では、集合を構成するための規則（set-theoretic formulas）が中心的役割を果たす。
> 
> このアナロジーは、幾何学における classical approach と scheme theory の関係性に似ている。 classical approach では、具体的な代数多様体（algebraic varieties）が中心的役割を果たすのに対し、scheme theory では、多様体を定義するための規則（polynomial equations）が中心的役割を果たす。
> 
> また、著者は、inter-universal Teichmüller theory という理論を提唱しており、この理論では、Kummer-detachment という操作が重要な役割を果たす。この操作は、幾何学における基本的な操作である座標変換（例えば、cartesian coordinates から polar coordinates への変換）に似ている。
> 
> さらに、著者は、inter-universal Teichmüller theory での log-volume 計算を、幾何学における古典的なガウス積分（∫∞−∞e−x²dx=√π）に似ていると述べている。この理論では、数体上での global analogue としてのガウス積分のような計算が行われている。
> 
> 以上のように、この理論は、幾何学における classical approach と scheme theory の関係性に似ていると同時に、幾何学における基本的な操作や計算にも似ている。
```
質問：
この理論から、素数に関してどんなことが分かりますか？
```
> 回答：
> この理論から、素数に関して以下のようなことが分かります。
> まず、素数の分布に関する結果が得られます。例えば、Proposition 2.1 (ii) では、Prime Number Theorem による素数の分布の評価が与えられています。
> また、GL2(Fp) の位数の公式 (E3) が与えられており、p = 2, 3, 5 の場合の具体的な値が計算されています。
> さらに、log 関数に関する不等式 (E6) が与えられており、素数に関する評価が得られます。
> また、ABC 猜想の証明に必要な Diophantine 不等式の証明に、素数に関する結果が用いられています。
> 以上のように、この理論では素数に関する様々な結果が得られており、数論の分野での研究に貢献しています。

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