生成AIを用いてVAEの論文「Auto-Encoding Variational Bayes (2013)」を読んでみた (続き)

#   はじめに

前回、生成AIを用いてVAEの論文「Auto-Encoding Variational Bayes (2013)」の内容(本文)を(なるべく)把握してみました。
同論文の末尾にあるAppendixについても、前回と同様の方法で、把握してみます。

以降で、ChatGPTに聞いてみた例を記載します。

前回の記事: (本文の内容)

https://qiita.com/dl_from_scratch/items/03fcb6242079501c6919

##   対象の論文

論文: (VAEに関する論文)

[1312.6114] Auto-Encoding Variational Bayes
https://arxiv.org/abs/1312.6114
(PDF: https://arxiv.org/pdf/1312.6114)

##   質問時の各章節の区切り部分

論文の中にある各章節を、下記のように区切って、部分毎に生成AIに内容を質問していきます。

* A Visualisations
* \---
* B Solution of −DKL(qφ(z)||pθ(z)), Gaussian case
* \---
* C MLP’s as probabilistic encoders and decoders
* \---
* D Marginal likelihood estimator
* \---
* E Monte Carlo EM
* \---
* F Full VB
* \---
* F.1 Example

##   生成AIへの質問方法

生成AIを活用して、知りたい記事・論文の1節分(適度な長さ)のテキストをコピー＆ペーストして、その下に**質問内容を「①～ ②～ …」と番号付きで書いて**、生成AIに渡せば、全質問に一発で的確に回答してくれるので、非常に良好でした。記事全体を読む必要なく、知りたい点の情報だけを収集できます。

**生成AIへの質問例:**
```
(論文・記事の各章節を貼り付け)

上記の内容に関して下記の質問に回答下さい: (である調で記載、質問に対して該当するものが無ければ無しと記載)
①何についての記載か? + 要旨は何? (要旨は箇条書きで記載、既存手法があれば引用元を記載)
②具体的な処理方法の記載があれば説明下さい。(簡略化せずに全て記載、既存手法があれば引用元を記載)
③改良点・工夫点・テクニック等の記載があれば説明下さい。
④メカニズムの解明・なぜそうなるのか等の記載があれば説明下さい。
⑤性能が向上した記載があれば説明下さい。(具体値があれば記載、対応する図/表番号があれば各文末に記載)
```

```
続けて下記の質問に追加で回答下さい:
⑥比較の記載があれば違いを表でまとめて下さい。(下に解説を記載、対応する図/表番号があれば明記)
⑦上記⑥以外で表に出来そうな部分があれば表でまとめて下さい。(下に解説を記載、対応する図/表番号があれば記載)
⑧具体的な数値の記載を全て列挙して、表にまとめて下さい。(必ず正しく数値を抜き取る事、|数値|説明|の表へ)
⑨具体的な変数名(数式用の記号)の記載を全て列挙して、表にまとめて下さい。(|変数名|説明|次元・型|の表へ)
⑩図/表があれば、各図/表は何を主張するためのものかを説明下さい。(掲載理由・注目ポイント等)
```
※回答が長くなりそうな場合は、適宜、分けて質問: ①②③④⑤、⑥⑦⑧⑨⑩
※各章節に応じて、その章節内で明らかに不要な質問は、適宜除外。

※各章節に応じて、適宜下記の質問を追加。
```
⑪関連研究の参照番号を全て列挙して、表にまとめて下さい。(元文にある内容のみ記載・類推して付け足しは不要、|参照番号|概要説明|の表へ、関連するもの同士でまとめて並べ替え)
⑫難解用語を全て列挙して、表にまとめて下さい。(必ず正しく抜き取る事、|用語|説明|の表へ)
```
※その他、不明点があれば、適宜、ピンポイントで質問。

質問内容は、記事・論文を読んでいて**いつも知りたいと思う点**(**改良点・工夫点・テクニック・メカニズムの解明**)にしています。また、表で比較した方が素早く把握できるので、可能であれば**記事を表に変換する**ようにしています。

論文・記事を貼り付けるテキストの長さは、**1節分程度の量に**とどめた方が、良い回答が得られました。生成AIの回答の文量が多くなってくると、回答が長くなり過ぎないように、生成AIが勝手に(適度に)端折り始めてしまい、重要な点が回答から抜けてしまう可能性が高くなります。

##   事前知識

機械学習についてある程度知っていないと、生成AIに質問しても、その回答内容だけでは理解できないと思います。生成AIの回答は、論文の内容をあまり変えずに、要点をそのまま掻い摘んで回答するような形になっています。

VAEについての分かりやすい解説記事(下記)等を事前にチェックして、中核部分の内容をあらかじめ分かっていると、理解しやすいと思います。生成AIは実際の細かい処理方法自体を分かりやすく説明してはくれない傾向があります。

https://data-analytics.fun/2021/04/14/understanding-vae/

https://qiita.com/kenmatsu4/items/b029d697e9995d93aa24

https://qiita.com/shionhonda/items/e2cf9fe93ae1034dd771

##   注意点

論文のテキスト内容だけを貼り付けて、生成AIに質問しています。論文の中の図・表の部分は貼り付けていません。図・表の内容は生成AIの回答には含まれず、別途論文を見る必要があります。

以降で、生成AIの回答内容が読みにくい・分かりづらい場合は、論文の本文でも同じように書かれてあり、論文の本文を読んでも同じように分かりづらいことが多くあります。論文では、既存研究等があるため、多くの説明を省略・一言だけサラッと書かれてある等、同種の研究に取り組む人でなければ、なかなか全容の理解に辿りつくのは難しい側面があります。この点は、生成AIの回答性能が悪いのではなく、論文という性質上、生じるものと考えています。


#   生成AIに質問

以降で、ChatGPTに実際に聞いてみた例を記載します。

##   生成AIへの質問＆回答の全容

生成AIへの質問＆回答の全容・詳細:

https://chatgpt.com/share/66fba0f6-9bbc-8004-93da-1168aa078ee4

##   A Visualisations

**▼質問(人間)**
<details><summary>質問内容全体はここをクリック</summary>
(論文・記事の各章節を貼り付け)
A Visualisations
See figures 4 and 5 for visualisations of latent space and corresponding observed space of models
learned with SGVB.

Figure 4: Visualisations of learned data manifold for generative models with two-dimensional latent
space, learned with AEVB. Since the prior of the latent space is Gaussian, linearly spaced coor-
dinates on the unit square were transformed through the inverse CDF of the Gaussian to produce
values of the latent variables z. For each of these values z, we plotted the corresponding generative
pθ (x|z) with the learned parameters θ.

Figure 5: Random samples from learned generative models of MNIST for different dimensionalities
of latent space.

上記の内容に関して下記の質問に回答下さい: (である調で記載、質問に対して該当するものが無ければ無しと記載)
①何についての記載か? + 要旨は何? (要旨は箇条書きで記載、既存手法があれば引用元を記載)
②具体的な処理方法の記載があれば説明下さい。(簡略化せずに全て記載、既存手法があれば引用元を記載)
③改良点・工夫点・テクニック等の記載があれば説明下さい。
④メカニズムの解明・なぜそうなるのか等の記載があれば説明下さい。
⑤性能が向上した記載があれば説明下さい。(具体値があれば記載、対応する図/表番号があれば各文末に記載)
⑥比較の記載があれば違いを表でまとめて下さい。(下に解説を記載、対応する図/表番号があれば明記)
⑨具体的な変数名(数式用の記号)の記載を全て列挙して、表にまとめて下さい。(|変数名|説明|次元・型|の表へ)
⑩図/表があれば、各図/表は何を主張するためのものかを説明下さい。(掲載理由・注目ポイント等)
</details>

**▼生成AIの回答(ChatGPT-4o)**
① **何についての記載か? + 要旨は何?**

この部分は、SGVB（Stochastic Gradient Variational Bayes）を用いて学習されたモデルにおける潜在空間および観測空間の可視化に関する記載である。以下が要旨である。

- 潜在空間から観測空間への対応を視覚化するための手法を示す。
- 図4では、二次元潜在空間を持つ生成モデルのデータマニフォールドを可視化。
- 図5では、潜在空間の次元が異なる生成モデルのMNISTサンプルをランダムに表示。

② **具体的な処理方法の記載**

- 図4では、潜在空間が2次元の生成モデルを対象としており、潜在変数 $ z $ の生成には、ガウス分布の逆累積分布関数（CDF）を用いた。これにより、単位正方形上に線形に配置された座標がガウス分布に従う値に変換された。
- 変換後の各潜在変数 $ z $ に対して、学習された生成モデルの $ p_\theta(x|z) $ を計算し、その結果が可視化された。モデルのパラメータ $ \theta $ は、AEVB（Auto-Encoding Variational Bayes）によって学習された。

③ **改良点・工夫点・テクニック等の記載**

- 潜在空間のガウス分布性を維持しつつ、単位正方形からガウス分布へ変換するために、逆累積分布関数を使用した。この手法は、潜在変数の空間を適切に可視化するための工夫である。
- 図5では、異なる潜在空間次元での生成モデルのランダムサンプルを提示し、次元ごとの生成モデルの性能を直感的に評価できるようにしている。

④ **メカニズムの解明・なぜそうなるのか等の記載**

- 潜在空間がガウス分布に従う設定を行うことで、生成モデルが潜在変数の分布を適切に学習でき、データ生成がスムーズに行えることが示唆されている。
- ガウス分布の逆累積分布関数を使うことにより、線形に配置された座標を正規分布に従わせることで、潜在空間の可視化においてモデルの性質をより忠実に反映することが可能となっている。

⑤ **性能が向上した記載**

無し。

⑥ **比較の記載**

無し。

⑨ **具体的な変数名(数式用の記号)の記載**

| 変数名 | 説明 | 次元・型 |
|--------|------|---------|
| $ z $  | 潜在変数 | 任意（この場合は2次元） |
| $ p_\theta(x\|z) $ | 生成モデルの条件付き確率 | - |
| $ \theta $ | モデルのパラメータ | - |

⑩ **図/表があれば、各図/表は何を主張するためのものかを説明**

- **図4**: 二次元潜在空間を持つ生成モデルの学習されたデータマニフォールドを視覚化する。潜在変数 $ z $ の異なる値に対応する生成データを可視化することで、潜在空間から観測空間への対応を直感的に示している。
- **図5**: 潜在空間の次元が異なる生成モデルによるMNISTデータのランダムサンプルを示す。この図は、潜在空間の次元が生成モデルの出力にどのような影響を与えるかを比較するために提示されている。

![image.png](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/606924/4fa8ba5d-55b4-4fc7-2803-9800c3c7a0f6.png)

![image.png](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/606924/9d7df675-f61d-e91d-1c23-e20ea6723b0f.png)

:::note info
生成AIがMarkdown形式の表として回答する時に、項目の中に「|」の文字を含むと(例: 条件付き確率のP(y | x)等)、表がくずれて表示されない問題がある。「\|」へエスケープする必要がある。
:::

##   B Solution of −DKL(qφ(z)||pθ(z)), Gaussian case

**▼質問(人間)**
<details><summary>質問内容全体はここをクリック</summary>
(論文・記事の各章節を貼り付け)
B Solution of −DKL(qφ(z)||pθ(z)), Gaussian case
The variational lower bound (the objective to be maximized) contains a KL term that can often be
integrated analytically. Here we give the solution when both the prior pθ (z) = N (0, I) and the
posterior approximation qφ(z|x(i)) are Gaussian. Let J be the dimensionality of z. Let μ and σ
denote the variational mean and s.d. evaluated at datapoint i, and let μj and σj simply denote the
j-th element of these vectors. Then:
∫
qθ (z) log p(z) dz =
∫
N (z; μ, σ2) log N (z; 0, I) dz
= − J
2 log(2π) − 1
2
J∑
j=1
(μ2
j + σ2
j )
And: ∫
qθ (z) log qθ (z) dz =
∫
N (z; μ, σ2) log N (z; μ, σ2) dz
= − J
2 log(2π) − 1
2
J∑
j=1
(1 + log σ2
j )
Therefore:
−DKL((qφ(z)||pθ (z)) =
∫
qθ (z) (log pθ (z) − log qθ (z)) dz
= 1
2
J∑
j=1
(1 + log((σj )2) − (μj )2 − (σj )2)
When using a recognition model qφ(z|x) then μ and s.d. σ are simply functions of x and the
variational parameters φ, as exemplified in the text.

上記の内容に関して下記の質問に回答下さい: (である調で記載、質問に対して該当するものが無ければ無しと記載)
①何についての記載か? + 要旨は何? (要旨は箇条書きで記載、既存手法があれば引用元を記載)
②具体的な処理方法の記載があれば説明下さい。(簡略化せずに全て記載、既存手法があれば引用元を記載)
③改良点・工夫点・テクニック等の記載があれば説明下さい。
④メカニズムの解明・なぜそうなるのか等の記載があれば説明下さい。
⑤性能が向上した記載があれば説明下さい。(具体値があれば記載、対応する図/表番号があれば各文末に記載)
⑧難解用語を全て列挙して、表にまとめて下さい。(必ず正しく抜き取る事、|用語|説明|の表へ)
⑨具体的な変数名(数式用の記号)の記載を全て列挙して、表にまとめて下さい。(|変数名|説明|次元・型|の表へ)
</details>

**▼生成AIの回答(ChatGPT-4o)**
① **何についての記載か? + 要旨は何?**

この部分は、変分オートエンコーダー（VAE）における変分下限（Variational Lower Bound）のKLダイバージェンス項について、事前分布と事後分布の両方がガウス分布である場合に、その解がどのように導出されるかを記載している。具体的には、KLダイバージェンスの解析的な解法を提供している。

**要旨:**
- 変分下限の中に含まれるKLダイバージェンスの解析的な解法について説明。
- 事前分布 $ p_\theta(z) $ と事後分布 $ q_\phi(z|x) $ がともにガウス分布の場合、KLダイバージェンスを導出。
- 潜在変数 $ z $ の次元数 $ J $ およびデータポイントごとの平均 $ \mu $ と標準偏差 $ \sigma $ に基づいた計算式が提示されている。

② **具体的な処理方法の記載**

- KLダイバージェンスの式 $ D_{KL}(q_\phi(z)||p_\theta(z)) $ は、以下の積分で表される:
  $
  D_{KL}(q_\phi(z)||p_\theta(z)) = \int q_\phi(z) (\log p_\theta(z) - \log q_\phi(z)) dz
  $
- ここで、事前分布 $ p_\theta(z) = N(0, I) $ と事後分布 $ q_\phi(z|x) $ はガウス分布 $ N(z; \mu, \sigma^2) $ であるため、KLダイバージェンスは解析的に計算可能である。
  
  1. まず、 $ q_\phi(z) \log p_\theta(z) $ の項を計算:
     $
     \int N(z; \mu, \sigma^2) \log N(z; 0, I) dz = - \frac{J}{2} \log(2\pi) - \frac{1}{2} \sum_{j=1}^{J} (\mu_j^2 + \sigma_j^2)
     $
  2. 次に、 $ q_\phi(z) \log q_\phi(z) $ の項を計算:
     $
     \int N(z; \mu, \sigma^2) \log N(z; \mu, \sigma^2) dz = - \frac{J}{2} \log(2\pi) - \frac{1}{2} \sum_{j=1}^{J} (1 + \log \sigma_j^2)
     $
  3. 最後に、これらを統合して、KLダイバージェンスの結果を得る:
     $
     D_{KL}(q_\phi(z)||p_\theta(z)) = \frac{1}{2} \sum_{j=1}^{J} (1 + \log(\sigma_j^2) - \mu_j^2 - \sigma_j^2)
     $

③ **改良点・工夫点・テクニック等の記載**

- ガウス分布に関する積分を解析的に計算することで、KLダイバージェンスの計算を効率化している。この手法により、ガウス分布を仮定したモデルでの変分推論が効率的に行えるようになっている。

④ **メカニズムの解明・なぜそうなるのか等の記載**

- 事前分布 $ p_\theta(z) $ をガウス分布 $ N(0, I) $ に設定することで、事後分布とのKLダイバージェンスの解析的解が得られる。この設定により、VAEにおいてモデルが効率的に学習でき、潜在空間の規則的な構造を保つことができる。

⑤ **性能が向上した記載**

無し。

⑧ **難解用語**

| 用語 | 説明 |
|------|------|
| KLダイバージェンス | 2つの確率分布間の距離を測る指標。 |
| 変分下限 | 変分推論における目的関数で、尤度の下限を最適化する。 |
| 事前分布 | 潜在変数の確率分布で、通常ガウス分布が仮定される。 |
| 事後分布 | データが与えられたときの潜在変数の確率分布。 |
| ガウス分布 | 正規分布とも呼ばれる、中心に対して対称なベル型の分布。 |
| 累積分布関数（CDF） | 確率分布の値が特定の数値以下になる確率を表す関数。 |
| VAE | 変分オートエンコーダー。潜在変数モデルを学習するためのニューラルネットワーク。 |

⑨ **具体的な変数名(数式用の記号)**

| 変数名 | 説明 | 次元・型 |
|--------|------|---------|
| $ z $  | 潜在変数 | 任意（次元は $ J $ ） |
| $ p_\theta(z) $ | 事前分布 | ガウス分布 $ N(0, I) $ |
| $ q_\phi(z\|x) $ | 事後分布 | ガウス分布 $ N(\mu, \sigma^2) $ |
| $ \mu $ | 事後分布の平均 | $ J $ 次元ベクトル |
| $ \sigma $ | 事後分布の標準偏差 | $ J $ 次元ベクトル |
| $ \mu_j $ | 平均の $ j $ 番目の要素 | スカラー |
| $ \sigma_j $ | 標準偏差の $ j $ 番目の要素 | スカラー |
| $ J $ | 潜在変数の次元数 | 整数 |

:::note info
「⑨具体的な変数名」の次元の表記により、全体の把握がよりよく進む。良好。
:::

##   C MLP’s as probabilistic encoders and decoders

**▼質問(人間)**
<details><summary>質問内容全体はここをクリック</summary>
(論文・記事の各章節を貼り付け)
C MLP’s as probabilistic encoders and decoders
In variational auto-encoders, neural networks are used as probabilistic encoders and decoders. There
are many possible choices of encoders and decoders, depending on the type of data and model. In
our example we used relatively simple neural networks, namely multi-layered perceptrons (MLPs).
For the encoder we used a MLP with Gaussian output, while for the decoder we used MLPs with
either Gaussian or Bernoulli outputs, depending on the type of data.
C.1 Bernoulli MLP as decoder
In this case let pθ (x|z) be a multivariate Bernoulli whose probabilities are computed from z with a
fully-connected neural network with a single hidden layer:
log p(x|z) =
D∑
i=1
xi log yi + (1 − xi) · log(1 − yi)
where y = fσ (W2 tanh(W1z + b1) + b2) (11)
where fσ (.) is the elementwise sigmoid activation function, and where θ = {W1, W2, b1, b2} are
the weights and biases of the MLP.
C.2 Gaussian MLP as encoder or decoder
In this case let encoder or decoder be a multivariate Gaussian with a diagonal covariance structure:
log p(x|z) = log N (x; μ, σ2I)
where μ = W4h + b4
log σ2 = W5h + b5
h = tanh(W3z + b3) (12)
where {W3, W4, W5, b3, b4, b5} are the weights and biases of the MLP and part of θ when used
as decoder. Note that when this network is used as an encoder qφ(z|x), then z and x are swapped,
and the weights and biases are variational parameters φ.

上記の内容に関して下記の質問に回答下さい: (である調で記載、質問に対して該当するものが無ければ無しと記載)
①何についての記載か? + 要旨は何? (要旨は箇条書きで記載、既存手法があれば引用元を記載)
②具体的な処理方法の記載があれば説明下さい。(簡略化せずに全て記載、既存手法があれば引用元を記載)
③改良点・工夫点・テクニック等の記載があれば説明下さい。
④メカニズムの解明・なぜそうなるのか等の記載があれば説明下さい。
⑤性能が向上した記載があれば説明下さい。(具体値があれば記載、対応する図/表番号があれば各文末に記載)
⑧難解用語を全て列挙して、表にまとめて下さい。(必ず正しく抜き取る事、|用語|説明|の表へ)
⑨具体的な変数名(数式用の記号)の記載を全て列挙して、表にまとめて下さい。(|変数名|説明|次元・型|の表へ)
</details>

**▼生成AIの回答(ChatGPT-4o)**
① **何についての記載か? + 要旨は何?**

この部分は、変分オートエンコーダー（VAE）における確率的エンコーダーとデコーダーとして多層パーセプトロン（MLP）を使用する方法について記載している。具体的には、データタイプに応じてガウス分布とベルヌーイ分布を出力するMLPをエンコーダーやデコーダーとして利用する例が説明されている。

**要旨:**
- 変分オートエンコーダーにおいて、MLPをエンコーダーやデコーダーとして用いる方法を説明。
- ベルヌーイ分布を出力するMLPのデコーダーの構造について記載（C.1）。
- ガウス分布を出力するMLPのエンコーダーやデコーダーの構造について記載（C.2）。

② **具体的な処理方法の記載**

- **Bernoulli MLP as decoder**:
  - デコーダー $ p_\theta(x|z) $ が多変量ベルヌーイ分布の場合、確率は $ z $ から全結合ニューラルネットワークを通して計算される。
  - $ y = f_\sigma(W_2 \tanh(W_1 z + b_1) + b_2) $ という形で、MLPの2つの重み $ W_1, W_2 $ とバイアス $ b_1, b_2 $ に基づいて出力が計算される。ここで $ f_\sigma $ は要素ごとのシグモイド関数である。
  - ログ尤度の式は次の通り:
    $
    \log p(x|z) = \sum_{i=1}^{D} x_i \log y_i + (1 - x_i) \log(1 - y_i)
    $

- **Gaussian MLP as encoder or decoder**:
  - デコーダーまたはエンコーダーが多変量ガウス分布の場合、対角共分散行列を持つ。
  - ログ尤度の式は次の通り:
    $
    \log p(x|z) = \log N(x; \mu, \sigma^2 I)
    $
  - 平均 $ \mu $ と分散 $ \sigma^2 $ はそれぞれ以下のように計算される:
    $
    \mu = W_4 h + b_4, \quad \log \sigma^2 = W_5 h + b_5
    $
    ここで、 $ h = \tanh(W_3 z + b_3) $ が潜在変数 $ z $ からの中間表現を表す。
  - エンコーダーとして使われる場合、潜在変数 $ z $ と入力 $ x $ が逆転し、重みとバイアスが変分パラメータ $ \phi $ になる。

③ **改良点・工夫点・テクニック等の記載**

- ベルヌーイMLPのデコーダーはシグモイド関数 $ f_\sigma $ を使用して、出力を確率に変換している。
- ガウスMLPのエンコーダーやデコーダーでは、潜在変数 $ z $ からの中間表現を正接双曲線（tanh）関数で非線形変換している点が工夫されている。

④ **メカニズムの解明・なぜそうなるのか等の記載**

- ベルヌーイMLPではシグモイド関数 $ f_\sigma $ を使用することで、出力が0から1の範囲に制限され、多変量ベルヌーイ分布に適した確率が得られるようになっている。
- ガウスMLPでは、出力の分散 $ \sigma^2 $ を対数スケールで計算することで、共分散行列が正の値を取るようになっており、ガウス分布の特性を維持している。

⑤ **性能が向上した記載**

無し。

⑧ **難解用語**

| 用語 | 説明 |
|------|------|
| MLP (Multi-Layer Perceptron) | 多層ニューラルネットワークの一種。 |
| ベルヌーイ分布 | 成功または失敗の二値の結果を持つ確率分布。 |
| ガウス分布 | 正規分布とも呼ばれ、連続値の確率分布。 |
| シグモイド関数 | 出力を0から1の範囲に変換する活性化関数。 |
| tanh関数 | 正接双曲線関数。非線形性を導入するために使用される。 |
| ログ尤度 | モデルのパラメータが与えられたデータの尤度を対数で表したもの。 |
| 対角共分散構造 | ガウス分布の共分散行列が対角行列であることを意味する。 |

⑨ **具体的な変数名(数式用の記号)**

| 変数名 | 説明 | 次元・型 |
|--------|------|---------|
| $ x $ | 観測データ | ベクトル $ D $ |
| $ z $ | 潜在変数 | ベクトル |
| $ p_\theta(x\|z) $ | 条件付き確率分布 | スカラー |
| $ y $ | 出力確率 | ベクトル |
| $ f_\sigma $ | シグモイド関数 | 関数 |
| $ W_1, W_2 $ | MLPの重み行列 | 行列 |
| $ b_1, b_2 $ | MLPのバイアス項 | ベクトル |
| $ \mu $ | ガウス分布の平均 | ベクトル |
| $ \sigma^2 $ | ガウス分布の分散 | スカラー |
| $ h $ | 中間表現 | ベクトル |

##   D Marginal likelihood estimator

**▼質問(人間)**
<details><summary>質問内容全体はここをクリック</summary>
(論文・記事の各章節を貼り付け)
D Marginal likelihood estimator
We derived the following marginal likelihood estimator that produces good estimates of the marginal
likelihood as long as the dimensionality of the sampled space is low (less then 5 dimensions), and
sufficient samples are taken. Let pθ (x, z) = pθ (z)pθ (x|z) be the generative model we are sampling
from, and for a given datapoint x(i) we would like to estimate the marginal likelihood pθ (x(i)).
The estimation process consists of three stages:
1. Sample L values {z(l)} from the posterior using gradient-based MCMC, e.g. Hybrid Monte
Carlo, using ∇z log pθ (z|x) = ∇z log pθ (z) + ∇z log pθ (x|z).
2. Fit a density estimator q(z) to these samples {z(l)}.
3. Again, sample L new values from the posterior. Plug these samples, as well as the fitted
q(z), into the following estimator:
pθ (x(i)) '
(
1
L
L∑
l=1
q(z(l))
pθ (z)pθ (x(i)|z(l))
)−1
where z(l) ∼ pθ (z|x(i))
Derivation of the estimator:
1
pθ (x(i)) =
∫ q(z) dz
pθ (x(i)) =
∫ q(z) pθ (x(i),z)
pθ (x(i),z) dz
pθ (x(i))
=
∫ pθ (x(i), z)
pθ (x(i))
q(z)
pθ (x(i), z) dz
=
∫
pθ (z|x(i)) q(z)
pθ (x(i), z) dz
' 1
L
L∑
l=1
q(z(l))
pθ (z)pθ (x(i)|z(l)) where z(l) ∼ pθ (z|x(i))

上記の内容に関して下記の質問に回答下さい: (である調で記載、質問に対して該当するものが無ければ無しと記載)
①何についての記載か? + 要旨は何? (要旨は箇条書きで記載、既存手法があれば引用元を記載)
②具体的な処理方法の記載があれば説明下さい。(簡略化せずに全て記載、既存手法があれば引用元を記載)
③改良点・工夫点・テクニック等の記載があれば説明下さい。
④メカニズムの解明・なぜそうなるのか等の記載があれば説明下さい。
⑤性能が向上した記載があれば説明下さい。(具体値があれば記載、対応する図/表番号があれば各文末に記載)
⑧難解用語を全て列挙して、表にまとめて下さい。(必ず正しく抜き取る事、|用語|説明|の表へ)
⑨具体的な変数名(数式用の記号)の記載を全て列挙して、表にまとめて下さい。(|変数名|説明|次元・型|の表へ)
</details>

**▼生成AIの回答(ChatGPT-4o)**
① **何についての記載か? + 要旨は何?**

この部分は、低次元のサンプル空間（5次元以下）に対して有効な周辺尤度推定器の導出と推定手順について記載している。具体的には、変分オートエンコーダーなどの生成モデルにおいて、与えられたデータポイントに対する周辺尤度を推定する方法を説明している。

**要旨:**
- 低次元サンプル空間における周辺尤度推定器の導出。
- サンプル空間が低次元である場合、サンプル数が十分であれば良好な推定が得られる。
- ハイブリッドモンテカルロ（HMC）などの勾配ベースのMCMCを用いてサンプルを生成し、密度推定器 $ q(z) $ をフィットさせた後、追加サンプルを用いて周辺尤度を推定する手順が示されている。

② **具体的な処理方法の記載**

周辺尤度の推定手順は以下の3段階からなる。

1. **ポスターリオ分布からサンプルを生成**:
   - 勾配ベースのMCMC（例: ハイブリッドモンテカルロ）を用いて、ポスターリオ分布 $ p_\theta(z|x) $ から $ L $ 個の値 $ \{z^{(l)}\} $ をサンプルする。
   - 勾配は $ \nabla_z \log p_\theta(z|x) = \nabla_z \log p_\theta(z) + \nabla_z \log p_\theta(x|z) $ によって計算される。

2. **密度推定器 $ q(z) $ をフィット**:
   - サンプル $ \{z^{(l)}\} $ を用いて、ポスターリオ分布に対する密度推定器 $ q(z) $ をフィットする。

3. **新たなサンプルを生成し、周辺尤度を推定**:
   - 再びポスターリオ分布から新しいサンプルを生成し、次の式を使って周辺尤度 $ p_\theta(x^{(i)}) $ を推定する:
     $
     p_\theta(x^{(i)}) \approx \left( \frac{1}{L} \sum_{l=1}^{L} \frac{q(z^{(l)})}{p_\theta(z)p_\theta(x^{(i)}|z^{(l)})} \right)^{-1}
     $
     ここで、$ z^{(l)} \sim p_\theta(z|x^{(i)}) $。

③ **改良点・工夫点・テクニック等の記載**

- 勾配ベースのMCMC（例: ハイブリッドモンテカルロ）を用いることで、サンプルの効率的な生成が可能となっている。
- 密度推定器 $ q(z) $ をサンプルにフィットさせ、再サンプリングを行うことで、より正確な周辺尤度推定が可能になっている。

④ **メカニズムの解明・なぜそうなるのか等の記載**

- この手法は、ポスターリオ分布からサンプルを生成し、それを基に密度推定器をフィットさせるという2段階の推定プロセスを取り入れている。このようにすることで、直接的にサンプル空間を探索し、より正確な周辺尤度推定が得られるようになっている。
- サンプル数が十分であれば、低次元空間においては良好な周辺尤度推定が可能であるとされている。

⑤ **性能が向上した記載**

無し。

⑧ **難解用語**

| 用語 | 説明 |
|------|------|
| 周辺尤度 (Marginal Likelihood) | データに対する潜在変数を含んだ生成モデルの尤度。潜在変数を積分することで計算される。 |
| 勾配ベースのMCMC (Gradient-based MCMC) | 勾配情報を利用してサンプリングを行うMCMC手法。例としてハイブリッドモンテカルロがある。 |
| ハイブリッドモンテカルロ (Hybrid Monte Carlo, HMC) | 勾配を使って効率的にサンプルを生成するモンテカルロ法。 |
| 密度推定器 (Density Estimator) | サンプルに基づいて確率密度関数を推定するモデル。 |
| ポスターリオ分布 (Posterior Distribution) | 観測データを考慮した後の潜在変数の確率分布。 |
| 生成モデル (Generative Model) | 潜在変数から観測データを生成する確率モデル。 |
| MCMC (Markov Chain Monte Carlo) | マルコフ連鎖に基づいてサンプルを生成するモンテカルロ法。 |

⑨ **具体的な変数名(数式用の記号)**

| 変数名 | 説明 | 次元・型 |
|--------|------|---------|
| $ p_\theta(x^{(i)}) $ | 周辺尤度 | スカラー |
| $ z $ | 潜在変数 | ベクトル |
| $ p_\theta(z) $ | 潜在変数の事前分布 | 確率分布 |
| $ p_\theta(x\|z) $ | 条件付き尤度 | 確率分布 |
| $ q(z) $ | 密度推定器 | 確率分布 |
| $ z^{(l)} $ | サンプル | ベクトル |
| $ L $ | サンプル数 | スカラー |

:::note info
※$ \nabla_z \log p_\theta(z|x) = \nabla_z \log p_\theta(z) + \nabla_z \log p_\theta(x|z) $の成立がよく分からない。
※「周辺尤度を推定する」意味がよく分からない。

論文の本文中に同じ内容が書かれてあり、論文の本文を読んでも同様に理解できない。特に生成AIの回答が悪い訳ではなく、仕方ない。
:::

**▼質問(人間)**
「ポスターリオ分布」とは何か?

**▼生成AIの回答(ChatGPT-4o)**
「ポスターリオ分布」とは、**事後確率分布**のことであり、観測データを考慮した後に得られる潜在変数やパラメータの確率分布を指す。ベイズ統計の文脈では、ポスターリオ分布は次の形で表される：

$
p(\theta | x) = \frac{p(x | \theta) p(\theta)}{p(x)}
$

ここで、
- $ p(\theta | x) $ がポスターリオ分布（事後確率分布）であり、観測データ $ x $ に基づいて更新されたパラメータ $ \theta $ の分布。
- $ p(x | \theta) $ が**尤度関数**で、データ $ x $ がパラメータ $ \theta $ のもとで観測される確率を表す。
- $ p(\theta) $ が**事前分布**で、観測データを考慮する前のパラメータ $ \theta $ の分布。
- $ p(x) $ が**証拠**または**周辺尤度**で、観測データ $ x $ が得られる全てのパラメータの組み合わせでの確率。

ポスターリオ分布は、観測データを考慮して、事前分布を更新するために使用される。この分布を使うことで、未知のパラメータや潜在変数のより正確な推定が可能になる。

##   E Monte Carlo EM

**▼質問(人間)**
<details><summary>質問内容全体はここをクリック</summary>
(論文・記事の各章節を貼り付け)
E Monte Carlo EM
The Monte Carlo EM algorithm does not employ an encoder, instead it samples from the pos-
terior of the latent variables using gradients of the posterior computed with ∇z log pθ (z|x) =
∇z log pθ (z) + ∇z log pθ (x|z). The Monte Carlo EM procedure consists of 10 HMC leapfrog
steps with an automatically tuned stepsize such that the acceptance rate was 90%, followed by 5
weight updates steps using the acquired sample. For all algorithms the parameters were updated
using the Adagrad stepsizes (with accompanying annealing schedule).
The marginal likelihood was estimated with the first 1000 datapoints from the train and test sets,
for each datapoint sampling 50 values from the posterior of the latent variables using Hybrid Monte
Carlo with 4 leapfrog steps.

上記の内容に関して下記の質問に回答下さい: (である調で記載、質問に対して該当するものが無ければ無しと記載)
①何についての記載か? + 要旨は何? (要旨は箇条書きで記載、既存手法があれば引用元を記載)
②具体的な処理方法の記載があれば説明下さい。(簡略化せずに全て記載、既存手法があれば引用元を記載)
③改良点・工夫点・テクニック等の記載があれば説明下さい。
④メカニズムの解明・なぜそうなるのか等の記載があれば説明下さい。
⑤性能が向上した記載があれば説明下さい。(具体値があれば記載、対応する図/表番号があれば各文末に記載)
⑧難解用語を全て列挙して、表にまとめて下さい。(必ず正しく抜き取る事、|用語|説明|の表へ)
⑨具体的な変数名(数式用の記号)の記載を全て列挙して、表にまとめて下さい。(|変数名|説明|次元・型|の表へ)
</details>

**▼生成AIの回答(ChatGPT-4o)**
**① 何についての記載か? + 要旨は何?**

本節では、**Monte Carlo EM (Expectation-Maximization)アルゴリズム**について述べている。特に、エンコーダを使用せず、潜在変数のポスターリオ分布からサンプリングを行い、ハイブリッドモンテカルロ法（HMC）を用いてパラメータを更新する手法を説明している。

- Monte Carlo EMはエンコーダを使用せず、ポスターリオ分布から直接サンプリングを行う。
- HMC（Hybrid Monte Carlo）で潜在変数のポスターリオ分布の勾配を使用してサンプリングを実行する。
- パラメータの更新にはAdagradのステップサイズと対応するアニーリングスケジュールを使用。
- マージナル尤度は、トレーニングおよびテストセットの最初の1000データポイントから推定し、各データポイントに対して50の潜在変数の値をサンプリングする。
  
**② 具体的な処理方法の記載**

Monte Carlo EMアルゴリズムの手順は以下の通り：

1. 潜在変数のポスターリオ分布からサンプリングを行うために、以下の勾配を計算する:
   $
   ∇_z \log p_\theta(z|x) = ∇_z \log p_\theta(z) + ∇_z \log p_\theta(x|z)
   $
   
2. HMCを使用してサンプリングを行い、10回のリープフロッグステップを実行する。ステップサイズは自動的に調整され、受容率が90%になるようにチューニングされる。

3. サンプリング後、獲得したサンプルを用いて5回の重み更新を行う。

4. すべてのアルゴリズムに対して、Adagradのステップサイズ（アニーリングスケジュールを伴う）を使用してパラメータを更新。

5. マージナル尤度の推定には、トレーニングとテストセットから最初の1000データポイントを使用し、各データポイントについて50個の潜在変数の値をHMCでサンプリングする。

**③ 改良点・工夫点・テクニック等の記載**

- HMCのリープフロッグステップ数（10ステップ）や、ステップサイズの自動調整（受容率90%）など、サンプリングの効率と精度を高める工夫がされている。
- パラメータ更新にはAdagradを使用し、ステップサイズがアニーリングスケジュールにより調整される。これにより学習の安定性が向上。

**④ メカニズムの解明・なぜそうなるのか等の記載**

Monte Carlo EMアルゴリズムでは、ポスターリオ分布から直接サンプリングすることで、エンコーダを必要とせず、サンプリングにHMCを用いることで精度の高いサンプルを取得できる。特に、HMCのリープフロッグステップやステップサイズの自動調整により、効率よくサンプリングが行える。

**⑤ 性能が向上した記載**

具体的な性能向上に関する記載は無し。

**⑧ 難解用語を全て列挙して、表にまとめて下さい**

| 用語                       | 説明                                                                 |
|----------------------------|----------------------------------------------------------------------|
| Monte Carlo EM              | 潜在変数の事後分布からサンプリングを行い、EMアルゴリズムを用いる手法。         |
| ポスターリオ分布            | 観測データに基づいて更新された潜在変数やパラメータの確率分布。                   |
| Hybrid Monte Carlo (HMC)    | 勾配情報を利用して効率的にサンプリングを行うモンテカルロ法の一種。               |
| リープフロッグステップ       | HMCにおける数値的ステップで、ハミルトニアン力学系をシミュレートするために用いる。 |
| Adagrad                     | 適応的に学習率を調整する最適化アルゴリズムの一種。                             |
| アニーリングスケジュール     | 学習過程においてステップサイズを徐々に減少させるテクニック。                     |
| マージナル尤度              | 観測データ全体の下でのモデルの尤度。                                               |

**⑨ 具体的な変数名(数式用の記号)の記載を全て列挙して、表にまとめて下さい**

| 変数名  | 説明                                      | 次元・型   |
|---------|-------------------------------------------|------------|
| $ p_\theta(z) $ | 潜在変数 $ z $ の事前分布                   | 関数       |
| $ p_\theta(x\|z) $ | 潜在変数 $ z $ のもとでの観測データ $ x $ の条件付き分布 | 関数       |
| $ \nabla_z \log p_\theta(z\|x) $ | 潜在変数 $ z $ に関する事後分布の勾配            | ベクトル   |
| $ L $ | サンプル数                                | スカラー   |
| $ z^{(l)} $ | 潜在変数 $ z $ のサンプル                      | ベクトル   |
| $ q(z) $ | 密度推定器                                   | 関数       |

:::note info
※上記を読んでもよく分からない。

論文の本文中に同じ内容が書かれてあり、論文の本文を読んでも同様に理解できない。特に生成AIの回答が悪い訳ではなく、仕方ない。
:::

##   F Full VB

**▼質問(人間)**
<details><summary>質問内容全体はここをクリック</summary>
(論文・記事の各章節を貼り付け)
F Full VB
As written in the paper, it is possible to perform variational inference on both the parameters θ and
the latent variables z, as opposed to just the latent variables as we did in the paper. Here, we’ll derive
our estimator for that case.
Let pα(θ) be some hyperprior for the parameters introduced above, parameterized by α. The
marginal likelihood can be written as:
log pα(X) = DKL(qφ(θ)||pα(θ|X)) + L(φ; X) (13)
where the first RHS term denotes a KL divergence of the approximate from the true posterior, and
where L(φ; X) denotes the variational lower bound to the marginal likelihood:
L(φ; X) =
∫
qφ(θ) (log pθ (X) + log pα(θ) − log qφ(θ)) dθ (14)
Note that this is a lower bound since the KL divergence is non-negative; the bound equals the true
marginal when the approximate and true posteriors match exactly. The term log pθ (X) is composed
of a sum over the marginal likelihoods of individual datapoints log pθ (X) = ∑N
i=1 log pθ (x(i)),
which can each be rewritten as:
log pθ (x(i)) = DKL(qφ(z|x(i))||pθ (z|x(i))) + L(θ, φ; x(i)) (15)
where again the first RHS term is the KL divergence of the approximate from the true posterior, and
L(θ, φ; x) is the variational lower bound of the marginal likelihood of datapoint i:
L(θ, φ; x(i)) =
∫
qφ(z|x)
(
log pθ (x(i)|z) + log pθ (z) − log qφ(z|x)
)
dz (16)
The expectations on the RHS of eqs (14) and (16) can obviously be written as a sum of three separate
expectations, of which the second and third component can sometimes be analytically solved, e.g.
when both pθ (x) and qφ(z|x) are Gaussian. For generality we will here assume that each of these
expectations is intractable.
Under certain mild conditions outlined in section (see paper) for chosen approximate posteriors
qφ(θ) and qφ(z|x) we can reparameterize conditional samples ˜z ∼ qφ(z|x) as
˜z = gφ(ϵ, x) with ϵ ∼ p(ϵ) (17)
where we choose a prior p(ϵ) and a function gφ(ϵ, x) such that the following holds:
L(θ, φ; x(i)) =
∫
qφ(z|x)
(
log pθ (x(i)|z) + log pθ (z) − log qφ(z|x)
)
dz
=
∫
p(ϵ)
(
log pθ (x(i)|z) + log pθ (z) − log qφ(z|x)
) ∣
∣
∣
∣z=gφ(ϵ,x(i))
dϵ (18)
The same can be done for the approximate posterior qφ(θ):
˜θ = hφ(ζ) with ζ ∼ p(ζ) (19)
where we, similarly as above, choose a prior p(ζ) and a function hφ(ζ) such that the following
holds:
L(φ; X) =
∫
qφ(θ) (log pθ (X) + log pα(θ) − log qφ(θ)) dθ
=
∫
p(ζ) (log pθ (X) + log pα(θ) − log qφ(θ))
∣
∣
∣
∣θ=hφ(ζ)
dζ (20)
For notational conciseness we introduce a shorthand notation fφ(x, z, θ):
fφ(x, z, θ) = N · (log pθ (x|z) + log pθ (z) − log qφ(z|x)) + log pα(θ) − log qφ(θ) (21)
Using equations (20) and (18), the Monte Carlo estimate of the variational lower bound, given
datapoint x(i), is:
L(φ; X) ' 1
L
L∑
l=1
fφ(x(l), gφ(ϵ(l), x(l)), hφ(ζ(l))) (22)
where ϵ(l) ∼ p(ϵ) and ζ(l) ∼ p(ζ). The estimator only depends on samples from p(ϵ) and p(ζ)
which are obviously not influenced by φ, therefore the estimator can be differentiated w.r.t. φ.
The resulting stochastic gradients can be used in conjunction with stochastic optimization methods
such as SGD or Adagrad [DHS10]. See algorithm 1 for a basic approach to computing stochastic
gradients.

上記の内容に関して下記の質問に回答下さい: (である調で記載、質問に対して該当するものが無ければ無しと記載)
①何についての記載か? + 要旨は何? (要旨は箇条書きで記載、既存手法があれば引用元を記載)
②具体的な処理方法の記載があれば説明下さい。(簡略化せずに全て記載、既存手法があれば引用元を記載)
③改良点・工夫点・テクニック等の記載があれば説明下さい。
④メカニズムの解明・なぜそうなるのか等の記載があれば説明下さい。
⑤性能が向上した記載があれば説明下さい。(具体値があれば記載、対応する図/表番号があれば各文末に記載)
⑧難解用語を全て列挙して、表にまとめて下さい。(必ず正しく抜き取る事、|用語|説明|の表へ)
⑨具体的な変数名(数式用の記号)の記載を全て列挙して、表にまとめて下さい。(|変数名|説明|次元・型|の表へ)
</details>

**▼生成AIの回答(ChatGPT-4o)**
**① 何についての記載か? + 要旨は何?**

このセクションは、**Full Variational Bayes (VB)**、すなわちパラメータ $ \theta $ と潜在変数 $ z $ の両方に対して変分推論を行う方法について説明している。これは、論文で述べられた潜在変数のみに対する推論の一般化にあたる。

- Full VBは、パラメータ $ \theta $ と潜在変数 $ z $ の両方に対して変分推論を行う。
- 変分下限を求め、KLダイバージェンスを用いて真のポスターリオ分布との差を評価する。
- リパラメータ化トリックを使用し、効率的なサンプリングと勾配計算が可能になる。

**② 具体的な処理方法の記載**

1. パラメータ $ \theta $ に対するハイパープライア $ p_\alpha(\theta) $ を導入し、マージナル尤度を以下の式で表す:
   $
   \log p_\alpha(X) = D_{\text{KL}}(q_\phi(\theta) || p_\alpha(\theta | X)) + L(\phi; X)
   $
   ここで、右辺第1項は真のポスターリオ分布と近似ポスターリオ分布のKLダイバージェンスで、第2項はマージナル尤度の変分下限である。

2. データポイント $ x^{(i)} $ のマージナル尤度は次の式で表される:
   $
   \log p_\theta(x^{(i)}) = D_{\text{KL}}(q_\phi(z | x^{(i)}) || p_\theta(z | x^{(i)})) + L(\theta, \phi; x^{(i)})
   $

3. 潜在変数 $ z $ に対する近似ポスターリオ分布 $ q_\phi(z | x) $ は次のようにリパラメータ化される:
   $
   \tilde{z} = g_\phi(\epsilon, x) \quad \epsilon \sim p(\epsilon)
   $
   同様に、パラメータ $ \theta $ に対する近似ポスターリオ分布 $ q_\phi(\theta) $ は次のようにリパラメータ化される:
   $
   \tilde{\theta} = h_\phi(\zeta) \quad \zeta \sim p(\zeta)
   $

4. モンテカルロ推定によって、変分下限の計算が次のように行われる:
   $
   L(\phi; X) \approx \frac{1}{L} \sum_{l=1}^{L} f_\phi(x^{(l)}, g_\phi(\epsilon^{(l)}, x^{(l)}), h_\phi(\zeta^{(l)}))
   $
   ここで、$ \epsilon^{(l)} \sim p(\epsilon) $ および $ \zeta^{(l)} \sim p(\zeta) $。

5. 最後に、勾配法（SGDやAdagrad）を用いてパラメータの最適化を行う。

**③ 改良点・工夫点・テクニック等の記載**

- **リパラメータ化トリック**：潜在変数 $ z $ とパラメータ $ \theta $ のサンプリングプロセスをリパラメータ化することにより、サンプルの分布が推論パラメータ $ \phi $ に依存しない形にして、効率的に勾配を計算できるようにしている。
  
- **モンテカルロ推定**：サンプルに基づいたモンテカルロ推定を用いることで、変分下限の計算が可能になり、解析的に解けない場合でも推論を行える。

**④ メカニズムの解明・なぜそうなるのか等の記載**

リパラメータ化トリックにより、サンプル $ \tilde{z} $ や $ \tilde{\theta} $ の勾配を効率的に計算できる。これにより、変分下限の推定値がサンプルに依存する形となり、パラメータ $ \phi $ に対して微分可能な形式が得られる。

**⑤ 性能が向上した記載**

性能向上の記載は無し。

**⑧ 難解用語を全て列挙して、表にまとめて下さい**

| 用語                     | 説明                                                                                                                                          |
|--------------------------|-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------|
| Full VB                  | パラメータ $ \theta $ と潜在変数 $ z $ の両方に対して変分推論を行う手法。                                                                    |
| KLダイバージェンス        | 2つの確率分布間の差異を測る指標。ここでは近似ポスターリオと真のポスターリオの差を表す。                                                         |
| 変分下限                 | マージナル尤度の下限を表す値で、KLダイバージェンスが最小の時にこの値がマージナル尤度に等しくなる。                                                  |
| リパラメータ化トリック    | 勾配計算を効率化するためにサンプリング過程をパラメータに依存しない形に変換する技術。                                                              |
| モンテカルロ推定          | サンプリングに基づいて関数の期待値や積分を近似的に計算する手法。                                                                                    |
| Adagrad                  | 勾配降下法の一種で、学習率を適応的に調整する手法。                                                                                              |
| Stochastic Gradient Descent (SGD) | 勾配降下法の一種で、データのランダムなサブセットを使って勾配を計算することにより計算コストを低減する方法。                                           |

**⑨ 具体的な変数名(数式用の記号)の記載を全て列挙して、表にまとめて下さい**

| 変数名                 | 説明                                                                                 | 次元・型   |
|------------------------|--------------------------------------------------------------------------------------|------------|
| $ p_\alpha(\theta) $  | パラメータ $ \theta $ に対するハイパープライア。                                           | 関数       |
| $ q_\phi(\theta) $    | パラメータ $ \theta $ に対する近似ポスターリオ分布。                                          | 関数       |
| $ p_\theta(X) $       | 観測データ $ X $ の条件付き尤度。                                                          | 関数       |
| $ D_{\text{KL}} $     | KLダイバージェンスを表し、2つの確率分布間の差を測る指標。                                           | 関数       |
| $ L(\phi; X) $        | マージナル尤度の変分下限。                                                                   | スカラー   |
| $ g_\phi(\epsilon, x) $| リパラメータ化された潜在変数 $ z $ を生成する関数。                                          | 関数       |
| $ h_\phi(\zeta) $     | リパラメータ化されたパラメータ $ \theta $ を生成する関数。                                    | 関数       |
| $ \epsilon $          | 潜在変数のサンプリングに使われるノイズ。                                                       | ベクトル   |
| $ \zeta $             | パラメータのサンプリングに使われるノイズ。                                                     | ベクトル   |
| $ f_\phi(x, z, \theta) $| マージナル尤度の推定に使われる関数。                                                          | 関数       |

:::note info
※上記を読んでもよく分からない。

論文の本文中に同じ内容が書かれてあり、論文の本文を読んでも同様に理解できない。特に生成AIの回答が悪い訳ではなく、仕方ない。
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##   F.1 Example

**▼質問(人間)**
<details><summary>質問内容全体はここをクリック</summary>
(論文・記事の各章節を貼り付け)
F.1 Example
Let the prior over the parameters and latent variables be the centered isotropic Gaussian pα(θ) =
N (z; 0, I) and pθ (z) = N (z; 0, I). Note that in this case, the prior lacks parameters. Let’s also
assume that the true posteriors are approximatily Gaussian with an approximately diagonal covari-
ance. In this case, we can let the variational approximate posteriors be multivariate Gaussians with
a diagonal covariance structure:
log qφ(θ) = log N (θ; μθ , σ2
θ I)
log qφ(z|x) = log N (z; μz, σ2
zI) (23)

Algorithm 2 Pseudocode for computing a stochastic gradient using our estimator. See text for
meaning of the functions fφ, gφ and hφ.
Require: φ (Current value of variational parameters)
g ← 0
for l is 1 to L do
x ← Random draw from dataset X
ϵ ← Random draw from prior p(ϵ)
ζ ← Random draw from prior p(ζ)
g ← g + 1
L ∇φfφ(x, gφ(ϵ, x), hφ(ζ))
end for
return g

where μz and σz are yet unspecified functions of x. Since they are Gaussian, we can parameterize
the variational approximate posteriors:
qφ(θ) as ˜θ = μθ + σθ ζ where ζ ∼ N (0, I)
qφ(z|x) as ˜z = μz + σz ϵ where ϵ ∼ N (0, I)
With we signify an element-wise product. These can be plugged into the lower bound defined
above (eqs (21) and (22)).
In this case it is possible to construct an alternative estimator with a lower variance, since in this
model pα(θ), pθ (z), qφ(θ) and qφ(z|x) are Gaussian, and therefore four terms of fφ can be solved
analytically. The resulting estimator is:
L(φ; X) ' 1
L
L∑
l=1
N ·

 1
2
J∑
j=1
(
1 + log((σ(l)
z,j )2) − (μ(l)
z,j )2 − (σ(l)
z,j )2)
+ log pθ (x(i)z(i))


+ 1
2
J∑
j=1
(
1 + log((σ(l)
θ,j )2) − (μ(l)
θ,j )2 − (σ(l)
θ,j )2)
(24)
μ(i)
j and σ(i)
j simply denote the j-th element of vectors μ(i) and σ(i).

上記の内容に関して下記の質問に回答下さい: (である調で記載、質問に対して該当するものが無ければ無しと記載)
①何についての記載か? + 要旨は何? (要旨は箇条書きで記載、既存手法があれば引用元を記載)
②具体的な処理方法の記載があれば説明下さい。(簡略化せずに全て記載、既存手法があれば引用元を記載)
③改良点・工夫点・テクニック等の記載があれば説明下さい。
④メカニズムの解明・なぜそうなるのか等の記載があれば説明下さい。
⑤性能が向上した記載があれば説明下さい。(具体値があれば記載、対応する図/表番号があれば各文末に記載)
⑧難解用語を全て列挙して、表にまとめて下さい。(必ず正しく抜き取る事、|用語|説明|の表へ)
⑨具体的な変数名(数式用の記号)の記載を全て列挙して、表にまとめて下さい。(|変数名|説明|次元・型|の表へ)
</details>

**▼生成AIの回答(ChatGPT-4o)**
**① 何についての記載か? + 要旨は何?**

このセクションでは、**変分推論に基づく例（Example）**として、ガウス分布を用いた変分近似ポスターリオに基づくモデルを説明している。中心化された等方性ガウス分布を前提に、潜在変数およびパラメータの近似ポスターリオを多変量ガウス分布としてモデル化し、これを用いた推論と勾配計算の方法を解説している。

- 前提として、パラメータ $ \theta $ と潜在変数 $ z $ に対する等方性ガウス分布を使用。
- 変分近似ポスターリオは、対角共分散構造を持つ多変量ガウス分布で表される。
- ガウス分布を仮定することで、いくつかの項が解析的に解け、推論の分散を削減する低分散推定器を構築できる。
- 勾配の計算方法が擬似コードで示されている。

**② 具体的な処理方法の記載**

- 前提として、パラメータ $ \theta $ と潜在変数 $ z $ に対する**中心化された等方性ガウス分布**を仮定:
  $
  p_\alpha(\theta) = N(\theta; 0, I), \quad p_\theta(z) = N(z; 0, I)
  $
  真のポスターリオはおおよそガウス分布であると仮定し、変分近似ポスターリオも対角共分散を持つ**多変量ガウス分布**としてモデル化する。

- 変分近似ポスターリオのパラメータ化:
  $
  q_\phi(\theta) = N(\theta; \mu_\theta, \sigma^2_\theta I), \quad q_\phi(z|x) = N(z; \mu_z, \sigma^2_z I)
  $
  ここで、$ \mu_z $ と $ \sigma_z $ は未定義の関数としており、データポイント $ x $ に依存する。

- リパラメータ化トリックにより、以下のようにパラメータ $ \theta $ および潜在変数 $ z $ を再定義:
  $
  \tilde{\theta} = \mu_\theta + \sigma_\theta \zeta, \quad \zeta \sim N(0, I)
  $
  $
  \tilde{z} = \mu_z + \sigma_z \epsilon, \quad \epsilon \sim N(0, I)
  $

- これをもとに、変分下限の計算に用いられる関数を次のように定義:
  $
  L(\phi; X) \approx \frac{1}{L} \sum_{l=1}^{L} N \cdot \left( \frac{1}{2} \sum_{j=1}^{J} \left( 1 + \log((\sigma_{z,j}^{(l)})^2) - (\mu_{z,j}^{(l)})^2 - (\sigma_{z,j}^{(l)})^2 \right) + \log p_\theta(x^{(i)}z^{(i)}) \right) 
  $
  $
  + \frac{1}{2} \sum_{j=1}^{J} \left( 1 + \log((\sigma_{\theta,j}^{(l)})^2) - (\mu_{\theta,j}^{(l)})^2 - (\sigma_{\theta,j}^{(l)})^2 \right)
  $

- 勾配を計算するアルゴリズムは以下の擬似コードで与えられる:
  ``` 
  Algorithm 2 Pseudocode
  Require: φ (Current value of variational parameters)
  g ← 0
  for l is 1 to L do
      x ← Random draw from dataset X
      ϵ ← Random draw from prior p(ϵ)
      ζ ← Random draw from prior p(ζ)
      g ← g + 1/L ∇φfφ(x, gφ(ϵ, x), hφ(ζ))
  end for
  return g
  ```

**③ 改良点・工夫点・テクニック等の記載**

- **低分散推定器**：モデルがガウス分布であることを利用し、いくつかの項を解析的に解けるため、低分散推定器が構築されている。これにより、推定の精度が向上し、サンプリングの分散が低減する。
- **リパラメータ化トリック**：リパラメータ化を用いることで、サンプリングと勾配の計算が効率化されている。

**④ メカニズムの解明・なぜそうなるのか等の記載**

低分散推定器は、ガウス分布に基づく解析的解を利用することで分散を減少させている。また、リパラメータ化によって、サンプリングのプロセスが効率化され、より安定した勾配推定が可能になる。

**⑤ 性能が向上した記載**

性能向上の具体的な記載は無し。ただし、低分散推定器により推定の精度向上が期待される。

**⑧ 難解用語を全て列挙して、表にまとめて下さい**

| 用語                     | 説明                                                                                                              |
|--------------------------|-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------|
| 中心化された等方性ガウス分布| ガウス分布で、平均が0、共分散が単位行列 $ I $ であるもの。                                                                   |
| 対角共分散構造             | 共分散行列が対角行列であり、変数間の相関が無いことを意味する。                                                                 |
| リパラメータ化トリック    | 勾配計算のために、確率変数をパラメータに依存しない形に変換する手法。                                                               |
| 低分散推定器              | 分散を最小限に抑えた推定方法。サンプルの分散を減少させることで、推定の精度を向上させる。                                                 |
| 多変量ガウス分布          | 多次元のガウス分布。各次元ごとに異なる平均や分散を持つ。                                                                         |
| 擬似コード                | アルゴリズムの動作を示すための簡略化されたコード表記。                                                                             |

**⑨ 具体的な変数名(数式用の記号)の記載を全て列挙して、表にまとめて下さい**

| 変数名                   | 説明                                                                                  | 次元・型   |
|--------------------------|---------------------------------------------------------------------------------------|------------|
| $ p_\alpha(\theta) $    | パラメータ $ \theta $ に対する中心化された等方性ガウス分布。                                                         | 関数       |
| $ p_\theta(z) $         | 潜在変数 $ z $ に対する中心化された等方性ガウス分布。                                                                 | 関数       |
| $ q_\phi(\theta) $      | パラメータ $ \theta $ に対する変分近似ポスターリオ分布。                                                             | 関数       |
| $ q_\phi(z\|x) $         | 潜在変数 $ z $ に対する変分近似ポスターリオ分布。                                                                     | 関数       |
| $ \tilde{\theta} $      | リパラメータ化されたパラメータ $ \theta $。                                                                          | ベクトル   |
| $ \tilde{z} $           | リパラメータ化された潜在変数 $ z $。                                                                                 | ベクトル   |
| $ \mu_\theta, \sigma_\theta $ | パラメータ $ \theta $ の平均および分散。                                                                            | ベクトル   |
| $ \mu_z, \sigma_z $     | 潜在変数 $ z $ の平均および分散。                                                                                     | ベクトル   |
| $ \epsilon $            | 潜在変数 $ z $ のサンプリングに使用されるノイズ。                                                                       | ベクトル   |
| $ \zeta $               | パラメータ $ \theta $ のサンプリングに使用されるノイズ。                                                                | ベクトル   |
| $ f_\phi, g_\phi, h_\phi $ | 変分下限の計算に用いる関数。擬似コード内で使用。                                                                        | 関数       |
| $ L $                   | モンテカルロサンプリングの繰り返し回数。                                                                                 | スカラー   |
| $ g $                   | 勾配の推定値。                                                                                                        | ベクトル   |

:::note info
※上記を読んでもよく分からない。

論文の本文中に同じ内容が書かれてあり、論文の本文を読んでも同様に理解できない。特に生成AIの回答が悪い訳ではなく、仕方ない。
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#   あとがき

##   所感

機械学習についてある程度知っていないと、生成AIに質問しても、その回答内容だけでは理解できないと思います。生成AIの回答は、論文の内容をあまり変えずに、要点をそのまま掻い摘んで回答するような形になっています。(良い意味で論文の要点をそのまま抜き出した形)

##   分かったこと

分かったこと・注目した点を列挙すると:

図4では、潜在空間が2次元の生成モデルを対象としており、潜在変数 z の生成には、ガウス分布の逆累積分布関数（CDF）を用いた。これにより、単位正方形上に線形に配置された座標がガウス分布に従う値に変換された。
潜在空間のガウス分布性を維持しつつ、単位正方形からガウス分布へ変換するために、逆累積分布関数を使用した。この手法は、潜在変数の空間を適切に可視化するための工夫である。
ガウス分布の逆累積分布関数を使うことにより、線形に配置された座標を正規分布に従わせることで、潜在空間の可視化においてモデルの性質をより忠実に反映することが可能となっている。

変分下限（Variational Lower Bound）のKLダイバージェンス項について、事前分布と事後分布の両方がガウス分布である場合に、その解がどのように導出されるかの記載がある。

変分オートエンコーダー（VAE）における確率的エンコーダーとデコーダーとして多層パーセプトロン（MLP）を使用する方法についての記載がある。
データタイプに応じてガウス分布とベルヌーイ分布を出力するMLPをエンコーダーやデコーダーとして利用する例が説明されている。

ガウスMLPでは、出力の分散 σ2 を対数スケールで計算することで、共分散行列が正の値を取るようになっており、ガウス分布の特性を維持している。

※「周辺尤度を推定する」意味がよく分からなかった。
※$ \nabla_z \log p_\theta(z|x) = \nabla_z \log p_\theta(z) + \nabla_z \log p_\theta(x|z) $がよく分からない。

周辺尤度 (Marginal Likelihood): データに対する潜在変数を含んだ生成モデルの尤度。潜在変数を積分することで計算される。
$ p(x) $ が**証拠**または**周辺尤度**で、観測データ $ x $ が得られる全てのパラメータの組み合わせでの確率。

Monte Carlo EM (Expectation-Maximization)アルゴリズムについての記載がある。
潜在変数の事後分布からサンプリングを行い、EMアルゴリズムを用いる手法。
特に、エンコーダを使用せず、潜在変数のポスターリオ分布からサンプリングを行い、ハイブリッドモンテカルロ法（HMC）を用いてパラメータを更新する手法を説明。

Full Variational Bayes (VB)、すなわちパラメータ θ と潜在変数 z の両方に対して変分推論を行う方法についての記載がある。論文で述べられた潜在変数のみに対する推論の一般化にあたる。

ガウス分布を仮定することで、いくつかの項が解析的に解け、推論の分散を削減する低分散推定器を構築できる。