高校入試平面図形 相似「2024 千葉県高校入試 数学大問３(３)」をsympyとFreeCADでやってみたい。(その2/2) 垂心

:::note info
(その1/2)のつづきです
https://qiita.com/mrrclb48z/items/687d380db483cf0439d1
:::

**・良いように言えば、見直しのため。youtubeに私のコメントが多数あります。**
・普通に言えば、半年前に投稿した事を、スッカリ忘れていました。

・今回、垂心について調べました。**垂心を意識してです。**
　垂心と外接円(正弦定理)とつながっていました。wikipedaより
 https://ja.wikipedia.org/wiki/垂心#性質
ChatGPT先生へ「sympyで外心の計算できるのに、垂心の計算できないのはなぜですか。」(抜粋)
https://qiita.com/mrrclb48z/items/4b7c8b30aafc0705e399

・以下バージョン番号を2にしています。同じ間違い？もそのまま載せています。

# (再)オリジナル
**数学を数楽に 様**　
youtube　(10:11) 大問３(３)

https://youtu.be/Adw2ylZyX7M

# sympyで
#### ver2.1 sympyのangle_betweenで
・半年前になぜやらなかったのか不思議？第一感のような気がします。
・点Bの座標が決まってしまえば、あとは飾り？です。
　原点は点D、点A(9,0),角Bが45°

angle_between(l2)
https://docs.sympy.org/latest/modules/geometry/lines.html#sympy.geometry.line.LinearEntity.angle_between
property orthocenter
https://docs.sympy.org/latest/modules/geometry/polygons.html#sympy.geometry.polygon.Triangle.orthocenter
```python
# ver2.1 sympyのangle_betweenで
from sympy import *
var('By',real=True,positive=True)
C,D,A,B=map(Point,[(-6,0),(0,0),(9,0),(0,By)]) 
B=Point(0,solve(Eq(Line(B,C).angle_between(Line(B,A)),rad(45)),By)[0])
# 
E=Line(A,B).projection(C)
F=Line(B,D).intersection(Line(C,E))[0]
print("#",Triangle(E,B,F).area)
# 45
# おまけ
print("#",F)   #Dが原点です。
print("#",Triangle(A,B,C).orthocenter)
print("#",Triangle(A,B,C).circumradius,float(Triangle(A,B,C).circumradius))
# Point2D(0, 3)
# Point2D(0, 3)
# 15*sqrt(2)/2 10.606601717798213
```

#### ver2.2 正弦定理,外接円と直線の交点計算で
・原点は、点D、点A(9,0)
```python
# ver2.2 正弦定理,外接円と直線の交点計算で
from sympy import *
var('r',real=True,positive=True)
AD,DC,degB=9,6,45
r=solve(Eq((AD+DC)/sin(rad(degB)),2*r),r)[0]
C,D,A=map(Point,[(-6,0),(0,0),(9,0)]) 
M=Circle(C,r).intersection(Circle(A,r))[1]
B=Circle(M,r).intersection(Line(D,A).perpendicular_line(D))[1]
E=Line(A,B).projection(C)
F=Line(B,D).intersection(Line(C,E))[0]
print("#",Triangle(E,B,F).area)
# 45
```
#### NotImplementedError。ver2.3 正弦定理,余弦定理の組み合わせで
```python
# NotImplementedError。ver2.3 正弦定理,余弦定理の組み合わせで
from sympy import *
var('r,degA,degC',real=True,positive=True)
AD,DC,degB=9,6,45
r=solve(Eq((AD+DC)/sin(rad(degB)),2*r),r)[0]
AB,BC=2*r*sin(rad(degC)),2*r*sin(rad(degA))
sol=solve([Eq(degA+degB+degC,180),Eq(AB**2+BC**2-2*AB*BC*cos(rad(degB)),(AD+DC)**2)],[degA,degC])
print(sol)
# NotImplementedError: could not solve 450*sin(pi*degC/180)**2 (以下省略)
```
#### 終了しませんでした。ver2.4 点Bを原点にして計算。sympyのprojectionnで.
```python
# 終了しませんでした。ver2.4 点Bを原点にして計算。sympyのprojectionnで.
from sympy import *
var('BC,degC',real=True,positive=True)
AD,DC,degB=9,6,45
B=  Point( 0,0)
C=  Point(BC,0)
A=C+Point((AD+DC)*cos(rad(pi-degC)),(AD+DC)*sin(rad(pi-degC)))
D=Line(A,C).projection(B)
sol=solve([Eq(Line(B,B+Point(1,0)).angle_between(Line(B,A)),rad(45)),Eq(D.distance(C),DC)],[BC,degC])
print(sol)
```

#### ver2.5 直径BCの半円が見えます。(省略)
・点E,点Dが、半円上に見えますがが、座標計算では、点E点Fは飾りでした。
　ただし、点Fは、合同及び相似では、正弦定理および垂心のの公式で、大活躍します。

#### ver2.6 垂心の座標計算の行列式使用。 B=tan45°よりBF=AD+DC=15
・ここまでくると、何でもありに見えてきました。
https://ja.wikipedia.org/wiki/垂心#垂心の座標
```python
# ver2.6 垂心の座標計算の行列式使用。 B=tan45°よりBF=AD+DC=15
from sympy import *
AD,DC=9,6
var('By', real=True)
def myOrthocenter(triangle):
    A, B, C = triangle.vertices
    x1, y1 = A.x, A.y
    x2, y2 = B.x, B.y
    x3, y3 = C.x, C.y
    det_D = Matrix([
        [x1, y1, 1],
        [x2, y2, 1],
        [x3, y3, 1]
    ]).det()
    H_x = Matrix([
        [-x2*x3-y1**2, y1, 1],
        [-x1*x3-y2**2, y2, 1],
        [-x1*x2-y3**2, y3, 1]
    ]).det() / (det_D)
    H_y = Matrix([
        [x1, -x1**2-y2*y3, 1],
        [x2, -x2**2-y1*y3, 1],
        [x3, -x3**2-y1*y2, 1]
    ]).det() / (det_D)
    return H_x, H_y
A,B,C=map(Point,[(9,0),(0,By),(-6, 0)])  
sol=solve(Eq(By-myOrthocenter(Triangle(A, B, C))[1],(AD+DC)),By)[1] 
B  =Point(0,sol)  
F  =Point(0,sol-(AD+DC))
E  =Line(A,B).projection(C)
print("#",Triangle(E,B,F).area)
# 45
```
#### ver2.7 点Bを原点にして計算。 
・あきらめました。

# FreeCADのマクロで作図
・計算部分は、ver2.2のコピー貼り付けです。
```python
import FreeCAD
import Part
import DraftTools
import Draft
import Mesh
############################################################################
# ver2.2 正弦定理,外接円と直線で
# 原点は、点D、点A(9,0)
from sympy import *
var('r',real=True,positive=True)
AD,DC,degB=9,6,45
r=solve(Eq((AD+DC)/sin(rad(degB)),2*r),r)[0]
C,D,A=map(Point,[(-6,0),(0,0),(9,0)]) 
M=Circle(C,r).intersection(Circle(A,r))[1]
B=Circle(M,r).intersection(Line(D,A).perpendicular_line(D))[1]
E=Line(A,B).projection(C)
F=Line(B,D).intersection(Line(C,E))[0]
print("#",Triangle(E,B,F).area)
# 45
###########################################################################
############################################################################
# 3D作図 z=0 XY平面に作図しました。
############################################################################
# 円の作図　FrecCADのdocより
# https://wiki.freecad.org/Macro_Circle
def Freecad3D_circle(x=0.0,y=0.0,z=0.0,radius=0.0,diameter=0.0,circumference=0.0,area=0.0,startangle=0.0,endangle=0.0,arc=0.0,anglecenter=0.0,cord=0.0,arrow=0.0,center=0,placemObject=""):
    from math import sqrt, pi
    if placemObject == "":
        pl = FreeCAD.Placement()
        pl.Rotation = FreeCADGui.ActiveDocument.ActiveView.getCameraOrientation()   
        pl.Base = FreeCAD.Vector(x,y,z)
    else:
        pl = FreeCAD.Placement()
        pl = placemObject                                  # placement imposted
    if diameter != 0:                                      # with diameter
        radius = diameter / 2.0
    elif circumference != 0:                               # with circumference
        radius = (circumference / pi) / 2.0
    elif area != 0:                                        # with area
        radius =  sqrt((area / pi))
    elif (cord != 0) and (arrow != 0):                     # with cord and arrow
        radius = ((arrow**2) + (cord**2) / 4.0) / (arrow*2) 
    elif (arc != 0) and (anglecenter != 0):                # with arc and anglecenter central in degrees
        radius = ((360/anglecenter)*arc) / pi/2.0
        if endangle != 0:
            startangle  = endangle - anglecenter
        endangle   = anglecenter + startangle
        startangle  = endangle - anglecenter
    if radius != 0:
        try:
            Draft.makeCircle(radius,placement=pl,face=False,startangle=startangle,endangle=endangle,support=None)
            if center != 0:
                x=pl.Base.x
                y=pl.Base.y
                z=pl.Base.z
                Draft.makePoint(x,y,z)
        except Exception:
            App.Console.PrintError("Unexpected keyword argument" + "\n")
        App.ActiveDocument.recompute()
    else:
        App.Console.PrintMessage("Unexpected keyword argument" + "\n")
        App.Console.PrintMessage("circle(x,y,z,radius,diameter,circumference,area,startangle,endangle,[arc,anglecenter],[cord,arrow],center,placemObject)" + "\n")
        App.Console.PrintMessage("circle(radius=10.0,placemObject=App.Placement(App.Vector(11,20,30), App.Rotation(30,40,0), App.Vector(0,0,0)))" + "\n")
    return
def myCircle_2D(myCi):
    x=myCi.center.x
    y=myCi.center.y
    r=myCi.radius
    Freecad3D_circle(
           x=float(x),y=float(y),z=0.0,
           radius=float(abs(r)),
           center=1,
           placemObject=App.Placement(App.Vector(float(x),float(y),0),
           App.Rotation(0,0,0),App.Vector(0,0,0)))
    return
def myCircle_Ogigata_2D(myCi,myStAngle,myEndAngle):
    x=myCi.center.x
    y=myCi.center.y
    r=myCi.radius
    Freecad3D_circle(
           x=float(x),y=float(y),z=0.0,
           radius=float(abs(r)),
           startangle=myStAngle,
           endangle=myEndAngle,
           center=1,
           placemObject=App.Placement(App.Vector(float(x),float(y),0),
           App.Rotation(0,0,0),App.Vector(0,0,0)))
    myLine_S_2D(Point(x,y),Point(x+r*cos(rad(myStAngle)), y+r*sin(rad(myStAngle))))
    myLine_S_2D(Point(x,y),Point(x+r*cos(rad(myEndAngle)), y+r*sin(rad(myEndAngle))))
    return
def myXYZ2Txt_2D(A):
    return ""
def myXYZ2Txt_XY_2D(A):
    return '(' + str(A.x) + ',' + str(A.y) +  ')'
def myTxtXYZ_2D(A,myWedgei):
    P5x=float(A.x)
    P5y=float(A.y)
    P5z=0.0
    p5 = FreeCAD.Vector(P5x, P5y, P5z)
    myText = Draft.makeText(myWedgei, p5)
    myText.Label = myWedgei
    FreeCADGui.ActiveDocument.ActiveObject.FontSize = '0.7 mm'
    # FreeCADGui.ActiveDocument.ActiveObject.FontSize = '0.5 mm'
    #FreeCADGui.ActiveDocument.ActiveObject.FontSize = '1.0 mm'
    return
def myTxtXYZ_S_2D(*xy_tx):
    for i in range(1,int(len(xy_tx)/2)+1):
        myTxtXYZ_2D(xy_tx[2*i-2],xy_tx[2*i-1]+myXYZ2Txt_2D(xy_tx[2*i-2]) )
    return
def myTxtXYZ_XY_S_2D(*xy_tx):
    for i in range(1,int(len(xy_tx)/2)+1):
        myTxtXYZ_2D(xy_tx[2*i-2],xy_tx[2*i-1]+myXYZ2Txt_XY_2D(xy_tx[2*i-2]) )
    return
def myLine_2D(A,B):
    Ax,Ay,Az=float(A.x),float(A.y),0.0
    Bx,By,Bz=float(B.x),float(B.y),0.0
    pl = FreeCAD.Placement()
    pl.Rotation.Q = (0.4247081540122249, 0.17592004639554645, 0.33985110062924484, 0.8204732460821097)
    pl.Base = FreeCAD.Vector(-3.9166066876399563, -2.1670824762243774, 1.7495260956243028)
    points = [FreeCAD.Vector(Ax,Ay,Az), FreeCAD.Vector(Bx,By,Bz)]
    line = Draft.make_wire(points, placement=pl, closed=False, face=True, support=None)
    Draft.autogroup(line)
    return
def myLine_S_2D(*args):
    for i in range(1,len(args)):
        myLine_2D(args[i-1],args[i])
    return
def myLine_C_2D(*args):
    for i in range(1,len(args)):
        myLine_2D(args[i-1],args[i])
    myLine_2D(args[i],args[0])
    return
def myLine_H_2D(*args):
    for i in range(1,len(args)):
        myLine_2D(args[0],args[i])
    return
##################################################################################
myLine_C_2D        (A,B,C,D)  
myTxtXYZ_XY_S_2D   (M,"M",A,"A",B,"B",C,"C",D,"D")
myTxtXYZ_XY_S_2D   (E,"E",F,"F")
myLine_S_2D        (C,E)
myLine_S_2D        (B,D)
####################################################################################
doc = App.activeDocument()
#App.ActiveDocument.addObject("App::Origin", "Origin")
#App.ActiveDocumen!t.getObject('Origin').Visibility = True
App.ActiveDocument.recompute()
Gui.activeDocument().activeView().viewAxonometric()
Gui.SendMsgToActiveView("ViewFit")
```
問題文は2次元ですが、３次元FreeCADのマクロで、XY平面上に作図しました。
isometric方向?です。(省略)
拡大図(回転前)

![2.png](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/109698/9f52dec6-2d4e-0898-aad2-389974150682.png)

拡大図(回転済み.CADの操作で寸法線を追加)
・(青色の)角度寸法は、ニセモノです。Part＞計測＞角度計算 です。
・角度寸法の表示は、まだ勉強中です。

![3.png](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/109698/2c6d3265-ee9e-d7ed-e1c9-16739cc97f59.png)

# いつもの? sympyの実行環境と 参考のおすすめです。
[(テンプレート)](https://qiita.com/mrrclb48z/items/00dd08b0317069be9342)

# いつもと違うおすすめです。