長方形の4頂点から、内部の円へ4接線「幾何学チャレンジ問題 AQ=？」をsympyとFreeCADでやってみたい。 

・作図は、いくつであっても、の一つです。
・問題文は2次元ですが、３次元FreeCADのマクロで、XY平面上に作図しました。

**パイソニスタの方へ**
教えて下さい。
・simplify()もsqrtdenest()も、簡略化できませんでした。
・長方形の縦横の辺の長さ、半径に必要十分条件を計算する方法です。

# オリジナル
・YUUU0123 様 (0:00〜5:51) 
＞消えてしまいます。

https://youtu.be/s6VBMfpByuA

YouTubeのコメントありがとうございました。
＞こんばんわ。ｒ＞１はなくてもよかったのですが、**円の半径がいくつであっても、答えは√７７**、ですので、限りなく円の半径を０に近づけてしまえば、ｘ²＋６²＝８²＋７²で解けてしまうため、ちょっと変えてみました。
＞こんばんわ。調べましたが、定理としての名前は、出てきません。名前のない定理（定理といっていいものかわかりませんが）ですね。

# sympyで(オリジナル 様の方法を参考に)
#### ver0.1 プログラムの2行余計でした。
```python
# ver0.1 プログラムの2行余計でした。
from sympy import *
var('x,r',real=True,positive=True)
print("#",solve(Eq((x**2+r**2)+(6**2+r**2),(8**2+r**2)+(7**2+r**2)),[x,r]))
print("#",solve(Eq((x**2+r**2)+(6**2+r**2),(8**2+r**2)+(7**2+r**2)),[x,r])[0])
print("#",solve(Eq((x**2+r**2)+(6**2+r**2),(8**2+r**2)+(7**2+r**2)),[x,r])[0][0])
# [(sqrt(77), r)]
# (sqrt(77), r)
# sqrt(77)
```
# sympyで(いつもの方法で)
####  できませんでした。ver0.2 連立方程式。値の代入で対応しました。
・長方形の横の辺の長さが2＊u,縦の辺の長さが2＊v
・3例です。
```python 
# できませんでした。ver0.2 連立方程式。直接、値の代入で対応しました。
from sympy import *
var('u,v,x,r',real=True,positive=True)
var('Ox,Oy'  ,real=True)
A,B,C,D,O=map(Point,[(-u, v),(-u,-v),(u,-v),(u,v),(Ox,Oy)])
sol=solve([Eq(B.distance(O),sqrt(8**2+r**2)),
           Eq(C.distance(O),sqrt(6**2+r**2)),
           Eq(D.distance(O),sqrt(7**2+r**2))
          ],[Ox,Oy,r])
print("#",sol[0])
print("#",sol[1])
O,r=Point(sol[0][0],sol[0][1]),sol[0][2]
print("#",sqrt(A.distance(O)**2-r**2)            )
print("#",sqrt(A.distance(O)**2-r**2).simplify() )
print()
rep={u: 6,v: 5};print("#",(sqrt(A.distance(O)**2-r**2)).subs(rep),float(r.subs(rep)),5)
rep={u: 6,v: 6};print("#",(sqrt(A.distance(O)**2-r**2)).subs(rep),float(r.subs(rep)),6)
rep={u: 7,v: 5};print("#",(sqrt(A.distance(O)**2-r**2)).subs(rep),float(r.subs(rep)),5)
# (u - sqrt(u**4 - 14*u**2 + 49)/u, -13/(4*v), sqrt(16*u**4*v**2 + 16*u**2*v**4 - 904*u**2*v**2 + 169*u**2 + 784*v**2)/(4*u*v))
# (u + sqrt(u**4 - 14*u**2 + 49)/u, -13/(4*v), sqrt(16*u**4*v**2 + 16*u**2*v**4 - 904*u**2*v**2 + 169*u**2 + 784*v**2)/(4*u*v))
# sqrt((-2*u + sqrt(u**4 - 14*u**2 + 49)/u)**2 + (v + 13/(4*v))**2 - (16*u**4*v**2 + 16*u**2*v**4 - 904*u**2*v**2 + 169*u**2 + 784*v**2)/(16*u**2*v**2))
# sqrt(4*u**2 - 4*sqrt(u**4 - 14*u**2 + 49) + 49)

# sqrt(77) 2.5067132087877764 5
# sqrt(77) 4.141800802656846 6
# sqrt(77) 4.35 5
```
# FreeCADのマクロで作図
・問題文は2次元ですが、３次元FreeCADのマクロで、XY平面に作図しました。
・計算部分は、Ver.0.2 の コピー貼り付けです。
・接点の座標計算は、2円の交点計算より、座標変換にしたらよかった。
　左右考えなくて、よかったカモ。
```python
import FreeCAD
import Part
import DraftTools
import Draft
import Mesh
############################################################################
# できませんでした。ver0.2 連立方程式。値の代入で対応しました。
from sympy import *
var('u,v,x,r',real=True,positive=True)
var('Ox,Oy'  ,real=True)
A,B,C,D,O=map(Point,[(-u, v),(-u,-v),(u,-v),(u,v),(Ox,Oy)])
sol=solve([Eq(B.distance(O),sqrt(8**2+r**2)),
           Eq(C.distance(O),sqrt(6**2+r**2)),
           Eq(D.distance(O),sqrt(7**2+r**2))
          ],[Ox,Oy,r])
print("#",sol[0])
print("#",sol[1])
O,r=Point(sol[0][0],sol[0][1]),sol[0][2]
print("#",sqrt(A.distance(O)**2-r**2)            )
print("#",sqrt(A.distance(O)**2-r**2).simplify() )
print()
rep={u: 6,v: 5};print("#",(sqrt(A.distance(O)**2-r**2)).subs(rep),float(r.subs(rep)),5)
#rep={u: 6,v: 6};print("#",(sqrt(A.distance(O)**2-r**2)).subs(rep),float(r.subs(rep)),6)
#rep={u: 7,v: 5};print("#",(sqrt(A.distance(O)**2-r**2)).subs(rep),float(r.subs(rep)),5)
############################################################################
A=A.subs(rep)
B=B.subs(rep)
C=C.subs(rep)
D=D.subs(rep)
r    =sol[0][2]                  .subs(rep)
x    =sqrt(A.distance(O)**2-r**2).subs(rep)
rep_r={r:sol[0][2].subs(rep),x:sqrt(A.distance(O)**2-r**2).subs(rep)}
O=O.subs(rep).subs(rep_r) ;print(O)
P=Circle(O,r).intersection(Circle(D,7))[0]
Q=Circle(O,r).intersection(Circle(A,x))[0]
R=Circle(O,r).intersection(Circle(B,8))[1]
S=Circle(O,r).intersection(Circle(C,6))[1]
############################################################################
# 3D作図 z=0 XY平面に作図しました。
############################################################################
# 円の作図　FrecCADのdocより
# https://wiki.freecad.org/Macro_Circle
def Freecad3D_circle(x=0.0,y=0.0,z=0.0,radius=0.0,diameter=0.0,circumference=0.0,area=0.0,startangle=0.0,endangle=0.0,arc=0.0,anglecenter=0.0,cord=0.0,arrow=0.0,center=0,placemObject=""):
    from math import sqrt, pi
    if placemObject == "":
        pl = FreeCAD.Placement()
        pl.Rotation = FreeCADGui.ActiveDocument.ActiveView.getCameraOrientation()   
        pl.Base = FreeCAD.Vector(x,y,z)
    else:
        pl = FreeCAD.Placement()
        pl = placemObject                                  # placement imposted
    if diameter != 0:                                      # with diameter
        radius = diameter / 2.0
    elif circumference != 0:                               # with circumference
        radius = (circumference / pi) / 2.0
    elif area != 0:                                        # with area
        radius =  sqrt((area / pi))
    elif (cord != 0) and (arrow != 0):                     # with cord and arrow
        radius = ((arrow**2) + (cord**2) / 4.0) / (arrow*2) 
    elif (arc != 0) and (anglecenter != 0):                # with arc and anglecenter central in degrees
        radius = ((360/anglecenter)*arc) / pi/2.0
        if endangle != 0:
            startangle  = endangle - anglecenter
        endangle   = anglecenter + startangle
        startangle  = endangle - anglecenter
    if radius != 0:
        try:
            Draft.makeCircle(radius,placement=pl,face=False,startangle=startangle,endangle=endangle,support=None)
            if center != 0:
                x=pl.Base.x
                y=pl.Base.y
                z=pl.Base.z
                Draft.makePoint(x,y,z)
        except Exception:
            App.Console.PrintError("Unexpected keyword argument" + "\n")
        App.ActiveDocument.recompute()
    else:
        App.Console.PrintMessage("Unexpected keyword argument" + "\n")
        App.Console.PrintMessage("circle(x,y,z,radius,diameter,circumference,area,startangle,endangle,[arc,anglecenter],[cord,arrow],center,placemObject)" + "\n")
        App.Console.PrintMessage("circle(radius=10.0,placemObject=App.Placement(App.Vector(11,20,30), App.Rotation(30,40,0), App.Vector(0,0,0)))" + "\n")
    return
def myCircle_2D(myCi):
    x=myCi.center.x
    y=myCi.center.y
    r=myCi.radius
    Freecad3D_circle(
           x=float(x),y=float(y),z=0.0,
           radius=float(abs(r)),
           center=1,
           placemObject=App.Placement(App.Vector(float(x),float(y),0),
           App.Rotation(0,0,0),App.Vector(0,0,0)))
    return
def myXYZ2Txt_2D(A):
    return ""
def myXYZ2Txt_XY_2D(A):
    return '(' + str(A.x) + ',' + str(A.y) +  ')'
def myTxtXYZ_2D(A,myWedgei):
    P5x=float(A.x)
    P5y=float(A.y)
    P5z=0.0
    p5 = FreeCAD.Vector(P5x, P5y, P5z)
    myText = Draft.makeText(myWedgei, p5)
    myText.Label = myWedgei
    # FreeCADGui.ActiveDocument.ActiveObject.FontSize = '0.3 mm'
    FreeCADGui.ActiveDocument.ActiveObject.FontSize = '0.5 mm'
    #FreeCADGui.ActiveDocument.ActiveObject.FontSize = '1.0 mm'
    return
def myTxtXYZ_S_2D(*xy_tx):
    for i in range(1,int(len(xy_tx)/2)+1):
        myTxtXYZ_2D(xy_tx[2*i-2],xy_tx[2*i-1]+myXYZ2Txt_2D(xy_tx[2*i-2]) )
    return
def myTxtXYZ_XY_S_2D(*xy_tx):
    for i in range(1,int(len(xy_tx)/2)+1):
        myTxtXYZ_2D(xy_tx[2*i-2],xy_tx[2*i-1]+myXYZ2Txt_XY_2D(xy_tx[2*i-2]) )
    return
def myLine_2D(A,B):
    Ax,Ay,Az=float(A.x),float(A.y),0.0
    Bx,By,Bz=float(B.x),float(B.y),0.0
    pl = FreeCAD.Placement()
    pl.Rotation.Q = (0.4247081540122249, 0.17592004639554645, 0.33985110062924484, 0.8204732460821097)
    pl.Base = FreeCAD.Vector(-3.9166066876399563, -2.1670824762243774, 1.7495260956243028)
    points = [FreeCAD.Vector(Ax,Ay,Az), FreeCAD.Vector(Bx,By,Bz)]
    line = Draft.make_wire(points, placement=pl, closed=False, face=True, support=None)
    Draft.autogroup(line)
    return
def myLine_S_2D(*args):
    for i in range(1,len(args)):
        myLine_2D(args[i-1],args[i])
    return
def myLine_C_2D(*args):
    for i in range(1,len(args)):
        myLine_2D(args[i-1],args[i])
    myLine_2D(args[i],args[0])
    return
def myLine_H_2D(*args):
    for i in range(1,len(args)):
        myLine_2D(args[0],args[i])
    return
##################################################################################
myLine_C_2D     (A,B,C,D)  
myTxtXYZ_XY_S_2D(O,"O",A,"A",B,"B",C,"C",D,"D")
myCircle_2D     (Circle(O ,r ))
myLine_S_2D     (D,P)  
myLine_S_2D     (A,Q)  
myLine_S_2D     (B,R)  
myLine_S_2D     (C,S)
myTxtXYZ_XY_S_2D(P,"P",Q,"Q",R,"R",S,"S")  
####################################################################################
doc = App.activeDocument()
#App.ActiveDocument.addObject("App::Origin", "Origin")
#App.ActiveDocumen!t.getObject('Origin').Visibility = True
App.ActiveDocument.recompute()
Gui.activeDocument().activeView().viewAxonometric()
Gui.SendMsgToActiveView("ViewFit")
```
isometric方向?です。(省略)
拡大図
![2.png](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/109698/d0febab8-c20f-899a-9abc-58f8d7332dd5.png)

拡大図(CADの操作で寸法線を追加)
・作図は、いくつであっても、の一つです。

√77 
https://www.wolframalpha.com/input?i=%E2%88%9A77&lang=ja
![3.png](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/109698/bafaff12-9a19-77fe-c7c9-7f34da585f79.png)

# いつもの? sympyの実行環境と 参考のおすすめです。
[(テンプレート)](https://qiita.com/mrrclb48z/items/00dd08b0317069be9342)

・以下ができたら、助かります。指定と全部です

https://qiita.com/mrrclb48z/items/555d85face87552c34fb

https://qiita.com/mrrclb48z/items/5f57eac92aaca30e85c0


# いつもと違うおすすめです。