２つの三角形の連結「高校入試チャレンジ問題 BDの長さは？」をsympyとFreeCADでやってみたい。

Youtubeの私のコメントを見て、本ページへ来られた方へ
実行方法です。
```
・web上で、sympyのインストール無しで、(パソコン上で、スマホは無理かも)
　以下のsympyのソースコードの「簡単」な実行方法
　黒い背景の右上に、マウスを移動するとコピーボタンが表示されます。
　ボタンを押して、Sympy Live Shell に移動して、画面下の入力欄にソースコードを
　貼り付け(ctrl+V) 後、改行すると、実行します。
　私の通信環境？だと、約1分で結果がでます。
 (私は、PCのsympyのインストール環境で実行しています。
  詳細は、ページ最後のリンクです。)
・(別件)勇者も若いヤツも本ページで、登場しないので安心して下さい。???それらしい。
```
sympyのソースコードの実行用のページ
https://live.sympy.org/

・問題文は2次元ですが、３次元FreeCADのマクロで、XY平面上に作図しました。
・**参照のリンク**は、ページ最後にまとめました。
??? ＞これは、なぜかと言うと...

# オリジナル
・YUUU0123 様 (0:00〜3:47) 

https://youtu.be/39jZ5E1cyG0

ありがとうございました。何回も視聴しました。
Youtubeのコメントありがとうございました。大変勉強になりました。
??? ＞それでは。

# sympyで(オリジナル 様の方法を参考に)
#### ver0.1 ＞合同となります。 
・Youtubeに私のコメントがあります。
```python
# ver0.1 ＞合同となります。
from sympy import *
print("#",sqrt(3**2+(4*sqrt(2))**2))
# sqrt(41)
```
#### ver0.2 自作三角形の連結です。内部で座標変換(Homogeneous coordinates)です。 
・三角形の積み木です。確定している三角形DACからです。
・「ver0.1の合同」を使っています。点Eを使っています。
```python
# ver0.2 自作三角形の連結です。内部で座標変換です。。
from sympy import *
def myMatrixToPoint(myMatrix):    
    return Point2D(myMatrix[0],myMatrix[1])
def myPoinrToMatrix(myPoint):    
    return Matrix([[myPoint.x],[myPoint.y],[1]]) 
def myTr02(tr1,tr2):
    t     =Line(tr1.args[0],tr1.args[0]+Point(1,0)).angle_between(Line(tr1.args[0],tr1.args[2]))
    myTurn=Matrix([[cos(t),-sin(t),tr1.args[0].x],[sin(t),cos(t),tr1.args[0].y],[0,0,1]])
    return Triangle(myMatrixToPoint(myTurn*myPoinrToMatrix(tr2.args[0])),
                    myMatrixToPoint(myTurn*myPoinrToMatrix(tr2.args[1])),
                    myMatrixToPoint(myTurn*myPoinrToMatrix(tr2.args[2])))
trDAC=Triangle(sas=( 4,45, 3))
trDCE=Triangle(asa=(45,4 ,90))
print("#",myTr02(trDAC,trDCE).args[2].distance(trDAC.args[1]))
# sqrt(41)
```
#### ver0.3 こちらがver0.2より?普通です。
・「ver0.1の合同」を使っていません。点Eを使っていません。
```python
# ver0.3 こちらがver0.2より?普通です。
from sympy import *
def myMatrixToPoint(myMatrix):    
    return Point2D(myMatrix[0],myMatrix[1])
def myPoinrToMatrix(myPoint):    
    return Matrix([[myPoint.x],[myPoint.y],[1]]) 
def myTr02(tr1,tr2):
    t     =Line(tr1.args[0],tr1.args[0]+Point(1,0)).angle_between(Line(tr1.args[0],tr1.args[2]))
    myTurn=Matrix([[cos(t),-sin(t),tr1.args[0].x],[sin(t),cos(t),tr1.args[0].y],[0,0,1]])
    return Triangle(myMatrixToPoint(myTurn*myPoinrToMatrix(tr2.args[0])),
                    myMatrixToPoint(myTurn*myPoinrToMatrix(tr2.args[1])),
                    myMatrixToPoint(myTurn*myPoinrToMatrix(tr2.args[2])))
trDAC=Triangle(sas=(4,45,3))
AC   =trDAC.args[1].distance(trDAC.args[2])
trCDA=Triangle(sss=(4,3,AC))
trCAB=Triangle(asa=(90,AC,45))
print("#",myTr02(trCDA,trCAB).args[2].distance(trCDA.args[1]).simplify())
# sqrt(41)
```
# sympyで(いつもの方法で)
#### ver 0.4  巻き尺(テープ)と分度器で。
・テープを引っ張る。**一点ずつです。？詳細は、Youtubeの私のコメントで**
・A→D→C→B。?南向き。原点A。最初の一歩は点Aから点Dへ東へ。 
・sympyのPointのrotateと単位ベクトルを使っています。
```python 
# ver0.4 巻き尺(テープ)と分度器で。
from sympy import *
CD,DA,deg45,deg90=4,3,45,90
A=  Point(  0,0)
D=A+Point(-DA,0)
C=D+(A-D).rotate(rad(deg45)).unit*CD
B=C+(A-C).rotate(rad(deg90))
print("#",B.distance(D))
# sqrt(41)
```
#### ver 0.5 余弦定理で。
・C→D→A→B。？北向き。点Cから点Aへの方向です。原点C。
・**sympyのsimplify,expand,subs(rep)** を使っています.
・?円と円の交点計算が苦手です。ver0.4には、円と円の交点計算がありません。
・いつものインチキだ。その通りです。
```python 
# ver0.5 余弦定理で。
from sympy import *
var('CA',real=True,positive=True)
CD,DA,deg45=4,3,45
C =Point (0,0)
CA=solve (Eq(CD**2+DA**2-2*CD*DA*cos(rad(deg45)),CA**2),CA)[0]   #余弦定理
A =Point (0,CA)
D =Circle(C,CD).intersection(Circle(A,DA))[0]                    #??? 円と円の交点計算
B =Point (-CA,0)
print("#",B.distance(D))
print("#",B.distance(D).simplify())
rep={sqrt  (25 - 12*sqrt(2))*sqrt(12*sqrt(2) + 25):
     sqrt(((25 - 12*sqrt(2))*    (12*sqrt(2) + 25)).expand())}
BD=(B.distance(D).simplify()).subs(rep)
print("#",BD,float(BD))
# sqrt(4*(25 - 12*sqrt(2))*(21*sqrt(2) + 128)**2/113569 + (-sqrt(864*sqrt(2)/337 + 1800/337) - sqrt(25 - 12*sqrt(2)))**2)
# sqrt(-1362828*sqrt(2) + 4044*sqrt(674)*sqrt(25 - 12*sqrt(2))*sqrt(12*sqrt(2) + 25) + 4656329)/337
# sqrt(41) 6.4031242374328485
```
#### 終了しませんでした。ver0.6 三元連立方程式で。原点B.sympyのangle_betweenで
```python
# 終了しませんでした。ver0.6 三元連立方程式で。原点B.sympyのangle_betweenで
from sympy import *
var('BC,Dx,Dy',real=True,positive=True)
CD,DA=4,3
B,C,A=map(Point,[(0,0),(BC,0),(BC,BC)])
D    =Point(Dx,Dy)
sol=solve([Eq(Line(D,A).angle_between(Line(D,C)),rad(45)),
          Eq(C.distance(D),CD),
          Eq(D.distance(A),DA)],
         [BC,Dx,Dy])
print("#",sol)
```
# FreeCADのマクロで作図
・問題文は2次元ですが、３次元FreeCADのマクロで、XY平面に作図しました。
・計算部分は、Ver.0.5 の コピー貼り付けです。計算部分を、Ver.0.4に差し替えた作図もしました。
```python
import FreeCAD
import Part
import DraftTools
import Draft
import Mesh
############################################################################
# ver0.5 余弦定理で。
from sympy import *
var('CA',real=True,positive=True)
CD,DA,deg45=4,3,45
C =Point (0,0)
CA=solve (Eq(CD**2+DA**2-2*CD*DA*cos(rad(deg45)),CA**2),CA)[0]   #余弦定理
A =Point (0,CA)
D =Circle(C,CD).intersection(Circle(A,DA))[0]                    #円と円の交点計算
B =Point (-CA,0)
print("#",B.distance(D))
print("#",B.distance(D).simplify())
rep={sqrt  (25 - 12*sqrt(2))*sqrt(12*sqrt(2) + 25):
     sqrt(((25 - 12*sqrt(2))*    (12*sqrt(2) + 25)).expand())}
BD=(B.distance(D).simplify()).subs(rep)
print("#",BD,float(BD))
# sqrt(4*(25 - 12*sqrt(2))*(21*sqrt(2) + 128)**2/113569 + (-sqrt(864*sqrt(2)/337 + 1800/337) - sqrt(25 - 12*sqrt(2)))**2)
# sqrt(-1362828*sqrt(2) + 4044*sqrt(674)*sqrt(25 - 12*sqrt(2))*sqrt(12*sqrt(2) + 25) + 4656329)/337
# sqrt(41) 6.4031242374328485
########################################################################### 
############################################################################
# 3D作図 z=0 XY平面に作図しました。
############################################################################
def myXYZ2Txt_2D(A):
    return ""
def myXYZ2Txt_XY_2D(A):
    return '(' + str(A.x) + ',' + str(A.y) +  ')'
def myTxtXYZ_2D(A,myWedgei):
    P5x=float(A.x)
    P5y=float(A.y)
    P5z=0.0
    p5 = FreeCAD.Vector(P5x, P5y, P5z)
    myText = Draft.makeText(myWedgei, p5)
    myText.Label = myWedgei
    # FreeCADGui.ActiveDocument.ActiveObject.FontSize = '0.7 mm'
    FreeCADGui.ActiveDocument.ActiveObject.FontSize = '0.3 mm'
    # FreeCADGui.ActiveDocument.ActiveObject.FontSize = '1.0 mm'
    return
def myTxtXYZ_S_2D(*xy_tx):
    for i in range(1,int(len(xy_tx)/2)+1):
        myTxtXYZ_2D(xy_tx[2*i-2],xy_tx[2*i-1]+myXYZ2Txt_2D(xy_tx[2*i-2]) )
    return
def myTxtXYZ_XY_S_2D(*xy_tx):
    for i in range(1,int(len(xy_tx)/2)+1):
        myTxtXYZ_2D(xy_tx[2*i-2],xy_tx[2*i-1]+myXYZ2Txt_XY_2D(xy_tx[2*i-2]) )
    return
def myLine_2D(A,B):
    Ax,Ay,Az=float(A.x),float(A.y),0.0
    Bx,By,Bz=float(B.x),float(B.y),0.0
    pl = FreeCAD.Placement()
    pl.Rotation.Q = (0.4247081540122249, 0.17592004639554645, 0.33985110062924484, 0.8204732460821097)
    pl.Base = FreeCAD.Vector(-3.9166066876399563, -2.1670824762243774, 1.7495260956243028)
    points = [FreeCAD.Vector(Ax,Ay,Az), FreeCAD.Vector(Bx,By,Bz)]
    line = Draft.make_wire(points, placement=pl, closed=False, face=True, support=None)
    Draft.autogroup(line)
    return
def myLine_S_2D(*args):
    for i in range(1,len(args)):
        myLine_2D(args[i-1],args[i])
    return
def myLine_C_2D(*args):
    for i in range(1,len(args)):
        myLine_2D(args[i-1],args[i])
    myLine_2D(args[i],args[0])
    return
def myLine_H_2D(*args):
    for i in range(1,len(args)):
        myLine_2D(args[0],args[i])
    return
##################################################################################
myLine_C_2D     (A,D,C,B)  
myLine_S_2D     (A,C)  
myLine_S_2D     (D,B)  
myTxtXYZ_XY_S_2D(A,"A",B,"B",C,"C",D,"D")
####################################################################################
doc = App.activeDocument()
#App.ActiveDocument.addObject("App::Origin", "Origin")
#App.ActiveDocumen!t.getObject('Origin').Visibility = True
App.ActiveDocument.recompute()
Gui.activeDocument().activeView().viewAxonometric()
Gui.SendMsgToActiveView("ViewFit")
```
isometric方向?です。(省略)
・(青色の)角度寸法は、ニセモノです。Part＞計測＞角度計算 です。
・角度寸法の表示は、まだ勉強中です。

拡大図(CADの操作で寸法線を追加)
・**Ver.0.4(南向き)** の作図です。
　**この図より次の図(北向き)の方がわかりやすいです。**
![1.png](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/109698/b052c414-8adf-b899-c2c1-77ef47f8fd7e.png)

拡大図(CADの操作で寸法線を追加)
・**Ver.0.5(北向き)** の作図です。
![222.png](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/109698/288dbc47-277a-0085-9f9f-bde93a5ba62d.png)

# いつもの? sympyの実行環境と 参考のおすすめです。
[(テンプレート)](https://qiita.com/mrrclb48z/items/00dd08b03\17069be9342)

・以下ができたら、助かります。指定と全部です

https://qiita.com/mrrclb48z/items/555d85face87552c34fb

https://qiita.com/mrrclb48z/items/5f57eac92aaca30e85c0

# いつもと違うおすすめです。
リンクを途中でいれるより、ここでまとめてです。
ブラウザを２つ起動して,画面を分割されるのをオススメします。

#### てんこ盛りでした。
　ver0.2,ver0.3　＞座標変換 ver0.2 座標変換(Homogeneous coordinates).
　ver0.4 ＞巻き尺(テープ)と分度器で。 rotate()
　ver0.5 ＞余弦定理で。simplify()

#### ver0.1 solve

https://docs.sympy.org/latest/modules/solvers/solvers.html

#### ver0.2 ver0.3 座標変換

keyword: asa, sas, or sss to specify sides/angles of the triangle

https://docs.sympy.org/latest/modules/geometry/polygons.html#sympy.geometry.polygon.Triangle

https://qiita.com/mrrclb48z/items/eda67f399965ea64df89

https://qiita.com/mrrclb48z/items/c6b2d9c614bd5c00dc99#ver02-%E5%BA%A7%E6%A8%99%E5%A4%89%E6%8F%9Bhomogeneous-coordinates

#### ver0.4 回転

rotate(angle, pt=None)[source]
Rotate angle radians counterclockwise about Point pt.

https://docs.sympy.org/latest/modules/geometry/points.html#sympy.geometry.point.Point2D.rotate

property unit

https://docs.sympy.org/latest/modules/geometry/points.html#sympy.geometry.point.Point.unit
#### ver0.5 余弦定理、簡略化

The intersection of this circle with another geometrical entity.

https://docs.sympy.org/latest/modules/geometry/ellipses.html#sympy.geometry.ellipse.Circle.intersection

https://docs.sympy.org/latest/tutorials/intro-tutorial/simplification.html

docのexpandが見つかりませんでした。代わりに、

http://www.cas.cmc.osaka-u.ac.jp/~paoon/Lectures/2020-8Semester-NA-basic/sympy-package-doc-html/Tutorial/simplification/#expand

Substitution

https://docs.sympy.org/latest/tutorials/intro-tutorial/basic_operations.html#substitution

#### ver0.6 angle_between
angle_between(l2)

https://docs.sympy.org/latest/modules/geometry/lines.html#sympy.geometry.line.LinearEntity.angle_between