巨大なネットワークを単位を区切って分析する

# はじめに

巨大なネットワークを分析する際には、その全体を効率的に処理するためにネットワークを適切に区切ることが重要です。このプロセスは、特に大規模なグラフデータを扱う際に性能とスケーラビリティを向上させるために役立ちます。以下に、ネットワークを区切るいくつかのアプローチをまとめます。


## コミュニティ検出（Community Detection）
コミュニティ検出は、ネットワーク内の類似または密接に関連するノードのグループを識別する手法です。

### コミュニティ検出の手法

| 名称 | 説明 | ライブラリ |
|------|------|------------|
| ルーヴァン法 | 高速でモジュラリティを最適化する手法で、大規模なネットワークに適しています。 | [python-louvain](https://pypi.org/project/python-louvain/) |
| インフォマップ | ランダムウォーカーの情報理論を利用してノード間の情報フローを最適化し、コミュニティを検出します。 | [infomap](https://pypi.org/project/infomap/) |
| ウォークトラップ | ランダムウォークを用いてノード間の類似性を計算し、類似したノードを同じコミュニティにグループ化します。 | [python-igraph](https://igraph.org/python/) |
| クリーク検出法 | ネットワーク内で完全に相互接続されたサブグラフ（クリーク）を見つけ出し、これを基にコミュニティを形成します。 | [NetworkX](https://networkx.org/) |
| ファスト・グリーディ | モジュラリティを最大化するようにグリーディアルゴリズムを用いてノードを統合し、コミュニティを形成します。 | [python-igraph](https://igraph.org/python/) |
| ギルバート-ニューマン法 | ネットワーク内のエッジを削除することでコミュニティ間の接続を弱め、コミュニティを明確に分割する手法。 | - |
| スペクトラルクラスタリング | ネットワークのラプラシアン行列の固有値問題を解くことでコミュニティを検出します。 | [scikit-learn](https://scikit-learn.org/stable/modules/generated/sklearn.cluster.SpectralClustering.html) |


### どう使い分ける？

```mermaid

flowchart TD
    style A fill:#f0ead6, stroke:#333, stroke-width:2px
    style B fill:#d8e2dc, stroke:#333, stroke-width:2px
    style C fill:#faedcd, stroke:#333, stroke-width:2px
    style D fill:#d8e2dc, stroke:#333, stroke-width:2px
    style E fill:#faedcd, stroke:#333, stroke-width:2px
    style F fill:#faedcd, stroke:#333, stroke-width:2px
    style G fill:#d8e2dc, stroke:#333, stroke-width:2px
    style H fill:#faedcd, stroke:#333, stroke-width:2px
    style I fill:#faedcd, stroke:#333, stroke-width:2px
    style J fill:#faedcd, stroke:#333, stroke-width:2px
    style K fill:#d8e2dc, stroke:#333, stroke-width:2px
    style L fill:#faedcd, stroke:#333, stroke-width:2px

    A[ネットワークの特性を評価] --> B{ネットワークのサイズは?}
    B -- 大規模 --> C[ルーヴァン法]
    B -- 中規模または小規模 --> D{解析の目的は何か?}
    D -- コミュニティ間の明確な境界が必要 --> E[ギルバート-ニューマン法]
    D -- 情報フローの最適化 --> F[インフォマップ]
    D -- ノードの類似性に基づく --> G{ノードの類似性をどのように評価するか?}
    G -- ランダムウォークによる類似性 --> H[ウォークトラップ]
    G -- グリーディアルゴリズムによる最適化 --> I[ファスト・グリーディ]
    G -- 完全連結サブグラフの探索 --> J[クリーク検出法]
    D -- 数学的アプローチが好ましい --> K{どの数学的特性を利用するか?}
    K -- スペクトル理論の適用 --> L[スペクトラルクラスタリング]

```

# グラフパーティショニング（Graph Partitioning）
グラフパーティショニングは、ネットワークを複数の部分に分割し、それぞれの部分がほぼ同じサイズまたは重要性を持つようにします。この手法は、ネットワークのバランスの取れた分割を目指し、各部分グラフが独立して処理可能であることを保証します。これにより、並列処理や分散処理が容易にします。

### グラフパーティショニングの手法

| 名称 | 説明 | ライブラリ |
|------|------|------------|
| カーン-パターソン法 | 大規模なグラフを高速でバランス良く2分割するためのアルゴリズム。 | - |
| スペクトルバイセクション | グラフのラプラシアン行列の固有値と固有ベクトルを使用して、ネットワークを2つのサブセットに分割する。 | [NetworkX](https://networkx.org/) |
| マルチレベルパーティショニング | グラフを縮小し、最適なパーティションを求めた後、元のサイズに戻しながら細かく調整する。 | [METIS](http://glaros.dtc.umn.edu/gkhome/metis/metis/overview) |
| ハイパーグラフパーティショニング | ハイパーエッジを持つグラフに適用され、ノード間の複数の接続を考慮したバランスの取れた分割を行う。 | [hMETIS](http://glaros.dtc.umn.edu/gkhome/metis/hmetis/overview) |


### どう使い分ける？

```mermaid
flowchart TD
    style A fill:#f3f6f4, stroke:#333, stroke-width:2px
    style B fill:#e4eddb, stroke:#333, stroke-width:2px
    style C fill:#e4eddb, stroke:#333, stroke-width:2px
    style D fill:#d1e8e4, stroke:#333, stroke-width:2px
    style E fill:#d1e8e4, stroke:#333, stroke-width:2px
    style F fill:#d1e8e4, stroke:#333, stroke-width:2px
    style G fill:#e4eddb, stroke:#333, stroke-width:2px
    style H fill:#d1e8e4, stroke:#333, stroke-width:2px
    style I fill:#e4eddb, stroke:#333, stroke-width:2px
    style J fill:#d1e8e4, stroke:#333, stroke-width:2px
    style K fill:#d1e8e4, stroke:#333, stroke-width:2px

    A[グラフの特性を評価] --> B{グラフのタイプは?}
    B -- 一般的なグラフ --> C{分割数は?}
    C -- 2分割 --> D[カーン-パターソン法]
    C -- 複数分割 --> E[マルチレベルパーティショニング]
    B -- ハイパーグラフ --> F[ハイパーグラフパーティショニング]
    A --> G{数学的精度が重要か?}
    G -- はい --> H[スペクトルバイセクション]
    G -- いいえ --> I{ネットワークのサイズは?}
    I -- 大規模 --> J[マルチレベルパーティショニング]
    I -- 中規模または小規模 --> K[カーン-パターソン法]



```

## サンプリング（Sampling）
大規模ネットワークの全体を分析するのが不可能または非効率的な場合、サンプリングを通じてネットワークの代表的な部分を抽出することができます。ランダムサンプリング、スノーボールサンプリング、トポロジカルサンプリングなど、様々なサンプリング技術が存在します。サンプリングされたネットワークを用いることで、全体の傾向や特性を推測することが可能です。

### サンプリングの手法

| 名称 | 説明 |
|------|------|
| ランダムサンプリング | ネットワークからランダムにノードを選択し、そのノードとその接続をサンプルとして抽出します。これは最も基本的なサンプリング手法です。 |
| スノーボールサンプリング | 一つまたは複数のシードノードから始まり、選択されたノードの隣接ノードを段階的に追加していく方法です。社会ネットワーク分析でよく用いられます。 |
| トポロジカルサンプリング | ネットワークのトポロジー、つまりノード間の接続構造に基づいてサンプルを抽出します。重要なノードやエッジを優先的にサンプルに含めることが多いです。 |
| エッジベースサンプリング | エッジをランダムに選択し、それに接続するノードをサンプルに含める方法です。ネットワークの接続性を維持するために使用されます。 |
| 層別サンプリング | ネットワークを事前に定義された層に分け、各層から均等または比例的にサンプルを選択します。これにより、異なるグループやカテゴリの代表性を確保します。 |


##  ネットワークのスケルトン化（Skeletonization）
巨大なネットワークの中から最も重要なエッジやノードだけを抽出して、ネットワークの「スケルトン」を作成する手法です。これにより、全体の構造を保ちつつ、データ量を大幅に削減することが可能になります。


### スケルトン化の手法

| 名称 | 説明 |
|------|------|
| ミニマムスパニングツリー | ネットワーク内のすべてのノードを最小の連結エッジの総重量で接続することで、ネットワークのスケルトンを形成します。 |
| k-コア分解 | 各ノードが少なくともk個の接続を持つ最大のサブグラフを抽出することで、ネットワークの中核的な部分を抽出します。 |
| k-エッジコネクテッドサブグラフ | エッジをk個以上削除しないとネットワークが分断されない最大のサブグラフを抽出する方法です。 |
| カットノード/ブリッジ検出 | ネットワーク内の特定のノード（カットノード）またはエッジ（ブリッジ）の削除が他の部分との接続を断つことを利用して、重要な構造部分を識別します。 |


## ハイブリッドアプローチ
実際のアプリケーションでは、上記の手法を組み合わせて使用することが一般的です。例えば、コミュニティ検出を行った後、各コミュニティ内でさらにグラフパーティショニングを適用することで、より管理しやすいサブネットワークに分割することができます。

### どう使い合わせる？

```mermaid

flowchart TD
    A[ネットワークを評価] --> B{ネットワークのサイズは?}
    B -- 大規模 --> C[サンプリングを適用]
    B -- 中規模または小規模 --> D{詳細な分析が必要か?}
    D -- はい --> E[コミュニティ検出を適用]
    D -- いいえ --> F[スケルトン化を適用]
    C --> G{主要な特性は?}
    G -- トポロジカル重要性 --> H[スケルトン化を適用]
    G -- コミュニティ構造 --> I[コミュニティ検出を適用]
    I --> J{各コミュニティのサイズは?}
    J -- 大きい --> K[グラフパーティショニングを適用]
    J -- 管理可能 --> L[解析を続ける]
    E --> M[各コミュニティでスケルトン化またはパーティショニングを適用]
    K --> N[スケルトン化を各サブネットワークに適用]
    L --> O[結果を評価し調整]
    M --> O
    N --> O

    style A fill:#f4f4f9,stroke:#333,stroke-width:2px
    style B fill:#e4f4d4,stroke:#333,stroke-width:2px
    style C fill:#e7e9f7,stroke:#333,stroke-width:2px
    style D fill:#e4f4d4,stroke:#333,stroke-width:2px
    style E fill:#e7e9f7,stroke:#333,stroke-width:2px
    style F fill:#e7e9f7,stroke:#333,stroke-width:2px
    style G fill:#e4f4d4,stroke:#333,stroke-width:2px
    style H fill:#e7e9f7,stroke:#333,stroke-width:2px
    style I fill:#e7e9f7,stroke:#333,stroke-width:2px
    style J fill:#e4f4d4,stroke:#333,stroke-width:2px
    style K fill:#e7e9f7,stroke:#333,stroke-width:2px
    style L fill:#e7e9f7,stroke:#333,stroke-width:2px
    style M fill:#e7e9f7,stroke:#333,stroke-width:2px
    style N fill:#e7e9f7,stroke:#333,stroke-width:2px
    style O fill:#f4f4f9,stroke:#333,stroke-width:2px

```

## 処理フローを考える

```mermaid

flowchart TB
    start(["開始"])
    start --> A["ネットワークデータの準備"]
    A --> B["データサンプリング実施"]
    
    subgraph SamplingProcess ["サンプリングプロセス"]
    B --> C{サンプルデータの評価}
    C --"特徴量が不足"--> D["ランダムサンプリングで追加"]
    C --"特徴量が十分"--> E["初期分析"]
    D --> B
    end
    
    subgraph InitialAnalysis ["初期分析"]
    E --> F{コミュニティ検出}
    F --"コミュニティ発見"--> G["インフォマップ法で分析"]
    F --"コミュニティ未発見"--> H["ミニマムスパニングツリーでスケルトン化"]
    end
    
    subgraph PartitioningAnalysis ["パーティション分析"]
    G --> PA{パーティション評価}
    PA --"再分析要"--> PB["グラフパーティショニングで再分析"]
    PA --"特徴確定"--> PC["特徴評価"]
    PB --> PA
    end
    
    subgraph FeatureInsight ["特徴洞察"]
    PC --> I{特徴量の洞察}
    I --"新たな特徴発見"--> J["特徴に基づく再分析"]
    I --"特徴確定"--> K["最終評価と報告"]
    J --> F
    end
    
    H --> I
    K --> Z["終了"]
    
    style A fill:#f4f4f9, stroke:#333, stroke-width:2px
    style SamplingProcess fill:#e4f4d4, stroke:#333, stroke-width:2px
    style InitialAnalysis fill:#e7e9f7, stroke:#333, stroke-width:2px
    style PartitioningAnalysis fill:#e7e9f7, stroke:#333, stroke-width:2px
    style FeatureInsight fill:#d1e8e4, stroke:#333, stroke-width:2px
    style K fill:#f4f4f9, stroke:#333, stroke-width:2px

```

langgraphで、フロー化したいですね！

# Appendix

## 関連記事

https://qiita.com/ymgc3/items/a6538d84be3db6fa1b9f

https://qiita.com/ymgc3/items/8cc3f733e9b00c0ca203

## 用語まとめ

用語 | 説明 
--- | --- |
ハイパーグラフ | 枝が3頂点以上を含むことを許すグラフ | グラフ理論
コミュニティ | 内部で密に繋がり、外部とは疎な繋がりを持つ部分グラフ | グラフ理論
頂点集合 | グラフを構成する点の集合 | グラフ理論  
枝集合 | グラフを構成する線分の集合 | グラフ理論
枝重み | 各枝に割り当てられた重み | グラフ理論
ラプラシアン | グラフの行列表現 | グラフ理論
正規化ラプラシアン | 次数行列で割ったラプラシアン | グラフ理論
固有値 | ある行列Aと0ベクトル以外のベクトルxが存在してAx=λxが成り立つ時のλ | 線形代数
固有ベクトル | ある行列Aと0ベクトル以外のベクトルxが存在してAx=λxが成り立つ時のx | 線形代数  
コンダクタンス | 部分グラフが内部で密、外部と疎なつながりを持つ度合いの指標 | グラフ理論
チーガー不等式 | コンダクタンスとラプラシアンの固有値の関係を結ぶ不等式 | グラフ理論  
熱 | グラフ上の拡散を表す解 | グラフ理論
Personalized PageRank (PPR) | グラフ上の頂点間の類似度を表す | グラフ理
非線形作用素 | 線形性を満たさない作用素
単調性 | ある種の単調増加の性質
極大性 | ある種の最大性の性質
発展方程式論 | 非線形偏微分方程式の理論
定常解 | 時間に関して変化しない解