駅メモのプレミアムガチャチケットを効率的に入手する方法

【目標】
　・駅メモのフレンドガチャで効率的に<span style="color:#FF9900">プレミアムガチャチケット</span>を入手する方法を、確率問題を解くことで理解する。

<center><a href="https://blog-imgs-146.fc2.com/m/a/k/makuragi24/20210206_195353.jpg" target="_blank"><img src="https://blog-imgs-146.fc2.com/m/a/k/makuragi24/20210206_195353.jpg" alt="20210206_195353.jpg" border="0" width="359" height="600"></a>　<a href="https://blog-imgs-146.fc2.com/m/a/k/makuragi24/20210206_195406.jpg" target="_blank"><img src="https://blog-imgs-146.fc2.com/m/a/k/makuragi24/20210206_195406.jpg" alt="20210206_195406.jpg" border="0" width="360" height="600"></a>
</center>


問
　(条件A) <span style="color:#00CC00">フレンドガチャチケット1枚</span>消費のガチャでは、0.1%の確率で<span style="color:#FF9900">プレミアムガチャチケットが1枚</span>入手できる
　(条件B) <span style="color:#00CC00">フレンドガチャチケット100枚</span>消費のガチャでは、0.5%の確率で<span style="color:#FF9900">プレミアムガチャチケットが11枚</span>入手できる


（問１）
　<span style="color:#00CC00">フレンドガチャチケット</span>を100枚消費する時、入手できる<span style="color:#FF9900">プレミアムガチャチケット</span>の期待値はそれぞれいくらか？
（問２）
　<span style="color:#00CC00">フレンドガチャチケット</span>を100枚消費する時、<span style="color:#FF9900">プレミアムガチャチケット</span>を１枚だけでも当てる確率はそれぞれいくらか？
（問３）
　<span style="color:#FF9900">プレミアムガチャチケット</span>を11枚、99%の確率で入手するために必要な<span style="color:#00CC00">フレンドガチャチケット</span>の枚数が少ないのは、(A)と(B)どちらか？（≒『ほぼ確実に<span style="color:#FF9900">プレチケ</span>11枚を入手するために必要な<span style="color:#00CC00">フレチケ</span>の枚数は？』）

<center><a href="https://blog-imgs-146.fc2.com/m/a/k/makuragi24/Screenshot_20210104-222420.jpg" target="_blank"><img src="https://blog-imgs-146.fc2.com/m/a/k/makuragi24/Screenshot_20210104-222420s.jpg" alt="Screenshot_20210104-222420.jpg" border="0" width="600" height="459"></a>
</center>


（問１）
　<span style="color:#00CC00">フレンドガチャチケット</span>を100枚消費する時、入手できる<span style="color:#FF9900">プレミアムガチャチケット</span>の期待値はそれぞれいくらか？

（解）
　期待値の定義から、「(試行回数に対する期待値)=(プレチケ排出確率)*(排出されるプレチケ枚数)*(試行回数)」なので、
　(A)　$$ 0.1/100 *1 *100 = 0.1 　枚$$ 
　(B)  $$ 0.5/100 *11 *1 = 0.055 　枚$$
（つまり、(A)の方が期待値が良い）


（問２）
　<span style="color:#00CC00">フレンドガチャチケット</span>を100枚消費する時、<span style="color:#FF9900">プレミアムガチャチケット</span>を１枚だけでも当てる確率はそれぞれいくらか？

（解）
　<span style="color:#FF9900">プレミアムガチャチケット</span>が１枚も当たらない確率を計算し、１からその確率を引く。
(A)
$$ 1 - (99.9/100)^{100} \simeq 1 - 0.9 = 0.1 $$ 
　よって、「　10％ の確率で１枚は入手できる。　」
(B)
$$ 1 - (99.5/100)^{1} = 0.005 $$
　よって、「　0.5％ の確率で１枚は入手できる。　」
（つまり、(A)の方が最低１枚でも<span style="color:#FF9900">プレミアムガチャチケット</span>を入手できる可能性は高い）


（問３）
　<span style="color:#FF9900">プレミアムガチャチケット</span>を11枚、99%の確率で入手するために必要な<span style="color:#00CC00">フレンドガチャチケット</span>の枚数が少ないのは(A)と(B)どちらか？
（≒『ほぼ確実に<span style="color:#FF9900">プレチケ</span>11枚を入手するために必要な<span style="color:#00CC00">フレチケ</span>の枚数は？』）

（解）
　(B)の場合から考えよう。
　この問題は「99.5%の確率で外れるガチャが、連続で外れ続ける確率を1%以下にするには何度試行すれば良いか？」という問題を解くのと同じ。
よって、
$$ (0.995)^{n} < 0.01 $$
$$ n*log(0.995) < log(0.01) $$
$$ n > log(0.01)/log(0.995) = 919 　回$$　
（(注) log(0.995)<0 より最後の式変形では不等号が反転する）</center>

　よって、(B)の場合に<span style="color:#FF9900">プレチケ</span>を11枚を99%の確率で入手するために必要な<span style="color:#00CC00">フレチケ</span>の枚数は
$$ 919 * 100 = 91900 　枚$$</center>
(A)の場合も同様に考える。
「99.9%の確率で外れるガチャが、連続で外れ続ける確率を1%以下にするために必要な試行回数」は、
$$ (0.999)^{n} < 0.01 $$
$$ n > log(0.01)/log(0.999) = 4603 　回$$

　よって、4603回ガチャを回せば99%の確率で1枚<span style="color:#FF9900">プレチケ</span>を入手できる訳だから、
(A)の場合に<span style="color:#FF9900">プレチケ</span>を11枚を99%の確率で入手するために必要な<span style="color:#00CC00">フレチケ</span>の枚数は

$$ 4603 *11 = 50633　枚$$
(※注意)但し、この計算は4603回のガチャ中に2枚以上<span style="color:#FF9900">プレミアムガチャチケット</span>が出る可能性を考慮していないので、正確な「<span style="color:#FF9900">プレチケ</span>を11枚を99%の確率で入手するために必要な<span style="color:#00CC00">フレチケ</span>の枚数は」ではない。

　つまり、<span style="color:#FF9900">プレミアムガチャチケット</span>を11枚、99%の確率で入手するために必要な<span style="color:#00CC00">フレンドガチャチケット</span>の枚数は
　(A)が悪く見積もって$$50,633　枚$$
 　(B)が$$91,900　枚$$
　なので、(A)の方が効率が良い。

【結論】
・１枚消費のフレンドガチャの方が割りが良い/コスパが良い/効率的。


※※ 計算方法/計算結果に間違いがありましたらコメント欄にご指摘をよろしくお願いいたします。


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　次回、『フレンドガチャ100で入手可能な"グレードアップチケット"をどう重みづけるか？』に続く。（続かない）