大域結合写像（Globally coupled map）に現れる現象

# Globally coupled map
大自由度力学系の一つとして Globally coupled map (GCM) と呼ばれる離散力学系が存在する．いま，カオス的な結合系を考えたいために写像$ f $をカオスを引き起こす代表的な写像であるロジスティック写像を用いる：
~~~math
\begin{gather*}
x_{n+1}(i) = (1 - \varepsilon)f(x_n(i)) + \frac{\varepsilon}{N}\sum_{j=1}^Nf(x_n(j)),
\quad
i = 1, 2, \cdots, N,\\
f(x) = 1 - \alpha x^2,
\quad
0 \leq \varepsilon \leq 1,
\quad
0 \leq \alpha \leq 2.
\end{gather*}
~~~

GCM はパラメータを変化させることによって異なるクラスターの数を持つアトラクターが現れるという特徴を持っている． GCM のアトラクターは主に以下の 4 種類に分類できる：
1. Coherent phase
1. Ordered phase
1. Partially ordered phase
1. Turbulent phase

これらのアトラクターに対する安定性は要素間の拡大率を考慮することで議論でき，
~~~math
\begin{align*}
|x_{n+1}(i) - x_{n+1}(j)|
&=\left|(1 - \varepsilon)(x_{n}(i) - x_{n}(j))\right| \\
&\simeq (1 - \varepsilon)|f'(x_n(i))|\cdot|x_{n}(i) - x_{n}(j)|
\end{align*}
~~~
より
~~~math
\begin{align*}
\lambda(i)
&= \lim_{T \to \infty}\frac{1}{T}\log\left|\prod_{n=1}^T(1 - \varepsilon)f'(x_n(i))\right|\\
&= \log(1 - \varepsilon) + \lim_{T \to \infty}\frac{1}{T}\sum_{n=1}^T\log|f'(x_n(i))|.
\end{align*}
~~~
となる．
この$ \lambda(i) $によって安定性を判定できる．

## Coherent phase
Coherent phase はすべての要素が同期している相のことをいう． 安定条件は
~~~math
\lambda(i) + \log(1 - \varepsilon) + \lambda_0 < 0.
~~~
ここで$ \lambda_0 $は$ f(x) $ に対するリアプノフ指数としている．
以下に Coherent phase の場合に現れる時系列の例を示す．

```plantuml
@startuml
<style>
root {
  Padding 0
  Margin 0
}
footer {
  FontColor black
  FontSize 17
}
</style>
scale 500 width
footer 図１．Coherent phase の場合の時系列の例
title <img:https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/3127285/6a753bcb-2aa5-cbcc-deae-342dc5a1bff8.png>
@enduml
```

## Ordered phase
Ordered phase とは，要素数$ N $ に対してクラスター数が十分小さいアトラクターを持つ相のことをいう． 安定条件は
~~~math
\begin{align*}
\lambda(i)
&= \log(1 - \varepsilon) + \lim_{T \to \infty}\frac{1}{T}\sum_{n=1}^T\log|f'(x_n(i))|
< 0
\end{align*}
~~~
である．
以下に Ordered phase の場合に現れる時系列の例を示す．

```plantuml
@startuml
<style>
root {
  Padding 0
  Margin 0
}
footer {
  FontColor black
  FontSize 17
}
</style>
scale 500 width
footer 図２．Ordered phase の場合の時系列の例
title <img:https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/3127285/0ff61c1d-9972-637c-1fdb-71003c130caf.png>
@enduml
```

## Partially ordered phase
Partially ordered phase とは，初期条件に対してクラスターの個数の異なる様々なアトラクターが現れる相のことをいう．
安定条件は Ordered phase の場合と同様である．

以下に Partially ordered phase の場合に現れる時系列の例を示す．

```plantuml
@startuml
<style>
root {
  Padding 0
  Margin 0
}
footer {
  FontColor black
  FontSize 17
}
</style>
scale 500 width
footer 図３．Ordered phase の場合の時系列の例１
title <img:https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/3127285/8c366f13-3e85-c63c-5085-0ac980d120b8.png>
@enduml
```

```plantuml
@startuml
<style>
root {
  Padding 0
  Margin 0
}
footer {
  FontColor black
  FontSize 17
}
</style>
scale 500 width
footer 図４．Ordered phase の場合の時系列の例２
title <img:https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/3127285/267beb21-48ae-04e0-25a8-3d27c02a78e7.png>
@enduml
```

## Turbulent phase
Turbulent phase とは，全ての要素が非同期であるときの相のことをいう． 安定条件は

~~~math
\begin{align*}
\lambda(i)
&= \log(1 - \varepsilon) + \lim_{T \to \infty}\frac{1}{T}\sum_{n=1}^T\log|f'(x_n(i))|
> 0
\end{align*}
~~~

である．

以下に Turbulent phase の場合に現れる時系列の例を示す．

```plantuml
@startuml
<style>
root {
  Padding 0
  Margin 0
}
footer {
  FontColor black
  FontSize 17
}
</style>
scale 500 width
footer 図５．Turblent phase の場合の時系列の例
title <img:https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/3127285/3671532c-4c7d-7d3f-57cb-374776f8646b.png>
@enduml
```

## GCMの相図
数値的にクラスター数を計算し相図を描画すると以下のようになる：

```plantuml
@startuml
<style>
root {
  Padding 0
  Margin 0
}
footer {
  FontColor black
  FontSize 24
}
</style>
scale 500 width
footer 図６．GCMの相図
title <img:https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/3127285/c09775f4-f0e8-d4cc-ba5d-17129e7e6d8b.png>
@enduml
```

## 参考文献
1. K. Kaneko, "Clustering, coding, switching, hierarchical ordering, and control in a network of chaotic elements", Physica D: Nonlinear Phenomena, Volume 41, Issue 2, 1990, Pages 137-172, ISSN 0167-2789.
1. 金子 邦彦・津田 一郎, "複雑系のカオス的シナリオ", 複雑系双書 1, 1996, A5判/312ページ, ISBN : 978-4-254-10514-8 C3340.