簡単に分かる正規分布

# 正規分布
 正規分布の公式は理解するのが大変である。
```math
    y = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{\frac{-(x-\mu)^2}{2\sigma^2}} 
```
 今回は、(A~F)の6つの数式を順にグラフにすることで理解しやすいです。
### グラフにする数式
```math
A　y = e^x 
```
 2乗で正規分布の形に近づけます。
```math
B　y = e^{x^2} 
```
 マイナスで正規分布の形に近づけます。
```math
C　y = e^{-x^2}
```
 2σ^2を分母につけて正規分布の形に近づけます。
```math
D　y = e^{\frac{-x^2}{2\sigma^2}} 
```
 平均μをつけて正規分布の形に近づけます。
```math
E　y = e^{\frac{-(x-\mu)^2}{2\sigma^2}} 
```
 積分をして面積を1にするために係数をつけます。
```math
F　y = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{\frac{-(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}  
```
※C,Dのグラフでは変曲点を求めています。
変曲点がわからない方は下記のサイトが参考になります。

https://manabitimes.jp/math/1214

※Fでは面積が1になる証明を簡単にしています。
### A
```math
    y = e^x
```
![スクリーンショット 2024-06-02 10.22.29.png](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/3536819/3a06a1e2-1317-e452-c719-bd28e90a4907.png)
### B
```math
    y = e^{x^2} 
```
![スクリーンショット 2024-06-02 10.29.23.png](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/3536819/b76f38d0-546b-adff-1657-9e7e63b9e88a.png)

### C
```math
    y = e^{-x^2} = \frac{1}{e^{x^2}}
```
![スクリーンショット 2024-06-02 10.33.26.png](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/3536819/59772add-90ce-4763-7f29-cb81bda9460e.png)
変曲点算出
```math
\begin{align}
f(x) &= e^{-x^2}　\\
f'(x) &= -2xe^{-x^2}　\\
f''(x) &= -2e^{-x^2}・4x^2e^{-x^2}\\
&= -2e^{-x^2}(1-2x^2)\\
f''(x) &= 0より※-2e^{-x^2}は0にならないため\\
1-2x^2&=0\\
2x^2&=1\\
x^2&={\frac{1}{2}}\\
x &= \pm{\frac{1}{\sqrt2}}\\
\end{align}
```
```math
※の解説
-2e^{-x^2}のxに0を代入すると
-2e^0となる。e^0=1より-2になる。
```


### D
```math
    y = e^{\frac{-x^2}{2\sigma^2}} 
```
![スクリーンショット 2024-06-03 7.59.27.png](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/3536819/c7b672ca-e24b-fedf-f4d2-f9fc9d1cb861.png)
変曲点算出
```math
\begin{align}
f(x) &= e^{\frac{-x^2}{2\sigma^2}}\\
f'(x) &= -{\frac{2x}{2\sigma^2}} e^{\frac{-x^2}{2\sigma^2}} = -{\frac{x}{\sigma^2}} e^{\frac{-x^2}{2\sigma^2}}\\
f''(x) &= -{\frac{1}{\sigma^2}}e^{\frac{-x^2}{2\sigma^2}}-{\frac{x}{\sigma^2}}{\frac{-2x}{2\sigma^2}}e^{\frac{-x^2}{2\sigma^2}}\\
&= -{\frac{1}{\sigma^2}}e^{\frac{-x^2}{2\sigma^2}}+{\frac{x^2}{\sigma^4}}e^{\frac{-x^2}{2\sigma^2}}\\
&= -{\frac{1}{\sigma^2}}e^{\frac{-x^2}{2\sigma^2}}(1-{\frac{x^2}{\sigma^2}})\\
f''(x)&=0より\\
1-{\frac{x^2}{\sigma^2}}&=0\\
1 &= {\frac{x^2}{\sigma^2}}\\
x^2 &= \sigma^2\\
x &= \pm\sigma\\
\end{align}
```
### E
```math
    y = e^{\frac{-(x-\mu)^2}{2\sigma^2}} 
```
![スクリーンショット 2024-06-02 10.42.29.png](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/3536819/447a543f-b702-f6bd-1e45-cd329b4075ab.png)
### F
```math
    y = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{\frac{-(x-\mu)^2}{2\sigma^2}} 
```
![スクリーンショット 2024-06-02 10.47.15.png](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/3536819/55e5f6a0-e3ce-65d8-8be4-afde6c072769.png)
(証明)
```math
\begin{align}
\int_{-\infty}^{\infty}f(x)dx &= 1を示す\\
\int_{-\infty}^{\infty}f(x)dx &=　\int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{\frac{-(x-\mu)^2}{2\sigma^2}} dx　= \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}　\int_{-\infty}^{\infty}e^{\frac{-(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}dx\\
t &= {\frac{x-\mu}{\sqrt{2}{\sigma}}}とおく。dt = {\frac{1}{\sqrt{2}{\sigma}}}dx,dx={\sqrt{2}{\sigma}}dt\\
t^2 &= {\frac{(x-\mu)}{2\sigma^2}}\\
t^2とdxを代入\\
&= \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}　\int_{-\infty}^{\infty}e^{-t^2}{\sqrt{2}{\sigma}}dt\\
&=\frac{\sqrt{2}{\sigma}}{\sqrt{2\pi}\sigma}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-t^2}dt\\
\int_{-\infty}^{\infty}e^{-t^2}dt&=\sqrt{\pi}(ガウス積分の公式)より\\
&=\frac{\sqrt{2}{\sigma}\sqrt{\pi}}{\sqrt{2\pi}\sigma}=1\\
\end{align}
```
## 参考にした動画

https://www.youtube.com/watch?v=Q7TXycnPlsA&list=LL&index=2

### Pythonでグラフを書いてみました
```math
A　y = e^x 
```
```python
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np

#A
x = np.linspace(-10, 10, 1000)
y = np.exp(x)

fig, ax = plt.subplots(figsize=(5, 3), dpi=100)

plt.axhline(0, linewidth=1.5, color="black")
plt.axvline(0, linewidth=1.5, color="black")

ax.set_xlim(-10, 10)
ax.set_ylim(-0.2, 2.5)  
ax.set_xlabel("x")
ax.set_ylabel("y")

ax.plot(x, y, label=r"$y = e^x$")
ax.legend()
ax.grid()
plt.show()
```
![スクリーンショット 2024-06-03 9.13.09.png](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/3536819/5050201e-b3eb-8b7a-7b6c-e5e67f87f281.png)

```math
B　y = e^{x^2} 
```
```python
#B
x = np.linspace(-10, 10, 1000)
y = np.e ** (x ** 2)

fig, ax = plt.subplots(figsize=(5,3), dpi=100)

plt.axhline(0, linewidth=1.5, color="black")
plt.axvline(0, linewidth=1.5, color="black")

ax.set_xlim(-10, 10)
ax.set_ylim(-0.2, 5)
ax.set_xlabel("x")
ax.set_ylabel("y")

ax.plot(x, y, label=r"$y = e^{x^2}$")
ax.legend()
ax.grid()
plt.show()
```
![スクリーンショット 2024-06-03 9.13.19.png](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/3536819/70dfa4b1-b137-2059-f1b9-e0c1e8095495.png)

```math
C　y = e^{-x^2}
```
```python
#C
x = np.linspace(-10, 10, 1000)
y = np.e ** (-1 * x ** 2)

fig, ax = plt.subplots(figsize=(5,3), dpi=100)

plt.axhline(0, linewidth=1.5, color="black")
plt.axvline(0, linewidth=1.5, color="black")

ax.set_xlim(-10, 10)
ax.set_ylim(-0.2, 1.2)
ax.set_xlabel("x")
ax.set_ylabel("y")

ax.plot(x, y, label=r"$y = e^{- x^2}$")
ax.legend()
ax.grid()
plt.show()
```
![スクリーンショット 2024-06-03 9.14.20.png](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/3536819/266d8235-8dd8-fd01-d96e-b8462f24bdd7.png)

```math
D　y = e^{\frac{-x^2}{2\sigma^2}} 
```
```python
#D
sigma = 1  
x = np.linspace(-10, 10, 1000)
y = np.exp(-x**2 / (2 * sigma**2))

fig, ax = plt.subplots(figsize=(5, 3), dpi=100)

plt.axhline(0, linewidth=1.5, color="black")
plt.axvline(0, linewidth=1.5, color="black")

ax.set_xlim(-10, 10)
ax.set_ylim(-0.2, 1.2)
ax.set_xlabel("x")
ax.set_ylabel("y")

ax.plot(x, y, label=r"$y = e^{-\frac{x^2}{2\sigma^2}}$")
ax.legend()
ax.grid()
plt.show()
```
![スクリーンショット 2024-06-03 9.14.30.png](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/3536819/344dfa6d-7e14-2128-c98b-7ceb16eb7c35.png)

```math
E　y = e^{\frac{-(x-\mu)^2}{2\sigma^2}} 
```
```python
#E
sigma = 1
mean = 2    
x = np.linspace(-10, 10, 1000)
y = np.exp(-((x - mean)**2) / (2 * sigma**2))

fig, ax = plt.subplots(figsize=(5, 3), dpi=100)

plt.axhline(0, linewidth=1.5, color="black")
plt.axvline(0, linewidth=1.5, color="black")

ax.set_xlim(-10, 10)
ax.set_ylim(-0.2, 1.2)
ax.set_xlabel("x")
ax.set_ylabel("y")

ax.plot(x, y, label=r"$y = e^{-\frac{(x - \mu)^2}{2\sigma^2}}$")
ax.legend()
ax.grid()
plt.show()
```
![スクリーンショット 2024-06-03 9.17.46.png](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/3536819/40f899c3-f1e7-112a-5d7e-761594bdf0ae.png)

```math
F　y = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{\frac{-(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}  
```
```python
#F
sigma = 1
mean = 0
sigma = 1
x = np.linspace(-10, 10, 1000)
y = (1 / (np.sqrt(2 * np.pi) * sigma)) * np.exp(- (x - mean)**2 / (2 * sigma**2))

fig, ax = plt.subplots(figsize=(5, 3), dpi=100)

plt.axhline(0, linewidth=1.5, color="black")
plt.axvline(0, linewidth=1.5, color="black")

ax.set_xlim(-10, 10)
ax.set_ylim(-0.02, 0.42)
ax.set_xlabel("x")
ax.set_ylabel("y")

ax.plot(x, y, label=r"$y = \frac{1}{\sqrt{2\pi} \sigma} e^{-\frac{(x - \mu)^2}{2\sigma^2}}$")
ax.legend()
ax.grid()
plt.show()
```
![スクリーンショット 2024-06-03 9.18.14.png](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/3536819/66930c9e-2f35-402d-5447-20f51db0d0b2.png)