コラッツ予想：1以外の任意の整数に到達する類似式

# Abstract
コラッツ予想において最終的に到達する値は $1$ だが、私はその計算式を拡張し、**任意の整数**に到達する類似式の構成法を発見した。整数なので当然ゼロや負数も含む。これまでコラッツ予想の類似式は数多く研究されてきたが、この記事で一応の決着がつくだろう。

# Introduction
類似式は大きく２つに分かれる。
任意の奇数$(...\ ,-5,-3,-1,\ 1,\ 3,\ 5,\ ...)$に到達する類似式と、
任意の偶数$(...\ ,-4,-2,\ 0,\ 2,\ 4,\ 6,\ ...)$に到達する類似式である。
実際のところ この２つの類似式に大きな違いはなく、互いに係数が異なる程度である。

# 任意の奇数に到達する類似式(odd ver)

整数 $p,q$ が $p+q=-1$ を満たすとき
```math
\begin{equation}
f(x)=\left\{
\begin{array}{l}
\quad\frac{x}{2}\quad+p\qquad x\equiv0\quad(mod\ 2)\\
\ \frac{3(x+1)}{2}+q\qquad x\equiv1\quad(mod\ 2)
\end{array} 
\right.
\end{equation} 
```
この類似式は $2p+1$ に到達する。
ただし初期値 $x$ は $x\geq2p+1$ とする。

なお $(p,q)=(0,-1)$ がオリジナルのコラッツ予想式である。

# 任意の偶数に到達する類似式(even ver)

整数 $p,q$ が $p+q=0$ を満たすとき
```math
\begin{equation}
f(x)=\left\{
\begin{array}{l}
\ \ \frac{3x}{2}\ +p\qquad x\equiv0\quad(mod\ 2)\\
\ \frac{x+1}{2}+q\qquad x\equiv1\quad(mod\ 2)
\end{array} 
\right.
\end{equation} 
```
この類似式は $2q+2$ に到達する。
ただし初期値 $x$ は $x\geq2q+2$ とする。

通常と違い、$x$ が偶数のとき $3$倍することに注意してほしい。

# 実例(Example)

### 5 に到達する類似式

```math
\begin{equation}
f(x)=\left\{
\begin{array}{l}
\quad\frac{x}{2}\quad+2\qquad x\equiv0\quad(mod\ 2)\\
\ \frac{3(x+1)}{2}-3\qquad x\equiv1\quad(mod\ 2)
\end{array} 
\right.
\end{equation} 
```

|x|計算過程|
|:---:|:---|
|||
|5|6 5|
|6|5|
|7|9 12 8 6 5|
|8|6 5|
|9|12 8 6 5|
|10|7 9 12 8 6 5|
|11|15 21 30 17 24 14 9 12 8 6 5|
|12|8 6 5|
|13|18 11 15 21 30 17 24 14 9 12 8 6 5|
|14|9 12 8 6 5|
|15|21 30 17 24 14 9 12 8 6 5|
|16|10 7 9 12 8 6 5|
|17|24 14 9 12 8 6 5|
|18|11 15 21 30 17 24 14 9 12 8 6 5|
|19|27 39 57 84 44 24 14 9 12 8 6 5|
|20|12 8 6 5|
|21|30 17 24 14 9 12 8 6 5|
|22|13 18 11 15 21 30 17 24 14 9 12 8 6 5|
|23|33 48 26 15 21 30 17 24 14 9 12 8 6 5|
|24|14 9 12 8 6 5|
|25|36 20 12 8 6 5|
|:|:|

### -7 に到達する類似式

```math
\begin{equation}
f(x)=\left\{
\begin{array}{l}
\quad\frac{x}{2}\quad-4\qquad x\equiv0\quad(mod\ 2)\\
\ \frac{3(x+1)}{2}+3\qquad x\equiv1\quad(mod\ 2)
\end{array} 
\right.
\end{equation} 
```

|x|計算過程|
|:---:|:---|
|||
|-7|-6 -7|
|-6|-7|
|-5|-3 0 -4 -6 -7|
|-4|-6 -7|
|-3|0 -4 -6 -7|
|-2|-5 -3 0 -4 -6 -7|
|-1|3 9 18 5 12 2 -3 0 -4 -6 -7|
|0|-4 -6 -7|
|1|6 -1 3 9 18 5 12 2 -3 0 -4 -6 -7|
|2|-3 0 -4 -6 -7|
|3|9 18 5 12 2 -3 0 -4 -6 -7|
|4|-2 -5 -3 0 -4 -6 -7|
|5|12 2 -3 0 -4 -6 -7|
|6|-1 3 9 18 5 12 2 -3 0 -4 -6 -7|
|7|15 27 45 72 32 12 2 -3 0 -4 -6 -7|
|8|0 -4 -6 -7|
|9|18 5 12 2 -3 0 -4 -6 -7|
|10|1 6 -1 3 9 18 5 12 2 -3 0 -4 -6 -7|
|:|:|

### 8 に到達する類似式

```math
\begin{equation}
f(x)=\left\{
\begin{array}{l}
\ \ \frac{3x}{2}\ -3\qquad x\equiv0\quad(mod\ 2)\\
\ \frac{x+1}{2}+3\qquad x\equiv1\quad(mod\ 2)
\end{array} 
\right.
\end{equation} 
```

|x|計算過程|
|:---:|:---|
|||
|8|9 8|
|9|8|
|10|12 15 11 9 8|
|11|9 8|
|12|15 11 9 8|
|13|10 12 15 11 9 8|
|14|18 24 33 20 27 17 12 15 11 9 8|
|15|11 9 8|
|16|21 14 18 24 33 20 27 17 12 15 11 9 8|
|17|12 15 11 9 8|
|18|24 33 20 27 17 12 15 11 9 8|
|19|13 10 12 15 11 9 8|
|20|27 17 12 15 11 9 8|
|21|14 18 24 33 20 27 17 12 15 11 9 8|
|22|30 42 60 87 47 27 17 12 15 11 9 8|
|23|15 11 9 8|
|24|33 20 27 17 12 15 11 9 8|
|25|16 21 14 18 24 33 20 27 17 12 15 11 9 8|
|26|36 51 29 18 24 33 20 27 17 12 15 11 9 8|
|27|17 12 15 11 9 8|
|28|39 23 15 11 9 8|
|29|18 24 33 20 27 17 12 15 11 9 8|
|30|42 60 87 47 27 17 12 15 11 9 8|
|:|:|

### 0 に到達する類似式

```math
\begin{equation}
f(x)=\left\{
\begin{array}{l}
\ \ \frac{3x}{2}\ +1\qquad x\equiv0\quad(mod\ 2)\\
\ \frac{x+1}{2}-1\qquad x\equiv1\quad(mod\ 2)
\end{array} 
\right.
\end{equation} 
```

|x|計算過程|
|:---:|:---|
|||
|0|1 0|
|1|0|
|2|4 7 3 1 0|
|3|1 0|
|4|7 3 1 0|
|5|2 4 7 3 1 0|
|6|10 16 25 12 19 9 4 7 3 1 0|
|7|3 1 0|
|8|13 6 10 16 25 12 19 9 4 7 3 1 0|
|9|4 7 3 1 0|
|10|16 25 12 19 9 4 7 3 1 0|
|11|5 2 4 7 3 1 0|
|12|19 9 4 7 3 1 0|
|13|6 10 16 25 12 19 9 4 7 3 1 0|
|14|22 34 52 79 39 19 9 4 7 3 1 0|
|15|7 3 1 0|
|16|25 12 19 9 4 7 3 1 0|
|17|8 13 6 10 16 25 12 19 9 4 7 3 1 0|
|18|28 43 21 10 16 25 12 19 9 4 7 3 1 0|
|19|9 4 7 3 1 0|
|20|31 15 7 3 1 0|
|:|:|

# Question

この記事の内容は**自明**だろうか？ はたまた**コロンブスの卵**であろうか？

# References

[Generalization of the Collatz Conjecture, based on the homeward function](https://qiita.com/kyotoisalsosnownight/items/7d1fed8842cc09e36a68)