LMI に基づく制御系解析・設計


https://qiita.com/Carter/items/d6341edf18fe1e0dc4d5

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ここでは

* [川田 昌克, 蛯原 義雄：LMI に基づく制御系解析・設計，Vol. 55, No. 5, pp. 165-173 (2011)](
https://doi.org/10.11509/isciesci.55.5_165)

に関連して配布するファイルの説明を行います．
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# <font color="#0070C0">配布する MATLAB ファイル</font>
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　「LMI に基づく制御系解析・設計」に関連した以下の MATLAB ファイルを配布します．
 
* [matlab02_kawata_ebihara_utf8.zip](https://github.com/Prof-Carter/iscie_Vol55_No05/blob/main/matlab02_kawata_ebihara_utf8.zip)


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# <font color="#0070C0">記法の説明</font>
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| 表記 | 説明 |  | 
|:-----------|:------------|:------------|
| $\boldsymbol{M} \succ 0$ | $\boldsymbol{M} \in {\mathbb R}^{n \times n}$ が正定| 任意の $\boldsymbol{x} \in {\mathbb R}^{n}$ に対して $\boldsymbol{x}^{\top}\boldsymbol{M}\boldsymbol{x} > 0\ (\boldsymbol{x} \neq {\bf 0})$ |
| $\boldsymbol{M} \prec 0$ | $\boldsymbol{M} \in {\mathbb R}^{n \times n}$ が負定| 任意の $\boldsymbol{x} \in {\mathbb R}^{n}$ に対して $\boldsymbol{x}^{\top}\boldsymbol{M}\boldsymbol{x} < 0\ (\boldsymbol{x} \neq {\bf 0})$ |
| $\boldsymbol{M} \succeq 0$ | $\boldsymbol{M} \in {\mathbb R}^{n \times n}$ が半正定| 任意の $\boldsymbol{x} \in {\mathbb R}^{n}$ に対して $\boldsymbol{x}^{\top}\boldsymbol{M}\boldsymbol{x} \ge 0\ (\boldsymbol{x} \neq {\bf 0})$ |
| $\boldsymbol{M} \preceq 0$ | $\boldsymbol{M} \in {\mathbb R}^{n \times n}$ が半負定| 任意の $\boldsymbol{x} \in {\mathbb R}^{n}$ に対して $\boldsymbol{x}^{\top}\boldsymbol{M}\boldsymbol{x} \le 0\ (\boldsymbol{x} \neq {\bf 0})$ |
|$\boldsymbol{M} \succ \boldsymbol{N}$|$\boldsymbol{M} -\boldsymbol{N} \succ 0$ の別表現||
|${\rm He}\bigl[\boldsymbol{M}\bigr]$|${\rm He}\bigl[\boldsymbol{M}\bigr] := \boldsymbol{M} + \boldsymbol{M}^{\top}$||

また，対称行列を

```math
\begin{align}
     \left[\begin{array}{cccc}
            {\boldsymbol M}_{11} & {\boldsymbol M}_{12} \\[-3pt]
            {\boldsymbol M}_{12}^{\top} & {\boldsymbol M}_{22} \\
     \end{array}\right]
     = \left[\begin{array}{cccc}
            {\boldsymbol M}_{11} & {\boldsymbol M}_{12} \\
            * & {\boldsymbol M}_{22} \\
     \end{array}\right]
     = \left[\begin{array}{cccc}
            {\boldsymbol M}_{11} & * \\[-3pt]
            {\boldsymbol M}_{12}^{\top} & {\boldsymbol M}_{22} \\
     \end{array}\right]
\end{align}
```

のように記述します．ただし，

```math
\begin{align}
     {\boldsymbol M}_{11} = {\boldsymbol M}_{11}^{\top},\ 
     {\boldsymbol M}_{22} = {\boldsymbol M}_{22}^{\top}
\end{align}
```

です．


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# <font color="#0070C0">線形行列不等式 (LMI) とは？</font>
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https://qiita.com/Carter/private/3ae7caca8f777a518121

* LMI と凸可解問題，凸最小化問題
* 安定解析問題
* コスト保証制御問題

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# <font color="#0070C0">LMI パーサ "YALMIP" の使用方法 (1)</font>
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https://qiita.com/Carter/private/f538cf566a41ab354df1

* LMI パーサ "YALMIP" および SDP ソルバ "MOSEK", "SeDuMi", "SDPT3" のインストール
* YALMIP を利用した LMI 求解の手順

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# <font color="#0070C0">LMI パーサ "YALMIP" の使用方法 (2)：安定解析問題</font>
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https://qiita.com/Carter/private/429ecc868f02be21f4ec

* 安定解析問題
* 安定解析問題において考慮すべき点
* 安定解析問題における制約条件の追加

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# <font color="#0070C0">LMI パーサ "YALMIP" の使用方法 (3)：アーム型倒立振子のゲインスケジューリング制御</font>
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https://qiita.com/Carter/private/e8480d9dba5e1e362b27

* アーム型倒立振子の概要
* アーム型倒立振子の LPV モデル
* アーム型倒立振子のゲインスケジューリング (GS) 制御