1変数記述統計の分野

## 相対度数の計算
相対度数は、全データに占める各カテゴリーのデータの割合を表します。
これは、特定のカテゴリーのデータ数を全データ数で割ることによって計算され、データの分布を理解するのに役立ちます。相対度数はパーセンテージ（％）で表されることもあります。

相対度数を計算する手順は以下の通りです：
1.データのカテゴリー分け：データを分析する前に、それをカテゴリー別に分けます。
例えば、アンケート調査の回答を「非常に満足」「満足」「普通」「不満」「非常に不満」の5つのカテゴリーに分けることができます。
2.各カテゴリーのデータ数をカウント：次に、各カテゴリーに属するデータの数をカウントします。
3.全データ数の計算：全てのカテゴリーのデータ数を合計して、全データ数を求めます。
4.相対度数の計算：各カテゴリーのデータ数を全データ数で割り、相対度数を計算します。この値をパーセンテージで表す場合は、結果に100を掛けます。
式で表すと、相対度数は次のようになります：
![image.png](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/491751/679ac4bb-5110-894c-69c4-659d7ca4762c.png)

例
あるクラスで学生の好きな果物についてのアンケートを行い、以下のような結果が得られたとします：
リンゴ: 10人
バナナ: 15人
オレンジ: 5人
全学生の数: 30人
リンゴの相対度数を計算する場合：
![image.png](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/491751/e7b615b0-9738-fbc4-523f-4e600925bb52.png)
この計算を他の果物に対しても行うことで、全体に占める各果物の好みの割合を把握することができます。
相対度数はデータを分析し、視覚的に表現する際に役立つ重要な指標です。

## 中央値を含む階級
中央値を含む階級とは、頻度分布表やヒストグラムなどでデータを階級（クラス）に分けた際に、中央値（メディアン）を含む階級のことを指します。
中央値は、データセットを小さい順に並べたときに、ちょうど中央に位置する値であり、データセットの中央の傾向を示します。
データセットが偶数個の場合は、中央に位置する2つの数値の平均値が中央値となります。
階級にデータを分ける際は、データの範囲をいくつかの区間に分割し、各区間がどの程度のデータを含んでいるかを示します。
これにより、データの分布の形状や傾向を把握することができます。中央値を含む階級は、全データの中央に位置するため、データセット全体の中央の位置を理解するのに役立ちます。

### 中央値を含む階級の見つけ方
1.データの整理: データを小さい順に並べます。
2.データ数の確認: データの総数を確認し、中央値の位置を特定します。データの総数が奇数の場合は、(総数 + 1) / 2 の位置のデータが中央値です。偶数の場合は、総数 / 2 の位置とその次の位置のデータの平均が中央値になります。
3.階級の設定: データの範囲に基づいて階級を設定します。これは、データの最小値から最大値までをいくつかの区間に分ける作業です。
4.中央値を含む階級の特定: 中央値がどの階級区間に含まれるかを確認します。この階級が、中央値を含む階級です。

例
データセット: 2, 4, 5, 7, 8, 10, 11, 13, 14, 16, 18
このデータセットは奇数個のデータを含んでおり、総数は11です。中央値の位置は (11 + 1) / 2 = 6 なので、6番目のデータである10が中央値です。
階級を5の幅で設定すると、以下のようになります：
・0～4
・5～9
・10～14
・15～19
中央値の10は「10～14」の階級に含まれます。従って、この階級が中央値を含む階級です。
このように、中央値を含む階級を特定することで、データセットの中央値周辺のデータの分布をより詳細に理解することが可能になります。

## 箱ひげ図と度数分布
箱ひげ図と度数分布は、データの分布を視覚的に表現するための方法です。
これらはデータの特性を理解するのに役立ちますが、それぞれ異なる情報を提供します。

### 箱ひげ図（Box Plot）
箱ひげ図は、データセットの中央値、四分位数（第一四分位数と第三四分位数）、外れ値を視覚的に示すために使用されるグラフです。
箱ひげ図を使うことで、データのばらつきや偏り（歪み）、中央値の位置を簡単に把握することができます。
・箱（Box）: 箱の下限は第一四分位数（Q1）、上限は第三四分位数（Q3）を示し、箱の長さは四分位範囲（IQR）に相当します。箱の中にある線は中央値（メディアン）を表します。
・ひげ（Whiskers）: ひげは箱の外側に伸びる線で、通常、Q1から1.5×IQR未満のデータ点まで、およびQ3から1.5×IQR以上のデータ点までを示します。これにより、データの分布範囲を視覚化します。
・外れ値: ひげの外にプロットされた点は外れ値と見なされ、データの異常値を示します。

### 度数分布（Frequency Distribution）
度数分布は、データがどのように分布しているかを示すために使用される表またはグラフです。
データセットをいくつかの階級に分け、各階級に属するデータの個数（度数）を計算します。
度数分布を使用することで、データの一般的な傾向、最もデータが集中している範囲、またはデータの分布形状を把握することができます。
・度数分布表: 階級とその階級に属するデータの度数をリストアップした表です。この表をもとに、どの階級にデータがどれだけ集中しているかを確認できます。
・ヒストグラム: 度数分布を基に作成されるグラフで、横軸に階級を、縦軸に度数をプロットします。各階級の度数を棒グラフで表し、データの分布形状を視覚的に把握することができます。

箱ひげ図と度数分布（ヒストグラム）は、それぞれデータの異なる特性を強調します。
箱ひげ図は中央値、四分位数、外れ値に焦点を当て、データのばらつきや歪みを簡単に識別できます。
一方、度数分布はデータの全体的な形状や、最もデータが集中している階級を明らかにします。
これらのツールを組み合わせることで、データセットの包括的な理解を深めることができます。

## 幹葉図の読み取り
幹葉図（Stem-and-Leaf Plot）は、データを視覚化するためのシンプルな方法で、データの分布や形状を把握するのに役立ちます。
このグラフは、データセットの個々の数値を「幹（stem）」と「葉（leaf）」に分けて表示します。
幹はデータの最も重要な桁（例えば、十の位）を表し、葉はより詳細な桁（例えば、一の位）を表します。

### 幹葉図の読み取り方
1.幹の理解: 幹葉図の左側に位置する「幹」は、データの最も重要な桁を示します。幹が表す数値の範囲を理解することが重要です。例えば、幹が「1」であれば、これは「10～19」の範囲を示している場合があります。
2.葉の理解: 「葉」は幹の右側に位置し、幹によって表される数値範囲内の具体的なデータ点を示します。葉は通常、データの最後の桁（一の位）を使用して表されます。
3.データの読み取り: 幹と葉を組み合わせることで、データセット内の個々の数値を読み取ることができます。例えば、幹が「1」で葉が「5」であれば、それは「15」を意味します。
4.データの分布の把握: 幹葉図を通じて、データの分布がどのようになっているかを把握することができます。葉の数が多い幹は、その数値範囲内にデータが集中していることを示します。また、データの偏りや外れ値も視覚的に識別しやすくなります。
5.比較: 幹葉図は、複数のデータセットを並べて比較するのにも適しています。これにより、異なるデータセットの分布の違いや類似点を直感的に理解することができます。

例
以下は幹葉図の一例です：
幹 | 葉
1  | 2 4 5
2  | 0 3 7 9
3  | 1 1 2 4
この幹葉図では、最初の行は「12」「14」「15」を意味し、次の行は「20」「23」「27」「29」を意味します。
このようにして、データの具体的な値とその分布を読み取ることができます。

幹葉図は、データセットの全体像を手早く把握するための便利なツールです。
データの分布、中心傾向、ばらつきなどを簡単に識別できるため、データの初期分析に非常に有効です。

## 時系列の変動の性質
時系列データの変動は、時間とともに観測される数値データの変化を分析する際に重要です。
時系列データの変動性を理解することで、過去のパターンを分析し、将来の動向を予測することが可能になります。
時系列の変動の性質は主に以下の四つに分類されます：

### 1. トレンド（Trend）
トレンドは、時系列データにおける長期的な上昇または下降の傾向を指します。
これは経済成長、人口増加、技術進歩など、時間の経過とともに持続的に影響を与える要因によって引き起こされることが多いです。
トレンドを識別することで、将来の値を予測する際の基礎となります。

### 2. 季節変動（Seasonal Variation）
季節変動は、年間を通じて規則的に繰り返されるパターンや周期を指します。
これは、気候変動、祝祭日、学校の休みなど季節に依存する要因によって引き起こされます。
季節変動を考慮することで、特定の時期のデータの変化をより正確に理解し、予測することができます。

### 3. 循環変動（Cyclical Variation）
循環変動は、トレンドや季節変動とは別に、経済サイクルや業界固有のサイクルなど、より長い時間周期で発生する上下動を指します。
これらはしばしば経済の拡大と収縮期に関連しており、数年から数十年の周期で発生することがあります。

### 4. 不規則変動（Irregular Variation）
不規則変動は、予測不可能なランダムな変動を指し、自然災害、戦争、事故など予期せぬイベントによって引き起こされます。
これらの変動は不定期であり、分析や予測が困難です。

時系列データの分析では、これらの変動性の性質を理解し、データからそれぞれの成分を分離または調整することが重要です。
これにより、データの基本的な動向をより明確に把握し、将来の変動をより正確に予測することが可能になります。
時系列分析の手法を用いることで、これらの変動成分をモデル化し、データの背後にあるパターンを理解することができます。

## 平均変化率の計算式
平均変化率は、ある量が時間や他の変数に関してどのように変化するかを示す指標です。
数学的には、ある関数の値の変化の割合を示します。特に、関数の二点間の平均的な変化の速さや率を測定します。

### 平均変化率の計算式
平均変化率は次の式で計算されます：
![image.png](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/491751/50017b77-f40a-9835-b9f8-51e8607f6074.png)

ここで、
・Δyは関数の出力（または「y」値）の変化量です。
・Δxは入力（または「x」値）の変化量です。
・(x1, y1)と(x2, y2)は、関数の二点の座標です。

説明
この式は、基本的に関数上の二点間の傾きを求めるもので、直線の方程式の傾きの公式に基づいています。
平均変化率を求めることにより、ある期間における量の増加や減少の平均的な速さを知ることができます。
この概念は、物理学での速度や加速度の計算、経済学でのコストや利益の変化率の分析、生物学での成長率の測定など、さまざまな分野で応用されます。

例
関数y=f(x)があるとき、xの値が1から3へと変化するときのyの平均変化率を計算してみましょう。
x=1の時y=2、x=3の時y=8だとします。
![image.png](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/491751/497cc9a9-7754-b4cb-5797-1629df744dfd.png)
これは、xの値が1から3に変化する間に、yが平均して単位xあたり3だけ増加することを意味します。

平均変化率は、関数の局所的な変化を理解する際には特に有用であり、関数がどのように変化するかの全体的な「傾向」を把握するのに役立ちます。

## 線形変換による平均・標準偏差
線形変換は、データセットに対して加算や乗算などの操作を行うことで、データのスケールを変更する手法です。この操作により、データセットの平均（mean）や標準偏差（standard deviation）などの統計量がどのように変化するかを理解することが重要です。

線形変換の一般形
線形変換は一般にy=ax+b形で表されます。ここで、

・xは元のデータ点、
・yは変換後のデータ点、
・aはスケールを変更するための乗数（倍数）、
・bはデータをシフトするための加数（定数項）です。
平均の変換
平均に対する線形変換は、元の平均μに同じ変換を適用することで新しい平均μ′を得ます。
μ′=aμ+b

つまり、元のデータセットの平均にaを乗じてbを加えることで、変換後のデータセットの平均を求めることができます。

標準偏差の変換
標準偏差に対する線形変換は、スケール変更の影響を受けますが、データのシフト（加算または減算）の影響を受けません。変換後の標準偏差σ′は、元の標準偏差σに乗数aを乗じることで求められます。
σ′=∣a∣σ

標準偏差は、データの散らばり具合を示すため、乗数aの絶対値を乗じることにより、変換後のデータセットの散らばり具合を求めることができます。データをシフトする加数bは、データの散らばりに影響を与えないため、標準偏差の計算には含まれません。

まとめ
平均は、線形変換の乗数と加数の両方の影響を受けます。
標準偏差は、乗数の影響を受けるが、加数の影響を受けません（データのシフトは散らばりに影響しないため）。
線形変換による平均と標準偏差の変化を理解することは、データの再スケーリングや正規化を行う際に特に重要です。
これにより、異なるデータセットを比較したり、特定の範囲内にデータを標準化したりすることが容易になります。

## ローレンツ曲線・ジニ係数の説明
ローレンツ曲線とジニ係数は、経済学において所得や富の分布の不平等を測定するために用いられるツールです。
これらは不平等の程度を視覚的にも数値的にも表現することができます。

### ローレンツ曲線
ローレンツ曲線は、人口の累積割合に対する所得または富の累積割合をグラフにしたものです。この曲線は通常、横軸に人口の累積割合（最貧から最富までの順に並べた場合）、縦軸にその人口が保有する所得や富の累積割合をプロットして描かれます。
・完全な平等を示す線（45度の直線）とローレンツ曲線との間の領域が、所得や富の不平等の程度を表します。直線に近いほど平等であり、直線から離れるほど不平等が大きいことを意味します。

### ジニ係数
ジニ係数は、ローレンツ曲線を用いて計算される不平等の数値指標です。ジニ係数は0から1（または0%から100%）の範囲で表され、数値が大きいほど不平等が大きいことを示します。
・ジニ係数が0（または0%）であれば、完全な平等（すべての人が同じ所得または富を持つ）を意味します。
・ジニ係数が1（または100%）であれば、完全な不平等（一人が全ての所得または富を持ち、残りは何も持たない）を意味します。

### ジニ係数の計算
ジニ係数は、45度の直線（完全平等線）とローレンツ曲線との間の領域の面積を、45度の直線の下の三角形の面積で割った値として計算されます。式で表すと、次のようになります。
![image.png](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/491751/5b35ba7a-610b-0d3a-ffc9-ea717e11df8d.png)
ここで、Aは45度の直線とローレンツ曲線との間の領域の面積、Bはローレンツ曲線の下の領域の面積です。
ローレンツ曲線とジニ係数は、社会の所得や富の分配の公平性を評価するための重要なツールであり、政策立案や経済分析において広く利用されています。

## コレログラムの選択
コレログラムは、時系列データや空間データなどのデータセットにおいて、異なる時点間または位置間での変数の相関（自己相関）を視覚的に表現するグラフです。
自己相関は、ある時点の観測値が他の時点の観測値とどの程度関連しているかを示し、データの周期性やパターンを理解するのに役立ちます。

### コレログラムの選択における主要な考慮事項
1.目的の明確化:
コレログラムを使用する主な目的は何かを明確にします。例えば、季節性の検出、トレンドの同定、あるいは特定のラグ（遅延）での自己相関の強さを評価することが目的かもしれません。
2.ラグの最大数:
分析に含めるラグ（遅延）の最大数を決定します。時系列データの周期性や既知のシーズンパターンに基づいて、適切なラグの最大数を選択します。過度に多くのラグを含めると、解釈が難しくなる可能性があります。
3.データの性質:
データの定常性を考慮します。非定常時系列データ（トレンドや季節性を含む）では、データを先に変換して定常性を確保することがしばしば必要です。これは、自己相関を正確に評価するために重要です。
4.季節性の考慮:
データに季節性が存在する場合、季節性の周期に応じてラグを選択します。例えば、月次データで年間の季節性を調べる場合は、12のラグを重点的に検討します。
5.統計的有意性:
コレログラムには自己相関係数の統計的有意性を示す信頼区間（通常は95%信頼区間）が表示されることがあります。これにより、観測された自己相関が偶然の結果でないことを判断できます。

### コレログラムの解釈
・自己相関係数の値:
自己相関係数は-1から+1の間の値を取ります。+1に近い値は強い正の自己相関を、-1に近い値は強い負の自己相関を示します。0に近い値は、ほとんどまたは全く相関がないことを意味します。
・周期的なパターン:
コレログラムが周期的なパターンを示す場合、データには明確な季節性または周期性が存在することを示します。これらのパターンは、予測モデルの構築や分析のための重要な手がかりとなります。
コレログラムは、時系列データの自己相関を理解し、データの特性や潜在的なモデリング戦略を明らかにするための強力なツールです。
適切に選択され解釈されたコレログラムは、データ分析プロジェクトにおける重要

## ラスパイレス指数の計算式
ラスパイレス指数は、価格指数の一種で、特定の基準期における商品バスケットの価格を基準として、現在期または別の期間の同一商品バスケットの価格を比較することにより、価格の変動を測定します。この指数は、一般的にインフレーションの測定や生活費の変動の分析に使用されます。

#### ラスパイレス価格指数の計算式
ラスパイレス価格指数は以下の式で計算されます：
![image.png](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/491751/81199e87-ed45-9744-cc82-27412a9616e3.png)

ここで
![image.png](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/491751/73ab97e5-cbcc-5140-6d31-3e804ebd16d1.png)

### 特徴と用途
・ラスパイレス指数は、基準期の数量（または消費パターン）を固定して、価格の変動のみを測定します。これにより、時間の経過とともに商品やサービスの価格がどのように変化したかを評価することができます。
・指数は、経済内での価格変動の影響を受ける消費者の購買力の変化を測定するのに役立ちます。特に、インフレーション率の計算や、異なる時期間での生活費の比較に使用されます。

### 制限
・ラスパイレス指数は基準期の消費パターンに基づいているため、時間の経過とともに消費者の嗜好が変化すると、指数は現実の消費行動を反映しなくなる可能性があります。これは「基準期の固定」バイアスとして知られています。

ラスパイレス指数は、経済内の価格変動を理解し、政策立案や経済分析において重要な役割を果たします。
しかし、長期間にわたる分析では、消費パターンの変化を考慮する必要があり、これを補うために他の指数（例えばパーシェ指数）と併用されることがあります。