リューダースの波束の収縮仮説

# 1. はじめに
この記事は谷村省吾先生が不確定性関係について書かれた解説書「多様化する不確定性関係」<sup>1)</sup>のP.45にある**波束の収縮仮説**を読んでまとめたものである。説明が省かれている部分は、これも谷村先生が書かれた著書「量子力学10講」<sup>2)</sup>の主に「第３講 物理量を表す演算子」から補っている。

波束の収縮仮説は**射影仮説**とも呼ばれ、物理量を測定したとき、それまでシュレディンガー方程式にしたがっていた状態関数が、固有値（測定値）に対応する固有関数に収束するという仮説である。ヒルベルト空間上の状態ベクトルが固有ベクトル空間上に射影されるのでこう呼ばれている。

# 2. 量子力学における大法則
$\lbrace \ket{\chi\_1}, \ket{\chi\_2}, \dots \rbrace$ が CONS（Complete Orthonormal System: 完全規格直交系）であるとき、ヒルベルト空間 $\mathcal{H}$ 上の任意のベクトル $\ket{\psi}$　は

```math
\ket{\psi} = \sum_{s} c_s \ket{\chi_s} \tag{2.1}
```

と展開できる。
(2.1)式の両辺に $\bra{\chi\_r}$ との内積を施すと

```math
\braket{\chi_r|\psi} = \sum_{s} c_s \braket{\chi_r|\chi_s} 
= \sum_{s} c_s \delta_{rs} = c_r \tag{2.2}
```
を得るが、(2.2)式の添え字 $r$ を $s$ に読み替えて $c\_s = \braket{\chi_s|\psi}$ を(2.1)式の右辺の $c\_s$ に代入すると

```math
\ket{\psi} = \sum_{s} \ket{\chi_s} c_s = \sum_{s} \ket{\chi_s} \braket{\chi_s|\psi}  \tag{2.3}
```
となる。この式から形式的に

```math
\sum_{s} \ket{\chi_s} \bra{\chi_s} = \hat{I} \tag{2.4}
```

とみなすことができる。これをファインマンは量子力学の大法則と呼んでいる<sup>3)</sup>。

# 3. 縮退がある場合
演算子 $\hat{A}$ の $k$ 重に縮退している固有値 $\lambda$ に属する規格化された直交固有ベクトルを $\lbrace \ket{v\_\lambda^{(1)}}, \dots, \ket{v\_\lambda^{(k)}} \rbrace $ とする。すなわち、$r = 1, \dots, k$ として

```math
\hat{A} \ket{v_\lambda^{(r)}} = \lambda \ket{v_\lambda^{(r)}}. \tag{3.1}
```
固有ベクトルは規格直交化されているので

```math
\braket{v_{\lambda}^{(r)}|v_{\lambda'}^{(r')}} = \delta_{\lambda,\lambda'} \delta_{r,r'}. \tag{3.2}
```
固有ベクトル $\lbrace \ket{v_\lambda^{(r)}} \rbrace\_{r=1}^{k}$ は CONS を構成するので、ヒルベルト空間 $\mathcal{H}$ 上の任意のベクトル $\ket{\psi}$ は

```math
\ket{\psi} = \sum_{\lambda} \sum_{r=1}^{k} c_{\lambda}^{(r)} \ket{v_\lambda^{(r)}} \tag{3.3}
```
と展開できる。
(3.3)式の両辺に $\bra{v\_\lambda^{(r)}}$ との内積を施すと

```math
\begin{equation}
\begin{split}

\braket{v_\lambda^{(r)}|\psi} &= \braket{v_\lambda^{(r)}| \left( \sum_{\lambda'} \sum_{r'=1}^{k} c_{\lambda'}^{(r')} \ket{v_{\lambda'}^{(r')}} \right) } \\
&= \sum_{\lambda'} \sum_{r'=1}^{k} c_{\lambda'}^{(r')} \braket{v_\lambda^{(r)}|v_{\lambda'}^{(r')}} \\
&= \sum_{\lambda'} \sum_{r'=1}^{k} c_{\lambda'}^{(r')} \delta_{\lambda, \lambda'} \delta_{r, r'} \\
&= c_{\lambda}^{(r)}

\end{split}
\end{equation}
\tag{3.4}
```
(3.4)式を(3.3)式に代入すると

```math
\ket{\psi} = \sum_{\lambda} \sum_{r=1}^{k} \ket{v_\lambda^{(r)}} c_{\lambda}^{(r)} = \sum_{\lambda} \sum_{r=1}^{k} \ket{v_\lambda^{(r)}} \braket{v_\lambda^{(r)}|\psi}
\tag{3.5}
```
となるが、(2.3)式から(2.4)式を得たのと同様に、(3.5)式から形式的に

```math
\sum_{\lambda} \sum_{r=1}^{k} \ket{v_\lambda^{(r)}} \bra{v_\lambda^{(r)}} = \hat{I}
\tag{3.6}
```
が得られる。これはファインマンの「量子力学の大法則」の縮退がある場合のバージョンである。

# 4. ボルンの確率公式
演算子 $\hat{A}$ で表される物理量を測定するとその測定値は $\hat{A}$ の固有値のいずれかになる。固有値以外の値を取ることはない。系の状態がヒルベルト空間 $\mathcal{H}$ 上の単位ベクトル $\ket{\psi}$ の場合、物理量 $\hat{A}$ の測定値が固有値 $\lambda$ になる確率は

```math
\mathbb{P} (\hat{A} = \lambda | \psi) = \sum_{r=1}^{k} \left| \braket{v_\lambda^{(r)}|\psi} \right| ^2
\tag{4.1}
```
で表される。これをボルンの確率公式という。
この確率をヒルベルト空間 $\mathcal{H}$ 上で見ると下図のようになる。

![Fig1.png](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/3538461/fd0f7c27-85ae-a2a7-0ff8-3d8c61509350.png)

固有値 $\lambda$ に属する固有ベクトル $\lbrace \ket{v_\lambda^{(r)}} \rbrace_{r=1}^{k}$ が張る部分空間を $M_\lambda$ とすると、状態ベクトル $\ket{\psi}$ から $M_\lambda$ へ射影したベクトル $\hat{\Pi}_\lambda \ket{\psi}$ （後述）のノルムの２乗が(4.1)式で与えられる確率になる。

# 5. スペクトル分解
(3.5)式の $\ket{\psi}$ に $\hat{A}$ を作用させると

```math
\begin{equation}
\begin{split}

\hat{A} \ket{\psi} &= \hat{A} \left( \sum_{\lambda} \sum_{r=1}^{k} \ket{v_\lambda^{(r)}} \braket{v_\lambda^{(r)}|\psi} \right) \\
&= \sum_{\lambda} \sum_{r=1}^{k} \hat{A} \ket{v_\lambda^{(r)}} \braket{v_\lambda^{(r)}|\psi} \\
&= \sum_{\lambda} \sum_{r=1}^{k} \lambda \ket{v_\lambda^{(r)}} \braket{v_\lambda^{(r)}|\psi} \\

\end{split}
\end{equation}
\tag{5.1}
```
となる。２行目から３行目に移るとき(3.1)式を用いた。
ここで、

```math
\hat{\Pi}_\lambda := \sum_{r=1}^{k} \ket{v_\lambda^{(r)}} \bra{v_\lambda^{(r)}} \tag{5.2}
```
とおくと、(5.1)式は $\hat{A} \ket{\psi} = \sum\_{\lambda} \lambda \hat{\Pi}\_\lambda \ket{\psi}$ となり、これから $\ket{\psi}$ を取り除くと

```math
\hat{A} = \sum_{\lambda} \lambda \hat{\Pi}_\lambda \tag{5.3}
```
という関係式を得る。これを $\hat{A}$ の**スペクトル分解**という。
(5.2)式で定義される演算子 $\hat{\Pi}\_\lambda$ は固有値 $\lambda$ に属する固有ベクトル $\lbrace \ket{v_\lambda^{(r)}} \rbrace_{r=1}^{k}$ が張る部分空間 $M_\lambda$ への射影演算子になっている。そして、(5.3)式は演算子 $\hat{A}$ は固有値 $\lambda$ を係数とする射影演算子 $\hat{\Pi}\_\lambda$ の線形結合になっていることを表している。
ファインマンの「量子力学の大法則」(3.6)式は(5.2)式で定義される射影演算子 $\hat{\Pi}\_\lambda$ を用いて

```math
\sum_{\lambda} \hat{\Pi}_\lambda = \hat{I}
\tag{5.4}
```
と表される。つまり、射影演算子 $\hat{\Pi}\_\lambda$ をすべての固有値 $\lambda$ について足し合わせると恒等演算子 $\hat{I}$ になる。

# 6. 波束の収縮仮説
ボルンの確率公式(4.1)は

```math
\begin{equation}
\begin{split}

\mathbb{P} (\hat{A} = \lambda | \psi) &= \sum_{r=1}^{k} \left| \braket{v_\lambda^{(r)}|\psi} \right| ^2 \\
&= \sum_{r=1}^{k} \braket{\psi | v_\lambda^{(r)}} \braket{v_\lambda^{(r)} | \psi} \\
&= \bra{\psi} \left( \sum_{r=1}^{k} \ket{v_\lambda^{(r)}} \bra{v_\lambda^{(r)}} \right) \ket{\psi} \\
&= \braket{\psi|\hat{\Pi}_\lambda|\psi} \\

\end{split}
\end{equation}
\tag{6.1}
```
と変形できる。ここで、３行目から４行目に移る際に射影演算子 $\hat{\Pi}\_\lambda$ の定義式(5.2)を使った。２度射影しても同じ結果になるという射影演算子の性質 

```math
{\hat{\Pi}_\lambda}^2 = \hat{\Pi}_\lambda \tag{6.2}
```

を(6.1)式に代入すれば

```math

\mathbb{P} (\hat{A} = \lambda | \psi) 
= \braket{\psi|\hat{\Pi}_\lambda|\psi} 
= \braket{\psi|{\hat{\Pi}_\lambda}^2|\psi} 
= \| \hat{\Pi}_\lambda \ket{\psi} \|^2
\tag{6.3}
```
となる。
Fig.1に示すように $\hat{\Pi}\_\lambda \ket{\psi}$ は $\ket{\psi}$ の部分空間 $M\_\lambda$ への射影ベクトルであるが、(6.3)式は、物理量 $\hat{A}$ を測定して $\lambda$ になる確率がこの射影ベクトルのノルムの２乗になっていることを示している。

$\hat{\rho}$ を系の状態を表す密度行列として

```math
\hat{\rho} = \ket{\psi} \bra{\psi} \tag{6.4}
```

とすると、(5.2)式を用いて

```math
\hat{\Pi}_{\lambda} \hat{\rho} = \sum_{r=1}^{k} \ket{v_\lambda^{(r)}} \braket{v_\lambda^{(r)}|\psi} \bra{\psi} \tag{6.5}
```
となるが、このトレースをとると

```math
\begin{equation}
\begin{split}

\mathrm{Tr}(\hat{\Pi}_{\lambda} \hat{\rho}) 
&= \sum_{\lambda'} \sum_{r'=1}^{k} \bra{v_{\lambda'}^{(r')}} \hat{\Pi}_{\lambda} \hat{\rho} \ket{v_{\lambda'}^{(r')}} \\
&= \sum_{\lambda'} \sum_{r'=1}^{k} \bra{v_{\lambda'}^{(r')}} \left( \sum_{r=1}^{k} \ket{v_\lambda^{(r)}} \braket{v_\lambda^{(r)}|\psi} \bra{\psi} \right) \ket{v_{\lambda'}^{(r')}} \\
&= \sum_{\lambda'} \sum_{r'=1}^{k} \sum_{r=1}^{k} \braket{v_{\lambda'}^{(r')} | v_\lambda^{(r)}} \braket{v_\lambda^{(r)}|\psi} \braket{\psi | v_{\lambda'}^{(r')}} \\
&= \sum_{\lambda'} \sum_{r'=1}^{k} \sum_{r=1}^{k} \delta_{\lambda', \lambda} \delta_{r',r} \braket{v_\lambda^{(r)}|\psi} \braket{\psi | v_{\lambda'}^{(r')}} \\
&= \sum_{r=1}^{k} \braket{v_\lambda^{(r)}|\psi} \braket{\psi | v_{\lambda}^{(r)}} \\
&= \sum_{r=1}^{k} \left| \braket{v_\lambda^{(r)}|\psi}  \right|^2 
= \mathbb{P} (\hat{A} = \lambda | \psi)

\end{split}
\end{equation}
\tag{6.6}
```
となる。ここで、３行目から４行目に移る際に規格直交条件式(3.2)を、６行目ではボルンの確率公式(4.1)を用いた。
一方、(6.2)式を用いると

```math
\mathrm{Tr}(\hat{\Pi}_{\lambda} \hat{\rho}) 
= \mathrm{Tr}({\hat{\Pi}_{\lambda}}^2 \hat{\rho}) 
= \mathrm{Tr}(\hat{\Pi}_{\lambda} \hat{\Pi}_{\lambda} \hat{\rho}) 
= \mathrm{Tr}(\hat{\Pi}_{\lambda} \hat{\rho} \hat{\Pi}_{\lambda}) 

\tag{6.7}
```
であるから、(6.6)式と(6.7)式から

```math
\mathrm{Tr}(\hat{\Pi}_{\lambda} \hat{\rho} \hat{\Pi}_{\lambda}) = \mathbb{P} (\hat{A} = \lambda | \psi)

\tag{6.8}
```
となり、これは、物理量 $\hat{A}$ を測ったときに測定値 $\lambda$ を得る確率を求める際に、密度行列が

```math
\hat{\rho} \longmapsto \hat{\rho'} = \hat{\Pi}_{\lambda} \hat{\rho} \hat{\Pi}_{\lambda} \tag{6.9} 
```
に変化していることを表している。
(6.4)式を用いると、(6.9)式は

```math
\ket{\psi} \bra{\psi} \longmapsto \ket{\psi'} \bra{\psi'} = \hat{\Pi}_{\lambda} \ket{\psi} \bra{\psi} \hat{\Pi}_{\lambda} \tag{6.10} 
```
となり、これは測定前の状態ベクトル $\ket{\psi}$ が、測定値 $\lambda$ を得た後には

```math
\ket{\psi} \longmapsto \ket{\psi'} = \hat{\Pi}_{\lambda} \ket{\psi} \tag{6.11} 
```
へと変化することを意味している。これがリューダースが提案した波束の収縮仮説である。

# 7. おわりに
参考文献 1 の 45頁に

>対象系の状態が規格化された密度行列 $\hat{\rho}$ で表されているなら、物理量 $\hat{A}$ を測ったときに測定値として $a$ を得る確率は $$ \mathrm{Prob}(\hat{A} = a) = \mathrm{Tr}(\hat{E}\_A (a) \hat{\rho}) \tag{12.2} $$ に等しく、この測定値を得たとき、系の状態を表す密度行列は $$ \hat{\rho} \longmapsto \hat{\rho'} = \hat{E}\_{A}(a) \hat{\rho} \hat{E}\_{A}(a) \tag{12.3} $$ （規格化されていない密度行列）へと変化する、というのがリューダースが提案した波束の収縮仮説である。

とある。ここで、(12.2)式、(12.3)式はこの記事ではそれぞれ(6.6)式、(6.9)式に対応している。当初、なぜ(12.2)式のようなことが言えるのかがわからなかったが、(6.6)式のように式変形していくと $\hat{\Pi}\_\lambda \hat{\rho}$ のトレースが測定値 $\lambda$ を得る確率になることがわかった。また、(12.3)式の意味も最初はわからなかったが、射影行列の性質とトレースの公式から(6.7)式のように $\hat{\Pi}\_\lambda \hat{\rho}$ のトレースが $\hat{\Pi}\_\lambda \hat{\rho} \hat{\Pi}\_\lambda$ のトレースと等しくなることから(6.9)式のような測定に伴う密度行列の変化 $$ \hat{\rho} \longmapsto \hat{\rho'} = \hat{\Pi}\_{\lambda} \hat{\rho} \hat{\Pi}\_{\lambda} $$ が理解できた。これは(6.10)式を介して(6.11)式のような状態ベクトルの変化、つまり波束の収縮 $$\ket{\psi} \longmapsto \ket{\psi'} = \hat{\Pi}\_{\lambda} \ket{\psi}$$ へと至る。

とはいえ、数学的な式変形でこれが波束の収縮だと言われても物理的な意味合いは相変わらずよくわからない。測定の瞬間にそれまで確率的な情報であった物理量が具体的な測定値に変化するメカニズムは量子力学の枠組みの中では語られていない。そのため多世界解釈など波束の収縮を必要としないさまざまな解釈が生まれてきた。観測に伴って系の状態が瞬間的に変化するこの仮説の罪深さをひしひしと感じざるを得ない。

# 参考文献
1. 谷村省吾：多様化する不確定性関係. https://nagoya.repo.nii.ac.jp/record/28505/files/tanimura-uncertainty-revised.pdf （2024.1.22 参照）
2. 谷村省吾：量子力学10講. 名古屋大学出版会, 2021. 
3. ファインマン：ファインマン物理学Ⅴ 量子力学. 岩波書店, 1986.

# 付録A 密度行列のトレース
(6.6)式で部分空間 $M\_\lambda$ に射影された密度行列 $\hat{\Pi}\_\lambda \hat{\rho}$ のトレースは測定値 $\lambda$ が観測される確率になっていることを示したが、ここでは密度行列 $\hat{\rho} = \ket{\psi} \bra{\psi}$ のトレースは一般に何を意味しているのかを確認しておきたい。

まず、(3.3)式で示したように、ヒルベルト空間 $\mathcal{H}$ 上の任意のベクトル $\ket{\psi}$ は

```math
\ket{\psi} = \sum_{\lambda} \sum_{r=1}^{k} c_{\lambda}^{(r)} \ket{v_\lambda^{(r)}} \tag{A.1}
```
のように物理量 $\hat{A}$ の固有関数 $\ket{v\_\lambda^{(r)}}$ の線形結合で展開できる。
これを使うと

```math
\begin{equation}
\begin{split}

\mathrm{Tr}(\hat{\rho}) &= \mathrm{Tr}(\ket{\psi} \bra{\psi}) \\

&= \sum_{\lambda'} \sum_{r'=1}^{k} \bra{v_{\lambda'}^{(r')}} (\ket{\psi} \bra{\psi}) \ket{v_{\lambda'}^{(r')}} \\

&= \sum_{\lambda'} \sum_{r'=1}^{k} \bra{v_{\lambda'}^{(r')}} \left( \sum_{\lambda} \sum_{r=1}^{k} c_{\lambda}^{(r)} \ket{v_\lambda^{(r)}} \right) \left( \sum_{\lambda^"} \sum_{r^"=1}^{k} {c^*}_{\lambda^"}^{(r^")} \bra{v_{\lambda^"}^{(r^")}} \right) \ket{v_{\lambda'}^{(r')}} \\

&= \sum_{\lambda'} \sum_{r'=1}^{k} \left( \sum_{\lambda} \sum_{r=1}^{k} c_{\lambda}^{(r)} \braket{v_{\lambda'}^{(r')}|v_\lambda^{(r)}} \right) \left( \sum_{\lambda^"} \sum_{r^"=1}^{k} {c^*}_{\lambda^"}^{(r^")} \braket{v_{\lambda^"}^{(r^")}|v_{\lambda'}^{(r')}} \right) \\

&= \sum_{\lambda'} \sum_{r'=1}^{k} \left( \sum_{\lambda} \sum_{r=1}^{k} c_{\lambda}^{(r)} \delta_{\lambda',\lambda} \delta_{r',r} \right) \left( \sum_{\lambda^"} \sum_{r^"=1}^{k} {c^*}_{\lambda^"}^{(r^")} \delta_{\lambda^",\lambda'} \delta_{r^",r'} \right) \\

&= \sum_{\lambda'} \sum_{r'=1}^{k} \left( c_{\lambda'}^{(r')} \right) \left( {c^*}_{\lambda'}^{(r')} \right) \\

&= \sum_{\lambda'} \sum_{r'=1}^{k} \left| c_{\lambda'}^{(r')} \right|^2 \\

&= \sum_{\lambda'} \sum_{r'=1}^{k} \left| \braket{v_{\lambda'}^{(r')}|\psi} \right|^2 \\

&= \sum_{\lambda'} \sum_{r'=1}^{k} \braket{\psi|v_{\lambda'}^{(r')}} \braket{v_{\lambda'}^{(r')}|\psi} \\

&= \braket{\psi|\left( \sum_{\lambda'} \sum_{r'=1}^{k} \ket{v_{\lambda'}^{(r')}} \bra{v_{\lambda'}^{(r')}} \right)|\psi} \\

&= \braket{\psi|\hat{I}|\psi} = \braket{\psi|\psi} = \left|| \ket{\psi} \right||^2\\

\end{split}
\end{equation}
\tag{A.2}
```
となる。ここで４行目から５行目に移る際に規格直交化条件式(3.2)を、７行目から８行目に移る際に(3.4)式を、そして最後の２行の式展開では縮退バージョンのファインマンの量子力学の大法則(3.6)式を使った。
(A.2)式は、密度行列のトレースは状態ベクトルのノルムの２乗であることを表している。状態ベクトルは規格化されているのでこれは $1$ になる。波束の収縮では(6.11)式に示すように状態ベクトル $\ket{\psi}$ は部分空間 $M\_\lambda$ に射影されて $\hat{\Pi}\_\lambda \ket{\psi}$ になるので、そのときの密度行列の変化に伴って(6.6)式で与えられる確率が得られると解釈できる。以上から密度行列のトレースは確率を与えることがわかった。

## 追記（2024.1.23）
谷村省吾先生の過去の記事<sup>※1)</sup>を読んでいて密度行列の働きが分かったので引用しておく（P.2）。

>より一般の状態は，von Neumann と Landau が導入した密度行列 $\hat{\varrho}$ で表され，物理量 $A$ を測って測定値 $a\_n$ を得る確率は $p\_n = \mathrm{Tr}(\hat{Π}\_n \hat{\varrho})$，$A$ の平均値は $\langle A \rangle = \mathrm{Tr}(\hat{A} \hat{\varrho})$ で与えられる．

さらにリューダースの波束の収縮仮説は正しくないと書いてある（P.4）。

>測定直後の密度行列は $$\hat{\varrho}\_n = \frac{1}{p\_n} \hat{\Pi}\_n \hat{\varrho} \hat{\Pi}\_n \tag{7}$$ で与えられるというのが von Neumann-Luders の射影仮説だ．しかしこのように修正された射影仮説も現実には正しくないことが今ではわかっている．

として P.6 で間接測定モデルと状態遷移測による密度行列の式が紹介されている。しかし、P.7 で特別な場合として，誤差ゼロの間接測定モデルではリューダースの射影仮説を再現するとしている。詳細は文献※1をあたって欲しい。

- ※1 谷村省吾：波動関数は実在するか－物質的存在ではない．二つの世界をつなぐ窓口である. 数理科学, 51 巻 12 号, 14-21, サイエンス社, 2013 年 12 月. http://www.phys.cs.is.nagoya-u.ac.jp/~tanimura/paper/mathsci2013.pdf （2024.1.23 参照）