【統計学】分布

# ０.はじめに
大学で統計学の講義を受講している者です。
用語や概念をまとめて以下の項目に分類しています。

##### 統計学学習全体像
[【統計学】概要](https://qiita.com/AkihideKato/items/084ace871bb867635f1d)
[【統計学】度数・偏差・分散](https://qiita.com/AkihideKato/items/dd06906886521a27bb39)
[【統計学】係数・回帰](https://qiita.com/AkihideKato/items/ea4b64a8a69b21ff25ac)
[【統計学】集計表](https://qiita.com/AkihideKato/items/3c139087ec6f5462e2b4)
[【統計学】集団・標本](https://qiita.com/AkihideKato/items/dae23d8d09a764e158aa)
[【統計学】分布](https://qiita.com/AkihideKato/items/6daf349eef4e98b38a91)
[【統計学】期待値・推定・信頼度](https://qiita.com/AkihideKato/items/43672f6d69af9cebc5e6)
[【統計学】統計的検定](https://qiita.com/AkihideKato/items/6b8eff70b66ee3513141)

# １．傾向
### 分布の傾向
下がっている側に平均値が見られる傾向がある		
		
**``左側に下がっているグラフ``**		
平均値⇒中央値⇒最頻値の順になるのが一般的	

**``右側に下がっているグラフ``**		
最頻値⇒中央値⇒平均値の順になるのが一般的	
（日本国民の給料値、最頻額は平均の給与より低い）	

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### 散布図の傾向 
散布図内のプロットが密集している場合は関係が強い傾向がある	
右上がり、右下がりで関連の強さが把握できる	
正/負の相関によって分布に特徴が表れる	


# ２．二項分布(B)
```math
関数（s:成功数\,\,,\,\,n;試行回数\,\,,\,\,p:Sの生起確率）
```
```math
= BINOM.DIST(s,n,p,FALSE)
```
**n回数ベルヌーイ試行を行った結果の成功(S)した回数xの確率分布のこと**	
例としてコインを3回投げた時の表の出る回数x	
試行回数を大きくすると正規分布に近づく	
![image.png](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/581998/aa966dc7-c16e-1f43-9053-b8ce6748aec5.png)

### 表現方法
``B(n,p)``として表す	
試行回数``10``の成功(S)の生起確率が``0.5``の場合：``B(10,0.5)``	
不良品率``p``の多数の製品の中から``n個``の製品を無作為に取り出した時、	
その中に含まれる不良品の個数``x``の二項分布は``B(n,p)	``

### 確率関数
``p(x)``として表す
```math
n：試行回数\,\,,\,\,x：成功回数\,\,,\,\,S：成功の事\,\,,\,\,F：失敗回数	
```
```math
p(x) = nCx × px × (1-p)n-x
```

#### nCx と px と(1-p)n-xに分けて考える
- **nCx・・・①**				
組み合わせのこと				
``6個``のうち``3個``取り出す組み合わせは``6C3``				
したがって``n回``の試行のうち成功Sが``x回``起こる場合は``nCx``				
- **px・・・②**				
確率``p``の成功``S``が``x回``起こる確率は``p × x``			
よって``px``								
- **(1-p)n-x・・・③**				
失敗の数を求めたい				
全体``1``から確率``p``を引き成功``S``の回数``n``から				
成功回数の``x``を引いた数を掛ければ失敗確率が求められる				
よって``(1-p)n-x``となる				
失敗回数を掛けるのには失敗回数含めての確率を求めるのが二項分布のため				

②の成功と③の失敗の確率で起こる
``nCx通り``あるので掛け合わせることで二項分布の確率関数を得ることができる

### 二項分布を利用した指標
期待値・分散が求められる
``全体回数：n、確率：p``をした場合、
- 二項分布→期待値の求め方
```math
期待値E(x) = np
```

- 二項分布→分散の求め方
```math
分散V(x) = np(1-p)
```

### 例題
とある企業にて		
全体の``60%``の社員が食堂を利用したことがない		
無作為に選んだ``5人``の社員のうち、``4人``以上が利用したことがないという確率はいくつか

### A.
二項分布で求める	
利用したことがない確率は``0.6``		
試行回数``n``は``5人``のため``5回``		
**成功数s：4人以上のため4、と5人のときも考えなければいけないので5も計算をする**
```math
BINOM.DIST(4,5,0,6,FAISE) = 0.25
```
```math
BINOM.DIST(5,5,0.6,FALSE) = 0.07
```
``0.25 + 0.07 =0.32``
約``32%``が利用したことがないことになる


# ３．ポアソン分布
```math
関数
```
```math
= POISSON.DIST(生起回数,λ,FALSE)
```
**稀な現象が起こる生起回数の確率**	
ある期間に平均``λ回``起こる現象がある期間の``x回``起こる確率の分布がポアソン分布	
二項分布と近しい分布の一つ	
ポアソン分布 ≒ 二項分布	

### n×p
二項分布においては``np``は期待値としていたが
ポアソン分布においては``λ = np``として表す
これは``n``を限りなく大きくして``p``を限りなく小さくするといった
極限についての式となる

### λ
平均値と考えていい
``np``は期待値、よって``λ = np（期待値）``
期待値は平均値
``λ``が大きくなるほどグラフが左右対称になっていく
![image.png](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/581998/8599fdee-8b09-df18-9af1-36de701d05f1.png)


# ４．正規分布(N)
```math
関数
```
```math
NORM.DIST(xの値,平均,標準偏差,TRUE)
```
**平均値と最頻値と中央値が一致し左右対称となっている分布**
釣鐘型、左右対称のパターンの際の確率モデルとして正規分布がよく用いられる
**標本数が十分大きい場合**には正規分布が使用される
（標本数が小さい場合にt分布が使用）
平均値と分散の値によって形状が決まる

![image.png](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/581998/abfd13d8-4cb4-7035-0d1a-87c497402116.png)
### 標準正規分布		
平均が**0**、分散が**1**の正規分布	
		
### 表現方法N(μ,σ²)		
(平均,分散)として表す	
``平均50``、``分散10``の正規分布である場合は``N(50,10)``	

### 例題		
学生の平均身長は``168cm``	
分散は``49``	
標準偏差は分散の平方根のため``7	``
身長が``170cm``以下の割合を求めよ	

### A.
``=1-(NORM.DIST(168,170,7,true))``
結果``0.612``となり``61.2%``の割合がいる
![image.png](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/581998/f83dc4b6-b161-02b8-1b6d-595000095e7c.png)


# ５．t分布
```math
関数
```
```math
t_df=T.INV.2T(両側確率,自由度)
```
**自由度に応じたさまざまな分布の総称**のこと
**標本数が小さい場合**にt分布が使用される
（標本数が十分大きい場合には正規分布）
母標準偏差σを標本不偏標準偏差Sで代用した値をtと置く	
二項分布→正規分布と同様に自由度が大きくなるほど標準正規分布に近づいていく	

### 記号
|記号|詳細|
|:---:|:---:|
tdf|自由度
s|標本標準偏差
n|標本サイズ
x̄|標本平均
μ|母集団平均

Xがt分布に従うとき以下の計算式を用いる
```math
t分布 = \frac{標本平均-母集団平均}{標本標準偏差×\sqrt{標本サイズ}・・・①}
```
```math
t = \frac{\bar{x}-μ}{s\sqrt{n}}
```
ある値x⁻が与えられたときt分布の中で
どれくらいの標準偏差に位置するかを表す式が以下となる
```math
t分布の位置 = 標本平均-自由度×① , 標本平均+自由度×①
```
```math
\bar{x}-t_df × s\sqrt{n}\,\,\,\,,\,\,\bar{x}＋t_df × s\sqrt{n}
```
求められた範囲のイメージ
![image.png](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/581998/9f317fc0-7a31-0197-eae9-e58e254bbffa.png)

### 例題
日本人の``20~24``歳男性の平均身長を知りたいので標本として``16人``を無作為抽出し身長を測定した結果
平均``171.95``、標準偏差``5.59cm``であった。また母集団は正規分布にしたがっているが
母分散は未知であるものとする。母平均の``95%``信頼区間を求める
``＜n =16 、標本平均x̄ = 171.95、標準偏差S = 5.59＞``

### A.
#### １．標本が小さいため自由度16から-1を行う
t分布計算方法
``T.INV.2T``を自由度15と両辺確率``0.05``で行う
``tdf =T.INV.2T(0.05,15) = 
tdf は2.13となる``

これにより自由度15の95%（上下5%区間）tdf = 2.13
**しかしここで求めた区間(tdf)は母平均μの95%信頼区間ではない**
自由度dfのt分布95%の面積に対するt値の範囲となる
t分布を用いた信頼区間式に値を代入し計算する

#### ２．自由度``15``の``95%（上下5%区間）tdf``を使い信頼区間を求める	
``(x̄ - tdf * s/√n)、(x̄ + tdf * s/√n)``	
``171.95 - 2.13 × 5.59√16、171.95 + 2.13 × 5.59/√16	``
解は``（168.97,174,93)``	となる

### 両側検定 
"p値を用いる場合"と"臨界値を用いる場合"の2つの方法がある
#### p値を用いる場合
```math
関数	
```
```math
p値 = T.DIST.2T
```

# ６．カイ二乗分布
```math
関数
```
```math
=CHISQ.INV.RT(上側確率,自由度）
```
```math
=CHISQ.INV.(下側確率,自由度）
```
**自由度によって形が変わる分布**	
自由度が大きくなるほど頂上が右側に寄っていく

![image.png](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/581998/03e76352-8f61-2a3a-baad-22b3b93fb6cb.png)

上位側と下位側の計算の二通りが必要
上側を求める場合RTを記述する。下側を求める場合は関数名RTなしの記述となる