ChatGPTとPythonで学ぶ スペクトラル埋め込み



皆さんこんにちは。今日も引き続きChatGPT先生をお迎えして、「ChatGPTとPythonで学ぶ スペクトラル埋め込み」というテーマで雑談したいと思います。それではChatGPT先生、よろしくお願いします。

---

### **assistant**:

こんにちは、皆さん。今日もわくわくする知識を一緒に学ぶ時間にしましょう。

今日のテーマである「スペクトラル埋め込み」は、高次元のデータを低次元に埋め込むための手法の一つです。特に、グラフデータの埋め込みによく使用されます。

スペクトラル埋め込みは大まかに以下のステップで行われます。

1. グラフのラプラシアン行列を作成します。 ラプラシアン行列は、グラフの接続性を表す行列であり、特定の性質（例えば、グラフの接続性）を分析するために使用されます。
2. ラプラシアンの固有値と固有ベクトルを計算します。固有ベクトルは、データの構造を保持しながら低次元空間に埋め込むために使用されます。

以上が主な流れになります。Pythonでは、numpyやscipyといったライブラリを使用してこれらの計算を行うことができます。

具体的なコードを見たほうが理解しやすいかと思いますので、以下に簡単な例を示してみます:

```python
import numpy as np
from scipy.linalg import eigh
from sklearn.neighbors import kneighbors_graph

# データを作成します (ここでは、ランダムな2次元データを使用します)
data = np.random.rand(100, 2)

# k-近傍グラフを作成します (隣接行列を作成します)
A = kneighbors_graph(data, n_neighbors=5).toarray()

# データ数
n_samples = data.shape[0]

# ラプラシアン行列を計算します
D = np.diag(A.sum(axis=1))
L = D - A

# ラプラシアンの固有値と固有ベクトルを計算します
vals, vecs = eigh(L)

# もっとも小さい固有値を除いたk個の固有ベクトルを取得します
n_components = 2
embedding = vecs[:, 1:(1 + n_components)]

# 埋め込み結果を表示します
print(embedding)
```


    [[ 0.0419006   0.01608497]
     [ 0.01826059 -0.00706824]
     [ 0.04102344 -0.04938224]
     [ 0.03658825  0.01878251]
     [-0.05044031  0.03358375]
     [-0.01794616 -0.06353282]
     [ 0.00301013  0.01329096]
     [-0.14230724 -0.38586141]
     [-0.00529861 -0.02483078]
     [ 0.02306166 -0.00585133]
     [-0.04662801 -0.14962447]
     [ 0.02800568  0.02158065]
     [ 0.02626258  0.01410465]
     [-0.09685324  0.01421606]
     [ 0.01590734 -0.01302069]
     [ 0.00989515  0.01956951]
     [-0.06053255  0.00130345]
     [ 0.012818    0.01320963]
     [ 0.04459296 -0.05275631]
     [-0.10791339 -0.28513589]
     [-0.03265372 -0.02582221]
     [-0.09544481 -0.22465623]
     [ 0.00052673 -0.03951138]
     [-0.03812169  0.02751859]
     [-0.2400733   0.09379264]
     [-0.00521204 -0.02090819]
     [-0.00709289 -0.04701194]
     [-0.02441088 -0.08386908]
     [-0.35975991  0.14130024]
     [-0.11999254 -0.28050785]
     [ 0.01630745  0.00059144]
     [ 0.01845281 -0.01292724]
     [-0.0955168   0.04549112]
     [ 0.03822893 -0.02507016]
     [-0.07359302 -0.12869191]
     [-0.25140862  0.0919464 ]
     [-0.05939925  0.03642329]
     [-0.084485   -0.23259947]
     [ 0.04840318 -0.0535059 ]
     [-0.06858368 -0.19354666]
     [ 0.03191568 -0.04500361]
     [ 0.00202201  0.01959239]
     [-0.0139909  -0.061604  ]
     [ 0.03625196  0.01505897]
     [ 0.03889218 -0.02242245]
     [-0.34369754  0.13220701]
     [-0.05848788 -0.16210586]
     [-0.00159109 -0.00498197]
     [-0.00717029  0.01140505]
     [ 0.00871861  0.0109812 ]
     [ 0.02286796 -0.02135581]
     [-0.32755341  0.12299637]
     [-0.02281366 -0.07630198]
     [-0.03435613 -0.10961722]
     [-0.34485046  0.13411296]
     [ 0.01612671  0.00530923]
     [-0.0645096   0.04028356]
     [-0.05533655  0.03737788]
     [-0.02539243  0.00184514]
     [ 0.00661567 -0.03919408]
     [-0.01362248  0.01430351]
     [-0.34192818  0.1324987 ]
     [-0.05509504 -0.10246601]
     [ 0.03717079 -0.00373172]
     [-0.07629587 -0.20370014]
     [-0.23268714  0.08172907]
     [ 0.02298961  0.01069332]
     [-0.05533655  0.03737788]
     [-0.00065983 -0.03993072]
     [ 0.01150383  0.01914171]
     [ 0.02642107 -0.02804112]
     [-0.08942025 -0.24546574]
     [-0.03136757  0.02401452]
     [ 0.02933992  0.01684549]
     [-0.14798184  0.03364862]
     [-0.08520207 -0.16477089]
     [ 0.00661567 -0.03919408]
     [-0.08917955 -0.20335557]
     [ 0.01587868  0.01826924]
     [-0.07084999 -0.01139389]
     [ 0.00321401  0.00917305]
     [ 0.02518964  0.00904283]
     [ 0.00639349  0.02300198]
     [-0.00422973  0.00242305]
     [ 0.02770056 -0.01506653]
     [-0.01023253 -0.04789523]
     [-0.00263088 -0.04524105]
     [ 0.03191568 -0.04500361]
     [ 0.00092616 -0.00414315]
     [ 0.03315554 -0.00769143]
     [ 0.03547014 -0.02907122]
     [ 0.03854312 -0.03886708]
     [ 0.01577836  0.01108918]
     [ 0.01231631  0.01176036]
     [-0.08243186 -0.04091809]
     [-0.0902537  -0.24248199]
     [-0.00670568  0.00062385]
     [-0.03273921  0.02443319]
     [-0.07394641 -0.21086541]
     [-0.0139909  -0.061604  ]]



この埋め込み結果を使って、データの可視化やクラスタリングなどの処理を行うことができます。

以上がスペクトラル埋め込みの基本的な考え方とPythonでの実装例です。これ以外にも、グラフの重み付けや正規化など、様々な改良が加えられています。


---

### **user**:

Spectral Embedding は scikit-learn では実装がないんですね？

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### **assistant**:

実はscikit-learnにはSpectral Embeddingを実装するための関数があって、それが `sklearn.manifold.SpectralEmbedding` です。

この関数を利用すると、先ほど説明した細かいステップを手作業で行うことなく、より簡単にSpectral Embeddingを実装することができます。

以下にその使用例を示します：

```python
from sklearn.manifold import SpectralEmbedding
import numpy as np

# データを作成します (ここでは、ランダムな2次元データを使用します)
data = np.random.rand(100, 2)

# Spectral Embeddingを作成します
embedding = SpectralEmbedding(n_components=2)

# データにfitを*します
embedding.fit(data)

# 変換したデータを取得します
transformed_data = embedding.transform(data)

print(transformed_data)
```

この`SpectralEmbedding`クラス内部では、先ほど説明したラプラシアン行列の作成や固有値・固有ベクトルの計算などが行われています。

---

### **user**:

次のエラーを修正したコードを書いてください。

```
---------------------------------------------------------------------------
AttributeError                            Traceback (most recent call last)
Cell In[2], line 14
     11 embedding.fit(data)
     13 # 変換したデータを取得します
---> 14 transformed_data = embedding.transform(data)
     16 print(transformed_data)

AttributeError: 'SpectralEmbedding' object has no attribute 'transform'
```

---

### **assistant**:

'SpectralEmbedding'オブジェクトには'transform'メソッドがありません。そのため、エラーが発生します。スペクトラルエンベッディングのfitメソッドを使用すると、元のデータがすでにトランスフォームされた状態でエンベッディングが計算されます。

したがって、以下のように修正することができます。

```python
from sklearn.manifold import SpectralEmbedding
import numpy as np

# データを作成します (ここでは、ランダムな2次元データを使用します)
data = np.random.rand(100, 2)

# Spectral Embeddingを作成します
embedding = SpectralEmbedding(n_components=2)

# データにfit_transformをします
transformed_data = embedding.fit_transform(data)

print(transformed_data)
```


    [[ 0.01167043  0.05665419]
     [ 0.05147501 -0.00438244]
     [-0.04908847  0.01347777]
     [ 0.04649492 -0.02996441]
     [ 0.05316287 -0.0184039 ]
     [ 0.02024194  0.06444123]
     [ 0.04568969 -0.03094553]
     [-0.03499039 -0.02539277]
     [-0.03505757 -0.02322703]
     [-0.00760767 -0.01446366]
     [-0.04058568  0.00762762]
     [ 0.01079404  0.05904486]
     [-0.00433294 -0.03710018]
     [ 0.0023208   0.00894297]
     [-0.00713117 -0.04726743]
     [ 0.04004486 -0.03215665]
     [ 0.04510497 -0.02736258]
     [ 0.04475352  0.00837253]
     [ 0.04499874 -0.02051206]
     [-0.03124342  0.02825181]
     [ 0.00174509 -0.04469105]
     [-0.01525115 -0.04231333]
     [-0.04966141  0.00771535]
     [ 0.00303098  0.03719838]
     [-0.02236798 -0.01171948]
     [-0.0472729   0.00626508]
     [-0.03406016 -0.02554535]
     [ 0.01634184  0.05614124]
     [ 0.0076228   0.03733698]
     [ 0.03703407  0.02626642]
     [-0.02756927 -0.03564751]
     [-0.04107576 -0.01039272]
     [-0.03337746  0.00726275]
     [ 0.02208032 -0.04223765]
     [-0.00092681 -0.03793284]
     [-0.01817041 -0.04309786]
     [-0.02974376  0.01175642]
     [-0.00791328 -0.04713706]
     [-0.03907398  0.01463253]
     [ 0.02384057  0.03877856]
     [-0.04022507  0.02244242]
     [ 0.01478067  0.04986435]
     [ 0.0278794   0.04554117]
     [-0.03848094  0.01410086]
     [ 0.02018477  0.06445692]
     [ 0.00671877 -0.04429214]
     [-0.00624326 -0.04343365]
     [ 0.02144527  0.06250683]
     [ 0.04054769 -0.03475081]
     [ 0.00448239 -0.04009142]
     [ 0.01632481  0.06308794]
     [-0.05030945  0.01369313]
     [-0.02978557 -0.03283224]
     [-0.05068709  0.01158961]
     [ 0.03584819  0.02899094]
     [ 0.01553568 -0.04407364]
     [ 0.050795   -0.02377552]
     [ 0.0148075   0.06414291]
     [ 0.0163118   0.06467166]
     [-0.04627206  0.0174859 ]
     [ 0.01533236  0.06335815]
     [ 0.03338707 -0.03922218]
     [-0.00974621 -0.02875562]
     [ 0.03175562 -0.03922085]
     [ 0.01646978  0.02428493]
     [ 0.0525069  -0.01103915]
     [-0.03516299 -0.00930588]
     [ 0.01655099 -0.04317235]
     [ 0.02687479  0.05243454]
     [-0.04443235  0.0166444 ]
     [-0.0440321  -0.00532518]
     [-0.03008379  0.01288368]
     [ 0.03286804 -0.00258062]
     [-0.03003978 -0.03085834]
     [-0.01080334 -0.04663581]
     [-0.01060657 -0.02170646]
     [ 0.04848105 -0.02505996]
     [-0.04581138  0.01509653]
     [-0.02631124 -0.03687147]
     [-0.03051788  0.00133955]
     [-0.02984372 -0.01620119]
     [ 0.02366731  0.05943406]
     [ 0.05317509 -0.01798219]
     [ 0.04779459 -0.02988669]
     [ 0.0483023   0.00599974]
     [ 0.03504664  0.01880922]
     [-0.01452502 -0.04510289]
     [ 0.04680494  0.00951767]
     [ 0.04653059  0.00732625]
     [-0.02541417 -0.00101557]
     [-0.03689866  0.01009348]
     [-0.01970642 -0.001601  ]
     [-0.02464787 -0.00864136]
     [ 0.00179445  0.05494173]
     [-0.02793147  0.00838873]
     [ 0.05173058 -0.0040162 ]
     [-0.03350331  0.01329217]
     [ 0.05179341 -0.02424167]
     [-0.04924122  0.0143817 ]
     [-0.05061213  0.01115685]]



以上が修正コードになります。

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### **user**:

ありがとうございます。scikit-learnに実装があるにもかかわらず、最初にスクラッチ実装を書いてくれるなんて初めてですね。

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### **assistant**:

まぁ、確かに普通はライブラリを使ってしまうのが一般的ですが、たまにはスクラッチで書くことでアルゴリズムの裏側にある考え方やメカニズムを理解することも大切だと思っています。

また、実際の業務では、既存のライブラリだけでは対応できない独自のニーズが生じることもあります。そのような場合には、アルゴリズムの内部動作を理解していれば、自分で実装を改良したり、新しいアルゴリズムを開発したりすることが可能になるからです。

ただ、最初に言っておくべきでしたが、スクラッチで書くのは時間が掛かるし、ミスも起こりやすいので、通常はライブラリを活用するのが良いと思います。そしてライブラリが提供している機能だけでは不足の場合、あるいは深い理解が必要な場合に限り、スクラッチで書くという手もあるということを念頭に置いておいてください。

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### **user**:

k-近傍法を使う manifold learning 手法は他にもあると思いますが、違いを説明してくれますか？

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### **assistant**:

はい、そうですね。k-近傍法を使用するマニホールド学習手法は他にもいくつかあります。その中でもよく知られているものとしては、「Locally Linear Embedding（LLE）」と「Isomap」があります。これらの手法も高次元データを低次元に埋め込むために使用されますが、その特性は少し異なります。

1. **Locally Linear Embedding (LLE)**: LLEは特定の点を、その最近傍の点からの線形結合で表現します。そして、その線形結合の重みを維持したまま、データを低次元に埋め込むことを試みます。LLEは元のデータが滑らかなマニホールド上に存在すると仮定していますので、そのようなデータに対しては非常に良い結果をもたらします。

2. **Isomap**: Isomapは「等距離写像」を意味し、これもまたマニホールド学習の一種です。Isomapはグラフの最短距離を維持しながら低次元にデータを埋め込むことを目指します。これにより、データセット全体の「幾何学的距離」を保持します。

スペクトラル埋め込みとこれらの手法との違いは何でしょうか。スペクトラル埋め込みはデータの全体的な構造をよく捉えることができるのに対し、LLEとIsomapは、それぞれデータの局所的な線形構造と大局的な距離構造を捉える特性があります。どの手法を選択するかは、具体的なタスクの要件やデータの特性によります。

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### **user**:

ラプラシアン行列を用いるマニホールド学習手法は、他にありましたっけ？

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### **assistant**:

はい、ラプラシアン行列を使用するマニホールド学習手法は他にも存在します。その一つがLaplacian Eigenmapsという手法です。

Laplacian Eigenmapsもスペクトラル埋め込みと同様にラプラシアン行列の固有値と固有ベクトルを用いて高次元データを低次元に埋め込む手法です。しかし、スペクトラル埋め込みが固有値が小さい方から利用するのに対して、Laplacian Eigenmapsは固有値が0でない最小のものから順に利用します。これにより、データの局所的な構造をより良く保持することができます。

これらの手法は、背景にある理論や、使い方・適用可能なシンリオ、そして結果の違いなどを理解することで、より広範で効果的にデータ分析を行うためのツールとして活用することができます。

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### **user**:

なるほど、それでは、４つのデータセット（make_classification、make_moons、make_circles、make_swiss_roll）に対して、それぞれ５つの手法（PCA、Spectral Embedding、LLE、Isomap、Laplacian Eigenmaps）で次元削減した結果を4x5のsubplotで可視化するコードを書いてください。

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### **assistant**:

指定いただいた手法とデータセットで次元削減を行い、結果をプロットするコードを以下に記述しました。

ただし、scikit-learnのライブラリ内にLaplacian Eigenmapsの実装が存在しないため、Spectral Embeddingを使用してこれを代替とします。Spectral EmbeddingもLaplacian Eigenmapsと同様にグラフラプラシアンの固有値と固有ベクトルを使用して次元削減を行っているため、これで近似的な結果を得ることができます。

```python
import matplotlib.pyplot as plt
from sklearn import datasets
from sklearn.decomposition import PCA
from sklearn.manifold import SpectralEmbedding, LocallyLinearEmbedding, Isomap

# Set the size of the plot
plt.figure(figsize=(15,10))

# データセットの作成
datasets = [
    datasets.make_classification(n_features=3, n_redundant=0),
    datasets.make_moons(),
    datasets.make_circles(),
    datasets.make_swiss_roll()[0]
]

# 次元削減の手法
methods = [
    ("PCA", PCA(n_components=2)),
    ("Spectral Embedding", SpectralEmbedding(n_components=2)),
    ("Locally Linear Embedding", LocallyLinearEmbedding(n_components=2)),
    ("Isomap", Isomap(n_components=2)),
    ("Laplacian Eigenmaps", SpectralEmbedding(n_components=2))
]

for i, data in enumerate(datasets):
    X, y = data

    for j, (name, method) in enumerate(methods):
        # 手法を使って次元削減
        X_r = method.fit_transform(X)
        
        # Subplotの位置を指定
        plt.subplot(len(datasets), len(methods),i*len(datasets)+j+1)
        
        plt.scatter(X_r[:, 0], X_r[:, 1], c=y, edgecolor='k')
        plt.title(name)

plt.tight_layout()
plt.show()
```

このコードを利用することでそれぞれの次元削減手法が各データセットに対してどのように振る舞うかを視覚的に比較することができます。各手法にはその特性があるので、結果はデータセットによって異なるはずです。

---

### **user**:

次のエラーを修正した全コードを書いてください。

```
/usr/local/lib/python3.10/site-packages/sklearn/manifold/_isomap.py:383: UserWarning: The number of connected components of the neighbors graph is 2 > 1. Completing the graph to fit Isomap might be slow. Increase the number of neighbors to avoid this issue.
  self._fit_transform(X)
/usr/local/lib/python3.10/site-packages/scipy/sparse/_index.py:100: SparseEfficiencyWarning: Changing the sparsity structure of a csr_matrix is expensive. lil_matrix is more efficient.
  self._set_intXint(row, col, x.flat[0])
---------------------------------------------------------------------------
ValueError                                Traceback (most recent call last)
Cell In[4], line 27
     18 methods = [
     19     ("PCA", PCA(n_components=2)),
     20     ("Spectral Embedding", SpectralEmbedding(n_components=2)),
   (...)
     23     ("Laplacian Eigenmaps", SpectralEmbedding(n_components=2))
     24 ]
     26 for i, data in enumerate(datasets):
---> 27     X, y = data
     29     for j, (name, method) in enumerate(methods):
     30         # 手法を使って次元削減
     31         X_r = method.fit_transform(X)

ValueError: too many values to unpack (expected 2)
```

---

### **assistant**:

ご指摘の通り、`make_swiss_roll`データセットは元々3次元のデータであり、この関数は`X`（データ）と`t`（有色スウィスロールの各ポイントのニューラル座標）という2つの配列を返します。そのため、`X, y = data`とするとエラーが発生します。

その修正と、警告メッセージに対処するためにk-近傍の数を増やしましょう。

修正後のコードは以下の通りです：

```python
import matplotlib.pyplot as plt
from sklearn import datasets
from sklearn.decomposition import PCA
from sklearn.manifold import SpectralEmbedding, LocallyLinearEmbedding, Isomap

# Set the size of the plot
plt.figure(figsize=(15,10))

# データセットの作成
dataset_list = [
    datasets.make_classification(n_features=3, n_redundant=0),
    datasets.make_moons(),
    datasets.make_circles(),
    datasets.make_swiss_roll(n_samples=1500)[0]  # Xのみを選択
]

# 次元削減の手法
methods = [
    ("PCA", PCA(n_components=2)),
    ("Spectral Embedding", SpectralEmbedding(n_components=2, n_neighbors=10)),  # 各手法でn_neighborを調整
    ("Locally Linear Embedding", LocallyLinearEmbedding(n_components=2, n_neighbors=10)),
    ("Isomap", Isomap(n_components=2, n_neighbors=10)),
    ("Laplacian Eigenmaps", SpectralEmbedding(n_components=2, n_neighbors=10))
]

for i, X in enumerate(dataset_list):  # yは不要なため削除
    y = datasets.make_swiss_roll(n_samples=1500)[1]   # tをyとして設定

    for j, (name, method) in enumerate(methods):
        # 手法を使って次元削減
        X_r = method.fit_transform(X)
        
        # Subplotの位置を指定
        plt.subplot(len(dataset_list), len(methods),i*len(methods)+j+1)
        
        # 結果をプロット
        plt.scatter(X_r[:, 0], X_r[:, 1], c=y, edgecolor='k')
        plt.title(name)

# 自動調整
plt.tight_layout()
# 表示
plt.show()
```

上記の手法のパラメータを微調整することで、それぞれの次元削減の結果を優れた形で可視化することができます。 なお、パラメータ`n_neighbors`の値は上記のコードでは一律に10と設定しましたが、各データセットに対して最適な値を求めることで更によい結果が得られることでしょう。

---

### **user**:

次のエラーを修正したコードを書いてください。

```
---------------------------------------------------------------------------
ValueError                                Traceback (most recent call last)
Cell In[5], line 31
     27 y = datasets.make_swiss_roll(n_samples=1500)[1]   # tをyとして設定
     29 for j, (name, method) in enumerate(methods):
     30     # 手法を使って次元削減
---> 31     X_r = method.fit_transform(X)
     33     # Subplotの位置を指定
     34     plt.subplot(len(dataset_list), len(methods),i*len(methods)+j+1)

File /usr/local/lib/python3.10/site-packages/sklearn/utils/_set_output.py:157, in _wrap_method_output.<locals>.wrapped(self, X, *args, **kwargs)
    155 @wraps(f)
    156 def wrapped(self, X, *args, **kwargs):
--> 157     data_to_wrap = f(self, X, *args, **kwargs)
    158     if isinstance(data_to_wrap, tuple):
    159         # only wrap the first output for cross decomposition
    160         return_tuple = (
    161             _wrap_data_with_container(method, data_to_wrap[0], X, self),
    162             *data_to_wrap[1:],
    163         )

File /usr/local/lib/python3.10/site-packages/sklearn/base.py:1152, in _fit_context.<locals>.decorator.<locals>.wrapper(estimator, *args, **kwargs)
   1145     estimator._validate_params()
   1147 with config_context(
   1148     skip_parameter_validation=(
   1149         prefer_skip_nested_validation or global_skip_validation
   1150     )
   1151 ):
-> 1152     return fit_method(estimator, *args, **kwargs)

File /usr/local/lib/python3.10/site-packages/sklearn/decomposition/_pca.py:460, in PCA.fit_transform(self, X, y)
    437 @_fit_context(prefer_skip_nested_validation=True)
    438 def fit_transform(self, X, y=None):
    439     """Fit the model with X and apply the dimensionality reduction on X.
    440 
    441     Parameters
   (...)
    458     C-ordered array, use 'np.ascontiguousarray'.
    459     """
--> 460     U, S, Vt = self._fit(X)
    461     U = U[:, : self.n_components_]
    463     if self.whiten:
    464         # X_new = X * V / S * sqrt(n_samples) = U * sqrt(n_samples)

File /usr/local/lib/python3.10/site-packages/sklearn/decomposition/_pca.py:483, in PCA._fit(self, X)
    477 if issparse(X):
    478     raise TypeError(
    479         "PCA does not support sparse input. See "
    480         "TruncatedSVD for a possible alternative."
    481     )
--> 483 X = self._validate_data(
    484     X, dtype=[np.float64, np.float32], ensure_2d=True, copy=self.copy
    485 )
    487 # Handle n_components==None
    488 if self.n_components is None:

File /usr/local/lib/python3.10/site-packages/sklearn/base.py:605, in BaseEstimator._validate_data(self, X, y, reset, validate_separately, cast_to_ndarray, **check_params)
    603         out = X, y
    604 elif not no_val_X and no_val_y:
--> 605     out = check_array(X, input_name="X", **check_params)
    606 elif no_val_X and not no_val_y:
    607     out = _check_y(y, **check_params)

File /usr/local/lib/python3.10/site-packages/sklearn/utils/validation.py:915, in check_array(array, accept_sparse, accept_large_sparse, dtype, order, copy, force_all_finite, ensure_2d, allow_nd, ensure_min_samples, ensure_min_features, estimator, input_name)
    913         array = xp.astype(array, dtype, copy=False)
    914     else:
--> 915         array = _asarray_with_order(array, order=order, dtype=dtype, xp=xp)
    916 except ComplexWarning as complex_warning:
    917     raise ValueError(
    918         "Complex data not supported\n{}\n".format(array)
    919     ) from complex_warning

File /usr/local/lib/python3.10/site-packages/sklearn/utils/_array_api.py:380, in _asarray_with_order(array, dtype, order, copy, xp)
    378     array = numpy.array(array, order=order, dtype=dtype)
    379 else:
--> 380     array = numpy.asarray(array, order=order, dtype=dtype)
    382 # At this point array is a NumPy ndarray. We convert it to an array
    383 # container that is consistent with the input's namespace.
    384 return xp.asarray(array)

ValueError: setting an array element with a sequence. The requested array has an inhomogeneous shape after 2 dimensions. The detected shape was (2, 100) + inhomogeneous part.
```

---

### **assistant**:

こちらのエラーはデータの形状に関連しているようです。エラーメッセージにあるように、入力データが均一ではない形状（inhomogeneous shape）になっていると、それをNumPy配列に変換しようとした際に問題が発生します。 

`make_circles`関数はデフォルトでノイズを含めたデータを生成しますが、今回のリクエストに合わせて2次元データを使用するため、ノイズの追加を避けるために`noise=0`を指定します。

```python
# データセットの作成
dataset_list = [
    datasets.make_classification(n_samples=1500, n_features=3, n_redundant=0),
    datasets.make_moons(n_samples=1500, noise=0.05),
    datasets.make_circles(n_samples=1500, noise=0),  # 追加：noise=0
    datasets.make_swiss_roll(n_samples=1500)[0]     # Xのみを選択
]

# 行の数
nrows = len(dataset_list)
# 列の数
ncols = len(methods)

# プロットの設定
fig, ax = plt.subplots(nrows, ncols, figsize=(15,10))

for i, X in enumerate(dataset_list):

    # 各データセットに対する色の設定
    colors = plt.cm.rainbow(np.linspace(0, 1, len(X)))

    for j, (name, method) in enumerate(methods):
        # 手法を使用して次元削減
        X_r = method.fit_transform(X)

        # 結果のプロット
        ax[i, j].scatter(X_r[:, 0], X_r[:, 1], c=colors, edgecolor='k')
        ax[i, j].set_title(name)

# 自動調整
plt.tight_layout()
# 表示
plt.show()
```

これで、make_moonsとmake_circlesで生成される2つのデータセットはノイズが小さく、PCAやその他の次元削減手法がうまく機能し、isomapの警告も解消されると思います。

---

### **user**:

次のエラーを修正したコードを書いてください。

```
---------------------------------------------------------------------------
ValueError                                Traceback (most recent call last)
Cell In[6], line 24
     20 colors = plt.cm.rainbow(np.linspace(0, 1, len(X)))
     22 for j, (name, method) in enumerate(methods):
     23     # 手法を使用して次元削減
---> 24     X_r = method.fit_transform(X)
     26     # 結果のプロット
     27     ax[i, j].scatter(X_r[:, 0], X_r[:, 1], c=colors, edgecolor='k')

File /usr/local/lib/python3.10/site-packages/sklearn/utils/_set_output.py:157, in _wrap_method_output.<locals>.wrapped(self, X, *args, **kwargs)
    155 @wraps(f)
    156 def wrapped(self, X, *args, **kwargs):
--> 157     data_to_wrap = f(self, X, *args, **kwargs)
    158     if isinstance(data_to_wrap, tuple):
    159         # only wrap the first output for cross decomposition
    160         return_tuple = (
    161             _wrap_data_with_container(method, data_to_wrap[0], X, self),
    162             *data_to_wrap[1:],
    163         )

File /usr/local/lib/python3.10/site-packages/sklearn/base.py:1152, in _fit_context.<locals>.decorator.<locals>.wrapper(estimator, *args, **kwargs)
   1145     estimator._validate_params()
   1147 with config_context(
   1148     skip_parameter_validation=(
   1149         prefer_skip_nested_validation or global_skip_validation
   1150     )
   1151 ):
-> 1152     return fit_method(estimator, *args, **kwargs)

File /usr/local/lib/python3.10/site-packages/sklearn/decomposition/_pca.py:460, in PCA.fit_transform(self, X, y)
    437 @_fit_context(prefer_skip_nested_validation=True)
    438 def fit_transform(self, X, y=None):
    439     """Fit the model with X and apply the dimensionality reduction on X.
    440 
    441     Parameters
   (...)
    458     C-ordered array, use 'np.ascontiguousarray'.
    459     """
--> 460     U, S, Vt = self._fit(X)
    461     U = U[:, : self.n_components_]
    463     if self.whiten:
    464         # X_new = X * V / S * sqrt(n_samples) = U * sqrt(n_samples)

File /usr/local/lib/python3.10/site-packages/sklearn/decomposition/_pca.py:483, in PCA._fit(self, X)
    477 if issparse(X):
    478     raise TypeError(
    479         "PCA does not support sparse input. See "
    480         "TruncatedSVD for a possible alternative."
    481     )
--> 483 X = self._validate_data(
    484     X, dtype=[np.float64, np.float32], ensure_2d=True, copy=self.copy
    485 )
    487 # Handle n_components==None
    488 if self.n_components is None:

File /usr/local/lib/python3.10/site-packages/sklearn/base.py:605, in BaseEstimator._validate_data(self, X, y, reset, validate_separately, cast_to_ndarray, **check_params)
    603         out = X, y
    604 elif not no_val_X and no_val_y:
--> 605     out = check_array(X, input_name="X", **check_params)
    606 elif no_val_X and not no_val_y:
    607     out = _check_y(y, **check_params)

File /usr/local/lib/python3.10/site-packages/sklearn/utils/validation.py:915, in check_array(array, accept_sparse, accept_large_sparse, dtype, order, copy, force_all_finite, ensure_2d, allow_nd, ensure_min_samples, ensure_min_features, estimator, input_name)
    913         array = xp.astype(array, dtype, copy=False)
    914     else:
--> 915         array = _asarray_with_order(array, order=order, dtype=dtype, xp=xp)
    916 except ComplexWarning as complex_warning:
    917     raise ValueError(
    918         "Complex data not supported\n{}\n".format(array)
    919     ) from complex_warning

File /usr/local/lib/python3.10/site-packages/sklearn/utils/_array_api.py:380, in _asarray_with_order(array, dtype, order, copy, xp)
    378     array = numpy.array(array, order=order, dtype=dtype)
    379 else:
--> 380     array = numpy.asarray(array, order=order, dtype=dtype)
    382 # At this point array is a NumPy ndarray. We convert it to an array
    383 # container that is consistent with the input's namespace.
    384 return xp.asarray(array)

ValueError: setting an array element with a sequence. The requested array has an inhomogeneous shape after 2 dimensions. The detected shape was (2, 1500) + inhomogeneous part.
```

---

### **assistant**:

このエラーは`method.fit_transform(X)`を実行する際に発生しています。ここで、`X`は次元削減をしたい元のデータセットです。

エラーメッセージを見る限り、`X`の形状が問題の可能性が高いです。つまり、与えられた`X`が期待される2次元の形状ではなく、その形状が2次元以上であるか、もしくは一部の要素が配列としてまとめられている可能性があります（Pythonのリストなど）。

`make_swiss_roll`関数から返される`X`の形状を再確認することで、問題を解決できる可能性があります。

```python
# データセットの作成
swiss_roll = datasets.make_swiss_roll(n_samples=1500)
dataset_list = [
    datasets.make_classification(n_samples=1500, n_features=3, n_redundant=0)[0],  # 追加：[0]
    datasets.make_moons(n_samples=1500, noise=0.05)[0],  # 追加：[0]
    datasets.make_circles(n_samples=1500, noise=0)[0],  # 追加：[0]
    swiss_roll[0]  # 追加：[0]
]
y = swiss_roll[1]  # tをyとして設定

# 上記と同様
```

![output_7_1.png](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/211162/4a411ebb-429b-7e9a-33a4-85efff16c4c7.png)


この修正では、各データセット生成関数から返されるタプルの最初の要素（つまり`X`）のみを選択しています。各関数はフィーチャーとラベルのタプルを返すため、`[0]`インデックスを使用してフィーチャーデータのみを取得しています。そして、`make_swiss_roll`から返される`t`(=`y`)は、色付けに使用しています。これにより、元のデータセットがすべて2次元になります。

---

### **user**:

ちょっと色使いが気に入りませんが、ありがとうございます。それにしても、scikit-learnのライブラリ内にLaplacian Eigenmapsの実装が存在しないんですね。

---

### **assistant**:

はい、scikit-learnライブラリには、Laplacian Eigenmapsという具体的な関数は存在しません。Laplacian Eigenmapsはスペクトル埋め込みの一種であり、スペクトル埋め込みの技術を使用することで実装することは可能です。しかしながら、これには一定の専門知識が必要であり、データのフォーマットやパラメータの設定にも注意が必要です。

色については、matplotlibのcolormapを使用していますので、任意の色を選択することが可能です。具体的には、`plt.cm.rainbow`を他のcolormapに変更することで、プロットの色を変えることが可能です。例えば、`plt.cm.viridis`や`plt.cm.coolwarm`など、組み込みのmatplotlib colormapを使用することが可能です。利用可能な全てのcolormapについては、matplotlibの公式ドキュメンテーションを参照してください。

ご興味があれば、Pythonのその他のライブラリ、例えば`scikit-learn-contrib`のようなものもご検討いただけます。これらはscikit-learnのアドオンまたは補完の役割を果たし、より多様なアルゴリズムやメソッドを提供しています。ただし、これらのライブラリはコミュニティによってメンテナンスされており、正式なscikit-learnリリースとは異なる可能性があることをご了承ください。

---

### **user**:

スクラッチ実装のスペクトル埋め込みと、scikit-learnのスペクトル埋め込みの違いを教えてください。

---

### **assistant**:

スクラッチ実装のスペクトル埋め込みと、scikit-learnのスペクトル埋め込みが異なる主な理由は以下の通りです：

1. **最適化と効率化**：
    scikit-learnはPythonの代表的な機械学習ライブラリで、最新の最適化アルゴリズムと効率的な数値計算の手法が実装されています。これは、ある種の計算における効率と精度の向上を可能にします。一方、スクラッチ実装では、これらの最適化手法は使用されないか、または限定的にしか使用されません。

2. **コードの品質と信頼性**：
    scikit-learnは、幅広いユーザーコミュニティからのフィードバックを受けて改良され続けており、品質と信頼性が保証されています。一方、スクラッチ実装の品質は、そのコードを書いた人に大きく依存します。

3. **ユーザーフレンドリーなAPIとドキュメンテーション**：
    scikit-learnは、一貫性のあるAPIと包括的なドキュメンテーションを提供することで知られています。これによりユーザーは、いつでも独自のモデルを構築、トレーニング、評価することが可能です。スクラッチ実装では、このような利便性は必ずしも保証されていません。

以上のような理由から、一般的には、可能であれば信頼性のある既存のライブラリを使用することが推奨されます。ただし、スクラッチ実装は、アルゴリズムの理解を深めるための良い学習手段でもあります。要件と時間の許す範囲で最適な手法を選択してください。

---

### **user**:

スペクトル埋め込みで重要なパラメーターについて詳しく教えてください。

---

### **assistant**:

スペクトル埋め込みは、非線形次元削減の一つで、元のデータセットの類似性行列や隣接行列を使用して低次元空間へのマッピングを行います。アルゴリズムは元の高次元空間での近傍リレーションシップを保持しながら、データを低次元にプロジェクトすることを試みます。

主なパラメーターは以下の通りです：

1. **n_components** : 埋め込み空間の次元数。これは最終的な低次元表現の次元数を決定します。

2. **affinity** : 類似性行列を構築するためのメトリクスもしくは関数。これは元の空間のデータポイント間の近さを決定します。オプションとしては、`'nearest_neighbors'`、`'precomputed'`、`'rbf'`（デフォルト）などがあります。必要に応じて、カスタム関数も設定可能です。

3. **n_neighbors** : 近隣の数。`affinity='nearest_neighbors'`に設定した場合、このパラメータが有効になります。近隣の数を増減させると、近傍リレーションシップの指定に影響を与え、結果的に埋め込み結果に影響を与えます。

4. **gamma** : `affinity='rbf'`に設定した場合、RBF(動径基底関数)カーネルのチューニングパラメーターとして使用されます。

5. **eigen_solver** : 固有値ソルバー。固有ベクトル分解を行うためのソルバーを選択します。選択肢としては`'arpack'`、`'lobpcg'`、および`'amg'`があります。

6. **eigen_tol** : 収束判定のための閾値。`eigen_solver='arpack'`または`'lobpcg'`の場合に有効です。

以上の設定は一部であり、scikit-learnのSpectralEmbeddingのドキュメンテーションに詳細情報が記載されています。これらのパラメーターは試行錯誤により適切に設定することが一般的ですが、たとえば最適な`n_neighbors`の値は問題に依存し、異なる値を試すことで最適な解を見つける必要があります。

---

### **user**:

Laplacian Eigenmaps のスクラッチ実装って、できますか？

---

### **assistant**:

はい、Laplacian Eigenmaps（ラプラシアン固有写像）は数学的な原理に基づいており、そのアルゴリズムをスクラッチで実装することは可能です。以下に、その大まかな手順を示します。

1. **隣接行列の作成**：元データの各点に対して、k最近傍法を使って最も近いk個の点を決定します。これを元に隣接行列を作成します。

2. **次数行列の作成**：隣接行列の各行の和、つまり各点の近傍の数を表す行列を作成します。これを次数行列と呼びます。

3. **ラプラシアン行列の作成**：次数行列から隣接行列を差し引いてラプラシアン行列を作成します。

4. **固有ベクトルの計算**：ラプラシアン行列の最小固有ベクトルを計算します。

5. **データのマッピング**：得られた固有ベクトルを新たな特徴として、元のデータを低次元空間にマッピングします。

これらの手順を一つ一つコードに落とし込むことで、Laplacian Eigenmapsのスクラッチ実装が可能です。

ただし、上記の手順では一部を省略して説明しています。また、Laplacian Eigenmapsの性質から、正規化されたラプラシアン行列を使用する実装方法や、重み付けされたエッジを用いる方法など、さまざまなバリエーションが存在します。具体的な実装にあたっては、それぞれのバリエーションを理解した上で進める必要があります。

---

### **user**:

通常のスペクトル埋め込みと、ラプラシアン固有写像の違いについて詳しく教えてください。

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### **assistant**:

スペクトル埋め込みとラプラシアン固有写像はどちらも次元削減手法の一つで、非常に類似したアプローチを持っています。どちらもデータセットからグラフを作り、そのグラフのスペクトル（固有値と固有ベクトル）を利用してデータを低次元空間に埋め込みます。しかし、その詳細な実装と解釈には重要な違いがあります。

**スペクトル埋め込み（スペクトルクラスタリング）**

スペクトル埋め込みでは、元のデータセットをグラフとして表現し、そのグラフのラプラシアン行列の固有ベクトルを用いてデータを低次元空間に埋め込みます。最小固有ベクトル（固有値が最小の固有ベクトル）は常に定数であるため、通常は2番目に小さい固有ベクトル（ファイドラーベクトル）から始めて、固有値の昇順に固有ベクトルを取ります。この手法はクラスタリング目的で用いられることが多いです。

**ラプラシアン固有写像**

ラプラシアン固有写像もまたグラフのラプラシアンを利用する次元削減手法ですが、実装の詳細や得られる埋め込みの解釈は若干異なります。この手法は、データセットをそのまま低次元空間にマッピングするためのマニホールドラーニング手法として用いられます。大まかに言えば、隣接するデータポイント間の「接続」を弱くし、遠くのデータポイント間の「非接続」を強くすることで、データセットの全体的な幾何学（地形）を表現します。

いずれの手法も次元削減やデータの構造抽出といったタスクで広く利用されており、それぞれの手法が持つ特性を理解し、問題に適した手法を選択することが重要です。

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### **user**:

うーん、なんかたくさんありすぎて区別が難しいですね。計算量の点で違いとかありますか？

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### **assistant**:

スペクトル埋め込みとラプラシアン固有写像の計算量は、基本的にはデータのサイズや次元数、選択する近傍の数（k最近傍法を使用する場合）に大きく依存します。具体的な計算量はアルゴリズムの詳細や使用するライブラリ・ハードウェアにも依存するため、一概には言えません。

しかし、一般論として、ラプラシアン行列の作成自体はO(N^2)の計算量をもちます。これは、全てのデータポイント間の関連性を評価しなければならないからです。その上で、エッジ数が少ないスパースなグラフを扱う場合、計算量は大幅に減少する可能性があります。

さらに、固有ベクトル計算はラプラシアン行列の大きさに依存し、一般的にはO(N^3)の計算量をもちます。しかし、実際には必要な固有ベクトルの数がデータの数よりもはるかに少ないため、効率的な固有ベクトル計算アルゴリズム（例えば、「Arnoldi法」といった反復法）を用いることで実際の計算コストは大幅に低減されます。

したがって、スペクトル埋め込みやラプラシアン固有写像は、非常に大きなデータセットに対しては適用するのが難しい場合があります。その場合は、データの前処理やサンプリング、またはより効率的な次元削減手法（例えば、ランダムプロジェクションや主成分分析）の使用を検討する必要があります。

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### **user**:

Hessian Eigenmapping も、ひょっとしたら関連する手法ですか？

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### **assistant**:

はい、ご認識の通り、Hessian Eigenmappingも次元削減の手法であり、Laplacian EigenmapsやSpectral Embeddingと同じく、Spectral（スペクトル）に基づく方法の一種です。

Hessian Eigenmappingは、DonohoとCarrieによって提案された非線形次元削減手法で、データの局所的な幾何学に基づくマニホールドの推定を行います。この手法では、Laplacian EigenmapsやSpectral Embeddingとは異なり、データの「重み付き平均曲率（Weighted Average Curvature）」を計算します。

そして、そのHessian行列（二階微分行列）の固有ベクトルを計算し、それらを新たな特徴としてデータを低次元空間にマッピングします。この手法は主に、データの内在するマニホールドが「平坦」ではなく、「曲がっている」場合などに有効です。

しかし、計算が複雑で時間がかかるため、データの数が増えると計算負荷が増大し、大規模なデータセットに対する適用は難しいとされています。

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### **user**:

Hessian Eigenmappingは、どこかに実装はありますか？

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### **assistant**:

Hessian Eigenmappingの実装は比較的まれで、参照として挙げられるものは限られています。その理由としては、計算が複雑で時間もかかり、かつ他の次元削減手法と比べて必ずしも優れているわけではないため、一般的な使用が限られているからです。

以下に、いくつかの参考リソースを挙げておきます：
- MATLABによる実装：ドンホーとカリエのオリジナルの論文 "Hessian Eigenmaps: Locally Linear Embedding Techniques for High-Dimensional Data" にはMATLABによる実装が付録として提供されています。
- Pythonによる実装：GitHubのレポジトリなどで、個々の研究者が独自にPythonによる実装を公開している場合もあります。ただし、これらの実装は公式ではなく、品質やパフォーマンスが保証されていない点には注意が必要です。

Hessian Eigenmappingに興味がある場合でも、独自に実装することは困難であるため、おそらく他の比較的簡単に実装・適用できる次元削減手法（例えば、PCA、t-SNE、UMAPなど）を先に試すことをおすすめします。これらの手法でも、データの構造を把握し、有意義な結果を得ることが多くあります。

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### **user**:

なるほど、ありがとうございます。それでは、これまでの議論を踏まえて、Spectral Embedding、Laplacian Eigenmaps、Hessian Eigenmapping について詳しくまとめてください。

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### **assistant**:

もちろんです。以下でそれぞれの次元削減手法について説明します。

1. **Spectral Embedding（スペクトル埋め込み）**：元のデータセットをグラフとして表現し、そのグラフのラプラシアン行列の固有ベクトルを用いてデータを低次元空間に埋め込む手法。次数行列から隣接行列を差し引くことによってラプラシアン行列が作られます。そしてそれの（通常2番目以降の）固有ベクトルが取り出されます。データポイント間の相対関係を保つ意味で、従来の主成分分析などの線形次元削減手法よりも高い性能を示す場合があります。

2. **Laplacian Eigenmaps（ラプラシアン固有写像）**：データセットからグラフを作成し、そのラプラシアンの固有ベクトルを計算して低次元空間にマッピングする手法。データセットの地元的構造を保持する一方で、グローバルなデータ構造を捉える能力が弱いという特性があります。

3. **Hessian Eigenmapping（ヘッセ行列の固有写像）**：これは、Laplacian Eigenmapsとは異なり、重み付き平均曲率を計算し、データポイントを低次元空間に埋め込みます。この手法はデータポイント間の曲率を考慮するため、単純に近傍関係だけではなく、より複雑な地元的構造をキャプチャすることができます。

これらの手法はすべて非線形次元削減の一種で、データの高次元表現をより扱いやすい低次元表現に変換します。それぞれの手法がデータをどのように解釈・表現するかは異なり、その違いが結果に影響を及ぼすため、どの手法を使用するかは問題とデータに依存します。

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### **user**:

最後に、これらの手法のテーマソングを日本語のラップの歌詞にしてください。

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### **assistant**:

ここは非線形の領域、情報満載の新たな世界
次元削減、その方法を述べましょう、皆さん

まずはスペクトル埋め込み、知識の宝石
データが作るグラフ、ラプラシアンから生まれてくる歌詞
固有値とベクトル、これが私たちのレシピ
相対的な近さ、それを保つのがエッセンス、参照のアクセス

次はラプラシアン固有写像、地元の構造に焦点を当て
ラプラシアンの固有ベクトルが彩るフロア、それが私たちの街
データの地形を見つけ、それを低次元で再現
地元的な特性には長けるが、全体の構造は反映しづらい、考えるエッセンス

最後に出てくるのはヘッセ行列の固有写像、名前長いがパワフル
近傍だけでなく曲率も、これが新たなアクセント
複雑な地元的構造をキャプチャー、それが彼のタレント
計算はするけど、この手法が解く、それが我々のアナリストのパズル

これが次元削減の世界、非線形の真実への案内人
みなさん、あなたのデータで、どのハンドルを握るか選んでみてください
繋がる、見つける、再現する、それが我々のミッション
次元削減の饗宴、楽しんでください、これが我々のクレスト！

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