ローレンツ群の連結成分の個数

## はじめに
多くの物理の教科書でローレンツ群の連結成分の個数は4個であると述べられていますが、残念ながら議論は不十分です。ほとんどの本の議論はローレンツ変換$x\mapsto\Lambda x$が
```math
{\Lambda^0}_0\geq1,{\Lambda^0}_0\leq-1
```
のいずれかを満たし、また
```math
\det\Lambda=\pm1
```
が成り立つことを示すことで、ローレンツ群の連結成分の個数が4個だと主張しています。しかしこれは、連結成分の個数が4個**以上**であることしか主張していません。もし$\Lambda$が追加の条件で分離されているなら、連結成分が8個になってしまう可能性もあるでしょう。

この記事では、ローレンツ群の連結成分の個数が4個であることをある程度厳密[^0]に示します。

[^0]: 物理で納得できるくらいの厳密さで示します。この記事のアイデアを数学的に厳密な形で表すのは容易でしょう。

## ローレンツ群
まずはローレンツ変換の定義から始めます。ローレンツ変換とは、線形変換$x^\mu\mapsto x'^\mu={\Lambda^\mu}_\nu x^\nu$であって、
```math
\eta_{\mu\nu}x^\mu x^\nu=\eta_{\mu\nu}{x'}^\mu{x'}^\nu
```
を満たすものです[^1]。ローレンツ変換を全て集めた集合をローレンツ群と呼びます。ここで
```math
    \eta_{\mu\nu}{x'}^\mu{x'}^\nu=\eta_{\mu\nu}{\Lambda^\mu}_\rho{\Lambda^\nu}_\sigma x^\rho x^\sigma
```
なので、これが$\eta_{\rho\sigma}x^\rho x^\sigma$と等しいためには
```math
    \eta_{\mu\nu}{\Lambda^\mu}_\rho{\Lambda^\nu}_\sigma=\eta_{\rho\sigma}
```
が満たされていればよいです。${\Lambda^\mu}\_\nu,\eta_{\mu\nu}$を成分とする行列をそれぞれ$\Lambda,\eta$とすれば、ローレンツ変換の条件は行列で
```math
    \Lambda^T\eta\Lambda=\eta
```
と書けます。両辺の行列式を取ることで、
```math
    (\det\Lambda)^2=1
```
が成り立つので、
```math
    \det\Lambda=\pm1
```
を得ます。

また$\eta_{\mu\nu}{\Lambda^\mu}\_\rho{\Lambda^\nu}\_\sigma=\eta_{\rho\sigma}$で$\rho=\sigma=0$とすると
```math
    -1=-({\Lambda^0}_0)^2+({\Lambda^1}_0)^2+({\Lambda^2}_0)^2+({\Lambda^3}_0)^2
```
となるので、
```math
\begin{align*}
    ({\Lambda^0}_0)^2&=1+({\Lambda^1}_0)^2+({\Lambda^2}_0)^2+({\Lambda^3}_0)^2\\
    &\geq1
\end{align*}
```
も成り立ちます。よって、${\Lambda^0}_0\geq1$あるいは${\Lambda^0}_0\leq-1$が成り立つことになります。

[^1]: この記事では、計量$\eta_{\mu\nu}$の符号を$(-,+,+,+)$とします。

## ローレンツ群の連結成分
以下の4つの変換はすべてローレンツ変換です。

これらの変換はそれぞれ${\Lambda^0}_0\geq1,{\Lambda^0}_0\leq-1$と$\det\Lambda=\pm1$の4つの場合の全てを尽くしています。よって、ローレンツ群には少なくとも4つの連結成分があります。

連結成分とは何かを軽く説明します。ローレンツ群の連結成分とは、その中の任意の2つの変換が連続的にパラメータ付けられた変換の集合、つまり曲線でつなげるようなローレンツ群の(最大の)部分集合のことを言います[^2]。

${\Lambda^0}_0\geq1,{\Lambda^0}_0\leq-1$および$\det\Lambda=+1,\det\Lambda=-1$という条件は$\Lambda$に微小ローレンツ変換をかけても変わりません。よってローレンツ群の4つの部分集合
```math
\begin{align*}
S_1&=\{{\Lambda^0}_0\geq+1,\det\Lambda=+1\},\quad S_2=\{{\Lambda^0}_0\geq+1,\det\Lambda=-1\}\\
S_3&=\{{\Lambda^0}_0\leq-1,\det\Lambda=-1\},\quad S_4=\{{\Lambda^0}_0\leq-1,\det\Lambda=+1\}
\end{align*}
```
は連結成分の候補になります。このとき以下の4つの変換
```math
{\mathcal{I}^\mu}_\nu=\begin{pmatrix}
    1 & 0 & 0 & 0\\
    0 & 1 & 0 & 0\\
    0 & 0 & 1 & 0\\
    0 & 0 & 0 & 1
\end{pmatrix},\quad
{\mathcal{P}^\mu}_\nu=\begin{pmatrix}
    1 & 0 & 0 & 0\\
    0 & -1 & 0 & 0\\
    0 & 0 & -1 & 0\\
    0 & 0 & 0 & -1
\end{pmatrix}
```
```math
{\mathcal{T}^\mu}_\nu=\begin{pmatrix}
    -1 & 0 & 0 & 0\\
    0 & 1 & 0 & 0\\
    0 & 0 & 1 & 0\\
    0 & 0 & 0 & 1
\end{pmatrix},\quad
{(\mathcal{P}\mathcal{T})^\mu}_\nu=\begin{pmatrix}
    -1 & 0 & 0 & 0\\
    0 & -1 & 0 & 0\\
    0 & 0 & -1 & 0\\
    0 & 0 & 0 & -1
\end{pmatrix}
```
はそれぞれ$S_1,S_2,S_3,S_4$の元なので、$S_1,S_2,S_3,S_4$はどれも空ではありません。しかしまだこれらの集合が連結であることは示していないので、連結成分が4つであるとは言えません。

$S_1$の元に$\mathcal{P},\mathcal{T},\mathcal{PT}$をかけるとそれぞれ$S_2,S_3,S_4$の元になり、もう一度同じものをかけると元に戻るので、$S_1,S_2,S_3,S_4$の元は1対1に対応しています。よって$S_1$が連結であることを示せば$S_2,S_3,S_4$も連結であり、ローレンツ群の連結成分が4つであることが証明できます。

恒等変換$\mathcal{I}$を含む集合$S_1$はローレンツ群の部分群であり、本義ローレンツ群と呼ばれます。また本義ローレンツ群$S_1$の元は本義ローレンツ変換と呼ばれます[^6]。以下では本義ローレンツ変換について議論します。

[^2]: これは厳密には弧状連結成分の定義ですが、多様体の弧状連結成分と連結成分は一致するので問題ありません。
[^6]: 本義ローレンツ変換のことを単にローレンツ変換と呼ぶこともあります。

## 本義ローレンツ群が連結であることの証明
本義ローレンツ群$S_1$が連結であることを示します。このために、任意の本義ローレンツ変換$\Lambda$がブースト$B$と空間回転$R$によって
```math
\Lambda=BR
```
と書けることを示します。まずブーストと空間回転とは何か説明します。

### ブースト
ブーストとは、3元ベクトル$\def\bm#1{{\boldsymbol #1}}\bm{v}$によって
```math
B(\bm{v})=\begin{pmatrix}
\sqrt{1+|\bm{v}|^2}&\bm{v}^T\\
\bm{v}&I+\left(\sqrt{1+|\bm{v}|^2}-1\right)\dfrac{\bm{v}\bm{v}^T}{|\bm{v}|^2}
\end{pmatrix}
```
と書かれる本義ローレンツ変換のことです。ただし$I$は$3\times3$の単位行列です。

このとき$\bm{e}=\bm{v}/|\bm{v}|$と置くと、
```math
B(\bm{e}\sinh\eta)B(\bm{e}\sinh\eta')=B(\bm{e}\sinh(\eta+\eta'))
```
が成り立ちます。

有限のブースト$B(\bm{v})$は曲線
```math
c(t)=B\left(t\bm{v}\right),\quad 0\leq t\leq1
```
で恒等変換とつながっています。

[^5]:確かめてみてください。

### 空間回転
空間回転は回転軸の方向を向き、大きさが回転角度であるようなベクトル$\bm{\theta}$によって$R(\bm\theta)$と表すことができ、$\bm{\theta},\bm{\theta}'$が平行なら
```math
R(\bm\theta)R(\bm\theta')=R(\bm\theta+\bm\theta')
```
が成り立ちます。

有限の空間回転$R(\bm\theta)$は曲線
```math
c(t)=R\left(t\bm\theta\right),\quad 0\leq t\leq1
```
で恒等変換とつながっています。

### 証明
$k^\mu=(1,0,0,0)$とすると、
```math
\bar\Lambda=B(\bm{k}_\Lambda)^{-1}\Lambda
```
という変換は$k^\mu$を不変に保ちます。ただし$\bm{k}_\Lambda$は$\Lambda k$の空間成分であり、${\Lambda^0}_0\geq+1$から
```math
(\Lambda k)^0=\sqrt{1+|\bm{k}_\Lambda|^2}
```
であることが保証されています[^4]。

[^4]: ${\Lambda^0}\_0\leq-1$だと$(\Lambda k)^0=-\sqrt{1+|\bm{k}_\Lambda|^2}$より$(\bar\Lambda k)^\mu=(-1,0,0,0)\neq k^\mu$となってしまいます。

よって、静止したものを静止したままにするので、直感的に$\bar\Lambda$は空間回転です。$\bar\Lambda$が空間回転であることを実際に示します。$\overline\Lambda$は$k^\mu$を不変に保つことから、何らかの3元ベクトル$\bm{V}$と$3\times3$行列$P$によって
```math
\bar\Lambda=\begin{pmatrix}
    1&\bm{V}^T\\
    0&P
\end{pmatrix}
```
と書くことができます。これをローレンツ変換の条件$\eta=\bar\Lambda^T\eta\bar\Lambda$に代入すると、
```math
\begin{align*}
\begin{pmatrix}
    -1&0\\
    0&I
\end{pmatrix}&=
\begin{pmatrix}
    1&0\\
    \bm{V}&P^T
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
    -1&0\\
    0&I
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
    1&\bm{V}^T\\
    0&P
\end{pmatrix}\\
&=\begin{pmatrix}
    1&0\\
    \bm{V}&P^T
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
    -1&-\bm{V}^T\\
    0&P
\end{pmatrix}\\
&=
\begin{pmatrix}
    -1&-\bm{V}^T\\
    -\bm{V}&-\bm{V}\bm{V}^T+P^TP
\end{pmatrix}
\end{align*}
```
が成り立つので、
```math
\bm{V}=0,\quad P^TP=I
```
となります。このとき$\det\bar\Lambda=+1$より[^3]$\det P=1$であり、$\bar\Lambda$は空間回転$R$です。よって$\Lambda$はブーストと空間回転の積
```math
\Lambda=B(\bm{k}_\Lambda)R
```
で書くことができ、ブーストと空間回転は恒等変換と曲線でつながっているので$\Lambda$も恒等変換と曲線でつながっています。よって$S_1$は連結です。

[^3]: $\Lambda,B(\bm{k}\_\Lambda)\in S_1$と$S_1$はローレンツ群の部分群であることから$\bar\Lambda=B(\bm{k}_\Lambda)^{-1}\Lambda\in S_1$です。

## おわりに
ローレンツ群の連結成分が4個であると述べている文献は多くありますが、本義ローレンツ群が連結であることを示しているものは少ないと思います。本来はこのような議論を行う必要があります。