量子論のヒルベルト空間ってナンだ？

# はじめに

こんにちは、清水です。
意識のモデル化に興味があります。
そこで、物理で外界をどのように数式でモデル化しているかを知るために、相対論につづき量子論の輪読を行っています。

「量子力学10講 2021 谷村省吾」オンライン読書会 第5回
https://akbrobot.connpass.com/event/302548/

量子論は**ヒルベルト空間**上に構築されます。

本記事では、公理的なヒルベルト空間についてまとめました。

# ヒルベルト空間への地図
<!-- ![alt](https://yuml.me/diagram/scruffy/class/draw
[線形空間{bg:green}]^-ノルムを付与[ノルム空間{bg:yellow}]^-内積を付与[内積空間{bg:yellow}]^-[ヒルベルト空間{bg:red}]
[ノルム空間]^-完備化[バナッハ空間]^-[ヒルベルト空間]
[線形空間]-[note: ベクトル空間とも呼ばれ、和とスカラー乗法が行える]
[内積空間]-[note: エルミート空間、ユークリッド空間、計量ベクトル空間とも呼ばれる]
[ヒルベルト空間]-[note: 線形空間に内積を付与して完備化した空間]
-->
![image.png](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/78212/ca6afd66-ac4d-b323-1e78-89d662e44cb8.png)

# 量子論とヒルベルト空間
**ヒルベルト空間**（Hilbert space）は、線形空間であり、内積（inner product）が備わっていて、完備（complete）である集合である。量子論でヒルベルト空間$\mathcal{H}$はつぎのように使用される。

## 状態
- 量子系の**状態**はヒルベルト空間$\mathcal{H}$の単位ベクトルである。$\ket{\psi}$や$\ket{\chi}$ などで表し状態ベクトルと呼ぶ。
（${\mathbb R}$ 上の２乗可積分空間 $L^2 ({\mathbb R})$　では、$\psi(x)$ は、**波動関数**と呼ばれる。）
- 状態ベクトル $\ket{\psi}$ と $\ket{\chi}$ の内積を$\braket{\psi | \chi}$ と表す。内積は複素数となる。
- 内積$\braket{\psi | \chi}$ は、状態 $\ket{\psi}$ から状態 $\ket{\chi}$ が見出される***確率振幅***（probability amplitude）と解釈され、内積の絶対値の二乗は***確率***となる。 $\mathbb{P}(\ket{\chi}←\ket{\psi}) = |\braket{\chi|\psi}|^2$ 　
- 状態ベクトルの線形結合で新しい状態を作れる。これを**状態の重ね合わせ**と呼ぶ。 
- 観測により、状態の重ね合わせは崩壊し、重ね合わせ前の１つの状態になる。

## 演算子（物理量） 
- 物理量（オブザーバブル）をヒルベルト空間$\mathcal{H}$上の自己共役演算子 ${\hat A}$ などで表す。$\hat A : \mathcal{H} \rightarrow  \mathcal{H}$
物理量には、位置演算子$\hat X$ や運動量演算子 $\hat P$などがある。
自己共役演算子の固有値は複素数ではなく実数となる。
- 物理量${\hat A}$が取り得る値（測定値）は、 ${\hat A}$の固有値（実数）のどれかである。
- 系の状態ベクトルが ${\hat A}$の固有値 $\lambda$に属する固有ベクトルであれば、測定すると必ず測定値$\lambda$を得る。
- 系の状態ベクトルが${\hat A}$の固有ベクトルではない場合、測定すると測定値は${\hat A}$の固有ベクトルのいずれかになるが一定ではなく、ボルンの確率公式にで与えられる確率に従う頻度で、測定値$\lambda$が現れる。
 $\mathbb{P}(\hat A = \lambda \ket{\psi}) = \sum^k_{r=1}|\braket{{v^{(r)}_\lambda}|\psi}|^2$ 

## 時間発展　（運動方程式）

- 行列力学　ハイゼンベルク方程式
量子状態自体は時間に依存せず、物理量を表す演算子が時間と共に変化する。

- 波動力学　シュレーディンガー方程式
量子状態は時間依存する波動関数によって記述される。物理量は固定された演算子として表される。

これらの二つのアプローチは数学的に等価である。 行列力学はより抽象的で、物理量のダイナミクスに焦点を当てている。一方、波動力学はより直感的で、波動関数としての量子状態の時間発展に焦点を当てている。


# 空間の公理的定義

## 線形空間　（linear space）
集合 $V$ が、その上の二項演算 $+$ と、体 $F$ の $V$ への作用 $◦$ をもち、これらが任意の $u, v, w ∈ V; a, b ∈ F$に関して次の公理系を満たすとき、三組 $(V, +, ◦)$ は「体 $F$ 上の線形空間」と定義される

|  | 公理 | 条件 |
|:------------:|:------------|:------------|
|1|加法の結合律|${\displaystyle {\boldsymbol {u}}+({\boldsymbol {v}}+{\boldsymbol {w}})=({\boldsymbol {u}}+{\boldsymbol {v}})+{\boldsymbol {w}}}$|
|2|加法の可換律|${\displaystyle {\boldsymbol {u}}+{\boldsymbol {v}}={\boldsymbol {v}}+{\boldsymbol {u}}}$|
|3|加法単位元の存在|零ベクトル${\boldsymbol {0}}\in V$が存在して、任意の${\boldsymbol {v}}\in V$に対して${\displaystyle {\boldsymbol {v}}+{\boldsymbol {0}}={\boldsymbol {v}}} $を満たす。|
|4|加法逆元の存在|任意のベクトル${\boldsymbol {v}}\in V$に対し、その加法逆元$-{\boldsymbol {v}}\in V$が存在して${\boldsymbol {v}}+(-{\boldsymbol {v}})={\boldsymbol {0}}$となる。|
|5|加法に対するスカラー乗法の分配律|${\displaystyle a({\boldsymbol {u}}+{\boldsymbol {v}})=a{\boldsymbol {u}}+a{\boldsymbol {v}}}$|
|6|体の加法に対するスカラー乗法の分配律|${\displaystyle (a+b){\boldsymbol {v}}=a{\boldsymbol {v}}+b{\boldsymbol {v}}}$|
|7|体の乗法とスカラーの乗法の両立条件|${\displaystyle a(b{\boldsymbol {v}})=(ab){\boldsymbol {v}}}$|
|8|スカラーの乗法の単位元の存在|${\displaystyle 1{\boldsymbol {v}}={\boldsymbol {v}}}$|

## ノルム空間　（normed linear space）
集合 $V$ を体 $F$ 上の線形空間とする。$V$上のノルムを$\Vert  \cdot \Vert: V → R $とする。
ノルム空間とは、組 $(V, \Vert  \cdot \Vert)$を言う。
ノルムは次の性質を満たす。

|  | 公理 | 条件 |
|:------------:|:------------|:------------|
|1|半正値性|${\displaystyle \Vert x \Vert \geq 0\ (\forall x\in V),\quad \Vert x \Vert =0\iff x=0}$|
|2|斉次性|$\Vert \alpha x \Vert= \| \alpha \| \Vert x \Vert \quad (\forall x\in V,\alpha \in K)$|
|3|劣加法性（三角不等式）|${\displaystyle \Vert x+y \Vert \leq \Vert x \Vert + \Vert y \Vert \quad (\forall x,y\in V)}$|

 ‖ x ‖ = 0 ⇒ x = 0 を除いてすべて満足するものは半ノルムと呼ばれ、V と半ノルム p との組 (V, p) は半ノルム空間と呼ばれる

## 内積空間　（inner product space）
内積空間とは体 $F$ 上の線形空間 $V$ であって、内積と呼ばれる写像
 $\langle \cdot, \cdot \rangle \colon V \times V \to F$ 
で以下の公理を満足するものを備えたものを言う

|  | 公理 | 条件 |
|:------------:|:------------|:------------|
|1|共役対称性|$\langle x,y\rangle =\overline{\langle y,x\rangle}$|
|2|第一引数に対する線型性|$\langle ax+y,z\rangle= a\langle x,z\rangle+ \langle y,z\rangle$|
|3|正定値性|$ \langle x,x\rangle \geq 0,\quad [\langle x,x\rangle = 0 \implies x = 0]$|

## バナッハ空間　（Banach space）
ノルム空間 $V$ がバナッハ空間であるとは、$V$ 内の各コーシー列 $\lbrace v_n\rbrace^\infty_{n=1}
$ に対して $V$ の適当な元 $v$ を選べば、$\lim_{n \to \infty} v_n = v$とすることができるときに言う。

ここで、$\lim_{n,m\to\infty}|x_n-x_m|=0$ が成り立つ無限数列 $\lbrace x_n\rbrace^\infty_{n=1}
$ ををコーシー列 と呼ぶ。

よく知られるバナッハ空間は、実数体 $R$ または複素数体 $C$ と対応し、実バナッハ空間および複素バナッハ空間と呼ばれる。

## ヒルベルト空間　（Hilbert space）　
内積空間であり、かつバナッハ空間である空間をヒルベルト空間と呼ぶ。

# 各種ヒルベルト空間の内積定義

任意のヒルベルト空間は有限次元なら $\mathbb{C^n}$ と同型、無限次元なら $\ell^2$ 空間と同型となる。
<!--（P60 4-1 抽象ベクトルの数ベクトル表示）-->
ヒルベルト空間上の抽象ベクトルと抽象演算子は、それぞれ数ベクトルと行列で表示できる。

- $n$次元複素ユークリッド空間 $\mathbb{C}^n$

```math
\braket{\psi_w|\psi_z}:=(w^*_1, w^*_2, \cdots ,w^*_n)
\begin{pmatrix}
z_1 \\
z_2 \\
\vdots \\
z_n \\
\end{pmatrix}
```

- 有限ノルムな無限数列空間 $\mathcal l^2$
```math
\braket{\psi_w|\psi_z}:=(w^*_1, w^*_2, \cdots )
\begin{pmatrix}
z_1 \\
z_2 \\
\vdots \\
\end{pmatrix}
```
- ${\mathbb R}$ 上の２乗可積分空間 $L^2 ({\mathbb R})$　１次元空間中を動く粒子の状態を記述する

```math
\braket{\psi_w|\psi_z}:=\int_{-\infty}^{\infty} \psi_w(x)^*\psi_z(x) dx

```
　$\psi(x)$ は、**波動関数**と呼ばれる。粒子が座標 $x$ について  $a \leq x \leq b$ の中に見つかる確率は、つぎに等しいと解釈される。

$$\mathbb{P}(a \leq x \leq b |\  \ \psi\  ) = \int^b_a |\psi(x)|^2 dx$$

- ${\mathbb R}^3$ 上の２乗可積分空間 $L^2 ({\mathbb R}^3)$　3次元空間中を動く粒子の状態を記述する

```math
\braket{\psi_w|\psi_z}:=\iiint_{-\infty}^{\infty} \psi_w(x,y,z)^*\psi_z(x,y,z) dxdydz

```
# 抽象を具象で表示　

## 抽象的状態の表示ベクトル Cs
ベクトルの集合 $\lbrace \ket {\chi_1},\ket {\chi_2}, \cdots  \rbrace$ を完全正規直交系（CONS：complete orthonormal system）とする。任意のベクトル  $\ket \psi$ に対して、複素数$c_1,c_2,\cdots$ が一意に存在して

$$\ket \psi= \sum_s c_s  \ket {\chi_s} \tag{2.66}$$

つぎのように全ての異なる向きへの射影を寄せ集めれば、元のベクトルに戻る。

```math
\ket \psi= \sum_r \ket {\chi_r} c_r = \sum_r \ket {\chi_r} \braket{\chi_r|\psi} = (\sum_r \ket {\chi_r} \braket{\chi_r|)\ |\psi} \tag{2.68}
```

$$\sum_r \ket {\chi_r} \bra  {\chi_r}  = I　　　　　量子論の大法則 \tag{2.69}$$

抽象状態の内積は数ベクトルの内積になる！
```math
\begin{equation} 
  \begin{split}
  \braket{\theta|\psi}&=(\sum_r \bra {d_r {\chi_r}})(\sum_s \ket { c_s  \chi_s} )=\sum_r \sum_s \braket {d_r {\chi_r}| c_s  \chi_s} \\
&=\sum_r \sum_s  d^*_r c_s \braket  {\chi_r| \chi_s} = \sum_r \sum_s  d^*_r c_s \delta_{rs} = \sum_r d^*_r c_s 
\end{split} 
\end{equation} \tag{4.6}  
```



## 抽象的演算子の表示行列 Ars 


```math
\begin{equation} 
  \begin{split}
\hat A \ket{ \psi}&=\hat I \hat A \hat I \ket{ \psi} \\
&=(\sum_r \ket {\chi_r} \bra  {\chi_r})\ \ \hat A \ \ (\sum_s \ket {\chi_s} \bra  {\chi_s}) \ \ \ket{ \psi} \\
&=\sum_r \sum_s \ket {\chi_r} \bra  {\chi_r} \hat A \ket {\chi_s} \braket  {\chi_s | \psi} \\
&=\sum_r \sum_s \ket {\chi_r} A_{rs} c_s　　　A_{rs}は複素数
  \end{split} 
\end{equation} \tag{4.9}  
```
ここで $$A_{rs} :=  \bra {\chi_r} \hat A \ket {\chi_s} \tag{4.10}$$ 
$$d_r= \sum_s A_{rs} c_s \tag{4.12}$$


結局
```math
\ket{ \theta}=
\begin{equation} 
  \begin{split}
\hat A \ket{ \psi}
&=\sum_r \ket {\chi_r} d_r
  \end{split} 
\end{equation} 
```






# おわりに
量子論の世界観はシンプルで美しい。
- ヒルベルト空間上のベクトルと演算子が、それぞれ量子状態と物理量になる。
- 物理量の測定値は演算子の固有値のいずれかで、その測定確率は状態ベクトルと固有ベクトルの内積で決まる。
- ヒルベルト空間上の抽象ベクトルと抽象演算子は、それぞれ数ベクトルと行列で表示できる。


気になっているつぎの項目も、調べていきたい。
- 量子論とシミュレーション仮説、数学的宇宙仮説、多世界解釈などの関係について
- 量子論の局所実在論の破れと大乗仏教との関係。中観派（空の理論、龍樹）や唯識派（存在は主観的で実体がない）。
- 圏論（category theory）上の量子論。ヒルベルト空間の代わりに、モノイド圏を使うようです。

# 参考 書籍
量子力学10講 2021 谷村省吾

# 参考 動画
名大の授業：谷村省吾教授「現代の量子論」第4回　ー　ヒルベルト空間，リースの表現定理
https://www.youtube.com/watch?v=o4BK5PayZfY&ab_channel=NagoyaUniversityOpenCourseWare%E3%80%8C%E5%90%8D%E5%A4%A7%E3%81%AE%E6%8E%88%E6%A5%AD%E3%80%8D

線形位相空間、ベクトル空間、ノルム空間、内積空間、バナッハ空間、ヒルベルト空間等


# 参考 Wikipedia
https://ja.wikipedia.org/wiki/線形空間
https://ja.wikipedia.org/wiki/ノルム空間
https://ja.wikipedia.org/wiki/内積空間
https://ja.wikipedia.org/wiki/バナッハ空間
https://ja.wikipedia.org/wiki/ヒルベルト空間

https://ja.wikipedia.org/wiki/ユークリッド空間
https://ja.wikipedia.org/wiki/完備距離空間


https://ja.wikipedia.org/wiki/局所実在論
https://ja.wikipedia.org/wiki/中観派
https://ja.wikipedia.org/wiki/唯識
https://ja.wikipedia.org/wiki/モノイド圏