スペクトル分解

「スペクトル分解」は、「射影行列」※１　である。では、この射影行列を、AIに聞いてみると以下のように答えてくれます。<br>
 射影行列は、線形代数の様々な分野で利用されます。射影行列の主なメリットは、最小二乗法による回帰分析において、計算を簡略化することです。射影行列を用いることで、回帰分析の計算がより効率的に行えます。また、射影行列は、画像処理やコンピュータビジョンの分野でも利用されます。例えば、射影行列を用いることで、画像の歪みを補正することができます。<br>

 今回は、「スペクトル分解」が何であるかを探ります。まず、


```math
\mathbf{A} = \
\begin{pmatrix}
5 & -2 \\
-2 & 2 \\
\end{pmatrix}
```
をスペクトル分解すると、２つの転置行列A1,A2が現れます。
　$A=　k_{1} A_{1}　+ k_{2} A_{2}　  $
k1,k2には、整数が入る。この計算は、後に「問題２」で行います。<br>




・また、スペクトル分解の特徴として、以下の式が成り立ちます。

```math
\begin{align}
\mathbf{A}_{1} \mathbf{A}_{2}&= O（零行列）\\
\end{align}
```
この式については、後ほど述べます。

　次のステップとして、対角化させます。その際に、U（ユニタリ行列）を使います。ユニタリ行列は、随伴行列（共役かつ転置）でもあります。
```math
    U^{*}U=UU^{*}
```
「随伴行列」は、①「転置行列」の各成分を②「複素共役」にしたものです。
①転置
②共役な複素数
```math
（例　複素数1 + 2i　の共役は、1 - 2i で、虚数の係数の前の符号が逆転します。 
```

・また、U（ユニタリ行列）は、直交行列でもあるので、次の式が成り立ちます。

```math
    U^{*}U=UU^{*}=E
```
この式が成り立つのが、正規行列であり、ユニタリ行列の特徴です。

この式を変形して、次の式が得られます。この式で対角化が容易になります。
```math
    U^{*}=U^{-1}
```

<br>

このユニタリ行列が、物理、量子力学で頻出します！以下のように「＊」（アスタリスク）が、「刀（ダガー）」の形になります。
```math
    U^{*}=U^{\dagger}
```


<br><br>




 

以下の問題を解いて、スペクトル分解を体感しよう！
問題２）

```math
\mathbf{A} = \
\begin{pmatrix}
5 & -2 \\
-2 & 2 \\
\end{pmatrix}
```

 をスペクトル分解せよ。

   

初めに、固有方程式を解く。
```math
|A-\lambda E|= 
\begin{pmatrix}
5-\lambda & -2 \\
-2 & 2-\lambda \\
\end{pmatrix}
```


  = (5 - λ)(2 - λ) - 4 = (λ - 1)(λ - 6) = 0 　　　 ∴λ = 1, 6

λ = 1に属する固有空間W（１）の正規直交基底を
```math
\mathbf{<u>}  \
```
λ = 6に属する固有空間W（６）の正規直交基底を
```math
\mathbf{<v>}  \
```
とする。それぞれ
```math
\mathbf{A - E} = \
\begin{pmatrix}
4 & -2 \\
-2 & 1 \\
\end{pmatrix}
→
\begin{pmatrix}
2 & -1 \\
0 &  0 \\
\end{pmatrix}
```
この式を解くと、固有ベクトルの1つは
```math
\begin{pmatrix}
1  \\
2 \\
\end{pmatrix}
```
である。また、<br>

```math
\mathbf{A - 6E} = \
\begin{pmatrix}
-1 & -2 \\
-2 & -4 \\
\end{pmatrix}
→
\begin{pmatrix}
1 & 2 \\
0 &  0 \\
\end{pmatrix}
```

固有ベクトルの1つは
```math
\begin{pmatrix}
-2  \\
1 \\
\end{pmatrix}
```
である。よって、２つの固有値を正規化して
```math
\mathbf{u} = 1/\sqrt{5}\
\begin{pmatrix}
1  \\
2 \\
\end{pmatrix}
,   
\mathbf{v} = 1/\sqrt{5}\
\begin{pmatrix}
-2  \\
1 \\
\end{pmatrix}
```
として、
```math
\mathbf{U} =

\begin{pmatrix}
u & v\\
\end{pmatrix}
=


1\sqrt{5}\ 
\begin{pmatrix}
1 &-2 \\
2 & 1\\
\end{pmatrix}
```
とおく。


行列Aのスペクトル分解を
```math
\mathbf{A = A_1 + 6A_2 }  \\\
```
とすると　
```math
\mathbf{A_1 u= u,\qquad A_2 v = o(零ベクトル）  }  \\\
```
から

```math
\mathbf{A_1 U= A_1}
\begin{pmatrix}
u\\
v\\\end{pmatrix}
```
```math

 = 
\begin{pmatrix}
A_1 u\\
A_1 v\\
\end{pmatrix}
=

\begin{pmatrix}
u\\
o\\
\end{pmatrix}
```

同様に
```math
\mathbf{A_2 u= o（零ベクトル）,\qquad A_2 v = v}  \\\
```
```math
\mathbf{A_2 U= }\\\
\begin{pmatrix}
o \\
v\\
\end{pmatrix}
```

よって、両辺に右から「Uの逆行列」をかけて、

```math
\mathbf{A_1} = \
\begin{pmatrix}
u \\
0 \\
\end{pmatrix}
U^{-1}= 1/\sqrt{5}
\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
2 & 0 \\
\end{pmatrix}
  1/\sqrt{5}
\begin{pmatrix}
1 & 2 \\
-2& 1 \\
\end{pmatrix}
= 1/5
\begin{pmatrix}
1 & 2 \\
2& 4 \\
\end{pmatrix}
```

```math
\mathbf{A_2} = \
\begin{pmatrix}
0 \\
v \\
\end{pmatrix}


U^{-1}= 1/\sqrt{5}
\begin{pmatrix}
0 & -2 \\
0 & 1 \\
\end{pmatrix}
1/\sqrt{5}
\begin{pmatrix}
1 & 2 \\
-2& 1 \\
\end{pmatrix}
= 1/5
\begin{pmatrix}
4 & -2 \\
-2& 1 \\
\end{pmatrix}
```

よって、求めるAのスペクトル分解は
```math
A= A_1 + 6A_2 =
\begin{pmatrix}
1/5 & 2/5 \\
2/5 & 4/5 \\
\end{pmatrix}

+ 6
\begin{pmatrix}
4/5 & -2/5 \\
-2/5& 1/5 \\
\end{pmatrix}
```

以上。これで「スペクトル分解」できました！　※１（図あり！）

＜考察＞
以下の３つを満たすので、「スペクトル分解」※２といえます。

 
①２つの行列A1、A2の和を計算すると
```math
A_1 + A_2 = E (単位行列）
```
②２つの行列A1、A2の積を計算すると
```math
A_1 × A_2 = O (零行列）
```
③　$A=　A_{1}　+ 6 A_{2}　  $

この式から、スペクトル分解の行列A1とA２の係数から、
　Ａ１は射影して１倍、Ａ２は射影して６倍と分かります。
 (ちなみに、A1,A2行列は転置行列です！）
 A１行列、A2行列とも射影行列です。よって、射影の性質より、次の式が成り立ちます。
 $A^n=(\lambda_1P_1+\lambda_2P_2)^n=\lambda_1^n P_1+\lambda_2^n P_2$
このように、Ａのｎ乗の計算が大変楽になります。

<br>

＜考察２＞
「スペクトル分解」の
メリットの１つとして、スペクトル分解は射影行列でもあるので、回帰分析の計算がより効率的に行えます。射影行列は、
最小二乗法による回帰分析において、計算を簡略化することができます。

自己共役でなければスペクトル定理が適用できないです。
では、自己共役行列は何なのか？これは「エルミート行列」※３と呼ばれ、次の式が成り立ちます。
```math
    AA^{*} = A^{*}A
```


「対称行列」は「直交行列」で対角化できるのに対して、
この「エルミート行列」は「ユニタリ行列」で対角化できます。
このことを、自分の「ユニタリ行列」のページで紹介しています。

<br>


　

参考文献とリンク先）
「数学検定１級１次　線形代数」　江川博康　著

※１　
「高校数学の美しい物語」射影行列　・図付きで解説有り。
https://manabitimes.jp/math/2486

※２
「コペンハーゲン解釈」　エルミート行列のスペクトル分解　
http://chanelkant.blog.fc2.com/blog-entry-178.html

※３　
「数学の景色」　エルミート行列の定義と性質4つとその証明　
https://mathlandscape.com/hermitian-matrix/