【読書ノート】 量子力学10講 「第４講　行列表示とユニタリ変換と対角化 」

# はじめに
こんにちは、清水です。
秋葉原ロボット部の理論グループでは相対論につづき、つぎの輪読をネット上で行っています。
「量子力学10講 2021 谷村省吾」

本記事は、本の「第４講　行列表示とユニタリ変換と対角化 」 をまとめたものです。

# 4-1　抽象ベクトルの数ベクトル表示　(P58)
ヒルベルト空間$\mathcal{H}$ の抽象的なベクトル $\ket{\psi}$ に対して 、数ベクトルが定まる。この数ベクトルを$\ket{\psi}$ の**表示ベクトル**という。

<!-- 
任意のベクトル  $\ket \psi$ に対して、
```math
\ket \psi= \sum_r c_r  \ket {\chi_r} = \sum_r \ket {\chi_r} c_r = \sum_r \ket {\chi_r} \braket{\chi_r|\psi} =  (\sum_r \ket {\chi_r} \braket{\chi_r)\ \ |\psi} \tag{4.2}

$$\sum_r \ket {\chi_r} \bra  {\chi_r}  = I　　　　　量子論の大法則 \tag{4.3}$$
 -->

```math
\ket \psi= \sum_r c_r  \ket {\chi_r} =(\ket{\chi_1},\ket{\chi_2}, \cdots ) 
\begin{pmatrix}
 c_1 \\ c_2 \\ \vdots 
\end{pmatrix}
\dot{=}
\begin{pmatrix}
 c_1 \\ c_2 \\ \vdots 
\end{pmatrix}
\tag{4.4, 4.5}
```

抽象ベクトルの内積は表示ベクトルの内積に等しい。

$$\braket{ \theta|\psi}=(\sum_r   \bra {d_r \chi_r} )(\sum_s  \ket {c_s \chi_s} )=\sum_r \sum_s \braket {d_r \chi_r | c_s \chi_s} $$

$$=\sum_r \sum_s d^\*_r c_s \braket { \chi_r |  \chi_s} = \sum_r \sum_s d^\*_r c_s \delta _{rs}= \sum_r d^\*_r c_r \tag{4.6} $$

ノルムの２乗

$$\lVert \ket{\psi} \rVert ^2 = \braket{ \psi|\psi}=\sum_r |c_r|^2 \tag{4.8} $$

任意のヒルベルト空間$\mathcal{H}$は有限次元なら $\mathbb{C^n}$ と同型、無限次元なら $\ell^2$ 空間と同型。

# 4-2　抽象演算子の行列表示　(P60) 
抽象的な演算子が抽象的なベクトルに作用している $\ket{ \theta}= \hat A \ket{ \psi}$ は、具体的な行列が数ベクトルに掛かっている式で表される。

```math
\begin{equation} 
  \begin{split}
\hat A \ket{ \psi}&=\hat I \hat A \hat I \ket{ \psi} \\
&=(\sum_r \ket {\chi_r} \bra  {\chi_r})\ \ \hat A \ \ (\sum_s \ket {\chi_s} \bra  {\chi_s}) \ \ \ket{ \psi} \\
&=\sum_r \sum_s \ket {\chi_r} \bra  {\chi_r} \hat A \ket {\chi_s} \braket  {\chi_s | \psi} \\
&=\sum_r \sum_s \ket {\chi_r} A_{rs} c_s　　　A_{rs}は複素数
  \end{split} 
\end{equation} \tag{4.9}  
```
ここで $$A_{rs} :=  \bra {\chi_r} \hat A \ket {\chi_s} \tag{4.10}$$ 

$$\ket{ \theta}= \hat A \ket{ \psi}=\sum_r \ket {\chi_r} d_r \tag{4.11}$$

$$d_r= \sum_s A_{rs} c_s \tag{4.12}$$
$$\hat A =\hat I \hat A \hat I =\sum_r \sum_s \ket {\chi_r} \bra  {\chi_r} \hat A \ket {\chi_s} \bra  {\chi_s}
=\sum_r \sum_s \ket {\chi_r} A_{rs}  \bra  {\chi_s}　\tag{4.15}  $$
<!--
(4.10) 証明

ヒルベルト空間の任意の状態 $\( |\chi_s\rangle \)$ と $\( \langle\chi_r| \)$ に対して、
$\( \hat{A} \)$ が線形演算子であるとき、行列表現 $\( A_{rs} \)$ は次のように定義されます。

状態ベクトルの展開:
    $\( |\chi_s\rangle \)$ と $\( \langle\chi_r| \)$ をヒルベルト空間の完全な基底 $\( | \phi_i \rangle \)$ で展開します。  
    $\ket \chi_s = \sum_i s_i \ket {\phi_i}$ 
    $\bra \chi_r = \sum_j r_j^* \bra {\phi_j} $
    ここで、$\( s_i \)$ と $\( r_j \)$ は係数で、$\( r_j^* \)$ は $\( r_j \)$ の複素共役です。
    
演算子の作用:
    演算子 $\hat{A}\$ を状態 $ |\chi_s\rangle$ に作用させ、その結果を基底で展開します。
    $\hat{A} \ket {\chi_s}= \hat{A}\sum_i s_i \ket {\phi_i}= \sum_i s_i \hat{A} \ket {\phi_i} $

内積の計算:
   $\langle\chi_r|$ と $\hat{A}|\chi_s\rangle$ の内積を計算します。
    $\braket{\chi_r|\hat{A}|\chi_s} = \left(\sum_j r_j^* \langle \phi_j |\right) \left(\sum_i s_i \hat{A}| \phi_i \rangle\right) = \sum_{i,j} r_j^* s_i \langle \phi_j |\hat{A}| \phi_i \rangle$


この内積は、$\( A_{rs} \)$ を与え、$\( \hat{A} \)$ の行列表現の $\( rs \)$ 成分を表します。

１１１１１１
$A_{rs} = \langle \chi_r | \hat{A} | \chi_s \rangle \
= \left( \sum_j r_j^* \langle \phi_j | \right) \left( \sum_i s_i \hat{A} | \phi_i \rangle \right) \
= \sum_j \sum_i r_j^* s_i \langle \phi_j | \hat{A} | \phi_i \rangle$

A_{rr} = \langle \chi_r | \hat{A} | \chi_r \rangle \
-->

# 4-3　ユニタリ変換　(P62)  
ユニタリ行列の逆行列は簡易に求まる。ユニタリ行列により基底や表示行列を変換する。
$$ \ket {X_s} = \sum_r \ket {X^\prime_r} \braket{{X^\prime_r}|X_s}=\sum_r \ket {X^\prime_r} U_{rs}　CONSのユニタリ変換\tag{4.22}$$
$$ U^\dagger U = U U^\dagger = I  　　　　　ユニタリ行列U \tag{4.32}$$



```math
\begin{equation} 
  \begin{split}
 A^\prime_{rs} &=  \bra {\chi^\prime _r} \hat A \ket {\chi^\prime _s} \\

&=\sum_p \sum_q \braket {\chi^\prime_r|\chi_p } \braket  {\chi_p| \hat A |\chi_q} \braket  {\chi_q | \chi^\prime_s} \\
&=\sum_p \sum_q U_{rp} A_{pq} U^*_{sq}
  \end{split} 
\end{equation} \tag{4.31} 
```
$$A^\prime = UAU^\dagger 　　　　表示行列のユニタリ変換 \tag{4.32}$$
# 4-4　対角化　(P64)  
自己共役演算子は対角化可能。


$$\hat A \ket {v^{(s)}_ \lambda}=\lambda \ket {v^{(s)}_ \lambda} \tag{4.33}$$

$$\braket {v^{(r)}_ {\lambda ^ \prime}} |\hat A | {v^{(s)}_ \lambda}= \braket {v^{(r)}_ {\lambda ^ \prime}} |\lambda | {v^{(s)}_ \lambda} =\lambda \braket {v^{(r)}_ {\lambda ^ \prime}| {v^{(s)}_ \lambda}} =\lambda \delta_{\lambda ^ \prime \lambda} \delta_{rs} \tag{4.34}$$



```math
\begin{equation}
\hat A \dot{=} \left(
\begin{array}{ccccc}
\lambda_1 &   &        &            &        \\
        & \lambda_2  &        &       0    &        \\
        &          & \lambda_3　&            &        \\
        &          &        &   \ddots          &        \\
        &      0        &        &    　　 　 &        \\ 
        &     &        &           & \\

\end{array}
\right) \tag{4.35}
\end{equation} 
```
# 4-5　トレース　(P65) 
トレースはCOSNSに依存しない。
$$Tr \ \hat A := \sum_r \braket {\chi_r | \hat A | \chi_r}= A_{11}+A_{22}+A_{33}+\cdots \tag{4.36}$$　
(4.10)を利用した。

$$Tr \ (\hat A \hat B) = Tr \ (\hat B \hat A) \tag{4.37}$$
$$Tr\ A^{\prime}=Tr\ (UAU^{\dagger})=Tr\ (AU^{\dagger}U)=Tr\ (AI)=Tr\ A \tag{4.40}$$
$$Tr\ A = \sum^n_{j=1}\lambda_j \tag{4.42}$$

# 参考資料
量子力学10講 2021 谷村省吾
　

# 【付録】　第４講に入るまでの抜粋

## 2-3　ヒルベルト空間　(P15)
量子力学では、系の状態をヒルベルト空間$\mathcal{H}$のベクトル $\ket{\psi}$ で表す。
ヒルベルト空間とは、ベクトル空間であり、内積が備わっていて、完備であるような集合である。


$$\braket {\chi| \psi} 　　　　　2つのベクトル\ket{\psi}と\ket{\chi} の内積 \tag{2.3}$$
$$\lVert \ket{\psi} \rVert  :=  \sqrt {\braket{ \psi|\psi}} 　　　　　長さまたはノルム (norm)  \tag{2.13}$$

## 2-6　量子力学における確率解釈　(P21)
$$\mathbb{P}(\ket \chi ←\ket \psi)= |\braket{\chi|\psi} |^2 　　　　　ボルンの確率解釈\tag{2.34}$$

## 2-7　ヒルベルト空間の例　(P22)
例１ $n次元複素ユークリッド空間\mathbb{C^n}$
```math
\braket {\psi_w| \psi_z} :=(w^*_1,w^*_2, \cdots, w^*_n ) 
\begin{pmatrix}
 z_1 \\ z_2 \\ \vdots \\ z_n
\end{pmatrix} \tag{2.37}
```

例２ 有限ノルムな無限数列空間$\ell^2$
```math
\braket {\psi_w| \psi_z} :=(w^*_1,w^*_2, \cdots ) 
\begin{pmatrix}
 z_1 \\ z_2 \\ \vdots 
\end{pmatrix} 
```

例３ $\mathbb{R}上の２乗可積分関数空間 L^2(\mathbb{R})$　１次元空間中を動く粒子の状態を記述  
$$\braket {\psi_w| \psi_z} := \int^\infty_ {-\infty} \psi_w(x)^* \ \psi_z(x)dx \tag{2.50}$$
　$\psi(x)$ は、**波動関数**と呼ばれる。粒子が座標 $x$ について  $a \leq x \leq b$ の中に見つかる確率は、つぎに等しいと解釈される。

$$\mathbb{P}(a \leq x \leq b |\  \ \psi\  ) = \int^b_a |\psi(x)|^2 dx$$
例4 $L^2(\mathbb{R}^3)$　３次元空間中を動く粒子の状態を記述   
$$\braket {\psi_w| \psi_z} := \iiint^\infty_ {-\infty} \psi_w(x,y,z)^* \ \psi_z(x,y,z)dxdydz \tag{2.60}$$

## 2-8　基底　(P27)
つぎを満たすベクトルの集合 $\lbrace \ket {\chi_1},\ket {\chi_2}, \cdots  \rbrace$ を完全正規直交系（CONS：complete orthonormal system）という。
$$\braket{\chi_r|\chi_s} = \delta_{rs} \tag{2.65}$$


任意のベクトル  $\ket \psi$ に対して、
$$\ket \psi= \sum_s c_s  \ket {\chi_s} \tag{2.66}$$
両辺に $\bra {\chi_r}$ との内積を施すと
$$\braket{\chi_r|\psi} = \braket{\chi_r|( \sum_s c_s  \ket {\chi_s})}=\sum_s c_s \braket{\chi_r|\chi_s}= \sum_s c_s \delta_{rs} = c_r \tag{2.67}$$

```math
\ket \psi= \sum_r c_r \ket {\chi_r} = \sum_r \ket {\chi_r} \braket{\chi_r|\psi} = (\sum_r \ket {\chi_r} \braket{\chi_r)\ |\psi} \tag{2.68}
```

$$\sum_r \ket {\chi_r} \bra  {\chi_r}  = I　　　　　量子論の大法則 \tag{2.69}$$
$$P_r = \mathbb{P}(\ket {\chi_r} ←\ket \psi)= |\braket{{\chi_r}|\psi} |^2 =  |c_r |^2　　ボルンの確率解釈　\tag{2.70}$$

$$1= \sum_r P_r \tag{2.71}$$

$$1=\braket{{\psi}|\psi}=\braket{{\psi}|(\sum_r c_r  \ket {\chi_r})}= \sum_r c_r  \braket {{\psi}|{\chi_r}}= \sum_r c_r c^*_r = \sum_r |c_r|^2 \tag{2.71}$$

## 3-2　エルミート共役　(P38)

任意のベクトル $\ket{\chi} ,\ket{\psi} \in  \mathcal{H}$ に対して、

$$\braket{\chi|{\hat A}\psi} = \braket{{\hat A^\dagger}\chi|\psi}  \tag{3.32}$$
を満たすような $\hat A^\dagger$ を、 $\hat A$ のエルミート共役(Hermitian conjugate) という。

## 3-3　自己共役演算子　(P42) 　エルミート演算子

 $\hat A^\dagger = \hat A$ であれば、$\hat A$ を自己共役演算子 (self-conjugate operator)  あるいは、エルミート演算子（Hermitian operator, Hermitian）という。
演算子は作用素ともいう。

$(\hat A^\dagger) _ {lj} = (\hat A)_{jl}^{\ \ \ *}$ であれば、$\hat A$ をエルミート行列という。

## 3-4　演算子の固有値　(P53)
$$\hat A \ket v = \lambda \ket v\tag{3.57}$$

$ \lambda$ を演算子$\hat A$ の固有値（eigenvalue）、$\ket v$ を固有値 $ \lambda$ に属する固有ベクトル（eigenvector）という。 

## 3-5　自己共役演算子の固有値・固有ベクトル　(P48)
自己共役演算子の固有値は実数。異なる固有値に属する固有ベクトルは直交する。
$$\braket {v|v^{\prime}}=0\tag{3.95}$$

## 3-6　固有値が縮退している場合　(P50) 
$$\hat A \ket{ v^{(s)}_{\lambda}} = \lambda \ket {v^{(s)} _\lambda} \tag{3.96}$$

$$\braket{v^{(r)} _ {\lambda}|v^{(s)}_{\lambda}} = \delta _ {rs}  　(r,s=1,2,...,k)\tag{3.97}$$ 　 　 　

任意のベクトル $\ket \psi \in \mathcal{H}$ に対して
$$\ket \psi = \sum_\lambda \sum^k_{r=1} {c^{(r)} _ {\lambda}} \ket v^{(r)}_{\lambda} \tag{3.99}$$ 　

## 3-7　固有値と測定値の関係　(P53) 　
$$\mathbb{P}(\hat A = \lambda | \psi)= \sum^k_{i=1}|\braket{v^{(r)}_\lambda|\psi}|^2　　　ボルンの確率解釈\tag{3.111}$$



# 【付録】　基本定理たち
$$\ket \psi= \sum_s c_s  \ket {\chi_s} \tag{2.66}$$
$$\braket{\chi_r|\psi} = \braket{\chi_r|( \sum_s c_s  \ket {\chi_s})}=\sum_s c_s \braket{\chi_r|\chi_s}= \sum_s c_s \delta_{rs} = c_r \tag{2.67}$$
```math
\ket \psi= \sum_r c_r \ket {\chi_r} = \sum_r \ket {\chi_r} \braket{\chi_r|\psi} = (\sum_r \ket {\chi_r} \braket{\chi_r)\ |\psi} \tag{2.68}
```
$$\sum_r \ket {\chi_r} \bra  {\chi_r}  = I　　　　　量子論の大法則 \tag{2.69}$$

---
$$A_{rs} :=  \bra {\chi_r} \hat A \ket {\chi_s} \tag{4.10}$$ 
$$\ket{ \theta}= \hat A \ket{ \psi}=\sum_r \ket {\chi_r} d_r \tag{4.11}$$
$$d_r= \sum_s A_{rs} c_s \tag{4.12}$$

---
$$ \ket {X_s} = \sum_r \ket {X^\prime_r} \braket{{X^\prime_r}|X_s}=\sum_r \ket {X^\prime_r} U_{rs}　CONSのユニタリ変換\tag{4.22}$$
```math
\begin{equation} 
  \begin{split}
 A^\prime_{rs} &=  \bra {\chi^\prime _r} \hat A \ket {\chi^\prime _s} \\
&=\sum_p \sum_q \braket {\chi^\prime_r|\chi_p } \braket  {\chi_p| \hat A |\chi_q} \braket  {\chi_q | \chi^\prime_s} \\
&=\sum_p \sum_q U_{rp} A_{pq} U^*_{sq}
  \end{split} 
\end{equation} \tag{4.31} 
```
$$\braket {v^{(r)}_ {\lambda ^ \prime}} |\hat A | {v^{(s)}_ \lambda}= \braket {v^{(r)}_ {\lambda ^ \prime}} |\lambda | {v^{(s)}_ \lambda} =\lambda \braket {v^{(r)}_ {\lambda ^ \prime}| {v^{(s)}_ \lambda}} =\lambda \delta_{\lambda ^ \prime \lambda} \delta_{rs} \tag{4.34}$$
$$Tr \ \hat A := \sum_r \braket {\chi_r | \hat A | \chi_r}= A_{11}+A_{22}+A_{33}+\cdots \tag{4.36}$$