ユニタリ群U(2)をイメージしてみる

こんにちは｜こんばんは。カエルのアイコンで活動しております @kyamaz :frog: です。

本稿は、拙稿『[特殊ユニタリ群SU(2)をイメージしてみる](
https://qiita.com/kyamaz/items/56371211c8a9a6fa3d3e
)』の続編です。
「万能量子計算」を考えるなかで<font color="#f7a535">『本来であれば、ユニタリ行列のイメージを取り扱えるのが良かったのですが、執筆者の力量がなく、特殊ユニタリのイメージを扱うことにしました。』</font>として、前稿では特殊ユニタリ群をイメージするアイディアを示しました。本稿では、その”特殊”を取ったユニタリ群をイメージすることを考えてみます。

## ユニタリ群U(1)
本稿では、２次のユニタリ群$U(2)$について考えますが、その前に１次のユニタリ群$U(1)$を見てみましょう。[^1]
$U(1)$ は、１次なので $uu^{\*}=1$ を満たす複素数 $u$ の集合、すなわち絶対値$1$の複素数の集合であればよく、$U(1)$は

$\qquad\qquad u= \\{ \quad e^{i \theta} \quad \vert \\; \theta \in \mathbb{R} \\}$

で表される複素数の集合です。

## ユニタリ群U(2)の行列
さてユニタリ群$U(2)$の前にまずは、特殊ユニタリ群$SU(2)$を見ていきます。特殊ユニタリ群$SU(2)$は、行列式が$1$となるユニタリ行列の集合で、その元の一般形は、

$\qquad\qquad
U = \left( \begin{matrix}{ \alpha } & { \beta } \\\\
{ - \beta ^{\*} } & { \alpha ^{\*} }
\end{matrix} \right),
\begin{equation}
|\alpha|^{2}+|\beta|^{2}= 1,\alpha,\beta \in \mathbb{C}
\end{equation}
$

で表せられます。この一般形を導くには、$U = \left( \begin{matrix}{ \alpha } & { \beta } \\\\
{ \gamma } & { \delta }
\end{matrix} \right)$とおくと、
$\qquad\qquad\begin{align}
UU^{\dagger} &= \left( \begin{matrix}{ \alpha } & { \beta } \\\\
{ \gamma } & { \delta } \end{matrix} \right)
\left( \begin{matrix}{ \alpha ^{\*} } & { \gamma ^{\*}  } \\\\
{ \beta ^{\*}  } & { \delta ^{\*}  } \end{matrix} \right) \\\\
&= \left( \begin{matrix}{ |\alpha|^{2}+|\beta|^{2} } & { \alpha 
 \gamma ^{\*} + \beta \delta ^{\*}  } \\\\
{ \alpha ^{\*} \gamma + \beta ^{\*} \delta  } & { |\gamma|^{2}+|\delta|^{2}  } \end{matrix} \right)
= \left( \begin{matrix}{ 1 } & { 0 } \\\\ { 0 } & { 1 } \end{matrix} \right)
\end{align}
$
より、左上、左下の成分から
$\begin{equation}\label{XX1}
|\alpha|^{2}+|\beta|^{2}= 1 \tag{1}
\end{equation}$
$\begin{equation}\label{XX2}
\alpha ^{\*} \gamma + \beta ^{\*} \delta = 0 \tag{2}
\end{equation}$
が成り立ち、$det{U} = 1$より、
$\begin{equation}\label{detSU}
\alpha \delta - \beta \gamma = 1 \tag{3}
\end{equation}$
が成り立ちます。
式($\ref{XX2}$)、式($\ref{detSU}$)を $\gamma, \delta$について連立方程式にして、

$\begin{equation}\label{gd}
\left( \begin{matrix}{ - \beta } & { \alpha } \\\\
{ \alpha ^{\*} } & { \beta ^{\*}  } \end{matrix} \right)
 \left( \begin{matrix}{\gamma} \\\\ {\delta} \end{matrix} \right)= \left( \begin{matrix}{ 1 }  \\\\ { 0 } \end{matrix} \right) \tag{4}
\end{equation}$

途中で式($\ref{XX1}$)を使うと、$\gamma=- \beta ^{\*}, \delta= \alpha ^{\*}$が示せます。

次に、本題であるユニタリ群$U(2)$を見ていきます。
ユニタリ行列$U$は行列式の絶対値が$1$となり、上述の式($\ref{detSU}$)を、

$\begin{equation}\label{detU}
| \alpha \delta - \beta \gamma | = 1 \tag{3'}
\end{equation}$

に置き換えて、この式($\ref{detU}$)が成り立つことになります。$U(1)$で見てきた様に、この式($\ref{detU}$)の左辺の絶対値符号の中は複素数 $e^{i \theta} ( \theta \in \mathbb{R} )$ と表せて、その行列式$det{U}=e^{i \theta}$です。そして上述の式($\ref{gd}$)は、

$\begin{equation}\label{gdU}
\left( \begin{matrix}{ - \beta } & { \alpha } \\\\
{ \alpha ^{\*} } & { \beta ^{\*}  } \end{matrix} \right)
 \left( \begin{matrix}{\gamma} \\\\ {\delta} \end{matrix} \right)= \left( \begin{matrix}{ e^{i \theta} }  \\\\ { 0 } \end{matrix} \right) \tag{4'}
\end{equation}$

となり、$\gamma, \delta$について解くと、$\gamma=- e^{i \theta}\beta ^{\*}, \delta= e^{i \theta}\alpha ^{\*}$です。これを使うとユニタリ群$U(2)$のユニタリ行列$U$は、

$\begin{align}
U &= \left( \begin{matrix}{ \alpha } & { \beta } \\\\
{ - e^{i \theta} \beta ^{\*} } & {e^{i \theta} \alpha ^{\*} }
\end{matrix} \right)
= \left( \begin{matrix}{ e^{i \theta/2} \alpha' } & {e^{i \theta/2} \beta' } \\\\
{ - e^{i \theta/2} \beta' ^{\*} } & {e^{i \theta/2} \alpha' ^{\*} }
\end{matrix} \right) \\\\
\label{u1} &= \left( \begin{matrix}{ e^{i \theta/2} } & { 0 } \\\\ { 0 } & { e^{i \theta/2} } \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix}{ \alpha' } & { \beta' } \\\\ {- \beta' ^{\*} } & {\alpha' ^{\*} }
\end{matrix} \right) \tag{5}
\end{align}
$
と書けます。ここで、$\alpha' = e^{- i \theta/2} \alpha, \beta' = e^{- i \theta/2} \beta$と置いて計算しました。すると、式($\ref{u1}$)の右側の$\alpha',\beta'$で表した行列は、行列式$ \alpha' \delta' - \beta' \gamma' = e^{- i \theta} (\alpha \delta - \beta \gamma) = e^{- i \theta} e^{ i \theta} = 1$が成り立ち、これは$SU(2)$のユニタリ行列の一般形であることが分かります。

つまり、

$$\label{u2} \[ U(2)の行列\] = e^{i \theta/2} I \times \[ SU(2)の行列\]\\quad(ここで\theta \in \mathbb{R}) \tag{6}$$

と考えれば良さそうです。（参考文献を読むと厳密ではないようですが、$U(2)\simeq U(1) \times SU(2)$という関係が背景にあるようです。）

## 行列式 -1 の2次ユニタリ行列をイメージしてみる
ここで$U(2)$の具体例として、行列式が$-1$である2次ユニタリ行列についてイメージしてみましょう。
式($\ref{u1}$)で$\theta=\pm \pi$の場合を考えると行列式は$-1$になります。関係式($\ref{u2}$)で考える上では$-I$が$SU(2)$の行列に含まれており、$\theta$の符号が＋だけを考えても本質的には良さそうです。式($\ref{u1}$)を計算すると次のようになり、

$\begin{align}
U &= \left( \begin{matrix}{ e^{i \pi/2} } & { 0 } \\\\ { 0 } & { e^{i \pi/2} } \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix}{ \alpha' } & { \beta' } \\\\ {- \beta' ^{\*} } & {\alpha' ^{\*} }
\end{matrix} \right) \\\\
&= \left( \begin{matrix}{ i } & { 0 } \\\\ { 0 } & { i } \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix}{ \alpha' } & { \beta' } \\\\ {- \beta' ^{\*} } & {\alpha' ^{\*} }
\end{matrix} \right)
\label{uneg} = \left( \begin{matrix}{ \alpha'' } & { \beta'' } \\\\ { \beta'' ^{\*} } & {- \alpha'' ^{\*} }
\end{matrix} \right) \tag{7}
\end{align}
$

行列式が$-1$である2次ユニタリ行列の一般形は式($\ref{uneg}$)と表せます。
ここで、冒頭に挙げた[以前の寄稿](https://qiita.com/kyamaz/items/56371211c8a9a6fa3d3e)と同様に　$U \equiv \left( \begin{matrix}
{ U_{11} } & { U_{12} } \\\\
{ U_{21} } & { U_{22} }
\end{matrix} \right)$　とおいてそれぞれの行列成分を図示することを目指します。

前稿では『特殊ユニタリの行列要素のイメージ』として次のような図を紹介しました。（※前稿では、複素数$c$の複素共役を$c^{\*}$ではなく$\bar{c}$と表記しましたので、以降は表記に$\bar{c}$を使います。）

![特殊ユニタリの行列要素のイメージ](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/136950/c9082a8e-01de-ca20-345b-ed5e59776947.png)

同様にして『行列式が$-1$である2次ユニタリ行列の行列要素のイメージ』は容易に描けます。
<font color="green">**●行列式が$-1$である2次ユニタリ行列の行列要素のイメージ**</font>
![行列式が-1である2次ユニタリ行列の行列要素のイメージ](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/136950/7ccc9df0-66de-4225-b122-605e6e9479fc.png)

図からも分かる通り、行列式が$-1$の場合の$U_{11} \iff U_{22}$の対応づけは、行列式が$1$の場合の$U_{12} \iff U_{21}$の対応と同じで、行列式が$-1$の場合の$U_{12} \iff U_{21}$の対応づけは、行列式が$1$の場合の$U_{11} \iff U_{22}$の対応と同じです。４つの直行した単位円がまるで$\pi/2$だけ回転したかのように見えるのです。（$SU(2)$のイメージとそれぞれの単位円の色の対応を確認してみてください。）

また、$\alpha$と$\beta$の間には$|\alpha|^{2}+|\beta|^{2}= 1$という関係がありますので次のようなイメージでの関係も$SU(2)$と同様にあります。

![alpha,betaの関係](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/136950/1696fa9d-f757-5c53-e174-953e22562726.png)

## ユニタリ群U(2)をイメージしてみる
前節で、行列式$-1$と$SU(2)$である行列式$1$の行列成分について比較してみました。同様に、一般のユニタリ行列も『特殊ユニタリの行列要素のイメージ』を$\theta/2$だけ回転した4点で表されることが容易に推察できます。ユニタリ群$U(2)$のイメージは、$SU(2)$を使って次のようなイメージで示すことができそうです。

<font color="green">**●ユニタリの行列要素のイメージ**</font>
![トーラス](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/136950/2456db43-750c-e595-473f-3f1aa4683320.png)

ここでの $SU(2)$の規則は前稿で示したとおりですが、以下に再掲しておきます。

複素数$\alpha,\bar{\alpha}$は、図中の黒点●の点対称の位置でそれぞれを表記できます。（下図の★の２点）
![αのイメージ](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/136950/29a52580-7121-4e04-4b87-df2e80c5c00c.png)

複素数$\beta,\bar{\beta}$は、実数軸と並行でその距離が２の２点で表せられます。（下図の★の２点）

![βのイメージ](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/136950/3f840bff-819a-16e2-557c-2a0ee79b1b86.png)

以上で、一般のユニタリ行列についてのイメージの解説を終わります。本稿が、皆さまの理解の一助になれば幸いです。


（●）（●）　＜終わりのご挨拶。）
/""　＿＿""＼ @kyamaz は、オープンソース・コミュニティ[^99]を通じて、皆さんと共に量子情報・量子コンピューティングの分野で挑戦しております。引き続きどうぞ宜しくお願い致します。

[^1]: $U(1)$については、[EMANの物理学](https://eman-physics.net/math/lie11.html)で過去に取り上げられておりますので、そちらも参考にしました。
[^99]: OpenQLプロジェクトは、量子コンピューターを扱うための様々なライブラリを開発するためのオープンソースプロジェクトです。量子情報、量子コンピューターに興味のある人たちが集うコミュニティを運営しております。詳しくは[connpassのサイト](https://openql.connpass.com/)をご覧ください。