DCモータについての基礎計算

# 中学生でも分かる!モータの支配方程式及びその伝達関数
githubのwikiに書いていたものを移植
https://github.com/hayate2718/STM_MotorSystem_Program/wiki/DC%E3%83%A2%E3%83%BC%E3%82%BF%E5%88%B6%E5%BE%A1%E3%81%AE%E3%81%9F%E3%82%81%E3%81%AE%E5%9F%BA%E7%A4%8E%E7%9F%A5%E8%AD%98

|記号|意味|
|----|----|
|v|電圧|
|V|v/s|
|i|電流|
|I|i/s|
|ω|角速度|
|Ω|ω/s|
|t|時間|
|R|モータ巻き線抵抗|
|L|モータ巻き線インダクタンス|
|Ke|逆起電力定数|
|kt|トルク定数|
|B|粘性係数|
|J|イナーシャ|
|TL|外部トルク|

<a href="https://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=v&space;=&space;Ri&plus;L\frac{di}{dt}&plus;K_e\omega" target="_blank"><img src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?v&space;=&space;Ri&plus;L\frac{di}{dt}&plus;K_e\omega" title="v = Ri+L\frac{di}{dt}+K_e\omega" /></a><br>

<a href="https://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=k_ti&space;=&space;T_L&plus;J\frac{d\omega}{dt}&plus;B\omega" target="_blank"><img src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?k_ti&space;=&space;T_L&plus;J\frac{d\omega}{dt}&plus;B\omega" title="k_ti = T_L+J\frac{d\omega}{dt}+B\omega" /></a><br>

上記2式がモータの支配方程式である。これらをラプラス変換すると、<br>

<a href="https://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=V&space;=&space;RI&plus;LIs&plus;k_e\Omega" target="_blank"><img src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?V&space;=&space;RI&plus;LIs&plus;k_e\Omega" title="V = RI+LIs+k_e\Omega" /></a><br>

<a href="https://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=k_tI&space;=&space;\frac{T_L}{s}&plus;B\Omega&plus;J\Omega&space;s" target="_blank"><img src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?k_tI&space;=&space;\frac{T_L}{s}&plus;B\Omega&plus;J\Omega&space;s" title="k_tI = \frac{T_L}{s}+B\Omega+J\Omega s" /></a><br>

となる。トルク関係式側を式変形して、<br>

<a href="https://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=I&space;=&space;\frac{\frac{T_L}{s}&plus;B\Omega&plus;J\Omega&space;s}{k_t}" target="_blank"><img src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?I&space;=&space;\frac{\frac{T_L}{s}&plus;B\Omega&plus;J\Omega&space;s}{k_t}" title="I = \frac{\frac{T_L}{s}+B\Omega+J\Omega s}{k_t}" /></a><br>

これを電圧関係式に代入すると、<br>

<a href="https://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=V&space;=&space;(R&plus;Ls)\frac{\frac{T_L}{s}&plus;B\Omega&plus;J\Omega&space;s}{k_t}&plus;k_e\Omega" target="_blank"><img src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?V&space;=&space;(R&plus;Ls)\frac{\frac{T_L}{s}&plus;B\Omega&plus;J\Omega&space;s}{k_t}&plus;k_e\Omega" title="V = (R+Ls)\frac{\frac{T_L}{s}+B\Omega+J\Omega s}{k_t}+k_e\Omega" /></a><br>

代入したトルク関係式を角速度を係数に持つ項と外部トルク係数項とで分けて、式を整理すると、<br>

<a href="https://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=V&space;=&space;(R&plus;Ls)\frac{T_L}{sk_t}&plus;\Omega&space;\frac{((R&plus;Ls)(B&plus;Js)&plus;k_ek_t)}{k_t}" target="_blank"><img src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?V&space;=&space;(R&plus;Ls)\frac{T_L}{sk_t}&plus;\Omega&space;\frac{((R&plus;Ls)(B&plus;Js)&plus;k_ek_t)}{k_t}" title="V = (R+Ls)\frac{T_L}{sk_t}+\Omega \frac{((R+Ls)(B+Js)+k_ek_t)}{k_t}" /></a><br>

これを、Ωについての式に変形すると、

<a href="https://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=\Omega&space;=&space;-\frac{T_L}{s}\frac{R&plus;Ls}{(R&plus;Ls)(B&plus;Js)&plus;k_eK_t}&plus;V&space;\frac{k_t}{(R&plus;Ls)(B&plus;Js)&plus;k_eK_t}" target="_blank"><img src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?\Omega&space;=&space;-\frac{T_L}{s}\frac{R&plus;Ls}{(R&plus;Ls)(B&plus;Js)&plus;k_eK_t}&plus;V&space;\frac{k_t}{(R&plus;Ls)(B&plus;Js)&plus;k_eK_t}" title="\Omega = -\frac{T_L}{s}\frac{R+Ls}{(R+Ls)(B+Js)+k_eK_t}+V \frac{k_t}{(R+Ls)(B+Js)+k_eK_t}" /></a><br>

となる。この式は速度電圧伝達関数と速度トルク伝達関数を示す。<br>

<a href="https://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=W_m(s)&space;=&space;\frac{R&plus;Ls}{(R&plus;Ls)(B&plus;Js)&plus;k_eK_t}" target="_blank"><img src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?W_m(s)&space;=&space;\frac{R&plus;Ls}{(R&plus;Ls)(B&plus;Js)&plus;k_eK_t}" title="W_m(s) = \frac{R+Ls}{(R+Ls)(B+Js)+k_eK_t}" /></a><br>

<a href="https://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=W_v(s)&space;=&space;\frac{k_t}{(R&plus;Ls)(B&plus;Js)&plus;k_eK_t}" target="_blank"><img src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?W_v(s)&space;=&space;\frac{k_t}{(R&plus;Ls)(B&plus;Js)&plus;k_eK_t}" title="W_v(s) = \frac{k_t}{(R+Ls)(B+Js)+k_eK_t}" /></a><br>

それぞれの分母を整理して<br>

<a href="https://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=W_v(s)&space;=&space;\frac{k_t}{RB&plus;k_eK_t&plus;(RJ&plus;LB)s&plus;LJs^2}" target="_blank"><img src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?W_v(s)&space;=&space;\frac{k_t}{RB&plus;k_eK_t&plus;(RJ&plus;LB)s&plus;LJs^2}" title="W_v(s) = \frac{k_t}{RB+k_eK_t+(RJ+LB)s+LJs^2}" /></a><br>

<a href="https://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=W_e(s)&space;=&space;\frac{R&plus;Ls}{RB&plus;k_eK_t&plus;(RJ&plus;LB)s&plus;LJs^2}" target="_blank"><img src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?W_e(s)&space;=&space;\frac{R&plus;Ls}{RB&plus;k_eK_t&plus;(RJ&plus;LB)s&plus;LJs^2}" title="W_e(s) = \frac{R+Ls}{RB+k_eK_t+(RJ+LB)s+LJs^2}" /></a><br>

さらに、式変形してトルク電圧伝達関数を求めると、

<a href="https://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=\frac{T_L}{s}&space;=&space;V\frac{k_t}{R&plus;Ls}-\Omega\frac{RB&plus;k_eK_t&plus;(RJ&plus;LB)s&plus;LJs^2}{R&plus;Ls}" target="_blank"><img src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?\frac{T_L}{s}&space;=&space;V\frac{k_t}{R&plus;Ls}-\Omega\frac{RB&plus;k_eK_t&plus;(RJ&plus;LB)s&plus;LJs^2}{R&plus;Ls}" title="\frac{T_L}{s} = V\frac{k_t}{R+Ls}-\Omega\frac{RB+k_eK_t+(RJ+LB)s+LJs^2}{R+Ls}" /></a><br>

<a href="https://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=\frac{T_L}{s}&space;=&space;(RI&plus;LIs&plus;k_e\Omega)\frac{k_t}{R&plus;Ls}-\Omega\frac{k_eK_t}{R&plus;Ls}-\Omega\frac{RB&plus;(RJ&plus;LB)s&plus;LJs^2}{R&plus;Ls}" target="_blank"><img src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?\frac{T_L}{s}&space;=&space;(RI&plus;LIs&plus;k_e\Omega)\frac{k_t}{R&plus;Ls}-\Omega\frac{k_eK_t}{R&plus;Ls}-\Omega\frac{RB&plus;(RJ&plus;LB)s&plus;LJs^2}{R&plus;Ls}" title="\frac{T_L}{s} = (RI+LIs+k_e\Omega)\frac{k_t}{R+Ls}-\Omega\frac{k_eK_t}{R+Ls}-\Omega\frac{RB+(RJ+LB)s+LJs^2}{R+Ls}" /></a><br>

<a href="https://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=\frac{T_L}{s}&space;=&space;(RI&plus;LIs)\frac{k_t}{R&plus;Ls}-\Omega\frac{RB&plus;(RJ&plus;LB)s&plus;LJs^2}{R&plus;Ls}" target="_blank"><img src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?\frac{T_L}{s}&space;=&space;(RI&plus;LIs)\frac{k_t}{R&plus;Ls}-\Omega\frac{RB&plus;(RJ&plus;LB)s&plus;LJs^2}{R&plus;Ls}" title="\frac{T_L}{s} = (RI+LIs)\frac{k_t}{R+Ls}-\Omega\frac{RB+(RJ+LB)s+LJs^2}{R+Ls}" /></a><br>

この式からモータのトルクは入力した電圧からモータ逆起電力分を引いた電圧すなわちモータに流れる電流によって発生する電圧降下分によって制御できることがわかる。<br>
さらに方程式を簡単にするために、制御時に影響の少ないパラメータを消す。

|パラメータ|評価|
|----|----|
|R|mΩクラスと大きい|
|L|uH~mHとそこそこ大きい|
|J|機械系による|
|B|非常に小さい|

よって、B→0としてそれぞれの伝達関数を変形する。<br>

<a href="https://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=W_e(s)=\frac{k_t}{R&plus;(L&plus;J)s&plus;k_ek_t}" target="_blank"><img src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?W_e(s)=\frac{k_t}{R&plus;(L&plus;J)s&plus;k_ek_t}" title="W_e(s)=\frac{k_t}{R+(L+J)s+k_ek_t}" /></a><br>

<a href="https://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=W_m(s)=\frac{R&plus;Ls}{R&plus;(L&plus;J)s&plus;k_ek_t}" target="_blank"><img src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?W_m(s)=\frac{R&plus;Ls}{R&plus;(L&plus;J)s&plus;k_ek_t}" title="W_m(s)=\frac{R+Ls}{R+(L+J)s+k_ek_t}" /></a><br>

トルク関係式も変形して、

<a href="https://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=\frac{T_L}{s}&space;=&space;(RI&plus;LIs)\frac{k_t}{R&plus;Ls}-\Omega&space;Js" target="_blank"><img src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?\frac{T_L}{s}&space;=&space;(RI&plus;LIs)\frac{k_t}{R&plus;Ls}-\Omega&space;Js" title="\frac{T_L}{s} = (RI+LIs)\frac{k_t}{R+Ls}-\Omega Js" /></a><br>

また、
<a href="https://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=\Omega&space;Js" target="_blank"><img src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?\Omega&space;Js" title="\Omega Js" /></a>
はモータ単体では非常に小さく機械系に支配されているため、分離する。また、

<a href="https://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=V_e=RI&plus;LIs" target="_blank"><img src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?V_e=RI&plus;LIs" title="V_e=RI+LIs" /></a><br>

とおき、この電圧式とトルクの伝達関数は、<br>

<a href="https://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=W_t(s)&space;=&space;\frac{k_t}{R&plus;Ls}" target="_blank"><img src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?W_t(s)&space;=&space;\frac{k_t}{R&plus;Ls}" title="W_t(s) = \frac{k_t}{R+Ls}" /></a><br>

となる。

# 参考資料
TakashiKusachi「PIDコントローラによるモータの速度制御の理論的解析」、(https://qiita.com/TakashiKusachi/items/1b758a49e24640678f6d 閲覧日:2021/10/4)。 <br>
足立修一 『制御工学の基礎』、東京都:東京電機大学出版局、2016年。