【数理溢れ話】【Token】ハミルトンの四元数(Hamilton's quaternion)

位相幾何学では「数理空間は導入した素数の数だけ複雑化する」と考えます。
[【Rで九九】どうして36個の数字しか使われないのか？](https://qiita.com/ochimusha01/items/8d990f23ae96db0cd953)

概ねカンブリア爆発期に視覚と視覚情報を処理する脊髄を授かった生物の末裔たる人類が先験的に扱えるのはたかだか「2」と「3」くらいが関の山。この限界は幾何学でも方程式でもベン図でも概ね共有されています。
![スクリーンショット 2024-03-02 23.53.01.png](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/597772/01d7bb97-c87e-937a-f121-306d47c736dd.png)
![スクリーンショット 2024-03-02 23.52.47.png](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/597772/8c663070-c626-d5fa-575e-74a4be5ac8d4.png)
[ベン図と組み合わせ計算と確率演算](https://qiita.com/ochimusha01/items/367d306d062bfbda4a6d)

そう考えると「ハミルトンの四元数(Hamilton's quaternion)」は人類に扱える数理の上限に位置してるっぽいとも？

# 四元数の具体的振る舞い

![スクリーンショット 2023-10-27 23.55.57.png](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/597772/01683a88-5adb-1121-5d80-59bc535e7ccc.png)
![スクリーンショット 2023-10-27 23.56.16.png](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/597772/acccaae3-dc2e-ef74-d437-52d4b21169de.png)
![スクリーンショット 2023-10-28 0.05.46.png](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/597772/3ab22c72-52f0-3197-ad02-7160b3c19394.png)
![スクリーンショット 2023-10-27 23.56.54.png](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/597772/bf5557f4-af78-2dd9-66f4-7f86273d2bcd.png)
![スクリーンショット 2023-10-27 23.57.18.png](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/597772/2323bef1-cf77-266d-425b-c75d552d2f25.png)
![スクリーンショット 2023-10-27 23.57.38.png](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/597772/36d8cfd1-6af5-e34b-9b4b-3d5c33f71d51.png)
そして実はいわゆる「矢印ベクトル」の概念は、この難解な「ハミルトンの四元数」概念を簡略化したものに他ならず、その内積や外積の概念もまた、これに由来するのです。
![スクリーンショット 2024-03-04 6.55.15.png](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/597772/ddf66eb5-6227-dede-b116-e8d66107b23d.png)

# 絶対値関数を使った数式表現

始点が$(-\frac{1}{2},-\frac{1}{2},-\frac{1}{2})$、終点が$(-\frac{1}{2},-\frac{1}{2},-\frac{1}{2})$に移るが、辺長1の立方体に沿った四元数展開は以下の式表現でも表せる。
![スクリーンショット 2024-03-02 22.19.39.png](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/597772/8f3bd42f-29dd-3708-55e2-3e2253491ab9.png)
図形イメージはこんな感じ。
[正方形における平方対角線と立方体における立方対角線](https://qiita.com/ochimusha01/items/9d899779ff8e814beb41)
正方向(上図では「Start側に正方形」)
![68747470733a2f2f63646e2d616b2e662e73742d686174656e612e636f6d2f696d616765732f666f746f6c6966652f6f2f6f6368696d7573686130312f32303230313132312f32303230313132313232333934372e676966.gif](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/597772/47aacf0a-83dc-bc92-a43e-42d0ff6a3916.gif)
![68747470733a2f2f63646e2d616b2e662e73742d686174656e612e636f6d2f696d616765732f666f746f6c6966652f6f2f6f6368696d7573686130312f32303230313132312f32303230313132313232343732382e676966.gif](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/597772/fb5d5686-69e8-d34f-a4ae-764f33975d3d.gif)
逆方向(上図では「End側に正方形」)
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正方形内置換
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そんな感じで以下続報。