電気回路の基礎とシミュレーション --- 交流回路 ( 1 ) --- RLC直列／並列回路

電気回路の教科書に紹介される定番の回路を下記の
https://www.falstad.com/circuit/circuitjs.html
回路シミュレータでシミュレーションしてみました。

今回は $RLC$ 直列回路と $RLC$ 並列回路の共振周波数付近の電圧、電流と電力を観察していきます。

◆シミュレータの簡単な使用法

- 右側サイドパネルの $f_1,f_2$ スライダーで電圧源の周波数を可変できるので以下を確認してみてください。電圧電のシンボルをダブルクリックして開く編集パネルでも周波数を設定できます。
- マウスホイールで回路図全体を拡大縮小できます。
- Altキー + ドラッグで回路図全体を移動できます。
- マウスポインタをプロットに近づけるとカーソルが現れて、そこの値が表示されます。

◆$RLC$ 直列回路
- シミュレーション条件 : 
$v=100\sqrt 2\sin(2\pi f_1t)~[~\text V~],~R=100~[~\Omega~],~L=50~[~\text{mH}~],~C=10~[~\mu\text F~]$
$f_1$ の可変範囲 : $100\sim400~[~\text{Hz}~]\quad$ 共振周波数: $f_0=\dfrac{1}{2\pi\sqrt{LC}}=225~[~\text{Hz}~],\quad Q_s=\dfrac{1}{R}\sqrt{\dfrac{L}{C}}=0.707$

![RLC直列.png](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/3549839/5a7ca1fd-cd18-38fa-0893-9dc9cf021d7a.png)

① $f_1=225~[~\text{Hz}~]$ ( 共振周波数 ) のとき
- $v$ と $i$ は同相 ( 位相 $\phi=0$ )。$I=\dfrac{V}{R}=\dfrac{99.7}{100}=0.997~[~\text A~],$ $V,I$ は $v,i$ の実効値 $\Rightarrow$ 回路には $R$ しかないように見える。
- $v_L$ と $v_C$ は逆相。
$V_L=V_C=Q_sV=0.707\times99.7=70.5~[~\text V~],\quad V_L,V_C$ は $v_L,v_C$ の実効値。
- 瞬時電力 $p=v\cdot i$。
有効電力 $P_a=VI\cos\phi=p_{average}=99.4~[~\text W~]$。
皮相電力 $VI=\dfrac{1}{2}(p_{Max}-p_{Min})=\dfrac{1}{2}(198.8-0)=99.4~[~\text{VA}~]$。
$\therefore$ 力率 $\cos\phi=\dfrac{P_a}{VI}=\dfrac{99.4}{99.4}=1$

② $f_1=100~[~\text{Hz}~]$ のとき
- $i$ は $v$ よりも位相が進む ( 左側に移動する ) $\Rightarrow$ 容量性。
- $v_L$ と $v_C$ は逆相。$V_L\lt V_C,\quad V_L,V_C$ は $v_L,v_C$ の実効値。
- 瞬時電力 $p=v\cdot i$。
有効電力 $P_a=VI\cos\phi=p_{average}=37.8~[~\text W~]$。
皮相電力 $VI=\dfrac{1}{2}(p_{Max}-p_{Min})=\dfrac{1}{2}(99.0+23.5)=61.3~[~\text{VA}~]$。
$\therefore$ 力率 $\cos\phi=\dfrac{P_a}{VI}=0.617$

③ $f_1=400~[~\text{Hz}~]$ のとき
- $i$ は $v$ よりも位相が遅れる ( 右側に移動する ) $\Rightarrow$ 誘導性。
- $v_L$ と $v_C$ は逆相。$V_L\gt V_C,\quad V_L,V_C$ は $v_L,v_C$ の実効値。
- 瞬時電力 $p=v\cdot i$。
有効電力 $P_a=VI\cos\phi=p_{average}=57.2~[~\text W~]$。
皮相電力 $VI=\dfrac{1}{2}(p_{Max} - p_{Min})=\dfrac{1}{2}(132.6+18.2)=75.4~[~\text{VA}~]$。
$\therefore$ 力率 $\cos\phi=\dfrac{P_a}{VI}=0.759$

◆$RLC$ 並列回路

- シミュレーション条件 : 
$i=\sqrt 2\sin(2\pi f_2t)~[~\text A~],~R=100~[~\Omega~],~L=50~[~\text{mH}~],~C=10~[~\mu\text F~]$
$f_2$ の可変範囲 : $100\sim400~[~\text{Hz}~]\quad$ 共振周波数: $f_0=\dfrac{1}{2\pi\sqrt{LC}}=225~[~\text{Hz}~],\quad Q_p=R\sqrt{\dfrac{C}{L}}=1.414$

![RLC並列.png](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/3549839/082d53ee-cb2d-3a3d-6342-b29b9d03bc3f.png)

① $f_2=225~[~\text{Hz}~]$ ( 共振周波数 ) のとき
- $v$ と $i$ は同相 ( 位相 $\phi=0$ )。$V=RI=100\times9.98=99.8~[~\text V~],$ $V,I$ は $v,i$ の実効値 $\Rightarrow$ 回路には抵抗しかないように見える。
- $i_L$ と $i_C$ は逆相。
$I_L=I_C=Q_pI=1.414\times0.997=1.41~[~\text A~],\quad I_L,I_C$ は $i_L,i_C$ の実効値。
- 瞬時電力 $p=v\cdot i$。
有効電力 $P_a=VI\cos\phi=p_{average}=99.4~[~\text W~]$。
皮相電力 $VI=\dfrac{1}{2}(p_{Max}-p_{Min})=\dfrac{1}{2}(198.8-0)=99.4~[~\text{VA}~]$。
$\therefore$ 力率 $\cos\phi=\dfrac{P_a}{VI}=\dfrac{99.4}{99.4}=1$

② $f_2=100~[~\text{Hz}~]$ のとき
- $i$ は $v$ よりも位相が遅れる ( 右側に移動する )　$\Rightarrow$ 誘導性。
- $i_L$ と $i_C$ は逆相。$I_L\gt I_C,\quad I_L,I_C$ は $i_L,i_C$ の実効値。
- 瞬時電力 $p=v\cdot i$。
有効電力 $P_a=VI\cos\phi=p_{average}=13.2~[~\text W~]$。
皮相電力 $VI=\dfrac{1}{2}(p_{Max}-p_{Min})=\dfrac{1}{2}(49.4+23.0)=36.2~[~\text{VA}~]$。
$\therefore$ 力率 $\cos\phi=\dfrac{P_a}{VI}=\dfrac{13.2}{36.2}=0.365$

③ $f_2=400~[~\text{Hz}~]$ のとき
- $i$ は $v$ よりも位相が進む ( 左側に移動する ) $\Rightarrow$ 容量性。
- $i_L$ と $i_C$ は逆相。$I_L\lt I_C,\quad I_L,I_C$ は $i_L,i_C$ の実効値。
- 瞬時電力 $p=v\cdot i$。
有効電力 $P_a=VI\cos\phi=p_{average}=25.2~[~\text W~]$。
皮相電力 $VI=\dfrac{1}{2}(p_{Max}-p_{Min})=\dfrac{1}{2}(75.2+24.8)=100~[~\text{VA}~]$。
$\therefore$ 力率 $\cos\phi=\dfrac{P_a}{VI}=\dfrac{25.2}{100}=0.252$

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- シミュレーションを実行するには下記の回路ファイルをコピーして、シミュレータの File → Import From Text... で開くパネルに貼り付けてください。
```
$ 1 0.0000049999999999999996 4.621633621589249 39 5 50 5e-11
v -48 208 -48 160 0 1 400 141 0 0 0.5
r 192 16 192 128 0 100
c 192 240 192 336 0 0.000009999999999999999 3.4777117842602983 0.001
l 192 128 192 240 0 0.05 -1.0661135430171056 0
x -115 250 71 253 4 16 v\q100√2\ssin\s(2π・f1)\st\s
w 96 336 192 336 0
403 272 16 688 176 0 0_8_0_x85217_160_0.4_-1_2_50_0_0_3_1_0_Green\qv\sYellow\qi
403 272 208 688 368 0 3_8_0_x85216_320_0.1_-1_4_50_0_3_3_0.05_0_2_0_50_0_2_3_0.025_0_Green\qvL\sRed\qvC
370 96 16 192 16 1 1 0
x 130 41 134 44 4 16 i
x 167 80 177 83 4 16 R
x 170 190 178 193 4 16 L
x 162 295 172 298 4 16 C
213 32 672 80 672 0 2 0.01*(a-b)
v -32 720 -32 656 0 1 225 141 0 0 0.5
w -32 656 16 656 0
w 16 656 16 672 0
w -32 720 16 720 0
w 16 720 16 704 0
w 256 656 256 624 0
w 256 704 256 736 0
w 256 736 336 736 0
w 416 624 336 624 0
370 256 624 336 624 1 1 0
r 336 624 336 736 0 100
l 416 624 416 736 0 0.05 -1.1133957024425771 0
c 512 624 512 736 0 0.000009999999999999999 -116.99159754392595 0.001
w 416 736 336 736 0
w 512 736 416 736 0
w 512 624 416 624 0
x -97 173 -82 176 4 16 f1
x -88 675 -73 678 4 16 f2
x 309 686 319 689 4 16 R
x 383 685 391 688 4 16 L
x 481 686 491 689 4 16 C
p 592 624 592 736 3 1 0
w 512 736 592 736 0
w 512 624 592 624 0
403 256 784 688 944 0 35_8_0_x85217_5120_25.6_-1_2_50_0_23_3_1_0_Green\qv\sYellow\qi
403 256 976 688 1136 0 25_8_0_x85215_320_3.2_-1_4_100_0_25_3_1_0_26_0_100_0_26_3_1_0_Yellow\qiL\sRed\qiC
420 -16 160 80 160 0 48
w -48 160 -16 160 0
w -48 208 -16 208 0
w 96 160 96 16 0
w 96 208 96 336 0
403 272 400 688 560 0 40_8_7_xa3310_0.0001_0.0001_-1_1_99.04749998854503_50_-48_p
420 144 656 240 656 0 48
w 128 672 128 656 0
w 128 656 144 656 0
w 128 704 144 704 0
w 240 704 256 704 0
w 240 656 256 656 0
w 16 672 32 672 0
w 16 704 32 704 0
x 12 750 163 753 4 16 i\q√2\ssin\s(2π・f2)\st\s
x 609 664 618 667 4 16 v
403 256 1168 688 1328 0 46_8_7_xa1312_160_0.1_-1_1_160_50_-47_p
x 56 645 104 648 4 16 電流源
x 152 631 215 634 4 16 電力計\sp
x 4 136 67 139 4 16 電力計\sp
w 80 160 96 160 0
w 80 208 96 208 0
x 294 653 298 656 4 16 i
x -33 378 132 381 4 20 図A\sRLC\s直列回路
x -8 791 157 794 4 20 図B\sRLC\s並列回路
g -32 720 -32 736 0 0
g 256 736 256 752 0 0
x -64 159 -55 162 4 16 E
x -52 659 -43 662 4 16 E
38 0 F1 3 100 400 -1 f1
38 14 F1 3 100 400 -1 f2
```