Generalization of the Collatz Conjecture, based on the homeward function

# Abstract

This article is written about generalization of the Collatz Conjecture.

Well known Collatz Conjecture is defined by the following operation: If $N$ is even, divide it by $2$, and if $N$ is odd, multiply it by $3$ and add $1$.

We can construct ANOTHER function like the Collatz function INNUMERABLY by using "homeward function" that I discovered.
Original Collatz function is one of the homeward function.

# Introduction

コラッツ予想の計算式は $x/2$ および $3x+1$ で表せる。２つの式は様相が異なり、互いに関連が無いように見える。しかし私は、その２つの式を偶数／奇数に関わらず同じ形式で表せることに気づいた。

```math
f(x)=\frac{1(x+0)}{2}+0
\qquad x\equiv0
\hspace{3mm}(mod\hspace{3mm}2)
```

```math
\hspace{16mm}\frac{3(x+1)}{2}-1
\qquad x\equiv1
\hspace{3mm}(mod\hspace{3mm}2)
```

※ ホームワード関数による表記

ホームワード関数 The homeward function とはコラッツ予想の一般式であり、私が発見して名付けたものである。家路をたどり帰宅するが如く、計算結果が必ずある値に帰着することになぞらえた。

# The homeward function

### ホームワード関数の定義 definition

```math
f(x)=\frac{a_1(x+b_1)}{n}+c_1
\qquad x\equiv0
\hspace{3mm}(mod\hspace{3mm}n)
```

```math
\hspace{16mm}\frac{a_2(x+b_2)}{n}+c_2
\qquad x\equiv1
\hspace{3mm}(mod\hspace{3mm}n)
```

```math
:\hspace{2cm}:
```

```math
\hspace{16mm}\frac{a_n(x+b_n)}{n}+c_n
\qquad x\equiv(n-1)
\hspace{3mm}(mod\hspace{3mm}n)
```

### パラメータ条件 parameter

$n$ は $n \geq 2$ の自然数。

$a_k$ は以下を満たす自然数。
・$a_k$ と $n$ は互いに素
・少なくとも1つの $a_k$ で $a_k > n$
・$n < a_1 a_2 ... a_n < n^n$

$b_k$ は $(x+b_k ) \equiv 0\hspace{3mm}(mod\hspace{3mm}n)$ となる最小の非負整数。つまり、
・$b_1=0$
・$b_2=(n-1)$
・$b_3=(n-2)$
　:　:
・$b_n=1$

$c_k$ は $-1 \leq c_k \leq 1$ の整数。

なお自然数 $H$ を、ホームワード関数により帰着する値とする。

### ホームワード関数の構築法 how to construct

まず $n$ を決める。これにより $b_k$ は自ずと決まる。

問題は $a_k$ と $c_k$ である。これらの求め方や法則は見つかっていない。だが $a_k$, $c_k$ をうまく設定するとホームワード関数はコラッツ様 collatzable になる（コラッツ様とは、オリジナルのコラッツ予想と同じく特定の値に帰着する様を表すとする）。

その帰着する自然数 $H$ だが、これも事前に求めることはできない。計算してみて初めて $H$ が姿を現すのだ。$a_k$, $c_k$ が少しでもずれると、決してコラッツ様にならない。

なお、ホームワード関数への初期値 $x$ は $x \geq H$ とする。というのも、$x \geq H$ ではコラッツ様でも $1\leq x<H$ ではコラッツ様にならない場合があるからだ。

# コラッツ予想の一般化命題

ここに、オリジナルのコラッツ予想を一般化した命題を与える。

任意の自然数 $n\geq2$ について、コラッツ様となるホームワード関数が存在する。

$\forall n\geq2$ there exists homeward function which is collatzable.

# Example

※ ホームワード関数の具体例 $(n=3)$

```math
f(x)=\frac{1(x+0)}{3}+0
\qquad x\equiv0
\hspace{3mm}(mod\hspace{3mm}3)
```

```math
\hspace{16mm}\frac{4(x+2)}{3}-1
\qquad x\equiv1
\hspace{3mm}(mod\hspace{3mm}3)
```

```math
\hspace{16mm}\frac{4(x+1)}{3}+1
\qquad x\equiv2
\hspace{3mm}(mod\hspace{3mm}3)
```

|x|計算過程（ 1 に帰着します）|
|:---:|:---|
|||
|1|3 1|
|2|5 9 3 1|
|3|1|
|4|7 11 17 25 35 49 67 91 123 41 57 19 27 9 3 1|
|5|9 3 1|
|6|2 5 9 3 1|
|7|11 17 25 35 49 67 91 123 41 57 19 27 9 3 1|
|8|13 19 27 9 3 1|
|9|3 1|
|10|15 5 9 3 1|
|11|17 25 35 49 67 91 123 41 57 19 27 9 3 1|
|12|4 7 11 17 25 35 49 67 91 123 41 57 19 27 9 3 1|
|13|19 27 9 3 1|
|14|21 7 11 17 25 35 49 67 91 123 41 57 19 27 9 3 1|
|15|5 9 3 1|
|16|23 33 11 17 25 35 49 67 91 123 41 57 19 27 9 3 1|
|17|25 35 49 67 91 123 41 57 19 27 9 3 1|
|18|6 2 5 9 3 1|
|19|27 9 3 1|
|20|29 41 57 19 27 9 3 1|
|21|7 11 17 25 35 49 67 91 123 41 57 19 27 9 3 1|
|22|31 43 59 81 27 9 3 1|
|23|33 11 17 25 35 49 67 91 123 41 57 19 27 9 3 1|
|24|8 13 19 27 9 3 1|
|25|35 49 67 91 123 41 57 19 27 9 3 1|
|26|37 51 17 25 35 49 67 91 123 41 57 19 27 9 3 1|
|27|9 3 1|
|28|39 13 19 27 9 3 1|
|29|41 57 19 27 9 3 1|
|30|10 15 5 9 3 1|
|:|:|
|1000|1335 445 595 795 265 355 475 635 849 283 379 507 169 227 305 409 547 731 977 1305 435 145 195 65 89 121 163 219 73 99 33 11 17 25 35 49 67 91 123 41 57 19 27 9 3 1|

※ ホームワード関数の具体例 $(n=4)$

```math
f(x)=\frac{5(x+0)}{4}-1
\qquad x\equiv0
\hspace{3mm}(mod\hspace{3mm}4)
```

```math
\hspace{16mm}\frac{3(x+3)}{4}-1
\qquad x\equiv1
\hspace{3mm}(mod\hspace{3mm}4)
```

```math
\hspace{16mm}\frac{3(x+2)}{4}-1
\qquad x\equiv2
\hspace{3mm}(mod\hspace{3mm}4)
```

```math
\hspace{16mm}\frac{3(x+1)}{4}+0
\qquad x\equiv3
\hspace{3mm}(mod\hspace{3mm}4)
```

|x|計算過程（ 8 に帰着します）|
|:---:|:---|
|||
|~~1~~|~~2 2~~|
|~~2~~|~~2~~|
|~~3~~|~~3~~|
|~~4~~|~~4~~|
|~~5~~|~~5~~|
|~~6~~|~~5 5~~|
|~~7~~|~~6 5 5~~|
|8|9 8|
|9|8|
|10|8|
|11|9 8|
|12|14 11 9 8|
|13|11 9 8|
|14|11 9 8|
|15|12 14 11 9 8|
|16|19 15 12 14 11 9 8|
|17|14 11 9 8|
|18|14 11 9 8|
|19|15 12 14 11 9 8|
|20|24 29 23 18 14 11 9 8|
|21|17 14 11 9 8|
|22|17 14 11 9 8|
|23|18 14 11 9 8|
|24|29 23 18 14 11 9 8|
|25|20 24 29 23 18 14 11 9 8|
|26|20 24 29 23 18 14 11 9 8|
|27|21 17 14 11 9 8|
|28|34 26 20 24 29 23 18 14 11 9 8|
|29|23 18 14 11 9 8|
|30|23 18 14 11 9 8|
|:|:|
|1000|1249 938 704 879 660 824 1029 773 581 437 329 248 309 233 176 219 165 125 95 72 89 68 84 104 129 98 74 56 69 53 41 32 39 30 23 18 14 11 9 8|

# あとがき

ホームワード関数の特徴は、「簡単には構築できず、試行錯誤でパラメータを変えながら計算することで、初めてコラッツ様な関数を求められる」という点にある。$a_k$, $c_k$ と $H$ の求め方が（今のところ）不明なのだから闇雲に計算するしかない。ただ私は、その「求めにくさ」を応用できないかと考えている。

暗号 encrypt はどうだろう？ 復号キー decrypt key を例えば「ホームワード関数の $n=100$ における帰着値の最大値」とすれば、暗号は簡単には解読できないはずだ。それが実現できるとして、既存の素因数分解を利用した暗号とのメリットやデメリットを比較してみたい。

まだ証明もされていないのに産業への応用とは気が早いが、私の発見したホームワード関数が世間にどう広まるのか楽しみである。