変数変換


『統計学実践ワークブック』第４章の勉強メモです。

# 変数変換による確率密度関数の変化

連続確率変数$X$の確率密度関数を$f(x)$とする。ここで、新たな確率変数$Y=g(X)$について、$Y$の確率密度関数$f_Y(y)$は
```math
\begin{multline}
\begin{split}
f_Y(y)&=\lim_{\epsilon\to 0}\frac{P(y<Y\leq y+\epsilon)}{\epsilon}\\
&=\lim_{\epsilon\to 0}\frac{P(y<g(X)\leq y+\epsilon)}{\epsilon}\\
&=\lim_{\epsilon\to 0}\frac{P(g^{-1}(y)<X\leq g^{-1}(y+\epsilon))}{\epsilon}\\
&=\lim_{\epsilon\to 0}\frac{P(g^{-1}(y)<X\leq g^{-1}(y+\epsilon))}{g^{-1}(y+\epsilon)-g^{-1}(y)}\cdot\frac{g^{-1}(y+\epsilon)-g^{-1}(y)}{\epsilon}\\
&=f(g^{-1}(y))\frac{dg^{-1}(y)}{dy}\\
&=f(g^{-1}(y))\frac{1}{\frac{dg(x)}{dx}}=f(g^{-1}(y))\frac{1}{g'(x)}\\
&=\frac{f(g^{-1}(y))}{g'(g^{-1}(y))}
\end{split}
\end{multline}
```

2変数$(X,Y)$の確率密度関数を$f(x,y)$とし、変数変換$(Z,W)=(u(X,Y),v(X,Y))$について考える。逆変換$(X,Y)=(s(Z,W),t(Z,W))$が存在するとして、この変換のヤコビアンは
```math
J(X,Y)=\frac{\partial (u(X,Y),v(X,Y))}{\partial (X,Y)}=\left| 
\begin{matrix}
\frac{\partial u(X,Y)}{\partial X} & \frac{\partial u(X,Y)}{\partial Y} \\
\frac{\partial v(X,Y)}{\partial X} & \frac{\partial v(X,Y)}{\partial Y}
\end{matrix}
\right|
```
このとき、$(Z,W)$の確率密度関数は$\frac{f(s(z,w),t(z,w))}{|J(s(z,w),t(z,w))|}$となる。

# 確率変数の線形結合の分布

２つの独立な確率変数$X$、$Y$の線形結合$aX+bY$の分布を考える方法は
- モーメント母関数を使う
- 変数変換を使う

## モーメント母関数を使う

$aX+bY$のモーメント母関数$E[e^{\theta(aX+bY)}]=E[e^{a\theta X}]E[e^{b\theta Y}]$を計算し、既知のモーメント母関数となるかどうかを調べる。しかし、この方法では求めたモーメント母関数が未知の場合にはその分布を知ることができない。

## 変数変換を使う

$Z=aX+bY$、$W=Y$という変換を考え、$(Z,W)$の分布を考える。このとき、逆変換は$(X,Y)=(\frac{Z-bW}{a}, W)$であり、ヤコビアンは
```math
J(X,Y)=\left|
\begin{matrix}
\frac{\partial Z}{\partial X} & \frac{\partial Z}{\partial Y}\\
\frac{\partial W}{\partial X} & \frac{\partial W}{\partial Y}
\end{matrix}
\right|
=\left|
\begin{matrix}
a&b\\
0&1
\end{matrix}
\right|
=a
```
$X$の確率密度関数を$f_X(x)$、$Y$の確率密度関数を$f_Y(y)$とすると、$(Z,W)$の確率密度関数は$f_X(\frac{z-bw}{a})\frac{f_Y(w)}{|a|}$となる。ここで$w$について積分することで$Z$の確率密度関数
```math
f_Z(z)=\int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{|a|}f_X(\frac{z-bw}{a})f_Y(w)dw
```

# データの変換

一般に様々な誤差が積み重なったデータは正規分布に従う。

## 対数変換

様々な積が積み重なることにより得られるデータは対数を取ることで正規分布に従う。このような場合はデータの対数を取るとよい。このような変換を***対数変換***という。

### 確率密度関数

確率変数$X$の確率密度関数を$f_X(x)$とする。対数変換の確率変数$Y=\log X$とすると、その確率密度関数$f_Y(y)$は
```math
\begin{multline}
\begin{split}
f_Y(y)&=\frac{f(g^{-1}(y))}{g'(g^{-1}(y))}=\frac{f_X(e^y)}{\frac{1}{e^y}}\\
&=f_X(e^y)e^y
\end{split}
\end{multline}
```

## べき乗変換

データが正規分布に従うようにする方法として***べき乗変換***も使われる。べき乗変換は$x\to x^a$という変換であり、どのような$a$とするかも十条な問題となる。

### 確率密度関数

確率変数$X$の確率密度関数を$f_X(x)$とする。べき乗変換の確率変数$Y=X^a$とすると、その確率密度関数$f_Y(y)$は
```math
\begin{multline}
\begin{split}
f_Y(y)&=\frac{f(g^{-1}(y))}{g'(g^{-1}(y))}=\frac{f_X(y^{\frac{1}{a}})}{ay^{\frac{a-1}{a}}}
\end{split}
\end{multline}
```

## Box-Cox変換

べき乗変換と対数変換をひとまとめにした変換として***Box-Cox変換***がある。これはパラメータ$\lambda$に対し、
```math
\begin{cases}
\frac{x^\lambda -1}{\lambda} & (\lambda \ne 0)\\
\log x & (\lambda =0)
\end{cases}
```
とする変換である。注意点として、非負のデータしか変換できない。

### 確率密度関数

確率変数$X$の確率密度関数を$f_X(x)$とする。Box-Cox変換の確率変数$Y$とすると、その確率密度関数$f_Y(y)$は
```math
\begin{multline}
\begin{split}
f_Y(y)&=\frac{f(g^{-1}(y))}{g'(g^{-1}(y))}\\
&=
\begin{cases}
\frac{f_X((\lambda y+1)^{\frac{1}{\lambda}})}{(\lambda y+1)^{\frac{\lambda -1}{\lambda}}} & (\lambda\ne0)\\
f_X(e^y)e^y & (\lambda = 0)
\end{cases}
\end{split}
\end{multline}
```

## ロジット変換

確率$p$のような0から1の値しかとらないものを$-\infty$から$\infty$を取る値に変換したいときは、$p\to \log\frac{p}{1-p}$とする。これをロジット変換という。

### 確率密度関数

```math
\begin{multline}
\begin{split}
f_Y(y)&=\frac{f(g^{-1}(y))}{g'(g^{-1}(y))}=\frac{f(\log(\frac{y}{1-y}))}{\frac{(\frac{y}{1-y})^2}{(1+\frac{y}{1-y})^2}}\\
&=\frac{f(\log(\frac{y}{1-y}))}{y^2}
\end{split}
\end{multline}
```

## ロジスティック変換

ロジット変換したものを$x$の回帰式$a+bx$で表す方法がロジスティック回帰である。$p$を$\frac{1}{1+e^{-(a+bx)}}$で表すことをロジスティック変換という。
```math
\begin{multline}
\begin{split}
\log\frac{p}{1-p}&=a+bx\\
\frac{p}{1-p}&=e^{a+bx}\\
p&=\frac{e^{a+bx}}{1+e^{a+bx}}=\frac{1}{1+e^{-(a+bx)}}
\end{split}
\end{multline}
```

## プロビット変換

標準正規分布の累積分布関数$\Phi(x)=\int_{-\infty}^{x}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{t^2}{2}}dt$の逆変換$\Phi^{-1}(x)$によって変換する方法をプロビット変換という。

# 例題

## 問４．１

### [1]

正規分布のモーメント母関数を求める。
```math
\begin{multline}
\begin{split}
E[\exp(\theta X)]&=\int \exp(\theta x)\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}\exp(-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2})dx\\
&=\int \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}\exp(-\frac{x^2-2(\sigma^2\theta +\mu)x+\mu^2}{2\sigma^2})dx\\
&=\int \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}\exp(-\frac{(x-(\sigma^2\theta+\mu))^2}{2\sigma^2})\exp(\frac{\sigma^4\theta^2+2\sigma^2\mu\theta}{2\sigma^2})dx\\
&=\exp(\frac{\sigma^2\theta^2}{2}+\mu\theta)
\end{split}
\end{multline}
```
これに$\theta=1$を代入して、$E[\exp(X)]=\exp(\frac{\sigma^2}{2}+\mu)$

### [2]

分散は$V[Y]=E[Y^2]+E[Y]^2$で求められる。ここで、$E[Y^2]=E[\exp(2X)]=\exp(2\sigma^2+2\mu)$となるので、
```math
V[Y]=\exp(2\sigma^2+2\mu)-\{\exp(\frac{\sigma^2}{2}+\mu)\}^2=\exp(\sigma^2+2\mu)\{\exp(\sigma^2)-1\}
```
となる。

### [3]

```math
\begin{multline}
\begin{split}
f(y)&=\frac{f(g^{-1}(y))}{|g'(g^{-1}(y))|}\\
&=\frac{f(\log y)}{\exp(\log y)}\\
&=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma y}\exp\left(-\frac{(y-\mu)^2}{2\sigma^2}\right)
\end{split}
\end{multline}
```

## 問４．２

$Z=X+Y$、$W=Y$として、条件付確率密度関数を考える。
```math
\begin{multline}
\begin{split}
f(x+y,y)&=f(z,w)=f_{Z|W}(z|w)f_W(w)\\
&=f(z-w)f(w)\\
&=\lambda e^{-\lambda (z-w)}\lambda e^{-\lambda w}=\lambda^2 e^{-\lambda z}\\
f(x+y)&=\int_0^z f(z,w)dw=\int_0^z \lambda^2 e^{-\lambda z}dw=\lambda^2 ze^{-\lambda z}\\
&=\lambda^2 (x+y)e^{-\lambda(x+y)}
\end{split}
\end{multline}
```

# 参考

- [統計学実践ワークブック](https://www.gakujutsu.co.jp/product/978-4-7806-0852-6/)