tan((x+y)/2)の値「2023山口大学後期理学部物理情報科,化,生物学科【1】」をChatGPTとMathematicaとWolframAlphaとsympyでやってみたい。

(2)について。**出題者のやさしさ?がでている問題文でした。**　　　　
・勉強不足の人のためには、WolframAlphaの解説あり。
・オーソドックスな解法の勉強をしている優秀な受験生には、
　正弦定理の隣の?**正接定理**がありました。
　?＞ただ，全く役に立たないので高校数学では習いません。（高校数学の美しい物語)様参考より

(1)がわからなくても(2)で**部分点**がもらえるかも。
○○場の馬鹿力で、試験場で気づいた方がおられたかもしれません。
種明かしは、ページ終盤にあり。

オリジナル T氏の数学日記 様より

https://mathmathmass.exblog.jp/33360116/

上と同じです。大学入試数学問題集成＞【1】テキスト

https://mathexamtest.web.fc2.com/2023/202310741/2023107410300mj.html#top-0305

# xxxx ChatGPT で(できませんでした。) xxx
入力文
```
x,yを実数とする．
sin(x)+sin(y)=(1+sqrt(3))/2,cos(x)+cos(y)=(-1+sqrt(3))/2
の時、tan((x+y)/2)の値を求めなさい．
```
...最終的に、tan((x + y)/2) の値を求めることができます。ただし、この式を解析的に解くことは難しいので、数値的な方法を用いる必要があります。

# Mathematicaで
最近、Mathematicaの良さが、わかりつつあります。
≒起動方法の参考あり。以下の無料正式技あり。いつかやってみたい。
https://qiita.com/AKKYM/items/3517bd1b55522f4bfacd#mathematica

？？？結果の使い方を教えて下さい。？？？
https://reference.wolfram.com/language/tutorial/BuildingUpCalculations.html.ja

(1)αとβの順番が調子悪いです。
```
In
TrigExpand[Sin[\[Alpha] + \[Beta]] + Sin[\[Alpha] - \[Beta]]]

Out
2 Cos[\[Beta]] Sin[\[Alpha]]
```

(2)
```
In
Solve[{Sin[x] + Sin[y] == (1 + Sqrt[3])/2,
  Cos[x] + Cos[y] == (-1 + Sqrt[3])/2},
            {x, y}]
Tan[(\[Pi]/6 + (2 \[Pi])/3)/2]
Tan[((2 \[Pi])/3 + \[Pi]/6)/2]

Out
(一部省略)
2 + Sqrt[3]
2 + Sqrt[3]
```

# sympyで(1)のみ(T氏の数学日記 様のやり方)
TR10 普通の?加法定理
＞TR10() - separate sin-cos arguments
https://docs.sympy.org/latest/modules/simplify/fu.html#sympy.simplify.fu.TR10
・分割不要でした。+で,連結してできました。
・最初のヤツが2個あって2倍、後ろのヤツが消える。でした。
```python
from sympy import *
from sympy.simplify.fu import TR10
α,β=symbols('α,β',real=True)
f1=sin(α+β)
f2=sin(α-β)
print("#(1)","  ",     f1 ," "*19, "+ " ,     f2     )
print("#(1)","=(",TR10(f1),        ")+(",TR10(f2),")")
print("#(1)","= ",TR10(f1)           +   TR10(f2)    )
print("#(1)","  ",TR10(f1+f2)                        )
#(1)    sin(α + β)                     +  sin(α - β)
#(1) =( sin(α)*cos(β) + sin(β)*cos(α) )+( sin(α)*cos(β) - sin(β)*cos(α) )
#(1) =  2*sin(α)*cos(β)
#(1)    2*sin(α)*cos(β)
```
# sympyで(1)のみ(回転行列を使って)
[上と同じ。sinは、行列の2行目1列目(sympy行列の配列位置は、[1,0]に該当します。)](https://qiita.com/mrrclb48z/items/5b1f1946f20ecbca3628#sympy%E3%81%A7%E5%9B%9E%E8%BB%A2%E8%A1%8C%E5%88%97%E3%82%92%E4%BD%BF%E3%81%A3%E3%81%A6)

# WolframAlphaで。(2)のみ(出題者のやさしさ?がでている問題)
**数字1,√3,2 怪しいデスね。**
対照式? x,y 又はy,x の2パターン。割る2は、平均?

https://www.wolframalpha.com/input?i=tan+%28%28120%2B30%29%2F2%29%C2%B0&lang=ja

https://www.wolframalpha.com/input?i=tan+%28%2830%2B120%29%2F2%29%C2%B0&lang=ja

厳密な結果  2+sqrt(3)

[(リンクだけです)「15° 角度」を調べてみたい。ChatGPT様へ](
https://qiita.com/mrrclb48z/items/61a30b880eaabf44ea04#chatgpt%E6%A7%98)　証明は、勉強中です。

# FreeCADで作図
半径2の円を、３次元FreeCADのマクロで、XY平面上に作図しました。
isometric方向?です。

![0png.png](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/109698/9b65feab-2fca-2b23-46c7-a444e09d72e0.png)

上空から?です。120°と30°の線です。75°の線は、まだです。
sin(x)+sin(y)=( 1+sqrt(3))/2　→　=(sqrt(3)+1)/2
cos(x)+cos(y)=(-1+sqrt(3))/2
角度寸法表示の操作方法をChatGPTに問い合わせ必要です。

![1png.png](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/109698/201206a8-8987-7772-e060-57bb003966e1.png)

FreeCADのマクロです。
```python
import FreeCAD
import Part
import DraftTools
import Draft
import Mesh
############################################################################
# 計算
from  sympy import *
############################################################################
# 作図
def myXYZ2Txt_2D(A):
    return '(' + str(A.x) + ',' + str(A.y) +  ')'
    # return ""
def myTxtXYZ_2D(A,myWedgei):
    P5x=float(A.x)
    P5y=float(A.y)
    P5z=0.0
    p5 = FreeCAD.Vector(P5x, P5y, P5z)
    myText = Draft.makeText(myWedgei, p5)
    myText.Label = myWedgei
    FreeCADGui.ActiveDocument.ActiveObject.FontSize = '0.3 mm'
    return
def myTxtXYZ_S_2D(*xy_tx):
    for i in range(1,int(len(xy_tx)/2)+1):
        myTxtXYZ_2D(xy_tx[2*i-2],xy_tx[2*i-1]+myXYZ2Txt_2D(xy_tx[2*i-2]) )
    return
def myLine_2D(A,B):
    Ax,Ay,Az=float(A.x),float(A.y),0.0
    Bx,By,Bz=float(B.x),float(B.y),0.0
    pl = FreeCAD.Placement()
    pl.Rotation.Q = (0.4247081540122249, 0.17592004639554645, 0.33985110062924484, 0.8204732460821097)
    pl.Base = FreeCAD.Vector(-3.9166066876399563, -2.1670824762243774, 1.7495260956243028)
    points = [FreeCAD.Vector(Ax,Ay,Az), FreeCAD.Vector(Bx,By,Bz)]
    line = Draft.make_wire(points, placement=pl, closed=False, face=True, support=None)
    Draft.autogroup(line)
    return
def myLine_C_2D(*args):
    for i in range(1,len(args)):
        myLine_2D(args[i-1],args[i])
    myLine_2D(args[i],args[0])
    return
#############################################################
# 円の作図　FrecCADのdocより
# https://wiki.freecad.org/Macro_Circle
def circle(x=0.0,y=0.0,z=0.0,radius=0.0,diameter=0.0,circumference=0.0,area=0.0,startangle=0.0,endangle=0.0,arc=0.0,anglecenter=0.0,cord=0.0,arrow=0.0,center=0,placemObject=""):
    from math import sqrt, pi
    if placemObject == "":
        pl = FreeCAD.Placement()
        pl.Rotation = FreeCADGui.ActiveDocument.ActiveView.getCameraOrientation()   
        pl.Base = FreeCAD.Vector(x,y,z)
    else:
        pl = FreeCAD.Placement()
        pl = placemObject                                  # placement imposted
    if diameter != 0:                                      # with diameter
        radius = diameter / 2.0
    elif circumference != 0:                               # with circumference
        radius = (circumference / pi) / 2.0
    elif area != 0:                                        # with area
        radius =  sqrt((area / pi))
    elif (cord != 0) and (arrow != 0):                     # with cord and arrow
        radius = ((arrow**2) + (cord**2) / 4.0) / (arrow*2) 
    elif (arc != 0) and (anglecenter != 0):                # with arc and anglecenter central in degrees
        radius = ((360/anglecenter)*arc) / pi/2.0
        if endangle != 0:
            startangle  = endangle - anglecenter
        endangle   = anglecenter + startangle
        startangle  = endangle - anglecenter
    if radius != 0:
        try:
            Draft.makeCircle(radius,placement=pl,face=False,startangle=startangle,endangle=endangle,support=None)
            if center != 0:
                x=pl.Base.x
                y=pl.Base.y
                z=pl.Base.z
                Draft.makePoint(x,y,z)
            
        except Exception:
            App.Console.PrintError("Unexpected keyword argument" + "\n")
        App.ActiveDocument.recompute()
    else:
        App.Console.PrintMessage("Unexpected keyword argument" + "\n")
        App.Console.PrintMessage("circle(x,y,z,radius,diameter,circumference,area,startangle,endangle,[arc,anglecenter],[cord,arrow],center,placemObject)" + "\n")
        App.Console.PrintMessage("circle(radius=10.0,placemObject=App.Placement(App.Vector(11,20,30), App.Rotation(30,40,0), App.Vector(0,0,0)))" + "\n")
    return
def myCircle_2D(x,y,r):
    circle(x=float(x),y=float(y),z=0.0,
           radius=float(r),
           center=1,
           placemObject=App.Placement(App.Vector(float(x),float(y),0),
           App.Rotation(0,0,0),App.Vector(0,0,0)))
    return
#############################################################
O =Point(0.0,0.0)
X1=Point(-2.5,0.0)
X2=Point( 2.5,0.0)
Y1=Point(0.0,-2.5)
Y2=Point(0.0, 2.5)
myLine_2D(X1,X2)
myLine_2D(Y1,Y2)
myCircle_2D( 0.0,0.0,2.0 )
P1=Point(-2.0,0.0)
P2=Point( 0.0,2.0)
myTxtXYZ_S_2D(P1,"",P2,"")
#
A1=Point(-1.0,sqrt(3))
A2=Point(-1.0,0.0    )
myLine_C_2D(O,A1,A2)
B1=Point(sqrt(3),1.0 )
B2=Point(sqrt(3),0.0 )
myLine_C_2D(O,B1,B2)
myTxtXYZ_S_2D(O,"O")
myTxtXYZ_S_2D(A1,"",A2,"")
myTxtXYZ_S_2D(B1,"",B2,"")
#############################################################
doc = App.activeDocument()
App.ActiveDocument.addObject("App::Origin", "Origin")
# App.ActiveDocument.getObject('Origin').Visibility = True
App.ActiveDocument.recompute()
Gui.activeDocument().activeView().viewAxonometric()
Gui.SendMsgToActiveView("ViewFit")
```
# sympyで(2)のみ(正弦定理の隣の?正接定理で)
今さら感。wikipediaで誰も?見た事のない公式を見つけました。
https://qiita.com/mrrclb48z/items/769cf5305ffd2d07e5a6
[Tangent half-angle formula](https://en.wikipedia.org/wiki/Tangent_half-angle_formula)
/2をRational(1,2)にしています。/2、は*0.5になります。
これも、(1)を(2)のオモテで使っていません。
```python
from sympy import *
x,y=symbols('x,y',real=True)
mySub  ={sin(x):Rational(1,2)*1      ,cos(x):Rational(1,2)*sqrt(3),
         sin(y):Rational(1,2)*sqrt(3),cos(y):Rational(1,2)*(-1)    }
myEqTan=Eq(tan((x+y)/2),(sin(x)+sin(y))/(cos(x)+cos(y)))
print("#(2)",mySub[sin(x)]+mySub[sin(y)],mySub[cos(x)]+mySub[cos(y)])
print("#(2)",myEqTan)
print("#(2)",myEqTan.subs(mySub).simplify())
#(2) 1/2 + sqrt(3)/2 -1/2 + sqrt(3)/2
#(2) Eq(tan(x/2 + y/2), (sin(x) + sin(y))/(cos(x) + cos(y)))
#(2) Eq(tan(x/2 + y/2), sqrt(3) + 2)
```
# sympyで(2)のみ(T氏の数学日記 様のやり方)
①/②を実行しています。
```python
from sympy import *
from sympy.simplify.fu import TR10
x,y=symbols('x,y',real=True)
α,β=symbols('α,β',real=True)
mySubs_sc={(sin(x)+sin(y)):(1+sqrt(3))/2,  (cos(x)+cos(y)):(-1+sqrt(3))/2}
myEq_αβ  =Eq(sin(α)*cos(β),Rational(1,2)*(sin(α+β)+sin(α-β)))
mySubs_αβ={α:(x+y)/2,β:(x-y)/2}
myEq2    =myEq_αβ.subs(mySubs_αβ)
maru1    =Eq(myEq2.lhs,factor(myEq2.rhs).subs(mySubs_sc))
print("# ①",maru1)
cc=cos(α+β)+cos(α-β)
myEq_αβ  =Eq(TR10(cc)/2,cc/2)
myEq2    =myEq_αβ.subs(mySubs_αβ)
maru2   =Eq(myEq2.lhs,factor(myEq2.rhs).subs(mySubs_sc))
print("# ②",maru2)
print("#",Eq(maru1.lhs/maru2.lhs,maru1.rhs/maru2.rhs).simplify())
# ① Eq(sin(x/2 + y/2)*cos(x/2 - y/2), 1/4 + sqrt(3)/4)
# ② Eq(cos(x/2 - y/2)*cos(x/2 + y/2), -1/4 + sqrt(3)/4)
# Eq(tan(x/2 + y/2), sqrt(3) + 2)
```
# sympyで(2)のみ(TR2を使って 分母と分子に分けて)
TR2() - tan-cot to sin-cos ratio
https://docs.sympy.org/latest/modules/simplify/fu.html#sympy.simplify.fu.TR2
```python
from sympy import *
from sympy.simplify.fu import TR2
x,y=symbols('x,y',real=True)
α,β=symbols('α,β',real=True)
mySubs={sin((x+y)/2):(1+sqrt(3))/2, cos((x+y)/2):(-1+sqrt(3))/2}
f=tan((x+y)/2)
print("#",f)                                                                                       
Bunsi1Bunbo1=TR2(f)
Bunsi1=numer(Bunsi1Bunbo1)
Bunbo1=denom(Bunsi1Bunbo1)
Bunsi2=Bunsi1.subs(mySubs)
Bunbo2=Bunbo1.subs(mySubs)
Bunsi2Bunbo2=Bunsi2/Bunbo2
print("#",Bunsi1,Bunbo1)
print("#",Bunsi2,Bunbo2)
print("#",Bunsi2Bunbo2.simplify() )
# tan(x/2 + y/2)
# sin(x/2 + y/2) cos(x/2 + y/2)
# 1/2 + sqrt(3)/2 -1/2 + sqrt(3)/2
# sqrt(3) + 2
```

# sympyで(2)のみ(TR2を使って,分母と分子にわける必要はありませんでした。)
subsとsymplify()でいけました。
```python
from sympy import *
from sympy.simplify.fu import TR2
x,y=symbols('x,y',real=True)
α,β=symbols('α,β',real=True)
mySubs={sin((x+y)/2):(1+sqrt(3))/2, cos((x+y)/2):(-1+sqrt(3))/2}
f=tan((x+y)/2)
print("#",    f                                                                                       )
print("#",TR2(f           )                                                                           )
print("#",TR2(f           ).subs( mySubs                                                  ).simplify())
print("#",TR2(tan((x+y)/2)).subs({sin((x+y)/2):(1+sqrt(3))/2, cos((x+y)/2):(-1+sqrt(3))/2}).simplify())
# tan(x/2 + y/2)
# sin(x/2 + y/2)/cos(x/2 + y/2)
# sqrt(3) + 2
# sqrt(3) + 2
```

# sympyで(2)のみ(x,yの連立方程式を使って)
**種明かし。** 実は、(1)がわからなくて、最初にやったのが以下の(2)の連立方程式です。
x,yを求めてからtanに代入しようとしたら,あれ？解が2つ。75°。
```python
from sympy import *
x,y=symbols('x,y',Real=True)
def Rad_Deg(myRad):
    return myRad*180/pi
ans=solve([Eq(sin(x)+sin(y),( 1+sqrt(3))/2),
           Eq(cos(x)+cos(y),(-1+sqrt(3))/2)
          ],[x,y])
print("#",Rad_Deg(ans[0][0]),Rad_Deg(ans[0][1]),Rad_Deg((ans[0][0]+ans[0][1])/2) )
print("#",Rad_Deg(ans[1][0]),Rad_Deg(ans[1][1]),Rad_Deg((ans[1][0]+ans[1][1])/2) )
print("#",tan((x+y)/2).subs({x:ans[0][0],y:ans[0][1]}))
print("#",tan((x+y)/2).subs({x:ans[1][0],y:ans[1][1]}))
# 30 120 75
# 120 30 75
# sqrt(3) + 2
# sqrt(3) + 2
```

# sympyの実行環境
①私の環境は,pycharmです。
②よく聞くのは、Jupyterです。
③web上で、上記のソースを「SymPy Live shell」に、コピー貼り付けでもできました。
黒背景の右上に、マウスを移動すると、コピーマークが発生します。
???　タブレット環境で、コピー貼り付けが実行できませんでした。???

https://live.sympy.org/

# 感想
・おすすめの過去問の類題を教えて下さい。
　「(1)は、わからないけど、(2)ならわかる。」です。
　例えば、[共通テスト2022自転車君の問題以来?。またかの,ゆうどうです。](https://qiita.com/mrrclb48z/items/297442a71820732d3ea3)
・優秀な受験生さんには、点検用だよね。
　試験時間内に「自信が確信に変わりました」?でしょうか。

・今から、赤本が楽しみです。いつの日か、赤本ChatGPTも。

・2023/07/24現在、数少ない中の一番勉強した問題。2023年度、私のNO.1です。
　＞この三角関数の加法定理から派生する２０個近くの公式たち..
　あといくつあるか、わかっていません。勉強中。

# 参考

https://reference.wolfram.com/language/ref/TrigExpand.html.ja?source=footer

https://manabitimes.jp/math/560

＞　=2+√3

https://manabitimes.jp/math/1234


＞2023 数学I・II・A・B入試問題集(文理系)
当問題が載っていなかったと思います。

https://www.chart.co.jp/sp/goods/item/sugaku/58675.php


以下、いつもの?おすすめです。

https://qiita.com/mrrclb48z/items/75904cdc6e84ecef4d03#%E5%8F%82%E8%80%83wolframalpha-%E9%96%8B%E7%99%BA%E7%89%A9%E8%AA%9E