群論メモ

 この記事について

* [代数学メモ](https://qiita.com/niiku-y/items/d6cd5a54ff7dd55b2834) から分割した。
* 暇あるときに追記していきます

# 群論


## 定義 (半群 , Semigroup)

集合 $G$ とその上の二項演算 $\cdot : G \times G \rightarrow G$ を考える。
このとき組 $(G, \cdot)$が以下を満たすとき、半群という。
(1) 結合律
$\forall a,b,c \in G \\: , \\: (a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)$

```
\cdot : G \times G \rightarrow G
\forall a,b,c \in G \\: , \\: (a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)
```


## 定義 (マグマ , magma)

集合 $G$ に、二項演算 $\cdot : G \times G \rightarrow G$ を定める。このとき、組 $(G, \cdot)$ をマグマと呼ぶ。
半群とは、結合律が成り立つマグマのことである。


## 定義 (モノイド , monoid)

単位元$e$をもつ半群$(G, \cdot)$をモノイドと呼ぶ。
モノイドは、次のように「ただひとつの対象をもつ圏」と捉えることもできる。

(1) 対象 $G$ がただ1つ
(2) 演算 $G \times G \rightarrow G$ を次のように射$g : G \rightarrow G$とみなす。
　　つまり$h \in G$に対して$g(h)=g \cdot h$と考える。これにより$G$の要素と射は同一視される
(3) 恒等射を単位元との演算 $g \in G \rightarrow e(g) = e \cdot g = g \in G$ 
と見れば、(1)から任意の射は合成でき、(2)と半群の定義にある結合律から射の合成も結合律を満たし、圏と考えることができる。


## 定義 (群, Group)

集合 $G$ に対し、写像 $\cdot : G \times G \rightarrow G$ (演算)が与えられ、以下を満たすとき、集合と演算の組 $(G, \cdot)$ を群という。
(1) 結合法則
　$\forall a,b,c \in G \\: , \\: (a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c) $
(2) 単位元の存在
　$\forall a \in G \\: , \\: \exists e \in g \\: , s.t. \\: a \cdot e = e \cdot a = a $
(3) 逆元の存在
　$\forall a \in G \\: , \\: \exists a^{-1} \\: , s.t. \\: a \cdot (a^{-1}) = (a^{-1}) \cdot a = e $

半群のうち、単位元と逆元が存在するものが群である。
また、上記のモノイドと同様、圏論の枠組みで考えると、「任意の射が可逆なモノイド = 群」と捉えることもできる。


```
$\forall a \in G \\: , \\: \exists a^{-1} \\: , s.t. \\: a \cdot (a^{-1}) = (a^{-1}) \cdot a = e $
```

ここまでの定義間の関係を図示してみると以下のようになる。

```math
\begin{CD}
集合G @>{二項演算}>> マグマ(G, \cdot) @>{結合律}>> 半群(G, \cdot) @>{単位元}>> モノイド @>{逆元}>> 群  \\
\end{CD}
```


## 定義 (部分群, Subgroup)

集合 $G$ に積演算 $\cdot$ を定義するとき、$(G, \cdot)$が群になっているとする。
このとき $G$ の部分集合 $H$ について、$G$ の積演算を $H$ に限った際に $H$ が群となるとき、$H$ は $G$ の部分群であるという。

つまり $a, b \in H$ に対し $a \cdot b \in H$ であって（積演算について閉じている）、かつ、この演算に関し次を満たす。
(1) 単位元$h$の存在
　 $\forall a \in H \ ,\ \exists h \in H \\: s.t. \\: a \cdot h = h \cdot a$
(2) 逆元$a^{-1}$の存在
　$\forall a \in H \\: , \\: \exists a^{-1} \in H \\: , \\: s.t. \\: a  \cdot a^{-1}  = a^{-1} \cdot a = h$

$H$ が $G$ の真部分集合であるとき、 $H$ を $G$ の真部分群という。
また $G$ を $H$ の拡大群という言い方をすることもある。


## 定義 (置換 , permutation)

自然数 $1,2,\cdots,n \in \mathbb{N}$ に対して、その $n$ 個の数の並び順を入れ替えるような操作 $\sigma$ を、n次の置換という。
以下で $\sigma(1), \sigma(2), \cdots, \sigma(n) \in \\{ 1,2,\cdots,n \\}$ とする。

```math
\sigma = \left(
  \begin{array}{cccc}
   1 & 2 & \cdots & n \\
   \sigma(1) & \sigma(2) & \cdots & \sigma(n)
  \end{array}
\right)
```

たとえば、1,2,3をそれぞれ3,1,2に移すような置換 $\sigma$ , 1,2,3をそれぞれ2,3,1に移す置換 $\tau$ は以下のようになる。

```math
\sigma = \left(
  \begin{array}{ccc}
   1 & 2 & 3 \\
   3 & 1 & 2
  \end{array}
\right) , 
\tau = \left(
  \begin{array}{ccc}
   1 & 2 & 3 \\
   2 & 3 & 1
  \end{array}
\right)
```

```
$1,2,\cdots,n \in \mathbb{N}$

\sigma = \left(
  \begin{array}{cccc}
   1 & 2 & \cdots & n \\
   \sigma(1) & \sigma(2) & \cdots & \sigma(n)
  \end{array}
\right)
```

## 定義 (互換, transposition)

置換のうち、2つの元のみを入れ替えて、他の元はいっさい変えないものを互換という。たとえば以下のようなもの。

```math
\sigma = \left(
  \begin{array}{ccc}
   1 & 2 & 3 \\
   1 & 3 & 2
  \end{array}
\right) 
```

## 定義 (置換の積演算)

置換の積演算 $\sigma \cdot \tau$ を以下のように定義する。

```math
\sigma = \left(
  \begin{array}{cccc}
   1 & 2 & \cdots & n \\
   \sigma(1) & \sigma(2) & \cdots & \sigma(n)
  \end{array}
\right) 
\\ 
\tau = \left(
  \begin{array}{cccc}
   1 & 2 & \cdots & n \\
   \tau(1) & \tau(2) & \cdots & \tau(n)
  \end{array}
\right) 
\\
\sigma \cdot \tau = \left(
  \begin{array}{cccc}
   1 & 2 & \cdots & n \\
   \sigma(\tau(1)) & \sigma(\tau(2)) & \cdots & \sigma(\tau(n))
  \end{array}
\right)
```

## 定義 (恒等置換 , 逆置換)

置換のうち、数の順番を入れ替えないようなものを恒等置換 $e$ という。
また、ある置換 $\sigma$ に対して、$\sigma \cdot \tau = \tau \cdot \sigma = e$ となるような置換 $\tau$ を $\sigma$ の逆置換 $\sigma^{-1}$ という。
これは数の並べ替えをもとに戻すような操作に相当する。

## 定義 (対称群 , symmetric group)

n次の置換はn個の数字の並び替えの個数だけ存在するのでn!個あることになる。このn!個の元をもつ集合は、置換の積演算 $\sigma \cdot \tau$ について群になる。このn次の置換のなす群を対称群 $S_n$ という。

## 命題 (置換と互換)

任意の置換はいくつかの互換の積で表せる。積としての表現は1通りとはならないが、互換の数が偶数個か奇数個かは置換にたいして一意に定まる。

## 定義 (偶置換、奇置換)

置換が偶数個の互換の積で表せるとき、偶置換という。
置換が奇数個の互換の積で表せるとき、奇置換という。

## 定義 (置換の符号)

置換 $\sigma$ に対して、符号 $sgn(\sigma)$ を以下で定義する。

```math
sgn(\sigma) = \left\{
\begin{array}{ll}
+1 (\sigma が偶置換) \\
-1 (\sigma が奇置換)
\end{array}
\right. 
```

## 定義 (交代群 , alternating group)

有限集合の偶置換全体がなす群を交代群という。
集合 $\\{ 1,\cdots,n \\}$ 上の交代群はn次の交代群 $A_n$ と呼ばれる。

## 定義 (準同型 , Homomorphism)

$G, G'$を群とし、写像 $\varphi : G \rightarrow G'$を写像、「$\cdot$」を群の積演算とする。
このとき、$\forall a, b \in G , \varphi(a \cdot b) = \varphi(a) \cdot \varphi(b)$ となるものを準同型(homomorphism)という。
$a \cdot b$ は $G$ における積, $\varphi(a) \cdot \varphi(b)$ は $G'$ における積である。

```
$\forall a, b \in G , \varphi(a \cdot b) = \varphi(a) \cdot \varphi(b) $
```


## 定義 (同型, Isomorhism)

準同型で全単射なものを同型という。


## 定義 (可換群, アーベル群)

群演算 $\cdot$ が可換な群 $(G,\cdot)$、すなわちどの二つの元 $g,h \in G$ の演算結果 $g \cdot h$ も元の順番に依らず定まる群を、可換群またはアーベル群という。
つまり、群の定義にあった(1)結合法則、(2)単位元の存在、(3)逆元の存在に加え、
(4) 交換法則
$\forall g, h \in G \\: , \\: g \cdot h = g \cdot h$
も成り立つ群 $(G, \cdot)$ が可換群である。


## 定義 (巡回群)

群 $G$ がただ一つの元 $g$ から生成されるとき、つまりどの元も $g$ の整数冪として表せるとき、$G=\<g\>$ を巡回群といい、 $g$ を生成元という。
生成元ではなく原始元ということもある。

$\exists g \in G \\: s.t. \\: G=\<g\>=\\{ g^n | n \in Z \\}$

```
$\exists g \in G \\: s.t. \\: G=\<g\>=\\{ g^n | n \in Z \\}$
```

## 定理 (巡回群)

任意の巡回群はアーベル群（可換群）である。


## 定義 (群の位数 , order)

群 $G$ の位数 $|G|$ とは、群の集合に入っている元の数である。


## 定義 (元の位数 , order)

巡回群 $G$ の元 $g \in G$ について $g^n = 1$ となる最小の正の整数 $n \in \mathbb {Z}$ を $g \in G$ の位数あるいは周期という。


## 定理 (有限巡回群の位数)

有限巡回群 $G$ の位数 $|G|$ は、元 $g \in G$ の位数と一致する



## 定理 (有限群の位数)

有限群 $G$ の元 $g \in G$ の位数は $G$ の位数 $|G|$ の約数になる。


## 定義 (オイラーのトーシェント関数)

正の整数 $n \in \mathbb {N} $ に対して、 n と互いに素である 1 以上 n 以下の自然数の個数を与える関数を、オイラーのトーシェント関数という。

$\varphi (n)=\\#\\{ \ m \in \mathbb {N} \mid 1 \leq m \leq n,\ \gcd(m,n)=1 \, \\}$

```
$\varphi (n)=\\#\\{ \ m \in \mathbb {N} \mid 1 \leq m \leq n,\ \gcd(m,n)=1 \, \\}$
```


## 定義 (p-群、p-部分群)

$G$を群、$p$を素数とする。
p-群とは、任意の元の位数がpの冪であるような群 $G$ のことをいう。

$\\{ g \in G | \ g^{p^{n}} = 1 \ (\exists n \in \mathbb {N}) \\}$

p-部分群とは、任意の元の位数がpの冪であるような群 $G$ の部分群のことをいう。


## 定義 (多重集合 (multiset)、重複度)

集合に同じ元が複数含まれるとき、その集合を多重集合という。多重集合において、各元がそれぞれいくつ含まれるかという数を重複度という。


## 定義 (左剰余類、右剰余類)

$G$ を群、$H$ をその部分群とする。このとき、$g \in G$ に対して $gH = \\{ gh | h \in H \\} \subset G$ を $G$ における $H$ の左剰余類 (left coset) という。
$Hg = \\{ hg | h \in H \\} \subset G$ を $G$ における $H$ の右剰余類 (right coset) という。
可換群 $G$ の場合は、単に剰余類という。


## 定義 (剰余類による商集合)

$G$ を群、$H$ をその部分群とする。
このとき、$G$ における $H$ の左剰余類 $gH$ 全体の集合を左剰余集合、G$ における $H$ の右剰余類 $Hg$ 全体の集合を右剰余集合とよぶ

$G/H = \\{ gH | \ \forall g \in G \\} \subset 2^{G}$
$H \backslash G = \\{ Hg | \ \forall g \in G \\} \subset 2^{G}$


## 命題 (群における部分群の剰余類)

(1) 群における部分群の剰余類は同値類である。
(2) 群 $G$ , 部分群 $H$ とする。任意の $g \in G$ について $|gH| = |Hg| = |H|$
(3) $|G/H| = |H \backslash G|$ 


## 定義 (指数、index)

剰余集合の位数 $|G/H| = |H \backslash G|$ のことを部分群 $H$ の指数とよぶ。
$(G:H), [G:H], |G:H|$ などの記法がある。 


## 定理 (ラグランジュの定理)

群 $G$, 部分群 $H$ としたとき、以下が成り立つ

$|G| = |G:H||H|$

## 定義 (中心化群 , centralizer)

群 $G$ の部分集合 $S$ の中心化群 $C_{G}(S)$ とは、$S$ の各元と可換な $G$ の元全体からなる集合である。
$C_{G}(S)$ は $G$ の部分群となる。

$C_{G}(S) = \\{ g \in G \ | \ sg = gs , \forall s \in S \\}$


## 定義 (正規化群 , normalizer)

群 $G$ のある元 $g$ 、集合 $S$ に対して $gS = \\{ gs \ | \ \forall s \in S \\}$ とする。
(同様に$Sg = \\{ sg \ | \ \forall s \in S \\}$ )

このとき、群 $G$ の部分集合 $S$ における正規化群 を以下で定義する。
$N_{G}(S)$ は $G$ の部分群となる。

$N_{G}(S) = \\{ g \in G | \ gS = Sg \\}$


## 定義 (p-シロー部分群)

$G$を群、$p$を素数とする。群 $G$ の$p$-シロー部分群とは、$G$ の極大 $p$-部分群である。
つまり $G$ の$p$-部分群であって、$G$ の他のどんな $p$-部分群の真部分群でないものである。
与えられた素数 $p$ に対するすべての $p$-シロー部分群の集合を $Syl_{p}(G)$  と書く


## 定理 (シローの定理, Sylow theorem)

(1) 有限群 $G$ の位数の任意の素因数 $p$（重複度 $n$）に対し、位数 $p^n$ の $G$ の$p$-シロー部分群が存在する。 
(2) 有限群 $G$ と素数 $p$ に対し、$G$ のすべての $p$-シロー部分群は互いに共役である。つまり、$G$ の $p$-シロー部分群 $H$, $K$ について、$g^{−1}Hg = K$ なる 元 $g \in G$ が存在する。
(3) 有限群 $G$ の位数の素因数 $p$ について、重複度を $n$ とし($n > 0$)、$p$ は $m$ を割り切らないものとする。このとき $G$ の位数は $p^{n}m$ と書ける。
$n_p$ を $G$ の $p$-シロー部分群の個数とする。すると次が成り立つ：

$n_p$ は $G$ の $p$-シロー部分群の指数である $m$ を割り切る。
$n_p ≡ 1$ (mod $p$)
$n_p = |G : N_{G}(P)| = |G| / |N_{G}(P)|$,  ここで $P$ は $G$ の任意の $p$-シロー部分群であり $N_{G}$ は正規化群を表す。


## 定義 (共役変換 , conjugation)

群 $G$ の固定された元 $g \in G$ に対して 群 $G$ の自己同型写像 $f : G \rightarrow G$ (全単射な準同型写像)を、 $f(x) = g^{-1}xg$ (g→x→g^{-1}の順で作用)とする。
このとき $x$ から $g^{-1} x g$ を得る操作 $f$ を、 $x$ の $g$ による共役変換という。
$g^{-1}xg$を$x^a$と書くこともある。



## 定義 (交換子, commutator)

群 $G$ の元 $g, h$ に対し $g$ と $h$ との交換子とは以下のことである
 $[ g , h ] = g^{−1} h^{−1} g h$  (または $g h g^{−1} h^{−1}$)

## 命題 (交換子)

交換子 $[g, h]$ が単位元 $e$ と等しいための必要十分条件は, $g, h \in G$ が可換なこと、すなわち $gh = hg$ が成り立つこと

## 定義 (正規部分群 , normal subgroup)

群 $G$ の部分群 $N$ が正規部分群であるとは、共役変換によって不変なことである。
つまり $\forall n \in N, \forall g \in G $ に対し、元 $gng^{−1}$ が再び N に属するとき、この $N$ を正規部分群と呼び、 $N \triangleleft G$ と表す。

$ N \triangleleft G\quad \iff \forall n \in N, \forall g \in G , gng^{-1} \in {N} $

```
$ N \triangleleft G\quad \iff \forall n \in N, \forall g \in G , gng^{-1} \in {N} $
```

## 命題 (正規部分群)

$\forall g \in G$ に対して $gNg^{-1} = N$ , $gN = Ng$

## 定義 (単純群)

単位元のみからなる群 $\\{ e \\}$ と、群 $G$ それ自身は、常に $G$ の正規部分群となる。 $\\{ e \\}$ を自明な部分群という。
群 $G$ が自明な部分群 $\\{ e \\}$ と自分自身 $G$ 以外に正規部分群を持たないとき $G$ は単純群であるという。

重要な例として $n >= 5$ の交代群 $A_n$ がある。

## 定義 (群の中心)

群 $G$ のある元 $a$ が $\forall g \in G$ に対して $ag = ga$ のとき、$a \in G$ はすべての元と可換であるという。もしくは $a = gag^{-1}$ と捉えて、可換な元は自己共役であるということもある。
群 $G$ の元と可換な元を集めた集合 $C = \\{ a \in G | \forall g \in G , ag = ga \\}$ を群 $G$ の中心という。
群の中心は部分群であり、とくに正規部分群となっている。

## 定理 (群の中心)

$G$ を有限群とする。位数 $|G| = p^{k} (\exists p \in prime, \exists k \in N)$ のとき（素数のべき乗）、$G$ の中心は単位元以外の元をもつ（したがって、このとき単純群ではない）

## 定義 (組成列)

$H$ を有限群 $G$ の正規部分群とする。群 $G$ に複数の正規部分群がある場合、これらは包含関係により
$G = H_0 \supset H_1 \supset H_2 \supset \dots$
と順番に並べることができる。
$G$ が有限群のとき、最終的に $\\{ e \\}$ 以外の最小の正規部分群 = 単純群に到達してこの列が終わる。
この正規部分群を過不足なくすべて並べた列を$G$ の組成列という。

```
$G = H_0 \supset H_1 \supset H_2 \supset \dots$
```

## 定理 (組成列)

組成列の商群 $H_{i-1}/H_i$ は単純群となる。


以上