コラッツ予想について

#### 概　要

本ドキュメントは

$f(x):=3\times x+1 ,(2a+1)\times 3+1=6a+4,f(2a+1)=6a+4$, 
$\therefore  f:\lbrace  2a+1\mid a\in \mathbb{N}^0   \\rbrace   \rightarrow \lbrace  6a+4\mid a\in \mathbb{N}^0   \rbrace$$ ,$
　$f^{-1}:\lbrace  6a+4\mid a\in \mathbb{N}^0   \rbrace   \rightarrow \lbrace  2a+1\mid a\in \mathbb{N}^0  \rbrace$ 
　  　は全単射である。…（1）と
$\lbrace  (2a+1)\times 2^{h^{\prime \prime}}  \mid a, h^{\prime \prime} \in \mathbb{N}^0  \rbrace   =\mathbb{N}^1  $  (0 を含まない全自然数の集合に等しい。何故ならばすべての 0 を含まない全自然数は2で割り切れる限り2で割り続ければ必ず割り切れなくなって奇数となるから。) 　…（2） により

$D(2a_x+1):=\lbrace  (2a_x+1)\times 2^{h^{\prime \prime}}  \mid 2a_x+1 \neq 1 , h^{\prime \prime} \in \mathbb{N}^0  \rbrace $
　　($2a_x+1$は1以外の正奇数で任意定数）,　
$S:=\mathbb{N}^1  - D(2a_x+1) 　:(D(2a_x+1)$以外の0 を含まない全自然数の集合）と定義し
 
$S\supset \lbrace  (2a_{x-1}+1)\times 2^{h^{\prime \prime}}  \mid  h^{\prime \prime} \in \mathbb{N}^0  \rbrace ∌ f(2a_{x-1}+1)=(6a_{x-1}+4)\in D(2a_x+1)$ ならば　
　$D(2a_x+1) :=D(2a_x+1)\cup  \lbrace  (2a_{x-1}+1)\times 2^{h^{\prime \prime}}  \mid  h^{\prime \prime} \in \mathbb{N}^0  \rbrace$    
　$S:=\mathbb{N}^1  -D(2a_x+1)$とそれぞれ再定義し、あるいは 

$  D(2a_x+1)∌ f(2a_x+1)=(6a_x+4)\in \lbrace  (2a_{x+1}+1)\times 2^{h^{\prime \prime}}  \mid h^{\prime \prime} \in \mathbb{N}^0  \rbrace   \subset S$ ならば 
　$　D(2a_{x+1}+1) =D(2a_x+1)\cup  \lbrace  (2a_{x+1}+1)\times 2^{h^{\prime \prime}}  \mid  h^{\prime \prime} \in \mathbb{N}^0  \rbrace $  
　　　$　(D(2a_x+1)と\lbrace  (2a_{x+1}+1)\times 2^{h^{\prime \prime}}  \mid h^{\prime \prime} \in \mathbb{N}^0  \rbrace $  の和集合） 
　$　S=\mathbb{N}^1  -D(2a_{x+1}+1) : (D(2a_{x+1}+1)$以外の0 を含まない全自然数の集合)　,　
　$D(2a_x+1)=\emptyset$ (空集合 ) としてそれぞれ再定義する。 

以上の集合演算を含む操作と同様な操作を繰り返すことによって （1）の全単射により$ \mathbb{N}^1 $  の中に唯一個しか存在しない順序対$ (2a+1,6a +4)$を　$\mathbb{N}^1$   中唯一$\emptyset$ (空集合 )ではない$ D(2a_n+1)$上に 順序対として完成させつつ集めながら数え上げる。

（全単射の写像からなる順序対$ (2a+1,6a +4)$  の片方が$D(…)$に含まれ、他方が含まれないときこれは必ず$ S$ の真部分集合である正奇数を初項とする公比2の等比数列の集合$ \lbrace  (2a_y+1)\times 2^{h^{\prime \prime}}  \mid  h^{\prime \prime} \in \mathbb{N}^0  \rbrace$ に含まれて唯一存在しなければならないから、この集合を S から D(…)へ移項して常に$ D(…) \cup   S=\mathbb{N}^1 $  の状態を保つようにすれば、　

（2）により$ \forall  \lbrace  (2a_y+1)\times 2^{h^{\prime \prime}}  \mid h^{\prime \prime} \in \mathbb{N}^0  \rbrace   \subset \mathbb{N}^1  は\mathbb{N}^1$   の真部分集合であってその中のどの二つの集合をとっても 互いに素で、共通項を持たず、一度移項された正奇数を初項とする公比2の等比数列の集合は Sには含まれなくなり二度と SにからD(…)へ 移項されることがなく $\mathbb{N}^1 $ はその中に重複項をもたないから D(…)  の中でループを起こすことはあり得ないという論理です。） 

$（f(1)=4\in \lbrace  1\times 2^{h^{\prime \prime}}  \mid  h^{\prime \prime} \in \mathbb{N}^0  \rbrace  , \lbrace  (2a+1)\times 3+1\rbrace   ÷2^n=2a+1\Rightarrow a=0,n=2）$でここだけは順序対の一方が D(…)  に含まれ他方が含まれないという状態があり得ない唯一の例外として移項操作を必要とせず、このような順序対は(1，4) 以外には存在しない。）  

以上の操作によって、奇数なら3倍して1を足す、偶数なら2で割るという演算を有限回繰り返せばすべての自然数は1となるという コラッツ予想の題意の成否を検証しようと試みるものです。
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#### 定義1 

$\mathbb{N}^0$    : 全ての0を含む自然数全体の集合（ただしその中に重複項をもたず、多重集合としてみた場合
　　すべての元の重複度は1であるとする。）
$\mathbb{N}^1 $   : 全ての0を含まない自然数全体の集合　（〃）
$\mathbb{Z} $　: 全ての0を含む整数全体の集合
$a_{n}, x_{m}, y_{0}, h_{m n} \ldots$ : 右下の小文字によって修飾されている変数名は特に変域の指定が
　　　　　　無ければすべて $\mathbb{N}^0 $　(全ての0を含む自然数全体の集合)に含まれて
　　　　　　唯一存在する任意定数または他の任意定数に直接または間接的に依存して定まる
　　　　　　固定値をもった定数を表す。固定値を採るものして扱われるため集合表記の中の
　　　　　　定義域の指定はこれを省略する場合がある。
　　　　　　例：$　\lbrace  2a_x+y \mid y \in \lbrace  0,1,2\rbrace   \rbrace   =\lbrace  2a_x+0 ,2a_x+1 ,2a_x+2\rbrace   $
　　　　　　$\lbrace  2a_x+y \mid y\in \mathbb{N}^0  \rbrace   =\lbrace  2a_x+0 ,2a_x+1 ,2a_x+2 ,2a_x+3 ,2a_x+4…\rbrace$
$a, x, y, h$　　右下の小文字による修飾を伴わない変数名は特に変域の指定が無ければ
　　　　　　 $ \mathbb{N}^0  $ (全ての0を含む自然数全体の集合) をわたる値をとりうる普通の変数を表す。
　　　　　　この場合変域指定の$\in \mathbb{N}^0$ は省略されることがある。
$f(x):=3x+1 $
$e(2a_0+1,n)   :=  ( 2a_0+1+ \frac{1}{3}) \times 4^n - \frac{1}{3} $
　　　　　　 ：初項$ 2a_0+1$,漸化式$ 2a_{n+1}+1=(2a_n+1)\times 4+1 $　 の漸化数列の第$ n$ 項
　　　　　　　$a_n+1$ (初項$2a_0+1$は第$0$ 項）
$\textit{Operation Collatz Setup}\left(2 a_{x}+1\right), \textit{O.C.S.} \left(2 a_{x}+1\right)$
　$:D(2a_x+1):=\lbrace  (2a_x+1)\times 2^{h^{\prime \prime}} \mid a_x+1 \neq 1 , h^{\prime \prime} \in \mathbb{N}^0  \rbrace $   
　 $S=\mathbb{N}^1  -D(2a_x+1)$ 
　　　　　　$:\lbrace  (2a_x+1)\times 2^{h^{\prime \prime}} \mid  h^{\prime \prime} \in \mathbb{N}^0  \rbrace$    を$ D(2a_x+1) $ として、
　　　　　　 $D(2a_x+1)$以外の$ \mathbb{N}^1 $  (全ての0を含まない自然数全体の集合) を S として
　　　　　　それぞれ定義する。
       以上の操作を$\textit{Operation Collatz Setup} \left(2 a_{x}+1\right)$略して$\textit{O.C.S.}$ $\left(2 a_{y}+1\right)$ と呼ぶこととする。
$\textit{Operation Collatz Invite}(2a_x+1,2a_{n-1}+1)\textit{,O.C.I.} (2a_x+1,2a_{n-1}+1)$ 
　 ：$D(2a_x+1)\supset \lbrace  (2a_n+1)\times 2^{h^{\prime \prime}} \mid h^{\prime \prime} \in \mathbb{N}^0  \rbrace   \ni (2a_n+1)\times 2^{h_{n_y}}=6a_{n-1}+4 $
　　 $ D(2a_x+1)∌ f^{-1} ((2a_n+1)\times 2^{h_{n_y}})=2a_{n-1}+1\in \lbrace  (2a_{n-1}+1)\times 2^{ h^{\prime \prime}} \mid h^{\prime \prime} \in \mathbb{N}^0  \rbrace$
　　 $  \subset S \subset  $  $\mathbb{N}^1  \Rightarrow  $　  
   　   　  ： $(2a_n+1)\times 2^{h_{n_{y}}}  $ が  $D(2a_x+1) $の真部分集合である$\lbrace a_n+1)\times 2^{ h^{\prime \prime}} \mid  h^{\prime \prime} \in \mathbb{N}^0 \rbrace$
　　　　に含まれ 、
 $\qquad \qquad f^{-1} ((2a_n+1)\times 2^{h_{n_y}})=2a_{n-1}+1$ が $\mathbb{N}^1 $ の真部分集合である$ S $の真部分集合 $ \qquad \qquad  \lbrace  (2a_{n-1}+1)\times 2^{ h^{\prime \prime}} \mid h^{\prime \prime} \in \mathbb{N}^0\rbrace $  に含まれて存在すれば
    $\qquad \qquad \qquad  (2a_n+1=2a_x+1,x=n $の場合を含む）　 
　  $D(2a_x+1):=D(2a_{x+1}\cup  \lbrace  (2a_{n-1}+1)\times 2^{h^{\prime \prime}} \mid  h^{\prime \prime} \in \mathbb{N}^0  \rbrace ,  S:=\mathbb{N}^1  -D(2a_x+1)  $ 
　　：  $D(2a_x+1) $  を  $D(2a_x+1 ) $  と $ \lbrace  (2a_{n-1}+1)\times 2^{h^{\prime \prime}} \mid h^{\prime \prime} \in \mathbb{N}^0  \rbrace  $   の和集合 として、 
　  　　$ S $を$D(2a_x+1) $以外の $ \mathbb{N}^1 $   (全ての0を含まない自然数全体の集合)  として
　　　それぞれ再定義する。
   　 以上の操作を $\textit{Operation Collatz Invite}(2a_x+1,2a_{n-1}+1)$
   　 略して$\textit{ O.C.I.}(2a_x+1,2a_{n-1}+1) $
 　  と呼ぶこととする。 
$\textit{Operation Collatz Hijack}(2a_{x+1}+1,2a_x+1), \textit{O.C.H.}(2a_{x+1}+1,2a_x+1) $ 
 　： $D(2a_x+1)\ni 2a_x+1  $
$\qquad D(2a_x+1)∌ f((2a_{x+1}+1)\times 2^{h_{x+1_y}} )=6a_x+4\in \lbrace  (2a_{x+1}+1)\times 2^{ h^{\prime \prime}} \mid h^{\prime \prime} \in \mathbb{N}^0  \rbrace$
　　 $  \subset S \subset  $  $\mathbb{N}^1  \Rightarrow  $　
  　　 ：$2a_x+1が D(2a_x+1)$に含まれ、$f(2a_x+1)=6a_x+4=(2a_{x+1}+1)\times 2^{h_{x+1_y}} $ が
　   $\qquad \mathbb{N}^1 $  の真部分集合である $S$の真部分集合 $ \lbrace  (2a_{x+1}+1)\times 2^{ h^{\prime \prime} } \mid h''\in \mathbb{N}^0  \rbrace$ に含まれて
　　　 存在すれば
　　 $D(2a_{x+1}+1)=D(2a_x+1)\cup  \lbrace  (2a_{x+1}+1)\times 2^{ h^{\prime \prime}} \mid h^{\prime \prime} \in \mathbb{N}^0  \rbrace   $　
　　 $S=\mathbb{N}^1  -D(2a_{x+1}+1),   D(2a_x+1)=\emptyset $(空集合 )
　　　　：$D(2a_{x+1}+1)$  を $D(2a_x+1) $ と $  \lbrace  (2a_{x+1}+1)\times 2^{ h^{\prime \prime}} \mid h^{\prime \prime} \in \mathbb{N}^0  \rbrace $   の和集合  
　　　　　$S$を $D(2a_{x+1}+1)$以外の$ \mathbb{N}^1$   (全ての0を含まない自然数全体の集合)
　　　　　として、また $D(2a_x+1$)  を $\emptyset$(空集合 )としてそれぞれ再定義する。
　 以上の操作を$\textit{Operation Collatz Hijack} (2a_{x+1}+1,2a_x+1)$,
　 略して$\textit{O.C.H.}$ $(2a_{x+1}+1,2a_x+1)$と呼ぶこととする。 
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##### 命題1-1

　  $ \lbrace  (2a+1)\times 2^{ h^{\prime \prime}} \mid a, h^{\prime \prime} \in \mathbb{N}^0  \rbrace   =\mathbb{N}^1 $  
　　　　：正の奇数 $2a+1$を初項とする公比 $2$ の 等比数列すべての集合は 
　　　　  全ての $0$ を含まない自然数の集合 $\mathbb{N}^1$    に等しい。 
##### 証明1-1
　 全ての0を含まない偶数は2 で割り切れる限り2 で割り続けていけば必ず割り切れなく
　 なって奇数となるから。
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##### 命題1-2
　 $f:\left\lbrace2 a+1 \mid a \in \mathbb{N}^{0}\right\rbrace \rightarrow\left\lbrace6 a+4 \mid a \in \mathbb{N}^{0}\right\rbrace$
　 $f^{-1}:\left\lbrace6 a+4 \mid a \in \mathbb{N}^{0}\right\rbrace \rightarrow\left\lbrace2 a+1 \mid a \in \mathbb{N}^{0}\right\rbrace$
　 は全単射である。
##### 証明1-2
　 $f(2 a+1)=(2 a+1) \times 3+1$
　　$=6 a+4$
　 $f^{-1}(6 a+4)=(6 a+4-1) \div 3$ 
　　$=2 a+1$
　$\therefore  f:\left\lbrace2 a+1 \mid a \in \mathbb{N}^{0}\right\rbrace \rightarrow\left\lbrace6 a+4 \mid a \in \mathbb{N}^{0}\right\rbrace$
　 　$f^{-1}:\left\lbrace6 a+4 \mid a \in \mathbb{N}^{0}\right\rbrace \rightarrow\left\lbrace2 a+1 \mid a \in \mathbb{N}^{0}\right\rbrace$
　 は全単射である。
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##### 命題1-3
　 $ (6 a+1) \times 2^{2 h+2} \in\left\lbrace6 a+4 \mid a \in \mathbb{N}^{0}\right\rbrace\left(h \in \mathbb{N}^{0}\right)$ 
　 $ (6 a+3) \times 2^{h} \notin\left\lbrace6 a+4 \mid a \in \mathbb{N}^{0}\right\rbrace\left(h \in \mathbb{N}^{1}\right) $ 
　 $ (6 a+5) \times 2^{2 h+1} \in\left\lbrace6 a+4 \mid a \in \mathbb{N}^{0}\right\rbrace\left(h \in \mathbb{N}^{0}\right)$
##### 証明 1-3
　 $6 a+2 \notin\left\lbrace6 a+4 \mid a \in \mathbb{N}^{0}\right\rbrace$
　 $(6 a+2) \times 2^{1}=12 a+4=6(2 a)+4 \in\left\lbrace6 a+4 \mid a \in \mathbb{N}^{0}\right\rbrace$
　 $(6 a+4) \times 2^{1}=12 a+8=6(2 a+1)+2 \notin\left\lbrace6 a+4 \mid a \in \mathbb{N}^{0}\right\rbrace$
　 $(6 a+1) \times 2^{1}=12 a+2=6(2 a)+2 \notin\left\lbrace6 a+4 \mid a \in \mathbb{N}^{0}\right\rbrace $
　 $(6 a+5) \times 2^{1}=12 a+10=6(2 a+1)+4 \in\left\lbrace6 a+4 \mid a \in \mathbb{N}^{0}\right\rbrace$
　 $(6 a+3) \times 2^{1}=12 a+6=6(2 a+1)+0 \notin\left\lbrace6 a+4 \mid a \in \mathbb{N}^{0}\right\rbrace $
　 $\therefore$
　 $(6 a+1) \times 2^{2 h+2} \in\left\lbrace6 a+4 \mid a \in \mathbb{N}^{0}\right\rbrace\left(h \in \mathbb{N}^{0}\right) $
　 $(6 a+3) \times 2^{h} \notin\left\lbrace6 a+4 \mid a \in \mathbb{N}^{0}\right\rbrace\left(h \in \mathbb{N}^{1}\right)$
　 $(6 a+5) \times 2^{h+1} \in\left\lbrace6 a+4 \mid a \in \mathbb{N}^{0}\right\rbrace\left(h \in \mathbb{N}^{0}\right)$
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##### 命題 1-4
　 $f(e(4 a+3, n)) \div 2^{1+2 n}=6 a+5$ 
　 $f(e(8 a+1, n)) \div 2^{2+2 n}=6 a+1$
##### 証明 1-4
　 $(4 a+3) \times 3+1=12 a+10$
　 $(12 a+10) \div 2^{1}=6 a+5 $
　 $(8 a+1) \times 3+1=24 a+4$
　 $(24 a+4) \div 2^{2}= 6 a+1$ 
　 $(2 a+1) \times 3+1=6 a+4 $
　 $(2 a+1) \times 4+1=e(2 a+1,1)$
　　$=8 a+5 $
　 $(8 a+5) \times 3+1=24 a+16 $
　　$=(6 a+4) \times 2^{2} $
　$ \therefore f(e(4 a+3, n)) \div 2^{1+2 n}=6 a+5$
　　$ f(e(8 a+1, n)) \div 2^{2+2 n}=6 a+1$
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##### 命題1-5 
　 $f(2a_x+1)\in \lbrace(2a_x+1)\times 2^{h^{\prime \prime}} \mid h^{\prime \prime}\in \mathbb{N}^{0} \rbrace\Rightarrow$    
　 $2a_x+1=1,h^{\prime \prime}=2$ 
　 :$f(2a_x+1)  が  \lbrace(2a_x+1)\times 2^{h^{\prime \prime}} \mid h^{\prime \prime}\in \mathbb{N}^{0} \rbrace$  に含まれているとすれば
　 $2a_x+1=1,h^{\prime \prime}=2$であってこれに限る。
##### 証明1-5
　 $f(2a+1)=6a+4$
　 $6a+4 \div 2^{h^{\prime \prime}}=2a+1$ 
　 $\frac{(2a+1)×3+1}{2^{h^{\prime \prime}}} =2a+1 $
　 $(2a+1)\times(2^{h^{\prime \prime}}-3)=1 $
　 $\therefore a=0,2a+1=1,h^{\prime \prime}=2$
##### 命題1-5補足
　 以上により
　 $f(2a_x+1)=6a_x+4=(2a_x+1)\times 2^{h_{x_y}}\in  \lbrace(2a_x+1)\times 2^{h^{\prime \prime}} \mid h^{\prime \prime} \in \mathbb{N}^{0} \rbrace$　
　 のように 初項$\times 3+1$を自分自身の中に持つような正奇数を初項とする公比2の等比数列
　 の集合は　初項を1とする  $\lbrace1\times 2^{h^{\prime \prime}} \mid h^{\prime \prime}\in \mathbb{N}^{0} \rbrace$ 以外には存在しない。　
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##### 命題1-6  
　 $f(2a_{-1}+1)\div 2^{h_0}=2a_0+1$ 
　 $f(2a_0+1)\div 2^{h_1}=2a_1+1,   2a_{-1}+1\ne 1\Rightarrow $
　 $2a_{-1}+1\ne 2a_1+1$　
　　：$f(2a_{-1}+1)\div 2^{h_0}=2a_0+1$ 
　　 $f(2a_0+1)\div 2^{h_1}=2a_1+1,$ 
　　 となるとき$2a_{-1}+1が1でなければ2a_{-1}+1$と$2a_1+1$は等しくない。　
##### 証明1-6 
　 $2a_{-1}+1=2a_1+1$　と置けば
 　 $\frac {(2a_{-1}+1)\times 3+1}{2^{h_0}} =2a_0+1$　
　 $\frac {(2a_{-1}+1)\times 3^2+3+2^{h_0}}{2^{h_0+h_1}} =2a_{-1}+1 $
　 $3+2^{h_0}=(2a_{-1}+1)\times (2^{h_0+h_1}-3^2) $
　 $\frac {3+2^{h_0}}{2^{h_0+h_1}-3^2}=2a_{-1}+1 $
　 $\therefore  2a_{-1}+1=1 ,h_0=2,h_1=2$  
　 $\therefore f(2a_{-1}+1)\div 2^{h_0}=2a_0+1 $
　 $f(2a_0+1)\div 2^{h_1}=2a_1+1,   2a_{-1}+1\ne 1\Rightarrow $
　 $2a_{-1}+1\ne 2a_1+1$
　　：$f(2a_{-1}+1)\div 2^{h_0}=2a_0+1 $
　　 $f(2a_0+1)\div 2^{h_1}=2a_1+1,$
　　 となるとき$2a_{-1}+1$が1でなければ　
　　 $2a_{-1}+1$と$2a_1+1$は等しくない。　
###### 命題1-6補足
　　 以上により
　　 $f(2a_0+1)=6a_0+4=(2a_1+1)\times 2^{h_1x}\in \lbrace(2a_1+1)\times 2^{h^{\prime \prime}} \mid h^{\prime \prime}\in \mathbb{N}^{0}\rbrace$　
　　 $f(2a_1+1)=6a_1+4=(2a_0+1)\times 2^{h_0y}\in \lbrace(2a_0+1)\times 2^{h^{\prime \prime}} \mid h^{\prime \prime}\in \mathbb{N}^{0}\rbrace$
　　 のように 初項$\times 3+1$を相互に持ち合うような相異なる正奇数を初項とする公比2の
　　等比数列の集合の対は存在しない。
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###### 命題1-7 
　 $\exists \lbrace(2a_n+1)\times 2^{h^{\prime \prime}} \mid ,h^{\prime \prime}\in \mathbb{N}^{0} \rbrace\subset \mathbb{N}^{1} \Rightarrow$　
　 $\lbrace(2a_n+1)\times 2^{h^{\prime \prime}} \mid h^{\prime \prime}\in \mathbb{N}^{0} \rbrace
\cap \forall \lbrace(2a_m+1)\times 2^{h^{\prime \prime}} \mid h^{\prime \prime}\in \mathbb{N}^{0} \rbrace$
  $\qquad \qquad \subset \lbrace\mathbb{N}^{1} -\lbrace(2a_n+1)\times 2^{h^{\prime \prime}} \mid  h^{\prime \prime}\in \mathbb{N}^{0} \rbrace\rbrace=\emptyset $(空集合)　
　　 ：ある$\mathbb{N}^{1}$  の真部分集合で正奇数 $2a_n+1$を初項とし、公比2の等比数列全ての集合
　　　$ \lbrace(2a_n+1)\times 2^{h^{\prime \prime}} \mid h^{\prime \prime}\in \mathbb{N}^{0} \rbrace$ があってこれ以外の如何なる $\mathbb{N}^{1}$  の真部分集合で
　　　正奇数 $2a_m+1$を初項とし、公比2 の等比数列全ての集合
　　　$\lbrace(2a_m+1)\times 2^{h^{\prime \prime}} \mid h^{\prime \prime}\in \mathbb{N}^{0} \rbrace$ 　の何れとも互いに素で両者は共有項を持たない。
　　　（$ \mathbb{N}^{1} $ の真部分集合であるすべての正の奇数 を初項とする公比 2 の 等比数列
　　　すべての集合はその中のどの二つの集合をとっても互いに素で両者は共通項をもた
　　　ない。     
###### 証明1-7
　  命題1-1
　　　$\lbrace(2a+1)\times 2^{h^{\prime \prime}} \mid a,h^{\prime \prime}\in \mathbb{N}^{0} \rbrace=\mathbb{N}^{1} $　          
　  　　  ：正の奇数 $2a+1$を初項とする公比 2 の 等比数列すべての集合は
　  　　　全ての 0 を含まない自然数の集合 $\mathbb{N}^{1}$   に等しい。
　 と
　 0 を含まない自然数全ての集合 $\mathbb{N}^{1}$  はその中に重複項を持たないから
　 $\exists \lbrace(2a_n+1)\times 2^{h^{\prime \prime}} \mid h^{\prime \prime}\in \mathbb{N}^{0} \rbrace\subset \mathbb{N}^{1} \Rightarrow$
　 $\lbrace(2a_m+1)\times 2^{h^{\prime \prime}} \mid h^{\prime \prime}\in \mathbb{N}^{0} \cap \forall \lbrace(2a_m+1)\times 2^{h^{\prime \prime}} \mid h^{\prime \prime}\in \mathbb{N}^{0} \rbrace$
$\qquad \qquad \subset \lbrace\mathbb{N}^{1} -\lbrace(2a_n+1)\times 2^{h^{\prime \prime}} \mid  h^{\prime \prime}\in \mathbb{N}^{0} \rbrace\rbrace=\emptyset $　
　　 ：ある$\mathbb{N}^{1}$  の真部分集合で正奇数 $2a_n+1$を初項とし、公比2の等比数列全ての集合
　　 $\lbrace(2a_n+1)\times 2^{h^{\prime \prime}} \mid h^{\prime \prime}\in \mathbb{N}^{0} \rbrace $があって
　　 これ以外の如何なる$ \mathbb{N}^{1} $ の真部分集合で正奇数 $2a_m+1$を初項とし、公比2 の等比数列
　 　全ての集合 $\lbrace(2a_m+1)\times 2^{h^{\prime \prime}} \mid h^{\prime \prime}\in \mathbb{N}^{0} \rbrace$ とも互いに素で両者は共有項を持たない。 
　　（$ \mathbb{N}^{1}$  の真部分集合であるすべての正の奇数 を初項とする公比 2 の 等比数列すべての
　 　集合はその中のどの二つの集合をとっても互いに素で両者は共通項をもたない。）
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##### 命題1-8
　 $D(2a_p+1)≠\emptyset $（空集合）があって、$D(2a_p+1)$ がその中に重複項を持たないとき　
　 $O.C.I.(2a_p+1,2a_{-n}+1)$の実行可能条件が成立していて
　　これを実行した後の$D(2a_p+1)$
　 $O.C.H.(2a_{p+1}+1,2a_p+1)$の実行可能条件が成立していて
　　これを実行した後の $D(2a_{p+1}+1)$ 
　 は共にその中に重複項を持たない。 
##### 証明1-8
　 $O.C.I.(2a_p+1,2a_{-n}+1)$の実行可能条件が成立しているとき 
　 命題1-2
　　　 $f:\lbrace2a+1│a \in  \mathbb{N}^{0}  \rbrace \rightarrow \lbrace6a+4\mid a \in mathbb{N}^{0} \rbrace$ 　
　　 　$f^{-1} : \lbrace6a+4│a \in  \mathbb{N}^{0}  \rbrace \rightarrow \lbrace2a+1\mid a \in  \mathbb{N}^{0} \rbrace$  　
　　　 は全単射である。
　 により
　 $\exists! 2a_{-n}+1\in \lbrace (2a_{-n}+1)\times 2^{h^{\prime \prime}}\mid h^{\prime \prime}\in \mathbb{N}^{0} \rbrace \subset S $
　 　　$(2a_{-n+1}+1=2a_p+1$ の場合を含む)　
　　　 ：$2a_{-n}+1はSの真部分集合 \lbrace(2a_{-n}+1)\times 2^{h^{\prime \prime}} \mid h^{\prime \prime}\in  \mathbb{N}^{0} \rbrace$  に含まれて唯一存在し　
　　　 $f(2a_{-n}+1)=6a_{-n}+4=(2a_{-n+1}+1) \times 2^{h_{-n+1_x}}$  は $D(2a_{p+1}+1)$ の部分集合
　 　　 $\lbrace(2a_{-n+1}+1)\times 2^{h^{\prime \prime} }  \mid h^{\prime \prime}\in  \mathbb{N}^{0} \rbrace $に含まれて唯一存在する。 
　 定義により$ S =\mathbb{N}^{1} - D (2a_p+1),$　
　 $S\supset \lbrace(2a_{-n}+1)\times 2^{h^{\prime \prime}} \mid h^{\prime \prime}\in  \mathbb{N}^{0} \rbrace ∩D (2a_p+1)=\emptyset $ (空集合 )
　 　　 ：$S の真部分集合 \lbrace(2a_{-n}+1)\times 2^{h^{\prime \prime}} \mid h^{\prime \prime}\in  \mathbb{N}^{0} \rbrace  とD (2a_p+1)$　は互いに素で両者は
　 　　共通項をもたない。 　
　   よって$ O.C.I.(2a_p+1,2a_{-n}+1)$ を実行して
　    $ D (2a_p+1):= D (2a_p+1)∪\lbrace(2a_{-n+1}+1)\times 2^{h^{\prime \prime}} \mid h^{\prime \prime}\in  \mathbb{N}^{0} \rbrace$  
　    $S:=\mathbb{N}^{1} - D (2a_p+1)$ として$D (2a_p+1) $はその中に重複項を持たない。　
　 $O.C.H.(2a_{p+1}+1,2a_p+1)$の実行可能条件が成立しているとき 
　 $\exists!  2a_p+1\in  D (2a_p+1)$　
　 $\exists!  f(2a_p+1)=6a_p+4=(2a_{p+1}+1)\times 2^{h_{p+1_x}} \in  \lbrace(2a_{p+1}+1)\times 2^{h^{\prime \prime}} \mid h^{\prime \prime}\in  \mathbb{N}^{0} \rbrace \subset S $　
　　　: $2a_p+1はD(2a_p+1)$ に含まれて唯一存在し　
　 　　 $f(2a_p+1)=6a_p+4=(2a_{p+1}+1)\times 2^{h_{p+1_x}}$  は S の真部分集合　
　 　　 $\lbrace(2a_{p+1}+1)\times 2^{h^{\prime \prime}} \mid h^{\prime \prime}\in  \mathbb{N}^{0} \rbrace$ に含まれて唯一存在する。 
　 定義ににより $S =\mathbb{N}^{1} - D (2a_p+1),$　
　 $S\supset \lbrace(2a_{p+1}+1)\times 2^{h^{\prime \prime} }  \mid h^{\prime \prime}  \in  \mathbb{N}^{0} \rbrace ∩D (2a_p+1)=\emptyset  $(空集合 )
　 　　 ：$S$ の真部分集合 $\lbrace(2a_{p+1}+1)\times 2^{h^{\prime \prime} }  \mid h^{\prime \prime}  \in  \mathbb{N}^{0} \rbrace  とD (2a_p+1)$　は互いに素で
　　　　　両者は共通項をもたない。
　 よって $O.C.H.(2a_{p+1}+1,2a_p+1)$ を実行して
　 $D(2a_{p+1}+1):= D(2a_p+1)∪\lbrace(2a_{p+1}+1)\times 2^{h^{\prime \prime}} \mid h^{\prime \prime} \in\mathbb{N}^{0} \rbrace$ 
　 $S:=\mathbb{N}^{1} - D (2a_p+1)  ,D (2a_p+1)  = \emptyset$  (空集合 ) として$D (2a_{p+1}+1)$ は
　その中に共通項を持たない。　
_____
##### 命題1-9
　 すべての 自然数は　コラッツ予想の題意に従った演算を有限回繰り返して行えば1 となる。　
##### 証明1-9
　 $O.C.S(2a_0+1) ,2a_0+1≠1$を実行して 
　 $D(2a_0+1) :=\lbrace(2a_0+1)\times 2^{h^{\prime \prime}} \mid a_0\in  \mathbb{N}^{1} ,h^{\prime \prime}\in  \mathbb{N}^{0} \rbrace ,   S:= \mathbb{N}^{1} -D(2a_0+1) $ とする。 
　 ただし $2a_0+1$は　$2a_0+1∉\lbrace6a+3\mid a\in  \mathbb{N}^{0} \rbrace ,2a_0+1≠1$を満たす正奇数の
　 任意定数。　
　 このとき
　 命題1-3
　 　　 $(6a+1)\times 2^{2h+2}\in  \lbrace6a+4│a\in  \mathbb{N}^{0}  \rbrace   (h\in  \mathbb{N}^{0} )$　
　 　　 $(6a+3)\times 2^h∉\lbrace6a+4│a\in  \mathbb{N}^{0}  \rbrace   (h\in  \mathbb{N}^{1}  ) $
　 　　 $(6a+5)\times 2^{2h+1}\in  \lbrace6a+4│a\in  \mathbb{N}^{0}  \rbrace   (h\in  \mathbb{N}^{0}  ) $
　 $2a_0+1∉\lbrace6a+3\mid a\in  \mathbb{N}^{0} \rbrace$  (前提) , 
　 命題1-5補足
　 　　$f(2a_x+1)=6a_x+4=(2a_x+1)\times 2^{h_{x_y}} \in  \lbrace(2a_x+1)\times 2^{h^{\prime \prime}} \mid h^{\prime \prime} \in  \mathbb{N}^{0} \rbrace$ 
　 　　 のように 初項$\times 3+1$を自分自身の中に持つような正奇数を初項とする公比2の
　　　等比数列の集合は初項を1とする$ \lbrace1\times 2^{h^{\prime \prime}} \mid h^{\prime \prime}\in  \mathbb{N}^{0} \rbrace $ 以外には存在しない。
　したがってここで $O.C.I.(2a_0+1,2a_{-1}+1)$の実行可能条件が成立してこれを
　実行し、  
　 命題1-8 によって$D(2a_0+1)$は重複項を持たない。$\cdots$ ①　
　 また $O.C.I.(2a_0+1,2a_{-1}+1$  は一度実行されると
　 $\lbrace(2a_{-1}+1)\times 2^{h^{\prime \prime}} \mid h^{\prime \prime}\in  \mathbb{N}^{0} \rbrace \subset D(2a_0+1)$　
　 $D(2a_0+1)$の真部分集合となってそのすべての元は S には含まれずS から$D(\cdots )$  への
 　移項対象ではなくなるから　
　 $O.C.I.(\cdots ,2a_{-1}+1)$  および $O.C.H.(2a_{-1}+1,\cdots )$  は
　二度と実行されることがない。$\cdots$ ②
　 $D(2a_0+1)∌f(2a_0+1)=6a_0+4$　　
　 $\therefore \exists! 6a_0+4=(2a_1+1)\times $ $2^{h_1} \in \lbrace (2a_1+1)\times $ $2^{h^{\prime \prime}} \mid h^{\prime \prime}\in  \mathbb{N}^{0} \rbrace \subset S\subset \mathbb{N}^{1} $  
　 $ここで O.C.H.(2a_1+1,2a_o+1)$の実行可能条件が成立してこれをを実行し、  
　 命題1-6  
　 　　 $f(2a_{-1}+1)\div 2^{h_0}=2a_0+1$ 
　 　　 $f(2a_0+1)\div 2^{h_1}=2a_1+1,   2a_{-1}+1≠1\Rightarrow $ 
　 　　 $2a_{-1}+1≠2a_1+1$　
　 　　 $：f(2a_{-1}+1)\div 2^{h_0}=2a_0+1$ 
　 　　 $f(2a_0+1)\div 2^{h_1}=2a_1+1,$ 
　 　　 となるとき$2a_{-1}+1$が1でなければ $2a_{-1}+1と2a_1+1$は等しくない。 
　 と命題1-８によって$D(2a_1+1)$は重複項を持たない。$\cdots$ ③ 　
　 また $O.C.H.(2a_1+1,2a_0+1)$  は一度実行されると
　 $\lbrace(2a_1+1)\times 2^{h^{\prime \prime}} \mid h^{\prime \prime}\in  \mathbb{N}^{0} \rbrace \subset D(2a_1+1)$
　 $D(2a_1+1)$の真部分集合となってそのすべての元は $S$　には含まれず$S$ から$D(\cdots )$  への
　 移項対象はなくなるから　
　 $O.C.I.(\cdots ,2a_1+1)$  および $O.C.H.(2a_1+1,\cdots )$  は二度と実行されることが
　 ない。$\cdots$  ④　　
　 以降、$O.C.I.(2a_p+1,2a_{-n}+1)$ と$O.C.H.(2a_{p+1}+1,2a_p+1)$が実行可能で、
　 $D(2a_p+1) $がその中に重複項を持たないとして、ここで$ 2a_{p+1}+1=2a_{-n}+1$とすれば
　 $O.C.I.(2a_p+1,2a_{-n}+1)$ を実行したとすればここで$ O.C.I.(2a_p+1,2a_p+1)$ が
　 実行可能となり、 
　 $O.C.I.(2a_p+1,2a_{-n}+1)$ ではなく $O.C.H.(2a_{p+1}+1,2a_p+1)$ を実行した
　 とすればここで$O.C.I.(2a_{p+1}+1,2a_{p+1}+1)$ が実行可能となる。
　 これらは何れも$D(\cdots )$  に既に含まれていて、
　 $S$ には含まれていない初項が正奇数、公比2の等比数列の集合の$S$ から$D(\cdots )$  への移項を
　 可能とするもので、$O.C.I.(2a_0+1,2a_{-1}+1)$  は一度実行されると
　 $\lbrace(2a_{-1}+1)\times 2^{h^{\prime \prime}} \mid h^{\prime \prime}\in  \mathbb{N}^{0} \rbrace \subset D(2a_0+1)$　
　 $D(2a_0+1)$の真部分集合となってそのすべての元は $S$ には含まれず$S$ から$D(\cdots )$への
　 移項対象ではなくなるから　
　 $O.C.I.(\cdots ,2a_{-1}+1)$  および $O.C.H.(2a_{-1}+1,\cdots )$  は実行されることがない。$\cdots$ ②　
　 $O.C.H.(2a_1+1,2a_0+1)$  は一度実行されると
　 $\lbrace(2a_1+1)\times 2^{h^{\prime \prime}} \mid h^{\prime \prime}\in  \mathbb{N}^{0} \rbrace \subset D(2a_0+1)$　
　 $D(2a_0+1)$の真部分集合となってそのすべての元は $S$ には含まれず$S$ から$D(\cdots )$  への
　 移項対象ではなくなるから　
　 $O.C.I.(\cdots ,2a_1+1)$  および $O.C.H.(2a_1+1,\cdots )$  は実行されることがない。$\cdots$ ④　
　  $\mathbb{N}^{1}$  はその中に重複項をもたない ” 　
　 などと矛盾し、$\mathbb{N}^{1} $ はその中に重複項をもたないという条件下で　
　 命題1-2
　 　　 $f: \lbrace2a+1│a \in  \mathbb{N}^{0}  \rbrace \rightarrow \lbrace6a+4\mid a \in  \mathbb{N}^{0} \rbrace $　
　 　　 $f^{-1}:\lbrace6a+4│a \in  \mathbb{N}^{0}  \rbrace \rightarrow \lbrace2a+1\mid a \in  \mathbb{N}^{0} \rbrace$  　
　 　　 は全単射である。
　 が不成立となる。
　 これらの矛盾はすべてコラッツ予想の題意の真偽とは無関係に、$2a_{p+1}+1=2a_{-n}+1$
　 と置いた仮定のみによって生じたものであるから 
　 $ 2a_{p+1}+1≠2a_{-n}+1$はコラッツ予想の題意の真偽とは無関係に恒に成立する。$\cdots$ ⑤　
　 以上により、以降 $O.C.I.(\cdots ,\cdots )  ,O.C.H.(\cdots ,\cdots )$は実行順序に拘わらず何度でも
　 継続実行が可能で何度これを実行しても 
　 $\cdots $①,$\cdots$ ②,$\cdots$ ③$\cdots$ ④$\cdots$ ⑤ は恒に成立するから$ D(\cdots )$  がその中に重複項をもつことは
　 ない。
　 したがってすべての1以外の自然数はコラッツ予想の題意に従った演算を有限回繰り返す
　 ことによって初項と同じ数となって循環することがなく、0と1以外の自然数は
　 コラッツ予想の題意に従った演算上　$1\rightarrow 4\rightarrow 1$ 以外に閉じた部分がない。よって
　 $D(1) :=\lbrace1\times 2^{h^{\prime \prime}} \mid h^{\prime \prime}\in  \mathbb{N}^{0} \rbrace$  
　 $S:= \mathbb{N}^{1} - D(1) $  
　 $D(1) :=\lbrace1\times 2^{h^{\prime \prime}} \mid h^{\prime \prime}\in  \mathbb{N}^{0} \rbrace$  
　 $S:= \mathbb{N}^{1} - D(1) $  :   $ O.C.S(1)$  実行直後の$ D(1) $ と$S$ 　 として、以降
　 命題1-5補足
　 　　 $f(2a_x+1)=6a_x+4=(2a_x+1)\times 2^{h_xy}\in  \lbrace(2a_x+1)\times 2^{h^{\prime \prime}} \mid h^{\prime \prime} \in  \mathbb{N}^{0} \rbrace$ 　
　 　　 のように 初項$\times 3+1$を自分自身の中に持つような正奇数を初項とする公比2の
　 　　 等比数列の集合は初項を1とする $\lbrace1\times 2^{h^{\prime \prime}} \mid h^{\prime \prime}\in  \mathbb{N}^{0} \rbrace$  以外には存在しない。　
　 によって順序対$ (2a+1,6a+4)$  の片方が$D (\cdots )$に含まれ他方が$S$に含まれるという状態が
　 あり得ない唯一の例外として
　 $O.C.I.(1,1)$  を除いて$ O.C.I.(1,2a_{-n}+1)$  を実行継続していけば有限値をもった
　 自然数ならば必ず $D(1)$  に含まれるようになり、 $D(2a_p+1)$中のすべての自然数は 
　 $f(2a_{-m}+1)=6a_{-m}+4=(2a_{-m+1} +1)\times 2^{h_{-m+1_x}},$
　 $\lbrace(2a_{-m+1} +1)\times 2^{h_{-m+1_x}}\rbrace \div 2^{h_{-m+1_x}}= 2a_{-m+1} +1  $
　 $f(2a_{-m+1} +1)=6a_{-m+1} +4=(2a_{-m+2} +1)\times 2^{h_{-m+2_x}},$
　 $\lbrace(2a_{-m+2} +1)\times 2^{h_{-m+2_x}}\rbrace \div 2^{h_{-m+2_x}}= 2a_{-m+2} +1 $
　 $\vdots$  
　 $f(2a_{-1}+1)=6a_{-1}+4=(2a_0+1)\times 2^{h_{0_x}},$
　 $\lbrace(2a_0+1)\times 2^{h_{0_x}})\rbrace \div 2^{h_{0_x}}= 2a_0+1  $
　 $f(2a_0+1)=6a_0+4=(2a_{1}+1)\times 2^{h_{1_x}},$
　 $ \lbrace(2a_{1}+1)\times 2^{h_{1}} \rbrace \div 2^{h_{1_x}}= 2a_{+1}+1 $
　 $\vdots$  
　 $f(2a_{p-1}+1)=6a_{p-1}+4=(2a_p+1)\times 2^{h_{p_x}},$
　 $\lbrace(2a_p+1)\times 2^{h_{p_x}}\rbrace \div 2^{h_{p_x}}= 2a_p+1$  
　 のようにコラッツ予想の題意に従った演算を有限回繰り返して行えば$ 2a_p+1$ となる。 
　 よってすべての自然数は　$D(1)$  においてコラッツ予想の題意に従った演算を有限回
　 繰り返して行えば 1 となる。    　
____
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参考資料： \url{http://www5b.biglobe.ne.jp/ simomac/uindou.htm}
　　  \url{http://toretate.fc2web.com/toryo/030517/030517.html}
　　 \url{http://simomath.blog.fc2.com/blog-entry-157.html}
　　 \url{http://syarekke.blog70.fc2.com/blog-category-38.html}
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