sinθ^3-cos^3「2021 青森公立大学前期 経営経済学部【１】問題1」をChatGPTとWolframAlphaとsympyでやってみたい。

・WolframAlphaとsympyで,グラフがでます。
・??? -(-sin(θ) + cos(θ))  ---> x  左の置き換えができません。???

オリジナル　
T氏の数学日記 様

https://mathmathmass.exblog.jp/33380399/
 
数学入試問題 様

https://kamelink.com/blog/2022/03/31/3-1-21-aomorikoudai-1-1/

上と同じです。大学入試数学問題集成＞テキスト【１】問題1

https://mathexamtest.web.fc2.com/2021/202111051/2021110510100mj.html#top-0101

**公式ホームページ 2019年度〜2023年度入学者選抜** 

https://www.nebuta.ac.jp/for-examinee/about-past-problems

# xxx ChatGPTで(できませんでした。) xxx
入力文
```
sinθ−cosθ=xとする．このとき，次の式をxで表せ．
sinθ^3−cos3θ^3
```
＞これを展開して簡略化することも可能ですが、式が非常に複雑になるため、...

# xxx WolframAlphaで(できませんでした）xxx 

https://www.wolframalpha.com/input?i=solve%28sin%CE%B8%E2%88%92cos%CE%B8-x%2C+%CE%B8%29++&lang=ja

https://www.wolframalpha.com/input?i=%CE%B8+%3D+2+%28%CF%80+%2B+tan%5E%28-1%29%28%281+-+sqrt%282+-+x%5E2%29%29%2F%28x+-+1%29%29%29++%2Csin%CE%B8%5E3%E2%88%92cos3%CE%B8%5E3&lang=ja

＞代入しただけ

# sympyで（1)T氏の数学日記 様の同値変形のやり方を参考に
??? -(-sin(θ) + cos(θ))  ---> x  置き換えができなかったので、???
??? factor_list関数で分解して，対応しました。???
いつの日か、ユーザー定義関数をつくってみたい。
```python
from sympy import *
x,θ,y=symbols('x,θ,y',real=True)
Subs={sin(θ)**2+cos(θ)**2:1}
myEq_x=Eq(x,sin(θ)-cos(θ))                                                           ;print("#x",myEq_x)
myEq_y=Eq(y,sin(θ)**3-cos(θ)**3)                                                     ;print("#y",myEq_y)# 
# 
myEq_1=Eq(myEq_x.lhs**2,(myEq_x.rhs**2).expand().subs(mySubs))                       ;print("#1",myEq_1)
myEq_2=Eq(sin(θ)*cos(θ),solve(myEq_1,sin(θ)*cos(θ))[0])                               ;print("#2",myEq_2)
# ?????????  -(-sin(θ) + cos(θ))  ----> x
# print(           factor(myEq_y.rhs)                              )
# myEq_3=Eq(myEq_y,factor(myEq_y.rhs).subs({myEq_x.rhs:myEq_x.lhs}))                   ;print("#3",myEq_3)
# 
myList=factor_list(myEq_y.rhs)
myList=(myList[0]*myList[1][0][0]).subs({myEq_x.rhs:myEq_x.lhs})*myList[1][1][0]
myEq_3=Eq(myEq_y.lhs,myList)                                                         ;print("#3",myEq_3)
# 
myEq_4=Eq(myEq_y.lhs,myEq_3.rhs.subs({myEq_2.lhs:myEq_2.rhs}).subs(mySubs).expand()) ;print("#4",myEq_4)
#x Eq(x, sin(θ) - cos(θ))
#y Eq(y, sin(θ)**3 - cos(θ)**3)
#1 Eq(x**2, -2*sin(θ)*cos(θ) + 1)
#2 Eq(sin(θ)*cos(θ), 1/2 - x**2/2)
#3 Eq(y, x*(sin(θ)**2 + sin(θ)*cos(θ) + cos(θ)**2))
#4 Eq(y, -x**3/2 + 3*x/2)
```

# sympyで（2)θの逆関数で
```python
from sympy import *
x,θ=symbols('x,θ',real=True)
myEq=Eq(x,sin(θ)-cos(θ))
y   =sin(θ)**3-cos(θ)**3
θ_ans=solve(myEq,θ)
print("#",θ_ans)
print("#",y.subs({θ:θ_ans[0]}).simplify().expand() )
print("#",y.subs({θ:θ_ans[1]}).simplify().expand() )
# 
plot(myEq.rhs          ,aspect_ratio=(1.0,1.0)            ,ylim=(-2,2))
plot(θ_ans[0],θ_ans[1] ,aspect_ratio=(1.0,1.0),xlim=(-4,4),ylim=(-4,4))
plot(y.subs({θ:θ_ans[0]}).simplify().expand(),(x,-4,4),aspect_ratio=(1.0,1.0),xlim=(-20,20),ylim=(-20,20))
plot(y.subs({θ:θ_ans[0]}).simplify().expand(),(x,-4,4) )
# [-2*atan((sqrt(2 - x**2) - 1)/(x - 1)), 2*atan((sqrt(2 - x**2) + 1)/(x - 1))]
# -x**3/2 + 3*x/2
# -x**3/2 + 3*x/2
```
θ-x
![1png.png](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/109698/19c46e82-ce2f-7586-7aba-4c09adab0de5.png)

x-θ

![2png.png](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/109698/3dfd5ec6-693b-4ffb-d82f-52d0ae046cb9.png)

x-y

![3png.png](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/109698/87a138ed-dad4-db65-1ae2-3a8af2af714d.png)

(詳細)x-y

![4png.png](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/109698/e0fbd7b5-fd9c-937e-1aa1-1505db7c4837.png)

# sympyで（3)θの合成の逆関数で
```python
from sympy import *
# from sympy.simplify.fu import TR9
x,θ=symbols('x,θ',real=True)
myEq  =Eq(x,sin(θ)-cos(θ))
y     =sin(θ)**3-cos(θ)**3
myEq1 =Eq(x,trigsimp( myEq.rhs ))
θ_ans1=solve(myEq1,θ);
# 
print("#",myEq1 )
print("#",θ_ans1)
print("#",y.subs({θ:θ_ans1[0]}).simplify().expand() )
print("#",y.subs({θ:θ_ans1[1]}).simplify().expand() )
# 
plot(myEq1.rhs           ,aspect_ratio=(1.0,1.0)            ,ylim=(-2,2))
plot(θ_ans1[0],θ_ans1[1] ,aspect_ratio=(1.0,1.0),xlim=(-4,4),ylim=(-4,4))
# Eq(x, -sqrt(2)*cos(θ + pi/4))
# [-acos(-sqrt(2)*x/2) + 7*pi/4, acos(-sqrt(2)*x/2) - pi/4]
# -x**3/2 + 3*x/2
# -x**3/2 + 3*x/2
```
θ-x

![1png.png](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/109698/8918a381-5149-d5e1-d7c8-c2250fb1f840.png)

x-y 不思議？？？

![2png.png](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/109698/16fbbc94-3bc9-dc62-8edc-f252b9f39152.png)


# sympyの実行環境
①私の環境は,pycharmです。
②よく聞くのは、Jupyterです。
③web上で、上記のソースを「SymPy Live shell」に、コピー貼り付けでもできました。
黒背景の右上に、マウスを移動すると、コピーマークが発生します。
???　タブレット環境で、コピー貼り付けが実行できませんでした。???

https://live.sympy.org/

# 参考
以下、いつもの?おすすめです。

https://qiita.com/mrrclb48z/items/75904cdc6e84ecef4d03#%E5%8F%82%E8%80%83wolframalpha-%E9%96%8B%E7%99%BA%E7%89%A9%E8%AA%9E