角の二等分線の定理「2019 青森公立大学前期経営経済学部【3】」をsympyとFreeCADでやってみたい。9元連立方程式あり

難しいです。
通常、辺ABの長さ、辺BCの長さ、辺CA長さ　→　外接円の半径
今回、辺ABの長さ、辺CA長さ、外接円の半径　→　辺BCの長さ

・問題文は2次元ですが、３次元FreeCADのマクロで、XY平面上に作図しました。
　いつものベクトルの成分表示?です。
・正弦定理でやりました。方ベキの定理、トレミーの定理は勉強中です。
　使っていないつもりです。
・＞中3の平行線と線分の比の単元で， 角の二等分線と線分の比も学習します。
　角の二等分線の定理を覚えました。

オリジナル

https://mathmathmass.exblog.jp/33385283/

上と同じです。大学入試数学問題集成＞テキスト経営経済学部【3】

https://mathexamtest.web.fc2.com/2019/201911051/2019110510100mj.html#top-0105

# sympyで(T氏の数学日記 様の方法で)
この問題のポイントは、2つ。
①CAとRに数字13があるので、Bの角度をまず求める。正弦定理で。
　(私は、理解できていませんでした。）
➁角の２等分線の定理です。
　2通りあるみたいです。方ベキの定理、トレミーの定理は勉強中です。

# sympyで(正弦定理と角の２等分線の定理で)
・正弦定理で、3つの角度をsinの逆関数で計算しました。
・角の２等分線の定理の比を、(苦肉の策で) 掛け算にしました。
　割り算だと小数になりました。いい方法がありますか？
~~・symbolの書き方について、いい方法がありませんか？~~
・varのオプションに,realがあるそうです。(2023/08/12コメントあり)
　varのデフォールトは、複素数です。
```python
from sympy import *
BC     =symbols('BC'     ,real=True,nonnegative=True)
Sin_ABC=symbols('Sin_ABC',real=True,nonnegative=True)
Sin_BCA=symbols('Sin_BCA',real=True,nonnegative=True)
Sin_CAB=symbols('Sin_CAB',real=True,nonnegative=True)
BD,DC  =symbols('BD,DC'  ,real=True,nonnegative=True)
AD     =symbols('AD'     ,real=True,nonnegative=True)
BE     =symbols('BE'     ,real=True,nonnegative=True)
# 
(AB,CA,R)=(7,13,Rational(1,3)*13*sqrt(3))
Rad_ABC=asin( solve( Eq(CA/Sin_ABC,2*R) ,Sin_ABC)[0] )
Rad_BCA=asin( solve( Eq(AB/Sin_BCA,2*R) ,Sin_BCA)[0] )
Rad_CAB=pi-Rad_ABC-Rad_BCA
BC=solve( Eq(BC/sin(Rad_CAB),2*R),BC )[0]
# BD=solve([Eq(AB/CA,BD/DC),Eq(BC,BD+DC)],[BD,DC])[BD]  # 苦肉の策
BD_DC=solve([Eq(AB*DC,BD*CA),Eq(BC,BD+DC)],[BD,DC])
AD=solve(Eq(AB**2+BD_DC[BD]**2-2*AB*BD_DC[BD]*cos(Rad_ABC),AD**2),AD)[0]
# 
print("#(1)",BC)
print("#(2)",AD)
print("#(3)",solve(Eq(BE/CA,BD_DC[BD]/AD),BE)[0])
#(1) 15
#(2) 7*sqrt(13)/4
#(3) 3*sqrt(13)
```
# sympyで(ベクトルの成分表示?です。作図風で。)
**大人になると、作図?CAD風です。** まず、辺BCの長さを求めるため、
半径13√3/3の円を書く。
その円上の点Cで、半径13の円を書く。交点を点Aとする。
点Aで、半径７の円を書く。交点を点Bとする。三角形ABCができた。
辺BCの長さを測る。三辺の長さがそろった。
三角形ABCを移動回転して、正しい？向きにする。
全点の座標計算終了です。あとは「長さを求めよ」です。

角の二等分線は単位ベクトルの和？です。
```python
from sympy import *
def myUnitVector(u):
    return u/Point(0,0).distance(u)
(AB,CA,R)=(7,13,Rational(1,3)*13*sqrt(3))
O    =Point (0,0)
dum_1=Point (R,0)
dum_2=Circle(O,R).intersection(Circle(dum_1,CA))[1]
dum_3=Circle(O,R).intersection(Circle(dum_2,AB))[0]
BC=dum_3.distance(dum_1)
# 
myT=Triangle(sss=(BC,CA,AB))
myC=Triangle(sss=(BC,CA,AB)).circumcenter
B=myT.args[0]-myC
C=myT.args[1]-myC
A=myT.args[2]-myC
#
D=Line(B,C)   .intersection(Line(A,A+(myUnitVector(B-A)+myUnitVector(C-A))))[0]
E=Circle(O,R) .intersection(Line(A,D)                                      )[1]
print("#(1)",B.distance(C))
print("#(2)",A.distance(D))
print("#(3)",B.distance(E))
#(1) 15
#(2) 7*sqrt(13)/4
#(3) 3*sqrt(13)
```

# sympyで(solve一発?で、できませんでした。)
以下のプログラムは終了しません。当初です。そんなに甘くありませんでした。
そもそも、sssは値がはいっていないと、うごきません。
```python
from sympy import *
BC=symbols('BC',real=True,nonnegative=True)
(AB,CA,R)=(7,13,Rational(1,3)*13*sqrt(3))
#print(Triangle(sss=(3,4,5)   ).circumradius)
print(Triangle(sss=(AB,BC,CA)).circumradius)
print(solve(Triangle(sss=(AB,BC,CA)).circumradius,R),BC))
```

# FreeCADのマクロで作図
問題文は2次元ですが、３次元FreeCADのマクロで、XY平面上に作図しました。
```python
import FreeCAD
import Part
import DraftTools
import Draft
import Mesh
############################################################################
# 計算
from sympy import *
def myUnitVector(u):
    return u/Point(0,0).distance(u)
(AB,CA,R)=(7,13,Rational(1,3)*13*sqrt(3))
O=Point(0,0)
dum_1=Point (R,0)
dum_2=Circle(O,R).intersection(Circle(dum_1,CA))[1]
dum_3=Circle(O,R).intersection(Circle(dum_2,AB))[0]
BC=dum_3.distance(dum_1)
# 
myT=Triangle(sss=(BC,CA,AB))
myC=Triangle(sss=(BC,CA,AB)).circumcenter
B=myT.args[0]-myC
C=myT.args[1]-myC
A=myT.args[2]-myC
#
D=Line(B,C)   .intersection(Line(A,A+(myUnitVector(B-A)+myUnitVector(C-A))))[0]
E=Circle(O,R) .intersection(Line(A,D)                                      )[1]
print("#(1)",B.distance(C))
print("#(2)",A.distance(D))
print("#(3)",B.distance(E))
#(1) 15
#(2) 7*sqrt(13)/4
#(3) 3*sqrt(13)
############################################################################
# 作図用
myCi=Circle(O,R)
############################################################################
# 3D作図 z=0 XY平面に作図しました。
############################################################################
# 円の作図　FrecCADのdocより
# https://wiki.freecad.org/Macro_Circle
def Freecad3D_circle(x=0.0,y=0.0,z=0.0,radius=0.0,diameter=0.0,circumference=0.0,area=0.0,startangle=0.0,endangle=0.0,arc=0.0,anglecenter=0.0,cord=0.0,arrow=0.0,center=0,placemObject=""):
    from math import sqrt, pi
    if placemObject == "":
        pl = FreeCAD.Placement()
        pl.Rotation = FreeCADGui.ActiveDocument.ActiveView.getCameraOrientation()   
        pl.Base = FreeCAD.Vector(x,y,z)
    else:
        pl = FreeCAD.Placement()
        pl = placemObject                                  # placement imposted
    if diameter != 0:                                      # with diameter
        radius = diameter / 2.0
    elif circumference != 0:                               # with circumference
        radius = (circumference / pi) / 2.0
    elif area != 0:                                        # with area
        radius =  sqrt((area / pi))
    elif (cord != 0) and (arrow != 0):                     # with cord and arrow
        radius = ((arrow**2) + (cord**2) / 4.0) / (arrow*2) 
    elif (arc != 0) and (anglecenter != 0):                # with arc and anglecenter central in degrees
        radius = ((360/anglecenter)*arc) / pi/2.0
        if endangle != 0:
            startangle  = endangle - anglecenter
        endangle   = anglecenter + startangle
        startangle  = endangle - anglecenter
    if radius != 0:
        try:
            Draft.makeCircle(radius,placement=pl,face=False,startangle=startangle,endangle=endangle,support=None)
            if center != 0:
                x=pl.Base.x
                y=pl.Base.y
                z=pl.Base.z
                Draft.makePoint(x,y,z)
        except Exception:
            App.Console.PrintError("Unexpected keyword argument" + "\n")
        App.ActiveDocument.recompute()
    else:
        App.Console.PrintMessage("Unexpected keyword argument" + "\n")
        App.Console.PrintMessage("circle(x,y,z,radius,diameter,circumference,area,startangle,endangle,[arc,anglecenter],[cord,arrow],center,placemObject)" + "\n")
        App.Console.PrintMessage("circle(radius=10.0,placemObject=App.Placement(App.Vector(11,20,30), App.Rotation(30,40,0), App.Vector(0,0,0)))" + "\n")
    return
def myCircle_2D(myCi):
    x=myCi.center.x
    y=myCi.center.y
    r=myCi.radius
    Freecad3D_circle(
           x=float(x),y=float(y),z=0.0,
           radius=float(abs(r)),
           center=1,
           placemObject=App.Placement(App.Vector(float(x),float(y),0),
           App.Rotation(0,0,0),App.Vector(0,0,0)))
    return
############################################################################
def myXYZ2Txt_2D(A):
    return '(' + str(A.x) + ',' + str(A.y) +  ')'
    #return ""
def myTxtXYZ_2D(A,myWedgei):
    P5x=float(A.x)
    P5y=float(A.y)
    P5z=0.0
    p5 = FreeCAD.Vector(P5x, P5y, P5z)
    myText = Draft.makeText(myWedgei, p5)
    myText.Label = myWedgei
    FreeCADGui.ActiveDocument.ActiveObject.FontSize = '0.7 mm'
    return
def myTxtXYZ_S_2D(*xy_tx):
    for i in range(1,int(len(xy_tx)/2)+1):
        myTxtXYZ_2D(xy_tx[2*i-2],xy_tx[2*i-1]+myXYZ2Txt_2D(xy_tx[2*i-2]) )
    return
def myLine_2D(A,B):
    Ax,Ay,Az=float(A.x),float(A.y),0.0
    Bx,By,Bz=float(B.x),float(B.y),0.0
    pl = FreeCAD.Placement()
    pl.Rotation.Q = (0.4247081540122249, 0.17592004639554645, 0.33985110062924484, 0.8204732460821097)
    pl.Base = FreeCAD.Vector(-3.9166066876399563, -2.1670824762243774, 1.7495260956243028)
    points = [FreeCAD.Vector(Ax,Ay,Az), FreeCAD.Vector(Bx,By,Bz)]
    line = Draft.make_wire(points, placement=pl, closed=False, face=True, support=None)
    Draft.autogroup(line)
    return
def myLine_C_2D(*args):
    for i in range(1,len(args)):
        myLine_2D(args[i-1],args[i])
    myLine_2D(args[i],args[0])
    return
#######################################################################################
myCircle_2D  ( myCi )
myLine_C_2D  ( A,B,C )
myLine_2D    ( A,E )
myTxtXYZ_S_2D( O,"O",A,"A",B,"B",C,"C" )
myTxtXYZ_S_2D( D,"D",E,"E" )
#######################################################################################
doc = App.activeDocument()
App.ActiveDocument.addObject("App::Origin", "Origin")
App.ActiveDocument.getObject('Origin').Visibility = True
App.ActiveDocument.recompute()
Gui.activeDocument().activeView().viewAxonometric()
Gui.SendMsgToActiveView("ViewFit")
```
isometric方向?です。

![0png.png](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/109698/3799fddb-fd3e-15c4-2022-4fe1c5dd6d17.png)

上空から?です。
マウス操作で、Originは、非表示。
文字の緑色は、マウス操作です。文字の着色方法を勉強中
寸法表示の勉強中です。

![1png.png](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/109698/9fc0a4f1-fb0d-12d9-9f88-6ee7406cc029.png)

# sympyの実行環境
①私の環境は,pycharmです。
②よく聞くのは、Jupyterです。
③web上で、上記のソースを「SymPy Live shell」に、コピー貼り付けでもできました。
黒背景の右上に、マウスを移動すると、コピーマークが発生します。
???　タブレット環境で、コピー貼り付けが実行できませんでした。???

https://live.sympy.org/

# 参考

以下、いつもの?おすすめです。

https://qiita.com/mrrclb48z/items/75904cdc6e84ecef4d03#%E5%8F%82%E8%80%83wolframalpha-%E9%96%8B%E7%99%BA%E7%89%A9%E8%AA%9E