AM–GM inequality「相加平均≧相乗平均」を調べてみた。「視覚的に理解する。」ためsympyとFreeCADを使いました。

タイトルを変更しました。
旧タイトル:「相加平均≧相乗平均」を調べてみた。「視覚的に理解する。」ためsympyとFreeCADを使いました。

ほとんどリンク集です。
最後に、弦の長さをsympyとFreeCADを使って、「視覚的に理解する。」です。以下を参考?(そのまま)で# 
# 参考 wikipedia

https://en.wikipedia.org/wiki/AM%E2%80%93GM_inequality

相加平均≧相乗平均≧調和平均

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%B9%B3%E5%9D%87#%E9%96%A2%E4%BF%82%E5%BC%8F

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%A4%E3%82%A7%E3%83%B3%E3%82%BB%E3%83%B3%E3%81%AE%E4%B8%8D%E7%AD%89%E5%BC%8F

https://en.wikipedia.org/wiki/Jensen%27s_inequality

以下,思い出し中。

https://qiita.com/mrrclb48z/items/1f84be0b4b52863b63ac

す。ありがとうございました。





# ヨビノリたくみ様のyoutube23万回視聴(6:14)です。

https://www.youtube.com/watch?v=bzkmtsC1cuE   

不等号の向きがわからなくて、「覚え方」で検索していたら、偶然ヒットしました。
いいですね。視覚的に忘れませんね。
****「相加相乗平均の関係」と「方べきの定理」が関連？ある。ステキです。**** 

(√a-√b)^2=a+2√a√b+b≧0
(a+b)/2≧√(ab)
過去問の三重大にありました。(以下の参考より)

((a+b)/2))^2-√(ab)^2
=(a^2+2ab+b^2)/4-ab
=(a^2-2ab+b^2)/4
=(a-b)^2/4
≧0

# 参考　教科書
「相加相乗平均の関係」数学Ⅱ
「方べきの定理」     数学A

# 参考　内部検索(大学入試数学問題集成様)

2021三重大学前期【１】　いいですね。
私は、postiveとnonnegativeの違いが、理解できていません。申し訳ありません。

https://mathexamtest.web.fc2.com/2021/202110501/2021105010100.html

「相乗」でgoogl内部検索

https://cse.google.com/cse?cx=a8908fbc24340ebc5&q=%E7%9B%B8%E4%B9%97&oq=%E7%9B%B8%E4%B9%97&gs_l=partner-web.12..0i512i433l2j0i512i433i131j0i512l7.11683.17490.0.59425.8.8.0.0.0.0.142.910.0j8.8.0.csems%2Cnrl%3D10...0....1j4.34.partner-web..0.8.909.sB1u5oRUBgw

# 参考　内部検索(数学入試問題様)

https://www.google.com/search?q=site%3A%2F%2Fkamelink.com+%E7%9B%B8%E4%B9%97&rlz=1CAUHAM_enJP1038JP1038&oq=site%3A%2F%2Fkamelink.com+%E7%9B%B8%E4%B9%97&aqs=chrome..69i57j69i58.13521j0j4&sourceid=chrome&ie=UTF-8

# 参考　内部検索(T氏の数学日記様)
今回、グラフ作図しました。コメントに私のリンクがあります。

https://mathmathmass.exblog.jp/33096558/

https://www.google.com/search?q=site%3A%2F%2Fmathmathmass.exblog.jp+%E7%9B%B8%E4%B9%97&rlz=1CAUHAM_enJP1038JP1038&oq=site%3A%2F%2Fmathmathmass.exblog.jp+%E7%9B%B8%E4%B9%97&aqs=chrome..69i57j69i58.14354j0j4&sourceid=chrome&ie=UTF-8


# 参考　内部検索(Qiita)

##### 以下も、すごいですね。n乗について、私は理解できていません。

https://qiita.com/Yh_Taguchi/items/372aac35831543e81c4f

https://www.google.com/search?q=site%3A%2F%2Fqiita.com+%E7%9B%B8%E4%B9%97&rlz=1CAUHAM_enJP1038JP1038&oq=site%3A%2F%2Fqiita.com+%E7%9B%B8%E4%B9%97&aqs=chrome..69i57j69i58.10941j0j4&sourceid=chrome&ie=UTF-8

# 「視覚的に理解する。」ためsympyで計算,FreeCADで作図です。

ドキュメント intersection(o)<circle<sympy
https://docs.sympy.org/latest/modules/geometry/ellipses.html#sympy.geometry.ellipse.Circle.intersection


計算だけ。√(ab)にあと一息でした。
```python
from sympy import *
a=Symbol  ('a',real=True,positive=True)
b=Symbol  ('b',real=True,positive=True)
r=Rational(1,2)*(a+b)
K =Circle(Point(0,0),Rational(1,2)*(a+b)).intersection(Line (Point(-r+a,0.0),Point(-r+a,a+b)))
print("#",K[0].y)
# sqrt(a)*sqrt(b)
```

３次元FreeCADのマクロで、2次元？XY平面上に作図しました。

```python
import FreeCAD
import Part
import Draft
import Mesh
#########################################################################################################
# 計算
from sympy import *
a=Symbol  ('a',real=True,positive=True)
b=Symbol  ('b',real=True,positive=True)
r=Rational(1,2)*(a+b)
K=Circle(Point(0,0),Rational(1,2)*(a+b)).intersection(Line (Point(-r+a,0.0),Point(-r+a,a+b)))
print("#",K[0].y)
##########################################################################################################
### 作図用
O=Point(0,0)
R_f=1
a_f=Rational(3,10)*R_f
b_f=2*R_f-a_f
A2=Point(0       ,R_f)          
A2_T="(a+b)/2"
B1=Point(-R_f+a_f,0)
B2=Point(-R_f+a_f,sqrt(a_f*b_f))
B2_T="sqrt(ab)"
print(A2_T,B2_T)
##########################################################################################################
### 3D作図
def myXYZ2Txt(A):
    #return '(' + str(A.x) + ',' + str(A.y) + ',' + str(A.z) + ')'
    return ''
def myTxtXYZ(A,myWedgei):
    P5x=float(A.x)
    P5y=float(A.y)
    P5z=float(A.z)
    p5 = FreeCAD.Vector(P5x, P5y, P5z)
    myText = Draft.makeText(myWedgei, p5)
    myText.Label = myWedgei
    FreeCADGui.ActiveDocument.ActiveObject.FontSize = '0.2 mm'
def myXYZ2Txt_2D(A):
    #return '(' + str(A.x) + ',' + str(A.y) +  ')'
    return ''
def myTxtXYZ_2D(A,myWedgei):
    P5x=float(A.x)
    P5y=float(A.y)
    P5z=0.0
    p5 = FreeCAD.Vector(P5x, P5y, P5z)
    myText = Draft.makeText(myWedgei, p5)
    myText.Label = myWedgei
    FreeCADGui.ActiveDocument.ActiveObject.FontSize = '0.2 mm'
    #FreeCADGui.ActiveDocument.ActiveObject.FontSize = '0.1 mm'
    return
def myTxtXYZ_S_2D(*xy_tx):
    for i in range(1,int(len(xy_tx)/2)+1):
        myTxtXYZ_2D(xy_tx[2*i-2],xy_tx[2*i-1]+myXYZ2Txt_2D(xy_tx[2*i-2]) )
    return
######
# 円の作図　FrecCADのdocより
# https://wiki.freecad.org/Macro_Circle
def circle(x=0.0,y=0.0,z=0.0,radius=0.0,diameter=0.0,circumference=0.0,area=0.0,startangle=0.0,endangle=0.0,arc=0.0,anglecenter=0.0,cord=0.0,arrow=0.0,center=0,placemObject=""):
    from math import sqrt, pi
    if placemObject == "":
        pl = FreeCAD.Placement()
        pl.Rotation = FreeCADGui.ActiveDocument.ActiveView.getCameraOrientation()   
        pl.Base = FreeCAD.Vector(x,y,z)
    else:
        pl = FreeCAD.Placement()
        pl = placemObject                                  # placement imposted
    if diameter != 0:                                      # with diameter
        radius = diameter / 2.0
    elif circumference != 0:                               # with circumference
        radius = (circumference / pi) / 2.0
    elif area != 0:                                        # with area
        radius =  sqrt((area / pi))
    elif (cord != 0) and (arrow != 0):                     # with cord and arrow
        radius = ((arrow**2) + (cord**2) / 4.0) / (arrow*2) 
    elif (arc != 0) and (anglecenter != 0):                # with arc and anglecenter central in degrees
        radius = ((360/anglecenter)*arc) / pi/2.0
        if endangle != 0:
            startangle  = endangle - anglecenter
        endangle   = anglecenter + startangle
        startangle  = endangle - anglecenter
    if radius != 0:
        try:
            Draft.makeCircle(radius,placement=pl,face=False,startangle=startangle,endangle=endangle,support=None)
            if center != 0:
                x=pl.Base.x
                y=pl.Base.y
                z=pl.Base.z
                Draft.makePoint(x,y,z)
        except Exception:
            App.Console.PrintError("Unexpected keyword argument" + "\n")
        App.ActiveDocument.recompute()
    else:
        App.Console.PrintMessage("Unexpected keyword argument" + "\n")
        App.Console.PrintMessage("circle(x,y,z,radius,diameter,circumference,area,startangle,endangle,[arc,anglecenter],[cord,arrow],center,placemObject)" + "\n")
        App.Console.PrintMessage("circle(radius=10.0,placemObject=App.Placement(App.Vector(11,20,30), App.Rotation(30,40,0), App.Vector(0,0,0)))" + "\n")
    return
def myCircle_Half_2D(x,y,r):
    circle(x=float(x),y=float(y),z=0.0,
           radius=float(r),
           center=1,
           startangle=0.0,endangle=180.0,
           placemObject=App.Placement(App.Vector(float(x),float(y),0),
           App.Rotation(0,0,0),App.Vector(0,0,0)))
    return
def myLine_2D(A,B):
    Ax,Ay,Az=float(A.x),float(A.y),0.0
    Bx,By,Bz=float(B.x),float(B.y),0.0
    pl = FreeCAD.Placement()
    pl.Rotation.Q = (0.4247081540122249, 0.17592004639554645, 0.33985110062924484, 0.8204732460821097)
    pl.Base = FreeCAD.Vector(-3.9166066876399563, -2.1670824762243774, 1.7495260956243028)
    points = [FreeCAD.Vector(Ax,Ay,Az), FreeCAD.Vector(Bx,By,Bz)]
    line = Draft.make_wire(points, placement=pl, closed=False, face=True, support=None)
    Draft.autogroup(line)
    return
######################################################################
myTxtXYZ_S_2D(O,"O",A2,A2_T,B2,B2_T)
myLine_2D    (Point(-R_f,0),Point(R_f,0))
myLine_2D    (Point(   0,0),Point(0,R_f))
myLine_2D    (B1,B2)
myCircle_Half_2D(0,0,R_f)
doc = App.activeDocument()
App.ActiveDocument.addObject("App::Origin", "Origin")
App.ActiveDocument.getObject('Origin').Visibility = True
App.ActiveDocument.recompute()
Gui.activeDocument().activeView().viewAxonometric()
Gui.SendMsgToActiveView("ViewFit")
print("owari")
```

![0png.png](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/109698/5f7acf03-588c-3040-49b0-f6c54fae4b22.png)

上空から見た。
a=0.3,b=1.7、r=1で作図しています。マウス操作で、Originを非表示です。
着色を勉強中です。

![1png.png](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/109698/6606d005-81d5-db17-8104-b69d4506871d.png)



# 参考



＞不等式に関連する公式
(a + b) / 2 >= √(ab), (a > 0, b > 0)
1 は「相加平均は相乗平均より大きい」ことを表す

http://www.nct9.ne.jp/m_hiroi/light/sympy03.html


https://www.google.com/search?q=sympy+ge+%E4%B8%8D%E7%AD%89%E5%BC%8F+%E5%88%A4%E5%AE%9A&oq=sympy+ge+&aqs=chrome.2.69i57j69i60j33i160.8966j0j4&client=ms-android-huawei&sourceid=chrome-mobile&ie=UTF-8