本日の微分方程式（20日目）

前回の内容はこちら

https://qiita.com/Schwarzschi1d/items/edefead3638cbadc5f21

## 問題
定数変化法を使を用いて，以下の微分方程式の一般解を求めよ．

```math
\begin{align}\tag{1}
y^\prime +\frac{4y}{x} = \sin2x.
\end{align}
```

⚠ [本日の微分方程式（17日目）](https://qiita.com/Schwarzschi1d/items/a0d95612fe35e81df21c)と同じ微分方程式です．解法だけ異なります．

## ポイント
- 一階線形微分方程式 $\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}+P(x)y=Q(x)$ の **定数変化法** での解き方は次のとおりです．
    - **STEP1**. $Q(x)\equiv 0$ とおいた微分方程式（**同次線形方程式**）の一般解を求める．
        - 具体的には，任意定数を $C$ として，$y(x) = Ce^{-\int P(x)\mathrm{d}x}$ となる．
    - **STEP2**. 定数 $C$ を，$x$ の関数 $C(x)$ で置き換え，一般解の両辺を微分する．
    - **STEP3**. 元の微分方程式に，**STEP2**で得た結果を代入し， $C(x)$ と $x$ についての微分方程式を得る．
    - **STEP4**. $C(x)$ を求め，一般解 $y(x) = C(x)e^{-\int P(x)\mathrm{d}x}$ を得る．

- 一階線形微分方程式については，ヨビノリさんの動画もご参照ください．

https://www.youtube.com/watch?v=Hfby9zyZ0HY&list=PLDJfzGjtVLHnmhT1AhMx7bSt0ZOGbIP3c&index=4

## 解説
ポイントに記載の手順通り進めていきます．

---

**STEP1**. $Q(x)\equiv 0$ とおいた微分方程式（変数分離形）の一般解を求める．

本問において，右辺 $=0$ とおいた微分方程式を解けば良いわけです．つまり，解くべき微分方程式は次の通りです．

```math
\begin{align}\tag{2}
y^\prime +\frac{4y}{x} = 0.
\end{align}
```

変数分離形ですので，サクッと求めてしまいましょう．


一応計算過程は丁寧に書いておきますが，19日目まで全問解いてきたような方は，暗算で $y=Cx^{-4}$ としていただいて構いません．

```math
\begin{align}\tag{3}
y^\prime &= -\frac{4y}{x},\\
\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} &= -\frac{4y}{x},\\
\frac{1}{y}\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} &= -\frac{4}{x},\\
\int\frac{1}{y}\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\mathrm{d}x &= -\int \frac{24}{x}\mathrm{d}x,\\
\int\frac{1}{y}\mathrm{d}y &= -\int \frac{4}{x}\mathrm{d}x,\\
\log|~y~| &= -4\log|~x~| + C_1~~~(C_1:任意定数),\\
\log|~y~| &= -\log|~x~|^4 + C_1,\\
\log|~y~| &= -\log x^4 + C_1,\\
|~y~| &= e^{-\log x^4 + C_1},\\
|~y~| &= e^{C_1}e^{-\log x^4},\\
|~y~| &= e^{C_1}\left\{e^{\log x^4}\right\}^{-1},\\
|~y~| &= e^{C_1}\left(x^4\right)^{-1},\\
y &= \pm e^{C_1}x^{-4},\\
\therefore y &= Cx^{-4}~~~(C\neq 0).
\end{align}
```

式(2)に代入して確認できるように，$y=0$ も解なので，式(3)の結果において $C=0$ とみることで，同次線形方程式の解は，

```math
\begin{align}\tag{4}
\therefore y &= Cx^{-4}~~~(C:任意定数).
\end{align}
```

---

**STEP2**. 定数 $C$ を，$x$ の関数 $C(x)$ で置き換え，一般解の両辺を微分する．

式(4)において，定数 $C$ を，$x$ の関数 $C(x)$ で置き換えたものは，

```math
\begin{align}\tag{5}
\therefore  y &= C(x)x^{-4},
\end{align}
```

と書くことができます．両辺を $x$ で微分すると，

```math
\begin{align}\tag{6}
\therefore \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} &= \frac{\mathrm{d}C(x)}{\mathrm{d}x}x^{-4}-4C(x)x^{-5},
\end{align}
```

を得ます．ここで，右辺では積の微分公式 $\left(f(x)g(x)\right)^\prime = f(x)^{\prime}g(x)+f(x)g(x)^{\prime}$ を用いました．

---

**STEP3**. 元の微分方程式に，**STEP2**で得た結果を代入し， $C(x)$ と $x$ についての微分方程式を得る．

式(5)と式(6)を，式(1)に代入すると，次のようになります．


```math
\begin{align}\tag{7}
\frac{\mathrm{d}C(x)}{\mathrm{d}x}x^{-4}-4C(x)x^{-5} +\frac{4\times C(x)x^{-4}}{x} &= \sin2x,\\
\therefore \frac{\mathrm{d}C(x)}{\mathrm{d}x}x^{-4} &= \sin2x.\\
\end{align}
```

このように，定数変化法では，代入操作時にキャンセルが発生します（明日の証明で確かめましょう）．

---

**STEP4**. $C(x)$ を求め，一般解 $y(x) = C(x)e^{-\int P(x)\mathrm{d}x}$ を得る．

最終的に得られた微分方程式は，~~親の顔より見た~~変数分離形です．これもまたサクッと解いていきましょう．

```math
\begin{align}\tag{8}
\frac{\mathrm{d}C(x)}{\mathrm{d}x}x^{-4} &= \sin2x.\\
\frac{\mathrm{d}C(x)}{\mathrm{d}x} &= x^4\sin2x,\\
\int \frac{\mathrm{d}C(x)}{\mathrm{d}x}\mathrm{d}x &= \int x^4\sin2x\mathrm{d}x,\\
\int \mathrm{d}C(x) &= \int x^4\sin2x\mathrm{d}x,\\
\therefore C(x) &= -\frac{1}{2}x^4\cos2x+x^3\sin 2x+\frac{3}{2}x^2\cos2x-\frac{3}{2}x\sin2x-\frac{3}{4}\cos2x+C_2~~~(C_2:任意定数).\\
\end{align}
```

よって，これを式(5)に代入することで一般解が求まります．


```math
\begin{align}\tag{9}
y&=\left(-\frac{1}{2}x^4\cos2x+x^3\sin 2x+\frac{3}{2}x^2\cos2x-\frac{3}{2}x\sin2x-\frac{3}{4}\cos2x+C_2\right)\times x^{-4},\\
\therefore y&=-\frac{1}{2}\cos2x+\frac{\sin 2x}{x}+\frac{3\cos2x}{2x^2}-\frac{3\sin2x}{2x^3}-\frac{3\cos2x}{4x^4}+\frac{C}{x^4}~~~(C_2:任意定数).\\
\end{align}
```

## 【補足】 瞬間部分積分

最後の式の部分積分は，俗に言う瞬間部分積分と呼ばれるもので暗算しています．
（まともに計算をしても良いのですが，$\LaTeX$ で書くのが面倒だったのもあります．）

```math
\begin{align}
\int f(x)g(x)\mathrm{d}x &= f^{(0)}g^{(-1)}-f^{(1)}g^{(-2)}+f^{(2)}g^{(-3)}-f^{(4)}g^{(-4)}+f^{(5)}g^{(-5)}-\cdots\\

\int x^4\times \sin 2x\mathrm{d}x &=-\frac{1}{2}x^4\cos2x+x^3\sin 2x+\frac{3}{2}x^2\cos2x-\frac{3}{2}x\sin2x-\frac{3}{4}\cos2x  +C
\end{align}
```

詳しくは，ヨビノリさんの動画をご参照ください．

https://www.youtube.com/watch?v=5YyP8WA2aik

## 【参考】 Wolframalpha

非常に便利なので皆さん積極的に使っていきましょう．

https://www.wolframalpha.com/input?i=y+%E2%80%B2+%2B4y%2Fx+%3D+sin%282x%29&lang=ja