ラシュバ効果の新展開一InGaAs から SrTiO3 まで一01

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ラシュバ効果の新展開一InGaAs から SrTiO$_3$ まで一
New Developments in the Rashba Effect: From InGaAs to SrTiO$_3$

マックスプランク固体物理学研究所　中村浩之
東京大学生産技術研究所　守谷 頼
北海道大学大学院情報科学研究科　古賀貴亮
Hiroyuki Nakamura, Max Planck Institute for Solid State Physics
Rai Morya, Institute of Industrial Science, The University of Tokyo
Takahide Koga, Graduate School of Information Science, Hokkaido University

§1 はじめに
§1 Introduction

本稿はラシュバ効果と呼ばれる固体中の伝導キャリアが獲得する零磁場スピン分離効果について, 歴史的な経緯を振り返るとともに, 最近の進展を述べる.
This article examines the Rashba effect, a zero-magnetic-field spin splitting effect observed in solid-state systems, by reviewing its historical background and discussing recent advancements.

ラシュバ効果とは通常, 半導体ヘテロ界面等,構造的に反転対称性の崩れた2次元電子系に対して現れる「零磁場スピン分離効果｣, つまり, SIA(Structural Inversion Asymmetry 構造反転非対称性) 起因の雰磁場スピン分離効果を指す. ラシュバ効果の研究が盛んになったのは, 1990年のDatta-Das によるスピン FET の提案$^{1)}$以降である.この提案以前は、ラシュバ効果は, 時折見られたシュブニコフドハース (SdH) 振動のビーティング現象や極低温で見られる正の磁気抵抗 (弱反局在) の起源であろうと考えられた以外、特別な注目は集めていなかった。 また, SIA 起因の雰磁場スピン分離効果を最初に取り上げ, 固体物理学的にもほぼ正しく取り扱ったのは, ラシュバではなく, 日本人科学者, 大川房義・植村泰忠両博士であったことも特筆に値する (後述). Datta-Das の提案では, このように、当時まだよく理解されていなかったラシュバ効果が取り上げられ, それによるスピン回転のメカニズム, およびラシュバ係数αのゲート電場による変調可能性が論じられた.
The Rashba effect typically refers to the "zero-magnetic-field spin splitting effect" observed in two-dimensional electron systems lacking structural inversion symmetry, such as semiconductor heterointerfaces. It specifically refers to the effect induced by Structural Inversion Asymmetry (SIA). The study of the Rashba effect gained significant attention after the proposal of the spin field-effect transistor (spin FET) by Datta and Das in 1990$^{1)}$. Prior to this proposal, the Rashba effect had received limited attention, occasionally being associated with beating phenomena in Shubnikov-de Haas (SdH) oscillations or as the origin of positive magnetoresistance observed at extremely low temperatures (weak anti-localization). It is noteworthy that the first comprehensive treatment of the spin splitting effect due to SIA, from a solid-state physics perspective, was actually conducted by Japanese scientists, Dr. Fusayoshi Ohkawa and Dr. Yasutada Uemura, rather than Dr. Rashba (mentioned later). In the Datta-Das proposal, the Rashba effect, which was not yet well understood at the time, was highlighted, and the mechanism of spin rotation and the controllability of the Rashba coefficient α by a gate electric field were discussed.

Datta-Das の提案の後しばらくして, InGaAs量子井戸で, SdH ビーティング測定$^{2)}$ と弱反局在効果の測定$^{3)}$によってラシュバ係数αの値が実際にゲート変調できることが実証された. 同時に, これらの量子井戸でのスピン分離エネルギーがmeVのオーダーであることも確立した. これらの研究を皮切りに, 2000年代, 零磁場スピン分離効果に関連する多くの物理現象・効果が発見/発掘された.たとえば、スピンガルバニック効果$^{4)}$, スピン回転効果の直接観察$^{5)}$5,スピン軌道場を使ったスピン量子ビット制御$^{6)}$, アハラノワーキャッシャー効果と幾何学位相存在の実証$^{7-9)}$, 永久らせんスピン旋回状態の実現$^{10)}$, バリスティックスピンレゾナンス$^{11)}$, Datta-DasのスピンFET動作の実証$^{12)}$, 等である.また, スピンホール効果$^{13-15)}$も,これらに関蓮する研究と言っていいだろう.
After the proposal by Datta and Das, the gate voltage control of the Rashba coefficient α was experimentally demonstrated in InGaAs quantum wells through measurements of Shubnikov-de Haas (SdH) beating $^{2)}$ and weak antilocalization effects $^{3)}$. At the same time, it was established that the spin splitting energy in these quantum wells is on the order of meV. These groundbreaking studies in the early 2000s led to the discovery and exploration of various physical phenomena and effects associated with the zero-magnetic-field spin splitting effect. Examples include the spin-galvanic effect $^{4)}$, direct observation of spin rotation effects $^{5)}$, control of spin quantum bits using the spin-orbit fields $^{6)}$, experimental verification of the Aharonov-Casher effect and the geometric phases $^{7-9)}$, realization of the persistent spin helix states $^{10)}$ and the ballistic spin resonance $^{11)}$, experimental demonstration of the Datta-Das spin FET operation $^{12)}$, and more. Additionally, the spin Hall effect $^{13-15)}$ can also be considered as a related topic of these studies.

ところで, 「零磁場スピン分離効果」 は、 時には 「反対称スピン軌道相互作用」 とも呼ばれ, 固体物理の過去の記事にも頻繁に取り上げられてきた$^{16-28)}$ たとえば, 空間反転対称性とスピン縮退の関係など,本稿では触れられなかった基礎的事項については, これらの記事を参照されたい. 本稿では特に(i) ラシュバ効果の固体物理学的発生メカニズム, (ii) InGaAs量子井戸での線形ラシュバ効果の存在を示す定量的な実験データの紹介, (i)半導体正孔系および酸化物界面に見られる3次ラシュバ効果の理論的考察および実験データの紹介, について, 最近の研究結果に触れながら、レビューおよび解説を行う.
By the way, the "zero-magnetic-field spin splitting effect," sometimes referred to as "anti-symmetric spin-orbit interaction," has been frequently discussed in past articles in a Japanese journal "Solid State Physics"$^{16-28)}$. For fundamental topics not covered in this paper, such as the relationship between spatial inversion symmetry and spin degeneracy, we refer readers to those articles. In this paper, we specifically review and discuss (i) the solid-state physics mechanism behind the Rashba effect, (ii) quantitative experimental data demonstrating the presence of the linear Rashba effect in InGaAs quantum wells, and (iii) theoretical considerations and experimental data regarding the third-order Rashba effect observed in semiconductor hole systems and some oxide interfaces, incorporating recent research findings.


§2 SIA 起因の零磁場スピン分離効果
§2 Zero-Field Spin Splitting Effect Originating from SIA


半導体のヘテロ界面に形成される2次元電子系は、ブリルアンゾーンのΓ点近傍で

$H=\frac{\hbar^2}{2 m^*} \nabla^2+V_{\mathrm{h}}(z)$　　　(1)

のような実効ハミルトニアンで最も単純に記述されるだろう. ここで, $m^*$は有効質量で, 簡単のためヘテロ構造全体に渡って共通の定数としている. $V_{\mathrm{h}}(z)$は伝導帯オフセットやバンドの曲りによる伝導電子に対する実効的なポテンシャルである. 「零磁場スピン分離効果」 は, (1)式のハミルトニアンには含まれていないスピンに関する高次の項で, 外部磁場が関与しないもの(ゼーマン項でないもの) である. 零磁場分離項で, 現在受け入れられているものとしては, ラシュバ項$^{29,30)}$ 

$H_{\mathrm{R}}=\alpha\left(k_y \sigma_x-k_x \sigma_y\right)$　　　　　(2)

ドレッセルハウス項$^{31)}$ 

$H_\mathrm{D} = \gamma\left\\{
k_x\left(k_y^2-k_x^2\right)\sigma_x+
k_y\left(k_z^2-k_x^2\right)\sigma_y+
k_z\left(k_x^2-k_y^2\right)\sigma_z \right\\}$　　　　　(3)

そして, 3次ラシュバ項$^{32,33)}$

$H_{\mathrm{R} 3}={\rm i} \alpha_3\left(\sigma_{+} k_{-}{ }^3-\sigma_{-} k_{+}{ }^3\right)$　　　　　(4)

等がある.ここで$k_x$, $k_y$は電子の波数, $\sigma_x$, $\sigma_y$はパウリのスピン行列, $k_{\pm} =k_x ±{\rm i}k_y$, である. (2)式は, 後述する3次ラシュバ項との区別を明確にするときのみ、特に線形ラシュバ項と呼ぶ.これらの零磁場スピン分離項は,大きさの大小はともかく, 対称性の議論 (｢ヘテロ構造」または「結晶構造」による空間反転対称性の崩れ) から存在してしかるべき$^{16-28)}$だが, 特に線形ラシュバ項の存在に関しては,これまでにさまざまな議論があった$^{34,35)}$. 代表的なものは, 「『電子が量子井戸内に閉じ込められている』 ということは, 電子が受ける力が, 界面に垂直な方向で釣り合っている. よって,垂直方向に電子が正味感じる電場はゼロ ($\langle E_z \rangle = 0$)である. つまり, $\langle E_z \rangle$に比例するはずのラシュバ係数$\alpha$もゼロである.」 というものである$^{35)}$. これは, ゲート制御の根拠となる $\alpha \propto  \langle E_z \rangle$ という関係を逆手に取ったような議論である. 本稿では, このような過去の論争に決着をつけた実験的研究を後に紹介する. 
The two-dimensional electron system formed at heterointerfaces of semiconductors can be most simply described by an effective Hamiltonian

$H=\frac{\hbar^2}{2 m^*} \nabla^2+V_{\mathrm{h}}(z)$　　　(1)

in the vicinity of the Γ point in the Brillouin zone. Here, $m^*$ represents the effective mass and is treated as a constant across the entire heterostructure for simplicity.  $V_{\mathrm{h}}(z)$ is the effective potential for the conduction electrons due to the conduction band offset and band curvature. The "zero-field spin splitting effect" is a higher-order term related to spin that is not included in the Hamiltonian (1) and does not involve an external magnetic field (i.e., not the Zeeman term). Accepted contributions to the zero-field splitting term include the Rashba term$^{29,30)}$,

$H_{\mathrm{R}}=\alpha\left(k_y \sigma_x-k_x \sigma_y\right)$　　　　　(2)

the Dresselhaus term$^{31)}$,

$H_\mathrm{D} = \gamma\left\\{
k_x\left(k_y^2-k_x^2\right)\sigma_x+
k_y\left(k_z^2-k_x^2\right)\sigma_y+
k_z\left(k_x^2-k_y^2\right)\sigma_z \right\\}$　　　　　(3)

and the third-order Rashba term$^{32,33)}$. 

$H_{\mathrm{R} 3}={\rm i} \alpha_3\left(\sigma_{+} k_{-}{ }^3-\sigma_{-} k_{+}{ }^3\right)$　　　　　(4)

Here, $k_x$ and $k_y$ represent the wavevectors of the electron, $\sigma_x$ and $\sigma_y$ are Pauli spin matrices, and $k_{\pm} = k_x ± {\rm i}k_y$. Equation (2) is specifically referred to as the linear Rashba term, when distinguishing it from the third-order Rashba term that will be discussed later. Regardless of their magnitudes, these zero-field spin splitting terms should exist from simple symmetry arguments (breaking of the spatial inversion symmetry caused by "hetero-" or "crystal-" structures)$^{16-28)}$. In particular, the existence of the linear Rashba term has been the subject of various discussions$^{34,35)}$. One representative argument states as$^{35)}$ "Since the electrons are confined in a quantum well, the forces acting on the electrons are balanced in the direction perpendicular to the interface. Thus, the average electric field that the electrons feel in the vertical direction should be zero ($\langle E_z \rangle = 0$). In other words, the Rashba coefficient $\alpha$ should be zero because it is proportional to $\langle E_z \rangle$." This argument is as if it maliciously uses the relationship $\alpha \propto \langle E_z \rangle$, which typically serves as the basis for gate control of $\alpha$, assuming non-zero values for $\langle E_z \rangle$. In this paper, we will later introduce experimental studies that have settled this past controversy.

そもそも、「電場」 の定義をガウスの法則から 「電気力線密度」 (電荷からの湧き出し) と考えると, 電子が井戸内に束縛されていても$\langle E_z \rangle$が零である必要性はないことは明白である (第1図). つまり, ゲート電場の抗力になっているヘテロ界面での急峻なバンドオフセットは, ゲート電場に逆向きの 「電場」を与えない. この点に関しては, ある非常に高名な学者(国外) も長年「量子井戸内部での$\langle E_z \rangle = 0$」 を主張されていた. 著者のひとり (TK) は,最近, 国際会議でようやくこの先生からもこのことを認めていただくことができた.
If we consider the definition of "electric field" as the "electric flux density" (emerging from charges) based on Gauss's law, it is evident (Figure 1) that even if the electrons are confined in a well, there is no necessity for $\langle E_z \rangle$ to be zero. In other words, the steep band offset at the heterojunction, which acts as resistance to the gate field, does NOT provide an electric field in the opposite direction to the gate field. Regarding this point, even a highly esteemed scholar (international) has long argued for "$\langle E_z \rangle = 0$" inside the quantum well. One of the authors (TK) was finally able to gain recognition for this fact from him at an international conference recently (around 2015).

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第１図　Figure 1   ("分極電荷" means "polarization charge")
(a) 量子井戸周辺のヘテロ構造.
(a) Heterostructures around the quantum well.

(b) 電荷分布 (比誘電率の違いから生じる分極電荷を含む).
(b) Charge distribution, including the polarization charges arising from the differences in dielectric constants.

(c) 電場の$z$成分. $z < z_1$ で $\langle E_z \rangle < 0$,　$z > z_4$ で$\langle E_z \rangle > 0$ である (赤、青の太矢印で示しているのが電場の向き) ことは, ここに示された構造の外側(上下) に, 正味の負電荷(電気力線のシンク) が存在することを意味している. 量子井戸 ($z_2 \lesssim z \lesssim z_3$) に束縛された電子にとっての$E_z$の平均値 $\langle E_z \rangle$ が正である(零ではない)ことがわかる.
(c) The $z$ component of the electric field. In the region $z < z_1$, $\langle E_z \rangle < 0$, and in the region $z > z_4$, $\langle E_z \rangle > 0$. The red and blue bold arrows indicate the directions of the electric field. This indicates the presence of net negative charges (sinks of electric field lines) outside the structure shown here (above and below). It can be observed that the average value of $E_z$ ($\langle E_z \rangle$) is positive (non-zero) for the electrons bound in the quantum well ($z_2 \lesssim z \lesssim z_3$).

ラシュバ効果の存在が疑われたもう一つの根拠は, Dirac 方程式から導出されるいわゆるスピン軌道相互作用項(後に詳述)

$H_{\mathrm{SO}}=\frac{e \hbar}{4 m^2 c^2}(\boldsymbol{E} \times \hat{\boldsymbol{p}}) \cdot \boldsymbol{\sigma}$　　　　　　(5)

は, 通常の半導体の状況に単純に当てはめると, ほとんど物理的に意味をなさないほど小さくなるということである. たとえば, $\boldsymbol{E}=\left(0\\;0\\; \left\langle E_z\right\rangle\right)$, $\hat{\boldsymbol p}=\hbar \hat{\boldsymbol k}$ (結晶運動量) を $H_{\rm SO}$ に代入して得られる $H_{\mathrm{SO}}=-\left(e \hbar^2\left\langle E_z\right\rangle / 4 m^2 c^2\right)\left(k_y \sigma_x-k_x \sigma_y\right)$ は,その形式こそラシュバ項 [(2)式] と同一であるが, これから予測される $\alpha$ の値は, InGaAs量子井戸での実際の値と比べて$10^{-5}$以下である. それでもやはり, ラシュバ効果は｢スピン軌道相互作用」である. Dirac の $H_{\rm SO}$ と SIA 起因の零磁場スピン分離が具体的にどう関連しているかについては, 後述する.
Another reason for doubting the existence of the Rashba effect arised from the so-called "spin-orbit interaction term" derived by Dirac (to be described in detail later):

$H_{\mathrm{SO}}=\frac{e \hbar}{4 m^2 c^2}(\boldsymbol{E} \times \hat{\boldsymbol{p}}) \cdot \boldsymbol{\sigma}$ .　　　　　　(5)

When we apply typical values of $\boldsymbol{E}=\left(0\\;0\\; \left\langle E_z\right\rangle\right)$ and $\hat{\boldsymbol{p}}=\hbar{\boldsymbol{k}}$ (crystal momentum) to Eq. (5) in the context of the semiconductor systems in question, we obtain extremely small values for $H_{\mathrm{SO}}$, typically below $10^{-5}$, in comparison to the actual values observed in InGaAs quantum wells. Despite the similarity in form between Eq. (5) and the Rashba term in Eq. (2), the predicted values of $\alpha$ derived from Eq. (5) are orders of magnitude lower. Nevertheless, it is important to recognize the Rashba effect as a manifestation of the "spin-orbit interaction". The specific connection between Dirac's $H_{\mathrm{SO}}$ and the zero-field spin splitting resulting from the SIA will be discussed later.

2.1 ラシュバ効果の固体物理学的発生メカニズム
2.1 Solid-State Physics Mechanism of the Rashba Effect

固体のバンド構造のモデルとして広く受け入れられているものの一つに${\bf k・p}$摂動モデルがある. ラシュバ項は、定性的には, 包絡関数近似 (EFA,Envelope Function Approximation)${\bf k・p}$摂動モデルを半導体ヘテロ構造に適用すると自然に導出されることが古くから知られていた$^{36,37)}$. ところで, EFA 近似とは, 不純物の導入などで, 結晶が完全な周期性を失ったときの電子状態を取り扱うために開発された近似法で, 外場や不純物の影響など, 電子にとっての環境が, 結晶の周期に比べて十分緩やかに変調する場合にのみ, 適用が厳密に正当化されるものである. したがって, 半導体ヘテロ界面のような急峻な変化が起きる系への EFA の適用は厳密には許されない. これに反して, 実際には半導体ヘテロ系へも EFA が適用されているが, それは後述する通り, やや人工的に計算上のルールを課すことにより, 通常の実験結果 (電荷自由度に基づくもの)をよく再現できる手法が構築できた, という経験則的側面によるところが大きい. つまり, ${\bf k・p}$摂動モデルとEFA をベースにラシュバ項を「導出」する行為は, 今のところ, ミクロな理論から演繹的に正当化されたものではない. 言い方を変えると, 将来的にEFA を使ってラシュバ項を定量的に導出できるようになるか否かは,スピン自由度に基づく実験結果を再現する経験則(計算上のルール) を,今後確立することができるかにかかっている.
One widely accepted model for the band structure of solids is the ${\bf k\cdot p}$ perturbation model. Qualitatively, it has been known that the Rashba term naturally arises when applying the envelope function approximation (EFA) to the ${\bf k\cdot p}$ perturbation model in semiconductor heterostructures$^{36,37)}$. The EFA approximation was originally developed to handle electronic states when a crystal loses its perfect periodicity, for example, due to the introduction of impurities or other factors. It is strictly justified only when the electronic environment varies sufficiently slowly compared to the crystal's periodicity, such as in the presence of external fields or charged impurities. Therefore, the strict application of EFA to systems with abrupt changes in their structures, such as semiconductor heterointerfaces, is not allowed. However, in practice, EFA has been applied to semiconductor heterostructures by imposing computational rules that are somewhat artificial, as described below. As a result, this approach has been able to qualitatively reproduce experimental results, at least regarding properties based on charge degrees of freedom. Thus, the success of applying EFA to semiconductor heterostructures largely relies on empirical aspects. In other words, the "derivation" of the Rashba term based on the ${\bf k\cdot p}$ perturbation model and EFA is currently not justified by microscopic theory. Whether it will be possible to quantitatively derive the Rashba term using EFA in the future depends on establishing empirical rules (computational rules) that accurately reproduce experimental properties based on spin degrees of freedom.


「零磁場スピン分離効果」 は, 自然な流れとしてはじめ3次元結晶で議論された. このような雰磁場スピン分離効果は, SIA 起因のそれと区別するために, BIA (Bulk Inversion Asymmetry ; 結晶反転非対称性) 起因の零磁場スピン分離効果と呼ばれる. 半世紀以上前, 閃亜鉛構造に対しては, $14 \times 14$ の ${\bf k}・{\bf p}$ ハミルトニアンの高次の摂動項としてドレッセルハウス項 ($H_{\rm D}$)が導出され$^{31)}$, ウルツ鉱結晶に対しては, ラシュバ項 ($H_{\rm R}$) の存在が議論された$^{29)}$ これに対して、 今日 「ラシュバ効果」 という言葉が通常指し示すものは,　SIA 起因の零磁場スピン分離であるが, 歴史を紐解くと,　これを最初に議論したのは, 日本の科学者, 大川房義、植村泰忠両博士であった$^{36)}$. 大川植村の論文は, かつては論争の的になったこともあるが$^{34,35)}$,　改めて見直すと, 固体物理学的観点からの根本的な問題点は見当たらない. そこで,　本節では, 大川･植村の論文を改めて取り上げ, 若干の修正を加えることにより, SIA 起因の零磁場スピン分離項(線形ラシュバ項 [(2) 式]) を具体的に導出する.　
The "zero-field spin splitting effect" was originally discussed in the context of three-dimensional crystals. To distinguish this spin splitting effect, which arises from bulk inversion asymmetry (BIA), from the spin splitting effect due to structural inversion asymmetry (SIA), it is called as the "zero-field spin splitting induced by BIA". Over half a century ago, for the zinc-blende crystal, Dresselhaus terms ($H_{\rm D}$) were derived as higher-order perturbation terms in a $14 \times 14$ ${\bf k} \cdot {\bf p}$ Hamiltonian$^{31)}$, whereas the presence of the Rashba term ($H_{\rm R}$) was discussed for the wurtzite structure$^{29)}$. Today, when we use the term "the Rashba effect", it usually refers to the zero-field spin splitting effect due to SIA. However, tracing back through history, surprisingly, it was first discussed by Japanese scientists, Dr. Fusayoshi Ohkawa and Dr. Yasutada Uemura$^{36)}$. While Ohkawa and Uemura's work was once a subject of controversy$^{34,35)}$, upon reexamination, no fundamental issues can be found from the perspective of solid-state physics. Therefore, in this section, we revisit the work of Okawa and Uemura and provide a specific derivation of the SIA-induced zero-field spin splitting term (linear Rashba term [(2) equation]) by making some modifications.
 
早速, 半導体ヘテロ構造でのラシュバ項を導くために, ${\rm III - V}$の伝導帯($\Gamma$点) を表わす Kane の$8\times8$のハミルトニアンに対しEFA を適用する. 固体の${\bf k}\cdot{\bf p}$ ハミルトニアンがどのように得られるかは教科書$^{38)}$などを参照されたい. バルクの$\Gamma$ 点 (${\bf k}=0$) での固有関数 (ブロッホ関数の格子部分)である, $|\mathrm{CB} \uparrow, \downarrow\rangle$ (伝導帯), $|\mathrm{HH} \uparrow, \downarrow\rangle$ (重い正孔), $|\mathrm{LH} \uparrow, \downarrow\rangle$ (軽い正孔), $|\mathrm{SO} \uparrow, \downarrow\rangle$  (スピン軌道分離帯) を基底にとると, Kane の $8\times 8$のハミルトニアン $H_{\rm Kane}$ は, 
To derive the Rashba term in a semiconductor heterostructure, the EFA (Envelope Function Approximation) is applied to the eight-by-eight Kane Hamiltonian representing the conduction band ($\Gamma$ point) of ${\rm III-V}$ materials. The procedure for obtaining the ${\bf k}\cdot{\bf p}$ Hamiltonian for solids can be found in textbooks such as $^{38)}$. Taking the eigenfunctions at the bulk $\Gamma$ point (${\bf k}=0$) (lattice part of the Bloch functions) as the bases, denoted as $|\mathrm{CB}\uparrow, \downarrow\rangle$ (conduction band), $|\mathrm{HH}\uparrow, \downarrow\rangle$ (heavy holes), $|\mathrm{LH}\uparrow, \downarrow\rangle$ (light holes), and $|\mathrm{SO}\uparrow, \downarrow\rangle$ (spin-orbit split band), the $8\times 8$ Kane Hamiltonian $H_{\rm Kane}$ is given by 

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と与えられる。 ちなみに, $\uparrow, \downarrow$ は$m_j$値 (全角運動量磁気量子数) の符号が異なる2つの対の状態を表わし, 1 電子スピン演算子$\sigma_z$ の固有状態とは必ずしも一致しないが,通常, アップスピン、ダウンスピンの呼称で参照される状態である. 電子軌道の観点からは, $|\mathrm{CB} \uparrow, \downarrow\rangle$ は$s$軌道的であり$j=1/2$, $m_j=±1/2$ を持つ、 $|\mathrm{HH} \uparrow, \downarrow\rangle$, $|\mathrm{LH} \uparrow,\downarrow\rangle$,$|\mathrm{SO}, \downarrow\rangle$は$p$軌道的であり, それぞれ, $j = 3/2$, $m_j=±3/2$; $j=3/2$, $m_j=±1/2$; $j=1/2$, $m_j=±1/2$ を持つ.  $|\mathrm{CB} \uparrow, \downarrow\rangle$, $|\mathrm{HH} \uparrow, \downarrow\rangle$, $|\mathrm{LH} \uparrow, \downarrow\rangle$, $|\mathrm{SO} \uparrow, \downarrow\rangle$ の$\Gamma$ 点バンド端エネルギーは, それぞれ, $E_{\Gamma 6}$, $E_{\Gamma 8}$, $E_{\Gamma 8}$, $E_{\Gamma 7}$ であり, バンドギャップエネルギー $E_{\rm g}$, スピン軌道分離エネルギー ($LS$結合エネルギー) $\Delta_{\rm SO}$ は, それぞれ, $E_{\rm g}= E_{\Gamma 6}-E_{\Gamma 8}$, $\Delta_{\rm SO} = E_{\Gamma 8}-E_{\Gamma 7}$ で与えられる (第2図).
By the way, $\uparrow, \downarrow$ represents two pairs of states with different signs of the $m_j$ value (total angular momentum magnetic quantum number), and they do not necessarily correspond to the eigenstates of the single-electron spin operator $\sigma_z$. However, they are commonly referred to as the spin-up and spin-down states. From the perspective of the meaning in the electronic orbitals, $|\mathrm{CB}\uparrow, \downarrow\rangle$ is $s$-orbital-like with $j=1/2$ and $m_j=\pm1/2$, while $|\mathrm{HH}\uparrow, \downarrow\rangle$, $|\mathrm{LH}\uparrow,\downarrow\rangle$, and $|\mathrm{SO}, \downarrow\rangle$ are $p$-orbital-like with $j=3/2$, $m_j=\pm3/2$; $j=3/2$, $m_j=\pm1/2$; $j=1/2$, $m_j=\pm1/2$, respectively. The $\Gamma$ point band edge energies for $|\mathrm{CB}\uparrow, \downarrow\rangle$, $|\mathrm{HH}\uparrow, \downarrow\rangle$, $|\mathrm{LH}\uparrow, \downarrow\rangle$, $|\mathrm{SO}\uparrow, \downarrow\rangle$ are $E_{\Gamma 6}$, $E_{\Gamma 8}$, $E_{\Gamma 8}$, $E_{\Gamma 7}$, respectively. The band gap energy $E_{\rm g}$ and the spin-orbit splitting energy ($LS$ coupling energy) $\Delta_{\rm SO}$ are given by $E_{\rm g}= E_{\Gamma 6}-E_{\Gamma 8}$ and $\Delta_{\rm SO} = E_{\Gamma 8}-E_{\Gamma 7}$, respectively (see Figure 2).

![スクリーンショット 2023-06-24 134250.png](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/638300/144e1f4f-bafe-59a9-1d93-f078251f1948.png)
Figure 2 The band structure of a semiconductor with the zinc-blend structure at the $\Gamma$ point in the Burillouin zone

さて, 「半導体ヘテロ構造を扱うために, $H_{\rm Kane}$に EFA を適用する」 の具体的な意味は、 次の通りである.
(i) フェルミエネルギー $E_{\rm F}$ が位置に依存しない一定値であるとの仮定のもと、行列要素の中のバルク状態のバンド端エネルギー $E_{\Gamma 6}$, $E_{\Gamma 8}$, $E_{\Gamma 7}$, および行列要素 $P= \left (\hbar/m \right) \langle {\rm i} S | \hat{p_z} | z \rangle $の値を (界面に垂直な方向) に依存させることで, 半導体ヘテロ構造でのバンドの曲りや材料の切り替わりを $H_{\rm Kane}$ に取り入れる.
(ii) ハミルトニアン中の$k_z$ を $k_z\rightarrow\hat{k_z} = \left (1/{\rm i} \right ) \left ( \partial/\partial z \right )$のように微分演算子に置き換える ($k^2$は$k^2\rightarrow\hat{k^2} = k_x^2 + k_y^2 + \hat{k_z^2} =  k_x^2 + k_y^2 - \partial^2/\partial z ^2 $ とする).
(i)(ii) は, 「$H_{\rm Kane}$ を演算子化する」ということだが, これは, 「計算の過程で, $z$に依存する行列要素(たとえば$P\left ( z\right)$) が $\partial/\partial z$ の右に現れれば, $\partial/\partial z$はそれにも作用する」 という意味である. そうすると, もともとの$H_{\rm Kane}$ の中では可換であった$P$と$k_z$が, $H_{\rm Kane}$ の演算子化に際して非可換となる. つまり,「このような演算子順をどうするべきか?」ということが, まさに, 上述の「EFA 適用法のルールを決める」ということで, これまでにさまざまな議論があった$^{39,40)}$が, 現在に至るまでにこの問題が完全に解決したとは言い難い. ここでは簡単のため, Foreman によって提示されたルール$^{40)}$を採用することにする. 実は, 上に示した$H_{\rm Kane}$は, 行列要素に現れる$k_z$, $P$を, 順番を変えずに演算子化すれば(つまり, $P k_z \rightarrow P \left ( z \right ) \hat{k_z}$, $k_z P \rightarrow \hat{k_z}P\left ( z \right )$ とすれば) Foreman 方式での$\hat H_{\rm Kane}$が得られるようにしてある.
Now, the specific implication of "applying the EFA to $H_{\rm Kane}$ in the context of semiconductor heterostructures" can be explained as follows:
(i) Assuming the Fermi energy $E_{\rm F}$ remains constant along the position $z$, we introduce position-dependent values for the band edge energies $E_{\Gamma 6}$, $E_{\Gamma 8}$, and $E_{\Gamma 7}$ of the bulk states, as well as the matrix element $P= \left (\hbar/m \right) \langle {\rm i} S | \hat{p_z} | z \rangle $, in the matrix elements (with $z$ perpendicular to the heterointerfaces). This approach allows us to incorporate the band curvatures and abrupt material changes along the $z$ direction, which are inherent to the semiconductor heterostructure under consideration, into $H_{\rm Kane}$.
(ii) $k_z$s in such Hamiltonians are replaced to differential operators $k_z\rightarrow\hat{k_z} = \left (1/{\rm i} \right ) \left ( \partial/\partial z \right )$ and $k^2\rightarrow\hat{k^2} = k_x^2 + k_y^2 + \hat{k_z^2} = k_x^2 + k_y^2 - \partial^2/\partial z ^2 $.
(i)(ii) mean "operatorization of $H_{\rm Kane}$," which implies that in the process of calculation, if matrix elements depending on $z$ (e.g., $P\left ( z\right)$) appear to the right of $\partial/\partial z$, then $\partial/\partial z$ acts on them. Consequently, the originally commutable $P$ and $k_z$ in $H_{\rm Kane}$ become noncommutative when operatorized. In other words, "What should be done with this kind of operator ordering?" is precisely the issue of determining the rules for applying the EFA method, and there have been various discussions on this matter$^{39,40)}$. However, it is difficult to claim that this problem has been completely resolved to date. For simplicity here, we adopt the rules proposed by Foreman$^{40)}$. In fact, the $H_{\rm Kane}$ shown above is designed to obtain $\hat H_{\rm Kane}$ using the Foreman formula by operatorizing the appearing matrix elements $k_z$ and $P$ without changing their order (i.e., $P k_z \rightarrow P \left ( z \right ) \hat{k_z}$, $k_z P \rightarrow \hat{k_z}P\left ( z \right )$).

われわれが行いたいのは, 包絡関数ベクトル $\vec{\phi}(z)=\left(\begin{array}{llllllll}\phi_1(z) & \phi_2(z) & \phi_3(z) & \phi_4(z) & \phi_5(z) & \phi_6(z) & \phi_7(z) & \phi_8(z)
\end{array}\right)$と､ 演算子化したKane $\hat H_{\rm Kane}$  を使って、 ${\hat H_{\mathrm{Kane}}} \vec{\phi}(z)=E \vec{\phi}(z)$ の固有値方程式を解くことである。 具体的な解法としては、 大川・植村が行った reduction の方法が有効である。つまり、解くべき方程式 $\left \\{ {\hat H_{\rm Kane}}-E {\bf I}\right \\} \vec{\phi}(z)=0$ を$\phi_1(z)\sim\phi_8(z)$に対する8つの連立方程式と見なして、あたかも連立方程式を解くがごとく、解くべき$\phi_i(z)$の数を少なくしていく。たとえば、$\left \\{ {\hat H_{\rm Kane}}-E{\bf I} \right \\} \vec{\phi}(z)=0$の2番目の方程式は
$$ \frac{P(z) k_{-}}{\sqrt{2}} \phi_1(z)+\left(E_{\Gamma 8}(z)+\frac{\hbar^2 \hat{k}^2}{2 m}-E\right) \phi_2(z)=0 $$
であるが, 逆演算子
$$ \left(E_{\Gamma 8}(z)+\frac{\hbar^2 \hat{k}^2}{2 m}-E\right)^{-1} $$
が定義できれば、
$$\phi_2(z)=-\left(E_{\Gamma 8}(z)+\frac{\hbar^2 \hat{k}^2}{2 m}-E\right)^{-1} \frac{P(z) k_{-}}{\sqrt{2}} \phi_1(z)$$
が得られる.

What we want to do is to solve the eigenvalue equation for ${\hat H_{\mathrm{Kane}}} \vec{\phi}(z)=E \vec{\phi}(z)$ using the envelope function vector $\vec{\phi}(z)=\left(\begin{array}{llllllll}\phi_1(z) & \phi_2(z) & \phi_3(z) & \phi_4(z) & \phi_5(z) & \phi_6(z) & \phi_7(z) & \phi_8(z) \end{array}\right)$ and the operatorized Kane $\hat H_{\rm Kane}$. Specifically, the reduction method carried out by Ohkawa and Uemura is effective for this purpose. In other words, the equation $\left \\{ {\hat H_{\rm Kane}}-E {\bf I}\right \\} \vec{\phi}(z)=0$ to be solved is regarded as eight simultaneous equations for $\phi_1(z)\sim\phi_8(z)$, and the number of $\phi_i(z)$ to be solved is reduced as if solving simultaneous equations. For example, the second equation of $\left \\{ {\hat H_{\rm Kane}}-E{\bf I} \right \\} \vec{\phi}(z)=0$ is $$ \frac{P(z) k_{-}}{\sqrt{2}} \phi_1(z)+\left(E_{\Gamma 8}(z)+\frac{\hbar^2 \hat{k}^2}{2 m}-E\right) \phi_2(z)=0, $$ but if the inverse operator $$ \left(E_{\Gamma 8}(z)+\frac{\hbar^2 \hat{k}^2}{2 m}-E\right)^{-1} $$ is defined, $$\phi_2(z)=-\left(E_{\Gamma 8}(z)+\frac{\hbar^2 \hat{k}^2}{2 m}-E\right)^{-1} \frac{P(z) k_{-}}{\sqrt{2}} \phi_1(z)$$ can be obtained.


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