データサイエンスのための線形代数 第6回 ベクトル空間の基底

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本記事は数学講座[2.6 ベクトル空間の基底](https://www.matongxue.com/lessons/514/parts/2775)を勉強して投稿したメモです。詳細は元の素晴らしい講座のページをチェックしてください。
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# 復習
第一回から第五回までには、ベクトルからベクトル空間まで勉強してきました。
![image.png](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/3327130/93414ca4-79e2-530f-7b9b-d0e6fda96cf1.png)
ベクトル空間を研究対象にすれば、ベクトル空間内の成分(ベクトル)を表現する必要があります。
座標などで表現とすると、座標軸の原点、X軸、Y軸が必要です。ベクトル空間内でも同じです、空間内の成分を表現するために、**ベクトル空間の基底**を決める必要があります。
![image.png](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/3327130/0827f1b8-98b9-52d6-f0bd-11d8acae230d.png)

# 基底の定義
$\mathcal{V}$がベクトル空間、空間内に以下のベクトル組$\mathcal{A}$があります。
```math 
\mathcal{A}=\{\boldsymbol{a_1},\boldsymbol{a_2},...\boldsymbol{a_n}\}
 ```
$\mathcal{A}$が$\mathcal{V}$空間内の**線形独立最大ベクトル組**であれば、ベクトル組$\mathcal{A}$がベクトル空間$\mathcal{V}$の**基底の一つ**です。

- 例1、色空間の線形独立最大ベクトル組の一つが$RGB$です、$RGB$が**色空間の基底の一つ**です。
![image.png](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/3327130/c293611c-1015-37cf-cd24-271cf6a616b3.png)

- 例2、平面の基底。以下のように水色平面がベクトル空間であり、線形独立最大ベクトル組がベクトル組$\mathcal{A}$です。ベクトル組$\mathcal{A}$も**水色平面の基底の一つ**です。
```math 
\mathcal{A}=\{\boldsymbol{u},\boldsymbol{v}\}
```
![image.png](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/3327130/a285bd09-d0f4-e95a-6c71-c56f21ff1ec1.png)

上記の例1と例2で示すように、
- $RGB$が**色空間の基底の一つ**で、$CMY$も**色空間の基底の一つ**です
- $\mathcal{u},\mathcal{v}$が**平面(ベクトル空間)の基底の一つ**で、$\mathcal{u},\mathcal{v}$の方向を回転した新しいベクトル組も**平面(ベクトル空間)の基底の一つ**です。

# 基底と座標
```math  
\mathcal{A}=\{\boldsymbol{a_1},\boldsymbol{a_2},...,\boldsymbol{a_n}\}
```
$\mathcal{A}$がベクトル空間$\mathcal{V}$の基底、$\mathcal{V}$での成分(ベクトル)$\mathcal{x}$が**唯一的に**以下の式で表せるます。

```math  
\boldsymbol{x}=k_1\boldsymbol{a_1}+k_2\boldsymbol{a_2}+\cdots+k_n\boldsymbol{a_n}
```
上記の係数でベクトルを構成できます。

```math  
[\boldsymbol{x}]_\mathcal{A}=\begin{pmatrix}k_1\\k_2\\\vdots\\k_n\end{pmatrix}
```
$\mathcal{x}$が基底$\mathcal{A}$における**座標ベクトル**です。一つのベクトル空間で、基底が違うと、座標ベクトルも違います。

- 例:２次元平面での座標

![image.png](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/3327130/540e6789-ad6a-ef78-e1e0-b8d53749f971.png)
上記２次元平面$\mathcal{R^2}$の基底：
```math  
\mathcal{E}:\boldsymbol{e_1}=\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix},\quad \boldsymbol{e_2}=\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}
```
例えば、$\boldsymbol{x}=\boldsymbol{e_1}+\boldsymbol{e_2}$であれば、$\boldsymbol{x}$が基底$\mathcal{E}$における座標ベクトルが：
```math  
[\boldsymbol{x}]_\mathcal{E}=\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}
```
![image.png](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/3327130/fe8b565e-c6cd-b78f-21ff-956d0dfdf202.png)

## 自然基底
ベクトル空間の基底が標準基底（$(1, 0, ..., 0), (0, 1, ..., 0), ..., (0, 0, ..., 1)$）と一致する場合、その基底を**自然基底**と呼びます。
全ての$\mathcal{R^n}$に自然基底があります。
```math  
\mathcal{E}:\boldsymbol{e_1}=\begin{pmatrix}1\\0\\\vdots\\0\end{pmatrix},\quad \boldsymbol{e_2}=\begin{pmatrix}0\\1\\\vdots\\0\end{pmatrix},\quad\cdots,\quad \boldsymbol{e_n}=\begin{pmatrix}0\\0\\\vdots\\1\end{pmatrix}
```
例えば、上記平面の例が自然基底：
![image.png](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/3327130/9f2d6b57-9df3-cb67-7916-a5b10c925f98.png)

## 非自然基底
ベクトル空間の基底が**標準基底と一致しない**場合、その基底を**非自然基底**と呼びます。
```math 
\mathcal{M}:\boldsymbol{m_1}=\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix},\quad \boldsymbol{m_2}=\begin{pmatrix}-1\\1\end{pmatrix}
```
$\mathcal{M}$が平面の基底にすれば、ベクトル$\mathcal{x}$の座標も変わります。
![image.png](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/3327130/b230bc0c-480e-a3cb-9752-9101040c45c4.png)


# ベクトル空間の次元

ベクトル空間の次元とは、その空間を張る**最小の基底の要素数**です。
ベクトル空間$\mathcal{V}$の基底が$\mathcal{A}$であり、ベクトル組$\mathcal{A}$のランク$\mathcal{r}$がそのベクトル空間$\mathcal{V}$の次元です、$\mathcal{V}$が$\mathcal{r}$次元ベクトル空間です。

```math 
\mathcal{A}=\{a_1,a_2,\cdots,a_r\}
```
例えば、平面内のベクトル空間$\mathcal{R^2}$は2次元であり、空間内を張る最小の基底$\mathcal{e1,e2}$は2つの互いに直交するベクトルです。
![image.png](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/3327130/c441839b-b0fa-9c80-d0cb-97646975d0b1.png)

# 補足

## 補足1:
ベクトル組$\mathcal{A}$とベクトル組$\mathcal{B}$両方ともベクトル空間$\mathcal{V}$の基底であれば、$\mathcal{A}$と$\mathcal{B}$が等しいベクトル組です。

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ベクトル組$\mathcal{A}$とベクトル組$\mathcal{B}$両方ともベクトル空間$\mathcal{V}$の基底であれば、$span(\mathcal{A})=span(\mathcal{B})$になります。
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## 補足2:
```math 
\mathcal{A} = \begin{pmatrix}2\\2\\0\end{pmatrix}
```
$\mathcal{A}$が自然基底における座標です。$\mathcal{A}$が以下の基底における座標は？
```math  
\left\{\begin{pmatrix}2\\0\\0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0\\2\\0\end{pmatrix}\right\}

```
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回答：
```math  
\begin{pmatrix}2\\2\\0\end{pmatrix}=\color{blue}{1}\begin{pmatrix}2\\0\\0\end{pmatrix}+\color{blue}{1}\begin{pmatrix}0\\2\\0\end{pmatrix}
```
があるので、新しい基底における座標は：

```math  
\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}
```
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## 補足3:
$\mathcal{V}$が$\mathcal{R_3}$の部分空間です、$\mathcal{n}$が$\mathcal{V}$のランクであれば、$0\leq n \leq 3$になります。

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回答：$\mathcal{V}$が$\mathcal{R_3}$の部分空間であれば、ランクは以下の可能性があります：
![image.png](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/3327130/6fd2ae07-ad81-d84e-9b1a-dbbd928ebe70.png)
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# 参考情報

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%9F%BA%E5%BA%95_(%E7%B7%9A%E5%9E%8B%E4%BB%A3%E6%95%B0%E5%AD%A6)

https://mathlandscape.com/basis-dimemsion/