代表的な連続確率分布の期待値・分散・母関数計算における途中式まとめ〜一様分布、正規分布、指数分布、ガンマ分布、ベータ分布、コーシー分布編〜

# この記事で解説すること
以下の代表的な連続確率分布における、期待値・分散・モーメント母関数の導出について、**途中式を省略することなく**、まとめます。辞書的に参考にしていただければ幸いです。
- 連続一様分布
- 正規分布
- 指数分布
- ガンマ分布
- ベータ分布
- コーシー分布

::: note
**対数正規分布、ワイブル分布、パレート分布、ロジスティック分布、混合正規分布**についてもまとめる予定です。記事が完成し次第、投稿します。
:::

# 連続一様分布
定数$a$, $b$$(a<b)$について、以下の確率密度関数
```math
f\left( x\right) =\begin{cases}\dfrac{1}{b-a} & \left( a\leq x\leq b\right) \\
0 & \left( otherwise\right) \end{cases}
```
を持つ分布を**連続一様分布**といい、$U(a,b)$と表現する。

### 期待値
```math
\begin{aligned}
E\left[ X\right] &=\int ^{\infty }_{-\infty }xf\left( x\right) dx\\
&=\int ^{b}_{a}x\dfrac{1}{b-a}dx\\
&=\dfrac{1}{b-a}\left[ \dfrac{1}{2}x^{2}\right] _{a}^{b}\\
&=\dfrac{1}{b-a}\cdot \dfrac{1}{2}\left( b^{2}-a^{2}\right) \\
&=\dfrac{1}{b-a}\cdot \dfrac{1}{2}\left( b-a\right) \left( b+a\right) \\
&=\dfrac{a+b}{2}
\end{aligned}
```

### 分散
まず$E[X^2]$を求める。
```math
\begin{aligned}E\left[ X^{2}\right] & = \int ^{\infty }_{-\infty }x^{2}f\left( x\right) dx\\
&=\int ^{b}_{a}x^{2}\dfrac{1}{b-a}dx\\
&=\dfrac{1}{b-a}\left[ \dfrac{1}{3}x^{3}\right] _{a}^{b}\\
&=\dfrac{1}{b-a}\cdot \dfrac{1}{3}\left( b^{3}-a^{3}\right) \\
&=\dfrac{1}{b-a}\cdot \dfrac{1}{3}\left( b-a\right) \left( b^{2}+ba+a^{2}\right) \\
&=\dfrac{b^{2}+ba+a^{2}}{3}\end{aligned}
```
したがって分散は、
```math
\begin{aligned}V\left[ X\right] &=E\left[ X^{2}\right] -\left( E\left[ X\right] \right) ^{2}\\
&=\dfrac{b^{2}+ba+a^{2}}{3}-\left( \dfrac{a+b}{2}\right) ^{2}\\
&=\dfrac{4\left( b^{2}+ba+a^{2}\right) -3\left( a^{2}+2ab+b^{2}\right) }{12}\\
&=\dfrac{a^{2}-2ab+b^{2}}{12}\\
&=\dfrac{\left( a-b\right) ^{2}}{12}\end{aligned}
```
と求められる。

### モーメント母関数
```math
\begin{aligned}M_{X}\left( t\right) & =E\left[ e^{tX}\right] \\
&=\int ^{\infty }_{-\infty }e^{tx}f\left( x\right) dx\\
&=\int _{a}^{b}e^{tx}\dfrac{1}{b-a}dx\\
&=\dfrac{1}{b-a}\left[ \dfrac{1}{t}e^{tx}\right] _{a}^{b}\\
&=\dfrac{1}{b-a}\cdot \dfrac{1}{t}\left( e^{tb}-e^{ta}\right) \\
&=\dfrac{e^{tb}-e^{ta}}{t\left( b-a\right) }\end{aligned}
```

# 正規分布
以下の確率密度関数を持つ確率分布を**正規分布**と呼び、$N(\mu, \sigma^2)$と表す。ここで$\mu$は平均、$\sigma^2$は分散を表す。
```math
f\left( x\right) =\dfrac{1}{\sqrt{2\pi \sigma ^{2}}}\exp \left( -\dfrac{\left( x-\mu \right) ^{2}}{2\sigma ^{2}}\right) 
```

### 期待値
```math
\begin{equation}
\begin{aligned}
E\left[ X\right] &=\int ^{\infty }_{-\infty }xf\left( x\right) dx\\
&=\int ^{\infty }_{-\infty }\left( x-\mu +\mu \right) f\left( x\right) dx\\
&=\int _{-\infty }^{\infty }\left( x-\mu \right) f\left( x\right) dx+\mu \int ^{\infty }_{-\infty }f\left( x\right) dx\\
&=\int ^{\infty }_{-\infty }\left( x-\mu \right) f\left( x\right) dx+\mu \\
&=\int _{-\infty }^{\infty }\left( x-\mu \right) \cdot \dfrac{1}{\sqrt{2\pi \sigma ^{2}}}\exp \left( -\dfrac{\left( x-\mu \right) ^{2}}{2\sigma ^{2}}\right) dx+\mu \\
&=\int _{-\infty }^{\infty }\dfrac{1}{\sqrt{2\pi }}\cdot \dfrac{x-\mu }{\sigma }\exp \left( -\dfrac{1}{2}.\left( \dfrac{x-\mu }{\sigma }\right) ^{2}\right) dx+\mu \\
&=\int _{-\infty }^{\infty }\dfrac{1}{\sqrt{2\pi }}y\exp \left( -\dfrac{1}{2}y^{2}\right) \sigma dy+\mu \ (y=\frac{x-\mu}{\sigma}と変数変換)\\
&=\dfrac{\sigma }{\sqrt{2\pi }}\int ^{\infty }_{-\infty }y\exp \left( -\dfrac{1}{2}y^{2}\right) dy+\mu \\
&=\mu \ (奇関数の積分より第1項は0)
\end{aligned}
\end{equation}
```

### 分散
まず$E[X^2]$を求める。
```math
\begin{aligned}
E\left[ X^{2}\right] &=\int _{-\infty }^{\infty }x^{2}f\left( x\right) dx\\
&=\int _{-\infty }^{\infty }\left\{ \left( x-\mu \right) ^{2}+2\mu x-\mu ^{2}\right\} f\left( x\right) dx\\
&=\int ^{\infty }_{-\infty }\left( x-\mu \right) ^{2}f\left( x\right) dx+2\mu \int ^{\infty }_{-\infty }xf\left( x\right) dx-\mu ^{2}\int ^{\infty }_{-\infty }f\left( x\right) dx\\
&=\int _{-\infty }^{\infty }\left( x-\mu \right) ^{2}f\left( x\right) dx+2\mu \cdot \mu -\mu ^{2}\\
&=\int ^{\infty }_{-\infty }\left( x-\mu \right) ^{2}f\left( x\right) dx+\mu ^{2}\\
&=\int ^{\infty }_{-\infty }\left( x-\mu \right) ^{2}\cdot \dfrac{1}{\sqrt{2\pi \sigma^{2}}}\exp \left( -\dfrac{\left( x-\mu \right) ^{2}}{2\sigma ^{2}}\right) dx+\mu ^{2}\\
&=\sigma ^{2}\int ^{\infty }_{-\infty }\left( \dfrac{x-\mu }{\sigma }\right) ^{2}\dfrac{1}{\sqrt{2\pi \sigma ^{2}}}\exp \left( -\dfrac{\left( x-\mu \right) ^{2}}{2\sigma ^{2}}\right) dx+\mu ^{2} \\
&=\sigma ^{2}\int _{-\infty }^{\infty }y^{2}\dfrac{1}{\sqrt{2\pi \sigma ^{2}}}\exp \left( -\dfrac{y^{2}}{2}\right) \sigma dy+\mu ^{2}\ (y=\frac{x-\mu}{\sigma}と変数変換)\\
&=\dfrac{\sigma ^{2}}{\sqrt{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }y^{2}\exp \left( -\dfrac{y^{2}}{2}\right) dy+\mu ^{2}\\
&=\dfrac{\sigma ^{2}}{\sqrt{2\pi }}\int ^{\infty }_{-\infty }y\left( -\exp \left( -\dfrac{y^{2}}{2}\right) \right) ^{'}dy+\mu ^{2}\\
&=\dfrac{\sigma ^{2}}{\sqrt{2\pi }}\left\{ \left[ y\left( -\exp \left( -\dfrac{y^{2}}{2}\right) \right) \right] _{-\infty }^{\infty }-\int _{-\infty }^{\infty }-\exp \left( -\dfrac{y^{2}}{2}\right) dy\right\} +\mu ^{2}\\
&=\dfrac{\sigma ^{2}}{\sqrt{2\pi }}\left( 0+\int ^{\infty }_{-\infty }\exp \left( -\dfrac{y^{2}}{2}\right) dy\right) +\mu ^{2}\\
&=\sigma ^{2}\int _{-\infty }^{\infty }\dfrac{1}{\sqrt{2\pi }}\exp \left( -\dfrac{y^{2}}{2}\right) dy+\mu ^{2}\\
&=\sigma ^{2}+\mu ^{2}
\end{aligned}
```
したがって分散は、
```math
\begin{aligned}
V\left[ X\right] &= E\left[ X^{2}\right] -\left( E\left[ X\right] \right) ^{2}\\
&=\sigma ^{2}+\mu ^{2}-\mu ^{2}\\
&=\sigma ^{2}
\end{aligned}
```
と求められる。

### モーメント母関数
```math
\begin{aligned}
M_{X}\left( t\right) &=E\left[ e^{tX}\right] \\
&=\int ^{\infty }_{-\infty }e^{tx}f\left( x\right) dx\\
&=\int _{-\infty }^{\infty }e^{tx}\dfrac{1}{\sqrt{2\pi \sigma^{2}}}\exp \left( -\dfrac{\left( x-\mu \right) ^{2}}{2\sigma ^{2}}\right) dx\\
&=\int ^{\infty }_{-\infty}\dfrac{1}{\sqrt{2\pi \sigma ^{2}}}\exp \left( -\dfrac{\left( x-\mu \right) ^{2}}{2\sigma ^{2}}+tx\right) dx\\
&=\int ^{\infty }_{-\infty }\dfrac{1}{\sqrt{2\pi \sigma ^{2}}}\exp \left( -\dfrac{x^{2}-2\left( \mu +\sigma ^{2}t\right) x+\mu ^{2}}{2\sigma ^{2}}\right) dx\\
&=\int _{-\infty }^{\infty }\dfrac{1}{\sqrt{2\pi \sigma ^{2}}}\exp \left( -\dfrac{\left\{ x-\left( \mu +\sigma ^{2}t\right) \right\} ^{2}-\left( \mu +\sigma ^{2}t\right) ^{2}+\mu ^{2}}{2\sigma ^{2}}\right) dx\\
&=\int _{-\infty }^{\infty }\dfrac{1}{\sqrt{2\pi 0^{2}}}\exp \left( -\dfrac{\left\{ x-\left( \mu +\sigma ^{2}t\right) \right\} ^{2}-2\sigma ^{2}\mu t-\sigma ^{4}t^{2}}{2\sigma ^{2}}\right) dx\\
&=\int ^{\infty }_{-\infty }\dfrac{1}{\sqrt{2\pi \sigma ^{2}}}\exp \left( -\dfrac{\left\{ x-\left( \mu +\sigma ^{2}t\right) \right\} ^{2}}{2\sigma ^{2}}+\mu t+\dfrac{1}{2}\sigma ^{2}t^{2}\right) dx\\
&=\exp \left( \mu t+\dfrac{1}{2}\sigma ^{2}t^{2}\right) \int _{-\infty }^{\infty }\dfrac{1}{\sqrt{2\pi \sigma ^{2}}}\exp \left( -\dfrac{\left\{ x-\left( \mu +\sigma ^{2}t\right) \right\} ^{2}}{2\sigma ^{2}}\right) dx\\
&=\exp \left( \mu t+\dfrac{1}{2}\sigma ^{2}t^{2}\right)
\end{aligned}
```

# 指数分布
定数$\lambda>0$に対して、確率密度関数
```math
f\left( x\right) =
\begin{cases}
\lambda e^{-\lambda x} & (x \geq 0) \\
0              & \left( otherwise\right)
\end{cases}
```
を持つ分布を**指数分布**といい、$Exp(\lambda)$と表現する。

### 期待値
```math
\begin{aligned}
E\left[ X\right] &=\int _{-\infty }^{\infty }xf\left( x\right) dx\\
&=\int ^{\infty }_{0}x\lambda e^{-\lambda x}dx\\
&=\left[ -xe^{-\lambda x}-\dfrac{1}{\lambda }e^{-\lambda x}\right] _{0}^{\infty }\\
&=0-\left( -\dfrac{1}{\lambda }\right) \\
&=\dfrac{1}{\lambda }
\end{aligned}
```

:::note warn
上の計算では、USA式部分積分を利用して部分積分を計算しています。USA式部分積分は、**部分積分を高速に処理できる**ため、ぜひマスターされることをオススメします。次の分散の計算でも利用しています。
:::

### 分散
まず$E[X^2]$を求める。
```math
\begin{aligned}
E\left[ X^{2}\right] &=\int _{-\infty }^{\infty }x^{2}f\left( x\right) dx\\
&=\int ^{\infty }_{0}x^{2}\lambda e^{-\lambda x}dx\\
&=\left[ -x^{2}e^{-\lambda x}-\dfrac{2x}{\lambda }e^{-\lambda x}-\dfrac{2}{\lambda ^{2}}e^{-\lambda x}\right] _{0}^{\infty }\\
&=0-\left( -\dfrac{2}{\lambda ^{2}}\right) \\
&=\dfrac{2}{\lambda ^{2}}\end{aligned}
```
したがって分散は、
```math
\begin{aligned}
V\left[ X\right] &=E\left[ X^{2}\right] -\left( E\left[ X\right] \right) ^{2}\\
&=\dfrac{2}{\lambda ^{2}}-\left( \dfrac{1}{\lambda }\right) ^{2}\\
&=\dfrac{1}{\lambda ^{2}}\end{aligned}
```
と求められる。

### モーメント母関数
```math
\begin{aligned}
M_X\left( t\right) &=E\left[ e^{tX}\right] \\
&=\int _{-\infty }^{\infty }e^{tx}f\left( x\right) dx\\
&=\int _{-\infty }^{\infty }e^{tx}\lambda e^{-\lambda x}dx\\
&=\int ^{\infty }_{-\infty }\lambda e^{-\left( \lambda -x\right) x}dx\\
&=\left[ -\dfrac{\lambda }{\lambda -t}e^{-\left( \lambda -t\right) x}\right] _{0}^{\infty }\\
&=0-\left( -\dfrac{\lambda }{\lambda -t}\right) \\
&=\dfrac{\lambda }{\lambda -t} \ \left( t <\lambda \right) 
\end{aligned}
```

# ガンマ分布
正の定数$\alpha$, $\beta$$>0$に対して以下の確率密度関数
```math
f\left( x\right) =
\begin{cases}
\dfrac{\beta ^{\alpha }}{\Gamma \left( \alpha \right) }x^{\alpha -1}\exp \left( -\beta x\right)  & (x > 0) \\
0              & \left( otherwise\right)
\end{cases}
```
を持つ分布をガンマ分布と呼び、$Ga(\alpha, \beta)$と表す。なお、$\Gamma(\alpha)$は以下で定義される関数である。
```math
\Gamma\left( \alpha \right) =\int ^{\infty }_{0}t^{\alpha -1}\exp \left( -t\right) dt
```
:::note info
特に、ガンマ分布$Ga(1, \beta)$は指数分布$Exp(\beta)$に一致することに注意してください
:::

### ガンマ関数に関する基本公式の証明
ガンマ分布の期待値・分散・母関数計算は以下のガンマ関数に関する公式を用いて行います。
```math
\int ^{\infty }_{0}x^{\alpha -1}\exp \left( -\beta x\right) dx=\dfrac{\Gamma \left( \alpha \right) }{\beta ^{\alpha }}
```
そのため、まずこの公式を証明しようと思います。

（証明）
```math
\begin{aligned}
\Gamma\left( \alpha \right) &=\int _{0}^{\infty }t^{\alpha -1}\exp \left( -t\right) dt\\
&=\int _{0}^{\infty }\left( \beta x\right) ^{\alpha -1}\exp \left( -\beta x\right) \beta dx \ (t=\beta x と変数変換)\\
&=\int _{0}^{\infty }\beta ^{\alpha }x^{\alpha -1}\exp \left( -\beta x\right) dx\\
&=\beta ^{\alpha }\int ^{\infty }_{0}x^{\alpha -1}\exp \left( -\beta x\right) dx
\end{aligned}
```
両辺を$\beta ^{\alpha }$で割ることで、上記の公式が導ける。

:::note
また、ここでは証明しませんが、ガンマ関数は正の実数$z$に対して、
```math
\Gamma(z+1) = z\Gamma(z)
```
が成り立ちます。この公式は**階乗の概念を一般化したもの**で、以降の計算で多用します。
:::

### 期待値
```math
\begin{aligned}
E\left[ X \right] &=\int ^{\infty }_{-\infty }xf\left( x\right) dx\\
&=\int ^{\infty }_{0}x\dfrac{\beta ^{\alpha }}{\Gamma \left( \alpha \right) }x^{\alpha -1}\exp \left( -\beta x\right) dx\\
&=\dfrac{\beta ^{\alpha }}{\Gamma \left( \alpha \right) }\int ^{\infty }_{0}x^{\alpha }\exp \left( -\beta x\right) dx\\
&=\dfrac{\beta ^{\alpha }}{\Gamma \left( \alpha \right) }\cdot \dfrac{\Gamma \left( \alpha +1\right) }{\beta ^{\alpha +1}}\\
&=\dfrac{\beta ^{\alpha }}{\Gamma \left( \alpha \right) }\cdot \dfrac{\alpha \Gamma \left( \alpha \right) }{\beta ^{\alpha +1}}\\
&=\dfrac{\alpha }{\beta }
\end{aligned}
```

### 分散
まず$E[X^2]$を求める。
```math
\begin{aligned}
E\left[ X^{2}\right] &=\int _{-\infty }^{\infty }x^{2}f\left( x\right) dx\\
&=\int _{0}^{\infty }x^{2}\dfrac{\beta ^{\alpha }}{\Gamma \left( \alpha \right) }x^{\alpha -1}\exp \left( -\beta x\right) dx\\
&=\dfrac{\beta ^{\alpha }}{\Gamma \left( \alpha \right) }\int ^{\infty }_{0}x^{\alpha +1}\exp \left( -\beta x\right) dx\\
&=\dfrac{\beta ^{\alpha }}{\Gamma \left( \alpha \right) }\cdot \dfrac{\Gamma \left( \alpha +2\right) }{\beta ^{\alpha +2}}\\
&=\dfrac{\beta ^{\alpha }}{\Gamma \left( \alpha \right) }\cdot \dfrac{\left( \alpha +1\right) \alpha \Gamma \left( \alpha \right) }{\beta ^{\alpha +2}}\\
&=\dfrac{\alpha \left( \alpha +1\right) }{\beta ^{2}}
\end{aligned}
```
したがって分散は、
```math
\begin{aligned}
V\left[ X\right] &=E\left[ X^{2}\right] -\left( E\left[ X\right] \right) ^{2}\\
&=\dfrac{\alpha \left( \alpha +1\right) }{\beta ^{2}}-\left( \dfrac{\alpha }{\beta }\right) ^{2}\\
&=\dfrac{\alpha }{\beta ^{2}}
\end{aligned}
```
と求められる。

### モーメント母関数
```math
\begin{aligned}
M_{X}\left( t\right) &=E\left[ e^{tX}\right] \\
&=\int ^{\infty }_{-\infty }e^{tx}f\left( x\right) dx\\
&=\int ^{\infty }_{0}e^{tx}\dfrac{\beta ^{\alpha }}{\Gamma \left( \alpha \right) }x^{\alpha -1}\exp \left( -\beta x\right) dx\\
&=\dfrac{\beta ^{\alpha }}{\Gamma \left( \alpha \right) }\int ^{\infty }_{0}x^{\alpha -1}\exp \left( -\left( \beta -t\right) x\right) dx\\
&=\dfrac{\beta ^{\alpha }}{\Gamma \left( \alpha \right) }\cdot \dfrac{\Gamma \left( \alpha \right) }{\left( \beta -t\right) ^{\alpha }}\\
&=\left( \dfrac{\beta }{\beta -t}\right) ^{\alpha }
\end{aligned}
```

# ベータ分布
正定数$\alpha$, $\beta$に対して、次の確率密度関数
```math
f\left( x\right) =
\begin{cases}
\dfrac{1}{B\left( \alpha ,\beta \right) }x^{\alpha -1}\left( 1-x\right) ^{\beta -1} & (0<x<1) \\
0              & \left( otherwise\right)
\end{cases}
```
を持つ分布を**ベータ分布**といい、$Be(\alpha, \beta)$と表す。ここで、$B(\alpha, \beta)$はベータ関数といい、以下で定義される関数である。
```math
B \left( \alpha ,\beta \right) =\int ^{1}_{0}x^{\alpha -1}\left( 1-x\right) ^{\beta -1}dx
```

### ベータ関数に関する基本公式
ベータ分布の期待値・分散・母関数計算は以下の公式を用いる。
```math
B\left( \alpha ,\beta \right) =\dfrac{\Gamma \left( \alpha \right) \Gamma \left( \beta \right) }{\Gamma \left( \alpha +\beta \right) }
```
この公式の証明は複雑なので、この記事では省略します。

### 期待値
```math
\begin{aligned}
E\left[ X\right] &=\int _{-\infty }^{\infty }xf\left( x\right) dx\\
&=\int _{0}^{1}x\dfrac{1}{B\left( \alpha ,\beta \right) }x^{\alpha -1}\left( 1-x\right) ^{\beta -1}dx\\
&=\int ^{1}_{0}\dfrac{1}{B\left( \alpha ,\beta \right) }x^{\alpha }\left( 1-x\right) ^{\beta -1}dx\\
&=\dfrac{B\left( \alpha +1,\beta \right) }{B\left( \alpha ,\beta \right) }\int ^{1}_{0}\dfrac{1}{B\left( \alpha +1,\beta \right) }x^{\alpha }\left( 1-x\right) ^{\beta -1}dx\\
&=\dfrac{B\left( \alpha +1,\beta \right) }{B\left( \alpha ,\beta \right) }\\
&=\dfrac{\Gamma \left( \alpha +1\right) \Gamma \left( \beta \right) }{\Gamma \left( \alpha +1+\beta \right) }\cdot \dfrac{\Gamma \left( \alpha +\beta \right) }{\Gamma \left( \alpha \right) \Gamma \left( \beta \right) }\\
&=\dfrac{\alpha \Gamma \left( \alpha \right) \Gamma \left( \beta \right) }{\left( \alpha +\beta \right) \Gamma \left( \alpha +\beta \right) }\cdot \dfrac{\Gamma \left( \alpha +\beta \right) }{\Gamma \left( \alpha \right) \Gamma \left( \beta \right) }\\
&=\dfrac{\alpha }{\alpha +\beta }\\
\end{aligned}
```

### 分散
まず$E[X^2]$を求める。
```math
\begin{aligned}
E\left[ X^{2}\right] &=\int ^{\infty }_{-\infty }x^{2}f\left( x\right) dx\\
&=\int ^{1}_{0}x^{2}\dfrac{1}{B\left( \alpha ,\beta \right) }x^{\alpha -1}\left( 1-x\right) ^{\beta -1}dx\\
&=\int _{0}^{1}\dfrac{1}{B\left( \alpha ,\beta \right) }x^{\alpha +1}\left( 1-x\right) ^{\beta -1}dx\\
&=\dfrac{B\left( \alpha +2,\beta \right) }{B\left( \alpha \beta \right) }\int ^{1}_{0}\dfrac{1}{B\left( \alpha +2,\beta \right) }x^{\alpha +1}\left( 1-x\right) ^{\beta -1}dx\\
&=\dfrac{B\left( \alpha +2,\beta \right) }{B\left( \alpha ,\beta \right) }\\
&=\dfrac{\Gamma \left( \alpha +2\right) \Gamma \left( \beta \right) }{\Gamma \left( \alpha +2+\beta \right) }\cdot \dfrac{\Gamma \left( \alpha +\beta \right) }{\Gamma \left( \alpha \right) \Gamma \left( \beta \right) } \\
&=\dfrac{\left( \alpha +1\right) \alpha \Gamma \left( \alpha \right) \Gamma \left( \beta \right) }{\left( \alpha +\beta +1\right) \left( \alpha +\beta \right) \Gamma \left( \alpha +\beta \right) }\cdot \dfrac{\Gamma \left( \alpha +\beta \right) }{\Gamma \left( \alpha \right) \Gamma \left( \beta \right) }\\
&=\dfrac{\alpha \left( \alpha +1\right) }{\left( \alpha +\beta \right) \left( \alpha +\beta +1\right) }
\end{aligned}
```
したがって分散は、
```math
\begin{aligned}
V\left[ X\right] &=E\left[ X^{2}\right] -\left( E\left[ X\right] \right) ^{2}\\
&=\dfrac{\alpha \left( \alpha +1\right) }{\left( \alpha +\beta \right) \left( \alpha +\beta +1\right) }-\left( \dfrac{\alpha }{\alpha +\beta }\right) ^{2}\\
&=\dfrac{\alpha \left( \alpha +1\right) \left( \alpha +\beta \right) ^{2}-\alpha ^{2}\left( \alpha +\beta +1\right) }{\left( \alpha +\beta +1\right) \left( \alpha +\beta \right) ^{2}}\\
&=\dfrac{\alpha \beta }{\left( \alpha +\beta +1\right) \left( \alpha +\beta \right) ^{2}}\end{aligned}
```
と求められる。

### モーメント母関数
ベータ分布のモーメント母関数の計算はかなり煩雑なので、この記事では省略します。時間があったら詳細な証明を書こうと思います。

# コーシー分布
以下の確率密度関数を持つ確率分布を**コーシー分布**といいます。
```math
f\left( x\right) =\dfrac{1}{\pi \left( 1+x^{2}\right) } \ (-\infty < x < \infty)
```
:::note warn
コーシー分布には、より一般的な定義があり、上記の確率分布は正確には**標準コーシー分布**と呼びます。しかし、上記の確率分布を単にコーシー分布と呼ぶことも多いので、本記事でもその習慣に倣います。
:::

### 期待値・分散・モーメント母関数の存在性
結論から言うと、コーシー分布の期待値・分散・モーメント母関数($t\neq0$のとき)は**存在しません**。そこで、以下にコーシー分布の期待値が存在しないことを証明します。なお、分散・モーメント母関数が存在しないことは、期待値が存在しないことから直ちに証明できます。
（証明）
```math
\begin{aligned}
E\left[ X\right] &=\int ^{\infty }_{-\infty }xf\left( x\right) dx\\
&=\lim _{T_{1}\rightarrow -\infty }\lim _{T_{2}\rightarrow \infty }\int ^{T_{2}}_{T_{1}}xf\left( x\right) dx\\
&=\lim _{T_{1}\rightarrow -\infty }\lim _{T_{2}\rightarrow \infty }\int ^{T_{2}}_{T_{1}}x\dfrac{1}{\pi \left( 1+x^{2}\right) }dx\\
&=\lim _{T_{1}\rightarrow -\infty }\lim _{T_{2}\Rightarrow \infty }\dfrac{1}{\pi }\left[ \dfrac{1}{2}\log \left( 1+x^{2}\right) \right] _{T_{1}}^{T2}\\
&=\lim _{T_{1}\rightarrow \infty }\lim _{T_{2}\rightarrow \infty }\dfrac{1}{2\pi }\left( \log \left( 1+T_{2}^{2}\right) -\log \left( 1+T_{1}^{2}\right) \right) 
\end{aligned}
```
上式において、$T_1$と$T_2$を独立に無限大に近づけるとき、**その極限値は存在しません**。そのため、コーシー分布の極限は存在しないことがわかります。

分散は、$V[X]=E[X]-(E[X])^2$と書くことができますが、これは$E[X]$を含んでいるので、**分散も存在しない**ことがわかります。

また、同様にモーメント母関数はマクローリン展開を行うと$M_{X}\left( t\right) =\sum ^{\infty }_{k=0}\dfrac{t^{k}}{k!}E\left[ X^{k}\right] $と書けますが、これも期待値$E[X]$を含んでいるので、$t\neq 0$のとき、**モーメント母関数は存在しません**（もちろん$t=0$のときは、モーメント母関数は1になります）。

# 参考文献
- [『現代数理統計学』（竹村彰通著）](https://www.amazon.co.jp/%E6%96%B0%E8%A3%85%E6%94%B9%E8%A8%82%E7%89%88-%E7%8F%BE%E4%BB%A3%E6%95%B0%E7%90%86%E7%B5%B1%E8%A8%88%E5%AD%A6-%E7%AB%B9%E6%9D%91-%E5%BD%B0%E9%80%9A/dp/4780608600)
- [『統計検定１級対応　統計学』（日本統計学会編）](https://www.amazon.co.jp/%E6%97%A5%E6%9C%AC%E7%B5%B1%E8%A8%88%E5%AD%A6%E4%BC%9A%E5%85%AC%E5%BC%8F%E8%AA%8D%E5%AE%9A-%E7%B5%B1%E8%A8%88%E6%A4%9C%E5%AE%9A1%E7%B4%9A%E5%AF%BE%E5%BF%9C-%E7%B5%B1%E8%A8%88%E5%AD%A6-%E4%BA%8C%E5%AE%AE%E5%98%89%E8%A1%8C/dp/448902150X/ref=sr_1_3?__mk_ja_JP=%E3%82%AB%E3%82%BF%E3%82%AB%E3%83%8A&crid=3N4U2O32D2OEL&keywords=%E7%B5%B1%E8%A8%88%E5%AD%A6+%E4%B8%80%E7%B4%9A&qid=1682225128&s=books&sprefix=%E7%B5%B1%E8%A8%88%E5%AD%A6+1%E3%81%8D%E3%82%85%E3%81%86%2Cstripbooks%2C167&sr=1-3)
- [『統計学入門』（東京大学教養学部統計学教室編）](https://www.amazon.co.jp/%E7%B5%B1%E8%A8%88%E5%AD%A6%E5%85%A5%E9%96%80-%E5%9F%BA%E7%A4%8E%E7%B5%B1%E8%A8%88%E5%AD%A6%E2%85%A0-%E6%9D%B1%E4%BA%AC%E5%A4%A7%E5%AD%A6%E6%95%99%E9%A4%8A%E5%AD%A6%E9%83%A8%E7%B5%B1%E8%A8%88%E5%AD%A6%E6%95%99%E5%AE%A4/dp/4130420658/ref=pd_lpo_2?pd_rd_w=LD4oJ&content-id=amzn1.sym.d769922e-188a-40cc-a180-3315f856e8d6&pf_rd_p=d769922e-188a-40cc-a180-3315f856e8d6&pf_rd_r=Y7HAQNRB53A4CFKPFV2Q&pd_rd_wg=RXXu0&pd_rd_r=2b583667-68c0-4409-ab0a-eca82a91f797&pd_rd_i=4130420658&psc=1)
- [『確率と統計』（藤澤洋徳著）](https://www.amazon.co.jp/%E7%A2%BA%E7%8E%87%E3%81%A8%E7%B5%B1%E8%A8%88-%E7%8F%BE%E4%BB%A3%E5%9F%BA%E7%A4%8E%E6%95%B0%E5%AD%A6-%E8%97%A4%E6%BE%A4-%E6%B4%8B%E5%BE%B3/dp/4254117639/ref=sr_1_5?__mk_ja_JP=%E3%82%AB%E3%82%BF%E3%82%AB%E3%83%8A&crid=3D7OPGRAD7J1K&keywords=%E7%A2%BA%E7%8E%87%E3%81%A8%E7%B5%B1%E8%A8%88&qid=1682225163&sprefix=%E7%A2%BA%E7%8E%87%E3%81%A8%E7%B5%B1%E8%A8%88%2Caps%2C174&sr=8-5)
- [コーシー分布（Wikipedia）](https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B3%E3%83%BC%E3%82%B7%E3%83%BC%E5%88%86%E5%B8%83)

# 終わりに
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