ニュートン力学における質点粒子（惑星）の楕円軌道についていろいろふわっと（初投稿）

初投稿です．余裕あったら相対論verも書きます．
平面的にしか見ることの出来ない夜空の星が，実際には3次元的にどのような運動をしているのかを調べるには，簡単に言えばドップラー効果を使います．
ここでは，ニュートン力学における中心力場での運動の基本的な計算からはじめ，近日点，遠日点について学習し，惑星の軌道の見え方について考察します．

# ニュートン力学での惑星楕円軌道

ここでは，ニュートン力学における中心天体まわりの惑星軌道を考える．この軌道は一般には，楕円形軌道，放物線形軌道，双曲線形軌道に分類されるが，今回は中心天体の周りで周回し続ける軌道を考えたいので，閉じた軌道である楕円軌道のみを考える．ニュートン力学での万有引力ポテンシャルの場合には，中心天体からの距離 $r$ の方向への速度 $\dot{r}$ の符号が変わる時間間隔と中心天体に対する回転方向を表す座標 $\varphi$ の方向への速度 $\dot{\varphi}$ の符号が変わる時間間隔が等しいため，閉じた惑星軌道は楕円軌道となる．以下では惑星を質点粒子と考えることにより運動を記述する．

また，ここでは主にランダウ=リフシッツ理論物理学教程 力学 (増訂第 3版)，を参考にした．

## 中心力場での運動
ポテンシャル・エネルギー $U$ がある決まった固定点までの距離で決まるような場（中心力場）での質量 $m$ の粒子の運動を考える．
このような場における粒子の軌道は一つの平面内にある．中心天体を原点として極座標 $(r， \varphi)$ を用いると
粒子に対するエネルギー保存則と角運動量保存則は以下のようにかける．

```math
\begin{align}
E &= \frac{m}{2}(\dot{r}^2+r^2\dot{\varphi}^2)+U(r)， \tag{1}\\
L &= mr^2 \dot{\varphi}．\tag{2}
\end{align}
```

ここで， ドットは時間$t$による微分を表し， $\dot{r}$， $\dot{\varphi}$ はそれぞれ，

```math
\begin{eqnarray}\tag{3}
\dot{r} = \frac{dr}{dt}，~~~
\dot{\varphi} = \frac{d\varphi}{dt}，
\end{eqnarray}
```

である．
式(2)より， $\dot{\varphi}=L/(mr^2)$ となり，これを式(1)に代入すると，

```math
\begin{eqnarray}\tag{4}
E=\frac{m}{2}\dot{r}^2+\frac{L^2}{2mr^2}+U(r)，
\end{eqnarray}
```

が得られる．右辺の第1項は粒子の運動エネルギー，第2項は遠心力のポテンシャル・エネルギー，第3項は中心力場のポテンシャル・エネルギーを表す．
ここで，遠心力のポテンシャル・エネルギーと中心力場のポテンシャル・エネルギーの和として，以下の有効ポテンシャル $V(r)$ を定義する．

```math
\begin{eqnarray}\tag{5}
V(r) \equiv U(r) + \frac{L^2}{2mr^2}．
\end{eqnarray}
```

このポテンシャルを用いると， $\dot{r}$について以下のように解くことができる．

```math
\begin{eqnarray}\tag{6}
\dot{r}=\frac{dr}{dt}=\pm \sqrt{\frac{2}{m}\{ E-V(r)\}}．
\end{eqnarray}
```

粒子の運動は本来，平面上の2次元運動であるが，有効ポテンシャルを定義すると粒子運動の動径方向の運動は有効ポテンシャルの場での1次元運動とみなすことができる（ただし，この場は角運動量$L$に依存する）．また， $\dot{r}=0$ の点，つまり， $V(r)=E$ となる点は $r$ 方向の増減が変わる変わる点を表す．この点は，角運動量 $L$ を持った運動では粒子軌道の $r$ 方向の転回点を表す．

時間座標 $t$ と角度座標 $\varphi$ はともに動径座標 $r$ の関数として書くことができる．
式(6)より，時間 $t$ は $r$ の関数として以下のように書くことができる．

```math
\begin{eqnarray}\tag{7}
t = \pm \int \frac{dr}{\displaystyle \sqrt{\frac{2}{m}\{E-V(r)\}}}+C_1．
\end{eqnarray}
```

ここで， $C_1$は任意定数である．また，式(2)より，

```math
\begin{eqnarray}\tag{8}
d\varphi = \frac{L}{mr^2} dt， 
\end{eqnarray}
```

であることから，角度座標 $\varphi$ についても $r$ の関数として書くことができ，以下の式が得られる．

```math
\begin{eqnarray}\tag{9}
\varphi = \pm \int \frac{L}{\displaystyle r^2 \sqrt{2m\{E-V(r)\}}} dr + C_2．
\end{eqnarray}
```

ここで， $C_2$ は任意定数である．
 

## 惑星の楕円軌道
万有引力に対するポテンシャル・エネルギー

```math
\begin{eqnarray*}\tag{10}
U(r) = -\frac{\alpha}{r}~~~(\alpha > 0)
\end{eqnarray*}
```

の元での粒子の運動を考える．ここで， $\alpha$ は正の定数で，万有引力定数 $G$，中心天体の質量 $M$，粒子の質量 $m$ を用いて $\alpha=GMm$ である． このとき，有効ポテンシャルは

```math
\begin{eqnarray}\tag{11}
V(r) = \frac{L^2}{2mr^2}-\frac{\alpha}{r}
\end{eqnarray}
```

となる． $V(r)=0$ の点である

```math
\begin{eqnarray}\tag{12}
r=\frac{L^2}{2m\alpha} \equiv r_1
\end{eqnarray}
```

に対応する点で有効ポテンシャル $V(r)$ の正負が入れかわる．極限計算から明らかなように

```math
\begin{eqnarray}\tag{13}
\lim_{r\to 0} V(r) = \lim_{r\to 0} \frac{L^2-2m \alpha r}{2mr^2} = \infty，
~~~
\lim_{r\to \infty} V(r) = 0，
\end{eqnarray}
```

となる．このことから， $0<r<r_1$ の領域で $V(r)>0$，$r_1<r$ で $V(r)<0$ であることがわかる．
また，

```math
\begin{eqnarray}\tag{14}
V'(r) = -\frac{L^2}{mr^3}+\frac{\alpha}{r^2} 
%= \frac{1}{r^3} \left(\alpha r-\frac{L^2}{m}\right)
\end{eqnarray}
```

であることから，$V'(r)=0$ となる $r$ は

```math
\begin{eqnarray}\tag{15}
r = \frac{L^2}{\alpha m} \equiv p
\end{eqnarray}
```

である．この $r$ に対応する点で有効ポテンシャル $V(r)$ は以下の極小値 $V_{\rm min}$ をとる．

```math
\begin{eqnarray}\tag{16}
V_{\rm min} = V(p) 
%= \frac{L^2}{2m}\cdot \frac{\alpha^2m^2}{L^4} - \frac{\alpha^2 m}{L^2}
= -\frac{\alpha^2 m}{2L^2}．
\end{eqnarray}
```

上で見たように，$V(r)=E$ の点が動径方向の転回点を表していることから， $E<0$ の場合に粒子軌道は $r$ の有界な範囲に限定されることがわかる．

以下，粒子の楕円軌道を表す式を導出する．
式(9)より，角度座標 $\varphi$ は以下の積分から計算される．

```math
\begin{eqnarray}\tag{17}
\varphi = \pm \int \frac{L}{\displaystyle r^2 \sqrt{2mE-\frac{L^2}{r^2}+\frac{2m\alpha}{r}}} dr + C_2 
\end{eqnarray}
```

ここで，$u=r^{-1}$ の変数変換を行うことにより，$\varphi$について以下の表現を得ることができる．

```math
\begin{eqnarray}\tag{18}
\varphi &=& \mp \int \frac{L}{\sqrt{2mE-L^2u^2+2m\alpha u}} du +C_2  \\
	&=& \mp \int \frac{L}{\sqrt{2mE-L^2\left(u^2-2(m\alpha/L^2) u\right) }} du +C_2  \\
	&=& \mp \int \frac{du}{\displaystyle \sqrt{\frac{2mE}{L^2}-\left(u^2-2(m\alpha/L^2) u\right) }}  +C_2  \\
	&=& \mp \int \frac{du}{\displaystyle \sqrt{\frac{2mE}{L^2}+\frac{m^2\alpha^2}{L^4}-\left(u-\frac{m\alpha}{L^2}\right)^2 }}  +C_2  \\
	&=& \mp \int \frac{du}{\displaystyle \sqrt{\frac{1}{L^2}\left(2mE+\frac{m^2\alpha^2}{L^2}\right)-\left(u-\frac{m\alpha}{L^2}\right)^2 }}  +C_2  \\
	&=& \pm \cos^{-1} \frac{\displaystyle L\left(u-\frac{m\alpha}{L^2}\right)}{\sqrt{\displaystyle 2mE+\frac{m^2\alpha^2}{L^2}}} +C_2 
\end{eqnarray}
```

これより， $\varphi$ は

```math
\begin{eqnarray}\tag{19}
\varphi = \pm \cos^{-1} \frac{\displaystyle \frac{L}{r}-\frac{m\alpha}{L}}{\sqrt{\displaystyle 2mE+\frac{m^2\alpha^2}{L^2}}} +C_2 \\
\end{eqnarray}
```

となる．上で定義した有効ポテンシャル $V(r)$ の極小値を実現する動径座標 $p$ および

```math
\begin{eqnarray}\tag{20}
e\equiv \sqrt{1+\frac{2EL^2}{m\alpha^2}}
\end{eqnarray}
```

を用いると

```math
\begin{eqnarray}\tag{21}
\varphi = \pm \cos^{-1} \frac{1}{e}\left(\frac{p}{r}-1\right)+C_2，
\end{eqnarray}
```

となる．この$e$は離心率と呼ばれる．
ここで $\varphi$ が増加する方向を上式の $+$ を取ることにより指定し，$\varphi$ の原点を $C_2=0$ により指定すると，

```math
\begin{eqnarray}\tag{22}
\frac{p}{r}=1+e\cos \varphi， 
\end{eqnarray}
```

となる．$e=0$ の場合， $r=p$ の円軌道を表す．また，$V_{\rm min}< E<0$ の場合には，$e<1$ となり， 軌道は楕円軌道となる．楕円軌道の場合，
$\varphi=0$ で近日点，$\varphi=\pi$ で遠日点となる．近日点での動径座標 $r=r_{\rm perihelion}$ および遠日点での動径座標 $r=r_{\rm aphelion}$ はそれぞれ

```math
\begin{eqnarray}\tag{23}
r_{\rm perihelion} = \frac{p}{1+e}，~~~
r_{\rm aphelion} = \frac{p}{1-e}，
\end{eqnarray}
```

である．楕円長半径を $a$ とすると

```math
\begin{eqnarray}\tag{24}
a = \frac{r_{\rm perihelion}+r_{\rm aphelion}}{2} = \frac{p}{1-e^2}
%=\frac{\frac{L^2}{\alpha m}}{-\frac{2EL^2}{m\alpha^2}}
=\frac{\alpha}{-2E}，
\end{eqnarray}
```

となる．楕円の中心から焦点までの距離は $ae$ で表される．また，楕円短半径を $b$ とすると

```math
\begin{eqnarray}\tag{25}
b = \sqrt{a^2-(ae)^2} = a\sqrt{1-e^2} = \frac{p}{\sqrt{1-e^2}}
%=\frac{\frac{L^2}{\alpha m}}{\sqrt{-\frac{2EL^2}{m\alpha^2}}}
=\frac{L}{\sqrt{-2mE}}，
\end{eqnarray}
```

となる．

式(7)より， 時間座標は以下の積分で表される．

```math
\begin{eqnarray}\tag{26}
t = \pm \int \frac{dr}{\displaystyle \sqrt{\frac{2E}{m}-\frac{L^2}{m^2r^2}+\frac{2\alpha}{mr}}}+C_1．
\end{eqnarray}
```

この積分は以下のように計算することができる（なんか消えてるけど一応これ式(27)のつもり）．

```math
\begin{eqnarray}
t 	&=& \pm \int \frac{mr}{\displaystyle \sqrt{2mEr^2+2\alpha mr-L^2}}dr +C_1 \nonumber\\
	&=& \pm \sqrt{\frac{mp}{\alpha}} \int \frac{r}{\sqrt{e^2r^2-(r-p)^2}}dr +C_1 \nonumber\\
	&=& \pm \sqrt{\frac{mp}{\alpha}} \int \frac{r}{\sqrt{-(1-e^2)r^2+2pr-p^2}}dr +C_1 \nonumber\\
	&=& \pm \sqrt{\frac{mp}{\alpha(1-e^2)}} \int \frac{r}{\sqrt{\displaystyle -r^2+\frac{2pr}{1-e^2}-\frac{p^2}{1-e^2}}}dr +C_1 \nonumber\\
	&=& \pm \sqrt{\frac{mp}{\alpha(1-e^2)}} \int \frac{r}{\sqrt{\displaystyle -\left(r-\frac{p}{1-e^2}\right)^2+\frac{p^2}{(1-e^2)^2}-\frac{p^2}{1-e^2}}}dr +C_1 \nonumber\\
	&=& \pm \sqrt{\frac{mp}{\alpha(1-e^2)}} \int \frac{r}{\sqrt{\displaystyle \frac{e^2p^2}{(1-e^2)^2}-\left(r-\frac{p}{1-e^2}\right)^2}}dr +C_1 \nonumber\\
	&=& \pm \sqrt{\frac{ma}{\alpha}} \int \frac{r}{\sqrt{\displaystyle e^2a^2-\left( r-a \right)^2}}dr +C_1 
\end{eqnarray}
```

最初の式変形で，

```math
\begin{eqnarray}\tag{28}
L^2 = \alpha m p，~~~
2E = -\frac{m\alpha^2}{L^2}(1-e^2)=-\frac{\alpha}{p} (1-e^2) 
\end{eqnarray}
```

となることを用いた．
式(27)の積分で

```math
\begin{eqnarray}\tag{29}
r-a = -ea \cos \xi
\end{eqnarray}
```

の置き換えをすると

```math
\begin{eqnarray}\tag{30}
t	%&=& \pm \sqrt{\frac{ma}{\alpha}} \int \frac{r}{\sqrt{\displaystyle e^2a^2-\left( r-a \right)^2}}dr +C_1 \nonumber\\
	%&=& \pm \sqrt{\frac{ma}{\alpha}} \int \frac{a(1-e\cos\xi)}{\sqrt{\displaystyle e^2a^2\sin^2\xi}} ea \sin\xi d\xi +C_1 \nonumber\\
	&=& \pm \sqrt{\frac{ma^3}{\alpha}} \int (1-e\cos \xi) d\xi +C_1 \nonumber\\
	&=& \pm \sqrt{\frac{ma^3}{\alpha}} (\xi - e\sin\xi) +C_1 \nonumber\\
\end{eqnarray}
```

ここで， $\xi$の増加方向を$t$の増加方向とそろえ， $C_1=0$ となるように $t$ の原点を決めると

```math
\begin{eqnarray}\tag{31}
t = \sqrt{\frac{ma^3}{\alpha}} (\xi - e\sin\xi)，~~~
r = a(1-e\cos\xi)，~~~
\varphi %= \cos^{-1}\frac{1}{e}\left(\frac{p}{a(1-e\cos\xi)}-1\right)，
	%= \cos^{-1}\frac{1}{e}\left(\frac{1-e^2}{1-e\cos\xi}-1\right)，
	%= \cos^{-1}\frac{1}{e}\left(\frac{1-e^2-1+e\cos\xi}{1-e\cos\xi}\right)，
	= \cos^{-1}\left(\frac{\cos\xi-e}{1-e\cos\xi}\right)，
\end{eqnarray}
```

となる．$\xi=0$ のとき， $r=a(1-e)=r_{\rm perihelion}$ となるので近日点に対応する．また， $\xi=\pi$ のとき， $r=a(1+e)=r_{\rm aphelion}$ となるので遠日点に対応する．また，

```math
\begin{eqnarray}\tag{32}
\sin^2 \varphi = 1-\cos^2\varphi 
	%= 1-\frac{(\cos\xi-e)^2}{(1-e\cos\xi)^2} 
	%= \frac{(1-e\cos\xi)^2-(\cos\xi-e)^2}{(1-e\cos\xi)^2} 
	%= \frac{1-2e\cos\xi+e^2\cos^2\xi-\cos^2\xi+2e\cos\xi-e^2}{(1-e\cos\xi)^2} 
	= \frac{(1-e^2)\sin^2\xi}{(1-e\cos\xi)^2} 
	~~~
	\therefore
	~~~
\sin \xi = \frac{\sqrt{1-e^2}\sin\xi}{1-e\cos\xi}
\end{eqnarray}
```

となることから， 直交座標 $(x， y)=(r\cos\varphi， r\sin\varphi)$ での表式は，

```math
\begin{eqnarray}\tag{33}
x &=& a(\cos\xi-e)， \\
y 	%&=& a\sqrt{1-e^2}\sin\xi，
	&=& b \sin \xi，
\end{eqnarray}
```

となる．これより，楕円の式

```math
\begin{eqnarray}\tag{34}
\frac{(x-ae)^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2} = 1，
\end{eqnarray}
```

が得られる．


## 3次元空間内の質点の楕円軌道
ここでは， 惑星の軌道を3次元空間内の$xy$平面内を運動する軌道として整理する．
楕円軌道に沿って運動する質点の位置座標 $\boldsymbol{r}=(x， y， z)$ は

```math
\begin{eqnarray}\tag{35}
\boldsymbol{r}=(x， y， z) = (r\cos\varphi， r\sin\varphi， 0)
	= \left( \frac{p\cos\varphi}{1+e\cos\varphi}， \frac{p\sin\varphi}{1+e\cos\varphi}， 0\right)
\end{eqnarray}
```

で表される場合を考える．ここで，$r$ と $\varphi$ には式(22)の関係がある．このとき，
質点の速度ベクトルは

```math
\begin{eqnarray}\tag{36}
\boldsymbol{v}=(v_x， v_y， v_z)=\dot{\boldsymbol{r}}=(\dot{x}， \dot{y}， \dot{z})
\end{eqnarray}
```

となる．ここで，

```math
\begin{eqnarray}\tag{37}
\dot{r}^2 = \frac{2}{m}\{E-V(r)\} 
	%= \frac{2}{m} \left( E-\frac{L^2}{2mr^2}+\frac{\alpha}{r} \right)
	%= \frac{1}{m} \left( 2E-\frac{L^2}{mr^2}+\frac{2\alpha}{r} \right)
	%= \frac{1}{m} \left\{ -\frac{\alpha}{p} (1-e^2)-\frac{\alpha p}{r^2}+\frac{2\alpha}{r} \right\}
	%= \frac{\alpha}{mp} \left\{ -(1-e^2)-\frac{p^2}{r^2}+\frac{2p}{r} \right\}
	%= \frac{\alpha}{mp} \left\{ e^2-\left(1-\frac{p}{r}\right)^2 \right\}
	%= \frac{\alpha}{mp} \left\{ e^2-e^2\cos^2\varphi \right\}
	= \frac{\alpha e^2}{mp} \sin^2\varphi 
\end{eqnarray}
```

となることから

```math
\begin{eqnarray}\tag{38}
\dot{r} = e\sqrt{\frac{\alpha}{mp}}\sin\varphi，
\end{eqnarray}
```

であることがわかる．ここで， $\varphi=0$ が近日点であることから $\dot{r}$ の符号を決めた．また，角運動量保存則より，

```math
\begin{eqnarray}\tag{39}
\dot{\varphi} = \frac{L}{mr^2} 
	= \frac{\sqrt{\alpha m p}}{mp^2} (1+e\cos\varphi)^2 
	= \sqrt{\frac{\alpha}{mp^3}} (1+e\cos\varphi)^2 
\end{eqnarray}
```

である．これらより， $\dot{r}$， $\dot{\varphi}$ともに $\varphi$ の関数である．
また， 速度ベクトル $\boldsymbol{v}$ の各成分も以下の様に $\varphi$ の関数として計算される．

```math
\begin{eqnarray}\tag{40}
v_x &=& \dot{x} = \dot{r}\cos\varphi-r \sin\varphi \dot{\varphi}
	%= e\sqrt{\frac{\alpha}{mp}}\sin\varphi\cos\varphi - \frac{p\sin\varphi}{1+e\cos\varphi}\sqrt{\frac{\alpha}{mp^3}} (1+e\cos\varphi)^2
	= e\sqrt{\frac{\alpha}{mp}}\sin\varphi\cos\varphi - \sqrt{\frac{\alpha}{mp}} \sin\varphi (1+e\cos\varphi)
	=-\sqrt{\frac{\alpha}{mp}} \sin\varphi， \\
v_y &=& \dot{y} = \dot{r}\sin\varphi+r \cos\varphi \dot{\varphi}
	%= e\sqrt{\frac{\alpha}{mp}}\sin\varphi\sin\varphi + \frac{p\cos\varphi}{1+e\cos\varphi}\sqrt{\frac{\alpha}{mp^3}} (1+e\cos\varphi)^2
	%= e\sqrt{\frac{\alpha}{mp}}\sin^2\varphi + \sqrt{\frac{\alpha}{mp}} \cos\varphi (1+e\cos\varphi)
	= \sqrt{\frac{\alpha}{mp}}(e+\cos\varphi)， \\
v_z &=& \dot{z} = 0．
\end{eqnarray}
```

## 遠方観測者の天球面に射影した軌道
ここでは， 3次元空間内の $xy$ 平面内を運動する惑星の軌道が遠方の観測者からどのように見えるのかを考える．
まず， 観測者（observer）の位置は

```math
\begin{eqnarray}\tag{41}
\boldsymbol{r}_o = (x_o， y_o， z_o) = (d\sin\theta\cos\phi， d\sin\theta\sin\phi， d\cos\theta)
\end{eqnarray}
```

とする．ここで，$d$ は中心天体から観測者までの距離， $\theta$ と $\phi$ は球座標の角度座標であり，それぞれ
$0\leqq \theta\leqq \pi$， $0\leqq \phi<2\pi$ の範囲を取る．
観測者の天球面であるが．これは観測者の位置に原点をもつ直交座標系 $(X， Y， Z)$ を導入することで設定することができる．
まず， $Z$ 方向は $\boldsymbol{r}_o$ と同じ方向に設定する．また，$\theta$ 座標の極方向($\theta=0$ の方向)の軸を観測者の天球面に
射影した方向が $Y$ 方向となるように $Y$ 方向を設定する．$X$ 方向は $(X， Y， Z)$ の各方向が右手系となるように設定する．
このように設定すると，$Z$ 方向の単位ベクトル $\hat{\boldsymbol{Z}}$ は

```math
\begin{eqnarray}\tag{42}
\hat{\boldsymbol{Z}} = \frac{\boldsymbol{r}_o}{|\boldsymbol{r}_o|}=(\sin\theta\cos\phi， \sin\theta\sin\phi， \cos\theta)
\end{eqnarray}
```

となる．$X$ 方向の単位ベクトル $\hat{\boldsymbol{X}}$ は，

```math
\begin{eqnarray}\tag{43}
\hat{\boldsymbol{X}}=\frac{\displaystyle \frac{\partial \boldsymbol{r}_o}{\partial \phi}}{\displaystyle \left|\frac{\partial \boldsymbol{r}_o}{\partial \phi}\right|}=(-\sin\phi， \cos\phi， 0)
\end{eqnarray}
```

となる．同様に，$Y$ 方向の単位ベクトル $\hat{\boldsymbol{Y}}$ は，

```math
\begin{eqnarray}\tag{44}
\hat{\boldsymbol{Y}}=-\frac{\displaystyle \frac{\partial \boldsymbol{r}_o}{\partial \theta}}{\displaystyle \left|\frac{\partial \boldsymbol{r}_o}{\partial \theta}\right|}=(-\cos\theta\cos\phi， -\cos\theta\sin\phi， \sin\theta)
\end{eqnarray}
```

これらの単位ベクトルより

```math
\begin{eqnarray}\tag{45}
{\rm det}(\hat{\boldsymbol{X}}，\hat{\boldsymbol{Y}}，\hat{\boldsymbol{Z}}) = 
	\begin{vmatrix}
	-\sin\phi & -\cos\theta\cos\phi &  \sin\theta\cos\phi \\
	\cos\phi & -\cos\theta\sin\phi & \sin\theta\sin\phi \\
	0 & \sin\theta & \cos\theta 
	\end{vmatrix}
	=1 
\end{eqnarray}
```

となり， 正の値であることから， $(\hat{\boldsymbol{X}}，\hat{\boldsymbol{Y}}，\hat{\boldsymbol{Z}})$ は右手系であることが確認できる．

いま考えている直交座標系 $(X， Y， Z)$ の $Z$ 方向は $\boldsymbol{r}_o$ の方向であるので，観測者は $(X， Y)$ 平面に射影された軌道を観測することになる．この平面に射影された軌道は，軌道の位置ベクトル $\boldsymbol{r}$ をこの平面に射影することで得られる．具体的には，軌道の位置を表す座標 $(X， Y)$ は以下のように計算される．

```math
\begin{eqnarray}\tag{46}
X &=& \boldsymbol{r}\cdot \hat{\boldsymbol{X}} 
	%= \left( \frac{p\cos\varphi}{1+e\cos\varphi}， \frac{p\sin\varphi}{1+e\cos\varphi}， 0\right) \cdot (-\sin\phi， \cos\phi， 0)
	%= \frac{p(\sin\varphi\cos\phi-\cos\varphi\sin\phi)}{1+e\cos\varphi}
	= \frac{p\sin(\varphi-\phi)}{1+e\cos\varphi}， \\
Y &=& \boldsymbol{r}\cdot \hat{\boldsymbol{Y}}
	 %= \left( \frac{p\cos\varphi}{1+e\cos\varphi}， \frac{p\sin\varphi}{1+e\cos\varphi}， 0\right) \cdot (-\cos\theta\cos\phi， -\cos\theta\sin\phi， \sin\theta)
	 %= \frac{-p\cos\theta(\cos\varphi\cos\phi+\sin\varphi\sin\phi)}{1+e\cos\varphi}
	 = -\frac{p\cos\theta\cos(\varphi-\phi)}{1+e\cos\varphi}．
\end{eqnarray}
```

観測者の方向が $\theta=0$， $\displaystyle \phi=-\frac{\pi}{2} $の場合，

```math
\begin{eqnarray}\tag{47}
(X， Y) = \frac{p}{1+e\cos\varphi} \left(\sin\left(\varphi+\frac{\pi}{2}\right)， -\cos\left(\varphi+\frac{\pi}{2}\right)\right)
	= \frac{p}{1+e\cos\varphi} (\cos\varphi， \sin\varphi)
	= (x， y)
\end{eqnarray}
```

となり， 軌道を真上から観測することに対応する．
また，$\displaystyle \theta=\frac{\pi}{2}$， $\displaystyle \phi=-\frac{\pi}{2}$ の場合，

```math
\begin{eqnarray}\tag{48}
(X， Y) = \left(\frac{p\cos\varphi}{1+e\cos\varphi}， 0\right)=(x， 0)
\end{eqnarray}
```

となり，$x$ 方向の運動のみ観測する軌道となる．
次に，$\displaystyle \theta=\frac{\pi}{2}$， $\displaystyle \phi=0$ の場合，

```math
\begin{eqnarray}\tag{49}
(X， Y) = \left(\frac{p\sin\varphi}{1+e\cos\varphi}， 0\right)=(y， 0)
\end{eqnarray}
```

となり， $y$ 方向の運動のみ観測する軌道となる．

射影された軌道の原点からの距離 $R$ は以下のように計算される．

```math
\begin{eqnarray}\tag{50}
R = \sqrt{X^2+Y^2} 
	%= \frac{p}{1+e\cos\varphi} \sqrt{\sin^2(\varphi-\phi)+\cos^2\theta\cos^2(\varphi-\phi)}
	= \frac{p}{1+e\cos\varphi} \sqrt{1-\sin^2\theta\cos^2(\varphi-\phi)}
	%= \frac{p}{\sqrt{2}(1+e\cos\varphi)} \sqrt{1-\cos(2\varphi-2\phi)+\cos^2\theta(1+\cos(2\varphi-2\phi))}
	%= \frac{p}{1+e\cos\varphi} \sqrt{1-\frac{\sin^2\theta}{2}(1+\cos(2\varphi-2\phi))}
	．
\end{eqnarray}
```

この距離の極値は一般に $\varphi=0$ の近日点の位置からずれて存在することから，
射影された軌道の原点から最も近い位置と近日点の位置は一般には一致しない．

また， 軌道の視線方向（line of sight）の速度 $V_{\rm LOS}$ は速度ベクトル $\boldsymbol{v}$ を $\hat{\boldsymbol{Z}}$ 方向に射影することにより，

```math
\begin{eqnarray}\tag{51}
V_{\rm LOS} &=& \boldsymbol{v}\cdot \hat{\boldsymbol{Z}} \\
	&=&  \sqrt{\frac{\alpha}{mp}} (-\sin\varphi， e+\cos\varphi， 0)\cdot (\sin\theta\cos\phi， \sin\theta\sin\phi， \cos\theta)\\
	&=& \sqrt{\frac{\alpha}{mp}}\sin \theta \{e\sin\phi+ \sin(\phi-\varphi)\}，
\end{eqnarray}
```

となる．