リー代数の構造

https://qiita.com/hiro949/items/1d2fb0753897568e9ca8

```math
\newcommand{\g}{\mathfrak{g}}
\newcommand{\h}{\mathfrak{h}}
\newcommand{\tr}{\mathrm{tr}}
\newcommand{\ad}{\mathrm{ad}}
\newcommand{\GL}{\mathrm{GL}}
\newcommand{\Hom}{\mathrm{Hom}}
\newcommand{\span}{\mathrm{span}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
```

で議論したリー代数は線形空間なので代数的な性質がいろいろとあります。これらの性質は対応するリー群の規約表現(群が作用する線形空間の固有空間による直和分解とそれに対応する行列表示、縮退がなければ行列の対角化のこと)を求めるのに役立ちます。

# 誘導されたリー代数

部分リー代数$\g_1,\g_2 \in \g$に対して

```math
[g_1,g_2] = \span_{\C \ or \ \R}\{[X,Y] \mid X \in \g_1, Y \in \g_2\}
```

は部分リー代数となり、特に

```math
\g^{(1)} = [\g,\g] \subset \g
```

を誘導されたリー代数と言います。

```math
\g^{(n+1)} = [\g^{(n)},\g^{(n)}] \subset \g^{(n)}
```

とすれば、

```math
\g \supset \g^{(1)} \supset \g^{(2)} \supset \cdots \supset \g^{(n)} \supset \cdots \supset \{0\}
```

となり、これを$\g$の誘導列と言います。

# 単純リー群


## アーベルリー代数

```math
[\g,\g] = \{0\}
```

のとき、リー代数$\g$はアーベルであると言います。

## イデアル

部分リー代数$I$が以下の条件を満たすとき、リー代数$\g$のイデアルと言います。

```math
I \in \g: \ [I,\g] \subset I \\
\Leftrightarrow \forall X \in I, Y \in \g: [X,Y] = 0
```

#### コメント

$\\{0\\}$は任意のリー代数のイデアルになっていて、これを自明なイデアルと言います。

## 単純リー代数

- $\g$が非アーベルで、なおかつ非自明なイデアルを持たないとき、単純であると言います。
- $\g$のイデアルで、非アーベルかつ非自明なものが存在しないとき、半単純であると言います。

半単純なリー代数は単純なリー代数の直和になり、ゆえに単純なリー代数は半単純であることが知られています。

# 随伴写像

$X \in \g$に対して、線形写像$\ad_X \in \Hom(\g,\g)$

```math
\ad_X(Y) = [X,Y]
```

を$X$に関する随伴写像と言います。リー代数は線形空間なので、$\ad_X \in \GL(\g)$は行列で表すことができます。

## 随伴表現の性質

```math
\ad_{[X,Y]} = [\ad_X,\ad_Y] = \ad_X \circ \ad_Y - \ad_Y \circ \ad_X
```

(写像の合成で書きましたが、要するに行列の積と差です。)

また、$\GL(\g)$は随伴写像全体の集合になっていて先の$[\dot \ ,\dot \ ]$を外積としてリー代数になります。そして、

```math
\ad: \g \rightarrow \GL(\g)
```

はリー代数についての準同型写像になります。

# キリング形式

```math
k: \g \times \g \rightarrow \C \ or \R \\
k(X,Y) = \tr(\ad_X \ad_Y)
```

をキリング形式と言います。($\ad_X,\ad_Y$は行列です。)

## キリング形式の性質

- $k(X,Y) = k(Y,X)$
- $k([X,Y],Z) = k(X,[Y,Z])$
- $k(\ad_Z(X),Y) = -k(X,\ad_Z(Y))$

## 非退化

```math
\forall Y \in \g: k(X,Y) = 0 \Rightarrow X=0 
```

が成り立つとき、キリング形式$k$は非退化であると言います。

# カルタンの条件

$\g$が半単純 $\Leftrightarrow$ キリング形式$k$が非退化


# 構造定数

随伴写像はリー代数の線形変換なので、線形代数に従ってリー代数$\g$の基底の変換性だけ考えれば十分です。

$\g$の基底を

```math
E_1,E_2,\cdots,E_n
```

($n = \dim \g$)として、

```math
[E_i,E_j] = C^k_{ij} E_k
```

と展開した時に現れる係数$C^k_{ij}$を$\g$の基底$\\{E_i\\}$に対する構造定数と言います。

## 構造定数の性質
- $C^k_{ij} = - C^k_{ij}$
- $(\ad_{E_i})^k_j = C^k_{ij}$
- $k(E_i,E_j) = C^l_{ik} C^k_{jl}$

# 随伴写像の同時対角化

次に随伴写像の対角化を考えたいと思います。


## カルタン部分代数
ある部分リー代数$\h \subset \g$で基底

```math
\{H_1,\cdots,H_r\}
```

($r = \dim \h$)をもつものと、

```math
\{E_1,\cdots,E_{n-r}\} \subset \g
```

が存在して、

```math
\forall h \in \h, \exists \lambda_i(h) \in \C: \ad_h(E_i) = \lambda_i(h) E_i
```

が成り立ちます。この$\h$をカルタン部分代数といいます。また、

```math
\{H_1,\cdots,H_r,E_1,\cdots,E_{n-r}\}
```

は$\g$の基底になっていて、カルタン・ワイル基底と言います。$\lambda_i$の固有空間を$\g_{\lambda_i} \subset \g$とすれば

```math
\g = \h \oplus \left( \bigoplus_i \g_{\lambda_i}\right)
```

となります。

## ルート

固有値は

```math
\lambda_i(aX + bY)E_i = a\lambda_i(X) + b\lambda_i(Y)E_i
```

($a,b \in \C$、$X,Y \in \h$)を満たすので、線形写像

```math
\lambda_i: \h \rightarrow \C
```

はカルタン部分代数の双対空間の元です:$\lambda_i \in \h^*$。

```math
\Phi = \{\lambda_1,\cdots,\lambda_{n-r}\} \subset \h^*
```

をルート集合と言います。

### カルタン部分代数の性質

$\g$が有限次元で半単純な複素リー代数のとき、

- カルタン部分代数$\h$はアーベル
- $\g = \bigoplus_{\lambda \in \Phi} \g_\lambda$
- $\lambda \in \Phi \Rightarrow -\lambda \in \Phi$

$\Phi$は$\h^*$の基底を含みますが、３つ目の性質から$\Phi$には線形従属な要素も含まれています。

## 基本ルート系

```math
\Pi = \{\pi_1,\cdots,\pi_f\} \subset \Phi
```

が基本ルート系であるとは以下の２つを満たすことです。

- $\Pi$の元が($\h^*$において)互いに線形独立
- 任意の$\lambda \in \Phi$に対して

```math
\exists n_1,\cdots,n_f \in \N \cup \{0\}, \epsilon \in \{1,-1\}: \lambda = \epsilon \sum_i n_i \pi_i 
```

### 基本ルート系の性質

$\g$が有限次元の半単純な複素リー群のとき、$\Pi$は必ず存在して、$\h^*$の基底になります。

## 擬内積

カルタン部分代数上に制限したキリング形式は擬内積(内積定義で正定値性だけ満たしていないもの)になります。

```math
k: \h \times \h \rightarrow \C
```

また、次の写像

```math
i: \h \rightarrow \h^* \\
i(X) = k(X,\cdot)
```

は線形同型写像になり、($k(X,\cdot)$に$\h$の基底を順に入れて係数を調べていけば元の$X$が分かるからです。)

$\h^*$にも擬内積

```math
k^*: \h^* \times \h^* \rightarrow \C \\
k^*(\mu,\nu) = k(i^{-1}(\mu),i^{-1}(\nu))
```

が定義できます。

# ワイル群

## 実数へ制限したカルタン部分代数

半単純な複素リー群のカルタン部分代数の双対空間は基本ルート系$\Pi$を基底として複素数を係数とした線形空間

```math
H^* = \span_\C(\Pi)
```

で書かれました。これを実数係数に制限した部分代数

```math
H^*_\R = \span_\R(\Pi) \\
= \{ \sum_i c_i \pi_i \mid c_i \in \R \}
```

を考えます。すると、キリング形式の$H^*_\R$への制限は

```math
k^*: H^*_\R \times H^*_\R \rightarrow \R \\
\forall \alpha \in H^*_\R: \ k^*(\alpha,\alpha) \geq 0
```

となって$H^*_\R$の内積を定めます。これによって

- ノルム:$|\alpha| = \sqrt{k^*(\alpha,\alpha)}$ 
- 角:$\phi(\alpha,\beta) = \arccos\left( \frac{k^*(\alpha,\beta)}{|\alpha||\beta|} \right)$

が定義されます。

## ワイル変換とワイル群

ルート$\lambda \in \Phi$に対して鏡映変換

```math
s_\lambda(\mu) = \mu - 2\frac{k^*(\lambda,\mu)}{|\lambda|^2} \lambda
```

をワイル変換と言い、

```math
W = \{s_\lambda \mid \lambda \in \Phi \}
```

をワイル群と言います。

## ワイル群の性質

(1)
```math
\forall w \in W: \exists m \in [1,n], \exists \pi_1,\cdots,\pi_m \in \Pi: w = s_{\pi_1} \circ \cdots \circ s_{\pi_m}
```

(2)
```math
\forall \lambda \in \Phi: \exists \pi \in \Pi, \exists w \in W: \lambda = w(\pi)
```

(3)
```math
\forall \lambda \in \Phi, \forall w \in W: w(\lambda) \in \Phi 
```

# ディンキン図

基本ルート系$\Pi$に対して

```math
\mathcal{C}_{ij} = 2\frac{k^*(\pi_i,\pi_j)}{|\pi_i|^2}
```

を各要素とした行列$\mathcal{C}$をカルタン行列と言います。

```math
s_{\pi_i}(\pi_j) = \pi_j - \mathcal{C}_{ij} \pi_i \in \Phi \subset \span_{\{\pm 1\}\times \Z_{\geq 0}} \Pi
```

だったのでカルタン行列の各要素は

```math
\mathcal{C}_{ij} \in \Z_{\leq 0}
```

となります。

また、結合数を次で定義すると、

```math
n_{ij} = C_{ij}C_{ji} \\
= 4 \left( \frac{k^*(\pi_i,\pi_j)}{|\pi_i||\pi_j|} \right)^2 \\
= \cos^2 \phi 
```

$i \neq j$のとき、$\cos^2 \phi < 1$より$C_{ij},n_{ij}$としては以下の表の組み合わせしか存在しません。

![image.png](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/2445529/ef1cae9b-fdcf-b188-a3e6-f1cf50104a60.png)

この表は$|\pi_i|$と$|\pi_j|$の大小関と結合数$n_{ij}$で一意に定まります。($C_{ij}$と$C_{ji}$の入れ替えは考える必要がありません。)

よってカルタン行列の各要素を

$n_{ij} = 0$

![image.png](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/2445529/3532df02-3e39-f98d-e02e-86d099bb7d64.png)

$n_{ij} = 1$

![image.png](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/2445529/392f655f-7dbf-5bef-a734-406b0f2e99fd.png)


$n_{ij} = 2$

![image.png](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/2445529/17347d4b-439a-2640-782d-2d810a644e9c.png)

$n_{ij} = 3$

![image.png](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/2445529/b01b4ca6-1879-be6a-b279-ee0ff73fa145.png)

と表せばカルタン行列をグラフで表すことができて、これをディンキン図と言います。

## 性質

任意の有限次元の単純なリー代数のカルタン行列は以下のディンキン図のいずれかのパターンになります。($n$は基本ルート系$\Pi$の要素数＝カルタン行列の行/列数)です。

![image.png](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/2445529/f76a2445-9688-3f41-1f90-4893409ed53e.png)

![image.png](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/2445529/ad910047-8c4d-b312-feb4-1fe2b72f47c0.png)

# コメント

最初に述べたようにここで現れたルートなどを用いてリー群の規約表現を構成することができます。


# 参考資料
- https://www.reddit.com/r/math/comments/77zdq3/lecture_notes_for_frederic_schullers_lectures_on/
- http://cat.phys.s.u-tokyo.ac.jp/lecture/MP3_16/maph3.pdf