微分

復習用メモです．
順次書き足していくかも？
# 微分の定義
```math
\frac{df(x)}{dx}=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}
```
教科書では上の定義がいきなり出てきますが，私は以下のような流れで定義した方がわかりやすいと思っています．
```math
\frac{df(x)}{dg(x)}=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{g(x+h)-g(x)}
```
特に$g(x)=x$のとき，
```math
\frac{df(x)}{dx}=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}
```
こうすることで，
* ライプニッツ記法を分数のように扱える理由が直感的に分かる．
* 逆関数の微分や合成関数の微分の証明がわかりやすくなる．

などのメリットがあります．
# 定数の微分
定数$a$があり，$f(x)=a$のとき，
```math
\begin{align}
\frac{df(x)}{dx}&=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\\
&=\lim_{h\to0}\frac{a-a}{h}\\
&=\lim_{h\to0}\frac{0}{h}\\
&=0
\end{align}
```
# 恒等関数の微分
$f(x)=x$のとき，
```math
\begin{align}
\frac{df(x)}{dx}&=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\\
&=\lim_{h\to0}\frac{x+h-x}{h}\\
&=\lim_{h\to0}\frac{h}{h}\\
&=1
\end{align}
```
# 和の微分
```math
\begin{align}
\frac{d(f(x)+g(x))}{dx}&=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)+g(x+h)-f(x)-g(x)}{h}\\
&=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)+g(x+h)-g(x)}{h}\\
&=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}+\frac{g(x+h)-g(x)}{h}\\
&=\frac{df(x)}{dx}+\frac{dg(x)}{dx}
\end{align}
```
# 積の微分
ちょっと工夫が必要です．$f(x+h)g(x+h)$が扱いにくいので，この部分を微分の定義式と同じ形に持っていくことで計算できます．
```math
\begin{align}
\frac{df(x)g(x)}{dx}&=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)g(x+h)-f(x)g(x)}{h}\\
&=\lim_{h\to0}\frac{(f(x+h)-f(x)+f(x))(g(x+h)-g(x)+g(x))-f(x)g(x)}{h}\\
&=\lim_{h\to0}\frac{(h\frac{f(x+h)-f(x)}{h}+f(x))(h\frac{g(x+h)-g(x)}{h}+g(x))-f(x)g(x)}{h}\\
&=\lim_{h\to0}\frac{h^2\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\frac{g(x+h)-g(x)}{h}+h\frac{f(x+h)-f(x)}{h}g(x)+f(x)h\frac{g(x+h)-g(x)}{h}+f(x)g(x)-f(x)g(x)}{h}\\
&=\lim_{h\to0}\frac{h^2\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\frac{g(x+h)-g(x)}{h}+h\frac{f(x+h)-f(x)}{h}g(x)+f(x)h\frac{g(x+h)-g(x)}{h}}{h}\\
&=\lim_{h\to0}h\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\frac{g(x+h)-g(x)}{h}+\frac{f(x+h)-f(x)}{h}g(x)+f(x)\frac{g(x+h)-g(x)}{h}\\
&=\frac{df(x)}{dx}g(x)+f(x)\frac{dg(x)}{dx}
\end{align}
```
# 累乗の微分
非負整数$n$があるとき，
```math
\frac{dx^n}{dx}=nx^{n-1}
```
数学的帰納法を用いて証明します．
$n=0$のとき，
```math
\begin{align}
\frac{dx^n}{dx}&=\frac{dx^0}{dx}\\
&=\frac{d1}{dx}\\
&=0
\end{align}
```
また，
```math
\begin{align}
nx^{n-1}&=0x^{0-1}\\
&=0
\end{align}
```
よって，
```math
\frac{dx^0}{dx}=0x^{0-1}
```
が成り立つ．また，ある非負整数$k$について，
```math
\frac{dx^k}{dx}=kx^{k-1}
```
が成り立つ時，
```math
\begin{align}
\frac{dx^{k+1}}{dx}&=\frac{dxx^k}{dx}\\
&=\frac{dx}{dx}x^k+x\frac{dx^k}{dx}\\
&=x^k+xkx^{k-1}\\
&=x^k+kx^k\\
&=(k+1)x^k
\end{align}
```
よって，全ての非負整数$n$について，
```math
\frac{dx^n}{dx}=nx^{n-1}
```
が成り立つ．
# 関数を関数で微分
```math
\begin{align}
\frac{df(x)}{dg(x)}&=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{g(x+h)-g(x)}\\
&=\lim_{h\to0}\frac{\left(\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\right)}{\left(\frac{g(x+h)-g(x)}{h}\right)}\\
&=\frac{\left(\frac{df(x)}{dx}\right)}{\left(\frac{dg(x)}{dx}\right)}
\end{align}
```
# 合成関数の微分
```math
\begin{align}
\frac{df(g(x))}{dx}&=\lim_{h\to0}\frac{f(g(x+h))-f(g(x))}{h}\\
&=\lim_{h\to0}\frac{f(g(x+h))-f(g(x))}{g(x+h)-g(x)}\frac{g(x+h)-g(x)}{h}\\
&=\frac{df(g(x))}{dg(x)}\frac{dg(x)}{dx}
\end{align}
```
# 逆関数の微分
```math
\begin{align}
y&=f(x)\\
x&=f^{-1}(x)
\end{align}
```
のとき，
```math
\begin{align}
\frac{df^{-1}(y)}{dy}&=\frac{df^{-1}(f(x))}{df(x)}\\
&=\frac{\left(\frac{df^{-1}(f(x))}{dx}\right)}{\left(\frac{df(x)}{dx}\right)}\\
&=\frac{\left(\frac{dx}{dx}\right)}{\left(\frac{df(x)}{dx}\right)}\\
&=\frac{1}{\left(\frac{df(x)}{dx}\right)}\\
\end{align}
```
# 指数関数の定義
自然対数の底の定義
```math
e=\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n
```
を，
```math
h=\frac{1}{n}
```
で
```math
e=\lim_{h\to0}\left(1+h\right)^\frac{1}{h}
```
としたものを利用します．
```math
\begin{align}
\frac{de^x}{dx}&=\lim_{h\to0}\frac{e^{x+h}-e^x}{h}\\
&=\lim_{h\to0}\frac{e^xe^h-e^x}{h}\\
&=\lim_{h\to0}\frac{e^x(e^h-1)}{h}\\
&=\lim_{h\to0}e^x\frac{e^h-1}{h}\\
&=e^x\lim_{h\to0}\frac{e^h-1}{h}\\
&=e^x\lim_{h\to0}\frac{\left(\left(1+h\right)^\frac{1}{h}\right)^h-1}{h}\\
&=e^x\lim_{h\to0}\frac{\left(1+h\right)-1}{h}\\
&=e^x\lim_{h\to0}\frac{h}{h}\\
&=e^x
\end{align}
```
# 対数関数の微分
```math
\begin{align}
\frac{d\log x}{dx}&=\lim_{h\to0}\frac{\log\left(x+h\right)-\log x}{h}\\
&=\lim_{h\to0}\frac{\log\left(\frac{x+h}{x}\right)}{h}\\
&=\lim_{h\to0}\log\left(\left(\frac{x+h}{x}\right)^\frac{1}{h}\right)\\
&=\log\lim_{h\to0}\left(1+\frac{h}{x}\right)^\frac{1}{h}\\
\end{align}
```
ここで，
```math
t=\frac{h}{x}
```
とすると，
```math
\begin{align}
\log\lim_{h\to0}\left(1+\frac{h}{x}\right)^\frac{1}{h}&=\log\lim_{t\to0}\left(1+t\right)^\frac{1}{tx}\\
&=\log\lim_{t\to0}\left(\left(1+t\right)^\frac{1}{t}\right)^\frac{1}{x}\\
&=\log\left(\lim_{t\to0}\left(1+t\right)^\frac{1}{t}\right)^\frac{1}{x}\\
&=\log e^\frac{1}{x}\\
&=\frac{1}{x}\\
\end{align}
```