データサイエンスのための線形代数 第20回 行列関数の単射

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本記事は数学講座[5.4 行列関数の単射](https://www.matongxue.com/lessons/537/parts/692)を勉強して投稿したメモです。詳細は元の素晴らしい講座のページをチェックしてください。
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# :sunny:[まとめ]単射

自然な定義域で、

```math
\begin{array}{c|c|c|c}
    \hline
    \quad行列関数\quad&\quad 必要十分条件 \quad\\\hline\\
    \quad \boldsymbol{A}\boldsymbol{x}=\boldsymbol{y} \quad&\quad 列フルランク行列 \iff 単射 \quad\\
    \quad \boldsymbol{x}^\mathrm{T}\boldsymbol{A}=\boldsymbol{y}^\mathrm{T} \quad&\quad 行フルランク行列 \iff 単射\quad\\
    \\
    \hline
\end{array}
```

# 単射

![image.png](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/3327130/024a3ab7-d911-bb27-330d-20af3f4b2358.png)

- 単射： 定義域：値域=1:1 (唯一な解がある)
- 単射ではない： 定義域:値域=M:1　（唯一な解ではない、複数な解がある）

# 定義域のランク ≥ 値域のランク

```math 

\begin{aligned}
    \boldsymbol{y}
        &=A(x_1\boldsymbol{a}_1+x_2\boldsymbol{a}_2+\cdots+x_n\boldsymbol{a}_n)\\
        \\
        &=x_1A(\boldsymbol{a}_1)+x_2A(\boldsymbol{a}_2)+\cdots+x_nA(\boldsymbol{a}_n),\quad x_{1,2,\cdots,n}\in\mathbb{R}
\end{aligned}

```

値域が定義域の線型空間ですので、線型独立であれば、ランクが同じで；線形従属であれば、ランクが定義域より小さいです。**定義域のランク ≥ 値域のランク**になります。!

<img src="https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/3327130/ae043df2-56d7-5e72-72fd-51c46852290b.png" width=480>
<img src="https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/3327130/d63274df-9cef-1f5c-7ce0-03716bd16fbc.png" width=480>

# 定義域のランク = 値域のランク
<img src="https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/3327130/721ac1b1-a00e-fadc-8a85-6f9715d37c05.png" width=480>

単射の時に、定義域ランクにとって、値域のランクが変わらないです。単射ではない時に、値域のランクが落ちます。

```math
\begin{array}{c|c|c|c}
    \hline
    \quad\quad&\quad 定義域ランク \quad&\quad 値域ランク \quad \quad\\\hline\\
    \quad 単射 \quad&\quad \begin{aligned}二次元空間\\三次元空間\end{aligned} \quad&\quad \begin{aligned}二次元空間\\三次元空間\end{aligned}\quad\\
    \\
    \hline
    \\
    \quad 単射ではない \quad&\quad \begin{aligned}二次元空間\\三次元空間\end{aligned} \quad&\quad \begin{aligned}1、０次元空間\quad\ \\２、１、０次元空间\end{aligned}\quad\\
    \\
    \hline
\end{array}

```
# 列ベクトル行列関数の単射

結論が、自然な定義域で、

```math
\begin{array}{c|c|c|c}
    \hline
    \quad行列関数\quad&\quad 必要十分条件 \quad\\\hline\\
    \quad \boldsymbol{A}\boldsymbol{x}=\boldsymbol{y} \quad&\quad 列フルランク行列 \iff 単射 \quad\\
    \\
    \hline
\end{array}
```

$A$が$m\times n$の行列で、自然な定義域で、列ベクトル行列関数$Ax=y$の四つ要素が：

```math
\begin{array}{c|c|c|c}
    \hline
    \quad 自然定义域\quad&\quad 映射法则 \quad&\quad 值域 \quad&\quad 到达域 \quad\\\hline\\
    \quad \mathbb{R}^n \quad&\quad \boldsymbol{A} \quad&\quad colsp(\boldsymbol{A}) \quad&\quad \mathbb{R}^m \quad\\
    \\
    \hline
\end{array}
```

<img src="https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/3327130/cb6a909a-cdb4-d8cd-97f1-1336e89ca1a3.png" width=480>

単射時、$rank\Big(colsp(\boldsymbol{A})\Big)=n$、$A$が$m\times n$の行列、だから：
```math
rank\left(colsp(\boldsymbol{A})\right)=n\iff \boldsymbol{A}\ \text{が列フルランク}\iff \boldsymbol{A}\boldsymbol{x}=\boldsymbol{y}\ \text{が単射になります}
```

- 例1: $A$が列フルランク行列（定義域ランク = 値域ランク）：
![image.png](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/3327130/faf07cbd-3394-9ab3-c072-116f55a10b82.png)


- 例2: $A$が列フルランク行列ではない（定義域ランク > 値域ランク）：
![image.png](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/3327130/c559aae1-cc4c-aa21-75b2-5f13119010c0.png)


# 行ベクトル行列関数の単射

上記列ベクトル行列関数の単射と同じですので、こちらで省略します。

<img src="https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/3327130/e7f47e60-9eba-ab70-bad8-02d15cc78dbf.png" width=480>

# 例題：

以下の線型方程式系では、解が唯一かどうか？

```math
\begin{cases}
    2x_1+4x_2=6\\
    3x_1+6x_2=9
\end{cases}
```

唯一な解であるかを判断するために、$Ax=y$での$A$が**列フルランクがどうか**で決めます。

```math
\begin{cases}
    2x_1+4x_2=6\\
    3x_1+6x_2=9
\end{cases}
\implies
\underbrace{\begin{pmatrix}2&4\\3&6\end{pmatrix}}_{\Large A}\ \underbrace{\begin{pmatrix}x_1\\x_2\end{pmatrix}}_{\Large\boldsymbol{x}}=\underbrace{\begin{pmatrix}6\\9\end{pmatrix}}_{\Large\boldsymbol{b}}
```
$A$の列ベクタル組が線形従属ですので、これが単射ではないので、唯一な解ではないです。
＊ 定義域のランクが２、値域ランクが１です。定義域$x$の$x_1,x_2$が任意の2つの点で、$R^2$です。
でも、$b$での二つ点が線形従属ですので、$R^1$の線になっています、こちらでは$y=1.5*x$の線です。


# 参考情報

https://mathlandscape.com/bijection/