データサイエンスのための線形代数 第29回 ランク・ヌル性定理

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本記事は数学講座[6.4 ランク・ヌル性定理](https://www.matongxue.com/lessons/549/parts/725)を勉強して投稿したメモです。詳細は元の素晴らしい講座のページをチェックしてください。
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# 消えたランク

行列関数$Ax=y$に対して、インプットが自然定義域の時に、値域のランクが定義域と等しいか、それ以下かです。
![image.png](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/3327130/9e6b5c8b-59c4-7be4-2ae2-a16b0673418f.png)

例えいば、

```math 

\begin{array}{c|c|c} \hline \quad \text{自然定義域}\quad&\quad \text{ランク}\quad&\quad \text{値域ランク数}\quad \\ \hline \quad \mathbb{R}^2\quad&\quad\begin{aligned}rank(\boldsymbol{A})=2\\rank(\boldsymbol{A})=1\\ rank(\boldsymbol{A})=0\end{aligned}\quad&\quad\begin{aligned}\text{2 次元}\\\text{1 次元}\\\text{0 次元}\end{aligned}\quad\\ \hline \end{array}

```
![image.png](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/3327130/4aebe1b3-5568-9b0a-1785-d6043d42a22a.png)

今回の記事では、なぜランクが消えたのかを説明します。

# 消えたランク

```math
\underbrace{rank(定義域)}_{\large 定義域のランク}-\underbrace{rank\Big(null(\boldsymbol{A})\Big)}_{\large ゼロ空間のランク}=\underbrace{rank(\boldsymbol{A})}_{\large 値域のランク}
 ```

すなわち、消えたランクがゼロ空間のランクと等しいです。

## ２次元の例

行列の
```math
\boldsymbol{A}=\begin{pmatrix}1&1\\1&1\end{pmatrix}
```
行列関数$Ax=y$に対して、

```math
\begin{array}{c|c|c|c}
    \hline
    \quad 自然定義域\quad&\quad マッピングルール \quad&\quad 値域ランク \quad&\quad 到達域 \quad\\\hline\\
    \quad \mathbb{R}^2 \quad&\quad \boldsymbol{A} \quad&\quad rank(\boldsymbol{A})=1 \quad&\quad \mathbb{R}^2 \quad\\
    \\
    \hline
\end{array}
 ```
$A$の値域が列空間の$colsp(A)$、こちらが$rank(A)=1$です。

![image.png](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/3327130/cc6afe5c-c77e-1597-1b30-87e2fdbe2f1b.png)
![image.png](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/3327130/d0220e64-cd51-2a56-6276-dfa0fd48456a.png)
![image.png](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/3327130/9188401d-518e-8aa6-7754-ad41027698a2.png)

## 3次元の例

行列の

```math
\boldsymbol{A}=\begin{pmatrix}1&1&1\\2&2&2\\3&3&3\end{pmatrix}
```

行列関数$Ax=y$に対して、

```math
\begin{array}{c|c|c|c}
    \hline
    \quad自然定義域\quad&\quad マッピングルール \quad&\quad 値域ランク \quad&\quad 到達域 \quad\\\hline\\
    \quad \mathbb{R}^3 \quad&\quad \boldsymbol{A} \quad&\quad rank(\boldsymbol{A})=1 \quad&\quad \mathbb{R}^3 \quad\\
    \\
    \hline
\end{array}
```

![image.png](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/3327130/6c860ffb-2a4b-69cb-6645-49f59ee87a7e.png)
![image.png](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/3327130/bc3df400-3b72-4a01-de82-12b04f29907b.png)
![image.png](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/3327130/5fdaaf23-487e-3a55-14ed-0a86b0809ad3.png)

# ランク・ヌル性定理

$m×n$行列 $A$ に対して、以下が成り立ちます：

```math
rank(\boldsymbol{A})+rank(null(\boldsymbol{A}))=n
```

この定理は、行列のランクとゼロ空間のランクの和が定数$n$になることを示しており、そのためこの定理は **ランク・ヌル性定理** と呼ばれています。

こちれの$n=rank(定義域)$なので、該当定理が以下のと等しいです。

```math
\underbrace{rank(定義域)}_{\large 定義域のランク}-\underbrace{rank\Big(null(\boldsymbol{A})\Big)}_{\large ゼロ空間のランク}=\underbrace{rank(\boldsymbol{A})}_{\large 値域のランク}
```
# 練習

![image.png](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/3327130/e57dbef2-511d-6c1a-bc27-f21a9e959146.png)


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マッピング前のランク数　 = マッピング後のランク数 ＋　　ゼロ空間になったランク数

[解説](https://www.matongxue.com/lessons/549/parts/4826)
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