データサイエンスのための線形代数 第23回 逆行列

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本記事は数学講座[5.7 逆行列](https://www.matongxue.com/lessons/915/parts/664)を勉強して投稿したメモです。詳細は元の素晴らしい講座のページをチェックしてください。
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# :sunny: 逆行列の演算規則

- $A$は逆行列があれば、$A^{-1}$も逆行列あり：$(\boldsymbol{A}^{-1})^{-1}=\boldsymbol{A}$
- $A$は逆行列があり、実数 $\lambda\ne 0$、$\lambda\boldsymbol{A}$も逆行列あり：$(\lambda\boldsymbol{A})^{-1}=\frac{1}{\lambda}\boldsymbol{A}^{-1}$
- $A$と$B$とも逆行列あり且つ次元数が同じな正方形行列、$\boldsymbol{A}\boldsymbol{B}$も逆行列あり：$(\boldsymbol{A}\boldsymbol{B})^{-1}=\boldsymbol{B}^{-1}\boldsymbol{A}^{-1}$
- $A$は逆行列があれば、$A^{-T}$も逆行列あり：  $ (\boldsymbol{A}^\mathrm{T})^{-1}=(\boldsymbol{A}^{-1})^\mathrm{T}$

# 全単射と逆関数

単射あるいは全射だけでは、逆関数の条件が満たされません。

<img src="https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/3327130/11277662-c610-5e62-7e19-fe5b44ecc12b.png" width=480>

<img src="https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/3327130/c101f706-bc77-1e8c-e17f-97699ec77c9b.png" width=480>

全単射のみの場合には、逆関数があります。

<img src="https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/3327130/3cf072d1-53f9-9a0f-f60a-1b3182a03aee.png" width=480>

# 逆行列の存在性
行列 $\boldsymbol{A}$ がフルランク行列であるとき、対応する行列関数は**全単射**となり、このとき行列 $\boldsymbol{A}$ は逆行列が存在し、$\boldsymbol{A}$ は可逆であると言います。逆行列は $\boldsymbol{A}^{-1}$ で表され、$\boldsymbol{A}$ の逆行列と呼ばれます。

- フルランクの場合：
![image.png](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/3327130/d8fb662b-ff63-e25a-cbda-d041d34ff940.png)

- フルランクではない場合：
![image.png](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/3327130/ce4669bc-630d-d4d8-180a-95d53e922480.png)

# 逆行列の定義
二つ$n$次元の正方形行列$A,C$があり、$A,C$のドット積が$n$次元の単位行列$I$：
$AC=I$　且つ　$CA=I$
があれば、$C$が$A$の逆行列です。即ち$A^{-1}=C$、且つ$A^{-1}$が唯一のものです。

## 単位行列

$Ax=y$、$A$が単位行列であれば、前後の変化がありません。

![image.png](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/3327130/b22a693a-9a18-ef23-8bd9-8efa1fc7adce.png)

先に行列$A$をかけて、再度逆行列$A^{-1}$をかければ、単位行列と同じように、前後の変化がありません。

![image.png](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/3327130/5d3618b9-0337-3b73-d6ab-1c2402efc349.png)

だから、単位行列と$AA^{-1}$の合成の効果が同じです。
$I=AA^{-1}=A^{-1}A$

# 基本行列を用いた逆行列の求め方

一連の基本行列$\boldsymbol{E_i}$を通して、行列$\boldsymbol{A}$を変換して、単位行列$\boldsymbol{I}$

```math
\underbrace{\boldsymbol{E}_1\boldsymbol{E}_2...\boldsymbol{E}_n}_{\boldsymbol{A}^{-1}}\boldsymbol{A}=\boldsymbol{I}
```
**証明：**
<img src="https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/3327130/6edc4f0d-7f62-741c-6f93-72f76f003fa2.png" width=480>

逆行列の存在条件：$A$がフルランク、且つ$AA^{-1}$=Iが成立している。


# 基本行列を用いた逆行列の例題
例えば、以下行列の逆行列は：

```math
\boldsymbol{A}=\begin{pmatrix}2&3\\1&2\end{pmatrix}
```
<img src="https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/3327130/7fd46956-2112-4a65-578d-9805182adc9d.png" width=480>


# ガウス・ジョルダン法を用いた逆行列の求め方

以下の二つステップで、行列の逆行列$AA^{-1}=1$を解くことができます：
```math 
A\xrightarrow{\quad E_1,E_2,...,E_n\quad }I
```
次は、それらの積：
```math 
A^{-1}=E_1E_2...E_n
```
ただし、２ステップが煩雑ですので、まとめて計算することが可能です。

```math 
( A|I )\xrightarrow{\quad E_1,E_2,...,E_n\quad }( I|A^{-1} )
```

## 例題
<img src="https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/3327130/7bf99dff-3e6c-f4dd-3af8-8b5766e7b8d5.png" width=480>


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まだ十分理解できていないと思うんですが、こちらのメリットはどこだろう？人的に計算すれば、そんなメリットが感じていません。最後の１ステップの計算を分散して、前のステップに混ぜっただけですね。
もしかしたら、これがプログラミングする際に、便利になる技ですかね？
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# 逆行列の演算規則

- $A$は逆行列があれば、$A^{-1}$も逆行列あり：$(\boldsymbol{A}^{-1})^{-1}=\boldsymbol{A}$
    > 説明：逆行列の定義によれば、$AC=I且つCA=I$ですので、$C$が$A$の逆行列、$A$が$C$も逆行列です、お互いの関係です。

- $A$は逆行列があり、実数 $\lambda\ne 0$、$\lambda\boldsymbol{A}$も逆行列あり：$(\lambda\boldsymbol{A})^{-1}=\frac{1}{\lambda}\boldsymbol{A}^{-1}$
    > 実際に計算すれば、その積が単位行列ですので、上記のが成立している。
```math 
\lambda\boldsymbol{A}\cdot\frac{1}{\lambda}\boldsymbol{A}^{-1}=\frac{1}{\lambda}\boldsymbol{A}^{-1}\cdot\lambda\boldsymbol{A}=\boldsymbol{I}
```

- $A$と$B$とも逆行列あり且つ次元数が同じな正方形行列、$\boldsymbol{A}\boldsymbol{B}$も逆行列あり：$(\boldsymbol{A}\boldsymbol{B})^{-1}=\boldsymbol{B}^{-1}\boldsymbol{A}^{-1}$
    > 実際に計算すれば、その積が単位行列ですので、上記のが成立している。
```math 
(\boldsymbol{A}\boldsymbol{B})(\boldsymbol{B}^{-1}\boldsymbol{A}^{-1})=\boldsymbol{A}(\boldsymbol{B}\boldsymbol{B}^{-1})\boldsymbol{A}^{-1}=\boldsymbol{A}\boldsymbol{I}\boldsymbol{A}^{-1}=\boldsymbol{A}\boldsymbol{A}^{-1}=\boldsymbol{I}
```
> 実際に計算すれば、その積が単位行列ですので、上記のが成立している。

- $A$は逆行列があれば、$A^{-T}$も逆行列あり：  $ (\boldsymbol{A}^\mathrm{T})^{-1}=(\boldsymbol{A}^{-1})^\mathrm{T}$
    > [転置行列の性質](https://qiita.com/Junlee/items/04365c5bf10afd089d4c#%E8%BB%A2%E7%BD%AE%E6%BC%94%E7%AE%97%E3%81%AE%E6%80%A7%E8%B3%AA)の$(AB)^\mathrm{T}=B^\mathrm{T}A^\mathrm{T}$があるので、代入すれば：
   
```math 
\boldsymbol{A}^\mathrm{T}(\boldsymbol{A}^{-1})^\mathrm{T}=(\boldsymbol{A}^{-1}\boldsymbol{A})^\mathrm{T}=\boldsymbol{I}^\mathrm{T}=\boldsymbol{I}
```

# 練習

![image.png](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/3327130/233ec461-a376-8dc1-ae8a-95c42a44cd39.png)


# 参考情報

https://mathlandscape.com/invert-matrix/