データサイエンスのための線形代数 第5回 張る空間

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本記事は数学講座[2.5 張る空間](https://www.matongxue.com/lessons/513/parts/2771)を勉強して投稿したメモです。詳細は元の素晴らしい講座のページをチェックしてください。
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また色を例にして、三つの色RGBがベクトル組になります。
```math  
\{\boldsymbol{R}=\begin{pmatrix}255\\0\\0\end{pmatrix},\quad \boldsymbol{G}=\begin{pmatrix}0\\255\\0\end{pmatrix},\quad \boldsymbol{B}=\begin{pmatrix}0\\0\\255\end{pmatrix}\}
```

上記のベクトル組の線形結合をして、全て色を作ることができます。
```math  
全ての色=k_1\boldsymbol{R}+k_2\boldsymbol{G}+k_3\boldsymbol{B},\quad (k_{1,2,3}\in\mathbb{R})
```
![image.png](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/3327130/0c0a9216-89f1-730f-01f7-e71d7ccd3969.png)

これら色が構成されたのは**ベクトル空間です**、即ち**色空間**です。

# 張る空間とは

```math  
\mathcal{A}=\{\boldsymbol{v_1},\boldsymbol{v_2},...,\boldsymbol{v_p}\}
```
ベクトル組$\mathcal{A}$の**全ての線形結合**で表せるベクトルの集合が**ベクトル空間**、ベクトル組$\mathcal{A}$の張る空間も呼ぶ、$span(\boldsymbol{v_1},\boldsymbol{v_2},...,\boldsymbol{v_p})$に記します。即ち：
```math  
span(\boldsymbol{v_1},\boldsymbol{v_2},...,\boldsymbol{v_p})=\{k_1\boldsymbol{v_1}+k_2\boldsymbol{v_2}+...+k_p\boldsymbol{v_p},k_{1,2,...,p}\in\mathbb{R}\}
```
例えば、上記ベクトル組$\mathcal{A}$の張る空間が$\mathcal{V}$であれば、
```math  
\mathcal{V}=span(\boldsymbol{v_1},\boldsymbol{v_2},...,\boldsymbol{v_p})=\{k_1\boldsymbol{v_1}+k_2\boldsymbol{v_2}+...+k_p\boldsymbol{v_p},k_{1,2,...,p}\in\mathbb{R}\}
```
$\mathcal{V}$内の任意の二つ成分(ベクトル)が加算、スカラー倍の計算(線形結合)をしても、結果が$\mathcal{V}$に存在します。
[ベクトル空間](https://qiita.com/Junlee/items/7282778f73e3f9bcdde2)の定義によれば、$\mathcal{V}$がベクトル空間であり、ベクトル組$\mathcal{A}$の張る空間も呼びます。

## 張る空間例1

```math  
\{\boldsymbol{u}=(1,0,0),\boldsymbol{v}=(0,1,0),\boldsymbol{w}=(0,0,1)\}
```

以上のベクトル組の張る空間が$\mathbb{R^3}=span(\boldsymbol{u},\boldsymbol{v},\boldsymbol{w})$です。$\mathbb{R^3}$が三次元空間です。
![image.png](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/3327130/20387636-3bf6-ecc6-cd15-2d2e6f7bc7a9.png)

## 張る空間例2

$(1,0,0),(0,1,0)$の張る空間が$\mathbb{R^3}$、$\mathbb{R^2}$ではなく、$\mathbb{R^3}$の部分空間です。以下のように緑色の平面です。
![image.png](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/3327130/3d9c025c-e4eb-ded6-8aa4-e0bbd9ca2cc7.png)



## ベクトルとベクトル組、及びベクトル空間とび張る空間

- ベクトル：数字を並べたものをベクトルと定義します。以下の例は三次元ベクトルです。

```math  
  \boldsymbol{u}=(1,0,0)
```

- ベクトル組：複数(有限)のベクトルの集合です。

```math  
\{\boldsymbol{u}=(1,0,0),\boldsymbol{v}=(0,1,0),\boldsymbol{w}=(0,0,1)\}
```

- 張る空間(ベクトル空間)<sup>補足</sup>、上記ベクトル組の線形結合で計算されたベクトルの集合体です。無限な数のベクトルがあります。

```math  
\mathbb{R^3}=span(\boldsymbol{u},\boldsymbol{v},\boldsymbol{w})
=\{k_1\boldsymbol{u}+k_2\boldsymbol{v}+k_3\boldsymbol{w}\}
```

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補足：張る空間とベクトル空間は、性質上から見たら等しいものですが、違いを見てみましょう。
- ベクトル空間：既婚者(状態の表すもの)
    - 鈴木さんが既婚者です。
    - $\mathcal{V}$がベクトル空間です。ベクトル組$\mathcal{A}$の張る空間も呼びます。
- 張る空間：配偶者(具体的に誰のもの)
    - 鈴木さんが田中さんの配偶者です。
    - $\mathcal{V}$が ベクトル組$\mathcal{A}$の張る空間です。
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# 等しいベクトル組

```math  
\mathcal{A}=\{\boldsymbol{a_1},\boldsymbol{a_2},...,\boldsymbol{a_m}\}
\\
\mathcal{B}=\{\boldsymbol{b_1},\boldsymbol{b_2},...,\boldsymbol{b_n}\}
```
ベクトル$\mathcal{B}$で全てのベクトルは$\mathcal{A}$での線形結合(加算、スカラー倍)で表せるなら、ベクトル組$\mathcal{B}$はがベクトル組$\mathcal{A}$にって線形結合で表す可能です。
ベクトル組$\mathcal{B}$とベクトル組$\mathcal{A}$は**お互いに線形結合で表す可能**であれば、$\mathcal{B}$と$\mathcal{A}$が**等しいベクトル組**です。

例えば、また色のRGBとMYKで例えにすると、ベクトル組$\mathcal{V}$とベクトル組$\mathcal{W}$は**お互いに線形結合で表す可能なので**、$\mathcal{V}$と$\mathcal{W}$が**等しいベクトル組**です。


```math  
\mathcal{V}=\{\boldsymbol{R},\boldsymbol{G},\boldsymbol{B}\},\quad \mathcal{W}=\{\boldsymbol{C},\boldsymbol{M},\boldsymbol{Y}\}
```
![image.png](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/3327130/cd7ff9cb-2bdb-e810-81d6-43b9699958db.png)

# 等しい張る空間

等しいベクトル組の張る空間も等しいです。

```math  
\mathcal{A}=\{\boldsymbol{a_1},\boldsymbol{a_2},...,\boldsymbol{a_m}\}
\\
\mathcal{B}=\{\boldsymbol{b_1},\boldsymbol{b_2},...,\boldsymbol{b_n}\}
\\
\mathcal{A}\ と\ \mathcal{B}\ が等しいベクトル組
```
であれば、$span(\mathcal{A})=span(\mathcal{B})$！

RGBとCMYが等しいベクトル組であれば、両者の張る空間（色空間）も同じです。

![image.png](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/3327130/882af756-a21c-e39d-42a8-583c155d3385.png)

# 線形独立な最大なベクトル組

**定義**：

ベクトル組$\mathcal{A}$から、$\mathcal{r}$個ののベクトル$a_1,a_2,a_3,...a_r$を選んで、
```math  
\mathcal{A}_0=\{\boldsymbol{a_1},\boldsymbol{a_2},...,\boldsymbol{a_r}\}
```

以下の条件を満たせれば、ベクトル組$\mathcal{A_0}$がベクトル組$\mathcal{A}$の**線形独立な最大なベクトル組**の一つです。(*複数個のケースがある*)
- ベクトル組$\mathcal{A_0}$が[線形独立](https://qiita.com/Junlee/items/aebd509d2b8f9a897125#%E7%B7%9A%E5%BD%A2%E7%8B%AC%E7%AB%8B%E3%81%A8%E7%B7%9A%E5%BD%A2%E5%BE%93%E5%B1%9E)
- ベクトル組$\mathcal{A}$から、$\mathcal{r+1}$個ののベクトルが線形[独立従属](https://qiita.com/Junlee/items/aebd509d2b8f9a897125#%E7%B7%9A%E5%BD%A2%E7%8B%AC%E7%AB%8B%E3%81%A8%E7%B7%9A%E5%BD%A2%E5%BE%93%E5%B1%9E)

# ベクトル組のランク

**ベクトル組のランク**は**線形独立な最大なベクトル組での個数**になります。$\mathcal{A_0}$でのベクトル個数$\boldsymbol{r}$がベクトル組$\mathcal{A}$のランクです。

例えば、ベクトル組$\mathcal{A}$があります、実はピンク色というベクトルが不要なものです。ピンク色は他の色の線形結合で表せる色です。

```math  
\mathcal{A}=\{\boldsymbol{R},\boldsymbol{G},\boldsymbol{B},\boldsymbol{ピンク色}\}
```
ピンク色を外せば、ベクトル組$\mathcal{A}$の線形独立な最大なベクトル組$\mathcal{A_0}$になります。
```math  
\mathcal{A_0}=\{\boldsymbol{R},\boldsymbol{G},\boldsymbol{B}\}
```

ベクトル組$\mathcal{A}$のランクが3になります。

# 補足説明

- 補足1:零ベクトルしかないベクトル組のランクが$\boldsymbol{0}$です。
```math  
\mathcal{A}=\left\{\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}\right\}
```


# 参考情報：

- [筑波大学-ベクトル空間と線形写像](https://dora.bk.tsukuba.ac.jp/~takeuchi/?%E7%B7%9A%E5%BD%A2%E4%BB%A3%E6%95%B0%EF%BC%A9%2F%E3%83%99%E3%82%AF%E3%83%88%E3%83%AB%E7%A9%BA%E9%96%93%E3%81%A8%E7%B7%9A%E5%BD%A2%E5%86%99%E5%83%8F)
- [wiki-ベクトル空間](https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%99%E3%82%AF%E3%83%88%E3%83%AB%E7%A9%BA%E9%96%93)