本日の微分方程式（23日目）

前回の内容はこちら

https://qiita.com/Schwarzschi1d/items/27d8c4e92ac03a648de8

## 問題

以下の微分方程式の一般解を求めよ．

```math
\begin{align}\tag{1}
\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}+2y=xy^3.
\end{align}
```

## ポイント
- $\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}+P(x)y=Q(x)y^n$ の形は**ベルヌーイの微分方程式** と呼ばれます．ベルヌーイの微分方程式は次の手順で解くことが出来ます．
    - **STEP1**. 両辺を $y^n$ で割る
    - **STEP2**. $y^{1-n}=u$ とおき，**STEP1**で得られた式を， $x$ に関する $u$ の一階線形微分方程式に書き換える． 
    - **STEP3**. 新たな微分方程式を解き，$u(x)$ を求めたら $y(x)$ に変換する． 
- ベルヌーイの微分方程式については，ヨビノリさんの動画もご参照ください．

https://www.youtube.com/watch?v=TaVimHlrN4U&list=PLDJfzGjtVLHnmhT1AhMx7bSt0ZOGbIP3c&index=5

## 解説

ポイントにある **STEP** 通り変形していきます．

---
**STEP1** 両辺を $y^n$ で割る

$y^n\neq 0$ のとき，式(1)の両辺を $y^3$ で割ったものは以下の通りです．

```math
\begin{align}\tag{2}
y^{-3}\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}+2y^{-2}=x.
\end{align}
```

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**STEP2**. $y^{1-n}=u$ とおき，**STEP1**で得られた式を， $x$ に関する $u$ の微分方程式に書き換える． 

$y^{-2}=u$ とおきましょう．これからの目的は，式(2)の左辺第一項 $y^{-3}\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$ すらも $u$ と $x$ で置き換えることです．$u$ も $x$ の関数であることに注意して，$y^{-2}=u$ の両辺を $x$ で微分すると次の関係が得られます．

```math
\begin{align}\tag{3}
\dfrac{\mathrm{d}(y^{-2})}{\mathrm{d}x}&=\dfrac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x},\\
-2y^{-2-1}\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}&=\dfrac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x},\\
\therefore y^{-3}\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}&=-\frac{1}{2}\dfrac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}.
\end{align}
```

少々難しいですが，1行目から2行目への左辺の変形では，合成関数の微分 $\left\\{f(g(x))\right\\}^\prime = f^\prime(g(x))g^\prime(x)$ および $(x^\alpha)^\prime=\alpha x^{\alpha -1}$ を用いました．
さて，有難いことに式(3)では， 欲しかった $y^{-3}\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$ の形が現れましたね．
式(3) の結果および $y^{-2}=u$ を式(2)に代入すると，次の一階線形微分方程式を得ます． 

```math
\begin{align}\tag{4}
-\frac{1}{2}\dfrac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}+2u=x,\\
\therefore \dfrac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}-4u=-2x.\\
\end{align}
```


---

**STEP3**. 新たな微分方程式を解き，$u(x)$ を求めたら $y(x)$ に変換する． 

式(4)は単純な一階線形微分方程式ですから，解の公式でサクッと解を求めてしまいましょう．もちろん，変数変化法や積分因子を用いる方法で求めても良いです．解の公式は[【参考1】](https://qiita.com/drafts/4f655d2e746522ef86f5/edit#%E5%8F%82%E8%80%831-%E4%B8%80%E9%9A%8E%E7%B7%9A%E5%BD%A2%E5%BE%AE%E5%88%86%E6%96%B9%E7%A8%8B%E5%BC%8F%E3%81%AE%E5%85%AC%E5%BC%8F) をご覧ください．

さて，式(4)において，$P(x)=-4$, $Q(x)=-2x$ として公式を適用すれば，

```math
\begin{align}\tag{5}
u&=e^{-\int -4\mathrm{d}x}\left[ \int -2xe^{\int -4\mathrm{d}x}\mathrm{d}x +C\right]~~~(C:任意定数),\\
u&=e^{4x}\left[ -2\int xe^{-4x}\mathrm{d}x +C\right],\\
u&=e^{4x}\left[ -2 \left(-\frac{1}{4}xe^{-4x}-\frac{1}{16}e^{-4x}\right)+C\right],\\
u&=e^{4x}\left[ \frac{1}{2}xe^{-4x}+\frac{1}{8}e^{-4x}+C\right],\\
\therefore u&=\frac{1}{2}x+\frac{1}{8}+Ce^{4x}.\\
\end{align}
```

$y^{−２}=u$ とおいたことを思い出して，変形を行っていきましょう．

```math
\begin{align}\tag{6}
y^{-2}&=\frac{1}{2}x+\frac{1}{8}+Ce^{4x},\\
\frac{1}{y^2}&=\frac{1}{2}x+\frac{1}{8}+Ce^{4x},\\
y^2&=\frac{1}{\frac{1}{2}x+\frac{1}{8}+Ce^{4x}},\\
y^2&=\frac{8}{4x+1+8Ce^{4x}}~~~(C:任意定数).
\end{align}
```

## 【参考1】 一階線形微分方程式の公式

```math
\begin{align}\tag{7}
\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}+P(x)y=Q(x),
\end{align}
```

の解の公式は次のとおりです．

```math
\begin{align}\tag{8}
y=e^{-\int P(x)\mathrm{d}x}\left[ \int Q(x)e^{\int P(x)\mathrm{d}x}\mathrm{d}x +C\right]~~~(C:任意定数).
\end{align}
```

## 【参考2】 瞬間部分積分

部分積分は，俗に言う瞬間部分積分と呼ばれるもので暗算しています．
（まともに計算をしても良いのですが，$\LaTeX$ で書くのが面倒だったのもあります．）

```math
\begin{align}
\int f(x)g(x)\mathrm{d}x &= f^{(0)}g^{(-1)}-f^{(1)}g^{(-2)}+\cdots\\

\int x\times e^{-4x}\mathrm{d}x &=-\frac{1}{4}xe^{-4x}-\frac{1}{16}e^{-4x}  +C
\end{align}
```

詳しくは，ヨビノリさんの動画をご参照ください．

https://www.youtube.com/watch?v=5YyP8WA2aik3
## 【参考3】 Wolframalpha

非常に便利なので，積極的に使っていきましょう．

https://www.wolframalpha.com/input?i=y%27%2B2y%3Dxy%5E3&lang=ja