データサイエンスのための微分積分 第3回 ワイエルシュトラス数列の極限

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本記事は数学講座[2.2ワイエルシュトラス数列の極限](https://www.matongxue.com/lessons/581/parts/914)を勉強して投稿したメモです。詳細は元の素晴らしい講座のページをチェックしてください。
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# コーシー数列の極限の問題

```math
\begin{aligned}\text{長方形の和を利用して}\ \\\text{曲辺台形を擬似する}\end{aligned}\longrightarrow \text{長方形和一般項}\ A_nを算出\longrightarrow \begin{aligned}\lim_{n\to\infty}A_n=Aを利用して\quad\\\text{曲辺台形の面積Aを算出する}\ \end{aligned}
\ \
```
コーシー数列を利用して、曲辺台形面積を算出しようとしたが、$\displaystyle\lim_{n\to\infty}A_n$の計算方法がまだ分からないです。

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# 数列極限の厳密な定義

**定義:** 
数列{${a_n}$}に対して、実数$L$が存在し、任意の正の実数$\epsilon$（いくら小さくても）に対して、ある正の整数$N$が存在して、すべての$n > N$に対して以下の条件が成り立つ場合、
$|a_n-L| < \epsilon,\quad L\in\mathbb{R}$
このとき、$L$は数列${a_n}$の「極限」と呼ばれ、また数列${a_n}$は$L$に「収束する」と言われ、以下のように表記されます:
```math
\lim_{n\to\infty}a_n=L\quad\text{または}\quad a_n\to L(n\to \infty)
```

もし定数Lが存在しない場合、数列${a_n}$は「極限を持たない」と言われ、また数列${a_n}$は「発散する」とも言われます。また、$\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n$が存在しないとも言えます。

**例：**
$\epsilon$がどんなに小さくても、常に適切な$N$を見つけることができ、$n > N$の場合、常に$|a_n-L| < \epsilon$が成り立ちます。
![5.gif](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/3327130/c9e0e0dd-ca95-53fa-15d9-c5c67dbfe931.gif)

# 数列極限のもう一つ定義

こちらで論理記号を使います。

```math
\begin{array}{c|c|c}
    \hline
    \quad \text{論理記号}\quad&\quad \text{意味}\quad& \quad\text{解釈}\quad\\
    \hline
    \\
    \quad\color{orange}\forall\quad&\quad\text{任意}\quad& \quad\text{ Any}\quad \\
    \color{blue}\exists& \text{存在} & \text{Exist}\\
    \\
    \hline
\end{array}
```
例：

```math  

\begin{array}{c|c}
    \hline
    \quad \text{論理記号}\quad&\quad \text{意味}\quad\\
    \hline
    \\
    \quad\forall \epsilon > 0\quad&\quad\text{任意の正数}\ \epsilon\quad\\
    \quad\exists N\in\mathbb{Z}^{+}\quad&\quad\text{存在する}\ N\quad\\
    \quad\forall n > N\quad&\quad\text{全ての}\ n > N\quad\\
    \\
    \hline
\end{array}

```
![image.png](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/3327130/dd2ac653-3c67-d48f-e68e-9d3ca9a6d868.png)

**以上の定義を上記の論理記号で表すと：**
数列{${a_n}$}に対して、$\forall \epsilon > 0$、$\exists N\in\mathbb{Z}^{+}$、$\forall n > N$:

```math
|a_n-L| < \epsilon,\quad L\in\mathbb{R}
```
このとき、$L$は数列{${a_n}$}の「極限」と呼ばれ、また数列${a_n}$は$L$に「収束する」と言われ、以下のように表記されます:
```math
\lim_{n\to\infty}a_n=L\quad\text{または}\quad a_n\to L(n\to \infty)
```

もし定数Lが存在しない場合、
- 数列${a_n}$は「極限を持たない」と言われ、
- また数列${a_n}$は「発散する」とも言われます、
- また、$\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n$が存在しないとも言えます。

# 例題：

$\{a_n\}=\{0.9,0.99,0.999,\cdots\}$には、極限があります。即ち、$\forall \epsilon > 0$、$\exists N\in\mathbb{Z}^{+}$、$\forall n > N$の時に、$|a_n-L| < \epsilon$があります。$LとN$を解けてください。

**解：**

極限$L=1$を推測します、これを使って検証してみます。
数列の一般項が$\displaystyle a_n=1-\frac{1}{10^n}$、$L=1$、また$|a_n-L| < \epsilon$が成立するので、以下のがあります：
```math
|a_n-L|=|a_n-1|=|1-\frac{1}{10^n}-1|=\frac{1}{10^n} <  \epsilon\implies n > \lg\frac{1}{\epsilon}
```
即ち、$\displaystyle N=\lceil\lg\frac{1}{\epsilon}\rceil$、$n > N$のときに、$|a_n-1| <  \epsilon$が成立します。
よって、$L=1,\displaystyle N=\lceil\lg\frac{1}{\epsilon}\rceil$になります。

# 練習

- 練習1
![image.png](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/3327130/33397f3d-15ea-f263-e0ed-4193107209ed.png)


- 練習2
練習1と同じ考え方です。
![image.png](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/3327130/220bf0fc-92b4-904a-af4e-06402af27d0d.png)


# 参考情報

https://math-note.xyz/calculus/basics-of-calculus/bolzano-weierstrass-theorem/