データサイエンスのための線形代数 第17回 行列の階数

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本記事は数学講座[5.1 行列の階数](https://www.matongxue.com/lessons/544/parts/3292)を勉強して投稿したメモです。詳細は元の素晴らしい講座のページをチェックしてください。
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行列関数$Ax=y$において、インプット$x$が２次元のベクトル空間であれば、アウトプットが２次元、１次元或は０次元の可能性しかありません。(＊３次元、４次元にはいかないです！)

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次元数が情報の密度と考えればよいです。情報が同じになるか、落とされるかの２択です。
$×$：低密度$→$高密度
$〇$：高密度$→$低密度、同じ密度
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# 列ベクトル

行列$A$が以下のように、列ベクトルの形で記載していたら：

```math
\boldsymbol{A}=
\begin{pmatrix}
    {\color{green}{a_{11}}}&{\color{blue}{a_{12}}}&\cdots&{\color{purple}{a_{1n}}}\\
    {\color{green}{a_{21}}}&{\color{blue}{a_{22}}}&\cdots&{\color{purple}{a_{2n}}}\\
    \vdots&\vdots&\quad&\vdots\\
    {\color{green}{a_{m1}}}&{\color{blue}{a_{m2}}}&\cdots&{\color{purple}{a_{mn}}}
\end{pmatrix}
=({\color{green}{\boldsymbol{c_1}}},{\color{blue}{\boldsymbol{c_2}}},\cdots,{\color{purple}{\boldsymbol{c_n}}})
```
  
全てのベクトルが含めているベクトル組が列ベクトル組:
```math
列ベクトル組：\{\boldsymbol{c_1},\boldsymbol{c_2},\cdots,\boldsymbol{c_n}\}
```

列ベクトル組が張る空間が**列空間**$colsp(\boldsymbol{A})$です。

```math
\begin{aligned}
    colsp(\boldsymbol{A})
        &=span(\{\boldsymbol{c_1},\boldsymbol{c_2},\cdots,\boldsymbol{c_n}\})\\
        &=x_1\boldsymbol{c_1}+x_2\boldsymbol{c_2}+\cdots+x_n\boldsymbol{c_n},\quad x_{1,2,\cdots,n}\in\mathbb{R}
\end{aligned}
```

列ベクトル組の階数、即ち列空間の次元数が、**列階数**と呼びます。

```math
列階数=rank(colsp(\boldsymbol{A}))
```

列ベクトル組が線形独立でしたら、これが**列フル階数**と呼びます。

## 例: 

$A$行列の列ベクトルが$c_1,c_2$

```math
\boldsymbol{A}=\begin{pmatrix}-1&2\\0&2\\1&-2\end{pmatrix}
\\
\boldsymbol{c_1}=\begin{pmatrix}-1\\0\\1\end{pmatrix},\quad\boldsymbol{c_2}=\begin{pmatrix}2\\2\\-2\end{pmatrix}
```

列ベクトル組{ $c_1,c_2$ } が張る空間が$R^3$での一つ平面です。即ち行列$A$の**列階数**が$2$です。
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列ベクトル組{ $c_1,c_2$ } が線形独立ですから、行列$A$が**列フル階数**です。
（＊線形従属でしたら、階数が1になり、線になります）

# 行ベクトル

行列$A$が以下のように、行ベクトルの形で記載していたら：

```math

\boldsymbol{A}=
\begin{pmatrix}
    {\color{green}{a_{11}}}&{\color{green}{a_{12}}}&\cdots&{\color{green}{a_{1n}}}\\
    {\color{blue}{a_{21}}}&{\color{blue}{a_{22}}}&\cdots&{\color{blue}{a_{2n}}}\\
    \vdots&\vdots&\quad&\vdots\\
    {\color{purple}{a_{m1}}}&{\color{purple}{a_{m2}}}&\cdots&{\color{purple}{a_{mn}}}
\end{pmatrix}
=\begin{pmatrix}{\color{green}{\boldsymbol{r_1}^\mathrm{T}}}\\{\color{blue}{\boldsymbol{r_2}^\mathrm{T}}}\\\vdots\\{\color{purple}{\boldsymbol{r_m}^\mathrm{T}}}\end{pmatrix}

```
  
全てのベクトルが含めているベクトル組が行ベクトル組:
```math
行ベクトル組：\{\boldsymbol{r_1}^\mathrm{T},\boldsymbol{r_2}^\mathrm{T},\cdots,\boldsymbol{r_m}^\mathrm{T}\}
```

行ベクトル組が張る空間が**行空間**$rowsp(\boldsymbol{A})$です。

```math

\begin{aligned}
    rowsp(\boldsymbol{A})
        &=span(\{\boldsymbol{r_1}^\mathrm{T},\boldsymbol{r_2}^\mathrm{T},\cdots,\boldsymbol{r_m}^\mathrm{T}\})\\
        &=x_1\boldsymbol{r_1}^\mathrm{T}+x_2\boldsymbol{r_2}^\mathrm{T}+\cdots+x_m\boldsymbol{r_m}^\mathrm{T},\quad x_{1,2,\cdots,m}\in\mathbb{R}
\end{aligned}

```

行ベクトル組の階数、即ち行空間の次元数が、**行階数**と呼びます。

```math
行階数=rank(rowsp(A))
```

行ベクトル組が線形独立でしたら、これが**行フル階数**と呼びます。

## 例：

先ほどの行列$A$：
```math
\boldsymbol{A}=\begin{pmatrix}-1&2\\0&2\\1&-2\end{pmatrix}
```
行ベクトル組が：

```math  
\boldsymbol{r_1}^\mathrm{T}=\begin{pmatrix}-1&2\end{pmatrix},\quad\boldsymbol{r_2}^\mathrm{T}=\begin{pmatrix}0&2\end{pmatrix},\quad\boldsymbol{r_3}^\mathrm{T}=\begin{pmatrix}1&-2\end{pmatrix}
```

行ベクトル組 { $\{\boldsymbol{r_1}^\mathrm{T},\boldsymbol{r_2}^\mathrm{T},\boldsymbol{r_3}^\mathrm{T}\}$ }が張る空間が$R^2$ですので、行列$A$の行階数が$2$です。
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 { $\{\boldsymbol{r_1}^\mathrm{T},\boldsymbol{r_2}^\mathrm{T},\boldsymbol{r_3}^\mathrm{T}\}$ }が線形従属ですので、$A$が**行フル階数**ではないです。

# 行列の階数

全ての行列にとって、**行階数と列階数が同じ**ですので、**行列の階数**と呼びます。
行列$A$の階数が$rank(A)$、或は $r(A)$と記します。
詳細な証明が元の教材を参照できます。


例えば、行列$A$の列空間と行空間とも平面なので、列階数と行階数が両方とも$２$になります。
```math 
\boldsymbol{A}=\begin{pmatrix}-1&2\\0&2\\1&-2\end{pmatrix}
 ```

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# 参考情報

https://mathlandscape.com/matrix-rank/