代表的な離散確率分布の期待値・分散・母関数計算における途中式まとめ〜幾何分布、負の二項分布、超幾何分布、多項分布編〜

# この記事で解説すること
以下の代表的な離散確率分布における、期待値・分散・確率母関数・モーメント母関数の導出について**途中式を省略することなく**まとめます。辞書的に参考にしてくれたら嬉しいです。
- 幾何分布
- 負の二項分布
- 超幾何分布
- 多項分布

:::note
**離散一様分布、ベルヌーイ分布、二項分布、ポアソン分布**に関しては以下の記事で解説しています。よろしければ、ご覧ください。
:::

https://qiita.com/fujiwara-san/items/49ca0cd39cd310f4d6d3

# 幾何分布
成功確率が$p$の試行について、初めて成功するまでの失敗の回数を$X$とするとき、$X$は**幾何分布**に従うといい、$X \sim Geo(p)$と表現する。幾何分布の確率関数は以下のように書ける。
```math
P(X=x) = (1-p)^xp \ (x=0,1,2,\ldots)
```
:::note warn
幾何分布は、**初めて試行が成功するまでの回数**を$X$として定義することもあります。この記事では、負の二項分布（幾何分布の一般化）との整合性をとるため、上記の定義を使用します。以降で計算する期待値・分散・母関数は、分布の定義の仕方により、**計算結果が多少異なる**ので注意してください。
:::

### 期待値
```math
\begin{align}
E[X] & = \sum_{x=0}^{\infty} x P(X=x) \\
& = \sum_{x=0}^{\infty} x(1-p)^xp \\
& = p \sum_{x=0}^{\infty} x(1-p)^x \\
\end{align}
```
ここで、$S=\sum_{x=0}^{\infty} x(1-p)^x$とおく。このとき、$S$と、$S$に$1-p$を掛けたものをそれぞれ書き下すと、以下のようになる。
```math
\begin{align}
S & = & (1-p) & + & 2(1-p)^2 + 3(1-p)^3 + \cdots \\
(1-p)S & = & & & (1-p)^2 + 2(1-p)^3 + \cdots\\
\end{align}
```
ここで、辺々を引き算すると、
```math
\begin{align}
pS & = (1-p) + (1-p)^2 + (1-p)^3 + \cdots \\
& = \frac{1-p}{1-(1-p)} \ (\because 無限等比級数の公式)\\
& = \frac{1-p}{p}
\end{align}
```
が成り立つ。したがって、
```math
\begin{align}
E[X] & = pS \\
& = \frac{1-p}{p}
\end{align}
```
と求められる。

### 分散
まず、$E[X^2]$を求める。
```math
\begin{align}
E[X^2] & = \sum_{x=0}^{\infty} x^2 P(X=x) \\
& = \sum_{x=0}^{\infty} x^2 (1-p)^xp \\
& = p \sum_{x=0}^{\infty} x^2 (1-p)^x \\
\end{align}
```
ここで、$S=\sum_{x=0}^{\infty} x^2 (1-p)^x$とおく。このとき、$S$と、$S$に$1-p$を掛けたものをそれぞれ書き下すと、以下のようになる。
```math
\begin{align}
S & = & 1^2(1-p) & + & 2^2(1-p)^2 + 3^2(1-p)^3 + \cdots \\
(1-p)S & = & & & 1^2(1-p)^2 + 2^2(1-p)^3 + \cdots\\
\end{align}
```
ここで、辺々を引き算すると、
```math
\begin{align}
pS & = (1^2-0^2)(1-p) + (2^2-1^2)(1-p)^2 + (3^2-2^2)(1-p)^3 + \cdots \\
& = \sum_{x=1}^{\infty}\{x^2-(x-1)^2\}(1-p)^x \\
& = \sum_{x=1}^{\infty}(2x-1)(1-p)^x \\
& = 2\sum_{x=1}^{\infty}x(1-p)^x - \sum_{x=1}^{\infty}(1-p)^x \\
& = \frac{2}{p}\sum_{x=1}^{\infty}x(1-p)^xp - \sum_{x=1}^{\infty}(1-p)^x \\
& = \frac{2}{p} \cdot \frac{1-p}{p} - \frac{1-p}{1-(1-p)} \ (\because 第１項は期待値計算、第２項は無限等比級数の公式)\\
& = \frac{(1-p)(2-p)}{p^2}
\end{align}
```
が成り立つ。したがって、
```math
\begin{align}
E[X^2] & = pS \\
& = \frac{(1-p)(2-p)}{p^2}
\end{align}
```
と求められる。ゆえに分散は、
```math
\begin{align}
V[X] & = E[X^2] - (E[X])^2 \\
& = \frac{(1-p)(2-p)}{p^2} - (\frac{1-p}{p})^2 \\
& = \frac{(1-p)(2-p-1+p)}{p^2} \\
& = \frac{1-p}{p^2}
\end{align}
```
と求められる。

### 確率母関数
```math
\begin{align}
G_X(s) & = E[s^x] \\
& = \sum_{x=0}^{\infty} s^x P(X=x) \\
& = \sum_{x=0}^{\infty} s^x (1-p)^x p \\
& = p \sum_{x=0}^{\infty} \{s(1-p)\}^x \\
& = \frac{p}{1-s(1-p)} (|s|<\frac{1}{1-p})(\because 無限等比級数の公式)
\end{align}
```
なお、$s$に関する条件は、無限等比級数の収束条件（公比の絶対値が1未満であること）から導くことができます。
### モーメント母関数
確率母関数の式に$e^t$を代入することで求められる。
```math
\begin{align}
M_X(t) & = G_X(e^t) \\
& = \frac{p}{1-e^t(1-p)} \ (t < -\log{(1-p)})
\end{align}
```

# 負の二項分布
成功確率$p$の独立なベルヌーイ試行について、確率変数$X$を$r(>0)$回「成功」するまでの「失敗」の回数として定義する。このとき、確率変数$X$は**負の二項分布**に従うといい、$X \sim NB(r, p)$と表す。負の二項分布の確率関数は以下のように表せる。
```math
\begin{align}
P(X=x) = {}_{x+r-1}C_x p^r (1-p)^x \ (x=0, 1, 2, \ldots)
\end{align}
```
::: note
**負の二項分布は、幾何分布を一般化したもの**です。負の二項分布において、$r=1$としたものが幾何分布と一致します。
:::

### 期待値
```math
\begin{align}
E[X] & = \sum_{x=0}^{\infty} x P(X=x) \\
& = \sum_{x=0}^{\infty} x {}_{x+r-1}C_x p^r (1-p)^x \\
& = \sum_{x=0}^{\infty} x \frac{(x+r-1)!}{(r-1)!x!} p^r (1-p)^x \\
& = \sum_{x=1}^{\infty} x \frac{(x+r-1)!}{(r-1)!x!} p^r (1-p)^x (\because x=0に対応する項は0となる)\\
& = \sum_{x=1}^{\infty} \frac{(x+r-1)!}{(r-1)!(x-1)!} p^r (1-p)^x \\
& = \sum_{x=1}^{\infty} \frac{(x+r-1)(x+r-2)\cdots(r+1)r}{(x-1)!} p^r (1-p)^x \ (\because (r-1)!を約分)\\
& = r\cdot\frac{1-p}{p} \sum_{x=1}^{\infty} \frac{(x+r-1)(x+r-2)\cdots(r+1)}{(x-1)!} p^{r+1} (1-p)^{x-1} \\
& = r\cdot\frac{1-p}{p} \sum_{y=0}^{\infty} \frac{(y+(r+1)-1)(y+(r+1)-2)\cdots(r+1)}{y!} p^{r+1} (1-p)^y \ (\because y=x-1とおいた) \\
& = r\cdot\frac{1-p}{p} \sum_{y=0}^{\infty} \frac{(y+(r+1)-1)!}{((r+1)-1)!y!} p^{r+1} (1-p)^y \\
& = r\cdot\frac{1-p}{p} \sum_{y=0}^{\infty} {}_{y+(r+1)-1}C_y \ p^{r+1} (1-p)^y \\
& = r\frac{1-p}{p}\ (\because NB(r+1, p)の全確率が1)
\end{align}
```

### 分散
まず$E[X^2]$を求める。
```math
\begin{align}
E[X^2] & = \sum_{x=0}^{\infty} x^2 P(X=x) \\
& = \sum_{x=0}^{\infty} x^2 {}_{x+r-1}C_x p^r (1-p)^x \\
& = \sum_{x=0}^{\infty} \{(x(x-1)+x\} {}_{x+r-1}C_x p^r (1-p)^x \ (\because x^2を書き換えた) \\
& = \sum_{x=0}^{\infty} x(x-1) {}_{x+r-1}C_x p^r (1-p)^x + \sum_{x=0}^{\infty}x {}_{x+r-1}C_x p^r (1-p)^x \\
& = \sum_{x=2}^{\infty} x(x-1) {}_{x+r-1}C_x p^r (1-p)^x + E[X] \ (\because 第1項:x=0,x=1の項は0となる。第2項:期待値と同じ計算)\\
& = \sum_{x=2}^{\infty} x(x-1) \frac{(x+r-1)!}{(r-1)!x!} p^r (1-p)^x + E[X] \\
& = \sum_{x=2}^{\infty} \frac{(x+r-1)!}{(r-1)!(x-2)!} p^r (1-p)^x + E[X] \\
& = \sum_{x=2}^{\infty} \frac{(x+r-1)(x+r-2)\cdots(r+1)r}{(x-2)!} p^r (1-p)^x + E[X] \ (\because (r-1)!を約分)\\
& = r(r+1)\frac{(1-p)^2}{p^2}\sum_{x=2}^{\infty} \frac{(x+r-1)(x+r-2)\cdots(r+2)}{(x-2)!} p^{r+2} (1-p)^{x-2} + E[X] \\
& = r(r+1)\frac{(1-p)^2}{p^2}\sum_{x=2}^{\infty} \frac{((x-2)+(r+2)-1)((x-2)+(r+2)-2)\cdots(r+2)}{(x-2)!} p^{r+2} (1-p)^{x-2} + E[X] \\
& = r(r+1)\frac{(1-p)^2}{p^2}\sum_{y=0}^{\infty} \frac{(y+(r+2)-1)(y+(r+2)-2)\cdots(r+2)}{y!} p^{r+2} (1-p)^y + E[X] \ (\because y=x-2とおいた)\\
& = r(r+1)\frac{(1-p)^2}{p^2}\sum_{y=0}^{\infty} {}_{y+(r+2)-1}C_y p^{r+2} (1-p)^y + E[X] \\
& = r(r+1)\frac{(1-p)^2}{p^2} + E[X] \ (\because NB(r+2, p)の全確率は1)\\
& = r(r+1)\frac{(1-p)^2}{p^2} + r\frac{1-p}{p}
\end{align}
```
したがって分散は、
```math
\begin{align}
V[X] & = E[X^2] - (E[X])^2 \\
& = r(r+1)\frac{(1-p)^2}{p^2} + r\frac{1-p}{p} - (r\frac{1-p}{p})^2 \\
& = r\frac{1-p}{p^2}
\end{align}
```
と求められる。

### 確率母関数
```math
\begin{align}
G_X(s) & = E[s^X] \\
& = \sum_{x=0}^{\infty} s^x P(X=x) \\
& = \sum_{x=0}^{\infty} s^x {}_{x+r-1}C_x p^r (1-p)^x \\
& = \sum_{x=0}^{\infty} {}_{x+r-1}C_x p^r \{s(1-p)\}^x \\
& = \frac{p^r}{\{1-s(1-p)\}^r}\sum_{x=0}^{\infty} {}_{x+r-1}C_x \{1-s(1-p)\}^r \{s(1-p)\}^x \\
& = (\frac{p}{1-s(1-p)})^r \ (\because NB(r, 1-s(1-p)の全確率は1) \\
\end{align}
```
### モーメント母関数
確率母関数の式に$e^t$を代入することで求められる。
```math
\begin{align}
M_X(t) & = G_X(e^t) \\
& = (\frac{p}{1-e^t(1-p)})^r
\end{align}
```

# 超幾何分布
赤玉$M$個、白玉(N-M)個の合計$N$個の合計$N$個の玉が入っている袋を考える。このとき、非復元抽出で$n$個の玉を取り出したときの赤玉の個数を$X$とすると、$X$は**超幾何分布**に従うといい、$X\sim HG(N,M,n)$と表現する。超幾何分布の確率関数は以下のように書ける。
```math
\begin{align}
P(X=x) = \frac{{}_MC_x \cdot {}_{N-M}C_{n-x}}{{}_NC_n}
\end{align}
```
ただし$x$の範囲は、
```math
\begin{align}
\max{\{0, n+M-N\}} \leq x \leq \min{\{n, M\}}
\end{align}
```
である。

### 期待値
超幾何分布の期待値計算は$x$の範囲によって、**4種類の場合分け**が必要になります（$x$の最小値が0と$n+M-N$の2通り、最大値が$n$と$M$の2通りあるからです）。ここでは簡単のため、$0 \leq x \leq n$の場合のみ示します。他の場合も同様に計算でき、**結果は同じ**になります。
```math
\begin{align}
E[X] & = \sum_{x=0}^n x P(X=x) \\
& = \sum_{x=0}^n x \frac{{}_MC_x \cdot {}_{N-M}C_{n-x}}{{}_NC_n} \\
& = \sum_{x=1}^n x \frac{{}_MC_x \cdot {}_{N-M}C_{n-x}}{{}_NC_n}  \ (\because x=0の項は0となる)\\
& = \sum_{x=1}^n x \frac{M!}{x!(M-x)!} \frac{(N-M)!}{(n-x)!(N-M-(n-x))!} / \frac{N!}{n!(N-n)!} \\
& = \sum_{x=1}^n \frac{M!}{(x-1)!(M-x)!} \frac{(N-M)!}{(n-x)!(N-M-(n-x))!} / \frac{N!}{n!(N-n)!} \\
& = n \frac{M}{N} \sum_{x=1}^n \frac{(M-1)!}{(x-1)!(M-x)!} \frac{(N-M)!}{(n-x)!(N-M-(n-x))!} / \frac{(N-1)!}{(n-1)!(N-n)!} \\
& = n \frac{M}{N} \sum_{y=0}^{n-1} \frac{(M-1)!}{y!(M-1-y)!} \frac{((N-1)-(M-1))!}{((n-1)-y)!((N-1)-(M-1)-((n-1)-y))!} / \frac{(N-1)!}{(n-1)!((N-1)-(n-1))!} \ (\because y=x-1とおいた) \\
& = n \frac{M}{N} \sum_{y=0}^{n-1} \frac{{}_{M-1}C_y \cdot {}_{(N-1)-(M-1)}C_{n-1-y}}{{}_{N-1}C_{n-1}} \\
& = n \frac{M}{N} \ (\because HG(N-1, M-1, n-1)の全確率が1)
\end{align}
```

### 分散
まず$E[X^2]$を求める。
```math
\begin{align}
E[X^2] & = \sum_{x=0}^n x^2 P(X=x) \\
& = \sum_{x=0}^n x^2 \frac{{}_MC_x \cdot {}_{N-M}C_{n-x}}{{}_NC_n} \\
& = \sum_{x=0}^n \{x(x-1)+x\} \frac{{}_MC_x \cdot {}_{N-M}C_{n-x}}{{}_NC_n} \\
& = \sum_{x=0}^n x(x-1) \frac{{}_MC_x \cdot {}_{N-M}C_{n-x}}{{}_NC_n} + \sum_{x=0}^n x \frac{{}_MC_x \cdot {}_{N-M}C_{n-x}}{{}_NC_n} \\
& = \sum_{x=0}^n x(x-1) \frac{{}_MC_x \cdot {}_{N-M}C_{n-x}}{{}_NC_n} + E[X] \ (\because 第2項は期待値の定義そのもの） \\
& = \sum_{x=0}^n x(x-1) \frac{M!}{x!(M-x)!} \frac{(N-M)!}{(n-x)!(N-M-(n-x))!} / \frac{N!}{n!(N-n)!} + E[X] \\
& = \sum_{x=2}^n x(x-1) \frac{M!}{x!(M-x)!} \frac{(N-M)!}{(n-x)!(N-M-(n-x))!} / \frac{N!}{n!(N-n)!} + E[X] \ (\because x=0, x=1に対応する項は0） \\
& = n(n-1) \frac{M(M-1)}{N(N-1)} \sum_{x=2}^n \frac{(M-2)!}{(x-2)!(M-x)!} \frac{(N-M)!}{(n-x)!(N-M-(n-x))!} / \frac{(N-2)!}{(n-2)!(N-n)!} + E[X] \\
& = n(n-1) \frac{M(M-1)}{N(N-1)} \sum_{y=0}^{n-2} \frac{(M-2)!}{y!(M-2-y)!} \frac{((N-2)-(M-2))!}{(n-2-y)!((N-2)-(M-2)-(n-2-y))!} / \frac{(N-2)!}{(n-2)!((N-2)-(n-2)!} + E[X] \\
& = n(n-1) \frac{M(M-1)}{N(N-1)} \sum_{y=0}^{n-2} \frac{{}_{M-2}C_y \cdot {}_{(N-2)-(M-2)}C_{n-2-y}}{{}_{N-2}C_{n-2}} + E[X] \\
& = n(n-1) \frac{M(M-1)}{N(N-1)} + E[X]  \ (\because HG(N-2, M-2, n-2)の全確率が1)\\
& = n(n-1) \frac{M(M-1)}{N(N-1)} + n \frac{M}{N} \\
\end{align}
```
したがって分散は、
```math
\begin{align}
V[X] & = E[X^2] - (E[X])^2 \\
& = n(n-1) \frac{M(M-1)}{N(N-1)} + n \frac{M}{N} - (n \frac{M}{N})^2 \\
& = \frac{nM(N-M)(N-n)}{N^2(N-1)}
\end{align}
```
と求められる。

### 確率母関数&モーメント母関数
超幾何分布の母関数は、常微分方程式論で登場する**超幾何関数**という高度な関数を用いて表現します。そのため、母関数を簡単に導出することができないので、この記事では超幾何分布の母関数は扱いません。

# 多項分布
一回の試行に対して、$K$通りの結果が得られる事象を考える。各結果の発生確率はそれぞれ$p_1, p_2, \ldots, p_K$とする（ただし、$p_i \geq 0$、$\sum_{i=1}^K p_i =1$を満たすとする）。この試行を$n$回繰り返したときの各結果の発生回数を$X_1, X_2, \ldots, X_K$とするとき、$X=(X_1, X_2, \ldots, X_K)$の分布を**多項分布**という。Xが多項分布に従うことを$X \sim Mn(n,p_1,p_2,\ldots,p_K)$と書く。また、多項分布の確率関数は以下のように表せる。
```math
\begin{align}
P(X_1=x_1, X_2=x_2, \ldots, X_K=x_K) = \frac{n!}{x_1!x_2!\cdots x_K!} p_1^{x_1}p_2^{x_2}\cdots p_K^{x_K}
\end{align}
```
ただし、$x_1 + x_2 + \cdots + x_K = n$かつ$x_i \geq 0$を満たすとする。

### 期待値
```math
\begin{align}
E[X_i] & = \sum_{x_i=0}^n x_i P(X_1=x_1, X_2=x_2, \ldots, X_i=x_i, \ldots, X_K=x_K) \\
& = \sum_{x_i=0}^n x_i \frac{n!}{x_1!x_2!\cdots x_i! \cdots x_K!} p_1^{x_1}p_2^{x_2}\cdots p_i^{x_i} \cdots p_K^{x_K}\\
& = \sum_{x_i=1}^n x_i \frac{n!}{x_1!x_2!\cdots x_i! \cdots x_K!} p_1^{x_1}p_2^{x_2}\cdots p_i^{x_i} \cdots p_K^{x_K}\ (\because x=0の項は0となる)\\
& = \sum_{x_i=1}^n \frac{n!}{x_1!x_2!\cdots (x_i-1)! \cdots x_K!} p_1^{x_1}p_2^{x_2}\cdots p_i^{x_i} \cdots p_K^{x_K}　\\
& = np_i \sum_{x_i=1}^n \frac{(n-1)!}{x_1!x_2!\cdots (x_i-1)! \cdots x_K!} p_1^{x_1}p_2^{x_2}\cdots p_i^{x_i-1} \cdots p_K^{x_K}　\\
& = np_i \sum_{y_i=0}^{n-1} \frac{(n-1)!}{x_1!x_2!\cdots y_i! \cdots x_K!} p_1^{x_1}p_2^{x_2}\cdots p_i^{y_i} \cdots p_K^{x_K}　\ (\because y_i = x_i -1とおいた)\\
& = np_i \ (\because Mn(n-1,p_1,p_2,\ldots,p_K)の全確率が1)
\end{align}
```

### 分散
まず$E[X_i^2]$を求める。
```math
\begin{align}
E[X_i^2] & = \sum_{x_i=0}^n x_i^2 P(X_1=x_1, X_2=x_2, \ldots, X_i=x_i, \ldots X_K=x_K) \\
& = \sum_{x_i=0}^n x_i^2 \frac{n!}{x_1!x_2!\cdots x_i! \cdots x_K!} p_1^{x_1}p_2^{x_2}\cdots p_i^{x_i} \cdots p_K^{x_K}\\
& = \sum_{x_i=0}^n \{x_i(x_i-1)+x_i\} \frac{n!}{x_1!x_2!\cdots x_i! \cdots x_K!} p_1^{x_1}p_2^{x_2}\cdots p_i^{x_i} \cdots p_K^{x_K}\\
& = \sum_{x_i=0}^n x_i(x_i-1) \frac{n!}{x_1!x_2!\cdots x_i! \cdots x_K!} p_1^{x_1}p_2^{x_2}\cdots p_i^{x_i} \cdots p_K^{x_K} + \sum_{x_i=0}^n x_i \frac{n!}{x_1!x_2!\cdots x_i! \cdots x_K!} p_1^{x_1}p_2^{x_2}\cdots p_i^{x_i} \cdots p_K^{x_K}\\
& = \sum_{x_i=0}^n x_i(x_i-1) \frac{n!}{x_1!x_2!\cdots x_i! \cdots x_K!} p_1^{x_1}p_2^{x_2}\cdots p_i^{x_i} \cdots p_K^{x_K} + E[X] \ (\because 第2項は期待値計算に一致)\\
& = \sum_{x_i=2}^n x_i(x_i-1) \frac{n!}{x_1!x_2!\cdots x_i! \cdots x_K!} p_1^{x_1}p_2^{x_2}\cdots p_i^{x_i} \cdots p_K^{x_K} + E[X] \ (\because x=0,x=1の項は0となる)\\
& = \sum_{x_i=2}^n \frac{n!}{x_1!x_2!\cdots (x_i-2)! \cdots x_K!} p_1^{x_1}p_2^{x_2}\cdots p_i^{x_i} \cdots p_K^{x_K} + E[X] \\
& = n(n-1)p_i^2 \sum_{x_i=2}^n \frac{(n-2)!}{x_1!x_2!\cdots (x_i-2)! \cdots x_K!} p_1^{x_1}p_2^{x_2}\cdots p_i^{x_i-2} \cdots p_K^{x_K} + E[X] \\
& = n(n-1)p_i^2 \sum_{y_i=0}^{n-2} \frac{(n-2)!}{x_1!x_2!\cdots y_i! \cdots x_K!} p_1^{x_1}p_2^{x_2}\cdots p_i^{y_i} \cdots p_K^{x_K} + E[X] \ (\because y_i = x_i -2とおいた)\\
& = n(n-1)p_i^2 + E[X] \ (\because Mn(n-2,p_1,p_2,\ldots,p_K)の全確率が1)\\
& = n(n-1)p_i^2 + np_i
\end{align}
```
したがって分散は、
```math
\begin{align}
V[X_i] & = E[X_i^2] - (E[X_i])^2 \\
& = n(n-1)p_i^2 + np_i - (np_i)^2 \\
& = np_i(1-p_i) \\
\end{align}
```
と求められる。

### 共分散
まず、$E[X_iX_j]$を求める。任意の$i\neq j$について、
```math
\begin{align}
E[X_iX_j] & = \sum_{x_1+x_2+\cdots+x_K=n} x_i x_j \frac{n!}{x_1!x_2!\cdots x_i! \cdots x_j! \cdots x_K!} p_1^{x_1}p_2^{x_2}\cdots p_i^{x_i}\cdots p_j^{x_j} \cdots p_K^{x_K} \\
& = \sum_{x_1+x_2+\cdots+x_K=n} \frac{n!}{x_1!x_2!\cdots (x_i-1)! \cdots (x_j-1)! \cdots x_K!} p_1^{x_1}p_2^{x_2}\cdots p_i^{x_i}\cdots p_j^{x_j} \cdots p_K^{x_K} \\
& = n(n-1)p_ip_j \sum_{x_1+x_2+\cdots+x_K=n} \frac{(n-2)!}{x_1!x_2!\cdots (x_i-1)! \cdots (x_j-1)! \cdots x_K!} p_1^{x_1}p_2^{x_2}\cdots p_i^{x_i-1}\cdots p_j^{x_j-1} \cdots p_K^{x_K} \\
& = n(n-1)p_ip_j \sum_{x_1+\cdots+x'_i+\cdots+x'_j +\cdots+ x_K=n-2} \frac{(n-2)!}{x_1!x_2!\cdots x'_i! \cdots x'_j! \cdots x_K!} p_1^{x_1}p_2^{x_2}\cdots p_i^{x'_i}\cdots p_j^{x'_j} \cdots p_K^{x_K} \ (\because x_i-1=x'_i, x_j-1=x'_j)\\
& = n(n-1)p_ip_j \ (\because Mn(n-2,p_1,p_2,\ldots,p_K)の全確率が1)
\end{align}
```
となる。したがって共分散は、
```math
\begin{align}
Cov[X, Y] & = E[X_iX_j] - E[X_i]E[X_j] \\
& = n(n-1)p_ip_j - np_i \cdot np_j \\
& = -n p_i p_j
\end{align}
```
と求められる。

### 確率母関数
```math
\begin{align}
G_X(s_1,s_2\ldots,s_{K-1}) & = E[s_1^{X_1}s_2^{X_2} \cdots s_{K-1}^{X_{K-1}}] \\
& = \sum_{x_1+x_2+\cdots+x_K=n} s_1^{x_1}s_2^{x_2} \cdots s_{K-1}^{x_{K-1}} P(X_1=x_1, X_2=x_2, \ldots, X_K=x_K) \\
& = \sum_{x_1+x_2+\cdots+x_K=n} s_1^{x_1}s_2^{x_2} \cdots s_{K-1}^{x_{K-1}} \frac{n!}{x_1!x_2!\cdots x_K!} p_1^{x_1}p_2^{x_2}\cdots p_K^{x_K} \\
& = \sum_{x_1+x_2+\cdots+x_K=n} \frac{n!}{x_1!x_2!\cdots x_K!} (sp_1)^{x_1}(sp_2)^{x_2}\cdots (sp_{K-1})^{x_{K-1}} p_K^{x_K}\\
& = (s_1p_1 + s_2p_2 + \cdots + s_{K-1}p_{K-1} + p_K)^n \ (\because 多項定理)
\end{align}
```
:::note warn
多項分布では、$\sum_{i=1}^K p_i =1$という条件があるため、$K$に対応する生起確率は、計算せずとも$p_K = 1-(p_1 + p_2 + \cdots + p_{K-1})$と求めることができます。そのため、**変数$s_i$の個数は$K-1$個で十分です**。もちろん多変量分布における母関数の定義通りに計算（変数$s_K$も使用）しても間違いではありません。
:::

### モーメント母関数
確率母関数の式に$e^{t_1},e^{t_1},\ldots,e^{t_{K-1}}$を代入することで求められる。
```math
\begin{align}
M_X(t_1, t_2, \ldots, t_{K-1}) & = G_X(e^{t_1},e^{t_2},\ldots,e^{t_{K-1}}) \\
& = (e^{t_1}p_1 + e^{t_2}_2p_2 + \cdots + e^{t_{K-1}}_{K-1}p_{K-1} + p_K)^n
\end{align}
```

# 参考文献
- [『現代数理統計学』（竹村彰通著）](https://www.amazon.co.jp/%E6%96%B0%E8%A3%85%E6%94%B9%E8%A8%82%E7%89%88-%E7%8F%BE%E4%BB%A3%E6%95%B0%E7%90%86%E7%B5%B1%E8%A8%88%E5%AD%A6-%E7%AB%B9%E6%9D%91-%E5%BD%B0%E9%80%9A/dp/4780608600)
- [『統計検定１級対応　統計学』（日本統計学会編）](https://www.amazon.co.jp/%E6%97%A5%E6%9C%AC%E7%B5%B1%E8%A8%88%E5%AD%A6%E4%BC%9A%E5%85%AC%E5%BC%8F%E8%AA%8D%E5%AE%9A-%E7%B5%B1%E8%A8%88%E6%A4%9C%E5%AE%9A1%E7%B4%9A%E5%AF%BE%E5%BF%9C-%E7%B5%B1%E8%A8%88%E5%AD%A6-%E4%BA%8C%E5%AE%AE%E5%98%89%E8%A1%8C/dp/448902150X/ref=sr_1_3?__mk_ja_JP=%E3%82%AB%E3%82%BF%E3%82%AB%E3%83%8A&crid=3N4U2O32D2OEL&keywords=%E7%B5%B1%E8%A8%88%E5%AD%A6+%E4%B8%80%E7%B4%9A&qid=1682225128&s=books&sprefix=%E7%B5%B1%E8%A8%88%E5%AD%A6+1%E3%81%8D%E3%82%85%E3%81%86%2Cstripbooks%2C167&sr=1-3)
- [『統計学入門』（東京大学教養学部統計学教室編）](https://www.amazon.co.jp/%E7%B5%B1%E8%A8%88%E5%AD%A6%E5%85%A5%E9%96%80-%E5%9F%BA%E7%A4%8E%E7%B5%B1%E8%A8%88%E5%AD%A6%E2%85%A0-%E6%9D%B1%E4%BA%AC%E5%A4%A7%E5%AD%A6%E6%95%99%E9%A4%8A%E5%AD%A6%E9%83%A8%E7%B5%B1%E8%A8%88%E5%AD%A6%E6%95%99%E5%AE%A4/dp/4130420658/ref=pd_lpo_2?pd_rd_w=LD4oJ&content-id=amzn1.sym.d769922e-188a-40cc-a180-3315f856e8d6&pf_rd_p=d769922e-188a-40cc-a180-3315f856e8d6&pf_rd_r=Y7HAQNRB53A4CFKPFV2Q&pd_rd_wg=RXXu0&pd_rd_r=2b583667-68c0-4409-ab0a-eca82a91f797&pd_rd_i=4130420658&psc=1)
- [『確率と統計』（藤澤洋徳著）](https://www.amazon.co.jp/%E7%A2%BA%E7%8E%87%E3%81%A8%E7%B5%B1%E8%A8%88-%E7%8F%BE%E4%BB%A3%E5%9F%BA%E7%A4%8E%E6%95%B0%E5%AD%A6-%E8%97%A4%E6%BE%A4-%E6%B4%8B%E5%BE%B3/dp/4254117639/ref=sr_1_5?__mk_ja_JP=%E3%82%AB%E3%82%BF%E3%82%AB%E3%83%8A&crid=3D7OPGRAD7J1K&keywords=%E7%A2%BA%E7%8E%87%E3%81%A8%E7%B5%B1%E8%A8%88&qid=1682225163&sprefix=%E7%A2%BA%E7%8E%87%E3%81%A8%E7%B5%B1%E8%A8%88%2Caps%2C174&sr=8-5)

# 終わりに
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