本日の微分方程式（2日目）

なんとなく脳トレがてら1日1問解説しようと思っただけです．飽きたらやめます．

## 問題
```math
y^{\prime} = y(1-y).
```
を変数分離形として解け．

## ポイント
- $\displaystyle\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=P(x)Q(y)~$ の変数分離形です．
    - 変数分離形についてはヨビノリさんの動画などが参考になります（自分スポンサーをしているので宣伝です）．
    
https://www.youtube.com/watch?v=uPRY-KUl4fg


- 両辺を $Q(y)$ で割って $x$ で積分したくなるのですが， $Q(y)\neq 0$ に注意しましょう．
    - つまり，$Q(y)\neq 0$ と $Q(y)=0$ で場合分けが必要です．
- 積分計算がちょっと厄介です．部分分数分解をマスターしましょう．

## 解説

$P(x)=1, Q(y)=y(1-y)$ の変数分離形です．左辺に $y$ の式，右辺に $x$ の式を持っていき，それぞれ積分しましょう． なお，変数分離を行う前に，$Q(y)$ が恒等的に0になる関数 $y(x)$ がないかチェックしておきましょう．今回は，$Q(y) = y(1-y)=0$ より， $y=0$ および $y=1$ が地雷です． 場合分けして解いていきましょう．

**① $y(1-y)\neq 0$ のとき．**

両辺を $y(1-y)$ で割って，両辺を $x$ で積分します（形式的には左辺を $y$，右辺を $x$ で積分することになります）． 

```math
\begin{align}
    y^{\prime} &= y(1-y), \\
    \frac{1}{y(1-y)}\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}&=1,\\
    \int\frac{1}{y(1-y)}\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\mathrm{d}x&=\int 1\mathrm{d}x,\\
    \int\frac{1}{y(1-y)}\mathrm{d}y&=\int 1\mathrm{d}x.\\
\end{align}
```
ここで，$\displaystyle\frac{1}{y(1-y)}=\frac{1}{y}+\frac{1}{1-y}=\frac{1}{y}-\frac{1}{y-1}$ と部分分数分解できるから（本文末尾で過程を補足），

```math
\begin{align}
\int\left(\frac{1}{y}-\frac{1}{y-1}\right)\mathrm{d}y&=\int 1\mathrm{d}x.
\end{align}
```
後は，$\log A-\log B = \log\dfrac{A}{B}$ に注意してそれぞれ積分・変形を行おう．過程は次の通りです．

```math
\begin{align}
    \log{|~y~|}-\log{|~y-1~|}&=x+C_1~~~(C_1:任意定数),\\
\log{\frac{|~y~|}{|~y-1~|}}&=x+C_1,\\
\log{\left|~\frac{y}{y-1}~\right|}&=x+C_1,\\
\left|~\frac{y}{y-1}~\right|&=e^{x+C_1}~~~(\because 両辺の指数をとった),\\
\left|~\frac{y}{y-1}~\right|&=e^{C_1}e^{x},\\
\therefore\frac{y}{y-1}&=\pm e^{C_1}e^{x}.\\
\end{align}
```

ここで，[1日目の問題](https://qiita.com/Schwarzschi1d/items/ec32d3b7169d99b08e6c) 同様， $C_1$ が任意の実数値を取るとき， $\pm e^{C_1}$ は0以外のすべての値をとるので，上記は

```math
\frac{y}{y-1}=Ce^{x}~~~(C\neq 0),
```

と書き換えることができます．あとはこれを $y$ について解くだけです．両辺に $(y-1)$ をかけて，

```math
\begin{align}
y &= (y-1)Ce^x,\\
y &= yCe^x-Ce^x,\\
y(1-Ce^x)&=-Ce^x,\\
y&=\frac{-Ce^x}{1-Ce^x},\\
\therefore y&=\frac{Ce^x}{Ce^x-1}~~~(C\neq 0).
\end{align}
```

**② $y(1-y)=0$ のとき．**

$y=0$ または $y=1$ のとき，いずれも $y^\prime = 0$ であるから，関数 $y=0$，$y=1$ は方程式 $y^{\prime} = y(1-y)$ を満たします．よって $y=0, y=1$ も解です．

また， $y=0$ は，①の解 $y =\dfrac{Ce^x}{Ce^x-1}$ において，$C=0$ としたものと一致します．
これに対して， $y=1$ は， $y = \dfrac{Ce^x}{Ce^x-1}$ において，$C$ をどのように選んでも作ることが出来ません（このような解を**特異解**といいます）．

よって，①と②の解を合わせれば，

```math
y =\dfrac{Ce^x}{Ce^x-1}~~~(C: 任意定数),~y=1,
```
が微分方程式 $y^{\prime} = y(1-y) x$ の解．

## 【補足1】 部分分数分解

$\dfrac{y}{1-y}$ の部分分数分解のやり方を簡単に詳解します．

まず，$\dfrac{1}{y(1-y)} = \dfrac{A}{y}+\dfrac{B}{1-y}$ とおきます．

### 方法① 数値代入法

両辺に $y(1-y)$ をかけると，

```math
1 = A(1-y) + By,
```

という $y$ についての恒等式ができます．後は，$y$ に任意の実数を代入して $A$ と $B$ に関する連立方程式を得ます．

$y=0$ を代入して，

```math
1 = A,
```

$y=1$ を代入して，

```math
1 = B,
```

よって $\dfrac{1}{y(1-y)} = \dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{1-y}$．

### 方法② 係数比較法

右辺を通分すると，

```math
\frac{1}{y(1-y)} = \frac{(-A+B)y+A}{y(1-y)},
```

と変形できるから，分子に着目し $y$ の多項式についての係数の比較を行いましょう．左辺は1であるから，右辺の $y$ の係数は0， 定数項の値が1になります．よって，得られる連立方程式は次の通りです．

```math
\begin{align}
\left\{ \,
\begin{aligned}
    0 & = -A+B, \\
    1 & = A. \\
\end{aligned}
\right.
\end{align}
```

よって $A=B=1$ であるから $\dfrac{1}{y(1-y)} = \dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{1-y}$．

### 方法③ 暗算1

やっていることはほとんど方法②の係数比較法です．頭の中を書き出してみると，
1. $\dfrac{1}{y(1-y)}$ の分子に $y$ の項がない
1. $y$ と $1-y$ における $y$の係数は 1 と -1 で異符号

という条件から，

```math
\frac{1}{y(1-y)} = \frac{1}{a}\left(\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{1-y}\right)
```

であることがぱっと見わかります．$a$ は，実際に右辺の括弧()内を通分して計算したときの定数項の値です．今回はたまたま1なので即完了です．

### 方法④ 暗算2

やっていることは数値代入法です．連立方程式すら書きたくない人向けです．証明はクドいだけなので省略しますが，$A$ および $B$ は以下のような暗算レベルの計算で求めることができます．

```math
\begin{align}
A &= \left.\frac{1}{y}\right|_{y=1}=1,\\
B &= \left.\frac{1}{1-y}\right|_{y=0}=1.\\
\end{align}
```
イメージはクラメルの公式です．$A$ を求めるときは，第1項の $A$ を左辺の分子に置き換えて，$y$ には第2項の分母が 0 になる $y$ （ここでは $y=1$ ） を代入します．同様に，$B$ を求めるときは，第2項の$B$を左辺の分子に置き換えて，$y$ には第1項の分母が 0 になる $y$ （ここでは $y=0$ ） を代入します．

詳細はこちらのサイトがわかりやすいです．

https://methodology.site/fast-way-to-do-partial-fraction-decomposition-for-integrals/3/

## 【補足2】 

部分分数分解後の変形によっては，解が，


```math
y =\dfrac{Ce^x}{Ce^x+1}~~~(C: 任意定数),~y=1,
```
や，

```math
y =\dfrac{e^x}{e^x+C}~~~(C: 任意定数),~y=1,
```

のようになるかもしれないですが，どれも本質的には同じなので正解です．

## 【補足3】 

$y^{\prime} = y(1-y)$ は $y^{\prime} -y= y^2$ としたベルヌーイ型としても解けます．

こちらも，よろしければヨビノリさんの動画をご参照ください．

https://www.youtube.com/watch?v=TaVimHlrN4U


## 【参考】 Wolframalpha

非常に便利なので皆さん積極的に使っていきましょう．

https://www.wolframalpha.com/input?i=y%27+%3D+y%281-y%29&lang=ja