『スタンフォード ベクトル・行列からはじめる最適化数学』10章章末問題の解答(1/2)

[スタンフォード ベクトル・行列からはじめる最適化数学](https://amzn.to/3LbI555)
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の演習問題を解いているが解答が本書内にもネット上にもない模様。自分の解答を晒して間違いにツッコミをいただき理解を深めようという試み。

10章は問題数が多いので2記事に分けます。

- 問10.1
```math 
\begin{align}
x&: n\times1\\
a&: 1\times1\\
とすると\\
xa&: n行１列\\
ax&: 1行n列\times n行１列\\
つまり、行列積とはみなせない。\\
x&:1\times n\\
a&:1\times1\\
ax&:1行n列\\
だから行列積とみなせる。
\end{align}
```

- 問10.2

```math 
\begin{align}
\mathbf{1}_m^{\top}\mathbf{1}_n&=
\begin{bmatrix}
1 & \cdots & 1 \\
\vdots & \ddots & \vdots\\
1 & \cdots & 1 
\end{bmatrix}
\end{align}
```

- 問10.3
    - (a) Aは正方行列
    - (b) これは必ず真とは言えない
    - (c) 真
    - (d) 必ず真とは言えない

- 問10.4
```math 
\begin{align}
A&=
\begin{bmatrix}
I & B & 0 \\
B^{\top} & 0 & 0 \\
0 & 0 & BB^{\top} \\
\end{bmatrix}\\
&=
\begin{bmatrix}
10\times10 & 10\times5 & 10\times10 \\
5\times10 & 5\times5 & 5\times10 \\
10\times10 & 10\times5 & 10\times10 \\
\end{bmatrix}
\end{align}\\
つまり、25\times25
```

- 問10.5
```math
\begin{align}
ab^{\top}&=
\begin{bmatrix}
a_1 \\
\vdots \\
a_n
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
b_1 & \cdots & b_n \\
\end{bmatrix}\\
&=
\begin{bmatrix}
a_1b_1 & \cdots & a_1b_n \\
\vdots & \ddots & \vdots \\
a_nb_1 & \cdots & a_nb_n
\end{bmatrix}\\
ba^{\top}&=
\begin{bmatrix}
b_1 \\
\vdots \\
b_n
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
a_1 & \cdots & a_n
\end{bmatrix}\\
&=
\begin{bmatrix}
a_1b_1 & \cdots & a_nb_1 \\
\vdots & \ddots & \vdots \\
a_1b_n & \cdots & a_nb_n
\end{bmatrix}\\
\frac{a_i}{b_i}&=c、 cは定数\\
\therefore a&=cb、cは定数
\end{align}
```
- 問10.6
```math
\begin{align}
AB&=
\begin{bmatrix}
cos\theta & -sin\theta \\
sin\theta & cos\theta \\
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
cos\omega & -sin\omega \\
sin\omega & cos\omega \\
\end{bmatrix}\\
&=
\begin{bmatrix}
cos\theta cos\omega - sin\theta sin\omega & -cos\theta sin\omega-sin\theta cos\omega \\
sin\theta cos\omega + cos\theta sin\omega & -sin\theta sin\omega +cos\theta cos\omega \\
\end{bmatrix}\\
&=
\begin{bmatrix}
cos(\theta+\omega) & -sin(\theta+\omega) \\
sin(\theta+\omega) & cos(\theta+\omega)
\end{bmatrix} \\
よってAB&も回転行列であり、回転角度は\theta+\omega \\
ABは&\omega回転の後\theta回転であり、\\
BAは&\theta回転の後\omega回転であるので\\
同じく&\theta+\omega回転する。よって、AB=BA
\end{align} 
```

- 問10.7
```math
\begin{align}
x&=(x_1, x_2, x_3)とおくと、最初の回転ではe_3座標は動かないから\\
x'&=(x_1, x_2)とz'=(z_1, z_2)を考える\\
z'&=\begin{bmatrix}
cos40^{\circ} & -sin40^{\circ} \\
sin40^{\circ} & cos40^{\circ} \\
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
x_1 \\
x_2
\end{bmatrix}\\
&=\begin{bmatrix}
x_1 cos40^{\circ}-x_2 sin40^{\circ} \\
x_1 sin40^{\circ}+x_2 cos40^{\circ} \\
\end{bmatrix}\\
よってz&=(x_1 cos40^{\circ}-x_2 sin40^{\circ},
x_1 sin40^{\circ}+x_2 cos40^{\circ}, x_3)\\
次に&2つ目の回転ではe_1座標は動かないから\\
z'&=(z_2, z_3)とy'=(y_2, y_3)のみを考える\\
y'&=\begin{bmatrix}
cos20^{\circ} & -sin20^{\circ} \\
sin20^{\circ} & cos20^{\circ} \\
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
z_2 \\
z_3
\end{bmatrix}\\
&=\begin{bmatrix}
z_2 cos20^{\circ}-z_3 sin20^{\circ} \\
z_2 sin20^{\circ}+z_3 cos20^{\circ} \\
\end{bmatrix}\\
&=\begin{bmatrix}
(x_1 sin40^{\circ}+x_2 cos40^{\circ}) cos20^{\circ}-x_3 sin20^{\circ} \\
(x_1 sin40^{\circ}+x_2 cos40^{\circ}) sin20^{\circ}+x_3 cos20^{\circ} \\
\end{bmatrix}\\
\therefore y&=\begin{bmatrix}
x_1cos40^{\circ}-x_2sin40^{\circ} \\
(x_1 sin40^{\circ}+x_2 cos40^{\circ}) cos20^{\circ}-x_3 sin20^{\circ} \\
(x_1 sin40^{\circ}+x_2 cos40^{\circ}) sin20^{\circ}+x_3 cos20^{\circ} \\
\end{bmatrix}\\
y&=AxとするとAは\\
A&=\begin{bmatrix}
cos40^{\circ} & sin40^{\circ} & 0 \\
sin40^{\circ}cos20^{\circ} & cos40^{\circ}cos20^{\circ} & -sin20^{\circ} \\
sin40^{\circ}sin20^{\circ} & cos40^{\circ}sin20^{\circ} & cos20^{\circ} \\
\end{bmatrix}\\
AA^{\top}&=
\begin{bmatrix}
cos40^{\circ} & sin40^{\circ} & 0 \\
sin40^{\circ}cos20^{\circ} & cos40^{\circ}cos20^{\circ} & -sin20^{\circ} \\
sin40^{\circ}sin20^{\circ} & cos40^{\circ}sin20^{\circ} & cos20^{\circ} \\
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
cos40^{\circ} & sin40^{\circ}cos20^{\circ} & sin40^{\circ}sin20^{\circ} \\
-sin40^{\circ}  & cos40^{\circ}cos20^{\circ} & cos40^{\circ}sin20^{\circ} \\
0             & -sin20^{\circ} & cos20^{\circ} \\
\end{bmatrix}\\
&=
\begin{bmatrix}
cos^2 40^{\circ}+sin^2 40^{\circ} & cos40^{\circ}sin40^{\circ}cos20^{\circ}-cos40^{\circ}sin40^{\circ}cos20^{\circ} & cos40^{\circ}sin40^{\circ}sin20^{\circ}-cos40^{\circ}sin40^{\circ}sin20^{\circ} \\
sin^2 40^{\circ}cos^2 40^{\circ}cos20^{\circ}-
sin^2 40^{\circ}cos^2 40^{\circ}cos20^{\circ} & sin^2 40^{\circ}cos^2 20^{\circ}+cos^2 40^{\circ}cos^2 20^{\circ}+sin^2 20^{\circ} & sin^2 40^{\circ}sin20^{\circ}+cos^2 40^{\circ}sin20^{\circ}-sin20^{\circ}cos20^{\circ} \\
sin40^{\circ}cos40^{\circ}sin20^{\circ}-sin40^{\circ}cos40^{\circ}sin20^{\circ} & sin^2 40^{\circ}cos20^{\circ}sin20^{\circ}+cos^2 40^{\circ}sin20^{\circ}cos20^{\circ}-cos20^{\circ}sin20^{\circ} & sin^2 40^{\circ}sin^2 20^{\circ}+cos^2 40^{\circ}sin^2 20^{\circ}+cos^2 20^{\circ} \\
\end{bmatrix}\\
&=
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1 \\
\end{bmatrix}\\
よって&Aは直行行列である。
\end{align}
```

- 問10.8
```math 
\begin{align}
D_{ij}&=\sum_{k=1}^{n}{\sum_{l=1}^p{A_{ik}B_{kl}C_{lj}}}\\
&=A_{i1}B_{11}C_{1j}+A_{i1}B_{12}C_{2j}+\cdots+A_{i1}B_{1p}C_{pj}\\
&+A_{i2}B_{21}C_{1j}+A_{i2}B_{22}C_{2j}+\cdots+A_{i2}B_{2p}C_{pj}\\
&+\cdots+\cdots+A_{in}B_{np}C_{pj}\\
&よって(10.1)に対応している。
\end{align}
```

- 問10.9
```math 
\begin{align}
B&=DA\\
D&=
\begin{bmatrix}
d_1 & 0 & \cdots & \cdots & 0 \\
0   & d_2 & 0 & \cdots & 0 \\
0   & \cdots   & \ddots & & \vdots \\
\vdots & & & \ddots \\
0 & \cdots & \cdots & \cdots & d_m \\
\end{bmatrix}\\
A&=\begin{bmatrix}
a_{11} & \cdots & a_{1n} \\
\vdots & \ddots & \vdots \\
a_{m1} & \cdots & a_{mn} \\
\end{bmatrix}\\
\therefore B&=\begin{bmatrix}
d_1a_{11} & \cdots & d_1a_{1n} \\
\vdots    & \ddots & \vdots    \\
d_ma_{m1} & \cdots & d_ma_{mn} \\
\end{bmatrix}
\end{align}
```

- 問10.10
```math 
\begin{align}
&\begin{bmatrix}
p_1 & 0   & \cdots &   & 0 \\
0   & p_2 & 0 & \cdots & 0 \\
\vdots &  & \ddots &   & \vdots \\
0 &  & \cdots &       & p_n \\
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
q_{11} & q_{12} & \cdots & q_{1N} \\
q_{21} &        &        &        \\
\vdots &        & \ddots & \vdots \\
q_{n1} &        & \cdots & q_{nN} \\
\end{bmatrix}\\
&となれば良いから\\
&diag(P)Q
\end{align}
```

- 問10.11
    - (a)
```math
\begin{align}
A&=\begin{bmatrix}
A_{11} & \cdots & A_{1n} \\
\vdots & \ddots & \vdots \\
A_{m1} & \cdots & A_{mn} \\
\end{bmatrix}\\
Bも&同様とおくと、\\
A^{\top}B&=\begin{bmatrix}
A_{11} & \cdots & A_{m1} \\
\vdots & \ddots & \vdots \\
A_{1n} & \cdots & A_{nm} \\
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
B_{11} & \cdots & B_{1n} \\
\vdots & \ddots & \vdots \\
B_{m1} & \cdots & B_{mn} \\
\end{bmatrix}\\
&=\begin{bmatrix}
A_{11}B_{11}+A_{21}B{21}+\cdots+A_{m1}B_{m1} & \cdots \\
\vdots & \ddots & \vdots \\
 &  & A_{1n}B_{1n}+\cdots+A_{mn}B_{mn} \\
\end{bmatrix}\\
\therefore tr(A^{\top}B) &=\sum_{i=1}^m{\sum_{j=1}^n{A_{ij}B_{ij}}}\\
計算量&はmn
\end{align}
```

-
    - (b)

```math
\begin{align}
tr(A^{\top}B)&=\sum_{i=1}^m{\sum_{j=1}^n{A_{ij}B_{ij}}} \\
tr(B^{\top}A)&=\sum_{i=1}^m{\sum_{j=1}^n{B_{ij}A_{ij}}} \\
&=\sum_{i=1}^m{\sum_{j=1}^n{A_{ij}B_{ij}}} \\
&=tr(A^{\top}B)
\end{align}
```

-   - (c)

```math
\begin{align}
tr(A^{\top}A)&=\sum_{i=1}^m{\sum_{j=1}^n{A_{ij}A_{ij}}} \\
&=\sum_{i=1}^m{\sum_{j=1}^n{A_{ij}^2}} \\
(6.3)&より \\
\|A\|&=\sqrt{\sum_{i=1}^m{\sum_{j=1}^n{A_{ij}^2}}} \\
\|A\|^2&=\sum_{i=1}^m{\sum_{j=1}^n{A_{ij}^2}} \\
\therefore & tr(A^{\top}A)&=\|A\|^2
\end{align}
```

-    - (d)
```math
\begin{align}
BA^{\top}&=\begin{bmatrix}
B_{11} & \cdots & B_{1n} \\
\vdots & \ddots & \vdots \\
B_{m1} & \cdots & B_{mn} \\
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
A_{11} & \cdots & B_{m1} \\
\vdots & \ddots & \vdots \\
A_{1n} & \cdots & A_{mn} \\
\end{bmatrix}\\
&=\begin{bmatrix}
B_{11}A_{11}+B_{12}A_{12}+\cdots+B_{1n}A_{1n} & \cdots \\
\vdots & \ddots & \\
       &        & B_{m1}A_{m1}+\cdots+B_{mn}A_{mn} \\
\end{bmatrix}\\
tr(BA^{\top})&=\sum_{i=1}^m{\sum_{j=1}^n{B_{ij}A_{ij}}} \\
&=\sum_{i=1}^m{\sum_{j=1}^n{A_{ij}B_{ij}}} \\
&=tr(A^{\top}B)
\end{align}
```
- 問10.12
```math
\begin{align}
a_1^{\top},& \cdots, a_m^{\top}をAの行\\
b_1,& \cdots, b_nをBの列とする\\
\|AB\|^2&=\sum_{i=1}^m{\sum_{j=1}^n{(a_i^{\top}b_j})^2}\\
コーシー&シュワルツの不等式\\
\|a^{\top}b\|&\le\|a\|\|b\| より\\
\|AB\|^2&=\sum_{i=1}^m{\sum_{j=1}^n{(a_i^{\top}b_j})^2}\\
&=\|A^{\top}B\| \\
&\le\|a\|\|b\|
\end{align}
```

- 問10.13
    - (a)
```math
\begin{align}
v^{\top}Lv&=v^{\top}AA^{\top}v \\
&=(A^{\top}v)^{\top}A^{\top}v \\
&=\|Av\|^2
\end{align}
```

-    - (b)7.3節の例で考えると、
```math
\begin{align}
AA^{\top} of &=\begin{bmatrix}
-1 & -1 &  0 &  1 &  0 \\
 1 &  0 & -1 &  0 &  0 \\
 0 &  0 &  1 & -1 & -1 \\
 0 &  1 &  0 &  0 &  1 \\
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
-1 &  1 &  0 &  0 \\
-1 &  0 &  0 &  1 \\
 0 & -1 &  1 &  0 \\
 1 &  0 & -1 &  0 \\
 0 &  0 & -1 &  1 \\
\end{bmatrix} \\
&=\begin{bmatrix}
 3 & -1 & -1 & -1 \\
-1 &  2 & -1 &  0 \\
-1 & -1 &  3 & -1 \\
-1 &  0 & -1 &  2 \\
\end{bmatrix}\\
よって、&対角要素は各節点の辺の数。\\
(i, j)要素は&節点i, j間の辺の数\times(-1)\\
としたもの
\end{align}

```

- 問10.14
```math
\begin{align}
A&=\begin{bmatrix}
a_1 & a_2 & \cdots & a_n \\
\end{bmatrix} \\
\|a_1\|&=\cdots=\|a_n\|=1 \\
i&\ne j \implies \angle(a_i, a_j)=60^{\circ} \\
a_ia_hj&=\|a_i\|\|a_j\|cos60^{\circ} \\
A^{\top}A&=\begin{bmatrix}
1 & \frac{1}{2} & \cdots & \frac{1}{2} \\
\frac{1}{2} & 1 & & \vdots \\
\vdots & & \ddots & \\
\frac{1}{2} & \cdots & & 1 \\
\end{bmatrix} \\
で何を&どう答えれば良いか分からず
\end{align}
```

- 問10.15
```math 
\begin{align}
G&=A^{\top}A \\
&=\begin{bmatrix}
a_1 \\
a_2 \\
\vdots \\
a_n \\
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
a_1 & a_2 & \cdots & a_n \\
\end{bmatrix} \\
&=\begin{bmatrix}
a_{11}^2+a_{12}^2+a_{1m}^2 & \cdots & a_{1m}a_{m1}+\cdots+a_{1m}a_{nm} \\
\vdots & & \vdots \\
a_{n1}^2+a_{n2}^2+\cdots+a_{nm}^2 & \cdots & a_{n1}^2+\cdots+a_{nm}^2 \\
\end{bmatrix} \\
\|a_i-a_j\|&=\sqrt{(a_{i1}-a_{j1})^2+(a_{i2}-a_{j2})^2+\cdots+(a_{in}-a_{jn})^2} \\
&=\sqrt{a_{i1}^2+a_{i2}^2+\cdots+a_{in}^2+a_{j1}^2+\cdots+a_{jn}^2-2(a_{i1}a_{j1}+\cdots+a_{in}a_{jn})} \\
&=\sqrt{G_{ii}+G_{jj}-2G_{ij}}
\end{align}
```

- 問10.16
    - (a)
```math
\begin{align}
\mu_i&=avg(a_i) \\
&=\frac{1}{k}\sum_{j=1}^k{A_{ij}}
\end{align}
```
-   - (b)$\tilde{a_i}は\tilde{a_1}の誤植か？$
```math
\begin{align}
\tilde{a_i}&=a_i-\mu_i \\
\tilde{A}&=\begin{bmatrix}
a_1-\mu_1 & a_2-\mu_2 & \cdots & a_i\mu_i & \cdots & a_k\mu_k \\
\end{bmatrix} \\
&=A-\mu
\end{align}
```

-    - (c)
```math
\begin{align}
\sum_{ij}&=\frac{1}{n}\tilde{A^{\top}}\tilde{A} \\
&=\frac{1}{n}(A-\mu)^{\top}(A-\mu) \\
i&=j の時 \\
\sum_{ij}&=\frac{1}{n}(A_{ij}-\mu_i)^{\top}(A_{ij}-\mu_i) \\
は、変数&とその平均の差の2乗を変数の数で割ったものだから\\
std(a_i)^2& となる \\
i&\ne j の時 \\
\rho_{ij}&=\frac{std(a_i a_j)}{std(a_i)std(a_j)} より \\
\sum_{ij}&=std(a_i a_j)
\end{align}
```

-    - (d)
```math
\begin{align}
z_i&=\frac{\tilde{a_i}}{std(a_i)}より \\
Z&=\begin{bmatrix}
\frac{a_1-\mu_1}{std(a_1)} & \cdots \frac{a_k-\mu_k}{std(a_k)} \\
\end{bmatrix}
\end{align}
```

- 問10.17
    - (a)
```math
\begin{align}
S\mathbf{1}&=\begin{bmatrix}
S_{ij} \\
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
1 \\
\vdots \\
1 \\
\end{bmatrix} \\
&=\begin{bmatrix}
s_{11} + s_{12} + \cdots + s_{1n} \\
\vdots \\
s_{N1} + s_{N2} + \cdots + s_{Nn} \\
\end{bmatrix} \\
つまり、&患者ごとに発症している症状数
\end{align}
```

-    - (b)
```math
\begin{align}
S^{\top}\mathbf{1}&=\begin{bmatrix}
S_{ji} \\
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
1 \\
\vdots \\
1 \\
\end{bmatrix} \\
&=\begin{bmatrix}
s_{11} + s_{12} + \cdots + s_{1N} \\
\vdots \\
s_{n1} + s_{N2} + \cdots + s_{nN} \\
\end{bmatrix} \\
つまり、&症状ごとの患者数
\end{align}
```

-    - (c)
```math
\begin{align}
S^{\top}S&=\begin{bmatrix}
S_{ji} \\
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
S_{ij} \\
\end{bmatrix} \\
&=\begin{bmatrix}
s_{11}^2 + s_{21}^2 + \cdots + s_{N1}^2 & s_{11}s_{12}+s_{21}s_{22}+\cdots + s_{N1}s_{N2} + \cdots \\
\vdots \\
\end{bmatrix} \\
つまり、&症状jとj'を併発しているか否か
\end{align}
```

-    - (d)
```math
\begin{align}
SS^{\top}&=\begin{bmatrix}
S_{ij} \\
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
S_{ji} \\
\end{bmatrix} \\
&=\begin{bmatrix}
s_{11}^2 + s_{12}^2 + \cdots + s_{1N}^2 & s_{11}s_{21}+s_{12}s_{22}+\cdots + s_{1N}s_{2N} + \cdots \\
\vdots \\
\end{bmatrix} \\
つまり、&患者iとi'が同じ症状か否か
\end{align}
```

- 問10.18
    - (a)N次元ベクトルは、n次元ベクトルの誤植でしょうか？
```math
\mathbf{E}=\mathbf{1}^{\top}\mathbf{C}
```

-   - (b)
```math
\mathbf{S}=\mathbf{C}^{\top}\mathbf{M}
```

- 問10.19
    - (a) グループ３に学生iが属しているか否か
    - (b) 学生15がグループjに属しているか否か
    - (c) $\mathbf{M}=\mathbf{1}^{\top}\mathbf{G}$
    - (d) 学生iとjが一緒に属しているグループ数
```math
\begin{align}
(GG^{\top})_{ij}&=\sum_{j=1}^n{G_{ij}G_{ji}} \\
\end{align}
```
-   - (e) グループiとjに同時に属している学生数
```math
\begin{align}
(G^{\top}G)_{ij}&=\sum_{j=1}^n{G_{ji}G_{ij}} \\
\end{align}
```

- 問10.20
    - $T_{pl}=Q_{mp}^{\top}C_{lm}^{\top}$

- 問10.21
```math
\begin{align}
J&=\int_0^1{p(x)q(x)dx} \\
&=\int_0^1{(c_1+c_2x+c_3x^2)(d_1+d_2x+d_3x^2)dx} \\
&=[c_1d_1x+\frac{c_1d_2+c_2d_1}{2}x^2+\frac{c_1d_3+c_2d_d+c_3d_1}{3}x^3+\frac{c_3d_2+c_2d_3}{4}x^4+\frac{c_3d_3}{5}x^5]_0^1 \\
&=c_1d_1+\frac{c_1d_2+c_2d_1}{2}+\frac{c_1d_3+c_2d_d+c_3d_1}{3}+\frac{c_3d_2+c_2d_3}{4}+\frac{c_3d_3}{5} \\
&=c^{\top}Gd \\
&=G_{11}c_1d_1+G_{12}c_1d_2+G_{13}c_1d_3+G_{21}c_2d_1+G_{22}c_2d_2+G_{23}c_2d_3+G_{31}c_3d_1+G_{32}c_3d_2+G_{33}c_3d_3\\
\therefore G&=\begin{bmatrix}
1 & \frac{1}{2} & \frac{1}{3} \\
\frac{1}{2} & \frac{1}{3} & \frac{1}{4} \\
\frac{1}{3} & \frac{1}{4} & \frac{1}{5} \\
\end{bmatrix}
\end{align}
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問２３から問４４は次の記事に続きます

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- [『スタンフォード ベクトル・行列からはじめる最適化数学』9章章末問題の解答](https://qiita.com/aokikenichi/items/7c1712749b7d65fc7e03)
- [『スタンフォード ベクトル・行列からはじめる最適化数学』10章章末問題の解答(2/2)](https://qiita.com/drafts/90fb3fcecea847fef37c)