ベクトル束の代数構造

https://qiita.com/hiro949/items/ac411275aa065d8b2824

で導入したベクトル束はその合成の演算について代数構造をもちます。
これは低空間上の大域的な不変量の議論において必要になるので紹介したいと思います。

```math
\newcommand{\V}{\mathscr{V}}
\newcommand{\W}{\mathscr{W}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\supp}{\mathrm{supp}}
\newcommand{\Hom}{\mathrm{Hom}}
\newcommand{\pr}{\mathrm{pr}}
```

# 線形空間の直和

$F1 \times F_2$上に和とスカラー倍

```math
(V,W) + (V',W') = (V+V',W+W') \\
\lambda(V,W) = (\lambda V,\lambda W)
```

を定めたものを$F_1 \oplus F_2$と定義します。

# 積束

２つのベクトル束$\V_1 = (E_1,\pi_1,B_1,F_1),\V_2 = (E_2,\pi_2,B_2,F_2)$に対して、射影を

```math
\pi_1\times\pi_2: E_1 \times E_2 \rightarrow B_1 \times B_2 \\
(e_1,e_2) \rightarrow (\pi_1(e_1),\pi_2(e_2))
```

とすれば、

```math
\V_1 \times \V_2 = (E_1 \times E_2, \pi_1 \times \pi_2, B_1 \times B_2, F_1 \oplus F_2)
```

もベクトル束になり、これを積束と言います。積束の次元は

```math
\dim F_1 \oplus F_2 = \dim F_1 + \dim F_2
```

です。

# テンソル積束

テンソル積空間$F_1 \otimes F_2$

```math
(V + V',W) = (V,W) + (V',W) \\
(V,W + W') = (V,W) + (V,W') \\
\lambda(V,W) = (\lambda V,W) = (V,\lambda W)
```

を典型ファイバーとすると、$B_1 = B_2 = B$のとき

```math
\V_1 \otimes \V_2 = (E_1 \times E_2, \pi_1 \times \pi_2, B \times B, F_1 \otimes F_2)
```

もベクトル束となり、これをテンソル積束と言います。テンソル積束の次元は

```math
\dim F_1 \otimes F_2 = \dim F_1 \times \dim F_2
```

となります。


# ベクトル束のホイットニー和

$B_1 = B_2 = B$のとき、写像

```math
\iota: B \rightarrow B \times B \\
\iota(b) = (b,b)
```

による積束の引き戻し束をホイットニー和束と言い、

```math
\V_1 \oplus \V_2 = \iota^*(\V_1 \times \V_2) = (E_1 \oplus E_2, \pi_1\times \pi_2, B, F_1 \oplus F_2) 
```

と表します。引き戻し束の定義に従って

```math
E_1 \oplus E_2 = \{(b,(e_1,e_2)) \mid \pi_1(e_1) = \pi_2(e_2) = b \} \\
\simeq \{ (e_1,e_2) \in E_1 \times E_2 \mid \pi_1(e_1) = \pi_2(e_2) = b \}
```

です。


# 分裂原理

多様体$M$上の複素ベクトル束$E = E \xrightarrow{\pi} M$に対してFlag束と言われるベクトル束

```math
F(E) \xrightarrow{p} M
```

が存在して、微分形式の引き戻し写像によるコホモロジーの引き戻し写像

```math
p^*: H(M) \rightarrow H^r(F(E))
```

が単射で、なおかつ引き戻し束$p^*E$に対して

```math
p^*E = L_1 \oplus \cdots \oplus L_n
```

と適当な複素直線束のホイットニー和で表せることが知られています。$n$はベクトル束の次元です。

# ベクトル束の外積代数

$B$を低空間に持つ複素ベクトル束

```math
\C = (\C,\pi_0,B,\C) \\
V = (V,\pi,B,\C^n)
```

に対してテンソル冪を

```math
T^0(V) = \R \\
T^i(V) = \otimes_i V \\ 
T(V) = \bigoplus_{i=0}^\infty T^i(V)
```

で定義します。また

```math
I^i = \{\underbrace{(v,\cdots,v)}_i \mid v \in V\}
```

とすれば、$I^i$は$T^i(V)$のイデアルなので

```math
\bigwedge^i(V) = T^i(V)/I^i(V) \\
\bigwedge^i(V) = \left(\bigwedge^i(V),\tilde{\pi},B,\C^{in}\right)
```

が定義できて、これを外積代数と言います。

# 分裂原理と外積代数

分裂原理で

```math
p^*E = \bigoplus_{i=1}^{\dim F} L_i
```

と分解されるとき、

```math
\bigwedge^i (V) \simeq_{bundle} \bigoplus_{1 \leq j_1 < \cdots < j_i \leq \dim F} L_{j_1} \otimes \cdots \otimes L_{j_i} 
```

という束の同型関係が成り立ちます。

# ベクトル束の外部積

射影

```math
\pr_1: B_1 \times B_2 \rightarrow B_1 \\
\pr_2: B_1 \times B_2 \rightarrow B_2
```

は

```math
\pr_1(b_1,b_2) = b_1 \\
\pr_2(b_1,b_2) = b_2
```

で与えられて、外部積を

```math
\V \boxtimes \V' = \pr^*_1 \V \otimes \pr^*_2 \V' 
```

で定義します。


# ベクトル束のなす可換半群


同じ底空間$B$をもつ複素ベクトル束全体の集合を$Bdl(B)$と表します。先のホイットニー和とテンソル積には

```math
\V_1,\V_2,\V_3 \in Bdl(B): \\
\V_1 \otimes (\V_2 \oplus \V_3) = (E\V_1 \otimes \V_2) \oplus (E\V_1 \otimes \V_3)
```

という関係が成り立ちます。さらに、ベクトル束としての束同型による同値類でその商空間を定めると、$B$がコンパクトなハウスドルフ空間であるとき　

```math
V(B) = Bdl/\sim_{bundle} \\
[\V] \oplus [\V'] = [\V \oplus \V'] \\
[\V] \otimes [\V'] = [\V \otimes \V']
```

となります。さらに自明束を

```math
\bar{n}=(B \times \C^n,\pi,B,\C)
```
と表すとこれらの同値類について、

```math
[\bar{1}]\otimes[\V] = [\bar{1} \otimes \V] = [\V] \\
[\bar{0}]\oplus[\V] = [\bar{0}\oplus\V] = [\V]
```

となって、$(V(B),\oplus,\otimes)$は可換半群になります。

### 引き戻しと外部積

```math
f: B \rightarrow B'
```

による引き戻し束を考えて、$[\V'] \in V(B)$に対して

```math
f^*[\V'] = [f^*\V'] \in V(B)
```

と定めます。よって外部積も

```math
[\V_1] \in V(B_1), [\V_2] \in V(B_2) \\
[\V_1] \boxtimes [\V_2] = \pr^*_1[\V_1] \otimes \pr^*_2 [\V_2] = [\V_1 \boxtimes \V_2] \in V(B_1 \times B_2)  
```

で定まります。


# グロタンディーク群

可換半群(モノイド)$(M,+)$から可換群$(F(M),+)$を構成することができます。

ここでモノイドには順序集合

```math
m \leq n \Leftrightarrow \exists k: \in M m+k = n
```

が定まります。

$M\times M$に加法


```math
(m_1,n_1) + (m_2,n_2) = (m_1\oplus n_1,m_2\oplus n_2)
```

で定義し、同値関係

```math
(m,n) \sim (m',n') \Leftrightarrow \exists k \in M: m_1+n_2+k = m_2+n_1+k 
```

で定めます。このとき商群

```math
F(M) = M\times M/\sim
```
はアーベル群になります。

```math
m \geq n \Rightarrow \exists m' \in M: m = m' + n \\
m \leq n \Rightarrow \exists n' \in M: n = m + n' \\
```

であるので、モノイドの順序関係に対して$n \geq 0$ならば、 

```math
n = [(n,0)] \\
-n = [(0,n)] 
```

であり、

```math
m-n = \begin{cases}
 m' \ (m \geq n) \\
n' \ (m \leq n) 
\end{cases}
```

と定義すれば、逆元もwell-definedに定義されています。
($m-n$は$n,-n$のいずれかと同じ同値類に入っているので基本的に考える必要はありません。)

このとき、$K(B)=F(V(B))$の元を$X$の仮想束と言います。 また、$K(B)$は(環ですが)K群と呼ばれています。

## １点からなる空間のK群

$B = \{b_0\}$と１点の身からなる場合、$B$を低空間に持つ複素ベクトル束は$\pi^{-1}(b_0) = E \simeq C^n$を満たし、$K(\\{b_0\\})$の任意の元は$[\pm \bar{n}]$($n \in \mathbb{N}$)の形で表されます。したがって同型写像

```math
\phi_1：K(\{b_0\}) \rightarrow \mathbb{Z} \\ 
+\bar{n} \rightarrow n \\
-\bar{n} \rightarrow -n \\
```

が存在します。


# 仮想束の引き戻し

写像

```math
f:B \rightarrow B'
```

に対して、引き戻し束の同値類を考えることで、

```math
f^*: K(B') \rightarrow K(B) \\
f^*([([\V],\bar{0})]) = [([f^*\V],\bar{0})] \\
f^*([(\bar{0},[\V])]) = [(\bar{0},[f^*\V])] \\
```

という写像が定義できます。このとき、

```math
f^*K(B') = \{ f^*k \mid k \in K(B') \} 
```

# 仮想束集合の外部積

引き戻しによって　

$K(B)$には次の外部積は

```math
\boxtimes:K(B_1) \otimes K(B_2) \rightarrow K(B_1 \times B_2) \\
[(n_1,\bar{0})]\boxtimes [(n_2,\bar{0})] = [(\bar{0},n_1)]\boxtimes [(\bar{0},n_2)] = [(n_1 \boxtimes n_2, \bar{0})]\\
[(n_1,\bar{0})]\boxtimes [(\bar{0},n_2)] = [(\bar{0},n_1 \boxtimes n_2)] \\
```

と定義します。

 

# 仮想束集合の環構造

```math
\iota: B \rightarrow B \times B \\
\iota(b) = (b,b) 
```

の引き戻しと外部積によって$K(B)$の積

```math
 k_1 \times k_2 = \iota^*(k_1 \boxtimes k_2)
``` 


が定義出来て、

```math
k_1 \times (k_2 + k_3) = (k_1 + k_2) \times (k_1 + k_3) \\
(k_1 + k_2) \times k_1 = (k_1 + k_3) \times (k_2 + k_3)
```

が成り立つので、$K(B)$は環になります。

# 簡約K群

基点付き空間$(X,x_0)$において制限写像

```math
\pi: K(X) \rightarrow K(\{x_0\}) \simeq \Z
```

をとり、簡約K群を

```math
\tilde{K}(X) = \ker \pi \subset K(X)
```

と定義します。これは$K(X)$の可換部分環になります。

# 相対K群

$Y \subset X$($Y \neq \varnothing$で$Y$は閉集合)に対して

```math
K(X,Y) = \tilde{K}(X/Y)
```

と定義します。

# ベクトル束に対応するK加群

ベクトル束$\V_1 = (E_1,\pi_1,B,\C^{n_1}), \V_2 = (E_2,\pi_2,B,\C^{n_2})$の全空間$E_1,E_2$に対してK群を考えます。また、ホイットニー和は引き戻しで定義されていたので、

```math
\xi: E_1 \oplus E_2 \rightarrow E_1 \times E_2 \\
(b,(e_1,e_2))_{ s.t. \ 
\pi_1(e_1) = \pi_2(e_2) = b} \rightarrow (e_1,e_2) \\
``` 

と$K(E_1)\otimes K(E_2)$に対して外部積を考えて、積

```math
\cdot: K(E_1)\otimes K(E_2) \rightarrow K(E_1 \oplus E_2) \\
(k_1,k_2) \rightarrow \xi^*(k_1 \boxtimes k_2)
```

を定義できます。特に$E_1 = B$のときは

```math
\V_1 = \bar{0} \\
\V_1 \oplus \V_2 = \bar{0} \oplus \V_2 = \V_2
```

なので、全空間のK群$K(E)$は$\cdot:K(B) \otimes K(E) \rightarrow K(E)$でスカラー倍が定義された低空間のK群$K(B)$を係数とする加群になります。

# 複体

複素ベクトル束$\\{\V_i=(E_i,\pi_i,B,\C^{n_i})\\}$と$\alpha_i:E_i \rightarrow E_{i+1}$に対して系列

```math
\V(B): 0 \rightarrow E_0 \xrightarrow{\alpha_0} E_1 \xrightarrow{\alpha_1} \cdots \xrightarrow{\alpha_{n-1}} E_n \rightarrow 0 \\
\alpha_{i+1} \circ \alpha_i = 0 
```

を複体と言います。各$\alpha_i$を微分と言います。
$B$上の複体全体の集合を$\mathfrak{C}(B)$とします。

# 複体の台

複体$\V$に対して微分のファイバーへの制限

```math
\alpha_{i,b}: \pi^{-1}_i(b) \rightarrow \pi^{-1}_{i+1}(b) 
```

を考えます。このとき

```math
B^0 = \{ b \in B \mid 0 \rightarrow \pi^{-1}_0(b) \xrightarrow{\alpha_{0,b}} \pi^{-1}_1(b) \xrightarrow{\alpha_{1,b}} \cdots \xrightarrow{\alpha_{n-1,b}} \pi^{-1}_n(b) \rightarrow 0 \text{が存在しない} \} \\
\supp(\V(B)) = \bar{B^0}
```

を複体$\V(B)$の台と言います。

# 複体の同型性

複体$\V(B),\mathscr{W}(B)$の各複体に対して束の同型写像

```math
\Xi_i =(\xi_{E_i},1_B) \in \Hom(\V_i,\W_i)
```
で
```math
\beta_i \circ \xi_{E_i} = \xi_{E_{i+1}} \circ \alpha_i 
```
($\alpha_i,\beta_i$は$\V,\W$の微分)

を満たすものが存在するとき、２つの複体は同型であると言います。

```math
\V \simeq \W
```

# 複体のホモトピー

$\V(B),\W(B)$がホモトピックであることを次で定義します。

```math
\V \sim \W \Leftrightarrow \exists \mathscr{T} = (\bar{E},\bar{\pi},B\times[0,1],\bar{F}) \in \mathfrak{C}(B\times [0,1]): \V \simeq \bar{\pi}^{-1}(X \times \{0\}), \W \simeq \bar{\pi}^{-1}(X \times \{1\})
```

これによる同値類を複体のホモトピー類とし、これで分類した商空間を

```math
C(B) = \mathfrak{C}(B)/\sim \\
C_0(B) = \{ [\V] \in C(B) \mid \supp(\V) = \varnothing \}
```

とすれば、$C(B)/C_0(B)$は後述する演算によって可換環になります。

## 複体のホモトピー類の代数構造

### 加法

```math
\V + \W: 0 \rightarrow V_0 \oplus W_0 \xrightarrow{\alpha_0 \oplus \beta_0} V_1 \oplus W_1 \xrightarrow{\alpha_1 \oplus \beta_1} \cdots \xrightarrow{\alpha_{n-1} \oplus \beta_{n-1}} V_n \oplus W_n \rightarrow 0
```

ただし、引き戻し束の定義から

```math
\forall (b,(v,w)) \in V_i \oplus W_i: 
\pi(v,w)= b
```

であり、

```math
\alpha_i \oplus \beta_i: (b,(v,w))) \rightarrow (b,(\alpha_i(v),\beta_i(w))))
```

です。

### 積

```math
\V \times \W: 0 \rightarrow V_0 \boxtimes W_0 \xrightarrow{\alpha_0 \boxtimes \beta_0} V_1 \boxtimes W_1 \xrightarrow{\alpha_1 \boxtimes \beta_1} \cdots \xrightarrow{\alpha_{n-1} \boxtimes \beta_{n-1}} V_n \boxtimes W_n \rightarrow 0
```

ここで、各

```math
V_i \boxtimes W_i \rightarrow V_{i+1} \boxtimes W_{i+1}
```

に

```math
 V_i \boxtimes W_i \xrightarrow{(\alpha_i \times 1_{W_i}) \oplus (1_{V_i} \times \alpha_i) } (V_{i+1} \boxtimes W_i) \oplus (V_i \boxtimes W_{i+1}) \xrightarrow{ (-1_{V_i} \times \alpha_i) \oplus (\alpha_i \times 1_{W_i}) } V_{i+1} \boxtimes W_{i+1}
```

という過程を挟んでも複体となっていて、

```math
\alpha_i \boxtimes \beta_i = [(-1_{V_i} \times \alpha_i) \oplus (\alpha_i \times 1_{W_i})] \circ [(\alpha_i \times 1_{W_i}) \oplus (1_{V_i} \times \alpha_i)] 
```

です。


## 複体のホモトピーとK群

以下の同型関係

```math
C(B)/C_0(B) \simeq K(B)
```

が成り立ちます。

## オイラー標数

同型写像

```math
\chi: C(B)/C_0(B) \rightarrow K(B) \\
\chi([\V]_{homotopy}) = \sum_i (-1)^i[\V^i]
```

をオイラー標数と言います。

# 同次準同型写像 

実線形空間$V$を低空間にもつ複体において微分$\alpha: E_i \rightarrow E_{i+1}$のファイバーへの制限

```math
\alpha_{i,v}: \pi^{-1}_i(v) \rightarrow \pi_{i+1}^{-1}(v) 
```

が、

```math
\forall v \in V, \lambda >0: \alpha_{i,\lambda v} = \lambda^m \alpha_{i,v}
```

であるとき、$\alpha_i$は次数$m$の同次準同型写像であると言います。

## ベクトル束を使った例

実線形空間$V$に対して実ベクトル束$(V,\Pi,B,\R^m)$ における射影$\Pi$を使った複体$\V$ の引き戻し$\Pi^* \V$考えると、これらは$V$を低空間に持つベクトル束の複体になります。このとき$\Pi\^*\V$上の微分

```math
\Pi^*\alpha_i:\Pi^*E_i \rightarrow \Pi^*E_{i+1}
```

の$v \in V$のファイバーへの制限

```math
(\Pi^*\alpha_i)_v: \pi_i^{-1}(\Pi(v)) \rightarrow \pi_{i+1}^{-1}(\Pi(v)) 
```

が($\Pi^*\pi^{-1}(v) = \pi_i^{-1}(\Pi(v))$を用いた。)、次数$m$の同次準同型写像であるとは

```math
\forall v \in V, \lambda>0: (\Pi^*\alpha_i)_{\lambda v} = \lambda^m (\Pi^*\alpha_i)_v \in \Hom(\pi_i^{-1}(\Pi(v)), \pi_{i+1}^{-1}(\Pi(v)))
```

となることです。


# トム準同型

複素ベクトル束$\V=(E,\pi,B,\C^n)$に対して、外積代数$\bigwedge^i(V)$を用いて複体

```math
\bigwedge(\V): 0 \rightarrow E \oplus \bigwedge^0(E) \xrightarrow{d_0} E \oplus \bigwedge^1(E) \xrightarrow{d_1} \cdots \xrightarrow{d_{i-1}} E \oplus \bigwedge^i(E) \xrightarrow{d_i} \cdots　\\
\pi_i^\wedge: (v,w) \rightarrow \pi(v) \\
d_i: (v,w) \rightarrow (v,v\wedge w)
```

を定義します。すると、複体の(商群に直して任意性を取り除いた)ホモトピー類とK群の同型関係から

```math
E \oplus \tilde{\V}_i = (E \oplus \bigwedge^i(E),\pr_1,E,\C^{n_i}) \\
\tilde{\V}_i = (\bigwedge^i(E),\pi_i,E,\C^{n_i-n})
```

として、

```math
\left[ \bigwedge(\V) \right]_{homotopy} \leftrightarrow \sum_i (-1)^i \left[ E \oplus \tilde{\V}_i \right] = \sum_i (-1)^i \left[ \tilde{\V}_i \right] 
```

このとき準同型写像

```math
\phi: K(B) \rightarrow K(E) \\
\phi([\W]) = \sum_i (-1)^i [\W]\cdot\left[ \tilde{\V}_i \right]
```

が定義できます。この準同型写像$\phi$をトム準同型と言います。

### 同型性

実はトム準同型は同型写像になっています。

### トム準同型に関する公式

ゼロ切断$\sigma_0:B \rightarrow E$の引き戻し$\sigma_0^*:K(E) \rightarrow K(B)$を用いると

```math
\tilde{\tilde{\V}}_i = (\bigwedge^i(E),\tilde{\pi},B,\C^{n_i-n})
```

```math
\sigma_0^*\phi([\W]) = \sum_{i} (-1)^i \left[ \W \otimes \sigma_0^*\bigwedge^i(\V) \right]
```

となります。

# G-ベクトル束

ベクトル束$E=(E,\pi,B,F,G)$の$E,B$に共に$G$の左からの作用が定義されていて

- $\forall e \in E, g \in G: \pi(ge) = g\pi(e)$
- $\forall b \in B$に対して$g$は$\pi^{-1}(b)$と$\pi^{-1}(gb)$の間の全体射写像

の２条件を満たすとき$E$をG-ベクトル束と言います。$K(B)$などを全てG-ベクトル束に制限して同様に定義し、$E,B$に関係する写像はすべて$G$の作用について同変であるとします。同様に$G$に同変なトム準同型も定義されます。また、G-ベクトル束全体の集合に対して定義されたK群を$K_G(B)$と表します。

$G$の$B$への作用が自由であるとき、全てのベクトル束に対して定義された$K(B)$と軌道空間$B/G$に対して

```math
K_G(B) \simeq K(B/G)
```

となり、$H$をコンパクトなリー群として$G\times H$が$H$について自由に$B$に作用するときは

```math
K_{G \times H}(B) \simeq K_G(X/H)
```

となります。

# コメント

証明の割愛は置いておいて論理や概念の整合性がちゃんととれていないところがありそうなので、コメントや指摘をいただけると幸いです。
    
# 参考資料
- http://www.yo.rim.or.jp/~kenrou/math/index.pdf
- https://snaka0213.github.io/pdf/k-theory.pdf
- https://pi.math.cornell.edu/~hatcher/VBKT/VB.pdf
- https://en.wikipedia.org/wiki/Tensor_algebra
- https://en.wikipedia.org/wiki/Exterior_algebra
- https://arxiv.org/pdf/math/0504555.pdf