微分幾何と束


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で多様体と束の関係を見ていきました。次に微分幾何の諸概念が束の観点からはどういうものになるのか見ていきたいと思います。

```math
\newcommand{\open}{\mathcal{O}}
\newcommand{\Ad}{\mathrm{Ad}}
\newcommand{\hom}{\mathrm{Hom}}
\newcommand{\pr}[1]{\mathrm{pr}_{#1}}
\newcommand{\diff}[2]{\frac{d #1}{d #2}}
\newcommand{\pdiff}[2]{\frac{\partial #1}{\partial #2}}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
```


# 平行移動

## 水平もち上げ

低空間$M$上の曲線

```math
\gamma:[0,1] \rightarrow M \\
\gamma(0)=a, \gamma(1)=b
```

に対して$p_0 \in \pi^{-1}(a)$を通る曲線$\gamma^\uparrow_{p_0}:[0,1] \rightarrow P$を以下を満たすようにとります。

- $\gamma ^\uparrow(0)_{p_0}=p_0$
- $\pi \circ \gamma^\uparrow_{p_0} = \gamma$
- $\forall\lambda \in [0,1]$に対して

```math
ver(X_{\gamma^\uparrow_{p_0}})_{\gamma^\uparrow_{p_0}(\lambda)} = 0, \\
\pi_*(X_{\gamma^\uparrow_{p_0}})_{\gamma^\uparrow_{p_0}(\lambda)} = (X_{\gamma})_{\gamma(\lambda)}
```

が成り立つ。

このとき$\gamma^\uparrow_{p_0}$を$\gamma$の$p_0$を通る水平持ち上げと言います。このような水平持ち上げは一意に存在します。

### 水平もち上げの具体的な構成

曲線$\gamma:[0,1] \rightarrow M$の$p_0$を通る水平もち上げが存在するとき、

```math
\forall \delta: [0,1] \rightarrow P \ s.t. \ \pi \circ \delta = \gamma; \\
\exists g_0 \in G \ s.t. \ g_0 \delta(0) = p_0; \\
\exists \tilde{g}: [0,1] \rightarrow G \ s.t. \ \tilde{g}(0) = g_0; \\
\gamma^\uparrow_{p_0}(\lambda) = \tilde{g}(\lambda)\delta(\lambda)
```

となります。そして、曲線$\tilde{g}$は次の常微分方程式

```math
(\Ad_{(g(\lambda))^{-1}})_* [(\omega_{\delta(\lambda)}) ((X_\delta)_{\delta(\lambda)})] + \Xi_{g(\lambda)}((X_\delta)_{\delta(\lambda)}) = 0 \\
\tilde{g}(0) = g_0
```

で与えられます。

特に$G$が行列群の場合、この方程式は

```math
\tilde{g}^{-1}(\lambda) [(\omega_{\delta(\lambda)}) ((X_\delta)_{\delta(\lambda)})] \tilde{g}(\lambda) + \tilde{g}^{-1}(\lambda) \diff{\tilde{g}(\lambda)}{\lambda} = 0 \\
\Leftrightarrow \diff{\tilde{g}(\lambda)}{\lambda} = - [(\omega_{\delta(\lambda)}) ((X_\delta)_{\delta(\lambda)})] \tilde{g}(\lambda) = 0 \\
\Leftrightarrow \tilde{g}(\lambda) = g_0 \exp\left[-\int_0^\lambda d \lambda' (\omega_{\delta(\lambda')}) ((X_\delta)_{\delta(\lambda')}) \right]
```

と計算されます。

## 平行移動

今、定義した水平もち上げ$\gamma^\uparrow_{p_0}$を用いて曲線$\gamma:[0,1] \rightarrow M$に沿った平行移動写像を

```math
T_{\gamma}: \pi^{-1}(\gamma(0)) \rightarrow \pi^{-1}(\gamma(1)) \\
T_\gamma(p) = \gamma^\uparrow_p(1)
```

と定義します。

## 同伴束の水平もち上げと平行移動

主G束$\mathscr{P} = (P,\pi,M,F,G)$で、典型ファイバー$F$には$G$が右から作用しているとします。このとき同伴束$\mathscr{P}_F = (P_F,\pi_F,M,F)$導かれます。
曲線$\gamma:[0,1] \rightarrow M$の$p_0 \in \pi^{-1}(\gamma(0))$を通る主G束$\mathscr{P}$への水平もち上げ$\gamma^\uparrow$に対して、$[p_0,f_0] \in P_F$を通る同伴束$\mathscr{P}_F$への水平もち上げを

```math
\gamma^{\uparrow_{P_F}}_{[p_0,f_0]}: [0,1] \rightarrow P_F \\
\gamma^{\uparrow_{P_F}}_{[p_0,f_0]}(\lambda) = [\gamma^{\uparrow}(\lambda),f]
```

と定めます。

これに対して同伴束上の平行移動写像を

```math
T_\gamma^{P_F}: \pi^{-1}(\gamma(0)) \rightarrow \pi^{-1}(\gamma(1)) \\
T_\gamma^{P_F}([p,f]) = \gamma^{\uparrow_{P_F}}_{[p,f]}(1)
```

と定めます。

# 共変外微分

主G束$\mathscr{P} = (P,\pi,M,F,G)$を考えます。このとき自由な加群$V$を値に持つ$k$次微分形式$\phi \in \Omega^{k}(P;V)$の共変外微分$D\phi \in \Omega^{k+1}(P;V)$を

```math
D\phi:	\overbrace{\Gamma(TP) \times \cdots \times \Gamma(TP)}^{k+1}　 \rightarrow V \\
D\phi(X_1,\cdots,X_{k+1}) = d\phi(hor(X_1),\cdots,hor(X_{k+1}))
```

と定義します。

# 曲率 
主G束$\mathscr{P}$上に接続１形式$\omega$が定義されているとします。このとき曲率$\kappa \in \Omega^2(P,T_eG)$を

```math
\kappa: \Gamma(TP) \times \Gamma(TP) \rightarrow T_eG \\
\kappa = D\omega = d\omega + \omega \hat{\wedge} \omega
```

と定義します。ただし、$X,Y \in \Gamma(TP)$に対して

```math
\omega \hat{\wedge} \omega(X,Y) = [\omega(X),\omega(Y)] 
```

です。

# ヤンーミルズ場の強度

開集合$U \in \mathcal{O}_M$上の局所切断$\sigma^U$を用い、
先ほど定義した曲率に対して

```math
\mathrm{Reim} = F = (\sigma^U)^*\kappa \\
= d[(\sigma^U)^*] \omega + (\sigma^U)^*\omega \hat{\wedge} (\sigma^U)^*\omega \in\Omega^2(U;T_eG)
```

をヤンーミルズ場の強度と言います。(束を用いない微分幾何では通常こちらが曲率と言われています。)

特に$G$が行列群の場合は$U$の座標表示を$x$、$G$の座標表示を$y$とすればヤンーミルズ場を

```math
\omega^U: X^\mu \pdiff{}{x^\mu} \rightarrow A^i_j \pdiff{}{y^{ij}}\\
(\omega^U)^i_j = \Gamma^i_{j \mu}X^\mu
```

と表すことができます。(添え字が１個多いように見えますが、返り値の$A \in T_eG$が行列なので添え字が２つ必要になります。)
ちなみにこの$\Gamma:U \rightarrow T_eG$はレヴィ・チヴィタ接続です。そしてヤンーミルズ場の強度は

```math
\mathrm{Reim}^i_{j\mu\nu} = \pdiff{\Gamma^i_{j\mu}}{x^\nu} - \pdiff{\Gamma^i_{j\nu}}{x^\mu} + \sum_k( \Gamma^i_{k\mu}\Gamma^k_{j\nu} - \Gamma^i_{k\nu}\Gamma^k_{j\mu})
```

と表されます。

# 共変微分

共変微分は同伴束を用いて定義されます。主G束$\mathscr{P}$がベクトル束である場合、典型ファイバー$F$に$G$の右からの作用が定義されていればその同伴束$\mathscr{P}_F$が存在します。ここで、$M$上のチャート$(U,x)$を取ります。このとき$k=0$次の共変外微分を用いて共変微分$\nabla_X: C(U,P_F) \rightarrow  C(U,P_F)$は

```math
\nabla_X \sigma_F^U = D\sigma_F^U(X) = (D\sigma_F^U)\circ hor(X)
```

と定義されます。

## 共変微分の性質

任意の

```math
U \in \mathcal{O}_M
```

に対して共変微分$は以下を満たします。

```math
\forall X,Y \in T_mU, f \in C^\infty(U): \nabla_{fX+Y} \sigma^U_F = f\nabla_X \sigma^U_F + \nabla_Y \sigma^U_F \\
\forall \sigma^U_F,\tau^U_F: \nabla_X (\sigma^U_F + \tau^U_F) = \nabla_X \sigma^U_F + \nabla_X \tau^U_F \\
\forall f \in C^\infty(U): \nabla_X(f\sigma_F^U) = X(f)\sigma_F^U + f\nabla\sigma_F^U
```

が成り立ちます。

# ヤンーミルズ場を使った具体的な表示

```math
j:T_eG \rightarrow G \\
j(X) = \diff{\exp(tX)}{t}
```

とすれば、$p \in U$に対して

```math
\nabla_X \sigma(p) = [d\sigma(X)](p) + \sigma(p)  j(\omega^U(X))(p)
```

です。$G$が行列群の場合、成分ごとに書けば$(\omega^U)^i_j = \Gamma^i_{j\mu} dx^\mu$として

```math
(\nabla_X \sigma)^i = \diff{\sigma^i}{x^\mu}X^\mu + \Gamma^i_{j\mu} \sigma^j X^\mu 
```


となり、馴染みのある共変微分の形に変形できます。(ベクトル束の切断の線形性から外の係数はすべて第２成分にかかるので、厳密には同値類の代表元の第２成分が親しまれている共変微分です。ちなみに値は代表元の取り方に依らず一定です。)

# 参考資料
- https://www.youtube.com/playlist?list=PLPH7f_7ZlzxTi6kS4vCmv4ZKm9u8g5yic