多様体と特性類


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で束を用いた多様体の議論をしてきました。そのモチベーションは多様体の大域的な性質を見たいというもので、ここではその大域的な不変量についてみていこうと思います。

```math
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\newcommand{\g}{\mathfrak{g}}
\newcommand{\Ad}{\mathrm{Ad}}
\newcommand{\Reim}{\mathrm{Reim}}
\newcommand{\tr}{\mathrm{tr}}
\newcommand{\ch}{\mathrm{ch}}
\newcommand{\Td}{\mathrm{Td}}
```

# 不変多項式

$k \times k$次元複素行列全体の集合を$M_k(\C)$とします。これに対して対称な複素線形関数全体の集合を

```math
S^r(M_k(\C)) = \{ \tilde{P}:\bigotimes^r M_k(\C)\rightarrow \C \mid \forall s \in \mathfrak{S}_r: \tilde{P}(A_1,\cdots,A_r) = \tilde{P}(A_{s(1)},\cdots,A_{s(r)}) \} \\
S^*(M_k(\C)) = \bigoplus_{r=0}^\infty S^r(M_k(\C))
```

とし、積を

```math
\tilde{P}\tilde{Q}(A_1,\cdots,A_{p+q}) = \frac{1}{(p+q)!}\sum_{s \in \mathfrak{S}_{p+q}} \tilde{P}(A_{s(1)},\cdots,A_{s(p)}) \tilde{Q}(A_{s(p+1)},\cdots,A_{s(p+q)})
```

で定義すれば、$S^*(M_k(\C))$は環になります。

次にリー群$G$が行列群の場合、典型ファイバー$F$への右からの作用によって$k = \dim F$とすると、$F$上の表現として$k \times k$次元の行列で表されます。リー代数$\g \simeq T_eG $は$k\times k$次元行列で表され、$M_k(\C)$の部分空間$\g_M \subset M_k(\C)$と線形同型でした。（この同型写像を$i_M$とします。）よって、

```math
S^r(\g) = S^r(\g_M) \\
S^*(\g) = S^*(\g_M)
```

と定義できます。

ここで、$gh \in G$に対して

```math
\Ad_g(h) = g^{-1}hg
```

とすれば、その押し出しは

```math
(\Ad_g)_*X = i_M^{-1}(g^{-1}i_M(X)g) 
```

と行列で書けます。$(\Ad_g)\_*: \g_M \rightarrow \g_M$として書けば、$(\Ad_g)_*A = g^{-1}Ag$です。

これに対して$G$不変な部分集合を

```math
I^r(G;\g) = \{ \tilde{P} \in S^r(\g) \mid \forall g \in G: \tilde{P}((\Ad_g)_*X_1,\cdots,(\Ad_g)_*X_r) = \tilde{P}(X_1,\cdots,X_r) \} \\
I^*(G;\g) = \bigoplus_{r=0}^\infty I^r(G;\g)
```

とすれば、$I\^r(G;\g)$,$I^\*(G;\g)$は$S\^r(\g)$,$S^\*(\g)$の部分空間になっています。このもとで不変多項式を

```math
P(X) = \tilde{P}(\overbrace{X,\cdots,X}^{r}) \in I^r(G;\g) 
```

と定義します。

# 極化

逆に不変多項式$P(X)$から$I^r(G;\g)$の元を構成することができます。

```math
f:\C^r \rightarrow \C \\
f(t_1,\cdots,t_r) = P(t_1X_1+\cdots+t_rX_r)
```

とすれば、これは$t_1,\cdots,t_r$の多項式になっていて、

```math
f(t_1,\cdots,t_r) = \sum_{\substack{(p_1,\cdots,p_r) \in \Z_0^r \\ \sum_ip_i = r}} \tilde{P}(X_{i_1},\cdots,X_{i_k}) t_1^{p_1}\cdots t_r^{p_r} 
``` 

と展開できます。ここで$\Z_0$は0以上の整数で、

```math
i_j \in \{1,2,\cdots,r\} \ s.t. \ p_{i_j} \neq 0
```

を昇順に並べたのが$(i_1,\cdots,i_k)$($k \leq r$)です。これらの係数のうち$t_1\cdots t_r$の係数はただ１つであり、これによって極化$I(G;\g)^r \rightarrow I(G;\g)^r$が

```math
P(X) \rightarrow \frac{1}{r!}\tilde{P}(X_1,\cdots,X_r)
```

で定まります。

# 微分形式への拡張

主G束$\mathscr{P} = (M,\pi,P,F,G)$($M,P,F$は複素多様体)に対して$\g$を値にもつ$p_i$次微分形式$\Omega^{p_i}(M,\g)$は$\g$を値に持つ$\Omega^{p_i}(M)$上の加群なので、

```math
\forall \omega_i \in \Omega^{p_i}(M,\g): \exists \eta_i \subset \Omega^{p_i}(M), A_i \in \g: \omega_i = A_i\eta_i
```

であり、

```math
\tilde{P}(A_1\eta_1,\cdots,A_r\eta_r) = \tilde{P}(A_1,\cdots,A_r)\eta_1\wedge \cdots \wedge \eta_r \\
P(A\eta) = P(A) \eta \wedge \cdots \wedge \eta
```

と定義します。以降

```math
I^r(G) = I^r(G;\Omega(M;\g))
```

とします。

するとヤンーミルズ場の強度に対して以下の定理が成り立ちます。

# チャーン・ヴェイユの定理

不変多項式$P \in I^r(G)$に対して以下が成り立ちます。

- $P(\Reim) \in Z^{2r}(M) \Leftrightarrow dP(\Reim) = 0$
- ２つの接続1形式$\omega_1,\omega_2$ (これらはゲージ写像で変換されます。)に対して定義されたヤンーミルズ場の強度$\Reim_1,\Reim_2$に対して$P(\Reim_2) - P(\Reim) \in B^{2r}(M)$

２つ目の命題について具体的に構成すると、$\omega: \R \rightarrow \g$を

```math
\omega(t) = \omega_1 + t(\omega_2 - \omega_1)
```

として、これに対するヤンーミルズ場の強度

```math
\Reim(t) = (\sigma^U)^*D\omega(t)
```

を考え、$P \in I^r(G)$の転入を

```math
TP(\omega',\omega) = r\int_0^1 dt \tilde{P}(\omega'-\omega,\overbrace{\Reim(t),\cdots,\Reim(t)}^{r-1}) \in \Omega^{2r-1}(M)
```

と定義します。($\tilde{P}$は$P$の極化です。)すると、

```math
P(\Reim_2) - P(\Reim_1) = dTP(\omega_2,\omega_1) \in B^{2r}(M)
```

と書けます。


# 特性類と特性数

チャーン・ヴェイユの定理より、不変多項式$P(\Reim) \in I^r(G;\Omega^2(M;\g))$からドラームコホモロジー類

```math
\chi_\mathscr{P}(P) = [P(\Reim)] \in H^{2r}(M)
```

を構成できます。この

```math
\chi_\mathscr{P}: I^*(G) \rightarrow H^*(M)
```

は準同型写像になっていて、ヴェイユ準同型と呼ばれています。

また、引き戻し束$f^*\mathscr{P}$に対しては

```math
\chi_{f^*\mathscr{P}} = f^*\chi_\mathscr{P}
```
が成り立ちます。

### 特性数

特に$\dim M=2r$のとき、

```math
\nu(P) = ([M],[P(\Reim)]) = \int_M P(\Reim)
```

を特性数と呼びます。特性数は不変多項式$P$の取り方によって色々なものがあります。

#### 特性類の記法などについて

慣習的に微分形式$P(\Reim)$のことを特性類と呼ぶ人もいます。
また、基本的には$\Reim$に対する不変多項式しか考えないので、主G束$\mathcal{P} = (\mathcal{P},\pi,M,F,G)$に対して

```math
P(\mathcal{P}) = P(\mathcal{P}) = P(\Reim)
```

と表記することもあります。例えば次のチャーン類では$c(\mathcal{P})$と表したりします。

# 特性類の例

面倒なので$F = \Reim$と書きます。 

## チャーン類

不変多項式

```math
c(F) = \det\left(1+\frac{iF}{2\pi}\right)
```

を考えます。($F:M\rightarrow\g \simeq \g_M$の返り値を$\g_M$に写して行列として計算しています。)

この$c(F)$を多項式展開して

```math
c(F) = c_0(F) + c_1(F) + \cdots + c_j(F)
```

と書くとき、$\chi_\mathscr{P}(c_j)$を$j$次チャーン類と言います。

## チャーン類の公式

２つのベクトル束$E,F$のホイットニー和に対して

```math
c(E \oplus F) = c(E)c(F)
```

## g値微分形式の固有値と分裂原理

```math
\omega \in \Omega(M;\g)
```

の固有値を行列に直したときの固有値

```math
i_M(\omega) \xrightarrow{diag} \lambda_1(\omega),\cdots,\lambda_k(\omega)
```

で定義します。

また、分裂原理(

https://qiita.com/hiro949/items/7f574b77fad2763a12fb

を参照)によってFlag束の射影$p$を使って

```math
p^*P = L_1 \oplus \cdots \oplus L_n
```

とすると、

```math
c_1(P) = c_1(p^*P) = \prod_i c_1(L_i) = \prod_i \lambda_i(F)
```

なので、添え字を適当に付け替えて

```math
c_1(L_i) = \lambda_i(F)
```

と分かります。また、

```math
c(E) = \prod_i(1 + c_1(L_i))
```

となります。

## トッド類

不変多項式として

```math
\Td(F) = \prod_{j=1}^k \frac{\lambda_j(F)}{1 - r^{-\lambda_j(F)}}
```

を用いた場合はべき展開した時のj次の項$\Td_j$が与える特性類をj次トッド類$\chi(\Td_j)$と言います。

```math
\Td(F) = 1 + \frac{1}{2}\sum_j \lambda_j(F) + \frac{1}{12} \sum_j \lambda_j^2(F) + \sum_{i<j} \lambda_j(F)\lambda_i(F) + \cdots
```

と書けるので、トッド類のはチャーン類を用いて

```math
\Td_0(F) = 1 \\
Td_1(F) = \frac{1}{2} c_1(F) \\
\Td_2(F) = \frac{1}{12}(c_1^2(F) - c_2(F)) \\
\vdots
```

と表されます。

# ポントリャーギン類

実ベクトル束に対して(これまで複素ベクトル束に対して行った議論を実ベクトル束で行えばよいです。)不変多項式

```math
p(F) = \det\left(1+\frac{F}{2\pi}\right) \\
= \prod_{j=1}^{[k/2]}(1 + \lambda_j^2(F))
```

が定める特性類をポントリャーギン類と言います。

べき展開すると、

```math
p(F) = 1 + p_1(F) + p_2(F) + \cdots \\
p_j(F) = \sum_{1 \leq i_1 < \cdots < i_j \leq [k/2]} x_{i_1}^2 \cdots x_{i_j}^2
```


ポントリャーギン類は実ベクトル束を複素化した$P^\C$に対してチャーン類を用いて

```math
p_j(E) = (-1)^jc_{2j}(E^\C)
```

と表せます。


# オイラー類

実ベクトル束に対してポントリャーギン類を用いて定義される不変多項式

```math
e(F) = \sqrt{p(F)}
```

をオイラー類と言います。



# チャーン指標　

全チャーン指標

```math
\ch(F) = \tr \exp\left( \frac{iF}{2\pi} \right) \\
= \sum_{j=0}^\infty \frac{1}{j!} \tr \left( \frac{iF}{2\pi} \right)^j \\
\ch_j(F) = \frac{1}{j!} \tr \left( \frac{iF}{2\pi} \right)^j
```

とします。
ちなみに$2j>\dim M$であれば、$dx^1\wedge \cdots \wedge dx^{2j}$に同じものが現れるので$\ch_j(F) = 0$となります。したがって

```math
\ch \in I^{\leq \dim M /2}(G) = \bigoplus_{r=0}^{\dim M /2} I^r(G)
```

です。

基本対称式$\C^k \rightarrow \C$を

```math
S_0(\{x_j\}) = 1 \\
S_n(\{x_j\}) = \sum_{i_1 < i_2 < \cdots < i_n} x_{i_1}x_{i_2} \cdots x_{i_n}
```

とすると、

```math
\lambda_j = \lambda_j \left( \frac{iF}{2\pi} \right) \\
\ch(F) = \tr \exp \left( \frac{iF}{2\pi} \right) \\
= \tr \left[ \sum_{j=1}^k \exp \lambda_j \right] \\
= k + S_1(\{\lambda_j\}) + \frac{1}{2}[ S_1^2(\{\lambda_j\}) - 2 S_2(\{\lambda_j\}) ] + \cdots
```

だから、

```math
\ch_0(F) = k = \dim F \\
\ch_1(F) = c_1(F) \\
\ch_2(F) = \frac{1}{2}(c_1^2(F) - 2c_2(F))
```

となります。

## チャーン指標の性質

1. $f:P' \rightarrow P$による引き戻し束$f^* P$に対して$\ch(f^* P)$$ = f^* \ch(P)$
1. $\ch(P\oplus Q) = \ch(P) + \ch(Q)$
1. $\ch(P\otimes Q) = \ch(P) \wedge \ch(Q)$

が成り立ちます。引き戻し束に対するチャーン指数の性質から

```math
P \sim_{bundle} Q
```

ならば、$f = 1$なので、

```math
\ch(P) = \ch(Q)
```

となります。よって

https://qiita.com/hiro949/items/7f574b77fad2763a12fb

で導入したK群を使うと

```math
\forall P' \in [P] \in K(M): \ch(P') = \ch(P)
```

となり、仮想束に対して一定値です。また、ホイットニー和やテンソル積に対応する和や積の演算も$K(M)$に定義されていました。したがってチャーン指標を

```math
\ch: K(M) \rightarrow \Omega(M)\\
\ch([P]) = \ch(P) \\
\ch(-[P]) = (\ch(P))^{-1} \\
\ch([P]+[Q]) = \ch([P]) + \ch([Q]) \\
\ch([P]\times[Q]) = \ch([P]) \wedge \ch([Q])　
``` 

と拡張すれば$K(M)$から$\Omega(M)$への環準同型写像となります。　


# 参考資料
- 中原　幹夫 著・訳 久木田　真吾,　佐久間　一浩,　綿村　尚毅 訳　理論物理学のための幾何学とトポロジー２ [原著第2版］
- http://www.yo.rim.or.jp/~kenrou/math/index.pdf