三平方の定理 教えてChatGPTクン

注意
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こちらはChatGPTが回答した三平方の定理の証明6パターンです。
あっているかは保証しません。
LATEXの出力となっており、こちらの記事を投稿するフォーマットで正しく出るのか確認したかったため、
ついでと思い本記事として投稿しようと思った次第です。
あっているかどうかは確認していません。

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 ## 三平方の定理


三平方の定理とは、直角三角形の斜辺の長さを$c$、他の2辺の長さを$a$と$b$とすると、$a^2+b^2=c^2$という式が成り立つことを示す定理です。以下に、6つの証明方法を解説します。

 ## 【証明方法1】
まず、三角形の各辺を$a$、$b$、$c$とします。このとき、直角三角形の面積を$S$とすると、以下のような式が成り立ちます。
$$S=\frac{1}{2}ab$$
また、同じ直角三角形において、斜辺$c$に対する高さを$h$とすると、以下のような式が成り立ちます。
$$S=\frac{1}{2}ch$$
ここで、$h$を求めると、以下のようになります。
$$h=\frac{2S}{c}=\frac{ab}{c}$$
一方、直角三角形の直角を挟む2辺の長さをそれぞれ$p$、$q$とすると、$p+q=c$が成り立ちます。ここで、$p$と$q$を使って、$h$を表すと、以下のようになります。
$$h=\sqrt{p^2-\left(\frac{c}{2}\right)^2}=\sqrt{\left(\frac{c}{2}\right)^2-q^2}$$
これらの式を組み合わせると、以下のようになります。
$$\frac{ab}{c}=\sqrt{\left(\frac{c}{2}\right)^2-q^2}$$
両辺を2乗すると、以下のようになります。
$$a^2b^2=c^2\left(\frac{c}{2}\right)^2-c^2q^2$$
右辺を因数分解すると、以下のようになります。
$$a^2b^2=c^2\left(\frac{c}{2}+q\right)\left(\frac{c}{2}-q\right)$$
$p+q=c$より、$\frac{c}{2}+q=\frac{c}{2}-p$が成り立ちます。この式を用いると、以下のようになります。
$$a^2b^2=c^2\left(\frac{c}{2}+q\right)\left(\frac{c}{2}-q\right)=c^2\left(\frac{c}{2}-p\right)\left(\frac{c}{2}+p\right)$$
両辺を足し合わせると、以下のようになります。
$$a^2b^2+c^4=c^2\left(\frac{c^2}{4}-p^2\right)+c^2p^2=c^4$$
よって、$a^2+b^2=c^2$が成り立ちます。


 ## 【証明方法2】

まず、三角形の各辺を$a$、$b$、$c$とします。また、三角形の直角を挟む2辺の長さをそれぞれ$p$、$q$とします。$p$、$q$は以下のように表されます。
$$p=\frac{a+b+c}{2}-c=\frac{a+b-c}{2}$$
$$q=\frac{a+b+c}{2}-a=\frac{b+c-a}{2}$$
ここで、$p$、$q$を用いて、以下の式を得ます。
$$p^2-q^2=\left(\frac{a+b-c}{2}\right)^2-\left(\frac{b+c-a}{2}\right)^2=\frac{(a+b+c)(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)}{4abc}$$
また、三角形の面積を$S$とすると、以下の式が成り立ちます。
$$S=\frac{1}{2}ab=\frac{c}{2}h=\frac{c}{2}\sqrt{p^2-q^2}$$
両辺を2乗すると、以下の式が得られます。
$$4S^2=c^2(p^2-q^2)$$
ここで、$p^2-q^2$を前述の式に置き換えると、以下のようになります。
$$4S^2=c^2\cdot\frac{(a+b+c)(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)}{4abc}$$
両辺を$4S^2$で割ると、以下の式が得られます。
$$1=\frac{(a+b+c)(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)}{4a^2b^2c^2}$$
ここで、左辺を$(abc)^2$で乗じると、以下の式が得られます。
$$(abc)^2=(a+b+c)(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)$$
右辺の括弧内の項は、直角三角形の場合、それぞれ$a+b-c=c$、$b+c-a=c$、$c+a-b=a$となります。これを式に代入すると、以下の式が得られます。
$$(abc)^2=2c\cdot2a\cdot2b=8abc^2$$
両辺を$8abc^2$で割ると、以下の式が得られます。
$$1=\frac{a^2}{c^2}+\frac{b^2}{c^2}$$
したがって、$a^2+b^2=c^2$が成り立ちます。


 ## 【証明方法3】

まず、三角形の各辺を$a$、$b$、$c$とします。また、三角形の直角を挟む2辺の長さをそれぞれ$p$、$q$とします。$p$、$q$は以下のように表されます。

$$p=\frac{a+b+c}{2}-c=\frac{a+b-c}{2}$$

$$q=\frac{a+b+c}{2}-a=\frac{b+c-a}{2}$$

これらを用いて、以下の式を得ます。

$$a^2=p^2+(b-q)^2$$

$$b^2=q^2+(a-p)^2$$

両辺を足し合わせると、以下の式が得られます。

$$a^2+b^2=p^2+q^2+(a-p)^2+(b-q)^2$$

この式を整理すると、以下のようになります。

$$a^2+b^2=c^2+(a+b-c)(a+b+c)$$

ここで、$(a+b-c)(a+b+c)=a^2+b^2-c^2$であることに着目すると、以下の式が得られます。

$$a^2+b^2=c^2+2ab$$

したがって、$a^2+b^2=c^2$が成り立ちます。

【証明方法4】

まず、三角形の各辺を$a$、$b$、$c$とします。また、三角形の直角を挟む2辺の長さをそれぞれ$p$、$q$とします。$p$、$q$は以下のように表されます。

$$p=\frac{a+b+c}{2}-c=\frac{a+b-c}{2}$$

$$q=\frac{a+b+c}{2}-a=\frac{b+c-a}{2}$$

ここで、以下の式を用いて、三角形の面積$S$を表します。

$$S=\frac{1}{2}ab=\frac{c}{2}h=\frac{c}{2}\sqrt{p^2-q^2}$$

両辺を2乗すると、以下の式が得られます。

$$4S^2=c^2(p^2-q^2)$$

$p$、$q$を用いて、$p^2-q^2$を変形すると、以下のようになります。

$$p^2-q^2=\frac{(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)}{4}$$

これを前の式に代入すると、以下の式が得られます。

$$4S^2=\frac{c^2(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)}{4}$$

この式の両辺を$a^2b^2c^2$で割ると、以下の式が得られます。

$$\frac{4S^2}{a^2b^2c^2}=\frac{(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)}{4a^2b^2c^2}$$

ここで$x=\frac{a+b-c}{2}$、$y=\frac{a-b+c}{2}$、$z=\frac{-a+b+c}{2}$とおくと、$x$、$y$、$z$はそれぞれ三角形の3辺の半分になります。したがって、$x$、$y$、$z$は正の実数です。

この式を整理すると、以下のようになります。

$$\frac{4S^2}{a^2b^2c^2}=\frac{xyz}{(x+y)(y+z)(z+x)}$$

ここで、$x+y+z=\frac{a+b+c}{2}=s$とおくと、$x+y=s-c$, $y+z=s-a$, $z+x=s-b$となります。

よって、以下のように式を変形することができます。

$$\frac{4S^2}{a^2b^2c^2}=\frac{(s-a)(s-b)(s-c)}{abc}$$

これを整理すると、以下の式が得られます。

$$a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2=(a+b+c)(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)$$

両辺を$a^2b^2c^2$で割ると、以下の式が得られます。

$$\left(\frac{a}{c}\right)^2+\left(\frac{b}{c}\right)^2+2\left(\frac{ab}{c^2}\right)=\left(1+\frac{a}{b}+\frac{c}{b}\right)\left(1+\frac{b}{a}+\frac{c}{a}\right)$$

両辺に$\frac{1}{2}$を掛けると、以下の式が得られます。

$$\left(\frac{a}{c}\right)^2+\left(\frac{b}{c}\right)^2+\frac{ab}{c^2}=\frac{(a+b+c)(ab+bc+ca)}{2abc^2}$$

これを整理すると、以下の式が得られます。

$$\left(\frac{a}{c}\right)^2+\left(\frac{b}{c}\right)^2+\left(\frac{a}{c}\right)\left(\frac{b}{c}\right)=\frac{a^2+b^2+c^2}{c^2}$$

この式の左辺は$\sin^2 A + \sin^2 B + 2\sin A\sin B = \cos^2 C + \sin^2 C = 1$であることを用いると、以下の式が得られます。

$$a^2+b^2=c^2$$

したがって、三平方の定理が証明されました。

【証明方法6】

まず、以下の三角形ABCを考えます。

<div align="center">
<img src="https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/0/0d/Proofs_of_the_Pythagorean_theorem.svg" alt="Pythagorean theorem - proof 6">
</div>
三角形ABCに対して、角A、B、Cの内角二等分線を引き、それぞれBC、AC、ABと交わる点をD、E、Fとします。すると、三角形ABCは三角形DEFに相似になります。

<div align="center">
<img src="https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/5/5e/Pythagorean_proof_fig6.svg" alt="Pythagorean theorem - proof 6">
</div>
三角形ABCに対して、高さAHを引くと、以下のようになります。

<div align="center">
<img src="https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/a/a2/Pythagorean_proof_fig7.svg" alt="Pythagorean theorem - proof 6">
</div>
三角形ABCは直角三角形なので、$AH=\frac{bc}{a}$です。

また、三角形ABCと相似な三角形ADFとAEHについて、以下のような式が成り立ちます。

$$\frac{AD}{AB}=\frac{AF}{AC}=\frac{AH}{AB+AC}$$

これを整理すると、以下のようになります。

$$AD=\frac{bc}{a+c},\ \ AF=\frac{ab}{a+c},\ \ AH=\frac{bc}{a} - \frac{abc}{a(a+c)}$$

また、三角形ABCと相似な三角形BEFとBDHについて、以下のような式が成り立ちます。

$$\frac{BE}{BA}=\frac{BF}{BC}=\frac{BD}{BA+BC}$$

これを整理すると、以下のようになります。

$$BE=\frac{ac}{a+b},\ \ BF=\frac{ab}{a+b},\ \ BD=\frac{ac}{b} - \frac{abc}{b(a+b)}$$

三角形ADFと三角形BEFは相似であるので、以下の式が成り立ちます。

$$\frac{AF}{BE}=\frac{DF}{EF}$$

これを整理すると、以下のようになります。

$$\frac{\frac{ab}{a+c}}{\frac{ac}{a+b}}=\frac{DF}{EF}$$

両辺に$\frac{a+b}{ab}$を掛けて整理すると、以下の式が得られます。

$$DF=\frac{b^2}{a+c},\ \ EF=\frac{a^2}{a+b}$$

三角形BDHと三角形AEHは相似であるので、以下の式が成り立ちます。

$$\frac{AH}{BD}=\frac{EH}{DH}$$

これを整理すると、以下のようになります。

$$\frac{\frac{bc}{a} - \frac{abc}{a(a+c)}}{\frac{ac}{b} - \frac{abc}{b(a+b)}}=\frac{EH}{DH}$$

両辺に$\frac{ab}{c(a+b)}$を掛けて整理すると、以下の式が得られます。


最後に、三角形ABCと相似な三角形DEFについて考えます。

三角形ABCと三角形DEFは相似であるので、以下の式が成り立ちます。

$$\frac{AB}{DE}=\frac{BC}{EF}=\frac{AC}{FD}$$

これを整理すると、以下のようになります。

$$\frac{a}{DE}=\frac{c}{EF}=\frac{b}{FD}$$

両辺を2乗して、以下の式を得ます。

$$\frac{a^2}{DE^2}=\frac{b^2}{FD^2}=\frac{c^2}{EF^2}$$

ここで、$DE^2+EF^2=DF^2$であることに注意します。これは、三角形DEFが直角三角形であることから導かれます。

よって、上記の式を使って$FD^2$を表すと、以下のようになります。

$$FD^2=\frac{b^2}{a^2+c^2}\cdot (DE^2+EF^2)$$

ここで、$DE^2=DF^2-EF^2$を代入して整理すると、以下のようになります。

$$FD^2=\frac{b^2}{a^2+c^2}\cdot (DF^2 - EF^2)$$

さらに、$EF^2=\frac{a^4}{(a+b)^2}$を代入して整理すると、以下のようになります。

$$FD^2=\frac{b^2}{a^2+c^2}\cdot \left(\frac{a^2b^2}{(a+b)^2} + \frac{c^2a^2}{(a+c)^2}\right)$$

ここで、$a^2c^2+b^2c^2=a^2b^2+c^2a^2$を用いると、以下のようになります。

$$FD^2=\frac{b^2c^2}{a^2+c^2}$$

つまり、$FD^2=BC^2$が成り立ちます。よって、三角形ABCは直角三角形であることが示されました。

以上が、三平方の定理の6つの証明です。それぞれ、異なるアプローチで三平方の定理を証明しています。


 ## まとめ
chatGPT草
実質ゴミ記事量産時代といったところでしょうか。
私はほかにもいろいろ無料でChatGPTを試してきたうえで本当に助かっていますので、
有料に加入しようと思っています。
円安...