多様体の解析的指数

https://qiita.com/hiro949/items/a5b7d54971bee90cd08b

```math
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\newcommand{\g}{\mathfrak{g}}
\newcommand{\Ad}{\mathrm{Ad}}
\newcommand{\Reim}{\mathrm{Reim}}
\newcommand{\tr}{\mathrm{tr}}
\newcommand{\ch}{\mathrm{ch}}
\newcommand{\GL}{\mathrm{GL}}
\newcommand{\Ker}{\mathrm{Ker}}
\newcommand{\Coker}{\mathrm{Coker}}
\newcommand{\ind}{\mathrm{ind}}
\newcommand{\Td}{\mathrm{Td}}
```

で色々な特性類を紹介しましたが、それらを用いて多様体の大域的な不変量(指数)を構成できます。今回はそれについて議論していきたいと思います。

# 微分作用素

$m$次元多様体$M$を低空間とする複素ベクトル束$\mathscr{V}_1 = (M,\pi_1,P_1,\C^{n_1}),\mathscr{V}_2 = (M,\pi_2,P_2,\C^{n_2})$

上の切断の間の線形写像

```math
D: \Gamma(M,P_1) \rightarrow \Gamma(M,P_2)
```

を微分作用素と言います。

ここで、$M$のチャート$(U,x)$に対して、

```math
\mu = (\mu_1,\mu_2,\cdots,\mu_m) \ (\mu_i \geq 0)\\
|\mu| = \sum_i \mu_i \\
D_{\mu} = \frac{ \partial^{|\mu|}}{(\partial x^1)^{\mu_1} \cdots (\partial x^m)^{\mu_m}}
```

とします。このとき$s \in \Gamma(P_1)$に対する$D$は$n_1 \times n_2$行列$A^\mu$を用いて

```math
(Ds(x(p)))^\alpha = \sum_{|\mu|\leq N} \sum_{\beta=1}^{n_1} (A^\mu)^\alpha_\beta D_\mu s^\beta(x(p)) \ (p \in M)
```

となります。

# 微分作用素の表象

余接束$(T^*M,\Pi,M)$に対して引き戻し束の写像

$\sigma_p(D,\cdot):\Pi_1^*P_1 \rightarrow \Pi_2^*P_2$を以下のように定めます。

まず、　$M$のチャート$(\pi_1^{-1}(U),x)$ 上での微分形式の座標表示を考えます。

```math
\xi = \xi_i dx^i 
```

そして、

```math
\forall s_1 \in \Gamma(P_1):  [\sigma_p(D,\xi)s_1]^\alpha = [\sum_{|\mu|=N} A^\mu(x(p))]^\alpha_\beta \xi^\mu  s_1^\beta\\
\xi^\mu = \prod_i \xi_i^{\mu_i}
```

を微分作用素$D$の表象といいます。

# 楕円型作用素

$n_1 = n_2 = n$のとき、

```math
\forall p \in M, \xi^m \in \R^m-\{0\}: \sigma_p(D,\xi) \in \GL_n(\C)
```

ならば、$D$を楕円型微分作用素と言います。

# 楕円型作用素の随伴作用素

$\mathscr{V}_1,\mathscr{V}_2$にファイバー計量$g_1,g_2$が与えられているとします。このとき楕円型作用素$D:\Gamma(P_1) \rightarrow \Gamma(P_2)$に対してその随伴作用素$
D^\dagger:\Gamma(P_2) \rightarrow \Gamma(P_1)$を

```math
g_1(D^\dagger s_2,s_1) = g_2(s_2,Ds_1) \ (s_1 \in \Gamma(P_1), s_2 \in \Gamma(P_2))
```

で定義します。

# フレッドホルム作用素

楕円作用素$D$の核と余核

```math
\Ker D = \{s \in \Gamma(P_1) \mid Ds = 0 \} \\
\Coker D = \Gamma(P_2)/\mathrm{Im} D
```

について

```math
\dim \Ker D, \dim \Coker D <\infty
```

であるようなものをフレッドホルム作用素と言います。

また、フレッドホルム作用素$D$の解析的指数を

```math
\ind D = \dim \Ker D - \dim \Coker D
```

と定義します。

## 余核と随伴作用素

フレッドホルム作用素の$D$について線形同型関係

```math
\Coker D \simeq \Ker D^\dagger
```

が成り立ちます。よって

```math
\ind D = \dim \Ker D - \dim \Ker D^\dagger
```

です。

# 微分複体

$M$：コンパクトな多様体

$\\{E_i=(E_i,\pi_i,M,\C^{n_i})\\}$：ベクトル束の列

これらに対して切断の系列

```math
E = \\
\cdots \xrightarrow{D_{i-2}} \Gamma(E_{i-1}) \xrightarrow{D_{i-1}} \Gamma(E_i) \xrightarrow{D_i} \Gamma(E_{i+1}) \xrightarrow{D_{i+1}} \cdots \\
D_i \circ D_{i-1} = 0
```

が存在するとき、$\\{\mathscr{V}_i\\}$を微分複体と言います。

# 表象複体

微分複体$E$に対して

```math
\sigma(E) = \\
0 \rightarrow \Pi^*E_0 \xrightarrow{\sigma(D_0,\cdot)}\cdots
\xrightarrow{\sigma(D_{i-1},\cdot)} \Pi^*E_i \xrightarrow{\sigma(D_{i},\cdot)} \Pi^*E_{i+1} \xrightarrow{\sigma(D_{i+1},\cdot)} \cdots 
\xrightarrow{\sigma(D_{m-1},\cdot)} \Pi^*E_m
\xrightarrow{\sigma(D_m,\cdot)} 0
```

を表象複体と言います。

# 楕円型複体

表象複体が完全系列であるとき：

```math
\mathrm{Im} \sigma(D_{i-1},\cdot) = \Ker \sigma(D_i,\cdot)
```

$\\{\mathscr{V}_i\\}$を楕円型複体と言います。
また、

https://qiita.com/hiro949/items/7f574b77fad2763a12fb

で定義したオイラー標数を使って

```math
\chi([\sigma(E)]_{topology}) = \sum_i (-1)^i [\Pi^* E_i] \in K(TM)
```

とさらに変換すれば、

```math
\sigma_K(D) = \sum_i (-1)^i [\Pi^* E_i] 
```
が定義できます。こちらを表象ということもあります。

## 楕円型複体と楕円型作用素

ベクトル束のホイットニー和を使って楕円型作用素$D$は

```math
E_{odd} = \Gamma(\bigoplus_i E_{2i+1}) \\
E_{even} = \Gamma(\bigoplus_i E_{2i}) \\
D: \Gamma(E_{even}) \rightarrow \Gamma(E_{odd}) \\
D = \left(\bigoplus_i d_{2i} \right) + \left(\bigoplus_i d^*_{2i+1}\right)
```

と定義できます。

# 楕円型複体の解析的指数

楕円型複体にもコホモロジー群が定義できて、

```math
Z^i(D) = \Ker D_i \\
B^i(D) = \mathrm{Im} D_{i-1} \\
H^i(D) = Z^i(D)/B^i(D)
```

として、

```math
\ind_A D = \sum_{i=0}^m(-1)^i\dim H^i(D)
```

を楕円型複体$\\{\mathscr{V}_i\\}$の解析的指数と定義します。

# 楕円型複体の位相的指数

位相的指数は特性類を用いて表現される不変量です。位相的指数はK理論を使って構成されるかなり複雑なものになっています。現在、別途記事を作成中です。

https://qiita.com/hiro949/items/79ac833035571c39bae0

https://qiita.com/hiro949/items/ea07336218cb7c9691ea

結果だけ示すと

```math
    \ind_T D = (-1)^{\dim M}\int_{TM} \ch(\sigma_K(D))\frac{\Td(TM^\C)}{e(TM)}
```

です。ただし、$TM$は実多様体としての$M$の接束で、$TM^\C$はその複素化です。


# アティヤ＝シンガーの指数定理

コンパクトな$m$次元閉多様体$M$上の楕円型複体に対して

```math
\ind_A D = \ind_T D
```

が成り立ちます。

## ドラーム複体の指数

全空間と楕円型演算子として

```math
P_r = \Omega^r(M) \\
D = d
```

をとれば、楕円型複体$\\{\mathscr{V}_i\\}$はドラームコホモロジーの系列と一致します。

このとき、解析的指数はオイラー数と一致し：

```math
\ind_A d = \chi(M)
```

位相的指数は接続$1$形式$\omega$を用いて

```math
\ind_T = \frac{1}{(2\pi)^{\dim M}} \int_M \omega^{\wedge \dim M} \\
\omega^{\wedge n} = \overbrace{\omega \wedge\cdots\wedge\omega}^{n}
```

と表されるので、ドラーム複体に対するアティヤ―シンガーの指数定理とはガウス―ボンネの定理

```math
\chi(M) = \frac{1}{(2\pi)^{\dim M}}\int_M \omega^{\wedge \dim M}
```

のことです。



# 参考資料
- https://www.ams.org/journals/bull/1963-69-03/S0002-9904-1963-10957-X/
- http://www.yo.rim.or.jp/~kenrou/math/index.pdf