Landau-Lifshitzの行間を埋める（4）　『流体力学』§17 【管を流れる粘性流の問題】


# はじめに
この記事は

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https://qiita.com/WakaLandau/items/8cb0cafc29a1750cc44b

の続きである．


Landau-Lifshitz『流体力学』§17は，管の中の粘性流に充てられており，節末には，様々な形状の管に対して流れを求める問題が並んでいる．
今回はその中から，断面が楕円である場合と，正三角形である場合を取り上げる．




# 管の中の粘性流の一般論
具体的な問題に入る前に，粘性流の基礎事項を確認しておこう．

断面の形は管に沿って変わらず，流れは定常とする．
管の軸方向に$x$軸をとると，流れは$x$軸に平行で，$y,z$のみの関数である．
このとき連続の式は自動的に満たされる．
また，Navier-Stokes方程式の$y,z$成分$\dfrac{\partial p}{\partial y}=\dfrac{\partial p}{\partial z}=0$より，圧力は管の断面内では一様で，$x$方向のみに変化する．

非圧縮性流体のNavier-Stokes方程式の$x$成分は
$$
    \frac{\partial^2 v}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 v}{\partial z^2} = \frac{1}{\eta} \frac{dp}{dx} = -\frac{\varDelta p}{\eta l}.
\tag{1}
$$
となる（$\eta$は粘性率，$\Delta p$は管両端の圧力差，$l$は管の長さ）．
よって流速分布$v(y,z)$は，$\triangle v = \mathrm{const.}$という2次元Poisson方程式を，境界条件（管断面の周上で$v=0$）のもとで解くことで求められる．




# 断面が楕円形の管の中の流れ

まずはじめに，楕円の特殊な場合である円の場合を考えよう．

円の中心を原点とする極座標をとると，対称性から$v=v(r)$であり，極座標でのラプラシアンの表式から
$$
    \frac{1}{r} \frac{d}{dr} \left( r\frac{dv}{dr} \right) = -\frac{\Delta p}{\eta l}
$$
これを解いて
$$
    v(r) = -\frac{\Delta p}{4\eta l}r^2 + c_1 \log r + c_2.
$$
管の中心で速度が有限の値をもつためには，$c_1=0$でなければならない．
また，円の半径を$R$とすると，$r=R$で$v=0$という条件から$c_2$が決まり
$$
    v(r) = \frac{\Delta p}{4\eta l} (R^2-r^2)
\tag{2}
$$
となる．

さて，楕円の形を$\dfrac{y^2}{a^2}+\dfrac{z^2}{b^2}=1$としよう．
円は楕円の特別な場合であるから，流速分布$v(y,z)$は式(2)から類推して
$$
    v(y,z) = v_0 \left( 1-\dfrac{y^2}{a^2}-\dfrac{z^2}{b^2} \right)
$$
と書けるはずである．
境界条件は満たされているから，未定の定数$v_0$を式(1)から求めればよい．
$$
    v_0 \left( -\frac{2}{a^2}-\frac{2}{b^2} \right) = -\frac{\Delta p}{\eta l}
    \qquad\therefore\quad v_0 = \frac{\Delta p}{2\eta l} \cdot \frac{a^2b^2}{a^2+b^2}
$$
よって流速は
$$
    v(y,z) = \frac{\Delta p}{2\eta l} \cdot \frac{a^2b^2}{a^2+b^2} \left( 1-\dfrac{y^2}{a^2}-\dfrac{z^2}{b^2} \right)
$$
となる．


流量は
$$
    Q = \int_{y^2/a^2+z^2/b^2\leq1} \rho v \\; dydz
$$
で与えられる．
これを計算するために，まず変数変換$\eta=y/a, \zeta=z/b$により$(\eta,\zeta)$座標系に移り，次に$(\eta,\zeta)$系での極座標系に移る．
$$
    v = v_0 (1-\eta^2-\zeta^2) = v_0(1-r^2), \quad
    \int_{y^2/a^2+z^2/b^2\leq1} dydz = \int_0^1 ab\cdot 2\pi r \\; dr
$$
であるから
$$
    Q = \rho v_0 \cdot 2\pi ab \int_0^1 r(1-r^2)dr
    = \rho \frac{\Delta p}{2\eta l} \frac{a^2b^2}{a^2+b^2} \cdot 2\pi ab \cdot \frac{1}{4}
    = \frac{\pi\Delta p}{4\nu l} \cdot \frac{a^3b^3}{a^2+b^2} 
$$





# 断面が正三角形の管の中の流れ

正三角形内の任意の点$\mathrm{P}$における流速は，$\mathrm{P}$から三辺に下ろした垂線の長さを$h_1, h_2, h_3$とするとき
$$
    v = v_0 \\, h_1h_2h_3
$$
と書ける（これは明らかに境界条件を満たす）．
まずはこのことを証明しよう．

:::note
Landau本文では幾何的に証明されているが，ここでは座標を導入する．
図のように座標を設定し，$\mathrm{P}(y,z)$とおく．
正三角形の1辺の長さを$a$とする．
<img width="500" src="https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/2952554/2d16a87c-5393-fc34-8e2c-a906739752da.jpeg">
:::


三辺の方程式は$z=0, \\; y+\dfrac{z}{\sqrt{3}}=\dfrac{a}{2},　\\; -y+\dfrac{z}{\sqrt{3}}=\dfrac{a}{2}$であるから，点と直線の距離の公式より
$$
    h_1 = z, \\;
    h_2 = \frac{\sqrt{3}}{2} \left( \frac{a}{2} - y - \frac{z}{\sqrt{3}} \right), \\;
    h_3 = \frac{\sqrt{3}}{2} \left( \frac{a}{2} + y - \frac{z}{\sqrt{3}} \right)
$$
となり，
$$
    v = v_0 \, h_1h_2h_3
    = \frac{3}{4} v_0 z \left[ \left( \frac{a}{2} - \frac{z}{\sqrt{3}} \right)^2 -y^2 \right] .
$$
よって
$$
    \frac{\partial^2 v}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 v}{\partial z^2} =
    \frac{3}{4} v_0 \left( \frac{\partial ^2}{\partial y^2} + \frac{\partial ^2}{\partial z^2} \right) \\, z \left[ \left( \frac{a}{2} - \frac{z}{\sqrt{3}} \right)^2 -y^2 \right] \\
    %&= \frac{3}{4} v_0 \left[ -2z + \frac{\partial ^2}{\partial z^2} \left( \frac{a^2}{4}z - \frac{a}{\sqrt{3}}z^2 + \frac{1}{3}z^3 \right) \right] \\
    %&= \frac{3}{4} v_0 \left( -2z - \frac{2a}{\sqrt{3}} + 2z \right) 
= - \frac{\sqrt{3}}{2}av_0
$$
は定数となり式(1)を満たす．
これと$-\dfrac{\Delta p}{\eta l}$を比べ$v_0 = \dfrac{2}{\sqrt{3}a} \cdot \dfrac{\Delta p}{\eta l}$となるから
$$
    v = \frac{2}{\sqrt{3}a} \cdot \frac{\Delta p}{\eta l} h_1h_2h_3
    = \frac{\sqrt{3}\Delta p}{2\eta la} z \left[ \left( \frac{a}{2} - \frac{z}{\sqrt{3}} \right)^2 -y^2 \right] .
$$


流量は
```math
\begin{align*}
    Q &= \int \rho v \; dydz \\
    &= \frac{\sqrt{3}\Delta p}{2\nu la} \int_0^{\frac{\sqrt{3}}{2}a} dz \int_{-(\frac{a}{2} - \frac{z}{\sqrt{3}})}^{\frac{a}{2} - \frac{z}{\sqrt{3}}} dy \cdot z \left[ \left( \frac{a}{2} - \frac{z}{\sqrt{3}} \right)^2 -y^2 \right] \\
    &= \frac{\sqrt{3}\Delta p}{2\nu la} \int_0^{\frac{\sqrt{3}}{2}a} dz \cdot z \cdot \frac{1}{6} \left[ 2\left( \frac{a}{2} - \frac{z}{\sqrt{3}} \right) \right]^3 \\
    &= \frac{\sqrt{3}\Delta p}{2\nu la} \cdot \frac{1}{6} \left( \frac{2}{\sqrt{3}} \right)^3 \int_0^{\frac{\sqrt{3}}{2}a} dz \cdot z \left( \frac{\sqrt{3}}{2}a-z \right)^3 \\
    &= \frac{\sqrt{3}\Delta p}{2\nu la} \cdot \frac{1}{6} \left( \frac{2}{\sqrt{3}} \right)^3 \cdot \frac{1}{20} \left( \frac{\sqrt{3}}{2}a \right)^5
    = \frac{\sqrt{3}\Delta p a^4}{320 \nu l} .
\end{align*}
```

:::note
流量の積分計算では（いわゆる）1/6公式
$$
    -\int_{\alpha}^{\beta} (x-\alpha)(x-\beta)\\; dx = \frac{1}{6}(\beta-\alpha)^3
$$
および1/20公式（？）
$$
    -\int_{\alpha}^{\beta} (x-\alpha)(x-\beta)^3\\; dx = \frac{1}{20}(\beta-\alpha)^5
$$
を用いた．    
:::