『スタンフォード ベクトル・行列からはじめる最適化数学』8章章末問題の解答

[スタンフォード ベクトル・行列からはじめる最適化数学](https://amzn.to/3LbI555)
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の演習問題を解いているが解答が本書内にもネット上にもない模様。自分の解答を晒して間違いにツッコミをいただき理解を深めようという試み。

- 問8.1

```math
\begin{align} 
f(x)&=Fx \\
g(x)&=Gx \\
h&=f+g ←関数の和としての+\\
hの行列表現&をHとすると　\\
Hx&=Fx+Gx \\
Hx&=(F+G)x ←行列の和としての+\\
\end{align}
```

- 問8.2

```math 
\begin{align}
関数G&はm*n行列Aとm次元ベクトルbを用いて\\
y_i&=Ax_i+b と表せる \\
\bar{y}&=\frac{1}{k}\sum_{i=1}^k{y_i} \\
&=\frac{1}{k}\sum_{i=1}^k{(Ax_i+b)} \\
&=\frac{A}{k}\sum_{i=1}^k{x_1}+b\\
&=A\bar{x}+b\\
よって\bar{y}&=G(\bar{x})
\end{align}
```

- 問8.3

```math 
求めるAを
\begin{bmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23} \\
a_{31} & a_{32} & a_{33} \\
\end{bmatrix}とおくと\\
\begin{align}
\begin{bmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23} \\
a_{31} & a_{32} & a_{33} \\
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
x_1 \\
x_2 \\
x_3 \\
\end{bmatrix}
&=
\begin{bmatrix}
a_{11}x_1 & a_{12}x_2 & a_{13}x_3 \\
a_{21}x_1 & a_{22}x_2 & a_{23}x_3 \\
a_{31}x_1 & a_{32}x_2 & a_{33}x_3 \\
\end{bmatrix}\\
&=
\begin{bmatrix}
a_2x_3 - a_3x_2 \\
a_3x_1 - a_1x_3 \\
a_1x_2 - a_2x_1 \\
\end{bmatrix} より \\
a_{11}&=0, a_{12}=-a_3, a_{13}=a_2 \\
a_{21}&=a_3, a_{22}=0, a_{23}=-a_1 \\
a_{31}&=-a_2, a_{32}=a_1, a_{33}=0 \\
だから求めるAは\\
\begin{bmatrix}
   0 & -a_3 &  a_2 \\
 a_3 &    0 & -a_1 \\
-a_2 &  a_1 &    0 \\
\end{bmatrix}\\
\end{align}
```

- 問8.4
    - (a)
```math 
\begin{bmatrix}
1 & 4 & 7 \\
2 & 5 & 8 \\
3 & 6 & 9 \\
\end{bmatrix}\rightarrow
\begin{bmatrix}
3 & 6 & 9 \\
2 & 5 & 8 \\
1 & 4 & 7 \\
\end{bmatrix}だから\\
\begin{bmatrix}
1 \\
2 \\
3 \\
4 \\
5 \\
6 \\
7 \\
8 \\
9 \\
\end{bmatrix}\rightarrow
\begin{bmatrix}
3 \\
2 \\
1 \\
6 \\
5 \\
4 \\
9 \\
8 \\
7 \\
\end{bmatrix}\\
よって、A=
\begin{bmatrix}
0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\
\end{bmatrix}
```
-  - (b)
```math 
\begin{bmatrix}
1 & 4 & 7 \\
2 & 5 & 8 \\
3 & 6 & 9 \\
\end{bmatrix}\rightarrow
\begin{bmatrix}
3 & 2 & 1 \\
6 & 5 & 4 \\
9 & 8 & 7 \\
\end{bmatrix}だから\\
\begin{bmatrix}
1 \\
2 \\
3 \\
4 \\
5 \\
6 \\
7 \\
8 \\
9 \\
\end{bmatrix}\rightarrow
\begin{bmatrix}
3 \\
6 \\
9 \\
2 \\
5 \\
8 \\
1 \\
4 \\
7 \\
\end{bmatrix}\\
よって、A=
\begin{bmatrix}
0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\
0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\
1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\
\end{bmatrix}
```

-  - (c)
```math 
\begin{bmatrix}
1 & 4 & 7 \\
2 & 5 & 8 \\
3 & 6 & 9 \\
\end{bmatrix}\rightarrow
\begin{bmatrix}
0 & 2 & 5 \\
0 & 3 & 6 \\
0 & 0 & 0 \\
\end{bmatrix}だから\\
\begin{bmatrix}
x_1 \\
x_2 \\
x_3 \\
x_4 \\
x_5 \\
x_6 \\
x_7 \\
x_8 \\
x_9 \\
\end{bmatrix}\rightarrow
\begin{bmatrix}
0 \\
0 \\
0 \\
x_2 \\
x_3 \\
0 \\
x_5 \\
x_6 \\
0 \\
\end{bmatrix}\\
よって、A=
\begin{bmatrix}
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
\end{bmatrix}
```

-  - (d)
```math 
\begin{bmatrix}
1 & 4 & 7 \\
2 & 5 & 8 \\
3 & 6 & 9 \\
\end{bmatrix}\rightarrow
\begin{bmatrix}
\frac{x_2+x_4}{2} & \frac{x_1+x_5+x_7}{3} & \frac{x_4+x_8}{2} \\
\frac{x_1+x_3+x_5}{3} & \frac{x_2+x_4+x_6+x_8}{4} & \frac{x_5+x_7+x_9}{3} \\
\frac{x_2+x_6}{2} & \frac{x_3+x_5+x_9}{3} & \frac{x_6+x_8}{2} \\
\end{bmatrix}だから\\
\begin{bmatrix}
x_1 \\
x_2 \\
x_3 \\
x_4 \\
x_5 \\
x_6 \\
x_7 \\
x_8 \\
x_9 \\
\end{bmatrix}\rightarrow
\begin{bmatrix}
\frac{x_2+x_4}{2} \\
\frac{x_1+x_3+x_5}{3} \\
\frac{x_2+x_6}{2} \\
\frac{x_1+x_5+x_7}{3} \\
\frac{x_2+x_4+x_6+x_8}{4} \\
\frac{x_3+x_5+x_9}{3} \\
\frac{x_4+x_8}{2} \\
\frac{x_5+x_7+x_9}{3} \\
\frac{x_6+x_8}{2} \\
\end{bmatrix}\\
よって、A=
\begin{bmatrix}
0 & \frac{1}{2} & 0 & \frac{1}{2} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
\frac{1}{3} & 0 & \frac{1}{3} & 0 & \frac{1}{3} & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & \frac{1}{2} & 0 & 0 & 0 & \frac{1}{2} & 0 & 0 & 0 \\
\frac{1}{3} & 0 & 0 & 0 & \frac{1}{3} & 0 & \frac{1}{3} & 0 & 0 \\
0 & \frac{1}{4} & 0 & \frac{1}{4} & 0 & \frac{1}{4} & 0 & \frac{1}{4} & 0 \\
0 & 0 & \frac{1}{3} & 0 & \frac{1}{3} & 0 & 0 & 0 & \frac{1}{3} \\
0 & 0 & 0 & \frac{1}{2} & 0 & 0 & 0 & \frac{1}{2} & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & \frac{1}{3} & 0 & \frac{1}{3} & 0 & \frac{1}{3} \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \frac{1}{2} & 0 & \frac{1}{2} & 0 \\
\end{bmatrix}

```

- 問8.5
    - (a)
```math 
\begin{align}
x_kとx_{n-k+1}の要素をそれぞれ&\alpha, \betaとおく。\\
x_{sk}+x_{ak}&=\alpha\\
x_{sn-k+1}+x_{an-k+1}&=\beta\\
となれば良いから、ここで\\
x_{sk}&=x_{sn-k+1}\\
x_{ak}&=-x_{an-k+1}\\
より\\
\left\{
\begin{array}{l}
x_{sk}+x_{ak}=\alpha \\
x_{sk}+x_{ak}=\beta
\end{array}
\right.\\
2x_{sk}&=\alpha+\beta\\
x_{sk}&=\frac{\alpha+\beta}{2}\\
x_{ak}&=\frac{\alpha-\beta}{2}\\
他のkの値の時も同様に&示せるから任意のベクトルxについて\\
x&=x_s+x_aの形で一意に表せる。
\end{align}
```

-   - (b)
```math 
\begin{align}
\begin{bmatrix}
x_1 \\
x_2 \\
\vdots \\
x_k \\
\vdots \\
x_{n-k-1} \\
\vdots \\
x_2 \\
x_1
\end{bmatrix}&=A_s
\begin{bmatrix}
x_1 \\
x_2 \\
\\
\\
\vdots
\\
\\
\\
\\
x_n
\end{bmatrix}
A_s&=
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 & \cdots \\
0 & 1 & 0 & \cdots \\
  &   &   & \vdots \\
0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 1 & 0 & \cdots \\
  &   &   & \vdots \\
0 & 1 & 0 & \cdots \\
1 & 0 & 0 & \cdots \\
\end{bmatrix}\\

\begin{bmatrix}
x_1 \\
x_2 \\
\vdots \\
x_k \\
\vdots \\
-x_{n-k-1} \\
\vdots \\
-x_2 \\
-x_1
\end{bmatrix}&=A_a
\begin{bmatrix}
x_1 \\
x_2 \\
\\
\\
\vdots
\\
\\
\\
\\
x_n
\end{bmatrix}\\
A_a&=
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 & \cdots \\
0 & 1 & 0 & \cdots \\
  &   &   & \vdots \\
0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 1 & 0 & \cdots *)\\
0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & -1 & 0 & \cdots *)\\
  &   &   & \vdots \\
0 & -1 & 0 & \cdots \\
-1 & 0 & 0 & \cdots \\
\end{bmatrix}\\
*)nが奇数の時は\\
0\quad0\quad0\quad\cdots

\end{align}
```

- 問8.6
    - (a)
```math 
\begin{align}
y_1&=x_1 \\
y_2&=\bar{x}_1-x_2=x_1-x_2 \\
y_3&=\overline{x_1 + x_2}-x_3=\frac{x_1+x_2}{2}-x_3\\
y_i&=\frac{x_1+\cdots+x_{i-1}}{i-1}-x_i\\
y&=Ax\\
A&=
\begin{bmatrix}
1 &  0 & 0 & 0 & \cdots & 0\\
1 & -1 & 0 & 0 & \cdots & 0\\
\frac{1}{2} & \frac{1}{2} & -1 & 0 & \cdots & 0\\
\vdots & & \ddots \\
\frac{1}{n} & \cdots & & & & -1\\
\end{bmatrix}
\end{align}
```

-   - (b)
```math 
\begin{align}
y_1&=\frac{x_2+\cdots…x_n}{n-1}-x_1 \\
y_k&=\frac{x_1+\cdots+x_{k-1}+x_{k+1}+\cdots+x_n}{n-1}-x_k\\
A&=\begin{bmatrix}
-1 & \frac{1}{n-1} & \cdots & & \frac{1}{n-1} \\
\frac{1}{n-1} & -1 & \frac{1}{n-1} & \cdots & \frac{1}{n-1} \\
\vdots & & \ddots & & \vdots \\
\frac{1}{n-1} & \cdots & & \frac{1}{n-1} & -1 \\
\end{bmatrix}
\end{align}
```

- 問8.7
```math 
\begin{align}
P(x)&=c_1+c_2x+c_3x^2+c_4x^3+c_5x^4\\
P(0)&=0より\\
c_1&=0\\
P'(x)&=c_2+2c_3x+3c_4x^2+4c_5x^3\\
P'(0)&=0より\\
c_2&=0\\
P(1)&=1より\\
c_1+c_2+c_3+c_4+c_5&=1
P'(1)&=0より\\
c_2+2c_3+3c_4+4c_5&=0\\
\left\{
\begin{array}{l}
c_1&=0\\
c_2&=0\\
c_1+c_2+c_3+c_4+c_5&=1\\
c_2+2c_3+3c_4+4c_5&=0\\
\end{array}
\right.\\
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0 & 0 & 0\\
1 & 1 & 1 & 1 & 1\\
0 & 1 & 2 & 3 & 4\\
\end{bmatrix}&=
\begin{bmatrix}
0 \\
0 \\
1 \\
0 \\
\end{bmatrix}
\end{align}
劣決定である。
```

- 問8.8
    - わからず。

- 問8.9
```math 
\begin{align}
1日に摂取する栄養素量はNd&これがn^{des}に等しいから\\
Nd&=N^{des}\\
\left\{
\begin{array}{l}
N_{11}d_1+\cdots+N_{1n}d_n&=N^{des}_1 \\
\vdots \\
N_{m1}d_1+\cdots+N_{mn}d_n&=N^{des}_m \\
\end{array}
\right.\\
総コストはcdこれがBとなるから\\
cd&=B\\
c_1d_1+\cdots+c_nd_n&=B\\
つまり\\
\left\{
\begin{array}{l}
N_{11}d_1+\cdots+N_{1n}d_n&=N^{des}_1 \\
\vdots \\
N_{m1}d_1+\cdots+N_{mn}d_n&=N^{des}_m \\
c_1d_1+\cdots+c_nd_n&=B \\
\end{array}
\right.\\
\end{align}
```

- 問8.10

```math 
\begin{align}
\begin{bmatrix}
c_{11} & \cdots & c_{1k} \\
\vdots \\
c_{n1} & \cdots & c_{nk} \\
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
\theta_1 \\
\vdots \\
\theta_k \\
\end{bmatrix}
&=\begin{bmatrix}
c^{tar}_1 \\
\vdots \\
c^{tar}_n \\
\end{bmatrix}\\
\therefore

\begin{bmatrix}
1 & \cdots & 1 \\
c_{11} & \cdots & c_{1k} \\
\vdots \\
c_{n1} & \cdots & c_{nk} \\
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
\theta_1 \\
\vdots \\
\theta_k \\
\end{bmatrix}
&=\begin{bmatrix}
1 \\
c^{tar}_1 \\
\vdots \\
c^{tar}_n \\
\end{bmatrix}

\end{align}
```
- 問8.11

```math 
\begin{align}
\rho_1&=\|x-a_1\| \\
\rho_2&=\|x-a_2\| \\
\rho_3&=\|x-a_3\| \\
\rho_4&=\|x-a_4\| \\
(x-a_1)^2&=\rho^2_1 \\
\left\{
\begin{array}{l}
(x_1-a_{11}+(x_2-a_{12})^2+(x_3-a_{13})^2&=\rho^2_{11}+\rho^2_{12}+\rho^2_{13} \\
\rho_2, \rho_3, \rho_4も同様\\
(x_1-a_{41})^2+(x_2-a_{42})^2+(x_3-a_{43})^2&=\rho^2_{41}+\rho^2_{42}+\rho^2_{43} \\
\end{array}
\right.\\
\end{align}
```

- 問8.１2
    - わからず。

- 問8.13
```math 
\begin{align}
Ah&=s=s^{des}\\
\begin{bmatrix}
a_{11} & \cdots & a_{1n} \\
\vdots \\
a_{m1} & \cdots & a_{mn} \\
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
h_1 \\
\vdots \\
h_n \\
\end{bmatrix}
&=
\begin{bmatrix}
s^{des}_1 \\
\vdots \\
s^{des}_m \\
\end{bmatrix}
\end{align}
```
- 問8.14

```math 
\begin{align}
A\omega&=A\sum_{i=1}^k{\alpha_izi}\\
&=\sum_{i=1}^k{\alpha_i(Az_i)}\\
&=b\sum_{i=1}^k{\alpha_i}\\
&=b\cdot1\\
&=b
\end{align}
```

- 問8.15

```math 
\begin{align}
\begin{bmatrix}
s_{11} & s_{12} & \cdots & s_{1n} \\
\vdots \\
s_{m1} & & \cdots & s_{mn} \\
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
r_1 \\
\vdots \\
r_n \\
\end{bmatrix}
&=0 で良いか？
\end{align}
```

- 問8.16

```math 
\begin{align}
f(u, v)&=\theta_1+\theta_2u+\theta_3v+\theta_4uv \\
f(x_1, y_1)&=F_{11}, \cdots, f(x_2, y_2)=F_{22}\\
\begin{bmatrix}
1 & x_1 & y_1 & x1y1 \\
1 & x_1 & y_2 & x1y2 \\
1 & x_2 & y_1 & x2y1 \\
1 & x_2 & y_2 & x2y2 \\
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
\theta_1 \\
\theta_2 \\
\theta_3 \\
\theta_4 \\
\end{bmatrix}
&=
\begin{bmatrix}
F_{11} \\
F_{12} \\
F_{21} \\
F_{22} \\
\end{bmatrix}
\end{align}
```
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- [『スタンフォード ベクトル・行列からはじめる最適化数学』7章章末問題の解答](https://qiita.com/aokikenichi/items/01dee7761607aabc58fd)
- [『スタンフォード ベクトル・行列からはじめる最適化数学』9章章末問題の解答](https://qiita.com/aokikenichi/items/7c1712749b7d65fc7e03)