位相空間とホモロジー

https://qiita.com/hiro949/items/9c793415313be6312154

で図形のホモロジーについて紹介しました。三角形分割できる図形とその同相写像による変換はここの議論で音足りますが、一般の位相空間では特異ホモロジーという拡張したものを使う必要があります。

```math
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\Hom}{\mathrm{Hom}}
```

# 単体写像

２つの単体的複体$K,K'$の間の写像

```math
f:K \rightarrow K'
```

は対応する各単体$\sigma,\sigma'$を集合と見た

```math
\begin{align}
f:\sigma \rightarrow \sigma' \\
\sigma' = f(\sigma)
\end{align}
```

という写像であり、任意の対応する単体

```math
f((p_{i_1},\dots,p_{i_r})) = (p'_{j_1},\dots,p'_{j_s})
```

に対して、$r\geq s$かつ$\sigma$の頂点集合

```math
\{p_{i_1},\dots,p_{i_r}\}
```

への制限が$\sigma'$の頂点集合


```math
\{p'_{j_1},\dots,p'_{j_s}\}
```

への全射な写像であるとき：

```math
f(\{p_{i_1},\dots,p_{i_r}\}) = \{p'_{j_1},\dots,p'_{j_s}\}
```

$f$を単体写像と言います。

# 標準単体

$\R^n$のベクトル

```math
\begin{align}
\vec{p}_1 &= (1,0,\cdots,0) \\
\vec{p}_2 &= (1,1,0,\cdots,0) \\
&\vdots \\
\vec{p}_i &= (1,\cdots,1,\overset{i}{1},0,\cdots,0) \\
\vdots \\
\vec{p}_n &= (0,\cdots,0,1)
\end{align}
```

からなる$n$単体

```math
\begin{align}
\Delta^n &= (p_0,p_1,\cdots,p_n) \\
&= \left\{ \sum_i t_i \vec{p}_i \mid t_1,\cdots,t_n \geq 0, \sum_{i} t_i \leq 1\right\} \\
&= \{(x_1,\cdots,x_n) \mid 0 \leq x_1 \leq \cdots \leq x_n\}
\end{align}
```

を標準$n$単体と言います。また標本$n$単体とその辺単体から成る単体的複体を$K^\Delta_n$と表せば、

```math
p<q \Rightarrow K_p \subset K_q
```

です。

# 特異単体

標準単体は$\R^n$の部分集合と見ることができて：$\Delta^n \subset \R^n$、

任意の位相空間$X$に対して標準$n$単体からの連続写像

```math
\sigma \in C^0(\Delta^n,X)
```

を特異$n$単体と言います。特異単体全体の集合は単体的複体とは違って無限集合であり、非可算であることがほとんどです。

# 特異鎖群

```math
\{\sigma_\lambda\}_{\lambda \in \Lambda} \in C^0(\Delta^n,X)
```

を用いて可換環$R$を係数とする鎖を

```math
\begin{align}
c &= \sum_{\lambda \in \Lambda} r(\lambda) \sigma_\lambda \\
r(\lambda) &\in R
\end{align}
```

とします。添え字集合$\Lambda$は有限、可算無限、非可算のいずれでもOKです。
このようにして作られる鎖群を可換環$R$を係数とする$n$次元特異鎖群と言い、

```math
S_n(X;R)
```

と表します。

## 特異鎖群の境界作用素

点$(x_1,\cdots,x_{q-1}) \in \Delta^{q-1} \subset \R^{q-1}$に対して

```math
\epsilon_i((x_1,\cdots,x_{q-1})) = \begin{cases}
(0,x_1,\cdots,x_{q-1}) \ (i=0) \\
(x_1,\cdots,x_{i-1},x_i,x_i,x_{i+1},\cdots,x_{q-1}) \ (0<i<q) \\
(x_1,\cdots,x_{q-1},1) \ (i=q)
\end{cases}
```
で第$i$辺作用素

```math
\epsilon_i: \Delta^{q -1}\rightarrow \Delta^q
```

を定義して、境界作用素

```math
\partial_q: S_{q}(X;R) \rightarrow S_{q-1}(X;R)
```

を特異$q$単体$\sigma \in S_q(X;R)$に対して

```math
\begin{align}
&\partial_q \sigma: \Delta^{q-1} \rightarrow X \\
&\partial_q \sigma = \sum_{0}^{q} (-1)^i \sigma \circ \epsilon_i
\end{align}
```

と定義し($1 \in R$は可換環の積の単位元)、一般の特異鎖に対しては

```math
\partial c = \sum_{\lambda \in \Lambda} r(\lambda) \partial \sigma_\lambda
```

と定義します。$\partial_q$は特に必要がなければ単に$\partial$と書きます。

このとき、

```math
i<j \Rightarrow \partial_i \partial_j = \partial_{j-1} \partial
```

が成り立つので、

```math
\partial_{n-1} \partial_n = \partial_{n-2} \partial_{n-1} = \cdots = \partial_0 \partial_1 = 0
```

となって、鎖複体の微分としての性質

```math
\partial \partial = 0
```

を満たしています。

系列

```math
S(X;R) = \cdots \xrightarrow{\partial} S_q(X;R) \xrightarrow{\partial} S_{q-1}(X;R) \xrightarrow{\partial} \cdots \xrightarrow{\partial} S_1(X;R) \xrightarrow{\partial} S_0(X;R) \xrightarrow{\partial} \{0\} 
```

を特異鎖複体と言います。($0 \in R$は可換環のゼロ元です。)

# 相対鎖群

部分位相空間$Y \subset X$に対して

```math
S_q(Y;R) \subset S_q(X;R)
```

なので、(ちょうど$Y$の中の集合へ移す写像も$S_q(X)$には含まれています。)

$S_q(X;R)$の同値関係

```math
c_1 \sim c_2 \Leftrightarrow c_1 - c_2 \in S_q(Y;R)
```

による商空間

```math
S_q(X,Y;R) = S_q(X;R)/S_q(Y;R) = S_q(X;R)/\sim
```

を双対鎖群と言います。面倒なときはこれも含めて広義の鎖群としたりもします。境界作用素も

```math
\partial[c] = [\partial c]
```

でwell-definedに定義されています。

# 特異ホモロジー

特異鎖群上にも単体的複体と同様にホモロジー群を定義できます。

```math
\begin{align}
Z_q(X;R) &= \ker \partial_q \\
B_q(X;R) &=  \mathrm{Im} \partial_{q+1} \\
H_q(X;R) &= Z_q(X;R)/B_q(X;R)
\end{align}
```

双対鎖群に対しても

```math
\begin{align}
Z_q(X,Y;R) &= \ker \partial_q \\
B_q(X,Y;R) &=  \mathrm{Im} \partial_{q+1} \\
H_q(X;R) = &Z_q(X,Y;R)/B_q(X,Y;R)
\end{align}
```

と定義されます。

# 参考資料

- 河田敬義 位相幾何学 (現代数学演習叢書 2)
- https://research.kek.jp/people/hkodama/Math/topology.pdf