Landau-Lifshitzの行間を埋める（3）　『流体力学』§15 【粘性流体の運動方程式の導出】

# はじめに

この記事は

https://qiita.com/WakaLandau/items/fabb602f8d95a6d875cb?1

https://qiita.com/WakaLandau/items/0808f2c68bc3a730459c?1

の続きである．

Landau-Lifshitz『流体力学』§15は，粘性流体の運動方程式の導出に充てられている．

粘性応力テンソルの形（後述の式(2)）を決めるとき，「空間の等方性より」で済ませる本が多いと思う．
これは文字通り「空間のどの方向も対等です」という意味である．
しかし，この表現はやや抽象的であり，流体力学的に何を意味するのか，今ひとつピンと来ない気がする．
一方でLandau-Lifshitzでは，

> 「流体が一様な角速度で剛体回転しても内部摩擦（粘性）が生じない」

と，物理的要請を明確に記述している．
私はこの点に好感を持った．
とはいえ，Landau-Lifshitzの本文には，上記の要請と式(2)の間に微妙な行間がある．
そこで，この行間を埋めつつ，Landau-Lifshitz流の粘性応力テンソルの決め方についてまとめる．

（大した内容ではないので，気軽に読んで頂ければと思う）


## 粘性応力テンソル


流体の運動中に生じるエネルギーの散逸が，流体の運動にどのような影響を及ぼすか考えよう．
エネルギーの散逸過程は，熱力学的に不可逆な運動；内部摩擦（粘性）や熱伝導によって生じる．
よって，これらの効果を無視しているEuler方程式（理想流体の運動方程式）は書き改めなければならない[^1]．

[^1]: もちろんエネルギー方程式も書き改めなければならないが，これについては§49で議論されている．
導き方から明らかなように，連続の式はどのような流体に対しても成立する．





Euler方程式は，運動量フラックス密度テンソルを$\varPi_{ij}$として
$$
    \frac{\partial}{\partial t} (\rho v_i) = - \frac{\partial \varPi_{ij}}{\partial x_j}
$$
と書ける．
理想流体での運動量フラックスの表式
$$
    \varPi_{ij} = p \delta_{ij} + \rho v_iv_j
$$
は，流体粒子の運動と圧力による，運動量の可逆な輸送を表している．
粘性流体の運動方程式を得るためには，不可逆な運動量の輸送を表す項$-\sigma'\_{ij}$を加えなければならない．
すなわち，粘性流体の運動量フラックス密度テンソルは
$$
    \varPi_{ij} = p \delta_{ij} + \rho v_iv_j -\sigma'\_{ij}
    = -\sigma_{ij} + \rho v_iv_j
$$
と表される．
テンソル
$$
    \sigma_{ij} = -p \delta_{ij} + \sigma'\_{ij}
$$
は**応力テンソル**，$\sigma'\_{ij}$は**粘性応力テンソル**と呼ばれる．
$\sigma_{ij}$は，運動する流体によって直接運ばれる運動量（$\rho v_iv_j$）以外の運動量フラックスを表している．



$\sigma'\_{ij}$の一般的な形を導こう．
内部摩擦は，流体粒子の速度が異なるために，流体の各部分の間に相対運動が起こる場合にのみ生じる．
つまり$\sigma'\_{ij}$は速度の空間微分の関数でなければならない．
ここでは，速度勾配が小さく，$\sigma'\_{ij}$が速度の1階微分の線型結合で表される流体（ニュートン流体）を考えることにしよう．
この条件を満たすテンソルの一般的な形は
$$
    \sigma'\_{ij} = a \frac{\partial v_i}{\partial x_j} + a' \frac{\partial v_j}{\partial x_i} + b \frac{\partial v_k}{\partial x_k} \delta_{ij}
    \tag{1}
$$
である．



流体が一様な角速度で回転している場合，内部摩擦は生じず$\sigma'\_{ij}=0$でなければならない．
このことから，係数についての制約条件を得ることができる．
角速度ベクトルを$\vec{\Omega}$とすると，速度は
$$\vec{v} = \vec{\Omega}\times\vec{r}$$
または
$$v_i = \varepsilon_{ilm}\Omega_lx_m$$
となる（$\varepsilon_{ilm}$はEddingtonのイプシロン）．
これを(1)に代入し
```math
\begin{align*}
    \sigma'_{ij} &= a \frac{\partial}{\partial x_j}(\varepsilon_{ilm}\Omega_lx_m) + a' \frac{\partial}{\partial x_i}(\varepsilon_{jlm}\Omega_lx_m) + b \frac{\partial}{\partial x_k}(\varepsilon_{klm}\Omega_lx_m) \delta_{ij} \\
    &= a \varepsilon_{ilm}\Omega_l\delta_{jm} + a' \varepsilon_{jlm}\Omega_l\delta_{im} + b \varepsilon_{klm}\Omega_l\delta_{km}\delta_{ij} \\
    &= ( a \varepsilon_{ilj} + a' \varepsilon_{jli} + b \varepsilon_{klk}\delta_{ij} ) \Omega_l .
\end{align*}
```
Eddingtonのイプシロンは添字を1組交換すると符号が反転するから$\varepsilon_{jli} = -\varepsilon_{ilj}$であり，
添字に重複があると0になるから$\varepsilon_{klk}=0$である．よって
$$
    \sigma'\_{ij} = (a-a') \varepsilon_{ilj} \Omega_l = 0
    \qquad\therefore\quad a = a' .
$$

以上より，$\sigma'\_{ij}$の一般的な形は
$$
    \sigma'\_{ij} = a \left( \frac{\partial v_i}{\partial x_j} + \frac{\partial v_j}{\partial x_i} \right) + b \frac{\partial v_k}{\partial x_k} \delta_{ij}
\tag{2}
$$
となる．
こうして，速度の空間微分が対称的な形（$ \partial v_i / \partial x_j + \partial v_j / \partial x_i $）で現れる理由がはっきりした．

式(2)よりも，$a,b$を他の定数で表した次の形が便利である．
$$
    \sigma'\_{ij} = \eta \left( \frac{\partial v_i}{\partial x_j} + \frac{\partial v_j}{\partial x_i} - \frac{2}{3}\frac{\partial v_k}{\partial x_k} \delta_{ij} \right) + \zeta \frac{\partial v_k}{\partial x_k} \delta_{ij}
\tag{3}
$$
前半の$( \\; )$内は$i,j$について縮約すると0になる．
つまり，前半は非対角成分，後半は対角成分を表している．
$\eta,\zeta$は速度に無関係の定数で，$\eta$は**粘性率**，$\zeta$は**第２粘性率**と呼ばれる．
§16, §49で見るように，これらは正である．
$$
    \eta > 0, \quad \zeta > 0.
$$



## 粘性流体の運動方程式

さて，粘性流体の運動方程式を得よう．
$\varPi_{ij}$に$-\sigma'\_{ij}$を加えたことに対応して，Euler方程式に$\dfrac{\partial\sigma'\_{ij}}{\partial x_j}$を加えればよいことがわかる．
よって
```math
\begin{align}
    \rho \left( \frac{\partial v_i}{\partial t} + v_j \frac{\partial v_i}{\partial x_j} \right) &= - \frac{\partial p}{\partial x_i} + \frac{\partial \sigma'_{ij}}{\partial x_j} \\
    &= - \frac{\partial p}{\partial x_i} + \frac{\partial}{\partial x_j} \left[ \eta \left( \frac{\partial v_i}{\partial x_j} + \frac{\partial v_j}{\partial x_i} - \frac{2}{3}\frac{\partial v_k}{\partial x_k} \delta_{ij} \right) \right] + \frac{\partial}{\partial x_i} \left( \zeta \frac{\partial v_k}{\partial x_k} \right).
\end{align}
```
これは粘性流体の運動方程式の最も一般的な形である．
$\eta,\zeta$は一般に温度と圧力の関数であり，流体中で一様とは限らないから，微分の外に出すことはできない．
しかし多くの場合には，$\eta,\zeta$は定数とみなしてよい．その場合には
```math
\begin{align*}
    \frac{\partial \sigma'_{ij}}{\partial x_j} &= \eta \left[ \frac{\partial^2 v_i}{\partial x_j \partial x_j} + \frac{\partial}{\partial x_i} \left( \frac{\partial v_j}{\partial x_j} \right) - \frac{2}{3}\frac{\partial}{\partial x_i} \left( \frac{\partial v_k}{\partial x_k} \right) \right] + \zeta \frac{\partial}{\partial x_i} \left( \frac{\partial v_k}{\partial x_k} \right) \\
    &= \eta \triangle v_i + \left( \zeta+\frac{1}{3}\eta \right) \frac{\partial}{\partial x_i} (\mathrm{div}\,\vec{v}) .
\end{align*}
```
よって粘性流体の運動方程式をベクトル形式で表すと
$$
    \rho \left( \frac{\partial \vec{v}}{\partial t} + (\vec{v}\cdot\mathrm{grad})\vec{v} \right) = -\mathrm{grad}\\; p + \eta\triangle\vec{v} + \left( \zeta+\frac{1}{3}\eta \right) \mathrm{grad}\\;\mathrm{div}\\;\vec{v} .
$$
この式は**Navier-Stokes方程式**と呼ばれている．


粘性流体を論じる際，ほとんどの場合非圧縮であると仮定してよい．
その場合$\mathrm{div}\\;\vec{v}=0$であるから
$$
    \frac{\partial \vec{v}}{\partial t} + (\vec{v}\cdot\mathrm{grad})\vec{v}  = - \frac{1}{\rho}\mathrm{grad}\\; p + \frac{\eta}{\rho} \triangle\vec{v} 
$$
を得る．

式(3)で$\mathrm{div}\\;\vec{v}=0$とおくことにより，非圧縮性流体での応力テンソルは
$$
    \sigma_{ij} = -p \delta_{ij} + \eta \left( \frac{\partial v_i}{\partial x_j} + \frac{\partial v_j}{\partial x_i} \right)
$$
と簡単な形に書ける．


非圧縮性流体では，粘性はただ1つの係数$\eta$で表される．
このため，粘性率といえばふつう$\eta$のことを指す．
また，
$$
    \nu = \frac{\eta}{\rho}
$$
は**動粘性率**と呼ばれる．