余因子行列、日米の差

　留学帰りのエリートが書くような大層なタイトルになってしまいました。 ~~しかし、留学どころか、英文の数学書など一冊も持っていない私のポエムです。十分な批判精神を持ってお読みください~~ 。ここに書いている内容は、**余因子行列、日米版 Wikipedia の差**です。

:::note info
訂正：　
この記事は「ポエム」どころではなく、「線形代数を学ぶうえでの重要な注意点」を含んでいます。それを裏付ける偉い先生のコメントを見つけました。この記事の最後にある「追記」をご覧ください。
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[余因子行列 - Wikipedia(日本語版)](https://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%BD%99%E5%9B%A0%E5%AD%90%E8%A1%8C%E5%88%97)
[Adjugate matrix - Wikipedia(英語版)](https://en.wikipedia.org/wiki/Adjugate_matrix)

上記の日本語版 Wikipedia の方を一部要約すると、

>n次正方行列 A の余因子行列とは、(i, j)成分が (i, j)余因子である行列の転置行列のこと。（本投稿では、以降、**定義Ａ**と称する）
>単に (i, j)成分が (i, j)余因子である行列（転置をしない）を「余因子行列」と呼ぶ場合もある。（本投稿では、以降、**定義Ｂ**と称する）

とあります。「**厳密さを旨とする数学において、同じ用語で２つの異なる意味があるとは何事か！**」、「**どちらが正しいのかはっきりしろ！**」と言いたくなります。

　現在の Wikipedia とは異なり、以前のものは「・・・と呼ぶ場合もある」の近くをクリックすると、英語版の Wikipedia の「Adjugate matrix」にジャンプするようになっていました。こちらの要旨は、次のとおりで、以前も現在も同じ内容です。

>The adjugate of A is the transpose of the cofactor matrix C of A,
>$\ \mathrm{adj}(\mathbf{A})=\mathbf{C}^\mathrm{T}\ $

他の関連文書とも突き合わせてみると、日米の間で
　　**定義Ａの余因子行列 = Adjugate matrix**
であることは間違いなさそうです。

　そうなると、定義Ｂの余因子行列は英語版の上記行列 $\mathbf{C}$ を表していることになります。英語版では、$\mathbf{C}$ のことを cofactor matrix と称しています。cofactor = 余因子、matrix = 行列　ですから、単純に訳せば cofactor matrix も「余因子行列」になります。**ここから、定義が２種類もあるような混乱が生じているように思われます**。

　しかし、日本版の google で「余因子行列」を検索してみても、定義Ｂに該当するような検索結果はなかなか出てきません。日本で生活する限り、Wikipedia の例外的な記述はあまり気にすることなく、**定義Ａだけに絞って覚えておくのが無難**なようです。

　また、日本では余因子行列を表す記号は、多くは $\tilde{\phantom{a}}$（チルダ）を使っていますが、英文の検索結果では、 $\tilde{\phantom{a}}$ はなかなか見当たらず、殆どが $\mathrm{adj}$ を使っているようです。

　学生時代、最初に余因子行列に出会ったときには、「**たった１回の変換でなぜこんなにも複雑な手間を掛けさせるのだ！**」と腹立たしかったため、その後、英語版の Wikipedia で $\mathrm{C}$ を介した２段階の定義を見て、「**我が意を得たり**」の感想でした。しかし、いま思うとどちらにも長短があるようです。手計算で逆行列を求めるとき、メモ用紙上でこの変換操作が必要になりますが、**日本方式の方が、頭は疲れますが手順は省けます**。

　さいごに、日米の差を表にすると次のようになります。
|名称     |記号(日)     |記号(米)　　|　備考　　         |
|:----------:|:-----------:|:-----------:|:-------------:|
|元の正方行列     |$\mathrm{A}$ |$\mathrm{A}$ |            |
|余因子<br>Cofactor     |$\tilde{\mathrm{a}}_{\\,ij}$|$\mathrm{C}_{ij}$|$(-1)^{i+j}\|\mathrm{A}$の$i$行と$j$列を除去$\|$|
|Cofactor-matrix|---|$\mathrm{C}$|$i$行$j$列の要素が$\mathrm{C}_{ij}$の行列|
|余因子行列|$\tilde{\mathrm{A}}$, $\mathrm{adj}(\mathrm{A})$| |$i$行$j$列の要素が$\tilde{\mathrm{a}}_{\\,j\\,i}$の行列。<br>**Adjugate-matrixと同じもの**。|
|Adjugate-matrix||$\mathrm{adj}(\mathrm{A})$|$\mathrm{C}$の転置行列 $\mathrm{C}^{\mathrm{T}}$。<br>**余因子行列と同じもの**。|
|逆行列<br>Inverse-matrix|$\mathrm{A}^{-1}$|$\mathrm{A}^{-1}$|$\displaystyle\frac{\tilde{\mathrm{A}}}{\|\mathrm{A}\|}$, $\displaystyle\frac{\mathrm{adj}(\mathrm{A})}{\|\mathrm{A}\|}$, $\displaystyle\frac{\mathrm{C}^{\mathrm{T}}}{\|\mathrm{A}\|}$|

### 追記：

[「線型代数学」（東京大学出版会，足助太郎著）に関する補足事項](https://www.ms.u-tokyo.ac.jp/~asuke/linear_algebra/corrections.html)

上記サイトの中の「よくある・あまりない質問とそれに対する回答 [2022/10/9]」の項に次のような記述があります（太字化は私tsubolaboによります）。

> Q : 余因子行列（66頁，定義 2.3.14）の定義が正しくない（転置をとらないのが正しい）のではないか？ [2012/6/18]

> A : 和訳の問題が絡むので，まず訳語を用いないで説明します． (i,j)成分が (j,i)余因子であるような行列を adjugate matrix，(i,j)成分が (i,j)余因子であるような行列を cofactor matrixと呼びます． adjugate matrixは adjoint matrixとも呼ばれますが，随伴行列（定義 5.2.1）と紛らわしいので避けることが多いようです． 本書では「余因子行列」で adjugate matrixを指しています（357頁（索引）も参照のこと）． 一方，「余因子」は英語では cofactorなので，「余因子行列」を直訳すると cofactor matrixとなります． その意味では指摘はごもっともです． しかし，調べた範囲では日本語の「余因子行列」は adjugate matrixを指すので，本書でもこれに従いました． 直訳とはずれがありますので，**英語の文献を読み書きする際には注意が必要です**． [2012/6/18]（同日一部修正）