統計検定２級必須事項穴埋め

試験直前の最終チェックとして穴埋めを用意しました。一部前提などを省略して記述している部分がありますが、ご了承ください。
# 1
商品Aと商品Bの年間購入数量が次の表のようであるとする。
||200X年||200Y年||
|---|:---:|:---:|:---:|:---:|
||購入数量|平均価格|購入数量|平均価格|
|商品A|$q_{XA}$|$p_{XA}$|$q_{YA}$|$p_{YA}$|
|商品B|$q_{XB}$|$p_{XB}$|$q_{YB}$|$p_{YB}$|

200X年を基準年(指数を100とする)として、商品Aと商品Bの２種類の価格から、200Y年のラスパイレス指数$P_{L(0,t)}$および、パーシェ指数$P_{P(0,t)}$を求めると、それぞれ、
　　$P_{L(0,t)}=$<INS>(ア)　　　　　　　　　</INS>
　　$P_{P(0,t)}=$<INS>(イ)　　　　　　　　　</INS>
となる。このとき、フィッシャー指数$P_{F(0,t)}$は、
　　$P_{F(0,t)}=$<INS>(ウ)　　　　　　　　　</INS>
となる。
# 2
回帰係数を$\alpha,\beta$とすると、回帰直線は<INS>(ア)　　　　　　　　　</INS>となる。
$y_i$を観測値の実際の値、$\hat{y}_i$を回帰直線を用いて予測された値とすると、
　残差は$e_i=$ <INS>(ア)　　　　　　　　　</INS>
　残差平方和は$S(\hat{\alpha},\hat{\beta})=$<INS>(イ)　　　　</INS>=<INS>(ウ)　　　　　　</INS>=<INS>(エ)　　　　　　　　　</INS>
となる。残差平方和$S(\hat{\alpha},\hat{\beta})$を最小にするような$\hat{\alpha},\hat{\beta}$を求めると、正規方程式は
<INS>(オ)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　</INS>($\hat{\alpha}$で偏微分したものが$0$)
<INS>(カ)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　</INS>($\hat{\beta}$で偏微分したものが$0$)
# 3
確率密度関数を$f(x)$とするとき、
　期待値 $E[X]=$　<INS>(ア)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　</INS>
　分散 $V[X]=$　<INS>(イ)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　</INS>
分布関数(累積分布関数)は、確率密度関数$f(x)$を用いて、
　$F(x)=P(X\leq x)=$　<INS>(ウ)　　　　　　　　　　　　　　　</INS>
と表される。この時、中央値は<INS>(エ)　　　　　　　</INS>として、$c$について解けば求められる。
# 4
以下を期待値記号$E$,確率変数$X,Y$や定義されている記号を用いて表せ。
分散 $V[X]=$ <INS>(ア)　　　　　　　　　　</INS>
共分散 $Cov[X,Y] =$ <INS>(イ)　　　　　　　　　　</INS>
相関係数 $\rho_{xy}=$ <INS>(ウ)　　　　　　　　　　</INS>
$V[aX+bY]=$ <INS>(エ)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　</INS>
$X,Y$が独立のの場合、$V[aX+bY]=$ <INS>(オ)　　　　　　　　　　　　　</INS>
# 5
ベルヌーイ分布：
　期待値 $E[X]=$　<INS>(ア)　　　　　　　</INS>, 分散 $V[X]=$　<INS>(イ)　　　　　　　</INS>
二項分布：
　確率密度分布 $f(x)=$　<INS>(ウ)　　　　　　　</INS>,
　期待値 $E[X]=$　<INS>(エ)　　　　　　　</INS>, 分散 $V[X]=$　<INS>(オ)　　　　　　　</INS>
ポアソン分布：
　確率密度分布 $f(x)=$　<INS>(カ)　　　　　　　</INS>,
　期待値 $E[X]=$　<INS>(キ)　　　　　　　</INS>, 分散 $V[X]=$　<INS>(ク)　　　　　　　</INS>
幾何分布
　確率密度分布 $f(x)=$　<INS>(ケ)　　　　　　　</INS>,
　期待値 $E[X]=$　<INS>(コ)　　　　　　　</INS>, 分散 $V[X]=$　<INS>(サ)　　　　　　　</INS>

# 6
$X$の期待値$\mu$、分散$\sigma^2$のとき、正規分布で標準化すると$Z=$<INS>(ア)　　　　　　　</INS>となる。
確率変数 $Z_1, Z_2,\cdots Z_n$が互いに独立に標準正規分布$N(0,1)$に従うとき、
```math
W = Z_1^2 + Z_2^2 +\cdots Z_n^2
```
は自由度(イ)<INS>　　　</INS>の(ウ)<INS>　　　　　</INS>分布に従う。また、標準正規分布$N(0,1)$に従う確率変数$Z$が$W$と独立であれば
```math
\frac{Z}{\sqrt{W/n}}
```
は自由度(エ)<INS>　　　</INS>の(オ)<INS>　　　　　</INS>分布に従う。さらに、確率変数$W_1,W_2$が互いに独立に自由度$m_1,m_2$の(ウ)<INS>　　　　　　　</INS>分布に従とき、
```math
\frac{W_1/m_1}{W_2/m_2}
```
は自由度$(m_1,m_2)$の(カ)<INS>　　　　　</INS>分布に従う。

# 7
ある母数$\theta$の推定量$\hat{\theta}$が任意の$\theta$の値に対して、$\hat{\theta}$が$\theta$に確率収束するとき、$\hat{\theta}$は(ア)<INS>　　　</INS>推定量である。$\hat{\theta}$の期待値$E[\hat{\theta}]=\theta$となるとき、$\hat{\theta}$は(ア)<INS>　　　</INS>推定量である。一致推定量が不偏推定量となるとは必ずしも限らない。
# 8
$x_1,x_2,\cdots,x_n$が無作為標本の場合、
　標本分散 $s^2=$(ア)<INS>　　　　　　　　　</INS>
　不偏分散 $\hat{\sigma}^2=$(イ)<INS>　　　　　　　　　</INS>
# 9
不偏分散を$\hat{\sigma}^2$とする。
母平均$\mu$の$100(1-\alpha)$%信頼区間は、標本平均を$\bar{x}$として、
　母分散が既知のとき、(ア)<INS>　　　　　　　　　</INS> $\leq \mu \leq$ (イ)<INS>　　　　　　　　　</INS>
　母分散が未知のとき、(ウ)<INS>　　　　　　　　　</INS> $\leq \mu \leq$ (エ)<INS>　　　　　　　　　</INS>
母分散$\sigma^2$の$100(1-\alpha)$%信頼区間は、
　(オ)<INS>　　　　　　　　　</INS> $\leq \sigma^2 \leq$ (カ)<INS>　　　　　　　　　</INS>
母比率$p$の$100(1-\alpha)$%信頼区間は、中心極限定理を利用して近似的に、
　(キ)<INS>　　　　　　　　　</INS> $\leq p \leq$ (ク)<INS>　　　　　　　　　</INS>
# 10
２標本問題で、母平均の差($\delta$)の$100(1-\alpha)$%信頼区間は、標本平均の差を$d=\bar{x}-\bar{y}$として、
　母分散が既知のとき、(ア)<INS>　　　　　　　　　</INS> $\leq \delta \leq$ (イ)<INS>　　　　　　　　　</INS>
　母分散が未知のとき、
　　プールした分散 $\hat{\sigma}^2=$ (ウ)<INS>　　　　　　　　　　　　　　</INS> = (エ)<INS>　　　　　　　　　　　　　　</INS>（(ウ)は不偏分散$\hat{\sigma}_1^2, \hat{\sigma}_2^2$を用いて、(エ)は偏差平方和を用いて表せ)
　　を用いて、(オ)<INS>　　　　　　　　　　　</INS> $\leq \delta \leq$ (カ)<INS>　　　　　　　　　　　</INS>
母分散の比($\sigma_y^2/\sigma_x^2$)の$100(1-\alpha)$%信頼区間は、$\hat{\sigma}_x^2,\hat{\sigma}_y^2$を用いて、
　　(キ)<INS>　　　　　　　　　　　</INS> $\leq \frac{\sigma_y^2}{\sigma_x^2} \leq$ (ク)<INS>　　　　　　　　　　　</INS>
　　あるいは、
　　(ケ)<INS>　　　　　　　　　　　</INS> $\leq \frac{\sigma_y^2}{\sigma_x^2} \leq$ (コ)<INS>　　　　　　　　　　　</INS>（$1-\frac{\alpha}{2}$を用いずに表せ)
母比率の差($p_1-p_2$)の$100(1-\alpha)$%信頼区間は、$\hat{p}_1,\hat{p}_2,n_1,n_2$を用いて、
　　(ケ)<INS>　　　　　　　　　　　</INS> $\leq p_1-p_2 \leq$ (コ)<INS>　　　　　　　　　　　</INS>
# 11
|判断|$H_0$が正しい|$H_1$が正しい|
|---|---|---|
|$H_0$を棄却|<INS>(ア)　　　</INS>過誤|正しい判断(<INS>(イ)　　　</INS>)力|
|$H_0$を受容|正しい判断|<INS>(ウ)　　　</INS>過誤|

第１種過誤の確率とは、<INS>(エ)　　　　　</INS>の下で、<INS>(オ)　　　</INS>を棄却する誤りであり、
第2種過誤の確率とは、<INS>(カ)　　　　　</INS>の下で、<INS>(キ)　　　</INS>を受容する誤りである。

# 12
母平均$\mu$の統計的仮設検定に関して、母分散が既知の値（$\sigma^2$)の場合、
　　帰無仮説 $H_0:\mu=\mu_0$
　　対立仮説 $H_1:\mu\neq\mu_0$
とするとき、検定値は(ア)<INS>　　　　　　</INS>であり、有意水準$\alpha$%の場合の棄却域は(イ)<INS>　　　　　　</INS>である。
一方、
　　帰無仮説 $H_0:\mu=\mu_0$
　　対立仮説 $H_1:\mu > \mu_0$
とするとき、検定値は(ウ)<INS>　　　　　　</INS>であり、有意水準$\alpha$%の場合の棄却域は(エ)<INS>　　　　　　</INS>である。
母平均$\mu$の統計的仮設検定に関して、母分散が未知の場合、不偏分散$\hat{\sigma}$を用いて(オ)<INS>　　　　　　</INS>検定を行う。
　　帰無仮説 $H_0:\mu=\mu_0$
　　対立仮説 $H_1:\mu\neq\mu_0$
とするとき、検定値は(カ)<INS>　　　　　　</INS>であり、有意水準$\alpha$%の場合の棄却域は(キ)<INS>　　　　　　</INS>である。
一方、
　　帰無仮説 $H_0:\mu=\mu_0$
　　対立仮説 $H_1:\mu > \mu_0$
とするとき、検定値は(ク)<INS>　　　　　　</INS>であり、有意水準$\alpha$%の場合の棄却域は(ケ)<INS>　　　　　　</INS>である。
母分散の比の統計的仮説検定に関して、
　　帰無仮説 $H_0:\sigma^2=\sigma_0^2$
　　対立仮説 $H_1:\sigma^2 \neq \sigma_0^2$
のとき、不偏分散$\hat{\sigma}$を用いて検定値は、(コ)<INS>　　　　　　</INS>であり、有意水準$\alpha$%の場合の受容域は、(サ)<INS>　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　</INS>となる（棄却域ではないことに注意せよ）。
母比率に関する統計的仮説検定に関して、
　　帰無仮説 $H_0:p=p_0$
　　対立仮説 $H_1:p \neq p_0$
とするとき、標本数を$n$、不偏推定量を$\hat{p}$として、検定値は、(シ)<INS>　　　　　　</INS>であり、有意水準$\alpha$%の場合の棄却域は(ス)<INS>　　　　　　</INS>である。
一方、
　　帰無仮説 $H_0:p=p_0$
　　対立仮説 $H_1:p > p_0$
とするとき、標本数を$n$、不偏推定量を$\hat{p}$として、検定値は、(セ)<INS>　　　　　　</INS>であり、有意水準$\alpha$%の場合の棄却域は(ソ)<INS>　　　　　　</INS>である。
# 13
一元配置分散分析において、総平方和$S_T$, 水準間平方和$S_A$, 残差平方和$S_e$の関係は、
　　(ア)<INS>　　　　　　　　　　　　　　　</INS>
である。$n$を標本数、$a$を水準の個数とすると、総平方和の自由度は(イ)<INS>　　　　　　　　　　</INS>、水準間平方和の自由度は(ウ)<INS>　　　　　　　　　　</INS>、残差平方和の自由度は(エ)<INS>　　　　　　　　　　</INS>となる。
　水準$j$でのデータの大きさを$n_j$とすると、
　　$S_T=$(オ)<INS>　　　　　　　　　　　　　　　</INS>
　　$S_A=$(カ)<INS>　　　　　　　　　　　　　　　</INS>
　　$S_e=$(キ)<INS>　　　　　　　　　　　　　　　</INS>
である。
F値を$S_A,S_e, n, a$で表すと、
　　$F=$(ク)<INS>　　　　　　　　　　　　　　　</INS>
となり、自由度(ケ)<INS>　　　　　　　</INS>のF分布に従う。
# 14
歪度は分布の(ア)<INS>　　　　　　　</INS>を表し、尖度は(イ)<INS>　　　　　　　</INS>を表す指標である。
正規分布の歪度は(ウ)<INS>　　　　　</INS>で、尖度は(エ)<INS>　　　　　</INS>である。
歪度は、右に裾が長い場合は、(オ)<INS>　　　　　</INS>で、左に裾が長い場合は(カ)<INS>　　　　　</INS>である。
尖度は、正規分布より裾が長い場合は、(キ)<INS>　　　　　</INS>、裾が短い場合は、(ク)<INS>　　　　　</INS>である。
t分布は、歪度は(ケ)<INS>　　　　　</INS>、尖度は(コ)<INS>　　　　　</INS>である。
なお、$k$次モーメントを(サ)<INS>　　　　　</INS>と定義するとき、歪度は(シ)<INS>　　　　　</INS>, 尖度は(ス)<INS>　　　　　</INS>で表される。

# 回答
## 1
```math
\begin{align}
&(ア)\frac{p_{YA}q_{XA}+p_{YB}q_{XB}}{p_{XA}q_{XA}+p_{XB}q_{XB}}\\
&(イ)\left(\frac{p_{XA}q_{YA}+p_{XB}q_{YB}}{p_{YA}q_{YA}+p_{YB}q_{YB}}\right)^{-1}\\
&(ウ)\sqrt{P_{L(0,t)}\times P_{P(0,t)}}\\
\end{align}
```

## 2
```math
\begin{align}
&(ア)\quad y=\alpha+\beta x\\
&(イ)\quad y_i-\hat{y}_i \quad (ウ)　\sum_i^n e_i^2 \quad (エ)　\sum_{i=1}^n (y_i-\hat{y}_i)^2 \quad (オ)　\sum_{i=1}^n (y_i-(\hat{\alpha}+\hat{\beta}y_i))^2\\
&(カ)\quad n\hat{\alpha}-\sum_{i=1}^n y_i + \hat{\beta}\sum_{i=1}^n x_i = 0\\
&(キ)\quad \hat{\beta}\sum_{i=1}^n x_i^2-\sum_{i=1}^n x_i y_i+\hat{\alpha}\sum_{i=1}^n x_i = 0
\end{align}
```

## 3
```math
\begin{align}
&(ア)\quad \int_{-\infty}^{\infty}xf(x)\mathrm{d}x\\
&(イ)\quad \int_{-\infty}^{\infty}x^2f(x)\mathrm{d}x - \left(\int_{-\infty}^{\infty}xf(x)\mathrm{d}x\right)^2\\
&(ウ)\quad \int_{-\infty}^{x}f(u)\mathrm{d}u\\
&(エ)\quad F(c)=\frac{1}{2}\\
\end{align}
```
## 4
```math
\begin{align}
&(ア)\quad E[X^2] - E[X]^2\\
&(イ)\quad E[XY] - E[X]E[Y]\\
&(ウ)\quad \frac{Cov[X,Y]}{\sqrt{V[X]V[Y]}}\\
&(エ)\quad a^2V[X] + b^2V[Y] + 2abCov[X,Y]\\
&(オ)\quad a^2V[X] + b^2V[Y]\\
\end{align}
```
## 5
```math
\begin{align}
&(ア)\quad p　(イ)\quad p(1-p)\\
&(ウ)\quad {}_n \mathrm{C}_x p^x(1-p)^{n-x}\\
&(エ)\quad np\qquad (オ)\quad np(1-p)\\
&(カ)\quad {}_n \mathrm{C}_x \left(\frac{\lambda}{n}\right)^x\left(1-\frac{\lambda}{n}\right)^{n-x}\rightarrow \frac{e^{-x}\lambda^x}{x!} (x = 0, 1, 2, ...)\\
&(キ)\quad \lambda\qquad　(ク)\quad \lambda\\
&(ケ)\quad p(1-p)^{x-1}\\
&(コ)\quad \frac{1}{p}\qquad (サ)\quad \frac{1-p}{p^2}
\end{align}
```
## 6
```math
\begin{align}
&(ア)\quad z=\frac{x-\mu}{\sigma}\\
&(イ)\quad n\qquad (ウ)\quad カイ２乗\\
&(エ)\quad n\qquad (オ)\quad t\\
&(カ)\quad F
\end{align}
```
## 7
(ア)一致　(イ)不偏

## 8
```math
\begin{align}
&(ア)\quad \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n (x_i-\bar{x})^2\\
&(イ)\quad \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2\\
\end{align}
```
## 9
```math
\begin{align}
&(ア)\quad \bar{x} - z_{\frac{\alpha}{2}}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}　(イ)\quad \bar{x} + z_{\frac{\alpha}{2}}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\\
&(ウ)\quad \bar{x} - t_{\frac{\alpha}{2}}(n-1)\frac{\hat{\sigma}}{\sqrt{n}}\qquad (エ)\quad \bar{x} + t_{\frac{\alpha}{2}}(n-1)\frac{\hat{\sigma}}{\sqrt{n}}\\
&(オ)\quad \frac{(n-1)\hat{\sigma}^2}{\chi_{\frac{\alpha}{2}}^2(n-1)}\qquad (カ)\quad \frac{(n-1)\hat{\sigma}^2}{\chi_{1-\frac{\alpha}{2}}^2(n-1)}\\
&(キ)\quad \hat{p}-z_{\frac{\alpha}{2}}\sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}\qquad (ク)\quad \hat{p}+z_{\frac{\alpha}{2}}\sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}
\end{align}
```

## 10
```math
\begin{align}
&(ア)\quad d-z_{\frac{\alpha}{2}}\sqrt{\frac{\sigma_1^2}{m}+\frac{\sigma_2^2}{n}}\qquad (イ)\quad d+z_{\frac{\alpha}{2}}\sqrt{\frac{\sigma_1^2}{m}+\frac{\sigma_2^2}{n}}\\
&(ウ)\quad \frac{(m-1)\hat{\sigma}_1^2+(n-1)\hat{\sigma}_2^2}{m+n-2}\\
&(エ)\quad \frac{\sum(x_i-\bar{x})^2+\sum(y_i-\bar{y})^2}{m+n-2}\\
&(オ)\quad d-t_{\frac{\alpha}{2}}(m+n-2)\sqrt{\frac{1}{m}+\frac{1}{n}}\hat{\sigma}\\
&(カ)\quad d+t_{\frac{\alpha}{2}}(m+n-2)\sqrt{\frac{1}{m}+\frac{1}{n}}\hat{\sigma}\\
&(キ)\quad F_{1-\frac{\alpha}{2}}(m-1,n-1)\frac{\hat{\sigma}_y^2}{\hat{\sigma}_x^2}\\
&(ク)\quad F_{\frac{\alpha}{2}}(m-1,n-1)\frac{\hat{\sigma}_y^2}{\hat{\sigma}_x^2}\\
&(ケ)\quad \frac{1}{F_{\frac{\alpha}{2}}(n-1,m-1)}\frac{\hat{\sigma}_y^2}{\hat{\sigma}_x^2}\\
&(コ)\quad F_{\frac{\alpha}{2}}(m-1,n-1)\frac{\hat{\sigma}_y^2}{\hat{\sigma}_x^2}
\end{align}
```

## 11
(ア)第１種　(イ)検出　(ウ)第２種
(エ)帰無仮説$H_0$ (オ)$H_0$
(カ)対立仮説$H_1$ (キ)$H_0$

## 12
```math
\begin{align}
&(ア)\quad z = \frac{|\bar{x}-\mu|}{\sigma/\sqrt{n}}\qquad (イ)\quad |z| \geq z_{\frac{\alpha}{2}}\\
&(ウ)\quad z = \frac{|\bar{x}-\mu|}{\sigma/\sqrt{n}}\qquad　(エ)\quad |z| \geq z_{\alpha}\\
&(オ)\quad t\\
&(カ)\quad t = \frac{|\bar{x}-\mu|}{\hat{\sigma}/\sqrt{n}}\qquad　(キ)\quad |t| \geq t_{\frac{\alpha}{2}}(n-1)\\
&(ク)\quad t = \frac{|\bar{x}-\mu|}{\hat{\sigma}/\sqrt{n}}\qquad (ケ)\quad |t| \geq t_{\alpha}(n-1)\\
&(コ)\quad \chi^2 = \frac{(n-1)\hat{\sigma}^2}{\sigma_0^2}\qquad (サ)\quad\chi_{1-\frac{\alpha}{2}}^2 (n-1) \leq \chi^2 \leq \chi_{\frac{\alpha}{2}}(n-1) \\
&(シ)\quad z=\frac{\hat{p}-p_0}{\sqrt{p_0(1-p_0)/n}}\qquad (ス)\quad |z| \geq z_{\frac{\alpha}{2}}\\
&(セ)\quad z=\frac{\hat{p}-p_0}{\sqrt{p_0(1-p_0)/n}}\qquad (ソ)\quad |z| \geq z_{\alpha}
\end{align}
```

## 13
```math
\begin{align}
&(ア)\quad S_T = S_A + S_e\\
&(イ)\quad n-1\qquad (ウ)\quad a-1\qquad 　(エ)\quad n-a\\
&(オ)\quad \sum_{j=1}^{a}\sum_{i=1}^{n_j}(y_{ji}-\bar{y}_{..})^2\\
&(カ)\quad \sum_{j=1}^{a}n_j(\bar{y}_{j.}-\bar{y}_{..})^2\\
&(キ)\quad \sum_{j=1}^{a}\sum_{i=1}^{n_j}(y_{ji}-\bar{y}_{j.})^2\\
&(ク)\quad \frac{S_A/(a-1)}{S_e/(n-a)}\\
&(ケ)\quad (a-1,n-a)
\end{align}
```
## 14
(ア)非対称性　(イ)裾の長さ
(ウ)$0$　(エ)$0$
(オ)正　(カ)負
(キ)正　(ク)負
(ケ)$0$　(コ)正
(サ)$\mu_k = E[(X-\mu)^k]$　(シ)$\frac{\mu_3}{3}$　(ス)$\frac{\mu_4}{4}-3$