ブラウン運動とウィーナー積分

https://qiita.com/hiro949/items/713374a527c16b581902

でウィーナー過程(=ブラウン運動)を導入しました。そのときはブラウン運動を１つ決めてそれに固定したうえで話を進めていましたが、ここでは様々なブラウン運動の可能性を考えて、ブラウン運動全体の集合を考え、その確率空間を考えたいと思います。

```math
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\Rd}{{\mathbb{R}^d}}
\newcommand{\borel}[1]{{\mathcal{B}(#1)}} 
\newcommand{\diff}[3]{\frac{d^{#1} #2}{d #3^{#1}}}
\newcommand{\pdiff}[3]{\frac{\partial^{#1} #2}{\partial #3^{#1}}}
```

主な記号は

https://qiita.com/hiro949/items/3aa66989e740397acb48#%E5%86%99%E5%83%8F%E7%A9%BA%E9%96%93

https://qiita.com/hiro949/items/e2304486c5280fbcce78#%E4%BE%8B%EF%BC%93%E3%82%B3%E3%83%AB%E3%83%A2%E3%82%B4%E3%83%AD%E3%83%95%E3%81%AE%CF%83%E5%8A%A0%E6%B3%95%E6%97%8F

https://qiita.com/hiro949/items/8073e9f44bc4c1b9557a

https://qiita.com/hiro949/items/3406f13c221af6661071

などの過去に書いた記事に従います。

# ウィーナー測度

広義一様収束位相を定めた写像空間上にコルモゴロフσ加法族を定めます：

```math
(C^0(\R^d,\R),\mathcal{B}(C^0(\R^d,\R)))
```

を定義します。この辺の話は次の記事を参考にしてください。

https://qiita.com/hiro949/items/e2304486c5280fbcce78#%E4%BE%8B%EF%BC%93%E3%82%B3%E3%83%AB%E3%83%A2%E3%82%B4%E3%83%AD%E3%83%95%E3%81%AE%CF%83%E5%8A%A0%E6%B3%95%E6%97%8F

## Donskerの不変原理

確率空間$(\Omega,\mathcal{F},p)$上の任意の独立同一分布な確率変数の列

```math
\begin{align}
\{ \xi_i \}_{i=1}^\infty &\subset \mathcal{F} | \borel{\R} \\
E[\xi_i] &= 0 \\
V[\xi_i] &= \sigma^2 
\end{align}
```

を考え、その累積和

```math
S_n = \sum_{i=1}^n \xi_i
```

を用いて確率過程

```math
\begin{align}
Y(t,\omega) &= S_{[t]}(\omega) + (t-[t])\xi_{[t]+1}(\omega) \\
X^{(n)}(t,\omega) &= \frac{1}{\sqrt{n} \sigma} Y(nt,\omega)
\end{align}
```

を定義します。

すると

```math
X^{(n)}(t,\omega) \overset{n \rightarrow \infty}{\rightsquigarrow}　X(t,\omega)
```

としたとき、極限$X(t,\omega)$はウィーナー過程になっています。

このとき、$X^{(n)}$によって$C^0(\R,\R)$上の像測度

```math
    P_n(A) = p\left( \left(X^{(n)} \right)^{-1}(A) \right) \quad A \subset W_0
```

を定義すると、その極限

```math
P_n \overset{n \rightarrow \infty}{\rightsquigarrow} P_W 
```

で$W \in \mathcal{F}|\borel{C^0(\R,\R)}$となるような$C^0(\R,\R)$上の測度$P_W$を定義できます。これを1次元ウィーナー測度と言います。

１次元ウィーナー測度$P^{(i)}$に対して、$d$次元ウィーナー測度を

```math
P = P^{(1)} \times \cdots \times P^{(d)}
```

と定義します。


# 写像空間におけるブラウン運動

$F \subset C^0(\R,\R^d)$と$x \in \R^d$に対して

```math
F-x = \{ f(t)-x \mid f \in F \}
```

とし、ウィーナー測度

```math
P^x(F) = P(F-x)
```

を定義します。

さらに、確率空間$(\R^d,\borel{\R^d},\mu)$に対して

```math
P^\mu(F) = \int_{\R^d} P^x(F) d\mu(x)
```

とします。このとき射影写像

```math
\pi_t[f] = \pi(t) \quad \pi \in C^0(\R,\R^d), t \in \R
```

の族$(\pi_t)_{t \in T}$は$(C^0(\R,\R^d),\borel{C^0(\R,\R^d)},P^x)$上で$x$を出発する$d$次元ブラウン運動、$(C^0(\R,\R^d),\borel{C^0(\R,\R^d)},P^\mu)$上で初期分布$\mu$をもつ$d$次元ブラウン運動になります。(前者は後者の特殊ケースです。)
また、$((\pi_t)\_{t \in \R},(P^x)\_{x \in \R^d})$のセットは$(C^0(\R,\R^d),\borel{C^0(\R,\R^d)})$上でブラウン族になっています。

# ウィーナー積分

ウィーナー測度の弱収束性から

```math
\begin{align}
\{F_n\}_{n=1}^\infty &\subset C^0_b(C^0(\R,\R^d),\R) \quad \text{：一様連続} \\
F &= \lim_{n \rightarrow \infty} F_n \in C^0(C^0(\R,\R^d),\R)
\end{align}
```


に対して、汎関数積分

```math
\int_{W^d} F[f] dP(f) = \lim_{n \rightarrow \infty} \int_{W^d} F_n[f] dP_n(f) 
```

が存在して、これを$F$のウィーナー積分と言います。さらに像測度の性質から

```math
\int_{W^d} F[f] dP(f)　= \lim_{n \rightarrow \infty} \int_{\Omega} F_n\circ X^{(n)}(\omega) dp(\omega)
```

です。

# 1次元ウィーナー積分の構成

まず。$f \in C^0(\R,\R)$を単関数近似します：

```math
\begin{align}
t_0 &\leq t_1 < \cdots < t_n \leq t_f \\
f^{sample} &= (f(t_1),\cdots,f(t_n)) \in \R^n \\
f_n(t) &= \sum_{i=1}^n f^{sample}_i 1_{[t_{i},t_{i+1})}(t)
\end{align}
```

ここで$t_{n+1} = t_f$と置きました。$t$の分割の仕方を固定したうえで、このような単関数の自由度は係数だけなので、$f_n(t)$全体の集合$\mathcal{S}_n(t_1,\cdots,t_n) \subset C^0(\R,\R)$は$\R^n$と1-1対応しています。
このとき、$x_0$か出発するブラウン運動に対するウィーナー測度を近似した測度を 

```math
P^{x_0}_n(C(t_1,\cdots,t_n;E_n)) = \frac{1}{\sqrt{\pi^{n-1} \prod_{i=2}^n (t_i - t_{i-1} )}} \int_{E_n} \exp~\left( -\sum_{i=2}^n \frac{(f^{sample}_i - f^{sample}_{i-1})^2}{t_i - t_{i-1}} \right) \delta(x_0 - f^{sample}_1 ) d\mu(f^{sample})  
```

とします。ただし、$C(t_1,\cdots,t_n;E_n)$は柱状集合で$\mu$は$\R^n$のルベーグ測度です。ウィーナー測度はこの極限で定義できます。　
　
次に被積分汎関数を

```math
F_n[f] = F[f_n] = F_n(f^{sample})
```

とすれば、$F_n \in C^0(\R^n,\R)$となります。
このとき、$A \subset C^0(\R,\R)$上のウィーナー積分は

```math
A_n = \{ (f(t_1),\cdots,f(t_n)) \mid f \in A, f(t_1) = x_0 \} \subset \R^n
``` 

として(初期分布の情報もここに含めてしまいます)、ウィーナー積分は

```math
I[F;A] = \int_{A} F[f] dP^{x_0} [f] = \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{\sqrt{\pi^{n-1} \prod_{i=2}^n (t_i - t_{i-1} )}} \int_{\R^n} 1_{A_n}(f^{sample}) F_n(f^{sample} )\exp~\left( -\sum_{i=2}^n \frac{(f^{sample}_i - f^{sample}_{i-1})^2}{t_i - t_{i-1}} \right) d\mu(f^{sample})  
```

と構成できます。　

以降、近似したウィーナー積分を

```math
I_n[F;A] = \frac{1}{\sqrt{\pi^{n-1} \prod_{i=2}^n (t_i - t_{i-1} )}} \int_{\R^n} 1_{A_n}(x) F_n(x)\exp~\left( -\sum_{i=2}^n \frac{(x_i - x_{i-1})^2}{t_i - t_{i-1}} \right) d\mu(x)
```  

とおきます。

特に

```math
F_n(x)1_{A_n}(x)\delta(x_0 - x_1 ) = \prod_{i=1}^n K_i(x_i) 
```

と$K_i:\R \rightarrow \R$の積に分解できる場合は 

```math
\begin{align}
I_n^2(x_2) &= \frac{1}{\sqrt{\pi (t_2 - t_1 )}} \int_\R K_1(x_1) \exp~\left( - \frac{(x_2 - x_1)^2}{t_2 - t_1} \right) dx_1 \\
I_n^m(x_m) &= \frac{1}{\sqrt{\pi (t_m - t_{m-1} )}} \int_\R I_n^{m-1}(x_{m-1}) K_{m-1}(x_{m-1}) \exp~\left( - \frac{(x_m - x_{m-1})^2}{t_m - t_{m-1}} \right) dx_{m-1} \quad (3 \leq m < n) \\ 
I_n &= \int_\R K_n(x_n) I_n^{n-1}(x_n) d x_n
\end{align}
``` 

という漸化式に分解できます。
よくある$F$の形は

```math
F[x] = \exp~\left[\lambda \int_{t_0}^{t_f} dt V(x(t)) dt \right]
```

で、このとき

```math
\begin{align}
F[x_n] &= \exp~\left[\lambda \sum_{i=1}^n V(x(t_{i})) (t_{i+1} - t_i)  \right] \\
&= \prod_{i=1}^n \exp~\left[\lambda V(x(t_{i})) (t_{i+1} - t_i)  \right]
\end{align}
```  

となります。

# コメント

- 物理学の業界ではウィーナー積分のことを経路積分と呼んだりします
- $(\Omega,\mathcal{F},p)$上のウィーナー過程$W_t(\omega)$をウィーナー空間上で考えるには$W_\omega(t) = \pi_t \circ W_t(\omega) \in C^0(\R,\R^d)$とすればよいです。この$W_\omega$は標本軌道と呼ばれています

# 例:自由粒子

物理学でいうところの自由粒子の経路積分を計算します。以下の条件での積分です：

```math
\begin{align}
A &= \{ f \in C^0(\R,\R) \mid f(t_f) = x_f\} \\
F[f] &= const. = 1
\end{align}
```

よって、近似の際には

```math
\begin{align}
A_n &= \{ f \in C^0(\R,\R) \mid f(t_1) = x_0, f(t_n) = x_f\} \\
t_j &=\frac{t_f-t_0}{n} j + t_0 = (j-1) \Delta t + t_0
\end{align}
```

とします。　したがって、初期分布として$x_0$を出発するブラウン運動を考えています。すると、

```math
\begin{align}
I_n^2(x_2) &= \frac{1}{\sqrt{\pi  (t_2 - t_0 )}} \exp~\left( -\frac{(x_2 - x_0)^2}{t_2 - t_0 } \right) \\ 
I_n^m(x_m) &= \frac{1}{\sqrt{\pi (t_m - t_{m-1} )}} \int_\R   
 I_n^{m-1}(x_{m-1}) e^{ - \frac{(x_m - x_{m-1})^2}{t_m - t_{m-1}} } d\mu(x_{m-1}) \\
I_n &= I_n^{n-1}(x_f) 
\end{align}
``` 

です。仮に　

```math
I_n^m(x_m) = \frac{1}{\sqrt{\pi (t_m - t_0)}} \int_\R  \exp~\left[  -\frac{(x_m-x_0)^2}{t_m -t_0} \right]
```  

と仮定すれば、

```math
\begin{align}
\int_\R  &\exp~\left[ - \frac{(x_2 - x_1)^2}{a} -\frac{(x_1-x_0)^2}{b} \right]  d\mu(x_1) \\
&= \exp~\left[ - \frac{x_2^2}{a} -\frac{x_0^2}{b} \right] \int_\R  \exp~\left[ - \frac{a+b}{ab}x_1^2 + 2 (x_2/a + x_0/b)x_1 \right]  d\mu(x_1) \\
&= \exp~\left[ - \frac{x_2^2}{a} -\frac{x_0^2}{b} \right] \int_\R  \exp~\left[ - \frac{a+b}{ab}x_1^2 + 2 (x_2/a + x_0/b)x_1 \right]  d\mu(x_1) \\
&= \exp~\left[ - \frac{x_2^2}{a} -\frac{x_0^2}{b} + \frac{ab}{a+b} (x_2/a + x_0/b)^2\right] \int_\R  \exp~\left[ - \frac{a+b}{ab}\left( x_1 - \frac{ab}{a+b}(x_2/a + x_0/b) \right)^2 \right]  d\mu(x_1) \\
&= \exp~\left[ - \frac{(x_2 + x_0)^2}{a+b} \right] \sqrt{\pi\frac{ab}{a+b}}
\end{align}
``` 

なので、

```math
\begin{align}
I_n^m(x_m) &= \frac{1}{\sqrt{\pi^2 (t_m - t_{m-1} )(t_{m-1} - t_0)}} \int_\R  \exp~\left[ - \frac{(x_m - x_{m-1})^2}{t_m - t_{m-1}} -\frac{(x_{m-1}-x_0)^2}{t_{m-1} -t_0} \right]  d\mu(x_{m-1}) \\
&=  \frac{1}{\sqrt{\pi (t_m - t_0)}} \exp~\left[ - \frac{(x_m - x_0)^2}{t_m - t_0} \right]
\end{align}
```  

となり、数学的帰納法により$I_n^m$はこの形になります。よって

```math
I_n = \frac{\exp~\left[ -\frac{(x_f-x_0)^2}{t_f -t_0} \right] }{\sqrt{\pi(t_f-t_0)}}  
``` 
 
なので、極限をとっても

```math
\int_{A} F[f] P^{x_0}[f] = \frac{1}{\sqrt{\pi(t_f-t_0)}} \exp~\left[ -\frac{(x_f-x_0)^2}{t_f -t_0} \right]
```

です。

# 例：調和振動子

```math
\begin{align}
F[x] &= \exp~\left[\lambda \int_{t_0}^{t_f} dt V(x(t)) dt \right] \\
\lambda V(x) &= \omega^2 x^2
\end{align}
```

で他の設定は自由粒子とおなじとします。このときウィーナー積分は

```math
\begin{align}
I_n &= \frac{1}{\sqrt{\pi^{n-1} \prod_{i=2}^n (t_i - t_{i-1} )}} \int_{\substack{\R^{n-2} \\ x_1 = x_0 \\ x_{n} = x_f}}  \exp~\left( -\sum_{i=2}^n \frac{(x_i - x_{i-1})^2}{t_i - t_{i-1}} + \omega^2 \sum_{i=2}^n x_{i-1}^2 (t_i - t_{i-1}) \right) d\mu(x) \\
S_n(x) &= \sum_{i=2}^n \frac{(x_i - x_{i-1})^2}{t_i - t_{i-1}} - \omega^2 \sum_{i=2}^n x_{i-1}^2 (t_i - t_{i-1})
\end{align}
```

です。

## 鞍点解析

ここで、

```math
\begin{align}
x &= (x_1=x_0,x_2, \cdots, x_{n-1},x_n=x_f) \\
x_s &= (x_2, \cdots, x_{n-1})
\end{align}
```

に対して

```math
\begin{align}
\pdiff{}{S_n}{x_s} &= 0 \\\Leftrightarrow \frac{ \frac{t_m - t_{m-1}}{t_{m+1} - t_m} x_{m+1} - (\frac{t_m - t_{m-1}}{t_{m+1} - t_m} + 1 )x_m + x_{m-1}}{ (t_m - t_{m-1})^2 } + \omega^2 x_m &= 0 \quad (m = 2,\cdots,n-1)
\end{align}
```

の解$x = x^{cl}$は$n\rightarrow \infty$の極限で、

```math
\begin{align}
\diff{2}{x^{cl}}{t} + \omega (x^{cl})^2 &= 0 \\
x^{cl}(t_f) &= x_f \\
x^{cl}(t_0) &= x_0
\end{align}
```

となります。この微分方程式を解くと、

```math
x^{cl}(t) = \frac{1}{\sin\omega(t_f - t_0)} (x_0 \sin\omega(t_f - t) + x_f \sin\omega(t - t_0)) 
```

だから、

```math
\begin{align}
S[x^{cl}(t)] &= \int_{t_0}^{t_f} \left( \left( \diff{}{x^{cl}}{t} \right)^2 - \omega^2 (x^{cl})^2 \right) dt \\
&= \left( x^{cl} \diff{}{x^{cl}}{t} \right)_{t_0}^{t_f} - \int_{t_0}^{t_f} x^{cl} \left( \diff{2}{x^{cl}}{t} + \omega^2 x^{cl} \right) dt \\
&= \left( x^{cl} \diff{}{x^{cl}}{t} \right)_{t_0}^{t_f} \\
&= \frac{\omega}{\sin \omega(t_f - t_0)} [(x_f^2 + x_0^2)\cos \omega (t_f - t_0) - 2x_f x_0 ]
\end{align}
```

となります。

## 鞍点展開

$S_n$を$x^{cl}$周りでテーラー展開すると、$\pdiff{}{S_n}{x} = 0$だから、

```math
\begin{align}
M^{n-2}_{ij} &= \frac{1}{2} \frac{\partial^2 S_n}{\partial (x_s)_i \partial (x_s)_j} \Delta t = \begin{cases} 
2- \omega^2\Delta t^2 \ (i=j) \\
-1 \ if \ (|i-j|=1) \\
0 \ otherwise 
\end{cases} \\

S_n(x) &= S_n(x^{cl}) + \frac{1}{\Delta t} \sum_{ij} M^n_{ij} (x-x^{cl})_i (x-x^{cl})_j
\end{align}
``` 

となります。このとき、

```math
\begin{align}
I_n &= \frac{1}{\sqrt{\pi^{n-1} \prod_{i=2}^n (t_i - t_{i-1} )}} \int_{\substack{\R^{n-2} \\ x_1 = x_0 \\ x_{n} = x_f}}  \exp~(-S_n(x)) d\mu(x) \\
&= \frac{1}{\sqrt{\pi^{n-1} \Delta t^{n-1}}} \int_{\substack{\R^{n-2} \\ x_1 = x_0 \\ x_{n} = x_f}}  e^{-S_n(x^{cl})}  \exp~\left( - \frac{1}{\Delta t} \sum_{ij} M^n_{ij} (x-x^{cl})_i (x-x^{cl})_j \right) d\mu(x) \\

&\xrightarrow{n \rightarrow \infty} e^{-S(x^{cl})} \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{\sqrt{\pi^{n-1} \Delta t^{n-1}}} \int_{\substack{\R^{n-2} \\ x_1 = x_0 \\ x_{n} = x_f}}  \exp~\left( - \frac{1}{\Delta t} \sum_{ij} M^n_{ij} (x-x^{cl})_i (x-x^{cl})_j \right) d\mu(x) \\ 
&= e^{-S(x^{cl})}  \lim_{n \rightarrow \infty} \sqrt{\frac{1}{\pi \Delta t \det(M^{n-2}) }} 
\end{align}
```

です。(多変数のガウス積分の公式を使いました。)

そこで、２つ目の項を計算します。　

```math
\det M^{n-2} = (2 - \omega^2 \Delta ) \det M^{n-3} - \det M^{n-3}
```

なので、行列の特性方程式を考えれば、適当な係数$C_\pm$を用いて

```math
\begin{align}
\det M^n &= C_+ m_+^{n+1} + C_- m_-^{n+1} \\
m_\pm &= 1 - \frac{\omega^2 \Delta t^2}{2} \pm i \omega \Delta t \sqrt{1 - \omega^2 \Delta t^2} \\
&= 1 \pm i \omega \Delta t + O(\Delta t^2)
\end{align}
```

であり、

```math
\begin{align}
\det M^0 &= 1 \\
\det M^1 &= 2 - \omega^2 \Delta t^2
\end{align}
```

のもとで係数$C_\pm$を定めると、

```math
C_\pm = \pm\frac{1}{m_+ - m_-}
```

です。したがって、

```math
 \Delta t \det(M^{n-2}) = \frac{ (1 + i\omega \Delta t + O(\Delta t^2) )^{n-1} - (1 - i\omega \Delta t + O(\Delta t^2) )^{n-1} }{2i\omega + O(\Delta t^2)} \xrightarrow{n \rightarrow \infty} \frac{e^{i\omega (t_f - t_0)} - e^{-i\omega (t_f - t_0)}}{2i\omega} = \frac{\sin\omega(t_f - t_0) }{\omega}
```

を得ます。これらの結果から、

```math
I_n =\sqrt{\frac{\omega}{\pi \sin\omega(t_f - t_0) }} \exp~\left\{ \frac{\omega}{\sin \omega(t_f - t_0)} [(x_f^2 + x_0^2)\cos \omega (t_f - t_0) - 2x_f x_0 ] \right\}
```

となります。　

# コメント

物理学で出てくる経路積分は時刻について

```math
t \rightarrow it
```

と解析接続したものです。ただし、この解析接続が可能なのかどうかは(2022年時点では)数学的にはまだ不明です。

また、解析的に計算できるケースはそこまで多くないので大抵の場合は近似値$I_n$をモンテカルロ積分法などで数値的に解くことになります。

# 参考
- I. カラザス、S. E. シュレーブ「ブラウン運動と確率積分」シュプリンガー・フェアラーク東京
- http://physnd.html.xdomain.jp/qm/path2.pdf
- https://www.tpi.uni-jena.de/~wipf/lectures/pfad/pfad3.pdf
- http://www.artsci.kyushu-u.ac.jp/~se2otngc/slides/1306_shigekawa_slides.pdf
- http://www.uec-ogata-lab.jp/wp-content/uploads/2021/11/brown06.pdf