Landau-Lifshitzの行間を埋める（2）　『流体力学』§10 問題9【スリットから流れ出るジェット】

# はじめに
この記事は

https://qiita.com/WakaLandau/items/fabb602f8d95a6d875cb?1

の第2弾である．

Landau-Lifshitz『流体力学』§10 問題9は

> 無限に長い平面壁に開いたスリットから流れ出るジェットの形を求めよ．

というものである．
Schwarz-Christoffel変換（以下，SC変換）なるテクニックを駆使するのだが，マニアックなためかSC変換を説明した文献・記事が少ないようなので，ここで紹介したいと思う．



## 背景

固定された平面壁と自由流線で囲まれた2次元流の理論（不連続流の理論）は，
Helmholtzが創始し，KirchhoffやRayleighが発展させた歴史あるものだが，Landau-Lifshitzの記述はかなりあっさりしていて，初見では分かりづらいかもしれない．
ここでは，説明の詳しいLamb『Hydrodynamics』（§73〜）を参考にしながら，丁寧な解説を試みる（混乱を避けるため，ノーテーションはLandau-Lifshitzに従う）．



よく知られているように，非圧縮性流体の2次元ポテンシャル流の問題は，与えられた境界条件を満たす正則関数$w(z)$を見つけることに帰着する．
物体まわりの流れの場合，境界の形状は既知である．
ところが流体が自由流線を持つ場合，その形自体が未定のため，境界条件を満たす$w(z)$を見つけるのは難しそうに思える．
しかし，$z$平面（物理面）では未定でも，別の複素平面（速度面やそれに類する面）では自由流線の形がわかっているものとして解き進めることができるのである．
そして問題は，これらの平面同士の関係（つまりこれらを結びつける等角写像）を求めることに帰着する．

## 準備

![PNGイメージ1.png](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/2952554/e002c1e1-c874-ed0c-eb7a-211ae12c3c89.png)


前置きはこのくらいにして，まずは問題を解くための座標を設定しよう．
図1のように，$z(=x+iy)$平面上の$x$軸に壁があり，$-\frac{a}{2} \leq  x \leq \frac{a}{2}$がスリットになっているとする．
流体は$y \geq 0$の部分を占めており，スリットを通って$y \leq 0$の方へ流れ出ていく．
$y \to \infty$や$x$軸上の$x\to\pm\infty$の点では流体は静止しており，そこでの圧力を$p_0$とする．
自由流線$\mathrm{BC},\mathrm{B'C'}$上では$p=0$であり，速度は（Bernoulliの定理より）一定値$v_1 = \sqrt{\frac{2p_0}{\rho}}$をとる．
なお，壁$\mathrm{AB},\mathrm{A'B'}$も流線であり，スリットから出て$\mathrm{BC},\mathrm{B'C'}$と繋がっている．
また，$y\to-\infty$でのジェットの幅を$a_1$をすると，スリットから単位時間に流れ出る質量は$Q=\rho a_1v_1$と書ける．


さて，複素速度$\frac{dw}{dz}=v e^{-i\theta}$の逆数を適当に無次元化した[^2]，次の変数を考えよう．

[^2]:ここでは$y\to-\infty$での複素速度$v_1 e^{i\pi/2}$を用いて無次元化したが，問題に応じて適切なものを選ぶことになる．

$$
    \eta = \frac{v_1 e^{i\pi/2}}{dw/dz} = \frac{v_1}{v} e^{i(\theta+\pi/2)}
$$
（なお，後の都合で偏角の範囲を$-\pi \leq \theta \leq \pi$に制限する）


流体は，自由流線または直線壁に囲まれている．
自由流線上は$v=v_1$（一定）で$\theta$が変化するから，$\eta$平面では半径1の円弧に対応し，
直線壁上は$\theta$一定で$v$が変わるから，$\eta$平面では円弧から外に伸びる放射状の直線に対応する．
よって$z$平面（物理面）で流体が囲んでいた領域は，$\eta$平面では円弧と放射状の直線で囲まれた領域に移る（境界の形はもはや未定ではない！）．

この問題の場合，
- $\mathrm{AB}$は$\theta=-\pi, \\; v:0\to v_1$．
- $\mathrm{BC}$は$v=v_1, \\; \theta:-\pi\to-\frac{\pi}{2}$．
- $\mathrm{A'B'}$は$\theta=0, \\; v:0\to v_1$．
- $\mathrm{B'C'}$は$v=v_1, \\; \theta:0\to-\frac{\pi}{2}$．

であるから，$\eta$平面の様子は図2のようになる．

![PNGイメージ2.png](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/2952554/46385b72-f502-8db6-fd76-90e52b220a30.png)


これで境界の形が扱いやすくなったが，さらに簡単な形にするために，別の平面へ移る．
$$
    \zeta \equiv \log\eta = \log\left(\frac{v_1}{v}\right) + i \left( \theta+\frac{\pi}{2} \right) 
    \tag{1}
$$
とおくと，
$\eta$平面の円弧$v=v_1$は$\zeta$平面の虚軸の一部に，
$\eta$平面の放射状の直線$\theta=const.$は$\zeta$平面の実軸に平行な直線の一部になる．
よって流体が囲む領域は，$\zeta$平面では図3のような無限に長い矩形領域となる．

![PNGイメージ3.png](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/2952554/4593afe5-7219-09ce-967d-185d27af4d6c.png)




-----


$\eta,\zeta$平面のことは一度忘れ，次は$w(=\phi+i\psi)$平面について考える．
自由流線も直線壁も$\psi=const.$という流線の一部であるから，$w$平面では実軸に平行な直線となる．
$\phi,\psi$の決め方には任意性があるが，ふつうは後の計算が楽になるよう決める．
この問題では，流体は2つの流線$\mathrm{ABC, A'B'C'}$に囲まれている．
$\mathrm{ABC}$を$\psi=0$に対応させることにすると，$\mathrm{A'B'C'}$は$\psi=-\frac{Q}{\rho}$に対応する（Landau-Lifshitz本文の式(10.11)[^5]参照）．
一方ポテンシャル$\phi$は，$\mathrm{A}$と$\mathrm{A'}$での$\phi\to-\infty$から$\mathrm{C}$と$\mathrm{C'}$での$\phi\to\infty$まで任意の値をとる．
後の都合上，$\mathrm{B}$と$\mathrm{B'}$を$\phi=0$に対応づけると，$w$平面で流体が囲む領域は領域は図４のような幅$Q/\rho$の無限に長い帯状領域になる．

[^5]:2点$\mathrm{A,B}$を結ぶ曲線を横切る質量流束の大きさは$|Q|$は，$\mathrm{A,B}$での流線関数の値の差に比例する（$|Q|=\rho |\psi_A-\psi_B|$）というもの．


![PNGイメージ4.png](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/2952554/6dbdcaf9-1747-9ef0-2960-a34e4648f65f.png)




## Schwarz-Christoffel変換

もし，$w$平面の領域と$\zeta$平面の領域の関係が分かれば，$w$と$\frac{dw}{dz}$の関係式が得られ，ジェットの形を求めることができる．
この関係を明らかにするために，**Schwarz-Christoffel変換**（SC変換）を用いる．
SC変換とは，今から説明するように，ある複素平面（$u$平面とする）の上半面を別の平面（$Z$平面とする）上の多角形で囲まれた領域に移す変換である．
したがって，

- $u$平面の上半面と$\zeta$平面の矩形領域を結びつける変換
- $u$平面の上半面と$w$平面の帯状領域を結びつける変換

をSC変換によって作成すればよいことがわかる．


さてSC変換について説明しよう．
$Z$と$u$を，次の式で結ばれた複素変数とする．
$$
    \frac{dZ}{du} = A (u-a)^{\alpha/\pi-1} (u-b)^{\beta/\pi-1} (u-c)^{\gamma/\pi-1} \cdots
$$
ただし$a<b<c\cdots$は実数，つまり$u$平面の実軸上に左から順に並んでいるとし，$\alpha,\beta,\gamma,\ldots$も実数とする．
このとき，$u$の上半面が$Z$平面の多角形に移ることは，直感的には次のように説明できる[^3]．


$u$の実軸上を，$-\infty$から$\infty$に向かって進んでいく．
点$a$を左から右にまたぐとき，$u-a$の符号が変わる．
複素数的に言えば$u-a$に$e^{-i\pi}$がかかり，$\frac{dZ}{du}$には$e^{i(\pi-\alpha)}$がかかる．
$\frac{dZ}{du}$を，$du$を$dZ$に変換する操作とみなせば，$a$をまたいだことで，$Z$平面上の$a$に対応する点のところで，進行方向が$\pi-\alpha$だけ変わることになる．
よって，$u$の実軸上で$a,b,c,\ldots$を順にまたぎながら進むと，$Z$平面では内角$\alpha,\beta,\gamma,\ldots$の多角形が反時計回りに描かれる．


[^3]:ここでは厳密な証明は行わない．
日本語の文献では，スミルノフ高等数学教程(6)［3巻2部第1分冊］に詳しい説明がある．



![PNGイメージ5.png](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/2952554/775f23b1-ccb5-0c77-8bd4-cf8af2fd6e27.png)




## 問題の解

さて問題に戻って，$u$の上半面と$\zeta$平面の矩形領域を結びつけよう．


![PNGイメージ6.png](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/2952554/32188b07-d4cd-8c28-c795-df39d73ca724.png)



矩形領域は，$\mathrm{A'} \to \mathrm{B'} \to \mathrm{C'} = \mathrm{C} \to \mathrm{B} \to \mathrm{A}$のように囲まれているから，$u$の実軸上でもこの順で配置すればよいだろう．
ここでは，$\mathrm{A'}$を$u$平面の$-\infty$，$\mathrm{B'}$を$-1$，$\mathrm{C'} = \mathrm{C}$を0，$\mathrm{B}$を$+1$，$\mathrm{A}$を$+\infty$に対応させる．
矩形領域の頂点は$\mathrm{B',B}$であるから，SC変換の式で$a=-1, \\; b=1, \\; \alpha=\beta=\frac{\pi}{2}$とおいて
$$
    \frac{d\zeta}{du} = \frac{A}{\sqrt{u^2-1}}
$$
または，$A$をとり直して
$$
    \frac{d\zeta}{du} = \frac{A}{\sqrt{1-u^2}} .
$$
どちらでも結果は同じなので，ここでは後者を採用すると
$$
    \zeta = A \sin^{-1}(u) + B
$$
となる．
定数$A,B$を決めるには，点$\mathrm{B',B}$の対応関係を用いればよい．
$u=-1$と$\zeta=i\frac{\pi}{2}$，$u=1$と$\zeta=-i\frac{\pi}{2}$が対応しているから
$$
    \begin{cases}
        i\frac{\pi}{2} = A \left( -\frac{\pi}{2} \right) + B \\\\
        -i\frac{\pi}{2} = A \cdot \frac{\pi}{2} + B \\
    \end{cases}
    \qquad\therefore\quad
    \begin{cases}
        A = -i \\\\ B = 0 \\
    \end{cases}
$$
となり[^4]，$\zeta = -i\sin^{-1}(u)$つまり
$$
    u = \sin(i\zeta)
    \tag{2}
$$
を得る．

[^4]:多価性をなくすため，ここでは$u$の偏角を$-\pi \leq \arg(u) \leq \pi$に制限した．


:::note info
本当に矩形領域を上半面に移しているか確かめてみよう．$\zeta=\zeta_r+i\zeta_i$とおくと
```math
\begin{align*}
    u &= \sin(-\zeta_i+i\zeta_r) \\
    &= \sin(-\zeta_i)\cos(i\zeta_r) + \cos(-\zeta_i)\sin(i\zeta_r) \\
    &= -\sin(\zeta_i)\cosh(\zeta_r) + i\cos(\zeta_i)\sinh(\zeta_r) .
\end{align*}
```
$\zeta_r \geq 0, -\frac{\pi}{2} \leq \zeta_i \leq \frac{\pi}{2}$のとき，確かに$\mathrm{Im}(u)\geq 0$であり，$\mathrm{Re}(u)$は実数全体を動きうる．
:::


次に，$u$の上半面と$w$平面の帯状領域を結びつけよう．
Landau-Lifshitzでは天下り的に結果が示されているが，Lambによればこの写像もSC変換から導くことができるので，辿ってみる．


![PNGイメージ7.png](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/2952554/1c760a32-e077-c872-61b3-4b36cdcdaff6.png)


帯状領域を，頂点$\mathrm{C,C'}$が無限遠にある多角形とみなす．
すると，SC変換の式で$a=b=0, \\; \alpha=\beta=\frac{\pi}{2}$とおいて
$$
    \frac{dw}{du} = \frac{A}{u}
    \qquad\therefore\quad w = A \log(u) + B .
$$
定数$A,B$を決めるため，やはり点$\mathrm{B',B}$の対応関係に着目する．
$u=-1$と$w = -\frac{iQ}{\rho}$，$u=1$と$w=0$が対応しているから（やはり$u$の偏角を$-\pi \leq \arg(u) \leq \pi$に制限すれば）
$$
    \begin{cases}
        -\frac{iQ}{\rho} = A \cdot i\pi + B \\\\
        0 = 0 + B 
    \end{cases}
    \qquad\therefore\quad
    \begin{cases}
        A = -\frac{Q}{\rho\pi} \\\\ B = 0 
    \end{cases}
    .
$$
よって
$$
    w = -\frac{Q}{\rho\pi} \log(u)
    \tag{3}
$$
を得る．


:::note info
本当に上半面を帯状領域に移しているか確かめてみよう．
$$
    w = -\frac{Q}{\rho\pi} \left[ \log|u| + i \cdot \arg(u) \right]
$$
$u$の上半面は$0\leq|u|<\infty, \\; 0 \leq \arg(u) \leq \pi$で表されるから，
$-\infty<\phi<\phi, \\; -\frac{Q}{\rho} \leq \psi \leq 0$となる．
点$\mathrm{A,A',C,C'}$が対応づけられていることも容易にわかる．
:::


-----


(1)(2)(3)より$w$と$\frac{dw}{dz}$の関係式が得られたので，ジェットの形すなわち曲線$\mathrm{BC}$の式を（パラメータ表示で）求めることができる．
BC上では$v=v_1, \\; -\pi \leq \theta < -\frac{\pi}{2}$であるから
$$
    \zeta = i \left( \theta+\frac{\pi}{2} \right) ,
$$
$$
    u = \sin(i\zeta) = \sin\left[- \left( \theta+\frac{\pi}{2} \right) \right] = -\cos\theta \quad (1 \geq u > 0)
$$
である．また$\mathrm{BC}$上では$\psi=0$であるから
$$
    \phi = w = -\frac{Q}{\rho\pi} \log(-\cos\theta) \quad (0 \leq \phi < \infty) .
$$
$Q = \rho a_1v_1$に注意すると
$$
    d\phi = -\frac{Q}{\rho\pi} \cdot \frac{\sin\theta}{-\cos\theta} d\theta
    = \frac{a_1v_1}{\pi} \tan\theta d\theta .
    \tag{4}
$$
一方$\mathrm{BC}$上では
$$
    \frac{dw}{dz} = v_1 e^{-i\theta}
    \qquad\therefore\quad d\phi = v_1 e^{-i\theta} dz .
    \tag{5}
$$
(4)(5)を比べて
$$
  dz = \frac{d\phi}{v_1 e^{-i\theta}} = \frac{a_1}{\pi} e^{i\theta} \tan\theta d\theta ,
$$
$$
  dx+idy = \frac{a_1}{\pi} (\cos\theta + i\sin\theta) \tan\theta d\theta ,
$$
$$
    \therefore\quad
    \begin{cases}
        dx = \frac{a_1}{\pi} \sin\theta d\theta \\\\[8pt]
        dy = \frac{a_1}{\pi} \sin\theta \tan\theta d\theta \\
    \end{cases}
    .
$$
$\theta=-\pi$（点$\mathrm{B}$）から，$\mathrm{BC}$上の任意の$\theta$の点まで積分する．
$\theta=-\pi$では$x=\frac{a}{2}, \\; y=0$であるから
$$
    \begin{cases}
        \displaystyle x - \frac{a}{2} = \frac{a_1}{\pi} \int_{-\pi}^{\theta} \sin\theta d\theta \\\\[8pt]
        \displaystyle y - 0 = \frac{a_1}{\pi} \int_{-\pi}^{\theta} \sin\theta \tan\theta d\theta
    \end{cases}
    .
$$
第1式より$x = \frac{a}{2} - \frac{a_1}{\pi}(1+\cos\theta)$となるが，特に点$\mathrm{C}$$\left( \theta=-\frac{\pi}{2} \right) $では$x = \frac{a_1}{2}$であることから
$$
    \frac{a_1}{2} = \frac{a}{2} - \frac{a_1}{\pi}
    \qquad\therefore\quad a_1 = \frac{\pi}{\pi+2} a .
$$
よって
$$
    x = \frac{a}{2} - \frac{a}{\pi+2}(1+\cos\theta)
    = \frac{a}{\pi+2}  \left( \frac{\pi+2}{2} -1-\cos\theta \right) 
    = \frac{a}{\pi+2}  \left( \frac{\pi}{2} - \cos\theta \right)  .
    \tag{6}
$$
一方$y$の方は，$t= \tan\frac{\theta}{2}$とおくと
$\sin\theta = \frac{2t}{1+t^2}, \\; \tan\theta = \frac{2t}{1-t^2}, \\; d\theta = \frac{2dt}{1+t^2}$であるから
```math
\begin{align*}
    \int \sin\theta \tan\theta d\theta &= \int \frac{8t^2}{(1+t^2)^2(1-t^2)}  dt \\
    &= \int \left[ \frac{-2(1-t^2)}{(1+t^2)^2} + \frac{2}{1-t^2} \right] dt \\
    &= \int \left[ - \left( \frac{2t}{1+t^2} \right) ' + \frac{1}{1+t} + \frac{1}{1-t} \right] dt \\
    &= -\frac{2t}{1+t^2} + \log|1+t| - \log|1-t| \\
    &= -\sin\theta + \log\left| \frac{1+t}{1-t} \right| .
\end{align*}
```
$-\pi \leq \theta < -\frac{\pi}{2}$では$t<-1$であるから
$$
    y = \frac{a_1}{\pi}  \left( -\sin\theta + \log \frac{t+1}{t-1} \right)
    = \frac{a}{\pi+2}  \left( -\sin\theta + \log \frac{\tan\frac{\theta}{2}+1}{\tan\frac{\theta}{2}-1} \right) . \tag{7}
$$
(6)(7)が自由流線$\mathrm{BC}$の形を与える$ \left( -\pi \leq \theta < -\frac{\pi}{2} \right) $．

JuliaのPlots.jlに描かせてみると以下のようになった（$\theta$の上限は$-\frac{\pi}{2}-0.0001$）．

![jet.png](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/2952554/9f7ade39-0f0c-e989-6680-1d5e15acd7c1.png)



特に，ジェットのすぼまり方を表す縮脈係数は
$$
    \frac{a_1}{a} = \frac{\pi}{\pi+2} \simeq 0.611 .
$$