測度論に基づく条件付き確率

ふつうの確率論では事象$A,B$に対して、Bが起こったとする条件の下で$A$が起こる条件付き確率は確率$p(B)>0$のとき、

```math
p(A \mid B) = \frac{p(A \cap B)}{p(B)}
```

と表されます。これが測度論的確率論でどのように取り扱われるか見ていきたいと思います。最初に少し背景を説明しますが、一般的な定義が知りたい方は条件付き期待値の節まで飛ばしてください。

各定義は以下の記事と同じです。

https://qiita.com/hiro949/items/e2304486c5280fbcce78

https://qiita.com/hiro949/items/8073e9f44bc4c1b9557a#%E5%84%AA%E5%8F%8E%E6%9D%9F%E5%AE%9A%E7%90%86


# 分割

可測な部分集合族$\Delta \subset \tilde{\mathcal{F}}\backslash\varnothing$が

```math
\bigcup_{\xi \in \Delta} \xi = \Omega
```

を満たすとき、$\Delta$は$\Omega$の分割であると言います。

# 可分分割

ある可算な可測部分列

```math
\{A_i\}_{i \in I} \subset \mathcal{F}, \quad I \subset \mathbb{N}
```
が存在して、

```math


\Delta_\mathcal{A} = \left\{ \bigcap_{A \in \bar{\mathcal{A}}} A \mid 
 \bar{\mathcal{A}} \in \bigotimes_{i \in I}\{A_i,A_i^c\} \right\}
```

と書けるとき、分割$\Delta_\mathcal{A}$は可分であると言います。

可分な分割$\Delta$は

```math
\forall E_1, E_2 \in \Delta: E_1 \cap E_2 = \varnothing
```

を満たします。

### 確率変数による分割

確率変数$X:\Omega \rightarrow \mathbb{R}$に対して

```math
\Delta_X = \{ X^{-1}(x) \mid x \in \mathrm{Im}X \}
```

を確率変数$X$による分割であると言い、これは可分な分割になります。


# 分割による条件付き確率測度の３つの表現

### 可分分割の確率空間

可分分割

```math
\Delta = \{ \xi_i\}_{i \in I} \subset \tilde{\mathcal{F}} \\
I \subset \mathbb{N}
```

をとると、確率空間$(\Delta,\mathcal{F}^\Delta,p^\Delta)$は、

```math
\mathcal{F}^\Delta = \{\Xi\}_{\Xi \subset \Delta} \\
p^\Delta(\Xi) = p\left(\bigcup_{\xi \in \Xi}\xi \right) = \sum_{\xi \in \Xi}p(\xi)
```

と定義できます。

## 条件付き確率測度


任意の$\xi \in \Delta$のもとにおける$A$の条件付き確率$p(A\mid\xi)$は

```math
\forall A' \in \mathcal{F}: p(A') = \int_\Delta p(A'\cap \xi\mid \xi) dp^\Delta(\xi) = \sum_{\xi \in \Delta} p(A'\cap \xi\mid \xi) p^\Delta(\xi) 
```

で定義されます。

$\xi$が零集合でない場合は($p(\xi) \neq 0$)

```math
\forall A' \subset \xi, A' \in \mathcal{F}: p(A' \mid \xi) = \frac{p(A)}{p(\xi)}
```

が成り立ちます。どちらの式でも零集合上では条件付確率測度が定義されていません。

## 確率変数による条件付き確率測度

可分分割として確率変数$X$による分割をとるとき、

$x \in \mathrm{Im}X$に対して、条件付き確率測度を

```math
p(A\mid X=x) = p_{\Delta_X}(A \mid X^{-1}(x))
```

と表します。

## 期待値による定義

可測写像$S_\Delta:\Omega \rightarrow \Delta$を

```math
\exists ! \xi_\omega \in \Delta: \omega \in \xi_\omega
```

に対して

```math
S_\Delta(\omega) = \xi_\omega
```

で定めます。

すると、σ加法族

```math
\mathcal{B}_\Delta = S_\Delta^{-1}(\mathcal{F}^\Delta)
```

を得られます。そして、

```math
p(A\cap B) = E(\phi(A,\omega) 1_B), \quad B \in \mathcal{B}_\Delta
```

となる写像$\phi:\mathcal{F}\times\Omega \rightarrow [0,1]$が存在するとき、
$\mathcal{B}_\Delta$のもとにおける条件付き確率測度を

```math
p_{\mathcal{B}_\Delta} = \phi
```

で定めます。

### コメント

この期待値からの定義の仕方からより一般的な条件付き確率を定義することができます。

# 条件付き期待値

 $\mathcal{F}$の部分σ加法族全体の集合を

```math
\Sigma(\mathcal{F}) = \{ \mathcal{G} \subset \mathcal{F} \mid \mathcal{G}: \text{σ加法族} \}
```

とします。部分σ加法族$\mathcal{G} \in \Sigma(\mathcal{F})$、確率変数$X \in L_1(\Omega,\mathcal{F},p)$に対して、確率変数$Y\in L_1(\Omega,\mathcal{G},p)$で

```math
\forall G \in \mathcal{G}: E[Y;G] = E[X;G]
```

を満たすものが存在するとき、$Y$を条件付き確率$E[X\mid \mathcal{G}]$のバージョンと言います。

### コメント
$Y$の値はゼロ集合上での任意性があるため一意に定まりません。そのため、バージョンという回りくどい言い方をしています。

## イメージ

ふつうの確率論で定義していた分割を一般化したのがσ加法族$\mathcal{G}$です。たとえば、

```math
\mathcal{G} = \{ \varnothing, \{B\}, \{B^c\}, \Omega \}
```

として、初等的な確率論における条件付き期待値

```math
E[X \mid B] = \sum_{\omega \in B} X(\omega) p(\{\omega\} \mid B )
```

を用いて、測度論における条件付き期待値は

```math
E[X \mid \mathcal{G}](\omega) = E[X \mid B] 1_B(\omega) + E[X \mid B^c] 1_{B^c}(\omega)
```
と構成することができます。

## 確率変数による条件付き期待値

確率変数$Z:\Omega \rightarrow \mathbb{R}$が生成する加法族

```math
\sigma(Z) = \{Z^{-1}(B) \mid B \in \mathcal{B}(\mathbb{R})\}
```

のもとでの条件付き期待値は

```math
E[X\mid Z] = E[X \mid \sigma(Z)]
```

と表します。

### 複数の条件がある場合

条件となる確率変数が複数ある場合は$n$個の確率変数

```math
Z_1,Z_2,\cdots,Z_n
```

に対して、σ加法族を

```math
\sigma(Z_1,Z_2,\cdots,Z_n) = \sigma\left( \bigcup_{i=1}^n \sigma(Z_i) \right)
```
で定義します。これに対して、

```math
E[X\mid Z_1,Z_2,\cdots,Z_n] = E[X\mid \sigma(Z_1,Z_2,\cdots,Z_n)]
```

と定義します。


# 一般的な条件付確率測度の定義

$\mathcal{G} \in \Sigma(\mathcal{F})$に対して、

$p(A|\mathcal{G}) = E[1_A \mid \mathcal{G}]$

を$\mathcal{G}$のもとでの$A$の条件付き確率と言います。

# 条件付き期待値の性質

ふつうの期待値で成立していたことは条件付き期待値でも成立します。

## 線形性

```math
E[aX+bY|\mathcal{G}] = aE[X|\mathcal{G}] + bE[Y|\mathcal{G}]
```

## 正値性

```math
X \geq 0 \Rightarrow E[X|\mathcal{G}] \geq 0
```

## 単調収束定理

```math
0 \leq X_1 \leq X_2 \leq \cdots \leq X_n \leq \cdots \\
\lim_{n\rightarrow \infty}E[X_n|\mathcal{G}] = E[X|\mathcal{G}]
```

## ファトゥの補題

```math
X_n \geq 0 \Rightarrow E[\liminf_n X_n|\mathcal{G}] \leq \liminf_n E[X_n|\mathcal{G}]
```

## 優収束定理

```math
X_n \xrightarrow{n \rightarrow \infty} X \quad (a.e.)
```

が可積分な$Y \geq 0$に対して$|X_n| \leq Y$ならば、

```math
\lim_n E[X_n|\mathcal{G}] = E[X|\mathcal{G}]
```

## 他の性質

１.確率変数$X:\Omega \rightarrow \mathbb{R}$について

```math
X \in \mathcal{G}|\mathcal{B}(\mathbb{R}) \Rightarrow E[X\mid\mathcal{G}]=X
```

２.

```math
E[E[X\mid\mathcal{G}]]=E[X]
```


# 参考資料
- 伊藤清「確率論」岩波書店