確率微分方程式

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```math
\newcommand{\borel}[1]{\mathcal{B}(#1)}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\diff}[2]{\frac{d #1}{d #2}}
\newcommand{\pdiff}[2]{\frac{\partial #1}{\partial #2}}
```

でウィーナー過程に対する確率積分を定義しました。このときに触れた確率微分について詳しく見ていきます。

# 確率微分
$T = [0,\infty)$として増大情報系$\mathbf{F}$に適合する確率過程$X(t)$でウィーナー過程の列$(B^i)_{i=1}^n \subset \mathcal{W}(\mathbf{F})$に対して

```math
X(t,\omega) = X_0(\omega) + \sum_{i=1}^n \int_0^t Y_i(s,\omega) dB^i(s,\omega) + \int_0^t Y(s,\omega) ds
```

と表されるもの全体の集合を$\mathcal{Q} = \mathcal{Q}(\mathbf{F};B^1,B^2,\cdots,B^n)$とします。$X \in \mathcal{Q}$の微分を$t>s$に対して

```math
dX(s,t,\omega) = X(t,\omega) - X(s,\omega)
```

で定義し、その全体を

```math
d\mathcal{Q} = \{ dX \mid X \in \mathcal{Q} \}
```

で表します。

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でも述べたように確率微分は確率積分の単関数近似において意味を持つ量になっています。

また、

```math
dX(s,t,\omega) = dY(s,t,\omega) \Leftrightarrow \exists A \in \mathcal{F}_0|\mathcal{B}(\mathbb{R}): X(t,\omega) = Y(t,\omega) + A(\omega)
```

です。$A(\omega)$は時間発展の意味合いでの初期値のようなものです。


# 代数としての性質

$\mathscr{B}(\mathbf{F})$を$\mathbf{F}$に適合する可測な確率過程全体の集合とすると、これは加法、乗法に対して可換環になっています。
ここで、任意の$Z \in \mathscr{B}$に対して

```math
\bar{X}(t) = \bar{X}_0 + \sum_{i=1}^n \int_0^t Z Y_i(s,\omega) dB^i(s,\omega) + \int_0^t ZY(s,\omega) ds \in \mathcal{Q}
```

となり、

```math
Z\cdot dX = d\bar{X}
```

で定義します。すると、

```math
Z\cdot(dX_1+dX_2) = Z\cdot dX_1 + Z\cdot dX_2 \\
(Z_1+Z_2)\cdot dX = Z_1\cdot dX + Z_2\cdot dX \\
(Z_1Z_2)\cdot dX = Z_1\cdot(Z_2\cdot dX)
```

となって$d\mathcal{Q}$は$\mathscr{B}$を係数とする加群であると分かります。ここにさらに乗法を定義して代数にします。

まず、$\mathcal{Q}$上に乗法$\langle \cdot, \cdot \rangle: \mathcal{Q} \times \mathcal{Q} \rightarrow \mathcal{Q}$を

```math
X(t,\omega) = X_0(\omega) + \sum_{i=1}^n \int_0^t Y_i(s,\omega) dB^i(s,\omega) + \int_0^t Y(s,\omega) ds \\
\bar{X}(t,\omega) = \bar{X}_0(\omega) + \sum_{i=1}^n \int_0^t \bar{Y}_i(s,\omega) dB^i(s,\omega) + \int_0^t \bar{Y}(s,\omega) ds
```

に対して、

```math
\langle X,\bar{X} \rangle(t,\omega) = \sum_{i=1}^n \int_0^t Y_i(s,\omega) \bar{Y}_i(s,\omega) ds \in \mathcal{Q}
```
と定義します。すると次の定理が成り立ちます。

### 定理

区間$[s,t]$（$s<t$）の任意の分割$\Delta$に対して

```math
\underset{|\Delta| \rightarrow 0}{\mathrm{l.i.p.}} \sum_{i=1}^n(X(t_i) - X(t_{i-1}))(\bar{X}(t_i) - \bar{X}(t_{i-1})) = d\langle X,\bar{X} \rangle(s,t) \\
\Leftrightarrow \forall \epsilon>0: \lim_{|\Delta| \rightarrow 0} P\left( \left\{ \omega \in \Omega \mid \left|\sum_{i=1}^n(X(t_i,\omega) - X(t_{i-1},\omega))(\bar{X}(t_i,\omega) - \bar{X}(t_{i-1},\omega)) - d\langle X,\bar{X} \rangle(s,t,\omega)\right| > \epsilon \right\} \right) = 0
```

よって、$d\mathcal{Q}$の乗法を

```math
dX \cdot d\bar{X} = d\langle X, \bar{X} \rangle
```

と定義します。すると

- $dX_1 \cdot dX_2 = dX_2 \cdot dX_1$
- $(YdX_1) \cdot dX_2 = Y \cdot (dX_1 \cdot dX_2)$
- $dX\cdot(dX_1 + dX_2) = dX\cdot dX_1 + dX\cdot dX_2$
- $dX_1 \cdot (dX_2 \cdot dX_3) = (dX_1 \cdot dX_2) \cdot dX_3 = 0$

なので、$d\mathcal{Q}$は$\mathscr{B}$の上の代数となります。

# 積分との対応

確率微分は積分の中で意味を持ち、

```math
I_{s,t}(Y) = \int_s^t Y(t',\omega) dB_{t'} = \underset{|\Delta| \rightarrow 0}{\mathrm{l.i.p.}} \sum_{i=1}^n Y(t_{i-1})(B(t_i) - B(t_{i-1})) \\
= \underset{|\Delta| \rightarrow 0}{\mathrm{l.i.p.}} \sum_{i=1}^n Y(t_{i-1})dB(t_{i-1},t_i)
```

のように単関数近似したとき、分割$\Delta$の区間$[t_{i-1},t_i)$において

```math
\begin{align}
X(t) &\rightarrow X(t_{i-1}) \\
dX(s,t) &\rightarrow dX(t_{i-1},t_i)
\end{align}
```

という置き換えの意味で確率微分形式

```math
Y(t)dB(s,t)
```

と対応しています。(積分形に戻すときは初期値$A(\omega) \in \mathcal{F}_0|\mathcal{B}(\mathbb{R})$も必要です。)

# 伊藤の公式(確率微分の連鎖律)

$F(x) = F(x^1,\cdots,x^n) \in C^{(2)}(\mathbb{R}^n,\mathbb{R})$,$X^1(t,\omega),\cdots,X^n(t,\omega) \in \mathcal{Q}$に対して、

```math
\begin{align}
X &= (X^1,\cdots,X^n) \\
Y(t,\omega) &= F(X(t,\omega)) \in \mathcal{Q} \\
dY(s,t,\omega) &= \sum_i \frac{\partial F}{\partial x^i}|_{x = X(t,\omega)} \cdot dX^i + \frac{1}{2} \sum_{i,j} \frac{\partial^2 F}{\partial x^i \partial x^j}|_{x = X(t,\omega)} \cdot dX^i \cdot dX^j
\end{align}
```

第２項を必要とするところが普通の微分の場合と異なります。

この式は

```math
A \circ dB = A\cdot B + \frac{1}{2}dB\cdot dA
```

と定義すると、

```math
dY = \sum_i \frac{\partial F}{\partial x^i}|_{x = X(t,\omega)} \circ dX^i
```
と表すこともできます。

# 例

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での計算例の結果より、$B \in \mathcal{W}(\mathbf{F})$に対して、

- $d(B^2) = 2B\cdot dB + dt = 2B \circ dB$
- $B_i,B_j \in \mathcal{W}(\mathbf{F})$が独立ならば、$dB_i \cdot dB_j = \delta_{i,j}dt$
- $dB\cdot dt = dt\cdot dt = 0$

# 確率微分方程式

確率過程$X \in \mathcal{Q}$の確率微分方程式($s<t$)

```math
\begin{align}
dX(s,t) &= a(t,X(t)) dt(s,t) + b(t,X(t)) dB(s,t) \\
X(0) &= const. = x_0
\end{align}
```

積分形で表すと

```math
X(t) = x + \int_0^t a(s,X(s)) dt + \int_0^t b(s,X(t)) dB(t)
```

を解くことを考えます。

## 確率方程式の解の一意性と存在性

確率微分方程式も常微分方程式と同様の条件を満たせば解が一意に存在します。

- (t,x)に関して$a,b$が連続：$a(t,x), b(t,x) \in C^0(\mathbb{R}_+ \times \mathbb{R},\mathbb{R})$
- リプシッツ条件：

```math
\exists c>0: \forall t,x,y: |a(t,x)-a(t,y)| + |b(t,x)-b(t,y)| \leq c|x-y| 
```

また、この方程式の解$X(t)$はマルコフ過程になります。

## 線形確率微分方程式

上記の確率微分方程式で

```math
\begin{align}
a(t,x) &= \beta(t) + \alpha(t)x \\
b(t,x) &= \sigma(t) + \gamma(t)x
\end{align}
```

と表せるとき、線形確率微分方程式と言います。
特に$\gamma(t) = 0$の場合、線形確率微分方程式

```math
\begin{align}
dX(s,t) &= (\beta(t) + \alpha(t)X(t)) dt + \sigma(t) dB(s,t) \\
X(0) &= const. = x_0
\end{align}
```

の一般解は

```math
X(t) = x_0 e^{\int_0^t \alpha(s) ds} + \int_0^t e^{\int_s^t \alpha(u) du} \beta(s) ds + \int_0^t e^{\int_s^t \alpha(u) du} \sigma(s) dB(s)
```

となります。

# 強い解

ここまではフィルター付き確率空間$(\Omega,\mathcal{F},p;\mathbb{F})$とそれに適合するブラウン運動$B(t)$を決めて確率部分方程式

```math
dX = a(t,X(t)) dt + b(t,X(t)) dB
```

を解きました。このときの解$X$は強い解と呼ばれています。強い解の定義は以下の４つを満たすことです。

1. $X$は$\mathbb{F}$に適合している
1. ブラウン運動の初期条件$\xi$に対して$p(X(0,\omega) = \xi(\omega))$
1. 任意の$i,j = 1,\cdots,d$に対して$p\left( \int_0^t \left(|a_i(s,X(s,\omega))| + b_{ij}^2(s,X(s,\omega)) \right) ds = 1 \right)$
1.  任意の$t \in [0,\infty]$と$i = 1,\cdots , d$で

```math
X(t,\omega) = X(0,\omega) + \int_0^t a_i(s,X(s,\omega)) ds + \int_0^t b_{ij}(s,X(s,\omega)) dB(s) \quad a.e. 
```

# コメント

同じ微分方程式を満たすフィルター付き確率空間とブラウン運動は何通りも考えられますし、現実の現象に確率微分方程式を適用するにしても現象が従う確率分布やブラウン運動が前もって分かっている状況は基本的にありえません。
そこで、同じ確率微分方程式を満たすフィルター付き確率空間、ブラウン運動、それらの下での確率微分方程式の解のセットを弱い解と言います。

# 強い解の一意性

２つの強い解$X_1(t,\omega),X_2(t,\omega)$について

```math
p(\forall t \in [0,\infty]: X_1(t,\omega) = X_2(t,\omega)) = 1
```

であるとき、フィルター付き確率空間$(\Omega,\mathcal{F},p;\mathbb{F})$とそれに適合するブラウン運動$B(t)$のもとで、初期条件$\xi$に対する確率部分方程式

```math
dX = a(t,X(t)) dt + b(t,X(t)) dB
```

は強い一意性を持つと言います。上記の解の一意性というのはこの意味です。

# 強い解の一般解

強い一意性を持つとき、

```math
\begin{align}
\exists h &\in [\borel{\R^d}\times \borel{C^0([0,\infty),\R^d)}] |\borel{C^0([0,\infty),\R^d)}: \\
X(t,\omega) &= h(\xi(\omega),B(t,\omega))
\end{align}
```

となります。

# 弱い解

$(X,B),(\Omega,\mathcal{F},p;\mathbf{F})$の組が弱い解であるとは、このもとで強い解の条件3,4を満たし、$X$が$\mathbf{F}$に適合する連続過程であることです。

このとき、$\Gamma \in \borel{\R^d}$に対して

```math
\mu(\Gamma) \overset{\text{def}}{=} p(X(0,\omega) \in \Gamma)
```

で初期分布$\mu$を定義できます。(弱い解に対して$\mu$は初めから与えられているわけではありません。また、初期条件$\xi$も必ずしも存在するわけではありません。)

# 弱い解の一意性

## 道ごとの一意性

共通の確率空間$(\Omega,\mathcal{F},p)$をもつ任意の2つの弱い解

```math
(X_1.B_1,(\Omega,\mathcal{F},p;\mathbf{F}_1)),
(X_2.B_2,(\Omega,\mathcal{F},p;\mathbf{F}_2))
```

に対して

```math
\begin{align}
p(X_1(0,\omega) &= X_2(0,\omega)) = 1 \\
\Leftrightarrow p(\forall t \in [0,\infty]: X_1(t,\omega) &= X_2(t,\omega)) = 1
\end{align}
```

であるとき、確率微分方程式

```math
dX = a(t,X(t)) dt + b(t,X(t)) dB
```

は道ごとの一意性を持つと言います。

## 確率法則の意味での一意性

任意の２つの弱い解

```math
(X_1.B_1,(\Omega_1,\mathcal{F}_1,p_1;\mathbf{F}_1)),
(X_2.B_2,(\Omega_2,\mathcal{F}_2,p_2;\mathbf{F}_2))
```

に対して

```math
\forall \Gamma \in \borel{\R^d}: p_1(X_1(0,\omega_1) \in \Gamma) = p_2(X_2(0,\omega_2) \in \Gamma)
```

を満たすならば、確率法則の一致、つまり、像測度において

```math
    \forall t \in [0,\infty]: X_1(t)_*p_1 = X_2(t)_*p_2
```

が成り立つとき、確率部分方程式

```math
dX = a(t,X(t)) dt + b(t,X(t)) dB
```

は確率法則の意味での一意性が成り立つと言います。

# 弱い解の一般解

道ごとの一意性が成り立つとき、弱い解

```math
(X.B,(\Omega,\mathcal{F},p;\mathbf{F}))
```

について

```math
\begin{align}
\exists h \in [\borel{\R^d} &\times \borel{C^0([0,\infty),\R^d)}] |\borel{C^0([0,\infty),\R^d)}: \\
    X(t,\omega) &= h(X(0,\omega),B(t,\omega)) \quad a.e. \omega \ w.r.t. p
\end{align}
```

となります。

# 時間に非依存な場合の解法

```math
\begin{align}
dX &= a(X)dt + b(X) \circ dB(t) \\
\Leftrightarrow dX &= \left( a(X) + \frac{1}{2}b(X)b'(X) \right)dt + b(X) dB(t)
\end{align}
```

ただし、$b \in C^2_b(\R,\R)$（有界な2階微分可能な関数）、$b' = \frac{db}{dx}$の形の確率微分方程式は特別なケースです。

このとき、偏微分方程式

```math
\begin{align}
\pdiff{u(x,y)}{x} &= b(u(x,y)) \\
u(0,y) &= y
\end{align}
```

の解$u$と

```math
f(x,y) = \frac{b(u(x,y))}{ \exp\left( \int_0^x b'(z,y) dz \right) } 
```

を用いた常微分方程式($w,\xi \in \R^d$は定数)

```math
\begin{align}
\diff{y(t)}{t} &= f(w,y(t)) \\
y(0) &= \xi
\end{align}
```

の解$y(t;w,\xi)$に対して、元の確率微分方程式の弱い解は 

```math
X(t,\omega) = u( B(t,\omega), y(t;B(t,\omega),\xi(\omega)) ) 
```

となります。よってこの場合は普通の(偏)微分方程式を解けばよいことになります。

# 例：ランジュバン方程式

ランジュバン方程式

```math
\begin{align}
dX(s,t) &= -\alpha X(t)dt + \sigma dB(s,t) \\
X(0) &= const. = 0 \\
(\alpha>0&,\sigma>0)
\end{align}
```

は線形確率微分方程式で先に示した特別な場合に当てはまります。強い解は対応する微分方程式を解くことで

```math
X(t) = \sigma e^{-\alpha t} \int_0^t e^{\alpha s} dB(s)
```

となります。
ここで、

```math
\begin{align}
\sum_i e^{\alpha t_{i-1}}(B(t_i) - B(t_{i-1})) \\
= \sum_i (e^{\alpha t_i}B(t_i) - e^{\alpha t_{i-1}}B(t_{i-1})) - \sum_i B(t_i) (e^{\alpha t_i} - e^{\alpha t_{i-1}}) \\
\sum_i (e^{\alpha t_i}B(t_i) - e^{\alpha t_{i-1}}B(t_{i-1})) - \sum_i B(t_i) \frac{e^{\alpha t_i} - e^{\alpha t_{i-1}}}{t_i - t_{i-1}} (t_i - t_{i-1}) \\

\xrightarrow[|\Delta| \rightarrow 0]{p} e^{\alpha t}B(t) - B(0) - \int_0^t B(s) \frac{d e^{\alpha s}}{ds} ds
\end{align}
```

だから、

```math
X(t,\omega) = \sigma(B(t,\omega) - e^{-\alpha t} B(0,\omega)) + \alpha \sigma \int_0^t B(s,\omega) e^{- \alpha (t-s)} ds
```

と書けます。

# 例：ブラック-ショールズ方程式

```math
dS(s,t) = \alpha S(t) dB(s,t) + \beta S(t) dt
```

も特別な場合に当てはまるので、弱い解は

```math
S(t) = S_0 e^{\alpha B(t) - (\beta + \frac{\alpha^2}{2})t}
```

となります。ただし$S(0) = S_0$としました。


# 参考
- 伊藤清「確率論」岩波書店
- 舟木 直久「確率微分方程式」岩波書店
- 石村, 直之「確率微分方程式入門 ―数理ファイナンスへの応用―（数学のかんどころ 26）」共立出版
- I. カラザス、S. E. シュレーブ「ブラウン運動と確率積分」シュプリンガー・フェアラーク東京