ベクトル解析と外微分の関係について

# 1. はじめに

この記事は、ベクトル解析から多様体に入門したいなぁという読者を想定した記事になります。

ベクトル解析で出てくる勾配$\mathrm{grad}$、回転$\mathrm{rot}$、発散$\mathrm{div}$てなにか微分てきなものだよなぁと思ったことありませんかね？ネタバレしてしまうと、外微分$d$の具体例なのです。本記事では、勾配、回転、発散が外微分の具体例であることを計算を通して確認します。

2章で、ベクトル解析の勾配、回転、発散のイメージをつけます。3章で、外微分を簡単に導入し、勾配、回転、発散が外微分の具体例であることを計算を通して確認します。

# 2. ベクトル解析

ベクトル解析は電磁気学でも使うように工学的にも重要な数学です。勾配、回転、発散がなにを意味しているのかイメージをつけることがこの節の目標です。

## 2.1 勾配てなんだ？
予備ノリたくみさん、解説オナシャス。

https://www.youtube.com/watch?v=p7hEoWv7pp4

## 2.2 回転てなんだ？
予備ノリたくみさん、解説オナシャス。

https://www.youtube.com/watch?v=JjdmVjQSKkA

## 2.3 発散てなんだ？
予備ノリたくみさん、解説オナシャス。

https://www.youtube.com/watch?v=ZS51xsn7onA

# 3. 微分形式と外微分

外微分の具体例が勾配、発散、回転であることをこの節では計算を通して確認します。計算するうえで、どうしても覚えなければいけない計算規則に微分形式と外微分があります。まずはこの計算規則を受け入れてしまって計算に慣れてしまいましょう！

## 3.1 微分形式てなんだ？

線密度$f(x)$[g\m]があったとする。$a$から$b$までの重さは下式で与えられる。
```math
\int_{a}^{b}f(x)dx.
```

面積密度$f(x,y)$[g\m]があったとする。面積$S$の重さは下式で与えられる。
```math
\int_{S}f(x,y)dxdy.
```

体積密度$f(x,y,z)$[g\m]があったとする。体積$V$の重さは下式で与えられる。
```math
\int_{V}f(x,y,z)dxdydx.
```

これらの密度に相当するのが微分形式である。k-形式は下式で与えられる。
```math
\begin{eqnarray}
\omega&=&\sum_{i_1<\cdots < i_k}\omega_{i_1\cdots i_k}dx^{i1}\wedge\cdots \wedge　dx^{ik}
\end{eqnarray}
```

1-形式のイメージとしては線密度、2-形式のイメージとしては面積密度、3-形式のイメージとしては体積密度に相当する。

ウェッジ積には下のような性質がある。

```math
dx_{i} \wedge dx_{j} = - dx_{j} \wedge dx_{i}
```

```math
dx_{i} \wedge dx_{i} = 0
```

実際、
```math
dx_{i} \wedge dx_{i} = -dx_{i} \wedge dx_{i}\\
2dx_{i} \wedge dx_{i} = 0\\
dx_{i} \wedge dx_{i} = 0
```

## 3.2 外微分てなんだ？

k-形式が与えられたとする。

```math
\begin{eqnarray}
\omega&=&\sum_{i_1<\cdots < i_k}\omega_{i_1\cdots i_k}dx^{i1}\wedge\cdots \wedge　dx^{ik}
\end{eqnarray}
```
k-形式を外微分すると、

```math
\begin{eqnarray}
d\omega
&=&
\sum_{i_1<\cdots < i_k}d\omega_{i_1\cdots i_k}\wedge dx^{i1}\wedge\cdots \wedge　dx^{ik}\\\
&=&
\sum_{i_1<\cdots < i_k}
\left(
\sum_{j}
\dfrac{d\omega_{i_1\cdots i_k}^j}{\partial x_j}dx_j
\right)
\wedge dx^{i1}\wedge\cdots \wedge　dx^{ik}\\\
\end{eqnarray}
```

微分形式と外微分の具体的なイメージは、下の節で計算していくことで定着すると思う。

## 3.3 外微分と勾配を対応させてみよう。

それでは0-形式$f$を外微分してみましょう。

```math
df = 
 \dfrac{\partial f}{\partial x}dx
+\dfrac{\partial f}{\partial y}dy
+\dfrac{\partial f}{\partial z}dz
```

外微分$d$が$\mathrm{grad}f$と対応していることがわかりますね。

```math
d:f\rightarrow df=
 \dfrac{\partial f}{\partial x}dx
+\dfrac{\partial f}{\partial y}dy
+\dfrac{\partial f}{\partial z}dz
```

```math
\mathrm{grad} f = 
\begin{pmatrix}
\dfrac{\partial f}{\partial x} \\ 
\dfrac{\partial f}{\partial y} \\
 \dfrac{\partial f}{\partial z}
\end{pmatrix}
```

## 3.4 外微分と回転を対応させてみよう。
1-形式$Pdx+Qdy+Rdz$を外微分してみましょう。

```math
\begin{eqnarray}
d(Pdx+Qdy+Rdz)
=&dP\wedge dx+dQ \wedge dy+dR\wedge dz\\
\end{eqnarray}
```

$dP\wedge dx$について計算すると、微分形式の計算規則$dx\wedge dx=0$、$dy\wedge dx=-dx\wedge dy$に注意すれば、

```math
\begin{eqnarray}
dP\wedge dx
&=&\left(
 \dfrac{\partial P}{\partial x}dx
+\dfrac{\partial P}{\partial y}dy
+\dfrac{\partial P}{\partial z}dz
\right)
\wedge dx\\\
&=&
 \dfrac{\partial P}{\partial x}dx \wedge dx
+\dfrac{\partial P}{\partial y}dy\wedge dx
+\dfrac{\partial P}{\partial z}dz\wedge dx\\\
&=&
 \dfrac{\partial P}{\partial x}0
+\dfrac{\partial P}{\partial y}(-dx\wedge dy)
+\dfrac{\partial P}{\partial z}dz\wedge dx\\\
&=&
-\dfrac{\partial P}{\partial y}dx\wedge dy
+\dfrac{\partial P}{\partial z}dz\wedge dx
\end{eqnarray}
```

$dQ\wedge dy$について計算すると、微分形式の計算規則$dy\wedge dy=0$、$dz\wedge dy=-dy\wedge dz$に注意すれば、

```math
\begin{eqnarray}
dQ\wedge dy
&=&\left(
 \dfrac{\partial Q}{\partial x}dx
+\dfrac{\partial Q}{\partial y}dy
+\dfrac{\partial Q}{\partial z}dz
\right)
\wedge dy\\\
&=&
 \dfrac{\partial Q}{\partial x}dx \wedge dy
+\dfrac{\partial Q}{\partial y}dy\wedge dy
+\dfrac{\partial Q}{\partial z}dz\wedge dy\\\
&=&
 \dfrac{\partial Q}{\partial x}dx \wedge dy
+\dfrac{\partial Q}{\partial y}0
+\dfrac{\partial Q}{\partial z}(-dy\wedge dz)\\\
&=&
 \dfrac{\partial Q}{\partial x}dx \wedge dy
-\dfrac{\partial Q}{\partial z}dy\wedge dz
\end{eqnarray}
```

$dR\wedge dz$について計算すると、微分形式の計算規則$dz\wedge dz=0$、$dz\wedge dy=-dy\wedge dz$に注意すれば、

```math
\begin{eqnarray}
dR\wedge dz
&=&\left(
 \dfrac{\partial R}{\partial x}dx
+\dfrac{\partial R}{\partial y}dy
+\dfrac{\partial R}{\partial z}dz
\right)
\wedge dz\\\
&=&
 \dfrac{\partial R}{\partial x}dx \wedge dz
+\dfrac{\partial R}{\partial y}dy\wedge dz
+\dfrac{\partial R}{\partial z}dz\wedge dz\\\
&=&
 \dfrac{\partial R}{\partial x}(-dz \wedge dx)
+\dfrac{\partial R}{\partial y}dy\wedge dz
+\dfrac{\partial R}{\partial z}0\\\
&=&
-\dfrac{\partial R}{\partial x}dz \wedge dx
+\dfrac{\partial R}{\partial y}dy\wedge dz
\end{eqnarray}
```

以上から、
```math
\begin{eqnarray}
&&d(Pdx+Qdy+Rdz)\\
&=&
dP\wedge dx+dQ \wedge dy+dR\wedge dz\\
&=&
\left(
-\dfrac{\partial P}{\partial y}dx\wedge dy
+\dfrac{\partial P}{\partial z}dz\wedge dx
\right)
+
\left(
 \dfrac{\partial Q}{\partial x}dx \wedge dy
-\dfrac{\partial Q}{\partial z}dy\wedge dz
\right)
+
\left(
-\dfrac{\partial R}{\partial x}dz \wedge dx
+\dfrac{\partial R}{\partial y}dy\wedge dz
\right)\\\
&=&
\left( \dfrac{\partial Q}{\partial x} -\dfrac{\partial P}{\partial y}\right)
dx\wedge dy
+
\left(\dfrac{\partial R}{\partial y}-\dfrac{\partial Q}{\partial z}\right)
dy\wedge dz
+
\left(\dfrac{\partial P}{\partial z}-\dfrac{\partial R}{\partial x}\right)
dz \wedge dx\\\
&=&
\left(\dfrac{\partial R}{\partial y}-\dfrac{\partial Q}{\partial z}\right)
dy\wedge dz
+
\left(\dfrac{\partial P}{\partial z}-\dfrac{\partial R}{\partial x}\right)
dz \wedge dx
+
\left( \dfrac{\partial Q}{\partial x} -\dfrac{\partial P}{\partial y}\right)
dx\wedge dy
\end{eqnarray}
```

外微分$d$が$\mathrm{rot}$と対応していることがわかりますね。

```math
d:Pdx+Qdy+Rdz\rightarrow
\left(\dfrac{\partial R}{\partial y}-\dfrac{\partial Q}{\partial z}\right)
dy\wedge dz
+
\left(\dfrac{\partial P}{\partial z}-\dfrac{\partial R}{\partial x}\right)
dz \wedge dx
+
\left( \dfrac{\partial Q}{\partial x} -\dfrac{\partial P}{\partial y}\right)
dx\wedge dy
```

```math
\mathrm{curl} 
\begin{pmatrix}
P \\ 
Q \\
R
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
\dfrac{\partial R}{\partial y}-\dfrac{\partial Q}{\partial z} \\ 
\dfrac{\partial P}{\partial z}-\dfrac{\partial R}{\partial x} \\
\dfrac{\partial Q}{\partial x} -\dfrac{\partial P}{\partial y}
\end{pmatrix}

```

## 3.5 外微分と発散を対応させてみよう。
2-形式$Pdy\wedge dz+Qdz\wedge dx+Rdx\wedge dy$を外微分してみましょう。

```math
\begin{eqnarray}
&&d\left(Pdy\wedge dz+Qdz\wedge dx+Rdx\wedge dy\right)\\\
&=&
dP\wedge dy\wedge dz+dQ\wedge dz\wedge dx+dR\wedge dx\wedge dy\\\
&=&
\left(
 \dfrac{\partial P}{\partial x}dx
+\dfrac{\partial P}{\partial y}dy
+\dfrac{\partial P}{\partial z}dz
\right)
\wedge dy\wedge dz
+
\left(
 \dfrac{\partial Q}{\partial x}dx
+\dfrac{\partial Q}{\partial y}dy
+\dfrac{\partial Q}{\partial z}dz
\right)
\wedge dz\wedge dx
+
\left(
 \dfrac{\partial R}{\partial x}dx
+\dfrac{\partial R}{\partial y}dy
+\dfrac{\partial R}{\partial z}dz
\right)
\wedge dx\wedge dy\\\
&=&
\dfrac{\partial P}{\partial x}dx\wedge dy\wedge dz
+
\dfrac{\partial Q}{\partial y}dy\wedge dz\wedge dx
+
\dfrac{\partial R}{\partial z}dz\wedge dx\wedge dy\\\
&=&
\dfrac{\partial P}{\partial x}dx\wedge dy\wedge dz
+
\dfrac{\partial Q}{\partial y}dx\wedge dy\wedge dz
+
\dfrac{\partial R}{\partial z}dx\wedge dy\wedge dz\\\
&=&
\left(
\dfrac{\partial P}{\partial x}
+
\dfrac{\partial Q}{\partial y}
+
\dfrac{\partial R}{\partial z}
\right)
dx\wedge dy\wedge dz\\\
\end{eqnarray}
```

外微分$d$が$\mathrm{div}$と対応していることがわかりますね。

```math
d:Pdy\wedge dz+Qdz\wedge dx+Rdx\wedge dy\rightarrow
\left(
\dfrac{\partial P}{\partial x}
+
\dfrac{\partial Q}{\partial y}
+
\dfrac{\partial R}{\partial z}
\right)
dx\wedge dy\wedge dz
```

```math
\mathrm{div}
\begin{pmatrix}
P \\ 
Q \\
R
\end{pmatrix}
=
\dfrac{\partial P}{\partial x}
+
\dfrac{\partial Q}{\partial y}
+
\dfrac{\partial R}{\partial z}
```

# 4. おわりに
微分形式と外微分を一旦受け入れてしまえば、ベクトル解析で出てくる勾配$\mathrm{grad}$、回転$\mathrm{rot}$、発散$\mathrm{div}$の公式を覚える必要がなくなりましたよね。

感動しませんかね？

実はこの理論の背景には多様体論がひっそり隠れています。他にも嬉しい事実として、ベクトル解析で出てくる線積分の基本定理、グリーンの定理、ストークスの定理、発散定理は、実は多様体のストークスの定理で説明が出来てしまいます。

多様体について知りたくなりましたかね？

次の記事では、多様体について紹介していこうと思います。そのためには、位相空間が必要なのですが簡単に紹介して、多様体のイメージをつけてもらおうかなぁと思います！

ちなみに、本記事で出てきた微分形式は図形の形状を分析するド・ラームコホモロジー理論で道具としてゴリゴリ使うようです。

それでは、またお会いしましょう～。

# 5.参考文献
- [多様体の基礎のキソ、川平 友規](http://www1.econ.hit-u.ac.jp/kawahira/courses/kiso.html)
- 微分・位相幾何、和達三樹、岩波書店
- 多様体の基礎、松本幸夫、東京大学出版会
- 多様体、村上信吾、共立出版
- トゥー多様体、Loring W. Tu、裳華房
- 微分幾何入門、佐古彰史、森北出版
- [Introduction to コホモロジー](https://www.youtube.com/watch?v=jF5UkJJ7Z6c&list=PLixM8Z-YcKBSWaEzEqQk_VhwAD-Od-VLy)