分散共分散行列に関する検定(1標本)

分散共分散行列に関する1標本問題について，尤度比検定を論じます．
式変形を丁寧におこなっていますので，ぜひ見てみてください！

## 1変量問題
$X_{1}, \cdots, X_{n} \sim N(\mu, \Sigma)$, i. i. d. とします．
    
ここで帰無仮説 $H: \Sigma=\Sigma_{0}$ を対立仮 説 $\Sigma \neq \Sigma_{0}$ に対して検定する $1$ 標本問題を考えます．
$\mu$ の最尤推定量はいずれ の場合にも $\bar{X}$ であり, 対立仮説の もとでの$\Sigma$ の最尤推定量は $\frac{W}{n}$ で与えられます． 
 
すると   
$$
L\left(\bar{X}, \Sigma_{0} \right)=\frac{1}{(2 \pi)^{\frac{p n}{2}}\left|\Sigma_{0}\right|^{\frac{n}{2}}} \exp \left[-\frac{1}{2}\textbf{tr} \Sigma_{0}^{-1} W\right]
$$
$$
\begin{aligned}
L\left(\bar{X}, \frac{W}{n} \right)=&\frac{1}{(2 \pi)^{\frac{p n}{2}}\left|\frac{W}{n}\right|^{\frac{n}{2}}} \exp \left[-\frac{1}{2}\textbf{tr} \left(\frac{W}{n}\right)^{-1} W\right] \\
= \frac{1}{(2 \pi)^{\frac{p n}{2}}\left|\frac{W}{n}\right|^{\frac{n}{2}}} \exp \left[-\frac{1}{2}\textbf{tr}  \left(n I_{p}\right) \right]
=\frac{1}{(2 \pi)^{\frac{p n}{2}}\left|\frac{W}{n}\right|^{\frac{n}{2}}} e^{-\frac{1}{2} np}
\end{aligned}
$$
となるので，尤度比検定の棄却域は，

$$
\begin{aligned}
\lambda = \frac{L\left(\bar{X}, \Sigma_{0} \right)}{L\left(\bar{X}, \frac{W}{n} \right)} = & \left.\frac{1}{(2 \pi)^{\frac{p n}{2}}\left|\Sigma_{0}\right|^{\frac{n}{2}}} \exp \left[-\frac{1}{2}\textbf{tr} \Sigma_{0}^{-1} W\right]\middle/ \frac{1}{(2 \pi)^{\frac{p n}{2}}\left|\frac{W}{n}\right|^{\frac{n}{2}}} e^{-\frac{1}{2} np}\right.\\
=  \frac{|W|^{\frac{n}{2}}}{\left|\sum_{0}\right|^{\frac{n}{2}}} \cdot \frac{1}{n^{\frac{n p}{2}}} \cdot e^{-\frac{1}{2}\textbf{tr} \Sigma_{0}^{-1} W} \cdot e^{\frac{1}{2} n p} \\
=  \left(\frac{e}{n}\right)^{\frac{n p}{2}}\left|W \Sigma_{0}^{-1}\right|^{\frac{n}{2}} e^{-\frac{1}{2}\textbf{tr} W \Sigma_{0}^{-1}}<c
\end{aligned}
$$
で与えられます．

不偏検定の観点からすると，標本サイズ$n$を自由度$n-1$で置き換えた修正尤度比検定
$$
\lambda^{*}=\left(\frac{e}{n-1}\right)^{p(n-1) / 2}\left|W \Sigma_{0}^{-1}\right|^{(n-1) / 2} e^{-\frac{1}{2} \operatorname{tr} W \Sigma_{0}^{-1}}<c^{\prime}
$$
のほうがのぞましいらしいです．
いずれの場合にも棄却限界 $c$ あるいは $c^{\prime}$ を正確に与えるのは困難ですが， 1 次の漸近理論による近似を用いれば $-2 \log c=-2 \log c^{\prime}=\chi_{p(p+1) / 2}^{2}(\alpha)$ とおけばよいので，問題ありません．(詳しくは参考文献)

### sphericity の検定
1変量の特殊な場合について紹介します．
分散行列が比例定数を除いて既知であるとする 帰無仮説
$$
\left.H: \Sigma=\sigma^{2} \Sigma_{0} \quad \text { ( } \Sigma_{0} \text { は既知 }\right)
$$を検定するのである. 帰無仮説のもとでの $\sigma^{2}$ の最尤推定量は $\hat{\sigma}^{2}=\operatorname{tr} W \Sigma_{0}^{-1} /$ $n p$ となる

よって，帰無仮説の下で
$$
\begin{aligned}
\sup L\left(\mu,  \Sigma\right)=&\frac{1}{(2 \pi)^{\frac{np}{2}}\left(\hat{\sigma}^{2} \Sigma_{0}\right)^{\frac{n}{2}}} \exp \left[-\frac{1}{2}\textbf{tr}\left(\hat{\sigma}^{2} \Sigma_{0}\right)^{-1} W\right]
=\frac{(n p)^{\frac{np}{2}}}{(2 \pi)^{\frac{n p}{2}}\left(\textbf{tr} W \Sigma_{0}\right)^{\frac{n p}{2}}\left|\Sigma_{0}\right|^{\frac{n}{2}}} \exp \left[-\frac{1}{2} \textbf{tr} \Sigma_{0}^{-1} W \cdot \frac{n p}{\textbf{tr} \Sigma_{0}^{-1} W}\right] 
= \frac{(n p)^{\frac{np}{2}}}{(2 \pi)^{\frac{n p}{2}}\left(\textbf{tr} W \Sigma_{0}\right)^{\frac{n p}{2}}\left|\Sigma_{0}\right|^{\frac{n}{2}}} e^{-\frac{np}{2}}
\end{aligned}
$$
となります．
対立仮説の下では，
     $$
    \begin{aligned}
    \sup L\left(\bar{X}, \frac{W}{n} \right)=&\frac{1}{(2 \pi)^{\frac{p n}{2}}\left|\frac{W}{n}\right|^{\frac{n}{2}}} \exp \left[-\frac{1}{2}\textbf{tr} \left(\frac{W}{n}\right)^{-1} W\right] \\
    = \frac{1}{(2 \pi)^{\frac{p n}{2}}\left|\frac{W}{n}\right|^{\frac{n}{2}}} \exp \left[-\frac{1}{2}\textbf{tr}  \left(n I_{p}\right) \right]
    =\frac{1}{(2 \pi)^{\frac{p n}{2}}\left|\frac{W}{n}\right|^{\frac{n}{2}}} e^{-\frac{1}{2} np} \\
    = \frac{n^{\frac{np}{2}}}{(2 \pi)^{\frac{n p}{2}}|W|^{\frac{n}{2}}} e^ {-\frac{np}{2} }
    \end{aligned}
    $$

よって，
    $$
    \begin{aligned}
    \lambda =&\frac{(n p)^{\frac{np}{2}}}{(2 \pi)^{\frac{n p}{2}}\left(\textbf{tr} W \Sigma_{0}\right)^{\frac{n p}{2}}\left|\Sigma_{0}\right|^{\frac{n}{2}}} e^{-\frac{np}{2}} / \frac{n ^{\frac{np}{2}}}{(2 \pi)^{\frac{n p}{2}}|W|^{\frac{n}{2}}} e^ {-\frac{np}{2} } \\
    =& \frac{(n p)^{\frac{np}{2}}}{(2 \pi)^{\frac{n p}{2}}\left(\textbf{tr} W \Sigma_{0}\right)^{\frac{n p}{2}}\left|\Sigma_{0}\right|^{\frac{n}{2}}}  \cdot \frac{(2 \pi)^{\frac{n p}{2}}|W|^{\frac{n}{2}}}{ n^{\frac{np}{2}}} 
   =\frac{p^{\frac{np}{2}}|W|^\frac{n}{2} }{\textbf{tr}{W\Sigma_{0}^{-1}}\left|\Sigma_{0}\right|^{\frac{n}{2}}} \\
   =&\frac{\left|W \Sigma_{0}^{-1}\right|^{n / 2}}{\left(\operatorname{tr} W \Sigma_{0}^{-1} / p\right)^{p n / 2}}<c
    \end{aligned}
    $$

となります．