【数学的思考方法】①三角比(Trigonometric Ratio)から複素平面(Complex Plane)まで。

これまでの投稿内容のとりあえずのまとめその1。
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* a=c×cos(θ)
* b=c×sin(θ)
* a=b×tan(θ)

今回の出発点は**三角比**(Trigonometric Ratio)とします。

## 一次元球面的分布(<font color=blue>1D Spherical Distribution</font>)における平均(<font color=blue>Mean</font>)と分散(<font color=blue>Variance</font>)

[【数理考古学】ピタゴラスの定理あるいは三平方の定理からの出発 - Qiita](https://qiita.com/ochimusha01/items/4c7f731b0ef3cc998aa1)
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線分ab=線分ac=1の時、θ=角bacが0から**直角**(Right Angle)$\frac{π}{2}$に推移するとCos(θ)=線分adは1から0に、Sin(θ)=線分bdは0から1に推移する。これが**三角比**(Trigonometric Ratio)の世界。ここで**座標直交**(Orthogonal)時のCos($\frac{π}{2}$)=0を**余弦定理**(Cosine Theorem)$線分bc=\sqrt{線分ab^2+線分ac^2-2線分ab線分acCos(θ)}$に代入すると**絶対値**(Absolute ValueまたはModulus)=**ユークリッド距離**(Euclidean Distance)$R=\sqrt{Cos(θ)^2+Sin(θ)^2}$の公式が得られ**平方対角線距離**$\sqrt{2}$が求まる。これをさらに2乗した結果が**分散**(Variance)2。
[【Rで球面幾何学】「半円しか描けなかった」世界の思い出？ - Qiita](https://qiita.com/ochimusha01/items/cf74b1fff650edb0a496)
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それでは「**分散2**」とはどういう状態なのか。あえて単純化して表現するなら「**絶対値=半径=1の時の直径**」である。θが0→$\frac{π}{2}$→πと推移するならCos(θ)は1→0→-1、Sin(θ)は0→1→0と推移する。
[【初心者向け】「三角不等式(Triangle Inequality)」の体感方法？ - Qiita](https://qiita.com/ochimusha01/items/325717eef47b1cbeadb1)
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ここでCos(π)は**三角不等式**(Triangle Inequality)‖x+y‖≦‖x‖+‖y‖において‖x+y‖=‖x‖+‖y‖が成立する場合、すなわち‖x‖と‖y‖が同一直線上にあり三角形の面積は0に潰れてしまっている状態を指す(<font color=blue>二次元空間から一次元空間への縮退</font>)。この時x=yならz=2x=2yが成立。中心0=平均(Mean)$\frac{-1+1}{2}$,**半径**(絶対値)=1,**直径**(分散)=2が自ずと定まる訳である。この考え方が**記述統計学**(Descriptive Statistics)の出発点となる。
[【Python演算処理】大源流における記述統計学との密接な関連性? - Qiita](https://qiita.com/ochimusha01/items/d36169ad13872a34ebc6)
[【Pyrhon演算処理】記述統計との狭間 - Qiita](https://qiita.com/ochimusha01/items/28b68c8783fb3d3a719d)
幾何学分野ではかかる「平均0,最小値-1,最大値+1,分散2」の線分範囲を**一様分布**(Uniform Distribution)前提で「**1次元球面的分布**(1D Spherical Distribution)」と見做し「**2次元球面的分布**(2D Spherical Distribution)=円弧(対数写像を取ると線形)」「**3次元球面的分布**(3D Spherical Distribution)=球表面(対数写像を1回取ると円面積、2回取ると長方形面積)」と拡張していく。
[一様分布](https://staff.aist.go.jp/t.ihara/uniform.html)
線から円環への**指数写像**(Exponential Map)
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円盤から球表面への**指数写像**(Exponential Map)
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[【Python演算処理】半径・直径・円周長・円の面積・球の表面積・球の体積の計算上の往復 - Qiita](https://qiita.com/ochimusha01/items/e180451a210227bb19a5)

## 円筒座標系(<font color=blue>Cylindrical Coordinate System</font>)、球面座標系(<font color=blue>Spherical Coordinate System</font>)、円錐座標系(<font color=blue>Conical Coordinate System</font>)

ところで**円描画関数**$e^{θi}$(θ=0→2π,ここでいうiとは何かについては後述)に時間軸tの概念を1次元球面-1→0→+1ないしは+1→0→-1に従って与えると**円筒座標系**(Cylindrical Coordinate System)が現れる。この時水平方向からのx軸からの観測結果がCos(θ)波、y軸からの観測結果がSin(θ)波となるのは言うまでもない。
[【Pyrhon演算処理】加法的同心集合とは？ - Qiita](https://qiita.com/ochimusha01/items/c3517c1df1459c644ca8)
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Cos(θ)波
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Sin(θ)波
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これをさらに**球面座標系**(Spherical Coordinate System)に拡張するには、さらにこの**円筒座標系**に時間軸tに沿って**半弦描画関数**$\sqrt{1-x^2}$を「(水平面における)**半径の拡大縮小率**」として与える。
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**半弦描画関数**$±\sqrt{1-x^2}$を用いても円描画は可能だが、この場合**1次元球面**(-1→0→+1)とその反転版(+1→0→-1)を組み合わせた往復分に**半弦描画関数**$\sqrt{1-x^2}$を「**y軸への拡大縮小率**」として与えた数学的構造となる。
[【Rで球面幾何学】「半円しか描けなかった」世界の思い出？ - Qiita](https://qiita.com/ochimusha01/items/cf74b1fff650edb0a496)
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これを三次元表示した座標系は**円筒座標系**ではなく**円錐座標系**(Conical Coordinate System)となる。**1次元線形関数**y=x(x=-1→0→+1ないしはx=+1→0→-1)を水平面における**1周**(0→2π)と対応付けたイメージ。それは**絶対値関数**y=|x|を**半周**(0→π)回転させた結果と重なる。
[【連続極座標系】円筒形座標系による加法群と乗法群と商群の統合](https://qiita.com/ochimusha01/items/2eb64566f82f27fee3f3)
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# 複素平面(<font color=blue>Complex Plane</font>)概念とユニタリ変換(<font color=blue>Unitary Transformation</font>)概念の導入

ところでx座標とy座標の置換は「**90度回転**」を意味する。
[【Rで球面幾何学】「半円しか描けなかった」世界の思い出？ - Qiita](https://qiita.com/ochimusha01/items/cf74b1fff650edb0a496)
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こうして**第一象眼±90度**(第一象眼$x^2=1$、第二、第三象眼$-x^2=-1$)までは扱う目処が立ちつが、**第三象眼**を扱うにはどうしても$x^2=-1$という考え方が必要となってくる。
[【Rで球面幾何学】「半円しか描けなかった」世界の思い出？ - Qiita](https://qiita.com/ochimusha01/items/cf74b1fff650edb0a496)
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そこでいっその事、**複素数**(Imaginal)$i^2=-1$の概念を導入して**第１象眼**$-i^2=1+0i$、**第２象眼**0+1i、第３象眼$i^2=-1$、第４象眼0-1iと考えてしまった方が一貫性があって色々都合が良いというのが**複素平面**(Complex Plane)のコンセプトとなる。やっとこの考え方に到達したのが実に**19世紀前半と**いう…
[【連続微小領域環】「地球平面説」から、いかに逃れるか？ - Qiita](https://qiita.com/ochimusha01/items/77ff23fb9edad657fae4)
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ちなみに線形代数では水平方向の回転は回転行列で済ませ、垂直方向の回転にこの考え方を導入する(<font color=blue>いわゆるユニタリ変換</font>)。

まずはざっとこの辺りをここでいう**数学的思考法**の出発点としたいと思います。