2次の電気伝導度の計算(理論パート)

https://qiita.com/hiro949/items/c0124dc5ca1478d61b15

https://qiita.com/hiro949/items/175cbfc3654ba3186ce8

で電気伝導度の計算方法について一般論をご紹介しました。また、

https://qiita.com/hiro949/items/4d1de786a0fc4e059b7d

ではその具体的な計算として線形応答の項を調べました。

それではいよいよ非線形応答について調べてみましょう。ここではもっとも簡単な(とはいってもかなり複雑ですが...)非線形項である2次の項を計算します。

# ２次項のダイヤグラム

![image.png](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/2445529/bcfafc46-e58c-810c-da5d-ed51835d09f0.png)


# 第１項

![image.png](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/2445529/9cfd7a86-6402-73c3-380d-e9c188dae4f6.png)

出力部$\omega$の選び方が3通りあることに注意すると

```math
(A) = -3i\omega\frac{i^3}{6\omega\omega_1\omega_2} \sum_a \int d\mathbf{k} \int d\omega' h^{\mu\alpha\beta}_{aa}(\mathbf{k}) G_a(\omega',\mathbf{k})) \\
= -\frac{1}{2\omega_1\omega_2} \sum_a \int d\mathbf{k} h^{\mu\alpha\beta}_{aa}(\mathbf{k}) f(E_a(\mathbf{k}))
```
# 第２項

![image.png](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/2445529/c0818283-bcde-3a64-1aef-a8ba4725f5b4.png)

出力部の選び方が２通りあるので

```math
(B) = -2i\omega \frac{i^3}{2\omega\omega_1\omega_2} \sum_{a,b} \int d\mathbf{k} h^\alpha_{ab}(\mathbf{k}) h^{\mu\beta}_{ba}(\mathbf{k}) \int d\omega' G_a(\omega',\mathbf{k})G_b(\omega'+\omega_1,\mathbf{k}) \\
= - \frac{1}{\omega_1\omega_2}  \sum_{a,b} \int d\mathbf{k} h^\alpha_{ab}(\mathbf{k}) h^{\mu\beta}_{ba}(\mathbf{k}) \int d\omega' G_a(\omega',\mathbf{k})G_b(\omega'+\omega_1,\mathbf{k}) \\
= - \frac{1}{\omega_1\omega_2}  \sum_{a,b} \int d\mathbf{k} h^\alpha_{ab}(\mathbf{k}) h^{\mu\beta}_{ba}(\mathbf{k}) \frac{ f(E_a(\mathbf{k})) - f(E_b(\mathbf{k}))}{ E_a(\mathbf{k}) - E_b(\mathbf{k}) + \omega_1 + i\delta}
```

# 第３項

$\omega_{12} = \omega_1 + \omega_2$として
![image.png](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/2445529/41781477-0192-3b6b-2783-5f18697922dc.png)


出力部は１か所に決まっているので
```math
(C) = -i\omega \frac{i^3}{2\omega\omega_1\omega_2} \sum_{a,b} \int d\mathbf{k} h^{\beta\alpha}_{ab}(\mathbf{k}) h^\mu_{ba}(\mathbf{k}) \int d\omega' G_a(\omega',\mathbf{k})G_b(\omega'+\omega_{12},\mathbf{k}) \\
= -\frac{1}{2\omega_1\omega_2} \sum_{a,b} \int d\mathbf{k} h^{\beta\alpha}_{ab}(\mathbf{k}) h^\mu_{ba}(\mathbf{k}) \frac{ f(E_a(\mathbf{k})) - f(E_b(\mathbf{k}))}{ E_a(\mathbf{k}) - E_b(\mathbf{k}) + \omega_1 +\omega_2 + i\delta}
```

# 第４項

![image.png](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/2445529/d94a0895-0ad6-35a1-6d6b-432335cb1887.png)

これも出力部は１か所に決まっている。
```math
(D) = -i\omega \frac{i^3}{\omega\omega_1\omega_2} \sum_{a,b,c} \int d\mathbf{k} h^\mu_{ca}(\mathbf{k})h^\alpha_{ab}(\mathbf{k})h^\beta_{bc}(\mathbf{k}) \int d\omega' G_a(\omega',\mathbf{k})G_b(\omega'+\omega_1,\mathbf{k})G_c(\omega'+\omega_{12},\mathbf{k}) \\
= - \frac{1}{\omega_1\omega_2} \sum_{a,b,c} \int d\mathbf{k} h^\mu_{ca}(\mathbf{k})h^\alpha_{ab}(\mathbf{k})h^\beta_{bc}(\mathbf{k}) I^{(3)}_{abc}(\omega_1,\omega_2;\mathbf{k})
```

したがって、

```math
(D) = - \frac{1}{\omega_1\omega_2} \sum_{a,b,c} \int d\mathbf{k} h^\mu_{ca}(\mathbf{k})h^\alpha_{ab}(\mathbf{k})h^\beta_{bc}(\mathbf{k}) \frac{ (f_c(\mathbf{k}) - f_b(\mathbf{k}) )( E_a(\mathbf{k}) - E_b(\mathbf{k}) + \omega_1 + i\delta) + (f_a(\mathbf{k}) - f_b(\mathbf{k}) )( E_b(\mathbf{k}) - E_c(\mathbf{k}) + \omega_2 + i\delta) }{ ( E_a(\mathbf{k}) - E_b(\mathbf{k})  + \omega_1 + i\delta )( E_b(\mathbf{k}) - E_c(\mathbf{k}) + \omega_2 + i\delta)( E_a(\mathbf{k}) - E_c(\mathbf{k}) + \omega_{12} + i\delta ) }
```

# 全体の式

残りの項は(A)-(D)で$\alpha,\omega_1$と$\beta,\omega_2$の添え字のペアを交換したものになります。以上の結果をまとめて書きます。

まず、以下の積分値を次のように置きます。

```math
I^{(2)}_{ab}(\omega;\mathbf{k}) = \int d\omega' G_a(\omega',\mathbf{k})G_b(\omega'+\omega,\mathbf{k})
= \frac{ f(E_a(\mathbf{k})) - f(E_b(\mathbf{k}))}{ E_a(\mathbf{k}) - E_b(\mathbf{k}) + \omega + i\delta} \\

I^{(3)}_{abc}(\omega_1,\omega_2;\mathbf{k}) = \frac{ I^{(2)}_{ab}(\omega_1;\mathbf{k}) + I^{(2)}_{cb}(\omega_2;\mathbf{k}) }{ E_a(\mathbf{k}) - E_c(\mathbf{k}) + \omega_1 + \omega_2 + i\delta } 
```

また、$\otimes$ノードでのエネルギー保存から(A)~(D)のそれぞれで$\omega=\omega_1+\omega_2$の制約が発生します。

これを使うと

```math
\sigma^{\mu\alpha\beta}(\omega=\omega_1+\omega_2;\omega_1,\omega_2) = (A)+(B)+(C)+(D) + [ (\alpha,\omega_1) \leftrightarrow (\beta,\omega_2) ] \\
= -\frac{1}{\omega_1\omega_2} \int d\mathbf{k} \left[ 
\frac{1}{2}\sum_a  [ h^{\mu\alpha\beta}_{aa}(\mathbf{k}) + h^{\mu\beta\alpha}_{aa}(\mathbf{k}) ] f(E_a(\mathbf{k})) \\

+ \sum_{a,b} \left\{ h^\beta_{ab}(\mathbf{k}) h^{\mu\alpha}_{ba}(\mathbf{k}) I^{(2)}_{ab}(\omega_2;\mathbf{k}) +  h^\alpha_{ab}(\mathbf{k}) h^{\mu\beta}_{ba}(\mathbf{k}) I^{(2)}_{ab}(\omega_1;\mathbf{k}) \right\} \\

+ \frac{1}{2} \sum_{a,b} [ h^{\beta\alpha}_{ab}(\mathbf{k}) + h^{\alpha\beta}_{ab}(\mathbf{k}) ] h^\mu_{ba}(\mathbf{k}) I^{(2)}_{ab}(\omega_1+\omega_2;\mathbf{k})
+ \sum_{a,b,c} \left\{ h^\mu_{ca}(\mathbf{k})h^\alpha_{ab}(\mathbf{k})h^\beta_{bc}(\mathbf{k}) I^{(3)}_{abc}(\omega_1,\omega_2;\mathbf{k}) \\
+  h^\mu_{ca}(\mathbf{k})h^\beta_{ab}(\mathbf{k})h^\alpha_{bc}(\mathbf{k}) I^{(3)}_{abc}(\omega_2,\omega_1;\mathbf{k}) \right\} 
\right]
```

となります。

# 参考文献
- https://journals.aps.org/prb/abstract/10.1103/PhysRevB.99.045121