7.1 (標準) 尤度比検定1，ワルド検定1，スコア検定1

## 方針

メジャーな検定方法を確認しておく．

- 正規分布からの標本
  - 平均muの検定→分散既知 or 分散未知
  - 平均muの差の検定→分散既知 or 分散未知 (いずれも等分散を仮定)
  - 分散sigma^2の差の検定→二標本F検定
- 一般の分布からの標本
  - 標本平均の漸近正規性の利用
  - 尤度比検定
  - 最尤推定量の漸近正規性の利用→ワルド検定，スコア検定

### 正規母集団の平均muの検定 (分散既知)

![知ったこと-85.jpg](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/1702786/dea02087-6d1e-61a3-bc52-0288bba4a240.jpeg)

### 正規母集団の平均muの検定 (分散未知)

sigmaが未知である時，sigmaの一致推定量である不偏分散Vを利用する．Vで割るとt分布になる理由は5.2で解説した．

![知ったこと-86.jpg](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/1702786/66803c16-b33a-65ad-2f82-f70a5d0e81b6.jpeg)

### 正規母集団の平均muの差の検定 (等分散を仮定)

分散未知の場合は，sigmaの推定量を5.2で確認した事実を利用して導出する．

![知ったこと-87.jpg](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/1702786/eda4649b-685f-e695-9e09-a84effd9b71d.jpeg)![知ったこと-88.jpg](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/1702786/ac68d0d0-30d4-5ce5-2571-ab261e706f9b.jpeg)

### 正規母集団の分散sigma^2の差の検定

正規母集団の平均muの差の検定では，等分散を仮定した．この検定をする前に，二つの母集団の分散が等しいかどうかを検定する．そのために，まずはF分布を導出する．F分布は5.4で扱った．F分布は「カイ二乗分布に従う二つの変数の比が従う分布」である．なおF分布は第二種ベータ分布という「ガンマ分布に従う二つの変数の比が従う分布」の応用版なのでそこから導出する．4.14で二つのガンマ分布の変数変換からベータ分布を導出したことも使う．

![知ったこと-89.jpg](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/1702786/bf830565-8c97-22b4-39a3-8e9e6fc29e01.jpeg)
![知ったこと-90.jpg](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/1702786/d685bf8d-5a6b-0986-88eb-9272c42d251d.jpeg)

検定の話に戻る．二つの正規母集団からそれぞれ標本分散が得られたとすると，帰無仮説のもとでその比はF 分布に従う．

![知ったこと-91.jpg](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/1702786/d2956d63-3148-eda5-ff3c-b5ec04cf2af5.jpeg)

### 標本平均の漸近正規性の利用

検定統計量が標本平均の形である場合，CLTによって，正規母集団に関する検定を適用できる場合がある．分散既知かどうかは帰無仮説による．

![知ったこと-94.jpg](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/1702786/d93689c1-948c-30b6-e8f2-be533a2fe675.jpeg)

### 尤度比検定

尤度比検定は，一般の母集団分布からの標本に対して実施できる検定である．

![知ったこと-95.jpg](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/1702786/1dead127-e1e1-b105-ad10-8329e4f9aab0.jpeg)

特殊ケースから考えればわかりやすい．帰無仮説のもとでの尤度と，最尤推定したパラメータのもとでの尤度の比を検定統計量とする．次に，この特殊ケースにおいて，棄却のための定数cをどのように決めるのかについて説明する．実は，CRTSは分布収束する．

![知ったこと-96.jpg](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/1702786/85364a56-0711-ac03-985a-7beb1757730d.jpeg)
![知ったこと-97.jpg](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/1702786/ba34a8b7-1476-4a60-9d12-c85ccb8c8466.jpeg)

確率有界とかは正直なんとなくしか分かってない．覚えにくい形ではあるが，テイラー展開の二次の項であることを抑えておけば良い．


### 最尤推定量の漸近正規性を利用した検定

6.14で確認した事実を利用する．スコア検定では分散を帰無仮説のもとで既知とし，ワルド検定では分散の一致推定量を使う．

![知ったこと-98.jpg](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/1702786/6650d046-d362-17f0-9ae7-a69c384a4574.jpeg)

### 本問について

以上で大体の検定は網羅した．本問では，上記のうち尤度比検定，ワルド検定，スコア検定を求める．

## 答案

![7.-2.jpg](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/1702786/88090ae4-76b8-2bf2-8ab5-4aebeb89e2a1.jpeg)
![7.-3.jpg](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/1702786/890cf5b7-1c1e-ac13-9f22-d8eaea93a7d1.jpeg)
![7.-4.jpg](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/1702786/4e818179-af08-c1cb-73cc-00893d1b40dc.jpeg)
![7.-5.jpg](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/1702786/0a9d7235-53a3-41f6-2280-78652b55f329.jpeg)

## 参考文献

- 『[現代数理統計学の基礎](https://www.kyoritsu-pub.co.jp/bookdetail/9784320111660)』(久保川達也　著)