佐武の『線型代数学』学習メモ

# これは何?

佐武一郎先生の『線型代数学』という良書があります．基礎からテンソルまで，また，群論的な内容やLie代数的な位相につながるフレーバーも散りばめられた，初学者には難し目の本だと思います．

https://www.amazon.co.jp/dp/4785313161

[![image.png](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/51055/61389617-f275-7bf2-a7a7-917ded0f1c88.png)](https://www.amazon.co.jp/dp/4785313161)

私は「[からすま数理](https://karasuma-math.connpass.com/)」というグループの毎週日曜朝の輪読会でコツコツ読み進めています．内容を図や表で説明することが好きなので，自分の手書きメモを公開します．内容的に説明が少なく，メモのみで分かるのは難しいと思いますが，せっかく書き溜めているので公開します．

この本を勉強している方の何かの参考になると嬉しいです．[からすま数理](https://karasuma-math.connpass.com/)，線形代数チャネルの Gaku Takaragi さんと sy_eng さんに感謝します．


# 第II章 行列式

## p.81-82 偏微分の Jacobian

![佐武p82.jpeg](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/51055/ee0f8790-dc05-799f-a149-c25d0913b335.jpeg)

## p.82-83 巡回行列

離散フーリエ展開と同じ式が現れます．

![D0241363-6F7B-4B5D-80BE-1980083BAEBE_1_102_a.jpeg](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/51055/e5e3d3c3-502a-aea7-a74e-b1b6a8dfa6c0.jpeg)

巡回行列の線形結合として表現できます．

![佐武p82-巡回.jpeg](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/51055/59ef6ae8-6fdd-aecf-329e-6cf935acffcb.jpeg)

![佐武p83-巡回.jpeg](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/51055/7a14fb25-646e-6c41-927b-82b33fe4e290.jpeg)

# 第III章 ベクトル空間

## p.94 基底の数の一意性

別証を行列表示

![74DDD237-F36B-45B7-ACD7-C50C07F0CDCD_1_201_a.jpeg](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/51055/f1abf0e9-58da-4f3c-32b5-d3d7e003c045.jpeg)

## p.97 系　Gram の行列式

![18347D37-A907-4A5B-AECE-BF0EE1A85C6D_1_102_a.jpeg](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/51055/cde9c71f-7dbe-5a3d-0c19-46957eaf728d.jpeg)

## p.112　定理9 次元定理

![Satake p112.png](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/51055/f198777a-c649-840a-bb9f-316ee673909b.png)
いわゆる「次元定理」とか「線型代数学の基本定理」といわれています．Strang 先生の本を元に解説した記事もあります．

https://qiita.com/kenjihiranabe/items/eadbcae5402d89660e65?=2

# 第IV章　行列の標準化

## p.144 例3 冪零行列から基底を作る

![佐武冪乗p144.png](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/51055/d0935f9b-b3bd-916e-412f-86babd875cdf.png)


## p.145 問4 最小多項式とブロック行列

$\phi_A$は$A$の最小多項式です．$A$が$A_1, A_2$に対角ブロック分解されたときに， $\phi_A$ は， $\phi_{A_1}$と$\phi_{A_2}$ の最小公倍式であることを示します．

![佐武p145-問4.png](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/51055/df80eedc-59b1-c831-3447-f8f73cbed875.png)

## p.147-152 例4 固有多項式/最小多項式と，固有値の重解の関係

![佐武p146-150.png](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/51055/4731408f-2d14-a0e0-4656-fd0523dae89c.png)

## p.150 補題1-定理2 固有多項式・最小多項式，中国剰余定理

![satake-p.150.png](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/51055/c6e7dc40-6fb1-95a8-0cac-04bd6b70f835.png)

いわゆる中国剰余定理およびベズーの定理（互いに素な多項式は，線型結合を使って「1」を作ることができる）を使って，広義の固有空間（A-不変な部分空間）にVをに分割できることを，射影子の存在を持って示しています．

和に分解された多項式は，それぞれの広義固有空間への「射影子」となります（射影子と広義の固有空間は，双対関係にあります）．射影子を使って広義固有空間への分割を言うという論法です．

Steven Roman 先生は，「Resolution of Identity」と言う言葉で "単位行列を独立した射影の和に分解する（Vを充満する直和）" という性質としています．

```math
P_1+P_2 + \ldots +P_n = I \quad \text{(resolution of identity=充満条件)}\\
P_i P_j = 0 \quad (i \ne j)  \quad \text{(直和条件)}\\
P_i^2=P_i \quad \text{(for all i)} \quad \text{(射影：上記2つから従う)}

```


## p.151 冪零行列のブロック三角化（広義固有空間の不変ブロック）

![佐武p151.png](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/51055/a0b6b667-9ae7-bcfb-91da-5748dc43f1e2.png)

## p.152 例1 任意のn次正方行列Aは，可換な準単純Sと冪零Nの和 - A=S+N

ここでは，「相似関係による同値類」と「交換可能性による同値類」の2軸で行列を分類できることを示している．
さらに， $A=S+N$ という分解が一意にできる（S: 準単純=対角化可能， N: 冪零)
 
![佐武p152.png](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/51055/091b79cb-e825-6888-b389-a6f429b3c56f.png)

![佐武Pl52-2.png](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/51055/8e4fece9-ab12-7e56-e2b1-76e19fb4e9d4.png)


## p.154 問1 射影と広義固有空間

実際の行列 $A$ を例にして，固有方程式から広義固有空間への射影行列を求めています．また，その射影行列を使って $A=S+N$ と和の Jordan 分解をしています．

![佐武p154.png](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/51055/ec182eba-25c7-1c2c-121f-7f273d28e4f2.png)

## p.157,8 Jordan 分解の実例

上の行列 $A$ を例にして，冪零行列 $N=A-S$ の構造を見ています．

![佐武p156-2.png](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/51055/ace28714-0838-f74f-3f09-97c845e1b3a9.png)

## p.157 問4

![佐武p157-問４-p311答.png](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/51055/95ac60ef-8cef-10d3-f3ea-3bd60fa73a99.png)

## p.157 Jordan 標準形（和の表示と積の表示)

![佐武Jordan-p157.png](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/51055/b43bbf8b-5ed7-4193-b0f5-778fff02994a.png)

additive（和形式） と multiplicative（積形式） の両方で Jordan 標準形を表現．
どちらも， A を S(準単純=対角化可能)部分と N(冪零）部分に分解．SもNもAの多項式で表現でき，積可換である．
冪零部分(N) が分解の形を決める．

## p.157 Jordan 標準形(広義の固有空間の分解イメージと例)

![佐武Jordan-p157-2.png](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/51055/b108fc4e-6e09-5beb-4c69-24405acae99c.png)

## p.164 エルミートと歪エルミート
![佐武p164-4.jpg](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/51055/a22b145f-6cd1-d286-03fe-afed8bf037b1.jpeg)

## p.169 正値対称行列の転置による積分解と2次形式(Sylvesterの慣性法則)

![佐武p169.jpg](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/51055/ecba7821-c415-bb5e-1d9d-052d922fb709.jpeg)

![佐武p169-2.png](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/51055/7b06da5f-fd0c-b871-654a-b4a4515baba4.png)


## p.176 数(実数/虚数/複素数)と正則行列（特に正規行列）の類似対応

![佐武p176-8.jpg](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/51055/4f07cc8f-624b-1d12-ff6c-dba95a76efaa.jpeg)

## p.177 正方行列の分類と固有値

![佐武p177-15.jpg](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/51055/9c8fad69-33b0-024e-7966-706243ac06e5.jpeg)

## p.180 問10 実数行列の固有値の個数（Sylvester標準形）

![佐武p180.jpg](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/51055/6b95dcf9-9e96-057d-1df5-32b95ffd176a.jpeg)

 ![佐竹p180-2.png](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/51055/7b4e0104-10a6-1e3b-1dc6-54a1ffe57161.png)

## p.181 鏡映写像

![佐武p181鏡映.png](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/51055/514565b5-2621-bf86-0e95-a0dc2dea412b.png)

## p.183 例 Cayley 変換 

![佐武p183-22.jpg](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/51055/aa0ca7d8-afe8-8f66-035a-930bd72bb57f.jpeg)



## p.186 O(n)/SO(n)，GL(n,R)/O(n) の傍系分解と対称群

 ![佐竹p186.png](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/51055/376df109-92ed-1a6c-26f9-46b0633f5c1f.png)

![佐武pl86-34.jpg](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/51055/19fc1f0b-d46c-d7d3-3a03-2dd382fc1fd8.jpeg)

## p.191 研究課題1(実数体以外の2次形式)

![佐武p191-35.jpg](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/51055/6f85b17c-8b3f-c39b-c6ac-f5a02a16e402.jpeg)
![佐武p191-2-36.jpg](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/51055/1d943205-ff0c-6dc2-e5a4-1b3a5cc60f7f.jpeg)
![佐武p191-3-37.jpg](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/51055/6c00b7d5-9dae-e176-1d81-6a2d459f55e5.jpeg)

## p.197 直交群のLie環

![佐武p197-Lie-52.jpg](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/51055/30e71ea7-867f-4914-059f-237a49333c29.jpeg)

# 第V章 テンソル代数 

## p.202 双対空間

![佐武p202-双対-1-55.jpg](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/51055/b1eabf98-92f2-dcec-1a2a-69d630af7abd.jpeg)

## p.202-203 双対空間と双対性を表す内積

![佐武p202-双対-2-56.jpg](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/51055/e3d5bc2d-f7c7-5937-d293-163b249f6c4f.jpeg)

## p.202 双対空間，例示

![佐武p202双対計算-54.jpg](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/51055/989e73c7-5377-81b7-8fa8-186ad4e75c1c.jpeg)

## p.203 双対空間，再度簡略可視化と例1

![佐武p203-61.jpg](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/51055/0106dbab-d726-901d-499e-fd14770946a8.jpeg)

![佐武p203ー例-62.jpg](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/51055/01d7749f-b2b6-d366-3fbf-7ade61b554f7.jpeg)

## p.204 双対空間における直交空間

![佐武p.204-双対の補空間.png](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/51055/47fa990f-09a0-c164-e3d1-eae15c096a6c.png)

```math
W^\perp = \{ f \in V^* ; <f,x> = 0 \quad \text{for all x} \in W \}
```

ここでの， $W^\perp$ は双対空間に存在します．[Steven Roman 先生が annihilator と呼んでいるもの](https://youtu.be/wblOqEYpCyo) ($W^0$ と書く) を指していると思います．

## p.205 剰余類空間（商空間）

何度出てきても混乱する概念．整数の剰余との類似で覚えている．
商空間は「補空間の元が集合になる」というのが混乱する元なんだと思う．しかも，法となる部分空間に対して，その補空間を１つ決めるとその補空間の元が代表元になるのだが，補空間の取り方に自由度がある．図で言うと，z軸にとってもよいし，法線方向にとってもよい．

![佐武p205.jpg](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/51055/cedd3971-0516-71a7-6d7e-6268f0b76bb5.jpeg)

注意点として，

- 各同値類自体は，$V$の部分空間ではない！(最初の$W$のみが原点を含む部分空間)
- しかし，各同値類は商空間　$V/W$の元である．
- 商空間の元は「ベクトルの集合（同値類）」である
- 商空間はベクトル空間である．

最近，Steven Roman 先生の動画を見ていて，部分空間S(Subspace)に対して，各剰余類の代表元をすべて含むSの補空間TをTransversal と呼び，$V=S+T$ と直和分解することができる．

これを基礎に Vを格子に区切ると,群論のラグランジュの定理（Vの位数＝Sの標数*Sの位数)の類似(もしくはそのもの)となっていることに気づきました．

## p.206 双対写像

ここは本当に難しい，，， Steven Roman 先生の動画を補助的に見ている． $^t\phi$ を "put $\phi$ first" と読み下して，引数である線形形式$f$に対して，$\phi$を掛けてから$f$を掛ける写像" という風に$f$を変換する，としている（直感的で覚えやすい）．

![佐武p206-78.jpg](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/51055/a1e7fb91-0e8a-d602-e3dd-e0cb041d8bc6.jpeg)

## p.207 双一次形式

![佐武p.207-双一次-93.jpg](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/51055/ec673db9-2766-06f7-2ffb-0d0eb2200269.jpeg)

$B(x, y)$ の定義です． $x, y$ の両方について線形になる（一方を止めると一次函数）．

## p.207-208 双一次形式

ここは特に苦労しました．

![佐武p207-208双一次-94.jpg](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/51055/0cdbe286-53b9-a2bc-1647-7147057bfe84.jpeg)

2つの $B$ が出てきて，一方は双一次形式であり，他方は $V'$ から $V^*$ への写像である．
それぞれの「行列」は，

- 前者: $B(e_i, e_j')$ を $(i,j)$要素に持つ「$B$の行列」
- 後者: $e_i', f_i$($e_i$ の双対基底)を底とする変換$B: V' \rightarrow V^*$の表現行列

で，それらが等しいと言っている．

## p.212 一次写像の空間

ずっと，双対空間，双一次形式，と進んで，ついにテンソルが定義された．
うまく定義でき，その定義が一意である（カノニカルである）ことまで来た．

次に，一次写像全体 $V \rightarrow V'$ のなす空間 $\mathscr{L}(V,V') $　を $f\in{V^*}$ と $x' \in{V'}$ についてパラメータ化して， その元を $\phi_{x',f}:  x \mapsto  \<f,x\>x'$ としている．そして，これがテンソル積であると．

## p.213 例1 行列のテンソル積

ずっと難しい状態が続いています．用語と繋がりだけ整理．


![佐武p213-行列のテンソル積-102.jpg](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/51055/09fba48c-bbd1-6c41-b713-927c89ea9088.jpeg)

- $V \rightarrow V'$ のなす空間 $\mathscr{L}(V,V') $
- $W \rightarrow W'$ のなす空間 $\mathscr{L}(W,W') $

から，

- $\mathscr{L}(V,V') \otimes \mathscr{L}(W,W') $

を考え，普遍性から示しています．

- $\mathscr{L}(V,V') \otimes \mathscr{L}(W,W') = \mathscr{L}(V \otimes W, 
V' \otimes W')$

これを使って， 行列のテンソル積，$A \otimes B$ を定義します．

## p.214 問3 テンソル積の行列式の値

数式を追うのが辛いので，具体で攻めてみた．なるほどなるほど．

![佐武p214問3-107.jpg](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/51055/2cc02fe6-8266-8b4e-7c40-0fbe3e15178c.jpeg)

## p.202 テンソルの定義

テンソルの途中で迷子になってしまったので，再度，テンソルの定義に戻る．
まず，これが定義． 写像 $\Phi(x,y)$ はこの後で $x \otimes y$ と正式に認識される過程を踏む．
![佐武p202テンソル定義-1-128.jpg](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/51055/c226f5e6-a99a-ae0f-e036-30687e54920c.jpeg)

この定義の下の補題．$\Phi(e_i,f_j)$が $T$ の基底になることと，定義の(T1),(T2)の同値性．
まずは，十分性より．
![佐武p202テンソル定義-2-129.jpg](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/51055/1f5b1548-d930-b802-23ea-ee1b2beabd41.jpeg)

証明の式を正確に追いたかったので，行列表記をして，$i,j,k,r$の大きさと整合性をチェックしている．
![佐武p202テンソル定義-3-130.jpg](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/51055/6996b25f-942b-0c52-18ed-770141155944.jpeg)

次に必要性．ここも教科書の記述をトレースしながら，言葉を補った．
![佐武p202テンソル定義-4-131.jpg](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/51055/a5bb883b-3dab-1f58-e2f3-0d1d7f6b785f.jpeg)

ふぅ．難しい．

## p.213　一次写像の空間

少し前戻りしました。一次写像 $\mathscr{L}(V,V')　= V' \otimes V^*$ を示した後で、このことに慣れる問題です。

$\quad \phi_{x\prime,f} : V \ni x \quad \rightarrow \quad \<f,x\>x' \in V' $

$V$の双対空間の元と、$V'$を使って写像を定義できる、という話です。$x$ から、$\lt f,x \gt$でスカラーに落とし、それを、$V'$の元 $x'$の方向倍率とします。理解のための練習演算。

![綿形代数-140.jpeg](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/51055/411fd7ec-3002-1022-a50c-23b2c53679b9.jpeg)

![綿形代数-141.jpeg](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/51055/c3af4982-acb1-2f2d-3b81-a90fc1cd242a.jpeg)





（以下，順次追加していきます）