picoCTF2022 Very Smooth 日本語Writeup

# 問題概要
![image.png](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/608348/74ece73e-8b44-eacf-07de-eb46b5c4d3dc.png)
RSA暗号には巨大素数を2つ使うが、この問題では素数の選び方が危険である。
それを利用して、素数を2つ求める問題である。

# 解法
## 素因数分解
n = 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
さて、普通に計算すれば到底素因数分解できなさそうな数である。
そこでヒントを見てみよう。

>Don't look at me... Go ask Mr. Pollard if you need a hint!

そこで、以下のアルゴリズムを見つけた。
![image.png](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/608348/51a1d406-d628-e7a3-af7e-67dc93c2c891.png)
出典: https://montoguequiz.com/electrical/rsa-public-key-pollard-algorithm/ (2022/4/1アクセス)

このアルゴリズムによって素因数分解をするスクリプトを以下に示す。
```python
import gmpy2
n = gmpy2.mpz(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)


# https://montoguequiz.com/electrical/rsa-public-key-pollard-algorithm/
alpha = 2
beta = 2
while True:
    alpha = pow(alpha, beta, n)
    d = gmpy2.gcd(alpha - 1, n)
    if 1 < d and d < n:
        print(d)
        break
    else:
        beta += 1
```

上記のスクリプトにより、p = 177529604771775811447794627528898905563608127308618713400260159684003628121897638346581772088147960905570447556763891720452738611287634839201158386379116429397697859892035253074680507674006763427672353958542251411700851999453703543179036524728177137039687762641769500501195739670681098180171316381127270595227を得た。
この情報により、平文を求める

## RSA暗号解読
以下のスクリプトによって解読することができた。
```python
from Crypto.Util.number import *

n = 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
c = 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
p = 177529604771775811447794627528898905563608127308618713400260159684003628121897638346581772088147960905570447556763891720452738611287634839201158386379116429397697859892035253074680507674006763427672353958542251411700851999453703543179036524728177137039687762641769500501195739670681098180171316381127270595227
e = 0x10001


q = n // p

phi = (p - 1) * (q - 1)
d = pow(e, -1, phi)
m = pow(c, d, n)

print(long_to_bytes(m).decode())
```

# 使用ライブラリ
- pycryptodome
- gmpy2