2Dセグメント木

各ノードのセグ木を実際に使用するマス数だけに節約してしまい、 補助的なデータ構造として、マスの対応関係を保存しておけば、 実装の工夫なしの場合と同じことが出来ることになる。

マスの対応関係というワンクッションがあるために、 二分探索が都度必要になる。

一番下の段(1,2...n)はx座標が共通な要素のy座標の集合

その上の段は下の二つの集合のすべての要素を代入したものである

```c++

#pragma GCC optimize ("-O3")
void _main(); int main() { cin.tie(0); ios::sync_with_stdio(false); _main(); }
#define def 0
using V = ll;
V comp(V& l, V& r) { return l + r; };

struct SegTree { //[l,r)の総和
    int NV;//木の大きさ
    vector<V> val;//値が入る

    void init(int n) {//初期化
        NV = 1;
        while (NV < n) NV *= 2;
        val = vector<V>(NV * 2, def);
    }
    //x,y:求めたい範囲、k:注目する場所(最初は0)、[l,r):範囲
    V get(int x, int y, int l, int r, int k) {
        if (r <= x || y <= l) return def; //範囲外なら0
        if (x <= l && r <= y)return val[k];//範囲内なら
        auto a = get(x, y, l, (l + r) / 2, k * 2); //下の2つ
        auto b = get(x, y, (l + r) / 2, r, k * 2 + 1); 
        return comp(a, b);//足し算
    }
    V get(int x, int y) { return get(x, y, 0, NV, 1); }//最初に使う

    void update(int i, V v)//i番目に値v
    {
        i += NV; //下の段に合わせる
        val[i] = v; //値を代入
        while (i > 1)i >>= 1, //代入した上の部分を更新
            val[i] = comp(val[i * 2], val[i * 2 + 1]); 
    }

    //i番目にvを足す
    void add(int i, V v) { update(i, val[i + NV] + v); }

    //x番目の値を習得
    V operator[](int x) { return get(x, x + 1); }
};

struct Healthy2DSegTree {//総和を求める
    int NV;
    vector<SegTree> st;//SegTree配列
    vector<vector<int>> index;//値が入る

    void init(vector<vector<int>>& v) {
        int n = v.size();//与えられた値のサイズ
        NV = 1; //作る木のサイズ
        while (NV < n) NV *= 2;
        index.resize(2 * NV);

        rep(i, 0, n)//x座標
        {
            fore(j, v[i]) //各座標xにあるy座標の集合
                index[i + NV].push_back(j);//同じx座標ごとに木を作る
        }

        rrep(i, NV * 2 - 1, 1) {
            sort(index[i].begin(), index[i].end()); //同じx座標ごとにソート

            //重複を消して、それによって空いた部分を削除
            index[i].erase(unique(index[i].begin(), index[i].end()), index[i].end());

            fore(j, index[i]) index[i / 2].push_back(j);//下から上に代入する
        }

        st.resize(2 * NV);//SegTreeを作成
        rep(i, 1, NV * 2) st[i].init(index[i].size());//各x座標で初期化
    }

    void update(int x, int y, V v) {//x座標、y座標、値
        //assert(x < NV);
        x += NV;//一番下の段へ

        while (x) {//座標の場所を探す
            int yy = lower_bound(index[x].begin(), index[x].end(), y) - index[x].begin();//何番目か

            //assert(yy != index[x].size());
            //assert(y == index[x][yy]);
            st[x].update(yy, v);
            x >>= 1;//上に(2D)
        }
    }
    void add(int x, int y, V v) {
        //assert(x < NV);
        x += NV;//一番下の段へ

        while (x) {
            int yy = lower_bound(index[x].begin(), index[x].end(), y) - index[x].begin();// 何番目か
            //assert(yy != index[x].size());
            //assert(y == index[x][yy]);
            st[x].add(yy, v);
            x >>= 1;//上に(2D)
        }
    }
    //[sx,sy]～[tx,ty]の範囲、k:注目する場所(最初は1)、[l,r]:範囲
    V get(int sx, int tx, int sy, int ty, int k, int l, int r) {
        //assert(k < NV * 2);
        //assert(l < r);
        if (r <= sx or tx <= l) return def;//範囲外なら0

        if (sx <= l and r <= tx) {//完全に範囲内なら
            int syy = lower_bound(index[k].begin(), index[k].end(), sy) - index[k].begin();//あるxの集合におけるyの開始点
            int tyy = lower_bound(index[k].begin(), index[k].end(), ty) - index[k].begin();//あるxの集合におけるyの終了点
            //segtree(get関数)
            return st[k].get(syy, tyy);//あるxの集合における[syy～tyy]の総和
        }
        //一部範囲内なら分割
        int md = (l + r) / 2;
        V le = get(sx, tx, sy, ty, k * 2, l, md);//左下
        V ri = get(sx, tx, sy, ty, k * 2 + 1, md, r);//右下
        return comp(le, ri);//和
    }
    //最初に利用
    V get(int sx, int tx, int sy, int ty) {
        return get(sx, tx, sy, ty, 1, 0, NV);
    }
};


int H, W, Q;
vector<vector<int>> query;

void _main() {
    cin >> H >> W >> Q;//H * w(全て0)、クエリ数
    rep(i, 0, Q) {
        int t; cin >> t;
        if (t == 1) {//A[y][x]にvを追加
            int x, y, v; cin >> x >> y >> v;
            query.push_back({ t, x, y, v });
        }
        else {//左上(sx,sy)で右下(tx,ty)の長方形の領域の数の総和
            int sx, sy, tx, ty; cin >> sx >> sy >> tx >> ty;
            query.push_back({ t, sx, sy, tx, ty });
        }
    }

    Healthy2DSegTree st;
    vector<vector<int>> index(W);//頂点座標
    rep(i, 0, Q) {
        if (query[i][0] == 1) {//頂点追加のクエリ
            int x = query[i][1];//x座標
            int y = query[i][2];//y座標
            index[x].push_back(y);
        }
    }
    st.init(index);

    rep(i, 0, Q) {
        if (query[i][0] == 1) {//点追加なら
            int x = query[i][1];
            int y = query[i][2];
            int v = query[i][3];
            st.add(x, y, v);
        }
        else {//範囲内の総和を求めるなら
            int sx = query[i][1];
            int sy = query[i][2];
            int tx = query[i][3];
            int ty = query[i][4];
            ll ans = st.get(sx, tx + 1, sy, ty + 1);
            printf("%lld\n", ans);
        }
    }
}
```
[問題、参考](https://blog.hamayanhamayan.com/entry/2017/12/09/015937)