パスカルの三角形に現れるフラクタル図形（シェルピンスキーのギャスケット）の99%の人が知らないであろう驚くべき現象を発見してしまった。

# 前書き

これを読む人はパスカルの三角形もシェルピンスキーのギャスケットも余裕で知っていると思うので説明しない。

知らない人は以下を参考

http://www.synapse.ne.jp/~dozono/math/anime/pascal/pascal.htm

https://note.com/mathchannel/n/n0230660c7ede

# 言葉の定義

以下のリンク先の図形を「法2のギャスケット」もしくは「2を法とするギャスケット」と呼ぶことにする。
https://mogamoga1024.github.io/PascalsTriangle/?mod=2&rowCount=512

なお法nのギャスケットはnで割りきれない箇所を黒で塗りつぶしている。

# 気づいたこと

次のギャスケットに法則性が存在する可能性を発見した。（既知かは知らない）（自分は未証明）

1. 素数pを法とするギャスケット
1. 素数pのn乗を法とするギャスケット
1. 合成数を法とするギャスケット

# 1. 素数pを法とするギャスケット

## 法2のギャスケット

<img width=600 src="https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/649673/ed5d5fec-960c-0e7e-7f69-f409663b1aa1.png">

[https://mogamoga1024.github.io/PascalsTriangle/?mod=2&rowCount=512](https://mogamoga1024.github.io/PascalsTriangle/?mod=2&rowCount=512)

## 法3のギャスケット

<img width=600 src="https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/649673/30919e41-b6e6-9287-aa75-9a3515430623.png">

[https://mogamoga1024.github.io/PascalsTriangle/?mod=3&rowCount=729](https://mogamoga1024.github.io/PascalsTriangle/?mod=3&rowCount=729)

## 法5のギャスケット

<img width=600 src="https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/649673/174b4e3d-7991-9405-1077-6da40a115060.png">

[https://mogamoga1024.github.io/PascalsTriangle/?mod=5&rowCount=625](https://mogamoga1024.github.io/PascalsTriangle/?mod=5&rowCount=625)

## 定義

次のように定義する。

<img width=600 src="https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/649673/d111e5f1-d8dd-6c3d-5c80-f7932e78e980.png">

<img width=600 src="https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/649673/62ae41d0-fbcd-0502-d159-4aa433cf6b6c.png">

<img width=800 src="https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/649673/5c6871dd-ebc0-991c-b50a-2406f50e5564.png">

## 予想

次の式が成立すると考えられる。
関数fはx回の再帰的な構造を持つ法pのギャスケットを表す。

<img width=400 src="https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/649673/c60a49ec-e2df-8eb4-20a2-66333d5ca716.png">

<img width=800 src="https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/649673/5f366af6-9739-545b-3235-3baf294ffe65.png">

# 2. 素数pのn乗を法とするギャスケット

## 法2^2のギャスケット

<img width=600 src="https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/649673/f6173309-27ad-30a3-51f5-592c4f48d273.png">

[https://mogamoga1024.github.io/PascalsTriangle/?mod=4&rowCount=512](https://mogamoga1024.github.io/PascalsTriangle/?mod=4&rowCount=512)

## 法2^3のギャスケット

<img width=600 src="https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/649673/9390b979-aed1-4e3c-38ca-0b1873f0ff56.png">

[https://mogamoga1024.github.io/PascalsTriangle/?mod=8&rowCount=512](https://mogamoga1024.github.io/PascalsTriangle/?mod=8&rowCount=512)

## 法3^2のギャスケット

<img width=600 src="https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/649673/9984d9e3-f112-e56a-08e9-b2d0498c4a36.png">

[https://mogamoga1024.github.io/PascalsTriangle/?mod=9&rowCount=729](https://mogamoga1024.github.io/PascalsTriangle/?mod=9&rowCount=729)

## 法3^3のギャスケット

<img width=600 src="https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/649673/09ccbf48-50da-a93f-5524-dc2544cfdc8a.png">

[https://mogamoga1024.github.io/PascalsTriangle/?mod=27&rowCount=729](https://mogamoga1024.github.io/PascalsTriangle/?mod=27&rowCount=729)

## 予想

次の式が成立すると考えられる。
関数fはx回の再帰的な構造を持つ法p^nのギャスケットを表す。

<img width=800 src="https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/649673/91f8d29c-4b41-cac1-6c7c-073f06826f35.png">

# 3. 合成数を法とするギャスケット

## 法6のギャスケット

<img width=600 src="https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/649673/1b1e549b-86ae-7832-c41b-75eae276e7d7.png">

[https://mogamoga1024.github.io/PascalsTriangle/?mod=6&rowCount=729](https://mogamoga1024.github.io/PascalsTriangle/?mod=6&rowCount=729)

## 予想

ある法aのギャスケットがあるとする。
aが次のように素因数分解された場合
$a = p \times q^n \times r ^ m$

法aのギャスケットは
法pのギャスケット、法q^nのギャスケット、法r^mのギャスケットを重ねたものと一致する。

# おまけ

[木](https://mogamoga1024.github.io/PascalsTriangle/?mod=2&rowCount=1&ki=true)
[森](https://mogamoga1024.github.io/PascalsTriangle/?mod=2&rowCount=2&ki=true)
[ジャングル](https://mogamoga1024.github.io/PascalsTriangle/?mod=2&rowCount=4&ki=true)