『スタンフォード ベクトル・行列からはじめる最適化数学』2章章末問題の解答



[スタンフォード ベクトル・行列からはじめる最適化数学](https://amzn.to/3LbI555)
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の演習問題を解いているが解答が本書内にもネット上にもない模様。自分の解答を晒して間違いにツッコミをいただき理解を深めようという試み。

# 第２章
- 問2.1
- (a)

```math
\begin{align} 
f(\alpha x+\beta y)&=\max_k(\alpha x_k+\beta y_k)-\min_k(\alpha x_k+\beta y_k) \\
&=\max_k(\alpha x_k)-\min_k(\alpha x_k) + \max_k(\beta y_k)-\min_k(\beta y_k) \\
&=\alpha f(x)+\beta f(y) \\
よって線形関数 \\
\alpha&=(\dots, 0, \dots, 1, \dots, 0, \dots, -1, \dots, 0, \dots)^{\top} \\
\end{align} \\
最大値を取る要素が１、最小値を取る要素が-1、その他は0
```

- (b)

```math 
\begin{align}
f(\alpha x+\beta y)&=(\alpha x_n+\beta y_n)-(\alpha x_1+\beta y_1) \\
&=\alpha(x_n-x_1)+\beta(y_n-y_1) \\
&=\alpha f(x)+\beta f(y)
よって線形関数 \\
\alpha&=(-1, 0, \dots, 0, 1)^{\top} \\
\end{align}
```

- (c)


```math 
xの中央値をx_{mid}、yの中央値をy_{mid}とすると、 \\
\begin{align}
f(\alpha x+\beta y)&=(\alpha x+\beta y)の中央値 \\
&=\alpha x_{mid}+\beta y_{mid} \\
&=\alpha f(x)+\beta f(y) \\
よって線形関数 \\
\alpha&=(\dots, 0, \dots, 1, \dots, 0, \dots)^{\top} \\
\end{align} \\
中央値を取る要素が1でその他は０
```

- (d)

```math 
\begin{align}
f(\alpha x+\beta y)&=\frac{\alpha x_{2k}+\beta y_{2k}}{k}-\frac{\alpha x_{2k-1}+\beta y_{2k-1}}{k} \\
&=\frac{\alpha (x_{2k}-x_{2k-1})}{k}-\frac{\beta(y_{2k}+\beta y_{2k-1})}{k} \\
&=\alpha f(x)+\beta f(y) \\
よって線形関数 \\
\alpha&=(\frac{1}{k}, \frac{-1}{k}, \dots)^{\top} \\
\end{align} \\
の繰り替えし的なベクトルのはずだがどう表現する？
```

- (e)

```math 
\begin{align}
f(\alpha x+\beta y)&=\alpha x_n+\beta y_n+(\alpha x_n +\beta y_n -\alpha x_{n-1}-\beta y_{n-1}) \\
&=\alpha x_n+(\alpha x_n-\alpha x_{n-1})+\beta y_n+(\beta y_n -\beta y_{n-1}) \\
&=\alpha f(x)+\beta f(y) \\
よって線形関数 \\
\alpha&=(0, \dots, -1, 2)^{\top} \\
\end{align} \\
で良いか？
```

- 問2.2

```math 
\begin{align}
30&=10a_1+10a_2+10a_3+b \\
60&=100a_1+10a_2+10a_3+b \\
70&=10a_1+100a_2+10a_3+b \\
65&=10a_1+10a_2+100a_3+b \\
より、 \\
a_1&=\frac{1}{3} \\
a_2&=\frac{4}{9} \\
a_3&=\frac{7}{18} \\
b&=\frac{55}{3} \\
よって \\
T&=\frac{1}{3}p^{same}+\frac{4}{9}p^{same}+\frac{7}{18}p^{same}+\frac{55}{3}\leq 85   \\
p^{same}&=\frac{400}{7}\simeq57.1
\end{align}
```

- 問2.3
    - よく分からず...
- 問2.4

```math 
ax_1+bx_2+cx_3=d とおくと \\

\begin{equation}
\left\{ \,
    \begin{aligned}
    & \quad a+b\quad =-1 \\
    & -a+b+c=1 \\
    & \quad a-b-c=1 
    \end{aligned}
\right.
\end{equation} \\

第２式と第３式を見比べると矛盾。よって線形にはならない。
```

- 問2.5

```math 
ax_1+bx_2+c=d とおくと \\

\begin{equation}
\left\{ \,
    \begin{aligned}
    & a\quad\quad+c &=1 \\
    & a-2b+c&=2 \\
    \end{aligned}
\right.
\end{equation} \\
より、 \\
```

```math 
\begin{align}
b&=-\frac{1}{2} \\
c&=-a \\
\therefore \psi&=ax_1-\frac{1}{2}x_2-a
\end{align}
```
- 
    - (a)$\psi(1,1)=a+\frac{1}{2}-a=\frac{1}{2}$
    - (b)
        - $\psi(2,-2)=2a+1-a=a+1$
        - aが決まらないのでこの値も決まらない。   
- 問2.6
    - $s=(1,\dots,1,2,\dots,2)^{\top}a+(-1,\dots,-1,-2,\dots,-2)$
- 問2.7

```math 
\begin{align}
f(x)&=f(0)+x_1(f(e_1)-f(0))+\dots+x_n(f(e_n)-f(0)) \\
&=a^{\top}\cdot0+b+x_1(a^{\top}e_1+b-(a^{\top}\cdot0+b))+\dots+x_n(a^{\top}e_n+b-(a^{\top}\cdot0+b)) \\
&=b+x_1a^{top}e_1+\dots+x_n a^{\top}e_n \\
&=b+a_1 x_1+\dots+a_n x_n \\
&=a^{\top}x+b
\end{align}
```

- 問2.8
    - (a)

```math 
\begin{align}
a^{\top}c&=\int_{\alpha}^{\beta}p(x)dx \\
&=\int_{\alpha}^{\beta}(c_1+c_2x+\dots+c_n x^{n-1})dx \\
&=\left[c_1x+\frac{c_2}{2}x^2+\dots+\frac{c_n}{n}x^n \right]_{\alpha}^{\beta} \\
&=c_1(\alpha-\beta)+\frac{c_2}{2}(\alpha-\beta)^2+\dots+\frac{c_n}{n}(\alpha-\beta)^n \\
\therefore a&=(\alpha-\beta, (\alpha-\beta)^2,\dots,(\alpha-\beta)^n)^{\top}
\end{align}
```

-
    - (b)

```math 
\begin{align}
b^{\top}c&=p'(\alpha) \\
p'(\alpha)&=c_２+2c_2\alpha+\dots+(n-1)c_n x^{n-2} \\
\therefore b&=(0, 1, 2\alpha,\dots,(n-1)\alpha^{n-2})^{\top}
\end{align}
```

- 問2.9

```math 
\begin{align}
\hat{f}(x)&=f(z)+\frac{\partial f}{\partial x}(z)(x_1-z_1)+\dots+\frac{\partial f}{\partial x_n}(z)(x_n-z_n) \\
&=1+2x_1 x_2-x_1-x_2 \\
\end{align} \\
\quad \\
x=(1,1)のとき　\\
f(1,1)=1 \\
\hat{f}(1,1)=1 \\
\quad \\
x=(1.05,0.95)のとき \\
f(1.05,0.95)=0.9975 \\
\hat{f}(1.05,0.95)=0.995 \\
\quad \\
x=(-1,2)のとき \\
f(-1,2)=-2 \\
\hat{f}(-1,2)=-4 \\
```

- 問2.10
    - (a)成り立たない
    - (b)成り立つ
    - (c)成り立つ
- 問２.11
    - 特徴xのごく一部しかyに影響しないということ。
- 問2.12

```math 
\begin{align}
\hat{p}&=\beta^{\top}x+p \\
x_i&=\frac{(p_i^{new}-p_i)}{p_i}
\end{align}
```

- 
    - (a)商品$x_3$の新価格$p_3^{new}をもとの価格$p_3$よりも下げると利益が増え、$p_3$よりも上げると利益が減る。
    - (b)$b_i$が最も大きい商品を1%上げる。
    - (c)$b_i$が一番大きい商品と二番目に大きい商品の価格をそれぞれ1%上げる。

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