ガンマ関数の基本性質とその導出

# 0. はじめに
　時間が経つと数学の諸公式の導出を忘れることが多いのでQiitaに書き残してみようと思いました。そうすれば、忘れたときにすぐ参照できるからです。今回はガンマ関数の基本性質に関する公式の導出について書いてみました。

# 目次
[0. はじめに](#0-はじめに)
[1. ガンマ関数とベータ関数](#1-ガンマ関数とベータ関数)
[2. ガンマ関数の基本性質とその導出](#2-ガンマ関数の基本性質とその導出)
[3. 証明中で用いた公式の一覧(証明は省略)](#3-証明中で用いた公式の一覧証明は省略)
[4. 参考文献](#4-参考文献)

# 1. ガンマ関数とベータ関数
　ガンマ関数とベータ関数はそれぞれ次のように定義される関数である。

　ガンマ関数の定義
```math
\Gamma(s)=\int_{0}^{\infty}e^{-x}x^{s-1}dx\qquad(s>0)
```
　ベータ関数の定義
```math
B(p,\:q)=\int_{0}^{1}x^{p-1}(1-x)^{q-1}dx\qquad(p,\:q>0)
```

# 2. ガンマ関数の基本性質とその導出
　さて、ここからが本題である。次の公式を導出してみよう。
### ガンマ関数の基本性質
```math
\Gamma\biggl(\frac{s}{2}\biggl)\Gamma\biggl(\frac{s+1}{2}\biggl)=\Gamma(s)2^{1-s}\sqrt{\pi}\hspace{40pt}(1.1)
```
### 導出(証明)
　ガンマ関数とベータ関数について次のことが知られている。
```math
\begin{align}
\Gamma(p)\Gamma(q)=\Gamma(p+q)B(p,\:q)\hspace{57pt}(1.2)\\\\
\Gamma\biggl(\frac{1}{2}\biggl)=\sqrt{\pi}\hspace{120pt}(1.3)
\end{align}
```
　ここで、$(1.2)$に$p=\frac{s}{2}$, $q=\frac{s}{2}$を代入すると次の式が得られる。
```math
\Gamma\biggl(\frac{s}{2}\biggl)\Gamma\biggl(\frac{s}{2}\biggl)=\Gamma(s)B\biggl(\frac{s}{2},\:\frac{s}{2}\biggl)\hspace{40pt}(1.4)
```
　したがって、$(1.1)$の右辺は次のように式変形される。
```math
\begin{align}
\mbox{(右辺)}&=\Gamma(s)2^{1-s}\sqrt{\pi}\\\\
&=\frac{\Gamma\bigl(\frac{s}{2}\bigl)\Gamma\bigl(\frac{s}{2}\bigl)}{B\bigl(\frac{s}{2},\:\frac{s}{2}\bigl)}2^{1-s}\sqrt{\pi}\hspace{86pt}\mbox{((1.4)により)}\\\\
&=\frac{\Gamma\bigl(\frac{s}{2}\bigl)}{B\bigl(\frac{s}{2},\:\frac{s}{2}\bigl)}\Gamma\biggl(\frac{s}{2}\biggl)\Gamma\biggl(\frac{1}{2}\biggl)2^{1-s}\hspace{48pt}\mbox{((1.3)により)}\\\\
&=\frac{\Gamma\bigl(\frac{s}{2}\bigl)}{B\bigl(\frac{s}{2},\:\frac{s}{2}\bigl)}\Gamma\biggl(\frac{s}{2}+\frac{1}{2}\biggl)B\biggl(\frac{s}{2},\:\frac{1}{2}\biggl)2^{1-s}\quad\mbox{((1.2)を用いた。)}\\\\
&=\Gamma\biggl(\frac{s}{2}\biggl)\Gamma\biggl(\frac{s+1}{2}\biggl)\frac{B\bigl(\frac{s}{2},\:\frac{1}{2}\bigl)}{{B\bigl(\frac{s}{2},\:\frac{s}{2}\bigl)}}2^{1-s}\\
\qquad\mbox{　ここで、}T=B\biggl(\frac{s}{2},\:\frac{s}{2}\biggl)\mbox{と置くと、}\\\\
&=\Gamma\biggl(\frac{s}{2}\biggl)\Gamma\biggl(\frac{s+1}{2}\biggl)\frac{B\bigl(\frac{s}{2},\:\frac{1}{2}\bigl)}{T}\:2^{1-s}\hspace{40pt}(1.5)
\end{align}
```
　次に$(1.5)$の$T\hspace{1pt}$について計算をする。ベータ関数の定義により、
```math
\begin{align}
\hspace{0pt}
T&=B\biggl(\frac{s}{2},\:\frac{s}{2}\biggl)\\\\
&=\int_{0}^{1}x^{\frac{s}{2}-1}(1-x)^{\frac{s}{2}-1}dx\\\\
\end{align}
```
　ここで、$x=\sin^2\theta$と置換すると、$dx=2\sin\theta\cos\theta d\theta$ であるから、
```math
\begin{align}
\hspace{60pt}
&=2\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}(\sin\theta)^{s-1}(\cos\theta)^{s-1}d\theta\\\\
&=2\cdot2^{1-s}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}(2\sin\theta\cos\theta)^{s-1}d\theta\\\\
&=2^{1-s}\cdot2\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}(\sin2\theta)^{s-1}d\theta\\\\
&=2^{1-s}\int_{0}^{\pi}{(\sin t)}^{s-1}dt\qquad\mbox{($t=2\theta$で置換した)}\\\\
&=2^{1-s}\cdot2\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{(\sin t)}^{s-1}dt\\\\
&=2^{1-s}B\biggl(\frac{s}{2},\:\frac{1}{2}\biggl)\\\\
\end{align}
```
　ゆえに、$T\hspace{1pt}$について次のことが成り立つ。
```math
T=2^{1-s}B\biggl(\frac{s}{2},\:\frac{1}{2}\biggl)\hspace{30pt}(1.6)
```
　$(1.5)$と$(1.6)$により、$(1.1)$の右辺は次のように式変形される。
```math
\begin{align}
\Gamma(s)2^{1-s}\sqrt{\pi}&=\Gamma\biggl(\frac{s}{2}\biggl)\Gamma\biggl(\frac{s+1}{2}\biggl)\frac{B\bigl(\frac{s}{2},\:\frac{1}{2}\bigl)}{T}\:2^{1-s}\\\\
&=\Gamma\biggl(\frac{s}{2}\biggl)\Gamma\biggl(\frac{s+1}{2}\biggl)\frac{B\bigl(\frac{s}{2},\:\frac{1}{2}\bigl)}{2^{1-s}B\bigl(\frac{s}{2},\:\frac{1}{2}\bigl)}\:2^{1-s}\\\\
&=\Gamma\biggl(\frac{s}{2}\biggl)\Gamma\biggl(\frac{s+1}{2}\biggl)
\end{align}
```
　よって、$(1.1)$が示された。

# 3. 証明中で用いた公式の一覧(証明は省略)
```math
\begin{align}
\Gamma(p)\Gamma(q)&=\Gamma(p+q)B(p,\:q)\\\\
\Gamma\biggl(\frac{1}{2}\biggl)&=\sqrt{\pi}\\\\
B(p,\:q)&=2\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}(\sin\theta)^{2p-1}(\cos\theta)^{2q-1}d\theta\hspace{20pt}(p,\:q>0)
\end{align}
```

# 4. 参考文献
　[三宅敏恒.入門微分積分.培風館,1992.](https://www.amazon.co.jp/dp/4563002216)