【統計検定準1級対策】確率分布の確率関数，期待値，分散，母関数まとめ

## 概要
統計検定準1級の出題範囲にも入っている，主要な確率分布の

- 確率関数
- 期待値
- 分散
- 母関数

についてまとめてみました。

今後，期待値・分散・母関数の導出過程も投稿する予定です。

***
## 【離散型分布】
### 離散一様分布
$K$個の整数$1,2,\cdots,K$から1つ無作為抽出し選ばれる整数$X$が従う分布。

確率関数
```math
f(x) = 
\frac{1}{K}\ \  (x = 1,2,\cdots,K)
```
期待値，分散
```math
E[X] = \frac{K+1}{2}, \ \ V[X] = \frac{K^2-1}{12}
```
母関数
```math
G(s) = \frac{s+s^2+\cdots+s^K}{K} = \frac{s(1-s^K)}{K(1-s)}
```

[→導出過程はこちら](https://qiita.com/matsuda-blog/items/4485c190b51f9a559b36 "【統計検定準1級対策①】離散一様分布の確率関数，期待値，分散，モーメント母関数の導出過程
")
***
### ベルヌーイ分布
確率$p$で成功し確率$1-p$で失敗するゲーム（ベルヌーイ試行）において，成功したら$X=1$失敗したら$X=0$としたときに$X$が従う分布。

表記
```math
X \sim Bin(1,p)
```
確率関数
```math
f(x) = 
\left\{\begin{array}{ll}
1-p & x = 0 \\
p & x = 1 \\
\end{array}\right.
=p^x(1-p)^{1-x} \ \ (x = 0,1)
```
期待値，分散
```math
E[X] = p, \ \ V[X]= p(1-p)
```
母関数
```math
G(s) = ps+(1-p)
```

[→導出過程はこちら](https://qiita.com/Matsuda_Takumi/items/877572182011e94555d7 "【統計検定準1級対策②】ベルヌーイ分布の確率関数，期待値，分散，モーメント母関数の導出過程")
***
### 二項分布
成功確率$p$のベルヌーイ試行を独立に$n$回行った結果を，$X_{1},X_{2},\cdots,X_{n}$とするとき，それらの和$X:=X_{1}+X_{2}+\cdots +X_{n}$が従う分布。

表記
```math
X \sim B(n,p)
```
確率関数
```math
f(x) = {}_{n}C_{x}p^x(1-p)^{n-x} \ \  (x = 0,1,\cdots,n) 
```
期待値，分散
```math
E[X] = np, \ \ V[X]=np(1-p)
```
母関数
```math
G(s) = (ps+1-p)^n
```
[→導出過程はこちら](https://qiita.com/Matsuda_Takumi/items/c13ad48ccca0b40fcaed)
***
### 超幾何分布
$M$個の赤玉と$N-M$個の白玉の合計$N$個の玉が入った箱から，取り出した球をもとに戻さずに（非復元抽出）$n$個の玉を無作為に取り出すとき，取り出した赤玉の個数$X$が従う分布。

表記
```math
X \sim HG(N,M,n)
```
確率関数
```math
f(x) = 
\frac{{}_{M}C_{x}\times {}_{N-M}C_{n-x}}{{}_{N}C_{n}} \ \  (x:二項係数が定義できる値)
```
期待値，分散
```math
E[X] = n\frac{M}{N}, \ \ V[X]= n\frac{M}{N}\left(1-\frac{M}{N}\right)\frac{N-n}{N-1}
```
母関数
```math
略
```
***
### ポアソン分布
「ある期間$\Delta$に平均$\lambda$回起こる現象」がある期間$\Delta$に起こる回数$X$が従う分布。
二項分布で「$n\to\infty, p=\frac{\lambda}{n}\to0$」としたときの極限。

表記
```math
X \sim Po(\lambda)
```
確率関数
```math
f(x) = \frac{\lambda^x}{x!}e^{-\lambda}\ \ (x=0,1,2,\cdots)
```
期待値，分散
```math
E[X] = V[X] = \lambda
```
母関数
```math
G(s) = e^{\lambda(s-1)}
```
[→導出過程はこちら](https://qiita.com/Matsuda_Takumi/items/5f68a4657bf09d57b220)
***
### 幾何分布
成功確率$p$のベルヌーイ試行を独立に行ったとき，はじめて成功するまでに起こる失敗の回数$X$が従う分布。（≒はじめて成功するまでの試行回数$W=X+1$が従う分布）

表記
```math
X \sim Geo(p)
```
確率関数
```math
f(x) = p(1-p)^x
```
期待値，分散
```math
E[X] = \frac{1-p}{p},\ \ V[X]=\frac{1-p}{p^2}
```
母関数
```math
G(s) = \frac{p}{1-(1-p)s}\ \ \left(|s|<\frac{1}{1-p}\right)
```
***
### 負の二項分布
成功確率$p$のベルヌーイ試行を独立に繰り返し行ったとき，$r$回目の成功までに起こった失敗の回数$X$が従う分布。

表記
```math
X \sim NB(r,p)
```
確率関数
```math
f(x) = {}_{r}H_{x}p^r(1-p)^x\ \ (x=0,1,2,\cdots)
```
期待値，分散
```math
E[X] = \frac{r(1-p)}{p},\ \ V[X]=\frac{r(1-p)}{p^2}
```
母関数
```math
G(s) = \left(\frac{p}{1-(1-p)s}\right)^r\ \ \left(|s|<\frac{1}{1-p}\right)
```
***
### 多項分布
「$K$個の整数$1,2,\cdots,K$をそれぞれ確率$p_1,p_2,\cdots,p_K$で1つ選ぶ」という試行を独立に$n$回行うとき，$1,2,\cdots,K$が選ばれる回数$\boldsymbol{X}:=(X^{(1)},X^{(2)},\cdots,X^{(K)})$が従う分布。

表記
```math
\boldsymbol{X} \sim M(n;p_1,p_2,\cdots,p_K)
```
確率関数
```math
f(\boldsymbol{x}) = \frac{n!}{x^{(1)}!\cdots x^{(K)}!}p_1^{x^{(1)}},p_2^{x^{(2)}},\cdots,p_K^{x^{(K)}}\ \ (x^{(i)} \in \mathbb{N_{\geq0}})
```
期待値，分散
```math
E[X^{(i)}] = np_{i},\ \ V[X^{(i)}]= np_{i}(1-p_{i}), \ \ \text{Cov}[X^{(i)},X^{(j)}] = -np_{i}p_{j} \ \ (i\neq j)
```
母関数
```math
G(s_1, \cdots, s_K) = p_1s_1 + \cdots + p_Ks_K
```

## 【連続型分布】
***
### 連続一様分布
表記
```math
X \sim U(a,b) 
```
確率関数
```math
f(x) = \left\{\begin{array}{lc}
\frac{1}{b-a} & (a \leq x \leq b)\\
0 & (x < a, b < x)
\end{array}\right.
```
期待値，分散
```math
E[X] =\frac{a+b}{2},\ \ V[X] = \frac{(b-a)^2}{12}
```
モーメント母関数
```math
M(t) = \frac{e^{bt}-e^{at}}{(b-a)t}
```
***
### 正規分布
表記
```math
X \sim N(\mu, \sigma^2)
```
確率関数
```math
f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}\exp\left(-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}\right)
```
期待値，分散
```math
E[X]=\mu,\ \ V[X]=\sigma^2 
```
モーメント母関数
```math
M(t)=\exp\left(\mu t+\frac{1}{2}\sigma^2t^2\right)
```
***
### 指数分布
表記
```math
X \sim Exp(\lambda)
```
確率関数
```math
f(x) = \lambda e^{-\lambda x}\ \ (x>0)
```
期待値，分散
```math
E[X] =\frac{1}{\lambda},\ \ V[X] = \frac{1}{\lambda^2}
```
モーメント母関数
```math
M(t)=\frac{\lambda}{\lambda-t}\ \ (t<\lambda)
```
***
### ガンマ分布
表記
```math
X \sim Ga(a,b)
```
確率関数
```math
f(x) = \frac{1}{\Gamma(a)}x^{a-1}e^{-\frac{x}{b}}\ \ (x>0)\\
(ただし，\Gamma(a)=\int_{0}^{\infty}x^{a-1}e^{-x}dx,\ a>0)
```
期待値，分散
```math
E[X] =ab,\ \ V[X] =ab^2 
```
モーメント母関数
```math
M(t)=\frac{1}{(1-bt)^a}\ \ (t<\frac{1}{b})
```
***
### ベータ分布
表記
```math
X \sim Be(a,b)
```
確率関数
```math
f(x) = \frac{1}{B(a,b)}x^{a-1}(1-x)^{b-1}\ \ (0<x<1)\\
\left(ただし，B(a,b)=\int_{0}^{1}x^{a-1}(1-x)^{b-1},\ a>0,b>0\right)
```
期待値，分散
```math
E[X] =\frac{a}{a+b},\ \ V[X] = \frac{ab}{(a+b)^2(a+b+1)}
```
モーメント母関数
```math
略
```
***
### コーシー分布
確率関数
```math
f(x) = \frac{1}{\pi(1+x^2)}
```
期待値，分散
```math
なし
```
モーメント母関数
```math
略
```
***
### 対数正規分布
表記
```math
X \sim \Lambda(\mu,\sigma^2)
```
確率関数
```math
f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma x}\exp\left(-\frac{(\log x-\mu)^2}{2\sigma^2}\right)\ \ (x>0)
```
期待値，分散
```math
E[X] =\exp\left(\mu+\frac{1}{2}\sigma^2\right),\ \ V[X] = \exp(2\mu+\sigma^2)(\exp(\sigma^2)-1)
```
モーメント母関数
```math
略
```
***
### 2変量正規分布
表記
```math
X \sim N_2(\boldsymbol{\mu}, \Sigma)
```
確率関数
```math
f(x_1, x_2) = \frac{1}{2\pi\sigma_1\sigma_2\sqrt{1-\rho^2}}\times\\\exp\left[-\frac{1}{2(1-\rho^2)}\left(\left(\frac{x_1-\mu_1}{\sigma_1}\right)^2 - 2\rho\left(\frac{x_1-\mu_1}{\sigma_1}\right)\left(\frac{x_2-\mu_2}{\sigma_2}\right) + \left(\frac{x_2-\mu_2}{\sigma_2}\right)^2\right)\right]
```
期待値，分散
```math
E[X] =\boldsymbol{\mu}
= \begin{pmatrix}
\mu_1\\
\mu_2
\end{pmatrix},\ \ 
V[X] = \Sigma 
= \begin{pmatrix}
\sigma_{1}^{2} & \rho\sigma_1\sigma_2\\
\rho\sigma_1\sigma_2 & \sigma_{2}^{2}
\end{pmatrix}
```
モーメント母関数
```math
M(\boldsymbol{t}) = \exp\left(\boldsymbol{\mu^\top t} +  \frac{1}{2}\boldsymbol{t}^\top\Sigma \boldsymbol{t}\right)
```

## 参考文献
日本統計学会公式認定　統計検定準1級対応　統計学実践ワークブック（P.25~44）

誤り等ありましたらコメントで教えてくださると大変助かります。