PRML (2.70)の展開

## 課題
(2.70)の展開方法が簡単にまとめられていたので、もう少し丁寧に書き下してみる。

> 
```math
\begin {align*}
\mathbf{x}=\left(\begin{array}{l}
\mathbf{x_{a}} \\
\mathbf{x_{b}}
\end{array}\right)
\tag{2.65}
\end {align*}
```  

> 
```math
\begin {align*}
\boldsymbol{\mu}=\left(\begin{array}{c}
\boldsymbol{\mu_{a}} \\
\boldsymbol{\mu_{b}}
\end{array}\right)
\tag{2.66}
\end {align*}
```  

> 
```math
\begin {align*}
\boldsymbol{\Sigma}=\left(\begin{array}{ll}
\boldsymbol{\Sigma}_{a a} & \boldsymbol{\Sigma}_{a b} \\
\boldsymbol{\Sigma}_{b a} & \boldsymbol{\Sigma}_{b b}
\end{array}\right)
\tag{2.67}
\end {align*}
```  

> 
```math
\begin {align*}
\boldsymbol{\Lambda}=\left(\begin{array}{cc}
\boldsymbol{\Lambda_{a a}} & \boldsymbol{\Lambda_{a b}} \\
\boldsymbol{\Lambda_{b a}} & \boldsymbol{\Lambda_{b b}}
\end{array}\right)
\tag{2.69}
\end {align*}
```  
ただし、$\boldsymbol{\Lambda} \equiv \boldsymbol{\Sigma^{-1}}$とする。

## 書き下し
(2.70)は$-\frac{1}{2}$を省略すると、

```math
\begin {align*}
(\mathbf{x}-\boldsymbol{\mu})^{\mathrm{T}} \mathbf{\Sigma}^{-1}(\mathbf{x}-\boldsymbol{\mu}) 
= \left(\begin{array}{c}
\mathbf{x_{a}} - \boldsymbol{\mu_{a}} \\
\mathbf{x_{b}} - \boldsymbol{\mu_{b}}
\end{array}\right)^{\mathrm{T}}

\left(\begin{array}{cc}
\boldsymbol{\Lambda_{a a}} & \boldsymbol{\Lambda_{a b}} \\
\boldsymbol{\Lambda_{b a}} & \boldsymbol{\Lambda_{b b}}
\end{array}\right)

\left(\begin{array}{c}
\mathbf{x_{a}} - \boldsymbol{\mu_{a}} \\
\mathbf{x_{b}} - \boldsymbol{\mu_{b}}
\end{array}\right)
\tag{2.70}
\end {align*}
```  

$\mathbf{z_{a}} = \mathbf{x_{a}} - \boldsymbol{\mu_{a}}$, $\mathbf{z_{b}} = \mathbf{x_{b}} - \boldsymbol{\mu_{b}}$と置くと、

```math
\begin {align*}
(\mathbf{x}-\boldsymbol{\mu})^{\mathrm{T}} \mathbf{\Sigma}^{-1}(\mathbf{x}-\boldsymbol{\mu}) &
= (\ \mathbf{z_{a}}^{\mathrm{T}}\ \ \
\mathbf{z_{b}}^{\mathrm{T}}\ )

\left(\begin{array}{cc}
\boldsymbol{\Lambda_{a a}} & \boldsymbol{\Lambda_{a b}} \\
\boldsymbol{\Lambda_{b a}} & \boldsymbol{\Lambda_{b b}}
\end{array}\right)

\left(\begin{array}{c}
\mathbf{z_{a}}\\
\mathbf{z_{b}}
\end{array}\right) \\
&
= (\ \mathbf{z_{a}}^{\mathrm{T}}\boldsymbol{\Lambda_{a a}} + \mathbf{z_{b}}^{\mathrm{T}}\boldsymbol{\Lambda_{b a}}\ \ \  
\mathbf{z_{a}}^{\mathrm{T}}\boldsymbol{\Lambda_{a b}} + \mathbf{z_{b}}^{\mathrm{T}}\boldsymbol{\Lambda_{b b}}\ ) 
\left(\begin{array}{c}
\mathbf{z_{a}}\\
\mathbf{z_{b}}
\end{array}\right)\\
&
= \mathbf{z_{a}}^{\mathrm{T}}\boldsymbol{\Lambda_{a a}}\mathbf{z_{a}} + 
\mathbf{z_{b}}^{\mathrm{T}}\boldsymbol{\Lambda_{b a}}\mathbf{z_{a}} + 
\mathbf{z_{a}}^{\mathrm{T}}\boldsymbol{\Lambda_{a b}}\mathbf{z_{b}} + 
\mathbf{z_{b}}^{\mathrm{T}}\boldsymbol{\Lambda_{b b}}\mathbf{z_{b}} \\
&
= \begin{array}{l}
\left(\mathbf{x}_{a}-\boldsymbol{\mu}_{a}\right)^{\mathrm{T}} \boldsymbol{\Lambda}_{a a}\left(\mathbf{x}_{a}-\boldsymbol{\mu}_{a}\right)\ +\ \left(\mathbf{x}_{a}-\boldsymbol{\mu}_{a}\right)^{\mathrm{T}} \boldsymbol{\Lambda}_{a b}\left(\mathbf{x}_{b}-\boldsymbol{\mu}_{b}\right) \\
\ +\ \left(\mathbf{x}_{b}-\boldsymbol{\mu}_{b}\right)^{\mathrm{T}} \boldsymbol{\Lambda}_{b a}\left(\mathbf{x}_{a}-\boldsymbol{\mu}_{a}\right)\ +\ \left(\mathbf{x}_{b}-\boldsymbol{\mu}_{b}\right)^{\mathrm{T}} \boldsymbol{\Lambda}_{b b}\left(\mathbf{x}_{b}-\boldsymbol{\mu}_{b}\right)
\end{array}
\end {align*}
```  

次元が分かりにくくなってしまうので、別の変数に置き直すと見やすくなるかもしれないです。