E資格合格に向けて　深層学習day2（勾配消失問題）

#勾配消失問題
ニューラルネットワークにおいて、隠れ層を増やせば増やすだけ関数が組み合わされることになり、理論的にはより複雑な関数が表現できるようになる。しかし、誤差逆伝播法によって重みの更新をしようとしても、誤差が最後まで正しく反映されなくなってしまうという問題が起きた。その大きな原因の1つが、シグモイド関数の特性にあった。誤差逆伝播法では、損失関数を微分するわけだが、活性化関数にシグモイド関数を使っていると、シグモイド関数の微分の最大値は0.25にしかならず、隠れ層を遡るごとに、伝播していく誤差はどんどん小さくなってしまう。この問題を、数式上の表現に合わせて「勾配消失問題」と呼ばれる。

勾配消失問題の解決方法
①活性化関数の工夫
②重みの初期値の設定方法の工夫
③バッチ正規化

①活性化関数の工夫
　ReLU関数：今最も使われている活性化関数
　　　　　　勾配消失問題の回避とスパース化に貢献することで良い成果をもたらしている。　　
　![image.png](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/2313001/6f1d5518-06cb-1486-2fbb-8fd08361ae6d.png)

実装例：Relu関数

```
import numpy as np
def relu(x):
    return np.maximum(0,x)
relu(-1)
0
relu(5)
5
```

②重みの初期値の設定方法の工夫
初期値はもともと一様分布あるいは正規分布に従う乱数が用いられていたが、この乱数では上手くいかなケースが多発。そこで、これらの乱数にネットワークの大きさに合わせた適当な係数をかけることで、データの分布が崩れにくい初期値がいくつか考えられた。
・Xavier（ザビエール）
　重みの要素を、前の層のノード数の平方根で除算した値。シグモイド関数と相性がよい
・He（ヒー）
　重みの要素を、前の層のノード数の平方根で除算した値に対し、√2をかけ合わせた値。ReLU関数と相性がよい
上記のペアの相性が良いとされている

実装例：ReLU-He

```
import numpy as np
from common import layers #別途作成したオリジナルパッケージ
from collections import OrderedDict
from common import functions #別途作成したオリジナルパッケージ
from data.mnist import load_mnist #別途作成したオリジナルパッケージ
import matplotlib.pyplot as plt

# データの読み込み
(x_train, d_train), (x_test, d_test) = load_mnist(normalize=True, one_hot_label=True)

print("データ読み込み完了")

network = MultiLayerNet(input_size=784, hidden_size_list=[40, 20], output_size=10, activation='relu', weight_init_std='He')

iters_num = 2000
train_size = x_train.shape[0]
batch_size = 100
learning_rate = 0.1

train_loss_list = []
accuracies_train = []
accuracies_test = []

plot_interval=10

for i in range(iters_num):
    batch_mask = np.random.choice(train_size, batch_size)
    x_batch = x_train[batch_mask]
    d_batch = d_train[batch_mask]

    # 勾配
    grad = network.gradient(x_batch, d_batch)
    
    for key in ('W1', 'W2', 'W3', 'b1', 'b2', 'b3'):
        network.params[key] -= learning_rate * grad[key]
    
    loss = network.loss(x_batch, d_batch)
    train_loss_list.append(loss)
    
    if (i + 1) % plot_interval == 0:
        accr_test = network.accuracy(x_test, d_test)
        accuracies_test.append(accr_test)        
        accr_train = network.accuracy(x_batch, d_batch)
        accuracies_train.append(accr_train)
        
        print('Generation: ' + str(i+1) + '. 正答率(トレーニング) = ' + str(accr_train))
        print('                : ' + str(i+1) + '. 正答率(テスト) = ' + str(accr_test))
        

lists = range(0, iters_num, plot_interval)
plt.plot(lists, accuracies_train, label="training set")
plt.plot(lists, accuracies_test,  label="test set")
plt.legend(loc="lower right")
plt.title("accuracy")
plt.xlabel("count")
plt.ylabel("accuracy")
plt.ylim(0, 1.0)
# グラフの表示
plt.show()
```
テストデータでの正解率が高く、学習がうまくいっていることがわかる
![image.png](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/2313001/45ad5678-6e05-04af-b0a1-54b1832ccbe0.png)


③バッチ正規化
　ミニバッチ単位で、入力値のデータの偏りを抑制する手法
　各層において活性化関数をかける前に伝播してきたデータを正規化する処理をする

実装例

```
import numpy as np
from collections import OrderedDict
from common import layers
from data.mnist import load_mnist
import matplotlib.pyplot as plt
from multi_layer_net import MultiLayerNet
from common import optimizer

# バッチ正則化 layer
class BatchNormalization:
    '''
    gamma: スケール係数
    beta: オフセット
    momentum: 慣性
    running_mean: テスト時に使用する平均
    running_var: テスト時に使用する分散
    '''
    def __init__(self, gamma, beta, momentum=0.9, running_mean=None, running_var=None):
        self.gamma = gamma
        self.beta = beta
        self.momentum = momentum
        self.input_shape = None

        self.running_mean = running_mean
        self.running_var = running_var  
        
        # backward時に使用する中間データ
        self.batch_size = None
        self.xc = None
        self.std = None
        self.dgamma = None
        self.dbeta = None

    def forward(self, x, train_flg=True):
        if self.running_mean is None:
            N, D = x.shape
            self.running_mean = np.zeros(D)
            self.running_var = np.zeros(D)
                        
        if train_flg:
            mu = x.mean(axis=0) # 平均
            xc = x - mu # xをセンタリング
            var = np.mean(xc**2, axis=0) # 分散
            std = np.sqrt(var + 10e-7) # スケーリング
            xn = xc / std
            
            self.batch_size = x.shape[0]
            self.xc = xc
            self.xn = xn
            self.std = std
            self.running_mean = self.momentum * self.running_mean + (1-self.momentum) * mu # 平均値の加重平均
            self.running_var = self.momentum * self.running_var + (1-self.momentum) * var #分散値の加重平均
        else:
            xc = x - self.running_mean
            xn = xc / ((np.sqrt(self.running_var + 10e-7)))
            
        out = self.gamma * xn + self.beta 
        
        return out

    def backward(self, dout):
        dbeta = dout.sum(axis=0)
        dgamma = np.sum(self.xn * dout, axis=0)
        dxn = self.gamma * dout
        dxc = dxn / self.std
        dstd = -np.sum((dxn * self.xc) / (self.std * self.std), axis=0)
        dvar = 0.5 * dstd / self.std
        dxc += (2.0 / self.batch_size) * self.xc * dvar
        dmu = np.sum(dxc, axis=0)
        dx = dxc - dmu / self.batch_size
        
        self.dgamma = dgamma
        self.dbeta = dbeta

        return dx   

(x_train, d_train), (x_test, d_test) = load_mnist(normalize=True)

print("データ読み込み完了")


# batch_normalizationの設定 =======================
use_batchnorm = True
# use_batchnorm = False
# ====================================================

network = MultiLayerNet(input_size=784, hidden_size_list=[40, 20], output_size=10,
                        activation='sigmoid', weight_init_std='Xavier', use_batchnorm=use_batchnorm)

iters_num = 1000
train_size = x_train.shape[0]
batch_size = 100
learning_rate=0.01

train_loss_list = []
accuracies_train = []
accuracies_test = []

plot_interval=10


for i in range(iters_num):
    batch_mask = np.random.choice(train_size, batch_size)
    x_batch = x_train[batch_mask]
    d_batch = d_train[batch_mask]

    grad = network.gradient(x_batch, d_batch)
    for key in ('W1', 'W2', 'W3', 'b1', 'b2', 'b3'):
        network.params[key] -= learning_rate * grad[key]

        loss = network.loss(x_batch, d_batch)
        train_loss_list.append(loss)        
        
    if (i + 1) % plot_interval == 0:
        accr_test = network.accuracy(x_test, d_test)
        accuracies_test.append(accr_test)        
        accr_train = network.accuracy(x_batch, d_batch)
        accuracies_train.append(accr_train)
        
        print('Generation: ' + str(i+1) + '. 正答率(トレーニング) = ' + str(accr_train))
        print('                : ' + str(i+1) + '. 正答率(テスト) = ' + str(accr_test))
                

lists = range(0, iters_num, plot_interval)
plt.plot(lists, accuracies_train, label="training set")
plt.plot(lists, accuracies_test,  label="test set")
plt.legend(loc="lower right")
plt.title("accuracy")
plt.xlabel("count")
plt.ylabel("accuracy")
plt.ylim(0, 1.0)
# グラフの表示
plt.show() 
```
![image.png](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/2313001/f647cbea-63e8-ec31-6cdb-036e30162b34.png)


【確認テスト】
![image.png](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/2313001/03bba629-c0ae-5f02-4626-d78420127af3.png)
答え
（1)0.25

【確認テスト】
![image.png](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/2313001/0e04990b-75e3-ad7b-ac31-949ff7d9f2b2.png)
答え
重みに個性がなくなり、正しい学習が行えない。
すべての重みの値が均一に更新されるため、多数の重みを持つ意味がなくなる。

【確認テスト】
![image.png](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/2313001/34e68dad-4a43-419a-281b-b99aed3e2369.png)
答え
・学習がうまくいきやすくなる（勾配消失問題への対処）
・過学習が起きにくくなる（オーバーフィッテイングへの対処）