『スタンフォード ベクトル・行列からはじめる最適化数学』1章章末問題の解答



[スタンフォード ベクトル・行列からはじめる最適化数学](https://amzn.to/3LbI555)
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の演習問題を解いているが解答が本書内にもネット上にもない模様。自分の解答を晒して間違いにツッコミをいただき理解を深めようという試み。

# 第1章
- 問1.1
    - (a)O, (b)O, (c)X
- 問1.2
    - (a)O, (b)O, (c)X, (d)X, (e)O, (f)O, (g)O
- 問1.3
    - (a)X, (b)X, (c)X, (d)正しいが曖昧
- 問1.4
    - (a) $w=(d, d, d, d, d, d, d)$
    - (b) $d=w_{1:24}$
- 問1.5
    - (a)いくつかの日にキャッシュフローがあり、あとは0
    - (b)いくつかの製品を購入した金額が正であとは0
    - (c)いくつかの銘柄の評価額が正であとは0
    - (d)いくつかの原材料の数が正であとは0
    - (e)いくつかの画素の輝度が正であとは0
    - (f)いくつかの日の降水量が正であとは0
- 問1.6 （誤りがあり訂正しました）
    - $d=x_{2:n}-x_{1:n-1}$
- 問1.7
    - $y=2x-1$
    - $x=\frac{y+1}{2}$
- 問1.8
    - $p^{\top}\cdot s$
- 問1.9
    - (a)$|s|$
    - (b)$|s_{1:10}|=5$
- 問1.10
    - $w=(0.3125, 0.3125, 0.3125, 0.3125, 0.3125, 0.3125, 0.3125, 0.3125, 0.2917, 0.2500)$
- 問1.11
    - (a)総単語数
    - (b)282番目の単語のカウント数が0
    - (c)$h=\frac{w}{\mathbf{1}^{\top} \cdot w}$
- 問1.12
    - 為替レートのベクトルをeとすると $e{\top} \cdot c$
- 問1.13
    - (a)$|x|$
    - (b)$|x_{66:100}|$
    - (c)$\frac{(i-1)\cdot x}{|x|}$
- 問1.14
    - ロングオンリーなので要素全てが非負であり、中立かつ総投資額が0なのであるセクターに対して売り買いのどちらのポジションも持っていないということ。
- 問1.15
    - $\min(q\top \cdot p_1, q\top \cdot p_2, ..., q\top \cdot p_k)$
    - 一つの時よりも二つの仕入先の方が費用を抑えられるのであれば二つ目の仕入先の方が費用を抑えられるので、そちら一つに絞ったほうがよい。つまり一つの仕入先に決定したほうがよい。
- 問1.16
    - (a)
        - $a=(a_1, a_2, ..., a_n) \qquad a_i\geq 0, i=1, 2, ..., n$
        - $b=(b_1, b_2, ..., b_n) \qquad b_i\geq 0, i=1, 2, ..., n$
        - $a\top \cdot b=a_1 b_1+a_2 b_2+...+a_n b_n$
        - 右辺の各項は非負の掛け算なので非負。つまり二つの非負ベクトルの内積は非負
    - (b)
        - $a\top \cdot b=a_1 b_1+a_2 b_2+...+a_n b_n=0$
        - 各項は非負なので各項は0となる。つまり、要素が0となる。
- 問1.17
    - $l_{t-1}^{t-1}$
    - ？？？自信なし、、、
- 問1.18

```math
\alpha_{ij}, \beta_{ij} \in \mathbb{R} となる\alpha, \betaを用いて、\\

\begin{align}
b_1&=\alpha_{11}a_1+\alpha_{12}a2 \\
b_2&=\alpha_{21}a_1+\alpha_{22}a2 \\
c_1&=\beta_{11}b_1+\beta_{12}b2 \\
c_2&=\beta_{21}b_1+\beta_{22}b2 \\
\therefore c_1&=(\alpha_{11}\beta_{11}+\alpha_{21}\beta{12})a_1+(\alpha_{12}\beta_{11}+\alpha_{22}\beta_{12})a2 \\
c_2&=(\alpha_{11}\beta_{21}+\alpha_{21}\beta{22})a_1+(\alpha_{12}\beta_{21}+\alpha_{22}\beta_{22})a2
\end{align}
```
- 問1.19
    - (a)明日の値は今日の値と同じ。
    - (b)明日の値は今日の値の2倍から昨日の値を引いたもの。
    - (c)明日の値は5日前の値と同じ。
    - (d)明日の値は今日の値の半分と昨日の値の半分を足したもの。
- 問1.20
    - 要素一つに必要なバイト数を1バイトとして、
    - $10^5\cdot100=10^7バイト$。およそ10MByte必要。
    - $10^7$回の計算が必要。
    - $\frac{10^7}{10^9}=10^{-2}$。およそ0．0１秒

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