2020年度　広島大学　数学【３】（微分・積分）

# 問題文

関数$f(x) = x e^{-2x^2}$について、次の問に答えよ。ただし$e$は自然対数の底とする。
(1) 関数$f(x)$の極大値および極小値を求めよ。また、極大値をとるときの$x$の値、および極小値をとるときの$x$の値を求めよ。
(2) $a>0$とし、点$A(a,0)$を考える。また、座標平面上の曲線$y=f(x)$上の点$(t, f(t))$における接線を$l_t$とおく。$l_t$が点$A$を通るような実数$t$がちょうど２つあるとする。このとき、$a$の値を求めよ。さらに、その２つの$t$の値を$p,q$（ただし$p<q$）とおくとき、$p,q$を求めよ。
(3) $q$を(2)で定めた値とする。曲線$y=f(x)$、直線$x=q$および$x$軸で囲まれた図形の面積を求めよ。


# 読んで思ったこと

**教科書レベルやん**

しいていうなら

- (1)は微分するだけ
- (2)は接線の本数に関する問題だけど、冒頭の関数は奇関数で極大と極小のポイントが原点に関して点対称になっている。$x$軸の正の点から接線が３本引けたところと１本しかひけなかったところがあり（手書きで確認した）、あるポイントで２本しか引けないところが存在するはず。だから「$a$の**範囲**を求めよ」ではなく「$a$の**値**を求めよ」になっているんだろう。
- (3)は積分するだけ。

# 実際に解いてみた

(1)

```math
f'(x) = e^{-2x^2} - 4x^2 e^{-2x^2} = (1-4x^2)e^{-2x^2}
```

$f'(x)=0$のとき、$1 - 4x^2 = 0\ \ \Leftrightarrow\ \ x = \pm \frac12$

増減表は以下の通り。（エクセルでごめんね）

![image.png](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/820696/8d5b27c2-ea5b-f418-3371-3e1ee1fce7ec.png)

```math
f\left( -\frac12 \right) = -\frac12 e^{-\frac12} = -\frac{1}{2\sqrt{e}}\\
f\left( \frac12 \right) = \frac12 e^{-\frac12} = \frac{1}{2\sqrt{e}}
```

よって、

```math
x=\frac12で極大値\frac{1}{2\sqrt{e}}\\
x=-\frac12で極小値-\frac{1}{2\sqrt{e}}\\
```

をとる。

(2)

$l_t$の方程式は

```math
y - te^{-2t^2} = (1 - 4t^2)e^{-2t^2}(x-t)
```

$l_t$は点$A(a,0)$を通るので、

```math
- te^{-2t^2} = (1-4t^2)e^{-2t^2}(a-t)\\
\Leftrightarrow\ \ -t = (1-4t^2)(a-t)\\
\Leftrightarrow\ \ 4t^3 -4at^2 + a = 0
```

上式が実数解をちょうど２つ持つような$a$が求めるべき値である。
$g(t) = 4t^3 -4at^2 + a$とおく。$g'(t) = 12t^2 - 8at$より$g'(t)=0$を満たす$t$は

```math
12t^2 - 8at = 0\\
\Leftrightarrow\ \ t(3t - 2a) = 0\\
\Leftrightarrow\ \ t = 0,\ \frac23 a 
```

$g(t)$の増減表は以下の通り。

![image.png](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/820696/8388b7e4-abbe-444c-f09e-17d3033bbb19.png)

$g(t)=0$が実数解を２つ持つような$t$が存在するための条件は$g(\frac23 a)=0$であるため、

```math
\frac{32}{27} a^3 - \frac{16}{9} a^3 + a = 0\\
\Leftrightarrow\ \ -\frac{16}{27}a^2 + 1 = 0\\
\Leftrightarrow\ \ a = \frac{3\sqrt{3}}{4}\ (ただしa>0)
```

このとき

```math
g(t) = (t - \frac{\sqrt{3}}{2})^2 (4t+3) = 0\\
\Leftrightarrow\ \ t = \frac{\sqrt{3}}{2},\ -\frac34
```

なので、

```math
p = -\frac34,\ q = \frac{\sqrt{3}}{2}
```

(3)

求める面積を$S$とおく。

```math
\begin{align}
S &= \int_{0}^{\frac{\sqrt{3}}{2}} x e^{-2x^2}\\
&= -\frac14 \int_{0}^{\frac{\sqrt{3}}{2}} (-4x) \cdot e^{-2x^2}\\
&= -\frac14 \left[ e^{-2x^2} \right]_0^{\frac{\sqrt{3}}{2}}\\
&= \frac14 (1 - e^{-\frac23})
\end{align}
```

# おまけ

今回~~弄り倒された~~問題になった関数はこんな形でした。

![image.png](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/820696/d98eea60-825b-310f-8e08-18a1950232d4.png)

(2)で接線がちょうど２本ひけるように$a$をうまく定めたわけですが、およそ1.3のようです。

![image.png](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/820696/387ff6a0-3450-26ad-bdff-0711cf8a3a2e.png)


$a$がこの値より小さい場合、大きい場合どうなるか確認してみます。


- $a=1$のとき

$t$に関する３次方程式は

```math
4t^3 - 4t^2 + 1 = 0
```

これを解くと実数解が１つしか出ないので、接線は１本だけ引けるようです。
使用サイト：[三次方程式の解 - 高精度計算サイト](https://keisan.casio.jp/exec/system/1256966554)

![image.png](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/820696/fcaa3d25-8ff2-87c5-7735-0d350b6a0c73.png)


- $a=3$のとき

$t$に関する３次方程式は

```math
4t^3 - 12t^2 + 3 = 0
```

これを解くと実数解が３つ出てくるので、接線は３本引けるようです。

![image.png](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/820696/08714688-14f6-c2ae-ac3b-487867ecb5c1.png)

# 振り返り

**これは満点取るべき！！**

**以上！！！！！**