第1回　マクスウェル方程式と波動方程式


# はじめに

マクスウェル方程式は電磁気現象を記述する方程式です．電磁波伝搬やアンテナの電磁界を解析するためには，このマクスウェル方程式が起点となります．本記事では，マクスウェル方程式から波動方程式を計算してみます．

# マクスウェル方程式（微分系）

電磁界を説明する最も基本的なものが，電界$\boldsymbol{E}$と磁界$\boldsymbol{H}$，およびその（面積）密度である電束密度$\boldsymbol{D}$と磁束密度$\boldsymbol{B}$です．これらを使って，マクスウェル方程式は以下4本の方程式で記述されます（各式の意味は書籍やネット記事に譲らせていただきます）．

```math
\begin{eqnarray}
\begin{cases}
\nabla \cdot \boldsymbol{D}& = \rho
    &(電束密度に関するガウスの法則) \\
\nabla \cdot \boldsymbol{B} &= 0
    &(磁束密度に関するガウスの法則) \\
\nabla \times \boldsymbol{H}
    &= \boldsymbol{j} 
    + \cfrac{\partial \boldsymbol{{D}}}{\partial t}
    &(拡張されたアンペールの法則)   \\
\nabla \times \boldsymbol{E}
    &= \cfrac{\partial \boldsymbol{{B}}}{\partial t}
    &(ファラデーの電磁誘導の法則)  
\end{cases}
\end{eqnarray}
```

ここで，$\rho$は電荷密度です．$\boldsymbol{j}$は電流密度であり，次のように与えられます．

$$
\boldsymbol{j} = \sigma \boldsymbol{E}
$$

$\sigma$は電気伝導率です．また，電界$\boldsymbol{E}$・磁界$\boldsymbol{H}$と，電束密度$\boldsymbol{D}$・磁束密度$\boldsymbol{B}$は物体の媒質定数である誘電率$\sigma$，透磁率$\mu$を用いて，次のように関係づけられます．これを構成方程式と呼びます．

```math
\begin{eqnarray}
\begin{cases}
\boldsymbol{D} = \epsilon \boldsymbol{E} \\
\boldsymbol{B} = \mu \boldsymbol{H}
\end{cases}
\end{eqnarray}
```

# 波動方程式

電磁波のふるまいは波動方程式により記述されます．まず，**任意の振動をする**波動の方程式を求めます．ここでは，簡単のために**考えている領域に電荷が存在しない**（$\rho=0$）という条件を課します．この場合，電束密度に関するガウスの法則の右辺が0となります．改めて，この条件の下のマクスウェル方程式は次の通りです．

```math
\begin{eqnarray}
\begin{cases}
\nabla \cdot \boldsymbol{D}& = 0
    &(電束密度に関するガウスの法則) \\
\nabla \cdot \boldsymbol{B} &= 0
    &(磁束密度に関するガウスの法則) \\
\nabla \times \boldsymbol{H}
    &= \boldsymbol{j} 
    + \cfrac{\partial \boldsymbol{{D}}}{\partial t}
    &(拡張されたアンペールの法則)   \\
\nabla \times \boldsymbol{E}
    &= - \cfrac{\partial \boldsymbol{{B}}}{\partial t}
    &(ファラデーの電磁誘導の法則)  
\end{cases}
\end{eqnarray}
```


まず，ファラデーの電磁誘導の法則の両辺に回転($\nabla \times$)を施します．

$$
\nabla \times (\nabla \times \boldsymbol{E})
    = - \cfrac{\partial}{\partial t} (\nabla \times \boldsymbol{B})
$$

ここで，(左辺)はベクトル解析の公式

$$
\nabla \times (\nabla \times \boldsymbol{A})
    = \nabla \nabla \cdot \boldsymbol{A}
        - \nabla^2 \boldsymbol{A}
$$

を活用すると，

```math
\begin{align}
(左辺)
  &= \nabla \times (\nabla \times \boldsymbol{E}) \\
  &= \nabla \nabla \cdot \boldsymbol{E}
        - \nabla^2 \boldsymbol{E} \\
  &= - \nabla^2 \boldsymbol{E}
  \qquad(\because~条件より\nabla \cdot \boldsymbol{D} = 0)
\end{align}
```

一方で，右辺については次のように変形できます．

```math
\begin{align}
(右辺)
  &= - \cfrac{\partial}{\partial t} (\nabla \times \boldsymbol{B}) \\
  &= - \cfrac{\partial}{\partial t} (\nabla \times \mu \boldsymbol{H}) \\
  &= - \mu \cfrac{\partial}{\partial t} \left(
    \boldsymbol{j} + \cfrac{\partial \boldsymbol{{D}}}{\partial t}
  \right)~~(\because~~拡張されたアンペールの法則より)\\
  &= - \mu \cfrac{\partial}{\partial t} \left(
    \sigma\boldsymbol{E} + \epsilon\cfrac{\partial \boldsymbol{{E}}}{\partial t}
  \right)~~(\because~~構成方程式より)\\
  &= - \mu\sigma \cfrac{\partial \boldsymbol{{E}}}{\partial t}
     - \mu\epsilon \cfrac{\partial^2 \boldsymbol{{E}}}{\partial t^2}
\end{align}
```

したがって，(左辺)=(右辺)より，電界に関する波動波動方程式が得られます．

$$
\nabla^2 \boldsymbol{E}
  = \mu\sigma \cfrac{\partial \boldsymbol{{E}}}{\partial t}
    + \mu\epsilon \cfrac{\partial^2 \boldsymbol{{E}}}{\partial t^2}
$$

同様にして，磁界に関する波動方程式も次のように与えられます．

$$
\nabla^2 \boldsymbol{H} 
  = \mu\sigma \cfrac{\partial \boldsymbol{{H}}}{\partial t}
    + \mu\epsilon \cfrac{\partial^2 \boldsymbol{{H}}}{\partial t^2}
$$



## 電磁波の伝搬速度

電磁波の伝搬速度を考えてみます．ここでは，簡単のために伝搬している媒質に**無損失媒質**$\sigma=0$を想定します．この場合の電磁界の波動方程式は$\sigma=0$として，次のようになりますね．

```math
\begin{eqnarray}
\begin{cases}
\nabla^2 \boldsymbol{E} 
  = \mu\epsilon \cfrac{\partial^2 \boldsymbol{{E}}}{\partial t^2}　\\
\nabla^2 \boldsymbol{H}
  = \mu\epsilon \cfrac{\partial^2 \boldsymbol{{H}}}{\partial t^2}
\end{cases}
\end{eqnarray}
```


ところで，一般的な波動関数$\boldsymbol{u}$の波動方程式は次のように与えられます．

$$
\nabla^2 \boldsymbol{u}
  = \cfrac{1}{v^2} \cfrac{\partial \boldsymbol{u} }{ \partial t }
$$

ここで，$v$は波動関数$\boldsymbol{u}$の伝搬速度を表しています．これらの波動方程式を見比べると，電磁波は


$$
v^2 = \cfrac{1}{\epsilon\mu}
\qquad\rightarrow\qquad
v = \cfrac{1}{\sqrt{\epsilon\mu}}
$$

なる速度で伝搬していることが分かります．もし，電磁波が真空を伝搬するとき，その速度$v_0$は

$$
v = \cfrac{1}{\sqrt{\epsilon_0 \mu_0}} = 3.0 \times 10^8 ~\mathrm{m/s}
$$

となります．$\epsilon_0$は真空の誘電率，$\mu_0$は真空の透磁率です．





# マクスウェルの第一，二電磁方程式？？
最初に説明したマクスウェル方程式の電束密度・磁束密度に関するガウスの法則は，残りの2式から導出できます．このため，拡張されたアンペールの法則・ファラデーの電磁誘導の法則を**マクスウェルの第一電磁方程式**，電束密度・磁束密度に関するガウスの法則を**マクスウェルの第二電磁方程式**と呼びます．

```math
\begin{eqnarray}
\begin{cases}
\nabla \cdot \boldsymbol{D}& = \rho
    &(電束密度に関するガウスの法則) \\
\nabla \cdot \boldsymbol{B} &= 0
    &(磁束密度に関するガウスの法則) \\
\nabla \times \boldsymbol{H}
    &= \boldsymbol{j} 
    + \cfrac{\partial \boldsymbol{{D}}}{\partial t}
    &(拡張されたアンペールの法則)   \\
\nabla \times \boldsymbol{E}
    &= \cfrac{\partial \boldsymbol{{B}}}{\partial t}
    &(ファラデーの電磁誘導の法則)  
\end{cases}
\end{eqnarray}
```

では，実際に確かめてみます．ここでは，**拡張されたアンペールの法則**から**電束密度に関するガウスの法則**を求めてみます．拡張されたアンペールの法則の両辺に左から発散($\nabla \cdot$)をとります．

$$
\nabla \cdot (\nabla \times \boldsymbol{H})
    = \nabla \cdot \left(
        \boldsymbol{j} 
        + \cfrac{\partial \boldsymbol{{D}}}{\partial t}
      \right)
$$

ここで，ベクトル解析の公式$~\nabla \cdot (\nabla \times \boldsymbol{A})=0~$を活用すると，(左辺)=0となりますね．そのため，

$$
\nabla \cdot \boldsymbol{j} 
  + \cfrac{\partial}{\partial t} (\nabla \cdot \boldsymbol{D}) = 0 \qquad(1)
$$

となります．ここで，左辺第1項は，発散の意味を思い出せば，**単位体積からあふれ出る電流(密度)**を意味していますね．さらに視点を変えると単位体積内の**電荷の時間変化**でもあります．つまり

$$
\nabla \cdot \boldsymbol{j} = - \cfrac{\partial \rho}{\partial t} \qquad(2)
$$

となります．右辺に「$-$」符号がついているのは，単位体積から電流があふれ出ているとは，**内部から見れば電荷が外に向かって減少している**からです．これを**連続の式**といいます．この式を使えば，(1)式の(左辺)は次のように書けますね．

```math
\begin{align}
(左辺)
    &=\nabla \cdot \boldsymbol{j} 
    + \cfrac{\partial}{\partial t} (\nabla \cdot \boldsymbol{D}) \\
    &= - \cfrac{\partial \rho}{\partial t} 
    + \cfrac{\partial}{\partial t} (\nabla \cdot \boldsymbol{D})
    \quad(\because~~(2)式より)\\
    &= \cfrac{\partial}{\partial t} (-\rho + \nabla \cdot \boldsymbol{D}) 
\end{align}
```

したがって，(1)式の(左辺)=(右辺)より次が成立しますね．

$$
-\rho + \nabla \cdot \boldsymbol{D} = 0
\qquad\rightarrow\qquad
\nabla \cdot \boldsymbol{D} = \rho
$$

この式は，電束密度に関するガウスの法則にほかなりません．