射影演算子

#はじめに

※この記事はちゃんと理解していないまま書いているので注意してください。

[今度こそわかる量子コンピューター](https://www.kspub.co.jp/book/detail/1566057.html)を読んでいたら射影演算子を「理解した」ような気がしたので試してみる。

# 射影演算子

正規直交基底{$|0\rangle$, $|1\rangle$}からなる量子状態$|\psi\rangle$があるとする。

```math
|\psi\rangle = \alpha |0\rangle + \beta |1\rangle, |\alpha|^2 + |\beta|^2 = 1
```

ここで射影演算子$M_0 = |0\rangle\langle0|$を用意する。
これは、$|\psi\rangle$に左からかけると$|0\rangle$基底の成分を取り出す演算子になっている。

```math
\begin{align}
M_0|\psi\rangle & = (|0\rangle\langle0|)(\alpha |0\rangle + \beta |1\rangle) \\
& = \alpha|0\rangle\langle0|0\rangle + \beta|0\rangle\langle0|1\rangle \\
& = \alpha|0\rangle
\end{align}
```

基底への射影を取り出すので射影演算子と言う。ある基底での測定に対応する。

#射影演算子で遊ぶ

##パターン1.同じ基底で2回測定する

(0) 初期状態($|0\rangle$と$|1\rangle$の重ね合わせ)を用意する。

```math
|\psi\rangle = \alpha |0\rangle + \beta |1\rangle, |\alpha|^2 + |\beta|^2 = 1
```

(1) (1回目)$|0\rangle$基底で射影測定する　⇒状態が$|0\rangle$になった。$|0\rangle$の測定確率は$|\alpha|^2$

```math
\begin{align}
M_0|\psi\rangle & = (|0\rangle\langle0|)(\alpha |0\rangle + \beta |1\rangle) \\
& = \alpha|0\rangle\langle0|0\rangle + \beta|0\rangle\langle0|1\rangle \\
& = \alpha|0\rangle
\end{align}
```

(2) (2回目)$|0\rangle$基底で射影測定する　⇒状態は$|0\rangle$のまま。測定確率は同じく$|\alpha|^2$

```math
\begin{align}
M_0M_0|\psi\rangle & = (|0\rangle\langle0|)\alpha|0\rangle \\
& = \alpha|0\rangle
\end{align}
```

一度測定すると状態が測定基底の状態に変化してしまい、その後同じ基底で何度測定しても同じ結果となる。

##パターン2.2回目に異なる基底で測定する

(0) 初期状態($|0\rangle$と$|1\rangle$の重ね合わせ)を用意する。

```math
|\psi\rangle = \alpha |0\rangle + \beta |1\rangle, |\alpha|^2 + |\beta|^2 = 1
```

(1) (1回目)$|0\rangle$基底で射影測定する　⇒状態が$|0\rangle$になった。測定確率は$|\alpha|^2$

```math
\begin{align}
M_0|\psi\rangle & = (|0\rangle\langle0|)(\alpha |0\rangle + \beta |1\rangle) \\
& = \alpha|0\rangle\langle0|0\rangle + \beta|0\rangle\langle0|1\rangle \\
& = \alpha|0\rangle
\end{align}
```

(2) (2回目)$|1\rangle$基底で射影測定する　⇒$|1\rangle$が測定されない(ゼロ)

```math
\begin{align}
M_1M_0|\psi\rangle & = (|1\rangle\langle1|)\alpha|0\rangle \\
& = \alpha|1\rangle\langle1|0\rangle \\
& = 0
\end{align}
```

2回目に直交している基底で測定すると、その基底の値は測定されない。

##パターン3.直交する基底の測定の間に、均等重ね合わせ基底の測定を入れる

(0) 初期状態($|0\rangle$と$|1\rangle$の重ね合わせ)を用意する。

```math
|\psi\rangle = \alpha |0\rangle + \beta |1\rangle, |\alpha|^2 + |\beta|^2 = 1
```

(1) (1回目)$|0\rangle$基底で射影測定する　⇒状態が$|0\rangle$になった。測定確率は$|\alpha|^2$

```math
\begin{align}
M_0|\psi\rangle & = (|0\rangle\langle0|)(\alpha |0\rangle + \beta |1\rangle) \\
& = \alpha|0\rangle\langle0|0\rangle + \beta|0\rangle\langle0|1\rangle \\
& = \alpha|0\rangle
\end{align}
```

(2) (2回目)均等重ね合わせ基底$|+\rangle$で射影測定する　⇒状態が$|+\rangle$になった。測定確率は$|\frac{\alpha}{\sqrt{2}}|^2 = \frac{1}{2}|\alpha|^2$

```math
\begin{align}
M_+M_0|\psi\rangle & = (|+\rangle\langle+|)\alpha|0\rangle \\
& = \alpha(\frac{|0\rangle+|1\rangle}{\sqrt{2}})(\frac{\langle0| + \langle1|}{\sqrt{2}})|0\rangle \\
& = \frac{\alpha}{\sqrt{2}}(\frac{|0\rangle+|1\rangle}{\sqrt{2}})
\end{align}
```

(3) (3回目) $|1\rangle$基底で射影測定する　⇒状態が$|1\rangle$になった。測定確率は$|\frac{\alpha}{2}|^2 = \frac{1}{4}|\alpha|^2$

```math
\begin{align}
M_1M_+M_0|\psi\rangle & = (|1\rangle\langle1|)\frac{\alpha}{\sqrt{2}}(\frac{|0\rangle+|1\rangle}{\sqrt{2}}) \\
& = \frac{\alpha}{2}(|1\rangle\langle1|0\rangle + |1\rangle\langle1|1\rangle) \\
& = \frac{\alpha}{2}|1\rangle
\end{align}
```

$|0\rangle$基底→$|1\rangle$基底の順で測定すると$|1\rangle$は測定されないのに、間に均等重ね合わせ基底の測定を挟むと$\frac{1}{4}$の確率だけど$|1\rangle$が測定される。とっても量子力学的だ！

# おわりに

上記の3パターンの計算は、量子力学の例でよく出てくる偏光板を使った実験に対応する。
[【量子実験】身近な道具で！ふしぎ！量子実験](https://www.youtube.com/watch?v=uBmFP0KPeDM) (YouTube動画)

$|0\rangle$が偏光軸が縦、$|1\rangle$が偏光軸が横、$|+\rangle$が偏光板を45度回転させた状態。
実験は不思議で面白いけど数式だとどうなるのかなと思っていたが、射影演算子で説明できそうなことがわかった。
※それにしても射影演算子の使い方がこれで合ってるのか自信がない。。。