有効電力と無効電力の物理的意味

# はじめに

電気回路において，交流回路の電力を勉強していると，**有効電力**とか**無効電力**などが出てきますが，その物理的意味を考えてみました．以降では，

1. 任意の負荷$Z$を接続した際の有効電力と無効電力を求めて，**一般的な立場**からその意味を考えます．
2. 抵抗，コイル，コンデンサそれぞれで構成される回路の電力を求めて，**具体的な立場**からその意味を考えます．

# 任意の負荷Zをつないだ回路の電力

ある回路において，交流電源に負荷$Z$が接続されている回路を考えます．今，電源電圧と電流を

```math
\begin{eqnarray}
\begin{cases}
v &= V_m \sin(\omega t) \\
i &= V_m/Z \sin(\omega t - \theta)
   \equiv I_m \sin(\omega t - \theta),~~~~(I_m \equiv V_m/Z)
\end{cases}
\end{eqnarray}
```

とします（$\theta$は$v$と$i$の位相差，"$\equiv$"記号は定義するの意味）．

## 瞬時電力

ある時刻$~t~$における瞬時電力$~P~$は次のように計算されます．

```math
\begin{align}
P &= vi \\
  &= V_m I_m \sin(\omega t) \sin(\omega t - \theta) \\
  &= - \cfrac{V_m I_m}{2} \left[
    \cos(2 \omega t - \theta) - \cos \theta
  \right] \\
  &= - \cfrac{V_m I_m}{2} \left[
    \cos(2\omega t)\cos(\theta) + \sin(2 \omega t)\sin \theta - \cos \theta
  \right]~~(加法定理を利用)\\
  &= \cfrac{V_m I_m}{2} [1-\cos(2 \omega t)] 
     - \cfrac{V_m I_m}{2} \sin(2 \omega t)\sin\theta
\end{align}
```

ここで，上式の第1項と第2項を次のように定義しておきます．

```math
\begin{eqnarray}
\begin{cases}
      p \equiv \cfrac{V_m I_m}{2} [1-\cos(2 \omega t)]\\
      q \equiv \cfrac{V_m I_m}{2} \sin(2 \omega t)\sin\theta
\end{cases}
\qquad\qquad\qquad\qquad(1)
\end{eqnarray}
```




## 平均電力

上で求めた第1項の平均$p_{ave}$を**有効電力**，第2項の平均$q_{ave}$を**無効電力**と呼びます．以降，有効電力と無効電力を計算して，その意味を考えます．今，電流と電圧は正弦波を仮定しているので，その周期は$~2\pi~$となります．上で求めた$~p~$と$~q~$を1周期($~2\pi~$)にわたって$\omega t$で平均すると次のようになります．

```math
\begin{align}
p_{ave} &= \cfrac{1}{2 \pi} \int_0^{2\pi} p~d(\omega t) \\
  &= \cfrac{1}{2 \pi} \int_0^{2\pi} \cfrac{V_m I_m}{2} [1-\cos(2 \omega t)]~d(\omega t) \\
  &= \cfrac{V_m I_m}{2} \cos\theta
\end{align}
```


続いて，第2項$~q~$については次のようになります．

```math
\begin{align}
q_{ave} &= \cfrac{1}{2 \pi} \int_0^{2\pi} q~d(\omega t) \\
  &= \cfrac{1}{2 \pi} \int_0^{2\pi} \cfrac{V_m I_m}{2} \sin(2 \omega t)\sin\theta~d(\omega t) \\
  &= 0
\end{align}
```

つまり，$q$は積分すると0になるため，電力が消費されていない無効な電力となります．逆の意味で，$p$は実際に負荷$~Z~$で消費される有効な電力となります．

# 有効電力・無効電力の具体例

交流電源（$~V=V_m \sin(\omega t)~$）に**抵抗$R$，コイル，コンデンサ**とするときの瞬時電力を計算してみます．ここでは簡単のために，電源電圧と電流の位相差を$\theta=0$として計算します．

## 抵抗（有効電力）

抵抗値を$~R~$とすると，回路を流れる電流は$i=V_m/R \sin(\omega t)$です．このため，その瞬時電力$~p_{reg}~$は

```math
\begin{align}
p_{reg} &= vi \\
  &= V_m \sin(\omega t) \cdot \cfrac{V_m}{R} \sin(\omega t)\\
  &= \cfrac{V_m^2}{R} \sin^2(\omega t ) > 0
\end{align}
```

となり，常に正の値をとることが分かります．これは，抵抗において電力が消費（熱エネルギーに変換）されていることを意味しています．下図は瞬時電力をプロットしたもので，常に消費電力が正となっています．この**有効に消費されている電力を有効電力**と呼んでいます．

![fig1.png](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/290566/a22a7ad7-958f-662d-73a2-d6fa8e591dbf.png)






## コイル（無効電力）

コイルのインダクタンスを$~L~$とすると，回路を流れる電流は

```math
i
=\cfrac{1}{L} \int v dt
=\cfrac{1}{L} \int V_m \sin(\omega t) dt
=-\cfrac{V_m}{\omega L}\cos(\omega t)
```

です．このため，その瞬時電力$~p_{reg}~$は

```math
\begin{align}
p_{coil} &= vi \\
  &= V_m \sin(\omega t) \cdot \left(
    -\cfrac{V_m}{\omega L}\cos(\omega t) 
  \right)  \\
  &= - \cfrac{V_m^2}{\omega L} \cfrac{\sin(2\omega t)}{2}
\end{align}
```

となります．ここで，上式の最右辺は加法定理から得られる次の変形を使っています．

```math
\begin{equation}
\sin\alpha \cos\beta = \cfrac{1}{2} [
  \sin(\alpha + \beta) + \sin(\alpha - \beta)
]
\end{equation}
```

求めた瞬時電力$p_{coil}$を1周期（$~2\pi~$）に亘って$~\omega t~$で平均すると

```math
\begin{align}
\int_0^{2\pi} p_{coil}~d(\omega t) 
= \int_0^{2\pi} - \cfrac{V_m^2}{\omega L} \cfrac{\sin(2\omega t)}{2}~d(\omega t) 
= 0
\end{align}
```

となります．つまり，**コイルへのエネルギーの出入りが繰り返されているにすぎず，エネルギーが有効に用いられていない状況**です．下図は，コイルにおける瞬時電力をプロットしたものです．これから分かるように，瞬時電力は正負を繰り返しているにすぎず，有効に使われていません．これを**無効電力**といいます．



![fig2.png](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/290566/493426d3-84b2-fff0-8638-46e51d421708.png)






## コンデンサ（無効電力）

コンデンサのキャパシタンスを$~C~$とすると，回路を流れる電流は

```math
i
= C \cfrac{dv}{dt}
= C \cfrac{d}{dt} [V_m \sin(\omega t)]
= V_m \omega C \cos(\omega t)
```

です．このため，その瞬時電力$~p_{cond}~$は

```math
\begin{align}
p_{cond} &= vi \\
  &= V_m \sin(\omega t) \cdot V_m \omega C \cos(\omega t) \\
  &= V_m^2 \omega C \cfrac{\sin(2 \omega t)}{2}
\end{align}
```
コイルの場合と同様に，平均すると0となり，無効な電力となります．下図は各素子の瞬時電力をプロットしたものになります．

![fig3.png](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/290566/a5d53597-1ac8-4b9d-80db-811595c957e8.png)




# 参考
大橋，電気回路，数理工学社，2012年．