2020年度　広島大学　数学【2】（複素数平面）

# 問題文

$i$を虚数単位とする。$z \ne -1$を満たす複素数$z$に対し、$w = \frac{z-i}{z+1}$とおく。次の問に答えよ。
(1)$z \ne -1$のとき$w \ne 1$であることを示せ。また$w \ne 1$のとき, $z$を$w$を用いて表せ。
(2)$t$を$-1$と異なる実数とする。複素数平面において, 実部が$t$である複素数全体の描く直線を$l_t$とおく。点$z$が直線$l_t$上を動くとき、点$w$はある円$S_t$から1点を取り除いた図形の上を動く。この円$S_t$の中心$P_t$に対応する複素数を$t$を用いて表せ。
(3)$P_t$を(2)で定義した点とする。$t$が$-1$以外の実数全体を動くときに$P_t$が描く図形を, 複素数平面上に図示せよ。


# 読んでみて思ったこと

- 示すのはただの代入。示せたら後半は等式変形。
- (2)はなんかめんどくさそうだなぁ。
- 難しいことを言ってるけど、$z$が$l_t$上にあって$z = t + ui\ (t \ne -1,\ u \in \mathbb{R} )$と書けるんだな。共役は$\bar{z} = t - ui$だから、使うとしたら$\frac{z + \bar{z}}{2}=t$だな（余計なパラメータは作りたくないから）。$w$の式か(1)で出した式に$z$を代入したら円っぽい方程式がでてきて、ある1点で方程式が成り立たなくなるってことなんだろうな。
- 円っぽい方程式っていうのは、複素数だし円のベクトル方程式（$\| \boldsymbol{x}-\boldsymbol{r} \| = R$）をゴリ押しで出すんだろうなぁ。面倒だから本番ならほっとくなぁｗ
- (3)で「$t$が-1以外の実数全体を動くとき」言うてるってことは、(2)のある1点は$t=-1$に対応するんかな。
- あとは$P_t$の座標が$t$で表せて、図示すれば終わりかな。


# 実際に解いてみた

(1)
$w=1$のとき, $z+1 = z-i\ \ \Leftrightarrow\ \ 1 = -i$となり等式が成立しないため、$w \ne 1$である。
$w \ne 1$のとき、

```math
w(z+1) = z - i\\
\Leftrightarrow\ \ (w-1)z = -w-i\\
\Leftrightarrow\ \ z = -\frac{w+i}{w-1}
```

(2)
$z$が直線$l_t$にあるとき$Re(z)=t$であるため、$\frac{z + \bar{z}}{2} = t$である。
これに$z = -\frac{w+i}{w-1}$を代入して

```math
-\frac{w+i}{w-1} - \frac{\bar{w} - i}{\bar{w} - 1} = 2t\\
\Leftrightarrow\ \ (w+i)(\bar{w}-1) + (\bar{w}-i)(w-1) + 2t(w-1)(\bar{w}-1) = 0\ (ただし\ w \ne 1)\\
\Leftrightarrow\ \ (2+2t)w\bar{w} - (1+2t+i)w - (1+2t-i)\bar{w} + 2t = 0\\
\Leftrightarrow\ \ w\bar{w} - \frac{1+2t+i}{2+2t}w - \frac{1+2t-i}{2+2t}\bar{w} + \frac{t}{1+t} = 0\ (ただし\ t \ne -1)
```

ここで$w$と$\bar{w}$の係数が互いに共役になっているので、$\alpha = \frac{1+2t-i}{2+2t}$とおくと上式は

```math
w\bar{w} - \bar{\alpha} w - \alpha \bar{w} + \frac{t}{1+t} = 0\\
\Leftrightarrow\ \ (w - \alpha)(\bar{w} - \bar{\alpha}) - | \alpha |^2 + \frac{t}{1+t} = 0
```

と変形できる。
$\| \alpha \| ^2 = \frac{(1+2t)^2 + 1}{4(t+1)^2} = \frac{2t^2 + 2t + 1}{2(t+1)^2}$を代入して

```math
(w - \alpha)(\bar{w} - \bar{\alpha}) = \frac{2t^2 + 2t + 1}{2(1+t)^2} - \frac{t}{1+t}\\
\Leftrightarrow\ \ | w - \alpha |^2 = \frac{2t^2 + 2t + 1 - 2t(1+t)}{2(1+t)^2} = \frac{1}{2(1+t)^2}
```

上式は、点$w$が中心$\alpha$、半径$\frac{1}{\sqrt{2}|1+t|}$の円から1点を除いた図形を描くことを示す。したがって、円$S_t$の中心は

```math
P_t = \alpha =  \frac{1+2t-i}{2+2t}
```

(3)

$P_t = x + yi$とおくと、

```math
x = \frac{1+2t}{2+2t} = 1 - \frac{1}{2+2t},\ \ y = -\frac{1}{2+2t}\\
\Leftrightarrow\ \ x = 1 + y\\
\Leftrightarrow\ \ y = x - 1
```

ただし$t\ne-1$より点$(1,0)$は除く。
よって$P_t$が描く図形は下図の通り。

![graph_2020_r_2_3.png](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/820696/d88c89ce-db47-44bb-f28a-292bf5156bef.png)
（GeoGebraで作成）


# おまけ

せっかく$S_t$のパラメータ表示があるし、GerGebraで描いてみました。

- $t=0$のとき

$P_t = \frac{1-i}{2}$、半径$\frac{1}{\sqrt{2}}$より

```math
\left( x - \frac12 \right) ^2 + \left( y + \frac12 \right) = \frac12
```

![graph_2020_r_2_omake1.png](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/820696/cc97963a-cbc2-bee6-7ca0-0bbaee4b8c59.png)

- 一般的な$t$のとき

```math
\begin{align}
x &= \frac{1+2t}{2+2t} + \frac{1}{\sqrt{2}|1+t|}\cos\theta\\
y &= -\frac{1}{2+2t} + \frac{1}{\sqrt{2}|1+t|}\sin\theta
\end{align}
```

を描かせるとできるのかなぁと思います。


# 振り返り

> 示すのはただの代入。示せたら後半は等式変形。

それだけでした。

> (2)はなんかめんどくさそうだなぁ。
> 難しいことを言ってるけど、$z$が$l_t$上にあって$z = t + ui\ (t \ne -1,\ u \in \mathbb{R} )$と書けるんだな。共役は$\bar{z} = t - ui$だから、使うとしたら$\frac{z + \bar{z}}{2}=t$だな（余計なパラメータは作りたくないから）。$w$の式か(1)で出した式に$z$を代入したら円っぽい方程式がでてきて、ある1点で方程式が成り立たなくなるってことなんだろうな。
> 円っぽい方程式っていうのは、複素数だし円のベクトル方程式（$\| \boldsymbol{x}-\boldsymbol{r} \| = R$）をゴリ押しで出すんだろうなぁ。面倒だから本番ならほっとくなぁｗ

うまく計算できるように設定してあったので、なんかおかしいと気付ければ途中で修正できそう。でもやっぱりめんどくさい。

> (3)で「$t$が-1以外の実数全体を動くとき」言うてるってことは、(2)のある1点は$t=-1$に対応するんかな。
> あとは$P_t$の座標が$t$で表せて、図示すれば終わりかな。

図示だけにずっしりした問題でした（座布団剥奪）