【順序集合】反射性/非反射性と対称性/非対称性と推移性/非推移性の関係定義

[反射関係 -Wikipedia](https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%8F%8D%E5%B0%84%E9%96%A2%E4%BF%82)

>**推移的**で**無反射的**な関係は、**非対称関係**で**強半順序関係**となる。一方、**推移的**で**反射的**な関係は(半順序関係や同値関係といった特殊例も含め)単なる**前順序**(擬順序)関係となる。有限集合では前者よりも後者の方が多い。

[非対称関係（Asymmetric relation -Wikipedia）](https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%9D%9E%E5%AF%BE%E7%A7%B0%E9%96%A2%E4%BF%82)

>原義としては**対称的でない二項関係**を意味するが、場合によっては「<font color=purple>Xにおける関係Rが非対称であるとは、Xの属する全ての元aおよびbについて、aからbへの関係が成り立つ時はbからaへの関係が成り立たない場合を指す</font>」なる狭義で説明される。
$\forall a,b\in X,\ aRb\;\Rightarrow \lnot (bRa)$
>この意味合いにおける**非対称関係**は、**反対称的**であると同時に**非反射的**でもある。**推移関係**では**非対称性**と**非反射性**が等価となり、この場合の**非対称性**は上の狭い意味の定義を包含するが、逆は成り立たない。　
>
>一方、**空集合**は後者の意味で**非対称的**であると同時に**対称的**に振る舞う。

* 過去投稿で定義した**空和概念**(元の総和は常に0)と**空積概念**(元の総積は常に1)を「**指数・対数写像**」概念で統合した**空環概念**(Empty Ring Concept)で考えてみると、それが認識体系上の限界、すなわち「**数理的に有意味な要素を何も検出出来てない状況下における認識可能範囲外全て**」に対応する都合上「**非反射性要素**=**元に含まれない非元**」は**自明の場合**(Trival Case)としてまとめて(順序尺度など到底成立しない)**非推移関係**に分類され、そもそもさらに**反射性**/**非反射性**や**対称性**/**非対称性**を問う事自体が出来ない。

[【Python演算処理】環論に立脚した全体像再構築①空環と実数環](https://qiita.com/ochimusha01/items/361c1abe1ea8e2540fb9)

>**空和概念**(Empty Sum Concept)…「**∞-∞=加法単位元0**」なる方便から出発する「**平均と分散**」「**共役**」概念の大源流

![image.png](https://qiita-user-contents.imgix.net/https%3A%2F%2Fqiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com%2F0%2F597772%2F13e592de-0d0e-6217-525d-d59f5c6f65c7.png?ixlib=rb-4.0.0&auto=format&gif-q=60&q=75&w=1400&fit=max&s=3d1cbce082c7877c3a4a040a4346713a)

>**空積概念**(Empty Product Concept)「**∞/∞=乗法単位元1**」なる方便から出発する「**反比例関係**xy=1」「**指数・対数写像**」概念の大源流

![image.png](https://qiita-user-contents.imgix.net/https%3A%2F%2Fqiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com%2F0%2F597772%2F59b30270-549c-bc34-c297-46af8a8826e5.png?ixlib=rb-4.0.0&auto=format&gif-q=60&q=75&w=1400&fit=max&s=9ef0abcd182d12e8c5aae74901022b55)

>**空和概念**の**空積概念**への「**指数写像**」。既に(表面を均等尺で敷き詰めた)「**球面座標系**」や(表面を対数尺で敷き詰めた)半径1の単位円を**赤道**、0と∞をそれぞれ**対蹠**(北極点や南極点)に対応させる「**リーマン球面**(Riemann Sphere)」を扱う幾何学的操作が用いられているが、**実数環段階**と異なり**空環段階**ではまだ「**赤道に該当する半径1の単位円**」が検出出来ていない。<br>[リーマン球面 - Wikipedia](https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%AA%E3%83%BC%E3%83%9E%E3%83%B3%E7%90%83%E9%9D%A2)

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![image.gif](https://qiita-user-contents.imgix.net/https%3A%2F%2Fcdn-ak.f.st-hatena.com%2Fimages%2Ffotolife%2Fo%2Fochimusha01%2F20210627%2F20210627120457.gif?ixlib=rb-4.0.0&auto=format&gif-q=60&q=75&w=1400&fit=max&s=386637ccdd6bc7155d86b72a2b5cd280)
![image.gif](https://qiita-user-contents.imgix.net/https%3A%2F%2Fcdn-ak.f.st-hatena.com%2Fimages%2Ffotolife%2Fo%2Fochimusha01%2F20210627%2F20210627120837.gif?ixlib=rb-4.0.0&auto=format&gif-q=60&q=75&w=1400&fit=max&s=06b6e9ff818ad8854ca104abdc6f6fe3)

>**空積概念**の**空和概念**への「**対数写像**」。既に(表面を均等尺で敷き詰めた)「**球面座標系**」を扱う幾何学的操作、すなわち「**リーマン球面**」を(赤道に対応する)半径$\frac{π}{2}$と(観測限界∞に対応する)半径πの二重同心円状態への展開が用いられているが、**実数環段階**と異なり**空環段階**ではまだ「**赤道に該当する半径$\frac{π}{2}$の円**」が検出出来ていない。<br>[【Python画像処理】メルカトル図法と正距方位図法](https://qiita.com/ochimusha01/items/19fe9f2dcc4d25661a47)

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![image.gif](https://qiita-user-contents.imgix.net/https%3A%2F%2Fcdn-ak.f.st-hatena.com%2Fimages%2Ffotolife%2Fo%2Fochimusha01%2F20210709%2F20210709161959.gif?ixlib=rb-4.0.0&auto=format&gif-q=60&q=75&w=1400&fit=max&s=0bb8bed6e5a8b1e34a3f76176ea14f7b)

ところが数学の世界における**反射性**/**非反射性**と**対称性**/**非対称性**と**推移性**/**非推移性**の関係定義は(空集合の振る舞いを含め)はこの制約に縛られていない様に見えます。果たしてどうやってそれを実現しているのでしょう？

[順序集合(Ordered Set) -Wikipedia](https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%A0%86%E5%BA%8F%E9%9B%86%E5%90%88)

>「**順序**」の概念が定義された集合のことで、「**順序**」とは大小、高低、長短等の序列に関わる概念を抽象化した二項関係を指す。ただしここでいう順序とは、その集合の任意の2つの元に対して必ずしも定まっているとは限らず、両者が「**比較不能**」であることもありうる。
>
>比較不能の場合を許容する順序集合として典型的なのが「**半順序集合**（Partially Ordered Set, Poset）である。特に、半順序集合で全ての2元が比較可能であるものを「**全順序集合**(totally ordered set)」という。

**その定義**(同値関係を導出する同値律との微妙な定義違いに注意)

>**集合**Pについて「≤」をP上で定義された**二項関係**とする。かかる集合(P,≤)は**台集合**(Underlying Set) あるいは**台**(Support)とも呼ばれる。紛れがなければ≤ を省略し、集合Pを（以下のいずれかの意味で）**順序集合**という。**順序集合**(P,≤)に対し「≤」を台P上の**順序関係**ともいう。

* **反射律**：Pの任意の元aに対し、a≤aが成り立つ($\forall a \in P,a≤a$)。
* **推移律**：Pの任意の元a,b,cに対し、a≤bかつb≤cならばa≤cが成り立つ($\forall a,b,c \in P,a≤b \land b≤c \to a≤c$)。
* **反対称律**：Pの任意の元a,bに対し、a≤bかつb≤aならばa=bが成り立つ($\forall a,b \in P,a≤b \land b≤a \to a=b$)。
* **全順序律**：Pの任意の元a,bに対し、a≤bまたはb≤aが成り立つ($\forall a,b \in P,a≤b \lor b≤a$)。

> 「≤」が全順序律を満たさない場合には「a ≤ b」でも「b ≤ a」でもない場合が想定され、この時aとbは「**比較不能** (incomparable)」であるという。

* 「≤」が反射律と推移律を満たすとき「≤」をP上の**前順序**という。
* 「≤」が前順序でありさらに反対称律を満たすとき「≤」をP上の**半順序**という。
* 「≤」が半順序でありさらに全順序律を満たすとき
* 「≤」をP上の**全順序**という。

> 「≤」が**前順序**であるとき (P, ≤) を**前順序集合**という。同様に「≤」が**半順序**なら (P, ≤) は**半順序集合**、**全順序なら** (P, ≤) は全順序集合という。

* 多くの数学の分野では**半順序集合**を主に扱うので、単に**順序**あるいは**順序集合**といった場合はそれぞれ**半順序**、**半順序集合**を意味する場合が多いが、分野によっては、主な対象が**半順序集合**でなく**前順序集合**や**全順序集合**である場合があり、そのような分野では**前順序集合**や**全順序集合**の意味で「**順序集合**」という言葉が用いられることがあるので注意が必要である。
* ここでは**順序関係**を記号「≤」で表したが、必ずしもこの記号で表現する必要はない。実数の大小を表す記号「≤」と区別するため、順序の記号として$\prec$や$\ll$を使うこともある。

**順序集合の実例**(一部抜粋)

* **実数全体の集合**$\mathbb{R}$およびその部分集合（例えば、自然数全体の集合$\mathbb{N}$,整数全体の集合$\mathbb{Z}$, 有理数全体の集合$\mathbb{Q}$）は、通常の大小関係により**全順序集合**となる。
* 一方、**複素数全体の集合**$\mathbb{C}$には複素数の乗法と"両立"する全順序は存在しない（順序体でない）。<br>[分岐点(数学)- Wikipedia](https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%88%86%E5%B2%90%E7%82%B9_(%E6%95%B0%E5%AD%A6))
* 自然数全体の成す集合は**整除関係**を順序として**半順序集合**である。<br>[剰余類 - Wikipedia](https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%89%B0%E4%BD%99%E9%A1%9E)<br>[【分解する物語（２）】整除関係](https://note.com/suugakuya_note/n/nd7986eb5f6aa)

>複素数や剰余類のケースでも、単に全順序を入れるだけであれば、直積集合R×Rに**辞書式順序**(Lexicographical Order)を定めることができる。<br>[辞書式順序 - Wikipedia](https://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%BE%9E%E6%9B%B8%E5%BC%8F%E9%A0%86%E5%BA%8F)

どうやら大雑把には(通常多価関数で表現される)**複素数**や**剰余類**の類こそが「**半順序集合**」の典型的イメージの一つで、その範囲についてなら「(周期管理と周回管理を切り離した)**円筒座標系**」や「(10進数の様に桁上がり/桁下り概念を備えた)**P進数**」概念を方便として導入する事によって**全順序集合**として扱い得るといった粗雑な理解で乗り越えられそうな気がしてきました。
[【Python演算処理】環論に立脚した全体像再構築①空環と実数環](https://qiita.com/ochimusha01/items/361c1abe1ea8e2540fb9)
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[【初心者向け】N進法とp進数](https://qiita.com/ochimusha01/items/c0eed4799d21d9a01792)
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そのうちPythonでの実装を検討したいと考えています。そんな感じで以下続報…