交代級数の一次結合的表現?

**交代級数**(Alternating Series)概念は数列の次元では符号問題から出発し(1次元上において0度と180度の中間段階としての±90度を扱う為の)**虚数**(Imaginal)$i^2=-1$概念へと到達します。
[【数理考古学】解析学史に「虚数概念」をもたらした交代級数](https://qiita.com/ochimusha01/items/a338ea75855fcb4ff6f8)

一方、関数の次元においてそれは(y=f(x)のグラフがy軸対称となり、f(-x)=f(x)の形で定義される)**偶関数**(Even Function)と(y=f(x)$f_e(x)$のグラフが原点対称となり、f(-x)=-f(x)の形で定義される)**奇関数**(Odd Function)$f_o(x)$の関係として立ち現れてくるのです(①②)。
[偶関数・奇関数とは？意味や見分け方、積分での使い方](https://univ-juken.com/gukansu-kikansu)
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```math
f_e(x)=\frac{f(x)+f(-x)}{2},f_o(x)=\frac{f(x)-f(-x)}{2}\\
なぜならば\\
f_e(-x)=\frac{f(-x)+f(-(-x))}{2}=\frac{f(-x)+f(x)}{2}=f_e(x)…①\\
f_o(-x)=\frac{f(-x)-f(-(-x))}{2}=\frac{f(-x)-f(x)}{2}=-\frac{f(-x)+f(-x))}{2}=-f_o(x)…②
```
#任意の関数は偶関数と奇関数の和(<font color=blue>一時結合的表現</font>)によって表せる。

関数空間V上の任意の関数f(x)($\forall f(x) \in \mathbb{V}$)は**偶関数**$f_e(x)$と**奇関数**$f_o(x)$の和として表せる(③=一次接合的表現)。その差は-f(x)となるが、その結果がどうなるかはその任意の関数が**奇関数**か**偶関数**かどちらでもないかによる(④)。

```math
f_e(x)+f_o(x)=\frac{f(x)+f(-x)}{2}+\frac{f(x)-f(-x)}{2}=f(x)…③\\
f_e(x)-f_o(x)=\frac{f(x)+f(-x)}{2}-\frac{f(x)-f(-x)}{2}=-f(x)…④
```

#偶関数と奇関数の加減乗除

**偶関数**と**偶関数**の和と差と積は**偶関数**となる(⑤⑦)。**奇関数**と**奇関数**の和と差と積は**奇関数**となる(⑥⑧)。**偶関数**と**奇関数**の積は奇関数となる(⑨)。

```math
f_e(x)±g_e(x)=h(x)の時\\
h(-x)=f_e(-x)±g_e(-x)=f_e(x)±g_e(x)=h(x)…⑤\\
f_o(x)±g_o(x)=h(x)の時\\
h(-x)=f_o(-x)±g_o(-x)=-f_o(x) \mp g_o(x)\\
=-(f_o(x)±g_o(x))=h(-x)…⑥\\
f_e(x)g_e(x)=h(x)の時\\
h(-x)=f_e(-x)g_e(-x)=f_e(x)g_e(x)=h(x)…⑦\\
f_e(x)g_e(x)=h(x)の時\\
h(-x)=f_o(-x)g_o(-x)=(-f_o(x))(-g_o(x))\\
=-(f_o(x)g_o(x))=h(-x)…⑧\\
f_e(x)g_o(x)=h(x)の時\\
h(-x)=f_e(-x)g_o(-x)=(f_e(x))(-g_o(x))=h(-x)…⑨\\
```
#偶関数と奇関数の積分結果

任意の実数aによって積分範囲-a≥x≧a($\forall a \in \mathbb{R}$)が規定される**偶関数**$f_e(x)$と**奇関数**$f_o(x)$について以下が成立する。<br>[偶関数・奇関数とは？意味や見分け方、積分での使い方](https://univ-juken.com/gukansu-kikansu)<br>![image.png](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/597772/fef92c89-f2e7-10f4-5205-0a05eff53529.png)

```math
\int_{−a}^a f_e(x)dx = 2 \int_0^a f_e(x)dx\\
\int_{−a}^a f_o(x)dx = 0
```

#実例その1：自然指数関数(<font color=blue>Natural Exponential Function</font>)の場合
**自然指数関数**(Natural Exponential Function)$y=e^x=/cosh x + \sinh x$の場合は以下となります。
[双曲線関数にまつわる重要な公式まとめ](https://manabitimes.jp/math/617)
<font color=blue>cosh(x)</font>,<font color=red>sinh(x)</font>,<font color=green>tanh(x)</font>
![image.png](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/597772/f293bdc2-90de-a2bb-3daa-aa8cf831d0d3.png)

```math
e^x=\cosh x + \sinh x\\
\cosh x = \frac{e^x+e^{-x}}{2}\\
\sinh x = \frac{e^x-e^{-x}}{2}\\
\tanh x = \frac{\sinh x}{\cosh x}=\frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}
```

#実例その2：オイラーの公式(<font color=blue>Eulerian Formula</font>)の場合
**オイラーの公式**(Eulerian Formula)$y=e^{xi}=\cos x + \sin xi$の場合は以下となります。
[【Python演算処理】等速円運動についての物理学と数学の立場の違い?](https://qiita.com/ochimusha01/items/d5526764c7d1199671df)
![image.gif](https://qiita-user-contents.imgix.net/https%3A%2F%2Fqiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com%2F0%2F597772%2F1ac2d97b-2978-4b06-b118-90672a56f589.gif?ixlib=rb-4.0.0&auto=format&gif-q=60&q=75&w=1400&fit=max&s=c0b3a46e1597626c5fa2f33fd59397b9)

```math
e^{xi}=\cosh x + \sinh xi\\
\cos x = \frac{e^{xi}+e^{-xi}}{2}\\
\sin x = \frac{e^{xi}-e^{-xi}}{2}\\
\ tan x = \frac{\sin x}{\cos x}=\frac{e^{xi}-e^{-xi}}{e^{xi}+e^{-xi}}
```
そう、この二つの関数の違いは「<font color=purple>1次元空間の局所に極座標的演算を付加する</font>」**虚数概念**(Imaginal)$i^2=-1$の導入有無だけなのです。そんな感じで以下続報…