20210626 ラビットチャレンジ 応用数学レポート

線型代数学行列
・１：プロローグ：スカラーは数字、いわゆる四則演算に使う数字。ベクトルは大きさと向きの概念が入っているもの。
・２：行列はベクトルの変換に用いる。スカラー倍してもベクトルはその方向性は変わらないので、変換となっていない。そのために、スカラーを並べた行列を掛けることで変換ができる。また、連立方程式とも関係がある。連立方程式をシンプルに表すためにベクトルを用いて行列積で表すことができる。
・３：行列のかけざんの方法。高校数学の復習。
・４：行列のかけざんの方法、高校数学の復習。
・５：行列での連立方程式の解き方。中学校での解き方の操作自体をまとめて、行基本変形という。行列の変形することで計算の係数を表現できる。
・６：行基本変形は左から行列をすべて左からかけることで、表現できる。どのような行列を掛けるのかは、ある程度形式的にわかっておりそのとおり代入することで表現できる。1行目をc倍するならば、ii成分をc倍、s行目にt行目のc倍を加える場合は、st成分にc倍、pq行列を入れ替えるならば、pq成分を入れ替えた対角線の逆成分に1をおき、逆は0とする。
・７：行基本変形の行列を左から掛けていった。その行列をすべて事前に計算することできれいに整理することができる。その事前に計算し尽くした行列自体を、逆行列と呼ぶ。対角成分が１のかけても変化しない行列を単位行列という。高校の復習。
・８：単位行列と逆行列について、高校の復習。
・９：逆行列の作り方。横に並べた拡大行列をつくり、地道の１つ１つ計算することで、逆行列を作ることができる。
・１０；逆行列の求め方。左が単位行列になるように、地道に行基本変形を行っていく。
・１１：逆行列が存在しない場合 解がないもしくは解が１組に定まらないタイプの連立方程式。a;d = c;dでないときに逆行列を持つわけだから、ad-bc=0だと逆行列が存在しない。
・１２：行列式　平行四辺形の面積を算出する表現方法。同じ行ベクトルが含まれていると、行列式は０。１つのベクトルがラムダ倍されると、行列式全体がラムダ倍される。他の成分が全部同じでi番目のベクトルだけが違った場合、行列式全体の足し合わせになる。行を入れ替えると符号がマイナスに変わる。線型性の復習。３つ以上のベクトルからできている行列式は展開できる。３次元のベクトルは体積を表現できるが、左の列をx,y,z軸とみなして、平面に投射したときの高さとする。そうすれば、体積を面積の和のように２次元ベクトルで表現できる。
・１３：行を入れ替えると行列式の符号が入れ替わるの証明。vtとvsを入れ替えて足すと、同じベクトルが存在することになり、公式より和は0とあんる。移行すれば、マイナスの符号が出てくる、という証明となる。
・１４：行列式の求め方。ある１つの正方行列に、ある１つの数値が対応する。２ｘ２ならad-bc。３ｘ３なら２ｘ２に変換して、そこから計算して求める。軸をどこにするのかは自由に設定しても良い。
・１５：3x3の行列式の計算。軸を選んで、抜き出した場合、符号が変わるのに注意。

線型代数学　固有値
・１：行列を掛けたのにスカラー倍したような状態となるような数値λを行列のを固有値という。
・２：固有ベクトルは、ある行列に対して、固有値倍となるような、ある固有ベクトルを指す。
・３：固有値、固有ベクトルの求め方。固有値を求めるには行列式をといて行列式＝０となるようなラムダを計算する。その行列はA-ラムダ＊単位行列とする。そして式を展開して、連立方程式を解けば、固有ベクトルが算出できる。
・４：3x3行列における逆行列の計算。A-λIの行列式を計算し、＝０となるラムダを求める。次にその時のラムダを固有値として代入してAx=λxを作り、その時のx1,x2,x3を計算する。計算された固有ベクトルは比なので、ある一定のベクトルには定まらず、比として表現される。
・５：固有値分解。固有値と固有ベクトルをもちいて行列を分解する。固有値を対角線上に並べたものと、固有ベクトルを並べた行列Vは、AV=VAであり、右からVインバースをかければA=VAVインバースとなる。このように３つの行列の席に変換することを固有値分解という。累乗しやすくなる変形となる。
・６：固有値分解の具体例。
・７：固有値分解の問題。A-λIの行列を作成、固有方程式をとき、ラムダが2,または6と求まる。Ax=λxとして、固有ベクトルがわかる。最後に、A=λAλインバースにする。
・８：固有値分解、正方形以外の場合は特異値分解。Mv=シグマuとなるような別の変換になるが、M転置u=シグマvとなるような行列を考える。このような特殊な単位ベクトルがあれば、特異値分解はできる。
・９：特異値と特異ベクトルの求め方。長方形の行列の転置行列をかけることで正方行列にし、それによって特異値を計算できるように変形する。M=USVインバース。UとVは直交行列。MM転置を固有値分解すれば、その左特異ベクトルと、特異値の二乗が求められる。
・１０：特異値の求め方　具体的計算。
・１１：特異値の分解の例、画像を圧縮するのに用いられる。成分の小さい部分を優先して削っていることとなる。

統計学１
・1-1 　統計学について概要
・1-2　集合の表現方法　要素と集合の式での表現方法　確率統計に登場する事象は集合で表現ができる
・1-3　和集合、部分集合、絶対補など、高校の数学復習
・1-4　具体例。高校の数学復習。
・1-5　確率。頻度確率、客観確率、発生する頻度。ベイズ確率は信頼の度合い、主観確率。
・1-6　確率の集合での表現。高校数学の復習。
・1-7　条件付き確率の集合的表現、高校数学の復習。
・1ｰ8　同上。
・1-9　独立な事象の同時確率はかければ良い、高校数学の復習。
・1-10　ベン図の計算、高校数学の復習。
・1-11　ベイズの定理の説明。高校数学の復習。

統計学２
・2-1 　記述統計は集団の性質を要約し記述する。推測統計は母集団から標本を取り出した上で母集団の性質を推定し要約するもの。AIではビッグデータなので記述統計を用いる。
・2-2　確率変数と離散的確率分布。高校数学の復習。
・2-3　期待値。期待値は事象＊確率の総和。離散的ならシグマ、連続的なら積分。
・2-4　分散はデータの散らばり具合。共分散は２つのデータ系列の傾向の違い、正の値を撮ればにた傾向、負であれば逆の傾向。ゼロだと関係性に乏しい。。V＝平均値との差の二乗和/n。E(x^2)-(Ex)^2。共分散Cov(f,g)=E(fg)-E(f)E(g)。
・2-5　標準偏差。分散をルートすることで、単位を揃えて計算をしやすくする。
・2-6　確率分布。ベルヌーイ分布はコイントスのイメージ。1回施行における確率を数式化したもの。サイコロを転がすのはマルチヌーイ分布、カテゴリカル分布という。
・2-7　さまざまな確率分布。二項分布はベルヌーイ分布の多施行版。nCkλ^n（１－λ)^(ｎ-k)。ガウス分布、正規分布。真の分布がわからなくても、サンプル数が多ければ正規分布に従う。
・2ｰ8　推定は標本から統計学的に母集団を推測する。平均値などの1つの値を推定する点推定と、平均値の存在する範囲を推定する区間推定がある。
・2-9　推定量と推定値。推定量はパラメータを推定するために利用する数値の計算方法や計算式のこと。推定値は実際に施行を行った結果から計算した値。真の値がシータ、推測値はシータハットとする。
・2-10　一致性：サンプル数が大きくなれば母集団の値に近づくこと。不偏性：サンプル数に関係なくある一定の数字を取る期待値。
・2-11　標本分散の式から、nが増えれば分散は小さくなるわけだから、一致性はある、不偏性はなし。不偏分散として、分散にn\n-1を乗じる。自由度は平均が決まっていればn-1になるわけだから、あえてn-1の自由度で割る。
・2-12　情報科学。同じ変化量が１であっても、もとのnが違えば増減の比率としては違う。⊿w/wとして増加の比率として情報を捉えている可能性がある。
・2-13　1/wを積分して情報量を集める。自己療法量、対数の底が２の時単位はbit。I = -log(px) = log (Wx)  Wは事象なので、Pは確率なので、逆数の関係となり、-log(Px)となる。
・2-14　シャノントロピー。微分エントロピーともいうが、自己情報量の期待値。Hx=-E(logPx)＝-∑(Px*logPx)　シャノンエントロピーを誤差関数代わりに用いる。
・2-15　カルバックライブラーダイバージェンス　同じ滋養、確率変数における異なる確率分布PQの違いを表す。もともと予想されていた確率をQ、実際の確率をPとして、どれだけ違うかを表現するのかに用いる。DKL(P||Q) = log(P/Q)の平均＝logP-logQの平均。自己情報量として式を整理すれば、-logQ-(-logP)とも表現できる。これらの和がDKL。
・2-16　交差エントロピーはKLダイバージェンスの一部分を取り出したもので、Qについての自己情報量をPの分布で平均して表現する。H(P,Q)=H(P)+DKL(P||Q)。必要なところだけを取り出すので、情報量として少なく済む。