2.13 (標準) 積率母関数3, 変数変換4 (1.方針でテイラー展開などを解説)

## 1.方針

平均，分散は積率母関数を使わなければ簡単に求められるが，練習のため積率母関数経由で答案を書く．その際に必要となる近似方法を確認する．

### テイラーの定理，有限テイラー展開

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f(x)が開区間Iでn階微分可能であるとする．Iの任意の2点a,bに対し，

```math
f(b)=f(a)+f'(a)(b-a)+...+\frac{f^{(n-1)}(a)}{(n-1)!}(b-a)^{n-1}+\frac{f^{(n)}(c)}{n!}(b-a)^n
```

を満たす点cがa,b間に存在する．これをテイラーの定理といい，x座標がaからbまで動く時関数がどれだけ増えるかを多項式で近似することができる．a=b周りでテイラーの定理を適用する，という．

f(x)が開区間Iについてn階微分可能とする．I上の点aを固定すると，I上の各xに対して，

```math
f(x)=\sum_{k=0}^{n-1}\frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k+\frac{f^{(n)}(a+\theta(x-a))}{n!}(x-a)^n
```

を満たすthetaが存在する．これを有限テイラー展開という．a=0の時，有限マクローリン展開という．

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### ビッグオー『x→∞の時f(x)の発散スピードはg(x)の定数倍よりも遅い』

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実数直線上に定義された関数f(x),g(x)について，「x>x_0ならば|f(x)|<=C|g(x)|」となるような定数x_0,Cが存在する時，

```math
f(x)=\mathcal{O}(g(x))
```

と書く．

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例えば，

```math
2x^3=\mathcal{O}(x^3)
```

である．つまり，xが大である時，2x^3<Cx^3が常に成り立つような定数Cは存在する．他にも，

```math
\begin{align}
56x^6+x^5+1000x+4=\mathcal{O}(x^6)\\
e^x=1+x+\frac{x^2}{2}+\mathcal{O}(x^3)
\end{align}
```

が言える．

### スモールオー『x→0の時f(x)の0への収束スピードはg(x)よりも速い

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x=0近傍に定義された関数f(x),g(x)に対して，

```math
\lim_{x\rightarrow0}\frac{f(x)}{g(x)}=0
```

が成り立つ時，

```math
f(x)=\mathcal{o}(g(x))
```

と書く．

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例えば，


```math
2x^3=\mathcal{o}(x^2)
```

が言える．


### スモールオーの計算

---

```math
\begin{align}
x^{n+1}&= \mathcal{o}(x^n)\\
c\mathcal{o}(x^n)&= \mathcal{o}(x^n)\\
x^n\mathcal{o}(x^m)&= \mathcal{o}(x^{n+m})\\
\mathcal{o}(x^n)\mathcal{o}(x^m)&= \mathcal{o}(x^{n+m})\\
\mathcal{o}(x^n)+\mathcal{o}(x^m)&= \mathcal{o}(x^n)\ \ \ \mathrm{if}\ n\leq m
\end{align}
```

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### 漸近展開

---

```math
\begin{align}
f(x)&= f(0)+f'(0)+\frac{f''(0)}{2!}x^2+...+\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n+\mathcal{o}(x^n)\\
&= \sum_{k=0}^n\frac{f^{(k)}(0)}{k!}x^k+\mathcal{o}(x^n)
\end{align}
```

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例えば，

```math
\begin{align}
\exp(x)&= 1+x+\frac{x^2}{2}+\mathcal{o}(x^2)\\
\log(1+x)&= x-\frac{x^2}{2}+\mathcal{o}(x^2)\\
\cos x&= 1-\frac{x^2}{2}+\mathcal{o}(x^2)\\
\sin x&= 1-\frac{x^2}{2}+\mathcal{o}(x^2)\\
\sin x&= x+\mathcal{o}(x^2)
\end{align}
```

が言える．

## 1.答案

Xの積率母関数は

```math
\begin{align}
M_X(t)&= \mathbb{E}_{X\sim f_X}[e^{tX}]\\
&= \int_{-1}^1\frac{e^{tx}}{2}dx\\
&= \left[\frac{e^{tx}}{2t}\right]_{-1}^1=\frac{1}{2t}(e^t-e^{-t})
\end{align}
```

ここで，指数部分を漸近展開して

```math
\begin{align}
e^t&= 1+t+\frac{t^2}{2}+\frac{t^3}{3!}+\frac{t^4}{4!}+\frac{t^5}{5!}+\mathcal{o}(t^5)\tag{1}\\
e^{-t}&= 1-t+\frac{t^2}{2}-\frac{t^3}{3!}+\frac{t^4}{4!}-\frac{t^5}{5!}+\mathcal{o}(t^5)\tag{2}
\end{align}
```

(1)-(2)より

```math
\begin{align}
M_X(t)&= \frac{1}{2t}\{2(t+\frac{t^3}{3!}+\frac{t^5}{5!}+\mathcal{o}(t^5))\}\\
&= 1+\frac{t^2}{3!}+\frac{t^4}{5!}+\mathcal{o}(t^4)
\end{align}
```

である．故に，


```math
\frac{d}{dt}M_X(t)=\frac{t}{3}+\mathcal{o}(t)
```

なので，平均は

```math
\mathbb{E}_{X\sim f_X}[X]=\left.\frac{d}{dt}M_X(t)\right|_{t=0}=0
```

また，

```math
\frac{d^2}{dt^2}M_X(t)=\frac{1}{3}+\mathcal{o}(1)
```

なので，分散は

```math
Var(X)=\frac{1}{3}
```

## 2.方針

変数変換はまず分布関数から考える．分布関数ができたらそれを微分することで確率密度関数を求める．

## 2.答案

Yの分布関数は

```math
\begin{align}
F_Y(y)&= P[Y\leq y]\\
&= P[X^2\leq y]\\
&= P[-\sqrt{y}\leq X\leq\sqrt{y}]\\
&= P[X\leq \sqrt{y}]-P[X\leq-\sqrt{y}]\\
&= \int_{-1}^{\sqrt{y}}\frac{1}{2}dx-\int_{-1}^{-\sqrt{y}}\frac{1}{2}dx\\
&= \left[\frac{x}{2}\right]_{-1}^{\sqrt{y}}-\left[\frac{x}{2}\right]_{-1}^{-\sqrt{y}}\\
&= \frac{\sqrt{y}}{2}+\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{y}}{2}-\frac{1}{2}=\sqrt{y}\ \ \ (0<y<1)
\end{align}
```

なので，確率密度関数は，

```math
\begin{align}
f_Y(y)&= \frac{d}{dy}F_Y(y)\\
&= \frac{1}{2\sqrt{y}}
\end{align}
```

また，平均と分散は

```math
\begin{align}
\mathbb{E}_{Y\sim f_Y}[Y]&= \int_0^1\frac{y}{2\sqrt{y}}dy\\
&= \left[\frac{1}{2}\frac{2}{3}y^{3/2}\right]_0^1\\
&= \frac{1}{3}\\
\mathbb{E}_{Y\sim f_Y}[Y^2]&= \int_0^1\frac{y^2}{2\sqrt{y}}dy\\
&= \left[\frac{1}{2}\frac{2}{5}y^{5/2}\right]_0^1\\
&= \frac{1}{5}\\
Var(Y)&= \frac{1}{5}-\frac{1}{9}=\frac{4}{45} 
\end{align}
```

## 3.方針

変数変換はまず分布関数から考える．分布関数ができたらそれを微分することで確率密度関数を求める．

## 3.答案

Yの分布関数は

```math
\begin{align}
F_Y(y)&= P[Y\leq y]\\
&= P[-\log|X|\leq y]\\
&= P[\log|X|\geq -y]\\
&= P[|X|\geq e^{-y}]\\
&= P[X\leq -e^{-y}]+P[e^{-y}\leq X]\\
&= \int_{-1}^{-e^{-y}}\frac{1}{2}dx+1-\int_{-1}^{e^{-y}}\frac{1}{2}dx\\
&= \left[\frac{x}{2}\right]_{-1}^{-e^{-y}}+1-\left[\frac{x}{2}\right]_{-1}^{e^{-y}}\\
&= -\frac{e^{-y}}{2}+\frac{1}{2}+1-\frac{e^{-y}}{2}+\frac{1}{2}\\
&= 1-e^{-y}\ \ \ (0<y)
\end{align}
```

なので，確率密度関数は

```math
f_Y(y)=e^{-y}
```

2.12の3.答案より，平均と分散は

```math
\mathbb{E}_{Y\sim f_Y}[Y]=1,\ Var(Y)=1
```

## 4.方針

変数変換はまず分布関数から考える．分布関数ができたらそれを微分することで確率密度関数を求める．

## 4.答案

Yの分布関数は

```math
\begin{align}
F_Y(y)&= P[Y\leq y]\\
&= P[\sigma X+\mu\leq y]\\
&= P[X\leq\frac{y-\mu}{\sigma}]\ \ (\because\sigma>0)\\
&= \int_{-1}^{\frac{y-\mu}{\sigma}}\frac{1}{2}dx\\
&= \left[\frac{x}{2}\right]_{-1}^{\frac{y-\mu}{\sigma}}\\
&= \frac{y-\mu}{2\sigma}+\frac{1}{2}
\end{align}
```

なので，確率密度関数は，

```math
f_Y(y)=\frac{1}{2\sigma}
```

積率母関数は，

```math
\begin{align}
M_Y(t)&= \int_{\mu-\sigma}^{\mu+\sigma}\frac{e^{ty}}{2\sigma}dy\\
&= \left[\frac{e^{ty}}{2\sigma t}\right]_{\mu-\sigma}^{\mu+\sigma}\\
&= \frac{1}{2\sigma t}(e^{t(\mu+\sigma)}-e^{t(\mu-\sigma)})
\end{align}
```

平均，分散は，

```math
\begin{align}
\mathbb{E}_{Y\sim f_Y}[Y]&= \int_{\mu-\sigma}^{\mu+\sigma}\frac{y}{2\sigma}dy\\
&= \left[\frac{y^2}{4\sigma}\right]_{\mu-\sigma}^{\mu+\sigma}\\
&= \frac{1}{4\sigma}\{(\mu+\sigma)^2-(\mu-\sigma)^2\}\\
&= \frac{1}{4\sigma}(2\mu\times2\sigma)=\mu\\
\mathbb{E}_{Y\sim f_Y}[Y^2]&= \int_{\mu-\sigma}^{\mu+\sigma}\frac{y^2}{2\sigma}dy\\
&= \left[\frac{y^3}{6\sigma}\right]_{\mu-\sigma}^{\mu+\sigma}\\
&= \frac{1}{6\sigma}\{(\mu+\sigma)^3-(\mu-\sigma)^3\}\\
&= \frac{1}{6\sigma}(2\sigma^3+6\mu^2\sigma)\\
&= \frac{\sigma^2}{3}+\mu^2\\
Var(Y)&= \frac{\sigma^2}{3}+\mu^2-\mu^2\\
&= \frac{\sigma^2}{3}
\end{align}
```

## 参考文献

- 『[現代数理統計学の基礎](https://www.kyoritsu-pub.co.jp/bookdetail/9784320111660)』(久保川達也　著)