『現代数理統計学の基礎』章末演習問題解答 (答案)



## 0.はじめに
『[現代数理統計学の基礎](https://www.kyoritsu-pub.co.jp/bookdetail/9784320111660)』(久保川達也 著)の章末問題の答案を作成する．略解は久保川先生が[こちらのサイト](https://sites.google.com/site/ktatsuya77/xian-dai?authuser=0)に掲載して下さっているが，「略解」なだけあって途中式がかなり端折られていたり，エレガントすぎて凡人では思いつきようのない解答だったりするので，多少計算がゴツくなったとしても庶民的な答案を心がける．また必要に応じて答案とは別に必要な知識の確認を行う．

各リンクから問題の方針と答案に飛べる．

## 1.確率
1. [(易) ベン図書く](https://qiita.com/ut-tokei/items/592774f7f037bbb3504b)
2. [(易) 和事象，積事象の性質](https://qiita.com/ut-tokei/items/7ff33f4bb40a9b28a79b)
3. [(易) 条件付き確率と同時確率](https://qiita.com/ut-tokei/items/07bb06842aaae71d934a)
4. [(易) 部分集合についての確率](https://qiita.com/ut-tokei/items/642b8403d2fbc5d06edb)
5. [(易) 条件付き確率の典型問題](https://qiita.com/ut-tokei/items/83297ec6bb5093753951)
6. [(易) 条件付き確率の典型問題2](https://qiita.com/ut-tokei/items/49d43254fd9962c25543)
7. [(易) 因果関係と相関関係，独立性](https://qiita.com/ut-tokei/items/d6ddd1e5675af6f5c4dd)
8. [(易) 和事象と確率の和](https://qiita.com/ut-tokei/items/dda3ef9844c3dab610b5)

## 2.確率分布と期待値
1. [(標準) 分布関数，密度関数の定義](https://qiita.com/ut-tokei/items/b1c31c29443ffca8ad8c)
2. [(標準) 分布関数，密度関数の定義2](https://qiita.com/ut-tokei/items/a84159e9469cb6adc477)
3. [(標準) 分布関数，密度関数の定義3](https://qiita.com/ut-tokei/items/5244bfb8d8913acfbe0a)
4. [(標準) 期待値の定義](https://qiita.com/ut-tokei/items/98b3f81287928168cfb6)
5. [(難) モーメントの処理 (方針2で凸関数，Jensenの不等式を解説)](https://qiita.com/ut-tokei/items/c234c8e1bfac2106a879)
6. [(難) 非負の離散確率変数の期待値 (方針で二重和の計算を解説)](https://qiita.com/ut-tokei/items/46f75d506f9a1bd44fe3)
7. [(難) 連続確率変数の期待値と分布関数の関係](https://qiita.com/ut-tokei/items/54259c7cd5b549bfd3b8)
8. [(易) 期待値の性質](https://qiita.com/ut-tokei/items/218ffe2b19d3481f6a37)
9. [(易) 変数変換](https://qiita.com/ut-tokei/items/f8acc154a93b0a979685)
10. [(標準) 積率母関数，変数変換2 (1.方針で積率母関数を解説)](https://qiita.com/ut-tokei/items/3dc74550b3f7bb5cd3f2)
11. [(標準) 確率母関数 (方針で確率母関数を解説)](https://qiita.com/ut-tokei/items/1cb6d840b24f047b0383)
12. [(標準) 積率母関数2, 変数変換3](https://qiita.com/ut-tokei/items/fa05cdb3d6378ab2f6ac)
13. [(標準) 積率母関数3, 変数変換4 (1.方針でテイラー展開などを解説)](https://qiita.com/ut-tokei/items/501192a72271aff204dc)
14. [(標準) 変数変換5](https://qiita.com/ut-tokei/items/85755c7e9cc906770343)
15. [(標準) 変数変換6](https://qiita.com/ut-tokei/items/420f5b8bb72046767354)
16. [(難) 分布関数，期待値の演算](https://qiita.com/ut-tokei/items/9b41c0a606dd80ff5ee6)
17. [(難) 期待値の演算](https://qiita.com/ut-tokei/items/b46f3ceb40ca52afafeb)
18. [(易) 積率母関数4](https://qiita.com/ut-tokei/items/a6eb10f6a87296e21ae4)

## 3.代表的な確率分布
1. [(易) 離散一様分布](https://qiita.com/ut-tokei/items/63ba2d42a5ec445a1055)
2. [(標準) 二項係数，二項定理](https://qiita.com/ut-tokei/items/e5c94b25943711fbd085) 
3. [(難) 超幾何分布](https://qiita.com/ut-tokei/items/a9ba0fb41d5b89a47496)
4. [(難) 超幾何分布と二項分布の関係 (方針でスターリングの公式を解説)](https://qiita.com/ut-tokei/items/8c391f5aa70cee1d90c7)
5. [(標準) 指数分布](https://qiita.com/ut-tokei/items/adf7a39955d419cd720f)
6. [(標準) 幾何分布](https://qiita.com/ut-tokei/items/bc84cbc06140083d3000)
7. [(標準) 負の二項分布](https://qiita.com/ut-tokei/items/aa197ffe97986ce2db37)
8. [(標準) 二項分布，正規分布](https://qiita.com/ut-tokei/items/988b5397630be8b3e9c0)
9. [(標準) ポアソン分布](https://qiita.com/ut-tokei/items/6012b64f200fb63c695d)
10. [(標準) 対数正規分布](https://qiita.com/ut-tokei/items/935976ba2d91a57f91fd)
11. [(標準) パレート分布](https://qiita.com/ut-tokei/items/de34facac44cfb51b0f0)
12. [(標準) ラプラス分布](https://qiita.com/ut-tokei/items/c22c9e04e2356d91ccd2)
13. [(標準) ロジスティック分布 (方針でロジスティック回帰を解説)](https://qiita.com/ut-tokei/items/ce2397a24ebee4bfc542)
14. [(標準) 正規分布2](https://qiita.com/ut-tokei/items/4964f11d1246c75ce425)
15. [(標準) 正規分布3 (方針で偶関数，奇関数を解説)](https://qiita.com/ut-tokei/items/7b33eee8317d4564080f)
16. [(標準) 正規分布4](https://qiita.com/ut-tokei/items/1f0e0e71b6ed3d4531fc)
17. [(易) ガンマ分布](https://qiita.com/ut-tokei/items/e16a42fb9a398a4e7d04)
18. [(標準) カイ二乗分布](https://qiita.com/ut-tokei/items/60b4fc91eaf9db0c1b44)
19. [(難) ベータ分布](https://qiita.com/ut-tokei/items/a5667fce103d71daf159)
20. [(難) ガンマ分布2](https://qiita.com/ut-tokei/items/b16b2f852a313aa8ef9b)
21. [(難) 指数分布2](https://qiita.com/ut-tokei/items/a476bad37729b9d3b849)

## 4.多次元確率変数の分布
1. [(標準) コーシー・シュワルツの不等式，共分散](https://qiita.com/ut-tokei/items/dca7aa04b5cca8532829)
2. [(易) 確率変数の和の平均，分散](https://qiita.com/ut-tokei/items/67676ac308d5ecf2e256)
3. [(標準) 条件付き期待値，条件付き分散](https://qiita.com/ut-tokei/items/346c7a4632ba7a0361be)
4. [(標準) 二変量正規分布](https://qiita.com/ut-tokei/items/b3ee574ba9f9a10127e4)
5. [(標準) 二次元確率変数の変数変換1 正規分布の和 (畳み込み，積率母関数)](https://qiita.com/ut-tokei/items/2329828f1044498fe1a8)
6. [(標準) 二変数確率変数の変数変換2 一様分布に従う確率変数の和，積 (畳み込み)](https://qiita.com/ut-tokei/items/087678696007393cee4d)
7. [(標準) ポアソン分布に従う確率変数の和 (積率母関数)](https://qiita.com/ut-tokei/items/ad72bfbceaf9f2adc31c)
8. [(標準) 二変数確率変数の変数変換3　Box-Muller変換](https://qiita.com/ut-tokei/items/48e0fb81f58b7d2cce51)
9. [(易) 二次元確率変数の変数変換4](https://qiita.com/ut-tokei/items/819d1a57479be199c28a)
10. [(易) 二次元確率変数の変数変換5 正規分布の和，差](https://qiita.com/ut-tokei/items/b1d42a67999516b4ccf1)
11. [(難) 二次元確率変数の変数変換6](https://qiita.com/ut-tokei/items/b354629a0762fd2b0630)
12. [(難) 二次元確率変数の変数変換7 正規分布の商としてのコーシー分布](https://qiita.com/ut-tokei/items/1ca6a7a73eaf174ca03b)
13. [(標準) 連続確率変数と離散確率変数の同時分布](https://qiita.com/ut-tokei/items/0582ee1d992c6da3cec0)
14. [(標準) 二次元確率変数の変数変換8 ベータ分布](https://qiita.com/ut-tokei/items/657fd6f243fc15c55bd6)
15. [(標準) 三次元確率変数の変数変換](https://qiita.com/ut-tokei/items/489c3b6ca35cf579d973)
16. [(易) 繰り返し期待値](https://qiita.com/ut-tokei/items/5f7a4576241bc01e962d)
17. [(標準) 繰り返し分散，相関係数，条件付き分布](https://qiita.com/ut-tokei/items/fc82bcfaff66d798cb81)
18. [(標準) 二次元確率変数の変数変換9 極座標変換](https://qiita.com/ut-tokei/items/004d20a5cbfab2f3df4d)
19. [(易) 階層モデル1 ベータ・二項モデル](https://qiita.com/ut-tokei/items/ebab76aa42bbf5aecfbf)
20. [(易) 階層モデル2 ガンマ・ポアソン分布](https://qiita.com/ut-tokei/items/997309c49e7056139a1c)
21. [(標準) 二次元確率変数の変数変換10 二変量正規分布](https://qiita.com/ut-tokei/items/162f3d63e7b0508ec985)
22. [(標準) ディリクレ分布](https://qiita.com/ut-tokei/items/188dbf2d3febe87b2526)
23. [(易) 多項分布](https://qiita.com/ut-tokei/items/ed6694f6ca7bf12d0a40)
24. [(標準) 多変量正規分布の積率母関数](https://qiita.com/ut-tokei/items/0409d5893d9b52077d25)

## 5.標本分布とその近似
1. [(標準) 標準偏差の期待値](https://qiita.com/ut-tokei/items/18b9155aeb4ab138f89b)
2. [(難) t分布](https://qiita.com/ut-tokei/items/9b2c31dd9062c4339852)
3. [(難) t分布2](https://qiita.com/ut-tokei/items/3a783fa0e4553413453d)
4. [(標準) F分布](https://qiita.com/ut-tokei/items/a4faf1961ed115bb4bc6)
5. [(標準) 順序統計量1](https://qiita.com/ut-tokei/items/2f1ae9d6f76e27ca47e2)
6. [(標準) マルコフの不等式1](https://qiita.com/ut-tokei/items/65d125ce3d7a8514dbcf)
7. [(標準) マルコフの不等式2](https://qiita.com/ut-tokei/items/ed221a220225e6e66769)
8. [(標準) 確率収束1 マルコフの不等式](https://qiita.com/ut-tokei/items/d5f587963ec3b7de8a8b)
9. [(易) 確率変数列としての標本平均](https://qiita.com/ut-tokei/items/ec87383145176301380e)
10. [(標準) 大数法則，中心極限定理，標本分散の一致性](https://qiita.com/ut-tokei/items/31ede62eb39226ac5da7)
11. [(標準) 確率収束2 マルコフの不等式](https://qiita.com/ut-tokei/items/f62f258ca19028919c18)
12. [(難) デルタ法1](https://qiita.com/ut-tokei/items/4623974207bbe3e229ca)
13. [(標準) 順序統計量2](https://qiita.com/ut-tokei/items/fd6a46f54c6dfc8df8a3)
14. [(標準) 順序統計量3 順序統計量の同時分布](https://qiita.com/ut-tokei/items/4135becc5ff9e26df4e6)
15. [(易) 順序統計量4 順序統計量のハザード関数](https://qiita.com/ut-tokei/items/451e8adf1093a3e81e20)
16. [(標準) 順序統計量5](https://qiita.com/ut-tokei/items/3ca869bc567b48285780)
17. [(標準) 順序統計量6](https://qiita.com/ut-tokei/items/90e2b3b5679bc31d7f10)
18. [(標準) 順序統計量7](https://qiita.com/ut-tokei/items/3648a5feda3ab1326719)

## 6.統計的推定
1. [(標準) 指数型分布族](https://qiita.com/ut-tokei/items/3384d049c25ccabcd22d)
2. [(標準) 十分統計量1，最尤推定1](https://qiita.com/ut-tokei/items/b285580184b1056e3c0e)
3. [(標準) 十分統計量2](https://qiita.com/ut-tokei/items/b22f7572f91eeddaf23c)
4. [(標準) 最尤推定2，推定量の評価1](https://qiita.com/ut-tokei/items/1ec79b6431c98a3ea823)
5. [(易) 最尤推定3](https://qiita.com/ut-tokei/items/e4014c1fe7aed6bc82d1)
6. [(標準) 最尤推定4，モーメント法](https://qiita.com/ut-tokei/items/e4328223025bba4af36a)
7. [(易) ベイズ推定1](https://qiita.com/ut-tokei/items/15cc1b206f0c183e1959)
8. [(易) ベイズ推定2](https://qiita.com/ut-tokei/items/126518fb805180645d43)
9. [(標準) 推定量の評価2 不偏性](https://qiita.com/ut-tokei/items/558fe09ed4f74ae65e1a)
10. [(難) 十分統計量3，推定量の評価3](https://qiita.com/ut-tokei/items/f695f3b312bd4cecd862) 
11. [(標準) 最尤推定5，推定量の評価4，デルタ法2](https://qiita.com/ut-tokei/items/b5d7472b0fc9267e9777)
12. [(標準) 最尤推定6 推定量の評価5 クラメール・ラオ不等式1](https://qiita.com/ut-tokei/items/11bfdbc73454ba98bd2a)
13. [(標準) 最尤推定7，推定量の評価6](https://qiita.com/ut-tokei/items/caf8d7c034de89a33ac7)
14. [(標準) 最尤推定8，最尤推定量の漸近正規性](https://qiita.com/ut-tokei/items/0775b61ce2325d73cd91)
15. [(易) クラメール・ラオ不等式2](https://qiita.com/ut-tokei/items/e363305150e33370c72e)
16. [(難) 推定量の評価7 標本がiidでない場合の一致性の評価](https://qiita.com/ut-tokei/items/4196b1c71257fef6080b)

## 7.統計的仮説検定

1. [(標準) 尤度比検定1，ワルド検定1，スコア検定1](https://qiita.com/ut-tokei/items/3d8048a4862803b48a85)
2. [(難) 尤度比検定2 帰無仮説が単純仮説でない場合](https://qiita.com/ut-tokei/items/7d86baf363d1fe88f210)
3. [(難) 尤度比検定3，ワルド検定2，スコア検定2](https://qiita.com/ut-tokei/items/6599d4221160abe404ab)
4. [(難) 尤度比検定4 帰無仮説が単純仮説でない場合](https://qiita.com/ut-tokei/items/c7a9788c78c0237e298d)
5. [(易) 尤度比検定5，ワルド検定3，スコア検定3](https://qiita.com/ut-tokei/items/180fe06d6aeb72d7584e)
6. [(標準) 尤度比検定6，F検定](https://qiita.com/ut-tokei/items/7b5b9326408d56eb1eab)
7. [(標準) 尤度比検定7](https://qiita.com/ut-tokei/items/ca1e5480e2847deebc3c)
8. [(標準) 尤度比検定8](https://qiita.com/ut-tokei/items/3241f7771c6a555172f2)

## 確認テスト

略解のサイトに載っている確認テストを解いていく．テストは数値だけを答えることを想定しているが，解答ではいつも通り方針や途中式を多めに書く．また可能な限り章末演習問題の類題を挙げていく．

### 基礎編1

基礎編は章末演習問題の易~標準レベルの問題が出題されている．一問一問はそこまで難しい問題は出ていないが，量が多いので序盤をのんびり解いていると120分で解ききることは難しい．

1. [(易) 条件付き確率の典型問題](https://qiita.com/ut-tokei/items/aa52468f1577dd22e6f5)
2. [(易) 分布関数，密度関数の定義](https://qiita.com/ut-tokei/items/2dfd2fdc5134c6233d2e)
3. [(標準) 期待値と分散](https://qiita.com/ut-tokei/items/d8ae388620322d9669ca)
4. [(標準) モーメントの計算](https://qiita.com/ut-tokei/items/4dddf73f851a200f4fbc)
5. [(標準) 幾何分布，指数分布](https://qiita.com/ut-tokei/items/6f8cc77452eb937a5a4a)
6. [(標準) 二次元確率変数](https://qiita.com/ut-tokei/items/b072978ea9d7b72901ff)
7. [(易) 確率変数の和の平均，分散](https://qiita.com/ut-tokei/items/a3e380a20e6d8051bb65)
8. [(難) 標本平均と標本分散](https://qiita.com/ut-tokei/items/5221a834f28fb2f47bd5)
9. [(標準) デルタ法](https://qiita.com/ut-tokei/items/84bb7d0be73d17ab40a6)
10. [(標準) 最尤推定量の評価](https://qiita.com/ut-tokei/items/b443411686159a8d69dd)
11. [(易) 確率変数の和の平均，分散](https://qiita.com/ut-tokei/items/82f36877bf103b0986b7)
12. [(標準) 最尤推定量の漸近正規性，t検定](https://qiita.com/ut-tokei/items/8476340d8ee90f4eb428)

### 基礎編2

1. [(易) 条件付き確率の典型問題](https://qiita.com/ut-tokei/items/b3602de2f005c60e8f1c)
2. [(易) 期待値の定義](https://qiita.com/ut-tokei/items/127de99978f7ac25d396)
3. [(標準) 変数変換，ガンマ関数，期待値の定義](https://qiita.com/ut-tokei/items/8d61922b5754c94d4fc6)
4. [(易) 変数変換](https://qiita.com/ut-tokei/items/f9429f7677cf381440bf)
5. [(易) 繰り返し期待値，条件付き分布](https://qiita.com/ut-tokei/items/ee9eec320c974b2c34e7)
6. [(易) 等比数列の和](https://qiita.com/ut-tokei/items/547344c227320ce15cd3)
7. [(標準) カイ二乗分布，中心極限定理，デルタ法](https://qiita.com/ut-tokei/items/a6eba2e4bfa12f757514)
8. [(標準) 順序統計量](https://qiita.com/ut-tokei/items/4c541d3c0b80dd6e9f3f)
9. [(標準) 最尤推定，推定量の評価](https://qiita.com/ut-tokei/items/7b9693e9166c4362014a)
10. [(標準) 最尤推定，推定量の評価](https://qiita.com/ut-tokei/items/58307f8d18b2c4cd2955)


## 参考文献

- 『[現代数理統計学の基礎](https://www.kyoritsu-pub.co.jp/bookdetail/9784320111660)』(久保川達也　著)