2.12(標準) 積率母関数2, 変数変換3

## 1.方針

積率母関数を定義にそって求める．一様分布の平均，分散については定義通り計算した方が早いが，練習のため積率母関数を経由して求める．

## 1.答案

Xの積率母関数は，

```math
\begin{align}
M_X(t)&= \mathbb{E}_{X\sim f_X}[e^{tX}]\\
&= \int_0^1e^{tx}dx\\
&= \left[\frac{e^{tx}}{t}\right]_0^1\\
&= \frac{e^t-1}{t}
\end{align}
```

である．次に，これを一階微分すると，

```math
\frac{d}{dt}M_X(t)=\frac{te^t-e^t+1}{t^2} 
```

である．従って，Xの平均は，

```math
\begin{align}
\mathbb{E}_{X\sim f_X}[X]&= \lim_{t\rightarrow0}\frac{d}{dt}M_X(t)\\
&= \lim_{t\rightarrow 0}\frac{te^t-e^t+1}{t^2}\\
&= \lim_{t\rightarrow0}\frac{e^t+te^t-e^t}{2t}\\
&= \lim_{t\rightarrow0}\frac{e^t(t+1)}{2}=\frac{1}{2}
\end{align}
```

次に，積率母関数を二階微分すると，

```math
\begin{align}
\frac{d^2}{dt^2}M_X(t)&= \frac{(-e^t+e^t+te^t)t^2-2t(-e^t+1+te^t)}{t^4}\\
&= \frac{t^2e^t-2(-e^t+1+te^t)}{t^3}\\
&= \frac{t^2e^t-2te^t+2e^t-2}{t^3}
\end{align}
```

なので，Xの二次モーメントは

```math
\begin{align}
\mathbb{E}_{X\sim f_X}[X^2]&= \lim_{t\rightarrow0}\frac{d^2}{dt^2}M_X(t)\\
&= \lim_{t\rightarrow0}\frac{2te^t+t^2e^t-2e^t-2te^t+2e^t}{3t^2}\\
&= \lim_{t\rightarrow0}\frac{t^2e^t}{3t^2}\\
&= \lim_{t\rightarrow0}\frac{2te^t+t^2e^t}{6t}\\
&= \lim_{t\rightarrow0}\frac{2e^t+2te^t+2te^t+t^2e^t}{6}=\frac{1}{3}
\end{align}
```

以上より，Xの分散は

```math
Var(X)=\mathbb{E}_{X\sim f_X}[X^2]-(\mathbb{E}_{X\sim f_X}[X])^2=\frac{1}{12}
```

## 2.方針

変数変換はまず分布関数から考える．分布関数ができたらそれを微分することで確率密度関数を求める．

## 2.答案

Yの分布関数は，

```math
\begin{align}
F_Y(y)&= P[Y\leq y]\\
&= P[X^2\leq y]\\
&= P[X\leq\sqrt{y}]\\
&= \int_0^{\sqrt{y}}1sx\\
&= \left[x\right]_0^{\sqrt{y}}=\sqrt{y}\ \ \ (0<y<1)
\end{align}
```

なので，確率密度関数は

```math
f_Y(y)=\frac{d}{dy}F_Y(y)=\frac{1}{2\sqrt{y}}
```

また，平均と分散は，

```math
\begin{align}
\mathbb{E}_{Y\sim f_Y}[Y]&= \int_0^1\frac{y}{2\sqrt{y}}dy\\
&= \int_0^1\frac{y^{1/2}}{2}dy\\
&= \left[\frac{1}{2}\frac{2}{3}y^{3/2}\right]_0^1=\frac{1}{3}\\
\mathbb{E}_{Y\sim f_Y}[Y^2]&= \int_0^1\frac{y^2}{2\sqrt{y}}dy\\
&= \int_0^1\frac{y^{3/2}}{2}dy\\
&= \left[\frac{1}{2}\frac{2}{5}y^{5/2}\right]_0^1=\frac{1}{5}\\
Var(Y)&= \mathbb{E}_{Y\sim f_Y}[Y^2]-(\mathbb{E}_{Y\sim f_Y}[Y])^2\\
&= \frac{1}{5}-\frac{1}{9}=\frac{4}{45}
\end{align}
```

## 3.方針

変数変換はまず分布関数から考える．分布関数ができたらそれを微分することで確率密度関数を求める．

## 3.答案

Yの分布関数は，

```math
\begin{align}
F_Y(y)&= P[Y\leq y]\\
&= P[-\log X\leq y]\\
&= P[\log X\geq -y]\\
&= P[X\geq e^{-y}]\\
&= \int_{e^{-y}}^1f_X(x)dx\\
&= \left[x\right]_{e^{-y}}^1=1-e^{-y}\ \ (0<y)
\end{align}
```

なので，確率密度関数は，

```math
f_Y(y)=e^{-y}
```

また，平均と分散は

```math
\begin{align}
\mathbb{E}_{Y\sim f_Y}[Y]&= \int_0^\infty y\exp(-y)dy\\
&= \int_0^\infty y\{-\exp(-y)\}'dy\\
&= \left[-y\exp(-y)\right]_0^\infty+\int_0^\infty\exp(-y)dy\\
&= 1\\
\mathbb{E}_{Y\sim f_Y}[Y^2]&= \int_0^\infty y^2\exp(-y)dy\\
&= \int_0^\infty y^2\{-\exp(-y)\}'dy\\
&= \left[-y^2\exp(-y)\right]_0^\infty+2\int_0^\infty y\exp(-y)dy\\
&= 2\\
Var(Y)&= \mathbb{E}_{Y\sim f_Y}[Y^2]-(\mathbb{E}_{Y\sim f_Y}[Y])^2\\
&= 2-1=1
\end{align}
```

## 4.方針

変数変換はまず分布関数から考える．分布関数ができたらそれを微分することで確率密度関数を求める．

## 4.答案

Yの分布関数は

```math
\begin{align}
F_Y(y)&= P[Y\leq y]\\
&= P[\sigma X+\mu\leq y]\\
&= P[X\leq \frac{y-\mu}{\sigma}]\ \ (\because\sigma>0)\\
&= \int_0^{\frac{y-\mu}{\sigma}}dx\\
&= \left[x\right]_0^{\frac{y-\mu}{\sigma}}=\frac{y-\mu}{\sigma}\ \ \ (\mu<y<\sigma+\mu)
\end{align}
```

なので，確率密度関数は，

```math
f_Y(y)=\frac{d}{dy}F_Y(y)=\frac{1}{\sigma}
```

積率母関数は，

```math
\begin{align}
M_Y(t)&= \mathbb{E}_{Y\sim f_Y}[e^{tY}]\\
&= \int_\mu^{\sigma+\mu}\frac{e^{ty}}{\sigma}dy\\
&= \left[\frac{e^{ty}}{\sigma t}\right]_\mu^{\sigma+\mu}\\
&= \frac{1}{\sigma t}(e^{t(\sigma+\mu)}-e^{t\mu})
\end{align}
```

平均と分散は，

```math
\begin{align}
\mathbb{E}_{Y\sim f_Y}[Y]&= \int_\mu^{\sigma+\mu}\frac{y}{\sigma}dy\\
&= \left[\frac{1}{2\sigma}y^2\right]_\mu^{\sigma+\mu}= \frac{\sigma}{2}+\mu\\
\mathbb{E}_{Y\sim f_Y}[Y^2]&= \int_\mu^{\sigma+\mu}\frac{y^2}{\sigma}dy\\
&= \left[\frac{1}{3\sigma}y^3\right]_\mu^{\sigma+\mu}=\frac{\sigma^2}{3}+\mu^2+\mu\sigma\\
Var(Y)&= \mathbb{E}_{Y\sim f_Y}[Y^2]-(\mathbb{E}_{Y\sim f_Y}[Y])^2\\
&= \frac{\sigma^2}{3}+\mu^2+\mu\sigma-\frac{\sigma^2}{4}-\mu\sigma-\mu^2=\frac{\sigma^2}{12}
\end{align}
```

## 参考文献

- 『[現代数理統計学の基礎](https://www.kyoritsu-pub.co.jp/bookdetail/9784320111660)』(久保川達也　著)