無限に深い井戸型ポテンシャル - 量子力学




##時間に依存しない1次元のシュレーディンガー方程式

$
H \psi (x) = E \psi(x) \tag{1}
$

ハミルトニアン$H$：

$
H = - \frac{\hbar^2}{2m} \frac{d^2}{dx^2} +U(x) \tag{2}
$

$(1)$と$(2)$をまとめると、

$
 (- \frac{\hbar^2}{2m} \frac{d^2}{dx^2} + U(x)) \psi (x) = E \psi(x) \tag{3}
$


##条件：　無限に深い井戸型ポテンシャル

```math
V(x)=
\left\{
\begin{array}{ll}
0 & |x| < a \\
\infty & |x| \geq a
\end{array}
\right.
```

ポテンシャルの値によって、


$
(a)井戸の外  |x| \geq a,  V= \infty
$
$
(b) 井戸の中,  |x| < a,  V=0
$
の2つに場合分けして問題を解く。

##(a)井戸の外

$U$が$\infty$の時、$E$は定数だから、シュレーディンガー方程式が成り立つのは

$
\psi(x)=0
$

の時。

##(b)井戸の中

###シュレーディンガー方程式を解きやすい微分方程式の形に変形

シュレーディンガー方程式$(3)$において、$V=0$となるから、

$
 - \frac{\hbar^2}{2m} \frac{d^2}{dx^2} \psi (x) = E \psi(x) \tag{4}
$

$
\Longleftrightarrow
\frac{d^2}{dx^2} \psi(x) = - \frac{2mE}{\hbar^2} \psi(x) \tag{5}
$

ここで、$k=\frac{\sqrt{2mE}}{\hbar}\tag{6}$とおく。

すると、$(5)$は、つぎのように書き換えられる。

$
\frac{d^2}{dx^2} \psi(x) = - k^2 \psi(x) \tag{7}
$

####kの条件

ただし、$E>0$より、$k>0 \tag{8}$である。

###波動関数を三角関数で表す

$
\psi(x) = A \sin{kx} + B \cos{kx} \tag{9}
$

###波動関数に連続性を課す

波動関数に対して、以下の条件を課す。

$
\psi(a) = 0 \tag{10}
$$\psi(-a) = 0 \tag{11}
$

###波動関数の連続性の条件から、波動関数を解く

$(9)$と$(10)$より、

$
A \sin{ka} + B \cos{ka} = 0 \tag{12}
$

$
A \sin{-ka} + B \cos{-ka} = 0 \tag{13}
$

$(12)$, $(13)$より、

$
A \sin{ka} = 0 \tag{14}
$

$
B \cos{ka} = 0 \tag{15}
$

####A=0とB=0が同時に成り立たないことを確認

$A=0$かつ$B=0$とすると、$(9)$において
$\psi(x)=0$となり、矛盾。
したがって、$A=0$と$B=0$は同時に成り立たない。

よって、$(14)$, $(15)$より、$A=0$と$B=0$のそれぞれで場合分けする。

####(i) A=0のとき

$(15)$において、$B\neq0$だから、

$\cos(ka)=0$

$ka=\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}, \frac{5\pi}{2}, \dots\tag{16}$

$(9)$と$(16)$より、波動関数は

$
\psi(x) = B \cos(\frac{(2n-1)\pi}{2a}x) \tag{17}
$

$n$は自然数。

####(ii) B=0のとき

$(14)$において、$A\neq0$だから、

$\sin(ka)=0$

$ka=\pi, 2\pi, 3\pi, \dots\tag{18}$

$(9)$と$(18)$より、
$
\psi(x) = A \sin(\frac{2n\pi}{2a}x)  \tag{19}
$

####量子数nの導入

$(17), (19)$をまとめると

```math
\psi_n(x)=
\left\{
\begin{array}{ll}
A \sin(\frac{n\pi}{2a}x) & n = 2, 4, 6, \dots \\
B \cos(\frac{n\pi}{2a}x) & n = 1, 3, 5, \dots 
\end{array}
\right.
\tag{20}
```

###規格化を行い、係数A, Bを求める

規格化の条件：

```math
\int_{-\infty}^{\infty}|\psi(x)|^2 dx = 1 \tag{21}
```

(i)$n = 1, 3, 5, \dots$のとき

$(20), (21)$

```math
\int_{-\infty}^{\infty}|B \cos(\frac{n\pi}{2a}x)|^2 dx = 1\tag{22}
```

```math
(22)の左辺＝|B|^2　\int_{-\infty}^{\infty} \cos^2(\frac{n\pi}{2a}x) dx\\
= |B|^2　\int_{-\infty}^{\infty}  \frac{1+\cos(\frac{n\pi}{a}x)}{2} dx\\
= \frac{|B|^2}{2}　[x+\frac {a}{n\pi}\sin(\frac {n\pi}{a}x)]_{-\infty}^{\infty}\\
=|B|^2 a =1
```

したがって、

$B = \sqrt{\frac{1}{a}}　\tag{23}$

(ii)$n = 2, 4, 6, \dots$のとき

(i)と同様に、

$A = \sqrt{\frac{1}{a}}　\tag{24}$

$(23), (24)$の結果より、

```math
\psi_n(x)=
\left\{
\begin{array}{ll}
\sqrt{\frac{1}{a}} \sin(\frac{n\pi}{2a}x) & n = 2, 4, 6, \dots \\
\sqrt{\frac{1}{a}} \cos(\frac{n\pi}{2a}x) & n = 1, 3, 5, \dots 
\end{array}
\right.
\tag{25}
```

(a), (b)の結果をまとめると、

```math
\psi_n(x)=
\left\{
\begin{array}{ll}
\sqrt{\frac{1}{a}} \sin(\frac{n\pi}{2a}x) & (n = 2, 4, 6, \dots) & |x| < a \\
\sqrt{\frac{1}{a}} \cos(\frac{n\pi}{2a}x) & (n = 1, 3, 5, \dots) & |x| < a \\
0 & & |x| \geq a
\end{array}
\right.
\tag{25}
```

###エネルギーEと量子数nの関係を導く

$(16), (18)$をまとめると、

$ka=\frac{n\pi}{2} \Longleftrightarrow k=\frac{n\pi}{2a} \tag{26}$ 

$(6), (26)$より、

$E_n = \frac{\hbar^2}{2m}(\frac{n\pi}{2a})^2=\frac{n^2 \pi^2 \hbar^2}{8ma^2} \tag{27}$

##波動関数の解釈

$(25)$で波動関数が得られた。これについてどう解釈すればよいのか？


###量子化数とゼロ点エネルギー

(25), (27)で、$n=1$とすると、
$
\psi_1(x)=\sqrt{\frac{1}{a}} \cos(\frac{\pi}{2a}x) 
$
$E_1 = \frac{\pi^2 \hbar^2}{8ma^2} 
$
このように、エネルギー固有値が一番低い値でもゼロにはならない。これは、井戸型ポテンシャル中の粒子は、エネルギーがゼロにならないことを示している。

###粒子の存在確率

まず、波動関数の絶対値の2乗は粒子の存在確率を表す。

```math
|\psi_n(x)|^2=
\left\{
\begin{array}{ll}
\frac{1}{a} \sin^2(\frac{n\pi}{2a}x) & n = 2, 4, 6, \dots \\
\frac{1}{a} \cos^2(\frac{n\pi}{2a}x) & n = 1, 3, 5, \dots 
\end{array}
\right.
\tag{28}
```