【数理考古学】群論とシミュレーション原理⑤群導出演算としての「公比-1の等比数列」

[【数理考古学】群論とシミュレーション原理①これまでの投稿内容のまとめ。](https://qiita.com/ochimusha01/items/a7c824df4b5fd85a2788)
吃驚するほどグチャグチャになってしまったので整理を試みます。

#公比-1の等比数列の演算結果集合

これもその**演算結果集合**が「<font color=purple>半径1の単位円</font>」を観測結果集合とする**円周群**=**リー群**[tex:S_0]=**1次元トーラス**に対応する演算の一つで、**単振動**(Simple Vibration System)Zn(n=−1⇌+1)or(n=0⇌2)Zn(n=−1⇌+1)or(n=0⇌2)上の任意の点で円周上の位置を指定する形となります。

```math
{i^2=-1なので以下となる。\\-1^x=i^2x=(0 \pm 1i)^{2x}\\さらに偶数系の場合は(0 \pm 1i)^{2x}\mp(2n)\\奇数系の場合は(0±1i)^{2x}\mp(2n \pm 1)}
```
[【数理考古学】とある実数列の規定例①等差数列から加法整数群へ](https://qiita.com/ochimusha01/items/07ae45b915bb1aa6c9f5)
![image.gif](https://camo.qiitausercontent.com/6441bd4ef241d703dc0f22ff04b5f5d8a714ac8f/68747470733a2f2f71696974612d757365722d636f6e74656e74732e696d6769782e6e65742f687474707325334125324625324671696974612d757365722d636f6e74656e74732e696d6769782e6e6574253246687474707325323533412532353246253235324671696974612d757365722d636f6e74656e74732e696d6769782e6e65742532353246687474707325323532353341253235323532462532353235324663646e2d616b2e662e73742d686174656e612e636f6d25323532353246696d6167657325323532353246666f746f6c696665253235323532466f253235323532466f6368696d7573686130312532353235324632303231303130352532353235324632303231303130353030333132322e676966253235334669786c6962253235334472622d312e322e3225323532366175746f2532353344666f726d617425323532366769662d712532353344363025323532367125323533443735253235323677253235334431343030253235323666697425323533446d61782532353236732532353344316335653736343162623135633138336633383766623963366339323735396125334669786c696225334472622d312e322e322532366175746f253344666f726d61742532366769662d7125334436302532367125334437352532367325334438623363316163303166653561346465303336383938653430646430643930373f69786c69623d72622d342e302e30266175746f3d666f726d6174266769662d713d363026713d373526773d31343030266669743d6d617826733d6464376136636335613531373265313063356137633234373166613133356336)
![image.gif](https://camo.qiitausercontent.com/05702b007bcc548fbd9e32d0cb3a4618fb2c4461/68747470733a2f2f71696974612d757365722d636f6e74656e74732e696d6769782e6e65742f687474707325334125324625324671696974612d757365722d636f6e74656e74732e696d6769782e6e6574253246687474707325323533412532353246253235324671696974612d757365722d636f6e74656e74732e696d6769782e6e65742532353246687474707325323532353341253235323532462532353235324663646e2d616b2e662e73742d686174656e612e636f6d25323532353246696d6167657325323532353246666f746f6c696665253235323532466f253235323532466f6368696d7573686130312532353235324632303231303130352532353235324632303231303130353037313333342e676966253235334669786c6962253235334472622d312e322e3225323532366175746f2532353344666f726d617425323532366769662d712532353344363025323532367125323533443735253235323677253235334431343030253235323666697425323533446d61782532353236732532353344366363326438333863303536663837393539623964333536373862306436306125334669786c696225334472622d312e322e322532366175746f253344666f726d61742532366769662d71253344363025323671253344373525323677253344313430302532366669742533446d61782532367325334433303264636536643564613239343761353632633236383935383735633939333f69786c69623d72622d342e302e30266175746f3d666f726d6174266769662d713d363026713d373526773d31343030266669743d6d617826733d3332346361316633346462653237313364613239346665343236653762626161)

ただし、かかる演算結果集合が「<font color=purple>半径1の単位円</font>」を観測結果集合とする**円周群**=**リー群**[tex:S_0]=**1次元トーラス**を説明するのはこの場合では「<font color=purple>周回関数</font>(Rap Function)<font color=purple>$α^n$の冪根αが十分1に近く</font>」かつ「<font color=purple>周期関数</font>(Cyclyc Function)<font color=purple>$−1^n$の冪根βが十分-1に近い</font>」場合に限られるのです。

```math
\mathbb{N}_n(n=1→\infty)=(…,\sum_{k=1}^{n}1^k,…)=(1^{n_1},1^{n_1}+1^{n_2},1^{n_1}+1^{n_2}+1^{n_3},…,n_\infty)=(1×1,1×2,1×3,…,n_\infty)=(1,2,3,…,n_\infty)
```
* ただしこの結果が得られるのは「<font color=purple>演算結果が実軸の1の位置に静止する</font>」**公比**=1の場合のみ。

[【数理考古学】とある実数列の規定例②等比数列から乗法群へ](https://qiita.com/ochimusha01/items/58afced6ea8bebf391c7)
**0<公比<1の時**…純粋な1次元展開により０へ向けて収束。
![image.gif](https://camo.qiitausercontent.com/b857d80362d42e74ed57f98df7e46e696cb3d0fe/68747470733a2f2f71696974612d757365722d636f6e74656e74732e696d6769782e6e65742f687474707325334125324625324671696974612d757365722d636f6e74656e74732e696d6769782e6e6574253246687474707325323533412532353246253235324663646e2d616b2e662e73742d686174656e612e636f6d2532353246696d616765732532353246666f746f6c69666525323532466f25323532466f6368696d75736861303125323532463230323130313033253235324632303231303130333231323930332e67696625334669786c696225334472622d312e322e322532366175746f253344666f726d61742532366769662d71253344363025323671253344373525323677253344313430302532366669742533446d61782532367325334437303039383331343466306163613866633165336161613962613235626136373f69786c69623d72622d342e302e30266175746f3d666f726d6174266769662d713d363026713d373526773d31343030266669743d6d617826733d6439626364326330366536316334613863373262356333393135646361393565)
**公比>1の時**…純粋な1次元展開により無限大に向けて発散。
![image.gif](https://camo.qiitausercontent.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)
**公比=-1の時**…X軸上からは-1と1の間の無限往復に見える。
![image.gif](https://camo.qiitausercontent.com/ec0f148d544a08472b910d1f189509297807b888/68747470733a2f2f71696974612d757365722d636f6e74656e74732e696d6769782e6e65742f687474707325334125324625324671696974612d757365722d636f6e74656e74732e696d6769782e6e6574253246687474707325323533412532353246253235324663646e2d616b2e662e73742d686174656e612e636f6d2532353246696d616765732532353246666f746f6c69666525323532466f25323532466f6368696d75736861303125323532463230323130313033253235324632303231303130333037313235372e67696625334669786c696225334472622d312e322e322532366175746f253344666f726d61742532366769662d71253344363025323671253344373525323677253344313430302532366669742533446d61782532367325334435666135613939353565316335646132666366316137643233333563363734613f69786c69623d72622d342e302e30266175746f3d666f726d6174266769662d713d363026713d373526773d31343030266669743d6d617826733d3031623938616436333466313430333839633933633862656361356663653339)
**0>公比>-1の時**…振幅の幅が0に向けて狭まっていく。
![image.gif](https://camo.qiitausercontent.com/9e629b1ff28e07f845f6dc0c9bb3cdb89bf12ab6/68747470733a2f2f71696974612d757365722d636f6e74656e74732e696d6769782e6e65742f687474707325334125324625324671696974612d757365722d636f6e74656e74732e696d6769782e6e6574253246687474707325323533412532353246253235324663646e2d616b2e662e73742d686174656e612e636f6d2532353246696d616765732532353246666f746f6c69666525323532466f25323532466f6368696d75736861303125323532463230323130313033253235324632303231303130333037333930332e67696625334669786c696225334472622d312e322e322532366175746f253344666f726d61742532366769662d71253344363025323671253344373525323677253344313430302532366669742533446d61782532367325334432343433633034313563613531366332393063666536646464353833326666633f69786c69623d72622d342e302e30266175746f3d666f726d6174266769662d713d363026713d373526773d31343030266669743d6d617826733d3231303739343439313466303565346335376264383833376236623533613138)
**公比<-1の時**…振幅の幅が無限大に向けて広がっていく。
![image.gif](https://camo.qiitausercontent.com/4afb17544c5996bbb3d2a24231a95d47b799fe2c/68747470733a2f2f71696974612d757365722d636f6e74656e74732e696d6769782e6e65742f687474707325334125324625324671696974612d757365722d636f6e74656e74732e696d6769782e6e6574253246687474707325323533412532353246253235324663646e2d616b2e662e73742d686174656e612e636f6d2532353246696d616765732532353246666f746f6c69666525323532466f25323532466f6368696d75736861303125323532463230323130313033253235324632303231303130333037343630302e67696625334669786c696225334472622d312e322e322532366175746f253344666f726d61742532366769662d71253344363025323671253344373525323677253344313430302532366669742533446d61782532367325334433636531333363643437376537396533303737363864336462353531613766653f69786c69623d72622d342e302e30266175746f3d666f726d6174266769662d713d363026713d373526773d31343030266669743d6d617826733d3663653266656666653066383737626230373536663032616133623132343432)

* また**関数**$±i^{ax}$全体は以下の様な複雑な軌跡を描く。

[【Python演算処理】単位トーラスを巡る数理②トーラス群の設定](https://qiita.com/ochimusha01/items/6836c3f63dfd4d62b6b1)
![image.gif](https://camo.qiitausercontent.com/ec9714730cb1c81899f2282d0eafe2c0956fc261/68747470733a2f2f73746167696e672d71696974612d757365722d636f6e74656e74732e696d6769782e6e65742f687474707325334125324625324663646e2d616b2e662e73742d686174656e612e636f6d253246696d61676573253246666f746f6c6966652532466f2532466f6368696d757368613031253246323032313031303825324632303231303130383038343735312e6769663f69786c69623d72622d342e302e30266175746f3d666f726d6174266769662d713d363026713d373526773d31343030266669743d6d617826733d3864343838653264613630353431363530326237636161356332653135323466)
![image.gif](https://camo.qiitausercontent.com/8cd00573e1456d471866c716b6870a8cc4c5a899/68747470733a2f2f73746167696e672d71696974612d757365722d636f6e74656e74732e696d6769782e6e65742f687474707325334125324625324663646e2d616b2e662e73742d686174656e612e636f6d253246696d61676573253246666f746f6c6966652532466f2532466f6368696d757368613031253246323032313031303825324632303231303130383038333832312e6769663f69786c69623d72622d342e302e30266175746f3d666f726d6174266769662d713d363026713d373526773d31343030266669743d6d617826733d3437356561643432303465333533333333393262356134363466613361623337)
![image.gif](https://camo.qiitausercontent.com/1a9a8271f25e6ed8963314967c02ef6bddc20a5e/68747470733a2f2f73746167696e672d71696974612d757365722d636f6e74656e74732e696d6769782e6e65742f687474707325334125324625324663646e2d616b2e662e73742d686174656e612e636f6d253246696d61676573253246666f746f6c6966652532466f2532466f6368696d757368613031253246323032313031303825324632303231303130383038343231382e6769663f69786c69623d72622d342e302e30266175746f3d666f726d6174266769662d713d363026713d373526773d31343030266669743d6d617826733d6332356264343938313761656330303534616134653964386661636335633731)



そんな感じで以下続報…