超準解析ことはじめ (2) ローブ測度

　[前回](https://qiita.com/kueda_cs/items/4592cc064c6ef97835c5)に引き続き、超準解析の基本的なところをまとめていきます。今回扱うものは積分です。

# 測度空間
#### 有限加法族と σ-加法族
　三つ組 $(S, \mathcal{F}, \mu)$ を考えます。$S$ は集合、$\mathcal{F} \subseteq \mathcal{P}(S)$ は $S$ の部分集合族、$\mu$ は関数です。$\mathcal{F}$ が以下 3 つの条件を満たすとき、**有限加法族**といいます。

1. $S \in \mathcal{F}$
2. $(\forall A \in \mathcal{F})\left(A^c \in \mathcal{F}\right)$
3. $(\forall A, B \in \mathcal{F})\left(A \cup B \in \mathcal{F}\right)$

さらに、3 を強めた条件

$A_0, A_1, \cdots \in \mathcal{F} \Rightarrow \bigcup_{n \in \mathbb{N}} A_n \in \mathcal{F}$

を満たすとき、**$\sigma$-加法族**または**完全加法族**といいます。
　有限加法族 $\mathcal{F}$ を含む最小の $\sigma$-加法族を $\sigma(\mathcal{F})$ で表し、**$\mathcal{F}$ から生成された $\sigma$-加法族**と呼びます。

#### 有限加法的測度と完全加法的測度
　有限加法族から非負数に無限大 $\infty$ を加えた区間への関数 $\mu:\mathcal{F} \rightarrow [0, \infty]$ が以下ふたつの条件を満たすとき、**有限加法的測度**といいます (ただし、記号 $\infty$ は無限大超実数を表すものではありません)。

1. $\mu(\emptyset) = 0$
2. $(\forall A, B \in \mathcal{F})\left(A\cap B = \emptyset \Rightarrow \mu(A \cup B) = \mu(A)+\mu(B)\right)$

終域が $[0, \infty)$ のとき、すなわち常に有限値を取るとき $\mu$ は**有界**であるといいます。集合 $S$、有限加法族 $\mathcal{F} \subseteq \mathcal{P}(S)$、有限加法的測度 $\mu : \mathcal{F} \rightarrow [0, \infty]$ の三つ組 $(S, \mathcal{F}, \mu)$ を**有限加法的測度空間**といいます。$\sigma$-加法族に対する**完全加法的測度**または単に**測度**は上記の条件 2 を強めたもの

```math
\left(\forall A_0, A_1, \cdots \in \mathcal{F} \right)\left(\left(\forall  i, j \in \mathbb{N}\right)\left(i \neq j \Rightarrow A_i \cap A_j = \emptyset\right) \Rightarrow \mu \left( \bigcup_{n \in \mathbb{N}} A_n\right) = \sum_{n \in \mathbb{N}} \mu(A_n) \right)
```

を満たすような関数です。また、測度 $\mu$ が

```math
(\forall N \in \mathcal{F})(\forall A \subseteq N)\left(\mu(N) = 0 \Rightarrow A \in \mathcal{F}\right)
```

を満たすとき、**完備**であるといいます。

#### 測度空間
　集合 $S$、$\sigma$-加法族 $\mathcal{F}$、完全加法的測度 $\mu$ の三つ組 $(S, \mathcal{F}, \mu)$ を**完全加法的測度空間**または単に**測度空間**といいます。特に、$P(\Omega) = 1$ となるような測度 (**確率測度**) を持つ空間 $(\Omega, \mathcal{F}, P)$ を**確率空間**と呼びます。
　標準的な積分論では完全加法的測度を扱いますが、超準解析の応用として $\ast$ 有限加法的測度にもとづいたローブ測度がよく知られています。

#### 完全加法的測度空間の完備化
　集合演算 $\ominus$ を $A\ominus B = \\{ a \mid （a \in A)\ \veebar (a \in B) \\}$ で定義します。ただし、$\veebar$ は排他的論理和です。
　完全加法的測度空間 $(X, \mathcal{F}, \mu)$ に対し、

```math
\begin{eqnarray}
\overline{\mathcal{F}} &=& \left\{A \subseteq S \mid (\exists N, B \in \mathcal{F})(A \ominus B \subseteq N \land \mu(N)=0) \right\} \\
\overline{\mu}(A) &=& \mu(B)
\end{eqnarray}
```
で $\mathcal{F}$ と $\mu$ の拡張を定義すれば、$(X, \overline{\mathcal{F}}, \overline{\mu})$ は完備測度空間となります。これを$(X, \mathcal{F}, \mu)$ の**完備化**といいます。

#### ホップの拡張定理
　有限加法族 $\mathcal{F}$ は$\sigma$-加法族 $\sigma(\mathcal{F})$ へいつでも拡張できるのに対し、有限加法的測度 $\mu$ は完全加法的測度に拡張できるとは限りません。どのような有限加法的測度が拡張できるのかは、以下の**ホップの拡張定理**で見ることができます。

>［ホップの拡張定理］
　有限加法的測度空間 $(X, \mathcal{F}, \mu)$ について、以下は同値である。
1. $\mu$ は $\sigma(\mathcal{F})$ 上の測度に拡張することができる。
2. $\mu$ は $\mathcal{F}$ 上完全加法的である。
また、このような拡張は一意である。

　以上で、ローブ測度空間を構成する準備が整いました。これまでに出てきた道具を使って、ローブ測度空間を構成してみましょう。


# ローブ測度
#### ローブ測度の構成
　内的 $\ast$ 有限加法的測度空間 $(S, \mathcal{F}, \mu)$ を考えます。$B \subseteq V(Y)$ が内的であるとは、標準宇宙 $V(X)$ の元 $A$ で $B \in {}^{\ast} A$ なるものが存在することをいいました。

　${}^{\mathrm{st}}\mu$ を ${}^{\mathrm{st}}\mu(A) = \mathrm{st}(\mu(A))$ で定義すると、$(S, \mathcal{F}, {}^{\mathrm{st}}\mu)$ は有限加法的測度空間となり、さらに ${}^{\mathrm{st}}\mu$ は $\mathcal{F}$ 上で完全加法的です。前者については移行原理よりわかります。後者についても、以下のようにわかります。

　$\mu$ は $\ast$ 有限加法的なので、任意の $\ast$ 有限超自然数 $N \in {}^{\ast}\mathbb{N}$ と内的集合列 $A_0, A_1, \cdots, A_N \subseteq \mathcal{F}$ について以下が成り立ちます。

```math
\left(\forall  i, j \leq N \right)\left(i \neq j \Rightarrow A_i \cap A_j = \emptyset\right) \Rightarrow \mu \left( \bigcup_{k \leq N} A_k\right) = \sum_{k \leq N} \mu(A_k)
```

ここで、前回省略した**飽和原理**を用います。共起性原理は

>　標準宇宙 $V(X)$ の部分集合族 $ {\\{A_i \\}}\_{i \in I}$ が有限交叉性を持つならば
$$\bigcap_{i \in I} {}^{\ast} A_i \neq \emptyset$$
が成り立つ。

というものでした。しかし、これでは内的な集合について十分考えることができません。そこで、次の飽和原理を公理に加えます。定義中の $\kappa$ は任意の無限基数で、よく知られる実数の可算無限列による超冪構成で得られるような超実数が欲しければ $\kappa = \aleph_0$ とすれば良いですが、それを超える飽和原理が必要となる際にはもっと大きな基数を指定します。

>　超準宇宙 $V(Y)$ の内的な部分集合族 $ {\\{A_i \\}}\_{i \in I} \ \left(\left|I\right| \leq \kappa\right)$ が有限交叉性を持つならば
$$\bigcap_{i \in I} A_i \neq \emptyset$$
が成り立つ。

　空でない内的減少列 $E_0 \supseteq E_1 \supseteq \cdots$ について、有限個の交叉は $\bigcap_{k=0}^{K} E_{n_k} = E_{\max\\{n_k \mid 0 \leq k \leq K \\}} \neq \emptyset$ となり、$\\{E_n \\}$ は有限交叉性を持ちます。飽和原理より、$\bigcap_{n \in \mathbb{N}} E_n \neq \emptyset$ が成り立ちます。
　また、内的増加列 $F_0 \subseteq F_1 \subseteq \cdots$ について、$F = \bigcup_{n \in \mathbb{N}} F_n$ が内的であるとします。 任意の $n\in \mathbb{N}$ に対して $F_n \neq F$ と仮定すると、$\\{F \setminus F_n \\}\_{n \in \mathbb{N}}$ は空でない内的減少列となるので、先ほど見た事実より $\bigcap_{n \in \mathbb{N}} F \setminus F_n = F \setminus \bigcup_{n \in \mathbb{N}} F_n = F \setminus F \neq \emptyset$ が成り立つことになりますが、これは矛盾です。すなわち、ある $n \in \mathbb{N}$ で $F_n = F$ となります。
　さて、完全加法性の話に戻りましょう。 $S_m = \bigcup_{k\leq m} A_k$ は内的増加列なので、$S_m = \bigcup_{n \in \mathbb{N}} A_n$ となるような $m \in \mathbb{N}$ が存在します。よって、

```math
\left(\forall  i, j \in \mathbb{N} \right)\left(i \neq j \Rightarrow A_i \cap A_j = \emptyset\right) \Rightarrow {}^{\mathrm{st}}\mu \left( \bigcup_{k \in \mathbb{N}} A_k\right) = \sum_{k \in \mathbb{N}} {}^{\mathrm{st}}\mu(A_k)
```

が成り立ちます。すなわち ${}^{\mathrm{st}}\mu$ は $\mathcal{F}$ 上完全加法的です。

　以上より、内的 $\ast$ 有限加法的測度空間 $(S, \mathcal{F}, \mu)$ から完備な完全加法的測度空間 $(S, \overline{\sigma(\mathcal{F})}, \overline{{}^{\mathrm{st}}\mu})$ が得られることがわかりました。これを $(S, L(\mathcal{F}), L(\mu))$ と書いて**ローブ測度空間**と呼ぶことにします。

#### ローブ積分
　内的な関数 $f:S \rightarrow {}^{\ast}\mathbb{R}$ が以下ふたつの条件を満たすとき、$\mu$ に関して**S可積分**であるといいます (ここで集合の記号に $S$ を使っていますが、S可積分性とは関係ありません)。

1. ${}^{\mathrm{st}}\int_S \left| f \right| d\mu < \infty$
2. $(\forall A \in \mathcal{F})\left(\mu(A) \approx 0 \Rightarrow \int_A f d \mu \approx 0\right)$

　$\mathcal{F}$ 可測関数 $f:S \rightarrow {}^{\ast}\mathbb{R}$ が関数 $\tilde{f}$ の**持ち上げ**であるとは、$L(\mu)$ に関してほとんどすべての $x \in S$に対して $f(x) \approx \tilde{f}(x)$ となることをいいます。前回の記事で書き忘れましたが、$x\approx y$ で $x$ と $y$ が無限に近いことを表します。
　関数 $\tilde{f}:S \rightarrow \mathbb{R}$ がローブ可測であることの必要十分条件は、持ち上げが存在することです。また、$\tilde{f}$ がローブ可積分であるための必要十分条件は、S可積分な持ち上げ $f$ が存在することです。このとき

```math
\int \tilde{f} dL(\mu) \approx \int f d\mu
```

が成り立ちます。これより、ルベーグ測度 $\nu$ に対して

```math
\nu = L(\mu)\circ\mathrm{st}^{-1}
```

というふうにローブ測度を対応させられることがわかります。

　今回は超準解析の重要な応用であるローブ測度を構成するところまでを説明しました。次回はできたら積分論のもっと込み入った話に触れたいのですが、体力がなければその辺りは皆さんにお任せして別の話題へ移るかもしれません。

# 参考文献
- [超準解析の魔導書](https://booth.pm/ja/items/1536942)
- 釜江哲朗. 超準的手法にもとづく確率解析入門, 朝倉書店, 1990.
- 中村徹. 超準解析と物理学, 日本評論社, 1998.
- [斎藤正彦. 超準解析とはどういうものか, 数学 38(2): 133-149, 1986.](https://www.jstage.jst.go.jp/article/sugaku1947/38/2/38_2_133/_article/-char/ja/)