分数ゲート? の計算方法

# この記事について
[パウリゲートを各基底で書き下す](https://qiita.com/shnchr/items/0a3114d8b7992b898d39)で示した通り、
パウリ$X$は下記のように$Z$基底、$X$基底を用いて書き下す事ができます。

```math
% basic braket 
\newcommand{\bra}[1]{\left\langle #1 \right|}
\newcommand{\ket}[1]{\left| #1 \right\rangle}
\newcommand{\bracket}[2]{\left\langle #1 \middle| #2 \right\rangle}
\newcommand{\ketbra}[2]{\left| #1 \right\rangle \left\langle #2 \right|}
\newcommand{\ketbraket}[3]{\left| #1 \right\rangle \left\langle #2 \middle| #3 \right\rangle}
% small-size
\newcommand{\bras}[1]{\left\langle {\scriptsize #1}  \right|}
\newcommand{\kets}[1]{\left| {\scriptsize #1}  \right\rangle}
\newcommand{\brackets}[2]{\left\langle {\scriptsize #1} \middle| {\scriptsize #2} \right\rangle}
\newcommand{\ketbras}[2]{\left| {\scriptsize #1} \right\rangle \left\langle {\scriptsize #2} \right|}
\newcommand{\ketbrakets}[3]{\left| {\scriptsize #1} \right\rangle \left\langle {\scriptsize #2} \middle| {\scriptsize #3} \right\rangle}
% Matrix
\newcommand{\tate}[2]{\begin{bmatrix} #1 \\ #2 \end{bmatrix}}
\newcommand{\yoko}[2]{\begin{bmatrix} #1 & #2 \end{bmatrix}}
\newcommand{\mtrx}[4]{\begin{bmatrix} #1 & #2 \\ #3 & #4 \end{bmatrix}}

X = \ketbra{1}{0} + \ketbra{0}{1}
\\
X = \ketbras{+}{+} - \ketbras{-}{-}
```

$XYZ$は180度回転（反転）でしたが、
<img width=200 src=https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/183826/d2adfb5a-3805-2b93-5edc-c3b50febae16.png>
上記のような分数ゲート（と呼ぶんですかね？正式名称知りたい。）はどう表現できるでしょうか？
これらの計算方法を確認しておきたいと思います。

また、他の量子コンピュータ関係の他の記事は、下記で紹介しています。

https://qiita.com/shnchr/items/41fa7fd1284d74007a7c

# 準備
### X^2
準備としてアダマール基底で、$X^2$を計算しておきます。

```math
X = \ketbras{+}{+} - \ketbras{-}{-} 
```

ですので、

```math
\displaylines{
X^2 = (\ketbras{+}{+} - \ketbras{-}{-}) (\ketbras{+}{+} - \ketbras{-}{-})
\\
= \kets{+}\color{red}{\brackets{+}{+}}\bras{+} 
\ \
- \kets{+}\color{blue}{\brackets{+}{-}}\bras{-} 
\\
- \kets{-}\color{blue}{\brackets{-}{+}}\bras{+} 
\ \
+ \kets{-}\color{red}{\brackets{-}{-}}\bras{-} 
}
```

ここで、$\color{red}{\brackets{+}{+}} = \color{red}{\brackets{-}{-}} = 1$であり、$\color{blue}{\brackets{+}{-}} = \color{blue}{\brackets{-}{+}} = 0$となります。
**つまり、同一基底の$ketとbra$の項だけが残り、ほかはすべて0となる。**

よって、

```math
X^2 = \ketbras{+}{+} + \ketbras{-}{-} 
```

となります。

### X^2（違う形で解く）
わかりやすさの為、厳密性は欠きますが、もう少し見やすい形で計算しておくと、

```math
P=\ketbras{+}{+}
\ \ \ \
M=\ketbras{-}{-} 
```
とすると、

```math
\displaylines{
X = P-M　となるので、
\\
X^2 = (P-M)(P-M) = PP - PM - MP + MM
}
```

上述のとおり、$PM=MP= 0$なので、

```math
\displaylines{
X^2 = PP+MM = \kets{+}\brackets{+}{+}\bras{+} + \kets{-}\brackets{-}{-}\bras{-} 
\\
= \ketbras{+}{+} + \ketbras{-}{-} = I
}
```

### X^3
上記と同様の要領で考えると、

```math
\displaylines{
X^3 =  (P-M)(PP+MM)
\\
= PPP + PMM - MPP - MMM
}
```

ですが、結局中間の項はすべて0となり、残るのは

```math
\displaylines{
X^3 =  PPP - MMM
\\
= \kets{+}\brackets{+}{+}\brackets{+}{+}\bras{+} - \kets{-}\brackets{-}{-}\brackets{-}{-}\bras{-}
\\
= \ketbras{+}{+} - \ketbras{-}{-} = X
}
```
### X^4
くどいですが、上記と同様に

```math
\displaylines{
X^4 =  (P-M)(PPP-MMM)
\\
= PPPP - PMMM - MPPP + MMMM
\\
= PPPP + MMMM
\\
= \ketbras{+}{+} + \ketbras{-}{-} = I
}
```

## 整理すると
下記のように整理することができ、$X^n = P + (-1)^n M$となりそうです。

|#|　　　　上記で計算した数式　　　　|　　　　わざと書き下すと　　　　|
|:--:|:--:|:--:|
|1|$X^1 = P-M = X$|$X^1 = P+(-1)^1M$|
|2|$X^2 = PP-MM = I$|$X^2 = P+(-1)^2M$|
|3|$X^3 = PPP+MMM = X$|$X^3 = P+(-1)^3M$|
|4|$X^4 = PPPP-MMMM = I$|$X^4 = P+(-1)^4M$|

# 本題の計算
## X^(1/2)を計算する
### X基底
```math
X^n = P + (-1)^n M　(n = \frac{1}{2})　
```

を計算すればよいので

```math
\displaylines{
X^{\frac{1}{2}} = P + (-1)^{\frac{1}{2}} M = P + \sqrt{-1} M 
\\
= \ketbras{+}{+} \color{red}{\pm i} \ketbras{-}{-} 
}
```

確認しておくと

```math
\displaylines{
(X^{\frac{1}{2}})^2 = (\ketbras{+}{+} \pm i \ketbras{-}{-})^2 = \ketbras{+}{+} +(\pm i)^2 \ketbras{-}{-} 
\\
= \ketbras{+}{+} - \ketbras{-}{-} = X
}
```
### Z基底
計算に利用しやすいよう、Z基底（計算基底）でも計算しておきます

```math
\displaylines{
X^{\frac{1}{2}} =　\ketbras{+}{+}\pm i \ketbras{-}{-}　
\\
= \frac{1}{\sqrt{2}}\frac{1}{\sqrt{2}}(\ket{0}+\ket{1})(\bra{0}+\bra{1}) \pm i \frac{1}{\sqrt{2}}\frac{1}{\sqrt{2}}(\ket{0}-\ket{1})(\bra{0}-\bra{1})
\\
= \frac{1}{2}(\ketbra{0}{0}+\ketbra{0}{1}+\ketbra{1}{0}+\ketbra{1}{1}) 
\\
\pm \frac{i}{2}(\ketbra{0}{0}-\ketbra{0}{1}-\ketbra{1}{0}+\ketbra{1}{1})
\\
= \frac{1 \pm i}{2}\ketbra{0}{0}+\frac{1 \mp i}{2}\ketbra{0}{1}+\frac{1 \mp i}{2}\ketbra{1}{0}+\frac{1 \pm i}{2}\ketbra{1}{1}
}
```

よって、

```math
\displaylines{
X^{\frac{1}{2}}\ket{0} = \frac{1 \pm i}{2}\ket{0} + \frac{1 \mp i}{2}\ket{1}
\\
X^{\frac{1}{2}}\ket{1} = \frac{1 \mp i}{2}\ket{0} + \frac{1 \pm i}{2}\ket{1}
}
```


## X^(1/4)を計算する
### X基底
```math
X^n = P + (-1)^n M　(n = \frac{1}{4})　
```

を計算すればよいので

```math
X^{\frac{1}{4}} = P + (-1)^{\frac{1}{4}}M
```

$-1$の4乗根が必要なので、複素平面で考えると

```math
\displaylines{
r^4(cos\ 4\theta + i \  sin \  4\theta) = -1
\\
\therefore r=1,\theta=\frac{\pi}{4}
}
```

よって、

```math
 (-1)^{\frac{1}{4}} = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} \pm \frac{i}{\sqrt{2}} 
```

故に、

```math
\displaylines{
X^{\frac{1}{4}} = P + (-1)^{\frac{1}{4}} = P + \left( \pm \frac{1}{\sqrt{2}} \pm \frac{i}{\sqrt{2}} \right)M
\\
= \ketbras{+}{+} + \color{red}{\left( \pm \frac{1}{\sqrt{2}} \pm \frac{i}{\sqrt{2}} \right)} \ketbras{-}{-} 
}
```

### Z基底
こちらも計算に利用しやすいよう、Z基底（計算基底）でも計算しておきます

```math
\displaylines{
X^{\frac{1}{4}} =  \ketbras{+}{+} + \left( \pm \frac{1}{\sqrt{2}} \pm \frac{i}{\sqrt{2}} \right) \ketbras{-}{-} 
\\
= \frac{1}{\sqrt{2}}\frac{1}{\sqrt{2}}(\ket{0}+\ket{1})(\bra{0}+\bra{1})+ \left(  \frac{\pm 1 \pm i}{\sqrt{2}}  \right) \frac{1}{\sqrt{2}}\frac{1}{\sqrt{2}}(\ket{0}-\ket{1})(\bra{0}-\bra{1})
\\
= \frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{2}}(\ketbra{0}{0}+\ketbra{0}{1}+\ketbra{1}{0}+\ketbra{1}{1}) 
\\
+ \left(  \frac{\pm 1 \pm i}{2\sqrt{2}}  \right) (\ketbra{0}{0}-\ketbra{0}{1}-\ketbra{1}{0}+\ketbra{1}{1})
\\
= \frac{\sqrt{2}\pm 1 \pm i}{2\sqrt{2}}\ketbra{0}{0}
+ \frac{\sqrt{2}\mp 1 \mp i}{2\sqrt{2}}\ketbra{0}{1}
\\
+ \frac{\sqrt{2}\mp 1 \mp i}{2\sqrt{2}}\ketbra{1}{0}
+ \frac{\sqrt{2}\pm 1 \pm i}{2\sqrt{2}}\ketbra{1}{1}
}
```

よって、

```math
\displaylines{
X^{\frac{1}{4}}\ket{0} = 
\frac{\sqrt{2}\pm 1 \pm i}{2\sqrt{2}}\ket{0}
+ \frac{\sqrt{2}\mp 1 \mp i}{2\sqrt{2}}\ket{1}
\\
X^{\frac{1}{4}}\ket{1} = 
\frac{\sqrt{2}\mp 1 \mp i}{2\sqrt{2}}\ket{0}
+ \frac{\sqrt{2}\pm 1 \pm i}{2\sqrt{2}}\ket{1}
}
```


# まとめ
$X$について、分数ゲート（というのかな？）を計算してみました。
あたりといえば当たり前ですが、$X^{1/4}$という角度回転ゲートの計算で4乗根が必要になるんだ。
という感想です。（まぁ、当たり前ですね。）
とてもニッチな記事ですが、どなたかのお役に立てばと。