【数理考古学】群論とシミュレーション原理②群導出演算としてのガウスの巡回群

[【数理考古学】群論とシミュレーション原理①これまでの投稿内容のまとめ。](https://qiita.com/ochimusha01/items/a7c824df4b5fd85a2788)
吃驚するほどグチャグチャになってしまったので整理を試みます。

#ガウスの巡回群(<font color=blue>Gauss Cyclic Group</font>)

「<font color=purple>正n角形の作図からコンパスと定規を追放した</font>」と言われる、コンピューターグラフィック史上最も重要な演算結果集合の一つ。群論においては、この演算こそが「**半径1の単位円**」を観測結果集合とする**円周群**=**リー群**$S_0$=**1次元トーラス**の**コンストラクタ**(初期化定義)に指定されています。
[1の冪根 - Wikipedia](https://ja.wikipedia.org/wiki/1%E3%81%AE%E5%86%AA%E6%A0%B9)

>1の冪根は全て、複素数平面における単位円周上にある。また概要で述べたことより、1のn乗根の全体は位数nの巡回群である。これは円周群の正規部分群である。
>
>1のn乗根は、複素数平面では、単位円に内接する正n角形の頂点である

代数学的背景はこんな感じ。
[【数理考古学】代数方程式について。](https://qiita.com/ochimusha01/items/428954a67eee63d52592)

>数学において**公式**(Fomura)とは多くの場合**恒等式**(Identity)を意味するが、その定義は「<font color=purple>どの様な値を代入しても両辺が等しくなる</font>」式である。
>
>これに対し「<font color=purple>ある特定の値でなければ統合が成立しない式</font>」を**方程式**(Equatation)と呼び、その値を**根**(Root)あるいは**解**(Solution)と言う。
>
>未知数xを含む**方程式**（Formula）f(x)=0には様々な形式があり、このうち**代数的演算**（Algebraic operations、加減算、乗除算、冪根）を有限回用いて表せるものを**代数方程式**（Algebraic Formula）という。
>
>**大数学者ガウス**(C.F.Gauss, 1777年〜1855年 )は「<font color=purple>n次代数方程式はn個の根を複素数の範囲に持つ</font>」事を証明した。これは**代数学の基本定理**と呼ばれている(ただし四次以上の方程式の解は代数的には求められない)。

①「**ガウスの巡回群**」を図示化した**正n角形**には興味深い特徴がある。これを**元**gとして**逆元**$g^{−1}$を求めると次数が2n+1(奇数)の場合重ならず、倍の次数2(2n+1)(偶数)で初めて統合されるのである。<br>[【Python演算処理】単位トーラスを巡る数理②トーラス群の設定](https://qiita.com/ochimusha01/items/6836c3f63dfd4d62b6b1)<br>![image.png](https://cdn-ak.f.st-hatena.com/images/fotolife/o/ochimusha01/20210505/20210505054020.png)<br>![image.png](https://camo.qiitausercontent.com/89a7461dbbffebe40df6251592fc711c5e7bbe38/68747470733a2f2f71696974612d757365722d636f6e74656e74732e696d6769782e6e65742f687474707325334125324625324671696974612d757365722d636f6e74656e74732e696d6769782e6e6574253246687474707325323533412532353246253235324671696974612d696d6167652d73746f72652e73332e61702d6e6f727468656173742d312e616d617a6f6e6177732e636f6d2532353246302532353246353937373732253235324631653336343932662d313064322d383461332d303532362d3661656131643166663630622e706e6725334669786c696225334472622d312e322e322532366175746f253344666f726d61742532366769662d71253344363025323671253344373525323677253344313430302532366669742533446d61782532367325334462396262366364626430363932336135353537613030643665396364376266373f69786c69623d72622d342e302e30266175746f3d666f726d6174266769662d713d363026713d373526773d31343030266669743d6d617826733d6463343037366432336237323664613463343661313530626661376230636461)
以下の計算結果も、この数理と密接な関係にある。

```math
cos(π)=-1\\cos(\frac{π}{2})=0\\cos(\frac{π}{3})=\frac{1}{2}\\cos(\frac{π}{5})+cos(\frac{3π}{5})=\frac{1}{2}\\cos(\frac{π}{7})+cos(\frac{3π}{7})+cos(\frac{5π}{7})=\frac{1}{2}\\cos(\frac{π}{9})+cos(\frac{3π}{9})+cos(\frac{5π}{9})+cos(\frac{7π}{9})=\frac{1}{2}\\cos(\frac{π}{11})+cos(\frac{3π}{11})+cos(\frac{5π}{11})+cos(\frac{7π}{11})+cos(\frac{9π}{11})=\frac{1}{2}
```
要するに**自然数集合**(Natural Set)$\mathbb{N}$に**単位元**(Identity Element)0と**逆元**(Inverse Element)$\mathbb{N}^{-1}$を加え**整数群**(Integer Set)に発展させる時、**ガウスの巡回群**の元と逆元は**半径1の単位円上**にかかる一対の奇数図形を描き続けるので、その頂点のコサイン値の総和もそれぞれ$\frac{1}{2}$となり続けるのである。最終的に正n角形のnが∞に到達すると$\frac{∞}{2}=∞$が成立してかかる半減は意識されなくなるが、これこそがまさに**共役概念**(Conjugated Concept)の出発地点といえよう。
[位相が等差数列である三角関数の和の公式](https://manabitimes.jp/math/741)

以下の数理もこうした全体像の一部と推察される。
[【数理考古学】とある円周率への挑戦？](https://qiita.com/ochimusha01/items/5c8a62486ea4d5d1d73a)
[【数理考古学】解析学史に「虚数概念」をもたらした交代級数](https://qiita.com/ochimusha01/items/a338ea75855fcb4ff6f8)
**ライプニッツ級数**(Leibniz series,1674年,グレゴリー級数がx=1の場合)

```math
\sum_{n}^{\infty}\frac{-1^n}{2n+1}=\frac{π}{4}
```
**グレゴリー級数**(Gregory series, 1671年)

```math
\sum_{n}^{\infty}\frac{-1^n}{2n+1}x^{2n+1}=\frac{π}{4}
```
ちなみに

```math
\sin(π)=0\\
\sin(\frac{π}{2})=1\\
\sin(\frac{π}{3})=\frac{\sqrt{3}}{2}(0.8660254)\\
\sin(\frac{π}{5})+\sin(\frac{3π}{5})=\frac{\sqrt{5+2\sqrt{5}}}{2}(1.538842)
```

```R
> round(sin(pi),digits=8)
[1] 0
> round(sin(pi/2),digits=8)
[1] 1
> round(sin(pi/3),digits=8)
[1] 0.8660254
> sqrt(3)/2
[1] 0.8660254
> round(sin(pi/5)+sin((3*pi)/5),digits=8)
[1] 1.538842
> sqrt(5+2*sqrt(5))/2
[1] 1.538842
> round(sin(pi/7)+sin((3*pi)/7)+sin((5*pi)/7),digits=8)
[1] 2.190643
#現時点の私にはこの数値解に該当する式が見つけられない!!
>round(sin(pi/9)+sin((3*pi)/9)+sin((5*pi)/9)+sin((7*pi)/9),digits=8)
[1] 2.835641
#現時点の私にはこの数値解に該当する式が見つけられない!!
> round(sin(pi/11)+sin((3*pi)/11)+sin((5*pi)/11)+sin((7*pi)/11)+sin((9*pi)/11),digits=8)
[1] 3.477576
#現時点の私にはこの数値解に該当する式が見つけられない!!
```

* この計算にどういう意味があるか現時点の私には分からない。

②**複素数概念**の導入が不可避となるのは**三次方程式**以上となる。
[【数理考古学】三次方程式から虚数へ。]
(https://qiita.com/ochimusha01/items/f1f6d436f589d6b5b2fd)

幾何学的には**三角不等式**(Triangle Inequality)$‖x+y‖ \leqq ‖x‖+‖y‖$が成立し面積の概念が生じる「**円周上の三点以上の操作**」に対応？　そして幸いにも四点までの操作なら「**ターレスの定理**」により直角の概念が使えるのである。
[【初心者向け】「三角不等式の体感方法？](https://qiita.com/ochimusha01/items/325717eef47b1cbeadb1)
![image.gif](https://qiita-user-contents.imgix.net/https%3A%2F%2Fcdn-ak.f.st-hatena.com%2Fimages%2Ffotolife%2Fo%2Fochimusha01%2F20201209%2F20201209005721.gif?ixlib=rb-4.0.0&auto=format&gif-q=60&q=75&s=928837d9381fdf16079000b9c94df7f1)
![image.gif](https://qiita-user-contents.imgix.net/https%3A%2F%2Fcdn-ak.f.st-hatena.com%2Fimages%2Ffotolife%2Fo%2Fochimusha01%2F20201209%2F20201209005932.gif?ixlib=rb-4.0.0&auto=format&gif-q=60&q=75&s=97e09d880fe506b420fcc9105509a19a)
この様な数学的背景など知らなくても、(代数学的方法では求められないn次方程式を数値的に導出する)以下の計算方法に馴染みがある人なら少なくないはずです。

* 2πを角数n+1で割った集合θを作る。
* それぞれのCos(θ)を求めX軸に置き、Sin(θ)を求めY軸に置く。

群論上の表現では以下の様になる様です。
[群と表現の話](https://www.xmath.ous.ac.jp/~shibata/conference/Fin_Grp_Rep.pdf)

* **無限の場合**は$\mathbb{Z}$。
* 有限の場合を**加法的に表現する**と$\frac{\mathbb{Z}}{n\mathbb{Z}}=(0,1,…,n-1)$
* **乗法的に表現すると**$C_n=(e^{\frac{kπi}{n}}|0 \leqq k \leqq n-1)$

そしてこの演算群を導入すると、以下の様な計算も可能となるのです。
[【初心者向け】挟み撃ち定理による円周率πの近似](https://qiita.com/ochimusha01/items/1caff7d8af4aab167aaa)
![image.gif](https://camo.qiitausercontent.com/6bfaa1e9ff04c556a59a84c0c2d8ea3d6b15b6df/68747470733a2f2f71696974612d757365722d636f6e74656e74732e696d6769782e6e65742f687474707325334125324625324671696974612d696d6167652d73746f72652e73332e61702d6e6f727468656173742d312e616d617a6f6e6177732e636f6d2532463025324635393737373225324632643963613061362d366161352d643534352d333261642d3966333336666630636462352e6769663f69786c69623d72622d312e322e32266175746f3d666f726d6174266769662d713d363026713d373526773d31343030266669743d6d617826733d6462336535306161336233303539323837303431636432613164303466613666)
一辺の長さがaの正n角形に外接する円の半径<font color=blue>r</font>

* <font color=blue>$r=\frac{a}{2\tan(\frac{π}{n})}$</font>
* $a=r(2\tan(\frac{π}{n}))$

一辺の長さが<font color=green>A</font>の正n角形に内接する円の半径<font color=red>R</font>

* <font color=red>$R=\frac{A}{2\tan(\frac{π}{n})cos(\frac{π}{n})}$</font>
* <font color=green>$A=R(2\tan(\frac{π}{n})cos(\frac{π}{n}))$</font>

一辺の長さがaの正n角形の外接円の半径と内接円の半径の関係

* <font color=blue>$r=Rcos(\frac{π}{n})$</font>
* <font color=red>$R=\frac{r}{cos(\frac{π}{n})}$</font>

外接円を**単位円**（Unit Circle）としたのが上記アニメーション。

* 外接円の半径<font color=red>R</font>は単位円の定義に従って<font color=red>1</font>
* これに内接する正多辺形の１辺の長さ<font color=green>A</font>は<font color=green>$2\tan(\frac{π}{辺数})\cos(\frac{π}{辺数})$</font>
* 外接円に内接する正多辺形の内接円の半径<font color=blue>r</font>は<font color=blue>$\cos(\frac{π}{辺数})$</font>

この演算の極限には半径1の単位円の場合における円周長として<font color=red>2π</font>が現れます。半径rの場合に一般化すると算数段階で習う<font color=red>2πr</font>となりますね。

そんな感じで以下続報…