【数理考古学】解析学史に「虚数概念」をもたらした交代級数(Alternating Series)

今日のネット上では、むしろ「**Log(-1)の解は何か？**」といった話題で登場する様です。
[log(-1)=?](https://oshiete.goo.ne.jp/qa/8443474.html)

* 底がeの**自然対数関数**$y=\log(x)$は、**自然指数関数**$y=e^x$の逆関数として定義されている（$x=e^y→y=\log(x)$）。すなわちlog(-1)の解を求めるという事は$e^x=-1$のxを求めるのと同値である。
* **オイラーの等式**(Eulerian Identity)$e^{πi}=-1$よりx=πi。ただし2π周期の週回数nだけ解が存在する**多価関数**(Multivalued Function)なので実際の解はπi+2πnとなる。

なるほど、世間一般では$y=-1^x→y=i^{2x}$と考える代わり、こう考える流儀が広まっていたのですね。まぁ辿り着く先は一緒なのです。

* 代数学における**虚数**$i^2=-1$概念の発見自体は<font color=green>16世紀</font>(<font color=blue>カルダーノ「アルス・マグナ(偉大なる術=羅Ars magna de Rebus Algebraicis,1545年)出版」</font>) にまで遡ります。<br>[【数理考古学】三次方程式から虚数へ。](https://qiita.com/ochimusha01/items/f1f6d436f589d6b5b2fd)

* 一方、解析学史上にこれが現れるのは、以下の**交代級数**(<font color=blue>Alternating Series</font>)概念が登場して以降となるのです。<br>[交項級数 - Wikipedia](https://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%BA%A4%E9%A0%85%E7%B4%9A%E6%95%B0)

```math
\sum_{n=1}^{∞}-1^{n-1}A_n(for ∀n,A_n≧0.[resp.An≦0.])=A_0-A_1+A_2-A_3+…
```

* **複素平面**概念のなかった当時、これを**円軌道の一部**と認識するのは大変困難でしたが、次第にπや対数/指数との関係が明らかになっていきます。

**オイラーの公式**(<font color=blue>Eulerian Formula</font>)<font color=purple>e^θi</font>=<font color=purple>cos(θ)+sin(θ)i</font>は一日にしてなった訳ではなかったのですね。

#調和級数(<font color=blue>harmonic series</font>)の場合
以下の**調和級数**(<font color=blue>harmonic series</font>)が発散する事は既に14世紀には知られていたが、当時の証明は間違っていた事が17世紀に発見され再証明される。

```math
\sum_{n=1}^{∞}\frac{1}{n}=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}…
```

その増え方は極限において対数関数に等しい(<font color=blue>18世紀におけるオイラーの発見</font>)。
[【数理考古学】オイラー定数の求め方](https://qiita.com/ochimusha01/items/5c699f62b8d217137d96)
![image.png](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/597772/063adecf-e553-a683-d4e0-2a2e455c1c13.png)

#ニュートン・メルカトル級数(<font color=blue>Newton-Mercator Series,1668年</font>)の場合
**交代級数概念**の最初期登場例の一つ。
[メルカトル級数 | Fukusukeの数学めも](https://mathsuke.jp/mercator-series/)

```math
\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n}=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\cdots=\log{2} 
```


以下の**ニュートン・メルカトル級数**(<font color=blue>Newton-Mercator Series,1668年</font>)の登場は、まさしく<font color=purple>log(2)</font>を巡る諸概念の出発地点となったのです。
[log2に収束する交代級数の証明 | 高校数学の美しい物語](https://mathtrain.jp/alternate)
![image.png](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/597772/069a47cf-8f2c-5f6e-6fa4-41aa0409926d.png)

```R
f0<-function(k) (-1)^(k-1)/k
cx<-1:100
cy<-Reduce(function(a,b){a+f0(b)},cx,accumulate = T)
plot(cx,cy,type="l",main="Newton-Mercator Series",xlab="k",ylab="sum( (-1)^(k-1)/k)")
abline(h=log(2),col=rgb(1,0,0))
legend("bottomright", legend=c("Newton-Mercator Series","Log(2)=0.6931472"),lty=c(1,1),col=c(rgb(0,0,0),rgb(1,0,0)))
```
#ライプニッツ級数(<font color=blue>Leibniz Series,1674年</font>)/グレゴリー級数(<font color=blue>Gregory Series,1671年</font>)の場合
これも**交代級数概念**の最初期登場例の一つ。どちらも**円周率計算**を巡る<font color=purple>ArcTangent</font>研究競争の産物であったのです。
[【数理考古学】とある円周率への挑戦？](https://qiita.com/ochimusha01/items/5c8a62486ea4d5d1d73a)

**ライプニッツ級数**(<font color=blue>Leibniz Series,1674年</font>)
[ライプニッツ級数 | Fukusukeの数学めも](https://mathsuke.jp/leibniz-series/)

```math
\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{2n+1}=1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\cdots=\frac{\pi}{4} 
```
![image.png](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/597772/0b8d51d2-1b04-30f4-74a2-185726e54ee2.png)

```R
f0<-function(n) ((-1)^n)/(2*n+1)
cx<-c(1,1:99)
cy<-Reduce(function(a,b){a+f0(b)},cx,accumulate = T)
plot(cx,cy,type="l",main="Leibniz Series",xlab="k",ylab="sum(((-1)^n)/(2n+1))")
abline(h=pi/4,col=rgb(1,0,0))
legend("bottomright", legend=c("Leibniz Series","π/4=0.7853982"),lty=c(1,1),col=c(rgb(0,0,0),rgb(1,0,0)))
```
**グレゴリー級数**(<font color=blue>Gregory Series, 1671年</font>)
[グレゴリー級数 | Fukusukeの数学めも](https://mathsuke.jp/gregory-series/)

```math
\tan^{-1}x=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{2n+1}x^{2n+1}=x-\frac{1}{3}x^3+\frac{1}{5}x^5-\frac{1}{7}x^7+\cdots
```
![image.gif](https://cdn-ak.f.st-hatena.com/images/fotolife/o/ochimusha01/20210216/20210216002902.gif)
<font color=purple>x=1</font>の時、**ライプニッツ級数**と一致。収束速度はかなり遅いが、**オイラー変換**(<font color=blue>Eulerian Transformation</font>)によって加速する事が可能。
![image.png](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/597772/1d57ec8e-6bed-f9a8-d136-e50f5c9b55a5.png)
こうした級数の研究から**テイラー級数** (<font color=blue>Taylor Series,1715年</font>)や**マクローリン級数** (<font color=blue>Maclaurin Series,18世紀</font>) が発明され、**オイラーの公式**(<font color=blue>Eulerian Formula</font>)$e^{θi}=cos(θ)+sin(θ)i$発見に結びつく。
[【Rで球面幾何学】オイラーの公式を導出したマクローリン級数の限界？](https://qiita.com/ochimusha01/items/4a484d5759f96abb0ab3)
![image.gif](https://camo.qiitausercontent.com/4993db73456cdd642a6dd4db9c53c7f1eaba255e/68747470733a2f2f63646e2d616b2e662e73742d686174656e612e636f6d2f696d616765732f666f746f6c6966652f6f2f6f6368696d7573686130312f32303231303131302f32303231303131303232333130312e676966)

#<font color=purple>2^n</font>による正の実数全表示と<font color=purple>log(2)</font>による全対数表示の対応

ところで<font color=purple>log(x)</font>の**テイラー/マクリーン展開**は(<font color=blue>**特異点**<font color=green>0</font>の存在がある為に</font>)難しいのですが、幸にして任意の（<font color=blue>すべての</font>）**正の実数**は全て$α２^n$(<font color=blue>1≦α<2;nは整数</font>)の形に表せます(<font color=blue>ただしここにlog(3,base=2)概念が混ざり込む</font>)。

<!-- html table generated in R 3.5.2 by xtable 1.8-4 package -->
<!-- Tue Feb 16 05:08:43 2021 -->
<table border=1>
<tr> <th>  </th> <th> Values </th> <th> Explessions </th>  </tr>
  <tr> <td align="right"> 1 </td> <td> 1 </td> <td> 2^0 </td> </tr>
  <tr> <td align="right"> 2 </td> <td> 2 </td> <td> 2^1 </td> </tr>
  <tr> <td align="right"> 3 </td> <td> 3 </td> <td> 2^0+2^1 / 2^log(3,base=2) </td> </tr>
  <tr> <td align="right"> 4 </td> <td> 4 </td> <td> 2^2 </td> </tr>
  <tr> <td align="right"> 5 </td> <td> 5 </td> <td> 2^2+2^0 </td> </tr>
  <tr> <td align="right"> 6 </td> <td> 6 </td> <td> 2^2+2^1 </td> </tr>
  <tr> <td align="right"> 7 </td> <td> 7 </td> <td> 2^2+2^log(3,base=2) </td> </tr>
  <tr> <td align="right"> 8 </td> <td> 8 </td> <td> 2^3 </td> </tr>
   </table>

[2の冪 - Wikipedia](https://ja.wikipedia.org/wiki/2%E3%81%AE%E5%86%AA)

><font color=green>1</font>を<font color=green>2の累乗数</font>で割って行くと、小数には、位取り記数法の基数の半分の数が、累乗数として現れる。例えば、**十進法の位取り**(<font color=blue>十進数</font>)では、<font color=green>1</font>を<font color=green>2の累乗数</font>で割っていくと、小数には<font color=green>5の累乗数</font>が現れる。
>
>**十進数:**
><font color=green>1÷2=0.5</font>(<font color=blue>5^1</font>)
><font color=green>1÷4=0.25</font>(<font color=blue>5^2</font>)
><font color=green>1÷8 =0.125</font>(<font color=blue>5^3</font>)
><font color=green>1÷16=0.0625</font>(<font color=blue>5^4</font>)
>
>これは$2^{-n}5^{-n}=10^{-n}$より$2^{-n}=5^n10^{-n}$であることから導かれる。
>
>同じく、**十二進数**では<font color=purple>6の累乗数</font>が、**二十進数**では<font color=purple>十の累乗数</font>が現れる。
>
>**十二進数:**
><font color=green>1÷2=0.6</font>(<font color=blue>6^1</font>) 
><font color=green>1÷4=0.30</font>(<font color=blue>6^2</font>)
><font color=green>1÷8=0.160</font>(<font color=blue>6^3</font>)
><font color=green>1÷14=0.0900</font>(<font color=blue>6^4</font>)
>
>**1以外の2の冪**<font color=purple>2n</font>を**十進法**で表したとき、一の位は <font color=green>2</font>, <font color=green>4</font>, <font color=green>6</font>, <font color=green>8</font> のいずれかである。
>
>**1以外の2の冪**<font color=purple>2n</font>を**二進法**で表した時は、<font color=green>一番上の位は1であとに0がn個続く数</font>になる。

その(<font color=blue>自然</font>)**対数**をとれば$\log(α2^n)＝log(α)+n log(2)$と示せます。つまり<font color=purple>log(2)</font>の値さえ予め求めておけば,ここで示した近似式を用いて任意の**正の実数**<font color=purple>x</font>の**自然対数**<font color=purple>log(x)</font>の値を計算出来る訳です。
[対数関数のテイラー展開](http://math-lab.main.jp/taylor7b.html)

<!-- html table generated in R 3.5.2 by xtable 1.8-4 package -->
<!-- Fri Feb 19 17:20:37 2021 -->
<table border=1>
<tr> <th>  </th> <th> Numbers </th> <th> Explessions </th> <th> Values </th>  </tr>
  <tr> <td align="right"> 1 </td> <td> log(1) </td> <td> log(2^1)+log(1/2) </td> <td> 0 </td> </tr>
  <tr> <td align="right"> 2 </td> <td> log(2) </td> <td> log(2^1) </td> <td> 0.6931472 </td> </tr>
  <tr> <td align="right"> 3 </td> <td> log(3) </td> <td> log(3/2)+log(2^1) </td> <td> 1.098612 </td> </tr>
  <tr> <td align="right"> 4 </td> <td> log(4) </td> <td> log(2^2) </td> <td> 1.386294 </td> </tr>
  <tr> <td align="right"> 5 </td> <td> log(5) </td> <td> log(5/4)+log(2^2) </td> <td> 1.609438 </td> </tr>
  <tr> <td align="right"> 6 </td> <td> log(6) </td> <td> log(3/2)+log(2^2) </td> <td> 1.791759 </td> </tr>
  <tr> <td align="right"> 7 </td> <td> log(7) </td> <td> log(7/4)+log(2^2) </td> <td> 1.94591 </td> </tr>
  <tr> <td align="right"> 8 </td> <td> log(8) </td> <td> log(2^3) </td> <td> 2.079442 </td> </tr>
   </table>

[2の自然対数 - Wikipedia](https://ja.wikipedia.org/wiki/2%E3%81%AE%E8%87%AA%E7%84%B6%E5%AF%BE%E6%95%B0)

>**複利計算**における「**倍増年**(<font color=blue>元利合計が2倍になる年数</font>)」の近似計算にも<font color=purple>log(2)</font>が現れる。**元金**を<font color=green>X</font>(<font color=blue>>0</font>)、**年利率**を<font color=green>r</font>(<font color=blue>>0</font>)とし、<font color=green>n</font>年後に元利合計が<font color=green>2倍</font>になるとすれば以下である。
>
><font color=green>$X(1+r)^n=2X$</font>
>
>この両辺の**自然対数**をとると
>
><font color=green>n×log(1+r)=log(2)</font>
><font color=green>$n=\frac{log(2)}{log(1+r)}$</font>
>
>ここで、<font color=purple>r≪1</font>、すなわち<font >color=green>r</font>が<font color=green>1</font>に比べて十分に小さい場合には、<font color=purple>log(1+r)≒r</font>と近似できるので以下となる。
>
><font color=green>$n≒≠\frac{log(2)}{r}≒\frac{0.693}{r}$</font>
>
>すなわち「**倍増年**」は「<font color=green>0.693</font><font color=purple>を年利で割った値</font>」又は「<font color=green>69.3</font><font color=purple>を年利</font>（<font color=blue>%表示</font>）<font color=purple>で割った値</font>」で近似できる。実用上は、<font color=green>69.3</font>を切りの良い<font color=green>70</font>や約数の多い<font color=green>72</font>で置き換えることが多い。たとえば、年利が<font color=green>3%</font>ならば、<font color=green>72÷3=24</font>なので<font color=green>約24年後</font>に元利合計が倍増する。この法則は、**72の法則**と呼ばれ、15世紀</font>**イタリア**において既に知られていた。
>
>文献上の初出は、イタリアの数学者で「<font color=purple>会計の父</font>」とも呼ばれる**ルカ・パチョーリ**の「**スムマ**(<font color=blue>Summa de arithmetica, geometria, proportioni et proportionalità=算術・幾何・比及び比例全書, 1494年</font>)」』と呼ばれる数学書である。この著作の出版を契機に欧州にも(<font color=blue>地中海交易に使われていた</font>)**複式簿記**が広まった。

ここで**元手**を<font color=green>1</font>と置いて<font color=purple>$(1+r)^n=2$</font>、<font color=purple>r=1</font>,<font color=purple>n=1.0</font>の場合に<font color=purple>$(1+1)^1=2$</font>、さらにこれを**初期状態**として<font color=purple>$r=\frac{1}{n}$</font>と置くとそれは**ベルヌーイ**が**ネイピア数**を算出した<font color=purple>$(1+\frac{1}{n})^n$</font>の式型となり、さらに<font color=purple>$(1+\frac{πi}{n})^n$</font>と置くと**オイラーの公式**となる。
[【初心者向け】指数・対数関数の発見とそれ以降の発展について。](https://qiita.com/ochimusha01/items/3e28f4f06abd8cef0af1)
![image.gif](https://qiita-user-contents.imgix.net/https%3A%2F%2Fqiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com%2F0%2F597772%2F241a9d60-380c-d71e-08e3-085d596ec8fe.gif?ixlib=rb-1.2.2&auto=format&gif-q=60&q=75&w=1400&fit=max&s=08fb0b1e6c6390220480c2b75dea42e9)

* **冪乗算**(<font color=blue>Exponentiation</font>)の**微分**<font color=purple>x^a'=ax^(a-1)</font>を実際には<font color=purple>a^x*log(x)</font>で求めるのも、上掲の理論に従っての事である。何しろ,以下の**定積分**を計算すると<font color=purple>β=-1</font>の時、すなわち<font color=purple>$x^β=x^{-1}=\frac{1}{x}$</font>の時、右肩の分母が<font color=green>0</font>になって計算不能となってしまう。

```math
\int_{a}^{b}x^βdx=\frac{1}{β+1}b^{β+1}-\frac{1}{β+1}a^{β+1}
```
計算的には**反比例関数**<font color=purple>y=1/x</font>における**区間**<font color=green>1→2</font>の定積分を求めるのと同じで、この答えもまた<font color=green>Log(2)</font>である。<br>[【数理考古学】冪乗算の微積分 - Qiita](https://qiita.com/ochimusha01/items/0bd18370cfa96e83347a)<br>![image.png](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/597772/e834e3ae-c21d-eeff-9ba6-9ccfb3bb9149.png)
* **テイラー級数**展開出来ない複素関数を表示する場合に利用される**ローラン級数**(<font color=blue>Laurent series=負冪の項も含む形での冪級数としての無限関数列,1843年</font>)が開発されたのも、かかる「**特異点**(<font color=blue>Singularity</font>)**問題**」を回避する為だった。<br>[ローラン級数のテイラー展開を試す。](https://qiita.com/ochimusha01/items/63a2b72decb65165ff30)<br>![image.gif](https://qiita-user-contents.imgix.net/https%3A%2F%2Fcdn-ak.f.st-hatena.com%2Fimages%2Ffotolife%2Fo%2Fochimusha01%2F20210212%2F20210212033610.gif?ixlib=rb-1.2.2&auto=format&gif-q=60&q=75&w=1400&fit=max&s=124d29c33e202354510b4c679c28617d)

そう「<font color=purple>人工知能が</font><font color=green>2040年代</font><font color=purple>には人間の知能を超えるかもしれない</font>」と指摘して世間を騒がせている「**シンギュラシティ**(<font color=blue>技術的特異点</font>)**問題**」の「**特異点**」とは、この「<font color=purple>超えられない壁</font>」を表す**数学用語**からの援用だったのですね。
[特異点](https://dic.pixiv.net/a/%E7%89%B9%E7%95%B0%E7%82%B9)
[重力の特異点 - Wikipedia](https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%87%8D%E5%8A%9B%E3%81%AE%E7%89%B9%E7%95%B0%E7%82%B9)
[裸の特異点 - Wikipedia](https://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%A3%B8%E3%81%AE%E7%89%B9%E7%95%B0%E7%82%B9)
という事は逆に言えば「<font color=purple>人工知能は人間の知能を決して超えられない</font>」証明になってしまう？