ラビットチャレンジ　Stage1 応用数学　線形代数(行列)　　レポート

#1.行列について
 <dt>スカラーとベクトルの違い</dt>
　・スカラーとはいわゆる普通の数　四則演算ができる。
　・ベクトルとはスカラーがセットになったもの。  
 <dt>行列</dt>
　・行列とはスカラーを表のようにまとめたもの
　　⇨ベクトルの変換や連立１次方程式を解くのに使用する    
 <dt>連立１方程式</dt>
　　以下のような数式があった場合、
  $$ x + 2y = 3  $$
　　未知数が2つあるため、当てはまる数を１つに定めることができない
　　しかし、もし似たような式がもう一つあった場合、 
  $$ 2x + 5y = 5 $$
　　以下のような連立方程式ができる

   ```math
    \begin{cases}
     x + 2y & = 3 \\
     2x + 5y & = 5 
    \end{cases}
   ```
　　これを解くことで、
   $$ x = 5　,　y = -1$$
　2つの未知数が判明する。  
<dt>行列を用いた表示</dt>
　連立方程式では未知の数が増えると複雑になる。
　　⇨もっとシンプルに表現することはできないか？？

   ```math
    \begin{cases}
    x + 2y & = 3 \\
    2x + 5y & = 5 
    \end{cases}
　  \Rightarrow
　  \boldsymbol{A} \boldsymbol{x}  = \boldsymbol{b}\\
   ```

　各文字のには以下の数字で組み立てられる。
    
   ```math
     \boldsymbol{A} 
     \Rightarrow 
     \left(
     \begin{array}{rr}
     1 & 2 \\
     2 & 5 \\
     \end{array}
     \right)
   ```

  $ \boldsymbol{　 A} $には各x,yの係数が入っている。
　次に$ \boldsymbol{x} $の中は、

   ```math
    \boldsymbol{x} \
    \Rightarrow
    \left(
    \begin{array}{rr}
     x\\
     y 
    \end{array}
    \right)
   ```
　先ほどの未知数 x,y が入る。
　最後に　$ \boldsymbol{b} $　の中は、

   ```math
    \boldsymbol{b} \
    \Rightarrow
    \left(
    \begin{array}{rr}
     3\\
     5 
    \end{array}
    \right)
   ```

　のように、連立方程式のそれぞれの右項の答えが入る。
　このようにして出来上がったそれぞれの中身を組み合わせると、  

  ```math
   \begin{pmatrix}
    1&2\\
    2&5
   \end{pmatrix}
   \begin{pmatrix}
    x \\
    y
   \end{pmatrix}
   =
   \begin{pmatrix}
    3 \\
    5
   \end{pmatrix}
  ```  
　のように行列で簡単に表すことができる。
#2.行列の計算
 <dt>行列とベクトルの式</dt>
　例題)

 ```math
   \begin{pmatrix}
   6&4\\
   3&5
  \end{pmatrix}
  \begin{pmatrix}
   1 \\
   2
  \end{pmatrix}
 ```
　　上のような式があった場合、連立方程式に直すと、
  
 ```math
  \begin{cases}
   6 \times 1 + 4 \times2 \\
   3 \times 1 + 5 \times2
  \end{cases}
 ```
　　と表す事ができる。
　　先ほどの $ \boldsymbol{x} $に当たる文字が数字に置き換わっただけで、
　　単に計算を行えば良い。
　　そうすると、以下のように書くことができる。

 ```math
   \begin{pmatrix}
   6&4\\
   3&5
  \end{pmatrix}
  \begin{pmatrix}
   1 \\
   2
  \end{pmatrix}
  =
  \begin{pmatrix}
   6\times 1 + 4 \times2 \\
   3\times 1 + 5 \times2
  \end{pmatrix}
  =
  \begin{pmatrix}
   14 \\
   13
  \end{pmatrix}
 ```
　　こうすることで、(1,2)というベクトルが、(14,13)のベクトルに
　　変換されたことがわかる。  

 <dt>行列と行列の積</dt>
　上では、行列とベクトルの積を計算したが、
　行列と行列でも同じことができる。
　
　例題)

  ```math
   \begin{align}
   \begin{pmatrix}
   2&1\\
   4&1
  \end{pmatrix}
  \begin{pmatrix}
   1&3\\
   3&1
  \end{pmatrix}
  & =
  \begin{pmatrix}
   2 \times 1 + 1 \times 3　2 \times 3 + 1 \times 1　\\
   4 \times 1 + 1 \times 3　4 \times 3 + 1 \times 1　
  \end{pmatrix} \\
  \\
  & =
  \begin{pmatrix}
   5&7\\
   7&13
  \end{pmatrix}
  \end{align}
 ```

　上記の例題を見ていくと、まず、答えの左上の「5」については、
　左行列の左上の「2」と右行列の左上の「1」、
　左行列の右上の「1」と右行列の左下の「3」をそれぞれ掛けた後に、
　足すことで「５」という数字が計算されている。
　より詳しくみると、
　左行列の **1行目** と右行列の **1列目** のそれぞれの数字を掛けて、
　足している。
　このように行列は「**行**」と「**列**」で計算を行うことにより
　積を求めることができる。

<dt>行列を使用して連立方程式を解く</dt>
　例題）

  ```math
   \begin{cases}
    x + 4y = 7 \\
    2x + 6y = 10
   \end{cases}
  ```

　　連立方程式を解く場合、式を変形して、解いていた。
　　まず初めに、2行目を「$ \frac{1}{2} $」倍する。

 ```math
   \begin{cases}
    x + 4y = 7 \\
    x + 3y = 5
   \end{cases}
  ```

　　ここで、2つの式の「x」が同じになったため、
　　1行目に2行目の「-1倍」を加える。

  ```math
    \begin{cases}
     　　y = 2 \\
     x + 3y = 5
    \end{cases}
   ```
 
　　次に、2行目に1行目の「-3倍」を加える</dd>

  ```math
    \begin{cases}
     　　y = 2　 \\
     x　　= -1　
    \end{cases}
   ```

　　最後に１行目と２行目を入れ替えることで、  

   ```math
    \begin{cases}
      x　　= -1　\\
     　　y = 2　 
    \end{cases}
   ```

　　「x＝−1、y=2」と連立方程式を解くことができる。
　　では、上記の計算を行列を使用して、解くことはできないか？
　　上記の連立方程式を、行列で表すと、、、

  ```math
    \begin{pmatrix}
    1&4\\
    2&6
    \end{pmatrix}
    \begin{pmatrix}
    x \\
    y
    \end{pmatrix}
    =
    \begin{pmatrix}
    7\\
    10
    \end{pmatrix}  
 ```

　　上と同じことをするなら、i行目をc倍する
　　今回の場合、２行目を$ \frac{1}{2} $倍する。

  ```math
    \begin{pmatrix}
    1&4\\
    1&3
    \end{pmatrix}
    \begin{pmatrix}
    x\\
    y
    \end{pmatrix}
    =
    \begin{pmatrix}
    7\\
    5
    \end{pmatrix}  
 ```

　　次に、s行目にt行目のc倍を加える。
　　1行目に、2行目の-1倍を加え、
　　2行目に、1行目の-3倍を加える。

   ```math
    \begin{pmatrix}
    0&1\\
    1&0　
    \end{pmatrix}
    \begin{pmatrix}
    x\\
    y
    \end{pmatrix}
    =
    \begin{pmatrix}
    2\\
    -1
    \end{pmatrix}  
  ```
　　最後にp行目とq行目を入れ替える。
   
  ```math
    \begin{pmatrix}
    1&0\\
    0&1
    \end{pmatrix}
    \begin{pmatrix}
    x \\
    y
    \end{pmatrix}
    =
    \begin{pmatrix}
    -1\\
    2
    \end{pmatrix}  
  ```
　　行列の変形を使用することで、連立方程式を解くことができる。
　　また、
　　　・i行目をc倍する。
　　　・s行目にt行目のc倍を加える
　　　・p行目とq行目を入れ替える
　　上記、3つの手順を合わせて　「**行基本変形**」という。

<dt>行基本変形の手順を計算として表現する方法</dt>
　行基本変形は行列を左からかけることで表現できる！
　　・i行目をc倍する

  ```math
    Q_{i,c}
    =
    \begin{pmatrix}
    1& \\
    &\ddots \\
    &&1 \\
    &&&c \\
    &&&&1 \\
    &&&&&\ddots \\
    &&&&&&1
    \end{pmatrix}
  ```

　　例）2行目を1/2倍する。  

  ```math
    \begin{pmatrix}
    1&0\\
    0&\frac{1}{2}
    \end{pmatrix}
    \begin{pmatrix}
    1&4\\
    2&6
    \end{pmatrix}
    =
    \begin{pmatrix}
    1 　4 　\\
    1 　3
    \end{pmatrix}  
   ```    
　　・s行目にt行目のc倍を加える

  ```math
    R_{s,t,c}
    =
    \begin{pmatrix}
    1& \\
    &\ddots \\
    &&1&&c \\
    &&&\ddots \\
    &&&&1 \\
    &&&&&\ddots \\
    &&&&&&1
    \end{pmatrix}
  ```
     
　　例）1行目に2行目の-1倍を加える

  ```math
    \begin{pmatrix}
    1&-1\\
    0&1 　　
    \end{pmatrix}
    \begin{pmatrix}
    1&4\\
    1&3
    \end{pmatrix}
    =
    \begin{pmatrix}
    0&1\\
    1&3
    \end{pmatrix}  
   ```         
    
　　・p行目とq行目を入れ替える

  ```math
    P_{p,q}
    =
    \begin{pmatrix}
    1& \\
    &\ddots \\
    &&0&&1 \\
    &&&\ddots \\
    &&1&&0 \\
    &&&&&\ddots \\
    &&&&&&1
    \end{pmatrix}
  ```
     
#3.逆行列
 <dt>逆行列と単位行列</dt>
　　2.行列の計算では、連立方程式を解くために順番に、
　　x,yの解を導き出した。
　　その時に使用した計算は以下である。

   ```math
    \begin{pmatrix}
     0&1　\\
     1&0　
    \end{pmatrix}
    \begin{pmatrix}
     1&0　\\
     ｰ3&1　
    \end{pmatrix}
    \begin{pmatrix}
     1&ｰ1　\\
     0&1　
    \end{pmatrix}
    \begin{pmatrix}
     1&0　\\
     0&\frac{1}{2}　
    \end{pmatrix}
   ```
　　右から順に、
　　　・2行目を $\frac{1}{2}$倍する
　　　・1行目に2行目の-1倍を加える
　　　・2行目に1行目の-3倍を加える
　　　・1行目と2行目を入れ替える
　　変形に対応する行列の部分を先に計算したら、、、

   ```math
    \begin{pmatrix}
     ｰ3&1　\\
     1&ｰ\frac{1}{2}　
    \end{pmatrix}
   ```
　　とまとめることができる。
　　実際に、まとめたものを係数の行列・右辺にかけると、、、

   ```math
    \begin{align}
    \begin{pmatrix}
     ｰ3&1　\\
     1&ｰ\frac{1}{2}　
    \end{pmatrix}
    \begin{pmatrix}
     1&4　\\
     2&6　
    \end{pmatrix}
    \begin{pmatrix}
     x\\
     y
    \end{pmatrix}
    & =
    \begin{pmatrix}
     ｰ3&1　\\
     1&ｰ\frac{1}{2}　
    \end{pmatrix}
    \begin{pmatrix}
     7\\
     10
    \end{pmatrix}
    \\
    \begin{pmatrix}
     1&0　\\
     0&1　
    \end{pmatrix}
    \begin{pmatrix}
     x\\
     y
    \end{pmatrix}
    & =
    \begin{pmatrix}
     -1\\
      2
    \end{pmatrix}
    \end{align}
   ```

　　連立方程式が簡単に解けるようになる。
　　まるで逆数のような働きをするので、
　　「**逆行列**」という。
　　また、問題を解く際に必ず最後に出てくる

   ```math
     \begin{pmatrix}
      1&0　\\
      0&1　
     \end{pmatrix}
   ```
　　という行列は、かけてもかけられても相手が変化しない、
　　「1」のような行列である。
　　このような行列のことを「**単位行列**」という。

 <dt>逆行列の求め方</dt>
　逆行列を求めるには、どのような行基本変形をしたのかを記録し
　それを行列と対応させ、かけ算していけばもとまるが簡単にできないか。。

  ```math
    \begin{align}
    \begin{pmatrix}
      1&4　\\
      2&6　
    \end{pmatrix}
    \begin{pmatrix}
      x\\
      y
    \end{pmatrix}
     & =
    \begin{pmatrix}
     7\\
     10
    \end{pmatrix}
    \\
    \begin{pmatrix}
     1&4\\
     2&6
    \end{pmatrix}
    \begin{pmatrix}
     x\\
     y
    \end{pmatrix}
     & = 
    \begin{pmatrix}
     1&0\\
     0&1
    \end{pmatrix}
    \begin{pmatrix}
     7\\
     10
    \end{pmatrix}　
    \end{align}
  ```

　左右の係数の行列に同じ行基本変形を実行したと考えると、、、

  ```math
    \left(
    \begin{array}{cc|cc}
     1&4&1&0\\
     2&6&0&1
    \end{array}
    \right)
  ```

　初めにやったことは「2行目を1/2倍する」

  ```math
    \left(
    \begin{array}{cc|cc}
     1&4&1&0\\
     1&3&0&\frac{1}{2}
    \end{array}
    \right)
  ```

　次に、「1行目に2行目の−1倍を加える」

 ```math
    \left(
    \begin{array}{cc|cc}
     0&1&1&-\frac{1}{2}\\
     1&3&0&\frac{1}{2}
    \end{array}
    \right)
  ```

　次に「2行目に1行目の−3倍を加える」

 ```math
    \left(
    \begin{array}{cc|cc}
     0&1&1&-\frac{1}{2}\\
     1&0&-3&2
    \end{array}
    \right)
  ```

　最後に、「1行目と2行目を入れ替える」

 ```math
    \left(
    \begin{array}{cc|cc}
     1&0&-3&2\\
     0&1&1&-\frac{1}{2}
    \end{array}
    \right)
  ```

　すると、右側に逆行列が出現する。
　このようにして、逆行列を求めることを「**掃き出し法**」という。

<dt>逆行列が存在しない条件</dt>

　
　逆数が存在しない数があるのと、
　同様に逆行列が存在しない行列というのもある。


　解がない、解が1組に定まらないタイプの連立方程式

  ```math
    \begin{cases}
    x + 4y & = 7 \\
    x + 4y & = 10 
    \end{cases}
  ```

  ```math
    \begin{cases}
    x + 4y & = 7 \\
    2x + 8y & = 14 
    \end{cases}
  ```

　上記のような、連立方程式は解を特定することができない。
　したがって、これらの係数を抜き出したような行列は、逆行列を持たない。

　逆行列は以下のような特徴がある。

  ```math
   \begin{pmatrix}
    a&b\\
    c&d
   \end{pmatrix}
  ```
　上のような行列があった場合、
　a:b $ \neq $ c:d の時、逆行列を持ち、
　a:b = c:d の時、逆行列を持たない。

#4.行列式

<dt>行列式</dt>

　特徴
　　ある行列が2つの横ベクトルの組み合わせだと考えた時

  ```math
     \begin{pmatrix}
      a&b\\
      c&d
     \end{pmatrix}
     =
     \begin{pmatrix}
       \boldsymbol{v_1}\\
       \boldsymbol{v_2}
     \end{pmatrix}
  ```
　　でつくられる平行四辺形の面積が、逆行列の有無を判別する。
　　この「面積」を

  ```math
   \left|
    \begin{array}{cc}
      a&b\\
      c&d
    \end{array}
   \right| 
    =
   \left|
    \begin{array}{cc}
      \boldsymbol{v_1}\\
      \boldsymbol{v_2}
    \end{array}
   \right|
  ```
　　と表し「**行列式**」と呼ぶ。
　　2次元の場合は面積、3次元になると体積のように考えていけば良い。

　　仮に、n個のベクトルからできているならば
　　以下のような特徴を持つ

  ```math
   \left|
    \begin{array}{c}
      \boldsymbol{v_1}\\
      \vdots\\
      \boldsymbol{W}\\
      \vdots\\
      \boldsymbol{W}\\
      \vdots\\
      \boldsymbol{v_n}\\
    \end{array}
   \right| 
    =
   0
  ```

　上記のように、一部だけ「W」という同じベクトルが含まれる場合、
　行列式の答えは「0」になる。

  ```math
   \left|
    \begin{array}{c}
      \boldsymbol{v_1}\\
      \vdots\\
      \boldsymbol{\lambda\boldsymbol{v_i}}\\
      \vdots\\
      \boldsymbol{v_n}\\
    \end{array}
   \right| 
    =
   \lambda
   \left|
    \begin{array}{c}
      \boldsymbol{v_1}\\
      \vdots\\
      \boldsymbol{\boldsymbol{v_i}}\\
      \vdots\\
      \boldsymbol{v_n}\\
    \end{array}
   \right| 
  ```

<div>　また、上記のように、1つのベクトルに対し「$ \lambda$倍」してある場合、</div>
<div>　全体を「$ \lambda $倍」することになる。</div>

  ```math
   \left|
    \begin{array}{c}
      \boldsymbol{v_1}\\
      \vdots\\
      \boldsymbol{\boldsymbol{v_i}+\boldsymbol{W}}\\
      \vdots\\
      \boldsymbol{v_n}\\
    \end{array}
   \right| 
    =
   \left|
    \begin{array}{c}
      \boldsymbol{v_1}\\
      \vdots\\
      \boldsymbol{\boldsymbol{v_i}}\\
      \vdots\\
      \boldsymbol{v_n}\\
    \end{array}
   \right| 
    +
   \left|
    \begin{array}{c}
      \boldsymbol{v_1}\\
      \vdots\\
      \boldsymbol{\boldsymbol{W}}\\
      \vdots\\
      \boldsymbol{v_n}\\
    \end{array}
   \right| 
 ```

　さらに、他の成分が全部同じ位で、i番目のベクトルだけ違った場合、
　行列式の足し合わせになる。


  ```math
   \left|
    \begin{array}{c}
      \boldsymbol{v_1}\\
      \vdots\\
      \boldsymbol{\boldsymbol{v_s}}\\
      \vdots\\
      \boldsymbol{\boldsymbol{v_t}}\\
      \vdots\\
      \boldsymbol{v_n}\\
    \end{array}
   \right| 
    =
   -
   \left|
    \begin{array}{c}
      \boldsymbol{v_1}\\
      \vdots\\
      \boldsymbol{\boldsymbol{v_t}}\\
      \vdots\\
      \boldsymbol{\boldsymbol{v_s}}\\
      \vdots\\
      \boldsymbol{v_n}\\
    \end{array}
   \right|   
  ```

　最後に、行の一部を入れ替えると行列式の符号が入れ替わる。

<dt>行列式の求め方</dt>
　　
　ある一つの正方行列に、ある一つの数値が対応する
　　→正方行列の「大きさ」みたいなもの

  ```math
    \left|
     \begin{array}{c}
      a&b\\
      c&d
     \end{array}
    \right|
      =
      ad - bc
  ```

　複雑な場合

   ```math
    \left|
     \begin{array}{c}
      a_{11}&a_{12}&a_{13}\\
      a_{21}&a_{22}&a_{23}\\
      a_{31}&a_{32}&a_{33}      
     \end{array}
    \right|
      =
      a_{11}
    \left|
     \begin{array}{c}
      a_{22}&a_{23}\\
      a_{32}&a_{33}
     \end{array}
    \right|   
      -
      a_{21}
        \left|
     \begin{array}{c}
      a_{12}&a_{13}\\
      a_{32}&a_{33}      
     \end{array}
    \right|
      -
     a_{31}
    \left|
     \begin{array}{c}
      a_{12}&a_{13}\\
      a_{22}&a_{23}      
     \end{array}
    \right|
  ```

　となる。
　上記式の場合は、「$ a_{11} ,a_{21},a_{31}$」を抜き出して計算を行なっているが、
 
 「$ a_{13} ,a_{23},a_{33}$」を抜き出して計算を行なっても良い。
　このような場合、できるだけ「0」が含まれる列を選択して、
　計算を簡単にする事がポイントとなる。