分布まとめ



#超幾何分布
+ 非復元抽出
+ 取り出した$n$個の標本から母集団(全個体数)の求めたい種類の個体数を推定 

$M:求める種類の全個体数$
$N:全個体数$
$n:抽出数$
$x:抽出した内の求めたい種類の個体数$

+ 期待値: 

```math 
E(x)=n\left(\frac{M}{N}\right)
```
$p=\frac{M}{N}$とおく場合

```math
E(x)=np
```
+ 分散: 

```math
抽出数(全体における標識ありの割合)(全体における標識無しの割合)\left(\frac{(N-n)}{(N-1)}\right)\\
=n\left(\frac{M}{N}\right)\left(1-\frac{M}{N}\right)\left(\frac{(N-n)}{(N-1)}\right)\\
*1--------------------\\
\left(p=\left(\frac{M}{N}\right)\right)とおいた場合\\
=np\left(1-p\right)\left(\frac{(N-n)}{(N-1)}\right)\\
*2--------------------\\
N\rightarrow\inftyのとき\left(\frac{(N-n)}{(N-1)}\right)\rightarrow1で二項分布の場合と一致する\\
=np\left(1-p\right)\\
```


#二項分布
+ 復元抽出
+ ベルヌーイ試行

期待値

```math
試行数\times発生確率\\
=np
``` 

分散

```math
試行数\times発生確率\times未発生確率\\
=np(1-p)

``` 


#ベルヌーイ分布
+ 復元抽出
+ n=1の二項分布$Bi(1,p)$


期待値

```math
試行数\times発生確率\\
=1\times p
=p

``` 

分散

```math
試行数\times発生確率\times未発生確率\\
=1\times p(1-p)\\
=p(1-p)

``` 


#ポアソン分布
+ 復元抽出
+ $n\rightarrow\infty かつ p\rightarrow0$
+ $試行回数\times発生確率=一定のパラメータ[\lambda]$

期待値

```math
一定のパラメータ[\lambda]\\
=\lambda
``` 

分散

```math
一定のパラメータ[\lambda]\\
=\lambda

``` 


#幾何分布(発生するまでの試行回数)
+ 復元抽出
+ 1回発生するまでの試行回数を求める

期待値

```math
\frac{1}{発生確率}\\
=\frac{1}{p}\\
``` 

分散

```math
\frac{1}{発生確率}\times\frac{未発生確率}{発生確率}\\
=\frac{1}{p}\cdot\frac{(1-p)}{p}\\
=\frac{(1-p)}{p^2}
``` 


##幾何分布(発生を得るまでの未発生回数)
+ $(1回発生するまでの試行回数-1)$を求める

期待値

```math
発生までの回数の期待値-1\\
=\frac{1}{発生確率}-1\\
=\frac{未発生確率}{発生確率}\\
=\frac{1-p}{p}\\
``` 

分散

```math
\frac{1}{発生確率}\times\frac{未発生確率}{発生確率}\\
=\frac{1}{p}\cdot\frac{(1-p)}{p}\\
=\frac{(1-p)}{p^2}
``` 

#負の二項分布(パスカル分布)
$k=規定の回数$

+ 復元抽出
+ 規定の回数発生するまで繰り返す
+ 幾何分布(発生を得るまでの未発生回数)の$k倍$

期待値

```math
規定の回数\times(発生までの回数の期待値-1)\\
=k\cdot\frac{1}{発生確率}-1\\
=k\cdot\frac{未発生確率}{発生確率}\\
=k\cdot\frac{1-p}{p}\\
``` 

分散

```math
規定の回数\times\frac{1}{発生確率}\times\frac{未発生確率}{発生確率}\\
=k\cdot\frac{1}{p}\cdot\frac{(1-p)}{p}\\
=k\cdot\frac{(1-p)}{p^2}
``` 

#離散一様分布
+ 確率分布が一定であるもの

期待値

```math
\frac{出現する事象数+1}{2}\\
=\frac{(N+1)}{2}\\
``` 

分散

```math
\frac{出現する事象数^2+1}{12}\\
=\frac{N^2+1}{12}\\
``` 


#正規分布(ガウス分布)
+ 期待値が母平均，分散が母分散である分布

期待値

```math
\int_{-\infty}^{\infty}xf(x)dx\\
=\int_{-\infty}^{\infty}x\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}\exp\left(\frac{-(x-\mu)^2}{2\sigma^2}\right)dx\\
=\mu
``` 

分散

```math
\int_{-\infty}^{\infty}(x-\mu)^2f(x)dx\\
=\int_{-\infty}^{\infty}(x-\mu)^2\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}\exp\left(\frac{-(x-\mu)^2}{2\sigma^2}\right)dx\\
=\sigma^2
``` 
---------------ベイズ統計での利用が大きいもの---------------

#ガンマ分布(カイ二乗分布)
+ 偶発的な事象が次に発生するまで期間が従う分布
+ $(1-p)=\lambda\cdot\exp(-\lambda )$とおいた

期待値

```math
=\frac{\alpha}{\lambda}\\
``` 

分散

```math
=\frac{\alpha}{\lambda^2}\\
``` 

#指数分布
+ 偶発的な事象が次に発生するまで期間が従う分布
+ $(1-p)=\lambda\cdot\exp(-\lambda )$とおいた

期待値

```math
=\frac{1}{\lambda}\\
``` 

分散

```math
=\frac{1}{\lambda^2}\\
``` 



#ベータ分布


期待値

```math
=\frac{\alpha}{\alpha+\beta}
``` 

分散

```math
=\frac{\alpha\beta}{(\alpha+\beta)^2(\alpha+\beta+1)}
``` 

---------------ベイズ統計での利用が大きいもの---------------

#コーシー分布


期待値
+期待値，分散の存在しない特殊な分布

```math
なし
``` 

分散

```math
なし
``` 

#対数正規分布


期待値

```math
=\exp\left(\mu+\frac{\sigma^2}{2}\right)
``` 

分散

```math
=\exp\left(2\mu+2\sigma^2\right)-\exp(2\mu+\sigma^2)
``` 

#パレート分布
+ 高所得者の所得分布

期待値

```math
=\frac{ax_0}{a-1}
``` 

分散

```math
=\frac{ax^2_0}{a-2}-\left(\frac{ax_0}{a-1}\right)^2
``` 


#ワイブル分布
+ $偶発故障\rightarrow指数分布$
+ $劣化による故障率の増加(Increasing Failure Rate)$
+ $初期故障による故障率の減少(Decreasing Failure Rate)$
+ これら故障をあわせた現実の分布に近いもの

期待値

```math
=a\Gamma\left(1+\left(\frac{1}{b}\right)\right)
``` 

分散

```math
=a^2\left(\Gamma\left(2+\left(\frac{1}{b}\right)-\Gamma\left(1+\frac{1}{b}\right)\right)^2 \right)
```