【無限遠点を巡る数理】オイラーの公式と等比数列②線形性ならぬ円形性について

**オイラーの公式**<font color=green>e^πi</font>=<font color=green>cos(θ)+sin(θ)i</font>=<font color=green>(1±πi/N)^N</font>を眺めていると、**透視図法**(<font color=blue>Perspective</font>)に対応する**自然指数関数**(<font color=blue>Natural Exponential function</font>)や**自然対数関数**(<font color=blue>Natural Logarithmic function</font>)の概念、すなわち「<font color=green>xy=1</font>(<font color=blue>面積</font>)<font color=purple>となる数列の積の極限</font>」が**ピタゴラスの定理**(<font color=blue>Pythagorean Theorem</font>)<font color=green>z^2=sqrt(x^2+y^2)</font>と関係してくるのが、なんとも不思議な感じがします。
[【初心者向け】指数・対数関数の発見とそれ以降の発展について。](https://qiita.com/ochimusha01/items/3e28f4f06abd8cef0af1)
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[【初心者向け】ピタゴラスの定理あるいは三平方の定理からの出発](https://qiita.com/ochimusha01/items/4c7f731b0ef3cc998aa1)
![image.gif](https://qiita-user-contents.imgix.net/https%3A%2F%2Fqiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com%2F0%2F597772%2Fc7cb8211-2ac7-8acb-c35a-573af944e931.gif?ixlib=rb-1.2.2&auto=format&gif-q=60&q=75&s=b8af5cdd67394e3f194e1d57e11e8915)
思うにそれはおそらくこういう事なのです。

#無限座標系(<font color=blue>Infinity Coordinate System</font>)と観測座標系(<font color=blue>Observation Coordinate System</font>)

①任意の**観測原点**(<font color=blue>Observation Origin</font>)を中心に得られる**観測結果集合**(<font color=blue>Observation Result Set</font>)は、**観測可能範囲**(<font color=blue>Observation Limit</font>)を**半径**(<font color=blue>Radius</font>)とする**片側無限実数直線**(<font color=blue>One Side Infinity Real Line</font>)/**両側無限実数直線**(<font color=blue>Both Sides Infinity Real Line</font>)及びこれを**極座標系**(<font color=blue>Polor Coordinate System</font>)と組み合わせた**同心円集合**(<font color=blue>Concentric Circle Set</font>)/**同心円柱集合**(<font color=blue>Concentric Cylinder Set</font>)/**同心円錐集合**(<font color=blue>Concentric Cone Set</font>)/**同心球面集合**(<font color=blue>Concentric Sphere Set</font>)を形成する。とりあえずかかる範囲を扱う座標系を**観測座標系**(<font color=blue>Observation Coordinate System</font>)、極限の範囲を**無限遠点**(<font color=blue>Inf(inity)</font>)に拡張した場合を**無限座標系**(<font color=blue>Inf(inity) Coordinate System</font>)と呼ぶ事にする。この時点において角度の概念はまだ存在しない。ただし中心から円弧に向けて引かれた任意の垂線は全て円弧と直交する事から、両者ともこの段階では**内積**(<font color=blue>Inner Product)</font>/**相関係数**(<font color=blue>Correlation Coefficient</font>)=<font color=green>0</font>と想定される。
[【Rで球面幾何学】そもそも「内積」とは「外積」とは何か？](https://qiita.com/ochimusha01/items/b34f73d13eef785365cd)
[【初心者向け】記述統計学と代表値](https://qiita.com/ochimusha01/items/0bdfc971a69a30f0615f)

* **観測結果集合**が**空集合**(<font color=blue>Empty Set</font>)の場合、すなわちあらゆる**観測次元**(<font color=blue>Observation Dimension</font>)において(<font color=blue>それ自体は観測不可能な</font>)**観測原点**(<font color=blue>Observation Origin</font>)<font color=green>0</font>と**観測極限**(<font color=blue>Observation Limit</font>)<font color=green>Inf(inity)</font>の間に「(<font color=blue>両者の距離が0ないしは測定不能である場合を含め</font>)<font color=purple>何も見出せない</font>」状況をこの座標系における**0次元**(<font color=blue>Zero dimension</font>)と規約する。「<font color=purple>観測可能範囲内に何もない</font>=<font color=purple>観測可能範外</font>(<font color=blue>すなわち理論上それから無限遠点に至る途上</font>)<font color=purple>に</font>(<font color=blue>観測者側の都合により両側無限実数直線とも片側無限実数直線を極座標系と組み合わせた同心円集合/同心円柱集合/同心円錐集合/同心球面集合とも表現される</font>)<font color=purple>全てがある</font>」状態と考える訳だが、**ノルム空間**(<font color=blue>Norm Space</font>)の成立条件<font color=green>‖x‖=0⇄x=0</font>に従い、この座標系においても「<font color=purple>抽出して対象として扱うのは観測結果集合が空集合ではない次元のみとする</font>(<font color=blue>すなわち観測原点が単数しか存在しない一方、無限遠点となる極限は抽出次元数だけ存在する</font>)」事を規約する。<br>[【無限遠点を巡る数理】オイラー座標系(Eulerian Coordinate System)①自然数/整数概念の再定義。](https://qiita.com/ochimusha01/items/db38b1b2a0e731672480)
* この定義から逆算される「<font color=purple>観測結果集合が空集合でない範囲</font>」こそが、この座標系に**添字集合**(<font color=blue>Indexed Set</font>)として規則正しく離散的に並ぶ**自然数集合**(<font color=blue>Natural Set</font>)と(<font color=blue>確率等高線に区切られた連続量として表される</font>)**確率密度空間**(<font color=blue>Probability Density Space</font>)の範囲を決定する(<font color=blue>もちろんこれだけでは自然数集合の規則正しい離散性も、また観測が遂行されなくても存在する確率密度空間の実存性も説明出来ないが、あえてここではその問題にまでは踏み込まない</font>)。<br>[【Rで球面幾何学】等差数列(算術数列)②数直線概念から同心円集合概念へ](https://qiita.com/ochimusha01/items/2a16c3cba3f88986c767)<br>[等高線プロットの主要な結果を解釈する](https://support.minitab.com/ja-jp/minitab/18/help-and-how-to/modeling-statistics/using-fitted-models/how-to/contour-plot/interpret-the-results/key-results/)<br>![image.png](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/597772/73c9088f-f97e-747a-f534-0ea4c7082b95.png)
<br>![image.gif](https://qiita-user-contents.imgix.net/https%3A%2F%2Fqiita-user-contents.imgix.net%2Fhttps%253A%252F%252Fcdn-ak.f.st-hatena.com%252Fimages%252Ffotolife%252Fo%252Fochimusha01%252F20201111%252F20201111061314.gif%3Fixlib%3Drb-1.2.2%26auto%3Dformat%26gif-q%3D60%26q%3D75%26w%3D1400%26fit%3Dmax%26s%3D0ec5ad367a9238d99fae4325c3a95b29?ixlib=rb-1.2.2&auto=format&gif-q=60&q=75&w=1400&fit=max&s=61fff111f1cc073c26829b0b7b27df91)
<br>![image.gif](https://qiita-user-contents.imgix.net/https%3A%2F%2Fqiita-user-contents.imgix.net%2Fhttps%253A%252F%252Fqiita-user-contents.imgix.net%252Fhttps%25253A%25252F%25252Fcdn-ak.f.st-hatena.com%25252Fimages%25252Ffotolife%25252Fo%25252Fochimusha01%25252F20201202%25252F20201202093758.gif%253Fixlib%253Drb-1.2.2%2526auto%253Dformat%2526gif-q%253D60%2526q%253D75%2526s%253D167e614307e1813ff07f89cc7e325745%3Fixlib%3Drb-1.2.2%26auto%3Dformat%26gif-q%3D60%26q%3D75%26w%3D1400%26fit%3Dmax%26s%3Deebf5744bdd7ab1d7b98a49c133d54c4?ixlib=rb-1.2.2&auto=format&gif-q=60&q=75&w=1400&fit=max&s=f72fadcf38cd71cefcc392011b9b72e3)
<br>もしかしたら**半群**(<font color=blue>Semigroup=演算が結合的なマグマ</font>)の概念とも重なるのかもしれないが、現時点では不勉強の為、断言までは出来ない。<br>[半群 - Wikipedia](https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%8D%8A%E7%BE%A4)

②そもそもかかる観測空間における各観測データは最初「<font color=purple>共通点を全く持たない</font>(<font color=blue>Coprime</font>)」想定から出発し(<font color=blue>統計学における名義尺度に該当</font>)、**有意水準**(<font color=blue>Significance Level</font>)で数値比較が可能なそれを束ねる過程で**次元抽出**(<font color=blue>Dimension Extraction</font>)が成立し(<font color=blue>統計学における順序尺度に該当</font>)、その結果として**観測結果集合**が形成されるのである。この意味合いにおいて「<font color=purple>全ての観測結果が共通点を全く持たず</font>(<font color=blue>同一次元上に存在せず</font>)<font color=purple>かつ有意水準でそれぞれの差異が見出せない</font>」と想定する**観測円**/**観測円柱**/**観測円錐**/**観測球面**の原風景は**帰無仮説**(<font color=blue>Null Hypothesis</font>)において切り捨てられる「<font color=purple>無</font>(<font color=blue>Null</font>)」に対応する。
[1-4. 変数の尺度 | 統計学の時間 | 統計WEB](https://bellcurve.jp/statistics/course/1562.html)
[帰無仮説と有意水準](http://www.gen-info.osaka-u.ac.jp/MEPHAS/express/express11.html)

* **ベルヌーイ**や**オイラー**や**ガウス**といった近世以降の数学者達は、かかる**観測円**/**観測円柱**/**観測円円錐**/**観測球面**を「<font color=purple>ベルヌーイの大数の弱法則</font>(<font color=blue>WLLN= Weak Law of Large Numbers</font>)」概念導入によって数理処理可能な対象にしようと考えた。これが**観測結果集合**を**最小値**(<font color=blue>Min</font>)と**最大値**(<font color=blue>Max</font>)の間に分布する観測データの**平均**(<font color=blue>Mean</font>)を中心とする楕円で把握しようとする**確率楕円**(<font color=blue>Probability Ellipse</font>)の発想の出発点となる。**平均**は(<font color=blue>特に観測結果集合が小さければ小さいほど</font>)**外れ値**(<font color=blue>Outliers</font>)による影響を受けやすくなるので、それを**誤差**(<font color=blue>Error</font>)として切り捨てる基準設定が発達し「<font color=purple>ガウスの誤差関数</font>(<font color=blue>ERF=Error Function</font>)/<font color=purple>相補誤差関数 </font>(<font color=blue>ERFC=Complementary Error Function</font>)」を経て**正規分布**(<font color=blue>Normal Distribution</font>)概念が登場するに至る。<br>[大数の法則 - Wikipedia](https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%A4%A7%E6%95%B0%E3%81%AE%E6%B3%95%E5%89%87)<br>[【初心者向け】誤差関数(ERF)と相補誤差関数 (ERFC)。](https://qiita.com/ochimusha01/items/ee8b32e4b2cc7ce4acb0)<br>![image.gif](https://cdn-ak.f.st-hatena.com/images/fotolife/o/ochimusha01/20210117/20210117003848.gif)<br>![image.gif](https://cdn-ak.f.st-hatena.com/images/fotolife/o/ochimusha01/20210117/20210117003225.gif)<br>![image.gif](https://cdn-ak.f.st-hatena.com/images/fotolife/o/ochimusha01/20210117/20210117002845.gif)<br>![image.gif](https://qiita-user-contents.imgix.net/https%3A%2F%2Fcdn-ak.f.st-hatena.com%2Fimages%2Ffotolife%2Fo%2Fochimusha01%2F20201110%2F20201110010727.gif?ixlib=rb-1.2.2&auto=format&gif-q=60&q=75&s=482bb306f38f5d3c649bd270e7dd9f1d)<br>![image.png](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/597772/1accd988-2d7c-c2b8-7e2e-bd92222b40e5.png)
<br>![image.png](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/597772/4cae5277-38e9-1adb-fb42-b761f5773956.png)
<br>[【初心者向け】正規分布(Normal Distribution)とは何か？](https://qiita.com/ochimusha01/items/fe73ddf6e3e8cb08fbee)<br>![image.png](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/597772/7b122c49-201d-2e79-cdde-c7d96d5d3b52.png)
* かかる**確率楕円の検出**(<font color=blue>すなわち単位円を描く円関数-1^x=(0±1i)^2xの外れ値でない極限値を±1と規定する事によって半径1=直径2が定まる事</font>)によって初めて(<font color=blue>無限遠点が片側のInfの形でのみ現れる極座標系に従って同心円集合/同心円柱集合/同心円錐集合/同心球面集合を形成する</font>)**片側無限実数直線**の概念と(<font color=blue>無限遠点が-InfとInfに分断された形で両端に現れる</font>)**両側無限実数直線**の概念が一つに統合される。そしていよいよ(<font color=blue>半径1の</font>)**単位円**を**巡回単位**(<font color=blue>Cyclic Unit</font>)とする「<font color=purple>真の意味で離散間隔が規則的な</font>」**添字集合**(<font color=blue>Indexed Set</font>)にして**代表的添字単位**(<font color=blue>Representative Index Unit</font>)ともされる**整数列**(<font color=blue>Integer Line</font>)が定義可能となるが、**単位円の周期**が<font color=green>2</font>である為、**偶奇性**(<font color=blue>Parity</font>)の概念も同時導入される展開を迎える。**ノルム空間成立条件**の一つ<font color=green>‖ax‖=|a|‖x‖</font>つまり**スカラー倍演算**(<font color=blue>Scalar Multiple Operation</font>)が保証されるのもこれ以降となる(<font color=blue>統計学でいうところの間隔尺度から比例尺度へのパラダイムシフトに該当</font>)。<br>[【無限遠点を巡る数理】オイラー座標系②複素等比数列による整数概念の再構築。](https://qiita.com/ochimusha01/items/5b095114cafafba8428f)<br>![image.gif](https://qiita-user-contents.imgix.net/https%3A%2F%2Fcdn-ak.f.st-hatena.com%2Fimages%2Ffotolife%2Fo%2Fochimusha01%2F20210105%2F20210105003122.gif?ixlib=rb-1.2.2&auto=format&gif-q=60&q=75&w=1400&fit=max&s=1c5e7641bb15c183f387fb9c6c92759a)
<br>![image.gif](https://qiita-user-contents.imgix.net/https%3A%2F%2Fcdn-ak.f.st-hatena.com%2Fimages%2Ffotolife%2Fo%2Fochimusha01%2F20210105%2F20210105071334.gif?ixlib=rb-1.2.2&auto=format&gif-q=60&q=75&w=1400&fit=max&s=6cc2d838c056f87959b9d35678b0d60a)<br>
* これが、この座標系における**添字集合**(<font color=blue>Indexed Set</font>)としての**整数集合**(<font color=blue>Integer Set</font>)の定義であり、これに立脚する事により以降の展開では**確率密度空間**(<font color=blue>Probability Density Space</font>)への言及が不可欠ではなくなる(<font color=blue>観測結果集合は、それが演算結果集合と「ぴったり重なる」限りにおいて省みる必要がなくなるとも考えられる。逆いえば演算結果集合はこの条件が満たせなくなった時点で棄却されざるを得なくなる</font>)。ちなみにこの時点で整数列が獲得する特質は**群論**(<font color=blue>Group Theory</font>)における**加法整数群**(<font color=blue>Additive Integer Group</font>)概念に的確かつコンパクトにまとめられている。<br>[【初心者向け】群論概念①基本定義](https://qiita.com/ochimusha01/items/208dc0e68db64805e4f7)<br>![image.png](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/597772/0efce111-3394-a111-5748-efad849980dc.png)
<br>![image.gif](https://qiita-user-contents.imgix.net/https%3A%2F%2Fcdn-ak.f.st-hatena.com%2Fimages%2Ffotolife%2Fo%2Fochimusha01%2F20201202%2F20201202104819.gif?ixlib=rb-1.2.2&auto=format&gif-q=60&q=75&s=fe2d96a44c27c0815ffc540d9aa0d269)
<br>![image.gif](https://qiita-user-contents.imgix.net/https%3A%2F%2Fcdn-ak.f.st-hatena.com%2Fimages%2Ffotolife%2Fo%2Fochimusha01%2F20201202%2F20201202105840.gif?ixlib=rb-1.2.2&auto=format&gif-q=60&q=75&s=e2e64a1f9a4c81520531195762c98109)<br>![image.gif](https://qiita-user-contents.imgix.net/https%3A%2F%2Fcdn-ak.f.st-hatena.com%2Fimages%2Ffotolife%2Fo%2Fochimusha01%2F20201202%2F20201202110929.gif?ixlib=rb-1.2.2&auto=format&gif-q=60&q=75&s=29fff0965f6694fd7a0f499b5c49383b)

③こうした数理の全体構造の俯瞰から、どうして現代社会においては「(<font color=blue>観測結果集合から連立方程式を立てて並列処理を実現する</font>)**高速フーリエ変換**(<font color=blue>FFT=Fast Fourier Transform</font>)」や「(<font color=blue>微積分による解析が困難な観測結果集合=演算結果集合を直接演算対象とする</font>)**マルコフ連鎖モンテカルロ法**(<font color=blue>MCMC=Markov Chain Monte Carlo method</font>)」や「(<font color=blue>観測結果集合からそれを興成するN次元の評価軸を抽出する</font>)**因子分析**(<font color=blue>Factor Analysis</font>)」や「(<font color=blue>複雑な観測結果集合の分布を確率楕円の足し合わせに分解する</font>)**主成分分析**(<font color=blue>PCA=Principal Component Analysis</font>)」の概念が急速に発達してきたか説明出来る。要するに**多変量解析**(<font color=blue>Multivariate Analysis</font>)の世界では、**観測結果集合**が**演算結果集合**とぴったり重なって**確率密度空間**への言及が不可欠ではなくなる状況の実現が想像以上に困難であると次第に明らかとなってきたのである。そしてこうした技法は(<font color=blue>現代科学のもう一つのトレンドである機械学習分野同様に</font>)押し並べて「<font color=purple>正規分布への収束もまた無限遠点への回帰</font>」なる前提に立つ。
[FFT（高速フーリエ変換）を完全に理解する話](https://qiita.com/ageprocpp/items/0d63d4ed80de4a35fe79)
[高速フーリエ変換とその並列化](http://www.na.scitec.kobe-u.ac.jp/~yamamoto/lectures/parallelFFT/parallelFFT1.PDF)
[数式をまったく使わないMCMC(マルコフ連鎖モンテカルロ法)の説明](http://www.fward.net/archives/2301)
[マルコフ連鎖モンテカルロ法の最近の展開](http://www.omori.e.u-tokyo.ac.jp/MCMC/mcmc.pdf)
[因子分析とは](https://www.cross-m.co.jp/analysis/factor/?utm_source=yahoo&utm_medium=cpc&utm_campaign=search&yclid=YSS.1000318697.EAIaIQobChMIneOMkbSk7gIVEnkqCh0huADLEAAYASAAEgIAlPD_BwE)
[主成分分析とは](https://www.intage.co.jp/glossary/401/)

と、ここまでがこれまでの投稿で提言してきた**自然数**と**整数**の概念の総まとめとなります。

* ちなみに**複素解析**(<font color=blue>Complex Analysis</font>)の記法を用いると、ここでの**整数列概念設定**は「**連続多価等比数列**<font color=green>y=1^x</font>(<font color=blue>y=(1+0i)^x,y=1</font>)<font color=purple>と</font>**連続多価等比数列**<font color=green>-1^x</font>(<font color=blue>(0±1i)^2x</font>)<font color=purple>の接点</font><font color=green>(0+1i)</font>(<font color=blue>y=1</font>)<font color=purple>に注目し、これを両者の</font>**主値**(<font color=blue>Principal Value</font>)に設定する事により</font>(<font color=blue>規則正しく離散的な</font>)**公差**(<font color=blue>Common Difference</font>)=<font color=green>1</font><font color=purple>の</font>**等比数列**<font color=purple>を生成する</font>」といった感じになる様である。<br>[複素解析 - Wikipedia](https://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%A4%87%E7%B4%A0%E8%A7%A3%E6%9E%90)<br>[主値-Wikipedia](https://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%B8%BB%E5%80%A4)<br>[多価関数-Wikipedia](https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%A4%9A%E4%BE%A1%E9%96%A2%E6%95%B0)<br>[分岐点 (数学)-Wikipedia](https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%88%86%E5%B2%90%E7%82%B9_(%E6%95%B0%E5%AD%A6))
* **複素数表現**の虚数部は実数演算上は切り捨てられてしまう、すなわち**ノルム空間成立条件**の最後の条件<font color=green>‖x‖+‖y‖≧‖x+y‖</font>が<font color=green>‖x‖+‖y‖=‖x+y‖</font>の形でしか現れないので「<font color=purple>等差数列としての公比が1であり続ける限り</font>」<font color=green>(0+1i)</font>→<font color=green>y=1</font>と置き換えても、**pノウム距離関数**の値をいじっても影響が出ないのがミソ。というより、そもそも**複素関数**がこういう(<font color=blue>Y軸概念を導入したくない</font>)**線演算**に、その概念を前提とする要素を持ち込む為に用いられる様になった歴史的経緯を考えると、これが**正しい複素関数の使い方**/**あるべき複素ノルム空間の姿**という気もしてくる。<br>[【初心者向け】方形描画関数②距離空間との関係。](https://qiita.com/ochimusha01/items/06e49a35dffbd12b35aa)<br>![image.png](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/597772/b0596aa5-2895-8f62-03f3-19d04f9960cb.png)
* さらにはこの時点で**偶奇概念**が発生する理由ばかりか、<font color=green>exp(-1)</font>の導出イメージが**確率論的**(<font color=blue>計算範囲2π</font>)なのに<font color=green>exp(1)</font>の導出イメージが**距離論的**(<font color=blue>しかも計算範囲が半分のπ</font>)なのも連続的に**自明の場合**(<font color=blue>Trival Case</font>)として説明出来てしまうのである(<font color=blue>そう、その範囲が確率密度関数への言及が必要な領域と不要な領域に跨っているからと考えれば良いのである!!</font>)。<br>[【初心者向け】指数・対数関数の発見とそれ以降の発展について。](https://qiita.com/ochimusha01/items/3e28f4f06abd8cef0af1)<br>![image.gif](https://qiita-user-contents.imgix.net/https%3A%2F%2Fqiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com%2F0%2F597772%2F241a9d60-380c-d71e-08e3-085d596ec8fe.gif?ixlib=rb-1.2.2&auto=format&gif-q=60&q=75&w=1400&fit=max&s=08fb0b1e6c6390220480c2b75dea42e9)
<br>![image.gif](https://qiita-user-contents.imgix.net/https%3A%2F%2Fcdn-ak.f.st-hatena.com%2Fimages%2Ffotolife%2Fo%2Fochimusha01%2F20190315%2F20190315015420.gif?ixlib=rb-1.2.2&auto=format&gif-q=60&q=75&w=1400&fit=max&s=c63b241eb6b0eea82956fff5136f85b8)

さて**デカルト座標系**(<font color=blue>Cartesian Coordinate System</font>)に到達するまで、あとどれくらい**パラダイムシフト**を経ないといけないやら…


#線形性ならぬ円形性の世界。

ここで整数列を規定するのは**線関数**<font color=purple>1^x</font>が描く**直線**<font color=green>y=1</font>と**円関数**<font color=purple>-1^x</font>=<font color=purple>(0±1i)^2x</font>の**離散的接点**となる訳ですが、後者を構成する<font color=green>Cos波</font>と<font color=green>Sin波</font>の周期が<font color=green>2</font>なので、どうしても「(<font color=blue>等速円運動の観察から出発した</font>)<font color=green>Cos波</font><font color=purple>と</font><font color=green>Sin波</font><font color=purple>の巡回単位を</font><font color=green>2π</font>とする円筒座標系</font>」との摺り合わせが必要となってきます。
[【初心者向け】物理学における「単位円筒」の概念について。](https://qiita.com/ochimusha01/items/ced1c21b4411e79cdcbe)
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これを担当するのが**オイラーの公式**(<font color=blue>Eulerian Formula</font>)<font color=purple>e^θi</font>=<font color=purple>cos(θ)+sin(θ)i</font>という訳です。**オイラーの等式**(<font color=blue>Eulerian Identity</font>)<font color=purple>e^πi</font>=<font color=purple>-1</font>の式もあるので<font color=green>周期2π</font>で動作してると思われがちですが、**マクローリン級数**(<font color=blue>McLaughlin Series</font>)で近似してみると<font color=green>周期2</font>で動作している事が明らかとなります。この公式の発見が**自然指数関数**(<font color=blue>Natural Exponential function</font>)の**マクローリン級数**に(<font color=blue>π周期の</font>)<font color=green>Cos(θ)波</font>要素と<font color=green>Sin(θ)波</font>めいた要素(<font color=blue>これに虚数(0±1i)を掛け合わせ、ArcSine波の様に垂直周期に変換すると円関数に化ける</font>)を見て取った事から出発したのは有名な話ですが、なんと**円関数**<font color=purple>e^πi</font>で実際に円を描いているのは**円関数**<font color=purple>-1^x</font>=<font color=purple>(0±1i)^2x</font>であり、<font color=green>e要素</font>は<font color=green>θ</font>(<font color=blue>2π周期</font>)の引き渡しに際して、これを<font color=green>周期2</font>に変換する為に定数的に利用されているだけだったのです。
[【Rで球面幾何学】オイラーの公式を導出したマクローリン級数の限界？](https://qiita.com/ochimusha01/items/4a484d5759f96abb0ab3)
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それではどうして**ネイピア数**<font color=green>2.718282</font>を根として与えられた**等比数列**(<font color=blue>Geometric Sequence=幾何数列</font>)には<font color=green>2π周期</font>を<font color=green>2周期</font>に変換する効能があるのでしょうか。私も現段階では最終回答までは持ち合わせていませんが、**オイラーの公式**には<font color=purple>(1±πi/N)^N</font>の形もあり、これが**ネイピア数**を求めるのに用いられた「<font color=purple>均等分布をN分割してN回試行して特定の出目が出ない確率の極限を求める</font>」**ベルヌーイ試行**の応用例であった事に重要なヒントが隠されている気がしています。
[【Rで球面幾何学】「世界で一番美しい公式」オイラーの等式の罠？](https://qiita.com/ochimusha01/items/7fa9d091f7ba9414dfc3)
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要するに上掲の様な**座標論**から浮かび上がってくる、**線形性**ならぬ**円状分布性**の様な数理から何か読み解けないかという話ですね。そんな感じで以下続報…