【論文読み No.1】林業事業者と環境活動家、森林資源をどう配分する？

# 0. 論文
Peter S. Burton, Land Use Externalities: Mechanism Design for the Allocation of Environmental Resources, *Journal of Environmental Economics and Management 30, 174-185 (1996)*

https://ideas.repec.org/a/eee/jeeman/v30y1996i2p174-185.html

# 1. 概要
森林資源のステークホルダーは数多く存在し、それぞれの思惑も違う。林業事業者なら集約的に林業を営んで経済的便益を享受したいと考えるし、環境活動家はなるべく自然をそのままの形で保全したいと思うだろう。様々なステークホルダーが存在する以上、土地の配分にあたっては様々な外部性が発生する可能性がある。そこで、耐戦略性[^1]を満たすメカニズムを導入し、社会最適となる土地配分を達成しようというのが本論文の目的。

導入するのはGroves Mechanism[^2]に修正を加えたもの。通常版との違いは
1. 土地の総量に制約がある
2. 林業事業者が金銭ベースの価値表明なのに対し、環境活動家は金銭ベースではない（事業者は森林を使えなくても保証がされれば納得するが、活動家は森林が破壊されるかわりに補償金をもらっても納得しない！）

森林は以下の3つの使い道を想定。
・集約林業：単一種を同時期に植林。環境を犠牲に経済的便益に特化
・非集約林業：多種を植林。環境に配慮しつつ経済的便益も享受
・自然のまま：経済的便益を犠牲に環境に特化

事業者と活動家の効用を合わせた社会的厚生を最大化するように、ソーシャルプランナー（政治家や行政など）が土地の使い道を決定する。その際に各主体の選好を表明させるが、ここで嘘をつかれないように正直表明が最も合理的な戦略となるようなメカニズムを設計する。

# 2. モデル （Homogeneous Land）
主体：林業事業者（以下「事業者」）、環境活動家（以下「活動家」）

$I$：集約林業エリアの面積
$N$：非集約林業エリアの面積
$W$：自然のままエリアの面積

土地配分を決定するメタ主体としてソーシャルプランナー（以下「SP」）を仮定。SPは事業者と活動家をそれぞれ $ \theta:1 - \theta \quad (0 \leq \theta \leq 1)$で重み付けする。

$Y$を金銭的収入とする。このとき、事業者は $I, N, Y$から効用を得るとする。

$I,N$は完全代替材とし、代替率 $\alpha \quad (0 \leq \alpha \leq 1)$で代替可能とする。なので、$I$と$N$を合わせた「林業」$F$は
$$F = I + \alpha N$$
と書ける。

$V$ を事業者の効用とし、$Y$に対して準線形と仮定する。よって
$$V(I,N,Y) = \vartheta(F) + Y$$
　　　　　　　　where

```math
F = I + \alpha N \\
0 \leq \alpha \leq 1 \\
\frac{\partial \vartheta}{\partial F} \geq 0, \frac{\partial^2 \vartheta}{\partial F^2} \leq 0
```
3つめの条件式は、効用が$F$に対して単調増加かつ限界効用逓減であることを意味する。

活動家は$U, W$から効用を得るとする。

$U$ を活動家の効用とし、$W$に対して準線形と仮定する。よって
$$U(N,W) = \mu(N) + W$$
　　　　　　　　where

```math
\frac{\partial \mu}{\partial F} \geq 0, \frac{\partial^2 \mu}{\partial F^2} \leq 0
```

配分に際し、事業者と活動家は各々の選好を申告する。申告された選好には $\hat{}$ をつける。
申告された選好

```math
\widehat{V}(I,N,Y) = \widehat{\vartheta} (F) + Y \quad where \quad F = I + \widehat{\alpha}N\\
\widehat{U} (N,W) = \widehat{\mu}(N) + W
```
がtrue preferencesであるとSPが分かっていた場合、社会最適な配分は以下の問題の解で与えられる。

```math
\max_{I,N,W} \theta \widehat{V}(I,N,Y) + (1-\theta) \widehat{U} (N,W) \tag{1}
```

$L$を土地の総量としたとき、$L = I + N + W$　これを代入して

```math
\max_{I,N} \theta(\widehat{\vartheta}(I + \widehat{\alpha}N) + Y) + (1-\theta) (\widehat{\mu}(N) + L - I - N) 
```

First Order Conditionsは

```math
0 = \theta \frac{\partial \widehat{\vartheta}}{\partial F}-(1-\theta) \qquad (I\mbox{で微分}) \tag{A}\\
0 = \frac{\partial \widehat{\vartheta}}{\partial F} \widehat{\alpha} + (1 - \theta) \left(\frac{\partial \widehat{\mu}}{\partial N} - 1 \right) \qquad (N\mbox{で微分})
```

しかし、実際にはSPは申告された選好がtrue preferencesであるかわからない。
というのも、事業者&活動家には嘘の申告をして自分たちにとって得な配分となるよう仕向けるインセンティブが存在する。

そこで、正直申告を促すようなメカニズムを導入しようというのが本論文のミソ。メカニズムの大まかなイメージは
・各主体に他主体の申告に応じた金銭的報酬を与える
・この報酬は、公共財と私的財の限界代替率（＝効用関数の勾配ベクトルの方向）と選好の強さ（＝勾配ベクトルのノルム）を明らかにする
・本モデルでは事業者にのみそのような金銭的報酬を与える
・金銭的な報酬に影響されない活動家には、追加の制約（後述）を設けることで正直表明のインセンティブを与える。

## 2.1 林業事業者の正直表明メカニズム
事業者の収入$Y$を、活動家が申告した選好に応じて報酬を受け取ることができるとして

```math
Y = Y^0 + \frac{1 - \theta}{\theta} \widehat{U}(N,W)
```
とする。ここで
$Y^0$：事業者の固定収入
$\frac{1 - \theta}{\theta}$：事業者の効用と活動家の効用の変換率

このとき、事業者の効用は

```math
\begin{align}
&\vartheta (F) + Y^0 + \frac{1 - \theta}{\theta} \widehat{U}(N,W) \quad where \quad F = I + \widehat{\alpha}N\\
&s.t.\\
&L = I + N + W
\end{align}
```

事業者はこの自身の効用を最大化したいと考えるので、制約条件を代入して

```math
\max_{I,N} \vartheta (I + \alpha N) + Y^0 + \frac{1-\theta}{\theta} (\widehat{\mu}(N) + L - I - N)
```

First Order Conditionsは

```math
0 = \frac{\partial \vartheta}{\partial F}-\frac{1-\theta}{\theta} \qquad (I\mbox{で微分}) \\
0 = \frac{\partial \vartheta}{\partial F} \alpha + \frac{1 - \theta}{\theta} \left(\frac{\partial \widehat{\mu}}{\partial N} - 1 \right) \qquad (N\mbox{で微分}) \tag{B}
```

SPは申告された選好、つまり（A）を満たすように配分を決定する。
なので（B）が（A）に一致するとき、つまり

```math
\frac{\partial \widehat{\vartheta}}{\partial F} = \frac{\partial \vartheta}{\partial F} \quad and \quad \widehat{\alpha} = \alpha
```

となるとき、事業者は最適を水準を達成できる。これが社会最適を達成できるか否かは、活動家にも正直申告をするインセンティブがあるかにかかっている。

## 2.2 環境活動家の正直表明インセンティブ
活動家は金銭的報酬から効用を得ず、さらに土地の総量が予め決まっていることから、メカニズムの設計に工夫が必要である。
そこで、何らかの追加制約を設けることを考える。

活動家は以下のような選好の申告を求められている。

```math
\widehat{U}(N,W) = \widehat{\mu}(N) + W
```

さらに、林業$F$について

```math
\frac{\partial \widehat{\vartheta}}{\partial F} = \frac{1-\theta}{\theta}
```
を満たす水準$F^* \in [0,L]$をとるとする。

このとき、活動家は以下の効用を最大化したいと考える。

```math
\begin{align}
&\mu(N) + W\\
&s.t.\\
&F^* = I + \widehat{\alpha} N\\
&L = I + N + W
\end{align}
```

制約条件を代入して、

```math
\max_N \mu(N) + L - N - F^* + \widehat{\alpha} N
```

First Order Conditionは

```math
0 = \frac{\partial \mu}{\partial N} - (1 - \widehat{\alpha}) \qquad \mbox{Nで微分} \tag{C}
```

ここで、
・右辺第一項：$N$を増やしたことによるプラスの効果

・右辺第二項：$W$にしなかったことによる機会損失

SPは（A）をもとに配分を決定すると分かっているので、活動家は

```math
\frac{\partial \widehat{\mu}}{\partial N} = \frac{\partial \mu}{\partial N}
```

と申告することで自身の効用を最大化できる。つまり、正直申告が最適戦略となっている。

# 3. モデル（Heterogeneous Land）
土地の異質性を考える。土地$L$をm×n区画に分割し、

```math
L = \left(
    \begin{array}{cccc}
      L_{11}  & \ldots & L_{1n} \\
      \vdots & \ddots & \vdots \\
      L_{m1} & \ldots & L_{mn}
    \end{array}
  \right)
```

$L_{ij}$：事業者にとっての特徴$i$と活動家にとっての特徴$j$を持つ土地

```math
L_{ij} = I_{ij} + N_{ij} + W_{ij}
```

$ $事業者の効用は$\boldsymbol{F} = (F_{1 \cdot}, \cdots, F_{m \cdot})$と収入$Y$できまるので、事業者の効用は

```math
V(\boldsymbol{I,N},Y) = \vartheta(\boldsymbol{F}) + Y
```

$\vartheta$は第2章でみたように単調増加かつ限界効用逓減
また、

```math
F_{i \cdot} = \sum_{j=1}^n (I_{ij} + \alpha_i N_{ij}) \qquad i = 1, \dots, m
```

活動家の場合も同様に、

```math
\boldsymbol{N} = (N_{\cdot 1}, \cdots, N_{\cdot n}) \quad where \quad N_{\cdot j} = \sum_{i=1}^m N_{ij}\\
\boldsymbol{W} = (W_{\cdot 1}, \cdots, W_{\cdot n}) \quad where \quad W_{\cdot j} = \sum_{i=1}^m W_{ij}
```

を用いると、活動家の効用は

```math
U(\boldsymbol{N}, \boldsymbol{W}) = \mu(\boldsymbol{N}, \boldsymbol{W_{\cdot -k}}) + W_k\\
where \quad \boldsymbol{W_{\cdot -k}} = (W_{\cdot 1}, \cdots, W_{\cdot k-1}, W_{\cdot k+1}, \cdots, W_{\cdot n})
```

SPが、申告された選好が真の選好であると知っている場合、社会最適な配分は以下を解くことで達成される。

```math
\max_{\boldsymbol{I,N,W}} \theta \widehat{V}(\boldsymbol{F}, Y) + (1-\theta) \widehat{U} (\boldsymbol{N,W})\\
s.t. \qquad L_{ij} = I_{ij} + N_{ij} + W_{ij} \quad \forall i,j
```

ラグランジアンは

```math
\mathcal{L} = \theta \widehat{V}(\boldsymbol{F}, Y) + (1-\theta) \widehat{U} (\boldsymbol{N,W}) - \sum_{i=1}^m \sum_{j=1}^n \lambda_{ij} (I_{ij} + N_{ij} + W_{ij} - L_{ij})
```

First Order Conditionsは

```math
0 = \theta \frac{\partial \widehat{\vartheta}}{\partial F_{i \cdot}} - \lambda_{ij} \quad \forall i,j \quad (I_{ij} \mbox{で微分})\\
0 = \theta \frac{\partial \widehat{\vartheta}}{\partial F_{i \cdot}} \widehat{\alpha_i} + (1-\theta) \frac{\partial \widehat{\mu}}{\partial N_{\cdot j}} - \lambda_{ij} \quad \forall i,j \quad (N_{ij} \mbox{で微分})\\
0 = (1-\theta) \frac{\partial \widehat{\mu}}{\partial N_{\cdot j}} - \lambda_{ij} \quad \forall i,j\neq k \quad (W_{ij} (j \neq k) \mbox{で微分}) \tag{D}\\ 
0 = (1-\theta) - \lambda_{ik} \quad \forall i \quad (W_{ik} \mbox{で微分})\\
0 = L_{ij} - I_{ij} - N_{ij} - W_{ij} \quad \forall i,j \quad (\lambda_{ij} \mbox{で微分})
```

第2章と同様に、事業者および活動家には自分の利得を大きくするために嘘をつくインセンティブがあるが、Groves Mechanismを導入することで克服可能 

## 3.1 林業事業者の正直表明メカニズム
2.1と同様に事業者の収入$Y$を、活動家が申告した選好に応じて報酬を受け取ることができるとすると、事業者の効用最大化問題は

```math
\max_{\boldsymbol{I,N,W}} \vartheta(\boldsymbol{F}) + Y^0 + \frac{1 - \theta}{\theta} \widehat{U}(N,W)\\
s.t. \quad L_{ij} = I_{ij} + N_{ij} + W_{ij} \quad \forall i,j
```

ラグランジアンは

```math
\mathcal{L} = \vartheta(\boldsymbol{F}) + Y^0 + \frac{1 - \theta}{\theta} \widehat{U}(N,W) - \sum_{i=1}^m \sum_{j=1}^n \lambda_{ij} (I_{ij} + N_{ij} + W_{ij} - L_{ij})
```

First Order Conditionsは

```math
0=\frac{\partial \vartheta}{\partial F_{i \cdot}} - \lambda_{ij} \quad \forall i,j \quad (I_{ij}\mbox{で微分})\\
0=\frac{\partial \vartheta}{\partial F_{i \cdot}} \alpha_i + \frac{1-\theta}{\theta} \frac{\partial \widehat{\mu}}{\partial N_{\cdot j}} - \lambda_{ij} \quad \forall i,j \quad (N_{ij}\mbox{で微分})\\
0=\frac{1-\theta}{\theta} \frac{\partial \widehat{\mu}}{\partial W_{\cdot j}} - \lambda_{ij} \quad \forall i,j \neq k \quad (N_{ij} (j \neq k)\mbox{で微分}) \tag{E}\\
0=\frac{1-\theta}{\theta} - \lambda_{ik} \quad \forall i \quad (W_{ik}\mbox{で微分})\\
0 = L_{ij} - I_{ij} - N_{ij} - W_{ij} \quad \forall i,j \quad (\lambda_{ij}\mbox{で微分})
```

2.1と同様に、事業者は正直申告

```math
\frac{\partial \widehat{\vartheta}}{\partial F_{i \cdot}} = \frac{\partial \vartheta}{\partial F_{i \cdot}} \quad and \quad \widehat{\alpha_i} = \alpha_i \quad \forall i
```

をすることで自身の効用を最大化できる。

## 3.2 環境活動家の正直表明メカニズム
$ $2.2と同様に、林業$F_{i \cdot} ^ * = \sum_{j=1}^n (I_{ij} + \widehat{\alpha_i} N_{ij}), \quad i = 1, \dots, m$の面積が、条件$\frac{\partial \widehat{\vartheta}}{\partial F_{i \cdot}} = \frac{1-\theta}{\theta}$を満たすように決まるという状況下で意思決定をおこなう。

活動家は、以下の最大化問題を解く。

```math
\begin{align}
&\max_{\boldsymbol{I,N,W}} U( \boldsymbol{N, W_{\cdot -k}}) + \boldsymbol{W_k}\\
&s.t.\\
&F_{i \cdot} ^ * = \sum_{j=1}^n (I_{ij} + \widehat{\alpha_i} N_{ij}), \quad \forall i\\
&L_{ij} = I_{ij} + N_{ij} + W_{ij} \quad \forall i,j
\end{align}
```

ラグランジアンは

```math
\mathcal{L} = U(\boldsymbol{N, W_{\cdot -k}}) + \boldsymbol{W_k} - \sum_{i=1}^m \psi_i \left(\sum_{j=1}^n (I_{ij} + \widehat{\alpha_i} N_{ij}) - F_{i \cdot} ^ * \right) - \sum_{i=1}^m \sum_{j=1}^n \lambda_{ij} (I_{ij} + N_{ij} + W_{ij} - L_{ij})
```

First Order Conditionsは

```math
0 = \frac{\partial \mu}{\partial N_{\cdot j}} - \psi_i \widehat{\alpha_i} - \lambda_{ij} \quad \forall i,j \quad (N_{ij}\mbox{で微分})\\
0 = \frac{\partial \mu}{\partial W_{\cdot j}} - \lambda_{ij} \quad \forall i,j \neq k \quad (W_{ij}(j \neq k)\mbox{で微分}) \tag{F}\\
0 = 1 - \lambda_{ik} \quad \forall i \quad (W_{ik}\mbox{で微分})\\
0 = - \lambda_{ij} - \psi_{i} \quad \forall i,j \quad (I_{ij}\mbox{で微分})\\
F_{i \cdot} ^ * = \sum_{j=1}^n (I_{ij} + \widehat{\alpha_i} N_{ij}), \quad \forall i \quad (\psi_{i}\mbox{で微分})\\
0 = L_{ij} - I_{ij} - N_{ij} - W_{ij} \quad \forall i,j \quad (\lambda_{ij}\mbox{で微分})
```

（D）と(F）の比較から明らかなように、活動家が正直申告

```math
\frac{\partial \widehat{\mu}}{\partial N_{\cdot j}} = \frac{\partial \mu}{\partial N_{\cdot j}} \quad \forall j \quad and \quad \frac{\partial \widehat{\mu}}{\partial W_{\cdot j}} = \frac{\partial \mu}{\partial W_{\cdot j}} \quad \forall j \neq k
```

をしたとき、SPの配分が活動家にとっての最適配分に一致する。

# 4. まとめ
・森林資源を題材に、社会最適な財の配分メカニズムについて議論
・Groves Mechanismに修正を加えたものを用いることで、耐戦略性を満たすメカニズムを構築可能
・土地の異質性を考慮した場合においても応用が容易

[^1]: あるメカニズムが耐戦略性を満たすとは、全ての主体にとって、相手の申告内容に関わらず、自身の選好を偽って申告しても効用を増やすことができないことを言う。
[^2]: 一定の弱い条件下で効率性と耐戦略性を満たすメカニズム。経済セミナーの連載『オークションとマーケットデザイン』などが詳しい。