【無限遠点を巡る数理】オイラー座標系(Eulerian Coordinate System)②複素等比数列による整数概念(Integer Concept)の再構築。

昨年は以下の**超越演算**(<font color=blue>Transcendental Operation</font>)を用いて**単位元**<font color=green>0</font>と**単位元**<font color=green>1</font>の出現を説明していました。

* <font color=green>Inf(inity)-Inf(inity)=0</font>
* <font color=green>Inf(inity)/Inf(inity)=1</font>
* <font color=green>1/Inf(inity):=0</font>

しかし実は「<font color=red>等比数列の収束</font>」を用いて説明するのが正解だった様です。

[【トーラス構造と古典数学】等比数列(幾何数列)④公比Dが正の場合の収束と拡散, そして対数尺(自然指数関数) - Qiita](https://qiita.com/ochimusha01/items/c9803fd63871097d77ce)
①（<font color=blue>初項a,公差０の等差数列と完全に合致する</font>）**初項**(<font color=blue>First Term</font>)<font color=green>a</font>,**公比**(<font color=blue>Common Ratio</font>)<font color=green>1</font>の**等比数列**(<font color=blue>Geometric Progression=幾何数列</font>)を「**目盛り**」として射影した場合。
![image.gif](https://cdn-ak.f.st-hatena.com/images/fotolife/o/ochimusha01/20210103/20210103062700.gif)
②**指数尺**（<font color=blue>すなわち自然指数関数e^xの値</font>）を「**目盛り**」として射影した場合。**等比数列**<font color=purple>An</font>(<font color=blue>n=-Inf→0→Inf</font>){<font color=green>a0r^(n-1)</font>}(<font color=blue>ただしa0は初項、rは公比</font>)={<font color=green>a^-Inf,…,a^-n,a^0,a^+n,…,a^-Inf</font>}={<font color=green>1/a^Inf:=0,…,1/a^n,1,a^n,…,a^Inf=Inf</font>}の究極形。
![image.gif](https://cdn-ak.f.st-hatena.com/images/fotolife/o/ochimusha01/20210103/20210103063144.gif)

[【トーラス構造と古典数学】等比数列(幾何数列)④公比Dが正の場合の収束と拡散, そして対数尺(自然指数関数) - Qiita](https://qiita.com/ochimusha01/items/c9803fd63871097d77ce)
<font color=green>0</font><**公比**<font color=green>D</font><<font color=green>1</font>の時
**純粋な1次元展開**により<font color=green>0</font>へ向けて収束する。
![image.gif](https://cdn-ak.f.st-hatena.com/images/fotolife/o/ochimusha01/20210103/20210103212903.gif)

**公比**<font color=green>D</font>><font color=green>1</font>の時
**純粋な1次元展開**により**無限大**(<font color=blue>Inf(inity)</font>)に向けて発散する。
![image.gif](https://cdn-ak.f.st-hatena.com/images/fotolife/o/ochimusha01/20210103/20210103213712.gif)

**公比**<font color=green>e</font>の場合
**純粋な1次元展開**により<font color=green>0</font>と**無限大**の間を埋める。
![image.gif](https://cdn-ak.f.st-hatena.com/images/fotolife/o/ochimusha01/20210104/20210104012151.gif)

[【トーラス構造と古典数学】等比数列(幾何数列)③振動関数を巡る収束と拡散。 - Qiita](https://qiita.com/ochimusha01/items/0814db1de32fbf88d070)

**公比**<font color=green>D</font>=<font color=green>-1</font>の時、<font color=green>i^2=-1</font>より<font color=green>(0±1i)^2x</font>
<font color=green>(0+1i)^2x</font>(<font color=blue>x=-1→1</font>)
![image.gif](https://cdn-ak.f.st-hatena.com/images/fotolife/o/ochimusha01/20210103/20210103071257.gif)
<font color=green>(0-1i)^2x</font>(<font color=blue>x=-1→1</font>)
![image.gif](https://cdn-ak.f.st-hatena.com/images/fotolife/o/ochimusha01/20210103/20210103071813.gif)

<font color=green>0</font><**公比**<font color=green>D</font><<font color=green>1</font>の時
どんどん振幅の幅が狭まっていく(<font color=blue>0に向けて収束</font>)。
![image.gif](https://cdn-ak.f.st-hatena.com/images/fotolife/o/ochimusha01/20210103/20210103073903.gif)

**公比**<font color=green>D</font>><font color=green>1</font>の時
どんどん振幅の幅が広がっていく(<font color=blue>無限大に向けて発散</font>)。
![image.gif](https://cdn-ak.f.st-hatena.com/images/fotolife/o/ochimusha01/20210103/20210103074600.gif)

何故**周期単位**(<font color=blue>Cycle Unit</font>)は<font color=green>1</font>でないといけないか、この動きだけで説明出来てしまうんですね。そう、それ以下だと<font color=green>0</font>に収束し、それ以上だと**無限**に発散して周期を描いてくれないからです。この数理を援用した整数の定義が以下となります。
![image.png](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/597772/1572862b-4707-3b89-148b-8cc6c6bdcbe4.png)

```R
cx00<-seq(-3,3,length=61)
f0<-function(x) 1^x
cy00<-f0(cx00)
s00<-complex(re=cx00,im=cy00)
plot(s00,type="l",xlim=c(-2,2),ylim=c(-2,2),main="1^x & (0+1i)^x",xlab="Real",ylab="Imaginal",col=rgb(0,1,0))

#-1^x=(0±1i)^2x(i^2=-1)
par(new=T)#上書き
c01<-seq(-1,1,length=61)
f0<-function(x) (0+1i)^x
s01<-f0(cx00)
plot(s01,type="l",xlim=c(-2,2),ylim=c(-2,2),main="",xlab="",ylab="",col=rgb(0,0,1))
par(new=T)#上書き
plot(s01+1,type="l",xlim=c(-2,2),ylim=c(-2,2),main="",xlab="",ylab="",col=rgb(1,0,0))
par(new=T)#上書き
plot(s01-1,type="l",xlim=c(-2,2),ylim=c(-2,2),main="",xlab="",ylab="",col=rgb(1,0,0))
par(new=T)#上書き
plot(s01+2,type="l",xlim=c(-2,2),ylim=c(-2,2),main="",xlab="",ylab="",col=rgb(0,0,1))
par(new=T)#上書き
plot(s01-2,type="l",xlim=c(-2,2),ylim=c(-2,2),main="",xlab="",ylab="",col=rgb(0,0,1))

abline(h=0,col=c(200,200,200)) 
abline(v=0,col=c(200,200,200)) 
abline(v=1,col=c(200,200,200)) 
abline(v=2,col=c(200,200,200)) 
abline(v=-1,col=c(200,200,200)) 
abline(v=-2,col=c(200,200,200)) 
```

* <font color=green>-1</font>=<font color=green>i^2</font>=<font color=green>(0±1i)^2x</font>すなわち**偶数円**<font color=green>2n</font>は<font color=green>2n-1</font>→<font color=green>(0+1i)+2n</font>→<font color=green>2n+1</font>→<font color=green>(0-1i)+2n+1</font>→<font color=green>2n</font>,**奇数円**<font color=green>2n+1</font>は<font color=green>2n</font>→<font color=green>(0+1i)+2n+1</font>→<font color=green>2n+2</font>→<font color=green>(0-1i)+2n+1</font>→<font color=green>2n</font>の4周期を刻む。
* これは**偶数円**<font color=green>2n</font>が…<font color=green>2n-1</font>→<font color=green>(0+1i)+2n</font>→<font color=green>2n+1</font>→<font color=green>(0-1i)+2n+2</font>→<font color=green>2n+3</font>…**奇数円**<font color=green>2n+1</font>が…<font color=green>2n</font>→<font color=green>(0+1i)+2n+1</font>→<font color=green>2n+2</font>→<font color=green>(0-1i)+2n+3</font>→<font color=green>2n+4</font>…の周期を無限に刻んでいるととも解釈可能であり、この時離散的に出現する実数<font color=green>y=1^x</font>との接点が**整数集合**<font color=purple>Zn</font>(<font color=blue>N=-Inf→0→Inf</font>){<font color=green>-Inf,…,-1,0,1,…,Inf</font>}となる。

この動きは**均等尺**を採った**円柱座標系**上にも、**対数尺を採った球面座標系**上にも、また**大半径**1,**小半径**1のトーラスの連なりとしても表現され得ます。

ところでこの<font color=green>(0±i)^ax</font>なる関数、<font color=green>a=0→1</font>の区間では大人しく**共役複素数**らしい挙動で円弧を描くだけなのですが(<font color=blue>実はa=1→2の区間で既に挙動がおかしいので周期単位としては切り捨てを決断</font>)…
[【Rで球面幾何学】指数関数や対数関数における「ネイピア数周期」の意味について。 - Qiita](https://qiita.com/ochimusha01/items/bebb9eb56346f57ff651)
<font color=green>(0+1i)^ax(a=0→1)</font>
![image.gif](https://cdn-ak.f.st-hatena.com/images/fotolife/o/ochimusha01/20210105/20210105003122.gif)

```R
Int01<-function(Rad){

cx00<-seq(-3,3,length=61)
f0<-function(x) 1^x
cy00<-f0(cx00)
s00<-complex(re=cx00,im=cy00)
plot(s00,type="l",xlim=c(-2,2),ylim=c(-2,2),main="(0+1i)^ax(a= 0→1)",xlab="Real",ylab="Imaginal",col=rgb(0,1,0))

#-1^x=(0±1i)^2x(i^2=-1)
par(new=T)#上書き
c01<-seq(-1,1,length=61)
f0<-function(x) (0+1i)^(x*Rad)
s01<-f0(cx00)
plot(s01,type="l",xlim=c(-2,2),ylim=c(-2,2),main="",xlab="",ylab="",col=rgb(0,0,1))
par(new=T)#上書き
plot(s01+1,type="l",xlim=c(-2,2),ylim=c(-2,2),main="",xlab="",ylab="",col=rgb(1,0,0))
par(new=T)#上書き
plot(s01-1,type="l",xlim=c(-2,2),ylim=c(-2,2),main="",xlab="",ylab="",col=rgb(1,0,0))
par(new=T)#上書き
plot(s01+2,type="l",xlim=c(-2,2),ylim=c(-2,2),main="",xlab="",ylab="",col=rgb(0,0,1))
par(new=T)#上書き
plot(s01-2,type="l",xlim=c(-2,2),ylim=c(-2,2),main="",xlab="",ylab="",col=rgb(0,0,1))

abline(h=0,col=c(200,200,200)) 
abline(v=0,col=c(200,200,200)) 
abline(v=1,col=c(200,200,200)) 
abline(v=2,col=c(200,200,200)) 
abline(v=-1,col=c(200,200,200)) 
abline(v=-2,col=c(200,200,200)) 

even01<-paste("y=(0+1i)^",Rad,"x(Even)")
odd01<-paste("y=(0+1i)^",Rad,"x(Odd)")

legend("bottomleft", legend=c("y=1^x",even01,odd01), lty =c(1,1,1),col=c(rgb(0,1,0),rgb(0,0,1),rgb(1,0,0)))
}

#アニメーション動作設定
Time_Code<-seq(0,1,length=11)
#アニメーション
library("animation")
saveGIF({
for (i in Time_Code){
　Int01(i)
}
}, interval = 0.1, movie.name = "Int04.gif")
```

<font color=green>(0-1i)^ax(a=0→1)</font>(<font color=blue>共役作用の為、見た目はまるで同じ</font>)
![image.gid](https://cdn-ak.f.st-hatena.com/images/fotolife/o/ochimusha01/20210104/20210104020409.gif)

```R
Int01<-function(Rad){

cx00<-seq(-3,3,length=61)
f0<-function(x) 1^x
cy00<-f0(cx00)
s00<-complex(re=cx00,im=cy00)
plot(s00,type="l",xlim=c(-2,2),ylim=c(-2,2),main="(0-1i)^ax(a= 0→1)",xlab="Real",ylab="Imaginal",col=rgb(0,1,0))

#-1^x=(0±1i)^2x(i^2=-1)
par(new=T)#上書き
c01<-seq(-1,1,length=61)
f0<-function(x) (0-1i)^(x*Rad)
s01<-f0(cx00)
plot(s01,type="l",xlim=c(-2,2),ylim=c(-2,2),main="",xlab="",ylab="",col=rgb(0,0,1))
par(new=T)#上書き
plot(s01+1,type="l",xlim=c(-2,2),ylim=c(-2,2),main="",xlab="",ylab="",col=rgb(1,0,0))
par(new=T)#上書き
plot(s01-1,type="l",xlim=c(-2,2),ylim=c(-2,2),main="",xlab="",ylab="",col=rgb(1,0,0))
par(new=T)#上書き
plot(s01+2,type="l",xlim=c(-2,2),ylim=c(-2,2),main="",xlab="",ylab="",col=rgb(0,0,1))
par(new=T)#上書き
plot(s01-2,type="l",xlim=c(-2,2),ylim=c(-2,2),main="",xlab="",ylab="",col=rgb(0,0,1))

abline(h=0,col=c(200,200,200)) 
abline(v=0,col=c(200,200,200)) 
abline(v=1,col=c(200,200,200)) 
abline(v=2,col=c(200,200,200)) 
abline(v=-1,col=c(200,200,200)) 
abline(v=-2,col=c(200,200,200)) 

even01<-paste("y=(0-1i)^",Rad,"x(Even)")
odd01<-paste("y=(0-1i)^",Rad,"x(Odd)")

legend("bottomleft", legend=c("y=1^x",even01,odd01), lty =c(1,1,1),col=c(rgb(0,1,0),rgb(0,0,1),rgb(1,0,0)))
}

#アニメーション動作設定
Time_Code<-seq(0,1,length=11)
#アニメーション
library("animation")
saveGIF({
for (i in Time_Code){
　Int01(i)
}
}, interval = 0.1, movie.name = "Int05.gif")
```
<font color=green>-(0+1i)^ax(a=0→1)</font>(<font color=blue>展開が逆に</font>)
![image.gif](https://cdn-ak.f.st-hatena.com/images/fotolife/o/ochimusha01/20210105/20210105071334.gif)

```R
Int01<-function(Rad){

cx00<-seq(-3,3,length=61)
f0<-function(x) 1^x
cy00<-f0(cx00)
s00<-complex(re=cx00,im=cy00)
plot(s00,type="l",xlim=c(-2,2),ylim=c(-2,2),main="-(0+1i)^ax(a= 0→1)",xlab="Real",ylab="Imaginal",col=rgb(0,1,0))

#-1^x=(0±1i)^2x(i^2=-1)
par(new=T)#上書き
c01<-seq(-1,1,length=61)
f0<-function(x) -(0+1i)^(x*Rad)
s01<-f0(cx00)
plot(s01,type="l",xlim=c(-2,2),ylim=c(-2,2),main="",xlab="",ylab="",col=rgb(0,0,1))
par(new=T)#上書き
plot(s01+1,type="l",xlim=c(-2,2),ylim=c(-2,2),main="",xlab="",ylab="",col=rgb(1,0,0))
par(new=T)#上書き
plot(s01-1,type="l",xlim=c(-2,2),ylim=c(-2,2),main="",xlab="",ylab="",col=rgb(1,0,0))
par(new=T)#上書き
plot(s01+2,type="l",xlim=c(-2,2),ylim=c(-2,2),main="",xlab="",ylab="",col=rgb(0,0,1))
par(new=T)#上書き
plot(s01-2,type="l",xlim=c(-2,2),ylim=c(-2,2),main="",xlab="",ylab="",col=rgb(0,0,1))

abline(h=0,col=c(200,200,200)) 
abline(v=0,col=c(200,200,200)) 
abline(v=1,col=c(200,200,200)) 
abline(v=2,col=c(200,200,200)) 
abline(v=-1,col=c(200,200,200)) 
abline(v=-2,col=c(200,200,200)) 

even01<-paste("y=-(0+1i)^",Rad,"x(Even)")
odd01<-paste("y=-(0+1i)^",Rad,"x(Odd)")

legend("bottomleft", legend=c("y=1^x",even01,odd01), lty =c(1,1,1),col=c(rgb(0,1,0),rgb(0,0,1),rgb(1,0,0)))
}

#アニメーション動作設定
Time_Code<-seq(0,1,length=11)
#アニメーション
library("animation")
saveGIF({
for (i in Time_Code){
　Int01(i)
}
}, interval = 0.1, movie.name = "Int06.gif")
```

<font color=green>a</font>の値がそれ以上になると見た事のない挙動を始めるのです。
<font color=green>(0+1i)^ax</font>(<font color=blue>a=0→40</font>)
![image.gif](https://cdn-ak.f.st-hatena.com/images/fotolife/o/ochimusha01/20210108/20210108084751.gif)

```R
Int01<-function(Rad,Range){

cx00<-seq(-3,3,length=61)

f0<-function(x) 1^x

cy00<-f0(cx00)

s00<-complex(re=cx00,im=cy00)

title01<-paste("(0+1i)^ax(a=",Range,")")

plot(s00,type="l",xlim=c(-2,2),ylim=c(-2,2),main=title01,xlab="Real",ylab="Imaginal",col=rgb(0,1,0))

#-1^x=(0±1i)^2x(i^2=-1)

par(new=T)#上書き
c01<-seq(-1,1,length=61)
f0<-function(x) (0-1i)^(x*Rad)

s01<-f0(cx00)

plot(s01,type="l",xlim=c(-2,2),ylim=c(-2,2),main="",xlab="",ylab="",col=rgb(0,0,1))

par(new=T)#上書き

plot(s01+1,type="l",xlim=c(-2,2),ylim=c(-2,2),main="",xlab="",ylab="",col=rgb(1,0,0))

par(new=T)#上書き

plot(s01-1,type="l",xlim=c(-2,2),ylim=c(-2,2),main="",xlab="",ylab="",col=rgb(1,0,0))

par(new=T)#上書き

plot(s01+2,type="l",xlim=c(-2,2),ylim=c(-2,2),main="",xlab="",ylab="",col=rgb(0,0,1))

par(new=T)#上書き

plot(s01-2,type="l",xlim=c(-2,2),ylim=c(-2,2),main="",xlab="",ylab="",col=rgb(0,0,1))

abline(h=0,col=c(200,200,200)) 
abline(v=0,col=c(200,200,200)) 
abline(v=1,col=c(200,200,200)) 
abline(v=2,col=c(200,200,200)) 
abline(v=-1,col=c(200,200,200)) 
abline(v=-2,col=c(200,200,200))

even01<-paste("y=(0+1i)^",Rad,"x(Even)")
odd01<-paste("y=(0+1i)^",Rad,"x(Odd)")

legend("bottomleft", legend=c("y=1^x",even01,odd01), lty =c(1,1,1),col=c(rgb(0,1,0),rgb(0,0,1),rgb(1,0,0)))

}
#アニメーション動作設定
Time_Code<-seq(0,40,length=201)
#アニメーション
library("animation")
saveGIF({
for (i in Time_Code){
　Int01(i,c("0→40"))
}
}, interval = 0.1, movie.name = "Int11.gif")
```
<font color=green>(0+1i)^ax</font>(<font color=blue>a=0→20</font>)
![image.gif](https://cdn-ak.f.st-hatena.com/images/fotolife/o/ochimusha01/20210108/20210108083821.gif)

```R
#アニメーション動作設定
Time_Code<-seq(0,20,length=201)
#アニメーション
library("animation")
saveGIF({
for (i in Time_Code){
　Int01(i,c("0→20"))
}
}, interval = 0.1, movie.name = "Int12.gif")
```
<font color=green>(0+1i)^ax</font>(<font color=blue>a=20→40</font>)
![image.gif](https://cdn-ak.f.st-hatena.com/images/fotolife/o/ochimusha01/20210108/20210108084218.gif)

```R
#アニメーション動作設定
Time_Code<-seq(20,40,length=201)
#アニメーション
library("animation")
saveGIF({
for (i in Time_Code){
　Int01(i,c("0→20"))
}
}, interval = 0.1, movie.name = "Int13.gif")
```
要するに傾き次第では周期が「**ガウスの巡回群**」と一致するのです。
[【初心者向け】挟み撃ち定理による円周率πの近似 - Qiita](https://qiita.com/ochimusha01/items/1caff7d8af4aab167aaa)

そしてこれは<font color=green>40進数</font>(<font color=blue>40 Base</font>)?英語表現としては**20進法**(<font color=blue>Vigesimal</font>)と**60進法**(<font color=blue>Sexagesimal</font>)しかない様なのでとりあえず**倍20進法**(<font color=blue>Double-Vigesimal</font>)とでも表現するのがもっともらしいかもしれません。
[n進法](http://lise-sophia.net/kktm/Essay/n_system.htm)

* <font color=green>a=0</font>から<font color=green>1</font>にかけて(<font color=green>2n+1,0</font>)を起点として**共役複素数の作用**により**中心**(<font color=green>2n+1,0</font>)**半径**1の円が「<font color=purple>顕現</font>」。<font color=green>1~20</font>にかけてその円の**半径**が<font color=green>1→0</font>に推移。
* <font color=green>a=20~39</font>にかけて**中心**(<font color=green>2n+1,0</font>)の円の**半径**が<font color=green>0→1</font>に推移。<font color=green>39~40</font>にかけて(<font color=green>2n,0</font>)を終点として**共役複素数の作用**により**中心**(<font color=green>2n+1,0</font>)**半径**<font color=green>1</font>の円が「<font color=purple>消失</font>」。

少なくともこの動作は<font color=green>a=-1</font>(<font color=blue>39</font>)<font color=green>→0</font>(<font color=blue>40</font>)<font color=green>→1</font>の範囲では<font color=green>θ=-π→0→π</font>、<font color=green>i=0±1i</font>と置き、**対数関数**(<font color=blue>Logarithm Function</font>)<font color=green>log(θi)</font>の底を<font color=green>exp(-1)</font>→<font color=green>exp(0)=1</font>→<font color=green>exp(1)</font>と推移させた場合に対応します。
[【Rで球面幾何学】指数関数や対数関数における「ネイピア数周期」の意味について。](https://qiita.com/ochimusha01/items/bebb9eb56346f57ff651)

* **根**に掛ける係数を<font color=green>0</font>(<font color=blue>root/root</font>)から<font color=green>1</font>(<font color=blue>root</font>)にかけて変化させる->**関数**<font color=green>X=1</font>を起点に**右**から**左**に円弧が「<font color=purple>顕現</font>」。<br>![image.gif](https://qiita-user-contents.imgix.net/https%3A%2F%2Fqiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com%2F0%2F597772%2Faff8270e-f0c0-b1b5-4984-932a1e9b4a54.gif?ixlib=rb-1.2.2&auto=format&gif-q=60&q=75&w=1400&fit=max&s=0212b4d93a86b71051ca41a1a797d381)
* **根**に掛ける係数を<font color=green>-1</font>(<font color=blue>1/root</font>)から<font color=green>0</font>(<font color=blue>root/root</font>)にかけて変化させる->**関数**<font color=green>X=1</font>を起点に**左**から**右**に円弧が「<font color=purple>消失</font>」。<br>![image.gif](https://qiita-user-contents.imgix.net/https%3A%2F%2Fqiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com%2F0%2F597772%2Fc5c12c1a-3006-bedc-f083-85e77bee289c.gif?ixlib=rb-1.2.2&auto=format&gif-q=60&q=75&w=1400&fit=max&s=345cdc6eb620833a5b2bd8b938b7cc5c)
* <font color=green>-log(θi)</font>では**関数**<font color=green>X=-1</font>を起点に逆展開。<br>![image.gif](https://qiita-user-contents.imgix.net/https%3A%2F%2Fqiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com%2F0%2F597772%2F7c861496-c1c1-55df-17a0-f8cc56d26fb9.gif?ixlib=rb-1.2.2&auto=format&gif-q=60&q=75&w=1400&fit=max&s=2628f895241a9b7295e4bab1c8a83672)<br>![image.gif](https://qiita-user-contents.imgix.net/https%3A%2F%2Fqiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com%2F0%2F597772%2F16c102d8-2e2f-afbe-f994-3fe58f3cb7d5.gif?ixlib=rb-1.2.2&auto=format&gif-q=60&q=75&w=1400&fit=max&s=5e1801637c32cb657138e220f29a3421)

**指数関数**(<font color=blue>Exponential Function</font>)<font color=green>e^θi</font>の底を<font color=green>exp(-1)</font>→<font color=green>exp(0)=1</font>→<font color=green>exp(1)</font>と推移させるとこれに直交する結果が得られます。

* **根**に掛ける係数を<font color=green>0</font>(<font color=blue>root/root</font>)から<font color=green>1</font>(<font color=blue>root</font>)にかけて変化させる->**関数**<font color=green>Y=1</font>を起点に**上**から**下**に円弧が「<font color=purple>顕現</font>」。<br>![image.gif](https://qiita-user-contents.imgix.net/https%3A%2F%2Fqiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com%2F0%2F597772%2F1204f224-00ed-745d-d403-3d928e689354.gif?ixlib=rb-1.2.2&auto=format&gif-q=60&q=75&w=1400&fit=max&s=a0e4fd22b3917356fec7c3fe0b0f6d39)
* **根**に掛ける係数を<font color=green>-1</font>(<font color=blue>1/root</font>)から<font color=green>0</font>(<font color=blue>root/root</font>)にかけて変化させる->**関数**<font color=green>Y=1</font>を起点に**下**から**上**に円弧が「<font color=purple>消失</font>」。<br>![image.gif](https://qiita-user-contents.imgix.net/https%3A%2F%2Fqiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com%2F0%2F597772%2F17183052-29c7-20cc-2e31-67cb248665b8.gif?ixlib=rb-1.2.2&auto=format&gif-q=60&q=75&w=1400&fit=max&s=1f5402a625562fc9426f5c68c893c7a9)
* <font color=green>-log(θi)</font>では**関数**<font color=green>Y=-1</font>を起点に逆展開。<br>![image.gif](https://qiita-user-contents.imgix.net/https%3A%2F%2Fqiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com%2F0%2F597772%2F4ab69ef7-2428-bc5a-655c-34b3cdfa82d2.gif?ixlib=rb-1.2.2&auto=format&gif-q=60&q=75&w=1400&fit=max&s=aec2e5ff321900b579e2abf4117928d8)<br>![image.gif](https://qiita-user-contents.imgix.net/https%3A%2F%2Fqiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com%2F0%2F597772%2F001550a3-de8b-e5a2-d574-b0948302d7bf.gif?ixlib=rb-1.2.2&auto=format&gif-q=60&q=75&w=1400&fit=max&s=f6283822cc601680e20ddb366159a0f9)

こうした全体像を俯瞰したのが以下の「**共役球面**(<font color=blue>Conjugated Sphere</font>)」となる訳です。あえて定義するなら「<font color=purple>その球面上の任意の</font>**対蹠**(<font color=blue>Antipodes</font>)<font color=purple>間を結ぶ**距離空間**(<font color=blue>Distance Space</font>)」といったところですか。
[【初心者向け】複素共役のアニメーション表示について。](https://qiita.com/ochimusha01/items/e0bb2789a420d3317cf1)
![image.gif](https://qiita-user-contents.imgix.net/https%3A%2F%2Fqiita-user-contents.imgix.net%2Fhttps%253A%252F%252Fqiita-user-contents.imgix.net%252Fhttps%25253A%25252F%25252Fcdn-ak.f.st-hatena.com%25252Fimages%25252Ffotolife%25252Fo%25252Fochimusha01%25252F20201116%25252F20201116230848.gif%253Fixlib%253Drb-1.2.2%2526auto%253Dformat%2526gif-q%253D60%2526q%253D75%2526w%253D1400%2526fit%253Dmax%2526s%253D0489492d3b778bcf1b6c8b3886af31c4%3Fixlib%3Drb-1.2.2%26auto%3Dformat%26gif-q%3D60%26q%3D75%26w%3D1400%26fit%3Dmax%26s%3Db1273a9440db7db91f80a947bffa0204?ixlib=rb-1.2.2&auto=format&gif-q=60&q=75&w=1400&fit=max&s=05d89f2c9909a94275fc152459c8a11d)
![image.gif](https://qiita-user-contents.imgix.net/https%3A%2F%2Fqiita-user-contents.imgix.net%2Fhttps%253A%252F%252Fcdn-ak.f.st-hatena.com%252Fimages%252Ffotolife%252Fo%252Fochimusha01%252F20201113%252F20201113204552.gif%3Fixlib%3Drb-1.2.2%26auto%3Dformat%26gif-q%3D60%26q%3D75%26w%3D1400%26fit%3Dmax%26s%3Db46be23e211ab7df85a44ed1887614b9?ixlib=rb-1.2.2&auto=format&gif-q=60&q=75&w=1400&fit=max&s=4a134c3520cda6f360bd5e51ce1351e1)
![image.gif](https://qiita-user-contents.imgix.net/https%3A%2F%2Fqiita-user-contents.imgix.net%2Fhttps%253A%252F%252Fcdn-ak.f.st-hatena.com%252Fimages%252Ffotolife%252Fo%252Fochimusha01%252F20201113%252F20201113205243.gif%3Fixlib%3Drb-1.2.2%26auto%3Dformat%26gif-q%3D60%26q%3D75%26w%3D1400%26fit%3Dmax%26s%3D89f7c0b4a4df01f04f8e790faa13df98?ixlib=rb-1.2.2&auto=format&gif-q=60&q=75&w=1400&fit=max&s=1d62f9c8379a87631595ac2a20d05d54)

* **球面座標管理**や**球面描画**はこの考え方から出発するが、それだけだと**ジンバルロック**(<font color=blue>Gimbal lock</font>)**問題**を回避出来ない。<br>[【初心者向け】「単位円筒」から「単位球面」へ]
(https://qiita.com/ochimusha01/items/08f5c5ad1aba4a59a27d)<br>![image.gif](https://qiita-user-contents.imgix.net/https%3A%2F%2Fcdn-ak.f.st-hatena.com%2Fimages%2Ffotolife%2Fo%2Fochimusha01%2F20201202%2F20201202095654.gif?ixlib=rb-1.2.2&auto=format&gif-q=60&q=75&w=1400&fit=max&s=b16b4ae7d0364d94bc8506e883ad1132)
* 一方、この**座標系**(<font color=blue>Coordinate System</font>)はオイラーの**公式**<font color=green>e^θi</font>/<font color=green>log(θi)</font>の応用により<font color=green>φ</font>(<font color=blue>-π→0→π</font>)、<font color=green>θ</font>(<font color=blue>-π→0→π</font>)の<font color=green>2軸</font>の**平面極座標**(<font color=blue>Plane Polar Coordinates System</font>)によっても任意の点の位置を表せる。自明の場合として**ジンバルロック問題**は生じない。**四元数**(<font color=blue>Quaternion</font>)の**正規部分解表現**(<font color=blue>Sympletic Form</font>)に該当。<br>[Rの四元数ライブラリOnion](https://rstudio-pubs-static.s3.amazonaws.com/97515_7522bd8c59ae4821aeecbd5ed226f4de.html)<br>[【Rで球面幾何学】ジンバルロック(?)やリサージュ曲線(?)との邂逅。](https://qiita-user-contents.imgix.net/https%3A%2F%2Fqiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com%2F0%2F597772%2F0c256c58-bf1e-557b-387b-b8910cb5ea4e.gif?ixlib=rb-1.2.2&auto=format&gif-q=60&q=75&w=1400&fit=max&s=a38797d855bc02475aeb19eab767a506)<br>![image.gif](https://qiita-user-contents.imgix.net/https%3A%2F%2Fqiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com%2F0%2F597772%2F0c256c58-bf1e-557b-387b-b8910cb5ea4e.gif?ixlib=rb-1.2.2&auto=format&gif-q=60&q=75&w=1400&fit=max&s=a38797d855bc02475aeb19eab767a506)

それはともかく(<font color=green>2n,0</font>)を起点とする**共役複素数の作用**により<font color=green>a=1/3</font>(<font color=blue>39+2/3=39.66667</font>)の時**半円**が…
![image.png](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/597772/a3cf6521-ab23-c040-fbe8-b89c2097b413.png)
![image.png](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/597772/51b53357-e8c5-a11b-c4c0-11c964551a73.png)

…<font color=green>a=1/6</font>(<font color=blue>39+5/6=39.83333</font>)の時**四分円**が「<font color=purple>顕現</font>」する訳ですが…
![image.png](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/597772/60da2c7e-2d1a-b826-4025-ec5c6883e091.png)
![image.png](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/597772/6b14efe6-5d69-bc5e-db40-65c0e85b4f85.png)

**半円**が**整数直線**(<font color=green>Integer Line)<font color=green>y=1^x</font>に1/2</font>(<font color=blue>0.5</font>)の位置で接するのに対し、変化の範囲を1未満</font>に限るとそれ以上でもそれ以下でも接しません。なるほどこれが**2進法**(<font color=blue>Binary</font>)に立脚する**偶奇性**(<font color=blue>Parity</font>)概念の大源流となる訳ですね。**三角不等式**<font color=green>‖x+y‖≦‖x‖+‖y‖</font>の適用範囲が原則として<font color=green>‖x+y‖=‖x‖+‖y‖</font>のみととなる**整数直線**の世界をさらに二分する**概念**(<font color=blue>Concept</font>)の**導入**(<font color=blue>Introduce</font>)という訳です。しかもそこには既に**素数**<font color=green>3^n族</font>の影が…

この**数理**(<font color=blue>Mathematical Thing</font>)についてまだまだ色々と調べないといけません。そんな感じで以下続報…