【E資格取得勉強】線形代数

#本ページの目的
E資格取得を目指して、学習した内容をメモとして残して後から振り返れるようにする。

#目次
[1. 固有値](#1-固有値)
[2. 行列式の計算](#2-行列式の計算)
[3. 固有値、固有ベクトルの求め方](#3-固有値、固有ベクトルの求め方)
[4. 固有値分解](#4-固有値分解)


#1. 固有値
ある行列 $ \vec{A} $ の固有値$ \lambda $、固有ベクトル$ \vec{x} $は下記式を満たす。


```math
\vec{A}\vec{x}=\lambda\vec{x}
```

式を変形すると、

```math
(\vec{A} - \lambda \vec{I}) \vec{x} = \vec{0}
```

となる。ここで、 $ \vec{x} \neq \vec{0} $ より、固有値$ \lambda $は以下を満たす。

```math
|\vec{A} - \lambda \vec{I}|  = 0
```



#2. 行列式の計算
2×2行列 $ \vec{A} $ を

```math
\vec{A} =
\begin{pmatrix}
a & b \\
c & d　
\end{pmatrix}
```

とすると、行列式$ |\vec{A}| $は以下となる。

```math
\begin{align}
|\vec{A}|  &= 
\begin{vmatrix}
a & b \\
c & d
\end{vmatrix} \\
&= ad-bc
\end{align}
```

3×3行列の場合では $ \vec{B} $ を

```math
\vec{B} =
\begin{pmatrix}
a & b & c\\
d & e & f\\
g & h & i　
\end{pmatrix}
```

とすると、行列式$ |\vec{B}| $は以下で計算できる。

```math
\begin{align}
|\vec{B}|  &= 
\begin{vmatrix}
a & b & c\\
d & e & f\\
g & h & i　
\end{vmatrix} \\
&= a \times 
\begin{vmatrix}
e & f\\
h & i　
\end{vmatrix} 
- d \times
\begin{vmatrix}
b & c\\
h & i　
\end{vmatrix}
+ g \times
\begin{vmatrix}
b & c\\
e & f
\end{vmatrix}
\end{align}
```

#3. 固有値、固有ベクトルの求め方
2×2行列 $ \vec{A} $ を

```math
\vec{A} =
\begin{pmatrix}
a & b \\
c & d　
\end{pmatrix}
```

とした場合、

```math
\begin{vmatrix}
a-\lambda & b \\
c & d-\lambda　
\end{vmatrix} = 0\\
```

式を変形して、

```math
(a-\lambda)(d-\lambda)-bc=0
```

を満たす$ \lambda $を見つけてやる。この式を満たす$ \lambda $は最大２つある。
それぞれを$ \lambda_1 $、$ \lambda_2 $として、それぞれに対応する固有ベクトルを$ x_1 $、$ x_2 $とおくと、これらの固有値と固有ベクトルの間には下記の関係がある。


```math
\vec{A} \vec{x_1} = \lambda_1 \vec{x_1}\tag{3-1}
```

```math
\vec{A} \vec{x_2} = \lambda_2 \vec{x_2}\tag{3-2}
```

ここで、

```math
\vec{x}_1 =
\begin{pmatrix}
x_{11}\\
x_{12}
\end{pmatrix}, 
\vec{x}_2 =
\begin{pmatrix}
x_{21}\\
x_{22}
\end{pmatrix}
```

とすると、$ x_{11} $と$ x_{12} $は、(3-3)と(3-4)の連立方程式を解くことで求めることができる。

```math
\vec{A} \vec{x_1} = \lambda_1 \vec{x_1}\\
```

```math
\vec{A} \begin{pmatrix}
x_{11}\\
x_{12}
\end{pmatrix} 
= \lambda_1 
\begin{pmatrix}
x_{11}\\
x_{12}
\end{pmatrix}
```

```math
\begin{pmatrix}
a & b \\
c & d
\end{pmatrix} \begin{pmatrix}
x_{11}\\
x_{12}
\end{pmatrix} 
= \lambda_1 
\begin{pmatrix}
x_{11}\\
x_{12}
\end{pmatrix}
```

```math
a x_{11} + b x_{12} = \lambda_1 x_{11}\tag{3-3}
```

```math
c x_{11} + d x_{12} = \lambda_1 x_{12}\tag{3-4}
```

$ \lambda_2 $、$ x_2 $の場合も同様のやり方で、$ x_{21} $と$ x_{22} $を求めることができる。

ここ迄で固有値と固有ベクトルを求めることができた。

ここで、

```math
\vec{x} = (\vec{x}_1 , \vec{x}_2 )
```

```math
\Lambda = 
\begin{pmatrix}
\lambda_1 & 0\\
0 & \lambda_2
\end{pmatrix}
```

とすると、(3-1)と(3−2)は以下のように書くことができる。

```math
\vec{A} \vec{x} = \vec{x} \Lambda \tag{3-5}
```

なぜなら、

```math
\begin{align}
\vec{x} \Lambda &= 
\begin{pmatrix}
x_{11} & x_{21}\\
x_{12} & x_{22}
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
\lambda_1 & 0\\
0 & \lambda_2
\end{pmatrix}\\
&=\begin{pmatrix}
\lambda_1 x_{11} & \lambda_2 x_{21}\\
\lambda_1 x_{12} & \lambda_2 x_{22}
\end{pmatrix}\\
&=(\lambda_1 \vec{x}_1, \lambda_2 \vec{x}_2)
\end{align}
```

である。

#4. 固有値分解
ある行列 $ \vec{A} $ の固有値と固有値ベクトルを利用することにより、行列 $ \vec{A} $ の累乗が簡単に計算できる。

(3-5)より

```math
\vec{A}  = \vec{x} \Lambda \vec{x}^{-1}
```

となることから、例えば


```math
\vec{A} \vec{A} \vec{A} = \vec{x} \Lambda \Lambda \Lambda \vec{x}^{-1}
```

となり、計算が容易になる。

ここで、$ \vec{x}^{-1} $は、$ \vec{x} $の逆行列を意味する。

逆行列は

```math
\vec{x} \vec{x}^{-1} = I
```

を満たす。ここで、$ I $は単位行列を意味する。


ここ迄で、正方行列では固有値分解によって行列の累乗を簡単に計算することができることがわかった。

正方行列以外でも固有値分解に似た特異値分解という操作により、行列の累乗を簡単に計算することができる。