パウリゲートを各基底で書き下す

# この記事について
[パウリゲート（XZY）を細かく見てみる](https://qiita.com/shnchr/items/d0702c441cec472096f4)で示した通り、パウリ$X$は下記のように行列もしくはbraketで一般化して書くことができました。

```math
% basic braket 
\newcommand{\bra}[1]{\left\langle #1 \right|}
\newcommand{\ket}[1]{\left| #1 \right\rangle}
\newcommand{\bracket}[2]{\left\langle #1 \middle| #2 \right\rangle}
\newcommand{\ketbra}[2]{\left| #1 \right\rangle \left\langle #2 \right|}
\newcommand{\ketbraket}[3]{\left| #1 \right\rangle \left\langle #2 \middle| #3 \right\rangle}
% small-size
\newcommand{\bras}[1]{\left\langle {\scriptsize #1}  \right|}
\newcommand{\kets}[1]{\left| {\scriptsize #1}  \right\rangle}
\newcommand{\brackets}[2]{\left\langle {\scriptsize #1} \middle| {\scriptsize #2} \right\rangle}
\newcommand{\ketbras}[2]{\left| {\scriptsize #1} \right\rangle \left\langle {\scriptsize #2} \right|}
\newcommand{\ketbrakets}[3]{\left| {\scriptsize #1} \right\rangle \left\langle {\scriptsize #2} \middle| {\scriptsize #3} \right\rangle}
% Matrix
\newcommand{\tate}[2]{\begin{bmatrix} #1 \\ #2 \end{bmatrix}}
\newcommand{\yoko}[2]{\begin{bmatrix} #1 & #2 \end{bmatrix}}
\newcommand{\mtrx}[4]{\begin{bmatrix} #1 & #2 \\ #3 & #4 \end{bmatrix}}

X=\mtrx{0}{1}{1}{0}
\ \ \ \ \ \ \ \ 
X\ket{a}=\ket{\bar{a}}
\ \ \  
(a \in {0,1})
```

一方で、パウリ$X$は下記のようにZ基底である、$\ket{0},\ket{1}$を用いて書き下す事ができます。

```math
X = \ketbra{1}{0} + \ketbra{0}{1}
```

計算によってはパウリゲートを基底の$braket$で表現するほうが便利なタイミングもありますので、書き下しておきたいと思います。
なお、本稿は下記の記事を前提としていますので、下記もご確認いただければ幸いです。

* [パウリゲート（XZY）を細かく見てみる](https://qiita.com/shnchr/items/d0702c441cec472096f4)
* [ブロッホ球と各種ゲートの関係](https://qiita.com/shnchr/items/15a42eaf971932230a50)
* [ブロッホ球とグローバル位相について](https://qiita.com/shnchr/items/a8d6b22c5780f1d7b871)

また、他の量子コンピュータ関係の他の記事は、下記で紹介しています。

https://qiita.com/shnchr/items/41fa7fd1284d74007a7c


# おさらい
## パウリゲートと基底の関係
最初に、各種基底にパウリゲートを適用した結果を復習しておきます。
なお、このチャートに関しては[ブロッホ球と各種ゲートの関係](https://qiita.com/shnchr/items/15a42eaf971932230a50#%E5%90%84%E7%A8%AE%E5%9F%BA%E5%BA%95%E3%81%A8%E3%83%91%E3%82%A6%E3%83%AA%E3%82%B2%E3%83%BC%E3%83%88%E3%81%AE%E9%96%A2%E4%BF%82%E6%80%A7)をご確認ください。

<img width=450 src=https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/183826/ad422341-e0bc-7c10-b04a-ccc39aac56c2.png>

## グローバル位相
パウリゲート適用で、$+1,-1,+i,-i$等の位相を吐き出すものもあるので、復習しておきます
なお、この表に関しては、[ブロッホ球とグローバル位相について](https://qiita.com/shnchr/items/a8d6b22c5780f1d7b871)をご確認ください。


|対象の基底|Xゲート適用<br>$X\ket{\psi}$|Yゲート適用<br>$Y\ket{\psi}$|Zゲート適用<br>$Z\ket{\psi}$|
|:--:|:--:|:--:|:--:|
|$\ket{0}$|$\ket{1}$|$\color{red}{i}\ket{1}$|$\ket{0}$|
|$\ket{1}$|$\ket{0}$|$\color{red}{-i}\ket{0}$|$\color{red}{-1}\ket{1}$|
|$\ket{+}=\frac{\ket{0}+\ket{1}}{\sqrt{2}}$|$\ket{+}$|$\color{red}{-i}\ket{-}$|$\ket{-}$|
|$\ket{-}=\frac{\ket{0}-\ket{1}}{\sqrt{2}}$|$\color{red}{-1}\ket{-}$|$\color{red}{i}\ket{+}$|$\ket{+}$|
|$\ket{i}=\frac{\ket{0}+i\ket{1}}{\sqrt{2}}$|$\color{red}{i}\ket{i-}$|$\ket{i}$|$\ket{i-}$|
|$\ket{i-}=\frac{\ket{0}-i\ket{1}}{\sqrt{2}}$|$\color{red}{-i}\ket{i}$|$\color{red}{-1}\ket{i-}$|$\ket{i}$|

# パウリゲートを基底で書き下す
## 書き下しの意味
冒頭の下記の書き下しの意味を少し確認しておきましょう。

```math
X = \ketbra{1}{0} + \ketbra{0}{1}
```

上記を用いて、$X\ket{0},X\ket{1}$を計算すると

```math
\displaylines{
X\ket{0} = \ketbraket{1}{0}{0} + \ketbraket{0}{1}{0} = \ket{1}
\\
X\ket{1} = \ketbraket{1}{0}{1} + \ketbraket{0}{1}{1} = \ket{0}
}
```

上記と下記を見比べていただきたいのですが、パウリ$X$の入力・出力の関係が$braket$を用いて数式で表現されていることを確認できます。

```math
X = \ketbra{入力_a時の出力}{入力_a} \ \ + \ \  \ketbra{入力_b時の出力}{入力_b}
```

パウリXは、

* 入力$\ket{0}$に対して、出力$\ket{1}$
* 入力$\ket{1}$に対して、出力$\ket{0}$

ですので、再度、冒頭の式を見るとご理解いただけるかと思います。

```math
X = \ketbra{1}{0} + \ketbra{0}{1}
```

## まとめると
では、パウリ$XYZ$を各種基底で書き下したいと思います。
最初に結果をしめします。位相変化する部分は、冒頭の表と同様に赤で示しています。

|利用する基底|　　　　パウリ$X$　　　|　　　　パウリ$Z$　　　　|　　　　パウリ$Y$　　　　|
|:---:|:----:|:----:|:----:|
|Z基底<br\>$\ket{0}\ket{1}$| $\ketbra{1}{0} + \ketbra{0}{1}$| $\ketbra{0}{0}  \color{red}{-} \ketbra{1}{1}$|$\color{red}{i}\ketbra{1}{0}  \color{red}{-i} \ketbra{0}{1}$|
|X基底<br\>$\kets{+}\kets{-}$| $\ketbras{+}{+} \color{red}{-} \ketbras{-}{-}$| $\ketbras{-}{+}  + \ketbras{+}{-}$|$\color{red}{-i}\ketbras{-}{+}  \color{red}{+i} \ketbras{+}{-}$|
|Y基底<br\>$\ket{i}\ket{i-}$| $\color{red}{i}\ketbra{i-}{i} \color{red}{-i} \ketbra{i}{i-})$|$\ketbra{i-}{i} + \ketbra{i}{i-}$|$\ketbra{i}{i}  \color{red}{-} \ketbra{i-}{i-}$|

## 演算子を計算する
自明ですが、$X^2\ket{0} = XX\ket{0} = \ket{0}$ですが、この$X^2$の演算子とはなにか？
を計算で求めておくことができます。

```math
\displaylines{
X^2 = (\ketbra{1}{0} + \ketbra{0}{1})(\ketbra{1}{0} + \ketbra{0}{1})
\\
= \ket{1}\bracket{0}{1}\bra{0}
\ + \ 
\ket{1}\bracket{0}{0}\bra{1}
\\+
\ket{0}\bracket{1}{1}\bra{0}
\ + \ 
\ket{0}\bracket{1}{0}\bra{1}
}
```

上記を整理すると、

```math
\ketbra{1}{1} + \ketbra{0}{0}
```

となり、$\ket{0}$なら$\ket{0}$、$\ket{1}$なら$\ket{1}$という関係なので、$X^2=I$だとわかりました。
シンプルな例ですが、演算子まとめての効果を理解する際に、行列計算でも良いのですが、$braket$による計算のほうが効率的な局面もある。（と理解しています）

# まとめ
パウリゲートを各種基底で書き下し、その式を用いて演算子を計算してみました。
演算子の計算に関しては、もうちょっと理解が深まったら、別のパターンもまとめて見たいと思います。