【無限遠点を巡る数理】等差数列と等比数列②基底関数(Basis Function)概念の導入

以下の投稿に「**関数列**(<font color=blue>Function Sequance</font>)<font color=purple>の</font>**基底**(<font color=blue>Basis</font>)」なる概念が登場しました。まずこれが何を意味するかを明らかにしないといけません。
[【無限遠点を巡る数理】等差数列と等比数列①関数列との関係は？](https://qiita.com/ochimusha01/items/af485c53ca4ff1f07ffb)
![image.gif](https://camo.qiitausercontent.com/ae57a6fda3a6014eca392d0ab7ec4609d111185a/68747470733a2f2f71696974612d757365722d636f6e74656e74732e696d6769782e6e65742f687474707325334125324625324671696974612d757365722d636f6e74656e74732e696d6769782e6e6574253246687474707325323533412532353246253235324663646e2d616b2e662e73742d686174656e612e636f6d2532353246696d616765732532353246666f746f6c69666525323532466f25323532466f6368696d75736861303125323532463230323130313130253235324632303231303131303232333130312e67696625334669786c696225334472622d312e322e322532366175746f253344666f726d61742532366769662d7125334436302532367125334437352532367325334431353465313431633338323635323765363834303239343632656130653361353f69786c69623d72622d312e322e32266175746f3d666f726d6174266769662d713d363026713d373526773d31343030266669743d6d617826733d3665353461356434616266653633646333656462363633363165346262326436)

#基底ベクトル(<font color=blue>Basis Vector</font>)と基底関数(<font color=blue>Basis Function</font>)

[基底ベクトル(Basis Vector)](https://www.wakhok.ac.jp/~asami/linalge/pdf/09_10.pdf)

>**線形空間**<font color=green>V</font>を**格子状**に“<font color=purple>番地付け</font>“するベクトルの組である。
>
>①例えば<font color=green>xy座標系</font>は(<font color=green>1,0</font>)(<font color=green>0,1</font>)の組をこれに選び、<font color=green>X座標</font>や<font color=green>Y座標</font>をその**スカラー倍**で表現したものと見做す。
>
>定義としては**線形空間**<font color=green>V</font>上の<font color=green>r</font>個の**ベクトルの組**が次の性質を持つ時、それを**ベクトル空間**の**基底**（<font color=blue>Base/Basis</font>)という。
>
>①互いに**1次独立**(<font color=blue>Linear Independence</font>)である。
>[線型独立 - Wikipedia](https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%B7%9A%E5%9E%8B%E7%8B%AC%E7%AB%8B)
>②**線形空間**<font color=green>V</font>上の任意のベクトルが**一次結合**(<font color=blue>Linear Combination</font>)<font color=purple>ax+by+cz…</font>の形で一意に表される。このことを **空間**<font color=green>V</font>を張っている(<font color=blue>格子を生成する上で必要なものが全て揃っている</font>)という。
>[ベクトル空間 - Wikipedia](https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%99%E3%82%AF%E3%83%88%E3%83%AB%E7%A9%BA%E9%96%93)
>
><font color=green>n</font>**次元空間**を表現するには<font color=green>n</font>個の**1次独立なベクトル**が必要となる。また特にベクトルの**ノルム**が<font color=green>１</font>で、どの2つのベクトルも**直交**(<font color=blue>Orthogonal</font>)している場合を**正規直交系**(<font color=blue>ONS=OrthoNormal System</font>)という。

何の事もない、ある意味**複素数**<font color=purple>X+Yi</font>概念の抽象化ですね。その結果、**線形代数学**(<font color=blue>Linear Algebra</font>)の世界では「<font color=purple>基底ベクトルの変換</font>」なる概念が追加されます。
[基底ベクトルの変換 - EMANの物理数学](https://search.yahoo.co.jp/search?p=%E5%9F%BA%E5%BA%95%E3%83%99%E3%82%AF%E3%83%88%E3%83%AB&x=wrt&aq=-1&ai=ebf63a10-6777-460e-a5ca-9672fdf213b9&ts=4369&ei=UTF-8&fr=mcafeess1)
![スクリーンショット 2021-01-29 4.49.36.png](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/597772/7d114d09-d43f-300d-566b-a6fdc99a2563.png)
[基底関数（Basis function）-Wikipedia](https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%9F%BA%E5%BA%95%E9%96%A2%E6%95%B0)

>関数空間の**基底ベクトル**のことである。すなわち対象となる空間に属する全ての**元**（<font color=blue>関数</font>）は、この**基底関数**の**線型結合**で表される。
>
>例えば、実数値関数の**フーリエ変換**（<font color=blue>コサイン変換・サイン変換</font>）では<font color=purple>コサイン関数</font>もしくは<font color=purple>サイン関数</font>、**ウェーブレット変換**では<font color=purple>ウェーブレット関数</font>と<font color=purple>スケーリング関数</font>、**スプライン曲線**では<font color=purple>区分的多項式</font>が基底関数として用いられる。
>[フーリエ変換 - Wikipedia](https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%95%E3%83%BC%E3%83%AA%E3%82%A8%E5%A4%89%E6%8F%9B)
>[ウェーブレット変換 - Wikipedia](https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%A6%E3%82%A7%E3%83%BC%E3%83%96%E3%83%AC%E3%83%83%E3%83%88%E5%A4%89%E6%8F%9B)
>[スプライン曲線 - Wikipedia](https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B9%E3%83%97%E3%83%A9%E3%82%A4%E3%83%B3%E6%9B%B2%E7%B7%9A)

この考え方を援用すると**複素指数関数型フーリエ級数展開**では(<font color=blue>コサイン関数概念とサイン関数概念関数の双方を含む</font>)**自然指数関数**<font color=purple>exp(θi)</font>が**基底関数**と見做される様です(<font color=blue>基底概念のパラダイムシフト？</font>)。ここで忘れてはならないのが「<font color=purple>乗法群の演算においては</font>**スカラー倍**<font color=purple>といっても、それが</font>**添字単位**、**周期単位**<font color=purple>ともに</font><font color=green>-Inf→0→Inf</font><font color=purple>の範囲の</font>**均等尺**<font color=purple>上でなく、それを</font></font><font color=green>0→1→Inf</font>の<font color=purple>範囲に射影した</font>**対数尺**<font color=purple>上で遂行される</font>」なるルール。
[【初心者向け】フーリエ解析を可視化する。](https://qiita.com/ochimusha01/items/ab4ebac4afee1d0ed287)
**三角波**（<font color=blue>Triangular Wave</font>）**の場合**(<font color=blue>実数部に現れる</font>)
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![image.gif](https://qiita-user-contents.imgix.net/https%3A%2F%2Fcdn-ak.f.st-hatena.com%2Fimages%2Ffotolife%2Fo%2Fochimusha01%2F20190822%2F20190822154404.gif?ixlib=rb-1.2.2&auto=format&gif-q=60&q=75&w=1400&fit=max&s=378afeca6f26a00c7810544aa269fd64)
**放物線**（<font color=blue>Parabola</font>）**の場合**(<font color=blue>実数部に現れる</font>)
![image.gif](https://qiita-user-contents.imgix.net/https%3A%2F%2Fcdn-ak.f.st-hatena.com%2Fimages%2Ffotolife%2Fo%2Fochimusha01%2F20190830%2F20190830055226.gif?ixlib=rb-1.2.2&auto=format&gif-q=60&q=75&w=1400&fit=max&s=9d1520b886257a2dad6ca8b4f56eedee)
![image.pmg](https://qiita-user-contents.imgix.net/https%3A%2F%2Fqiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com%2F0%2F597772%2F119408f6-8fb5-a2ee-7d21-856db54f7b87.png?ixlib=rb-1.2.2&auto=format&gif-q=60&q=75&w=1400&fit=max&s=302380fe2b7144c9e55c53b4d5804757)
![image.gif](https://qiita-user-contents.imgix.net/https%3A%2F%2Fcdn-ak.f.st-hatena.com%2Fimages%2Ffotolife%2Fo%2Fochimusha01%2F20190822%2F20190822162110.gif?ixlib=rb-1.2.2&auto=format&gif-q=60&q=75&w=1400&fit=max&s=0363820eeb77418f9ebd6dede6723a15)
**ノコギリ波**（<font color=blue>Sawtooth Wave</font>）**の場合**(<font color=blue>虚数部に現れる</font>)
![image.gif](https://qiita-user-contents.imgix.net/https%3A%2F%2Fcdn-ak.f.st-hatena.com%2Fimages%2Ffotolife%2Fo%2Fochimusha01%2F20190830%2F20190830055431.gif?ixlib=rb-1.2.2&auto=format&gif-q=60&q=75&w=1400&fit=max&s=5f0b52a11d1568bd3c855b81a9f88bed)
![image.pmg](https://qiita-user-contents.imgix.net/https%3A%2F%2Fqiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com%2F0%2F597772%2F78a0a24c-ed7d-acd9-490b-ab1b9b5f04cd.png?ixlib=rb-1.2.2&auto=format&gif-q=60&q=75&w=1400&fit=max&s=05ed7bcd58202e621095ead3ae99f2e1)
![image.gif](https://qiita-user-contents.imgix.net/https%3A%2F%2Fcdn-ak.f.st-hatena.com%2Fimages%2Ffotolife%2Fo%2Fochimusha01%2F20190822%2F20190822170907.gif?ixlib=rb-1.2.2&auto=format&gif-q=60&q=75&w=1400&fit=max&s=9a788e7909d1406b73f2899fe5d303ae)
**矩形波**（<font color=blue>Square wave</font>）**の場合**(<font color=blue>虚数部に現れる</font>)
![image.gif](https://qiita-user-contents.imgix.net/https%3A%2F%2Fcdn-ak.f.st-hatena.com%2Fimages%2Ffotolife%2Fo%2Fochimusha01%2F20190830%2F20190830055703.gif?ixlib=rb-1.2.2&auto=format&gif-q=60&q=75&w=1400&fit=max&s=8051d458889cc1dc3c047cb488f875c9)
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* あくまで「<font color=purple>有意水準を満たすレベルまで波形を重ねて近似した</font>」だけの話なので(<font color=blue>無関係の波をさらに相応の数だけ重ね</font>)**大数の法則**」で押し潰す(<font color=blue>あるいはもっと手っ取り早く逆波形を掛ける</font>)事で(<font color=blue>基底たる</font>)**円状態**<font color=purple>e^θi</font>の状態に戻す事が出来る(<font color=blue>線形代数学における規定ベクトル変換の概念に対応するかもしれない振る舞い?</font>)。
* そもそも狙う波形が(<font color=blue>Cos波に対応する</font>)**実数面**や(<font color=blue>Sin波に対応する</font>)**虚数面**に現れるという時点で**フーリエ変換**なる近似技法自体に観察者の主観性に依存する部分が存在する?
* また**フーリエ変換**は、**解析学**の進歩に合わせその計算対象区画を**指定区域内**(<font color=blue>定積分の概念に対応する有限範囲</font>)、**周期**<font color=green>1</font>**の無限反復**(<font color=blue>単位トーラスの概念に対応</font>)、(<font color=blue>無限小-Infから無限大Infの範囲を扱う</font>)**繰り返しなき無限範囲**(<font color=blue>広義積分の概念に対応。無限遠で無限大と無限小が連なる無限大トーラス構造とも見做せる</font>)と拡張してきた事でも知られる。この部分は以下に述べる「<font color=purple>近世から近代にかけて急速に発達した数理の集大成</font>」すなわち**オイラー座標系**(<font color=blue>Euler Coordinate System</font>)における**一次元認識**とも重なってくる。<br>[【トーラス構造と古典数学】「単位円筒」から「トーラス構造」へ](https://qiita.com/ochimusha01/items/f6406e768aa24b8aea1a)<br><br>![image.png](https://qiita-user-contents.imgix.net/https%3A%2F%2Fqiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com%2F0%2F597772%2F95bbfc71-19ee-9b90-de23-8825e5634528.png?ixlib=rb-1.2.2&auto=format&gif-q=60&q=75&w=1400&fit=max&s=a182d8d6708823767c5b1456cbdb7efa)<br>![image.gif](https://qiita-user-contents.imgix.net/https%3A%2F%2Fcdn-ak.f.st-hatena.com%2Fimages%2Ffotolife%2Fo%2Fochimusha01%2F20201130%2F20201130011306.gif?ixlib=rb-1.2.2&auto=format&gif-q=60&q=75&w=1400&fit=max&s=e8c7db6fc0efc1bff4f238b59b3aec23)<br>
![image.png](https://qiita-user-contents.imgix.net/https%3A%2F%2Fcdn-ak.f.st-hatena.com%2Fimages%2Ffotolife%2Fo%2Fochimusha01%2F20201130%2F20201130011342.png?ixlib=rb-1.2.2&auto=format&gif-q=60&q=75&w=1400&fit=max&s=e27304bb1a83796035801156c9af73b4)<br>
![image.gif](https://qiita-user-contents.imgix.net/https%3A%2F%2Fqiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com%2F0%2F597772%2Fb2c0dc27-e8c9-e364-dc4d-a6219b699672.gif?ixlib=rb-1.2.2&auto=format&gif-q=60&q=75&w=1400&fit=max&s=463a302cf8a967efd4939f326ec4abb5)
<br>![image.png](https://qiita-user-contents.imgix.net/https%3A%2F%2Fqiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com%2F0%2F597772%2F96689c92-6922-88ae-5cd9-b179a6719383.png?ixlib=rb-1.2.2&auto=format&gif-q=60&q=75&w=1400&fit=max&s=b2360069f70add8e264d1de986125696)

[放射基底関数 -Wikipedia](https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%94%BE%E5%B0%84%E5%9F%BA%E5%BA%95%E9%96%A2%E6%95%B0)

>**函数近似**において、各々適当な点に関して**球対称**となる**実数値函数**からなる**基底**を考えるとき、**各基底函数**は**放射基底関数**（<font color=blue>RBF=Radial Basis Function、動径基底関数</font>）と呼ばれる。一般に、**函数**<font color=purple>φ</font>が**動径函数**あるいは**球対称**(<font color=blue>Radial</font>)であるとは、<font color=purple>φ(x)=φ(‖x‖)</font>, すなわちその値が**偏角成分**に依存せず**動径成分**（<font color=blue>つまり原点からの距離</font>）のみに依存して決まることを言う。従って**動径基底函数**は適当な<font color=green>点c</font>を中心として、<font color=green>cからの距離</font>のみに依存して決まる (<font color=blue>φ(x;c) = φ(‖x−c‖)</font>)。ここで、**ノルム**はふつう**ユークリッド距離**で考えるが、べつの**距離函数**を取ることもできる。

要するに**ピタゴラスの定理**(<font color=blue>Pythagorean Theorem</font>)<font color=purple>y=sqrt(1-x^2)</font>の**基底関数化**。実際には用途に応じて様々な**円関数**が用いられます。
[【初心者向け】ピタゴラスの定理あるいは三平方の定理からの出発](https://qiita.com/ochimusha01/items/4c7f731b0ef3cc998aa1)
![image.gif](https://cdn-ak.f.st-hatena.com/images/fotolife/o/ochimusha01/20210129/20210129040756.gif)

単体としての見え方はこんな感じ。
[【Rで球面幾何学】等差数列(算術数列)②数直線概念から同心円集合概念へ](https://qiita.com/ochimusha01/items/2a16c3cba3f88986c767)
![image.gif](https://qiita-user-contents.imgix.net/https%3A%2F%2Fqiita-user-contents.imgix.net%2Fhttps%253A%252F%252Fcdn-ak.f.st-hatena.com%252Fimages%252Ffotolife%252Fo%252Fochimusha01%252F20201111%252F20201111061314.gif%3Fixlib%3Drb-1.2.2%26auto%3Dformat%26gif-q%3D60%26q%3D75%26w%3D1400%26fit%3Dmax%26s%3D0ec5ad367a9238d99fae4325c3a95b29?ixlib=rb-1.2.2&auto=format&gif-q=60&q=75&s=e513b62991b572070dca0658884c52ec)
![image.gif](https://qiita-user-contents.imgix.net/https%3A%2F%2Fqiita-user-contents.imgix.net%2Fhttps%253A%252F%252Fqiita-user-contents.imgix.net%252Fhttps%25253A%25252F%25252Fcdn-ak.f.st-hatena.com%25252Fimages%25252Ffotolife%25252Fo%25252Fochimusha01%25252F20201202%25252F20201202093758.gif%253Fixlib%253Drb-1.2.2%2526auto%253Dformat%2526gif-q%253D60%2526q%253D75%2526s%253D167e614307e1813ff07f89cc7e325745%3Fixlib%3Drb-1.2.2%26auto%3Dformat%26gif-q%3D60%26q%3D75%26w%3D1400%26fit%3Dmax%26s%3Deebf5744bdd7ab1d7b98a49c133d54c4?ixlib=rb-1.2.2&auto=format&gif-q=60&q=75&s=b940ce6a432b93fc1065563b9d905b1c)
機械学習分野で**活性化関数**(<font color=blue>Activation Function</font>)として用いる場合の合成方法についての勉強はこれからですが、イメージ的にはおそらく**任意の半径**の円関数を数直線上の**任意の位置**に置いていく形で欲しい波形を近似していく感じ？(<font color=blue>おそらく円関数の数と半径と中心位置の算出辺りが学習対象</font>)。以下に述べる「<font color=purple>近世から近代にかけて急速に発達した数理の集大成</font>」すなわち**オイラー座標系**(<font color=blue>Euler Coordinate System</font>)が想定していたより複雑な対象を扱う様になった為に周期の概念の撤廃を余儀なくされたとも見て取れますね。

#オイラー座標系(<font color=blue>Euler Coordinate System</font>)の場合①前提となる出発点と問題意識
それでは私が**オイラー座標系**(<font color=blue>Euler Coordinate System</font>)の名前で編纂しつつある「<font color=purple>近世から近代にかけて急速に発達した数理の集大成</font>」カテゴリーと突き合わせてみましょう。ちなみに前提としてとりあえず以下の諸概念は最初から(<font color=blue>要するにカンブリア爆発期における視覚とその情報を処理する脊髄を獲得して以降の進化の遺産たる</font>)**形相**(<font color=blue>Eidos/Form</font>)として獲得済みとします。

* **自然数集合**(<font color=blue>Natural Set</font>)…**初項**(<font color=blue>First Term</font>)<font color=green>1</font>/**公差**(<font color=blue>Common Difference</font>)<font color=green>1</font>の**等差数列**(<font color=blue>Arithmetic Sequence=算術数列</font>)<font color=purple>Nn</font>(<font color=blue>n=1→Inf</font>){<font color=green>a0,an+(n-1)d,…</font>}(<font color=blue>ただしa0=初項,d=公差</font>)={<font color=green>1,1+1=2,(1+1)+1=3,…,n</font>}の形で規定される。ただし**線形性**<font color=purple>|x+y|=|x|+|y|</font>の代わりに**三角不等式**<font color=purple>|x+y|≦|x|+|y|</font>が成立する**次元**(<font color=blue>すなわち1次元以上</font>)においては「<font color=purple>次に置かれる1</font>」が同じ線上に置かれる保証が与えられないものとする（<font color=blue>すなわち別途検証が成立するまで「半径の2倍が直径である」事が自明の場合とならないと考える</font>）。
* **十進法**(<font color=blue>Decimal System</font>)…<font color=green>10</font>を法とする**剰余類**{<font color=green>0,1,2,3,4,5,6,7,8,9</font>}を**周期単位**(<font color=blue>Cycle Unit</font>)/**添字単位**(<font color=blue>Index Unit</font>)に採用し桁数だけ入れ子状態にする事で小数点下も表せる様にした画期的発明。山本義隆「**少数と対数の発見**(<font color=blue>2018年</font>)」によれば欧州全域にこれが広まったのは**イタリア・ルネサンス**を経た後の**宗教戦争**の時代だったという(<font color=blue>16世紀後半~17世紀初頭</font>)。まさしく近世以降の数学の急発展に欠かせない道具立てだったのである。<br>[「数学の常識」が確立したのは意外に新しい](https://books.j-cast.com/2018/08/31007865.html)<br>[【初心者向け】N進法(N-ary)とp進数(p-adic)](https://qiita.com/ochimusha01/items/c0eed4799d21d9a01792)<br>![image.gif](https://qiita-user-contents.imgix.net/https%3A%2F%2Fcdn-ak.f.st-hatena.com%2Fimages%2Ffotolife%2Fo%2Fochimusha01%2F20190919%2F20190919080704.gif?ixlib=rb-1.2.2&auto=format&gif-q=60&q=75&w=1400&fit=max&s=c6f0f458500fc680a0b862e1703cd657)
<br>![image.gif](https://qiita-user-contents.imgix.net/https%3A%2F%2Fcdn-ak.f.st-hatena.com%2Fimages%2Ffotolife%2Fo%2Fochimusha01%2F20190919%2F20190919081650.gif?ixlib=rb-1.2.2&auto=format&gif-q=60&q=75&w=1400&fit=max&s=9d7258c8e4452e2ddb4f3e9e4c306477)
* (<font color=blue>前後上下左右を峻別する動物的感覚に由来する</font>)<font color=green>N</font>**次元が重層するイメージ**…既に**デカルト座標系**(<font color=blue>Cartesian Coordinate System</font>)にその名を冠する**ルネ・デカルト**が「**方法序説**(<font color=blue>Discours de la méthode,1637年</font>)」の中で**平面上の座標の概念**を発表済みだったが、彼自身は(<font color=blue>ベクトル空間や線形代数といった概念の大源流となった</font>)**複素数表現**に懐疑的で、**極座標系**(<font color=blue>Polor Coordinate System</font>)概念との統合が図られた**ガウス平面**(<font color=blue>Gaussian plane=複素数平面</font>)の概念が登場したのは**フランス革命期~ナポレオン戦争時代**(<font color=blue>18世紀末~19世紀</font>)に入ってからとなる。発案の発端となったのは**オイラーの公式**(<font color=blue>Eulerian Formula,公式発表1748年</font>)<font color=purple>exp(θi)</font>=<font color=purple>Cos(θ)+Sin(θ)i</font>発案の契機ともなった「(<font color=blue>マクローリン級数による</font>)<font color=purple>高階微積分に伴う</font><font color=green>Cos波</font><font color=purple>や</font><font color=green>Sin波</font><font color=purple>の回転イメージ</font>(<font color=blue>元座標に複素数(0±1i)を掛けた場合に相当。回転行列の概念の大源流?</font>)」とも？<br>[【無限遠点を巡る数理】オイラーの公式と等比数列④「中学生には難しいが高校生なら気付くレベル」？](https://qiita.com/ochimusha01/items/10f0276f9850bea6c993)<br>![image.gif](https://qiita-user-contents.imgix.net/https%3A%2F%2Fcdn-ak.f.st-hatena.com%2Fimages%2Ffotolife%2Fo%2Fochimusha01%2F20210118%2F20210118212257.gif?ixlib=rb-1.2.2&auto=format&gif-q=60&q=75&w=1400&fit=max&s=335ad6e3a6b3218e5a3308aeec9b5fbc)<br>![image.gif](https://qiita-user-contents.imgix.net/https%3A%2F%2Fcdn-ak.f.st-hatena.com%2Fimages%2Ffotolife%2Fo%2Fochimusha01%2F20210118%2F20210118081438.gif?ixlib=rb-1.2.2&auto=format&gif-q=60&q=75&w=1400&fit=max&s=1a2a05ae35d288fe13c3637d9fc41001)<br>![image.gif](https://qiita-user-contents.imgix.net/https%3A%2F%2Fcdn-ak.f.st-hatena.com%2Fimages%2Ffotolife%2Fo%2Fochimusha01%2F20210118%2F20210118204807.gif?ixlib=rb-1.2.2&auto=format&gif-q=60&q=75&w=1400&fit=max&s=2304d971fbab695ab388df6c1a2602cc)![image.gif](https://qiita-user-contents.imgix.net/https%3A%2F%2Fcdn-ak.f.st-hatena.com%2Fimages%2Ffotolife%2Fo%2Fochimusha01%2F20210118%2F20210118201515.gif?ixlib=rb-1.2.2&auto=format&gif-q=60&q=75&w=1400&fit=max&s=520644710493987d7337bf425e80f10c)<br>[回転行列が なぜ あの形なのか数学の素人が考える](http://ailaby.com/rotate_vec/)<br>**複素数表現**<font color=purple>a+bi</font>を出発点とする**線形結合表現**<font color=purple>ax+by</font>は**機械学習分野**で活性化関数**として活躍する**シグモイド関数**(<font color=blue>Sigmoid Function</font>)<font color=purple>S(x)=1/(1+exp(−(ax+b)))</font>(<font color=blue>aが傾き、bがバイアスを定めるパラメーターでこの線形変換型が学習対象となる</font>)にも影を落としている?<br>[シグモイド関数の傾きとバイアスを変える](http://ailaby.com/sigmoid_coef/)<br>[【初心者向け】ロジスティック方程式とその関連範囲](https://qiita.com/ochimusha01/items/2f0118ecda2e17d366ba)

ところで最初に**観念的難関**として立ちはだかるのは、当初(それ自体は観測対象とならない</font>)**観測原点**(<font color=blue>Observation Origin</font>)と**観測限界**=**無限遠点**(<font color=blue>Observation Limit=Inf(inity)</font>)の間に分布する有限の**観測結果集合**(<font color=blue>Observation Result Set</font>)が**片側無限数列**(<font color=blue>One Side Inf(inity) Sewguance</font>)およびそれを**半径**(<font color=blue>Radius</font>)とする**観測円(<font color=blue>Observation 
 Disk</font>)**/**観測球(<font color=blue>Observation Ball</font>)**しか形成しない事です。
[【無限遠点を巡る数理】等差数列と等比数列①関数列との関係は？](https://qiita.com/ochimusha01/items/af485c53ca4ff1f07ffb)
![image.png](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/597772/799188dc-09c1-90e7-5dfc-c30eac3c7e56.png)

これをどうしたら<font color=green>0</font>を中心に両端に**無限小**<font color=green>-Inf</font>と**無限大**<font color=green>Inf</font>を配した**両側無限数列直径**(<font color=blue>One Side Infinity Sewguance</font>)へと発展させられるでしょうか。すなわち幾何学でいうところの**直径**(<font color=blue>Diameter</font>)概念の導入。統計学でいうところの**比例尺度**(<font color=blue>Ratio Scale</font>)概念の導入。それかが最初の課題となる訳です。
![image.png](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/597772/b3fce14a-bdc6-2a26-718b-c7d04a3f99da.png)

#オイラー座標系(<font color=blue>Euler Coordinate System</font>)②中心の検出と誤差の切り捨て(<font color=blue>0次元-0.5次元=点/同心円/同心球面空間</font>)

近世から近代にかけての数学者は**中心極限定理**（<font color=blue>CLT=Central Limit Theorem</font>）に従ってこう考えました。
[【無限遠点を巡る数理】無限遠点としての正規分布と分散概念の歴史](https://qiita.com/ochimusha01/items/15326f0c787a55f174cc)

* **小さな誤差**ほど比較的観測され易い。
* **大きな誤差**ほど比較的観測され難い。
* かかる観測結果集合は出現確率によって**同心円集合**(<font color=blue>Homocentric Circle set</font>)/**同心球面集合**(<font color=blue>Homocentric sphere set</font>)を形成し、中央ほど密集する。

今日でいう**確率密度空間**(<font color=blue>Probability Density Space</font>)概念の大源流ですね。ならばとりあえず**観測結果集合**から**平均**(<font color=blue>Mean</font>)を求め、それを中心に定めれば良いのです。
[【初心者向け】記述統計学と代表値](https://qiita.com/ochimusha01/items/0bdfc971a69a30f0615f)
![image.gif](https://qiita-user-contents.imgix.net/https%3A%2F%2Fcdn-ak.f.st-hatena.com%2Fimages%2Ffotolife%2Fo%2Fochimusha01%2F20210117%2F20210117003848.gif?ixlib=rb-1.2.2&auto=format&gif-q=60&q=75&w=1400&fit=max&s=37ccbadc6c100a2d89a877ae0590a7fd)
![image.gif](https://qiita-user-contents.imgix.net/https%3A%2F%2Fcdn-ak.f.st-hatena.com%2Fimages%2Ffotolife%2Fo%2Fochimusha01%2F20210117%2F20210117003225.gif?ixlib=rb-1.2.2&auto=format&gif-q=60&q=75&w=1400&fit=max&s=38fcd483a692861fb49da6e992c5761a)
![image.gif](https://qiita-user-contents.imgix.net/https%3A%2F%2Fcdn-ak.f.st-hatena.com%2Fimages%2Ffotolife%2Fo%2Fochimusha01%2F20210117%2F20210117002845.gif?ixlib=rb-1.2.2&auto=format&gif-q=60&q=75&w=1400&fit=max&s=3fdd3f6ce5d5ffdccc5284ed07799871)
![image.gif](https://qiita-user-contents.imgix.net/https%3A%2F%2Fcdn-ak.f.st-hatena.com%2Fimages%2Ffotolife%2Fo%2Fochimusha01%2F20201110%2F20201110010727.gif?ixlib=rb-1.2.2&auto=format&gif-q=60&q=75&w=1400&fit=max&s=90db2db66ddc81e814913c6046ffcf04)

この考え方では**観測結果集合**の規模が大きいほど中心の推定位置も安定しますが、それでも**平均値**を求める計算の都合上、どうしても**外れ値**(<font color=blue>Outliers</font>)の影響を色濃く受けてしまいます。そこでガウスは数理的基準に従って一定以上の外れ値を誤差を切り捨てる**誤差関数**(<font color=blue>ERF=Error Function</font>)と**相補誤差関数**(<font color=blue>ERFC=Complementary Error Function</font>)を発表しました。**正規分布**(<font color=blue>Normal Distribution</font>)概念の出発点ですね。
[外れ値と判定する方法と、外れ値の除去について](https://toukeigaku-jouhou.info/2018/04/25/determine-outlier/)
[【初心者向け】誤差関数(ERF)と相補誤差関数 (ERFC)。](https://qiita.com/ochimusha01/items/ee8b32e4b2cc7ce4acb0)
[【初心者向け】正規分布とは何か？](https://qiita.com/ochimusha01/items/fe73ddf6e3e8cb08fbee)
![image.gif](https://camo.qiitausercontent.com/1d575deaffa6e6762e22cd6c6a9f7b1c747e3043/68747470733a2f2f71696974612d757365722d636f6e74656e74732e696d6769782e6e65742f687474707325334125324625324663646e2d616b2e662e73742d686174656e612e636f6d253246696d61676573253246666f746f6c6966652532466f2532466f6368696d757368613031253246323032303131313325324632303230313131333131313131342e6769663f69786c69623d72622d312e322e32266175746f3d666f726d6174266769662d713d363026713d373526773d31343030266669743d6d617826733d3162653734633131613338316439643334356436316236633262653732313939)

* あくまで天文学者として**観測精度**(<font color=blue>Observation Accuracy</font>)を高めるべく事しか考えていなかった**ガウス**は、本当に「<font color=purple>誤差は正規分布する</font>」事実を発見したに過ぎず「(<font color=blue>後世における帰無仮説の棄却によって</font>)<font color=purple>有意の外れ値を検出して役立てる</font>」といった類の発想は一切持たなかった。そうした考え方が急浮上してくるのはあくまでは<font color=green>19世紀後半</font>、**貨幣経済の浸透**と**産業革命の導入**によって近世までは形骸化しつつも建前上はそれなりの形で継承されてきた既存の身分社会や地方共同体が存続を許されなくなって以降であり、幸いにもその時代には既に**ガウス**(<font color=blue>Carolus Fridericus Gauss、1777年~1855年</font>）はもはや生きてはいなかったのである(<font color=blue>同時代に生き、同じ復古王政時代の王党派として自然に口を突いて出た王権擁護の主張の数々がキェルケゴールやカール・マルクスの様な新進気鋭の後続に徹底して叩かれ続ける「ヘーゲルの悲劇」とも無縁で済んだ</font>)。一方、その<font color=green>19世紀後半</font>に勃興した**統計学**や**社会学**は(<font color=blue>王侯貴族や聖職者/士官/官僚供給層といったランティエ（Rentier、地税や家賃収入で暮らす不労所得者）の如き、収入制限選挙時代には議会政治を牛耳る事も可能だった</font>)**既存ブルジョワ=インテリ＝政治的階層**の存続を賭した自己正当化(<font color=blue>実際それまでの科学と技術と芸術の発展はベルヌーイ一族やフラゴナール一族の様な名家と彼らへのパトロネージュに支えられてきたのではなかったか？</font>)と「<font color=purple>教育の平等と性差別撤廃こそが天才発掘の可能性を最大化する</font>」と考えた**コンドルセ伯爵**(<font color=blue>Marie Jean Antoine Nicolas de Caritat, marquis de Condorcet, 1743年~1794年</font>)や**ジョン=スチュワート=ミル**(<font color=blue>John Stuart Mill,1806年~1873年</font>)の様な**古典的自由主義者**(<font color=blue>Classical Liberalist</font>)=**数理的大同主義者**(<font color=blue>Mathematical Daidoist</font>)の闘争の渦中に否応なく巻き込まれていく。<br>[【無限遠点を巡る数理】無限遠点としての正規分布と分散概念の歴史](https://qiita.com/ochimusha01/items/15326f0c787a55f174cc)
* **ガウス**は**最小二乗法**(<font color=blue>Least Squares Method</font>)の発案候補者の一人とも目されているが、これもまた天文学者としての研究の一環であった。<br>[回帰分析(単回帰分析)をわかりやすく徹底解説！](https://udemy.benesse.co.jp/data-science/data-analysis/regression-analysis.html)<br>[【初心者向け】記述統計学と代表値](https://qiita.com/ochimusha01/items/0bdfc971a69a30f0615f)<br>![image.png](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/597772/d544c1a0-cc52-370d-3c54-62e621e90e3f.png)
* **平均**でなく(<font color=blue>外れ値の影響を受けにくい</font>)**中央値**(<font color=blue>Midian</font>)や**最頻値**（<font color=blue>Mode</font>）を**代表値**(<font color=blue>Representative Value</font>)に選ぶ発想が生まれてくるのもまた、後世になって(<font color=blue>人間社会の実測データといった、より複雑なデータを扱う様になった</font>)**統計学**が発達して以降となる。<br>[【初心者向け】平均と標準偏差、中央値と平均偏差](https://qiita.com/ochimusha01/items/971d62ebc5e4cac6a61b)<br>[【初心者向け】度数分布/度数分布図と最頻値](https://qiita.com/ochimusha01/items/ea7ca95bf05510004bc6)

こうして**同心円集合**の抽出に成功して初めて、全体像を**放射基底関数**ないしは**複素円関数**<font color=purple>-1^x</font>=<font color=purple>(0±1i)^2x</font>(<font color=blue>左式に-1=i^2を代入した結果</font>)で表現可能な**演算結果集合**(<font color=blue>Operation Result Set</font>)として把握可能となるのです。なおこの時点ではまだこの座標系には**実数軸**(<font color=blue>Real Axis</font>)が1本も存在しておらず、**虚数軸**(<font color=blue>Imaginal Axis</font>)のみが存在している形となります(<font color=blue>0.5次元</font>)。

* そして**線形代数学**が発達して線形変換の**固有値**(<font color=blue>Eigenvalue</font>)や**固有ベクトル**(<font color=blue>Eigenvector</font>)の研究が進むと、これを援用する形で(<font color=blue>相関係数概念と深い関わりを要する</font>)**楕円関数**(<font color=blue>Elliptic Function</font>)や**主成分分析**(<font color=blue>PCA=Principal component analysis</font>)の概念が追加される展開を迎える。<br>[線形代数の基礎 第12回 - 固有値・固有ベクトル](https://qiita.com/nognog/items/05766c319658efecf61f)<br>[線形代数の基礎 第13回 - 対角化](https://qiita.com/nognog/items/92a000a33ca755bfce3b)<br>[【初心者向け】方形描画関数②距離空間(Metric Space)との関係。](https://qiita.com/ochimusha01/items/06e49a35dffbd12b35aa)<br>![image.gif](https://camo.qiitausercontent.com/9a4eefdb2b521ba6b1011723af5feb6c8f40be11/68747470733a2f2f71696974612d757365722d636f6e74656e74732e696d6769782e6e65742f687474707325334125324625324663646e2d616b2e662e73742d686174656e612e636f6d253246696d61676573253246666f746f6c6966652532466f2532466f6368696d757368613031253246323032303132313825324632303230313231383138303033392e6769663f69786c69623d72622d312e322e32266175746f3d666f726d6174266769662d713d363026713d373526733d3764653065656136643731316236653830353434623835623665316335316437)<br>![image.gif](https://camo.qiitausercontent.com/fefe4b8edb7b7fa4346e53f4660b0b676d00a511/68747470733a2f2f63646e2d616b2e662e73742d686174656e612e636f6d2f696d616765732f666f746f6c6966652f6f2f6f6368696d7573686130312f32303230313231382f32303230313231383036333830382e676966)

ところで上掲の**ERF/ERF関数図**は円外周を無限遠点に設定しているので「<font color=purple>重力レンズ効果によって球面の裏側まで見通せるブラックホールと同じ見え方</font>」をしています（<font color=blue>それでも全体が球面の様に見えているのは、観測者側が主観的に辺縁部の余分な「等高線」を誤差としてしまう為</font>）。実は**直径**=**両側無限数列**の概念導入によってこの「<font color=purple>見え方</font>」は失われてしまうのです。

#オイラー座標系(<font color=blue>Euler Coordinate System</font>)③実数列(<font color=blue>Real Line</font>)の概念追加(<font color=blue>1次元-1.5次元=線/円柱/同心トーラス空間</font>)

1の原始冪根を演算に選んだ**ガウスの巡回群**<font color=purple>Z^n=1</font>では<font color=purple>n=2</font>の時{<font color=green>1,-1</font>}、<font color=purple>n=4</font>の時{<font color=green>1,i,-1,-i</font>}が元となります。
[1の冪根 - Wikipedia](https://ja.wikipedia.org/wiki/1%E3%81%AE%E5%86%AA%E6%A0%B9)

この考え方に従うなら、**1次元**は**実数列**(<font color=blue>Real Line</font>)、すなわち**無限連続等比数列**(<font color=blue>Infinite Continuous Geometric Progression=無限連続幾何数列</font>)たる<font color=purple>1^x(y=(1+0i)</font>と<font color=purple>-1^x</font>(<font color=blue>y=(0+1i)</font>)の接点として規定されなければいけません。ただし後者のピッチは<font color=green>2</font>なので規則正しく離散的な**公差**(<font color=blue>Common Difference</font>)<font color=green>1</font>の**等差数列**(<font color=blue>Arithmetic Sequence=算術数列</font>)を得る為に**偶奇一対**(<font color=blue>Parity Set</font>)で扱う必要が出てきます。
[【無限遠点を巡る数理】オイラー座標系②複素等比数列による整数概念の再構築。](https://qiita.com/ochimusha01/items/5b095114cafafba8428f)
![image.gif](https://qiita-user-contents.imgix.net/https%3A%2F%2Fcdn-ak.f.st-hatena.com%2Fimages%2Ffotolife%2Fo%2Fochimusha01%2F20210105%2F20210105003122.gif?ixlib=rb-1.2.2&auto=format&gif-q=60&q=75&w=1400&fit=max&s=1c5e7641bb15c183f387fb9c6c92759a)
![image.gif](https://qiita-user-contents.imgix.net/https%3A%2F%2Fcdn-ak.f.st-hatena.com%2Fimages%2Ffotolife%2Fo%2Fochimusha01%2F20210105%2F20210105071334.gif?ixlib=rb-1.2.2&auto=format&gif-q=60&q=75&w=1400&fit=max&s=6cc2d838c056f87959b9d35678b0d60a)

* あるいは「<font color=purple>関数-1^xにおける(±1+0i)⇄(0±1i)⇄(∓1+0i)の繰り返しの実数部のみを取り出して周期単位とする事で、交差1の等差数列を得る</font>」とも考えられるが(<font color=blue>この場合、定数関数x=0が基準線として通る</font>)、この場合も<font color=green>0</font>を原点とする**偶数系**(<font color=blue>Even System</font>)と<font color=green>-1/1</font>を原点とする**奇数系**(<font color=blue>Odd System</font>)の同時成立は避けられない。

いずれにせよこの段階における数理では**実数部における添字単位の一次元上の増減**のみが重要で(<font color=blue>それを導出するのに用いられる</font>)**周期単位虚数部の演算**は様々な形で想定され、かつ最終的には切り捨てられるのです。例えば上では**円形関数**<font color=purple>y=-1^x</font>を想定しましたが、これを**方形関数**<font color=purple>x+y=1</font>に置き換えても構いません。この辺りの「<font color=purple>最終的に計算が合っていれば導出過程を問わない</font>」自由度の高さが**虚部**の**虚部**たる由縁。要するに**補助線**に過ぎないのです。[【初心者向け】方形描画関数①三角関数との関係。](https://qiita.com/ochimusha01/items/9183360c0009cfac5b04)<br>![image.gif](https://qiita-user-contents.imgix.net/https%3A%2F%2Fcdn-ak.f.st-hatena.com%2Fimages%2Ffotolife%2Fo%2Fochimusha01%2F20201103%2F20201103224442.gif?ixlib=rb-1.2.2&auto=format&gif-q=60&q=75&w=1400&fit=max&s=68a92de740cc92a23acd50e8140ef4b9)<br>![image.gif](https://qiita-user-contents.imgix.net/https%3A%2F%2Fcdn-ak.f.st-hatena.com%2Fimages%2Ffotolife%2Fo%2Fochimusha01%2F20201104%2F20201104021539.gif?ixlib=rb-1.2.2&auto=format&gif-q=60&q=75&w=1400&fit=max&s=72cdde3e70d7e2b4f0c50842ec2eb388)

* この考え方を極限まで押し進めたのが「<font color=purple>‖x‖=0⇄x=0</font>(<font color=blue>演算結果集合の数だけ零元が存在する</font>)」「<font color=purple>‖ax‖=|a|‖x‖</font>(<font color=blue>スカラー倍演算が成立する</font>)」「<font color=purple>‖x‖+‖y‖≧‖x+y‖</font>(<font color=blue>三角不等式が成立する</font>)」を三大成立条件とする**ノルム空間**(<font color=blue>Norm Space</font>)概念であり、実数の範囲を<font color=purple>‖x‖+‖y‖=‖x+y‖</font>から<font color=purple>‖x‖+‖y‖≧‖x+y‖</font>に拡張した時(<font color=blue>すなわち整数線に垂直する高さの概念を認め、面積の概念が生じる時</font>)初めて**距離**/**計量関数**(<font color=blue>Distance/Metric Function</font>)操作が統計学上の**順位尺度**の概念にまで影響を与える展開を迎える(<font color=blue>計算の都合上、五問それぞれに20点が割り振られた百点満点のテストの得点配分を「10点/15点/15点/30点/30点」と割り振り直して再集計する場合などに対応?</font>)。この時点ではまだ**座標軸**{<font color=green>x,y</font>}に立脚する**デカルト座標系**(<font color=blue>Cartesian Coordinate System</font>)そのものが完全成立する訳ではない点に注意。<br>[【初心者向け】方形描画関数②距離空間との関係。](https://qiita.com/ochimusha01/items/06e49a35dffbd12b35aa)<br>![image.png](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/597772/ac00ace6-2f5f-355d-c54e-21a0629c8019.png)
* **実数列**と言いながら原則として扱うのは整数で、群論でいう**加法整数群**(<font color=blue>Additive Integer Group</font>)に近い概念です。実際に比較してみると**10進法**概念導入済みである為、小数点下も扱える事(<font color=blue>少数点を含む積が現れても集合の要素と見做すが、その時はそもそも「半径1の単位円」に対応する1の概念そのものが動いたと見做し、集合全体の桁調整が遂行される。コンピューター上における不動小数点の概念の援用?</font>)、<font color=green>2</font>を**公比**(<font color=blue>Common Ratio</font>)とする**等比数列**（<font color=blue>Geometric Sequence=幾何数列</font>）<font color=purple>2n</font>(<font color=blue>n=-Inf→0→Inf</font>)={<font color=green>…(2×n)^(n-1)…</font>}={<font color=green>1/(2^Inf):=0,…,1/2^2=1/4,1/2,2/2=1,2,2^2=4,…,2^Inf=Inf</font>}に従って**分割**/**合成**が可能ながら、そうした演算全てに**偶奇概念**がついて回る辺りが異なります。こうして同じ**実数集合**(<font color=blue>Real Set</font>)を共有する群が複数になったので以降、これを場合によっては**実数族**(<font color=blue>Real Famiry</font>)とも呼ぶ事にしましょう。
<br>[【初心者向け】群論概念①基本定義](https://qiita.com/ochimusha01/items/208dc0e68db64805e4f7)<br>![image.gif](https://qiita-user-contents.imgix.net/https%3A%2F%2Fcdn-ak.f.st-hatena.com%2Fimages%2Ffotolife%2Fo%2Fochimusha01%2F20201202%2F20201202104819.gif?ixlib=rb-1.2.2&auto=format&gif-q=60&q=75&w=1400&fit=max&s=487bf8de3579383fd74dc3549d582aad)<br>![image.gif](https://qiita-user-contents.imgix.net/https%3A%2F%2Fcdn-ak.f.st-hatena.com%2Fimages%2Ffotolife%2Fo%2Fochimusha01%2F20201202%2F20201202105840.gif?ixlib=rb-1.2.2&auto=format&gif-q=60&q=75&w=1400&fit=max&s=2fb2c8cc45eb57806b2a281043d4a561)<br>![image.gif](https://qiita-user-contents.imgix.net/https%3A%2F%2Fcdn-ak.f.st-hatena.com%2Fimages%2Ffotolife%2Fo%2Fochimusha01%2F20201202%2F20201202110929.gif?ixlib=rb-1.2.2&auto=format&gif-q=60&q=75&w=1400&fit=max&s=2707333ff7b779922e55b3d65cdd454c)

要するに「<font color=purple>半径の2倍は直径⇄直径の半分は半径</font>」なる概念を群規定して一般化したかったのです。<br>[【初心者向け】半径・直径・円周長・円の面積・球の表面積・球の体積の計算上の往復](https://qiita.com/ochimusha01/items/e180451a210227bb19a5)

* 「<font color=purple>偶奇性の発生</font>」ばかりか「**ピタゴラスの定理**(<font color=blue>Pythagorean Theorem</font>)<font color=green>y=±sqrt(1-x^2)</font><font color=purple>が半円しか描けない問題</font>」「**緯度経度法**<font color=purple>において緯度が経度の</font>、**三次元極座標系**<font color=purple>において垂直角θが水平角φの半分で済む問題</font>」「**複素数**<font color=purple>に共役性が存在する問題</font>」全てがこの段階での「**無限遠点**<font color=green>Infinity</font><font color=purple>の±方向への分割</font>」に関係してくる。<br>[【Rで球面幾何学】「半円しか描けなかった」世界の思い出？](https://qiita.com/ochimusha01/items/cf74b1fff650edb0a496)<br>![image.gif](https://qiita-user-contents.imgix.net/https%3A%2F%2Fqiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com%2F0%2F597772%2F0ba98cbe-b449-9b1d-b0f0-4a6b60e55f35.gif?ixlib=rb-1.2.2&auto=format&gif-q=60&q=75&w=1400&fit=max&s=dacd205b94963cc117e9977dda71d05d)
<br>![image.gif](https://qiita-user-contents.imgix.net/https%3A%2F%2Fqiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com%2F0%2F597772%2Fdae51c2d-b2ce-515b-c55e-d8dec59a0760.gif?ixlib=rb-1.2.2&auto=format&gif-q=60&q=75&w=1400&fit=max&s=59f7dd6225b5486bdfc394f56e8c396b)<br>[【初心者向け】半径・直径・円周長・円の面積・球の表面積・球の体積の計算上の往復](https://qiita.com/ochimusha01/items/e180451a210227bb19a5)<br>![image.gif](https://qiita-user-contents.imgix.net/https%3A%2F%2Fcdn-ak.f.st-hatena.com%2Fimages%2Ffotolife%2Fo%2Fochimusha01%2F20201120%2F20201120185044.gif?ixlib=rb-1.2.2&auto=format&gif-q=60&q=75&w=1400&fit=max&s=8fbf7a04b5430618ed748494ba2298ae)<br>[【初心者向け】複素共役（Complex Conjugate）のアニメーション表示について。](https://qiita.com/ochimusha01/items/e0bb2789a420d3317cf1)<br>![image.gif](https://qiita-user-contents.imgix.net/https%3A%2F%2Fqiita-user-contents.imgix.net%2Fhttps%253A%252F%252Fcdn-ak.f.st-hatena.com%252Fimages%252Ffotolife%252Fo%252Fochimusha01%252F20201116%252F20201116230848.gif%3Fixlib%3Drb-1.2.2%26auto%3Dformat%26gif-q%3D60%26q%3D75%26w%3D1400%26fit%3Dmax%26s%3D0489492d3b778bcf1b6c8b3886af31c4?ixlib=rb-1.2.2&auto=format&gif-q=60&q=75&w=1400&fit=max&s=b1273a9440db7db91f80a947bffa0204)<br>![image.gif](https://camo.qiitausercontent.com/3b1ac60637925efce203f0788ffa50710d68f438/68747470733a2f2f63646e2d616b2e662e73742d686174656e612e636f6d2f696d616765732f666f746f6c6966652f6f2f6f6368696d7573686130312f32303230313131332f32303230313131333230343535322e676966)<br>![image.gif](https://camo.qiitausercontent.com/9e9664fb4b1665bc097bea60f3d592fa89108799/68747470733a2f2f63646e2d616b2e662e73742d686174656e612e636f6d2f696d616765732f666f746f6c6966652f6f2f6f6368696d7573686130312f32303230313131332f32303230313131333230353234332e676966)

この**棒型タワシ**の様な空間は、付帯する虚数次元も併せて考えると**線形条件**<font color=purple>|x+y|=|x|+|y|</font>が破れています(<font color=blue>1.5次元</font>)。その様な空間として他にフーリエ変換の演算領域があり、実際この空間も同様にその計算対象区画を演算条件に合わせて**指定区域内**(<font color=blue>定積分の概念に対応する有限範囲</font>)、**周期**<font color=green>1</font>**の無限反復**(<font color=blue>単位トーラスの概念に対応</font>)、(<font color=blue>無限小-Infから無限大Infの範囲を扱う</font>)**繰り返しなき無限範囲**(<font color=blue>広義積分の概念に対応。無限遠で無限大と無限小が連なる無限大トーラス構造とも見做せる</font>)と切り替えて考える事が出来るのです。そしてフーリエ変換と構造が似ているのだから(<font color=blue>実際基底関数定義もかなり重なりそう</font>)、**関数列**の形に書き換える事も可能かもしれません。

#オイラーの公式(<font color=green>Eulerian Formula</font>)はこの空間にどう作用するのか？

上掲の<font color=green>1.0-1.5</font>**次元空間**には<font color=green>-Inf→0→Inf</font>の**整数尺**と、<font color=green>これを0→1→Inf</font>の範囲に射影した対数尺が**並存**しています。そう、ここで思い出すべきは「<font color=purple>乗法群の演算においては</font>**スカラー倍**<font color=purple>といっても、それが</font>**添字単位**、**周期単位**<font color=purple>ともに</font><font color=green>-Inf→0→Inf</font><font color=purple>の範囲の</font>**均等尺**<font color=purple>上でなく、それを</font></font><font color=green>0→1→Inf</font>の<font color=purple>範囲に射影した</font>**対数尺**<font color=purple>上で遂行される</font>」ルール…

* **複素指数関数型フーリエ級数展開**の演算領域において**棒型タワシ**状態を担保しているのは**多価関数**の**分岐点**(<font color=blue>Branch Point</font>)ごとの**分枝切断**(<font color=blue>Branch Cut</font>)が生み出す螺旋構造、すなわち**リーマン面**(<font color=blue>Riemann Surface</font>)の形成である。<br>[複素解析での分岐点とは](https://mathrelish.com/mathematics/branch-point-in-complex-analysis)<br>![image.png](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/597772/f85eaa63-dfe7-87ac-9026-8e33031bc79b.png)

これに関して**オイラーの公式**<font color=purple>exp(xi)</font>は一体どういう作用をもたらすのでしょうか？　とりあえず分かっている事を列記してみます。

* <font color=green>-Inf→0→Inf</font>の範囲の**均等尺**を<font color=green>0→1→Inf</font>の範囲の**対数尺**に射影すると、**虚軸**<font color=green>2</font>の座標が<font color=green>exp(1)</font>(<font color=blue>2.718282</font>)、**虚軸**<font color=green>-1</font>の座標が<font color=green>exp(-1)</font>(<font color=blue>0.3678794</font>)へと限りなく近づく。
* **複素自然指数関数**<font color=purple>exp(xi)</font>は添字として与えられた**複素数**<font color=green>i</font>の**実軸**と**虚軸**双方に影響を与える。その結果、<font color=green>π×(0+1i)</font>の座標は(<font color=green>2,0</font>),<font color=green>π×(0-1i)</font>の座標は(<font color=green>-2,0</font>)に限りなく近付き、途中座標はそれぞれ(<font color=green>1,0</font>)(<font color=green>-1,0</font>)に対して均等な距離を保った円を描く(<font color=blue>オイラーの等式</font>)。
* <font color=purple>Cos波</font>はこの座標変換を**実軸**側から観測した場合の<font color=green>exp(1)</font>と<font color=green>exp(-1)</font>の**平均**、<font color=purple>Sin波</font>はこの座標変換を**虚軸**から観測した場合の<font color=green>exp(1)</font>と<font color=green>exp(-1)</font>の**平均**に他ならない。

![image.gif](https://cdn-ak.f.st-hatena.com/images/fotolife/o/ochimusha01/20210129/20210129205903.gif)

```R
Eulers_identity<-function(n){
rim01<-pi*complex(real=0,imaginary=1)
Tarm=c(complex(real=1,imaginary=0),seq(rim01/n,rim01/n,length=n))
Reduce(function(a,b) {a+a*b}, Tarm, accumulate = T)
}

#グラフを描画してみる。
Eulers_identity01_plot<-function(n){
ei01<-Eulers_identity(n)
ei02<-Conj(ei01)

#背景描画
c00<-seq(-pi,pi,length=61)
c01<-exp(c00*(0+1i))
plot(c01+(0+1i),type="l",asp=1,xlim=c(-pi,pi),ylim=c(0,pi),main="Even Scale to Logarithmic Scale",xlab="Real",ylab="Imaginal")
par(new=T) 
plot(c01+1,type="l",asp=1,xlim=c(-pi,pi),ylim=c(0,pi),main="",xlab="",ylab="")
par(new=T)
plot(c01-1,type="l",asp=1,xlim=c(-pi,pi),ylim=c(0,pi),main="",xlab="",ylab="")
par(new=T) # 上書き指定
plot(-Re(ei01)+1,Im(ei01),asp=1,xlim=c(-pi,pi),ylim=c(0,pi),type="l",main="", xlab="", ylab="",col=rgb(0,0,1))
par(new=T) # 上書き指定
plot(-Re(-ei02)-1,-Im(ei02),asp=1,xlim=c(-pi,pi),ylim=c(0,pi),type="l",main="", xlab="", ylab="",col=rgb(1,0,0))
segments(-2,0,2,0)
abline(h=(1+3/n)^n,col=c(200,200,200))
abline(h=(1+2.5/n)^n,col=c(200,200,200))
abline(h=(1+2/n)^n,col=c(200,200,200))
abline(h=(1+1.5/n)^n,col=c(200,200,200))
abline(h=(1+1/n)^n,col=rgb(0,1,0))
abline(h=(1+0.5/n)^n,,col=c(200,200,200))
abline(h=1,col=c(200,200,200))
abline(h=(1-0.5/n)^n,,col=c(200,200,200))
abline(h=(1-1/n)^n,col=rgb(0,1,0))
abline(h=(1-1.5/n)^n,col=c(200,200,200))
abline(h=(1-2/n)^n,col=c(200,200,200))
abline(h=(1-2.5/n)^n,col=c(200,200,200))
abline(h=(1-3/n)^n,col=c(200,200,200))
Text<-paste("(1±1/",n,")^",n,"=",round((1+1/n)^n,digits=4),"/",round((1-1/n)^n,digits=4))
legend("topleft", legend=c("π×(0+1i)","π×(0-1i)",Text), lty=c(1,1,1), col=c(rgb(0,0,1),rgb(1,0,0),rgb(0,1,0)))
}

#アニメーションさせてみる。

library("animation")
Time_Code=c(1,2,4,8,16,32,64,128)
saveGIF({
for (i in Time_Code){
　　Eulers_identity01_plot(i)
}
}, interval = 0.1, movie.name = "TEST.gif")
```
分かった様なわからない様な…いずれにせよこの座標変換を縦軸、すなわち(<font color=blue>極座標系で表される</font>)**半径**<font color=green>1</font>の**単位円**とこれを原点とする(<font color=blue>自然指数関数により0からInfの間の値として表される</font>)**リーマン面**の添字集合に適用すると現れるのが**リーマン球面**（<font color=blue>Riemann sphere</font>）となる様です。
[リーマン球面 - Wikipedia](https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%AA%E3%83%BC%E3%83%9E%E3%83%B3%E7%90%83%E9%9D%A2)
[【初心者向け】「単位円筒」から「単位球面」へ](https://qiita.com/ochimusha01/items/08f5c5ad1aba4a59a27d)
![image.gif](https://cdn-ak.f.st-hatena.com/images/fotolife/o/ochimusha01/20210129/20210129211754.gif)
これも**数直線**が無限遠点<font color=green>Inf</font>を**無限小**<font color=green>-Inf</font>と**無限大**<font color=green>Inf</font>に分割した影響の一つ?　ああ、今度は**メビウス変換**(<font color=blue>Möbius Transformation</font>)が怖い…
[メビウス変換 - Wikipedia](https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%A1%E3%83%93%E3%82%A6%E3%82%B9%E5%A4%89%E6%8F%9B)
[一次分数変換（メビウス変換）と円円対応](https://mathtrain.jp/mobius)
詳しい解説は以下続報…