【無限遠点を巡る数理】オイラーの公式と等比数列⑤ネイピア数概念は「1次元の世界」から現れる？


数学史上、**オイラー**(<font color="blue">Leonhard Euler,1707年~1783年</font>)はどうやら以下の形で定義可能な**代数方程式**（<font color="blue">Algebraic Formula</font>）と、その基準に従わない**超越方程式**(<font color="blue">Transcendental Formula</font>)の概念を最初に峻別し、かつその統合を試みた最初の人と位置付けられているらしいのです。
[【初心者向け】代数方程式（Algebraic Formula）について。](https://qiita.com/ochimusha01/items/428954a67eee63d52592)

>**未知数**<font color="green">x</font>を含む**方程式**（<font color="green">Formula</font>）<font color="green">f(x)=0</font>には様々な形式があり、このうち**代数的演算**（<font color="blue">Algebraic operations、加減算、乗除算、冪根</font>）を有限回用いて表せる**代数方程式**（<font color="blue">Algebraic Formula</font>）という。

[江戸の数学 第5章 西洋数学の導入 超越方程式](https://www.ndl.go.jp/math/s1/c8_4.html)

>**代数方程式**でない方程式のことを**超越方程式**と呼びます。(<font color=blue>ネイピア数exp(1)=2.718282を式中に含む</font>)**自然指数関数**(<font color=blue>Natural Exponential function</font>)や**自然対数関数**(<font color=blue>Natural Logarithmic function</font>)、(<font color=blue>円周率π=3.141593を式中に含む</font>)**三角関数**(<font color=blue>Trigonometric Function</font>)の様に**超越数**(<font color=blue>Transcendental Number</font>)を式中に含む形のものが一般的で**数値的な解法**を取るのが普通です。

[超越数 - Wikipedia](https://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%B6%85%E8%B6%8A%E6%95%B0)

>**超越的な実数**はすべて**有理数**(<font color=blue>Rational Number。二つの整数a,b(ただしb≠0）を用いてa/bという分数で表せる数。b=1とすることにより、任意の整数を有理数として扱うことができる</font>) ではない**無理数**(<font color=blue>Irrational number=無比数</font>)であるが、**無理数**<font color=green>sqrt(2)</font>は**代数方程式**<font color=purple>x^2−2=0</font>の解であるから、逆は成り立たない。よく知られた超越数に**ネイピア数**（<font color=blue>自然対数の底</font>）や**円周率**があり、またほとんど全ての複素数が**超越数**であることが分かっているが、**超越性**(<font color=blue>Transcendence</font>)が示されている複素数のクラスはほんの僅かであり、与えられた数が**超越数**であるかどうかを調べるのは難しい問題だとされている。例えば、**ネイピア数**と**円周率**はともに**超越数**であるにもかかわらず、それをただ足しただけの<font color=green>π+e</font>すら**超越数**かどうか分かっていない。

ところで現時点における私はこの方面の**オイラー**を殆ど「**自然指数関数**<font color=purple>に</font>**マクリーン級数**(<font color=blue>MacLean Sries</font>)<font color=purple>を適用した結果から</font>**オイラーの公式**(<font color=blue>Eulerian Formula</font>)<font color=green>e^θi</font>=<font color=green>cos(θ)+sin(θ)i</font><font color=purple>を思いついた人</font>」程度にしか理解出来ていません。
[【Rで球面幾何学】オイラーの公式を導出したマクローリン級数の限界？](https://qiita.com/ochimusha01/items/4a484d5759f96abb0ab3)

* **自然指数関数**に**マクリーン級数**を適用すると、この関数が<font color=purple>Cosh(θ)</font>関数と<font color=purple>Sinh(θ)</font>関数の合成結果である事が明らかになる(<font color=blue>これ自体は誰にでも再現可能な数理</font>)。<br>![image.gif](https://qiita-user-contents.imgix.net/https%3A%2F%2Fqiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com%2F0%2F597772%2F0a9d3bb6-1636-86b7-78f8-c03fef2238a2.gif?ixlib=rb-1.2.2&auto=format&gif-q=60&q=75&w=1400&fit=max&s=5aecc9cfcf2e36909c86dee833a2ef3c)<br>![image.gif](https://qiita-user-contents.imgix.net/https%3A%2F%2Fcdn-ak.f.st-hatena.com%2Fimages%2Ffotolife%2Fo%2Fochimusha01%2F20210119%2F20210119223413.gif?ixlib=rb-1.2.2&auto=format&gif-q=60&q=75&w=1400&fit=max&s=7041be9dad29ccca9153e7686c43f854)<br>![image.gif](https://qiita-user-contents.imgix.net/https%3A%2F%2Fcdn-ak.f.st-hatena.com%2Fimages%2Ffotolife%2Fo%2Fochimusha01%2F20210119%2F20210119041651.gif?ixlib=rb-1.2.2&auto=format&gif-q=60&q=75&w=1400&fit=max&s=07a108630bf425d1802154ef16d5b9a7)
* ところで<font color=purple>Cosh(θ)</font>関数の**マクリーン級数**適用結果の符号の位置を弄ると<font color=purple>Cos(θ)</font>関数のそれと一致する(<font color=blue>発想の飛躍その1</font>)。<br>![image.gif](https://qiita-user-contents.imgix.net/https%3A%2F%2Fqiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com%2F0%2F597772%2F59579509-271e-df92-a709-b72857798597.gif?ixlib=rb-1.2.2&auto=format&gif-q=60&q=75&w=1400&fit=max&s=72716b359925547b3f13df8c5026e705)
* また<font color=purple>Sinh(θ)</font>関数の**マクリーン級数**適用結果の符号の位置を弄ると<font color=purple>Sin(θ)</font>関数のそれに複素数<font color=green>(0±i)</font>を掛けた結果と一致する(<font color=blue>発想の飛躍その2</font>)。<br>![image.gif](https://qiita-user-contents.imgix.net/https%3A%2F%2Fqiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com%2F0%2F597772%2F583def61-4422-f319-dbbe-7e66a522a8ae.gif?ixlib=rb-1.2.2&auto=format&gif-q=60&q=75&w=1400&fit=max&s=db5bdeb0d4bc6edd6dda4aca60aada4a)
* 改めて両者を合成すると<font color=purple>e^θi</font>と<font color=purple>cos(θ)+sin(θ)i</font>の2つの式が得られる(<font color=blue>ただしここに現れるSin波とSin波の周期は何故か2πではなく複素等比数列-1^x=(0±1i)^2xと同じく2なのである</font>)。<br>![image.gif](https://qiita-user-contents.imgix.net/https%3A%2F%2Fcdn-ak.f.st-hatena.com%2Fimages%2Ffotolife%2Fo%2Fochimusha01%2F20210110%2F20210110223101.gif?ixlib=rb-1.2.2&auto=format&gif-q=60&q=75&w=1400&fit=max&s=7a3a7bbacf074d7a2f63af41b005554e)

ノーベル賞を受賞した物理学者、高校生時代にこの公式と出会った時「<font color=purple>何故突然、冪算の添字に複素数が現れる？</font>(<font color=blue>それまでこの場合について一切習わないし、これ以降も誰もそれについて語らない</font>)」「<font color=purple>ここではあくまで</font><font color=green>e^xi</font><font color=purple>の定義が語られているだけであって</font><font color=green>e^x</font><font color=purple>自体が何かについて語られている訳ではない</font>」と直感したそうです。高校生にしてその発想に至る人間が科学の世界を発展させてきたという話ですね。
[【無限遠点を巡る数理】オイラーの公式と等比数列④「中学生には難しいが高校生なら気付くレベル」？](https://qiita.com/ochimusha01/items/10f0276f9850bea6c993)

それではどう考えれば良いのでしょう？
[【無限遠点を巡る数理】オイラーの公式と等比数列③Cos波とSin波の正体？](https://qiita.com/ochimusha01/items/9014922c8aeff3dd9670)

* そもそも「<font color=green>(0±1i)</font><font color=purple>を掛ける</font>」とは**ガウス平面上**において座標を**実部**中心に<font color=green>±90度</font>回転させる事を意味する。<br>![image.gif](https://cdn-ak.f.st-hatena.com/images/fotolife/o/ochimusha01/20210121/20210121175312.gif)
* 要するにこの演算により元座標は**ピタゴラスの定理**(<font color=blue>Pythagorean Theorem</font>)<font color=purple>y=±sqrt(1-x^2)</font>に従って原点からの距離を保ち同心円を描くのである(<font color=blue>-1^2=(0±1i)^2xの数理</font>)。<br>[【Rで球面幾何学】等差数列(算術数列)②数直線概念から同心円集合概念へ](https://qiita.com/ochimusha01/items/2a16c3cba3f88986c767)
<br>![image.gif](https://qiita-user-contents.imgix.net/https%3A%2F%2Fqiita-user-contents.imgix.net%2Fhttps%253A%252F%252Fcdn-ak.f.st-hatena.com%252Fimages%252Ffotolife%252Fo%252Fochimusha01%252F20201111%252F20201111061314.gif%3Fixlib%3Drb-1.2.2%26auto%3Dformat%26gif-q%3D60%26q%3D75%26w%3D1400%26fit%3Dmax%26s%3D0ec5ad367a9238d99fae4325c3a95b29?ixlib=rb-1.2.2&auto=format&gif-q=60&q=75&w=1400&fit=max&s=61fff111f1cc073c26829b0b7b27df91)
<br>![image.gif](https://qiita-user-contents.imgix.net/https%3A%2F%2Fqiita-user-contents.imgix.net%2Fhttps%253A%252F%252Fqiita-user-contents.imgix.net%252Fhttps%25253A%25252F%25252Fcdn-ak.f.st-hatena.com%25252Fimages%25252Ffotolife%25252Fo%25252Fochimusha01%25252F20201202%25252F20201202093758.gif%253Fixlib%253Drb-1.2.2%2526auto%253Dformat%2526gif-q%253D60%2526q%253D75%2526s%253D167e614307e1813ff07f89cc7e325745%3Fixlib%3Drb-1.2.2%26auto%3Dformat%26gif-q%3D60%26q%3D75%26w%3D1400%26fit%3Dmax%26s%3Deebf5744bdd7ab1d7b98a49c133d54c4?ixlib=rb-1.2.2&auto=format&gif-q=60&q=75&w=1400&fit=max&s=f72fadcf38cd71cefcc392011b9b72e3)<br>だから<font color=purple>(e^xi+e^-xi)/2</font>の演算により「**X軸上の平均を求める**」イメージで<font color=green>Cos(θ)</font>波が取り出せる。<br>![image.gif](https://camo.qiitausercontent.com/b30a38a2f7791c5aac9cccc8cdd8aac101045de1/68747470733a2f2f63646e2d616b2e662e73742d686174656e612e636f6d2f696d616765732f666f746f6c6966652f6f2f6f6368696d7573686130312f32303231303131352f32303231303131353033343632382e676966)
* そして<font color=purple>(e^xi-e^-xi)/2i</font>の演算により「**Y軸上の平均を求める**(<font color=blue>その後、回転によりX軸上の展開に変換する</font>)」イメージで<font color=green>Sin(θ)</font>波が取り出せる。<br>![image.gif](https://camo.qiitausercontent.com/00f2ceafda9f1af99822c21f601c1a17a42bd52c/68747470733a2f2f63646e2d616b2e662e73742d686174656e612e636f6d2f696d616765732f666f746f6c6966652f6f2f6f6368696d7573686130312f32303231303131352f32303231303131353033353831352e676966)
* 当時の記録にオイラーがこの二つの波形の合成で円が描ける事自体を「<font color=red>発見</font>」と書き残していないところから見て、物理学における「<font color=purple>等速円運動をX軸から観察するとCos波、Y軸から観察するとSin波が測定される</font>」現象自体の方が先だったと推察される(<font color=blue>ただしこの辺りの詳細は後世に伝わっていない</font>)。<br>[【初心者向け】物理学における「単位円筒」の概念について。](https://qiita.com/ochimusha01/items/ced1c21b4411e79cdcbe)<br>![image.gif](https://qiita-user-contents.imgix.net/https%3A%2F%2Fqiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com%2F0%2F597772%2F0e55e673-d89e-6d33-6e33-9edf6fecdbdd.gif?ixlib=rb-1.2.2&auto=format&gif-q=60&q=75&s=0b64d4f800872f21775f00382f0c3fd0)<br>![image.gif](https://qiita-user-contents.imgix.net/https%3A%2F%2Fqiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com%2F0%2F597772%2F529cc2b1-3476-4eba-1c07-a79cc8ba16d7.gif?ixlib=rb-1.2.2&auto=format&gif-q=60&q=75&s=7165cc1780ddc079fb49b790f216d7ba)</br>![image.gif](https://qiita-user-contents.imgix.net/https%3A%2F%2Fqiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com%2F0%2F597772%2Ffa66cf1a-291e-8e76-8ea7-c586efcb1e21.gif?ixlib=rb-1.2.2&auto=format&gif-q=60&q=75&s=6ff21aa937e6533a613222ca416ea63c)
* その一方で自然指数関数のこうした側面の研究が発展する形で「<font color=purple>対称的なものと交代的</font>（<font color=blue>反対称的</font>）<font color=purple>なものに分解するための恒等式</font>」<font color=green>x=(X+Y)/2+x=(X-Y)/2</font>の概念が次第に充実していったと目される(<font color=blue>ただしこの辺りの詳細もやはり後世に伝わっていない</font>)。<br>[行列・関数・多項式に共通する有名な性質](https://mathtrain.jp/sym_alt)

この様に<font color=purple>e^x</font>が幾ら**微分**しても、幾ら**積分**しても<font color=purple>e^x</font>のままである事は、**ピタゴラスの定理**(<font color=blue>Pythagorean Theorem</font>)<font color=green>z^2=sqrt(x^2+y^2)</font>の出力結果がどれも<font color=green>1</font>である事と深い関係があったのです。要するに**回転による影響を受けない**=(<font color=blue>中心からの距離だけが意味を持つ</font>)**1次元上の概念**だったからなんですね。
[【初心者向け】複素共役のアニメーション表示について。](https://qiita.com/ochimusha01/items/e0bb2789a420d3317cf1)
![image.gif](https://qiita-user-contents.imgix.net/https%3A%2F%2Fqiita-user-contents.imgix.net%2Fhttps%253A%252F%252Fcdn-ak.f.st-hatena.com%252Fimages%252Ffotolife%252Fo%252Fochimusha01%252F20201116%252F20201116230848.gif%3Fixlib%3Drb-1.2.2%26auto%3Dformat%26gif-q%3D60%26q%3D75%26w%3D1400%26fit%3Dmax%26s%3D0489492d3b778bcf1b6c8b3886af31c4?ixlib=rb-1.2.2&auto=format&gif-q=60&q=75&w=1400&fit=max&s=b1273a9440db7db91f80a947bffa0204)
![image.gif](https://qiita-user-contents.imgix.net/https%3A%2F%2Fcdn-ak.f.st-hatena.com%2Fimages%2Ffotolife%2Fo%2Fochimusha01%2F20201113%2F20201113204552.gif?ixlib=rb-1.2.2&auto=format&gif-q=60&q=75&w=1400&fit=max&s=b46be23e211ab7df85a44ed1887614b9)
![image.gif](https://qiita-user-contents.imgix.net/https%3A%2F%2Fcdn-ak.f.st-hatena.com%2Fimages%2Ffotolife%2Fo%2Fochimusha01%2F20201113%2F20201113205243.gif?ixlib=rb-1.2.2&auto=format&gif-q=60&q=75&w=1400&fit=max&s=89f7c0b4a4df01f04f8e790faa13df98)

すると残された問題は「<font color=purple>どうして</font><font color=green>e^xi</font><font color=purple>と</font><font color=green>e^-xi</font><font color=purple>の平均を求めると</font>(<font color=blue>X軸上のCos波やY軸上のSin波といった</font>)**円状分布**(<font color=blue>Circular Distribution</font>)<font color=purple>を構成する材料が得られるか</font>」だけとなります。しかし考えてみれば**自然指数関数**の正体は「<font color=green>0</font><font color=purple>を中心に</font><font color=green>-Inf</font><font color=purple>から</font><font color=green>Inf</font><font color=purple>を直線で結ぶ均等尺を</font><font color=green>1</font><font color=purple>を中心に</font><font color=green>0</font><font color=purple>から</font><font color=green>Inf</font><font color=purple>を結ぶ直線に射影して現れる対数尺</font>」な訳ですから、この演算自体に(<font color=blue>等差数列上の</font>)<font color=green>1</font>単位の**均等尺**を(<font color=blue>等比数列上の</font>)<font color=green>ネイピア数</font>単位の**対数尺**に変換する効能があり(<font color=blue>現時点の私はこの数理自体の詳細を全く知らない</font>)、<font color=green>(0±1i)</font>方向への<font color=green>π倍</font>のベクトル入力により**円形性**(<font color=blue>Circularity</font>)を取り戻すとでも考えるしかないのです(<font color=blue>それがまさに自然指数関数Cosh波とSinh(θ)波にオイラーが加えた操作だった訳だが、むしろこの操作が数理構造全体において如何なる意味を持つかが、私が知る限り未解明のまま</font>)。
![image.gif](https://cdn-ak.f.st-hatena.com/images/fotolife/o/ochimusha01/20210121/20210121202425.gif)

```R
Int01<-function(Rad){
cx00<-seq(-3,3,length=61)
f0<-function(x) 1^x
cy00<-f0(cx00)
s00<-complex(re=cx00,im=cy00)
plot(s00,type="l",xlim=c(-2,2),ylim=c(-2,2),main="exp(a=0→1)^πi",xlab="Real",ylab="Imaginal",col=rgb(0,1,0))

#-1^x=(0±1i)^2x(i^2=-1)
par(new=T)#上書き
c01<-seq(-pi,pi,length=61)
f0<-function(x) exp(Rad)^(c01*(0+1i))
s01<-f0(cx00)
plot(s01,type="l",xlim=c(-2,2),ylim=c(-2,2),main="",xlab="",ylab="",col=rgb(0,0,1))
par(new=T)#上書き
plot(s01+1,type="l",xlim=c(-2,2),ylim=c(-2,2),main="",xlab="",ylab="",col=rgb(1,0,0))
par(new=T)#上書き
plot(s01-1,type="l",xlim=c(-2,2),ylim=c(-2,2),main="",xlab="",ylab="",col=rgb(1,0,0))
par(new=T)#上書き
plot(s01+2,type="l",xlim=c(-2,2),ylim=c(-2,2),main="",xlab="",ylab="",col=rgb(0,0,1))
par(new=T)#上書き
plot(s01-2,type="l",xlim=c(-2,2),ylim=c(-2,2),main="",xlab="",ylab="",col=rgb(0,0,1))

abline(h=0,col=c(200,200,200)) 
abline(v=0,col=c(200,200,200)) 
abline(v=1,col=c(200,200,200)) 
abline(v=2,col=c(200,200,200)) 
abline(v=-1,col=c(200,200,200)) 
abline(v=-2,col=c(200,200,200)) 

even01<-paste("y=(e×",Rad,")^πi(Even)")
odd01<-paste("y=(e×",Rad,")^πi+1(Odd)")

legend("bottomleft", legend=c("y=1^x",even01,odd01), lty =c(1,1,1),col=c(rgb(0,1,0),rgb(0,0,1),rgb(1,0,0)))
}

#アニメーション動作設定
Time_Code<-seq(0,1,length=11)
#アニメーション
library("animation")
saveGIF({
for (i in Time_Code){
　Int01(i)
}
}, interval = 0.1, movie.name = "Int00.gif")
```
ところでオイラーにとってこの数理の発見は**代数方程式**（<font color="blue">Algebraic Formula</font>）と**超越方程式**(<font color="blue">Transcendental Formula</font>)の概念を統合しようという壮大な構想の一部に過ぎず、だから当人はそれほど大した内容とは考えていなかった様なのです。

[オイラーの無限解析について](https://repository.kulib.kyoto-u.ac.jp/dspace/bitstream/2433/41927/1/1257_07.pdf)

>無限小解析はオイラーの三部作の段階で関数概念が登場したが, 全体の枠組みは依然として 「**変化量とその微分**」 のままであった. オイラーを踏襲したラグランジュやコーシーの解析教程では関数概念が主役の座を占めて, 関数の微分, 関数の積分の定義が始点になった.この路線はなお伸展し, やがて変化量の概念は完全に消失し, 「**全く任意の関数**」を対象とする今日の解析教程の出現を見た. そうしてその 「**全く任意の関数**」 の概念を示唆した最初の人物もまたオイラーである. 曲線から関数へ. 変化量から関数へ無限小解析のこの二通りの変容過程の結節点に位置する人物が, 同じ一人の数学者オイラーなのであった.

現段階の私にはさっぱりですが、とにかくこれで終わりどころか、ここから始まる物語があるという事…そんな感じで以下続報。