【数理考古学】離心率①二次曲線（楕円，放物線，双曲線）の極座標表示からの出発。

* (2021年02月14日)Rによる初投稿
* (2021年04月26日)Texを導入
* (2021年07月02日)「pytonの場合」を導入

とりあえず離心率εを媒介変数とする**離心率関数**$\frac{1}{1+ε\cos(θ)}(θ=-π→π)$を動かしてみました。**極座標系**(<font color=blue>Polar Coordinates System</font>)なので**絶対値**(<font color=blue>Module</font>)=**上掲式**、**角度**(<font color=blue>Argment</font>)<font color=green>θ</font>=<font color=green>-π→π</font>の範囲の**複素数表現**(<font color=blue>Complex Expression</font>)を合成した<font color=purple>Plot</font>となります。
[二次曲線（楕円，放物線，双曲線）の極座標表示 | 高校数学の美しい物語](https://mathtrain.jp/nijikyoku)
![image.gif](https://cdn-ak.f.st-hatena.com/images/fotolife/o/ochimusha01/20210201/20210201225433.gif)

```R
Eccentricity01<-function(x){
c0<-seq(-pi,pi,length=60) 
f0<-function(x)1/(1+x*cos(c0))
s0<-complex(mod=f0(x),arg=c0)
plot(s0,type="b",asp=1,xlim=c(-10,20),ylim=c(-5,5),main="Eccentricity",xlab="Real",ylab="Imaginal",col=rgb(0,1,0))
abline(h=0,col=rgb(1,0,0))
abline(v=0,col=rgb(1,0,0))
legend("topright", legend=paste("1/(1+",x,"*cos(θ))"),lty=1,col=rgb(0,1,0))
}

library("animation")
Time_Code=seq(0,5,length=51)
saveGIF({
for (i in Time_Code){
　　Eccentricity01(i)
}
}, interval = 0.1, movie.name = "Eccentricity01.gif")
```
* **離心率**<font color=green>ε=0</font>の時に**半径1の単位円**$y=±\sqrt{1-x^2}$(楕円方程式$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-1=0$においてa=b=1の場合)<br>![image.png](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/597772/14d84623-16ed-c198-b6a4-01fd983d3a60.png)
* **離心率**<font color=green>0<ε<1</font>の時に**楕円**$y=\sqrt{b^2(1-\frac{x^2}{a^2})}$</font><br>![image.png](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/597772/7af7cba9-03a8-c8df-5f0b-9776c88be873.png)
* **離心率**<font color=green>ε=1</font>の時に**放物線**を横にした$y=\frac{1}{2}±\sqrt{x}$<br>![image.png](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/597772/1665a0b0-b3fb-21ae-7ac0-5af9a4a1307a.png)
* **離心率**<font color=green>ε>1</font>の時に**双曲線**$y=\sqrt{b^2(\frac{x^2}{a^2}-1)}$<br>![image.png](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/597772/05729ea3-1160-05d9-ac0b-d7d19ada9b43.png)
<br>![image.png](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/597772/4ad7ff12-b08f-63e7-4045-dbe16b33f188.png)

そして**離心率**εが**無限大**$\infty$に近くにつれ<font color=green>Y軸上の原点{0,0}</font>へと収束していきます。
![image.gif](https://cdn-ak.f.st-hatena.com/images/fotolife/o/ochimusha01/20210201/20210201234145.gif)

```R
Eccentricity02<-function(x){
c0<-seq(-pi,pi,length=60) 
f0<-function(x)1/(1+x*cos(c0))
s0<-complex(mod=f0(x),arg=c0)
plot(s0,type="b",asp=1,xlim=c(-3,3),ylim=c(-3,3),main="Eccentricity",xlab="Real",ylab="Imaginal",col=rgb(0,1,0))
abline(h=0,col=rgb(1,0,0))
abline(v=0,col=rgb(1,0,0))
legend("topright", legend=paste("1/(1+",x,"*cos(θ))"),lty=1,col=rgb(0,1,0))
}

library("animation")
Time_Code=seq(2,100,length=99)
saveGIF({
for (i in Time_Code){
　　Eccentricity02(i)
}
}, interval = 0.1, movie.name = "Eccentricity02.gif")
```

ところで上掲の引用サイトには**重要な指摘**が抜けてますね。
[二次曲線（楕円，放物線，双曲線）の極座標表示 | 高校数学の美しい物語](https://mathtrain.jp/nijikyoku)

>**式**<font color=purple>r=l/(1+εcosθ)</font>と**式**<font color=purple>r=−l1−εcosθ</font>は同じ曲線を表すことに注意する（<font color=blue>1におけるθ=αの点と2におけるθ=α+πの点は一致する</font>）。

要するに両者は「<font color=purple>複素共役の関係にある</font>」という事です。それも**水平方向**に展開する<font color=green>半径1の単位円</font>に対して**垂直方向**の!!
![image.gif](https://cdn-ak.f.st-hatena.com/images/fotolife/o/ochimusha01/20210202/20210202225317.gif)

```R
Eccentricity01<-function(x){
c0<-seq(-pi,pi,length=60) 
f0<-function(x)1/(1-x*cos(c0))
s0<-complex(mod=f0(x),arg=c0)
plot(s0,type="b",asp=1,xlim=c(-20,10),ylim=c(-5,5),main="Eccentricity",xlab="Real",ylab="Imaginal",col=rgb(0,1,0))
abline(h=0,col=rgb(1,0,0))
abline(v=0,col=rgb(1,0,0))
legend("topright", legend=paste("1/(1+",x,"*cos(θ))"),lty=1,col=rgb(0,1,0))
}

library("animation")
Time_Code=seq(0,5,length=51)
saveGIF({
for (i in Time_Code){
　　Eccentricity01(i)
}
}, interval = 0.1, movie.name = "Eccentricity03.gif")
```
同時表示
![image.gif](https://cdn-ak.f.st-hatena.com/images/fotolife/o/ochimusha01/20210203/20210203043407.gif)

```R
Eccentricity01<-function(x){
c0<-seq(-pi,pi,length=60) 
f0<-function(x)1/(1+x*cos(c0))
s0<-complex(mod=f0(x),arg=c0)
plot(s0,type="b",asp=1,xlim=c(-20,20),ylim=c(-5,5),main="Eccentricity",xlab="Real",ylab="Imaginal",col=rgb(0,0,1))
par(new=T) 
f0<-function(x)1/(1-x*cos(c0))
s0<-complex(mod=f0(x),arg=c0)
plot(s0,type="b",asp=1,xlim=c(-20,20),ylim=c(-5,5),main="",xlab="",ylab="",col=rgb(1,0,0))
abline(h=0,col=rgb(1,0,0))
abline(v=0,col=rgb(1,0,0))
legend("topright", legend=paste("1/(1+",x,"*cos(θ))"),lty=1,col=rgb(0,1,0))
}

library("animation")
Time_Code=seq(0,5,length=51)
saveGIF({
for (i in Time_Code){
　　Eccentricity01(i)
}
}, interval = 0.1, movie.name = "Eccentricity04.gif")
```
これはどういう事でしょう？　ヒントは二次形式の扱いにあるのかもしれません。
[2 次形式の標準化](http://www.math.s.chiba-u.ac.jp/~yasuda/Chiba/Lec/senkei23U8.pdf)

ここで得られた「(<font color=blue>水平方向の複素共役に直交する</font>)<font color=purple>垂直方向の複素共役</font>」なる概念も視野に加えてこれまでの投稿内容の整理を試みます。

* **片側無限数列**(<font color=blue>One Side Inf(inity) Sequance</font>)に由来する**同心円集合**(<font color=blue>Concentric Circle Set</font>)/**同心球面集合**(<font color=blue>Concentric Sphere Set</font>)によって構成される**極座標系**に**対数尺**(<font color=blue>範囲1→0、すなわちexp(-x)の範囲</font>)へと射影された<font color=green>原点0</font>から<font color=green>無限遠点Inf(inity)</font>までの範囲を**半径**(<font color=blue>Radius</font>)として与えると「(<font color=blue>単位円の縁が単位円の縁に重なるので</font>)<font color=purple>重力レンズ効果によって裏面まで写り込んだブラックホールの景色</font>(<font color=blue>ただし人間の視覚は裏面部分を誤差として切り捨ててしまうので、全体として球面に見える</font>)」あるいは「<font color=purple>底面を単位円とする高さ無限大の円錐</font>」が現れる。<br>[【Rで球面幾何学】等差数列(算術数列)②数直線概念から同心円集合概念へ](https://qiita.com/ochimusha01/items/2a16c3cba3f88986c767)<br>![image.gif](https://qiita-user-contents.imgix.net/https%3A%2F%2Fcdn-ak.f.st-hatena.com%2Fimages%2Ffotolife%2Fo%2Fochimusha01%2F20201111%2F20201111061314.gif?ixlib=rb-1.2.2&auto=format&gif-q=60&q=75&w=1400&fit=max&s=0ec5ad367a9238d99fae4325c3a95b29)<br>![image.gif](https://qiita-user-contents.imgix.net/https%3A%2F%2Fqiita-user-contents.imgix.net%2Fhttps%253A%252F%252Fcdn-ak.f.st-hatena.com%252Fimages%252Ffotolife%252Fo%252Fochimusha01%252F20201202%252F20201202093758.gif%3Fixlib%3Drb-1.2.2%26auto%3Dformat%26gif-q%3D60%26q%3D75%26s%3D167e614307e1813ff07f89cc7e325745?ixlib=rb-1.2.2&auto=format&gif-q=60&q=75&w=1400&fit=max&s=eebf5744bdd7ab1d7b98a49c133d54c4)<br>[【初心者向け】誤差関数(ERF)と相補誤差関数 (ERFC)。](https://qiita.com/ochimusha01/items/ee8b32e4b2cc7ce4acb0)<br>![image.gif](https://qiita-user-contents.imgix.net/https%3A%2F%2Fcdn-ak.f.st-hatena.com%2Fimages%2Ffotolife%2Fo%2Fochimusha01%2F20201113%2F20201113111114.gif?ixlib=rb-1.2.2&auto=format&gif-q=60&q=75&w=1400&fit=max&s=1be74c11a381d9d345d61b6c2be72199)


* **無限遠点**<font color=green>Inf(inity)</font>を**無限小**<font color=green>-Inf</font>と**無限大**<font color=green>Inf</font>に分割する**両側無限数列**(<font color=blue>Both Side Inf(inity) Sequance</font>)の概念を**直径**(<font color=blue>Diameter</font>)に採用した**極座標系**は**自明の場合**(<font color=blue>Trivial Case</font>)として**対蹠**(<font color=blue>Antipodes</font>)と**共役**(<font color=blue>Conjugate</font>)の概念を獲得するが、この時「<font color=purple>縦方向</font>/<font color=purple>垂直方向</font>」すなわち**実数軸**(<font color=blue>Real Axis</font>)に直交する**虚数軸**(<font color=blue>Imaginal Axis</font>)も(<font color=blue>底面の半径範囲が0から1にかけての</font>)**無限円錐**でいうところの**中央**(<font color=blue>高さ1/2</font>)、**半径**<font color=green>1</font>(<font color=blue>直径2</font>)**の単位球面**でいうところの<font color=green>Cos(π/2)</font>=<font color=green>90度</font>の箇所で<font color=green>2分割</font>される(<font color=blue>要するに線上だと2分割、平面だと2×2で4分割、立体だと2×2×2で8分割される訳である。これがオイラーのφ関数でいうところの「素数族2^n概念の導入」?</font>)。<br>[【初心者向け】複素共役のアニメーション表示について。](https://qiita.com/ochimusha01/items/e0bb2789a420d3317cf1)<br>![image.gif](https://qiita-user-contents.imgix.net/https%3A%2F%2Fqiita-user-contents.imgix.net%2Fhttps%253A%252F%252Fcdn-ak.f.st-hatena.com%252Fimages%252Ffotolife%252Fo%252Fochimusha01%252F20201116%252F20201116230848.gif%3Fixlib%3Drb-1.2.2%26auto%3Dformat%26gif-q%3D60%26q%3D75%26w%3D1400%26fit%3Dmax%26s%3D0489492d3b778bcf1b6c8b3886af31c4?ixlib=rb-1.2.2&auto=format&gif-q=60&q=75&w=1400&fit=max&s=b1273a9440db7db91f80a947bffa0204)
<br>![image.gif](https://qiita-user-contents.imgix.net/https%3A%2F%2Fcdn-ak.f.st-hatena.com%2Fimages%2Ffotolife%2Fo%2Fochimusha01%2F20201113%2F20201113204552.gif?ixlib=rb-1.2.2&auto=format&gif-q=60&q=75&w=1400&fit=max&s=b46be23e211ab7df85a44ed1887614b9)
<br>![image.gif](https://qiita-user-contents.imgix.net/https%3A%2F%2Fcdn-ak.f.st-hatena.com%2Fimages%2Ffotolife%2Fo%2Fochimusha01%2F20201113%2F20201113205243.gif?ixlib=rb-1.2.2&auto=format&gif-q=60&q=75&w=1400&fit=max&s=89f7c0b4a4df01f04f8e790faa13df98)
* ここで**実軸**(<font color=blue>Real Axis</font>)と**虚軸**(<font color=blue>Imaginal Axis</font>)の関係について改めてまとめておこう。例えば**オイラーの多面体定理**(<font color="blue">Euler's Polyhedron Theorem</font>)を満たす**正多面体**(<font color="blue">Regular Polyhedron</font>)しか実在し得ない**幾何学空間**においては**プラトン立体**(<font color="blue">Euler's Polyhedron Theorem</font>)すなわち**正四面体**(<font color="blue">Tetrahedron</font>)、**正六面体**(<font color="blue">Cube</font>)、**正八面体**(<font color="blue">Octahedron</font>)、**正十二面体**（<font color="blue">Dodecahedron</font>）、**正二十面体**(<font color="blue">Icosahedron</font>)の<font color="green">５種類</font>しか**実軸**(<font color=blue>Real Axis</font color>)上に現れ得ないが、その遷移過程の全体像をオイラーのφ関数に従って「<font color=purple>素数族2^n,3^n,2^n3^m…概念の追加</font>」という形で説明しようとすると、どうしても中間に「<font color=blue>両者を結ぶ補助線が引ける空間</font>」を想定しなければならなくなる。さらにいうならその過程では「<font color=blue>対蹠間の実軸が通ってない</font>」**奇数系**(<font color=blue>2n+1角形</font>)の**多角形**を(<font color=blue>それぞれの対蹠を始点とする</font>)**共役関係**にある一対として扱う必要が出てくる。<br>[【オイラーの多面体定理と正多面体】とある「球面幾何学」の出発点…](https://qiita.com/ochimusha01/items/5f8dbf33bac5b7227a11)<br>この考え方を一般の座標系に適用したのが「<font color=green>0-0.5</font>**次元**(<font color=blue>実軸0本</font>)」「<font color=green>1-1.5</font>**次元**(<font color=blue>実軸1本</font>)」「<font color=green>2-2.5</font>**次元**(<font color=blue>実軸2本</font>)」「<font color=green>3-3.5</font>**次元**(<font color=blue>実軸3本</font>)」なる思考様式となる。かかる「<font color=purple>補助線空間</font>」をまとめて「**虚数軸**」と呼ぶなら、その**虚数空間**自体は「<font color=purple>実軸上に表せない任意の次元数の座標の集合</font>」なので自明の場合として次元数を数えられない。要するに私の投稿の主題たる「(<font color=blue>それ自体は観測不能な観測原点0と観測原点Inf(inity)の間に観測結果集合が分布する</font>)**認識可能範囲外を跋扈する絶対他者の領域**」に半分足を突っ込んでいる事になる。<br>[【無限遠点を巡る数理】等差数列と等比数列①関数列との関係は？](https://qiita.com/ochimusha01/items/af485c53ca4ff1f07ffb)

ここで「<font color=green>1-1.5</font>**次元**(<font color=blue>実軸1本</font>)」「<font color=green>2-2.5</font>**次元**(<font color=blue>実軸2本</font>)」「<font color=green>3-3.5</font>**次元**(<font color=blue>実軸3本</font>)」を峻別するのは**オイラー標数**(<font color=blue>Eulerian Characteristic</font>)となります。
[【数理考古学】オイラー定数(Eulerian Constant)の求め方](https://qiita.com/ochimusha01/items/5c699f62b8d217137d96)

* 立体上における**オイラー標数**=<font color=green>2</font>は「**偶数系立体**(<font color=blue>Even-numbered Solid</font>)=**正多面体**(<font color=blue>Platonic solid=プラトン立体</font>)でいうと**正六面体**(<font color=blue>Cube</font>),**正八面体**(<font color=blue>Regular Octahedron</font>),**正12面体**(<font color=blue>Regular Dodecahedron</font>),**正20面体**(<font color=blue>Regular Icosahedron</font>)」における(<font color=blue>凸型正多面体の場合は単一となるその立体の</font>)外接球面上の**対蹠**(<font color=blue>Antipodes</font>)の対、「**奇数系立体**(<font color=blue>Even-numbered Solid</font>)=**正多面体**でいうと**正四面体**(<font color=blue>Regular Tetrahedron</font>)」における(<font color=blue>それぞれの対蹠を始点とし、特定の面を終点とする展開の対における</font>)**始点と終面**に該当する。**オイラーの多面体定理**の証明を通じて得られるこのイメージは、関数における(<font color=blue>逆関数を持たない</font>)**偶関数**(<font color=blue>Even Function</font>)と(<font color=blue>常に逆関数と一対で現れる</font>)**奇関数**(<font color=blue>Odd Function</font>)の関係に対応する。<br>[オイラーの多面体定理の証明](https://mathtrain.jp/euler_poly)<br>[偶関数と奇関数の意味，性質などまとめ](https://mathtrain.jp/evenoddfunction)
* 一方、 平面上における**オイラー標数**=<font color=green>1</font>と線上における**オイラー標数**=<font color=green>0</font>は**多辺形**(<font color=blue>Polylateral</font>)/**多角形**(<font color=blue>Polygon</font>）の**面数**を<font color=green>表裏2面</font>と数えるか(<font color=blue>xyz座標系が実軸と認識される世界</font>)、<font color=green>片側1面</font>と数えるか(<font color=blue>xy座標系が実軸と認識される世界</font>)輪郭線のみに着目して<font color=green>0面</font>と数えるか(<font color=blue>数直線の様にスカラー量の増減のみが実軸と認識される世界</font>)に由来し、この選択こそがまさにそれぞれ<font color=green>2.0-2,5</font>**次元**と<font color=green>3.0-3.5</font>**次元**、<font color=green>1.0-1,5</font>**次元**と<font color=green>2.0-2.5</font>**次元**の境界線となる。<br>[オイラー数と曲面](http://www.med.nihon-u.ac.jp/home/sudagawa/%E3%82%AA%E3%82%A4%E3%83%A9%E3%83%BC%E6%95%B0%E3%81%A8%E6%9B%B2%E9%9D%A2.pdf)
* ちなみに(<font color=blue>線上もしくは平面上の</font>)**多角形**において**頂点数**と**辺数**は必ず等しくなるが、**オイラーの公式**(<font color=blue>Eulerian Formula</font>)<font color=purple>e^θi</font>=<font color=purple>cos(θ)+sin(θi)</font>など(<font color=blue>1の冪根に由来する</font>)**ガウスの巡回群**を用いた計算ではこれに(<font color=blue>始点と重なる終点、あるいは終点と重なる始点となる</font>)**原点**<font color=green>1</font>を加える。例えば統計言語Rにおける(<font color=blue>円の近似たる</font>)**60角形**の表現は`c<-seq(-pi,pi,length=61),x<-cos(c),y<-sin(c)`となる。<br>[1の冪根 - Wikipedia](https://ja.wikipedia.org/wiki/1%E3%81%AE%E5%86%AA%E6%A0%B9)<br>[【無限遠点を巡る数理】オイラーの公式と等比数列③Cos波とSin波の正体？](https://qiita.com/ochimusha01/items/9014922c8aeff3dd9670)

新しい展開に合わせてこの辺りの表現もさらに厳密化していかなければいけなさそうですが、とりあえずはこうも考えられる様になった事が重要です。

* この座標系において中央の**単位円**を<font color=blue>1→±1/2</font color=green>の方向に回転させると**楕円**が現れ、丁度<font color=green>1/2</font>(<font color=blue>90度</font>)の時点でその縁が無限遠点に到達して半分が「<font color=purple>前後の周期に押し出された</font>」**放物線**が現れる。
* そしてさらに<font color=blue>±1/2→0</font>の方向に回転を続けると**漸近線**を<font color=purple>y=ax/y=-ax</font>とする双曲線が**原点**<font color=green>{0,0}</font>に向けて収束していく。

以前から「<font color=purple>無限遠点を視野に入れると円、楕円、放物線、双曲線が単一の球面座標系上で表現可能になる</font>」という話自体は伝え聞いていましたが、どうやらここでいう**球面**は(<font color=blue>半径1の単位円の中心と垂直に交わる対蹠のうち、片方が無限遠点、もう片方が0となる</font>)**リーマン球面**だった様です。
[【無限遠点を巡る数理】等差数列と等比数列②基底関数(Basis Function)概念の導入](https://qiita.com/ochimusha01/items/df8c006439794da89684)
![image.gif](https://qiita-user-contents.imgix.net/https%3A%2F%2Fcdn-ak.f.st-hatena.com%2Fimages%2Ffotolife%2Fo%2Fochimusha01%2F20210129%2F20210129205903.gif?ixlib=rb-1.2.2&auto=format&gif-q=60&q=75&w=1400&fit=max&s=91448a3ed9b197ea065cd131f338555c)
![image.gif](https://qiita-user-contents.imgix.net/https%3A%2F%2Fcdn-ak.f.st-hatena.com%2Fimages%2Ffotolife%2Fo%2Fochimusha01%2F20210129%2F20210129211754.gif?ixlib=rb-1.2.2&auto=format&gif-q=60&q=75&s=893062b04ed3e654afe86c12f9f35f58)

#pythonの場合
「**叩けよ、さらば開かん**」で、挑戦したら割とあっけなく移植に成功してしまいました。inf出まくるのに、幸いアニメーションの障害にはならず…

![image.gif](https://cdn-ak.f.st-hatena.com/images/fotolife/o/ochimusha01/20210702/20210702052223.gif)

```python
import numpy as np
import cmath as c
import matplotlib.pyplot as plt
import matplotlib.animation as animation

#figure()でグラフを表示する領域をつくり，figというオブジェクトにする．
plt.style.use('default')
fig = plt.figure()
ax = fig.add_subplot(111,aspect='equal')

#1周分の角度
θ=np.linspace(0,np.pi*2,61,endpoint = True)

#ε(離心率)
ε=np.linspace(0,5,51,endpoint = True)

#描画関数
def Eccentricity01(n): 
    plt.cla()
    fp0=[]
    for nm in range(len(θ)):
        fp0.append(c.rect(1/(1+ε[n]*np.cos(θ[nm])),θ[nm]))
    xyp=np.array(fp0)
    fm0=[]
    for nm in range(len(θ)):
        fm0.append(c.rect(1/(1-ε[n]*np.cos(θ[nm])),θ[nm]))
    xym=np.array(fm0)
    #描画
    plt.plot(xyp.real,xyp.imag,color="blue",marker="o",lw=1)
    plt.plot(xym.real,xym.imag,color="red",marker="o",lw=1)
    plt.axvline(0, 0, 1,color="black",lw=0.5)
    plt.axhline(0, 0, 1,color="black",lw=0.5)
    plt.xlim([-20,20])
    plt.ylim([-20,20])
    plt.xlabel("Real")
    plt.ylabel("Imaginal")
    plt.title("Eccentricity")
    
#Eccentricity01(10)
#plt.show()

ani = animation.FuncAnimation(fig, Eccentricity01, interval=100,frames=len(ε))
ani.save("Ecc002.gif", writer="pillow")
```
離心率0($\frac{1}{1±0*cos(θ)}$)=**半径1の単位円**$e^{iθ},e^{-iθ}$の場合
![image.png](https://cdn-ak.f.st-hatena.com/images/fotolife/o/ochimusha01/20210702/20210702053353.png)
離心率0<ε<1=**楕円**の場合
![image.png](https://cdn-ak.f.st-hatena.com/images/fotolife/o/ochimusha01/20210702/20210702061024.png)
離心率1($\frac{1}{1±1*cos(θ)}$)=**放物線**$y=\sqrt{\frac{1}{2}-x},\sqrt{\frac{1}{2}+x}$の場合

![image.png](https://cdn-ak.f.st-hatena.com/images/fotolife/o/ochimusha01/20210702/20210702055333.png)

* これを90度反時計まわりに回転させると(xとyを入れ替えると)**放物線**$y=\frac{1}{2}-x^2,x^2-\frac{1}{2}$となる。

```python
import sympy as sp
x,y = sp.symbols('x,y')

ap=sp.Eq(y,sp.sqrt(1/2-x))
am=sp.Eq(y,sp.sqrt(1/2+x))
bp=sp.solve(ap,x)
bm=sp.solve(am,x)

sp.init_printing()
display(ap) 
print(sp.latex(ap))
display(bp) 
print(sp.latex(bp))
display(am) 
print(sp.latex(am))
display(bm) 
print(sp.latex(bm))
```

```math
y = \sqrt{0.5 - x}→x=0.5 - y^{2}\\
y = \sqrt{x + 0.5}→x=y^{2} - 0.5
```
![image.png](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/597772/4dbfdafa-b4e1-6fd2-3205-66a926cffb66.png)

```python
import numpy as np
import cmath as c
import matplotlib.pyplot as plt
import matplotlib.animation as animation

#figure()でグラフを表示する領域をつくり，figというオブジェクトにする．
plt.style.use('default')
fig = plt.figure()
ax = fig.add_subplot(111,aspect='equal')

#双曲線計算
x=np.linspace(-1,1,31,endpoint = True)
y=1/2-x**2

#描画関数
def parabola01(n): 
    plt.cla()
    #描画
    plt.plot(x,y,color="blue",marker="o",lw=1,label="1/2-x^2")
    plt.plot(x,-y,color="red",marker="o",lw=1,label="x^2-1/2")
    plt.axvline(0, 0, 1,color="black",lw=0.5)
    plt.axhline(0, 0, 1,color="black",lw=0.5)
    plt.xlim([-1,1])
    plt.ylim([-1,1])
    plt.xlabel("x")
    plt.ylabel("y")
    plt.title("Parabola")
    ax.legend(loc='lower right')
    
parabola01(0)
plt.show()
```

離心率ε>1=**双曲線**の場合
![image.png](https://cdn-ak.f.st-hatena.com/images/fotolife/o/ochimusha01/20210702/20210702061221.png)
こうして**リーマン座標系**(<font color=blue>Riemann Coordinate System</font>)なる新たな概念が浮上し「<font color=purple>1次元/1.5次元が2次元/2.5次元に拡張される瞬間</font>」を捉えられそうな感触が得られた時点で、以下続報…