【無限遠点を巡る数理】等差数列と等比数列③基底関数の線形結合?


最近悩んできた問題についての画期的解決方法を得ました。
[[数学] テイラー展開や球面調和関数についてメモ](https://qiita.com/edo_m18/items/b5058581555a9823b8d6)

>数学における**級数** (<font color=blue>Series</font>) とは、ひと口に言えば数や関数など互いに足すことのできる数学的対象の列について考えられる無限項の和のことである。

要するに…

>要は「**なにかしら意味のある数字の集まりの和**」ということですね。下の「**テイラー展開**」などでも出てきますが、理解するイメージとしては「**ある集まりの和**」を「**それがなにか**」で意味付けするもの、と考えるといいかなと思います。例えば、<font color=purple>Sin</font>/<font color=purple>Cos</font>関数をいくつか集めて、別の周期的な関数にすることを「**フーリエ級数**」と言ったりする、という具合です。

私の投稿だとこの辺りで悪戦苦闘…
[【初心者向け】フーリエ解析を可視化する。](https://qiita.com/ochimusha01/items/ab4ebac4afee1d0ed287)
**三角波**（<font color=blue>Triangular Wave</font>）**の場合**(<font color=blue>実数部に現れる</font>)
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**放物線**（<font color=blue>Parabola</font>）**の場合**(<font color=blue>実数部に現れる</font>)
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**ノコギリ波**（<font color=blue>Sawtooth Wave</font>）**の場合**(<font color=blue>虚数部に現れる</font>)
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**矩形波**（<font color=blue>Square wave</font>）**の場合**(<font color=blue>虚数部に現れる</font>)
![image.gif](https://qiita-user-contents.imgix.net/https%3A%2F%2Fcdn-ak.f.st-hatena.com%2Fimages%2Ffotolife%2Fo%2Fochimusha01%2F20190830%2F20190830055703.gif?ixlib=rb-1.2.2&auto=format&gif-q=60&q=75&w=1400&fit=max&s=8051d458889cc1dc3c047cb488f875c9)
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![image.gif](https://qiita-user-contents.imgix.net/https%3A%2F%2Fcdn-ak.f.st-hatena.com%2Fimages%2Ffotolife%2Fo%2Fochimusha01%2F20190822%2F20190822173850.gif?ixlib=rb-1.2.2&auto=format&gif-q=60&q=75&w=1400&fit=max&s=37373f92bff8f386753184cc50949500)

>**テイラー展開**（<font color=blue>Taylor expansion</font>）とは、**無限回微分可能関数**<font color=purple>f</font>から、**テイラー級数**（<font color=blue>Taylor series</font>）と呼ばれる冪級数を得ることを言う。名称は数学者**ブルック・テイラー**に由来する。

私の投稿だとある意味**テーラー級数**の簡易版、すなわち原点周りの計算に特化した**マクローリン級数**を巡るこの辺りで悪戦苦闘…
[【Rで球面幾何学】オイラーの公式を導出したマクローリン級数の限界？](https://qiita.com/ochimusha01/items/4a484d5759f96abb0ab3)
①**ネイピア数**<font color=green>exp(1)</font>(<font color=blue>2.718282</font>)を**底**(<font color=blue>root</font>)とする**自然指数関数**<font color=purple>e^x</font>から出発する。この不思議な**無理数**(<font color=blue>Irrational Number</font>)は<font color=green>-Inf→0→Inf</font>の範囲の**均等尺**(<font color=blue>公差1の等差数列</font>)を<font color=purple>0→1→Inf</font>の範囲の**対数尺**(<font color=blue>公比ネイピア数の等比数列</font>)に射影すると現れる。
**自然指数関数**<font color=purple>e^x</font>**のマクローリン級数**
![image.gif](https://qiita-user-contents.imgix.net/https%3A%2F%2Fqiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com%2F0%2F597772%2F0a9d3bb6-1636-86b7-78f8-c03fef2238a2.gif?ixlib=rb-1.2.2&auto=format&gif-q=60&q=75&w=1400&fit=max&s=5aecc9cfcf2e36909c86dee833a2ef3c)
②この形から<font color=purple>e^x</font>=<font color=purple>Cosh(x)+Sin(x)</font>が導出される。
<font color=purple>Cosh(x)</font>=<font color=purple>(exp(-x)+exp(-x))/2</font>**のマクローリン級数**
![image.gif](https://qiita-user-contents.imgix.net/https%3A%2F%2Fcdn-ak.f.st-hatena.com%2Fimages%2Ffotolife%2Fo%2Fochimusha01%2F20210119%2F20210119223413.gif?ixlib=rb-1.2.2&auto=format&gif-q=60&q=75&w=1400&fit=max&s=7041be9dad29ccca9153e7686c43f854)
<font color=purple>Sinh(x)</font>=<font color=purple>(exp(-x)-exp(-x))/2</font>**のマクローリン級数**
![image.gif](https://qiita-user-contents.imgix.net/https%3A%2F%2Fcdn-ak.f.st-hatena.com%2Fimages%2Ffotolife%2Fo%2Fochimusha01%2F20210119%2F20210119041651.gif?ixlib=rb-1.2.2&auto=format&gif-q=60&q=75&w=1400&fit=max&s=07a108630bf425d1802154ef16d5b9a7)
③<font color=purple>Cosh(x)</font>のマクローリン級数の符号の位置を弄ると<font color=purple>Cos(x)</font>,<font color=purple>Sinh(x)</font>のマクローリン級数の符号の位置を弄ると<font color=purple>Sin(x)</font>となる(<font color=blue>オイラーの思い付いた天才的パラダイムシフト!!</font>)。こうして**複素数表現**(<font color=blue>Complex Expression</font>)の概念が導入されるのである。
<font color=purple>Cos(x)</font>=<font color=purple>(exp(-xi)+exp(-xi))/2</font>**のマクローリン級数**
![image.gif](https://qiita-user-contents.imgix.net/https%3A%2F%2Fqiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com%2F0%2F597772%2F59579509-271e-df92-a709-b72857798597.gif?ixlib=rb-1.2.2&auto=format&gif-q=60&q=75&w=1400&fit=max&s=72716b359925547b3f13df8c5026e705)
<font color=purple>Sin(x)</font>=<font color=purple>(exp(-xi)-exp(-xi))/2i</font>**のマクローリン級数**
![image.gif](https://qiita-user-contents.imgix.net/https%3A%2F%2Fqiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com%2F0%2F597772%2F583def61-4422-f319-dbbe-7e66a522a8ae.gif?ixlib=rb-1.2.2&auto=format&gif-q=60&q=75&w=1400&fit=max&s=db5bdeb0d4bc6edd6dda4aca60aada4a)
④そして両者を再統合した結果が著名な**オイラーの公式**<font color=purple>Cos(x)+Sin(x)i</font>となる。
![image.gif](https://qiita-user-contents.imgix.net/https%3A%2F%2Fcdn-ak.f.st-hatena.com%2Fimages%2Ffotolife%2Fo%2Fochimusha01%2F20210110%2F20210110223101.gif?ixlib=rb-1.2.2&auto=format&gif-q=60&q=75&w=1400&fit=max&s=7a3a7bbacf074d7a2f63af41b005554e)

>前述の級数の説明の通り、「**意味のある数字のあつまりの和**」が級数です。そしてテイラー級数とは、「**無限回微分可能関数から得たべき乗数の和**」ということですね。

ここから話は「**基底**」と「**基底関数**」と「**線形接続**」の関係に発展していきます。私の投稿だと以下の辺りで悪戦苦闘…
[【無限遠点を巡る数理】等差数列と等比数列①関数列との関係は？](https://qiita.com/ochimusha01/items/af485c53ca4ff1f07ffb)
[【無限遠点を巡る数理】等差数列と等比数列②基底関数概念の導入](https://qiita.com/ochimusha01/items/df8c006439794da89684)

>突然の**基底関数**の説明がなぜ入ったのかと言うとｗ
>↑のテイラー展開で得られた級数はまさにこの「**基底関数**」が関係していると思います。（<font color=blue>ここは「自分が」そういう理解している、という意味です；</font>）
>
>どういうことかというと、参考に載せた<font color=purple>Sin(x)</font>の関数に対して、べき級数で近似を行いました。
>そしてそれは、足し込む項が増えるごとに精度があがっていくものでした。
よくみると、ひとつひとつの項が関数になっていて、それの**実数倍**を足しているのが分かります。
>つまり**基底関数の線形結合**で表されている と言い換えることができます。

私が悩んでた「**ベクトルの世界と関数列の世界をどう統合するか**」なんて些事を最も簡単にすっ飛ばした!!　どうやら「**数学素人**」はこれくらい大胆で良い様です？ そしてとりあえず、この投稿について現状の私が食い切れるのはここまでの様だ？