【初心者向け】偶奇性(Evenness)概念と共役関係(Conjugated Relation)概念の連続性について。

そもそも**偶奇性**(<font color=blue>Evenness</font>)とは一体何なのでしょう？


#偶数(<font color=blue>Even</font>)と奇数(<font color=blue>Odd</font>)

**偶数**(<font color=blue>Even</font>)=<font color=green>2n</font>

```R
c0<-seq(-5,5,length=11)
c1<-c0*2
#出力結果
> c1
 [1] -10  -8  -6  -4  -2   0   2   4   6   8  10
```

**奇数**(<font color=blue>Odd</font>)=<font color=green>2n+1</font>

```R
c0<-seq(-5,5,length=11)
c1<-c0*2+1
#出力結果
> c1
 [1] -9 -7 -5 -3 -1  1  3  5  7  9 11
```
**加算**(<font color=blue>Addition</font>)

* **偶数**＋**偶数**＝**偶数**
* **偶数**＋**奇数**＝**奇数**
* **奇数**＋**奇数**＝**偶数**

**乗算**(<font color=blue>Multiply</font>)

* **奇数**×**奇数**＝**奇数**
* **奇数**×**偶数**＝**偶数**
* **偶数**×**偶数**＝**偶数**

**偶数**とは要するに「<font color=purple>素因数分解した時、要素に</font><font color=green>素数2</font><font color=purple>を含む数</font>」であり、<font color=green>素数2</font>は以下の操作によってその数の要素から生滅する訳ですね。
[【Rで九九】どうして36個の数字しか使われないのか？](https://qiita.com/ochimusha01/items/8d990f23ae96db0cd953)

* **奇数**の加算によって滅っする(<font color=blue>2n+2n+1→2m+1</font>)。
* **奇数**同士の加算によって生じる(<font color=blue>(2n+1)+(2n+1)→2m+2→2m</font>)。
* **偶数**に**奇数**を掛けても生じる(<font color=blue>(2n+1)×2n=2m+2n=2l</font>)

従って**奇数同士の掛け算**の結果は**自明の場合**(<font color=blue>Trival Case</font>)として**奇数**となるのです。

#偶関数(<font color=blue>Even Function</font>)と奇関数(<font color=blue>Odd Function</font>)
数学上の定義はこうなってます。
[偶関数と奇関数の意味，性質などまとめ](https://mathtrain.jp/evenoddfunction)

* **任意の実数**<font color=green>x</font>に対して<font color=green>f(x)=f(−x)</font>を満たす関数を**偶関数**(<font color=blue>Even Function</font>)という。なお**数値積分**<font color=green>integrate(f(x),lower=-a,upper=a)</font>の結果は<font color=green>2*integrate(f(x),upper=0,lower=a)</font>となる。
* **任意の実数**<font color=green>x</font>に対して<font color=green>f(x)=−f(−x)</font>を満たす関数を**奇関数**(<font color=green>Odd Function</font>)という。なお**数値積分**<font color=green>integrate(f(x),lower=-a,upper=a)</font>の結果は<font color=green>0</font>となる。

**加算**(<font color=blue>Addition</font>)

* **偶関数**＋**偶関数**＝**偶関数**
* **奇関数**＋**奇関数**＝**奇関数**

**乗算**(<font color=blue>Multiply</font>)

* **奇関数**×**奇関数**＝**偶関数**
* **奇関数**×**偶関数**＝**奇関数**
* **偶関数**×**偶関数**＝**偶関数**

ちなみに「<font color=purple>対称的なものと交代的</font>（<font color=blue>反対称的</font>）<font color=purple>なものに分解するための恒等式</font>」<font color=green>x=(x+y)/2+(x-y)/2</font>を用いると任意の関数を**偶関数**と**奇関数**の和に分解できます。
[行列・関数・多項式に共通する有名な性質](https://mathtrain.jp/sym_alt)
**オイラーの公式**（<font color=blue>Eulerean Formula</font>）」<font color=green>e^Θi=cos(Θ)+sin(Θ)i</font>を導出した**マクローリン級数** (<font color=blue>Maclaurin series</font>) 概念の出発点？
[【Rで球面幾何学】オイラーの公式を導出したマクローリン級数の限界？](https://qiita.com/ochimusha01/items/4a484d5759f96abb0ab3)
![image.gif](https://qiita-user-contents.imgix.net/https%3A%2F%2Fqiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com%2F0%2F597772%2F5e4451eb-9eb8-e8dd-040d-a04a87773795.gif?ixlib=rb-1.2.2&auto=format&gif-q=60&q=75&w=1400&fit=max&s=4247bcefc742a3fa31a784612eed4b72)

**偶関数**(<font color=blue>Even Function</font>)の代表例**Cosine波**(<font color=blue>Cosine Wave</font>)
![Rplot04.png](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/597772/46ec6f46-718d-78e5-3b33-4d171b2e78ea.png)

```R
#グラフ化してみる。
plot(cos,xlim=c(-pi,pi),ylim=c(-1,1),main="Cosine Wave")
abline(h=0,col=rgb(1,0,0))
abline(v=0,col=rgb(1,0,0))
```
数値積分の結果

```R
> integrate(cos,lower=-pi,upper=pi)
4.359836e-16 with absolute error < 4.5e-14 
> round(4.359836e-16,digit=8)
[1] 0
> integrate(cos,lower=0,upper=pi)
4.402787e-17 with absolute error < 2.2e-14
> round(4.402787e-17,digit=8)
[1] 0
> 0*2
[1] 0
```
**奇関数**(<font color=blue>Odd Function</font>)の代表例**Sine波**(<font color=blue>Sine Wave</font>)
![Rplot05.png](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/597772/2ddbbebb-1f09-00b1-84fc-202cc6e5deb3.png)

```R
plot(sin,xlim=c(-pi,pi),ylim=c(-1,1),main="Sine Wave")
abline(h=0,col=rgb(1,0,0))
abline(v=0,col=rgb(1,0,0))
```
数値積分の結果

```R
> integrate(sin,lower=-pi,upper=pi)
0 with absolute error < 4.4e-14
```

ちなみに**Sine波**/**Cosine波**の数値積分の別区間は以下。
[【初心者向け】半径・直径・円周長・円の面積・球の表面積・球の体積の計算上の往復](https://qiita.com/ochimusha01/items/e180451a210227bb19a5)

#偶奇性(<font color=blue>Evenness</font>)概念の起源について。
「**原始座標群**(<font color=blue>Primitive Coordinate Group</font>)=<font color=purple>距離も方角も観測不能な**極座標系**</font>(<font color=blue>Polar Coordinate System</font>)」概念から出発します。この段階ではまだ**偶奇性**(<font color=blue>Evenness</font>)概念は存在しません。
[【無限遠点を巡る数理】原始座標群なる「事象の墓場」概念の設定](https://qiita.com/ochimusha01/items/cdcac3149b245292658a)
![image.gif](https://cdn-ak.f.st-hatena.com/images/fotolife/o/ochimusha01/20201127/20201127214355.gif)

①<font color=green>Inf(inty)/Inf(inty)=1</font>の概念を追加すると、**かかる演算**(<font color=blue>Operation</font>)の敷衍結果として、これを**中点**(<font color=blue>Midpoint</font>)とする<font color=green>半分</font>の概念、およびこの操作の相似形としての<font color=green>2倍</font>の概念が同時追加されます。禁止が解除になる感覚？

<!-- html table generated in R 3.5.2 by xtable 1.8-4 package -->
<!-- Thu Nov 26 04:07:09 2020 -->
<table border=1>
<tr> <th>  </th> <th> Index </th> <th> Harf </th> <th> Base </th> <th> Double </th>  </tr>
  <tr> <td align="right"> 1 </td> <td> -Inf </td> <td> 1/(2^Inf):=0 </td> <td> 1/(2^Inf):=0 </td> <td> 1/(2^Inf):=0 </td> </tr>
  <tr> <td align="right"> 2 </td> <td> … </td> <td> … </td> <td> … </td> <td> … </td> </tr>
  <tr> <td align="right"> 3 </td> <td> -3 </td> <td> 1/(2^4)=1/16 </td> <td> 1/(2^3)=1/8 </td> <td> 1/(2^2)=1/4 </td> </tr>
  <tr> <td align="right"> 4 </td> <td> -2 </td> <td> 1/(2^3)=1/8 </td> <td> 1/(2^2)=1/4 </td> <td> 1/(2^1)=1/2 </td> </tr>
  <tr> <td align="right"> 5 </td> <td> -1 </td> <td> 1/(2^2)=1/8 </td> <td> 1/(2^1)=1/2 </td> <td> 2/2=1 </td> </tr>
  <tr> <td align="right"> 6 </td> <td> 0 </td> <td> 1/2 </td> <td> 2/2=1 </td> <td> 2^1=2 </td> </tr>
  <tr> <td align="right"> 7 </td> <td> 1 </td> <td> 2/2=1 </td> <td> 2^1=2 </td> <td> 2^2=4 </td> </tr>
  <tr> <td align="right"> 8 </td> <td> 2 </td> <td> 2^1=2 </td> <td> 2^2=4 </td> <td> 2^3=8 </td> </tr>
  <tr> <td align="right"> 9 </td> <td> 3 </td> <td> 2^2=4 </td> <td> 2^3=8 </td> <td> 2^4=16 </td> </tr>
  <tr> <td align="right"> 10 </td> <td> … </td> <td> … </td> <td> … </td> <td> … </td> </tr>
  <tr> <td align="right"> 11 </td> <td> Inf </td> <td> 2^Inf:=Inf </td> <td> 2^Inf:=Inf </td> <td> 2^Inf:=Inf </td> </tr>
   </table>

```R
library('xtable')

target_index<-c("-Inf","…","-3","-2","-1","0","1","2","3","…","Inf")

target_base<-c("1/(2^Inf):=0","…","1/(2^3)=1/8","1/(2^2)=1/4","1/(2^1)=1/2","2/2=1","2^1=2","2^2=4","2^3=8","…","2^Inf:=Inf")

target_harf<-c("1/(2^Inf):=0","…","1/(2^4)=1/16","1/(2^3)=1/8","1/(2^2)=1/8","1/2","2/2=1","2^1=2","2^2=4","…","2^Inf:=Inf")

target_double<-c("1/(2^Inf):=0","…","1/(2^2)=1/4","1/(2^1)=1/2","2/2=1","2^1=2","2^2=4","2^3=8","2^4=16","…","2^Inf:=Inf")

Regula_falsi00<-data.frame(Index=target_index,Harf=target_harf,Base=target_base,Double=target_double)
library(xtable)
print(xtable(Regula_falsi00),type = "html")
```

* すなわち<font color=green>0</font>を**加法単位元**(<font color=blue>Additive Identity</font>)とする**加法整数群**<font color=green>Zn</font>(<font color=blue>n=-Inf→0→Inf</font>)<font color=green>{-Inf,…,-3,-2,-1,0,1,2,3,…,Inf}</font>概念が使用可能になると同時に(<font color=blue>これを添字集合とする</font>)<font color=green>1を</font>**乗法単位元**(<font color=blue>Multiplicative Identity</font>)とする**群**(<font color=blue>Group</font>)<font color=green>2n</font>(<font color=blue>n=-Inf→0→Inf</font>)<font color=green>{1/Inf:=0,…,1/(2^3)=1/8,1/(2^2)=1/4,1/2,2/2=1,2,2^2=4,2^3=8,…,Inf/1:=Inf}</font>およびその**デカルト積**(<font color=blue>Cartesian product</font>)の概念もまた使用可能となるのである。
* 同時に「**周期の問題**」として**偶数系**(<font color=blue>Even System</font>)と**奇数系**(<font color=blue>Odd System</font>)の概念も**自明的な場合**(<font color=blue>Trival Case</font>)として使用可能となる。

![image.gif](https://cdn-ak.f.st-hatena.com/images/fotolife/o/ochimusha01/20201126/20201126020800.gif)

* **近代数学史**(<font color=blue>およびコンピューター開発</font>)の歴史が「<font color=purple>対数表の発表合戦</font>」に遡るのは決して偶然ではなかった？ <br>[【数理考古学】常用対数表(Table of Common Logarithms)を使った計算](https://qiita.com/ochimusha01/items/b7ce3c7d86ab39263c68)
* ただしここから「<font color=purple>ネイピア数の発見</font>→<font color=purple>自然指数/対数関数</font>(<font color=blue>Natural Exponential/Logarithmic Function</font>)<font color=purple>の発見</font>」を経て**オイラーの公式**(<font color=blue>Eulerian Formula</font>)<font color=green>e^πi=cos(θ)+sin(θ)i</font>に至る道は決して平坦ではなかったのである。<br>[【初心者向け】指数・対数関数の発見とそれ以降の発展について。](https://qiita.com/ochimusha01/items/3e28f4f06abd8cef0af1)
* そして、もししかしたら**群**(<font color=blue>Group</font>)の成立条件に**結合条件**(<font color=blue>Join Condition</font>)が入っているのって、こうやって**数列**(<font color=blue>Number Sequance</font>)を組んだり**デカルト積**(<font color=blue>Cartesian Product</font>)が求められる様にする必要があるからかもしれない。<br>[【初心者向け】群論概念の根幹](https://qiita.com/ochimusha01/items/208dc0e68db64805e4f7)

#共役関係(<font color=blue>Conjugated Relation</font>)概念の導入

**共役関係**(<font color=blue>Conjugated Relation</font>)は、この際に導入されるのがただの<font color=green>素数2</font>ではなく、**群**(<font color=blue>Group</font>)<font color=green>2n</font>(<font color=blue>n=-Inf→-3,-2,-1,0,1,2,3→Inf</font>)<font color=green>{0,…,1/8,1/4,1/2,1,2,4,8,…,Inf}</font>である事から生じるのです。
[【初心者向け】複素共役のアニメーション表示について。](https://qiita.com/ochimusha01/items/e0bb2789a420d3317cf1)
**2次元上の見え方**
![image.gif](https://qiita-user-contents.imgix.net/https%3A%2F%2Fcdn-ak.f.st-hatena.com%2Fimages%2Ffotolife%2Fo%2Fochimusha01%2F20201113%2F20201113215700.gif?ixlib=rb-1.2.2&auto=format&gif-q=60&q=75&w=1400&fit=max&s=649f73dab93e1ded6b6e6ef40ef54585)
**3次元上の見え方**
![image.gif](https://qiita-user-contents.imgix.net/https%3A%2F%2Fqiita-user-contents.imgix.net%2Fhttps%253A%252F%252Fcdn-ak.f.st-hatena.com%252Fimages%252Ffotolife%252Fo%252Fochimusha01%252F20201116%252F20201116230848.gif%3Fixlib%3Drb-1.2.2%26auto%3Dformat%26gif-q%3D60%26q%3D75%26w%3D1400%26fit%3Dmax%26s%3D0489492d3b778bcf1b6c8b3886af31c4?ixlib=rb-1.2.2&auto=format&gif-q=60&q=75&w=1400&fit=max&s=b1273a9440db7db91f80a947bffa0204)
![image.gif](https://qiita-user-contents.imgix.net/https%3A%2F%2Fcdn-ak.f.st-hatena.com%2Fimages%2Ffotolife%2Fo%2Fochimusha01%2F20201113%2F20201113204552.gif?ixlib=rb-1.2.2&auto=format&gif-q=60&q=75&w=1400&fit=max&s=b46be23e211ab7df85a44ed1887614b9)
![image.gif](https://qiita-user-contents.imgix.net/https%3A%2F%2Fcdn-ak.f.st-hatena.com%2Fimages%2Ffotolife%2Fo%2Fochimusha01%2F20201113%2F20201113205243.gif?ixlib=rb-1.2.2&auto=format&gif-q=60&q=75&w=1400&fit=max&s=89f7c0b4a4df01f04f8e790faa13df98)

この数理は当然「**既存関数では半円しか描けない**」問題とも関係してきます。
[【Rで球面幾何学】「半円しか描けなかった」世界の思い出？](https://qiita.com/ochimusha01/items/cf74b1fff650edb0a496)
![image.gif](https://qiita-user-contents.imgix.net/https%3A%2F%2Fqiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com%2F0%2F597772%2F0ba98cbe-b449-9b1d-b0f0-4a6b60e55f35.gif?ixlib=rb-1.2.2&auto=format&gif-q=60&q=75&w=1400&fit=max&s=dacd205b94963cc117e9977dda71d05d)
![image.gif](https://qiita-user-contents.imgix.net/https%3A%2F%2Fqiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com%2F0%2F597772%2Fdae51c2d-b2ce-515b-c55e-d8dec59a0760.gif?ixlib=rb-1.2.2&auto=format&gif-q=60&q=75&w=1400&fit=max&s=59f7dd6225b5486bdfc394f56e8c396b)

実は「<font color=red>半分</font>」になるだけでなく「<font color=red>倍</font>」となるケースもあります。地球上の座標を表す**経緯度法**(<font color=blue>Longitude and Latitude</font>)で**緯度**(<font color=blue>Latitude,-90度~90度</font>)が**経度**（<font color=blue>Longitude,-180度~180度</font>）の半分なのは何故でしょう？　**三次元極座標系**(<font color="blue">Polar Coordinate System</font>)において緯度に対応する**角度**<font color=green>θ</font>(<font color=blue>0~π</font>)が**経度**に対応する**角度**<font color=green>φ</font>(<font color=blue>0~2π</font>)の半分なのは何故でしょう？　全周分使うと球面上を<font color=red>２周</font>してしまうからなんですね。

![image.png](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/597772/c673690f-439b-0392-e08d-68ea34aa4206.png)

**二次元空間**(<font color=blue>円弧</font>)における**デカルト座標系**<font color=green>(x,y)</font>と**極座標系**<font color= green>(r,φ)</font>の相互変換

* **原点**<font color=green>(0,0)</font>からの**距離**<font color=green>r=sqrt(x^2+y^2)</font>
* **φ**=<font color=green>-(atan2(x,y)-pi/2)</font>
* **x**=<font color=green>r×cos(φ)</font>
* **y**=<font color=green>r×sin(φ)</font>

**三次元空間**(<font color=blue>球面</font>)における**デカルト座標系**<font color=green>(x,y,z)</font>の**極座標系**<font color=green>(r,φ,θ)</font>の相互変換

* **原点**<font color=green>(0,0,0)</font>からの**距離**<font color=green>r=sqrt(x^2+y^2+z^2)</font>
* **φ**=<font color=green>-(atan2(x,y)-pi/2)</font>
* **θ**=<font color=green>-(atan2(sqrt(x^2+y^2+z^2),z)-pi/2))</font>
* **x**=<font color=green>r×sin(θ)cos(φ)</font>
* **y**=<font color=green>r×sin(θ)sin(φ)</font>
* **z**=<font color=green>r*cos(θ)</font>

[【初心者向け】半径・直径・円周長・円の面積・球の表面積・球の体積の計算上の往復](https://qiita.com/ochimusha01/items/e180451a210227bb19a5)
[メルカトル図法 - Wikipedia](https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%A1%E3%83%AB%E3%82%AB%E3%83%88%E3%83%AB%E5%9B%B3%E6%B3%95)
![350px-Mercator-projection.png](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/597772/edf31f94-710e-959f-00e7-73e050eb7143.png)
![image.gif](https://qiita-user-contents.imgix.net/https%3A%2F%2Fcdn-ak.f.st-hatena.com%2Fimages%2Ffotolife%2Fo%2Fochimusha01%2F20201120%2F20201120185044.gif?ixlib=rb-1.2.2&auto=format&gif-q=60&q=75&w=1400&fit=max&s=8fbf7a04b5430618ed748494ba2298ae)

とりあえず、**偶奇性**(<font color=blue>Evenness</font>)概念と**共役関係**(<font color=blue>Conjugated Relation</font>)概念の連続性について示せたので以下続報…