【初心者向け】方形描画関数(Square Drawing Function)①三角関数(Trigonometric Function)との関係。

**物理学の世界**(<font color=blue>The Set of Physical Things</font>)においては、概ね「<font color=green>Sin(θ)</font>**関数**<font color=purple>と</font><font color=green>Cos(θ)</font>**関数**<font color=purple>は</font>**等速円運動**(<font color=blue>Constant Velocity Circular Motion</font>)<font color=purple>の</font><font color=green>X軸方向</font><font color=purple>からと</font><font color=green>Y軸方向</font><font color=purple>からの</font>**観測結果**(<font color=blue>Observation Results</font>)<font color=purple>から得られる</font>」なる簡潔極まりない説明があるだけです。
[【初心者向け】物理学における「単位円筒」の概念について。](https://qiita.com/ochimusha01/items/ced1c21b4411e79cdcbe)
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![image.gif](https://qiita-user-contents.imgix.net/https%3A%2F%2Fqiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com%2F0%2F597772%2F529cc2b1-3476-4eba-1c07-a79cc8ba16d7.gif?ixlib=rb-1.2.2&auto=format&gif-q=60&q=75&w=1400&fit=max&s=c987568cce30c0c5fcbf93a143914677)
![image.gif](https://qiita-user-contents.imgix.net/https%3A%2F%2Fqiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com%2F0%2F597772%2Ffa66cf1a-291e-8e76-8ea7-c586efcb1e21.gif?ixlib=rb-1.2.2&auto=format&gif-q=60&q=75&w=1400&fit=max&s=bc4cda998e16d4b05b0cf6ffd9c31528)
ここから**自明の場合**(<font color=blue>Trival Case</font>)として(<font color=blue>円描画に要する時間をZ軸に配した</font>)**単位円筒**(<font color=blue>Unit Cylinder</font>)の概念が派生してくる訳です。誰かの証明を待つまでもなく、かつまた疑問を挟む余地もない完璧な記述…
![image.gif](https://qiita-user-contents.imgix.net/https%3A%2F%2Fqiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com%2F0%2F597772%2F9f991d8e-d2ea-8437-7b09-f99742f0fc0f.gif?ixlib=rb-1.2.2&auto=format&gif-q=60&q=75&w=1400&fit=max&s=8eb2e2632f6ab7f825dab91da2538ab5)
**XY軸**(<font color=blue>円弧</font>)
![image.png](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/597772/69864d47-d247-a386-b9f9-3c4c56b58926.png)
**ZX軸**(<font color=blue>Cos波</font>)
![image.png](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/597772/e203d1c0-57b1-9735-dbe4-087630e385e0.png)
**ZY軸**(<font color=blue>Sin波</font>)
![image.png](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/597772/760954e0-b45c-3dbb-738d-227281a5921c.png)
一体誰でしょう、この**方便**を科学史上初めて思いついた偉大なる物理学者は…
[方便 - Wikipedia](https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%96%B9%E4%BE%BF)
そして**数学の世界**(<font color=blue>The Set of Mathematical Things</font>)においてはこの問題、一体どう語られているのでしょうか？　今回はあえて搦手、すなわち**方形描画関数**(<font color=blue>Square Drawing Function</font>)の世界から話を始めたいと思います。

#方形描画関数<font color=green>Cos(θ)±(1-abs(Cos(θ)))i</font>

そもそも<font color=green>Cos(θ)</font>関数の正体は**直径**{<font color=green>-1,0,1</font>}(<font color=blue>距離2</font>)における**右端**(<font color=blue>1</font>)→**中央**(<font color=blue>0</font>)→**左端**(<font color=blue>-1</font>)→**中央**(<font color=blue>0</font>)→**右端**(<font color=blue>1</font>)の往復。それぞれの区画を**等差数列風表現**(<font color=blue>Arithmetic Sequence Style Expression</font>)に分解すると1辺が<font color=green>sqrt(2)</font>の正方形が現れます。案外面倒なのが**三角関数表現**(<font color=blue>Trigonometric Function Expression</font>)に対応させる為の「<font color=red>増減の向き合わせ</font>」だったりします。

* <font color=purple>右端</font>(<font color=blue>1</font>)→<font color=purple>中央</font>(<font color=blue>0</font>)…**等差数列風表現**における定義「**初項**(<font color=blue>First Term</font>)<font color=green>0</font>,**交差**(<font color=blue>Common Defference</font>)<font color=geen>1</font>」を逆転させた場合。<br>**三角関数表現**では<font color=green>1-cos</font>(<font color=blue>0→π/2</font>)=<font color=green>sin</font>(<font color=blue>0→π/2</font>)と表される。
* <font color=purple>中央</font>(<font color=blue>0</font>)→<font color=purple>左端</font>(<font color=blue>-1</font>)…**等差数列風表現**における定義「**初項**(<font color=blue>First Term</font>)<font color=green>1</font>,**交差**(<font color=blue>Common Defference</font>)<font color=green>-1</font>」を逆転させた場合。<br>**三角関数表現**では<font color=green>1+cos</font>(<font color=blue>π/2→π</font>)=<font color=green>sin</font>(<font color=blue>π/2→π</font>)と表される。
* <font color=purple>左端</font>(<font color=blue>-1</font>)→<font color=purple>中央</font>(<font color=blue>0</font>)…**等差数列風表現**における定義「**初項**(<font color=blue>First Term</font>)<font color=green>0</font>,**交差**(<font color=blue>Common Defference</font>)<font color=green>-1</font>」に該当。<br>**三角関数表現**では<font color=green>-(1+cos(</font><font color=blue>π→3π/2</font><font color=green>))</font>=<font color=green>sin</font>(<font color=blue>π→3π/2</font>)と表される。
* <font color=purple>中央</font>(<font color=blue>0</font>)→<font color=purple>右端</font>(<font color=blue>1</font>)…**等差数列風表現**における定義「**初項**(<font color=blue>First Term</font>)<font color=green>-1</font>,**交差**(<font color=blue>Common Defference</font>)<font color=green>1</font>」に該当。<br>**三角関数表現**では<font color=green>-(1-cos(</font><font color=blue>3π/2→2π</font><font color=green>))</font>=<font color=green>sin</font>(<font color=blue>3π/2→2π</font>)と表される。
![image.gif](https://cdn-ak.f.st-hatena.com/images/fotolife/o/ochimusha01/20201103/20201103224442.gif)

```R
Cos00<-function(Radian){
c0<-seq(0,pi*2,length=61)
cx<-cos(c0)
cy=c(1-cos(c0[1:15]),1+cos(c0[16:30]),-(1+cos(c0[31:45])),-(1-cos(c0[46:61])))
plot(cx,cy,type="l",xlim=c(-1,1),asp=1,ylim=c(-1,1),main="Cos(θ)±(1±cos(θ))i",xlab="x=Cos(θ)",ylab="y=±(1±cos(θ))i")
abline(h=0,col=rgb(1,0,0))
abline(v=0,col=rgb(1,0,0))
# θ位置を書き添える 。
text(cx[Radian],cy[Radian],"θ",col=rgb(0,1,0))
segments(0,0,cx[Radian],cy[Radian],col=rgb(0,1,0))
# 凡例を書き添える 。
legend("topright", legend=c("y=Cos(θ)±(1±cos(θ))i","x=y=0","x=Cos(θ)"), lty =c(1,1,1),col=c(rgb(0,0,0),rgb(1,0,0),rgb(0,1,0)))
}

#アニメーション
library("animation")
Time_Code=seq(1,59, length=30)
saveGIF({
for (i in Time_Code){
　Cos00(i)
}
}, interval = 0.1, movie.name = "Cos05.gif")
```
この関数は<font color=green>Cos(θ)±(1-abs(Cos(θ)))i</font>の形に整理出来ます。グラフの形は全くの同一。

* <font color=purple>右端</font>(<font color=blue>1</font>)→<font color=purple>中央</font>(<font color=blue>0</font>)→<font color=purple>左端</font>(<font color=blue>-1</font>)…**三角関数**で<font color=green>1-cos</font>(<font color=blue>0→π</font>)=<font color=green>sin</font>(<font color=blue>0→π</font>)と表せる。
* <font color=purple>左端</font>(<font color=blue>-1</font>)→<font color=purple>中央</font>(<font color=blue>0</font>)→<font color=purple>右端</font>(<font color=blue>1</font>)…**三角関数**で<font color=green>-(1-cos</font>(<font color=blue>π→2π</font><font color=green>))</font>=<font color=green>sin</font>(<font color=blue>π→2π</font>)と表せる。

![image.gif](https://cdn-ak.f.st-hatena.com/images/fotolife/o/ochimusha01/20201103/20201103234034.gif)

```R
Cos01<-function(Radian){
c0<-seq(0,pi*2,length=61)
cx<-cos(c0)
cy=c((1-abs(cos(c0[1:30]))),-(1-abs(cos(c0[31:61]))))
plot(cx,cy,type="l",xlim=c(-1,1),asp=1,ylim=c(-1,1),main="Cos(θ)±(1-abs(Cos(θ)))i",xlab="x=Cos(θ)",ylab="y=±(1-abs(±Cos(θ)))i")
abline(h=0,col=rgb(1,0,0))
abline(v=0,col=rgb(1,0,0))
# θ位置を書き添える 。
text(cx[Radian],cy[Radian],"θ",col=rgb(0,1,0))
segments(0,0,cx[Radian],cy[Radian],col=rgb(0,1,0))
# 凡例を書き添える 。
legend("topright", legend=c("y=Cos(θ)±(1-abs(Cos(θ)))i","x=y=0","x=Cos(θ)"), lty =c(1,1,1),col=c(rgb(0,0,0),rgb(1,0,0),rgb(0,1,0)))
}

#アニメーション
library("animation")
Time_Code=seq(1,59, length=30)
saveGIF({
for (i in Time_Code){
　Cos01(i)
}
}, interval = 0.1, movie.name = "Cos09.gif")
```

#方形描画関数<font color=green>Sin(θ)±(1-abs(Sin(θ)))i</font>
同じく<font color=green>Sin(θ)</font>**関数**の正体は**直径**{<font color=green>-1,0,1</font>}(<font color=blue>距離2</font>)を**中央**(<font color=blue>0</font>)→**右端**(<font color=blue>1</font>)→**中央**(<font color=blue>0</font>)→**左端**(<font color=blue>-1</font>)→**中央**(<font color=blue>0</font>)の往復。それぞれの区画を**等差数列風表現**に分解すると同じく1辺が<font color=green>sqrt(2)</font>の**正方形**が現れます。<font color=green>θ</font>の回転方向が逆になるの点に注意。

* <font color=purple>中央</font>(<font color=blue>0</font>)→<font color=purple>右端</font>(<font color=blue>1</font>)…**等差数列風表現**における定義「**初項**(<font color=blue>First Term</font>)<font color=green>1</font>,**交差**(<font color=blue>Common Defference</font>)<font color=green>-1</font>」に該当。<br>**三角関数表現**では<font color=green>1-sin</font>(<font color=blue>0→π/2</font>)=<font color=green>cos</font>(<font color=blue>0→π/2</font>)と表される。
* <font color=purple>右端</font>(<font color=blue>1</font>)→<font color=purple>中央</font>(<font color=blue>0</font>)…**等差数列風表現**における定義「**初項**(<font color=blue>First Term</font>)<font color=green>1</font>,**交差**(<font color=blue>Common Defference</font>)<font color=green>-1</font>」を逆転させた場合。<br>**三角関数表現**では<font color=green>-(1-sin(</font><font color=blue>π/2→π</font><font color=green>))</font>=<font color=green>cos</font>(<font color=blue>π/2→π</font>)と表される。
* <font color=purple>中央</font>(<font color=blue>0</font>)→<font color=purple>左端</font>(<font color=blue>-1</font>)…**等差数列風表現**における定義「**初項**(<font color=blue>First Term</font>)<font color=green>-1</font>,**交差**(<font color=blue>Common Defference</font>)<font color=green>1</font>」を逆転させた場合。<br>**三角関数表現**では<font color=green>-(1+sin(</font><font color=blue>π→3π/2</font><font color=green>))</font>=<font color=green>cos</font>(<font color=blue>π→3π/2</font>)と表される。
* <font color=purple>左端</font>(<font color=blue>-1</font>)→<font color=purple>中央</font>(<font color=blue>0</font>)…**等差数列風表現**における定義「**初項**(<font color=blue>First Term</font>)<font color=green>0</font>,**交差**(<font color=blue>Common Defference</font>)<font color=green>1</font>」を逆転させた場合。<br>**三角関数表現**では<font color=green>1+sin</font>(<font color=blue>3π/2→2π</font>)=<font color=green>cos</font>(<font color=blue>3π/2→2π</font>)と表される。

![image.gif](https://cdn-ak.f.st-hatena.com/images/fotolife/o/ochimusha01/20201104/20201104011205.gif)

```R
Sin00<-function(Radian){
c0<-seq(0,pi*2,length=61)
cx<-sin(c0)
cy=c(1-sin(c0[1:15]),-(1-sin(c0[16:30])),-(1+sin(c0[31:45])),1+sin(c0[46:61]))
plot(cx,cy,type="l",xlim=c(-1,1),asp=1,ylim=c(-1,1),main="Sin(θ)±(1±sin(θ))i",xlab="x=Sin(θ)",ylab="y=±(1±sin(θ))i")
abline(h=0,col=rgb(1,0,0))
abline(v=0,col=rgb(1,0,0))
# θ位置を書き添える 。
text(cx[Radian],cy[Radian],"θ",col=rgb(0,1,0))
segments(0,0,cx[Radian],cy[Radian],col=rgb(0,1,0))
# 凡例を書き添える 。
legend("topright", legend=c("y=Sin(θ)±(1±sin(θ))i","x=y=0","x=Sin(θ)"), lty =c(1,1,1),col=c(rgb(0,0,0),rgb(1,0,0),rgb(0,1,0)))
}

#アニメーション
library("animation")
Time_Code=seq(1,59, length=30)
saveGIF({
for (i in Time_Code){
　Sin00(i)
}
}, interval = 0.1, movie.name = "Sin12.gif")
```
この関数も<font color=green>Sin(θ)±(1-abs(Sin(θ)))i</font>の形に整理出来ます。こちらもグラフの形自体は合一。

* <font color=purple>中央</font>(<font color=blue>0</font>)→<font color=purple>右端</font>(<font color=blue>1</font>)→<font color=purple>中央</font>(<font color=blue>0</font>)…**三角関数**により<font color=green>1-abs(sin(</font><font color=blue>π/2→-π/2</font><font color=green>))</font>=<font color=green>cos</font>(<font color=blue>π/2→-π/2</font>)と表せる。
* <font color=purple>中央</font>(<font color=blue>0</font>)→<font color=purple>左端</font>(<font color=blue>-1</font>)→<font color=purple>中央</font>(<font color=blue>0</font>)…**三角関数**により<font color=green>-(1-abs(</font><font color=blue>-π/2→π/2</font><font color=green>)))</font>=<font color=green>cos</font>(<font color=blue>-π/2→π/2</font>)と表せる。

![image.gif](https://cdn-ak.f.st-hatena.com/images/fotolife/o/ochimusha01/20201104/20201104021539.gif)

```R
Sin01<-function(Radian){
c0<-seq(0,pi*2,length=61)
cx<-sin(c0)
cy=c((1-abs(sin(c0[1:15]))),-(1-abs(sin(c0[16:45]))),(1-abs(sin(c0[46:61]))))
plot(cx,cy,type="l",xlim=c(-1,1),asp=1,ylim=c(-1,1),main="Sin(θ)±(1-abs(sin(θ)))i",xlab="x=Sin(θ)",ylab="y=±(1-abs(sin(θ)))i")
abline(h=0,col=rgb(1,0,0))
abline(v=0,col=rgb(1,0,0))
# θ位置を書き添える 。
text(cx[Radian],cy[Radian],"θ",col=rgb(0,1,0))
segments(0,0,cx[Radian],cy[Radian],col=rgb(0,1,0))
# 凡例を書き添える 。
legend("topright", legend=c("y=Sin(θ)±(1-abs(sin(θ)))i","x=y=0","x=Sin(θ)"), lty =c(1,1,1),col=c(rgb(0,0,0),rgb(1,0,0),rgb(0,1,0)))
}

#アニメーション
library("animation")
Time_Code=seq(1,59, length=30)
saveGIF({
for (i in Time_Code){
　Sin01(i)
}
}, interval = 0.1, movie.name = "Sin01.gif")
```
#直径<font color=green>D</font>{半径<font color=blue>-R</font>→<font color=blue>0</font>→半径<font color=blue>R</font>}上における半径<font color=green>R</font>分のズレ。

つまり

* <font color=green>Cos(θ)=±(1-abs(sin(θ))</font>
* <font color=green>Sin(θ)=±(1-abs(cos(θ))</font>

<font color=green>cos(θ)</font>と<font color=green>sin(θ)</font>の数列の位相が<font color=green>π/2Rad</font>(<font color=blue>ラジアン,90度</font>)だけズレている事が、この関数では**半径**<font color=purple>R</font>分のズレとして現れてくる訳です。

```R
c0<-seq(0,pi*2,length=61)
#cos(θ)=±(1-abs(sin(θ))
> round(sin(c0),digits=4)
[1] 0.0000 0.1045 0.2079 0.3090 0.4067 0.5000 0.5878 0.6691 0.7431 0.8090
[11] 0.8660 0.9135 0.9511 0.9781 0.9945 1.0000 0.9945 0.9781 0.9511 0.9135
[21] 0.8660 0.8090 0.7431 0.6691 0.5878 0.5000 0.4067 0.3090 0.2079 0.1045
[31] 0.0000 -0.1045 -0.2079 -0.3090 -0.4067 -0.5000 -0.5878 -0.6691 -0.7431 -0.8090
[41] -0.8660 -0.9135 -0.9511 -0.9781 -0.9945 -1.0000 -0.9945 -0.9781 -0.9511 -0.9135
[51] -0.8660 -0.8090 -0.7431 -0.6691 -0.5878 -0.5000 -0.4067 -0.3090 -0.2079 -0.1045
[61] 0.0000
> round(c((1-abs(cos(c0[1:30]))),-(1-abs(cos(c0[31:61])))),digits=4)
[1] 0.0000 0.0055 0.0219 0.0489 0.0865 0.1340 0.1910 0.2569 0.3309 0.4122
[11] 0.5000 0.5933 0.6910 0.7921 0.8955 1.0000 0.8955 0.7921 0.6910 0.5933
[21] 0.5000 0.4122 0.3309 0.2569 0.1910 0.1340 0.0865 0.0489 0.0219 0.0055
[31] 0.0000 -0.0055 -0.0219 -0.0489 -0.0865 -0.1340 -0.1910 -0.2569 -0.3309 -0.4122
[41] -0.5000 -0.5933 -0.6910 -0.7921 -0.8955 -1.0000 -0.8955 -0.7921 -0.6910 -0.5933
[51] -0.5000 -0.4122 -0.3309 -0.2569 -0.1910 -0.1340 -0.0865 -0.0489 -0.0219 -0.0055
[61] 0.0000

#Cos(θ)=±(1-abs(sin(θ))
> round(cos(c0),digits=4)
[1] 1.0000 0.9945 0.9781 0.9511 0.9135 0.8660 0.8090 0.7431 0.6691 0.5878
[11] 0.5000 0.4067 0.3090 0.2079 0.1045 0.0000 -0.1045 -0.2079 -0.3090 -0.4067
[21] -0.5000 -0.5878 -0.6691 -0.7431 -0.8090 -0.8660 -0.9135 -0.9511 -0.9781 -0.9945
[31] -1.0000 -0.9945 -0.9781 -0.9511 -0.9135 -0.8660 -0.8090 -0.7431 -0.6691 -0.5878
[41] -0.5000 -0.4067 -0.3090 -0.2079 -0.1045 0.0000 0.1045 0.2079 0.3090 0.4067
[51] 0.5000 0.5878 0.6691 0.7431 0.8090 0.8660 0.9135 0.9511 0.9781 0.9945
[61] 1.0000
> round(c((1-abs(sin(c0[1:15]))),-(1-abs(sin(c0[16:45]))),(1-abs(sin(c0[46:61])))),digits=4)
[1] 1.0000 0.8955 0.7921 0.6910 0.5933 0.5000 0.4122 0.3309 0.2569 0.1910
[11] 0.1340 0.0865 0.0489 0.0219 0.0055 0.0000 -0.0055 -0.0219 -0.0489 -0.0865
[21] -0.1340 -0.1910 -0.2569 -0.3309 -0.4122 -0.5000 -0.5933 -0.6910 -0.7921 -0.8955
[31] -1.0000 -0.8955 -0.7921 -0.6910 -0.5933 -0.5000 -0.4122 -0.3309 -0.2569 -0.1910
[41] -0.1340 -0.0865 -0.0489 -0.0219 -0.0055 0.0000 0.0055 0.0219 0.0489 0.0865
[51] 0.1340 0.1910 0.2569 0.3309 0.4122 0.5000 0.5933 0.6910 0.7921 0.8955
[61] 1.0000
```
#円筒座標系上の「<font color=purple>算盤球</font>」を経て<font color=purple>正八面体</font>(<font color=blue>Regular Octahedron</font>)へ
**関数形**を<font color=green>Cos(θ)±(1-abs(Sin(θ)))i</font>あるいは<font color=green>Sin(θ)±(1-abs(Sin(θ)))i</font>なる形に特定出来たので**円筒座標系**(<font color=blue>Cylindrical Coordinate System</font>)への射影が可能となります。誰もが予測する通り二つの円錐の底面を重ねた**算盤球**の様な図形が得られます。
![image.gif](https://cdn-ak.f.st-hatena.com/images/fotolife/o/ochimusha01/20201218/20201218073927.gif)

```R
library(rgl)
f0<-function(x){exp(x*(0+1i))}

#無限円(Infinity Circle)
radians0<-seq(0,2*pi,length=60)
Real0<-Re(f0(radians0))
Imaginal0<-Im(f0(radians0))
Rtime0<-numeric(60)

#無限球面(Infinity Sphere)
radians<-seq(0,60*pi,length=3000)
Real<-Re(f0(radians))
Imaginal<-Im(f0(radians))
Rtime<-seq(-1,1,length=3000)
#工夫
f1<-function(x){1-abs(x)}
c0<-seq(-1,1,length=3000)
c1<-f1(c0)
#> plot(c0,c1,type="l",xlim=c(-1,1),ylim=c(0,1))
Real_c<-Real*c1
Imaginal_c<-Imaginal*c1

#無限球面の描画
plot3d(Real_c,Imaginal_c,Rtime,type="l",xlim=c(-1,1),ylim=c(-1,1),zlim=c(-1,1),xlab="",ylab="",zlab="",col=c(200,200,200))

#無限円(Infinity Circle)の描画
lines3d(Real0,Imaginal0,Rtime0,col=rgb(0,1,0),lwd=2)

#観測原点**(Observation Origin)
texts3d(0,0,0,texts="OO(0,0,0)",col=rgb(0,0,0),adj=1.0)

#原蹠(PorTal)
portal_i<-0
portal_j<-0
portal_k<-1
portal_text=paste0("PT(",portal_i,",",portal_j,",",portal_k,")")

#原蹠表示
texts3d(portal_i,portal_j,portal_k,texts=portal_text,col=rgb(0,0,1),adj=1.0)

#対蹠(AntiPordal)
antipordal_i<-0
antipordal_j<-0
antipordal_k<--1
antipordal_text=paste0("AP(",antipordal_i,",",antipordal_j,",",antipordal_k,")")

#対蹠表示
texts3d(antipordal_i,antipordal_j,antipordal_k,texts=antipordal_text,col=rgb(1,0,0),adj=1.0)

#立方対角線(Cubic Diagonal)
lines3d(c(portal_i,0),c(portal_j,0),c(portal_k,0),col=rgb(0,0,1),lwd=2)
lines3d(c(0,antipordal_i),c(0,antipordal_j),c(0,antipordal_k),col=rgb(1,0,0),lwd=2)

#アニメーション
movie3d(spin3d(axis=c(0,0,1),rpm=5),duration=10,fps=25,movie="~/Desktop/soroban01")
```
もう一方向から射影すると残り1方向からの見え方も**自明の場合**として定まって**正八面体**(<font color=blue>Regular Octahedron</font>)が現れます。
[【トーラス構造と古典数学】「単位円筒」から「トーラス構造」へ](https://qiita.com/ochimusha01/items/f6406e768aa24b8aea1a)
![image.gif](https://qiita-user-contents.imgix.net/https%3A%2F%2Fcdn-ak.f.st-hatena.com%2Fimages%2Ffotolife%2Fo%2Fochimusha01%2F20201129%2F20201129055848.gif?ixlib=rb-1.2.2&auto=format&gif-q=60&q=75&w=1400&fit=max&s=e5aaab37314fac8ec7587f4842947495)

それまで<font color=purple>素数2^n族</font>のみで構成されてきた構造にいきなり<font color=purple>素数3^n族</font>が乱入してくる形で、この辺りの仕組みの解明がこれからの課題という次第。
[【オイラーの多面体定理と正多面体】とある「球面幾何学」の出発点…](https://qiita.com/ochimusha01/items/5f8dbf33bac5b7227a11)
![image.png](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/597772/dddf9879-9ca7-8e42-1d67-c7776cb48245.png)

#円筒座標系における発展
それにつけても上掲の**等差数列風表現**(<font color=blue>Arithmetic Sequence Style Expression</font>)とは聞き慣れない表現です。それもその筈。「(<font color=blue>実際の全貌がどれほどかけ離れているかに関わらず</font>)<font color=purple>象限単位で扱う分にはかろうじてある種の等差数列として扱えない事もない</font>」<font color=green>Cos(θ)</font>**関数**や<font color=green>Sin(θ)</font>**関数**の特徴を表す為にこの投稿用に拵えたこの場限りの造語に過ぎないんですから。それでは実際にどういう形でかけ離れているかというと…
![Rplot27.png](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/597772/bf6a80ec-c3d2-e147-1740-56fc1a24ed4c.png)

```R
c0<-seq(-pi,pi,length=61)
#cos(θ)+abs(cos(θ))i
plot(cos(c0),abs(cos(c0)),type="b",xlim=c(-3,3),ylim=c(-1,1),main="Cos(θ)±abs(Cos(θ))i",xlab="cos(θ)",ylab="abs(cos(θ))",col=rgb(0,0,1))
par(new=T)
plot(cos(c0)-2,abs(cos(c0)),type="b",xlim=c(-3,3),ylim=c(-1,1),main="",xlab="",ylab="",col=rgb(0,0,1))
par(new=T)
plot(cos(c0)+2,abs(cos(c0)),type="b",xlim=c(-3,3),ylim=c(-1,1),main="",xlab="",ylab="",col=rgb(0,0,1))
par(new=T)
#cos(θ)-abs(cos(θ))i
plot(cos(c0),-abs(cos(c0)),type="b",xlim=c(-3,3),ylim=c(-1,1),main="",xlab="",ylab="",col=rgb(1,0,0))
par(new=T)
plot(cos(c0)-2,-abs(cos(c0)),type="b",xlim=c(-3,3),ylim=c(-1,1),main="",xlab="",ylab="",col=rgb(1,0,0))
par(new=T)
plot(cos(c0)+2,-abs(cos(c0)),type="b",xlim=c(-3,3),ylim=c(-1,1),main="",xlab="",ylab="",col=rgb(1,0,0))
abline(v=0)
abline(h=0)
# 凡例を書き添える 。
legend("bottomleft", legend=c("Cos(θ)+abs(Cos(θ))i","Cos(θ)-abs(Cos(θ))i"), lty =c(1,1),col=c(rgb(0,0,1),rgb(1,0,0)))
```
![Rplot28.png](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/597772/d2934510-c2a9-ecf0-4683-885a1f972fc5.png)

```R
c0<-seq(-pi,pi,length=61)
#sin(θ)+abs(sin(θ))i
plot(sin(c0),abs(sin(c0)),type="b",xlim=c(-3,3),ylim=c(-1,1),main="Sin(θ)±abs(Sin(θ))i",xlab="Sin(θ)",ylab="abs(Sin(θ))",col=rgb(0,0,1))
par(new=T)
plot(sin(c0)-2,abs(sin(c0)),type="b",xlim=c(-3,3),ylim=c(-1,1),main="",xlab="",ylab="",col=rgb(0,0,1))
par(new=T)
plot(sin(c0)+2,abs(sin(c0)),type="b",xlim=c(-3,3),ylim=c(-1,1),main="",xlab="",ylab="",col=rgb(0,0,1))
par(new=T)
#sin(θ)-abs(sin(θ))i
plot(sin(c0),-abs(sin(c0)),type="b",xlim=c(-3,3),ylim=c(-1,1),main="",xlab="",ylab="",col=rgb(1,0,0))
par(new=T)
plot(sin(c0)-2,-abs(sin(c0)),type="b",xlim=c(-3,3),ylim=c(-1,1),main="",xlab="",ylab="",col=rgb(1,0,0))
par(new=T)
plot(sin(c0)+2,-abs(sin(c0)),type="b",xlim=c(-3,3),ylim=c(-1,1),main="",xlab="",ylab="",col=rgb(1,0,0))
abline(v=0)
abline(h=0)
# 凡例を書き添える 。
legend("bottomleft", legend=c("Sin(θ)+abs(Sin(θ))i","Sin(θ)-abs(Sin (θ))i"), lty =c(1,1),col=c(rgb(0,0,1),rgb(1,0,0)))
```
そう、**等比数列**で扱えるのは**ピッチ**(<font color=blue>Pitch</font>)4</font>の**添字単位**(<font color=blue>Index Unit</font>)までで、**周回単位**(<font color=blue>Cycle Unit</font>)内における**分布**(<font color=blue>Distribution</font>)自体は（<font color=blue>配置されるそれぞれの点が関数Y=XあるいはY=-Xに従うだけで</font>)全然**等比的**ではないのです(<font color=blue>だから上掲のアニメーションもよく見ると回転がぎこちない</font>)。考え方としては<font color=green>円のN回転</font>を**周回単位**に設定すると**添字単位**が「<font color=purple>1周,2周,3周…</font>」と**自然数**や**整数**の範囲に収まって**等比数列**(<font color=blue>すなわち自然数集合や整数環</font>)で数えられるのと同じです。いわゆる**桁上がり**(<font color=blue>Carry</font>)の概念ですね。
[【初心者向け】添字化(Indexing)と単位化(Unitization)](https://qiita.com/ochimusha01/items/bb287211d915481c1cd7)
[【初心者向け】N進法(N-ary)とp進数(p-adic)](https://qiita.com/ochimusha01/items/c0eed4799d21d9a01792)
![image.gif](https://qiita-user-contents.imgix.net/https%3A%2F%2Fqiita-user-contents.imgix.net%2Fhttps%253A%252F%252Fcdn-ak.f.st-hatena.com%252Fimages%252Ffotolife%252Fo%252Fochimusha01%252F20201202%252F20201202110929.gif%3Fixlib%3Drb-1.2.2%26auto%3Dformat%26gif-q%3D60%26q%3D75%26w%3D1400%26fit%3Dmax%26s%3D2707333ff7b779922e55b3d65cdd454c?ixlib=rb-1.2.2&auto=format&gif-q=60&q=75&w=1400&fit=max&s=ddabd89bda0b4aebe5548144265f242f)
その一方で<font color=green>Cos(θ)+abs(Cos(θ))i</font>**関数**と<font color=green>Sin(θ)+abs(Sin(θ))i</font>**関数**は同一座標軸状に並べてみると実は全くの同型。それを前者は<font color=green>X-Y軸</font>、後者は<font color=green>Y-Z軸</font>に配するので<font color=green>90度</font>の位相のズレが発生する訳です。そしてこうして**1次関数**(<font color=blue>Linear Function</font>)的に扱えるという事は(<font color=blue>偶関数に見える上掲の関数中においてピッチ2に対する1の補正を与えているところから見ても</font>)、この関数が元来は原点を始点に**共役座標**を**円錐状**に展開する**奇関数**(<font color=blue>Odd Function</font>)である事は明らかです。
[【初心者向け】線形関数や絶対値関数](https://qiita.com/ochimusha01/items/8b7050e65b599f9e15c2)
![image.gif](https://qiita-user-contents.imgix.net/https%3A%2F%2Fcdn-ak.f.st-hatena.com%2Fimages%2Ffotolife%2Fo%2Fochimusha01%2F20201120%2F20201120124656.gif?ixlib=rb-1.2.2&auto=format&gif-q=60&q=75&w=1400&fit=max&s=63f478803a9bfd7a0cd59d7e4d79c0a7)
![image.gif](https://qiita-user-contents.imgix.net/https%3A%2F%2Fcdn-ak.f.st-hatena.com%2Fimages%2Ffotolife%2Fo%2Fochimusha01%2F20201120%2F20201120125126.gif?ixlib=rb-1.2.2&auto=format&gif-q=60&q=75&w=1400&fit=max&s=b4c10d7a3a0a42144baa87b2651b11ae)
ここまで明らかになれば自明の場合として、以下の様な(<font color=blue>一次関数の構築する</font>)**円錐型座標系**(<font color=blue>Cone Coordinate System</font>)と(<font color=blue>三角関数が構築する</font>)**極座標系**(<font color=blue>Polor Coordinate System</font>)の関係が浮かび上がってくる訳です。イメージ的には「(<font color=blue>一対の円錐で構成される</font>)<font color=purple>円錐座標系の共役線の1本を直径とする円盤が円錐に直角に取り付けられてる感じ</font>」辺り？
![image.gif](https://cdn-ak.f.st-hatena.com/images/fotolife/o/ochimusha01/20201218/20201218180039.gif)

```R
Cos_Waltz01<-function(Radius){
#格子描画
grx=seq(-3,3,length=4)
gry01=rep(c(-1,1),2)
gry02=rep(c(1,-1),2)
plot(grx,gry01,type="l",asp=1,xlim=c(-1,1),ylim=c(-1,1),main="Cosine Waltz",xlab="x=-Cos(θ)→Sin(θ)→Cos(θ)→Sin(θ)→-Cos(θ)",ylab="Cos(θ)",col=rgb(0,0,0))
par(new=T)
plot(grx,gry02,type="l",asp=1,xlim=c(-1,1),ylim=c(-1,1),main="",xlab="",ylab="",col=rgb(0,0,0))
#円描画
c0<-seq(0,pi*2,length=61)
cy<-cos(c0)
cx00<-cos(c0-pi*Radius)
cx01<-cos(c0-pi*Radius)-2
cx02<-cos(pi*Radius-c0)+2
par(new=T)
plot(cx00,cy,type="l",asp=1,xlim=c(-1,1),ylim=c(-1,1),main="",xlab="",ylab="",col=rgb(0,1,0))
for(i in 1:61)
{
segments(0,0,cx00[i],cy[i],col=rgb(0,1,0))
}
#補助線
abline(h=0,col=rgb(1,0,0))
abline(v=0,col=rgb(1,0,0))
}
#アニメーション
library("animation")
Time_Code=seq(0, 4,length=61)
saveGIF({
for (i in Time_Code[1:60]){
　Cos_Waltz01(i)
}
}, interval = 0.1, movie.name = "Cos_Waltz04.gif")
```
![image.gif](https://cdn-ak.f.st-hatena.com/images/fotolife/o/ochimusha01/20201218/20201218063808.gif)

```R
Cos_Waltz01<-function(Radius){
#格子描画
grx=seq(-3,3,length=4)
gry01=rep(c(-1,1),2)
gry02=rep(c(1,-1),2)
plot(grx,gry01,type="l",xlim=c(-3,3),ylim=c(-1,1),main="Cosine Waltz",xlab="x=-Cos(θ)→Sin(θ)→Cos(θ)→Sin(θ)→-Cos(θ)",ylab="Cos(θ)",col=rgb(0,0,0))
par(new=T)
plot(grx,gry02,type="l",xlim=c(-3,3),ylim=c(-1,1),main="",xlab="",ylab="",col=rgb(0,0,0))
#円描画
c0<-seq(0,pi*2,length=61)
cy<-cos(c0)
cx00<-cos(c0-pi*Radius)
cx01<-cos(c0-pi*Radius)-2
cx02<-cos(pi*Radius-c0)+2
par(new=T)
plot(cx00,cy,type="l",xlim=c(-3,3),ylim=c(-1,1),main="",xlab="",ylab="",col=rgb(0,1,0))
par(new=T)
plot(cx01,cy,type="l",xlim=c(-3,3),ylim=c(-1,1),main="",xlab="",ylab="",col=rgb(1,0,0))
par(new=T)
plot(cx02,cy,type="l",xlim=c(-3,3),ylim=c(-1,1),main="",xlab="",ylab="",col=rgb(0,0,1))
for(i in 1:61)
{
segments(0,0,cx00[i],cy[i],col=rgb(0,1,0))
}
for(i in 1:61)
{
segments(-2,0,cx01[i],cy[i],col=rgb(1,0,0))
}
for(i in 1:61)
{
segments(2,0,cx02[i],cy[i],col=rgb(0,0,1))
}
#補助線
abline(h=0,col=rgb(1,0,0))
abline(v=0,col=rgb(1,0,0))
}
#アニメーション
library("animation")
Time_Code=seq(0, 4,length=61)
saveGIF({
for (i in Time_Code[1:60]){
　Cos_Waltz01(i)
}
}, interval = 0.1, movie.name = "Cos_Waltz03.gif")
```
①**相関係数概念**(<font color=blue>Orrelation Coefficient Concept</font>)においては<font color=green>-1→1</font>の範囲のみを抽出して以下の解釈を適用している。
[相関係数 - Wikipedia](https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%9B%B8%E9%96%A2%E4%BF%82%E6%95%B0)
![image.png](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/597772/4e58ff4b-388c-55e2-ba37-24945ad4f181.png)

>(x, y) の組とそれぞれの相関係数を示している。相関は非線形性および直線関係の向きを反映するが（上段）、その関係の傾きや（中段）、非直線関係の多くの面も反映しない（下段）。中央の図の傾きは0であるが、この場合はYの分散が0であるため相関係数は定義されない。

* <font color=green>-1</font>(<font color=blue>cos(θ)-cos(θ)iつまりy=-x</font>)…**負の相関**の極限
* <font color=green>0</font>(<font color=blue>cos(θ)+Sin(θ)iつまり円</font>)…無相関
* <font color=green>1</font>(<font color=blue>cos(θ)+cos(θ)iつまりy=x</font>)…**正の相関**の極限

それぞれの極座標系に原点を中心とする**正規分布**（<font color=blue>Normal Distribution</font>）データなどを配して関係を割り出そうとしているイメージ。
[【初心者向け】正規分布とは何か？](https://qiita.com/ochimusha01/items/fe73ddf6e3e8cb08fbee)
![image.gif](https://qiita-user-contents.imgix.net/https%3A%2F%2Fcdn-ak.f.st-hatena.com%2Fimages%2Ffotolife%2Fo%2Fochimusha01%2F20201209%2F20201209012802.gif?ixlib=rb-1.2.2&auto=format&gif-q=60&q=75&w=1400&fit=max&s=6041b30c2c73691a5e0a1c7593d75137)
![image.gif](https://qiita-user-contents.imgix.net/https%3A%2F%2Fcdn-ak.f.st-hatena.com%2Fimages%2Ffotolife%2Fo%2Fochimusha01%2F20201110%2F20201110010727.gif?ixlib=rb-1.2.2&auto=format&gif-q=60&q=75&w=1400&fit=max&s=90db2db66ddc81e814913c6046ffcf04)
[【初心者向け】誤差関数(ERF)と相補誤差関数 (ERFC)。](https://qiita.com/ochimusha01/items/ee8b32e4b2cc7ce4acb0)
![image.gif](https://qiita-user-contents.imgix.net/https%3A%2F%2Fcdn-ak.f.st-hatena.com%2Fimages%2Ffotolife%2Fo%2Fochimusha01%2F20201113%2F20201113111114.gif?ixlib=rb-1.2.2&auto=format&gif-q=60&q=75&w=1400&fit=max&s=1be74c11a381d9d345d61b6c2be72199)
![image.gif](https://qiita-user-contents.imgix.net/https%3A%2F%2Fcdn-ak.f.st-hatena.com%2Fimages%2Ffotolife%2Fo%2Fochimusha01%2F20201113%2F20201113141517.gif?ixlib=rb-1.2.2&auto=format&gif-q=60&q=75&w=1400&fit=max&s=77203d0da4df6ed5cd963005e7edf62b)
[【初心者向け】記述統計学と代表値](https://qiita.com/ochimusha01/items/0bdfc971a69a30f0615f)
![image.png](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/597772/00fbbc76-ce23-73db-f363-73f21cf601a8.png)
②**オイラーの公式**（<font color=blue>Eulerian Formula</font>）<font color=green>Cos(θ)+Sin(θ)i</font>の一般形<font color=green>Cos(θ)+Cos(θ-π/NoS)i</font>(<font color=blue>NoS=Number of Sides</font>)は、現段階では概ね「<font color=purple>観測原点のみの</font><font color=green>0次元段階</font><font color=purple>から出発し、</font>(<font color=blue>統計的手法のみが便りの</font>)<font color=green>1次元</font>(<font color=blue>1辺形</font>)<font color=purple>段階を経て</font>(<font color=blue>円弧/球面座標における対蹠/直径を見出して導入可能な数理が急増する</font>)<font color=green>2辺形</font><font color=purple>から</font><font color=green>6辺形</font><font color=purple>にかけて複雑な**平面的/立体的幾何展開**があり、以降は原則として**半径**<font color=green>1</font>の円弧への完全合一を果たすまで単層トーラスの</font><font color=green>小半径</font>(Minor Radius</font>)<font color=purple>の**無限小に向けての収束**が続くのみ</font>」と見えているが(<font color=blue>概ね素数2^n族と素数3^n族の振る舞いに着目した結果素数</font>)、上掲アニメーションを眺める限り、どうやらこのサイクル自体を**周期単位**(<font color=blue>Cycle Unit</font>)とする**添字単位**(<font color=blue>Index Unit</font>)の展開、すなわち**桁上がり**(<font color=blue>Carry</font>)や**桁下がり**(<font color=blue>Borrow</font>)も想定も可能な様である。これからの研究課題。
[【Rで球面幾何学】二辺形一辺形？](https://qiita.com/ochimusha01/items/ce1b6988c4274a136e89)
[【オイラーの多面体定理と正多面体】とある「球面幾何学」の出発点…](https://qiita.com/ochimusha01/items/5f8dbf33bac5b7227a11)
[【初心者向け】添字化と単位化](https://qiita.com/ochimusha01/items/bb287211d915481c1cd7)
[【初心者向け】N進法(N-ary)とp進数(p-adic)](https://qiita.com/ochimusha01/items/c0eed4799d21d9a01792)
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