H∞制御理論_理論的解説3:スペクトル分解とリカッチ方程式について

#スペクトル分解とは
制御理論におけるスペクトル分解とは，対象のシステム・伝達関数を次の形に分解することを言います

```math
G=\tilde{M}RM

```
$M$はスペクトル因子と呼ばれる，新しく作れるシステムです．
$R$は定数行列
$\tilde{M}$は$M$の共役システムです．


```math
\tilde{M}=
\left(
    \begin{array}{c|c}
      -A^*&-C^*\\ \hline
      B^*&D^*\\
    \end{array}
  \right)\\
```
のように定義します．

$H_2$,$H_{\infty}$制御理論において，使用される原理になります．

#定理

```math
\Phi(s) = 
\left(
    \begin{array}{ccc}
      B^*(-sI-A^*)^{-1}&I\\
    \end{array}
  \right)

\left(
    \begin{array}{ccc}
      P&S\\
S^*&R\\
    \end{array}
  \right)

\left(
    \begin{array}{ccc}
      (sI-A)^{-1}B\\
       I\\
    \end{array}
  \right)\\
```
という，システムを新しく定義する．

```math
P=P^*,P>=0 or P<=0
\\
R=R^*>0\\
Aはjw上に固有値を持たない（純虚数を固有値に持たない）
```
とする．

この時，次の3つは同値である

a. すべての$0<=w <= \infty $で$\Phi(jw)>0$
b. 次のリカッチ方程式に一意安定解が存在する．

```math
(A+BR^{-1}S^*)^*X+X(A+BR^{-1}S^*)-XBR^{-1}B^*X+P-SR^{-1}S^* = 0

```

c. (b)のリカッチ方程式に対応する，ハミルトン行列$H$が安定性質・補充性質を持つ

```math
H=
\left(
    \begin{array}{ccc}
      A+BR^{-1}S^*&-BR^{-1}B^*\\
-(P-SR^{-1}S^*)&-( A+BR^{-1}S^*)^*\\
    \end{array}
  \right)\\
```

証明の前になぜこんな複雑な式を持ち出したかというと，

```math
\begin{align}
\Phi(s) &=&
\left(
    \begin{array}{ccc}
      B^*(-sI-A^*)^{-1}&I\\
    \end{array}
  \right)

\left(
    \begin{array}{ccc}
      P&S\\
S^*&R\\
    \end{array}
  \right)

\left(
    \begin{array}{ccc}
      (sI-A)^{-1}B\\
       I\\
    \end{array}
  \right)\\

&=& \tilde{M}RM\\
\end{align}
```
のようにスペクトル分解の原型になっているからです．

###証明
飛ばして，$\Phi(s)$からスペクトル分解の式を求めるのを見てもいいかもです．

(a)<->(c)

```math
\Phi(s) 
= R+S^*(sI-A)^{-1}B\\
 -B^*(sI-(-A^*))^{-1}S\\
-B^*(sI-(-A)^*)^{-1}P(sI-A)^{-1}B
```
よって，

```math
S^*(sI-A)^{-1}B=
\left(
    \begin{array}{c|c}
      A&B\\ \hline
     S^*&0\\
    \end{array}
  \right)\\
```

```math
-B^*(sI-(-A^*))^{-1}S=
\left(
    \begin{array}{c|c}
      -A^*&S\\ \hline
     -B^*&0\\
    \end{array}
  \right)\\
```

```math
-B^*(sI-(-A)^*)^{-1}P(sI-A)^{-1}B=
\left(
    \begin{array}{cc|c}
-A^*&P&0\\
      0&A&B\\ \hline
     -B^*&0&0\\
    \end{array}
  \right)\\
```
3つのシステムの和になる．
同じ部分のシステムはまとめていくと

```math
\Phi(s) 
= \left(
    \begin{array}{cc|c}
-A^*&P&S\\
      0&A&B\\ \hline
     -B^*&S^*&R\\
    \end{array}
  \right)\\
```
となる．
ここで，

```math
\left(
    \begin{array}{ccc}
-A^*&P\\
      0&A\\
    \end{array}
  \right)
-
\left(
    \begin{array}{ccc}
S\\
 B\\
    \end{array}
  \right)
R^{-1}
\left(
    \begin{array}{ccc}
-B^*&S^*\\
    \end{array}
  \right)\\
=
\left(
    \begin{array}{ccc}
-A^*+SR^{-1}B^*&P-SR^{-1}S^*\\
      -BR^{-1}B^*&A-BR^{-1}S^*\\
    \end{array}
  \right)
```
これは，$H$の相似行列行列なので

```math
J=
\left(
    \begin{array}{ccc}
      0&I\\
-I&0\\
    \end{array}
  \right)\\
```
で$J(これ)J^{-1} =H$を満たすということ

---------------------
逆システムについて

```math
G=\left(
    \begin{array}{c|c}
      A&B\\ \hline
     C&D\\
    \end{array}
  \right)\\
```
とすると

```math
G^{-1} = \left(
    \begin{array}{c|c}
      A-BD^{-1}C&-BD^{-1}\\ \hline
     D^{-1}C&D^{-1}\\
    \end{array}
  \right)\\
```
直達項が，正方可逆でないと存在しない

---------------------


$\Phi^{-1}(s)$を計算すると

```math
\Phi(s) 
= \left(
    \begin{array}{cc|c}
-A^*&P&S\\
      0&A&B\\ \hline
     -B^*&S^*&R\\
    \end{array}
  \right)\\
```
より

```math
\Phi(s)^{-1} 
= \left(
    \begin{array}{cc|c}
-A^*+SR^{-1}B^*&P-SR^{-1}S^*&-SR^{-1}\\
      -BR^{-1}B^*&A-BR^{-1}S^*&-BR^{-1}\\ \hline
-R^{-1}B^*&R^{-1}S^*&R^{-1}\\
    \end{array}
  \right)
```
さらに，

```math
T=
\left(
    \begin{array}{ccc}
      0&I\\
-I&0\\
    \end{array}
  \right)\\
```
で座標変換すると

```math
\left(
    \begin{array}{c|c}
      A &B\\ \hline
      C&D\\
    \end{array}
  \right)
\\

= 
\left(
    \begin{array}{c|c}
      T^{-1}AT &T^{-1}B\\ \hline
      CT&D\\
    \end{array}
  \right)
\\
```
より

```math
\Phi(s)^{-1} 
= \left(
    \begin{array}{cc|c}
H& &BR^{-1}\\
   & &-SR^{-1}\\ \hline
-R^{-1}S^*&-R^{-1}B^*&R^{-1}\\
    \end{array}
  \right)
```
よって，Hが$\Phi^{-1}(s)$のA行列になっている！


Hがjw軸上に極を持つとすると，$\Phi^{-1}(s)$はjw上に極を持つ，よって，$\Phi(s)$は$jw$軸上に零点を持つ.つまり，ある$w_0$で$\Phi(jw_0)=0$を成立する．
逆に，Hがjwの極を持たなければ，$\Phi(jw) \neq 0$　となる．
一方，$\Phi(j \infty )=R >0$が成立する．$\Phi(jw)$は連続関数であるので，
0を絶対通れない＋最終的には正にいる　ー＞　ずっと正にいる

よって，$\Phi(jw) $は0以下にはならないといえる．


(b)<->(c)
ハミルトン行列の性質
https://qiita.com/hiRina/items/c9fffa240648ace1d717

(b)->(a)
リカッチ方程式の解Xが存在するとする

```math
F=-R^{-1}(S^*+B^*X)\\
M=
\left(
    \begin{array}{c|c}
      A&B\\ \hline
      -F&I\\
    \end{array}
  \right)\\
```
とおくと，

```math
\tilde{M}RM
=
(-F(sI-A)^{-1}B+I)^*R(-F(sI-A)^{-1}B+I)\\
=(-B^*(-sI-A^*)^{-1}F^*+I)R(-F(sI-A)^{-1}B+I)\\
=-B^*(-sI-A^*)^{-1}F^*R-RF(sI-A)^{-1}B+B^*(-sI-A^*)^{-1}F^*RF(sI-A)^{-1}B +R\\
=B^*(-sI-A^*)^{-1}(XB+S)+(S^*+B^*X)(sI-A)^{-1}B+B^*(-sI-A^*)^{-1}(S+XB)R^{-1}(S^*+B^*X)(sI-A)^{-1}B +R\\
= \Phi(s)+ B^*(-sI-A^*)^{-1}XB +B^*X(sI-A)^{-1}B + B^*(-sI-A^*)^{-1}\{(S+XB)R^{-1}(S^*+B^*X) - P \}(sI-A)^{-1}B\\
= \Phi(s)+B^*(-sI-A^*)^{-1}\{X(sI-A) + (-sI-A^*)X +    (S+XB)R^{-1}(S^*+B^*X) - P \}(sI-A)^{-1}B\\
= \Phi(s)(リカッチ方程式が成立するため，第二項のカッコ内が0になる)\\
```
ここで，M(s)は仮定の「Aはjw上に固有値を持たない（純虚数を固有値に持たない）」より，ノルムは0にならない．
よって，

```math
\Phi(s) >0
```
となる．

#Φ(s)より，スペクトル分解を求める

```math
\left(
    \begin{array}{ccc}
      P&S\\
S^*&R\\
    \end{array}
  \right)\\
=T^* RT
```
と書けます(エルミート性より対角化可能＋Rの正定条件より逆行列が存在する)．

```math
M=T
\left(
    \begin{array}{ccc}
      (sI-A)^{-1}B\\
       I\\
    \end{array}
  \right)\\
=\left(
    \begin{array}{c|c}
      A&B\\ \hline
T&T\\
    \end{array}
  \right)\\
```
とすると，

```math
\tilde{M} = 
\{ T
\left(
    \begin{array}{ccc}
      (sI-A)^{-1}B\\
       I\\
    \end{array}
  \right) \}^* \\
=
\left(
    \begin{array}{ccc}
      B^*(-sI-A^*)^{-1}& I\\
    \end{array}
  \right)
T^* 
```
といえます．よって，

```math
\begin{align}
\Phi(s) &=&
\left(
    \begin{array}{ccc}
      B^*(-sI-A^*)^{-1}&I\\
    \end{array}
  \right)

\left(
    \begin{array}{ccc}
      P&S\\
S^*&R\\
    \end{array}
  \right)

\left(
    \begin{array}{ccc}
      (sI-A)^{-1}B\\
       I\\
    \end{array}
  \right)\\

&=& \tilde{M}RM\\
\end{align}
```
とスペクトル分解ができたことになります．

#スペクトル分解の条件

$\Phi(jw)>=0$であれば可能．

#スペクトル分解の特例1
```math
F=-R^{-1}(S^*+B^*X)\\
M=
\left(
    \begin{array}{c|c}
      A&B\\ \hline
      -F&I\\
    \end{array}
  \right)\\
```
先ほどの証明で出てきましたので，省略，$\Phi(s) =  \tilde{M}RM$が成立する

#スペクトル分解の特例2

```math
G(s)=\left(
    \begin{array}{c|c}
      A&B\\ \hline
      C&D\\
    \end{array}
  \right)\\

\gamma > \| G \|_{\infty}
```
とすると

```math
\tilde{M}M = \gamma ^2 I -\tilde{G}G
``` 
となる，Mが存在し，

```math
M=\left(
    \begin{array}{c|c}
      A&B\\ \hline
      -R^{1/2}F&R^{1/2}\\
    \end{array}
  \right)\\
R=\gamma ^2 I -D^*D\\
F=R^{-1}(B^*X+D^*C)\\
S=-C^*D\\
P=-C^*C\\
X=Ric(
\left(
    \begin{array}{ccc}
      A+BR^{-1}S^*&-BR^{-1}B^*\\
-(P-SR^{-1}S^*)&-( A+BR^{-1}S^*)^*\\
    \end{array}
  \right)
)\\
```
となる．

###証明
$\tilde{M}M = \Phi(s)$となる．なぜなら

```math
M=\left(
    \begin{array}{c|c}
      A&B\\ \hline
      -R^{1/2}F&R^{1/2}\\
    \end{array}
  \right)\\
```
としたが，特例1で

```math
F=-R^{-1}(S^*+B^*X)\\
M=
\left(
    \begin{array}{c|c}
      A&B\\ \hline
      -F&I\\
    \end{array}
  \right)\\
```
とすると$\Phi(s) =  \tilde{M}RM$が成立する．$R=R^{1/2*}R^{1/2}$と分解できるので，

```math
\Phi(s) =  (R^{1/2}\tilde{M})(R^{1/2}M)
```
とでき

```math
R^{1/2}M=
\left(
    \begin{array}{c|c}
      A&B\\ \hline
      -R^{1/2}F&R^{1/2}\\
    \end{array}
  \right)\\
```
となり，今回の$M$と一致する．

さらに，

```math
R=\gamma ^2 I -D^*D\\
S=-C^*D\\
P=-C^*C
```
を$\Phi(s)$の式に代入すると

```math
\Phi(s) = 
\left(
    \begin{array}{ccc}
      B^*(-sI-A^*)^{-1}&I\\
    \end{array}
  \right)

\left(
    \begin{array}{ccc}
      -C^*C&-C^*D\\
-D^*C&\gamma ^2 I -D^*D\\
    \end{array}
  \right)

\left(
    \begin{array}{ccc}
      (sI-A)^{-1}B\\
       I\\
    \end{array}
  \right)\\
=\left(
    \begin{array}{ccc}
      B^*(-sI-A^*)^{-1}&I\\
    \end{array}
  \right)
\{

\left(
    \begin{array}{ccc}
      0&0\\
0&\gamma ^2 I \\
    \end{array}
  \right)
-
\left(
    \begin{array}{ccc}
      C\\
D\\
    \end{array}
  \right)^*

\left(
    \begin{array}{ccc}
      C\\
D\\
    \end{array}
  \right)


\}
\left(
    \begin{array}{ccc}
      (sI-A)^{-1}B\\
       I\\
    \end{array}
  \right)\\
=\gamma ^2 I - \tilde{G}G > 0
```

よって

```math
\tilde{M}M = \gamma ^2 I -\tilde{G}G
```
が成立する，Mの存在が示された．

#スペクトル分解の特例3

```math
G(s)=\left(
    \begin{array}{c|c}
      A&B\\ \hline
      C&D\\
    \end{array}
  \right)\\
```
に対し，
次の，ハミルトン行列

```math
X= Ric(
\left(
    \begin{array}{ccc}
      A+BR^{-1}S^*&-BR^{-1}B^*\\
-(P-SR^{-1}S^*)&-( A+BR^{-1}S^*)^*\\
    \end{array}
  \right)

)\\
S=D^*C\\
R=D^*D\\
P=C^*C\\
```

の一意安定解が存在し，

```math
\left(
    \begin{array}{ccc}
      A-jw&B\\ 
      C&D\\
    \end{array}
  \right)\\
```
が列フルランクを持つとき(不変零点が虚軸上に存在しない)

```math
\tilde{W}W = \tilde{G}G
```
となる，システムWが存在する．この時

```math
W=
\left(
    \begin{array}{c|c}
      A&B\\ \hline
      R^{-1/2}(D^*C+B^*X)&R^{1/2}\\
    \end{array}
  \right)\\
```
となる．

###証明　
先ほどとほぼ同じ

```math
\tilde{W}W =\Phi(s)
```
となり，

```math
\Phi(s) = 
\left(
    \begin{array}{ccc}
      B^*(-sI-A^*)^{-1}&I\\
    \end{array}
  \right)

\left(
    \begin{array}{ccc}
      C^*C&-CD^*\\
-DC^*& D^*D\\
    \end{array}
  \right)

\left(
    \begin{array}{ccc}
      (sI-A)^{-1}B\\
       I\\
    \end{array}
  \right)\\
=\left(
    \begin{array}{ccc}
      B^*(-sI-A^*)^{-1}&I\\
    \end{array}
  \right)
\{

\left(
    \begin{array}{ccc}
      C\\
D\\
    \end{array}
  \right)^*

\left(
    \begin{array}{ccc}
      C\\
D\\
    \end{array}
  \right)


\}
\left(
    \begin{array}{ccc}
      (sI-A)^{-1}B\\
       I\\
    \end{array}
  \right)\\
= \tilde{G}G
```
となる．




#Gのインフィニティゲイン＜ガンマ　条件　の変形
スペクトル分解の特例2は
H∞ノルムの上限値と，ハミルトン行列の可解性の対応を関係づけている．

つまり，

```math
\gamma > \| G \|_{\infty}
```
であると事と


```math
R=\gamma ^2 I -D^*D\\
F=R^{-1}(B^*X+D^*C)\\
S=-C^*D\\
P=-C^*C\\
```
としたときのハミルトン行列H

```math
H=
\left(
    \begin{array}{ccc}
      A+BR^{-1}S^*&-BR^{-1}B^*\\
-(P-SR^{-1}S^*)&-( A+BR^{-1}S^*)^*\\
    \end{array}
  \right)

```
が$H \in dom(Ric)$であることがf

同値であると考えられる．

-----------------------
この条件をリカッチ方程式の形に変換する

```math
\hat{G}=
\left(
    \begin{array}{c|cc}
      A&B& \epsilon I\\ \hline
      C&D&0\\
\epsilon I &0&0\\
  \end{array}
  \right)\\
```
とおく．この時，十分小さい$\epsilon$が存在し$\gamma > \| \hat{G} \|_{\infty}$が成立する．
なぜなら，$\epsilon=0$では，

```math
\tilde{\hat{G}}\hat{G} = 
\left(
    \begin{array}{ccc}
      B^*\\
       0\\
    \end{array}
  \right)
(-sI-A^*)^{-1}
\left(
    \begin{array}{ccc}
     C^*&0\\
    \end{array}
  \right)
\left(
    \begin{array}{ccc}
      C\\
0\\
    \end{array}
  \right)
(sI-A)^{-1}
\left(
    \begin{array}{ccc}
      B&0\\
    \end{array}
  \right)\\
=
\left(
    \begin{array}{ccc}
     \tilde{G}{G}&0\\
0&0\\
\end{array}
  \right)\\
```

よって，$\|G \|_{\infty} =\| \hat{G} \|_{\infty} $となる．

ここで，εが0から少し動いた場合$C^*C -> C^*C+\epsilon^2I$,わずかに，行列ノルムが増加・・・
なんかわからんが，

```math
\| \hat{G} \|_{\infty} < \gamma
```
が，十分小さいεを用いれば成立するらしい．不等号で等号がないから，十分小さければ成立ぐらいの認識でいいか・・・
$\hat{G}<\gamma$に対するリカッチ方程式を立てると

```math
X(A+BR^{-1}D^*C)+(A+BR^{-1}D^*C)^*X+XBR^{-1}B^*X+C^*(I+DR^{-1}D^*)C+\epsilon^2/\gamma^2 XX+\epsilon^2I = 0\\
\therefore
X(A+BR^{-1}D^*C)+(A+BR^{-1}D^*C)^*X+XBR^{-1}B^*X+C^*(I+DR^{-1}D^*)C=-\epsilon^2/\gamma^2 XX-\epsilon^2I <0\\
\therefore
X(A+BR^{-1}D^*C)+(A+BR^{-1}D^*C)^*X+XBR^{-1}B^*X+C^*(I+DR^{-1}D^*)C < 0\\
```
を成立させる安定解Xが存在することが同値条件になる．






#有界実補題

```math
\gamma > \| G \|_{\infty}
```
であると事と

次を満たす$X>0$が存在すること　が等価

```math
\left(
    \begin{array}{ccc}
      XA+A^*X&XB&C^*\\
   B^*X&-\gamma I&D^*\\
C&D&-\gamma I\\
    \end{array}
  \right)
<0
```

###シュアーの補題の証明

schurの補題を使う
参考：
https://www.jstage.jst.go.jp/article/sicejl1962/35/12/35_12_971/_pdf

```math
\left(
    \begin{array}{ccc}
     P&S\\
S^*&Q\\
    \end{array}
  \right)
>0\\
\Leftrightarrow 
Q>0 \\
and\\
P-SQ^{-1}S^* >0\\
```
不等号の方向は逆も可です．

###シュアーの補題

```math
\left(
    \begin{array}{ccc}
     I&-SQ^{-1}\\
0&I\\
    \end{array}
  \right)

\left(
    \begin{array}{ccc}
     P&S\\
S^*&Q\\
    \end{array}
  \right)

\left(
    \begin{array}{ccc}
     I&0\\
-QS^*&I\\
    \end{array}
  \right)
=
\left(
    \begin{array}{ccc}
     P-SQ^{-1}S^*&0\\
0&Q\\
    \end{array}
  \right)
```
また，

```math
\left(
    \begin{array}{ccc}
     I&0\\
-QS^*&I\\
    \end{array}
  \right)
```
は非正則のため，

```math
\left(
    \begin{array}{ccc}
     P&S\\
S^*&Q\\
    \end{array}
  \right)
>0\\
```
ならば，

```math
\left(
    \begin{array}{ccc}
     P-SQ^{-1}S^*&0\\
0&Q\\
    \end{array}
  \right)
>0
```
といえるため，

```math
Q>0 \\
and\\
 P-SQ^{-1}S^*>0\\
```
が示された

#証明

```math
\left(
    \begin{array}{ccc}
      XA+A^*X&XB&C^*\\
   B^*X&-\gamma I&D^*\\
C&D&-\gamma I\\
    \end{array}
  \right)
<0
```
をシュアーの補題を2回使うことで，同値条件を導出します．

```math
-\gamma I <0\\
and\\
\left(
    \begin{array}{ccc}
      XA+A^*X+\frac{1}{\gamma}C^*C & XB + \frac{1}{\gamma}C^*D\\
      B^*X+ \frac{1}{\gamma} D^*C &-\gamma I + \frac{1}{\gamma} D^*D\\
    \end{array}
  \right)
<0
```

さらに，

```math
\left(
    \begin{array}{ccc}
      XA+A^*X+\frac{1}{\gamma}C^*C & XB + \frac{1}{\gamma}C^*D\\
      B^*X+ \frac{1}{\gamma} D^*C &-\gamma I + \frac{1}{\gamma} D^*D\\
    \end{array}
  \right)
<0
```
の同値条件を同様に求めます．

```math
-\gamma I + \frac{1}{\gamma} D^*D < 0\\
and\\
XA+A^*X+\frac{1}{\gamma}C^*C - (XB + \frac{1}{\gamma}C^*D) (-\gamma I + \frac{1}{\gamma} D^*D)^{-1}(XB + \frac{1}{\gamma}C^*D)^* < 0\\
```
 
```math
R=\gamma ^2 I -D^*D\\
```
としたので，

```math
-\frac{1}{\gamma}R < 0\\
\therefore R>0(常に成立)\\
XA+A^*X+\frac{1}{\gamma}C^*C - (XB + \frac{1}{\gamma}C^*D) (-\gamma I + \frac{1}{\gamma} D^*D)^{-1}(XB + \frac{1}{\gamma}C^*D)^* < 0\\

XA+A^*X+\frac{1}{\gamma}C^*C - (XB + \frac{1}{\gamma}C^*D) (-\frac{1}{\gamma}R)^{-1}(B^*X + \frac{1}{\gamma}C^*D)^* < 0\\
XA+A^*X+\frac{1}{\gamma}C^*C + (XB + \frac{1}{\gamma}C^*D) \gamma R^{-1}(B^*X + \frac{1}{\gamma}C^*D)^* < 0\\
XA+A^*X+\frac{1}{\gamma}C^*C +  XB R^{-1} D^* C + C^*D R^{-1}BX + \gamma XB R^{-1}B^*X  + \frac{1}{\gamma}C^*D R^{-1}D^*C < 0\\

X(A+BR^{-1}D^*C) + (A+BR^{-1}D^*C)^* X + XBR^{-1}B^*X + C^*(I+DR^{-1}D^*)C
+( \frac{1}{\gamma}  -1 ) C^*(I+DR^{-1}D^*)C +( \gamma  -1 ) XBR^{-1}B^*X <0\\
```

ここで

```math
\frac{1}{\gamma}  -1   \\
 \gamma  -1 \\
```
の正負は逆同士になっている．

むりや～
証明できない～

後で考えます．

#d
fd