【初心者向け】自然指数関数(Natural Exponential Function)と自然対数関数(Natural Logarithmic Function)の交点について。

以前の投稿でこんな図を作成しました。
[【初心者向け】指数・対数関数の発見とそれ以降の発展について。](https://qiita.com/ochimusha01/items/3e28f4f06abd8cef0af1)
![image.png](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/597772/72d505b5-7b93-edf8-41e8-5296c16969de.png)
ここで気になるのが**自然指数関数**(<font color=blue>Natural Exponential Function</font>)と自然対数関数(<font color=blue>Natural Logarithmic Function</font>)の交点<font color=green>α</font>。全部で{<font color=green>α</font>,<font color=green>α</font>}{<font color=green>-α</font>,<font color=green>α</font>}{<font color=green>α</font>,<font color=green>-α</font>}{<font color=green>-α</font>,<font color=green>-α</font>}と<font color=purple>4個</font>ありますが{<font color=green>α</font>,<font color=green>α</font>}の場合を調べれば、残りは**自明の場合**(<font color=blue>Trival Case</font>)として定まります。
![image.png](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/597772/658616b1-5d9c-e880-b224-c87bbf340398.png)
<font color=purple>統計原義Rでの検証例</font>

```R
min<-0
max<-1
cx<-seq(min,max,length=11)
f0<-function(x)exp(-x)
cy<-f0(cx)
cex<-cx
cey<-cy
clx<-cy
cly<-cx
crc<-function(x)sqrt(1-x^2)
lf<-function(x)x

plot(cex,cey,type="b",xlim=c(min,max),ylim=c(min,max),main="y=exp(-x)&y=-log(x)",xlab="",ylab="",col=rgb(0,0,1))

par(new=T) 

plot(clx,cly,type="b",xlim=c(min,max),ylim=c(min,max),main="",xlab="",ylab="",col=rgb(0,1,0))

par(new=T) 

plot(crc,type="l",xlim=c(min,max),ylim=c(min,max),main="",xlab="",ylab="")

par(new=T) 

plot(lf,type="l",xlim=c(min,max),ylim=c(min,max),main="",xlab="",ylab="")
abline(v=0,col=rgb(1,0,0))
abline(h=0,col=rgb(1,0,0))
legend("bottomleft", legend=c("y=exp(-x)","y=-log(x)",y="sqrt(1-x^2)"), lty =c(1,1,1),col=c(rgb(0,0,1),rgb(0,1,0),rgb(0,0,0)))

#exp(-x)の範囲は0.5と0.6の間
> cex[6:7]
[1] 0.5 0.6

#log(exp(-1))の範囲は0.5488116と0.6065307の間
> clx[6:7]
[1] 0.6065307 0.5488116
```
**観測精度**(<font color=blue>Observation Accuracy</font>)をもう一桁引き上げてみましょう。
![image.png](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/597772/9f4c64e6-d3f5-a693-093a-8d5efa4dfc1c.png)
<font color=purple>統計原義Rでの検証例</font>

```R
unit<-0.01
min<-0.5
max<-0.6
cx<-seq(min,max,length=11)
f0<-function(x)exp(-x)
cy<-f0(cx)
cex<-cx
cey<-cy
clx<-cy
cly<-cx
lf<-function(x)x

plot(cex,cey,type="b",xlim=c(min,max+unit),ylim=c(min,max+unit),main="y=exp(-x)&y=-log(x)",xlab="",ylab="",col=rgb(0,0,1))

par(new=T) 

plot(clx,cly,type="b",xlim=c(min,max+unit),ylim=c(min,max+unit),main="",xlab="",ylab="",col=rgb(0,1,0))

par(new=T) 

plot(lf,type="l",xlim=c(min,max+unit),ylim=c(min,max+unit),main="",xlab="",ylab="",col=rgb(1,0,0))

legend("bottomleft", legend=c("y=exp(-x)","y=-log(x)","y=x"), lty =c(1,1,1),col=c(rgb(0,0,1),rgb(0,1,0),rgb(1,0,0)))

#exp(-x)の範囲は0.56と0.57の間
> cex[7:8]
[1] 0.56 0.57
#log(exp(-1))の範囲は0.5769498と0.5827483の間
> clx[5:6]
[1] 0.5827483 0.5769498
```
さらにもう一桁。
![image.png](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/597772/bf8c3921-dc45-204e-0340-7d4866334af7.png)
<font color=purple>統計原義Rでの検証例</font>

```R
unit<-0.001
min<-0.56
max<-0.57
cx<-seq(min,max,length=11)
f0<-function(x)exp(-x)
cy<-f0(cx)
cex<-cx
cey<-cy
clx<-cy
cly<-cx
lf<-function(x)x

plot(cex,cey,type="b",xlim=c(min,max+unit),ylim=c(min,max+unit),main="y=exp(-x)&y=-log(x)",xlab="",ylab="",col=rgb(0,0,1))

par(new=T) 

plot(clx,cly,type="b",xlim=c(min,max+unit),ylim=c(min,max+unit),main="",xlab="",ylab="",col=rgb(0,1,0))

par(new=T) 

plot(lf,type="l",xlim=c(min,max+unit),ylim=c(min,max+unit),main="",xlab="",ylab="",col=rgb(1,0,0))

legend("bottomleft", legend=c("y=exp(-x)","y=-log(x)","y=x"), lty =c(1,1,1),col=c(rgb(0,0,1),rgb(0,1,0),rgb(1,0,0)))

#exp(-x)の範囲は0.566と0.567の間
> cex[8:7]
[1] 0.567 0.566

> exp(-0.566)
[1] 0.5677921
> exp(-0.567)
[1] 0.5672246
#log(exp(-1))の範囲は0.5689288と 0.5694980の間
> clx[3:4]
[1] 0.5700678 0.5694980
> log(exp(-0.566))
[1] -0.566
> log(exp(-0.567))
[1] -0.567
```
さらにもう一桁…おや、接していない!?
![image.png](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/597772/4c8c6171-b66e-57f6-85e1-d81ded17465e.png)
<font color=purple>統計原義Rでの検証例</font>

```R
unit<-0.001
min<-0.566
max<-0.567
cx<-seq(min,max,length=11)
f0<-function(x)exp(-x)
cy<-f0(cx)
cex<-cx
cey<-cy
clx<-cy
cly<-cx
lf<-function(x)x

plot(cex,cey,type="b",xlim=c(min,max+unit),ylim=c(min,max+unit),main="y=exp(-x)&y=-log(x)",xlab="",ylab="",col=rgb(0,0,1))

par(new=T) 

plot(clx,cly,type="b",xlim=c(min,max+unit),ylim=c(min,max+unit),main="",xlab="",ylab="",col=rgb(0,1,0))

par(new=T) 

plot(lf,type="l",xlim=c(min,max+unit),ylim=c(min,max+unit),main="",xlab="",ylab="",col=rgb(1,0,0))

legend("bottomleft", legend=c("y=exp(-x)","y=-log(x)","y=x"), lty =c(1,1,1),col=c(rgb(0,0,1),rgb(0,1,0),rgb(1,0,0)))
```
どうしてそんな展開に…よく分からないまま、グラフに導かれるまま**観測範囲**を<font color=green>0.5670</font>-<font color=green>0.5675</font>に切り替えてみます。ついでに凡例の位置も**左下**から**右上**に変更。
![image.png](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/597772/084155e1-8bc1-1eeb-60b2-913adb3125bd.png)
<font color=purple>統計原義Rでの検証例</font>

```R
unit<-0.0001
min<-0.5670
max<-0.5675
cx<-seq(min,max,length=11)
f0<-function(x)exp(-x)
cy<-f0(cx)
cex<-cx
cey<-cy
clx<-cy
cly<-cx
lf<-function(x)x

plot(cex,cey,type="b",xlim=c(min,max+unit),ylim=c(min,max+unit),main="y=exp(-x)&-log(x)",xlab="",ylab="",col=rgb(0,0,1))

par(new=T) 

plot(clx,cly,type="b",xlim=c(min,max+unit),ylim=c(min,max+unit),main="",xlab="",ylab="",col=rgb(0,1,0))

par(new=T) 

plot(lf,type="l",xlim=c(min,max+unit),ylim=c(min,max+unit),main="",xlab="",ylab="",col=rgb(1,0,0))

legend("topright", legend=c("y=exp(-x)","y=-log(x)","y=x"), lty =c(1,1,1),col=c(rgb(0,0,1),rgb(0,1,0),rgb(1,0,0)))

#exp(-x)の範囲は0.56710と0.56715の間
> cex[3:4]
[1] 0.56710 0.56715
> exp(-0.5671)
[1] 0.5671678
> exp(-0.56715)
[1] 0.5671395

#log(exp(-x))の範囲は0.5670261と 0.5670544の間
> clx[7:8]
[1] 0.5670544 0.5670261
> log(0.5670544)
[1] -0.5673
> log(0.5670261)
[1] -0.5673499
```
さらにもう1回。以降はピッチが<font color=green>0.5</font>単位に。
![image.png](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/597772/5ba69937-7f0b-98ba-2d8b-16a49a8eeb0a.png)
<font color=purple>統計原義Rでの検証例</font>

```R
unit<-0.00005
min<-0.56710
max<-0.56715
cx<-seq(min,max,length=11)
f0<-function(x)exp(-x)
cy<-f0(cx)
cex<-cx
cey<-cy
clx<-cy
cly<-cx
lf<-function(x)x

plot(cex,cey,type="b",xlim=c(min,max+unit),ylim=c(min,max+unit),main="y=exp(-x)&-log(x)",xlab="",ylab="",col=rgb(0,0,1))

par(new=T) 

plot(clx,cly,type="b",xlim=c(min,max+unit),ylim=c(min,max+unit),main="",xlab="",ylab="",col=rgb(0,1,0))

par(new=T) 

plot(lf,type="l",xlim=c(min,max+unit),ylim=c(min,max+unit),main="",xlab="",ylab="",col=rgb(1,0,0))

legend("topright", legend=c("y=exp(-x)","y=-log(x)","y=x"), lty =c(1,1,1),col=c(rgb(0,0,1),rgb(0,1,0),rgb(1,0,0)))

#exp(-x)の範囲は0.567140と0.567145の間
> cex[9:10]
[1] 0.567140 0.567145
> exp(-0.567140)
[1] 0.5671452
> exp(-0.567145)
[1] 0.5671423

#log(exp(-x))の範囲は0.5670261と 0.5670544の間
> clx[2:3]
[1] 0.5671650 0.5671622
> log(0.5671650)
[1] -0.567105
> log(0.5671622)
[1] -0.5671099
```
さらにもう1回。
![image.png](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/597772/8eea4666-96d6-f557-66a2-bb12d263822b.png)
<font color=purple>統計原義Rでの検証例</font>

```R
unit<-0.000001
min<-0.567140
max<-0.567145
cx<-seq(min,max,length=11)
f0<-function(x)exp(-x)
cy<-f0(cx)
cex<-cx
cey<-cy
clx<-cy
cly<-cx
lf<-function(x)x

plot(cex,cey,type="b",xlim=c(min,max+unit),ylim=c(min,max+unit),main="y=exp(-x)&-log(x)",xlab="",ylab="",col=rgb(0,0,1))

par(new=T) 

plot(clx,cly,type="b",xlim=c(min,max+unit),ylim=c(min,max+unit),main="",xlab="",ylab="",col=rgb(0,1,0))

par(new=T) 

plot(lf,type="l",xlim=c(min,max+unit),ylim=c(min,max+unit),main="",xlab="",ylab="",col=rgb(1,0,0))

legend("topright", legend=c("y=exp(-x)","y=-log(x)","y=x"), lty =c(1,1,1),col=c(rgb(0,0,1),rgb(0,1,0),rgb(1,0,0)))

#exp(-x)の範囲は0.5671430と0.5671435の間
> cex[7:8]
[1] 0.5671430 0.5671435
> exp(-0.5671430)
[1] 0.5671435
> exp(-0.5671435)
[1] 0.5671432

#log(exp(-x))の範囲は0.5671440と0.5671443の間
> clx[4:5]
[1] 0.5671443 0.5671440
> log(0.5671440)
[1] -0.567142
> log(0.5671443)
[1] -0.5671415
```
さらにもう1回。
![image.png](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/597772/4f837b4f-50be-0a5e-f075-68c7fce2081d.png)
<font color=purple>統計原義Rでの検証例</font>

```R
unit<-0.0000001
min<-0.5671430
max<-0.5671435
cx<-seq(min,max,length=11)
f0<-function(x)exp(-x)
cy<-f0(cx)
cex<-cx
cey<-cy
clx<-cy
cly<-cx
lf<-function(x)x

plot(cex,cey,type="b",xlim=c(min,max+unit),ylim=c(min,max+unit),main="y=exp(-x)&-log(x)",xlab="",ylab="",col=rgb(0,0,1))

par(new=T) 

plot(clx,cly,type="b",xlim=c(min,max+unit),ylim=c(min,max+unit),main="",xlab="",ylab="",col=rgb(0,1,0))

par(new=T) 

plot(lf,type="l",xlim=c(min,max+unit),ylim=c(min,max+unit),main="",xlab="",ylab="",col=rgb(1,0,0))

legend("topright", legend=c("y=exp(-x)","y=-log(x)","y=x"), lty =c(1,1,1),col=c(rgb(0,0,1),rgb(0,1,0),rgb(1,0,0)))

#exp(-x)の範囲は0.5671432と0.5671433の間
> cex[6:7]
[1] 0.5671432 0.5671433
> exp(-0.5671432)
[1] 0.5671433
> exp(-0.5671433)
[1] 0.5671433

#log(exp(-x))の範囲は0.5671433
> clx[5:6]
[1] 0.5671433 0.5671433
> log(0.5671433)
[1] -0.5671433
```
どうやら<font color=green>0.5671433</font>が手持ち環境で到達可能な精度での極限となる模様。この数字にどんな意味があるか、早速ネットで検索してみましょう。
[newtonsys function | R Documentation](https://www.rdocumentation.org/packages/pracma/versions/1.9.9/topics/newtonsys)
ああ何という事でしょう。<font color=purple>統計言語R</font>の**ニュートン=ラプソン法関数**(<font color=blue>Newton-Raphson Method Function</font>) のサンプルコードくらいしか検索に引っ掛かってきません。
<font color=purple>統計原義Rでの検証例</font>

```R
library(pracma)
F3 <- function(x)
c(2*x[1] - x[2] - exp(-x[1]), -x[1] + 2*x[2] - exp(-x[2]))
newtonsys(F3, c(0, 0))
# $zero 0.5671433 0.5671433
# $fnorm 0
# $niter 4
```
この関数自体の詳細は不明ながら、**ニュートンラプソン法**だと**関数**<font color=green>y=exp(-x)</font>と**関数**<font color=green>y=-log(x)</font>の差が<font color=green>0</font>になる交点を求める形になると分かりました。
<font color=purple>統計原義Rでの検証例</font>

```R
> f2<-function(x)-log(x)-exp(-x)
> uniroot(f2, c(0, 1))
$root
[1] 0.5671401
$f.root
[1] 3.821394e-06
$iter
[1] 5
$init.it
[1] NA
$estim.prec
[1] 6.103516e-05

#反復計算過程の表示
f2<-function(x){print(x);-log(x)-exp(-x)}
uniroot(f2, c(0, 1))
[1] 0
[1] 1
[1] 0.5
[1] 0.5952885
[1] 0.5691769
[1] 0.5671401
[1] 0.5672011
[1] 0.5671401
```
ところで…

* <font color=green>exp(-α)=x</font>
* <font color=green>log(exp(-α))=-α=log(x)</font>
* <font color=green>α=-log(x)</font>

従って実は**関数**<font color=green>y=exp(-x)</font>や**関数**y=<font color=green>log(exp(-x))</font>と**関数**<font color=green>y=x</font>の**交点**<font color=green>0</font>を求めるのと同じ事です。

<font color=purple>統計原義Rでの検証例</font>

```R
#y=exp(-x)と関数y=xの交点
f0<-function(x)exp(-x)-x
uniroot(f0, c(0, 1))
$root
[1] 0.5671439
$f.root
[1] -9.448109e-07
$iter
[1] 3
$init.it
[1] NA
$estim.prec
[1] 7.424999e-05

#反復計算過程の表示
f0<-function(x){print(x);exp(-x)-x}
uniroot(f0, c(0, 1))
[1] 0
[1] 1
[1] 0.6126998
[1] 0.5670696
[1] 0.5671439
[1] 0.5671439

#関数y=-log(x)と関数y=xの交点

f1<-function(x)-log(x)-x
uniroot(f1, c(0, 1))
$root
[1] 0.5671433
$f.root
[1] -3.262866e-08
$iter
[1] 5
$init.it
[1] NA
$estim.prec
[1] 6.103516e-05

#反復計算過程の表示
f1<-function(x){print(x);-log(x)-x}
uniroot(f1, c(0, 1))
[1] 0
[1] 1
[1] 0.5
[1] 0.5809402
[1] 0.5676828
[1] 0.5671433
[1] 0.5670823
[1] 0.5671433
```
そもそも**ニュートン・ラフソン法**（<font color=blue>Newton-Raphson method</font>）とはどういう方法論なのでしょう？
[ニュートン法 - Wikipedia](https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%8B%E3%83%A5%E3%83%BC%E3%83%88%E3%83%B3%E6%B3%95)

><font color=green>f(x)=0</font>となる<font color=green>x</font>を求める場合、<font color=green>x</font>の付近に適当な値<font color=green>X0</font>をとり、次の漸化式によって<font color=green>x</font>に収束する**数列**<font color=green>Xn</font>が得られる場合が多い。
>
><font color=green>X(n+1)=Xn-f(Xn)/'f(Xn)</font>

**関数**<font color=green>f(x)</font>を微分した結果得られる**導関数**(<font color=blue>Derivative Function</font>)<font color=green>'f(x)</font>が登場してくるという事は、**ニュートンラプソン法**の概念理解には**微分**(<font color=blue>Differential</font>)の知識が必須という事です。
[導関数の意味といろいろな例](https://mathtrain.jp/derivative)
というより、ある意味ここに出てくる考え方こそが**微分概念**そのもの？

[【積分】原始関数と導関数の関係](http://oto-suu.seesaa.net/article/448902283.html)

>導関数がＸ軸とY軸の間に間に作る面積は原始関数の値と一致する。
![image.png](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/597772/2a4630b8-3827-dd4a-14fa-0e250a5e9a35.png)
![image.png](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/597772/c7b03e2a-d9a1-215b-8d25-0522a4ef4b2e.png)

[落下運動](http://www.daiichi-g.co.jp/rika/subtextbook/data/46658/46658page14-19.pdf)
[運動エネルギーの基本式](https://www.structure.jp/column8/topic802.html)

>**自由落下運動**(<font color=blue>Free Fall Movement</font>)とは以下の様な運動を指す。
>①**重力加速度**<font color=green>0.98</font>(<font color=blue>=:1,単位m/s^2</font>)の力のかかる向きが進行方向と完全に一致する。
>②**初速**<font color=green>0</font>(<font color=blue>m/s</font>)で**時間**<font color=green>t</font>=<font color=green>0</font>(<font color=blue>s</font>)の時の**位置**<font color=green>y</font>=<font color=green>0</font>(<font color=blue>m</font>)とする。
>この時、
>①**時間**<font color=green>t</font>=<font color=green>x</font>(<font color=blue>s</font>)時点の**速度**<font color=purple>v</font>=<font color=purple>gt</font>(<font color=blue>m/s</font>)となる。<br>![image.png](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/597772/06a2147b-2101-4044-469e-27a294c5ae53.png)
>②**時間**<font color=green>t</font>=<font color=green>x</font>(s</font>)時点の**位置**<font color=purple>y</font>=<font color=purple>1/2×gt^2</font>(<font color=blue>m</font>)となる。<br>![image.png](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/597772/09eb6fb0-f1fa-80c4-40ea-63aa3ac75b3f.png)
>③<font color=purple>1/2</font>なる数字は(<font color=blue>三角形の面積(h(高さ)+v(幅))/2を求める要領で</font>)**時間**<font color=green>t</font>=<font color=green>0</font>時点の**速度**<font color=green>v</font>=<font color=green>0</font>(<font color=blue>m/s</font>)から**時間**<font color=green>x</font>(<font color=blue>s</font>)時点までの**速度**<font color=green>v</font>=<font color=green>gt</font>(<font color=blue>m/s</font>)までの**平均速度**(<font color=blue>m/s</font>)を求める過程で現れる。
従って<font color=purple>v^2</font>=<font color=purple>2gy</font>が成立。

この<font color=purple>v^2</font>=<font color=purple>2gy</font>こそが**微積分概念**(<font color=blue>Calculus Concept</font>)の根幹であり、**半径**<font color=green>r</font>の**円**(<font color=blue>円周長2πr</font>)の面積が<font color=purple>πr^2</font>で求められる事とも密接に関わってくる訳ですね。
[【初心者向け】半径・直径・円周長・円の面積・球の表面積・球の体積の計算上の往復](https://qiita.com/ochimusha01/items/e180451a210227bb19a5)
![image.gif](https://qiita-user-contents.imgix.net/https%3A%2F%2Fcdn-ak.f.st-hatena.com%2Fimages%2Ffotolife%2Fo%2Fochimusha01%2F20201120%2F20201120185044.gif?ixlib=rb-1.2.2&auto=format&gif-q=60&q=75&w=1400&fit=max&s=8fbf7a04b5430618ed748494ba2298ae)
<font color=purple>統計原義Rでの検証例</font>

```R
#例えばsqrt(2)を求める計算。
#関数y=x^2とy=2の交点0を求める計算はこうなる。
#x^2-2=0
#再帰演算で考える場合、まずこれを微分する。
> f0<-expression(x^2-2) 
> D(f0,"x")
2 * x

#そしてx-(x^2-2)/2x=(x+2/x)/2
nr01<-function(x)(x+2/x)/2
>nr01(1)
[1] 1.5
> nr01(1.5)
[1] 1.416667
> nr01(1.416667)
[1] 1.414216
> nr01(1.414216)
[1] 1.414214
> nr01(1.414214)
[1] 1.414214

#uniroot関数の演算結果
f1<-function(x){print(x);x^2-2}
uniroot(f1, c(1, 2))
$root
[1] 1.414213
$f.root
[1] -6.855473e-07
$iter
[1] 5
$init.it
[1] NA
$estim.prec
[1] 6.103516e-05

[1] 1
[1] 2
[1] 1.333333
[1] 1.419048
[1] 1.414072
[1] 1.414213
[1] 1.414274
[1] 1.414213
```
<font color=green>exp(-x)-x</font>と置いた場合の解き方。
<font color=purple>統計原義Rでの検証例</font>

```R
#まず関数exp(-x)-xを微分する。
> f1<-expression(exp(-x)-x) 
> D(f1,"x")
-(exp(-x)+1)

#この式を'f(x)に代入。
nr02<-function(x){x-(exp(-x)-x)/(-(exp(-x)+1))}

> nr02(0)
[1] 0.5
> nr02(0.5)
[1] 0.566311
nr02(0.566311)
> nr02(0.566311)
[1] 0.5671432
> nr02(0.5671432)
[1] 0.5671433
> nr02(0.5671433)
[1] 0.5671433
```
<font color=green>-log(x)-x=0</font>と置いた場合の解き方。
<font color=purple>統計原義Rでの検証例</font>

```R
#まず関数-log(x)-xを微分する。
> f2<-expression(-log(x)-x) 
> D(f2,"x")
-(1/x + 1)

#この式を'f(x)に代入。
nr03<-function(x){x-(-log(x)-x)/(-(1/x + 1))}

#0は代入出来ないので0.1より出発。
> nr03(0.1)
[1] 0.300235
> nr03(0.300235)
[1] 0.5087347
> nr03(0.5087347)
[1] 0.5650776
> nr03(0.5650776)
[1] 0.5671409
> nr03(0.5671409)
[1] 0.5671433
nr03(0.5671433)
> nr03(0.5671433)
[1] 0.5671433
```
<font color=green>-log(x)-exp(-x)=0</font>と置いた場合の解き方。
<font color=purple>統計原義Rでの検証例</font>

```R
#まず関数-log(x)-exp(-x)を微分する。
> f3<-expression(-log(x)-exp(-x)) 
> D(f3,"x")
-(1/x - exp(-x))

#この式を'f(x)に代入。
nr04<-function(x){x-(-log(x)-exp(-x))/(-(1/x - exp(-x)))}

#0は代入出来ないので0.1より出発。
> nr04(0.1)
[1] 0.2536803
> nr04(0.2536803)
[1] 0.4418468
> nr04(0.4418468)
[1] 0.5491944
> nr04(0.5491944)
[1] 0.5667973
> nr04(0.5667973)
[1] 0.5671432
> nr04(0.5671432)
[1] 0.5671433
nr04(0.5671433)
> nr04(0.5671433)
[1] 0.5671433
```
どう計算しても答えは概ね<font color=green>0.5671433</font>。ところで肝心の疑問の答えが得られてません。この数にどんな意味が？　
[指数関数と対数関数の交わる点](https://glim-re.repo.nii.ac.jp/?action=repository_action_common_download&item_id=4515&item_no=1&attribute_id=17&file_no=1)
[無限べき乗a^a^a^...の収束と発散との境目が気になる](https://www.ajimatics.com/entry/2018/12/01/070000)
一般に**無限冪乗**や**指数関数と対数関数の交点**の極限は<font color=green>1/2</font>と考えられてますが、それとはズレてるんですね。