量子コンピュータの基本 - 4つの位相シフトゲート「S」「S†」「T」「T†」を確認する

## :couch: この記事の目的

量子ゲートのうち、位相シフト演算を行う4つのゲート「S」「S†」「T」「T†」の内容を確認します。

## :couch: 4つの位相シフトゲート

位相ゲートの中に4つの位相シフト演算「**S**」「**S†**」「**T**」「**T†**」があります。それぞれ以下のような用途となっています。

**(1)$\pi/2$位相シフト演算「S」**

Z軸方向に$\frac{\pi}{2}$回転のシフト演算を与えるゲートです。
以下のように定義されます。
![image.png](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/399135/08692acf-ef22-2ddb-bca3-6ca820cbbd68.png)
Sゲートの行列が上記のようになることを確認します。
Sゲート適用前の量子状態を$|\psi〉$、Sゲート適用後の量子状態を$|\psi'〉$とします。
ブロッホ球の記述方式から、$|\psi〉$は以下のように書くことができます。

```math
|\psi〉 = \cos \frac{\theta}{2}|0〉+ e^{i\phi}\sin \frac{\theta}{2}|1〉　　...　式(1)
```

上記のブロッホ球の記述方式については、以下をご参照下さい。

　:paperclip: 量子コンピュータの基本 - ブロッホ球の数式をしっかり解説
　https://qiita.com/ttabata/items/0e839d03963d656551e0

また、$|\psi'〉$は$|\psi〉$にSゲートを適用して得られる状態なので、以下となります。

```math
|\psi'〉 = S|\psi〉　　...　式(2)
```

ここで、Sは以下のような2x2行列とします。

```math
S = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}　　...　式(3)
```

次に、SゲートはZ軸方向に$\frac{\pi}{2}$回転のシフトを行うことから、$|\psi'〉$は以下のように書くことができます。

```math
|\psi'〉=\cos \frac{\theta}{2}|0〉+ e^{i(\phi+\frac{\pi}{2})}\sin \frac{\theta}{2}|1〉　　...　式(4)
```

式(4)を以下のように展開します。

```math
\begin{align}
右辺&=\cos \frac{\theta}{2}|0〉+ e^{i\phi}e^{i\frac{\pi}{2}}\sin \frac{\theta}{2}|1〉\\
&=\cos \frac{\theta}{2}|0〉+ \Big(e^{i\phi}\sin \frac{\theta}{2}\Big)(\cos \frac{\pi}{2} + i\sin \frac{\pi}{2})|1〉　※1\\
&=\cos \frac{\theta}{2}|0〉+ \Big(e^{i\phi}\sin \frac{\theta}{2}\Big)i|1〉　　...　式(5)
\end{align}\\
※1　オイラーの公式より
```

式を見やすくするために、$\alpha=\cos \frac{\theta}{2}, \beta=e^{i\phi}\sin \frac{\theta}{2}$とし、式(1)と式(5)を並べて書くと、

```math
|\psi〉=\alpha|0〉+\beta|1〉　　...　式(6)\\
|\psi'〉=\alpha|0〉+\beta i|1〉　　...　式(7)\\
```

と書けます。ここで、|0〉と|1〉を以下として、式(6)を用いて式(2)を計算すると、

```math
|0〉=\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix},|1〉=\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}\\
\begin{align}
|\psi'〉&=S|\psi〉\\
&=\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}(\alpha|0〉+\beta|1〉)\\
&=\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}\bigg(\alpha\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} + \beta\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}\bigg)\\
&=\alpha\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}+\beta\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}\\
&=\alpha\begin{pmatrix} a \\ c \end{pmatrix}+\beta\begin{pmatrix} b \\ d \end{pmatrix}　　...　式(8)\\
\end{align}\\
```

式(7)と式(8)を比較して、

```math
\begin{pmatrix} a \\ c \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}\\
\begin{pmatrix} b \\ d \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 \\ i \end{pmatrix}\\
```

よって、

```math
a=1,　b=0,　c=0,　d=i
```

このことから、式(3)に代入するとSゲートは

```math
S=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & i \end{pmatrix}　　...　式(9)
```

以上でSゲートの行列が示されました。
同様の考え方で、その他のゲートの行列を確認することができます。


**(2)$-\pi/2$位相シフト演算「S†」**

Z軸方向に$-\frac{\pi}{2}$回転のシフト演算を与えるゲートです。
以下のように定義されます。
![image.png](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/399135/75d52f7d-0f68-c2f0-e6a2-4914c286df6c.png)
上記の行列を求めるには「S」ゲートと同様の計算を行えば良いでしょう。
$|\psi'〉$について、以下のように定義します。

```math
|\psi'〉=\cos \frac{\theta}{2}|0〉+ e^{i(\phi-\frac{\pi}{2})}\sin \frac{\theta}{2}|1〉
```

式(5)で求めた$i$がここでは$-i$になるため、式(9)の行列は以下のようになります。

```math
S†=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -i \end{pmatrix}
```

**(3)$\pi/4$位相シフト演算「T」**

Z軸方向に$\frac{\pi}{4}$回転のシフト演算を与えるゲートです。
以下のように定義されます。
![image.png](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/399135/27e510d7-f047-9f60-205f-45d989f5bd0c.png)

これについて確認します。
Tゲート行列を以下とします。

```math
T=\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}　　...　式(10)
```
$|\psi'〉$は$|\psi〉$をZ軸方向に$\frac{\pi}{4}$回転したものなので、以下のように定義できます。

```math
|\psi'〉=\cos \frac{\theta}{2}|0〉+ e^{i(\phi+\frac{\pi}{4})}\sin \frac{\theta}{2}|1〉　　...　式(11)
```

これを変形すると

```math
\begin{align}
|\psi'〉&=\cos \frac{\theta}{2}|0〉+ e^{i\phi}e^{i\frac{\pi}{4}}\sin \frac{\theta}{2}|1〉\\
&=\cos \frac{\theta}{2}|0〉+ e^{i\phi}\Big(\sin \frac{\theta}{2}\Big)\Big(\cos \frac{\pi}{4}+i \sin \frac{\pi}{4}\Big)|1〉\\
&=\cos \frac{\theta}{2}|0〉+ e^{i\phi}\Big(\sin \frac{\theta}{2}\Big)\Big(\frac{(1+i)}{\sqrt{2}}\Big)|1〉
\end{align}

```

a,b,c,dについて、式(8)と同様の計算を行うと以下のようになります。

```math
\begin{pmatrix} a \\ c \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}\\
\begin{pmatrix} b \\ d \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 \\ \frac{(1+i)}{\sqrt{2}} \end{pmatrix}
```

よって、

```math
a=1,　b=0,　c=0,　d=\frac{(1+i)}{\sqrt{2}}
```

Tゲートは以下であることがわかりました。

```math
T = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & \frac{(1+i)}{\sqrt{2}} \end{pmatrix}　　...　式(12)
```

**(4)$-\pi/4$位相シフト演算「T†」**

最後に、T†ゲートを確認します。
これはZ軸方向に$-\frac{\pi}{4}$回転のシフト演算を与えるゲートです。
以下のように定義されます。
![image.png](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/399135/258f5c7b-4f4f-02d3-1b79-ed140cae57ec.png)


$|\psi'〉$は式(11)の位相回転角を負にすれば良く、以下となります。

```math
|\psi'〉=\cos \frac{\theta}{2}|0〉+ e^{i(\phi-\frac{\pi}{4})}\sin \frac{\theta}{2}|1〉

```

同様に変形して

```math
\begin{align}
|\psi'〉&=\cos \frac{\theta}{2}|0〉+ e^{i\phi}e^{-i\frac{\pi}{4}}\sin \frac{\theta}{2}|1〉\\
&=\cos \frac{\theta}{2}|0〉+ e^{i\phi}\Big(\sin \frac{\theta}{2}\Big)\Big(\cos \frac{\pi}{4}-i \sin \frac{\pi}{4}\Big)|1〉\\
&=\cos \frac{\theta}{2}|0〉+ e^{i\phi}\Big(\sin \frac{\theta}{2}\Big)\Big(\frac{(1-i)}{\sqrt{2}}\Big)|1〉
\end{align}

```

a,b,c,dは

```math
\begin{pmatrix} a \\ c \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}\\
\begin{pmatrix} b \\ d \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 \\ \frac{(1-i)}{\sqrt{2}} \end{pmatrix}
```

よって、

```math
a=1,　b=0,　c=0,　d=\frac{(1-i)}{\sqrt{2}}
```

T†ゲートは以下であることがわかりました。

```math
T† = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & \frac{(1-i)}{\sqrt{2}} \end{pmatrix}
```

4つの位相シフトゲートをまとめると下表となります。

```math
S=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & i \end{pmatrix}\\
S†=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -i \end{pmatrix}\\
T = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & \frac{(1+i)}{\sqrt{2}} \end{pmatrix}\\
T† = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & \frac{(1-i)}{\sqrt{2}} \end{pmatrix}
```


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