【無限遠点を巡る数理】「半径だけの世界」から「直径もある世界」へ

**オイラーの公式**（<font color=blue>Eulerian Formula</font>）<font color=green>Cos(θ)+Sin(θ)i</font>の一般形<font color=green>Cos(θ)+Cos(θ-π/NoS)i</font>(<font color=blue>NoS=Number of Sides</font>)、最初見つけた時点では本当に何がなんだかさっぱりだっだったのですが、最近ある種の壮大な「<font color=red>数学ロマン派叙事詩</font>」じゃないかと考える様になりました。どういう事かについて、以下で説明していきたいと思います。
[【Rで球面幾何学】二辺形一辺形？](https://qiita.com/ochimusha01/items/ce1b6988c4274a136e89)
![image.gif](https://qiita-user-contents.imgix.net/https%3A%2F%2Fqiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com%2F0%2F597772%2F69c6c393-102c-0b59-079f-d5879866ec2b.gif?ixlib=rb-1.2.2&auto=format&gif-q=60&q=75&w=1400&fit=max&s=91f95bb5bd997b6bcaa89852d328c28b)

#NoS(<font color=blue>Number of Sides</font>)が2未満の世界。
とりあえず**任意の観測系**(<font color=blue>Any Observation System</font>)の極限状態、すなわち「<font color=purple>究極の観測原点</font>(<font color=blue>Ultimate Observation Origin</font>)」<font color=green>Od</font>(<font color=blue>d(imension)=0→Inf(inity)</font>){<font color=green>0,0,0,…</font>}と「<font color=purple>究極の観測対象そのもの</font>(<font color=blue>Ultimate Observation Target Itself</font>)」<font color=green>Td</font>(<font color=blue>d=0→Inf</font>){<font color=green>Inf,Inf,Inf,…</font>}のみしか存在しないN次元の**原始座標系**(<font color=blue>Primitive Coordinate System</font>)概念からから出発します。言うなれば完全なる「**五里霧中**」状態…
[【無限遠点を巡る数理】原始座標群なる「事象の墓場」概念の設定](https://qiita.com/ochimusha01/items/cdcac3149b245292658a)

<!-- html table generated in R 3.5.2 by xtable 1.8-4 package -->
<!-- Fri Dec  4 17:17:41 2020 -->
<table border=1>
<tr> <th>  </th> <th> Observation Origin </th> <th> Observation Target </th>  </tr>
  <tr> <td align="right"> 1 </td> <td> 0 </td> <td> Inf </td> </tr>
  <tr> <td align="right"> 2 </td> <td> 0 </td> <td> Inf </td> </tr>
  <tr> <td align="right"> 3 </td> <td> 0 </td> <td> Inf </td> </tr>
  <tr> <td align="right">  </td> <td> … </td> <td> … </td> </tr>
  <tr> <td align="right"> N </td> <td> 0 </td> <td> Inf </td> </tr>
   </table>

```R
library(xtable)
a0<-matrix(1:10,nrow=5, ncol=2)
a0[,1]<-rep(0,5)
a0[,2]<-rep(Inf,5)
a0[4,]<-rep("…",2)
rownames(a0)<-c(1,2,3,"","N")
colnames(a0)<-c("Observation Origin","Observation Target")
names(a0) <-  
print(xtable(a0), type="html")
```
* そういえば**ノルム**(<font color=blue>距離</font>)**空間**はその成立条件として「<font color=purple>N次元ベクトル</font><font color=green>Xd</font>(<font color=blue>d=1→Inf</font>){<font color=green>0,0,0,…,0</font>}⟺<font color=green>X=0</font>」なる条件を掲げている。これは任意の座標系において**座標**<font color=green>0</font>の集合としての**観測原点**(<font color=blue>Observation Origin</font>)は(<font color=blue>その座標系の次元展開に応じた全座標の値が0の</font>)**単なる点**として扱うという事であり、この観測系もその規約には従う。<br>[ノルムの意味とL1，L2，L∞ノルム | 高校数学の美しい物語](https://mathtrain.jp/lpnorm)
* さらにこの観測系においては観測結果も全て<font color=green>0</font>である状態を「(<font color=blue>点としてのみ存在し線も面も体積も備えない</font>)<font color=purple>0次元</font>」と規約する。**0次元**については様々な定義が試みられているが、この観測系においてはとりあえず「<font color=purple>その座標系が観測対象を全く捉えてない状態</font>(<font color=blue>あるいは諸般の事情で自らの客観視が不可能な観測者の存在のみが確認されている状態</font>)」などと見做す訳である。<br>[0次元 - Wikipedia](https://ja.wikipedia.org/wiki/0%E6%AC%A1%E5%85%83)

<!-- html table generated in R 3.5.2 by xtable 1.8-4 package -->
<!-- Fri Dec  4 18:05:04 2020 -->
<table border=1>
<tr> <th>  </th> <th> Observation Origin </th> <th> Observation Target </th>  </tr>
  <tr> <td align="right"> 1 </td> <td> 0 </td> <td> 0 </td> </tr>
  <tr> <td align="right"> 2 </td> <td> 0 </td> <td> 0 </td> </tr>
  <tr> <td align="right"> 3 </td> <td> 0 </td> <td> 0 </td> </tr>
  <tr> <td align="right">  </td> <td> … </td> <td> … </td> </tr>
  <tr> <td align="right"> N </td> <td> 0 </td> <td> 0 </td> </tr>
   </table>

```R
library(xtable)
a0<-matrix(1:10,nrow=5, ncol=2)
a0[,1]<-rep(0,5)
a0[,2]<-rep(0,5)
a0[4,]<-rep("…",2)
rownames(a0)<-c(1,2,3,"","N")
colnames(a0)<-c("Observation Origin","Observation Target")
names(a0) <-  
print(xtable(a0), type="html")
```
逆をいえば、如何なる形でも(<font color=blue>例え観測者の観測ミスや勘違いに過ぎなくても、それを確かめる手段がないので</font>)どれかの観測結果が<font color=green>≠0</font>となった時点で、その観測者は既に**0次元**自体からは解放されているのです。それが**オイラーの公式**（<font color=blue>Eulerian Formula</font>）<font color=green>Cos(θ)+Sin(θ)i</font>の一般形<font color=green>Cos(θ)+Cos(θ-π/NoS)i</font>(<font color=blue>NoS=Number of Sides</font>)においては「<font color=purple>Nosが0より大きく2より小さい</font>」区間に該当する状態。正直この方面についてはまだまだ全然考察が足りておらず、そもそも<font color=green>Nos=1</font>すなわち**一辺形**(<font color=blue>One Side</font>)がどういう状態なのかすらまともに定義出来てない様な有様なので、現段階においては「<font color=purple>語り得ない事については沈黙するほかない</font>」を貫く事にする(<font color=blue>要するに来年の課題</font>)。<br>[【Rで球面幾何学】二辺形一辺形？](https://qiita.com/ochimusha01/items/ce1b6988c4274a136e89)

* それではこの観測環境下においては**観測対象そのもの**は観測者の目にどう映るのか。その**無限次元性**を保ったまま(<font color=blue>それぞれの座標系の次元展開に応じて</font>)<font color=red>無限線</font>(<font color=blue>Unlimited Line</font>)/<font color=red>無限円</font>(<font color=blue>Unlimited Circle</font>)/<font color=red>無限球面</font>(<font color=blue>Unlimited Sphere</font>)とその見え方を転じていくのである。そして、とりあえず全ての観測結果が同じ**無限遠**(<font color=blue>Inf(inity)</font>)である事から**ピタゴラスの定理**(<font color=blue>Pythagorean Theorem</font>)**半径**<font color=green>r</font>=<font color=green>sqrt(x^2+y^2+z^2,…)</font>は**導入**(<font color=blue>Introduce</font>)可能と考えるなら、そこに(<font color=blue>VRの如く観測者の視界をスッポリ包む</font>)ある種の**全球型スクリーン**が現れる。<br>[【初心者向け】ピタゴラスの定理あるいは三平方の定理からの出発](https://qiita.com/ochimusha01/items/ce1b6988c4274a136e89)<br>![image.gif](https://cdn-ak.f.st-hatena.com/images/fotolife/o/ochimusha01/20201127/20201127214355.gif)
<br>![image.gif](https://cdn-ak.f.st-hatena.com/images/fotolife/o/ochimusha01/20201202/20201202093758.gif)

どうやらこの意味合いにおいて**原始座標系**は「<font color=purple>まだ使える距離</font>(<font color=blue>無限遠点Inf(inity)は使える数字にカウントされない</font>)<font color=purple>も角度</font>(<font color=blue>円の場合は円周φ、球面の場合は水平角φと垂直角θ</font>)<font color=purple>も備えていない極座標系</font>(<font color=blue>Polar Coordinates System</font>)」とイメージするのが正しい様なのですね。
[極座標系 - Wikipedia](https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%A5%B5%E5%BA%A7%E6%A8%99%E7%B3%BB)

#NoS(<font color=blue>Number of Sides</font>)=2の世界。
ここに<font color=red>Inf/Inf=1</font>なる概念を導入します。距離概念が0</font>か無限しかなかった世界に新たに1</font>を加えると、まずは再帰処理によって**自然数集合**や**加法整数群**が使用可能となり、これを**添字単位**(Index Unit</font>)や**周期単位**(Cycle Unit</font>)に用いる処理が可能となります。
[【初心者向け】添字化(Indexing)と単位化(Unitization)](https://qiita.com/ochimusha01/items/bb287211d915481c1cd7)

* **自然数集合**(<font color=blue>Natulal Set</font>)…**初項**(<font color=blue>First Term</font>)<font color=green>α</font>=<font color=green>1</font>,**公差**(<font color=blue>Common Difference</font>)<font color=green>d</font>=<font color=green>1</font>,**一般項**(<font color=blue>General Term</font>)<font color=green>α+(n-1)d</font>の**等差数列**(<font color=blue>Arithmetic sequence=算術数列</font>)<font color=green>Nn</font>(<font color=blue>n=1→Inf(inity)</font>){<font color=green>1+(1-1)×1=1,1+(2-1)×1=2,1+(3-1)×1=3,…,1+(Inf(inity)-1)×1=Inf(inity)</font>}={<font color=green>1,2,3,…,Inf(inity)</font>}概念から出発する。これは単純化して再帰的に<font color= green>Nn</font>(<font color=blue>n=1→Inf(inity)</font>){<font color=green>1,1+1=2,(1+1)+1=3,…,Inf(inity)+1=Inf(inity)</font>}と考えても良い。<br>[【Rで球面幾何学】等差数列(算術数列)① 数直線概念の導入について。](https://qiita.com/ochimusha01/items/4e5eca346c85f161c3b7)
* こうして成立した**自然数集合**に**加法単位元**(<font color=blue>Additive Identity</font>)<font color=green>0</font>と**逆元**(<font color=blue>Inverse Element</font>)<font color=green>-Nn</font>(<font color=blue>n=-Inf→0</font>){<font color=green>-Inf,…,-3,-2,-1,0</font>}を**射影**(<font color=blue>Projection</font>)する事によって**加法整数群**(<font color=blue>Additive Integer Group</font>)<font color=green>Zn</font>(<font color=blue>n=-Inf→-1→0→1→Inf</font>){<font color=green>-Inf,…,-3,-2,-1,0,1,2,3,…,Inf</font>}も成立する。<br>[【初心者向け】群論(Group Theory)概念の根幹](https://qiita.com/ochimusha01/items/208dc0e68db64805e4f7)<br>つまり従来の「<font color=purple>半径だけの世界</font>」と異なり<font color=blue>プラス領域</font>と…<br>![image.gif](https://cdn-ak.f.st-hatena.com/images/fotolife/o/ochimusha01/20201202/20201202104819.gif)
<br><font color=red>マイナス領域</font>が峻別されたばかりか…<br>![image.gif](https://cdn-ak.f.st-hatena.com/images/fotolife/o/ochimusha01/20201202/20201202105840.gif)
<br>連続領域として再統合されたのである。<br>![image.gif](https://cdn-ak.f.st-hatena.com/images/fotolife/o/ochimusha01/20201202/20201202110929.gif)
* **対蹠**(<font color=blue>地球上でいうと北極と南極に該当する距離関係</font>)が設定可能となった**円**/**球面座標**上においても(<font color=blue>それまで区別が不可能だった</font>)「<font color=purple>原点からプラス方向に伸びる半径</font>(<font color=blue>Radius</font>)<font color=green>1</font>」概念と「<font color=purple>原点からマイナス方向に伸びる半径</font><font color=green>1</font>」概念が峻別されると同時に連続領域として統合され「<font color=red>直径</font>(<font color=blue>Diameter</font>)<font color=green>2</font>」なる概念が生じている。実は<font color=green>NoS=2</font>で登場する**二辺形**(<font color=blue>Bilateral</font>)とは、かかる「<font color=purple>対蹠間を結ぶ直径上の往復運動そのもの</font>」に他ならない。<br>![image.gif](https://cdn-ak.f.st-hatena.com/images/fotolife/o/ochimusha01/20201127/20201127213126.gif)<br>![image.gif](https://cdn-ak.f.st-hatena.com/images/fotolife/o/ochimusha01/20201202/20201202095654.gif)

どうも全ての動きの背後に「<font color=green>Inf/Inf=1</font>」なる疑念導入の副作用として同時追加となる**等比数列**<font color=green>2n</font>(<font color=blue>n=-Inf→0→Inf</font>){<font color=green>1/(2^Inf):=0,…,1/(2^2)=1/4,1/(2^1)=1/2,2/2=1,2^1=2,1^2=4,…,2^Inf=Inf</font>}の姿が透けて見えるのですが、まだまだ全体像は全然把握出来てません。いずれにせよその流れは思わぬ方向への展開も産む事になるのでした。

#トーラス(<font color=blue>Torus,複数形Tori</font>）概念の追加。

実はNoS=2のタイミングで追加される立体概念は「半径1の単位球面」ばかりではありません。
![20190915101244.gif](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/597772/8dae0ff2-2117-487f-f781-d26cb8ec6112.gif)

同時に**大半径**(<font color=blue>Major Radius</font>)<font color=green>1</font>,**小半径**(<font color=blue>Minor Radius</font>)<font color=green>1</font>のトーラス(<font color=blue>Torus,複数形Tori</font>）もその片鱗を見せ始めるのです。
![image.gif](https://cdn-ak.f.st-hatena.com/images/fotolife/o/ochimusha01/20201130/20201130011306.gif)
![image.png](https://cdn-ak.f.st-hatena.com/images/fotolife/o/ochimusha01/20201130/20201130011342.png)

そもそもトーラスって一体何なのでしょうか？　**座標系**(<font color=blue>Coordinate System</font>)としては**媒介変数**<font color=green>t</font>,<font color=green>p</font>(<font color=blue>0≦t≦2π,0≦p≦2π</font>)を用いて以下の様に表します。
![image.png](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/597772/ea012e15-e600-ce1b-41f3-b7af4ba9564b.png)

* **x**=**大半径**<font color=green>R</font>×<font color=green>cos(t)</font>+**小半径**<font color=green>r</font>×<font color=green>cos(p)</font>×<font color=green>cos(t)</font>
* **y**=**大半径**<font color=green>R</font>×<font color=green>cos(t)</font>+**小半径**<font color=green><font color=green>r</font>×<font color=green>cos(p)</font>×<font color=green>sin(t)</font>
* **z**=**小半径**<font color=green><font color=green>r</font>×<font color=green>sin(p)</font>

ここで重要なのが以下。

* **大半径**<font color=green>R</font>=<font color=green>0</font>,**小半径**<font color=green>R</font>=<font color=green>1</font>の時、**単位球面**(<font color=blue>Unit Sphere</font>)を二重に描く。従って**経緯度法**(<font color=blue>経度-180度~180度に対して緯度-90度~90度</font>)や**3次元極座標系**(<font color=blue>水平角φ=-π~πに対して垂直角0~π</font>)は適用範囲を半分に減らしてなお**単位球面**(<font color=blue>Unit Sphere</font>)上の全座標を示せる訳である。<br>[【初心者向け】偶奇性概念と共役関係概念の連続性について。](https://qiita.com/ochimusha01/items/cca87fc1fe1294ae6b20)
* 逆に**大半径**<font color=green>R</font>=<font color=green>1</font>,**小半径**<font color=green>R</font>=<font color=green>0</font>の時、<font color=green>Z</font>=<font color=green>0</font>となってただの**単位円**(<font color=blue>Unit Circle</font>)に。

そしてこの変遷は**オイラーの公式**（<font color=blue>Eulerian Formula</font>）<font color=green>Cos(θ)+Sin(θ)i</font>の一般形<font color=green>Cos(θ)+Cos(θ-π/NoS)i</font>(<font color=blue>NoS=Number of Sides</font>)上における**二辺形**(<font color=blue>Bilateral,NoS=2</font>)すなわち「<font color=purple>1辺がπの円弧2分割図形</font>/<font color=purple>1辺が2の往復線分</font>」から**円そのもの**(<font color=blue>NoS=Inf(inity)</font>)への変遷に合致するのです。
[【Rで球面幾何学】二辺形と一辺形？ - Qiita](https://qiita.com/ochimusha01/items/ce1b6988c4274a136e89)
![image.gif](https://qiita-user-contents.imgix.net/https%3A%2F%2Fqiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com%2F0%2F597772%2F3b31115e-61ca-5138-3dab-6d7559f4cbb5.gif?ixlib=rb-1.2.2&auto=format&gif-q=60&q=75&w=1400&fit=max&s=585de4baac8220e2dcc0162ca45e2a8c)

* この概念上における**一辺形**(<font color=blue>One Side, NoS=1</font>)は「<font color=purple>1辺が2πの円弧</font>=<font color=purple>円そのもの</font>」であり、ここにある種の循環性を見てとる事が出来そうである。<br>**一辺形**(<font color=blue>One Side</font>)<font color=green>Cos(θ)-Cos(θ)i</font><br>![image.png](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/597772/51bb4b5d-dbda-f7bf-3c6b-08cf960c12da.png)<br>**二辺形**(<font color=blue>Bilateral</font>)<font color=green>Cos(θ)+Sin(θ)i</font><br>![image.png](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/597772/32584919-d5f1-e3e8-b46c-02230215c094.png)
<br>**円そのもの**(<font color=blue>Circle Itself</font>)<font color=green>Cos(θ)+Cos(θ)i</font><br>![image.png](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/597772/13f54bca-1d5c-de82-4ca0-541d045a3731.png)

以前ここに「<font color=purple>球面に内接する正多面体と正多角形の状態遷移図</font>」を投稿した事があります。この話はその続きでもあるんですね。
[【オイラーの多面体定理と正多面体】とある「球面幾何学(Spherical Geometry)」の出発点…](https://qiita.com/ochimusha01/items/5f8dbf33bac5b7227a11)
![image.png](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/597772/56c60cf4-6ac0-c058-521a-d48f4e6dec81.png)

立体的な動きがあるのは六角形までで、以降は「<font color=purple>辺数が増えていくほど大半径を増大させ、小半径を減少させつつ無限遠上の円弧に向けて収束していく末期トーラス</font>」を見守るばかりの展開となります。まさにこれこそがそれに対応する「<font color=red>始まりの景色</font>」…

#偶数層(<font color=blue>Even Layer</font>)と奇数層(<font color=blue>Odd Layer</font>)の分離

以下でも論じてますが、正直まだまだ不明点が多い分野です。
[【初心者向け】偶奇性概念と共役関係概念の連続性について。](https://qiita.com/ochimusha01/items/cca87fc1fe1294ae6b20)

![image.gif](https://cdn-ak.f.st-hatena.com/images/fotolife/o/ochimusha01/20201126/20201126020800.gif)
**半径**(<font color=blue>Radius</font>)<font color=green>1</font>の二重球面たる**単位球面**(<font color=blue>Unit Sphere</font>)から出発します。**偶奇性**(<font color=blue>Eveness</font>)という時、重要なのはそこに現れてる数が**偶数**/**奇数**の関係にある事そのものより「<font color=red>ピッチが半周期ズレている</font>」事なんですね。例えば**同心円集合**(<font color=blue>Concentric Circle Set</font>)**半径**<font color=green>R</font>={<font color=green>0,1,2,3,4,…,Inf(inity)</font>}から出発すると、これを**偶数層**(<font color=blue>Even Layer</font>)として**奇数層**(<font color=blue>Odd Layer</font>)が**半径**<font color=green>R</font>={<font color=green>0.5,1.5,2.5,3.5,4.5,…,Inf(inity)</font>}という形で現れるのです。
**偶数層**(<font color=blue>Even Layer</font>)<font color=green>0.0-1.0</font>
![image.gif](https://cdn-ak.f.st-hatena.com/images/fotolife/o/ochimusha01/20201129/20201129045028.gif)
![image.gif](https://cdn-ak.f.st-hatena.com/images/fotolife/o/ochimusha01/20201128/20201128213021.gif)
![image.gif](https://cdn-ak.f.st-hatena.com/images/fotolife/o/ochimusha01/20201128/20201128222402.gif)
![image.gif](https://cdn-ak.f.st-hatena.com/images/fotolife/o/ochimusha01/20201128/20201128222832.gif)

**奇数層**(<font color=blue>Odd Layer</font>)<font color=green>0.5</font>
![image.gif](https://cdn-ak.f.st-hatena.com/images/fotolife/o/ochimusha01/20201129/20201129051121.gif)
![image.gif](https://cdn-ak.f.st-hatena.com/images/fotolife/o/ochimusha01/20201128/20201128212256.gif)
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**偶数層**(<font color=blue>Even Layer</font>)<font color=green>0.0-2.0</font>+**奇数層**(<font color=blue>Odd Layer</font>)<font color=green>0.5</font>
![image.gif](https://cdn-ak.f.st-hatena.com/images/fotolife/o/ochimusha01/20201128/20201128213350.gif)
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![image.gif](https://cdn-ak.f.st-hatena.com/images/fotolife/o/ochimusha01/20201129/20201129040350.gif)
![image.gif](https://cdn-ak.f.st-hatena.com/images/fotolife/o/ochimusha01/20201202/20201202052516.gif)

何かを連想しませんか？　そう、**立体充填性**(<font color="blue">Space filling</font>)における**正四面体**(<font color="blue">Regular Tetrahedron</font>)と**正八面体**(<font color="blue">Regular Octahedron</font>)の相補関係です。
[【オイラーの多面体定理と正多面体】とある「球面幾何学」の出発点…](https://qiita.com/ochimusha01/items/5f8dbf33bac5b7227a11)
![triangles004.gif](https://cdn-ak.f.st-hatena.com/images/fotolife/o/ochimusha01/20201129/20201129055848.gif)

残念ながらこの問題「<font color=red>ピッチを2と規約する</font>」みたいな方便で何とかなる話ではありません。**射影単位**(<font color=blue>Projection Unit</font>)が**等比数列**<font color=green>2n</font>(<font color=blue>n=-Inf→-0→Inf</font>){<font color=green>1/(2^Inf):=0,…,1/(2^2)=1/4,1/(2^1)=1/2,2/2=1,2^1=2,2^2=4,…,2^Inf=Inf</font>}の形でスライドするからです。
**偶数系**(<font color=blue>Even System</font>)の推移
![Rplot01.png](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/597772/ed5af0ca-0575-3bf5-9d9a-ff5fd2921068.png)

```R
cx<-seq(-5,5,length=11)
f0<-function(x) 2^x
cy<-f0(cx)
plot(cx,cy,type="b",xlim=c(-5,5),ylim=c(0,32),main="y=2^x(Even)")
```

<!-- html table generated in R 3.5.2 by xtable 1.8-4 package -->
<!-- Thu Dec  3 16:50:16 2020 -->
<table border=1>
<tr> <th>  </th> <th> -5 </th> <th> -4 </th> <th> -3 </th> <th> -2 </th> <th> -1 </th> <th> 0 </th> <th> 1 </th> <th> 2 </th> <th> 3 </th> <th> 4 </th> <th> 5 </th>  </tr>
  <tr> <td align="right"> -5 </td> <td align="right"> 0.00 </td> <td align="right"> 0.00 </td> <td align="right"> 0.00 </td> <td align="right"> 0.01 </td> <td align="right"> 0.02 </td> <td align="right"> 0.03 </td> <td align="right"> 0.06 </td> <td align="right"> 0.12 </td> <td align="right"> 0.25 </td> <td align="right"> 0.50 </td> <td align="right"> 1.00 </td> </tr>
  <tr> <td align="right"> -4 </td> <td align="right"> 0.00 </td> <td align="right"> 0.00 </td> <td align="right"> 0.01 </td> <td align="right"> 0.02 </td> <td align="right"> 0.03 </td> <td align="right"> 0.06 </td> <td align="right"> 0.12 </td> <td align="right"> 0.25 </td> <td align="right"> 0.50 </td> <td align="right"> 1.00 </td> <td align="right"> 2.00 </td> </tr>
  <tr> <td align="right"> -3 </td> <td align="right"> 0.00 </td> <td align="right"> 0.01 </td> <td align="right"> 0.02 </td> <td align="right"> 0.03 </td> <td align="right"> 0.06 </td> <td align="right"> 0.12 </td> <td align="right"> 0.25 </td> <td align="right"> 0.50 </td> <td align="right"> 1.00 </td> <td align="right"> 2.00 </td> <td align="right"> 4.00 </td> </tr>
  <tr> <td align="right"> -2 </td> <td align="right"> 0.01 </td> <td align="right"> 0.02 </td> <td align="right"> 0.03 </td> <td align="right"> 0.06 </td> <td align="right"> 0.12 </td> <td align="right"> 0.25 </td> <td align="right"> 0.50 </td> <td align="right"> 1.00 </td> <td align="right"> 2.00 </td> <td align="right"> 4.00 </td> <td align="right"> 8.00 </td> </tr>
  <tr> <td align="right"> -1 </td> <td align="right"> 0.02 </td> <td align="right"> 0.03 </td> <td align="right"> 0.06 </td> <td align="right"> 0.12 </td> <td align="right"> 0.25 </td> <td align="right"> 0.50 </td> <td align="right"> 1.00 </td> <td align="right"> 2.00 </td> <td align="right"> 4.00 </td> <td align="right"> 8.00 </td> <td align="right"> 16.00 </td> </tr>
  <tr> <td align="right"> 0 </td> <td align="right"> 0.03 </td> <td align="right"> 0.06 </td> <td align="right"> 0.12 </td> <td align="right"> 0.25 </td> <td align="right"> 0.50 </td> <td align="right"> 1.00 </td> <td align="right"> 2.00 </td> <td align="right"> 4.00 </td> <td align="right"> 8.00 </td> <td align="right"> 16.00 </td> <td align="right"> 32.00 </td> </tr>
  <tr> <td align="right"> 1 </td> <td align="right"> 0.06 </td> <td align="right"> 0.12 </td> <td align="right"> 0.25 </td> <td align="right"> 0.50 </td> <td align="right"> 1.00 </td> <td align="right"> 2.00 </td> <td align="right"> 4.00 </td> <td align="right"> 8.00 </td> <td align="right"> 16.00 </td> <td align="right"> 32.00 </td> <td align="right"> 64.00 </td> </tr>
  <tr> <td align="right"> 2 </td> <td align="right"> 0.12 </td> <td align="right"> 0.25 </td> <td align="right"> 0.50 </td> <td align="right"> 1.00 </td> <td align="right"> 2.00 </td> <td align="right"> 4.00 </td> <td align="right"> 8.00 </td> <td align="right"> 16.00 </td> <td align="right"> 32.00 </td> <td align="right"> 64.00 </td> <td align="right"> 128.00 </td> </tr>
  <tr> <td align="right"> 3 </td> <td align="right"> 0.25 </td> <td align="right"> 0.50 </td> <td align="right"> 1.00 </td> <td align="right"> 2.00 </td> <td align="right"> 4.00 </td> <td align="right"> 8.00 </td> <td align="right"> 16.00 </td> <td align="right"> 32.00 </td> <td align="right"> 64.00 </td> <td align="right"> 128.00 </td> <td align="right"> 256.00 </td> </tr>
  <tr> <td align="right"> 4 </td> <td align="right"> 0.50 </td> <td align="right"> 1.00 </td> <td align="right"> 2.00 </td> <td align="right"> 4.00 </td> <td align="right"> 8.00 </td> <td align="right"> 16.00 </td> <td align="right"> 32.00 </td> <td align="right"> 64.00 </td> <td align="right"> 128.00 </td> <td align="right"> 256.00 </td> <td align="right"> 512.00 </td> </tr>
  <tr> <td align="right"> 5 </td> <td align="right"> 1.00 </td> <td align="right"> 2.00 </td> <td align="right"> 4.00 </td> <td align="right"> 8.00 </td> <td align="right"> 16.00 </td> <td align="right"> 32.00 </td> <td align="right"> 64.00 </td> <td align="right"> 128.00 </td> <td align="right"> 256.00 </td> <td align="right"> 512.00 </td> <td align="right"> 1024.00 </td> </tr>
   </table>

```R
library(xtable)
a0<-matrix(1:121,nrow=11, ncol=11)
i0<-c(1:11)
c0<-seq(-5,5,length=11)
for (i in i0){
a0[i,]<-2^(c0+(i-6))
}
rownames(a0)<-c0
colnames(a0)<-c0
names(a0) <-  
print(xtable(a0), type="html")
```
**奇数系**(<font color=blue>Odd System</font>)の推移
![Rplot02.png](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/597772/9d135c69-0f83-af9c-aab2-ec86430ea740.png)


```R
cx<-seq(-4.5,4.5,length=10)
f0<-function(x) 2^x
cy<-f0(cx)
plot(cx,cy,type="b",xlim=c(-4.5,4.5),ylim=c(0,23),main="y=2^x(Odd)")
```

<!-- html table generated in R 3.5.2 by xtable 1.8-4 package -->
<!-- Thu Dec  3 17:23:08 2020 -->
<table border=1>
<tr> <th>  </th> <th> -4.5 </th> <th> -3.5 </th> <th> -2.5 </th> <th> -1.5 </th> <th> -0.5 </th> <th> 0.5 </th> <th> 1.5 </th> <th> 2.5 </th> <th> 3.5 </th> <th> 4.5 </th>  </tr>
  <tr> <td align="right"> -4.5 </td> <td align="right"> 0.00 </td> <td align="right"> 0.01 </td> <td align="right"> 0.01 </td> <td align="right"> 0.02 </td> <td align="right"> 0.04 </td> <td align="right"> 0.09 </td> <td align="right"> 0.18 </td> <td align="right"> 0.35 </td> <td align="right"> 0.71 </td> <td align="right"> 1.41 </td> </tr>
  <tr> <td align="right"> -3.5 </td> <td align="right"> 0.01 </td> <td align="right"> 0.01 </td> <td align="right"> 0.02 </td> <td align="right"> 0.04 </td> <td align="right"> 0.09 </td> <td align="right"> 0.18 </td> <td align="right"> 0.35 </td> <td align="right"> 0.71 </td> <td align="right"> 1.41 </td> <td align="right"> 2.83 </td> </tr>
  <tr> <td align="right"> -2.5 </td> <td align="right"> 0.01 </td> <td align="right"> 0.02 </td> <td align="right"> 0.04 </td> <td align="right"> 0.09 </td> <td align="right"> 0.18 </td> <td align="right"> 0.35 </td> <td align="right"> 0.71 </td> <td align="right"> 1.41 </td> <td align="right"> 2.83 </td> <td align="right"> 5.66 </td> </tr>
  <tr> <td align="right"> -1.5 </td> <td align="right"> 0.02 </td> <td align="right"> 0.04 </td> <td align="right"> 0.09 </td> <td align="right"> 0.18 </td> <td align="right"> 0.35 </td> <td align="right"> 0.71 </td> <td align="right"> 1.41 </td> <td align="right"> 2.83 </td> <td align="right"> 5.66 </td> <td align="right"> 11.31 </td> </tr>
  <tr> <td align="right"> -0.5 </td> <td align="right"> 0.04 </td> <td align="right"> 0.09 </td> <td align="right"> 0.18 </td> <td align="right"> 0.35 </td> <td align="right"> 0.71 </td> <td align="right"> 1.41 </td> <td align="right"> 2.83 </td> <td align="right"> 5.66 </td> <td align="right"> 11.31 </td> <td align="right"> 22.63 </td> </tr>
  <tr> <td align="right"> 0.5 </td> <td align="right"> 0.09 </td> <td align="right"> 0.18 </td> <td align="right"> 0.35 </td> <td align="right"> 0.71 </td> <td align="right"> 1.41 </td> <td align="right"> 2.83 </td> <td align="right"> 5.66 </td> <td align="right"> 11.31 </td> <td align="right"> 22.63 </td> <td align="right"> 45.25 </td> </tr>
  <tr> <td align="right"> 1.5 </td> <td align="right"> 0.18 </td> <td align="right"> 0.35 </td> <td align="right"> 0.71 </td> <td align="right"> 1.41 </td> <td align="right"> 2.83 </td> <td align="right"> 5.66 </td> <td align="right"> 11.31 </td> <td align="right"> 22.63 </td> <td align="right"> 45.25 </td> <td align="right"> 90.51 </td> </tr>
  <tr> <td align="right"> 2.5 </td> <td align="right"> 0.35 </td> <td align="right"> 0.71 </td> <td align="right"> 1.41 </td> <td align="right"> 2.83 </td> <td align="right"> 5.66 </td> <td align="right"> 11.31 </td> <td align="right"> 22.63 </td> <td align="right"> 45.25 </td> <td align="right"> 90.51 </td> <td align="right"> 181.02 </td> </tr>
  <tr> <td align="right"> 3.5 </td> <td align="right"> 0.71 </td> <td align="right"> 1.41 </td> <td align="right"> 2.83 </td> <td align="right"> 5.66 </td> <td align="right"> 11.31 </td> <td align="right"> 22.63 </td> <td align="right"> 45.25 </td> <td align="right"> 90.51 </td> <td align="right"> 181.02 </td> <td align="right"> 362.04 </td> </tr>
  <tr> <td align="right"> 4.5 </td> <td align="right"> 1.41 </td> <td align="right"> 2.83 </td> <td align="right"> 5.66 </td> <td align="right"> 11.31 </td> <td align="right"> 22.63 </td> <td align="right"> 45.25 </td> <td align="right"> 90.51 </td> <td align="right"> 181.02 </td> <td align="right"> 362.04 </td> <td align="right"> 724.08 </td> </tr>
   </table>

```R
library(xtable)
a0<-matrix(1:100,nrow=10, ncol=10)
i0<-c(1:10)
c0<-seq(-4.5,4.5,length=10)
for (i in i0){
a0[i,]<-2^(c0+(i-5))
}
rownames(a0)<-c0
colnames(a0)<-c0
names(a0) <-  
print(xtable(a0), type="html")
```
それにしても…あえて次元表示を省略した**円形尺**(<font color=blue>Circular Scale</font>)を用いれば、こんなにスッキリして見えるのに…
![Rplot03.png](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/597772/8af84747-4b2d-f238-094e-482a9a5fac5e.png)

```R
f0<-function(x) 2^x
cxe<-seq(-5,5,length=11)
cye<-f0(cxe)
plot(cxe,cye,type="l",xlim=c(-5,5),ylim=c(0,32),main="y=2^x")
par(new=T)
plot(cxe,cye,type="p",xlim=c(-5,5),ylim=c(0,32),main="",xlab="",ylab="",col=rgb(0,0,1))
par(new=T)
cxo<-seq(-4.5,4.5,length=10)
cyo<-f0(cxo)
plot(cx,cy,type="p",xlim=c(-5,5),ylim=c(0,32),main="",xlab="",ylab="",col=rgb(1,0,0))
# 凡例を書き添える 。
legend("topright", legend=c("Even(2n)","Odd(2n+1)"), lty =c(1,1),col=c(rgb(0,0,1),rgb(1,0,0)))
```
**等尺**(<font color=blue>Even Scale</font>)表示
![image.gif](https://cdn-ak.f.st-hatena.com/images/fotolife/o/ochimusha01/20201203/20201203192521.gif)

```R
even_scale00<-function(inbetween){
c0<-seq(0,pi*2,length=61)
cx<-cos(c0)
cy<-sin(c0)
odd<-rgb(1,0,0)
even<-rgb(0,0,1)
plot(cx*(1.0+inbetween),cy*(1.0+inbetween),type="l",xlim=c(-1,1),asp=1,ylim=c(-1,1),main="Even Scale",xlab="Cos(θ)",ylab="Sin(θ)i",col=even)
par(new=T)
#plot(cx,cy,type="l",xlim=c(-1,1),asp=1,ylim=c(-1,1),main="",xlab="Cos(θ)",ylab="",col=rgb(0,1,0))
par(new=T)
plot(cx*(0.9+inbetween),cy*(0.9+inbetween),type="l",xlim=c(-1,1),asp=1,ylim=c(-1,1),main="",xlab="",ylab="",col=odd)
par(new=T)
plot(cx*(0.8+inbetween),cy*(0.8+inbetween),type="l",xlim=c(-1,1),asp=1,ylim=c(-1,1),main="",xlab="",ylab="",col=even)
par(new=T)
plot(cx*(0.7+inbetween),cy*(0.7+inbetween),type="l",xlim=c(-1,1),asp=1,ylim=c(-1,1),main="",xlab="",ylab="",col=odd)
par(new=T)
plot(cx*(0.6+inbetween),cy*(0.6+inbetween),type="l",xlim=c(-1,1),asp=1,ylim=c(-1,1),main="",xlab="",ylab="",col=even)
par(new=T)
plot(cx*(0.5+inbetween),cy*(0.5+inbetween),type="l",xlim=c(-1,1),asp=1,ylim=c(-1,1),main="",xlab="",ylab="",col=odd)
par(new=T)
plot(cx*(0.4+inbetween),cy*(0.4+inbetween),type="l",xlim=c(-1,1),asp=1,ylim=c(-1,1),main="",xlab="",ylab="",col=even)
par(new=T)
plot(cx*(0.3+inbetween),cy*(0.3+inbetween),type="l",xlim=c(-1,1),asp=1,ylim=c(-1,1),main="",xlab="",ylab="",col=odd)
par(new=T)
plot(cx*(0.2+inbetween),cy*(0.2+inbetween),type="l",xlim=c(-1,1),asp=1,ylim=c(-1,1),main="",xlab="",ylab="",col=even)
par(new=T)
plot(cx*(0.1+inbetween),cy*(0.1+inbetween),type="l",xlim=c(-1,1),asp=1,ylim=c(-1,1),main="",xlab="",ylab="",col=odd)
par(new=T)
plot(cx*(1.9+inbetween),cy*(1.9+inbetween),type="l",xlim=c(-1,1),asp=1,ylim=c(-1,1),main="",xlab="",ylab="",col=odd)
par(new=T)
plot(cx*(1.8+inbetween),cy*(1.8+inbetween),type="l",xlim=c(-1,1),asp=1,ylim=c(-1,1),main="",xlab="",ylab="",col=even)
par(new=T)
plot(cx*(1.7+inbetween),cy*(1.7+inbetween),type="l",xlim=c(-1,1),asp=1,ylim=c(-1,1),main="",xlab="",ylab="",col=odd)
par(new=T)
plot(cx*(1.6+inbetween),cy*(1.6+inbetween),type="l",xlim=c(-1,1),asp=1,ylim=c(-1,1),main="",xlab="",ylab="",col=even)
par(new=T)
plot(cx*(1.5+inbetween),cy*(1.5+inbetween),type="l",xlim=c(-1,1),asp=1,ylim=c(-1,1),main="",xlab="",ylab="",col=odd)
par(new=T)
plot(cx*(1.4+inbetween),cy*(1.4+inbetween),type="l",xlim=c(-1,1),asp=1,ylim=c(-1,1),main="",xlab="",ylab="",col=even)
par(new=T)
plot(cx*(1.3+inbetween),cy*(1.3+inbetween),type="l",xlim=c(-1,1),asp=1,ylim=c(-1,1),main="",xlab="",ylab="",col=odd)
par(new=T)
plot(cx*(1.2+inbetween),cy*(1.2+inbetween),type="l",xlim=c(-1,1),asp=1,ylim=c(-1,1),main="",xlab="",ylab="",col=even)
par(new=T)
plot(cx*(1.1+inbetween),cy*(1.1+inbetween),type="l",xlim=c(-1,1),asp=1,ylim=c(-1,1),main="",xlab="",ylab="",col=odd)

abline(h=0,col=rgb(0,1,0))
abline(v=0,col=rgb(0,1,0))

# 凡例を書き添える 。
legend("topright", legend=c("Even(2n)","Odd(2n+1)","x=y=0"), lty =c(1,1,1),col=c(rgb(0,0,1),rgb(1,0,0),rgb(0,1,0)))
}

#アニメーション
library("animation")
Time_Code=c(0,1/20,0,1/20,0,1/20,0,1/20,0,1/20,0,1/20)
saveGIF({
for (i in Time_Code){
　even_scale00(i)
}
}, interval = 0.1, movie.name = "even_scale04.gif")
```
**2^x関数表示**(</font color=blue>logarithmic Scale</font>)
![image.gif](https://cdn-ak.f.st-hatena.com/images/fotolife/o/ochimusha01/20201203/20201203200036.gif)

```R
logarithmic_scale00<-function(inbetween){
c0<-seq(0,pi*2,length=61)
cx<-cos(c0)
cy<-sin(c0)

c0<-rev(seq(-9,0,length=10))

for (i in c0){
plot(cx*(1-2^(i+inbetween)),cy*(1-2^(i+inbetween)),type="l",xlim=c(-1,1),asp=1,ylim=c(-1,1),main="",xlab="",ylab="",col=c(200,200,200,200))
par(new=T)
}

plot(cx,cy,type="l",xlim=c(-1,1),asp=1,ylim=c(-1,1),main="2^x(Logarithmic Scale)",xlab="Cos(θ)",ylab="Sin(θ)i", col=rgb(0,1,0))

abline(h=0,col=rgb(1,0,0))
abline(v=0,col=rgb(1,0,0))

# 凡例を書き添える 。
legend("topright", legend=c("Circle(Radius=2^x,Argment=θ)","x=y=0"), lty =c(1,1),col=c(rgb(0,1,0),rgb(1,0,0)))
}

#アニメーション
library("animation")
Time_Code=c(0,1/2,0,1/2,0,1/2,0,1/2,0,1/2,0,1/2)
saveGIF({
for (i in Time_Code){
　logarithmic_scale00(i)
}
}, interval = 0.1, movie.name = "logarithmic_scale04.gif")
```
**デカルト座標系**(<font color=blue>Cartesian Coordinate System</font>)上に強引に表示すると何と関数の曲線が4本に増えてしまうのです。
![image.gif](https://cdn-ak.f.st-hatena.com/images/fotolife/o/ochimusha01/20201203/20201203181440.gif)

```R
library(rgl)
#関数描画準備
cxy<-seq(-5,5,length=11)
cz<-2^cxy

#円錐描画
radians<-seq(0,60*pi,length=3000)
f0<-function(x){exp(x*(0+1i))}
Real<-Re(f0(radians))
Imaginal<-Im(f0(radians))
crz<-seq(-5,5,length=3000)
crze<-2^crz

f1<-function(x){x}
c0<-f1(seq(-5,5,length=3000))
crx<-Real*c0*sqrt(2)
cry<-Imaginal*c0*sqrt(2)

plot3d(crx,cry,crze,type="l",xlim=c(-5,5),ylim=c(-5,5),zlim=c(exp(-5),exp(5)),col=rgb(0,0,0))

#関数描画
plot3d(cxy,0,cz,type="l",xlim=c(-5,5),ylim=c(-5,5),zlim=c(2^-5,2^5),col=rgb(0,0,1),xlab="",ylab="",zlab="",lwd=2)
plot3d(0,cxy,cz,type="l",xlim=c(-5,5),ylim=c(-5,5),zlim=c(2^-5,2^5),col=rgb(1,0,0),xlab="",ylab="",zlab="",lwd=2)
plot3d(-cxy,0,cz,type="l",xlim=c(-5,5),ylim=c(-5,5),zlim=c(2^-5,2^5),col=rgb(0,0,1),xlab="",ylab="",zlab="",lwd=2)
plot3d(0,-cxy,cz,type="l",xlim=c(-5,5),ylim=c(-5,5),zlim=c(2^-5,2^5),col=rgb(1,0,0),xlab="",ylab="",zlab="",lwd=2)

texts3d(0,0,0,texts="{0,0,0}",col=rgb(1,0,0),adj=1.0)

#中心線はx(y=z=0),x(y=z=0),x(y=z=0)の3本
lines3d(c(-5,5),c(0,0),c(0,0),col=c(200,200,200),lwd=1)
lines3d(c(0,0),c(-5,5),c(0,0),col=c(200,200,200),lwd=1)
lines3d(c(0,0),c(0,0),c(2^-5,2^5),col=c(200,200,200),lwd=1)

#傍線は{x,y,z}の3通り×{x,y,z}-1の2通り×{min,max}の2通り=12通り
#傍線X
lines3d(c(-5,5),c(-5,-5),c(0,0),col=c(200,200,200),lwd=1)
lines3d(c(-5,5),c(5,5),c(0,0),col=c(200,200,200),lwd=1)
lines3d(c(-5,5),c(0,0),c(2^-5,2^-5),col=c(200,200,200),lwd=1)
lines3d(c(-5,5),c(0,0),c(2^5,2^5),col=c(200,200,200),lwd=1)

#傍線Y
lines3d(c(-5,-5),c(-5,5),c(0,0),col=c(200,200,200),lwd=1)
lines3d(c(5,5),c(-5,5),c(0,0),col=c(200,200,200),lwd=1)
lines3d(c(0,0),c(-5,5),c(2^-5,2^-5),col=c(200,200,200),lwd=1)
lines3d(c(0,0),c(-5,5),c(2^5,2^5),col=c(200,200,200),lwd=1)

#傍線Z 

lines3d(c(-5,-5),c(0,0),c(2^-5,2^5),col=c(200,200,200),lwd=1)
lines3d(c(5,5),c(0,0),c(2^-5,2^5),col=c(200,200,200),lwd=1)
lines3d(c(0,0),c(-5,-5),c(2^-5,2^5),col=c(200,200,200),lwd=1)
lines3d(c(0,0),c(5,5),c(2^-5,2^5),col=c(200,200,200),lwd=1)

movie3d(spin3d(axis=c(0,0,1),rpm=5),duration=10,fps=25,movie="~/Desktop/test59")
```

* **数直線**(<font color=blue>Number line</font>)上の**直線的増減**(<font color=blue>Linear Increase Decrease</font>)を**同心円集合**(<font color=blue>Concentric Circle Set</font>)の**半径**(<font color=blue>Radius</font>)の推移に**射影**(<font color=blue>Projection</font>)すると、**周期**(<font color=blue>Cycle</font>)毎に一周する**螺旋軌道**(<font color=blue>Spiral Orbit</font>)が現れる。<br>[【Rで球面幾何学】等差数列(算術数列)②数直線概念から同心円集合概念へ](https://qiita.com/ochimusha01/items/2a16c3cba3f88986c767)<br>![image.gif](https://qiita-user-contents.imgix.net/https%3A%2F%2Fcdn-ak.f.st-hatena.com%2Fimages%2Ffotolife%2Fo%2Fochimusha01%2F20201111%2F20201111061314.gif?ixlib=rb-1.2.2&auto=format&gif-q=60&q=75&w=1400&fit=max&s=0ec5ad367a9238d99fae4325c3a95b29)

* **偶奇性**(<font color=blue>Evenness</font>)のピッチが<font color=green>2^1=2</font>なのに対して**デカルト座標系**のピッチは<font color=green>2^2=4</font>なのが問題の発端。それ故に円運動上の{<font color=green>偶数,奇数,偶数,…</font>}の繰り返しを{<font color=green>偶数,奇数,-偶数,-奇数,偶数,…</font>}の形でしか捉え得ないのである。だからこう見えてしまうのであり、この問題を回避する為には観測者側が**偶数**/**奇数**ごとに正負の符号を除去した**絶対値**(<font color=blue>Absolute Value</font>)を取って数列を<font color=green>4個</font>から<font color=green>2個</font>に戻さねばならない？

どうやら問題はまだまだ頻出し続ける様で…とりあえず以下続報。