ディープラーニング検定E資格レポート(応用数学)

１．行列
・スカラー：四則演算ができる数字
・ベクトル：数字の組み合わせ、向きを表す、四則演算ではないが、演算のようなことができる。
・行列：ベクトルの変換に使う。
※ベクトルに、ただの数字をかけても、大きさが変わるだけで、向きが変わらない。

●連立方程式を、行列を使ってシンプルに表す。
※行列は連立方程式の係数だけ取り出したもの。

●行列とベクトルの積
・ベクトル{1,2}が行列{{6,4},{3,5}}で別のベクトル成分に変換される。
・計算の手順の図示
※変換前のベクトルの両方の成分が、次の変換後のベクトルの各成分に影響を与える。
・行列はベクトルでできたベクトルと考えられる。
→行列と行列の積も可能、新しい行列に変換する。
●連立1次方程式を、行列を使って形式的に解く
{1,4}{2,6} {x,y} = {7,10}
2行目を1/2倍する{1,0}{0,1/2}を左からかける{1,4}{1,3}
1行目に2行目の-1倍を加える{1,-1}{0,1}を左からかける
2行目に1行目の-3倍を加える
1行目と2行目を入れ替える{0,1}{1,0}
行基本変形→行列を計算して、変形させること

左からかける行列の見つけ方
i行目をc倍する→{1,0,---,0},---[0,0,---,c,---,0},
s行目にt行目のc倍を加える→{1,0,---,0},---[0,0,-,1,-0,c,---,0},
入れ替え

行列の逆数のようなもの
行基本変形の行列を全てかけたもの、をかけると連立方程式が解ける
→{1,0}{0,1}(x,y) = になる
→逆行列と呼ぶ　
逆行列をかけることは、割り算のようなもの
ax=b
xを求めるのにaを消したい→1/aをかけて1にする
逆行列をかける→{1,0}{0,1}単位行列（1のようなもの）になる


単位行列 I ={1,0,0,0—}{0,1,0,—} かけても元の行列を変化させない IA=AI=A
逆行列A-1（エーインバース）
AA-1=A-1A=I

逆行列の計算の仕方
{1,4}{2,6} {x,y}={1,0}{0,1} {7,10}
ガウスの吐き出し法

{4,7}{1,2} の逆行列を求めよ
{4,7}{1,2} {1,0}{0,1}
1行目に2行目の-4倍を加える
{0,-1}{1,2}{1,-4}{0,1}
2行めに1行めの2倍を加える
{0,-1}{1,0}{1,-4}{2,-7}
1行めを-1倍する
{0,1}{1,0}{-1,4}{2,-7}
1行めと2行めを入れ替える
{1,0}{0,1}{2,-7}{-1,4}

逆行列が存在しない場合
連立方程式が並行で交わらない、解がない
{a,b}{c,d}
a:b=c:dで比が同じ時、逆行列を持たない
ad=bc
ad-bc=0
{a,b}、{c,d}がそれぞれベクトルと考えると、
これに囲まれる平行四辺形の面積がゼロだと、
逆行列を持たない（ベクトルが重なる）

行列式（逆行列を持つかの判別、正方行列の大きさみたいなもの
{a,b}{c,d}={v1,v2}
|a,b||c,d|=|v1,v2| が行列式

|v1,w,v3,—w,—vn|=0
同じベクトルが含まれる場合、
連立方程式が解けない
⇨行列式は０（逆行列を持たない）

|v1,v2,—,λvn,—v|=λ|v1,v2—,vn—v|
一片のλ倍が、全体の面積・体積がλ倍

|v1,v2—,vn+w,—v|=|v1,v2,—,vn,—v|+|v1,v2,—,w,—v|
行列式の足しあわせにできる

行列式⇨分割できる⇨3✖️3⇨2✖️2に分解できる
{a,b,c}{d,e,f}{g,h,f|=|a,0,0||d,e,f||g,h,i|+|0,b,0||d,e,f|g,h,i|+|0,0,c||d,e,f|g,h,i|
⇨a|e,f||h,i|+b|b,c||h,i|+g|b,c||e,f|
※0がある列を使うと、計算が省略できる

行を入れ替えると符合が変わる
|v1,v2,——,vn|=-|v1, vn,——,v2,|
|v1,v2,——,vn|+|v1, vn,——,v2,|=0
|v1,v2+vn,——,Vn+V2|=0

２．固有値
Ax=λx 
この時、xを固有ベクトル、λを固有値
{1,4}{2,3} {1,1}={5,5}=5{1,1}
固有値5,固有ベクトル{1,1}
※固有値は一つに決まる。
※固有ベクトルは一つに決まらない。
・固有値、固有ベクトルが存在する条件、求める。
Ax=λx
(A-λI)x=0
x≠0より
|A-λI|=0
※A-λIは逆行列を持たないはず。
逆行列があると、A-λIに逆行列をかけてI単位行列に
なると,X=0、となり、X≠0と矛盾する
{1,4}{2,3}の時、
|1-λ,4||2,3-λ|=0
(1-λ)(3-λ)-4*2=0

固有値λ=
固有ベクトルは、定数倍

・固有値分解
正方行列A(N✖️N）、固有値λ(N個)、
固有ベクトルv
固有値を並べた行列Λ
Λ={λ1,0,—,0}{0,λ2,0,—,0},—
固有ベクトルを並べた行列V=(v1,v2,---)
の場合、
AV=VΛ
となる
A=VΛV-1
行列Aは、固有値のベクトルと、
固有ベクトルの集まりに分解できる。
※固有値分解することで、計算が楽になることがある。
（例）AのN乗は、大変だが、
固有値分解してからだと、VとV-1が打ち消しあって、計算が楽になる。
ΛのN乗は簡単。
※固有値分解することで、その行列の特徴がわかる
ことがある

・特異値分解
正方行列ではない、長方形の行列の場合
σが特異値、sは特異ベクトル
Mv=σu
MTu=σv
M＝USVT

MV=US
MTU=VSt
M=USVt
Mt=VStUt
MMt=USVtVStUt=USStUt
MとMの転置をかけたもの
⇨正方行列になる
⇨固有値分解できる
⇨SとSの転置、UとUの転置で挟む

M={1,2,3}{3,2,1}
Mt={1,3}{2,2}{3,1}
MMt={14,10}{10,14}
※必ず対称系の正方行列になる
⇨固有値と固有ベクトル求める
⇨固有値を並べた行列を、
固有ベクトルを並べた行列と、
その転置の行列で挟む

={1√２,-1√2}{1√2,1√2}{2√,0,0}{0,2,0}
{1√3,1√3,1√3}{

・利用例：特異値分解した画像データの行列から、
一部をカットする（特異値の小さいデータをカットする）
⇨画像の圧縮ができる、影響の小さいデータをカットする


３．集合と確率
３.集合と確率
S={a,b,c,d,e,f,g}
集合Sは、要素a,b,c,d,e,f,gでできている
a∈S （エレメント、要素、元）
要素aは、集合Sの中の要素である
内部の集合M={c,d,g}
M⊂S　集合Mは集合Sに含まれる
「事象」は「集合」として取り扱うことができる

A∪B　和集合　AカップB
A∩B　共通部分 AキャップB
U＼A = Aバー 宇宙全部のうちA以外（絶対補）
B＼A  Bのうち、A以外（相対補）
(B＼A)∩(A＼B) = 空集合

頻度確率（客観確率）：発生する頻度
ベイズ確率（主観確率）：信念の度合い、全数調査はできないようなもの

P(A)=n(A)/n(U)=事象Aが起こる数/全ての事象の数
P(Aバー)=1-P(A)
P(Aバー)=事象Aが起こらない数/全ての事象の数
=(全ての事象の数-事象Aの起こる数)/全ての事象の数
=(n(U)-n(A))/n(U)=1-P(A)

P(A∩B)=P(A)P(B|A)
Aが起こる確率✖️Aの条件下でBが起こる確率
P(A)=P(A|U)
P(A∩B)=P(B∩A) だから、
P(A)P(B|A)=P(B)P(A|B)

条件付き確率
ある事業Bが与えられた下で、Aとなる確率
（雨が降る中で、交通事故が起こる確率）
※一般に単に交通事故が起こる確率より高い確率になる
P(A|B)=P(A∩B)/P(B)
=n(A∩B)/n(B)

独立な事象の同時確率
お互いの発生には因果関係のない事業Aと事象Bが
同時に発生する確率は
P(A∩B)=P(A)P(B|A)=P(A)P(B)

P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)

ベイズ則
ある街のこどもたちは毎日1/4の確率で飴玉をもらう(A)
飴玉をもらうと1/2の確率で笑顔になる(B|A)
その街の笑顔なこどもが飴玉をもらっている確率は？(A|B)
その街のこどもが笑顔でいる確率は1/3(B)
P(A)P(B|A)=P(B)P(A|B)



４．統計



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