【無限遠点を巡る数理】自然数・整数・有理数の概念の再整理

我々の自然な**時空間認識**(<font color=blue>Natural Space-Time Recognition</font>)を、**数理**(<font color=blue>Mathematical Things</font>)が**前提**(<font color=blue>Assumption</font>)とする「**直交座標系**(<font color=blue>Orthogonal System</font>)=**観察**(<font color=blue>Observation</font>)<font color=purple>と</font>**その評価結果**(<font color=blue>Evaluation</font>)<font color=purple>を互いに</font>**直交**(<font color=blue>Orthogonal</font>)<font color=purple>する</font>**N次元評価軸**(<font color=blue>N-Dimensional Evaluation Axis</font>)<font color=purple>上に</font>**配置**(<font color=blue>Layout</font>)<font color=purple>可能な</font>**機構**(<font color=blue>System</font>)」に拡張するには、**無限遠点**(<font color=blue>Inf(inity)</font>)の**概念**(<font color=blue>Concept</font>)からの再出発を必要とします。
[脳と時空間のつながり vol.1 理化学研究所 脳神経科学研究センター(理研CBS)](https://cbs.riken.jp/jp/public/tsunagaru/fujisawa/01/)
[assumptionの意味・使い方・読み方 | Weblio英和辞書](https://ejje.weblio.jp/content/assumption)

#最も原始的な観測環境(<font color=blue>Most Primitive Observation Environment</font>)と、それへの単位元(<font color=blue>Identity Element</font>)概念の導入

まずは**最も原始的な観測環境**(<font color=blue>Most Primitive Observation Environment</font>)として**N次元評価軸**(<font color=blue>N-Dimensional Evaluation Axis</font>)を有する**観測原点**(<font color=blue>Observation Origin</font>)<font color=green>Xn(n=1→Inf){0,0,0,…,0}</font>と**観測対象**(<font color=blue>Observation Target</font>)の**極限**(<font color=blue>Limit</font>)たる**無限遠点**(<font color=blue>Inf(inity)</font>)<font color=green>Yn(n=1→Inf){Inf,Inf,Inf,…,Inf}</font>の２点を置き、両者を最短距離で結ぶ**観測線**(<font color=blue>Observation Line</font>)を設定します。

* **観測線**とはいえ、実際の見え方としてはある種の**極座標系**(<font color=blue>Polar Coordinate System</font>)、すなわち一端がを観測原点に固定され、もう一端が**無限長**(<font color=blue>Unlimited Length</font>)の**無限次元**(<font color=blue>Unlimited Dimensions</font>)に**発散**(<font color=blue>Convergence</font>)/**収束**(<font color=blue>Divergence</font>)する**同心円**(<font color=blue>Concentric Circles</font>)/**同心球面**(<font color=blue>Concentric Sphere</font>)と映る。ただしこの段階ではあくまで単層。<br>[【Rで球面幾何学】等差数列(算術数列)②数直線概念から同心円集合概念へ](https://qiita.com/ochimusha01/items/2a16c3cba3f88986c767)<br>![image.gif](https://qiita-user-contents.imgix.net/https%3A%2F%2Fqiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com%2F0%2F597772%2F75d73c90-9af4-26aa-b976-65065d64f546.gif?ixlib=rb-1.2.2&auto=format&gif-q=60&q=75&w=1400&fit=max&s=3bee8c2be812b56bcf148b69544fe4ec)
* そう、この距離が<font color=green>{0,Inf}</font>間しか存在せず、**半径**(<font color=blue>Radius</font>)が**観測距離無限**(<font color=blue>Unlimited Observation Length</font>)/**観測次元数無限**(<font color=blue>Unlimited Observation Dimensions</font>)の**無限円**(<font color=blue>Infinity Circle</font>)/**無限球面**(<font color=blue>Infinity Sphere</font>)のみが存在する空虚な状態こそが、あらゆる**観測環境**(<font color=blue>Observation Environment</font>)の原風景といえよう。要するに「**視野内に何もない宇宙空間を漂流する宇宙飛行士の視界**」である。<br>[【無限遠点を巡る数理】「無限遠点への発散」=「無限遠点への収束」?](https://qiita.com/ochimusha01/items/84b1d19b2098c96052d9)
* 我々はこの状態より先に進む為、2次元空間と3次元空間を扱う事に特化したある種の「(<font color=blue>カンブリア爆発期以降、一部の生物が視覚とそれに呼応する脊髄と運動機関のフィードバック体系を獲得する過程で依存する様になった</font>)**原始デカルト座標系** (<font color=blue>Primitive Cartesian Coordinate System</font>)」を利用してきた。実際、人類が純粋に数理上の演繹だけで「**過去・現在・未来を有する前後左右上下のある空間**」を相応の範囲で規定可能となったのはごく最近の出来事に過ぎない。<br>[【無限遠点を巡る数理】「ピタゴラスの定理」と「デカルト座標系」の狭間](https://qiita.com/ochimusha01/items/e27e9cd6aad824043a59)

そしてここでいう**原始デカルト座標系** (<font color=blue>Primitive Cartesian Coordinate System</font>)から離れる為の最初の一歩が、**単位元**（<font color=blue>Identity Element</font>)の**概念**(<font color=blue>Concept</font>)の**導入**(<font color=blue>Introduction</font>)となる訳です。
[単位元 - Wikipedia](https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%8D%98%E4%BD%8D%E5%85%83)

#「<font color=purple>距離1と次元数1の抽出→再帰演算処理による2以降/0以下の数字の補完と数直線の構成</font>」によって到達する自然数、整数、有理数の定義。そして観測値分断問題(<font color=blue>The Probrem of Division of Observation Line</font>)の始まり。

**単位元**（<font color=blue>Identity Element</font>)の概念から出発すれば、新たな**観測尺度**(<font color=blue>Observation Scale</font>)として**等差数列**(<font color=blue>Arithmetic Sequence=算術数列</font>)<font color=green>Xn(n=-Inf→-1→0→1→Inf){-Inf,…,-1,0,1,…,Inf}</font>や**等比数列**(<font color=blue>Geometric Sequence=幾何数列</font>)<font color=green>Xn(n=-Inf→0→→Inf){1/Inf,…,Inf/Inf,…,Inf/1}</font>の概念を得る事が出来ます。

* 特定の次元について**無限遠点**(<font color=blue>Infinity</font>)<font color=green>/</font>**無限遠点**(<font color=blue>Infinity</font>)<font color=green>=1</font>を**乗法単位元**(<font color=blue>Multiplicative Identity</font>)と置くと、**加法単位元**（<font color=blue>Additive Identity</font>）<font color=green>0=1/</font>**無限遠点**(<font color=blue>Infinity</font>)と**無限遠点そのもの**(<font color=blue>Infinity Itself</font>)<font color=green>=</font>**無限遠点**(<font color=blue>Infinity</font>)<font color=green>/1</font>は互いに**逆数**(<font color=blue>Reciprocal</font>）の関係にあると定義される。
* この様にある数<font color=green>x</font>に**逆数**(<font color=blue>Reciprocal</font>）<font color=green>1/x</font>を掛けた数が**乗法単位元**（<font color=blue>Multiplicative Identity</font>）<font color=green>1</font>である様に、ある数に足すと**加法単位元**（<font color=blue>Additive Identity</font>）<font color=green>0</font>となる数が**反数**（<font color=blue>Opposite</font>)であり、**乗法単位元**（<font color=blue>Multiplicative Identity</font>）<font color=green>1</font>の場合それは符号を逆転させた<font color=green>-1</font>となる。

**群論**(<font color=blue>Group Theory</font>)でいうところの**加法群**(<font color=blue>Additive Group</font>)と**乗法群**(<font color=blue>Multiplicative Group</font>)の関係性の大源流？
[これから群論を学ぶ方のための入門講座](https://blog.visvirial.com/articles/315)
[群について基本的なこと:物理のかぎしっぽ]
(http://hooktail.sub.jp/algebra/GroupBasic/)
[「加法群・乗法群」って？ - Togetter](https://togetter.com/li/380319)

* **形而上学者**(<font color=blue>Metaphysicist</font>)は<font color=green>1</font>なる数字を神聖視していたが、実際「<font color=purple>距離1と次元数1の抽出→再帰演算処理による2以降/0以下の数字の補完と数直線の構成</font>」こそが**最も原始的な観測環境**(<font color=blue>Most Primitive Observation Environment</font>)から脱却する為の第一歩たる**数直線**(<font color=blue>Number Line</font>)構築の前提なので、その考え方自体は当たらずとも遠からずだったといえる。ただし、そうやって**原始デカルト座標系** (<font color=blue>Primitive Cartesian Coordinate System</font>)の**祝福**/**呪縛**から解放された**数理**(<font color=blue>Mathematical Things</font>)の世界は、以降次第に(<font color=blue>彼らが想像だに出来なかった</font>)真の姿を取り戻していく展開を迎える。

とにかく、これでやっと**自然数**(<font color=blue>Natural Number</font>)<font color=green>N</font>と**整数**(<font color=blue>Integer Number</font>)<font color=green>Z</font>などの定義が**導入**(<font color=blue>Introduction</font>)可能となりました。
[【初心者向け】集合論②「数直線の連続性」を巡る自然数/整数と有理数の定義上の断絶について](https://qiita.com/ochimusha01/items/0820ba0b7b6001d80819)

* **自然数**(<font color=blue>Natural Number</font>)<font color=green>N</font>の定義…**等差数列**(<font color=blue>Arithmetic Sequence</font>)<font color=green>Nn(n=1→Inf(inity)){1=1,2=1+1,3=1+(1+1),4=1+(1+(1+1))…,Inf}</font>の形で表される。**加法単位元**（<font color=blue>Additive Identity</font>）<font color=green>0</font>と**乗法単位元**（<font color=blue>Multiplicative Identity</font>）<font color=green>1</font>の**距離**(<font color=blue>Distance</font>)<font color=green>1</font>から出発。
* **加法群**(<font color=blue>Additive Group</font>)でもある**整数**(<font color=blue>Integer Number</font>)<font color=green>Z</font>の定義…**等差数列**(<font color=blue>Arithmetic Sequence</font>)<font color=green>Zn(n=Inf→-1→0→1→-Inf){1=1,0=1-1,-1=1-(1+1),-2=1-((1+1)+1),…,Inf}</font>の形で表される。上掲の自然数列に**加法単位元**（<font color=blue>Additive Identity</font>）<font color=green>0</font>を中心として**反数**（<font color=blue>Opposite</font>)<font color=green>-1</font>を掛けた**等差数列**(<font color=blue>Arithmetic Sequence</font>)<font color=green>Zn(n=1→-Inf){1=1,0=1-1,-1=1-(1+1),-2=1-((1+1)+1),…,Inf}</font>を合成した結果。
* **乗法群**(<font color=blue>Multiplicative Group</font>)でもある、単一元のみで構成される(<font color=blue>要するにa*bやa/bといった形でない</font>)**有理数**(<font color=blue>Rational number</font>)の定義…<font color=green>Qn(n=-Inf,…,-3,-2,-1,0,1,2,3,…,Inf){1/Inf=0,…,1/x^3,1/x^2,1/x,1,x,x^2,x^3,…,Inf}</font>の形で表される。**乗法単位元**（<font color=blue>Multiplicative Identity</font>）<font color=green>1</font>を中心に正の整数を添字とする**等比数列**（<font color=blue>Geometric Sequence</font>）<font color=green>Qn(n=0,1,2,3,…,Inf){1,x^1=x,x^2=x*x,x^3=x*x*x,…,x^Inf=Inf}</font>と負の整数を添字とする**等比数列**（<font color=blue>Geometric Sequence</font>）<font color=green>Qn(n=0,-1,-2,-3,…,-Inf){1,1/x^1=1/x,1/x^2,1/x^3,…,1/x^Inf=1/Inf=0}</font>を合成したもの。その**公比**（Common Ratio)次第で複雑な収束の仕方をする事でも知られる。<br>[等比数列(幾何数列)①その基本的性質について。](https://qiita.com/ochimusha01/items/cbbe0eadabf149fc720b)<br>[等比数列(幾何数列)②同心円集合に射影する準備](https://qiita.com/ochimusha01/items/3c9b6aa40a3033a0f350)<br>[等比数列(幾何数列)③振動関数を巡る収束と拡散。](https://qiita.com/ochimusha01/items/0814db1de32fbf88d070)<br>[等比数列(幾何数列)④公比Dが正の場合の収束と拡散, そして対数尺](https://qiita.com/ochimusha01/items/c9803fd63871097d77ce)<br>![image.gif](https://qiita-user-contents.imgix.net/https%3A%2F%2Fqiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com%2F0%2F597772%2F82054f72-6bc1-6ea9-215a-16ac0f009c2b.gif?ixlib=rb-1.2.2&auto=format&gif-q=60&q=75&w=1400&fit=max&s=d8f93000a1890947bb92cd52503e247e)

こうした純粋に**数理**(<font color=blue>Mathematical Things</font>)、すなわち「<font color=purple>距離1と次元数1の抽出→再帰演算処理による2以降/0以下の数字の補完と数直線の構成</font>」から出発する定義の成立が、同時に**無限遠点**(<font color=blue>Inf(inity)</font>)に到達不可能となる「**観測値分断問題**(<font color=blue>The Probrem of Division of Observation Line</font>)」の始まりを意味したりするからややこしいのです。
[【無限遠点を巡る数理】観測距離無限状態と観測次元数無限状態がもたらす「観測値分断問題」について。](https://qiita.com/ochimusha01/items/67c404624d1b62d0f728)

#そして改めて浮上してくる「<font color=purple>半径の2倍は直径でOK?</font>」問題。

ところでここでいう(<font color=blue>自然数や整数の構成する</font>)**等差数列**と(<font color=blue>有理数が構成する</font>)**等比数列**の境界線はそれほどはっきりしたものもありません。何しろ以下の様にも表記出来てしまうのです。

* <font color=green>1=1^n</font>(<font color=blue>乗法単位元でもあるので何乗しても1は1のまま</font>)
* <font color=green>1+1=1*2=2^1=2</font>
* <font color=green>(1+1)+(1+1)=2*2=2^2=4</font>
* <font color=green>((1+1)+(1+1))+((1+1)+(1+1))=2*2*2=2^3=8</font>

その一方で(<font color=blue>演算上、その出現順序に大きな意味がある</font>)**反数**を用いた**減算**や、**逆数**を用いた**除算**により複数の「<font color=purple>距離1と次元数1の抽出→再帰演算処理による2以降/0以下の数字の補完と数直線の構成</font>」を合成すると、それだけでもう**結合則**（<font color=blue>Associative law</font>)<font color=green>(a○b)○c=a○(b○c)</font>や**交換則**（<font color=blue>Commutative Law</font>）<font color=green>a○b=b○a</font>や**分配法則**(<font color=blue>Distributive property</font>)<font color=green>a×(b○c)=(a×b)○(a×c),a/(b○c)=(a/b)○(a/c),(a○b)×c=(a×c)○(b×c),(a○b)/c=(a/c)○(b/c)</font>に綻びが生じてしまう問題も浮上してきます。
[交換法則、結合法則、分配法則](https://mathwords.net/koukanhousoku)
[交換法則 - Wikipedia](https://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%BA%A4%E6%8F%9B%E6%B3%95%E5%89%87)
[結合法則 - Wikipedia](https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%B5%90%E5%90%88%E6%B3%95%E5%89%87)
[分配法則 - Wikipedia](https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%88%86%E9%85%8D%E6%B3%95%E5%89%87)

ここで興味深いのが**無限遠点**(<font color=blue>Inf(inity)</font>)と**交換則**（<font color=blue>Commutative Law</font>）の関係。

* <font color=green>Inf+a=a+Inf=Inf</font>(<font color=blue>交換則が成立</font>)
* <font color=green>Inf-a=Inf, a-Inf=-Inf</font>(<font color=blue>交換則が成立しない</font>)
* <font color=green>Inf*a=a*Inf=Inf</font>(<font color=blue>交換則が成立</font>)
* <font color=green>Inf/a=Inf, a/Inf=0</font>(<font color=blue>交換則が成立しない</font>)

ちなみに応用でこうも考えられます。

* <font color=green>Inf-Inf=0</font>(<font color=blue>加法単位元</font>)
* <font color=green>Inf/Inf=1</font>(<font color=blue>乗法単位元</font>)

あれ、もしかして、この話とも重なってくる部分が？
[【無限遠点を巡る数理】「ピタゴラスの定理」と「デカルト座標系」の狭間](https://qiita.com/ochimusha01/items/e27e9cd6aad824043a59)
**半径**(<font color=blue>Raduus</font>)が構成するのは**片側無限算術数列**(<font color=blue>One-Sided Infinite Sequence</font>)
<font color=red>「自然数の世界」に該当</font>
![image.gif](https://qiita-user-contents.imgix.net/https%3A%2F%2Fqiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com%2F0%2F597772%2F75d73c90-9af4-26aa-b976-65065d64f546.gif?ixlib=rb-1.2.2&auto=format&gif-q=60&q=75&s=b93813f1100ef2cc50921cadb128bbde)
**直径**(<font color=blue>Diameter</font>)が構成するのは**両側無限算術数列**(<font color=blue>both-Sided Infinite Sequence</font>)。
<font color=red>「整数の世界」に該当</font>
**直線**<font color=green>x=0</font>を軸線に選んだ場合<br>(<font color=blue>xの値の推移は-1から+1に及ぶが、Yの値は0以下/0以上に留まる</font>)。![image.gif](https://qiita-user-contents.imgix.net/https%3A%2F%2Fqiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com%2F0%2F597772%2F078d2c08-3782-8695-94e9-18366c757687.gif?ixlib=rb-1.2.2&auto=format&gif-q=60&q=75&s=70552b08a5037cd32e2694d6f34b2065)
**直線**<font color=green>y=0</font>を軸線に選んだ場合<br>(<font color=blue>yの値の推移は-1から+1に及ぶが、xの値は0以下/0以上に留まる</font>)。![image.gif](https://qiita-user-contents.imgix.net/https%3A%2F%2Fqiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com%2F0%2F597772%2F9a0c5d24-9957-370a-2a49-04fdbe1426e6.gif?ixlib=rb-1.2.2&auto=format&gif-q=60&q=75&w=1400&fit=max&s=92ca794e529dfe75a10d15edcca3d719)

そうは言っても「<font color=purple>距離1と次元数1の抽出→再帰演算処理による2以降/0以下の数字の補完と数直線の構成</font>」の最初の成果たる「<font color=purple>片側数列</font>」**自然数**から出発して「**群としての体裁を整える**=<font color=purple>両側数列に拡張する</font>」為にはこれらの演算を駆使せざるを得ず、まさにそのプロセスこそが以下の様な「<font color=purple>直径の検出=円弧/球表面上の対蹠間を結ぶ立体幾何学の開始</font>」と結びついているのです。
…
![image.gif](https://qiita-user-contents.imgix.net/https%3A%2F%2Fqiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com%2F0%2F597772%2Fdf9f4e61-ff1c-63ee-e038-ad81b86f78be.gif?ixlib=rb-1.2.2&auto=format&gif-q=60&q=75&s=88cee2dce6635dd55953a75496e024da)

* 「<font color=purple>円上において対蹠と任意の1点を1回だけ直角に曲がって結ぶ経路</font>」や「<font color=purple>球表面上において任意の2点を2回だけ直角に曲がって結ぶ経路</font>」に注目する「**ハミルトンの四元数**(<font color=blue>Hamilton's Quaternion</font>)」の世界<br>[ハミルトンの四元数(Hamilton's Quaternion)は何を表しているのか？](https://qiita.com/ochimusha01/items/aff8d52f20af01d13bed)<br>![image.gif](https://qiita-user-contents.imgix.net/https%3A%2F%2Fqiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com%2F0%2F597772%2Fa3185dfd-eb2e-00be-01b7-79cd6d8f019f.gif?ixlib=rb-1.2.2&auto=format&gif-q=60&q=75&w=1400&fit=max&s=eeaefffaf4f733cc97dc3d68cbd79144)
<br>![image.gif](https://qiita-user-contents.imgix.net/https%3A%2F%2Fqiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com%2F0%2F597772%2F3844c54d-27e6-a8c9-ef6c-d52cc999284f.gif?ixlib=rb-1.2.2&auto=format&gif-q=60&q=75&w=1400&fit=max&s=4042c4fbf123a5be2fdd6df13e3f666e)
* **オイラーの多面体定理**(<font color=blue>Euler's Polyhedral Theorem</font>)<font color=green>V</font>(<font color=blue>Vertexes=頂点数</font>)<font color=green>-E</font>(<font color=blue>Edges=辺数</font>)<font color=green>+F</font>(<font color=blue>Faces=面数</font>)<font color=green>=2</font>(<font color=blue>Antipodes=対蹠数</font>)に従って対蹠間を結ぶさらに複雑な経路を求める**多面体幾何学**の世界。ただしこれに含まれる「**超八面体**(<font color=blue>Super Octahedron</font>)=<font color=purple>立方体を対角線に沿って直角に交差させ正八面体</font>（<font color=blue>Regular Octahedron</font>）<font color=purple>を生じさせる操作を無限に再帰的に繰り返す結果生まれる図形</font>」といった諸概念は上掲の演算の延長線上に現れる(<font color=blue>距離{0,1,Inf}の0から1にかけて成立</font>)。<br>[【オイラーの多面体定理と正多面体】とある「球面幾何学」の出発点…](https://qiita.com/ochimusha01/items/5f8dbf33bac5b7227a11)<br>![image.gif](https://qiita-user-contents.imgix.net/https%3A%2F%2Fqiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com%2F0%2F597772%2F6e64f26c-04fd-6724-434f-4a8dc3ac784e.gif?ixlib=rb-1.2.2&auto=format&gif-q=60&q=75&w=1400&fit=max&s=42445c01c76f8cafba47ccb9e62bfc1f)

こうして全体像の俯瞰がやっと可能になった辺りで、以下続報…