単利、複利計算のさらに向こう側の計算



### 債権による恒常的な収益がある場合の計算とその場合分け

### **変数定義**

月利（複利）  $r$

初期証拠金 $M_{init}$円

経過月数 $m$

月増加率 $R = (1+r)$

毎月積立る金額 $S_{in}$

毎月消費する金額 $S_{out}$

$m$ヵ月後の残高  $G_m$

$x$か月後に口座からお金の消費を始めるとする。

### 要約解

$G_1$:初期証拠金 $M_{init}$ 円入金した$m$ヵ月経過後の残高    ([導出1](#導出１))
$$
G_1 = M_{init} R^m
$$


$G_2$:初期証拠金 $M_{init}$ 円入金し、次月以降$S^{in}$円積立て$m$ヵ月経過後の残高  ([導出2](#導出２))
$$
G_2 = M_{init}R^m+S_{in}\sum_{n=1}^{m-1} R^{n}
$$

$G_3$:さらに$x$ヵ月後から毎月$S_{out}$円引き落として$m$ヵ月経過後の残高  ([導出3](#導出３))

$$
G_3 = M_{init}R^m+S_{in}\sum_{n=1}^{m-1} R^{n}-S_{out} \sum_{n=1}^{m-(x-1)} R^{n}  \\
$$
この時、何か月後から$S_{out}$円お金をおろしていよいかを計算すると ([導出4](#導出４))
$$
\frac{\log{\left( \frac{S_{out}R^{2}}{M_{init}\left(R-1\right)+S_{in}} \right) }}
					{\log{R}}
$$

毎月$S_{out}$ 円引き落とせるようになった月で、月初めの残高$G_{com}$との関係 ([導出5](#導出５))
$$
G_{com} = \frac{R}{R-1}\left(S_{out} - S_{in} \right)
$$
つまり、毎月$\left(S_{out} - S_{in} \right)$ お金をおろしたいとき、その$\frac{R}{R-1}$倍の残高がたまるまで待てばよいということになる。



## 導出１

$G^1$:初期証拠金 $M^{init}$ 円入金した$m$ヵ月経過後の残高の導出


```math
\begin{eqnarray}
1か月目\qquad M_1  &=&  M_{init}R \\
2か月目\qquad M_2  &=&  (M_{init}R)R  \\
3か月目\qquad M_3  &=&  ((M_{init}R)R)R\\
m か月目\qquad M_m  &=&  M_{init}R^m\\
\end{eqnarray}
``` 


## 導出２

$G^2$:初期証拠金 $M_{init}$ 円入金し、次月以降$S^{in}$円積立て$m$ヵ月経過後の残高

```math
\begin{eqnarray}
1か月目\qquad M_1  &=&  M_{init}R\\
2か月目\qquad M_2  &=&  (M_{init}R+S_{in})R  \\
3か月目\qquad M_3  &=&  ((M_{init}R+S_{in})R+S_{in})R   \\
4か月目\qquad M_4  &=&  (((M_{init}R+S_{in})R+S_{in})R+S_{in})R   \\
				  &=&  	M_{init}R^4+S_{in}R^3+S_{in}R^2+S_{in}R  \\
m か月目\qquad M_m  &=&  M_{init}R^m+S_{in}\sum_{n=1}^{m-1} R^{n}  \\
\end{eqnarray}
``` 

## 導出３

$G^3$:さらに$x$ヵ月後から毎月$S_{out}$円引き落として$m$ヵ月経過後の残高

一度5ヶ月目から毎月$S_{out}$円引き落とすことを想定すると

```math
\begin{eqnarray}
1か月目\qquad M_1  &=&  M_{init}R\\
2か月目\qquad M_2  &=&  (M_{init}R+S_{in})R  \\
3か月目\qquad M_3  &=&  ((M_{init}R+S_{in})R+S_{in})R   \\
4か月目\qquad M_4  &=&  (((M_{init}R+S_{in})R+S_{in})R+S_{in})R   \\
5か月目\qquad M_5  &=&  ((((M_{init}R+S_{in})R+S_{in})R+S_{in})R+S_{in}-S_{out})R   \\
6か月目\qquad M_6  &=&  (((((M_{init}R+S_{in})R+S_{in})R+S_{in})R+S_{in}-S_{out})R+S_{in}-S_{out})R\\
				  &=&  M_{init}R^6+S_{in}\sum_{n=1}^{6-1} R^{n}-S_{out}R^2-S_{out}R  \\
				  &=&  M_{init}R^6+S_{in}\sum_{n=1}^{6-1} R^{n}-S_{out} \sum_{n=1}^{6-(5-1)} R^{n}  \\
\end{eqnarray}
```


一般化して、$x$ヶ月後から引き落とすことになる場合$m$ヶ月後の残高は

```math
\begin{eqnarray}
m か月目\qquad M_m  &=&  M_{init}R^m+S_{in}\sum_{n=1}^{m-1} R^{n}-S_{out} \sum_{n=1}^{m-(x-1)} R^{n}  \\
\end{eqnarray}
```


## 導出４

このような状況のなか、

何か月後から$S_{out}$円のお金をおろしてよいかを計算する。

何か月後かを$x$か月後と表現する。

$G_3:m$ ヶ月後に$S_{out}$円引き落とした後に運用した時の残高

$G_2:m-1$ ヵ月時点での運用した残高

この時の束縛条件

```math
G_3 - G_2 \geqq 0
```
すると

```math
\begin{eqnarray}
	G_3 - G_2 &\geqq& 0 \\
	\left(M_{init}R^m+S_{in}\sum_{n=1}^{m-1} R^{n}-S_{out} \sum_{n=1}^{m-(m-1)} R^{n}\right)
	- \left( M_{init}R^{m-1}+S_{in}\sum_{n=1}^{m-2} R^{n}\right)  &\geqq& 0 \\
	M_{init}\left(R^m- R^{m-1}\right)+S_{in}R^{m-1}-S_{out}R  &\geqq& 0 \\
	M_{init}R^{m}\left(R-1\right)+S_{in}R^{m}  &\geqq& S_{out}R^{2} \\
	R^{m} &\geqq& \frac{S_{out}R^{2}}{M_{init}\left(R-1\right)+S_{in}}\\
	m \log{R} &\geqq& \log{\left( \frac{S_{out}R^{2}}{M_{init}\left(R-1\right)+S_{in}} \right) }\\
	m &\geqq& \frac{\log{\left( \frac{S_{out}R^{2}}{M_{init}\left(R-1\right)+S_{in}} \right) }}
					{\log{R}}
	
\end{eqnarray}
```


## 導出５

月初めの残高 $G_{com}$としたとき、先月までの生産した額と同じなので、

```math
\begin{eqnarray}
G_{com} &=& &MR^{m-1}& +&S_{in}\sum_{n=1}^{m-2} R^{n}& \\
G_{com} &=& &G_{com1}& + &G_{com2}&\\
\end{eqnarray}
```
と置ける。

この時の束縛条件

```math
G_3 - G_2 \geqq 0
```
すると

```math
\begin{eqnarray}
	G_3 - G_2 &\geqq& 0 \\
	\left(M_{init}R^m+S_{in}\sum_{n=1}^{m-1} R^{n}-S_{out} \sum_{n=1}^{m-(m-1)} R^{n}\right)
	- \left( M_{init}R^{m-1}+S_{in}\sum_{n=1}^{m-2} R^{n}\right)  &\geqq& 0 \\
	\left(M_{init}R^m+(S_{in}\sum_{n=1}^{m-2} R^{n})R+S_{in}R-S_{out}R\right)
	- \left( M_{init}R^{m-1}+S_{in}\sum_{n=1}^{m-2} R^{n}\right)  &\geqq& 0 \\
	\left(G_{com1}R +G_{com2}R+S_{in}R-S_{out}R \right)-\left(G_{com1}+G_{com2} \right)&\geqq& 0 \\
	G_{com}&\geqq& \frac{R}{R-1}\left(S_{out} - S_{in} \right)
\end{eqnarray}
```