【無限遠点を巡る数理】原始座標群(Primitive Coordinate Group)なる「事象の墓場」概念の設定

繰り返し用いる**概念**(<font color=blue>Concept</font>)なのでとりあえず定義しておきます。
![image.gif](https://cdn-ak.f.st-hatena.com/images/fotolife/o/ochimusha01/20201127/20201127192918.gif)

```R
#CVCM=等速円運動（Constant Velocity Circular Motion）
#Radian=角度（60分割）
CVCM<-function(Radian){
c0<-seq(0,2*pi,length=60)
cx<-cos(c0)
cy<-sin(c0)
plot(cx,cy,asp=1,type="l",col=rgb(0,1,0),main="Infinity Circle",xlab="cos(θ)",ylab="sin(θ)")

#塗りつぶし（円）
polygon(cx, #x
cy, #y
density=c(30), #塗りつぶす濃度
angle=c(45),　 　　　#塗りつぶす斜線の角度
col=c(200,200,200)) 　#塗りつぶす色
text(0,0,"(0,0,0,…)",col=rgb(1,0,0))
text(cx[Radian],cy[Radian],"(Inf,Inf,Inf,…)",col=rgb(1,0,0))
segments(cx[Radian],cy[Radian],0,0,col=rgb(1,0,0))

#凡例
legend("bottomright", legend=c("side=2π*Inf","radius=Inf"), lty=c(1,1), col=c(rgb(0,1,0),rgb(1,0,0))) 
}
#アニメーション
library("animation")
Time_Code=seq(1,59, length=30)
saveGIF({
for (i in Time_Code){
　CVCM(i)
}
}, interval = 0.1, movie.name = "CVCM02.gif")
```
#観測原点(<font color=blue>Observation Origin</font>)と観測対象(<font color=blue>Observation Target</font>)。距離<font color=green>0</font>と距離無限遠<font color=green>Inf(inity)</font>そして原始点(<font color=blue>Primitive point</font>)。

**観測次元数無制限**(<font color=blue>Observation Dimensions Unlimited</font>)かつ**観測距離無限**(<font color=blue>Unlimited Observation Length</font>)の状況から出発します。この時点で**距離概念**(<font color=blue>Distance Concept</font>)として成立し得るのは以下の2つ。

* **観測原点**(<font color=blue>Observation Origin</font>)=**観測対象**(<font color=blue>Observation Target</font>)=<font color=green>{0,0,0,0,…,0}</font>あるいは<font color=green>{Inf(inity),Inf(inity),Inf(inity),…,Inf(inity)}</font>と置いた場合の**距離**(<font color=blue>Distance</font>)<font color=green>0</font>
* **次元数無制限**(<font color=blue>Dimensions Unlimited</font>)の**観測原点**<font color=green>{0,0,0,…,0}</font>と**観測対象**<font color=green>{Inf(inity),Inf(inity),Inf(inity),…,Inf(inity)}</font>を結ぶ**距離無限遠**<font color=green>Inf(inity)</font>。

以降、前者を特に**原始点**(<font color=blue>Primitive point</font>)と呼ぶ事にします。

#**原始線**(<font color=blue>Primitive Line</font>)/**原始円**(<font color=blue>Primitive Circle</font>)/**原始球面**(<font color=blue>Primitive Shere</font>)そして**原始座標集合**(<font color=blue>Primitive Coordinate Set</font>)/**原始座標系**(<font color=blue>Primitive Coordinate System</font>)。

この展開から**片側無限数列**(<font color=blue>One Side Infinity Sequance</font>)としての**無限直線**(<font color=blue>Unlimited/Inf(inity) Line</font>)概念が成立しますが、**観測原点**<font color=green>0</font>で固定されているだけなので距離<font color=green>Inf(inity)</font>を**半径**(<font color=blue>Radius</font>)<font color=green>{0,r}</font>の値に取る**無限円**(<font color=blue>Unlimited/Inf(inity) Circle</font>)や**無限球面**(<font color=blue>Unlimited/Inf(inity) Sphere</font>)の概念も並行成立してしまいます(<font color=red>というか、この段階の数理にはそれを峻別する手段がない</font>)。これを以降それぞれ**原始線**(<font color=blue>Primitive Line</font>)/**原始円**(<font color=blue>Primitive Circle</font>)/**原始球面**(<font color=blue>Primitive Shere</font>)と呼び分ける一方で(<font color=red>次元抽出の明示がない限り</font>)**原始線**=**原始円**=**原始球面**が成立するとし、さらに先に述べた**原始点**(<font color=blue>Primitive point</font>)を加えた集合を以降**原始座標集合**(<font color=blue>Primitive Coordinate Set</font>)と呼ぶ事にします。

* **極座標系**(<font color=blue>Polar Coordinates System</font>)でいうと**距離集合**(<font color=blue>Distance Set</font>)<font color=green>{0,r}={0,Inf(inity)}</font>、**角度集合**(<font color=blue>Angle Set</font>)<font color=green>∅n(n=0)={}</font>(<font color=blue>空集合</font>)のみが成立している状態。ただし<font color=red>中心から円弧上の任意の点に伸ばした垂線は全て垂直に交わる</font>ので、状況により**角度集合**(<font color=blue>Angle Set</font>)<font color=green>∅n(n=0):-π/2ラジアン</font>(<font color=blue>90度</font>)が成立。
* **直交座標系**(<font color=blue>Cartesian Coordinate System</font>)でいうと**ピタゴラスの定理**(<font color=blue>Pythagorean theorem</font>)<font color=green>半径r=sqrt(X^2+Y^2+Z^2…)</font>及びその演算結果集合たる**一様分布**(<font color=blue>Uniform Distribution</font>)/**連続一様分布**(<font color=blue>Continuous Uniform Distribution</font>)</font>)<font color=green>Αn{n=0,Inf(Inity)}{Inf(inity),Inf(inity),Inf(inity)…}</font>のみが成立している状態。

こういう観点から見た場合の**原始座標集合**を**原始座標系**(<font color=blue>Primitive Coordinate System</font>)と呼ぶ事にします。

#原始座標群(<font color=blue>Primitive Coordinate Group</font>)の設定を試みる。

**原始点**、**原始線**、**原始円**、**原始球面**は次元増減演算の結果集合でもあるので**群論**(<font color=blue>Group Theory</font>)の概念が導入可能かもしれません。

* **単位元**(<font color=blue>Identity Element</font>)として**観測原点**<font color=green>Od</font>(<font color=blue>d(imention)=0,1,2,3,…,Inf(inity)</font>)=<font color=green>{0,0,0,0,…,0}</font>を置く。
* **正元**(<font color=blue>Reguler Erement</font>)として<font color=green>Αd</font>(<font color=blue>d(imention)=1,2,3,…,Inf(inity)</font>){…**原始点**(<font color=blue>Primitive point</font>)<font color=green>Α(d)</font>,**原始線**(<font color=blue>Primitive Line</font>)<font color=green>Α(d+1)</font>,**原始円**(<font color=blue>Primitive Circle</font>)<font color=green>Α(d+2)</font>,**原始球面**(<font color=blue>Primitive Shere</font><font color=green>Α(d+3)</font>)…}を置く。
* **逆元**(<font color=blue>Inverse Erement</font>)として<font color=green>Ad</font>(<font color=blue>d(imention)=1,2,3,…,Inf(inity)</font>){…**原始点**(<font color=blue>Primitive point</font>)<font color=green>Α(d-3)</font>,**原始線**(<font color=blue>Primitive Line</font>)<font color=green>Α(d-2)</font>,**原始円**(<font color=blue>Primitive Circle</font>)<font color=green>Α(d-1)</font>,**原始球面**(<font color=blue>Primitive Shere</font>)<font color=green>Α(d)</font>…}を置く。
* とりあえず**閉性**(<font color=blue>Closure</font>)も**結合法則**(<font color=blue>Associative Law</font>)も破れない。

私にとってはこの考え方の**導入**(<font color=blue>Introduction</font>)が**N次元概念**(<font color=blue>NDimension Concept</font>)の**見え方**(<font color=blue>Appearance</font>)/**見せ方**(<font color=blue>Presentation</font>)上も、**群論**(<font color=blue>Group Theory</font>)概念の理解上も大きな画期となりました。

* **原始座標群**(<font color=blue>Primitive Coordinate Group</font>)<font color=green>X</font>(<font color=purple>d</font>)</font>(<font color=purple>d(imention)=0,1,2,3,…,Inf(inity)</font>)<font color=green>{</font>**原始点**(<font color=blue>Primitive Point</font>)(<font color=purple>0</font>)=**原始線**(<font color=blue>Primitive Line</font>)(<font color=purple>0</font>)=**原始円**(<font color=blue>Primitive Circle</font>)(<font color=purple>0</font>)=**原始球面**(<font color=blue>Primitive Sphere</font>)(<font color=purple>0</font>)<font color=green>,…,</font></font>**原始球面**(<font color=purple>d-3</font>)<font color=green>,</font>**原始円**(<font color=purple>d-2</font>)<font color=green>,</font>**原始直線**(<font color=purple>d-1</font>)<font color=green>,</font>**観測原点**(<font color=blue>Observative Origin</font>)(<font color=purple>d</font>)<font color=green>,</font>**原始直線**(<font color=purple>d+1</font>)<font color=green>,</font>**原始円**(<font color=purple>d+2</font>)<font color=green>,</font>**原始球面**(<font color=purple>d+3</font>)<font color=green>,…,</font>**原始点**(<font color=purple>Inf</font>)=**原始直線**(<font color=purple>Inf</font>)=**原始円**(<font color=purple>Inf</font>)=**原始球面**(<font color=purple>Inf</font>)}

なお…
[【オイラーの多面体定理と正多面体】正方形における平方対角線と立方体における立方対角線の関係について。](https://qiita.com/ochimusha01/items/9d899779ff8e814beb41)
![image.png](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/597772/cae11f18-42bc-cdad-2358-7eefa10c26fc.png)

* **原始点**(<font color=purple>x,y,z,…</font>)=<font color=green>x=y=…=0</font> ＊**観測原点**(<font color=blue>Observative Origin</font>)(<font color=purple>d=0</font>)や**観測対象**(<font color=blue>Observative Target</font>)(<font color=purple>d=Inf(inity)</font>)と相似形にある。
* **原始直線**(<font color=purple>x,y,z,…)</font>=<font color=green>sqrt(x^2+y^2)</font>=<font color=green>sqrt(x^2+y^2+z^2)</font>=<font color=green>sqrt(x^2+y^2+z^2,…)</font> ＊デカルト座標系の<font color=green>距離単位1</font>に対する対角線。2次元<font color=green>sqrt(2)</font>,3次元<font color=green>sqrt(3)</font>…<font color=green>d(imension)</font>に対して<font color=green>sqrt(d(imension))</font>。
* **原始円**(<font color=purple>sqrt(x^2+y^2),φ</font>)=<font color=green>(sqrt(x^2+y^2)*cos(φ),sqrt(x^2+y^2)*sin(φ)i)</font>なお<font color=green>φ=arccos(x/sqrt(x^2+y^2))</font>
* **原始球面**(<font color=purple>sqrt(x^2+y^2+z^2),φ,θ</font>)=<font color=green>(sqrt(x^2+y^2+z^2)*sin(θ)cos(ϕ)i, sqrt(x^2+y^2+z^2)*sin(θ)sin(ϕ)j,sqrt(x^2+y^2+z^2)*cos(θ)k)</font>なお<font color=green>φ=arccos(x/sqrt(x^2+y^2))</font>,<font color=green>θ=arccos(z/sqrt(x^2+y^2+z^2))</font>

へぇ、こういう考え方も出来るんだ…

#虚数(<font color=blue>Imaginal Number</font>)/複素数(<font color=blue>Complex Number</font>)概念との関係。

ただしこの**原始観測系**(<font color=blue>Primitive Observation System</font>)において、実体として存在するのは**観測原点**と**観測対象への距離**、およびの結果得られる**観測対象の座標**だけであり、**円**や**球面**が「<font color=red>軌跡として想定される</font>」のは、まだ以下の概念の導入前で**可能性範囲**(<font color=blue>Range of Possibilities</font>)の**縮約**(<font color=blue>Reduction</font>)が不可能だからに過ぎません。

* <font color=green>1</font>の概念
* <font color=green>-1</font>や<font color=green>2</font>や**直径**(<font color=blue>Diameters</font>)/**対蹠**(<font color=blue>Antipodess</font>)<font color=green>{-r,0,r}s</font>の概念

**正規分布**(<font color=blue>Normal Distribution</font>)関連の計算環境整備に着手したガウスが、その一方で**分散**(<font color=blue>Variance</font>)概念を知らず「<font color=purple>誤差なんてサンプル数が無限大になれば消えちゃう</font>」程度にしか考えてなかった逸話を思い出しますね。
[【無限遠点を巡る数理】無限遠点(Infinity)としての正規分布と分散概念の歴史](https://qiita.com/ochimusha01/items/15326f0c787a55f174cc)

そう、実はかかる**原始座標集合**には普通の**直線**/**円**/**球面**なら備えていてしかるべき性質の多くが欠如しているのです。

①**モンテカルロ法**(<font color=blue>MC=Monte Carlo method</font>)の導入結果
[【初心者向け】「モンテカルロ法」概説](https://qiita.com/ochimusha01/items/979f43806ef00910ac81)
![20190923041709.gif](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/597772/300dc4cc-97c6-dc12-9003-56d360995a03.gif)

* **半径**が<font color=green>Inf(inity)</font>の時、**円の面積**は理論上<font color=green>π*Inf^2=Inf</font>
* **半径**が<font color=green>Inf(inity)</font>の時、**球の体積**は理論上<font color=green>4/3*π*Inf^3=Inf</font>

②**半径**と**直径**の概念の導入結果
[【無限遠点を巡る数理】無限直線(Infinity Line)/無限円(Infinity Circle)/無限球面(Infinity Sphere)そして無限トーラス(Infinity Torus)?](https://qiita.com/ochimusha01/items/5d83fee2cee0c9d0ef4d)
![image.gif](https://cdn-ak.f.st-hatena.com/images/fotolife/o/ochimusha01/20201126/20201126020800.gif)

* **半径**が<font color=green>Inf(inity)</font>の時、**直径**は<font color=green>Inf*2=Inf</font>
* **直径**が<font color=green>Inf(inity)</font>の時、**半径**は<font color=green>Inf/2=Inf</font>

③円/球面/球を巡る一般公式の導入結果
[【初心者向け】半径・直径・円周長・円の面積・球の表面積・球の体積の計算上の往復](https://qiita.com/ochimusha01/items/e180451a210227bb19a5)

* **半径**が<font color=green>Inf(inity)</font>の時、**円周長**は<font color=green>2π*Inf=Inf</font>
* **半径**が<font color=green>Inf(inity)</font>の時、**円の面積**は<font color=green>π*Inf^2=Inf</font>
* 半径が<font color=green>Inf(inity)</font>の時、**球の表面積**は<font color=green>4π*Inf^2=Inf</font>
* 半径が<font color=green>Inf(inity)</font>の時、**球の体積**は<font color=green>4/3*π*Inf^3=Inf</font>

④**挟み撃ち法**(<font color=purple>Squeeze Theorem</font>)による円周率の推定
そこでは**無限円**に接して接近を続ける**外接多角形**と**内接多角形**の境界線が消失する。まるでブラックホール?
[【無限遠点を巡る数理】観測距離無限状態と観測次元数無限状態がもたらす「観測値分断問題」について。](https://qiita.com/ochimusha01/items/67c404624d1b62d0f728)
![image.gif](https://qiita-user-contents.imgix.net/https%3A%2F%2Fqiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com%2F0%2F597772%2F91fd2787-e634-9a4c-64a8-5616bbd12d65.gif?ixlib=rb-1.2.2&auto=format&gif-q=60&q=75&w=1400&fit=max&s=c20efc397400fba9c7dfb6c62a4fb04b)

まさしく死体累々状態。これが「<font color=red>事象の墓場</font>(<font color=blue>Event Horizon</font>)」そのものの振る舞い？ その代わり円状や球状に顕現する可能性領域はある意味虚数(<font color=blue>Imaginal Number</font>)の一種といえそうで、それならある種の**複素数表現**(<font color=blue>Complex Representation</font>)も可能そうですが、正直言ってこんな**オブジェクト指向プログラミング**（<font color=blue>OOP=Object-Oriented Programming</font>）でいうところの**抽象クラス最上流祖型**(<font color=blue>The Deep One</font>)にそんな手間を掛ける意味がないというのが本当の所なのかもしれません。