【無限遠点を巡る数理】無限直線(Infinity Line)/無限円(Infinity Circle)/無限球面(Infinity Sphere)そして無限トーラス(Infinity Torus)?

とりあえず**距離概念**(<font color=blue>Distance Comcept</font>)が**観測原点**(<font color=blue>Origin of Observation</font>)<font color=green>0=Xn(n=1→Inf){0,0,0,…,0}</font>と**観測対象**(<font color=blue>Target of Observation</font>)の**極限**(<font color=blue>Limit</font>)たる**無限遠点**(<font color=blue>Inf(inity)</font>)<font color=green>Inf=Yn(n=1→Inf){Inf,Inf,Inf,…,Inf}</font>を結ぶ**距離**(<font color=blue>Distance</font>)<font color=green>{0,Inf}</font>間しか存在しか存在しない**最も原始的な観測環境**(<font color=blue>Most Primitive Observation Environment</font>)から出発します。
[【Rで球面幾何学】等差数列(算術数列)②数直線概念から同心円集合概念へ](https://qiita.com/ochimusha01/items/2a16c3cba3f88986c767)

#無限直線(<font color=blue>Infinity Line</font>)/無限円(<font color=blue>Infinity Circle</font>)/無限球面(<font color=blue>Infinity Sphere</font>)は**アーベル群**（<font color=blue>Abelian Group</font>）/**可換群**（<font color=blue>Commutative Group</font>）に分類される線群(<font color=blue>Circle Line</font>)/円群(<font color=blue>Circle Group</font>)/球面群(<font color=blue>Sphere Group</font>)でもある？

ここから**観測原点**(<font color=blue>Origin of Observation</font>)<font color=green>0</font>を**中心**(<font color=blue>Cnter</font>)に据え、**無限直線**(<font color=blue>Infinity line</font>))<font color=green>{0,Inf}</font>を**半径**(<font color=blue>Radius</font>)とする**無限円**(<font color=blue>Infinity Circle</font>)<font color=green>sqrt(x^2+y^2)</font>/**無限球面**(<font color=blue>Infinity Sphere</font>)<font color=green>sqrt(x^2+y^2+z^2)</font>をイメージするのは容易です。

<font color=purple>無限円</font>(<font color=blue>Infinity Circle</font>)/<font color=purple>無限球面</font>(<font color=blue>Infinity Sphere</font>)
![image.gif](https://cdn-ak.f.st-hatena.com/images/fotolife/o/ochimusha01/20201127/20201127214355.gif)

```R
#CVCM=等速円運動（Constant Velocity Circular Motion）
#Radian=角度（60分割）
CVCM<-function(Radian){
c0<-seq(0,2*pi,length=60)
cx<-cos(c0)
cy<-sin(c0)
plot(cx,cy,asp=1,type="l",col=rgb(0,1,0),main="Infinity Circle",xlab="cos(θ)",ylab="sin(θ)")

#塗りつぶし（円）
polygon(cx, #x
cy, #y
density=c(30), #塗りつぶす濃度
angle=c(45),　 　　　#塗りつぶす斜線の角度
col=c(200,200,200)) 　#塗りつぶす色
text(0,0,"(0,0,0,…)",col=rgb(0,0,1))
text(cx[Radian],cy[Radian],"(Inf,Inf,Inf,…)",col=rgb(0,0,1))
segments(cx[Radian],cy[Radian],0,0,col=rgb(0,0,1))

#凡例
legend("bottomright", legend=c("side=2π*Inf","radius=Inf"), lty=c(1,1), col=c(rgb(0,1,0),rgb(0,0,1))) 
}
#アニメーション
library("animation")
Time_Code=seq(1,59, length=30)
saveGIF({
for (i in Time_Code){
　CVCM(i)
}
}, interval = 0.1, movie.name = "CVCM02.gif")
```
ところで**群論**(<font color=blue>Group Theory</font>)において**群概念**(<font color=blue>Group Concept</font>)の成立条件を満たすには**単位元**(<font color=blue>Identity Element</font>)と**逆元**(<font color=blue>Inverse Element</font>)を定める必要があり、**半径**(<font color=blue>Radius</font>)<font color=green>{0,Inf}</font>にとってそれは**観測原点**(<font color=blue>Origin of Observation</font>)<font color=green>0</font>を**単位元**に定め、**観測対象**(<font color=blue>Target of Observation</font>)<font color=green>Inf</font>の**逆元**<font color=green>-Inf</font>の概念を追加する、すなわち**対蹠**(<font color=blue>Antipode</font>)<font color=green>{0,-Inf}</font>概念を追加して**直径**(<font color=blue>Diameter</font>)</font><font color=green>{-Inf,0,Inf}</font>を定めるプロセスに他なりません。

<font color=purple>無限円</font>(<font color=blue>Infinity Circle</font>)/<font color=purple>無限球面</font>(<font color=blue>Infinity Sphere</font>)
![image.gif](https://cdn-ak.f.st-hatena.com/images/fotolife/o/ochimusha01/20201127/20201127213126.gif)

```R
#CVCM=等速円運動（Constant Velocity Circular Motion）
#Radian=角度（60分割）
CVCM<-function(Radian){
c0<-seq(0,2*pi,length=60)
cx<-cos(c0)
cy<-sin(c0)
plot(cx,cy,asp=1,type="l",col=rgb(0,1,0),main="Infinity Circle",xlab="cos(θ)",ylab="sin(θ)")

#塗りつぶし（円）
polygon(cx, #x
cy, #y
density=c(30), #塗りつぶす濃度
angle=c(45),　 　　　#塗りつぶす斜線の角度
col=c(200,200,200)) 　#塗りつぶす色
text(0,0,"(0,0,0,…)",col=rgb(1,0,0))
text(cx[Radian],cy[Radian],"(Inf,Inf,Inf,…)",col=rgb(1,0,0))
segments(cx[Radian],cy[Radian],0,0,col=rgb(1,0,0))
#対蹠の設定
text(-cx[Radian],-cy[Radian],"(-Inf,-Inf,-Inf,…)",col=rgb(0,0,1))
segments(-cx[Radian],-cy[Radian],0,0,col=rgb(0,0,1))

#凡例
legend("bottomright", legend=c("side=2π*Inf","radius=Inf"), lty=c(1,1), col=c(rgb(0,1,0),rgb(1,0,0))) 
}
#アニメーション
library("animation")
Time_Code=seq(1,59, length=30)
saveGIF({
for (i in Time_Code){
　CVCM(i)
}
}, interval = 0.1, movie.name = "CVCM03.gif")
```
**実際**に**群概念**が成立するにはさらに任意の**元**(<font color=blue>Element</font>)<font color=green>g,h,k</font>について**二項演算**(<font color=blue>Binary Operation</font>)<font color=green>○</font>の**結合則**(<font color=blue>Associative law</font>)<font color=green>(g○h)○k)=g○(h○k)</font>が成立する必要があり、さらに**交換則**(<font color=blue>Commutative law</font>)<font color=green>g○h=h○g</font>も成立するなら、その群は**アーベル群**（<font color=blue>Abelian Group</font>）/**可換群**（<font color=blue>Commutative Group</font>）と呼ばれます。
[交換法則、結合法則、分配法則](https://mathwords.net/koukanhousoku)

<font color=purple>最も原始的な観測環境</font>(<font color=blue>Most Primitive Observation Environment</font>)<font color=purple>における二項演算</font>(<font color=blue>Binary Operation</font>)<font color=purple>の四則</font>(<font color=blue>六則</font>)<font color=purple>演算の結果</font>

* **加法の極限**(<font color=blue>Limit of Addition</font>)<font color=green>Inf(inity)+Inf(inity)=Inf(inity)</font>
* **減法の極限**(<font color=blue>Limit of Subtraction</font>)<font color=green>Inf(inity)-Inf(inity)=0</font>(<font color=blue>加法単位元</font>)
* **乗法の極限**(<font color=blue>Limit of Multiplicative</font>)<font color=green>Inf(inity)*Inf(inity)=Inf(inity)</font>
* **除法の極限**(<font color=blue>Limit of Division</font>)<font color=green>Inf(inity)/Inf(inity)=1</font>(<font color=blue>乗法単位元</font>)
* **冪乗の極限**(<font color=blue>Limit of Exponentiation</font>)<font color=green>Inf(inity)^Inf(inity)=Inf(inity)</font>
* **冪根の極限**(<font color=blue>Root of Inf(inity</font>))<font color=green>Inf(inity)^(1/Inf(inity))=1</font>(<font color=blue>乗法単位元</font>) 

<font color=purple>統計言語Rの標準ライブラリによる計算結果</font>

```R
#標準ライブラリにおける無限遠点(Inf(inity))の六則演算

#加法の極限(Limit of Addition)
#Inf(inity)+Inf(inity)=Inf(inity)
> Inf+Inf
[1] Inf

#減法の極限(Limit of Subtraction)
#Inf(inity)-Inf(inity)=0
> Inf-Inf
[1] NaN

#乗法の極限(Limit of Multiplicative)
#Inf(inity)-Inf(inity)=Inf(inity)
> Inf*Inf
[1] Inf

#除法の極限(Limit of Division)
#Inf(inity)/Inf(inity)=1
> Inf/Inf
[1] NaN

#冪乗の極限(Limit of Exponentiation)
#Inf(inity)^Inf(inity)=Inf(inity)
> Inf^Inf
[1] Inf

#冪根の極限(Root of Inf(inity))
#Inf(inity)^(1/Inf(inity))=1
 > Inf^(1/Inf)
[1] 1
```
<font color=purple>代数計算ライブラリYacasにおける計算結果</font>

```R
#代数計算ライブラリYacasにおける無限遠点(Inf(inity))の六則演算
library(Ryacas)

#加法の極限(Limit of Addition)
#Inf(inity)+Inf(inity)=Inf(inity)
> yac("Limit(x,Infinity) Infinity+Infinity")
[1] "Infinity"

#減法の極限(Limit of Subtraction)
#Inf(inity)-Inf(inity)=0
> yac("Limit(x,Infinity) Infinity-Infinity")
[1] "Undefined"

#乗法の極限(Limit of Multiplicative)
#Inf(inity)*Inf(inity)=Inf(inity)
> yac("Limit(x,Infinity) Infinity*Infinity")
[1] "Infinity"

#除法の極限(Limit of Division)
#Inf(inity)/Inf(inity)=1
> yac("Limit(x,Infinity) Infinity/Infinity")
[1] "Undefined"

#冪乗の極限(Limit of Exponentiation)
#Inf(inity)^Inf(inity)=Inf(inity)
> yac("Limit(x,Infinity) Infinity^Infinity")
[1] "Infinity"

#冪根の極限(Root of Inf(inity))
#Inf(inity)^(1/Inf(inity))=1
> yac("Limit(x,Infinity) Infinity^(1/Infinity)")
[1] "Undefined"
```
**加法における結合則**(<font color=blue>Associative law of Addition</font>)と**加法における交換則**(<font color=blue>Commutative law of Addition</font>)は共に成立(<font color=blue>実は加法単位元0の加算は無意味</font>)。

* <font color=green>(-Inf+Inf)+0=0</font>
* <font color=green>-Inf+（Inf+0）=0</font>
* <font color=green>(0-Inf)+Inf=0</font>
* <font color=green>0+(-Inf+Inf)=0</font>
* <font color=green>(-Inf+0)+Inf=0</font>
* <font color=green>-Inf+(0+Inf)=0</font>
* <font color=green>(Inf-Inf)+0=0</font>
* <font color=green>-Inf+（-Inf+0）=0</font>
* <font color=green>(0+Inf)-Inf=0</font>
* <font color=green>0+(Inf-Inf)=0</font>
* <font color=green>(Inf+0)-Inf=0</font>
* <font color=green>-Inf+(0-Inf)=0</font>

実際には以下の3則の組み合わせに単純化出来そうである。

* <font color=green>Inf+Inf=2Inf=Inf</font>
* <font color=green>Inf+(-Inf)=(-Inf)+Inf=0</font>
* <font color=green>0+0=0</font>

<font color=purple>統計言語Rの標準ライブラリによる計算結果</font>

```R
> Inf+Inf
[1] Inf

> Inf+(-Inf)
[1] NaN

> (-Inf)+Inf
[1] NaN
```

**減法における結合法則**(<font color=blue>Associative law of Subtraction</font>)も**減法における交換則**(<font color=blue>Commutative law of Subtraction</font>)も不成立(<font color=blue>実は加法単位元0の減算は無意味</font>)

* <font color=green>(-Inf-Inf)-0=-2*Inf=-Inf</font>
* <font color=green>-Inf-（Inf-0）=-2*Inf=-Inf</font>
* <font color=red>(0-(-Inf))-Inf=0</font>
* <font color=red>0-(-Inf-Inf)=2*Inf=Inf</font>
* <font color=green>(-Inf-0)-Inf=-2*Inf=-Inf</font>
* <font color=green>-Inf-(0-Inf)=-2*Inf=-Inf</font>
* <font color=red>(Inf-Inf)+0=0</font>
* <font color=red>-Inf-（-Inf-0）=2*Inf=Inf</font>
* <font color=green>(0-Inf)-(-Inf)=0</font>
* <font color=green>0-(Inf-(-Inf))=0</font>
* <font color=red>(Inf-0)-(-Inf)=2*Inf=Inf</font>
* <font color=red>Inf-(0-(-Inf))=0</font>

実際には以下の3則の組み合わせに単純化出来そうである。

* <font color=green>-Inf-Inf=-2Inf=-Inf</font>
* <font color=green>Inf-Inf=-Inf+Inf=0</font>
* <font color=green>0+0=0</font>

<font color=purple>統計言語Rの標準ライブラリによる計算結果</font>

```R
> Inf-0
[1] Inf

> 0-Inf
[1] -Inf

> Inf-Inf
[1] NaN

> -Inf+Inf
[1] NaN
```

**乗法における結合法則**(<font color=blue>Associative law of Multiplicative</font>)と**乗法における交換則**(<font color=blue>Commutative law of Multiplicative</font>)は共に成立。

* <font color=green>(-Inf*Inf)*0=-Inf^2*0=0</font>
* <font color=green>-Inf*（Inf*0）=-Inf*0=0</font>
* <font color=green>(0*(-Inf))*Inf=0*Inf=0</font>
* <font color=green>0*(-Inf*Inf)=-Inf^2*0=0</font>
* <font color=green>(-Inf*0)*Inf=0*Inf=0</font>
* <font color=green>-Inf*(0*-Inf)=-Inf*0=0</font>
* <font color=green>(Inf*-Inf)*0=-Inf^2*0=0</font>
* <font color=green>-Inf*（-Inf*0）=Inf*0=0</font>
* <font color=green>(0*Inf)*(-Inf)=0*(-Inf)=0</font>
* <font color=green>0*(Inf*(-Inf))=0</font>
* <font color=green>(Inf*0)*(-Inf)=0*(-Inf)=0</font>
* <font color=green>Inf*(0*(-Inf))=Inf*0=0</font>

実際には以下の5則の組み合わせに単純化出来そうである。

* <font color=green>Inf*Inf=Inf^2=Inf</font>
* <font color=green>Inf*(-Inf)=-Inf*Inf=(-Inf)^2=-Inf</font>
* <font color=green>(-Inf)*(-Inf)=Inf^2=Inf</font>
* <font color=green>±Inf*0=0*±Inf=0</font>
* <font color=green>0*0=0</font>

<font color=purple>統計言語Rの標準ライブラリによる計算結果</font>

```R
> Inf*Inf
[1] Inf

> Inf^2
[1] Inf

> Inf*(-Inf)
[1] -Inf
> (-Inf)*Inf
[1] -Inf

> (-Inf)*(-Inf)
[1] Inf

> 0*Inf
[1] NaN
> 0*(-Inf)
[1] NaN

> Inf*0
[1] NaN
> -Inf*0
[1] NaN
```

**除法における結合法則**(<font color=blue>Associative law of Division</font>)と**除法における交換則**(<font color=blue>Commutative law of Multiplicative</font>)は不成立(<font color=blue>ここではとりあえず0による割り算を不可能ではなくInf/0=Inf/(1/Inf)=Inf^2=Inf,1/0=1/(1/Inf)=Infといった具合に柔軟に考える</font>)

* <font color=green>(-Inf/Inf)/0=-1/0=-Inf</font>
* <font color=green>-Inf/（Inf/0）=-Inf/0=-Inf</font>
* <font color=green>(0/(-Inf))/Inf=0/Inf=0</font>
* <font color=green>0/(-Inf/Inf)=-0/1=0</font>
* <font color=green>(-Inf/0)/Inf=-Inf/Inf=-1</font>
* <font color=green>-Inf/(0/-Inf)=-Inf/Inf=-1</font>
* <font color=red>(Inf/-Inf)/0=-1/0=-Inf</font>
* <font color=red>-Inf/（-Inf/0）=-Inf/Inf=-1</font>
* <font color=green>(0/Inf)/-Inf=0/-Inf=0</font>
* <font color=green>0/(Inf/-Inf)=0</font>
* <font color=red>(Inf/0)/(-Inf)=-Inf^2/Inf=-Inf</font>
* <font color=red>Inf/(0/(-Inf))=-Inf/0=Inf^2=Inf</font>

実際には以下の7則の組み合わせに単純化出来そうである。

* <font color=green>Inf/Inf=1</font>
* <font color=green>Inf/(-Inf)=-Inf/Inf=-1</font>
* <font color=green>0/±Inf=０</font>
* <font color=green>0/±1=０</font>
* <font color=green>±Inf/0=±Inf^2=Inf</font>
* <font color=green>±1/0=±Inf</font>
* <font color=green>0/0=0</font>

<font color=purple>統計言語Rの標準ライブラリによる計算結果</font>

```R
> Inf/Inf
[1] NaN

> Inf/(-Inf)
[1] NaN
> -Inf/Inf
[1] NaN

> 0/Inf
[1] 0
> 0/-Inf
[1] 0
> 0/1
[1] 0
> 0/-1
[1] 0

> Inf/0
[1] Inf
> -Inf/0
[1] -Inf
> 1/0
[1] Inf
> -1/0
[1] -Inf

> 0/0
[1] NaN
```

上掲の内容についてさらなる検証が必要なのは明らかですが(<font color=blue>とりあえず原則として問題となるのは方向だけで、入力としては{-Inf,0,Inf},出力としては{-Inf,0,1,Inf}のみとなる事までしか指摘出来ない</font>)、ここで成立を確認したかったのは以下のみ。

* **加法における結合則**(<font color=blue>Associative law of Addition</font>)
* **加法における交換則**(<font color=blue>Commutative law of Addition</font>)
* **乗法における結合法則**(<font color=blue>Associative law of Multiplicative</font>)
* **乗法における交換則**(<font color=blue>Commutative law of Multiplicative</font>)

全て確認できましたので、以降はここで取り上げた**無限直線**(<font color=blue>Infinity Line</font>)/**無限円**(<font color=blue>Infinity Circle</font>)/**無限球面**(<font color=blue>Infinity Sphere</font>)について**アーベル群**（<font color=blue>Abelian Group</font>）/**可換群**（<font color=blue>Commutative Group</font>）に分類される**線群**(<font color=blue>Circle Line</font>)/**円群**(<font color=blue>Circle Group</font>)/**球面群**(<font color=blue>Sphere Group</font>)でもある可能性も視野に入れて話を進めていきます。

正直群論についての知識が皆無なので、その事が何を意味しているのか全く分かっていないのですが（<font color=blue>だから上掲の内容にはとんでも無い誤謬が含まれてる可能性がある。そもそも「無限遠点を巡る四則演算」も教科書的内容から随分と解離してしまっている</font>）、とにかく**半径**(<font color=blue>Radius</font>)と**直径**(<font color=blue>Diameter</font>)の関係、**加法単位元**(<font color=blue>Additive Identity</font>)<font color=green>0</font>や**乗法単位元**(<font color=blue>Multiplicative Identity</font>)<font color=green>1</font>の概念を上手く全体構造に組み込む方法を他に思いつけなかったのでした。実際には「<font color=purple>加法単位元と乗法単位元の両方を備えたら、それは環</font>(<font color=blue>Ring</font>)<font color=purple>なのでは？</font>」という観点や以下の様な話もあり、まだまだ慎重に検討を続ける必要がある様です。
[環 (数学) - Wikipedia](https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%92%B0_(%E6%95%B0%E5%AD%A6))
[「単位元は存在するなら1つだけ」の証明](https://takemita.hatenadiary.org/entry/20100105/p3)

#無限円(<font color=blue>Infinity Circle</font>)/無限球面(<font color=blue>Infinity Sphere</font>)そして無限トーラス(<font color=blue>Infinity Torus</font>)概念の追加。

それにつけても以下が成立する**無限直線**(<font color=blue>Infinity Line</font>)/**無限円**(<font color=blue>Infinity Circle</font>)/**無限球面**(<font color=blue>Infinity Sphere</font>)の世界の**N次元的多層性**は強烈です。

* <font color=green>Inf(inity)+Inf(inity)=2*Inf(inity)=Inf(inity)</font>
* <font color=green>Inf(inity)*Inf(inity)=Inf(inity)^2=Inf(inity)</font>

要するに**半径**<font color=green>Inf</font>の**円**/**球面**を中心に<font color=green>{半径2Infの円/球面,半径4Infの円/球面,半径8Infの円/球面,…,半径Infの円/球面}</font>と<font color=green>{半径Inf/2の円/球面,半径Inf/4の円/球面,半径Inf/8の円/球面,…,半径Infの円/球面</font>が}無限に重なっていて、そこに織り込まれた「<font color=purple>図形の1/2ずつのズレ</font>」なる概念こそが「**周期の偶奇性**」概念の大源流となる訳です。
[【初心者向け】偶奇性概念と共役関係概念の連続性について。](https://qiita.com/ochimusha01/items/cca87fc1fe1294ae6b20)
![image.gif](https://cdn-ak.f.st-hatena.com/images/fotolife/o/ochimusha01/20201126/20201126020800.gif)

```R
#CVCM=等速円運動（Constant Velocity Circular Motion）
#Radian=角度（60分割）
CVCM<-function(Radian){
c0<-seq(0,2*pi,length=60)

#大円
cx<-cos(c0)
cy<-sin(c0)

#小円(奇数系)1個目
s1cx<-cos(c0)/2+cx[Radian]/2
s1cy<-sin(c0)/2+cy[Radian]/2

#小円(奇数系)2個目
s2cx<-cos(c0)/2+cx[Radian]+cx[Radian]/2
s2cy<-sin(c0)/2+cy[Radian]+cy[Radian]/2

#小円(偶数系)1個目
s1cx0<-cos(c0)/2
s1cy0<-sin(c0)/2

#小円(偶数系)2個目
s2cx0<-cos(c0)/2-cx[Radian]
s2cy0<-sin(c0)/2-cy[Radian]

#円描画
plot(cx,cy,asp=1,type="l",col=rgb(0,0,0),main="Even & Odd Circles",xlab="cos(θ)",ylab="sin(θ)")

#塗りつぶし（円全体）
polygon(cx, #x
cy, #y
density=c(30), #塗りつぶす濃度
angle=c(45),　 　　　#塗りつぶす斜線の角度
col=c(200,200,200)) 　#塗りつぶす色

#塗りつぶし（奇数系小円1）
polygon(s1cx, #x
s1cy, #y
density=c(30), #塗りつぶす濃度
angle=c(45),　 　　　#塗りつぶす斜線の角度
col=rgb(1,0,0)) 　#塗りつぶす色

#塗りつぶし（奇数系小円2）
polygon(s2cx, #x
s2cy, #y
density=c(30), #塗りつぶす濃度
angle=c(45),　 　　　#塗りつぶす斜線の角度
col=rgb(1,0,0)) 　#塗りつぶす色

#塗りつぶし（偶数系小円1）
polygon(s1cx0, #x
s1cy0, #y
density=c(40), #塗りつぶす濃度
angle=c(45),　 　　　#塗りつぶす斜線の角度
col=rgb(0,0,1)) 　#塗りつぶす色

#塗りつぶし（偶数系小円2）
polygon(s2cx0, #x
s2cy0, #y
density=c(40), #塗りつぶす濃度
angle=c(45),　 　　　#塗りつぶす斜線の角度
col=rgb(0,0,1)) 　#塗りつぶす色

text(0,0,"(0,0,0,…)",col=rgb(0,0,0))
text(cx[Radian],cy[Radian],"(1,1,1,…)",col=rgb(0,0,0))
text(cx[Radian]/2,cy[Radian]/2,"(1/2,1/2,1/2,…)",col=rgb(0,0,0))

#対蹠の設定
segments(cx[Radian],cy[Radian],cx[Radian]/2,cy[Radian]/2,col=rgb(1,0,0))
segments(cx[Radian]/2,cy[Radian]/2,0,0,col=rgb(0,0,1))
#lines(s1cx,s1cy,col=rgb(0,1,0))
#lines(s1cx0,s1cy0,col=rgb(1,0,1))

#凡例
legend("bottomright", legend=c("Even Circles","Odd Circles"), lty=c(1,1), col=c(rgb(0,0,1),rgb(1,0,0))) 
}
#アニメーション
library("animation")
Time_Code=seq(1,59, length=30)
saveGIF({
for (i in Time_Code){
　CVCM(i)
}
}, interval = 0.1, movie.name = "CVCM05.gif")
```
なお、この時点ではあくまで「**原始座標群**(<font color=blue>Primitive Coordinate Group</font>)=<font color=purple>距離も方角も観測不可能な**極座標系**</font>(<font color=blue>Polar Coordinate System</font>)」に**ユークリッド距離**(<font color=blue>Euclidean Distance</font>)の概念が追加されただけで、まだ**デカルト座標系**(<font color=blue>Cartesian Coordinate System</font>)の概念には到達していない事に気をつけなければなりません。

その一方でこの**同心円比率**何処かで見覚えが…そう、円に内接する正方形/立方体の「<font color=purple>連続同心円構造</font>」と一致するのですね。

[【オイラーの多面体定理と正多面体】内接円/球面の半径と外接円/球面の半径の狭間](https://qiita.com/ochimusha01/items/1312cc54694cf1a27e17)
![20190818001745.png](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/597772/51e9e087-d608-d38a-343d-468c32402840.png)
**単位円筒**(<font color="blue">Unit Cylinder</font>)との関係
[【初心者向け】物理学における「単位円筒(Unit Cylinder)」の概念について。](https://qiita.com/ochimusha01/items/ced1c21b4411e79cdcbe)
[【初心者向け】「単位円筒」から「単位球面」へ](https://qiita.com/ochimusha01/items/08f5c5ad1aba4a59a27d)
![20190907222058.gif](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/597772/dc893a6e-8929-48a8-e40b-91b59f4a6bd9.gif)
![20190907222132.png](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/597772/918bb5c7-2ac7-ab55-7915-fca3498aae40.png)
<font color=purple>連続同心円構造</font>
![20190918061420.gif](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/597772/fd59150f-72ba-3566-7534-2d2bb6f3a177.gif)

<!-- html table generated in R 3.5.2 by xtable 1.8-4 package -->
<!-- Sat May  9 17:05:36 2020 -->
<table border=1>
<tr> <th>  </th> <th> Target_size </th> <th> Target_names </th> <th> Target_values </th>  </tr>
  <tr> <td align="right"> 1 </td> <td> 2^-1 </td> <td> 2^-1(2^-0.5r) </td> <td> 0.5 </td> </tr>
  <tr> <td align="right"> 2 </td> <td> 2^-1 </td> <td> 2^-1d=2^-1*4 </td> <td> 1 </td> </tr>
  <tr> <td align="right"> 3 </td> <td> 2^-1 </td> <td> 2^-1a1=2^0a0 </td> <td> sqrt(2)=1.414214 </td> </tr>
  <tr> <td align="right"> 4 </td> <td> 2^-1 </td> <td> 2^-1a1(2^-0.5a0)*4 </td> <td> 4sqrt(2)=5.656854 </td> </tr>
  <tr> <td align="right"> 5 </td> <td> 2^-0.5 </td> <td> 2^-0.5(2^0r) </td> <td> sqrt(2)/2=0.7071068 </td> </tr>
  <tr> <td align="right"> 6 </td> <td> 2^-0.5 </td> <td> 2^-0.5d=2^-0.5*4 </td> <td> sqrt(2)=1.414214 </td> </tr>
  <tr> <td align="right"> 7 </td> <td> 2^-0.5 </td> <td> 2^-0.5a1=2^0a0 </td> <td> 1 </td> </tr>
  <tr> <td align="right"> 8 </td> <td> 2^-0.5 </td> <td> 2^-1a1(2^0.5a0)*4 </td> <td> 4 </td> </tr>
  <tr> <td align="right"> 9 </td> <td> 2^0 </td> <td> 2^0(2^-0.5R,2^0.5r) </td> <td> 1 </td> </tr>
  <tr> <td align="right"> 10 </td> <td> 2^0 </td> <td> 2^0d=2^0*4 </td> <td> 2 </td> </tr>
  <tr> <td align="right"> 11 </td> <td> 2^0 </td> <td> 2^0a1=2^0.5a0 </td> <td> sqrt(8)=2sqrt(2)=2.828427 </td> </tr>
  <tr> <td align="right"> 12 </td> <td> 2^0 </td> <td> 2^0a1(2^0.5a0)*4 </td> <td> sqrt(32)=4sqrt(2)=5.656854 </td> </tr>
  <tr> <td align="right"> 13 </td> <td> 2^0.5 </td> <td> 2^0.5(2^-0R,2^1r) </td> <td> sqrt(2)=1.414214 </td> </tr>
  <tr> <td align="right"> 14 </td> <td> 2^0.5 </td> <td> 2^0.5d=2^0.5*4 </td> <td> 2sqrt(2)=2.828427 </td> </tr>
  <tr> <td align="right"> 15 </td> <td> 2^0.5 </td> <td> 2^0.5a1=2^1a0 </td> <td> 4 </td> </tr>
  <tr> <td align="right"> 16 </td> <td> 2^0.5 </td> <td> 2^0.5a1(2^0a0)*4 </td> <td> 8 </td> </tr>
  <tr> <td align="right"> 17 </td> <td> 2^1 </td> <td> 2^1(2^1-0.5R,2^0.5r) </td> <td> 2 </td> </tr>
   </table>

![20190919145255.png](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/597772/0e1f9518-2745-56d9-89e2-261e979304d6.png)

そして上の「**大円内を小円が回るアニメーション**」を目にすれば、誰もが連想するのでは無いでしょうか。**大円の半径**(<font color=blue>Major Radius</font>)と**小円の半径**(<font color=blue>Minor Radius</font>)の組み合わせで規定される**トーラス**（<font color=blue>単数形torus/複数形tori</font>）構造を…
[【トーラス構造と古典数学】「単位円筒」から「トーラス構造」へ](https://qiita.com/ochimusha01/items/f6406e768aa24b8aea1a)
![image.gif](https://cdn-ak.f.st-hatena.com/images/fotolife/o/ochimusha01/20201128/20201128025316.gif)
![image.png](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/597772/fd3c8113-e0f0-495c-b65f-92bc00d7f554.png)

実際、**オイラーの公式**（<font color=blue>Eulerian Formula</font>）<font color=green>Cos(θ)+Sin(θ)i</font>の一般形<font color=green>Cos(θ)+Cos(θ-π/NoS)i</font>(<font color=blue>NoS=Number of Sides</font>)は、円に内接する正多角形の辺数が**2辺**(<font color=blue>すなわち対蹠間を結ぶ一対の経路</font>)から**無限**(<font color=blue>すなわち無限円そのもの</font>)に推移する過程で全体像が以下の様に推移する事を示唆しているのです。
[【トーラス構造と古典数学】オイラーの多面体定理との統合？](https://qiita.com/ochimusha01/items/f002c62825367f8cb393)
![image.gif](https://qiita-user-contents.imgix.net/https%3A%2F%2Fqiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com%2F0%2F597772%2F7630e651-5df7-03c1-521f-426d34cb40b4.gif?ixlib=rb-1.2.2&auto=format&gif-q=60&q=75&w=1400&fit=max&s=644674efa4d3d859c8c0663a850cad4e)

①<font color=purple>NoS</font>(<font color=blue>Number of Sides</font>)<font color=purple>=2</font>,すなわち**2辺形**（<font color=blue>Bilateral</font>)…**xyz座標**<font color=green>{0,0,r}{0,0,-r}</font>となる**対蹠**(<font color=blue>Antipodes</font>)間を結ぶ一対の**半弧**(<font color=blue>各周長π＊半径r</font>)、あるいはその往復が軌跡として描く**二重球面**(<font color=blue>各周長2πr</font>)。**球面**<font color=green>sqrt(x^2+y^2+z^2)=半径r</font>において、対蹠間を結ぶ軸線に対して(<font color=blue>互いに共役(Conjugate)関係にある座標の並びを結んだ</font>)垂直方向の断面として現れる**円弧**<font color=green>sqrt(x^2+y^2)=半径r</font>にとっては極限(<font color=blue>X座標とY座標の消失点</font>)であり、その平面上における観測は不可能。
![Sphere05.gif](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/597772/a11a287c-b1a1-4976-fd1e-fa0ba361d3f7.gif)

```R
library(rgl)
#円描写関数
f0<-function(x){exp(x*(0+1i))}

#無限円(Infinity Circle)
radians0<-seq(0,60*pi,length=60)
Real0<-Re(f0(radians))
Imaginal0<-Im(f0(radians))
Rtime0<-numeric(60)

#無限球面(Infinity Sphere)
radians<-seq(0,60*pi,length=3000)
Real<-Re(f0(radians))
Imaginal<-Im(f0(radians))
Rtime<-seq(-1,1,length=3000)

#工夫
f1<-function(x){sqrt(1-x^2)}
c0<-seq(-1,1,length=3000)
c1<-f1(c0)
#> plot(c0,c1,type="l",xlim=c(-1,1),ylim=c(0,1))
Real_c<-Real*c1
Imaginal_c<-Imaginal*c1

#無限球面(Infinity Sphere)の描画
plot3d(Real_c,Imaginal_c,Rtime,type="l",xlim=c(-1,1),ylim=c(-1,1),zlim=c(-1,1),col=c(200,200,200))

#無限円(Infinity Circle)の描画
lines3d(Real0,Imaginal0,Rtime0,col=rgb(1,0,0),lwd=2)

#観測原点**(Observation Origin)
texts3d(0,0,0,texts="OO(0,0,0)",col=rgb(1,0,0),adj=1.0)

#原蹠表示
texts3d(portal_i,portal_j,portal_k,texts=portal_text,col=rgb(1,0,0),adj=1.0)

#原蹠(PorTal)
portal_i<-0
portal_j<-0
portal_k<-1
portal_text="AP(0,0,Inf)"

#原蹠表示
texts3d(portal_i,portal_j,portal_k,texts=portal_text,col=rgb(1,0,0),adj=1.0)

#対蹠(AntiPordal)
antipordal_i<-0
antipordal_j<-0
antipordal_k<--1
antipordal_text="AP(0,0,-Inf)"

#対蹠表示
texts3d(antipordal_i,antipordal_j,antipordal_k,texts=antipordal_text,col=rgb(1,0,0),adj=1.0)

#立方対角線(Cubic Diagonal)
lines3d(c(portal_i,antipordal_i),c(portal_j,antipordal_j),c(portal_k,antipordal_k),col=rgb(1,0,0),lwd=2)

#アニメーション
movie3d(spin3d(axis=c(0,0,1),rpm=5),duration=10,fps=25,movie="~/Desktop/Sphere05")
```
![image.gif](https://qiita-user-contents.imgix.net/https%3A%2F%2Fqiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com%2F0%2F597772%2F82515a21-28ac-756f-2f7c-980acb027b44.gif?ixlib=rb-1.2.2&auto=format&gif-q=60&q=75&w=1400&fit=max&s=ad2090b258897d86679bca381783fad6)

```R
#RD=2角形（Regular Digon）
#Radian=角度（60分割）
RD<-function(Radian){
c0<-seq(0,2*pi,length=60)
c1x<-cos(c0)
c1y<-sin(c0)
plot(c1x,c1y,asp=1,type="l",xlim=c(-1,1),ylim=c(-1,1),main="Regular Henagon",xlab="cos(θ)",ylab="sin(θ)")

RD<-function(Radian){
cx<-seq(-1,1,length=60)
f0<-function(x) sqrt(1-x^2)
cy<-f0(cx)
plot(cx,cy,asp=1,type="l",col=rgb(0,1,0),xlim=c(-1,1),ylim=c(-1,1),main="Regular Henagon",xlab="X",ylab="sqrt(1-X^2) & -sqrt(1-X^2)")

par(new=T)#上書き指定

plot(cx,-1*cy,asp=1,type="l",col=rgb(1,0,0),xlim=c(-1,1),ylim=c(-1,1),main="",xlab="",ylab="")

#緯度(latitude)の描写
lat<-seq(-1,1,length=9)

for(i in lat){
segments(i,f0(i),i,-f0(i),col=c(200,200,200))
}

#経度（Longitude）の描写
lon<-seq(-pi/2,pi/2,length=9)
for(i in lon){

par(new=T)#上書き指定

plot(cx,sin(i)*cy,asp=1,type="l",col=c(200,200,200),xlim=c(-1,1),ylim=c(-1,1),main="",xlab="",ylab="")
}
#塗りつぶし

p_max<-15
p0<-seq(pi,0,length=p_max)
px_Hi<-rev(cos(p0))
px_Low<-rev(cos(p0*-1))
py_Hi<-rev(sin(p0))
py_Low<-rev(sin(p0*-1))

#左側インジケータ描画（緑）
polygon(c(px_Hi[1:Radian],px_Low[Radian:1]), #x
c(py_Hi[1:Radian],py_Low[Radian:1]), #y
density=c(30), #塗りつぶす濃度
angle=c(45),　 　　　#塗りつぶす斜線の角度
col=rgb(0,1,0)) 　#塗りつぶす色
#右側インジケータ描画（赤）
polygon(c(px_Hi[p_max:Radian],px_Low[Radian:p_max]), #x
c(py_Hi[p_max:Radian],py_Low[Radian:p_max]), #y
density=c(30), #塗りつぶす濃度
angle=c(45),　 　　　#塗りつぶす斜線の角度
col=rgb(1,0,0)) 　#塗りつぶす色
}

#アニメーション
library("animation")
Time_Code=c(1:15,14:1)
saveGIF({
for (i in Time_Code){
　RD(i)
}
}, interval = 0.1, movie.name = "RD01.gif")
```
全体としてはトーラス構造を保持しているが、以下の様に上掲の**二重球面**の半分しか使わない判断によってその特徴を放棄しているケースが多い。

* **経度**(<font color=blue>地球を横に輪切りにした断面円の角度</font>)は<font color=green>±180度</font>、**緯度**(<font color=blue>地球を横に輪切りにした縦に輪切りにした断面円の角度</font>)が<font color=green>±90度</font>で表す。<br>[【初心者向け】半径・直径・円周長・円の面積・球の表面積・球の体積の計算上の往復](https://qiita.com/ochimusha01/items/e180451a210227bb19a5)<br>![image.gif](https://qiita-user-contents.imgix.net/https%3A%2F%2Fqiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com%2F0%2F597772%2F0c24bdd0-51d7-e8a7-fc66-f9ea60ab75f9.gif?ixlib=rb-1.2.2&auto=format&gif-q=60&q=75&w=1400&fit=max&s=d53e50aedb98dc65730a5b333c1e707b)
* **三次元極座標系**(<font color=blue>3Dimensional Polar Coordinate System</font>)は**水平角**<font color=green>φ</font>を<font color=green>0~2π</font>ラジアン、**垂直角**<font color=green>θ</font>を半分の<font color=green>0~π</font>ラジアンの範囲で表す。<br>[【初心者向け】「単位円筒」から「単位球面」へ](https://qiita.com/ochimusha01/items/08f5c5ad1aba4a59a27d)<br>![image.png](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/597772/bb9d4eb6-d379-7ba8-128d-bb29476d2359.png)
* 「<font color=purple>互いに直角に交わる回転軸φ,θ,ψを操作する</font>」**オイラー角系**(<font color=blue>Eulerian Angle System</font>)では発生する「**ジンバル・ロック問題**(<font color=blue>Gimbal Lock Problem</font>)」が、「<font color=purple>直角に2回曲がる経路で対蹠と球面上の2点を結ぶ</font>」**四元数系**(<font color=blue>Quaternion System</font>)では発生しない。</br>[オイラー角 - いろもの物理学者前野](http://irobutsu.a.la9.jp/mybook/ykwkrAM/sim/EulerAngle.html)<br>[ 【Rで球面幾何学】ハミルトンの四元数は何を表しているのか？](https://qiita.com/ochimusha01/items/aff8d52f20af01d13bed)<br>[【Rで球面幾何学】ジンバルロック(?)やリサージュ曲線(?)との邂逅。](https://qiita.com/ochimusha01/items/f59827f9f7d6122671ac)<br>![image.gif](https://qiita-user-contents.imgix.net/https%3A%2F%2Fqiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com%2F0%2F597772%2F739a025a-6bbb-e85c-5620-471c4902233a.gif?ixlib=rb-1.2.2&auto=format&gif-q=60&q=75&w=1400&fit=max&s=a7d98a97b218cc023e8f7cfba011aefc)

②<font color="purple">NoS</font>(<font color="blue">Number of Sides</font>)<font color="purple">=3</font>,すなわち**正三角形**（<font color=blue>Equilateral Triangle</font>)…**球面**<font color=green>sqrt(x^2+y^2+z^2)=半径r</font>において**対蹠**<font color=green>{0,0,-r}{0,0,r}</font>間を結ぶ互いに**共役**(<ffont color=green>Conjugate</font>)関係にある座標の並びを結んだ**円弧**<font color=green>sqrt(x^2+y^2)=半径r</font>で観測され、**平面充填性**(<font color=blue>Tesselation</font>)と**連続同心円構造**を発揮する。

[【オイラーの多面体定理と正多面体】内接円/球面の半径と外接円/球面の半径の狭間](https://qiita.com/ochimusha01/items/1312cc54694cf1a27e17)
![20190818001217.png](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/597772/316379cf-07c0-2db3-ecf3-e93a8400c6b1.png)
**単位円筒**(<font color="blue">Unit Cylinder</font>)との関係
[【初心者向け】物理学における「単位円筒(Unit Cylinder)」の概念について。](https://qiita.com/ochimusha01/items/ced1c21b4411e79cdcbe)
[【初心者向け】「単位円筒」から「単位球面」へ](https://qiita.com/ochimusha01/items/08f5c5ad1aba4a59a27d)
![20190907183252.gif](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/597772/165ffd6f-eb31-467c-4a1a-29a80e9a3c55.gif)
![20190907183221.png](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/597772/30f51328-dd6b-cbc9-730a-fabfb18b8427.png)
<font color=purple>平面充当性</font>(<font color=blue>Tesselation</font>)
![image.png](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/597772/dea9e5b4-e8c7-6dc2-af15-0e3c426c004a.png)
<font color=purple>連続同心円構造</font>
![20190919074352.gif](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/597772/9ffbc521-ec9d-7c10-5abf-f5be30780267.gif)

<!-- Sat May  9 16:53:13 2020 -->
<table border=1>
<tr> <th>  </th> <th> Target_size </th> <th> Target_names </th> <th> Target_values </th>  </tr>
  <tr> <td align="right"> 1 </td> <td> 3^-1 </td> <td> 3^-1(3^0r) </td> <td> 1/2=0.5 </td> </tr>
  <tr> <td align="right"> 2 </td> <td> 3^-1 </td> <td> 3^-1h=3^-1*3 </td> <td> 3/2=1.5 </td> </tr>
  <tr> <td align="right"> 3 </td> <td> 3^-1 </td> <td> 3^-1a1=3^0a0 </td> <td> 2*sqrt(1.5)=2.44949 </td> </tr>
  <tr> <td align="right"> 4 </td> <td> 3^-1 </td> <td> 3^-1a1(3^0a0)*3 </td> <td> 6*sqrt(1.5)=7.348469 </td> </tr>
  <tr> <td align="right"> 5 </td> <td> 3^0 </td> <td> 3^0(3^-1R,3^1r) </td> <td> 1.0 </td> </tr>
  <tr> <td align="right"> 6 </td> <td> 3^0 </td> <td> 3^0h=3^0*3 </td> <td> 3.0 </td> </tr>
  <tr> <td align="right"> 7 </td> <td> 3^0 </td> <td> 3^0a1=3^1a0 </td> <td> 2*sqrt(3)=3.464102 </td> </tr>
  <tr> <td align="right"> 8 </td> <td> 3^0 </td> <td> 3^0a1(3^1a0)*3 </td> <td> 6*sqrt(3)=10.3923 </td> </tr>
  <tr> <td align="right"> 9 </td> <td> 3^1 </td> <td> 3^1(3^0R) </td> <td> 3.0 </td> </tr>
   </table>

![20190919181530.png](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/597772/72d934cf-d6d7-7695-42e2-c376d1bd76e8.png)

③<font color="purple">NoS</font>(<font color="blue">Number of Sides</font>)<font color="purple">=4</font>,すなわち**正方形**（<font color=blue>Square</font>)…**球面**<font color=green>sqrt(x^2+y^2+z^2)=半径r</font>において**対蹠**<font color=green>{0,0,-r}{0,0,r}</font>間を結ぶ互いに**共役**(<font color=blue>Conjugate</font>)関係にある座標の並びを結んだ**円弧**<font color=green>sqrt(x^2+y^2)=半径r</font>で観測され、**同心円連続性**と**平面充填性**(<font color=blue>Tesselation</font>)と**立体充填性**(<font color=blue>Space Filling</font>)に加え、ぞの四隅<font color=green>{0,0,0}{r,0,0}{0,r,0}{r,r,0}</font>が既存の対蹠<font color=green>{0,0,r}{0,0,-r}</font>と併せて**三対の対蹠**および**正八面体**を構成する。また同時に**大半径**<font color=green>r/2</font>,**小半径**<font color=green>r/4</font>のトーラス構造も観測される。
[【オイラーの多面体定理と正多面体】内接円/球面の半径と外接円/球面の半径の狭間](https://qiita.com/ochimusha01/items/1312cc54694cf1a27e17)
<font color=purple>平面充当性</font>(<font color=blue>Tesselation</font>)…さらにこの構造をそのまま立体化した**立方体**(<font color=blue>Cube</font>)も**立体充填性**(<font color=blue>Space Filling</font>)を備える。
![Rplot17.png](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/597772/93b4d44f-47d8-b228-3316-279210cc715a.png)
![Rplot16.png](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/597772/3e1e9f75-fb84-4eb3-bba6-6dfcc7cf5cd8.png)
<font color=purple>正八面体は三対の対蹠を備える。</font>
![image.gif](https://qiita-user-contents.imgix.net/https%3A%2F%2Fqiita-user-contents.imgix.net%2Fhttps%253A%252F%252Fqiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com%252F0%252F597772%252F6e64f26c-04fd-6724-434f-4a8dc3ac784e.gif%3Fixlib%3Drb-1.2.2%26auto%3Dformat%26gif-q%3D60%26q%3D75%26w%3D1400%26fit%3Dmax%26s%3D42445c01c76f8cafba47ccb9e62bfc1f?ixlib=rb-1.2.2&auto=format&gif-q=60&q=75&w=1400&fit=max&s=fe42a32df79152128ad1fdd243300464)

④<font color="purple">NoS</font>(<font color="blue">Number of Sides</font>)<font color="purple">=6以上</font>…実は<font color="purple">=NoS=3~6</font>にかけて**対蹠軸**<font color=green>{-r,0,r}</font>概念は**正四面体**(<font color=blue>Regular Tetrahedron</font>)、**正六面体**（<font color=blue>Cube</font>)、**正八面体**（<font color=blue>Regular Octahedron</font>)、**正十二面体**（<font color=blue>Regular Dodecahedron</font>）、**正二十面体**（<font color=blue>Regular Icosahedron</font>）といった正多面体が繰り広げる立体幾何学展開上の中核となる。
[【オイラーの多面体定理と正多面体】とある「球面幾何学(Spherical Geometry)」の出発点…](https://qiita.com/ochimusha01/items/5f8dbf33bac5b7227a11)
**正四面体**(<font color=blue>Regular Tetrahedron</font>)…**対蹠軸**<font color=green>{-r,0,r}</font>は1対。ただしこの図形のみ偶奇性の関係で2個セットで現れる。
![image.gif](https://qiita-user-contents.imgix.net/https%3A%2F%2Fqiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com%2F0%2F597772%2Fad1c4316-45a1-dffd-9200-33cbecd33bdb.gif?ixlib=rb-1.2.2&auto=format&gif-q=60&q=75&w=1400&fit=max&s=f080653964127dd0d29663638759d832)
**正六面体**（<font color=blue>Cube</font>)…**対蹠軸**<font color=green>{-r,0,r}</font>は3対。
![image.gif](https://qiita-user-contents.imgix.net/https%3A%2F%2Fqiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com%2F0%2F597772%2Fb26adb3b-bc5a-4f59-4664-9897d2b91522.gif?ixlib=rb-1.2.2&auto=format&gif-q=60&q=75&w=1400&fit=max&s=3865e944632ab12cf56e089fced4b96a)
**正八面体**（<font color=blue>Regular Octahedron</font>)…**対蹠軸**<font color=green>{-r,0,r}</font>は3対。
![image.png](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/597772/1c898ddd-bad4-c8e8-1937-b8d8848921c7.png)
**正十二面体**（<font color=blue>Regular Dodecahedron</font>）…**対蹠軸**<font color=green>{-r,0,r}</font>は10対。
![image.gif](https://qiita-user-contents.imgix.net/https%3A%2F%2Fqiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com%2F0%2F597772%2Fe20a615e-e8c1-6e47-6c01-1a370dbe666c.gif?ixlib=rb-1.2.2&auto=format&gif-q=60&q=75&w=1400&fit=max&s=ee6e86eee94a6e65ab3d771c828726ad)
**正二十面体**（<font color=blue>Regular Icosahedron</font>）…**対蹠軸**<font color=green>{-r,0,r}</font>は6対。
![image.gif](https://qiita-user-contents.imgix.net/https%3A%2F%2Fqiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com%2F0%2F597772%2F645bef91-5370-324d-33cd-baaa3131443d.gif?ixlib=rb-1.2.2&auto=format&gif-q=60&q=75&w=1400&fit=max&s=c5615196ec4bafcfb4f9bf49a203bfab)
しかもこれらの図形の分類にはなんと**素因数分解**(<font color=blue>Prime factorization</font>)の概念導入が必要となった。そう、まさかの「<font color=purple>またもやオイラー</font>」<font color=red>φ関数</font>の登場である。しかも、そこはかとなく漂う「**群論の二項演算にまとめられそうな雰囲気**」…・
[【Rで九九】どうして36個の数字しか使われないのか？](https://qiita.com/ochimusha01/items/8d990f23ae96db0cd953)

* <font color=purple>2^n</font>**集**(<font color=blue>Set</font>)…**二辺形**(<font color=blue>Bilateral</font>)と**正方形**(<font color=blue>Squares</font>)が分類される範疇。<br>![image.png](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/597772/4c7b3de5-650c-2c70-1870-13e0b724aa03.png)
* <font color=purple>3^n</font>**集**(<font color=blue>Set</font>)…**正四面体**(<font color=blue>Tetrahedrons</font>)と**正三角形**(<font color=blue>Triangles</font>)が分類される範疇。<br>![image.png](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/597772/464d1381-1a86-f035-6089-875a306e93f0.png)
* <font color=purple>2^m*3^n</font>**集**(<font color=blue>Set</font>)…**正八面体**(<font color=blue>Octahedron</font>)と**正六面体**(<font color=blue>Cube</font>)と**正六角形**(<font color=blue>Hexagon</font>)が分類される範疇。<br>![image.png](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/597772/3c3d1584-8478-b91e-96a1-8e1a14d28e83.png)
* <font color=purple>2^n3^m5^l</font>**集**(<font color=blue>Set</font>)…**正十二面体**(<font color=blue>Dodecahedron</font>)と**正十二面体**(<font color=blue>Dodecahedron</font>)が分類される範疇。<br>![image.png](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/597772/f7488739-ee95-911b-ffd6-d1ebbd420fcc.png)

しかしそれも、**球面**<font color=green>sqrt(x^2+y^2+z^2)=半径r</font>において**対蹠**<font color=green>{0,0,-r}{0,0,r}</font>間を結ぶ互いに**共役**(<font color=blue>Conjugate</font>)関係にある座標の並びを結んだ**円弧**<font color=green>sqrt(x^2+y^2)=半径r</font>において**正六角形**(<font color=blue>Hexagon</font>)が観測されると打ち止めとなる。そもそも結論から言えば**正多角形**/**正多面体**の世界において**同心円連続性**を備えるのは**正三角形**と**正方形**のみ、**平面充填性**(<font color=blue>Tesselation</font>)を備えるのは**三角形**と**正方形**と**正六角形**のみ、単独で**立体充填性**(<font color=blue>Space Filling</font>)を備えるのは立方体のみであった。
![20190818002040.png](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/597772/b976f685-0753-7954-f183-a787649af7f2.png)
**単位円筒**(<font color="blue">Unit Cylinder</font>)との関係
[【初心者向け】物理学における「単位円筒(Unit Cylinder)」の概念について。](https://qiita.com/ochimusha01/items/ced1c21b4411e79cdcbe)
[【初心者向け】「単位円筒」から「単位球面」へ](https://qiita.com/ochimusha01/items/08f5c5ad1aba4a59a27d)
![20190907221813.gif](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/597772/2033660b-460e-2bda-6450-72b5b1e99685.gif)
![20190907221835.png](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/597772/c577e9bb-e810-def1-0672-c1aa78158bf1.png)
(<font color=blue>正三角形のそれを継承した</font>)<font color=purple>平面充当性</font>(<font color=blue>Tesselation</font>)
![image.png](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/597772/3e5ba28f-6d3c-49ee-d56d-49475b1c365e.png)

<font color=purple>同心円連続性はもはや備わっていない。</font>

<!-- html table generated in R 3.5.2 by xtable 1.8-4 package -->
<!-- Sat May  9 15:43:37 2020 -->
<table border=1>
<tr> <th>  </th> <th> Target_size </th> <th> Target_names </th> <th> Target_values </th>  </tr>
  <tr> <td align="right"> 1 </td> <td> 6^-1 </td> <td> 6^-1 </td> <td> 1/6=0.1666666 </td> </tr>
  <tr> <td align="right"> 2 </td> <td> 6^-1 </td> <td> 6^-1a1 </td> <td> 1/6*1.154701=0.1924502 </td> </tr>
  <tr> <td align="right"> 3 </td> <td> 6^-1 </td> <td> 6^-1a1*6 </td> <td> 0.1924502*6=1.154701 </td> </tr>
  <tr> <td align="right"> 4 </td> <td> 6^-0.8394411 </td> <td> 6^-0.8394411 </td> <td> 0.1924502*1.154701=0.2222224 </td> </tr>
  <tr> <td align="right"> 5 </td> <td> ... </td> <td> ... </td> <td> ... </td> </tr>
  <tr> <td align="right"> 6 </td> <td> 6^-0.08027941 </td> <td> 6^-0.08027921 </td> <td> -0.8660254 </td> </tr>
  <tr> <td align="right"> 7 </td> <td> 6^0 </td> <td> 6^0a0 </td> <td> 1.0 </td> </tr>
  <tr> <td align="right"> 8 </td> <td> 6^0 </td> <td> 6^0a0*6 </td> <td> 6.0 </td> </tr>
  <tr> <td align="right"> 9 </td> <td> 6^0 </td> <td> 6^0 </td> <td> 1.0 </td> </tr>
  <tr> <td align="right"> 10 </td> <td> 6^0 </td> <td> 6^0a1 </td> <td> 1.333333 </td> </tr>
  <tr> <td align="right"> 11 </td> <td> 6^0 </td> <td> 6^0a1*6 </td> <td> 1.333333*6=7.999998 </td> </tr>
  <tr> <td align="right"> 12 </td> <td> 6^0.08027895 </td> <td> 6^0.08027895 </td> <td> 1.333333*0.8660254=1.333334 </td> </tr>
  <tr> <td align="right"> 13 </td> <td> ... </td> <td> ... </td> <td> ... </td> </tr>
  <tr> <td align="right"> 14 </td> <td> 6^0.7591625 </td> <td> 6^0.7591625 </td> <td> 4.500001*0.8660254=3.897115 </td> </tr>
  <tr> <td align="right"> 15 </td> <td> 6^1 </td> <td> 6^1a0 </td> <td> 6/1.333333=4.500001 </td> </tr>
  <tr> <td align="right"> 16 </td> <td> 6^1 </td> <td> 6^1a0*6 </td> <td> 4.500001*6=27.00001 </td> </tr>
  <tr> <td align="right"> 17 </td> <td> 6^1 </td> <td> 6^1 </td> <td> 6.0 </td> </tr>
   </table>

![20191018150545.png](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/597772/2724e152-6924-d4cd-bf54-a231edb1b2eb.png)
以降も有効な**数理**(<font color=blue>Mathematical Things</font>)は**オイラーの公式**（<font color=blue>Eulerian Formula</font>）<font color=green>Cos(θ)+Sin(θ)i</font>の一般形<font color=green>Cos(θ)+Cos(θ-π/NoS)i</font>(<font color=blue>NoS=Number of Sides</font>)のみとなります。**正多角形**(<font color=blue>Regular Polygon</font>)の辺数が**無限円**(<font color=blue>Unlimited Circle</font>)のそれ（<font color=blue>すなわち辺数Inf,辺長1/Inf=0</font>）に到達するまで、そのトーラス構造上の小半径が**無限小**(<font color=blue>-Inf</font>)へと収束を続けるだけなのです。そこはかとなく、あらゆる生物が滅び尽くした「**死の惑星**(<font color=blue>Planet of the Dead</font>)」が、静かに悠久の時を経ておもむろにそれ自体の死に向かう終末的光景が脳裏に浮かんでしまいます。さて、このイメージ正解か否や?
[【トーラス構造と古典数学】何故「正方形」ではCos(θ)+Sin(θ)iが成立するのか？](https://qiita.com/ochimusha01/items/681a6f869f594075c3c2)
![ax20191017211118.gif](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/597772/1bb6a04c-965c-6dde-4ee1-3f3f39c57cff.gif)

#素数<font color=green>2,3,5</font>なる概念導入こそが数理の始まり？

そろそろ次の投稿に向けてのまとめに移ります。この投稿では**無限直線**(<font color=blue>Infinity Line</font>)/**無限円**(<font color=blue>Infinity Circle</font>)/**無限球面**(<font color=blue>Infinity Sphere</font>)の世界観において、以下が成立するのを確かめました。

* **群**(<font color=blue>Group</font>)としての成立条件「<font color=purple>単位元と逆元の存在と結合法則の成立</font>」を満たす事が、**直径**(<font color=blue>Diameter</font>)<font color=green>{-r,0,r}</font>の概念追加と密接な関係にある事。<br>[【Rで球面幾何学】単位円と単位球](https://qiita.com/ochimusha01/items/d5d3d7a8fda03eddb1d8)
* おそらくその事は、この方面における**正多面体幾何学**(<font color=blue>Regular Polyhedron Geometry</font>)の展開が「<font color=green>2^n</font>**集**(<font color=blue>Set</font>),<font color=green>3^n</font>**集**(<font color=blue>Set</font>),<font color=green>2^m*3^n</font>**集**(<font color=blue>Set</font>),<font color=green>2^n3^m5^l</font>**集**(<font color=blue>Set</font>)」なる**素因数分解**(<font color=green>Prime Factorization</font>)概念の導入、とりわけ<font color=green>2^n</font>**集**(<font color=blue>Set</font>)概念の導入と密接な関係にありそうな事。<br>[【オイラーの多面体定理と正多面体】とある「球面幾何学(Spherical Geometry)」の出発点…](https://qiita.com/ochimusha01/items/5f8dbf33bac5b7227a11)

なんと「**オイラーの公式**（<font color=blue>Eulerian Formula</font>）<font color=green>Cos(θ)+Sin(θ)i</font>およびその一般形<font color=green>Cos(θ)+Cos(θ-π/NoS)i</font>(<font color=blue>NoS=Number of Sides</font>)」概念と「**オイラーの多面体定理**(<font color=blue>Eulerian Polyhedron Theorem</font>)<font color=green>V</font>(<font color=blue>ertexes=頂点数</font>)<font color=green>-E</font>(<font color=blue>dges=辺数</font>)<font color=green>+F</font>(<font color=blue>aces=面数</font>)<font color=green>=2</font>(<font color=blue>対蹠数</font>)」概念の連動に続いて「**オイラーのφ関数**(<font color=blue>Eulerian Totient Function</font>)」概念が統合され様としている？
[【Rで九九】どうして36個の数字しか使われないのか？](https://qiita.com/ochimusha01/items/8d990f23ae96db0cd953)

そんな感じで以下続報…