確率変数と期待値

# 確率変数
**確率変数**とは、**取る値の範囲と取る確率**だけが分かっており、試行の結果によって**その値をとる確率がランダムに定まる変数**です。試行によって確率変数Xがとる値をXの**実現値**と言います。

10円玉を4回投げた時に「表」の出る回数をxとすると、xはある確率（1/2）のもとで0,1,2,3,4のいずれかの値を取ります。この場合、確率変数Xとその起こる確率P(X)との関係を表した**確率分布**は以下のように表されます。

|確率変数 X|0|1|2|3|4|
|:--:|:--:|:--:|:--:|:--:|:--:|
|確率 P(X)|1/16|1/4|3/8|1/4|1/16|

### 離散型確率変数
確率変数Xが**とびとびの値で有限個の値をとる**場合**「離散型確率変数**」と言えます。
サイコロやコイン投げ、世論調査の結果（賛成・反対を0と1で表す）などが該当します。

### 連続型確率変数
確率変数Xが連続的な値（区間内の全ての実数値）をとる場合**「連続型確率変数」**と言えます。
身長や体重などのデータが該当します。

# 確率質量関数
離散型確率変数Xがある値xをとる確率を関数f(x)とした場合、f(x)は**「確率質量関数」**と呼ばれます。
f(x)を用いると、X=x（ある値x）となる確率は次のように表されます。

```math
f(x_i)=P(X=x_i)　（i=1,2,…,n）
```

確率質量関数は以下の特徴を持ちます。（確率の総和は1である）

```math
0 \leq f(x_i)\leq 1　\sum_{i=1}^{n} f(x_i)=1
```

# 確率密度関数
連続型確率変数Xがある値をとる関数f(x)とした場合、f(x)は**「確率密度関数」**と呼ばれます。
確率変数Xがある閉区間[a,b]をとる確率をPとした場合、その確率を与える関数f(x)は積分の形（確率=面積となる）で次のように表されます。

```math
P(a\leq X\leq b)=\int_{a}^{b}f(x)dx
```

確率密度関数は以下の特徴を持ちます。
（確率変数Xの取りうる値の下限を-∞・上限を∞とする・確率の総和は1である）

```math
f(x)\geq 0　\int_{-∞}^{∞}f(x)dx=1
```


![2b530e80c7d0de90885e285c5d798063-17.png](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/663460/0bb4541a-0e43-d32c-9bdb-5a05e3f87e3d.png)

![3a4f695a458cb0ac0aceaa2eb13ac2dd-6.png](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/663460/272219bd-3aee-a157-a238-cb20e08dded6.png)


> 画像引用：[11-5. 連続型確率分布と確率1 | 統計学の時間 | 統計WEB](https://bellcurve.jp/statistics/course/6604.html)

# 累積分布関数
確率変数Xが**ある値x以下**の値となる確率を**累積分布関数**と言い、次のように表します。

```math
F(x)=P(X \leq x)
```

確率変数が連続型である場合、累積分布関数は**確率密度関数の-∞からxまでの定積分（面積）**であると考えることができ、確率密度関数をf(t)と置くと、次のように表すことができます。

```math
F(x)=P(X \leq x)=\int_{-∞}^{x}f(t)dt
```

累積分布関数F(x)は確率密度関数f(x)を積分することで求められ、逆に確率密度関数f(x)は累積分布関数F(x)を微分することで求められます。
また、累積分布関数は**単調増加関数**であり、**右連続**である（xが点aに右から近づいた時、関数f(x)が途切れることなくaにたどり着くことができる）と言えます。

![config_2_1_4.png](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/663460/369ca3a7-fbe0-9a73-bf38-ad74f0d6105a.png)

> 画像引用：[技術計算製作所](https://gijyutsu-keisan.com/science/math/stats/stats_2.php)

# 期待値
期待値とは、**確率変数Xの取りうる値にそれが起こる確率を掛け合わせた総和**であり、確率変数の全ての値に確率の重みをつけた**加重平均**、つまり**「確率変数の平均値」**であると言えます。

**離散型確率変数X**が、x1,x2,…,xnの値をとり、それに対応する確率がそれぞれp1,p2,…,pnであるとき、期待値E[X]は以下のように表されます。

```math
E[X]=x_1p_1+x_2p_2+…+x_np_n
```

```math
=\sum_{i=1}^{n}x_ip_i
```

また**連続型確率変数X**の期待値は確率密度関数f(x)を用いて次のように表されます。

```math
E[X]=\int_{-∞}^{∞}xf(x)dx
```

### 期待値の性質
期待値に関して覚えておくべき公式です。（X・Yは確率変数、aは定数）

```math
E[a]=a
```
```math
E[X+a]=E[X]+a
```
```math
E[aX]=aE[X]
```
```math
E[X+Y]=E[X]+E[Y]
```
```math
XとYが互いに独立であるなら、E[XY]=E[X]E[Y]
```

# 確率変数の分散
確率変数の散らばりの大きさを表す**確率変数の分散V[X]**は以下のように表されます。
（Xの期待値（平均）を E[X]=*μ* とする）

```math
V[X]=\sum_{i=1}^{n}p_i(x_i-\mu)^2
```
```math
=E[(X-\mu)^2]
```
```math
=E[X^2]-(E[x])^2
```

※なお確率変数ではない（期待値を用いない）分散は以下のように定義されます。

```math
σ^2=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (x_i-\mu)^2
```

### 確率変数の分散の性質
確率変数の分散に関して覚えておくべき公式です。（X・Yは確率変数、aは定数、Cov[X,Y]は確率変数X,Yの共分散）

```math
V[a]=0　（定数は確率による散らばりが無い）
```
```math
V[X+a]=V[X]
```
```math
V[aX]=a^2V[X]
```
```math
V[X+Y]=V[X]+V[Y]+2Cov[X,Y]
```
```math
XとYが互いに独立であるなら、V[X+Y]=V[X]+V[Y]　（独立であるため共分散が0である）
```

### 確率変数の共分散
2つの確率変数の関係の大きさを表す**確率変数の共分散Cov[X,Y]**は以下のように表されます。

```math
Cov[X,Y]=E[(X-\mu_x)(Y-\mu_y)]
```
```math
=E[XY]-E[X]E[Y]
```

※なお確率変数ではない（期待値を用いない）共分散は以下のように定義されます。

```math
S_{xy}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})
```

共分散は2つのデータの関係を示しますが、「2つのデータの関係の強さ」と**「データの単位」**の両方によって影響を受けるので、**単位の影響を受けない相関係数r**がデータ間の関係を表す際には多く用いられます。

### 確率変数の標準偏差
確率変数の共分散は以下のように定義されます。

```math
σ_x=\sqrt{V[X]}
```

# 参考文献
* [例題で学ぶ初歩からの統計学 第2版](https://www.amazon.co.jp/%E4%BE%8B%E9%A1%8C%E3%81%A7%E5%AD%A6%E3%81%B6%E5%88%9D%E6%AD%A9%E3%81%8B%E3%82%89%E3%81%AE%E7%B5%B1%E8%A8%88%E5%AD%A6-%E7%AC%AC2%E7%89%88-%E7%99%BD%E7%A0%82-%E5%A0%A4%E6%B4%A5%E8%80%B6/dp/453555790X)
* [11-2. 離散型確率分布と確率質量関数 | 統計学の時間 | 統計WEB](https://bellcurve.jp/statistics/course/6598.html)
* [確率密度関数と確率質量関数 - データ科学便覧](https://data-science.gr.jp/theory/tbs_pdf_and_pmf.html)
* [累積分布関数の意味および確率密度関数との関係 - 具体例で学ぶ数学](https://mathwords.net/ruisekibunpu)
* [関数の右極限，左極限と連続性 | 高校数学の美しい物語](https://mathtrain.jp/sayuulimit)
* [期待値と分散に関する公式一覧 | 高校数学の美しい物語](https://mathtrain.jp/exvarcov)
* [共分散とは？その求め方と解釈。2変数データや2つの確率変数の関係性｜アタリマエ！](https://atarimae.biz/archives/15752)