確率論

## 集合論
　　確率論に入る前に集合論を少し。
　　あまり数学的な厳密性にこだわらない。必要最低限にとどめたい。
　　最終的に、機械学習・深層学習につなげたいだけなので。。。
### 命題とは
集合論の最初にこういったことを学ぶみたい。まあ、学者先生の厳密性ということでしょう。
一応ここにしめしておく。
・**数学**を 学ぶ上で最も 基本的である**論理学**の基本
・「それが真 (true) であるか偽 (false) であるかがはっきりとしている事柄」を**命題**という
### 集合とは
・簡単に言えば「ものの集まり」
・「ものの集まり」が ”すべて集合”　ではない。 
　例)「大きい数の集まり」「お金持ちの集まり」などは**その基準が明確でなく**、集合とは言えない。 
####  集合の記述の仕方
集合の記述の仕方は実は複数パターンある。
#####  記述パターン１：内包的記法
「x に関する 命題 P(x) が真と なる ような x の集まり」 
　　　　　$\\{x | P(x)\\}$
といった記述になる。
かっこでくくって、縦棒の前が**要素**。縦棒の後ろが**命題**。
例）
「 100 以上の整数の集まり 」は　{x | x ∈ Z かつ x ≥ 100}
##### 記述パターン２：外延的記法
要素を列挙して定義できる
　　　　　$\\{x_1,x_2,x_3\\}$
例）
「１０以下の素数全体の集合」は
        $\\{n|nは素数,n≦10\\}$
と記述できるし（こっちは記述パターン１）
　　　　$\\{1,3,5,7\\}$
とも記述できる（こっちは記述パターン２）
###集合の種類
####要素

####部分集合
・B を A の部分集合
　　　B ⊂ A ま たは A ⊃ B と 書く 。 
　　　B ⊂ A であり 、 かつある x ∈ A があっ て x 6∈ B
　　　である と き B を A の真部分集合と いい B ( A ま たは A ) B と 書く 。


### 集合論で使う記号
**元**・・・対象 x が集合 E の**元**であることを **x $\in$ E** 。対象 x が集合 E に**属する**。**要素**ともいう。
$\cap$   　　　　共通部分
⊂　　　　部分集合
$\cup$ 　　　　和集合
$\emptyset$ 　　　    空集合・・・標本点を１つも含まない集合のこと。 
$A^c$　　　　A の補集合

$\in$  　　　　**元(要素)**の**集合**に対する帰属関係・・・これだけ要素と集合の話


詳細は以下
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%95%B0%E5%AD%A6%E8%A8%98%E5%8F%B7%E3%81%AE%E8%A1%A8

##写像
**集合論**のあとは**写像**の話が出てくる。まあ、当たり前と言えば当たり前か。。。

２つの集合の各々の要素間の関係を示す。
Ａの各元に対しＢの元が１つ定まっている対応のこと。
$f:AB$



##確率論
### 公理論的確率（測度論的確率）
ここでは、数学的確率（古典的確率、事象論）・統計的確率（頻度論）についてはいまさらなので述べない。
知りたきゃここ　姉妹ブログ
https://strongerthansword.hatenablog.com/entry/2020/08/16/171218
*測度論の測度とは・・・面積、体積を示す。
*測度論とは・・・面積、体積をどのように求めるかを述べている。
*面積・・・積分を使うが、積分論では「リーマン積分(みんな習うやつ)」「ルベーグ積分」がある
*
###確率論の基礎概念
####確率論の前提
・確率論の文脈で扱えるのは、「」
・確率論で扱えるは以下の２つの前提を満たす場合である。
【前提１】起こりうる結果が何が起こるか分かっている・・・知識は十分
【前提２】どの結果が起こるのかだけが事前に分からない

例）サイコロを投げると１～６までが出ることは分かっている

確率論で扱うことが出来ない世界
何が起こるか皆目見当がつかない
事前の知識がない状態では確率論は無力である
例）未知の生命体に遭遇する確率は？
例）洞窟の中で財宝を発見する確率は？
####試行
・[取り澄ました表現・固い表現]明確に定義された実験や観察の単一の実行
・一定の条件下で繰り返し行うことが出来る
・結果が偶然に支配される実験や観測のこと
例）「サイコロを投げる」という行為・・・確かに結果は偶然に左右されるよなぁ！
####標本空間　$\Omega$ 
・ある試行で起こりうる結果からなる集合
・空集合でない集合で起こりうる**結果全体**の**集合**。・・・標本空間っていうのは**集合**です！！
・$\Omega$ の元 ω それぞれには**起こりやすさの割合**が備わっていることを仮定する。　
例）６面体のサイコロでいうと$\\{1,2,3,4,5,6\\}$の**集合**のこと。
【特徴】標本空間は、**無限集合**・**有限集合**両方ありうる
例）有限集合・・・サイコロ$\　 $$\Omega=\\{1,2,3,4,5,6\\}$
例）無限集合・・・車の寿命$\Omega=[0,\infty)$
####事象
・標本空間の**部分集合**のうち**確率をもつもの**・・・事象も**集合**です！！
・「試行」の結果
・「試行」によって起こる事柄
・標本空間のうち、我々が
例）サイコロの目が奇数である。$A=\\{1,3,5\\}$
######事象は起こったとは・・・試行の結果、事象Eの中の標本点ωが発生すること
例）式で書くと  ω$\in$E
######空事象・・・標本点を１つも含まない事象。これ以上細かく分解しようがない事象。
######根元事象・・・１つの標本点からなる事象
######余事象
######排反事象(disjoint)・・・２つの事象が同時に起こらない。
[定義] A$\cap$B=$\emptyset$・・・ＡとＢは互いに**排反**である
つまり、片っ方が起こると、排反と分かっていると、他方は強制的に起こらなくなる。
例１）サイコロの目を以下の事象Ａ，Ｂとする。同時に発生することがないので互いに排反である。
　　事象Ａ：{1,3,5}(奇数の目が出る事象）
　　事象Ｂ：{2,4,6}(偶数の目が出る事象)
例２）物理と数学の単位を取れるかどうか。
　　互いに排反だとこれは困る。物理の単位が取れると数学は問答無用で単位が取れなくなる。
　　これは良くない例です。


####確率空間

###確率論の基礎
「同時確率」「条件付き確率」「乗法定理」「加法定理」「ベイズの定理」
・同時確率 　　　　$P(A \cap B)$
・条件付き確率　　 $P(A \vert B)$
####乗法定理[同時確率を求める]・・・２つの事象が同時に起こる確率は、１つひとつの確率の掛け合わせ
同時確率は各々の確率の積になる
####加法定理・・・条件がいくつかに分けられた場合の確率計算

####集合論と確率論のクロスロード
$E\subset \Omega$
$F\subset \Omega$

| 集合論　　  | 確率論　　　 | 数式         |読み方
|:-----------|------------:|:------------:|:------------:
| 和集合     | 和事象       | E$\cup$F     |union        |
| 積集合     | 積事象       | E$\cap$F     |intersection |
| 差集合     | 差事象       | E-F          |difference   |
| 全体集合   | 全事象       | $\Omega$     |             |
| 空集合    | 空事象       |$\emptyset$   |             |
|補集合　　　|余事象　　　　 | $E^c$         |complement   |

これらより、集合論と確率論は非常に近い関係にあることが分かる！！

・集合の面積を求めよ　＝＞　確率論である  測度論を使うのはこれが理由
・集合の体積を求めよ　＝＞　確率論である　測度論を使うのはこれが理由

・$\Omega$の面積を１とする。事象Ｅの確率は「１のうちの何割の面積を占めているのか？」と同じ
・$\omega\in\Omega$は常に成立する。事象$\Omega$は必ず起こる。
・E$\cap$F = $\emptyset$ 　起こりえない事象を$\emptyset$で表す
・$E^c$ = $\Omega-E$
###事象の確率
いよいよ確率が出た！！
事象Ｅの確率は。。。。**P(E)**　で表す。
つまりカッコの中は、**集合**で表します。
例）サイコロの偶数の出る目の確率は。。。P({2,4,6})
前にも述べたけど、集合は{}で表すんだなぁ！！

###確率の条件
公理１．<<非負性>>　　P(E)$\geq$ 0
公理２．<<完全加法性>>P($\Omega$) = 1　必ず起こる事象に関しては１と定義する！
公理３．$E_i \cap E_j = \emptyset$(i $\neq$ j)である事象列に対して

```math
P(\cup_{i=1}^\infty E_i)=\sum_{i=1}^\infty P(E_i)
```
加算無限個の和集合　加算無限個の実数の和
おのおの無限個の和なので**「完全加法性」**と呼ぶ
おのおの有限個の和だとすれば**「有限加法性」**と呼ぶ

###実数値集合関数
通常確率は、実数で表される。したがって、**実数値集合関数**とも呼ばれる。
集合Ｅが与えられたときに、実数P(E)がマッピング（写像）された。
Ｐ：Ｅ$\rightarrow$P(E)


##参考
TEX
http://www27.cs.kobe-u.ac.jp/~masa-n/misc/cmc/j-kiso2001/iabasic/jlshort/node34.html