2状態が関係する量子テレポーテーションについて

注意：数式だらけです。
[勉強会](https://quantuminfo.connpass.com/)で話題が出たので、その補遺として書いています。

## 量子テレポーテーション

量子情報の中でよく取り上げられる話題として量子テレポーテーションというものがある。こちらにあるモノが消えてあちらに現れる（ように見える）ことからこの名が付けられているが、量子状態の伝送などで基本となる概念のうちの一つである。

## １状態の転送

ここではよく見られる量子テレポーテーションについておさらいする。

AliceとBobはまず、EPR ペアと呼ばれる重ね合わせられた純粋状態 $|\Phi^+ >_{AB}$をもつとする。ここで、

```math
|\Phi^+ >_{AB} = \frac{1}{\sqrt{2}}(|0>_A\otimes |0>_B + |1>_A\otimes|1>_B)
```

とし、 $|0>$や$|1>$はそれぞれの空間で直行しているものとする。

この設定では、AliceがBobに何らかの純粋状態 $|\psi >_{A'} := \alpha |0> + \beta |1>$ を転送しようとする。
ここで、

```math
\begin{align}
|\psi >_{A'}\otimes|\Phi^+ >_{AB} &= (\alpha |0>_{A'} + \beta |1>_{A'}) \otimes \frac{1}{\sqrt{2}}(|0>_A\otimes |0>_B + |1>_A\otimes|1>_B)\\
&=\frac{1}{\sqrt{2}}(\alpha |0>_{A'} \otimes |0>_A\otimes |0>_B \\
&\;\; + \alpha |0>_{A'} \otimes |1>_A\otimes|1>_B \\
&\;\;+ \beta |1>_{A'} \otimes |0>_A\otimes |0>_B \\
&\;\;+ \beta |1>_{A'} \otimes |1>_A\otimes |1>_B )
\end{align}
```
となる。
ここで、ベル基底を

```math
\begin{align}
|\Phi^+ > &= \frac{1}{\sqrt{2}}(|0>\otimes |0> + |1>\otimes|1>)\\
|\Phi^- > &= \frac{1}{\sqrt{2}}(|0>\otimes |0> - |1>\otimes|1>)\\
|\Psi^+ > &= \frac{1}{\sqrt{2}}(|0>\otimes |1> + |1>\otimes|0>)\\
|\Psi^- > &= \frac{1}{\sqrt{2}}(|0>\otimes |1> + |1>\otimes|0>)
\end{align}
```

とすれば、簡単な計算で、

```math
\begin{align}
|0>\otimes |0> &= \frac{1}{\sqrt{2}}(|\Phi^+ > + |\Phi^- >)\\
|1>\otimes |1> &= \frac{1}{\sqrt{2}}(|\Phi^+ > - |\Phi^- >)\\
|0>\otimes |1> &= \frac{1}{\sqrt{2}}(|\Psi^+ > + |\Psi^- >)\\
|1>\otimes |0> &= \frac{1}{\sqrt{2}}(|\Psi^+ > - |\Psi^- >)
\end{align}
```

が得られる。

ここから、

```math
\begin{align}
|\psi >_{A'}\otimes|\Phi^+ >_{AB} &= \frac{1}{2}(|\Phi^+ >_{A'A}\otimes(\alpha |0>_{B} + \beta |1>_{B})\\ 
&\;\; + |\Phi^- >_{A'A}\otimes(\alpha |0>_{B} - \beta |1>_{B})\\ 
&\;\;+ |\Psi^+ >_{A'A}\otimes(\alpha |1>_{B} + \beta |0>_{B})\\ 
&\;\;+ |\Psi^- >_{A'A}\otimes(\alpha |1>_{B} + \beta |0>_{B}) )
\end{align}
```

が得られる。ここで、系$A'A$にたいして、ベルの４基底での測定を行い、その結果をBobに古典通信を用いて伝え、Bobは

$|\Phi^+ >$だった場合、そのまま
$|\Phi^- >$だった場合、$|1>$を符号反転させる(パウリの$\sigma_z$）
$|\Psi^+ >$だった場合、$|0>|1>$を反転させる(パウリの$\sigma_x$）
$|\Psi^- >$だった場合、$|0>|1>$を反転させその後、$|1>$を符号反転させる(パウリの$\sigma_z\sigma_x = i\sigma_y$）

と操作すると$|\psi >_{B}$が得られる。

## 2状態のうちの一方の転送

1状態とほとんど同じことだが、あまり文献がないと言われたので、紹介する。

Aliceは重ね合わせ状態

```math
\begin{align}
|\psi >_{A_0A_1} &:= \alpha |0>_{A_0} \otimes |0>_{A_1} \\
&\;\; + \beta |0>_{A_0} \otimes |1>_{A_1}\\
&\;\; + \gamma |1>_{A_0} \otimes |0>_{A_1}\\
&\;\; + \delta |1>_{A_0} \otimes |1>_{A_1}
\end{align}
```
を持っているとする。ここから量子テレポーテーションを用いて、

```math
\begin{align}
|\psi >_{A_0B} &:= \alpha |0>_{A_0} \otimes |0>_{B} \\
&\;\; + \beta |0>_{A_0} \otimes |1>_{B}\\
&\;\; + \gamma |1>_{A_0} \otimes |0>_{B}\\
&\;\; + \delta |1>_{A_0} \otimes |1>_{B}
\end{align}
```
を得るのが目的である。

まず、ベル状態を隣りに置くと

```math
\begin{align}
|\psi >_{A_0A_1}\otimes|\Phi^+ >_{AB} &= |\psi >_{A_0A_1} \otimes \frac{1}{\sqrt{2}}(|0>_A\otimes |0>_B + |1>_A\otimes|1>_B)\\
&=\frac{1}{\sqrt{2}}(\alpha |0>_{A_0} \otimes |0>_{A_1} \otimes |0>_A\otimes |0>_B \\
&\;\; + \alpha |0>_{A_0} \otimes |0>_{A_1} \otimes |1>_A\otimes |1>_B \\
&\;\; + \beta |0>_{A_0} \otimes |1>_{A_1} \otimes |0>_A\otimes |0>_B \\
&\;\; + \beta |0>_{A_0} \otimes |1>_{A_1} \otimes |1>_A\otimes |1>_B \\
&\;\; + \gamma |1>_{A_0} \otimes |0>_{A_1} \otimes |0>_A\otimes |0>_B \\
&\;\; + \gamma |1>_{A_0} \otimes |0>_{A_1} \otimes |1>_A\otimes |1>_B \\
&\;\; + \delta |1>_{A_0} \otimes |1>_{A_1} \otimes |0>_A\otimes |0>_B \\
&\;\; + \delta |1>_{A_0} \otimes |1>_{A_1} \otimes |1>_A\otimes |1>_B)
\end{align}
```

ここで、先ほどのベル基底と01基底との関係から、

```math
\begin{align}
|\psi >_{A_0A_1}\otimes|\Phi^+ >_{AB} 
&=\frac{1}{2}((\alpha |0>_{A_0} + \gamma |1>_{A_0}) \otimes |\Phi^+ >_{A_1A}\otimes |0>_B \\
&\;\; + (\beta |0>_{A_0} + \delta |1>_{A_0}) \otimes |\Phi^+ >_{A_1A}\otimes |1>_B \\
&\;\; + (\alpha |0>_{A_0} + \gamma |1>_{A_0}) \otimes |\Phi^- >_{A_1A}\otimes |0>_B \\
&\;\; + (\beta |0>_{A_0} + \delta |1>_{A_0}) \otimes |\Phi^- >_{A_1A}\otimes -|1>_B \\
&\;\; + (\alpha |0>_{A_0} + \gamma |1>_{A_0}) \otimes |\Psi^+ >_{A_1A}\otimes |1>_B \\
&\;\; + (\beta |0>_{A_0} + \delta |1>_{A_0}) \otimes |\Psi^+ >_{A_1A}\otimes |0>_B \\
&\;\; + (\alpha |0>_{A_0} + \gamma |1>_{A_0}) \otimes |\Psi^- >_{A_1A}\otimes |1>_B \\
&\;\; + (\beta |0>_{A_0} + \delta |1>_{A_0}) \otimes |\Psi^- >_{A_1A}\otimes -|0>_B )
\end{align}
```

それゆえ、１状態の時と同じ操作を行えば、$|\psi >_{A_0B}$が得られる。

## おまけ
量子テレポーテーションや量子鍵配送で有名な Charles Bennett先生が2020年の[Shannon Award](https://www.itsoc.org/honors/claude-e-shannon-award)を受賞されました。
インタビューが[YouTube](https://www.youtube.com/watch?v=IA9T3ijos7k)で見られます。
量子情報理論の受賞はAlexander Holevo先生以来4年ぶりです。