直交する曲線達

https://twitter.com/Hyrodium/status/1285918388301119491

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　面白いですね。

```math
y=\log{x}
```

　の微分が

```math
y'=\frac{1}{x}
```

　であるため、それと同じ法線を持つような陰関数$F(x,y)=0$はこの直線と直交します。$(1,\frac{1}{x})$では計算しづらいので、$(x,1)$とおきます。

　$F(x,y)=0$の$(x_0,y_0)$における法線のベクトルは

```math
(\left.\frac{\partial F}{\partial x}\right|_{x=x_0},\left.\frac{\partial F}{\partial y}\right|_{y=y_0})
```

　で与えられることに留意すると、条件は

```math
\int(x)dx+\int(1)dy = 0
```
　となり、これを解くと、

```math
y = -\frac{1}{2}x^2 + C
```

　が得られます。両者の接線及び法線の傾き$y$の値に拠らないので、この曲線は任意は$y=\log{x}+C$に対し直交します。

　以下pythonによる図示。

![image.png](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/288125/dd40109a-760a-8fc8-f477-ac7222fb9b5b.png)

#要するに

　ある陽関数$y=f(x)$に対し、また別の陽関数

```math
g(x) = -\int \frac{1}{f'(x)} dx + C
```

　は任意の点において直交する。

　となれば、他にも色々な関数を試してみたくなるのが自然な流れです。

# y = 1/x

```math
\displaylines{
f(x) = \frac{1}{x} \\
g(x) = -\int \frac{1}{f'(x)} dx + C \\
= -\int \frac{1}{-x^{-2}} dx + C \\
= \int x^2 dx + C \\
= \frac{1}{3}x^3 + C \\}
```

![image.png](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/288125/69b20d72-3626-9d32-3cac-4900a7ed7f5c.png)

# y = e^x

```math
\displaylines{
f(x) = e^x \\
g(x) = -\int \frac{1}{f'(x)} dx + C \\
= -\int \frac{1}{e^x} dx + C \\
= -\int e^{-x} dx + C \\
= e^{-x} + C}
```
![image.png](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/288125/cf69222f-c553-a36f-b9f0-4f57d9838b45.png)

# y = sqrt(x)

```math
\displaylines{
f(x) = \sqrt{x} \\
g(x) = -\int \frac{1}{f'(x)} dx + C \\
= -\int \frac{1}{\frac{1}{2\sqrt{x}}} dx + C \\
= -2\int \sqrt{x} dx + C \\
= -\frac{4}{3}x^{\frac{3}{2}} + C}
```

![image.png](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/288125/2eed5a9c-d03c-13b1-53e9-0c5497a52ece.png)

# y = sin(x)

　ここら辺から大学学部レベルの積分になってきますが、計算過程が長くなるので途中省略させていただきます。

```math
\displaylines{
f(x) = \sin{x} \\
g(x) = -\int \frac{1}{f'(x)} dx + C \\
= -\int \frac{1}{\cos{x}} dx + C \\
= -\frac{1}{2}\log{\frac{1+\sin{x}}{1-\sin{x}}} + C \\}
```

![image.png](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/288125/55d40cf6-da7d-3bb7-c73a-7174eaf9182d.png)


# y = tan(x)

```math
\displaylines{
f(x) = \tan{x} \\
g(x) = -\int \frac{1}{f'(x)} dx + C \\
= -\int \frac{1}{\frac{1}{\cos^2{x}}} dx + C \\
= -\int \cos^2{x} dx + C \\
= -\frac{1}{2}x-\frac{1}{4}\sin{x} + C \\}
```

![image.png](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/288125/e0f55cf8-88bd-b204-1791-8cccbff73195.png)

# y = sinh(x)

```math
\displaylines{
f(x) = \sinh{x} \\
g(x) = -\int \frac{1}{f'(x)} dx + C \\
= -\int \frac{1}{\cosh{x}} dx + C \\
= -2\arctan{e^{x}} + C \\}
```

![image.png](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/288125/e924809a-0f11-d215-d60b-f27dbaf4d259.png)

# y = cosh(x)

```math
\displaylines{
f(x) = \cosh{x} \\
g(x) = -\int \frac{1}{f'(x)} dx + C \\
= -\int \frac{1}{\sinh{x}} dx + C \\
= -\frac{1}{2}\log{\frac{\cosh{x}-1}{\cosh{x}+1}}+C}
```
![image.png](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/288125/9ae81d5f-62f5-28df-49e7-cb9072039e59.png)

# y = tanh(x)

```math
\displaylines{
f(x) = \tanh{x} \\
g(x) = -\int \frac{1}{f'(x)} dx + C \\
= -\int \frac{1}{\frac{1}{\cosh^2{x}}} dx + C \\
= -\int \cosh^2{x} dx + C \\
= -\frac{1}{2}(x+\sinh{x}\cosh{x})+C}
```

![image.png](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/288125/a2165541-6628-1657-6203-71fbee6e2357.png)

#ソースコード

　代表して最後のやつだけ載せます。

```python
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np

x = np.linspace(-4,4,100)
y = -(1/2)*(x+np.sinh(x)*np.cosh(x))
plt.figure(figsize=(6,6))
for i in range(-10,10):
    plt.plot(x,y+i,c='black',linewidth=0.5)
y = np.tanh(x)
for i in range(-10,10):
    plt.plot(x,y+i,c='red',linewidth=0.5)
plt.xlim((-4,4))
plt.ylim((-4,4))
plt.show()
```

#お世話になったページ

[積分　1/cosx ](http://w3e.kanazawa-it.ac.jp/math/category/sekibun/example/henkan-tex.cgi?target=/math/category/sekibun/example/int-frac(1)(cosx).html)
[積分　(cosx)^2](http://w3e.kanazawa-it.ac.jp/math/category/sekibun/example/henkan-tex.cgi?target=/math/category/sekibun/example/int-cos%5E2x.html
)
[1/cosh[x]の積分に疑問があります。](https://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q10110599315)
https://twitter.com/ZeniYuki0922/status/1286225107447291906
[tanhの意味、グラフ、微分、積分](https://mathwords.net/haipaborictan)