【トーラス構造と古典数学】オイラーの多面体定理との統合？

**単位円筒**(<font color="blue">Unit Cylinder</font>)／**単位球面**(<font color="blue">Unit Sphere</font>)の概念(<font color="blue">Concept</font>)が**トーラス**(<font color="blue">単数形torus,複数形tori</font>)**構造**と可換である事自体は既に以前の投稿で指摘しています。
[【初心者向け】物理学における「単位円筒(Unit Cylinder)」の概念について。](https://qiita.com/ochimusha01/items/ced1c21b4411e79cdcbe)
![20191018074109.gif](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/597772/68a7e8d5-12b4-df21-12ff-21f869ab6d19.gif)
<font color="green">XY軸</font>（<font color="blue">円弧</font>）
![20191018074133.png](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/597772/7418c2ee-5767-66da-0cbc-987de17d0ae4.png)
<font color="green">ZX軸</font>（<font color="blue">Cos波</font>）
![20191101090256.png](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/597772/7d78c481-d0a6-daae-50ac-d6b04364e849.png)
<font color="green">ZY軸</font>（<font color="blue">Sin波</font>）
![20191101090408.png](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/597772/84f6d609-af92-8eb7-4626-8c31b3a598b5.png)
[【初心者向け】「単位円筒」から「単位球面」へ](https://qiita.com/ochimusha01/items/08f5c5ad1aba4a59a27d)
![20191101180804.gif](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/597772/8b0cb38b-990b-c5bf-9359-f81d2ec6b3c9.gif)
![20190915101244.gif](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/597772/8dae0ff2-2117-487f-f781-d26cb8ec6112.gif)
[【Rで球面幾何学】「単位円筒」から「トーラス構造」へ](https://qiita.com/ochimusha01/items/f6406e768aa24b8aea1a)
![20190915193504.gif](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/597772/b2c0dc27-e8c9-e364-dc4d-a6219b699672.gif)
![20190915193539.png](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/597772/96689c92-6922-88ae-5cd9-b179a6719383.png)

ちなみに「**オイラーの多面体定理**」では<font color="green">2</font>,「**オイラーの多角形定理**」では**意味論的統制**(<font color="blue">Semantic Control</font>)によって<font color="green">0~2の間を変遷する</font>とされた「**オイラー定数**」は、**トーラス構造上**は<font color="green">0</font>と解釈されます。まぁ、簡単にいうと「<font color="red">コインの表裏が蛇コイルみたいに伸びて合体し対消滅を起こした</font>(<font color="blue">従って最終的に一つも残らず</font>)」といったイメージ？
[【オイラーの多面体定理と正多面体】「オイラーの多角形定理」と「意味論的統制」概念の導入](https://qiita.com/ochimusha01/items/19c9b4cd04d92f678f78)
[オイラー数と曲面の曲がり方の関係を記述する究極の定理 ―ガウス・ボンネの定理―](https://search.yahoo.co.jp/wrs/FOR=cY3HpTVV3iiH3_kzZFfRG886gqP0MI4AKQZ8O6p3Zweeu5Haf02Cyx4E16.2u.DXlOG0ZBcxGH3jl1z3p4AgzxjTGxCc_awtV2NlW.9Y9Bhfpb4E_Xqp7Zxu9lvGFR8gukOWIl23w5VBSKEi2PxmCk6.Zht_5jzrC3qkQJTLSGc1JMmYDkjTFPu9c3v9Uc8SmQ..4WZdW3x4tRbRymdx7h1e1Ys87hgJU5o.x49Cv2UFABykBz8pfkBKVsE8DEsVzwksyhpeyG_JQT_URHW2vnQPp8gC0oCxImsTq312lf9dyq9m5PhvtcqJDBc6aao9elABuOpwH2janovZnUPzmoFdgy96Jp7wfCxKsMgPxlIUa.MYTlZ0EMNx5CpEHEWDWFohQ6THIKDCs8bsvA--/_ylt=A2RCpKxlq7deMGIATluDTwx.;_ylu=X3oDMTBtNHJhZXRnBHBvcwMxBHNlYwNzcgRzbGsDdGl0bGU-/SIG=1d0nrcfku/EXP=1589196069/**http%3A//www.med.nihon-u.ac.jp/home/sudagawa/%25E3%2582%25AA%25E3%2582%25A4%25E3%2583%25A9%25E3%2583%25BC%25E6%2595%25B0%25E3%2581%25A8%25E6%259B%25B2%25E9%259D%25A2.pdf%23search=%27%25E3%2582%25AA%25E3%2582%25A4%25E3%2583%25A9%25E3%2583%25BC%25E3%2581%25AE%25E5%25A4%259A%25E9%259D%25A2%25E4%25BD%2593%25E5%25AE%259A%25E7%2590%2586%2B%25E3%2583%2588%25E3%2583%25BC%25E3%2583%25A9%25E3%2582%25B9%27)

**トーラス**(<font color="blue">単数形torus,複数形tori</font>)**構造**自体の内容は単純です。
![mimxrtor.png](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/597772/99afb0e7-c72d-844a-cfbb-2e31666c1ab4.png)

- **小円の半径**（<font color="green">Major Radius</font>）…内接円と外接円の差の半分。
- **大円の半径**（<font color="green">Minor Radius</font>）…内接円の半径+小円の半径。

ここではこれに**円描画関数**（<font color="blue">Circle Function</font>）<font color="green">Cos(θ)+Sin(θ)(i)</font>の一般形たる<font color="green">Cos(θ)+Cos(θ-π/NoS)(i)</font>(<font color="blue">NoS=Number of Sides</font>)の以下の数値を**射影**(<font color="blue">Projection</font>)する場合を考えてみましょう。

##１辺形(<font color="blue">One Side</font>)
**式**<font color="green">Cos(θ)+Cos(θ-π/NoS)(i)</font>(<font color="blue">NoS=Number of Sides</font>)で<font color="green">NoS=1</font>の場合。<font color="green">cos(θ-π)＝－cos(θ)</font>なのでこの場合の式は<font color="green">cos(θ)-cos(θ)(i)</font>となる。
![20191024163532.png](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/597772/4d6491a4-70b2-5504-5809-841d3bb3b59e.png)

```R
c0<-seq(0,2*pi,length=60)
cx<-cos(c0)
cy<-cos(c0)*-1
plot(cx,cy,type="o",main="Cos(θ) orthogonal -Cos(θ) ",xlab="cos(θ)",ylab="-cos(θ)")
#凡例
legend("bottomleft", legend=c("cos(θ) orthogonal -cos(θ) "), lty=c(1), col=c(rgb(0,0,0))) 
```
**トーラス構造による表現**は不可能だが、<font color="green">1<=NoS<=2</font>の時の振る舞いが<font color="green">2<=NoS<=Inf</font>の真逆になる事から**半径１の単位円**(<font color="blue">Unit Circle</font>)を基準に考えた場合の**大円の半径**(<font color="blue">Major Radius</font>)=<font color="green">1(Inf/Inf)</font>,**小円の半径**(<font color="blue">Minor Radius</font>)=<font color="green">0(1/Inf)</font>と置いて両者の間にある種の対称性を認める考え方もある。

<font color="green">関数設定</font>

```R
#FHtD=1角形から2角形へ（From Henagon to Digon）
#Noc=角数(Number of corners)
FHtD<-function(NoC){
c0<-seq(0,2*pi,length=60)
cx<-cos(c0)
cy<-cos(c0-1/NoC*pi)
text01<-paste0("cos(θ-1/",round(NoC,4),"*pi)")
plot(cx,cy,type="o",main="From Henagon to Digon",xlab="cos(θ)",ylab=text01)

#中心からの補助線
cx0<-rep(0, length=length(cx))
cy0<-rep(0, length=length(cy))
segments(cx0, cy0, cx, cy,col=c(200,200,200))

#凡例
legend("bottomright", legend=text01,lty=c(1), col=c(rgb(0,0,0)))
}
```

<font color="green">1<=Nos<=2の範囲の描画</font>
![FHtD001.gif](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/597772/690abe8c-b31b-c6b7-710b-479b6c930426.gif)

```R
#アニメーション
library("animation")
Time_Code=seq(1,2, length=30)
saveGIF({
for (i in Time_Code){
FHtD(i)
}
}, interval = 0.1, movie.name = "FHtD01.gif")
```

##２辺形(<font color="blue">Bilateral</font>)
**式**<font color="green">Cos(θ)+Cos(θ-π/NoS)(i)</font>(<font color="blue">NoS=Number of Sides</font>)で<font color="green">NoS=2</font>の場合。<font color="green">cos(θ-π/2)＝sin(θ)</font>なのでこの場合の式は<font color="green">cos(θ)+sin(θ)(i)</font>となる。
![20191024163746.png](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/597772/d299630b-b095-59e5-aa81-8951e599fe3f.png)

```R
c0<-seq(0,2*pi,length=60)
cx<-cos(c0)
cy<-sin(c0)
plot(cx,cy,asp=1,type="o",main="Cos(θ) orthogonal Sin(θ) ",xlab="cos(θ)",ylab="sin(θ)")
#凡例
legend("bottomleft", legend=c("cos(θ) orthogonal sin(θ) "), lty=c(1), col=c(rgb(0,0,0))) 
```
**半径１の単位円**(<font color="blue">Unit Circle</font>)を基準にトーラス構造を考えた場合、**大円の半径**(<font color="blue">Major Radius</font>)=<font color="green">0</font>,**小円の半径**(<font color="blue">Minor Radius</font>)=<font color="green">1</font>と解釈可能。ところでこの**2辺形**(<font color="blue">Bilateral</font>)、辺の設定が面白い事になってます。

- 円弧上だと<font color="green">(0+1i)系</font>と<font color="green">(0-1i)系</font>の**共益複素数**(<font color="blue">Conjugate complex number</font>)の2本（<font color="blue">頂点数2+辺数0(1-1)+面数0で一応はオイラーの多面体定理の立体実在条件を満たす</font>）
- **球表面上**だと（<font color="blue">ピタゴラスの法則によって取得される「半径と同じ長さの辺数」同様に</font>）**円近似上の経度分割数**と同数。<br>[【初心者向け】「円そのもの」の近似から派生した角度と経度の概念の起源](https://qiita.com/ochimusha01/items/80b70db93cbf2612bd18)
- ガウスが「**1の冪乗の巡回性**」を発見して以降、球面や正多面体は主に**原蹠**と**対蹠**を定め、その正多面体に外接する球表面の**立方対角線**(<font color="blue">Cubic Diagonal</font>)を設定し、これと垂直に交わる円断面それぞれについて`c0=seq(-pi,pi,length=NoS);cx=cos(c0);cy=sin(c0)`(<font color="blue">NoS(Number of Sides)=描く多角形の辺数+巡回を完成させる為の1</font>)の構文で正多角形を描いて辺で結ぶアルゴリズムで描かれる様になった（<font color="blue">もちろん私のこれまでの投稿も例外ではない</font>）。その大源流はまさにかかる概念(<font color="blue">Concept</font>)に由来しているのである。

関数でいうと**振動関数**<font color="green">-1^x</font>(<font color="blue">i^2x</font>)の振る舞いそのもの。
[【Rで球面幾何学】等比数列(幾何数列)①その基本的性質について。](https://qiita.com/ochimusha01/items/cbbe0eadabf149fc720b)
[【Rで球面幾何学】等比数列(幾何数列)②同心円集合(Concentric Set)に射影(Projection)する準備](https://qiita.com/ochimusha01/items/3c9b6aa40a3033a0f350)
[【Rで球面幾何学】等比数列(幾何数列)③振動関数を巡る収束と拡散。](https://qiita.com/ochimusha01/items/0814db1de32fbf88d070)
[【Rで球面幾何学】等比数列(幾何数列)④公比Dが正の場合の収束と拡散, そして対数尺(自然指数関数)](https://qiita.com/ochimusha01/items/c9803fd63871097d77ce)
![20191021210648.gif](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/597772/82515a21-28ac-756f-2f7c-980acb027b44.gif)

```R
#RD=2角形（Regular Digon）
#Radian=角度（60分割）
RD<-function(Radian){
c0<-seq(0,2*pi,length=60)
c1x<-cos(c0)
c1y<-sin(c0)
plot(c1x,c1y,asp=1,type="l",xlim=c(-1,1),ylim=c(-1,1),main="Regular Henagon",xlab="cos(θ)",ylab="sin(θ)")

RD<-function(Radian){
cx<-seq(-1,1,length=60)
f0<-function(x) sqrt(1-x^2)
cy<-f0(cx)
plot(cx,cy,asp=1,type="l",col=rgb(0,1,0),xlim=c(-1,1),ylim=c(-1,1),main="Regular Henagon",xlab="X",ylab="sqrt(1-X^2) & -sqrt(1-X^2)")

par(new=T)#上書き指定

plot(cx,-1*cy,asp=1,type="l",col=rgb(1,0,0),xlim=c(-1,1),ylim=c(-1,1),main="",xlab="",ylab="")

#緯度(latitude)の描写
lat<-seq(-1,1,length=9)

for(i in lat){
segments(i,f0(i),i,-f0(i),col=c(200,200,200))
}

#経度（Longitude）の描写
lon<-seq(-pi/2,pi/2,length=9)
for(i in lon){

par(new=T)#上書き指定

plot(cx,sin(i)*cy,asp=1,type="l",col=c(200,200,200),xlim=c(-1,1),ylim=c(-1,1),main="",xlab="",ylab="")
}
#塗りつぶし

p_max<-15
p0<-seq(pi,0,length=p_max)
px_Hi<-rev(cos(p0))
px_Low<-rev(cos(p0*-1))
py_Hi<-rev(sin(p0))
py_Low<-rev(sin(p0*-1))

#左側インジケータ描画（緑）
polygon(c(px_Hi[1:Radian],px_Low[Radian:1]), #x
c(py_Hi[1:Radian],py_Low[Radian:1]), #y
density=c(30), #塗りつぶす濃度
angle=c(45),　 　　　#塗りつぶす斜線の角度
col=rgb(0,1,0)) 　#塗りつぶす色
#右側インジケータ描画（赤）
polygon(c(px_Hi[p_max:Radian],px_Low[Radian:p_max]), #x
c(py_Hi[p_max:Radian],py_Low[Radian:p_max]), #y
density=c(30), #塗りつぶす濃度
angle=c(45),　 　　　#塗りつぶす斜線の角度
col=rgb(1,0,0)) 　#塗りつぶす色
}

#アニメーション
library("animation")
Time_Code=c(1:15,14:1)
saveGIF({
for (i in Time_Code){
　RD(i)
}
}, interval = 0.1, movie.name = "RD01.gif")
```
極座標系における**垂直角**<font color="green">θ</font>や測地法における**緯度**(<font color="blue">Latitude</font>)の様に球表面上の水平断面と組み合わせて任意の位置を指定する座標系においては、かかる変動における往路か復路の半分しか必要としません(<font color="blue">半円だけなら-1~0、0~1、1~0、0~-1の4回描いている。そうi^2xだから</font>)。極座標系における**水平角**<font color="green">φ</font>の範囲が<font color="green">2π</font>なのに対し**垂直角**<font color="green">θ</font>の範囲が<font color="green">π</font>だったり、経度が（<font color="blue">ロンドンの旧グリニッジ天文台跡を０°とする</font>）<font color="green">東経１８０°</font>と<font color="green">西経１８０°</font>で表されるのに対し、緯度が（<font color="blue">赤道を0度とする</font>）<font color="green">北緯90度</font>と<font color="green">南緯90度</font>で表されるのはこの為です。

##幾何学的空間(<font color="blue">3角形~6角形</font>)
**式**<font color="green">Cos(θ)+Cos(θ-π/NoS)(i)</font>(<font color="blue">NoS=Number of Sides</font>)で<font color="green">NoS=3以上6以下</font>の範囲で広がる例外処理の多い領域。人類が古代より見知って来た**幾何学**(<font color="blue">Geometry</font>)の世界。

様々な要因から<font color="green">NoS=4</font>の場合だけ<font color="green">cos(θ)+sin(θ)(i)</font>となります。人類の想像力が**2辺形**(<font color="blue">Bilateral</font>)なる抽象概念に及ぶ様になったのは近世以降。それまではまさにこちらの方が円概念の唯一のイメージ源であり続けてきたのです。
[【Rで球面幾何学】何故「正方形」ではCos(θ)+Sin(θ)iが成立するのか？](https://qiita.com/ochimusha01/items/681a6f869f594075c3c2)
![20191025134037.png](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/597772/c2695648-1358-984c-0926-e98915a6b50b.png)

それ以外にも<font color="green">2^n集</font>、<font color="green">3^n集</font>、<font color="green">5^n集</font>の「<font color="red">立体展開</font>」に関わる**例外的特徴**/**操作**が数多く見受けられますが**式**<font color="green">Cos(θ)+Cos(θ-π/NoS)(i)</font>(<font color="blue">NoS=Number of Sides</font>)との関係は希薄で、全く別の数理の外挿的影響の結果と考えた方が良さそうです。
[【オイラーの多面体定理と正多面体】内接円/球面の半径と外接円/球面の半径の狭間](https://qiita.com/ochimusha01/items/1312cc54694cf1a27e17)

- **<font color="green">2^n</font>集**…**二辺形**(<font color="blue">Bilateral</font>),**正方形**(<font color="blue">Square</font>)(<font color="red">外接円/内接円が独自の連続同心円集合を構築する</font>)。
- **<font color="green">３^n</font>集**…**三角形**(<font color="blue">Triangle</font>),**四面体**(<font color="blue">Tetrahedron</font>)(<font color="blue">Square</font>)(<font color="red">外接円/内接円が独自の連続同心円集合を構築する</font>)
- **<font color="green">5^n</font>集**…**五角形**(<font color="blue">Pentagon</font>)
- **<font color="green">2^n3^m</font>集**…**立方体**(<font color="blue">Cube</font>),**正八面体**(<font color="blue">Octahedron</font>),**六角形**(<font color="blue">Hexagon</font>)(<font color="blue">Square</font>)(<font color="red">外接円/内接円が独自の同心円集合を構築する</font>)
- **<font color="green">2^n3^m5^l</font>集**…**正十二面体**(<font color="blue">Dodecahedron</font>),**正二十面体**(<font color="blue">Icosahedron</font>)(<font color="blue">Square</font>)(<font color="red">外接円/内接円が独自の同心円集合を構築する</font>)

![スクリーンショット 2020-05-26 11.06.42.png](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/597772/521937a2-0254-e3b2-b062-c3d3993e4b9e.png)

##5角形(<font color="blue">3角形~Pentagon</font>)以上
**式**<font color="green">Cos(θ)+Cos(θ-π/NoS)(i)</font>(<font color="blue">NoS=Number of Sides</font>)における<font color="blue">NoS=5以上Inf未満</font>の場合。もはや**幾何学的数理**に基づく「<font color="red">立体展開</font>」は見られず、**円そのもの**(<font color="blue">Circle Itself</font>)に至るまで単調な平面展開が続きます。
![FHtD005.gif](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/597772/b20beec3-ce61-c4c5-6020-5ff96c9287b7.gif)

```R
#アニメーション
library("animation")
Time_Code=c(seq(2,3,length=10),seq(3,6,length=10),seq(6,9,length=10),seq(9,27,length=10),seq(27,71,length=10))
saveGIF({
for (i in Time_Code){
FHtD(i)
}
}, interval = 0.1, movie.name = "FHtD05.gif")
```
ちなみに収束が極めて遅いのでこのアニメーション、段階的に加速させています。

##円そのもの(<font color="blue">Circle Itself</font>)
**式**<font color="green">Cos(θ)+Cos(θ-π/NoS)(i)</font>(<font color="blue">NoS=Number of Sides</font>)で<font color="green">NoS=Inf</font>の場合。<font color="green">cos(θ-π/Inf)=cos(θ-0)＝cos(θ)</font>なので式は<font color="green">Cos(θ)+Cos(θ)(i)</font>となる。
![20191024163830.png](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/597772/ce709fd0-0d91-c0b8-2592-da1a90637ff0.png)

```R
#円そのもの(Circle itself)
c0<-seq(0,2*pi,length=60)
cx<-cos(c0)
cy<-cos(c0)
plot(cx,cy,type="o",main="Cos(θ) orthogonal Cos(θ) ",xlab="cos(θ)",ylab="cos(θ)")
#凡例
legend("bottomright", legend=c("cos(θ) orthogonal cos(θ) "), lty=c(1), col=c(rgb(0,0,0)))
```

**半径１の単位円**(<font color="blue">Unit Circle</font>)を基準にトーラス構造を考えた場合、**大円の半径**(<font color="blue">Major Radius</font>)=<font color="green">1</font>(<font color="blue">Inf/Inf</font>),**小円の半径**(<font color="blue">Minor Radius</font>)= <font color="green">0</font>(<font color="blue">1/Inf</font>)と解釈可能。

##案外「<font color="red">水と油</font>」の関係にあるトーラス構造の世界(<font color="blue">Set</font>)と古典幾何学の世界(<font color="blue">Set</font>)

表題で「<font color="red">オイラーの多面体定理との統合</font>」とぶちかました割には完全に**竜頭蛇尾**な展開となってしまいました。そんな感じで以下続報…