【オイラーの多面体定理と正多面体】内接円/球面の半径と外接円/球面の半径の狭間

まずはここで使う「**単位円に内接/外接する多角形**」と「**その多角形の内接円/外接円**」を描画するプログラムを掲示しておきます。<font color="red">三角関数</font>を使っても<font color="red">複素数</font>を使っても同じ結果となります。

<font color="green">正多角形の内接円と外接円</font>(<font color="blue">三角関数Ver.</font>)
![20190818003553.gif](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/597772/eacd83b6-05f1-6ce6-2565-f34712f374ca.gif)

```R
Regular_Polygon_draw01<-function(x) {
#グラフの色の決定
Black<-rgb(0,0,0)
Red<-rgb(1,0,0)
Magenta<-rgb(1,0,1)
Blue<-rgb(0,0,1)
Green<-rgb(0,1,0)
Cyan<-rgb(0,1,1)
Yellow<-rgb(1,1,0)
Gray<-"#888888"

#タイトル定義
Main_title<-c("Regular Polygon Draw(Physics method)")
x_title<-c("cos(x)")
y_title<-c("sin(x)")

#グラフのスケール決定
gs_x<-c(-1,1)
gs_y<-c(-1,1)
#y=sin(x)
f1_name<-c("Circumscribed circle") 
c0<-seq(-pi,pi,length=100)
#y=2*sin(x)
f2_name<-c("Regular_Polygon") 
c1<-seq(-pi,pi,length=x+1)
#y=3*sin(x)
f3_name<-c("Inscribed circle") 
scl<-cos(pi/x)
#グラフ描画
plot(cos(c0),sin(c0),xlim=gs_x,ylim=gs_y,type="l",col=Black, main=Main_title,xlab=x_title,ylab=y_title)
par(new=T)#上書き指定
plot(cos(c1),sin(c1),xlim=gs_x,ylim=gs_y,type="l",col=Red, main="",xlab="",ylab="")
par(new=T)#上書き指定
plot(cos(c0)*scl,sin(c0)*scl,xlim=gs_x,ylim=gs_y,type="l",col=Black, main="",xlab="",ylab="")
#基準線
abline(h=0)
abline(v=0)
#凡例描画
legend("topleft", legend=c(f1_name,f2_name,f3_name),lty=c(1,1,1),col=c(Black,Red,Black))
}

library("animation")
Time_Code=c(3,3,4,4,5,5,6,6,7,7,8,8,9,9,10,11,12,13,14,15,20,25,30,35,40,45,50,60,70,80,90,100)
saveGIF({
for (i in Time_Code){
　Regular_Polygon_draw01(i)
}
}, interval = 0.1, movie.name = "TEST01.gif")
```
<font color="green">正多角形の内接円と外接円</font>(<font color="blue">複素数Ver.</font>)
![20190818004024.gif](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/597772/0e8fa3e6-c178-aa8a-118e-22d1cd762232.gif)

```R
Regular_Polygon_draw02<-function(x) {
#グラフの色の決定
Black<-rgb(0,0,0)
Red<-rgb(1,0,0)
Magenta<-rgb(1,0,1)
Blue<-rgb(0,0,1)
Green<-rgb(0,1,0)
Cyan<-rgb(0,1,1)
Yellow<-rgb(1,1,0)
Gray<-"#888888"

#タイトル定義
Main_title<-c("Regular Polygon Draw(
Mathematical method)")
x_title<-c("Real number")
y_title<-c("Imaginary number")

#グラフのスケール決定
gs_x<-c(-1,1)
gs_y<-c(-1,1)
#Circumscribed circle（外接円）
f1_name<-c("Circumscribed circle") 
f0<-function(x){exp(x*(0+1i))}
c1<-seq(-pi,pi,length=100)
c1_r<-Re(f0(c1))
c1_i<-Im(f0(c1))
#Regular_Polygon（正多角形）
f2_name<-c("Regular_Polygon") 
c2<-seq(-pi,pi,length=x+1)
c2_r<-Re(f0(c2))
c2_i<-Im(f0(c2))

#Inscribed circle(内接円)
f3_name<-c("Inscribed circle") 
scl<-cos(pi/x)
#グラフ描画
plot(c1_r,c1_i,xlim=gs_x,ylim=gs_y,type="l",col=Black, main=Main_title,xlab=x_title,ylab=y_title)
par(new=T)#上書き指定
plot(c2_r,c2_i,xlim=gs_x,ylim=gs_y,type="l",col=Red, main="",xlab="",ylab="")
par(new=T)#上書き指定
plot(c1_r*scl,c1_i*scl,xlim=gs_x,ylim=gs_y,type="l",col=Black, main="",xlab="",ylab="")
#基準線
abline(h=0)
abline(v=0)
#凡例描画
legend("topleft", legend=c(f1_name,f2_name,f3_name),lty=c(1,1,1),col=c(Black,Red,Black))
}

library("animation")
Time_Code=c(3,3,4,4,5,5,6,6,7,7,8,8,9,9,10,11,12,13,14,15,20,25,30,35,40,45,50,60,70,80,90,100)
saveGIF({
for (i in Time_Code){
　Regular_Polygon_draw02(i)
}
}, interval = 0.1, movie.name = "TEST01.gif")
```
<font color="green">単位円の内接多角形と外接多角形</font>(<font color="blue">複素数Verのみ</font>)
![20190819051732.gif](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/597772/82856faf-f5e8-7ea0-abd3-7c3474b8f381.gif)

```R
Regular_Polygon_draw03<-function(x) {
#グラフの色の決定
Black<-rgb(0,0,0)
Red<-rgb(1,0,0)
Magenta<-rgb(1,0,1)
Blue<-rgb(0,0,1)
Green<-rgb(0,1,0)
Cyan<-rgb(0,1,1)
Yellow<-rgb(1,1,0)
Gray<-"#888888"

#タイトル定義
Main_title<-c("The Limit of inscribed polygons and circumscribed polygons")
x_title<-c("Real number")
y_title<-c("Imaginary number")

#グラフのスケール決定
gs_x<-c(-1,1)
gs_y<-c(-1,1)
#Circumscribed circle（外接多角形）
f1_name<-c("Circumscribed Polygon") 
f0<-function(x){exp(x*(0+1i))}
c1<-seq(-pi,pi,length=x+1)
c1_r<-Re(f0(c1))
c1_i<-Im(f0(c1))
#Regular_Polygon（中間円）
f2_name<-c("Inner circle") 
c2<-seq(-pi,pi,length=100)
c2_r<-Re(f0(c2))
c2_i<-Im(f0(c2))

#Inscribed circle(内接多角形)
f3_name<-c("Inscribed Polygon") 
scl<-cos(pi/x)
#グラフ描画
plot(c1_r,c1_i,xlim=gs_x,ylim=gs_y,type="l",col=Green, main=Main_title,xlab=x_title,ylab=y_title)
par(new=T)#上書き指定
plot(c2_r*scl,c2_i*scl,xlim=gs_x,ylim=gs_y,type="l",col=Black, main="",xlab="",ylab="")
par(new=T)#上書き指定
plot(c1_r*scl,c1_i*scl,xlim=gs_x,ylim=gs_y,type="l",col=Blue, main="",xlab="",ylab="")
#基準線
abline(h=0)
abline(v=0)
#凡例描画
legend("topleft", legend=c(f1_name,f2_name,f3_name),lty=c(1,1,1),col=c(Green,Black,Blue))
}

library("animation")
Time_Code=c(3,3,4,4,5,5,6,6,7,7,8,8,9,9,10,11,12,13,14,15,20,25,30,35,40,45,50,60,70,80,90,100)
saveGIF({
for (i in Time_Code){
　Regular_Polygon_draw03(i)
}
}, interval = 0.1, movie.name = "TEST01.gif")
```
##正方形（<font color="blue">Square</font>）/立方体(<font color="blue">Cube</font>)における内接円/球面の半径と外接円/球面の半径の連続推移

そもそも**円描画関数**<font color="green">r=sqrt(x^2+y^2+z^2…)</font>(<font color="blue">ただしrは半径,x,y,zは単位円/球面上の各座標軸におけるその値</font>)の大源流は**二項展開の例外**<font color="green">(x+y)^2=x^2+y^2</font>に遡るのです。
[【初心者向け】パスカルの三角形と二項定理または二項展開](https://qiita.com/ochimusha01/items/d668b19d5389b52e0dd2)
>通常の**二項展開**(<font color="blue">Binomial Expansion</font>)の結果は
<font color="green">(x+y)^2=x^2+y^2+2xy</font>
<font color="green">(x-y)^2=x^2+y^2-2xy</font>
となる。

[【初心者向け】ピタゴラスの定理あるいは三平方の定理からの出発](https://qiita.com/ochimusha01/items/4c7f731b0ef3cc998aa1)

><font color="green">x=cos(θ)</font>,<font color="green">y=sin(θ)</font>と置いた場合、**余弦定理**(<font color="blue">Cosine Formula</font>)から「<font color="green">θ=π/2ラジアン(90度)の時、cos(θ)^2=sin(θ)^2</font>」が求められる。

```R
#余弦定理(Cosine Formula)で角度が90度の場合
a^2=(b-c)^2=b^2+c^2−2bc*cos(α)
#ところでα=90度(π/2ラジアン)の場合、cos(α)=0
a^2=b^2+c^2−2bc*0=b^2+c^2 
```

>**虚数単位**(<font color="blue">Imaginary Unit</font>)<font color="green">i^2=-1</font>の概念を導入すると**共益複素数**(<font color="blue">Conjugate Complex Number</font>)<font color="green">r(0+1i)</font>と<font color="green">r(0-1i)</font>の打ち消し作用によって<font color="green">cos(θ)^2+sin(θ)^2</font>が求められる。

```R
#オイラーの公式(Euler's Formula)あるいは
#共益複素数(Conjugate Complex Number)同士の打ち消し作用を用いた証明。
1=e^0=e^(iθ-iθ)=e^iθ-e^iθ)
=(cos(θ)+sin(θ)i)(cos(θ)-sin(θ)i)
=cos(θ)^2+sin(θ)i-sin(θ)i-sin(θ)i^2
=cos(θ)^2+sin(θ)^2 #i^2=-1
```

この時<font color="green">cos(θ)+sin(θ)</font>は**正方形の内接円/外接円の関係**に従って「<font color="red">連続同心円</font>」を描きます。
![Rplot30.png](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/597772/8b69aebd-16a4-79b0-25e5-008b4dfa970e.png)

```R
Square_XY<-function(Radius){
c0<-seq(-1,1,length=31)
cx<-c(rev(c0),c0[2:31])
c1<-seq(0,1,length=16)
cy<-c(c1,rev(c1[1:15]),-c1[2:16],-rev(c1[1:15]))
complex(real=cx*Radius,imaginary=cy*Radius)
}

c0<-seq(0,pi*2,length=61)
cx<-cos(c0)
cy<-sin(c0)
cmpx<-Re(Square_XY(1))
cmpy<-Im(Square_XY(1))

#立方体における内接円/外接円の同心円的連鎖(周期1/2)描画
plot(cx,cy,type="l",xlim=c(-1,1),asp=1,ylim=c(-1,1),main="Square 
& Inscribed/Circumscribed Circle",xlab="",ylab="", col=rgb(0,1,0))
par(new=T)
plot(cx*sqrt(2)/2,cy*sqrt(2)/2,type="l",xlim=c(-1,1),asp=1,ylim=c(-1,1),main="",xlab="",ylab="",col=rgb(0,1,0))
par(new=T)
plot(cx*2/sqrt(2),cy*2/sqrt(2),type="l",xlim=c(-1,1),asp=1,ylim=c(-1,1),main="",xlab="",ylab="",col=c(200,200,200))
par(new=T)
plot(cx/2,cy/2,type="l",xlim=c(-1,1),asp=1,ylim=c(-1,1),main="",xlab="",ylab="", col=c(200,200,200))
par(new=T)
plot(cx*2,cy*2,type="l",xlim=c(-1,1),asp=1,ylim=c(-1,1),main="",xlab="",ylab="", col=c(200,200,200))

#正方形
par(new=T)
plot(cmpx,cmpy,type="l",xlim=c(-1,1),asp=1,ylim=c(-1,1),main="",xlab="",ylab="",col=rgb(1,0,0))
par(new=T)
plot(cmpx*sqrt(2)/2,cmpy*sqrt(2)/2,type="l",xlim=c(-1,1),asp=1,ylim=c(-1,1),main="",xlab="",ylab="",col=c(200,200,200))
par(new=T)
plot(cmpx*2/sqrt(2),cmpy*2/sqrt(2),type="l",xlim=c(-1,1),asp=1,ylim=c(-1,1),main="",xlab="",ylab="",col=c(200,200,200))
par(new=T)
plot(cmpx/2,cmpy/2,type="l",xlim=c(-1,1),asp=1,ylim=c(-1,1),main="",xlab="",ylab="", col=c(200,200,200))
par(new=T)
plot(cmpx*2,cmpy*2,type="l",xlim=c(-1,1),asp=1,ylim=c(-1,1),main="",xlab="",ylab="", col=c(200,200,200))

abline(h=0,col=rgb(0,0,0))
abline(v=0,col=rgb(0,0,0))
```

**単位円筒**(<font color="blue">Unit Cylinder</font>)との関係
[【初心者向け】物理学における「単位円筒(Unit Cylinder)」の概念について。](https://qiita.com/ochimusha01/items/ced1c21b4411e79cdcbe)
[【初心者向け】「単位円筒」から「単位球面」へ](https://qiita.com/ochimusha01/items/08f5c5ad1aba4a59a27d)
![20190907222058.gif](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/597772/dc893a6e-8929-48a8-e40b-91b59f4a6bd9.gif)
![20190907222132.png](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/597772/918bb5c7-2ac7-ab55-7915-fca3498aae40.png)

```R
#正方形
library(rgl)
Rtime<-seq(0,2,length=5)
tr01<-c(1,(0+1i),-1,(0-1i),1)
Real<-Re(tr01)
Imag<-Im(tr01)
plot3d(Real,Imag,Rtime,type="l",xlim=c(-1,1),ylim=c(-1,1),zlim=c(0,2))
movie3d(spin3d(axis=c(0,0,1),rpm=5),duration=10,fps=25,movie="~/Desktop/test16")
```

単位円（<font color="blue">Unit circle</font>）上に同心円を描く任意の正方形内で正方形を回すと、その辺長の比は<font color="green">sqrt(2):sqrt(2)</font>と<font color="green">1:2</font>の間を反復し続けますが、この比が多層化された内接円と外接円の半径の推移比とぴったり重なるのです。
[【初心者向け】ピタゴラスの定理あるいは三平方の定理からの出発](https://qiita.com/ochimusha01/items/4c7f731b0ef3cc998aa1)
![20190918061420.gif](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/597772/fd59150f-72ba-3566-7534-2d2bb6f3a177.gif)
[【Rで球面幾何学】式Cos(θ)+Sin(θ)(i)から式Cos(θ)+Cos(θ-π/NoS)(i)(NoS=Number of Sides)への「自然な」拡張について。](https://qiita.com/ochimusha01/items/4a971b59d9fc9dfdcc0f)

<!-- html table generated in R 3.5.2 by xtable 1.8-4 package -->
<!-- Sat May  9 17:05:36 2020 -->
<table border=1>
<tr> <th>  </th> <th> Target_size </th> <th> Target_names </th> <th> Target_values </th>  </tr>
  <tr> <td align="right"> 1 </td> <td> 2^-1 </td> <td> 2^-1(2^-0.5r) </td> <td> 0.5 </td> </tr>
  <tr> <td align="right"> 2 </td> <td> 2^-1 </td> <td> 2^-1d=2^-1*4 </td> <td> 1 </td> </tr>
  <tr> <td align="right"> 3 </td> <td> 2^-1 </td> <td> 2^-1a1=2^0a0 </td> <td> sqrt(2)=1.414214 </td> </tr>
  <tr> <td align="right"> 4 </td> <td> 2^-1 </td> <td> 2^-1a1(2^-0.5a0)*4 </td> <td> 4sqrt(2)=5.656854 </td> </tr>
  <tr> <td align="right"> 5 </td> <td> 2^-0.5 </td> <td> 2^-0.5(2^0r) </td> <td> sqrt(2)/2=0.7071068 </td> </tr>
  <tr> <td align="right"> 6 </td> <td> 2^-0.5 </td> <td> 2^-0.5d=2^-0.5*4 </td> <td> sqrt(2)=1.414214 </td> </tr>
  <tr> <td align="right"> 7 </td> <td> 2^-0.5 </td> <td> 2^-0.5a1=2^0a0 </td> <td> 1 </td> </tr>
  <tr> <td align="right"> 8 </td> <td> 2^-0.5 </td> <td> 2^-1a1(2^0.5a0)*4 </td> <td> 4 </td> </tr>
  <tr> <td align="right"> 9 </td> <td> 2^0 </td> <td> 2^0(2^-0.5R,2^0.5r) </td> <td> 1 </td> </tr>
  <tr> <td align="right"> 10 </td> <td> 2^0 </td> <td> 2^0d=2^0*4 </td> <td> 2 </td> </tr>
  <tr> <td align="right"> 11 </td> <td> 2^0 </td> <td> 2^0a1=2^0.5a0 </td> <td> sqrt(8)=2sqrt(2)=2.828427 </td> </tr>
  <tr> <td align="right"> 12 </td> <td> 2^0 </td> <td> 2^0a1(2^0.5a0)*4 </td> <td> sqrt(32)=4sqrt(2)=5.656854 </td> </tr>
  <tr> <td align="right"> 13 </td> <td> 2^0.5 </td> <td> 2^0.5(2^-0R,2^1r) </td> <td> sqrt(2)=1.414214 </td> </tr>
  <tr> <td align="right"> 14 </td> <td> 2^0.5 </td> <td> 2^0.5d=2^0.5*4 </td> <td> 2sqrt(2)=2.828427 </td> </tr>
  <tr> <td align="right"> 15 </td> <td> 2^0.5 </td> <td> 2^0.5a1=2^1a0 </td> <td> 4 </td> </tr>
  <tr> <td align="right"> 16 </td> <td> 2^0.5 </td> <td> 2^0.5a1(2^0a0)*4 </td> <td> 8 </td> </tr>
  <tr> <td align="right"> 17 </td> <td> 2^1 </td> <td> 2^1(2^1-0.5R,2^0.5r) </td> <td> 2 </td> </tr>
   </table>

![20190919182043.png](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/597772/b4b8c5b9-6768-ce41-85e0-4ebeeadfe406.png)
![20190919155431.png](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/597772/19df26a6-1ca3-0e4c-7b71-00f470881e30.png)
![20190919145255.png](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/597772/0e1f9518-2745-56d9-89e2-261e979304d6.png)

この規則正しさはコサイン波もサイン波も「<font color="red">四分割した上で90度ずつ位相をずらして再構成しても同じ波形になる</font>」特徴に由来しています。
[【Rで球面幾何学】何故「正方形」ではCos(θ)+Sin(θ)iが成立するのか？](https://qiita.com/ochimusha01/items/681a6f869f594075c3c2)
![20191018141703.png](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/597772/3631892a-d9d9-307d-d590-04e6aaf336d5.png)

ところで**立方体**(<font color="blue">正六面体</font>)に内接/外接する同心球面の半径の推移は以下となり、双対関係にある**正八面体**のそれと一致するのです。
[正多面体の計量と真球率](https://www.chart.co.jp/subject/sugaku/suken_tsushin/82/82-3.pdf)

```R
#r1=１辺aの立方体(正六面体)に内接する球面の半径
> a<-1
> a/2
[1] 0.5

#R1=１辺aの立方体(正六面体)に外接する球面の半径
> a<-1
> a*sqrt(3)/2
[1] 0.8660254

#立方体(正六面体)の真球率(r/R)
> 0.5/0.8660254
[1] 0.5773503
> sqrt(3)/3
[1] 0.5773503

#r2=１辺aの正八面体に内接する球面の半径
> a<-1
> a*sqrt(6)/6
[1] 0.4082483

#R2=１辺aの正八面体に外接する球面の半径
> a<-1
> a*sqrt(2)/2
[1] 0.7071068

#立方体(正六面体)の真球率(r/R)
> 0.4082483/0.7071068
[1] 0.5773503
> sqrt(3)/3
[1] 0.5773503

#真球率が一致するという事はこの二つの図形が双対関係にある事を意味する
```
どうやらこれが<font color="green">2^n3^m集</font>に含まれる多面体の構築する同心球面の特徴と言えそうです。
[【オイラーの多面体定理と正多面体】とある「球面幾何学(Spherical Geometry)」の出発点…](https://qiita.com/ochimusha01/items/5f8dbf33bac5b7227a11)

##正三角形（<font color="blue">Equilateral Triangle</font>）/正四面体(<font color="blue">Regular Tetrahedron</font>)/正六角形（<font color="blue">Regular Hexagon</font>）における内接円/球面の半径と外接円/球面の半径の連続推移

「<font color="red">連続同心円を構築する</font>」性質そのものは正三角形も備えています。
![20190818001217.png](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/597772/316379cf-07c0-2db3-ecf3-e93a8400c6b1.png)

**単位円筒**(<font color="blue">Unit Cylinder</font>)との関係
[【初心者向け】物理学における「単位円筒(Unit Cylinder)」の概念について。](https://qiita.com/ochimusha01/items/ced1c21b4411e79cdcbe)
[【初心者向け】「単位円筒」から「単位球面」へ](https://qiita.com/ochimusha01/items/08f5c5ad1aba4a59a27d)
![20190907183252.gif](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/597772/165ffd6f-eb31-467c-4a1a-29a80e9a3c55.gif)
![20190907183221.png](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/597772/30f51328-dd6b-cbc9-730a-fabfb18b8427.png)

```R
#正三角形
library(rgl)
Rtime<-seq(0,2,length=4)
tr01<-c(1,(-1+sqrt(3)*(0+1i))/2,(-1-sqrt(3)*(0+1i))/2,1)
Real<-Re(tr01)
Imag<-Im(tr01)
#plot(Real,Imag,type="l")
plot3d(Real,Imag,Rtime,type="l",xlim=c(-1,1),ylim=c(-1,1),zlim=c(0,2))
movie3d(spin3d(axis=c(0,0,1),rpm=5),duration=10,fps=25,movie="~/Desktop/test11")
```

<!-- Sat May  9 16:53:13 2020 -->
<table border=1>
<tr> <th>  </th> <th> Target_size </th> <th> Target_names </th> <th> Target_values </th>  </tr>
  <tr> <td align="right"> 1 </td> <td> 3^-1 </td> <td> 3^-1(3^0r) </td> <td> 1/2=0.5 </td> </tr>
  <tr> <td align="right"> 2 </td> <td> 3^-1 </td> <td> 3^-1h=3^-1*3 </td> <td> 3/2=1.5 </td> </tr>
  <tr> <td align="right"> 3 </td> <td> 3^-1 </td> <td> 3^-1a1=3^0a0 </td> <td> 2*sqrt(1.5)=2.44949 </td> </tr>
  <tr> <td align="right"> 4 </td> <td> 3^-1 </td> <td> 3^-1a1(3^0a0)*3 </td> <td> 6*sqrt(1.5)=7.348469 </td> </tr>
  <tr> <td align="right"> 5 </td> <td> 3^0 </td> <td> 3^0(3^-1R,3^1r) </td> <td> 1.0 </td> </tr>
  <tr> <td align="right"> 6 </td> <td> 3^0 </td> <td> 3^0h=3^0*3 </td> <td> 3.0 </td> </tr>
  <tr> <td align="right"> 7 </td> <td> 3^0 </td> <td> 3^0a1=3^1a0 </td> <td> 2*sqrt(3)=3.464102 </td> </tr>
  <tr> <td align="right"> 8 </td> <td> 3^0 </td> <td> 3^0a1(3^1a0)*3 </td> <td> 6*sqrt(3)=10.3923 </td> </tr>
  <tr> <td align="right"> 9 </td> <td> 3^1 </td> <td> 3^1(3^0R) </td> <td> 3.0 </td> </tr>
   </table>

```R
target_size<-c("3^-1","3^-1","3^-1","3^-1","3^0","3^0","3^0","3^0","3^1")

target_names<-c("3^-1(3^0r)","3^-1h=3^-1*3","3^-1a1=3^0a0","3^-1a1(3^0a0)*3","3^0(3^-1R,3^1r)","3^0h=3^0*3","3^0a1=3^1a0","3^0a1(3^1a0)*3","3^1(3^0R)")

target_values<-c("1/2=0.5","3/2=1.5","2*sqrt(1.5)=2.44949","6*sqrt(1.5)=7.348469","1.0","3.0","2*sqrt(3)=3.464102","6*sqrt(3)=10.3923","3.0")

Regula_falsi03<-data.frame(Target_size=target_size,Target_names=target_names,Target_values=target_values)
library(xtable)
print(xtable(Regula_falsi03), type = "html")
```

単位円（<font color="blue">Unit circle</font>）上に同心円を描く任意の正三角形内で正三角形を回すと、その辺長の比は<font color="green">2:2</font>と<font color="green">1:2</font>の間を反復し続けますが、この比が多層化された内接円と外接円の半径の推移比とぴったり重なるのです。
![20190919074352.gif](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/597772/9ffbc521-ec9d-7c10-5abf-f5be30780267.gif)

```R
Three_square_theorem03<-function(x){
c0<-c(0,2/3*pi,-2/3*pi,0)
c0_cos<-cos(c0)
c0_sin<-sin(c0)
plot(c0_cos,c0_sin,type="l",xlim=c(-1,1),ylim=c(-1,1),main="Regular polygon rotation",xlab="Cos(θ)",ylab="Sin(θ)")
text(c0_cos,c0_sin, labels=c("a","b","c",""),col=c(rgb(1,0,0),rgb(1,0,0),rgb(1,0,0),rgb(1,0,0)),cex=c(2,2,2,2))
line_scale_01_cos<-seq(cos(c0[1]),cos(c0[2]),length=15)
line_scale_01_sin<-seq(sin(c0[1]),sin(c0[2]),length=15)
line_scale_02_cos<-seq(cos(c0[2]),cos(c0[3]),length=15)
line_scale_02_sin<-seq(sin(c0[2]),sin(c0[3]),length=15)
line_scale_03_cos<-seq(cos(c0[3]),cos(c0[1]),length=15)
line_scale_03_sin<-seq(sin(c0[3]),sin(c0[1]),length=15)
text(c(line_scale_01_cos[x],line_scale_02_cos[x],line_scale_03_cos[x]),c(line_scale_01_sin[x],line_scale_02_sin[x],line_scale_03_sin[x]), labels=c("ab","bc","ca"),col=c(rgb(0,0,1),rgb(0,0,1),rgb(0,0,1)),cex=c(2,2,2))

#塗りつぶし
polygon(c(c0_cos[1],line_scale_03_cos[x],line_scale_01_cos[x],c0_cos[1]), #x
c(c0_sin[1],line_scale_03_sin[x],line_scale_01_sin[x],c0_sin[1]), #y
density=c(30), #塗りつぶす濃度
angle=c(45),　 　　　#塗りつぶす斜線の角度
col=rgb(0,1,0)) 　 

#塗りつぶし
polygon(c(c0_cos[2],line_scale_01_cos[x],line_scale_02_cos[x],c0_cos[2]), #x
c(c0_sin[2],line_scale_01_sin[x],line_scale_02_sin[x],c0_sin[2]), #y
density=c(30), #塗りつぶす濃度
angle=c(45),　 　　　#塗りつぶす斜線の角度
col=rgb(0,1,0)) 　 

#塗りつぶし
polygon(c(c0_cos[3],line_scale_02_cos[x],line_scale_03_cos[x],c0_cos[3]), #x
c(c0_sin[3],line_scale_02_sin[x],line_scale_03_sin[x],c0_sin[3]), #y
density=c(30), #塗りつぶす濃度
angle=c(45),　 　　　#塗りつぶす斜線の角度
col=rgb(0,1,0)) 　

}

#アニメーション
library("animation")
Time_Code=c(1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15)
saveGIF({
for (i in Time_Code){
　Three_square_theorem03(i)
}
}, interval = 0.1, movie.name = "TEST003.gif") 
```

[【Rで球面幾何学】何故「正方形」ではCos(θ)+Sin(θ)iが成立するのか？](https://qiita.com/ochimusha01/items/681a6f869f594075c3c2)
![20191018135953.png](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/597772/27b87e1a-af4d-5607-3b47-05e4bc648675.png)
ただここから先は<font color="green">cos(θ)+sin(θ)(i)</font>が成立せず、その一般形たる<font color="green">Cos(θ)+Cos(θ-π/NoS)i</font>(<font color="blue">NoS=Number of Sides</font>)で考えないといけなくなります。

![20190919182420.png](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/597772/8d177752-0c13-76bf-a34c-7e3783dd160c.png)

```R
c0=seq(0,2*pi,length=7)
c1=c(2,4,2,4,2,4,2)
c2=c(1,2,1,2,1,2,1)
c3=c(1/2,1,1/2,1,1/2,1,1/2)
plot(c0,c1,type="o",xlim=c(0,2*pi),ylim=c(1/2,4),ylab='x', xlab='y')
par(new=T) #上書き
plot(c0,c2,type="o",xlim=c(0,2*pi),ylim=c(1/2,4),ylab='', xlab='')
par(new=T) #上書き
plot(c0,c3,type="o",xlim=c(0,2*pi),ylim=c(1/2,4), main="Expected Multilayered Tori", ylab='', xlab='')
#外接円=内接円による境界線
abline(h=2,col=rgb(1,0,0))
abline(h=1,col=rgb(0,1,0))
abline(h=0.5,col=rgb(0,0,1))
#凡例
legend("bottomright", legend=c("Mj=2+Mn,Mn=1","Mj=1+Mn,Mn=1/2","Mj=1/2+Mn,Mn=1/4"), lty=c(1,1,1), col=c(rgb(1,0,0),rgb(0,1,0),rgb(0,0,1))) 
```
![20190919181530.png](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/597772/72d934cf-d6d7-7695-42e2-c376d1bd76e8.png)

```R
R_time=seq(0,2*pi,length=300)
Smp_time=seq(0,2/3*pi,length=100)

#標準円(半径0.5→1)
f0<-function(x){cos(x-1/3*pi)}
S_data<-c(f0(Smp_time),f0(Smp_time),f0(Smp_time))
plot(R_time,S_data,type="l",xlim=c(0,2*pi),ylim=c(0.5,4),main="Torus  drawn by circumscribed and inscribed circle",ylab='Circumference(radian)', xlab='Circle radius')
#半径1→2
par(new=T) #上書き
S_data<-c(f0(Smp_time)*2,f0(Smp_time)*2,f0(Smp_time)*2)
plot(R_time,S_data,type="l",xlim=c(0,2*pi),ylim=c(0.5,4),ylab='', xlab='')

#半径2→4)
par(new=T) #上書き
S_data<-c(f0(Smp_time)*4,f0(Smp_time)*4,f0(Smp_time)*4)
plot(R_time,S_data,type="l",xlim=c(0,2*pi),ylim=c(0.5,4),ylab='', xlab='')
#外接円=内接円による境界線
abline(h=2,col=rgb(1,0,0))
abline(h=1,col=rgb(0,1,0))
abline(h=0.5,col=rgb(0,0,1))
#凡例
legend("bottomright", legend=c("Mj=2+Mn,Mn=1","Mj=1+Mn,Mn=1/2","Mj=1/2+Mn,Mn=1/4"), lty=c(1,1,1), col=c(rgb(1,0,0),rgb(0,1,0),rgb(0,0,1))) 
```

ところで**正三角形（<font color="blue">Equilateral Triangle</font>）**を最小の操作で立体に拡張した**正四面体**(<font color="blue">Regular Tetrahedron</font>)に内接/外接する同心球面の半径の推移は以下となります。
[正多面体の計量と真球率](https://www.chart.co.jp/subject/sugaku/suken_tsushin/82/82-3.pdf)

```R
#r=１辺aの正四面体に内接する球面の半径
> a<-1
> a*sqrt(6)/12
[1] 0.2041241

#R1=１辺aの正四面体に外接する球面の半径
> a<-1
> a*sqrt(6)/4
[1] 0.6123724

#正四面体の真球率(r/R)
> 0.2041241/0.6123724
[1] 0.3333333
> 1/3
[1] 0.3333333
```
ただし単体で平面充填性を備える正三角形と異なり、**正四面体**は単体では立体充填性を備えておらず、その性質を備えるには**正八面体**と交互に組み合わせないといけません。
[【オイラーの多面体定理と正多面体】正四面体と正六面体と正八面体の連続性と「テトラパックの思わぬ正体」について。
](https://qiita.com/ochimusha01/items/3356f7c805917660632c)
![triangles004.gif](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/597772/1576eee8-d928-eb03-e8ad-b4ffd5efda44.gif)

単体で平面充填性を備える**正方形**や単体で立体充填性を備える**立方体**の場合はその**自己相似形再現サイクル**が**平方数**(<font color="blue">Square Number</font>)<font color="green">(0,1,4,9,16,25,36,49,64,81,100…)</font>や**立方数**(<font color="blue">Cubic Number</font>)<font color="green">(0,1,8,27,64,125…)</font>に従う為に「（<font color="blue">面を中心とする</font>）**偶数系展開**」と「（<font color="blue">頂点を中心とする</font>）**奇数系展開**」が交互に現れます。
<font color="green">正方形による平面充填</font>（<font color="blue">面を基点とした場合</font>）…コサイン波の振る舞いに対応。
![Rplot17.png](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/597772/93b4d44f-47d8-b228-3316-279210cc715a.png)

```R
#Tiling(Plane Filling) by Square(From Face) 
cx=c(-3,3,3,-3,-3)
cy=c(-3,-3,3,3,-3)
plot(cx,cy,type="l",asp=1,xlim=c(-3,3),ylim=c(-3,3),col=rgb(0,0,1),lwd=2, main="Tiling by Square(From Face)",xlab="X axis",ylab="Y axis")

lines(c(-3,3), c(-1,-1),col=rgb(0,0,1),lwd=2)
lines(c(-3,3), c(1,1),col=rgb(0,0,1),lwd=2)
lines(c(-1,-1), c(-3,3),col=rgb(0,0,1),lwd=2)                        
lines(c(1,1), c(-3,3),col=rgb(0,0,1),lwd=2)                        

#方眼(Square Grid)
for (i in -5:5) {
abline(h = i,col=c(200,200,200))
abline(v = i,col=c(200,200,200))
 }                             
```
<font color="green">正方形による平面充填</font>（<font color="blue">頂点を基点とした場合</font>）…サイン波の振る舞いに対応。
![Rplot16.png](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/597772/3e1e9f75-fb84-4eb3-bba6-6dfcc7cf5cd8.png)

```R
#Tiling(Plane Filling) by Square(From Vertex) 
cx=c(-2,2,2,-2,-2)
cy=c(-2,-2,2,2,-2)
plot(cx,cy,type="l",asp=1,xlim=c(-3,3),ylim=c(-3,3),col=rgb(0,0,1),lwd=2, main="Tiling by Square(From Vertex)",xlab="X axis",ylab="Y axis")

lines(c(-2,2), c(0,0),col=rgb(0,0,1),lwd=2)
lines(c(0,0), c(-2,2),col=rgb(0,0,1),lwd=2)                        

#方眼(Square Grid)
for (i in -5:5) {
abline(h = i,col=c(200,200,200))
abline(v = i,col=c(200,200,200))
 }                             
```
**虚数単位**(<font color="blue">Imaginary Unit</font>)<font color="green">i^2=-1</font>導入により**複素数**<font color="green">cos(θ)+sin(θ)i</font>が**複素平面**上に円を描くのは基本的にこの性質に立脚しているのです。
[【Rで球面幾何学】そもそも複素数Xi（x*(0+1i)）はどう振る舞う？](https://qiita.com/ochimusha01/items/3130ceb4a3500bfeb9d6)
![20190927084428.gif](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/597772/623c3a9f-99a1-3c4c-7154-437c294e71c1.gif)
![20190927091103.gif](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/597772/cfc7d8d2-a914-d0b8-2030-532f53610ea1.gif)

ところが正三角形の**自己相似形再現サイクル**の場合、そもそも「**偶数系**」と「**奇数系**」が交互に現れません。
<font color="green">正三角形による平面充填</font>（<font color="blue">面を基点とした場合</font>）
![Rplot18.png](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/597772/787c7b61-8ad4-e43b-cb07-625331c2ecf0.png)

```R
#Tiling(Plane Filling) by Equilateral triangle(From Face) 
cx=c(-2,2,0,-2)
cy=c(1,1,-3,1)
plot(cx,cy,type="l",asp=1,xlim=c(-2,2),ylim=c(-3,1),col=rgb(0,0,1),lwd=2, main="Tiling by  Equilateral triangle(From Face)",xlab="X axis",ylab="Y axis")

lines(c(-1,0), c(-1,1),col=rgb(0,0,1),lwd=2)
lines(c(0,1), c(1,-1),col=rgb(0,0,1),lwd=2)
lines(c(-1,1), c(-1,-1),col=rgb(0,0,1),lwd=2)                        

#方眼(Square Grid)
for (i in -5:5) {
abline(h = i,col=c(200,200,200))
abline(v = i,col=c(200,200,200))
 }                             
```

<font color="green">正三角形による平面充填</font>（<font color="blue">頂点を基点とした場合</font>）
![Rplot15.png](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/597772/5c7dc814-99d0-46a5-1ae8-d11bc8d75028.png)

```R
#Tiling(Plane Filling) by Equilateral triangle(From Vertex) 
cx=c(-2,-1,1,2,1,-1,-2)
cy=c(0,2,2,0,-2,-2,0)
plot(cx,cy,type="l",asp=1,xlim=c(-2,2),ylim=c(-2,2),col=rgb(0,0,1),lwd=2, main="Tiling by Equilateral triangle(From Vertex)",xlab="X axis",ylab="Y axis")

lines(c(-1,1), c(-2,2),col=rgb(0,0,1),lwd=2)
lines(c(-1,1), c(2,-2),col=rgb(0,0,1),lwd=2)                        
lines(c(-2,2), c(0,0),col=rgb(0,0,1),lwd=2)                        

#方眼(Square Grid)
for (i in -5:5) {
abline(h = i,col=c(200,200,200))
abline(v = i,col=c(200,200,200))
 }                             
```

ちなみに正三角形は正六角形と「<font color="red">頂点と面を交換する双対変換操作によって互いに変換される双対関係</font>」にあり、どちらも平面充当性を備えていますが、もはや**連続同心円**は構築しません。
![20190818002040.png](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/597772/b976f685-0753-7954-f183-a787649af7f2.png)

**単位円筒**(<font color="blue">Unit Cylinder</font>)との関係
[【初心者向け】物理学における「単位円筒(Unit Cylinder)」の概念について。](https://qiita.com/ochimusha01/items/ced1c21b4411e79cdcbe)
[【初心者向け】「単位円筒」から「単位球面」へ](https://qiita.com/ochimusha01/items/08f5c5ad1aba4a59a27d)
![20190907221813.gif](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/597772/2033660b-460e-2bda-6450-72b5b1e99685.gif)
![20190907221835.png](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/597772/c577e9bb-e810-def1-0672-c1aa78158bf1.png)

```R
統計言語Rによる作図例
#正６角形
library(rgl)
Rtime<-seq(0,2,length=7)
tr01<-c(1,(1+sqrt(3)*(0+1i))/2,(-1+sqrt(3)*(0+1i))/2,-1,(-1-sqrt(3)*(0+1i))/2,(1-sqrt(3)*(0+1i))/2,1)
Real<-Re(tr01)
Imag<-Im(tr01)
#plot(Real,Imag,type="l")
plot3d(Real,Imag,Rtime,type="l",xlim=c(-1,1),ylim=c(-1,1),zlim=c(0,2))
movie3d(spin3d(axis=c(0,0,1),rpm=5),duration=10,fps=25,movie="~/Desktop/test13")
```

![20190918203637.gif](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/597772/653e13a6-ce63-58b4-9ead-c6b274c6c223.gif)

```R
Three_square_theorem06<-function(x){
c0<-seq(0,2*pi,length=7)
c0_cos<-cos(c0)
c0_sin<-sin(c0)
plot(c0_cos,c0_sin,type="l",main="Regular polygon rotation",xlab="Cos(θ)",ylab="Sin(θ)")
text(c0_cos,c0_sin, labels=c("a","b","c","d","e","f",""),col=c(rgb(1,0,0),rgb(1,0,0),rgb(1,0,0),rgb(1,0,0),rgb(1,0,0),rgb(1,0,0),rgb(1,0,0)),cex=c(2,2,2,2,2,2,2))
line_scale_01_cos<-seq(cos(c0[1]),cos(c0[2]),length=15)
line_scale_01_sin<-seq(sin(c0[1]),sin(c0[2]),length=15)
line_scale_02_cos<-seq(cos(c0[2]),cos(c0[3]),length=15)
line_scale_02_sin<-seq(sin(c0[2]),sin(c0[3]),length=15)
line_scale_03_cos<-seq(cos(c0[3]),cos(c0[4]),length=15)
line_scale_03_sin<-seq(sin(c0[3]),sin(c0[4]),length=15)
line_scale_04_cos<-seq(cos(c0[4]),cos(c0[5]),length=15)
line_scale_04_sin<-seq(sin(c0[4]),sin(c0[5]),length=15)
line_scale_05_cos<-seq(cos(c0[5]),cos(c0[6]),length=15)
line_scale_05_sin<-seq(sin(c0[5]),sin(c0[6]),length=15)
line_scale_06_cos<-seq(cos(c0[6]),cos(c0[1]),length=15)
line_scale_06_sin<-seq(sin(c0[6]),sin(c0[1]),length=15)
text(c(line_scale_01_cos[x],line_scale_02_cos[x],line_scale_03_cos[x],line_scale_04_cos[x],line_scale_05_cos[x],line_scale_06_cos[x]),c(line_scale_01_sin[x],line_scale_02_sin[x],line_scale_03_sin[x],line_scale_04_sin[x],line_scale_05_sin[x],line_scale_06_sin[x]), labels=c("ab","bc","cd","de","ef","fa",""),col=c(rgb(0,0,1),rgb(0,0,1),rgb(0,0,1),rgb(0,0,1),rgb(0,0,1),rgb(0,0,1),rgb(0,0,1)),cex=c(2,2,2,2,2,2,2))

#塗りつぶし
polygon(c(c0_cos[1],line_scale_06_cos[x],line_scale_01_cos[x],c0_cos[1]), #x
c(c0_sin[1],line_scale_06_sin[x],line_scale_01_sin[x],c0_sin[1]), #y
density=c(30), #塗りつぶす濃度
angle=c(45),　 　　　#塗りつぶす斜線の角度
col=rgb(0,1,0)) 　 

#塗りつぶし
polygon(c(c0_cos[2],line_scale_01_cos[x],line_scale_02_cos[x],c0_cos[2]), #x
c(c0_sin[2],line_scale_01_sin[x],line_scale_02_sin[x],c0_sin[2]), #y
density=c(30), #塗りつぶす濃度
angle=c(45),　 　　　#塗りつぶす斜線の角度
col=rgb(0,1,0)) 　 

#塗りつぶし
polygon(c(c0_cos[3],line_scale_02_cos[x],line_scale_03_cos[x],c0_cos[3]), #x
c(c0_sin[3],line_scale_02_sin[x],line_scale_03_sin[x],c0_sin[3]), #y
density=c(30), #塗りつぶす濃度
angle=c(45),　 　　　#塗りつぶす斜線の角度
col=rgb(0,1,0)) 　

#塗りつぶし
polygon(c(c0_cos[4],line_scale_03_cos[x],line_scale_04_cos[x],c0_cos[4]), #x
c(c0_sin[4],line_scale_03_sin[x],line_scale_04_sin[x],c0_sin[4]), #y
density=c(30), #塗りつぶす濃度
angle=c(45),　 　　　#塗りつぶす斜線の角度
col=rgb(0,1,0)) 　

#塗りつぶし
polygon(c(c0_cos[5],line_scale_04_cos[x],line_scale_05_cos[x],c0_cos[5]), #x
c(c0_sin[5],line_scale_04_sin[x],line_scale_05_sin[x],c0_sin[5]), #y
density=c(30), #塗りつぶす濃度
angle=c(45),　 　　　#塗りつぶす斜線の角度
col=rgb(0,1,0)) 　
#塗りつぶし
polygon(c(c0_cos[6],line_scale_05_cos[x],line_scale_06_cos[x],c0_cos[6]), #x
c(c0_sin[6],line_scale_05_sin[x],line_scale_06_sin[x],c0_sin[6]), #y
density=c(30), #塗りつぶす濃度
angle=c(45),　 　　　#塗りつぶす斜線の角度
col=rgb(0,1,0))

}

#アニメーション
library("animation")
Time_Code=c(1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15)
saveGIF({
for (i in Time_Code){
　Three_square_theorem06(i)
}
}, interval = 0.1, movie.name = "TEST06.gif") 
```

<!-- html table generated in R 3.5.2 by xtable 1.8-4 package -->
<!-- Sat May  9 15:43:37 2020 -->
<table border=1>
<tr> <th>  </th> <th> Target_size </th> <th> Target_names </th> <th> Target_values </th>  </tr>
  <tr> <td align="right"> 1 </td> <td> 6^-1 </td> <td> 6^-1 </td> <td> 1/6=0.1666666 </td> </tr>
  <tr> <td align="right"> 2 </td> <td> 6^-1 </td> <td> 6^-1a1 </td> <td> 1/6*1.154701=0.1924502 </td> </tr>
  <tr> <td align="right"> 3 </td> <td> 6^-1 </td> <td> 6^-1a1*6 </td> <td> 0.1924502*6=1.154701 </td> </tr>
  <tr> <td align="right"> 4 </td> <td> 6^-0.8394411 </td> <td> 6^-0.8394411 </td> <td> 0.1924502*1.154701=0.2222224 </td> </tr>
  <tr> <td align="right"> 5 </td> <td> ... </td> <td> ... </td> <td> ... </td> </tr>
  <tr> <td align="right"> 6 </td> <td> 6^-0.08027941 </td> <td> 6^-0.08027921 </td> <td> -0.8660254 </td> </tr>
  <tr> <td align="right"> 7 </td> <td> 6^0 </td> <td> 6^0a0 </td> <td> 1.0 </td> </tr>
  <tr> <td align="right"> 8 </td> <td> 6^0 </td> <td> 6^0a0*6 </td> <td> 6.0 </td> </tr>
  <tr> <td align="right"> 9 </td> <td> 6^0 </td> <td> 6^0 </td> <td> 1.0 </td> </tr>
  <tr> <td align="right"> 10 </td> <td> 6^0 </td> <td> 6^0a1 </td> <td> 1.333333 </td> </tr>
  <tr> <td align="right"> 11 </td> <td> 6^0 </td> <td> 6^0a1*6 </td> <td> 1.333333*6=7.999998 </td> </tr>
  <tr> <td align="right"> 12 </td> <td> 6^0.08027895 </td> <td> 6^0.08027895 </td> <td> 1.333333*0.8660254=1.333334 </td> </tr>
  <tr> <td align="right"> 13 </td> <td> ... </td> <td> ... </td> <td> ... </td> </tr>
  <tr> <td align="right"> 14 </td> <td> 6^0.7591625 </td> <td> 6^0.7591625 </td> <td> 4.500001*0.8660254=3.897115 </td> </tr>
  <tr> <td align="right"> 15 </td> <td> 6^1 </td> <td> 6^1a0 </td> <td> 6/1.333333=4.500001 </td> </tr>
  <tr> <td align="right"> 16 </td> <td> 6^1 </td> <td> 6^1a0*6 </td> <td> 4.500001*6=27.00001 </td> </tr>
  <tr> <td align="right"> 17 </td> <td> 6^1 </td> <td> 6^1 </td> <td> 6.0 </td> </tr>
   </table>

```R
target_size<-c("6^-1","6^-1","6^-1","6^-0.8394411","...","6^-0.08027941","6^0","6^0","6^0","6^0","6^0","6^0.08027895","...","6^0.7591625","6^1","6^1","6^1")

target_names<-c("6^-1","6^-1a1","6^-1a1*6","6^-0.8394411","...","6^-0.08027921","6^0a0","6^0a0*6","6^0","6^0a1","6^0a1*6","6^0.08027895","...","6^0.7591625","6^1a0","6^1a0*6","6^1")

target_values<-c("1/6=0.1666666","1/6*1.154701=0.1924502","0.1924502*6=1.154701","0.1924502*1.154701=0.2222224","...","-0.8660254","1.0","6.0","1.0","1.333333","1.333333*6=7.999998","1.333333*0.8660254=1.333334","...","4.500001*0.8660254=3.897115","6/1.333333=4.500001","4.500001*6=27.00001","6.0")

Regula_falsi06<-data.frame(Target_size=target_size,Target_names=target_names,Target_values=target_values)
library(xtable)
print(xtable(Regula_falsi06), type = "html") 
```

[【Rで球面幾何学】何故「正方形」ではCos(θ)+Sin(θ)iが成立するのか？](https://qiita.com/ochimusha01/items/681a6f869f594075c3c2)
![20191018150545.png](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/597772/2724e152-6924-d4cd-bf54-a231edb1b2eb.png)

どうやらこれが<font color="green">3^m集</font>に含まれる多面体の構築する同心球面の特徴と言えそうです。そして**正四面体**から**立方体**(<font color="blue">正六面体</font>)や**正八面体**への変換操作は<font color="green">3^m集</font>の構築する同心球面空間から<font color="green">2^n3^m</font>の構築する同心球面空間への乗り換えという話になってきそうです。

[【オイラーの多面体定理と正多面体】とある「球面幾何学(Spherical Geometry)」の出発点…](https://qiita.com/ochimusha01/items/5f8dbf33bac5b7227a11)

##正五角形（<font color="blue">Pentagon</font>）/正十二面体(<font color="blue">Regular Dodecahedron</font>)/正二十面体（<font color="blue">Regular Icosahedron</font>）における内接円/球面の半径と外接円/球面の半径の推移

**正三角形**や**正方形**と異なり、**正五角形**以上の正多角形の外接/内接円はもはや**連続同心円**を構築しません。
![20190818001846.png](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/597772/004684d2-99f1-7ced-b49f-c8ed8360e633.png)

**単位円筒**(<font color="blue">Unit Cylinder</font>)との関係
[【初心者向け】物理学における「単位円筒(Unit Cylinder)」の概念について。](https://qiita.com/ochimusha01/items/ced1c21b4411e79cdcbe)
[【初心者向け】「単位円筒」から「単位球面」へ](https://qiita.com/ochimusha01/items/08f5c5ad1aba4a59a27d)

![20190907153944.gif](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/597772/7523b47c-a9fe-2629-2bea-8927e7727c7e.gif)
![20190907222249.png](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/597772/a2abab27-cfe0-0411-02c0-7605786794a8.png)

```R
#正５角形
library(rgl)
Rtime<-seq(0,2,length=6)
tr01<-c(1,(-1+sqrt(5)+(0+1i)*sqrt(10+2*sqrt(5)))/4,(-1-sqrt(5)+(0+1i)*sqrt(10-2*sqrt(5)))/4,(-1-sqrt(5)-(0+1i)*sqrt(10-2*sqrt(5)))/4,(-1+sqrt(5)-(0+1i)*sqrt(10+2*sqrt(5)))/4,1)
Real<-Re(tr01)
Imag<-Im(tr01)
#plot(Real,Imag,type="l")
plot3d(Real,Imag,Rtime,type="l",xlim=c(-1,1),ylim=c(-1,1),zlim=c(0,2)) 
movie3d(spin3d(axis=c(0,0,1),rpm=5),duration=10,fps=25,movie="~/Desktop/test13") 
```

![20190918203214.gif](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/597772/e906bf3b-a3d8-95a1-0fcf-13f25835912b.gif)

```R
Three_square_theorem05<-function(x){
c0<-seq(0,2*pi,length=6)
c0_cos<-cos(c0)
c0_sin<-sin(c0)
plot(c0_cos,c0_sin,type="l",main="Regular polygon rotation",xlab="Cos(θ)",ylab="Sin(θ)")
text(c0_cos,c0_sin, labels=c("a","b","c","d","e",""),col=c(rgb(1,0,0),rgb(1,0,0),rgb(1,0,0),rgb(1,0,0),rgb(1,0,0),rgb(1,0,0)),cex=c(2,2,2,2,2,2))
line_scale_01_cos<-seq(cos(c0[1]),cos(c0[2]),length=15)
line_scale_01_sin<-seq(sin(c0[1]),sin(c0[2]),length=15)
line_scale_02_cos<-seq(cos(c0[2]),cos(c0[3]),length=15)
line_scale_02_sin<-seq(sin(c0[2]),sin(c0[3]),length=15)
line_scale_03_cos<-seq(cos(c0[3]),cos(c0[4]),length=15)
line_scale_03_sin<-seq(sin(c0[3]),sin(c0[4]),length=15)
line_scale_04_cos<-seq(cos(c0[4]),cos(c0[5]),length=15)
line_scale_04_sin<-seq(sin(c0[4]),sin(c0[5]),length=15)
line_scale_05_cos<-seq(cos(c0[5]),cos(c0[1]),length=15)
line_scale_05_sin<-seq(sin(c0[5]),sin(c0[1]),length=15)
text(c(line_scale_01_cos[x],line_scale_02_cos[x],line_scale_03_cos[x],line_scale_04_cos[x],line_scale_05_cos[x]),c(line_scale_01_sin[x],line_scale_02_sin[x],line_scale_03_sin[x],line_scale_04_sin[x],line_scale_05_sin[x]), labels=c("ab","bc","cd","de","ea",""),col=c(rgb(0,0,1),rgb(0,0,1),rgb(0,0,1),rgb(0,0,1),rgb(0,0,1),rgb(0,0,1)),cex=c(2,2,2,2,2,2))

#塗りつぶし
polygon(c(c0_cos[1],line_scale_05_cos[x],line_scale_01_cos[x],c0_cos[1]), #x
c(c0_sin[1],line_scale_05_sin[x],line_scale_01_sin[x],c0_sin[1]), #y
density=c(30), #塗りつぶす濃度
angle=c(45),　 　　　#塗りつぶす斜線の角度
col=rgb(0,1,0)) 　 

#塗りつぶし
polygon(c(c0_cos[2],line_scale_01_cos[x],line_scale_02_cos[x],c0_cos[2]), #x
c(c0_sin[2],line_scale_01_sin[x],line_scale_02_sin[x],c0_sin[2]), #y
density=c(30), #塗りつぶす濃度
angle=c(45),　 　　　#塗りつぶす斜線の角度
col=rgb(0,1,0)) 　 

#塗りつぶし
polygon(c(c0_cos[3],line_scale_02_cos[x],line_scale_03_cos[x],c0_cos[3]), #x
c(c0_sin[3],line_scale_02_sin[x],line_scale_03_sin[x],c0_sin[3]), #y
density=c(30), #塗りつぶす濃度
angle=c(45),　 　　　#塗りつぶす斜線の角度
col=rgb(0,1,0)) 　

#塗りつぶし
polygon(c(c0_cos[4],line_scale_03_cos[x],line_scale_04_cos[x],c0_cos[4]), #x
c(c0_sin[4],line_scale_03_sin[x],line_scale_04_sin[x],c0_sin[4]), #y
density=c(30), #塗りつぶす濃度
angle=c(45),　 　　　#塗りつぶす斜線の角度
col=rgb(0,1,0)) 　

#塗りつぶし
polygon(c(c0_cos[5],line_scale_04_cos[x],line_scale_05_cos[x],c0_cos[5]), #x
c(c0_sin[5],line_scale_04_sin[x],line_scale_05_sin[x],c0_sin[5]), #y
density=c(30), #塗りつぶす濃度
angle=c(45),　 　　　#塗りつぶす斜線の角度
col=rgb(0,1,0)) 　

}

#アニメーション
library("animation")
Time_Code=c(1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15)
saveGIF({
for (i in Time_Code){
　Three_square_theorem05(i)
}
}, interval = 0.1, movie.name = "TEST005.gif") 
```

<!-- html table generated in R 3.5.2 by xtable 1.8-4 package -->
<!-- Sat May  9 15:33:06 2020 -->
<table border=1>
<tr> <th>  </th> <th> Target_size </th> <th> Target_names </th> <th> Target_values </th>  </tr>
  <tr> <td align="right"> 1 </td> <td> 5^-1 </td> <td> 5^-1 </td> <td> 1/5=0.2 </td> </tr>
  <tr> <td align="right"> 2 </td> <td> 5^-1 </td> <td> 5^-1d </td> <td> (1+sqrt(5))/2*0.2=0.3236068 </td> </tr>
  <tr> <td align="right"> 3 </td> <td> 5^-1 </td> <td> 5^-1a1 </td> <td> 0.2*1.796112=0.3592224 </td> </tr>
  <tr> <td align="right"> 4 </td> <td> 5^-1 </td> <td> 5^-1a1*5 </td> <td> 0.3592224*5=1.796112 </td> </tr>
  <tr> <td align="right"> 5 </td> <td> 5^-0.2722623 </td> <td> 5^-0.2722623 </td> <td> 0.3592224*1.796112=-0.2722623 </td> </tr>
  <tr> <td align="right"> 6 </td> <td> ... </td> <td> ... </td> <td> ... </td> </tr>
  <tr> <td align="right"> 7 </td> <td> 5^-0.131683 </td> <td> 5^-0.131683 </td> <td> 0.8090168 </td> </tr>
  <tr> <td align="right"> 8 </td> <td> 5^0 </td> <td> 5^0a0 </td> <td> 1/1.453085=0.688191 </td> </tr>
  <tr> <td align="right"> 9 </td> <td> 5^0 </td> <td> 5^0a0*5 </td> <td> 0.5567581*5=3.440955 </td> </tr>
  <tr> <td align="right"> 10 </td> <td> 5^0 </td> <td> 5^0=1 </td> <td> 1.0 </td> </tr>
  <tr> <td align="right"> 11 </td> <td> 5^0 </td> <td> 5^0d </td> <td> (1+sqrt(5))/2=1.618034 </td> </tr>
  <tr> <td align="right"> 12 </td> <td> 5^0 </td> <td> 5^0a1 </td> <td> 1.796112 </td> </tr>
  <tr> <td align="right"> 13 </td> <td> 5^0 </td> <td> 5^0a1*5 </td> <td> 1.796112*5=8.98056 </td> </tr>
  <tr> <td align="right"> 14 </td> <td> 5^0.1316829 </td> <td> 5^0.7277376 </td> <td> 1.796112*1.796112=3.226018 </td> </tr>
  <tr> <td align="right"> 15 </td> <td> ... </td> <td> ... </td> <td> ... </td> </tr>
  <tr> <td align="right"> 16 </td> <td> 5^0.535628 </td> <td> 5^0.535628 </td> <td> 3.440955*1.453085=2.368034 </td> </tr>
  <tr> <td align="right"> 17 </td> <td> 5^1 </td> <td> 5^0a1 </td> <td> 5/1.453085=3.440955 </td> </tr>
  <tr> <td align="right"> 18 </td> <td> 5^1 </td> <td> 5^0a1*5 </td> <td> 3.440955*5=17.20478 </td> </tr>
  <tr> <td align="right"> 19 </td> <td> 5^1 </td> <td> 5^1 </td> <td> 5 </td> </tr>
  <tr> <td align="right"> 20 </td> <td> 5^1 </td> <td> 5^1d </td> <td> ((1+sqrt(5))/2)*5=8.09017 </td> </tr>
   </table>

```R
target_size<-c("5^-1","5^-1","5^-1","5^-1","5^-0.2722623","...","5^-0.131683","5^0","5^0","5^0","5^0","5^0","5^0","5^0.1316829","...","5^0.535628","5^1","5^1","5^1","5^1")

target_names<-c("5^-1","5^-1d","5^-1a1","5^-1a1*5","5^-0.2722623","...","5^-0.131683","5^0a0","5^0a0*5","5^0=1","5^0d","5^0a1","5^0a1*5","5^0.7277376","...","5^0.535628","5^0a1","5^0a1*5","5^1","5^1d")

target_values<-c("1/5=0.2","(1+sqrt(5))/2*0.2=0.3236068","0.2*1.796112=0.3592224","0.3592224*5=1.796112","0.3592224*1.796112=-0.2722623","...","0.8090168","1/1.453085=0.688191","0.5567581*5=3.440955","1.0","(1+sqrt(5))/2=1.618034","1.796112","1.796112*5=8.98056","1.796112*1.796112=3.226018","...","3.440955*1.453085=2.368034","5/1.453085=3.440955","3.440955*5=17.20478","5","((1+sqrt(5))/2)*5=8.09017")

Regula_falsi05<-data.frame(Target_size=target_size,Target_names=target_names,Target_values=target_values)
library(xtable)
print(xtable(Regula_falsi05), type = "html")
```

[【Rで球面幾何学】何故「正方形」ではCos(θ)+Sin(θ)iが成立するのか？](https://qiita.com/ochimusha01/items/681a6f869f594075c3c2)
![20191018144205.png](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/597772/a7fac8c5-c909-a25a-8bc8-fbae9a053b89.png)

ところで**正五角形**を最小の操作で立体に拡張した**正十二面体**に内接/外接する同心球面の半径の推移は以下となり、双対関係にある**正二十面体**のそれと一致するのです。
[【オイラーの多面体定理と正多面体】正12面体(Regular Dodecahedron)の作図について。](https://qiita.com/ochimusha01/items/9ce61d7d5a9227235b1e)
![dodecahedron051.gif](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/597772/e1111178-a73e-f381-32f1-a0336af7721a.gif)
[【オイラーの多面体定理と正多面体】正20面体(Regular Icosahedron)の作図について。](https://qiita.com/ochimusha01/items/d57b6dfb1114766c8eb9)
![icosahedron009.gif](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/597772/9068fd22-a331-a86d-49d6-8842b37e8f11.gif)

[正多面体の計量と真球率](https://www.chart.co.jp/subject/sugaku/suken_tsushin/82/82-3.pdf)

```R
#r1=１辺aの正十二面体に内接する球面の半径
> a<-1
> a*sqrt(250+110*sqrt(5))/20
[1] 1.113516

#R1=１辺aの正十二面体に外接する球面の半径
> a<-1
> a*(sqrt(15)+sqrt(3))/4
[1] 1.401259

#正十二面体の真球率(r1/R1)
> 1.113516/1.401259
[1] 0.794654
> sqrt(75+30*sqrt(5))/15
[1] 0.7946545

#r2=１辺aの正二十面体に内接する球面の半径
> a<-1
> a*(3*sqrt(3)+sqrt(15))/12
[1] 0.7557613

#R2=１辺aの正二十面体に外接する球面の半径
a<-1
a*(10+2*sqrt(5))/4

> a<-1
> a*sqrt(10+2*sqrt(5))/4
[1] 0.9510565

#正二十面体の真球率(r2/R2)
> 0.7557613/0.9510565
[1] 0.7946545
> sqrt(75+30*sqrt(5))/15
[1] 0.7946545

#真球率が一致するという事はこの二つの図形が双対関係にある事を意味する
```
どうやらこれが<font color="green">2^n3^m5^l集</font>に含まれる多面体の構築する同心球面の特徴と言えそうです。
[【オイラーの多面体定理と正多面体】とある「球面幾何学(Spherical Geometry)」の出発点…](https://qiita.com/ochimusha01/items/5f8dbf33bac5b7227a11)
そして「**屋根掛け法**(<font color="blue">Roofing Method</font>)」による**立方体**や**正八面体**からの**正十二面体**への変換操作は<font color="green">2^n3^m集</font>の構築する同心球面空間から<font color="green">2^n3^m5^l集</font>の構築する同心球面空間への乗り換えという話になってきそうです。
[【オイラーの多面体定理と正多面体】二次元上の多角形と三次元上の多面体の往復](https://qiita.com/ochimusha01/items/94cab2793d6c6a005e55)

##体系統合(<font color="blue">System Assemble</font>)に不可欠な二辺形(<font color="blue">Bilateral</font>)への言及

こうした**諸特徴**/**諸操作**を**体系統合**(<font color="blue">System Assemble</font>)には二辺形(<font color="blue">Bilateral</font>)への言及が不可欠となります。
[【Rで球面幾何学】何故「正方形」ではCos(θ)+Sin(θ)iが成立するのか？](https://qiita.com/ochimusha01/items/681a6f869f594075c3c2)
![20191018134553.png](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/597772/6806d9d9-e5ca-b71d-908b-b69a19249b9d.png)

とりあえず抑えておかなければいけない特徴は以下。

①**正方形**同様<font color="green">cos(θ)+sin(θ)(i)</font>が通用する<font color="green">2^n集</font>の同心円集合に含まれる。
[【Rで九九】どうして36個の数字しか使われないのか？](https://qiita.com/ochimusha01/items/8d990f23ae96db0cd953)
[【初心者向け】「単位円筒」から「単位球面」へ](https://qiita.com/ochimusha01/items/08f5c5ad1aba4a59a27d)
![Sphere005.gif](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/597772/df9f4e61-ff1c-63ee-e038-ad81b86f78be.gif)

②２個集めると円上に**正方形**を構成する（<font color="blue">2^n集の同心円集合枠内での操作</font>）。
[【Rで球面幾何学】何故「正方形」ではCos(θ)+Sin(θ)iが成立するのか？](https://qiita.com/ochimusha01/items/681a6f869f594075c3c2)
![20191026163432.png](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/597772/1740bd97-eb40-6baa-a06a-91ac8fb3caab.png)

③3個集めると<font color="green">2^n3^m集</font>の同心円集合に推移し、円上に**六角形**、球面上に**正八面体**を構成する。
[【オイラーの多面体定理と正多面体】とある「球面幾何学(Spherical Geometry)」の出発点…](https://qiita.com/ochimusha01/items/5f8dbf33bac5b7227a11)
![Rplot22.png](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/597772/65f5aa77-620b-eaa0-20e4-4b29789f3394.png)
![Octahedron02.gif](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/597772/6e64f26c-04fd-6724-434f-4a8dc3ac784e.gif)

④また円上の**六角形**は「**屋根掛け法**(<font color="blue">Roofing Method</font>)」により立方体に推移する（<font color="blue">2^n3^m集の同心円集合枠内での操作</font>）。
[【オイラーの多面体定理と正多面体】二次元上の多角形と三次元の多面体の往復](https://qiita.com/ochimusha01/items/94cab2793d6c6a005e55)
![Rplot03.png](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/597772/f9ca76ba-dd21-d548-cedd-777950569c99.png)
![Rplot04.png](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/597772/15c03f8f-44db-355c-70b3-8714480b27e2.png)
![Cube006.gif](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/597772/7033e285-744a-3783-0733-88f543cf6f72.gif)
ここから、こういう集合関係が浮かび上がってくるのです。

- **<font color="green">2^n</font>集**…**二辺形**(<font color="blue">Bilateral</font>),**正方形**(<font color="blue">Square</font>)
- **<font color="green">３^n</font>集**…**三角形**(<font color="blue">Triangle</font>),**四面体**(<font color="blue">Tetrahedron</font>)
- **<font color="green">5^n</font>集**…**五角形**(<font color="blue">Pentagon</font>)
- **<font color="green">2^n3^m</font>集**…**立方体**(<font color="blue">Cube</font>),**正八面体**(<font color="blue">Octahedron</font>),**六角形**(<font color="blue">Hexagon</font>)
- **<font color="green">2^n3^m5^l</font>集**…**正十二面体**(<font color="blue">Dodecahedron</font>),**正二十面体**(<font color="blue">Icosahedron</font>)

![Rplot10.png](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/597772/b7bb9c73-d115-4fd9-602c-2d7c9d672e5f.png)

```R
library(gplots)

Set2<-c("Bilateral", "Square","Cube","Octahedron","Hexagon", "Dodecahedron","Icosahedron")
Set3<- c("Triangle","Tetrahedron","Cube","Octahedron","Hexagon","Dodecahedron","Icosahedron")
Set5 <- c("Pentagon","Dodecahedron","Icosahedron")
data <- list(x2_Set=Set2, x3_Set=Set3, x5_Set= Set5)

venn(data)
```
![Rplot11.png](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/597772/2a7481b4-1b6a-e2e7-f4e4-18ff17c86d28.png)

```R
library(UpSetR)

Set2<-c("Bilateral", "Square","Cube","Octahedron","Hexagon", "Dodecahedron","Icosahedron")
Set3<- c("Triangle","Tetrahedron","Cube","Octahedron","Hexagon","Dodecahedron","Icosahedron")
Set5 <- c("Pentagon","Dodecahedron","Icosahedron")
data <- list(x2_Set=Set2, x3_Set=Set3, x5_Set= Set5)

upset(fromList(data), order.by = "freq")
```

こうして、なんとなく全体像が浮かび上がってきた所で以下続報…