AtCoder Beginner Contest 171

https://atcoder.jp/contests/abc171

全問解けて時間に余裕があったので、解説を書いてみる。

## A - αlphabet

https://atcoder.jp/contests/abc171/tasks/abc171_a

言われたとおりに実装する。たいていの言語には大文字か小文字かを判定する関数があるでしょう。

```A.py
a = input()
if a.isupper():
  print("A")
else:
  print("a")
```

## B - Mix Juice

https://atcoder.jp/contests/abc171/tasks/abc171_b

価格の安い果物から買っていくのが最適。

```B.py
N, K = map(int, input().split())
p = map(int, input().split())

print(sum(sorted(p)[:K]))
```

## C - One Quadrillion and One Dalmatians

https://atcoder.jp/contests/abc171/tasks/abc171_c

まずは名前の長さを求める。名前が長さ$1$文字の犬は$26^1$匹、名前が長さ$2$文字の犬は$26^2$匹、名前が長さ$k$文字の犬は$26^k$匹。1-indexは嫌いなので、まずは$N$から$1$を引く。これで$N$が$26$未満ならば、長さは$1$文字。$N$から$26$を引いた結果が$26^2$未満ならば$2$文字。$N$から$26$と$26^2$を引いた結果が$26^3$未満ならば$3$文字。……。

あとは引いた後の$N$の値を$26$進数に変換すれば良い。

```C.py
N = int(input())-1

l = 1
while N>=26**l:
  N -= 26**l
  l += 1

ans = ""
for i in range(l):
  ans += chr(ord("a")+N//26**(l-i-1)%26)
print(ans)
```

## D - Replacing

https://atcoder.jp/contests/abc171/tasks/abc171_d

最近良く見る状態を差分計算するタイプの問題。長さ$N$の配列の走査を$Q$回行っていては当然間に合わないので、$a$は$A$に何個含まれているかを配列$X[a]$で表わす。配列$X$から和を求めるのも$Q$回行っていたら間に合わないので、和を差分計算する。

```D.py
N = int(input())
A = list(map(int, input().split()))

s = sum(A)
X = [0]*100001
for a in A:
  X[a] += 1

Q = int(input())
for _ in range(Q):
  B, C = map(int, input().split())
  s -= B*X[B]
  s += C*X[B]
  X[C] += X[B]
  X[B] = 0
  print(s)
```

## E - Red Scarf

https://atcoder.jp/contests/abc171/tasks/abc171_e

全ての猫のxor $s$が求められれば、`s^a[i]`が答えである。これは$N$が偶数ならば求められる。この条件は制約に含まれている。単に$a_i$のxorを取れば良い。

```
  b^c^d = A
a^  c^d = B
a^b^  d = C
a^b^c   = D
```

両辺のxorを取ると、

```
a^b^c^d = A^B^C^D
```

```E.py
N = int(input())
a = list(map(int, input().split()))

s = 0
for x in a:
  s ^= x
ans = [x^s for x in a]
print(" ".join(map(str, ans)))
```

## F - Strivore

https://atcoder.jp/contests/abc171/tasks/abc171_f

分からないので、まずはnaiveに答えを求めるコードを書いてみた。

```F_small.py
K = int(input())
S = input()

ans = set()
def f(s, k):
  if k==K:
    ans.add(s)
    return
  for i in range(len(s)+1):
    for j in range(26):
      f(s[:i]+chr(ord("a")+j)+s[i:], k+1)
f(S, 0)
print(len(ans))
```

これで試してみると、$S$の長さが同じであれば、文字列の内容に関わらず、答えが同じであることが分かる。直感的には、何らかの動的計画法で「$S$の$i$文字目まで見たときに～」という感じで解いていくときに、$S$の中身が関係してくる気がしない。$S_i$と等しいか等しくないかしか関係しなそう。

$S$の中身が関係無いのであれば、$S$は$aaa...a$と思って良い。そうなると答えは、$a$を$|S|$文字以上含む長さ$|S|+K$文字の文字列の個数である。これは、$a$をちょうど$|S|$文字含む文字列の個数と、$a$をちょうど$|S|+1$文字含む文字列の個数と、…、$a$をちょうど$|S|+K$文字含む文字列の個数の和である。$a$をちょうど$x$文字含む長さ$|S|+K$文字の文字列の個数は${}_{|S|+K} C _x \times 25^{|S|+K-x}$。前半が$a$の場所の選び方、後半がそれ以外の場所に$a$以外の文字を入れる方法。

Pythonでは遅かったのでC++。$_a C _b = \frac{a!}{b!(a-b)!}$。$\mod M$における$a$の逆数は$a^{M-2}$。

```F.cpp
#include <iostream>
#include <string>
#include <vector>
using namespace std;

//  a^b % m
long long powmod(long long a, long long b, long long m)
{
    long long r = 1;
    for (; b>0; b>>=1, a=a*a%m)
        if (b&1)
            r = r*a%m;
    return r;
}

int main()
{
    int K;
    cin>>K;
    string S;
    cin>>S;

    int N = (int)S.size();
    long long M = 1000000007;
    vector<long long> F(N+K+1);
    F[0] = 1;
    for (int i=1; i<=N+K; i++)
        F[i] = F[i-1]*i%M;

    auto C = [&](long long a, long long b)
    {
        return F[a]*powmod(F[b], M-2, M)%M*powmod(F[a-b], M-2, M)%M;
    };

    long long ans = 0;
    for (int i=N; i<=N+K; i++)
        ans += C(N+K, i)*powmod(25, N+K-i, M)%M,
        ans %= M;
    cout<<ans<<endl;
}
```