微積まとめ

## 概要
自分用に微積の公式についてまとめます。

## 指数・対数関数の極限公式
```math
  \lim_{x \to 0} \frac{e^x-1}{x}=1 \\

  \lim_{x \to 0} \frac{\log(1+x)}{x}=1 \\
  \lim_{x \to 0} (1+x)^\frac{1}{x} = e \\
  \lim_{x \to \pm \infty} (1+ \frac{1}{x})^x=e

```

## 微分計算の基本公式

```math
(e^x)' = e^x \\
(a^x)' = a^x \log a  (a>0) \\
(\log x)' = \frac{1}{x} (x > 0) \\
(\log_a x)' = \frac{1}{x\log a} (x > 0) \\
{ \log f(x)}' = \frac{f'(x)}{f(x)} (f(x) > 0) \\
(x^\alpha)' =\alpha x^{\alpha-1} (\alpha \in \mathbb{R})  \\
(\sin x)' = \cos x \\
(\sin^{-1}x)' = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} (-1<x<1) \\
(\cos x)' = - \sin x \\
(\cos^{-1}x)' = - \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} (-1<x<1) \\
(\tan x)' = \frac{1}{\cos x} \\
(\tan^{-1} x)' = \frac{1}{1+x^2}  
```

## 便利な微分公式
```math
(f(x)g(x))' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x) \\
(\frac{f(x)}{g(x)})' = \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{(g(x))^2}　\\
\frac{d}{dx}(f(g(x))) = f'(g(x))g'(x)
```


## 積分計算の基本公式
```math
\int x^\alpha dx = \frac{1}{\alpha +1}x^{\alpha+1} (\alpha \neq -1)\\
\int e^x dx = e^x \\
\int a ^x dx = \frac{a^x}{\log a} (a>0)\\
\int \frac{1}{x} dx = \log |x| (x \neq 0)\\
\int \frac{f'(x)}{f(x)} dx = \log |f(x)| (f(x) \neq 0)\\
\int \sin x dx = - \cos x \\
\int \cos x dx =  \sin x \\
\int \sec^2 x dx =  \tan x  (\sec^2 x = \frac{1}{\cos ^2 x})　\\
\int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} dx = \sin^{-1} x (x \neq \pm 1) \\
\int \frac{1}{\sqrt{1+x^2}} dx = \tan^{-1} x \\
\int \sinh x dx =  \cosh x \\
\int \cosh x dx =  \sinh x \\

```

## 積分計算の応用公式
```math
\int \frac{1}{a^2 +x^2}dx = \frac{1}{a}\tan^{-1}\frac{x}{a} (a \neq 0)\\
\int \frac{1}{\sqrt{a^2 - x^2}}dx = \sin^{-1}\frac{x}{a} (-a <x < a, a>0) \\
\int \frac{1}{\sqrt{x^2 + \alpha}}dx = \log|x + \sqrt{x^2 + \alpha}| (\alpha \neq 0, x^2 + \alpha > 0) \\
\int \sqrt{x^2 + \alpha}dx = \frac{1}{2}(x\sqrt{x^2 + \alpha} + \alpha \log|x + \sqrt{x^2 + \alpha}|) (x^2 + \alpha \geq 0) 
```

## 部分積分法
```math
\int f'(x)g(x)dx = f(x)g(x) - \int f(x)g'(x)dx \\
\int f(x)g'(x)dx = f(x)g(x) - \int f'(x)g(x)dx 
```

## 一階線形微分方程式の解の公式
一階線形微分方程式$y' + P(x)y = Q(x)$の解は、

```math
y = e^{-\int P(x)dx} (\int Q(x)e^{\int P(x)dx}dx + C)
```

## ベルヌーイの微分方程式の解法
ベルヌーイの微分方程式$y' + P(x)y = Q(x)y^n (n \neq 0, 1)$に、
$y\neq0$として、両辺に$(-n+1)y^{-n}$をかけて、
$(-n+1)y^{-n}y' + (-n+1)P(x)y^{-n+1} = (-n+1)Q(x)$
$(y^{-n+1})' + (-n+1)P(x)y^{-n+1} = (-n+1)Q(x)$
ここで、$y^{-n+1} = u$とおくと、
$u' + (-n +1)P(x)u = (-n+1)Q(x)$となり、$u$の一階線形微分方程式になる。


## リッカチの微分方程式の解法
リッカチの微分方程式$y' + P(x)y^2 + Q(x)y + R(x) = 0$の特殊解$y_1$がわかった場合、
その解を、$y= y_1 + u$と置くと、
両辺を$x$で微分して、$y' = y_1' + u'$となる。
これらを元の式に代入して、
$y_1' + u' + P(x)(y_1^2 + 2y_1u + u^2) + Q(x)(y_1 + u) + R(x) = 0$
$u' + P(x)(2y_1u + u^2) + Q(x)u = 0$
$u' + (2y_1P(x) + Q(x))u = -P(x)u^2$

これは、$n=2$の$u$についてのベルヌーイ微分方程式になる。

## 完全微分方程式
微分方程式$P(x, y)dx + Q(x, y)dy = 0$について、
判定条件$P_y = Q_x$を満たすなら、これは完全微分方程式であり、その一般解は次のようになる。
$\int_{x_0}^x P(x,y)dx + \int_{y_0}^y P(x_0,y)dy = C $

## 積分因子
完全微分系ではない微分方程式$Pdx + Qdy = 0$について、
$\frac{P_y - Q_x}{Q} = g(x)$の場合、積分因子$\mu(x) = e^{\int g(x)dx}$、
$\frac{P_y - Q_x}{P} = h(y)$の場合、積分因子$\mu(y) = e^{-\int h(y)dy}$

になる。

## クレローの微分方程式の解法
$y'=p$と置くとき、
クレローの微分方程式$y=px+f(p)$について、
両辺を$x$で微分すると、
$p = p'x + p + f'(p)p'$
$p'(x + f'(p)) = 0$
$p' = 0$の時、$p = C$になるので、
一般解$y = Cx + f(C)$が求まる。
また、$x + f'(p) = 0$の時、元の式から$p$を削除すると特異解を求めることができる。


## ラグランジュの微分方程式の解法
$y'=p$と置くとき、
ラグランジェの微分方程式$y=f(p)x+g(p)$について、
$f(p)\neq p$として、両辺を$x$で微分すると、
$p = f'(p)p'x + f(p) + g'(p)p'$
$p - f(p) = (f'(p)x + g'(p))p'$
ここで、$p' = \frac{dp}{dx}$なので、
$\frac{dx}{dp} = \frac{f'(p)}{p - f(p)}x + \frac{g'(p)}{p - f(p)}$
$\frac{dx}{dp} - \frac{f'(p)}{p - f(p)}x  =  \frac{g'(p)}{p - f(p)}$

ここで、$P_0(p) = - \frac{f'(p)}{p - f(p)}, Q_0(p) = \frac{g'(p)}{p - f(p)}$とおくと、
$\frac{dx}{dp} + P_0(p)x = Q_0(p)$となる。
微分方程式の一般解の公式より、
$x = e^{-\int P_0(p)dp} (\int Q_0(p)e^{\int P_0(p)dp}dp + C)$