無限時空

ベクトル成分の順番が $w^n$ となっている無限次元の単位ベクトル

```math
\begin{eqnarray}
\vec{t} & = & ( w^1,w^2,w^3,w^4,w^5,\cdots ) \\
\| \vec{t} \| & = & 1
\end{eqnarray}
```

を考えます。これを満たす $w$ を求めると

```math
\begin{eqnarray}
\sum_{n=1}^\infty{w^{2n}} & = & 1 \\
\frac{w^2}{1-w^2} & = & 1 \\
w & = & \pm \frac{1}{\sqrt{2}}
\end{eqnarray}
```

になります。$w$ は正の数 $1/\sqrt{2}$ を使用することにします。総和を計算して確認します。

```math
\begin{eqnarray}
\sum_{n=1}^\infty{w^{2n}} & = & \sum_{n=1}^\infty{2^{-n}} \\
& = & 2^{-1} + 2^{-2} + 2^{-3} + 2^{-4} + \cdots \\
& = & \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16} + \cdots \\
& = & 0.111111111\cdots_{２進数表記} \\
& = & 1
\end{eqnarray}
```

### 成分の先頭に 0 を追加していく

長さ $w^n$ のベクトルを

```math
\| \vec{t_n} \| = w^n
```

として

```math
\begin{eqnarray}
\vec{t_0} & = & (w^1,w^2,w^3,w^4,w^5,w^6,\cdots) \\
\vec{t_1} & = & (0,w^2,w^3,w^4,w^5,w^6,\cdots) \\
\vec{t_2} & = & (0,0,w^3,w^4,w^5,w^6,\cdots) \\
\vec{t_3} & = & (0,0,0,w^4,w^5,w^6,\cdots) \\
\vdots \\
\end{eqnarray}
```

を作ります。これは

```math
\begin{eqnarray}
\vec{t_0} & = & w^0 (w^1,w^2,w^3,w^4,w^5,w^6,\cdots) \\
\vec{t_1} & = & w^1 (0,w^1,w^2,w^3,w^4,w^5,\cdots) \\
\vec{t_2} & = & w^2 (0,0,w^1,w^2,w^3,w^4,\cdots) \\
\vec{t_3} & = & w^3 (0,0,0,w^1,w^2,w^3,\cdots) \\
\vdots \\
\end{eqnarray}
```

とすることができます。並べるのが面倒なので、$\vec{t}$ の全要素を $t_w$ として埋め込んで

```math
\begin{eqnarray}
\vec{t_0} & = & w^0 (t_w) \\
\vec{t_1} & = & w^1 (0,t_w) \\
\vec{t_2} & = & w^2 (0,0,t_w) \\
\vec{t_3} & = & w^3 (0,0,0,t_w) \\
\vdots \\
\end{eqnarray}
```

として、$t_w$ は常に最後の要素風にします。

成分 "1" を $t_w$ の前に追加して

```math
\begin{eqnarray}
\vec{p_0} = \vec{t_0} & = & w^1 (1,t_w) \\
\vec{p_1} = \vec{t_1} & = & w^2 (0,1,t_w) \\
\vec{p_2} = \vec{t_2} & = & w^3 (0,0,1,t_w) \\
\vec{p_3} = \vec{t_3} & = & w^4 (0,0,0,1,t_w) \\
\vdots \\
\end{eqnarray}
```

として、形式違いを別文字にします。


### 直交するベクトル

$\vec{t_n}$ とベクトルの大きさが同じで、成分が "0" のところに成分があるベクトルを

```math
\begin{eqnarray}
\| \vec{s_n} \| & = & w^n \\
\vec{s_1} & = & w^1 (x_1,0,0,0,0,0,\cdots)　\\
\vec{s_2} & = & w^2 (x_1,x_2,0,0,0,0,\cdots)　\\
\vec{s_3} & = & w^3 (x_1,x_2,x_3,0,0,0,\cdots)　\\
\vec{s_4} & = & w^4 (x_1,x_2,x_3,x_4,0,0,\cdots)　\\
\vdots \\
\end{eqnarray}
```

とします。係数をなくすと


```math
\frac{\vec{s_n}}{w^n} = (x_1,x_2,\cdots,x_n,0,0,\cdots)
```

単位ベクトルになります。 $\vec{s_n}$ のうち $\left(\vec{p_n}-\vec{t_{n+1}}\right)$ を特別に

```math
\begin{eqnarray}
\vec{q_1} & = & \left( \vec{p_1} - \vec{t_2} \right) = w^1 \left( 1,0,0,0,0,0,\cdots \right) \\
\vec{q_2} & = & \left( \vec{p_2} - \vec{t_3} \right) = w^2 \left( 0,1,0,0,0,0,\cdots \right) \\
\vec{q_3} & = & \left( \vec{p_3} - \vec{t_4} \right) = w^3 \left( 0,0,1,0,0,0,\cdots \right) \\
\vec{q_4} & = & \left( \vec{p_4} - \vec{t_5} \right) = w^4 \left( 0,0,0,1,0,0,\cdots \right) \\
\vdots \\
\end{eqnarray}
```

としておきます。

$\vec{t_n}$ と $\vec{s_n}$ の内積は

```math
\vec{t_n} \cdot \vec{s_n} = 0
```

なので直交です。

### 光速度

$\vec{t_n}$ を時間、$\vec{s_n}$ を空間とみなし、光速度を

```math
光速度
= \frac{\| \vec{s_1} \|}{\| \vec{t_1} \|}
= \frac{\| \vec{s_2} \|}{\| \vec{t_2} \|}
= \frac{\| \vec{s_3} \|}{\| \vec{t_3} \|}
= \cdots
= \frac{\| \vec{s_n} \|}{\| \vec{t_n} \|} \\
```

としてみます。$\| \vec{t_n} \|$ を1秒とすると、$\| \vec{s_n} \|$ は「光速度×1秒」の長さと考えることができます。すると、光速度は

```math
\begin{eqnarray}
\vec{c_n} & = & \vec{t_n} + \vec{s_n} \\
\vec{c_n^*} & = & \vec{t_n} - \vec{s_n} \\
\| \vec{t_{n-1}} \| & = & \| \vec{c_n} \| = \| \vec{c_n^*} \| \\
\end{eqnarray}
```

と表現することができます。$\vec{t_m}$ と $\vec{t_n}$ の大きさを調べると

```math
\begin{eqnarray}
\frac{\| \vec{t_0} \|}{\| \vec{t_1} \|} & = & w^{-1},
\frac{\| \vec{t_0} \|}{\| \vec{t_2} \|} & = & w^{-2},
\frac{\| \vec{t_0} \|}{\| \vec{t_3} \|} & = & w^{-3},
\cdots \\
\frac{\| \vec{t_1} \|}{\| \vec{t_2} \|} & = & w^{-1},
\frac{\| \vec{t_1} \|}{\| \vec{t_3} \|} & = & w^{-2},
\frac{\| \vec{t_1} \|}{\| \vec{t_4} \|} & = & w^{-3},
\cdots \\
\end{eqnarray}
```

となり、無限次元空間では同じ長さでも $\|\vec{t_1}\|$ に対して $\|\vec{t_2}\|$ は $\left( w^{-1}=\sqrt{2} \right)$ 倍速く流れることになります。同様に、$\|\vec{s_1}\|$ の空間は $\|\vec{s_2}\|$ から見ると、$\left( w^{-1}=\sqrt{2} \right)$ 倍の空間に見えます。このことから、$\vec{t_n}$ に対し光速度の $\vec{c_n}$ と同じ経路を通る $\vec{c_{n-1}}$ も $\vec{t_n}$ には光速度に見えます。

$\vec{c_n}$ と $\vec{c_n^*}$ の内積は

```math
\begin{eqnarray}
\vec{c_n} \cdot \vec{c_n^*}
& = & (\vec{t_n} + \vec{s_n})(\vec{t_n} - \vec{s_n}) \\
& = & \vec{t_n} \cdot \vec{t_n} - \vec{s_n} \cdot \vec{s_n} \\
& = & \| \vec{t_n} \|^2 - \| \vec{s_n} \|^2 \\
& = & 0 \\
\end{eqnarray}
```

となるので、直交しています。

$\vec{t_n}$ を時間とすると、無限次元空間上を進むものを示すので、進行方向が時間軸になります。すると、無限次元空間上の座標は時刻と考えることができます。座標が時刻ならば絶対座標系とすることができます。無限次元空間に時間が絡んでいるので、この無限次元空間を「無限時空」と呼ぶことにします。

### 相対速度

観測者と観測対象の時間軸となるベクトルの大きさが違うと、観測できないか光速度に見えるので、ベクトルの大きさが同じ場合に、相対速度が生じると考えられます。

(n+1) 次元時空の観測者のベクトルを $A$ として、観測対象 $B$ は向きを変えて

```math
\begin{eqnarray}
\vec{A} & = & \vec{t_{n+1}} + \vec{q_{n+1}} \\
& = & w^{n+1} \left( 0,0,\cdots,0,1,t_w \right) \\
& = & T + Q \\
\vec{B} & = & \vec{t_{n+1}} + \vec{q_{n+1}} \cos \theta_c + \vec{s_n} w \sin \theta_c \\
& = & w^{n+1} \left( x_1 \sin \theta_c,x_2 \sin \theta_c,\cdots,x_n \sin \theta_c,\cos \theta_c,t_w \right) \\
& = & T + Q \cos \theta_c + X \sin \theta_c \\
\| \vec{A} \| & = & \| \vec{B} \| = \| \vec{t_n} \| \\
T & = & \vec{t_{n+1}} \\
Q & = & \vec{q_{n+1}} \\
X & = & w\ \vec{s_n} \\
\end{eqnarray}
```

として、$\vec{t_{n+1}}$ を共通時間 $T$、$\vec{q_{n+1}}$ 部分を固有時間 $Q$、残りを空間方向 $X$ と考えます。

相対速度 $v$ は光速度を $c$ として

```math
\begin{eqnarray}
\frac{v}{c} & = & \sin \theta_c \\
v & = & c \sin \theta_c \\
\end{eqnarray}
```

に見えるので

```math
\begin{eqnarray}
\| \sin \theta_c \| & \le & 1 \\
\| v \| & \le & c \\
\end{eqnarray}
```

より、相対速度 $v$ は光速度 $c$ を超えられないことになります。

$A$ の共通時間と固有時間は $1:1$ ですが、$B$ は $1:\cos \theta_c$ になっています。$A$ の固有時間の進みに対して $B$ は $\cos \theta_c$ 倍のゆっくり進むとすると、固有時間で除算して

```math
\begin{eqnarray}
\gamma & = & \frac{1}{\cos \theta_c} = \frac{1}{\sqrt{1- \left( \frac{v}{c} \right)^2}} \\
\gamma \vec{B} & = & \gamma T + Q + \gamma \frac{v}{c} X \\
\end{eqnarray}
```

$\vec{q_{n+1}}$ の係数を揃えます。すると、$A$ が経験する時間と $B$ が経験する時間が同じに見えます。$A$ から見た $B$ の運動の経過時間と移動距離の比は

```math
\begin{eqnarray}
経過時間 & = & \gamma \\
移動距離 & = & \gamma \frac{v}{c} \\
速度 = \frac{移動距離}{経過時間} & = & \frac{v}{c} \\
\end{eqnarray}
```

になり、$B$ から見た $A$ は、$\theta_c$ に $-1$ を掛けて入れ替えるので、$v$ の符号が反転するだけになります。これは、$\vec{t_{n+1}}$ から見ると、$\vec{s_{n+1}}$ の空間で回転しているだけですが、視点となる $A$ や $B$ の視点から相手を見ると、固有時間で除算する「透視投影」があるので別の変換になります。

$A$ の視点では

```math
\begin{eqnarray}
\vec{A} & = & T + Q \\
\gamma \vec{B} & = & \gamma T + Q + \gamma \frac{v}{c} X \\
\end{eqnarray}
```

$B$ の視点では

```math
\begin{eqnarray}
\gamma \vec{A} & = & \gamma T + Q - \gamma \frac{v}{c} X \\
\vec{B} & = & T + Q \\
\end{eqnarray}
```

ですが、$Q$ は変換不要なので排除して、$A$ の視点では

```math
\begin{eqnarray}
A_A & = & T \\
B_A & = & \gamma T + \gamma \frac{v}{c} X \\
\end{eqnarray}
```

$B$ の視点では

```math
\begin{eqnarray}
A_B & = & \gamma T - \gamma \frac{v}{c} X \\
B_B & = & T \\
\end{eqnarray}
```

となる変換を考えます。まず

```math
\begin{eqnarray}
\frac{v}{c} & = & \tanh \theta_h \\
\theta_h & = & \tanh^{-1} \frac{v}{c} \\
\end{eqnarray}
```

とすると

```math
\begin{eqnarray}
\cosh \theta_h & = & \frac{1}{\sqrt{1- \left( \frac{v}{c} \right)^2}} = \gamma \\
\sinh \theta_h & = & \frac{ \frac{v}{c} }{\sqrt{1- \left( \frac{v}{c} \right)^2}} = \gamma \frac{v}{c} \\
\end{eqnarray}
```

となるので、$A_A,B_A,A_B,B_B$ の係数を双曲線関数に置き換えると

```math
\begin{eqnarray}
A_A & = & T \cosh 0 + X \sinh 0 \\
B_A & = & T \cosh \theta_h + X \sinh \theta_h \\
\\
A_B & = & T \cosh \theta_h - X \sinh \theta_h \\
B_B & = & T \cosh 0 + X \sinh 0 \\
\end{eqnarray}
```

になって、$A,B$ は $T,X$ 平面上で双曲線関数の角度 $\theta_h$ で回転していることが分かります。これはローレンツ変換相当ですが、これも $\vec{s_{n+1}}$ の空間での回転を透視投影したものになっています。もう少し弄ると

```math
\begin{eqnarray}
\cosh \theta_h & = & \frac{e^{\theta_h} + e^{-\theta_h}}{2} \\
\sinh \theta_h & = & \frac{e^{\theta_h} - e^{-\theta_h}}{2} \\
T' = T \cosh \theta_h + X \sinh \theta_h & = & \frac{ (T+X)\ e^{\theta_h} + (T-X)\ e^{-\theta_h} }{2} \\
& = & \frac{ \vec{c_{n+1}}\ e^{\theta_h} + \vec{c_{n+1}^*}\ e^{-\theta_h} }{2} \\
X' = T \sinh \theta_h + X \cosh \theta_h & = & \frac{ (T+X)\ e^{\theta_h} - (T-X)\ e^{-\theta_h} }{2} \\
& = & \frac{ \vec{c_{n+1}}\ e^{\theta_h} - \vec{c_{n+1}^*}\ e^{-\theta_h} }{2} \\
\end{eqnarray}
```

にできて、光速度は変わらないが $\vec{c_{n+1}},\vec{c_{n+1}^*}$ 側の時間流れに対する伸縮（青方偏移と赤方偏移相当かな？）が発生します。

相対速度は「時間軸となるベクトルの向きの違い」とできるようです。結果、「慣性の法則」は「無限時空上で時間軸となるベクトルの方向に直進すること」になるようです。ベクトルの向きを変える（回転する）ことは、速度の変化なので加速に相当します。加速は、角度の増減に置き換えられるので、対象が増減前に何処を向いていたかは関係ないことになります。すると、座標毎に回転情報があることになります。重力のような作用も回転場として表されることになるでしょう。そこで、無限時空上では、進行方向と向きが変わるだけと考えられるので、回転量に無限大がなければ、ある経路線が他の経路線と合流することはなくなります。１つの経路線は「単独の線」として独立しているので、いわゆる「情報は失われない」ということになります。

また、共通する時間軸をどこにするかで見え方が２通り考えられます。$Q$ を共通時間にすると双曲線関数側での回転に、$T$ を共通時間にすると三角関数側での回転になります。前者は相対速度が見える「粒」感の世界です。後者は、１つ上の次元空間世界には、$A,B$ ともに光速度で移動し、止まることが出来ない「波」のような振る舞いに見える世界です。我々が光を扱うのと同様のことが、「四次元空間＋時間」から見た「三次元空間＋時間」でも起きることになります。となると、粒と波の二重性が出てこないワケがないでしょう。

### 720度で一巡する？

相対速度にある A,B

```math
\begin{eqnarray}
\vec{A} & = & \vec{t_{n+1}} + \vec{q_{n+1}} \\
& = & w^{n+1} \left( 0,0,\cdots,0,1,t_w \right) \\
& = & T + Q \\
\vec{B} & = & \vec{t_{n+1}} + \vec{q_{n+1}} \cos \theta_c + \vec{s_n} w \sin \theta_c \\
& = & w^{n+1} \left( x_1 \sin \theta_c,x_2 \sin \theta_c,\cdots,x_n \sin \theta_c,\cos \theta_c,t_w \right) \\
& = & T + Q \cos \theta_c + X \sin \theta_c \\
\| \vec{A} \| & = & \| \vec{B} \| = \| \vec{t_n} \| \\
T & = & \vec{t_{n+1}} \\
Q & = & \vec{q_{n+1}} \\
X & = & w\ \vec{s_n} \\
\end{eqnarray}
```

の関係で、$\theta_c$ を 0 から一回転させてみます。回転は加速で、N次元空間での加速方向は $X$ だから、どの方向に加速しても $\theta_c$ は正の方向に増えます。

$\theta_c$ が 90度未満ならば、相対速度は光速度未満です。

$\theta_c$ が 90度を超えると、$\cos \theta_c$ は負になり、いわゆる事象の地平の向こうでしょう。その先がどうなっているのかは無視して $\theta_c$ を増やします。

$\theta_c$ が 180度を超えると、$\sin \theta_c$ が負になります。$\cos \theta_c$ は負のままなので、いわゆる事象の地平の向こうでしょう。

$\theta_c$ が 270度を超えると、$\cos \theta_c$ は正になり、相対速度は光速度未満になります。いわゆる事象の地平よりこちらにあるようです。しかし、$\sin \theta_c$ が負のままなので、相対速度は負です。相対速度を正にするには $X$ の方向を反転させまます。

$\theta_c$ が 360度で相対速度はゼロです。

いわゆる事象の地平よりこちら側には、相対速度が正負の二種類があることになりそうです。$\theta_c$ の角度が 0度から 90度と、270度から 360度です。後者は -90度から 0度に相当するでしょう。相対速度が負の世界と、正の世界を同じ空間に重ねると、空間の全方向が反転している関係になります。

相対速度はゼロで、360度違いは、空間の全方向が反転した世界になっているようです。ということは、720度で一巡です。

この現象が起きるのは、相対速度が生じる、空間の次元数が同じ場合に限ります。高次元時空から見た、低次元時空は光速度の移動で、その回転は高次元時空の空間内だから、360度で一巡に見えるハズです。

双曲線関数の角度 $\theta_h$ と、指数関数と三角関数の角度 $\theta_c$ の関係は

```math
\begin{eqnarray}
\gamma & = & \cosh \theta_h = \sec \theta_c = \frac{1}{\cos \theta_c}  \\
\gamma v & = & \sinh \theta_h = \tan \theta_c = \frac{\sin \theta_c}{\cos \theta_c} \\
v & = & \tanh \theta_h = \sin \theta_c \\
e^{\theta_h} & = & \cosh \theta_h + \sinh \theta_h = \sec \theta_c + \tan \theta_c \\
& = & \tan \left( \frac{\pi}{4} + \frac{\theta_c}{2} \right) = \frac{\cos \left( \frac{\pi}{4} + \frac{\theta_c}{2} \right)}{\cos \left( \frac{\pi}{4} - \frac{\theta_c}{2} \right)} \\
e^{-\theta_h} & = & \cosh \theta_h - \sinh \theta_h = \sec \theta_c - \tan \theta_c \\
& = & \tan \left( \frac{\pi}{4} - \frac{\theta_c}{2} \right) = \frac{\cos \left( \frac{\pi}{4} - \frac{\theta_c}{2} \right)}{\cos \left( \frac{\pi}{4} + \frac{\theta_c}{2} \right)} \\
\end{eqnarray}
```

ですが、$e^{\theta_h}$ と $e^{\theta_h}$ を $cos(\cdots)$ 部分で分解して、720度で一巡する状況を確認すると

| $\theta_c$ | 0° | 90° | 180° | 270° | 360° |
|:-:|:-:|:-:|:-:|:-:|:-:|:-:|:-:|:-:|:-:|
| $e^{\theta_h}$ | $\frac{1}{\sqrt{2}}÷\frac{1}{\sqrt{2}}$ | $0÷1$ | $\frac{-1}{\sqrt{2}}÷\frac{1}{\sqrt{2}}$ | $(-1)÷0$ | $\frac{-1}{\sqrt{2}}÷\frac{-1}{\sqrt{2}}$ |
| $e^{-\theta_h}$ | $\frac{1}{\sqrt{2}}÷\frac{1}{\sqrt{2}}$ | $1÷0$ | $\frac{1}{\sqrt{2}}÷\frac{-1}{\sqrt{2}}$ | $0÷(-1)$ | $\frac{-1}{\sqrt{2}}÷\frac{-1}{\sqrt{2}}$ |
| $e^{\theta_h} e^{-\theta_h}$ | 1 | 1? | 1 | 1? | 1 |
| $\theta_c$ | **360°** | **450°** | **540°** | **630°** | **720°** |
| $e^{\theta_h}$ | $\frac{-1}{\sqrt{2}}÷\frac{-1}{\sqrt{2}}$ | $0÷(-1)$ | $\frac{1}{\sqrt{2}}÷\frac{-1}{\sqrt{2}}$ | $1÷0$ | $\frac{1}{\sqrt{2}}÷\frac{1}{\sqrt{2}}$ |
| $e^{-\theta_h}$ | $\frac{-1}{\sqrt{2}}÷\frac{-1}{\sqrt{2}}$ | $(-1)÷0$ | $\frac{-1}{\sqrt{2}}÷\frac{1}{\sqrt{2}}$ | $0÷1$ | $\frac{1}{\sqrt{2}}÷\frac{1}{\sqrt{2}}$ |
| $e^{\theta_h} e^{-\theta_h}$ | 1 | 1? | 1 | 1? | 1 |

となっていて、0° 側と 360° 側を見ると、$e^{\theta_h},e^{-\theta_h}$ の数値は同じですが、裏返しが隠れています。

---

という訳で、従来の時空、相対速度、加速の概念は、別の現象として表現できそうです。ここから先は、式が難しくなって追いかけるのが大変なので、誰かにお願いしたいところ。破綻していて「ダメでした」でも分かったら嬉しい。私の数学力は超ヘボ級なので、質問されても「分かりません」となるので、ツッコミを入れないよう、お願いします。