【オイラーの多面体定理と正多面体】「オイラーの多角形定理」と「意味論的統制」概念の導入

[【オイラーの多面体定理と正多面体】とある「球面幾何学(Spherical Geometry)」の出発点…](https://qiita.com/ochimusha01/items/5f8dbf33bac5b7227a11)

ここで**状態遷移図**(<font color="blue">State Transition Diagram</font>)上における**正多面体**(<font color="blue">Regular Polyhedron</font>)と**正多角形**(<font color="blue">Regular Polygon</font>)の往復を扱ってますが、それに関連して興味深い**概念**(<font color="blue">Concept</font>)を仕入れました。
[オイラー数と曲面の曲がり方の関係を記述する究極の定理 ―ガウス・ボンネの定理―](https://search.yahoo.co.jp/wrs/FOR=cY3HpTVV3iiH3_kzZFfRG886gqP0MI4AKQZ8O6p3Zweeu5Haf02Cyx4E16.2u.DXlOG0ZBcxGH3jl1z3p4AgzxjTGxCc_awtV2NlW.9Y9Bhfpb4E_Xqp7Zxu9lvGFR8gukOWIl23w5VBSKEi2PxmCk6.Zht_5jzrC3qkQJTLSGc1JMmYDkjTFPu9c3v9Uc8SmQ..4WZdW3x4tRbRymdx7h1e1Ys87hgJU5o.x49Cv2UFABykBz8pfkBKVsE8DEsVzwksyhpeyG_JQT_URHW2vnQPp8gC0oCxImsTq312lf9dyq9m5PhvtcqJDBc6aao9elABuOpwH2janovZnUPzmoFdgy96Jp7wfCxKsMgPxlIUa.MYTlZ0EMNx5CpEHEWDWFohQ6THIKDCs8bsvA--/_ylt=A2RCpKxlq7deMGIATluDTwx.;_ylu=X3oDMTBtNHJhZXRnBHBvcwMxBHNlYwNzcgRzbGsDdGl0bGU-/SIG=1d0nrcfku/EXP=1589196069/**http%3A//www.med.nihon-u.ac.jp/home/sudagawa/%25E3%2582%25AA%25E3%2582%25A4%25E3%2583%25A9%25E3%2583%25BC%25E6%2595%25B0%25E3%2581%25A8%25E6%259B%25B2%25E9%259D%25A2.pdf%23search=%27%25E3%2582%25AA%25E3%2582%25A4%25E3%2583%25A9%25E3%2583%25BC%25E3%2581%25AE%25E5%25A4%259A%25E9%259D%25A2%25E4%25BD%2593%25E5%25AE%259A%25E7%2590%2586%2B%25E3%2583%2588%25E3%2583%25BC%25E3%2583%25A9%25E3%2582%25B9%27)

>あらゆる**多角形**(<font color="blue">Polyhedron</font>)において**頂点数**(<font color="blue">Number of Vertexs</font>)と**辺数**(<font color="blue">Number of Edges</font>)は一致する。
>すなわち内側に現れる**面数**(<font color="blue">Number of Faces</font>)をカウントしないなら
<font color="green">**頂点**</font>(<font color="blue">Vertex</font>)<font color="green">の数－**辺**</font>(<font color="blue">Edge</font>)<font color="green">の数</font>＝<font color="green">0</font>
カウントするなら(<font color="blue">常に1と数えて</font>)
<font color="green">**頂点**</font>(<font color="blue">Vertex</font>)<font color="green">の数－**辺**</font>(<font color="blue">Edge</font>)<font color="green">の数＋**面**</font>(<font color="blue">Face</font>)<font color="green">の数</font>＝<font color="green">1</font>
が成立する。

それならこの２種類の**概念**をどう使い分けるのか。以下の投稿では以下の形で**意味論的統制**(<font color="blue">Semantic Control</font>)の概念を導入しています。

[【Rで球面幾何学】二辺形(Bilateral)と一辺形(One Side)？](https://qiita.com/ochimusha01/items/ce1b6988c4274a136e89)

>**比**(<font color="blue">Ratio</font>)で**表現**(<font color="blue">Expression</font>)可能な**有理数**（<font color="blue">Rational Number</font>）や、それとは別の個別**定義**(<font color="blue">Definition</font>)に頼る**無理数**（<font color="blue">Irrational Number</font>）で構成される「**実数の世界**(<font color="blue">Real Number</font>)」までを「**計数可能な世界**(<font color="blue">Countable Set</font>)」と**規定**するなら、さらにその先に**連続性**(<font color="blue">Continuity</font>)を見出そうとする「**虚理の世界**(<font color="blue">Imaginary Set</font>)」は「**計算自体は可能な世界**(<font color="blue">Computable Set</font>)」と**規定**される。もちろんただ計算可能なだけでは与えられた役割を果たせず、それぞれが相応の**意味論的統制**(<font color="blue">Semantic Control</font>)に従わねばならない。

この次元における**意味論的統制**(<font color="blue">Semantic Control</font>)の概念はシンプル極まりなく「（<font color="blue">元来は数字導出方法や精度や誤差も添えた</font>）<font color="red">近似や確率の計算結果の集合</font>」を範囲としてきっちり明示しろという事です。例えば以下の様に。

##**三角関数**(<font color="blue">Trigonometric Function</font>)の世界
**デカルト座標系**(<font color="blue">Cartesian Coordinate System</font>)」あるいは**複素平面**(<font color="blue">Complex Plane</font>)に**射影**(<font color="blue">Projection</font>)された**円そのもの**(<font color="blue">Circle Itself</font>)を「**辺数無限小**(<font color="blue">1/Inf</font>)**辺数無限大**（<font color="blue">Inf</font>）**の多角形**」と概念化した近似値計算体系で**XY座標**<font color="green">(Cos(θ),Sin(θ))</font>あるいは**複素数**(<font color="blue">Complex Number</font>)<font color="green">X+Yi</font>を返す。**辺分割数**(<font color="blue">Nos=Number of Sides</font>)が精度や誤差を規定し、その**単位円**(<font color="blue">Unit Circle=半径1の円弧</font>)**の円周長の極限値**<font color="green">2π</font>が「**実数の世界**(<font color="blue">Real Number</font>)」に無理数の一つとして加えられる展開を迎えた。
[【初心者向け】「円そのもの」の近似から派生した角度と経度の概念の起源](https://qiita.com/ochimusha01/items/80b70db93cbf2612bd18)
![20191028123539.gif](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/597772/6ecec94f-f795-b69a-df0e-7cdc9fa8dde7.gif)

[【初心者向け】挟み撃ち定理（Squeeze Theorem）による円周率πの近似](https://qiita.com/ochimusha01/items/1caff7d8af4aab167aaa)
![20191031092156.gif](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/597772/2d9ca0a6-6aa5-d545-32ad-9f336ff0cdb5.gif)
一辺の長さがAの正n角形に内接する円の半径**<font color="red">R</font>**

1. <font color="red">R=A/2*tan(π/n)*cos(π/n)</font>
2. <font color="green">A=R*2*tan(π/n)*cos(π/n)</font>

一辺の長さがaの正n角形の外接円の半径と内接円の半径の関係

1.<font color="blue">r=R*cos(π/n)</font>
2.<font color="red">R=r/cos(π/n)</font>

外接円を**単位円**（<font color="blue">Unit Circle</font>）としたのが上記アニメーションとなる。

[【初心者向け】物理学における「単位円筒(Unit Cylinder)」の概念について。](https://qiita.com/ochimusha01/items/ced1c21b4411e79cdcbe)
**XY軸**（<font color="blue">円弧</font>）
![20191029133633.gif](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/597772/0e55e673-d89e-6d33-6e33-9edf6fecdbdd.gif)
**XZ軸**（<font color="blue">Cos波</font>）
![20191029193635.gif](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/597772/529cc2b1-3476-4eba-1c07-a79cc8ba16d7.gif)
**YZ軸**（<font color="blue">Sin波</font>）
![20191029194000.gif](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/597772/fa66cf1a-291e-8e76-8ea7-c586efcb1e21.gif)

##自然指数関数/対数関数(<font color="blue">Natural Exponential function</font>/<font color="blue">Logarithmic Function</font>)の世界

簡単に言うと**片対数尺**(<font color="blue">Semilog Graph</font>)あるいは**透視図法**(<font color="blue">Perspective</font>)の世界。等比数列上の**観測原点**(<font color="blue">Portal</font>)たる<font color="green">1</font>から**消失点**(<font color="blue">Vanishing Point</font>)となる**無限大**（<font color="blue">Inf</font>）もしくは**無限小**(<font color="blue">1/Inf</font>)までの範囲を扱う。
[【Rで球面幾何学】等比数列(幾何数列)①その基本的性質について。](https://qiita.com/ochimusha01/items/cbbe0eadabf149fc720b)
[【Rで球面幾何学】等比数列(幾何数列)②同心円集合(Concentric Set)に射影(Projection)する準備](https://qiita.com/ochimusha01/items/3c9b6aa40a3033a0f350)
[【Rで球面幾何学】等比数列(幾何数列)③振動関数を巡る収束と拡散。](https://qiita.com/ochimusha01/items/0814db1de32fbf88d070)
[【Rで球面幾何学】等比数列(幾何数列)④公比Dが正の場合の収束と拡散, そして対数尺(自然指数関数)](https://qiita.com/ochimusha01/items/c9803fd63871097d77ce)
![OIAS009.gif](https://qiita-user-contents.imgix.net/https%3A%2F%2Fcdn-ak.f.st-hatena.com%2Fimages%2Ffotolife%2Fo%2Fochimusha01%2F20210103%2F20210103063144.gif?ixlib=rb-1.2.2&auto=format&gif-q=60&q=75&w=1400&fit=max&s=27ed848645b2dc52bccfd886473b36ee)

大数学者**オイラー**(<font color="blue">Leonhard Euler,1707年〜1783年</font>)およびその師匠**ベルヌーイ**(<font color="blue">Johann Bernoulli, 1667年〜1748年</font>)は**式**<font color="green">e^1=(1+1/N)^N</font>の極限値として**ネイピア数**<font color="green">e=2.718282…</font>、**式**<font color="green">e^-1=(1-1/N)^N</font>の極限値として<font color="green">1/e=0.3678794…</font>を導出。**分割数**<font color="green">N</font>が精度や誤差を規定。前者の導出方法が**近似論的手法**、後者の導出方法が**確率論的手法**に基づくのが両者の連続性を示唆している。この２つの数も「**実数の世界**(<font color="blue">Real Number</font>)」に無理数の一つとして加えられる展開を迎えた。
[【初心者向け】指数・対数関数の発見](https://qiita.com/ochimusha01/items/3e28f4f06abd8cef0af1)
![20190426032119.png](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/597772/6333accd-819f-7106-7f81-499c8a946416.png)
![20190426031522.png](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/597772/bb229df2-d8d6-ba67-46c2-6826b8fa82f6.png)

##2つの「<font color="red">計算自体は可能な世界</font>(<font color="blue">Computable Set</font>)」の統合と確率論的世界観の導入(<font color="blue">Introduction</font>)

大数学者**ガウス**(<font color="blue">Carolus Fridericus Gauss、1777年〜1855年</font>)は両者の「**人類の認識可能範囲外を跋扈する絶対他者**」への距離感の取り方に共通性を見出し、これら２つのアプローチが**無限遠点**においては可換性を備えるとして所謂「<font color="red">ガウス積分</font>」を解いた。
[【Rで射影幾何学】そもそも「幾何学」とは何か？](https://qiita.com/ochimusha01/items/e3e6af4015e15b5777b9)
![20191122131232.png](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/597772/d2d641a6-779f-67f7-ba5f-381e34e8ea13.png)
![20191117210800.png](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/597772/6f5775ab-3d46-5be1-bb02-fda58db18c20.png)

その結果「**ベルヌーイの大数の弱法則**(<font color="blue">The Weak Laws of Large Numbers</font>)」は<font color="red">正規分布概念</font>(<font color="blue">Normal Distribution Concept</font>)に発展的に解消され、今日の**推計統計学**(<font color="blue">Inferential Statistic</font>)の基礎が打ち立てられる。逆を言えば、そのあまりの異質性故にこの概念が「<font color="red">実数の世界</font>(<font color="blue">Real Number</font>)」の枠内に組み込まれる展開はついぞなかったのである。 
[【初心者向け】正規分布（Normal Distribution）とは何か？](https://qiita.com/ochimusha01/items/fe73ddf6e3e8cb08fbee)
![20191002222245.gif](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/597772/a5010157-2ada-bc54-08c8-8ed65f1403e2.gif)
![20191002195731.gif](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/597772/72e46148-73d8-d19f-e21f-3d4360a62ac0.gif)

何となくでも「**意味論的統制**(<font color="blue">Semantic Control</font>)の概念の片鱗くらいは掴めたでしょうか？

- [「オッカムの剃刀」](https://dic.nicovideo.jp/a/%E3%82%AA%E3%83%83%E3%82%AB%E3%83%A0%E3%81%AE%E5%89%83%E5%88%80)…スコラ哲学者**オッカム**(<font color="blue">William of Ockham、1285年~1347年</font>)が多用した「<font color="green">Pluralitas non est ponenda sine neccesitate</font>（<font color="blue">≒Entities shouldn't be necessary=構成要素は必要ない</font>）」すなわち「<font color="RED">必要がないなら多くのものを定立してはならない。少数の論理で良いならば、多数の論理を定立してはいけない</font>」なる言い回しに立脚する。
- [ウィトゲンシュタイン(<font color="blue">Ludwig Josef Johann Wittgenstein、1889年〜1951年</font>)「論理哲学論考(<font color="blue">独Logisch-Philosophische Abhandlung、英Tractatus Logico-philosophicus,1918年執筆,1921年初版)」</font>](https://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%AB%96%E7%90%86%E5%93%B2%E5%AD%A6%E8%AB%96%E8%80%83)…「<font color="red">語り得ない事については、沈黙するほかない</font>(<font color="green">Wovon man nicht sprechen kann, darüber muss man schweigen.</font>)。」

要するに「<font color="red">オブジェクト指向プログラミングにおいて、参照数が0となったオブジェクトはメモリー上から自動的に消される</font>」みたいな考え方ですね。とりあえず最初の出発点はこれなのです。

##そして「<font color="red">幾何学の世界</font>(<font color="blue">Geometry Set</font>)」との関係について。
「<font color="red">整数の世界</font>(<font color="blue">Integer Number Set</font>)」より**素因数分解**(<font color="blue">Prime Factorization</font>)を経て「<font color="red">多角形や多面体の世界</font>(<font color="blue">Polygon & Polyhedron Set</font>)」に至る「**幾何学の世界**(<font color="blue">Geometry Set</font>)」の概念は、こうした流れとは全く系譜が異なります。
[【Rで球面幾何学】等差数列(算術数列)① 数直線(Number Line)概念の導入(Introduction)について。](https://qiita.com/ochimusha01/items/4e5eca346c85f161c3b7)
[【Rで球面幾何学】等差数列(算術数列)②数直線(Number Line)概念から同心円集合(Concentric Set)概念へ](https://qiita.com/ochimusha01/items/c9803fd63871097d77ce)
![20200109155657.gif](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/597772/75d73c90-9af4-26aa-b976-65065d64f546.gif)
[【Rで九九】どうして36個の数字しか使われないのか？](https://qiita.com/ochimusha01/items/8d990f23ae96db0cd953)
[【オイラーの多面体定理と正多面体】とある「球面幾何学(Spherical Geometry)」の出発点…](https://qiita.com/ochimusha01/items/5f8dbf33bac5b7227a11)

こう考えていくと答えも明白ですね。

- ガウスの発見した「**1の冪数の巡回性**」の様な純粋に二次元上の問題を扱う際には、面への言及がないので<font color="green">V-E=0</font>と考えて良い。
- 「**オイラーの多面体定理**」に関連して多角形と多面体の往復を扱う場合には、面への言及があるので<font color="green">V-E+F=1</font>と考えて良い。

「**オッカムの剃刀**」や「**ウィトゲンシュタインの論理哲学**」や「**オブジェクト指向プログラミング上のメモリ管理理論**」が、そうあるべきと主張してくる訳です。大体の考え方を学べた時点で、以下続報…