自己エネルギとGreen関数

$\phantom{}$$
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\newcommand\ret{\notag\\\\&\qquad}%数式改行用
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$$\newcommand\V{\mathcal{V}}$
あるハミルトニアン$\mathcal{H}$を

```math
\begin{align}
\mathcal{H}\equiv\mathcal{H}_0+\V,\quad \V: = \mathcal{H}-\mathcal{H}_0,
\end{align}
```

のように分けて書こう．
これは，$\mathcal{H}_0$で記述される系があったとき$\V$からの影響を調べる，という意図がある．
この意味で，$\mathcal{H}_0$を非摂動 (non-perturbative) ハミルトニアン，$\V$を摂動 (perturbative) ハミルトニアン，
そして$\mathcal{H}$を全 (full or total) ハミルトニアンと呼ぶ．

## Dyson方程式
複素数$z$に対して全リゾルベントと非摂動リゾルベントを次式で定義しよう：

```math
\begin{align}
G(z): = \frac{1}{z-\mathcal{H}}, \tag{1}\label{eq:GZ}\\
g(z): = \frac{1}{z-\mathcal{H}_0}.
\end{align}
```

これらの間には次の関係式 (Dyson方程式) が成り立っている：

```math
\begin{align}
G(z) = g(z)+g(z)\V G(z).
\end{align}
```

Dyson方程式が正しいことは簡単にチェックできる：

```math
\begin{align}
G = g+g\V G\Leftrightarrow(1-g\V)G = g\Leftrightarrow G = \frac{1}{1-g\V}g \Leftrightarrow G = \frac{1}{\frac{1}{g}(1-g\V)} = \frac{1}{\frac{1}{g}-\V} = \frac{1}{z-\mathcal{H}},
\end{align}
```

ここで逆演算子にまとめるときは$\frac{1}{A}g = \frac{1}{\frac{1}{g}A}$のように位置が逆になることに注意．
Dyson方程式はまた，次の式に等価的に書き換えられる：

```math
\begin{align}
G(z) = g(z)+G(z)\V g(z).
\end{align}
```

必要に応じて両者を使い分ければよい．

Dyson方程式に逐次代入を繰り返すことでDyson級数：

```math
\begin{align}
G(z) = g(z)+g(z)\V g(z)+g(z)\V g(z)\V g(z)+g(z)\V g(z)\V g(z)\V g(z)+\cdots,
 \tag{2}\label{eq:dyson}
\end{align}
```

が得られる．これは$G(z)$の$\V$に関する摂動展開の基礎となる表示であるが，
無限級数であるため収束半径に気をつけなければならない．

## 自己エネルギ演算子

全リゾルベントを次のように書いてみよう：

```math
\begin{align}
G(z) = :\frac{1}{z-\mathcal{H}_0-\Sigma(z)},
 \tag{3}\label{eq:r1}
\end{align}
```

ここで$\Sigma(z)$は自己エネルギ (演算子) と呼ばれるものである．
問題設定が元と全く同じであれば$\Sigma(z) = \V$であるが，
通常，元の問題は厳密には解けないので，
近似を行ったり，状態空間を有効空間に射影したりすることになる．
例えば，__($\ref{eq:dyson}$)__で$\V$の偶数次の項だけ拾う[^1]という近似を考えてみると，

```math
\begin{align}
G(z)
&\simeq g(z)+g(z)\V g(z)\V g(z)++g(z)\V g(z)\V g(z)\V g(z)\V g(z)+\cdots,\nr
& = g(z)+g(z)[\V g(z)\V] g(z)++g(z)[\V g(z)\V] g(z) [\V g(z)\V] g(z)+\cdots,\nr
& = \frac{1}{z-\mathcal{H}_0-\V g(z)\V },
 \tag{4}\label{eq:dyson2}
\end{align}
```

となって，

```math
\begin{align}
\Sigma(z) = \V g(z) \V,
 \tag{5}\label{eq:vgv}
\end{align}
```

であることがわかる．
また，特定のエネルギ範囲の状態だけ扱えば十分ということはよくあることで，
その有効空間以外の空間 (環境と呼ぶことにする) からの影響を全て$\Sigma(z)$に押し付けることでも有効リゾルベント__($\ref{eq:r1}$)__の形が得られる．
これはしばしば__($\ref{eq:vgv}$)__に似たような形で得られる．
例えば，$\V$が有効空間$\set{\ket{a}}$と環境$\set{\ket{\alpha}}$をつなぐ役割を果たしている場合[^2]で__($\ref{eq:vgv}$)__の形を考えてみると，
自己エネルギ演算子の行列表示は

```math
\begin{align}
\braket{a|\Sigma(z)|a'} = \sum_{\alpha\alpha'} \braket{a|\V|\alpha}\braket{\alpha| g(z)|\alpha'}\braket{\alpha'|\V|a'},
\end{align}
```

であって，環境の情報は全て$\Sigma(z)$に押し付けられていることがわかる．
環境の次元が仮に無限だったとしても，考えればよいのは有効空間だけであるから，
($\Sigma(z)$の行列が得られることを前提とするが) 甚だ問題が簡単化されていることがわかる．

ただし，その代償として有効ハミルトニアンが$\mathcal{H}_0+\Sigma(z)$のように$z$依存性を持つことになる上，Hermiteでなくなることもある．

もっとも，Hermite性が失われるのは環境がもたらす最も重要な効果の1つであり，不可逆現象の理論で中心的役割を果たすことになる．
有効ハミルトニアンは$\mathcal{H}_0$に$\Sigma(z)$を加えたものであるから，有効空間の性質を議論する上でも重要である．

もう1つ重要な見方がある．
以上の順序では，最初に$G(z)$があって，それに対する近似から$\Sigma(z)$が得られるように見えるが，
逆に最初に$\Sigma(z)$を与えることで$G(z)$が求められる，と考えることも可能である．
この考え方は保存近似と呼ばれる枠組みを構成する際に特に重要になる．

だらだらと書いたが，とにかく自己エネルギの概念は重要であるから，
その性質を調べるということである．

## 自己エネルギ演算子の解析的性質

$G(z)$と$g(z)$はいずれも実軸を除いた全域で正則である．すなわち，Cauchy--Riemannの方程式：

```math
\begin{align}
\frac{\partial G(z)}{\partial z^*}& = 0\for{\Im z\neq 0},\\
\frac{\partial g(z)}{\partial z^*}& = 0\for{\Im z\neq 0},
\end{align}
```

を満たす．一方，__($\ref{eq:r1}$)__より$\Sigma(z)$は

```math
\begin{align}
G(z) = g(z)+g(z)\Sigma(z)G(z),
\end{align}
```

を満たすのだから，両辺を$z^*$で偏微分して

```math
\begin{align}
0 = g(z)\frac{\partial\Sigma(z)}{\partial z^*}G(z)\for{\Im z\neq 0},
\end{align}
```

を得る．すなわち

```math
\begin{align}
\frac{\partial\Sigma(z)}{\partial z^*} = 0\for{\Im z\neq 0},
\end{align}
```

であって，$g(z), G(z)$と同様に実軸以外の領域で正則であることがわかる．
遅延 (先進) Green関数と同様に，遅延 (先進) 自己エネルギを次式で定義しよう：

```math
\begin{align}
\Sigma^\mathrm{r}(\omega): = \lim_{\delta\searrow 0}\Sigma(\omega+\I\delta),\\
\Sigma^\mathrm{a}(\omega): = \lim_{\delta\searrow 0}\Sigma(\omega-\I\delta).
\end{align}
```

これらがKramers--Kronigの関係式：

```math
\begin{align}
\Sigma^\mathrm{r}(\omega)& = -\frac{1}{\I\pi}\dashint\D\omega'\frac{\Sigma^\mathrm{r}(\omega')}{\omega-\omega'},\\
\Sigma^\mathrm{a}(\omega)& = \frac{1}{\I\pi}\dashint\D\omega'\frac{\Sigma^\mathrm{a}(\omega')}{\omega-\omega'},
\end{align}
```

を満たすことはもはや当たり前に見えるであろう (see: [状態密度とリゾルベント，及び遅延・先進Green関数](https://qiita.com/MiuraB/items/9f648c1bfee123bc094c))．

次に自己エネルギ演算子の虚部を調べてみよう．
演算子$A$の「虚部」をとる演算を次式で定義する：

```math
\begin{align}
\Im A: = \frac{1}{2\I}\left(A-A^\dagger\right).
\end{align}
```

この意味で$G(\omega+\I\delta), \delta > 0$の虚部を取ってみよう．
まず__($\ref{eq:GZ}$)__を使うと

```math
\begin{align}
\Im G(\omega+\I\delta) = 
-
\frac{\delta}{(\omega-\mathcal{H})^2+\delta^2},
\end{align}
```

となる．従って一般に上式の対角成分は非正である：

```math
\begin{align}
\braket{a|\Im G(\omega+\I\delta)|a} = 
-
\Braket{a\|\frac{\delta}{(\omega-\mathcal{H})^2+\delta^2}\|a}
 = 
-
\sum_n
\abs{\braket{a|n}}^2
\frac{\delta}{(\omega-E_n)^2+\delta^2}
\le 0
,
\end{align}
```

ここで$\ket{a}$は任意のケットであり，$\ket{n}$は$\mathcal{H}\ket{n} = E_n\ket{n}$を満たすものとした．
今度は__($\ref{eq:r1}$)__を用いると，

```math
\begin{align}
\Im G(\omega+\I\delta)
 = 
\frac{1}{\omega-\I\delta-\mathcal{H}_0-\Sigma(\omega+\I\delta)^\dagger}
[\Im\Sigma(\omega+\I\delta)-\delta]
\frac{1}{\omega+\I\delta-\mathcal{H}_0-\Sigma(\omega+\I\delta)}
,
\end{align}
```

であるから，上式の対角成分は

```math
\begin{align}
\braket{a|\Im G(\omega+\I\delta)|a}
 = 
\Braket{a\|
\frac{1}{\omega-\I\delta-\mathcal{H}_0-\Sigma(\omega+\I\delta)^\dagger}
[\Im\Sigma(\omega+\I\delta)-\delta]
\frac{1}{\omega+\I\delta-\mathcal{H}_0-\Sigma(\omega+\I\delta)}
\|a}
 = 
(\phi_a|\phi_a)\braket{\phi_a|[\Im\Sigma(\omega+\I\delta)-\delta]|\phi_a},
\end{align}
```

である．ここで

```math
\begin{align}
|\phi_a)&: = 
\frac{1}{\omega+\I\delta-\mathcal{H}_0-\Sigma(\omega+\I\delta)}\ket{a},\\
\ket{\phi_a}&: = |\phi_a)\frac{1}{\sqrt{(\phi_a|\phi_a)}},
\end{align}
```

を定義した (丸括弧は規格化されていないことを意味する)．$\braket{a|\Im G^\mathrm{r}(\omega)|a} \le 0$と$(\phi_a|\phi_a) > 0$より
$0 \ge \braket{\phi_a|[\Im\Sigma(\omega+\I\delta)-\delta]|\phi_a} = \braket{\phi_a|\Im\Sigma(\omega+\I\delta)|\phi_a}-\delta$であることがわかる．$\ket{a}$は任意だったので$\ket{\phi_a}$も任意であり，これを改めて$\ket{a}$とおくと

```math
\begin{align}
\braket{a|[\Im\Sigma(\omega+\I\delta)|a}\le \delta,
\end{align}
```

であることがわかる．したがって$\Im\Sigma^\mathrm{r}(\omega)$の対角成分も非正であることが結論される：

```math
\begin{align}
\braket{a|\Im\Sigma^\mathrm{r}(\omega)|a}\le 0.
\end{align}
```

同様に，先進自己エネルギは

```math
\begin{align}
\braket{a|\Sigma^\mathrm{a}(\omega)|a}\ge 0,
\end{align}
```

となる．

[^1]: はじめは，1次の項は落とすのに2次の項は残す，といった扱いに違和感を感じるかもしれない．そういうときは，各項を並べ替えて __(偶数次の項の和)+(奇数次の項の和)__と考えると良い．この2つの和の大きさを比較したとき，どちらが支配的か，あるいはコンパラなのかは問題によるが，今の場合は __(奇数次の項の和)__ が無視できるような場合を考えている．1つ1つの項の大小を考えているわけではない点に注意．Green関数法ではこのように各項を「タイプ」で分類して近似を考えることがよくある．

[^2]: 有効空間内部での行列要素と，環境内部での行列要素はゼロとし：$\braket{a|\V|a'}=\braket{\alpha|\V|\alpha'}=0$，それぞれを繋ぐ要素だけが有限とする．