量子ゲートの時間発展

## この記事に関して
ここでは量子ゲートの時間発展演算子について説明します。

### 時間発展演算子
量子状態が時間によって変化することを時間発展と言います。
QAOAではこの時間発展の性質を多々使います。

#### シュレディンガー方程式
今回は時間に依存しないハミルトニアンを $H$ を考えます。
このとき量子状態は以下の式に従って変化します。

``` math
-i \frac{\partial}{\partial t}\left|\psi(t)\right> = H\left|\psi(t)\right>
```
すなわち $\left|\psi(t)\right>$ は次のように求めることができます。

``` math
\left|\psi(t)\right> = e^{-iHt}\left|\psi(0)\right>
```
この $e^{iHt}$ を時間発展演算子と言います。

### X, Y, Z ゲート
$e^{-iX\theta}$ を考えるために、マクローリン展開をします。

``` math
e^{-iX\theta} = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-i\theta)^n}{n!}X^n =
\sum_{m=0}^{\infty}\frac{(-1)^m}{2m!}\theta^{2m}I -i
\sum_{m=0}^{\infty}\frac{(-1)^{m}}{(2m+1)!}\theta^{2m+1}X \\
= \cos(\theta)I -i\sin(\theta)X
```
これを行列で表すと

``` math
e^{-iX\theta} = \left(\begin{array}{cc}
\cos(\theta) & -i\sin(\theta) \\
-i\sin(\theta) & \cos(\theta)
\end{array}\right) = Rx(\theta)
```
$e^{iY\theta}, e^{iZ\theta}$ も同じように計算でき以下のようになります。

``` math
e^{-iY\theta} = \cos(\theta)I -i\sin(\theta)Y = Ry(\theta) \\
e^{-iZ\theta} = \cos(\theta)I -i\sin(\theta)Z = Rz(\theta)
```
これからわかるように $X, Y, Z$ ゲートの時間発展は各軸による回転ゲートを表しており、
状態がその軸に従って回転するのが分かります。

### XX, YY, ZZ ゲート
$XX, YY, ZZ$ ゲートでも同じように時間発展を考えます。
(上の演算子 $A, B$ について $AB$ は $A\otimes B$ を表します。)

#### X, Y ゲートと指数行列の対角化
量子ゲートに関して次の等式が成り立ちます。

``` math
X = HZH, \ Y = SXS^{\dagger} = (SH)Z(HS^{\dagger})
```
$X, Y$ ゲートが $Z$ で書き直せました。(対角化)
また、一般的に指数行列は

``` math
e^{UAU^{\dagger}} = U e^A U^{\dagger}
```
が成立します。

#### Rzz ゲート

``` math
Rzz(\theta) := e^{-iZZ\theta} = \cos(\theta) I\otimes I - i\sin(\theta) Z \otimes Z = CX\cdot (I\otimes Rz(\theta))\cdot CX \\
```
行列で表すと以下のようになります。

``` math
Rzz(\theta) = \left(\begin{array}{cccc}
e^{\frac{\theta}{2}i} &0&0&0\\
0& e^{-\frac{\theta}{2}i} &0&0\\
0&0& e^{-\frac{\theta}{2}i} &0\\
0&0&0& e^{\frac{\theta}{2}i}
\end{array}\right),\ 
\left\{\begin{array}{c}
Rzz(\theta)\left|00\right> = e^{\frac{\theta}{2}i}\left|00\right>\\
Rzz(\theta)\left|01\right> = e^{-\frac{\theta}{2}i}\left|01\right>\\
Rzz(\theta)\left|10\right> = e^{-\frac{\theta}{2}i}\left|10\right>\\
Rzz(\theta)\left|11\right> = e^{\frac{\theta}{2}i}\left|11\right>
\end{array}\right.
```
#### Rxx ゲート

```math
Rxx(\theta) := e^{-iXX\theta} = 
\cos(\theta) I\otimes I - i\sin(\theta) X \otimes X \\
= e^{i(HH)(ZZ)(HH)\theta} = (H\otimes H)e^{iZZ\theta}(H\otimes H)\\
= (H\otimes H)\cdot CX\cdot (I\otimes Rz(\theta))\cdot CX\cdot (H\otimes H)
```
行列で表すと以下のようになります。

``` math
Rxx(\theta) = \left(\begin{array}{cccc}
\cos\theta &0&0&-i\sin\theta\\
0& \cos\theta &-i\sin\theta&0\\
0&-i\sin\theta& \cos\theta &0\\
-i\sin\theta&0&0& \cos\theta
\end{array}\right)\\
```
また各ビットへの対応は

``` math
Rxx(\theta)\left|00\right> =
\cos\theta\left|00\right>-i\sin\theta\left|11\right>\ ,\ 
Rxx(\theta)\left|01\right> =
\cos\theta\left|01\right>-i\sin\theta\left|10\right>\\
Rxx(\theta)\left|10\right> =
\cos\theta\left|10\right>-i\sin\theta\left|01\right>\ ,\ 
Rxx(\theta)\left|11\right> =
\cos\theta\left|11\right>-i\sin\theta\left|00\right>
```

#### Ryy ゲート

``` math
Ryy(\theta) := e^{-iYY\theta} = 
\cos(\theta) I\otimes I - i\sin(\theta) Y \otimes Y \\
= e^{-i(SH\otimes SH)(ZZ)(HS^{\dagger}\otimes HS^{\dagger})\theta} = 
(SH\otimes SH)e^{-iZZ\theta}(HS^{\dagger}\otimes HS^{\dagger})\\
= (SH\otimes SH)\cdot CX\cdot (I\otimes Rz(\theta))\cdot CX\cdot (HS^{\dagger}\otimes HS^{\dagger})
```
行列で表すと以下のようになります。

``` math
Ryy(\theta) = \left(\begin{array}{cccc}
\cos\theta &0&0&i\sin\theta\\
0& \cos\theta &-i\sin\theta&0\\
0&-i\sin\theta& \cos\theta &0\\
i\sin\theta&0&0& \cos\theta
\end{array}\right)
```
また各ビットへの対応は

``` math
Ryy(\theta)\left|00\right> =
\cos\theta\left|00\right>+i\sin\theta\left|11\right>\ ,\ 
Ryy(\theta)\left|01\right> =
\cos\theta\left|01\right>+i\sin\theta\left|10\right>\\
Ryy(\theta)\left|10\right> =
\cos\theta\left|10\right>+i\sin\theta\left|01\right>\ ,\ 
Ryy(\theta)\left|11\right> =
\cos\theta\left|11\right>+i\sin\theta\left|00\right>
```

### Rxx, Ryy, Rzz の意味
$X, Y, Z$ ゲートの時間発展は量子状態の各軸の回転を表しました。
従って $Rx, Ry, Rz$ と Rotation-ゲートとなっています。

1ビット状態の回転は $\left|0\right>, \left|1\right>$ の2つの状態を基準に表しています。
同じように $XX, YY, ZZ$ の時間発展もある2つの状態を基準に回転を表しています。

例えば $Rxx$ は $\left|00\right>, \left|11\right>$ または $\left|01\right>, \left|10\right>$ の組みの回転を考えることができます。
従って $Rxx, Ryy, Rzz$ と Rotation-ゲートとなっています。

## まとめ
今回は時間発展演算子について説明しました。

## 参考文献
Quantum logic gate
https://en.wikipedia.org/wiki/Quantum_logic_gate