RでProject Euler (Problem 11~20)

[Problem 1~10](https://qiita.com/Rigel_/items/8ae0861657284cd5cfd4)
[Problem 21~30](https://qiita.com/Rigel_/items/215f1e27d7c59384f5ee)

# Problem 11 「格子内の最大の積」

>下の 20×20 の格子のうち, 斜めに並んだ4つの数字が赤くマークされている.
08 02 22 97 38 15 00 40 00 75 04 05 07 78 52 12 50 77 91 08
49 49 99 40 17 81 18 57 60 87 17 40 98 43 69 48 04 56 62 00
81 49 31 73 55 79 14 29 93 71 40 67 53 88 30 03 49 13 36 65
52 70 95 23 04 60 11 42 69 24 68 56 01 32 56 71 37 02 36 91
22 31 16 71 51 67 63 89 41 92 36 54 22 40 40 28 66 33 13 80
24 47 32 60 99 03 45 02 44 75 33 53 78 36 84 20 35 17 12 50
32 98 81 28 64 23 67 10 <font color="Red">26</font> 38 40 67 59 54 70 66 18 38 64 70
67 26 20 68 02 62 12 20 95 <font color="Red">63</font> 94 39 63 08 40 91 66 49 94 21
24 55 58 05 66 73 99 26 97 17 <font color="Red">78</font> 78 96 83 14 88 34 89 63 72
21 36 23 09 75 00 76 44 20 45 35 <font color="Red">14</font> 00 61 33 97 34 31 33 95
78 17 53 28 22 75 31 67 15 94 03 80 04 62 16 14 09 53 56 92
16 39 05 42 96 35 31 47 55 58 88 24 00 17 54 24 36 29 85 57
86 56 00 48 35 71 89 07 05 44 44 37 44 60 21 58 51 54 17 58
19 80 81 68 05 94 47 69 28 73 92 13 86 52 17 77 04 89 55 40
04 52 08 83 97 35 99 16 07 97 57 32 16 26 26 79 33 27 98 66
88 36 68 87 57 62 20 72 03 46 33 67 46 55 12 32 63 93 53 69
04 42 16 73 38 25 39 11 24 94 72 18 08 46 29 32 40 62 76 36
20 69 36 41 72 30 23 88 34 62 99 69 82 67 59 85 74 04 36 16
20 73 35 29 78 31 90 01 74 31 49 71 48 86 81 16 23 57 05 54
01 70 54 71 83 51 54 69 16 92 33 48 61 43 52 01 89 19 67 48
それらの数字の積は 26 × 63 × 78 × 14 = 1788696 となる.
上の 20×20 の格子のうち, 上下左右斜めのいずれかの方向で連続する4つの数字の積のうち最大のものはいくつか?

"連続する4つの数字の積"ということなので、embedを使う。
ただし、列や行をまたがないように、0を挟む。
斜めも同様に0を挟んでいい感じに変形する。

```R
m = "
08 02 22 97 38 15 00 40 00 75 04 05 07 78 52 12 50 77 91 08
49 49 99 40 17 81 18 57 60 87 17 40 98 43 69 48 04 56 62 00
81 49 31 73 55 79 14 29 93 71 40 67 53 88 30 03 49 13 36 65
52 70 95 23 04 60 11 42 69 24 68 56 01 32 56 71 37 02 36 91
22 31 16 71 51 67 63 89 41 92 36 54 22 40 40 28 66 33 13 80
24 47 32 60 99 03 45 02 44 75 33 53 78 36 84 20 35 17 12 50
32 98 81 28 64 23 67 10 26 38 40 67 59 54 70 66 18 38 64 70
67 26 20 68 02 62 12 20 95 63 94 39 63 08 40 91 66 49 94 21
24 55 58 05 66 73 99 26 97 17 78 78 96 83 14 88 34 89 63 72
21 36 23 09 75 00 76 44 20 45 35 14 00 61 33 97 34 31 33 95
78 17 53 28 22 75 31 67 15 94 03 80 04 62 16 14 09 53 56 92
16 39 05 42 96 35 31 47 55 58 88 24 00 17 54 24 36 29 85 57
86 56 00 48 35 71 89 07 05 44 44 37 44 60 21 58 51 54 17 58
19 80 81 68 05 94 47 69 28 73 92 13 86 52 17 77 04 89 55 40
04 52 08 83 97 35 99 16 07 97 57 32 16 26 26 79 33 27 98 66
88 36 68 87 57 62 20 72 03 46 33 67 46 55 12 32 63 93 53 69
04 42 16 73 38 25 39 11 24 94 72 18 08 46 29 32 40 62 76 36
20 69 36 41 72 30 23 88 34 62 99 69 82 67 59 85 74 04 36 16
20 73 35 29 78 31 90 01 74 31 49 71 48 86 81 16 23 57 05 54
01 70 54 71 83 51 54 69 16 92 33 48 61 43 52 01 89 19 67 48"
m = as.matrix(read.csv(textConnection(m), sep=" ", header=FALSE))
n = nrow(m)
ans = max(apply(embed(c(rbind(m, 0)), 4), 1, prod))
ans = max(apply(embed(c(rbind(t(m), 0)), 4), 1, prod), ans)
ans = max(apply(embed(c(t(matrix(head(c(rbind(m, matrix(0, nrow=n, ncol=n))), -n), ncol=n))), 4), 1, prod), ans)
ans = max(apply(embed(c(t(matrix(c(rep(0, n-1), rbind(m, matrix(0, nrow=n-2, ncol=n)), 0), ncol=n))), 4), 1, prod), ans)
print(ans)
```

# Problem 12 「高度整除三角数」

> 三角数の数列は自然数の和で表わされ, 7番目の三角数は$1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 = 28$である. 三角数の最初の10項は:
$1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, ...$
となる.
最初の7項について, その約数を列挙すると, 以下のとおり.
$ 1: 1$
$ 3: 1,3$
$ 6: 1,2,3,6$
$10: 1,2,5,10$
$15: 1,3,5,15$
$21: 1,3,7,21$
$28: 1,2,4,7,14,28$
これから, 7番目の三角数である28は, 5個より多く約数をもつ最初の三角数であることが分かる.
では, 500個より多く約数をもつ最初の三角数はいくつか.

$n$番目の三角数は$n(n+1)/2$と書くことができる。
$n$と$n+1$は互いに素であり、どちらかは必ず偶数で2で割ることができる。
なので、
　・$n$が偶数のとき：$n/2$と$n+1$の約数の積
　・$n$が奇数のとき：$n$と$(n+1)/2$の約数の積
が求めたい$n$番目の三角数の約数の数である。

自然数$N\ (N\geq4)$の約数の数は、$N$を$2, 3, ...,  \lfloor N/2 \rfloor$で割り切れる数$+2$で求まる

```R
n = n1 = n2 = d1 = d2 = 1
while(d1*d2<500){
  n = n + 1
  d2 = d1
  n2 = n1
  n1 = ifelse(n%%2==0, n/2, n)
  d1 = sum(n1%%(2:(n1/2))==0)+2
}
ans = n1 * n2
print(ans)
```

# Problem 13 「大きな数の足し算」

>以下の50桁の数字100個の合計の上から10桁を求めなさい。
37107287533902102798797998220837590246510135740250
46376937677490009712648124896970078050417018260538
74324986199524741059474233309513058123726617309629
91942213363574161572522430563301811072406154908250
23067588207539346171171980310421047513778063246676
89261670696623633820136378418383684178734361726757
28112879812849979408065481931592621691275889832738
44274228917432520321923589422876796487670272189318
47451445736001306439091167216856844588711603153276
70386486105843025439939619828917593665686757934951
62176457141856560629502157223196586755079324193331
64906352462741904929101432445813822663347944758178
92575867718337217661963751590579239728245598838407
58203565325359399008402633568948830189458628227828
80181199384826282014278194139940567587151170094390
35398664372827112653829987240784473053190104293586
86515506006295864861532075273371959191420517255829
71693888707715466499115593487603532921714970056938
54370070576826684624621495650076471787294438377604
53282654108756828443191190634694037855217779295145
36123272525000296071075082563815656710885258350721
45876576172410976447339110607218265236877223636045
17423706905851860660448207621209813287860733969412
81142660418086830619328460811191061556940512689692
51934325451728388641918047049293215058642563049483
62467221648435076201727918039944693004732956340691
15732444386908125794514089057706229429197107928209
55037687525678773091862540744969844508330393682126
18336384825330154686196124348767681297534375946515
80386287592878490201521685554828717201219257766954
78182833757993103614740356856449095527097864797581
16726320100436897842553539920931837441497806860984
48403098129077791799088218795327364475675590848030
87086987551392711854517078544161852424320693150332
59959406895756536782107074926966537676326235447210
69793950679652694742597709739166693763042633987085
41052684708299085211399427365734116182760315001271
65378607361501080857009149939512557028198746004375
35829035317434717326932123578154982629742552737307
94953759765105305946966067683156574377167401875275
88902802571733229619176668713819931811048770190271
25267680276078003013678680992525463401061632866526
36270218540497705585629946580636237993140746255962
24074486908231174977792365466257246923322810917141
91430288197103288597806669760892938638285025333403
34413065578016127815921815005561868836468420090470
23053081172816430487623791969842487255036638784583
11487696932154902810424020138335124462181441773470
63783299490636259666498587618221225225512486764533
67720186971698544312419572409913959008952310058822
95548255300263520781532296796249481641953868218774
76085327132285723110424803456124867697064507995236
37774242535411291684276865538926205024910326572967
23701913275725675285653248258265463092207058596522
29798860272258331913126375147341994889534765745501
18495701454879288984856827726077713721403798879715
38298203783031473527721580348144513491373226651381
34829543829199918180278916522431027392251122869539
40957953066405232632538044100059654939159879593635
29746152185502371307642255121183693803580388584903
41698116222072977186158236678424689157993532961922
62467957194401269043877107275048102390895523597457
23189706772547915061505504953922979530901129967519
86188088225875314529584099251203829009407770775672
11306739708304724483816533873502340845647058077308
82959174767140363198008187129011875491310547126581
97623331044818386269515456334926366572897563400500
42846280183517070527831839425882145521227251250327
55121603546981200581762165212827652751691296897789
32238195734329339946437501907836945765883352399886
75506164965184775180738168837861091527357929701337
62177842752192623401942399639168044983993173312731
32924185707147349566916674687634660915035914677504
99518671430235219628894890102423325116913619626622
73267460800591547471830798392868535206946944540724
76841822524674417161514036427982273348055556214818
97142617910342598647204516893989422179826088076852
87783646182799346313767754307809363333018982642090
10848802521674670883215120185883543223812876952786
71329612474782464538636993009049310363619763878039
62184073572399794223406235393808339651327408011116
66627891981488087797941876876144230030984490851411
60661826293682836764744779239180335110989069790714
85786944089552990653640447425576083659976645795096
66024396409905389607120198219976047599490197230297
64913982680032973156037120041377903785566085089252
16730939319872750275468906903707539413042652315011
94809377245048795150954100921645863754710598436791
78639167021187492431995700641917969777599028300699
15368713711936614952811305876380278410754449733078
40789923115535562561142322423255033685442488917353
44889911501440648020369068063960672322193204149535
41503128880339536053299340368006977710650566631954
81234880673210146739058568557934581403627822703280
82616570773948327592232845941706525094512325230608
22918802058777319719839450180888072429661980811197
77158542502016545090413245809786882778948721859617
72107838435069186155435662884062257473692284509516
20849603980134001723930671666823555245252804609722
53503534226472524250874054075591789781264330331690

ある数$n$の桁数は$\log_{10}{n}+1$で求まる。
これを利用して上から10桁を求める。

```R
v = "37107287533902102798797998220837590246510135740250
46376937677490009712648124896970078050417018260538
74324986199524741059474233309513058123726617309629
91942213363574161572522430563301811072406154908250
23067588207539346171171980310421047513778063246676
89261670696623633820136378418383684178734361726757
28112879812849979408065481931592621691275889832738
44274228917432520321923589422876796487670272189318
47451445736001306439091167216856844588711603153276
70386486105843025439939619828917593665686757934951
62176457141856560629502157223196586755079324193331
64906352462741904929101432445813822663347944758178
92575867718337217661963751590579239728245598838407
58203565325359399008402633568948830189458628227828
80181199384826282014278194139940567587151170094390
35398664372827112653829987240784473053190104293586
86515506006295864861532075273371959191420517255829
71693888707715466499115593487603532921714970056938
54370070576826684624621495650076471787294438377604
53282654108756828443191190634694037855217779295145
36123272525000296071075082563815656710885258350721
45876576172410976447339110607218265236877223636045
17423706905851860660448207621209813287860733969412
81142660418086830619328460811191061556940512689692
51934325451728388641918047049293215058642563049483
62467221648435076201727918039944693004732956340691
15732444386908125794514089057706229429197107928209
55037687525678773091862540744969844508330393682126
18336384825330154686196124348767681297534375946515
80386287592878490201521685554828717201219257766954
78182833757993103614740356856449095527097864797581
16726320100436897842553539920931837441497806860984
48403098129077791799088218795327364475675590848030
87086987551392711854517078544161852424320693150332
59959406895756536782107074926966537676326235447210
69793950679652694742597709739166693763042633987085
41052684708299085211399427365734116182760315001271
65378607361501080857009149939512557028198746004375
35829035317434717326932123578154982629742552737307
94953759765105305946966067683156574377167401875275
88902802571733229619176668713819931811048770190271
25267680276078003013678680992525463401061632866526
36270218540497705585629946580636237993140746255962
24074486908231174977792365466257246923322810917141
91430288197103288597806669760892938638285025333403
34413065578016127815921815005561868836468420090470
23053081172816430487623791969842487255036638784583
11487696932154902810424020138335124462181441773470
63783299490636259666498587618221225225512486764533
67720186971698544312419572409913959008952310058822
95548255300263520781532296796249481641953868218774
76085327132285723110424803456124867697064507995236
37774242535411291684276865538926205024910326572967
23701913275725675285653248258265463092207058596522
29798860272258331913126375147341994889534765745501
18495701454879288984856827726077713721403798879715
38298203783031473527721580348144513491373226651381
34829543829199918180278916522431027392251122869539
40957953066405232632538044100059654939159879593635
29746152185502371307642255121183693803580388584903
41698116222072977186158236678424689157993532961922
62467957194401269043877107275048102390895523597457
23189706772547915061505504953922979530901129967519
86188088225875314529584099251203829009407770775672
11306739708304724483816533873502340845647058077308
82959174767140363198008187129011875491310547126581
97623331044818386269515456334926366572897563400500
42846280183517070527831839425882145521227251250327
55121603546981200581762165212827652751691296897789
32238195734329339946437501907836945765883352399886
75506164965184775180738168837861091527357929701337
62177842752192623401942399639168044983993173312731
32924185707147349566916674687634660915035914677504
99518671430235219628894890102423325116913619626622
73267460800591547471830798392868535206946944540724
76841822524674417161514036427982273348055556214818
97142617910342598647204516893989422179826088076852
87783646182799346313767754307809363333018982642090
10848802521674670883215120185883543223812876952786
71329612474782464538636993009049310363619763878039
62184073572399794223406235393808339651327408011116
66627891981488087797941876876144230030984490851411
60661826293682836764744779239180335110989069790714
85786944089552990653640447425576083659976645795096
66024396409905389607120198219976047599490197230297
64913982680032973156037120041377903785566085089252
16730939319872750275468906903707539413042652315011
94809377245048795150954100921645863754710598436791
78639167021187492431995700641917969777599028300699
15368713711936614952811305876380278410754449733078
40789923115535562561142322423255033685442488917353
44889911501440648020369068063960672322193204149535
41503128880339536053299340368006977710650566631954
81234880673210146739058568557934581403627822703280
82616570773948327592232845941706525094512325230608
22918802058777319719839450180888072429661980811197
77158542502016545090413245809786882778948721859617
72107838435069186155435662884062257473692284509516
20849603980134001723930671666823555245252804609722
53503534226472524250874054075591789781264330331690"
ans = sum(lapply(strsplit(v, "\n"), as.numeric)[[1]])
ans = ans%/%10^(floor(log10(ans))-9)
print(ans)
```

# Problem 14 「最長のコラッツ数列」

>正の整数に以下の式で繰り返し生成する数列を定義する.
$n → n/2$ (n が偶数)
$n → 3n + 1$ (n が奇数)
$13$からはじめるとこの数列は以下のようになる.
$13 → 40 → 20 → 10 → 5 → 16 → 8 → 4 → 2 → 1$
$13$から$1$まで10個の項になる. この数列はどのような数字からはじめても最終的には$1$になると考えられているが, まだそのことは証明されていない(コラッツ問題)
さて, 100万未満の数字の中でどの数字からはじめれば最長の数列を生成するか.
注意: 数列の途中で100万以上になってもよい

愚直に再帰で実装する。一度計算したものは再度計算しない。
3秒ほどかかる。うまく高速化する方法が分からなかった。

```R
limit = 10^6-1
collatz = function(n){
  if(n%%2==0) nn = n / 2
  else nn = 3 * n + 1
  if(!is.na(v[nn])){
    c_n = v[nn] + 1
  }
  else{
    c_n = collatz(nn)+1
  }
  if(n <= limit) v[n] <<- c_n
  return(c_n)
}
v = rep(NA, limit)
v[1] = 1
for(n in 2:limit){
  if(is.na(v[n])){
    collatz(n)
  }
}
ans = which.max(v)
print(ans)
```

# Problem 15 「格子経路」

> 2×2 のマス目の左上からスタートした場合, 引き返しなしで右下にいくルートは 6 つある.
では, 20×20 のマス目ではいくつのルートがあるか.

組み合わせの場合の数を使う。

```R
ans = choose(20+20, 20)
print(ans)
```

# Problem 16 「各位の数字の和」

>$2^{15} = 32768$であり, 各位の数字の和は$3 + 2 + 7 + 6 + 8 = 26$となる.
同様にして,$2^{1000}$の各位の数字の和を求めよ.
注: Problem 20 も各位の数字の和に関する問題です。解いていない方は解いてみてください。

そのまま$2^{1000}$を計算するとオーバーフローして正しい値が計算できない。
そのため、1桁ずつ分割したベクトルで計算する。
うまく計算する方法があるような気がするが思いつかなかった。

```R
ans = 1
for(i in 1:1000){
  ans = ans * 2
  a = 0
  for(j in 1:length(ans)){
    ans[j] = ans[j] + a
    a = ans[j]%/%10
    ans[j] = ans[j]%%10
  }
  while(a > 0){
    ans = c(ans, a%%10)
    a = a%/%10
  }
}
ans = sum(ans)
print(ans)
```

# Problem 17 「数字の文字数」

>$1$から$5$までの数字を英単語で書けば one, two, three, four, five であり, 全部で$3 + 3 + 5 + 4 + 4 = 19$の文字が使われている.
では$1$から$1000$(one thousand) までの数字をすべて英単語で書けば, 全部で何文字になるか.
注: 空白文字やハイフンを数えないこと. 例えば,$342$(three hundred and forty-two) は 23 文字,$115$(one hundred and fifteen) は20文字と数える. なお, "and" を使用するのは英国の慣習.

地道に数える。$1000$を忘れないようにする。

```R
n1 = sum(nchar(c("one", "two", "three", "four", "five", "six", "seven", "eight", "nine")))
n2 = sum(nchar(c("ten", "eleven", "twelve", "thirteen", "fourteen", "fifteen", "sixteen", "seventeen", "eighteen", "nineteen")))
n3 = sum(nchar(c("twenty", "thirty", "forty", "fifty", "sixty", "seventy", "eighty", "ninety")))
n4 = n1*9 + n2 + n3*10 # 1~99
n5 = n1 + nchar("hundred")*9 # 100, 200, ..., 900
n6 = n5*99 + nchar("and")*99*9 + n4*9 # 101, 102, ..., 199, 201, ..., 999
ans = n4 + n5 + n6 + nchar("onethousand")
print(ans)
```

# Problem 18 「最大経路の和 その1」

>以下の三角形の頂点から下の行の隣接する数字を通って下まで移動するとき, その数値の和の最大値は23になる.
3
7 4
2 4 6
8 5 9 3
この例では 3 + 7 + 4 + 9 = 23.
以下の三角形を頂点から下まで移動するとき, その最大の和を求めよ.
75
95 64
17 47 82
18 35 87 10
20 04 82 47 65
19 01 23 75 03 34
88 02 77 73 07 63 67
99 65 04 28 06 16 70 92
41 41 26 56 83 40 80 70 33
41 48 72 33 47 32 37 16 94 29
53 71 44 65 25 43 91 52 97 51 14
70 11 33 28 77 73 17 78 39 68 17 57
91 71 52 38 17 14 91 43 58 50 27 29 48
63 66 04 68 89 53 67 30 73 16 69 87 40 31
04 62 98 27 23 09 70 98 73 93 38 53 60 04 23
注: ここではたかだか 16384 通りのルートしかないので, すべてのパターンを試すこともできる. Problem 67 は同じ問題だが100行あるので, 総当りでは解けない. もっと賢い方法が必要である.

ある数値に至るまでの経路はそれぞれ複数ある。
その中で、和が最大のものだけを覚えておけば良い。

```R
m = "75
95 64
17 47 82
18 35 87 10
20 04 82 47 65
19 01 23 75 03 34
88 02 77 73 07 63 67
99 65 04 28 06 16 70 92
41 41 26 56 83 40 80 70 33
41 48 72 33 47 32 37 16 94 29
53 71 44 65 25 43 91 52 97 51 14
70 11 33 28 77 73 17 78 39 68 17 57
91 71 52 38 17 14 91 43 58 50 27 29 48
63 66 04 68 89 53 67 30 73 16 69 87 40 31
04 62 98 27 23 09 70 98 73 93 38 53 60 04 23"
m = lapply(strsplit(m, "\n")[[1]], function(x){as.numeric(strsplit(x, " ")[[1]])})
m = do.call(rbind, lapply(m, function(x){c(x, rep(0, 15-length(x)))}))
n = matrix(0, ncol=15, nrow=15)
n[, 1] = cumsum(m[, 1])
for(i in 2:15){
  for(j in 2:i){
    n[i, j] = max(n[i-1, j-1], n[i-1, j]) + m[i, j]
  }
}
ans = max(n[15, ])
print(ans)
```

# Problem 19 「日曜日の数え上げ」

>次の情報が与えられている.
・ 1900年1月1日は月曜日である.
・ 9月, 4月, 6月, 11月は30日まであり, 2月を除く他の月は31日まである.
・ 2月は28日まであるが, うるう年のときは29日である.
・ うるう年は西暦が4で割り切れる年に起こる. しかし, 西暦が400で割り切れず100で割り切れる年はうるう年でない.
20世紀（1901年1月1日から2000年12月31日）中に月の初めが日曜日になるのは何回あるか?

7で割ったあまりで曜日を判断する。
2001年1月1日も日曜日なので、これもカウントしてしまわないように注意する。

```R
ans = 0
w = 0
for(y in 1900:2000){
  for(m in 1:12){
    if(y!=1900 & w==0) ans = ans + 1
    if(m==2)
      if(y%%400!=0 & y%%4==0) d = 29
      else d = 28
      else if(any(m==c(9, 4, 6, 11))) d = 30
      else d = 31
      w = (w + d)%%7
  }
}
print(ans)
```

# Problem 20 「各位の数字の和 2」

>$n × (n - 1) × ... × 3 × 2 × 1$を$n!$と表す.
例えば,$10! = 10 × 9 × ... × 3 × 2 × 1 = 3628800$となる.
この数の各桁の合計は$3 + 6 + 2 + 8 + 8 + 0 + 0 = 27$である.
では,$100!$の各位の数字の和を求めよ.
注: Problem 16 も各位の数字の和に関する問題です。解いていない方は解いてみてください。

Problem 16とほぼ同じコードで計算できる。

```R
ans = 1
for(i in 1:100){
  ans = ans * i
  a = 0
  for(j in 1:length(ans)){
    ans[j] = ans[j] + a
    a = ans[j]%/%10
    ans[j] = ans[j]%%10
  }
  while(a > 0){
    ans = c(ans, a%%10)
    a = a%/%10
  }
}
ans = sum(ans)
print(ans)
```