【オイラーの多面体定理と正多面体】とある「球面幾何学(Spherical Geometry)」の出発点…

私に思い浮かべられる「**数理の世界**(<font color="blue">Mathematical Things Set</font>)」といえば、せいぜい「<font color="red">加算直積可能な範疇</font>(<font color="blue">Countable and Productable Set</font>)」、すなわちとりあえず**例外**(<font color="blue">Exception</font>)を切り捨てて全てが**自明の場合**(<font color="blue">Trivial Case</font>)で説明可能な**範囲**(<font color="blue">Set</font>)を**設定**(<font color="blue">Set</font>)し、その枠内をコンピューター・プログラミングによる**表現**(<font color="blue">Expression</font>)で網羅し尽すといった程度。このアプローチからの実践例の一つが以下という位置付けとなる次第…

#オイラーの多面体定理(<font color="blue">Euler's Polyhedron Theorem</font>)の援用(<font color="blue">Introduce</font>)を受けた正多面体(<font color="blue">Regular Polyhedron</font>)の作図=遷移図(<font color="blue">Transition Diagram</font>)の制定

**正多面体**(<font color="blue">Regular Polyhedron</font>)が**正四面体**(<font color="blue">Tetrahedron</font>)、**正六面体**(<font color="blue">Cube</font>)、**正八面体**(<font color="blue">Octahedron</font>)、**正十二面体**（<font color="blue">Dodecahedron</font>）、**正二十面体**(<font color="blue">Icosahedron</font>)の<font color="green">５種類</font>しか存在しない事自体の証明は比較的容易です。
[正多面体が５種類しかないことの２通りの証明](https://mathtrain.jp/seitamen5)

そしてさらにプログラミング的に**オイラーの多面体定理**(<font color="blue">Euler's Polyhedron Theorem</font>)の**概念**(<font color="blue">Concept</font>)を**導入**(<font color="blue">Introduce</font>)すると、特定の球表面に内接する（<font color="blue">すなわち全ての頂点がその球表面上に存在する</font>）これらの図形を任意の**原蹠**(<font color="blue">Portal</font>)から**対蹠**(<font color="blue">Antipodal</font>)に伸ばした**立方対角線**(<font color="blue">Cubic Diagonal</font>)を軸線としてその「<font color="red">断面ごとに現れる多角形の集合</font>」として**表現**(<font color="blue">Expression</font>)可能となるのです。
[【初心者向け】「単位円筒」から「単位球面」へ](https://qiita.com/ochimusha01/items/08f5c5ad1aba4a59a27d)
![Sphere005.gif](https://cdn-ak.f.st-hatena.com/images/fotolife/o/ochimusha01/20210125/20210125154750.gif)

##正四面体(<font color="blue">Regular Tetrahedron</font>)
**断面数**<font color="green">１</font>、**頂点分布**<font color="green">[1,3]</font>。（<font color="blue">特定の辺数が伸びる</font>）**頂点**と（<font color="blue">同数の辺数を備える</font>）**面**を交換する**双対変換操作**(<font color="blue">Dual Transformation Operation</font>)の結果が同じ**正四面体**となる**自己双対**(<font color="blue">Self Dual</font>)**立体**。
[【オイラーの多面体定理と正多面体】正四面体(Tetrahedron)と正六面体(Cube)と正八面体(Octahedron)と正二十面体(Icosahedron)の狭間。そして正十二面体（Dodecahedron）との関係について。](https://qiita.com/ochimusha01/items/5d30aab4e2e32ef9bcce)
![Tetrahedron05.gif](https://camo.qiitausercontent.com/7dc6ac330a5b39708aefce87e1c3e13ff8d56c1e/68747470733a2f2f63646e2d616b2e662e73742d686174656e612e636f6d2f696d616765732f666f746f6c6966652f6f2f6f6368696d7573686130312f32303231303132352f32303231303132353134333733382e676966)

- 全体像を俯瞰すると「(<font color="blue">外接円上に全ての頂点が存在する</font>)**正三角形**(<font color="blue">Equilateral triangles</font>)<font color="green">２枚</font><font color="green">の間の</font>**補完操作**(<font color="blue">Completion Operation</font>)<font color="red">によって生じる</font>」という考え方も出来る(<font color="blue">とりあえず不可逆的過程と考える</font>)。<br>[【オイラーの多面体定理と正多面体】正四面体(Tetrahedron)と正六面体(Cube)と正八面体(Octahedron)と正二十面体(Icosahedron)の狭間。そして正十二面体（Dodecahedron）との関係について。](https://qiita.com/ochimusha01/items/5d30aab4e2e32ef9bcce)<br>![Pretetrahedron01.gif](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/597772/8a258272-0384-e4bb-d8f3-e19e296c5db5.gif)
- <font color="red">2回曲がる</font>と原蹠に戻る。
- **正多面体**唯一の**奇数系図形**(<font color="blue">原蹠と対蹠を結ぶ対角線が１本も存在しない不安定状態</font>)であり、<font color="green">２個１対</font>で**顕現**(<font color="blue">Appearance</font>)すると考えると**断面数**<font color="green">2</font>、**頂点分布**<font color="green">[1,3,3,1]</font>。これは**パスカルの三角形**(<font color="blue">二項展開の係数の図式化</font>)<font color="green">４段目の数字</font>であり、**正六面体**（<font color="blue">Cube</font>)のそれと合致する。<br>
[【オイラーの多面体定理と正多面体】正四面体と正六面体と正八面体の連続性と「テトラパックの思わぬ正体」について。](https://qiita.com/ochimusha01/items/3356f7c805917660632c)<br>
![20200207044808.gif](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/597772/fe7a0a07-fc3f-c8fc-418b-ef57c8d8438e.gif)
- **正八面体**（<font color="blue">Regular Octahedron</font>)と組み合わせる形で**立体充填性**を備える。<br>[【オイラーの多面体定理と正多面体】正四面体と正六面体と正八面体の連続性と「テトラパックの思わぬ正体」について。](https://qiita.com/ochimusha01/items/3356f7c805917660632c)<br>![triangles004.gif](https://cdn-ak.f.st-hatena.com/images/fotolife/o/ochimusha01/20201129/20201129055848.gif)


##正六面体（<font color="blue">Cube</font>)
**断面数**<font color="green">2</font>、**頂点分布**<font color="green">[1,3,3,1]</font>で、これは上掲の様に<font color="green">パスカルの三角形４段目の数字</font>と合致。双対変換操作により**正八面体**（<font color="blue">Regular Octahedron</font>)との間を往復する。(<font color="blue">対蹠同士を結ぶ</font>)**立方対角線**は<font color="green">4本</font>で、それぞれの面に現れる**頂点分布**<font color="green">[1,2,1]</font>が<font color="green">パスカルの三角形3段目の数字</font>に合致する。
[【オイラーの多面体定理と正多面体】正方形における平方対角線(Square diagonal)と立方体における立方対角線(Cubic diagonal)の関係について。](https://qiita.com/ochimusha01/items/9d899779ff8e814beb41)
![square004.gif](https://qiita-user-contents.imgix.net/https%3A%2F%2Fcdn-ak.f.st-hatena.com%2Fimages%2Ffotolife%2Fo%2Fochimusha01%2F20201121%2F20201121223022.gif?ixlib=rb-1.2.2&auto=format&gif-q=60&q=75&w=1400&fit=max&s=3f3105fa287092825b39b75fa7a36f21)

- 上掲の様にこの立体は**正十二面体**（<font color="blue">Regular Dodecahedron</font>）同様「<font color="red">頭蹠と対蹠にそれぞれ正三角形を</font><font color="green">３枚</font><font color="red">集めた一対の奇数図形</font>(<font color="blue">不安定状態</font>)」から出発してある種の**補完操作**(<font color="blue">Completion Operation</font>)を経て**偶数図形**(<font color="blue">安定状態</font>)に到達した結果とも見て取れる(<font color="blue">とりあえず不可逆的過程と考える</font>)。<br>[【オイラーの多面体定理と正多面体】正四面体(Tetrahedron)と正六面体(Cube)と正八面体(Octahedron)と正二十面体(Icosahedron)の狭間。そして正十二面体（Dodecahedron）との関係について。](https://qiita.com/ochimusha01/items/5d30aab4e2e32ef9bcce)<br>![Tetrahedron07.gif](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/597772/9622164b-5cf0-5b1b-601f-3f09cd0d7380.gif)
- それぞれ<font color="red">立体表面上を</font>(<font color="blue">右手の法則・左手の法則的な意味で</font>)<font color="red">左右に1回ずつ直角に曲がる</font>と原蹠から対蹠に到達する(<font color="blue">5回直角に曲がると原蹠に戻る</font>)。
- 単体で**立体充填**(<font color="blue">Space filling</font>)可能な唯一の正多面体でもある。

##正八面体（<font color="blue">Regular Octahedron</font>)
**断面数**<font color="green">1</font>、**頂点分布**<font color="green">[1,4,1]</font>。双対変換操作により**正六面体**との間を往復。**立方対角線**は<font color="green">３本</font>で、それぞれの断面に現れる**頂点分布**<font color="green">[1,2,1]</font>が<font color="green">パスカルの三角形3段目の数字</font>に合致する。
[【オイラーの多面体定理と正多面体】正四面体(Tetrahedron)と正六面体(Cube)と正八面体(Octahedron)と正二十面体(Icosahedron)の狭間。そして正十二面体（Dodecahedron）との関係について。](https://qiita.com/ochimusha01/items/5d30aab4e2e32ef9bcce)
![Octahedron02.gif](https://cdn-ak.f.st-hatena.com/images/fotolife/o/ochimusha01/20210125/20210125144954.gif)

- この立体は**正六面体**や**正十二面体**同様「<font color="red">頭蹠と対蹠にそれぞれ</font>**二等辺三角形**<font color="red">を</font><font color="green">３枚</font><font color="red">あるいは正三角形を</font><font color="green">4枚</font><font color="red">集めた一対の奇数図形</font>(<font color="blue">不安定状態</font>)」から出発してある種の**補完操作**(<font color="blue">Completion Operation</font>)を経て**偶数図形**(<font color="blue">安定状態</font>)に到達した結果とも見て取れる(<font color="blue">とりあえず不可逆的過程と考える</font>)。<br>[【オイラーの多面体定理と正多面体】正四面体と正六面体と正八面体の連続性と「テトラパックの思わぬ正体」について。](https://qiita.com/ochimusha01/items/3356f7c805917660632c)<br>![Preoctahedron05.gif](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/597772/d0065268-3758-a020-90f9-7e7f32059b5b.gif)
- それぞれ<font color="red">立体表面上を直角1回に曲がる</font>と原蹠から対蹠に到達する(<font color="blue">3回直角に曲がると原蹠に戻る</font>)。
- **正四面体**と組み合わせる形で**立体充填性**を備える。

##正十二面体（<font color="blue">Regular Dodecahedron</font>）
**断面数**<font color="green">6</font>、**頂点分布**<font color="green">[1,3,6,6,3,1]</font>。**立方対角線**は<font color="green">10本</font>(<font color="blue">1+3+6</font>)。双対変換操作により**正二十面体**(<font color="blue">Regular Icosahedron</font>)との間を往復。
[【オイラーの多面体定理と正多面体】正12面体(Regular Dodecahedron)の作図について。](https://qiita.com/ochimusha01/items/9ce61d7d5a9227235b1e)
![dodecahedron002.gif](https://cdn-ak.f.st-hatena.com/images/fotolife/o/ochimusha01/20210125/20210125160959.gif)

- この立体は**正六面体**同様「<font color="red">頭蹠と対蹠にそれぞれ正三角形を</font><font color="green">３枚</font><font color="red">集めた一対の奇数図形</font>(<font color="blue">不安定状態</font>)」から出発してある種の**補完操作**(<font color="blue">Completion Operation</font>)を経て**偶数図形**(<font color="blue">安定状態</font>)に到達した結果とも見て取れる(<font color="blue">とりあえず不可逆的過程と考える</font>)。<br>[【オイラーの多面体定理と正多面体】正六面体と正十二面体の間の往復(「屋根掛け法」とは何か？)](https://qiita.com/ochimusha01/items/37e73f243a0b2f2cba9d)<br>![Twin_Polygon005.gif](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/597772/202f8a73-2259-640c-2c30-5589df8a61a4.gif)
<br>[【オイラーの多面体定理と正多面体】正12面体(Regular Dodecahedron)の作図について。](https://qiita.com/ochimusha01/items/9ce61d7d5a9227235b1e)
<br>![Rplot11.png](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/597772/a1b4fe50-4381-c0e6-a00b-70c4d99d930b.png)
- それぞれ<font color="red">立体表面上を左右に2回ずつ計5回曲がる</font>と原蹠から対蹠に最低距離で到達する(<font color="blue">11回曲がると原蹠に戻る</font>)。
- 古代ギリシャ時代より「<font color="red">内接する正六面体に屋根掛けした立体</font>」ともイメージされてきた。すなわち**正六面体**との往復性も備える。<br>[【オイラーの多面体定理と正多面体】正六面体と正十二面体の間の往復(「屋根掛け法」とは何か？)](https://qiita.com/ochimusha01/items/37e73f243a0b2f2cba9d)<br>![Rplot25.png](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/597772/bbaeb08a-31a7-08f0-f8a3-4f0b9fcfe4a3.png)
<br>![cube_in_dodecahedron19.gif](https://camo.qiitausercontent.com/fb115b9ed9701634d57eaa45648552eef34d18ef/68747470733a2f2f63646e2d616b2e662e73742d686174656e612e636f6d2f696d616765732f666f746f6c6966652f6f2f6f6368696d7573686130312f32303231303631332f32303231303631333139333830312e676966)

実は**正八面体**との往復性も備える。
[【オイラーの多面体定理と正多面体】二次元上の多角形と三次元の多面体の往復](https://qiita.com/ochimusha01/items/94cab2793d6c6a005e55)

##正二十面体（<font color="blue">Regular Icosahedron</font>）
**断面数**<font color="green">2</font>、**頂点分布**<font color="green">[1,5,5,1]</font>。**立方対角線**は<font color="green">6本</font>(<font color="blue">1+5</font>)。双対変換操作により**正十二面体**との間を往復。
[【オイラーの多面体定理と正多面体】正20面体(Regular Icosahedron)の作図について。](https://qiita.com/ochimusha01/items/d57b6dfb1114766c8eb9)
![icosahedron001.gif](https://qiita-user-contents.imgix.net/https%3A%2F%2Fcdn-ak.f.st-hatena.com%2Fimages%2Ffotolife%2Fo%2Fochimusha01%2F20210125%2F20210125162938.gif?ixlib=rb-4.0.0&auto=format&gif-q=60&q=75&s=c537d6648d806c18a199c8628fff3ea3)

- この立体は「<font color="red">頭蹠と対蹠にそれぞれ正三角形を</font><font color="green">5枚</font><font color="red">集めた一対の奇数図形</font>(<font color="blue">不安定状態</font>)」から出発してある種の**補完操作**(<font color="blue">Completion Operation</font>)を経て**偶数図形**(<font color="blue">安定状態</font>)に到達した結果とも見て取れる(<font color="blue">とりあえず不可逆的過程と考える</font>)。<br>[【オイラーの多面体定理と正多面体】正四面体(Tetrahedron)と正六面体(Cube)と正八面体(Octahedron)と正二十面体(Icosahedron)の狭間。そして正十二面体（Dodecahedron）との関係について。](https://qiita.com/ochimusha01/items/5d30aab4e2e32ef9bcce)<br>![Tetrahedron11.gif](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/597772/71dd5145-abba-20e5-36b5-95a231c79282.gif)
- **正六面体**同様、それぞれ<font color="red">立体表面上を</font>(<font color="blue">右手の法則・左手の法則的な意味で</font>)<font color="red">左右に1回ずつ曲がる</font>と原蹠から対蹠に最低距離で到達する(<font color="blue">5回直角に曲がると原蹠に戻る</font>)。

##<font color="red">【例外】</font>ただの正六角形(<font color="blue">Regular Hexagon</font>)
これまで見てきた様に**正多角形**は「<font color="red">頭蹠及び対蹠に集めた正三角形の枚数</font>」によって以下の分類が可能である。

- <font color="green">3枚</font>集めたのが**正四面体**や**正六面体**や**正十二面体**
- <font color="green">4枚</font>集めたのが**正八面体**
- <font color="green">5枚</font>集めたのが**正十二面体**

この考え方の延長線上において正三角形を6枚集めると「<font color="red">頭蹠座標=対蹠座標となる平面状態</font>」となるが、それはもはや立体ではない。
[【オイラーの多面体定理と正多面体】正四面体(Tetrahedron)と正六面体(Cube)と正八面体(Octahedron)と正二十面体(Icosahedron)の狭間。そして正十二面体（Dodecahedron）との関係について。](https://qiita.com/ochimusha01/items/5d30aab4e2e32ef9bcce)
![Tetrahedron13.gif](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/597772/73572fd8-c4cb-3346-ef9c-5fd19359afec.gif)
![Rplot22.png](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/597772/65f5aa77-620b-eaa0-20e4-4b29789f3394.png)

##正多角形状態遷移図(<font color="blue">Transition Diagram</font>)の解析(<font color="blue">Analisis</font>)
それではigraphパッケージを導入して**遷移図**(<font color="blue">有向グラフ</font>)を作成してみましょう。
![スクリーンショット 2020-05-08 12.01.05.png](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/597772/db1e9130-fd8b-caee-f6c9-f1a7143aa987.png)

```R
library(igraph)
par(mfrow=c(1,2),mar=c(3,3,3,3))
gd<-graph(c(
"Triangles","Tetrahedrons",
"Tetrahedrons","Tetrahedrons",
"Tetrahedrons","Cube",
"Tetrahedrons","Octahedron",
"Tetrahedrons","Dodecahedron",
"Cube","Octahedron",
"Octahedron","Cube",
"Cube","Dodecahedron",
"Dodecahedron","Icosahedron",
"Icosahedron","Dodecahedron",
"Tetrahedrons","One-step Pyramids",
"One-step Pyramids","Octahedron",
"One-step Pyramids","Two-steps Pyramids",
"Two-steps Pyramids","Dodecahedron",
"One-step Pyramids","Icosahedron",
"One-step Pyramids","Hexagon"
))
plot(gd,layout=layout.fruchterman.reingold,)

#入力されたデータ構造(何かバグってる？)
> str(gd)
List of 10
 $ :List of 1
  ..$ Triangles: 'igraph.vs' Named int 2
  .. ..- attr(*, "names")= chr "Tetrahedrons"
  .. ..- attr(*, "env")=<weakref> 
  .. ..- attr(*, "graph")= chr "fb9143e9-2dd1-44e9-8e62-38ffb5bb47cd"
 $ :List of 1
  ..$ Tetrahedrons: 'igraph.vs' Named int [1:5] 2 3 4 5 7
  .. ..- attr(*, "names")= chr [1:5] "Tetrahedrons" "Cube" "Octahedron" "Dodecahedron" ...
  .. ..- attr(*, "env")=<weakref> 
  .. ..- attr(*, "graph")= chr "fb9143e9-2dd1-44e9-8e62-38ffb5bb47cd"
 $ :List of 1
  ..$ Cube: 'igraph.vs' Named int [1:2] 4 5
  .. ..- attr(*, "names")= chr [1:2] "Octahedron" "Dodecahedron"
  .. ..- attr(*, "env")=<weakref> 
  .. ..- attr(*, "graph")= chr "fb9143e9-2dd1-44e9-8e62-38ffb5bb47cd"
 $ :List of 1
  ..$ Octahedron: 'igraph.vs' Named int 3
  .. ..- attr(*, "names")= chr "Cube"
  .. ..- attr(*, "env")=<weakref> 
  .. ..- attr(*, "graph")= chr "fb9143e9-2dd1-44e9-8e62-38ffb5bb47cd"
 $ :List of 1
  ..$ Dodecahedron: 'igraph.vs' Named int 6
  .. ..- attr(*, "names")= chr "Icosahedron"
  .. ..- attr(*, "env")=<weakref> 
  .. ..- attr(*, "graph")= chr "fb9143e9-2dd1-44e9-8e62-38ffb5bb47cd"
 $ :List of 1
  ..$ Icosahedron: 'igraph.vs' Named int 5
  .. ..- attr(*, "names")= chr "Dodecahedron"
  .. ..- attr(*, "env")=<weakref> 
  .. ..- attr(*, "graph")= chr "fb9143e9-2dd1-44e9-8e62-38ffb5bb47cd"
 $ :List of 1
  ..$ One-step Pyramids: 'igraph.vs' Named int [1:4] 4 6 8 9
  .. ..- attr(*, "names")= chr [1:4] "Octahedron" "Icosahedron" "Two-steps Pyramids" "Hexagon"
  .. ..- attr(*, "env")=<weakref> 
  .. ..- attr(*, "graph")= chr "fb9143e9-2dd1-44e9-8e62-38ffb5bb47cd"
 $ :List of 1
  ..$ Two-steps Pyramids: 'igraph.vs' Named int 5
  .. ..- attr(*, "names")= chr "Dodecahedron"
  .. ..- attr(*, "env")=<weakref> 
  .. ..- attr(*, "graph")= chr "fb9143e9-2dd1-44e9-8e62-38ffb5bb47cd"
 $ :List of 1
  ..$ Hexagon: 'igraph.vs' Named int(0) 
  .. ..- attr(*, "names")= chr(0) 
  .. ..- attr(*, "env")=<weakref> 
  .. ..- attr(*, "graph")= chr "fb9143e9-2dd1-44e9-8e62-38ffb5bb47cd"
 $ : adjacent_vertices(x, i, mode = if (directed) "out" else "all") でエラー: 
  At iterators.c:759 : Cannot create iterator, invalid vertex id, Invalid vertex id
```
**双対変換操作**(<font color="blue">Dual Transformation Operation</font>)

- **正四面体**(<font color="blue">Tetrahedrons</font>)同士
- **正六面体**(<font color="blue">Cube</font>)と**正八面体**(<font color="blue">Octahedron</font>)
- **正十二面体**(<font color="blue">Dodecahedron</font>)と**正二十面体**(<font color="blue">Icosahedron</font>)

一対の**正三角形**(<font color="blue">Equilateral triangles</font>)からの**補完操作**(<font color="blue">Completion Operation</font>)

- **正四面体**(<font color="blue">Tetrahedrons</font>)への不可逆的変遷(<font color="red">平面から立体へ</font>)

一対の**正四面体**(<font color="blue">Tetrahedrons</font>)からの**補完操作**(<font color="blue">Completion Operation</font>)

- **正六面体**(<font color="blue">Cube</font>)への不可逆的変遷。途中で座標がクロスすると考える。
- **正八面体**(<font color="blue">Octahedron</font>)への不可逆的変遷。途中で四面全てが直角二等辺三角形の状態を経ると考える。
- **正十二面体**(<font color="blue">Dodecahedron</font>)への不可逆的変遷。途中で一対の**二段多角錐**(<font color="blue">Two-step Pyramids</font>)状態を経ると考える。

一対の**一段多角錐**(<font color="blue">One-step Pyramids</font>)状態を経る**補完操作**(<font color="blue">Completion Operation</font>)

- 四角錐段階を経ての**正八面体**(<font color="blue">Octahedron</font>)への不可逆的変遷。
- 五角錐段階を経ての**正二十面体**(<font color="blue">Icosahedron</font>)への不可逆的変遷。
- 六角錐段階を経ての**正六角形**(<font color="blue">Icosahedron</font>)への不可逆的変遷(<font color="red">立体から平面へ</font>)

**正六面体**(<font color="blue">Cube</font>)からの**補完操作**(<font color="blue">Completion Operation</font>)

- 「<font color="red">屋根掛け法</font>」を経ての**正二十面体**(<font color="blue">Icosahedron</font>)への不可逆的変遷。

一見「<font color="red">何じゃこれは？</font>」という感じですが、実は整数論に基づく交通整理が可能だったりします。考え方の鍵は、さらに「<font color="red">頭蹠と対蹠を結ぶ立方対角線上の往復</font>」を**断面数**<font color="green">0</font>、**頂点分布**<font color="green">[1,1]</font>(<font color="blue">パスカルの三角形2段目の数字に合致</font>)、**立方対角線**<font color="green">1本</font>の「<font color="red">二辺形</font>(<font color="blue">Bilateral</font>)」や**三角形**(<font color="blue">Triangle(s)</font>)や**正方形**(<font color="blue">Square(s)</font>)や**正六角形**(<font color="blue">Hexagon</font>)の様な非立体(<font color="blue">Non 3Dimensional</font>)を図形に加える辺り。
[【Rで九九】どうして36個の数字しか使われないのか？](https://qiita.com/ochimusha01/items/8d990f23ae96db0cd953)

###<font color="green">2^n</font>集(<font color="blue">Set</font>)
**二辺形**(<font color="blue">Bilateral</font>)と**正方形**(<font color="blue">Squares</font>)が分類される範疇。両者の連続性はちょっと特殊な幾何学的数理によって説明される。
[【Rで球面幾何学】何故「正方形」ではCos(θ)+Sin(θ)iが成立するのか？](https://qiita.com/ochimusha01/items/681a6f869f594075c3c2)
![20191025133140.png](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/597772/9805d365-cc32-a2ed-4bdc-995271399d38.png)
また**正方形**は**自己相似変換**により複数と単数の間を往復する。
[【Rで球面幾何学】平方眼と立方眼の小宇宙(Square & Cube Grid Set)について。](https://qiita.com/ochimusha01/items/7347d2c004846df2fec5)
![Rplot16.png](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/597772/3e1e9f75-fb84-4eb3-bba6-6dfcc7cf5cd8.png)
![Rplot17.png](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/597772/93b4d44f-47d8-b228-3316-279210cc715a.png)

- (<font color="red">2^n集内での展開</font>)**二辺形**(<font color="blue">Bilateral,面数0/辺数2</font>)と**正方形**(<font color="blue">Tetrahedrons,面数1/辺数4</font>)の間の連続性。
- (<font color="red">3^n集への遷移</font>)**二辺形一個**(<font color="blue">Bilateral,面数0/辺数2</font>)から**正四面体二個**(<font color="blue">Tetrahedrons,面数8(+8)/辺数12(*6)</font>)へ。(<font color="green">断面数0→2,立方対角線1→0</font>)。
- (<font color="red">2^n3^m集への遷移</font>)**二辺形三個**(<font color="blue">Bilateral,面数計0,辺数計6</font>)から一個の**正八面体**(<font color="blue">Octahedron,面数8(+8)/辺数12(*2)</font>)へ(<font color="green">断面数0→1,立方対角線3→3</font>)。
- (<font color="red">2^n3^m集への遷移</font>)**二辺形三個**(<font color="blue">Bilateral,面数計0,辺数計6</font>)あるいは互いに交差する**正方形2個**(<font color="blue">Squares</font>)に３個目の**正方形**が補完される(<font color="blue">面数計3,辺数計12</font>)形、あるいはある種の「**屋根掛け法**」によって**正八面体一個**(<font color="blue">Octahedron,面数8(+8)/辺数12(*2)</font>)へ(<font color="green">断面数0→1,立方対角線3→3</font>)。<br>[【オイラーの多面体定理と正多面体】二次元上の多角形と三次元の多面体の往復](https://qiita.com/ochimusha01/items/94cab2793d6c6a005e55)<br>![Rplot05.png](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/597772/d51a44bd-33bc-50d6-d20c-2cd8783b6b03.png)
<br>![Rplot06.png](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/597772/b1af6a89-26ca-9b8c-984d-ce80c880e118.png)
<br>![triangles005.gif](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/597772/dba9f133-49bb-d923-a78e-9fea537f5467.gif)
- (<font color="red">2^n3^m集への遷移</font>)「**屋根掛け法**」により**正方形一個**から一気に四辺を伸ばして**正六面体一個**へ。<br>[【オイラーの多面体定理と正多面体】二次元上の多角形と三次元の多面体の往復](https://qiita.com/ochimusha01/items/94cab2793d6c6a005e55)<br>![20191026163532.png](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/597772/b8a81d8b-4d09-aca9-e7fb-83d621180e73.png)
<br>![square002.gif](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/597772/69c0145b-4e1f-0966-7c9f-b298eb61c27f.gif)
- (<font color="red">2^n3^m集への遷移</font>)互いに辺を接する**正方形2個**(<font color="blue">Squares</font>)からに３個目の**正方形**が補完される(<font color="blue">面数計3,辺数計12</font>)形で**正六面体一個**(<font color="blue">Octahedron,面数6(*2)/辺数12</font>)へ(<font color="green">断面数0→2,立方対角線0→4</font>)。

![スクリーンショット 2020-05-12 15.40.20.png](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/597772/b08b854d-dd9e-79c8-5e9b-7604d6665e9f.png)

```R
library(igraph)
par(mfrow=c(1,2),mar=c(3,3,3,3))
gd<-graph(c(
"Bilateral","Squares",
"Squares","Bilateral",
"Bilateral","Tetrahedrons",
"Bilateral","Octahedron",
"Squares","Octahedron",
"Squares","Cube"
))
plot(gd,layout=layout.fruchterman.reingold)
```

###<font color="green">3^n</font>集(<font color="blue">Set</font>)
**正四面体**(<font color="blue">Tetrahedrons</font>)と**正三角形**(<font color="blue">Triangles</font>)が分類される範疇。**正三角形**は**自己相似変換**により複数と単数の間、さらには**双対変換**によって**正六角形**(<font color="blue">Hexagon,面数1/辺数6</font>)との間を往復する。
[【Rで球面幾何学】平方眼と立方眼の小宇宙(Square & Cube Grid Set)について。](https://qiita.com/ochimusha01/items/7347d2c004846df2fec5)
![Rplot18.png](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/597772/787c7b61-8ad4-e43b-cb07-625331c2ecf0.png)
![Rplot15.png](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/597772/5c7dc814-99d0-46a5-1ae8-d11bc8d75028.png)

- (<font color="red">平面から立体へ</font>)**正三角形二個**(<font color="blue">Equilateral Triangles,面数計2/辺数計6。</font>)から**正四面体一個**(<font color="blue">Tetrahedrons,面数4(+2)/辺数6(+1-1)</font>)へ(<font color="green">断面数0→1,立方対角線0→0</font>)。
- (<font color="red">2^n集からの導入</font>)**二辺形一個**(<font color="blue">Bilateral,面数0/辺数2</font>)から**正四面体二個**(<font color="blue">Tetrahedrons,面数8(+8)/辺数12(*6)</font>)へ。(<font color="green">断面数0→2,立方対角線1→0</font>)。 
- (<font color="red">3^n集内での展開</font>)**正四面体**(<font color="blue">Tetrahedrons</font>)同士の**自己双対**(<font color="green">反転。断面数1⇄1,立方対角線0⇄0</font>)
- (<font color="red">2^n3^m集との往復</font>)**正三角形**(<font color="blue">Equilateral Triangle</font>)と**正六角形**(<font color="blue">Hexagon</font>)の間の**双対変換**。<br>[【オイラーの多面体定理と正多面体】二次元上の多角形と三次元の多面体の往復](https://qiita.com/ochimusha01/items/94cab2793d6c6a005e55)<br>![Rplot07.png](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/597772/790a7a5d-5ef1-0704-57c6-ac2f1f3a7a4d.png)
<br>![Rplot08.png](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/597772/4c424e9d-07b7-fee2-7f16-e7a9a5e807a0.png)
- (<font color="red">2^n3^m集への遷移</font>)**正四面体二個**(<font color="blue">Tetrahedrons,面数計8/辺数計12</font>)から**正六面体一個**(<font color="blue">Cube,面数6(-2)/辺数12(±0)</font>)へ(<font color="green">断面数2→2,立方対角線0→4</font>)。
- (<font color="red">2^n3^m集への遷移</font>)**正四面体二個**(<font color="blue">Tetrahedrons,面数計8/辺数計12</font>)から(<font color="blue">各面二等辺三角形段階か四角錐二個段階を経て</font>)**正八面体一個**(<font color="blue">Octahedron,面数8(±0)/辺数12(±0)</font>)へ(<font color="green">断面数2→1,立方対角線0→3</font>)。
- (<font color="red">2^n3^m5^l集への遷移</font>)三角錐二個段階を経て**正十二面体**(<font color="blue">Dodecahedron</font>)へ(<font color="green">二段階変遷で断面数2⇄4,立方対角線0⇄10</font>)
- (<font color="red">2^n3^m5^l集への遷移</font>)五角錐二個段階を経て**正二十面体**(<font color="blue">Icosahedron</font>)へ(<font color="green">断面数2→3,立方対角線0→6</font>)

![スクリーンショット 2020-05-12 16.02.57.png](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/597772/086b635a-1741-fd23-56a1-02364032a6de.png)

```R
library(igraph)
par(mfrow=c(1,2),mar=c(3,3,3,3))
gd<-graph(c(
"Triangles","Hexagon",
"Hexagon","Triangles",
"Triangles","Tetrahedrons",
"Bilateral","Tetrahedrons",
"Tetrahedrons","Tetrahedrons",
"Tetrahedrons","Cube",
"Tetrahedrons","Octahedron",
"Tetrahedrons","One-step Pyramids",
"One-step Pyramids","Two-step Pyramids",
"Two-step Pyramids","Dodecahedron",
"One-step Pyramids","Octahedron",
"One-step Pyramids","Icosahedron"
))
plot(gd,layout=layout.fruchterman.reingold)
```

###<font color="green">2^m*3^n</font>集(<font color="blue">Set</font>)
**正八面体**(<font color="blue">Octahedron</font>)と**正六面体**(<font color="blue">Cube</font>)と**正六角形**(<font color="blue">Hexagon</font>)が分類される範疇。

- (<font color="red">2^n集からの導入</font>)**二辺形三個**(<font color="blue">Bilateral,面数計0,辺数計6</font>)から一個の**正八面体**(<font color="blue">Octahedron,面数8(+8)/辺数12(*2)</font>)へ(<font color="green">断面数0→1,立方対角線3→3</font>)。
- (<font color="red">2^n集からの導入</font>)「**屋根掛け法**」により**正方形一個**から一気に四辺を伸ばすか、**正方形2個**(<font color="blue">Squares</font>)の三枚目補完によって**正六面体一個**へ。
- (<font color="red">3^n集からの導入</font>)**正四面体二個**(<font color="blue">Tetrahedrons,面数計8/辺数計12</font>)から**正六面体一個**(<font color="blue">Cube,面数6(-2)/辺数12(±0)</font>)へ(<font color="green">断面数2→2,立方対角線0→4</font>)。
- (<font color="red">3^n集からの導入</font>)正方形2個(<font color="blue">Squares</font>)あるいは**正四面体二個**(<font color="blue">Tetrahedrons,面数計8/辺数計12</font>)から(<font color="blue">各面二等辺三角形段階か四角錐二個段階を経て</font>)**正八面体一個**(<font color="blue">Octahedron,面数8(±0)/辺数12(±0)</font>)へ(<font color="green">後者の場合は断面数2→1,立方対角線0→3</font>)。
- (<font color="red">2^n3^m集内での展開</font>)**正八面体**(<font color="blue">Octahedron</font>)と**正六面体**(<font color="blue">Cube</font>)の**双対操作**(<font color="green">断面数1⇄2,立方対角線3⇄4</font>)。
- (<font color="red">2^n3^m集内での展開</font>)「**屋根掛け方**」を用いての**正六角形**(<font color="blue">Hexagon</font>)と**正六面体**(<font color="blue">Cube</font>)の間の往復。<br>[【オイラーの多面体定理と正多面体】二次元上の多角形と三次元の多面体の往復](https://qiita.com/ochimusha01/items/94cab2793d6c6a005e55)<br>![Rplot03.png](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/597772/f9ca76ba-dd21-d548-cedd-777950569c99.png)
<br>![Rplot04.png](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/597772/15c03f8f-44db-355c-70b3-8714480b27e2.png)
<br>![Cube006.gif](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/597772/7033e285-744a-3783-0733-88f543cf6f72.gif)
- (<font color="red">立体から平面へ</font>)六角錐二個段階を経て**正六角形**(<font color="blue">Hexagon,面数1/辺数6</font>)へ(<font color="green">辺長0となる事で断面数2→0,立方対角線0→0</font>)
- (<font color="red">2^n3^m5^l集への遷移</font>)**正六面体**(<font color="blue">Cube,面数6/辺数12</font>)に「**屋根掛け法**」を適用して**正十二面体**(<font color="blue">Dodecahedron,面数12(*4/2)/辺数20</font>)へ(<font color="green">断面数2→4,立方対角線4→10</font>)
- (<font color="red">2^n3^m5^l集への遷移</font>)**正八面体**(<font color="blue">Octahedron</font>)からの変換で**正十二面体**(<font color="blue">Dodecahedron</font>)へ<br>[【オイラーの多面体定理と正多面体】二次元上の多角形と三次元の多面体の往復](https://qiita.com/ochimusha01/items/94cab2793d6c6a005e55)

![スクリーンショット 2020-05-15 15.08.13.png](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/597772/4eb0a47c-93a8-4c82-759c-6f4749ec58e8.png)

```R
library(igraph)
par(mfrow=c(1,2),mar=c(3,3,3,3))
gd<-graph(c(
"Squares","Octahedron",
"Squares","Cube",
"Bilateral","Octahedron",
"Tetrahedrons","Cube",
"Tetrahedrons","Octahedron",
"Octahedron","Cube",
"Cube","Octahedron",
"Cube","Dodecahedron",
"Cube","Hexagon",
"Hexagon","Cube",
"Octahedron","Dodecahedron",
"Cube","One-step Pyramids",
"Octahedron","One-step Pyramids",
"One-step Pyramids","Hexagon"
))
plot(gd,layout=layout.fruchterman.reingold)
```

###<font color="green">2^n3^m5^l</font>集(<font color="blue">Set</font>)
**正十二面体**(<font color="blue">Dodecahedron</font>)と**正十二面体**(<font color="blue">Dodecahedron</font>)が分類される範疇。

- (<font color="red">3^n集からの導入</font>)三角錐二個段階を経て**正十二面体**(<font color="blue">Dodecahedron</font>)へ(<font color="green">二段階変遷で断面数2→4,立方対角線0→10</font>)
- (<font color="red">3^n集からの導入</font>)五角錐二個段階を経て**正二十面体**(<font color="blue">Icosahedron</font>)へ(<font color="green">断面数2→3,立方対角線0→6</font>)
- (<font color="red">2^n3^m集からの導入</font>)**正六面体**(<font color="blue">Cube,面数6/辺数12</font>)や**正八面体**(<font color="blue">Octahedron,面数8/辺数12</font>)に「**屋根掛け法**」等を適用して**正十二面体**(<font color="blue">Dodecahedron,面数12(*4/2)/辺数20</font>)へ(<font color="green">断面数2→4,立方対角線4→10</font>)
- (<font color="red">2^n3^m5^l集内での展開</font>)**正十二面体**(<font color="blue">Dodecahedron</font>)と**正二十面体**(<font color="blue">Icosahedron</font>)の**双対操作**(<font color="green">断面数4⇄3,立方対角線10⇄6</font>)。

![スクリーンショット 2020-05-15 15.04.05.png](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/597772/bc319db1-3e08-06b0-2d30-dfac785b4f57.png)

```R
library(igraph)
par(mfrow=c(1,2),mar=c(3,3,3,3))
gd<-graph(c(
"Tetrahedrons","One-step Pyramids",
"One-step Pyramids","Dodecahedron",
"One-step Pyramids","Icosahedron",
"Cube","Dodecahedron",
"Octahedron","Dodecahedron",
"Dodecahedron","Icosahedron",
"Icosahedron","Dodecahedron"
))
plot(gd,layout=layout.fruchterman.reingold)
```

そう、まさにこの「<font color="red">量子跳躍めいた離散的遷移過程の全貌</font>」と「<font color="red">平面に始まり平面に終わる感じ</font>」を把握したかったのです。いやはや、まる一ヶ月以上掛かってしまいました。もちろん一応「**正多面体の巡回性**」そのものについては多くの資料で触れらてる「**自明の場合**」(<font color="blue">とはいえ正八面体と正二十面体の往復については、未だ納得が行ってなくて除外中</font>)な訳ですが…
[正六面体群](http://hooktail.sub.jp/algebra/CubicGroup/)
[正多面体群1](http://hooktail.sub.jp/algebra/PolyhedronGroup/)
[正多面体群２](http://hooktail.sub.jp/algebra/PolyhedronGroup2/)
[正多面体 くり返しの関係を観察](http://www.shimanet.ed.jp/minami/link/homepage-naga005/grapes-001/tamentai-6-4-8-20-12-6.pdf#search='%E6%AD%A3%E5%85%AB%E9%9D%A2%E4%BD%93+%E6%AD%A3%E5%8D%81%E4%BA%8C%E9%9D%A2%E4%BD%93')

#「オイラーの多面体定理」が示唆する量子飛躍的世界観？

**オイラーの多面体定理**(<font color="blue">Euler's Polyhedron Theorem</font>)
><font color="green">Vertex(頂点数)-Edge(辺数)+Face(面数)=2</font>の条件を満たさない立体は三次元上に存在し得ない。

そう、量子力学的事象同様、「<font color="red">実際に現象が顕現する条件が厳しいだけで、裏では色々な可能性が確率論レベルで進行している</font>」と考えないとこの離散的遷移過程は説明出来ません。数理の世界では有理数や無理数で構成される**実数の世界**(<font color="blue">Integer Number Set</font>)だけでは「数直線の連続性(<font color="blue">Number line continuity</font>)」が埋められない局面では躊躇なく**虚数**(<font color="blue">Imaginary Number</font>)の概念を導入して「**複素数の世界**(<font color="blue">Complex Number Set</font>
)」の世界に足を踏み入れますが、実際既にプログラム中では…というお話。

①まずは互いに可換な**頭蹠**(<font color="blue">Portal</font>)と**対蹠**(<font color="blue">Antipordal</font>)を設定し、それを結ぶ軸線を**直径=立方対角線**とする**単位球面**(<font color="blue">Unit Sphrer</font>)を想定する。するとこれに内接する正多面体の頂点が全て球表面上に含まれる事になり、軸線に沿った「**断面**」ごとに多角形を描く。こうして求められた頂点の集合を「**星座の様に**」結ぶとその正多面体が再現される（<font color="red">要するにこれがこれまでの投稿の中で「**自明の理**」として繰り返し用いられてきたアルゴリズム</font>）。

- 平面上では両者を直接結ぶ軸線を直径とする**単位円**(<font color="blue">Unit Circle</font>)に外接する正多角形がこれに対応し、それが正多角形である場合、ガウスの発見した「**１の冪乗定理**(<font color="blue">Root of Unity Theorem</font>)」を応用したアルゴリズム`c0=seq(-pi,pi,length=NoS);cx=cos(c0);cy=sin(c0)`(<font color="blue">NoS(Number of Sides)=描く多角形の辺数+巡回を完成させる為の1</font>)によって各頂点のX座標とY座標が求められる。実に便利…

②ところで(<font color="blue">これまでも繰り返し図示してきた様に</font>)どの頂点間を結ぶ対角線も頭蹠と対蹠が直接結ばない「**奇数系図形**」は、頭蹠に対応する対蹠あるいは対蹠に対応する頭蹠を面とする一対の形で顕現する(<font color="red">平面上に描画される正多角形だけでなく、正多面体の世界における正四面体もこの条件を満たす</font>)。
![20200207094535.png](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/597772/50c9b16f-bd89-df18-8a2a-9ae775f4fa4a.png)

- この**概念**(<font color="blue">Concept</font>)は、マクリーン級数においてCos波が**添字**(<font color="blue">Concept</font>Index)が**偶数**(<font color="blue">Even Number</font>)の場合、Sin波が**奇数**(<font color="blue">Odd Number</font>)の場合に割り振られる事、複素平面上においてもCos波が**X軸**、Sin波が**Y軸**に割り振られる事などとも重なってくる(<font color="red">要するに複素数の基本的特徴なのだけど、それは何故？という話…</font>)。<br>[【初心者向け】三角関数と指数・対数関数の「巡回性」について。](https://qiita.com/ochimusha01/items/61d8cfa89dc078cbe472)<br>[【Rで球面幾何学】そもそも複素数Xi（x*(0+1i)）はどう振る舞う？](https://qiita.com/ochimusha01/items/3130ceb4a3500bfeb9d6)
- そして**複素平面/球表面上**においては**円弧上の2点**/**球表面上の断面**を描く**共役複素数**(<font color="blue">Complex Conjugate</font>)がこれに該当するのである（<font color="red">上で言っている「断面」とはまさにこれの事…</font>）。

そして意外にも、こうした諸概念の大源流を遡ると**複式簿記**（<font color="blue">Double-entry Bookkeeping System</font>）の世界に辿り着くのです。

- 任意の期首と期末を定め、その間の簿記的取引の全てを仕訳帳や総勘定元帳などに記録として残す。すると(<font color="blue">不正や誤謬がなければ</font>)借方の合計と貸方の合計が常に一致する。
- これを**貸借平均の原理**(<font color="blue">Principle of Loan Average</font>)<font color="green">資産+費用=負債+純資産+収益</font>といい**貸借対照表等式**や**損益計算書等式**の大原則となっている。

ここで重要なのが「<font color="red">あらかじめ期首と期末が設定されるからこそ、期内全ての借方取引と貸方取引の二重性が捕捉可能となる</font>」なる実証科学的思考様式。

- 中世地中海交易圏でアラビア商人が発案し、ルネサンス期のイタリア商人を通じてアラビア数字とセットで欧州に広まったとされている。
- その起爆剤となったのが当時の出版革命で、より具体的に「**スムマ**（<font color="blue">算術・幾何・比及び比例全書,1494年</font>）」の一章として「**簿記論**」を著したイタリア商人出身の数学者**ルカ・パチョリ**（<font color="blue">1445年頃~1517年</font>）が「**複式簿記の父**」として崇められていたりする。
- そして医術や占星術を本業としていた数学者**カルダノ**（<font color="blue">1501年〜1576年</font>)が「**アルス・マグナ**(<font color="blue">Ars Magna, 1545年</font>)」の中で**三次方程式**（<font color="blue">Ars Magna, 1545年</font>Cubic Equation）に虚数の概念を導入して解いたのも同じルネサンス期イタリアの出来事だったのである。
さらにオイラーの師匠**ベルヌーイ**(1667年〜1748年)は**自然指数関数**<font color="green">e^1=(1-1/N)^N</font>**導出**を巡る思考実験で「<font color="red">複利発生期間の設定極限</font>」の例えを用いている。そもそも写実絵画や建築分野で「**対数尺＝透視図法**」の研究が最初に本格化したのも、やはりルネサンス期イタリアではなかったか？<br>[【初心者向け】指数・対数関数の発見](https://qiita.com/ochimusha01/items/3e28f4f06abd8cef0af1)<br>![20190927233136 (1).png](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/597772/216d94f6-b445-ae38-64d8-bd6f8db5a2c9.png)

もしかして全ては最初から一つだった？　そんな可能性が浮上してきたところで、以下続報…