隣に引っ越してきた一家の子どもたち（ベイズの定理でスッキリ）

# 概要

確率の本のなかにでてきた問題が、とても興味深かったのでまとめです。狐につままれたような感じで理解に苦労したので、頭の整理を兼ねて記事にします。

具体的には・・・

- ある家族に2人の子どもがいて、**<font color='red'>少なくとも1人は男であると聞いたとき</font>**、子ども2人が男であると考えられる確率
- ある家族に2人の子どもがいて、**<font color='red'>子どものうち1人が男であることを目撃したとき</font>**、子ども2人が男であると考えられる確率

同じように思える2つのケースで、その確率が変わってくるというお話です。

なお、ベイズの定理の基礎については[「天気の子」を題材にゼロから学ぶ「ベイズの定理」](https://qiita.com/code0327/items/7b673b70f2546369b6d9)をどうぞ。

# 問題1（素直な問題）

先月、マンションの $201$ 号室に上杉さん一家が引っ越してきました。上杉（父）との会話のなかで**お子さんが2人いる**ことを聞きました。男女の出生比（出生性比率）が等しいと仮定して、上杉さんの子どもが**男兄弟である確率**を求めなさい。

## 解答
男（Male）を **<font color='blue'>M</font>**、女（Female）を **<font color='red'>F</font>** という記号で表記、第一子と第二子の性別を順に「**X**, **X**」のように表すものとします。

さて、$2$ 人の子どもの構成パターンは「**<font color='blue'>M</font>**, **<font color='blue'>M</font>**」「**<font color='blue'>M</font>**, **<font color='red'>F</font>**」「**<font color='red'>F</font>**, **<font color='blue'>M</font>**」「**<font color='red'>F</font>**, **<font color='red'>F</font>**」の $4$ 通りになります。

男女の出生比が等しいので、どの構成である可能性も等しくあります。よって、上杉さんの子どもが**男兄弟**「**<font color='blue'>M</font>**, **<font color='blue'>M</font>**」である確率は $ \frac{1}{4}=0.25 $ となります。

# 問題2

先月、マンションの $202$ 号室に南波さん一家が引っ越してきました。南波（母）との会話のなかで**お子さんが2人いて、そのうち（少なくとも）1人は男である**ことを聞きました。男女の出生比が等しいと仮定して、南波さんの子どもが**男兄弟である確率**を求めなさい。

## 解答

**男と判明していないもうひとりの子どもが男か女か** という $2$ 択であり、男女の出生比率が等しいので $\frac{1}{2}=0.5$ ・・・としてしまうのは**間違い**です。

$2$ 人の子どものうち**少なくとも1人は男（<font color='blue'>M</font>）**であるとき、子どもの構成パターンとしては「**<font color='blue'>M</font>**, **<font color='blue'>M</font>**」「**<font color='blue'>M</font>**, **<font color='red'>F</font>**」「**<font color='red'>F</font>**, **<font color='blue'>M</font>**」の $3$ 通りが考えられます。各パターンの生起確率は等しいので、**男兄弟**「**<font color='blue'>M</font>**, **<font color='blue'>M</font>**」である確率は $ \frac{1}{3}=0.33 $ となります。

# 問題3

先月、マンションの $203$ 号室に星羽さん一家が引っ越してきました。星羽（母）と会話したところ、**お子さんが2人いる**ことを聞きました。また、ある日、$203$ 号室から**1人の男の子が出掛けるところを目撃し、直後に星羽（母）と話したところ、その子は星羽さんの子どもである**ことが分かりました。男女の出生比が等しいと仮定して、星羽さんの子どもが**男兄弟である確率**を求めなさい。

## 解答

問題2と同じように考えて、$\frac{1}{3}=0.33$ ・・・としてしまうのは**間違い**です。

まず、第一の情報「**お子さんが2人いる**」から、子どもの構成として **A :**「**<font color='blue'>M</font>**, **<font color='blue'>M</font>**」、**B :**「**<font color='blue'>M</font>**, **<font color='red'>F</font>**」、**C :**「**<font color='red'>F</font>**, **<font color='blue'>M</font>**」、**D :**「**<font color='red'>F</font>**, **<font color='red'>F</font>**」の $4$ 通りが考えられます（区別しやすいように記号をつけました）。このとき、$1$ 人の子どもが出かける（目撃される）パターンと、その確率は次のようになります。

- **A :**「**<font color='blue'>M</font>**, **<font color='blue'>M</font>**」で第一子（**<font color='blue'>M</font>**）が出かける　$P(H_{\mathbf{MM}}\cap D_{\mathbf{M1}})=P(H_{\mathbf{MM}})\cdot P(D_{\mathbf{M1}}|H_{\mathbf{MM}})=1/8$
- **A :**「**<font color='blue'>M</font>**, **<font color='blue'>M</font>**」で第二子（**<font color='blue'>M</font>**）が出かける　$P(H_{\mathbf{MM}}\cap D_{\mathbf{M2}})=1/8$
- **B :**「**<font color='blue'>M</font>**, **<font color='red'>F</font>**」で第一子（**<font color='blue'>M</font>**）が出かける　$P(H_{\mathbf{MF}}\cap D_{\mathbf{M1}})=1/8$
- **B :**「**<font color='blue'>M</font>**, **<font color='red'>F</font>**」で第二子（**<font color='red'>F</font>**）が出かける　$P(H_{\mathbf{MF}}\cap D_{\mathbf{F2}})=1/8$
- **C :**「**<font color='red'>F</font>**, **<font color='blue'>M</font>**」で第一子（**<font color='red'>F</font>**）が出かける　$P(H_{\mathbf{FM}}\cap D_{\mathbf{F1}})=1/8$
- **C :**「**<font color='red'>F</font>**, **<font color='blue'>M</font>**」で第二子（**<font color='blue'>M</font>**）が出かける　$P(H_{\mathbf{FM}}\cap D_{\mathbf{M2}})=1/8$
- **D :**「**<font color='red'>F</font>**, **<font color='red'>F</font>**」で第一子（**<font color='red'>F</font>**）が出かける　$P(H_{\mathbf{FF}}\cap D_{\mathbf{F1}})=1/8$
- **D :**「**<font color='red'>F</font>**, **<font color='red'>F</font>**」で第二子（**<font color='red'>F</font>**）が出かける　$P(H_{\mathbf{FF}}\cap D_{\mathbf{F2}})=1/8$

ここで、一番上の確率が $1/8$ となっているのは「子どもの構成が **A** である確率 $P(H_{\mathbf{MM}})$ $\times$ その条件の下で**第一子**が出かける確率 $P(D_{\mathbf{M1}}|H_{\mathbf{MM}}) = 1/4 \times 1/2 = 1/8$」という計算によるものです。

次に、第二の情報として「**<font color='blue'>M</font>**が出かけるのを観測する」が得られます。すると「**<font color='red'>F</font>** が出かける」という可能性が消滅して、次のものが残ります。

- **A :**「**<font color='blue'>M</font>**, **<font color='blue'>M</font>**」で第一子（**<font color='blue'>M</font>**）が出かける（目撃される）$P=1/8$
- **A :**「**<font color='blue'>M</font>**, **<font color='blue'>M</font>**」で第二子（**<font color='blue'>M</font>**）が出かける（目撃される）$P=1/8$
- **B :**「**<font color='blue'>M</font>**, **<font color='red'>F</font>**」で第一子（**<font color='blue'>M</font>**）が出かける（目撃される）$P=1/8$
- **C :**「**<font color='red'>F</font>**, **<font color='blue'>M</font>**」で第二子（**<font color='blue'>M</font>**）が出かける（目撃される）$P=1/8$

**確率なので合計して $1$ になるように正規化**します（「**<font color='blue'>M</font>**が出かける」という事実をうけて $P(D_{\mathbf{M}})=1$、$P(D_{\mathbf{F}})=0$ として再計算してもOKです）。

- **A :**「**<font color='blue'>M</font>**, **<font color='blue'>M</font>**」で第一子（**<font color='blue'>M</font>**）が出かける（目撃される）$P=1/4$
- **A :**「**<font color='blue'>M</font>**, **<font color='blue'>M</font>**」で第二子（**<font color='blue'>M</font>**）が出かける（目撃される）$P=1/4$
- **B :**「**<font color='blue'>M</font>**, **<font color='red'>F</font>**」で第一子（**<font color='blue'>M</font>**）が出かける（目撃される）$P=1/4$
- **C :**「**<font color='red'>F</font>**, **<font color='blue'>M</font>**」で第二子（**<font color='blue'>M</font>**）が出かける（目撃される）$P=1/4$

このとき、子どもの構成が **A :**「**<font color='blue'>M</font>**, **<font color='blue'>M</font>**」、**B :**「**<font color='blue'>M</font>**, **<font color='red'>F</font>**」、**C :**「**<font color='red'>F</font>**, **<font color='blue'>M</font>**」、**D :**「**<font color='red'>F</font>**, **<font color='red'>F</font>**」である確率は、次のようになります。

- **A :**「**<font color='blue'>M</font>**, **<font color='blue'>M</font>**」である確率　$P(H_{\mathbf{MM}}|D_{\mathbf{M}})=1/4+1/4=1/2$
- **B :**「**<font color='blue'>M</font>**, **<font color='red'>F</font>**」である確率　$P(H_{\mathbf{MF}}|D_{\mathbf{M}})=1/4$
- **C :**「**<font color='red'>F</font>**, **<font color='blue'>M</font>**」である確率　$P(H_{\mathbf{FM}}|D_{\mathbf{M}})=1/4$
- **D :**「**<font color='red'>F</font>**, **<font color='red'>F</font>**」である確率　$P(H_{\mathbf{FF}}|D_{\mathbf{M}})=0$

$P(H_{\mathbf{MM}}|D_{\mathbf{M}})$ は**条件付き確率**を表しており、具体的には 『 男の子が出かけるのを目撃したという条件 $D_{\mathbf{M}}$ のもとで、子どもの構成が「**<font color='blue'>M</font>**, **<font color='blue'>M</font>**」であると考えられる確率 』 を意味します。

よって、**男兄弟**「**<font color='blue'>M</font>**, **<font color='blue'>M</font>**」である確率は $ \frac{1}{2}=0.5 $ となります。

これは、**ベイズの定理**を使って求めることもできます。

```math:
\begin{align}
P(H_{1}|D) & = \frac {P(D|H_{1})\, P(H_{1})}{P(D)} \\
            & = \frac {P(D|H_{1})\, P(H_{1})}{\sum_{i=1}^{n} P(D|H_{i})\,  P(H_{i})} \end{align}
```

具体的には、次のように計算できます。

```math:
\begin{align}
P(H_{\mathbf{MM}}|D_{\mathbf{M}}) & = \frac {P(D_{\mathbf{M}}|H_{\mathbf{MM}})\, P(H_{\mathbf{MM}})}{P(D_{\mathbf{M}})} \\
            & = \frac {P(D_{\mathbf{M}}|H_{\mathbf{MM}}){P(H_{\mathbf{MM}})}}{
P(H_{\mathbf{MM}})P(D_{\mathbf{M}}|H_{\mathbf{MM}})+
P(H_{\mathbf{MF}})P(D_{\mathbf{M}}|H_{\mathbf{MF}})+
P(H_{\mathbf{FM}})P(D_{\mathbf{M}}|H_{\mathbf{FM}})+
P(H_{\mathbf{FF}})P(D_{\mathbf{M}}|H_{\mathbf{FF}}) } \\
& = \frac{1 \cdot \frac{1}{4} }{
(\frac{1}{4} \cdot 1 ) +
(\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2})+
(\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2})+
(\frac{1}{4} \cdot 0 )
} \\
& = \frac{\frac{1}{4}}{\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{8}+0}\\
& = \frac{1}{2} = 0.5
\end{align}
```

# 問題2 と 問題3 の違いは何か？

問題2 と 問題3 の違いは、何なのでしょうか？

- **問題2**：ある家族に $2$ 人の子どもがいて、**<font color='red'>少なくとも1人は男であると聞いたとき</font>**、子ども $2$ 人が男であると考えられる確率
- **問題3**：ある家族に $2$ 人の子どもがいて、**<font color='red'>子どものうち1人が男であることを目撃したとき</font>**、子ども $2$ 人が男であると考えられる確率

両者では、$P(D_{\mathbf{M}}|H_{\mathbf{MF}})$ と $P(D_{\mathbf{M}}|H_{\mathbf{FM}})$ の値が変わってきます。

**問題3** における $P(D_{\mathbf{M}}|H_{\mathbf{MF}})$ の意味は 『 子どもの構成が「**<font color='blue'>M</font>**, **<font color='red'>F</font>**」という前提条件下で、出かけた（目撃した）のが男の子である確率 』 であり、その値は $\frac{1}{2}$ です。

一方で、**問題2** における $P(D_{\mathbf{M}}|H_{\mathbf{MF}})$ の意味は 『 子どもの構成が「**<font color='blue'>M</font>**, **<font color='red'>F</font>**」という前提条件下で、親が「`少なくとも1人は男である`」と言える確率 』 であり、その値は $1$ です。

**問題2** についてベイズの定理を使って計算してみると、

```math:
\begin{align}
P(H_{\mathbf{MM}}|D_{\mathbf{M}}) & = \frac {P(D_{\mathbf{M}}|H_{\mathbf{MM}})\, P(H_{\mathbf{MM}})}{P(D_{\mathbf{M}})} \\
            & = \frac {P(D_{\mathbf{M}}|H_{\mathbf{MM}}){P(H_{\mathbf{MM}})}}{
P(H_{\mathbf{MM}})P(D_{\mathbf{M}}|H_{\mathbf{MM}})+
P(H_{\mathbf{MF}})P(D_{\mathbf{M}}|H_{\mathbf{MF}})+
P(H_{\mathbf{FM}})P(D_{\mathbf{M}}|H_{\mathbf{FM}})+
P(H_{\mathbf{FF}})P(D_{\mathbf{M}}|H_{\mathbf{FF}}) } \\
& = \frac{1 \cdot \frac{1}{4} }{
(\frac{1}{4} \cdot 1 ) +
(\frac{1}{4} \cdot 1 )+
(\frac{1}{4} \cdot 1 )+
(\frac{1}{4} \cdot 0 )
} \\
& = \frac{\frac{1}{4}}{\frac{1}{4}+\frac{1}{4}+\frac{1}{4}+0}\\
& = \frac{1}{3} = 0.33
\end{align}
```

となり、先に示した解答とも一致します。