方向余弦

# 方向余弦

## ポイント1

```math
\begin{array}{l}

あるベクトル~~~
\boldsymbol{A} = \left( \begin{matrix} A_x \\\ A_y \\\ A_z \end{matrix} \right)~~~
がある。\\
\\
ベクトルの大きさ： A = \left| \boldsymbol{A} \right| = \sqrt{ {A_x}^2 + {A_y}^2 + {A_z}^2 } とする \\
\\
このベクトルとx軸\left( \begin{matrix} x \\\ 0 \\\ 0 \end{matrix} \right)、y軸\left( \begin{matrix} 0 \\\ y \\\ 0 \end{matrix} \right)、z軸\left( \begin{matrix} 0 \\\ 0 \\\ z \end{matrix} \right)との角度をそれぞれ、\alpha、\beta、\gamma とし、\\
それぞれの余弦をl = cos \alpha、m = cos \beta、n = cos \gamma とする。\\
これが方向余弦。（l ~~~は、ベクトル \boldsymbol{A} のx軸\left( \begin{matrix} x \\\ 0 \\\ 0 \end{matrix} \right)への方向余弦）\\
\\
ベクトル \boldsymbol{A} とx,y,z軸それぞれとの三角形を考慮するとのそれぞれの要素は余弦を使うと以下のように書ける。\\
l = cos \alpha = \frac{A_x}{\left| \boldsymbol{A} \right|} = \frac{A_x}{A}, ~~~
m = cos \beta  = \frac{A_y}{\left| \boldsymbol{A} \right|} = \frac{A_y}{A}, ~~~
n = cos \gamma = \frac{A_z}{\left| \boldsymbol{A} \right|} = \frac{A_z}{A} ~~~ \\
\Rightarrow \\
A_x = \left| \boldsymbol{A} \right| cos \alpha = Al, ~~~
A_y = \left| \boldsymbol{A} \right| cos \beta = Am, ~~~
A_z = \left| \boldsymbol{A} \right| cos \gamma = An, ~~~ \\
\\
\\
\boldsymbol{A} = \left( \begin{matrix} A_x \\\ A_y \\\ A_z \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} Al \\\ Am \\\ An \end{matrix} \right) = A \left( \begin{matrix} l \\\ m \\\ n \end{matrix} \right)~~~ から（\left( \begin{matrix} l \\\ m \\\ n \end{matrix} \right) = \frac{\boldsymbol{A}}{A} だから） \\
ベクトル \left( \begin{matrix} l \\\ m \\\ n \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} cos \alpha \\\ cos  \beta \\\ cos \gamma \end{matrix} \right) は、 \boldsymbol{A} 方向のの単位ベクトルといえる。\\
\\
また、\\
A = \left| \boldsymbol{A} \right| = \sqrt{ {A_x}^2 + {A_y}^2 + {A_z}^2 } = \sqrt{ {(Al)}^2 + {(Am)}^2 + {(An)}^2 } = A \sqrt{l^2 + m^2 + n^2} \\

\therefore \sqrt{l^2 + m^2 + n^2} = 1 ~~~ \Rightarrow ~~~ l^2 + m^2 + n^2 = cos^2 \alpha + cos^2 \beta + cos^2 \gamma = 1
\\
\\
\end{array}
```

## ポイント2

```math
\begin{array}{l}

あるベクトル \boldsymbol{A} があり、x軸とのなす角を \alpha とし方向余弦を l とすると、\\
ベクトル \boldsymbol{A} のx軸方向の成分(A_x)は、A_x = \left| \boldsymbol{A} \right| cos \alpha = Al \\
つまり、自身のベクトルの大きさに方向余弦をかけると求まる。\\
一般化して、x軸とは限らず任意の方向に対して成り立つ。\\
\\
ベクトルは、x軸、y軸,z軸方向のベクトルを使用して分割できる。\\
\boldsymbol{A} = \left( \begin{matrix} A_x \\\ A_y \\\ A_z \end{matrix} \right) = A_x e_x + A_y e_y + A_z e_z \\
よって、ベクトル \boldsymbol{A} の s方向の成分は、x軸、y軸,z軸方向それぞれのs方向への成分の和になる。\\
A_s = (A_x e_x)のs方向の成分 + (A_y e_y)のs方向の成分 + (A_z)のs方向の成分\\
\\
s方向とx軸、y軸,z軸方向とのなす角を\alpha', \beta', \gamma' とし、方向余弦を l', m', n' とすると、\\
A_s = A_x l' + A_y m' + A_z n'\\
\\
\boldsymbol{A} = \left( \begin{matrix} A_x \\\ A_y \\\ A_z \end{matrix} \right), ~~~x軸、y軸,z軸方向との方向余弦をl, m, n\\
\boldsymbol{B} = \left( \begin{matrix} B_x \\\ B_y \\\ B_z \end{matrix} \right), ~~~x軸、y軸,z軸方向との方向余弦をl', m', n'\\
とすると、\\
\\
\boldsymbol{A} の\boldsymbol{B} への成分は、A_x l' + A_y m' + A_z n' と表せる。\\
\boldsymbol{B} の\boldsymbol{A} への成分は、B_x l + B_y m + B_z n と表せる。\\
\\
内積を\\
\boldsymbol{A} \cdot \boldsymbol{B} = \left| \boldsymbol{A} \right|\left| \boldsymbol{B} \right| cos \theta ~~~(\theta は \boldsymbol{A} と \boldsymbol{B} のなす角)\\
と定義すると\\
\left| \boldsymbol{A} \right|\left| \boldsymbol{B} \right| cos \theta = \left| \boldsymbol{A} \right| (\boldsymbol{B} の\boldsymbol{A} への成分) = \left| \boldsymbol{B} \right| (\boldsymbol{A} の\boldsymbol{B} への成分) \\
(\boldsymbol{B} の\boldsymbol{A} への成分) = \left| \boldsymbol{B} \right| cos \theta ~~~\\
\Rightarrow ~~~cos \theta = \frac{B_x l + B_y m + B_z n}{\left| \boldsymbol{B} \right|} = \frac{(\left| \boldsymbol{B} \right| l') l + (\left| \boldsymbol{B} \right| m') m + (\left| \boldsymbol{B} \right| n') n}{\left| \boldsymbol{B} \right|} = ll' + mm' + nn' \\
(\boldsymbol{A} の\boldsymbol{B} への成分) = \left| \boldsymbol{A} \right| cos \theta ~~~\\
\Rightarrow ~~~cos \theta = \frac{A_x l' + A_y m' + A_z n'}{\left| \boldsymbol{A} \right|} = \frac{(\left| \boldsymbol{A} \right| l) l' + (\left| \boldsymbol{A} \right| m) m' + (\left| \boldsymbol{A} \right| n) n'}{\left| \boldsymbol{A} \right|} = ll' + mm' + nn' \\
\end{array}
```