【数理考古学】代数方程式（Algebraic Formula）について。

* (2020年05月02日)初投稿
* (2021年03月以降)Tex,pyrhon部を追加。

冒頭言は内容が古くなったので差し替えます。
[【数理考古学】とある実数列の規定例①等差数列から加法整数群へ](https://qiita.com/ochimusha01/items/07ae45b915bb1aa6c9f5)
[【数理考古学】とある実数列の規定例②等比数列から乗法群へ](https://qiita.com/ochimusha01/items/58afced6ea8bebf391c7)
[【数理考古学】とある実数列の規定例③オイラーの等式が意味するもの？](https://qiita.com/ochimusha01/items/04ffa772d548a6b64310)

##それでは代数方程式(<font color="blue">Algebraic Formula</font>)とは何か？

吉田武「**オイラーの贈物**」「**基礎理論**(<font color="blue">Basic Theory</font>)」より…

>**実数**（<font color="blue">Real Number</font>）は**有理数**と**無理数**から構成されている。**有理数**（<font color="blue">Rational Number</font>）」とは**比**（<font color="blue">Ratio</font>）で書ける数、整数も含めた広い意味での分数の事であり、**無理数**（<font color="blue">Irrational Number</font>）とはかかる表現が不可能な数をいう。
<font color="green">＊こうした立場からすると両者は「**有比数**」「**無比数**」と呼ぶのが正しい。</font>

- **式**（<font color="blue">Formula</font>）において、数や文字の掛け算で表された一つの単位を**項**（<font color="blue">Term</font>）という。また、項の中で注目している文字以外の文字や数を**係数**（<font color="blue">Coefficient</font>）という。
- 一つの項からなる式を**単項式**（<font color="blue">Monomial</font>）」、複数の項からなる式を**多項式**（<font color="blue">Polynomial</font>）」あるいは**整式**（<font color="blue">Integral Expression</font>）」という。
- 二つの多項式の割り算すなわち**商**(<font color="blue">Quotient</font>)」の形で与えられる式を**有理式**（<font color="blue">Rational Expression</font>)あるいは**分数式**（<font color="blue">Fractional Expression</font>）」という。これは数の概念における整数から有理数への拡張の、式の概念に対する敷衍となっている。
- また<font color="green">k</font>個の<font color="green">a</font>の積を<font color="green">a^k</font>と書き<font color="green">aのk乗</font>と読む。この<font color="green">k</font>を**指数**（<font color="blue">Expornent</font>）という。

そレではいよいよ本題の**代数方程式**（<font color="green">Algebraic Formula</font>）の定義に入ります。
[代数方程式の性質 [物理のかぎしっぽ]]
(http://hooktail.sub.jp/algebra/AlgebraicEq/)

吉田武「**オイラーの贈物**」「**基礎理論**(<font color="blue">Basic Theory</font>)」より…

>数学において**公式**(<font color="blue">Fomura</font>)とは多くの場合**恒等式**(<font color="blue">Identity</font>)を意味するが、その定義は「<font color="red">どの様な値を代入しても両辺が等しくなる</font>」式である。
>
>これに対し「<font color="red">ある特定の値でなければ統合が成立しない式</font>」を**方程式**(<font color="blue">Equatation</font>)と呼び、その値を**根**(<font color="blue">Root</font>)あるいは**解**(<font color="blue">Solution</font>)と言う。

- 求めるべき量を**未知数**(<font color="blue">Unknown</font>)といい<font color="green">x</font>,<font color="green">y</font>,<font color="green">z</font>などのアルファベット後半の文字を使う。一方、**定数値**は<font color="green">a</font>,<font color="green">b</font>,<font color="green">c</font>など前半の文字を使うのが慣例である。<br>[数学でよく使う記号、アルファベット、ギリシャ文字](https://www.5ka9.com/2014/04/math-4.html)
- 特に**未知数**が**冪**(<font color="blue">べき、power</font>)による多項式の形式で与えられた方程式を**代数方程式**(<font color="blue">Algebraic Equitation</font>)という。**冪**は**累乗**ともいう。未知の指数をその項の**次数**(<font color="blue">Degree</font>)といい、一番大きい**次数**をもってその方程式の**次数**という。<br>[【式の計算】 単項式と多項式の次数の数え方](https://chu.benesse.co.jp/qat/289_m.html)
- 大数学者**ガウス**(<font color="blue">C.F.Gauss, 1777年〜1855年</font>
)は「<font color="red">n次代数方程式はn個の根を複素数の範囲に持つ</font>」事を証明した。これは**代数学の基本定理**と呼ばれている。<br>[代数学の基本定理とその初等的な証明](https://mathtrain.jp/algebrabasic)

もっと単純化すると…

[代数方程式と超越方程式の解法](http://hooktail.sub.jp/algebra/FundamentalTheorem/)

>未知数xを含む**方程式**（<font color="green">Formula</font>）<font color="green">f(x)=0</font>には様々な形式があり、このうち**代数的演算**（<font color="blue">Algebraic operations、加減算、乗除算、冪根</font>）を有限回用いて表せるものを**代数方程式**（<font color="blue">Algebraic Formula</font>）という。

```R
#代数的演算
3+2
[1] 5
3-2
[1] 1
3*2
[1] 6
3/2
[1] 1.5
3^2
[1] 9
#平方根
sqrt(2)
[1] 1.414214
2^0.5
[1] 1.414214
#三乗根
2^(1/3)
[1] 1.259921
```

##一次方程式（<font color="blue">Equitation of First Degree,Linear Equitation</font>）

吉田武「**オイラーの贈物**」「**基礎理論**(<font color="blue">Basic Theory</font>)」より…

>**代数方程式**の最も簡単な例は<font color="green">x</font>の**一次方程式**（<font color="blue">Equitation of First Degree,Linear Equitation</font>）<font color="green">ax+b=0</font>である。
>
><font color="green">x</font>の**係数**<font color="green">a≠0</font>の時、**定数項**(<font color="blue">Constant Term</font>)を**移項**(<font color="blue">Transposition</font>)し、両辺を<font color="green">a</font>で割って**一次方程式の根の公式**<font color="green">x=-b/a</font>を得る。
>
>**係数**<font color="green">a=0</font>で、さらに<font color="green">b=0</font>の時、方程式は**不定**(<font color="blue">Indeterminate</font>)といい、この時**根**は無数に存在する。<font color="green">b≠0</font>の時は**不能**(<font color="blue">Inconsistent</font>)といい、この場合**根**は一つも存在しない。

###**不定**(<font color="blue">Indeterminate</font>)の場合
<font color="green">x</font>の**方程式**<font color="green">x*0-0==0</font>を解くと<font color="green">x=x</font>となる。

Rの場合

```R
library(Ryacas)
yacas("Solve(x*0-0==0,x)")
[1] "{x==x}"
```
pythonの場合

```python
import sympy
sympy.var('x')
Sol1=sympy.solve (x*0-0==0, x)
sympy.init_printing()

if Sol1==[]:
    print("Can't solve!!")
else:
    display(Sol1[0]) 
    print(sympy.latex(Sol1[0]))

#出力
Can't solve!!
```
###**不能**(<font color="blue">Inconsistent</font>)の場合
<font color="green">x</font>の**方程式**<font color="green">x*0-b=0</font>を解くと<font color="green">{}</font>(<font color="blue">解なし</font>)となる。<font color="green">b</font>の値が何であっても結果は変わらない。

```R
library(Ryacas)
yacas("Solve(x*0-b==0,x)")
[1] "{}"
yacas("Solve(x*0-3==0,x)")
[1] "{}"
yacas("Solve(x*0-5==0,x)")
[1] "{}"
```
pythonの場合

```python
import sympy
sympy.var('x,b')
Sol1=sympy.solve (x*0-b==0, x)
sympy.init_printing()

if Sol1==[]:
    print("Can't solve!!")
else:
    display(Sol1[0]) 
    print(sympy.latex(Sol1[0]))

#出力
Can't solve!!
```

###<font color="green">x-2=0</font>の場合

- 左辺の**定数項**<font color="green">-2</font>を右辺に**移項**し<font color="green">2</font>とする。

あるいは

- 両辺に<font color="green">2</font>を加える。

どちらも結果は<font color="green">x=2</font>となる。

Rの場合

```R
#統計言語R（with YACAS）による実行例
library(Ryacas)
yacas("Solve(x-2==0,x)")
Yacas vector:
[1] x == 2
```
pythonの場合

```python
import sympy
sympy.var('x')
Sol1=sympy.solve (x-2, x)
sympy.init_printing()

if Sol1==[]:
    print("Can't solve!!")
else:
    display(Sol1[0]) 
    print(sympy.latex(Sol1[0]))

#出力
2
2
```

###<font color="green">2x+6=0</font>の場合

- 両辺から<font color="green">6</font>を引く。
- 両辺を<font color="green">2</font>で割る。

答えは<font color="green">x=-3</font>となる。

Rの場合

```R
#統計言語R（with YACAS）による実行例
library(Ryacas)
yacas("Solve(2*x+6==0,x)")
Yacas vector:
[1] x == -3
```
pythonの場合

```python
import sympy
sympy.var('x')
Sol1=sympy.solve (2*x+6, x)
sympy.init_printing()

if Sol1==[]:
    print("Can't solve!!")
else:
    display(Sol1[0]) 
    print(sympy.latex(Sol1[0]))

#出力
-3
-3
```
##二次方程式（<font color="blue">Equitation of Second Degree,Quadratic Equitation</font>）

###基本中の基本ax^2+bx+c==0の場合
Rの場合

```R
#統計言語R（with YACAS）による実行例
library(Ryacas)
yac("Solve(a*x^2+b*x+c==0,x)")
[1] "{x==(Sqrt(b^2-4*a*c)-b)/(2*a),x==(-(b+Sqrt(b^2-4*a*c)))/(2*a)}"
```
pythonの場合

```python
import sympy
sympy.var('x,a,b,c')
Sol1=sympy.solve ((a*x)**2+b*x+c, x)
sympy.init_printing()

if Sol1==[]:
    print("Can't solve!!")
else:
    for i in Sol1:
        display(i) 
        print(sympy.latex(i))
```
```math
\frac{- b + \sqrt{- 4 a^{2} c + b^{2}}}{2 a^{2}}\\
- \frac{b + \sqrt{- 4 a^{2} c + b^{2}}}{2 a^{2}}
```
###ax^2-b=0の場合

- ax^2=bに変形。
- x^2=b/aに変形。
- x=±sqrt(b/a)に変形。

よって答えは±sqrt(b/a)の２つとなる。

Rの場合

```R
#統計言語R（with YACAS）による実行例
library(Ryacas)
yacas("Solve(a*x^2+b==0,x)")
Yacas vector:
[1] x == root(abs(b/a), 2) * complex_cartesian(cos(argument(-(b/a))/2), sin(argument(-(b/a))/2)) 
[2] x == root(abs(b/a), 2) * complex_cartesian(cos((argument(-(b/a)) + 2 * pi)/2), sin((argument(-(b/a)) + 2 * pi)/2))
```
pythonの場合

```python
import sympy
sympy.var('x,a,b')
Sol1=sympy.solve (a*x**2+b, x)
sympy.init_printing()

if Sol1==[]:
    print("Can't solve!!")
else:
    display(Sol1[0]) 
    print(sympy.latex(Sol1[0]))
```

```math
- \sqrt{- \frac{b}{a}}
```

###2x^2-1=0の場合

- 2x^2=1に変形
- x^2=1/2に変形
- x=±sqrt(1/2)に変形

よって答えは±sqrt(1/2)の２つとなる。

Rの場合

```R
#統計言語R（with YACAS）による実行例
library(Ryacas)
yacas("Solve(2*x^2-1==0,x)")
Yacas vector:
[1] x == root(1/2, 2) x == -root(1/2, 2) 
sqrt(1/2)
[1] 0.7071068
-sqrt(1/2)
[1] -0.7071068
```
pythonの場合

```python
import sympy
sympy.var('x')
Sol1=sympy.solve (2*x**2-1, x)
sympy.init_printing()

if Sol1==[]:
    print("Can't solve!!")
else:
    display(Sol1[0]) 
    print(sympy.latex(Sol1[0]))
```

```math
- \frac{\sqrt{2}}{2}
```
<font color="red">ただし代数方程式の解き方は1種類とは限りません。</font>

###(x+m)^2-n=0の場合

- (x+m)^2=nに変形
- 平方根を取るとx+m=±sqrt(n)
- x=±sqrt(n)-mに変形

よって答えは±sqrt(n)-mの２つとなる。

Rの場合

```R
#統計言語R（with YACAS）による実行例
library(Ryacas)
yacas("Solve((x+m)^2-n==0,x)")
Yacas vector:
[1] x == (root(4 * m^2 - 4 * (m^2 - n), 2) - 2 * m)/2 x == -(2 * m + root(4 * m^2 - 4 * (m^2 - n), 2))/2
```
pythonの場合

```python
import sympy
sympy.var('x,m,n')
Sol1=sympy.solve ((x+m)**2-n, x)
sympy.init_printing()

if Sol1==[]:
    print("Can't solve!!")
else:
    for i in Sol1:
        display(i) 
        print(sympy.latex(i))
```

```math
- m - \sqrt{n}\\- m + \sqrt{n}
```

###(x+2)^2-3=0の場合

- (x+2)^2=3に変形
- 平方根を取るとx+2=±sqrt(3)
- x=±sqrt(3)-2に変形

よって答えは±sqrt(3)-2の２つとなる。 

Rの場合

```R
#統計言語R（with YACAS）による実行例

library(Ryacas)
yacas("Solve((x+2)^2-3==0,x)")
Yacas vector:
[1] x == (root(12, 2) - 4)/2 x == -(root(12, 2) + 4)/2
#＋の場合の解答
sqrt(3)-2
[1] -0.2679492
(sqrt(12)-4)/2
[1] -0.2679492

#－の場合の解答
-(sqrt(3)-2)
[1] 0.2679492
-(sqrt(12)-4)/2
[1] 0.2679492
```
pythonの場合

```python
import sympy
sympy.var('x')
Sol1=sympy.solve ((x+2)**2-3, x)
sympy.init_printing()

if Sol1==[]:
    print("Can't solve!!")
else:
    for i in Sol1:
        display(i) 
        print(sympy.latex(i))
```

```math
-2 - \sqrt{3}\\-2 + \sqrt{3}
```
###ax^2+bx+c=0あるいはax^2+2bx+c=0の場合

以下の**根の公式**（<font color="blue">Root formula<</font>）を使う。

- ax^2+bx+cの場合、</font color="green">x=(-b±sqrt(b^2-4ac))/2a</font>
- ax^2+2bx+cの場合、</font color="green">x=(-b±sqrt(b^2-ac))/a</font>

これは因数分解出来なくても解けるパターンとなる。

Rの場合

```R
#統計言語R（with YACAS）による実行例
library(Ryacas)
yacas("Solve((a*x)^2+b*x+c==0,x)")
Yacas vector:
[1] x == (root(b^2 - 4 * (a^2 * c), 2) - b)/(2 * a^2) x == -(b + root(b^2 - 4 * (a^2 * c), 2))/(2 * a^2)
yacas("Solve((a*x)^2+2*b*x+c==0,x)")
Yacas vector:
[1] x == (root(4 * b^2 - 4 * (a^2 * c), 2) - 2 * b)/(2 * a^2) x == -(2 * b + root(4 * b^2 - 4 * (a^2 * c), 2))/(2 * a^2)
```
pythonの場合

```python
import sympy
sympy.var('x,a,b,c')
Sol1=sympy.solve ((a*x)**2+b*x+c, x)
sympy.init_printing()

if Sol1==[]:
    print("Can't solve!!")
else:
    for i in Sol1:
        display(i) 
        print(sympy.latex(i))
```

```math
\frac{- b + \sqrt{- 4 a^{2} c + b^{2}}}{2 a^{2}}\\- \frac{b + \sqrt{- 4 a^{2} c + b^{2}}}{2 a^{2}}
```
[根の公式](http://aozoragakuen.sakura.ne.jp/taiwa/taiwaNch02/node5.html)

>結論的にいえば，二次方程式の重解の場合，「1つしかない」のが「解」であり 「同じものが2つある」のが「根」である．
>異なる概念を混同しているのが今の高校教科書である．
>「根」はrootから来ている言葉だ． 「根」という言葉は今の高校数学では「根号」とか「平方根」というところに残っているだけだ． しかし√という記号はもともとrootのrから来ているのだから， 毎日「根」は使っている．
>「根」は「根っこ」であり「大地」である． こんなすばらしい言葉を高校数学から追放した現在の教科書の罪は深い。 

###x^2-3x+2=0の場合

- 根の公式</font color="green">x=(-b±sqrt(b^2-4ac))/2a</font>から(-(-3)±sqrt((-3)^2-4*1*2))/(2*1)=(3±1)/2

よって答えは1と2の２つとなる。

Rの場合

```R
#統計言語R（with YACAS）による実行例
library(Ryacas)
yacas("Solve(x^2-3*x+2==0,x)")
Yacas vector:
[1] x == 1 x == 2
yacas("Solve((1*x)^2+(-3)*x+2==0,x)")
Yacas vector:
[1] x == 1 x == 2
```
pythonの場合

```python
import sympy
sympy.var('x,a,b,c')
Sol1=sympy.solve ((a*x)**2+b*x+c, x)
sympy.init_printing()

if Sol1==[]:
    print("Can't solve!!")
else:
    for i in Sol1:
        display(i) 
        print(sympy.latex(i))
```

```math
1\\2
```

###因数分解が可能な場合

因数分解を行うには</font color="green">acx^2+(ad+bc)x+bd=0→(ax+b)(cx+d)=0</font>の関係に注目して定数</font color="green">a,b,c,d</font>を決定する必要がある。具体的には二次方程式の各係数から次の「**たすき掛け**」関係を満たす値を試行錯誤して発見する。
![20191219204756.png](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/597772/302a2178-127e-6e05-ed43-fe69f301051c.png)
x^2-3x+2=0の例では
![20191219204856.png](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/597772/77e28ba8-dbbd-e207-df7c-4679c4fec734.png)
より、a=1,b=-1,c=1,d=-2となり

- x^2-3x+2=(x-1)(b-2)=0

よってx=1 or x=2となる。

Rの場合

```R
#統計言語R（with YACAS）による実行例
library(Ryacas)
yacas("Factor(x^2-3*x+2)")
expression((x - 2) * (x - 1))
yacas("Simplify((x-2)*(x-1))")
expression(x^2 - 3 * x + 2)
```
pythonの場合

```python
import sympy
sympy.var('x')
a=sympy.factor(x**2-3*x+2)
b=sympy.simplify(a)
sympy.init_printing()
display(b) 
print(sympy.latex(b))
```

```math
\left(x - 2\right) \left(x - 1\right)
```
##三次方程式（<font color="blue">Cubic Equation</font>）
[Python (SymPy) で方程式・連立方程式を解く、数列を求める](https://pianofisica.hatenablog.com/entry/2019/04/04/233515)

Rの場合

```R
#統計言語R（with YACAS）による実行例
library(Ryacas)
yac("Solve(a*x^3+b*x^2+c*x+d==0,x)")

[1] "{x==((9*a*b*c-27*a^2*d-2*b^3)/(54*a^3)+Sqrt(((3*a*c-b^2)/(9*a^2))^3+((9*a*b*c-27*a^2*d-2*b^3)/(54*a^3))^2))^(1/3)+((9*a*b*c-27*a^2*d-2*b^3)/(54*a^3)-Sqrt(((3*a*c-b^2)/(9*a^2))^3+((9*a*b*c-27*a^2*d-2*b^3)/(54*a^3))^2))^(1/3)-b/(3*a),x==Complex(-(b/(3*a)+(((9*a*b*c-27*a^2*d-2*b^3)/(54*a^3)+Sqrt(((3*a*c-b^2)/(9*a^2))^3+((9*a*b*c-27*a^2*d-2*b^3)/(54*a^3))^2))^(1/3)+((9*a*b*c-27*a^2*d-2*b^3)/(54*a^3)-Sqrt(((3*a*c-b^2)/(9*a^2))^3+((9*a*b*c-27*a^2*d-2*b^3)/(54*a^3))^2))^(1/3))/2),Sqrt(3/4)*(((9*a*b*c-27*a^2*d-2*b^3)/(54*a^3)+Sqrt(((3*a*c-b^2)/(9*a^2))^3+((9*a*b*c-27*a^2*d-2*b^3)/(54*a^3))^2))^(1/3)-((9*a*b*c-27*a^2*d-2*b^3)/(54*a^3)-Sqrt(((3*a*c-b^2)/(9*a^2))^3+((9*a*b*c-27*a^2*d-2*b^3)/(54*a^3))^2))^(1/3))),x==Complex(-(b/(3*a)+(((9*a*b*c-27*a^2*d-2*b^3)/(54*a^3)+Sqrt(((3*a*c-b^2)/(9*a^2))^3+((9*a*b*c-27*a^2*d-2*b^3)/(54*a^3))^2))^(1/3)+((9*a*b*c-27*a^2*d-2*b^3)/(54*a^3)-Sqrt(((3*a*c-b^2)/(9*a^2))^3+((9*a*b*c-27*a^2*d-2*b^3)/(54*a^3))^2))^(1/3))/2),-Sqrt(3/4)*(((9*a*b*c-27*a^2*d-2*b^3)/(54*a^3)+Sqrt(((3*a*c-b^2)/(9*a^2))^3+((9*a*b*c-27*a^2*d-2*b^3)/(54*a^3))^2))^(1/3)-((9*a*b*c-27*a^2*d-2*b^3)/(54*a^3)-Sqrt(((3*a*c-b^2)/(9*a^2))^3+((9*a*b*c-27*a^2*d-2*b^3)/(54*a^3))^2))^(1/3)))}"
```

Pythonの場合

```python
import sympy
sympy.var('x,a,b,c,d')
Sol1=sympy.solve (a*x**3+b*x**2+c*x+d,x)
sympy.init_printing()

if Sol1==[]:
    print("Can't solve!!")
else:
    for i in Sol1:
        display(i) 
        print(sympy.latex(i))
```
解1

```math
- \frac{- \frac{3 c}{a} + \frac{b^{2}}{a^{2}}}{3 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{- 4 \left(- \frac{3 c}{a} + \frac{b^{2}}{a^{2}}\right)^{3} + \left(\frac{27 d}{a} - \frac{9 b c}{a^{2}} + \frac{2 b^{3}}{a^{3}}\right)^{2}}}{2} + \frac{27 d}{2 a} - \frac{9 b c}{2 a^{2}} + \frac{b^{3}}{a^{3}}}} - \frac{\sqrt[3]{\frac{\sqrt{- 4 \left(- \frac{3 c}{a} + \frac{b^{2}}{a^{2}}\right)^{3} + \left(\frac{27 d}{a} - \frac{9 b c}{a^{2}} + \frac{2 b^{3}}{a^{3}}\right)^{2}}}{2} + \frac{27 d}{2 a} - \frac{9 b c}{2 a^{2}} + \frac{b^{3}}{a^{3}}}}{3} - \frac{b}{3 a}
```
解2

```math
- \frac{- \frac{3 c}{a} + \frac{b^{2}}{a^{2}}}{3 \left(- \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2}\right) \sqrt[3]{\frac{\sqrt{- 4 \left(- \frac{3 c}{a} + \frac{b^{2}}{a^{2}}\right)^{3} + \left(\frac{27 d}{a} - \frac{9 b c}{a^{2}} + \frac{2 b^{3}}{a^{3}}\right)^{2}}}{2} + \frac{27 d}{2 a} - \frac{9 b c}{2 a^{2}} + \frac{b^{3}}{a^{3}}}} - \frac{\left(- \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2}\right) \sqrt[3]{\frac{\sqrt{- 4 \left(- \frac{3 c}{a} + \frac{b^{2}}{a^{2}}\right)^{3} + \left(\frac{27 d}{a} - \frac{9 b c}{a^{2}} + \frac{2 b^{3}}{a^{3}}\right)^{2}}}{2} + \frac{27 d}{2 a} - \frac{9 b c}{2 a^{2}} + \frac{b^{3}}{a^{3}}}}{3} - \frac{b}{3 a}
```
解3

```math
- \frac{- \frac{3 c}{a} + \frac{b^{2}}{a^{2}}}{3 \left(- \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2}\right) \sqrt[3]{\frac{\sqrt{- 4 \left(- \frac{3 c}{a} + \frac{b^{2}}{a^{2}}\right)^{3} + \left(\frac{27 d}{a} - \frac{9 b c}{a^{2}} + \frac{2 b^{3}}{a^{3}}\right)^{2}}}{2} + \frac{27 d}{2 a} - \frac{9 b c}{2 a^{2}} + \frac{b^{3}}{a^{3}}}} - \frac{\left(- \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2}\right) \sqrt[3]{\frac{\sqrt{- 4 \left(- \frac{3 c}{a} + \frac{b^{2}}{a^{2}}\right)^{3} + \left(\frac{27 d}{a} - \frac{9 b c}{a^{2}} + \frac{2 b^{3}}{a^{3}}\right)^{2}}}{2} + \frac{27 d}{2 a} - \frac{9 b c}{2 a^{2}} + \frac{b^{3}}{a^{3}}}}{3} - \frac{b}{3 a}
```

##四次方程式（<font color="blue">Quartic Equation</font>）
[Python (SymPy) で方程式・連立方程式を解く、数列を求める](https://pianofisica.hatenablog.com/entry/2019/04/04/233515)

Rの場合

```R
#統計言語R（with YACAS）による実行例
library(Ryacas)
yac("Solve(a*x^4+b*x^3+c*x^2+d*x+e==0,x)")

[1] "{x==(Sqrt((b/(2*a)+((((((((b*d)/a^2-(4*e)/a)*(-9)*c)/a-27*((4*c*e)/a^2-(d/a)^2-((b/a)^2*e)/a)-2*(-c/a)^3)/54+Sqrt(((3*((b*d)/a^2-(4*e)/a)-(c/a)^2)/9)^3+(((((b*d)/a^2-(4*e)/a)*(-9)*c)/a-27*((4*c*e)/a^2-(d/a)^2-((b/a)^2*e)/a)-2*(-c/a)^3)/54)^2))^(1/3)+(((((b*d)/a^2-(4*e)/a)*(-9)*c)/a-27*((4*c*e)/a^2-(d/a)^2-((b/a)^2*e)/a)-2*(-c/a)^3)/54-Sqrt(((3*((b*d)/a^2-(4*e)/a)-(c/a)^2)/9)^3+(((((b*d)/a^2-(4*e)/a)*(-9)*c)/a-27*((4*c*e)/a^2-(d/a)^2-((b/a)^2*e)/a)-2*(-c/a)^3)/54)^2))^(1/3)+c/(3*a))*b)/a-(2*d)/a)/(4*Sqrt(((((((b*d)/a^2-(4*e)/a)*(-9)*c)/a-27*((4*c*e)/a^2-(d/a)^2-((b/a)^2*e)/a)-2*(-c/a)^3)/54+Sqrt(((3*((b*d)/a^2-(4*e)/a)-(c/a)^2)/9)^3+(((((b*d)/a^2-(4*e)/a)*(-9)*c)/a-27*((4*c*e)/a^2-(d/a)^2-((b/a)^2*e)/a)-2*(-c/a)^3)/54)^2))^(1/3)+(((((b*d)/a^2-(4*e)/a)*(-9)*c)/a-27*((4*c*e)/a^2-(d/a)^2-((b/a)^2*e)/a)-2*(-c/a)^3)/54-Sqrt(((3*((b*d)/a^2-(4*e)/a)-(c/a)^2)/9)^3+(((((b*d)/a^2-(4*e)/a)*(-9)*c)/a-27*((4*c*e)/a^2-(d/a)^2-((b/a)^2*e)/a)-2*(-c/a)^3)/54)^2))^(1/3)+c/(3*a))^2/4-e/a)))^2-4*(((((((b*d)/a^2-(4*e)/a)*(-9)*c)/a-27*((4*c*e)/a^2-(d/a)^2-((b/a)^2*e)/a)-2*(-c/a)^3)/54+Sqrt(((3*((b*d)/a^2-(4*e)/a)-(c/a)^2)/9)^3+(((((b*d)/a^2-(4*e)/a)*(-9)*c)/a-27*((4*c*e)/a^2-(d/a)^2-((b/a)^2*e)/a)-2*(-c/a)^3)/54)^2))^(1/3)+(((((b*d)/a^2-(4*e)/a)*(-9)*c)/a-27*((4*c*e)/a^2-(d/a)^2-((b/a)^2*e)/a)-2*(-c/a)^3)/54-Sqrt(((3*((b*d)/a^2-(4*e)/a)-(c/a)^2)/9)^3+(((((b*d)/a^2-(4*e)/a)*(-9)*c)/a-27*((4*c*e)/a^2-(d/a)^2-((b/a)^2*e)/a)-2*(-c/a)^3)/54)^2))^(1/3)+c/(3*a))/2+Sqrt(((((((b*d)/a^2-(4*e)/a)*(-9)*c)/a-27*((4*c*e)/a^2-(d/a)^2-((b/a)^2*e)/a)-2*(-c/a)^3)/54+Sqrt(((3*((b*d)/a^2-(4*e)/a)-(c/a)^2)/9)^3+(((((b*d)/a^2-(4*e)/a)*(-9)*c)/a-27*((4*c*e)/a^2-(d/a)^2-((b/a)^2*e)/a)-2*(-c/a)^3)/54)^2))^(1/3)+(((((b*d)/a^2-(4*e)/a)*(-9)*c)/a-27*((4*c*e)/a^2-(d/a)^2-((b/a)^2*e)/a)-2*(-c/a)^3)/54-Sqrt(((3*((b*d)/a^2-(4*e)/a)-(c/a)^2)/9)^3+(((((b*d)/a^2-(4*e)/a)*(-9)*c)/a-27*((4*c*e)/a^2-(d/a)^2-((b/a)^2*e)/a)-2*(-c/a)^3)/54)^2))^(1/3)+c/(3*a))^2/4-e/a)))-(b/(2*a)+((((((((b*d)/a^2-(4*e)/a)*(-9)*c)/a-27*((4*c*e)/a^2-(d/a)^2-((b/a)^2*e)/a)-2*(-c/a)^3)/54+Sqrt(((3*((b*d)/a^2-(4*e)/a)-(c/a)^2)/9)^3+(((((b*d)/a^2-(4*e)/a)*(-9)*c)/a-27*((4*c*e)/a^2-(d/a)^2-((b/a)^2*e)/a)-2*(-c/a)^3)/54)^2))^(1/3)+(((((b*d)/a^2-(4*e)/a)*(-9)*c)/a-27*((4*c*e)/a^2-(d/a)^2-((b/a)^2*e)/a)-2*(-c/a)^3)/54-Sqrt(((3*((b*d)/a^2-(4*e)/a)-(c/a)^2)/9)^3+(((((b*d)/a^2-(4*e)/a)*(-9)*c)/a-27*((4*c*e)/a^2-(d/a)^2-((b/a)^2*e)/a)-2*(-c/a)^3)/54)^2))^(1/3)+c/(3*a))*b)/a-(2*d)/a)/(4*Sqrt(((((((b*d)/a^2-(4*e)/a)*(-9)*c)/a-27*((4*c*e)/a^2-(d/a)^2-((b/a)^2*e)/a)-2*(-c/a)^3)/54+Sqrt(((3*((b*d)/a^2-(4*e)/a)-(c/a)^2)/9)^3+(((((b*d)/a^2-(4*e)/a)*(-9)*c)/a-27*((4*c*e)/a^2-(d/a)^2-((b/a)^2*e)/a)-2*(-c/a)^3)/54)^2))^(1/3)+(((((b*d)/a^2-(4*e)/a)*(-9)*c)/a-27*((4*c*e)/a^2-(d/a)^2-((b/a)^2*e)/a)-2*(-c/a)^3)/54-Sqrt(((3*((b*d)/a^2-(4*e)/a)-(c/a)^2)/9)^3+(((((b*d)/a^2-(4*e)/a)*(-9)*c)/a-27*((4*c*e)/a^2-(d/a)^2-((b/a)^2*e)/a)-2*(-c/a)^3)/54)^2))^(1/3)+c/(3*a))^2/4-e/a))))/2,x==(-(b/(2*a)+((((((((b*d)/a^2-(4*e)/a)*(-9)*c)/a-27*((4*c*e)/a^2-(d/a)^2-((b/a)^2*e)/a)-2*(-c/a)^3)/54+Sqrt(((3*((b*d)/a^2-(4*e)/a)-(c/a)^2)/9)^3+(((((b*d)/a^2-(4*e)/a)*(-9)*c)/a-27*((4*c*e)/a^2-(d/a)^2-((b/a)^2*e)/a)-2*(-c/a)^3)/54)^2))^(1/3)+(((((b*d)/a^2-(4*e)/a)*(-9)*c)/a-27*((4*c*e)/a^2-(d/a)^2-((b/a)^2*e)/a)-2*(-c/a)^3)/54-Sqrt(((3*((b*d)/a^2-(4*e)/a)-(c/a)^2)/9)^3+(((((b*d)/a^2-(4*e)/a)*(-9)*c)/a-27*((4*c*e)/a^2-(d/a)^2-((b/a)^2*e)/a)-2*(-c/a)^3)/54)^2))^(1/3)+c/(3*a))*b)/a-(2*d)/a)/(4*Sqrt(((((((b*d)/a^2-(4*e)/a)*(-9)*c)/a-27*((4*c*e)/a^2-(d/a)^2-((b/a)^2*e)/a)-2*(-c/a)^3)/54+Sqrt(((3*((b*d)/a^2-(4*e)/a)-(c/a)^2)/9)^3+(((((b*d)/a^2-(4*e)/a)*(-9)*c)/a-27*((4*c*e)/a^2-(d/a)^2-((b/a)^2*e)/a)-2*(-c/a)^3)/54)^2))^(1/3)+(((((b*d)/a^2-(4*e)/a)*(-9)*c)/a-27*((4*c*e)/a^2-(d/a)^2-((b/a)^2*e)/a)-2*(-c/a)^3)/54-Sqrt(((3*((b*d)/a^2-(4*e)/a)-(c/a)^2)/9)^3+(((((b*d)/a^2-(4*e)/a)*(-9)*c)/a-27*((4*c*e)/a^2-(d/a)^2-((b/a)^2*e)/a)-2*(-c/a)^3)/54)^2))^(1/3)+c/(3*a))^2/4-e/a))+Sqrt((b/(2*a)+((((((((b*d)/a^2-(4*e)/a)*(-9)*c)/a-27*((4*c*e)/a^2-(d/a)^2-((b/a)^2*e)/a)-2*(-c/a)^3)/54+Sqrt(((3*((b*d)/a^2-(4*e)/a)-(c/a)^2)/9)^3+(((((b*d)/a^2-(4*e)/a)*(-9)*c)/a-27*((4*c*e)/a^2-(d/a)^2-((b/a)^2*e)/a)-2*(-c/a)^3)/54)^2))^(1/3)+(((((b*d)/a^2-(4*e)/a)*(-9)*c)/a-27*((4*c*e)/a^2-(d/a)^2-((b/a)^2*e)/a)-2*(-c/a)^3)/54-Sqrt(((3*((b*d)/a^2-(4*e)/a)-(c/a)^2)/9)^3+(((((b*d)/a^2-(4*e)/a)*(-9)*c)/a-27*((4*c*e)/a^2-(d/a)^2-((b/a)^2*e)/a)-2*(-c/a)^3)/54)^2))^(1/3)+c/(3*a))*b)/a-(2*d)/a)/(4*Sqrt(((((((b*d)/a^2-(4*e)/a)*(-9)*c)/a-27*((4*c*e)/a^2-(d/a)^2-((b/a)^2*e)/a)-2*(-c/a)^3)/54+Sqrt(((3*((b*d)/a^2-(4*e)/a)-(c/a)^2)/9)^3+(((((b*d)/a^2-(4*e)/a)*(-9)*c)/a-27*((4*c*e)/a^2-(d/a)^2-((b/a)^2*e)/a)-2*(-c/a)^3)/54)^2))^(1/3)+(((((b*d)/a^2-(4*e)/a)*(-9)*c)/a-27*((4*c*e)/a^2-(d/a)^2-((b/a)^2*e)/a)-2*(-c/a)^3)/54-Sqrt(((3*((b*d)/a^2-(4*e)/a)-(c/a)^2)/9)^3+(((((b*d)/a^2-(4*e)/a)*(-9)*c)/a-27*((4*c*e)/a^2-(d/a)^2-((b/a)^2*e)/a)-2*(-c/a)^3)/54)^2))^(1/3)+c/(3*a))^2/4-e/a)))^2-4*(((((((b*d)/a^2-(4*e)/a)*(-9)*c)/a-27*((4*c*e)/a^2-(d/a)^2-((b/a)^2*e)/a)-2*(-c/a)^3)/54+Sqrt(((3*((b*d)/a^2-(4*e)/a)-(c/a)^2)/9)^3+(((((b*d)/a^2-(4*e)/a)*(-9)*c)/a-27*((4*c*e)/a^2-(d/a)^2-((b/a)^2*e)/a)-2*(-c/a)^3)/54)^2))^(1/3)+(((((b*d)/a^2-(4*e)/a)*(-9)*c)/a-27*((4*c*e)/a^2-(d/a)^2-((b/a)^2*e)/a)-2*(-c/a)^3)/54-Sqrt(((3*((b*d)/a^2-(4*e)/a)-(c/a)^2)/9)^3+(((((b*d)/a^2-(4*e)/a)*(-9)*c)/a-27*((4*c*e)/a^2-(d/a)^2-((b/a)^2*e)/a)-2*(-c/a)^3)/54)^2))^(1/3)+c/(3*a))/2+Sqrt(((((((b*d)/a^2-(4*e)/a)*(-9)*c)/a-27*((4*c*e)/a^2-(d/a)^2-((b/a)^2*e)/a)-2*(-c/a)^3)/54+Sqrt(((3*((b*d)/a^2-(4*e)/a)-(c/a)^2)/9)^3+(((((b*d)/a^2-(4*e)/a)*(-9)*c)/a-27*((4*c*e)/a^2-(d/a)^2-((b/a)^2*e)/a)-2*(-c/a)^3)/54)^2))^(1/3)+(((((b*d)/a^2-(4*e)/a)*(-9)*c)/a-27*((4*c*e)/a^2-(d/a)^2-((b/a)^2*e)/a)-2*(-c/a)^3)/54-Sqrt(((3*((b*d)/a^2-(4*e)/a)-(c/a)^2)/9)^3+(((((b*d)/a^2-(4*e)/a)*(-9)*c)/a-27*((4*c*e)/a^2-(d/a)^2-((b/a)^2*e)/a)-2*(-c/a)^3)/54)^2))^(1/3)+c/(3*a))^2/4-e/a)))))/2,x==(((((((((b*d)/a^2-(4*e)/a)*(-9)*c)/a-27*((4*c*e)/a^2-(d/a)^2-((b/a)^2*e)/a)-2*(-c/a)^3)/54+Sqrt(((3*((b*d)/a^2-(4*e)/a)-(c/a)^2)/9)^3+(((((b*d)/a^2-(4*e)/a)*(-9)*c)/a-27*((4*c*e)/a^2-(d/a)^2-((b/a)^2*e)/a)-2*(-c/a)^3)/54)^2))^(1/3)+(((((b*d)/a^2-(4*e)/a)*(-9)*c)/a-27*((4*c*e)/a^2-(d/a)^2-((b/a)^2*e)/a)-2*(-c/a)^3)/54-Sqrt(((3*((b*d)/a^2-(4*e)/a)-(c/a)^2)/9)^3+(((((b*d)/a^2-(4*e)/a)*(-9)*c)/a-27*((4*c*e)/a^2-(d/a)^2-((b/a)^2*e)/a)-2*(-c/a)^3)/54)^2))^(1/3)+c/(3*a))*b)/a-(2*d)/a)/(4*Sqrt(((((((b*d)/a^2-(4*e)/a)*(-9)*c)/a-27*((4*c*e)/a^2-(d/a)^2-((b/a)^2*e)/a)-2*(-c/a)^3)/54+Sqrt(((3*((b*d)/a^2-(4*e)/a)-(c/a)^2)/9)^3+(((((b*d)/a^2-(4*e)/a)*(-9)*c)/a-27*((4*c*e)/a^2-(d/a)^2-((b/a)^2*e)/a)-2*(-c/a)^3)/54)^2))^(1/3)+(((((b*d)/a^2-(4*e)/a)*(-9)*c)/a-27*((4*c*e)/a^2-(d/a)^2-((b/a)^2*e)/a)-2*(-c/a)^3)/54-Sqrt(((3*((b*d)/a^2-(4*e)/a)-(c/a)^2)/9)^3+(((((b*d)/a^2-(4*e)/a)*(-9)*c)/a-27*((4*c*e)/a^2-(d/a)^2-((b/a)^2*e)/a)-2*(-c/a)^3)/54)^2))^(1/3)+c/(3*a))^2/4-e/a))-b/(2*a)+Sqrt((b/(2*a)-((((((((b*d)/a^2-(4*e)/a)*(-9)*c)/a-27*((4*c*e)/a^2-(d/a)^2-((b/a)^2*e)/a)-2*(-c/a)^3)/54+Sqrt(((3*((b*d)/a^2-(4*e)/a)-(c/a)^2)/9)^3+(((((b*d)/a^2-(4*e)/a)*(-9)*c)/a-27*((4*c*e)/a^2-(d/a)^2-((b/a)^2*e)/a)-2*(-c/a)^3)/54)^2))^(1/3)+(((((b*d)/a^2-(4*e)/a)*(-9)*c)/a-27*((4*c*e)/a^2-(d/a)^2-((b/a)^2*e)/a)-2*(-c/a)^3)/54-Sqrt(((3*((b*d)/a^2-(4*e)/a)-(c/a)^2)/9)^3+(((((b*d)/a^2-(4*e)/a)*(-9)*c)/a-27*((4*c*e)/a^2-(d/a)^2-((b/a)^2*e)/a)-2*(-c/a)^3)/54)^2))^(1/3)+c/(3*a))*b)/a-(2*d)/a)/(4*Sqrt(((((((b*d)/a^2-(4*e)/a)*(-9)*c)/a-27*((4*c*e)/a^2-(d/a)^2-((b/a)^2*e)/a)-2*(-c/a)^3)/54+Sqrt(((3*((b*d)/a^2-(4*e)/a)-(c/a)^2)/9)^3+(((((b*d)/a^2-(4*e)/a)*(-9)*c)/a-27*((4*c*e)/a^2-(d/a)^2-((b/a)^2*e)/a)-2*(-c/a)^3)/54)^2))^(1/3)+(((((b*d)/a^2-(4*e)/a)*(-9)*c)/a-27*((4*c*e)/a^2-(d/a)^2-((b/a)^2*e)/a)-2*(-c/a)^3)/54-Sqrt(((3*((b*d)/a^2-(4*e)/a)-(c/a)^2)/9)^3+(((((b*d)/a^2-(4*e)/a)*(-9)*c)/a-27*((4*c*e)/a^2-(d/a)^2-((b/a)^2*e)/a)-2*(-c/a)^3)/54)^2))^(1/3)+c/(3*a))^2/4-e/a)))^2-4*(((((((b*d)/a^2-(4*e)/a)*(-9)*c)/a-27*((4*c*e)/a^2-(d/a)^2-((b/a)^2*e)/a)-2*(-c/a)^3)/54+Sqrt(((3*((b*d)/a^2-(4*e)/a)-(c/a)^2)/9)^3+(((((b*d)/a^2-(4*e)/a)*(-9)*c)/a-27*((4*c*e)/a^2-(d/a)^2-((b/a)^2*e)/a)-2*(-c/a)^3)/54)^2))^(1/3)+(((((b*d)/a^2-(4*e)/a)*(-9)*c)/a-27*((4*c*e)/a^2-(d/a)^2-((b/a)^2*e)/a)-2*(-c/a)^3)/54-Sqrt(((3*((b*d)/a^2-(4*e)/a)-(c/a)^2)/9)^3+(((((b*d)/a^2-(4*e)/a)*(-9)*c)/a-27*((4*c*e)/a^2-(d/a)^2-((b/a)^2*e)/a)-2*(-c/a)^3)/54)^2))^(1/3)+c/(3*a))/2-Sqrt(((((((b*d)/a^2-(4*e)/a)*(-9)*c)/a-27*((4*c*e)/a^2-(d/a)^2-((b/a)^2*e)/a)-2*(-c/a)^3)/54+Sqrt(((3*((b*d)/a^2-(4*e)/a)-(c/a)^2)/9)^3+(((((b*d)/a^2-(4*e)/a)*(-9)*c)/a-27*((4*c*e)/a^2-(d/a)^2-((b/a)^2*e)/a)-2*(-c/a)^3)/54)^2))^(1/3)+(((((b*d)/a^2-(4*e)/a)*(-9)*c)/a-27*((4*c*e)/a^2-(d/a)^2-((b/a)^2*e)/a)-2*(-c/a)^3)/54-Sqrt(((3*((b*d)/a^2-(4*e)/a)-(c/a)^2)/9)^3+(((((b*d)/a^2-(4*e)/a)*(-9)*c)/a-27*((4*c*e)/a^2-(d/a)^2-((b/a)^2*e)/a)-2*(-c/a)^3)/54)^2))^(1/3)+c/(3*a))^2/4-e/a))))/2,x==(((((((((b*d)/a^2-(4*e)/a)*(-9)*c)/a-27*((4*c*e)/a^2-(d/a)^2-((b/a)^2*e)/a)-2*(-c/a)^3)/54+Sqrt(((3*((b*d)/a^2-(4*e)/a)-(c/a)^2)/9)^3+(((((b*d)/a^2-(4*e)/a)*(-9)*c)/a-27*((4*c*e)/a^2-(d/a)^2-((b/a)^2*e)/a)-2*(-c/a)^3)/54)^2))^(1/3)+(((((b*d)/a^2-(4*e)/a)*(-9)*c)/a-27*((4*c*e)/a^2-(d/a)^2-((b/a)^2*e)/a)-2*(-c/a)^3)/54-Sqrt(((3*((b*d)/a^2-(4*e)/a)-(c/a)^2)/9)^3+(((((b*d)/a^2-(4*e)/a)*(-9)*c)/a-27*((4*c*e)/a^2-(d/a)^2-((b/a)^2*e)/a)-2*(-c/a)^3)/54)^2))^(1/3)+c/(3*a))*b)/a-(2*d)/a)/(4*Sqrt(((((((b*d)/a^2-(4*e)/a)*(-9)*c)/a-27*((4*c*e)/a^2-(d/a)^2-((b/a)^2*e)/a)-2*(-c/a)^3)/54+Sqrt(((3*((b*d)/a^2-(4*e)/a)-(c/a)^2)/9)^3+(((((b*d)/a^2-(4*e)/a)*(-9)*c)/a-27*((4*c*e)/a^2-(d/a)^2-((b/a)^2*e)/a)-2*(-c/a)^3)/54)^2))^(1/3)+(((((b*d)/a^2-(4*e)/a)*(-9)*c)/a-27*((4*c*e)/a^2-(d/a)^2-((b/a)^2*e)/a)-2*(-c/a)^3)/54-Sqrt(((3*((b*d)/a^2-(4*e)/a)-(c/a)^2)/9)^3+(((((b*d)/a^2-(4*e)/a)*(-9)*c)/a-27*((4*c*e)/a^2-(d/a)^2-((b/a)^2*e)/a)-2*(-c/a)^3)/54)^2))^(1/3)+c/(3*a))^2/4-e/a))-b/(2*a)-Sqrt((b/(2*a)-((((((((b*d)/a^2-(4*e)/a)*(-9)*c)/a-27*((4*c*e)/a^2-(d/a)^2-((b/a)^2*e)/a)-2*(-c/a)^3)/54+Sqrt(((3*((b*d)/a^2-(4*e)/a)-(c/a)^2)/9)^3+(((((b*d)/a^2-(4*e)/a)*(-9)*c)/a-27*((4*c*e)/a^2-(d/a)^2-((b/a)^2*e)/a)-2*(-c/a)^3)/54)^2))^(1/3)+(((((b*d)/a^2-(4*e)/a)*(-9)*c)/a-27*((4*c*e)/a^2-(d/a)^2-((b/a)^2*e)/a)-2*(-c/a)^3)/54-Sqrt(((3*((b*d)/a^2-(4*e)/a)-(c/a)^2)/9)^3+(((((b*d)/a^2-(4*e)/a)*(-9)*c)/a-27*((4*c*e)/a^2-(d/a)^2-((b/a)^2*e)/a)-2*(-c/a)^3)/54)^2))^(1/3)+c/(3*a))*b)/a-(2*d)/a)/(4*Sqrt(((((((b*d)/a^2-(4*e)/a)*(-9)*c)/a-27*((4*c*e)/a^2-(d/a)^2-((b/a)^2*e)/a)-2*(-c/a)^3)/54+Sqrt(((3*((b*d)/a^2-(4*e)/a)-(c/a)^2)/9)^3+(((((b*d)/a^2-(4*e)/a)*(-9)*c)/a-27*((4*c*e)/a^2-(d/a)^2-((b/a)^2*e)/a)-2*(-c/a)^3)/54)^2))^(1/3)+(((((b*d)/a^2-(4*e)/a)*(-9)*c)/a-27*((4*c*e)/a^2-(d/a)^2-((b/a)^2*e)/a)-2*(-c/a)^3)/54-Sqrt(((3*((b*d)/a^2-(4*e)/a)-(c/a)^2)/9)^3+(((((b*d)/a^2-(4*e)/a)*(-9)*c)/a-27*((4*c*e)/a^2-(d/a)^2-((b/a)^2*e)/a)-2*(-c/a)^3)/54)^2))^(1/3)+c/(3*a))^2/4-e/a)))^2-4*(((((((b*d)/a^2-(4*e)/a)*(-9)*c)/a-27*((4*c*e)/a^2-(d/a)^2-((b/a)^2*e)/a)-2*(-c/a)^3)/54+Sqrt(((3*((b*d)/a^2-(4*e)/a)-(c/a)^2)/9)^3+(((((b*d)/a^2-(4*e)/a)*(-9)*c)/a-27*((4*c*e)/a^2-(d/a)^2-((b/a)^2*e)/a)-2*(-c/a)^3)/54)^2))^(1/3)+(((((b*d)/a^2-(4*e)/a)*(-9)*c)/a-27*((4*c*e)/a^2-(d/a)^2-((b/a)^2*e)/a)-2*(-c/a)^3)/54-Sqrt(((3*((b*d)/a^2-(4*e)/a)-(c/a)^2)/9)^3+(((((b*d)/a^2-(4*e)/a)*(-9)*c)/a-27*((4*c*e)/a^2-(d/a)^2-((b/a)^2*e)/a)-2*(-c/a)^3)/54)^2))^(1/3)+c/(3*a))/2-Sqrt(((((((b*d)/a^2-(4*e)/a)*(-9)*c)/a-27*((4*c*e)/a^2-(d/a)^2-((b/a)^2*e)/a)-2*(-c/a)^3)/54+Sqrt(((3*((b*d)/a^2-(4*e)/a)-(c/a)^2)/9)^3+(((((b*d)/a^2-(4*e)/a)*(-9)*c)/a-27*((4*c*e)/a^2-(d/a)^2-((b/a)^2*e)/a)-2*(-c/a)^3)/54)^2))^(1/3)+(((((b*d)/a^2-(4*e)/a)*(-9)*c)/a-27*((4*c*e)/a^2-(d/a)^2-((b/a)^2*e)/a)-2*(-c/a)^3)/54-Sqrt(((3*((b*d)/a^2-(4*e)/a)-(c/a)^2)/9)^3+(((((b*d)/a^2-(4*e)/a)*(-9)*c)/a-27*((4*c*e)/a^2-(d/a)^2-((b/a)^2*e)/a)-2*(-c/a)^3)/54)^2))^(1/3)+c/(3*a))^2/4-e/a))))/2}"
```

Pythonの場合

```python
import sympy
sympy.var('x,a,b,c,d,e')
Sol1=sympy.solve (a*x**4+b*x**3+c*x**2+d*x+e,x)
sympy.init_printing()

if Sol1==[]:
    print("Can't solve!!")
else:
    for i in Sol1:
        #display(i) 
        print(sympy.latex(i))
```
解1

```math
\begin{cases} - \frac{\sqrt{- 2 \sqrt[3]{- \frac{\left(\frac{c}{a} - \frac{3 b^{2}}{8 a^{2}}\right)^{3}}{108} + \frac{\left(\frac{c}{a} - \frac{3 b^{2}}{8 a^{2}}\right) \left(- \frac{b \left(\frac{b \left(- \frac{c}{16 a} + \frac{3 b^{2}}{256 a^{2}}\right)}{a} + \frac{d}{4 a}\right)}{a} + \frac{e}{a}\right)}{3} - \frac{\left(\frac{b \left(- \frac{c}{2 a} + \frac{b^{2}}{8 a^{2}}\right)}{a} + \frac{d}{a}\right)^{2}}{8}} - \frac{2 c}{3 a} + \frac{b^{2}}{4 a^{2}}}}{2} - \frac{\sqrt{\frac{\frac{2 b \left(- \frac{c}{2 a} + \frac{b^{2}}{8 a^{2}}\right)}{a} + \frac{2 d}{a}}{\sqrt{- 2 \sqrt[3]{- \frac{\left(\frac{c}{a} - \frac{3 b^{2}}{8 a^{2}}\right)^{3}}{108} + \frac{\left(\frac{c}{a} - \frac{3 b^{2}}{8 a^{2}}\right) \left(- \frac{b \left(\frac{b \left(- \frac{c}{16 a} + \frac{3 b^{2}}{256 a^{2}}\right)}{a} + \frac{d}{4 a}\right)}{a} + \frac{e}{a}\right)}{3} - \frac{\left(\frac{b \left(- \frac{c}{2 a} + \frac{b^{2}}{8 a^{2}}\right)}{a} + \frac{d}{a}\right)^{2}}{8}} - \frac{2 c}{3 a} + \frac{b^{2}}{4 a^{2}}}} + 2 \sqrt[3]{- \frac{\left(\frac{c}{a} - \frac{3 b^{2}}{8 a^{2}}\right)^{3}}{108} + \frac{\left(\frac{c}{a} - \frac{3 b^{2}}{8 a^{2}}\right) \left(- \frac{b \left(\frac{b \left(- \frac{c}{16 a} + \frac{3 b^{2}}{256 a^{2}}\right)}{a} + \frac{d}{4 a}\right)}{a} + \frac{e}{a}\right)}{3} - \frac{\left(\frac{b \left(- \frac{c}{2 a} + \frac{b^{2}}{8 a^{2}}\right)}{a} + \frac{d}{a}\right)^{2}}{8}} - \frac{4 c}{3 a} + \frac{b^{2}}{2 a^{2}}}}{2} - \frac{b}{4 a} & \text{for}\: \frac{\left(\frac{c}{a} - \frac{3 b^{2}}{8 a^{2}}\right)^{2}}{12} - \frac{b \left(\frac{b \left(- \frac{c}{16 a} + \frac{3 b^{2}}{256 a^{2}}\right)}{a} + \frac{d}{4 a}\right)}{a} + \frac{e}{a} = 0 \\- \frac{\sqrt{- \frac{2 \left(- \frac{\left(\frac{c}{a} - \frac{3 b^{2}}{8 a^{2}}\right)^{2}}{12} + \frac{b \left(\frac{b \left(- \frac{c}{16 a} + \frac{3 b^{2}}{256 a^{2}}\right)}{a} + \frac{d}{4 a}\right)}{a} - \frac{e}{a}\right)}{3 \sqrt[3]{\frac{\left(\frac{c}{a} - \frac{3 b^{2}}{8 a^{2}}\right)^{3}}{216} - \frac{\left(\frac{c}{a} - \frac{3 b^{2}}{8 a^{2}}\right) \left(- \frac{b \left(\frac{b \left(- \frac{c}{16 a} + \frac{3 b^{2}}{256 a^{2}}\right)}{a} + \frac{d}{4 a}\right)}{a} + \frac{e}{a}\right)}{6} + \frac{\left(\frac{b \left(- \frac{c}{2 a} + \frac{b^{2}}{8 a^{2}}\right)}{a} + \frac{d}{a}\right)^{2}}{16} + \sqrt{\frac{\left(- \frac{\left(\frac{c}{a} - \frac{3 b^{2}}{8 a^{2}}\right)^{2}}{12} + \frac{b \left(\frac{b \left(- \frac{c}{16 a} + \frac{3 b^{2}}{256 a^{2}}\right)}{a} + \frac{d}{4 a}\right)}{a} - \frac{e}{a}\right)^{3}}{27} + \frac{\left(- \frac{\left(\frac{c}{a} - \frac{3 b^{2}}{8 a^{2}}\right)^{3}}{108} + \frac{\left(\frac{c}{a} - \frac{3 b^{2}}{8 a^{2}}\right) \left(- \frac{b \left(\frac{b \left(- \frac{c}{16 a} + \frac{3 b^{2}}{256 a^{2}}\right)}{a} + \frac{d}{4 a}\right)}{a} + \frac{e}{a}\right)}{3} - \frac{\left(\frac{b \left(- \frac{c}{2 a} + \frac{b^{2}}{8 a^{2}}\right)}{a} + \frac{d}{a}\right)^{2}}{8}\right)^{2}}{4}}}} + 2 \sqrt[3]{\frac{\left(\frac{c}{a} - \frac{3 b^{2}}{8 a^{2}}\right)^{3}}{216} - \frac{\left(\frac{c}{a} - \frac{3 b^{2}}{8 a^{2}}\right) \left(- \frac{b \left(\frac{b \left(- \frac{c}{16 a} + \frac{3 b^{2}}{256 a^{2}}\right)}{a} + \frac{d}{4 a}\right)}{a} + \frac{e}{a}\right)}{6} + \frac{\left(\frac{b \left(- \frac{c}{2 a} + \frac{b^{2}}{8 a^{2}}\right)}{a} + \frac{d}{a}\right)^{2}}{16} + \sqrt{\frac{\left(- \frac{\left(\frac{c}{a} - \frac{3 b^{2}}{8 a^{2}}\right)^{2}}{12} + \frac{b \left(\frac{b \left(- \frac{c}{16 a} + \frac{3 b^{2}}{256 a^{2}}\right)}{a} + \frac{d}{4 a}\right)}{a} - \frac{e}{a}\right)^{3}}{27} + \frac{\left(- \frac{\left(\frac{c}{a} - \frac{3 b^{2}}{8 a^{2}}\right)^{3}}{108} + \frac{\left(\frac{c}{a} - \frac{3 b^{2}}{8 a^{2}}\right) \left(- \frac{b \left(\frac{b \left(- \frac{c}{16 a} + \frac{3 b^{2}}{256 a^{2}}\right)}{a} + \frac{d}{4 a}\right)}{a} + \frac{e}{a}\right)}{3} - \frac{\left(\frac{b \left(- \frac{c}{2 a} + \frac{b^{2}}{8 a^{2}}\right)}{a} + \frac{d}{a}\right)^{2}}{8}\right)^{2}}{4}}} - \frac{2 c}{3 a} + \frac{b^{2}}{4 a^{2}}}}{2} - \frac{\sqrt{\frac{\frac{2 b \left(- \frac{c}{2 a} + \frac{b^{2}}{8 a^{2}}\right)}{a} + \frac{2 d}{a}}{\sqrt{- \frac{2 \left(- \frac{\left(\frac{c}{a} - \frac{3 b^{2}}{8 a^{2}}\right)^{2}}{12} + \frac{b \left(\frac{b \left(- \frac{c}{16 a} + \frac{3 b^{2}}{256 a^{2}}\right)}{a} + \frac{d}{4 a}\right)}{a} - \frac{e}{a}\right)}{3 \sqrt[3]{\frac{\left(\frac{c}{a} - \frac{3 b^{2}}{8 a^{2}}\right)^{3}}{216} - \frac{\left(\frac{c}{a} - \frac{3 b^{2}}{8 a^{2}}\right) \left(- \frac{b \left(\frac{b \left(- \frac{c}{16 a} + \frac{3 b^{2}}{256 a^{2}}\right)}{a} + \frac{d}{4 a}\right)}{a} + \frac{e}{a}\right)}{6} + \frac{\left(\frac{b \left(- \frac{c}{2 a} + \frac{b^{2}}{8 a^{2}}\right)}{a} + \frac{d}{a}\right)^{2}}{16} + \sqrt{\frac{\left(- \frac{\left(\frac{c}{a} - \frac{3 b^{2}}{8 a^{2}}\right)^{2}}{12} + \frac{b \left(\frac{b \left(- \frac{c}{16 a} + \frac{3 b^{2}}{256 a^{2}}\right)}{a} + \frac{d}{4 a}\right)}{a} - \frac{e}{a}\right)^{3}}{27} + \frac{\left(- \frac{\left(\frac{c}{a} - \frac{3 b^{2}}{8 a^{2}}\right)^{3}}{108} + \frac{\left(\frac{c}{a} - \frac{3 b^{2}}{8 a^{2}}\right) \left(- \frac{b \left(\frac{b \left(- \frac{c}{16 a} + \frac{3 b^{2}}{256 a^{2}}\right)}{a} + \frac{d}{4 a}\right)}{a} + \frac{e}{a}\right)}{3} - \frac{\left(\frac{b \left(- \frac{c}{2 a} + \frac{b^{2}}{8 a^{2}}\right)}{a} + \frac{d}{a}\right)^{2}}{8}\right)^{2}}{4}}}} + 2 \sqrt[3]{\frac{\left(\frac{c}{a} - \frac{3 b^{2}}{8 a^{2}}\right)^{3}}{216} - \frac{\left(\frac{c}{a} - \frac{3 b^{2}}{8 a^{2}}\right) \left(- \frac{b \left(\frac{b \left(- \frac{c}{16 a} + \frac{3 b^{2}}{256 a^{2}}\right)}{a} + \frac{d}{4 a}\right)}{a} + \frac{e}{a}\right)}{6} + \frac{\left(\frac{b \left(- \frac{c}{2 a} + \frac{b^{2}}{8 a^{2}}\right)}{a} + \frac{d}{a}\right)^{2}}{16} + \sqrt{\frac{\left(- \frac{\left(\frac{c}{a} - \frac{3 b^{2}}{8 a^{2}}\right)^{2}}{12} + \frac{b \left(\frac{b \left(- \frac{c}{16 a} + \frac{3 b^{2}}{256 a^{2}}\right)}{a} + \frac{d}{4 a}\right)}{a} - \frac{e}{a}\right)^{3}}{27} + \frac{\left(- \frac{\left(\frac{c}{a} - \frac{3 b^{2}}{8 a^{2}}\right)^{3}}{108} + \frac{\left(\frac{c}{a} - \frac{3 b^{2}}{8 a^{2}}\right) \left(- \frac{b \left(\frac{b \left(- \frac{c}{16 a} + \frac{3 b^{2}}{256 a^{2}}\right)}{a} + \frac{d}{4 a}\right)}{a} + \frac{e}{a}\right)}{3} - \frac{\left(\frac{b \left(- \frac{c}{2 a} + \frac{b^{2}}{8 a^{2}}\right)}{a} + \frac{d}{a}\right)^{2}}{8}\right)^{2}}{4}}} - \frac{2 c}{3 a} + \frac{b^{2}}{4 a^{2}}}} + \frac{2 \left(- \frac{\left(\frac{c}{a} - \frac{3 b^{2}}{8 a^{2}}\right)^{2}}{12} + \frac{b \left(\frac{b \left(- \frac{c}{16 a} + \frac{3 b^{2}}{256 a^{2}}\right)}{a} + \frac{d}{4 a}\right)}{a} - \frac{e}{a}\right)}{3 \sqrt[3]{\frac{\left(\frac{c}{a} - \frac{3 b^{2}}{8 a^{2}}\right)^{3}}{216} - \frac{\left(\frac{c}{a} - \frac{3 b^{2}}{8 a^{2}}\right) \left(- \frac{b \left(\frac{b \left(- \frac{c}{16 a} + \frac{3 b^{2}}{256 a^{2}}\right)}{a} + \frac{d}{4 a}\right)}{a} + \frac{e}{a}\right)}{6} + \frac{\left(\frac{b \left(- \frac{c}{2 a} + \frac{b^{2}}{8 a^{2}}\right)}{a} + \frac{d}{a}\right)^{2}}{16} + \sqrt{\frac{\left(- \frac{\left(\frac{c}{a} - \frac{3 b^{2}}{8 a^{2}}\right)^{2}}{12} + \frac{b \left(\frac{b \left(- \frac{c}{16 a} + \frac{3 b^{2}}{256 a^{2}}\right)}{a} + \frac{d}{4 a}\right)}{a} - \frac{e}{a}\right)^{3}}{27} + \frac{\left(- \frac{\left(\frac{c}{a} - \frac{3 b^{2}}{8 a^{2}}\right)^{3}}{108} + \frac{\left(\frac{c}{a} - \frac{3 b^{2}}{8 a^{2}}\right) \left(- \frac{b \left(\frac{b \left(- \frac{c}{16 a} + \frac{3 b^{2}}{256 a^{2}}\right)}{a} + \frac{d}{4 a}\right)}{a} + \frac{e}{a}\right)}{3} - \frac{\left(\frac{b \left(- \frac{c}{2 a} + \frac{b^{2}}{8 a^{2}}\right)}{a} + \frac{d}{a}\right)^{2}}{8}\right)^{2}}{4}}}} - 2 \sqrt[3]{\frac{\left(\frac{c}{a} - \frac{3 b^{2}}{8 a^{2}}\right)^{3}}{216} - \frac{\left(\frac{c}{a} - \frac{3 b^{2}}{8 a^{2}}\right) \left(- \frac{b \left(\frac{b \left(- \frac{c}{16 a} + \frac{3 b^{2}}{256 a^{2}}\right)}{a} + \frac{d}{4 a}\right)}{a} + \frac{e}{a}\right)}{6} + \frac{\left(\frac{b \left(- \frac{c}{2 a} + \frac{b^{2}}{8 a^{2}}\right)}{a} + \frac{d}{a}\right)^{2}}{16} + \sqrt{\frac{\left(- \frac{\left(\frac{c}{a} - \frac{3 b^{2}}{8 a^{2}}\right)^{2}}{12} + \frac{b \left(\frac{b \left(- \frac{c}{16 a} + \frac{3 b^{2}}{256 a^{2}}\right)}{a} + \frac{d}{4 a}\right)}{a} - \frac{e}{a}\right)^{3}}{27} + \frac{\left(- \frac{\left(\frac{c}{a} - \frac{3 b^{2}}{8 a^{2}}\right)^{3}}{108} + \frac{\left(\frac{c}{a} - \frac{3 b^{2}}{8 a^{2}}\right) \left(- \frac{b \left(\frac{b \left(- \frac{c}{16 a} + \frac{3 b^{2}}{256 a^{2}}\right)}{a} + \frac{d}{4 a}\right)}{a} + \frac{e}{a}\right)}{3} - \frac{\left(\frac{b \left(- \frac{c}{2 a} + \frac{b^{2}}{8 a^{2}}\right)}{a} + \frac{d}{a}\right)^{2}}{8}\right)^{2}}{4}}} - \frac{4 c}{3 a} + \frac{b^{2}}{2 a^{2}}}}{2} - \frac{b}{4 a} & \text{otherwise} \end{cases}
\begin{cases} - \frac{\sqrt{- 2 \sqrt[3]{- \frac{\left(\frac{c}{a} - \frac{3 b^{2}}{8 a^{2}}\right)^{3}}{108} + \frac{\left(\frac{c}{a} - \frac{3 b^{2}}{8 a^{2}}\right) \left(- \frac{b \left(\frac{b \left(- \frac{c}{16 a} + \frac{3 b^{2}}{256 a^{2}}\right)}{a} + \frac{d}{4 a}\right)}{a} + \frac{e}{a}\right)}{3} - \frac{\left(\frac{b \left(- \frac{c}{2 a} + \frac{b^{2}}{8 a^{2}}\right)}{a} + \frac{d}{a}\right)^{2}}{8}} - \frac{2 c}{3 a} + \frac{b^{2}}{4 a^{2}}}}{2} + \frac{\sqrt{\frac{\frac{2 b \left(- \frac{c}{2 a} + \frac{b^{2}}{8 a^{2}}\right)}{a} + \frac{2 d}{a}}{\sqrt{- 2 \sqrt[3]{- \frac{\left(\frac{c}{a} - \frac{3 b^{2}}{8 a^{2}}\right)^{3}}{108} + \frac{\left(\frac{c}{a} - \frac{3 b^{2}}{8 a^{2}}\right) \left(- \frac{b \left(\frac{b \left(- \frac{c}{16 a} + \frac{3 b^{2}}{256 a^{2}}\right)}{a} + \frac{d}{4 a}\right)}{a} + \frac{e}{a}\right)}{3} - \frac{\left(\frac{b \left(- \frac{c}{2 a} + \frac{b^{2}}{8 a^{2}}\right)}{a} + \frac{d}{a}\right)^{2}}{8}} - \frac{2 c}{3 a} + \frac{b^{2}}{4 a^{2}}}} + 2 \sqrt[3]{- \frac{\left(\frac{c}{a} - \frac{3 b^{2}}{8 a^{2}}\right)^{3}}{108} + \frac{\left(\frac{c}{a} - \frac{3 b^{2}}{8 a^{2}}\right) \left(- \frac{b \left(\frac{b \left(- \frac{c}{16 a} + \frac{3 b^{2}}{256 a^{2}}\right)}{a} + \frac{d}{4 a}\right)}{a} + \frac{e}{a}\right)}{3} - \frac{\left(\frac{b \left(- \frac{c}{2 a} + \frac{b^{2}}{8 a^{2}}\right)}{a} + \frac{d}{a}\right)^{2}}{8}} - \frac{4 c}{3 a} + \frac{b^{2}}{2 a^{2}}}}{2} - \frac{b}{4 a} & \text{for}\: \frac{\left(\frac{c}{a} - \frac{3 b^{2}}{8 a^{2}}\right)^{2}}{12} - \frac{b \left(\frac{b \left(- \frac{c}{16 a} + \frac{3 b^{2}}{256 a^{2}}\right)}{a} + \frac{d}{4 a}\right)}{a} + \frac{e}{a} = 0 \\- \frac{\sqrt{- \frac{2 \left(- \frac{\left(\frac{c}{a} - \frac{3 b^{2}}{8 a^{2}}\right)^{2}}{12} + \frac{b \left(\frac{b \left(- \frac{c}{16 a} + \frac{3 b^{2}}{256 a^{2}}\right)}{a} + \frac{d}{4 a}\right)}{a} - \frac{e}{a}\right)}{3 \sqrt[3]{\frac{\left(\frac{c}{a} - \frac{3 b^{2}}{8 a^{2}}\right)^{3}}{216} - \frac{\left(\frac{c}{a} - \frac{3 b^{2}}{8 a^{2}}\right) \left(- \frac{b \left(\frac{b \left(- \frac{c}{16 a} + \frac{3 b^{2}}{256 a^{2}}\right)}{a} + \frac{d}{4 a}\right)}{a} + \frac{e}{a}\right)}{6} + \frac{\left(\frac{b \left(- \frac{c}{2 a} + \frac{b^{2}}{8 a^{2}}\right)}{a} + \frac{d}{a}\right)^{2}}{16} + \sqrt{\frac{\left(- \frac{\left(\frac{c}{a} - \frac{3 b^{2}}{8 a^{2}}\right)^{2}}{12} + \frac{b \left(\frac{b \left(- \frac{c}{16 a} + \frac{3 b^{2}}{256 a^{2}}\right)}{a} + \frac{d}{4 a}\right)}{a} - \frac{e}{a}\right)^{3}}{27} + \frac{\left(- \frac{\left(\frac{c}{a} - \frac{3 b^{2}}{8 a^{2}}\right)^{3}}{108} + \frac{\left(\frac{c}{a} - \frac{3 b^{2}}{8 a^{2}}\right) \left(- \frac{b \left(\frac{b \left(- \frac{c}{16 a} + \frac{3 b^{2}}{256 a^{2}}\right)}{a} + \frac{d}{4 a}\right)}{a} + \frac{e}{a}\right)}{3} - \frac{\left(\frac{b \left(- \frac{c}{2 a} + \frac{b^{2}}{8 a^{2}}\right)}{a} + \frac{d}{a}\right)^{2}}{8}\right)^{2}}{4}}}} + 2 \sqrt[3]{\frac{\left(\frac{c}{a} - \frac{3 b^{2}}{8 a^{2}}\right)^{3}}{216} - \frac{\left(\frac{c}{a} - \frac{3 b^{2}}{8 a^{2}}\right) \left(- \frac{b \left(\frac{b \left(- \frac{c}{16 a} + \frac{3 b^{2}}{256 a^{2}}\right)}{a} + \frac{d}{4 a}\right)}{a} + \frac{e}{a}\right)}{6} + \frac{\left(\frac{b \left(- \frac{c}{2 a} + \frac{b^{2}}{8 a^{2}}\right)}{a} + \frac{d}{a}\right)^{2}}{16} + \sqrt{\frac{\left(- \frac{\left(\frac{c}{a} - \frac{3 b^{2}}{8 a^{2}}\right)^{2}}{12} + \frac{b \left(\frac{b \left(- \frac{c}{16 a} + \frac{3 b^{2}}{256 a^{2}}\right)}{a} + \frac{d}{4 a}\right)}{a} - \frac{e}{a}\right)^{3}}{27} + \frac{\left(- \frac{\left(\frac{c}{a} - \frac{3 b^{2}}{8 a^{2}}\right)^{3}}{108} + \frac{\left(\frac{c}{a} - \frac{3 b^{2}}{8 a^{2}}\right) \left(- \frac{b \left(\frac{b \left(- \frac{c}{16 a} + \frac{3 b^{2}}{256 a^{2}}\right)}{a} + \frac{d}{4 a}\right)}{a} + \frac{e}{a}\right)}{3} - \frac{\left(\frac{b \left(- \frac{c}{2 a} + \frac{b^{2}}{8 a^{2}}\right)}{a} + \frac{d}{a}\right)^{2}}{8}\right)^{2}}{4}}} - \frac{2 c}{3 a} + \frac{b^{2}}{4 a^{2}}}}{2} + \frac{\sqrt{\frac{\frac{2 b \left(- \frac{c}{2 a} + \frac{b^{2}}{8 a^{2}}\right)}{a} + \frac{2 d}{a}}{\sqrt{- \frac{2 \left(- \frac{\left(\frac{c}{a} - \frac{3 b^{2}}{8 a^{2}}\right)^{2}}{12} + \frac{b \left(\frac{b \left(- \frac{c}{16 a} + \frac{3 b^{2}}{256 a^{2}}\right)}{a} + \frac{d}{4 a}\right)}{a} - \frac{e}{a}\right)}{3 \sqrt[3]{\frac{\left(\frac{c}{a} - \frac{3 b^{2}}{8 a^{2}}\right)^{3}}{216} - \frac{\left(\frac{c}{a} - \frac{3 b^{2}}{8 a^{2}}\right) \left(- \frac{b \left(\frac{b \left(- \frac{c}{16 a} + \frac{3 b^{2}}{256 a^{2}}\right)}{a} + \frac{d}{4 a}\right)}{a} + \frac{e}{a}\right)}{6} + \frac{\left(\frac{b \left(- \frac{c}{2 a} + \frac{b^{2}}{8 a^{2}}\right)}{a} + \frac{d}{a}\right)^{2}}{16} + \sqrt{\frac{\left(- \frac{\left(\frac{c}{a} - \frac{3 b^{2}}{8 a^{2}}\right)^{2}}{12} + \frac{b \left(\frac{b \left(- \frac{c}{16 a} + \frac{3 b^{2}}{256 a^{2}}\right)}{a} + \frac{d}{4 a}\right)}{a} - \frac{e}{a}\right)^{3}}{27} + \frac{\left(- \frac{\left(\frac{c}{a} - \frac{3 b^{2}}{8 a^{2}}\right)^{3}}{108} + \frac{\left(\frac{c}{a} - \frac{3 b^{2}}{8 a^{2}}\right) \left(- \frac{b \left(\frac{b \left(- \frac{c}{16 a} + \frac{3 b^{2}}{256 a^{2}}\right)}{a} + \frac{d}{4 a}\right)}{a} + \frac{e}{a}\right)}{3} - \frac{\left(\frac{b \left(- \frac{c}{2 a} + \frac{b^{2}}{8 a^{2}}\right)}{a} + \frac{d}{a}\right)^{2}}{8}\right)^{2}}{4}}}} + 2 \sqrt[3]{\frac{\left(\frac{c}{a} - \frac{3 b^{2}}{8 a^{2}}\right)^{3}}{216} - \frac{\left(\frac{c}{a} - \frac{3 b^{2}}{8 a^{2}}\right) \left(- \frac{b \left(\frac{b \left(- \frac{c}{16 a} + \frac{3 b^{2}}{256 a^{2}}\right)}{a} + \frac{d}{4 a}\right)}{a} + \frac{e}{a}\right)}{6} + \frac{\left(\frac{b \left(- \frac{c}{2 a} + \frac{b^{2}}{8 a^{2}}\right)}{a} + \frac{d}{a}\right)^{2}}{16} + \sqrt{\frac{\left(- \frac{\left(\frac{c}{a} - \frac{3 b^{2}}{8 a^{2}}\right)^{2}}{12} + \frac{b \left(\frac{b \left(- \frac{c}{16 a} + \frac{3 b^{2}}{256 a^{2}}\right)}{a} + \frac{d}{4 a}\right)}{a} - \frac{e}{a}\right)^{3}}{27} + \frac{\left(- \frac{\left(\frac{c}{a} - \frac{3 b^{2}}{8 a^{2}}\right)^{3}}{108} + \frac{\left(\frac{c}{a} - \frac{3 b^{2}}{8 a^{2}}\right) \left(- \frac{b \left(\frac{b \left(- \frac{c}{16 a} + \frac{3 b^{2}}{256 a^{2}}\right)}{a} + \frac{d}{4 a}\right)}{a} + \frac{e}{a}\right)}{3} - \frac{\left(\frac{b \left(- \frac{c}{2 a} + \frac{b^{2}}{8 a^{2}}\right)}{a} + \frac{d}{a}\right)^{2}}{8}\right)^{2}}{4}}} - \frac{2 c}{3 a} + \frac{b^{2}}{4 a^{2}}}} + \frac{2 \left(- \frac{\left(\frac{c}{a} - \frac{3 b^{2}}{8 a^{2}}\right)^{2}}{12} + \frac{b \left(\frac{b \left(- \frac{c}{16 a} + \frac{3 b^{2}}{256 a^{2}}\right)}{a} + \frac{d}{4 a}\right)}{a} - \frac{e}{a}\right)}{3 \sqrt[3]{\frac{\left(\frac{c}{a} - \frac{3 b^{2}}{8 a^{2}}\right)^{3}}{216} - \frac{\left(\frac{c}{a} - \frac{3 b^{2}}{8 a^{2}}\right) \left(- \frac{b \left(\frac{b \left(- \frac{c}{16 a} + \frac{3 b^{2}}{256 a^{2}}\right)}{a} + \frac{d}{4 a}\right)}{a} + \frac{e}{a}\right)}{6} + \frac{\left(\frac{b \left(- \frac{c}{2 a} + \frac{b^{2}}{8 a^{2}}\right)}{a} + \frac{d}{a}\right)^{2}}{16} + \sqrt{\frac{\left(- \frac{\left(\frac{c}{a} - \frac{3 b^{2}}{8 a^{2}}\right)^{2}}{12} + \frac{b \left(\frac{b \left(- \frac{c}{16 a} + \frac{3 b^{2}}{256 a^{2}}\right)}{a} + \frac{d}{4 a}\right)}{a} - \frac{e}{a}\right)^{3}}{27} + \frac{\left(- \frac{\left(\frac{c}{a} - \frac{3 b^{2}}{8 a^{2}}\right)^{3}}{108} + \frac{\left(\frac{c}{a} - \frac{3 b^{2}}{8 a^{2}}\right) \left(- \frac{b \left(\frac{b \left(- \frac{c}{16 a} + \frac{3 b^{2}}{256 a^{2}}\right)}{a} + \frac{d}{4 a}\right)}{a} + \frac{e}{a}\right)}{3} - \frac{\left(\frac{b \left(- \frac{c}{2 a} + \frac{b^{2}}{8 a^{2}}\right)}{a} + \frac{d}{a}\right)^{2}}{8}\right)^{2}}{4}}}} - 2 \sqrt[3]{\frac{\left(\frac{c}{a} - \frac{3 b^{2}}{8 a^{2}}\right)^{3}}{216} - \frac{\left(\frac{c}{a} - \frac{3 b^{2}}{8 a^{2}}\right) \left(- \frac{b \left(\frac{b \left(- \frac{c}{16 a} + \frac{3 b^{2}}{256 a^{2}}\right)}{a} + \frac{d}{4 a}\right)}{a} + \frac{e}{a}\right)}{6} + \frac{\left(\frac{b \left(- \frac{c}{2 a} + \frac{b^{2}}{8 a^{2}}\right)}{a} + \frac{d}{a}\right)^{2}}{16} + \sqrt{\frac{\left(- \frac{\left(\frac{c}{a} - \frac{3 b^{2}}{8 a^{2}}\right)^{2}}{12} + \frac{b \left(\frac{b \left(- \frac{c}{16 a} + \frac{3 b^{2}}{256 a^{2}}\right)}{a} + \frac{d}{4 a}\right)}{a} - \frac{e}{a}\right)^{3}}{27} + \frac{\left(- \frac{\left(\frac{c}{a} - \frac{3 b^{2}}{8 a^{2}}\right)^{3}}{108} + \frac{\left(\frac{c}{a} - \frac{3 b^{2}}{8 a^{2}}\right) \left(- \frac{b \left(\frac{b \left(- \frac{c}{16 a} + \frac{3 b^{2}}{256 a^{2}}\right)}{a} + \frac{d}{4 a}\right)}{a} + \frac{e}{a}\right)}{3} - \frac{\left(\frac{b \left(- \frac{c}{2 a} + \frac{b^{2}}{8 a^{2}}\right)}{a} + \frac{d}{a}\right)^{2}}{8}\right)^{2}}{4}}} - \frac{4 c}{3 a} + \frac{b^{2}}{2 a^{2}}}}{2} - \frac{b}{4 a} & \text{otherwise} \end{cases}
\begin{cases} \frac{\sqrt{- 2 \sqrt[3]{- \frac{\left(\frac{c}{a} - \frac{3 b^{2}}{8 a^{2}}\right)^{3}}{108} + \frac{\left(\frac{c}{a} - \frac{3 b^{2}}{8 a^{2}}\right) \left(- \frac{b \left(\frac{b \left(- \frac{c}{16 a} + \frac{3 b^{2}}{256 a^{2}}\right)}{a} + \frac{d}{4 a}\right)}{a} + \frac{e}{a}\right)}{3} - \frac{\left(\frac{b \left(- \frac{c}{2 a} + \frac{b^{2}}{8 a^{2}}\right)}{a} + \frac{d}{a}\right)^{2}}{8}} - \frac{2 c}{3 a} + \frac{b^{2}}{4 a^{2}}}}{2} - \frac{\sqrt{- \frac{\frac{2 b \left(- \frac{c}{2 a} + \frac{b^{2}}{8 a^{2}}\right)}{a} + \frac{2 d}{a}}{\sqrt{- 2 \sqrt[3]{- \frac{\left(\frac{c}{a} - \frac{3 b^{2}}{8 a^{2}}\right)^{3}}{108} + \frac{\left(\frac{c}{a} - \frac{3 b^{2}}{8 a^{2}}\right) \left(- \frac{b \left(\frac{b \left(- \frac{c}{16 a} + \frac{3 b^{2}}{256 a^{2}}\right)}{a} + \frac{d}{4 a}\right)}{a} + \frac{e}{a}\right)}{3} - \frac{\left(\frac{b \left(- \frac{c}{2 a} + \frac{b^{2}}{8 a^{2}}\right)}{a} + \frac{d}{a}\right)^{2}}{8}} - \frac{2 c}{3 a} + \frac{b^{2}}{4 a^{2}}}} + 2 \sqrt[3]{- \frac{\left(\frac{c}{a} - \frac{3 b^{2}}{8 a^{2}}\right)^{3}}{108} + \frac{\left(\frac{c}{a} - \frac{3 b^{2}}{8 a^{2}}\right) \left(- \frac{b \left(\frac{b \left(- \frac{c}{16 a} + \frac{3 b^{2}}{256 a^{2}}\right)}{a} + \frac{d}{4 a}\right)}{a} + \frac{e}{a}\right)}{3} - \frac{\left(\frac{b \left(- \frac{c}{2 a} + \frac{b^{2}}{8 a^{2}}\right)}{a} + \frac{d}{a}\right)^{2}}{8}} - \frac{4 c}{3 a} + \frac{b^{2}}{2 a^{2}}}}{2} - \frac{b}{4 a} & \text{for}\: \frac{\left(\frac{c}{a} - \frac{3 b^{2}}{8 a^{2}}\right)^{2}}{12} - \frac{b \left(\frac{b \left(- \frac{c}{16 a} + \frac{3 b^{2}}{256 a^{2}}\right)}{a} + \frac{d}{4 a}\right)}{a} + \frac{e}{a} = 0 \\\frac{\sqrt{- \frac{2 \left(- \frac{\left(\frac{c}{a} - \frac{3 b^{2}}{8 a^{2}}\right)^{2}}{12} + \frac{b \left(\frac{b \left(- \frac{c}{16 a} + \frac{3 b^{2}}{256 a^{2}}\right)}{a} + \frac{d}{4 a}\right)}{a} - \frac{e}{a}\right)}{3 \sqrt[3]{\frac{\left(\frac{c}{a} - \frac{3 b^{2}}{8 a^{2}}\right)^{3}}{216} - \frac{\left(\frac{c}{a} - \frac{3 b^{2}}{8 a^{2}}\right) \left(- \frac{b \left(\frac{b \left(- \frac{c}{16 a} + \frac{3 b^{2}}{256 a^{2}}\right)}{a} + \frac{d}{4 a}\right)}{a} + \frac{e}{a}\right)}{6} + \frac{\left(\frac{b \left(- \frac{c}{2 a} + \frac{b^{2}}{8 a^{2}}\right)}{a} + \frac{d}{a}\right)^{2}}{16} + \sqrt{\frac{\left(- \frac{\left(\frac{c}{a} - \frac{3 b^{2}}{8 a^{2}}\right)^{2}}{12} + \frac{b \left(\frac{b \left(- \frac{c}{16 a} + \frac{3 b^{2}}{256 a^{2}}\right)}{a} + \frac{d}{4 a}\right)}{a} - \frac{e}{a}\right)^{3}}{27} + \frac{\left(- \frac{\left(\frac{c}{a} - \frac{3 b^{2}}{8 a^{2}}\right)^{3}}{108} + \frac{\left(\frac{c}{a} - \frac{3 b^{2}}{8 a^{2}}\right) \left(- \frac{b \left(\frac{b \left(- \frac{c}{16 a} + \frac{3 b^{2}}{256 a^{2}}\right)}{a} + \frac{d}{4 a}\right)}{a} + \frac{e}{a}\right)}{3} - \frac{\left(\frac{b \left(- \frac{c}{2 a} + \frac{b^{2}}{8 a^{2}}\right)}{a} + \frac{d}{a}\right)^{2}}{8}\right)^{2}}{4}}}} + 2 \sqrt[3]{\frac{\left(\frac{c}{a} - \frac{3 b^{2}}{8 a^{2}}\right)^{3}}{216} - \frac{\left(\frac{c}{a} - \frac{3 b^{2}}{8 a^{2}}\right) \left(- \frac{b \left(\frac{b \left(- \frac{c}{16 a} + \frac{3 b^{2}}{256 a^{2}}\right)}{a} + \frac{d}{4 a}\right)}{a} + \frac{e}{a}\right)}{6} + \frac{\left(\frac{b \left(- \frac{c}{2 a} + \frac{b^{2}}{8 a^{2}}\right)}{a} + \frac{d}{a}\right)^{2}}{16} + \sqrt{\frac{\left(- \frac{\left(\frac{c}{a} - \frac{3 b^{2}}{8 a^{2}}\right)^{2}}{12} + \frac{b \left(\frac{b \left(- \frac{c}{16 a} + \frac{3 b^{2}}{256 a^{2}}\right)}{a} + \frac{d}{4 a}\right)}{a} - \frac{e}{a}\right)^{3}}{27} + \frac{\left(- \frac{\left(\frac{c}{a} - \frac{3 b^{2}}{8 a^{2}}\right)^{3}}{108} + \frac{\left(\frac{c}{a} - \frac{3 b^{2}}{8 a^{2}}\right) \left(- \frac{b \left(\frac{b \left(- \frac{c}{16 a} + \frac{3 b^{2}}{256 a^{2}}\right)}{a} + \frac{d}{4 a}\right)}{a} + \frac{e}{a}\right)}{3} - \frac{\left(\frac{b \left(- \frac{c}{2 a} + \frac{b^{2}}{8 a^{2}}\right)}{a} + \frac{d}{a}\right)^{2}}{8}\right)^{2}}{4}}} - \frac{2 c}{3 a} + \frac{b^{2}}{4 a^{2}}}}{2} - \frac{\sqrt{- \frac{\frac{2 b \left(- \frac{c}{2 a} + \frac{b^{2}}{8 a^{2}}\right)}{a} + \frac{2 d}{a}}{\sqrt{- \frac{2 \left(- \frac{\left(\frac{c}{a} - \frac{3 b^{2}}{8 a^{2}}\right)^{2}}{12} + \frac{b \left(\frac{b \left(- \frac{c}{16 a} + \frac{3 b^{2}}{256 a^{2}}\right)}{a} + \frac{d}{4 a}\right)}{a} - \frac{e}{a}\right)}{3 \sqrt[3]{\frac{\left(\frac{c}{a} - \frac{3 b^{2}}{8 a^{2}}\right)^{3}}{216} - \frac{\left(\frac{c}{a} - \frac{3 b^{2}}{8 a^{2}}\right) \left(- \frac{b \left(\frac{b \left(- \frac{c}{16 a} + \frac{3 b^{2}}{256 a^{2}}\right)}{a} + \frac{d}{4 a}\right)}{a} + \frac{e}{a}\right)}{6} + \frac{\left(\frac{b \left(- \frac{c}{2 a} + \frac{b^{2}}{8 a^{2}}\right)}{a} + \frac{d}{a}\right)^{2}}{16} + \sqrt{\frac{\left(- \frac{\left(\frac{c}{a} - \frac{3 b^{2}}{8 a^{2}}\right)^{2}}{12} + \frac{b \left(\frac{b \left(- \frac{c}{16 a} + \frac{3 b^{2}}{256 a^{2}}\right)}{a} + \frac{d}{4 a}\right)}{a} - \frac{e}{a}\right)^{3}}{27} + \frac{\left(- \frac{\left(\frac{c}{a} - \frac{3 b^{2}}{8 a^{2}}\right)^{3}}{108} + \frac{\left(\frac{c}{a} - \frac{3 b^{2}}{8 a^{2}}\right) \left(- \frac{b \left(\frac{b \left(- \frac{c}{16 a} + \frac{3 b^{2}}{256 a^{2}}\right)}{a} + \frac{d}{4 a}\right)}{a} + \frac{e}{a}\right)}{3} - \frac{\left(\frac{b \left(- \frac{c}{2 a} + \frac{b^{2}}{8 a^{2}}\right)}{a} + \frac{d}{a}\right)^{2}}{8}\right)^{2}}{4}}}} + 2 \sqrt[3]{\frac{\left(\frac{c}{a} - \frac{3 b^{2}}{8 a^{2}}\right)^{3}}{216} - \frac{\left(\frac{c}{a} - \frac{3 b^{2}}{8 a^{2}}\right) \left(- \frac{b \left(\frac{b \left(- \frac{c}{16 a} + \frac{3 b^{2}}{256 a^{2}}\right)}{a} + \frac{d}{4 a}\right)}{a} + \frac{e}{a}\right)}{6} + \frac{\left(\frac{b \left(- \frac{c}{2 a} + \frac{b^{2}}{8 a^{2}}\right)}{a} + \frac{d}{a}\right)^{2}}{16} + \sqrt{\frac{\left(- \frac{\left(\frac{c}{a} - \frac{3 b^{2}}{8 a^{2}}\right)^{2}}{12} + \frac{b \left(\frac{b \left(- \frac{c}{16 a} + \frac{3 b^{2}}{256 a^{2}}\right)}{a} + \frac{d}{4 a}\right)}{a} - \frac{e}{a}\right)^{3}}{27} + \frac{\left(- \frac{\left(\frac{c}{a} - \frac{3 b^{2}}{8 a^{2}}\right)^{3}}{108} + \frac{\left(\frac{c}{a} - \frac{3 b^{2}}{8 a^{2}}\right) \left(- \frac{b \left(\frac{b \left(- \frac{c}{16 a} + \frac{3 b^{2}}{256 a^{2}}\right)}{a} + \frac{d}{4 a}\right)}{a} + \frac{e}{a}\right)}{3} - \frac{\left(\frac{b \left(- \frac{c}{2 a} + \frac{b^{2}}{8 a^{2}}\right)}{a} + \frac{d}{a}\right)^{2}}{8}\right)^{2}}{4}}} - \frac{2 c}{3 a} + \frac{b^{2}}{4 a^{2}}}} + \frac{2 \left(- \frac{\left(\frac{c}{a} - \frac{3 b^{2}}{8 a^{2}}\right)^{2}}{12} + \frac{b \left(\frac{b \left(- \frac{c}{16 a} + \frac{3 b^{2}}{256 a^{2}}\right)}{a} + \frac{d}{4 a}\right)}{a} - \frac{e}{a}\right)}{3 \sqrt[3]{\frac{\left(\frac{c}{a} - \frac{3 b^{2}}{8 a^{2}}\right)^{3}}{216} - \frac{\left(\frac{c}{a} - \frac{3 b^{2}}{8 a^{2}}\right) \left(- \frac{b \left(\frac{b \left(- \frac{c}{16 a} + \frac{3 b^{2}}{256 a^{2}}\right)}{a} + \frac{d}{4 a}\right)}{a} + \frac{e}{a}\right)}{6} + \frac{\left(\frac{b \left(- \frac{c}{2 a} + \frac{b^{2}}{8 a^{2}}\right)}{a} + \frac{d}{a}\right)^{2}}{16} + \sqrt{\frac{\left(- \frac{\left(\frac{c}{a} - \frac{3 b^{2}}{8 a^{2}}\right)^{2}}{12} + \frac{b \left(\frac{b \left(- \frac{c}{16 a} + \frac{3 b^{2}}{256 a^{2}}\right)}{a} + \frac{d}{4 a}\right)}{a} - \frac{e}{a}\right)^{3}}{27} + \frac{\left(- \frac{\left(\frac{c}{a} - \frac{3 b^{2}}{8 a^{2}}\right)^{3}}{108} + \frac{\left(\frac{c}{a} - \frac{3 b^{2}}{8 a^{2}}\right) \left(- \frac{b \left(\frac{b \left(- \frac{c}{16 a} + \frac{3 b^{2}}{256 a^{2}}\right)}{a} + \frac{d}{4 a}\right)}{a} + \frac{e}{a}\right)}{3} - \frac{\left(\frac{b \left(- \frac{c}{2 a} + \frac{b^{2}}{8 a^{2}}\right)}{a} + \frac{d}{a}\right)^{2}}{8}\right)^{2}}{4}}}} - 2 \sqrt[3]{\frac{\left(\frac{c}{a} - \frac{3 b^{2}}{8 a^{2}}\right)^{3}}{216} - \frac{\left(\frac{c}{a} - \frac{3 b^{2}}{8 a^{2}}\right) \left(- \frac{b \left(\frac{b \left(- \frac{c}{16 a} + \frac{3 b^{2}}{256 a^{2}}\right)}{a} + \frac{d}{4 a}\right)}{a} + \frac{e}{a}\right)}{6} + \frac{\left(\frac{b \left(- \frac{c}{2 a} + \frac{b^{2}}{8 a^{2}}\right)}{a} + \frac{d}{a}\right)^{2}}{16} + \sqrt{\frac{\left(- \frac{\left(\frac{c}{a} - \frac{3 b^{2}}{8 a^{2}}\right)^{2}}{12} + \frac{b \left(\frac{b \left(- \frac{c}{16 a} + \frac{3 b^{2}}{256 a^{2}}\right)}{a} + \frac{d}{4 a}\right)}{a} - \frac{e}{a}\right)^{3}}{27} + \frac{\left(- \frac{\left(\frac{c}{a} - \frac{3 b^{2}}{8 a^{2}}\right)^{3}}{108} + \frac{\left(\frac{c}{a} - \frac{3 b^{2}}{8 a^{2}}\right) \left(- \frac{b \left(\frac{b \left(- \frac{c}{16 a} + \frac{3 b^{2}}{256 a^{2}}\right)}{a} + \frac{d}{4 a}\right)}{a} + \frac{e}{a}\right)}{3} - \frac{\left(\frac{b \left(- \frac{c}{2 a} + \frac{b^{2}}{8 a^{2}}\right)}{a} + \frac{d}{a}\right)^{2}}{8}\right)^{2}}{4}}} - \frac{4 c}{3 a} + \frac{b^{2}}{2 a^{2}}}}{2} - \frac{b}{4 a} & \text{otherwise} \end{cases}
```
解2

```math
\begin{cases} \frac{\sqrt{- 2 \sqrt[3]{- \frac{\left(\frac{c}{a} - \frac{3 b^{2}}{8 a^{2}}\right)^{3}}{108} + \frac{\left(\frac{c}{a} - \frac{3 b^{2}}{8 a^{2}}\right) \left(- \frac{b \left(\frac{b \left(- \frac{c}{16 a} + \frac{3 b^{2}}{256 a^{2}}\right)}{a} + \frac{d}{4 a}\right)}{a} + \frac{e}{a}\right)}{3} - \frac{\left(\frac{b \left(- \frac{c}{2 a} + \frac{b^{2}}{8 a^{2}}\right)}{a} + \frac{d}{a}\right)^{2}}{8}} - \frac{2 c}{3 a} + \frac{b^{2}}{4 a^{2}}}}{2} + \frac{\sqrt{- \frac{\frac{2 b \left(- \frac{c}{2 a} + \frac{b^{2}}{8 a^{2}}\right)}{a} + \frac{2 d}{a}}{\sqrt{- 2 \sqrt[3]{- \frac{\left(\frac{c}{a} - \frac{3 b^{2}}{8 a^{2}}\right)^{3}}{108} + \frac{\left(\frac{c}{a} - \frac{3 b^{2}}{8 a^{2}}\right) \left(- \frac{b \left(\frac{b \left(- \frac{c}{16 a} + \frac{3 b^{2}}{256 a^{2}}\right)}{a} + \frac{d}{4 a}\right)}{a} + \frac{e}{a}\right)}{3} - \frac{\left(\frac{b \left(- \frac{c}{2 a} + \frac{b^{2}}{8 a^{2}}\right)}{a} + \frac{d}{a}\right)^{2}}{8}} - \frac{2 c}{3 a} + \frac{b^{2}}{4 a^{2}}}} + 2 \sqrt[3]{- \frac{\left(\frac{c}{a} - \frac{3 b^{2}}{8 a^{2}}\right)^{3}}{108} + \frac{\left(\frac{c}{a} - \frac{3 b^{2}}{8 a^{2}}\right) \left(- \frac{b \left(\frac{b \left(- \frac{c}{16 a} + \frac{3 b^{2}}{256 a^{2}}\right)}{a} + \frac{d}{4 a}\right)}{a} + \frac{e}{a}\right)}{3} - \frac{\left(\frac{b \left(- \frac{c}{2 a} + \frac{b^{2}}{8 a^{2}}\right)}{a} + \frac{d}{a}\right)^{2}}{8}} - \frac{4 c}{3 a} + \frac{b^{2}}{2 a^{2}}}}{2} - \frac{b}{4 a} & \text{for}\: \frac{\left(\frac{c}{a} - \frac{3 b^{2}}{8 a^{2}}\right)^{2}}{12} - \frac{b \left(\frac{b \left(- \frac{c}{16 a} + \frac{3 b^{2}}{256 a^{2}}\right)}{a} + \frac{d}{4 a}\right)}{a} + \frac{e}{a} = 0 \\\frac{\sqrt{- \frac{2 \left(- \frac{\left(\frac{c}{a} - \frac{3 b^{2}}{8 a^{2}}\right)^{2}}{12} + \frac{b \left(\frac{b \left(- \frac{c}{16 a} + \frac{3 b^{2}}{256 a^{2}}\right)}{a} + \frac{d}{4 a}\right)}{a} - \frac{e}{a}\right)}{3 \sqrt[3]{\frac{\left(\frac{c}{a} - \frac{3 b^{2}}{8 a^{2}}\right)^{3}}{216} - \frac{\left(\frac{c}{a} - \frac{3 b^{2}}{8 a^{2}}\right) \left(- \frac{b \left(\frac{b \left(- \frac{c}{16 a} + \frac{3 b^{2}}{256 a^{2}}\right)}{a} + \frac{d}{4 a}\right)}{a} + \frac{e}{a}\right)}{6} + \frac{\left(\frac{b \left(- \frac{c}{2 a} + \frac{b^{2}}{8 a^{2}}\right)}{a} + \frac{d}{a}\right)^{2}}{16} + \sqrt{\frac{\left(- \frac{\left(\frac{c}{a} - \frac{3 b^{2}}{8 a^{2}}\right)^{2}}{12} + \frac{b \left(\frac{b \left(- \frac{c}{16 a} + \frac{3 b^{2}}{256 a^{2}}\right)}{a} + \frac{d}{4 a}\right)}{a} - \frac{e}{a}\right)^{3}}{27} + \frac{\left(- \frac{\left(\frac{c}{a} - \frac{3 b^{2}}{8 a^{2}}\right)^{3}}{108} + \frac{\left(\frac{c}{a} - \frac{3 b^{2}}{8 a^{2}}\right) \left(- \frac{b \left(\frac{b \left(- \frac{c}{16 a} + \frac{3 b^{2}}{256 a^{2}}\right)}{a} + \frac{d}{4 a}\right)}{a} + \frac{e}{a}\right)}{3} - \frac{\left(\frac{b \left(- \frac{c}{2 a} + \frac{b^{2}}{8 a^{2}}\right)}{a} + \frac{d}{a}\right)^{2}}{8}\right)^{2}}{4}}}} + 2 \sqrt[3]{\frac{\left(\frac{c}{a} - \frac{3 b^{2}}{8 a^{2}}\right)^{3}}{216} - \frac{\left(\frac{c}{a} - \frac{3 b^{2}}{8 a^{2}}\right) \left(- \frac{b \left(\frac{b \left(- \frac{c}{16 a} + \frac{3 b^{2}}{256 a^{2}}\right)}{a} + \frac{d}{4 a}\right)}{a} + \frac{e}{a}\right)}{6} + \frac{\left(\frac{b \left(- \frac{c}{2 a} + \frac{b^{2}}{8 a^{2}}\right)}{a} + \frac{d}{a}\right)^{2}}{16} + \sqrt{\frac{\left(- \frac{\left(\frac{c}{a} - \frac{3 b^{2}}{8 a^{2}}\right)^{2}}{12} + \frac{b \left(\frac{b \left(- \frac{c}{16 a} + \frac{3 b^{2}}{256 a^{2}}\right)}{a} + \frac{d}{4 a}\right)}{a} - \frac{e}{a}\right)^{3}}{27} + \frac{\left(- \frac{\left(\frac{c}{a} - \frac{3 b^{2}}{8 a^{2}}\right)^{3}}{108} + \frac{\left(\frac{c}{a} - \frac{3 b^{2}}{8 a^{2}}\right) \left(- \frac{b \left(\frac{b \left(- \frac{c}{16 a} + \frac{3 b^{2}}{256 a^{2}}\right)}{a} + \frac{d}{4 a}\right)}{a} + \frac{e}{a}\right)}{3} - \frac{\left(\frac{b \left(- \frac{c}{2 a} + \frac{b^{2}}{8 a^{2}}\right)}{a} + \frac{d}{a}\right)^{2}}{8}\right)^{2}}{4}}} - \frac{2 c}{3 a} + \frac{b^{2}}{4 a^{2}}}}{2} + \frac{\sqrt{- \frac{\frac{2 b \left(- \frac{c}{2 a} + \frac{b^{2}}{8 a^{2}}\right)}{a} + \frac{2 d}{a}}{\sqrt{- \frac{2 \left(- \frac{\left(\frac{c}{a} - \frac{3 b^{2}}{8 a^{2}}\right)^{2}}{12} + \frac{b \left(\frac{b \left(- \frac{c}{16 a} + \frac{3 b^{2}}{256 a^{2}}\right)}{a} + \frac{d}{4 a}\right)}{a} - \frac{e}{a}\right)}{3 \sqrt[3]{\frac{\left(\frac{c}{a} - \frac{3 b^{2}}{8 a^{2}}\right)^{3}}{216} - \frac{\left(\frac{c}{a} - \frac{3 b^{2}}{8 a^{2}}\right) \left(- \frac{b \left(\frac{b \left(- \frac{c}{16 a} + \frac{3 b^{2}}{256 a^{2}}\right)}{a} + \frac{d}{4 a}\right)}{a} + \frac{e}{a}\right)}{6} + \frac{\left(\frac{b \left(- \frac{c}{2 a} + \frac{b^{2}}{8 a^{2}}\right)}{a} + \frac{d}{a}\right)^{2}}{16} + \sqrt{\frac{\left(- \frac{\left(\frac{c}{a} - \frac{3 b^{2}}{8 a^{2}}\right)^{2}}{12} + \frac{b \left(\frac{b \left(- \frac{c}{16 a} + \frac{3 b^{2}}{256 a^{2}}\right)}{a} + \frac{d}{4 a}\right)}{a} - \frac{e}{a}\right)^{3}}{27} + \frac{\left(- \frac{\left(\frac{c}{a} - \frac{3 b^{2}}{8 a^{2}}\right)^{3}}{108} + \frac{\left(\frac{c}{a} - \frac{3 b^{2}}{8 a^{2}}\right) \left(- \frac{b \left(\frac{b \left(- \frac{c}{16 a} + \frac{3 b^{2}}{256 a^{2}}\right)}{a} + \frac{d}{4 a}\right)}{a} + \frac{e}{a}\right)}{3} - \frac{\left(\frac{b \left(- \frac{c}{2 a} + \frac{b^{2}}{8 a^{2}}\right)}{a} + \frac{d}{a}\right)^{2}}{8}\right)^{2}}{4}}}} + 2 \sqrt[3]{\frac{\left(\frac{c}{a} - \frac{3 b^{2}}{8 a^{2}}\right)^{3}}{216} - \frac{\left(\frac{c}{a} - \frac{3 b^{2}}{8 a^{2}}\right) \left(- \frac{b \left(\frac{b \left(- \frac{c}{16 a} + \frac{3 b^{2}}{256 a^{2}}\right)}{a} + \frac{d}{4 a}\right)}{a} + \frac{e}{a}\right)}{6} + \frac{\left(\frac{b \left(- \frac{c}{2 a} + \frac{b^{2}}{8 a^{2}}\right)}{a} + \frac{d}{a}\right)^{2}}{16} + \sqrt{\frac{\left(- \frac{\left(\frac{c}{a} - \frac{3 b^{2}}{8 a^{2}}\right)^{2}}{12} + \frac{b \left(\frac{b \left(- \frac{c}{16 a} + \frac{3 b^{2}}{256 a^{2}}\right)}{a} + \frac{d}{4 a}\right)}{a} - \frac{e}{a}\right)^{3}}{27} + \frac{\left(- \frac{\left(\frac{c}{a} - \frac{3 b^{2}}{8 a^{2}}\right)^{3}}{108} + \frac{\left(\frac{c}{a} - \frac{3 b^{2}}{8 a^{2}}\right) \left(- \frac{b \left(\frac{b \left(- \frac{c}{16 a} + \frac{3 b^{2}}{256 a^{2}}\right)}{a} + \frac{d}{4 a}\right)}{a} + \frac{e}{a}\right)}{3} - \frac{\left(\frac{b \left(- \frac{c}{2 a} + \frac{b^{2}}{8 a^{2}}\right)}{a} + \frac{d}{a}\right)^{2}}{8}\right)^{2}}{4}}} - \frac{2 c}{3 a} + \frac{b^{2}}{4 a^{2}}}} + \frac{2 \left(- \frac{\left(\frac{c}{a} - \frac{3 b^{2}}{8 a^{2}}\right)^{2}}{12} + \frac{b \left(\frac{b \left(- \frac{c}{16 a} + \frac{3 b^{2}}{256 a^{2}}\right)}{a} + \frac{d}{4 a}\right)}{a} - \frac{e}{a}\right)}{3 \sqrt[3]{\frac{\left(\frac{c}{a} - \frac{3 b^{2}}{8 a^{2}}\right)^{3}}{216} - \frac{\left(\frac{c}{a} - \frac{3 b^{2}}{8 a^{2}}\right) \left(- \frac{b \left(\frac{b \left(- \frac{c}{16 a} + \frac{3 b^{2}}{256 a^{2}}\right)}{a} + \frac{d}{4 a}\right)}{a} + \frac{e}{a}\right)}{6} + \frac{\left(\frac{b \left(- \frac{c}{2 a} + \frac{b^{2}}{8 a^{2}}\right)}{a} + \frac{d}{a}\right)^{2}}{16} + \sqrt{\frac{\left(- \frac{\left(\frac{c}{a} - \frac{3 b^{2}}{8 a^{2}}\right)^{2}}{12} + \frac{b \left(\frac{b \left(- \frac{c}{16 a} + \frac{3 b^{2}}{256 a^{2}}\right)}{a} + \frac{d}{4 a}\right)}{a} - \frac{e}{a}\right)^{3}}{27} + \frac{\left(- \frac{\left(\frac{c}{a} - \frac{3 b^{2}}{8 a^{2}}\right)^{3}}{108} + \frac{\left(\frac{c}{a} - \frac{3 b^{2}}{8 a^{2}}\right) \left(- \frac{b \left(\frac{b \left(- \frac{c}{16 a} + \frac{3 b^{2}}{256 a^{2}}\right)}{a} + \frac{d}{4 a}\right)}{a} + \frac{e}{a}\right)}{3} - \frac{\left(\frac{b \left(- \frac{c}{2 a} + \frac{b^{2}}{8 a^{2}}\right)}{a} + \frac{d}{a}\right)^{2}}{8}\right)^{2}}{4}}}} - 2 \sqrt[3]{\frac{\left(\frac{c}{a} - \frac{3 b^{2}}{8 a^{2}}\right)^{3}}{216} - \frac{\left(\frac{c}{a} - \frac{3 b^{2}}{8 a^{2}}\right) \left(- \frac{b \left(\frac{b \left(- \frac{c}{16 a} + \frac{3 b^{2}}{256 a^{2}}\right)}{a} + \frac{d}{4 a}\right)}{a} + \frac{e}{a}\right)}{6} + \frac{\left(\frac{b \left(- \frac{c}{2 a} + \frac{b^{2}}{8 a^{2}}\right)}{a} + \frac{d}{a}\right)^{2}}{16} + \sqrt{\frac{\left(- \frac{\left(\frac{c}{a} - \frac{3 b^{2}}{8 a^{2}}\right)^{2}}{12} + \frac{b \left(\frac{b \left(- \frac{c}{16 a} + \frac{3 b^{2}}{256 a^{2}}\right)}{a} + \frac{d}{4 a}\right)}{a} - \frac{e}{a}\right)^{3}}{27} + \frac{\left(- \frac{\left(\frac{c}{a} - \frac{3 b^{2}}{8 a^{2}}\right)^{3}}{108} + \frac{\left(\frac{c}{a} - \frac{3 b^{2}}{8 a^{2}}\right) \left(- \frac{b \left(\frac{b \left(- \frac{c}{16 a} + \frac{3 b^{2}}{256 a^{2}}\right)}{a} + \frac{d}{4 a}\right)}{a} + \frac{e}{a}\right)}{3} - \frac{\left(\frac{b \left(- \frac{c}{2 a} + \frac{b^{2}}{8 a^{2}}\right)}{a} + \frac{d}{a}\right)^{2}}{8}\right)^{2}}{4}}} - \frac{4 c}{3 a} + \frac{b^{2}}{2 a^{2}}}}{2} - \frac{b}{4 a} & \text{otherwise} \end{cases}
```
##反比例式について
この辺の件に踏み込むのはまだ先になりそう？

Rの場合

```R
#統計言語R（with YACAS）による実行例
library(Ryacas)
yacas("Solve(x*y-1==0,x)")
Yacas vector:
[1] x == 1/y
yacas("Solve(x*y-1==0,y)")
Yacas vector:
[1] y == 1/x
```
pythonの場合①

```python
import sympy
sympy.var('x,y')
Sol1=sympy.solve (x*y-1, x)
sympy.init_printing()

if Sol1==[]:
    print("Can't solve!!")
else:
    for i in Sol1:
        display(i) 
        print(sympy.latex(i))
```

```math
\frac{1}{y}
```
pythonの場合②

```python
import sympy
sympy.var('x,a,b,c')
Sol1=sympy.solve ((a*x)**2+b*x+c, y)
sympy.init_printing()

if Sol1==[]:
    print("Can't solve!!")
else:
    for i in Sol1:
        display(i) 
        print(sympy.latex(i))
```

```math
\frac{1}{x}
```

##二項展開(<font color="blue">Binomial Expansion</font>)の限界

**二項定理**（<font color="blue">Binomial theorem</font>）とも関連してくる領域となります。
[【初心者向け】パスカルの三角形と二項定理または二項展開](https://qiita.com/ochimusha01/items/d668b19d5389b52e0dd2)

ところで**平方ピタゴラスの定理**<font color="green">a^2=b^2+c^2</font>は一般の**2項展開**(<font color="blue">Binomial Expansion</font>)<font color="green">(a±b)^2</font>では扱い切れません。
[【初心者向け】ピタゴラスの定理あるいは三平方の定理からの出発](https://qiita.com/ochimusha01/items/4c7f731b0ef3cc998aa1)

その証明には「**角度が**<font color="green">90度</font>(<font color="blue">π/2ラジアン</font>)**という特別条件**」あるいは「**複素平面**(<font color="blue">Complex Plane</font>)**における単位円上の操作、すなわち虚数**<font color="green">i^2=-1</font>**の概念の導入と共益複素数**(<font color="blue">Conjugate Complex Number</font>)**の相互打ち消し作用**」を必要とするのです。

```R
#余弦定理(cosine formula)で角度が90度の場合
a^2=(b-c)^2=b^2+c^2−2bc*cos(α)
#ところでα=90度(π/2ラジアン)の場合、cos(α)=0
a^2=b^2+c^2−2bc*0=b^2+c^2 

#オイラーの公式(Euler's Formula)あるいは
#共益複素数(Conjugate Complex Number)同士の打ち消し作用を用いた証明。
1=e^0=e^(iθ-iθ)=e^iθ-e^iθ)
=(cos(θ)+sin(θ)i)(cos(θ)-sin(θ)i)
=cos(θ)^2+sin(θ)i-sin(θ)i-sin(θ)i^2
=cos(θ)^2+sin(θ)^2 #i^2=-1
```

##さらなる先の展望

[代数曲線に触れる]

>ユークリッド幾何学における**平面代数曲線** (<font color="blue">Plane Algebraic Curve</font>)における<font color="blue">x^2+y^2=a</font>(<font color="blue">aは実定数</font>)。これは、実数の範囲で考えた時、以下となる。

- a > 0 なら円
- a = 0 なら原点一点
- a < 0 なら空集合

>ただしa < 0 でも、複素数の範囲で解を考えればたくさんある。このように、代数曲線といってもどの範囲で解を考えるのか、どの体で解を考えるのかを明らかにしないと定かにはさだまらない。
>
>実数の範囲で考えると一点や空集合なども「**代数曲線**」であることになり、直感に合わない。通常は、代数曲線といったら複素数解の全体をあらわすことが多い。

```R
#統計言語R（with YACAS）による実行例
library(Ryacas)
yacas("Solve(x^2+y^2-1==0,x)")

Yacas vector:
[1] x == root(abs(y^2 - 1), 2) * complex_cartesian(cos(argument(1 - y^2)/2), sin(argument(1 - y^2)/2)) 
[2] x == root(abs(y^2 - 1), 2) * complex_cartesian(cos((argument(1 - y^2) + 2 * pi)/2), sin((argument(1 - y^2) + 2 * pi)/2))

yacas("Solve(x^2+y^2-1==0,y)")

 Yacas vector:
[1] y == root(abs(x^2 - 1), 2) * complex_cartesian(cos(argument(1 - x^2)/2), sin(argument(1 - x^2)/2)) 
[2] y == root(abs(x^2 - 1), 2) * complex_cartesian(cos((argument(1 - x^2) + 2 * pi)/2), sin((argument(1 - x^2) + 2 * pi)/2))
```
pythonの場合①

```python
import sympy
sympy.var('x,y')
Sol1=sympy.solve (x**2+y**2-1, y)
sympy.init_printing()

if Sol1==[]:
    print("Can't solve!!")
else:
    for i in Sol1:
        display(i) 
        print(sympy.latex(i))
```

```math
- \sqrt{1 - x^{2}}\\\sqrt{1 - x^{2}}
```
pythonの場合②

```python
import sympy
sympy.var('x,y')
Sol1=sympy.solve (x**2+y**2-1, y)
sympy.init_printing()

if Sol1==[]:
    print("Can't solve!!")
else:
    for i in Sol1:
        display(i) 
        print(sympy.latex(i))
```

```math
- \sqrt{1 - y^{2}}\\\sqrt{1 - y^{2}}
```


そうそう、こういうレベルの話まで出てきてしまう世界線でもあったのです…
[【Rで球面幾何学】「半円しか描けなかった」世界の思い出？](https://qiita.com/ochimusha01/items/cf74b1fff650edb0a496)
![CFC001.gif](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/597772/9c314439-c60a-7804-c2ae-26d0f6382a23.gif)
とりあえず、以下続報？