状態密度とリゾルベント，及び遅延・先進Green関数

$\phantom{}$$
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\newcommand\ret{\notag\\\\&\qquad}%数式改行用
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\newcommand\dashint{\mathchoice
  {\int\kern-10pt-}
  {\int\kern-8.5pt-}
  {\int\kern-6.1pt-}
  {\int\kern-4.58pt-}}
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$　状態密度からリゾルベント，遅延Green関数と先進Green関数を得ることができることを示す．また，いくらかの便利な解析的性質についても言及する．
# 定義
　状態空間は，ハミルトニアン$\mathcal{H}$に対して次の固有値問題：

```math
\mathcal{H}\ket{n}=E_n\ket{n},
```

の解$\\{\ket{n}\\}$によって張られるものとする．ただし，$E_n$は$\ket{n}$に対する何らかの境界条件によって離散化されているものとする (ただし，熱力学極限をとった後の最終結果は連続量になることもある)[^1]．以下，演算子のままで議論をすすめるが，よくわからなくなった場合はこの状態空間で作られた行列であると考えればよい．この但し書きは，要するに散乱状態を含む問題へのナイーブな拡張を保証しないということを言っている．
　複素数$z$を用い，リゾルベントと呼ばれる量：

```math
G(z):=\frac{1}{z-\mathcal{H}}\for{\Im z\neq 0},\tag{1}\label{eq:1}
```

を定義する．$G(z)$は実軸上の$E_n$にだけ特異性を持ち，それ以外の領域では正則である．逆に，$G(z)$が不連続になっている部分を探索することは固有値を探索することと等価である．
　遅延 (retarded) と先進 (advanced) Green関数を次式で定義しよう：

```math
\begin{align}
G^\mathrm{r}(\omega)&:=\lim_{\delta\searrow 0}\frac{1}{\omega-\mathcal{H}+\I \delta}=\lim_{\delta\searrow 0} G(\omega+\I \delta)\for{\omega\in\mathbb{R}},\tag{2}\label{eq:2}\\
G^\mathrm{a}(\omega)&:=\lim_{\delta\searrow 0}\frac{1}{\omega-\mathcal{H}-\I \delta}=\lim_{\delta\searrow 0} G(\omega-\I \delta)\for{\omega\in\mathbb{R}},
\end{align}
```

ここで極限操作を実行できない場合はそのまま残しておき，佐藤超関数として扱うものとする．

# 解析的性質

　__($\ref{eq:1}$)__式は次のように表現することができる (積分範囲を省略した場合は$(-\infty,\infty)$とする)：

```math
G(z)=\int\D\omega'\frac{\rho(\omega')}{z-\omega'},\tag{3}\label{eq:3}
```

ここで状態密度 (またはスペクトル関数)：

```math
\rho(\omega):=\delta(\omega-\mathcal{H}),
```

を定義した．これはHermite演算子である．この表式から，状態密度がわかればリゾルベントが確定することがわかった．定義より，$\rho(\omega)$は一般に

```math
\int\D\omega \rho(\omega)=1,
```

であることがわかる．ここで$1$は恒等演算子である．熱力学極限をとればエネルギバンドのような連続スペクトルを得ることもできるが，上式からその合計面積は常に1である．このことは計算の確認に使うことができる．__($\ref{eq:3}$)__式は，スペクトル関数さえ与えられればリゾルベントが計算可能であることを表している．先述したように，$G^\mathrm{r (a)}(\omega)$はリゾルベントから得られるため，スペクトル関数がわかればこれらも計算できることがわかる．
　__($\ref{eq:3}$)__式を__($\ref{eq:2}$)__式に代入してみると

```math
G^\mathrm{r}(\omega)
=\lim_{\delta\searrow 0}\int\D\omega'\frac{\rho(\omega')}{\omega-\omega'+\I \delta}
=\dashint\D\omega' \frac{\rho(\omega')}{\omega-\omega'}-\I \pi\rho(\omega),
```

となる．ここで$\dashint$は積分をCauchyの主値積分によって評価することを意味する．上式の虚部を取る[^2]ことにより

```math
\rho(\omega)=-\frac{1}{\pi}\Im G^\mathrm{r}(\omega),\tag{4}\label{eq:4}
```

を得る．また，実部をとる[^2]と

```math
\Re G^\mathrm{r}(E)=\dashint\D \omega' \frac{\rho(\omega')}{\omega-\omega'},
```

を得るが，__($\ref{eq:4}$)__式により上式は

```math
\Re G^\mathrm{r}(\omega)=-\frac{1}{\pi}\dashint\D \omega' \frac{\Im G^\mathrm{r}(\omega')}{\omega-\omega'},
\tag{5}\label{eq:5}
```

であることがわかる．右辺の$\Im$を外した計算をしてみよう：

```math
\dashint\D \omega'\frac{G^\mathrm{r}(\omega')}{\omega-\omega'}=\dashint\D \omega'\frac{1}{\omega-\omega'}\frac{1}{\omega'-\mathcal{H}+\I \delta}=-G^\mathrm{r}(\omega)\dashint\D \omega'\left(\frac{1}{\omega'-\omega}-\frac{1}{\omega'-\mathcal{H}+\I \delta}\right).
```

主値積分を実行すると[^3]

```math
\dashint\D \omega'\frac{1}{\omega'-\omega}=\dashint\D \omega'\frac{1}{\omega'}=0,
```

```math
\dashint\D \omega'\frac{1}{\omega'-\mathcal{H}+\I \delta}=\lim_{\Omega\to\infty}\left[\ln\left(\omega'-\mathcal{H}+\I \delta\right)\right]_{\omega'=-\Omega}^{\omega'= \Omega}=-\I \pi,
```

であるから，

```math
G^\mathrm{r}(\omega)=-\frac{1}{\I \pi}\dashint\D \omega' \frac{G^\mathrm{r}(\omega')}{\omega-\omega'},
```

を得る．虚部をとれば

```math
\Im G^\mathrm{r}(\omega)=\frac{1}{\pi}\dashint\D \omega' \frac{\Re G^\mathrm{r}(\omega')}{\omega-\omega'},
```

であって，__($\ref{eq:5}$)__式と対になる関係式が得られる．このように，Green関数の実部と虚部は互いに関係があり，この手の関係式をKramers--Kronigの関係式と呼ぶ．
　遅延・先進Green関数の定義で異なる部分は$\delta$の符号だけであった．同じ$\omega$に対して両者で値が異なる領域は，((3)式から明らかなように) $\rho(\omega)$が有限値を持つ部分である．そこで，$\rho(\omega)$が有限値を持つエネルギ領域を$\mathbb{R}\_\mathrm{A}$，ゼロになる領域を$\mathbb{R}\_\mathrm{F}$と書くことにしよう．そうすると，

```math
G^\mathrm{a}(\omega)\neq G^\mathrm{r}(\omega)\for{\omega\in\mathbb{R}_\mathrm{A}},
```

```math
G^\mathrm{a}(\omega)=G^\mathrm{r}(\omega)=\int_{\mathbb{R}_\mathrm{A}}\D \omega' \frac{\rho(\omega')}{\omega-\omega'}=G(\omega)\for{\omega\in\mathbb{R}_\mathrm{F}},
```

であることがわかる．
　遅延Green関数の$w$平面への解析接続を作ることを考えてみよう．特に，ナイーブな定義：

```math
G^\mathrm{r}(w):=\lim_{\delta\searrow 0} G(w+\I \delta),\tag{6}\label{eq:6}
```

が可能か検討しよう．まず，$G(z)$は実軸を除いた領域で常に正則であるから，上式の$G^\mathrm{r}(w)$は$\Im w \ge 0$の領域で正則であり，一致の定理によって解析接続は唯一のものである．したがって，$\Im w >0$の領域 (UHP: upper half plane)への解析接続はこの定義で常に成功する．しかし，$\Im w < 0$の領域 (LHP: lower half plane) への解析接続は，この定義がいつでもうまくいくとは限らないし，うまくいったとしても一般には唯一の解析接続ではないことを覚えておかなければならない．
　__($\ref{eq:6}$)__式が全くうまくいかない例を考えてみよう．それは，$G(z)$が全実軸上で不連続となるような場合である．具体例として$\rho(\omega)$が[Lorentizanになっている場合](https://qiita.com/MiuraB/items/b3fc81893f5ded209c32)があり，リゾルベントはあるパラメータ$W>0$に対して

```math
G(z)=\frac{1}{z+\I W\mathrm{sgn}(\Im z)},
```

となる．上式からUHPでの遅延Green関数の解析接続は

```math
G^\mathrm{r}(w)=\frac{1}{w+\I  W}\quad \Im w>0,
```

であることがわかる．更にこの式から，LHPへの解析接続も上式をそのまま使えばよいことがわかり，結果として

```math
G^\mathrm{r}(w)=\frac{1}{w+\I  W},
```

が唯一の解析接続である．この問題に対してもし定義(6)を使ったとすると，LHPでの値は

```math
\lim_{\delta\searrow 0}G(w+\I \delta)=\frac{1}{w-\I W}\for{\Im w < 0},
```

となってしまい，UHPからの解析接続に失敗していることがわかる．ただし，このような例はひどく非物理的である．すなわち，全実軸が不連続ということは，ハミルトニアンの固有エネルギが$-\infty$から$\infty$まで連続して存在していることを意味し，特に，基底エネルギと基底状態が存在しないことが問題である．物理的な問題では基底エネルギ$E_0$が存在するため，$G(z)$の正則領域 ($\omega<E_0$) を通過することで安全にUHPからLHPに解析接続することができる．そのため，__($\ref{eq:6}$)式は実用上常にうまくいく__と言って良い．予備計算などでLorentzianを使った場合にだけこの問題を思い出せば良い．
　次に__($\ref{eq:6}$)__式が一般には唯一の解析接続でないことを示す．例えば，$\rho(\omega)$が$\omega_1\le \omega\le \omega_2$の領域に連続スペクトルを持ち，それ以外の部分でゼロになる場合を考えてみよう．$G^\mathrm{r}(\omega)$の解析接続は，$\omega < \omega_1$の領域，$\omega_1 < \omega < \omega_2$の領域，そして$\omega_2 < \omega$の3つの領域から，それぞれ3つの解析接続$G_1^\mathrm{r}(w), G_2^\mathrm{r}(w), G_3^\mathrm{r}(w)$を作ることができる．上述したように，UHPに向かって解析接続を作ると，この3つの解析接続は全て一致し，$G_1^\mathrm{r}(w)=G_2^\mathrm{r}(w)=G_3^\mathrm{r}(w)\equiv G^\mathrm{r}(w)=\lim_{\delta\searrow 0}G(w+\I \delta)=G(w)$が唯一のものとなる．しかし，LHPに向かって作ると必ずしもそうではない．$G_1^\mathrm{r}(w)$と$G_3^\mathrm{r}(w)$は$G(z)$の表式から一致することがわかるが，$G_2^\mathrm{r}(w)$はこれらとは一致しない．したがってLHPにおいて$G_1^\mathrm{r}(w)=G_3^\mathrm{r}(w)=G(w)$の領土1と，$G_2^\mathrm{r}(w)$の領土2は区別しなければならず，しかもその設定は全く任意であるから，領土の境界線の形状だけが異なる解析接続が無限に存在することになる．定義__($\ref{eq:6}$)__は，LHPでの領土2の面積を無限小にするような選択であることを意味する．領土2を有限にとる場合は$G_2^\mathrm{r}(w)$を新しく作る必要があるため[^4]，そのような解析接続の選択には利点がないと思われるかもしれない．しかし，数値計算上の理由から，実軸上の積分を避けたい場合は多々あり[^5]，そのような場合に$G_2^\mathrm{r}(w)$は有用となる．先進Green関数の解析接続についても同様である．


# 数値計算例

かまぼこ型の状態密度を例にして次の積分：


```math
\begin{align}
I(\mu):=\int_{-\infty}^\mu \D \omega G^\mathrm{r}(\omega) G^\mathrm{a}(\omega),
\end{align}
```


を数値計算してみよう．この種の積分は久保公式を用いるときに現れる．
バンドの重心を原点にとり，バンド幅を$2$とすると，対応するリゾルベントは


```math
\begin{align}
G(z)=\frac{2}{z+\sqrt{z+1}\sqrt{z-1}},
\end{align}
```


となるのであった (see: [かまぼこ型の状態密度](https://qiita.com/MiuraB/items/2377220b92b1b0f5ff28))．ここで平方根の切断は負の実軸上にとってある．
これより遅延Green関数を求めると


```math
\begin{align}
G^\mathrm{r}(\omega)
&=
\begin{cases}
\frac{2}{\omega+\sqrt{\omega+1}\sqrt{\omega-1}}\for{\abs{\omega}\ge 1},\\
\frac{2}{\omega+\I\sqrt{\omega+1}\sqrt{1-\omega}}\for{\abs{\omega} < 1},
\end{cases}
=
\frac{2}{\omega+\sqrt{\omega+1}\sqrt{\omega-1}},
\end{align}
```


である．先進Green関数は


```math
\begin{align}
G^\mathrm{a}(\omega)
&=
\begin{cases}
\frac{2}{\omega+\sqrt{\omega+1}\sqrt{\omega-1}}\for{\abs{\omega}\ge 1},\\
\frac{2}{\omega-\I\sqrt{\omega+1}\sqrt{1-\omega}}\for{\abs{\omega} < 1},
\end{cases}
=
\begin{cases}
\frac{2}{\omega+\sqrt{\omega+1}\sqrt{\omega-1}}\for{\abs{\omega}\ge 1},\\
\frac{2}{\omega-\sqrt{\omega+1}\sqrt{\omega-1}}\for{\abs{\omega} < 1},
\end{cases}
\end{align}
```


となる．先進Green関数は場合分けを残さなければならないが，これは
切断上の平方根の値を


```math
\begin{align}
\sqrt{z}\bigr|_{z < 0}:=+\I\sqrt{-z},
\end{align}
```

にとるものと約束したからである (もし$-\I\sqrt{-z}$にとると約束するなら$G^\mathrm{r}(\omega)$の方に場合分けが残される)．
$\mu$がバンド内にある場合を考えよう．
厳密解は


```math
\begin{align}
I(\mu)=\frac{4}{3}+4(\mu+1)\for{\abs{\mu} < 1},
\end{align}
```


である．そこで，


```math
\begin{align}
I(0)=5.33\ldots,
\end{align}
```


の結果を，なるべく実軸から離れた数値積分で得ることを考えよう．

実軸上の積分路をUHPに逃がして$I$を評価することにする．
遅延Green関数のUHPへの解析接続は，一致の定理によって


```math
\begin{align}
G^\mathrm{r}(w)=\frac{2}{w+\sqrt{w+1}\sqrt{w-1}}=G(w),
\end{align}
```


が唯一のものである．
しかしUHPでの先進Green関数はそうではない．
ここではある$\Delta > 0$をとって，図1の点線が示すような境界線をとろう．
着色した領域は$\abs{\omega} < 1$からの直接解析接続の定義域であり，
それ以外の領域は$\abs{\omega} > 1$からのそれである．
すなわち


```math
\begin{align}
G^\mathrm{a}(w)
=
\begin{cases}
\frac{2}{w-\sqrt{w+1}\sqrt{w-1}}\quad\mathrm{within\ the\ colored\ area\ (including\ the\ real\ axis)},\\
\frac{2}{w+\sqrt{w+1}\sqrt{w-1}}=G(w)\quad\mathrm{for\ others},
\end{cases}
\end{align}
```


である．Cauchyの積分定理により，被積分関数：$G^\mathrm{r}(w)G^\mathrm{a}(w)$が正則な領域では自由に積分路を曲げてよいから，
$(-\infty,\mu)$の積分路から図2の赤線のように変更しよう．
ここで複素平面上での各点の座標は


```math
\begin{align}
a&=-\infty+\I \Delta,\\
b&=-1^+ + \I \Delta,\\
c&=-1^- + \I \Delta^-,\\
d&=\mu+\I \Delta^-,
\end{align}
```


である．ここで$x^\pm:=x\pm \varepsilon$であり，$\varepsilon > 0$は無限小量とする．
各線分上の積分に分けて書くと


```math
\begin{align}

I(\mu)
=
\int_{-\infty}^a \D w G(w)^2
+
\int_{a}^b \D w G(w)^2
+
\int_{b}^{-1} \D w G(w)^2
+
\int_{-1}^c \D w G(w)G^\mathrm{a}(w)
+
\int_{c}^d \D w G(w)G^\mathrm{a}(w)
+
\int_{d}^\mu \D w G(w)G^\mathrm{a}(w),
\end{align}
```


とかける．右辺第1項は消えるので，第2項目からを計算すればよい．
幾つかの$\Delta$に対して，Mathematicaによって数値計算してみるといずれも


```math
\begin{align}
I(0)\simeq 5.33333,
\end{align}
```


となり，正しく計算されていることがわかる (___図3___)．

![image.png](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/617282/6a57a864-5239-0c7a-c21f-3c187a38174c.png)

___図1.___


![image.png](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/617282/5c7e81fb-0406-392a-0e08-addb341f142f.png)

___図2.___


```Mathematica:Mathematica
Clear[w, a, b, c, d, \[Mu], \[CapitalDelta], G, Ga, II];
a := -\[Infinity] + I \[CapitalDelta];
b := -1 + I \[CapitalDelta];
c := -1 + I \[CapitalDelta];
d := \[Mu] + I \[CapitalDelta];
\[Mu] := 0;
G[w_] := 2/(w + Sqrt[w + 1] Sqrt[w - 1]);
Ga[w_] := 2/(w - Sqrt[w + 1] Sqrt[w - 1]);
II := NIntegrate[G[w]^2, {w, a, b}] +
   NIntegrate[G[w]^2, {w, b, -1}] +
   NIntegrate[G[w] Ga[w], {w, -1, c}] +
   NIntegrate[G[w] Ga[w], {w, c, d}] +
   NIntegrate[G[w] Ga[w], {w, d, \[Mu]}];
\[CapitalDelta] = 1; II

\[CapitalDelta] = 2; II

\[CapitalDelta] = 100; II
```

↓

![image.png](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/617282/8c9f5f03-c1aa-6f95-439c-21300f21c9ef.png)

___図3.___





[^1]: 例えば束縛状態だけを考えるという条件を課すと，$E_n$は離散的になる．別の例として周期境界条件がある．これによってやはり$E_n$は離散的になる．ただし，周期境界条件は人工的なものであり，熱力学極限をとることを前提としたものである．固体物理学の問題では，然るべきタイミングで熱力学極限をとることによりバンドエネルギのような連続スペクトルが得られる．

[^2]: 実部または虚部をとる演算を次のように拡張して用いた：$$\Re A:=\frac{1}{2}\left( A+A^\dagger\right),$$$$\Im A:=\frac{1}{2\I }\left( A-A^\dagger\right).$$

[^3]: この広義積分はCauchyの主値積分と断らなければ値が定まらない．

[^4]: $G(z)$が使えないという意味．

[^5]: 例えば実軸付近でGreen関数が激しく振動する場合が挙げられる．