グランドポテンシャルと積分された状態密度

$\phantom{}$$
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$

　ある一体ハミルトニアン$\mathcal{H}$で記述されるFermion系が，逆温度$\beta$，化学ポテンシャル$\mu$で特徴づけられるリザバーに接触し，熱平衡状態を達成しているものとする．
この系のグランドポテンシャル密度$\Omega(\beta,\mu)$は次のように表示できる：

```math
\begin{align}
\Omega(\beta,\mu)=\Omega(\beta,-\infty)
-
\int\D\epsilon
N(\epsilon)
f(\beta,\epsilon-\mu),
\end{align}
```

ここで$N(\epsilon)$は[積分された状態密度](https://qiita.com/MiuraB/items/3a56108cf61c036bdd9c)，$f(\beta,x)$はFermi--Dirac分布関数である．

積分された状態密度はGreen関数で書ける．
すなわち，我々はグランドポテンシャルをGreen関数法で評価できるということである．
グランドポテンシャルは完全な熱力学関数であるから，
熱力学的諸量もまたGreen関数法で記述できる．

## 導出

$\Omega(\beta,\mu)$の$\mu$に関する導関数を積分することで

```math
\begin{align}
\Omega(\beta,\mu)-\Omega(\beta,-\infty)
\equiv\int_{-\infty}^\mu \D \mu'
\frac{\partial\Omega(\beta,\mu')}{\partial\mu'}
, \tag{1}\label{eq:omega}
\end{align}
```

と書けるが，このように書くと，右辺の被積分関数が粒子数密度であることに気づくであろう．
もし，$\mathcal{H}$が一体ハミルトニアンであるならば，

```math
\begin{align}
-\frac{\partial\Omega(\beta,\mu)}{\partial\mu}
 = 
\int\D\epsilon f(\beta,\epsilon-\mu)\rho(\epsilon),
\end{align}
```

となって一体問題に帰着される．ここで

```math
\begin{align}
f(\beta,x): = \frac{1}{\E^{\beta x}+1},
\end{align}
```

はFermi--Dirac分布関数である．また，$\rho(\omega)$は単位体積当たりの (一体) 状態密度である．
積分された状態密度を次式で定義しよう：

```math
\begin{align}
N(\epsilon): = \int_{-\infty}^\epsilon \D \epsilon' \rho(\epsilon').
\end{align}
```

これらを__($\ref{eq:omega}$)__に代入すると

```math
\begin{align}
\Omega(\beta,\mu)-\Omega(\beta,-\infty)
 = 
-
\int_{-\infty}^\mu
\D\mu'
\int\D\epsilon f(\beta,\epsilon-\mu') \frac{\D N(\epsilon)}{\D\epsilon},
\end{align}
```

となる．$\epsilon$に関する部分積分を行うと

```math
\begin{align}
\Omega(\beta,\mu)-\Omega(\beta,-\infty)
 = 
-
\int_{-\infty}^\mu
\D\mu'
\left[
f(\beta,\epsilon-\mu') N(\epsilon)\Bigr|_{\epsilon\to-\infty}^{\epsilon\to\infty}
-
\int\D\epsilon \frac{\partial f(\beta,\epsilon-\mu')}{\partial\epsilon}
N(\epsilon)
\right],
\end{align}
```

である．また，$N(-\infty) = 0$および$f(\infty) = 0$であるので上式の表面項は落ちて

```math
\begin{align}
\Omega(\beta,\mu)-\Omega(\beta,-\infty)
 = 
\int_{-\infty}^\mu
\D\mu'
\int\D\epsilon \frac{\partial f(\beta,\epsilon-\mu')}{\partial\epsilon}
N(\epsilon)
 = 
-
\int_{-\infty}^\mu
\D\mu'
\int\D\epsilon \frac{\partial f(\beta,\epsilon-\mu')}{\partial\mu'}
N(\epsilon)
,
\end{align}
```

である．更に積分の順序を入れ替え，$\epsilon$積分より先に$\mu'$積分を実行する：

```math
\begin{align}
\Omega(\beta,\mu)-\Omega(\beta,-\infty)
 = 
-
\int\D\epsilon
N(\epsilon)
\int_{-\infty}^\mu
\D\mu'
\frac{\partial f(\beta,\epsilon-\mu')}{\partial\mu'}
 = 
-
\int\D\epsilon
N(\epsilon)
f(\beta,\epsilon-\mu)
.
\end{align}
```

こうして次式を得る：

```math
\begin{align}
\Omega(\beta,\mu) = \Omega(\beta,-\infty)
-
\int\D\epsilon
N(\epsilon)
f(\beta,\epsilon-\mu).
\end{align}
```