【Rで球面幾何学】そもそも「内積(Inner Product)」とは「外積(Outer Product)」とは何か？

**ウィリアム・ローワン・ハミルトン**（<font color="blue">William Rowan Hamilton、1805年〜1865年</font>）は、どうやっても三元数が安定した数理にまとまらない事に気付いて四元数への移行を決断したとされています。
[四元数を発見法的に導く](https://qiita.com/SotaAsai/items/a662c5f4675a1b8985f2)
>Hamiltonはどうしても第4番目の元<font color="green">k</font>があることを認めなければならなかった。すなわち、一般の”**三元数**”の積を考えれば”**三元数**”の中にはなかった第4番目の元<font color="green">k</font>が必然的に出てくるのだから、”**三元数**”の積は”**三元数**”としては表せない(<font color="blue">数学的にいえば閉じていない</font>)。したがって、”**三元数**”を”**三元数**”の範囲で合理的に定義することはできない。

ここで鍵となるのが**内積**(<font color="blue">Inner Product</font>)=**スカラー積**(<font color="blue">Scalar Product</font>)と**外積**(<font color="blue">Outer Product</font>)=**ベクトル積**(<font color="blue">Vector Product</font>)の概念。まずは算出方法について確認しておきましょう。それ自体はRだけでなく、多くのコンピューター言語の標準ライブラリーに含まれてますね。
[R による行列の演算](https://stats.biopapyrus.jp/r/basic/matrix.html)

```R
>a0 <- matrix(c(0,0,1,2), nrow = 2, ncol = 2)
>b0 <- matrix(c(0,0,3,4), nrow = 2, ncol = 2)
#内積計算関数
> crossprod(a0,b0)
     [,1] [,2]
[1,]    0    0
[2,]    0   11

#内積の手計算結果
>(a0[1,2]-a0[1,1])*(b0[1,2]-b0[1,1])+(a0[2,2]-a0[2,1])*(b0[2,2]-b0[2,1])
[1] 11

#外積計算関数の計算結果
> outer(a0,b0)
, , 1, 1

     [,1] [,2]
[1,]    0    0
[2,]    0    0

, , 2, 1

     [,1] [,2]
[1,]    0    0
[2,]    0    0

, , 1, 2

     [,1] [,2]
[1,]    0    3
[2,]    0    6

, , 2, 2

     [,1] [,2]
[1,]    0    4
[2,]    0    8

#外積関連数値の手計算結果
> (a0[1,2]-a0[1,1])*(b0[1,2]-b0[1,1])
[1] 3
> (a0[2,2]-a0[2,1])*(b0[1,2]-b0[1,1])
[1] 6
>(a0[1,2]-a0[1,1])*(b0[2,2]-b0[2,1])
[1] 4
>(a0[2,2]-a0[2,1])*(b0[2,2]-b0[2,1])
[1] 8
```
[クロス積 - Wikipedia](https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AF%E3%83%AD%E3%82%B9%E7%A9%8D)

>2つのベクトルからスカラーを与える二項演算である内積に対して**外積**とも呼ばれるが、英語で<font color="green">Outer Product</font>は直積を意味するので注意を要する。

(<font color="blue">半径1の</font>)**単位円**(<font color="blue">Unit Circle</font>)/**単位球面**(<font color="blue">Unit Sphere</font>)上や**極座標系**(<font color="blue">Polar Coordinate System</font>)の振る舞いに限定して考えると内容はもっと整理され、分かりやすく単純化されますが、困った事にここで異なる２つの考え方が浮上してきてしまうのです。

##単位円上での平面展開では内積が<font color="green">Cos(θ)</font>、外積が<font color="green">Sin(θ)</font>となる。
[ゲームが作れるようになるまでがんばる日記:2次元での内積と外積](https://toburau.hatenablog.jp/entry/20080305/1204703630)

>二次元上の内積は(<font color="blue">X軸に沿った</font>)スカラー値となる
<font color="green">a･b=|a||b|cosθ=ax*bx+ay*by</font>
二次元上の外積は(<font color="blue">Y軸に沿った</font>)スカラー値となる
<font color="green">a×b=|a||b|sinθ=ax*by-ay*bx</font>
従って演算対象のベクトルが両方とも長さ1の単位ベクトルにおいては（<font color="blue">すなわち半径１の単位円上の振る舞いにおいては</font>）内積は<font color="green">Cos(θ)</font>、外積は<font color="green">Sin(θ)</font>と一致する。

この**概念**(<font color="blue">Concept</font>)自体は**自明の場合**(<font color="blue">Trivial Case</font>)として扱って差し支えない様に思われます。
![20190827165445.gif](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/597772/42dd6d76-f37a-a4b7-f64e-9016b7e4da32.gif)

```R
#複素平面（球面）

Complex_plane<-function(x){

ifelse*1
theta <- c(seq(0, pi, length=180),seq(-pi, 0, length=180))
dr<-seq(0,2*pi,length=360)

theta00<- seq(1, -1, length=360)
theta01 <- c(theta[x:360],theta[1:x-1])
theta_cos<-cos(theta01)
theta_sin<-sin(theta01)
plot(cos(theta), sin(theta), xlim=c(-1,1), ylim=c(-1,1), type="l", main="Correlation coefficient",xlab="Real Expanse", ylab="Imaginal Expanse")
par(new=T)#上書き指定
plot(theta_cos,theta00,xlim=c(-1,1), ylim=c(-1,1), type="l",col=rgb(0,1,0),main="",xlab="", ylab="")

#cos(x)を塗りつぶす
polygon(theta_cos, #x
theta00, #y
density=c(30), #塗りつぶす濃度
angle=c(45),　 　　　#塗りつぶす斜線の角度
col=rgb(0,1,0)) 　#塗りつぶす色

#sin(x)を塗りつぶす
polygon(theta00, #x
theta_sin, #y
density=c(30), #塗りつぶす濃度
angle=c(45),　 　　　#塗りつぶす斜線の角度
col=rgb(0,0,1)) 　#塗りつぶす色

#線を引く
segments(cos(dr[x]),sin(dr[x]),0,0,rgb(0,0,0))

#Cosθ+Sinθを塗りつぶす
polygon(c(0,cos(dr[x]),cos(dr[x]),0,0), #x
c(0,0,sin(dr[x]),sin(dr[x]),0), #y
density=c(30), #塗りつぶす濃度
angle=c(45),#塗りつぶす斜線の角度
col=rgb(1,0,0))#塗りつぶす色

#凡例
#legend("bottomleft", legend=c("cos","sin", "cosθ & sinθ"), lty=c(1,1,1),col =c(rgb(0,1,0),rgb(0,0,1),rgb(0,1,1))
}

#アニメーションさせてみる。

library("animation")
Time_Code=c(1,15,30,45,60,75,90,105,120,135,150,165,180,195,210,225,240,255,270,285,300,315,330,345)
saveGIF({
for (i in Time_Code){
　　Complex_plane(i)
}
}, interval = 0.1, movie.name = "TEST001.gif")
```
問題はそれが自然に内積や外積の概念まで**敷衍**(<font color="blue">Enlarge</font>)可能かどうかなのですね。何故なら以下の様な概念もまた**自明の場合**と思えてならないからなのです。

##1次元ベクトル上の外積は常に<font color="green">0</font>となる。

[七次元の外積 [物理のかぎしっぽ]](http://hooktail.sub.jp/vectoranalysis/SevenDCrossProd/)
>複素数<font color="green">a+i*b</font>の<font color="green">a</font>をスカラー部， <font color="green">i*b</font>をベクトル部とみなせば，一次元ベクトルの外積を定義できそうです．

```R
(b1*i)(b2*i)
=b1*b2*i^2)
#ところで複素数においては以下が成立する。
bdi^2=-b1*b2 #i^2=-1
```
>四元数や八元数のときと同様，マイナス付き内積のようなスカラー項で出てきましたが，右辺にベクトル部は出てきません．つまり，一次元ベクトルの外積は常に<font color="green">0</font>なのです．何も面白くない結果だと思うかも知れませんが『**一次元ベクトルの外積は常に**<font color="green">0</font>**である**』と定義できた ことが，何よりも嬉しいことです．

ここでさらに気になるのが三角関数を巡る以下の概念上の混乱。

①三次元上の直交座標系や極座標形で考えると、三角関数の正体は(<font color="blue">外積=Z軸の値が0となる</font>)**X軸の値**(<font color="blue">Cos(φ)</font>)と**Y軸の値**(<font color="blue">Sin(φ)</font>)の関数である(<font color="blue">-π<φ<π</font>)。これにさらにZ軸上の角度θ(<font color="blue">-π/2<=θ<=π/2</font>)の変化を加えても(<font color="blue">緯度に直交する</font>)断面積の縮尺が変わるに過ぎない。すなわち「**半径rをスカラー積、残りをベクトル積と考える事も出来る**」という事。
![250px-Spherical_with_grid.svg.png](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/597772/3c723a02-07e7-03e0-fc0f-8919ac6476f6.png)
**円弧における極座標系**

- <font color="green">x=r*cos(φ)</font>
- <font color="green">y=r*sin(φ)</font>

**球面上における極座標系**

- <font color="green">x=r*cos(φ)*sin(θ)</font>
- <font color="green">y=r*sin(φ)*sin(θ)</font>
- <font color="green">z=r*cos(θ)</font>

[【初心者向け】物理学における「単位円筒(Unit Cylinder)」の概念について。](https://qiita.com/ochimusha01/items/ced1c21b4411e79cdcbe)
<font color="green">XY軸</font>（<font color="blue">円弧</font>）
![20191029133633.gif](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/597772/0e55e673-d89e-6d33-6e33-9edf6fecdbdd.gif)
<font color="green">XZ軸</font>（<font color="blue">Cos波</font>）
![20191029193635.gif](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/597772/529cc2b1-3476-4eba-1c07-a79cc8ba16d7.gif)
<font color="green">YZ軸</font>（<font color="blue">Sin波</font>）
![20191029194000.gif](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/597772/fa66cf1a-291e-8e76-8ea7-c586efcb1e21.gif)
[【初心者向け】「単位円筒」から「単位球面」へ](https://qiita.com/ochimusha01/items/08f5c5ad1aba4a59a27d)
![20190915101244.gif](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/597772/1eb036c4-ffdc-b445-c582-35792334ff28.gif)

これはある種の**対蹠点効果**(<font color="blue">Antipodal effect</font>)、すなわち関数<font color="green">-1^x=i^2x</font>の実数部変動に対応した**共役複素数**(<font color="blue">Conjugate Complex Number</font>)の値の変動が全て揃っている為、断面の実数軸に対する直交性が保たれ続けるせいである。
[対蹠点効果？|JE6RIJの気まぐれ無線日記-アメブロ](https://ameblo.jp/bf3gamer/entry-12220406028.html)
[フォークランドに-5dB ～ 対蹠点（たいせきてん）効果か？](http://www.jh4vaj.com/archives/5441)
[CQ ham radio-アマチュア無線の専門誌-CQ出版](https://www.cqpub.co.jp/cqham/amawords/word_ta.htm)
>**対蹠点効果**
地球上における一点に対して，正反対側の位置を対蹠点（<font color="blue">対蹠とは足の裏の意味</font>）という．これら2地点間の短波通信では，地球上において最も遠距離であるにもかかわらず，電波伝搬の大圏コースが無数にあるため電界強度が大きくなり，強力に電波が届く．

[【Rで球面幾何学】オイラーの多面体定理(Euler's Polyhedron Theorem)と平面充填(Tiling)の連続性について。](https://qiita.com/ochimusha01/items/24a4b51b2c23c47d6aff)
![20191021210648.gif](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/597772/82515a21-28ac-756f-2f7c-980acb027b44.gif)
また**縦角θ**(<font color="blue">-π/2<=θ<=π/2</font>)の変動範囲制限により、元来共役複素数の変動には「**元蹠から対蹠に向かう方向性**」と「**対蹠から元蹠に向かう方向性**」の２種類がある現実も巧妙に隠されている。
[【初心者向け】三角関数と指数・対数関数の「巡回性」について。](https://qiita.com/ochimusha01/items/61d8cfa89dc078cbe472)
![CFD01.gif](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/597772/0ba98cbe-b449-9b1d-b0f0-4a6b60e55f35.gif)
![CFD90Sift02.gif](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/597772/dae51c2d-b2ce-515b-c55e-d8dec59a0760.gif)
オイラー角と異なり四元数にジンバルロックの概念が存在しないのは、実はこの「**角度制限**」のせいとも？　まぁ正体は単なる1次元ベクトルなので実際には何の制限も加えず何回転させても問題が生じる事はなく、その辺りがCGや宇宙船/ドローンの制御に向いてる理由とも。
[【Rで球面幾何学】ジンバルロック(?)やリサージュ曲線(?)との邂逅。](https://qiita.com/ochimusha01/items/f59827f9f7d6122671ac)
![20191011022034.gif](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/597772/0c256c58-bf1e-557b-387b-b8910cb5ea4e.gif)
![20191011172651.gif](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/597772/739a025a-6bbb-e85c-5620-471c4902233a.gif)

いずれにせよこうした妥協の積み重ねが人類にもたらした最大の恩恵、それこそがまさに大航海時代から産業革命の時代にかけて地図製作者達の経験と知識の集積空間として重宝された（<font color="blue">座標を緯度±180度と経度±90度の組み合わせで表す</font>）**地球儀**の概念だったのである。
[【初心者向け】半径・直径・円周長・円の面積・球の表面積・球の体積の計算上の往復](https://qiita.com/ochimusha01/items/e180451a210227bb19a5)
![test01.gif](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/597772/0c24bdd0-51d7-e8a7-fc66-f9ea60ab75f9.gif)

②それが純粋な複素平面上の数理であるにも関わらず、「**１の冪乗の巡回性**」についても多くの人間が「**正多角形の作図から定規やコンパスを追い出した便利なアルゴリズム**」程度にしか意識しておらず、実際プログラム上も三角関数の概念さえ把握してれば誰でも使える`c0=seq(-pi,pi,length=NoS);cx=cos(c0);cy=sin(c0)`(<font color="blue">NoS(Number of Sides)=描く多角形の辺数+巡回を完成させる為の1</font>)の構文さえ覚えていれば虚数だの複素数だのを意識する必要がない。
[【初心者向け】挟み撃ち定理（Squeeze Theorem）による円周率πの近似](https://qiita.com/ochimusha01/items/1caff7d8af4aab167aaa)
![20191031092156.gif](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/597772/2d9ca0a6-6aa5-d545-32ad-9f336ff0cdb5.gif)

③まぁ概ねこうした**隠蔽工作**の裏にはしばしば(<font color="blue">虚数や複素数の概念に触れただけで物議を醸した時代にあえてそれに触れないまま基礎を完成させ、しかもこっそり広める事に成功した</font>)**ガウス**（<font color="blue">Johann Carl Friedrich Gauß/Carolus Fridericus Gauss、1777年〜1855年</font>）渾身の方便が隠されてる。だがもちろん、虚数や複素数の概念にはさらなる発展の余地があって四元数の概念に到達したハミルトンにとっては全然それだけで十分でなく、だからあえてあんな大騒動を引き起こす道を選んだともいえる。
[1.1.7 ベクトルの概念に関する簡単な歴史](http://dyna.geo.kyushu-u.ac.jp/~yoshida/japanese/lecture/math-exercise/vector-analysis-v_8_0.pdf)

そう、数理間の齟齬自体というより、かかる軋轢を避け続ける顕密体制めいた概念運用こそが数学史上様々な弊害を引き起こしてきたといえましょう。ここでもある意味「**ガウス渾身の方便**」こそが、さらにその先に進もうとしたハミルトンのハードルを致命的なまでに引き揚げてしまった側面が確実に見て取れるのです。しかもこの論争で最終勝者となったのはハミルトンの四元数自体ではなく（<font color="blue">やはり原則として虚数や複素数の概念に触れる必要がなく、まさにその事が論争上の勝因となった</font>）**ベクトル演算**や**線形代数学**だった訳です。そもそもハミルトンが到達した「**複素数の新側面**」とは一体どういう内容だったのでしょうか？　話はまずそこまで遡らないといけません。

#複素数同士の掛け算と、その概念の四元数への適用

```R
#二元数(複素数)同士の掛算。
(a+bi)(c+di)
=a(c+di)+bi(c+di)
=ac+adi+bci+bdi^2

#ところで複素数においては以下が成立する。
bdi^2=-bd #i^2=-1

#従って計算結果は以下となる。
=(ac-bd)+(ad+bc)i
#このうち(ac-bd)の部分がスカラー積=内積。
#このうち(ad+bc)の部分がベクトル積=外積。
```
[数理女子：複素数のかけ算](http://www.suri-joshi.jp/enjoy/multiplication_of_complex_numbers/)
><font color="green">α=a+ibとβ=c+id</font>の積を計算すると、
<font color="green">αβ=(a+ib)(c+id)=(ac–bd)+i(ad+bc)</font>
となります。
<font color="green">θ=arg(α),ϕ=arg(β)</font>
と置いて、このかけ算を極座標表示
<font color="green">α=|α|(cosθ+isinθ)</font>
<font color="green">β=|β|(cosϕ+isinϕ)</font>
で表すと、
<font color="green">αβ=(|α|(cosθ+isinθ))(|β|(cosϕ+isinϕ))</font>
<font color="green">=|α||β|((cosθcosϕ–sinθsinϕ)+i(cosθsinϕ+sinθcosϕ))</font>
<font color="green">=|α||β|(cos(θ+ϕ)+isin(θ+ϕ))</font>
となります。最後の等号は、**cosとsinの和の公式**によって導かれます。従って、複素数のかけ算は、２つの複素数の絶対値を掛け合わせて、偏角を足したものになります。この様に、一見複雑そうな複素数のかけ算も、幾何学的な見方をすると、より見やすい意味を持つことが分かります。
![03_21_02.gif](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/597772/bd499182-b6a6-cef5-86af-2b284fd5a5fd.gif)

ここでサラリと**加法定理**(<font color="blue">Trigonometric Addition Formulas</font>)が投入されてますね。しかもそれが**cosとsinの和の公式**導入で**オイラーの公式**(<font color="blue">Euler's Formula</font>)右辺に変換されてます。
[【初心者向け】「加法定理の幾何学的証明」に挑戦。](https://qiita.com/ochimusha01/items/36c0e84c434e6cdd6ec3)

**加法定理**、この**球面幾何学シリーズ**(<font color="blue">Spherical Geometry Series</font>)では、**ピタゴラスの定理**や**タレスの定理**に匹敵する参照数。実はこの辺りこそが**三角関数**の肝だった？

[【初心者向け】ピタゴラスの定理あるいは三平方の定理からの出発](https://qiita.com/ochimusha01/items/4c7f731b0ef3cc998aa1)
>ところで**平方ピタゴラスの定理**<font color="green">a^2=b^2+c^2</font>は一般の**2項展開**(<font color="blue">Binomial Expansion</font>)<font color="green">(a±b)^2</font>では扱い切れません。
>その証明には「**角度が**<font color="green">90度</font>(<font color="blue">π/2ラジアン</font>)**という特別条件**」あるいは「**複素平面**(<font color="blue">Complex Plane</font>)**における単位円上の操作、すなわち虚数**<font color="green">i^2=-1</font>**の概念の導入と共益複素数**(<font color="blue">Conjugate Complex Number</font>)**の相互打ち消し作用**」を必要とするのです。

[【初心者向け】三角関数と指数・対数関数の「巡回性」について。](https://qiita.com/ochimusha01/items/61d8cfa89dc078cbe472)

>**頭蹠**(<font color="blue">Portal</font>)と**対蹠**(<font color="blue">Antipodal</font>)を結ぶ**直径**<font color="blue">2</font>を斜辺とする円弧上の**三角関数**<font color="green">x=cos(φ),y=sin(φ)</font>において、曲がる角度の直角性は**正弦定理**(<font color="blue">Law of Sines</font>)<font color="green">A/sin(a)=B/sin(b)=C/sin(c)=2R</font>の特殊型たる**タレスの定理**（<font color="blue">Thales' Theorem</font>）「<font color="green">直径に対する円周角は直角である</font>」が保証します。

そしていよいよ**四元数同士の掛算**の話に…・

[四元数と行列で見る内積と外積の「内」と「外」](https://qiita.com/7shi/items/a80988a32a0d706e9378)

```R
#四元数同士の掛算。
(ai+bj+ck)(di+ej+fk)
=ai(di+ej+fk)+bj(di+ej+fk)+cj(di+ej+fk)
=adi^2+aeij+afik+bdji+bej^2+bfjk+cdki+cekj+cfk^2

#ところで四元数では以下が成立する
adi^2=-ad #i^2=-1
aeij=aek #ij=k
afik=-afj #ik=-j

bdji=-bdk #ji=-k
bej^2=-be #j^2=-1
bfjk=bfi #jk=i

cdki=cdj #ki=j
cekj=-cei #kj=-i
cfk^2=-cf #k^2=-1

=−1*(ad+be+cf)+(bf−ce)i+(cd−af)j+(ae−bd)k
#このうち(ad+be+cf)の部分がスカラー積=内積。
#このうち(bf−ce)i+(cd−af)j+(ae−bd)kの部分がベクトル積=外積。
```
>内積がマイナスになっている点については、四元数が先にあって内積の概念が確立されたため、初期の内積は四元数と同じ符号で扱われていたそうです。符号にマイナスが付かないように修正したクリフォード代数というものがあります。

そう、先に**内積**(<font color="blue">Inner Product</font>)や**外積**(<font color="blue">Outer Product</font>)の概念が実存し、それに立脚して**四元数**の概念が樹立された訳ではなく、真逆に四元数におけるこの**スカラー積**(<font color="blue">Scalar Product</font>)や**ベクトル積**(<font color="blue">Vector Product</font>)の概念から（<font color="blue">あえて虚数や複素数の特徴に立ち入らず扱いやすい部分だけを抽出した</font>）内積や外積の定義が生み出され普及したのです。ここは絶対に履き違えてはいけません。

#現時点における球面幾何学(<font color="blue">Spherical Geometry</font>)での立場からの解釈

それにつけても**ピタゴラスの定理**、座標系ごとに全く異なる振る舞いを見せるのですね。

- **極座標系**…座標単位となる**ベクトル積**は「<font color="red">中心からの距離1</font>」と角度の概念のみで構成される**単位円弧**/**単位球面**。これに**半径**<font color="blue">r</font>=スカラー積が対応する(<font color="blue">まさしく原点1点のみでしか固定されていないのでスカラー積に比例する同心円集合を構成する数直線の世界</font>)。
- **直交座標系**…座標単位となるベクトル積は「(<font color="blue">x軸、Y軸、Z軸などに沿って伸ばされる</font>)<font color="red">1辺の長さ1</font>」が固定される一方、対角線が2次元では**平方対角線**(<font color="blue">Square diagonal</font>)<font color="green">sqrt(2)</font>,3次元では**立方対角線**(<font color="blue">Cube Diagonal</font>)<font color="green">sqrt(3)</font>と変化していく**単位方眼**(<font color="blue">Square Grid</font>)/**単位立方眼**(<font color="blue">Cube Grid</font>)。X軸やY軸やZ軸ごとにそれぞれにスカラー積が設定可能(<font color="blue">統計計算や人工知能最適化の分野における主要調整対象</font>)。

そして今回の**球面幾何学シリーズ**で主に扱う**対蹠座標系**(<font color="blue">Antipordal Coordinate System</font>)。座標単位となるベクトル積は原蹠と対蹠の座標が固定された単位球面。以下の「<font color="red">球表面上の任意の点を結んで何回曲がって原蹠から対蹠</font>（<font color="blue">あるいは対蹠から原蹠</font>）<font color="red">に到達する可能性がある経路全ての集合</font>」であり、条件を満たした部分だけその形で顕現すると考えます。要するに原蹠と対蹠を結ぶ直径、およびそれが浮かび上がらせる単位球面上の任意の頂点のみが「**実**」。むしろそれを結ぶ辺や面こそが「**虚**」という極めて量子力学的な系なのです。

①「<font color="red">原蹠から出発して対蹠に到達しない</font>」**あるいは**「<font color="red">対蹠から出発して原蹠に到達しない</font>」**1頂点操作**…まさしく**円周角**(<font color="blue">Circumference Angle</font>)の振る舞い。**円弧そのもの**(<font color="blue">Circle itself</font>)の特徴に従って「<font color="green">角度0度</font>(<font color="blue">0ラジアン</font>)**あるいは**<font color="green">角度180度</font>(<font color="blue">πラジアン</font>)**の場合の**<font color="green">無限小</font>(<font color="blue">1/Inf</font>)」を最小値、「<font color="green">角度90度</font>(<font color="blue">π/2ラジアン</font>)**の場合の**<font color="green">直径２</font>」を最大値とする。パスカルの三角形１段目「<font color="green">1</font>」に対応。断面0枚。
[【Rで球面幾何学】単位円と単位球②円周角(Circumference Angle)とは何か？](https://qiita.com/ochimusha01/items/cb9e1bf84eba8e0e84b4)
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②「<font color="red">原蹠と対蹠の間を往復する</font>」**2頂点操作**…**関数**<font color="blue">1^x=i^2x</font>の振る舞いそのもので、その値は<font color="green">0</font>を中心に<font color="green">-1</font>と<font color="green">1</font>すなわち単位円上における<font color="green">Cos(θ)</font>の計算結果となる。既にこの段階で（<font color="blue">頂点数が一つ上の</font>）③の操作可能性が内包されていると考えると<font color="green">Cos(θ)+Sin(θ)i</font>の公式が成立。稼働範囲の目安は<font color="green">片道2</font>(<font color="blue">一巡4で、その過程で４回円を描く</font>)。パスカルの三角形2段目「<font color="green">1,1</font>」に対応。断面0/1枚。
[【Rで球面幾何学】オイラーの多面体定理(Euler's Polyhedron Theorem)と平面充填(Tiling)の連続性について。](https://qiita.com/ochimusha01/items/24a4b51b2c23c47d6aff)
![MOF002.gif](https://cdn-ak.f.st-hatena.com/images/fotolife/o/ochimusha01/20210428/20210428155257.gif)

③「<font color="red">原蹠から対蹠、あるいは対蹠から原蹠を1回直角に曲がって結ぶ</font>（<font color="blue">3回直角に曲がると現点に戻る</font>）」**3頂点操作**…**タレスの定理**に従って直径を斜辺とする直角三角形を描く。四元数における<font color="green">i^2=-1</font>,<font color="green">j^2=-1</font>,<font color="green">k^2=-1</font>はそれぞれ残りの要素の一つが同値で最後の要素が<font color="green">0</font>の特殊状態と考える。稼働範囲の目安は<font color="green">片道sqrt(2)*2</font>(<font color="blue">一巡4sqrt(2)</font>)。パスカルの三角形3段目「<font color="green">1,2,1</font>」に対応。断面1枚。
[【初心者向け】三角関数と指数・対数関数の「巡回性」について。](https://qiita.com/ochimusha01/items/61d8cfa89dc078cbe472)
![CFD01.gif](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/597772/0ba98cbe-b449-9b1d-b0f0-4a6b60e55f35.gif)
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またこの可能性が文字通り四方八方で同時顕現したのが**正八面体**といえそうなのである。
[【Rで球面幾何学】正四面体と正六面体と正八面体の連続性と「テトラパックの思わぬ正体」について。](https://qiita.com/ochimusha01/items/3356f7c805917660632c)
![triangles004.gif](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/597772/1576eee8-d928-eb03-e8ad-b4ffd5efda44.gif)

それは「**ただの三角形**」が「**奇数系図形**」四面体一対の状態を経て「**ただの六角形**」に至る**三角形的展開**の一環として現れる。
[【Rで球面幾何学】正四面体(Tetrahedron)と正六面体(Cube)と正八面体(Octahedron)と正二十面体(Icosahedron)の狭間。そして正十二面体（Dodecahedron）との関係について。](https://qiita.com/ochimusha01/items/5d30aab4e2e32ef9bcce)
![20200207094535.png](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/597772/50c9b16f-bd89-df18-8a2a-9ae775f4fa4a.png)
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④「<font color="red">原蹠から対蹠、あるいは対蹠から原蹠を2回直角に曲がって結ぶ</font>（<font color="blue">5回直角に曲がると現点に戻る</font>）」**4頂点操作**…まさしく**正六面体**/**立方体**の表面経路そのもの。**四元数**<font color="green">ijk=-1</font>に<font color="green">ij=k</font>,<font color="green">jk=i</font>,<font color="green">ki=j</font>の系統と真逆の<font color="green">ji=-k</font>,<font color="green">kj=-i</font>,<font color="green">ik=-j</font>の系統の計算式が併存するのは、ここで見られる「(<font color="blue">「右手の法則」「左手の法則」)的な意味合いで</font>)<font color="red">左右に1回ずつ曲がらないと目標地点に到達出来ない構造</font>」と密接な関係にあると推察される。稼働範囲の目安は<font color="green">片道2/sqrt(3)*3</font>(<font color="blue">一巡12/sqrt(3)</font>)。パスカルの三角形4段目「<font color="red">1,3,3,1</font>」に対応。断面2枚。
[【Rで球面幾何学】正方形における平方対角線(Square diagonal)と立方体における立方対角線(Cubic diagonal)の関係について。](https://qiita.com/ochimusha01/items/9d899779ff8e814beb41)
![square002.gif](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/597772/f0f13c68-6fe1-495b-d0fb-0c5c4f3a292d.gif)

⑤「<font color="red">原蹠から対蹠、あるいは対蹠から原蹠を3回曲がって結ぶ</font>（<font color="blue">7回曲がると現点に戻る</font>）**5頂点操作**」…ある意味、その特徴が**正十二面体**に部分的に顕現しているとも見て取れる。だとすれば、そこに見て取れる「(<font color="blue">「右手の法則」「左手の法則」的な意味合いで</font>)<font color="red">左右に2回ずつ曲がらないと</font>（<font color="blue">最短距離で</font>）<font color="red">目標地点に到達出来ない構造</font>」を継承してる可能性が高まるが、如何せん既に曲がる角度が直角でなく、断面も正多角形でなく、「**迂回路**」が存在するなど色々と顕現上の限界を呈している。またそもそも**六元数**(<font color="blue">スカラー積+ベクトル積５次元</font>)は安定した数理を構築しない事で知られる。断面3枚。
[【Rで球面幾何学】正12面体(Regular Dodecahedron)の作図について。](https://qiita.com/ochimusha01/items/9ce61d7d5a9227235b1e)
![dodecahedron051.gif](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/597772/e1111178-a73e-f381-32f1-a0336af7721a.gif)

⑥「<font color="red">原蹠から対蹠、あるいは対蹠から原蹠を4回曲がって結ぶ</font>（<font color="blue">9回曲がると現点に戻る</font>）**6頂点操作**」…ここまでの推察結果を統合すると(<font color="blue">「右手の法則」「左手の法則」的意味合いで</font>)<font color="red">原蹠から対蹠、あるいは対蹠から原蹠を左右2回ずつ曲がって目標地点に到達する構造</font>」を**八元数**(<font color="red">スカラー積+ベクトル積7次元</font>)も継承している可能性が高まるが、如何せん**オイラーの多面体定理**(<font color="blue">Euler's Polyhedron Theorem</font>)を満たして顕現可能な限界を超越しており三次元空間上にそのイメージを思い描く事自体が不可能。断面4枚。
![Rplot07.png](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/597772/7821481f-6b23-00dd-c8d8-24374430bcd4.png)
[七次元の外積 [物理のかぎしっぽ]](http://hooktail.sub.jp/vectoranalysis/SevenDCrossProd/)

>なんだかよく見ると，三次元の外積が三つ混ざったような形をしています．
![スクリーンショット 2020-04-24 4.18.10.png](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/597772/fcad4dbe-068c-7cdc-75e5-e2231ed7e4fe.png)

全体像がこうだと考えれば「**各操作系によって**(<font color="blue">「右手の法則」「左手の法則」的意味合いで</font>)<font color="blue"></font>**左右に曲がる数が定まっている**」事と「**１次元ベクトル積の連続操作の最後の回は常にベクトル積の演算結果が**<font color="green">0</font>**になる**=**目標地点に到達したと目される**」事が矛盾なく連続的に扱える様になるんですよね。すると既存の「**内積**」や「**外積**」の概念との関係は一体どうなってしまうの？
[ベクトルの内積（スカラー積）と外積（ベクトル積）の成分表示](http://fnorio.com/0126scalar_&_vector_product/scalar_&_vector_product.html)

こうして疑問が山積みになった辺りで以下続報…