機械学習や統計学で使う主な確率分布一覧とpythonでのコード

# はじめに
機械学習では多数の確率分布を使いますが、それぞれの特徴などを覚えるのが大変なので、一覧でまとめてみました。

# 確率分布一覧
| 確率分布名 | 表記 | 確率（密度）関数 | 範囲 | パラメータ | 最頻値 | 分散 | pythonでの確率密度関数（もしくは確率質量関数）のコード |
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|ベルヌーイ | $B_r(q)$ | $q^x(1-q)^{1-x}$ | $x=0,1$ | $0\le q \le 1$ | $q$ | 0 or 1 | 0 or 1 | $q(1-q)$ | `scipy.stats.bernoulli.pmf` |
| ポアソン | $Po(\lambda)$ | $\Large\frac{\lambda^x e^{-\lambda}}{x!}$ | $x=0,1,2,...$ | $\lambda >0$ | $\lambda$ | - | $\lceil \lambda\rceil-1,\lfloor\lambda\rfloor$ | $\lambda$ | `scipy.stats.poisson.pmf` |
| 一様 | $U(a,b)$ | $\large\frac{1}{b-a}$ | $a\le x\le b$ | $-\infty<a<b<\infty$ | $\large\frac{b-a}{2}$ | $\large\frac{b-a}{2}$ | $[a,b]$ | $\large\frac{(b-a)^2}{12}$ | `scipy.stats.uniform.pdf` |
| ベータ | $Be(\alpha,\beta)$ | $\large\frac{x^{\alpha-1}(1-x)^{\beta-1}}{B(\alpha,\beta)}$ | $0\le x\le 1$ | $\alpha>0,\beta > 0$ | $\large\frac{\alpha}{\alpha + \beta}$ | - | $\large\frac{\alpha - 1}{\alpha + \beta - 2}$ | $\large\frac{\alpha\beta}{(\alpha + \beta)^2(\alpha + \beta + 1)}$ | `scipy.stats.beta.pdf` |
| 正規 | $N(\mu,\sigma^2)$ | ${\large\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}}\exp\left[-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}\right]$ | $x\in \mathbb{R}$ | $\mu\in \mathbb{R},\sigma^2 > 0$ | $\mu$ | $\mu$ | $\mu$ | $\sigma^2$ | `scipy.stats.norm.pdf` |
| t | $T(\nu,\mu,\sigma^2)$ | $\frac{\Gamma\left(\frac{\nu+1}{2}\right)}{\Gamma\left(\frac{\nu}{2}\right)\sqrt{}\nu\pi\sigma^2}\left[1+\frac{(x-\mu)^2}{\nu\sigma^2}\right]^{-\frac{\nu+1}{2}}$ | $x\in \mathbb{R}$ | $\nu>0,\mu\in\mathbb{R},\sigma^2>0$ | $\mu$ | $\mu$ | $\mu$ | ${\large\frac{\nu}{\nu-2}}\sigma^2$ | `scipy.stats.t.pdf` |
| コーシー | $Ca(\mu,\sigma)$ | ${\large\frac{1}{\pi\sigma} }\left[ 1+ {\large\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)}^2 \right]^{-1}$ | $x\in \mathbb{R}$ | $\mu\in \mathbb{R},\sigma > 0$ | $n.a.$ | $\mu$ | $\mu$ | $n.a.$ | `scipy.stats.cauchy.pdf` |
| ラプラス | $La(\mu,\sigma)$ | ${\large\frac{1}{2\sigma}} \exp \left[ -{\large\frac{&#124;x-\mu&#124;}{\sigma}} \right]$ | $x\in \mathbb{R}$ | $\mu\in \mathbb{R},\sigma > 0$ | $\mu$ | $\mu$ | $\mu$ | $2\sigma^2$ | `scipy.stats.laplace.pdf` |
| ガンマ | $Ga(\alpha,\beta)$ | ${\large\frac{\beta^{\alpha}}{\Gamma(\alpha)}}x^{\alpha-1}e^{-\beta x}$ | $x>0$ | $\alpha >0,\beta>0$ | ${\large\frac{\alpha}{\beta}}$ | - | ${\large\frac{\alpha-1}{\beta}}$ | ${\large\frac{\alpha}{\beta^2}}$ | `scipy.stats.gamma.pdf` |
| 逆ガンマ | $Ga^{-1}(\alpha,\beta)$ | ${\large\frac{\beta^{\alpha}}{\Gamma(\alpha)}}x^{-(\alpha+1)}e^{-\frac{\beta}{x}}$ | $x>0$ | $\alpha >0,\beta>0$ | ${\large\frac{\beta}{\alpha-1}}$ | - | ${\large\frac{\beta}{\alpha+1}}$ | ${\large\frac{\beta^2}{(\alpha-1)^2(\alpha-2)}}$ | `scipy.stats.invgamma.pdf`|
| カイ2乗 | $X^2(\nu)$ | $\frac{\left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{\nu}{2}} }{\Gamma\left(\frac{\nu}{2}\right)}x^{\frac{\nu}{2}-1}e^{-\frac{x}{2}}$ | $x>0$ | $\nu>0$ | $\nu$ | - | $\nu-2$ | $2\nu$ | `scipy.stats.chi2.pdf` |
| 指数 | $\epsilon_{xp}(\lambda)$ | $\lambda e^{-\lambda x}$ | $x>0$ | $\lambda>0$ | ${\large\frac{1}{\lambda}}$ | ${\large\frac{\log{2}}{\lambda}}$ | 0 | ${\large\frac{1}{\lambda^2}}$ | `scipy.stats.expon.pdf` |
| 多変量正規 | $N_m({\bf\mu},{\bf\Sigma})$ | ${\large\frac{1}{(2\pi)^{\frac{m}{2}}\sqrt{&#124;{\bf\Sigma}&#124;}}} \exp \left\[-\frac{1}{2}({\bf x}-{\bf \mu})^{\top}{\bf\Sigma}^{-1}({\bf x}-{\bf \mu})\right\]$ | ${\bf x} \in\mathbb{R}^m$ | ${\bf\mu} \in\mathbb{R}^m,&#124;{\bf\Sigma}&#124;>0$ | ${\bf\mu}$ | - | ${\bf\mu}$ | ${\bf\Sigma}$ | `scipy.stats.multivariate_normal.pdf` |
| 多変量t | $T_m(\nu,{\bf\mu},{\bf\Sigma})$ | $\frac{\Gamma\left({\frac{\nu+m}{2}}\right)}{\Gamma\left({\frac{\nu}{2}}\right) (\pi\nu)^{\frac{m}{2}} &#124;{\bf\Sigma}&#124;^{\frac{1}{2}}} \left[ 1 + \frac{1}{\nu} (\textbf{x} - {\bf \mu})^{T} {\bf \Sigma}^{-1}(\textbf{x} - {\bf \mu})\right]^{\frac{-(\nu+m)}{2}}$ | ${\bf x} \in \mathbb{R}^m$ | $\nu>0,{\bf\mu} \in\mathbb{R}^m,&#124;{\bf\Sigma}&#124;>0$ | ${\bf\mu}$ | - | ${\bf\mu}$ | ${\large\frac{\nu}{\nu-2}}{\bf\Sigma}$ | （調査中。。） |



# 今後について
それぞれの分布についての説明などを追記・更新していきたいと思います。

# 改訂履歴
2020年4月12日　：　初版、タグ名修正  
2020年4月15日　：　リンク修正
2023年12月19日　：　現仕様に更新（テーブル構造が崩れました。。。）

# 参考文献
この記事は以下の情報を参考にして執筆しました。

- [Pythonによるベイズ統計学入門](http://www.asakura.co.jp/books/isbn/978-4-254-12898-7/)