【トーラス構造と古典数学】等比数列(幾何数列)①その基本的性質について。

**等比数列**(<font color="blue">Geometric Progression</font>)または**幾何数列**(<font color="blue">Geometric Sequence</font>)の概念(<font color="blue">Concept</font>)は、原則として**等差数列**（<font color="blue">Arithmetic Progression</font>）あるいは**算術数列**（<font color="blue">Arithmetic Sequence</font>）の概念の応用です。
[【Rで球面幾何学】等差数列(算術数列)① 数直線(Number Line)概念の導入(Introduction)について。](https://qiita.com/ochimusha01/items/4e5eca346c85f161c3b7)
とりあえずWikipediaの記述に従って**導入**(<font color="blue">Introduction</font>)を進めます。
[等比数列(geometric progression)または幾何数列(geometric sequence) - Wikipedia](https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%AD%89%E6%AF%94%E6%95%B0%E5%88%97)
##等比数列(<font color="blue">Geometric Progression</font>)または幾何数列(<font color="blue">Geometric Sequence</font>)の定義

>与えられた**区間**(<font color="blue">interval</font>)において隣接する二項の比が各項の**添字**(<font color="blue">index</font>)nに拠らず等しい**数列**(<font color="blue">sequence of numbers with common ratio</font>)を言う。
>
>各項に**共通する** (<font color="blue">common</font>) その一定の比の事を**公比**（<font color="blue">common ratio</font>）という。**公比**<font color="green">r</font>はその**数列**<font color="green">a[1],a[2],a[3],…a[n]</font>（<font color="blue">nは項(term)の総数(sum)</font>）における各項の**添字**(<font color="blue">index</font>)<font color="green">n</font>を用いて<font color="green">a[1]*r^(n-1)</font>。(<font color="blue">nは0以外の任意の数</font>）と表せる。かかる<font color="green">n</font>番目の項<font color="green">a[n]</font>の値をその等比数列における***一般項**(<font color="blue">General Term</font>)という。
>
>すなわち一般に**第**<font color="green">n</font>**項**<font color="green">a[n]</font>と**第**<font color="green">m</font>**項**<font color="green">a[m]</font>の関係は<font color="green">a[n]=a[m]*r^(n-m)</font>となる。
>
>例えば<font color="green">a[n]=3, 6, 12…∞</font>なる**片側無限数列**(<font color="blue">one-sided infinite sequence</font>)<font color="green">a[n]</font>(<font color="blue">n=1~∞</font>)は、各項が直前の項に<font color="green">2</font>を掛けたものになっているから、**初項**<font color="green">3</font>, **公比**<font color="green">2</font>の**片側無限等比数列**(<font color="blue">One-Sided Geometric Sequence</font>)であり、その<font color="green">7</font>番目の項の値は<font color="green">192</font>となる。

```R
#等比数列=初項*公比^(数列の項数-1)
>gp01<-function(x,y,z){x*y^(z-1)}

#初項3,公比2,項数3の場合
>gp01(3,2,3)
12
>c0<-gp01(3,2,c(1,2,3))
>c0
[1] 3 6 12
>gp01(3,2,7)
[1] 192

#公比の検出=数列[N+1]/数列[N] 
>c0[1+1]/c0[1]
[1] 2
>c0[2+1]/c0[2]
[1] 2

#公比の逆数の検出=数列[N]/数列[N+1] 
>c0[1]/c0[1+1]
[1] 0.5
>c0[2]/c0[2+1]
[1] 0.5

#各項における係数と値の関係a[n]=a[m]*r^(n-m)
>c0[1]
[1] 3
>c0[2]
[1] 6
>c0[3]
[1] 12
>3*2^(2-1)
[1] 6
>6*2^(3-2)
[1] 12
>3*2^(3-1)
[1] 12
```
特に**初項**<font color="green">a+1</font>,**公比**<font color="green">1</font>の等比数列は**初項**<font color="green">a</font>,**公差**<font color="green">0</font>の等差数列と一致する。
[【Rで球面幾何学】等差数列(算術数列)① 数直線(Number Line)概念の導入(Introduction)について。](https://qiita.com/ochimusha01/items/4e5eca346c85f161c3b7)

```R
>gp01(1,1,c(1:7))
[1] 1 1 1 1 1 1 1
```
**有限幾何数列**(<font color="blue">Finite Geometric Sequence</font>)の**総和**(<font color="blue">Sum</font>)としての**幾何級数** (<font color="blue">Geometric Series</font>) の求め方。

```R
#sum0(初項,公比,項数)
>sum0<-function(x,y,z){(x*y^z-x)/(y-1)}
>sum0(2,3,8)
[1] 6560
```
形式的に等比数列の一般項の対数をとると<font color="green">log(a[n])=log(a[1])+(n-1)*log(r)</font>となり、**数列**<font color="green">log(a[n])</font>は**初項**<font color="green">log[a]</font>、**公差**<font color="green">log(r)</font>の等差数列になる。

```R
>gp01<-function(x,y,z){x*y^(z-1)}
>c0<-gp01(3,2,c(1,2,3))
>c0
[1] 3 6 12
>log(c0)
[1] 1.098612 1.791759 2.484907
>log(c0[1])
[1] 1.098612
>log(c0[2])
[1] 1.791759
>log(c0[2]+log(2))
[1] 1.901084
```
等比数列の連続する3項を小さい順から<font color="green">a,b,c</font>とすると、常に<font color="green">2b=ac</font>が成り立つ。

```R
>c0[2]*2==c0[1]+c0[3]
[1] TRUE
>c0[2]*2
[1] 10
>c0[1]+c0[3]
[1] 10
```
**等比数列**(<font color="blue">Geometric Progression</font>)または**幾何数列**(<font color="blue">Geometric Sequence</font>)の**発散**(<font color="blue">Divergence</font>)と**収束**(<font color="blue">Convergence</font>)の条件については、また項を改めて。
[【Rで球面幾何学】等比数列(幾何数列)②同心円集合(Concentric Set)に射影(Projection)する準備](https://qiita.com/ochimusha01/items/3c9b6aa40a3033a0f350)
![OIAS009.gif](https://cdn-ak.f.st-hatena.com/images/fotolife/o/ochimusha01/20210103/20210103063144.gif)
[【Rで球面幾何学】等比数列(幾何数列)③振動関数を巡る収束と拡散。](https://qiita.com/ochimusha01/items/0814db1de32fbf88d070)
![MOF024.gif](https://cdn-ak.f.st-hatena.com/images/fotolife/o/ochimusha01/20210103/20210103073903.gif)