積分された状態密度とGreen関数

$\phantom{}$$
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$

以下で定義される，積分されたDOS (integrated density of states)，という量を考える：

```math
\begin{align}
N(\epsilon)&: = -\frac{1}{\pi}\int_{-\infty}^\epsilon\D\epsilon'\Im \Tr G(\epsilon'+\I\delta),\\
G(z)&: = \frac{1}{z-\mathcal{H}},
 \tag{1}\label{eq:IDOS}
\end{align}
```

ここで$\delta > 0$は無限小量，$\mathcal{H}$は1体のハミルトニアンとし，トレースも1体のHilbert空間でとるものとする．
上式を対数で表すと

```math
\begin{align}
N(\epsilon)
 = -\frac{1}{\pi}\int_{-\infty}^\epsilon\D\epsilon'\Im \Tr \frac{1}{\epsilon'-\mathcal{H}+\I\delta}
 = \frac{1}{\pi}\int_{-\infty}^\epsilon\D\epsilon'\Im \Tr \frac{1}{-\epsilon'+\mathcal{H}-\I\delta}
 = -\frac{1}{\pi}\Im\Tr\ln (-\epsilon+\mathcal{H}-\I\delta)
,
\end{align}
```

である．ここで，我々は$\ln z$に対する複素$z$平面上の切断線を$\Re z \le 0$に取った．
このRiemann面の定義では，$\Im\ln (\infty-\I\delta) = 0$となる．上式第２辺で符号を入れ替えたのはこのためである．
よって

```math
\begin{align}
N(\epsilon) = -\frac{1}{\pi}\Im\Tr\ln\left(-\frac{1}{G(\epsilon+\I\delta)}\right),
\end{align}
```

を得る．このように，積分されたDOSはGreen関数で直接的に書ける．

# Lloyd formula

ハミルトニアンを次のように2つの部分に分け，

```math
\begin{align}
\mathcal{H}\equiv\mathcal{H}_0+\mathcal{V},
\end{align}
```

$\mathcal{H}_0$に対応するリゾルベントを

```math
\begin{align}
G_0(z): = \frac{1}{z-\mathcal{H}_0},
\end{align}
```

と定義すると，次式のように書ける (__パターン1__)：

```math
\begin{align}
N(\epsilon)=N_0(\epsilon)+\frac{1}{\pi}\Im\Tr\ln T(\epsilon+\I\delta)-\frac{1}{\pi}\Tr\ln T(-\infty+\I\delta),
\end{align}
```

ここでT行列と呼ばれる演算子：

```math
\begin{align}
T(z): = \mathcal{V}\frac{1}{1-G_0(z)\mathcal{V}},
\end{align}
```

を定義した．$N_0(\epsilon)$は$\mathcal{V}=0$のときの$N(\epsilon)$のことである．
また，次のように書き換えることもできる (__パターン2__)：

```math
\begin{align}
N(\epsilon)=N_0(\epsilon)-\frac{1}{\pi}\Im\Tr\ln\left[1-G_0(\epsilon+\I\delta)\mathcal{V}\right].
\end{align}
```

この種の表式をLloyd formulaと呼ぶ．

時々，上式の $\Tr\ln$ を $\ln\det$ でそのまま置き換えている式を見かけるが，
常に成立するわけではないので注意が必要である (正しい表式は，例えばDrittler _et al_.(1988)[^1]やK. Wildberger _et al_.(1995)[^2]を参照のこと)．

[^1]: [B. Drittler, M. Weinert, R. Zeller, and P. H. Dederichs, Phys. Rev. B __39__, 930 (1988)](https://journals.aps.org/prb/abstract/10.1103/PhysRevB.39.930)
[^2]: [K. Wildberger, P. Lang, R. Zeller, and P. H. Dederichs, Phys. Rev. B __52__, 11502 (1995)](https://journals.aps.org/prb/abstract/10.1103/PhysRevB.52.11502)

以下にこれらの導出を与える．

## パターン1

ハミルトニアンを次のように2つの部分に分ける：

```math
\begin{align}
\mathcal{H}\equiv\mathcal{H}_0+\mathcal{V}.
\end{align}
```

$\mathcal{H}_0$に対応するリゾルベントを

```math
\begin{align}
G_0(z): = \frac{1}{z-\mathcal{H}_0},
\end{align}
```

と定義して，次のような変形を行う：

```math
\begin{align}
G(z)
 = \frac{1}{z-\mathcal{H}_0-\mathcal{V}}
 = \frac{1}{(z-\mathcal{H}_0)(1-G_0(z)\mathcal{V})}
 = \frac{1}{1-G_0(z)\mathcal{V}}\frac{1}{z-\mathcal{H}_0},
\end{align}
```

上式の最後の変形で，恒等式：

```math
\begin{align}
\frac{1}{AB} = \frac{1}{B}\frac{1}{A},
\end{align}
```

を使っている点に注意．結果として

```math
\begin{align}
G(z) = \frac{1}{1-G_0(z)\mathcal{V}}G_0(z), \tag{2}\label{eq:G1}
\end{align}
```

を得る．一方，Dyson方程式：

```math
\begin{align}
G(z) = G_0(z)+G_0(z)\mathcal{V}G(z),
\end{align}
```

もまた成り立っているので，この右辺に__($\ref{eq:G1}$)__を代入し，

```math
\begin{align}
G(z) = G_0(z)+G_0(z)T(z)G_0(z), \tag{3}\label{eq:G2}
\end{align}
```

を得る．ここでT行列と呼ばれる演算子：

```math
\begin{align}
T(z): = \mathcal{V}\frac{1}{1-G_0(z)\mathcal{V}} = \frac{1}{\frac{1}{\mathcal{V}}-G_0(z)},
 \tag{4}\label{eq:T}
\end{align}
```

を定義した．__($\ref{eq:G2}$)__のトレースをとって，第2項を巡回させると

```math
\begin{align}
\Tr G(z) = \Tr G_0(z)+\Tr G_0(z)^2 T(z) = \Tr G_0(z)-\Tr \frac{\D G_0(z)}{\D z} T(z)
, \tag{5}\label{eq:temp1}
\end{align}
```

を得る．__($\ref{eq:T}$)__より$T(z)[1-G_0(z)V] = V$となるが，この両辺を$z$で微分すると
$T'(z)[1-G_0(z)V]-T(z)G_0'(z)V = 0$となる．これより$T'(z) = T(z)G_0'(z)V\frac{1}{1-G_0(z)V} = T(z)G_0'(z)T(z)$となるから，

```math
\begin{align}
\frac{1}{T(z)}\frac{\D T(z)}{\D z} = \frac{\D G_0(z)}{\D z}T(z),
\end{align}
```

なる関係が得られる．それゆえ__($\ref{eq:temp1}$)__は

```math
\begin{align}
\Tr G(z) = \Tr G_0(z)-\Tr \frac{1}{T(z)}\frac{\D T(z)}{\D z},
 \tag{6}\label{eq:GGG}
\end{align}
```

と書ける．

$T(z)^{-1}$の$p$番目の固有値を$\lambda_p(z)$と書いて$z$との関係を調べておこう．
固有値の定義より

```math
\begin{align}
\frac{1}{T(z)}\ket{p} = \lambda_p(z)\ket{p},
\end{align}
```

である．これより

```math
\begin{align}
\lambda_p(z)
& = \Braket{p\|\frac{1}{T(z)}\|p}
 = \Braket{p\|\frac{1}{\mathcal{V}}\|p}
-\Braket{p\|\frac{1}{z-\mathcal{H}_0}\|p},
\end{align}
```

となる．$\mathcal{H}\_0$の$n$番目の固有ケットを$\ket{n}$，それに属する固有エネルギーを$E_n$と書くと

```math
\begin{align}
\lambda_p(z)
 = \Braket{p\|\frac{1}{\mathcal{V}}\|p}
-\sum_n \abs{\braket{p|n}}^2\frac{1}{z-E_n},
\end{align}
```

である．$x: = \Re z$，$y: = \Im z$を定義して$z\equiv x+\I y$と書くと

```math
\begin{align}
\lambda_p(z)
 = \Braket{p\|\frac{1}{\mathcal{V}}\|p}
-\sum_n \abs{\braket{p|n}}^2\frac{x-E_n}{(x-E_n)^2+y^2}
+\I \sum_n \abs{\braket{p|n}}^2\frac{y}{(x-E_n)^2+y^2}
,
\end{align}
```

である．$\mathcal{V}$はHermite演算子であるから，上式第１項目は実数である．結果，

```math
\begin{align}
\sgn\Im\lambda_p(z) = \sgn \Im z,
\end{align}
```

であることがわかる．上式から，$\Im z\neq 0$なる$z$に対して次の複素対数微分：

```math
\begin{align}
\frac{\D}{\D z} \ln T(z)
\end{align}
```

は連続であり，$\frac{1}{T(z)}\frac{\D T(z)}{\D z}$に一致する．
それゆえ，__($\ref{eq:GGG}$)__は

```math
\begin{align}
\Tr G(z) = \Tr G_0(z)-\frac{\D}{\D z}\Tr\ln T(z),\for{\Im z\neq 0},
\end{align}
```

と書ける．ただし，我々は$\ln z$において切断線を$\Re z\le 0$にとる．
この結果を__($\ref{eq:IDOS}$)__に適用すると

```math
\begin{align}
N(\epsilon)
& = N_0(\epsilon)
+
\frac{1}{\pi}\Im \Tr \ln T(\epsilon+\I\delta)
-
\frac{1}{\pi}\Im \Tr \ln T(-\infty+\I\delta)
, \tag{7}\label{eq:Lloyd1}
\end{align}
```

を得る．この結果をLloyd formulaという．ここで

```math
\begin{align}
N_0(\epsilon): = -\frac{1}{\pi}\int_{-\infty}^\epsilon\D\epsilon'\Im \Tr \frac{1}{\epsilon'-\mathcal{H}_0+\I\delta}
 = -\frac{1}{\pi}\Im\Tr\ln\left(-\frac{1}{G_0(\epsilon+\I\delta)}\right)
,
 \tag{8}\label{eq:N0}
\end{align}
```

を定義した．

## パターン2

$T$行列の部分を変形した表現もよく見られる．$T(z)$の定義から

```math
\begin{align}
\frac{1}{T(z)}
\frac{\D T(z)}{\D z}
 = 
\left[
1-G_0(z)\mathcal{V}
\right]
\frac{\D}{\D z}
\frac{1}{1-G_0(z)\mathcal{V}},
\end{align}
```

と表されるが，$[1-G_0(z)\mathcal{V}]\frac{1}{1-G_0(z)\mathcal{V}} = 1$の両辺を$z$で微分することで得られる関係式：

```math
\begin{align}
\frac{\D}{\D z}
\frac{1}{1-G_0(z)\mathcal{V}}
 = 
-
\frac{1}{1-G_0(z)\mathcal{V}}
\left(
\frac{\D}{\D z}
\left[
1-G_0(z)\mathcal{V}
\right]
\right)
\frac{1}{1-G_0(z)\mathcal{V}},
\end{align}
```

を用いて

```math
\begin{align}
\frac{1}{T(z)}
\frac{\D T(z)}{\D z}
 = 
-
\left(
\frac{\D}{\D z}
\left[
1-G_0(z)\mathcal{V}
\right]
\right)
\frac{1}{1-G_0(z)\mathcal{V}}
,
\end{align}
```

となることがわかる．先と同様に$1-G_0(z)\mathcal{V}$の固有値の虚部を調べよう．
固有値方程式として

```math
\begin{align}
\left[
1-G_0(z)\mathcal{V}
\right]\ket{p}
 = \eta_p(z)\ket{p},
\end{align}
```

を考える．左から$\bra{p}\mathcal{V}$を作用させると

```math
\begin{align}
\eta_p(z)\braket{p|\mathcal{V}|p}
 = 
\braket{p|\mathcal{V}|p}
-
\braket{p|\mathcal{V}G_0(z)\mathcal{V}|p},
\end{align}
```

を得る．$\mathcal{H}_0$の$n$番目の固有ケットを$\ket{n}$，それに属する固有エネルギーを$E_n$と書くと

```math
\begin{align}
\eta_p(z)\braket{p|\mathcal{V}|p}
 = 
\braket{p|\mathcal{V}|p}
-
\sum_n
\frac{\abs{\braket{p|\mathcal{V}|n}}^2}{z-E_n}
, \tag{9}\label{eq:temp3}
\end{align}
```

である．両辺の虚部をとると

```math
\begin{align}
\braket{p|\mathcal{V}|p}\Im \eta_p(z)
 = 
(\Im z)
\sum_n
\frac{\abs{\braket{p|\mathcal{V}|n}}^2}{(\Re z-E_n)^2+(\Im z)^2}
,
\end{align}
```

である．したがって

```math
\begin{align}
\sgn\Im\eta_p(z) = \sgn \braket{p|\mathcal{V}|p} \Im z,
\end{align}
```

を得る．$\lambda_p(z)$と異なり，必ずしも$\Im z$と同じ符号は取らないが，$\Im z$の符号を固定すれば$\Re z$の変化に対して$\Im\eta_p(z)$の符号は不変であることがわかる．
故に

```math
\begin{align}
\Tr G(z)& = \Tr G_0(z)+\frac{\D}{\D z}\Tr\ln \left[1-G_0(z)\mathcal{V}\right],\for{\Im z > 0},\\
\Tr G(z)& = \Tr G_0(z)+\frac{\D}{\D z}\Tr\ln \left[1-G_0(z)\mathcal{V}\right],\for{\Im z < 0},
\end{align}
```

はそれぞれ連続である．
この結果を__($\ref{eq:IDOS}$)__に適用すると

```math
\begin{align}
N(\epsilon)
& = N_0(\epsilon)
-
\frac{1}{\pi}\Im \Tr \ln \left[1-G_0(\epsilon+\I\delta)\mathcal{V}\right]
,
\end{align}
```

を得る．これもLloyd formulaと呼ばれる．
__($\ref{eq:Lloyd1}$)__で見られた表面項が消えるのは__($\ref{eq:temp3}$)__から$\eta_p(-\infty+\I\delta) = 1$であることから

```math
\begin{align}
\Tr \ln \left[1-G_0(-\infty+\I\delta)\mathcal{V}\right]
 = 
\sum_p \ln\eta_p(-\infty+\I\delta)
 = 
0,
\end{align}
```

よりわかる．