【Rで球面幾何学】オイラーの多面体定理(Euler's Polyhedron Theorem)と平面充填(Tiling)の連続性について。

#オイラーの多面体定理(<font color="blue">Euler's Polyhedron Theorem</font>)
>**多面体**(<font color="blue">Regular Polyhedron</font>)が**三次元存在条件**(<font color="blue">Three-dimensional Existent Condition</font>)を満たすのは
<font color="green">**頂点**</font>(<font color="blue">Vertex</font>)<font color="green">の数－**辺**</font>(<font color="blue">Edge</font>)<font color="green">の数＋**面**</font>(<font color="blue">Face</font>)<font color="green">の数</font>＝<font color="green">2</font>
なる関係が成立する場合のみである。
[様々な図形への「オイラーの多面体定理」適用例](http://www.kumamotokokufu-h.ed.jp/kokufu/math/tamentai.html)
![6mentai2ban.gif](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/597772/97d381cb-15ae-501d-f3b4-3f7966eb8640.gif)

[オイラーの多面体定理の証明方法](https://mathtrain.jp/euler_poly)
>ある頂点か面を選んで**始端**とし、これに隣接する面を段階的に除去していくと最後にただ一つの**終端**として頂点か面が残る。要するに<font color="green">2</font>とは最後に残る**始端**と**終端**の事である。
>
>逆をいえば、ある頂点か面を選んで**始端**とし、これから出発する辺や面を段階的に積み上げていって最後にただ一つの**終端**に到達すればそこに多角形が顕現する事になる。

- （<font color="blue">特定の辺数が伸びる</font>）**頂点**と（<font color="blue">同数の辺数を備える</font>）**面**を交換する**双対変換**(<font color="blue">Dual Transformation</font>)操作(<font color="green">代表例：正四面体の自己双対(Self Dual)関係、立方体と正八面体、正十二面体と正二十面体の関係</font>)もあるので**始端**や**終端**は**頂点**でも**面**でもあり得る。

上記により**自明の場合**(<font color="blue">Trival Case</font>)となる通り、ここでいう<font color="green">2</font>なる数字は、その正多角形が外接する円周/球面上の**原蹠**(<font color="blue">PorTal</font>)と**対蹠**(<font color="blue">AntiPordal</font>)に対応しています。実際、以降のプログラムにおいて正多面体は全てこれに準拠するアルゴリズムで描かれているのです。
![20200207044808.gif](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/597772/fe7a0a07-fc3f-c8fc-418b-ef57c8d8438e.gif)
![square002.gif](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/597772/f0f13c68-6fe1-495b-d0fb-0c5c4f3a292d.gif)
![triangles004.gif](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/597772/1576eee8-d928-eb03-e8ad-b4ffd5efda44.gif)
![icosahedron009.gif](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/597772/9068fd22-a331-a86d-49d6-8842b37e8f11.gif)
![dodecahedron051.gif](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/597772/e1111178-a73e-f381-32f1-a0336af7721a.gif)

- まず**原蹠**と**対蹠**を定め、その正多面体に外接する球表面の**立方対角線**(<font color="blue">Cubic Diagonal</font>)を設定する。
- それに沿った頂点列ごとに断面化し、ガウスの発見した「**1の冪乗の巡回性**」を用いたアルゴリズム、すなわち`c0=seq(-pi,pi,length=NoS);cx=cos(c0);cy=sin(c0)`(<font color="blue">NoS(Number of Sides)=描く多角形の辺数+巡回を完成させる為の1</font>)の構文を用いて座標確定して辺で結ぶ。

どうやってこのアルゴリズムに至るのでしょうか？　今回の投稿はその説明となります。

#1辺形(<font color="blue">One side</font>)系=**奇数系**(<font color="blue">Odd=2n+1 System</font>)概念(<font color="blue">Concept</font>)の出発点。
**パスカルの三角形**（<font color="blue">Pascal's triangle</font>）でいう1段目の「<font color="green">1</font>」。
[【初心者向け】パスカルの三角形と二項定理または二項展開](https://qiita.com/ochimusha01/items/d668b19d5389b52e0dd2)

まずは円周/球面上に任意に設定された**観測点**(<font color="blue">Any Point</font>)の**対蹠**を特定すべく円弧上の**観測線**(<font color="blue">Observation Line</font>)/球面上の**円形断面**(<font color="blue">Circular Section</font>)を「<font color="red">のばす</font>」最初の一歩の段階から話を始めます。この**試行**(<font color="blue">Trial</font>)における**観測間隔**(<font color="blue">Observation Interval</font>)の**周期性**(<font color="blue">Periodicity</font>)が**角速度**(<font color="blue">Angular Velocity</font>)すなわち時間概念の大源流となる点に注意。もちろんこの状態ではまだ「**実在する正多面体**」はおろか「**実在する正多角形**」に到達する事も不可能です(<font color="blue">頂点数2(1)-辺数1+面数0=1(0)≠2。ちなみにこの解釈では円形断面を面に数えない</font>)。
[【Rで球面幾何学】単位円と単位球②円周角(Circumference Angle)とは何か？](https://qiita.com/ochimusha01/items/cb9e1bf84eba8e0e84b4)
![20191111234734.gif](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/597772/1c06c1eb-4de7-d285-d0df-58356beab8fa.gif)
![20191126211412.gif](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/597772/551dbf62-2e01-10f5-a35e-39c2f723b97b.gif)

原蹠と対蹠関係にある座標が特定されると、その円周/球面上における**直径**(<font color="blue">Diameter</font>)と、その中点座標としての**中心**(<font color="blue">Origin</font>)も、そこから均等な長さで広がる**半径**(<font color="blue">Radius</font>)も自然に自明的に定まります。そしてこれ以降<font color="green">半径=1</font>を計測単位とする**単位円**(<font color="blue">Unit Circle</font>)/**単位球面**(<font color="blue">Unit Sphere</font>)の概念の**導入**(<font color="blue">Introduction</font>)が可能となるのです。
[【Rで球面幾何学】単位円と単位球①「半径１」と「直径２」の関係について。](https://qiita.com/ochimusha01/items/d5d3d7a8fda03eddb1d8)
![Rplot100.png](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/597772/cb3c09a0-600a-cafb-2efa-073e6a6e58b5.png)

その結果、半径の増減を**片側無限算術数列**(<font color="blue">One-Sided Infinite Arithmetic Sequence</font>)のそれに**射影**(<font color="blue">Projection</font>)する事も可能となります(<font color="blue">ただこの辺り「**鶏が先か卵が先か**」問題を孕む側面も</font>)。
[【Rで球面幾何学】等差数列(算術数列)②数直線(Number Line)概念から同心円集合(Concentric Set)概念へ](https://qiita.com/ochimusha01/items/2a16c3cba3f88986c767)
![20200109155657.gif](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/597772/75d73c90-9af4-26aa-b976-65065d64f546.gif)

**公比**(<font color="blue">Common Ratio</font>)<font color="green">1</font>を中心とする**片側無限幾何数列**(<font color="blue">One-Sided Infinite Geometric Sequence</font>)の射影に際しては、公比が1より過大だったり過少だったりすると円でなく（<font color="blue">0に向けて収束したり、無限大Infに向けて発散する</font>）螺旋軌道を描きます（<font color="blue">そう、あたかも軌道設定に失敗した静止衛星の様に…物理学の領域と関連してくる話？</font>）。
[【Rで球面幾何学】等比数列(幾何数列)③振動関数を巡る収束と拡散。](https://qiita.com/ochimusha01/items/0814db1de32fbf88d070)
![MOF024.gif](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/597772/c77f3ff6-f338-43d3-a7c2-cc2c07d7980f.gif)
![MOF025.gif](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/597772/7122b9d2-d250-2fd6-d42d-b597fc2b578c.gif)

もちろん「**辺長が無限小**(<font color="green">1/Inf</font>)**で辺数が無限大**(<font color="green">Inf</font>)、**円弧/球表面上の任意の点が全て中心からの垂線と直角に交わる円そのもの**(<font color="blue">Circle Itself</font>)」を直接データ取得元とする事は相変わらず不可能なままですが、多角形による近似が可能となるのがこの時点以降となります（<font color="blue">というより、実はあらかじめこちらのデータが用意されていないと円周角の測定自体が遂行不可能</font>）。**三角関数**(<font color="blue">Trigonometric Function</font>)概念の大源流。また**測地法**(<font color="blue">Geodesy</font>)における**経度**(<font color="blue">Longitude</font>)の概念の起源でもあります。
[【初心者向け】「円そのもの」の近似から派生した角度と経度の概念の起源](https://qiita.com/ochimusha01/items/80b70db93cbf2612bd18)
![20191028123539.gif](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/597772/6ecec94f-f795-b69a-df0e-7cdc9fa8dde7.gif)

この考え方をより厳密化したのが、**半径**<font color="green">r</font>をある種の**スカラー**(<font color="blue">Scalar</font>)として扱い、**水平方向の角度**<font color="green">φ</font>と**垂直方向の角度**<font color="green">θ</font>の組み合わせで球表面上の位置を特定する**極座標系**(<font color="blue">Polar Coordinate System</font>)となります。
[極座標系 -Wikipedia-](https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%A5%B5%E5%BA%A7%E6%A8%99%E7%B3%BB)
![250px-Spherical_with_grid.svg.png](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/597772/3c723a02-07e7-03e0-fc0f-8919ac6476f6.png)
**円弧における極座標系**

- <font color="green">x=r*cos(φ)</font>
- <font color="green">y=r*sin(φ)</font>

**球面上における極座標系**

- <font color="green">x=r*cos(φ)*sin(θ)</font>
- <font color="green">y=r*sin(φ)*sin(θ)</font>
- <font color="green">z=r*cos(θ)</font>

さりげなく**水平角**<font color="green">φ</font>と**垂直角**<font color="green">θ</font>の関係設定に三角関数の**加法定理**(<font color="blue">Trigonometric Addition Formulas</font>)の概念が援用されたりしてますね。
[【初心者向け】「加法定理の幾何学的証明」に挑戦。](https://qiita.com/ochimusha01/items/36c0e84c434e6cdd6ec3)
![TR004.gif](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/597772/25081e53-4ab7-3977-e9cd-dd5ccbae74d1.gif)

ここでは詳しくは述べませんが、下記に述べる「**円弧上に位置する原蹠と対蹠の間を1回も曲がらず直線で結ぶ1次元処理**」や「**円弧上に位置する原蹠と対蹠の間を1回直角に曲がって結ぶ2次元処理**」などの諸概念をこっそり先取りしながら、その事実を上手に誤魔化している感じがします（<font color="blue">特に何の説明もなく角度φの範囲が2π、角度θの範囲がπと設定されてる辺り</font>）。ちなみに言うまでもなく上掲の「**正多面体を描くアルゴリズム**」も、この概念に大きく追っている部分があったりする次第。
[【Rで球面幾何学】ジンバルロック(?)やリサージュ曲線(?)との邂逅。](https://qiita.com/ochimusha01/items/f59827f9f7d6122671ac)
![20191011022034.gif](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/597772/0c256c58-bf1e-557b-387b-b8910cb5ea4e.gif)
![20191011172651.gif](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/597772/739a025a-6bbb-e85c-5620-471c4902233a.gif)

いわゆる**直交座標系**(<font color="blue">Rectangular Coordinate System</font>/<font color="blue">Orthogonal Coordinate System</font>)概念から連想される貧弱な**一次元イメージ**(<font color="blue">One Dimensional Image</font>)から大きく掛け離れた数理的特質の豊さ。それはまさに(<font color="blue">17世紀に成立した</font>)デカルト数学に不満を感じた(<font color="blue">主に18世紀から19世紀にかけて急激な発展を遂げた</font>)近世数学界が一つずつ切り拓いてきた研究成果の累積だったといえましょう。さらには以下の様な数理もこれ以降援用可能となります。
![gauss142_v-contentxl.jpg](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/597772/e72d4698-8e26-3aee-d855-70713abf2f4e.jpeg)
①**ピタゴラスの定理**(<font color="blue">Pythagorean Theorem</font>)…**直交座標系**(<font color="blue">Rectangular Coordinate System</font>/<font color="blue">Orthogonal Coordinate System</font>)と**極座標系**(<font color="blue">Polar Coordinate System</font>)と（<font color="blue">以下に述べる</font>）**対蹠座標系**(<font color="blue">Antipodal Coordinate System</font>)では、それぞれ振る舞いを異にする。というより、その振る舞いの差異こそがそれぞれの座標系の数学的特徴を表している。
[【初心者向け】ピタゴラスの定理あるいは三平方の定理からの出発](https://qiita.com/ochimusha01/items/4c7f731b0ef3cc998aa1)
![20190918061420.gif](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/597772/c7cb8211-2ac7-8acb-c35a-573af944e931.gif)

②**ガウスの発見した「１の冪乗の巡回性」**…これにより人類はコンパスや定規を用いずに任意の正多角形を描ける様になった。またこれにより（<font color="blue">収束率自体は大した事ないものの</font>）一般人も手軽に円周率が２πに近似される事を確かめられる様になった。
[【初心者向け】挟み撃ち定理（Squeeze Theorem）による円周率πの近似](https://qiita.com/ochimusha01/items/1caff7d8af4aab167aaa)
![20191031092156.gif](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/597772/2d9ca0a6-6aa5-d545-32ad-9f336ff0cdb5.gif)

しかも「<font color="red">１次元上で</font>」展開可能な数理にはさらなる続きがあるのです。

#2辺形(<font color="blue">Bilateral</font>)系=**偶数系**(<font color="blue">Even=2n System</font>)概念(<font color="blue">Concept</font>)の出発点。
①**パスカルの三角形**（<font color="blue">Pascal's triangle</font>）でいう2段目の「<font color="green">1,1</font>」。上掲の**対蹠座標系**(<font color="blue">Antipodal Coordinate System</font>)でいうと出発点の「**円弧上に位置する原蹠と対蹠の間を1回も曲がらず直線で結ぶ1次元処理**」に該当します。
[【Rで球面幾何学】パスカルの三角形と二項定理または二項展開](https://qiita.com/ochimusha01/items/d668b19d5389b52e0dd2)

より具体的には、古典的**振動関数**(<font color="blue">Mathematical Oscillation Function</font>)に分類される<font color="green">y=-1^x</font>辺り。
![MOF003.gif](https://cdn-ak.f.st-hatena.com/images/fotolife/o/ochimusha01/20210428/20210428155257.gif)

```R
#振動関数(Mathematical Oscillation Function)
#公比D=-1
#-1^xにi^2=-1を代入
#(0+1i)^2^x=(0+1i)^2x

MOF01<-function(index){
z0<-complex(real=0,imaginary=1)
f0<-function(x)z0^(2*x)
c0<-f0(index)
cx<-Re(c0)
#cy<-Im(c0)
#単位円/単位球（Unit Circle / Unit Sphere）
theta <- seq(pi,-pi,length=60)
plot(cos(theta),sin(theta),asp=1,type="l",col=rgb(0,1,0), main="Mathematical Oscillation Function y=-1^x", xlab="x=Cos(θ)", ylab="y=Sin(θ)")
text(0, 0, "0",col=rgb(0,0,0))
text(1, 0, "1",col=rgb(0,0,1))
text(-1, 0, "-1",col=rgb(1,0,0))
text(0, 1, "π",col=rgb(0,1,0))
text(0, -1, "π",col=rgb(0,1,0))
segments(0,0,1,0,col=rgb(0,0,1))
segments(0,0,-1,0,col=rgb(1,0,0))
text(cx,0,"X",cex=2,col=rgb(0,1,0))
}

#アニメーション動作設定
Time_Code<-seq(-1,1,length=30)
#アニメーション
library("animation")
saveGIF({
for (i in Time_Code){
　MOF01(i)
}
}, interval = 0.1, movie.name = "MOF02.gif")
```
②さらには**パスカルの三角形**（<font color="blue">Pascal's triangle</font>）でいう3段目の「<font color="green">1,2,1</font>」。上掲の**対蹠座標系**(<font color="blue">Antipodal Coordinate System</font>)でいうと「**円弧上に位置する原蹠と対蹠の間を1回だけ直角に曲がって結ぶ2次元処理**」に該当します。
[【Rで球面幾何学】パスカルの三角形と二項定理または二項展開](https://qiita.com/ochimusha01/items/d668b19d5389b52e0dd2)

上掲の極座標系において<font color="green">x=cos(φ),y=sin(φ)</font>と表された円弧上の展開。曲がる角度の直角性は**正弦定理**(<font color="blue">Law of Sines</font>)<font color="green">A/sin(a)=B/sin(b)=C/sin(c)=2R</font>の特殊型たる**タレスの定理**（<font color="blue">Thales' Theorem</font>）「<font color="green">直径に対する円周角は直角である</font>」が保証します。
[【初心者向け】三角関数と指数・対数関数の「巡回性」について。](https://qiita.com/ochimusha01/items/61d8cfa89dc078cbe472)
![CFD01.gif](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/597772/0ba98cbe-b449-9b1d-b0f0-4a6b60e55f35.gif)
![CFD90Sift02.gif](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/597772/dae51c2d-b2ce-515b-c55e-d8dec59a0760.gif)

ここで問題となるのが**虚数**（<font color="blue">Imaginary Number</font>）の扱い。例えば物理学の世界が**単位円筒**(<font color="blue">Unit Cylinder</font>)における円描画について、あえて時代に配慮して言葉を濁し「**等速円運動**（<font color="blue">Constant Velocity Circular Motion</font>）を互いに直交するx軸側とy軸側からそれぞれ**観測**(<font color="blue">Observe</font>)すると、同じ波形が互いに位相が<font color="green">90度=π/２</font>ずれた**単振動**(<font color="blue">Simple Vibration</font>)、すなわち(<font color="blue">x軸からの観測結果に由来する</font>)**余弦波**（<font color="blue">Cosin wave</font>）と(<font color="blue">y軸からの観測結果に由来する</font>)**正弦波**(<font color="blue">Sine wave</font>）が得られる」みたいな微妙な言い回しを伝統的に用いてきたのに対し、数学者オイラーはこれを単一の式にまとめる為にあえて<font color="blue">Cos(θ)+Sin(θi)</font>なるストレートな明示表現を導入しています。
[【初心者向け】物理学における「単位円筒(Unit Cylinder)」の概念について。](https://qiita.com/ochimusha01/items/ced1c21b4411e79cdcbe)
<font color="green">XY軸</font>（<font color="blue">円弧</font>）
![20191029133633.gif](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/597772/0e55e673-d89e-6d33-6e33-9edf6fecdbdd.gif)
<font color="green">XZ軸</font>（<font color="blue">Cos波</font>）
![20191029193635.gif](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/597772/529cc2b1-3476-4eba-1c07-a79cc8ba16d7.gif)
<font color="green">YZ軸</font>（<font color="blue">Sin波</font>）
![20191029194000.gif](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/597772/fa66cf1a-291e-8e76-8ea7-c586efcb1e21.gif)
[【初心者向け】「単位円筒」から「単位球面」へ](https://qiita.com/ochimusha01/items/08f5c5ad1aba4a59a27d)
![20190915101244.gif](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/597772/1eb036c4-ffdc-b445-c582-35792334ff28.gif)
また上掲の**古典的振動式**<font color="green">y=-1^x</font>も、実数直線上を滑らかに動く様にあえて<font color="green">i^2=-1</font>を代入し<font color="green">i^2x</font>の形で用いています。上掲図ではX座標のみ採択しているので直線上の動きに留まっていますが、Y軸上の動きも拾うとやはり円を描いているのです。要するに①と②の差異は「<font color="red">与えられる座標軸の関係上、顕現する範囲</font>」に過ぎないという事になってくるのですね（<font color="blue">統計学の徒なら、この話を聞いて真っ先に思い浮かべるべき図形がある筈です。ほら、釣鐘型のアレ…虚数への言及が憚られる時代、あえてそれに言及せず複素平面の概念の有効活用を考えたガウスの渾身の方便…そもそも「一次元なのに面積がsqrt(π)相当」ってどういう状態だと思います？</font>）。
[【Rで球面幾何学】等比数列(幾何数列)③振動関数を巡る収束と拡散。](https://qiita.com/ochimusha01/items/61d8cfa89dc078cbe472)
![MOF003.gif](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/597772/5636f1c8-bb24-529a-8991-d305ab03dbdb.gif)

```R
#振動関数(Mathematical Oscillation Function)
#公比D=-1
#-1^xにi^2=-1を代入
#(0+1i)^2^x=(0+1i)^2x

MOF01<-function(index){
z0<-complex(real=0,imaginary=1)
f0<-function(x)z0^(2*x)
c0<-f0(index)
cx<-Re(c0)
cy<-Im(c0)
#単位円/単位球（Unit Circle / Unit Sphere）
theta <- seq(pi,-pi,length=60)
plot(cos(theta),sin(theta),asp=1,type="l",col=rgb(0,1,0), main="Mathematical Oscillation Function y=-1^x", xlab="x=Cos(θ)", ylab="y=Sin(θ)")
text(0, 0, "0",col=rgb(0,0,0))
text(1, 0, "1",col=rgb(0,0,1))
text(-1, 0, "-1",col=rgb(1,0,0))
text(0, 1, "π",col=rgb(0,1,0))
text(0, -1, "π",col=rgb(0,1,0))
segments(0,0,1,0,col=rgb(0,0,1))
segments(0,0,-1,0,col=rgb(1,0,0))
text(cx,cy,"X",cex=2,col=rgb(0,1,0))
}

#アニメーション動作設定
Time_Code<-seq(-1,1,length=30))
#アニメーション
library("animation")
saveGIF({
for (i in Time_Code){
　MOF01(i)
}
}, interval = 0.1, movie.name = "MOF03.gif")
```

こうした混乱の原因は**虚数**（<font color="blue">Imaginary Number</font>）の命名者たるデカルト自身が、自らの座標系においてこうした各次元の独立性を阻害する要因を排除し続ける態度を墨守し続けたからです。しかしながら「**ニュートン力学が圧倒的支配力を有する巨視的力場空間と異なり、量子力学が有効となる様な微視的力場空間においては**(<font color="blue">ニュートン力学の作用で封じられていた</font>)**様々な事象が顕現してくる**」なる立場に立脚するファインマンの**経路積分**(<font color="blue">Path integral</font>)がコンセンサスとして共有される様になった現代社会においては、むしろオイラーの多面体定理理ついても「**確かに三次元存在条件を満たす多面体こそ限られているが、その水面下では**（<font color="blue">表面化しないだけで</font>）**さらに複雑な数理が展開している**」と考える方が自然となってしまった訳です。
![dIMG_4274.jpg](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/597772/0853ecee-e99d-4e7c-6437-6c8896c6f2fa.jpeg)
ところでしばしば**2辺形**(<font color="blue">Bilateral</font>)とも呼ばれるこの図形、辺の設定が面白い事になってます。

- 円弧上だと<font color="green">(0+1i)系</font>と<font color="green">(0-1i)系</font>の**共益複素数**(<font color="blue">Conjugate complex number</font>)の2本（<font color="blue">頂点数2+辺数0(1-1)+面数0で一応はオイラーの多面体定理の立体実在条件を満たす</font>）
- 球表面上だと（<font color="blue">ピタゴラスの法則によって取得される「半径と同じ長さの辺数」同様に</font>）円近似上の経度分割数と同数。

そして振動関数<font color="green">-1^x</font>(<font color="blue">i^2x</font>)においては、これが以下の様に変動していると考える訳です。
![20191021210648.gif](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/597772/82515a21-28ac-756f-2f7c-980acb027b44.gif)

```R
#RD=2角形（Regular Digon）
#Radian=角度（60分割）
RD<-function(Radian){
c0<-seq(0,2*pi,length=60)
c1x<-cos(c0)
c1y<-sin(c0)
plot(c1x,c1y,asp=1,type="l",xlim=c(-1,1),ylim=c(-1,1),main="Regular Henagon",xlab="cos(θ)",ylab="sin(θ)")

RD<-function(Radian){
cx<-seq(-1,1,length=60)
f0<-function(x) sqrt(1-x^2)
cy<-f0(cx)
plot(cx,cy,asp=1,type="l",col=rgb(0,1,0),xlim=c(-1,1),ylim=c(-1,1),main="Regular Henagon",xlab="X",ylab="sqrt(1-X^2) & -sqrt(1-X^2)")

par(new=T)#上書き指定

plot(cx,-1*cy,asp=1,type="l",col=rgb(1,0,0),xlim=c(-1,1),ylim=c(-1,1),main="",xlab="",ylab="")

#緯度(latitude)の描写
lat<-seq(-1,1,length=9)

for(i in lat){
segments(i,f0(i),i,-f0(i),col=c(200,200,200))
}

#経度（Longitude）の描写
lon<-seq(-pi/2,pi/2,length=9)
for(i in lon){

par(new=T)#上書き指定

plot(cx,sin(i)*cy,asp=1,type="l",col=c(200,200,200),xlim=c(-1,1),ylim=c(-1,1),main="",xlab="",ylab="")
}
#塗りつぶし

p_max<-15
p0<-seq(pi,0,length=p_max)
px_Hi<-rev(cos(p0))
px_Low<-rev(cos(p0*-1))
py_Hi<-rev(sin(p0))
py_Low<-rev(sin(p0*-1))

#左側インジケータ描画（緑）
polygon(c(px_Hi[1:Radian],px_Low[Radian:1]), #x
c(py_Hi[1:Radian],py_Low[Radian:1]), #y
density=c(30), #塗りつぶす濃度
angle=c(45),　 　　　#塗りつぶす斜線の角度
col=rgb(0,1,0)) 　#塗りつぶす色
#右側インジケータ描画（赤）
polygon(c(px_Hi[p_max:Radian],px_Low[Radian:p_max]), #x
c(py_Hi[p_max:Radian],py_Low[Radian:p_max]), #y
density=c(30), #塗りつぶす濃度
angle=c(45),　 　　　#塗りつぶす斜線の角度
col=rgb(1,0,0)) 　#塗りつぶす色
}

#アニメーション
library("animation")
Time_Code=c(1:15,14:1)
saveGIF({
for (i in Time_Code){
　RD(i)
}
}, interval = 0.1, movie.name = "RD01.gif")
```

- 極座標系における**垂直角**<font color="green">θ</font>や測地法における**緯度**(<font color="blue">Latitude</font>)の様に球表面上の水平断面と組み合わせて任意の位置を指定する座標系においては、かかる変動における往路か復路の半分しか必要としない(<font color="blue">半円だけなら-1~0、0~1、1~0、0~-1の4回描いている。そうi^2xだから</font>)。極座標系における**水平角**<font color="green">φ</font>の範囲が<font color="green">2π</font>なのに対し**垂直角**<font color="green">θ</font>の範囲が<font color="green">π</font>だったり、経度が（<font color="blue">ロンドンの旧グリニッジ天文台跡を０°とする</font>）<font color="green">東経１８０°</font>と<font color="green">西経１８０°</font>で表されるのに対し、緯度が（<font color="blue">赤道を0度とする</font>）<font color="green">北緯90度</font>と<font color="green">南緯90度</font>で表されるのはこの為。

- 一方、（<font color="blue">ガウスが発見した「１の冪乗の巡回性」を用いて</font>）**円弧に内接する正多角形**や**球表面に内接する正多面体**を描画する際には、原則として<font color="red">偶数系</font>の場合には**原蹠と対蹠を結ぶ単一図形**を、<font color="red">奇数系</font>の場合には**それぞれ原蹠と対蹠を始点とし、反対側まで届かない一対の図形**を描く。ここで重要なのは、この座標系においては(<font color="blue">それぞれが球表面上に位置する頂点のみが実体で、それを便宜上を結ぶ</font>)**辺**や**面**こそが「<font color="red">想像上の産物</font>(<font color="blue">Imaginary Things</font>)」に過ぎないのであり、頂点間の関係の変動によっては結び方の変更も起こり得るという辺り。

[【計算上の往復】半径・直径・円周長・円の面積・球の表面積・球の体積の計算上の往復](https://qiita.com/ochimusha01/items/e180451a210227bb19a5)
![test01.gif](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/597772/0c24bdd0-51d7-e8a7-fc66-f9ea60ab75f9.gif)

#3辺形(<font color="blue">Trilateral</font>)系=**奇数系**(<font color="blue">Odd=2n+1 System</font>)概念(<font color="blue">Concept</font>)の正念場。
①**パスカルの三角形**（<font color="blue">Pascal's triangle</font>）でいう4段目の「<font color="green">1,3,3,1</font>」に対応。**原蹠**<font color="green">1</font>と**対蹠**<font color="green">-1</font>を結ぶ長さ<font color="green">2</font>の**立方対角線**(<font color="blue">Cubic Diagonal</font>)を設定したら、「**断面**」はそれぞれ「**ほぼ**」<font color="green">1/3</font>と<font color="green">-1/3</font>辺りに配置される。断面に現れる図形は**正三角形**。

###正四面体(<font color="blue">Regular Tetrahedron</font>)
[【Rで球面幾何学】正四面体と正六面体と正八面体の連続性と「テトラパックの思わぬ正体」について。](https://qiita.com/ochimusha01/items/3356f7c805917660632c)
![20200207094535.png](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/597772/50c9b16f-bd89-df18-8a2a-9ae775f4fa4a.png)
![20200207044808.gif](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/597772/fe7a0a07-fc3f-c8fc-418b-ef57c8d8438e.gif)

- <font color="green">頂点数4-辺数6+面数4=2</font>で**オイラーの多面体定理**を満たす。実在する唯一の奇数系正多面体であり、上掲の説明にある通り「**原蹠から出発し対蹠に到達しない図形**」と「**対蹠から出発し原蹠に到達しない図形**」の２つがセットで扱われ、その単位で**パスカルの三角形**（<font color="blue">Pascal's triangle</font>）でいう3段目の「<font color="green">1,3,3,1</font>」に対応する。
- （<font color="blue">特定の辺数が伸びる</font>）**頂点**と（<font color="blue">同数の辺数を備える</font>）**面**を交換する**双対変換**(<font color="blue">Dual Transformation</font>)操作の結果が同じ正四面体になる**自己双対**(<font color="blue">Self Dual</font>)である。

原蹠や対蹠に集められた正三角形には以下の様な極めて興味深い特徴が見て取れる。

- 単独で**平面充填**(<font color="blue">Tiling</font>)が行える。
- それぞれ三枚集めると四枚目が補完され**一対の正四面体**が構成される。
- それぞれ四枚集めると原蹠と対蹠を直接結んで**単一の正八面体**が構成される。
- それぞれ五枚集めると中間に十枚が補完されて原蹠と対蹠を結び**単一の正二十面体**が構成される。
- 六枚集めると、やはり単独で**平面充填**(<font color="blue">Tiling</font>)が行える**正六角形**が構成される。

ちなみに正三角形と正六角形は相互に平面上において<font color="blue">特定の辺数が伸びる</font>）**頂点**と（<font color="blue">同数の辺数を備える</font>）**面**を交換する**双対変換**(<font color="blue">Dual Transformation</font>)操作を行った結果現れる図形でもある。
[【Rで球面幾何学】正四面体(Tetrahedron)と正六面体(Cube)と正八面体(Octahedron)と正二十面体(Icosahedron)の狭間。そして正十二面体（Dodecahedron）との関係について。](https://qiita.com/ochimusha01/items/5d30aab4e2e32ef9bcce)
![20200207094535.png](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/597772/50c9b16f-bd89-df18-8a2a-9ae775f4fa4a.png)
![20200207044808.gif](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/597772/fe7a0a07-fc3f-c8fc-418b-ef57c8d8438e.gif)
![Rplot21.png](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/597772/62b30119-db8b-a18a-6e58-b8cce11f28cc.png)
![Octahedron02.gif](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/597772/6e64f26c-04fd-6724-434f-4a8dc3ac784e.gif)
![Rplot19.png](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/597772/1e36492f-10d2-84a3-0526-6aea1d1ff60b.png)
![icosahedron009.gif](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/597772/9068fd22-a331-a86d-49d6-8842b37e8f11.gif)
![Rplot22.png](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/597772/65f5aa77-620b-eaa0-20e4-4b29789f3394.png)

###正六面体(<font color="blue">Regular Hexahedron</font>/<font color="blue">Cube</font>)
[【Rで球面幾何学】正方形における平方対角線(Square diagonal)と立方体における立方対角線(Cubic diagonal)の関係について。](https://qiita.com/ochimusha01/items/9d899779ff8e814beb41)
![square002.gif](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/597772/f0f13c68-6fe1-495b-d0fb-0c5c4f3a292d.gif)

- <font color="green">頂点数8-辺数12+面数6=2</font>で**オイラーの多面体定理**を満たし（<font color="blue">原蹠と対蹠を結ぶ経路を内在する偶数系なので</font>）単体で**パスカルの三角形**（<font color="blue">Pascal's triangle</font>）でいう3段目の「<font color="green">1,3,3,1</font>」に対応する。
- 上掲の**対蹠座標系**(<font color="blue">Antipodal Coordinate System</font>)でいうと「**円弧上に位置する原蹠と対蹠の間を2回直角に曲がって結ぶ3次元処理**」に該当。
- （<font color="blue">特定の辺数が伸びる</font>）**頂点**と（<font color="blue">同数の辺数を備える</font>）**面**を交換する**双対変換**(<font color="blue">Dual Transformation</font>)操作により**正八面体**と**双対**(<font color="blue">Duality</font>)関係にある。

この形での実装は**ハミルトンの四元数**(<font color="blue">Hamilton's Quaternion</font>)と関係が深く、実際<font color="green">ijk=-1,ij=k,jk=i,ij=k,ji=-k,kj=-i,ji=-k</font>をその表面上で確認可能。それ自体についての幾何学的説明は「**原蹠から２回直角に曲がって対蹠に到達するには左右に１回ずつ曲がらねばならない**」といった感じになる。
[【Rで球面幾何学】ハミルトンの四元数(Hamilton's Quaternion)は何を表しているのか？](https://qiita.com/ochimusha01/items/aff8d52f20af01d13bed)

<!-- html table generated in R 3.5.2 by xtable 1.8-4 package -->
<!-- Sat Apr  4 06:36:35 2020 -->
<table border=1>
<tr> <th>  </th> <th> i </th> <th> j </th> <th> k </th>  </tr>
  <tr> <td align="right"> i </td> <td> -1 </td> <td> -k </td> <td> j </td> </tr>
  <tr> <td align="right"> j </td> <td> k </td> <td> -1 </td> <td> -i </td> </tr>
  <tr> <td align="right"> k </td> <td> -j </td> <td> i </td> <td> -1 </td> </tr>
   </table>

**正四面体一対**と**頂点と辺の数**、**断面数とそこに現れる多角形**(<font color="blue">正三角形</font>)が一致しており、上掲の「(<font color="blue">頂点間の関係変化に伴う</font>)**面の構成の組み替え**」の典型例と言えそうなのである。

ちなみに**立方体**(<font color="blue">Cube</font>)を構成する**正方形**(<font color="blue">Square</font>)には、平面上においても<font color="blue">特定の辺数が伸びる</font>）**頂点**と（<font color="blue">同数の辺数を備える</font>）**面**を交換しても同型が現れる**自己双対**(<font color="blue">Self Dual</font>)性が備わっている。**クラインの四元群**(<font color="blue">Klein's Quaternion Group</font>)においても（<font color="blue">そこで各操作対象の連続性=平面充填性を考慮するなら</font>）概ねその操作対象は正方形と想定される。
[クラインの四元群](http://hooktail.sub.jp/algebra/KleinQuaternion/)

<!-- html table generated in R 3.5.2 by xtable 1.8-4 package -->
<!-- Sat Apr 18 05:32:31 2020 -->
<table border=1>
<tr> <th>  </th> <th> e </th> <th> p </th> <th> q </th> <th> r </th>  </tr>
  <tr> <td align="right"> e </td> <td> e </td> <td> p </td> <td> q </td> <td> r </td> </tr>
  <tr> <td align="right"> p </td> <td> p </td> <td> e </td> <td> r </td> <td> q </td> </tr>
  <tr> <td align="right"> q </td> <td> q </td> <td> r </td> <td> e </td> <td> p </td> </tr>
  <tr> <td align="right"> r </td> <td> r </td> <td> q </td> <td> p </td> <td> e </td> </tr>
   </table>

- **操作"<font color="green">e</font>"**…何もしない(<font color="blue">何もしなかったのと同様の結果</font>)。
- **操作"<font color="green">p</font>"**…X軸に沿って180度裏返す(<font color="blue">その操作が行われたのと同様の結果</font>)。
- **操作"<font color="green">q</font>"**…Y軸に沿って180度裏返す(<font color="blue">その操作が行われたのと同様の結果</font>)。
- **操作"<font color="green">r</font>"**…Z軸に沿って180度裏返す(<font color="blue">その操作が行われたのと同様の結果</font>)。

```R
#クラインの四元群(Klein's Quaternion Group)一覧

epqr<-c("e","p","q","r")
perq<-c("p","e","r","q")
qrep<-c("q","r","e","p")
rqpe<-c("r","q","p","e")
TR01<- data.frame(e=epqr,p=perq,q=qrep,r=rqpe)

colnames(TR01)<-c("e","p","q","r")
rownames(TR01)<-c("e","p","q","r")
library(xtable)
print(xtable(TR01),type="html")
```

②**パスカルの三角形**（<font color="blue">Pascal's triangle</font>）でいう3段目の「<font color="green">1,2,1</font>」に対応。**原蹠**<font color="green">1</font>と**対蹠**<font color="green">-1</font>を結ぶ長さ<font color="green">2</font>の**立方対角線**(<font color="blue">Cubic Diagonal</font>)を設定したら、「**断面**」はそれぞれ原点近くに１枚だけ配置される(<font color="blue">3方向それぞれから見てこの設定になっている</font>)。断面に現れる図形は**正方形**。

###正八面体(<font color="blue">Regular Octahedron</font>)
[【Rで球面幾何学】正四面体と正六面体と正八面体の連続性と「テトラパックの思わぬ正体」について。](https://qiita.com/ochimusha01/items/3356f7c805917660632c)
![triangles004.gif](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/597772/1576eee8-d928-eb03-e8ad-b4ffd5efda44.gif)

- <font color="green">頂点数6-辺数12+面数8=2</font>で**オイラーの多面体定理**を満たし（<font color="blue">原蹠と対蹠を結ぶ経路を内在する偶数系なので</font>）単体で**パスカルの三角形**（<font color="blue">Pascal's triangle</font>）でいう3段目の「<font color="green">1,2,1</font>」に対応する。
- 上掲の**対蹠座標系**(<font color="blue">Antipodal Coordinate System</font>)でいうと「**円弧上に位置する原蹠と対蹠の間を1回直角に曲がって結ぶ2次元処理**」に該当。
- （<font color="blue">特定の辺数が伸びる</font>）**頂点**と（<font color="blue">同数の辺数を備える</font>）**面**を交換する**双対変換**(<font color="blue">Dual Transformation</font>)操作により**正六面体**と**双対**(<font color="blue">Duality</font>)関係にある。

あえてこれまで**正四面体**と**正六面体**の作図に用いてきた「**原蹠と対蹠を結ぶ軸線に沿って両側から三角錐を伸ばす**」操作の延長線上において語るなら「<font color="red">底面を</font><font color="green">1:1:sqrt(2)</font><font color="red">の**２等辺三角形**とする一対の三角錐が中間点で合体して原蹠と対蹠を結ぶ経路が確立され、それに合わせて図形全体における**頂点・辺・面構造の調整**</font>(<font color="green">頂点-2,辺数-2+2,面数-1+3</font>)<font color="red">が遂行された</font>」形となります。

上掲の**対蹠座標系**(<font color="blue">Antipodal Coordinate System</font>)でいうと「**円弧上に位置する原蹠と対蹠の間を直角に3回曲がって結ぶ4次元処理**」を彷彿とさせるのが興味深いのですが、そこで辿り着くのはあくまで**対蹠**でなく**原蹠**。これってどういう事？

#四辺形(<font color="blue">Quadrilateral</font>)系以上の操作概念を含むかもしれないそれ以外の正多面体について。

###正二十面体(<font color="blue">Regular Icosahedron</font>)
[【Rで球面幾何学】正20面体(Regular Icosahedron)の作図について。](https://qiita.com/ochimusha01/items/3356f7c805917660632c)
![icosahedron009.gif](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/597772/9068fd22-a331-a86d-49d6-8842b37e8f11.gif)

- **原蹠**<font color="green">1</font>と**対蹠**<font color="green">-1</font>を結ぶ長さ<font color="green">2</font>の**立方対角線**(<font color="blue">Cubic Diagonal</font>)を設定したら、「**断面**」はそれぞれ「**ほぼ**」<font color="green">1/3</font>と<font color="green">-1/3</font>辺りに配置される。断面に現れる図形は**正五角形**。
- <font color="green">頂点数12-辺数30+面数20=2</font>で**オイラーの多面体定理**を満たす。**パスカルの三角形**（<font color="blue">Pascal's triangle</font>）との対応は不明。
- 上掲の**対蹠座標系**(<font color="blue">Antipodal Coordinate System</font>)でいうと「**円弧上に位置する原蹠と対蹠の間を2回曲がって結ぶ3次元処理**」に該当(<font color="blue">ただし曲がる角度が直角ではない</font>)。
- （<font color="blue">特定の辺数が伸びる</font>）**頂点**と（<font color="blue">同数の辺数を備える</font>）**面**を交換する**双対変換**(<font color="blue">Dual Transformation</font>)操作により**正十二面体**と**双対**(<font color="blue">Duality</font>)関係にある。

様々な考察が可能そうですが、とりあえずは以下続報。

###正十二面体(<font color="blue">Regular Dodecahedron</font>)
[【Rで球面幾何学】正12面体(Regular Dodecahedron)の作図について。](https://qiita.com/ochimusha01/items/9ce61d7d5a9227235b1e)
![dodecahedron051.gif](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/597772/e1111178-a73e-f381-32f1-a0336af7721a.gif)

- **原蹠**<font color="green">1</font>と**対蹠**<font color="green">-1</font>を結ぶ長さ<font color="green">2</font>の**立方対角線**(<font color="blue">Cubic Diagonal</font>)を設定したら、「**断面**」はそれぞれ<font color="green">4/5</font>と<font color="green">2/5</font>と<font color="green">-2/5</font>と<font color="green">-4/5</font>辺りに配置される。断面に現れる図形はもはや正多角形ではない。
- <font color="green">頂点数20-辺数30+面数12=2</font>で**オイラーの多面体定理**を満たす。**パスカルの三角形**（<font color="blue">Pascal's triangle</font>）との対応は不明。
- 上掲の**対蹠座標系**(<font color="blue">Antipodal Coordinate System</font>)でいうと「**円弧上に位置する原蹠と対蹠の間を4回曲がって結ぶ5次元処理**」に該当(<font color="blue">ただし曲がる角度が直角ではない</font>)。
- （<font color="blue">特定の辺数が伸びる</font>）**頂点**と（<font color="blue">同数の辺数を備える</font>）**面**を交換する**双対変換**(<font color="blue">Dual Transformation</font>)操作により**正二十面体**と**双対**(<font color="blue">Duality</font>)関係にある。
- さらには古代ギリシャ時代より「**屋根掛け**」操作によって**正六面体**と**双対関係**にあるとされてきたが、この操作の意味は現時点の私には憶測すら不可能。

様々な考察が可能そうですが、やはりとりあえずは以下続報。

#とりあえずここまでの総括。
これまでの投稿内容、特に「**球面幾何学**(<font color="blue">Spherical Geometry</font>)」と称してきた部分が相応に整理されてきました。碩学の皆さんにとっては「<font color="red">当たり前の些事</font>」に過ぎないかもしれませんが、つい最近まで単なる文系人間に過ぎなかった私にとっては、こういう一歩一歩積み重ねながらの確認作業が重要となってくるのです。特に初めてやっと「（<font color="blue">レヴィ＝ストロースが数学者集団ブルバキの援用を受けて「ムルンギン族の婚姻体系の研究」に採用した</font>）**クラインの四元群**」と「**ハミルトンの四元数**」について連続的に語れたのが感動ひとしおでした。しかしああ、ついに血塗れの最後を遂げたガロワさんの「<font color="red">群論はいいぞぉ、お前は既にこっちサイドの人間だ</font>」なる呼び声に本格的に捕まってしまった感もないでもなく…
[レヴィ・ストロースの「親族の基本構造」における群構造の理解](https://khideaki.hatenadiary.org/entry/20081207/1228633913)
![yjimage.jpeg](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/597772/9858ad1d-dde0-78b0-b5ab-b2af09fa19cf.jpeg)

- 改めて「<font color="red">正二角形</font>」と**正三角形**と**正方形**の特異性が確認された形。ところでこれらは同じオイラーが先鞭をつけた「<font color="red">透視図法の世界</font>」すなわち**自然指数関数**(<font color="blue">Natural Exponential Function</font>)や**自然対数関数**(<font color="blue">Natural Logarithmic Function</font>)の概念とも深く関わってくるのである。
- それにつけても、**正五角形系数理**(<font color="blue">Regular pentagonal System</font>)がグイグイ割り込んでくる不思議が止まらない。**対数尺**(<font color="blue">Logarithmic scale</font>)の対象範囲外なのに、どうしてこんなにも誰もが入れ込むの？

[【数理Computingの基礎】（人類の限界を乗り越えんとする）N進法/p進数の世界？](https://ochimusha02.hatenadiary.com/entry/2019/09/20/182256)
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こんな感じで以下続報…