線形代数・行列まとめ

## 概要
自分用に線形代数・行列についてまとめていきます。(随時更新予定)
ベクトル$x$は、太字$\mathbf{x}$で統一します。

## 行列式
n次正方行列$A = [a_{ij}]$の行列式を

```math
  \mathrm{det}A = |A| = \left(
    \begin{array}{ccc}
      a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n} \\
      a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2n} \\
      \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
      a_{n1} & a_{n2} & \ldots & a_{nn}
    \end{array}
  \right)
```
と表す。

### 行列式の計算

n = 2, 3の時は、左上から斜めにかけて、右上から斜めにかけた値を引くと計算できる。

```math
\left(
    \begin{array}{ccc}
      a_{11} & a_{12} \\
      a_{21} & a_{22} 
    \end{array}
  \right) = a_{11}a_{22} - a_{12}a_{21}
```

```math
\left(
    \begin{array}{ccc}
      a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
      a_{21} & a_{22} & a_{23} \\
      a_{31} & a_{32} & a_{33} 
    \end{array}
  \right) = a_{11}a_{22}a_{33} + a_{31}a_{12}a_{23} + a_{13}a_{21}a_{32} - ( a_{13}a_{22}a_{31} + a_{11}a_{23}a_{32} + a_{33}a_{12}a_{21})
```

$n >= 4$の時は、字数を下げてから計算する。
**字数を下げる公式1**

```math
\left(
    \begin{array}{ccc}
      a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n} \\
      0 & a_{22} & \ldots & a_{2n} \\
      \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
      0 & a_{n2} & \ldots & a_{nn}
    \end{array}
  \right) = a_{11}
\left(
    \begin{array}{ccc}
      a_{22} & \ldots & a_{2n} \\
      \vdots & \ddots & \vdots \\
      a_{n2} & \ldots & a_{nn}
    \end{array}
  \right)

```

**字数を下げる一般公式**
第$j$列で上から$i$番目以外の成分が全て0ならば、

```math
\left(
    \begin{array}{ccc}
      A & 0 & B \\
      \vdots & a_{ij} & \vdots \\
      C & 0 & D
    \end{array}
  \right) = (-1)^{i+j}a_{ij}
\left(
    \begin{array}{ccc}
      A & B \\
      C & D
    \end{array}
  \right)
```

第$i$行で左から$j$番目以外の成分が全て0ならば、

```math
\left(
    \begin{array}{ccc}
      A & \ldots & B \\
      0 & a_{ij} & 0 \\
      C & \ldots & D
    \end{array}
  \right) = (-1)^{i+j}a_{ij}
\left(
    \begin{array}{ccc}
      A & B \\
      C & D
    \end{array}
  \right)
```

### 余因子
$n>=2$とする。$n$次正方行列$A = [a_{ij}]$の第$i$行と第$j$列を取り除いてできる$n-1$次正方行列の行列式を$(-1)^{i+j}$倍した数をAの(i, j)余因子といい、$\tilde{a}_{ij}$と表す。

```math
\tilde{a}_{ij} = (-1)^{i+j}\left(
    \begin{array}{ccc}
      a_{11} & \ldots & a_{1j-1} & a_{1j+1} & \ldots & a_{1n} \\
      \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\
      a_{i-11}& \ldots & a_{i-1j-1} & a_{i-1j+1} & \ldots & a_{i-1n} \\
      a_{i+11}& \ldots& a_{i+1j-1} & a_{i+1j+1} & \ldots & a_{i+1n} \\
      \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\
      a_{n1} & \ldots & a_{nj-1} & a_{nj+1} & \ldots & a_{nn}
    \end{array}
  \right)

```
### 余因子展開
$n$次正方行列$A = [a_{ij}]$に対して、第i行に対する展開と第j列に対する展開は、それぞれ次のようになる。

```math
|A| = a_{i1}\tilde{a}_{i1} + a_{i2}\tilde{a}_{i2} + \ldots + a_{in}\tilde{a}_{in} \\
|A| = a_{1j}\tilde{a}_{1j} + a_{2j}\tilde{a}_{2j} + \ldots + a_{nj}\tilde{a}_{nj}
```

### 余因子行列
$n$次正方行列$A = [a_{ij}]$の$(i,j)$余因子$\tilde{a}_{ij}$を$(i,j)$成分にもつ$n$次正方行列の転置行列をAの余因子行列といい、$\tilde{A}$で表す。すなわち、

```math
\tilde{A} = {}^t\! \left(
    \begin{array}{ccc}
\tilde{a}_{11} & \tilde{a}_{12} & \ldots & \tilde{a}_{1n} \\
      \tilde{a}_{21} & \tilde{a}_{22} & \ldots & \tilde{a}_{2n} \\
      \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
      \tilde{a}_{n1} & \tilde{a}_{n2} & \ldots & \tilde{a}_{nn}
    \end{array}
  \right) = 
\left(
    \begin{array}{ccc}
\tilde{a}_{11} & \tilde{a}_{21} & \ldots & \tilde{a}_{n1} \\
      \tilde{a}_{12} & \tilde{a}_{22} & \ldots & \tilde{a}_{n2} \\
      \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
      \tilde{a}_{1n} & \tilde{a}_{2n} & \ldots & \tilde{a}_{nn}
    \end{array}
  \right)
```
### 逆転公式
余因子行列と逆行列は密接に関係している。
余因子行列の性質から、

```math
A\tilde{A} = \tilde{A}A = |A|I
```

ここで、Aが正則である時、上式を$\frac{1}{|A|}$倍すると、


```math
A^{-1} = \frac{1}{|A|}\tilde{A}
```

## (標準)内積

```math
\mathbf{a} = \left(
    \begin{array}{c}
      a_{1} \\
      \vdots \\
      a_{n}
    \end{array}
  \right),
\mathbf{b} = \left(
    \begin{array}{c}
      b_{1} \\
      \vdots \\
      b_{n}
    \end{array}
  \right) \\

(\mathbf{a},\mathbf{b}) = a_1b_1 + a_2b_2 + \ldots + a_nb_n
```


## 逆行列
### 逆行列の性質

$$AA^{-1} = A^{-1}A = I$$

ここで、逆行列の性質を確認しておく。

正方行列Aに対して、

$$AP = I, PA =I$$

を満たす正方行列Pが存在するとき、Aを正則行列(または単に正則)、Pを逆行列という。与えられた正方行列Aに対して、上の等式を満たす正方行列Pはいつでも存在するとは限らない。しかし、あるとしたら一意に定まる。なぜならば、Pの他に正方行列Yも$AQ=I, QA=I$を満たすと仮定すると、

```math
Q = IQ =(PA)Q = P(AQ) = PI = P
```

となり、矛盾するからである。

### 逆行列を求める

`問題`

次の行列Aの逆行列を求めよ。

```math
A = \left(     \begin{array}{ccc}       1 & 3 & 2 \\       2 & 1 & 3 \\       1 & 4 & 2     \end{array}   \right)
```

適当な基本行列の積で表される正則行列

$$P = P_r...P_2P_1$$

が存在して、適当なPを選ぶと$PA = I$ と表せる。

ここで、$PI = P$ となるので、AにPを作用させてIを求めたのと同様に、IにPを作用していくと逆行列が求まるというわけだ。

`答え`

```math
A^{-1} = \left(     \begin{array}{rrr}       -10 & 2 & 7 \\       -1 & 0 & 1 \\       7 & -1 & -5     \end{array}   \right)
```

## 正則性の判定
正方行列Aが正則であるための必要十分条件は、

1. 行列式$|A| \neq 0$ 
2. 逆行列$A^{-1}$が存在する
3. 列ベクトルが線型独立
4. $A\vec{x} = 0$が自明な解を持つ
5. $A\vec{x} = b$が唯一解を持つ

である。

## 対角化

`問題`

Aが対角可能である時の直行行列Pを求めよ。

```math
A = \left(     \begin{array}{rr}       -1 & -4 \\        6 & 9     \end{array}   \right)
```

次の固有方程式をとくと、

$$|A - λI|= 0$$

$$λ = 3, 5$$



ここで、固有値と固有ベクトルの定義より、

$$  A\vec{x} = λ\vec{x}$$

$λ = 3, 5$のそれぞれの固有ベクトルを$x_1, x_2$とすると、

```math
{x_1} = a\left(     \begin{array}{r}       -1 \\       1      \end{array}   \right),   {x_2} = b\left(     \begin{array}{r}       -2 \\       3      \end{array}   \right)
```

また、次の式が成り立つ。


```math
A\vec{x}_1 = λ_1\vec{x}_1,   A\vec{x}_2  =  λ_2\vec{x}_2
```

したがって、

```math
\begin{eqnarray}




A(\vec{x}_1, \vec{x}_2) &=& (A\vec{x}_1, A\vec{x}_2) \\ & = & (λ_1\vec{x}_1, λ_2\vec{x}_2) \\ & = & (\vec{x}_1, \vec{x}_2) \left(     \begin{array}{cc}       λ_1 & 0 \\        0 & λ_2     \end{array}   \right)

\end{eqnarray}
```

ここで、直行行列Pは、

```math
P  = (\vec{x}_1, \vec{x}_2)
```

になり、両辺をPで割ると、

```math
P^{-1}AP =  \left(     \begin{array}{cc}       λ_1 & 0 \\        0 & λ_2     \end{array}   \right)
```
というお馴染みの式も導出できる。