【トーラス構造と古典数学】等比数列(幾何数列)④公比Dが正の場合の収束と拡散, そして対数尺(自然指数関数)

[【Rで球面幾何学】等比数列(幾何数列)①その基本的性質について。](https://qiita.com/ochimusha01/items/cbbe0eadabf149fc720b)
とりあえず今回は細かい解説は抜きにして必要な数式集めに徹したいと思います。

##公比D<font color="green">=1</font>の時
初項1,公差1の等差数列は初項1,公差0の等差数列、さらにはX軸,Y軸…と次元を重ねる直交座標系上(単位円,単位球…)におけるピタゴラスの定理sqrt(X^2+Y^2…)=1と完全に一致する。
[【Rで球面幾何学】等比数列(幾何数列)②同心円集合(Concentric Set)に射影(Projection)する準備](https://qiita.com/ochimusha01/items/3c9b6aa40a3033a0f350)
![OIAS003.gif](https://cdn-ak.f.st-hatena.com/images/fotolife/o/ochimusha01/20210103/20210103062700.gif)

##<font color="green">0<</font>公比D<font color="green"><1</font>の時
純粋な1次元展開により０へ向けて収束する。
![MOF036.gif](https://cdn-ak.f.st-hatena.com/images/fotolife/o/ochimusha01/20210103/20210103212903.gif)

```R
#振動関数(Mathematical Oscillation Function)
#公比D=0.8

MOF01<-function(index){
z0<-complex(real=0.8,imaginary=0)
f0<-function(x)z0^(2*x)
c0<-f0(index)
cx<-Re(c0)
cy<-Im(c0)
plot(cx,cy,asp=1,type="l",xlim=c(-1,1),ylim=c(-1,1),main="Mathematical Oscillation Function",xlab="X axis",ylab="Y axis")
text(cx,cy,"X",cex=2,col=rgb(0,1,0))
text(1,0,"1",cex=2,col=rgb(0,0,1))
text(0,0,"0",cex=2,col=rgb(0,0,1))
segments(0,0,cx,cy,col=rgb(0,1,0))
abline(h=0, col=c(200,200,200))
abline(v=0, col=c(200,200,200))
}

#アニメーション動作設定
Time_Code<-seq(0,8,length=30)
#アニメーション
library("animation")
saveGIF({
for (i in Time_Code){
　MOF01(i)
}
}, interval = 0.1, movie.name = "MOF36.gif")
```
##公比D<font color="green">>1</font>の時
純粋な1次元展開により無限大に向けて発散する。
![MOF037.gif](https://cdn-ak.f.st-hatena.com/images/fotolife/o/ochimusha01/20210103/20210103213712.gif)

```R
#振動関数(Mathematical Oscillation Function)
#公比D=1.2

MOF01<-function(index){
z0<-complex(real=1.2,imaginary=0)
f0<-function(x)z0^(2*x)
c0<-f0(index)
cx<-Re(c0)
cy<-Im(c0)
plot(cx,cy,asp=1,type="l",xlim=c(-3,3),ylim=c(-3,3),main="Mathematical Oscillation Function",xlab="X axis",ylab="Y axis")
text(cx,cy,"X",cex=2,col=rgb(0,1,0))
text(1,0,"1",cex=2,col=rgb(0,0,1))
text(0,0,"0",cex=2,col=rgb(0,0,1))
segments(0,0,cx,cy,col=rgb(0,1,0))
abline(h=0, col=c(200,200,200))
abline(v=0, col=c(200,200,200))
}

#アニメーション動作設定
Time_Code<-seq(0,8,length=30)
#アニメーション
library("animation")
saveGIF({
for (i in Time_Code){
　MOF01(i)
}
}, interval = 0.1, movie.name = "MOF37.gif")
```
###「射影」としての等比数列と自然指数関数
数直線の概念がその同心円を描く回転性の黙殺によって成立する様に、「**公比Dの符号が正の場合の等比数列の直線的動作**」は「**公比Dの符号が負の場合の等比数列の回転性**」を黙殺する事によって成立しているといえそうです。要するに、これが絶対値概念の正体とも。

[【Rで球面幾何学】等比数列(幾何数列)③振動関数を巡る収束と拡散。](https://qiita.com/ochimusha01/items/0814db1de32fbf88d070)
<font color="green">公比D=-1の時</font>
![MOF021.gif](https://cdn-ak.f.st-hatena.com/images/fotolife/o/ochimusha01/20210103/20210103071257.gif)
![MOF022.gif](https://cdn-ak.f.st-hatena.com/images/fotolife/o/ochimusha01/20210103/20210103071813.gif)
<font color="green">0<公比D<-1の時</font>
![MOF024.gif](https://cdn-ak.f.st-hatena.com/images/fotolife/o/ochimusha01/20210103/20210103073903.gif)
<font color="green">公比D>-1の時</font>
![MOF025.gif](https://cdn-ak.f.st-hatena.com/images/fotolife/o/ochimusha01/20210103/20210103074600.gif)

とはいえその結果を両側無限数列に射影するとまた回転問題が振り返すので「数直線上の0から1に無限小(1/Inf)から0までの値を、1から無限大の範囲に0から無限大の範囲を射影する」特殊な片側無限数列を用います。どこかで見覚えがありませんか？　そう、自然指数関数の発想ですね。
![MOF038.gif](https://cdn-ak.f.st-hatena.com/images/fotolife/o/ochimusha01/20210104/20210104012151.gif)

```R
#振動関数(Mathematical Oscillation Function)
#公比D=e

MOF01<-function(index){
z0<-complex(real=1.2,imaginary=0)
f0<-function(x)exp(x)
c0<-f0(index)
cx<-Re(c0)
cy<-Im(c0)
plot(cx,cy,asp=1,type="l",xlim=c(-4,4),ylim=c(-4,4),main="Mathematical Oscillation Function",xlab="X axis",ylab="Y axis")
text(cx,cy,"X",cex=2,col=rgb(0,1,0))
text(1,0,"1",cex=2,col=rgb(0,0,1))
text(0,0,"0",cex=2,col=rgb(0,0,1))
segments(0,0,cx,cy,col=rgb(0,1,0))
abline(h=0, col=c(200,200,200))
abline(v=0, col=c(200,200,200))
}

#アニメーション動作設定
Time_Code<-seq(-1.5,1.5,length=30)
#アニメーション
library("animation")
saveGIF({
for (i in Time_Code){
　MOF01(i)
}
}, interval = 0.1, movie.name = "MOF38.gif")
```
[【Rで球面幾何学】指数・対数関数の発見](https://qiita.com/ochimusha01/items/3e28f4f06abd8cef0af1)
![OIAS009.gif](https://cdn-ak.f.st-hatena.com/images/fotolife/o/ochimusha01/20210103/20210103063144.gif)

こうして等比数列関係の数式が出揃ったところで以下続報…