新型コロナの国内感染者数を数理モデルで予測してみた!

## 概要

感染者数を数理モデルで予測しているThe Lancetの論文[^1]を見つけたので、日本国内の感染者数を予測するために数理モデルを実装し他の感染症と比較してみた。

### まとめ

(あくまで今回の分析の仮定のもとで得られた内容です。)

- SEIRモデルで感染者数を予測した。
- 新型コロナの基本再生産数は約2.9でインフルエンザより少し高い。
- 感染対策の効果が無い場合は国内感染者数のピークはGW前後。
- 今後1年の国内死亡者数は1万人強(致死率0.01%の場合)。
- 外国人の入国制限は無意味。

### 目次

1. [今回の目的](#1-今回の目的)
2. [感染症数理モデル](#2-感染症数理モデル)
3. [パラメータ推定](#3-パラメータ推定)
4. [pythonで実装と図示](#4-pythonで実装と図示)
5. [補足](#5-補足)

## 1. 今回の目的

1. 新型コロナウイルス(COVID-19, 以下新型コロナ)の今後の国内感染者数を数理モデルで予測する。

2. 新型コロナの基本再生産数を他の感染症と比較する。

3. Scipyを用いた科学計算の実装。

## 2. 感染症数理モデル

> 「感染症がどのように伝播し、感染した人がどの程度の期間で発症し、重症化するのかといったプロセスを数式で記述する。」[^2]

感染症数理モデルでは、人口を感染の段階などで区分しそれぞれの集団の増減を微分方程式で表します。
単純なSEIRモデルと今回使う拡張版を説明します。

### 2.1. SEIRモデル

- $S$: 免疫を持っていない人数(Susceptible)
- $E$: 暴露後期間の人数(Exposed)
- $I$: 感染性期間の人数(Infectious)
- $R$: 感染症から回復し免疫を獲得した人数(Recovered)
- $\beta$: 感染率, $\gamma$: 回復(隔離)率, $\sigma$: 感染性を得る確率, $N$: 総人口

とすると、以下の連立微分方程式が得られます。

```math
\begin{align}
\frac{dS(t)}{dt} &= -\beta \frac{I(t)}{N}S(t) \\

\frac{dE(t)}{dt} &= \beta \frac{I(t)}{N}S(t) - \sigma E(t) \\

\frac{dI(t)}{dt} &= \sigma E(t) - \gamma I(t) \\

\frac{dR(t)}{dt} &= \gamma I(t) \\

N &= S(t) + E(t) + I(t) + R(t)
\end{align}
```

ただし、出生率と死亡率は無視し、発症後は必ず回復し免疫を獲得するため二度と感染しないとしています。

適当な初期値を与えて解けば、将来の感染者数が予想できます。(参考に図[^3]を載せておきます)

<img width="698" alt="SEIR_InsetChart_default.png" src="https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/381868/0984b468-a418-457b-13b1-e2f80ac810ef.png">

詳しい説明や実装はqiitaの記事[^4]が参考になります。

ここで、$R_0=\beta / \gamma$は基本再生産数と呼ばれ、「（全ての個体が初期に感受性を
有する状態で）1 人の感染者当たりが生産する 2 次感染者数」を意味します。[^5]
**要は$R_0$が大きいほど感染力が大きいということ。**

$R_0$を用いれば、予防接種をどれくら普及させれば感染症の流行が防げるか計算することもできます。

SEIR以外にも、全人口を居住地や年齢で細分化したり、感染症の特徴を微分方程式に反映させることで様々なモデルを作成できます。例えば、Eを考慮しないSIRや免疫獲得を考慮しないSEIS、受動免疫を考慮したMSEIRなどがあります[^6]。

## 2.2. 拡張版SEIRDモデル

上記のSEIRは単純すぎるので、今回は論文[^1]を参考に外国との人口の流出入や死亡率を考慮したモデルに拡張します。

- $R_0$: 基本再生産数($R_0=\beta / \gamma$)
- $T_E$: 平均暴露後期間(日)($\gamma^{-1} = T_I$)
- $T_I$: 平均感染性期間(日)($\sigma^{-1} = T_E$)
- $N_{J,I}$: 日本から海外への渡航者数(人/日)
- $N_{I,J}$: 海外から日本への渡航者数(人/日)
- $f$: 致死率
- $D(t)$: 死亡者数(人)

とすると、同じく以下の連立微分方程式が得られます。

```math
\begin{align}
\frac{dS(t)}{dt} &= - \frac{R_0}{D_I} \frac{I(t)}{N(t)} S(t) - N_{J,I} + 
 \left(1 - \frac{E(t) + I(t)}{N(t)} \right)N_{I,J} \\

\frac{dE(t)}{dt} &= \frac{R_0}{D_I} \frac{I(t)}{N(t)} S(t) - \frac{E(t)}{T_E} + \frac{E(t) + I(t)}{N(t)} N_{I,J}\\

\frac{dI(t)}{dt} &= \frac{E(t)}{T_E} - \frac{I(t)}{T_I}\\

\frac{dR(t)}{dt} &= (1-f) \frac{I(t)}{T_I}\\

\frac{dD(t)}{dt} &= f \frac{I(t)}{T_I} \\

N(t) &= S(t) + E(t) + I(t) + R(t)
\end{align}
```

ただし、$N_{J,I}$と$N_{I,J}$について、日本から海外に行く人は全員$S$、海外から日本に来る人は$S, E$に属しているとします。

論文[^1]と同じように$R_0$以外のパラメータは適当な値で代用します。$T_I, T_E$はSARSコロナを参考に、$T_E=6.0, T_I=2.4$としました。$N_{J, I}, N_{I, J}$は2019年2月の旅行者数を参考に$N_{J, I}=40000, N_{I, J}=70000$としました。

## 3. パラメータ推定

モデルの未知パラメータは$R_0$です。推定方法は最小二乗法、最尤推定、MAP推定、ベイズ推定など色々あります[^7]が、今回は非定常ポアソン過程[^8]として尤度を求め最尤推定で$R_0$を求めます。

### 3.1. 最尤推定

みんな大好き最尤推定。まずは観測したデータが発生する確率(尤度)を$R_0$の関数として表現し、それが最大となるような$R_0$を求めます。論文[^1]を参考に感染者数を非定常ポアソン過程としてモデル化して尤度を求めると、

```math
L(R_0) = \prod_{d=D_s}^{D_e} \frac{e^{-\lambda_d}\lambda_d^{x_d}}{x_d!}
```

ただし、$D_s$: 観測初日、$D_s$: 観測最終日、$x_d$: $d$での感染者数で、

```math
\lambda (t, R_0) = E(t) + I(t) \\
\lambda _d (R_0) = \int_{d-1}^{d} \lambda (u, R_0) du
```

とします。$\lambda$は感染者数がポアソン分布に従うとした時の平均を表します。

対数尤度から$R_0$に無関係な項を除いて、$R_0$は以下で推定できます。

```math
\newcommand{\argmin}{\mathop{\rm arg~min}\limits}

\argmin_{R_0 > 0} - \log L(R_0) = \argmin_{R_0 > 0} \sum_{d=D_s}^{D_e} (\lambda_d(R_0) - x_d \log \lambda_d(R_0))
```

## 4. pythonで実装と図示

<details><summary>SEIRクラスの実装</summary><div>

```python
import scipy
from scipy.integrate import odeint
from scipy.optimize import minimize
from sklearn.metrics import mean_absolute_error, mean_squared_error


class SIR(object):

    def __init__(self, r_0, t_i, dt, init_S, init_I, init_R):
        self.r_0 = r_0
        self.t_i = t_i
        self.dt = dt
        self.init_state_list = [init_S, init_I, init_R]

    def _get_param(self, params, key, default, t=None):
        """パラメータの時間変化に対応する
        """
        if isinstance(params, dict):
            if key in list(params.keys()):
                param = params[key]
                if isinstance(param, list):
                    return param[np.clip(int(t / self.dt), 0, len(param)-1)]
                elif isinstance(param, np.ndarray):
                    return param
                else:
                    return default
            else:
                return default
        else:
            return default

    def _ode(self, state_list, t=None, params=None):
        """連立微分方程式を定義する
        """
        r_0 = self._get_param(params, 'r_0', self.r_0, t=t)
        t_i = self._get_param(params, 't_i', self.t_i, t=t)
        S, I, R = state_list
        N = S + I + R
        dstate_dt = list()
        dstate_dt[0] = - (r_0 / t_i) * (I / N) * S
        dstate_dt[1] = (r_0 / t_i) * (I / N) * S - I / t_i
        dstate_dt[2] = I / t_i
        return dstate_dt

    def solve_ode(self, len_days=365, params=None):
        """微分方程式を解く
        """
        t = np.linspace(0, len_days, int(len_days / self.dt), endpoint=False)
        args = (params,) if params else ()
        return odeint(self._ode, self.init_state_list, t, args=args)


class CustomizedSEIRD(SIR):

    def __init__(self, r_0=None, t_e=6.0, t_i=2.4, n_i_j=70000, n_j_i=40000, f=0.0001, dt=1,
            init_S=126800000, init_E=0, init_I=1, init_R=0, init_D=0):
        self.r_0 = r_0
        self.t_e = t_e
        self.t_i = t_i
        self.n_i_j = n_i_j
        self.n_j_i = n_j_i
        self.f = f
        self.dt = dt
        self.init_state_list = [init_S, init_E, init_I, init_R, init_D]

    def _ode(self, state_list, t=None, params=None):
        """連立微分方程式を定義する
        """
        r_0 = self._get_param(params, 'r_0', self.r_0, t=t)
        t_e = self._get_param(params, 't_e', self.t_e, t=t)
        t_i = self._get_param(params, 't_i', self.t_i, t=t)
        n_i_j = self._get_param(params, 'n_i_j', self.n_i_j, t=t)
        n_j_i = self._get_param(params, 'n_j_i', self.n_j_i, t=t)
        f = self._get_param(params, 'f', self.f)
        S, E, I, R, D = state_list
        N = S + E + I + R
        dstate_dt = list()
        dstate_dt.append(- (r_0 / t_i) * (I / N) * S - n_j_i + (1 - ((E + I) / N)) * n_i_j)
        dstate_dt.append((r_0 / t_i) * (I / N) * S - E / t_e + ((E + I) / N) * n_i_j)
        dstate_dt.append(E / t_e - I / t_i)
        dstate_dt.append((1 - f) * I / t_i)
        dstate_dt.append(f * I / t_i)
        return dstate_dt

    def _calc_neg_log_likelihood_r0(self, r_0, X):
        """対数尤度(R_0に関係ある部分のみ)を計算する
        """
        solution = self.solve_ode(len_days=len(X), params=dict(r_0=r_0))
        lambda_arr = solution[int(1/self.dt)-1::int(1/self.dt), 2] # I
        return - np.sum(- lambda_arr + X * np.log(lambda_arr))
    
    def _calc_error(self, r_0, X, metric=mean_absolute_error):
        """平均絶対誤差、平均二乗誤差を計算する
        """
        solution = self.solve_ode(len_days=len(X), params=dict(r_0=r_0))
        e_arr = solution[int(1/self.dt)-1::int(1/self.dt), 2]  # I
        return metric(X, e_arr)

    def exec_point_estimation(self, init_r_0, X, project='mle'):
        """パラメータを点推定する
        """
        if project == 'mle':
            result = minimize(self._calc_neg_log_likelihood_r0, init_r_0, args=(X,), method='Nelder-Mead')
        elif project == 'lad':
            result = minimize(self._calc_error, init_r_0, args=(X, mean_absolute_error), method='Nelder-Mead')
        elif project == 'ls':
            result = minimize(self._calc_error, init_r_0, args=(X, mean_squared_error), method='Nelder-Mead')
        else:
            print(f'Invalid project: {project}')
            return None
        if self.r_0 is None:
            self.r_0 = result.x[0]
        return result

    def exec_map(self):
        """MAP推定
        """
        pass

    def exec_mcmc(self):
        """MCMC法
        """
        pass

```

</div></details>

```python
if __name__ == '__main__':
    # 1/16 から 3/8 までの感染者数
    X = np.array([
        1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 3,  # 1/25
        4, 4, 7, 8, 14, 17, 20, 20, 20, 23,  # 2/4
        35, 45, 86, 90, 96, 161, 163, 203, 251, 259,  # 2/14
        338, 414, 520, 616, 705, 728, 743, 743, 838, 851, # 2/24
        862, 891, 919, 938, 947, 961, 980, 999, 1035, 1056, # 3/5
        1113, 1157, 1190 # 3/8
    ])
    model = CustomizedSEIRD()
    result = model.exec_point_estimation(init_r_0=1, X=X, project='mle')
    print(result.x[0])
```

```
2.8806152343750036
```

「感染者数」というのは扱いが難しくて、実際にカウントされるのは高々来院した人だけで、かつ診断基準や検査の感度特異度を考えると真の$x_d$は誰にも分かりません。ここでは、クルーズ船も含めた感染者数[^9]をもとに推定しました。

拡張SEIRモデルによる今後の国内感染者数予測(Iが感染者数)

![SEIRD2.png](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/381868/8caef1c0-712b-0aba-1dc4-a5ab65998623.png)

青線が推定した$R_0$が今後変化しない場合のグラフです。このまま行くと、丁度GWが終わった頃に感染者数がピークになります。
赤線と青線が3/9以降の$R_0$を変化させた場合のグラフです。$R_0$は「1人の感染者当たりが生産する2次感染者数」なので、感染対策や移動の制限などにより小さくなります。$R_0$を十分に小さくできれば緑線のように封じ込めることができます。

下図は厚生省が公表した図[^9]ですが、感染者数のグラフの形状がちゃんと一致してます。

![厚生省コロナ感染者数.png](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/381868/7d12198a-21a2-3147-6919-441a1bcca156.png)

また、例えば$N_{i, j}$を変化させると外国人の入国の制限によって感染者数は変化するのかどうか計算できます。同じモデルで計算すると、3/9以降を$N_{i, j}=0$にしても$R_0$が同じであれば感染者数はほぼ変わりません。つまり(このモデルが正しければ)入国制限は無意味ということになります。

次に、基本再生産数と致死率を他の感染症[^10]と比較してみます。
(新型コロナの致死率は各国の致死率からだいたい0.1%~5%とします)

![comparison.png](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/381868/8de3a689-32f6-5f05-d45e-7f409b9c168e.png)


新型コロナの基本再生産数や致死率が他の感染症より突出して高いということはないみたいです。
(感染症の危険性は、症状の軽重やワクチンの有無なども考慮する必要があり、基本再生産数や致死率が低いからといって安全という訳では無いとは思いますが、細かい話は感染症に強い人に聞いてください)
　
## 5. 補足

[厚生労働省](https://www.mhlw.go.jp/index.html)

[日本感染症学会](http://www.kansensho.or.jp/)

[WHO](https://www.who.int/)

[CDC](https://www.cdc.gov/)

[感染者数推移を確認できるかっこいいサイト(Johns Hopkins CSSE)](https://gisanddata.maps.arcgis.com/apps/opsdashboard/index.html#/bda7594740fd40299423467b48e9ecf6)

[^1]: [Nowcasting and forecasting the potential domestic and international spread of the 2019-nCoV outbreak originating in Wuhan, China: a modelling study](https://www.thelancet.com/journals/lancet/article/PIIS0140-6736(20)30260-9/fulltext)

[^2]: [数理モデルで感染症を食い止める](https://www.jst.go.jp/ristex/stipolicy/policy-door/article-02.html)

[^3]: [SEIR and SEIRS models](https://institutefordiseasemodeling.github.io/Documentation/general/model-seir.html)

[^4]: [感染症数理モデル事始め　PythonによるSEIRモデルの概要とパラメータ推定入門](https://qiita.com/Student-M/items/4e3e286bf08b7320b665)

[^5]: [感染症流行の予測：感染症数理モデルにおける定量的課題](https://www.ism.ac.jp/editsec/toukei/pdf/54-2-461.pdf)

[^6]: [Compartmental models in epidemiology](https://en.wikipedia.org/wiki/Compartmental_models_in_epidemiology#The_SEIR_Model)

[^7]: [藤井四段で学ぶ最尤推定、MAP推定、ベイズ推定](https://qiita.com/jyori112/items/80b21422b15753a1c5a4)

[^8]: [SIR モデルと非定常ポアソン過程](http://abrahamcow.hatenablog.com/entry/2017/04/08/062220)

[^9]: [新型コロナウイルス感染症について](https://www.mhlw.go.jp/stf/seisakunitsuite/bunya/0000164708_00001.html)

[^10]: [List of human disease case fatality rates](https://en.wikipedia.org/wiki/List_of_human_disease_case_fatality_rates)