行列の性質備忘録

忘れちゃう行列周りの事項の備忘録

# 行列式
$$
\begin{align}
\mathrm{det}(AB) = \mathrm{det}(A) \mathrm{det}(B),\\\
\mathrm{det}(A^{-1}) = \left(\mathrm{det}(A)\right)^{-1},\\\
\mathrm{det}\left(\bar{A}\right) = \overline{\mathrm{det}(A)} ,\\\
\mathrm{det}(A^T) = \mathrm{det}(A) ,\\\
\left| \mathrm{det}(A) \right|^2 = \mathrm{det}(A^H A)
\end{align}
$$

行列$A \in \mathbb{C}^N$が対角化, $A = X \Lambda X^{-1}, \Lambda_{ij}=\lambda_i \delta_{ij}$, 出来るとき、
$$
\mathrm{det}(A) = \mathrm{det}(X) \mathrm{det}(\Lambda) \mathrm{det}(X^{-1}) = \prod_{i=1}^N \lambda_i
$$
とくに、すべての固有値について、$\lambda_i > 0$のとき、
$$
\log \left( \mathrm{det}(A) \right) =  \sum_{i=1}^N \log \left( \lambda_i\right).
$$
また、
$$
\log \left| \mathrm{det}(A) \right| =  \sum_{i=1}^N \log \left| \lambda_i\right|.
$$

# 固有対、対角化
$$
\begin{align}
A = X \Lambda X^{-1}, \Lambda_{ij}=\lambda_i \delta_{ij}, \\\
A x_i = x_i \lambda_i ,
\quad
X = \left(x_1, x_2, \dots, x_N \right)
\end{align}
$$

## 行列のトレース
行列$A \in \mathbb{C}^N$が対角化, $A = X \Lambda X^{-1}, \Lambda_{ij}=\lambda_i \delta_{ij}$, 出来るとき、
$$
\begin{align}
\mathrm{tr} (A) = \mathrm{tr} (\Lambda)  = \sum_i \lambda_i.
\end{align}
$$

## 行列の関数
行列$A \in \mathbb{C}^N$が対角化, $A = X \Lambda X^{-1}, \Lambda_{ij}=\lambda_i \delta_{ij}$, 出来るとき、多項式展開できる関数$f(x)$の行列の関数$f(A)$は以下のように大雑把に定義できる
$$
\begin{align}
f (A) =  X f(\Lambda) X^{-1}.
\end{align}
$$

$f(A)$の固有値は$f(\lambda_i),i = 1,\dots,N$.

### 行列の指数関数のトレース
行列$A \in \mathbb{C}^N$が対角化, $A = X \Lambda X^{-1}, \Lambda_{ij}=\lambda_i \delta_{ij}$, 出来るとき、
$$
\mathrm{det}(e^A) = \mathrm{det}(e^\Lambda)  = e^{\sum_i \lambda_i} = e^{\mathrm{tr} (A) }
$$

## パラメーターに依存するエルミート行列の固有値問題の性質
$\alpha \in \mathbb{R}$をパラメーターにするエルミート行列$A (\alpha) \in \mathbb{C}^{N\times N}$がユニタリー行列$U$を使って、対角化, $A = U \Lambda U^{H} , \Lambda_{ij}=\lambda_i \delta_{ij}$, 出来るとき、
$$
\frac{\mathrm{d} \lambda_i }{\mathrm{d} \alpha} = u_i^H \left( \frac{\mathrm{d}A}{\mathrm{d} \alpha}\right) u_i
$$

## ユニタリー行列の対角化
ユニタリー行列$U \in \mathbb{C}^{N\times N}$について、ユニタリー行列は正規行列(直交する列ベクトルを並べて作ることができる)なので、対角化可能。また、その固有値は絶対値1であり、相異なる固有値に対応する固有ベクトルは直交する。

固有値を成分とする対角行列が$\Lambda  \in \mathbb{C}^{N\times N}, U = V\Lambda V^H, \Lambda_{ij}=e^{\mathrm{i}\phi_i}\delta_{ij}$で与えられるとき、固有値$\phi_1, \dots, \phi_N$をを持つエルミート行列$\Phi$を使って、
$$
U = e^{\mathrm{i}\Phi}, \qquad  \Phi v_i = \phi_i v_i,
$$
と書ける。

# 特異値分解
[特異値分解 - Wikipedia](https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%89%B9%E7%95%B0%E5%80%A4%E5%88%86%E8%A7%A3)によると、行列$A \in \mathbb{C}^{M\times N}$はユニタリー行列$U \in \mathbb{C}^{M\times M}, V\in \mathbb{C}^{N\times N}$を用いて
$$
A = U \Sigma V^H
$$
とかけて、$\Sigma_{ij} = \sigma_i \delta_{ij}, \sigma_i \geq 0$である。

$U = (u_1,\dots,u_M), V=(v_1,\dots, v_N)$とおくと、行列$A$は
$$
A = \sum_{i}^{\min(M,N)} \sigma_i u_i v_i^H
$$
と表現できる。$u_i$と$v_i$はそれぞれ左特異ベクトル、右特異ベクトル。
$1 \leq i \leq \min(M,N)$について以下の性質がある
$$
A v_i = \sigma_i u_i, \qquad
u_i^H A = v_i^H \sigma_i
$$

全ての特異値$\sigma_i$が正定値かつ縮退がない場合は、$u_i$と$v_i^H$の積でキャンセルしない絶対値1の複素数を除いて、一意に$U,V$は決まる。(逆に$u_i' = e^{\mathrm{i}\phi_i}u_i, v_i' = e^{\mathrm{i}\phi_i}v_i, \phi_i \in \mathbb{R}$という形で絶対値1の複素数をかけて作った$U', V'$はまた特異値分解の一つになっている。もちろん、特異値は変化しない。)


## 左右の特異ベクトルの性質
左右の特異ベクトルは、それぞれ半正定値行列$A^H A$、$A A^H$の固有ベクトルになっている:
$$
A^H A v_i = \sigma_i^2 v_i, \quad A A^H v_i = \sigma_i^2 v_i.
$$

## エルミート行列の固有ベクトルとの関係
エルミート行列$A \in \mathbb{C}^{N \times N}$の固有ベクトル、固有値との関係についてここでは議論する。
エルミート行列は、固有対$(\lambda_i, x_i)$を使って
$$
A = \sum_{i=1}^N \lambda_i x_i x_i^H
$$
と書ける。

$\lambda_i x_i x_i^H = \left| \lambda_i \right| x_i \left( \mathrm{sgn}(\lambda_i) x_i\right)^H
$を用いると、
$$
\sigma_i = \left| \lambda_i \right|, \qquad
U = (x_1,\dots,x_N), \qquad
V = (\mathrm{sgn}(\lambda_1)x_1,\dots,\mathrm{sgn}(\lambda_N)x_N)
$$
とすることでとすれば、行列Aが$A = U \Sigma V$とかける。固有値の符号は$U$側に押し付けても良い。
特異値分解は、非縮退かつ正定値特異値に対しては、左特異ベクトルと右特異ベクトルの対に施す絶対値1の複素数の積を除いて一位に定まったので、この手続きが求めた$U \Sigma V$が特異値分解にほかならない。

行列$A$が正定値エルミートのときは、固有ベクトルが左右の特異ベクトルと絶対値1の複素数の係数不定性を除いて一致する。