もう諦めない圏論基礎―極限からカン拡張へ―

# 想定読者と到達目標

[__Data.Functor.Kan.Ran__](https://hackage.haskell.org/package/kan-extensions-5.2/docs/Data-Functor-Kan-Ran.html)や
[__Data.Functor.Kan.Lan__](https://hackage.haskell.org/package/kan-extensions-5.2/docs/Data-Functor-Kan-Lan.html)で定義されている
[__右カン拡張__](#右カン拡張)や[__左カン拡張__](#左カン拡張)を
何となく理解してみたい人へ。

圏論で重要となるらしい[__普遍性__](#普遍性)の概念を、
とある[__コンマ圏__](#コンマ圏)の[__終対象__](#終対象)や[__始対象__](#始対象)として、
統一的に扱えるようになるかもしれない。



# 目次

- [__圏論入門前の準備運動―集合と写像―__](https://qiita.com/norkron/items/237735106ee6e5333678)
- [__もう諦めない圏論入門―対象と射―__](https://qiita.com/norkron/items/f90d851daf05a2efa567)
- [__もう諦めない圏論入門―圏と関手―__](https://qiita.com/norkron/items/f0de364cc980171b1db7)
- [__もう諦めない圏論入門―関手と自然変換―__](https://qiita.com/norkron/items/1cc1b593e04184f0fe98)
- [__もう諦めない圏論付録―ストリング・ダイアグラム―__](https://qiita.com/norkron/items/e55a39c22288955689f9)
- [__もう諦めない圏論基礎―極限からカン拡張へ―__](https://qiita.com/norkron/items/681aed1323ac95431ea3)
    - コンマ圏の終対象や始対象として諸概念を捉える
    - カン拡張が極限であることを理解した気になる
- [__もう諦めない圏論基礎―モノイドからモナドへ―__](https://qiita.com/norkron/items/aff3ce925edc6be74923)
- [__もう諦めない圏論基礎―高次元圏と変換手―__](https://qiita.com/norkron/items/271b702a907f865aafc5)



# 対角関手

$\boldsymbol{C}$ を圏として関手 $\varDelta \colon \boldsymbol{C} \longrightarrow \boldsymbol{C} \times \boldsymbol{C}$ を考える。
![対角関手](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/268212/c791824d-b7cb-c6f8-f28d-52f3791a9584.png)
対象の対応 $\varDelta\ a = (a,a) \in \mathrm{Obj}(\boldsymbol{C} \times \boldsymbol{C})$ と
射の対応 $\varDelta\ f = (f,f) \in \mathrm{Mor}(\boldsymbol{C} \times \boldsymbol{C})$ で関手は定義される。

$\varDelta\ a$ は第１成分も第２成分も $a$ なので、
引数１と引数２に対して $a$ を返すような
定数関数と思えるだろう。$\varDelta\ f$ も同様だ。

## 圏の平方

[__格上げ__](https://qiita.com/norkron/items/e55a39c22288955689f9#格上げ)により、１点離散圏を $\mathbf{1}$ として、
対象 $\mathrm{Obj}(\boldsymbol{C}) \ni a$ を
関手 $a \colon \mathbf{1} \longrightarrow \boldsymbol{C}$ とみなし、
射 $\mathrm{Mor}(\boldsymbol{C}) \ni f \colon a \longrightarrow b$ を
自然変換 $f \colon a \Longrightarrow b$ とみなせる。

同様に、２点離散圏を $\mathbf{2}$ として、
対象 $\mathrm{Obj}(\boldsymbol{C}\times\boldsymbol{C}) \ni (a_{1},a_{2})$ を
関手 $(a_{1},a_{2}) \colon \mathbf{2} \longrightarrow \boldsymbol{C}$ とみなし、
射 $\mathrm{Mor}(\boldsymbol{C}\times\boldsymbol{C}) \ni (f_{1},f_{2}) \colon (a_{1},a_{2}) \longrightarrow (b_{1},b_{2})$ を
自然変換 $(f_{1},f_{2}) \colon (a_{1},a_{2}) \Longrightarrow (b_{1},b_{2})$ とみなせる。
![圏の直積](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/268212/4cb685a7-dcc6-8192-90fe-d27823876c25.png)
対象の対応 $(a_{1},a_{2})\ i = a_{i}$ と
射の対応 $(a\_{1},a\_{2})\ \mathrm{id}\_{i} = \mathrm{id}\_{a\_{i}}$ により関手を
射の族 $(f\_{1},f\_{2})\_{i} = f\_{i}$ により自然変換を
それぞれ定める。$\mathrm{Obj}(\mathbf{2}) \ni i = 1,2$ である。

---

１点離散圏を $\mathbf{1}$ とすると[__格上げ__](https://qiita.com/norkron/items/e55a39c22288955689f9#格上げ)により、
対象 $\mathrm{Obj}(\boldsymbol{C}) \ni a$ と
関手 $\mathrm{Obj}(\boldsymbol{C}^{\mathbf{1}}) \ni a \colon \mathbf{1} \longrightarrow \boldsymbol{C}$ が
射 $\mathrm{Mor}(\boldsymbol{C}) \ni f \colon a \longrightarrow b$ と
自然変換 $\mathrm{Mor}(\boldsymbol{C}^{\mathbf{1}}) \ni f \colon a \Longrightarrow b$ が
それぞれ対応し[__圏同型__](https://qiita.com/norkron/items/1cc1b593e04184f0fe98#同型関手) $\boldsymbol{C} \cong \boldsymbol{C}^{\mathbf{1}}$ となる。

２点離散圏を $\mathbf{2}$ とすると[__圏の平方__](#圏の平方)により、
対象 $\mathrm{Obj}(\boldsymbol{C}\times\boldsymbol{C}) \ni (a_{1},a_{2})$ と
関手 $\mathrm{Obj}(\boldsymbol{C}^{\mathbf{2}}) \ni (a_{1},a_{2}) \colon \mathbf{2} \longrightarrow \boldsymbol{C}$ が
射 $(f_{1},f_{2}) \colon (a_{1},a_{2}) \longrightarrow (b_{1},b_{2})$ と
自然変換 $\mathrm{Mor}(\boldsymbol{C}^{\mathbf{2}}) \ni (f_{1},f_{2}) \colon (a_{1},a_{2}) \Longrightarrow (b_{1},b_{2})$ が
それぞれ対応し[__圏同型__](https://qiita.com/norkron/items/1cc1b593e04184f0fe98#同型関手) $\boldsymbol{C} \times \boldsymbol{C} \cong \boldsymbol{C}^{\mathbf{2}}$ となる。

したがって関手 $\varDelta \colon \boldsymbol{C} \longrightarrow \boldsymbol{C} \times \boldsymbol{C}$ を
関手 $\varDelta \colon \boldsymbol{C} \longrightarrow \boldsymbol{C}^{\mathbf{2}}$ とみなすことができる。

関手 $\varDelta$ の終域 $\boldsymbol{C}^{\mathbf{2}}$ にあらわれる２点離散圏 $\mathbf{2}$ を
圏 $\boldsymbol{J}$ に一般化することを考えよう。

## 定義

１点離散圏 $\mathbf{1}$ には対象も射も１つしかないので、
対象 $\\_ \in \mathrm{Obj}(\boldsymbol{J})$ を $F\ \\_ = *$ に対応させ
射 $\\_ \in \mathrm{Mor}(\boldsymbol{J})$ を $F\ \\_ = \mathrm{id}_{\displaystyle *}$ に対応させることで、
圏 $\boldsymbol{J}$ に対して関手 $F \colon \boldsymbol{J} \longrightarrow \mathbf{1}$ が一意に定まる。

[__双関手__](https://qiita.com/norkron/items/1cc1b593e04184f0fe98#双関手) $- \cdot - \colon \mathbf{1}^{\boldsymbol{J}} \times \boldsymbol{C}^{\mathbf{1}} \longrightarrow \boldsymbol{C}^{\boldsymbol{J}}$ の
[__左セクション__](https://qiita.com/norkron/items/1cc1b593e04184f0fe98#左セクション) $F \cdot - \colon \boldsymbol{C}^{\mathbf{1}} \longrightarrow \boldsymbol{C}^{\boldsymbol{J}}$ を
この関手 $F \colon \boldsymbol{J} \longrightarrow \mathbf{1}$ に対して考えてみると、
<details><summary>関手 $F \cdot -$ は関数 `const` のような役割を果たす。</summary><div>

---

対象 $a \in \mathrm{Obj}(\boldsymbol{C})$ と射 $f \in \mathrm{Mor}(\boldsymbol{C})$ を[__格上げ__](https://qiita.com/norkron/items/e55a39c22288955689f9#格上げ)して
関手 $a \colon \mathbf{1} \longrightarrow \boldsymbol{C}$ と自然変換 $f \colon a \Longrightarrow b$  を考える。
対象(すなわち関手) $a \in \mathrm{Obj}(\boldsymbol{C}^{\mathbf{1}})$ と
射(すなわち自然変換) $f \in \mathrm{Mor}(\boldsymbol{C}^{\mathbf{1}})$ である。

関手 $F \cdot - \colon \boldsymbol{C}^{\mathbf{1}} \longrightarrow \boldsymbol{C}^{\boldsymbol{J}}$ により
対象 $a \in \mathrm{Obj}(\boldsymbol{C}^{\mathbf{1}})$ は関手 $F \cdot a \colon \boldsymbol{J} \longrightarrow \boldsymbol{C}$ すなわち
対象の対応 $(F \cdot a)\ \\_ = a\ (F\ \\_) = a\ * = a$ と
射の対応 $(F \cdot a)\ \\_ = a\ (F\ \\_) = a\ \mathrm{id}\_{\displaystyle *} = \mathrm{id}\_{a}$ を、
射 $f \in \mathrm{Mor}(\boldsymbol{C}^{\mathbf{1}})$ は自然変換 $F \cdot f \colon F \cdot a \Longrightarrow F \cdot b$ すなわち
射の族 $(F \cdot f)\_{\displaystyle \\_} = f\_{F\ \\_} = f\_{\displaystyle *} = f$ を
それぞれ与えることが分かる。

---

</div></details>

$\boldsymbol{C} \cong \boldsymbol{C}^{\mathbf{1}}$ により $F \cdot -$ の始域 $\boldsymbol{C}^{\mathbf{1}}$ を $\boldsymbol{C}$ とし
対角関手 $\varDelta \colon \boldsymbol{C} \longrightarrow \boldsymbol{C}^{\boldsymbol{J}}$ を定義する。

関手 $\varDelta \colon \boldsymbol{C} \longrightarrow \boldsymbol{C}^{\boldsymbol{J}}$ は関数 `const` の型

```haskell
const :: c -> (j -> c)
```

と類似していることが分かるだろう。
対象 $M \in \mathrm{Obj}(\boldsymbol{C}^{\boldsymbol{J}})$ は関手 $M \colon \boldsymbol{J} \longrightarrow \boldsymbol{C}$ である。

---

対角関手 $\varDelta \colon \boldsymbol{C} \longrightarrow \boldsymbol{C}^{\boldsymbol{J}}$ は $a,b \in \mathrm{Obj}(\boldsymbol{C})$ および
$\mathrm{Mor}(\boldsymbol{C}) \ni f \colon a \longrightarrow b$ とし、以下のように定まる。

$\varDelta\ a \in \mathrm{Obj}(\boldsymbol{C}^{\boldsymbol{J}})$ すなわち関手 $\varDelta\ a \colon \boldsymbol{J} \longrightarrow \boldsymbol{C}$ は
対象 $\\_ \in \mathrm{Obj}(\boldsymbol{J})$ を $(\varDelta\ a)\ \\_ = a$ に対応させ
射 $\\_ \in \mathrm{Mor}(\boldsymbol{J})$ を $(\varDelta\ a)\ \\_ = \mathrm{id}_{a}$ に対応させる。

$\varDelta\ f \in \mathrm{Mor}(\boldsymbol{C}^{\boldsymbol{J}})$ すなわち自然変換 $\varDelta\ f \colon \varDelta\ a \Longrightarrow \varDelta\ b$ は
対象 $\\_ \in \mathrm{Obj}(\boldsymbol{J})$ を射 $(\varDelta\ f)\_{\displaystyle \\_} = f$ に対応させる。

```haskell:対角関手
{-# LANGUAGE Rank2Types #-}
import Control.Category ((>>>))
--対象を関手に対応させる--
newtype Const a j = Const { getConst :: a }
instance Functor (Const a) where
    fmap _ = getConst >>> Const
--射を自然変換に対応させる--
class FunctorNT f where
    fmapNT :: (a -> b) -> (forall j. f a j -> f b j)
instance FunctorNT Const where
    fmapNT f = getConst >>> f >>> Const
```



# コンマ圏

$\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}, \boldsymbol{C}$ を圏とし、
関手 $L \colon \boldsymbol{A} \longrightarrow \boldsymbol{C}$ と 関手 $R \colon \boldsymbol{B} \longrightarrow \boldsymbol{C}$
に対してコンマ圏 $L \downarrow R$ を次のように定義する。

$a \in \mathrm{Obj}(\boldsymbol{A})$ と $b \in \mathrm{Obj}(\boldsymbol{B})$ と $h \in \mathrm{Mor}(\boldsymbol{C})$ の
組 $(a,b,h)$ を対象とし、$f \in \mathrm{Mor}(\boldsymbol{A})$ と $g \in \mathrm{Mor}(\boldsymbol{B})$ の
組 $(f,g)$ で $L\ f \ggg h' = h \ggg R\ g$ を満たすものを射とする。
![コンマ圏](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/268212/cb952d26-cbea-ed93-0a3a-18cf4c07f326.png)
$\mathrm{Obj}(L \downarrow R)\ni (a,b,h), (a',b',h')$ と
$\mathrm{Mor}(L \downarrow R)\ni (f,g) \colon (a,b,h) \longrightarrow (a',b',h')$
であり、上図の四角形が[__可換図式__](https://qiita.com/norkron/items/f90d851daf05a2efa567#可換図式)となる。

---

コンマ圏 $L \downarrow R$ を始域とする２つの関手と
それに関する自然変換を次のように定義する。

関手 $P_{\mathrm{L}} \colon L \downarrow R \longrightarrow \boldsymbol{A}$ と
関手 $P_{\mathrm{R}} \colon L \downarrow R \longrightarrow \boldsymbol{B}$ と
自然変換 $\tau \colon P_{\mathrm{L}} \cdot L \Longrightarrow P_{\mathrm{R}} \cdot R$ であり、
対象の対応 $P_{\mathrm{L}}\ (a,b,h) = a$ と射の対応 $P_{\mathrm{L}}\ (f,g) = f$
対象の対応 $P_{\mathrm{R}}\ (a,b,h) = b$ と射の対応 $P_{\mathrm{R}}\ (f,g) = g$
射の族 $\tau_{(a,b,h)} = h$ とそれぞれ定める。
![関手と自然変換](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/268212/82cd24e5-45fc-1e0b-ab84-6f2e2366feab.png)
コンマ圏が満たす条件 $L\ f \ggg h' = h \ggg R\ g$ によって、
上図の四角形が[__可換図式__](https://qiita.com/norkron/items/f90d851daf05a2efa567#可換図式)となり、$\tau$ は自然変換となる。

## 射の圏

[__コンマ圏__](#コンマ圏) $\mathrm{id}\_{\boldsymbol{C}} \downarrow \mathrm{id}\_{\boldsymbol{C}}$ を考える。
![射の圏](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/268212/7ab9b70f-7c88-ddd3-4f3f-b4d1b5f54cb8.png)
対象 $(a,b,h) = (\mathrm{dom}(h),\mathrm{cod}(h),h)$ だから
射 $h$ そのものが対象であると考えられる。

射 $(f,g) \colon (a,b,h) \longrightarrow (a',b',h')$ は
$h \ggg g = f \ggg h'$ を満たす。
![射の圏](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/268212/8cf1573b-d0f5-6da7-6f2f-50cac6ea3f05.png)
射 $h$ が対象で、上図を[__可換図式__](https://qiita.com/norkron/items/f90d851daf05a2efa567#可換図式)にするような
射の組 $(f,g) \colon h \longrightarrow h'$ が射である。

これを射(が対象)の圏[^Arr] $\mathrm{Arr}(\boldsymbol{C})$ と呼ぶ。

## ねじれた射の圏

[単集合](https://www.google.com/search?q=単集合) $\\{\*\\}$ を[__集合の圏__](https://qiita.com/norkron/items/f0de364cc980171b1db7#集合の圏) $\mathbf{Set}$ の対象と考え、
[__格上げ__](https://qiita.com/norkron/items/e55a39c22288955689f9#格上げ)により関手 $\\{*\\} \colon \mathbf{1} \longrightarrow \mathbf{Set}$ とみなす。

[__双関手__](https://qiita.com/norkron/items/f0de364cc980171b1db7#双関手) $\mathrm{Hom}\_{\boldsymbol{C}}(-,-) \colon \boldsymbol{C}^{\mathrm{op}}\times\boldsymbol{C} \longrightarrow \mathbf{Set}$
に対して[__コンマ圏__](#コンマ圏) $\\{*\\} \downarrow \mathrm{Hom}\_{\boldsymbol{C}}(-,-)$ を考える。
![ねじれた射の圏](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/268212/a0cbcbba-1c63-663c-c052-849a1ace2421.png)
対象 $(\*,(a^{\mathrm{op}},b),h) \cong (\mathrm{dom}(h),\mathrm{cod}(h),h)$ だから
射 $h$ そのものが対象であると考えられる。

$\mathrm{Hom}\_{\boldsymbol{C}}(f,g) = f \ggg - \ggg g$ であるから
射 $(\mathrm{id}\_{\displaystyle \*},(f^{\mathrm{op}},g)) \colon (\*,(a^{\mathrm{op}},b),h) \longrightarrow (\*,({a'}^{\mathrm{op}},b'),h')$ は
$f \ggg h \ggg g = h'$ を満たす。
![ねじれた射の圏](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/268212/24616f0e-4020-0b48-c21c-f8c94829b391.png)
射 $h$ が対象で、上図を[__可換図式__](https://qiita.com/norkron/items/f90d851daf05a2efa567#可換図式)にするような
射の組 $(f,g) \colon h \longrightarrow h'$ が射である。

これをねじれた射の圏[^Tw] $\mathrm{Tw}(\boldsymbol{C})$ と呼ぶ。



# 錐と余錐

関手 $M \colon \boldsymbol{J} \longrightarrow \boldsymbol{C}$ を関手の圏 $\boldsymbol{C}^{\boldsymbol{J}}$ の対象と考え、
[__格上げ__](https://qiita.com/norkron/items/e55a39c22288955689f9#格上げ)により関手 $M \colon \mathbf{1} \longrightarrow \boldsymbol{C}^{\boldsymbol{J}}$ とみなす。

この関手 $M$ と[__対角関手__](#対角関手) $\varDelta \colon \boldsymbol{C} \longrightarrow \boldsymbol{C}^{\boldsymbol{J}}$
に対して以下のような[__コンマ圏__](#コンマ圏)を考える。

## 錐の圏

[__コンマ圏__](#コンマ圏) $\varDelta \downarrow M$ を考える。
![錐の圏](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/268212/a51474b3-21ff-5611-6d21-bdbbd35fb6be.png)
対象 $(x,\*,\psi) \cong (\mathrm{dom}(\psi)\ \\_,\psi)$ だから
自然変換 $\psi$ そのものが対象であると考えられる。

この自然変換を錐 $\psi \colon \varDelta\ x \Longrightarrow M$ と呼ぶ。
すなわち[__コンマ圏__](#コンマ圏) $\varDelta \downarrow M$ は錐(が対象)の圏である。

---

錐 $\psi \colon \varDelta\ x \Longrightarrow M$ は次のように図示できる。
![錐](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/268212/ac8b53e0-e40e-300c-555f-9bb2d64c876e.png)
関手 $\varDelta\ x$ は全ての対象 $i \in \mathrm{Obj}(\boldsymbol{J})$ を
対象 $x \in \mathrm{Obj}(\boldsymbol{C})$ に対応させるため
射の族 $\psi_{i}$ の始域が１点に集中する。

## 余錐の圏

[__コンマ圏__](#コンマ圏) $M \downarrow \varDelta$ を考える。
![余錐の圏](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/268212/c2d824d0-5f5a-0d54-7eeb-811fee66904b.png)
対象 $(\*,x,\psi) \cong (\mathrm{cod}(\psi)\ \\_,\psi)$ だから
自然変換 $\psi$ そのものが対象であると考えられる。

この自然変換を余錐 $\psi \colon M \Longrightarrow \varDelta\ x$ と呼ぶ。
すなわち[__コンマ圏__](#コンマ圏) $M \downarrow \varDelta$ は余錐(が対象)の圏である。

---

余錐 $\psi \colon M \Longrightarrow \varDelta\ x$ は次のように図示できる。
![余錐](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/268212/e64ab32e-3a26-8755-1e76-70e22e92e9fc.png)
関手 $\varDelta\ x$ は全ての対象 $i \in \mathrm{Obj}(\boldsymbol{J})$ を
対象 $x \in \mathrm{Obj}(\boldsymbol{C})$ に対応させるため
射の族 $\psi_{i}$ の終域が１点に集中する。



# 楔と余楔

[__ねじれた射の圏__](#ねじれた射の圏) $\mathrm{Tw}(\boldsymbol{J})$ が始域な
関手 $P_{\mathrm{R}} \colon \mathrm{Tw}(\boldsymbol{J}) \longrightarrow \boldsymbol{J}^{\mathrm{op}}\times\boldsymbol{J}$ を
対象の対応 $P_{\mathrm{R}}\ h = (\mathrm{dom}(h)^{\mathrm{op}},\mathrm{cod}(h))$ と
射の対応 $P_{\mathrm{R}}\ (f,g) = (f^{\mathrm{op}},g)$ により定める。

$\mathrm{Obj}(\boldsymbol{J}^{\mathrm{op}}\times\boldsymbol{J}) \ni (a^{\mathrm{op}},b)$ を $T(a,b)$ に
$\mathrm{Mor}(\boldsymbol{J}^{\mathrm{op}}\times\boldsymbol{J}) \ni (f^{\mathrm{op}},g)$ を $T(f,g)$ に
対応させる双関手を $T \colon \boldsymbol{J}^{\mathrm{op}}\times\boldsymbol{J} \longrightarrow \boldsymbol{C}$ とし、
$P_{\mathrm{R}}$ との合成 $\overline{T} = P_{\mathrm{R}} \cdot T$ により
関手 $\overline{T} \colon \mathrm{Tw}(\boldsymbol{J}) \longrightarrow \boldsymbol{C}$ を定める。

---

対象 $\mathrm{Obj}(\mathrm{Tw}(\boldsymbol{J})) \ni h \colon a \longrightarrow b$ および
射 $\mathrm{Mor}(\mathrm{Tw}(\boldsymbol{J})) \ni (f, g)$ とすれば以下となる。

関手 $\overline{T} \colon \mathrm{Tw}(\boldsymbol{J}) \longrightarrow \boldsymbol{C}$ は
対象の対応 $\overline{T}\ h = T(a,b)$ と
射の対応 $\overline{T}\ (f,g) = T(f,g)$ である。

関手 $\overline{T^{\mathrm{op}}}^{\mathrm{op}} \colon \mathrm{Tw}(\boldsymbol{J}^{\mathrm{op}})^{\mathrm{op}} \longrightarrow \boldsymbol{C}$ は
対象の対応 $\overline{T^{\mathrm{op}}}^{\mathrm{op}}\ h = T(b,a)$ と
射の対応 $\overline{T^{\mathrm{op}}}^{\mathrm{op}}\ (f,g) = T(f,g)$ である。

---

関手 $\overline{T} \colon \mathrm{Tw}(\boldsymbol{J}) \longrightarrow \boldsymbol{C}$ を
関手の圏 $\boldsymbol{C}^{\mathrm{Tw}(\boldsymbol{J})}$ の対象と考えて
[__格上げ__](https://qiita.com/norkron/items/e55a39c22288955689f9#格上げ)により関手 $\overline{T} \colon \mathbf{1} \longrightarrow \boldsymbol{C}^{\mathrm{Tw}(\boldsymbol{J})}$ とみなす。
同様に関手 $\overline{T^{\mathrm{op}}}^{\mathrm{op}} \colon \mathbf{1} \longrightarrow \boldsymbol{C}^{\mathrm{Tw}(\boldsymbol{J}^{\mathrm{op}})^{\mathrm{op}}}$ とみなす。

この関手 $\overline{T}, \overline{T^{\mathrm{op}}}^{\mathrm{op}}$ と[__対角関手__](#対角関手) $\varDelta$
に対して以下のような[__コンマ圏__](#コンマ圏)を考える。

## 楔の圏

[__コンマ圏__](#コンマ圏) $\varDelta \downarrow \overline{T}$ を考える。
![楔の圏](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/268212/795bbef5-fe1a-8a9e-83a0-42154ea4e854.png)
対象 $(x,\*,\psi) \cong (\mathrm{dom}(\psi)\ \\_,\psi)$ だから
自然変換 $\psi$ そのものが対象であると考えられる。

この自然変換を楔 $\psi \colon \varDelta\ x \Longrightarrow \overline{T}$ と呼ぶ。
すなわち[__コンマ圏__](#コンマ圏) $\varDelta \downarrow \overline{T}$ は楔(が対象)の圏である。

---

任意の射 $\mathrm{Mor}(\boldsymbol{J}) \ni h \colon a \longrightarrow b$ に対して
$\mathrm{Mor}(\mathrm{Tw}(\boldsymbol{J})) \ni (\mathrm{id}\_{a},h), (h,\mathrm{id}\_{b})$ が存在するため、
楔 $\psi \colon \varDelta\ x \Longrightarrow \overline{T}$ は次の図式を可換とする。
![楔](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/268212/c743a222-6995-d312-9c9a-3f368a7d1b82.png)
つまり、$\psi\_{\mathrm{id}\_{-}}$ は射の族 $\psi\_{\mathrm{id}\_{a}} \colon x \longrightarrow T(a,a)$ で、
任意の射 $\mathrm{Mor}(\boldsymbol{J}) \ni h \colon a \longrightarrow b$ に対して
$\psi\_{\mathrm{id}\_{b}} \ggg T(h,\mathrm{id}\_{b}) = \psi\_{\mathrm{id}\_{a}} \ggg T(\mathrm{id}\_{a},h)$ が成り立つ。

## 余楔の圏

[__コンマ圏__](#コンマ圏) $\overline{T^{\mathrm{op}}}^{\mathrm{op}} \downarrow \varDelta$ を考える。
![余楔の圏](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/268212/68ab87e6-bdb3-c079-e304-3142e2bb1429.png)
対象 $(\*,x,\psi) \cong (\mathrm{cod}(\psi)\ \\_,\psi)$ だから
自然変換 $\psi$ そのものが対象であると考えられる。

この自然変換を余楔 $\psi \colon \overline{T^{\mathrm{op}}}^{\mathrm{op}} \Longrightarrow \varDelta\ x$ と呼ぶ。
すなわち[__コンマ圏__](#コンマ圏) $\overline{T^{\mathrm{op}}}^{\mathrm{op}} \downarrow \varDelta$ は余楔(が対象)の圏である。

---

任意の射 $\mathrm{Mor}(\boldsymbol{J}) \ni h \colon a \longrightarrow b$ に対して
$\mathrm{Mor}(\mathrm{Tw}(\boldsymbol{J}^{\mathrm{op}})^{\mathrm{op}}) \ni (h,\mathrm{id}\_{a}), (\mathrm{id}\_{b},h)$ が存在するため、
余楔 $\psi \colon \overline{T^{\mathrm{op}}}^{\mathrm{op}} \Longrightarrow \varDelta\ x$ は次の図式を可換とする。
![余楔](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/268212/88128996-a62f-a42f-b12b-25d780a02419.png)
つまり、$\psi\_{\mathrm{id}\_{-}}$ は射の族 $\psi\_{\mathrm{id}\_{a}} \colon T(a,a) \longrightarrow x$ で、
任意の射 $\mathrm{Mor}(\boldsymbol{J}) \ni h \colon a \longrightarrow b$ に対して
$T(\mathrm{id}\_{b},h) \ggg \psi\_{\mathrm{id}\_{b}} = T(h,\mathrm{id}\_{a}) \ggg \psi\_{\mathrm{id}\_{a}}$ が成り立つ。



# 柱と余柱

[__対角関手__](#対角関手) $\varDelta \colon \boldsymbol{C} \longrightarrow \boldsymbol{C}^{\boldsymbol{J}}$ とは、
一意に定まる関手を $F \colon \boldsymbol{J} \longrightarrow \mathbf{1}$ として、
[__双関手__](https://qiita.com/norkron/items/1cc1b593e04184f0fe98#双関手) $- \cdot - \colon \mathbf{1}^{\boldsymbol{J}} \times \boldsymbol{C}^{\mathbf{1}} \longrightarrow \boldsymbol{C}^{\boldsymbol{J}}$ の
[__左セクション__](https://qiita.com/norkron/items/1cc1b593e04184f0fe98#左セクション) $F \cdot - \colon \boldsymbol{C}^{\mathbf{1}} \longrightarrow \boldsymbol{C}^{\boldsymbol{J}}$ である。

関手を $F \colon \boldsymbol{J} \longrightarrow \boldsymbol{D}$ と一般化して、
[__双関手__](https://qiita.com/norkron/items/1cc1b593e04184f0fe98#双関手) $- \cdot - \colon \boldsymbol{D}^{\boldsymbol{J}} \times \boldsymbol{C}^{\boldsymbol{D}} \longrightarrow \boldsymbol{C}^{\boldsymbol{J}}$ の
[__左セクション__](https://qiita.com/norkron/items/1cc1b593e04184f0fe98#左セクション) $F \cdot - \colon \boldsymbol{C}^{\boldsymbol{D}} \longrightarrow \boldsymbol{C}^{\boldsymbol{J}}$ を考えよう。

---

関手 $M \colon \boldsymbol{J} \longrightarrow \boldsymbol{C}$ を関手の圏 $\boldsymbol{C}^{\boldsymbol{J}}$ の対象と考え、
[__格上げ__](https://qiita.com/norkron/items/e55a39c22288955689f9#格上げ)により関手 $M \colon \mathbf{1} \longrightarrow \boldsymbol{C}^{\boldsymbol{J}}$ とみなす。

この関手 $M$ と関手 $F \cdot - \colon \boldsymbol{C}^{\boldsymbol{D}} \longrightarrow \boldsymbol{C}^{\boldsymbol{J}}$
に対して以下のような[__コンマ圏__](#コンマ圏)を考える。

[__錐と余錐__](#錐と余錐)の一般化が柱と余柱である[^Cyl]。

## 柱の圏

[__コンマ圏__](#コンマ圏) $F \cdot - \downarrow M$ を考える。
![柱の圏](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/268212/056de2f8-bb98-41e1-a787-aec15b77addf.png)
対象 $(X,\*,\psi) \cong (X,\psi)$ だから
関手と自然変換の組 $(X,\psi)$ が対象であると考えられる。

この組を柱 $(X,\psi)$ と呼ぶ。$\psi \colon F \cdot X \Longrightarrow M$ である。
すなわち[__コンマ圏__](#コンマ圏) $F \cdot - \downarrow M$ は柱(が対象)の圏である。

---

自然変換 $\psi \colon F \cdot X \Longrightarrow M$ は次のように図示できる。
![柱](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/268212/11cd2920-3758-13c0-9108-1d9b65a7b1c3.png)
[__錐の圏__](#錐の圏)とは異なり、対象 $i \in \mathrm{Obj}(\boldsymbol{J})$ として、
射の族 $\psi_{i}$ の始域も終域も１点に集中しない。

## 余柱の圏

[__コンマ圏__](#コンマ圏) $M \downarrow F \cdot -$ を考える。
![余柱の圏](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/268212/3152543f-0ecd-293a-fa31-4cdd19657671.png)
対象 $(\*,X,\psi) \cong (X,\psi)$ だから
関手と自然変換の組 $(X,\psi)$ が対象であると考えられる。

この組を余柱 $(X,\psi)$ と呼ぶ。$\psi \colon M \Longrightarrow F \cdot X$ である。
すなわち[__コンマ圏__](#コンマ圏) $M \downarrow F \cdot -$ は余柱(が対象)の圏である。

---

自然変換 $\psi \colon M \Longrightarrow F \cdot X$ は次のように図示できる。
![余柱](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/268212/b512a990-bcbd-f00f-fdbb-b3f3abd7bac2.png)
[__余錐の圏__](#余錐の圏)とは異なり、対象 $i \in \mathrm{Obj}(\boldsymbol{J})$ として、
射の族 $\psi_{i}$ の始域も終域も１点に集中しない。


# 普遍性

終対象と始対象の普遍性が
おそらく例として最も簡単だろう。

「一意に存在する」と言う
普遍性の概念に慣れるため、
[__随伴関手__](https://qiita.com/norkron/items/1cc1b593e04184f0fe98#随伴関手)を構成する[全単射](https://www.google.com/search?q=全単射)を考えて
一意性の雰囲気を感じてみよう。

## 終対象

１点離散圏を $\mathbf{1}$ として、
一意に定まる関手 $! \colon \boldsymbol{C} \longrightarrow \mathbf{1}$ の右[__随伴関手__](https://qiita.com/norkron/items/1cc1b593e04184f0fe98#随伴関手) $1 \colon \mathbf{1} \longrightarrow \boldsymbol{C}$
![終対象](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/268212/e4dfcaef-2880-aabe-eb99-455f57d8aaa8.png)
すなわち対象 $\mathrm{Obj}(\boldsymbol{C}) \ni 1 = 1\ *$ を終対象 $1$ と呼ぶ。

随伴関係 $! \dashv 1$ すなわち
$\mathrm{Hom}\_{\mathbf{1}}(!\ -,-) \cong \mathrm{Hom}\_{\boldsymbol{C}}(-,1\ -)$ が
成り立つとき、次の自然な同型射が存在する。
$\varphi\_{(c,\*)} \colon \mathrm{Hom}\_{\mathbf{1}}(\*,\*) \longrightarrow \mathrm{Hom}\_{\boldsymbol{C}}(c,1)$ 
$\psi\_{(c,\*)} \colon \mathrm{Hom}\_{\boldsymbol{C}}(c,1) \longrightarrow \mathrm{Hom}\_{\mathbf{1}}(\*,\*)$

任意の対象 $c \in \mathrm{Obj}(\boldsymbol{C})$ に対して
射 $\mathrm{Mor}(\boldsymbol{C}) \ni g \colon c \longrightarrow 1$ が、
元の対応 $\varphi\_{(c,\*)} \colon \mathrm{id}\_{\displaystyle \*} \longmapsto g$ により、
一意に存在することが分かる。

---

終対象とは以下を満たす対象 $1 \in \mathrm{Obj}(\boldsymbol{C})$ である。

任意の対象 $c \in \mathrm{Obj}(\boldsymbol{C})$ に対して
射 $\mathrm{Mor}(\boldsymbol{C}) \ni g \colon c \longrightarrow 1$ が一意に存在する。

## 始対象

１点離散圏を $\mathbf{1}$ として、
一意に定まる関手 $! \colon \boldsymbol{D} \longrightarrow \mathbf{1}$ の左[__随伴関手__](https://qiita.com/norkron/items/1cc1b593e04184f0fe98#随伴関手) $0 \colon \mathbf{1} \longrightarrow \boldsymbol{D}$
![始対象](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/268212/5472a7d9-313e-809b-581f-6e02625fb6eb.png)
すなわち対象 $\mathrm{Obj}(\boldsymbol{D}) \ni 0 = 0\ *$ を始対象 $0$ と呼ぶ。

随伴関係 $0 \dashv~!$ すなわち
$\mathrm{Hom}\_{\boldsymbol{D}}(0\ -,-) \cong \mathrm{Hom}\_{\mathbf{1}}(-,!\ -)$ が
成り立つとき、次の自然な同型射が存在する。
$\varphi\_{(\*,d)} \colon \mathrm{Hom}\_{\boldsymbol{D}}(0,d) \longrightarrow \mathrm{Hom}\_{\mathbf{1}}(\*,\*)$ 
$\psi\_{(\*,d)} \colon \mathrm{Hom}\_{\mathbf{1}}(\*,\*) \longrightarrow \mathrm{Hom}\_{\boldsymbol{D}}(0,d)$

任意の対象 $d \in \mathrm{Obj}(\boldsymbol{D})$ に対して
射 $\mathrm{Mor}(\boldsymbol{D}) \ni f \colon 0 \longrightarrow d$ が、
元の対応 $\psi\_{(\*,d)} \colon \mathrm{id}\_{\displaystyle \*} \longmapsto f$ により、
一意に存在することが分かる。

---

始対象とは以下を満たす対象 $0 \in \mathrm{Obj}(\boldsymbol{D})$ である。

任意の対象 $d \in \mathrm{Obj}(\boldsymbol{D})$ に対して
射 $\mathrm{Mor}(\boldsymbol{D}) \ni f \colon 0 \longrightarrow d$ が一意に存在する。



# 普遍射

[__格上げ__](https://qiita.com/norkron/items/e55a39c22288955689f9#格上げ)により
対象 $c \in \mathrm{Obj}(\boldsymbol{C})$ を関手 $c \colon \mathbf{1} \longrightarrow \boldsymbol{C}$ とみなし、
対象 $d \in \mathrm{Obj}(\boldsymbol{D})$ を関手 $d \colon \mathbf{1} \longrightarrow \boldsymbol{D}$ とみなす。

ある対象に対する[__コンマ圏__](#コンマ圏)の
[__終対象__](#終対象)や[__始対象__](#始対象)が普遍射である。

また、すべての対象に対する普遍射を
集めることで[__随伴関手__](https://qiita.com/norkron/items/1cc1b593e04184f0fe98#随伴関手)を定められる。

## 余単位

ある $d \in \mathrm{Obj}(\boldsymbol{D})$ に対して定まる対象と射を
それぞれ $G\ d \in \mathrm{Obj}(\boldsymbol{C})$ と $\varepsilon_{d} \in \mathrm{Mor}(\boldsymbol{D})$ とする。

関手 $F \colon \boldsymbol{C} \longrightarrow \boldsymbol{D}$ と対象 $d \colon \mathbf{1} \longrightarrow \boldsymbol{D}$ に対して、
[__コンマ圏__](#コンマ圏) $F \downarrow d$ の[__終対象__](#終対象) $(G\ d,*,\varepsilon_{d})$
![随伴の余単位](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/268212/7d6877f5-f148-4234-a5be-43047576a501.png)
すなわち $(G\ d,\varepsilon_{d})$ を $F$ から $d$ への普遍射と呼ぶ。

各対象 $d \in \mathrm{Obj}(\boldsymbol{D})$ に対して普遍射 $(G\ d,\varepsilon_{d})$ が存在するとき、
<details><summary>関手 $G \colon \boldsymbol{D} \longrightarrow \boldsymbol{C}$ と自然変換 $\varepsilon \colon G \cdot F \Longrightarrow \mathrm{id}_{\boldsymbol{D}}$ が定義できて、</summary><div>

---

$G$ による射 $q \colon d \longrightarrow d'$ の対応を考える。

まずコンマ圏 $F \downarrow d$ の[__終対象__](#終対象) $(G\ d,\*,\varepsilon_{d})$
すなわち普遍射 $\varepsilon_{d} \colon F\ (G\ d) \longrightarrow d$ を用いて
合成射 $\varepsilon_{d} \ggg q \colon F\ (G\ d) \longrightarrow d'$ すなわち
コンマ圏 $F \downarrow d'$ の対象 $(G\ d,\*,\varepsilon\_{d} \ggg q)$ を用意する。
![右随伴関手](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/268212/1067b823-9e62-9444-9b7e-6b237ae05202.png)
コンマ圏 $F \downarrow d'$ には[__終対象__](#終対象) $(G\ d',*,\varepsilon_{d'})$ が
存在するため、射 $g \colon G\ d \longrightarrow G\ d'$ すなわち
コンマ圏 $F \downarrow d'$ の射 $(g,\mathrm{id}\_{\displaystyle \*})$ が一意に存在する。

これにより射の対応 $G\ q = g$ を定める。

また、コンマ圏 $F \downarrow d'$ の射 $(g,\mathrm{id}\_{\displaystyle *})$ が満たす条件は
$(G \cdot F)\ q \ggg \varepsilon\_{d'} = \varepsilon\_{d} \ggg \mathrm{id}\_{\boldsymbol{D}}\ q$ となっており、
自然変換 $\varepsilon \colon G \cdot F \Longrightarrow \mathrm{id}\_{\boldsymbol{D}}$ が満たす条件と一致する。

---

</div></details><details><summary>随伴関係 $F \dashv G$ すなわち次式が成り立つ。</summary><div>

---

写像 $\psi_{(c,d)} \colon \mathrm{Hom}\_{\boldsymbol{C}}(c,G\ d) \longrightarrow \mathrm{Hom}\_{\boldsymbol{D}}(F\ c,d)$ を
元の対応 $\psi_{(c,d)} \colon g \longmapsto F\ g \ggg \varepsilon_{d}$ で定める。

このとき

```math
\begin{align}
(\mathrm{Hom}_{\boldsymbol{C}}(p,G\ q) \ggg \psi_{(c',d')})(g)
&=
F\ (p \ggg g \ggg G\ q) \ggg \varepsilon_{d'}
\\
&=
F\ p \ggg F\ g \ggg (G \cdot F)\ q \ggg \varepsilon_{d'}
\\
&=
F\ p \ggg F\ g \ggg \varepsilon_{d} \ggg \mathrm{id}_{\boldsymbol{D}}\ q
\\[2mm]
(\psi_{(c,d)} \ggg \mathrm{Hom}_{\boldsymbol{D}}(F\ p,q))(g)
&=
F\ p \ggg (F\ g \ggg \varepsilon_{d}) \ggg q
\\
&=
F\ p \ggg F\ g \ggg \varepsilon_{d} \ggg q
\\
&=
F\ p \ggg F\ g \ggg \varepsilon_{d} \ggg \mathrm{id}_{\boldsymbol{D}}\ q
\end{align}
```

すなわち
$\mathrm{Hom}\_{\boldsymbol{C}}(p,G\ q) \ggg \psi_{(c',d')} = \psi_{(c,d)} \ggg \mathrm{Hom}\_{\boldsymbol{D}}(F\ p,q)$
が成り立つから $\psi$ は
自然変換 $\psi \colon \mathrm{Hom}\_{\boldsymbol{C}}(-,G\ -) \Longrightarrow \mathrm{Hom}\_{\boldsymbol{D}}(F\ -,-)$ である。

---

写像 $\varphi_{(c,d)} \colon \mathrm{Hom}\_{\boldsymbol{D}}(F\ c,d) \longrightarrow \mathrm{Hom}\_{\boldsymbol{C}}(c,G\ d)$ を
考えて写像 $\psi_{(c,d)}$ が同型射であることを示そう。

任意の射 $f \in \mathrm{Hom}\_{\boldsymbol{D}}(F\ c,d)$ に対して、
組 $(c,*,f)$ はコンマ圏 $F \downarrow d$ の対象であるから
コンマ圏 $F \downarrow d$ の射 $(g,\mathrm{id}\_{\displaystyle *})$ が一意に存在する。
つまり、$F\ g \ggg \varepsilon_{d} = f$ を満たす射 $g$ が一意に存在する。

これにより元の対応 $\varphi_{(c,d)} \colon f \longmapsto g$ を定める。

このとき

```math
\begin{align}
(\varphi_{(c,d)} \ggg \psi_{(c,d)})(f)
&=
F\ \varphi_{(c,d)}(f) \ggg \varepsilon_{d}
\\
&=
F\ g \ggg \varepsilon_{d} = f
\\[2mm]
(\psi_{(c,d)} \ggg \varphi_{(c,d)})(g)
&=
\varphi_{(c,d)}(F\ g \ggg \varepsilon_{d})
\\
&= g
\end{align}
```

であるから、$\psi_{(c,d)}$ は自然な同型射である。

---

</div></details>
$\mathrm{Hom}\_{\boldsymbol{D}}(F\ -,-) \cong \mathrm{Hom}\_{\boldsymbol{C}}(-,G\ -)$

## 単位

ある $c \in \mathrm{Obj}(\boldsymbol{C})$ に対して定まる対象と射を
それぞれ $F\ c \in \mathrm{Obj}(\boldsymbol{D})$ と $\eta_{c} \in \mathrm{Mor}(\boldsymbol{C})$ とする。

対象 $c \colon \mathbf{1} \longrightarrow \boldsymbol{C}$ と関手 $G \colon \boldsymbol{D} \longrightarrow \boldsymbol{C}$ に対して、
[__コンマ圏__](#コンマ圏) $c \downarrow G$ の[__始対象__](#始対象) $(*,F\ c,\eta_{c})$
![随伴の単位](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/268212/0e99ac69-7cd6-81af-4bae-fe9036834450.png)
すなわち $(F\ c,\eta_{c})$ を $c$ から $G$ への普遍射と呼ぶ。

各対象 $c \in \mathrm{Obj}(\boldsymbol{C})$ に対して普遍射 $(F\ c,\eta_{c})$ が存在するとき、
<details><summary>関手 $F \colon \boldsymbol{C} \longrightarrow \boldsymbol{D}$ と自然変換 $\eta \colon \mathrm{id}_{\boldsymbol{C}} \Longrightarrow F \cdot G$ が定義できて、</summary><div>

---

$F$ による射 $p \colon c' \longrightarrow c$ の対応を考える。

まずコンマ圏 $c \downarrow G$ の[__始対象__](#始対象) $(\*,F\ c,\eta\_{c})$
すなわち普遍射 $\eta\_{c} \colon c \longrightarrow G\ (F\ c)$ を用いて
合成射 $p \ggg \eta_{c} \colon c' \longrightarrow G\ (F\ c)$ すなわち
コンマ圏 $c' \downarrow G$ の対象 $(\*,F\ c,p \ggg \eta\_{c})$ を用意する。
![左随伴関手](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/268212/592e4eb2-9504-8ca7-78c2-25b1922ee68b.png)
コンマ圏 $c' \downarrow G$ には[__始対象__](#始対象) $(\*,F\ c',\eta_{c'})$ が
存在するため、射 $f \colon F\ c' \longrightarrow F\ c$ すなわち
コンマ圏 $c' \downarrow G$ の射 $(\mathrm{id}\_{\displaystyle *},f)$ が一意に存在する。

これにより射の対応 $F\ p = f$ を定める。

また、コンマ圏 $c' \downarrow G$ の射 $(\mathrm{id}\_{\displaystyle \*},f)$ が満たす条件は
$\mathrm{id}\_{\boldsymbol{C}}\ p \ggg \eta_{c} = \eta_{c'} \ggg (F \cdot G)\ p$ となっており、
自然変換 $\eta \colon \mathrm{id}_{\boldsymbol{C}} \Longrightarrow F \cdot G$ が満たす条件と一致する。

---

</div></details><details><summary>随伴関係 $F \dashv G$ すなわち次式が成り立つ。</summary><div>

---

写像 $\varphi_{(c,d)} \colon \mathrm{Hom}\_{\boldsymbol{D}}(F\ c,d) \longrightarrow \mathrm{Hom}\_{\boldsymbol{C}}(c,G\ d)$ を
元の対応 $\varphi_{(c,d)} \colon f \longmapsto \eta_{c} \ggg G\ f$ で定める。

このとき

```math
\begin{align}
(\mathrm{Hom}_{\boldsymbol{D}}(F\ p,q) \ggg \varphi_{(c',d')})(f)
&=
\eta_{c'} \ggg G\ (F\ p \ggg f \ggg q)
\\
&=
\eta_{c'} \ggg (F \cdot G)\ p \ggg G\ f \ggg G\ q
\\
&=
\mathrm{id}_{\boldsymbol{C}}\ p \ggg \eta_{c} \ggg G\ f \ggg G\ q
\\[2mm]
(\varphi_{(c,d)} \ggg \mathrm{Hom}_{\boldsymbol{C}}(p,G\ q))(f)
&=
p \ggg (\eta_{c} \ggg G\ f) \ggg G\ q
\\
&=
p \ggg \eta_{c} \ggg G\ f \ggg G\ q
\\
&=
\mathrm{id}_{\boldsymbol{C}}\ p \ggg \eta_{c} \ggg G\ f \ggg G\ q
\end{align}
```

すなわち
$\mathrm{Hom}\_{\boldsymbol{D}}(F\ p,q) \ggg \varphi_{(c',d')} = \varphi_{(c,d)} \ggg \mathrm{Hom}\_{\boldsymbol{C}}(p,G\ q)$
が成り立つから $\varphi$ は
自然変換 $\varphi \colon \mathrm{Hom}\_{\boldsymbol{D}}(F\ -,-) \Longrightarrow \mathrm{Hom}\_{\boldsymbol{C}}(-,G\ -)$ である。

---

写像 $\psi_{(c,d)} \colon \mathrm{Hom}\_{\boldsymbol{C}}(c,G\ d) \longrightarrow \mathrm{Hom}\_{\boldsymbol{D}}(F\ c,d)$ を
考えて写像 $\varphi_{(c,d)}$ が同型射であることを示そう。

任意の射 $g \in \mathrm{Hom}\_{\boldsymbol{C}}(c,G\ d)$ に対して、
組 $(*,d,g)$ はコンマ圏 $c \downarrow G$ の対象であるから
コンマ圏 $c \downarrow G$ の射 $(\mathrm{id}\_{\displaystyle *},f)$ が一意に存在する。
つまり、$\eta_{c} \ggg G\ f = g$ を満たす射 $f$ が一意に存在する。

これにより元の対応 $\psi_{(c,d)} \colon g \longmapsto f$ を定める。

このとき

```math
\begin{align}
(\varphi_{(c,d)} \ggg \psi_{(c,d)})(f)
&=
\psi_{(c,d)}(\eta_{c} \ggg G\ f)
\\
&= f
\\[2mm]
(\psi_{(c,d)} \ggg \varphi_{(c,d)})(g)
&=
\eta_{c} \ggg G\ \psi_{(c,d)}(g)
\\
&=
\eta_{c} \ggg G\ f = g
\end{align}
```

であるから、$\varphi_{(c,d)}$ は自然な同型射である。

---

</div></details>
$\mathrm{Hom}\_{\boldsymbol{D}}(F\ -,-) \cong \mathrm{Hom}\_{\boldsymbol{C}}(-,G\ -)$



# テンソル関手

次の[__Hom 関手__](https://qiita.com/norkron/items/f0de364cc980171b1db7#hom-関手)
関手 $\mathrm{Hom}\_{\boldsymbol{C}}^{\mathrm{op}}(-,c) \colon \boldsymbol{C} \longrightarrow \mathbf{Set}^{\mathrm{op}}$ と
関手 $\mathrm{Hom}\_{\boldsymbol{C}}(b,-) \colon \boldsymbol{C} \longrightarrow \mathbf{Set}$ に関して
[__普遍射__](#普遍射)および[__随伴関手__](https://qiita.com/norkron/items/1cc1b593e04184f0fe98#随伴関手)を考える。

[__エンドとして__](#エンドとして)の[__右カン拡張__](#右カン拡張)や
[__コエンドとして__](#コエンドとして)の[__左カン拡張__](#左カン拡張)を
考える際に以下の概念が必要となる。

## 余テンソル対象

[__コンマ圏__](#コンマ圏) $\mathrm{Hom}\_{\boldsymbol{C}}^{\mathrm{op}}(-,c) \downarrow B^{\mathrm{op}}$ の[__終対象__](#終対象) $(B \pitchfork c,*,\varepsilon_{B^{\mathrm{op}}})$
![余テンソル対象](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/268212/1f63b708-718f-45af-9174-f02c30ecab1b.png)
すなわち $(B \pitchfork c,\varepsilon_{B^{\mathrm{op}}})$ は $\mathrm{Hom}\_{\boldsymbol{C}}^{\mathrm{op}}(-,c)$ から $B^{\mathrm{op}}$ への普遍射であり、
余テンソル対象 $B \pitchfork c$ と呼ぶ。

各対象 $B^{\mathrm{op}} \in \mathrm{Obj}(\mathbf{Set}^{\mathrm{op}})$ に対して普遍射 $(B \pitchfork c,\varepsilon_{B^{\mathrm{op}}})$
が存在するとき、関手 $- \pitchfork c \colon \mathbf{Set}^{\mathrm{op}} \longrightarrow \boldsymbol{C}$ と
自然変換 $\varepsilon \colon \mathrm{Hom}\_{\boldsymbol{C}}^{\mathrm{op}}(- \pitchfork c,c) \Longrightarrow \mathrm{id}_{\mathbf{Set}^{\mathrm{op}}}$ が定義できて、
随伴関係 $\mathrm{Hom}\_{\boldsymbol{C}}^{\mathrm{op}}(-,c) \dashv - \pitchfork c$ すなわち次式が成り立つ。

$\mathrm{Hom}\_{\mathbf{Set}^{\mathrm{op}}}(\mathrm{Hom}\_{\boldsymbol{C}}^{\mathrm{op}}(-,c),-) \cong \mathrm{Hom}\_{\boldsymbol{C}}(-,- \pitchfork c)$

---

各対象 $c \in \mathrm{Obj}(\boldsymbol{C})$ に対しても余テンソル対象 $B \pitchfork c$
が存在するとき、双関手 $- \pitchfork - \colon \mathbf{Set}^{\mathrm{op}} \times \boldsymbol{C} \longrightarrow \boldsymbol{C}$ が定まり
射の族 $\psi\_{(x,B,c)} \colon \mathrm{Hom}\_{\boldsymbol{C}}(x,B \pitchfork c) \longrightarrow \mathrm{Hom}\_{\mathbf{Set}}(B,\mathrm{Hom}\_{\boldsymbol{C}}(x,c))$
により[__自然同型__](https://qiita.com/norkron/items/1cc1b593e04184f0fe98#自然同型) $\psi$ を定義することができる[^工事中]。

$\mathrm{Mor}(\boldsymbol{C}) \ni g \colon x \longrightarrow B \pitchfork c$ と
$\mathrm{Mor}(\mathbf{Set}) \ni f \colon B \longrightarrow \mathrm{Hom}\_{\boldsymbol{C}}(x,c)$ であり、
射の族 $\psi\_{(x,B,c)}$ は関数 `flip` の型

```haskell
flip :: (x -> (b -> c)) -> (b -> (x -> c))
```

と類似していることが分かるだろう。

## テンソル対象

[__コンマ圏__](#コンマ圏) $A \downarrow \mathrm{Hom}\_{\boldsymbol{C}}(b,-)$ の[__始対象__](#始対象) $(*,A \odot b,\eta_{A})$
![テンソル対象](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/268212/02fa119e-7ac1-41fc-d2b2-e890ad67faa3.png)
すなわち $(A \odot b,\eta_{A})$ は $A$ から $\mathrm{Hom}\_{\boldsymbol{C}}(b,-)$ への普遍射であり、
テンソル対象 $A \odot b$ と呼ぶ。

各対象 $A \in \mathrm{Obj}(\mathbf{Set})$ に対して普遍射 $(A \odot b,\eta_{A})$
が存在するとき、関手 $- \odot b \colon \mathbf{Set} \longrightarrow \boldsymbol{C}$ と
自然変換 $\eta \colon \mathrm{id}_{\mathbf{Set}} \Longrightarrow \mathrm{Hom}\_{\boldsymbol{C}}(b,- \odot b)$ が定義できて、
随伴関係 $- \odot b \dashv \mathrm{Hom}\_{\boldsymbol{C}}(b,-)$ すなわち次式が成り立つ。

$\mathrm{Hom}\_{\boldsymbol{C}}(- \odot b,-) \cong \mathrm{Hom}\_{\mathbf{Set}}(-,\mathrm{Hom}\_{\boldsymbol{C}}(b,-))$

---

各対象 $b \in \mathrm{Obj}(\boldsymbol{C})$ に対してもテンソル対象 $A \odot b$
が存在するとき、双関手 $- \odot - \colon \mathbf{Set} \times \boldsymbol{C} \longrightarrow \boldsymbol{C}$ が定まり
射の族 $\varphi\_{(A,b,x)} \colon \mathrm{Hom}\_{\boldsymbol{C}}(A \odot b,x) \longrightarrow \mathrm{Hom}\_{\mathbf{Set}}(A,\mathrm{Hom}\_{\boldsymbol{C}}(b,x))$
により[__自然同型__](https://qiita.com/norkron/items/1cc1b593e04184f0fe98#自然同型) $\varphi$ を定義することができる[^工事中]。

$\mathrm{Mor}(\boldsymbol{C}) \ni f \colon A \odot b \longrightarrow x$ と
$\mathrm{Mor}(\mathbf{Set}) \ni g \colon A \longrightarrow \mathrm{Hom}\_{\boldsymbol{C}}(b,x)$ であり、
射の族 $\varphi\_{(A,b,x)}$ は関数 `curry` の型

```haskell
curry :: ((a, b) -> x) -> (a -> (b -> x))
```

と類似していることが分かるだろう。



# 極限と余極限

[__極限と余極限__](https://qiita.com/norkron/items/f90d851daf05a2efa567#極限と余極限)で見た概念を
関手や自然変換を用いて定義する。

[__錐の圏__](#錐の圏)の[__終対象__](#終対象)が極限であり、
[__余錐の圏__](#余錐の圏)の[__始対象__](#始対象)が余極限である。

## 極限

[__錐の圏__](#錐の圏) $\varDelta \downarrow M$ の[__終対象__](#終対象) $(\mathrm{lim}\_{\boldsymbol{J}}M,*,\varepsilon_{M})$
![極限](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/268212/8e58dde0-b68d-27e6-21c3-cbdf708a6f6f.png)

すなわち $(\mathrm{lim}\_{\boldsymbol{J}}M,\varepsilon_{M})$ は $\varDelta$ から $M$ への普遍射であり、
これを関手 $M \colon \boldsymbol{J} \longrightarrow \boldsymbol{C}$ の極限 $\mathrm{lim}\_{\boldsymbol{J}}M$ と呼ぶ。

各対象 $M \in \mathrm{Obj}(\boldsymbol{C}^{\boldsymbol{J}})$ に対して普遍射 $(\mathrm{lim}\_{\boldsymbol{J}}M,\varepsilon_{M})$
が存在するとき、関手 $\mathrm{lim}\_{\boldsymbol{J}} \colon \boldsymbol{C}^{\boldsymbol{J}} \longrightarrow \boldsymbol{C}$ と
自然変換 $\varepsilon \colon \mathrm{lim}\_{\boldsymbol{J}} \cdot \varDelta \Longrightarrow \mathrm{id}_{\boldsymbol{C}^{\boldsymbol{J}}}$ が定義できて、
随伴関係 $\varDelta \dashv \mathrm{lim}\_{\boldsymbol{J}}$ すなわち次式が成り立つ。

$\mathrm{Hom}\_{\boldsymbol{C}^{\boldsymbol{J}}}(\varDelta\ -,-) \cong \mathrm{Hom}\_{\boldsymbol{C}}(-,\mathrm{lim}\_{\boldsymbol{J}}\,-)$

---

[__圏の平方__](#圏の平方)にて定義を与えた関手 $(a,b) \colon \mathbf{2} \longrightarrow \boldsymbol{C}$ の
極限 $\mathrm{lim}\_{\mathbf{2}}(a,b) \cong a \times b$ が[__直積__](https://qiita.com/norkron/items/f90d851daf05a2efa567#直積と余直積)である。
![直積](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/268212/58ea5c2d-ecf2-b7cb-20be-dc7b2f10fc00.png)
$\mathrm{Obj}(\mathbf{2}) \ni i = 1,2$ として、$\psi_{i} = f \ggg \varepsilon_{i}$ である。
ここでは $\varepsilon_{(a,b)}$ を $\varepsilon$ と略記している。

---

### 右随伴関手との交換

関手 $F \colon \boldsymbol{D} \longrightarrow \boldsymbol{C}$ と関手 $G \colon \boldsymbol{C} \longrightarrow \boldsymbol{D}$ に対して
$F \dashv G$ が随伴であるとき以下が成り立つ。

圏 $\boldsymbol{C}$ の終対象 $1 \in \mathrm{Obj}(\boldsymbol{C})$ が存在すれば、
圏 $\boldsymbol{D}$ の終対象 $G\ 1 \in \mathrm{Obj}(\boldsymbol{D})$ が定まる。
<details><summary>すなわち、右随伴関手 $G$ は[__終対象__](#終対象)を保つ。</summary><div>

---

$F \dashv G$ より次の自然な同型射が存在する。
$\varphi\_{(d,c)} \colon \mathrm{Hom}\_{\boldsymbol{C}}(F\ d, c) \longrightarrow \mathrm{Hom}\_{\boldsymbol{D}}(d, G\ c)$
$\psi\_{(d,c)} \colon \mathrm{Hom}\_{\boldsymbol{D}}(d, G\ c) \longrightarrow \mathrm{Hom}\_{\boldsymbol{C}}(F\ d, c)$

終対象 $1 \in \mathrm{Obj}(\boldsymbol{C})$ が存在すれば、
任意の対象 $d \in \mathrm{Obj}(\boldsymbol{D})$ に対して
射 $\mathrm{Mor}(\boldsymbol{D}) \ni g \colon d \longrightarrow G\ 1$ が、
写像 $\varphi\_{(d,1)} \colon \mathrm{Hom}\_{\boldsymbol{C}}(F\ d, 1) \longrightarrow \mathrm{Hom}\_{\boldsymbol{D}}(d, G\ 1)$ により、
一意に存在することが分かる。

---

</div></details>

$F\_{\displaystyle\*} \dashv G\_{\displaystyle\*}$ が随伴となるような
関手 $F\_{\displaystyle\*} \colon \varDelta \downarrow M \cdot G \longrightarrow \varDelta \downarrow M$ と
関手 $G\_{\displaystyle\*} \colon \varDelta \downarrow M \longrightarrow \varDelta \downarrow M \cdot G $ を
<details><summary>構成することができる。</summary><div>

---

対象の対応 $F\_{\displaystyle\*}\ (d,\*,\beta) = (F\ d,\*,\beta\_{\cup})$ と
射の対応 $F\_{\displaystyle\*}\ (q,\mathrm{id}\_{\displaystyle\*}) = (F\ q,\mathrm{id}\_{\displaystyle\*})$ を
対象の対応 $G\_{\displaystyle\*}\ (c,\*,\alpha) = (G\ c,\*,\alpha \cdot G)$ と
射の対応 $G\_{\displaystyle\*}\ (p,\mathrm{id}\_{\displaystyle\*}) = (G\ p,\mathrm{id}\_{\displaystyle\*})$ を
それぞれ定める。

ここで $\beta\_{\cup} = \beta \cdot F \ggg M \cdot \varepsilon$ であり、
${\beta\_{\cup}}^{\cap} = \varDelta\ \eta\_{d} \ggg \beta\_{\cup} \cdot G = \beta$ である。

---

写像 $\varphi\_{((d,\*,\beta),(c,\*,\alpha))} \colon \mathrm{Hom}\_{\varDelta \downarrow M}(F\_{\displaystyle\*}\ (d,\*,\beta),(c,\*,\alpha)) \longrightarrow \mathrm{Hom}\_{\varDelta \downarrow M \cdot G}((d,\*,\beta),G\_{\displaystyle\*}\ (c,\*,\alpha))$ を
元の対応 $\varphi\_{((d,\*,\beta),(c,\*,\alpha))} \colon (f,\mathrm{id}\_{\displaystyle\*}) \longmapsto (\eta_{d} \ggg G\ f,\mathrm{id}\_{\displaystyle\*})$ で定める。

コンマ圏 $\varDelta \downarrow M$ の射 $(f,\mathrm{id}\_{\displaystyle\*})$ が満たす条件
$\beta\_{\cup} = \varDelta\ f \ggg \alpha$ により

```math
\begin{align}
\beta
&=
(\varDelta\ f \ggg \alpha)^{\cap}
\\
&=
\varDelta\ \eta_{d} \ggg (\varDelta\ f \ggg \alpha) \cdot G
\\
&=
\varDelta\ \eta_{d} \ggg \varDelta\ (G\ f) \ggg \alpha \cdot G
\\
&=
\varDelta\ (\eta_{d} \ggg G\ f) \ggg \alpha \cdot G
\end{align}
```

コンマ圏 $\varDelta \downarrow M \cdot G$ の射 $(\eta_{d} \ggg G\ f,\mathrm{id}\_{\displaystyle\*})$ が満たす条件
$\beta = \varDelta\ (\eta_{d} \ggg G\ f) \ggg \alpha \cdot G$ が成り立つ。

---

写像 $\psi\_{((d,\*,\beta),(c,\*,\alpha))} \colon \mathrm{Hom}\_{\varDelta \downarrow M \cdot G}((d,\*,\beta),G\_{\displaystyle\*}\ (c,\*,\alpha)) \longrightarrow \mathrm{Hom}\_{\varDelta \downarrow M}(F\_{\displaystyle\*}\ (d,\*,\beta),(c,\*,\alpha))$ を
元の対応 $\psi\_{((d,\*,\beta),(c,\*,\alpha))} \colon (g,\mathrm{id}\_{\displaystyle\*}) \longmapsto (F\ g \ggg \varepsilon_{c},\mathrm{id}\_{\displaystyle\*})$ で定める。

コンマ圏 $\varDelta \downarrow M \cdot G$ の射  $(g,\mathrm{id}\_{\displaystyle\*})$ が満たす条件
$\beta = \varDelta\ g \ggg \alpha \cdot G$ により

```math
\begin{align}
\beta_{\cup}
&=
(\varDelta\ g \ggg \alpha \cdot G)_{\cup}
\\
&=
(\varDelta\ g \ggg \alpha \cdot G) \cdot F \ggg M \cdot \varepsilon
\\
&=
\varDelta\ (F\ g) \ggg \alpha \cdot (G \cdot F) \ggg M \cdot \varepsilon
\\
&=
\varDelta\ (F\ g) \ggg \varDelta\ c \cdot \varepsilon \ggg \alpha \cdot \mathrm{id}_{\boldsymbol{C}}
\\
&=
\varDelta\ (F\ g) \ggg \varDelta\ \varepsilon_{c} \ggg \alpha
\\
&=
\varDelta\ (F\ g \ggg \varepsilon_{c}) \ggg \alpha
\end{align}
```

コンマ圏 $\varDelta \downarrow M$ の射 $(F\ g \ggg \varepsilon_{c},\mathrm{id}\_{\displaystyle\*})$ が満たす条件
$\beta_{\cup} = \varDelta\ (F\ g \ggg \varepsilon_{c}) \ggg \alpha$ が成り立つ。

---

この写像 $\varphi\_{((d,\*,\beta),(c,\*,\alpha))}$ と写像 $\psi\_{((d,\*,\beta),
(c,\*,\alpha))}$ は、
１点離散圏 $\mathbf{1}$ の射 $\mathrm{id}\_{\displaystyle\*}$ を除き第１成分だけを見れば、
[__随伴関手__](https://qiita.com/norkron/items/1cc1b593e04184f0fe98#随伴関手)の[__定義__](https://qiita.com/norkron/items/1cc1b593e04184f0fe98#定義)にて自然な同型射であることを示した
写像 $\varphi\_{(d,c)}$ と写像 $\psi\_{(d,c)}$ に等しい。

したがって、$\varphi\_{((d,\*,\beta),(c,\*,\alpha))}$ は自然な同型射である

---

</div></details>

右随伴関手 $G\_{\displaystyle\*}$ は極限([__錐の圏__](#錐の圏) $\varDelta \downarrow M$ の[__終対象__](#終対象))を保つ。
関手 $M$ の極限 $(\mathrm{lim}\_{\boldsymbol{J}}M,\varepsilon\_{M})$ が存在すれば、
関手 $M \cdot G$ の極限 $(G\ (\mathrm{lim}\_{\boldsymbol{J}}M),\varepsilon\_{M} \cdot G)$ が定まる。

右随伴関手 $G$ は極限と交換する。
$G\ (\mathrm{lim}\_{\boldsymbol{J}}M) \cong \mathrm{lim}\_{\boldsymbol{J}}(M \cdot G)$

## 余極限

[__余錐の圏__](#余錐の圏) $M \downarrow \varDelta$ の[__始対象__](#始対象) $(*,\mathrm{colim}^{\boldsymbol{J}}\\!M,\eta_{M})$
![余極限](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/268212/2a7129e4-350d-c6e6-5c7c-37c0ea30bedf.png)
すなわち $(\mathrm{colim}^{\boldsymbol{J}}\\!M,\eta_{M})$ は $M$ から $\varDelta$ への普遍射であり、
これを関手 $M \colon \boldsymbol{J} \longrightarrow \boldsymbol{C}$ の余極限 $\mathrm{colim}^{\boldsymbol{J}}\\!M$ と呼ぶ。

各対象 $M \in \mathrm{Obj}(\boldsymbol{C}^{\boldsymbol{J}})$ に対して普遍射 $(\mathrm{colim}^{\boldsymbol{J}}\\!M,\eta_{M})$
が存在するとき、関手 $\mathrm{colim}^{\boldsymbol{J}} \colon \boldsymbol{C}^{\boldsymbol{J}} \longrightarrow \boldsymbol{C}$ と
自然変換 $\eta \colon \mathrm{id}_{\boldsymbol{C}^{\boldsymbol{J}}} \Longrightarrow \mathrm{colim}^{\boldsymbol{J}} \cdot \varDelta$ が定義できて、
随伴関係 $\mathrm{colim}^{\boldsymbol{J}} \dashv \varDelta$ すなわち次式が成り立つ。

$\mathrm{Hom}\_{\boldsymbol{C}}(\mathrm{colim}^{\boldsymbol{J}}-,-) \cong \mathrm{Hom}\_{\boldsymbol{C}^{\boldsymbol{J}}}(-,\varDelta\ -)$

---

[__圏の平方__](#圏の平方)にて定義を与えた関手 $(a,b) \colon \mathbf{2} \longrightarrow \boldsymbol{C}$ の
余極限 $\mathrm{colim}\_{\mathbf{2}}(a,b) \cong a + b$ が[__余直積__](https://qiita.com/norkron/items/f90d851daf05a2efa567#直積と余直積)である。
![余直積](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/268212/52377d99-050a-5269-fd95-1084792204a0.png)
$\mathrm{Obj}(\mathbf{2}) \ni i = 1,2$ として、$\psi_{i} = \eta_{i} \ggg f$ である。
ここでは $\eta_{(a,b)}$ を $\eta$ と略記している。

---

### 左随伴関手との交換

関手 $F \colon \boldsymbol{C} \longrightarrow \boldsymbol{D}$ と関手 $G \colon \boldsymbol{D} \longrightarrow \boldsymbol{C}$ に対して
$F \dashv G$ が随伴であるとき以下が成り立つ。

圏 $\boldsymbol{C}$ の始対象 $0 \in \mathrm{Obj}(\boldsymbol{C})$ が存在すれば、
圏 $\boldsymbol{D}$ の始対象 $F\ 0 \in \mathrm{Obj}(\boldsymbol{D})$ が定まる。
<details><summary>すなわち、左随伴関手 $F$ は[__始対象__](#始対象)を保つ。</summary><div>

---

$F \dashv G$ より次の自然な同型射が存在する。
$\varphi\_{(c,d)} \colon \mathrm{Hom}\_{\boldsymbol{D}}(F\ c, d) \longrightarrow \mathrm{Hom}\_{\boldsymbol{C}}(c, G\ d)$
$\psi\_{(c,d)} \colon \mathrm{Hom}\_{\boldsymbol{C}}(c, G\ d) \longrightarrow \mathrm{Hom}\_{\boldsymbol{D}}(F\ c, d)$

始対象 $0 \in \mathrm{Obj}(\boldsymbol{C})$ が存在すれば、
任意の対象 $d \in \mathrm{Obj}(\boldsymbol{D})$ に対して
射 $\mathrm{Mor}(\boldsymbol{D}) \ni f \colon F\ 0 \longrightarrow d$ が、
写像 $\psi\_{(0,d)} \colon \mathrm{Hom}\_{\boldsymbol{C}}(0, G\ d) \longrightarrow \mathrm{Hom}\_{\boldsymbol{D}}(F\ 0, d)$ により、
一意に存在することが分かる。

---

</div></details>

$F^{\displaystyle\*} \dashv G^{\displaystyle\*}$ が随伴となるような
関手 $F^{\displaystyle\*} \colon M \downarrow \varDelta \longrightarrow M \cdot F \downarrow \varDelta$ と
関手 $G^{\displaystyle\*} \colon M \cdot F \downarrow \varDelta \longrightarrow M \downarrow \varDelta$ を
<details><summary>構成することができる。</summary><div>

---

対象の対応 $F^{\displaystyle\*}\ (\*,c,\alpha) = (\*,F\ c,\alpha \cdot F)$ と
射の対応 $F^{\displaystyle\*}\ (\mathrm{id}\_{\displaystyle\*},p) = (\mathrm{id}\_{\displaystyle\*},F\ p)$ を
対象の対応 $G^{\displaystyle\*}\ (\*,d,\beta) = (\*,G\ d,\beta^{\cap})$ と
射の対応 $G^{\displaystyle\*}\ (\mathrm{id}\_{\displaystyle\*},q) = (\mathrm{id}\_{\displaystyle\*},G\ q)$ を
それぞれ定める。

ここで $\beta^{\cap} = M \cdot \eta \ggg \beta \cdot G$ であり、
${\beta^{\cap}}\_{\cup} = \beta^{\cap} \cdot F \ggg \varDelta\ \varepsilon\_{d} = \beta$ である。

---

写像 $\varphi\_{((\*,c,\alpha),(\*,d,\beta))} \colon \mathrm{Hom}\_{M \cdot F \downarrow \varDelta}(F^{\displaystyle\*}\ (\*,c,\alpha),(\*,d,\beta)) \longrightarrow \mathrm{Hom}\_{M \downarrow \varDelta}((\*,c,\alpha),G^{\displaystyle\*}\ (\*,d,\beta))$ を
元の対応 $\varphi\_{((\*,c,\alpha),(\*,d,\beta))} \colon (\mathrm{id}\_{\displaystyle\*},f) \longmapsto (\mathrm{id}\_{\displaystyle\*},\eta\_{c} \ggg G\ f)$ で定める。

コンマ圏 $M \cdot F \downarrow \varDelta$ の射 $(\mathrm{id}\_{\displaystyle\*},f)$ が満たす条件
$\beta = \alpha \cdot F \ggg \varDelta\ f$ により

```math
\begin{align}
\beta^{\cap}
&=
(\alpha \cdot F \ggg \varDelta\ f)^{\cap}
\\
&=
M \cdot \eta \ggg (\alpha \cdot F \ggg \varDelta\ f) \cdot G
\\
&=
M \cdot \eta \ggg \alpha \cdot (F \cdot G) \ggg \varDelta\ (G\ f)
\\
&=
\alpha \cdot \mathrm{id}_{\boldsymbol{C}} \ggg \varDelta\ c \cdot \eta \ggg \varDelta\ (G\ f)
\\
&=
\alpha \ggg \varDelta\ \eta_{c} \ggg \varDelta\ (G\ f)
\\
&=
\alpha \ggg \varDelta\ (\eta_{c} \ggg G\ f)
\end{align}
```

コンマ圏 $M \downarrow \varDelta$ の射 $(\mathrm{id}\_{\displaystyle\*},\eta\_{c} \ggg G\ f)$ が満たす条件
$\beta^{\cap} = \alpha \ggg \varDelta\ (\eta_{c} \ggg G\ f)$ が成り立つ。

---

写像 $\psi\_{((\*,c,\alpha),(\*,d,\beta))} \colon \mathrm{Hom}\_{M \downarrow \varDelta}((\*,c,\alpha),G^{\displaystyle\*}\ (\*,d,\beta)) \longrightarrow \mathrm{Hom}\_{M \cdot F \downarrow \varDelta}(F^{\displaystyle\*}\ (\*,c,\alpha),(\*,d,\beta))$ を
元の対応 $\psi\_{((\*,c,\alpha),(\*,d,\beta))} \colon (\mathrm{id}\_{\displaystyle\*},g) \longmapsto (\mathrm{id}\_{\displaystyle\*},F\ g \ggg \varepsilon_{d})$ で定める。

コンマ圏 $M \downarrow \varDelta$ の射  $(\mathrm{id}\_{\displaystyle\*},g)$ が満たす条件
$\beta^{\cap} = \alpha \ggg \varDelta\ g$ により

```math
\begin{align}
\beta
&=
(\alpha \ggg \varDelta\ g)_{\cup}
\\
&=
(\alpha \ggg \varDelta\ g) \cdot F \ggg \varDelta\ \varepsilon_{d}
\\
&=
\alpha \cdot F \ggg \varDelta\ (F\ g) \ggg \varDelta\ \varepsilon_{d}
\\
&=
\alpha \cdot F \ggg \varDelta\ (F\ g \ggg \varepsilon_{d})
\end{align}
```

コンマ圏 $M \cdot F \downarrow \varDelta$ の射 $(\mathrm{id}\_{\displaystyle\*},F\ g \ggg \varepsilon_{d})$ が満たす条件
$\beta = \alpha \cdot F \ggg \varDelta\ (F\ g \ggg \varepsilon_{d})$ が成り立つ。

---

この写像 $\varphi\_{((\*,c,\alpha),(\*,d,\beta))}$ と写像 $\psi\_{((\*,c,\alpha),
(\*,d,\beta))}$ は、
１点離散圏 $\mathbf{1}$ の射 $\mathrm{id}\_{\displaystyle\*}$ を除き第２成分だけを見れば、
[__随伴関手__](https://qiita.com/norkron/items/1cc1b593e04184f0fe98#随伴関手)の[__定義__](https://qiita.com/norkron/items/1cc1b593e04184f0fe98#定義)にて自然な同型射であることを示した
写像 $\varphi\_{(c,d)}$ と写像 $\psi\_{(c,d)}$ に等しい。

したがって、$\varphi\_{((\*,c,\alpha),(\*,d,\beta))}$ は自然な同型射である

---

</div></details>

左随伴関手 $F^{\displaystyle\*}$ は余極限([__余錐の圏__](#余錐の圏) $M \downarrow \varDelta$ の[__始対象__](#始対象))を保つ。
関手 $M$ の余極限 $(\mathrm{colim}^{\boldsymbol{J}}M,\eta\_{M})$ が存在すれば、
関手 $M \cdot F$ の余極限 $(F\ (\mathrm{colim}^{\boldsymbol{J}}M),\eta\_{M} \cdot F)$ が定まる。

左随伴関手 $F$ は余極限と交換する。
$F\ (\mathrm{colim}^{\boldsymbol{J}}M) \cong \mathrm{colim}^{\boldsymbol{J}}(M \cdot F)$



# エンドとコエンド

Haskell では
[__Data.Functor.Kan.Ran__](https://hackage.haskell.org/package/kan-extensions-5.2/docs/Data-Functor-Kan-Ran.html)または
[__Data.Functor.Kan.Lan__](https://hackage.haskell.org/package/kan-extensions-5.2/docs/Data-Functor-Kan-Lan.html)にて、
[__右カン拡張__](#右カン拡張)または[__左カン拡張__](#左カン拡張)を
[__エンドとして__](#エンドとして)または[__コエンドとして__](#コエンドとして)
それぞれ記述している。

[__楔の圏__](#楔の圏)の[__終対象__](#終対象)がエンドであり、
[__余楔の圏__](#余楔の圏)の[__始対象__](#始対象)がコエンドである。

## エンド

[__楔の圏__](#楔の圏) $\varDelta \downarrow \overline{T}$ の[__終対象__](#終対象) $(\int_{\boldsymbol{J}}T,*,\varepsilon\_{\overline{T}})$
![エンド](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/268212/6792c53a-4796-f2bb-2e7a-3eaf7b73d9c0.png)
すなわち $(\int_{\boldsymbol{J}}T,\varepsilon\_{\overline{T}})$ は $\varDelta$ から $\overline{T}$ への普遍射
もしくは関手 $\overline{T} \colon \mathrm{Tw}(\boldsymbol{J}) \longrightarrow \boldsymbol{C}$ の極限 $\mathrm{lim}\_{\mathrm{Tw}(\boldsymbol{J})}\overline{T}$ であり、
双関手 $T \colon \boldsymbol{J}^{\mathrm{op}}\times\boldsymbol{J} \longrightarrow \boldsymbol{C}$ のエンド $\int_{\boldsymbol{J}}T$ と呼ぶ。

各対象 $\overline{T} \in \mathrm{Obj}(\boldsymbol{C}^{\mathrm{Tw}(\boldsymbol{J})})$ に対して普遍射 $(\int_{\boldsymbol{J}}T,\varepsilon\_{\overline{T}})$
が存在するとき、関手 $\int_{\boldsymbol{J}} \colon \boldsymbol{C}^{\mathrm{Tw}(\boldsymbol{J})} \longrightarrow \boldsymbol{C}$ と
自然変換 $\varepsilon \colon \int\_{\boldsymbol{J}} \cdot \varDelta \Longrightarrow \mathrm{id}\_{\boldsymbol{C}^{\mathrm{Tw}(\boldsymbol{J})}}$ が定義できて、
随伴関係 $\varDelta \dashv \int_{\boldsymbol{J}}$ すなわち次式が成り立つ。

$\mathrm{Hom}\_{\boldsymbol{C}^{\mathrm{Tw}(\boldsymbol{J})}}(\varDelta\ -,-) \cong \mathrm{Hom}\_{\boldsymbol{C}}(-,\int_{\boldsymbol{J}}-)$

---

### 全称量化子

双関手 $\mathrm{Hom}\_{\boldsymbol{D}}(F\ -,G\ -) \colon  \boldsymbol{C}^{\mathrm{op}}\times\boldsymbol{C} \longrightarrow \mathbf{Set}$ の
<details><summary>エンドに関して、次の式が成り立つ。</summary><div>

---

$T = \mathrm{Hom}\_{\boldsymbol{D}}(F\ -,G\ -)$ とする。

楔 $\psi \colon \varDelta\ X \Longrightarrow \overline{T}$ を考えると、
各対象 $\mathrm{Obj}(\mathrm{Tw}(\boldsymbol{C})) \ni h \colon a \longrightarrow b$ に対して
射 $\mathrm{Mor}(\mathbf{Set}) \ni \psi_{h} \colon X \longrightarrow \mathrm{Hom}\_{\boldsymbol{D}}(F\ a,G\ b)$
すなわち写像 $\psi_{h}$ が存在する。
![自然変換の集合](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/268212/e8441c96-aae6-12e2-f5fa-3e7266648e0b.png)
写像 $\psi_{h}$ は元の対応で次のように定義される。
$\psi\_{h} \colon x \longmapsto F\ h \ggg \psi\_{\mathrm{id}\_{b}}(x) = \psi\_{\mathrm{id}\_{a}}(x) \ggg G\ h$

各対象 $a \in \mathrm{Obj}(\boldsymbol{C})$ に対して射 $\psi\_{\mathrm{id}\_{a}}(x) \colon F\ a \longrightarrow G\ a$
が存在するため $\psi\_{\mathrm{id}\_{-}}(x)$ は射の族であり、また
条件 $F\ h \ggg \psi\_{\mathrm{id}\_{b}}(x) = \psi\_{\mathrm{id}\_{a}}(x) \ggg G\ h$
を満たすため自然変換 $\psi\_{\mathrm{id}\_{-}}(x) \colon F \Longrightarrow G$ である。

楔 $\varepsilon\_{\overline{T}} \colon \varDelta\,\left(\mathrm{Hom}\_{\boldsymbol{D}^\boldsymbol{C}}(F,G)\right) \Longrightarrow \overline{T}$ を
写像 $(\varepsilon\_{\overline{T}})\_{h} \colon \mathrm{Hom}\_{\boldsymbol{D}^\boldsymbol{C}}(F,G) \longrightarrow \mathrm{Hom}\_{\boldsymbol{D}}(F\ a,G\ b)$ すなわち
元の対応 $(\varepsilon\_{\overline{T}})\_{h} \colon \psi\_{\mathrm{id}\_{-}}(x) \longmapsto F\ h \ggg \psi\_{\mathrm{id}\_{b}}(x) = \psi\_{\mathrm{id}\_{a}}(x) \ggg G\ h$
として定義することができる。

このとき、任意の楔 $\psi$ に対して、
射(すなわち写像) $f \colon X \longrightarrow \mathrm{Hom}\_{\boldsymbol{D}^\boldsymbol{C}}(F,G)$ が
元の対応 $f \colon x \longmapsto \psi\_{\mathrm{id}\_{-}}(x)$ により定まり、
$f \ggg (\varepsilon\_{\overline{T}})\_{h} = \psi\_{h}$ すなわち $\varDelta\ f \ggg \varepsilon\_{\overline{T}} = \psi$ を満たす。

---

</div></details>

$\displaystyle \mathrm{Hom}\_{\boldsymbol{D}^\boldsymbol{C}}(F,G) \cong \int\_{\boldsymbol{C}}\mathrm{Hom}\_{\boldsymbol{D}}(F\ -,G\ -)$

```haskell:自然変換
{-# LANGUAGE Rank2Types #-}
{-# LANGUAGE TypeOperators #-}

type f ~> g = forall c. f c -> g c
```

自然変換とはすべての対象(すなわち型)に対して
存在する射(すなわち関数)を集めたものである。

[__エンド__](#エンド)の記法として、対象 $c \in \mathrm{Obj}(\boldsymbol{C})$ を明示し
$\displaystyle \mathrm{Hom}\_{\boldsymbol{D}^\boldsymbol{C}}(F,G) \cong \int\_{c \in \boldsymbol{C}}\mathrm{Hom}\_{\boldsymbol{D}}(F\ c,G\ c)$
と書く場合もある。[__コエンド__](#コエンド)でも同様の記法を用いる。

ある双関手 $T \colon \mathbf{Set}^{\mathrm{op}}\times\mathbf{Set} \longrightarrow \mathbf{Set}$ の
エンド $\int_{j\in\mathbf{Set}}T(j,j)$ は Haskell で次のように書ける。

```haskell:エンド
{-# LANGUAGE Rank2Types #-}

data End t = End (forall j. t j j)
```

積分記号 $\int\_{j\in\mathbf{Set}}$ と全称量化子 `forall j` が対応している。

## コエンド

[__余楔の圏__](#余楔の圏) $\overline{T^{\mathrm{op}}}^{\mathrm{op}} \downarrow \varDelta$ の[__始対象__](#始対象) $(*,\int^{\boldsymbol{J}}T,\eta\_{\overline{T^{\mathrm{op}}}^{\mathrm{op}}})$
![コエンド](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/268212/334988ff-5ca5-3db6-8351-b7ef8dfc6f01.png)
すなわち $(\int^{\boldsymbol{J}}T,\eta\_{\overline{T^{\mathrm{op}}}^{\mathrm{op}}})$ は $\overline{T^{\mathrm{op}}}^{\mathrm{op}}$ から $\varDelta$ への普遍射
もしくは関手 $\overline{T^{\mathrm{op}}}^{\mathrm{op}} \colon \mathrm{Tw}(\boldsymbol{J}^{\mathrm{op}})^{\mathrm{op}} \longrightarrow \boldsymbol{C}$ の余極限 $\mathrm{colim}^{\mathrm{Tw}(\boldsymbol{J}^{\mathrm{op}})^{\mathrm{op}}}\overline{T^{\mathrm{op}}}^{\mathrm{op}}$ であり、
双関手 $T \colon \boldsymbol{J}^{\mathrm{op}}\times\boldsymbol{J} \longrightarrow \boldsymbol{C}$ のコエンド $\int^{\boldsymbol{J}}T$ と呼ぶ。

各対象 $\overline{T^{\mathrm{op}}}^{\mathrm{op}} \in \mathrm{Obj}(\boldsymbol{C}^{\mathrm{Tw}(\boldsymbol{J}^{\mathrm{op}})^{\mathrm{op}}})$ に対して普遍射 $(\int^{\boldsymbol{J}}T,\eta\_{\overline{T^{\mathrm{op}}}^{\mathrm{op}}})$
が存在するとき、関手 $\int^{\boldsymbol{J}} \colon \boldsymbol{C}^{\mathrm{Tw}(\boldsymbol{J}^{\mathrm{op}})^{\mathrm{op}}} \longrightarrow \boldsymbol{C}$ と
自然変換 $\eta \colon \mathrm{id}_{\boldsymbol{C}^{\mathrm{Tw}(\boldsymbol{J}^{\mathrm{op}})^{\mathrm{op}}}} \Longrightarrow \int^{\boldsymbol{J}} \cdot \varDelta$ が定義できて、
随伴関係 $\int^{\boldsymbol{J}} \dashv \varDelta$ すなわち次式が成り立つ。

$\mathrm{Hom}\_{\boldsymbol{C}}(\int^{\boldsymbol{J}}-,-) \cong \mathrm{Hom}\_{\boldsymbol{C}^{\mathrm{Tw}(\boldsymbol{J}^{\mathrm{op}})^{\mathrm{op}}}}(-,\varDelta\ -)$

---

### 存在量化子

ある双関手 $T \colon \mathbf{Set}^{\mathrm{op}}\times\mathbf{Set} \longrightarrow \mathbf{Set}$ の
コエンド $\int^{j\in\mathbf{Set}}T(j,j)$ は Haskell で次のように書ける。

```haskell:コエンド
{-# LANGUAGE ExistentialQuantification #-}

data CoEnd t = forall j. CoEnd (t j j)
```

積分記号 $\int\^{j\in\mathbf{Set}}$ と存在量化子 `forall j` が対応している。

全称量化子と同じく `forall j` なのでややこしいが、
一般化代数的データ型(__G__eneralized __A__lgebraic __D__ata __T__ype)
を考えれば両者の違いを思い出せるだろう。

```haskell:存在量化子
{-# LANGUAGE GADTs #-}
{-# LANGUAGE ExplicitForAll #-}

data T = forall a. T a

data T' where
    T' :: forall a. a -> T'
```

`T` と `T'` は型として同じものをあらわし、
すべての型 `a` から１つの型 `T` が作れる。
また一方で、型 `T` の中身はある型 `a` である。

直和型も同様に複数の型から１つの型が作れる。

```haskell:直和型
data CB = C Char | B Bool
```

型 `CB` の中身はある型(`Char` か `Bool`)である。



# カン拡張

全ての概念[^Kan]と呼ばれる
カン拡張を最後に定義する。

[__柱の圏__](#柱の圏)の[__終対象__](#終対象)が右カン拡張であり、
[__余柱の圏__](#余柱の圏)の[__始対象__](#始対象)が左カン拡張である。

関手 $F \colon \boldsymbol{J} \longrightarrow \boldsymbol{D}$ の終域 $\boldsymbol{D}$ が
１点離散圏 $\mathbf{1}$ であるならば、
関手 $F \cdot -$ は[__対角関手__](#対角関手) $\varDelta$ となるため、
[__極限と余極限__](#極限と余極限)に帰着することを注意しよう。

## 右カン拡張

[__柱の圏__](#柱の圏) $F \cdot - \downarrow M$ の[__終対象__](#終対象) $(\mathrm{Ran}\_{F}M,*,\varepsilon_{M})$
![右カン拡張](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/268212/ab3006e1-cf7c-5428-7f75-95f6d607447c.png)
すなわち $(\mathrm{Ran}\_{F}M,\varepsilon_{M})$ は $F \cdot -$ から $M$ への普遍射であり、
$F$ に沿った $M$ の右カン拡張 $\mathrm{Ran}\_{F}M$ と呼ぶ。

各対象 $M \in \mathrm{Obj}(\boldsymbol{C}^{\boldsymbol{J}})$ に対して普遍射 $(\mathrm{Ran}\_{F}M,\varepsilon_{M})$
が存在するとき、関手 $\mathrm{Ran}\_{F} \colon \boldsymbol{C}^{\boldsymbol{J}} \longrightarrow \boldsymbol{C}^{\boldsymbol{D}}$ と
自然変換 $\varepsilon \colon F \cdot (\mathrm{Ran}\_{F}\,-) \Longrightarrow \mathrm{id}\_{\boldsymbol{C}^{\boldsymbol{J}}}$ が定義できて、
随伴関係 $F \cdot - \dashv \mathrm{Ran}\_{F}$ すなわち次式が成り立つ。

$\mathrm{Hom}\_{\boldsymbol{C}^{\boldsymbol{J}}}(F \cdot -,-) \cong \mathrm{Hom}\_{\boldsymbol{C}^{\boldsymbol{D}}}(-,\mathrm{Ran}\_{F}\,-)$

---

### 極限として

[__コンマ圏__](#コンマ圏) $d \downarrow F$ を考えることで次の図式を得る。
![各点右カン拡張](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/268212/91c01519-25cc-ec85-00f1-2dc1f6a931b0.png)

[__双関手__](https://qiita.com/norkron/items/1cc1b593e04184f0fe98#双関手) $- \cdot - \colon \mathbf{1}^{d \downarrow F} \times \boldsymbol{C}^{\mathbf{1}} \longrightarrow \boldsymbol{C}^{d \downarrow F}$ の
[__左セクション__](https://qiita.com/norkron/items/1cc1b593e04184f0fe98#左セクション) $P_{\mathrm{L}} \cdot - \colon \boldsymbol{C}^{\mathbf{1}} \longrightarrow \boldsymbol{C}^{d \downarrow F}$ は
[__対角関手__](#対角関手) $\varDelta \colon \boldsymbol{C} \longrightarrow \boldsymbol{C}^{d \downarrow F}$ となる。

$P_{\mathrm{L}}$ に沿った $P\_{\mathrm{R}} \cdot M$ の右カン拡張は
関手 $P\_{\mathrm{R}} \cdot M \colon d \downarrow F \longrightarrow \boldsymbol{C}$ の[__極限__](#極限)である[^工事中]。
$(\mathrm{Ran}\_{F}M)\ d \cong \mathrm{lim}\_{d \downarrow F}(P\_{\mathrm{R}} \cdot M)$

---

### エンドとして

双関手 $\mathrm{Hom}\_{\boldsymbol{D}}(d,F\ -) \pitchfork M\ - \colon \boldsymbol{J}^{\mathrm{op}}\times\boldsymbol{J} \longrightarrow \boldsymbol{C}$ の
[__エンド__](#エンド)として、右カン拡張を
$\displaystyle \mathrm{Ran}\_{F}M\ d \cong \int_{j\in\boldsymbol{J}} \mathrm{Hom}\_{\boldsymbol{D}}(d,F\ j) \pitchfork M\ j$
<details><summary>と書くことができる。</summary><div>

---

以下の式変形により示すことができる[^工事中]。

```math
\begin{align}
\mathrm{Hom}_{\boldsymbol{C}^{\boldsymbol{D}}}(X,\mathrm{Ran}_{F}M)
&\cong
\int_{d\in\boldsymbol{D}}\mathrm{Hom}_{\boldsymbol{C}}(X\ d,\mathrm{Ran}_{F}M\ d)
\\
&\cong
\int_{d\in\boldsymbol{D}}\mathrm{Hom}_{\boldsymbol{C}}\left(X\ d,\int_{j\in\boldsymbol{J}} \mathrm{Hom}_{\boldsymbol{D}}(d,F\ j) \pitchfork M\ j\right)
\\
&\cong
\int_{d\in\boldsymbol{D}}\int_{j\in\boldsymbol{J}}\mathrm{Hom}_{\boldsymbol{C}}(X\ d,\mathrm{Hom}_{\boldsymbol{D}}(d,F\ j) \pitchfork M\ j)
\\
&\cong
\int_{d\in\boldsymbol{D}}\int_{j\in\boldsymbol{J}}\mathrm{Hom}_{\mathbf{Set}^{\mathrm{op}}}(\mathrm{Hom}_{\boldsymbol{C}}^{\mathrm{op}}(X\ d,M\ j),\mathrm{Hom}_{\boldsymbol{D}}^{\mathrm{op}}(d,F\ j))
\\
&\cong
\int_{j\in\boldsymbol{J}}\int_{d\in\boldsymbol{D}}\mathrm{Hom}_{\mathbf{Set}^{\mathrm{op}}}(\mathrm{Hom}_{\boldsymbol{C}}^{\mathrm{op}}(X\ d,M\ j),\mathrm{Hom}_{\boldsymbol{D}}^{\mathrm{op}}(d,F\ j))
\\
&\cong
\int_{j\in\boldsymbol{J}}\mathrm{Hom}_{{\mathbf{Set}^{\mathrm{op}}}^{\boldsymbol{D}}}(\mathrm{Hom}_{\boldsymbol{C}}^{\mathrm{op}}(X\ -,M\ j),\mathrm{Hom}_{\boldsymbol{D}}^{\mathrm{op}}(-,F\ j))
\\
&\cong
\int_{j\in\boldsymbol{J}}\mathrm{Hom}_{\boldsymbol{C}}((F \cdot X)\ j,M\ j)
\\
&\cong
\mathrm{Hom}_{\boldsymbol{C}^{\boldsymbol{J}}}(F \cdot X,M)
\end{align}
```

---

</div></details>

圏 $\boldsymbol{C}$ を[__集合の圏__](https://qiita.com/norkron/items/f0de364cc980171b1db7#集合の圏) $\mathbf{Set}$ (すなわち圏 $\mathbf{Hask}$)とすれば
[__余テンソル対象__](#余テンソル対象) $B \pitchfork C$ は $\mathrm{Hom}\_{\mathbf{Set}}(B, C)$ であり[^工事中]、
圏 $\boldsymbol{J},\boldsymbol{D}$ も[__集合の圏__](https://qiita.com/norkron/items/f0de364cc980171b1db7#集合の圏) $\mathbf{Set}$ のときは以下となる。
$\displaystyle \mathrm{Ran}\_{F}M\ d \cong \int_{j\in\mathbf{Set}} \mathrm{Hom}\_{\mathbf{Set}}(\mathrm{Hom}\_{\mathbf{Set}}(d,F\ j), M\ j)$

```haskell:右カン拡張
{-# LANGUAGE Rank2Types #-}

data Ran f m d = Ran (forall j. (d -> f j) -> m j)
```

## 左カン拡張

[__余柱の圏__](#余柱の圏) $M \downarrow F \cdot -$ の[__始対象__](#始対象) $(*,\mathrm{Lan}\_{F}M,\eta_{M})$
![左カン拡張](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/268212/93a060b3-4d88-f096-87ec-2994258518b3.png)
すなわち $(\mathrm{Lan}\_{F}M,\eta_{M})$ は $M$ から $F \cdot -$ への普遍射であり、
$F$ に沿った $M$ の左カン拡張 $\mathrm{Lan}\_{F}M$ と呼ぶ。

各対象 $M \in \mathrm{Obj}(\boldsymbol{C}^{\boldsymbol{J}})$ に対して普遍射 $(\mathrm{Lan}\_{F}M,\eta_{M})$
が存在するとき、関手 $\mathrm{Lan}\_{F} \colon \boldsymbol{C}^{\boldsymbol{J}} \longrightarrow \boldsymbol{C}^{\boldsymbol{D}}$ と
自然変換 $\eta \colon \mathrm{id}\_{\boldsymbol{C}^{\boldsymbol{J}}} \Longrightarrow F \cdot (\mathrm{Lan}\_{F}\,-)$ が定義できて、
随伴関係 $\mathrm{Lan}\_{F} \dashv F \cdot -$ すなわち次式が成り立つ。

$\mathrm{Hom}\_{\boldsymbol{C}^{\boldsymbol{D}}}(\mathrm{Lan}\_{F}\,-,-) \cong \mathrm{Hom}\_{\boldsymbol{C}^{\boldsymbol{J}}}(-,F \cdot -)$

---

### 余極限として

[__コンマ圏__](#コンマ圏) $F \downarrow d$ を考えることで次の図式を得る。
![各点左カン拡張](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/268212/d58da2d5-699f-2aa6-328e-750d7c47e7ac.png)

[__双関手__](https://qiita.com/norkron/items/1cc1b593e04184f0fe98#双関手) $- \cdot - \colon \mathbf{1}^{F \downarrow d} \times \boldsymbol{C}^{\mathbf{1}} \longrightarrow \boldsymbol{C}^{F \downarrow d}$ の
[__左セクション__](https://qiita.com/norkron/items/1cc1b593e04184f0fe98#左セクション) $P_{\mathrm{R}} \cdot - \colon \boldsymbol{C}^{\mathbf{1}} \longrightarrow \boldsymbol{C}^{F \downarrow d}$ は
[__対角関手__](#対角関手) $\varDelta \colon \boldsymbol{C} \longrightarrow \boldsymbol{C}^{F \downarrow d}$ となる。

$P_{\mathrm{R}}$ に沿った $P\_{\mathrm{L}} \cdot M$ の左カン拡張は
関手 $P\_{\mathrm{L}} \cdot M \colon F \downarrow d \longrightarrow \boldsymbol{C}$ の[__余極限__](#余極限)である[^工事中]。
$(\mathrm{Lan}\_{F}M)\ d \cong \mathrm{colim}^{F \downarrow d}(P\_{\mathrm{L}} \cdot M)$

---

### コエンドとして

双関手 $\mathrm{Hom}\_{\boldsymbol{D}}(F\ -, d) \odot M\ - \colon \boldsymbol{J}^{\mathrm{op}}\times\boldsymbol{J} \longrightarrow \boldsymbol{C}$ の
[__コエンド__](#コエンド)として、左カン拡張を
$\displaystyle \mathrm{Lan}\_{F}M\ d \cong \int^{j\in\boldsymbol{J}}\\!\\!\mathrm{Hom}\_{\boldsymbol{D}}(F\ j, d) \odot M\ j$
<details><summary>と書くことができる。</summary><div>

---

以下の式変形により示すことができる[^工事中]。

```math
\begin{align}
\mathrm{Hom}_{\boldsymbol{C}^{\boldsymbol{D}}}(\mathrm{Lan}_{F}M,X)
&\cong
\int_{d\in\boldsymbol{D}}\mathrm{Hom}_{\boldsymbol{C}}(\mathrm{Lan}_{F}M\ d,X\ d)
\\
&\cong
\int_{d\in\boldsymbol{D}}\mathrm{Hom}_{\boldsymbol{C}}\left(\int^{j\in\boldsymbol{J}}\!\!\mathrm{Hom}_{\boldsymbol{D}}(F\ j, d) \odot M\ j,X\ d\right)
\\
&\cong
\int_{d\in\boldsymbol{D}}\int_{j\in\boldsymbol{J}}\mathrm{Hom}_{\boldsymbol{C}}\left(\mathrm{Hom}_{\boldsymbol{D}}(F\ j, d) \odot M\ j,X\ d\right)
\\
&\cong
\int_{d\in\boldsymbol{D}}\int_{j\in\boldsymbol{J}}\mathrm{Hom}_{\mathbf{Set}}(\mathrm{Hom}_{\boldsymbol{D}}(F\ j, d),\mathrm{Hom}_{\boldsymbol{C}}(M\ j,X\ d))
\\
&\cong
\int_{j\in\boldsymbol{J}}\int_{d\in\boldsymbol{D}}\mathrm{Hom}_{\mathbf{Set}}(\mathrm{Hom}_{\boldsymbol{D}}(F\ j, d),\mathrm{Hom}_{\boldsymbol{C}}(M\ j,X\ d))
\\
&\cong
\int_{j\in\boldsymbol{J}}\mathrm{Hom}_{\mathbf{Set}^{\boldsymbol{D}}}(\mathrm{Hom}_{\boldsymbol{D}}(F\ j, -),\mathrm{Hom}_{\boldsymbol{C}}(M\ j,X\ -))
\\
&\cong
\int_{j\in\boldsymbol{J}}\mathrm{Hom}_{\boldsymbol{C}}(M\ j,(F \cdot X)\ j)
\\
&\cong 
\mathrm{Hom}_{\boldsymbol{C}^{\boldsymbol{J}}}(M,F \cdot X)
\end{align}
```

---

</div></details>

圏 $\boldsymbol{C}$ を[__集合の圏__](https://qiita.com/norkron/items/f0de364cc980171b1db7#集合の圏) $\mathbf{Set}$ (すなわち圏 $\mathbf{Hask}$)とすれば
[__テンソル対象__](#テンソル対象) $A \odot B$ は直積 $A \times B$ であり[^工事中]、
圏 $\boldsymbol{J},\boldsymbol{D}$ も[__集合の圏__](https://qiita.com/norkron/items/f0de364cc980171b1db7#集合の圏) のときは以下となる。
$\displaystyle \mathrm{Lan}\_{F}M\ d \cong \int^{j\in\mathbf{Set}}\\!\\!\\mathrm{Hom}\_{\mathbf{Set}}(F\ j, d) \times M\ j$

```haskell:左カン拡張
{-# LANGUAGE ExistentialQuantification #-}

data Lan f m d = forall j. Lan (f j -> d, m j)
```

[^工事中]: 詳細に関してはあとでいつかきっとそのうち確認する。



# まとめ

普遍性による定義が分かりづらいのは
「満たすべき条件」や「可換性」や「一意性」
などの諸概念が同時に押し寄せるからだろう。

ここでは「満たすべき条件」や「可換性」を
[__自然変換__](https://qiita.com/norkron/items/1cc1b593e04184f0fe98#関手と自然変換)や[__コンマ圏__](#コンマ圏)が満たす条件として、
また「一意性」を[__終対象__](#終対象)や[__始対象__](#始対象)として、
それぞれ分離することで単純化を試みた。

カン拡張を結局どう使うのかは
現時点で分からないけれども、
[__極限__](#極限)から[__カン拡張__](#カン拡張)への雰囲気は
把握できたのではないかと思う。



[^Arr]: [nLab「arrow category」](https://ncatlab.org/nlab/show/twisted+arrow+category)
[^Tw]: [nLab「twisted arrow category」](https://ncatlab.org/nlab/show/twisted+arrow+category)
[^Cyl]: [檜山正幸のキマイラ飼育記 (はてなBlog)「カン拡張のために、柱の絵を描く」(2018-03-26)](https://m-hiyama.hatenablog.com/entry/20180326/1522029716)
[^Kan]: [algebraic dialy「全ての概念はKan拡張である、とは何か」(2015-08-09)](http://alg-d.com/blog/2015/08/09.shtml)