数学の復習

##標数
体$F$の素体(真の部分体をもたない最小の体)は、$Q$もしくは$Z/pZ$に同型である。
$Q$に同型の場合は標数$0$、$Z/pZ$に同型の場合は標数$p$の体と呼ぶ

##標数pの体の演算
$Z/pZ$の元は、$\\{pZ,1+pZ,2+pZ,...,(p-1)+pZ\\}$の$p$個

足し算の単位元は$pZ$
例: $pZ+(2+pZ)=2+pZ$

例: $(1+pZ)+(2+pZ)=3+pZ$

掛け算の単位元は$1+pZ$
例: $(1+pZ)*(2+pZ)=2+pZ$

例: $pZ*(2+pZ)=pZ$

##標数pの体の巡回群
$Z/pZ^{\times}$は足し算の単位元$pZ$を除いた$p-1$個の集合で、掛け算に関して巡回群となる
($G$を位数$n$の有限群とし、任意の自然数$l$に対し$x^l=1$となる$G$の元$x$の個数が常に$l$以下ならば$G$は巡回群であるという事実を使って証明する)　
※巡回群なので生成元は1個
※$\\{1\\}$以外の部分群がありえる

$g^{p-1}=1$

$Z/pZ$は体なので、この巡回群で$\bmod p$で$0$となる元はない。$Z/pZ^{\times}$のある元$g^k=g*g^{k-1}=0$の時、$g=0$または$g^{k-1}=0$となるが、$g\neq0$なので$g^{k-1}=0$で、帰納的に$g=0$となり矛盾する

例えば、$p=11$としたとき$2+pZ$が生成元として取れる。$3+pZ$だと生成できない。生成元となる法則があるかは不明。
$\mathbb{C}$の中に$Z/pZ$を埋め込み$n$乗根と同一視できる。

|生成元||||||||||
|---:|---:|---:|---:|---:|---:|---:|---:|---:|---:|---:|
|$\overline{2}$|$\overline{4}$|$\overline{8}$|$\overline{16}$|$\overline{10}$|$\overline{20}$|$\overline{18}$|$\overline{14}$|$\overline{6}$|$\overline{12}$|
||||$\overline{5}$||$\overline{9}$|$\overline{7}$|$\overline{3}$||$\overline{1}$|
|$\overline{3}$|$\overline{9}$|$\overline{27}$|$\overline{15}$|$\overline{12}$||||||
|||$\overline{5}$|$\overline{4}$|$\overline{1}$||||||
|$\overline{4}$|$\overline{16}$|$\overline{20}$|$\overline{36}$|$\overline{12}$||||||
||$\overline{5}$|$\overline{9}$|$\overline{3}$|$\overline{1}$||||||
|$\overline{5}$|$\overline{25}$|$\overline{15}$|$\overline{20}$|$\overline{45}$||||||
||$\overline{3}$|$\overline{4}$|$\overline{9}$|$\overline{1}$||||||
$\overline{6}$|$\overline{36}$|$\overline{18}$|$\overline{42}$|$\overline{54}$|$\overline{60}$|$\overline{30}$|$\overline{48}$|$\overline{24}$|$\overline{12}$|
||$\overline{3}$|$\overline{7}$|$\overline{9}$|$\overline{10}$|$\overline{5}$|$\overline{8}$|$\overline{4}$|$\overline{2}$|$\overline{1}$|
|$\overline{7}$|$\overline{49}$|$\overline{35}$|$\overline{14}$|$\overline{21}$|$\overline{70}$|$\overline{28}$|$\overline{42}$|$\overline{63}$|$\overline{56}$|
||$\overline{5}$|$\overline{2}$|$\overline{3}$|$\overline{10}$|$\overline{4}$|$\overline{6}$|$\overline{9}$|$\overline{8}$|$\overline{1}$|
|$\overline{8}$|$\overline{64}$|$\overline{72}$|$\overline{48}$|$\overline{32}$|$\overline{80}$|$\overline{24}$|$\overline{16}$|$\overline{40}$|$\overline{56}$|
||$\overline{9}$|$\overline{6}$|$\overline{4}$|$\overline{10}$|$\overline{3}$|$\overline{2}$|$\overline{5}$|$\overline{7}$|$\overline{1}$|
|$\overline{9}$|$\overline{81}$|$\overline{36}$|$\overline{27}$|$\overline{45}$||||||
||$\overline{4}$|$\overline{3}$|$\overline{5}$|$\overline{1}$||||||
|$\overline{10}$|$\overline{100}$|||||||||
||$\overline{1}$||||||||||

ひとたび生成元$g$が分かった時、$g^k$が$Z/pZ^{\times}$の生成元であることと、$k$と$p$が互いに素であることが同値なので比較的簡単に全ての生成元を求めることが可能。これは生成元は一意ではないことを意味する。
生成元の個数は、巡回群の位数を$n$としたときオイラーの関数$\phi (n)$で与えられる
上の例だと$n=10$, $\phi (n)=4$

##既約類の同型
$Z$の剰余環$Z/nZ$は掛け算に関して一般に逆元をもたないが、$n$と互いに素な元には逆元が存在する。これを集めたものを既約(剰余)類群といい$Z/nZ^{ \times}$と表す。$p$が素数であれば0を除いたものが既約類群となる。

$Z/10Z$における既約類群は
$\\{1,3,7,9\\}$
$\overline{3}$ $\overline{7}$ $=\overline{1}$
$\overline{6}$ $\overline{7}$ $=\overline{1}$
$\overline{9}$ $\overline{9}$ $=\overline{1}$

10と互いに素でない2には逆元がない。
$\overline{2}$ $\overline{0}$ $=\overline{0}$
$\overline{2}$ $\overline{1}$ $=\overline{2}$
$\overline{2}$ $\overline{2}$ $=\overline{4}$
$\overline{2}$ $\overline{3}$ $=\overline{6}$
$\overline{2}$ $\overline{4}$ $=\overline{8}$
$\overline{2}$ $\overline{5}$ $=\overline{0}$
$\overline{2}$ $\overline{6}$ $=\overline{2}$
$\overline{2}$ $\overline{7}$ $=\overline{4}$
$\overline{2}$ $\overline{8}$ $=\overline{6}$
$\overline{2}$ $\overline{9}$ $=\overline{8}$


$n$が$l,m$に分解できる時、
$n$=$lm, (l,m)=1$
既約類群$Z/nZ^{\times}$は、直積分解ができる
$Z/nZ^{\times} \simeq Z/lZ^{\times} \otimes Z/mZ^{\times}$

$Z/2Z^{ \times} \otimes Z/5Z^{ \times}$における既約類は以下の対応となる

|$Z/10Z$|$Z/2Z \otimes Z/5Z$|
|------:|------:|
|$\overline{1}$|$(\overline{1},\overline{1})$|
|$\overline{3}$|$(\overline{1},\overline{3})$|
|$\overline{7}$|$(\overline{1},\overline{2})$|
|$\overline{9}$|$(\overline{1},\overline{4})$|


##環の同型
$R$が単項イデアル整域($Z$は単項イデアル整域)で、$n$の素因数分解を下とした時
$n=p_1^{f_1}p_2^{f_2}p_3^{f_3}...p_n^{f_n}$
$R/nR=R/p_1^{f_1}R \otimes R/p_2^{f_2}R \otimes R/p_3^{f_3}R... \otimes R/p_n^{f_n}R$
となる。（中国式剰余の定理）

以下の対応だと環としての構造がはいるが、体にはならない。2には逆元がない。

|$Z/10Z$|$Z/2Z \otimes Z/5Z$|
|------:|------:|
|0|(0,0)|
|1|(1,1)|
|2|(0,2)|
|3|(1,3)|
|4|(0,4)|
|5|(1,0)|
|6|(0,1)|
|7|(1,2)|
|8|(0,3)|
|9|(1,4)|

##論理体系の一覧
$Z_2$二階算術
ZFC
直観主義論理+俳中律=古典論理
直観主義だけでも関数解析、測度論が展開できる

原始式$s=t$, $s<t$, $s\in X$から命題結合記号と
$\phi$を$\sum_i^0$論理式とするとき、$\forall x_i...\forall x_k \phi$を$\prod_{i+1}^0$論理式と定義
$\phi$を$\prod_i^0$論理式とするとき、$\exists x_i...\exists x_k \phi$を$\sum_{i+1}^0$論理式と定義
$\sum_0^1=\cup\sum_i^0$


逆数学Big5
$RCA_0\subset WKL_0\subset ACA_0 \subset ATR_0 \subset \Pi_1^1$-$CA_0$