「数の世界」読書ノート

[数の世界](https://www.amazon.co.jp/%E6%95%B0%E3%81%AE%E4%B8%96%E7%95%8C-%E8%87%AA%E7%84%B6%E6%95%B0%E3%81%8B%E3%82%89%E5%AE%9F%E6%95%B0%E3%80%81%E8%A4%87%E7%B4%A0%E6%95%B0%E3%80%81%E3%81%9D%E3%81%97%E3%81%A6%E5%9B%9B%E5%85%83%E6%95%B0%E3%81%B8-%E3%83%96%E3%83%AB%E3%83%BC%E3%83%90%E3%83%83%E3%82%AF%E3%82%B9-%E6%9D%BE%E5%B2%A1-%E5%AD%A6/dp/4065187451)という八元数も扱っている本が出たので買って読んでみることにしました。ちょっとつまずいた箇所があったので、計算練習の結果を載せておきます。

P230に、

```math
(\alpha + \beta \boldsymbol j)(\gamma + \delta \boldsymbol j)
=\alpha \gamma - \bar \delta \beta + (\beta \bar \gamma + \delta \alpha) \boldsymbol j
```
ここで$\alpha,\beta,\gamma,\delta \in \boldsymbol H$がそれぞれ四元数、$\boldsymbol j$が新しい虚数単位であり四元数のいずれの虚数単位とも反交換、というのが出てきます（上付線$\bar \alpha$は$\alpha$の四元数共役）。この式は[ケーリー＝ディクソンの構成法](https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B1%E3%83%BC%E3%83%AA%E3%83%BC%EF%BC%9D%E3%83%87%E3%82%A3%E3%82%AF%E3%82%BD%E3%83%B3%E3%81%AE%E6%A7%8B%E6%88%90%E6%B3%95#%E5%85%AB%E5%85%83%E6%95%B0)といってこれ自身が八元数の定義式になっているので、なんでこんな式になっているのかと問うことは野暮なことなのですが、かといって直観的にこの式の必然性が判るというわけでもありません。なので八元数の性質を所与のものとしてこの式の検算をしてみます。

$\gamma = \bar \alpha$, $\delta = -\beta$の場合（左辺にも右辺にもこれを代入して）、

```math
(\alpha + \beta \boldsymbol j)(\bar \alpha - \beta \boldsymbol j)
= \alpha \bar \alpha + \bar \beta \beta + (\beta \alpha - \beta \alpha) \boldsymbol j
= |\alpha|^2 + |\beta|^2
```
となることから、自身の共役を掛けることでノルムになるという性質が満たされていることがわかります。というよりは少なくともこれを満たすように最初の式は作られているということですね。掛け算の順序や$\bar \delta$や$\bar \gamma$のような共役が出てくることに（まだ不定性は残るものの）ある程度の説明がつきます。ここでは、

```math
\overline{\alpha + \beta \boldsymbol j} =
\bar \alpha + \bar{\boldsymbol j} \bar \beta = 
\bar \alpha - \boldsymbol j \bar \beta =
\bar \alpha - \beta \boldsymbol j
```
が成り立つものとしています。四元数$\beta \in \boldsymbol H$には、$\beta \boldsymbol j = \boldsymbol j \bar \beta$となることに注意してください。

最初の式の左辺を展開してみます：

```math
(\alpha + \beta \boldsymbol j)(\gamma + \delta \boldsymbol j)
= \alpha \gamma +(\beta \boldsymbol j)(\delta \boldsymbol j)
+ \alpha(\delta \boldsymbol j) + (\beta \boldsymbol j)\gamma
```
非可換で非結合なのをお忘れなく。これをなんとか$\epsilon + \zeta \boldsymbol j\ (\epsilon,\zeta \in \boldsymbol H)$というかたち書きたいのですが、$\alpha \gamma$以外の項は以下の式変形が必要になります：

* $(\beta \boldsymbol j)(\delta \boldsymbol j) = -\bar\delta \beta$となること

```math
(\beta \boldsymbol j)(\delta \boldsymbol j) = 
(\boldsymbol j \bar \beta)(\delta \boldsymbol j) = 
\boldsymbol j (\bar \beta \delta) \boldsymbol j = 
\boldsymbol j \boldsymbol j (\overline{\bar \beta \delta}) = 
-\bar \delta \beta
```
途中でムーファンの法則$(a(bc))a = (ab)(ca) = a((bc)a)$を使いました。

また、左からも右からも$\boldsymbol j$を掛けたかたちはどちらを先に結合させても同じということで三重積で書いてしまっています。冪結合の法則$(aa)b = a(ab)$も用いています。

* $\alpha(\delta \boldsymbol j) = (\delta \alpha) \boldsymbol j$となること

```math
\boldsymbol j(\alpha(\delta \boldsymbol j)) = 
\boldsymbol j (\alpha(\boldsymbol j \bar \delta)) = 
(\boldsymbol j \alpha \boldsymbol j)\bar \delta = 
-\bar \alpha \bar \delta
```
左ムーファンの法則$((ab)a)c = a(b(ac))$を用いています。
両辺に左から$-\boldsymbol j$を掛け冪結合性も適用すると

```math
\alpha(\delta \boldsymbol j) = \boldsymbol j (\bar \alpha \bar \delta) = 
\overline{\bar \alpha \bar \delta} \boldsymbol j = (\delta \alpha) \boldsymbol j
```

* $(\beta \boldsymbol j)\gamma = (\beta \bar \gamma)\boldsymbol j$となること

```math
((\beta \boldsymbol j)\gamma) \boldsymbol j = \beta (\boldsymbol j \gamma \boldsymbol j) = -\beta \bar \gamma
```
右ムーファンの法則$((ca)b)a=c(a(ba))$を用いました。
両辺に右から$-\boldsymbol j$を掛けることで

```math
(\beta \boldsymbol j)\gamma = (\beta \bar \gamma)\boldsymbol j
```

#感想
非結合な代数の式変形にはある程度の「慣れ」が必要でした。原著ではギリシア文字の変数も、私の手計算ではローマ文字で行っています（そして間違えた計算になったり堂々巡りを繰り返したり）。もっと上手な方法もあるのではないかと思います。式変換のルールって、迷路の中で合法手の一覧を提示してくれるだけでゴールへのたどりつき方を教えてくれるものではありません。とりあえず今回のケースでは、新しい虚数単位$\boldsymbol j$に対して３つあるムーファンの法則を適用できるかたちにもっていくというのがよい指針となりました。また、四元数$\alpha \in \boldsymbol H$に対して$\alpha \boldsymbol j = \boldsymbol j \bar \alpha$となること、冪結合性より$\boldsymbol j (\boldsymbol j \alpha) = (\boldsymbol j \boldsymbol j)\alpha = -\alpha$や$\boldsymbol j \alpha \boldsymbol j = -\bar \alpha$となることをよく使っています。