【初心者向け】指数・対数関数の発見とそれ以降の発展について。

![Rplot100.png](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/597772/040e75fc-d8b9-ea71-bedb-0811383cfc2c.png)

時はまさに近世も成熟期に入った<font color=green>18世紀</font>。**自然指数関数**(<font color=blue>Natural Exponential function</font>)と**自然対数関数**(<font color=blue>Natural Logarithmic function</font>)の概念を纏め上げ、**マクローリン級数** (<font color=blue>Maclaurin series</font>) の概念を知ったばかりの数学者**レオンハルド・オイラー**（<font color=blue>Leonhard Euler, 1707年〜1783年</font>）は、**三角関数**（<font color=blue>Trigonometric Function</font>）の概念と**自然指数関数**/**自然対数関数**の概念が統合可能なのではないかと考えました。
[【Rで球面幾何学】オイラーの公式を導出したマクローリン級数](https://qiita.com/ochimusha01/items/4a484d5759f96abb0ab3)
![20190602123436.gif](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/597772/b984a648-50c3-bdb9-36a0-8208e38116ca.gif)
そもそも**指数関数**や**対数関数**はどういう概念なのでしょう？
![20190927233136 (1).png](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/597772/216d94f6-b445-ae38-64d8-bd6f8db5a2c9.png)
**自然指数関数**と**自然対数関数**の値の範囲。ただし

* <font color=blue>n</font>={<font color=green>-∞→-2→-1→0→1→2→∞</font>}
* <font color=blue>N</font>={<font color=green>-∞,…,-2,-1,0,1,2,…,∞</font>}
* <font color=blue>m</font>=<font color=green>{exp(-∞):=0→exp(-2)=1/exp(2)=1/exp(1)^2→exp(-1)=1/exp(1)→exp(0)=1,exp(1)→exp(2)=exp(1)^2→exp(∞):=∞}</font>
* <font color=blue>M</font>=<font color=green>{exp(-∞):=0,…,→exp(-2)=1/exp(2)=1/exp(1)^2→exp(-1)=1/exp(1),exp(0)=1,exp(1),exp(2)=exp(1)^2,…,exp(∞):=∞}</font>

とする。

1. **自然指数関数**<font color=green>Y=e^</font><font color=blue>n</font>の範囲=<font color=blue>M</font>
2. **自然指数関数**<font color=green>Y=log</font>(<font color=blue>m</font>)</font>の範囲=<font color=blue>N</font>
3. **自然指数関数**<font color=green>Y=e^</font><font color=blue>-n</font>の値の範囲=<font color=blue>rev(M)</font>
4. **自然指数関数**<font color=green>Y=log</font>(<font color=blue>-m</font>)</font>の値の範囲=<font color=blue>rev(N)</font>
5. **自然指数関数**<font color=green>Y=-e^</font><font color=blue>n</font>の値の範囲=<font color=blue>-M</font>
6. **自然指数関数**<font color=green>Y=-log</font>(<font color=blue>m</font>)</font>の値の範囲=<font color=blue>-N</font>
7. **自然指数関数**<font color=green>Y=-e^</font><font color=blue>-n</font>の値の範囲=<font color=blue>-rev(M)</font>
8. **自然指数関数**<font color=green>X=-log</font>(<font color=blue>-m</font>)</font>の値の範囲=<font color=blue>-rev(N)</font>

<font color=purple>統計言語Rによる作図例</font>

```R
#各指数関数・対数関数の交差点
Graph_scale_x<-c(-2,2)
Graph_scale_y<-c(-2,2)
theta <- seq(pi, -pi, length=360)
plot(cos(theta), sin(theta),asp=0,xlim=Graph_scale_x,ylim=Graph_scale_y,type="l",col=rgb(0,0,0), main="Exponential & Logarithmic", xlab="X", ylab="Y")

par(new=T)#上書き指定
#指数関数
e0<-function(x){exp(x)}
plot(e0,asp=0,xlim=Graph_scale_x,ylim=Graph_scale_y,type="l",col=rgb(0,0,1), main="",xlab="",ylab="")
par(new=T)#上書き指定
e1<-function(x){exp(-x)}
plot(e1,asp=0,xlim=Graph_scale_x,ylim=Graph_scale_y,type="l",col=rgb(0,0,1), main="",xlab="",ylab="")
par(new=T)#上書き指定
e2<-function(x){-1*exp(x)}
plot(e2,asp=0,xlim=Graph_scale_x,ylim=Graph_scale_y,type="l",col=rgb(0,0,1), main="",xlab="",ylab="")
par(new=T)#上書き指定
e3<-function(x){-1*exp(-x)}
plot(e3,asp=0,xlim=Graph_scale_x,ylim=Graph_scale_y,type="l",col=rgb(0,0,1), main="",xlab="",ylab="")
par(new=T)#上書き指定

#対数関数
tc <- seq(-6, 6, length=60) #-6から6までを60等分
l0<-function(x){exp(x)}
tcvals0 <- l0(tc) #それぞれの縦軸の値
plot(tcvals0,tc,asp=0,xlim=Graph_scale_x,ylim=Graph_scale_y,type="l",col=rgb(0,1,0), main="",xlab="",ylab="")
par(new=T)#上書き指定

l1<-function(x){exp(-x)}
tcvals1 <- l1(tc) #それぞれの縦軸の値
plot(tcvals1,tc,asp=0,xlim=Graph_scale_x,ylim=Graph_scale_y,type="l",col=rgb(0,1,0), main="",xlab="",ylab="")
par(new=T)#上書き指定
l2<-function(x){-1*exp(x)}
tcvals2 <- l2(tc) #それぞれの縦軸の値
plot(tcvals2,tc,asp=0,xlim=Graph_scale_x,ylim=Graph_scale_y,type="l",col=rgb(0,1,0), main="",xlab="",ylab="")
par(new=T)#上書き指定
l3<-function(x){-1*exp(-x)}
tcvals3 <- l3(tc) #それぞれの縦軸の値
plot(tcvals3,tc,asp=0,xlim=Graph_scale_x,ylim=Graph_scale_y,type="l",col=rgb(0,1,0), main="",xlab="",ylab="")
#90度(π/2)の補助線
abline(h=0)
abline(v=0)
#45度(π/4)の補助線
segments(-8,-8,8,8,col=c(128,128,128))
segments(-8,8,8,-8,col=c(128,128,128))
#18度(π/10)/72度の補助線
segments(-8,-(sin(pi/10))*8,8,(sin(pi/10))*8,col=c(128,128,128))
segments(-8,(sin(pi/10))*8,8,-1*(sin(pi/10))*8,col=c(128,128,128))
segments(-(sin(pi/10))*8,-8,(sin(pi/10))*8,8,col=c(128,128,128))
segments*1*8,-8,-1*(sin(pi/10))*8,8,col=c(128,128,128))
legend("bottomleft", legend=c("±e^±x","±log(±x)"),lty=c(1,1),col=c(rgb(0,0,1),rgb(0,1,0)))
```
ちなみに**三角関数**や**自然指数・対数関数**の様に有限回数の加減乗除算や冪算で表せない関数を**超越関数**（<font color=blue>Transcendental Function</font>）といいます。
[超越関数（transcendental function)とは](https://kotobank.jp/word/%E8%B6%85%E8%B6%8A%E9%96%A2%E6%95%B0-97642)
#ネイピア数の発見
①**大数の弱法則**(<font color=blue>WLLN: Weak Law of Large Numbers</font>) の発見者たる**ヤコブ・ベルヌーイ**（<font color=blue>Jakob Bernoulli、1654年〜1705年</font>）とその弟子**レオンハルト・オイラー**（<font color=blue>Leonhard Euler, 1707年〜1783年</font>）は、「**各出目の出現確率が均等に1/6の六面体サイコロを6回降って特定の目が1回も出ない確率**」なる概念を数式的に抽象化した<font color=green>(1-1/N)^N</font>の式を通じて**ネイピア数**<font color=green>1/e=0.3678794</font>の概念に到達した。
![20190426032119.png](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/597772/6333accd-819f-7106-7f81-499c8a946416.png)
<font color=purple>統計言語Rによる作図例</font>

```R
#オイラーの「ネイピアの対数表」に基づく算出方法
f0=function(x){(1-1/x)^x}
#グラフ化してみる。
plot(f0, xlim=c(0,50),ylim=c(0,0.5),lty =1,main="Natural logarithm", xlab="N", ylab="(1-1/N)^N")
#自然対数1/eと比較。
abline(h=exp(-1))#exp(-1)=0.3678794...
```
1. **大数の弱法則**(<font color=blue>WLLN:Weak Law of Large Numbers</font>)…**独立同分布/独立同一分布**に従う**可積分**な**確率変数**の**無限列**<font color=green>X1,X2,…Xn</font>とその**平均**<font color=green>μ</font>が与えられた時、**標本平均**（<font color=blue>Sample Mean</font>）<font color=green>(X1, X2,…Xn)/n</font>（<font color=blue>ただしn>=1</font>）_の取る値が**平均**<font color=green>μ</font>の近傍から外れる確率は、<font color=green>n</font>の値さえ大きくとれば、いくらでも小さく出来るとする考え方。<br>[【初心者向け】記述統計学と代表値](https://qiita.com/ochimusha01/items/0bdfc971a69a30f0615f)<br>[【無限遠点を巡る数理】無限遠点としての正規分布と分散概念の歴史](https://qiita.com/ochimusha01/items/15326f0c787a55f174cc)

2. **独立同分布/独立同一分布**（<font color=blue>Independent and Identically Distributed; IID,i.i.d.,iid</font>）…確率論と統計学において、確率変数の列やその他の系が、それぞれの**確率変数**が他の**確率変数**と同じ**確率分布**を持ち、かつ、それぞれ互いに独立している場合をいう。例えば**６面体サイコロ**で各出目の確率は毎回<font color=green>1/6</font>であり、その前後の出目の影響を受けない（<font color=blue>メモリレス性</font>）。「**独立同分布/独立同一分布**」なる確率分布自体が存在する訳ではない点に注意。

3. **可積分**（<font color=blue>Integrable</font>）…ニュートンが<font color=green>17世紀</font>にケプラー問題を解いて微分積分学や古典力学が発祥して以降追求されてきた「**求積法で完全に解ける**」範囲。例えば「**物差しの目盛は収束などしてはいけない**」ルールに従って**指数・対数関数**や**三角関数**を「**収束しない基準**」として採用した**フーリエ解析**（<font color=blue>Fourier Analysis</font>）における**フーリエ展開**（<font color=blue>Fourier Expansion</font>）/**フーリエ逆展開**（<font color=blue>Fourier Inverse Expansion</font>）は、その立ち場故に**指数・対数関数**や**三角関数**そのものを直接は扱えない（<font color=blue>決して収束しないからこそ正負の目盛りが無限に続き微積分演算の対象となり得ない</font>）。あえてこの制約を破ろうとしたのがラプラス変換となる。

4. **確率変数**（<font color=blue>Random Variable</font>）…ある確率のセットが変数として存在し、しかも概ねそうした確率の合計が1となる様に**正規化**（<font color=blue>Normalization</font>）された状態モデルを指す。例えば**コインの出目**は<font color=green>｛表,裏｝</font>のいずれかで、それぞれの目が出る確率は<font color=green>1/2</font>(<font color=blue>P(X)=1/2(x=0,1))</font>。**６面体サイコロを投げて出る目**は<font color=green>｛1,2,3,4,5,6｝</font>のいずれかで、それぞれの目が出る確率は<font color=green>1/6</font>(<font color=blue>P(X)=1/6(x=1,2,3,4,5,6))</font>。**3の目が出る確率**も<font color=green>1/6</font>(<font color=green>P(X=3)=1/6,P(3)=1/6)</font>。一般化すると<font color=green>P(X)=1/N</font>(<font color=green>X=1,2,3…N</font>)となる。ちなみにこの様に出目の出現確率が均等となる分布を**離散一様分布**（<font color=blue>Discrete Uniform Distribution</font>）という。<br>[離散一様分布](https://bellcurve.jp/statistics/course/8011.html)<br>[連続一様分布1](https://bellcurve.jp/statistics/course/8013.html)<br>[連続一様分布2](https://bellcurve.jp/statistics/course/8015.html)<br>先に述べた<font color=green>(1-1/N)^N</font>（<font color=blue>各出目の出現確率が均等に1/NのN面体サイコロをN回降って特定の目が1回も出ない確率</font>）なる概念も、この考え方の延長線上に導出されたのである。

ところで、ここに挙げた<font color=green>(1-1/N)^N</font>なる式は**円グラフ**(<font color=blue>Pie Chart</font>)に配した**離散一様分布**（<font color=blue>Discrete Uniform Distribution</font>）<font color=green>P(X)=1/N</font>(<font color=green>X=1,2,3…N</font>)の<font color=green>N</font>を**分割回数**<font color=green>0</font>(<font color=blue>分割数1</font>)から**分割数無限**(<font color=blue>Inf(inity),分割数はInf(inity)-1=Inf(inity)</font>)に増やしていく過程に重なります。**特定の出目が1回も出ない確率**は**各柱の頂点**に現れるので、**ピタゴラスの定理**(<font color=blue>Pythagorean Theorem</font>)<font color=green>sqrt(x^2+y^2)</font>ないしは<font color=green>sqrt(x^2+y^2+z^2)</font>に導かれる形で「**原点**<font color=green>{0,0}</font><font color=purple>ないしは</font><font color=green>{0,0,0}</font><font color=purple>を共有し</font>**ユークリッド距離**(<font color=blue>Euclidean Distance</font>)<font color=purple>を同じくする</font>**半径**(<font color=blue>Radius</font>)<font color=green>r</font>」の**集合**(<font color=blue>Set</font>)が最終的に**円**(<font color=blue>Circle</font>)や**球面**(<font color=blue>Sphere</font>)を描く訳です。
[【初心者向け】ピタゴラスの定理あるいは三平方の定理からの出発](https://qiita.com/ochimusha01/items/4c7f731b0ef3cc998aa1)
![20191110181943.gif](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/597772/241a9d60-380c-d71e-08e3-085d596ec8fe.gif)
<font color=purple>統計言語Rによる作図例</font>

```R
#FN01=Find the number of Napier 01

FN01<-function(NoS){
pie.data<-rep(1, NoS)
names0<-NULL

for(i in 1:NoS){
names0<-c(names0,paste0(i,"/",NoS))
}
names(pie.data)<-names0
pie(pie.data, col = heat.colors(NoS),main = "Probability of losing  the Antipodal point")
}

#アニメーション
library("animation")
Time_Code=c(1,1,1,2,2,2,3,3,3,4,4,4,5,5,5,6,6,6,7,7,8,8,9,9,10,10,11,12,13,14,15,16)
saveGIF({
for (i in Time_Code){
FN01(i)
}
}, interval = 0.1, movie.name = "FN01.gif")
```
**分割回数**<font color=green>0</font>(<font color=blue>分割数1</font>)…**当たりが引けない確率**<font color=green>(1-1/1)^1=0</font>(<font color=blue>「未開封のくじ引きセット」同様、必ず当たり籤が含まれている状態なので、それを引けない確率は0</font>)。ちなみにこの時の頂点間を結ぶ辺長計は<font color=green>2πr=6.283185r</font>(<font color=blue>rは半径。つまり円周長そのもの</font>)。
![image.png](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/597772/90c849f8-22fb-809e-67bd-eb3ae2b596f4.png)
**分割回数**<font color=green>1</font>(<font color=blue>分割数2</font>)…**当たりが引けない確率**<font color=green>(1-1/2)^2=0.25</font>(<font color=blue>1/4</font>)。ちなみにこの時の頂点間を結ぶ辺長計は<font color=green>4r</font>(<font color=blue>rは半径。つまり半径×4=直径×2</font>)。
![image.png](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/597772/04dbcb2e-2bf5-f003-6db0-2d4ba0121e32.png)
**分割回数**<font color=green>2</font>(<font color=blue>分割数3</font>)…**当たりが引けない確率**<font color=green>(1-1/3)^3=0.2962963</font>。ちなみにこの時の頂点間を結ぶ辺長計は<font color=green>6r</font>(<font color=blue>rは半径。つまり正三角形の1辺2r*3</font>)。
![image.png](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/597772/4f6d0129-3c87-ba2f-8fa5-dbce03aad5b8.png)
**分割回数**<font color=green>3</font>(<font color=blue>分割数4</font>)…**当たりが引けない確率**<font color=green>(1-1/4)^4=0.3164062</font>。ちなみにこの時の頂点間を結ぶ辺長計は<font color=green>4sqrt(2)r=5.656854r</font>(<font color=blue>rは半径。対角線sqrt(2)×4</font>)。
![image.png](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/597772/abee913d-631a-13db-d27b-cb413438bccf.png)
こうして「**頂点間を結ぶ辺長計**」を求める振る舞いは「**円に内接する多角形の辺長計と内接する多角形の辺長計の左がなくなるまで辺数Nを増やす**」方法で**半径**(<font color=blue>Radius</font>)<font color=green>r</font>の**円周長**<font color=green>2πr=6.283185r</font>を求める**「挟み撃ち法**(<font color=blue>Squeeze Theorem</font>)」と重なります。
[【初心者向け】挟み撃ち定理による円周率πの近似](https://qiita.com/ochimusha01/items/1caff7d8af4aab167aaa)
![image.gif](https://qiita-user-contents.imgix.net/https%3A%2F%2Fqiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com%2F0%2F597772%2F91fd2787-e634-9a4c-64a8-5616bbd12d65.gif?ixlib=rb-1.2.2&auto=format&gif-q=60&q=75&w=1400&fit=max&s=c20efc397400fba9c7dfb6c62a4fb04b)
そう、実は最終的に収束する数字こそ異なるとはいえ「<font color=green>exp(-1)</font>=**ネイピア数**<font color=green>1/e</font>**の求め方**」と「**円周率**<font color=green>π</font>**の求め方**」は**添字**(<font color=blue>Index</font>)<font color=green>N</font>を共有していたのです。
![20191117210800.png](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/597772/6f5775ab-3d46-5be1-bb02-fda58db18c20.png)
<font color=purple>統計言語Rによる作図例</font>

```R
#オイラーの「ネイピアの対数表」に基づく算出方法
cx0<-seq(1,70,length=700)
f0<-function(x){(1-1/x)^x}
cy0<-f0(cx0)
#グラフ化してみる。
plot(cx0,cy0,xlim=c(1,32),ylim=c(0,6.5),type="l",col=rgb(1,0,0),main="From One side to Two sides", xlab="NoS(Number of Sides)", ylab="(1-1/NoS)^N/2*tan(π/NoS)*cos(π/NoS)*NoS")

par(new=T)#上書き指定
#円周計算
cx1=seq(1,70,length=700)
f1=function(x) 2*tan(pi/x)*cos(pi/x)*x
cy1<-f1(cx1)
plot(cx1,cy1,xlim=c(1,32),ylim=c(0,6.5),type="l",col=rgb(0,1,0),main="", xlab="", ylab="")

par(new=T)#上書き指定
#面積計算
cx2=seq(1,70,length=700)
f2=function(x) tan(pi/x)*cos(pi/x)*x
cy2<-f2(cx2)
plot(cx2,cy2,xlim=c(1,32),ylim=c(0,6.5),type="l",col=rgb(0,0,1),main="", xlab="", ylab="")
#自然対数1/eと比較。
abline(h=exp(-1),col=rgb(1,0,0))#exp(-1)=0.3678794...
abline(h=pi,col=rgb( 0,0,1))#2π=6.283185...
abline(h=2*pi,col=rgb(0,1,0))#2π=6.283185...
#凡例
legend("bottomright", legend=c("(1-1/N)^N->exp(-1)=0.3678794...","2*tan(π/NoS)*cos(π/NoS)*NoS->2π=6.283185...","2tan(π/NoS)*cos(π/NoS)*1/2*NoS->π=3.141593"),lty=c(1,1),col=c(rgb(1,0,0),rgb(0,1,0),rgb(0,0,1)))
```

②さらに**ベルヌーイ**と**オイラー**は「**一年で元金が倍になる夢の金融商品において、複利計算でさらに利益を上げられる上限**」なる概念を数式的に抽象化した<font color=green>(1+1/N)^N</font>の式の究極解として**ネイピア数**<font color=green>e=2.718282</font>そのものにも到達。
![image.gif](https://cdn-ak.f.st-hatena.com/images/fotolife/o/ochimusha01/20190315/20190315015420.gif)

```R
#統計解析言語Rによる確認例。
Principal_growth1<-function(op){
#増加基準単位となる元本を1=100/100=100%と置く。
Principal<-1
#関数グラフ化
f0=function(x){(x*(Principal+1/op))^op}
plot(f0, xlim=c(0,1),ylim=c(0,3),lty =1,type="s",main="Principal growth on Compound interest", xlab="Operation period", ylab="Principal growth rate (100% base)")
# 凡例を書き添える 。
 legend("topleft", legend=c("Compound interest"), lty =c(1))
}
#アニメーションさせてみる。
library("animation")
Time_Code=c(1,2,3,4,5,10,20,30,40,50)
saveGIF({
for (i in Time_Code){
　　Principal_growth1(i)
}
}, interval = 0.1, movie.name = "TEST.gif")
```
![20190426031522.png](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/597772/bb229df2-d8d6-ba67-46c2-6826b8fa82f6.png)
<font color=purple>統計言語Rによる作図例</font>

```R
#ヤコブ・ベルヌイの複利計算法に基づく算出方法
f0=function(x){(1+1/x)^x}
#グラフ化してみる。
plot(f0, xlim=c(0,50),ylim=c(0,3),lty =1,main="Natural logarithm", xlab="N", ylab="(1+1/N)^N")
#自然対数eと比較。
abline(h=exp(1))#exp(1)=2.718282...
```

**ネイピア数の逆数**<font color=green>exp(-1)=1/exp(1)</font>(<font color=blue>=0.3678794</font>)の計算が<font color=green>0</font>**分割**(<font color=blue>分割数1</font>)の概念から出発するのに対し、その逆数たる**ネイピア数**<font color=green>exp(1)</font>(<font color=blue>=2.718282</font>)の計算は「<font color=red>距離2の直線</font>」から出発します。前者を**半径**(<font color=blue>Radius</font>)<font color=green>r</font>の世界とすれば後者は**直径**(<font color=blue>Diameter</font>)<font color=green>{-r,0,r}</font>あるいは**共役概念**(<font color=blue>Conjugated Concept</font>)との関わりが深い球表面上の**対蹠**(<font color=green>Antipodes</font>)の世界であり、両者の鮮やかな対比は何らかの形での「**境界線**」を暗示している様です。
[共役とは - コトバンク](https://kotobank.jp/word/%E5%85%B1%E5%BD%B9-53076)

* **ネイピア数**<font color=green>exp(1)=2.718282</font>を求める**式**<font color=green>(1+1/n)^n</font>は(<font color=blue>元金により生じた利子を次期の元金に組み入れていく</font>)**複利計算法**においては**単複利状態**「<font color=purple>元手1,区間範囲1における利率が2倍</font>」から出発し「<font color=purple>期間分割に対応して前期までの利率が元金に加えられる</font>」「<font color=purple>ただし区間分割数に対応して利率も割られる</font>」設定で計算すると、どうしても区間分割数を無限に増やしても超えられない「**元金増率の壁**」に突き当たる事を意味している。「<font color=red>距離2の直線</font>」には、こういう顕現の仕方もあるという事。<br>[【数列】連続複利とネイピア数 ”e”](http://oto-suu.seesaa.net/article/291512245.html)
* またネイピア数は解析学などの世界では「<font color=green>x=1,y=1</font><font color=purple>の時に</font><font color=green>x×y</font><font color=purple>の面積が</font><font color=green>1</font><font color=purple>となる</font>**反比例関数**<font color=green>y=1/x</font><font color=purple>において、次に</font><font color=green>x×y</font><font color=purple>の面積が</font><font color=green>1</font><font color=purple>となる</font><font color=green>x</font><font color=purple>の</font>**区間**<font color=green>{1,x}</font><font color=purple>の</font><font color=green>x</font><font color=purple>とその時の</font><font color=green>y</font><font color=purple>の値を求めよ</font>」なる設問の形で登場し、この問題の正解は<font color=green>x=exp（1）</font>(<font color=blue>=2.718282</font>),<font color=green>y=exp(-1)</font>(<font color=blue>=0.3678794</font>)。解き方としては<font color=green>x^(-1)</font>の定積分から出発して**式**<font color=green>(1+x)^(1/x)</font>を導出してその極限を求める。そう、この計算方法もやはり「<font color=red>距離2の直線</font>」から出発するのである。<br>[自然対数の底eの定義](http://w3e.kanazawa-it.ac.jp/math/category/other/kyokugen/henkan-tex.cgi?target=/math/category/other/kyokugen/e-no-teigi.html)

**反比例関数**<font color=green>y=1/x</font>において「**面積1となる区間**(<font color=blue>exp(-1)×exp(1)=1</font>)」
![Rplot.png](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/597772/8f92a941-5813-9c39-95cd-f61a6b525253.png)
<font color=purple>統計言語Rによる作図例(片側)</font>

```R
f0<-function(x){1/x}
plot(f0,xlim=c(0,3),ylim=c(0,3),main="Inverse Proportional Formula")
#該当箇所の塗り潰し
sqx<-seq(1,exp(1),length=11)
sqy<-f0(sqx)
polygon(
c(1,sqx,exp(1)), #x
c(0,sqy,0), #y
density=c(50), #塗りつぶす濃度
angle=c(45),　 　　　#塗りつぶす斜線の角度
col=c(200,200,200)) 　#塗りつぶす色
```
<font color=purple>統計言語Rによる作図例(両側)</font>
![Rplot100.png](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/597772/2106ea78-9743-5852-cfaf-24c1c24c9d1e.png)

```R
f0<-function(x){1/x}
plot(f0,asp=1,xlim=c(0,3),ylim=c(0,3),main="Inverse Proportional Formula")
#該当箇所の塗り潰し
sqx0<-seq(1,exp(1),length=11)
sqy0<-f0(sqx0)
polygon(
c(1,sqx0,exp(1)), #x
c(0,sqy0,0), #y
density=c(50), #塗りつぶす濃度
angle=c(45),　 　　　#塗りつぶす斜線の角度
col=c(200,200,200)) 　#塗りつぶす色
sqx1<-seq(exp(-1),1,length=11)
sqy1<-f0(sqx1)
polygon(
c(0,0,exp(-1),sqx1,0), #x
c(1,exp(1),exp(1),sqy1,1), #y
density=c(50), #塗りつぶす濃度
angle=c(45),　 　　　#塗りつぶす斜線の角度
col=c(200,200,200)) 　#塗りつぶす色

```
なので<font color=green>X軸</font>に<font color=purple>exp(x)</font>、<font color=green>y軸</font>に<font color=purple>exp(x)</font>を置くと<font color=green>xy面</font>に**関数**<font color=purple>xy=1</font>の**演算結果集合**(<font color=blue>Operation Result Set</font>)が現れます。
![image.gif](https://cdn-ak.f.st-hatena.com/images/fotolife/o/ochimusha01/20210122/20210122013721.gif)

```R
library(rgl)
c0<-seq(-2.1,2.1,by=0.2)
cx<-exp(c0)
cy<-exp(-c0)
cz<-c0
plot3d(cx,cy,cz,type="l",xlim=c(0,8),ylim=c(0,8),zlim=c(-2,2),xlab="exp(x)",ylab="exp(-x)",zlab="x")
movie3d(spin3d(axis=c(0,0,1),rpm=5),duration=10,fps=25,movie="~/Desktop/r10")
```
![image.png](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/597772/47721422-bb9f-9d66-ff54-456f85923718.png)
![Rplot02.png](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/597772/74235fb7-89a2-fa4c-8b11-b216c77862b1.png)

```R
c0<-seq(-2.1,2.1,by=0.2)
cx<-exp(c0)
cy<-exp(-c0)
plot(cx,cy,xlim=c(0,8),type="b",ylim=c(0,8),main="xy=1",xlab="exp(x)",ylab="exp(-x)")
```
![image.png](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/597772/f2336f9d-6f0a-17bc-f1c4-d6282367a274.png)
![Rplot03.png](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/597772/5328c6bc-5adf-f9b2-caff-cb78aba04504.png)

```R
cx<-seq(-2.1,2.1,by=0.2)
cy<-exp(c0)
plot(cx,cy,type="b",xlim=c(-2,2),ylim=c(0,8),main="exp(x)",xlab="x",ylab="exp(x)")
```
![スクリーンショット 2021-01-22 1.46.42.png](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/597772/3bfd357b-0fff-25ff-fdf0-80feff036a8d.png)
![Rplot04.png](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/597772/0f43bcc7-28e1-3ab3-dc1e-24a618f7f259.png)

```R
cx<-seq(-2.1,2.1,by=0.2)
cy<-exp(-c0)
plot(cx,cy,type="b",xlim=c(-2,2),ylim=c(0,8),main="exp(-x)",xlab="x",ylab="exp(-x)")
```
一方、**自然対数関数**<font color=purple>Log(x)</font>は**自然指数関数**<font color=purple>e^x</font>の座標を<font color=green>90度</font>回転させたものに他なりりません。
![Rplot05.png](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/597772/a0607614-8c4d-5f2e-4cc0-893898b8a37c.png)

```R
cx<-seq(-2.1,2.1,by=0.2)
cy<-exp(c0)
plot(cy,cx,type="b",xlim=c(0,8),ylim=c(-2,2),main="log(x)",xlab="x",ylab="log(x)")
```
![Rplot06.png](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/597772/ec7c1b4d-67a4-b777-4a35-21c274ce5bbb.png)

```R
c0<-seq(-2.1,2.1,by=0.2)
cx<-exp(-c0)
cy<-exp(c0)
plot(cx,cy,type="b",xlim=c(0,8),ylim=c(0,6),main="1/x",xlab="log(-x)",ylab="log(x)")
```
<font color=purple>exp(c0)</font>と<font color=purple>exp(-c0))</font>を足して<font color=green>2</font>で割ったのが<font color=purple>Cosh(x)</font>関数となります。式を見てわかる様に**最大値**が半減して1が**最低値**になっていますね。その逆数<font color=purple>1/Cosh(x)</font>が<font color=purple>Sech(x)</font>です。
![Rplot08.png](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/597772/27369508-91ae-bf16-8303-53eb8e28323a.png)

```R
cx<-seq(-2.1,2.1,by=0.2)
cy<-(exp(c0)+exp(-c0))/2
plot(cx,cy,type="b",xlim=c(-2,2),ylim=c(0,8),main="Cosh(x)&Sech(x)",xlab="x",ylab="(y",col=rgb(0,1,0))
segments(-8,1,8,1,col=rgb(1,0,0))
par(new=T) 
plot(cx,1/cy,type="b",xlim=c(-2,2),ylim=c(0,8),main="",xlab="",ylab="",col=rgb(0,0,1))
segments(-8,1,8,1,col=rgb(1,0,0))
#凡例
legend("topright", legend=c("Cosh(x)=(exp(c0)-exp(-c0))/2","Sech(x)=1/Cosh(x)","y=1"),lty=c(1,1,1),col=c(rgb(0,1,0),rgb(0,0,1),rgb(1,0,0)))
```
<font color=purple>exp(x)</font>から<font color=purple>exp(-x))</font>を引いて<font color=green>2</font>で割ったのが<font color=purple>Sinh(x)</font>関数となります。その逆数<font color=purple>1/Sinh(x)</font>が<font color=purple>Cosech(x)</font>で、両者は**座標**<font color=green>{1,1}</font>と**座標**<font color=green>{1,1}</font>で接します。
![Rplot09.png](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/597772/d7adf663-2926-1f64-11ab-b5b986077ba2.png)

```R
cx<-seq(-2.1,2.1,by=0.2)
cy<-(exp(c0)-exp(-c0))/2
plot(cx,cy,type="b",xlim=c(-2,2),ylim=c(-8,8),main="Sinh(x)&Cosech(x)",xlab="x",ylab="y",col=rgb(0,1,0))
par(new=T) 
plot(cx,1/cy,type="b",xlim=c(-2,2),ylim=c(-8,8),main="",xlab="",ylab="",col=rgb(0,0,1))
segments(-8,-8,8,8,col=rgb(1,0,0))
#凡例
legend("bottomright", legend=c("Sinh(x)=(exp(c0)-exp(-c0))/2","Cosech(x)=1/Sinh(x)","y=x"),lty=c(1,1,1),col=c(rgb(0,1,0),rgb(0,0,1),rgb(1,0,0)))
```
<font color=purple>Sinh(x)</font>を<font color=purple>Sinh(-x))</font>で割ったのが<font color=purple>Tanh(x)</font>関数となります。その逆数<font color=purple>1/Tanh(x)</font>が<font color=purple>Coth(x)</font>となります。どちらも**原点周りの収束**に関係してくる関数ですね。
![Rplot10.png](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/597772/496f90c3-3da0-6161-8570-f1118d9c745c.png)

```R
cx<-seq(-2.1,2.1,by=0.2)
cy<-(exp(c0)-exp(-c0))/(exp(c0)+exp(-c0))
plot(cx,cy,type="b",xlim=c(-2,2),ylim=c(-8,8),main="Tanh(x)&Coth(x)",xlab="x",ylab="y",col=rgb(0,1,0))
par(new=T) 
plot(cx,1/cy,type="b",xlim=c(-2,2),ylim=c(-8,8),main="",xlab="",ylab="",col=rgb(0,0,1))
segments(-8,-1,8,-1,col=rgb(1,0,0))
segments(-8,1,8,1,col=rgb(1,0,0))
#凡例
legend("bottomright", legend=c("Tanh(x)=Cosh(x)/Sinh(x)","Coth(x)=1/Tanh(x)","y=±1"),lty=c(1,1,1),col=c(rgb(0,1,0),rgb(0,0,1),rgb(1,0,0)))
```
この<font color=purple>Tanh(x)</font>の**振幅幅**-1~＋1</font>を**確率論**などでの利用に適した「中心1/2、最大値1,最小値0の振幅</font>」に調整したのが**シグモイド関数**(Sigmoid Function</font>)1/(1+exp(a*x))</font>=(tanh(ax/2)+1)/2</font>となります。**生物の神経細胞が持つ性質**をモデル化したもので、導関数をシグモイド関数自身で簡単に導出できる為、**微分成分**が必要となる**バックプロパゲーション**に適しています。ニューラルネットワークにおける**活性化関数**などで用いられます。
![Rplot11.png](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/597772/4537729c-1423-5ac7-ac85-81e665bb176e.png)
[【初心者向け】ロジスティック方程式とその関連範囲](https://qiita.com/ochimusha01/items/2f0118ecda2e17d366ba)

```R
cx<-seq(-5.1,5.1,by=0.2)
f0<-function(a,x) 1/(1+exp(a*x))
cy1<-f0(1,cx)
cy2<-f0(2,cx)
cy3<-f0(3,cx)
plot(cx,cy1,type="l",xlim=c(-5,5),ylim=c(-1,1),main="Sigmoid Function",xlab="x",ylab="y",col=rgb(0,0,1))
par(new=T) 
plot(cx,cy2,type="l",xlim=c(-5,5),ylim=c(-1,1),main="",xlab="",ylab="",col=rgb(0,1,0))
par(new=T) 
plot(cx,cy3,type="l",xlim=c(-5,5),ylim=c(-1,1),main="",xlab="",ylab="",col=rgb(1,1,0))
segments(-8,0,8,0,col=rgb(1,0,0))
segments(-8,1,8,1,col=rgb(1,0,0))
#凡例
legend("bottomright", legend=c("Gain=1","Gain=2","Gain=3","y=1/y=0"),lty=c(1,1,1,1),col=c(rgb(0,0,1),rgb(0,1,0),rgb(1,1,0),rgb(1,0,0)))
```
ちなみに**式**<font color=green>(1+x)^(1/x)</font>を使っての実際の**ネイピア数**導出過程

```R
> f1<-function(x){(1+x)^(1/x)}
> f1(1)
[1] 2
> f1(0.1)
[1] 2.593742
> f1(0.01)
[1] 2.704814
> f1(0.001)
[1] 2.716924
> f1(0.0001)
[1] 2.718146
> f1(0.00001)
[1] 2.718268
```
ところで、このサイトでは円を描く時、概ね以下のどれかのアルゴリズムを使っています。まだ投稿本文で本格的に触れる段階まで至ってませんが、実は裏舞台は既に「**虚数と複素数と複素平原まみれ**」だったりするのです。

* 群論の大源流の一つともなった「<font color=green>1</font>**の冪乗根**(<font color=blue>Root of Unity</font>)」概念に起源を有する**ガウスの巡回群理論**。小難しい背景理論なんて理解してなくても`c0=seq(-pi,pi,length=NoS);cx=cos(c0);cy=sin(c0)`(<font color="blue">NoS(Number of Sides)=描く多角形の辺数+巡回を完成させる為の1</font>)の構文さえ覚えていれば使える。<br>[1の冪根（Root of Unity） - Wikipedia -](https://ja.wikipedia.org/wiki/1%E3%81%AE%E5%86%AA%E6%A0%B9)<br>![image.gif](https://qiita-user-contents.imgix.net/https%3A%2F%2Fqiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com%2F0%2F597772%2F2d9ca0a6-6aa5-d545-32ad-9f336ff0cdb5.gif?ixlib=rb-1.2.2&auto=format&gif-q=60&q=75&w=1400&fit=max&s=db3e50aa3b3059287041cd2a1d04fa6f)
* ご存知**オイラーの公式**(<font color=blue>Eulerian Formula</font>)<font color=green>e^πi=cos(θ)+sin(θ)i</font>。**回転行列**とか使わなくても**円**/**球表面**上の**座標**/**図形**が回転させられるのが魅力。<br>[【Rで球面幾何学】ジンバルロック(?)やリサージュ曲線(?)との邂逅。](https://qiita.com/ochimusha01/items/f59827f9f7d6122671ac)<br>![image.gif](https://qiita-user-contents.imgix.net/https%3A%2F%2Fqiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com%2F0%2F597772%2F0c256c58-bf1e-557b-387b-b8910cb5ea4e.gif?ixlib=rb-1.2.2&auto=format&gif-q=60&q=75&w=1400&fit=max&s=a38797d855bc02475aeb19eab767a506)<br>ただし迂闊に<font color=green>cos(θ)+sin(θ)i</font>の式をに一般化した**数式**<font color=green>Cos(θ)+Cos(θ-π/NoS)i</font>(<font color=blue>NoS=Number of Sides</font>)なんぞを振り回そうとすると「<font color=red>奴が来る</font>」…<br>[【無限遠点を巡る数理】「ティンダロスの猟犬問題」を世に解き放つ。](https://qiita.com/ochimusha01/items/8cc7b71d7299cb4d26fc)<br>![image.gif](https://camo.qiitausercontent.com/e49e7e91f2ed668b15895c311497622a5642fc28/68747470733a2f2f71696974612d696d6167652d73746f72652e73332e61702d6e6f727468656173742d312e616d617a6f6e6177732e636f6d2f302f3539373737322f36396336633339332d313032632d306235392d303739662d6435383739383636656332622e676966)
* **虚数の定義**<font color=green>i=(-1)^2</font>を発展させた**円描画式**<font color=green>(0±1i)^2x</font>。そう、ここでも<font color=green>2</font>が出てくるのである。ある意味、まさかの小学校の頃習った**等差数列概念**(<font color=blue>Geometric Sequence Concept=幾何数列概念</font>)と**複素数概念**のマリアージュ。<br>[等比数列(幾何数列)①その基本的性質について。](https://qiita.com/ochimusha01/items/cbbe0eadabf149fc720b)<br>[等比数列(幾何数列)②同心円集合に射影する準備](https://qiita.com/ochimusha01/items/3c9b6aa40a3033a0f350)<br>[等比数列(幾何数列)③振動関数を巡る収束と拡散。](https://qiita.com/ochimusha01/items/0814db1de32fbf88d070)<br>[等比数列(幾何数列)④公比Dが正の場合の収束と拡散, そして対数尺](https://qiita.com/ochimusha01/items/c9803fd63871097d77ce)<br>![image.gif](https://qiita-user-contents.imgix.net/https%3A%2F%2Fqiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com%2F0%2F597772%2F82054f72-6bc1-6ea9-215a-16ac0f009c2b.gif?ixlib=rb-1.2.2&auto=format&gif-q=60&q=75&w=1400&fit=max&s=d8f93000a1890947bb92cd52503e247e)

まだまだ全然知識が至ってなくて十分に語れてない箇所の方が全然多いのですが、実はこうした全てが、やはり**直径**(<font color=blue>Diameter</font>)<font color=green>{-r,0,r}</font>や**対蹠**(<font color=green>Antipodes</font>)概念と密接に結びついている様に見えるのです。そこでも繰り返し対蹠間を直線距離で結ぶ「<font color=red>2のコース</font>」から**円周**/**球表面**上を結ぶ「<font color=red>πのコース</font>」への拡張過程が現れるのですが…実際、こちら側の世界でも**ネイピア数**を求める数式と**円周率**を求める数式が**添字**<font color=green>N</font>を共有してたりする訳ですが…
![20191122131232.png](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/597772/d2d641a6-779f-67f7-ba5f-381e34e8ea13.png)
<font color=purple>統計言語Rによる作図例</font>

```R
#オイラーの「ネイピアの対数表」に基づく算出方法
cx0<-seq(1,70,length=700)
f0<-function(x){(1+1/x)^x}
cy0<-f0(cx0)
#グラフ化してみる。
plot(cx0,cy0,xlim=c(1,32),ylim=c(0,3.5),type="l",col=rgb(1,0,0),main="From One side to Two sides", xlab="NoS(Number of Sides)", ylab="(1-1/NoS)^N/2*tan(π/NoS)*cos(π/NoS)*NoS")

par(new=T)#上書き指定
#円周計算
cx1=seq(1,70,length=700)
f1=function(x) tan(pi/x)*cos(pi/x)*x
cy1<-f1(cx1)
plot(cx1,cy1,xlim=c(1,32),ylim=c(0,3.5),type="l",col=rgb(0,1,0),main="", xlab="", ylab="")

par(new=T)#上書き指定
#面積計算
cx2=seq(1,70,length=700)
f2=function(x) tan(pi/x)*cos(pi/x)*x/2
cy2<-f2(cx2)
plot(cx2,cy2,xlim=c(1,32),ylim=c(0,3.5),type="l",col=rgb(0,0,1),main="", xlab="", ylab="")
#自然対数1/eと比較。
abline(h=exp(1),col=rgb(1,0,0))#exp(1)=2.718282...
abline(h=pi/2,col=rgb( 0,0,1))#π/2=1.570796...
abline(h=pi,col=rgb(0,1,0))#π=3.141593...
#凡例
legend("bottomright", legend=c("(1+1/N)^N->exp(1)=2.718282...","tan(π/NoS)*cos(π/NoS)*NoS->π=3.141593...","Radius(1)^2*π/2->π/2=1.570796"),lty=c(1,1),col=c(rgb(1,0,0),rgb(0,1,0),rgb(0,0,1)))
```
…実際の具体的アプローチは割とそれぞれ個性的だったりします。例えば「(<font color=blue>「挟み撃ち法」を含む</font>)**多角形近似法**」に淡々と地道に事務的に隙間を詰めてくる繊細な雰囲気があるのに対して…
![Compound_Interest019.gif](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/597772/033902de-d4aa-4640-b163-17d5b625df19.gif)
<font color=purple>統計言語Rによる作図例</font>

```R
Regular_Polygon_draw03<-function(x) {
#グラフの色の決定
Black<-rgb(0,0,0)
Red<-rgb(1,0,0)
Magenta<-rgb(1,0,1)
Blue<-rgb(0,0,1)
Green<-rgb(0,1,0)
Cyan<-rgb(0,1,1)
Yellow<-rgb(1,1,0)
Gray<-"#888888"

#タイトル定義
Main_title<-c("The Limit of inscribed polygons and circumscribed polygons")
x_title<-c("Real number")
y_title<-c("Imaginary number")

#グラフのスケール決定
gs_x<-c(-1,1)
gs_y<-c(0,1)
#Circumscribed circle（外接多角形）
f1_name<-c("Circumscribed Polygon") 
f0<-function(x){exp(x*(0+1i))}
c1<-seq(-pi,pi,length=x+1)
c1_r<-Re(f0(c1))
c1_i<-Im(f0(c1))
#Regular_Polygon（中間円）
f2_name<-c("Inner circle") 
c2<-seq(-pi,pi,length=128)
c2_r<-Re(f0(c2))
c2_i<-Im(f0(c2))

#Inscribed circle(内接多角形)
f3_name<-c("Inscribed Polygon") 
scl<-cos(pi/x)
#グラフ描画
plot(c2_r,c2_i,xlim=gs_x,ylim=gs_y,type="l",col=Black, main="",xlab="",ylab="")
par(new=T)#上書き指定
plot(c1_r,c1_i,lwd=4,xlim=gs_x,ylim=gs_y,type="l",col=Blue, main="",xlab="",ylab="")
#基準線
abline(h=0)
abline(v=0)
segments(-1,0,1,0,lwd=4,col=Red)
#凡例描画
#legend("topleft", legend=c(f1_name,f2_name,f3_name),lty=c(1,1,1),col=c(Green,Black,Blue))
}

library("animation")
Time_Code=c(4,4,4,8,8,8,16,16,16,32,32,32,64,64,128,128)
saveGIF({
for (i in Time_Code){
　Regular_Polygon_draw03(i)
}
}, interval = 0.1, movie.name = "Compound_Interest19.gif")
```
**ベルヌーイ**や**オイラー**の考案した**数式**<font color=green>(1±πi/n)^n</font>の振る舞いの豪快さと来たら…
[【Rで球面幾何学】「世界で一番美しい公式」オイラーの等式の罠？](https://qiita.com/ochimusha01/items/7fa9d091f7ba9414dfc3)
![image.gif](https://qiita-user-contents.imgix.net/https%3A%2F%2Fqiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com%2F0%2F597772%2Fc8083c61-f436-5f02-3124-95075ffdc1db.gif?ixlib=rb-1.2.2&auto=format&gif-q=60&q=75&s=33f55a040f79d4fc30b79a0f3b9504ab)
(<font color=blue>オイラーの公式を導出した</font>)**マクローリン級数** (<font color=blue>Maclaurin series</font>)を複素平面展開すると本当に円を描いているか微妙なエピソードも含め、古代から脈々と受け継がれてきた数学史の雄大さを忍ばせます。思えば遠くに来たもんだ…・
[【Rで球面幾何学】オイラーの公式を導出したマクローリン級数の限界？](https://qiita.com/ochimusha01/items/4a484d5759f96abb0ab3)
![image.gif](https://qiita-user-contents.imgix.net/https%3A%2F%2Fqiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com%2F0%2F597772%2Fe9449153-a438-7105-7174-eca9ccd74d00.gif?ixlib=rb-1.2.2&auto=format&gif-q=60&q=75&w=1400&fit=max&s=fd6aec3700a00e15fdaef5932f3ace0d)

③そして両者が**逆数関係**にある事から既存の対数関数論を敷衍する形で**自然指数関数**（<font color=blue>Natural Exponential Function</font>）<font color=green>y=e^x</font>と**自然対数関数**（<font color=blue>Natural Logarithm Function</font>）<font color=green>x=e^y</font>あるいは<font color=green>y=log(x)</font>が発案されたとされています。
![image.png](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/597772/0a120540-bb71-db9b-b63d-d33333b03723.png)
![image.gif](https://cdn-ak.f.st-hatena.com/images/fotolife/o/ochimusha01/20190920/20190920071455.gif)

* ところで「(<font color=blue>「挟み撃ち法」を含む</font>)**多角形近似法**」の片手間に計算しても「**半径**<font color=green>r</font><font color=purple>の円の面積は</font><font color=green>πr^2</font>」なのは動かない様である。他の証明方法との循環状態に陥らない**モンテカルロ法**(<font color=blue>Monte Carlo method</font>)の結果もそうなる。<br>[【初心者向け】「モンテカルロ法」概説](https://qiita.com/ochimusha01/items/979f43806ef00910ac81)<br>![image.gif](https://qiita-user-contents.imgix.net/https%3A%2F%2Fqiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com%2F0%2F597772%2F300dc4cc-97c6-dc12-9003-56d360995a03.gif?ixlib=rb-1.2.2&auto=format&gif-q=60&q=75&w=1400&fit=max&s=f0c920269c41344171772ab11bca99bb)
* ならば**数理**(<font color=blue>Mathematical Things</font>)の世界は、それについて何か上手い説明を見つけなければならない。**定積分**の世界ではこれを便宜上、各辺長が**半径**<font color=green>r</font>と<font color=green>πr</font>の矩形の面積として計算する。とりあえず高さが**半径**<font color=green>r</font>なのは**自明の場合**(<font color=blue>Trival Case</font>)として、何処から<font color=green>πr</font>の概念が飛び出してくるかというと**円周**<font color=green>2πr</font>の半分。いわゆる**扇算**の概念、ホールケーキを切り分ける時の様に切り出すそれぞれの小切片が三角形となるので面積も半分になるという考え方を使う訳である。この説明は完全に「(<font color=blue>あえて直径の概念を導入せずに済まそうとする</font>)<font color=red>半径</font>(<font color=blue>radius</font>)<font color=red>の世界</font>」もの。こうした考え方の延長線上において球の表面積も「**幅**=**円周長**<font color=green>2πr</font>」×「**高さ**<font color=green>2r</font>」=<font color=green>4πr</font>の矩形で求めると説明された訳ですが、何せ「**高さ**<font color=green>2r</font>」ですからこちらは「(<font color=blue>むしろ直径の概念から出発する</font>)<font color=red>直径</font>(<font color=blue>Diameter</font>)<font color=red>の世界</font>」。学童時代の私はこの辺りの飛躍について行けなくて算数に挫折してしまったのである。ちなみに後にメルカトル図法の概念を知り「**無理はそこで顕現していたのか**」と改めて思った次第。<br>[【初心者向け】半径・直径・円周長・円の面積・球の表面積・球の体積の計算上の往復](https://qiita.com/ochimusha01/items/e180451a210227bb19a5)<br>![image.png](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/597772/0478d705-7e36-9169-7728-087f29c528cc.png)
<br>![image.gif](https://qiita-user-contents.imgix.net/https%3A%2F%2Fqiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com%2F0%2F597772%2F0c24bdd0-51d7-e8a7-fc66-f9ea60ab75f9.gif?ixlib=rb-1.2.2&auto=format&gif-q=60&q=75&w=1400&fit=max&s=d53e50aedb98dc65730a5b333c1e707b)
* そして2年前の年末に突然思い立って**ベルヌーイ**や**オイラー**や**ガウス**が活躍した近世数学の世界から再勉強を始めた訳だが…その結果ぼんやりと見えてきたのが、どうやら「(<font color=blue>あえて直径の概念を導入せずに済まそうとする</font>)<font color=red>半径</font>(<font color=blue>radius</font>)<font color=red>の世界</font>」は主に<font color=green>X-Y平面</font>、「(<font color=blue>むしろ直径の概念から出発する</font>)<font color=red>直径</font>(<font color=blue>Diameter</font>)<font color=red>の世界</font>」は主に<font color=green>Z軸概念の追加</font>に際して現れるという驚愕の真相。<br>![Sphere05.gif](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/597772/4b40e511-297f-6694-c8ae-e7c46afd2916.gif)
<br>ああ一刻も早くこの発見を小学校の頃の自分に伝えたい!! ただこうした考え方の拡張は拡張で、深入りすると次第に**ルマルシャンの小箱**(<font color=blue>Lament Configuration</font>)が開いて「**ハミルトンの四元数**(<font color=blue>Hamilton's Quaternion</font>)」とか「**リーマン球面**(<font color=blue>Riemann sphere</font>)」といったさらに理解に努力を要する気難しい隣人がどんどん勝手に増え始める。まさしくリアル「**メイド・イン・アビス**」の世界…<br>[【Rで球面幾何学】ハミルトンの四元数は何を表しているのか？](https://qiita.com/ochimusha01/items/aff8d52f20af01d13bed)<br>![image.gif](https://qiita-user-contents.imgix.net/https%3A%2F%2Fqiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com%2F0%2F597772%2Fa3185dfd-eb2e-00be-01b7-79cd6d8f019f.gif?ixlib=rb-1.2.2&auto=format&gif-q=60&q=75&w=1400&fit=max&s=eeaefffaf4f733cc97dc3d68cbd79144)
<br>[無限遠点と拡張された複素平面](http://www.eng.niigata-u.ac.jp/~nomoto/12.html)<br>![image.png](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/597772/885d8843-4e2f-2810-1048-ef6dcbf12592.png)<br>[「関脇・正代『メイドインアビス』を見て感動」記事が大反響　ナナチ役の声優・井澤詩織さん「応援するしかないでしょ…！」](https://news.livedoor.com/article/detail/18911228/)

かくして話はやっと冒頭の頃の話題に戻るのです。**ベルヌーイ**(<font color=blue>Johann Bernoulli, 1667年~1748年</font>)や**オイラー**(<font color=blue>Leonhard Euler, 1707年~1783年</font>)が確率論の研究の一環として**数式**<font color=green>(1-1/n)^n</font>に取り組み、その結果として**自然指数関数**（<font color=blue>Natural Exponential Function</font>）<font color=green>y=e^x</font>や**自然対数関数**（<font color=blue>Natural Logarithm Function</font>）<font color=green>x=e^y</font>あるいは<font color=green>y=log(x)</font>などが発案された訳ですが、その背景には**中心極限定理**（<font color=blue>CLT=Central Limit Theorem</font>）の概念を何とか**数理**(<font color=blue>Mathematical Things</font>)の世界に持ち込みたいなる遠大な野望が存在し、その衣鉢を継いだのが**ガウス**(<font color=blue>Carolus Fridericus Gauss、1777年~1855年</font>)だったという流れ。歴史的には<font color=green>17世紀後半~19世紀前半</font>の展開…
[大数の法則と中心極限定理の意味と関係](https://mathtrain.jp/centrallimit)
[【初心者向け】「三角不等式(Triangle Inequality)」の体感方法？](https://qiita.com/ochimusha01/items/325717eef47b1cbeadb1)
![image.gif](https://qiita-user-contents.imgix.net/https%3A%2F%2Fcdn-ak.f.st-hatena.com%2Fimages%2Ffotolife%2Fo%2Fochimusha01%2F20201209%2F20201209012802.gif?ixlib=rb-1.2.2&auto=format&gif-q=60&q=75&w=1400&fit=max&s=6041b30c2c73691a5e0a1c7593d75137)
![image.gif](https://qiita-user-contents.imgix.net/https%3A%2F%2Fcdn-ak.f.st-hatena.com%2Fimages%2Ffotolife%2Fo%2Fochimusha01%2F20201110%2F20201110010727.gif?ixlib=rb-1.2.2&auto=format&gif-q=60&q=75&w=1400&fit=max&s=90db2db66ddc81e814913c6046ffcf04)

* このマリモみたいな曖昧模糊とした**円状**/**球状分布**こそがCLTの本来の姿で、統計技術が未発達だった（<font color=blue>それどころか確率論自体が賭博師のいかがわしい悪徳とのみ認識されていた</font>）時代には真の意味で箸にも棒にも掛からない「**無限遠点**(<font color=blue>Inf(inity)</font>)=<font color=purple>我々の認識可能範囲外を跋扈する絶対他者の領域</font>」だったといえる。そもそもそれへの**観測線**(<font color=blue>Observational line</font>)や**観測円**(<font color=blue>Observational Circle</font>)や観測球面(<font color=blue>Observational Sphere</font>)の構築自体が(<font color=blue>「神の見えざる手」の恩恵を否定する</font>)不敬行為と弾劾されては本当に話にならない。<br>[「箸にも棒にもかからない」とは？意味と語源・使い方を解説](https://biz.trans-suite.jp/48084)
* しかし時代は確実に変遷していく。欧州においてその節目はあるいは(<font color=blue>彼ら自身がかかる中世的伝統への反逆者だった</font>)絶対王政時代の啓蒙君主達がこぞって天文学者や化学者や物理学者や数学者といった科学者のパトロンとなり、その彼らが偏見の払拭に貢献した時代だったのかもしれない(<font color=blue>まさしくベルヌーイやオイラーが生きた時代の出来事</font>)。その一方で、私の記憶が正しければ、消費経済を支える主体が王侯貴族や高階聖職者といった伝統的インテリ層から産業革命の波に乗ったブルジョワ成金や庶民に推移しつつあった時代に生まれ、かかる新興消費者層への配慮を余儀なくされたガウスはどうしてこれへの**予測線**(<font color=blue>Prediction line</font>)/**予測円**(<font color=blue>Prediction Circle</font>)/**予測球面**(<font color=blue>Prediction Sphere</font>)の基準として**放物線**(<font color=blue>Parabola</font>)<font color=green>-x^2</font>を選んだかについて特に言及も書き残しもしていない。おそらくはそれを「**自然界に存在する最も自然な運動の一つ**」と考えるコンセンサスならそれ以前から存在し、以降膨大なデータの積み上げによって実際それが多くの特徴ある分布においてある種の**無限遠点**(<font color=blue>Inf(inity)</font>)、すなわちサンプル数<font color=green>N</font>の増大によってそれぞれが個性を失う極限と見做せる統計結果が不可逆的に観測されてしまった今日では、それを疑う人もまた途絶えてしまったのであろう。<br>[衝突予測線と衝突危険](https://www.jstage.jst.go.jp/article/jinnavi/186/0/186_KJ00008954075/_article/-char/ja/)

しかしながら**放物線関数**(<font color=blue>Parabola Function</font>)<font color=green>-x^2</font>自体はY軸に沿って**無限小**<font color=green>-Inf(inity)</font>に**発散**(<font color=blue>Divergence</font>)する関数であり、そのままではCLTに直接重ね合わせる事が出来ません。そこで**自然指数関数**（<font color=blue>Natural Exponential Function</font>）<font color=green>y=e^x</font>の出番となる訳ですが、その事自体がこの関数が**添字**(<font color=blue>Index</font>)として与えられる変数についてどの様な働きをするかについての説明になっている訳です。

* **二次元直交座標系**(<font color=blue>2Dimensional Cartesian Coordinate System</font>)<font color=green>x,y</font>について、<font color=green>y=<0</font>の範囲を<font color=green>y=0~1</font>の範囲に、<font color=green>y=>0</font>の範囲を<font color=green>y=1~Inf(inity)</font>の範囲に**射影**(<font color=blue>Projection</font>)する。
* その結果<font color=green>y=>0</font>の範囲では元座標系におけるY軸に沿った**無限小**<font color=green>-Inf(inity)</font>への発散が<font color=green>1</font>への**収束**(<font color=blue>Convergence</font>)に(<font color=blue>押し潰された分だけ量を増大させながら</font>)変換される。

どういう事か具体的に見ていきましょう。ちなみにグラフを重ねる為、**放物線関数**(<font color=blue>Parabola Function</font>)<font color=green>-x^2</font>のY軸に<font color=green>1</font>を足しています。
![Rplot03.png](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/597772/adeda3ba-4bbc-19dd-f7bc-a1e24f2524e0.png)

<font color=purple>統計言語Rによる作図例</font>

```R
f2<-function(x){exp(-x^2)}
f3<-function(x){-x^2+1}
plot(f2, xlim=c(-3,3),ylim=c(0,1),main="Normal Distribution",col=rgb(1,0,0))
par(new=T)#上書き指定
plot(f3, xlim=c(-3,3),ylim=c(0,1),main="",col=rgb(0,0,1))
#凡例
legend("topright", legend=c("y=exp(-x^2)","y=-x^2+1"),lty=c(1,1),col=c(rgb(1,0,0),rgb(0,0,1)))
```
確かに見事に<font color=green>y=<0</font>の領域が<font color=green>y=0~1</font>の領域に射影され、Y軸に沿った**無限小**<font color=green>-Inf(inity)</font>への発散が(<font color=blue>押し潰された分だけ量を増大させながら</font>)<font color=green>0</font>への収束に変換されています。有名な「**左右対象の釣鐘状曲線**(<font color=blue>bell curve</font>)」は、この様なプロセスを経て合成されたものだったのです。ここで気になるのがその時<font color=green>Y>=0</font>の領域では何が起こっているのか…
![Rplot04.png](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/597772/bde1c857-0699-6b4a-4daf-ecb7d112b1b9.png)

<font color=purple>統計言語Rによる作図例</font>

```R
f8<-function(x){exp(x^2)}
f9<-function(x){x^2+1}
plot(f8, xlim=c(-3,3),ylim=c(0,10),main="",col=rgb(1,0,0))
par(new=T)#上書き指定
plot(f9, xlim=c(-3,3),ylim=c(0,10),main="",col=rgb(0,0,1))
#凡例
legend("topright", legend=c("y=exp(x^2)","y=x^2+1"),lty=c(1,1),col=c(rgb(1,0,0),rgb(0,0,1)))
```
予想通りY軸に沿っての**無限大**<font color=green>Inf(inity)</font>への発散が量的に増大していますが、現時点でこの**数理**(<font color=blue>Mathematical Things</font>)を有効活用する方法は見つかっていない様です。
![Rplot05.png](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/597772/9c2a840e-7e67-496d-f672-b903fddec4ce.png)
<font color=purple>統計言語Rによる作図例</font>

```R
f6<-function(x){exp(-x^2)}
f7<-function(x){-x^2+1}
f8<-function(x){exp(x^2)}
f9<-function(x){x^2+1}
plot(f6, xlim=c(-3,3),ylim=c(0,5),main="Normal Distribution and Other",col=rgb(1,0,0))
par(new=T)#上書き指定
plot(f7, xlim=c(-3,3),ylim=c(0,5),main="",col=rgb(0,0,1))
par(new=T)#上書き指定
plot(f8, xlim=c(-3,3),ylim=c(0,5),main="",col=rgb(1,0,0))
par(new=T)#上書き指定
plot(f9, xlim=c(-3,3),ylim=c(0,5),main="",col=rgb(0,0,1))
#凡例
legend("topright", legend=c("y=exp(±x^2)","y=±x^2+1"),lty=c(1,1),col=c(rgb(1,0,0),rgb(0,0,1)))
```
全体像を俯瞰すると、何が起こっているのかよりはっきりと解りますね。しかし人類のこの方面への挑戦は、歴史のこの時点ではまだまだ始まったばかりだったのです。

* この図形を確率論の世界に持ち込む為には、まずその面積を求め、さらにこれを<font color=green>1</font>に変換する必要があった。それでガウスはまずCLTの本来の姿たる**半径**<font color=green>r</font>の同心円状分布の面積を求めた**集合**(<font color=blue>Set</font>)<font color=green>Cr(r=0→Inf(inity)){0,…,πr^2,…,Inf(inity)}</font>から出発し、<font color=green>0</font>から**無限遠点**<font color=green>Inf(inity)</font>までの範囲の定積分から半径<font color=green>1</font>の**単位円**(<font color=blue>Unit Circle</font>)の**面積**<font color=green>π</font>を一辺が<font color=green>scrt(π)</font>の矩形で求める式を完成させ、この<font color=green>scrt(π)</font>を**関数**<font color=green>y=exp(-x^2)</font>が描く釣鐘状図形の面積としたのである。何を言ってるか分からない人も少なくないと思うが、実は私もこの過程自体は全然理解出来てない。<br>[ガウス積分の公式](http://hooktail.sub.jp/mathInPhys/gaussIntegral/)
* いずれにせよ、事がここまで到ればこの釣鐘状図形の面積を<font color=green>1</font>に変換して**確率変数**(<font color=blue>Random Variable</font>)<font color=green>X</font>と**確率密度**(<font color=blue>Probability Density</font>)<font color=green>Y</font>の関係に対応させた**関数**<font color=green>Px(x=-Inf(inity)→0→Inf(inity))</font>を導出し、確率変数上の任意の区間の**確率密度**(<font color=blue>面積</font>)が求め尽くされ、さらなる使い勝手向上を求めてその**分布**(<font color=blue>Distribution</font>)の具合を**平均**(<font color=blue>Mean</font>)と**分散**(<font color=blue>Variance</font>)なる２つの**パラメーター**(<font color=blue>Parameter</font>)で調整する仕組みが追加されるのは時間の問題となった。かくして完成したシステムが(<font color=blue>多くの人間が自動車や飛行機やコンピューターの様な文明の利器同様にブラックボックスの利用者に留まる事に満足する様になった</font>)所謂**正規分布**(<font color=blue>Normal Distribution</font>)の概念だったという訳である。<br>[正規分布とは](http://arduinopid.web.fc2.com/P14.html)
<br>![image.png](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/597772/13e98570-a9fd-7670-bcdd-a3bd89334615.png)
* ところでガウスの時代にはまだ**観測誤差**（<font color=blue>Observational Error</font>）の概念があるばかりで、観測対象そのものが**分散**(<font color=blue>Variance</font>)しているという概念は存在していなかった(<font color=blue>何しろ当時の観測対象は天体であり、分散してる筈がなかった</font>)。だからガウス当人がこうした仕組み全体を整えたとは限らないのだが、詳しい事は現時点では分からない。<br>[【無限遠点を巡る数理】無限遠点(Infinity)としての正規分布と分散概念の歴史](https://qiita.com/ochimusha01/items/15326f0c787a55f174cc)

ここに見られる(<font color=blue>Z軸に沿って展開する</font>)**釣鐘状曲線**と(<font color=blue>XY面上で展開する</font>)**同心円状分布**の関係については、以下のグラフを見れば一発で理解できると思います。問題は「(<font color=blue>カンブリア爆発期以降、一部の生物が視覚とそれに呼応する脊髄と運動機関のフィードバック体系を獲得する過程で依存する様になった</font>)原始デカルト座標系 (<font color=blue>Primitive Cartesian Coordinate System</font>)」の制約上、この概念の三次元以上版をそう簡単にはイメージ出来ない辺りにあるのですが…
[【初心者向け】正規分布（Normal Distribution）とは何か？](https://qiita.com/ochimusha01/items/fe73ddf6e3e8cb08fbee)
![image.gif](https://qiita-user-contents.imgix.net/https%3A%2F%2Fqiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com%2F0%2F597772%2F2a47e27f-a365-3565-5a35-d09a5719e5d6.gif?ixlib=rb-1.2.2&auto=format&gif-q=60&q=75&s=0c9b543270ca74241e262d582016483e)

この辺りの**自然指数関数**（<font color=blue>Natural Exponential Function</font>）<font color=green>y=e^x</font>の応用例としては(<font color=blue>自然指数関数の提示する幾何学的急増の可能性に刺激されて執筆された</font>)**マルサス**「**人口論**（<font color=blue>An Essay on the Principle of Population, 1798年</font>）」への回答として研究が始まった**ロジスティク方程式**(<font color=blue>Logistic Equation</font>)も著名。これについてもそのうち触れたいと考えています。
[【初心者向け】ロジスティック方程式とその関連範囲](https://qiita.com/ochimusha01/items/2f0118ecda2e17d366ba)
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#指数法則(<font color=blue>Power law</font>)
おもむろに基礎的話題に戻ります。

**①<font color=green>a^0=1</font>**
<font color=green>^0</font>の結果は<font color=green>1</font>となる。

```R
3^0
[1] 1

2^0
[1] 1

1^0
[1] 1

0^0
[1] 1
```
**②<font color=green>a^-n=1/a^n</font>**
<font color=green>a=1</font>の場合の結果は全て<font color=green>1</font>となる。
ただし<font color=green>a≠0</font>で、<font color=green>m</font>、<font color=green>n</font>が正の数の場合。

```R
library(Ryacas)

#1の段
yac("1^-1") #1/1^1
[1] "1"
yac("1^-2") #1/1^2
[1] "1"
yac("1^-3") #1/1^3
[1] "1"

#2の段
yac("2^-1") #1/2^1
[1] "1/2"
yac("2^-2") #1/2^2
[1] "1/4"
yac("2^-3") #1/2^3
[1] "1/8"

#3の段
yac("3^-1")  #1/3^1
[1] "1/3"
yac("3^-2")  #1/3^2
[1] "1/9"
yac("3^-3")  #1/3^3
[1] "1/27"
```
**③<font color=green>a^m*a^n=a^(m+n)</font>**
この性質を利用して**乗算**を**加算**に単純化可能。

```R
2^3*2^4
[1] 128
2^(3+4)
[1] 128
```

**④ <font color=green>(a^m)^n = a^(m*n)</font>**
この性質を利用して**累乗算**を**乗算**に単純化可能。

```R
 (2^3)^4
[1] 4096
2^(3*4)
[1] 4096
```
**⑤<font color=green>a^m/a^n=a^(m-n)</font>**
この性質を利用して除算を減算に単純化可能。
ただし<font color=green>a≠0</font>、<font color=green>b≠0</font>で、<font color=green>m</font>、<font color=green>n</font>が整数の場合。

```R
library(Ryacas)
#計算結果
yac("2^3/2^4")
[1] "1/2"
yacas("2^(3-4)")
[1] "1/2"
```

**⑥<font color=green>(a*b)^n=a^n*b^n</font>**
実はここに列記した**指数関数7大法則**の中では、次に述べる<font color=green>(a/b)^n=a^n/b^n</font>法則同様にあまり使われない。

```R
(2*3)^4
[1] 1296
2^4*3^4
[1] 1296
```

**⑦<font color=green>(a/b)^n=a^n/b^n</font>**
ちなみにこうしてわざわざ**Yacas**を使ったのは、この計算があくまで**有理数**(<font color=blue>Rational Number</font>)すなわち**分数**（<font color=blue>Fraction</font>）**で表せる範囲**に留まっている事を示すため。

```R
library(Ryacas)
#計算結果
yac("(2/3)^4")
[1] "16/81"
yac("2^4/3^4")
[1] "16/81"
```
#対数法則(<font color=blue>Logarithmic law</font>)

**指数関数**<font color=green>y=a^x</font>を<font color=green>x=a^y</font>に変形すると**対数関数**<font color=green>y=log(x,base=a)</font>となり、当然上掲の指数法則がそのまま逆対応する。

**①<font color=green>log(1,base=a)=0</font>**
ただし<font color=green>a</font>が<font color=green>1でない正の数</font>の場合。**指数関数**で**底**（<font color=blue>base,root</font>）が<font color=green>0</font>になってはいけない様に、対数関数ではそれが<font color=green>1</font>になってはならない。なお**Log関数**は<font color=green>base=指数</font>の時に<font color=green>1</font>を返す。

```R
log(1,base=1)
[1] NaN
警告メッセージ:
計算結果が NaN になりました
log(1,base=2)
[1] 0
log(2,base=2)
[1] 1
log(1,base=3)
[1] 0
log(3,base=3)
[1] 1
```

**②<font color=green>log(-n,base=a)=1/log(n,base=a)</font>**
ただし<font color=green>m</font>も<font color=green>n</font>も正の数でa</font>が1でない正の数</font>の場合。
こういう時計算機代数ソフトウェアYacasは役に立たない。

```R
log(1/2,base=2)
[1] -1
1/log(1/2,base=2)
[1] -1
```

**③<font color=green>log(m^n,base=a)=n*log(m,base=a)</font>**
ただし<font color=green>m</font>も<font color=green>n</font>も，<font color=green>a</font>が<font color=green>1でない正の数</font>の場合。
ここでは**乗算**が**指数上の累乗算**に置換される。

```R
log(3^4,base=2)
[1] 6.33985
4*log(3,base=2)
[1] 6.33985
```
**④<font color=green>log(m*n,base=a)=log(m,base=a)+log(n,base=a)</font>**
ここでは**加算**が**指数上の乗算**に置換される。

```R
log(3*4,base=2)
[1] 3.584963
log(3,base=2)+log(4,base=2)
[1] 3.584963
```
**⑤<font color=green>log(b,base=a)-log(c,base=a)=log(b/c,base=a)</font>**
ここでは**減算**が**指数上の除算**に置換される。

```R
log(3/4,base=2)
[1] -0.4150375
log(3,base=2)-log(4,base=2)
[1] -0.4150375
```
**⑥<font color=green>log(a,base=b)=log(b,base=c)/log(a,base=c)</font>**
しばしば**根**(<font color=blue>base,root</font>)**の変換式**と呼ばれる。cを**ネイピア数**とすれば**自然対数への変換公式**となる。

```R
log(2,base=3)
[1] 0.6309298
log(2,base=4)/log(3,base=4)
[1] 0.6309298
> log(2)/log(3)
[1] 0.6309298
```
この辺の「**演算変換**」についてもそのうちまとめます。とりあえず以下続報…