機械学習で四則演算 6【商】

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```python
# coding=utf-8
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

#初期値
#学習回数
N = 1000
#層
layer = [2, 2, 1]
#バイアス
#bias = [0.0, 0.0]
#学習率
η = [0.001, 0.001]
#η = [0.000001, 0.000001]
#中間層数
H = len(η) - 1
#教師値
t = [None for _ in range(N)]
#関数出力値
f_out = [[None for _ in range(H + 1)] for _ in range(N)]
#関数入力値
f_in = [[None for _ in range(H + 1)] for _ in range(N)]
#重み
w = [[None for _ in range(H + 1)] for _ in range(N + 1)]
for h in range(H + 1):   
    w[0][h] = np.random.uniform(-1.0, 1.0, (layer[h + 1], layer[h]))

for h in range(H + 1):
    print(w[0][h])
    
#二乗誤差
dE = [None for _ in range(N)]
#∂E/∂IN
δ = [[None for _ in range(H + 1)] for _ in range(N)]

#学習
for n in range(N):

    #入力値
    f_out[n][0] = np.random.uniform(-10.0, 10.0, (layer[0]))
    
    #教師値
    t[n] = f_out[n][0][0] / f_out[n][0][1]
    
    #順伝播
    f_in[n][0] = np.dot(w[n][0], f_out[n][0])
    f_out[n][1] = np.log(f_in[n][0]*f_in[n][0])
    f_in[n][1] = np.dot(w[n][1], f_out[n][1])

    #出力値
    div = np.exp(f_in[n][1])

    #二乗誤差
    dE[n] = div - t[n]#計算省略のため二乗誤差微分後の値

    #δ
    δ[n][1] = div * dE[n]
    δ[n][0] = (2.0 / f_in[n][0]) * np.dot(w[n][1].T, δ[n][1])
    
    #逆伝播
    for h in range(H + 1):
        w[n + 1][h] = w[n][h] - η[h] * np.real(δ[n][h].reshape(len(δ[n][h]), 1) * f_out[n][h])
        

#出力
#値
for h in range(H + 1):
    print(w[N][h])
#図
#領域縦
py = np.amax(layer)
#領域横
px = (H + 1) * 2
#領域寸法
plt.figure(figsize = (16, 9))
#図横軸
x = np.arange(0, N + 1, 1) #0からN+1まで1刻み
#描画
for h in range(H + 1):
    for l in range(layer[h + 1]):
        #領域座標
        plt.subplot(py, px, px * l + h * 2 + 1)
        for m in range(layer[h]):                       
            #線
            plt.plot(x, np.array([w[n][h][l, m] for n in range(N + 1)]), label = "w[" + str(h) + "][" + str(l) + "," + str(m) + "]")        
        #格子線
        plt.grid(True)
        #凡例
        plt.legend(bbox_to_anchor = (1, 1), loc = 'upper left', borderaxespad = 0, fontsize = 10)

#保存
plt.savefig('graph_div.png') 
#図示
plt.show()
```

```math
深層学習の形式でわり算の回路を考えてみました。\\
　\\
重みを\\
w[0]=
\begin{pmatrix}
△ & □\\
▲ & ■
\end{pmatrix},
w[1]=
\begin{pmatrix}
〇 & ●
\end{pmatrix}\\
\\
としますと\\
　\\
入力値とw[0]の積\\
\begin{pmatrix}
△ & □\\
▲ & ■
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
a\\
b
\end{pmatrix}\\
=
\begin{pmatrix}
△a+□b\\
▲a+■b
\end{pmatrix}\\
　\\
第1層入力\\
\begin{pmatrix}
log(△a+□b)^2\\
log(▲a+■b)^2
\end{pmatrix}\\
　\\
負の数に対応するため真数を2乗しています。\\
　\\
第1層出力とw[1]の積\\
\begin{align}
\begin{pmatrix}
〇 & ●
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
log(△a+□b)^2\\
log(▲a+■b)^2
\end{pmatrix}
=&〇log(△a+□b)^2+●log(▲a+■b)^2\\
=&log(△a+□b)^{2〇}-log(▲a+■b)^{-2●}\\
=&log\frac{(△a+□b)^{2〇}}{(▲a+■b)^{-2●}}\\
\end{align}\\
　\\
出力層入力\\
e^{log\frac{(△a+□b)^{2〇}}{(▲a+■b)^{-2●}}}=\frac{(△a+□b)^{2〇}}{(▲a+■b)^{-2●}}\\
　\\
\left\{
\begin{array}{l}
△=1,□=0,〇=0.5 \\
▲=0,■=1,●=-0.5
\end{array}
\right.\\
　\\
\frac{a}{b}\\
　\\
最も簡単な場合、上記、条件を満たせば商a/bを出力することができます。\\
ただし、一般化二項定理が関連してくるので実際はもっと複雑です。

```

[【出展】一般化二項定理とルートなどの近似](https://mathtrain.jp/genenikou)

```math

初期値を乱数(-1.0～1.0)で決めてから学習を繰り返すと目標値に収束するか試してみました。\\
　\\
目標値\\
w[0]=
\begin{pmatrix}
△ & □\\
▲ & ■
\end{pmatrix}
,w[1]=
\begin{pmatrix}
○ & ●
\end{pmatrix}\\
\left\{
\begin{array}{l}
△=1,□=0,〇=0.5 \\
▲=0,■=1,●=-0.5
\end{array}
\right.\\
　\\
初期値\\
w[0]=
\begin{pmatrix}
-0.18845444 & -0.56031414\\
-0.48188658 & 0.6470921
\end{pmatrix}
,w[1]=
\begin{pmatrix}
0.80395641 & 0.80365676
\end{pmatrix}\\
\left\{
\begin{array}{l}
△=-0.18845444,□=-0.56031414,〇=0.80395641 \\
▲=-0.48188658,■=0.6470921,●=0.80365676
\end{array}
\right.\\
　\\
計算値\\
w[0]=
\begin{pmatrix}
14601870.60282903 & -14866110.02378938\\
13556781.27758209 & -13802110.45958244
\end{pmatrix}
,w[1]=
\begin{pmatrix}
-1522732.53915774 & -6080851.59710287
\end{pmatrix}\\
\left\{
\begin{array}{l}
△=14601870.60282903,□=-14866110.02378938,〇=-1522732.53915774 \\
▲=13556781.27758209,■=-13802110.45958244,●=-6080851.59710287
\end{array}
\right.\\

```

![graph_div.png](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/207542/cb39faa5-c837-b95b-1e35-1e94aca1a9cb.png)

```math

失敗です。何回やっても、重みがとんでもない値に発散してしまいます。\\
原因を探りました。\\
誤差逆伝播の連鎖律で\\
(log(x^2))'=\frac{2}{x}\\
\lim_{x \to ±∞} \frac{2}{x}=0\\
　\\
(e^x)'=e^x\\
\lim_{x \to -∞} e^x=0\\
このように極端に大きい値を取って、勾配消失させてしまうことがわかりました。\\
　\\
考え直しました。

```

![商ver2.png](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/207542/46b5a068-3c18-68d6-53e4-e65ee49bf77f.png)

```python
# coding=utf-8
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

#初期値
#学習回数
N = 200000
#層
layer = [2, 2, 1]
#バイアス
#bias = [0.0, 0.0]
#学習率
η = [0.1, 0.1]
#η = [0.000001, 0.000001]
#刈値
#clip = 709
clip = 700
#中間層数
H = len(η) - 1
#教師値
t = [None for _ in range(N)]
#関数出力値
f_out = [[None for _ in range(H + 1)] for _ in range(N)]
#関数入力値
f_in = [[None for _ in range(H + 1)] for _ in range(N)]
#重み
w = [[None for _ in range(H + 1)] for _ in range(N + 1)]
for h in range(H):   
    w[0][h] = np.random.uniform(-1.0, 1.0, (layer[h + 1], layer[h]))
w[0][H] = np.zeros((layer[H + 1], layer[H]))

for h in range(H + 1):
    print(w[0][h])
    
#二乗誤差
dE = [None for _ in range(N)]
#∂E/∂IN
δ = [[None for _ in range(H + 1)] for _ in range(N)]

#学習
for n in range(N):

    #入力値
    t[n] = clip
    while np.abs(t[n]) > np.log(np.log(clip)):#勾配消失問題対策
        f_out[n][0] = np.random.uniform(0.0, 10.0, (layer[0]))
        f_out[n][0] = np.array(f_out[n][0], dtype=np.complex)
    
        #教師値
        t[n] = f_out[n][0][0] / f_out[n][0][1]
    
    #順伝播
    f_in[n][0] = np.dot(w[n][0], f_out[n][0])    
    f_out[n][1] = np.log(f_in[n][0])    
    f_in[n][1] = np.dot(w[n][1], f_out[n][1])
    
    #出力値
    div = np.exp(f_in[n][1])
    
    #二乗誤差
    dE[n] = np.real(div - t[n])#計算省略のため二乗誤差微分後の値
    dE[n] = np.clip(dE[n], -clip, clip)
    dE[n] = np.nan_to_num(dE[n])

    #δ
    δ[n][1] = np.real(div * dE[n])
    δ[n][1] = np.clip(δ[n][1], -clip, clip)
    δ[n][1] = np.nan_to_num(δ[n][1])
    
    
    δ[n][0] = np.real((1.0 / f_in[n][0]) * np.dot(w[n][1].T, δ[n][1]))
    δ[n][0] = np.clip(δ[n][0], -clip, clip)  
    δ[n][0] = np.nan_to_num(δ[n][0]) 
    
    #逆伝播
    for h in range(H + 1):
        #勾配消失問題対策
        # a*10^b の a 部分だけにする
        w10_u = np.real(δ[n][h].reshape(len(δ[n][h]), 1) * f_out[n][h])
        w10_u = np.clip(w10_u, -clip, clip)  
        w10_u = np.nan_to_num(w10_u)        
        w10_d = np.where(
            w10_u != 0.0,
            np.modf(np.log10(np.abs(w10_u)))[1],
            0.0
        )
        #小数の場合は対応しない
        w10_d = np.clip(w10_d, 0.0, clip)
        
        w[n + 1][h] = w[n][h] - η[h] * (w10_u / np.power(10.0, w10_d))

#出力
#値
for h in range(H + 1):
    print(w[N][h])
#図
#領域縦
py = np.amax(layer)
#領域横
px = (H + 1) * 2
#領域寸法
plt.figure(figsize = (16, 9))
#図横軸
x = np.arange(0, N + 1, 1) #0からN+1まで1刻み
#描画
for h in range(H + 1):
    for l in range(layer[h + 1]):
        #領域座標
        plt.subplot(py, px, px * l + h * 2 + 1)
        for m in range(layer[h]):                       
            #線
            plt.plot(x, np.array([w[n][h][l, m] for n in range(N + 1)]), label = "w[" + str(h) + "][" + str(l) + "," + str(m) + "]")        
        #格子線
        plt.grid(True)
        #凡例
        plt.legend(bbox_to_anchor = (1, 1), loc = 'upper left', borderaxespad = 0, fontsize = 10)

#保存
plt.savefig('graph_div.png') 
#図示
plt.show()
```

対策として
・入力値を複素数にする。
・教師値でオーバーフローしにくいデータだけにする。
・δを一定以上の大きな値にしない。
・勾配を a*10^b のa部分だけにして重みが発散しないようにする。（bが正の数の時だけ）

![graph_div.png](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/207542/62b0acb7-baa9-e3a2-8a5e-b6e380ac4045.png)


```math

目標値\\
w[0]=
\begin{pmatrix}
△ & □\\
▲ & ■
\end{pmatrix}
,w[1]=
\begin{pmatrix}
○ & ●
\end{pmatrix}\\
\left\{
\begin{array}{l}
△=1,□=0,〇=1 \\
▲=0,■=1,●=-1
\end{array}
\right.\\
　\\
初期値\\
w[0]=
\begin{pmatrix}
-0.12716087 & 0.34977234\\
0.85436489 & 0.65970844
\end{pmatrix}
,w[1]=
\begin{pmatrix}
0.0 & 0.0
\end{pmatrix}\\
\left\{
\begin{array}{l}
△=-0.12716087,□=0.34977234,〇=0.0 \\
▲=0.85436489,■=0.65970844,●=0.0
\end{array}
\right.\\
　\\
計算値\\
w[0]=
\begin{pmatrix}
-1.71228449e-08 & 1.00525062e+00\\
1.00525061e+00 & -4.72288257e-09
\end{pmatrix}
,w[1]=
\begin{pmatrix}
-0.99999998 & 0.99999998
\end{pmatrix}\\
\left\{
\begin{array}{l}
△=-1.71228449e-08,□=1.00525062e+00,〇=-0.99999998\\
▲=1.00525061e+00,■=-4.72288257e-09,●=0.99999998
\end{array}
\right.\\
　\\
成功しました。△□と▲■の値が逆になっています。\\
正解ありきでそれに寄せていってるようなやり方で大分、気に入らないです。\\
それにしても、たかだか割り算を教えようとする程度でlog,exp,複素数と\\
高校数学まで拡張しなきゃいけないとは困ったもんです。\\

```