自分用メモ：Jordan標準形の覚え方

ごJordanでしょう、ファインマンさん。


## 参考文献

[広義固有空間の構造とジョルダン標準形](https://dora.bk.tsukuba.ac.jp/~takeuchi/?%E7%B7%9A%E5%BD%A2%E4%BB%A3%E6%95%B0%EF%BC%A9%2F%E5%BA%83%E7%BE%A9%E5%9B%BA%E6%9C%89%E7%A9%BA%E9%96%93%E3%81%AE%E6%A7%8B%E9%80%A0%E3%81%A8%E3%82%B8%E3%83%A7%E3%83%AB%E3%83%80%E3%83%B3%E6%A8%99%E6%BA%96%E5%BD%A2) - 神。これを見るとすべてがわかる。

## 気持ち1

```math
A \boldsymbol x = \lambda \boldsymbol x
```

これは固有ベクトルと固有値の関係。これを行列として横に並べてみる

```math
\begin{pmatrix}
A \boldsymbol x_1 & A \boldsymbol x_2 & \cdots & A \boldsymbol x_n
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
\lambda \boldsymbol x_1 & \lambda \boldsymbol x_2 & \cdots & \lambda \boldsymbol x_n \end{pmatrix}
\\
A \begin{pmatrix}
\boldsymbol x_1 & \boldsymbol x_2 & \cdots & \boldsymbol x_n
\end{pmatrix}
= \begin{pmatrix}
\boldsymbol x_1 & \boldsymbol x_2 & \cdots & \boldsymbol x_n
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
\lambda_1
\\
&\lambda_2
\\
&&\ddots
\\
&&& \lambda_n
\end{pmatrix}
\\
AP = PJ
\\
A = PJP^{-1}
```

（ここで $P$ の逆行列が存在する（つまり、$P$が正則）であるためには、 $P$ を構成していたベクトル $\boldsymbol x_1, \ldots, \boldsymbol x_n$ はすべて線形独立であることが必要十分条件）
この気持ちを覚える

## 気持ち2

上の変形（いわゆる「対角化」は常にできるとは限らない

実際は一番右の行列の上に $1$ がつくことがある（数式略）

どうしてそれだとうまくいくのか

## 本質

固有値 $\lambda$ に属する固有空間を $V(\lambda)$ とおく
ご存知この空間は

```math
\lbrace \boldsymbol x \mid A \boldsymbol = \lambda x \rbrace = \lbrace \boldsymbol x \mid (A - \lambda I) \boldsymbol x = \boldsymbol 0 \rbrace = \operatorname{Ker} (A - \lambda I)
```

ここでおもむろに

```math
V^0(\lambda) = \operatorname{Ker} (A-\lambda I)^0 ( = \{\boldsymbol 0\})
\\
V^1(\lambda) = \operatorname{Ker} (A-\lambda I)^1 ( = V(\lambda) )
\\
V^2(\lambda) = \operatorname{Ker} (A-\lambda I)^2
\\
\vdots
\\
```

を考え出す

ここで本質補題がいくつか（証明は参考リンクを見てね）

**補題** 固有多項式における $\lambda$ の重複度を $r$ とすると、 $\dim V^r(\lambda) = r$

これは、 $(A-\lambda I)$ を左から $r$ 回掛けると $0$ になるような $r$ 次元空間が存在することを意味する。 $V^r(\lambda)$ を **広義固有空間** と呼ぶ（(狭義)固有空間 $V(r)$ の定義と比較せよ）

**補題** $A$の大きさと同じと次元数をもつベクトル全体は、各固有値に属する講義固有空間（の直和）に分解できる

分解できそう。

**本質補題その1** $V^n(\lambda) \ni \boldsymbol x$ なら $V^{n-1}(\lambda) \ni \boldsymbol (A-\lambda) x$
**証明(?)** $(A-\lambda I)^n \boldsymbol x = \boldsymbol 0 \Rightarrow (A - \lambda I)^{n-1} \left( (A - \lambda I) \boldsymbol x\right) = \boldsymbol 0$
それはそう。

![image.png](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/335908/331508a0-ef6e-b859-188a-8da28dcbbd03.png)
それぞれの丸が固有空間の基底ベクトルを表し、左右に並んでいる（y座標が同じ位置にある）丸は同一の基底ベクトルを表しています
矢印は、「（基底ベクトルに）左から $(A-\lambda I)$ を掛ける」操作を表しており、補題1のように掛けたあとのベクトルが一つ下の空間に入ってるな、という気持ちになります

**本質補題その2** $\dim V^{n+1}(\lambda) - \dim V^n(\lambda) \leq \dim V^n(\lambda) - \dim V^{n-1}(\lambda)$
$(A-\lambda I)^n$ の $\operatorname{Ker}$ は $n$ を増やせば増やすほど次元が大きくなっていきますが、「$n$を1増やしたときに新たに増える次元」は減少していきます

![image.png](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/335908/4c247e40-183f-c071-400c-70ba32cb9775.png)
赤丸が「増えた次元」です。これを見るとなにかに気づきませんか……？

![image.png](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/335908/2adc1ec8-d1d7-eab4-49ca-f372e59a8eed.png)
こういう「固有ベクトルの鎖」みたいなのが作れて、その鎖に含まれる基底ベクトルだけで $V^r(\lambda)$ の空間をすべて埋め尽くすことができるようになる気がします。（証明？知らん）

ここで、矢印で結ばれた2つの基底ベクトルのペアに注目してみましょう。矢印は「左から $(A - \lambda I)$ を掛けることを意味してたので、
**本質補題その3** $\boldsymbol x = (A - \lambda I) \boldsymbol y$ のとき、 $A \boldsymbol y = \lambda \boldsymbol y + \boldsymbol x$
計算すればあたりまえ。

あとはジョルダン標準形の模様を見て考えてください。（は？）