電磁場解析で使いそうな概念（4） ～スカラー波動方程式関係～

##調和振動する場におけるMaxwell方程式
　$\boldsymbol{E}(\boldsymbol{r},t)$および$\boldsymbol{H}(\boldsymbol{r},t)$を調和振動する波として，次のように表現する．

```math
\begin{align}
  \boldsymbol{E}(\boldsymbol{r},t)  &=  E(\boldsymbol{r}) e^{i(\boldsymbol{k} \cdot \boldsymbol{r} -\omega t)}
      =  E(\boldsymbol{r}) e^{i \boldsymbol{k} \cdot \boldsymbol{r}} e^{-i \omega t}  =  \boldsymbol{E}_0(\boldsymbol{r}) e^{-i \omega t}  \tag{1}
  \\
  \boldsymbol{H}(\boldsymbol{r},t)  &=  H(\boldsymbol{r}) e^{i(\boldsymbol{k} \cdot \boldsymbol{r} -\omega t)}
      =  H(\boldsymbol{r}) e^{i \boldsymbol{k} \cdot \boldsymbol{r}} e^{-i \omega t}  =  \boldsymbol{H}_0(\boldsymbol{r}) e^{-i \omega t}  \tag{2}
\end{align}
```

　ここで，$\omega$は光の角振動数，$i$は虚数単位，$e$はネイピア数，$E(\boldsymbol{r})$および$H(\boldsymbol{r})$は位置のみに依存する振幅の大きさ，$\boldsymbol{E}_0(\boldsymbol{r})$および$\boldsymbol{H}_0(\boldsymbol{r})$は位置のみに依存する振幅ベクトルである．

　また，$\boldsymbol{k}$は波数ベクトルであり，その向きは入射方向を表し，大きさは平面波の波長と関係がある．1次元の場合は$k=\frac{\omega}{c}$の関係があるが，2次元の場合も$k_x  =  \frac{\omega}{c} \cos \theta,~ k_y  =  \frac{\omega}{c} \sin \theta$とすれば，成分を決められる．

　微分形のFaradayの法則の式$\nabla \times \boldsymbol{E}(\boldsymbol{r},t)  =  -\mu_0 \mu(\boldsymbol{r}) \frac{\partial \boldsymbol{H}(\boldsymbol{r},t)}{\partial t}$に式（1），（2）を代入すると，

```math
\begin{align}
  \nabla \times \boldsymbol{E}_0(\boldsymbol{r}) e^{-i \omega t}  &=  -\mu_0 \mu(\boldsymbol{r}) \frac{\partial \boldsymbol{H}_0(\boldsymbol{r}) e^{-i \omega t}}{\partial t}  \nonumber
  \\
  \nabla \times \boldsymbol{E}_0(\boldsymbol{r}) e^{-i \omega t}  &=  i \omega \mu_0 \mu(\boldsymbol{r}) \boldsymbol{H}_0(\boldsymbol{r}) e^{-i \omega t}
\end{align}
```

　両辺から$e^{-i \omega t}$を消去して，

```math
\begin{align}
  \nabla \times \boldsymbol{E}_0(\boldsymbol{r})  &=  i \omega \mu_0 \mu(\boldsymbol{r}) \boldsymbol{H}_0(\boldsymbol{r})  \tag{3}
\end{align}
```


　また，電流の無い系（$\sigma(\boldsymbol{r})=0$）における，微分形のAmpereの法則の式$\nabla \times \boldsymbol{H}(\boldsymbol{r},t)  =  \epsilon_0 \epsilon(\boldsymbol{r}) \frac{\partial \boldsymbol{E}(\boldsymbol{r},t)}{\partial t}$に式（1），（2）を代入すると，

```math
\begin{align}
  \nabla \times \boldsymbol{H}_0(\boldsymbol{r}) e^{-i \omega t}  &=  \epsilon_0 \epsilon(\boldsymbol{r}) \frac{\partial \boldsymbol{E}_0(\boldsymbol{r}) e^{-i \omega t}}{\partial t}
  \\
  \nabla \times \boldsymbol{H}_0(\boldsymbol{r}) e^{-i \omega t}  &=  -i \omega \epsilon_0 \epsilon(\boldsymbol{r}) \boldsymbol{E}_0(\boldsymbol{r}) e^{-i \omega t}
\end{align}
```

　両辺から$e^{-i \omega t}$を消去して，

```math
\begin{align}
  \nabla \times \boldsymbol{H}_0(\boldsymbol{r})  &=  -i \omega \epsilon_0 \epsilon(\boldsymbol{r}) \boldsymbol{E}_0(\boldsymbol{r})  \tag{4}
\end{align}
```


##電場におけるスカラー波動方程式
　式（3）を変形すると，

```math
\begin{align}
  \boldsymbol{H}_0(\boldsymbol{r}) = \frac{\nabla \times \boldsymbol{E}_0(\boldsymbol{r})}{i \omega \mu_0 \mu(\boldsymbol{r})}
\end{align}
```

　これを式（4）の左辺に代入すると，

```math
\begin{align}
  \nabla \times \frac{\nabla \times \boldsymbol{E}_0(\boldsymbol{r})}{i \omega \mu_0 \mu(\boldsymbol{r})}  &=  -i \omega \epsilon_0 \epsilon(\boldsymbol{r}) \boldsymbol{E}_0(\boldsymbol{r})  \nonumber
  \\
  \frac{1}{i \omega \mu_0} \nabla \times \left\{  \frac{1}{ \mu(\boldsymbol{r}) }  \left[ \nabla \times \boldsymbol{E}_0(\boldsymbol{r}) \right]  \right\}  &=  -i \omega \epsilon_0 \epsilon(\boldsymbol{r}) \boldsymbol{E}_0(\boldsymbol{r})
  \\
  \nabla \times \left\{  \frac{1}{ \mu(\boldsymbol{r}) }  \left[ \nabla \times \boldsymbol{E}_0(\boldsymbol{r}) \right]  \right\}  &=  -i^2 \omega^2 \epsilon_0 \mu_0 \epsilon(\boldsymbol{r}) \boldsymbol{E}_0(\boldsymbol{r})
\end{align}
```

<!--
　左辺にベクトル恒等式$\nabla \times (\nabla \times \boldsymbol{A})  =  \nabla (\nabla \cdot \boldsymbol{A}) -\nabla^2 \boldsymbol{A}$を適用すると，

```math
\begin{align}
  \nabla \left[ \frac{1}{\mu(\boldsymbol{r})} \nabla \cdot \boldsymbol{E}_0(\boldsymbol{r}) \right] -\nabla^2 \left[ \frac{1}{\mu(\boldsymbol{r})} \boldsymbol{E}_0(\boldsymbol{r}) \right]  &=  -i^2 \omega^2 \epsilon_0 \epsilon(\boldsymbol{r}) \mu_0 \mu(\boldsymbol{r}) \boldsymbol{E}_0(\boldsymbol{r})  \nonumber
\end{align}
```

　ここで左辺第一項は，電荷が無い（$\nabla \cdot \boldsymbol{E}_0(\boldsymbol{r}) = 0$）と仮定すれば消去できる．

```math
\begin{align}
  \nabla^2 \left[ \frac{1}{\mu(\boldsymbol{r})} \boldsymbol{E}_0(\boldsymbol{r}) \right]  &=  i^2 \omega^2 \epsilon_0 \epsilon(\boldsymbol{r}) \mu_0 \mu(\boldsymbol{r}) \boldsymbol{E}_0(\boldsymbol{r})  \nonumber
\end{align}
```
-->

　また，$i^2 = -1$および真空中の光速が$c = \frac{1}{\sqrt{\epsilon_0 \mu_0}}$であることを使うと，

```math
\begin{align}
  \therefore  \nabla \times \left\{  \frac{1}{ \mu(\boldsymbol{r}) }  \left[ \nabla \times \boldsymbol{E}_0(\boldsymbol{r}) \right]  \right\}
    -\frac{\omega^2}{c^2} \epsilon(\boldsymbol{r}) \boldsymbol{E}_0(\boldsymbol{r})
  =  \boldsymbol{0}  \tag{5}
  %\label{HelmholtzE0}
\end{align}
```

　ここで，$x$-$y$平面において（$\boldsymbol{r}=(x,y,0)$），電場が入射面に対して垂直（$z$方向）成分のみ持つ場合を$\boldsymbol{E}_0  =  \left[ \begin{array}{ccc} 0& 0& E(\boldsymbol{r}) \end{array} \right] ^\text{T}$とおく．これを式（5）に代入すると，

```math
\begin{align}
  &\nabla \times \left\{  \frac{1}{ \mu(\boldsymbol{r}) }  \left[ \nabla \times  
  \begin{Bmatrix}
    0\\  0\\  E(\boldsymbol{r})
  \end{Bmatrix}
  \right]  \right\}
    -\frac{\omega^2}{c^2} \epsilon(\boldsymbol{r})
  \begin{Bmatrix}
    0\\  0\\  E(\boldsymbol{r})
  \end{Bmatrix}
  \\
  =& \nabla \times \left\{  \frac{1}{ \mu(\boldsymbol{r}) } 
  \begin{vmatrix}
    \boldsymbol{i}&  \boldsymbol{j}&  \boldsymbol{k}\\
    \frac{\partial}{\partial x}&  \frac{\partial}{\partial y}&  \frac{\partial}{\partial z}\\
    0&  0&  E(\boldsymbol{r})
  \end{vmatrix}
   \right\}
    -\frac{\omega^2}{c^2} \epsilon(\boldsymbol{r})
  \begin{Bmatrix}
    0\\ 0\\ E(\boldsymbol{r})
  \end{Bmatrix}
  \\
  =& \nabla \times \left\{  \frac{1}{ \mu(\boldsymbol{r}) } 
  \begin{Bmatrix}
    \frac{\partial E(\boldsymbol{r})}{\partial y}\\
    -\frac{\partial E(\boldsymbol{r})}{\partial x}\\
    0
  \end{Bmatrix}
   \right\}
    -\frac{\omega^2}{c^2} \epsilon(\boldsymbol{r})
  \begin{Bmatrix}
    0\\ 0\\ E(\boldsymbol{r})
  \end{Bmatrix}
  \\
  =& \begin{vmatrix}
       \boldsymbol{i}&  \boldsymbol{j}&  \boldsymbol{k}\\
       \frac{\partial}{\partial x}&  \frac{\partial}{\partial y}&  \frac{\partial}{\partial z}\\
       \frac{1}{\mu(\boldsymbol{r})} \frac{\partial E(\boldsymbol{r})}{\partial y}&  -\frac{1}{\mu(\boldsymbol{r})} \frac{\partial E(\boldsymbol{r})}{\partial x}&  0
     \end{vmatrix}
     -\frac{\omega^2}{c^2} \epsilon(\boldsymbol{r})
     \begin{Bmatrix}
       0\\ 0\\ E(\boldsymbol{r})
     \end{Bmatrix}
  \\
  =& \begin{Bmatrix}
       0\\
       0\\
       -\frac{\partial}{\partial x} \left[ \frac{1}{\mu(\boldsymbol{r})} \frac{\partial E(\boldsymbol{r})}{\partial x} \right]  -\frac{\partial}{\partial y} \left[ \frac{1}{\mu(\boldsymbol{r})} \frac{\partial E(\boldsymbol{r})}{\partial y} \right]
     \end{Bmatrix}
     -\frac{\omega^2}{c^2} \epsilon(\boldsymbol{r})
     \begin{Bmatrix}
       0\\ 0\\ E(\boldsymbol{r})
     \end{Bmatrix}
  \\
  =& \boldsymbol{0}
\end{align}
```

<!--
```math
  \nabla^2 
  \begin{Bmatrix}
    0\\  0\\  E(\boldsymbol{r})
  \end{Bmatrix}
  +\frac{\omega^2}{c^2} \epsilon(\boldsymbol{r}) \mu(\boldsymbol{r})
  \begin{Bmatrix}
    0\\  0\\  E(\boldsymbol{r})
  \end{Bmatrix}
  = \boldsymbol{0}
  \\
```
-->

　これより$z$成分において，次式が成り立つ．

```math
\begin{align}
  \frac{\partial}{\partial x} \left[ \frac{1}{\mu(\boldsymbol{r})} \frac{\partial E(\boldsymbol{r})}{\partial x} \right]
  +\frac{\partial}{\partial y} \left[ \frac{1}{\mu(\boldsymbol{r})} \frac{\partial E(\boldsymbol{r})}{\partial y} \right]
  +\frac{\omega^2}{c^2} \epsilon(\boldsymbol{r}) E(\boldsymbol{r})
  =  0
\end{align}
```

```math
\begin{align}
  \therefore \nabla \cdot \left[  \frac{1}{\mu(\boldsymbol{r})} \nabla E(\boldsymbol{r})  \right]  +\frac{\omega^2}{c^2} E(\boldsymbol{r})  =  0
  %\label{HelmholtzEz}
\end{align}
```

<!--
```math
\begin{align}
  \frac{\partial^2 E(\boldsymbol{r})}{\partial x^2}
  +\frac{\partial E(\boldsymbol{r})}{\partial y^2}
  +\frac{\omega^2}{c^2} \epsilon(\boldsymbol{r}) \mu(\boldsymbol{r}) E(\boldsymbol{r})  =  0
\end{align}
```

```math
\begin{align}
  \therefore \nabla^2 E(\boldsymbol{r}) +\frac{\omega^2}{c^2} \epsilon(\boldsymbol{r}) \mu(\boldsymbol{r}) E(\boldsymbol{r})  =  0
  %\label{HelmholtzEz}
\end{align}
```
-->

　この式をTransverse Magnetic（TM）偏光，またはE偏光などという．なお，この式はHelmholtz方程式の形をしている．


##磁場におけるスカラー波動方程式
　式（4）を変形すると，

```math
  \boldsymbol{E}_0(\boldsymbol{r}) = -\frac{\nabla \times \boldsymbol{H}_0(\boldsymbol{r})}{i \omega \epsilon_0 \epsilon(\boldsymbol{r})}
```

　これを式（3）の左辺に代入すると，

```math
\begin{align}
  \nabla \times \left[ -\frac{\nabla \times \boldsymbol{H}_0(\boldsymbol{r})}{i \omega \epsilon_0 \epsilon(\boldsymbol{r})} \right]  &=  i \omega \mu_0 \mu(\boldsymbol{r}) \boldsymbol{H}_0(\boldsymbol{r})  \nonumber
  \\
  -\frac{1}{i \omega \epsilon_0} \nabla \times \left\{  \frac{1}{ \epsilon(\boldsymbol{r}) }  \left[ \nabla \times \boldsymbol{H}_0(\boldsymbol{r}) \right]  \right\}  &=  i \omega \mu_0 \mu(\boldsymbol{r}) \boldsymbol{H}_0(\boldsymbol{r})
  \\
  \nabla \times \left\{  \frac{1}{ \epsilon(\boldsymbol{r}) }  \left[ \nabla \times \boldsymbol{H}_0(\boldsymbol{r}) \right]  \right\}  &=  -i^2 \omega^2 \epsilon_0 \mu_0 \mu(\boldsymbol{r}) \boldsymbol{H}_0(\boldsymbol{r})
\end{align}
```

　また，$i^2 = -1$および真空中の光速が$c = \frac{1}{\sqrt{\epsilon_0 \mu_0}}$であることを使うと，

```math
\begin{align}
  \therefore  \nabla \times \left\{  \frac{1}{ \epsilon(\boldsymbol{r}) }  \left[ \nabla \times \boldsymbol{H}_0(\boldsymbol{r}) \right]  \right\}
    -\frac{\omega^2}{c^2} \mu(\boldsymbol{r}) \boldsymbol{H}_0(\boldsymbol{r})
  =  \boldsymbol{0}  \tag{6}
  %\label{HelmholtzH0}
\end{align}
```

　ここで，磁場が入射面に対して垂直（$z$方向）成分のみ持つ場合を$\boldsymbol{H}_0  =  \left[ \begin{array}{ccc} 0& 0& H(\boldsymbol{r}) \end{array} \right] ^\text{T}$とおく．これを式（6）に代入すると，

```math
\begin{align}
  &\nabla \times \left\{  \frac{1}{ \epsilon(\boldsymbol{r}) }  \left[ \nabla \times  
  \begin{Bmatrix}
    0\\  0\\  H(\boldsymbol{r})
  \end{Bmatrix}
  \right]  \right\}
    -\frac{\omega^2}{c^2} \mu(\boldsymbol{r})
  \begin{Bmatrix}
    0\\  0\\  H(\boldsymbol{r})
  \end{Bmatrix}
  \\
  =& \nabla \times \left\{  \frac{1}{ \epsilon(\boldsymbol{r}) } 
  \begin{vmatrix}
    \boldsymbol{i}&  \boldsymbol{j}&  \boldsymbol{k}\\
    \frac{\partial}{\partial x}&  \frac{\partial}{\partial y}&  \frac{\partial}{\partial z}\\
    0&  0&  H(\boldsymbol{r})
  \end{vmatrix}
   \right\}
    -\frac{\omega^2}{c^2} \mu(\boldsymbol{r})
  \begin{Bmatrix}
    0\\ 0\\ H(\boldsymbol{r})
  \end{Bmatrix}
  \\
  =& \nabla \times \left\{  \frac{1}{ \epsilon(\boldsymbol{r}) } 
  \begin{Bmatrix}
    \frac{\partial H(\boldsymbol{r})}{\partial y}\\
    -\frac{\partial H(\boldsymbol{r})}{\partial x}\\
    0
  \end{Bmatrix}
   \right\}
    -\frac{\omega^2}{c^2} \mu(\boldsymbol{r})
  \begin{Bmatrix}
    0\\ 0\\ H(\boldsymbol{r})
  \end{Bmatrix}
  \\
  =& \begin{vmatrix}
       \boldsymbol{i}&  \boldsymbol{j}&  \boldsymbol{k}\\
       \frac{\partial}{\partial x}&  \frac{\partial}{\partial y}&  \frac{\partial}{\partial z}\\
       \frac{1}{\epsilon(\boldsymbol{r})} \frac{\partial H(\boldsymbol{r})}{\partial y}&  -\frac{1}{\epsilon(\boldsymbol{r})} \frac{\partial H(\boldsymbol{r})}{\partial x}&  0
     \end{vmatrix}
     -\frac{\omega^2}{c^2} \mu(\boldsymbol{r})
     \begin{Bmatrix}
       0\\ 0\\ H(\boldsymbol{r})
     \end{Bmatrix}
  \\
  =& \begin{Bmatrix}
       0\\
       0\\
       -\frac{\partial}{\partial x} \left[ \frac{1}{\epsilon(\boldsymbol{r})} \frac{\partial H(\boldsymbol{r})}{\partial x} \right]  -\frac{\partial}{\partial y} \left[ \frac{1}{\epsilon(\boldsymbol{r})} \frac{\partial H(\boldsymbol{r})}{\partial y} \right]
     \end{Bmatrix}
     -\frac{\omega^2}{c^2} \mu(\boldsymbol{r})
     \begin{Bmatrix}
       0\\ 0\\ H(\boldsymbol{r})
     \end{Bmatrix}
  \\
  =& \boldsymbol{0}
\end{align}
```

　これより$z$成分において，次式が成り立つ．

```math
\begin{align}
  \frac{\partial}{\partial x} \left[ \frac{1}{\epsilon(\boldsymbol{r})} \frac{\partial H(\boldsymbol{r})}{\partial x} \right]
  +\frac{\partial}{\partial y} \left[ \frac{1}{\epsilon(\boldsymbol{r})} \frac{\partial H(\boldsymbol{r})}{\partial y} \right]
  +\frac{\omega^2}{c^2} \mu(\boldsymbol{r}) H(\boldsymbol{r})
  =  0
\end{align}
```

```math
\begin{align}
  \therefore \nabla \cdot \left[  \frac{1}{\epsilon(\boldsymbol{r})} \nabla H(\boldsymbol{r})  \right]  +\frac{\omega^2}{c^2} H(\boldsymbol{r})  =  0
  %\label{HelmholtzHz}
\end{align}
```

　この式をTransverse Electric（TE）偏光，またはH偏光などという．なお，この式はHelmholtz方程式の形をしている．