もう諦めない圏論基礎―高次元圏と変換手―

# 想定読者と到達目標

「[__モナド__](https://qiita.com/norkron/items/aff3ce925edc6be74923#モナド)は[__単位圏から圏の圏へのラックス 2-関手__](https://qiita.com/norkron/items/aff3ce925edc6be74923#単位圏から圏の圏へのラックス-2-関手)」
であることをもう少しだけ深く理解したい人へ。

[__ストライプ・ダイアグラム__](#ストライプダイアグラム)で定義を見ていく。

ただ単にモナドを理解したいだけなのに、
どこか遠くへ来てしまった感はあるけれど[^Haskell]、
絵を眺めるだけでどこか楽しいかもしれない。

[^Haskell]: この記事で直接的に Haskell は登場しないが、圏論を通して間接的に Haskell っぽいと考える(シリーズものは何となくタグを揃えたいので)。



# 目次

- [__圏論入門前の準備運動―集合と写像―__](https://qiita.com/norkron/items/237735106ee6e5333678)
- [__もう諦めない圏論入門―対象と射―__](https://qiita.com/norkron/items/f90d851daf05a2efa567)
- [__もう諦めない圏論入門―圏と関手―__](https://qiita.com/norkron/items/f0de364cc980171b1db7)
- [__もう諦めない圏論入門―関手と自然変換―__](https://qiita.com/norkron/items/1cc1b593e04184f0fe98)
- [__もう諦めない圏論付録―ストリング・ダイアグラム―__](https://qiita.com/norkron/items/e55a39c22288955689f9)
- [__もう諦めない圏論基礎―極限からカン拡張へ―__](https://qiita.com/norkron/items/681aed1323ac95431ea3)
- [__もう諦めない圏論基礎―モノイドからモナドへ―__](https://qiita.com/norkron/items/aff3ce925edc6be74923)
- [__もう諦めない圏論基礎―高次元圏と変換手―__](https://qiita.com/norkron/items/271b702a907f865aafc5)
    - ダイアグラムで $2$-$k$-変換手の定義を確認する
    - 厳密 $n$-圏の雰囲気を理解した気になる



# 高次元圏

[__圏__](https://qiita.com/norkron/items/f90d851daf05a2efa567#圏)が対象と射で構成されるのに対して、
[__厳密 2-圏__](https://qiita.com/norkron/items/aff3ce925edc6be74923#厳密-2-圏)は対象と 1-射、2-射で構成される。

同様に、厳密 $n$-圏は
対象と 1-射、2-射、$\ldots$、$n$-射で構成される。

$n$ は圏の次元で、通常の圏は厳密 1-圏と言える。



# 変換手

通常の圏における関手、自然変換を
厳密 1-圏での 1-関手、1-自然変換と呼ぼう。

[__厳密 2-圏__](https://qiita.com/norkron/items/aff3ce925edc6be74923#厳密-2-圏)では 2-関手、2-自然変換、2-変更[^modification]
厳密 3-圏では 3-関手、3-自然変換、3-変更、3-摂動[^perturbation]
と次元 $n$ の増加と共に変換の種類が増える。

厳密 $n$-圏では $(n+1)$ 種類の変換が存在する。

|       |  $k=0$ |      $k=1$ |  $k=2$ |  $k=3$ |
|:-----:|:------:|:----------:|:------:|:------:|
| $n=1$ | 1-関手 | 1-自然変換 |        |        |
| $n=2$ | 2-関手 | 2-自然変換 | 2-変更 |        |
| $n=3$ | 3-関手 | 3-自然変換 | 3-変更 | 3-摂動 |

[^modification]: modification
[^perturbation]: perturbation

---

$(n+1)$ 種類の変換に $k=0$ から $k=n$ と
番号付けをして $k$-変換手と呼ぶらしい[^transfor]。

|       |      $k=0$ |      $k=1$ |      $k=2$ |      $k=3$ |
|:-----:|:----------:|:----------:|:----------:|:----------:|
| $n=1$ | 1-0-変換手 | 1-1-変換手 |            |            |
| $n=2$ | 2-0-変換手 | 2-1-変換手 | 2-2-変換手 |            |
| $n=3$ | 3-0-変換手 | 3-1-変換手 | 3-2-変換手 | 3-3-変換手 |

`0-変換手` $=$ `関手`
`1-変換手` $=$ `自然変換`
`2-変換手` $=$ `変更`
`3-変換手` $=$ `摂動`
のようにいつでも置換可能とする。

[^perturbation]: perturbation



# 高次元圏の圏

[__圏の圏__](https://qiita.com/norkron/items/f0de364cc980171b1db7#圏の圏) $\mathbf{Cat}$ を考えると、
構成要素は圏と関手と自然変換である。

何を対象とし、何を射とするかに応じて
次のように色んな組み合わせで $n$-圏になる。

|           |   圏 | 関手 | 自然変換 |
|----------:|-----:|-----:|---------:|
|    圏の圏 | 対象 |   射 |          |
|  関手の圏 |      | 対象 |       射 |
| 圏の 2-圏 | 対象 | 1-射 |     2-射 |

---

同様に、[__厳密 2-圏の圏__](#厳密-2-圏の圏) $2\mathbf{Cat}$ を考えると、
構成要素は 2-圏と 2-関手と 2-自然変換と 2-変更である。

何を対象とし、何を射とするかに応じて
次のように色んな組み合わせで $n$-圏になる。

|                | 2-圏 | 2-関手 | 2-自然変換 | 2-変更 |
|---------------:|-----:|-------:|-----------:|-------:|
|       2-圏の圏 | 対象 |     射 |            |        |
| 2-自然変換の圏 |      |        |       対象 |     射 |
|  2-関手の 2-圏 |      |   対象 |       1-射 |   2-射 |
|    2-圏の 3-圏 | 対象 |   1-射 |       2-射 |   3-射 |

2-関手を対象とする場合には
2-自然変換を射としても圏にはならず、
[__2-ICON__](#2-icon)[^icon] と呼ばれる変換を射とすると圏になる。

|             | 2-圏 | 2-関手 | 2-ICON |
|------------:|-----:|-------:|-------:|
|  2-関手の圏 |      |   対象 |     射 |
| 2-圏の 2-圏 | 対象 |   1-射 |   2-射 |

---

以下では[__厳密 2-圏__](https://qiita.com/norkron/items/aff3ce925edc6be74923#厳密-2-圏)の場合に焦点を当て、
$2$-$k$-変換手(すなわち 2-関手、2-自然変換、2-変更)
を[__ストライプ・ダイアグラム__](#ストライプダイアグラム)で描いてみよう。



# ストライプ・ダイアグラム

2-圏 $\boldsymbol{\mathcal{C}}$ の対象 $a,b$ および
1-射 $f,f' \colon a \longrightarrow b$ と 2-射 $\theta \colon f \Longrightarrow f'$
を[__ストリング・ダイアグラム__](https://qiita.com/norkron/items/e55a39c22288955689f9#ストリングダイアグラム)で描くと次のようになる。
![Stp-8.png](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/268212/08a5342c-0b47-f44a-adad-aff3a0d4d939.png)

[__ラックス 2-関手__](https://qiita.com/norkron/items/aff3ce925edc6be74923#ラックス-2-関手) $(\mathcal{F},\mu,\eta)$ は $\mathcal{F}$ によって
2-圏 $\boldsymbol{\mathcal{C}}$ の対象および 1-射と 2-射を
2-圏 $\boldsymbol{\mathcal{D}}$ の対象 $\mathcal{F}\ a,\mathcal{F}\ b$ および
1-射 $\mathcal{F}\ f,\mathcal{F}\ f' \colon \mathcal{F}\ a \longrightarrow \mathcal{F}\ b$ と
2-射 $\mathcal{F}\ \theta \colon \mathcal{F}\ f \Longrightarrow \mathcal{F}\ f'$ に対応させる。
![Stp-11.png](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/268212/0cbc67cf-bc26-52ed-b1ae-2bfaf165d777.png)

ラックス 2-関手の $\mathcal{F}$ を次のように描く。
![Stp-9-10.gif](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/268212/4e23e725-a0aa-f98b-3c13-588fc230b380.gif)
対象も 1-射も 2-射も全部対応させるので
$\mathcal{F}$ を上からかぶせるイメージだ。

ストリングが幅を持ったストライプになるので
ストライプ・ダイアグラムと呼ぶらしい[^stripe]。



# ラックス 2-関手

[__ラックス 2-関手__](https://qiita.com/norkron/items/aff3ce925edc6be74923#ラックス-2-関手) $(\mathcal{F},\mu,\eta)$ は
自然変換  $\mu \colon {\mathcal{F}\ -} \cdot {\mathcal{F}\ -} \Longrightarrow \mathcal{F}\ (- \cdot -)$ すなわち
2-射の族 $\mu\_{(f,g)} \colon {\mathcal{F}\ f} \cdot {\mathcal{F}\ g} \Longrightarrow \mathcal{F}\ (f \cdot g)$
![Stp-13.png](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/268212/ef82a19f-36ec-e07a-a889-8bca8ff2ee99.png)
と 2-射 $\eta \colon \mathrm{id}\_{\mathcal{F}\ a} \Longrightarrow \mathcal{F}\ \mathrm{id}\_{a}$
![Stp-15.png](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/268212/236b369f-66c8-ca15-e825-255cd9152475.png)
により定まる。
ストライプ・ダイアグラムで描くと以下となる。

ラックス 2-関手の自然変換 $\mu$ を次のように描く。
![Stp-12.png](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/268212/707e74fd-e1b7-b964-2fc0-c31f39457e29.png)

ラックス 2-関手の 2-射 $\eta$ を次のように描く。
![Stp-14.png](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/268212/975b2f15-64a9-b28c-eab9-d92be5604839.png)

## 自然性

自然変換 $\mu$ に関して、[__自然変換の定義__](https://qiita.com/norkron/items/1cc1b593e04184f0fe98#自然変換の定義)より
$\mu\_{(f,g)} \ggg \mathcal{F}\ (\theta \cdot \sigma) = \mathcal{F}\ \theta \cdot \mathcal{F}\ \sigma \ggg \mu\_{(f',g')}$
が成り立ち、ダイアグラム計算では次の変形を行って良い。
![Stp-20-21.gif](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/268212/60231d4f-87c3-4668-0b1b-7311557adbc1.gif)

---

次の２つの条件を満たすとき、
組 $(\mathcal{F},\mu,\eta)$ はラックス 2-関手である。

## 条件 1

![Stp-16.png](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/268212/2853751c-2f3e-a782-2508-1e92fea6f88a.png) $=$ ![Stp-17.png](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/268212/1cf908fd-f9c7-5b61-7a56-6228b9d24191.png)

[__モナド__](https://qiita.com/norkron/items/aff3ce925edc6be74923#モナド)の結合律のストリング・ダイアグラムとよく似ている。

## 条件 2

![Stp-18.png](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/268212/5bfd82e8-98d8-3090-461e-2ce41117f2b3.png) $=$ ![Stp-19.png](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/268212/8ea263bc-d3dc-4e32-dfca-9072b034b244.png) $=$ ![Stp-22.png](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/268212/ed6e9854-515b-3901-0e92-1884ab3dd626.png)

[__モナド__](https://qiita.com/norkron/items/aff3ce925edc6be74923#モナド)の単位律のストリング・ダイアグラムとよく似ている。

## 恒等 2-関手

2-関手 $\mathrm{id}\_{\mathcal{C}} \colon \boldsymbol{\mathcal{C}} \longrightarrow \boldsymbol{\mathcal{C}}$ を考える。

対象および 1-射と 2-射の対応を
$\mathrm{id}\_{\mathcal{C}}\ - = -$ とする。

自然変換 $\mu$ を 2-射の族により
$\mu\_{(f,g)} = \mathrm{id}\_{f \cdot g}$ と定義し、
2-射を $\eta = \mathrm{id}\_{\mathrm{id}\_{a}}$ と定義すれば、
組 $(\mathrm{id}\_{\mathcal{C}},\mu,\eta)$ は恒等 2-関手である。

## ラックス 2-関手の合成

ラックス 2-関手 $(\mathcal{F},\color{red}{\mu},\color{red}{\eta})$ と
ラックス 2-関手 $(\mathcal{G},\color{blue}{\mu},\color{blue}{\eta})$ の合成
ラックス 2-関手 $(\mathcal{F} \cdot \mathcal{G},\mu,\eta)$ を考える。

対象および 1-射と 2-射の対応を
$(\mathcal{F} \cdot \mathcal{G})\ - = \mathcal{G}\ (\mathcal{F}\ -)$ とする。

$\mu$ を 2-射の族により
$\mu\_{(f,g)} = \color{blue}{\mu}\_{(\mathcal{F}\ f, \mathcal{F}\ g)} \ggg \mathcal{G}\ \color{red}{\mu}\_{(f,g)}$
![Stp-1-2.gif](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/268212/ff78e2bb-3439-1296-fa39-3b9fb8515842.gif)
と定義し、2-射を $\eta = \color{blue}{\eta} \ggg \mathcal{G}\ \color{red}{\eta}$
![Stp-32-33.gif](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/268212/ab556ac2-27d7-7011-d497-f8da643c911a.gif)
と定義する。

---

次の変形により $\mu$ の[__自然性__](#自然性)が分かる。
![Stp-29-31.gif](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/268212/1e843ae8-810e-54bb-fb42-47c36fe638e3.gif)

次の変形により[__条件 1__](#条件-1)が成り立つことが分かる。
![Stp-1-5.gif](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/268212/2aa47f10-8f43-e6df-2d37-64dd27180ee7.gif)

次の変形により[__条件 2__](#条件-2)が成り立つことが分かる。
![Stp-1-8.gif](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/268212/14cf1086-5900-90e8-b0ef-7262073d2d22.gif)



# ラックス 2-自然変換

ラックス 2-自然変換 $\vartheta \colon \mathcal{F} \Longrightarrow \mathcal{G}$ は
1-射の族 $\vartheta\_{a} \colon \mathcal{F}\ a \longrightarrow \mathcal{G}\ a$
![Stp-29.png](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/268212/11243177-4821-4c06-97c6-b4e885809b1c.png)
と自然変換 $\vartheta \colon \vartheta\_{a} \cdot {\mathcal{G}\ -} \Longrightarrow {\mathcal{F}\ -} \cdot \vartheta\_{b}$ すなわち
2-射の族 $\vartheta\_{f} \colon \vartheta\_{a} \cdot {\mathcal{G}\ f} \Longrightarrow {\mathcal{F}\ f} \cdot \vartheta\_{b}$
![Stp-24.png](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/268212/a7084709-ec7b-857b-66d0-237f228a188c.png)
により定まる。
ストライプ・ダイアグラムで描くと以下となる。

ラックス 2-自然変換の 1-射の族 $\vartheta\_{a}$ を次のように描く。
![Stp-30.png](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/268212/b2ea4bc4-d34e-be31-76c5-e7afd02b1cc3.png)

ラックス 2-自然変換の自然変換 $\vartheta$ を次のように描く。
![Stp-23.png](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/268212/392ac715-3aec-2975-21f4-22a27e3d5ba4.png)

## 自然性

自然変換 $\vartheta$ に関して、[__自然変換の定義__](https://qiita.com/norkron/items/1cc1b593e04184f0fe98#自然変換の定義)より
$\vartheta\_{f} \ggg \mathcal{F}\ \theta \cdot \vartheta\_{b} = \vartheta\_{a} \cdot \mathcal{G}\ \theta \ggg \vartheta\_{f'}$
が成り立ち、ダイアグラム計算では次の変形を行って良い。
![Stp-31-32.gif](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/268212/250c4679-e770-b534-6fc0-30b6f97a32df.gif)

---

次の２つの条件を満たすとき、
$\vartheta$ はラックス 2-自然変換である。

## 条件 1

![Stp-47.png](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/268212/1975ad00-f2df-2725-7e8d-dc12efd73ddd.png) $=$ ![Stp-48.png](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/268212/edbf448e-37a3-38f2-04ab-cc0db7c286d5.png)

## 条件 2

![Stp-27.png](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/268212/ebe2ebbf-763c-8007-af3e-c215cab2b2fb.png) $=$ ![Stp-28.png](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/268212/12485a5e-2aca-0041-8580-e36221fc2503.png)

## 恒等 2-自然変換

2-自然変換 $\mathrm{id}\_{\mathcal{F}} \colon \mathcal{F} \Longrightarrow \mathcal{F}$ を考える。

1-射の族 $(\mathrm{id}\_{\mathcal{F}})\_{a} = \mathrm{id}\_{\mathcal{F}\ a}$  と定義し、
2-射の族 $(\mathrm{id}\_{\mathcal{F}})\_{f} = \mathrm{id}\_{\mathcal{F}\ f}$ と定義すれば、
$\mathrm{id}\_{\mathcal{F}}$ は恒等 2-自然変換である。

## ラックス 2-自然変換の合成

ラックス 2-自然変換 $\vartheta \colon \mathcal{F} \Longrightarrow \mathcal{G}$ と
ラックス 2-自然変換 $\varsigma \colon \mathcal{G} \Longrightarrow \mathcal{H}$ の合成
ラックス 2-自然変換 $\vartheta \cdot \varsigma \colon \mathcal{F} \Longrightarrow \mathcal{H}$ を考える。

1-射の族 $(\vartheta \cdot \varsigma)\_{a} = \vartheta\_{a} \cdot \varsigma\_{a}$ と定義し、
2-射の族 $(\vartheta \cdot \varsigma)\_{f} = \vartheta\_{a} \cdot \varsigma\_{f} \ggg \vartheta\_{f} \cdot \varsigma\_{b}$ と定義する。
![Stp-29-30.gif](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/268212/c3cd8f0e-1413-4aed-434e-62aa71f32983.gif)

---

次の変形により $\vartheta \cdot \varsigma$ の[__自然性__](#自然性-1)が分かる。
![Stp-42-44.gif](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/268212/64736b8d-29f5-26ef-3fcf-56ecc8236779.gif)

次の変形により[__条件 1__](#条件-1-1)が成り立つことが分かる。
![Stp-59-62.gif](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/268212/389188fc-75a1-a495-b34a-2c9a7d84a693.gif)

次の変形により[__条件 2__](#条件-2-1)が成り立つことが分かる。
![Stp-63-65.gif](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/268212/be1a6da2-df16-8de3-6703-c915d54b5c40.gif)



# 反ラックス 2-自然変換

反ラックス 2-自然変換 $\vartheta \colon \mathcal{F} \Longrightarrow \mathcal{G}$ は
1-射の族 $\vartheta\_{a} \colon \mathcal{F}\ a \longrightarrow \mathcal{G}\ a$ と
自然変換 $\vartheta \colon {\mathcal{F}\ -} \cdot \vartheta\_{b} \Longrightarrow \vartheta\_{a} \cdot {\mathcal{G}\ -}$ すなわち
2-射の族 $\vartheta\_{f} \colon {\mathcal{F}\ f} \cdot \vartheta\_{b} \Longrightarrow \vartheta\_{a} \cdot {\mathcal{G}\ f}$
![Stp-1.png](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/268212/b0157bcb-c1ee-929b-81ab-bef3bc8abd7f.png)
により定まる。

[__ラックス 2-自然変換__](#ラックス-2-自然変換)とは自然変換 $\vartheta$ の方向が
逆になっているため、反ラックスと呼ばれる。



# 2-ICON

[__反ラックス 2-自然変換__](#反ラックス-2-自然変換)は
1-射の族 $\vartheta\_{a} \colon \mathcal{F}\ a \longrightarrow \mathcal{G}\ a$ と
2-射の族 $\vartheta\_{f} \colon {\mathcal{F}\ f} \cdot \vartheta\_{b} \Longrightarrow \vartheta\_{a} \cdot {\mathcal{G}\ f}$ により定まる。

1-射の族を恒等 1-射で
$\vartheta\_{a} = \mathrm{id}\_{\mathcal{F}\ a}$ と部分適用した変換を
2-ICON $\vartheta \colon \mathcal{F} \Longrightarrow \mathcal{G}$ と呼ぶ.

[__ラックス 2-関手__](https://qiita.com/norkron/items/aff3ce925edc6be74923#ラックス-2-関手)による対象の対応が
$\mathcal{F}\ a = \mathcal{G}\ a$ となる。

---

2-ICON $\vartheta \colon \mathcal{F} \Longrightarrow \mathcal{G}$ は
自然変換 $\vartheta \colon \mathcal{F} \Longrightarrow \mathcal{G}$ すなわち
2-射の族 $\vartheta\_{f} \colon {\mathcal{F}\ f} \Longrightarrow {\mathcal{G}\ f}$
![Stp-47.png](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/268212/918be758-3d4a-fa21-fda1-4481d77b9e78.png)
により定まる。
ストライプ・ダイアグラムで描くと以下となる。

2-ICON の自然変換 $\vartheta$ を次のように描く。
![Stp-48.png](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/268212/4ebb7c98-0b2f-b676-6c22-a94d13fbc474.png)

## 自然性

自然変換 $\vartheta$ に関して、[__自然変換の定義__](https://qiita.com/norkron/items/1cc1b593e04184f0fe98#自然変換の定義)より
$\mathcal{F}\ \theta \ggg \vartheta\_{f'} = \vartheta\_{f} \ggg \mathcal{G}\ \theta$
が成り立ち、ダイアグラム計算では次の変形を行って良い。
![Stp-53-54.gif](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/268212/514a87f9-2784-2373-62e2-9f7945c9b9f5.gif)

---

次の２つの条件を満たすとき、
$\vartheta$ は 2-ICON である。

## 条件 1

![Stp-43.png](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/268212/be33ce06-a120-5384-cf30-fba0890bc207.png) $=$ ![Stp-44.png](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/268212/ad63e226-7424-7c48-ee2e-c7344820c17d.png)

## 条件 2

![Stp-41.png](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/268212/718ae678-b790-fbcb-c38a-5937df1eaf3d.png) $=$ ![Stp-42.png](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/268212/7817888f-45f0-7060-7583-34be55b6e265.png)


## 2-ICON の垂直合成


2-ICON $\vartheta \colon \mathcal{F} \Longrightarrow \mathcal{G}$ と
2-ICON $\varsigma \colon \mathcal{G} \Longrightarrow \mathcal{H}$ の垂直合成
2-ICON $\vartheta \ggg \varsigma \colon \mathcal{F} \Longrightarrow \mathcal{H}$ を考える。


2-射の族 $(\vartheta \ggg \varsigma)\_{f} = \vartheta\_{f} \ggg \varsigma\_{f}$ と定義する。
![Stp-59-60.gif](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/268212/dc126a74-4c47-7231-528b-5b99a80105fe.gif)

---

次の変形により $\vartheta \ggg \varsigma$ の[__自然性__](#自然性-2)が分かる。
![Stp-72-74.gif](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/268212/ec48427e-8a4d-fade-6114-063f7f6dff55.gif)

次の変形により[__条件 1__](#条件-1-2)が成り立つことが分かる。
![Stp-60-62.gif](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/268212/cf16f569-2d6d-ebe3-ac5f-bfb2fea95b2c.gif)

次の変形により[__条件 2__](#条件-2-2)が成り立つことが分かる。
![Stp-57-59.gif](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/268212/70c5aad9-c0fc-8241-dc7f-c64438d181a6.gif)



# 2-変更

2-変更 $\varPsi \colon \vartheta \equiv\\!\Rrightarrow \varsigma$ は
2-射の族 $\varPsi\_{a} \colon \vartheta\_{a} \Longrightarrow \varsigma\_{a}$
![Stp-33.png](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/268212/72c42ff6-f9af-4347-c9cd-9120addbf925.png)
により定まる。
ストライプ・ダイアグラムで描くと以下となる。

2-変更の 2-射の族 $\varPsi\_{a}$ を次のように描く。
![Stp-34.png](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/268212/12aea0a5-438c-f9f3-8950-45545d03961b.png)

---

次の１つの条件を満たすとき、
$\varPsi$ は 2-変更である。

## 条件 1

![Stp-33.png](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/268212/213c1813-18cc-3391-196e-0e6041c9e16a.png) $=$ ![Stp-34.png](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/268212/2b781f4a-3b34-9a17-4a75-5af1c6a75be0.png)

## 恒等 2-変更

2-変更 $\mathrm{id}\_{\vartheta} \colon \vartheta \equiv\\!\Rrightarrow \vartheta$ を考える。

2-射の族 $(\mathrm{id}\_{\vartheta})\_{a} = \mathrm{id}\_{\vartheta\_{a}}$ と定義すれば、
$\mathrm{id}\_{\vartheta}$ は恒等 2-変更である。

## 2-変更の垂直合成

2-変更 $\varPsi \colon \vartheta \equiv\\!\Rrightarrow \varsigma$ と
2-変更 $\varPhi \colon \varsigma\equiv\\!\Rrightarrow \varrho$ の垂直合成
2-変更 $\varPsi \ggg \varPhi \colon \vartheta \equiv\\!\Rrightarrow \varrho$ を考える。

2-射の族 $(\varPsi \ggg \varPhi)\_{a} = \varPsi\_{a} \ggg \varPhi\_{a}$ と定義する。
![Stp-43-44.gif](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/268212/f67abf53-b30b-a2c8-adf6-2199ef497bd0.gif)

---

次の変形により[__条件 1__](#条件-1-3)が成り立つことが分かる。
![Stp-34-36.gif](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/268212/42c6517d-5c44-1aee-29d3-5430351fb32e.gif)

## 2-変更の水平合成

2-変更 $\varPsi \colon \vartheta \equiv\\!\Rrightarrow \vartheta'$ と
2-変更 $\varPhi \colon \varsigma \equiv\\!\Rrightarrow \varsigma'$ の水平合成
2-変更 $\varPsi \cdot \varPhi \colon \vartheta \cdot \varsigma \equiv\\!\Rrightarrow \vartheta' \cdot \varsigma'$ を考える。

2-射の族 $(\varPsi \cdot \varPhi)\_{a} = \varPsi\_{a} \cdot \varPhi\_{a}$ と定義する。
![Stp-45-46.gif](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/268212/0adebba3-c886-aeaf-fb67-e76747271a75.gif)

---

次の変形により[__条件 1__](#条件-1-3)が成り立つことが分かる。
![Stp-37-39.gif](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/268212/2a93ec3c-c353-b115-9139-9b66b3a523c3.gif)



# 厳密 2-圏の圏

厳密 2-圏の圏 $2\mathbf{Cat}$ は
[__厳密 2-圏__]
(https://qiita.com/norkron/items/aff3ce925edc6be74923#厳密-2-圏)を対象とし、
[__ラックス 2-関手__](#ラックス-2-関手)を射とする。



# ラックス 2-自然変換の圏

ラックス 2-自然変換の圏 $\mathcal{D}^\mathcal{C}(\mathcal{F},\mathcal{G})$ は
[__ラックス 2-自然変換__](#ラックス-2-自然変換)を対象とし、
[__2-変更__](#2-変更)を射とする。



# ラックス 2-関手の厳密 2-圏

ラックス 2-関手の厳密 2-圏 $\mathcal{D}^\mathcal{C}$ は
[__ラックス 2-関手__](#ラックス-2-関手)を対象とし、
各対象 $\mathcal{F}, \mathcal{G} \in \mathrm{Obj}(\mathcal{D}^\mathcal{C})$ に対して圏 $\mathcal{D}^\mathcal{C}(\mathcal{F},\mathcal{G})$ が存在し、
対象 $\vartheta,\varsigma \in \mathrm{Obj}(\mathcal{D}^\mathcal{C}(\mathcal{F},\mathcal{G}))$ を 1-射 $\vartheta,\varsigma \colon \mathcal{F} \longrightarrow \mathcal{G}$ と呼び
射 $\varPsi \in \mathrm{Mor}(\mathcal{D}^\mathcal{C}(\mathcal{F},\mathcal{G}))$ を 2-射 $\varPsi \colon \vartheta \Longrightarrow \varsigma$ と呼ぶ。

また、双関手 $-\cdot- \colon \mathcal{D}^\mathcal{C}(\mathcal{F},\mathcal{G}) \times \mathcal{D}^\mathcal{C}(\mathcal{G},\mathcal{H}) \longrightarrow \mathcal{D}^\mathcal{C}(\mathcal{F},\mathcal{H})$ と
恒等 1-射 $\mathrm{id}\_{\mathcal{F}} \in \mathrm{Obj}(\mathcal{D}^\mathcal{C}(\mathcal{F},\mathcal{F}))$ が存在する。

<details><summary>$-\cdot-$ が関手であることを確認できる。</summary>
<div>

1. （恒等射の保存）
    $(\mathrm{id}\_{\vartheta} \cdot \mathrm{id}\_{\varsigma})\_{a} = (\mathrm{id}\_{\vartheta})\_{a} \cdot (\mathrm{id}\_{\varsigma})\_{a} = \mathrm{id}\_{\vartheta\_{a}} \cdot \mathrm{id}\_{\varsigma\_{a}}$
    $= \mathrm{id}\_{\vartheta\_{a} \cdot \varsigma\_{a}} = \mathrm{id}\_{(\vartheta\ \cdot \varsigma)\_{a}} = (\mathrm{id}\_{\vartheta\ \cdot \varsigma})\_{a}$
    すなわち $\mathrm{id}\_{\vartheta} \cdot \mathrm{id}\_{\varsigma} = \mathrm{id}\_{\vartheta\ \cdot \varsigma}$ が成り立つ。

2. （合成の保存）
    $((\varPsi \ggg \varPsi') \cdot (\varPhi \ggg \varPhi'))\_{a} = (\varPsi \ggg \varPsi')\_{a} \cdot (\varPhi \ggg \varPhi')\_{a}$
    $= (\varPsi\_{a} \ggg \varPsi'\_{a}) \cdot (\varPhi\_{a} \ggg \varPhi'\_{a}) = \varPsi\_{a} \cdot \varPhi\_{a} \ggg \varPsi'\_{a} \cdot \varPhi'\_{a}$
    $= (\varPsi \cdot \varPhi)\_{a} \ggg (\varPsi' \cdot \varPhi')\_{a} = (\varPsi \cdot \varPhi \ggg \varPsi' \cdot \varPhi')\_{a}$
    すなわち $(\varPsi \ggg \varPsi') \cdot (\varPhi \ggg \varPhi') = \varPsi \cdot \varPhi \ggg \varPsi' \cdot \varPhi'$ が成り立つ。

</div>
</details>

<details><summary>結合律と単位律が成り立つ。</summary>
<div>

1. （結合律）
    $((\vartheta \cdot \varsigma) \cdot \varrho)\_{a} = (\vartheta \cdot \varsigma)\_{a} \cdot \varrho\_{a} = (\vartheta\_{a} \cdot \varsigma\_{a}) \cdot \varrho\_{a}$
    $= \vartheta\_{a} \cdot (\varsigma\_{a} \cdot \varrho\_{a}) = \vartheta\_{a} \cdot (\varsigma \cdot \varrho)\_{a} = (\vartheta \cdot (\varsigma \cdot \varrho))\_{a}$
    $((\varPsi \cdot \varPhi) \cdot \varGamma)\_{a} = (\varPsi \cdot \varPhi)\_{a} \cdot \varGamma\_{a} = (\varPsi\_{a} \cdot \varPhi\_{a}) \cdot \varGamma\_{a}$
    $= \varPsi\_{a} \cdot (\varPhi\_{a} \cdot \varGamma\_{a}) = \varPsi\_{a} \cdot (\varPhi \cdot \varGamma)\_{a} = (\varPsi \cdot (\varPhi \cdot \varGamma))\_{a}$

2. （単位律）
    $(\mathrm{id}\_{\mathcal{F}} \cdot \vartheta)\_{a} = (\mathrm{id}\_{\mathcal{F}})\_{a} \cdot \vartheta\_{a} = \mathrm{id}\_{\mathcal{F\ a}} \cdot \vartheta\_{a} = \vartheta\_{a}$
    $(\vartheta \cdot \mathrm{id}\_{\mathcal{G}})\_{a} = \vartheta\_{a} \cdot (\mathrm{id}\_{\mathcal{G}})\_{a} = \vartheta\_{a} \cdot \mathrm{id}\_{\mathcal{G\ a}} = \vartheta\_{a}$
    $(\mathrm{id}\_{\mathrm{id}\_{\mathcal{F}}} \cdot \varPsi)\_{a} = (\mathrm{id}\_{\mathrm{id}\_{\mathcal{F}}})\_{a} \cdot \varPsi\_{a} = \mathrm{id}\_{(\mathrm{id}\_{\mathcal{F}})\_{a}} \cdot \varPsi\_{a} = \mathrm{id}\_{\mathrm{id}\_{\mathcal{F}\ a}} \cdot \varPsi\_{a} = \varPsi\_{a}$
    $(\varPsi \cdot \mathrm{id}\_{\mathrm{id}\_{\mathcal{G}}})\_{a} = \varPsi\_{a} \cdot (\mathrm{id}\_{\mathrm{id}\_{\mathcal{G}}})\_{a} = \varPsi\_{a} \cdot \mathrm{id}\_{(\mathrm{id}\_{\mathcal{G}})\_{a}} = \varPsi\_{a} \cdot \mathrm{id}\_{\mathrm{id}\_{\mathcal{G}\ a}} = \varPsi\_{a}$

</div>
</details>



# ラックス 2-関手の圏

ラックス 2-関手の圏 $\mathbf{ICON}(\boldsymbol{\mathcal{C}},\boldsymbol{\mathcal{D}})$ は
[__ラックス 2-関手__](#ラックス-2-関手)を対象とし、
[__2-ICON__](#2-icon) を射とする。



# まとめ

2-圏の変換手を全て把握したことで、
[__ラックス 2-関手__](https://qiita.com/norkron/items/aff3ce925edc6be74923#ラックス-2-関手)に親しめた気がする。

[__モノイド圏__](https://qiita.com/norkron/items/aff3ce925edc6be74923#モノイド圏)は対象が１つな 2-圏なので
同様に[__ストライプ・ダイアグラム__](#ストライプダイアグラム)で描ける。

モノイド関手とは[__ラックス 2-関手__](#ラックス-2-関手)で
モノイド自然変換とは [__2-ICON__](#2-icon) である[^monoidal]。



[^icon]: Identity Component Oplax Natural-transformation
[^stripe]: [檜山正幸のキマイラ飼育記 (はてなBlog)「モノイド関手／ラックス・モノイド関手とその実例」(2016-03-23)](http://m-hiyama.hatenablog.com/entry/20160323/1458701401)
[^transfor]: [檜山正幸のキマイラ飼育記 (はてなBlog)「変換手〈transfor〉は要らないだろう」(2019-08-20)](http://m-hiyama.hatenablog.com/entry/2019/08/20/153131)
[^monoidal]: [nLab「lax natural transformation」](https://ncatlab.org/nlab/show/lax+natural+transformation#lax_versus_oplax)