ロマサガRS　SSキャラドロップ率の信頼区間

ツイッター情報の数値を再計算検証するとともに、区間推定のやり方をメモしておく。

# SSキャラドロップ率の話
ロマサガ　リユニバース（以下、ロマサガRS。ソシャゲ）では[リュート](https://gamerch.com/saga-reuniverse/entry/95948)などのSSランクキャラクターがドロップする。
19’8月頃のバージョンアップでドロップするようになったが、自分はサッパリ落ちなくて萎えている..

ネット上でも落ちなくて萎えてる人たちから、すぐ落ちたぜ？みたいな人までいて偏りが見られる。また、ドロップ率は公式公開されておらず、実際どの程度のドロップ率なのかは有志達の検証待ち状態。周回が辛いので様子見していたが、ついに検証結果をまとめてくれる猛者が現れた　→[twitter検証者のツイート](https://twitter.com/K_00018/status/1172109838005854208?ref_src=twsrc%5Etfw%7Ctwcamp%5Etweetembed%7Ctwterm%5E1172109838005854208&ref_url=https%3A%2F%2Fromasagatool.com%2Fblog%2F2019%2F09%2F21%2F%25e3%2580%2590%25e3%2582%25a4%25e3%2583%2599%25e3%2583%25b3%25e3%2583%2588%25e6%2594%25bb%25e7%2595%25a5%25e3%2580%2591%25e8%25b2%25a1%25e5%25ae%259d%25e3%2581%25ae%25e7%25a9%25b4%25e3%2581%25ae%25e5%259c%25b0%25e5%259b%25b3-%25e5%25ae%258c%25e5%2585%25a8%25e6%2594%25bb%25e7%2595%25a5-%25e5%259c%25b0%25e5%259b%25b3%25e3%2581%25ae%2F)

以下、ツイートを抜粋

```
合計周回数　　　　3,200回
合計ドロップ数　     31体
平均ドロップ率　   0.97%

結果、ドロップ率は
99％信頼区間では0.52%～1.41%
95％信頼区間では0.63%～1.31%
となりました。
```

ツイ主は「統計を勉強中だから間違ってたらゴメン」と言ってるので、
周回結果は信用することにして、信頼区間について再計算を行う。

## 信頼区間の考え方
点推定と区間推定の話の詳細は以下参照。
https://to-kei.net/basic/glossary/statistical-estimation/

実験結果の平均（ドロップ率の平均）から、真のドロップ率も同じ値だと推定することを点推定という。ただ、母集団においてどの程度信頼できるかわからないため、点推定の値がどの程度の信頼度か推定する事を区間推定と言う。

つまり猛者のツイ主は以下のように言っている。

* 実験から得られた平均ドロップ率は0.97%だった
* だからきっと真のドロップ率も0.97%くらいだよ
* 100回中99回のドロップ率は0.52%～1.41%になるよ

# t分布を使用した区間推定
t分布の詳細は以下参照。
https://bellcurve.jp/statistics/course/8968.html

t分布は自由度（つまり標本データ数。ここでは周回数）によって分布が変わるが、自由度=30程度でだいたい標準正規分布と一致する（私見だけど）。今回は自由度=3200のため、t分布は標準正規分布に一致するとみなす。また、母集団（真のドロップ率）はたぶん乱数制御なので正規分布だろうと想像できることと、標本数が十分多いことからt分布を使用した区間推定で問題ないと考える。

信頼区間95%, 99%の臨界値はそれぞれ以下のように表せる。

* P[-2.0<T<2.0]=0.95
* P[-2.6<T<2.6]=0.99

## 2.0, 2.6の値の拾い方
下記の標準正規分布表から値を拾った。
https://www.koka.ac.jp/morigiwa/sjs/standard_normal_distribution.htm
表は縦軸がZ値の小数点1桁目、横軸がZ値の小数点2桁目を表しているが、値を拾うときは小数点1桁目の部分のみ参照した（つまり、めんどくさいので一番左の列だけ見た）。表のセル値は片側の面積を表しており、2倍して95%(99%)を超えるZ値を拾った。

具体的には、(行, 列)=(2.0，0)= .4772 なので、0.4772*2＝0.9544 となるため、Z=2.0を採用、という流れ。

## T値について
T値は不偏標準分散を使って算出する。
$\begin{aligned}
T &= \frac{(m−μ)}{SE}　　・・・(1) \\\\
  &(m:標本平均, μ:母平均, SE:標準誤差)
\end{aligned}$

標準誤差SEは下式であらわされる。ここでの標準誤差は不偏標準偏差を用いるためσではなくuと表現した。
$\begin{aligned}
SE &=\sqrt{\frac{u^2}{n}} = \frac{u}{\sqrt{n}}　　・・・(2) \\\\
   &(u: 不偏標準偏差)
\end{aligned}$

(1)式、(2)式より
$T = \frac{(m−μ)}{u/\sqrt{n}}　　・・・(3)$

## 信頼区間の算出式
以上より、95%区間を例にすると(A)式となる。
$\begin{aligned}
P[-2.0<T<2.0] &= P[-2.0 < (m-μ)/(u/√n) < 2.0] \\\\
              &= P[m-2.0(u/√n) < μ < m+2.0(u/√n)]　…(A)
\end{aligned}$

### 値の計算
* 標本平均
$m = 31/3200 = 0.0096875$

* $Σ(x_i-m)^2$の計算
何度か同じ計算が出てくるため、別途計算しておく。
$x_i=1$は31回,　$x_i=0$は(3200-31)回発生しているため、下式で計算した。
$\begin{aligned}
Σ(x_i-m)^2 &= (1-0.0096875)^2*31 + (0-0.0096875)^2*(3200-32) \\\\
           &= 30.6996875
\end{aligned}$

* 標本分散
$\begin{aligned}
s^2 &= 1/n*Σ(x_i-m)^2 \\\\
    &= 1/3200*30.6996875 \\\\
    &= 0.00959365234375‬... \\\\
　  &≒ 0.00959
\end{aligned}$

* 標準偏差
$s = \sqrt(s^2) ≒ 0.0980$

* 不偏分散
$\begin{aligned}
u^2 &= \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}{(x_i-m)^2}　　(n:標本数, x_i:標本データ)　\\\\
    &= 1/(3200-1)*Σ(xi-m)^2 \\\\
    &= 0.009596651297280... \\\\
    &≒ 0.00960
\end{aligned}$

* 不偏標準偏差
$u=\sqrt{u^2}= 0.0980$

* 標準誤差
$\begin{aligned}
u/√n &= 0.0980/√3200 \\\\
     &= 0.00173241... \\\\
     &≒ 0.00173
\end{aligned}$

信頼区間95%の場合、(A)式に代入して計算すると

$\begin{aligned}
P[-2.0<T<2.0] &= P[m-2.0(u/√n) < μ < m+2.0(u/√n)] \\\\
              &= P[0.0096875-2.0(0.00173) < μ < 0.0096875+2.0(0.00173)] \\\\
              &= P[0.0062275 < μ < 0.0131475]
\end{aligned}$

μは母平均（つまり、真のドロップ率）を表しているので、100倍して確率表記すると
0.62% < μ < 1.31% となる。


信頼区間99%の場合、同様に
$\begin{aligned}
P[-2.6<T<2.6] &= P[m-2.6(u/√n) < μ < m+2.6(u/√n)] \\\\
              &= P[0.0096875-2.6(0.00173) < μ < 0.0096875+2.6(0.00173)] \\\\
              &= P[0.0051895 < μ < 0.0141855]
\end{aligned}$


# 結論
よって信頼区間は以下のようになり、ツイ主の結果と一致した。

```
* 平均確率： 0.97%
* 95%信頼区間: 0.62% ～ 1.31%
* 99%信頼区間: 0.52% ～ 1.42%
```

ドロップ確率は0.5～1.4%(＝1/71～1/200）くらいなので
パチンコで考えると、開店と同時に甘デジ打ち始めて10回転できたわぁ！みたいなときもあれば
1000回近くハマって死にそうになることがあるって感覚かな。萎える..