もう諦めない圏論付録―ストリング・ダイアグラム―

# 想定読者と到達目標

圏、関手、自然変換、
それぞれの定義をひとまず把握した人へ。

ダイアグラム計算を通して
圏論してる雰囲気を醸し出す。

無くて困るものじゃないけど、
ダイアグラムって何かカッコいいし、
後で使うかもしれないのでここに記す[^Haskell]。

[^Haskell]: この記事で直接的に Haskell は登場しないが、圏論を通して間接的に Haskell っぽいと考える(シリーズものは何となくタグを揃えたいので)。

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# 目次

- [__圏論入門前の準備運動―集合と写像―__](https://qiita.com/norkron/items/237735106ee6e5333678)
- [__もう諦めない圏論入門―対象と射―__](https://qiita.com/norkron/items/f90d851daf05a2efa567)
- [__もう諦めない圏論入門―圏と関手―__](https://qiita.com/norkron/items/f0de364cc980171b1db7)
- [__もう諦めない圏論入門―関手と自然変換―__](https://qiita.com/norkron/items/1cc1b593e04184f0fe98)
- [__もう諦めない圏論付録―ストリング・ダイアグラム―__](https://qiita.com/norkron/items/e55a39c22288955689f9)
    - 可換図式とストリング・ダイアグラムの関係を受け入れる
    - ポアンカレ双対を理解した気になる
- [__もう諦めない圏論基礎―極限からカン拡張へ―__](https://qiita.com/norkron/items/681aed1323ac95431ea3)
- [__もう諦めない圏論基礎―モノイドからモナドへ―__](https://qiita.com/norkron/items/aff3ce925edc6be74923)
- [__もう諦めない圏論基礎―高次元圏と変換手―__](https://qiita.com/norkron/items/271b702a907f865aafc5)

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# ストリング・ダイアグラム

[__可換図式__](https://qiita.com/norkron/items/f90d851daf05a2efa567#可換図式)をストリング・ダイアグラム
で表現するためのルールを定める。

射の射という概念を扱いたいので、
ここでは[__圏の圏__](https://qiita.com/norkron/items/f0de364cc980171b1db7#圏の圏) $\mathbf{Cat}$ を考える。

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## [__圏と関手__](https://qiita.com/norkron/items/f0de364cc980171b1db7#圏と関手)

関手 $F \colon \boldsymbol{C} \longrightarrow \boldsymbol{D}$ を考える。
![関手F](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/268212/ce5b05d6-fd12-9326-9040-2d056cf97632.png)
ストリング・ダイアグラムで描くと次となる。
![関手F(ストリング図)](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/268212/42c490b1-13cf-c117-aebf-d7f0b3d6882a.png)

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## [__合成関手__](https://qiita.com/norkron/items/f0de364cc980171b1db7#合成関手)

関手 $F \colon \boldsymbol{C} \longrightarrow \boldsymbol{D}$ と関手 $G \colon \boldsymbol{D} \longrightarrow \boldsymbol{E}$ を考える。
![関手Fと関手G](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/268212/6b12cc22-9230-ad05-1ca2-fd6a4f42511e.png)
ストリング・ダイアグラムで描くと次となる。
![関手Fと関手G(ストリング図)](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/268212/4d1dcd86-5338-b7e6-519d-e9c26affc9b2.png)

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このストリング・ダイアグラムを用いて、
合成関手 $F \cdot G \colon \boldsymbol{C} \longrightarrow \boldsymbol{E}$ を計算しよう。

スライドモードで見れば、計算が進む様子を
パラパラ漫画的に把握できるだろう。たぶん。

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![関手Fと関手G(ストリング図)](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/268212/4d1dcd86-5338-b7e6-519d-e9c26affc9b2.png)
これが、

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![関手Fと関手Gの合成(ストリング図)](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/268212/d5793d21-3ce8-b41f-99e2-9de796620f51.png)
こうなる。

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## [__恒等関手__](https://qiita.com/norkron/items/f0de364cc980171b1db7#恒等関手)

恒等関手 $\mathrm{id}_{\boldsymbol{C}} \colon \boldsymbol{C} \longrightarrow \boldsymbol{C}$ を考える。
![恒等関手](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/268212/5a976cff-fd6e-8d17-79b9-16db4b1fdfb6.png)
ストリング・ダイアグラムで描くと次となる。
![恒等関手(ストリング図)](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/268212/c2f61ad5-e5db-ba99-8312-4c3bf68bb3f8.png)

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### 左単位律

恒等関手 $\mathrm{id}_{\boldsymbol{C}} \colon \boldsymbol{C} \longrightarrow \boldsymbol{C}$ と 関手 $F \colon \boldsymbol{C} \longrightarrow \boldsymbol{D}$ を考える。
![恒等関手と関手F](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/268212/1879aa9e-ff6c-fd4b-16ed-40302d412407.png)
ストリング・ダイアグラムで描くと次となる。
![恒等関手と関手F(ストリング図)](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/268212/96f5223f-d65f-de94-33ed-ad5ba282f4d9.png)

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このストリング・ダイアグラムを用いて、
恒等関手 $\mathrm{id}_{\boldsymbol{C}}$ と関手 $F$ を合成してみよう。

合成の結果はもちろん関手 $F$ となるわけで、
恒等関手が点線な気持ちが分かるだろう。

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![恒等関手と関手F(ストリング図)](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/268212/96f5223f-d65f-de94-33ed-ad5ba282f4d9.png)
これが、

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![関手F(ストリング図)](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/268212/42c490b1-13cf-c117-aebf-d7f0b3d6882a.png)
こうなる。

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### 右単位律

関手 $F \colon \boldsymbol{C} \longrightarrow \boldsymbol{D}$ と 恒等関手 $\mathrm{id}_{\boldsymbol{D}} \colon \boldsymbol{D} \longrightarrow \boldsymbol{D}$ を考える。
![関手Fと恒等関手](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/268212/6d7b055b-fdc2-f4ca-eae5-3ff041238ed1.png)
ストリング・ダイアグラムで描くと次となる。
![関手Fと恒等関手(ストリング図)](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/268212/c4501f72-d973-816f-341c-a4db13fc7f43.png)

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このストリング・ダイアグラムを用いて、
関手 $F$ と恒等関手 $\mathrm{id}_{\boldsymbol{D}}$ を合成してみよう。

合成の結果はもちろん関手 $F$ となるわけで、
恒等関手が点線な気持ちが分かるだろう。

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![関手Fと恒等関手(ストリング図)](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/268212/c4501f72-d973-816f-341c-a4db13fc7f43.png)
これが、

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![関手F(ストリング図)](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/268212/42c490b1-13cf-c117-aebf-d7f0b3d6882a.png)
こうなる。

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## [__関手と自然変換__](https://qiita.com/norkron/items/1cc1b593e04184f0fe98#関手と自然変換)

自然変換 $\theta \colon F \Longrightarrow G$ を考える。
![自然変換theta](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/268212/6e4c87c7-cd63-9944-e551-7007490c49a6.png)
ストリング・ダイアグラムで描くと次となる。
![自然変換theta(ストリング図)](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/268212/8b237877-889d-b736-6ed1-f3af639ec93f.png)

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## [__垂直合成__](https://qiita.com/norkron/items/1cc1b593e04184f0fe98#垂直合成)

自然変換 $\theta \colon F \Longrightarrow G$ と自然変換 $\sigma \colon G \Longrightarrow H$ を考える。
![自然変換thetaと自然変換sigma](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/268212/d1006070-66bd-5c8f-ca69-e2bfa07dd385.png)
ストリング・ダイアグラムで描くと次となる。
![自然変換thetaと自然変換sigma(ストリング図)](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/268212/83304ddc-bfce-bb3d-034c-ca7050b09808.png)

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このストリング・ダイアグラムを用いて、
垂直合成 $\theta \ggg \sigma \colon F \Longrightarrow H$ を計算しよう。

スライドモードで見れば、計算が進む様子を
パラパラ漫画的に把握できるだろう。たぶん。

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![自然変換thetaと自然変換sigma(ストリング図)](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/268212/83304ddc-bfce-bb3d-034c-ca7050b09808.png)
これが、

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![自然変換thetaと自然変換sigmaの垂直合成(ストリング図)](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/268212/36ef59e5-0c0b-4804-cfb2-a9e6d2bbe1bf.png)
こうなる。

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## [__水平合成__](https://qiita.com/norkron/items/1cc1b593e04184f0fe98#水平合成)

自然変換 $\theta \colon F \Longrightarrow F'$ と自然変換 $\sigma \colon G \Longrightarrow G'$ を考える。
![自然変換thetaと自然変換sigma](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/268212/c337b124-9103-3ba4-d63e-84f29f84e5df.png)
ストリング・ダイアグラムで描くと次となる。
![自然変換thetaと自然変換sigma(ストリング図)](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/268212/82336ef2-01fd-590e-4464-a4ee02b43653.png)

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このストリング・ダイアグラムを用いて、
水平合成 $\theta \cdot \sigma \colon F \cdot G \Longrightarrow F' \cdot G'$ を計算しよう。

スライドモードで見れば、計算が進む様子を
パラパラ漫画的に把握できるだろう。たぶん。

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![自然変換thetaと自然変換sigma(ストリング図)](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/268212/82336ef2-01fd-590e-4464-a4ee02b43653.png)
これが、

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![自然変換thetaと自然変換sigmaの水平合成(ストリング図)](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/268212/a50155f1-62f4-282f-5119-23bfa288f977.png)
こうなる。

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## [__恒等変換__](https://qiita.com/norkron/items/1cc1b593e04184f0fe98#恒等変換)

恒等変換 $\mathrm{id}\_{F} \colon F \Longrightarrow F$ を考える。
![恒等変換](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/268212/d7bd9ea4-bc95-3808-2738-3c6f40ece446.png)
ストリング・ダイアグラムで描くと次となる。
![恒等変換(ストリング図)](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/268212/f5815ce0-03d2-4ee2-88c4-d9543bf4e482.png)

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### 上単位律

恒等変換 $\mathrm{id}\_{F} \colon F \Longrightarrow F$ と自然変換 $\theta \colon F \Longrightarrow G$ を考える。
![恒等変換と自然変換theta](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/268212/e63d67ad-86b6-7777-88ee-5226bc64398f.png)
ストリング・ダイアグラムで描くと次となる。
![恒等変換と自然変換theta(ストリング図)](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/268212/cf2c0a71-a6a2-d348-1ac2-9f7b1ad5696d.png)

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このストリング・ダイアグラムを用いて、
恒等変換 $\mathrm{id}_{F}$ と自然変換 $\theta$ を合成してみよう。

合成の結果はもちろん自然変換 $\theta$ となるわけで、
恒等変換が点線な気持ちが分かるだろう。

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![恒等変換と自然変換theta(ストリング図)](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/268212/cf2c0a71-a6a2-d348-1ac2-9f7b1ad5696d.png)
これが、

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![自然変換theta(ストリング図)](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/268212/8b237877-889d-b736-6ed1-f3af639ec93f.png)
こうなる。

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### 下単位律

自然変換 $\theta \colon F \Longrightarrow G$ と恒等変換 $\mathrm{id}\_{G} \colon G \Longrightarrow G$ を考える。
![自然変換thetaと恒等変換](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/268212/2d872e41-5a27-6717-d54c-04da4deb6d8e.png)
ストリング・ダイアグラムで描くと次となる。
![自然変換thetaと恒等変換(ストリング図)](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/268212/f8cda25d-2dac-3029-d8c8-7fcc503166bb.png)

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このストリング・ダイアグラムを用いて、
自然変換 $\theta$ と恒等変換 $\mathrm{id}_{G}$ を合成してみよう。

合成の結果はもちろん自然変換 $\theta$ となるわけで、
恒等変換が点線な気持ちが分かるだろう。

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![自然変換thetaと恒等変換(ストリング図)](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/268212/f8cda25d-2dac-3029-d8c8-7fcc503166bb.png)
これが、

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![自然変換theta(ストリング図)](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/268212/8b237877-889d-b736-6ed1-f3af639ec93f.png)
こうなる。

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## [__関手の圏__](https://qiita.com/norkron/items/1cc1b593e04184f0fe98#関手の圏)

[__双関手__](https://qiita.com/norkron/items/f0de364cc980171b1db7#双関手) $- \cdot - \colon \boldsymbol{D}^\boldsymbol{C} \times \boldsymbol{E}^\boldsymbol{D} \longrightarrow \boldsymbol{E}^\boldsymbol{C}$ が関わる計算は
ストリング・ダイアグラムで描けば楽になる。

[__結合律と単位律__](https://qiita.com/norkron/items/1cc1b593e04184f0fe98#結合律と単位律)や[__交替律__](https://qiita.com/norkron/items/1cc1b593e04184f0fe98#交替律)などの性質を
図の変形として直感的に取り扱えるからだろう。

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### [__関手と自然変換の合成__](https://qiita.com/norkron/items/1cc1b593e04184f0fe98#関手と自然変換の合成)

関手 $F \colon \boldsymbol{C} \longrightarrow \boldsymbol{D}$ と自然変換 $\sigma \colon G \Longrightarrow G'$ を考える。
![関手Fと自然変換sigma](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/268212/0ad4a342-eb36-1220-2b91-bf9bd5e956f4.png)
ストリング・ダイアグラムで描くと次となる。
![関手Fと自然変換sigma(ストリング図)](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/268212/98a8cf29-8fc9-711d-6070-5bca531823dd.png)

---

このストリング・ダイアグラムを用いて、
関手 $F$ と自然変換 $\sigma$ の合成を計算しよう。

スライドモードで見れば、計算が進む様子を
パラパラ漫画的に把握できるだろう。たぶん。

---

![関手Fと自然変換sigma(ストリング図)](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/268212/98a8cf29-8fc9-711d-6070-5bca531823dd.png)
これが、

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![関手Fと自然変換sigmaの合成(ストリング図)](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/268212/9b0603b0-2158-41a8-3ac2-f71099c87961.png)
こうなる。

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### 自然変換と関手の合成

自然変換 $\theta \colon F \Longrightarrow F'$ と関手 $G \colon \boldsymbol{D} \longrightarrow \boldsymbol{E}$ を考える。
![自然変換thetaと関手G](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/268212/a24d4437-8dba-5f36-0055-e11792cf87eb.png)
ストリング・ダイアグラムで描くと次となる。
![自然変換thetaと関手G(ストリング図)](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/268212/be34d554-1d4a-761e-4b57-c1dde7aa6214.png)

---

このストリング・ダイアグラムを用いて、
自然変換 $\theta$ と関手 $G$ の合成を計算しよう。

スライドモードで見れば、計算が進む様子を
パラパラ漫画的に把握できるだろう。たぶん。

---

![自然変換thetaと関手G(ストリング図)](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/268212/be34d554-1d4a-761e-4b57-c1dde7aa6214.png)
これが、

---

![自然変換thetaと関手Gの合成(ストリング図)](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/268212/bb776eb7-f5ef-88ea-8294-fbb31b7dcdfe.png)
こうなる。

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### [__交替律__](https://qiita.com/norkron/items/1cc1b593e04184f0fe98#交替律)

[__水平合成__](https://qiita.com/norkron/items/1cc1b593e04184f0fe98#水平合成)は次のように書けるのであった。
$\theta \cdot \sigma = \theta \cdot G \ggg F' \cdot \sigma = F \cdot \sigma \ggg \theta \cdot G'$

ストリング・ダイアグラムにより
この式を視覚的に捉えることができる。

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まず、
自然変換 $\theta$ と関手 $G$ の合成
関手 $F'$ と自然変換 $\sigma$ の合成
を計算してみよう。

---

![自然変換thetaと自然変換sigma左右(ストリング図)](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/268212/c75343f7-c3bd-d37b-2682-615b9ab364e1.png)
これが、

---

![自然変換thetaと自然変換sigmaの計算左右(ストリング図)](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/268212/d9890ccc-d9b5-b29d-b0e2-6b783514d99c.png)
こうなって、

---

![自然変換thetaと自然変換sigmaの水平合成左右(ストリング図)](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/268212/17bf39ab-7acb-fdbc-d82e-02e50d7c9dee.png)
こうなる。

---

また、
関手 $F$ と自然変換 $\sigma$ の合成
自然変換 $\theta$ と関手 $G'$ の合成
を計算してみよう。

---

![自然変換thetaと自然変換sigma右左(ストリング図)](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/268212/11b22367-d29c-8fb3-f571-17c6d7d653bd.png)
これが、

---

![自然変換thetaと自然変換sigmaの計算右左(ストリング図)](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/268212/074f9e04-411c-80ba-7690-d7da791128a0.png)
こうなって、

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![自然変換thetaと自然変換sigmaの水平合成右左(ストリング図)](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/268212/d300cb67-1533-00ae-b51e-b5b8c6043b7a.png)
こうなる。

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したがって、[__水平合成__](https://qiita.com/norkron/items/1cc1b593e04184f0fe98#水平合成)の[__交替律__](https://qiita.com/norkron/items/1cc1b593e04184f0fe98#交替律)
$\theta \cdot \sigma = \theta \cdot G \ggg F' \cdot \sigma = F \cdot \sigma \ggg \theta \cdot G'$
は次の変形を行って良いことをあらわす。
![自然変換thetaと自然変換sigma左右(ストリング図)](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/268212/c75343f7-c3bd-d37b-2682-615b9ab364e1.png) $=$ ![自然変換thetaと自然変換sigma右左(ストリング図)](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/268212/11b22367-d29c-8fb3-f571-17c6d7d653bd.png)

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## [__対象と射__](https://qiita.com/norkron/items/f90d851daf05a2efa567#対象と射)

圏 $\boldsymbol{C}$ の射 $f \colon a \longrightarrow b$ を考える。
![射f](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/268212/f77c820d-744a-8588-b6b5-21d100d436d4.png)
ストリング・ダイアグラムで描くために
対象と射を関手と自然変換とみなす[^age]。

---

### 格上げ

対象が１つ $\\{\*\\} = \mathrm{Obj}(\mathbf{1})$ で
射が１つ $\\{\mathrm{id}\_{\displaystyle \*}\\} = \mathrm{Mor}(\mathbf{1})$ な単位圏 $\mathbf{1}$ から
圏 $\boldsymbol{C}$ への関手 $\widetilde{a}, \widetilde{b} \colon \mathbf{1} \longrightarrow \boldsymbol{C}$ と
自然変換 $\widetilde{f} \colon \widetilde{a} \Longrightarrow \widetilde{b}$ を考える。
![自然変換f-tilde](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/268212/0bf27f98-542e-1857-f6cc-9c6b7c654938.png)

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$f \colon a \longrightarrow b$ と $\widetilde{f} \colon \widetilde{a} \Longrightarrow \widetilde{b}$ を同一視して
チルダを陽には書かないことにする。
![自然変換f](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/268212/3764c4da-27ef-9ecd-de7e-9fef4e1a0769.png)
ストリング・ダイアグラムで描くと次となる。
![射f(ストリング図)](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/268212/d42da780-c3cc-8a99-b33f-882c4884a807.png)

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### 自然性

自然変換 $f \colon a \Longrightarrow b$ と自然変換 $\theta \colon F \Longrightarrow G$ を考えると、
$f \cdot \theta = f \cdot F \ggg b \cdot \theta = a \cdot \theta \ggg f \cdot G$ であり
ダイアグラム計算で次の変形を行って良い。
![自然変換fと自然変換theta左右(ストリング図)](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/268212/15a4cf10-68ff-4c43-0ef2-9785bd951968.png) $=$ ![自然変換fと自然変換theta右左(ストリング図)](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/268212/cf2e22d7-e5be-522e-5f84-c295608b6020.png)
これは、対象 $\\{\*\\} = \mathrm{Obj}(\mathbf{1})$ として
$(f \cdot \theta)\_{\displaystyle \*} = F\ f\_{\displaystyle \*} \ggg \theta\_{b\,{\displaystyle\*}} = \theta\_{a\,{\displaystyle\*}} \ggg G\ f\_{\displaystyle \*}$
すなわち、自然変換 $\theta$ が満たすべき式
$(f \cdot \theta)\_{\displaystyle \*} = F\ f \ggg \theta\_{b} = \theta\_{a} \ggg G\ f$
をあらわしており、何か上手くできてる。

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# [__随伴関手__](https://qiita.com/norkron/items/1cc1b593e04184f0fe98#随伴関手)

これでルールは定まったので、
ストリング・ダイアグラムを用いて
[__随伴__](https://qiita.com/norkron/items/1cc1b593e04184f0fe98#定義)について考えてみよう。

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## 単位

自然変換 $\eta \colon \mathrm{id}\_{\boldsymbol{C}} \Longrightarrow F \cdot G$ を考える。
![自然変換eta](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/268212/10e43f07-34ba-20c2-7910-fde581bd0e07.png)
ストリング・ダイアグラムで描くと次となる。
![自然変換eta(ストリング図)](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/268212/c32fcef3-819a-3c41-9754-ac2e69ceda17.png)

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このストリング・ダイアグラムを用いて、
関手 $F$ と関手 $G$ を合成してみよう。

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![自然変換eta(ストリング図)](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/268212/c32fcef3-819a-3c41-9754-ac2e69ceda17.png)
これが、

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![自然変換etaの計算(ストリング図)](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/268212/245cd32e-a026-f867-110f-1866d8ab12dc.png)
こうなる。

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## 余単位

自然変換 $\varepsilon \colon G \cdot F \Longrightarrow \mathrm{id}\_{\boldsymbol{D}}$ を考える。
![自然変換epsilon](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/268212/93c4bb82-f816-c64c-de2f-e71732fcbbd8.png)
ストリング・ダイアグラムで描くと次となる。
![自然変換epsilon(ストリング図)](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/268212/2d4f7e86-393f-1d7e-f3f3-23c513bdf6a2.png)

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このストリング・ダイアグラムを用いて、
関手 $G$ と関手 $F$ を合成してみよう。

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![自然変換epsilon(ストリング図)](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/268212/2d4f7e86-393f-1d7e-f3f3-23c513bdf6a2.png)
これが、

---

![自然変換epsilonの計算(ストリング図)](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/268212/f3460c09-c62d-d184-766b-9fe58eb9cc3b.png)
こうなる。

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## 単位と余単位

自然変換 $\eta \colon \mathrm{id}\_{\boldsymbol{C}} \Longrightarrow F \cdot G$ と
自然変換 $\varepsilon \colon G \cdot F \Longrightarrow \mathrm{id}\_{\boldsymbol{D}}$ を考える。
![自然変換etaと自然変換epsilon](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/268212/5ef139ab-c43e-dd10-a376-77a332173701.png)
ストリング・ダイアグラムで描くと次となる。
![自然変換etaと自然変換epsilon(ストリング図)](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/268212/d60a2c31-af57-ec30-4874-9db1d9e95f77.png)

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このストリング・ダイアグラムを用いて、
関手や自然変換の計算してみよう。

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![自然変換etaと自然変換epsilon(ストリング図)](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/268212/d60a2c31-af57-ec30-4874-9db1d9e95f77.png)
これが、

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![自然変換etaと自然変換epsilonの計算1(ストリング図)](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/268212/668136b4-0063-f3f8-b609-d407e1d3cb5a.png)
こうなって、

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![自然変換etaと自然変換epsilonの計算2(ストリング図)](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/268212/72bebab4-3b65-f3ab-cf76-47f54dda6d89.png)
こうなる。

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## 余単位と単位

自然変換 $\varepsilon \colon G \cdot F \Longrightarrow \mathrm{id}\_{\boldsymbol{D}}$ と
自然変換 $\eta \colon \mathrm{id}\_{\boldsymbol{C}} \Longrightarrow F \cdot G$ を考える。
![自然変換epsilonと自然変換eta](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/268212/1f191a13-3e74-b6c4-11ed-6d76e2135c23.png)
ストリング・ダイアグラムで描くと次となる。
![自然変換epsilonと自然変換eta(ストリング図)](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/268212/94018bde-9f14-331e-219b-8d3f1937121a.png)

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このストリング・ダイアグラムを用いて、
関手や自然変換の計算してみよう。

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![自然変換epsilonと自然変換eta(ストリング図)](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/268212/94018bde-9f14-331e-219b-8d3f1937121a.png)
これが、

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![自然変換epsilonと自然変換etaの計算1(ストリング図)](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/268212/9da274e9-bf8e-b78b-760b-4c67dc905de7.png)
こうなって、

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![自然変換epsilonと自然変換etaの計算2(ストリング図)](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/268212/619627cf-7baf-472e-6136-0e72e3fb3b58.png)
こうなる。

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## 可換図式とストリング・ダイアグラム

したがって、以下のように可換図式と
ストリング・ダイアグラムが対応することが分かる。

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### 可換図式

次図、三角形の可換図式が $\eta \cdot F \ggg F \cdot \varepsilon = \mathrm{id}\_{F}$ をあらわし、
![恒等式F](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/268212/96deaa41-0f36-0464-d180-b78249cdaa80.png)

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次図、三角形の可換図式が $G \cdot \eta \ggg \varepsilon \cdot G = \mathrm{id}\_{G}$ をあらわす。
![恒等式G](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/268212/2fd32e07-3a0d-a8c5-d6d3-98d0ba994d03.png)

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### ストリング・ダイアグラム

次図、ストリング・ダイアグラムが $\eta \cdot F \ggg F \cdot \varepsilon = \mathrm{id}\_{F}$ をあらわし、
![自然変換etaと自然変換epsilon(ストリング図)](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/268212/d60a2c31-af57-ec30-4874-9db1d9e95f77.png) $=$ ![恒等変換F(ストリング図)](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/268212/61b8f6b2-e38c-cd52-62b7-c4ba9dad2e7b.png)

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次図、ストリング・ダイアグラムが $G \cdot \eta \ggg \varepsilon \cdot G = \mathrm{id}\_{G}$ をあらわす。
![自然変換epsilonと自然変換eta(ストリング図)](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/268212/94018bde-9f14-331e-219b-8d3f1937121a.png) $=$ ![恒等変換G(ストリング図)](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/268212/c11b5e1d-f5dd-f3b4-ef89-f9e9aca71f28.png)

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# まとめ

ペースティング・ダイアグラム
![自然変換theta](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/268212/6e4c87c7-cd63-9944-e551-7007490c49a6.png)
をストリング・ダイアグラム
![自然変換theta(ストリング図)](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/268212/8b237877-889d-b736-6ed1-f3af639ec93f.png)
に書き換えることで、
点 $\scriptstyle \blacksquare$ であらわされていた圏が面となり、
面であらわされていた自然変換が点 $\scriptstyle \bigtriangledown$ となる。

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## ポアンカレ双対

$0$ 次元の圏は $2-0=2$ 次元の面に
$1$ 次元の関手は $2-1=1$ 次元の線に
$2$ 次元の自然変換が $2-2=0$ 次元の点に
それぞれ対応し、これをポアンカレ双対と言うらしい[^duality]。

高次元である自然変換を主に考えたいときは
たぶんストリング・ダイアグラムが便利なのだろう。



[^age]: [檜山正幸のキマイラ飼育記 (はてなBlog)「対象と射を関手と自然変換に格上げする方法」(2013-06-21)](http://m-hiyama.hatenablog.com/entry/20130621/1371785971)
[^duality]: [檜山正幸のキマイラ飼育記 (はてなBlog)「圏論の随伴をちゃんと抑えよう： お絵描き完全解説」(2018-03-02)](http://m-hiyama.hatenablog.com/entry/20180302/1519974841)