ルベーグ積分入門 1　面積を定義するための土台、可測空間

だからなんだ？という話が続くが準備なので。目標は測度論に入門すること、ルベーグの優収束定理。
#集合論
Xを今考える全体集合
$x\in A$と書いて、xはAの要素であることを示すことにする
部分集合　$A\subset B$とは$x\in A$ならば$x \in B$のときを示し、AはBの部分集合という。
和集合　$A \cup B :=\\{x|x \in A であるか、x \in B\\}$
交わり　$A \cap B :=\\{x|x\in Aであり かつ　x \in B \\}$
補集合　$X\setminus A ( A^cとも書く) :=\\{x| x \notin A\\}$
集合族とは、集合の集合のこと
任意の集合族にたいして、和集合や交わりを定義できる。
集合Nの要素nによって添え字づけられた（ラベル付けされた）集合族$\\{A_n\\}_{n\in N}$に対して、
和集合を

$\bigcup_{n\in N}A_n:=\\{x\in X | x\in A_n となるnが存在する。\\}$
と定義する。
共通部分は、
$\bigcap_{n\in N}A_n:=\\{x\in X | すべてのnに対して、x\in A_n となる\\}$

詳しくは、集合論の本をみて
>*注1*　集合の和、交わり、補集合をとる’操作’には次のような**ドモルガンの法則**という’公式’がある。
$X \setminus \bigcup_\lambda A_\lambda = \bigcap_\lambda A^c_\lambda$
$X \setminus \bigcap_\lambda A_\lambda = \bigcup_\lambda A^c_\lambda$


#可測空間
>**定義　代数　algebra**
Xを集合とする。Xの部分集合からなる集合族$\mathcal{A}$は次を満たすとき、**代数**という。
1. $\emptyset \in \mathcal{A}$
2. $E \in \mathcal{A} \Rightarrow E^c \in \mathcal{A}$
3. $E_1, E_2 \in \mathcal{A} \Rightarrow E_1 \cup E_2 \in \mathcal{A}$

*注１*　３から帰納的に有限個の和が$\mathcal{A}$に属することがわかる。
*注２*　以下のように$E_1, E_2 \in \mathcal{A} \Rightarrow E_1 \cap E_2 \in \mathcal{A}$を示すことができる。
$E_1, E_2 \in \mathcal{A} $と仮定すると、定義の２から$E^c_1, E^c_2 \in \mathcal{A}$なので、定義の３から$E^c_1\cup E^c_2 \in \mathcal{A}$である。そこで再び、定義の２を使えば、$(E^c_1\cup E^c_2)^c \in \mathcal{A}$がわかる。ここで**ドモルガンの法則**から、$(E^c_1\cup E^c_2)^c = E_1 \cap E_2$なので示された。

>**定義　σ代数**
Xの部分集合からなる集合族$\mathcal{B}$がσ代数であるとは
1. $\emptyset \in \mathcal{B}$
2. $E \in \mathcal{B} \Rightarrow E^c \in \mathcal{B}$
3. $E_n \in \mathcal{B} \Rightarrow \bigcup_{n=1}^\infty E_n \in \mathcal{B}$

注　条件３の意味は自然数でラベル付けされた集合族の和を取ってもよい。つまり自然数個だけ和をとってもまた$\mathcal{B}$に属する集合であるという意味である。

（極端な）例１
集合Xに対して、$\mathcal{A}:=\\{\emptyset, X\\}$はXのσ代数である。なぜなら

（極端な）例２
集合Xにたいして、$\mathcal{A}:=2^X$はσ代数である。$2^X$はべき集合を表す（Xの部分集合すべてからなる集合）

つぎに簡単な命題を示す。

>**命題1.3**
σ代数の定義における3は次と置き換えられる。(3と３’は同じ意味)
3'. $E_n \in \mathcal{B} \Rightarrow \bigcap_{n=1}^\infty E_n \in \mathcal{B}$

proof 
3から３’を示すには、ドモルガンの法則から$\bigcap E_n = X \setminus (\bigcup E_n^c)$なので、定義の２、３を使えば、３’を導ける。
逆に、$\bigcup E_n = X \setminus \bigcap E_n^c$なので示せる。

>**定義 単調増加/単調減少列　極限**　
自然数で添え字つけられた集合族$\\{E_n\\}$が**単調増加列**とは$E_1 \subset E_2 \subset \cdots$となっている時をいう。単調減少列の定義も同様。
単調列の極限$E$を$E=\bigcup E_n$と定義する。減少列に対しては、$E=\bigcap E_n$
$E_n$が単調増加列で極限がEのとき$E_n \uparrow E$などと書く。

例
任意の自然数nに対して$E_n:=[1/n,1)$とすると、明らかに単調増加列である。極限は$\bigcup_{n\in N} E_n=(0,1)$である。なぜならば、0よりどんなに近い点xを取っても（例えば0.00001）、自然数nを十分大きくとれば(例えば、n=10000000000000)、$x\in E_n$とできるので、$(0,1) \subset \bigcup_{n\in N} E_n$がわかる。(和集合の定義に注意すればよい)逆に、$E_n \subset (0,1)$は明らか。よって$\bigcup_{n\in N} E_n=(0,1)$である。
例
$E_n:=(-n,n)$を定義すると、極限は実数全体$\mathbb{R}$
次に命題を示す。

>命題
ある代数が$\mathcal{A}$が次のどれかを満たせば、σ代数である。
1. $E_n \in \mathcal{A}, E_n \uparrow E \Rightarrow E \in \mathcal{A}$
2. $E_n \in \mathcal{A}, E_n \downarrow E \Rightarrow E \in \mathcal{A}$

proof
$E_n \in \mathcal{A}$と仮定する。有限個の和は$\mathcal{A}$に入るので、$F_n:= E_1 \cup \cdots \cup E_n \in \mathcal{A}$そこで命題の仮定１を使えばよい。$F_n \uparrow\bigcup E_n \in \mathcal{A}$
2の方は命題1.3を使えば、$G_n:= E_1 \cap \cdots \cap E_N$を考えて、$G_n \downarrow \bigcap E_n \in \mathcal{A}$より示される。

>**定義　可測空間**
集合とそのσ代数の組み$(X, \mathcal{B})$を可測空間という。σ代数の元$E$を可測集合と呼ぶ。

注　後に述べる測度は可測空間上で定義される。

次に
>**定義　集合族で生成されたσ代数**
$\varepsilon$をXの集合族に対して
$\sigma[\varepsilon]:= \bigcap B$（すべての$\varepsilon$を含むσ代数について交わりを取る）
を$\varepsilon$で生成されたσ代数という。

注　$\sigma[\varepsilon]$は$\varepsilon$を含む最小のσ代数である（であることが示せる）。

つづく…
[ルベーグ積分入門2](https://qiita.com/king_of_theneet/items/113c485dbec0f65d14a7)