ニューラルネットの重みを実数値遺伝的アルゴリズムで最適化してみる  ～その1：関数近似～


#はじめに
[前回の記事](https://qiita.com/SwitchBlade/items/8f07b78f3922607a7ca3)では、**実数値遺伝的アルゴリズム**(以下、実数値GA)を用いて大域的最適解の探索を行いました。

ディープラーニングの重み最適化手法としては誤差逆伝搬法(BP法)が主流ですが、時代に逆行して？(※)**ニューラルネット**の重みを実数値GAで最適化してみます(以下、NNGA(たぶん正式名称ではない))。
今回のお題は、NNGAがちゃんと実装されているか確認する意味で**関数近似**です。

※そもそもBP法だと局所解にはまりやすいので、NNGAなどの色々なニューラルネット重み最適化手法が生まれたのですが、BP法も改良されてそこに落ち着いたみたいですね。

[2019/8/21追記] 正式名称は、**[Neuroevolution](https://ja.wikipedia.org/wiki/Neuroevolution)**らしいです。いつの間にか、こんなかっこいい名前が付いていた:clap:

#関数近似
近似する関数は2次元のRosenBrock関数です。
RosenBrock関数の特徴。
- 単峰性関数
- 探索範囲：-2.048～2.048
- 大域的最適解 ： =0 、(x[i] = 1)
- 数式 ： ニューラルネットの重みを大きくしなくてもすむように、通常のRosenBrockを3500で割っています。

```math
f(x_{1} \cdots x_{n-1})=\sum_{i=1}^{n}(100(x_{i+1}-x_{i}^2)^2+(x_{i}-1)^2) / 3500
```
- 2次元のグラフ

![NNGA_RosenBrock_L2-[10]-1_S50_g5000_UNDX_20190720_0105_3DCorrect.png](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/438288/c88eb5bd-d4ea-f93b-e377-0d5e3f404589.png)




#ニューラルネットの構成
3層のニューラルネットを用いました。
- 入力層 ：2ニューロン
- 隠れ層 ：10ニューロン (活性化関数：シグモイド関数)
- 出力層 ：1ニューロン (活性化関数：なし)

![ニューラルネット2.JPG](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/438288/a6400a15-02fa-e5fb-0d22-7ba4f2c3ef2c.jpeg)



#実数値GAの構成
- 世代交代モデル：MGG
    - 世代交代数：2個体(エリート選択：1個体、ルーレット選択：1個体)
    - 致死個体(任意のパラメータが探索範囲を超えた個体) への対応：評価対象から外す
- 交叉法：UNDX (α=0.5、β=0.35)
- 学習パラメータ
    - 最大世代数：5000世代
    - 集団数：50個体
    - 生成子個体数: 100個体/世代
- 各世代での入力サンプリング数：RosenBrock関数の探索範囲の中から各世代ランダムで50点選択
- 損失関数(=GAの適合度)：2乗和誤差。サンプリング数50個の和になります。

```math
E = \frac{1}{2} \sum_{k=1}^{50} (y_k - t_k)^2
```
$y_k$:ニューラルネットワークの出力、$t_k$:訓練データ(サンプリングした点をRosenBrock関数の入力としたときの出力)です。



#学習結果
|0世代の近似グラフ   | 5000世代の近似グラフ | 適合度遷移        |
|:-----------------|:---------------------|:------------------|
|![NNGA_RosenBrock_L2-[10]-1_S50_g5000_UNDX_20190720_0105_sig_3D_0世代.png](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/438288/d78f694b-049e-a91c-ff6b-b478a50504b2.png)|![NNGA_RosenBrock_L2-[10]-1_S50_g5000_UNDX_20190720_0105_sig_3D.png](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/438288/c884315b-d91a-6d20-61c5-b784d686ef9f.png)|![NNGA_RosenBrock_L2-[10]-1_S50_g5000_UNDX_20190720_0105_sig.png](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/438288/1ef745af-e25b-2310-3620-3d4096073303.png)|

$x[0]=-2,x[1]=-2やx[0]=2,y[1]=-2$付近では正解から0.6程度ずれてしまっていますが、全体的な関数の形状は実際のRosenBrock関数に近い形になっているのではないでしょうか。


##補足
隠れ層の活性化関数をシグモイド関数からReLU関数に変えた場合は、以下のようになります。
適合度はシグモイド関数より良好な結果ですが、平らでこれじゃない感が。。。
ReLU関数は$x>=0$だけで見れば、線形なので層が少ないと表現能力が低いかな？


|0世代の近似グラフ   | 5000世代の近似グラフ  | 適合度遷移    |
|:-----------------|:---------------------|:-----------------|
|![NNGA_RosenBrock_L2-[10]-1_S50_g5000_UNDX_20190720_0102_ReLU_3D_0世代.png](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/438288/8da2667e-88e1-b1fd-7cfb-e3cf3a683b05.png)|![NNGA_RosenBrock_L2-[10]-1_S50_g5000_UNDX_20190720_0102_ReLU_3D.png](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/438288/46b372fe-decf-d128-0a52-fa365527ca97.png)|![NNGA_RosenBrock_L2-[10]-1_S50_g5000_UNDX_20190720_0102_ReLU.png](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/438288/b90787f2-ac42-2b5b-7047-a75781c85f42.png)|

#次回予告
モデルを強化学習にも適用できるのがNNGAのいいところ！ということで、[倒立振子](https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%80%92%E7%AB%8B%E6%8C%AF%E5%AD%90)に挑戦してみたいと思います。