重力プログラマ理論物理学:「万有引力」で始まり、ブラックホール「事象の地平線」まで数式で理解する

[fukuoka.ex](https://fukuokaex.connpass.com/) ＆ [福岡 理学部](https://fukuoka-science.connpass.com/)の  [piacere](https://twitter.com/piacere_ex) です

ご覧いただいて、ありがとうございます :bow:

「重力プログラマの理論物理学」を重力プログラミング入門に足そうと思います:stuck_out_tongue_closed_eyes:

ちなみに、これまでの重力プログラミング入門は、以下の通りです
　|> [<b>「第1回：地球の重力下で人工衛星を公転軌道に乗せる」</b>](https://www.slideshare.net/piacere_ex/fukuoka1)
　|> [<b>「第2回：Pythonで重力波を解析する」</b>](https://qiita.com/piacere_ex/items/8a91b8a1843513da75b6) [※登壇向けスライド版もあります](https://qiita.com/piacere_ex/items/cd56cce636a630c098df)
　|> [<b>「第3回：太陽フレアをディープラーニングで予測する」</b>](https://qiita.com/piacere_ex/items/81c7ea5787dc3ee3658b)
　|> [<b>「第4回：スペースコロニーを建造する」</b>](https://speakerdeck.com/piacerex/fu-gang-li-xue-bu-si-xian-mu-20180316-zhong-li-puroguraminguru-men-di-4hui-supesukoroniwojian-zao-suru)
　|> <b>「第5回：ブラックホールを流体力学＋Unityでシミュレーションする」</b> ※資料未公開
　|> [<b>「第6回：惑星の位置・軌道を計算する」</b>](https://speakerdeck.com/piacerex/zhong-li-puroguraminguru-men-di-6hui-huo-xing-falsewei-zhi-woji-suan-suru)

<h3>:gem::gem::gem:<b>　5/24（金）にこのコラムに連動した登壇します　</b>:gem::gem::gem:</h3>

5/24（金）に天神で開催する「福岡 理学部 12限目」にて、「数字や機械学習が苦手でもブラックホールが理解できる相対性理論のススメ」というテーマで、このコラム＋αの登壇しますので、遊びに来てください

なお、LT枠も、絶賛募集中です

募集しているLTは、数学的興味や、知的好奇心、探求心を満たす集まりで、「理学であれば、テーマはなんだって自由」という、フリーダム（私みたいに重力や宇宙で無くてもOK）:laughing:

レベル感も、入門編からマニアックなものまで、やはりフリーダムなので、どうぞLTトライしてください（ここも私みたいに数式バリバリとかで無くてOK） :gem:

いずれの参加申し込みも、下記をクリックしてください

https://fukuoka-science.connpass.com/event/130872/

# 万有引力

まさかの 10,000 PV／100いいね を越え、2017年12月には登壇も行った、[重力プログラミング入門「第2回：Pythonで重力波を解析する」](https://qiita.com/piacere_ex/items/8a91b8a1843513da75b6)でも紹介していますが、重力のスタート地点は、ニュートンが1687年にまとめた「万有引力」です

2つの物体の間に働く重力を、以下の式で表しますが、この重力は、2つの物体の「質量」と「距離（半径）」で表します

```math
F = G\frac{Mm}{r^2}
```

- G：重力定数
- M、m：2点の各質量
- r：半径

なお、天文学や宇宙開発では、「重力」≒「万有引力」として扱っており、本来、重力を構成する「自転による遠心力」は省略されるようです（以降でも省略します）

# 重力場

さて、この万有引力において、下記イメージの「惑星」と「人工衛星」のような、質量差があまりに大き過ぎる場合、大質量側を「重力源」と置き、この重力源が発生させる「重力場」として表現します
![image.png](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/155423/84f513b1-a4fc-a7a7-90f4-73e8cd69a99b.png)

重力場は、以下のような、小質量側の m が無視され、大質量側の M のみの式となります

```math
g=-G\frac{M}{r^2}
```

# 自由落下速度

2017年9月の公開から、2,000名以上の読者に読まれた、[重力プログラミング入門「第1回：地球の重力下で人工衛星を公転軌道に乗せる」](https://www.slideshare.net/piacere_ex/fukuoka1/24)のP24で説明していますが、人工衛星が地球の周りを回り続けるのは、地球方向への「自由落下速度」で落ち続けているけど、同時に地球方向と直角に、地表へ落ちないだけの「第1宇宙速度」で水平移動しているからです

このときの自由落下速度は、以下の式で表します

```math
v=\sqrt{2GM/r}
```

- G：重力定数
- M：質量
- r：半径

この式では、半径 r が小さくなるほど、つまり、中心に向かうほど落下速度は増大します

# シュバルツシルト半径…それは光さえ届かないもの

地球のような、中心が鉱物で構成される物体では、地表に邪魔されるため、半径 r が小さくなるにも限界があり、落下速度も自ずと限界があるのですが、木星のような、中心がガスで構成される物体を仮定すると、地表に邪魔されず、半径が小さくなるので、落下速度が、速度の上限である「光の速度 c」を越えてしまい、上記の自由落下速度の式は破綻します

この破綻の境界となる半径を「シュバルツシルト半径」と呼び、下記式で表されます

```math
Rs=\frac{2GM}{c^2}=2.9 (\frac{M}{M_⦿})[km]
```

- c：光の速度（≒秒速30万km）

式を見ても分かる通り、重力源の質量が大きくなればなるほど、この半径は、大きくなります

## 地球（と同等質量の地表が無い惑星）のシュバルツシルト半径

地球質量（≒5.974 × 10^24 kg、約5,974,000,000,000,000,000,000 トン）かつ地表が無かった場合、光の速度 c に到達するシュバルツシルト半径は、約0.9cmと、実はかなり小さいです

## 木星のシュバルツシルト半径

当然、地球より質量の大きい木星（≒1.898 × 10^27 kg、約1,898,000,000,000,000,000,000,000 トン)
）では、この半径はもっと大きくなるのですが、木星のシュバルツシルト半径でさえ、約2.82mと、かなり小さな半径になります

## 太陽のシュバルツシルト半径

これが太陽（≒1.989 × 10^30 kg、約1,989,000,000,000,000,000,000,000,000 トン）だと、295,500m、つまり、295.5kmになります … 太陽がいかに質量／重力ともに巨大な天体かが分かります

# 「光の速度 c」と「重力」を統合する「一般相対論」

さて、各質量毎のシュバルツシルト半径 Rs よりも、半径 r が小さくなると、光の速度 c を越えてしまい、自由落下速度の式が破綻することが分かりました

この状況を正確に扱えるようになったのは、1916年、アインシュタインが発表した「一般相対性理論」、略して「一般相対論」が登場してからです

この一般相対論の基本となる「アインシュタイン方程式」により、「重力」と「運動方程式」が統合されました

アインシュタイン方程式は、以下の式です（今回コラムで扱わず、紹介だけなので、未だ理解しなくてOK）

```math
G_{μν}=\frac{8πG}{c^4}T_{μν}
```

- Gμν：「アインシュタイン・テンソル」＝ 時空の曲がり具合
- G：重力定数 ※万有引力の法則のGと同じ
- c：光の速度
- Tμν：「エネルギー・運動量テンソル」＝ 質量・エネルギーの密度と流れを表すもの

# 「重力場」の解釈が変わる

アインシュタイン方程式によると、「重力場」は、「物質もしくはエネルギーが存在することで、時間／空間が歪む効果」として解釈されます

平たく言うと、重力とは、ある物体が質量により時空（≒3次元空間に時間を加えた概念）を歪めたことで、もう一方の物体が、歪んだ方向に転がっていく現象である、ということで、こうした現象が発生する場を、重力場と呼ぶ訳です

![image.png](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/155423/615ea32e-fc83-3e77-a55e-a38ba597efc9.png)

# 重力で時間経過が変わる「シュバルツシルト解」

「一般相対論」を導入することで、落下速度の、光の速度 c までの到達には、「重力」と、それに伴う「時空への影響」を加えることができ、下記の式で表される「シュバルツシルト解」が考案されました

```math
dτ=(1-\frac{Rs}{r})^{1/2}dt
```

- r：半径
- Rs：シュバルツシルト半径
- dτ：任意の位置における時間間隔
- dt：無限遠方の観測者における時間間隔

この解から、<font color="red">「半径 r がシュバルツシルト半径 Rs に近づくと、dt が相対的に大きくなる … つまり「時間経過」が遅くなり、落下速度は、いつまでも c を超えない」</font>という解釈ができるようになりました

一方、シュバルツシルト半径 Rs の外側から見ると、半径内での「時間経過」が遅くなったことで、物体の移動がまるで止まったかのようになります

「ブラックホールに落ちた人を、外から見ると、止まったように見える」という説は、ここから説明できます
![image.png](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/155423/7c80b988-b33b-6ca8-819b-c30e55e0237e.png)

こうした、場所によって経過する時間が異なることを、「固有時」と言います

## オマケ：「シュバルツシルト解」における条件

なお、シュバルツシルト解は、「中心のみに質点が存在し、その周囲の空間は等方的※である」という条件を導入しています

### ※等方的（と異方的）

等方的（isotropic）：ある対象の性質や分布が方向に依存しない（回転により変化しない）
異方的（anisotropic）：方向に依存する（回転により変化する）

![image.png](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/155423/c4bf7c26-5b69-5871-06d3-2b721a671eb5.png)

# 「事象の地平線」、そしてブラックホール

シュバルツシルト解によると、半径 r が、シュバルツシルト半径 Rs より内側に入った場合、（光の速度 c を超える脱出速度が無い限り）外側には出られなくなることを意味します

物体や世界の動きは、光が反射することで見える訳なので、シュバルツシルト半径 Rs より内側の世界は、外側から見ることができなくなります

ここから、シュバルツシルト半径 Rs のことを「事象の地平線」と呼びます

そして、この「事象の地平線」と、上記した「中心のみに質点が存在する」を併せた概念のことを、「ブラックホール」と呼びます
![image.png](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/155423/72916981-96a7-cc00-c288-4fec4fc36529.png)

ブラックホールは、最初、このような理論上の仮説からスタートしたのです

そして、その後、惑星・恒星に対する理解が深まり、大質量恒星が時間経過すると、中心部が高密度になることが分かり、更に自重力で潰れ、シュバルツシルト半径より小さくなり、ブラックホールが実在する可能性に至ったのです

# 終わり

重力の基礎である「万有引力」からスタートし、ブラックホールまで至る、今回のコラム、いかがでしたでしょうか？

ブラックホールや「事象の地平線」といった事象・概念が、重力と半径、そして時間経過といった「数式」として理解でき、それらの増減が数式からイメージできるようになったら、とても嬉しいです:wink:
# p.s.面白かったら「いいね」よろしくお願いします

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