複素電力で複素共役を使う理由を説明したい

#はじめに

多くの教科書やサイトでは，冒頭で複素電力$P_c$を

```math
\begin{equation}
P_c=I_EV_E^* \\
但し，I_E：(フェーザ)電流，V_E：(フェーザ)電圧
\end{equation}
```

「とする」と書いてあります．**なぜ？**でしょう．その答えを書籍やネットで調べてみると，

- 複素共役を使わないと，意味のない表示になる→なぜ意味がない？どのように意味がない？
- 有効電力等の表示になるから都合がよい→後付けの理由に過ぎない．逆になぜ複素共役を使ったら有効電力等になるのか？

といった疑問が出てきて，どうしても納得いきませんでした（私の勉強不足が原因かもしれません..）.そこで，ここでは**実電力と見比べながら複素電力に複素共役を使う理由**について説明します．

# 実電圧・実電流を用いた平均電力

![Zでの消費電力.PNG](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/290566/d14acaad-86c5-0bb5-9e71-7aebe2c3cf38.png)

図の様なインピーダンス$Z$の負荷が接続された回路を考えます．"$Z$の両端の複素電圧及び複素電流$V_e$，$I_e$を次の様に表現します．"

```math
\begin{align}
&Z=R+jX=|Z|e^{j\theta}=|Z|(\cos{\theta}+j\sin{\theta}) \\
&V_e=|E_e|e^{j\theta_E} \\
&I_e=|I_e|e^{j\theta_I}
\end{align}
```

ここで$E_e$，$I_e$は複素電圧・電流の実効値で，電圧・電流の最大振幅$E_m $，$I_m$に対して


```math
\begin{align}
E_m&=\sqrt{2}E_e \\
I_m&=\sqrt{2}I_e
\end{align}
```

の関係がありますね．また，$\theta_E$と$\theta_I$は電圧・電流の初期位相を表します．最初の複素電圧・電流の式をもう少し変形させてください．．

```math
\begin{align}
V_e&=|E_e|e^{j\theta_E} \\
I_e&=|I_e|e^{j\theta_I}=\frac{V_e}{Z}=\frac{|E_e|e^{j\theta_E}}{|Z|e^{j\theta}}=
\left|\frac{E_e}{Z}\right|e^{j(\theta_E-\theta)}
\end{align}
```

ですね．下の電流に関する式に注目すると

```math
\begin{equation}
|I_e|=\left|\frac{E_e}{Z}\right|，
\theta_I=\theta_E-\theta
\end{equation}
```

という関係があります．


## 複素電圧・電流から実電圧・電流への書き換え


実電圧$e(t)$と先ほどの複素電圧$E_e$の間には次のような関係があります．

```math
\begin{align}
e(t)&=|E_m|e^{j(\omega t+\theta_E)}=\sqrt{2}|E_e|\cos{(\omega t+\theta_E)} \\
&=Re[\sqrt{2}|E_e|e^{j(\omega t+\theta_E)}]
\end{align}
```
これを参考にすると，$V_e$と$I_e$の式は実電流を用いて次のように表現できます．

```math
\begin{align}
e(t)&=Re[\sqrt{2}|E_e|e^{j(\omega t+\theta_E)}]=\sqrt{2}|E_e|\cos{(\omega t + \theta_E)} \\
i(t)&=Re[\sqrt{2}|I_e|e^{j(\omega t+\theta_I)}]=\sqrt{2}|E_e|\cos{(\omega t + \theta_I)}
\end{align}
```

電流の初期位相$\theta_I$は先ほどのべたように$\theta_I=\theta_E-\theta$の関係がありますから，$i(t)$はさらに書き直されて

```math
\begin{align}
i(t)=\sqrt{2}|E_e|\cos{(\omega t + \theta_E-\theta)}
\end{align}
```


## 平均電力の計算

改めて，実電圧・電流$e(t)$と$i(t)$を掲示すると次のようになります．

```math
\begin{align}
e(t)&=\sqrt{2}|E_e|\cos{(\omega t + \theta_E)} \\
i(t)&=\sqrt{2}|E_e|\cos{(\omega t + \theta_E-\theta)}
\end{align}
```

これらを用いて**平均電力**$P$を計算していきます．そのためにまず，**瞬時電力$p(t)$**を計算します．交流では電圧・電流が時々刻々と変動し，ある時刻$t$における電力のことを瞬時電力と呼び，次のように表現できます．

```math
\begin{align}
p(t)=e(t)i(t)
\end{align}
```

直流の電力の式と同じですね"(-""-)"！これを用いると，

```math
\begin{align}
p(t)&=e(t)i(t)
=\sqrt{2}|E_e|\cos{(\omega t + \theta_E)}\cdot\sqrt{2}|E_e|\cos{(\omega t + \theta_E-\theta)} \\
&=2|E_eI_e|\cos{(\omega t + \theta_E)}\cos{(\omega t + \theta_E-\theta)} \\
&=|E_eI_e|\{\cos{(2\omega t+2\theta_E+\theta)}+\cos{\theta}\}
\end{align}
```

途中の計算$\cos{()}*\cos{()}$の部分は加法定理を用いると，

```math
\begin{equation}
\cos{\alpha}\cos{\beta}=\frac{1}{2}\{\cos{(\alpha+\beta)}+\cos{(\alpha-\beta)}\}
\end{equation}
```

となります．さて，**瞬時電力が時々刻々と変動する電力を表しますが，平均電力$P$は瞬時電力を1周期$T$にわたって足し合わせて，1周期$T$で割る**ことで求められます．したがって，

```math
\begin{align}
P&=\frac{1}{T}\int^{T}_{0} p(t)dt=
\frac{|E_eI_e|}{T} \int^{T}_{0} \{\cos{(2\omega t+2\theta_E+\theta)}+\cos{\theta}\}dt \\
&=\frac{|E_eI_e|}{T} \left[\frac{1}{2\omega}\sin{(2\omega t+2\theta_E+\theta)}+\cos{\theta}\cdot t\right]^T_0 \\
&=\frac{|E_eI_e|}{T}  \left[
\left\{\frac{1}{2\omega}\sin{(2\omega T+2\theta_E+\theta)}+\cos{\theta}\cdot T\right\}-
\left\{\frac{1}{2\omega}\sin{(2\omega \cdot 0+2\theta_E+\theta)}+\cos{\theta}\cdot 0\right\}
\right]
\end{align}
```

ここで，$\omega =2 \pi / T$ですので上の式の第1項$(1/2\omega)\sin{(2\omega \cdot T+2\theta_E+\theta)}$は書き換えられて

```math
\begin{align}
\frac{1}{2\omega}\sin{(2\omega T+2\theta_E+\theta)}
=\frac{1}{2\omega}\sin{(2\pi+2\theta_E+\theta)}
=\frac{1}{2\omega}\sin{(2\theta_E+\theta)}
\end{align}
```
となります．改めて，平均電力$P$は

```math
\begin{align}
P&=\frac{|E_eI_e|}{T} \left[
\left\{\frac{1}{2\omega}\sin{(2\theta_E+\theta)}+\cos{\theta}\cdot T\right\}-
\frac{1}{2\omega}\sin{(2\theta_E+\theta)}
\right] \\
&=\frac{|E_eI_e|}{T} \cos{\theta} \cdot T \\
&=|E_eI_e|\cos{\theta}
\end{align}
```

なります．ようやく，平均電力が姿を現しました．

# 複素電力

さて，では本丸に乗り込みましょう．複素電力$P_{fake}$を**あえて複素共役を用いずに**次の様に定義します．

```math
\begin{equation}
P_{fake}=V_eI_e
\end{equation}
```

そして，この定義に従って$P_{fake}$を計算していきます．$V_e$と$I_e$は先ほどの式を用います．

```math
\begin{align}
P_{fake}&=V_eI_e \\
&=|E_e|e^{j\theta_E}|I_e|e^{j\theta_I} \\
&=|E_e|e^{j\theta_E}|I_e|e^{j(\theta_E-\theta)} \\
&=|E_eI_e|e^{j(2\theta_E-\theta)} \\
&=|E_eI_e|\{\cos{(2\theta_E-\theta)}+j\sin{(2\theta_E-\theta)}\}
\end{align}
```

あれ，実電圧・電流を用いて算出した計算結果$P=|E_eI_e|\cos{\theta}$と位相が合わないし，$\sin{()}$の項が出てきますね．．．

では，平均電力を**複素共役を用いて**表現すると，

```math
\begin{align}
P_{c}&=V_eI_e^* \\ \notag
&=|E_e|e^{j\theta_E}|I_e|e^{-j\theta_I} \\
&=|E_e|e^{j\theta_E}|I_e|e^{-j(\theta_E-\theta)} \\
&=|E_eI_e|e^{j\theta} \\
&=|E_eI_e|(\cos{\theta}+j\sin{\theta})
\end{align}
```

先ほどの計算結果$|E_eI_e|\cos{\theta}$と位相がそろいました！！では，$\sin{()}$の項はいったい何でしょうか？


# ようやく有効電力・皮相電力・無効電力

改めて，実電圧・電流を用いて計算した平均電力$P$と複素電力$P_c$を見比べると，


```math
\begin{align}
P&=|E_eI_e|\cos{\theta} \\
P_c&=|E_eI_e|(\cos{\theta}+j\sin{\theta})
\end{align}
```

となります．実は複素電力の計算では，実(際の)電圧・電流では出てこない**無効な項**が出てきます．この無効な項のことを**無効電力**と呼びます．一方で実(際の)電力でも出てくる項の事を**有効電力**と呼びます．また，先ほどの**複素共役を用いない複素電力$P_{fake}$**は見かけ上の電力なので**皮相電力**と呼びます．

```math
\begin{align}
複素電力&:P_c=V_eI_e^* \\
有効電力&:P_e=Re[P_c]=|V_eI_e|\cos{\theta}\\
無効電力&:P_s=Im[P_c]=|V_eI_e|\sin{\theta}\\
皮相電力&:|P_{fake}|=|V_eI_e|
\end{align}
```

なお，有効電力の$\cos{\theta}$を**力率**と呼びます．