統計学の公式その２

# 二項分布
ベルヌーイ試行を$n$回やって、成功する回数$X$が従う確率分布を二項分布と言います。

```math
P(X = k) = {}_{n}C_k p^k(1-p)^{n-k}
```

例えば、コインを8回投げて、表が4回出る確率は以下のようになります。

```math
P(X = 4) = {}_{8}C_4 0.5^4(1-0.5)^{8-4}\\
=\frac{8\times7\times6\times5}{4\times3\times2\times1}\times0.0625\times0.0625 = 0.273
```

# 二項分布の期待値と分散
確率変数$X$が二項分布に従う時、$X$の期待値と分散は以下のようになります。

```math
E(X) = np\\
V(X)=np(1-p)
```

例えば、コインを8回投げた時の期待値と分散は以下のようになります。

```math
E(X) = 8\times0.5 = 4\\
V(X)=8\times0.5\times(1-0.5) = 2
```

# ポアソン分布
$n$が大きく、$p$が小さい時、「$np=$一定（$\lambda$）」と考えることができ、ある期間に$X$回起きる確率分布をポアソン分布呼びます。

```math
\lambda = np\\
e = 2.7182818 \dots\\
P(X = k) = \frac{e^{-\lambda}\lambda^k}{k!}
```

例えば、100個に1個の当たりのあるお菓子を10個買った時に、当たりのお菓子が2個含まれる場合の確率は以下のようになります。

```math
\lambda = 10\times\frac{1}{100} = 0.1\\
e = 2.7182818 \dots\\
P(X = 2) = \frac{e^{-0.1}\times0.1^2}{2!} = 0.0045
```
# ポアソン分布の期待値と分散
確率変数$X$がポアソン分布に従う時、$X$の期待値と分散は以下のように$\lambda$なります。

```math
E(X) = \lambda\\
V(X) = \lambda
```

例えば、100個に1個の当たりのあるお菓子を10個買った時の期待値と分散はともに以下のようになります。

```math
E(X) = \lambda = np = 10\times\frac{1}{100} = 0.1\\
V(X) = \lambda = 0.1
```

# 幾何分布
成功確率が$p$である独立なベルヌーイ試行を繰り返す時、初めて成功するまでの試行回数$X$が従う確率分布を幾何分布といいます。

```math
P(X = k) = (1-p)^{k-1} p
```

例えば、サイコロを2投目で初めて1が出る確率は以下のようになります。

```math
P(X = 2) = (1-\frac{1}{6})^{2-1} \times\frac{1}{6} = \frac{5}{36} = 0.1388
```

# 幾何分布の期待値と分散
確率変数$X$が成功確率$p$の幾何分布に従う時、$X$の期待値と分散は以下のようになります。

```math
E(X) = \frac{1}{p}\\
V(X) = \frac{1-p}{p^2}
```

例えば、けん玉を10回やった結果、4回は失敗する場合、次に失敗する回数の期待値と分散は以下のようになります。

```math
E(X) = \frac{1}{\frac{4}{10}} =\frac{5}{2} = 2.5\\
V(X) = \frac{1-\frac{4}{10}}{(\frac{4}{10})^2} = \frac{\frac{3}{5}}{\frac{4}{25}} = \frac{3}{5}\times\frac{25}{4} = \frac{75}{20} = 3.75
```

# 正規分布に従う確率変数の確率密度関数の式
正規分布に従う確率変数$X$の確率密度関数$f(x)$は次の式で表されます。

```math
f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}} \quad (-\infty < x < \infty)
```
または、$e$のかわりに$exp$を使うと以下のようになります。

```math
f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}exp\Bigl(-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}\Bigr) \quad (-\infty < x < \infty)
```

# 標準正規分布に従う確率変数の確率密度関数の式
正規分布の中で、特に平均$\mu=0$、分散$\sigma^2=1$である正規分布を「標準正規分布」といいます。先ほどの正規分布の式に平均$\mu=0$、分散$\sigma^2=1$を代入すると以下のようになります。

```math
f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{x^2}{2}} \quad (-\infty < x < \infty)
```
または

```math
f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}exp\Bigl(-\frac{x^2}{2}\Bigr) \quad (-\infty < x < \infty)
```

# 標準化
ある確率変数$X$が平均$\mu$、分散$\sigma^2$の正規分布に従う時、から平均$\mu$を引いて標準偏差$\sigma$で割った値を$z$とおくと、$z$は「平均が$0$、分散が$1$の標準正規分布」に従います。このような計算を標準化と呼び、以下のようにあらわします。標準化を行うことで単位や平均値が異なるデータ同士を比較できるようになります。

```math
z = \frac{X-\mu}{\sigma}
```

例えば、あるクラスの数学と国語のテストの結果が以下のような場合、
・数学　平均点：$55$点　標準偏差：$15$点
・国語　平均点：$45$点　標準偏差：$10$点
A君は、数学が$85$点、国語が$80$点だった時、どちらの教科の方が順位が上かを比較するには以下のようにします。

```math
z_m = \frac{X-\mu}{\sigma} = \frac{85-55}{15} = 2
```
```math
z_j = \frac{X-\mu}{\sigma} = \frac{80-45}{10} = 3.5
```
この場合は、標準化した数値が大きい方が順位が上なので、国語の方が順位が上であることがわかります。

# 偏差値
偏差値は「平均が$50$点、標準偏差が$10$点」となるように、標準化した値$z$に$10$をかけて$50$を足したものです。

```math
50 + 10 \times z
```

例えば、先ほどのA君の数学と国語の得点から偏差値を計算すると以下のようになります。

・数学の偏差値：$50+10\times2=70$
・国語の偏差値：$50+10\times3.5=85$

# 指数分布
ある期間に平均して$\lambda$（ラムダ）回起こる現象が、次に起こるまでの期間$X$が指数分布に従うとき、$X=x$となる確率密度関数$f(x)$は次の式で表されます。

```math
f(x) = \left\{
\begin{array}{ll}
\lambda e^{-\lambda x} & (x \geq 0) \\
0 & (x \lt 0)
\end{array}
\right.
```

例えば、１時間に平均20人のお客さんが送るお店に、あるお客がきて次のお客が来るまでの時間が10分となる確率密度は以下のように計算します。この場合は、10分は$\frac{1}{6}$時間となります。

```math
f(\frac{1}{6})=\lambda e^{-\lambda x} = 20\times e^{-20\times \frac{1}{6}} = 0.714
```

# 指数分布に従う期待値と分散
確率変数$X$が指数分布に従う時、$X$の期待値と分散は以下のようになります。

```math
E(X) = \frac{1}{\lambda}
```
```math
V(X) = \frac{1}{\lambda^2}
```

例えば、先ほどの例の場合、$\lambda$は20となるので、期待値と分散は以下になります。

```math
E(X) = \frac{1}{\lambda} =\frac{1}{20}
```
```math
V(X) = \frac{1}{\lambda^2} =\frac{1}{400}
```

# 指数分布に従う累積分布関数

累積分布関数は、ある期間に平均して$\lambda$回起こる現象が次に起こるまでの期間を$X$としたとき、期間$X$が$x$以下となる確率のことを言い、次のようになります。

```math
F(x) = P (X \leq x) = 1 - e^{-\lambda x}
```

例えば、1時間に平均20人が来るお店に、ある客が来てから次の客が来るまでの時間が10分以内である確率は以下のように計算します。

```math
F(\frac{1}{6}) = P (X \leq \frac{1}{6}) = 1 - e^{-20\times \frac{1}{6}} = 1 - 0.03569 = 0.96431
```

# 離散一様分布に従う確率と期待値と分散
確率変数$X$が離散一様分布に従う時、$X$の確率と期待値と分散は以下のようになります。

```math
P(X = k) = \frac{1}{N}\quad (k = 1,2,3,\dots,N)
```
```math
E(X) = \frac{N+1}{2}
```
```math
V(X) = \frac{N^2+1}{12}
```

例えば、サイコロの出る目の確率は離散一様分布に従いますが、サイコロの出る目を$X$とすると、確率、期待値、分散は以下のようになります。

```math
P(X = 1)=P(X = 2)=P(X = 3)=P(X = 4)=P(X = 5)=P(X = 6)=\frac{1}{6}
```
```math
E(X)=\frac{6+1}{2}=3.5
```
```math
V(X)=\frac{6^2-1}{12}=2.9
```

# 連続一様分布に従う確率密度関数と期待値と分散
確率変数$X$が$a \leq X \leq b$における連続一様分布に従うとき、確率密度関数と期待値と分散はそれぞれ次のようになります。

```math
f(x) = \frac{1}{b-a}\quad (a \leq X \leq b)
```
```math
f(x) = 0\quad (X < a, X > b)
```
```math
E(X) = \frac{a+b}{2}
```
```math
V(X) = \frac{(b-a)^2}{12}
```

例えば、確率変数$X$が$1 \leq X \leq 4$における連続一様分布に従うとき、確率密度関数と期待値と分散はそれぞれ以下のようになります。

```math
f(x) = \frac{1}{b-a}\quad (1 \leq X \leq 4) = \frac{1}{4-1} =\frac{1}{3}
```
```math
E(X) = \frac{a+b}{2}=\frac{1+4}{2}=\frac{5}{2}
```
```math
V(X) = \frac{(b-a)^2}{12}=\frac{(4-1)^2}{12}=\frac{9}{12}=\frac{3}{4}
```

# 連続一様分布に従う累積分布関数
確率密度関数$f(x)$が連続一様分布に従う場合の累積分布関数$F(x)$は以下のようになります。

```math
F(x) = \frac{x-a}{b-a}\quad (a \leq X < b)
```
```math
F(x) = 0\quad (X < a)
```
```math
F(x) = 1\quad (X \geq b)
```

例えば、2以上12以下の範囲で乱数を10,000個作成したとき、その中で6以下、もしくは9以上の値をとる確率は以下のようになります。

```math
F(x) =(2 \leq X \leq 6)+(9 \leq X \leq 12)= \frac{6-2}{12-2}+\frac{12-9}{12-2}=\frac{4}{10}+\frac{3}{10}=\frac{7}{10}
```

# 連続型同時確率分布
$X$と$Y$がそれぞれ連続型確率変数である場合、$X$と$Y$の同時確率分布を表す関数を「同時確率密度関数」といい、$f(x,y)$で表します。

```math
P(a \leq X \leq b, c \leq Y \leq d) = \int_{a}^{b}\int_{c}^{d}f(x,y)dxdy
```

例えば、次のような同時確率密度関数があったとした場合、

```math
f(x,y) = \left\{
\begin{array}{ll}
x+y & (0 \leq x \leq 1,0 \leq y \leq 1) \\
0 & (other)
\end{array}
\right.
```
上の式から、$0 \leq x \leq \frac{1}{4},0 \leq y \leq \frac{1}{4}$となる確率を求めると以下のようになります。

```math
P(0 \leq x \leq \frac{1}{4},0 \leq y \leq \frac{1}{4}) = \int_{0}^{\frac{1}{4}}\int_{0}^{\frac{1}{4}}(x+y)dxdy\\
=\int_{0}^{\frac{1}{4}}\left[ \frac{1}{2}x^2+yx \right]_{0}^{\frac{1}{4}}dy=\int_{0}^{\frac{1}{4}}\Bigl(\frac{1}{32}+\frac{1}{4} y\Bigr)dy\\=\left[ \frac{1}{32} y+\frac{1}{8} y^2 \right]_{0}^{\frac{1}{4}}=\Bigl(\frac{1}{128}+\frac{1}{128}\Bigr)=\frac{1}{64}
```

# 2つの確率変数の期待値
2つの確率変数$X$と$Y$の和$X+Y$、差$X-Y$の期待値は、次に示すように$X$、$Y$それぞれの期待値$E(X)$、$E(Y)$の和、差に等しくなります。

```math
E(X+Y) = E(X)+E(Y)
```
```math
E(X-Y) = E(X)-E(Y)
```
$X$と$Y$が独立である場合には、次の式が成り立ちます。

```math
E(XY) = E(X)E(Y)
```

例えば、Aさん、Bさん、Cさんの国語の点数$X$と数学の点数$Y$が以下の表の場合、$X+Y$の期待値は以下のようになります。

||Aさん|Bさん|Cさん|
|:-----------|------------:|:------------:|:------------:|
|国語(X)|50|60|70|
|数学(Y)|80|60|100|
|合計(X+Y)|130|120|170|

```math
E(X) = (50+60+70)\div3 = 60
```
```math
E(Y) = (80+60+100)\div3 = 80
```
```math
E(X+Y) = E(X)+E(Y) = 60+80=140
```

# 2つの確率変数の分散
2つの確率変数$X$と$Y$の和$X+Y$、差$X-Y$の分散は以下のようになります。

```math
V(X+Y) = V(X)+V(Y)+2Cov(X,Y)
```
```math
V(X-Y) = V(X)+V(Y)-2Cov(X,Y)
```

例えば、先ほどの表の場合、$X+Y$の分散は以下のようにも計算できます。

```math
V(X+Y) = \frac{(130-140)^2+(120-140)^2+(170-140)^2}{3}=\frac{1400}{3}
```

# 2つの確率変数の共分散
共分散とは2変数の関係の強さを表す指標の一つで、$Cov$（Covariance）で表されます。確率変数$X$、$Y$の期待値をそれぞれ$E(X)=\mu_x$、$E(Y)=\mu_y$とすると、$X$と$Y$の共分散$Cov(X,Y)$は次の式から計算できます。

```math
Cov(X,Y) = E[(X-\mu_x)(Y-\mu_y)] = E(XY) - \mu_x\mu_y
```

例えば、先ほどの表の場合、$X+Y$の共分散は以下のように計算できます。

```math
Cov(X,Y) = E[(X-\mu_x)(Y-\mu_y)] = E(XY) - \mu_x\mu_y\\
=\frac{50\times80+60\times60+70\times100}{3}-60\times80=\frac{200}{3}
```

# 2つの確率変数の相関係数
相関係数は$X$と$Y$の共分散$Cov(X,Y)$をそれぞれの標準偏差で割ったものです。

```math
\rho = \frac{Cov(X,Y)}{\sqrt{V(X)V(Y)}}
```

例えば、先ほどの表の場合、$X+Y$の相関係数は以下のように計算できます。

```math
V(X) = \frac{(50-60)^2+(60-60)^2+(70-60)^2}{3}=\frac{200}{3}
```
```math
V(Y) = \frac{(80-80)^2+(60-80)^2+(100-80)^2}{3}=\frac{800}{3}
```
```math
\rho = \frac{Cov(X,Y)}{\sqrt{V(X)V(Y)}} = \frac{\frac{200}{3}}{\sqrt{\frac{200}{3}\times\frac{800}{3}}}=\frac{\frac{200}{3}}{\frac{400}{3}}=0.5
```

# 参考
[統計WEB](https://bellcurve.jp/statistics/course/)