Sherrington-Kirkpatric 模型のレプリカ法1

SK模型のレプリカ法について学んだので、そのメモ。

# レプリカ法


## レプリカ法の考え方

統計力学によると、自由エネルギー$F$は

```math
F = - k_B T \log Z = - \cfrac{1}{\beta} \ln Z
\tag{1}
```

とかける。ここで$Z$は分配関数であり、

```math
Z = \sum_{S_1 = \pm 1} \sum_{S_2 = \pm 1} \cdots \sum_{S_N = \pm 1} e^{- \beta \mathcal{H}}
= {\rm Tr} e^{-\beta \mathcal{H}}
\tag{2}
```
と定義する。

自由エネルギーの配位平均$[F]$を考える。
$[A]$は以下$A(J_{ij})$の配位平均を表すことにする。
すなわち

```math
[A] = \int dJ_{ij} P(J_{ij}) A(J_{ij})
\tag{3}
```
を示す。
(6/15 追記：積分は特に表記しないが$-\infty$から$\infty$ の定積分）

さて、$[F]$を計算してみよう。
逆温度$\beta$は定数なので

```math
[F] = \left[ -\cfrac{1}{\beta} \ln Z \right]
= - \cfrac{1}{\beta} [ \ln Z]
\tag{4}
```
とかけ、$[\ln Z]$を考えれば良いことになる。
しかし、分配関数の対数の計算は多くの場合かなり困難である。
ゆえに、以下の恒等式を用いるのがレプリカ法である。

```math
[\ln Z] = \lim_{n \rightarrow 0} \cfrac{[Z^n] - 1}{n}
\tag{5}
```

これは底が$Z>0$の指数関数$f(x) = Z^x$の微分$f'(x) = Z^x \ln Z$を用いれば簡単に証明できる。
微分係数の定義から

```math
f'(0) = \lim_{n \rightarrow 0} \cfrac{f(n) - f(0)}{n - 0}
= \lim_{n \rightarrow 0} \cfrac{f(n) - 1}{n}
```

であり、$n$は$J_{ij}$に関係がない定数なので、平均の性質から

```math
[f'(0)] = \left[ \lim_{n \rightarrow 0} \cfrac{f(n) - 1}{n} \right]
= \lim_{n \rightarrow 0} \cfrac{[f(n)] - 1}{n}
```
が成立する。
これに$f(n) = Z^n, f'(0) = Z^0 \ln Z = \ln Z$を代入すれば(5)が導出される。

## レプリカ法の注意点

レプリカ法は、$n$個の分配関数（レプリカ）の配位平均から(5)を用いて分配関数の対数の配位平均を求める方法である。
$n$個のレプリカを作る時、当然$n$は整数であるが、極限$n \rightarrow 0$をとる時は実数として扱っている。
この近似が少し無理矢理であるので、常に上手くいくとは限らないことには注意すべきである。

# SK模型
## Sherrington-Kirkpatrick (SK) 模型とは
Edwards-Anderson (EA) 模型の無限レンジ版。

SK模型のハミルトニアンは以下のようにかける。
$$
\mathcal{H} = - \sum_{i<j} J_{ij} S_i S_j  - h \sum_i S_i
\tag{6}
$$

ここで、$S_i (1 \leq i \leq N) $はスピン変数 、$h$は外場である。
相互作用$J_{ij}$はGauss分布

```math
P(J_{ij}) 
= \cfrac{1}{J} \sqrt{\cfrac{N}{2\pi}} \exp \left\{ - \cfrac{N}{2J^2} \left(J_{ij} - \cfrac{J_0}{N} \right)^2 \right\}
\tag{7}
```

で与える。

$J_{ij}$の平均と分散は、

$$
[J_{ij}] = \cfrac{J_0}{N}, \qquad
[(\Delta J_{ij})^2] = \cfrac{J}{N}
\tag{8}
$$

であり、$N$に反比例している。

## レプリカの配位平均

では、$[Z^n]$を求めてみよう。

```math
\begin{align}
[Z^n]
=& [\{ {\rm Tr} \exp (- \beta \mathcal{H}) \}^n ] \\
=& \int \left\{ \prod_{i<j} dJ_{ij} P(J_{ij}) \right\}
\left\{ {\rm Tr} \exp \left( \beta \sum_{i<j} J_{ij} S_i S_j + \beta h \sum_i S_i \right) \right\}^n \\
=& \int \left\{ \prod_{i<j} dJ_{ij} P (J_{ij}) \right\}
{\rm Tr} \exp \left(
\beta \sum_{i<j} J_{ij} \sum_{a=1}^n S_i^{a} S_j^{a} + \beta h \sum_{i=1}^N \sum_{a=1}^n S_i^{a}
\right) \\
=& \prod_{i<j} \left\{
\int dJ_{ij} P(J_{ij})
{\rm Tr} \exp\left(
\beta J_{ij}\sum_{a=1}^n S_i^{a} S_j^{a} 
\right)
\right\}
{\rm Tr} \exp \left(
\beta h \sum_{i=1}^N \sum_{a=1}^n S_i^{a}
\right)
\tag{9}
\end{align}
```

$a, b$はレプリカの番号である。
参考文献では、$\alpha, \beta$が用いられているが、逆温度と混同しそうなため文字を変えた。

最後の式変形は、被積分関数内の$J_{ij}$がすべての$i<j$に関して積で表されていて、独立で積分できるためである。
外場項${\rm Tr} \exp (\beta h \sum_i \sum_a S_i^a)$は$J_{ij}$に依存しないことを考慮し、(7)を用いて最後の式の{$\dots$}を積分する。

```math
\begin{align}
&\int dJ_{ij} \cfrac{1}{J} \sqrt{\cfrac{N}{2\pi}} \exp \left\{ - \cfrac{N}{2J^2} \left(J_{ij} - \cfrac{J_0}{N} \right)^2 \right\} {\rm Tr} \exp \left\{ \beta J_{ij} \sum_{a=1}^n S_i^a S_j^a \right\} \\
=& \int dJ_{ij} \cfrac{1}{J} \sqrt{\cfrac{N}{2\pi}} {\rm Tr} \exp \left\{
- \cfrac{N}{2J^2}J_{ij}^2 + \left(\cfrac{J_0}{J^2} + \beta \sum_{a=1}^n S_i^a S_j^a \right) J_{ij} - \cfrac{J_0^2}{2NJ^2} \right\} \\
=& \int dJ_{ij} \cfrac{1}{J} \sqrt{\cfrac{N}{2\pi}} {\rm Tr} \exp \left\{
- \cfrac{N}{2J^2} \left(J_{ij} - \cfrac{J_0}{N} - \cfrac{\beta J^2 \sum_{a=1}^n S_i^a S_j^a}{N} \right)^2 \right.  \\
&\qquad \qquad + \left. \cfrac{\beta J_0}{2N} \sum_{a=1}^n S_i^a S_j^a + \cfrac{\beta^2 J^2}{2N} \left(\sum_{a=1}^n S_i^a S_j^a \right)^2 \right\} \\
=& {\rm Tr} \exp \left\{ \cfrac{\beta J_0}{N} \sum_{a=1}^n S_i^a S_j^a + \cfrac{\beta^2 J^2}{2N} \sum_{a=1}^n \sum_{b=1}^n S_i^a S_j^a S_i^b S_j^b \right\}
\tag{10}
\end{align}
```

最後の式変形はガウス積分

```math
\int dx \cfrac{1}{\sqrt{2\pi \sigma^2}} \exp \left\{ - \cfrac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2} \right\} = 1
\tag{11}
```

を用いた。
$$\sigma^2=\cfrac{N}{J^2}, \mu = \cfrac{J_0}{N} + \cfrac{\beta J^2 \sum_{a} S_i^a S_j^a}{N} $$
を代入すれば求まる。

独立して積分した結果を(9)に代入して整理する。

```math
\begin{align}
[Z^n]
=& \prod_{i<j} {\rm Tr}
\exp \left\{ \cfrac{\beta J_0}{N} \sum_{a=1}^n S_i^a S_j^a + \cfrac{\beta^2 J^2}{2N} \sum_{a=1}^n \sum_{b=1}^n S_i^a S_j^a S_i^b S_j^b \right\}
{\rm Tr} \exp \left(
\beta h \sum_{i=1}^N \sum_{a=1}^n S_i^{a}
\right) \notag \\
=& {\rm Tr} \prod_{i<j} 
\exp \left\{ \cfrac{\beta J_0}{N} \sum_{a=1}^n S_i^a S_j^a + \cfrac{\beta^2 J^2}{2N} \sum_{a=1}^n \sum_{b=1}^n S_i^a S_j^a S_i^b S_j^b \right\}
{\rm Tr}\exp \left(
\beta h \sum_{i=1}^N \sum_{a=1}^n S_i^{a}
\right) \notag \\
=& {\rm Tr} \exp \left\{
\cfrac{1}{N} \left( \beta J_0 \sum_{a=1}^n \sum_{i<j} S_i^a S_j^a
+ \cfrac{\beta^2 J^2}{2} \sum_{a=1}^n \sum_{b=1}^n \sum_{i<j} S_i^a S_j^a S_i^b S_j^b \right)
+ \beta h \sum_{i=1}^N \sum_{a=1}^n S_i^a \right\}
\end{align}
```

ここで、

```math
\begin{align}
\sum_{i<j}S_i^a S_j^a
=& \cfrac{1}{2} \sum_{i=1}^N \sum_{j=1 (\neq i)}^N S_i^a S_j^a \notag \\
=& \cfrac{1}{2} \left( \sum_{i=1}^N \sum_{j=1}^N S_i^a S_j^a - \sum_{i=1}^N S_i^a S_i^a \right) \notag \\
=& \cfrac{1}{2} \sum_{i=1}^N \sum_{j=1}^N S_i^a S_j^a - \cfrac{N}{2} \notag \\
=& \cfrac{1}{2} \left(\sum_{i=1}^N S_i^a \right)^2 - \cfrac{N}{2} \\
\sum_{a=1}^n \sum_{b=1}^n \sum_{i<j} S_i^a S_j^a S_i^b
=& \cfrac{1}{2} \sum_{a=1}^n \sum_{b=1}^n \sum_{i=1}^N \sum_{j=1(\neq i)}^N S_i^a S_j^a S_i^b S_j^b \notag \\
=& \cfrac{1}{2} \sum_{a=1} ^n \sum_{b=1}^n \left( \sum_{i=1}^N \sum_{j=1}^N S_i^a S_j^a S_i^b S_j^b - \sum_{i=1}^N S_i^a S_i^a S_i^b S_i^b \right) \notag \\
=& \cfrac{1}{2} \sum_{a=1}^n \sum_{b=1}^n \left(\sum_{i=1}^N S_i^a S_i^b \sum_{j=1}^n S_j^b S_j^b -N\right) \\
=& \cfrac{1}{2} \sum_{a=1}^n \sum_{b=1}^n \left\{\left(\sum_{i=1}^N S_i^a S_i^b \right)^2 - N \right\} \\
=& \cfrac{1}{2} \sum_{a=1}^n \sum_{b=1}^n \left(\sum_{i=1}^N S_i^a S_i^b\right)^2 - \cfrac{n^2N}{2} \\
=& \sum_{a=1}^n \sum_{b=a+1}^n \left(\sum_{i=1}^N S_i^a S_i^b\right)^2
    + \cfrac{1}{2}\sum_{a=1}^n \left(\sum_{i=1}^N S_i^a S_i^a \right)^2
    - \cfrac{n^2N}{2} \\
=& \sum_{a<b} \left(\sum_{i=1}^N S_i^a S_i^b \right)^2
    + \cfrac{nN^2 - n^2 N}{2}
\end{align}
```

と式変形すると、

```math
\begin{align}
[Z^n]
=&{\rm Tr} \exp \left\{
    \cfrac{1}{N} \left(
        \beta J_0 \sum_{a=1}^n \left\{
            \cfrac{1}{2} \left(\sum_{i=1}^N S_i^a\right)^2 - \cfrac{N}{2}
        \right\}
        +\cfrac{\beta^2 J^2}{2} \left\{
            \sum_{a<b} \left(\sum_{i=1}^N S_i^a S_i^b \right)^2
            + \cfrac{nN^2 - n^2 N}{2}
        \right\}
    \right)
    + \beta h \sum_{i=1}^N \sum_{a=1}^n S_i^a
\right\} \\
=& {\rm Tr} \exp \left\{
    \cfrac{1}{N} \left(
        \cfrac{n \beta J_0 N}{2} + \cfrac{n \beta^2 J^2 N (N-n)}{4} 
        + \cfrac{\beta J_0}{2} \sum_{a=1}^n \left(\sum_{i=1}^N S_i^a \right)^2
        + \cfrac{\beta^2 J^2}{2} \sum_{a<b} \left(\sum_{i=1}^N S_i^a S_i^b \right)^2
    \right)
    + \beta h \sum_{i=1}^N \sum_{a=1}^n S_i^a
\right\} \\
=& e^{n \beta J_0 / 2 + n \beta^2 J^2 (N-n)/2}
{\rm Tr} \exp \left\{
    \cfrac{1}{N} \left(
        \cfrac{\beta J_0}{2} \sum_{a=1}^n \left(\sum_{i=1}^N S_i^a \right)^2
        + \cfrac{\beta^2 J^2}{2} \sum_{a<b} \left(\sum_{i=1}^N S_i^a S_i^b \right)^2
    \right)
    + \beta h \sum_{i=1}^N \sum_{a=1}^n S_i^a
\right\}
\end{align}
```

$N \rightarrow \infty$ としつつ $n \rightarrow 0$ にすると、
${\rm Tr}$ の前の指数の肩の値はそれぞれ
- $nN$ は不定形なのでそのまま残す。
- $n, n^2 \rightarrow 0$ となる。
よって、

```math
\begin{align}
[Z^n]
= e^{n \beta^2 J^2 N /2}
{\rm Tr} \exp \left\{
    \cfrac{1}{N} \left(
        \cfrac{\beta J_0}{2} \sum_{a=1}^n \left(\sum_{i=1}^N S_i^a \right)^2
        + \cfrac{\beta^2 J^2}{2} \sum_{a<b} \left(\sum_{i=1}^N S_i^a S_i^b \right)^2
    \right)
    + \beta h \sum_{i=1}^N \sum_{a=1}^n S_i^a
\right\}
\end{align}
```

と書ける。


# 参考文献
西森秀稔「スピングラス理論と情報統計力学」（岩波オンデマンドブックス）2016年