統計学の公式その１

# 変数の尺度
名義尺度
例：男女、血液型、郵便番号

順序尺度
例：１位／２位／３位、好き／普通／嫌い

間隔尺度
例：気温、テストの点数

比例尺度
例：身長、速度、値段

# 平均
平均は、すべてのデータの値を足して、データの数で割ったものです。

```math
\bar{x} = \frac{(x_1 + x_2 + x_3 + \dots + x_n)}{n}
```

1から5までの整数の平均は以下のようになります。

```math
\bar{x} = \frac{(1 + 2 + 3 + 4 + 5)}{5} = 3
```

# 四分位範囲
第三四分位数（75パーセンタイル）から第一四分位数（25パーセンタイル）を引いたもの。

#外れ値
第一四分位数-1.5×四分位範囲」がひげの下限、第三四分位数+1.5×四分位範囲がひげの上限。

# 分散
分散は、データのばらつきをあらわしています。

```math
V = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}  (x_i - \bar{x})^2
```
1から5までの整数の分散は以下のようになります。

```math
V = \frac{1}{5}\sum_{i=1}^{5}  (x_i - 3)^2 = \frac{1}{5}\times \{(-2)^2 +(-1)^2+0^2+1^2+2^2\} = 2
```

# 標準偏差
標準偏差は、分散を平方根したものです。分散と違い、標準偏差は平均と単位が等しいので、平均に標準偏差を足したり引いたりすることができます。

```math
\sigma = \sqrt{\frac{1}{n}\sum_{i = 1}^{n} (x_i - \bar{x})^2}
```

1から5までの整数の標準偏差は以下のようになります。

```math
\sigma = \sqrt{\frac{1}{5}\sum_{i=1}^{5}  (x_i - 3)^2} = \sqrt{\frac{1}{5}\times \{(-2)^2 +(-1)^2+0^2+1^2+2^2\}} = \sqrt{2} = 1.414
```

# 変動係数
変動係数は、標準偏差を平均で割ったもので、桁数の異なるデータのばらつきを比較したい時に使用します。

```math
CV = \frac{\sigma}{\bar{x}}
```
1から5までの整数の変動係数は以下のようになります。

```math
CV = \frac{1.414}{3} = 0.471
```
# 階乗
階乗は、ある正の整数から１までの整数までの積のことを言います。

```math
n! = n \times (n - 1) \times (n - 2) \times \cdots \times 2 \times 1
```
5の階乗は以下のようになります。

```math
5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120
```

# 順列
順列は、異なるn個からr個を取り出した順に一列に並べることを言います。

```math
{}_{n}P_r = n \times (n - 1) \times (n - 2) \times \cdots \times (n - r + 1)
```

例えば、1から10までのカードがあり、そこから4枚のカードを取り出して左から並べた場合、何通りあるかの計算は以下のようになります。

```math
{}_{10}P_4 = 10 \times 9 \times 8 \times 7 = 5040
```
# 組み合わせ
組み合わせは、異なるn個からr個を取り出すことを言います。

```math
{}_{n}C_r = \frac{{}_{n}P_r}{r!} = \frac{n!}{(n-r)!r!}
```

例えば、1から10までのカードがあり、そこから4枚のカードを取り出した場合、何通りの組み合わせがあるかの計算は以下のようになります。

```math
{}_{10}C_4 = \frac{{}_{10}P_4}{4!} = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = \frac{5040}{24} = 210
```

# 確率
確率は、起こりやすさを数値であらわした指標です。

```math
P(A) = \frac{k}{n}
```
例えば、1から10まであるカードから1を引く確率は以下のようになります。

```math
P(A) = \frac{1}{10}
```
# 確率（順列・組み合わせ）
組み合わせや順列、集合の考えか他を用いて効率的に確率を求める方法。

例えば、白いボール3個、赤いボール7個があった時、無作為に3つボールを取り出す時に、3つとも赤いボールを選ぶ確率は以下のようになります。

```math
P(A) = \frac{{}_{7}C_3}{{}_{10}C_3} = \frac{35}{120} = \frac{7}{24}
```

# 確率（余事象）
例えば、サイコロを２回投げた時、目の和が３以上となる確率は以下のようになります。

```math
1 - \left(\frac{1}{6} \times \frac{1}{6} \right) = 1 - \frac{1}{36} = \frac{35}{36}
```

# 期待値
期待値とは、1回の試行で得られる値の平均値です。

```math
\sum_{i=1}^{n}p_k x_k = p_1 \times x_1 + p_2 \times x_2　\cdots \times　p_k + x_k \times \cdots \times p_{n-1} + x_{n-1} \times p_n + x_n
```

例えば、サイコロを１回投げる時の出る目の期待値は以下のようになります。

```math
\sum_{i=1}^{n}p_k x_k = \frac{1}{6} \times 1 + \frac{1}{6} \times 2+\frac{1}{6} \times 3 + \frac{1}{6} \times 4 +\frac{1}{6} \times 5+\frac{1}{6} \times 6 = 3.5
```
# 条件付き確率
ある事象Bが起こる条件で、事象Aが起こる確率のことを言います。

```math
P(A/B) = \frac{P(A\cap B)}{P(A)}
```

例えば、袋の中に赤の玉が４つ、白の玉が４つあり、赤の玉のうち１と書かれている玉が３つ、２と書かれている玉が１つ、白の玉のうち、１と書かれている玉が１つ、２と書かれている玉が３つだった時、その袋から１つ玉を取り出した時に赤の玉が取り出された時に１である確率は以下のようになります。

```math
P(赤の玉である) = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}\\
P(1と書いてあり、かつ、赤の玉である) = \frac{3}{8}\\
P(A/B) = \frac{P(A\cap B)}{P(A)} = \frac{P(1と書いてあり、かつ、赤の玉である)}{P(赤の玉である)} \\= \frac{\frac{3}{8}}{\frac{1}{2}} = \frac{3}{4}
```

# ベイズの定理
ベイズの定理は、ある事象が起きた時、その事象が起きた原因がいくつかあった場合、その原因である確率が何パーセントであるかを計算するものです。

```math
P(B_i/A) = \frac{P(A\cap B_i)}{P(A)}
```

例えば、赤と白の玉が入った袋が三つあったとして、袋1には赤の玉が4つ、白の玉が1つ、袋2には赤の玉が3つ、白の玉が3つ、袋3には赤の玉が2つ、白の玉が4つあったとして、この3つのいずれかの袋から玉を取り出した時に白の玉を引いた時、その袋の玉が2である確率を求めると以下のようになります。

このような問いの場合、ベイズの定理は以下のように展開できます。

```math
P(B_2/A) = \frac{P(A/B_2)P(B_2)}{P(A/B_1)P(B_1) + P(A/B_2)P(B_2) + P(A/B_3)P(B_3)}
```
このうち３つの袋からどの袋が選ばれるかの確率は以下のようになります。

```math
P(B_1) = P(B_2) = P(B_3) = \frac{1}{3}
```

さらにそれぞれの袋から白の玉を引いてかつ玉が2である確率はそれぞれ以下のようになります。

```math
P(A/B_1) = \frac{1}{4}
```
```math
P(A/B_2) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}
```
```math
P(A/B_3) = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}
```
これらを先ほど展開した式に代入すると以下のようになります。

```math
P(B_2/A) = \frac{\frac{1}{2}\times\frac{1}{3}}{\frac{1}{4}\times\frac{1}{3} + \frac{1}{2}\times\frac{1}{3} + \frac{2}{3}\times\frac{1}{3}}

 =
\frac{\frac{1}{6}}{\frac{1}{12} + \frac{1}{6} + \frac{2}{9}}

=
\frac{\frac{1}{6}}{\frac{17}{36}} = \frac{102}{36} = 0.353

```

# 確率質量関数
離散型確率変数$X$がある値$x$をとる確率を確率質量関数$f(x)$と呼び、以下のように表すことができます。

```math
f(x) = P(X = x)
```

例えば、サイコロを1回投げた場合は、サイコロのすべての出る目を$x_i$とすると$P(X = x_i)=\frac{1}{6}$なので、これらの確率の総和は以下のように「１」と計算できます。

```math
\sum_{i=1}^{6}P(X = x_i) \\
= P(X = 1)+P(X = 2)+P(X = 3)+P(X = 4)+P(X = 5)+P(X = 6)\\=\frac{1}{6}+\frac{1}{6}+\frac{1}{6}+\frac{1}{6}+\frac{1}{6}+\frac{1}{6}\\=1
```

# 確率密度関数
確率密度関数は、連続型確率変数$X$がある値をとるという事象の確率密度を記述する関数です。

```math
f(x) = f(X = x)
```

連続型確率変数$X$について、以下のように表現できます。

```math
P(a \leq x \leq b) = \int_a^b f(x)dx
```
例えば以下のような確率密度関数がある時、$0 \leq X \leq 5$となる確率は以下の計算できます。

```math
f(x) = \left\{
\begin{array}{ll}
4 & (0 \leq X \leq 3) \\
0 & (X<0,3<X)
\end{array}
\right.
```
```math
P(0 \leq X \leq 5) = \int_{0}^{5}f(x)dx = \int_{0}^{3}4dx + \int_{3}^{5}0dx
```
```math
\bigl[ 4x \bigr]_{0}^{3} = 4\times3 - 4\times0 = 12
```

# 確率変数の期待値（離散型確率変数）
離散型確率変数の期待値は以下のように表せます。

```math
E(X) = \sum_{i=1}^{n}x_i \times p_i
```
例えば、サイコロを投げた時に出る目を確率変数$X$とすると、期待値は次のように計算できます。

```math
E(X) = \sum_{i=1}^{6}x_i \times p_i =  1\times\frac{1}{6}+2\times\frac{1}{6}+3\times\frac{1}{6}+4\times\frac{1}{6}+5\times\frac{1}{6}+6\times\frac{1}{6}\\=\frac{21}{6}=3.5
```
# 確率変数の期待値（連続型確率変数）
連続型確率変数の期待値は、積分をすることによって計算することができます。

```math
E(X) = \int_{- \infty}^{\infty}xf(x)dx
```

例えば、確率密度関数$f(x) = \frac{1}{8}$において、確率変数$X$が0から8までの値をとる時$(0\leq X\leq8)$、期待値は以下のように計算できます。

```math
E(X) = \int_{0}^{8}x\times\frac{1}{8}dx
```
```math
= \left[ \frac{x^2}{16} \right]_{0}^{8} = \frac{64}{16} = 4
```

# 確率変数の分散（離散型確率変数）
$X$の期待値を$E(X)=\mu$（ミュー）とした時、離散型確率変数の分散は以下のようになります。

```math
V(X) = \sum_{i=1}^{n}(x_i - \mu)^2p_i
```

例えば、サイコロを投げた時に出る目を確率変数$X$とするとき、分散は次のように計算できます。ただし、期待値$E(X)=3.5$であることを用います。

```math
V(X) = \sum_{i=1}^{n}(x_i - \mu)^2p_i = \sum_{i=1}^{n}(x_i - 3.5)^2p_i
```
```math
= \frac{(1-3.5)^2}{6}+\frac{(2-3.5)^2}{6}+\frac{(3-3.5)^2}{6}+\frac{(4-3.5)^2}{6}+\frac{(5-3.5)^2}{6}+\frac{(6-3.5)^2}{6}
```
```math
= \frac{1}{6}\{6.25+2.25+0.25+0.25+2.25+6.25\}=\frac{17.5}{6}=\frac{35}{12}
```
# 確率変数の分散（連続型確率変数）
$X$の期待値を$E(X)=\mu$（ミュー）とした時、連続型確率変数の分散は以下のようになります。

```math
V(X) = \int_{- \infty}^{\infty}(x-\mu)^2f(x)dx
```

例えば、確率密度関数$f(x) = \frac{1}{8}$において、確率変数$X$が0から8までの値をとる時$(0\leq X\leq8)$、分散は以下のように計算できます。ただし、期待値$E(X)=4$であることを用います。

```math
V(X) = \int_{0}^{8}(x-4)^2\frac{1}{8}dx
```
```math
= \left[ (x-4)^3\times\frac{1}{24} \right]_{0}^{8} = \left\{\left(4\right)^3 -\left(-4\right)^3\right\}\times\frac{1}{24} \\=\left\{64+64\right\}\times\frac{1}{24}= 128\times\frac{1}{24}=\frac{16}{3}
```

# 期待値から分散をを計算
分散は、期待値を用いると次のような式でも計算できます。

```math
V(X) = E(X^2) - \{E(X)\}^2
```
## 離散型確率変数の場合
例えば、サイコロを投げた時に出る目を$X$とするとき、$E(X)=3.5$、$V(X) =\frac{35}{12}$と計算されましたが、この分散を期待値から計算すると以下のようになります。

```math
E(X^2) = \frac{1}{6}(1^2+2^2+3^2+4^2+5^2+6^2)\\
= \frac{1}{6}(1+4+9+16+25+36) = \frac{91}{6}
```
```math
\{E(X)\}^2 = (3.5)^2 = \left(\frac{7}{2}\right)^2 = \frac{49}{4}
```
```math
V(X) = E(X^2) - \{E(X)\}^2 =\frac{91}{6} -  \frac{49}{4} =\frac{35}{12}
```
## 連続型確率変数の場合
例えば、確率密度関数$f(x) = \frac{1}{8}$において、確率変数$X$が0から8までの値をとる時$(0\leq X\leq8)$、期待値は$E(X)=4$、分散は$V(X) =\frac{16}{3}$と計算されましたが、期待値から分散を計算すると以下のようになります。

```math
E(X^2) = \int_{0}^{8}x^2f(x)dx = \int_{0}^{8}x^2\times\frac{1}{8}dx = \int_{0}^{8}\frac{1}{8}x^2dx
```
```math
= \left[ \frac{x^3}{24} \right]_{0}^{8} = \frac{512}{24}= \frac{64}{3}
```
```math
\{E(X)\}^2 = (4)^2 = 16
```
```math
V(X) = E(X^2) - \{E(X)\}^2 =\frac{64}{3} -  16 =\frac{16}{3}
```
# 参考
[統計WEB](https://bellcurve.jp/statistics/course/)