便利な記号

$\def\bm{\boldsymbol}\def\ff(#1/#2){\frac{#1}{#2}}\def\del{\partial}$

# クロネッカーのデルタ・レヴィチビタ記号

大学生時代に使った便利な記号$\delta _{ij}$と$\epsilon _{ijk}$を紹介しよう。学生時代には，$\delta $はクロネッカーのデルタ，$\epsilon$はレヴィ・チビタ記号とか，完全反対称テンソルと呼んでいました。

まずクロネッカーのデルタは，添え字は2つだけで

```math
\delta _{ij} = 1 (i = j)
\\
\delta _{ij} = 0 (i \neq j)
```

と定義します。これを行列の成分と見ると，単位行列に相当します。


次にレヴィ・チビタ記号は，添え字の個数が3つの場合，

```math
\epsilon _{123} = 1
\\
\epsilon _{iij} = 0 (など)
```

1行目は約束です。2つ目は，添え字に同じ数が入る場合ゼロになるという約束です。さらに，

```math
\epsilon _{ijk} = \pm 1
```

を，i，j，kが1，2，3の偶置換の場合は1，奇置換の場合は$-1$と定義します。つまり，置換$\sigma $の``符号''と同じものです。

これを使えば，$3\times 3$正方行列$A$の行列式$\det A$は

```math
\det A = \sum_{i,j,k} \epsilon _{ijk} A_{1i}A_{2j}A_{3k}
```

と書くことができます。ここで$A_{ij}$は行列$A$の$i$行$j$列の成分を表します。更に一般的には

```math
\epsilon _{lmn} \det A = \sum_{i,j,k} \epsilon _{ijk} A_{li}A_{mj}A_{nk}
```

となります。



## いろいろ計算


以下では，添え字に同じ文字が使われている場合は，和をとるものと約束し，$\sum$の記号は省略します。

これらの記号の使い方として，

```math 
a_i \delta _{ij} = a_j
```
```math 
a_i b_j \epsilon _{ij} = a_1 b_2 - a_2 b_1
```

のように使える。

便利な公式

```math
\epsilon _{ij} \epsilon_{ik} = \delta _{jk}
\\
\epsilon _{ijk} \epsilon_{\ell m k} = \delta _{i\ell} \delta _{jm} - \delta _{im} \delta _{j\ell}
```

などがある。

平面の2つのベクトルがつくる平行四辺形の面積は

```math
a_i b_j \epsilon _{ij} = a_1 b_2 - a_2 b_1
```


空間ベクトル$\bm a = (a_1,a_2,a_3)$，$\bm b = (b_1,b_2,b_3)$の外積は，

```math
(\bm a \times \bm b )_k = a_i b_j \epsilon _{ijk}
```

と表すことができます。


## ベクトルの公式

### スカラー3重積

```math
\bm a \cdot (\bm b \times \bm c)
=
\bm b \cdot (\bm c \times \bm a)
=
\bm c \cdot (\bm a \times \bm b)
```

内積や外積を$\delta_{ij}$や$\epsilon_{ijk}$を使って表すことから始めます。

```math
\bm a \cdot (\bm b \times \bm c)
=
a_i \delta_{ij} (b_m c_n\epsilon_{mnj})
=
b_m c_n a_i \epsilon_{mni} = a_i b_j c_k \epsilon_{jki} = a_i b_j c_k \epsilon_{ijk}
```

この式を見るとほぼほぼ明らかである。

```math
\bm b \cdot (\bm c \times \bm a)
=
b_i c_j a_k \epsilon_{ijk}
=
a_k b_i c_j \epsilon_{kij}
= a_i b_j c_k \epsilon_{ijk}
```

### ベクトル3重積

3つのベクトルの外積は

```math
\bm a \times (\bm b \times \bm c) = (\bm a\cdot \bm c) \bm b - (\bm a\cdot \bm b) \bm c
```

この量はベクトルなので，ある成分を計算していくことになります。

```math
[\bm a \times (\bm b \times \bm c)]_i = 
\epsilon _{jki} a_j (\bm b \times \bm c)_k = 
\epsilon _{jki} a_j (\epsilon_{lmk} b_l c_m) =
\epsilon _{jki} \epsilon_{lmk} a_j b_l c_m = -\epsilon _{jik} \epsilon_{lmk} a_j b_l c_m
```

```math
-\epsilon _{jik} \epsilon_{lmk} = -(\delta_{jl}\delta_{im} - \delta_{jm}\delta_{il})
```

だから

```math
-\epsilon _{jik} \epsilon_{lmk} a_j b_l c_m
=
-(\delta_{jl}\delta_{im} - \delta_{jm}\delta_{il}) a_j b_l c_m
-a_j b_j c_i + a_j b_i c_j
```

と計算することができます。この式の成分は$i$成分で，$j$の添え字部分は内積を表しています。



## 微分演算子（ナブラ）

ポテンシャルから保存力を計算するためには，$F_i = -\ff(\del U/\del x_i)$とするでしょう。微分後に得られる量はベクトルです。そこで，$\bm \nabla = (\del_x ,\del_y ,\del_z)$とベクトルに模したものを使います。するとベクトル表記で

$$
\bm F = - \bm \nabla U
$$

と表現できます。また，ベクトル量に対して

$$
\nabla \cdot \bm a = \del _i a_i
$$

と内積の形で表すこともできます。

## 積の微分

$$
\begin{eqnarray}
\bm \nabla \cdot (\phi \bm a) = \bm \nabla \phi \cdot \bm a + \phi \bm \nabla \cdot \bm a
\end{eqnarray}
$$


4行目までは$A$がデカルト座標系における微分演算子$\nabla $でも成り立つ。$A$を$\nabla $とした場合は

<!--
$$
\begin{eqnarray*}
[\nabla \times (B \times C)]_i
&=&
\del_j (B_i C_j) - \del_j (B_j C_i)
\\
&=&
(\del_j B_i) C_j + B_i (\del_j C_j) - (\del_j B_j) C_i - B_j(\del_j C_i)
\\
&=&
(C \cdot \nabla) B_i + (\nabla \cdot C) B_i - (\nabla \cdot B) C_i - (B \cdot \nabla) C_i
\end{eqnarray*}
$$
-->

```math
\begin{eqnarray*}
[\nabla \times (B \times C)]_i
&=&
\del_j (B_i C_j) - \del_j (B_j C_i)
\\
&=&
(\del_j B_i) C_j + B_i (\del_j C_j) - (\del_j B_j) C_i - B_j(\del_j C_i)
\\
&=&
(C \cdot \nabla) B_i + (\nabla \cdot C) B_i - (\nabla \cdot B) C_i - (B \cdot \nabla) C_i
\end{eqnarray*}
```


$B$を$\nabla $とした場合は

```math
\begin{eqnarray*}
[A \times (\nabla \times C)]_i
&=&
A_j (\nabla _i C_j) - A_j (\nabla _j C_i)
\\
&=&
A_j (\nabla _i C_j) - (A \cdot \nabla) C_i
\end{eqnarray*}
```

となる。特に第1項はテンソルと$A$との内積になっている。太田浩一にならって、テンソル積を記号なしの積で書くことにすると

```math
\begin{equation}
[A \times (\nabla \times C)]_i
=
[(\nabla C) \cdot A]_i - (A \cdot \nabla) C_i
\end{equation}
```

となる。

$A$, $B$をともに$\nabla$にした場合は


```math
\begin{eqnarray*}
[\nabla \times (\nabla \times C)]_i
&=&
\del_j (\del_i C_j) - \del_j (\del_j C_i)
\\
&=&
\del_i (\nabla \cdot C) - \nabla ^2 C_i
\end{eqnarray*}
```

となります。ここで$\nabla^2 = \del_j \del _j$を表す。




## 行列を成分で表記する

行列の計算を抽象的に計算するために，成分で表記しましょう。たとえば，$3 \times 3$行列は

```math
A =
\begin{pmatrix}
A_{11} & A_{12} & A_{13}\\
A_{21} & A_{22} & A_{23}\\
A_{31} & A_{32} & A_{33}\\
\end{pmatrix}
```

と書きますが，これを行列$A$の$i,j$成分 $A_{ij}$と書いて，行列を表していると意識します。



### 対称行列

対称行列は転置した行列 $A^{\rm T}$ と，$A=A^{\rm T}$という関係があるときですが，単に

```math
A_{ij} = A_{ji}
```

と表すことができます。

反対称行列なら

```math
A_{ij} = -A_{ji}
```

です。

### 直交行列

転置した行列が，逆行列になる行列を直交行列といいます。$A^{-1} = A^{\rm T}$。これを成分で表記するときは，

```math
(A^{-1})_{ij} = A_{ji}
```

と表記します。


## 反対称行列とベクトルの外積

反対称行列 $A$ は，次のような成分の表記ができます。

```math
A_{ij} = \epsilon_{ijk} a_k = a_k \epsilon_{kij}
```

レヴィチビタ記号の性質から

```math
A_{ji} = \epsilon_{jik} a_k = -\epsilon_{ijk} a_k = -A_{ij}
```

となり，反対称行列になっていることが分かります。

この成分の表記は和を取った形をしていますが，行列の形式で書き下してみると


```math
A=
\begin{pmatrix}
0 & a_3 & -a_2\\
-a_3 & 0 & a_1\\
a_2 & -a_1 &0
\end{pmatrix}
```

となり，$a_i$ 1つ1つが，行列の成分になっていることが分かります。

外積の成分表示と比較しましょう。


```math
(a\times b)_k = a_i b_j \epsilon_{ijk} = a_i \epsilon_{ijk} b_j 
```

でした。ベクトルの外積は，反対称行列とベクトルの積で表すことができそうです。ベクトル$\bm a$に対して成分を

```math
A_{ij} = -a_k \epsilon_{kij}
```

という行列を対応させれば，ベクトルの外積の計算ができます。行列の形式が書くと

```math
\bm a \to A=
\begin{pmatrix}
0 & -a_3 & +a_2\\
+a_3 & 0 & -a_1\\
-a_2 & +a_1 &0
\end{pmatrix}
```

となります。






## 行列式の性質

例として$3\times 3$行列を考える。行列$A$と$B$の積の行列式は

```math
\det A = \epsilon_{ijk} A_{1a}B_{ai} A_{2b}B_{bj} A_{3c}B_{ck}
\\
= A_{1a} A_{2b} A_{3c} \epsilon_{ijk} B_{ai} B_{bj} B_{ck}
\\
=
 A_{1a} A_{2b} A_{3c} \epsilon_{abc} \det B
\\
=
\det A \det B
```

これを特定の行に着目して和書き出してみる。

行列式の余因子展開

例として$3\times 3$行列$A$の行列式を考える

```math
\det A = \epsilon_{ijk} A_{1i} A_{2j} A_{3k}
```

これを特定の行に着目して和書き出してみる。たとえば2行に注目すると

```math
\epsilon_{ijk} A_{1i} A_{2j} A_{3k}
=
\epsilon_{i1k} A_{1i} A_{21} A_{3k} + \epsilon_{i2k} A_{1i} A_{22} A_{3k} + \epsilon_{i3k} A_{1i} A_{23} A_{3k}
\\
=
- A_{21} \epsilon_{1ik} A_{1i} A_{3k} +  A_{22}\epsilon_{i2k} A_{1i} A_{3k} -  A_{23} \epsilon_{ik3} A_{1i} A_{3k}
```

###回転行列

```math
U = \begin{pmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{pmatrix} 
```

の成分は

```math
U_{ij}(\theta) = \cos \theta \delta _{ij} - \sin \theta \epsilon _{ij}
```

と書くことができる。回転行列の積を行列の形を使わずに計算してみる。

```math
\begin{eqnarray}
U_{ij}(\theta) U_{jk}(\phi)
&=&
(\cos \theta \delta _{ij} - \sin \theta \epsilon _{ij})(\cos \phi \delta _{jk} - \sin \phi \epsilon _{jk})
\\
&=&
\cos \theta \cos \phi \delta_{ik} - (\cos\theta \sin \phi + \sin \theta \cos \phi ) \epsilon _{ik}
+ \sin \theta \sin \phi \epsilon _{ij} \epsilon_{jk} 
\\
&=&
(\cos \theta \cos \phi  - \sin \theta \sin \phi )\delta_{ik} - (\cos\theta \sin \phi + \sin \theta \cos \phi ) \epsilon _{ik}
\end{eqnarray}
```

となる。途中で

```math
\epsilon _{ij} \epsilon_{jk} = -\delta _{ik}
```

を使っている。三角関数の下方定理を用いれば，それぞれの項がまとめられて

```math
U_{ij}(\theta) U_{jk}(\phi) = U_{ik}(\theta + \phi)
```

を得ることができます。$\theta$と$\phi$を入れ替えても同じ結果を得るので，$U(\theta)$と$U(\phi)$は積に関して可換ということがわかります。

$U(\theta)$の成分を$\theta$で微分すると

```math
\frac{d}{d\theta } U_{ij}(\theta) = -\sin \theta \delta _{ij} - \cos \theta \epsilon _{ij} 
```

```
\frac{d}{d\phi } U_{ij}(\theta) = - \frac{d\theta}{d\phi} \sin \theta \delta _{ij} - \frac{d\theta}{d\phi} \cos \theta \epsilon _{ij} 
```



ここで，$-\sin \theta = \cos (\theta + \pi /2)$，$\cos \theta = \sin (\theta + \pi /2)$に注目すると

```math
\frac{d}{d\theta } U_{ij}(\theta)  = U_{ij}(\theta +\pi /2)
```

ちょうど90度だけ多く回転する回転行列になります。

```math
U(-\theta) \frac{d}{d\theta }U(\theta) = U(\pi/2) = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} 
```