回転座標系

$
\def\fraction(#1/#2){\frac{#1}{#2}}
\def\ff(#1/#2){\frac{#1}{#2}}
\def\der(#1/#2){\frac{d #1}{d #2}}
\def\dd(#1/#2){\frac{d #1}{d #2}}
\def\dd#1#2#3{\frac{d ^{#1}#2}{d #3^{#1}}}
\def\del{\partial}
\def\pdd(#1/#2){\frac{\del #1}{\del #2}}
\def\DIS{\displaystyle}
\def\Dt{\Delta t}
\def\bm{\boldsymbol}
\def\bex{\bm e_x}
\def\bey{\bm e_y}
\def\ber{\bm e_r}
\def\be#1{\bm e_{#1}}
$

# 回転を表す行列

## 導入(2次元)

2つのベクトルを考えてみます。

```math 
\bm a_1 = \begin{pmatrix}
 \cos \theta \\
 -\sin \theta 
\end{pmatrix} ,\quad
\bm a_2 = \begin{pmatrix}
 \sin \theta  \\
 \cos \theta
\end{pmatrix}
```

この2つのベクトルは，次の性質があります。

```math 
|\bm a_1 | = |\bm a_2 | = 1,\quad \bm a _1 \cdot \bm a_2 = 0
```

この縦のベクトルをならべた行列$\rm R$を次で定義します。

```math 
\rm R =
\begin{pmatrix}
 \bm a_1 & \bm a_2 
\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}
 \cos \theta & \sin \theta \\
 -\sin \theta & \cos \theta  
\end{pmatrix}
```

行列 $\rm R$ は次の性質を持っています。

```math 
\rm R^T\rm R =
\begin{pmatrix}
 \bm a_1^T \\ \bm a^T_2 
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
 \bm a_1 & \bm a_2 
\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}
 \bm a_1 \cdot \bm a_1 & \bm a_1 \cdot \bm a_2 \\
 \bm a_2 \cdot \bm a_1 & \bm a_2 \cdot \bm a_2  
\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}
 1 & 0 \\
 0 & 1  
\end{pmatrix}
```

$\rm R^T R$ 転置すると，逆行列になるものを直交行列といいます。


## ベクトルの回転

適当なベクトル$\bm b$と，それに直交するベクトル$\bm{\bar b}$（反時計回りに90度回転）を考えましょう。$\bm b$を$\theta$だけ回転させたベクトルは

```math
\bm c = \cos \theta \bm b + \sin \theta \bar{\bm b}
```

同様に$\bm{\bar b}$を$\theta$だけ回転させたベクトルは

```math
\bar{\bm c} = - \sin \theta \bm b + \cos \theta \bar{\bm b}
```

となります。


ところで，どのようなベクトルに対しても，$\bm b$，$\bar{\bm b}$

```math
\bm x = x_1 \bm b + x_2 \bar{\bm b} = 
\begin{pmatrix}
x_1 & x_2
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
\bm b \\ \bar{\bm b}
\end{pmatrix}
```

と表すことができます。$x_1\bm b$を回転させと

```math
x_1 \cos \theta \bm b + x_1 \sin \theta \bar{\bm b}
```

同様に$x_2 \bm{\bar b}$を$\theta$だけ回転させたベクトルは

```math
- x_2 \sin \theta \bm b + x_2 \cos \theta \bar{\bm b}
```

となるから，$\bm x$を回転させたベクトルは

```math
(x_1 \cos \theta -x_2 \sin \theta )\bm b + (x_1 \sin \theta + x_2 \cos \theta ) \bar{\bm b}
```

となります。係数を成分といいますが，成分について


```math
\begin{pmatrix}
x_1 \\
x_2
\end{pmatrix} \to
{\rm R}
\begin{pmatrix}
x_1 \\
x_2
\end{pmatrix}
```

と行列の積をとり，計算できます。


## 基底ベクトルの取り換え

基底ベクトルとして，正規直交ベクトルを採用します。$x$ 軸方向，$y$ 軸方向の大きさ1のベクトルを想定してください。このベクトルの組を$\{ \bm e_1 , \bm e_2 \}$とします。以下，ベクトルを表すために太字ではなく，添え字を右肩に書くことで，ベクトルを表すことにします。

```math
\bm e_1 \to e^i_1\\
\bm e_2 \to e^i_2
```

基底$\{ e^i_1 , e^i_2 \}$に対して，それを$\theta$回転した基底 $\{ f^i_1, f^i_2\}$ を考えましょう。2つの基底の関係は

```math
f^i_1 = \cos \theta e^i_1 + \sin \theta e^i_2
\\
f^i_2 = -\sin \theta e^i_1 + \cos \theta e^i_2
```

となりました。行列の形式を使うと


```math
\begin{pmatrix}
f^i_1\\
f^i_2
\end{pmatrix} = 
{\rm R} \begin{pmatrix}
e^i_1\\
e^i_2
\end{pmatrix}
```

となっていることが分かります。あるベクトル$v^i$がそれぞれの基底で

```math
x^i =
\begin{pmatrix}
x &
y
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
e^i_1\\
e^i_2
\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}
X & Y
\end{pmatrix} 
\begin{pmatrix}
f^i_1\\
f^i_2
\end{pmatrix}
```

と表されているとします。左辺に単位行列を間に入れて

```math
\begin{pmatrix}
x &
y
\end{pmatrix}
{\rm R^T R}
\begin{pmatrix}
e^i_1\\
e^i_2
\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}
X & Y
\end{pmatrix} 
\begin{pmatrix}
f^i_1\\
f^i_2
\end{pmatrix}
```

成分を比較すると

```math
{\rm R}
\begin{pmatrix}
x \\
y
\end{pmatrix} =
\begin{pmatrix}
X \\ Y
\end{pmatrix} 
```

という成分の変換式を得ることができます。

## 回転系

ベクトルを$\theta $だけ回転させる行列を $\rm R_\theta$ と書くことにします。

```math
\rm R _\theta =
\begin{pmatrix}
 \cos \theta & \sin \theta \\
 -\sin \theta & \cos \theta  
\end{pmatrix}
```

回転している座標系とは，基底ベクトルが回転運動をしているものとします。つまり時刻 $t$ で

```math
\begin{pmatrix}
f^i_1\\
f^i_2
\end{pmatrix} = 
{\rm R}_{\omega t} \begin{pmatrix}
e^i_1\\
e^i_2
\end{pmatrix}
```

で表されます。運動方程式を得るために，時間の微分をする必要があります。そこで， ${\rm R}_\theta$ の微分についての性質を考えておきましょう。

行列を微分するときは，各成分を微分することと約束します。

${\rm R}_\theta$ を，変数 $\theta$ について微分します。

```math
{\rm R}'_\theta = 
\begin{pmatrix}
 -\sin \theta & \cos \theta \\
 -\cos \theta & -\sin \theta  
\end{pmatrix}
```


直交行列なので，$R^TR = E$が成立しています。この式の両辺を微分すると

```math
{R'}_\theta^T R_\theta + R_\theta^T R'_\theta = 0
```

つまり

```math
(R_\theta^T R'_\theta)^T = -R_\theta^T R'_\theta
```

が成立し，行列 $R_\theta^T R'_\theta$ は，反対称行列ということが分かります。 

具体的に$R_\theta^T R'_\theta$の成分を計算してみましょう。

```math
R_\theta^T R'_\theta =
\begin{pmatrix}
 \cos \theta & -\sin \theta \\
 \sin \theta & \cos \theta  
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
 -\sin \theta & \cos \theta \\
 -\cos \theta & -\sin \theta  
\end{pmatrix} = 
\begin{pmatrix}
 0 & 1 \\
 -1 & 0  
\end{pmatrix}
```

となり，反対称行列になっていることが確かめられました。


$\theta = \omega t$（$\omega$：定数）のように，$t$ の関数とすると，

```math
\ff(d/dt) {\rm R}_{\omega t} = \omega {\rm R'}_{\omega t}
```

もう1回微分すると

```math
\ff(d^2/dt^2) {\rm R}_{\omega t} = - \omega ^2 {\rm R}_{\omega t}
```

となることが分かります。


# 回転系の物理

回転系の物理とは，基底$\{f^i_1 , f^i_2 \}$で表した成分についての現象を表したものです。平たく言えば，$(X,Y)$についての運動方程式を考え，解くことです。

## 速度

```math
\dot x^i = \dd{}{}{t} 
\begin{pmatrix}
x & y
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
e^i_x\\
e^i_y
\end{pmatrix}=
\dd{}{}{t} 
\begin{pmatrix}
X & Y
\end{pmatrix}
{\rm R}_{\omega t}
\begin{pmatrix}
e^i_x\\
e^i_y
\end{pmatrix}
```

成分の変換に用いた行列に注意しましょう。

```math
[
\begin{pmatrix}
\dot X & \dot Y
\end{pmatrix}
{\rm R}_{\omega t}
+
\begin{pmatrix}
X & Y
\end{pmatrix}
\omega
{\rm R'}_{\omega t}
]
\begin{pmatrix}
e^i_x\\
e^i_y
\end{pmatrix} =
[
\begin{pmatrix}
\dot X & \dot Y
\end{pmatrix}
{\rm R}_{\omega t}
+
\begin{pmatrix}
X & Y
\end{pmatrix}
\omega
{\rm R'}_{\omega t}
] {\rm R^T}_{\omega t} {\rm R}_{\omega t}
\begin{pmatrix}
e^i_x\\
e^i_y
\end{pmatrix}
```


となるから，

```math
[
\begin{pmatrix}
\dot X & \dot Y
\end{pmatrix}
{\rm R}_{\omega t}
+
\begin{pmatrix}
X & Y
\end{pmatrix}
\omega
{\rm R'}_{\omega t}
]
\begin{pmatrix}
e^i_x\\
e^i_y
\end{pmatrix} =
[
\begin{pmatrix}
\dot X & \dot Y
\end{pmatrix}
+
\begin{pmatrix}
X & Y
\end{pmatrix}
\omega
{\rm R'}_{\omega t}  {\rm R^T}_{\omega t}
]
\begin{pmatrix}
f^i_x\\
f^i_y
\end{pmatrix}
```

この成分を行列の形式に縦に並べて見ると

```math
\begin{pmatrix}
\dot X \\ \dot Y
\end{pmatrix}
+
\omega
{\rm R}_{\omega t}   {\rm R'^T}_{\omega t}  
\begin{pmatrix}
X \\ Y
\end{pmatrix} =
\begin{pmatrix}
\dot X \\ \dot Y
\end{pmatrix} - \omega
{\rm R'}_{\omega t} {\rm R^T}_{\omega t}  
\begin{pmatrix}
X \\ Y
\end{pmatrix}
```

となります。この成分をさらに計算すると

```math
\bm V = 
\begin{pmatrix}
\dot X - \omega Y\\
\dot Y + \omega X
\end{pmatrix}
```

を得られます。この成分をベクトルとして書くことが多いです。


運動エネルギー$T$は

```math
T = \ff(1/2) m ([\dot X - \omega Y]^2 + [\dot Y + \omega X]^2)
```

となることが分かります。

# 回転系の物理（基礎）

$\def\bm{\boldsymbol}$


慣性系では運動方程式

$$
\bm F = \dot{\bm p} = m \ddot{\bm x}
$$

が成立します。原点が一致し，慣性系 $(x)$ に対して角速度 $\omega $ で回転（反時計回り）している回転系 $(y)$ では，運動方程式は次のように変更されます。

$$ m\ddot {\bm r} = F - 2m \bm \omega \times \bm v - m \bm \omega \times (\bm \omega \times \bm r) $$

ベクトル $\bm \omega$ は角速度を表す量で，回転する平面に対して垂直に定義します。例えば，$x_1$-$x_2$ 平面を角速度 $\omega $ （$x_1$軸からから$x_2$軸の方向に回転する）で回転する系の場合，$\bm \omega = (0,0,\omega)$で定義します。


2次元平面上の運動を考える場合は，

```math
\ddot y_1 = \tilde f_1 + 2\omega v_2 + \omega ^2 y_1
\\
\ddot y_2 = \tilde f_2 - 2\omega v_1 + \omega ^2 y_2
```

という運動方程式になります。$y_i$は，回転している系の座標で，デカルト座標です。



## 2次元平面でまじめに計算

回転系の運動方程式を求めたい。慣性系の観測者と，回転する系の観測者を考えたい。慣性系のデカルト座標を$(x_1,x_2)=:(x)$とする。原点が一致し，原点を中心に回転運動している座標系$(y_1,y_2)=:(y)$を

<!--
$$
\begin{pmatrix}
y_1 \\
y_2
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
\cos \theta & \sin \theta  \\
-\sin \theta & \cos \theta
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
x_1 \\
x_2
\end{pmatrix}
$$
-->

```math
\begin{pmatrix}
y_1 \\
y_2
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
\cos \theta & \sin \theta  \\
-\sin \theta & \cos \theta
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
x_1 \\
x_2
\end{pmatrix}
```

とする。これは，回転している系からある点を見ると，系とは逆向きに点が回転するためです。 $\theta $ は $t$ の関数です。右辺の行列を$O(-\theta)$とする。$(y)$ から $(x)$ へは，$O(\theta)$で変換できます。行列$O$の成分は，クロネッカーのデルタとレヴィチビタの記号を使って

$$ O_{ij}(\theta) = \cos \theta \delta _{ij} - \sin \theta \epsilon _{ij} $$

と書くことができます。これを $\theta$ で微分すると，

<!--
$$
 \dd(/\theta) O _{ij} = \cos (\theta + \pi/2) \delta _{ij} -\sin (\theta +\pi/2) \epsilon _{ij} = O_{ij} (\theta + \pi/2) 
$$
-->

```math
 \dd(/\theta) O _{ij} = \cos (\theta + \pi/2) \delta _{ij} -\sin (\theta +\pi/2) \epsilon _{ij} = O_{ij} (\theta + \pi/2)
```

となります。


$(x)$ 系は慣性系だから，運動の第2法則が成り立ちます（$(x)$，$(y)$ の関係式だけではどちらが慣性系か判断はつきません。）。

$$
m \ddot x_i = F_i
$$

<!--成分計算
$$
\begin{eqnarray}
 \dot x_i &=& \frac{d}{dt} \left[ (\cos \theta \delta _{ij} + \sin \theta \epsilon _{ij}) y_j \right]
\\
&=& \dot \theta (-\sin \theta \delta _{ij} + \cos \theta \epsilon _{ij}) y_j
    + (\cos \theta \delta _{ij} + \sin \theta \epsilon _{ij}) \dot y_j
\end{eqnarray}
$$
-->

まず，座標を時間で1回の微分します。

<!--行列計算
$$
\begin{eqnarray}
 \dot x_i 
&=& 
\frac{d}{dt} \left[ O_{ij}(\theta) y_j \right]
\\
&=& \dot \theta O_{ij}(\theta + \pi /2) y_j
    + O_{ij}(\theta) \dot y_j
\end{eqnarray}
$$
-->

```math
\begin{eqnarray}
 \dot x_i 
&=& 
\frac{d}{dt} \left[ O_{ij}(\theta) y_j \right]
\\
&=& \dot \theta O_{ij}(\theta + \pi /2) y_j
    + O_{ij}(\theta) \dot y_j
\end{eqnarray}
```

となります。ここでは行列が微分されることに注意しましょう。

時間の2階の微分は

<!--
$$
\begin{eqnarray}
 \ddot x_i &=& \dd(/t) \left[ \dot \theta O_{ij}(\theta + \pi /2) y_j
    + O_{ij}(\theta) \dot y_j \right]
\\
&=& (\ddot \theta O_{ij}(\theta + \pi /2) y_j + \dot \theta ^2 O_{ij}(\theta + \pi ) y_j
+ \dot \theta O_{ij}(\theta + \pi /2) \dot y_j)
\\
& & + \dot \theta O_{ij}(\theta + \pi /2) \dot y_j + O_{ij}(\theta) \ddot y_j
\\
&=& O_{ij}(\theta + \pi /2) (\ddot \theta y_j +2 \dot \theta \dot y_j)
+ O_{ij}(\theta) (- \dot \theta ^2 y_j + \ddot y_j)
\end{eqnarray}
$$

-->

```math
\begin{eqnarray}
 \ddot x_i &=& \dd(/t) \left[ \dot \theta O_{ij}(\theta + \pi /2) y_j
    + O_{ij}(\theta) \dot y_j \right]
\\
&=& (\ddot \theta O_{ij}(\theta + \pi /2) y_j + \dot \theta ^2 O_{ij}(\theta + \pi ) y_j
+ \dot \theta O_{ij}(\theta + \pi /2) \dot y_j)
\\
& & + \dot \theta O_{ij}(\theta + \pi /2) \dot y_j + O_{ij}(\theta) \ddot y_j
\\
&=& O_{ij}(\theta + \pi /2) (\ddot \theta y_j +2 \dot \theta \dot y_j)
+ O_{ij}(\theta) (- \dot \theta ^2 y_j + \ddot y_j)
\end{eqnarray}
```





となります。これを運動方程式に代入することで $(y)$ に関する方程式を得ることができます。次のようにするとうまく整理できる。
$$
\begin{eqnarray}
O_{ik}(-\theta) \ddot x_k
&=& O_{ik}(\pi /2) (\ddot \theta y_k + 2 \dot \theta \dot y_k)
+ (- \dot \theta ^2 y_i + \ddot y_i)
\end{eqnarray}
$$

$O_ij(\pi/2) = - \epsilon_{ij}$だから，これを慣性系の運動方程式に代入して，

$$
\begin{eqnarray}
O_{ik}(-\theta) F_{k} 
&=& -\epsilon_{ik} (\ddot \theta y_k + 2 \dot \theta \dot y_k)
+ (- \dot \theta ^2 y_i + \ddot y_i)
\end{eqnarray}
$$
$O(-\theta) F$は回転系ではかった力の成分となります。これを$\tilde F$と書くことにしましょう。回転系で観測する加速度は$\ddot y_i$です。運動方程式を「加速度=」の形にすると
$$
\ddot y_i = \tilde F_i + \epsilon_{ik}( \ddot \theta y_k + 2\dot \theta \dot y_k) + \dot \theta ^2 y_i
$$

となります。$\dot \theta =: \omega$ ，$\bm \omega =(0,0,\omega)$と3次元ベクトルで表現したときの

$$
\ddot{\bm r}  = 
\bm f + \dot{\omega } \times \bm r - 2\bm \omega \times \bm v - \bm \omega \times (\bm \omega \times \bm r)
$$

に一致する式です。



特に$\omega$が定数の場合は，

<!--
$$
\ddot y_1 = \tilde F_1 + 2\omega v_2 + \dot \theta ^2 y_1
\\
\ddot y_2 = \tilde F_2 - 2\omega v_1 + \dot \theta ^2 y_2
$$
-->

```math
\ddot y_1 = \tilde F_1 + 2\omega v_2 + \dot \theta ^2 y_1
\\
\ddot y_2 = \tilde F_2 - 2\omega v_1 + \dot \theta ^2 y_2
```



第2項はコリオリ力，第3項は遠心力を表します。遠心力は，回転の中心から外側の方向にはたきます。コリオリ力は，進行方向に対して，右方向の力がはたらきます。たとえば$(v_1,v_2)=(1,0)$とします。$1$方向では，この力はゼロになり，2方向では $-2\omega$ だから進行方向に対して右向きになっています。