解説文ゼロで学ぶ行列の種類一覧

## 正方行列

例1.

```math
\begin{pmatrix}
  0 & 0 & 0 \\
  0 & 0 & 0 \\
  0 & 0 & 0 \\
\end{pmatrix}
```

例2.

```math
\begin{pmatrix}
  1 & 2 & 3 & 4 \\
  4 & 3 & 2 & 1 \\
  4 & -4 & 4 & 4 \\
  1 & 1 & 1 & -1 \\
\end{pmatrix}
```

例3.

```math
\begin{pmatrix}
  a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
  a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\
  \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
  a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \\
\end{pmatrix}
```

[Wikipedia - 正方行列](https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%AD%A3%E6%96%B9%E8%A1%8C%E5%88%97)

## 零行列 

例1.

```math
\begin{pmatrix}
  0 & 0 & 0 & 0 \\
  0 & 0 & 0 & 0 \\
  0 & 0 & 0 & 0 \\
\end{pmatrix}
```

例2.

```math
\begin{pmatrix}
  0 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\
  0 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\
  \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
  0 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\
\end{pmatrix}
```

[Wikipedia - 零行列](https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%9B%B6%E8%A1%8C%E5%88%97)

## 対角行列

例1.

```math
\begin{pmatrix}
  1 & 0 & 0 \\
  0 & 2 & 0 \\
  0 & 0 & 3 \\
\end{pmatrix}
```

例2.

```math
\begin{pmatrix}
  0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
  0 & 3 & 0 & 0 & 0 \\
  0 & 0 & -2 & 0 & 0 \\
  0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
  0 & 0 & 0 & 0 & -1 \\
\end{pmatrix}
```

例3.

```math
\begin{pmatrix}
  c_{1} & 0 & 0 & 0 \\
  0 & c_{2} & 0 & 0 \\
  0 & 0 & \ddots & 0 \\
  0 & 0 & 0 & c_{n} \\
\end{pmatrix}
```

誤っている例1.

```math
{\color{red}{

\begin{pmatrix}
  0 & 0 & 1 \\
  0 & 2 & 0 \\
  3 & 0 & 0 \\
\end{pmatrix}

}}

```

誤っている例2.

```math
{\color{red}{

\begin{pmatrix}
  1 & 0 & 0 & 0 \\
  0 & 2 & 0 & 0 \\
  0 & 0 & 3 & 0 \\
\end{pmatrix}

}}

```

[Wikipedia - 対角行列](https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%AF%BE%E8%A7%92%E8%A1%8C%E5%88%97)

## 三角行列

下三角行列の例1.

```math
\begin{pmatrix}
  4 & 0 & 0 \\
  2 & 3 & 0 \\
  1 & 3 & 4 \\
\end{pmatrix}
```

下三角行列の例2.

```math
\begin{pmatrix}
  a_{11} & 0 & 0 & 0 & 0 \\
  a_{21} & a_{22} & 0 & 0 & 0 \\
  a_{31} & a_{32} & \ddots & 0 & 0 \\
  \vdots & \vdots & \ddots & \ddots & 0 \\
  a_{n1} & a_{n2} & \dots & \cdots & a_{nn} \\
\end{pmatrix}
```

下三角行列の例3.

```math
\begin{pmatrix}
  1 & 0 & 0 & 0 \\
  0 & 4 & 0 & 0 \\
  0 & 3 & 2 & 0 \\
  1 & 3 & 0 & 5 \\
\end{pmatrix}
```

上三角行列の例1.

```math
\begin{pmatrix}
  a_{11} & a_{12} & a_{13} & \cdots & a_{1n} \\
  0 & a_{22} & a_{23} & \cdots & a_{2n} \\
  0 & 0 & \ddots & \ddots & \vdots \\
  0 & 0 & 0 & \ddots & \vdots \\
  0 & 0 & 0 & 0 & a_{nn} \\
\end{pmatrix}
```


[Wikipedia - 三角行列](https://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%B8%89%E8%A7%92%E8%A1%8C%E5%88%97)

## ハンケル行列

例1.

```math
\begin{pmatrix}
  1 & 3 & 4 & 5 \\
  3 & 4 & 5 & 7 \\
  4 & 5 & 7 & 8 \\
  5 & 7 & 8 & 6 \\
\end{pmatrix}
```

例2.

```math
\begin{pmatrix}
  a & b & c & d & e \\
  b & c & d & e & h \\
  c & d & e & h & g \\
  d & e & h & g & h \\
  e & h & g & h & i \\
\end{pmatrix}
```

誤った例1.

```math
\color{red}{

\begin{pmatrix}
  e & d & c & b & a \\
  f & e & d & c & b \\
  g & f & e & d & c \\
  h & g & f & e & d \\
  i & h & g & f & e \\
\end{pmatrix}

}
```


[Wikipedia - ハンケル行列](https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%8F%E3%83%B3%E3%82%B1%E3%83%AB%E8%A1%8C%E5%88%97)


## 転置行列

例1.

```math
A = \begin{pmatrix}
  1 & 2 & 3 \\
  4 & 5 & 6 \\
  7 & 8 & 9 \\
\end{pmatrix}

→

A^{\mathrm{T}} = \begin{pmatrix}
  1 & 4 & 7 \\
  2 & 5 & 8 \\
  3 & 6 & 9 \\
\end{pmatrix}
```

例2.

```math
A = \begin{pmatrix}
  a & b & c \\
  d & e & f \\
\end{pmatrix}

→

A^{\mathrm{T}} = \begin{pmatrix}
  a & d \\
  b & e \\
  c & f \\
\end{pmatrix}
```

参考画像.

| ![](https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/e4/Matrix_transpose.gif/200px-Matrix_transpose.gif) |
| --- |

[Wikipedia - 転置行列](https://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%BB%A2%E7%BD%AE%E8%A1%8C%E5%88%97)

## 複素共役行列

例1.

```math
A = \begin{pmatrix}
  1 & -1 - \mathrm{i} & \\
  1 + \mathrm{i} & \mathrm{i} & \\
\end{pmatrix}

→

\overline{A} = \begin{pmatrix}
  1 & -1 + \mathrm{i} & \\
  1 - \mathrm{i} & -\mathrm{i} & \\
\end{pmatrix}
```

例2.

```math
A = \begin{pmatrix}
  a_{11} + b_{11}\mathrm{i} & a_{12} + b_{12}\mathrm{i} \\
  a_{21} + b_{21}\mathrm{i} & a_{22} + b_{22}\mathrm{i} \\
  a_{31} + b_{31}\mathrm{i} & a_{32} + b_{32}\mathrm{i} \\
\end{pmatrix}

→

\overline{A} = \begin{pmatrix}
  a_{11} - b_{11}\mathrm{i} & a_{12} - b_{12}\mathrm{i} \\
  a_{21} - b_{21}\mathrm{i} & a_{22} - b_{22}\mathrm{i} \\
  a_{31} - b_{31}\mathrm{i} & a_{32} - b_{32}\mathrm{i} \\
\end{pmatrix}
```


[(参考) Wikipedia - 複素共役](https://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%A4%87%E7%B4%A0%E5%85%B1%E5%BD%B9)

## 随伴行列

例1.

```math
A = \begin{pmatrix}
  1 & -1 - \mathrm{i} & \\
  1 + \mathrm{i} & \mathrm{i} & \\
\end{pmatrix}

→

A^{\dagger} = \overline{A}^{\mathrm{T}} = \begin{pmatrix}
  1 & 1 - \mathrm{i} & \\
  -1 + \mathrm{i} & -\mathrm{i} & \\
\end{pmatrix}
```

例2.


```math
A = \begin{pmatrix}
  a_{11} + b_{11}\mathrm{i} & \cdots & a_{1n} + b_{1n}\mathrm{i} & \\
  a_{21} + b_{21}\mathrm{i} & \cdots & a_{2n} + b_{2n}\mathrm{i} & \\
  a_{31} + b_{31}\mathrm{i} & \cdots & a_{3n} + b_{3n}\mathrm{i} & \\
\end{pmatrix}

→

A^{\dagger} = \overline{A}^{\mathrm{T}} = \begin{pmatrix}
  a_{11} - b_{11}\mathrm{i} & a_{21} - b_{21}\mathrm{i} & a_{31} - b_{31}\mathrm{i} \\
  \vdots & \vdots & \vdots \\
  a_{1n} - b_{1n}\mathrm{i} & a_{2n} - b_{2n}\mathrm{i} & a_{3n} - b_{3n}\mathrm{i} \\
\end{pmatrix}
```


[Wikipedia - 随伴行列](https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%9A%8F%E4%BC%B4%E8%A1%8C%E5%88%97)


## 対称行列

例1.

```math
A = A^{\mathrm{T}}
```

例2.

```math
A = \begin{pmatrix}
  1 & 7 & 3 \\
  7 & 4 & -5 \\
  3 & -5 & 6 \\
\end{pmatrix}
```


誤った例1.

```math
\color{red}{

\begin{pmatrix}
  6 & 7 & 3 \\
  7 & 4 & -5 \\
  1 & -5 & 6 \\
\end{pmatrix}

}
```


[Wikipedia - 対称行列](https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%AF%BE%E7%A7%B0%E8%A1%8C%E5%88%97)


## エルミート行列

例1.

```math
A = A^{\mathrm{\dagger}}
```

例2.

```math
A = \begin{pmatrix}
  3 & -3\mathrm{i} & 1 + \mathrm{i} & 2 - 4\mathrm{i} \\
  3\mathrm{i} & -3 & -5 + \mathrm{i} & 4\mathrm{i} \\
  1 - \mathrm{i} & -5 - \mathrm{i} & 0 & 1 + \mathrm{i} \\
  2 + 4\mathrm{i} & -4\mathrm{i} & 1 - \mathrm{i} & 4 \\
\end{pmatrix}
```



[Wikipedia - エルミート行列](https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%A8%E3%83%AB%E3%83%9F%E3%83%BC%E3%83%88%E8%A1%8C%E5%88%97)



## 正規行列

例1.

```math
A^{\mathrm{\dagger}}A = AA^{\mathrm{\dagger}}
```


例2.

```math
A = \begin{pmatrix}
  1 & 2 \\
  2 & 1 \\
\end{pmatrix}
```

例3.

```math
A = \begin{pmatrix}
  0 & 2 & 0 \\
  0 & 0 & 2 \\
  2 & 0 & 0 \\
\end{pmatrix}
```




[Wikipedia - 正規行列](https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%AD%A3%E8%A6%8F%E8%A1%8C%E5%88%97)
[正規行列の性質](https://risalc.info/src/normal-matrix.html)

## 単位行列

例1.

```math
\begin{pmatrix}
  1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
  0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\
  0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\
  0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\
  0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\
\end{pmatrix}
```

例2.

```math
\begin{pmatrix}
  1 & 0 & \cdots & 0 \\
  0 & 1 & \cdots & 0 \\
  \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
  0 & 0 & \cdots & 1 \\
\end{pmatrix}
```

誤った例1.

```math
\color{red}{

\begin{pmatrix}
  0 & 0 & 0 & 1 \\
  0 & 0 & 1 & 0 \\
  0 & 1 & 0 & 0 \\
  1 & 0 & 0 & 0 \\
\end{pmatrix}

}
```


[Wikipedia - 単位行列](https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%8D%98%E4%BD%8D%E8%A1%8C%E5%88%97)

## 正則行列、逆行列

例1.

```math
AB = I = BA
```
* $I$は[単位行列](#単位行列)
* $A$は$B$の正則行列、$B$は$A$の逆行列
* $B$は$A$の正則行列、$A$は$B$の逆行列

例2.

```math
AA^{-1} = I = A^{-1}A
```

* $A^{-1}$は$A$の逆行列

例3.

```math
A = \begin{pmatrix}
  1 & 0 & 0 \\
  0 & 2 & 0 \\
  0 & 0 & -\frac{1}{5} \\
\end{pmatrix}

B = \begin{pmatrix}
  1 & 0 & 0 \\
  0 & \frac{1}{2} & 0 \\
  0 & 0 & -5 \\
\end{pmatrix}

\\

AB = \begin{pmatrix}
  1 & 0 & 0 \\
  0 & 1 & 0 \\
  0 & 0 & 1 \\
\end{pmatrix}
```

[Wikipedia - 正則行列](https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%AD%A3%E5%89%87%E8%A1%8C%E5%88%97)

## 直交行列

例1.

```math
M^\mathrm{T}M = MM^\mathrm{T} = I
```
* Iは[単位行列](#単位行列)
* Mが直行行列

例2.

```math
\begin{pmatrix}
  0 & 0 & 1 & 0 \\
  1 & 0 & 0 & 0 \\
  0 & 1 & 0 & 0 \\
  0 & 0 & 0 & 1 \\
\end{pmatrix}
```

[WolframAplha - 上記の計算](https://ja.wolframalpha.com/input/?i=%7B%7B0,0,1,0%7D,+%7B1,0,0,0%7D,+%7B0,1,0,0%7D,+%7B0,0,0,1%7D%7D+%7B%7B0,1,0,0%7D,+%7B0,0,1,0%7D,+%7B1,0,0,0%7D,+%7B0,0,0,1%7D%7D)

例3.

```math
\begin{pmatrix}
  \cos\theta & -\sin\theta \\
  \sin\theta & \cos\theta \\
\end{pmatrix}
```


[Wikipedia - 直交行列](https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%9B%B4%E4%BA%A4%E8%A1%8C%E5%88%97)


## ユニタリ行列

例1.

```math
U^\mathrm{\dagger}U = UU^\mathrm{\dagger} = I
```

* $I$は単位行列
* $U$がユニタリ行列

例2.

```math
\begin{pmatrix}
  \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{i}{\sqrt{2}} \\
  \frac{i}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \\
\end{pmatrix}
```

[WolframAplha - 上記の計算](https://ja.wolframalpha.com/input/?i=%7B%7B%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Csqrt%7B2%7D%7D,+%5Cfrac%7Bi%7D%7B%5Csqrt%7B2%7D%7D%7D,+%7B%5Cfrac%7Bi%7D%7B%5Csqrt%7B2%7D%7D,+%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Csqrt%7B2%7D%7D%7D%7D+%7B%7B%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Csqrt%7B2%7D%7D,+-%5Cfrac%7Bi%7D%7B%5Csqrt%7B2%7D%7D%7D,+%7B-%5Cfrac%7Bi%7D%7B%5Csqrt%7B2%7D%7D,+%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Csqrt%7B2%7D%7D%7D%7D)



[Wikipedia - ユニタリ行列](https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%A6%E3%83%8B%E3%82%BF%E3%83%AA%E8%A1%8C%E5%88%97)

## 射影行列


例1.

```math
H = X(X^TX)^{–1}X^T
```

[MathWorks - ハット行列とてこ比](https://jp.mathworks.com/help/stats/hat-matrix-and-leverage.html)