OpenCV(C++)チュートリアル：離散フーリエ変換

公式チュートリアルの[Discrete Fourier Transform](https://docs.opencv.org/3.4/d8/d01/tutorial_discrete_fourier_transform.html)の要約。
筆者の環境はdebian9。

##やること
入力画像を離散フーリエ変換して周波数画像を出力する
###何が嬉しいのか
入力画像の幾何的な構造についての情報が得られる。今回の例では文字列が傾いているとかがわかりやすくなる。
###理論
フーリエ変換は画像をサイン・コサインの要素に分解する。つまり空間ドメインから周波数ドメインへ変換する。フーリエ変換のアイデアは、いかなる関数も無限のsin,cos関数の和で近似できるというもの。
画像のフーリエ変換は次式で表される。

```math
F(k,l)= \sum_{i=0}^{N−1}\sum_{j=0}^{N−1}f(i,j)e^{−i2π(\frac{ki}{N}+\frac{lj}{N})}
```

```math
e^{ix}=cosx+isinx
```

$f$は空間ドメインの画素値、$F$はその周波数ドメイン。結果は複素数になる。実数部、虚数部、絶対値、位相それぞれで画像を作れるが、ほしい情報をもっているのは絶対値(magnitude)画像のみ。

ピクセルの値は離散値なので離散フーリエ変換(Discrete Fourier Transform (DFT))を使う。グレースケール画像で行う。

##コード

```cpp:dft.cpp
#include "opencv2/core.hpp"
#include "opencv2/imgproc.hpp"
#include "opencv2/imgcodecs.hpp"
#include "opencv2/highgui.hpp"
#include <iostream>
using namespace cv;
using namespace std;
static void help(void)
{
    cout << endl
        <<  "This program demonstrated the use of the discrete Fourier transform (DFT). " << endl
        <<  "The dft of an image is taken and it's power spectrum is displayed."          << endl
        <<  "Usage:"                                                                      << endl
        <<  "./discrete_fourier_transform [image_name -- default ../data/lena.jpg]"       << endl;
}
int main(int argc, char ** argv)
{
    help();
    const char* filename = argc >=2 ? argv[1] : "../data/lena.jpg";
    Mat I = imread(filename, IMREAD_GRAYSCALE);
    if( I.empty()){
        cout << "Error opening image" << endl;
        return -1;
    }
    Mat padded;
    // 入力画像をDFTに最適な大きさに広げる。画像サイズが2,3,5の倍数のときに高速になる
    int m = getOptimalDFTSize( I.rows );
    int n = getOptimalDFTSize( I.cols ); 
    // 入力画像を中央に置き、周囲は0で埋める
    copyMakeBorder(I, padded, 0, m - I.rows, 0, n - I.cols, BORDER_CONSTANT, Scalar::all(0));
    //dtfの結果は複素数（１要素につき２つ値がある）であり、また値の表現範囲が広い。
    //そのためfloatと複素数を保持するもので2枚作る
    Mat planes[] = {Mat_<float>(padded), Mat::zeros(padded.size(), CV_32F)};
    Mat complexI;
    // 2枚の画像を、2チャネルを持った1枚にする
    merge(planes, 2, complexI);         
    // complexIにdftを適用し、complexIに結果を戻す
    dft(complexI, complexI);            
    
    // 絶対値を計算し、logスケールにする
    // => log(1 + sqrt(Re(DFT(I))^2 + Im(DFT(I))^2))
    split(complexI, planes);                   // planes[0] = Re(DFT(I), planes[1] = Im(DFT(I))
    magnitude(planes[0], planes[1], planes[0]);// planes[0] = magnitude
    Mat magI = planes[0];
    magI += Scalar::all(1);
    // 結果の値は大きすぎるものと小さすぎるものが混じっているので、logを適用して抑制する                  
    log(magI, magI);
    // 行・列が奇数の場合用。クロップする
    magI = magI(Rect(0, 0, magI.cols & -2, magI.rows & -2));
    // 画像の中央に原点が来るように、象限を入れ替える(元のままだと画像の中心部分が４つ角の方向を向いているらしい？)
    int cx = magI.cols/2;
    int cy = magI.rows/2;
    Mat q0(magI, Rect(0, 0, cx, cy));   // 左上（第二象限）
    Mat q1(magI, Rect(cx, 0, cx, cy));  // 右上（第一象限）
    Mat q2(magI, Rect(0, cy, cx, cy));  // 左下（第三象限）
    Mat q3(magI, Rect(cx, cy, cx, cy)); // 右下（大四象限）
    Mat tmp;                           
    // 入れ替え(左上と右下)
    q0.copyTo(tmp);
    q3.copyTo(q0);
    tmp.copyTo(q3);
    q1.copyTo(tmp);                    
    // 右上と左下
    q2.copyTo(q1);
    tmp.copyTo(q2);
    // 見ることができる値(float[0,1])に変換
    normalize(magI, magI, 0, 1, NORM_MINMAX); 
    
    //表示     
    imshow("Input Image"       , I   );
    imshow("spectrum magnitude", magI);
    waitKey();
    return 0;
}

```

###コンパイル
```
g++ dft.cpp -I/usr/local/include/opencv2 -I/usr/local/include/opencv -L/usr/local/lib -lopencv_core -lopencv_imgcodecs -lopencv_highgui
```

##結果
次のような感じになる

![imageTextN.png](https://qiita-image-store.s3.amazonaws.com/0/296108/94987da3-9587-05b8-b015-97210af9e7f8.png)
入力
[![水平画像](https://docs.opencv.org/3.4/result_normal.jpg "水平")](https://docs.opencv.org/3.4/result_normal.jpg)
結果

---

![imageTextR.png](https://qiita-image-store.s3.amazonaws.com/0/296108/01302ce8-b2a6-e566-2cc8-8cc2bcd37f13.png)
入力
[![回転画像](https://docs.opencv.org/3.4/result_rotated.jpg "回転")](https://docs.opencv.org/3.4/result_rotated.jpg)
結果