ベクトル（高校数学）（テスト投稿）

```math
\def\unicm{\mathrm{cm}}
\def\fraction(#1/#2){\frac{#1}{#2}}
```

ベクトルの内積

[定義]

```math
\vec a \cdot \vec b := |\vec a||\vec b| \cos \theta
```

どこまでできるか

```math
\vec a \cdot (\vec b + \vec c ) = \vec a \cdot \vec b + \vec a \cdot \vec c
```

の成立を確かめたい。図のように$\vec a$と$\vec b$の成す角を$\beta$，$\vec a$と$\vec c$の成す角を$\gamma$とする。

![undefined](https://www.evernote.com/shard/s225/sh/50b02681-d8d4-4bce-a934-8ab838b5469d/323e27e9502c7583/res/203c4fcb-d77a-4f95-b0d5-17a268863e0b/%E5%86%85%E7%A9%8D%E5%88%86%E9%85%8D%E6%B3%95%E5%89%87.svg)


$\vec b$と$\vec c$の成す角は$\gamma - \beta$。$\vec b$と$\vec c$がつくる平行四辺形のもう一つの角は$\pi - (\gamma - \beta)$となる。

三角形の余弦定理から

```math
|\vec c + \vec b |^2 = c^2 + b^2 - 2cb \cos (\pi - (\gamma - \beta))
\\
=
c^2 + b^2 + 2cb \cos (\gamma - \beta)
```

$|\vec c| = c$，$|\vec b| = b$とした。

ここで$\vec c + \vec b$と$\vec b$の成す角を$\delta$とすると，正弦定理と余弦定理から

```math
\sin \delta = \frac{c}{|\vec c + \vec b|} \sin (\pi - (\gamma -\beta)) = \frac{c}{|\vec c + \vec b|} \sin (\gamma -\beta)
```

```math
\begin{eqnarray}
\cos \delta 
&=& \frac{b^2 + |\vec c + \vec b|^2 - c^2}{2b|\vec c + \vec b|}
\\
&=& \frac{b + c \cos (\gamma - \beta)}{|\vec c + \vec b|}
\end{eqnarray}
```

を得る。$\vec a$と$\vec c + \vec b$の内積を計算しよう。

```math
\begin{eqnarray}
\vec a \cdot (\vec c + \vec b) &=&
a |\vec c + \vec b| \cos (\delta + \beta )
\\
&=& a |\vec c + \vec b| (\cos \delta \cos \beta - \sin \delta \sin \beta )
\\
&=& a (b + c \cos (\gamma - \beta)) \cos \beta - c \sin (\gamma - \beta) \sin \beta 
\\
&=& ab \cos \beta + ac \cos \gamma
\end{eqnarray}
```

最後の変形で

```math
\cos (\gamma - \beta) \cos \beta - \sin (\gamma -\beta) \sin \beta = \cos \gamma
```

に注意する。


ベクトルの成分表示

```math
\vec a = (a_1 , a_2)\\
\vec b = (b_1 , b_2)
```

を用いて内積を表す。

$x$軸と$\vec a$の成す角を$\alpha $，$x$軸と$\vec b$の成す角を$\beta $とする（成す角は，$x$軸から反時計回りにとる）。

```math
\begin{eqnarray}
\cos \theta 
&=& \cos (\alpha - \beta)
\\
&=& \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta
\\
&=& \fraction(a_1/{|\vec a|})\fraction(b_1/{|\vec b|}) + \fraction(a_2/{|\vec a|})\fraction(b_2/{|\vec b|})
\\
&=& \fraction(1/{|\vec a||\vec b|})(a_1 b_1 + a_2 b_2)
\end{eqnarray}
```

```math
\vec a \cdot \vec b = a_1 b_1 + a_2 b_2 = \sum_{i=1}^2 a_i b_i
```

$\cos \theta$の部分を$\sin \theta$に変えた場合

```math
\begin{eqnarray}
\sin \theta 
&=& \sin (\alpha - \beta)
\\
&=& \sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta
\\
&=& \fraction(a_2/{|\vec a|})\fraction(b_1/{|\vec b|}) - \fraction(a_1/{|\vec a|})\fraction(b_2/{|\vec b|})
\\
&=& \fraction(1/{|\vec a||\vec b|})(b_1 a_2 - b_2 a_1)
\end{eqnarray}
```

直行行列$U_{ij}$を

```math
U^{-1}_{ij} = U_{ji}
```

と定義する。ベクトルa_iとベクトルb_iを直行行列で変換する

```math 
a_i \to U_{ij}a_j, \quad b_i \to U_{ij}b_j
```

```math
U_{ij} a_j U_{ik}a_k
=
a_j U_{ij}U_{ik}a_k
\\
=
a_j U^{-1}_{ji}U_{ik}a_k
\\
=
a_j \delta _{jk}a_k
\\
=
a_j a_j
```

つまり，同じ内積の計算によって，同じ値を得る。内積を計算するにあたり，$U$で変換してから計算してもよい。

```math
a_ib_j\epsilon _{ijk}
```

```math
(U_{il}a_l)(U_{jm} b_m) \epsilon _{ijk}
=
a_l b_m U_{il}U_{jm} \epsilon _{ijk}
=
a_l b_m U^{-1}_{li} U^{-1}_{mj} \epsilon _{ijk}
```

$3\times 3$正方行列$A$の行列式が

```math
\det A = \epsilon _{ijk} A_{1i}A_{2j}A_{3k}
\\
\epsilon _{ijk} \det A = \epsilon _{lmn} A_{il} A_{jm} A_{kn}
```

とあらわされるから，直行行列の場合次の関係を得る。

```math
\begin{eqnarray}
\epsilon _{ijo} U_{ok}\det U &=&
\epsilon _{lmn} U_{il}U_{jm}U_{on} U_{ok}
\\
&=& \epsilon _{lmn} U_{il}U_{jm} U^{-1}_{no} U_{ok}
\\
&=& \epsilon _{lmk} U_{il}U_{jm}
\end{eqnarray}
```

```math
\epsilon _{ijo} U_{ok}\det U = \epsilon _{lmn} U_{il}U_{jm}U_{on} U_{ok}
\\
\epsilon _{ijo} U_{ok}\det U = \epsilon _{lmn} U_{il}U_{jm} U^{-1}_{no} U_{ok}
\\
\epsilon _{ijo} U_{ok}\det U = \epsilon _{lmk} U_{il}U_{jm}
```

```math
a_l b_m U^{-1}_{li} U^{-1}_{mj} \epsilon _{ijk}
=
a_l b_m  \epsilon_{lmn} U^{-1}_{nk} \det U^{-1} 
\\
= U_{kn} a_l b_m  \epsilon_{lmn}  \det U 
```

$\det U = \det U^{-1}$を忘れてはいけない。$\det U = \pm 1$の2通り考えられるが，$\det U = +1$と仮定しよう。このとき，

```math
(U_{il}a_l)(U_{jm} b_m) \epsilon _{ijk}
= U_{kn} ( a_l b_m  \epsilon_{lmn})
```

を得ることになる。つまり，計算結果を$U$によって変換しても，変換してからこの計算をしても同じ結果が得られることがわかる。

$\det U = -1$の場合は，ちょうど$-1$倍の結果になる。


ベクトル

```math
\vec a = (a_1 , a_2 , a_3)\\
\vec b = (b_1 , b_2 , b_3)
```

に対して

```math
U_{3j} a_{j} = 0, \quad 
U_{3j} b_{j} = 0
```

となる直行行列$U$を考える。

内積の値は，$U$による変換で値を変えない。一方で，平面での内積と2つのベクトルの成す角には関係があることがわかる。

$xy$平面内での内積は

```math
|\vec a||\vec b| \cos \theta 
=
\sum _{i=1}^2 (U_{ik}a_k )(U_{il}b_{il})
```

で計算可能。$|\vec a|$は$U$による変換で値が変化しない。

3次元のベクトルの内積と成す角には，平面のベクトルと同じ関係があることがわかる？

3次元のベクトル

```math
\vec a = (a_1 , a_2 , a_3)\\
\vec b = (b_1 , b_2 , b_3)
```

に対して内積を同じように定義できるのか

以下

```math
\vec a \cdot \vec b = a_i b_ i
```

の意味で使うことにする。

三角形の余弦定理

```math
 \cos \theta 
\\
= \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}
\\
= \frac{a^2 + b^2 - (a - b)\cdot (a -b)}{2ab}
\\
= \frac{2 \vec a \cdot \vec b}{2ab}
\\
= \frac{\vec a \cdot \vec b}{ab}
```