n段Fat Treeネットワークには、何台入る？何台のスイッチが必要？


日本語での需要ないかもですし、超一部のSIerにしか興味ある人はいないかも。

# 背景
HPCでは、ノード(ここではコンピュータ1台とします)間の通信速度を確保しないと、大規模になればなるほど所要のパフォーマンスが出せません。
スーパーコンピュータともなれば、どの計算機間にも同等の通信帯域が求められます。

InfiniBandでは、36ポートのスイッチが標準的に使われます。
36台間であれば、1台のスイッチを用意するだけで、同等の帯域がすべてのノード間で確保できます。
これ以上のノードを相互接続するにはどうしたらよいでしょうか。

ツリーネットワークであれば、遠いノード間では、集約される分、帯域が確保されなくなります。
そこで考えられたのがFatTreeネットワークです。

上に行くほど太くして相互接続して、上流と下流を同等の帯域を確保する方法です。
(ここでは、そのスイッチにつながるノードを下流、別のスイッチにつながるものを上流と呼びます。)



# InfiniBand
低レイテンシ、広帯域なインターコネクトです。（雑）


# 1段ファットツリー

一般化するために、ツリーでもないが、一応1から考えておきましょう。
36ポートが標準と書きましたが、一般化して$p$とおきます。以下は明らかです。

- スイッチのポート数 $p$
- 収容可能ノード数 $N_1 = p$
- 必要スイッチ数 $S_1 = 1$
- 必要ケーブル数 $C_1 = p$
- 最大収容時ノード数  $N_1^{max} = p$
- 最大収容時スイッチ台数 $S_1^{max} = 1$
- 最大収容時ケーブル数 $C_1^{max} = p $
- 最大収容時効率 $E_1 = N_1/S_1 = p$

| $p$ | $N_1^{max}$ | $S_1^{max}$ | $C_1^{max}$ |$E_1^{max}$ |
|----:|-----:|----:|----:|----:|
| 36 | 36 |  1 |  36 | 36|

# 2段ファットツリー

- 上段スイッチ(=1段ファットツリー)の数 $T_1$
とします。

二段ファットツリーでは、2段スイッチは1段スイッチの半分だけの数を用意します。
その間をケーブル接続する必要があるので、自然数であるべきです。

$\frac{p}{2T_1} \in \mathbb{N}$

そのため、場合によっては、36ポート全部活かせないこともありえます。

収容可能なノード数は、1段スイッチの下流数、2段スイッチの下流数と同じとなります。1段スイッチは2段スイッチの半分の個数であるため、$pT_1$となります。

- 収容可能ノード数 $N_2 = pT_1$

また、1段スイッチの数が$T_1$で、2段スイッチは$2T_1$となりますので、必要なスイッチ数は、$3T_1$となります。

- 必要スイッチ数 $S_2 = 3T_1$

さらに、ケーブルは上流・下流それぞれにノード数の2倍必要なので、$2N_2$必要となります。

- 必要ケーブル数 $C_2 = 2pT_1$

たくさんノードを、少ないスイッチで実現できればよいわけです。全体で1台のスイッチあたりに、何台つなげるかを収容効率と考えることができそうです。

- 収容効率 $E_2 = N_2/S_2 = p/3$

| ポート数$p$ | 上段スイッチ$T_1$ | ノード数$N_2$ | スイッチ数$S_2$ | ケーブル数$C_2$ |効率$E_2$ |
|----:|-----:|----:|---:|---:|---:|
| 36 | 1 |  36 |  3 |   72 |12.0|
| 36 | 2 |  72 |  6 |  144 |12.0|
| 36 | 3 | 108 |  9 |  216 |12.0|
| 32 | 4 | 128 | 12 |  256 |10.7|
| 30 | 5 | 150 | 15 |  300 |10.0|
| 36 | 6 | 216 | 18 |  432 |12.0|
| 32 | 8 | 256 | 24 |  512 |10.7|
| 36 | 9 | 324 | 27 |  648 |12.0|
| 36 |18 | 648 | 54 | 1296 |12.0|

※$T_1=1$のときは、1段で良いので合理的には$T_1\geq2$となる。

- 最大収容時ノード数、$N_2^{max} = \frac{1}{2} p^2$
- 最大収容時スイッチ台数、$S_2^{max} = \frac{3}{2} p$
- 最大収容時ケーブル数、$C_2^{max} = p^2$
- 最大収容時効率、$E_2^{max} = \frac{p}{3}$


# 3段ファットツリー

2段ファットツリーを上流スイッチとみなします。

- スイッチのポート数 $p$
- 2段FTの上段スイッチの数 $T_1$ 
- 2段FT数 $T_2$

 2段FTの上段スイッチに対して、$N_2=pT_1$であり、その数が$T_2$あるので

- 収容可能ノード数 $N_3 = pT_1T_2$

となり、1つの2段FT数で、$S_2=3T_1$であり、2段FTが$T_2$あるので、$3T_1T_2$。さらに、もう一段ある分が$2/3$倍にあたるので、

- 必要スイッチ数 $S_3 = 5T_1T_2$

となり、1つの2段FT数で、$C_2=2pT_1$であり、2段FTが$T_2$あるので、$2pT_1T_2$。さらに、もう一段ある分で$pT_1T_2$分必要なので、

- 必要ケーブル数 $C_3 = 3pT_1T_2$

となります。

| ポート数$p$ | 二段FTの上段$T_1$ | 二段FT数$T_2$ | ノード数$N_3$ | スイッチ数$S_3$ | ケーブル数$C_3$ |効率$E_3$ |
|----:|-----:|----:|---:|---:|---:|---:|
| 36 | 18 |  2 | 1296 | 180 | 3888 |7.2|
| 36 | 18 | 18 |11664 |1620 | 34992 |7.2|

$T_1$,$T_2$は$p/2$が最大なので、以下のようになります。
- 最大収容時ノード数、$N_3^{max} = \frac{1}{4} p^3$
- 最大収容時スイッチ台数、$S_3^{max} = \frac{5}{4}p^2$
- 最大収容時ケーブル数、$C_3^{max} = \frac{3}{4}p^3$



# n段ファットツリー

$n-1$段ファットツリーを上流スイッチとみなすことで、多段を考えることができます。

3段のときにおける、2段スイッチの上段スイッチ数(=$T_1$)、2段FT数(=$T_2$)のように考えることで、
総乗で書くことができそうです。

$\forall T \leq \frac{p}{2} \cap \forall \frac{T}{2p} \in \mathbb{N}$ 

- スイッチのポート数 $p$
- 収容可能ノード数 $N_n = p\prod_{1}^{n-1}{T_k}$
- 必要スイッチ数 $S_n = (2n-1)\prod_{1}^{n-1}{T_k}$
- 必要ケーブル数 $C_n = np\prod_{1}^{n-1}{T_k}$


$\forall T \leq \frac{p}{2}$であることから、

- 最大収容時ノード数　$N_{n}^{max} = \frac{1}{2^{n-1}} p^n$
- 最大収容時スイッチ台数　$S_{n}^{max} = \frac{2n-1}{2^{n-1}}p^{n-1}$
- 最大収容時ケーブル数　$C_{n}^{max} = \frac{n}{2^{n-1}}p^n$
- 最大収容時利用効率　$E_{n}^{max} = \frac{p}{2n-1}$

となる。


36ポートスイッチ利用したとき、それぞれの段数での最大収容数であるとき、以下の表の通りとなる。

| 段数$n$ | ポート数$p$ | ノード数$N_n$ | スイッチ数$S_n$ | ケーブル数$C_n$ |効率$E_n$ |
|-------:|-----------:|-------------:|--------------:|--------------:|--------:|
| 1 | 36 |         36 |         1 |         36 | $\frac{36}{1}$|
| 2 | 36 |        648 |        54 |       1296 | $\frac{36}{3}$|
| 3 | 36 |      11664 |      1620 |      34992 | $\frac{36}{5}$|
| 4 | 36 |     209952 |     40824 |     839808 | $\frac{36}{7}$|
| 5 | 36 |    3779316 |    944784 |   18895680 | $\frac{36}{9}$|
| 6 | 36 |   68024448 |  20785248 |  408146688 | $\frac{36}{11}$|
| 7 | 36 | 1224440064 | 442158912 | 8571080448 | $\frac{36}{13}$|