ポアソン分布

# ポアソン分布 (Poisson Distribution)
二項分布 $Bi(n, p)$ ($x=0,1,\dots,n$) において、$p=\lambda/n$ ($\lambda \gt 0$) で $\lambda$ を一定に保ったまま $n\rightarrow\infty$ の極限を取ると、発生回数を表す確率変数 $X$ はポアソン分布 $Po(\lambda)$ に従い、確率質量関数は、以下の式で与えられる。

```math
\begin{align}
f(x) &= P(X=x) \\
&= \frac{e^{-\lambda} \lambda^x}{x!}
\end{align} \tag{1}
```

ただし、$x=0,1,2,\cdots$.

期待値、分散、確率母関数、モーメント母関数は、以下となる。

```math
\begin{align}
E(X) &= \lambda\\
V(X) &= \lambda\\
G_X(t) &= \exp(\lambda(t-1))\\
M_X(t) &= \exp(\lambda(e^t-1))\\
\end{align}
```
また、ポアソン分布は再生性を持ち、確率変数 $X_1$, $X_2$ がそれぞれ互いに独立にポアソン分布 $Po(\lambda_1)$, $Po(\lambda_2)$ に従う場合、確率変数の和 $X_1 + X_2$ もポアソン分布 $Po(\lambda_1+\lambda_2)$ に従う。

# ポアソンの小数の法則
二項分布 $Bi(n,p)$ において、$p=\lambda/n$ とすると、二項分布の確率質量関数は以下のように表される。

```math
\begin{align}
{}_nC_x\left(\frac{\lambda}{n}\right)^x\left(1-\frac{\lambda}{n}\right)^{n-x} &= \frac{n!}{x!(n-x)!}\left(\frac{\lambda}{n}\right)^x\left(1-\frac{\lambda}{n}\right)^{n-x} \\
&= \frac{n(n-1)\dots(n-x+1)}{x!}\left(\frac{\lambda}{n}\right)^x\left(1-\frac{\lambda}{n}\right)^{n-x} \\
&= \frac{\lambda^x}{x!}\left(\frac{n}{n}\cdot\frac{n-1}{n}\cdots\frac{n-x+1}{n}\right)\left(1-\frac{\lambda}{n}\right)^{n}\left(1-\frac{\lambda}{n}\right)^{-x}
\end{align}
```

ここで、

```math
\begin{align}
\lim_{n\rightarrow\infty}\left(\frac{n}{n}\cdot\frac{n-1}{n}\cdots\frac{n-x+1}{n}\right)&=1\\
\lim_{n\rightarrow\infty}\left(1-\frac{\lambda}{n}\right)^{n} &= e^{-\lambda} \\
\lim_{n\rightarrow\infty}\left(1-\frac{\lambda}{n}\right)^{-x} &= 1
\end{align}
```

より、以下が導かれる。

```math
\lim_{n\rightarrow\infty}{}_nC_x\left(\frac{\lambda}{n}\right)^x\left(1-\frac{\lambda}{n}\right)^{n-x} = \frac{e^{-\lambda} \lambda^x}{x!}
```

これは、ポアソンの小数の法則 (Poisson's law of small numbers) と呼ばれる。

# 確率分布であることの確認
$g(x)=e^x$とすると、$e^x$ のマクローリン展開は以下のように表わされる。

```math
\begin{align}
e^x &= \sum_{n=0}^{\infty}\frac{g^{(n)}(0)}{n!}x^n \\
&= 1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\cdots \\
&= \sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!} \tag{2}
\end{align}
```

上式より、$\sum_{x=0}^{\infty} \lambda^x/x! = e^\lambda$ となる。従って、


```math
\begin{align}
\sum_{x=0}^{\infty}\frac{e^{-\lambda} \lambda^x}{x!} &= e^{-\lambda} \sum_{x=0}^{\infty}\frac{\lambda^x}{x!} \\
&= e^{-\lambda}e^{\lambda} \\
&= 1
\end{align}
```
となる。

# 期待値の導出
期待値は、$E(X)=\sum xf(x)$ より

```math
\begin{align}
E(X) &= \sum_{x=0}^{\infty}x\cdot\frac{e^{-\lambda}\lambda^x}{x!}
\end{align}
```
$x=0$ の場合、期待値の計算に寄与しないことから

```math
\begin{align}
E(X) &= \sum_{x=1}^{\infty}x\cdot\frac{e^{-\lambda}\lambda^x}{x!} \\
&= \lambda e^{-\lambda} \sum_{x=1}^{\infty}\frac{\lambda^{x-1}}{(x-1)!}
\end{align}
```

$y=x-1$ と置くと、$\sum_{y=0}^{\infty} \lambda^y/y! = e^\lambda$ より

```math
\begin{align}
E(X) &= \lambda e^{-\lambda} \sum_{y=0}^{\infty}\frac{\lambda^y}{y!} \\
&= \lambda e^{-\lambda} e^{\lambda} \\
&= \lambda
\end{align}
```

# 分散の導出
分散は、下式で表される。

```math
\begin{align}
V(X) &= E(X^2) - E(X)^2 \\
&= E(X(X-1)) + E(X) - E(X)^2 \tag{3}
\end{align}
```

$E(X(X-1))$ は、以下のように表される。

```math
\begin{align}
E(X(X-1)) &= \sum_{x=0}^{\infty}x(x-1)\frac{e^{-\lambda}\lambda^x}{x!}
\end{align}
```

$x=0, 1$ の場合、期待値の計算に寄与しないことから

```math
\begin{align}
E(X(X-1)) &= \sum_{x=2}^{\infty}x(x-1)\frac{e^{-\lambda}\lambda^x}{x!} \\
&= \lambda^2 e^{-\lambda} \sum_{x=2}^{\infty}\frac{\lambda^{x-2}}{(x-2)!}
\end{align}
```
$y=x-2$ と置くと、$\sum_{y=0}^{\infty} \lambda^y/y! = e^\lambda$ より

```math
\begin{align}
E(X(X-1)) &= \lambda^2 e^{-\lambda} \sum_{x=0}^{\infty}\frac{\lambda^y}{y!} \\
&= \lambda^2 e^{-\lambda} e^{\lambda} \\
&= \lambda^2
\end{align}
```

(3)に代入すると、分散は以下のように求められる。

```math
\begin{align}
E(X) &= E(X(X-1)) + E(X) - E(X)^2 \\
&= \lambda^2 + \lambda - \lambda^2 \\
&= \lambda
\end{align}
```

# 確率母関数の導出
確率母関数は、$G_X(t)=E(t^X)$ より

```math
\begin{align}
G_X(t) &= E(t^X) \\
&= \sum_{x=0}^{\infty}t^x\cdot\frac{e^{-\lambda}\lambda^x}{x!} \\
&= e^{-\lambda}\sum_{x=0}^{\infty}\frac{(\lambda t)^x}{x!}
\end{align}
```

$\sum_{y=0}^{\infty} (\lambda t)^x/x! = e^{\lambda t}$ より

```math
\begin{align}
G_X(t) &= e^{-\lambda}e^{\lambda t} \\
&= e^{\lambda (t-1)} \\
G_X'(t) &= \lambda e^{\lambda (t-1)} \\
G_X''(t) &= \lambda^2 e^{\lambda (t-1)}
\end{align}
```

$G_X^{(m)}(t) = E\left(X(X-1)\dots(X-m+1)t^{X-m}\right)$ より、$E(X)$, $E(X(X-1))$ は以下のように求められる。

```math
\begin{align}
E(X) &= G_X'(1) \\
&= \lambda \\
E(X(X-1)) &= G_X''(1) \\
&= \lambda^2
\end{align}
```

# モーメント母関数の導出
モーメント母関数は、$M_X(t)=E(e^{tX})$ より

```math
\begin{align}
M_X(t) &= E(e^{tX}) \\
&= \sum_{x=0}^{\infty}e^{tx}\cdot\frac{e^{-\lambda}\lambda^x}{x!} \\
&= e^{-\lambda}\sum_{x=0}^{\infty}\frac{(\lambda e^{t})^x}{x!}
\end{align}
```

$\sum_{y=0}^{\infty} (\lambda e^t)^x/x! = e^{\lambda e^t}$ より

```math
\begin{align}
M_X(t) &= e^{-\lambda}e^{\lambda e^t} \\
&= e^{\lambda (e^t-1)} \\
M_X'(t) &= \lambda e^t e^{\lambda(e^t-1)} \\
M_X''(t) &= \lambda e^t e^{\lambda(e^t-1)} + (\lambda e^t)^2 e^{\lambda(e^t-1)} \\
&= \lambda e^t (1+\lambda e^t) e^{\lambda(e^t-1)}
\end{align}
```
$M_X^{(m)}(0)=E(X^m)$ より、$E(X)$, $E(X^2)$ は以下のように求められる。

```math
\begin{align}
E(X) &= M_X'(0) \\
&= \lambda \\
E(X^2) &= M_X''(0) \\
&= \lambda^2 + \lambda
\end{align}
```

# 再生性の確認
モーメント母関数と確率分布は1対1に対応することを利用して確認する。

確率変数 $X_1$, $X_2$ がそれぞれ互いに独立にポアソン分布 $Po(\lambda_1)$, $Po(\lambda_2)$ に従う場合、確率変数の和 $X_1+X_2$ のモーメント母関数を求める。

```math
\begin{align}
M_{X_1+X_2} &= E\left(e^{t(X_1+X_2)}\right) \\
&= E\left(e^{tX_1}e^{tX_2}\right)
\end{align}
```

ここで、任意の確率変数 $X$, $Y$ が互いに独立の場合、$E(XY)=E(X)E(Y)$ が成り立つことから、上式は以下のようになる。

```math
\begin{align}
M_{X_1+X_2}(t) &= E\left(e^{tX_1}\right)E\left(e^{tX_2}\right) \\
&= e^{\lambda_1 (e^t-1)} e^{\lambda_2 (e^t-1)}  \\
&= e^{(\lambda_1+\lambda_2)(e^t-1)} 
\end{align}
```

これは、ポアソン分布 $Po(\lambda_1+\lambda_2)$ のモーメント母関数であることから、確率変数の和 $X_1+X_2$ は、ポアソン分布 $Po(\lambda_1+\lambda_2)$ に従う。