『経済・ファイナンスデータの計量時系列分析』章末問題を解く－第1章時系列分析の基礎概念－


『[経済・ファイナンスデータの軽量時系列分析](https://amzn.to/2Kebbka)』<a href="https://www.amazon.co.jp/%E7%B5%8C%E6%B8%88%E3%83%BB%E3%83%95%E3%82%A1%E3%82%A4%E3%83%8A%E3%83%B3%E3%82%B9%E3%83%87%E3%83%BC%E3%82%BF%E3%81%AE%E8%A8%88%E9%87%8F%E6%99%82%E7%B3%BB%E5%88%97%E5%88%86%E6%9E%90-%E7%B5%B1%E8%A8%88%E3%83%A9%E3%82%A4%E3%83%96%E3%83%A9%E3%83%AA%E3%83%BC-%E6%B2%96%E6%9C%AC-%E7%AB%9C%E7%BE%A9/dp/4254127928/ref=as_li_ss_il?ie=UTF8&qid=1526030273&sr=8-1&keywords=%E8%A8%88%E9%87%8F%E6%99%82%E7%B3%BB%E5%88%97%E5%88%86%E6%9E%90&linkCode=li2&tag=aokikenichi-22&linkId=c71170993a3f1d5578787d56a860294b" target="_blank"><img border="0" src="//ws-fe.amazon-adsystem.com/widgets/q?_encoding=UTF8&ASIN=4254127928&Format=_SL160_&ID=AsinImage&MarketPlace=JP&ServiceVersion=20070822&WS=1&tag=aokikenichi-22" ></a><img src="https://ir-jp.amazon-adsystem.com/e/ir?t=aokikenichi-22&l=li2&o=9&a=4254127928" width="1" height="1" border="0" alt="" style="border:none !important; margin:0px !important;" />
の章末問題を解いていきます。

必要に応じ『[統計学のための数学入門30講](https://amzn.to/2I94qnh)』<a href="https://www.amazon.co.jp/%E7%B5%B1%E8%A8%88%E5%AD%A6%E3%81%AE%E3%81%9F%E3%82%81%E3%81%AE%E6%95%B0%E5%AD%A6%E5%85%A5%E9%96%8030%E8%AC%9B-%E7%A7%91%E5%AD%A6%E3%81%AE%E3%81%93%E3%81%A8%E3%81%B0%E3%81%A8%E3%81%97%E3%81%A6%E3%81%AE%E6%95%B0%E5%AD%A6-%E6%B0%B8%E7%94%B0-%E9%9D%96/dp/4254116330/ref=as_li_ss_il?s=books&ie=UTF8&qid=1526030578&sr=1-1&keywords=%E7%B5%B1%E8%A8%88%E5%AD%A6%E3%81%AE%E3%81%9F%E3%82%81%E3%81%AE%E6%95%B0%E5%AD%A6%E5%85%A5%E9%96%8030%E8%AC%9B&linkCode=li2&tag=aokikenichi-22&linkId=19fb1050afeda8420b0df3bbe5d3f9b8" target="_blank"><img border="0" src="//ws-fe.amazon-adsystem.com/widgets/q?_encoding=UTF8&ASIN=4254116330&Format=_SL160_&ID=AsinImage&MarketPlace=JP&ServiceVersion=20070822&WS=1&tag=aokikenichi-22" ></a><img src="https://ir-jp.amazon-adsystem.com/e/ir?t=aokikenichi-22&l=li2&o=9&a=4254116330" width="1" height="1" border="0" alt="" style="border:none !important; margin:0px !important;" />を参照しています。

Rの実施は[『経済・ファイナンスデータの計量時系列分析』章末問題をRで解く－第1章時系列分析の基礎概念－](https://qiita.com/aokikenichi/items/0a5517dbe73978bd6f68)にあります。

# 1.1

```math
E(x)=\sum{kPr(x=k)} ... 30講p19\\
```
つまり和は分解できるので

```math
\begin{align}
\gamma_k &= E(y_t y_{t-k}) - \mu{E(y_{t-k}) + E(y_t)} + E(\mu^2) \\ 
&= E(y_t)E(y_{t-k}) - \mu{E(y_{t-k}) + E(y_t)} + E(\mu^2) \\ 
&= \mu\mu - \mu(2\mu) + E(\mu^2) \\ 
&= -\mu^2 + E(\mu^2) \\ 
\gamma_{-k} &= E(y_t y_{t+k}) - \mu{E(y_{t+k} + E(y_t)} + E(\mu^2) \\ 
&= E(y_t)E(y_{t+k}) - \mu{E(y_{t+k} + E(y_t)} + E(\mu^2) \\ 
&= \mu^2 - 2\mu^2 +E(\mu^2) \\ 
&= -\mu^2 + E(\mu^2) \\ 
ゆえに \gamma_k &= \gamma_{-k}
\end{align}
```

# 1.2

```math
y_t = \mu + \epsilon_t, \epsilon \sim W.N.(\sigma^2)
```
定義1.4より、

```math
\begin{align}
E(\epsilon_t) &= 0 \\ 
\gamma_k &= E(\epsilon_t \epsilon_{t-k}) = 
   \begin{cases} \sigma^2 & k = 0 \\ 
                 0 & k \neq 0
   \end{cases} \\
よって \\
E(y_t) &= E(\mu + \epsilon_t) \\ 
&= E(\mu) + E(\epsilon_t) \\ &= \mu \\ Cov(y_t, y_{t-k}) &= E[(y_t - \mu) (y_{t-k} - \mu)] \\ &= E[(\mu + \epsilon_t - \mu) (\mu + \epsilon_{t-k} - \mu)]　\\ &= E[\epsilon_t \epsilon_{t-k}] \\ &= \gamma_k \\ 
\end{align}
```

ゆえに(1.8)のモデルは弱定常過程

# 1.4
わからず、、、

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