『経済・ファイナンスデータの計量時系列分析』章末問題を解く－第2章ARMA過程－


『[経済・ファイナンスデータの軽量時系列分析](https://amzn.to/2Kebbka)』<a href="https://www.amazon.co.jp/%E7%B5%8C%E6%B8%88%E3%83%BB%E3%83%95%E3%82%A1%E3%82%A4%E3%83%8A%E3%83%B3%E3%82%B9%E3%83%87%E3%83%BC%E3%82%BF%E3%81%AE%E8%A8%88%E9%87%8F%E6%99%82%E7%B3%BB%E5%88%97%E5%88%86%E6%9E%90-%E7%B5%B1%E8%A8%88%E3%83%A9%E3%82%A4%E3%83%96%E3%83%A9%E3%83%AA%E3%83%BC-%E6%B2%96%E6%9C%AC-%E7%AB%9C%E7%BE%A9/dp/4254127928/ref=as_li_ss_il?ie=UTF8&qid=1526030273&sr=8-1&keywords=%E8%A8%88%E9%87%8F%E6%99%82%E7%B3%BB%E5%88%97%E5%88%86%E6%9E%90&linkCode=li2&tag=aokikenichi-22&linkId=c71170993a3f1d5578787d56a860294b" target="_blank"><img border="0" src="//ws-fe.amazon-adsystem.com/widgets/q?_encoding=UTF8&ASIN=4254127928&Format=_SL160_&ID=AsinImage&MarketPlace=JP&ServiceVersion=20070822&WS=1&tag=aokikenichi-22" ></a><img src="https://ir-jp.amazon-adsystem.com/e/ir?t=aokikenichi-22&l=li2&o=9&a=4254127928" width="1" height="1" border="0" alt="" style="border:none !important; margin:0px !important;" />
の章末問題を解いていきます。

必要に応じ『[統計学のための数学入門30講](https://amzn.to/2I94qnh)』<a href="https://www.amazon.co.jp/%E7%B5%B1%E8%A8%88%E5%AD%A6%E3%81%AE%E3%81%9F%E3%82%81%E3%81%AE%E6%95%B0%E5%AD%A6%E5%85%A5%E9%96%8030%E8%AC%9B-%E7%A7%91%E5%AD%A6%E3%81%AE%E3%81%93%E3%81%A8%E3%81%B0%E3%81%A8%E3%81%97%E3%81%A6%E3%81%AE%E6%95%B0%E5%AD%A6-%E6%B0%B8%E7%94%B0-%E9%9D%96/dp/4254116330/ref=as_li_ss_il?s=books&ie=UTF8&qid=1526030578&sr=1-1&keywords=%E7%B5%B1%E8%A8%88%E5%AD%A6%E3%81%AE%E3%81%9F%E3%82%81%E3%81%AE%E6%95%B0%E5%AD%A6%E5%85%A5%E9%96%8030%E8%AC%9B&linkCode=li2&tag=aokikenichi-22&linkId=19fb1050afeda8420b0df3bbe5d3f9b8" target="_blank"><img border="0" src="//ws-fe.amazon-adsystem.com/widgets/q?_encoding=UTF8&ASIN=4254116330&Format=_SL160_&ID=AsinImage&MarketPlace=JP&ServiceVersion=20070822&WS=1&tag=aokikenichi-22" ></a><img src="https://ir-jp.amazon-adsystem.com/e/ir?t=aokikenichi-22&l=li2&o=9&a=4254116330" width="1" height="1" border="0" alt="" style="border:none !important; margin:0px !important;" />を参照しています。

Rの実施は[『経済・ファイナンスデータの計量時系列分析』章末問題をRで解く－第2章ARMA過程－](https://qiita.com/aokikenichi/items/2394b088c16fb1067d34)にあります。


# 2.1

```math
 y_t = c + \phi_1 y_{t-1} + \phi_2 y_{t-2} + \epsilon_t, \epsilon_t \sim W.N.(\sigma^2) 
 \tag{2.18}
```
定常条件はAR特性方程式の解|z|>1だから、 (2.18)の特性方程式

```math
1- \phi_1z-\phi_2 z^2 = 0
```
から

```math
 z = \frac{-\phi_1 \pm \sqrt{\phi_1^2 + 4 \phi_2}}{2}
```

これから

```math
 \phi_2 < 1 + \phi_1 \\
 \phi_2 < 1 - \phi_1
```

は出てくるが、 

```math
 \phi_2 > - 1
```

がわからない。


# 2.2
定常な(AR)モデルの条件は

```math
 1 - \phi_1 z - ... - \phi_p z^p = 0
 |z| > 1
```

反転可能な(MA)モデルの条件は 

```math
 1 + \theta_1 z + ... + \phi_p z^p = 0
 |z| > 1
``` 

(a)MA(0) 定常かつ反転可能なモデル

(b)MA(1)

```math
\begin{align}
 1 + z &= 0 \\
 z &= -1 
\end{align}
```

|z|>1ではないので反転可能ではない定常なモデル。

(c)MA(2)

```math
\begin{align}
 1 - 0.3 z + 0.7 z^2 &= 0 \\
 z &= \frac{0.3 \pm \sqrt{0.09 - 4 \times 0.7}}{2 \times 0.7} 
\end{align}
```
zは虚数解なので反転可能ではない定常なモデル。

(d)AR(1) 

```math
\begin{align}
 1 - 0.5 z &= 0 \\
 z &= 2 
\end{align}
```
|z|>1より定常かつ反転可能なモデル。

(e)AR(2) 

```math
\begin{align}
 1 - 1.3 z + 0.4 z^2 &= 0 \\
 z &= 2.5 
\end{align}
```
|z|>1より定常かつ反転可能なモデル。

(f)ARMA(1,1)
AR(1)について

```math
\begin{align}
 1 - z &= 0 \\
 z & = 1
\end{align}
```

よって定常ではない。MA(1)について

```math
\begin{align}
1 + 0.5 z &= 0 \\
z &= -2 
\end{align}
```

よって反転可能である。

# 2.3
(1)

```math
\begin{align}
 E(y_t) &= E(\mu) + E(\epsilon_t) + E(\theta_1 \epsilon_{t-1}) + E(\theta_2 \epsilon_{t-2}) \\
 &= \mu
\end{align}
```

(2)

```math
\begin{align}
 \gamma_0 &= Var(y_t) \\
 &= Var(\mu + \epsilon_t + \theta_1 \epsilon_{t-1} + \theta_2 \epsilon_{t-2}) \\
 &= Var(\epsilon_t) + \theta_1^2 Var(\epsilon_{t-1}) + \theta_2^2 Var(\epsilon_{t-2}) \\
 &= (1 + \theta_1^2 + \theta_2^2) \sigma^2
\end{align}
```

(3)(4)(5)わからず。