紙と針のモデルで集合を考える（PPモデルで集合と論理を考える#1）

#前書き
高校数学で学習する「集合と論理」が扱う分野について、

- 今一つ自分の中で消化しきれない
- 言われればわかるがうまく運用できない

というモヤモヤを常日頃考えていました。

何とか上手く消化できるモデルはないかと考えていたときに、
今回紹介する「紙と針のモデル」（長いので以降これを
「**PPモデル**（Paper and Pin Model）」と呼ぶ）を考案したので、
それがどれくらい有用なのかを、記事を書きながら確認しようと思い至りました。

#PPモデル
登場人物は以下の2つ

- 紙
- 針（まち針のような針）

です。

紙が集合を、針が要素を、それぞれ意味していると考えます。

「要素aが集合Aに含まれている（a∊A）」ことは、
「針aが紙Aに刺さっている」ことと対応します。
![PPM01-01.png](https://qiita-image-store.s3.amazonaws.com/0/179111/05c78d19-735c-258b-ae60-c062358e4068.png)

逆に、
「要素aが集合Aに含まれていない（a∉A）」ことは、
「針aが紙Aに刺さっていない」ことと対応します。
![PPM01-02.png](https://qiita-image-store.s3.amazonaws.com/0/179111/c6a1e943-843a-b737-aa2d-cb6bd5060149.png)


この紙と針は、各々が意味する集合、要素に応じて、配置される位置は確定します。
好き勝手に紙に針を刺すことはできません。
紙が意味する集合、針が意味する要素に応じて、
紙に針が刺さるのか、刺さらないのかが決まります。

以下に、その実例を紹介いたします。

##実数のPPモデル
実数のような、大小関係がある要素を考えるときは、
数直線をイメージできるように、細長い紙で集合を表すと使いやすいです。
（私はこれを「紙テープ」と呼んでいます）

さて、実数Rの紙テープは以下のようになります。
![PPM01-03.png](https://qiita-image-store.s3.amazonaws.com/0/179111/33e2578a-196e-e2eb-886c-7438d8cc6b1c.png)

紙テープの上には、各実数に一対一で対応する位置があります。
0の位置、1の位置、√2の位置、などなど。

さて、ここで要素1について考えると、これは針1に対応します。
この針1は、紙テープの1の位置に刺さることになります。
![PPM01-04.png](https://qiita-image-store.s3.amazonaws.com/0/179111/7a2aa5eb-85c1-60e0-ef2f-9d2c7beaa074.png)

針√2は、紙テープの√2の位置に刺さります。
![PPM01-05.png](https://qiita-image-store.s3.amazonaws.com/0/179111/f4d2edc4-2039-c8b3-5a26-94503748d60b.png)

さて、ここで、実数Rの部分集合として、集合S={x: x∊[-1, 1]}を考えてみます。
集合Sに対応するPPモデルは、-1から1までの短い紙テープになります。
![PPM01-06.png](https://qiita-image-store.s3.amazonaws.com/0/179111/60ce617f-ec89-d4ff-36a0-fb4580644a64.png)

この集合Sの要素に対応する針は、この短い紙テープに刺さることができます。
例えば、0の針、1の針、-1の針、1/2の針は、この紙テープに刺さります。
![PPM01-07.png](https://qiita-image-store.s3.amazonaws.com/0/179111/5fa9fc84-708b-fc2b-23c9-12d9611fa8aa.png)
（-1や1は、紙テープの端にギリギリで刺さっている、というか、かすっているイメージ）

しかし、集合Bの要素ではない、例えば2の針は、
この紙テープには刺さりません。
![PPM01-08.png](https://qiita-image-store.s3.amazonaws.com/0/179111/be4a9e04-8d75-3a42-81a0-2b8e7a81f0d3.png)

##集合同士の関係
さて、今度は、字数の集合Rの紙テープと、
その部分集合Sの紙テープの関係について考えて見ましょう。

集合Rの紙テープの上に、集合Sの紙テープを重ねてみると、
紙テープSは紙テープRの上に、**はみ出ることなく重なる**ことができます。

![PPM01-09.png](https://qiita-image-store.s3.amazonaws.com/0/179111/8901cee4-df6b-1905-dfb7-26c1a003343f.png)

ここで、RとSの両方の要素である0の針を刺してみると、
当然、RとSの両方に刺さります。

![PPM01-10.png](https://qiita-image-store.s3.amazonaws.com/0/179111/5fb8a6b5-6109-79d0-e207-b7634938359b.png)

一方で、Rの要素ではあるがSの要素ではない2の針を刺してみると、
これも当然、Rには刺さりますがSには刺さりません。

![PPM01-11.png](https://qiita-image-store.s3.amazonaws.com/0/179111/298ebc55-ed53-cf54-3fc6-a0e3dca5b979.png)

集合Sのすべての要素、すなわち、紙テープSに刺さるすべての針について考えると、
紙テープSは紙テープRの上にはみ出ることなく重なっているので、
紙テープSに刺さるすべての針は、すべて紙テープRに刺さります。

数学的に言い直せば、
集合Sは集合Rの部分集合である（S⊂R）から、
集合Sの要素sはすべて、集合Rの要素である（∀s∊S, s∊R）、ということです。

一般化すると、
集合Aが集合Bの部分集合であるとき（A⊂B）、
PPモデルでは、紙Aは紙Bにはみ出すことなく重なります。
この時、針xが紙Aに刺さるのであれば、針xは必ず紙Bにも刺さります。
ちなみに、同様の関係をベン図を使って示すと、図の右側ようになり、
PPモデルを上から見たものがベン図である、とみなすことができます・
![PPM01-12.png](https://qiita-image-store.s3.amazonaws.com/0/179111/48b2e613-3a0b-3e43-5ba0-337cfb30beb3.png)

なお、集合Aが集合Bと一致するとき（A＝B）、
PPモデルでは、紙Aと紙Bは同じ大きさになり、ぴったり重なることになります。
勿論、針xが紙Aに刺さるのであれば、針xは必ず紙Bにも刺さります。
![PPM01-13.png](https://qiita-image-store.s3.amazonaws.com/0/179111/c8dab3df-1ada-4ad8-8794-88c36853c78c.png)

##事例
まずは、部分集合の例をいくつか挙げてみます。

###例1: 実数Rと正の実数R+
正の実数の集合R+は、実数の集合Rの部分集合であり（R+⊂R）、
確かに、紙R+は紙Rにはみ出ることなく重なります。
（集合R+には要素0は含まれないので、紙テープR+の0の部分は破線になっています）
![PPM01-14.png](https://qiita-image-store.s3.amazonaws.com/0/179111/561067fa-037a-95bb-3573-0fa7cbc3ec4e.png)

###例2: 実数Rと整数Z
整数の集合Zは、実数の集合Rの部分集合です（Z⊂R）。
実数が連続的な値（連続値）であるのに対し、整数は離散的な値（離散値）ですので、
PPモデルでは、実数Rを紙テープで表すと、整数Zは、等間隔に並ぶ線になります。
この形であっても、確かに、紙Zは紙Rにはみ出ることなく重なります。
![PPM01-15.png](https://qiita-image-store.s3.amazonaws.com/0/179111/9761aa52-5301-2393-e12b-a713b6f725d0.png)

###例3: 自然数Nと素数P
素数の集合Pは、自然数の集合Nの部分集合です（P⊂N）。
例2における整数の集合Zと同様、自然数Nも素数Pも離散値なので、
今までと同じようにPPモデルで表現すると、
両方とも線の配列で表されることになります。
![PPM01-16.png](https://qiita-image-store.s3.amazonaws.com/0/179111/9864bd0f-9654-3b80-8a7b-308f333ced7b.png)

離散値を要素とする集合を扱うのであれば、
下図のように、紙テープを等間隔に分割したモデルで考えても良いでしょう。
![PPM01-17.png](https://qiita-image-store.s3.amazonaws.com/0/179111/34b88357-aec9-f3a5-bb0c-eadfb576f78d.png)

###例4: 日本国Jと埼玉県S
地点を要素、領域を地点の集合と考えれば、
埼玉県S、日本国Jはともに集合と考えることができます。
この時、埼玉県Sは日本国Jの部分集合になります（S⊂J）。
![PPM01-18.png](https://qiita-image-store.s3.amazonaws.com/0/179111/5a99a6df-978a-cc9b-d772-041a6c82f67b.png)

次は、部分集合ではない例をいくつか挙げてみます。

###例5: 正の実数R+と実数R
実数の集合Rは、正の実数の集合R+の部分集合ではありません（R⊄R+）。
確かに、紙Rを紙R+に重ねると、一部はみ出ています。
![PPM01-19.png](https://qiita-image-store.s3.amazonaws.com/0/179111/6886d5fe-5ab3-39f8-7897-0e24931a6ff5.png)

###例6: 素数Pと自然数N
自然数の集合Nは、素数の集合Pの部分集合ではありません（N⊄P）。
確かに、紙Nを紙Pに重ねると、一部がはみ出してしまいます。
![PPM01-20.png](https://qiita-image-store.s3.amazonaws.com/0/179111/43e0062f-1fee-b490-2852-6a60ca2c2235.png)

###例7: 奇数Dと素数P
素数の集合Pは、奇数の集合Dの部分集合ではありません（P⊄D）
（2だけが唯一、素数であり奇数でない数）
確かに。紙Pを紙Dに重ねると、2だけがはみ出します。
![PPM01-21.png](https://qiita-image-store.s3.amazonaws.com/0/179111/eabaa2cb-2ca7-a561-95d1-14f23339423e.png)

この例については、奇数と素数の関係を逆にしても、部分集合の関係にはなりません。
つまり、奇数の集合Dも、素数の集合Pの部分集合ではなく（D⊄P）、
これも、紙Dを紙Pに重ねると、はみ出る数字が発生します。
（図中では1がはみ出ていますが、素数でない奇数は9、15、21と、無数にありますし、
　奇数は負数も含みますので、負の奇数はすべて、素数でない奇数になります。）
![PPM01-22.png](https://qiita-image-store.s3.amazonaws.com/0/179111/56af00c3-36dc-4c93-fd16-0464bb6cd68c.png)

###例8: 埼玉県Sと秩父多摩甲斐国立公園C
秩父多摩甲斐国立公園は、東京都、埼玉県、山梨県、長野県の1都3県にまたがっている
国立公園です。
ですので、秩父多摩甲斐国立公園Cは、埼玉県Sの部分集合ではありません（C⊄S）。
![PPM01-23.png](https://qiita-image-store.s3.amazonaws.com/0/179111/80c69dc2-cd01-83cb-698e-d07f7c400eb8.png)

埼玉県域すべてが、同公園に指定されているわけでもありませんから、
埼玉県Sも、秩父多摩甲斐国立公園Cの部分集合ではありません（S⊄C）。
![PPM01-24.png](https://qiita-image-store.s3.amazonaws.com/0/179111/c28bf2c2-7214-15ae-81d9-940e0886541a.png)

このような、紙の重ね合わせは、3つ以上の集合でも行えます。

###例9: 実数Rと自然数Nと素数P
この3つの集合は、P⊂N⊂Rの関係にあります。
PPモデルで表すと、上の紙は下の紙からはみ出さず重なることが確認できます。
![PPM01-25.png](https://qiita-image-store.s3.amazonaws.com/0/179111/643bf738-6ffd-58b8-a50c-927e0cf0d961.png)

###例10: 地球Eと日本国Jと埼玉県S
この3つの集合も、S⊂J⊂Eの関係にあります。
PPモデルで表すと、上の紙は下の紙からはみ出さず重なることが確認できます。
![PPM01-26.png](https://qiita-image-store.s3.amazonaws.com/0/179111/9f412ca7-71b8-4e9c-db5d-297d80229fe0.png)

#後書き
次回はこちら：
[紙と針のモデルで命題を考える（PPモデルで集合と論理を考える#2）](https://qiita.com/kaz0414/items/30e07fc67c78d7997ca9)