数学ノート【位相空間論（ネット）】

# 最初に

+ 大学の時の数学をやり直したく私塾のような所に通っていて、先日集中講座があったのでその時のノートをまとめました。（続きでフィルターについても書くつもりです。）
+ 元の講義があり、投稿の許可は得ましたがこのノートに関しては私がまとめ直したものなので全ての責任は私にあります（といっても理解不足な部分もあります）。


# 1. 有向集合・ネット

## 有向集合

### 定義（有向集合）
$D$が有向集合(directed set) とは、$D$上に次の性質D1〜D3を満たす2項関係${\preceq}$が存在することである。

D1. $\lambda \preceq \lambda \ (\lambda \in D)$
D2. $\lambda \preceq \mu$かつ$\mu \preceq \sigma \Rightarrow \lambda \preceq \sigma \ (\lambda, \mu, \sigma \in D)$
D3. $\forall \lambda, \forall \mu \in D$に対して$\lambda \preceq \sigma$かつ$\mu \preceq \sigma$ を満たす$\sigma \in D$が存在する。

$(D, \preceq)$を$\preceq$に関する有向集合という。

### 定義（共終部分集合）
$D_0 \subset D$が共終(cofinal)部分集合
$ \underset{def}{\Leftrightarrow} \forall \lambda \in D, \exists \mu \in D_0 \ s.t \ \lambda \preceq \mu$

### 問題
$D_0$が有向集合$(D, \preceq)$の共終部分集合のとき$\preceq$の$D_0$上への制限を$\preceq_0$とすると$(D_0, \preceq_0)$は有向集合。

+ 注意。 $\preceq_0$の定義

```math
\mu, \sigma \in D_0 \\
\mu \preceq_0 \sigma \underset{def}{\Leftrightarrow} \mu \preceq \sigma
```

#### 証明

D1, D2は$D$の性質より明らか。
$\preceq_0$ がD3を満たすことを示す。
$\forall \lambda , \forall \mu \in D_0 \subset D$
$D$の性質D3より、$\exists \sigma \in D \ s.t \ \lambda \preceq \sigma$かつ$\mu \preceq \sigma$
$D_0$は共終だから、$\sigma \in D$に対して、$\exists \lambda_0 \in D_0 \ s.t \ \sigma \preceq \lambda_0$
D2より$\lambda \preceq \lambda_0, \mu \preceq \lambda_0$を得る。

### 有向集合の例

+ 自然数全体$\mathbb{N}$の自然順序$\le$を見れば有向集合。
+ $X \neq \phi$集合。$X$の有限部分集合全体の集合: $(2^x)_0$

```math
F_1, F_2 \in (2^x)_0 \\
F_1 \preceq F_2 \underset{def}{\Leftrightarrow} F_1 \subset F_2
```

と定義すれば、$((2^x)_0 , \preceq)$は有向集合。

+ $X$:位相空間。$x_0 \in X$, $\mathfrak{V}(x_0)$：$x_0$の近傍系($x_0$の近傍全体)

```math
U, V \in \mathfrak{V}(x_0) \\
U \preceq V \underset{def}{\Leftrightarrow} V \subset U
```

と定義すれば、$(\mathfrak{V}(x_0), \preceq)$は有向集合。

+ $X$:位相空間($\neq \phi$)。。$X$上のコンパクト部分集合全体を$\mathfrak{K}(X)$

```math
A,B \in \mathfrak{K}(X) \\
A \preceq B \underset{def}{\Leftrightarrow} A \subset B
```

と定義すれば、$(\mathfrak{K}(X), \preceq)$は有向集合。

### 有向集合の直積

+ $(D, \preceq_D), (\Lambda, \preceq_{\Lambda})$：有向集合。

```math
(d_1, \lambda_1), (d_2, \lambda_2) \in D \times \Lambda \\
(d_1, \lambda_1) \prec (d_2, \lambda_2) \underset{def}{\Leftrightarrow} d_1 \preceq_D d_2  \land \lambda_1 \preceq_{\Lambda} \lambda_2
```

と定義すれば、$(D \times \Lambda , \prec)$は有向集合。

+ 有向集合$(A_{\beta}, \preceq_{A_{\beta}})$の族を$(A_{\beta})_{\beta \in B}$とする。

この時、直積集合$\Pi_{\beta \in B} A_{\beta}$の有向関係は次のように定義される。


$\Phi \in \Pi_{\beta \in B} A_{\beta}$は、すなわち $\Phi : B \to \cup_{\beta \in B} A_{\beta}$  かつ $\forall \beta \in B , \Phi(\beta) \in A_{\beta}$

```math

\Phi, \Psi \in \Pi_{\beta \in B} A_{\beta} \\
\Phi \prec \Psi \underset{def}{\Leftrightarrow} \forall \beta \in B, \ \Phi(\beta) \preceq_{A_{\beta}} \Psi(\beta)
```

と定義すれば、$(\Pi_{\beta \in B} A_{\beta}, \prec)$は有向集合。

+ $X \neq \phi$,

```math
Map(X, \mathbb{R}) = \mathbb{R}^X = \Pi_{x \in X} \mathbb{R} \\
(X=\{1,2,\cdots,n\} \Rightarrow \mathbb{R}^X = \mathbb{R}^n) \\
f, g \in Map(X,\mathbb{R}) \\
f \le g \underset{def}{\Leftrightarrow} \forall x \in X , \  f(x) \le g(x)
```

と定義すれば$(Map(X,\mathbb{R}), \le)$は有向集合。

## ネット

### 定義（ネット（有向系））

$(\Lambda, \preceq)$:有向集合、$X( \neq \phi)$:集合
写像$\Phi:\Lambda \to X$
を$X$上のネットという。

$X$上のネットを $ \\{x_\lambda \\}_{\lambda \in \Lambda} $ と記すこともある。

すなわち $\Phi(\lambda) = x_\lambda \ (\lambda \in \Lambda)$

特に、点列$\Phi:\mathbb{N} \to X$はネット。

### 定義（共終写像）

有向集合$(D, \preceq_D), (\Lambda, \preceq_\Lambda)$が与えられたとき、
$\theta:D \to \Lambda$が共終写像
$\underset{def}{\Leftrightarrow} \forall \lambda_0 \in \Lambda, \exists \mu_0 \in D \ 
 \ s.t \ \ \lambda_0 \preceq_\Lambda \theta(\mu) \ \ for \ \  \forall \mu \ (\mu_0 \preceq_D \mu)$


### 定義（部分ネット）

$\Phi:\Lambda \to X$：ネット
ネット$\psi:D \to X$がネット上$\Phi$上の部分ネット
$\underset{def}{\Leftrightarrow} \exists \theta:D \to \Lambda$ 共終写像 $s.t \ \psi = \Phi \circ \theta$

### 定理

1) $\theta:D \to \Lambda$が共終写像の時、$\Lambda_0 = \theta(D)$は$\Lambda$の共終部分集合

2) $\Phi:\Lambda \to X$ネット、$\Lambda_0$は$\Lambda$の共終部分集合。この時、$\psi = \Phi \mid_{\Lambda_0}$は$\Phi$の部分ネット

# 2. 位相空間におけるネット

## ネットの収束

$X$:位相空間、$\Phi:\Lambda \to X$:$X$上のネット
$\Phi$が$x_0 \in X$に収束する。
$\underset{def}{\Leftrightarrow} \forall V \in \mathfrak{V}(x_0), \ \exists \lambda_0 \in \Lambda \ \ s.t \ \ \Phi(\lambda) \in V \ for \ \forall \lambda \ (\lambda_0 \preceq_\Lambda \lambda)$

このとき、$\Phi \to x_0$と記す。

### 定理

$X$がHausdorff位相空間（$\forall (x,y) \in X \times X \ (x \neq y) \Rightarrow \exists U \in \mathfrak{V}(x), \exists V \in \mathfrak{V}(y) \ s.t \ U \cap V = \phi $）、ネット$\Phi:\Lambda \to X$が与えられ、$\Phi$が$X$で収束するなら収束値は一意に定まる。

+ 証明

対偶を考える。

$x_0, y_0 \in X \ (x_0 \neq y_0)$ が $\Phi \to x_0, \Phi \to y_0$ を満たすとする。
$\forall U \in \mathfrak{V}(x_0), \forall V \in \mathfrak{V}(y_0)$
$\exists \lambda_0, \exists \mu_0 \in \Lambda \ s.t \ \Phi(\lambda) \in U \ (\lambda_0 \preceq_\Lambda \lambda) \ , \Phi(\lambda) \in V \ (\mu_0 \preceq_\Lambda \lambda) $
$\Rightarrow \exists \sigma_0 \in \Lambda \ s.t \ \lambda_0 \preceq_\Lambda \sigma_0 \ , \  \mu_0 \preceq_\Lambda \sigma_0 $
$\Rightarrow \Phi(\lambda) \in U \ (\sigma_0 \preceq_\Lambda \lambda), \Phi(\lambda) \in V \ (\sigma_0 \preceq_\Lambda \lambda) $
$\therefore \Phi(\sigma_0) \in U \cap V $
$\therefore U \cap V \neq \phi $
これはXがHausdorffであることに反する。

### 定理

$X$:位相空間
ネット$\Phi:\Lambda \to X$が$\Phi \to x_0$を満たすなら、全ての$\Phi$の部分ネットは$X_0$に収束する。

+ 証明

$\psi:D \to X$を$\Phi$の任意の部分ネットとする。
定義より、共終写像$\theta:D \to \Lambda$が存在し、$\psi = \Phi \circ \theta$とあらわせる。
$\forall V \in \mathfrak{V}(x_0), \ \exists \lambda_0 \in \Lambda \ \  s.t \ \ \Phi(\lambda) \in V \ \ for \ \ \forall \lambda \ (\lambda_0 \preceq_\Lambda \lambda)$
$\theta$は共終写像だから、$\exists d_0 \in D \ s.t \ \lambda_0 \preceq_\Lambda \theta(d) \ \ for \ \ \forall d \ (d_0 \preceq_D d)$
$\therefore \forall d \ (d \preceq_D d)$なら$\Phi(\theta(d)) \in X$が成立する。これは、$\Phi \circ \theta \to x_0$を意味する。

## ネットを用いた位相の特徴付け

### 1. 閉包・閉集合

$\phi \neq A \subset X$
$\overline{A}$:$A$の閉包。($x_0 \in \overline{A} \underset{def}{\Leftrightarrow} \forall V \in \mathfrak{V}(x_0) \ s.t \ V \cap A \neq \phi$)
$x_0 \in \overline{A}$の必要十分条件は$A$上のネット$\Phi:\Lambda \to X$が存在して,
$\Phi \to x_0$が成立することである。
特に$A$が閉集合である必要十分条件は任意の$A$上の収束ネット$\Phi$が$\Phi \to x_0$なら$x_0 \in A$
※ここで、$\Phi:\Lambda \to X$が$A$上のネットとは$\Phi(\lambda) \in A \ (\forall \lambda \in \Lambda)$

### 2. 連続性

$X,Y$:位相空間。$f:X \to Y$写像。
$f:X \to Y$が$x_0 \in X$で連続である必要十分条件は$\Phi \to x_0$を満たす任意のネットについて$f \circ \Phi \to f(x_0) $が成立することである。（$f \circ \Phi : \Lambda \to Y$ネット）
※選択公理を前提とする。

+ 証明

（必要性）
$\Phi:\Lambda \to X$は$\Phi \to x_0$をみたす任意のネットとする。
$\forall W \in \mathfrak{V}_{f(x_0)} $

$f$の$x_0$における連続性から、$\exists V \in \mathfrak{V}(x_0) \ \ s.t \ \ f(V) \subset W$

$\Phi \to x_0$から、$\exists \lambda_0 \in \Lambda \ \ s.t \ \  \Phi(\lambda) \in V \ \ for \ \ \forall \lambda \ (\lambda_0 \preceq_\Lambda \lambda)$
$\therefore f \circ \Phi(\lambda) \in W \ \ for \ \ \forall \lambda \ (\lambda_0 \preceq_\Lambda \lambda)$
よって、$f \circ \Phi \to f(x_0)$

（十分性）
対偶で示す。
$f$が$x_0 \in X$で連続でなければ、$\exists W \in \mathfrak{V}(f(x_0)), \ \forall V \in \mathfrak{V}(x_0) \ \ s.t \ \ f(V) \not\subset W \ \ (f(V) \cap W^c \neq \phi)$
また、$V \cap (f^{-1}(W))^c \neq \phi$
選択公理により$\Pi_{V \in \mathfrak{V}(x_0)}(V \cap (f^{-1}(W))^c) \neq \phi$
$\exists \Phi \in \Pi_{V \in \mathfrak{V}(x_0)}(V \cap (f^{-1}(W))^c)$
よって$\Phi \to x_0$
$f \circ \Phi(V) \not\in W^c$
したがって$f \circ \Phi \not\to f(x_0)$より対偶が示された。

### 3. コンパクト

$X$がコンパクトである必要十分条件は任意の$X$上のネットが$X$上の点に収束する部分ネットを持つことである。
※選択公理を前提とする。

#### 証明

（必要性）
$X$:コンパクト、$(D, \preceq_D)$は有向集合
$\forall \Phi:D \to X$ネット
$D_\lambda := \\{ \mu \in D \mid \lambda \preceq_D \mu \\}$ （$D_\lambda$は$D$の共終部分集合）
$\Phi(D_\lambda) = \\{\Phi(\mu) \ \in X \mid \lambda \preceq_D \mu \\}$
$C_\lambda := \overline{\Phi(D_\lambda)} \ (\lambda \in \Lambda)$
$\\{C_\lambda \\}_{\lambda \in D}$は有限交叉条件をもつ閉部分集合。

$\because$
$\forall \\{\lambda_1, \cdots , \lambda_m \\} \subset D$に対して、$\exists \lambda_0 \in D \ \ s.t \ \ \lambda_k \preceq_D \lambda_0 \ (k=1,2, \cdots, m)$
$D_{\lambda_0} \subset D_{\lambda_k} \ (k=1,2, \cdots, m)$
$C_{\lambda_0} = \overline{\Phi(D_{\lambda_0})} \ \subset \overline{\Phi(D_{\lambda_k})} = C_{\lambda_k} \ (k=1,2, \cdots, m)$
よって$C_{\lambda_0} \subset \cap_{k=1}^m C_{\lambda_k}$より$\cap_{k=1}^m C_k \neq \phi$だから有限交叉。

$X$はコンパクトだから、$\exists x_0 \in X \ \ s.t \ \ x_0 \in \cap_{\lambda \in D} C_\lambda$

$x_0$に収束する$\Phi$の部分ネットの存在を示す。

$\forall V \in \mathfrak{V}(x_0) \ \forall \lambda \in D$
$x_0 \in C_\lambda = \overline{\Phi(D_\lambda)}$だから、$V \cap \Phi(D_\lambda) \neq \phi$
$\Rightarrow \\{u \in D_\lambda \mid \Phi(\mu) \in V \\} = \Phi^{-1} \cap D_\lambda \neq \phi$
選択公理により、$\Pi \ \Phi^{-1}(V) \cap D_\Lambda \neq \phi$
$(V, \lambda) \in \mathfrak{V}(x_0) \times D$
$\exists \theta \in \Pi \ \Phi^{-1}(V) \cap D_\lambda$
$\theta((V,\lambda)) \in \Phi^{-1}(V) \cap D_\Lambda$
だから、$(\Phi \circ \theta)(V, \lambda) \in V$
$\psi = \Phi \circ \theta$とすると、$\forall U \in \mathfrak{V}(x_0)$に対して、
$(U, \lambda_0) \prec (V, \lambda) \ (\Leftrightarrow \ V \subset U, \lambda_0 \preceq_D \lambda)$
$\psi((V, \lambda)) = \Phi \circ \theta(V, \lambda) \in V \subset U$
よって$\psi \to x_0$

（十分性）
$\\{C_\lambda \\}_{\lambda \in \Lambda}$は$X$上の任意の有限交叉閉集合族。
$D$:$\Lambda$の有限部分集合全体。$D$は包含順序で有向集合。

$\phi \neq A_F = \cap_{\lambda \in F}C_\lambda \ (F \in D)$
（$\\{C_\lambda \\}_{\lambda \in \Lambda}$の有限交叉性）

選択公理により、$\phi \neq \Pi_{F \in D}A_F$
$\exists \Phi \in \Pi_{F \in D}A_F$
（$\Phi(F) \in A_F \cap_{\lambda \in F}C_\lambda \ (F \in D)$）
$\Phi:D \to X$はネットである。（有限交叉族から作られる一つのネット）
仮定から有向集合$(M, \prec)$と共終写像 $\theta:M \to D$、$x_0 \in X$が存在して、
$\Phi \circ \theta \to x_0$
$\lambda \in \Lambda$に対して、$\\{\lambda\\} \in D$
$\theta$は共終写像だから、$\exists \alpha_0 \in M \ \ s.t \ \ \\{\lambda\\} \subset \theta(\alpha) \ (\alpha_0 \prec \alpha)$
$C_\lambda = \Phi(\\{\lambda\\}) \supset \Phi(\theta(\alpha)) \ (\alpha_0 \prec \alpha)$

$\\{ \Phi(\theta(\alpha)) \\} \ (\alpha \succ \alpha_0)$は、$\Phi \circ \theta$の部分ネットだから、$x_0$に収束する。

$C_\lambda$は閉だから$x_0 \in C_\lambda$、$\lambda$は任意だから$x_0 \in \cap_{\lambda \in \Lambda}C_\lambda$
任意の有限交叉な閉部分集合の共通部分は空でないからコンパクト。

# 最後に

+ 数式の配置が難しくて左寄せだったり真ん中だったり統一感がないので見づらくなってしまいました。
+ 少し力尽きて証明はすべて書けませんでした。時間があるときに追記したいです。
+ $Latex$で数式をたくさん書くのは約20年ぶりでしたが、全部$Latex$で書くよりMarkdownと組み合わせたほうがメモは早い気がしました。