解析入門 1 問題2.1 解答

松坂和夫 解析入門<1>(ISBN: 978-4007304514) の解答です。

## 問題 2.1

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#### 問題
定理4を証明せよ。

#### 定理4
$(a_{n})$、$(b_{n})$ を2つの数列とし、ほとんどすべての $n$ に対し $a_{n} \leqq b_{n}$ であるとする。このとき
(a) 有限の極限 $\displaystyle \lim_{n \to \infty} a_{n} = \alpha$、$\displaystyle \lim_{n \to \infty} b_{n} = \beta$ が存在すれば、$\alpha \leqq \beta$
(b) $\displaystyle \lim_{n \to \infty} a_{n} = + \infty$ ならば $\displaystyle \lim_{n \to \infty} b_{n} = + \infty$
(c) $\displaystyle \lim_{n \to \infty} b_{n} = - \infty$ ならば $\displaystyle \lim_{n \to \infty} a_{n} = - \infty$

#### 解答
(a) ある自然数 $N$ が存在して、$n \geqq N$ なら $0 \leqq b_{n} - a_{n}$ であるから、定理3(a)より、$\displaystyle 0 \leqq \lim_{n \to \infty}(b_{n} - a_{n}) = \lim_{n \to \infty}b_{n} - \lim_{n \to \infty}a_{n} = \beta - \alpha$。よって $\alpha \leqq \beta$。

(b) 任意の実数 $M$ に対し、ある自然数 $N$ が存在して、$n \geqq N$ なら $M \lt a_{n} \leqq b_{n}$。よって、$\displaystyle \lim_{n \to \infty}b_{n} = + \infty$。

(c) 任意の実数 $M$ に対し、ある自然数 $N$ が存在して、$n \geqq N$ なら $a_{n} \leqq b_{n} \lt M$。よって、$\displaystyle \lim_{n \to \infty}a_{n} = - \infty$。

### 2
#### 問題
$k$ を正の整数とする。$\displaystyle \lim_{n \to \infty} a_{n}^{k} = 0$ ならば $\displaystyle \lim_{n \to \infty} a_{n} = 0$ であることを示せ。

#### 解答
$\displaystyle \lim_{n \to \infty} a_{n}^{k} = 0$ より、任意の $\epsilon \gt 0$ に対して、ある自然数 $N$ が存在して、$n \geq N$ なら $|a_{n}|^{k} = |a_{n}^{k}| \lt \epsilon^{k}$ であるから、$|a_{n}| \lt \epsilon$。したがって $\displaystyle \lim_{n \to \infty} a_{n} = 0$。

### 3
#### 問題
$h \gt 0$ とする。帰納法により、$n \geqq 2$ ならば $(1+h)^{n} \geqq 1+nh+\frac{n(n-1)}{2}h^{2}$ が成り立つことを証明せよ。

#### 解答
$n = 2$ のときは明らか。$n - 1$ のとき問題の不等式を満たすと仮定すると、

```math
\begin{equation}
(1+h)^{n} = (1+h)(1+h)^{n-1}\\
\geqq (1+h)\{1+(n-1)h+\frac{(n-1)(n-2)}{2}h^{2}\}\\
= 1+(n-1)h+\frac{(n-1)(n-2)}{2}h^{2} + h+(n-1)h^2+\frac{(n-1)(n-2)}{2}h^{3}\\
= 1+nh+\frac{(n-1)(n-2)+2(n-1)}{2}h^{2}+\frac{(n-1)(n-2)}{2}h^{3}\\
= 1+nh+\frac{n(n-1)}{2}h^{2}+\frac{(n-1)(n-2)}{2}h^{3}\\
\geqq 1+nh+\frac{n(n-1)}{2}h^{2}
\end{equation}
```

が成立する。

### 4
#### 問題
数列 $(a_{n})$、$(b_{n})$、$(c_{n})$ において、ほとんどすべての $n$ に対し $a_{n} \leqq b_{n} \leqq c_{n}$ が成り立っているとする。そのとき、もし $(a_{n})$、$(c_{n})$ がともに収束して $\displaystyle \lim_{n \to \infty} a_{n} = \lim_{n \to \infty} c_{n} = \alpha$ ならば、$(b_{n})$ も収束して $\displaystyle \lim_{n \to \infty} b_{n} = \alpha$ であることを証明せよ。

#### 解答
$\displaystyle \lim_{n \to \infty} a_{n} = \lim_{n \to \infty} c_{n} = \alpha$ より、任意の $\epsilon \gt 0$ に対して $n \gt N$ ならば $|a_{n} - \alpha| \lt \epsilon$、$|c_{n} - \alpha| \lt \epsilon$ となる $N$ が存在する。よって、$n \gt N$ ならば、$\alpha - \epsilon \lt a_{n} \leq b_{n} \leq c_{n} \lt \alpha + \epsilon$ が成立する。従って、$\displaystyle \lim_{n \to \infty} b_{n} = \alpha$。

### 5
#### 問題
数列 $(a_{n})$ において、$\displaystyle \lim_{n \to \infty}a_{n} = \alpha$ ならば $\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}}{n} = \alpha$ であることを証明せよ。
(ヒント) $a_{n}$ を $a_{n}-\alpha$ に代えれば $\alpha = 0$ の場合に帰する。

#### 解答
$\alpha = 0$ の場合について証明する。任意の $\epsilon \gt 0$ に対して、自然数 $N_{1}$ を $n \geq N_{1}$ ならば $|a_{n}| \lt \frac{\epsilon}{2}$ となるようにとる。$n \gt N_{1}$ ならば

```math
\begin{equation}
\left|\frac{a_{1}+\cdots+a_{n}}{n}\right| = \left|\frac{a_{1}+\cdots+a_{N_{1}}+a_{N_{1}+1}+\cdots+a_{n}}{n}\right|\\
\leq \frac{|a_{1}|+\cdots+|a_{N_{1}}|+|a_{N_{1}+1}|+\cdots+|a_{n}|}{n}\\
\lt \frac{|a_{1}|+\cdots+|a_{N_{1}}|+\frac{\epsilon}{2}(n-N_{1})}{n}\\
\lt \frac{|a_{1}|+\cdots+|a_{N_{1}}|}{n} + \frac{\epsilon}{2}\\
\end{equation}
```

が成立する。
ここで自然数 $N$ を、$n \geq N$ ならば $\frac{|a_{1}|+\cdots+|a_{N_{1}}|}{n} \lt \frac{\epsilon}{2}$ となるようにとる。$n \geq N$ ならば $\left|\frac{a_{1}+\cdots+a_{n}}{n}\right| \lt \frac{\epsilon}{2}+\frac{\epsilon}{2} = \epsilon$ が成り立つ。