ハウスドルフ空間と縮小写像について

# Hausdorff空間

距離空間$(X,d)$について、

$$\mathscr{K}:=\{K \subset X \mid K:\text{compact} \} \subset \mathfrak{P}(X)$$

とおき、$\mathscr{K}$上のHausdorff距離$d_H: \mathscr{K} \times \mathscr{K} \rightarrow [0,\infty)$を以下で定める。
$K,L \in \mathscr{K}$に対し、
$$d_H(K,L) 
:= \inf \{\varepsilon >0 
\mid K \subset B(L,\varepsilon),
L \subset B(K,\varepsilon)\} \,,\\
\text{ここで}\,\,
B(K,\varepsilon):=\{y \in X \mid \exists x \in K, d(x,y)<\varepsilon\}
=\bigcup_{x \in K}B(x,\varepsilon) \,.$$

その問では距離空間$(\mathscr{K},d_H)$のことを"Hausdorffのcompact図形の空間"あるいは単に"Hausdorff空間"と呼んでいる。

# 距離空間であること
任意の$K,L,M \in \mathscr{K}$に対して、

(well-defined)
$K,L$はcompactであるから$K \times L \subset X \times X$はcompactであり、$d$は$K \times L$上で最大値を持つ。$\varepsilon > \max\{d(x,y) \mid x \in K, y \in L\}$に対して

$$K \subset B(L,\varepsilon),
L \subset B(K,\varepsilon)$$

が成り立つから $\{\varepsilon >0 
\mid K \subset B(L,\varepsilon),
L \subset B(K,\varepsilon)\} \neq \emptyset$ となり、 $d_H(K,L) \in [0,\infty)$が定まる。
($\emptyset$なら下限が無限大になってしまうのでちゃんと有限値で定義できているかの確認が必要)


1. 任意の$\varepsilon >0$に対して$K \subset B(K,\varepsilon)$であるから、
$$d_H(K,K) 
= \inf \{\varepsilon >0 \mid K \subset B(K,\varepsilon)\} =0 \,.$$
また、$K \neq L$ なら特に$K \nsubseteq L$ としてよく、このとき$x \in K \setminus L$ が存在して$d(x,L) >0$ となる。よって $d_H(K,L) \geq d(x,L) >0$ である。

2. 定義の対称性から明らかに $d_H(K,L)=d_H(L,K)$.

3. $\varepsilon_1 >d_H(K,L), \varepsilon_2 >d_H(L,M)$ を任意に取る。このとき
$$K \subset B(L,\varepsilon_1) \subset 
B(B(M,\varepsilon_2),\varepsilon_1) \subset
B(M,\varepsilon_2+\varepsilon_1) \\
M \subset B(L,\varepsilon_2) \subset 
B(B(K,\varepsilon_1),\varepsilon_2) \subset
B(K,\varepsilon_1+\varepsilon_2)$$
が成り立つ。したがって $d_H(K,M) \leq \varepsilon_1+\varepsilon_2$ であり、右辺の下限を取って
$$d_H(K,M) \leq d_H(K,L) + d_H(L,M) \,. \hspace{20pt}\square$$



# 問題

Hausdorff空間上の2つの縮小写像$F1, F2$があるとき, $\phi=F_1 \cup F_2$もまた縮小写像となることを示せ.

## 考え方

Hausdorff空間上の縮小写像$F_i(i=1,2)$とは、写像$F_i: \mathscr{K} \rightarrow \mathscr{K}$で距離$d_H$に関して縮小写像となっているもののことである。$\mathscr{K}$が$X$の部分集合を元に持つことから、$F_1 \cup F_2$はcompact集合を$F_1,F_2$でそれぞれとばした後で和をとる写像として定義できる。
すなわち、$K \in \mathscr{K}$に対して

$$(F_1 \cup F_2)(K):=F_1(K) \cup F_2(K)$$

と定める。compact集合の有限和はcompactなので$F_1 \cup F_2$は$\mathscr{K}$から$\mathscr{K}$への写像となる。したがってこれが縮小写像になることを示せばよい。

## 証明

$K,L \in \mathscr{K}$を任意に取る。$F_i(i=1,2)$は縮小写像であるから

$$d_H(F_i(K),F_i(L)) < d_H(K,L) \,\,(i=1,2)$$

が成立している。よって

$$d_H \big((F_1 \cup F_2)(K),(F_1 \cup F_2)(L) \big) \leq \max_{i=1,2} d_H(F_i(K),F_i(L))$$

を示せば$F_1 \cup F_2$が縮小写像であることがしたがう。とくに、次の補題を示せば十分である(補題において$K_i=F_i(K),L_i=F_i(L)$ とすればよい)。

### lemma

任意の$K_i,L_i \in \mathscr{K}\,(i=1,2)$に対し $d_H(K_1 \cup K_2,L_1 \cup L_2) \leq \max_{i=1,2} d_H(K_i,L_i)$

### lemmaの証明

任意に$\varepsilon > \max_{i=1,2} d_H(K_i,L_i)$ をとる。このとき各$i=1,2$に対して

$$K_i \subset B(L_i,\varepsilon),\,
L_i \subset B(K_i,\varepsilon)$$

が成り立つ。よって$i$に関して和をとると

$$K_1 \cup K_2 \subset 
B(L_1,\varepsilon) \cup B(L_2,\varepsilon) 
= B(L_1 \cup L_2,\varepsilon)\\
L_1 \cup L_2 \subset 
B(K_1,\varepsilon) \cup B(K_2,\varepsilon) 
= B(K_1 \cup K_2,\varepsilon)$$

となり、 $d_H(K_1 \cup K_2,L_1 \cup L_2) \leq \varepsilon$ を得る。したがって、$\varepsilon$の下限をとると

$$d_H(K_1 \cup K_2,L_1 \cup L_2) \leq \max_{i=1,2} d_H(K_i,L_i) \,. \hspace{20pt}\square$$