解析入門 1 問題1.2 解答

松坂和夫 解析入門<1>(ISBN: 978-4007304514) の解答です。

## 問題 1.2

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#### 問題
$N$ の整列性を用いて、帰納法の第2形式を証明せよ。

* $N$ の整列性
  * 自然数の空でない任意の集合は最小元をもつ
* 帰納法の第2形式
  * 自然数の集合 $S$ が次の性質(1')、(2')をもつならば、$S$ はすべての自然数の集合 $N$ と一致する。
  * (1') $S$ は $0$ を含む。
  * (2') $n>0$ である任意の整数 $n$ に対し、もし $0 \leqq k \leqq n$ であるすべての整数 $k$ が $S$ に含まれるならば、$n$ も $S$ に含まれる。

#### 解答
$S$ に含まれない自然数全体の集合を $T$ とする。$T=\phi$ であることを示す。もし $T \ne \phi$ であれば、整列性により $T$ には最小の元 $n_{0}$ がある。(1')によって $n_{0} \ne 0$。したがって、$n_{0} > 0$、$n_{0}-1 \geqq 0$ であるが、$n_{0}$ は $T$ の最小の元であったので、$0 \leqq k \leqq n_{0}-1 < n_{0}$ を満たす $k$ は $S$ の元である。したがって(2')より、$n_{0}$ も $S$ の元となる。これは前提に矛盾する。

### 2
#### 問題
$S$ を空でない整数の集合とする。ある整数 $A$ が存在して、すべての $n \in S$ に対し $A \leqq n$ (あるいは、すべての $n \in S$ に対して $A \geqq n$)が成り立つならば、$S$ は最小元(あるいは最大元)をもつことを証明せよ。

#### 解答
```math
S'=\{n-A|n \in S\}
```
という集合を考えると、$S'$ は空でない自然数の集合であるから、最小元 $m_0=n_0-A$ をもつ。
$n_0>n_x \in S$ があるとすると、$m_0 > m_x = n_x-A$ となるので、矛盾する。

### 3
#### 問題
$R$ のアルキメデス性と前問2を用いて、任意の実数 $x$ に対して $m \leqq x < m+1$ を満たす整数 $m$ が存在することを示せ。

#### 解答
アルキメデス性によって、$n_1 < x < n_2$ となる整数 $n_1$、$n_2$ がある。

```math
S = \{n | n_1<x<n\}
```

とおくと、$S$ は前問より最小元 $n_0$ をもつ。この $n_0$ を $m+1$ とすると $m \leqq x < m+1$ となる。

### 4
#### 問題
$a, b, \cdots, l$ を正の整数とし、それらの素因数分解を

```math
a = p_{1}^{\alpha_{1}}p_{2}^{\alpha_{2}} \cdots p_{s}^{\alpha_{s}} \\
b = p_{1}^{\beta_{1}}p_{2}^{\beta_{2}} \cdots p_{s}^{\beta_{s}} \\
\cdots \\
l = p_{1}^{\lambda_{1}}p_{2}^{\lambda_{2}} \cdots p_{s}^{\lambda_{s}} \\
```

とする。ここに $p_{1}, p_{2}, \cdots, p_{s}$ は異なる素数、$\alpha_{i}, \beta_{i}, \cdots, \lambda_{i}$ は正の整数または $0$ である。このとき、$i=1, 2, \cdots, s$ に対し、

```math
\mu_{i} = \max \{\alpha_{i}, \beta_{i}, \cdots, \lambda_{i} \}, \\
\delta_{i} = \min \{\alpha_{i}, \beta_{i}, \cdots, \lambda_{i} \}
```

とおけば、

```math
m = p_{1}^{\mu_{1}}p_{2}^{\mu_{2}} \cdots p_{s}^{\mu_{s}},
d = p_{1}^{\delta_{1}}p_{2}^{\delta_{2}} \cdots p_{s}^{\delta_{s}}
```

はそれぞれ $a, b, \cdots, l$ の最小公倍数、最大公約数であることを証明せよ。ただし

```math
\max \{\cdots \}, \min \{\cdots \}
```

はそれぞれ $\cdots$ のうちの最大値(maximum)、最小値(minimum)を表す。

#### 解答
$m$ は因数として $a,b,\cdots,l$ の因数を含むので、$a,b,\cdots,l$ の公倍数。$m$ の素因数分解 $m = p_{1}^{\mu_{1}}p_{2}^{\mu_{2}} \cdots p_{s}^{\mu_{s}}$ から $\mu_{i} (1 \leq i \leq s)$ のうちいずれかを小さくした $m'$ を考えると、小さくした $\mu_{i}$ を指数に持つ $p_{i}^{\mu_{i}}$ を素因数に含む値の倍数でなくなるため、$m$ は最小公倍数となる。
$a,b,\cdots,l$ は因数として $d$ の因数を含むので、$d$ は $a,b,\cdots,l$ の公約数。$d$ の素因数分解 $d = p_{1}^{\delta_{1}}p_{2}^{\delta_{2}} \cdots p_{s}^{\delta_{s}}$ から $\delta_{i} (\leq i \leq s)$ のうちいずれかを大きくした $d'$ を考えると、大きくした $\delta_{i}$ を素因数に含む値の約数でなくなるため、$d$ は最大公約数となる。

### 5
#### 問題
$c_{0},c_{1},\cdots,c_{k-1},c_{k}$ は整数で、$c_{0}\ne0,c_{k}\ne0$ とする。もし、方程式

```math
c_{0}x^{k}+c_{1}x^{k-1}+\cdots+c_{k-1}x+c_{k}=0
```
が有理数の解

```math
x=\frac{m}{n},(m,n)=1
```
をもつならば、$m$ は $c_{k}$ の約数、$n$ は $c_{0}$ の約数であることを証明せよ。
（ヒント）定理5を用いよ。

#### 定理5
$n, a, b$ を整数とし、$ab$ は $n$ で割り切れるとする。このとき、もし$(a,n)=1$ ならば、$b$ が $n$ で割り切れる。

#### 解答
$x=\frac{m}{n}$ を代入する。

```math
\begin{equation}
c_{0}\frac{m^{k}}{n^{k}}+c_{1}\frac{m^{k-1}}{n^{k-1}}+\cdots+c_{k-1}\frac{m}{n}+c_{k}=0 \\
c_{0}m^{k}+c_{1}m^{k-1}n+\cdots+c_{k-1}mn^{k-1}+c_{k}n^{k}=0 \\
c_{0}m^{k}+c_{1}m^{k-1}n+\cdots+c_{k-1}mn^{k-1}=-c_{k}n^{k} \\
\end{equation}
```
左辺は $m$ で割り切れるので、$-c_{k}n^{k}$ も $m$ で割り切れるが、$n^{k}$ と $m$ は互いに素なので、定理5より $c_{k}$ は $m$ で割り切れる。
また、以下のように変形する。

```math
\begin{equation}
c_{0}\frac{m^{k}}{n^{k}}+c_{1}\frac{m^{k-1}}{n^{k-1}}+\cdots+c_{k-1}\frac{m}{n}+c_{k}=0 \\
c_{1}\frac{m^{k-1}}{n^{k-1}}+\cdots+c_{k-1}\frac{m}{n}+c_{k}=c_{0}\frac{m^{k}}{n^{k}} \\
c_{1}m^{k-1}n+\cdots+c_{k-1}mn^{k-1}+c_{k}n^{k}=-c_{0}m^{k} \\
\end{equation}
```
左辺は $n$ で割り切れるので、$-c_{0}m^{k}$ も $n$ で割り切れるが、$m^{k}$ と $n$ は互いに素なので、定理5より $c_{0}$ は $n$ で割り切れる。

### 6
#### 問題
$0$ でない有理数 $a$ を既約分数で表したときの分母の標準分解を $p_{1}^{a_{1}}p_{2}^{a_{2}}\cdots p_{s}^{a_{s}}$ とする。そのとき、適当な $h_{1},h_{2},\cdots,h_{s}$ によって

```math
a=\frac{h_{1}}{p_{1}^{a_{1}}}+\frac{h_{2}}{p_{2}^{a_{2}}}+\cdots+\frac{h_{s}}{p_{s}^{a_{s}}}
```
と表されることを証明せよ。

#### 解答
$p_{1}^{a_{1}}, p_{2}^{a_{2}}, \cdots, p_{s}^{a_{s}}$ が互いに素なので、

```math
\frac{1}{p_{1}^{a_{1}}p_{2}^{a_{2}}\cdots, p_{s}^{a_{s}}}=\frac{h_{1}}{p_{1}^{a_{1}}}+\frac{h_{2}}{p_{2}^{a_{2}}}\cdots+\frac{h_{s}}{p_{s}^{a_{s}}}
```
を満たす整数 $h_{1}, h_{2}, \cdots, h_{s}$ が存在する。
両辺に $a$ の分子をかけて、$h_{1}, h_{2}, \cdots, h_{s}$ を置きなおすと、

```math
a=\frac{h_{1}}{p_{1}^{a_{1}}}+\frac{h_{2}}{p_{2}^{a_{2}}}+\cdots+\frac{h_{s}}{p_{s}^{a_{s}}}
```
が求まる。

### 7
#### 問題
$p$ を1つの素数とし、$2,3,5,\cdots,p$ を $p$ 以下の "すべての" 素数とする。$a$ をそれらすべての積に $1$ を加えた数

```math
a = 2\cdot3\cdot5\cdot \cdots \cdot p+1
```
とすれば、$a$ の任意の素因数は $p$ より大きいことを示せ。このことから、素数は無限に存在することを導け。（ユークリッドの素数定理）

#### 解答
$a$ は $2,3,5,\cdots,p$ のうち、いずれの素数で割っても $1$ 余る。よって、$a$ の任意の素因数は $p$ より大きい。$p$ を $a$ の素因数のうち最大のものとおくと、さらに大きい素数を無限に求めることができる。よって、素数は無限に存在する。