物理の公式（力学）

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# 物理公式（力学）

- ニュートン$[N]$：1.0 $N$ は質量 1.0 $kg$ の物体に $1.0 m / s^2$ の加速度を生じさせるような力
$$=> F = ma $$ 

- 重力加速度[$m/s^2$]： $ g = 9.8 m/s^2 $

- フックの法則：ばねの伸び縮みの長さを $x [m]$ 、弾性力の大きさを $F [N]$ とすると
$$=> F = kx $$


- 摩擦力： 摩擦力を $F$ とすると、摩擦係数 $\mu$ と 垂直抗力 $N$ とすると
$$=> F = \mu N $$
  - 最大静止摩擦力： 最大静止摩擦力を $F_0$ 、垂直抗力を $N$ とすると
    $$=> F_0 = \mu N $$
    ※このときの $\mu$ を静止摩擦係数という。あくまでも静止摩擦力が最大のときの係数
  - 動摩擦力： 動摩擦力を $F'$ 、垂直抗力を $N$ とすると
    $$=> F' = \mu' N $$
    ※このときの $\mu'$ を動摩擦係数という。

- 圧力：単位面積当たりに掛かる力。量記号は P を用います。力を $F [N]$ 、面積を $S [m^2]$ とすると
  $$=> P = F / S [Pa]=[N/m^2]$$
  - 流体の圧力： 深さ $h [m]$、重力加速度 $g=9.8[m/s^2]$、密度 $\rho [kg/m^3]$ とすると
  $$=> P = \rho hg [Pa]$$
  - 浮力： 流体の密度を $ρ [kg/m^3]$、物体の体積を $V [m^3]$、重力加速度 $g=9.8[m/s^2]$ とすると
  $$=> F = \rho V g [N]$$

- 力のモーメント：作用する力の大きさが $F [N]$、腕の長さを $l [m] \(= r \sin \theta\)$、 左回り（反時計回り）を正とすると
$$=> M = Fl = Fr \sin \theta [N \cdot m]$$

- 等加速度直線運動： 加速度が一定の運動を等加速度運動といいます。このうち、直線上の運動である場合を等加速度直線運動といいます。 
  直線上を一定の加速度 $a [m/s^2]$ で進む物体の運動を考えたとき、
  時刻 $t=0 [s]$ のときの速度（=初速度）を $v_0 [m/s]$ とすると、加速度 $a [m/s^2]$ というのは1秒当たり $a [m/s^2]$ ずつ速度が増すという意味だから、$t [s]$ 後の速度 $v [m/s]$は
$$ v = v_0 + at $$
変位 $x [m]$ は
$$ x = v_0t + \frac{1}{2} at^2$$
上記２式から時間 $t$ を含まない式にすると、
$$ v^2 - v_0^2 = 2ax $$

  - 等加速度直線運動（初速度:$v_0$　加速度:$a$）※基本
      - 速度：$v = v_0 + at$ 
      - 変位：$x = v_0t + \frac{1}{2}at^2$ 
      - tなし：$v^2 - v_0^2 = 2ax$ 
  - 自由落下運動（初速度:$v_0=0$　加速度:$g=重力加速度$）
      - 速度：$v = gt$ 
      - 変位：$y = \frac{1}{2}gt^2$ 
      - tなし：$v^2 = 2gy$ 
  - 鉛直下方投射（初速度:$v_0$　加速度:$g=重力加速度$）
      - 速度：$v = v_0 + gt$ 
      - 変位：$y = v_0t + \frac{1}{2}gt^2$ 
      - tなし：$v^2 - v_0^2 = 2gy$ 
  - 鉛直上方投射（初速度:$v_0$　加速度:$-g=重力加速度$）
      - 速度：$v = v_0 - gt$ 
      - 変位：$y = v_0t - \frac{1}{2}gt^2$ 
      - tなし：$v^2 - v_0^2 = -2gy$ 
  - 水平投射（X軸方向：[初速度:$v_0$　加速度:$0$]の等加速度運動とY軸方向：[初速度:$v_0=0$　加速度:$g=重力加速度$]の自由落下運動に分けて考える）
      - 速度： $v_x = v_0　v_y = gt$
      - 位置： $x = v_0t　y = \frac{1}{2}gt^2$
      - 軌道の式： $y = \frac{g}{2v_0^2}x^2$
  - 斜方投射（X軸との角度を$\theta$とし斜め上方の初速度$v_0$とする。  
    X軸方向：[初速度:$v_0\cos\theta$　加速度:$0$]の等加速度運動とY軸方向：[初速度:$v_0=v_0\sin\theta$　加速度:$g=重力加速度$]の鉛直上方投射に分けて考える）
      - 速度： $v_x = v_0 \cos\theta　v_y = v_0 \sin\theta - gt$
      - 位置： $x = v_0 \cos\theta \cdot t　y = v_0 \sin\theta -  \frac{1}{2}gt^2$
      - 軌道の式： $y = \tan\theta \cdot x - \frac{g}{2v_0^2 \cos^2\theta} x^2$

- 運動方程式： 加速度 $a [m/s^2]$ 、質量 $m [kg]$、のときの力を $F [N]$ とすると
$$=> ma = F$$

- 仕事： 物体に一定の力 $F [N]$ を加え続けて、その力の向きに距離 $s [m]$ ＊だけ動かしたとき
$$ W = F s [J] = [N \cdot m]$$

- 仕事率： 仕事を時間で割ったものが仕事率
$$ P = \frac{W}{t} = Fv　[W] = [J/s]　※W = Fs, \frac{s}{t} = v$$

- 運動エネルギー：運動している速度 $v [m/s]$
$$K = \frac{1}{2}mv^2 [J]$$

- 位置エネルギー: 高さ $h [m]$
$$U = mgh [J]$$

- 弾性エネルギー： ばね定数 $k$
$$U = \frac{1}{2}kx^2 [J]$$

- 力学的エネルギー保存の法則： **保存力のみがはたらく場合**は
$$運動エネルギー(K) + 位置エネルギー(U) = 力学的エネルギー(E) = 一定$$

- 運動量と力積
  - 運動量： 物体の運動量を $\vec{p}$ 、質量を $m [kg]$ 、速度を $\vec{v} [m/s]$ 、速度の向きが運動量の向きであると
  $$\vec{p} = m\vec{v} [kg \cdot m/s]$$

  - 力積： 力積を $\vec{I}$、加えた力を $\vec{F} [N]$ 、加え続けた時間を $\Delta t [s]$ 、加えた力の向きが力積の向きであると
  $$\vec{I} = \vec{F} \Delta t [N \cdot s]=[kg \cdot m/s]　※F=ma => [N] = [kg⋅m/s^2]$$

  - 物体の運動量の変化は、その間に受けた力積に等しい
  $$m\vec{v'} - m\vec{v} = \vec{F} \Delta t$$

- 円運動
  - 角速度：円運動において動径ベクトルが1秒間に回転する角度。回転の速さを表す量。$t [s]$秒間に $\theta [rad]$ だけ回転したときの角速度 $\omega [rad/s]$ は
$$\omega = \frac{\theta}{t}　　\theta = \omega t$$

  - 半径 $r [m]$ の円周上を等速円運動する物体の動径ベクトルが $t [s]$秒間に $θ [rad]$ だけ回転したときの、物体が進んだ距離 $l [m]$
$$l = r \theta$$

  - これを時間 $t$ で割って、周回する物体の速さ $v [m/s]$
$$v = r \omega$$

  - 物体が等速円運動するとき、1周するのに要する時間 $T [s]$ を周期 => 距離/速さ
$$T = \frac{2 \pi r}{r \omega} = \frac{2 \pi}{\omega}$$

  - 物体が1秒間に回転する回数を回転数 $n [Hz]$
$$n = \frac{1}{T} = \frac{\omega}{2 \pi}$$

  - 等速円運動の加速度 $a$
$$a = r \omega^2 = \frac{v^2}{r}$$

  - 向心力：等速円運動している物体の質量が $m [kg]$、このとき物体にはたらく力が $\vec{F} [N]$
$$F = ma = mr \omega^2 = m \frac{v^2}{r}$$

- 単振動 
  - 円運動で
      - 等速円運動の周期を $T [s]$
      - 角速度を $\omega [rad/s]$
      - 回転数を  $f [Hz]$
      - 円の半径を $A [m]$
  - とすると
      - 1往復する時間（＝周期） $T [s]$
      - 1秒当たりの回転角（＝角周波数） $\omega [rad/s]$
      - 1秒当たりの往復数（＝周波数） $f [Hz]$
      - 単振動の振幅 $A [m]$
  - 等速円運動と単振動と正弦波の関係
$$f = \frac{1}{T}$$
$$\omega = 2 \pi f = \frac{2 \pi}{T}$$
  - 単振動の変位
$$x = A\sin\omega t$$

  - 単振動の速度：単振動の速度 $v [m/s]$ は等速円運動の速さ $Aω$ を x軸に射影したもの
$$v = A \omega \cos \omega t$$

  - 単振動の加速度：単振動の加速度 $a [m/s^2]$ は等速円運動の加速度 $Aω^2$ を x軸に射影したもの
$$a = -A \omega^2 \sin \omega t = - \omega^2 x$$

  - 単振動を引き起こす力=復元力： 運動方程式 $ma = F$ から
$$F = ma = m(- \omega^2 x) = -m \omega^2 x$$