【プログラマーのための統計学】平均値・中央値・最頻値

## 目次
[プログラマーのための統計学 - 目次](http://qiita.com/Esfahan/items/bd9e52837bbaeb168b9f)

## 概要
数値データがあるときに、そのデータを代表する値のことを、代表値といいます。
代表値には、以下の3つがあります。データの分布の形によって、どれを代表値とするかが変わります。

- 平均値
- 中央値（メディアン）
- 最頻値（モード）

## 平均値
平均値とは、全てのデータの合計値を、データの数で割ったものです。

```math
\bar{x} = \frac{(x_1+x_2+x_3+・・・+x_n)}{n}
```

度数分布表の場合は、「階級値」と「度数」を使って平均値を出すことができます。
n個の階級を持ち、階級値を `v` 、度数を `f` とすると、以下の式で算出することができます。

```math
\bar{X} = \frac{(f_1v_1 + f_2v_2+ ・・・ + f_3v_3)}{(f_1 + f_2 + ・・・ + f_n)}
```

例として、10人の生徒のテストの点数の度数分布表を元に、平均値を出してみます。

| 階級 | 階級値 | 度数 |
| --- | --: | --: |
| 0点以上25点未満 | 12.5 | 1 |
| 25点以上50点未満 | 37.5 | 3 |
| 50点以上75点未満 | 62.5 | 4 |
| 75点以上 | 87.5 | 2 |

このテストの点数の平均値は、以下で求められます。

```math
\bar{X}=\frac{({1\times12.5}) + ({3\times37.5}) + ({4\times62.5}) + ({2\times87.5})}{(1+3+4+2)}
```


ちなみに、ちょっと話は逸れますが、平均値の算出方法というのは、用途によって複数あります。
こちらも参考にしてみてください。
**関連記事：[平均値の算出方法は1つじゃない](http://qiita.com/Esfahan/items/fec6587bfc0227132856)**

## 中央値（メディアン）
中央値とは、データを小さい順、もしくは大きい順で並べた時に、真ん中となる値のことです。データ数が偶数の場合は、中央値が2つとなり、それらを足して2で割ったものが中央値になります。

### データ個数が奇数の場合

```math
1, 3, 4, 5, 7
```

この場合は、中央値は `4` になります。

### データ個数が偶数の場合

```math
1, 3, 4, 5, 7, 10
```

この場合の中央値は `4` と `5` の2つになるので、以下の式で求められ、中央値は `4.5` となります。

```math
4.5 = \frac{4+5}{2}
```

## 最頻値（モード）
最頻値とは、最もデータ数の多い値のことを指します。

```math
1, 3, 4, 5, 7, 7, 10
```

例えば、上記の場合の最頻値は、`7` となります。

度数分布表の場合は、最も度数が大きいものの階級値が、最頻値となります。
先ほどのテストの点数の度数分布表の場合、度数が一番大きいものは、「50点以上75点未満」の `4` となるので、最頻値はその階級値である `62.5` となります。

| 階級 | 階級値 | 度数 |
| --- | --: | --: |
| 0点以上25点未満 | 12.5 | 1 |
| 25点以上50点未満 | 37.5 | 3 |
| 50点以上75点未満 | 62.5 | 4 |
| 75点以上 | 87.5 | 2 |

また、以下のように、 `5` と `7` が同じ数だけある場合は、最頻値は `5` と `7` の2つになります。

```math
1, 3, 4, 5, 5, 7, 7, 10
```

また、以下のような場合は、最頻値は存在しないということになります。

```math
1, 3, 4, 5, 7, 10
```

## ヒストグラムの分布と平均値・中央値・最頻値の関係
ヒストグラムの分布で、山のピークが1つの場合、以下が成り立つ場合が多いです。
これを、ピアソンの経験則といいます。

以下の3つのうち、左右対称の場合は必ず成り立ちますが、残りの2つは、経験則なので、必ず成り立つとは限りません。


### 分布が左右対称の場合
ヒストグラムの分布が、以下のように左右対称の場合は、平均値・中央値・最頻値は全て赤い線の位置で、同じとなります。

![graph_1.png](https://qiita-image-store.s3.amazonaws.com/0/105936/f229d6b6-058f-4dae-9815-ce796899b8e6.png)

### 分布が左に偏っている場合
分布が左右対称ではなく左に偏っている（右に裾を引いている）場合、
以下のように、最頻値・中央値・平均値の順で並ぶことが多くなります。
(線は大体の位置に引いています)

![graph_2.png](https://qiita-image-store.s3.amazonaws.com/0/105936/b6fe5670-8cbd-fa2f-8452-391d9a444a93.png)

### 分布が右に偏っている場合
分布が左右対称ではなく右に偏っている（左に裾を引いている）場合、
以下のように、平均値・中央値・最頻値の順で並ぶことが多くなります。
(線は大体の位置に引いています)

![graph_3.png](https://qiita-image-store.s3.amazonaws.com/0/105936/14889b01-9baf-b29d-64b4-426ed6bb18f0.png)


## どれを代表値とするべきか
平均値・中央値・最頻値のどれを代表値とするべきかは、データの分布によって異なります。
それぞれのメリット、デメリットをまとめました。

| 代表値 | メリット | デメリット |
| --- | --- | --- |
| 平均値 | 全てのデータを反映できる | 極端な値があった場合に引きづられてしまう |
| 中央値 | 極端な値の影響を受けにくい | 真ん中の値以外の変化に気付きにくい |
| 最頻値 | 極端な値の影響を受けにくい | データ数が少ない場合は参考になりにくい |


どれを代表値とするべきかは、データの分布の仕方によって変わります。
基本的には、平均値と中央値の差が少なければ、平均値を代表値とするのがよいかと思います。もし、この2つの差が大きい場合は、中央値と最頻値も見るというやり方が無難なのではと思います。

前述の例のヒストグラムでは、全て山が1つでしたが、山が複数ある場合もあります。
そのような場合、代表値を決めるのは大変ですが、そもそもデータの取り方自体を工夫する必要があるかもしれません。

以上

## 関連記事
- [平均値の算出方法は1つじゃない](http://qiita.com/Esfahan/items/fec6587bfc0227132856)

## 参考
- [統計web - 平均・中央値・モード](https://bellcurve.jp/statistics/course/4317.html)
- [平均値，中央値，最頻値の求め方といくつかの例](http://mathtrain.jp/daihyochi)
- [【基本】平均値・中央値・最頻値はどう使い分ける？](http://math.nakaken88.com/textbook/basic-mean-median-mode/)