なぜ三角形の内角の和は180度？

## なぜ三角形の内角の和が180度になるのか？

Web検索してもなかなかよい証明（説明）が見つからないので書いてみました。
錯角や同位角を使った証明も、錯角や同位角への疑問を生みスッキリしませんよね。
ヒントは[外角][polygon]の和にあります。

（追記）
ユークリッド幾何、すなわち小・中学生が習う図形の範囲を取り扱います。
証明ではありません。小学生でも直感的に理解できる**説明**を試みました。

## 三角形
### 三角形の外角の和

ある三角形の[内角][polygon]をそれぞれ$a, b, c$とします。
それらの[内角][polygon]に対応する[外角][polygon]をそれぞれ$A, B, C$とします。
それぞれの[内角][polygon]と[外角][polygon]の和は$180^\circ$です。

```math
a+A=180^\circ\\
b+B=180^\circ\\
c+C=180^\circ\\
```

この三角形を遠くから眺めてみましょう。（下図）
[外角][polygon]の和は$A+B+C=360^\circ$であることがわかります。

![triangle_anime.gif](https://qiita-image-store.s3.amazonaws.com/0/192364/e1c430f1-78ef-cafc-0dc8-028f3ad4adb0.gif)

### 三角形の内角の和

次に、すべての[内角][polygon]と[外角][polygon]の和を求めてみます。
三角形は[頂点][polygon]が3つで、[内角][polygon]と[外角][polygon]の対は3つあります。
三角形のすべての[内角][polygon]と[外角][polygon]の和は

```math
\begin{align}
a+A+b+B+c+C&=3\cdot180^\circ\\
(a+b+c)+(A+B+C)&=540^\circ\\
\end{align}
```

であり、[外角][polygon]の和は$A+B+C=360^\circ$なので、

```math
\begin{align}
(a+b+c)+360^\circ&=540^\circ\\
a+b+c&=540^\circ-360^\circ=180^\circ
\end{align}
```

となり、三角形の内角の和は$180^\circ$であることがわかります。

## 四角形
### 四角形の外角の和

下図から三角形の場合と同様に、四角形の[外角][polygon]の和も$A+B+C+D=360^\circ$になります。

![quadrilateral_anime.gif](https://qiita-image-store.s3.amazonaws.com/0/192364/61ecfc7f-20e3-2f44-edca-1d0a210ada72.gif)

### 四角形の内角の和

四角形は[頂点][polygon]が4つで、[内角][polygon]と[外角][polygon]の対は4つあります。
すべての[内角][polygon]と[外角][polygon]の和は

```math
\begin{align}
(a+b+c+d)+(A+B+C+D)&=4\cdot180^\circ=720^\circ
\end{align}
```

であり、[外角][polygon]の和は$A+B+C+D=360^\circ$なので、

```math
\begin{align}
(a+b+c+d)+360^\circ&=720^\circ\\
a+b+c+d&=720^\circ-360^\circ=360^\circ
\end{align}
```

となり、四角形の[内角][polygon]の和は$360^\circ$になります。

## n角形

### n角形の外角の和

三角形や四角形と同様に考えると、n角形の[外角][polygon]の和も同じ$360^\circ$です。

### n角形の内角の和

n角形は[内角][polygon]と[外角][polygon]の対がn個あるので、

```math
\begin{align}
内角の和&=n\cdot180^\circ-外角の和\\
&=n\cdot180^\circ-360^\circ\\
&=(n-2)\cdot180^\circ
\end{align}
```

となります。

## 凹多角形
少なくとも一つの[内角][polygon]の大きさが$180^\circ$を超えるような多角形を[凹多角形][concave]と呼びます。

### 凹多角形の外角の和
[凹多角形][concave]の場合は$180^\circ$を超える[内角][polygon]を持つ頂点での[外角][polygon]は負の値になります。それでも[外角][polygon]の和は[凸多角形][convex]と同じく$360^\circ$になります。

### 凹多角形の内角の和
[凹多角形][concave]の[外角][polygon]の和は[凸多角形][convex]の[外角][polygon]の和と同じなので、[凹多角形][concave]の[内角][polygon]の和も[凸多角形][convex]の[内角][polygon]の和と同じになります。

## 星型多角形
上記は辺が交差しない多角形のお話でした。
星型のような多角形の場合はどうでしょうか？

### 星型多角形の外角の和

ここでは、すべての[頂点][polygon]を一筆書きで結んでできる下図のような[星型五角形][star]について考えます。
最初に辺EAを[頂点][polygon]Aに向かって出発したとします。[頂点][polygon]Aに達すると[外角][polygon]∠Aだけ進行方向を変えて[頂点][polygon]Bに向かいます。同様に各[頂点][polygon]B, C, D, Eで[外角][polygon]∠B, ∠C, ∠D, ∠Eだけ進行方向を変えて最初の辺EAに戻ります。この[星型五角形][star]を一周する間に進行方向は2回転しています。すなわち、この[星型五角形][star]の[外角][polygon]の和は$720^\circ$です。参考：[GeoGebra:星型五角形の外角の和][Geogebra_star]

![star.png](https://qiita-image-store.s3.ap-northeast-1.amazonaws.com/0/192364/57d6f403-0b00-1506-000d-f7e9bf4e7e8c.png)

なお、上記で述べたような辺が交差しない多角形でも同じように、[外角][polygon]の和を多角形を一周する間の進行方向の回転角と考えることができ、辺が交差しない多角形の[外角][polygon]の和は$360^\circ$（1回転）です。

### 星型多角形の内角の和

先ほどの[星型五角形][star]の[内角][polygon]の和は$5\cdot180^\circ-720^\circ=180^\circ$になります。

[polygon]:https://ja.wikipedia.org/wiki/多角形#.E7.94.A8.E8.AA.9E
[convex]:https://ja.wikipedia.org/wiki/凸多角形
[concave]:https://ja.wikipedia.org/wiki/凹多角形
[pentagram]:https://ja.wikipedia.org/wiki/五芒星
[star]:https://ja.wikipedia.org/wiki/星型多角形
[GeoGebra_star]:https://www.geogebra.org/m/syzjmhj3