『クラウド量子計算入門』の演習を行う (4 位相シフトゲートの量子実験) その２


# はじめに

こちらの本を読みつつ、演習・実験を試してみます。

- [『クラウド量子計算入門―IBMの量子シミュレーションと量子コンピュータ』](https://www.amazon.co.jp/dp/4877834087/)

![q.jpg](https://qiita-image-store.s3.amazonaws.com/0/20418/e67e0ddc-ba9e-e647-a277-7cd216410bb5.jpeg "q.jpg")

# 4 位相シフトゲートの量子実験

## 4.1 位相シフト演算とは

### 4.1.4 位相シフト演算 T でのアダマール変換

#### 演習 4-6

> 量子シミュレータで、$ H|0\rangle $、$ T^{\dagger}H|0\rangle $、$ HT^{\dagger}H|0\rangle $ を確かめる量子回路を作成し、どのように量子ビットが回転するか行列計算とともに比較して確かめよ。

##### 行列計算

```math
H|0\rangle
=
\frac{1}{ \sqrt{2} }
\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{bmatrix}
\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}
=
\frac{1}{ \sqrt{2} }
\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}
=
\frac{ |0\rangle + |1\rangle }{ \sqrt{2} }
```

```math
T^\dagger H|0\rangle
=
\frac{1}{ \sqrt{2} }
\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & e^{-i(\pi/4)} \end{bmatrix}
\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{bmatrix}
\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}
=
\frac{1}{ \sqrt{2} }
\begin{bmatrix} 1 \\ e^{-i(\pi/4)} \end{bmatrix}
=
\frac{ |0\rangle + e^{-i(\pi/4)} |1\rangle }{ \sqrt{2} }
```

##### 測定

###### 量子回路

![visualIBMQASM.png](https://qiita-image-store.s3.amazonaws.com/0/20418/3b91ec39-9b3f-7d44-eddd-9df79842cc84.png "visualIBMQASM.png")

![visualIBMQASM.png](https://qiita-image-store.s3.amazonaws.com/0/20418/4d0a89d0-bd4f-998b-3430-5ce925b522bf.png "visualIBMQASM.png")

![visualIBMQASM.png](https://qiita-image-store.s3.amazonaws.com/0/20418/6d2ad48b-4459-35d0-d87d-706a2ff9ba8d.png "visualIBMQASM.png")

###### ブロッホ球

![qSphere.png](https://qiita-image-store.s3.amazonaws.com/0/20418/88794c87-6928-fba7-b3b3-9048355ef9cd.png "qSphere.png")

| c1[0] | n |
|:--|:--|
| 0 | 4094 |
| 1 | 4098 |

![qSphere.png](https://qiita-image-store.s3.amazonaws.com/0/20418/ca05b1de-6efa-b0c7-171b-836b9c21ba4f.png "qSphere.png")

| c1[0] | n |
|:--|:--|
| 0 | 4094 |
| 1 | 4098 |

![qSphere.png](https://qiita-image-store.s3.amazonaws.com/0/20418/7152660b-3360-5237-b53b-b9a73fdda3ff.png "qSphere.png")

| c1[0] | n |
|:--|:--|
| 0 | 7003 |
| 1 | 1189 |

#### 演習 4-7

> 量子シミュレータで、$ H|1\rangle $、$ TH|1\rangle $、$ HTH|1\rangle $ を確かめる量子回路を作成し、どのように量子ビットが回転するか行列計算とともに比較して確かめよ。

##### 行列計算

```math
H|1\rangle
=
\frac{1}{ \sqrt{2} }
\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{bmatrix}
\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix}
=
\frac{1}{ \sqrt{2} }
\begin{bmatrix} 1 \\ -1 \end{bmatrix}
=
\frac{ |0\rangle - |1\rangle }{ \sqrt{2} }
```

```math
T^\dagger H|1\rangle
=
\frac{1}{ \sqrt{2} }
\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & e^{-i(\pi/4)} \end{bmatrix}
\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{bmatrix}
\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix}
=
\frac{1}{ \sqrt{2} }
\begin{bmatrix} 1 \\ -e^{-i(\pi/4)} \end{bmatrix}
=
\frac{ |0\rangle - e^{-i(\pi/4)} |1\rangle }{ \sqrt{2} }
```

```math
HT^\dagger H|1\rangle
=
\frac{1}{ \sqrt{2} }
\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{bmatrix}
\frac{1}{ \sqrt{2} }
\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & e^{-i(\pi/4)} \end{bmatrix}
\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{bmatrix}
\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix}
=
\frac{1}{2}
\begin{bmatrix} 1 - e^{-i(\pi/4)} \\ 1 + e^{-i(\pi/4)} \end{bmatrix}
=
\frac{ (1 - e^{-i(\pi/4)})|0\rangle + (1 + e^{-i(\pi/4)})|1\rangle }{2}
```

##### 測定

###### 量子回路

![visualIBMQASM.png](https://qiita-image-store.s3.amazonaws.com/0/20418/0ce2007b-b240-d543-696d-18197f427e84.png "visualIBMQASM.png")

![visualIBMQASM.png](https://qiita-image-store.s3.amazonaws.com/0/20418/255757e2-5943-a47e-9830-402d0613a990.png "visualIBMQASM.png")

![visualIBMQASM.png](https://qiita-image-store.s3.amazonaws.com/0/20418/c8844bde-2892-d1ad-b53c-8ff734f02653.png "visualIBMQASM.png")

###### ブロッホ球

![qSphere.png](https://qiita-image-store.s3.amazonaws.com/0/20418/c1460c70-df8a-124b-2a8a-417aafab0097.png "qSphere.png")

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|:--|:--|
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| 1 | 4098 |

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| c1[0] | n |
|:--|:--|
| 0 | 1172 |
| 1 | 7020 |

#### 演習 4-8

> 量子シミュレータで、$ H|1\rangle $、$ T^{\dagger}H|1\rangle $、$ HT^{\dagger}H|1\rangle $ を確かめる量子回路を作成し、どのように量子ビットが回転するか行列計算とともに比較して確かめよ。

##### 行列計算

```math
H|1\rangle
=
\frac{1}{ \sqrt{2} }
\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{bmatrix}
\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix}
=
\frac{1}{ \sqrt{2} }
\begin{bmatrix} 1 \\ -1 \end{bmatrix}
=
\frac{ |0\rangle - |1\rangle }{ \sqrt{2} }
```

```math
TH|1\rangle
=
\frac{1}{ \sqrt{2} }
\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & e^{i(\pi/4)} \end{bmatrix}
\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{bmatrix}
\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix}
=
\frac{1}{ \sqrt{2} }
\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & e^{i(\pi/4)} \end{bmatrix}
\begin{bmatrix} 1 \\ -1 \end{bmatrix}
=
\frac{ |0\rangle - e^{i(\pi/4)} |1\rangle }{ \sqrt{2} }
```

```math
HTH|1\rangle
=
\frac{1}{ \sqrt{2} }
\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{bmatrix}
\frac{1}{ \sqrt{2} }
\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & e^{i(\pi/4)} \end{bmatrix}
\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{bmatrix}
\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix}
=
\frac{1}{2}
\begin{bmatrix} 1 - e^{i(\pi/4)} \\ 1 + e^{i(\pi/4)} \end{bmatrix}
=
\frac{ (1 - e^{i(\pi/4)})|0\rangle + (1 + e^{i(\pi/4)})|1\rangle }{2}
```

##### 測定

###### 量子回路

![visualIBMQASM.png](https://qiita-image-store.s3.amazonaws.com/0/20418/b275b654-625f-1d32-9640-42445d4702b6.png "visualIBMQASM.png")

![visualIBMQASM.png](https://qiita-image-store.s3.amazonaws.com/0/20418/9cdd69ea-2b82-d6ad-7bc8-c819fbfe019a.png "visualIBMQASM.png")

###### ブロッホ球

![qSphere.png](https://qiita-image-store.s3.amazonaws.com/0/20418/e0c19db8-4342-bb2e-34ea-9e0b4fb74a96.png "qSphere.png")

| c1[0] | n |
|:--|:--|
| 0 | 4094 |
| 1 | 4098 |

![qSphere.png](https://qiita-image-store.s3.amazonaws.com/0/20418/2029f3d1-da3b-a54b-3951-469d3acbd812.png "qSphere.png")

| c1[0] | n |
|:--|:--|
| 0 | 1172 |
| 1 | 7020 |

#### 演習 4-9

> 量子シミュレータで、初期状態 $ |1\rangle $ に対してアダマール演算 H と位相シフト演算 T との組み合わせを連続で作用させるとどうなるか、$ H|1\rangle $、$ TH|1\rangle $、$ HTH|1\rangle $、$ THTH|1\rangle $ として量子回路を作成して行列計算とともに比較して確かめよ。

##### 行列計算

```math
THTH|1\rangle
=
\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & e^{i(\pi/4)} \end{bmatrix}
\frac{1}{ \sqrt{2} }
\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{bmatrix}
\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & e^{i(\pi/4)} \end{bmatrix}
\frac{1}{ \sqrt{2} }
\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{bmatrix}
\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix}
=
\frac{1}{2}
\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & e^{i(\pi/4)} \end{bmatrix}
\begin{bmatrix} 1 - e^{i(\pi/4)} \\ 1 + e^{i(\pi/4)} \end{bmatrix}
=
\frac{ (1 - e^{i(\pi/4)})|0\rangle + (e^{i(\pi/4)} + i)|1\rangle }{ \sqrt{2} }
```

##### 測定

###### 量子回路

![visualIBMQASM.png](https://qiita-image-store.s3.amazonaws.com/0/20418/a976affb-0d16-9d4c-2b74-12dfd5b6e49b.png "visualIBMQASM.png")

###### ブロッホ球

![qSphere.png](https://qiita-image-store.s3.amazonaws.com/0/20418/e943b173-8789-25bd-b8cb-77aaaa306a44.png "qSphere.png")

| c1[0] | n |
|:--|:--|
| 0 | 1172 |
| 1 | 7020 |