基礎数学公式一覧【三角関数】

#はじめに
筆者自身の勉強用備忘録です。
三角関数は、高校生時代に多少馬鹿にしていましたが、学びなおすとすごく重要。このおかげでいろいろな公式展開ができます。
[Wikipediaリンク](https://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%B8%89%E8%A7%92%E9%96%A2%E6%95%B0%E3%81%AE%E5%85%AC%E5%BC%8F%E3%81%AE%E4%B8%80%E8%A6%A7)

同じシリーズとして微分は別記事[「基礎数学公式一覧【微分】」](http://qiita.com/FukuharaYohei/items/5fe776fa863a43bf9b72)にあります。


#公式一覧
###数学Ⅰ内容([リンク先](https://qiita.com/FukuharaYohei/items/78ec8690043b34d39020)参照)
|項目|内容 |備考|
|:--|:--|:--|
|基本公式| $ \tan \theta= \frac{\sin \theta}{\cos \theta}\\ $ <br> $ \sin ^2\theta+\cos ^2\theta=1\\ $ <br> $ 1+\tan ^2\theta= \frac{1}{\cos ^2\theta} $ |基本中の基本|
|正弦定理| $ \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R $ |図形は[リンク先](http://qiita.com/drafts/78ec8690043b34d39020/edit)参照|
|余弦定理| $ a^2 = b^2+c^2-2bc\\cos A\ $ <br> $ \cos A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc} $ |図形は[リンク先](http://qiita.com/drafts/78ec8690043b34d39020/edit)参照|

###数学Ⅱ内容([リンク先](https://qiita.com/FukuharaYohei/items/5647cde590902cc42ec4)参照)
|項目|内容 |備考|
|:--|:--|:--|
|加法定理| $ \sin(\alpha\pm\beta)=\sin\alpha\cos\beta\pm\cos\alpha\sin\beta\\ $ <br> $ \cos(\alpha\pm\beta)=\cos\alpha\cos\beta\mp\sin\alpha\sin\beta\\ $ <br> $ \tan(\alpha\pm\beta)=\frac{\tan\alpha\pm\tan\beta}{1\mp\tan\alpha\tan\beta}\\ $ |本当によく使います|
|2倍角の公式| $ \sin2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha\\ $ <br> $ \cos2\alpha=\cos^2\alpha-\sin^2\alpha=2\cos^2\alpha-1=1-2\sin^2\alpha\\ $ <br> $ \tan2\alpha=\frac{2\tan\alpha}{1+\tan^2\alpha}\\ $|加法定理ほどではないですが使います|
|半角の公式| $ \sin^2\frac{\alpha}{2}=\frac{1-\cos\alpha}{2}\\ $ <br> $ \cos^2\frac{\alpha}{2}=\frac{1+\cos\alpha}{2}\\ $ <br> $ \tan^2\frac{\alpha}{2}=\frac{1-\cos\alpha}{1+\cos\alpha}\\ $ |加法定理ほどではないですが使います|
|3倍角の公式| $ \sin3\alpha=3\sin\alpha\-4\sin^3\alpha\ $ <br> $ \cos3\alpha=4\cos^3\alpha\-3\cos\alpha\ $ |使った記憶がないです・・・|

###数学Ⅲ内容([リンク先](http://qiita.com/FukuharaYohei/items/a623a6948a190fc55a38)参照)
|項目|内容 |備考|
|:--|:--|:--|
|積和の公式| $ \sin\alpha\cos\beta=\frac{1}{2}[\sin(\alpha-\beta)+\sin(\alpha-\beta)]\\ $ <br> $ \cos\alpha\sin\beta=\frac{1}{2}[\sin(\alpha-\beta)-\sin(\alpha-\beta)]\\ $ <br> $ \cos\alpha\cos\beta=\frac{1}{2}[\cos(\alpha+\beta)+\cos(\alpha-\beta)]\\ $ <br> $ \sin\alpha\sin\beta=\frac{1}{2}[\cos(\alpha+\beta)+\cos(\alpha-\beta)]\\ $ <br>|加法定理から簡単に導出可能<br>あまり使ったことはないですが・・・|
|和積の公式| $ \sin A+\sin B=2\sin\frac{A+B}{2}\cos\frac{A-B}{2}\\ $ <br> $ \sin A-\sin B=2\cos\frac{A+B}{2}\sin\frac{A-B}{2}\\ $ <br> $ \cos A+\cos B=2\cos\frac{A+B}{2}\cos\frac{A-B}{2}\\ $ <br> $ \cos A-\cos B=-2\sin\frac{A+B}{2}\sin\frac{A-B}{2}\\ $ <br>|あまり使ったことはないですが・・・|
|ワイエルシュトラスの置換| $ \tan\theta\=t $とおくと <br> $ \sin2\theta=\frac{1+t^2}{2t}\\ $ <br> $ \cos2\theta\=\frac{1+t^2}{1-t^2}\\ $ |積分計算で使う|
|微分公式| $ (\sin x)'=\cos x $ <br> $ (\cos x)'=-\sin x\\ $ <br> $ (\tan x)'=\frac{1}{cos^2 x} $ |非常によく使います|

###大学内容
####逆三角関数
|項目|通常表記 |定義|
|:--|:--|:--|
|アークサイン(arcsine)| $y=sin^{-1}{x}$ または $ y=\arcsin\{x}\\ $ <br>|$ x=\sin\{y} $|
|アークコサイン(arccosine)| $y=cos^{-1}{x}$ または $ y=\arccos\{x}\\ $ <br>|$ x=\cos\{y} $|
|アークタンジェント(arctangent)| $y=sin^{-1}{x}$ または $ y=\arctan\{x}\\ $ <br>|$ x=\tan\{y} $|
:bangbang: 逆三角関数は**逆数ではない**です
$sin^{-1}{x}\neq\frac{1}{\sin{x}}$
逆数は以下のように別記号で表されます

- $ \frac{1}{\sin{x}}=\csc\{x}$ (コセカント("cosec"とも表します))

- $ \frac{1}{\cos{x}}=\sec\{x}$ (セカント)

- $ \frac{1}{\tan{x}}=\cot\{x}$ (コタンジェント)

微分公式は以下のようになります。

- $ (\sin^{-1}{x})'=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} $  $ (-1<x<1)$ 

- $ (\cos^{-1}{x})'=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} $  $ (-1<x<1)$ 

- $ (\tan^{-1}{x})'=\frac{1}{1+x^2} $  $ (-1<x<1)$ 


####双曲線関数
#####基本定義
三角関数ではないですが、類似しているということと、筆者の便宜上、当記事にのせておきます。

|項目|定義 |
|:--|:--|:--|
|ハイパボリック・コサイン<br>(hyperbolic cosine)| $\cosh{x}=\frac{e^x+e^{-x}}{2}$ |
|ハイパボリック・サイン<br>(hyperbolic sine)| $\sinh{x}=\frac{e^x-e^{-x}}{2}$ |
|ハイパボリック・タンジェント<br>(hyperbolic tangent)| $\tanh{x}=\frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}$ |

#####基本性質
三角関数とほぼ同じです

- $ \cosh{^2}{x} - \sinh{^2}{x}=1 $  

- $ 1 - tanh{^2}{x}=\frac{cosh{^2}{x}}{1} $ (三角関数基本公式と符号に注意)

- $ \tanh{x}=\frac{cosh{x}}{sinh{x}}\\ $

#####加法定理
三角関数の加法定理とほぼ同じです

- $ \sinh(\alpha\pm\beta)=\sinh\alpha\cosh\beta\pm\cosh\alpha\sinh\beta\\ $  

- $ \cosh(\alpha\pm\beta)=\cosh\alpha\cosh\beta\pm\sinh\alpha\sinh\beta\\ $ (三角関数加法定理と符号に注意)

- $ \tanh(\alpha\pm\beta)=\frac{\tan\alpha\pm\tan\beta}{1\pm\tan\alpha\tan\beta}\\ $ (三角関数加法定理と符号に注意)

#####逆関数

- $ \sinh^{-1}{x}=\log (x+\sqrt{x^2+1})$  

- $ \cosh^{-1}{x}=\log (x+\sqrt{x^2-1})$  

- $ \tanh^{-1}{x}=\frac{1}{2}\log \frac{1+x}{1-x}\\ $

#####微分公式

- $ (\sinh^{x})' =\cosh^{x}  $  

- $ (\cosh^{x})' =\sinh^{x}  $  

- $ (\tanh^{x})' =1- \tanh^{2}{x}  $  

- $ (\sinh^{-1}{x})' =\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}  $  

- $ (\cosh^{-1}{x})' =\frac{1}{\sqrt{x^2-1}}  $  

- $ (\tanh^{-1}{x})' =\frac{1}{1-x^2}   $  

###三角関数関連
極限・微分等

|項目|内容 |備考|
|:--|:--|:--|
|極限公式| $ \lim_{x\rightarrow0}\frac{\sin{x}}{x}=1 $ <br> $ \lim_{x\rightarrow0}\frac{\tan{x}}{x}=1 $ <br> $ \lim_{x\rightarrow0}\frac{1-\cos{x}}{x^2}=\frac{1}{2} $ |図形的に証明できます|