今更「黄金比って何ですか？」とは言えない人へ

# 貴金属比
数学において、貴金属比(metallic ratio)とは、
![貴金属比.gif](https://qiita-image-store.s3.amazonaws.com/0/32681/b38cedf1-32d3-389f-e43e-a807d5b3b249.gif "貴金属比.gif")
（nは自然数）で表される比の事です。
## 貴金属数
### 貴金属数
貴金属数(metallic number)とは、逆数との差が自然数である実数の事です。
nが自然数の時の **第n貴金属数** は
![貴金属数.gif](https://qiita-image-store.s3.amazonaws.com/0/32681/a42a404a-da22-6ce5-51dd-0a584292a34b.gif "貴金属数.gif")
で表されます。√内の4と、分母の2は、それぞれ![ルート内の4.gif](https://qiita-image-store.s3.amazonaws.com/0/32681/642f4696-1913-846b-e531-4e4ad5a3f4a9.gif "ルート内の4.gif")と、![bunbo.gif](https://qiita-image-store.s3.amazonaws.com/0/32681/64fa81b0-0a77-61c8-a3e2-3ab580f1eab6.gif "bunbo.gif")
を意味しています。これは二次方程式
![二次方程式.gif](https://qiita-image-store.s3.amazonaws.com/0/32681/b7b8d47b-d67b-2b46-eee8-6ec2160765e2.gif "二次方程式.gif")の正の解です。

特に第1貴金属数![黄金数.gif](https://qiita-image-store.s3.amazonaws.com/0/32681/4abb9a31-41a6-c777-1488-69e0bda7f849.gif "黄金数.gif")を **黄金数** 、第２貴金属数![白銀数.gif](https://qiita-image-store.s3.amazonaws.com/0/32681/c2f98824-1c4d-6152-485b-fc374c4a35b5.gif "白銀数.gif")を **白銀数** 、第３貴金属数![青銅数.gif](https://qiita-image-store.s3.amazonaws.com/0/32681/1db21276-c803-2e5a-ef8b-3549ea371a4b.gif "青銅数.gif")を青銅数と呼びます。
### 貴金属数と逆数
第n貴金属数の逆数は![貴金属数の逆数.gif](https://qiita-image-store.s3.amazonaws.com/0/32681/b87e20f5-0a71-d1ec-d4ac-67bec54434ed.gif "貴金属数の逆数.gif")で表されます。この時、第n貴金属数との差は、自然数nです。
* 例
　* 第1貴金属数は![第一貴金属数.gif](https://qiita-image-store.s3.amazonaws.com/0/32681/1efedc4d-5a15-60ca-ba66-0ff32cc980d8.gif "第一貴金属数.gif")であり、その逆数は![第一貴金属数の逆数.gif](https://qiita-image-store.s3.amazonaws.com/0/32681/092a4b1e-bd31-b59a-e1e1-2b0ab85dd4e9.gif "第一貴金属数の逆数.gif")となり、その差は![第一貴金属数と逆数の差.gif](https://qiita-image-store.s3.amazonaws.com/0/32681/7672626b-748e-5446-47b5-bccf7653e3c6.gif "第一貴金属数と逆数の差.gif")自然数1となります。

### 貴金属数の累乗
 * 貴金属数の正の奇数乗は、常に貴金属数です。
 * 貴金属数の正の偶数乗は、常に逆数との和が自然数となる実数です。

### 連分数として
貴金属数には連分数表示があります。それは以下の式で表されます。
![連分数.gif](https://qiita-image-store.s3.amazonaws.com/0/32681/7a41577d-11a8-ef2a-6be5-416033a563b5.gif "連分数.gif")

# 黄金比
黄金比(golden ratio)は、![GoldenRatio.gif](https://qiita-image-store.s3.amazonaws.com/0/32681/026ad1e0-8c3e-2963-68ac-5cf57149ed40.gif "GoldenRatio.gif")
で表される比で、第1貴金属比です。近似値は約5:8です。
また、線分を![線分.gif](https://qiita-image-store.s3.amazonaws.com/0/32681/2c6bee49-2515-7dfc-78ec-6055c427c930.gif "線分.gif")の長さで分割する時に、![線分分割.gif](https://qiita-image-store.s3.amazonaws.com/0/32681/8b03666b-b238-c4f2-ce67-ad3f5300c658.gif "線分分割.gif")が成り立つように分割した時の比![線分による黄金比.gif](https://qiita-image-store.s3.amazonaws.com/0/32681/cfb7ae50-c0a3-0bff-f242-eb1ee6b76eb0.gif "線分による黄金比.gif")でも表されます。
黄金比において![Golden1.gif](https://qiita-image-store.s3.amazonaws.com/0/32681/85a69159-6895-cb57-d13e-abb3580d2899.gif "Golden1.gif")は、二次方程式![Golden2.gif](https://qiita-image-store.s3.amazonaws.com/0/32681/ff4a895a-83dc-7cf8-5779-3da2072e0a7c.gif "Golden2.gif")の正の解であり、黄金数と呼びます。ギリシャ文字のφで表されます。
## 黄金長方形
辺の長さの比が黄金比になる四角形を黄金長方形と言います。
![GoldenRectAngle.png](https://qiita-image-store.s3.amazonaws.com/0/32681/d2af425b-4d6a-1792-abba-d26b699acd21.png "GoldenRectAngle.png")
## 黄金分割
黄金長方形から短辺を一辺とする長方形を取り除くと、残る部分はまた黄金長方形となります。これを繰り返すと、黄金長方形は無限個の正方形で埋め尽くされます。
![GoldenDevide.png](https://qiita-image-store.s3.amazonaws.com/0/32681/16dcabe6-48c0-d5a0-b560-e19115bba6b1.png "GoldenDevide.png")
## 描画
正方形abcdを作成して、辺bcの中点oを中心に、線分odを半径とした円を描きます。この円と辺bcの延長線の交点をeとすると、![GoldnDraw.gif](https://qiita-image-store.s3.amazonaws.com/0/32681/1d6e28c0-c68a-9d7f-b887-21cd1b3fa8f3.gif "GoldnDraw.gif")が黄金比になります。
### フィボナッチ数
n番目のフィボナッチ数を![フィボナッチ数原形.gif](https://qiita-image-store.s3.amazonaws.com/0/32681/55f52a89-345b-53ee-9c3f-01949a84faef.gif "フィボナッチ数原形.gif")で表すと、![フィボナッチ数原形.gif](https://qiita-image-store.s3.amazonaws.com/0/32681/48d50c1f-9412-071d-fbbc-accade1e8672.gif "フィボナッチ数原形.gif")は再帰的に
![フィボナッチ数.gif](https://qiita-image-store.s3.amazonaws.com/0/32681/b89e3e22-fc89-4aac-475c-aae3367a5b22.gif "フィボナッチ数.gif")
で定義されます。これは、2つの初期条件を持つ漸化式です。
この数列である![フィボナッチ数列.gif](https://qiita-image-store.s3.amazonaws.com/0/32681/6058d7f4-a148-83bd-8f62-1e418eac665d.gif "フィボナッチ数原形.gif")は **フィボナッチ数列** (Fibonacci sequence)と呼ばれ、先頭から少しを取り出すと
![フィボナッチ数列.gif](https://qiita-image-store.s3.amazonaws.com/0/32681/f1711426-4408-3adb-fffa-7f94240f5ae4.gif "フィボナッチ数列.gif")
と続きます。最初の二項は![フィボナッチ数列先頭二項.gif](https://qiita-image-store.s3.amazonaws.com/0/32681/788219eb-3cb8-12b1-94b9-a8261b49f5ad.gif "フィボナッチ数列先頭二項.gif")で、第三項目からは、その直前の二項の和となっています。

フィボナッチ数列の隣り合う二項の比は黄金比に収束すると言う特性を持っています。

# 白銀比
白銀比と呼ばれるものは、以下の2つがあり、いずれも無理比です。
1. ![Silver1.gif](https://qiita-image-store.s3.amazonaws.com/0/32681/ea84e7df-c0fb-6f2c-f752-d9eeacda67e4.gif "Silver1.gif")の比。（第二貴金属比(silver ratio)）
2. ![Silver2.gif](https://qiita-image-store.s3.amazonaws.com/0/32681/adb9c7e4-4b38-726f-151d-cdf829afe755.gif "Silver2.gif")の比。（紙の縦横比）として用いられ、日本では古くから美しい比とされてます。
## 貴金属比としての白銀比
![SilverRatio.gif](https://qiita-image-store.s3.amazonaws.com/0/32681/463ede79-b87c-5250-d20e-7ed3147e2cd7.gif "SilverRatio.gif")
で表される比で第1貴金属比です。近似値は約5:12です。
また、線分![line.gif](https://qiita-image-store.s3.amazonaws.com/0/32681/4cf87488-bf1f-be85-54a4-ffb4bf01ffe3.gif "line.gif")の長さで分割する時に、![silverRation.gif](https://qiita-image-store.s3.amazonaws.com/0/32681/9ceef3b6-a648-9bcb-f2c6-74ecacb0f61c.gif "silverRation.gif")が成り立つように分割した時の![ratio.gif](https://qiita-image-store.s3.amazonaws.com/0/32681/1d1a5e4f-7330-28cf-5ddb-368b56aed623.gif "ratio.gif")でも表されます。
白銀比において![silvernumber.gif](https://qiita-image-store.s3.amazonaws.com/0/32681/a3a9fa64-a631-2bc3-ecba-019f85d9410f.gif "silvernumber.gif")は、二次方程式![silverformuration.gif](https://qiita-image-store.s3.amazonaws.com/0/32681/059aa229-863f-378e-f3ea-9381fc250c12.gif "silverformuration.gif")の正の解であり、白銀数と呼びます。ギリシャ文字のτで表されます。
## 白銀長方形
![silverRectAngle.png](https://qiita-image-store.s3.amazonaws.com/0/32681/364658ad-b9cb-edcd-fbea-8a05475f7da9.png "silverRectAngle.png")
正方形を描き、その一辺の長さを![n.gif](https://qiita-image-store.s3.amazonaws.com/0/32681/99950a4d-f8a4-38e1-8568-4c6ed8a0fd34.gif "n.gif")とした時に、![nroot2.gif](https://qiita-image-store.s3.amazonaws.com/0/32681/65348e3c-59db-8ecf-3207-d620757d1344.gif "nroot2.gif")の長方形を![n.gif](https://qiita-image-store.s3.amazonaws.com/0/32681/9fa439ff-6f1f-3a5b-cee4-065843647c58.gif "n.gif")同士を合わせる様に隣接させると白銀長方形が得られます。
## 紙に用いられる白銀比
![PaveSilverRatio.gif](https://qiita-image-store.s3.amazonaws.com/0/32681/67a526c0-17fd-d29f-003d-a068728fb942.gif "PaveSilverRatio.gif")で表される比で近似値は約5:7です。
一辺と他辺が![PaveSilverRatio.gif](https://qiita-image-store.s3.amazonaws.com/0/32681/aa65d579-7d69-6bb9-7fc3-799d37a2d34e.gif "PaveSilverRatio.gif")
となる長方形を白銀長方形(silver rectangle）と呼びます。
ISO 216で定められる紙の寸法は![PaveSilverRatio.gif](https://qiita-image-store.s3.amazonaws.com/0/32681/e64b16e2-44b8-2943-a5a2-837524e7d751.gif "PaveSilverRatio.gif")白銀長方形です。このような紙を向かい合う長辺の中点を結ぶ線分により2分割、即ち短辺を合わせるように折ると。それもまた![PaveSilverRatio.gif](https://qiita-image-store.s3.amazonaws.com/0/32681/e40ce02e-ca6a-8a55-e5d5-3ce8c3047a4a.gif "PaveSilverRatio.gif")白銀長方形となり、元の紙と相似になります。
例としてA4（![A4.gif](https://qiita-image-store.s3.amazonaws.com/0/32681/c8b86dba-cc16-2884-7f2e-c6a9466aedd5.gif "A4.gif")
）を2分割すると、![A4.gif](https://qiita-image-store.s3.amazonaws.com/0/32681/7b4956a1-fbc3-163d-0f1a-cc0c4b55094a.gif "A4.gif")となり、A5サイズとなります。尚、B版のサイズでも同様になります。
また、![numby2.gif](https://qiita-image-store.s3.amazonaws.com/0/32681/c3bc2d0a-34c2-a464-ccf5-6bb202e5e83f.gif "numby2.gif")である事から2倍の等比数列を作ると![numby2.gif](https://qiita-image-store.s3.amazonaws.com/0/32681/2e20a920-b7a1-5b93-4811-04c4da0dd27f.gif "numby2.gif")となり、値の間隔が広すぎる場合があります。
この様な場合に![root2.gif](https://qiita-image-store.s3.amazonaws.com/0/32681/8a18184a-d154-a07d-3746-32dfe155ae13.gif "root2.gif")倍の等比数列を作るのにも用いられています。![root2.gif](https://qiita-image-store.s3.amazonaws.com/0/32681/3f5b3146-520e-8644-8d12-bd5b78c1507f.gif "root2.gif")の等比数列は![root2num.gif](https://qiita-image-store.s3.amazonaws.com/0/32681/88f2d972-2f72-16d2-bc75-2faa1da89dde.gif "root2num.gif")となり、写真レンズの開口比（F値）がこの数列に基づいている事が判ります。
# 青銅比
青銅比(bronze ratio)は、![BronzeRatio.gif](https://qiita-image-store.s3.amazonaws.com/0/32681/979558a3-7bfa-8fc8-3186-051573a2d234.gif "BronzeRatio.gif")
で表される比で第3貴金属比です。近似値は1:3.303です。
青銅比において![BronzeNumber.gif](https://qiita-image-store.s3.amazonaws.com/0/32681/8a067643-0249-c656-ca7c-e45368aa3c99.gif "BronzeNumber.gif")は、二次方程式![BronzeEquotation.gif](https://qiita-image-store.s3.amazonaws.com/0/32681/b2505acf-b03c-1b50-96e1-719629514042.gif "BronzeEquotation.gif")の正の解であり、青銅数と言います。