『クラウド量子計算入門』の演習を行う (2 パウリゲートの量子実験)


# はじめに

こちらの本を読みつつ、演習・実験を試してみます。

- [『クラウド量子計算入門―IBMの量子シミュレーションと量子コンピュータ』](https://www.amazon.co.jp/dp/4877834087/)

![q.jpg](https://qiita-image-store.s3.amazonaws.com/0/20418/e67e0ddc-ba9e-e647-a277-7cd216410bb5.jpeg "q.jpg")

まずは一番基本的な演算(?)で、シミュレータも動かしていますが、まだまだぼんやりした理解です。

# 2 パウリゲートの量子実験

## 2.2 恒等ゲートとパウリゲートを使った量子シミュレータ実験

### 2.2.1 恒等演算 *Id*

#### 演習 2-1

> 行列計算と量子シミュレータを使って $ Id|1\rangle=|1\rangle $ を確かめよ。量子シミュレータでの測定は、標準基底測定とブロッホ測定とで別々に確かめよ。

##### 行列計算

```math
Id | 1\rangle
=
\begin{bmatrix}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
0 \\
1
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
0 \\
1
\end{bmatrix}
=
|1\rangle
```

##### 標準基底測定

###### 量子回路

![visualIBMQASM.png](https://qiita-image-store.s3.amazonaws.com/0/20418/d6b780a6-3ef8-7926-50f5-be464fd5d285.png "visualIBMQASM.png")

###### 実行結果

|Shots|Value|Probability|Qubits Measured|
|--:|--:|--:|--:|
| 1 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 0 |

##### ブロッホ測定

###### 量子回路

![visualIBMQASM.png](https://qiita-image-store.s3.amazonaws.com/0/20418/b825f295-b7f9-dc1f-ef79-855f080204cc.png "visualIBMQASM.png")

###### ブロッホ球

![blochSphereQubit0.png](https://qiita-image-store.s3.amazonaws.com/0/20418/920a8a77-c934-b156-f812-babe56ce30c7.png "blochSphereQubit0.png")

| Shots | Qubit | X | Y | Z |
|--:|:--|--:|--:|--:|
| 1 | Q0 | 0 | 0 | -1 |

### 2.2.2 ビット反転演算 *X*

#### 演習 2-2

> 行列と量子シミュレータを使って、$ X(X|1\rangle)=|1\rangle $ を確かめよ。量子シミュレータでの測定はブロッホ測定で行う。

##### 行列計算

```math
X(X|1\rangle)
=
\begin{bmatrix}
0 & 1 \\
1 & 0
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
0 & 1 \\
1 & 0
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
0 \\
1
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
0 & 1 \\
1 & 0
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
0 \\
1
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
0 \\
1
\end{bmatrix}
=
| 1\rangle
```

##### ブロッホ測定

###### 量子回路

![visualIBMQASM.png](https://qiita-image-store.s3.amazonaws.com/0/20418/d77f6ff6-5ef0-883e-bcda-5c4515c08fc0.png "visualIBMQASM.png")

###### ブロッホ球

![blochSphereQubit0.png](https://qiita-image-store.s3.amazonaws.com/0/20418/5a2fd622-83d1-3dc7-ce03-b99fff5cbee5.png "blochSphereQubit0.png")
![blochSphereQubit1.png](https://qiita-image-store.s3.amazonaws.com/0/20418/d4c99d2b-cf3f-cdab-0bb4-dac5f82d9314.png "blochSphereQubit1.png")

| Shots | Qubit | X | Y | Z |
|--:|:--|--:|--:|--:|
| 1 | Q0 | 0 | 0 | -1 |
| 1 | Q1 | 0 | 0 | -1 |

### 2.2.3 位相反転演算 *Z*

#### 演習 2-3

> 行列計算と量子シミュレータを使って、$ ZZ|0\rangle=|0\rangle $, $ ZZ|1\rangle=|1\rangle $ を確かめよ。量子シミュレータでの測定は、標準基底測定とブロッホ測定とで別々に確かめよ。

##### 行列計算

```math
ZZ|0\rangle
=
\begin{bmatrix}
1 & 0 \\
0 & -1
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
1 & 0 \\
0 & -1
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
1 \\
0
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
1 \\
0
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
1 \\
0
\end{bmatrix}
=
|0\rangle
```

```math
ZZ|1\rangle
=
\begin{bmatrix}
1 & 0 \\
0 & -1
\end{bmatrix}

\begin{bmatrix}
1 & 0 \\
0 & -1
\end{bmatrix}

\begin{bmatrix}
0 \\
1
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{bmatrix}

\begin{bmatrix}
0 \\
1
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
0 \\
1
\end{bmatrix}
=
|1\rangle
```

##### 標準基底測定

###### 量子回路

![visualIBMQASM.png](https://qiita-image-store.s3.amazonaws.com/0/20418/d1f5b3ee-f3a8-ccdf-1977-ce657aa1ed8e.png "visualIBMQASM.png")

###### 実行結果

|Shots|Value|Probability|Qubits Measured|
|--:|--:|--:|--:|
| 1 |  0 | 0 | 0,1 |
| 1 |  1 | 1 | 0,1 |
| 1 | 10 | 0 | 0,1 |
| 1 | 11 | 0 | 0,1 |

##### ブロッホ測定

###### 量子回路

![visualIBMQASM.png](https://qiita-image-store.s3.amazonaws.com/0/20418/296542d7-f052-90d3-16db-7ca9111b881f.png "visualIBMQASM.png")

###### ブロッホ球

![blochSphereQubit0.png](https://qiita-image-store.s3.amazonaws.com/0/20418/741f6f5c-e27d-35cc-bc76-2a155a3f130b.png "blochSphereQubit0.png")

![blochSphereQubit1.png](https://qiita-image-store.s3.amazonaws.com/0/20418/88767ead-fa21-13df-9670-8af699f833d4.png "blochSphereQubit1.png")

| Shots | Qubit | X | Y | Z |
|--:|:--|--:|--:|--:|
| 1 | Q0 | 0 | 0 | -1 |
| 1 | Q1 | 0 | 0 | -1 |

### 2.2.4 位相・ビット反転演算 *Y*

演習はなし。

#### 実験

Help にもあるけど、$ Y = XZ $ とのことなので、それを確認する。

##### ブロッホ測定

###### 量子回路

![visualIBMQASM.png](https://qiita-image-store.s3.amazonaws.com/0/20418/07f8ed33-8611-e3dc-9b72-33ac1a959830.png "visualIBMQASM.png")

###### ブロッホ球

![blochSphereQubit0.png](https://qiita-image-store.s3.amazonaws.com/0/20418/3a90bc00-96d0-3966-3af8-debd9a921942.png "blochSphereQubit0.png")

![blochSphereQubit1.png](https://qiita-image-store.s3.amazonaws.com/0/20418/e77e623e-2378-c5ad-c8bb-d37ec3d4b49f.png "blochSphereQubit1.png")

![blochSphereQubit2.png](https://qiita-image-store.s3.amazonaws.com/0/20418/bf4709af-151e-0c82-c423-3b0ce46436a5.png "blochSphereQubit2.png")

![blochSphereQubit3.png](https://qiita-image-store.s3.amazonaws.com/0/20418/b98f81c4-cd32-1b6e-3fef-81f5a79e18ed.png "blochSphereQubit3.png")

| Shots | Qubit | X | Y | Z |
|--:|:--|--:|--:|--:|
| 1 | Q0 | 0 | 0 | -1 |
| 1 | Q1 | 0 | 0 |  1 |
| 1 | Q2 | 0 | 0 | -1 |
| 1 | Q3 | 0 | 0 |  1 |