RC ローパスフィルタの周波数応答

RC ローパスフィルタの周波数応答を計算します。

# 背景
最近、[The Art of Electronics](http://artofelectronics.net) を読んで電子回路設計を復習しています。大変良い本なのでおススメです！

この本は、実務的な視点を重視して書かれています。数式的な理解は必要最低限なものに抑え、電子回路の直感的な理解をすることを重視しています。とくに気に入っているのは、執筆年の2015年時点で、実際にその回路を設計するにはどうするべきか、が具体的に書かれている点です。たとえば、ツェナーダイオードによる定電圧源を説明した後には、実際の設計ではレギュレータ IC を使うように、としっかり注意がされています。

逆に、大学レベルの数学を必要とする部分は、結果の式のみが書かれていたりします。理論的な詳細は他の本で勉強することが勧められています。

とはいえ、大学数学の復習がてら、ちょっと式の導出に挑戦してみることにしました。

# 目標
§1.7.1A に RC フィルタの周波数応答の近似式:

```math
\frac{|V_{out}|}{|V_{in}|} \approx \frac{1}{1+\omega RC}
```

が載っています。しかし、これはちゃんと解くと、

```math
\frac{|V_{out}|}{|V_{in}|} = \frac{1}{\sqrt{1+\omega^2 (RC)^2}}
```

となります。これを、§1.7.1A までの知識で導出してみます。ちなみに、書籍中では§1.7.9 に、インピーダンスに拡張したオームの法則[^1]を利用した解説が載っています。

# 立式

```
V_in --+
       |
      [ ] R
       |
       +--- V_out
       |
       =  C
       |
       v GND
```

抵抗 R, コンデンサ C を通る電流 $I_R, I_C$ は

```math
I_R = \frac{V_{in} - V_{out}}{R} \tag{1}
```

```math
\renewcommand{\d}[1]{\operatorname{d}\!{#1}}
I_C = C \frac{\d V_{out}}{\d t} \tag{2}
```

で与えられる。また、$V_{out}$の節点を通る電流の合計は0になるので、

```math
I_R - I_C = 0 \tag{3}
```

入力電圧 $V_{in}$ は、sinusoid で与えられるとする: 

```math
V_{in} = A \cos \omega t \tag{4}
```

# 非斉次1階微分方程式にする
(3)に(1),(2)を代入して:

```math
\frac{V_{in} - V_{out}}{R} - C \frac{\d V_{out}}{\d t} = 0 
```

$-R$を両辺に掛けて整理:

```math
RC \frac{\d V_{out}}{\d t} + V_{out} = V_{in}
```

(4)を代入して、

```math
RC \frac{\d V_{out}}{\d t} + V_{out} = A \cos \omega t \tag{5}
```

# 斉次1階微分方程式を解く

とりあえず、右辺が0の場合どうなるか考えてみる。

```math
RC \frac{\d x}{\d t} + x = 0
```

解$x = \beta e^{\alpha t}$を仮定すると、$ \alpha = -1/RC $となり、解は

```math
x = \beta e^{-\frac{1}{RC}t}
```

の形をしていることがわかる。

# 非斉次1階微分方程式を解く

定数変化法をつかってみる。$\beta$がやっぱりtの関数 $\beta_t$ だったとすると、

```math
\begin{align}
V_{out} &= \beta_t e^{-\frac{1}{RC}t} \\
\frac{\d V_{out}}{\d t} &= \frac{\d \beta_t}{\d t} e^{-\frac{1}{RC}t} - \frac{1}{RC} \beta_t e^{-\frac{1}{RC}t}
\end{align}
```

(5)に代入して

```math
RC \Bigl\{ \frac{\d \beta_t}{\d t} e^{-\frac{1}{RC}t} - \frac{1}{RC} \beta_t e^{-\frac{1}{RC}t} \Bigr\} + \beta_t e^{-\frac{1}{RC}t} = A \cos \omega t
```

整理して、

```math
\frac{\d \beta}{\d t} = \frac{A}{RC} e^{\frac{1}{RC} t} \cos \omega t
```

両辺をtで積分すれば、

```math
\begin{align}
\beta &= \int \frac{A}{RC} e^{\frac{1}{RC} t} \cos \omega t \d t\\
&= \frac{A}{RC} \int e^{\frac{1}{RC} t} \cos \omega t \d t \tag{6}
\end{align}
```

つらい…

# 積分をどうにかする

```math
\begin{align}
e^{(p+iq)t} &= e^{pt} \bigl( \cos qt + i \sin qt \bigr) \\
 &= e^{pt} \cos qt + i e^{pt} \sin qt
\end{align}
```

両辺積分すると

```math
\int e^{(p+iq)t} \d t = \int e^{pt} \cos qt \d t + i \int e^{pt} \sin qt \d t \tag{7}
```

左辺をみていくと、

```math
\begin{align}
\int e^{(p+iq)t} \d t &= \frac{e^{(p+iq)t}}{p+iq} + C_1 \\
&= \frac{e^{pt}}{p+iq} \bigl( \cos qt + i \sin qt \bigr) \times \frac{p-iq}{p-iq} + C_1 \\
&= \frac{e^{pt}}{p^2+q^2} \Bigl\{ \bigl( p \cos qt + q \sin qt \bigr) + i \bigl( p \sin qt - q \cos qt \bigr) \Bigr\} + C_1
\end{align}
```

$C_{n}$は適当な積分定数。
これと(7)の実部をみると

```math
\int e^{pt} \cos qt \d t = \frac{e^{pt}}{p^2+q^2} \bigl( p \cos qt + q \sin qt \bigr) + C_2
```

(6)の積分と見比べると、$p = 1/RC, q = \omega$なので、

```math
\beta = \frac{A}{RC} \times \frac{e^{\frac{1}{RC}t}}{\frac{1}{(RC)^2}+\omega^2} \bigl( \frac{1}{RC} \cos \omega t + \omega \sin \omega t \bigr) + C_2
```

三角関数の合成なので、

```math
 \bigl( \frac{1}{RC} \cos \omega t + \omega \sin \omega t \bigr) = \sqrt{\frac{1}{(RC)^2} + \omega^2} \cos ( \omega t - \arctan \frac{1}{\omega RC} )
```

```math
\beta = \frac{A}{RC} \times \frac{e^{\frac{1}{RC}t}}{\frac{1}{(RC)^2}+\omega^2} \times \sqrt{\frac{1}{(RC)^2} + \omega^2} \cos ( \omega t - \arctan \frac{1}{\omega RC} ) + C_3
```

$V_{out} = \beta_t e^{-\frac{1}{RC}t} $を思い出して、定数変化させていた$\beta_t$をもどすと、

```math
\begin{align}
V_{out} &= \beta_t e^{-\frac{1}{RC}t} \\
&= \frac{A}{RC} \times \frac{e^{\frac{1}{RC}t}}{\frac{1}{(RC)^2}+\omega^2} \times \sqrt{\frac{1}{(RC)^2} + \omega^2} \cos ( \omega t - \arctan \frac{1}{\omega RC} ) \times e^{-\frac{1}{RC}t} + C_4 e^{-\frac{1}{RC}t} \\
&= \frac{1}{\sqrt{1 + \omega^2 (RC)^2}} A \cos ( \omega t - \arctan \frac{1}{\omega RC} ) + C_4 e^{-\frac{1}{RC}t} \\
\end{align}
```

$C_4 e^{-\frac{1}{RC}t}$は初期状態のときにコンデンサに溜まっていた電荷のdischargeっぽい？

ともあれ、ここから、周波数特性：

```math
\frac{|V_{in}|}{|V_{out}|} = \frac{1}{\sqrt{1+\omega^2 (RC)^2}}
```

位相差:

```math
\theta =  - \arctan \frac{1}{\omega RC}
```

が求まります。

[^1]: 訳に自信なし