2016/10/30　第293回　数学検定1級の反省会

# 0. 反省会
一応解いたのですが、間違っていたり、もっと簡単に求まる方法がありましたら
ご指摘お願いします。結果は、5問は解けてなくて、少なくとも3問は正解してるはず。
　⇒　解答用紙に記入した5問が正解していて、結果通ってました(汗)
試験時間は60分、合格ラインは大きい問題7問中5問正解。
**以下の内容について訂正線が入っており大変見づらいですが、過ちを忘れないために内容を残しております**

# 1. 解答

## 問題 1. 
次の問いに答えなさい。
(1) $2^{2016}$を2016で割った余りを求め、正の整数で答えなさい。

(2) $(2^{2016})^{2016}$を2016で割った余りを求め、正の整数で答えなさい。

### 問題 1. の解答
(1) 64 (2) 64

(計算量の少ない解法　@Toru3 様より)
@Toru3 様より簡潔な解法を教えていただきましたので記述いたします。
$2^{11} \equiv 2^{5} \pmod {2016}$であるため、$k$を自然数とすると
$2^5 2^{6k} \equiv 2^{5 + 6k} \equiv 2^{5 + 6 + 6(k-1)} \equiv 2^{11 + 6(k-1)} \equiv 2^{11} 2^{6(k-1)} \equiv 2^{5} 2^{6(k-1)} \pmod {2016}$
が成立する。よって$2^5 2^{6k} \equiv 2^{5} \pmod {2016}$

(1) $2^{2016} \equiv 2^5 2^{6×225 + 1} \equiv 2^6 \pmod {2016}$ よって64

(2) $(2^{2016})^{2016} \equiv (2^6)^{2016} \equiv 2^6 2^{2016} \equiv 2^6 2^6 \equiv 2^6 \pmod {2016}$よって64 

(ゴリ押し解法)
$2^{11} \equiv 2048 \equiv 32 \equiv 2^5 \pmod {2016}$を何回も適用する。

(1)
$2^{2016} \equiv 2^{11 × 183 + 3} \equiv 2^{5 × 183 + 3} \equiv 2^{918} \equiv 2^{11 × 83 + 5} \equiv 2^{5 × 83 + 5} ・・・ \pmod {2016}$

と計算していくと$2^{2016} \equiv 2^6 \pmod {2016}$

(2)
(1)から$2^{2016} \equiv 2^6 \pmod {2016}$が分かっているので
$(2^{2016})^{2016} \equiv (2^6)^{2016} \equiv 2^{6 × 2016} \equiv (2^{2016})^6 \equiv (2^6)^6 \equiv 2^{36} \pmod {2016}$
あとは、(1)と同様に解くだけ。

(感想)
試験中では、$2^{6 × 2016} \equiv (2^{2016})^6 \equiv (2^6)^6 \pmod {2016}$に気づかず、$2^{6 × 2016} \equiv 2^{12096}$としてしまって、計算してしまいました。
(2)の方針は記事を書いているときに気づきました・・・。
取り敢えず両方正解しましたが。

## 問題 2.
$\cos z = 4$を満たす複素数$z$のうち、純虚数であるものをすべて求めなさい。

### 問題 2. の解答
$z = i \log_e (4 \pm \sqrt{15})$

(解法)
$\displaystyle \cos z = \frac{e^{iz} + e^{-iz}}{2}$で$z=a+ib$ $(a,b \in \bf R)$と置く。
求めるものは純虚数であるため、$a = 0$。
よって、$z = ib$ として解を求めればよい。
$z = ib$を適用すれば$\displaystyle \frac{e^{-b} + e^{b}}{2} = 4$ となる。
ここで、$X = e^{b}$と置くと、$\displaystyle \frac{1}{X} + X = 8$となって、$X = 4 \pm \sqrt{15}$ が求まる。
これより、$e^{b} = 4 \pm \sqrt{15}$より$b = \log_e (4 \pm \sqrt{15})$
従って$z = i \log_e (4 \pm \sqrt{15})$

~~また、$X = e^{-b}$と置くと、$\displaystyle X + \frac{1}{X} = 8$となって、$X = 4 \pm \sqrt{15}$ が求まる。~~
~~これより、$e^{-b} = 4 \pm \sqrt{15}$より$b = -\log_e (4 \pm \sqrt{15})$~~
~~従って$z = \pm i \log_e (4 \pm \sqrt{15})$ (複号任意)~~

(感想)
再確認したところ、$i \log_e (4 \pm \sqrt{15}) = -i \log_e (4 \mp \sqrt{15})$なので、片方でよかったようです。
試験中に解答した値で合ってた・・・。
~~試験中では、$X = e^{b}$のケースの解しか求めていなくて、不正解。~~
~~$\displaystyle \frac{e^{-b} + e^{b}}{2} = 4$の$b$の解が4つもあるなんて、全く気付かなかった・・・。~~
~~これは見落とす。この問題の正答率絶対低いな。良い勉強になったわ。~~

## 問題 3.
次の線形方程式は$xyz$の直線を表します。

```math
\left(
  \begin{array}{ccc}
    -1 & 1 & -1 \\
    1 & -2 & 3 
  \end{array}
\right)
\left(
  \begin{array}{c}
    x\\
    y\\
    z 
  \end{array}
\right) = 
\left(
  \begin{array}{c}
    3\\
    5 
  \end{array}
\right)
```
この直線の単位方向ベクトルを求め、成分表示しなさい。

### 問題 3. の解答

```math
\pm \frac{1}{\sqrt{6}}
\left(
  \begin{array}{c}
    1\\
    2\\
    1 
  \end{array}
\right)
```

(計算量の少ない解法　@Toru3 様より)
@Toru3 様より簡潔な解法を教えていただきましたので記述いたします。

この問題は面と面の交線の単位方向ベクトルを求める問題。
面と面の交線の方向ベクトルは、2つの面の法線ベクトル$\vec{n_1}, \vec{n_2}$と垂直に交わっている。
2つのベクトル$\vec{n_1}, \vec{n_2}$と垂直に交わっているベクトルは$\vec{n_1}$,と$\vec{n_2}$の外積で表される。
従って、$(-1 , 1 , -1)×(1 , -2 , 3) = (1, 2, 1)$
求めるベクトルは直線の単位方向ベクトルなので、
$\|(1,2,1)\|=\sqrt{6}$より、正の方向と負の方向に注意して$\pm \frac{1}{\sqrt{6}}(1,2,1)$

(典型的な解法)

```math
\left \{
  \begin{array}{ccccccc}
    -x & + & y & - & z & = & 3\\
    x & - & 2y & + & 3z & = & 5 
  \end{array}
\right .
```
を解くと

```math
\left(
  \begin{array}{c}
    x\\
    y\\
    z 
  \end{array}
\right) = 
\alpha \left(
  \begin{array}{c}
    1\\
    2\\
    1 
  \end{array}
\right) + 
\left(
  \begin{array}{c}
    -11\\
    -8\\
    0 
  \end{array}
\right)
```

$(\alpha \in \bf R)$より、方向ベクトルは

```math
\alpha \left(
  \begin{array}{c}
    1\\
    2\\
    1 
  \end{array}
\right)
```
よって、正規化して直線の方向は正、負の2つ存在しているため、解のようになる。

(感想)
試験では、正の方向しか求めていませんでした。直線上なので、負の方向もあるよね。
見落としで不正解。

## 問題4.
次の行列式を計算しなさい。

```math
\left|
  \begin{array}{ccccc}
    0 & 0 & 0 & -2 & 2\\
    0 & 0 & 0 & -4 & -1\\
    2 & 7 & 6 & 8 & 3\\
    9 & 5 & 1 & 4 & 7\\
    4 & 3 & 8 & 5 & 9
  \end{array}
\right|
```

### 問題 4. の解答
-3600

(解法)
珍しく、余因子展開するだけで計算ができるパターン。
1行目で余因子展開すれば、

```math
\left|
  \begin{array}{ccccc}
    0 & 0 & 0 & -2 & 2\\
    0 & 0 & 0 & -4 & -1\\
    2 & 7 & 6 & 8 & 3\\
    9 & 5 & 1 & 4 & 7\\
    4 & 3 & 8 & 5 & 9
  \end{array}
\right| = 
2 \left ( 
\left|
  \begin{array}{cccc}
    0 & 0 & 0 & -1\\
    2 & 7 & 6 &  3\\
    9 & 5 & 1 &  7\\
    4 & 3 & 8 &  9
  \end{array}
\right| + 
\left|
  \begin{array}{cccc}
    0 & 0 & 0 & -4 \\
    2 & 7 & 6 & 8 \\
    9 & 5 & 1 & 4 \\
    4 & 3 & 8 & 5 
  \end{array}
\right|

\right)
```

ここで、2つの行列式について両方とも1行目で余因子展開すると

```math
2 \left ( 
\left|
  \begin{array}{cccc}
    0 & 0 & 0 & -1\\
    2 & 7 & 6 &  3\\
    9 & 5 & 1 &  7\\
    4 & 3 & 8 &  9
  \end{array}
\right| + 
\left|
  \begin{array}{cccc}
    0 & 0 & 0 & -4 \\
    2 & 7 & 6 & 8 \\
    9 & 5 & 1 & 4 \\
    4 & 3 & 8 & 5 
  \end{array}
\right|

\right) = 2 \left ( 
\left|
  \begin{array}{ccc}
    2 & 7 & 6\\
    9 & 5 & 1\\
    4 & 3 & 8
  \end{array}
\right| + 
4 \left|
  \begin{array}{ccc}
    2 & 7 & 6\\
    9 & 5 & 1\\
    4 & 3 & 8 
  \end{array}
\right|

\right) = 10
\left|
  \begin{array}{ccc}
    2 & 7 & 6\\
    9 & 5 & 1\\
    4 & 3 & 8
  \end{array}
\right|
```

あとは3×3の行列式を計算すれば終わり。3×3の行列式が-360なので、解は-3600

(解法)
1級の問題は大体、
(1)全行 or 全列足し合わせると同じ値になって計算が簡単になる
(2)

``` math
\left|
  \begin{array}{cc}
    A & B\\
    B & A
  \end{array}
\right| = \det(A+B) \det(A-B)
```

のパターンなんだけど、今回は素直に余因子展開のみで計算できた。
試験中では10でくくったことを忘れていて、-360と解答していたが、見直して10掛けてないことに気づいて、-3600で提出。危うく不正解になるところだった。

## 問題 5.
1個の公正な(1,2,3,4,5,6の目がそれぞれ等しい確率で出る)さいころを続けて振り、
1の目が出た時点で終了とします。終了するまでにさいころを振る回数を$X$(回)とするとき、
次の問いに答えなさい。

(1) $X$の平均(期待値)を求めなさい。

(2) $X$の分散を求めなさい。

### 問題 5. の解答
(1) 6 (2) 30

(解法)
[Wikipedia](https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%B9%BE%E4%BD%95%E5%88%86%E5%B8%83)の例題まんま(笑)

$\displaystyle p = \frac{1}{6}$の幾何分布より、

(1) $\displaystyle E[X] = \frac{1}{p} = 6$

(2) $\displaystyle V[X] = \frac{1-p}{p^2} = 30$

(感想)
試験中では、幾何分布の公式を覚えていないので、普通に導いて解きました。
以下$\displaystyle p = \frac{5}{6}$として
(1) $\displaystyle E[X] = \lim_{n \to \infty} (1-p) \sum_{k = 1}^{n} k p^{k-1} = \lim_{n \to \infty} \sum_{k = 0}^{n} p^{k}$
(2) $\displaystyle V[X] = E[X^2] - (E[X])^2$を用いるために
$\displaystyle E[X^2] = \lim_{n \to \infty} (1-p) \sum_{k = 1}^{n} k^2 p^{k-1} = \lim_{n \to \infty} \sum_{k = 1}^{n} (2k-1) p^{k-1}$を計算。
公式覚えてたら数秒で解けるから覚えておけばよかったなぁ。
多分この問題解くのに数分かかってるから。60分試験で数分短縮できるのは大きい。

## 問題 6.
$\log_e (\sqrt{x^2+1}+x)$をマクローリン展開したときの$x^5$の係数を求めなさい。
ただし、$e$は自然対数の底を表します。

### 問題 6. の解答
$\displaystyle \frac{3}{40}$

(解法)
$f(x) = \log_e (\sqrt{x^2+1}+x)$とする。また$n$回微分を$f^{(n)}(x)$と表記する。
$f(x)$のマクローリン展開は

```math
\displaystyle f(x) = \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{f^{(k)}(0)}{k!} x^k
```
であるため、$x^5$の係数を求めるには、$f(x)$の5回微分の式が必要なので、$f(x)$を微分していく。

まず1回目の微分を以下のように計算することで簡単になる。

```math

  \begin{array}{rclr}
    f(x) & = & \log_e (\sqrt{x^2+1}+x) &　　　　　　　　　　　　 \\
     e^{f(x)} & = & \sqrt{x^2+1}+x & (eの肩に乗せる)\\
     f^{(1)}(x) e^{f(x)} & = & \frac{1}{2}(2x)\frac{1}{\sqrt{x^2+1}} + 1 & (両辺微分)\\
     f^{(1)}(x) e^{f(x)} & = & \frac{\sqrt{x^2 + 1} + x}{\sqrt{x^2+1}} & (右辺綺麗にする)\\
     f^{(1)}(x) (\sqrt{x^2 + 1} + x) & = & \frac{\sqrt{x^2 + 1} + x}{\sqrt{x^2+1}} & (f(x)を適用)\\
     f^{(1)}(x) & = & \frac{1}{\sqrt{x^2+1}} & (両辺\sqrt{x^2 + 1} + xで割る)
  \end{array}

```

(積の微分を用いた解法　@Toru3 様より)
積の微分と合成関数の微分を用いて、微分した後で共通因数でくくると計算量が少なくなります。
また、5階微分した後で、マクローリン展開の5次の係数を計算する際、$x=0$とするため
$x$を因数にもつ項の微分は計算を省略できるのも大きなポイントです。

```math
{\begin{align}
    f'(x)      & =(x^2+1)^{-\frac{1}{2}}\\
    f''(x)     & =-\frac{1}{2}2x(x^2+1)^{-\frac{3}{2}}\\
               & =-x(x^2+1)^{-\frac{3}{2}}\\
    f^{(3)}(x) & =-(x^2+1)^{-\frac{3}{2}}-x\cdot \left(-\frac{3}{2}\right)2x(x^2+1)^{-\frac{5}{2}}\\
               & =(-x^2-1 +3x^2)(x^2+1)^{-\frac{5}{2}}\\
               & =(2x^2-1)(x^2+1)^{-\frac{5}{2}}\\
    f^{(4)}(x) & = 4x(x^2+1)^{-\frac{5}{2}}+(2x^2-1)\cdot \left(-\frac{5}{2}\right)2x(x^2+1)^{-\frac{7}{2}}\\
               & = x(4x^2+4-10x^2+5)(x^2+1)^{-\frac{7}{2}}\\
               & = x(9-6x^2)(x^2+1)^{-\frac{7}{2}}\\
    f^{(5)}(x) & = (9-6x^2)(x^2+1)^{-\frac{7}{2}}+x\cdot\left\{(9-6x^2)(x^2+1)^{-\frac{7}{2}}\right\}'\\
    f^{(5)}(0) & = (9-6\cdot0^2)(0^2+1)^{-\frac{7}{2}}+0\cdot\left.\left\{(9-6x^2)(x^2+1)^{-\frac{7}{2}}\right\}'\right|_{x=0}\\
               & = 9
\end{align}
}
```

よって$x^5$の係数は$\displaystyle \frac{f^{(5)}(0)}{5!} = \frac{3}{40}$

(対数微分法を用いた解法)
2回目以降の微分は対数微分法で解く

```math
  \begin{array}{rclr}
    f^{(1)}(x) & = & \frac{1}{\sqrt{x^2+1}} &　　　　　　　　　　　　 \\
     \log_e (f^{(1)}(x)) & = & -\frac{1}{2}\log_e (x^2+1) & (両辺\logとる)\\
     \frac{f^{(2)}(x)}{f^{(1)}(x)} & = & -\frac{2x}{2(x^2+1)} & (両辺微分)\\
     f^{(2)}(x) & = & -x(x^2+1)^{-\frac{3}{2}} & (両辺f^{(1)}(x)を掛ける)
  \end{array}
```

3回目の微分

```math
  \begin{array}{rclr}
    f^{(2)}(x) & = & -x(x^2+1)^{-\frac{3}{2}} &　　　　　　　　　　　　 \\
     \log_e (f^{(2)}(x)) & = & \log_e (-x) -\frac{3}{2}\log_e (x^2+1) & (両辺\logとる)\\
     \frac{f^{(3)}(x)}{f^{(2)}(x)} & = & \frac{1}{x} -\frac{3}{2}\frac{2x}{(x^2+1)} & (両辺微分)\\
     \frac{f^{(3)}(x)}{f^{(2)}(x)} & = & \frac{1 - 2x^2}{x(x^2+1)} & (右辺まとめる)\\
     f^{(3)}(x) & = & (2x^2 - 1)(x^2+1)^{-\frac{5}{2}} & (両辺f^{(2)}(x)を掛ける)
  \end{array}
```

4回目の微分

```math
  \begin{array}{rclr}
    f^{(3)}(x) & = & (2x^2 - 1)(x^2+1)^{-\frac{5}{2}} &　　　　　　　　　　　　 \\
     \log_e (f^{(3)}(x)) & = & \log_e (2x^2 - 1) -\frac{5}{2}\log_e (x^2+1) & (両辺\logとる)\\
     \frac{f^{(4)}(x)}{f^{(3)}(x)} & = & \frac{4x}{2x^2 - 1} -\frac{5}{2}\frac{2x}{(x^2+1)} & (両辺微分)\\
     \frac{f^{(4)}(x)}{f^{(3)}(x)} & = & \frac{-6x^3 + 9x}{(2x^2 -1)(x^2+1)} & (右辺まとめる)\\
     f^{(4)}(x) & = & (-6x^3 + 9x)(x^2+1)^{-\frac{7}{2}} & (両辺f^{(3)}(x)を掛ける)
  \end{array}
```

5回目の微分

```math
  \begin{array}{rclr}
    f^{(4)}(x) & = & (-6x^3 + 9x)(x^2+1)^{-\frac{7}{2}} &　　　　　　　　　　　　 \\
     \log_e (f^{(4)}(x)) & = & \log_e (-6x^3 + 9x) -\frac{7}{2}\log_e (x^2+1) & (両辺\logとる)\\
     \frac{f^{(5)}(x)}{f^{(4)}(x)} & = & \frac{18x^2 + 9}{-6x^3 + 9x} -\frac{7}{2}\frac{2x}{(x^2+1)} & (両辺微分)\\
     f^{(5)}(x) & = & (\frac{18x^2 + 9}{-6x^3 + 9x} -\frac{7}{2}\frac{2x}{(x^2+1)})(-6x^3 + 9x)(x^2+1)^{-\frac{7}{2}}& (両辺f^{(4)}(x)を掛ける) \\
     f^{(5)}(x) & = & (18x^2 + 9)(x^2+1)^{-\frac{7}{2}} -\frac{7x}{(x^2+1)}(-6x^3 + 9x)(x^2+1)^{-\frac{7}{2}}& (右辺を簡単にする)
  \end{array}
```

これより$f^{(5)}(0)$の値は

```math
f^{(5)}(0) = (18×(0)^2 + 9)((0)^2+1)^{-\frac{7}{2}} -\frac{7×(0)}{((0)^2+1)}(-6×(0)^3 + 9×(0))((0)^2+1)^{-\frac{7}{2}} = 9
```

$x^5$の係数は$\displaystyle \frac{f^{(5)}(0)}{5!} = \frac{3}{40}$

(感想)
試験時間ラスト15分で、問題6と問題7のどちらを解こうか迷って、問題6を解きにいったのが全ての失敗。計算量多すぎでしょ。もっと簡単に求めれる方法あるのかな？双曲線関数を使うと簡単になるのか？($\sinh^{-1}x = \log_e (\sqrt{x^2+1}+x)$なので。)

試験中では、1回目の微分のときに、そのまま微分してしまったので

```math
  \begin{array}{rclr}
    f(x) & = & \log_e (\sqrt{x^2+1}+x) &　　　　　　　　　　　　 \\
     f^{(1)}(x) & = & \frac{\frac{1}{2}(2x)\frac{1}{\sqrt{x^2+1}} + 1}{\sqrt{x^2+1}+x} & (微分実行)\\
     f^{(1)}(x) & = & \frac{\frac{x}{\sqrt{x^2+1}} + 1}{\sqrt{x^2+1}+x} & (右辺をまとめる)
  \end{array}
```
こんな複雑な式になってしまって、そのまま2回目の微分したら、数式が大変なことになってしまって、計算しきれなかった・・・。上の式では、分子分母にそれぞれ$\sqrt{x^2+1}-x$をかけてあげないといけない。少なくとも、これに気づかないといけなかったなぁ。
解法のやり方は記事を書いているときに気づいた。
この問題は不正解でした。

## 問題 7.
$xy$平面における領域

```math
D= \{(x, y) | 0 \leq y \leq x\}
```
に対して、次の重積分を計算しなさい。

```math
\iint_D (2 + x + y)^{-3} dxdy
```

### 問題 7. の解答
$\displaystyle \frac{1}{8}$

(解法)
そのまま積分して答えを出せば良い。

```math
  \begin{array}{rclr}
    \iint_D (2 + x + y)^{-3} dxdy & = & \int_{0}^{\infty} \int_{0}^{x} (2 + x + y)^{-3} dydx \\
      & = & \int_{0}^{\infty} \left[ -\frac{1}{2}(2 + x + y)^{-2} \right]^x_0 dx \\
      & = & -\frac{1}{2} \int_{0}^{\infty} (2 + 2x)^{-2} - (2 + x)^{-2} dx \\
      & = & -\frac{1}{2} \left[ -\frac{1}{2}(2 + 2x)^{-1} - (-1)(2 + x)^{-1} \right]^{\infty }_0 \\
      & = & -\frac{1}{2}( \frac{1}{2}(2 + 2×0)^{-1} - (2 + 0)^{-1})\\
      & = & -\frac{1}{2}( \frac{1}{4} - \frac{1}{2}) \\
      & = & \frac{1}{8}
  \end{array}
```

(感想)
試験では、積分にトラウマがあって、この問題に全く着手しなかったのがいけない。
次の日、問題を見直したら簡単な問題だったことに気づいて物凄くショックでした。

# 2. 感想まとめ
今回もダメでした。今年は全然ダメだったなぁ。
マクローリン展開と重積分のどっちを解こうか迷って、
計算量が多くても解き方が分かっているマクローリン展開の問題を解きにいったのが失敗。
重積分は過去に散々やられていてトラウマになって避けてしまった・・・。
次回は重積分を重点的にやろう。