二等辺三角形の慣性モーメント


二等辺三角形の薄い板の [慣性モーメント](https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%85%A3%E6%80%A7%E3%83%A2%E3%83%BC%E3%83%A1%E3%83%B3%E3%83%88) を計算してみました。
二等辺三角形の底辺の長さを $a$, 高さを $h$, 面密度は $\sigma$ で一定とします。

![tri01.png](https://qiita-image-store.s3.amazonaws.com/0/58925/61f4bb89-35c1-8cfc-5525-bfb3d34b272a.png)

二等辺三角形の重心 G を原点とします。
$x,y,z$ 軸まわりの各慣性モーメントは、

$$
I_{x} = \int_{三角形} \sigma y^2 dxdy \\\\
I_{y} = \int_{三角形} \sigma x^2 dxdy \\\\
I_{z} = \int_{三角形} \sigma (x^2+y^2) dxdy 
$$

ここでは以下の慣性モーメントの性質を使って、積分せずに計算してみます。
（もちろんこれらの性質は、上の積分を用いた定義から得られます）

### 性質１：重心を通らない軸のまわりの慣性モーメント

物体の重心を通る軸まわりの慣性モーメントを $I_G$、全質量を $M$ とすると、その軸を距離 $R$ だけ平行移動した軸まわりの慣性モーメント $I_R$ は以下になる。

$$ I_{R} = M R^2 + I_{G} $$

すなわち、自転せずに全質量 $M$ が回転するときの慣性モーメントと、重心まわりに自転するときの慣性モーメントの和になる。

![tri02.png](https://qiita-image-store.s3.amazonaws.com/0/58925/6eea9586-df57-376d-5e14-dc479d780204.png)


### 性質２：相似な物体の慣性モーメント

均質な物体のサイズを $\alpha$ 倍した物体の重心まわりの慣性モーメントは、元の $\alpha^{5}$ 倍になる。
（ただし今の場合厚さ=0 としているので、$\alpha^{4}$ 倍になる)

### 計算

各辺の中点を結んで、以下のように４つの相似な三角形に分割します。
これらは全体を 1/2 に縮小したものになっています。

![tri03.png](https://qiita-image-store.s3.amazonaws.com/0/58925/e503f080-e81b-1a35-09d2-8fbef38b51d3.png)

各小三角形の重心の座標は

$$
G=(0,0),\\ G_1=(0,h/3),\\ G_2=(-a/4,-h/6),\\ G_3=(a/4,-h/6) 
$$

まず $I_z$ を求めてみる。
小さい三角形は元の 1/2 倍なのでその重心まわりの慣性モーメントは $I_z / 2^4$, 面積は元の 1/4 なので質量は $\sigma ah/8$。従って

$$
I_z = (\frac{\sigma ah}{8} \times \overline{GG}^2 + \frac{I_z}{16} )
  + (\frac{\sigma ah}{8} \times \overline{GG_1}^2 + \frac{I_z}{16} )\\\\
  + 2 \times (\frac{\sigma ah}{8} \times \overline{GG_2}^2 + \frac{I_z}{16} ) \\\\
$$

同様に

$$
I_x = (\frac{\sigma ah}{8} \times 0^2 + \frac{I_x}{16})
  + (\frac{\sigma ah}{8} \times (h/3)^2 + \frac{I_x}{16} )\\\\
  + 2 \times (\frac{\sigma ah}{8} \times (h/6)^2 + \frac{I_x}{16} ) \\\\
I_y = 2 \times (\frac{\sigma ah}{8} \times 0^2 + \frac{I_y}{16})
  + 2 \times (\frac{\sigma ah}{8} \times (a/4)^2 + \frac{I_y}{16} ) \\\\
$$

全体の質量 $M = \sigma ah/2$ なので、これらより以下が得られる。

$$
I_x = \frac{\sigma a h^3}{36}　= \frac{M h^2}{18} \\\\
I_y = \frac{\sigma a^3 h}{48} = \frac{M a^2}{24} \\\\
I_z = \sigma ah (\frac{a^2}{48} + \frac{h^2}{36}) 
  =  M (\frac{a^2}{24} + \frac{h^2}{18}) 
$$

なお $I_z = I_x + I_y$ から計算してもよい。

特に正三角形の場合は $h=\sqrt{3}a/2$ だから以下となる。

$$
I_x = I_y = \frac{\sqrt{3} \sigma a^4}{96} 
  = \frac{\sqrt{3}M a^2}{48} \\\
I_z = 2 I_x
$$

正三角形さらに一般の正多角形の場合、重心を通る面内の任意の軸は主軸となり、そのまわりの慣性モーメントは等しい。

### 厚さを考慮した場合

上では厚さ=0 としたが、厚さを b、密度を $\rho$ とすると、同様に計算して以下になる。

$$
I_x = \rho abh (\frac{h^2}{36} + \frac{b^2}{24}) = M (\frac{h^2}{18} + \frac{b^2}{12})\\\\
I_y = \rho abh (\frac{a^2}{48} + \frac{b^2}{24}) = M (\frac{a^2}{24} + \frac{b^2}{12})\\\\
I_z = \rho abh(\frac{a^2}{48}+\frac{h^2}{36}) = M (\frac{a^2}{24}+\frac{h^2}{18})
$$

$a^2,h^2,b^2$ の係数の分母の比が $4:3:2$ となるようである。

なおチェックのため、[sage君に積分を計算してもらった](https://cloud.sagemath.com/projects/1f998cd5-716b-4a21-8cd1-aece13a4503d/files/trimoment.sagews)。

```python:trimoment.sagews
from sage.symbolic.integration.integral import definite_integral

var('x,y,z, a,h,b')

def trimom(name, func, a, h, b):
    iz = definite_integral(func,z,-b/2,b/2, hold=True)
    iy = definite_integral(iz, y, -h/3, -2*h*x/a+2*h/3, hold=True)
    ix = 2* definite_integral(iy, x, 0, a/2, hold=True)
    show(name, "=", ix, "=" , ix.simplify().expand())
    return ix

Ix = trimom("Ix", (y^2+z^2), a, h, b)
Iy = trimom("Iy", (x^2+z^2), a, h, b)
Iz = trimom("Iz", (x^2+y^2), a, h, b)
```

実行結果
![trisage.png](https://qiita-image-store.s3.amazonaws.com/0/58925/ed2b4de3-71f5-6411-7034-6c068c30529f.png)