Quantum Chemistry - Average Momentum

関連 http://qiita.com/7of9/items/d3a1799928734375f34f

CG分野で使われるSpherical Harmonics。自分の数値シミュレーション計算に用いたいと思い調べると、量子化学の講義にたどり着く。

短く分かりやすそうな159本のビデオを少しずつ消化中。

Quantum Chemistry - Average Momentum
https://www.youtube.com/watch?v=l4x6gkMxKEA&index=21&list=PLm8ZSArAXicL3jKr_0nHHs5TwfhdkMFhh

- Momentumの平均はどうか
- 緑の式
  - [こちらのビデオ](https://www.youtube.com/watch?v=EK6C6mpxP-g&index=17&list=PLm8ZSArAXicL3jKr_0nHHs5TwfhdkMFhh)で導出した式
  - wave function
- 紫の図
  - プサイ3(x)
  - wave functionでn=3の時
- ピンクの図
  - |プサイ3(x)|^2
  - n=3の時
  - probability density function
  - 粒子がxの位置に存在する確率
- 黄色の式
  - オペレータ ([ビデオ](https://www.youtube.com/watch?v=ktrJ-sqaaBs&index=13&list=PLm8ZSArAXicL3jKr_0nHHs5TwfhdkMFhh))
  - pハット
      - momentumのオペレータ
      - 値は[こちらのビデオ](https://www.youtube.com/watch?v=cUUFIk0ISuY&list=PLm8ZSArAXicL3jKr_0nHHs5TwfhdkMFhh&index=14)で定義
      - -i (エイチバー) d/dx
          - エイチバーはh/(2 pi)
  - p2ハット
      - pスクエアード・ハット
      - momentumの二乗のオペレータ
      - pハットを二乗した値
      - (-1)^2(i)^2 (エイチバー) d2/dx2
      - = 1(-1)(エイチバー) d2/dx2
- 水色の式
  - average of A
  - Aというオペレータの平均値
  - 前後にプサイ*(x)とプサイ(x)をかけて積分した値
    - プサイ*(x)は複素共役
- 緑の式
  - pハットの平均を求める式
  - box modelを考慮していることによりxの範囲は0からエルとなる
  - プサイの式は左上の緑の式を入れる
  - プサイ*(x)の部分はsin()の複素共役でsin()には虚数単位iはないので、sin()となる
- 紫の式
  - 緑の式を整理した
  - 積分に関係しない(xと関係しない)係数を前に移動している
- ピンクの式
  - 紫の式に出てきたsin()cos()の積分
  - この導出は不明
  - [こちらの記事](http://qiita.com/7of9/items/52e16ba558d5893e36a3)で比較したところ、位相は合っていた
  - k=の式は[こちらのビデオ](https://www.youtube.com/watch?v=uK60QAKooyM&index=16&list=PLm8ZSArAXicL3jKr_0nHHs5TwfhdkMFhh)で導出したもの
- 黄色の式
  - 紫の式とピンクの式を合わせて導出
  - 分子、分母に同じ変数があるものなど消していく
- オレンジの式
  - 黄色の式から得られた
  - cos(n pi)=1
  - cos(0) = 1
  - 以上より積分部分は1-1=0となり、average of pは0となる
- 水色の式
  - 求められた結果average of p = 0
  - 意味として、左にも右にも同じ確率で動く
  - そのため、平均すると0
- 緑の式
  - 今度はaverage of (pの二乗)
  - 左上の水色の式`<A>`のAに左上の黄色のpスクエアード・ハットを入れた
- 右上の紫の式
  - 緑の式を整理して係数を前に持ってきた
- ピンクの式
  - 紫の式で出てくるsin^2()の積分
  - (補足) こちらの式は同じものを自分でも導出できた
  - k=の式は[こちらのビデオ](https://www.youtube.com/watch?v=uK60QAKooyM&index=16&list=PLm8ZSArAXicL3jKr_0nHHs5TwfhdkMFhh)で導出したもの
- 黄色の式
  - 紫の式とピンクの式から得られる
  - sin(n pi x / エル)は
     - sin(n pi エル / エル) = sin(n pi) = 0
     - sin(n pi 0 / エル) = sin(0) = 0
     - となり、x=0, x=エルでともに0である
- オレンジの式
  - 黄色の式で0となるsin()以外の部分を整理
- 水色の式
  - オレンジの式を整理して得られた
  - average value of pスクエアード
  - この式の(エイチバー)はh / (2 pi)
  - それを入れると式は
  - h^2 n^2 / (4 エル^2)という形になる
  - [こちらのビデオ](https://www.youtube.com/watch?v=WRYSVj-FD48&list=PLm8ZSArAXicL3jKr_0nHHs5TwfhdkMFhh&index=19)で出てきたエネルギーの式は
     - En = h^2 n^2 / (8 m エル^2)
  - つまり、En = average value of pスクエアード / (2 m)という関係式が得られる
  - momentumのすべてのエネルギーはkinetic energyであるので2mというのが出てくる
     - (補足) こちらは理解していない
- 緑の式
  - variance of p
  - シグマpスクエアード
  - 式は[こちらのビデオ](https://www.youtube.com/watch?v=sCeUFzxowuQ&list=PLm8ZSArAXicL3jKr_0nHHs5TwfhdkMFhh&index=20)の右中段紫の式にて`<x^2>-<x>^2`として定義されているのを使用
  - xの変わりにpを使う
  - 右中段の水色の式`<p^2>`と左下の水色の式`<p>=0`から値が求まる
  - 右側の紫の式
      - variance をsquare rootを取るとstandard deviation
- ピンクの式
  - varianceが緑の式で得られたので、そのsquare rootを取ってstandard deviationが得られる
- 紫の式
  - ピンクの式において
  - n=1と置いた場合
  - n=∞(infinity)と置いた場合 = infinity
  - シグマpはnに比例し、(1/エル)に比例する
- オレンジの記載
  - uncertainty product
  - シグマxとシグマpの積
  - それぞれがstandard deviation(標準偏差)の値 = uncertainty
- 黄色の式
  - シグマpとシグマxの積を計算
  - シグマxは[こちらのビデオ](https://www.youtube.com/watch?v=sCeUFzxowuQ&index=20&list=PLm8ZSArAXicL3jKr_0nHHs5TwfhdkMFhh)から
- 水色の式
  - 黄色の式を整理して得られる
- オレンジの式
  - 水色の式にてn=1とした時の値
  - (エイチバー/2)に比例
- 紫の式
  - 水色の式において常に成り立つ
- 緑の不等式
  - 紫の式とオレンジのn=1の定義から得られる
  - H.U.PはHeisenberg Uncertainty Principleの略記 [ビデオ](https://www.youtube.com/watch?v=cZbVl14wNkk&index=8&list=PLm8ZSArAXicL3jKr_0nHHs5TwfhdkMFhh)
  - H.U.Pが証明された