第4章　量子力学の基本的な性質⑤

##4.7 量子力学における演算子法

1次元調和振動子の問題を演算子法で解いてみる．

###演算子法によるエネルギー固有値

まず演算子

<a name ="tag{4.66}">

```math
\hat{a}
=
\sqrt{\frac{m\omega}{2\hbar}}
\left(
\hat{x}
+
\frac{i\hat{p}}{m\omega}
\right)
\tag{4.66}
```

<a name ="tag{4.67}">

```math
\hat{a}^\dagger
=
\sqrt{\frac{m\omega}{2\hbar}}
\left(
\hat{x}
-
\frac{i\hat{p}}{m\omega}
\right)
\tag{4.67}
```

を導入する．

$\hat{x}$，$\hat{p}$はエルミートなので$\hat{a}^\dagger$は$\hat{a}$のエルミート共役である．
交換関係[(2.67)](#tag{2.67})

<a name ="tag{4.68}">

```math
[\hat{x},\hat{p}]=i\hbar
\tag{4.68}
```

を用いると，

<a name ="tag{4.69}">

```math
\begin{align}
[\hat{a},\hat{a}^\dagger]
&=
\frac{m\omega}{2\hbar}
\left\{
\left(
\hat{x}+\frac{i\hat{p}}{m\omega}
\right)
\left(
\hat{x}-\frac{i\hat{p}}{m\omega}
\right)
-
\left(
\hat{x}-\frac{i\hat{p}}{m\omega}
\right)
\left(
\hat{x}+\frac{i\hat{p}}{m\omega}
\right)
\right\}
\\
&=
\frac{m\omega}{2\hbar}
\left\{
-\frac{i}{m\omega}
(\hat{x}\hat{p}-\hat{p}\hat{x})
+
\frac{i}{m\omega}
(\hat{p}\hat{x}-\hat{x}\hat{p})
\right\}
\\
&=
\frac{m\omega}{2\hbar}
\left(
-\frac{i}{m\omega}[\hat{x},\hat{p}]
+\frac{i}{m\omega}[\hat{p},\hat{x}]
\right)
\\
&=
\frac{m\omega}{2\hbar}
\left(\frac{\hbar}{m\omega}+\frac{\hbar}{m\omega}\right)
\\
&=
1
\end{align}
\tag{4.69}
```

が得られる．

さらに個数演算子

<a name ="tag{4.70}">

```math
\hat{N}\equiv\hat{a}^\dagger\hat{a}
\tag{4.70}
```

を導入する．これは[(4.10)](#tag{4.10})より

```math
\hat{N}^\dagger
=
(\hat{a}^\dagger\hat{a})^\dagger
=
\hat{a}^\dagger(\hat{a}^\dagger)^\dagger
=
\hat{a}^\dagger\hat{a}
=
\hat{N}
```

となり自己共役なのでエルミートである．
そして

<a name ="tag{4.71}">

```math
\begin{align}
\hat{a}^\dagger\hat{a}
&=
\frac{m\omega}{2\hbar}
\left(\hat{x}-\frac{i\hat{p}}{m\omega}\right)
\left(\hat{x}+\frac{i\hat{p}}{m\omega}\right)
\\
&=
\frac{m\omega}{2\hbar}
\left(
\hat{x}^2+\frac{\hat{p}^2}{m^2\omega^2}-\frac{i}{m\omega}[\hat{p},\hat{x}]
\right)
\\
&=
\frac{1}{\hbar\omega}
\left(
\frac{1}{2}m\omega^2\hat{x}^2+\frac{\hat{p}^2}{2m}
\right)
-\frac{1}{2}
\\
&=
\frac{\hat{H}}{\hbar\omega}-\frac{1}{2}
\end{align}
\tag{4.71}
```

したがって，

<a name ="tag{4.72}">

```math
\hat{H}
=
\hbar\omega
\left(
\hat{a}^\dagger\hat{a}
+
\frac{1}{2}
\right)
=
\hbar\omega
\left(
\hat{N}
+
\frac{1}{2}
\right)
\tag{4.72}
```

したがって$\hat{H}$の固有値を求める問題は$\hat{N}$の固有値を求める問題に帰着する．

$\hat{N}$の固有関数を固有値$n$を使って$\varphi_n$で表すと，

<a name ="tag{4.73}">

```math
\hat{N}\varphi_n
=
n\varphi_n
\tag{4.73}
```

ここで$\hat{a}$，$\hat{a}^\dagger$，$\hat{N}$の物理的意味を調べる．[(4.69)](#tag{4.69})より，

```math
\hat{a}\hat{a}^\dagger-\hat{a}^\dagger\hat{a}=1
```

すなわち

```math
\hat{a}^\dagger\hat{a}=\hat{a}\hat{a}^\dagger-1
```

なので，

<a name ="tag{4.74}">

```math
\begin{align}
\hat{N}\hat{a}\varphi_n
&=
\hat{a}^\dagger\hat{a}\hat{a}\varphi_n
\\
&=
(\hat{a}\hat{a}^\dagger-1)\hat{a}\varphi_n
\\
&=
(\hat{a}\hat{a}^\dagger\hat{a}-\hat{a})\varphi_n
\\
&=
(\hat{a}\hat{N}-\hat{a})\varphi_n
\\
&=
(n\hat{a}-\hat{a})\varphi_n
\\
&=
(n-1)\hat{a}\varphi_n
\end{align}
\tag{4.74}
```

したがって$\hat{a}\varphi_n$は固有値$n-1$をもつ$\hat{N}$の固有関数である．$\hat{a}$は$n$を1減少させる演算子なので$\hat{a}$を消滅演算子とよぶ．
同様に，

<a name ="tag{4.75}">

```math
\begin{align}
\hat{N}\hat{a}^\dagger\varphi_n
&=
\hat{a}^\dagger\hat{a}\hat{a}^\dagger\varphi_n
\\
&=
\hat{a}^\dagger(\hat{a}^\dagger\hat{a}+1)\varphi_n
\\
&=
(\hat{a}^\dagger\hat{a}^\dagger\hat{a}+\hat{a}^\dagger)\varphi_n
\\
&=
(\hat{a}^\dagger\hat{N}+\hat{a}^\dagger)\varphi_n
\\
&=
(n\hat{a}^\dagger+\hat{a}^\dagger)\varphi_n
\\
&=
(n+1)\hat{a}^\dagger\varphi_n
\end{align}
\tag{4.75}
```

となり$\hat{a}^\dagger\varphi_n$は固有値$n+1$をもつ$\hat{N}$の固有関数である．$\hat{a}^\dagger$は$n$を1増加させるので生成演算子とよぶ．

$\hat{a}\varphi_n$と$\varphi_{n-1}$は比例定数以外は共通なので，

<a name ="tag{4.76}">

```math
\hat{a}\varphi_n=c\varphi_{n-1}
\tag{4.76}
```

$\int_{-\infty}^\infty|\varphi_n(x)|^2dx=1$と規格化すると，[(4.9)](#tag{4.9})を使って，

```math
\int_{-\infty}^\infty
(\hat{a}\varphi_n)^\ast
(\hat{a}\varphi_n)
dx
=
\int_{-\infty}^\infty
\varphi_n^\ast\hat{a}^\dagger\hat{a}\varphi_n
dx
=
\int_{-\infty}^\infty
\varphi_n^\ast\hat{N}\varphi_n
dx
=
n
```

また，[(4.76)](#tag{4.76})を使うと，

<a name ="tag{4.77}">

```math
\int_{-\infty}^\infty
(\hat{a}\varphi_n)^\ast
(\hat{a}\varphi_n)
dx
=
\int_{-\infty}^\infty
(c\varphi_{n-1})^\ast
(c\varphi_{n-1})
dx
=
|c|^2
\int_{-\infty}^\infty
|\varphi_{n-1}|^2
dx
=
|c|^2

\tag{4.77}
```

両者を比較すると$|c|^2=n$で，$c$を正の実数とすると$c=\sqrt{n}$なので，

<a name ="tag{4.78}">

```math
\hat{a}\varphi_n=\sqrt{n}\varphi_{n-1}
\tag{4.78}
```

同様に，

$\hat{a}^\dagger\varphi_n$と$\varphi_{n+1}$は比例定数以外は共通なので，

```math
\hat{a}^\dagger\varphi_n=c\varphi_{n+1}
```

```math
\int_{-\infty}^\infty
(\hat{a}^\dagger\varphi_n)^\ast
(\hat{a}^\dagger\varphi_n)
dx
=
\int_{-\infty}^\infty
\varphi_n^\ast\hat{a}\hat{a}^\dagger\varphi_n
dx
=
\int_{-\infty}^\infty
\varphi_n^\ast(\hat{N}+1)\varphi_n
dx
=
n+1
```

また

```math
\int_{-\infty}^\infty
(\hat{a}^\dagger\varphi_n)^\ast
(\hat{a}^\dagger\varphi_n)
dx
=
\int_{-\infty}^\infty
(c\varphi_{n+1})^\ast
(c\varphi_{n+1})
dx
=
|c|^2
\int_{-\infty}^\infty
|\varphi_{n+1}|^2
dx
=
|c|^2
```

$c$を正の実数とすると，$c=\sqrt{n+1}$なので，

<a name ="tag{4.79}">

```math
\hat{a}^\dagger\varphi_n=\sqrt{n+1}\varphi_{n+1}
\tag{4.79}
```

[(4.72)](#tag{4.72})，[(4.73)](#tag{4.73})より，

<a name ="tag{4.80}">

```math
\hat{H}\varphi_n
=
\hbar\omega(\hat{N}+\frac{1}{2})\varphi_n
=
\hbar\omega(n+\frac{1}{2})\varphi_n
\tag{4.80}
```

これはエネルギー固有値$E_n$が

<a name ="tag{4.81}">

```math
E_n=(n+\frac{1}{2})\hbar\omega,
\quad
(n=0,1,2,3,\cdots)
\tag{4.81}
```

で与えられることを示している．


###演算子法によるエネルギー固有関数

演算子法は調和振動子のエネルギー固有関数を求めるためにも有用である．
基底状態に$\hat{a}$をかけると，

<a name ="tag{4.82}">

```math
\hat{a}\varphi_0(x)=0
\tag{4.82}
```

[(4.66)](#tag{4.66})を代入すると，

<a name ="tag{4.83}">

```math
\begin{align}
\left(
\hat{x}+\frac{i\hat{p}}{m\omega}
\right)
\varphi_0(x)
&=0,
\\
x\varphi_0(x)
+
\frac{\hbar}{m\omega}
\frac{\partial\varphi_0(x)}{\partial x}
&=
0
\end{align}
\tag{4.83}
```

これは基底状態の波動関数$\varphi_0(x)$を決める微分方程式で，解は

<a name ="tag{4.84}">

```math
\varphi_0(x)
=
\left(
\frac{m\omega}{\pi\hbar}
\right)^{\frac{1}{4}}
e^{-\frac{m\omega x^2}{2\hbar}}
\tag{4.84}
```