Doing Math with Python に出てくる数式

# Doing Math with Python に出てくる数式
Tags:Python,Math,SciPy,NumPy  
Python で始める数学入門を読み始めたので、その備忘録。  
とMathJaxで数式を書く練習。  

## 数学の英語
数学と英語どちらも素人。勉強中。  
この[数学の語彙集](http://www.cam.hi-ho.ne.jp/nakano-ec/toeic/vocabulary/math.html)
にお世話になりそう。  
それと[$ \LaTeX $](http://utsukemononi.gozaru.jp/latex/)と [MathJax](http://easy-copy-mathjax.xxxx7.com/)を参考に。　　

## Cahpter 1 Working with Numbers
#### Converting Unit
華氏 -> 摂氏
$ C = (F - 32) \times \frac{5}{9} $
摂氏 -> 華氏
$ F = ( C \times \frac{9}{5}) + 32 $

* C Celsius    (摂氏　℃)
* F Fahrenheit (華氏　℉)

#### Quadratic Equation ~ ２次方程式 ~
懐かしい

$ y = ax^2 + bx + c $

解　$ x =  \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} $

## Cahpter 2 Visualizing Data with Graphs
### Newton's law of universal Gravitation ~ 万有引力の法則 ~
$ F= \frac{Gm_1m_2}{r^2} $

* F force
* G 重力定数 : $ 6.674 \times 10^{-11}Nm^2kg$
* m1 m2  2つの物体の質量
* r   2つの物体間の距離

<a href="https://qiita-image-store.s3.amazonaws.com/0/53119/f5039ab6-1e2e-bcc6-b62b-a72babba905e.png" >
    <img src="https://qiita-image-store.s3.amazonaws.com/0/53119/f5039ab6-1e2e-bcc6-b62b-a72babba905e.png"  alt="gravitationalForce.png" width="300px" />
</a>

### Projectile Motion ~ 斜方投射 ~ ([wiki]({https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%96%9C%E6%96%B9%E6%8A%95%E5%B0%84}))
<a href="http://images.tutorvista.com/cms/images/83/projectile-motion-formulas.PNG" >
    <img src="http://images.tutorvista.com/cms/images/83/projectile-motion-formulas.PNG" width="300px"/>
</a>

image from http://formulas.tutorvista.com/physics/projectile-motion-formula.html

* $x$ 軸方向は速度一定(constant)なので   
$v_{x} = u \cos\theta$

* $y$ 軸方向は時間($t$)と共に重力に引っ張られるため  
$v_{y} = u \sin\theta - gt $

* よって時間経過に伴う移動距離($S$)は次の通り
    * $S{x} = u (\cos\theta)t$
    * $S{y} = u (\sin\theta)t - \frac{1}{2}gt^2$

* さらに重要な点として、発射から着地までの時間を求める。  
  $y$軸について、速度が0になるところ（放物線の山のてっぺん）が、移動時間の半分と見なせる。
  * 速度が0になるということは  
    * $v_{y} = 0$
    * $u\sin\theta - gt = 0$
    * $t_{peak} = \frac{u\sin\theta}{g}$
  * 2倍すると移動時間全体
    * $t_{total} = 2\frac{u\sin\theta}{g}$


## Cahpter 3 Discribing Data with Statistics
#### Basic Statistics - variance and standard deviation
$ variance= \frac{\sum(x_i - x_m)^2}{n} $
  $v_{y} = u\sin\theta - gt $
* $\sum(x_i - x_m)^2$ : 各値から平均値を引いたものの二乗を合計 ($x_m$が平均値になる)
* それを$n$値の個数で割る

$ standard\hspace{3pt}deviation = \sqrt{variance} $

#### Correlation Coefficience 相関係数
$ Correlation = \frac{n\sum xy - \sum x \sum y}{\sqrt{\bigl(n\sum x^2 - (\sum x)^2\bigl)\bigl(n\sum y^2 - (\sum y)^2 \bigl)}}$

* $\sum xy$ : Sum of the products of the indivisual elements of the two sets of numbers, $x$ and $y$
* $\sum x$ : Sum of the numbers in set $x$
* $\sum y$ : Sum of the numbers in set $y$
* $(\sum x)^2$ : Square of the sum of the numbers in set $x$
* $(\sum y)^2$ : Square of the sum of the numbers in set $y$
* $\sum x^2$ : Sum of the squares of the numbers in set $x$
* $\sum y^2$ : Sum of the squares of the numbers in set $y$

## Chapter 4 Algebra and Symbolic Math with Sympy
この章に出てくるSymPyはかなり面白いので別途まとめます。

#### 級数 ([wiki]({https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%B4%9A%E6%95%B0}))    

$ x +  \frac{x^2}{2} +  \frac{x^3}{3} + \frac{x^4}{4} + \cdots + \frac{x^n}{n}$

この例は収束(Convergent) (発散はDivergent)するようで、
例えば $ n = 5 $ で $ x = 1.2 $ と代入 (Substitute)すると、
$ \small{3.51206400000000}\ $になる。
これが Sympy使うとプログラムで解けるから不思議。

#### equation of motion
$ s = ut + \frac{1}{2}at^2 $
$a$ constant acceleration
$u$ initial velocity
* $t$ time

tについて解くと・・・
$ t = \frac{-u + \sqrt{2.0as + u^2}}{a} $
$ t = \frac{-(u + \sqrt{2.0as + u^2})}{a} $

## Chapter 5 Playing with Sets and Productivity
#### Cartesian Product (直積集合)
2つの集合 $A B$ に対して  

$ A \times B = \\{ (a,b) \mid a \in A \land b \in B \\}$
#### Simple Pendulum (振り子運動)
$ T = 2 \pi \sqrt{ \frac{L}{g}} $  

$ T = $ pendulum period  
the amount of time it takes for the pendulum to complete one full swing  

$ g = $ gravitational acceleration ($ 9.8 m/s^2 $) 
* $ L = $ Length of the pendulum


```math
A=\left(
\begin{matrix}
1 & 2 \\
3 & 4 
\end{matrix}
\right)
```