【圏論メモ】D が完備ならば 関手圏 D^C は 完備である

# 命題

$\textbf{C}, \textbf{D}$ を圏とする。 $\textbf{D}$ が完備ならば関手圏 $\textbf{D}^\textbf{C}$ は完備である。

# 定義
## 完備
圏 $\textbf{C}$ が完備であるとは、任意の小さい圏 $\textbf{J}$ に対して任意の図式

```math
\mathcal{D}: \textbf{J} \rightarrow \textbf{C}
```

が極限を持つことを言う。
小さい圏に対する図式の極限を**小さい極限**と呼ぶ。

## 小さい圏
圏 $\textbf{C}$ について $\textbf{Ob(C)}$ と $\textbf{Hom(C)}$ がともに集合である時、 $\textbf{C}$ を小さい圏と言う。

$\textbf{Sets}$ は小さい圏ではない。
自然数を対象とし、順序を射とすると圏になるが、これは小さい圏である。

## 関手圏
圏 $\textbf{C}, \textbf{D}$ に対し、次のような圏を関手圏と言い、 $\textbf{D}^{\textbf{C}}$ と表す：

- 対象：$\textbf{C}$ から $\textbf{D}$ への任意の関手 $\mathcal{F}: \textbf{C} \rightarrow \textbf{D}$
- 射：関手 $\mathcal{F}$ から関手 $\mathcal{G}$ への任意の自然変換 $\vartheta: \mathcal{F} \rightarrow \mathcal{G}$
- 射の合成：自然変換の合成

# 証明
自然変換は、$\textbf{C}$ 上の対象 $A, B$ 及び射 $f: A \rightarrow B$を固定してしまえば、議論は $\textbf{D}$ 上で行われる、という点に着目する。$\textbf{D}$ 上では小さい極限が必ず存在することを利用して、関手を定義してやれば良い。

[Sets が完備であることの証明](http://qiita.com/amoO_O/items/231734828c200b013e6c) と同様、完備であることを示すためには次の2点を示せば良い。

- 任意の対象の集合 $\\{\mathcal{F}\_\lambda\\}\_{\lambda \in \Lambda}$ が積を持つこと
- 任意の平行射 $\vartheta, \varphi: \mathcal{F} \rightrightarrows \mathcal{G}$ が極限を持つこと

## 積
$\Lambda$ を集合とし、 $\Lambda$ で添字付けられた $\textbf{D}^\textbf{C}$ 上の対象の集まりを $\\{\mathcal{F}\_\lambda\\}\_{\lambda \in \Lambda}$ と書く。$\\{\mathcal{F}\_\lambda\\}\_{\lambda \in \Lambda}$ の積

```math
\mathcal{F} = \prod_{\lambda \in \Lambda} \mathcal{F}_\lambda : \textbf{C} \rightarrow \textbf{D}
```

と射影射

```math
\pi_\lambda: \mathcal{F} \rightarrow \mathcal{F}_\lambda
```

を構成したい（関手圏の射影射は自然変換であることに注意）。そのためには

- $\textbf{C}$ の対象を $\textbf{D}$ の対象に移す変換
- $\textbf{C}$ の射を $\textbf{D}$ の射に移す変換

を定義し、この組が関手の条件を満たしていること、及び

- 下図が可換になること

```math
\begin{array}{cccc}
in \textbf{C} & in \textbf{D}\\
A & \mathcal{F}A & \xrightarrow{\pi_{\lambda, A}} & \mathcal{F}_\lambda A\\
\phantom{f}\Bigg\downarrow f & \phantom{\mathcal{F}f}\Bigg\downarrow \mathcal{F}f & \circlearrowright & \phantom{\mathcal{F}_\lambda f}\Bigg\downarrow \mathcal{F}_\lambda f\\
B & \mathcal{F}B & \xrightarrow{\pi_{\lambda, B}} & \mathcal{F}_\lambda B\\
\end{array}
```

を確認していく。

### 対象の変換
$\forall A \in \textbf{Ob(C)}, \forall \lambda \in \Lambda$ に対し、 $\mathcal{F}\_\lambda A$ は $\textbf{D}$ の対象である。仮定より $\textbf{D}$ は完備であるから、$\\{\mathcal{F}\_\lambda A\\}_{\lambda \in \Lambda}$ は積

```math
\prod_{\lambda \in \Lambda} \mathcal{F}_\lambda A
```

と射影射

```math
\rho_{A, \lambda}: \prod_{\lambda \in \Lambda} \mathcal{F}_\lambda A \rightarrow \mathcal{F}_\lambda A
```

を持つ。$\pi_{\lambda, A}$ は関手圏上の射影射 $\pi_\lambda$ が $\textbf{C}$ の対象 $A$ で添字付けられているため添字は $\lambda$ が先であるのに対し、$\rho_{A, \lambda}$ はまず $A$ を固定して $\textbf{D}$ 上の積を定義し、その $\textbf{D}$ 上の射影射であるから添字は $A$ が先である。ただし後にこれが同じものであることを見ていく。

$\textbf{C}$ の対象 $A$ から $\textbf{D}$ の対象 $\prod \mathcal{F}\_\lambda A$ への対応を $\mathcal{F}A$ で表すことにする。

```math
\mathcal{F}A = \prod_{\lambda \in \Lambda} \mathcal{F}_\lambda A
```

### 射の変換

次に、$\textbf{C}$ 上の射 $f: A \rightarrow B$ を $\textbf{D}$ 上にどう移すかを考える。
$N = \prod \mathcal{F}\_\lambda A$ とし、$\forall \lambda \in \Lambda$ について、2 つの射

```math
\begin{eqnarray}
\rho_{A, \lambda}: & \prod \mathcal{F}_\lambda A & \rightarrow & \mathcal{F}_\lambda A\\
\mathcal{F}_\lambda f: & \mathcal{F}_\lambda A & \rightarrow & \mathcal{F}_\lambda B
\end{eqnarray}
```

の合成を $\varphi_\lambda$ で表す。

```math
\varphi_\lambda = \mathcal{F}_\lambda f \circ \rho_{A, \lambda}: \prod \mathcal{F}_\lambda A \rightarrow \mathcal{F}_\lambda B
```

組 $(N, \varphi)$ は、$\\{\mathcal{F}\_\lambda B\\}$ への錐になっている。したがって、極限である $\prod \mathcal{F}\_\lambda B$ へ唯一の射

```math
u: N \rightarrow \prod \mathcal{F}_\lambda B
```

が定まり、下図を可換にする。

```math
\begin{array}{ccc}
N\\
\phantom{u}\Bigg\downarrow u & \searrow^{\varphi_\lambda}\\
\prod \mathcal{F}_\lambda B & \xrightarrow{\rho_{A, \lambda}} & \mathcal{F}_\lambda B\\
\end{array}
```

$N = \prod \mathcal{F}\_\lambda A = \mathcal{F}A, \prod \mathcal{F}\_\lambda B = \mathcal{F}B$ であったから、この $u$ を $\mathcal{F}f$ としてやれば、これが $\textbf{C}$ 上の射 $f$ を $\textbf{D}$ 上の射 $\mathcal{F}f$ に移す変換ということになる。

```math
\begin{array}{cccc}
in \textbf{C} & in \textbf{D}\\
A & \mathcal{F}A\\
\phantom{f}\Bigg\downarrow f & \phantom{\mathcal{F}f}\Bigg\downarrow \mathcal{F}f & \searrow^{\varphi_\lambda}\\
B & \mathcal{F}B & \xrightarrow{\rho_{B, \lambda}} & \mathcal{F}_\lambda B\\
\end{array}
```

恒等射を恒等射に移すことや、射の合成を保存することは、$u$ が唯一であることから従う。

### 射影射

上の図式で、 $\varphi\_\lambda = \mathcal{F}\_\lambda f \circ \rho\_{A, \lambda}$ を適用すると次のような図式になる。

```math
\begin{array}{cccc}
in \textbf{C} & in \textbf{D}\\
A & \mathcal{F}A & \xrightarrow{\rho_{A, \lambda}} & \mathcal{F}_\lambda A\\
\phantom{f}\Bigg\downarrow f & \phantom{\mathcal{F}f}\Bigg\downarrow \mathcal{F}f & \circlearrowright & \phantom{\mathcal{F}_\lambda f}\Bigg\downarrow \mathcal{F}_\lambda f\\
B & \mathcal{F}B & \xrightarrow{\rho_{B, \lambda}} & \mathcal{F}_\lambda B\\
\end{array}
```

これは自然変換の性質そのものであるから、$\mathcal{F}$ から $\mathcal{F}\_\lambda$ への射影射 $\pi_\lambda$ を次のように定義できる

```math
\pi_{\lambda, A} = \rho_{A, \lambda}
```

```math
\begin{array}{cccc}
in \textbf{D}^\textbf{C} & \mathcal{F} & \xrightarrow{\pi_\lambda} & \mathcal{F}_\lambda\\
\hline
in \textbf{C} & in \textbf{D}\\
A & \mathcal{F}A & \xrightarrow{\pi_{\lambda, A}} & \mathcal{F}_\lambda A\\
\phantom{f}\Bigg\downarrow f & \phantom{\mathcal{F}f}\Bigg\downarrow \mathcal{F}f & \circlearrowright & \phantom{\mathcal{F}_\lambda f}\Bigg\downarrow \mathcal{F}_\lambda f\\
B & \mathcal{F}B & \xrightarrow{\pi_{\lambda, B}} & \mathcal{F}_\lambda B\\
\end{array}
```

### 唯一性
最後に、他の関手 $\mathcal{G}$ と $\Lambda$ で添字付けられた自然変換

```math
\vartheta_\lambda: \mathcal{G} \rightarrow \mathcal{F}_\lambda
```

の組$(\mathcal{G}, \vartheta)$が存在した場合に、$\mathcal{G}$ から $\mathcal{F}$ への自然変換 $\psi$ が唯一定まって、$\forall \lambda \in \Lambda$ に対し図式

```math
\begin{array}{ccc}
in \textbf{D}^\textbf{C}\\
\mathcal{G}\\
\phantom{\psi}\Bigg\downarrow \psi & \searrow^{\vartheta_\lambda}\\
\mathcal{F} & \xrightarrow{\pi_\lambda} & \mathcal{F}_\lambda\\
\end{array}
```

が可換になることを示す。

$\textbf{C}$ 上の対象 $A, B$ 及び射 $f: A \rightarrow B$ を固定し、図式

```math
\begin{array}{cccc}
in \textbf{C} & in \textbf{D}\\
A & \mathcal{G}A & & \xrightarrow{\vartheta_{\lambda, A}} & & \mathcal{F}_\lambda A\\
\phantom{f}\Bigg\downarrow f & \phantom{\mathcal{G} }\Bigg\downarrow \mathcal{G} f & \searrow^{\psi_A} & & \nearrow_{\pi_{\lambda, A}} & \phantom{\mathcal{F}_\lambda f}\Bigg\downarrow \mathcal{F}_\lambda f \\
B & \mathcal{G}B & & \mathcal{F}A & \circlearrowright & \mathcal{F}_\lambda B\\
& & \searrow^{\psi_B} & \phantom{\mathcal{F}f}\Bigg\downarrow \mathcal{F}f & \nearrow_{\pi_{\lambda, B}}\\
& & & \mathcal{F}B
\end{array}
```

を考える。$\mathcal{F}A$ が $\textbf{D}$ 上の積であることから、$\mathcal{G}A$ から $\mathcal{F}\_\lambda A$ に至る射 $\vartheta\_{\lambda, A}$ は $\mathcal{F}A$ を介して一意に分解できる：

```math
\begin{array}{cccc}
in \textbf{C} & in \textbf{D}\\
A & \mathcal{G}A & & \xrightarrow{\vartheta_{\lambda, A}} & & \mathcal{F}_\lambda A\\
\phantom{f}\Bigg\downarrow f & \phantom{\mathcal{G} }\Bigg\downarrow \mathcal{G} f & \searrow^{\psi_A} & \circlearrowright & \nearrow_{\pi_{\lambda, A}} & \phantom{\mathcal{F}_\lambda f}\Bigg\downarrow \mathcal{F}_\lambda f \\
B & \mathcal{G}B & & \mathcal{F}A & \circlearrowright & \mathcal{F}_\lambda B\\
& & \searrow^{\psi_B} & \phantom{\mathcal{F}f}\Bigg\downarrow \mathcal{F}f & \nearrow_{\pi_{\lambda, B}}\\
& & & \mathcal{F}B
\end{array}
```

B に関しても同じことが言えるので、

```math
\vartheta_{\lambda, A} = \pi_{\lambda, A} \circ \psi_A\\
\vartheta_{\lambda, B} = \pi_{\lambda, B} \circ \psi_B\\
```

が成り立つ。

$\mathcal{G}A$ から $\mathcal{F}\_\lambda B$ に至る経路を考えると、

```math
\begin{eqnarray}
\pi_{\lambda, B} \circ \bigl(\mathcal{F}f \circ \psi_A\bigr) & = & \bigl(\pi_{\lambda, B} \circ \mathcal{F}f\bigr) \circ \psi_A\\
& = & \bigl(\mathcal{F}_\lambda f \circ \pi_{\lambda, A}\bigr) \circ \psi_A\\
& = & \mathcal{F}_\lambda f \circ \bigl(\pi_{\lambda, A} \circ \psi_A\bigr)\\
& = & \mathcal{F}_\lambda f \circ \vartheta_{\lambda, A}\\
& = & \vartheta_{\lambda, B} \circ \mathcal{G}_\lambda f\\
& = & \bigl(\pi_{\lambda, B} \circ \psi_B\bigr) \circ \mathcal{G}_\lambda f\\
& = & \pi_{\lambda, B} \circ \bigl(\psi_B \circ \mathcal{G}_\lambda f\bigr)\\
\end{eqnarray}
```

$\mathcal{F}B$ は $\textbf{D}$ 上の積であるから、

```math
\mathcal{F}f \circ \psi_A = \psi_B \circ \mathcal{G}_\lambda f
```

```math
\begin{array}{cccc}
in \textbf{C} & in \textbf{D}\\
A & \mathcal{G}A & & \xrightarrow{\vartheta_{\lambda, A}} & & \mathcal{F}_\lambda A\\
\phantom{f}\Bigg\downarrow f & \phantom{\mathcal{G}f}\Bigg\downarrow \mathcal{G}f & \searrow^{\psi_A} & \circlearrowright & \nearrow_{\pi_{\lambda, A}} & \phantom{\mathcal{F}_\lambda f}\Bigg\downarrow \mathcal{F}_\lambda f \\
B & \mathcal{G}B & \circlearrowright & \mathcal{F}A & \circlearrowright & \mathcal{F}_\lambda B\\
& & \searrow^{\psi_B} & \phantom{\mathcal{F}f}\Bigg\downarrow \mathcal{F}f & \nearrow_{\pi_{\lambda, B}}\\
& & & \mathcal{F}B
\end{array}
```

以上により、 $\psi$ が自然変換であり、$\vartheta_\lambda = \pi_\lambda \circ \psi$ が言えた。

## 平行射
次に、平行射か極限を持つことを示す。やり方は積の時とほとんど同じである。

$\vartheta, \varphi: \mathcal{F} \rightrightarrows \mathcal{G}$ を平行射とする。$A \in \textbf{Ob(C)}$ を一つ固定すれば $\vartheta_A, \varphi_A: \mathcal{F}A \rightrightarrows \mathcal{G}A$ は $\textbf{D}$ 上の平行射だから、イコライザ $(\textrm{eq}(\vartheta_A, \varphi_A), \varepsilon_A)$ が存在する。そこで、$A$ を $\textrm{eq}(\vartheta_A, \varphi_A)$ に移す変換を $\textrm{eq}(\vartheta, \varphi)$ とし、これが関手となっていること、それから、射の集合 $\varepsilon = \\{\varepsilon_A\\}$ が自然変換になっていることを確認する。

```math
\begin{array}{cccc}
\textrm{eq}(\vartheta, \varphi): & \textbf{C} & \longrightarrow & \textbf{D}\\
& A & \longmapsto & \textrm{eq}(\vartheta_A, \varphi_A)\\
\varepsilon: & \textrm{eq}(\vartheta, \varphi) & \longrightarrow & \mathcal{F}
\end{array}
```

```math
\begin{array}{ccc}
in \textbf{C} & in \textbf{D}\\
A & \textrm{eq}(\vartheta_A, \varphi_A) & \overset{\varepsilon_A} \longrightarrow & \mathcal{F}A & \overset{\overset{\vartheta_A}{\longrightarrow}} {\underset{\varphi_A}{\longrightarrow}} & \mathcal{G}A \\
\phantom{f}\Bigg\downarrow f & \phantom{\textrm{eq}(\vartheta, \varphi)(f)}\Bigg\downarrow \textrm{eq}(\vartheta, \varphi)(f) & & \phantom{\mathcal{F}f}\Bigg\downarrow \mathcal{F}f & \circlearrowright & \phantom{\mathcal{G}f}\Bigg\downarrow \mathcal{G}f\\
B & \textrm{eq}(\vartheta_B, \varphi_B) & \overset{\varepsilon_B} \longrightarrow & \mathcal{F}B & \overset{\overset{\vartheta_B}{\longrightarrow}} {\underset{\varphi_B}{\longrightarrow}} & \mathcal{G}B \\
\end{array}
```

$\textrm{eq}(\vartheta, \varphi)(f)$ については、対象 $\textrm{eq}(\vartheta\_A, \varphi\_A)$ と射 $\mathcal{F}f \circ \varepsilon_A$ の組が平行射への錐になっていることを確認すれば、 $\textrm{eq}(\vartheta\_B, \varphi\_B)$ が極限であることから従う。
これが錐であることを確認するには、等式

```math
\vartheta_B \circ \bigl(\mathcal{F}f \circ \varepsilon_A\bigr) = \varphi_B \circ \bigl(\mathcal{F}f \circ \varepsilon_A\bigr)
```

が言えれば良い。実際、

```math
\begin{eqnarray}
\vartheta_B \circ \bigl(\mathcal{F}f \circ \varepsilon_A\bigr) & = & \bigl(\vartheta_B \circ \mathcal{F}f\bigr) \circ \varepsilon_A\\
& = & \bigl(\mathcal{G}f \circ \vartheta_A\bigr) \circ \varepsilon_A\\
& = & \mathcal{G}f \circ \bigl(\vartheta_A \circ \varepsilon_A\bigr)\\
& = & \mathcal{G}f \circ \bigl(\varphi_A \circ \varepsilon_A\bigr)\\
& = & \bigl(\mathcal{G}f \circ \varphi_A\bigr) \circ \varepsilon_A\\
& = & \bigl(\varphi_B \circ \mathcal{F}f\bigr) \circ \varepsilon_A\\
& = & \varphi_B \circ \bigl(\mathcal{F}f \circ \varepsilon_A\bigr)
\end{eqnarray}
```

これで、 $\textbf{D}$ の完備性から関手圏 $\textbf{D}^\textbf{C}$ が積及びイコライザを持つことがわかった。したがって、$\textbf{D}^\textbf{C}$ は完備である。

# まとめ
行間埋めるのしんどい。