【圏論メモ】任意の前層が表現可能関手の余極限と同型であることの証明

# 命題
$\textbf{C}$ を小さい圏とし、 $\mathcal{P}$ を $\textbf{C}$ 上の任意の前層とする。
このとき$\mathcal{P}$は、その要素圏 $\textbf{J} = \int_{\textbf{C}}\mathcal{P}$ を添字圏とする表現可能関手からなる図式の余極限 $\underset{\rightarrow}{\textrm{lim}}\int_{\textbf{C}}\mathcal{P}$ と同型である。

# 定義
## 小さい圏
$\textbf{Ob(C)}, \textbf{Hom(C)}$ がともに集合であるような圏 $\textbf{C}$ を **小さい圏** と呼ぶ。

## C上の前層
反変関手 $\mathcal{P}: \textbf{C} \rightarrow \textbf{Set}$ を $\textbf{C}$ **上の前層** と呼ぶ。

※ 米田の補題の記事では関手と同じ $\mathcal{F}$ で表現していたが、他の方の記事を読んでいるとどうも Presheaf（前層）の頭文字をとって $\mathcal{P}$ を使うことが多いようなので、この記事もそれに従う。
→ （追記） 米田の補題の記事内、$\mathcal{F}$ を $\mathcal{P}$ に修正

## 要素圏
俺の唯一無二の情報源 ウィキペディア には英語記事しか無かった：
https://en.wikipedia.org/wiki/Category_of_elements

共変関手の要素圏と反変関手の要素圏は微妙に異なる（が、大体同じ）。ここでは反変関手の要素圏のみ述べておく。

$\textbf{C}$ を圏、 $\mathcal{P}: \textbf{C}^{\textrm{op}} \rightarrow \textbf{Set}$ を前層とする。
$\mathcal{P}$ の **要素の圏** $\int_{\textbf{C}}\mathcal{P}$ とは、次のように定義される圏である：

```math
\begin{eqnarray}
(A, a) \in \textbf{Ob}\left(\int_{\textbf{C}}\mathcal{P}\right) & \Leftrightarrow & A \in \textbf{Ob(C)} \wedge a \in \mathcal{P}A \\
f: (A, a) \rightarrow (B, b) \in \textbf{Hom}\left(\int_{\textbf{C}}\mathcal{P}\right) & \Leftrightarrow & f: A \rightarrow B \in \textbf{Hom(C)} \wedge \mathcal{P}f(b) = a \\
\end{eqnarray}
```

$\mathcal{P}$ は反変関手であるから、 $f: A \rightarrow B$ に対し $\mathcal{P}f: \mathcal{P}B \rightarrow \mathcal{P}A$ であることに注意。
$\textrm{el}(\mathcal{P})$ と書くこともあるが同じものである。本記事では $\int_{\textbf{C}}\mathcal{P}$ を使う。

## 表現可能関手

$X \in \textbf{Ob(C)}$ に対し 反変関手

```math
\textrm{Hom}_\textbf{C}(-, X): \textbf{C} \rightarrow \textbf{Set}
```

及び共変関手

```math
\textrm{Hom}_\textbf{C}(X, -): \textbf{C} \rightarrow \textbf{Set}
```

を $X$ の表現可能関手と呼ぶ。ここでは反変関手の方のみ取り扱う。
米田の埋め込み定理より、 $A$ に $\textrm{Hom}_\textbf{C}(-, A)$ を対応させる関手が元の圏 $\textbf{C}$ の構造を $\textbf{Set}^{\textbf{C}^\textrm{op}}$ の中に埋め込む。このことを表現可能と言う（らしい。これの何が「表現可能」なのかは勉強不足でいまいちつかめていない。あとで補足するかもしれない。）

## 米田の埋め込み定理
次の関手 $\mathcal{y}: \textbf{C} \rightarrow \textbf{Set}^{\textbf{C}^\textrm{op}}$ は埋め込みである。

```math
\begin{array}{rcllccc}
A & \longmapsto & \mathcal{y}A & = & \textrm{Hom}_\textbf{C}(-, A)\\
f: A \rightarrow B & \longmapsto & \mathcal{y}f & : & \textrm{Hom}_\textbf{C}(-, A) & \longrightarrow & \textrm{Hom}_\textbf{C}(-, B)\\
& & \mathcal{y}f_C & : & \textrm{Hom}_\textbf{C}(C, A) & \longrightarrow & \textrm{Hom}_\textbf{C}(C, B)\\
& & & & g & \longmapsto & f \circ g
\end{array}
```

証明は[米田の補題](http://qiita.com/amoO_O/items/a6064b9d1adc30f67a7c)から従う

## 余極限
極限の双対を余極限と言う。

$\textbf{J}$ を添字圏、$\mathcal{D}: \textbf{J} \rightarrow \textbf{C}$ を図式とする。
$N \in \textbf{Ob(C)}$ と $\psi_i: \mathcal{D}i \rightarrow N (i \in \textbf{Ob(J)})$ の組 $(N, \psi)$ であって、 $\forall f: i \rightarrow j \in \textbf{Hom(J)}, \psi_i = \psi_j \circ \mathcal{D}f$ を満たすものを $\mathcal{D}$ **からの** 錐と呼ぶ。 [F への錐](http://qiita.com/amoO_O/items/5d8fb067aaecea10041d#%E9%8C%90) との違いに注意。

$\mathcal{D}$ からの錐 $(L, \phi)$ であって、任意の $\mathcal{D}$ からの錐 $(N, \psi)$ について $\exists u: L \rightarrow N$ が唯一つ定まり、 $\forall i \in \textbf{Ob(J)}, \psi_i = u \circ \phi_i$ を満たすものを $\mathcal{D}$ の **余極限** と呼ぶ。[極限](http://qiita.com/amoO_O/items/5d8fb067aaecea10041d#%E6%A5%B5%E9%99%90%E4%BB%B2%E4%BB%8B%E5%B0%84) との違いに注意。

# 証明
どの空間での話なのかに注意する。特に、[米田の補題](http://qiita.com/amoO_O/items/a6064b9d1adc30f67a7c) を使って自然変換 $\alpha: \textrm{Hom}\_\textbf{C}(-, A) \rightarrow \mathcal{P}$ と集合 $\mathcal{P}A$ の元 $a$ との同一視を多用する。

$a \in \mathcal{P}A$ に対しては、自然変換 $\alpha: \textrm{Hom}_\textbf{C}(-, A) \rightarrow \mathcal{P}$ を次のように対応させる。

```math
\forall X \in \textbf{Ob(C)}, \forall f \in \textrm{Hom}_\textbf{C}(X, A), \, \alpha_X(f) = \mathcal{P}f(a)
```

$\alpha: \textrm{Hom}_\textbf{C}(-, A) \rightarrow \mathcal{P}$ に対しては、$a \in \mathcal{P}A$ を次のように対応させる。

```math
a = \alpha_A(id_A)
```

まずはじめに、「要素圏を添字圏とする表現可能関手からなる図式」とやらを定義する。図式なので記号

```math
\mathcal{D}: \textbf{J} \rightarrow \textbf{Set}^{\textbf{C}^\textrm{op}}
```

を使う。

次に、$\mathcal{P}$ が $\mathcal{D}$ からの錐であることを示す。そのためには、$\textbf{J}$ の対象 $(A, a)$ で添字付けられた射

```math
\varphi_{(A, a)}: \mathcal{D}(A, a) \rightarrow \mathcal{P}
```

を用意する必要がある。この射は $\textbf{Set}^{\textbf{C}^\textrm{op}}$ の射、つまり自然変換であることに注意する。

最後に、他の錐 $(\mathcal{Q}, \psi)$ があったときに、仲介射 $\mu: \mathcal{P} \rightarrow \mathcal{Q}$ が定まることを示す。$\mathcal{P}, \mathcal{Q}$ が $\textbf{Set}^{\textbf{C}^\textrm{op}}$ の対象なので、 $\mu$ は自然変換である。

## 図式の定義

「表現可能関手からなる図式」 とあるので、米田の埋め込み定理で定義した関手 $\mathcal{y}$ を使って図式 $\mathcal{F}$ を定義する。

```math
\begin{eqnarray}
(A, a) & \longmapsto & \mathcal{y}A = \textrm{Hom}_\textbf{C}(-, A)\\
f: (A, a) \rightarrow (B, b) & \longmapsto & \mathcal{y}f: \textrm{Hom}_\textbf{C}(-, A) \rightarrow \textrm{Hom}_\textbf{C}(-, B)
\end{eqnarray}
```

この時点で、$a \in \mathcal{P}A$ は使われていない。わざわざ $\textbf{J}$ からの図式としなくても、 $\textbf{C}$ からの図式で良さそうなものだ。

$a$ は、$\mathcal{F}$ からの錐を構成する際に使われる。 $(A, a) \in \textbf{Ob(J)}$ に対して、射

```math
\varphi_{(A, a)}: \textrm{Hom}_\textbf{C}(-, A) \rightarrow \mathcal{P}
```

を定義したい。この自然変換は、よく見ると $\textrm{Nat}(\textrm{Hom}_{\textbf{C}}(-, A), \mathcal{P}) \cong \mathcal{P}A$ の元だから $a \in \mathcal{P}A$ を対応させることが出来る。つまり、 $a$ に対応する自然変換を $\alpha$ として、

```math
\varphi_{(A, a)} = \alpha
```

と定義してやれば良い。

## 錐であることの証明
以下、 $(\mathcal{P}, \varphi)$ が $\mathcal{D}$ からの錐であることを示す。

そのためには、 $\forall f: (A, a) \rightarrow (B, b)$ に対して

```math
\varphi_{(A, a)} = \varphi_{(B, b)} \circ \mathcal{D}f
```

を示せば良い。$a, b$ に対応する自然変換を $\alpha, \beta$ と書くと、

```math
\alpha = \beta \circ \mathcal{D}f
```

を示すことになる。これは自然変換としての等号だから、$\forall X \in \textbf{Ob(C)}$ に対して

```math
\alpha_X = \beta_X \circ \mathcal{D}f_X
```

を示せば良い。これは $\textbf{Set}$ の射（写像）としての等号だから、$\forall g \in \textrm{Hom}_\textbf{C}(X, A)$ について

```math
\alpha_X(g) = \bigl(\beta_X \circ \mathcal{D}f_X\bigr)(g)
```

を示せば良い。要素圏の性質

```math
\mathcal{P}f(b) = a
```

に注意して、

```math
\begin{eqnarray}
\bigl(\beta_X \circ \mathcal{F}f_X\bigr)(g) & = & \beta_X\bigl(\mathcal{F}f_X(g)\bigr)\\
& = & \beta_X(f \circ g)\\
& = & \mathcal{P}(f \circ g)(b)\\
& = & \bigl(\mathcal{P}g \circ \mathcal{P}f\bigr)(b)\\
& = & \mathcal{P}g\bigl(\mathcal{P}f(b)\bigr)\\
& = & \mathcal{P}g(a)\\
& = & \alpha_X(g)\\
\end{eqnarray}
```

よって、 $(\mathcal{P}, \varphi)$ は $\mathcal{F}$ からの錐である。

## 余極限であることの証明
### μ の定義
$(\mathcal{Q}, \psi)$ も $\mathcal{F}$ からの錐であったとする。このとき、仲介射となるような自然変換 $\mu: \mathcal{P} \rightarrow \mathcal{Q}$ を構成したい。

$X \in \textbf{Ob(C)}$ を固定すれば、$\mu_X: \mathcal{P}X \rightarrow \mathcal{Q}X$ はただの写像である。
$x \in \mathcal{P}X$ を1つ任意に選ぶ。すると、$X$ と $x$ とで $\textbf{J}$ の対象 $(X, x)$ が一つ定まる。
$(\mathcal{Q}, \psi)$ は $\mathcal{D}$ からの錐であったから、この $(X, x)$ について自然変換 $\psi\_{(X, x)}: \textbf{Hom}\_\textbf{C}(-, X) \rightarrow \mathcal{Q}$ が一つ定まる。
米田の補題より、$\psi\_{(X, x)}$ に対応する元 $\psi\_{(X,x),X}(id\_X) \in \mathcal{Q}X$ が存在する。

まとめると、 $\mu_X$ を次のように定義出来そうだ。

```math
\begin{array}{cccc}
\mu_X: & \mathcal{P}X & \longrightarrow & \mathcal{Q}X\\
& x & \longmapsto & \psi_{(X, x), X}(id_X)
\end{array}
```

### 自然変換であることの証明
こうして出来た写像の族 $\mu = \\{\mu_X\\}$ が自然変換であることを示す。

そのためには、以下の図式が可換であることを示せば良い。

```math
\begin{array}{ccccc}
in \textbf{C} & in \textbf{C}^\textrm{op} & in \textbf{Set}\\
Y & Y & \mathcal{P}Y & \overset{\mu_Y} \longrightarrow & \mathcal{Q}Y\\
\phantom{f}\Bigg\uparrow f & \phantom{f}\Bigg\downarrow f & \phantom{\mathcal{P}f}\Bigg\downarrow \mathcal{P}f & & \phantom{\mathcal{Q}f}\Bigg\downarrow \mathcal{Q}f\\
X & X & \mathcal{P}X & \overset{\mu_X} \longrightarrow & \mathcal{Q}X\\
\end{array}
```

$\forall y \in \mathcal{P}Y$ に対し、 $x = \mathcal{P}f(y) \in \mathcal{P}X$ と置く。すると、 $f$ は $\textbf{J}$ の射　$(X, x) \rightarrow (Y, y)$ と同一視できる。

また、$(\mathcal{Q}, \psi)$ は $\mathcal{D}$ からの錐なので、

```math
\psi_{(X,x)} = \psi_{(Y, y)} \circ \mathcal{D}f
```

が成り立つ。

$\psi_{(Y, y)}$ は自然変換だから、次の図式が可換である。

```math
\begin{array}{ccccc}
in \textbf{C} & in \textbf{C}^\textrm{op} & in \textbf{Set}\\
Y & Y & \textrm{Hom}_\textbf{C}(Y, Y) & \xrightarrow{\psi_{(Y, y), Y}} & \mathcal{Q}Y\\
\phantom{f}\Bigg\uparrow f & \phantom{f}\Bigg\downarrow f & \phantom{\textrm{Hom}_\textbf{C}(f, Y)}\Bigg\downarrow \textrm{Hom}_\textbf{C}(f, Y) & \circlearrowright & \phantom{\mathcal{Q}f}\Bigg\downarrow \mathcal{Q}f\\
X & X & \textrm{Hom}_\textbf{C}(X, Y) & \xrightarrow{\psi_{(Y, y), X}} & \mathcal{Q}X\\
\end{array}
```

以上を念頭に置き、 $\mu_X \circ \mathcal{P}f = \mathcal{Q}f \circ \mu_Y$ を示す。

$\forall y \in \mathcal{P}Y$ に対し、

```math
\begin{eqnarray}
\bigl(\mu_X \circ \mathcal{P}f\bigr)(y) & = & \mu_X \bigl(\mathcal{P}f(y)\bigr)\\
& = & \mu_X(x)\\
& = & \psi_{(X, x), X}(id_X)\\
& = & \bigl(\psi_{(Y, y), X} \circ \mathcal{D}f_X\bigr)(id_X)\\
& = & \psi_{(Y, y), X} \bigl(\mathcal{D}f_X(id_X)\bigr)\\
& = & \psi_{(Y, y), X} (f \circ id_X)\\
& = & \psi_{(Y, y), X} (f)\\
& = & \psi_{(Y, y), X} (id_Y \circ f)\\
& = & \psi_{(Y, y), X} \bigl(\textrm{Hom}_\textbf{C}(f, Y)(id_Y)\bigr)\\
& = & \bigl(\psi_{(Y, y), X} \circ \textrm{Hom}_\textbf{C}(f, Y)\bigr)(id_Y)\\
& = & \bigl(\mathcal{Q}f \circ \psi_{(Y, y), Y}\bigr)(id_Y)\\
& = & \mathcal{Q}f \bigl(\psi_{(Y, y), Y}(id_Y)\bigr)\\
& = & \mathcal{Q}f \bigl(\mu_Y(y)\bigr)\\
& = & \bigl(\mathcal{Q}f \circ \mu_Y\bigr)(y)\\
\end{eqnarray}
```

したがって、 $\mu$ は自然変換である。

### 仲介射であることの証明
最後に、$\forall (A, a) \in \textbf{Ob(J)}$ に対し、

```math
\psi_{(A, a)} = \mu \circ \varphi_{(A, a)}
```

を示す。これは自然変換としての等号であるから、$\forall X \in \textbf{Ob(C)}$ に対し

```math
\psi_{(A, a), X} = \mu_X \circ \varphi_{(A, a), X}
```

を示せば良い。これは $\textbf{Set}$ の射（写像）としての等号であるから、 $\forall f: X \rightarrow A$ に対し

```math
\psi_{(A, a), X}(f) = \bigl(\mu_X \circ \varphi_{(A, a), X}\bigr)(f)
```

を示せば良い。

```math
\begin{eqnarray}
\bigl(\mu_X \circ \varphi_{(A, a), X}\bigr)(f) & = & \mu_X \bigl(\varphi_{(A, a), X}(f)\bigr)\\
& = & \mu_X \bigl(\mathcal{P}f(a)\bigr)\\
& = & \mathcal{Q}f \bigl(\mu_A(a)\bigr)\\
& = & \mathcal{Q}f \bigl(\psi_{(A, a), A}(id_A)\bigr)\\
& = & \bigl(\mathcal{Q}f \circ \psi_{(A, a), A}\bigr)(id_A)\\
& = & \bigl(\psi_{(A, a), X} \circ \textrm{Hom}_\textbf{C}(f, A)\bigr)(id_A)\\
& = & \psi_{(A, a), X} \bigl(\textrm{Hom}_\textbf{C}(f, A)(id_A)\bigr)\\
& = & \psi_{(A, a), X} (id_A \circ f)\\
& = & \psi_{(A, a), X} (f)\\
\end{eqnarray}
```

$f$ は任意であったから、

```math
\psi_{(A, a), X} = \mu_X \circ \varphi_{(A, a), X}
```

$X$ は任意であったから、

```math
\psi_{(A, a)} = \mu \circ \varphi_{(A, a)}
```

以上により、

```math
\underset{\rightarrow}{\textrm{lim}}\int_{\textbf{C}}\mathcal{P} \cong \mathcal{P}
```

であることが証明された。