【圏論メモ】表現可能関手が余極限を保存することの証明

# 命題
表現可能関手は余極限を保存する

（2017/12/06 追記）
この記事はもともと表現可能関手 $\textrm{Hom}(A, -)$ が極限を保存することの証明を書いたものであった。が、圏論を勉強していく中で、$\textrm{Hom}(A, -)$ よりも $\textrm{Hom}(-, A)$ の方が重要であり頻出であることがわかってきたので、矢印の向きをバスっと書き換えた。書き損じがあるかもしれないのでもし見つけたらコメント or 編集リクエストをいただけると助かります m(__)m

# 定義
## 表現可能関手
共変関手 $\mathcal{F}: \textbf{C} \rightarrow \textbf{Set}$ が表現可能であるとは、

```math
\exists A \in \textbf{C}, \textrm{Hom}(A, -) \cong \mathcal{F}
```

を満たすことを言う。

反変関手 $\mathcal{F}: \textbf{C}^\textrm{op} \rightarrow \textbf{Set}$ が表現可能であるとは、

```math
\exists A \in \textbf{C}, \textrm{Hom}(-, A) \cong \mathcal{F}
```

を満たすことを言う。

## 余極限を保存する
反変関手 $\mathcal{F}: \textbf{C}^\textrm{op} \rightarrow \textbf{D}$ が図式 $\mathcal{D}: \textbf{J} \rightarrow \textbf{C}$ の余極限を保存するとは、$\mathcal{D}$ の余極限 $(L, \varphi)$ に対し $(\mathcal{F}L, \mathcal{F}\varphi)$ が $\mathcal{FD}$ の極限になることを言う。つまり、

```math
\mathcal{F}(\textrm{colim}\mathcal{D}) \cong \textrm{lim}\mathcal{FD}
```

が成り立つことを言う。$\mathcal{F}$ が反変関手であるために余極限→極限に変化していることに注意

# 表記法について
## 余極限の可換図式
$\mathcal{D}$ からの錐 (X, x) について、次のような可換図式が出てくることがある。

```math
\begin{array}{ccc}
\textrm{colim}\mathcal{D} & \longrightarrow & X\\
\phantom{\overset{\varphi}{}}\bigg\uparrow \overset{\varphi}{} & \nearrow_{x}\\
\mathcal{D}
\end{array}
```

$\mathcal{D}$ は図式（関手）、 $\textrm{colim}\mathcal{D}$ 及び $X$ は圏 $\textbf{C}$ の対象だから、上の図式は一見すると複数の空間での話題が混在しているように見える。

これは、次の2通りの解釈ができる。

まず、$\forall i \in \textbf{Ob(J)}$ について、

```math
\begin{array}{ccc}
\textrm{colim}\mathcal{D} & \longrightarrow & X\\
\phantom{\overset{\varphi_i}{}}\bigg\uparrow \overset{\varphi_i}{} & \nearrow_{x_i}\\
\mathcal{D}i
\end{array}
```

が可換である、という見方。すると、これは圏 $\textbf{C}$ 上での可換図式だと解釈できる。

もう一つは、関手　$\mathcal{X}: \textbf{J} \rightarrow \textbf{C}$で、

```math
\forall i \in \textbf{Ob(J)}, \mathcal{X}i = X\\
\forall f \in \textbf{Hom(J)}, \mathcal{X}f = id_X
```

となるものを用意し、 $X$ と同一視するという見方だ。 $\textrm{colim}\mathcal{D}$ も同様に解釈すると $\varphi, x$ は自然変換だと言える。するとこれは関手圏 $\textbf{C}^\textbf{J}$ 上での可換図式だと解釈できる。

いずれにせよ同じ事実、仲介射 $\textrm{colim}\mathcal{D} \rightarrow X$ の存在を表現している。

## 証明は読者の演習問題とする
は長いので、 [（笑）](https://www.google.com/#newwindow=1&q=%E8%A8%BC%E6%98%8E%E3%81%AF%E8%AA%AD%E8%80%85%E3%81%AE%E6%BC%94%E7%BF%92%E5%95%8F%E9%A1%8C%E3%81%A8%E3%81%99%E3%82%8B) と略記する。

# 証明

まず、 $\textrm{Hom}(-, A)$ の形の関手が余極限を保存することを示す。
次に、 $\mathcal{F} \cong \mathcal{G}$ の時 $\mathcal{F}$ が余極限を保存するなら $\mathcal{G}$ も余極限を保存することを示す。
この2つが示せれば $\textrm{Hom}(-, A)$ と同型な関手 $\mathcal{F}$ も余極限を保存する、ということが出来る。

## Hom(-, A) が余極限を保存することの証明

$\textbf{C}$ からの錐 $(\textrm{colim}\mathcal{D}, \varphi)$ を $\textrm{Hom}(-, A)$ で移した図を考える。

```math
\begin{array}{ccc}
in\textbf{C} & in \textbf{C}^\textrm{op} & & in\textbf{Set}\\
\textrm{colim}\mathcal{D} & \textrm{colim}\mathcal{D} & & \textrm{Hom}\left(\textrm{colim}\mathcal{D}, A\right)\\
\phantom{\overset{\varphi}{}}\bigg\uparrow \overset{\varphi}{} & \phantom{\overset{\varphi}{}}\bigg\downarrow \overset{\varphi}{} & \xrightarrow{\textrm{Hom}(-, A)} & \phantom{\overset{\textrm{Hom}(\varphi, A)}{}}\bigg\downarrow \overset{\textrm{Hom}(\varphi, A)}{}\\
\mathcal{D} & \mathcal{D} & & \textrm{Hom}(\mathcal{D}, A)
\end{array}
```

$\textbf{Set}$ 上で $\left(\textrm{Hom}(\textrm{colim}\mathcal{D}, A), \textrm{Hom}(\varphi, A)\right)$ は $\textrm{Hom}(\mathcal{D}, A)$ への錐になる[（笑）](https://www.google.com/#newwindow=1&q=%E8%A8%BC%E6%98%8E%E3%81%AF%E8%AA%AD%E8%80%85%E3%81%AE%E6%BC%94%E7%BF%92%E5%95%8F%E9%A1%8C%E3%81%A8%E3%81%99%E3%82%8B)。

他の錐 $(N, \psi)$ があった時に、仲介射 $u: N \rightarrow \textrm{Hom}(\textrm{colim}\mathcal{D}, A)$ が存在することを示す。

```math
\begin{array}{cccccc}
in\textbf{C} & in\textbf{C}^\textrm{op} & & in\textbf{Set}\\
\textrm{colim}\mathcal{D} & \textrm{colim}\mathcal{D} & & \textrm{Hom}\left(\textrm{colim}\mathcal{D}, A\right) & \overset{?} \dashleftarrow & N\\
\phantom{\overset{\varphi}{}}\bigg\uparrow \overset{\varphi}{} & \phantom{\overset{\varphi}{}}\bigg\downarrow \overset{\varphi}{} & \xrightarrow{\textrm{Hom}(-, A)} & \phantom{\overset{\textrm{Hom}(\varphi, A)}{}}\bigg\downarrow \overset{\textrm{Hom}(\varphi, A)}{} & \phantom{{}_{\psi}}\swarrow_{\psi}\\
\mathcal{D} & \mathcal{D} & & \textrm{Hom}(\mathcal{D}, A)
\end{array}
```

$n \in N$ を一つ固定する。これに対し、 $\psi(n): \mathcal{D} \rightarrow A$ が定まる（本当は 添字 $i \in \textbf{Ob(J)}$ を付けて $\psi_i(n): \mathcal{D}i \rightarrow A$ と書くべきところだが省略している。適宜脳内補完すべし）。

```math
\begin{array}{ccccccc}
in\textbf{C} & & & & in\textbf{Set}\\
\textrm{colim}\mathcal{D} & & A & & \textrm{Hom}\left(\textrm{colim}\mathcal{D}, A\right) & \overset{?} \dashleftarrow & N\\
\phantom{\overset{\varphi}{}}\bigg\uparrow \overset{\varphi}{} & \phantom{{}_{\psi(n)}}\nearrow_{\psi(n)} & & \xrightarrow{\textrm{Hom}(-, A)} & \phantom{\overset{\textrm{Hom}(\varphi, A)}{}}\bigg\downarrow \overset{\textrm{Hom}(\varphi, A)}{} & \phantom{{}_{\psi}}\swarrow_{\psi}\\
\mathcal{D} & & & & \textrm{Hom}(\mathcal{D}, A)
\end{array}
```

すると、圏 $\textbf{C}$ 上で $(A, \psi(n))$ は $\mathcal {D}$ からの錐であるから[（汗）](https://www.google.com/#newwindow=1&q=%E5%AE%B9%E6%98%93%E3%81%AB%E8%A8%BC%E6%98%8E%E3%81%A7%E3%81%8D%E3%82%8B)、 $\textrm{colim}\mathcal{D}$ からの仲介射 $f$ が定まる

```math
\begin{array}{ccccccc}
in\textbf{C} & & & & in\textbf{Set}\\
\textrm{colim}\mathcal{D} & \overset{f} \longrightarrow & A & & \textrm{Hom}\left(\textrm{colim}\mathcal{D}, A\right) & \overset{?} \dashleftarrow & N\\
\phantom{\overset{\varphi}{}}\bigg\uparrow \overset{\varphi}{} & \phantom{{}_{\psi(n)}}\nearrow_{\psi(n)} & & \xrightarrow{\textrm{Hom}(-, A)} & \phantom{\overset{\textrm{Hom}(\varphi, A)}{}}\bigg\downarrow \overset{\textrm{Hom}(\varphi, A)}{} & \phantom{{}_{\psi}}\swarrow_{\psi}\\
\mathcal{D} & & & & \textrm{Hom}(\mathcal{D}, A)
\end{array}
```

$n \in N$ から $f \in \textrm{Hom}(\textrm{colim}\mathcal{D}, A)$ への対応を $u: N \rightarrow \textrm{Hom}(\textrm{colim}\mathcal{D}, A)$ とすれば、これは $\textbf{Set}$ 上の仲介射となっている[（死）](https://www.google.com/#newwindow=1&q=%E8%87%AA%E6%98%8E)

```math
\begin{array}{ccccccc}
in\textbf{C} & & & & in\textbf{Set}\\
\textrm{colim}\mathcal{D} & \overset{f} \longrightarrow & A & & \textrm{Hom}\left(\textrm{colim}\mathcal{D}, A\right) & \overset{u} \longleftarrow & N\\
\phantom{\overset{\varphi}{}}\bigg\uparrow \overset{\varphi}{} & \phantom{{}_{\psi(n)}}\nearrow_{\psi(n)} & & \xrightarrow{\textrm{Hom}(-, A)} & \phantom{\overset{\textrm{Hom}(\varphi, A)}{}}\bigg\downarrow \overset{\textrm{Hom}(\varphi, A)}{} & \phantom{{}_{\psi}}\swarrow_{\psi}\\
\mathcal{D} & & & & \textrm{Hom}(\mathcal{D}, A)
\end{array}
```

```math
\begin{array}{ccc}
u: & N & \longrightarrow & \textrm{Hom}\left(\textrm{colim}\mathcal{D}, A\right)\\
& n & \longmapsto & f
\end{array}
```

以上により、 $\textrm{Hom}\left(\textrm{colim}\mathcal{D}, A\right)$ が 図式 $\textrm{Hom}(\mathcal{D}, A)$ の極限であることが言えた。つまり、

```math
\textrm{Hom}\left(\textrm{colim}\mathcal{D}, A\right) \cong \textrm{lim}\bigl(\textrm{Hom}(\mathcal{D}, A)\bigr)
```

が言えたことになる。

## F ≡ G の時 F が余極限を保存するなら G も余極限を保存する
ほとんど自明だが簡単に説明する。

反変関手 $\mathcal{F, G}: \textbf{C}^\textrm{op} \rightarrow \textbf{D}$ について、

```math
\mathcal{F} \cong \mathcal{G}
```

を仮定する（$\textbf{D}$ は $\textbf{Set}$ でなくともよい）。つまり、自然変換

```math
\vartheta: \mathcal{G} \rightarrow \mathcal{F}
```

が存在し、$\forall X \in \textbf{Ob(C)}$ について

```math
\vartheta_X: \mathcal{G}X \rightarrow \mathcal{F}X
```
が同型射である。

また、 $\mathcal{F}$ は余極限を保存するとする。つまり、任意の図式 $\mathcal{D}: \textbf{J} \rightarrow \textbf{C}$ について、

```math
\mathcal{F}(\textrm{colim}\mathcal{D}) \cong \textrm{lim}\mathcal{FD}
```

である。

この 2 つの仮定から、まず次が言える。

```math
\mathcal{G}(\textrm{colim}\mathcal{D}) \cong \mathcal{F}(\textrm{colim}\mathcal{D}) \cong \textrm{lim}\mathcal{FD}
```

残る $\textrm{lim}\mathcal{GD}$ がこの3つのどこかと同型であることが言えれば、表題が示せる。

$\mathcal{D}$ からの錐 $(\textrm{colim}\mathcal{D}, \varphi)$ を $\mathcal{G}$ で写した図を考える。

```math
\begin{array}{cccc}
in\textbf{C} & in\textbf{C}^\textrm{op} & & in\textbf{D}\\
\textrm{colim}\mathcal{D} & \textrm{colim}\mathcal{D} & & \mathcal{G}(\textrm{colim}\mathcal{D})\\
\phantom{\overset{\varphi}{}}\bigg\uparrow \overset{\varphi}{} & \phantom{\overset{\varphi}{}}\bigg\downarrow \overset{\varphi}{} & \xrightarrow{\hspace{1em}\mathcal{G}\hspace{1em}} & \phantom{\overset{\mathcal{G}\varphi}{}}\bigg\downarrow \overset{\mathcal{G}\varphi}{}\\
\mathcal{D} & \mathcal{D} & & \mathcal{GD}
\end{array}
```

他の錐 $(N, \psi)$ から仲介射が作れるかを考える。

```math
\begin{array}{cccccc}
in\textbf{C} & in\textbf{C}^\textrm{op} & & in\textbf{D}\\
\textrm{colim}\mathcal{D} & \textrm{colim}\mathcal{D} & & \mathcal{G}(\textrm{colim}\mathcal{D}) & \overset{?} \dashleftarrow & N\\
\phantom{\overset{\varphi}{}}\bigg\uparrow \overset{\varphi}{} & \phantom{\overset{\varphi}{}}\bigg\downarrow \overset{\varphi}{} & \xrightarrow{\hspace{1em}\mathcal{G}\hspace{1em}} & \phantom{\overset{\mathcal{G}\varphi}{}}\bigg\downarrow \overset{\mathcal{G}\varphi}{} & \phantom{{}_{\psi}}\swarrow_{\psi}\\
\mathcal{D} & \mathcal{D} & & \mathcal{GD}
\end{array}
```

$\vartheta\_{\mathcal{D}}: \mathcal{GD} \rightarrow \mathcal{FD}$ で $\psi$ を移すと、$(N, \vartheta\_{\mathcal{D}} \circ \psi)$ は $\mathcal{FD}$ への錐である。

```math
\begin{array}{cccccc}
in\textbf{C} & in\textbf{C}^\textrm{op} & & in\textbf{D}\\
\textrm{colim}\mathcal{D} & \textrm{colim}\mathcal{D} & & \mathcal{G}(\textrm{colim}\mathcal{D}) & & N\\
\phantom{\overset{\varphi}{}}\bigg\uparrow \overset{\varphi}{} & \phantom{\overset{\varphi}{}}\bigg\downarrow \overset{\varphi}{} & \xrightarrow{\hspace{1em}\mathcal{G}\hspace{1em}} & \phantom{\overset{\mathcal{G}\varphi}{}}\bigg\downarrow \overset{\mathcal{G}\varphi}{} & \phantom{{}_{\psi}}\swarrow_{\psi} & \phantom{\overset{\vartheta_{\mathcal{D}} \circ \psi}{}}\bigg\downarrow \overset{\vartheta_{\mathcal{D}} \circ \psi}{} \\
\mathcal{D} & \mathcal{D} & & \mathcal{GD} & \overset{\vartheta_{\mathcal{D}}}\longrightarrow & \mathcal{FD}
\end{array}
```

$\mathcal{FD}$ は極限を持つので、$N$ からの仲介射 $u$ が存在する。

```math
\begin{array}{cccccc}
in\textbf{C} & in\textbf{C}^\textrm{op} & & in\textbf{D}\\
\textrm{colim}\mathcal{D} & \textrm{colim}\mathcal{D} & & \mathcal{G}(\textrm{colim}\mathcal{D}) & & \textrm{lim}\mathcal{FD} & \overset{u} \longleftarrow & N\\
\phantom{\overset{\varphi}{}}\bigg\uparrow \overset{\varphi}{} & \phantom{\overset{\varphi}{}}\bigg\downarrow \overset{\varphi}{} & \xrightarrow{\hspace{1em}\mathcal{G}\hspace{1em}} & \phantom{\overset{\mathcal{G}\varphi}{}}\bigg\downarrow \overset{\mathcal{G}\varphi}{} & & \bigg\downarrow & \phantom{{}_{\vartheta_{\mathcal{D}} \circ \psi}}\swarrow_{\vartheta_{\mathcal{D}} \circ \psi}\\
\mathcal{D} & \mathcal{D} & & \mathcal{GD} & \overset{\vartheta_{\mathcal{D}}}\longrightarrow & \mathcal{FD}
\end{array}
```

$\mathcal{G}(\textrm{colim}\mathcal{D}) \cong \textrm{lim}\mathcal{FD}$ であったから、同型射 $f: \textrm{lim}\mathcal{FD} \rightarrow \mathcal{G}(\textrm{colim}\mathcal{D})$ が存在する。

```math
\begin{array}{cccccc}
in\textbf{C} & in\textbf{C}^\textrm{op} & & in\textbf{D}\\
\textrm{colim}\mathcal{D} & \textrm{colim}\mathcal{D} & & \mathcal{G}(\textrm{colim}\mathcal{D}) & \overset{f} \longleftarrow  & \textrm{lim}\mathcal{FD} & \overset{u} \longleftarrow & N\\
\phantom{\overset{\varphi}{}}\bigg\uparrow \overset{\varphi}{} & \phantom{\overset{\varphi}{}}\bigg\downarrow \overset{\varphi}{} & \xrightarrow{\hspace{1em}\mathcal{G}\hspace{1em}} & \phantom{\overset{\mathcal{G}\varphi}{}}\bigg\downarrow \overset{\mathcal{G}\varphi}{} & & \bigg\downarrow & \phantom{{}_{\vartheta_{\mathcal{D}} \circ \psi}}\swarrow_{\vartheta_{\mathcal{D}} \circ \psi}\\
\mathcal{D} & \mathcal{D} & & \mathcal{GD} & \overset{\vartheta_{\mathcal{D}}}\longrightarrow & \mathcal{FD}
\end{array}
```

$f \circ u: N \rightarrow \mathcal{G}(\textrm{colim}\mathcal{D})$ が、求めていた仲介射である。

```math
\begin{array}{cccccc}
in\textbf{C} & in\textbf{C}^\textrm{op} & & in\textbf{D}\\
\textrm{colim}\mathcal{D} & \textrm{colim}\mathcal{D} & & \mathcal{G}(\textrm{colim}\mathcal{D}) & \overset{f \circ u} \longleftarrow & N\\
\phantom{\overset{\varphi}{}}\bigg\uparrow \overset{\varphi}{} & \phantom{\overset{\varphi}{}}\bigg\downarrow \overset{\varphi}{} & \xrightarrow{\hspace{1em}\mathcal{G}\hspace{1em}} & \phantom{\overset{\mathcal{G}\varphi}{}}\bigg\downarrow \overset{\mathcal{G}\varphi}{} & \phantom{{}_{\psi}}\swarrow_{\psi}\\
\mathcal{D} & \mathcal{D} & & \mathcal{GD}
\end{array}
```

以上により、表現可能関手は余極限を保存することが示された。