第5章　中心力場のSchrödinger方程式④


##5.4 動径方程式

前節より，任意の球対称なポテンシャルの中で，$L^2$，$L_z$が決まった値をとる粒子の定常状態の波動関数は，

<a name ="tag{5.44}">

```math
\varphi(\mathbf{r})=R_l(r)Y_l^m(\theta,\varphi)
\tag{5.44}
```

という形に書ける．$Y_l^m(\theta,\varphi)$が$L^2$の固有関数なので，[(5.23)](#tag{5.23})より$R_r(r)$は，

<a name ="tag{5.45}">

```math
\frac{1}{r}\frac{d^2}{dr^2}(rR_l)
+
\left\{
\frac{2m}{\hbar^2}(E-V(r))-\frac{l(l+1)}{r^2}
\right\}
R_l
=0
\tag{5.45}
```

の解である．ここで，

<a name ="tag{5.46}">

```math
R_l(r)=\frac{\chi_l(r)}{r}
\tag{5.46}
```

とおいて[(5.45)](#tag{5.45})に代入すると，$\chi_l(r)$に関する方程式は，

<a name ="tag{5.47}">

```math
-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2\chi_l(r)}{dr^2}
+
\left[
V(r)+\frac{l(l+1)\hbar^2}{2mr^2}
\right]
\chi_l(r)
=E\chi_l(r)
\tag{5.47}
```
という1次元のSchrödinger方程式によく似た形となる．
[(5.47)](#tag{5.47})は，ポテンシャルエネルギー

```math
V_{\rm eff}(r)=V(r)+\frac{l(l+1)\hbar^2}{2mr^2}
```

の場の中の$\infty\gt r\geq 0$の領域での1次元の運動に関するSchrödinger方程式と同じ形をしている．この1次元的な性質を使って[(5.47)](#tag{5.47})の解の一般的な性質を考える．

1.第3章3.1節で証明した定理「1次元では離散スペクトルの現れるエネルギー準位は縮退していない」より，エネルギーの値が決まると[(5.47)](#tag{5.47})の解はひとつに決まる．球対称な場の中の運動についての波動関数は$E$，$l$，$m$の値で完全に決まる．ただし[(5.45)](#tag{5.45})は量子数$m$を含まないので$2l+1$個の$m$の値に対応してエネルギーは$2l+1$重に縮退している．
2. 波動関数の規格化の条件は，

<a name ="tag{5.48}">

```math
\begin{align}
\int d^3r\left|\varphi(\mathbf{r})\right|^2
&=
\int \left|\varphi(\mathbf{r})\right|^2
r^2\sin\theta dr d\varphi d\theta
\\
&=
\int_0^\infty r^2dr\int d\Omega\left|\varphi(\mathbf{r})\right|^2
\quad \left(d\Omega=\sin\theta d\varphi d\theta\right)
\\
&=
\int_0^\infty r^2dr\int d\Omega\left|R_l(r)Y_l^m(\theta,\varphi) \right|^2
\\
&=
\int_0^\infty r^2dr\left|R_l(r)\right|^2
\\
&=
\int_0^\infty dr\left|\chi_l(r)\right|^2
=1

\end{align}
\tag{5.48}
```

3. $\chi_l(r)$の原点付近での振る舞いを調べることで$\varphi(\mathbf{r})$が原点を含む全空間でSchrödinger方程式[(5.9)](#tag{5.9})の解になっているかどうかを確認する．
ポテンシャルエネルギー$V(r)$は

<a name ="tag{5.49}">

```math
\lim_{r\to 0}V(r)r^2=0
\tag{5.49}
```

と仮定する．まず$l\neq 0$の場合を調べる．$r$がじゅうぶんに小さいとき，[(5.47)](#tag{5.47})は

```math
-\frac{d^2\chi_l(r)}{dr^2}+\frac{l(l+1)}{r^2}\chi_l(r)\simeq 0
```

この式に$\chi_l(r)\simeq r^s$を代入すると，$s(s-1)=l(l+1)$となるので$s=l+1$または$s=-l$となる．したがって

<a name ="tag{5.50}">

```math
\chi_l(r)\simeq r^{l+1},または r^{-l}
\tag{5.50}
```

$r^{-l}$は原点で発散するので[(5.48)](#tag{5.48})を満足しないため物理的に意味のある解とならない．したがって$r^{l+1}$が物理的に意味のある解で，

<a name ="tag{5.51}">

```math
\chi_l(0)=0 \quad (l\neq 0)
\tag{5.51}
```

となる．
次に$l=0$の場合を考える．題位に反して$\chi_0(0)=c\neq 0$と仮定する．[(5.44)](#tag{5.44})に代入すると，

```math
\varphi(\mathbf{r})=\frac{c}{r}Y_0^0=\frac{c}{\sqrt{4\pi}}\frac{1}{r}
```

となる．

```math
\Delta\left(\frac{1}{r}\right)
=
-4\pi\delta(\mathbf{r})
```

を用いると，

```math
\begin{align}
\hat{H}\varphi(\mathbf{r})
&=
\left[
-\frac{\hbar^2}{2m}\Delta+V(r)
\right]
\varphi(\mathbf{r})
\\
&=
\frac{\hbar^2}{2m}\sqrt{4\pi}c\delta(\mathbf{r})+V(r)\varphi(\mathbf{r})
\end{align}
```

となる．しかしSchrödinger方程式は$\varphi(\mathbf{r})$に関して斉次なので$\chi_0(0)=c\neq 0$だと原点でSchrödinger方程式を満たさない．したがって$\chi_0(0)=c= 0$である必要がある．

4.ハミルトニアン[(5.43)](#tag{5.43})は2個の固有値$\pm 1$をもつ空間反転の演算子$\hat{P}$と交換する．ただしここで

```math
\hat{P}\psi(\mathbf{r},t)=\psi(-\mathbf{r},t)
```

$\hat{P}$の演算に対して$r$座標は不変だが，角度変数は$\theta\to\pi-\theta$，$\varphi\to\varphi+\pi$と変換される．したがって$l$が偶数の状態では偶パリティ，$l$が奇数の状態では奇パリティの状態に対応する．

粒子の角運動量$l$がいろいろな値を取る状態を表す慣用記号が使われている．

<a name ="tag{5.52}">

```math
\begin{align}
l&=0\quad 1\quad 2\quad 3\quad 4\quad 5\quad\cdots
\\
&\quad s\quad p \quad d\quad f\quad g\quad h
\end{align}
\tag{5.52}
```