第2章　Schrödingerの波動方程式②

## 2.4 確率の保存と確率の流れ
### 確率の保存

[(2.40)](#tag{2.40})の左辺の積分は時間に無関係でなければならない．
実際に左辺を時間で微分すると，

<a name ="tag{2.41}">

```math
\begin{eqnarray}

\frac{d}{dt}
\int
|\psi(\mathbf{r},t)|^2
d^3r
&=&

\int
\left\{
\psi^\ast(\mathbf{r},t)
\frac{\partial\psi(\mathbf{r},t)}{\partial t}
+
\frac{\partial \psi^\ast(\mathbf{r},t)}{\partial t}
\psi(\mathbf{r},t)
\right\}
d^3r

\\
&=&

\frac{1}{i\hbar}
\int
\left[
\psi^\ast(\mathbf{r},t)
\left\{
-\frac{\hbar^2}{2m}\Delta
\psi(\mathbf{r},t)
+
V(\mathbf{r})
\psi(\mathbf{r},t)
\right\}
\\
-
\left\{
-\frac{\hbar^2}{2m}\Delta
\psi^\ast(\mathbf{r},t)
+
V(\mathbf{r})
\psi^\ast(\mathbf{r},t)
\right\}
\psi(\mathbf{r},t)
\right]
d^3r

\\
&=&

-\frac{\hbar}{2mi}
\int
\left\{
\psi^\ast(\mathbf{r},t)
\Delta
\psi(\mathbf{r},t)
-
\psi(\mathbf{r},t)
\Delta
\psi^\ast(\mathbf{r},t)
\right\}
d^3r

\\
&=&

-\frac{\hbar}{2mi}
\int
\left\{
\psi^\ast(\mathbf{r},t)
\nabla\cdot\nabla
\psi(\mathbf{r},t)
-
\psi(\mathbf{r},t)
\nabla\cdot\nabla
\psi^\ast(\mathbf{r},t)
\right\}
d^3r

\\
&=&

-\frac{\hbar}{2mi}
\int
\nabla\cdot
\left\{
\psi^\ast(\mathbf{r},t)
\nabla
\psi(\mathbf{r},t)
-
\psi(\mathbf{r},t)
\nabla
\psi^\ast(\mathbf{r},t)
\right\}
d^3r

\\
&=&

-\frac{\hbar}{2mi}
\int_S
\left\{
\psi^\ast(\mathbf{r},t)
\nabla
\psi(\mathbf{r},t)
-
\psi(\mathbf{r},t)
\nabla
\psi^\ast(\mathbf{r},t)
\right\}_n
dS

\end{eqnarray}
\tag{2.41}
```

ここで途中の式でSchrodinger方程式[(2.37)](#tag{2.37})より

<a name ="tag{2.42}">

```math
\frac{\partial\psi(\mathbf{r},t)}{\partial t}
=
\frac{1}{i\hbar}
\left\{
-\frac{\hbar^2}{2m}\Delta
\psi(\mathbf{r},t)
+
V(\mathbf{r})
\psi(\mathbf{r},t)
\right\}

\tag{2.42}
```

と，その複素共役

<a name ="tag{2.43}">

```math
\frac{\partial\psi^\ast(\mathbf{r},t)}{\partial t}
=
-\frac{1}{i\hbar}
\left\{
-\frac{\hbar^2}{2m}\Delta
\psi^\ast(\mathbf{r},t)
+
V(\mathbf{r})
\psi^\ast(\mathbf{r},t)
\right\}

\tag{2.43}
```

を用いた．
また[(2.41)](#tag{2.41})の積分において$\int d^3r$は全空間にわたる積分を表し，$\int_SdS$はその境界での積分を表す．積分内の括弧の添字$n$は，括弧内のベクトルの，面積要素$dS$の法線方向の成分を表す．

ここで

<a name ="tag{2.44}">

```math
\begin{eqnarray}

\mathbf{j}(\mathbf{r},t)
&=&
\frac{\hbar}{2mi}
\left\{
\psi^\ast(\mathbf{r},t)
\nabla
\psi(\mathbf{r},t)
-
\psi(\mathbf{r},t)
\nabla
\psi^\ast(\mathbf{r},t)
\right\}

\\
&=&

\frac{\hbar}{2mi}
\left\{
(
\psi_r-i\psi_i
)
\nabla
(
\psi_r+i\psi_i
)
-
(
\psi_r+i\psi_i
)
\nabla
(
\psi_r-i\psi_i
)
\right\}

\\
&=&

\frac{\hbar}{2mi}
\left\{
2i\psi_r\nabla\psi_i
-2i\psi_i\nabla\psi_r
\right\}

\\
&=&

\frac{1}{m}
\rm{Re}
\left\{
\psi^\ast(\mathbf{r},t)
\frac{\hbar}{i}\nabla
\psi(\mathbf{r},t)
\right\}

\end{eqnarray}
\tag{2.44}
```

というベクトルを定義すると，[(2.41)](#tag{2.41})は，

<a name ="tag{2.45}">

```math
\begin{eqnarray}

\frac{d}{dt}
\int
|\psi(\mathbf{r},t)|^2
d^3r

&=&
-
\int
\nabla\cdot\mathbf{j}(\mathbf{r},t)
d^3r

\\
&=&
-\int_S
\mathbf{j}_n(\mathbf{r},t)
dS

\end{eqnarray}
\tag{2.45}
```

$\psi(\mathbf{r},t)$は無限遠で0になるのでこの表面積分は0となり，

<a name ="tag{2.46}">

```math
\int
|\psi(\mathbf{r},t)|^2
d^3r
=
(一定)

\tag{2.46}
```

となる．


### 確率の流れの概念

Schrodinger方程式[(2.42)](#tag{2.42})，[(2.43)](#tag{2.43})を用いると，

```math
\begin{eqnarray}

\frac{\partial\rho(\mathbf{r},t)}{\partial t}
&=&
\frac{\partial}{\partial t}
\left\{
\psi^\ast(\mathbf{r},t)\psi(\mathbf{r},t)
\right\}

\\
&=&

\frac{\partial\psi^\ast(\mathbf{r},t)}{\partial t}
\psi(\mathbf{r},t)
+
\frac{\partial\psi(\mathbf{r},t)}{\partial t}
\psi^\ast(\mathbf{r},t)

\\
&=&

-\frac{1}{i\hbar}
\left\{
-\frac{\hbar^2}{2m}\Delta
\psi^\ast(\mathbf{r},t)
+
V(\mathbf{r})
\psi^\ast(\mathbf{r},t)
\right\}
\psi(\mathbf{r},t)

\\
&+&

\frac{1}{i\hbar}
\left\{
-\frac{\hbar^2}{2m}\Delta
\psi(\mathbf{r},t)
+
V(\mathbf{r})
\psi(\mathbf{r},t)
\right\}
\psi^\ast(\mathbf{r},t)

\\
&=&

\frac{\hbar}{2mi}
(
\psi\Delta\psi^\ast
-
\psi^\ast\Delta\psi
)

\end{eqnarray}
```

また[(2.44)](#tag{2.44})より，

```math
\begin{eqnarray}

\nabla\cdot
\mathbf{j}(\mathbf{r},t)
&=&
\frac{\hbar}{2mi}
\nabla\cdot
\left\{
\psi^\ast
\nabla
\psi
-
\psi
\nabla
\psi^\ast
\right\}

\\
&=&

\frac{\hbar}{2mi}
(
\psi^\ast\Delta\psi
-
\psi\Delta\psi^\ast
)

\end{eqnarray}
```

これらを加えると，

<a name ="tag{2.47}">

```math

\frac{\partial\rho(\mathbf{r},t)}{\partial t}
+
\nabla\cdot
\mathbf{j}(\mathbf{r},t)
=0

\tag{2.47}
```

[(2.47)](#tag{2.47})は流体力学でいう質量保存の法則である．
すなわち密度$\rho$，流れ$\mathbf{j}$の流体の保存法則と同じ形である．
したがって[(2.44)](#tag{2.44})は確率の流れの密度と解釈できる．


## 2.5 物理量の期待値と演算子

### 位置ベクトルの期待値

粒子の位置ベクトル$\mathbf{r}$の期待値は，

<a name ="tag{2.48}">

```math
<\mathbf{r}>
=
\int
\mathbf{r}
\rho(\mathbf{r},t)
d^3r
=
\int
\psi^\ast(\mathbf{r},t)
\mathbf{r}
\psi(\mathbf{r},t)
d^3r

\tag{2.48}
```

の形に書ける．
一般の関数$f(\mathbf{r})$の期待値は，

<a name ="tag{2.49}">

```math
<f(\mathbf{r})>
=
\int
f(\mathbf{r})
\rho(\mathbf{r},t)
d^3r
=
\int
\psi^\ast(\mathbf{r},t)
f(\mathbf{r})
\psi(\mathbf{r},t)
d^3r


\tag{2.49}
```





### 運動量の期待値

<a name ="tag{2.50}">

```math
\begin{eqnarray}

\frac{d}{dt}
<x>

&=&

\frac{d}{dt}
\int
\psi^\ast x\psi
d^3r

\\
&=&

\int
\psi^\ast x\frac{\partial \psi}{\partial t}
+\frac{\partial \psi^\ast }{\partial t}x\psi
d^3r

\end{eqnarray}
\tag{2.50}
```

Schrodinger方程式[(2.42)](#tag{2.42})，[(2.43)](#tag{2.43})を代入すると，

<a name ="tag{2.51}">

```math
\frac{d}{dt}<x>
=
\frac{i\hbar}{2m}
\int
(
\psi^\ast x\Delta\psi
-x\psi\Delta\psi^\ast
)
d^3r
\tag{2.51}
```

第2項の積分を部分積分すると，

```math
\begin{eqnarray}

\int x\psi\Delta\psi^\ast d^3r
&=&
\int_S(x\psi\nabla\psi^\ast)_ndS
-\int\nabla(x\psi)\cdot\nabla\psi^\ast d^3r

\\
&=&

-\int\nabla(x\psi)\cdot\nabla\psi^\ast d^3r

\\
&=&

-\int\{ \psi^\ast\nabla(x\psi) \}_ndS
+\int\psi^\ast\Delta(x\psi)d^3r

\\
&=&

\int\psi^\ast\Delta(x\psi)d^3r

\end{eqnarray}
```

[(2.51)](#tag{2.51})に代入すると，

<a name ="tag{2.52}">

```math
\begin{eqnarray}

\frac{d}{dt}<x>
&=&
\frac{i\hbar}{2m}
\int
\{
\psi^\ast x\Delta\psi-\psi^\ast\Delta(x\psi)
\}
d^3r

\\
&=&

\frac{i\hbar}{2m}
\int
\psi^\ast
\{
x\Delta\psi-\Delta(x\psi)
\}
d^3r

\\
&=&

\frac{i\hbar}{2m}
\int
\psi^\ast
\left\{
x\frac{\partial^2\psi}{\partial x^2}
-\frac{\partial^2}{\partial x^2}(x\psi)
\right\}
d^3r

\\
&=&

\frac{i\hbar}{2m}
\int
\psi^\ast
\left\{
x\frac{\partial^2\psi}{\partial x^2}
-
\frac{\partial}{\partial x}
\left(
\psi+x\frac{\partial\psi}{\partial x}
\right)
\right\}
d^3r

\\
&=&

\frac{i\hbar}{2m}
\int
\psi^\ast
\left\{
x\frac{\partial^2\psi}{\partial x^2}
-
\left(
2\frac{\partial\psi}{\partial x}+x\frac{\partial^2\psi}{\partial x^2}
\right)
\right\}
d^3r

\\
&=&

\frac{1}{m}
\int
\psi^\ast
\frac{\hbar}{i}
\frac{\partial\psi}{\partial x}
d^3r

\end{eqnarray}
\tag{2.52}
```

3次元座標に拡張すると，

<a name ="tag{2.53}">

```math
\frac{d}{dt}<\mathbf{r}>
=
\frac{1}{m}
\int
\psi^\ast
\frac{\hbar}{i}
\nabla
\psi
d^3r

\tag{2.53}
```

<a name ="tag{2.54}">

```math
m\frac{d}{dt}<\mathbf{r}>
=
\int
\psi^\ast
\frac{\hbar}{i}
\nabla
\psi
d^3r
\tag{2.54}
```

<a name ="tag{2.55}">

```math
<\mathbf{p}>
=
\int
\psi^\ast
\frac{\hbar}{i}
\nabla
\psi
d^3r
\tag{2.55}
```

運動量空間での粒子が運動量$\mathbf{p}$という値をとる確率は，規格化された波動関数$\tilde{\psi}(\mathbf{p},t)$によって，

<a name ="tag{2.55.1}">

```math
<\mathbf{p}>
=
\int
\tilde{\psi}^\ast(\mathbf{p},t)
\mathbf{p}
\tilde{\psi}(\mathbf{p},t)
d^3p

\tag{2.55.1}
```

ここで$\tilde{\psi}(\mathbf{p},t)$はFourier逆変換によって

<a name ="tag{2.55.2}">

```math
\tilde{\psi}(\mathbf{p},t)
=
\frac{1}{(2\pi\hbar)^\frac{3}{2}}
\int
\psi(\mathbf{r},t)
e^{-\frac{i}{\hbar}\mathbf{p}\cdot\mathbf{r}}d^3r
\tag{2.55.2}
```

という関係で結ばれている．
[(2.55.2)](#tag{2.55.2})を[(2.55.1)](#tag{2.55.1})に代入すると，

<a name ="tag{2.55.3}">

```math
<\mathbf{p}>
=
\frac{1}{(2\pi\hbar)^3}
\int
\psi^\ast(\mathbf{r}^\prime,t)
e^{\frac{i}{\hbar}\mathbf{p}\cdot\mathbf{r}^\prime}
\mathbf{p}
\psi(\mathbf{r},t)
e^{-\frac{i}{\hbar}\mathbf{p}\cdot\mathbf{r}}
d^3p
d^3r
d^3r^\prime

\tag{2.55.3}
```

ここで，

```math
\nabla
e^{-\frac{i}{\hbar}\mathbf{p}\cdot\mathbf{r}}
=
-\frac{i}{\hbar}\mathbf{p}
e^{-\frac{i}{\hbar}\mathbf{p}\cdot\mathbf{r}}
```

であるから，

<a name ="tag{2.55.4}">

```math
\mathbf{p}
e^{-\frac{i}{\hbar}\mathbf{p}\cdot\mathbf{r}}
=
-\frac{\hbar}{i}
\nabla
e^{-\frac{i}{\hbar}\mathbf{p}\cdot\mathbf{r}}
\tag{2.55.4}
```

[(2.55.4)](#tag{2.55.4})を[(2.55.3)](#tag{2.55.3})に代入すると，

<a name ="tag{2.55.5}">

```math
\begin{eqnarray}

<\mathbf{p}>
&=&
\frac{1}{(2\pi\hbar)^3}
\int
\psi^\ast(\mathbf{r}^\prime,t)
e^{\frac{i}{\hbar}\mathbf{p}\cdot\mathbf{r}^\prime}
\psi(\mathbf{r},t)
\left(
-\frac{\hbar}{i}
\nabla
e^{-\frac{i}{\hbar}\mathbf{p}\cdot\mathbf{r}}
\right)
d^3p
d^3r
d^3r^\prime

\\
&=&

\frac{1}{(2\pi\hbar)^3}
\int_S
\left\{
\psi^\ast(\mathbf{r}^\prime,t)
e^{\frac{i}{\hbar}\mathbf{p}\cdot\mathbf{r}^\prime}
\psi(\mathbf{r},t)
\left(
-\frac{\hbar}{i}
e^{-\frac{i}{\hbar}\mathbf{p}\cdot\mathbf{r}}
\right)
\right\}_n
d^3p
d^3r^\prime
dS

\\
&+&
\frac{1}{(2\pi\hbar)^3}
\int
\psi^\ast(\mathbf{r}^\prime,t)
e^{\frac{i}{\hbar}\mathbf{p}\cdot\mathbf{r}^\prime}
\nabla
\psi(\mathbf{r},t)
\left(
\frac{\hbar}{i}
e^{-\frac{i}{\hbar}\mathbf{p}\cdot\mathbf{r}}
\right)
d^3p
d^3r
d^3r^\prime

\\
&=&
\frac{1}{(2\pi\hbar)^3}
\int
\psi^\ast(\mathbf{r}^\prime,t)
e^{\frac{i}{\hbar}\mathbf{p}\cdot(\mathbf{r}^\prime-\mathbf{r})}
\frac{\hbar}{i}
\nabla
\psi(\mathbf{r},t)
d^3p
d^3r
d^3r^\prime

\\
&=&

\int
\psi^\ast(\mathbf{r}^\prime,t)
\left\{
\frac{1}{(2\pi\hbar)^3}
e^{\frac{i}{\hbar}\mathbf{p}\cdot(\mathbf{r}^\prime-\mathbf{r})}
d^3p
\right\}
\frac{\hbar}{i}
\nabla
\psi(\mathbf{r},t)
d^3r
d^3r^\prime

\\
&=&

\int
\psi^\ast(\mathbf{r}^\prime,t)
\delta^{(3)}(\mathbf{r}^\prime-\mathbf{r})
\frac{\hbar}{i}
\nabla
\psi(\mathbf{r},t)
d^3r
d^3r^\prime

\\
&=&

\int
\psi^\ast(\mathbf{r},t)
\frac{\hbar}{i}
\nabla
\psi(\mathbf{r},t)
d^3r

\end{eqnarray}
\tag{2.55.5}
```

これは[(2.55)](#tag{2.55})と同じ形である．
同様に，


<a name ="tag{2.55.6}">

```math
<\mathbf{p}^n>
=
\int
\psi^\ast(\mathbf{r},t)
\left(
\frac{\hbar}{i}
\nabla
\right)^n
\psi(\mathbf{r},t)
d^3r
\tag{2.55.6}
```

も示すことができる．
まず，

<a name ="tag{2.55.7}">

```math
<\mathbf{p}^n>
=
\int
\tilde{\psi}^\ast(\mathbf{r},t)
\mathbf{p}^n
\tilde{\psi}(\mathbf{r},t)
d^3r
\tag{2.55.7}
```

に[(2.55.2)](#tag{2.55.2})の$\tilde{\psi}$と$\tilde{\psi}^\ast$を代入し，さらに[(2.55.4)](#tag{2.55.4})より，

<a name ="tag{2.55.8}">

```math
\mathbf{p}^n
e^{-\frac{i}{\hbar}\mathbf{p}\cdot\mathbf{r}}
=
\left(
-\frac{\hbar}{i}
\nabla
\right)^n
e^{-\frac{i}{\hbar}\mathbf{p}\cdot\mathbf{r}}
=
\left(
-\frac{\hbar}{i}
\right)^n
\nabla^n
e^{-\frac{i}{\hbar}\mathbf{p}\cdot\mathbf{r}}

\tag{2.55.8}
```

であることに注意して，部分積分を実行して表面項を落としていくと，

```math
\begin{eqnarray}
<\mathbf{p}^n>
&=&
\frac{1}{(2\pi\hbar)^3}
\int
\psi^\ast(\mathbf{r}^\prime,t)
e^{\frac{i}{\hbar}\mathbf{p}\cdot\mathbf{r}^\prime}
\mathbf{p}^n
\psi(\mathbf{r},t)
e^{-\frac{i}{\hbar}\mathbf{p}\cdot\mathbf{r}}
d^3pd^3rd^3r^\prime

\\
&=&
\frac{1}{(2\pi\hbar)^3}
\int
\psi^\ast(\mathbf{r}^\prime,t)
e^{\frac{i}{\hbar}\mathbf{p}\cdot\mathbf{r}^\prime}
\psi(\mathbf{r},t)
\left(
-\frac{\hbar}{i}
\right)^n
\nabla^n
e^{-\frac{i}{\hbar}\mathbf{p}\cdot\mathbf{r}}
d^3pd^3rd^3r^\prime

\\
&=&
\frac{1}{(2\pi\hbar)^3}
\int
\psi^\ast(\mathbf{r}^\prime,t)
e^{\frac{i}{\hbar}\mathbf{p}\cdot\mathbf{r}^\prime}
\left(
\frac{\hbar}{i}
\nabla
\psi(\mathbf{r},t)
\right)
\left(
-\frac{\hbar}{i}
\right)^{n-1}
\nabla^{n-1}
e^{-\frac{i}{\hbar}\mathbf{p}\cdot\mathbf{r}}
d^3pd^3rd^3r^\prime

\\
&=&
\cdots

\\
&=&
\frac{1}{(2\pi\hbar)^3}
\int
\psi^\ast(\mathbf{r}^\prime,t)
e^{\frac{i}{\hbar}\mathbf{p}\cdot\mathbf{r}^\prime}
\left\{
\left(
\frac{\hbar}{i}
\nabla
\right)^n
\psi(\mathbf{r},t)
\right\}
e^{-\frac{i}{\hbar}\mathbf{p}\cdot\mathbf{r}}
d^3pd^3rd^3r^\prime

\\
&=&
\frac{1}{(2\pi\hbar)^3}
\int
\psi^\ast(\mathbf{r}^\prime,t)
e^{\frac{i}{\hbar}\mathbf{p}\cdot(\mathbf{r}^\prime-\mathbf{r})}
\left(
\frac{\hbar}{i}
\nabla
\right)^n
\psi(\mathbf{r},t)
d^3pd^3rd^3r^\prime

\\
&=&
\int
\psi^\ast(\mathbf{r}^\prime,t)
\left\{
\frac{1}{(2\pi\hbar)^3}
e^{\frac{i}{\hbar}\mathbf{p}\cdot(\mathbf{r}^\prime-\mathbf{r})}
d^3p
\right\}
\left(
\frac{\hbar}{i}
\nabla
\right)^n
\psi(\mathbf{r},t)
d^3rd^3r^\prime

\\
&=&
\int
\psi^\ast(\mathbf{r}^\prime,t)
\delta^{(3)}
(\mathbf{r}^\prime-\mathbf{r})
\left(
\frac{\hbar}{i}
\nabla
\right)^n
\psi(\mathbf{r},t)
d^3rd^3r^\prime

\\
&=&
\int
\psi^\ast(\mathbf{r},t)
\left(
\frac{\hbar}{i}
\nabla
\right)^n
\psi(\mathbf{r},t)
d^3r

\end{eqnarray}
```

この結果を任意の整関数$f(\mathbf{p})=\sum_{n}a_n\mathbf{p}^n$に拡張することができて，

<a name ="tag{2.56}">

```math
<f(\mathbf{p})>
=
\int
\psi^\ast(\mathbf{r},t)
f
\left(
\frac{\hbar}{i}
\nabla
\right)
\psi(\mathbf{r},t)
d^3r

\tag{2.56}
```

であることが容易にわかる．
この結果を用いれば，Fourier変換することなく$f(\mathbf{p})$の期待値を求めることができる．すなわち，Fourier変換により$\tilde{\psi}^\ast$と$\tilde{\psi}$を計算して，

```math
<f(\mathbf{p})>
=
\int
\tilde{\psi}^\ast(\mathbf{p},t)
f(\mathbf{p})
\tilde{\psi}(\mathbf{p},t)
d^3p
```

を計算するのではなく，

<a name ="tag{2.57}">

```math
<f(\mathbf{p})>
=
\int
\psi^\ast(\mathbf{r},t)
f(\mathbf{p})
\psi(\mathbf{r},t)
d^3r
\tag{2.57}
```

の中で$\mathbf{p}$を微分演算子$\frac{\hbar}{i}\nabla$で置き換えることで計算できる．

次に，

<a name ="tag{2.57.1}">

```math
\frac{d}{dt}
<p_x>
=
-\int
\psi^\ast
\frac{\partial V}{\partial x}
\psi
d^3r

\tag{2.57.1}
```

を導いてみる．
[(2.55)](#tag{2.55})と[(2.42)](#tag{2.42})および[(2.43)](#tag{2.43})より，

<a name ="tag{2.57.2}">

```math
\begin{align}
\frac{d}{dt}
<p_x>
&=
\frac{\hbar}{i}
\left[
\int\frac{\partial\psi^\ast}{\partial t}
\frac{\partial\psi}{\partial x}
d^3r
+
\int
\psi^\ast
\frac{\partial}{\partial x}
\left(
\frac{\partial\psi}{\partial t}
\right)
d^3r
\right]

\\
&=
\int
\left(
-\frac{\hbar^2}{2m}
\Delta\psi^\ast
+
V\psi^\ast
\right)
\frac{\partial\psi}{\partial x}
d^3r
-
\int
\psi^\ast
\frac{\partial}{\partial x}
\left(
-\frac{\hbar^2}{2m}
\Delta\psi
+
V\psi
\right)
d^3r

\\
&=
-\frac{\hbar^2}{2m}
\int
\left\{
(\Delta\psi^\ast)
\frac{\partial\psi}{\partial x}
-
\psi^\ast
\Delta
\frac{\partial\psi}{\partial x}
\right\}
d^3r
+
\int
\left\{
V\psi^\ast\frac{\partial\psi}{\partial x}
-
\psi^\ast
\frac{\partial}{\partial x}
(V\psi)
\right\}
d^3r

\\
&=
\int
\left\{
V\psi^\ast\frac{\partial\psi}{\partial x}
-\psi^\ast\frac{\partial V}{\partial x}\psi
-\psi^\ast V\frac{\partial\psi}{\partial x}
\right\}
d^3r

\\
&=
-\int
\psi^\ast
\frac{\partial V}{\partial x}
\psi
d^3r

\end{align}
\tag{2.57.2}
```

一般的にかくと，

<a name ="tag{2.58}">

```math
\frac{d}{dt}<\mathbf{p}>
=
-\int
\psi^\ast
(\nabla V)
\psi
d^3r
=
-<\nabla V>
=
<\mathbf{F}>
\tag{2.58}
```

これはNewtonの第２法則に対応している．

### 運動エネルギーの期待値

[(2.56)](#tag{2.56})より，

<a name ="tag{2.59}">

```math
\left<
\frac{\mathbf{p}^2}{2m}
\right>
=
\int
\psi^\ast
\left(
-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2
\right)
\psi
d^3r
=
\int
\psi^\ast
\left(
-\frac{\hbar^2}{2m}\Delta
\right)
\psi
d^3r

\tag{2.59}
```


### 全エネルギーの期待値

<a name ="tag{2.60}">

```math
<E>
=
\left<
\frac{\mathbf{p}^2}{2m}
\right>
+<V>

\tag{2.60}
```

を要求する．
[(2.37)](#tag{2.37})に左から$\psi^\ast$をかけて全空間で積分すると，

<a name ="tag{2.61}">

```math
\int
\psi^\ast
i\hbar
\frac{\partial\psi}{\partial t}
d^3r
=
\int
\psi^\ast
\left(
-\frac{\hbar^2}{2m}\Delta\psi
\right)
d^3r
+
\int
\psi^\ast
V\psi
d^3r
\tag{2.61}
```

となるので，

<a name ="tag{2.62}">

```math
<E>
=
\int
\psi^\ast
i\hbar
\frac{\partial \psi}{\partial t}
d^3r
\tag{2.62}
```

と定義すれば[(2.37)](#tag{2.37})と[(2.60)](#tag{2.60})の間に矛盾を生じない．

### 物理量の演算子

|             | 物理量 | 演算子 |
|:-----------:|:------------:|:------------:|
| 座標 | $\mathbf{r}$ | $\mathbf{r}$ |
| 運動量 | $\mathbf{p}$ | $\frac{\hbar}{i}\nabla$ |
| 運動エネルギー |$\frac{\mathbf{p}^2}{2m}$| $-\frac{\hbar^2}{2m}\Delta$ |
| 位置エネルギー | $V(\mathbf{r})$ | $V(\mathbf{r})$ |
| 全エネルギー | $E=\frac{\mathbf{p}^2}{2m}+V(\mathbf{r})$ | $\hat{H}=-\frac{\hbar^2}{2m}+V(\mathbf{r})$ |

それぞれの物理量の期待値は$\psi$(演算子)$\psi^\ast$を全空間で積分することで計算できる．

量子力学では演算子の演算順序によって結果が変わってくる．

```math
\hat{A}\hat{B}-\hat{B}\hat{A}
\equiv
[\hat{A},\hat{B}]
```

と定義し，$[\hat{A},\hat{B}]=0$のとき交換するという．
交換する（可換である）場合，

<a name ="tag{2.63}">

```math
[\hat{A},\hat{B}]\psi=0
\tag{2.63}
```
と書ける．
可換でない場合は

<a name ="tag{2.64}">

```math
[\hat{A},\hat{B}]\psi=i\hat{C}\psi
\tag{2.64}
```

となる．
また，それぞれ

<a name ="tag{2.65}">

```math
[\hat{A},\hat{B}]=0
\tag{2.65}
```
<a name ="tag{2.66}">

```math
[\hat{A},\hat{B}]=i\hat{C}
\tag{2.66}
```

と書くこともできる．

$x,y,z$を$r_i(i=1,2,3)$と表すと，一般に

<a name ="tag{2.67}">

```math
[r_i,r_j]=0,
[p_i,p_j]=0,
[r_i,p_j]=i\hbar\delta_{ij}(i,j=1,2,3)
\tag{2.67}
```