第4章　量子力学の基本的な性質④

##4.5 波動関数の空間

ここで波動関数の空間という概念を導入する．
とびとびのスペクトルをもつ演算子がある場合，任意の波動関数は[(4.28)](#tag{4.28})より，

```math
\psi(\mathbf{r})
=
\sum_i c_i \varphi(\mathbf{r})
```

と展開できる．
$N$次元ベクトル空間とこの波動関数の間には大きな類似点が存在する．

1.$N$次元ベクトル空間での任意のベクトル$A$は，

<a name ="tag{4.56}">

```math
\mathbf{e}_i\cdot\mathbf{e}_j=\delta_{ij}
\tag{4.56}
```

である直交単位ベクトル$\mathbf{e}_i$を使って，

<a name ="tag{4.57}">

```math
\mathbf{A}=\sum_i a_i \mathbf{e}_i
\tag{4.57}
```

と展開できた．[(4.28)](#tag{4.28})は[(4.57)](#tag{4.57})の拡張となる．[(4.56)](#tag{4.56})は[(4.24)](#tag{4.24})に対応し，

```math
\int
\varphi_i^\ast\varphi_j
d^3r
=
\delta_{ij}
```

$a_i=\mathbf{e}_i\cdot\mathbf{A}$に対応するのは[(4.29)](#tag{4.29})で，

```math
c_i=
\int
\varphi_i^\ast(\mathbf{r})
\psi(\mathbf{r})
d^3r
```

2.$N$次元ベクトル空間では
(i)ベクトルと数の積は同じくベクトルとなる．
(ii)2つのベクトルの和は同じくベクトルとなる．

<a name ="tag{4.58}">

```math
\mathbf{A}+\mathbf{B}=\mathbf{C}
\tag{4.58}
```

波動関数の空間では(i)(ii)に対応して，

(i)'2乗積分可能な関数と任意の複素数の積は2乗積分可能な関数となる．
(ii)'2つの2乗積分可能な関数の和も2乗積分可能な関数となる．

3.$N$次元ベクトル空間で$\mathbf{C}$と$\mathbf{D}$の内積は，

<a name ="tag{4.59}">

```math
\mathbf{C}\cdot\mathbf{D}
=
\sum_{i=1}^N
c_i d_i
\tag{4.59}
```

波動関数の空間では，

<a name ="tag{4.60}">

```math
\int
\psi_1^\ast(\mathbf{r})
\psi_2(\mathbf{r})
d^3r
\tag{4.60}
```


##4.6 1つの状態で複数の物理量が決まった値をとるための条件

波動関数が同時に複数の演算子の固有状態であれば，それらの演算子に対応した物理量はすべてはっきり決まることになる．
もし物理量$A$，$B$が同時に定まった値をとるならば，$\hat{A}$，$\hat{B}$は可換であることを示す．
まず，
<a name ="tag{4.61a}">

```math
\hat{A}\varphi_{a_ib_i}
=
a_i\varphi_{a_ib_i}
\tag{4.61a}
```

<a name ="tag{4.61b}">

```math
\hat{B}\varphi_{a_ib_i}
=
b_i\varphi_{a_ib_i}
\tag{4.61b}
```

[(4.61a)](#tag{4.61a})に左から$\hat{B}$を作用させ，[(4.61b)](#tag{4.61b})に左から$\hat{A}$を作用させると，

```math
\hat{B}\hat{A}\varphi_{a_ib_i}
=
a\hat{B}\varphi_{a_ib_i}
=
ab\varphi_{a_ib_i}
```

```math
\hat{A}\hat{B}\varphi_{a_ib_i}
=
b\hat{A}\varphi_{a_ib_i}
=
ab\varphi_{a_ib_i}
```

両式の差をとると，

<a name ="tag{4.62}">

```math
(\hat{A}\hat{B}-\hat{B}\hat{A})
\varphi_{a_ib_i}
=
0
\tag{4.62}
```

完全系をなすすべての$\varphi_{a_ib_i}$に対して成り立つならば，

<a name ="tag{4.63}">

```math
\hat{A}\hat{B}-\hat{B}\hat{A}
=
\left[
\hat{A},\hat{B}
\right]
=
0
\tag{4.63}
```

また逆に$\hat{A}$，$\hat{B}$が可換なエルミート演算子ならば共通の固有関数のセットが選べることも示すことができる．

1.固有値に縮退が無いとき
まず，

```math
\hat{B}\varphi_{ab}=b\varphi_{ab}
```

とする．両辺に左から$\hat{A}$を作用させ，[(4.63)](#tag{4.63})を使うと，

```math
\hat{A}\hat{B}\varphi_{ab}
=
\hat{B}\hat{A}\varphi_{ab}
=
b\hat{A}\varphi_{ab}
```

つまり$\hat{A}\varphi_{ab}$は固有値$b$をもつ$\hat{B}$の固有関数である．
固有値$b$に対して$\hat{B}$の固有関数がただ1個の場合，

```math
\hat{A}\varphi_{ab}\propto\varphi_{ab}
```

すなわち

```math
\hat{A}\varphi_{ab}=a\varphi_{ab}
```

と書ける．したがって$\varphi_{ab}$は同時に$\hat{A}$と$\hat{B}$の固有関数である．

2.固有値が縮退しているとき

$\hat{B}$の固有値$b$に対して$n$個の独立な固有関数$\varphi_{b,i}(i=1,2,\cdots,n)$があると仮定すると，

<a name ="tag{4.64}">

```math
\hat{B}\varphi_{b,i}
=
b\varphi_{b,i}
\tag{4.64}
```

左から$\hat{A}$を作用させて[(4.63)](#tag{4.63})を使うと，

```math
\hat{A}\hat{B}\varphi_{b,i}
=
\hat{B}\hat{A}\varphi_{b,i}
=
b\hat{A}\varphi_{b,i}
```

$\hat{A}\varphi_{b,i}$は固有値$b$の$\hat{B}$の固有関数ということになり，$n$個の独立な固有関数$\varphi_{b,i}$の線形結合によって

<a name ="tag{4.65}">

```math
\hat{A}\varphi_{b,i}
=
\sum_{j=1}^n
c_{ij}
\varphi_{b,j}
\tag{4.65}
```

と表現することができる．
一般的には[(4.65)](#tag{4.65})から$\varphi_{b,j}$が$\hat{A}$の固有関数であるとは言えないが，固有値$b$をもった$\hat{B}$の固有関数

```math
\bar{\varphi}_{b,i}=\sum_{l=1}^n d_{il} \varphi_{b,l}
```

で，かつ同時に$\hat{A}$の固有関数となる1次結合をつくることはできる．